Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
По просьбе кафедр теоретической механики различных втузов третье издание дополнено некоторыми вопросами, интересными для их специальностей. Расширена кинематика плоского движения (мгновенный центр ускорений, план ускорений), дополнена геометрия масс, динамика переменной массы, добавлены элементы небесной механики, несколько углублены теория гироскопа, теория малых колебаний, теория потенциала. Добавлено 19 задач, с подробным решением внесены некоторые мелкие исправления и изменения.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Для высших технических учебных заведений утверждены два варианта программы по теоретической механике: на 100—120 и на 180——200 учебных часов. Первое издание《Курса теоретической механики» было рекомендовано Методическим управлением МВ и ССО СССР в качестве основного учебника по программе на 100—120 часов и быстро разошлось. Во втором и третьем изданиях《Курс》дополнен до объема программы на 186—200 часов. Главы и параграфы нашего《Курса», не отмеченные звездочками, соответствуют обязательной части программы на 120 часов.
Материал учебника, включающий, кроме разделов, не отмеченных звездочкой, также и разделы, отмеченные одной звездочкой, соответствует обязательной части программы на 180——200 часов, а материал, отмеченный двумя звездочками,——некоторым необязательным разделам этой программы.
Применение теорем и методов теоретической механики в «Курсе» проиллюстрировано решением многих задач. В виде решения задач изложены также некоторые вопросы, не вошедшие в программу на 120 учебных часов. Эти задачи отмечены звездочками.
Не ограничиваясь формальной математической стороной каждого из отдельных положений и понятий теоретической механики, автор стремился показать их техническое значение, выявить их физическую сущность на основе материалистического мировоззрения и сообщить некоторые исторические сведения как в виде отдельных исторических очерков, так и в подстрочных примечаниях.
Все термины в «Курсе» даны по «Терминологии общей механики”, разработанной Комитетом научно-технической терминологии Академии наук СССР для применения в научно-технической и учебной литературе, в промышленных стандартах, заводской документации и т. д. Определение терминов было выполнено специальной научной комиссией Комитета, членом которой являлся и автор настоящего 《Курса》， на основании составленного той же комиссией проекта и анализа замечаний, полученных от 99 научных организаций, рецензировавших этот проект.
Для облегчения изучения «Курса» и для удобства его повторения все важнейшие сведения, формулировки важнейших теорем, определения главнейших терминов и прочий материал, на который при чтении книги следует обратить особое внимание, выделены в виде тезисов и напечатаны колонками с левой стороны страниц. 。
Помещенные в конце книги именной и алфавитно-предметный указатели способствуют лучшему усвоению содержания учебника, и автор рекомендует читателям возможно шире использовать эти указатели.
Автор приносит благодарность научному редактору первого издания канд. физ.-мат. наук, доц. Г. С. Погосову, рецензировавшим 《Курс» проф. И. Н. Веселовскому, проф. А. Т. Григорьяну, заслуженному деятелю науки проф. Г. Н. Свешникову, кафедре теоретической механики МАМ, -а также акад. Н. А. Кильчевскому, профессорам В. Я. Белецкому, А. М. Дзядзио, Т. В. Путята, П. И. Христиченко, В. Н. Шелкачеву и доц. Н. Н. Шепелевской, опубликовавшим в периодической печати благоприятные отзывы о нашем «Курсе». Эти отзывы дали возможность автору устранить в настоящем издании неко- юрые из отмеченных ими недостатков предшествующих изданий.
Af.Af. Гернет
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
§ 1. ОСНОВНЫЕ§ 1. ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. ОСНОВНЫЕ
§ 1. ОСНОВНЫЕ
Движение есть форма суще- Механика и ее основные понятия. Древне- ствоваиия материи греческий философ Гераклит своей знаменитой фразой: «Все течет, ничто не пребывает неизменным» — высказал основную мысль учения о всеобщей текучести и изменчивости. С тех пор прошло две с половиной тысячи
лет, и люди узнали, что не только перемещение в пространстве твердых тел, жидкостей и газов, но и такие явления, как теплота, химические процессы, представляют собой различные формы движения. «Движение» рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собою все происходящие во все
ленной изменения и процессы».
Под названием «механика» объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаи-Под названием «механика» объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаи-модействие телмодействие телОдним из видов движения материи, выражающимся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей тела, является механическое движение. В этой
Под названием «механика» объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаи-
Под названием «механика» объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаи-
модействие тел
модействие тел
книге механическое движение иногда мы
будем называть сокращенно «движением».
Положение и движение тел могут быть определены только по отношению к каким-либо другим телам.
В природе тела взаимодействуют друг с другом. Взаимодействие тел может выражаться по-разному: например, оно может заключаться в передаче от одного тела к другому какого-то количества теплоты, электрического заряда и пр. Механическим взаимодействием называют один из видов взаимодействия материи, вызывающий изменение механического движения тел или частей тела, а также препятствующий изменению взаимных положений тел или частей тела.
Из понятия «механическое взаимодействие» вытекает другое тесно связанное с ним понятие——^механическое воздействием на данное тело или на его часть. Если из всех взаимодействующих тел мысленно выделить какое-либо одно (или его часть) и, не интересуясь действием этого тела на другие, рассматривать лишь действие других тел на выбранное нами, то мы получим механическое воздействие на данное тело.
Целый комплекс дисциплин, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие различных материальных тел, объединяют под общим названием механика. К этим наукам относятся, например, прикладная механика, обычно называемая теорией машин и механизмов и изучающая общие вопросы движения и работы механизмов и машин; гидромеханика, изучающая движение жидкостей и тел, погруженных в жидкость； аэромеханика, изучающая движение газообразных тел и движение твердых тел в газе, а также механические взаимо-
ника корабля и т. д. иТеоретическая механика изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых материальных телника корабля и т. д. иТеоретическая механика изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых материальных телдействия между твердыми телами и газом; небесная механика, изучающая движение небесных тел, и т. д. К механике относят также науки, изучающие способы расчетов сооружений, машин и их деталей (строительная механика, детали машин, сопротивление материалов), а также целый ряд наук, занимающихся изучением машин отдельных отраслей промышленности или специальных сооружений (механика пищевых машин, механика сельскохозяйственных машин, меха-
ника корабля и т. д. и
Теоретическая механика изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых материальных тел
ника корабля и т. д. и
Теоретическая механика изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых материальных тел
т. п.).
Материальные тела, изучением движения или расчетом которых занимаются отдельные из этих наук, весьма различны между собой. Но все эти науки имеют много общего и объединены под названием механика
не случайно： движения материальных тел, так же как и их механические взаимодействия, обладают многими общими свойствами, независимыми от движущихся тел. Например, можно говорить о скорости какого-либо тела независимо от того, что именно представляет собой это тело, будь то дождевая капля, футбольный мяч, поршень или самолет. Точно так же можно говорить о вращении материального тела независимо от того, является ли это тело маховым колесом, ротором молочного сепаратора, вальцом вальцового станка, волчком или планетой. Можно установить, следовательно, общие свойства движения материальных тел независимо от того, какие именно материальные тела совершают эти движения. Аналогично можно изучать и механические взаимодействия и их общие свойства, не интересуясь тем, какие именно физические тела в з а имоде йств у ют между собой.
Механическое движение и механические взаимодействия подчиняются определенным законам. Эти законы носят объективный характер, они не придуманы людьми и существуют в природе независимо от воли людей.
Изучением законов механического движения и механического взаимодействия, общих для любых тел, занимается теоретическая механика, называемая также общей механикой.
Все законы, принципы и положения теоретическая механика по-
лучает, изучая движениелучает, изучая движениесамых различных тел. Но чтобы изучить
лучает, изучая движение
лучает, изучая движение
каться (или, как говорят,каться (или, как говорят,общие свойства движения и взаимодействия тел, приходится отвле
каться (или, как говорят,
каться (или, как говорят,
абстрагироваться) от несущественных осо-
бенностей, присущих именно данному телу, отмечая только важное и общее. Это привело к понятиям идеальных тел, обладающих вполне определенными «идеальными» свойствами. Таковы понятия материальной точки и абсолютно твердого тела.
Материальная точка явля-ется абстрактным образомматериального тела. Оиа неимеет размеров, но обладаетмассойМатериальная точка явля-ется абстрактным образомматериального тела. Оиа неимеет размеров, но обладаетмассойВсякое материальное тело занимает некоторую часть пространства, обладает некоторыми размерами. Различные части тела могут совершать движения различного характера. Движение тела представляет собой
Материальная точка явля-ется абстрактным образомматериального тела. Оиа неимеет размеров, но обладаетмассой
Материальная точка явля-ется абстрактным образомматериального тела. Оиа неимеет размеров, но обладаетмассой
сложное явление, и для описания его необходимо знать движение всех его частиц. Материальной частицей называют мысленно выделенную сколь угодно малую часть тела.
Чем меньше размеры тела, тем меньше, вообще говоря, отличаются друг от друга движения его материальных частиц. Абстрагируясь от различия в движениях частиц тела, можно представить себе материальное тело сколь угодно малым, принять его за точку. Материальная точка не имеет размеров, но отличается от геометрической точки тем, что обладает некоторой массой, равной массе того тела, которое она изображает, и способна, как и тело, передвигаться в пространстве. Так, например, если мы примем за материальную точку какую-нибудь планету, то будем считать, что материальная точка обладает массой планеты. Если же мы будем изучать движение артиллерийского снаряда и примем его за материальную точку, то такая точка будет иметь массу, равную массе снаряда.
Если же нас интересует движение однихЕсли же нас интересует движение однихВ отличие от реально существующих материальных частиц материальная точка является отвлеченным понятием ——абстракцией. Оно вводится в механику единственно с целью упростить изучение основных свойств движения, с которыми мы встречаемся в природе и в технике. Движение материальной точки значительно проще, чем движение материального тела. Здесь отсутствуют сложности, связанные с размерами тела и, следовательно, с различием в движении его частиц.
Если же нас интересует движение одних
Если же нас интересует движение одних
абсолютно твердого тела ни-когда не изменяютсяабсолютно твердого тела ни-когда не изменяютсячастям, то мы не можем, конечно, пренебречь размерами тела и принять его за мачастям, то мы не можем, конечно, пренебречь размерами тела и принять его за маРасстояния между частицами qacTe访 тела по отношению к другим его “ccmmruc Tnanncrc тр.пя ни-厶 丿
абсолютно твердого тела ни-когда не изменяются
абсолютно твердого тела ни-когда не изменяются
частям, то мы не можем, конечно, пренебречь размерами тела и принять его за ма
частям, то мы не можем, конечно, пренебречь размерами тела и принять его за ма
териальную точку. Но мы можем принять за материальные точки отдельные части тела и рассматривать движение тела как движение этих материальных точек. При изучении движения нескольких тел часто оказывается возможным отдельные тела принять за материальные точки и тем самым значительно упростить задачу. Так, например, изучая движение планет вокруг Солнца или спутников вокруг планеты, иногда принимают все эти тела за материальные точки. Мы пришли, таким образом, к понятию механической системы, или системы материальных точек.
Систему материальных точек иногда коротко называют системой. Если расстояния между отдельными точками системы не изменяются, то ее называют неизменяемой материальной системой, или абсолютно твердым телом. Сколь бы ни были велики воздействия на абсолютно твердое тело, расстояние между его частицами не может измениться. Как известно, все тела, встречающиеся в природе, разделяются на газообразные, жидкие и твердые. Встречаются тела, обладающие очень большой твердостью. Особенно велика твердость некоторых камней и металлов. Очень большой твердостью отличается алмаз. В технике алмазы широко используют для приготовления из них резцов, в гравировальных машинах, для бурения. Но алмаз все же не является абсолютно твердым телом, ведь и его шлифуют и получают бриллианты. При шлифовке алмаза сего поверхности удаляют выступающие
частицы, а расстояние между частицами абсолютно твердого тела не должно изменяться ни при каких обстоятельствах. Велика твердость некоторых металлокерамических сплавов: победита, титанита и др. Но все они поддаются обработке и, следовательно, не являются абсолютно твердыми (победитовые резцы притупляются, «садятся» от долгой работы и т. д.).
зывают коротко твердымСилой называют меру механического воздействия в данное мгновение на материальную частицу со стороны других материальных объектов, учитывающую величину и направление этого воздействиязывают коротко твердымСилой называют меру механического воздействия в данное мгновение на материальную частицу со стороны других материальных объектов, учитывающую величину и направление этого воздействияАбсолютно твердых тел вообще не существует в природе. Это понятие введено в теоретическую механику для упрощения изучения механического движения и механических взаимодействий. В теоретической механике абсолютно твердое тело часто на
зывают коротко твердым
Силой называют меру механического воздействия в данное мгновение на материальную частицу со стороны других материальных объектов, учитывающую величину и направление этого воздействия
зывают коротко твердым
Силой называют меру механического воздействия в данное мгновение на материальную частицу со стороны других материальных объектов, учитывающую величину и направление этого воздействия
телом.
С понятием «механическое воздействие» тесно связано другое важнейшее понятие механики—понятие силы.
Механическое воздействие на материальную частицу может быть охарактеризовано величиной, направлением, продолжительностью. Рассматривая механическое воздей
ствие лишь за одно мгновение, мы вводим для данного мгно
вения меру, позволяющую охарактеризовать величину и направление механического воздействия на данную материальную частицу со стороны других материальных объектов. Эту меру механического воздействия в данное мгновение на материальную частицу называют силой.
В теоретической механике не интересуются физической природой силы, абстрагируются от ее физической причины. Вызвана ли данная сила мускулатурой человека или животного, давлением пара, притяжением или какими-либо другими причинами, в механике это не имеет существенного значения, а важны лишь величина и направление силы, вполне, с точки зрения механики, характеризующие воздействие на данную материальную частицу в данное мгновение.
Абстрагируясь от физической сущности силы, в теоретической механике устраняют тем самым многие неясности, связанные с понятием силы в других науках. «Земная механика есть единственная наука, в которой действительно знают, что означает слово《сила». Ведь основными условиями земной механики являются, во-первых, отказ исследовать причину толчка, т. е. природу соответственной в каждом случае силы...».
При изучении действия силы на тело нас будет интересовать и вопрос о том, в какой точке эта сила действует на тело, или, как говорят, в какой точке эта сила приложена к телу.
Сила является векторной величиной. Графически изображают силу стрелкой, направленной по направлению силы. Длина этой стрелки пропорциональна величине (модулю) силы.
Теоретическая механика яв*ляется научной основой мно-гих технических наукТеоретическая механика яв*ляется научной основой мно-гих технических наукЗначение теоретической механики. Итак, в теоретической механике изучают движения материальных точек и абсолютно твердых тел, а также действия сил на эти точки и тела.
Теоретическая механика яв*ляется научной основой мно-гих технических наук
Теоретическая механика яв*ляется научной основой мно-гих технических наук
Но ни материальных точек, ни абсолютно твердых тел в природе не существует. Естественно, может возникнуть вопрос о полезности науки, занимающейся изучением движения несуществующих в природе предметов. Тем не менее введение в науку таких абстрактных понятий, как материальная точка, сила, абсолютно твердое тело, крайне полезно. Ленин писал: «Все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее»1.
Поясним сказанное следующим примером. Пусть положение всех частиц тела относительно каких-либо других тел не изменяется со временем. Про такое тело говорят, что оно находится в относительном покое по отношению к этим телам. Относительный покой, рассматриваемый в связи с силами, называют относительным равновесием, или, коротко, равновесием. Пусть к абсолютно твердому телу, находящемуся в покое, приложили две равные силы, действующие по одной прямой, но в противоположные стороны. Совершенно очевидно, что такие две силы не смогут нарушить равновесия абсолютно твердого тела. Этот закон мы принимаем как аксиому. Но если вместо абсолютно твердого тела мы подвергнем действию двух таких сил какое-либо реальное физическое тело, например, будем растягивать какую-нибудь пружину, то в зависимости от жесткости этой пружины и величины действующих сил мы получим более или менее значительную деформацию пружины или даже разрыв ее. Таким образом, отказавшись от понятия абсолютно твердого тела, мы не смогли бы установить общего закона о равновесии тела под действием двух сил. Установив же в теоретической механике этот общий закон на основании свойств абсолютно твердого тела, мы сможем в каждом отдельном случае применять его к реальным физическим телам, что составляет предмет других отраслей механики.
Ленин указал, отмечая общие пути развития наук: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него & практике——таков диалектический путь познания истины...»2.
Приблизительно ту же мысль высказал М. В. Ломоносов: «Из наблюдений устанавливать теорию, через теорию исправлять наблюдения, есть лучший всех способ к изысканию правды».
В теоретической механике, основываясь на изучении движения различных физических тел, устанавливают общие законы движения. В других механических науках используют и применяют эти общие законы теоретической механики к отдельным, более частным случаям. Все эти науки и техника в той или иной мере опираются на теоретическую механику и, предъявляя к ней определенные требования, побуждают ее к дальнейшему развитию.
В. И. Ленин. Философские тетради, 1938, стр. 14Q.
В. И. Ленин. Философские тетради. 1938, стр. 166*
В зависимости от условийзадачи одно и то же физи-ческое тело может быть при-нято за материальную точку,или за абсолютно твердоетело, или за материальнуюсистемуВ зависимости от условийзадачи одно и то же физи-ческое тело может быть при-нято за материальную точку,или за абсолютно твердоетело, или за материальнуюсистемук другим частям его,к другим частям его,Законы и теоремы теоретической механики часто имеют непосредственное применение в технике.
В зависимости от условийзадачи одно и то же физи-ческое тело может быть при-нято за материальную точку,или за абсолютно твердоетело, или за материальнуюсистему
В зависимости от условийзадачи одно и то же физи-ческое тело может быть при-нято за материальную точку,или за абсолютно твердоетело, или за материальнуюсистему
к другим частям его,
к другим частям его,
При изучении движения какого-либо тела мы можем принять это тело за материальную точку, если нас не интересует движение одних частей тела по отношению а интересует лишь общее поступательное
движение тела.
Иногда мы можем принять какое-либо тело за абсолютно твердое. Так мы обычно поступаем в случаях, когда связь между частицами этого тела достаточно велика, чтобы помешать всякому заметному изменению его формы под действием приложенных к нему сил, или если мы можем пренебречь изменением очертаний и размеров тела.
Иногда же оказывается удобным принять части какого-либо тела или звенья механизма за отдельные точки и рассматривать все тело или весь механизм как систему материальных точек. Таким образом, в различных задачах теоретической механики одно и то же материальное тело может быть принято и за материальную точку, и за абсолютно твердое тело, и за материальную систему.
-Так, .например, при изучении движения Земли вокруг Солнца мы можем считать Землю (как и Солнце) материальной точкой, но при изучении вращения Земли вокруг оси мы считаем ее абсолютно твердым телом. Если мы будем изучать какие-либо явления, происходящие на Земле (приливы, отливы или морские течения), то мы не можем считать Землю абсолютно твердым телом, а принимаем ее за систему материальных точек.
Разделы теоретической механики. В зави- Теоретическую механику под- СИМОсти от характера движения тел мы разделяют на три части: ста-欠т
тику, кинематику и динамику могли бы механику разделить на механику точки и механику материальной системы, но это внесло бы ненужный параллелизм и повторения. Кроме того, это лишило бы студентов возможности при решении задачи самостоятельно решать вопрос о том, нужно ли в данном случае применить теорему для точки или же из-за сложности вопроса (вращательное движение, относительное движение различных частей тела) необходимо применить соответствующую теорему для абсолютно твердого тела или системы точек.
Теоретическую механику обычно разделяют по иным признакам на три части: статику, кинематику и динамику.
Статикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают условия относительного равновесия механических систем.
Для равновесия необходимо определенное соотношение между силами, поэтому в статике изучают общие свойства сил и возмож
ность замены одних сил другими.
При отсутствии равновесия между силами, приложенными к телу, оно изменяет свое движение. К изучению движения можно подойти сначала лишь с геометрической точки зрения, оставляя в стороне вопрос о силах.
Раздел общей механики, ё Котором изучают механическое движё* ние, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам, называют кинематикой.
В кинематике изучают изменения в геометрическом расположении тел с течением времени, что дает возможность разобраться в многообразии видов движения и установить некоторые количественные меры движения (пройденный путь, скорость, ускорение и т. д.), но не дает возможности предугадать, как будет двигаться тело при определенном действии приложенных к нему сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение.
Вопросы о связи между движением тела и действующими на него силами в кинематике не решают; эти вопросы составляют предмет динамики.
В динамике рассматривают две основные задачи: 1) определить силы, действующие на тела, по данным движениям этих тел; 2) определить движение тел по данным силам, действующим на эти тела.
Таким образом, динамикой называют раздел общей механики, в котором изучают механическое движение в связи с силами, приложенными к движущимся объектам.
В динамике устанавливают самые общие законы движения материальных тел. Этот раздел является наиболее общим и важным, но вместе с тем и наиболее трудным разделом механики.
Деление механики на статику, кинематику и динамику является несколько искусственным, так как покой является частным случаем движения и законы, которым подчиняются силы, одни и те же и при равновесии, и при движении.
Курс механики мы начнем с изложения статики, а потом уже перейдем к кинематике и динамике. Такая последовательность вызвана требованиями учебного плана и соответствует возрастающей трудности материала. Таков был и порядок исторического развития механики: сначала возникла статика, и уже значительно позже возникли динамика и кинематика.
Механика находится на службе у человека со времен возникновения человечестваМеханика находится на службе у человека со времен возникновения человечества§ 2. ОСНОВНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ
Механика находится на службе у человека со времен возникновения человечества
Механика находится на службе у человека со времен возникновения человечества
Как показал Энгельс, превращение человекообразной обезьяны в человека произошло под влйянием труда ——первого и основного условия всей человеческой жизни.
Процесс возникновения человеческого общества неминуемо связан с трудом и, в частности, с изготовлением орудий труда, обороны, охоты, поэтому механика находится на службе у человека так долго, как существует само человечество. Конечно, под механикой эпохи первобытного общества мы понимаем не науку, а лишь изготовление орудий труда.
Эти орудия и приспособления достигли высокого развития в эпоху рабовладельческого общественного строя. В частности, остатки древнейших зданий с очевидностью свидетельствуют о том, что при постройке этих зданий применяли многие механические приспособления: рычаги, катки, блоки и другие средства. Так, в XV в. до н. э. в Египте были установлены обелиски—громадные круглые и четырехугольные колонны до 45 м высотой. Эти обелиски были высечены из целого куска мрамора или гранита. Их перевозка и установка представляли бы значительные.трудности и теперь и, конечно, не могли быть произведены только мускульной силой. Еще более древние сооружения Египта, Ассирии, Вавилона, Китая и других стран застав
ляют предполагать, что в этих странах очень давно применяли катки, рычаги и наклонную плоскость. Но надо признать,что все эти механические приспособления человеку дала не наука, а его практический опыт. И нет оснований предполагать, что уже в те времена были известны общие законы механики. Энгельс говорил, что наука многим больше обязана производству, чем производство
науке.
Первые сочинения, более или менее систематически излагающие
накопленный опытом материал по устройству и применению этих ме
ханических орудий или обобщающие этот материал в виде определенных законов, появились значительно позднее. Одним из первых применил математику к механике Архит Тарентский, знаменитый математик, философ и полководец, живший в конце V в. до н. э.
Механика как наука возник-ла в эпоху рабовладельческо-го общественного строя, иодешевый человеческий трудке способствовал ее быстромуразвитиюМеханика как наука возник-ла в эпоху рабовладельческо-го общественного строя, иодешевый человеческий трудке способствовал ее быстромуразвитиюНазвание «механика» впервые ввел великий философ Аристотель, живший с 384 по 322 г. до н. э. Он коснулся вопросов механики в трех своих сочинениях: «Физикам, «О небе» и «О возникновении и уничтожении». В этих работах Аристотеля и в
Механика как наука возник-ла в эпоху рабовладельческо-го общественного строя, иодешевый человеческий трудке способствовал ее быстромуразвитию
Механика как наука возник-ла в эпоху рабовладельческо-го общественного строя, иодешевый человеческий трудке способствовал ее быстромуразвитию
принадлежащем ему или его школе сочинении «Механические проблемы» содержится много ценного для механики. Но вместе с тем в них встречается так много неверного, что в развитии механики работы Аристотеля сыграли скорее отрицательную, чем положительную роль. Это станет ясным, если припомнить, что через полторы тысячи лет после Аристотеля его учение считалось непогрешимым, а всякое выступление, противоречащее этому учению, считалось ересью и жестоко каралось могущественной в то время христианской церковью.
Во времена Аристотеля механика развивалась очень медленно. Это была эпоха рабовладельческого общественного строя; дешевый че： ловеческий труд и низкий уровень техники не создавали необходимых условий для развития механики. В ту эпоху можно отметить лишь один случай очень быстрого, почти скачкообразного развития механики, связанный с именем величайшего механика всех времен и народов——Архимеда (287——212 гг. до н. э.). Этот замечательный человек сделал множество открытий в математике и гидростатике, заложил основу механики как новой науки, включив ее в область точ
ных наук.
На протяжении почти двух тысяч лет после Архимеда не было ученых такого большого значения. Среди исследователей за этот период можно выделить астронома Птолемея, детально разработавшего кинематику планетных движений в геоцентрической системе мира, названной по его имени птолемеевой.
Целый ряд инженерных работ и изобретений сделал Герои Старший. В его сочинениях изложены все высшие достижения античного мира в области прикладной механики.
В конце III в. н. э. оставил после себя не лишенные самостоятельности работы Папп Александрийский. В частности, ему принадлежат две важные теоремы о центре тяжести (§ 18).
В последующее тысячелетие в развитии механики не произошло ничего существенного. Средневековое хозяйство, не только сельское, но в значительной степени и городское, было рассчитано лишь на личное потребление. Производство с целью обмена только еще возникало. Торговля не была достаточно развита. Сухопутные дороги были плохи, да и морской транспорт был весьма несовершенен. Грузоподъемность судов была невелика, устойчивость их——плохая. Не было хороших методов ориентировки судна в открытом море. Местная замкнутость, ограниченность потребностей населения и застойность форм производства не могли вызвать быстрого развития науки. Правда, начиная с XII в. во многих городах Европы существовали университеты, но они готовили почти исключительно служителей церкви и юристов. В Париже в 1355 г. было разрешено преподавать геометрию только по праздникам. Основой наук считались книги Аристотеля ,из которых было изъято все живое содержание.
Но постепенное расширение торговли и Развитие механики в конце возникновение нового класса купцов по- средних веков обусловлено ставило перед наукой и техникой, и в осо- отношенийбенности перед механикой, целый ряд проб-
лем. Так, развитие одного только водного транспорта поставило следующие механические задачи: увеличение грузоподъемности судов, улучшение их плавательных свойств, удобные и надежные способы ориентировки в море по Солнцу и звездам, предсказание приливов и отливов, усовершенствование внутренней водной системы и сообщения с морем, строительство каналов и шлюзов.
Вместе с развитием торговых сношений к концу средних веков начинается быстрое развитие промышленности, также повлекшее за собой развитие механики. Мощно развивается военная промышленность. Для добычи громадного количества металла возникла необходимость более эффективной эксплуатации шахт и рудников и перед механикой встали следующие задачи: подъем руды с большой глубины и необходимые для этого расчеты воротов, блоков и пр., устройство вентиляционных приспособлений в шахтах, откачка воды из шахт и т. п. Кроме того, артиллерия потребовала от механики разрешения ряда вопросов: изучение прочности орудия при наименьшем его весе, изучение зависимости сопротивления воздуха от скорости снаряда, определение его траектории в пустоте и в воздухе и т. д.
Начиная с XVI в. наступает Все эти задачи были поставлены перед эпоха грандиозных открытий механикой к концу средневековья и соста- в механике/
вили тематику работ ученых последующего времени. Начиная с XVI в. после средневекового застоя наступает эпоха грандиозных открытий в теоретической механике и смежных с нею областях: машиноведении, гидравлике, астрономии, математике.
Исключительное значение для развития науки имело открытие Николаем Коперником (1473—1543) гелиоцентрической системы мира. По системе Коперника Земля и все другие планеты по круговым орбитам движутся вокруг Солнца. «Законодатель неба» Кеплер (1571—1630) пополнил учение Коперника. Он показал, что планеты движутся по эллипсам, и открыл законы для времени обращения и скорости планет.
Открытие гелиоцентрической системы мира послужило началом подлинной революции в мировоззрении людей. По выражению Энгельса: «Отсюда начинает свое летоисчисление освобождение естествознания от теологии» х. Это открытие послужило также основой для возникновенкя небесной механики, для дальнейшего развития теоретической механики.
Современник Кеплера Галилео Галилей (1564——1642) был ярым сторонником системы мира Коперника. Гениальный мыслитель, искуснейший экспериментатор, внимательный наблюдатель, прекрасный математик и превосходный практик, Галилей никогда не принимал на веру догматических положений, основанных не на прямом доказательстве, а на толковании писателей древности. Эта драгоценная черта позволила Галилею противопоставить свой гений авторитету Аристотеля, в продолжение 2000 лет не возбуждавшему никаких сомнений. Галилей сделал множество открытий. Значение его работ заключается не только в полученных им результатах, но и в том, что в своих исследованиях он применял подлинно научные методы вместо обычных в то время схоластических рассуждений.
Из научных предшественников Галилея можно назвать Леонардо да Винчи и Стевина. Знаменитому художнику Леонардо да Винчи (1452—1519) принадлежат исследования по теории механизмов, трению и движению по наклонной плоскости. Замечательны его попытки построить летательные машины. Труды голландского инженера Симона Стевина (1548—1620) также касаются равновесия тела на наклонной плоскости. Он открыл, быть может под влиянием работ парижского математика Иордана Неморария (XIII в.), закон равновесия трех сил, пересекающихся в одной точке, и вплотную подошел к закону параллелограмма сил в такой форме, в какой мы его знаем теперь.
Великий соотечественник Стевина голландец Христиан Гюйгенс (1629——1695) продолжал работы Галилея. Замечательны работы Гюйгенса по математике, астрономии и физике. В области механики он дал ряд теорем о центробежной силе, теорию удара и полную
теорию физического маятника, которую он разработал в процессе изобретения им часов. Недаром Ньютон, ссылаясь на работы Гюйгенса, обычно называет его «высочайший Гюйгенс».
Исаак Ньютон (1642—1727) по праву считается основателем классической механики. Он создал стройную систему механики, четко сформулировал ее аксиомы, ввел понятие массы и решил целый ряд проблем механики. Замечательно, что большинство открытий Ньютон сделал в течение двух лет, когда он был еще совсем юным. Об этих годах своей жизни Ньютон пишет, что в начале 1665 г. он открыл свой бином, в мае ——метод касательных, в ноябре ——прямой метод флюксий (дифференциальное исчисление), в январе 1666 г. — теорию цветов, в мае приступил к обратному методу флюксий (интегральное исчисление), а в августе открыл закон всемирного тяготения.
Быстрое развитие механика получила в XVIII в. В России в это время работал гениальный ученый и первый русский академик Михаил Васильевич Ломоносов (1711 — 1765). Деятельность М. В. Ломоносова оказала огромное влияние на развитие всей русской науки и, в частности, на развитие механики.
Леонард Эйлер (1707 ——1783), по происхождению швейцарец, в двадцатилетием возрасте переехал в Россию и стал академиком Санкт-Петербургской академии наук. По вопросам механики, математики, астрономии, теории упругости он написал около 800 научных работ, в которых разработал многие научные проблемы.
В области небесной механики много великолепных работ дали два француза — Алексис Клеро (1713—1765) и Жан ле Рон Д'Аламбер (1717——1783), издавший в 1743 г. свой знаменитый «Трактат по динамике». В этом трактате Д'Аламбер показал, между прочим, как привести уравнение движения точек, связанных между собой, к задаче динамического равновесия. В течение XVIII в. были решены многие вопросы теоретической механики и перед механикой встала задача ——дать общий метод, при помощи которого возможно было бы решение всех механических проблем чисто аналитически. Такой метод нашел Луи Лагранж (1736——1813). Его знаменитая «Аналитическая механика» изложена без единого чертежа, на основе общего метода.
Дальнейшее развитие аналитическая механика получила в трудах Лапласа (1749—1827), Якоби (1804—1851), Гамильтона (1805—1865), Герца (1857—1894), Чаплыгина (1869—1942) и др., но их работы не могут быть здесь рассмотрены, так как они не входят в программу нашего курса.
Крупнейшим представителем ана/штнческого направления в теоретической механике был академик Остроградский (1801 ——1861), автор многих замечательных трудов по аналитической механике, математике и математической физике.
Ученик Остроградского И. А. Вышнеградский (1831 ——1895)—— основоположник теории автоматического регулирования.
В области механики машин и механизмов работал современник Вышнеградского академик П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — основатель русской школы теории механизмов. Ему принадлежит заслуга поста-
новки и решения целого ряда задач теории машин - и механизмов, имеющих громадное теоретическое и практическое значение.
Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850——1891), однозначное решение только в трех случаях: 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера —— Пуансо); 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежащей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем).
Блестящих результатов в самых различных отделах механики достиг гениальный ученый Николай Егорович Жуковский (1847——1921), основоположник авиационных наук: экспериментальной аэродинамики, динамики самолета (устойчивость и управляемость), расчета самолета на прочность и т. д. Его работы обогатили теоретическую механику и очень многие разделы техники. Движение маятника; теория волчка; экспериментальное определение моментов инерции; вычисление планетных орбит, теория кометных хвостов; теория подпочвенных вод; теория дифференциальных уравнений; истечение жидкостей; скольжение ремня на шкивах; качание морских судов на волнах океана; движение полюсов Земли; упругая ось турбины Лаваля; ветряные мельницы; механизм плоских рассевов, применяемых в мукомольном деле; движение твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью; гидравлический таран; трение между шипом и подшипником; прочность велосипедного колеса; колебания паровоза на рессорах; строительная механика; динамика автомобиля — все интересовало профессора Жуковского и находило блестящее разрешение в его работах. Колоссальная научная эрудиция, совершенство и виртуозность во владении математическими методами, умение пренебречь несущественным и выделить главное, исключительная быстрота в ре- щении конкретных задач и необычайная отзывчивость к людям, к их интересам — все это сделало Николая Егоровича тем центром, вокруг которого в течение 50 лет группировались русские инженеры. Разрешая различные теоретические вопросы механики, Жуковский являлся в то же время непревзойденным в деле применения теоретической механики к решению самых различных инженерных проблем.
Исключительное значение для теоретической механики имеют работы блестящего русского математика А. М. Ляпунова (1857—1918). Наиболее замечательная его работа ——создание теории устойчивости движения — имеет громадные технические применения и ее развивают многие русские и иностранные ученые.
Среди крупнейших механиков дореволюционной России, успешно продолжавших свою научную деятельность и после революции, наряду с Н. Е. Жуковским следует назвать его ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942), профессора И. В. Мещерского (1859—1935) и академика А. Н. Крылова (1863—1945).
Герой Социалистического Труда академик Сергей Алексеевич Чаплыгин был ближайшим продолжателем - работ Н. Е. Жуковского в области аэродинамики и авиации. В теоретической механике он знаменит рядом работ по динамике твердого тела: задача о катании шаров, о движении тела вращения по шероховатой плоскости и др.
В самые последние годы вследствие развития ракетостроения большое техническое значение получил новый раздел теоретической механики ——динамика переменной массы. Этот отдел науки основал и развил еще в 1897 г. профессор Иван Всеволодович Мещерский. В то время исследования И. В. Мещерского почти не имели практического значения, но он предвидел, что они будут иметь не только теоретический интерес. На 30 лет позже Мещерского те же уравнения, только в менее общей форме, были получены итальянским математиком и механиком Леви-Чивита.
Герой Социалистического Труда академик Алексей Николаевич Крылов — автор работ по теории корабля, теории упругости, по баллистике, интегрированию дифференциальных уравнений математической физики, выдающийся ученый, инженер, изобретатель и педагог-методист высшей школы.
Теоретическая механика продолжает быстро развиваться. Стоящие перед советскими учеными великие задачи: освоение космических пространств, автоматика, телемеханика, машиностроение, грандиозное строительство и др. —стимулируют быстрое развитие механики. Советские и зарубежные ученые обогащают науку новыми открытиями и ценными достижениями, но их описание выходит за пределы краткого исторического очерка развития теоретической механики.
ЧАСТЬ I
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕОСНОВНЫЕСтатикой называют раздел механики, в котором изучают преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности снл, приложенных к твердому телуСтатикой называют раздел механики, в котором изучают преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности снл, приложенных к твердому телуПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
ОСНОВНЫЕ
ОСНОВНЫЕ
Статикой называют раздел механики, в котором изучают преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности снл, приложенных к твердому телу
Статикой называют раздел механики, в котором изучают преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной уравновешенности снл, приложенных к твердому телу
§ 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ
Предмет статики. Рассмотрим систему сил, приложенных к одному абсолютно твердому телу. Изучение возможности замены такой системы сил другими системами, оказывающими на данное тело такое же механическое воздействие, и, в частности, изучение условий взаимной уравновешен
ности сил, приложенных к твердому телу, составляют предмет статики.
Таким образом, статикой называют раздел механики твердого тела, в котором изучают преобразование системы сил, приложенных к твердому телу, в системы, ей эквивалентные, и условия взаимной
уравновешенности таких систем.
В высших технических учебных заведениях курс теоретической механики обычно начинают со статики. Такое построение курса обусловлено требованиями учебных планов, необходимостью возможно раньше ознакомить студента со статикой как обязательной предпосылкой для курса сопротивления материалов и всех последующих инженерно-технических дисциплин. Имеет значение и то, что для изучения статики высшая математика не нужна в столь большом объеме, в котором она требуется для других разделов механики. Наконец, как уже было упомянуто, такое построение соответствует и историческому развитию нашей науки.
Исторические корни статики уходят в глубокую древность. Со времен Архимеда учение о силах и их равновесии является уже вполне сложившейся наукой. Крупными вехами в дальнейшем развитии статики явились открытие Стевином закона параллелограмма
сил (см. § 3) и открытие современником Ньютона Вариньоном (1654——1722) его знаменитой теоремы о моменте равнодействующей силы (см. § 8). Однако окончательное оформление статика получила лишь после исследований Пуансо и, в частности, после открытия им метода приведения силы к данной точке (см. § 11).
Статика базируется на основ-ных законах, принимаемыхбез математических доказа-тельств и называемых аксио-мами статикиСтатика базируется на основ-ных законах, принимаемыхбез математических доказа-тельств и называемых аксио-мами статикиМеханика ——наука точная. Все свои теоремы и правила она выводит путем строгих математических выкладок. Однако в основе механики и, в частности, статики лежат аксиомы —законы, принятые без математического доказательства. Матема-
Статика базируется на основ-ных законах, принимаемыхбез математических доказа-тельств и называемых аксио-мами статики
Статика базируется на основ-ных законах, принимаемыхбез математических доказа-тельств и называемых аксио-мами статики
тических доказательств этих законов не существует, хотя законы эти настолько просты, что кажутся очевидными. Под аксиомой механики мы не будем понимать какую-то непреложную и настолько очевидную истину, что даже доказательство ее совершенно излишне. Они представляют собой результат обобщения выводов, полученных из многолетних и многочисленных опытов и наблюдений над движением и покоем тел. Мы не имеем возможности проверить их непосред
ственно и располагаем лишь косвенными доказательствами, т. е. мы
видим, что следствия, вытекающие из этих аксиом, подтверждаются наблюдениями: сооружения, построенные на основании законов механики, прочны, машины работают, приборы и аппараты действуют, корабли плавают, самолеты летают, запущенные нами космические корабли выходят на предписанные им орбиты, а затмения Солнца и Луны происходят в точности так, как это было заранее предсказано. Все это является доказательством правильности всех положений механики (в частности, ее аксиом), на основе которых были рассчитаны эти сооружения, сконструированы машины и произведены астрономические вычисления, потому что верные практические результаты могут быть получены только из правильных
предпосылок.
В статике принимают обычно шесть аксиом: принцип инерции, аксиому об абсолютно твердом теле, аксиому о присоединении урав
новешенной системы сил, закон параллелограмма, принцип равенст
ва действия и противодействия, аксиому о затвердении.
«Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе-«Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе-Принцип инерции. Принцип (т. е. основоположение, .с позиции которого надо рассматривать всякое механическое явление) инерции был сформулирован Ньютоном и
«Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе-
«Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движе-
ния, пока и поскольку оно не принят им в качестве первого основного понуждается приложенными закона механики. Закон утверждает, что силами изменять это состо-丿 г *
яние» (Ньютон) всякое тело должно находиться в состоя'нии покоя или равномерного прямолиней
ного движения, пока это состояние не будет изменено действующими на тело силами. Ньютон ничего не говорит о размерах тела, но в
дальнейшем он показывает, что высказанные им аксиомы относятся
к отдельной материальной частице или же к центру тяжести, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела. Таким образом, здесь под телом надо понимать материальную точку.
Проявление присущего материи свойства сохранять мсхйническое движение, без действия сил сохранять свою скорость, называют инерцией.
Аксиома инерции содержит в себе как бы две части — аксиома инерции покоя и аксиома инерции движения. Та часть, которая утверждает, что тело остается в покое, пока силы не изменят этого состояния, очевидна и подтверждается повседневным опытом: мы никогда не видели, чтобы покоящиеся тела сами, без действия на них сил, приходили в движение. Эта так называемая инерция покоя была известна еще со времен Аристотеля.
Напротив, открытое Галилеем свойство материальных тел без действия сил сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения (инерция движения) на первый взгляд как будто бы противоречит повседневному опыту. И движущиеся тела обычно нуждаются в постоянном действии силы для поддержания движения: чтобы передвигать телегу, нужна конская тяга, парусное судно без ветра не движется и т. д. Однако это противоречие закона инерции движения нашим повседневным наблюдениям только кажущееся. В обыденной жизни мы не встречаем тел, на которые не действовали бы никакие силы, на всяком движущемся теле всегда сказываются действия других тел. Катящаяся телега испытываем сопротивление дороги, трение в осях, сопротивление воздуха; плывущее судно претерпевает сопротивление воды и воздуха. Эти силы (их называют диссипативными) и замедляют движение тел. Диссипативные силы невозможно уничтожить, но их иногда возможно значительно уменьшить.
Например, в машине можно смазать трущиеся части, заменить подшипники скольжения шариковыми подшипниками и т. п. Чем меньше диссипативные силы, тем дольше тело сохраняет свое движение. Велосипед, находящийся в хорошем состоянии, на свободном ходу катится дольше, чем старый и запущенный велосипед.
Отсюда можно заключить, что если бы нам удалось совершенно устранить сопротивление движению тела, то движение было бы равномерным. Вместе с тем, очевидно, движение было бы и прямолинейным, если, конечно, никакие силы не заставили бы это тело свернуть со своего прямолинейного пути. Практически невозможно никакой смазкой полностью уничтожить силы сопротивления. Поэтому для поддержания движения к телу необходимо приложить силу. Эта сила нужна не для осуществления движения, а лишь для преодоления сопротивлений. Для равномерного и прямолинейного движения нужна в точности такая движущая сила, какая необходима для преодоления сил сопротивления. Действительно, если движущая сила меньше сил сопротивления, то движение тела，постепенно замедляется и тело останавливается. Если она больше сил сопротивления, то тело движется ускоренно. Если же движущая сила равна силе сопротивления, то не происходит ни замедления, ни ускорения—тело движется равномерно и, разумеется, прямолинейно.
две силы, действующие на !^ердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны п0 величине и действуют п0 одной прямой в противоположные стороныдве силы, действующие на !^ердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны п0 величине и действуют п0 одной прямой в противоположные стороныАксиома об абсолютно твердом теле. При равномерном движении или при покое тела движущая сила и сила сопротивления как бы уничтожают, или, как говорят, уравновешивают друг друга. Очевидно, что для равновесия двух сил, действующих
две силы, действующие на !^ердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны п0 величине и действуют п0 одной прямой в противоположные стороны
две силы, действующие на !^ердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны п0 величине и действуют п0 одной прямой в противоположные стороны
на какое-либо твердое тело, точнее говоря, для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии под действием только двух сил, необходимо, чтобы они были равны по величине, противоположны По направлению и действовали по одной и той же прямой. Если они направлены в противоположные стороны по одной и той же прямой, Но не равны по величине, то тело приобретает ускоренное движение в сторону большей силы. Если же две силы, хотя бы и равные между
собой, действуют по пересекающимся или скрещивающимся прямым, то они тоже не могут уравновгсить друг друга. Случай двух сил, направленных по разным прямым и приложенных к ..одной точке, рассмотрен в аксиоме параллелограмма. Такие две силы не находятся в равновесии. Две силы не уравновешивают друг друга и в том случае, если они действуют на одно и то же тело в противоположные стороны, но не по одной, а по параллельным прямым, что подробно рассмотрено в гл. IV.
Сформулируем условия равновесия двух сил: две силы, дейст
вующие на твердое тело, взаимно уравновешивают друг друга в том и только в том случае, если они равны по величине и действуют в противоположные стороны по одной и той же прямой. Это не только необходимые, но и достаточные условия равновесия двух сил.
Напомним, что здесь, как и всюду в теоретической механике, под твердым телом мы понимаем абсолютно твердое тело. Совершенно ясно, что две такие силы, приложенные к какому-либо реальному физическому телу, могут вызвать деформацию и даже разрушение тела. Лишь на абсолютно твердое тело такие взаимно уравновешенные силы никакого действия оказать не могут. Поэтому рассмотренную аксиому следует называть аксиомой об абсолютно твердом теле.
От присоединения к телу илиотбрасывания от него уравно-вешенной системы сил равно-весие тела не нарушаетсяОт присоединения к телу илиотбрасывания от него уравно-вешенной системы сил равно-весие тела не нарушаетсяАксиома о присоединении уравновешенной системы сил. Взаимно уравновешенная система сил — это такая система, наличие которой эквивалентно ее отсутствию. В самом деле, поскольку согласно аксиоме об
От присоединения к телу илиотбрасывания от него уравно-вешенной системы сил равно-весие тела не нарушается
От присоединения к телу илиотбрасывания от него уравно-вешенной системы сил равно-весие тела не нарушается
абсолютно твердом теле две взаимно уравновешенные силы не могут изменить движение или нарушить покой тела, мы вправе сделать
заключение, что такая взаимно уравновешенная система сил никак не влияет на твердое тело. Как мы скоро убедимся, взаимно уравновесить друг друга могут не толко две силы, но и любое большее количество сил. Вообще под уравновешенной системой сил понимают совокупность сил, которая, будучи приложена к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния,
В статике принимают как аксиому, что равновесие твердого тела не нарушится, если к телу приложить или от него отбросить взаимно Уравновешенную систему сил. Если же твердое тело находилось не
в покое, а в движении перед тем, как мы приложили к нему Илй отбросили от него взаимно уравновешенную систему сил, то движение тела от этого не изменится.
Всякая данная система сил, действующих на твердое тело, и другая система, полученная из данной путем присоединения или отбрасывания уравновешенной системы сил, оказывает на твердое тело совершенно одинаковое действие. Обе эти системы эквивалентны.
Сила как скользящий вектор. Докажем
Действие силы на твердоетело не изменится, если этусилу перенести по линии еедействияДействие силы на твердоетело не изменится, если этусилу перенести по линии еедействиятеорему, согласно которой всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести по прямой, по которой эта сила направлена, в какую-либо другую
Действие силы на твердоетело не изменится, если этусилу перенести по линии еедействия
Действие силы на твердоетело не изменится, если этусилу перенести по линии еедействия
точку тела, отчего действие силы не изменится
Пусть на тело действует сила F, приложенная к телу в точке Л (рис. 1, а). Прямую линию, вдоль которой направлен вектор силы, называют линией действия силы, или прямой действия силы. Возьмем
нанейпроизвольнуюточ- ку В и приложим к телу в этой точке две силы Fx и F2, численно равные силе F и направленные по той же линии действия, причем пусть £ направлена в ту же сторону, что и F, a F2——в про- тивоподожную(рис. 1,6). Действие силы F на тело
не изменилось от приложения к нему взаимно уравновешенных сил 尸1 и F2. Но силы F и F2 также являются двумя равными и противоположно направленными силами, действующими на то же абсолютно твердое тело по одной и той же прямой. Можно отбрасывать такие уравновешенные системы сил. Отбросив F и F2 (рис. 1, в), убедимся, что на тело действует только одна сила /\, которая представляет собой силу F, перенесенную вдоль линии действия в другую точку, что и требовалось доказать. Это свойство силы выражают словами: сила есть вектор скользящий. Выражение образное и очень распространенное, но не вполне правильное, так как оно характеризует свойство не вектора, а абсолютно твердого тела.
Наши рассуждения символически можно записать так:
尸=尸十[(用十f2)= 0]=[(f十几)=0]+3 =з.
Каждая из сил F и Fn может быть уравновешена одной и той же силой F2. Силу F2, которая, будучи приложенной к твердому телу, уравновешивает данную силу F, называют уравновешивающей данную силу. Две силы 户 н % называют эквивалентными, т. е. равноценными по своему действию на тело, если они имеют одну и ту же уравновешивающую силу.
Это понятие распространяется и на систему сил: системы сил,
умеющие одну и ту же уравновешивающую систему сил, называют
^бивалентными
системами сил.
Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке н направленных лод углом друг к другу, изображается л0 величине и направлению
диагональю параллелограм-ма, построенного на этихсилах как на сторонах
Закон параллелограмма сил. Две силы, приложенные к одной материальной частице и направленные под углом друг к другу, эквивалентны одной силе, называемой равнодействующей силой; эта равно-
действующая может быть представлена как диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах.
Пусть к какой-либо частице О твердого тела приложены две снлн： 1) по величине равная Р и направленная по прямой ОА и 2) по величине равная Q и направленная по прямой ОВ (рис. 2). Мы представим эти силы в виде векторов, т. е. изобразим силу Р —>a—>*-
вектором Р ^ОА^ и силу Q—вектором Q — 0Bt. На этих отрезках как на сторонах построим параллелограмм OA-fi^B^ Согласно аксиоме параллелограмма две силы Р n Q по своему действию на данную материальную частицу О эквивалентны одной силе R, т. е. сила, изображаемая вектором R, является равнодействующей системы сил
? И Q.
Это правило называют правилом
параллелограмма, а
цесс——сложением сил по способу параллелограмма 2. Название это нельзя признать удачным, так как физического сложения сил не происходит, равнодействующая не есть сумма слагаемых сил, а лишь равноценна им обеим, вместе взятым. Пусть, например, два трактора тянут какой- либо груз О: один с силой Р=ОАг по направлению О А, второй с силой Q = 0В] по направ
самый про-
лению ОВ. Правило параллелограмма лишь
Над буквами, обозначающими векторы, ставят стрелки или черточки. Такое обозначение вектора (черточка над буквой) введено в механику Резалем в 1862 г.
Сложение сил по способу параллелограмма было известно еще Герону, им пользовался Стевин. Галилей применял этот способ и считал его общеизвестным. Ньютон совершенно определенно приписывал закон параллелограмма Галилею н называл основным положением механики, нуждающимся лишь в разъяснении на примерах. Однако Ньютон все же приводит доказательство этого закона, очень похожее на доказательство, данное несколько лет спустя независимо от Ньютона Вариньоном. У Вариньона точка под действием одной силы движется По прямой линии. Эта прямая под действием второй силы перемещается параллельно своему первоначальному положению. Под действием обеих сил точка Движется по диагонали параллелограмма, построенного на этих силах. По сути Ке/а，это не доказательство правила параллелограмма сил, а лишь пример на сложение перемещений. Одновременно с Ньютоном и Вариньоном опубликовал свое доказательство Лами. С тех пор было сделано очень много попыток доказать правило параллелограмма, но в настоящее время считают, что правило Параллелограмма не имеет математического доказательства и пользуются им как аксиомой.
утверждает, что эти два трактора оказывают на груз О такое же дейстрие, какое оказывал бы один трактор, который тянул бы груз О с силой R по направлению ОС.
Сложение сил, направленных под углом друг к другу, называемое геометрическим сложением, сильно отличается от сложения величин, к которому мы привыкли в арифметике и в алгебре.
Геометрическое сложение обозначается обычным знаком《 +》，но над слагаемыми и над суммой ставят стрелки, означающие, что это векторные величины.
Геометрические равенства выглядят иногда необычно с точки зрения арифметики.
Так, например, на рис. 3, а сила Р = 3 & и сила Q = 4 咒 перпендикулярны друг другу; по теореме Пифагора находо к = 5 ⑶ на рис. 3, б сила Р = 3 凡 и сила Q = 3 凡 по той же теоремеR = 3E; на рис. 3, в величины сил Р и О
те же, но направлены они под углом 120° друг к другу, а потому R = 3 «; на рис. 3, г сила Р = 3 凡，сила Q = 4 « и направлены они под углом 60° друг к ДРУГУ- Применяя теорему косинусов, находим 丸* = 9十16—2-3-4*cos 120° = 37 «; иа рис. 3, d те же силы составляют угол 120° и по той же теореме ^2 = 9十 4-16 —2-3.4-cos'60°-=13 н.
Из геометрии известно, что диагональ параллелограмма всегда меньше арифметической суммы его непараллельных сторон и больше их разности. Поэтому, если в геометрической сумме
P+Q =^
Р больше Q, то всегда имеет место алгебраическое неравенство P-Q《R《P+Q・
Равенство P + Q = R имеет место, если силы Р н Q направлены по одной прямой и в одну сторону, а равенство Р ——Q = R, если Р и Q направлены в противоположные стороны. В этом случае равнодейстьующая R направлена в сторону большей силы Р.
Аксиома говорит о сложении сил, приложенных к одной материальной частице, к одной точке. Но складывать силы по правилу параллелограмма можно и в том случае, если они приложены к одному твердому телу и линии их действия пересекаются. В таком случае нужно перенести обе силы в точку пересечения их линий действия и там сложить по правилу параллелограмма, причем если эта точка находится за пределами того тела, на которое действуют обе слагаемые силы, то равнодействующую силу нужно перенести вдоль ее линии действия в какой-либо из точек тела.
длЯ равновесия трех непа-раллельных сил, лежащихц одной плоскости, необхо-димо, чтобы их линии дейст-^ия пересекались в однойточкедлЯ равновесия трех непа-раллельных сил, лежащихц одной плоскости, необхо-димо, чтобы их линии дейст-^ия пересекались в однойточкеАксиомы, с которыми мы только что ознакомились, позволяют вывести необходимое условие равновесия трех непараллельных сил: если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, взаимно уравновешены, то их линии действия пересека
длЯ равновесия трех непа-раллельных сил, лежащихц одной плоскости, необхо-димо, чтобы их линии дейст-^ия пересекались в однойточке
длЯ равновесия трех непа-раллельных сил, лежащихц одной плоскости, необхо-димо, чтобы их линии дейст-^ия пересекались в однойточке
ются в одной точке.
Пусть в каких-либо точках А, В и С (рис. 4) к твердому телу, не показанному на чертеже, приложены три силы Р, Q и F, линии действия которых непараллельны между собой, но лежат в одной плоскости. Покажем, что если система этих трех сил уравновешена, то линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Всякие две непараллельные прямые на плоскости пересекаются. Следовательно, линии действия двух сил Р и Q пересекаются где-либо в точке О. Перенесем силы Р и Q в точку пересечения их линий действия и сложим их, т. е.. заменим одной равнодействующей R. Данная уравновешенная система трех сил Р, Q н F заменена нами эквивалентной ей (а следовательно, также уравновешенной) системой двух сил R и F. Но всякие две силы, находящиеся в равновесии, действуют по одной прямой, а потому линия действия силы F проходит через точку О. Предположение, что все три уравновешенные силы лежат в одной плоскости, сделано для упрощения доказательства, и оно излишне, поскольку три уравновешенные силы не могут не лежать в одной плоскости.
Это условие равновесия трех сил является необходимым, но не
достаточным условием, т. е. если три непараллельные силы находятся в равновесии, то их линии действия обязательно пересекаются в одной точке. Но если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил.
В качестве иллюстрации необходимого условия равновесия трех непараллельных сил приведем такой пример. Для установившегося движения самолета, т- е. чтобы он мог, не теряя набранной высоты, лететь равномерно и прямоли- иейно, необходимо, чтобы система действующих сил была уравновешенной. Можно считать, что на самолет действуют три силы: его вес, сила тяги и сила сопротивления воздуха (точнее, равнодействующая всех сил сопротивления воздуха, действующих на различные части самолета). Для равновесия этих трех сил необходимо, чтобы их линии действия пересекались в одной точке. Линией действия ве^а самолета является вертикаль, проходящая через центр тяжести, а сила тяги действует вдоль оси пропеллера. Отсюда вытекает правило, называемое основным правилом самолетостроения: равнодействующая сил сопротивления воздуха должна пересекать ось пропеллера в той же точке, где ее пересекает вертикаль, прохойя- ^ая через центр тяжести самолета.
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимо- действня двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные стороны» (Ньютон)«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимо- действня двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные стороны» (Ньютон)Принцип равенства действия и противодействия. Силы, приложенные к данному телу, вызываются другими материальными телами. Отдельно от материальных тел, независимо от них, сил в природе не существует. Поясним это следующим примером.
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимо- действня двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные стороны» (Ньютон)
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимо- действня двух тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные стороны» (Ньютон)
Представим себе, что санки С скользят по ледяной горе АВ (рис. 5). На санки
действуют следующие силы: сила тяжести G (вес санок), сила RN давления со стороны наклонной плоскости АВ, сила трения FTp о лед и сила Fconp сопротивления воздуха. Все эти силы действуют на данное тело вследствие наличия других материальных тел и не существовали бы, если бы этих тел не было. Так, сила тяжести G является силой притяжения санок Землей. Давление RN горы на санки и сила трения FTp санок о гору вызваны наличием горы ABt Сила Fconp сопротивления воздуха не существовала бы, если бы санки двигались в безвоздушном пространстве. Все силы, действующие на санки, вызваны другими материальными телами.
Но действия материальных тел не бывают односторонними, они всегда взаимны, тела взаимодействуют между собой.
В рассмотренном примере на санки действует сила G, с которой санки притягиваются к Земле, точнее, к ее центру. Однако санки
тоже притягивают к себе Землю, и сила притяжения Земли санками приложена к центру Земли. Санки испытывают со* противление воздушной среды, но они и сами действуют на эту среду, вызывая в ней перемещения ее частиц. Покрытые льдом доски горы не допускают перемещения санок в сторону дощатого настила. Но и сани давят на ледяную гору. Мы видим, что и здесь действия двух тел взаимны. При движении санок по
льду трутся обе соприкасающиеся поверхности (полозья саней и ледяная поверхность горы) и возникают две силы трения. Одна прило
жена к саням и замедляет скольжение; другая ——к ледяному покрытию горы, отрывает и увлекает за санями частицы льда. Лед и сани взаимодействуют между собой, и для трения необходимо наличие обоих тел—санок и льда.
Аксиома утверждает, что действия двух тел друг на друга равны и противоположны. В нашем примере согласно этой аксиоме Земля притягивает к себе санки с такой же, но обратно направленной силой, с какой санки притягивают Землю; давление санок на гору равно и противоположно давлению горы на санки, силы трения
санок о гору и горы о санки равны и противоположны, а воздух сопротивляется движению санок с силой, равной и противоположной той, с которой санки действуют на воздух.
Таких примеров можно привести сколь угодно много и на как д0М из них убедиться, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и противоположны.
'"Нужно твердо усвоить, что механические взаимодействия двух теЛ хотя и равны Iio величине и противоположны по направлению и действуют по одной прямой, но не уравновешивают друг друга, так как4 они приложены не к одному, а к разным телам. Давление нли притяжение одного тела может привести в движение другое тело именно потому, что действие и. противодействие приложены к двум различным телам.
Если, например, буксирный теплоход тянет на канате баржу, то и баржа тянет буксир в обратном направлении с равной силой. В этом можно убедиться, прикрепив на обоих концах каната по динамометру, чтобы один из них измерял силу, с которой буксир тянет баржу, а другой ——силу, с которой баржа противодействует буксиру. Показания обоих динамометров будут одинаковы. Следовательно, действие буксира на баржу равно и противоположно действию баржи на буксир. Почему же в таком случае вся система перемещается в сторону буксира, а не в обратном направлении? Ответ на этот вопрос очевиден: буксир отталкивается от воды винтом или гребными колесами. По той же аксиоме этой силе, приложенной к шлицам гребного колеса, соответствует другая, равная и противоположная сила, приложенная к воде. Обе эти силы не уравновешивают друг друга, поскольку они не приложены к одному телу.
Приложенная к буксиру сила, с которой он отталкивается от воды, при ускоренном движении больше той силы, также приложенной к буксиру, с которой тянет его назад баржа, при замедленном——меньше, при равномерном движении и при покое — равна. Но всегда ——и в покое, и во всяком движении——взаимодействия гребных колес и воды равны и противоположны между собой, и всегда действие буксира на баржу равно и противоположно действию баржи на буксир. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие.
Эту аксиому называют принципом равенства действия и противодействия. Она сформулирована Ньютоном, принята им в качестве третьего основного закона механики и опубликована в книге «Математические начала натуральной философии».
Равновесие нетвердого телане нарушится, если это телозатвердеетПо форме, уи абсолютноРавновесие нетвердого телане нарушится, если это телозатвердеетПо форме, уи абсолютноАксиома затвердения. Если какое-либо нетвердое тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то можно предположить, что другое, тождественное твердое тело под действием такой же си-
Равновесие нетвердого телане нарушится, если это телозатвердеет
По форме, уи абсолютно
Равновесие нетвердого телане нарушится, если это телозатвердеет
По форме, уи абсолютно
стемн сил тоже должно быть в равновесии. Аксиома утверждает» "то от затвердения равновесие нетвердого тела не нарушится. В ставке встречаются задачи о равновесии тела, состоящего из несколь- Кнх твердых тел, так или иначе связанных (^сочлененных^) между
собой. Такое тело находится в равновесии, если в равновесии находятся все составляющие его тела. В некоторых случаях такое тело рассматривают как затвердевшее, т. е. как одно абсолютно твердое тело*
Обратим внимание на то, что обратное утверждение является неправильным, т. е. нельзя утверждать, что равновесие твердого тела обязательно сохранится, если это тело перестанет быть твердым.
Связью называют ограниче- нне, стесняющее движения материальной точки или механической системы, осуществляемое другими материальными объектамиСвязью называют ограниче- нне, стесняющее движения материальной точки или механической системы, осуществляемое другими материальными объектами§ 4. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
Связью называют ограниче- нне, стесняющее движения материальной точки или механической системы, осуществляемое другими материальными объектами
Связью называют ограниче- нне, стесняющее движения материальной точки или механической системы, осуществляемое другими материальными объектами
Связь. Всякую точку М (х, у, z) называют свободной точкой, если ее возможно переместить, дав ее координатам х, у и z малые приращения 6х, 8у, 6z произвольного знака и величины, и никакие другие тела
не препятствуют этому перемещению точки М. Свободная точка обладает тремя степенями свободы. Точку называют несвободной, если ее перемещение ограничено какими-либо
условиями и ей нельзя сообщить любое движение. Ограничения, стесняющие движение точки, называют связями. Связи всегда осуществляются посредством других материальных тел и могут ограничивать не только перемещения, но и вообще движение (например, могут ограничивать скорости) точек. Со связями, наложенными на скорости, мы познакомимся в динамике (см. № 52).
Связи могут быть наложены не только на отдельные точки, ио и на системы точек, и на твердые тела. Итак связью называют ограничение, стесняющее движение материальной точки или механиче^ ской системы и осуществляемое другими материальными объектами. Твердое тело, движение которого не ограничено связями, называют свободным твердым телом, а твердое тело, движение которого ограничено связями,——несвободным твердым телом. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Чтобы получить произвольное малое перемещение твердого тела, достаточно сообщить три малых перемещения, параллельных трем осям координат, и повернуть его на три малых угла вокруг этих трех осей. Так, например, летящий в воздухе самолет является свободным телом, а самолет, стоящий
на аэродроме,— несвободным, так как на него наложена связь (условие: n = const). Он не может опуститься ниже площадки аэродрома и даже подняться, не нарушив при этом своей связи с аэродромом, и повернуть самолет на аэродром можно только вокруг вертикальной оси On. Эта связь, действующая (или, как говорят, наложенная) на самолет, осуществляется при помощи другого материального объекта (площадки аэродрома).
Реакция связи. Если тело стремится пере-
реакцией связи называют силу, с которой действует на данную материальную точку или механическую систему тело, осуществляющее связьреакцией связи называют силу, с которой действует на данную материальную точку или механическую систему тело, осуществляющее связьместиться в направлении связи и тем самым действует на связь, то со стороны связи возникает п роти воде йств ие. Силу, с которой тело, осуществляющее связь, действует на тело, на которое связь наложе
реакцией связи называют силу, с которой действует на данную материальную точку или механическую систему тело, осуществляющее связь
реакцией связи называют силу, с которой действует на данную материальную точку или механическую систему тело, осуществляющее связь
на, называют реакцией связи.
Изучая движение или покой тела, надо учитывать все силы, действующие на это тело, не исключая и реакций связей.
По закону равенства действия и противодействия реакция связи равна той силе, с которой данное тело действует на связь, но направлена в противоположную сторону. Так, например, на самолет, стоящий на аэродроме (рис. 6), действует его вес (активная сила) и, кроме того, в местах соприкосновения колес с Землей на него действуют реакции связей, равные и противоположные давлениям в этих местах со стороны самолета на Землю. На рисунке показаны только силы, действующие на самолет. Силы давления самолета на Землю не изображены. Изучая в статике систему сил, действующих на какое- либо тело, ни в коем случае не следует вносить в эту систему и те силы,
с которыми данное тело действует на окружающие тела и, в частности, на связи, потому что эти силы действуют не на данное тело, а на другие тела. В этом примере (см. рис. 6) мы изучаем равновесие системы сил, действующих на самолет, и учитываем вес G самолета, т. е. силу, с которой он притягивается к центру Земли, но, разумеется, не учитываем противодействия этой силе, т. е. силу, с которой самолет притягивает к себе Землю. Точно так же мы не учитываем здесь давлений самолета на аэродром, потому что эти силы приложены не
к самолету, а к аэродрому, но учитываем приложенные к самолету реакции аэродрома R^, R? и R^ Не всегда бывает просто определить направления реакций связи и для их определения полезно пользоваться понятием «виртуальные перемещения».
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения ихВиртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения ихВиртуальные перемещения. Представим себе какое-либо несвободное тело, например тот же самолет (см. рис. 6), стоящий на аэродроме. Дадим мысленно этому телу какое-либо бесконечно малое перемещение. Вообразим, например, что мы немного приподняли самолет над аэродромом; при таком
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения их
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения их
Перемещении связь самолета с аэродромом будет нарушена. Но мы
можем дать самолету воображаемое перемещение по плоскости аэро-, дрома, которое не нарушает связи. Всякое мысленное бесконечно малое перемещение тела, материальной точки или механической системы, не нарушающее наложенной связи, называют возможным, или виртуальным, перемещением.. Так, в нашем примере для самолета виртуальным перемещением является всякое воображаемое бесконечно малое перемещение его по плоскости аэродрома. Перемещение, хотя бы мысленное, самолета над аэродромом не относится к числу виртуальных, так как оно нарушает связь.
Реакции связи направлены перпендику- Реакция идеальной связи /ярно виртуальным перемещениям. Плос- направлена перпендикулярно костью виртуальных перемещений для рас- виртуальным перемещениям сматриваемого самолета является горизонтальная плоскость, реакции же аэродрома на самолет перпендикулярны виртуальным перемещениям, они вертикальны.
Если тело находится на наклонной плоскости (см. рис. 5), то виртуальным его перемещением является перемещение по плоскости, а реакция RN перпендикулярна этой плоскости. Отметим, что, говоря о реакции, мы подразумеваем так называемую идеальную реакцию, а не реакцию с трением, как называют равнодействующую, полученную от сложения идеальной реакции с силой трения. О направлении реакций с трением будет сказано ниже (см. § 14). Реакции связей, осуществляемых в виде нитей и шарниров, будут разобраны ниже в конкретных примерах и задачах.
С понятием связи и с виртуальными перемещениями мы ознакомимся более подробно в главах XIX и XX.
ГЛАВА 111
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
§ 5. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Метод последовательного сложения сил.
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил, или пучком силСистему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил, или пучком силИзучение статики начнем с простейшего случая, а именно с системы сходящихся сил, т. е. таких сил, приложенных к твердому телу, линии действия которых пересекаются в одной точке. Всякую силу
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил, или пучком сил
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил, или пучком сил
можно переносить вдоль линии действия. Мы имеем право перенести все эти силы в точку пересечения их линий действия и рассматри-
Рис. 7Рис. 7
Рис. 7
Рис. 7
вать систему сходящихся сил как пучок сил, приложенных к одной материальной частице. Если все силы расположены в одной плоскости, то пучок называют плоским пучком сил, или плоской системой сходящихся сил, в противном случае пучок ( называют пространственным.
Одной из задач статики является преобразование систем сил в системы, им эквивалентные. Неуравновешенная система сходящихся сил может быть заменена одной силой, эквивалентной данной системе сходящихся сил и называемой равнодействующей пучка сил. Определить величину и направление равнодействующей, или, как говорят, привести систему сходящихся сил к равнодействующей, можно различными способами.
Познакомимся сначала со способом последовательного сложения 5л пучка по правилу параллелограмма.
Пусть дана система нескольких сил (например, четырех сил), Jhhhh действия которых пересекаются в точке О. Перенеся все силы к этой точке, изобразим их (рис. 7, а) в некотором масштабе векто- Рамн：戸 1 =。再；F2 = OB; /% = 0С; F& = OD. Обратимся сначала к ка-
заменить обе эти силызаменить обе эти силыким-либо двум из сил пучка, например к силам Fx и F2. Эти силы приложены к точке О и направлены под углом друг к другу. Можно
заменить обе эти силы
заменить обе эти силы
диагональю ОЕдиагональю ОЕодной, изображаемой (в том же масштабе)
диагональю ОЕ
диагональю ОЕ
параллелограмма, построенного на этих силах как
на сторонах. Обозначим эту равнодействующую двух сил /?13:
Мы имеем теперь систему трех сил /?12, F3 и 扛 эквивалентную системе четырех сил F3 и F4.
Складывая по правилу параллелограмма силу /?12 с какой-либо из оставшихся сил пучка, например с силой F§, и заменяя обе эти силы одной силой /?123, изображаемой диагональю 0K параллелограмма ОСКЕ, мы получим систему двух сил /?123 и F4, причем
&23= &2+f 3
или, имея в виду предыдущее равенство,
比3 = '1+下2 + /.一
Складывая по закону параллелограмма К^з и F《，найдем равнодействующую всей системы четырех сходящихся сил:
0L=%十几+尸3十尸4 = R
Этим методом последовательного сложения можно найти равнодействующую любого количества сходящихся сил, в частности пространственной системы сходящихся сил, поскольку всякие две силы пространственного пучка обязательно лежат в какой-либо плоскости (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости), а равнодействующая двух этих сил лежит в какой-либо плоскости со всякой другой силой пучка. Символически это записывают так:
£户目=冗 или проще: 2?=^,(1)
Как видно из хода нашего доказательства, последовательность, в которой силы пучка складывают по правилу параллелограмма, не влияет на результат, т. е. от перемены мест слагаемых геометрическая сумма не изменяется (рис. 7, а и 6).
R1284 =凡143 = R243I = R1428 = R124& н" Т. Д.
Прн построении силового многоугольника складываемые силы чертят последовательно одну за другой так, чТобы начало каждого вектора совладало с концом предыдущего. Начало вектора равнодействующей совпадает с центром пучка, а коней — с концом последнего приложенного вектораПрн построении силового многоугольника складываемые силы чертят последовательно одну за другой так, чТобы начало каждого вектора совладало с концом предыдущего. Начало вектора равнодействующей совпадает с центром пучка, а коней — с концом последнего приложенного вектораМетод силового многоугольника. Взглянув на чертеж (рис. 7, а), нетрудно заметить, что, складывая силы пучка по методу последовательного применения правила параллелограмма, мы провели на этом чертеже много лишних линий. Для нахождения равнодействующей 0L можно было не чертить линии BE, ОЕ, СК, OK, DL, Равнодействующую 0L можно найти значительно проще. Для этого нужно от
Прн построении силового многоугольника складываемые силы чертят последовательно одну за другой так, чТобы начало каждого вектора совладало с концом предыдущего. Начало вектора равнодействующей совпадает с центром пучка, а коней — с концом последнего приложенного вектора
Прн построении силового многоугольника складываемые силы чертят последовательно одну за другой так, чТобы начало каждого вектора совладало с концом предыдущего. Начало вектора равнодействующей совпадает с центром пучка, а коней — с концом последнего приложенного вектора
равный вектору ОС, аравный вектору ОС, аот точки £ вектор ЕК,от точки £ вектор ЕК,точки К надо отложитьточки К надо отложитьконца одного из слагаемых векторов, например от точки Л (рис. 8), отложить вектор, равный и параллельный вектору какой-либо другой из слагаемых сил, например АЕ = ОВ. Этим положение точки Е вполне определено и нет надобности чертить линии BE и ОЕ предыдущего чертежа. Если складывать силы в той же последовательности, какой мы только что придерживались (см. рис. 7, а), то для нахождения
равный вектору ОС, а
равный вектору ОС, а
от точки £ вектор ЕК,
от точки £ вектор ЕК,
точки К надо отложить
точки К надо отложить
для нахождения точки L нужно лишь отложить от точки К век
равный вектору 0D.равный вектору 0D.тор KLтор KLНо коль скоро точка L найдена, то
равный вектору 0D.
равный вектору 0D.
тор KL
тор KL
для нахождения равнодействующей остается только провести век
тор 0L.
Таким образом, для приведения системы сходящихся сил к равнодействующей нужно от конца вектора одной из сил пучка отложить вектор, равный вектору какой-либо другой силы пучка, от его конца отложить вектор, равный вектору какой-либо третьей силы пучка, и т. д., пока не будут таким образом отложены все силы системы. Для нахождения равнодействующей системы сил нужно соединить центр пучка с концом последнего отложенного вектора.
Ломаную OAEKL называют силовым многоуголь- Р ником.
Последовательность, в которой прикладывают
эти векторы друг к другу, не имеет значения,рИс. 8
так как геометрическая сумма подчиняется закону переместительности, т. е. не зависит от перемены мест слагаемых. Но нужно твердо помнить, что векторы прикладывают так, чтобы начало каждого последующего приложенного вектора совпадало с концом предыдущего. Тогда, обходя последовательно вершины силового многоугольника OAEKL, будем все время передвигаться в направлении, указанном стрелками, и только равнодействующая 0L направлена иначе: в точке 厶 она соединяется с век-
тором KL концами, а в точке 0 (в центре пучка)—с вектором ОА началами.
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнутчение для статики и наДля равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнутчение для статики и на
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут
чение для статики и на
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут
чение для статики и на
Способ силового многоугольника справедлив для всякой системы векторов, приложенных к одной точке, однако он удобнее в применении к плоским пучкам, так как плоские графические построения
просты и наглядны.
Условие равновесия пучка сил в геометрической форме. Система сходящихся сил всегда может быть приведена к равнодействующей R, за исключением одного случая: R = 0. Этот случай имеет особое зна- нем необходимо остановиться подробнее.
Если равнодействующая пучка сил равна нулю, то, следовательно»
эквивалентна нулю и всяэквивалентна нулю и всясистема сходящихся сил, т. е, наличие^
эквивалентна нулю и вся
эквивалентна нулю и вся
системы эквивалентно ее отсутствию. Такие системы мы назвали уравновешенными. Следовательно, если равнодействующая системы сходящихся сил равна нулю, то система находится в равновесии. Очевидно, что справедливо и обратное заключение: если система сил находится в равновесии, то равнодействующая системы равна нулю.
В силовом многоугольнике равенство нулю равнодействующей выражается в том, что конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой силы, т. е. многоугольник является замкнутым. Замкнутость силового многоугольника является необходимым и достаточным условием равновесия пучка сил в геометрической форме. Такой случай изображен на рис. 9 и может быть записан так:
⑵⑵工戸=0.
⑵
⑵
Задача № 1. Тело находится в покое под действием трех сил, одна из которых 尸 1=12 凡 и направлена вертикально вниз, другая 尸？ = 9 凡 и направлена горизонтально влево. Определить величину и направление третьей силы (рис. 10, а).
Решение. Приступая к решению какой бы то ни было задачи, нужно внимательно прочитать условие, обязательно уяснить, что именно требуется определить, наметить ход решения и уже после этого приступать к вычислениям.
действия их пересекаются в однойдействия их пересекаются в однойВ данной задаче тело находится под действием трех сил, две из которых даны, а третью требуется найти Тело покоится, следовательно, система действующих на него сил находится в равновесии. Так как сил только три и они непа
действия их пересекаются в одной
действия их пересекаются в одной
раллельны и взаимно уравновешены, то линии точке, т. е. мы имеем пучок сил.
Теперь нетрудно наметить / ^ ход решения: рассмотреть равно-膨
весне пучка трех сил, действую-/慘
щих на тело, составить силовой многоугольник (треуголь-〃 影
ник), из которого определить /^^\^ неизвестную силу./
Последовательность, в кото- (0 ^
РТР刃 刃刃Рис. 11РТР刃 刃刃Рис. 11рой расположены силы много- \ 丿琢 угольника, не имеет принципиального значения, однако начинать построение следует всегда 〃丿 с известных сил. Чертим вектор силы АВ= 12 н н от его кон-
РТР
刃 刃刃
Рис. 11
РТР
刃 刃刃
Рис. 11
ца—вектор силы ВС = 9 凡，при
чем желательно соблюдать масштаб (рис. 10, б). Но на тело действует еше одна (неизвестная) сила, и силовой многоугольник должен быть замкнутым. Следовательно, эта сила должна изображаться отрезком С А.
Треугольник АВС прямоугольный, а потому
ии尸з = С4= М482十ВС2= )/722十»= 15 н
и
и
9 с а
cos 仪=汴— 0,о.
Ответ.尸з=15 н (1,53 "), направлена вправо и вверх под углом a — arccos 0,6 к горизонтали и проходит через точку пересечения линий действия &вух данных сил.
Тот же результат мы получили бы, если бы раньше начертили силу ВС, а от ее конца провели бы силу АВ (рис. 10, в).
Задача № 2. (№ 2.19, 29 М). К вертикальной гладкой стене АВ подвешен однородный шар О на веревке АС. Веревка составляет со стеной угол а, вес шара Р. Определить натяжение веревки Т и давление Q шара на стену (рис. 11, а).
Решение. Первый вопрос, который, решая задачу по статике, следует перед собой поставить, почти всегда бывает один и тот же:
равновесие какого объекта (точки, тела) нужно рассмотреть?
Ответить на этот вопрос не всегда бывает просто. В данной задаче обе искомые силы (Q и Т) действуют на стену: шар давит на стену с силой Q, а натяжение веревки, прикрепленной в точке Л стены, действует на стену по направлению веревки вниз. Между тем за отсутствием всех необходимых данных (вес и размеры стены, реакции фундамента и т. п.) мы не имеем возможности рассматривать равновесие стены, а потому будем рассматривать равновесие шара, так как в условии задачи относительно него приведены необходимые данные; вес ею известен, на него действуют натяжение Т веревки и давление (реакция) стены, равное и противоположное давлению шара Q на стену. Итак, на первый вопрос отвечаем: рассматриваем равновесие шара.
Второй вопрос, который нужно поставить при решении задачи по С1атике, тоже является почти трафаретным:
какие силы действуют на этот объект?
Отвечая на этот вопрос, нужно перечислить все силы, действующие на тело, и по возможности указать их точки приложения, направления и величины. Н а шар действуют (рис, 11,6):
вес Р шара. Эта сила приложена к центру шара и направлена по вертикали вниз;
реакция стены, т. е. сила, с которой действует на шар тело, осуществляющее связь (стена). Эта реакция (обозначим ее R) приложена в той точке шара, в которой осуществляется связь, т. е. в точке касания, и направлена от стены к шару перпендикулярно плоскости виртуальных перемещений шара. Виртуальными перемещениями шара (воображаемыми малыми перемещениями шара, не нарушающими его связи со стеной) являются перемещения шара вдоль вертикальней стены, а потому реакция R стены направлена горизонтально от стены к центру шара;.
натяжение Т веревки, соединяющей точку С на шаре и точку Л на стене. Натяжение веревки, действующее на шар, приложено к шару в точке С и направлено вдоль веревки от С по направлению к Л.
Шар О находится в равновесии под действием трех сил, следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке (рис. 11, в). Этой точкой является центр О шара.
Силовой многоугольник системы сил, пересекающихся в центре О, должен быть замкнут. Построение силового многоугольника начнем с извеечной силы Р, отложив вертикальный отрезок ^Л, изображающий вес шара (рис. 11, г). Остальные силы пучка известны нам только по направлению. Отложим от точки L в направлении другой силы, например в направлении реакции R (горизонтально влево), отрезок неопределенной длины, так как мы не знаем величины силы R. Мы знаем только, что в вершине силового многоугольника, где заканчивается вектор, равный силе R, начинается вектор, представляющий силу Т, Он направлен параллельно веревке, на которой висит шар (см. рис. 11,(з), и замыкает силовой многоугольник, т. е. заканчивается в точке К силового многоугольника. Поэтому от точки К проводим прямую, параллельную силе Т, под углом а к вертикали. Точка N пересечения этой прямой с направлением силы R в силовом многоугольнике позволит определить величины искомых сил:
LN = KLtga или R = Р tg а；
NК = или Т =，.
cos acos а
Найденная нами реакция R стены на шар по закону равенства действия и противодействия равна и противоположна давлению шара на стену.
Ответ:
Т —; Q = Р tg
,cos а 弋-
Задача № 3. Чтобы вытянуть автомобиль, застрявший на плохой дороге, шофер натянул канат АВ между автомобилем и деревом, привязав конец В к дереву на 2 初 выше, чем конец Л к автомобилю. Затем шофер встал на канат возле автомобиля, оттянув канат книзу собственным весом G = 770 « = 78,5 кГ, после чего перемещался вдоль каната к дереву. Определить силу (натяжение каната), действующую на автомобиль в положении, когда шофер стоял на канате в точке С на расстоянии от дерева: 1) CD= 10 м и 2)СЗ = С 初,считая, что канат нерастяжим, а С А горизонтальна.
Решение, Требуется определить силу, с которой канат тянет автомобиль вперед. Эта сила (натяжение каната между точками С и А) приложена к точке Л автомобиля. По принципу равенства действия и противодействия на точку С действует сила Гл, равная и противоположная искомой силе, действующей на автомобиль. Следовательно, для определения искомой силы мы можем рассмотреть равновесие точки Л или равновесие точки С каната. Но нам неизвестны другие силы, действующие на точку Л, зато известна сила (вес G шофера), приложенная к точке С. Поэтому на первый вопрос, задаваемый при решении задач по статике (равновесие какого тела изучается?), надо ответить: равновесие точки С,
На второй обычный вопрос——какая система сил действует на это тело (или на эту точку)?——отвечаем: на точку С действуют три взаимно уравновешенные силы: 1) вес G шофера, 2) неизвестная по величине искомая сила Т^ и 3) сила Тв натяжения части СВ каната, направленная под углом а к горизонтали (tgct = и тоже неизвестная по величине (рис. 12, а).
Силовой многоугольник (в данном случае треугольник) должен быть замкут, так как система находится в равновесии. Построение силового многоугольника начинаем всегда с известных сил. В данной задаче известна только одна сила —— вес шофера. Начертив эту силу (рис. 12, 6), от конца ее построим вектор силы Гд.
Рис. 12Рис. 12
Рис. 12
Рис. 12
Нам неизвестна величина силы. Однако мы знаем, что там, где заканчивается этот вектор, начинается вектор 「в，направленный под углом а параллельно ветви СВ каната, и заканчивается Тв той точке силового многоугольника, где начинается вектор силы G, так как силовой многоугольник должен быть замнут. Под углом а к горизонтали проведем от этой точки прямую до пересечения с горизонтальной прямой, по которой направлен вектор Т力 в силовом многоугольнике. Эта точка пересечения определит нам весь треугольник, а следовательно, и искомую силу Т力.
Построив силовой многоугольник, переходим к вычислению:
Та = G ctg a = G・CD:2.
Ответ: 1) Т/ = 3850 凡= 392,5 кГ; 2) Тв = 770 凡= 78,5 кГ.
Данную силу можно разложить по двум заданным направлениям на плоскости илн по трем заданным направлениям в пространствеДанную силу можно разложить по двум заданным направлениям на плоскости илн по трем заданным направлениям в пространствеСоставляющие силы. Займемся обратной задачей ——разложением силы на составляющие. Сходящимися составляющими силами называют такие силы, которые, будучи приложены в одной точке с данной силой, в своей совокупности эквивалентны данной силе.
Данную силу можно разложить по двум заданным направлениям на плоскости илн по трем заданным направлениям в пространстве
Данную силу можно разложить по двум заданным направлениям на плоскости илн по трем заданным направлениям в пространстве
Эта задача—разложение силы на сходящиеся составляющие — не имеет однозначного решения, так как существует бесчисленное множество систем сходящихся сил, для которых данная сила является равнодействующей. Но в некоторых частных случаях она имеет вполне определенное решение. К таким случаям относится разложение силы на две составляющие, имеющие заданные направления в одной с ней плоскости.
Пусть, например, силу АВ надо разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис. 13, а). Проведя заданные направления из начала и конца вектора силы, мы получим параллелограмм (прямоугольник) ACBD, диагональ которого АВ является равнодействующей, а стороны АС и AD——искомыми составляющими силы.
Пусть теперь силу Л1В1 нужно разложить по двум каким-либо другим направлениям в плоскости чертежа, например по направлениям 力工0 и 4工0'・ Проводя прямые с заданным направлением из начала 4] вектора и параллельные им прямые из конца BL вектора силы, получим параллелограмм А^В^М, стороны 41K и АгМ которого выражают искомые составляющие (рис. 13, 6).
Решение останется единственным, если силу АВ нужно разложить
на две составляющие, одна из которых задана по величине и по
Рис. 13Рис. 13направлению, а другая является искомой.
Рис. 13
Рис. 13
Разложить силу на две составляющие, не лежащие с ней в какой-либо одной плоскости, разумеется, невозможно. В трехмерном пространстве силу можно разложить на три составляющие, имеющие заданные направления. На практике часто встречается
разложение силы на три взаимно перпендикулярные составляющие, направленные параллельно осям координат.
Составляющие данной силы, иначе называемые компонентами данной силы, являются векторными величинами и их складывают по правилам геометрического сложения. Так, обозначая составляющие силы 尸 большими буквами X, Y и Z со стрелками сверху, чтобы подчеркнуть их векторную природу, мы можем написать геометрическое равенство
F = X + Y + Z.
§ в. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ сходящихся сил
В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Проекцией силы на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силыПроекцией силы на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силыПроекция силы на ось. С только что рассмотренным понятием «составляющая силы по оси» тесно соприкасается другое важное понятие ——«проекция силы на ось».
Проекцией силы на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силы
Проекцией силы на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силы
Изобразим силу F (рис. 14) вектором АВ. Опустив из начала Д и из конца В вектора перпендикуляры Аа и ВЬ на данную
ось 00', получим отрезок ab, называемый проекцией силы АВ на ось 00'. Как видно из чертежа,
ab — АВ1 = АВ cos а.
Для получения проекции мы умножали на cos а не вектор, а его модуль, его абсо厶ютную величину. Проекция силы на ось не является вектором, поскольку она не имеет собственного направления, а вполне определяется направлением оси, величиной проекции
(длиной ab) и знаком « + » или 《——». Проекция ab силы АВ положительна ( + "Ь), если направление вектора силы составляет с положительным направлением оси острый угол (рис. 14, о), и отрицательна (—曲)，если — тупой (рис. 14, б). Мы подчеркиваем, что проекция вектора на ось не имеет своего направления, тем не менее условимся, что положительная проекция «направлена» в сторону положительного направления оси, а отрицательная ——в противоположную сторону, и иногда на чертежах будем изображать стрелками проекции вектора на ось.
Напомним, что всякую величину, определяемую числом и только числом, называют скаляром. Например, плотность, температура, масса являются скалярами. Скалярами первого рода называют вели* чины, не зависящие от направления осей координат. Если же число,
определяющее рассматриваемую величину, меняет знак при перемене направления осей координат на обратные, то скаляр является ска- л凡ром второго рода (см., например, Аппель. Теоретическая механика). Следовательно, проекция силы на ось есть скаляр второго рода. Направляющим косинусом Направляющий косинус. Знак проекции называют косинус угла между определяется знаком косинуса угла между
положительным направлением оси и направлением вектора; он выражается отношением проекции вектора на эту ось к модулю вектораположительным направлением оси и направлением вектора; он выражается отношением проекции вектора на эту ось к модулю векторанаправлением вектора и положительным направлением оси, этот косинус называют направляющим косинусом. Если этот угол острый, то направляющий косинус поло-
положительным направлением оси и направлением вектора; он выражается отношением проекции вектора на эту ось к модулю вектора
положительным направлением оси и направлением вектора; он выражается отношением проекции вектора на эту ось к модулю вектора
и по знаку совпадает со жителей и проекция вектора на ось полознаком проекции жительна, если же угол тупой, то направляющий косинус отрицателен и проекция вектора на ось тоже
отрицательна.
Частот требуется по заданным проекциям вектора на координатные оси определять величины и знаки направляющих косинусов. Как видно из предыдущего равенства,
cos а =cos а =abab(3)(3)
cos а =
cos а =
ab
ab
(3)
(3)
Вертикальные черточки у знаменателя (символ, показывающий, что надо взять абсолютное значение данной величины) поставлены, чюбы подчеркнуть, что знак направляющего косинуса определяется знаком числителя (знаком проекции вектора на ось), а знаменатель
выражения является существенно положительной величиной. В дальнейшем мы не всегда будем ставить эти вертикальные черточки,
помня, что знаменатель в выражении направляющего косинуса яв
ляется положительным.
По этой формуле можно определять не только направляющие
косинусы вектора силы, но и направляющие косинусы всякого другого вектора (скорости, ускорения и пр.). Во всех отделах нашего курса направляющим косинусам отведена значительная роль.
Углы, составляемые каким-либо вектором с осями 尤，у и z, мн будем обозначать соответственно буквами а, р и у с индексом век
тора. Например, углы, составляемые векто
ром 尸 с осями координат, будем обозначать ал р尸,у尸.Если проек
cosaf = -pq- ； cosPf=rt； COS"cosaf = -pq- ； cosPf=rt； COS"ZZ(3‘)(3‘)ции силы F на оси координат обозначать через X, Y н Z, т。
cosaf = -pq- ； cosPf=rt； COS"
cosaf = -pq- ； cosPf=rt； COS"
Z
Z
(3‘)
(3‘)
Практически при решении задач для определения проекции силы на ось обычно умножают модуль силы на косинус острого угла между осью (ее положительным или отрицательным направлением) и линией действия силы и приписывают проекции знак 《十》 или «——» в зависимости от того, «направлена» ли проекция в сторону положительного или в сторону отрицательного направления оси.
Проекция силы на плоскость. В отличие Проекция вектора на пло- от проекции силы на ось проекция силы скость является вектором на плоскость является вектором и имеет собственное направление на плоскости.
Чтобы спроецировать - силу АВ на плоскость, надо опустить на плоскость перпендикуляры /Ь и ВЬ (рис. 15) из начала Л и из конца В вектора силы; полученный вектор ab, лежащий в плоскости, является проекцией силы на плоскость:
ab =np. 4В.
Модуль проекции равен произведению модуля силы на косинус угла
наклона вектора силы к плоскости:
曲=АВ coscz.
Проекция равнодействующейравна сумме проекций со-ставляющих силПроекция равнодействующейравна сумме проекций со-ставляющих силТеорема о проекции равнодействующей. Покажем, что проекция равнодействующей на плоскость равна геометрической сумме проекций составляющих.
Проекция равнодействующейравна сумме проекций со-ставляющих сил
Проекция равнодействующейравна сумме проекций со-ставляющих сил
Дан пучок сил, представленный силовым многоугольником OAEKL, и дана некоторая плоскость (рис. 16). Опуская перпендикуляры О。, Ла, Ее, Kk и Ы на плоскость из вершин силового многоугольника, найдем проекции составляющих сил на плоскость: проекция О А =оа;
проекцияпроекцияАЕ = ае; проекция EK =乐；проекция KL = hl. СкладываяАЕ = ае; проекция EK =乐；проекция KL = hl. Складываявсе проекции, получим oa^ae^ek + kl^ol. Но векторвсе проекции, получим oa^ae^ek + kl^ol. Но векторol являетсяol являетсяпроекцией равнодействующей无=/.проекцией равнодействующей无=/.OL на ту же плоскость: проекцияOL на ту же плоскость: проекцияСопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость —Сопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость —вектор, поэтому сумма геометрическая.вектор, поэтому сумма геометрическая.Напротив, проекции силы на тому проекция равнодействующей i проекций составляющих на ту жеНапротив, проекции силы на тому проекция равнодействующей i проекций составляющих на ту жеось—скалярные величины, а по- [а ось равна алгебраической сумме ось. Пусть дан пучок сил, предось—скалярные величины, а по- [а ось равна алгебраической сумме ось. Пусть дан пучок сил, пред
проекция
проекция
АЕ = ае; проекция EK =乐；проекция KL = hl. Складывая
АЕ = ае; проекция EK =乐；проекция KL = hl. Складывая
все проекции, получим oa^ae^ek + kl^ol. Но вектор
все проекции, получим oa^ae^ek + kl^ol. Но вектор
ol является
ol является
проекцией равнодействующей
无=/.
проекцией равнодействующей
无=/.
OL на ту же плоскость: проекция
OL на ту же плоскость: проекция
Сопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость —
Сопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость —
вектор, поэтому сумма геометрическая.
вектор, поэтому сумма геометрическая.
Напротив, проекции силы на тому проекция равнодействующей i проекций составляющих на ту же
Напротив, проекции силы на тому проекция равнодействующей i проекций составляющих на ту же
ось—скалярные величины, а по- [а ось равна алгебраической сумме ось. Пусть дан пучок сил, пред
ось—скалярные величины, а по- [а ось равна алгебраической сумме ось. Пусть дан пучок сил, пред
лишь сопоставить междулишь сопоставить междуставленный силовым многоугольником OAEKL, и дана ось (рис. 17). Опуская перпендикуляры Оо, Аа, Ее, Kh и Ы на ось из вершин силового многоугольника, найдем проекции составляющих сил на ось: проекция О А = + оа; проекция АЕ = + ае; проекция ЕК = — 6々； проекция KL= + hl. Складывая все проекции, получим оа + ае —— —冰+ hl = oL Но ol является проекцией равнодействующей OL на
лишь сопоставить между
лишь сопоставить между
ту же ось: проекция OL = ol. Остается собой два последних равенствах.
Величину и направление равнодействующей пучка сил можно определить по суммам проекций составляющих на взаимно перпендикулярные осидействующей неизвестно,Величину и направление равнодействующей пучка сил можно определить по суммам проекций составляющих на взаимно перпендикулярные осидействующей неизвестно,Если угол, составляемый равнодействующей с данной осью, известен, то, поделив сумму проекций составляющих на косинус этого угла, можно определить численную величину равнодействующей. Если же, как это обычно и бывает, направление равного для определения равнодействующей
Величину и направление равнодействующей пучка сил можно определить по суммам проекций составляющих на взаимно перпендикулярные оси
действующей неизвестно,
Величину и направление равнодействующей пучка сил можно определить по суммам проекций составляющих на взаимно перпендикулярные оси
действующей неизвестно,
составляют суммы проекций всех составляющих на пересекающиеся (обычно взаимно перпендикулярные) оси.
Для наглядности на рис. 17 изображен плоский силовой многоугольник и ось взята в его плоскости, но теорема справедлива и для трехмерного пространства.
Пусть дана система сил, сходящихся в одной точке. Для простоты рассуждений предположим, что все эти силы лежат в одной плоскости. Проведем в этой плоскости декартову систему координат хОу и спроецируёк! все силы на оси Ох и Оу.
Обозначим проекцию силы 储 на ось абсцисс через Хп а на ось ординат—через 匕；проекции силы F2 обозначим теми же буквами с индексом 2 к т. д. Сумму проекций всех сил на ось абсцисс обозначим символом 》Х， а на ось ординат——2^* Проекция равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось, и мы можем написать равенства
(4)коорди-(4)коорди-— Х1 + Х2 + Х3 + …+ Х" = £Х,
(4)
коорди-
(4)
коорди-
& = * + % + %+％ =
где R# и Ry означают проекции равнодействующей на оси нат. Теперь мы можем найти величину равнодействующей:
R = + /^ + R“ ИЛИ
@) направ-(6‘)@) направ-(6‘)R= + /(£X)2 + (£y)2.
@) направ-
(6‘)
@) направ-
(6‘)
Направление равнодействующей можно определить по ляющим косинусам:
cos = =尸=2受,* +)/(£х)2 +(2у)2
+ ]/ (£х)2 + (£у)2
Если силы системы не лежат в одной плоскости, то, спррециро- вав силы на три координатные оси, получим
R = +/(XX)2 + (£y)・2 + (£Z)2,(5)
.COSCCr =-——,
+ M (S^)2+(Sy)2+(2z)2
a
cos 臥=—=,用、
+ ]/(2^)2+(SH2+(22)2'
COS、R = :-кJ一」,
+ ]/(NX)2+(£y)2+(£Z)2
Знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Возведя равенства (6) или (6‘) в квадрат и сложив, убедимся, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
cos2 а^ + cos2 Рл + cos2 yR = 1.(7)
Задача № 4. Найти равнодействующую 耳 двух сил Р и Q по 3 w каждая, направленных под углом 120° друг к другу (см. рис. 3,8).
Решение. Примем точку приложения сил за начало координат, направим оСЬ 0% по силе Q, а ось Оу к ней — перпендикулярно. Как видно из чертежа, направляющие косинусы складываемых сил таковы:
1
cos ар= 1, cospQ = 0, cosap=—^,cos Pp=—^― ■
Найдем проекции равнодействующей по формулам (4) к модуль равнодействующей по (5‘)：
R# = 2 X = Q cos(Zq + P cos оср= 1,5；
Ry = £p=Q cos Bq+P cos Bp=3 —；
R = ]Z心十磁=3.
Ее направление определим по направляющим косинусам (6‘)：
1,5 1„3 Кз КЗ
Ответ. R = 3&h направлена под углом 60° к силам.Ответ. R = 3&h направлена под углом 60° к силам.cosaR = -j-H万；cos By 27y =~- •
Ответ. R = 3&h направлена под углом 60° к силам.
Ответ. R = 3&h направлена под углом 60° к силам.
Для равновесия системы схо-дящихся сил необходимо идостаточно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координатДля равновесия системы схо-дящихся сил необходимо идостаточно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координатУсловия равновесия пучка сил в аналитической форме. Как было показано в § 3, при равновесии системы сходящихся сил ее равнодействующая равна нулю.
Для равновесия системы схо-дящихся сил необходимо идостаточно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат
Для равновесия системы схо-дящихся сил необходимо идостаточно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат
Если пучок сил является плоским, то нз (5‘)следует
R = /(2Х)2 +(ХУ)2 = °・
Сумма квадратов двух величин может равняться нулю только в случае, если равна нулю каждая из этих величин, а потому
(8)(8)у х =0,1
(8)
(8)
Эти равенства называют условиями равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме. Они являются необходимыми и достаточными условиями.
Если же пучок сил не лежит в одной плоскости, но является Уравновешенной системой, то путем аналогичных рассуждений мы выведем условия равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме:
ХХ = 0,)
* =。，У(9)
2^ = о.]
Если условия равновесия (8) и (9) содержат неизвестные величины, то их называют уравнениями равновесия сходящихся сил.
Задача № 5. Нить с грузами Р и Q на концах перекинута через блоки Л и 8, находящиеся на одной горизонтали (рис. 18, @). В точке О нити, находя-
щейся между блоками, привязан груз 6 = 27,3 &. При равновесии системы ветвь ОА образует с горизонталью угол 60°, а ветвь ОВ ——угол 45°. Пренебрегая трением в блоках, определить величину грузов Р и Q.
Решение. Равновесие какого объекта надо рассмотреть для решения задачи? Ответим на этот вопрос. Требуется определить веса грузов Р н Q. Веса грузов приложены к этим грузам и направлены вертикально вниз. Каждый груз натягивает нить силой, равной своему весу. Блок меняет направление нити, а следовательно, и направление силы натяжения нити, не меняя ее величины. Силы, по модулю равные 尸 н Q н направленные по ОА и ОВ, пересекаются в точке О, где приложена и заданная сила G (рис. 18, 6). Поэтому для решения задачи надо рассмотреть равновесие точки О.
Какие же силы действуют на точку О? На нее действуют сила G; натяжение Р ветви О А; натяжение Q ветви ОВ. Веса грузов Р и Q, приложенные к этим грузам, учитывать не надо, потому что они не приложены к точке О.
Рис. 18Рис. 18
Рис. 18
Рис. 18
Для изучения равновесия сил, приложенных к точке О, можно построить силовой многоугольник или составить уравнения равновесия. Выберем второй путь. Построим систему координат с началом в точке О (рис. 18, в), спроецируем силы на оси и составим уравнения равновесия.
Для проекций на ось Ох имеем
£х = 0; Qcos 45。一Р cos 60° = 0.
Знак проекции Q положительный, потому что она направлена в положительном направлении оси Ох (вправо). Знак у проекции Р отрицательный, так как она направлена в отрицательном направлении оси Ох. Проекция силы G на ось Ох равна нулю.
Аналогично получаем
2^ = 0; Qsin45Q + Psin60。一G = 0.
Проекции Р и Q на ось Оу положительны, так как направлены в положительном направлении оси. Проекция G отрицательна, так как направлена вниз. Подставляя числовые значения и решая уравнения, получаем ответ.
Ответ. Р = 20 必 Q=14,l н.
Задача № 6. (№ 2.54, 63 М). Земляная насыпь подпирается вертикальной каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, предполагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, приложено на 1/3 ее высоты и равно 6 тонн на метр длины стены; удельный вес кладки 2 Г/см^. Стена должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра Л (рис. 19, о).
Решение. Первый вопрос: равновесие какого тела надо рассмотреть?
Нужно рассмотреть равновесие каменной стены 4В.
Второй вопрос： какие силы действуют на рассматриваемое тело?
На стену действуют следующие силы (рис. 19, б):
а) вес G стены, приложенный в ее центре тяжести, направленный по вертикали вниз и равный произведению объема стены на удельный вес кладки. Обо-
значим высоту, длину и ширину стены в метрах соответственно h,l и а. Удельный вес кладки 2 Г[см*、или, что то же, 2 Т/м3, следовательно,
G = 2/i/a Т;
6) ленное6) ленноедавление Р земляной насыпи, приложенное на 1/3 высоты стены, направ- горизонтально от насыпи к стенке и равное (в Т)
6) ленное
6) ленное
Р=6/;
реакция R опоры. При решении подобных задач, называемыхреакция R опоры. При решении подобных задач, называемыхв) .-.. .*опрокидывание, нужно иметь в виду, что реакция связи бывает тольков) .-.. .*опрокидывание, нужно иметь в виду, что реакция связи бывает тольковокруг которой опрокидывается тело, реакции же связей в опорах, в которых связь нарушится при опрокидывании тела, равны нулю.Определив точку приложения реакции опоры, найдем направление реакции. Стена находится в равновесии под действием трех сил, а следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке, поэтому реакция опоры направлена под углом а к горизонтальной оси, причем, h a 2htga=家:万=笳.вокруг которой опрокидывается тело, реакции же связей в опорах, в которых связь нарушится при опрокидывании тела, равны нулю.Определив точку приложения реакции опоры, найдем направление реакции. Стена находится в равновесии под действием трех сил, а следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке, поэтому реакция опоры направлена под углом а к горизонтальной оси, причем, h a 2htga=家:万=笳.задачами на в той опоре,задачами на в той опоре,а丿а丿ЛЛS)Рис. 19S)Рис. 19勿勿
реакция R опоры. При решении подобных задач, называемых
реакция R опоры. При решении подобных задач, называемых
в) .-.. .*
опрокидывание, нужно иметь в виду, что реакция связи бывает только
в) .-.. .*
опрокидывание, нужно иметь в виду, что реакция связи бывает только
вокруг которой опрокидывается тело, реакции же связей в опорах, в которых связь нарушится при опрокидывании тела, равны нулю.
Определив точку приложения реакции опоры, найдем направление реакции. Стена находится в равновесии под действием трех сил, а следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке, поэтому реакция опоры направлена под углом а к горизонтальной оси, причем
, h a 2htga=家:万=笳.
вокруг которой опрокидывается тело, реакции же связей в опорах, в которых связь нарушится при опрокидывании тела, равны нулю.
Определив точку приложения реакции опоры, найдем направление реакции. Стена находится в равновесии под действием трех сил, а следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке, поэтому реакция опоры направлена под углом а к горизонтальной оси, причем
, h a 2htga=家:万=笳.
задачами на в той опоре,
задачами на в той опоре,
а丿
а丿
Л
Л
S)
Рис. 19
S)
Рис. 19
勿
勿
Проецируя все приложенные к стене силы на горизонтальную и на вертикальную оси (рис. 19, 8)и/приравнивая нулю суммы проекций, найдем
£х = о； R cos a—6/ = 0; Rcosa = 6Z;
£у=о； R sin a — 2九Za = O; R sin a = 2九/a.
Легко находим, что наименьшая толщина стены 。=旷2 л/ = 1,41 м. Чем толще стена, тем устойчивее ее равновесие. При значении а, меньшем найденного нами, силы не пересекутся в одной точке и равновесие невозможно, стена опрокинется.,
В условии задачи использованы различные единицы измерений (тонна, грамм, метр, сантиметр). При решении мы выразили все величины в тоннах и метрах. Решим эту же задачу в СИ или МКС (м, кг, сек), для чего выразим в этих единицах все величины, заданные в условии задачи.
Давление земли на один метр длины стены
6 Т/м~ 6000 лГ/л/ = 6000-9,81 н]м.
Если длина стены I м, то давление на всю стену
Р = 6000,9,81 "从
Удельный вес кладки
2 Г/с府з = 2000 к「/席з = 2000・ 9,81 н]2. Тогда вес стены
G = 2000・9,81 •献。н.
Составляя и решая уравнения равновесия всех сил, приложенных к стене, получим тот же ответ.
Ответ.。》1,41 儿
Задача № 7. На катеты равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, сделанного из проволоки и установленного в вертикальной плоскости так, что гипотенуза АВ горизонтальна (рис. 20, а), нанизаны два шарика:尸 весом Gi = 3 я ? Q весом Gz = 4 4, связанные нерастяжимой нитью. Найти положение равновесия (угол /CPQ = a), реакции катетов и натяжение нити, считая, что проволока Не прогибается и трение отсутствует.
Решение. Равновесие какого объекта надо рассмотреть, чтобы определить угол &, натяжение нити Т и две реакции катетов? Если рассматривать равновесие шарика Р, получим два уравнения равновесия (ЛХ —0 и Л У — 0)для трех неизвестных (угол а, натяжение Т нити и реакция Тл катета ЛС). Если рассматривать равновесие шарика Q, то получим два других уравнения с тремя неизвестными (угол а, натяжение Г нити и реакция R# катета 8С), но две из этих неизвестных величин входят в уравнения равновесия шарика Р.
Для решения задачи надо: 1) рассмотреть равновесие шарика Р и составить уравнения равновесия; 2) рассмотреть равновесие шарика Q и составить уравнения равновесия; 3) решить совместно все четыре уравнения и найти из них четыре неизвестных а, Т,欠再 и Rr.
Равновесие шарика Р. На шарик Р действуют силы: его вес 3 ", направленный вниз, натяжение Т нити, направленное к Q, м реакция Ra катета АС.
00
0
0
Рис. 20
Катет (проволока ДС) осуществляет связь шарика Р. Эта связь допускает перемещение шарика лишь по АС. Реакция направлена перпендикулярно виртуальным перемещениям, т. е. перпендикулярно 4С.
Построим систему координат с началом в центре шарика Р, направив ось Ох по катету к точке С (рис. 20, б). Заметим, что мы вправе выбирать направления осей так, как это представляется целесообразным для упрощения выкладок. Мы свободны также в выборе начала координат.
Составляем уравнения равновесия системы сил, приложенных к шарику Р：
У Х = 0; Т cos а — 3 cos 45。= 0;
2^ = 0； ~Т sina —3 sin 45°+ RA = 0・
Равновесие шарика Q. На шарик Q действуют вес 4 н, направленный вниз, сила Т натяжения нити, направленная к шарику Р (по принципу равенства действия и противодействия), и реакция RB катета ВС, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению шарика Q.
Нет необходимости строить новую систему координат, и мы можем проеци- ррвать силы, приложенные к шарику Q, на уже имеющиеся координатные оси. Получаем два новых уравнения:
£х = 0; Rb―Г cos a — 4 cos 45° = 0;
£ p = 0； T sin a — 4 sin 45° = 0.
Решая совместно четыре уравнения, находим четыре неизвестных. Ответ.
4
tg a~ -g-; (a = 53。)； 7 = 3,54 w; R/ = Rb = 5 w.
Задача № 8. К шарниру кронштейна A BCD (рис. 21, а) приложена сила р = 6(Ю0 н. Кронштейн состоит из трех стержней АВ, АС и AD равной длины; крепления А, В, С и D шарнирные, плоскость АВС горизонтальна и BC—AD— =2 0D. Найти усилия в стержнях.
Решение. Рассматриваем равновесие точки Л, в которой сходятся все неиз・ рестные силы.
На точку Л действует пространственный пучок сил: вес Р = 6000 н, направленный вниз, усилия в стержнях 4В, АС и AD. Усилием в стержне называют силу, действующую вдоль стержня и растягивающую или сжимающую его; если стержень растянут, то на шарнир действует сила, направленная к стержню, если сжат, то от стержня. Не всегда бывает просто без предварительных расчетов определить, сжат данный стержень или растянут. Иногда этому помогает следую
щий прием： если от замены стержня нитью равновесие не нарушается, то стержень растянут, а если нарушается, то сжат. В данной задаче стержень 4D, очевидно, можно заменить нитью, следовательно, он растянут и сила 尸口， приложенная к шарниру Л, направлена так, как тянула бы его нить, т. е. к D. Стержни АВ и АС нитями заменить нельзя, так как кронштейн потеряет жесткость, следовательно, силы, приложенные к шарниру Л, направлены от В и от С. Существует и другой способ, требующий предварительных расчетов: силы, действующие на шарнир со стороны стержней, при предварительном расчете считать растягивающими и всегда направлять от шарнира к стержням, составлять и решать уравнения равновесия, и если в результате решения этих уравнений для сил получаются положительные значения, то стержни растянуты, а если отрицательные, то сжаты. Этот способ мы применим в данной задаче и бу工ем считать, что, кроме вертикальной нагрузки Р, на шарнир Л действуют усилия в стержнях 4в, АС и 4D, направленные условно от Л к В, С и D.
Построим пространственную систему координат с началом в точке О (рис. 21,6), направив оси, как показано на чертеже. Из условия задачи следует, что / 4В0= = /400 = 60°, / ОАВ~ / ОЛГ) —30°. Составляем уравнения равновесия пространственного пучка сил：
£х = 0; FB cos 60°-^ cos 60° = 0;
2^ = 0; —尸в cos 30°—尸c cos 30° — Fd cos 30° = 0;
，Z = 0; Fd cos60。一P = 0.
Решая эти уравнения, находим ответ.
Ответ. Стержень АВ сжат,尸占=—6000 н; стержень АС сжат,尸с=—6000 я; стержень AD растянут, Fq~ 12 000 w (рнс. 21, в).
Для отличия сжимающую силу условимся писать (в некоторых задачах) с отрицательным знаком. Этот знак сжимающим силам приписывают условно.
ГЛАВА IV
МОМЕНТ СИЛЫ. ТЕОРИЯ ПАР
§ 7. ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда имеют* равнодействующую, направленную в ту же сторону и по модулю равную сумме модулей слагаемых сил. Линия действия равнодействующей делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых силДве параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда имеют* равнодействующую, направленную в ту же сторону и по модулю равную сумме модулей слагаемых сил. Линия действия равнодействующей делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых силСложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Если векторы сил параллельны между собой, то линии действия их не пересекаются и их нельзя складывать по правилу сложения сил, изложенному в § 3. Для приведения параллельных сил к равнодействующей существуют другие правила, выводом которых мы теперь займемся.
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда имеют* равнодействующую, направленную в ту же сторону и по модулю равную сумме модулей слагаемых сил. Линия действия равнодействующей делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых сил
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда имеют* равнодействующую, направленную в ту же сторону и по модулю равную сумме модулей слагаемых сил. Линия действия равнодействующей делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых сил
Пусть на твердое тело (рис. 22, а) действуют две силы:приложенная в точ
ке 4 этого тела, и F2, приложенная в
точке В того же тела. Линии действия этих сил параллельны, и обе силы направлены в одну и ту же сторону. На рисунке прямая АВ перпендикулярна линиям действия сил, но доказательство остается справедливым при любом угле наклона прямой АВ.
Приложим к тому же телу в точках Л и В две равные силы Рг и Р? (рис. 22, 6), направленные по прямой АВ в противоположные стороны. Силы А и Р2 взаимно уравновешивают друг друга, нали-
сил (F ,сил (F ,четырех действующихчетырех действующихна данное телона данное тело%, Р%, Рчие таких сил эквивалентно их отсутствию, а следовательно, система 1 и Р2) эквивалентна двум данным силам Fx и F2- Сложив затем силы Fx и 7\, приложенные к телу в точке Л, мы заменим их одной силой R】， приложенной к той же' точке А. Сложив силы F2 и Р2, приложенные к телу в точке В, мы заменим их одной силой /?2. Силы Ri и 頁2 эквивалентны системе сил (J, F2, 匕 и PJ，а следовательно, они эквивалентны двум силам (& и F2).
сил (F ,
сил (F ,
четырех действующих
четырех действующих
на данное тело
на данное тело
%, Р
%, Р
Перенесем силы Rt и R2 в точку D пересечения их линий действия (рис. 22, 8) и там разложим каждую из них на две составляющие, параллельные силам F и Р. Мы получим четыре силы (F；, F；, Р； и Р；), приложенные к точке D и эквивалентные системе сил (0 и FJ, причем F；工户尸 尸義二匕，Р； = А， Р； = Р&• Заметим, что силы Р[ и Р； равны между собой по величине и действуют по одной и той же прямой в противоположные стороны, а потому они
уравновешивают друг друга, т. е. наличие этих сил эквивалентно
их отсутствию, и мы можем отбросить силы
д)д)Рис. 22Рис. 22Р； и 月;.Останутся только две силы, приложенные в одной и той же точке D, а именно F；, равная данной силе 尸口 и равная силе
д)
д)
Рис. 22
Рис. 22
Таким образом, систему двух параллельных сил (&, %)，приложенных в разных точках Л и В твердого тела, мы заменили эквивалентной системой таких же сил, но приложенных к одной точке D, Очевидно, что равнодействующая этой системы приложена в той же точке D, направлена в ту же сторону, что и слагаемые силы, а по модулю равна сумме модулей этих сил:
R = 3 + &・ (Ю)
Перенесем равнодействующую R по линии действия в точку С, лежащую на прямой АВ (рис. 22,а). Из подобия полученных треугольников ACD и BCD, соответственным силовым треугольникам (см. рис. 22, 6), можно написать
尸 1 CD 尸2 CD
Деля первую пропорцию на вторую и принимая во внимание, что Р】=Р&, получим
Следовательно (рис. 22? 0), две параллельные силы 尸 1 и F2, направленные в одну сторону, приведены к одной равнодействующей R, направленной в ту же сторону и по модулю равной сумме модулей слагаемых сил. Линия действия равнодействующей R лежит между линиями действия слагаемых сил и делит расстояние АВ на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых сил.
Рис. 23Рис. 23Две неравные параллельные силы, направленные в противоположные стороны, имеют равнодействующую, направленную в сторону большей силы и по модулю равную разности модулей слагаемых сил. Лнния действия равнодействующей делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям слагаемых сил
Рис. 23
Рис. 23
Пусть на твердое тело
Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Параллельные силы, направленные в противоположные стороны, могут быть приведены к равнодействующейСложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Параллельные силы, направленные в противоположные стороны, могут быть приведены к равнодействующейтолько в том случае, если модули слагаемых сил не равны между собой.(рис. 23, а) действуюттолько в том случае, если модули слагаемых сил не равны между собой.(рис. 23, а) действуютдве силы: F] приложенная к точке А, и F2, приложенная к точке В. Линии действия этих
Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Параллельные силы, направленные в противоположные стороны, могут быть приведены к равнодействующей
Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Параллельные силы, направленные в противоположные стороны, могут быть приведены к равнодействующей
только в том случае, если модули слагаемых сил не равны между собой.
(рис. 23, а) действуют
только в том случае, если модули слагаемых сил не равны между собой.
(рис. 23, а) действуют
сил параллельны, но направления противоположны. По величине силы не равны, пусть Fi > F2. Приложим к тому же телу в точках А и В две взаимно уравновешенные силы Р^ и Р2 (рис. 23, б).
Сложив затем силы Fx и Pv приложенные к точке А, мы заменим их одной силой Rlt Сложив F2 и Р2, заменим их силой R?. Перенесем силы % н R& в точку D пересечения их линий действия (рис. 23,8)и там разложим .каждую из них на две составляющие, параллельные силам F и Р. В точке D мы получим пучок четырех сил (F；, F；, Р； и Р；), эквивалентный системе двух данных параллельных сил (3 и F2), причем F； = /\, F[ = Fm 尸；=「口 Р[ = Отбросим взаимно уравновешенные силы Р； и Р；. Тогда в точке О останутся лишь две силы F； и F；. Равнодействующая этой системы сил приложена в точке D, направлена в сторону большей силы, а по модулю равна разности модулей слагаемых сил:
(10‘)
Перенесем равнодействующую R по линии действия к точке С, лежащей на прямой АВ (рис. 23, г). Из подобия треугольников ACDf
BCD и соответствующих силовых треугольников можно написать пропорции
区=里И " =丝
Pl AC 2 8С '
откуда
(11)(11)& bе
(11)
(11)
Следовательно (рис. 23, 3), две неравные параллельные силы Ft и 尸2， направленные в противоположные стороны, приведены нами к одной равнодействующей R, направленной в. сторону большей силы и по модулю равной разности модулей слагаемых снл* Линия действия равнодействующей лежит за линией действия большей силы и делит расстояние между слагаемыми силами на части, обратно пропорциональные модулям сил.
(12)(12)Из равенств (10) или (10') и (11) можно получить следующие производные пропорции, полезные при решении задач:
(12)
(12)
ВС АС АВ*
Заметим, что теоремы о проекциях равнодействующей пучка сил (см. § 6), конечно, остаются справедливыми и для проекций равнодействующей параллельных сил, так как направляющие косинусы параллельных сил одинжовы.
Данную силу можно разло-жить на две, ей параллель-ные, для которых даннаясила является равнодей-ствующейДанную силу можно разло-жить на две, ей параллель-ные, для которых даннаясила является равнодей-ствующейРазложение силы на параллельные составляющие. Задача приведения к равнодействующей двух параллельных сил имеет всегда однозначное решение. Обратная задача — разложение данной силы R на
Данную силу можно разло-жить на две, ей параллель-ные, для которых даннаясила является равнодей-ствующей
Данную силу можно разло-жить на две, ей параллель-ные, для которых даннаясила является равнодей-ствующей
две, ей параллельные, F, и F2 ——неопределенная и может иметь сколько угодно решений. Задача становится определенной, если заданы расстояния АС и ВС до линии действия этих сил или заданы расстояние (4С, ВС или АВ) и модуль одной из сил. Имея заданное величины, можно определить искомые по выведенным формулам:
R = 3 土 &,(10,109
AC '
Задача № 9. Вес (G— 100 кГ) балки приложен в точке С. Как расположить 。口。рн 4 и В, чтобы давление балки на опору В равнялось 75 “？
Решение. Для получения ответа достаточно подставить числовые данные в 巾ор~ Мулн (Ю), (Ю7) и (11). Но задача не имеет однозначного решения. Опору В можно поместить в любой точке балки, причем: 1) если балка давит на опору В сверху Вниз (рис. 24), то опора А должна быть расположена по другую сторону от С
На расстоянии, определяемом из пропорции: 力С:6С = 75:25, т. е. на расстоянии ЛС —ЗВС; 2) если же балка давит на опору В снизу вверх, то опора Л должна быть расположена между С и 5 на расстоянии от С, определяемом из пропорции: АС: ВС = 75:175, т. е. на расстоянии SC. Чтобы задача стала определенной, надо в условии указать вверх или вниз направлено давление балки на точку В и задать одно из расстояний (ЛС, ВС или АВ).
Задача № 10. (4.10, 122 М). Однородный стержень Л В весом G —100 кГ опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим ——на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. У конца В стержень поддержи-
Рис. 25Рис. 25
Рис. 25
Рис. 25
вается веревкой с грузом Р, перекинутой через блок С. Отрезок .веревки ВС параллелен наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и давления /V/ и Nr на пол и на наклонную плоскость (рис. 25, а).
Решение. Одна из искомых сил действует на пол, другая ——на наклонную плоскость, третья приложена к грузу. Но груз поддерживается веревкой, и натяжение веревки равно весу Р груза. Блок С меняет направление силы натяжения веревки. Поэтому на точку В стержня действует в направлении ВС сила Р. На ту же точку В действует реакция Rr, по принципу равенства действия и противодействия равная и противоположная искомому давлению стержня на наклонную плоскость; на точку Л действует реакция R貝,равная и противоположная давлению N стержня на пол. Таким образом, рассмотрев равновесие стержня АВ, мы сможем определить все искомые силы.
На стержень 4В действуют следующие силы: 1) вес G, приложенный в середине стержня и направленный вниз; 2) реакция RA пола в точке Д, направленная вертикально (перпендикулярно виртуальным перемещениям); 3) в точке В натяжение Р нити, направленное по нити, и реакция Rr наклонной плоскости, перпендикулярная к плоскости. Но если мы сложим эти две силы по правилу параллелограмма и заменим их одной силой 尸(рис, 25, 6), то мы можем рассматривать балку как находящуюся в равновесии под действием трех сил: G, R/, F. Известно, что две из этих сил (G и R^ вертикальны, следовательно, вертикальна и третья сила F.
Так как вес стержня приложен в его середине, а силы 尸 и R^ —по концам, то, следовательно, 火幺=万 к 卜=彳.
Из чертежа видно, что ^?д == — cos 30° — G -^~ ; Р =^ — sin 30° — — . Иско- мне давления %再 и Nв равны и противоположны реакциям R^ и Rb，
Ответ. Р = 25 кГ; N = 50 кГ; N^~ 43,3 кГ.
Задача № 11. Чтобы поднять лебедкой груз (заводское оборудование) весом G = 6 Т на второй этаж заводского корпуса, не допустив возникновения горизонтальных усилий на стены здания, монтажники перекинули трос от лебедки 厶 к грузу G через два блока, находящихся на одной вертикали, причем блок О^ прикреплен к полу первого этажа (рис. 26, а), а блок О2 — к потолочной балке второго этажа. Определить силу, действующую на балку в точке С крепления блока 。2, и реакции от дейсзъия этой силы на опоры 4 и В балки, если АВ = 12 м, 4c = 4 м и груз полнималирйвномерно.
Решение. Рассмотрим сначала равновесие блока О2, а затем равновесие балки 4В.
На блок О2 действуют следующие силы (рис. 26, 6): 1) сила натяжения ветви троса, на которой висит груз, равная весу груза (6 Т) и направленная по этой ветви вниз; 2) сила натяжения ветви троса, направленная к блоку О〕； эта сила тоже
Рис. 26
равна 6 Т, так как блок не меняет величину силы; 3) реакция в оси.блока О2. Очевидно, что реакция в оси направлена вертикально вверх и равна 12 Т, так как она уравновешивает две направленные вниз силы по 6 Т каждая. Следовательно, на балку АВ в месте С крепления блока действует сила, равная 12 Т и направленная вниз.
При рассмотрении равновесия балки 4В мы, кроме этой силы в 12 Т, учтем н вызванные ею реакции в точках опоры Л и 5 (рис. 26, в). Реакции в опорах Рэвны и противоположны давлениям, и мы находим их из пропорции (12):
尸1_尸2_12
Ответ. Сила, действующая на балку в точке С=12 Т;尸】=8 Т;尸& = 47\
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равня-Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равня-Условие равновесия рычага. Твердое тело, имеющее возможность поворачиваться вокруг неподвижной оси под воздействием сил, линии действия которых расположены
Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равня-
Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равня-
лась нулюв плоскостях, перпендикулярных оси вра
щения, называют рынагом. Пусть рычаг (рис. 27) представляет собой невесомый жесткий стержень. На него действуют только две силы Fr и F2t перпендикулярные к рычагу в точках А и В.
Если точка опоры С, т. е. точка пересечения оси вращения с плоскостью чертежа, лёжит между Г 2 линиями действия сил (рис. 27, а), 6 то рычаг называют рычагом первого рода. Рычагом второго рода называют рычаг, в котором точка опоры находится по одну сторону от ли, 方丿ний действия сил (рис. 27, 6).
°’Для равновесия рычага необхо
димо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил Fx и F2 реакцией в точке опоры. Таким образом, равно
действующая сил и F2 должна проходить через точку С, т. е. должно существовать равенство
尸1 bе 丁砂
или
F]・4C —FyBCnO.
Будем называть расстояние от точки опоры до линии действия силы плечом силы, а произведение модуля силы на плечо——моментом силы относительно точки опоры С. Момент мы считаем положительным, если сила стремится повернуть рычаг против вращения стрелок часов, и отрицательным, если сила стремится повернуть плечо в ту же сторону, в какую поворачиваются стрелки часов. Момент силы Г】 относительно опоры на левом чертеже положительный, а момент силы %—отрицательный.
Таким образом, условие равновесия рычага выразим так: для равновесия рычага необходимо и достатнчно, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры равнялась нулю:
2此=0. (13)
Это равенство было впервые доказано Архимедом. Гюйгенс (1693) уточнил доказательство Архимеда, однако вполне строгое доказательство дал лишь Лагранж (1793). •
Задача № 12. Груз G (рис. 28, а) поднимают тросом, перекинутым через блок н намотанным на барабан / лебедки. Барабан лебедки жестко скреплен с зубча- тнм колесом //, которое находится в зацеплении с зубчатым колесом ///, жестко скрепленным с рукояткой О^А. Определить силу 尸，прикладываемую к точке Л рукоятки лебедки для равномерного поднятия груза G, в положении, изображенном на чертеже. Даны диаметры: Dlt D2( D3. Длина рукоятки О3Л =/.
Решение. Лебедку можно рассматривать как состоящую из двух рычагов. Один рычаг (назовем его первым) представляет собой твердое тело, состоящее из барабана / и шестерни II и имеющее неподвижную ось О「Другой рычаг — твердОе тело, состоящее из шестерни III и рукоятки О3Л и имеющее неподвижную оСЬ О3. Для решения задачи из условия равновесия первого рычага определим давление P3i2 между зубцами шестерен, а зная его, найдем 尸 из условия равновесия второго рычага.
На первый рычаг действуют следующие силы (рис. 28, 6)： 1) сила натя- ^ения троса, равная весу груза, направленная вверх и стремящаяся повернуть рычаг по ходу часовой стрелки; 2) давление Р312 зубцов колеса /// на зубцы колеса //, направленное вверх и поворачивающее первый рычаг против хода часов, и 3) реакция в оси О「
Момент силы Т относительно точки опоры 0】равен — G —-. Момент силы Р3>2
Рис. 28Рис. 28
Рис. 28
Рис. 28
равен Р3 2. Момент реакции в оси относительно точки Ог равен нулю. Из
условия равновесия рычага находим
工恤产0； _G冬+Р3,2等=0, откуда
%，2 = 6崇
Ко второму рычагу (рис. 28, 8)приложены: 1) сила давления зубцов колеса //, равна* (по принципу равенства действия и противодействия) P3i2f но направленная вниз и стремящаяся повернуть второй рычаг против хода часов; 2) давление F РУки человека, направленное вниз и поворачивающее рычаг по ходу часов, и 3) реакция в оси О3, момент которой относительно О3 равен нулю.
Момент силы Р2,з относительно точки опоры О3 равен ^ ^~ * ^ • Момент искомой силы 尸 равен ——尸•/. По условию равновесия рычага
2M0, = 0; G* 烁-Fl = Q.
F = GF = G£1乌 瓦,豆£1乌 瓦,豆Ответ.
F = G
F = G
£1乌 瓦,豆
£1乌 瓦,豆
Мы выяснили, что момент силы относительно точки опоры рычага зависит не только от величины силы, но и от ее положения по отношению к точке опоры рычага. Чем дальше от точки опоры лежит линия действия силы, тем больше момент. Если сила не перпендикулярна рычагу (рис. 29), то способ- 仪｝Cstnzность ее поворачивать рычаг вокруг
，嘗.? точки опоры мы и в этом случае будем
厂歹I" I измерять моментом силы, а под плечом
\/ If будем понимать кратчайшее расстоя-
戸一-^ 力比ние от точки опоры до линии дейст
вия силы. Пусть сила F приложена Рис- 29к рычагу вжточке А и составляет с ним
некоторый угол а. Разложим силу на две составляющие, из которых одна (户 sin а) перпендикулярна к рычагу, а другая (Fcosa) направлена вдоль рычага. Эта вторая составляющая не может повернуть рычаг, а поворачивать его будет только первая составляющая (Fsina), или, как говорят, только эта составляющая создает вращающий момент.
Следовательно, момент силы F относительно опоры С
MC(F)^=F sina- AC.
Но, как видно из чертежа, AC sin а —Л. Называя плечом силы относительно точки длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы, мы находим, что и в этом случае момент равен произведению модуля силы на плечо:
(И)(И)Момент силы относительноточки выражается произве-дением модуля силы наплечо, взятым со знакомплюс или минусМомент силы относительноточки выражается произве-дением модуля силы наплечо, взятым со знакомплюс или минусМс~ Fh,
(И)
(И)
Момент силы относительноточки выражается произве-дением модуля силы наплечо, взятым со знакомплюс или минус
Момент силы относительноточки выражается произве-дением модуля силы наплечо, взятым со знакомплюс или минус
Момент силы относительно точки. Понятие момента применимо не только к силам, действующим на рычаг, но и к силам, приложенным ко всякому твердому телу* Момент силы может быть определен не
только относительно опоры, но и относительно всякой точки. Точку, относительно которой определен момент
силы, называют центром момента.
момент силы относительно данногомомент силы относительно данногоцентра положителен, если же поцентра положителен, если же поТаким образом, опуская из точки О перпендикуляр на линию действия силы Е и умножая модуль силы на длину этого перпендикуляра, получим момент силы F относительно точки О. Знак момента будем определять, руководствуясь следующим правилом: если мысленно, закрепив центр момента и действуя на плечо в направлении силы, будем поворачивать плечо против хода часовой стрелки, то
момент силы относительно данного
момент силы относительно данного
центра положителен, если же по
центра положителен, если же по
ходу часовой стрелки, то(момент отрицателен.
Так (рис. 30), моменты сил F2, F3 и F5 относительно точки О положительны, а моменты сил F】и ?4 относительно той же точки
отрицательны.
Одна и та же сила может иметь положительный момент относительно одной точки и отрицательный ——относительно другой. Так, момент
силы точки Ссилы точки Сотрицателен.отрицателен.Рис. 31Рис. 31точки О положителен, а относительноточки О положителен, а относительноМомент силы относительноначала координат связанс проекциями X к У силына оси и с координатами хи у точки ее приложениясоотношением此=々一冰Момент силы относительноначала координат связанс проекциями X к У силына оси и с координатами хи у точки ее приложениясоотношением此=々一冰Аналитическое выражение момента силы.Пусть дана сила F (рис, 32), направление которой составляет с осями координат углы а尸 и 0尸.Направляющие косинусы этой силыАналитическое выражение момента силы.Пусть дана сила F (рис, 32), направление которой составляет с осями координат углы а尸 и 0尸.Направляющие косинусы этой силы85a尸=今;85a尸=今;cos 口尸=下=sma 尸.cos 口尸=下=sma 尸.
силы точки С
силы точки С
отрицателен.
отрицателен.
Рис. 31
Рис. 31
точки О положителен, а относительно
точки О положителен, а относительно
Момент силы относительноначала координат связанс проекциями X к У силына оси и с координатами хи у точки ее приложениясоотношением此=々一冰
Момент силы относительноначала координат связанс проекциями X к У силына оси и с координатами хи у точки ее приложениясоотношением此=々一冰
Аналитическое выражение момента силы.
Пусть дана сила F (рис, 32), направление которой составляет с осями координат углы а尸 и 0尸.Направляющие косинусы этой силы
Аналитическое выражение момента силы.
Пусть дана сила F (рис, 32), направление которой составляет с осями координат углы а尸 и 0尸.Направляющие косинусы этой силы
85a尸=今;
85a尸=今;
cos 口尸=下=sma 尸.
cos 口尸=下=sma 尸.
Проведем вектор г из начала координат в точку приложения силы. Этот вектор называют радиусом-вектором. Если координаты точки приложения силы обозначить через хну, то, как видно из чертежа,
cos = 7; sin 〉
Плечо силы h относительно точки О определим из Д О AN:
力=厂sin 6.
И для определения величины момента силы получаем следующую формулу:
M0^=rF sin 6.(15)
Угол 6 как внутренний угол Д ОАК, равен внешнему аЛ без другого внутреннего, с ним не смежного — %., поэтому
sin 6 = sin (а尸一а) = sin а尸 cos а「——cos ar sin а「.
Подставляя сюда, а затем в (15) найденные выше значения тригонометрических величин, получим
Mo =гF 務一皆) н окончательно
Mo ^= xY—~(16)
Определяя момент силы по формуле (16), нет надобности опре- "е〃ять его знак, сообразуясь с ходом часовой стрелки, т. к. знак полу-
Это равенство впервые дал Пуансо (1803),
чается непосредственно из формулы в зависимости от знаков х, у, X,匕 В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.Момент силы относительно точки как век-чается непосредственно из формулы в зависимости от знаков х, у, X,匕 В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.Момент силы относительно точки как век-Момент силы относительноМомент силы относительноточки выражается векторнымточки выражается векторнымпроизведением радиуса-век-тора точки приложения силына вектор силы:произведением радиуса-век-тора точки приложения силына вектор силы:Mq= rXFMq= rXFтор. Напомним, что векторным произведением а на b называют вектор & направленный перпендикулярно к а н b согласно «правилу буравчика», а по модулю рав* ный произведению модулей а н b на синустор. Напомним, что векторным произведением а на b называют вектор & направленный перпендикулярно к а н b согласно «правилу буравчика», а по модулю рав* ный произведению модулей а н b на синусугла между направлениями этих векторов. Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора г на вектор силы F. Момент силы относительно точки О как вектор можно представить:угла между направлениями этих векторов. Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора г на вектор силы F. Момент силы относительно точки О как вектор можно представить:M0 = 7xF\M0 = 7xF\(17)(17)в которойв которойперпендикулярно к плоскости,перпендикулярно к плоскости,Вектор Мо не изображен на рис. 32,Вектор Мо не изображен на рис. 32,потому что он направлен лежат векторы г и F, т. е.потому что он направлен лежат векторы г и F, т. е.мент Момент Мосилы F оз носительно точки 0 надо отложить от точки О перпендикулярно к плоскости, составляемой радиусом-вектором и вектором силы. Удобна следующая геометрическая интерпретация (рис. 33). Обозначив буквами Л и В начало и конец вектора силы, получим треугольник О АВ, площадь которого равна половине произведения основания АВ на высоту h = 0Л sin 6.
чается непосредственно из формулы в зависимости от знаков х, у, X,匕 В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.
Момент силы относительно точки как век-
чается непосредственно из формулы в зависимости от знаков х, у, X,匕 В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.
Момент силы относительно точки как век-
Момент силы относительно
Момент силы относительно
точки выражается векторным
точки выражается векторным
произведением радиуса-век-тора точки приложения силына вектор силы:
произведением радиуса-век-тора точки приложения силына вектор силы:
Mq= rXF
Mq= rXF
тор. Напомним, что векторным произведением а на b называют вектор & направленный перпендикулярно к а н b согласно «правилу буравчика», а по модулю рав* ный произведению модулей а н b на синус
тор. Напомним, что векторным произведением а на b называют вектор & направленный перпендикулярно к а н b согласно «правилу буравчика», а по модулю рав* ный произведению модулей а н b на синус
угла между направлениями этих векторов. Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора г на вектор силы F. Момент силы относительно точки О как вектор можно представить:
угла между направлениями этих векторов. Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора г на вектор силы F. Момент силы относительно точки О как вектор можно представить:
M0 = 7xF\
M0 = 7xF\
(17)
(17)
в которой
в которой
перпендикулярно к плоскости,
перпендикулярно к плоскости,
Вектор Мо не изображен на рис. 32,
Вектор Мо не изображен на рис. 32,
потому что он направлен лежат векторы г и F, т. е.
потому что он направлен лежат векторы г и F, т. е.
мент Мо
мент Мо
Сравнивая это равенство с (14), найдем, что момент Мо силы ，二 АВ относительно точки О численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ. Напомним, что отрезок АВ выражен в единицах сйЛы, а потому площадь треугольника ОАВ выражается не в единицах площади, а в единицах момента силы (ед. силы х ед. длины):
М^ = 2 пл. △ ОАВ1
Вектор момента направлен от точки О перпендикулярно к плос- к℃тн ОАВ в такую сторону, с которой вектор силы АВ представляется поворачивающим треугольник ОАВ вокруг точки О против хода часов. По модулю он равен (в некотором выбранном масштабе) удвоенной площади треугольника ОАВ.
Если вектор силы АВ переместить вдоль линии действия силы в пределах абсолютно твердого тела, к которому сила АВ приложена, оставив точку О неизменной, то вектор момента не изменится, так как не изменятся плоскость и площадь треугольника ОАВ, Сила является вектором скользящим, и действие силы, а следовательно, и ее момент не изменяются при перенесении силы вдоль линии действия. Напротив, если мы переменим точку О, то положение и площадь треугольника ОАВ, вообще говоря, изменятся, а следовательно, изменится и момент силы. Поэтому момент силы относительно какой- либо точки О является вектором лрикргпленным, он приложен к точке О и переносить его в какое-либо другое место тела нельзя.
Выражение момента силы относительно точки в виде вектора вполне соответствует физической сущности этого понятия, и если
силы расположены в различных плоскостях, то моменты сил относительно точки складывают по правилу параллелограмма. Только при рассмотрении системы сил, расположенных в одной плоскости, можно
игнорировать направление вектора момента, а учитывать его величину и знак, т. е. определять момент по формулам (14), (15) или (16). В такой системе, когда все силы и центр моментов расположены в одной плоскости, векторы моментов различных сил относительно какой-либо точки О направлены от точки О перпендикулярно к этой плоскости в ту или другую сторону, и в этом случае их складывают ал1ебраически.
Теорема Вариньона. Пусть даны простран- Момент рав нодействующей 。
равен сумме моментов состав- ственный пучок сил Fx, F2J . . ., Fn (рис. 34) ляющих 3 M n
и равнодействующая R этого пучка. Возьмем где-либо совершенно произвольно точку О, проведем радиус-век- Т0Р 厂 из точки О в точку приложения сил пучка, определим момент каждой силы относительно точки О и сложим эти моменты:
fe= п
£ Mo,h=T X 巳十；X 冗+ ... + r X /„ = A = 1
=厂 X(3 + %+ ・• • +%)•
Такая интерпретация момента силы принадлежит Пуансо.
Заменяя согласно (1) геометрическую сумму всех сил сходящейся системы их равнодействующей, получим
而(18)
k~ 1
Словами это равенство можно прочитать так: момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент
/，6〃/，6〃силы относительно точки есть вектор, поэтому сумма является геометрической. В частном случае, если все силы и центр моментов
/，6〃
/，6〃
6Л
仆写 + g
Рис. 35
лежат в одной плоскости, то все векторы моментов направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и геометрическое сложение моментов сил заменяется алгебраическим.
Таким образом, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил равен алгебраической сумме моментов составляющих Ч Теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива не только дла пучка сил, но для всякой системы сил, имеющей равнодействующую. Так, например, момент равкодействующей R двух параллельных сил 尸 1 и F2 относительно произвольной точки О (рис. 35) равен:
R.CO 二(F. + F^co = Ft (OA-AC) + FZ (CB +BO) FtAO+F2BO. что и требовалось доказать. Методом от п к n + 1 нетрудно показать справедливость теоремы Вариньона для любого числа сил.
§ 9. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскостиЧтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскостиМомент силы относительно оси. Ознакомление с понятием момента силы относительно оси, имеющим большое значение, начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 36) может поворачиваться вокруг оси. Механическое воздействие силы Е, поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения векторе силы по отношению к оси. Разложим силу Е на две составляющие, из которых одну (Q) направим параллельно оси, а другую (Р)
Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости
Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости
Доказана П, Вариньоном и опубликована в 1725 г.
расположим в плоскости, перпендикулярной к оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, действие же составляющей, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси, зависит не только от ее величины Р, но и от кратчайшего расстояния между линией действия этой составляющей и осью. Иначе говоря, действие силы F на закрепленную на оси дверь характеризуется моментом составляющей Р (расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.
Установим теперь общее правило определения момента силы относительно оси.
Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно эту
силу спроецировать на・ перпендикулярную к оси плоскость и опре
Рис. 36Рис. 36делить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости. Момент силы относительно оси ——скалярная величина, потому что у него нет собственного направления, а «направлен» он по оси в ту или иную сторону, т. е. определяется величиной и знаком и, конечно, направлением оси.
Рис. 36
Рис. 36
Где именно проведена перпендикулярная к оси плоскость, не имеет значения, так как проекции силы на параллельные плоскости и плечи проекций силы во всех случаях одни и те же.
Если сила параллельна оси или пере-
секает ось, то момент силы относительно
оси равен нулю. Эти два случая можно объединить в один: момент силы
относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.
Момент силы относительнооси равен проекции на этуось момента силы относи-тельно какой-либо точки,взятой на осиМомент силы относительнооси равен проекции на этуось момента силы относи-тельно какой-либо точки,взятой на осиПокажем, что момент силы относительно оси равен проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой- либо точки той же оси.
Момент силы относительнооси равен проекции на этуось момента силы относи-тельно какой-либо точки,взятой на оси
Момент силы относительнооси равен проекции на этуось момента силы относи-тельно какой-либо точки,взятой на оси
Возьмем на оси zz‘ произвольную
этой точки. Момент Мэтой точки. Момент Мточку О (рис. 37) и определим момент силы F = АВ относительно
этой точки. Момент М
этой точки. Момент М
0 силы F относительно точки О выражается вектором, по модулю равным удвоенной площади треугольника О АВ и приложенным в точке О перпендикулярно к плоскости △ ОАВ, Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную к оси. Чтобы определить момент Mz силы относительно оси, спроецируем СИлУ на эту плоскость и определим момент проекции ab относительно ^икн пересечения оси и плоскости, т. е. относительно точки О. Зтот момент численно равен удвоенной площади треугольника ОаЬ и направлен перпендикулярно к ОаЬ, т. е. по оси zz‘.
Но △ ОаЬ является проекцией △ ОАВ на плоскость, перпенди-
кулярную к оси. Площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоскостями, измеряемого линейным углом между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е.
пл. △ ОаЬ^пл. Д OXScosd.
Спроецировав на ось момент силы относительно точки О и при- нимая во внимание это равенство, найдем, что численно
A4z = A4oCos 仇(19)
При решении задач особенно часто приходится определять моменты сил относительно координатных осей. Согласно только что доказанному момент силы относительно какой-либо из осей коорди
нат равен проекции на эту ось момента сил относительно любой точки этой оси, в частности относительно точки О начала координат:
A4x = A4ocos аЛ1; My = Mocos РЛ1; Mz = Mows yMl(20)
где cosaM, cos рж и cos ум ——направляющие косинусы вектора момента силы относительно начала координат.
Если момент относительно оси умножим на единичный вектор этой оси, то получим не проекцию, а составляющую момента относительно точки, не скалярную, а векторную величину:
Л4#=£Мз Му = / Му\ Mz = АМ2.(21-
Из' равенств (20) и (21) непосредственно получаем
мо= +/也 + 隅+ 隔(22)
M0^iMx+lMy-YkMz.(22，)
Аналитические выражения моментов силы относительно осей координат. Выразим моменты силы относительно осей координат через координаты точки приложения силы и проекции силы на координатные оси.
На чертеже (рис. 38) изображены оси координат и составляющие силы, приложенной к точке Л (xyz) (сама сила на чертеже не показана). Чтобы определить моменты силы относительно оси Ох, нужно сначала спроецировать силу 尸 на плоскость yOzt Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, и вместо того, чтобы спроецировать силу F, мы можем спроецировать ее составляющие. Проекция составляющей X равна нулю, проекции же составляющих У и Z равны этим составляющим. Теперь нам остается определить алгебраическую сумму моментов этих проекций относительно точки О, которая по теореме Вариньона равна моменту проекции равнодействующей на плоскость yOz, или, что то же, моменту силы / относительно оси О尤.Так мы получаем первую из формул (23). Аналогично можно доказать две другие формулы (23), выражающие моменты силы относительно осей Оу и Oz:
Mx=yZ~zY\ j
My^zX — xZ; } (23) Mz^xY~yX.).
Для вывода формул (23) мы выбрали точку приложения силы в первом октанте (х, у и z положительны) и направили силу от начала координат (X, У и Z положительны). Если координаты или проекции силы отрицательны, то в формулы (23) надо, конечно, подставить отрицательные значения.
Достаточно запомнить одйу из формул (23), а следующую можно получить из предыдущей, применив круговую подстановку, т. е. заменив всюду икс на игрек, игрек на зет и зет на икс. Случаи, когда формулы можно получить одну из другой такой подстановкой, мы будем отмечать символом:
Выражение (23) можно получить непосредственно из свойств векторного произведения, если представить векторное произведение определителем третьего порядка:
(П9(П9._ - Т 7 к0=г х 尸=% у z
(П9
(П9
X Y Z
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, найдем:
—f%z ->xg
〃o = i У Z X Z^k X Y '
Или
Mq = f (yZ—zY) + / (zX—xZ) + k (xY— yX).
Сравнив это равенство с (22) получим формулы (23).
Обратим внимание на то, что правая часть третьей из формул (23) тождественна выражению (16) момента силы, лежащей в плоскости хОу, относительно начала координат. Объяснение заключается в том, что при выводе формулы (23) для определения Мг силу сначала спроецировали на плоскость хОу и затем определили момент проекции относительно начала координат. Формула же (16) выражает момент относительно начала координат силы, лежащей в плоскости хОу. Моменты этой силы относительно осей, расположенных с ней в одной плоскости, равны нулю (711^ = 0, Му = 0), а момент относительно оси Ог численно равен величине момента относительно начала координат (Mz = Л40).
Парой сил называют систему двух численно равных параллельных сил, направленных в противоположные стороныПарой сил называют систему двух численно равных параллельных сил, направленных в противоположные стороны§ 10. ПАРА СИЛ
Парой сил называют систему двух численно равных параллельных сил, направленных в противоположные стороны
Парой сил называют систему двух численно равных параллельных сил, направленных в противоположные стороны
Пара сил и ее момент. Равнодействующая двух не равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны, равна их разности. Если же такие силы по модулю равны, то они не имеют равнодействующей. Они и не уравновешивают друг друга, за исключением того частного случая, когда они имеют одну общую линию действия. Систему двух численно равных параллельных сил,
приложенных к одному телу и направленных в противоположные
стороны, называют парой сил.
Пусть на тело (рис. 39, а) действует пара сил, причем одна из сил пары приложена в точке Л, а другая в точке В. (Тело на
Рис. 39Рис. 39рисунке не показано.) Назовем плечом пары кратчайшее расстояние (длину перпендикуляра) между линиями действия сил пары. Сила является скользящим вектором, поэтому силы пары (или одну из них) можно перенести в такое положение (рис. 39,6), чтобы на чертеже отрезок, соединяющий точки их приложения, был перпендикулярен линиям действия сил,
Рис. 39
Рис. 39
т. е. изображал бы плечо.
Плоскость, в которой лежат линии действия сил пары, назы
вают плоскостью пары.
Механическое воздействие пары сил на твердое тело зависит не только от величины сил, но в равной степени также и от плеча. Поэтому за меру механического воздействия пары сил на твердое тело принимают момент пары——величину, численно равную произведению модуля силы на плечо пары:
(24)(24)M=hF,
(24)
(24)
Момент пары, подобно моменту силы относительно точки,— векторная величина. Вектор момента пары перпендикулярен плоскости пары. Но у всякой плоскости имеется две стороны. Условились вектор момента восставлять с той стороны, с которой пара представляется поворачивающей свое плечо против хода часов (рис. 40). Таким образом, вектор момента пары сил характеризует не только величину воздействия пары на тело, но также и плоскость пары и
направление, в котором силы пары стремятся повернуть тело.
В частном случае плоской системы сил момент пары рассматривают как алгебраическую величину и считают положительным, ес^и
силы пары стремятся повернуть плечо против вращения стрелок
часов, если же силы пары стремятся повернуть плечо по ходу часов, то момент считают отрицательным (рис. 41).
Сумма моментов двух силпары относительно любойточки пространства равнамоменту парыСумма моментов двух силпары относительно любойточки пространства равнамоменту парыСвойства пары. Чтобы лучше пояснить понятие пары сил——одно из важнейших понятий механики, покажем, что момент пары сил равен сумме моментов двух сил пары относительно произвольно взятой
Сумма моментов двух силпары относительно любойточки пространства равнамоменту пары
Сумма моментов двух силпары относительно любойточки пространства равнамоменту пары
точки. Для упрощения доказательства мы предположим сначала,
что эта точка находится в плоскости пары, а затем распространим теорему на любую точку.
В плоскости пары возьмем совершенно произвольно какую-либо точку О, примем ее за начало плоской системы координат (рис. 42, а),
УУРис. 41Рис. 41проведем через нее в произвольном направлении ось Ох и перпенди-
У
У
Рис. 41
Рис. 41
кулярно к ней ось Оу. По формуле (16) определим моменты сил пары относительно этой точки О, выбранной нами произвольно и принятой за начало координат:
Ms =厶匕一％Xi； М022—У2Х2.
Но, как видно из чертежа (рис. 42, б),
% =巧 + 用 sin а; у2cos а;
X]=尸 cos а; 匕=—F sin а;
Xg =——F cos a; F sin a.
幼，〃义/7"幼，〃义/7"5)5)00Рис. 42Рис. 42
幼，〃义/7"
幼，〃义/7"
5)
5)
0
0
Рис. 42
Рис. 42
Подставляя эти величины и складывая, определим сумму моментов двух сил нары относительно точки О:
2
2 Мо 工一％ F sin а — %F cos а + 修尸 sin а + 1
.+力尸 siM « + % 尸 cosa + 用尸 cos2 a =hF.
Таким образом, сумма моментов двух сил пары относительно любой точки О, взятой на ее плоскости, не зависит от их относительного положения (расстояния и ориентации) и равна моменту пары. Отсюда мы можем сделать вывод, что момент пары сил не изменится, если эту точку заменить какой-либо другой или если пару перенести в любое другое место ее плоскости, или повернуть на любой угол в ее плоскости.
Рассмотрим теперь самый общий случай, т. е. не будем накладывать никаких ограничений на положение пары сил и центра моментов. Примем произвольно взятую точку О (рис. 42, е) за начало прямоугольной системы координат, проведем глоскость хОу параллельно плоскости пары, направим оси Ох и Оу произвольно в этой плоскости, а ось Oz—перпендикулярно к ней. Тогда координаты точек приложения сил пары и проекции сил на оси выразятся равенствами, подобными только что написанным, лишь с добавлением третьей координаты, и мы будем иметь:
%2=% +月S也a;%=% + %за;
/=无；Xi=Fcosa;
У\ = — Fsina;
Zi — 0; X2 = — F cos a;兀sina;
Z? — 0*
Учитывая написанные значения координат и проекций сил, определим по (23) суммы моментов двух сил
пары относительно координатных осей. Относительно оси Ох получим
(%Z1 — zk)十(t/2Z2 —z2y2) = Z]F sin a —zj sin a = 0.
Аналогично относительно оси Оу
(z1X1 —占2J + (z2X2 — XgZj =乙尸 cos a — z?尸 cos a = О и относительно оси Oz
(修匕 一％X]) + (%兀一％X?)=—看尸 sin a — % F cos a ++ %尸 sin a + 用尸 sin2 a + %尸 cos a 十 用尸 cos2 a = Fh.
Теперь по формуле (22) находим, что модуль вектора суммы моментов двух сил пары относительно произвольно взятого центра О равен произведению модуля силы пары на плечо пары. Направлен этот вектор по оси Oz, т. е. перпендикулярно к плоскости пары сил.
Мы убедились, что сумма моментов двух сил пары относительно точки О равна моменту пары вне зависимости не только от положения пары в ее плоскости, но также и от расстоянил плоскости пары от центра моментов. Иными словами, момент пары не изменится, если пару перенести в параллельную плоскость.
Момент пары выражается свободным вектором, перпендикулярным к плоскости пары, численно равным произведению силы иа плечоМомент пары выражается свободным вектором, перпендикулярным к плоскости пары, численно равным произведению силы иа плечоКак уже было сказано, момент пары является мерой механического воздействия пары сил на тело, а потому механическое воздействие пары сил на твердое тело не изменяется, если эту пару поворачивают в ее плоскости, переносят в другое место
Момент пары выражается свободным вектором, перпендикулярным к плоскости пары, численно равным произведению силы иа плечо
Момент пары выражается свободным вектором, перпендикулярным к плоскости пары, численно равным произведению силы иа плечо
плоскости или в параллельную плоскость.
Эти на первый взгляд парадоксальные свойства пары поясним примерами. Гаечный ключ (рис. 43) одинаково действует на гайку, к каким бы граням этой гайки его ни приложить ——момент пары не изме
нится от поворота пары сил в ее плоскости. Трансмиссионный вал (рис. 44) сообщает шкиву вращающий момент независимо от места закрепления шкива на валу ——момент пары не изменится от переноса пары в параллельную плоскость.
Но только при изучении динамики, после знакомства с инерцией вращающегося тела и с понятием главных центральных осей, когда читатель узнает, что вращение тела зависит от массы каждой частицы тела и от их распределения, ему станет совершенно ясно, почему действие пары сил на тело не зависит от положения пары сил в ее плоскости.
Момент пары сил не имеет фиксированной, определенной точки приложения. Он является свободным вектором, т. е. он имеет свою величину и свое направление, но приложить его можно в любой
точке твердого тела, на которое действует пара сил. В этом заключается принципиальное отличие момента пары от момента силы от
прикрепленным вектором, при- или от скользящего вектора,прикрепленным вектором, при- или от скользящего вектора,носительно точки, являющегося ложенным в центре момента,
прикрепленным вектором, при- или от скользящего вектора,
прикрепленным вектором, при- или от скользящего вектора,
примером которого является сила.
Две пары сил с равнымимоментами эквивалентныДве пары сил с равнымимоментами эквивалентныЭквивалентность пар. Обратим особое внимание на то, что момент пары не является только произведением, а есть мера, пол
Две пары сил с равнымимоментами эквивалентны
Две пары сил с равнымимоментами эквивалентны
ностью характеризующаяностью характеризующаявоздействие пары сил на твердое тело. Две
ностью характеризующая
ностью характеризующая
пары с одинаковыми моментами оказывают на тело одинаковое действие, если даже силы одной пары (а также и плечо) не равны силам (и плечу) другой пары.
Докажем сначала, что данную пару (FR), модули сил которой 尸， а плечо АВ (рис. 45, Q), можно, не изменяя ее механического воз-
R『KP, 勿R『KP, 勿
R『KP, 勿
R『KP, 勿
Рис 45
действия на твердое тело (тело на рис. 45 не показано), заменить другой парой с таким же моментом, но с большими силами и соответственно меньшим плечом.
Приложим к телу в точке В, как показано на рис. 45, 6, две взаимно уравновешенные силы Рг и ?2, по модулю равные Р. Складывая параллельные силы Рг и Рп направленные в одну сторону, найдсм их равно действ ующую по модулю равную 尸+ Р, на- правленную в ту же сторону и приложенную в точке С на расстояниях АС и ВС, обратно пропорциональных модулям слагаемых сил (рис. 45, 8)
Складывая силы 尸？ и Р2, приложенные к телу в точке 8, получим их равнодействующую R?，п0 модулю равную 尸 + P и направленную в сторону слагаемых сил.
Новую пару сил (R^R?) мн получили из данной пары (尸】尸?)， присоединив к ней взаимно уравновешенные силы Р】и Р2. Следовательно, обе пары эквивалентны. Момент новой пары равен
M = R^BC^(P + F) BC=P・BC+F・BC、
!^ли, принимая во внимание написанную выше пропорцию, из которой следует, что Р ВСАС, получим
M^F-AC + F^CB^F-AB,
т. е. моменты эквивалентных пар равны между собой и данную пару мм заменили другой парой с тем же моментом, но с меньшим плечом.
Чтобы убедиться, что всякую пару сил (尸^尸纟)можно заменить другой парой сил с тем же моментом, но с большим плечом и соответственно с меньшими силами, сложим (см. рис. 45, б) силы 尸i с Р2,尸纟 с Р「Мы получим новую пару (QiQ2) (рис. 45, г) с моментом
M=Q・BC = (F — P) ВС' = F • ВС—Р • ВС = F (ВС‘ 一 AC) =F・AB,
что и требовалось доказать. -
Следовательно, механическое воздействие пары на твердое тело не изменится, если эту пару заменить любой другой парой с таким же моментом. Момент пары является свободным вектором, поэтому эквивалентные пары находятся водной или в параллельных плоскостях.
Момент пары сил, получен-ной от сложения несколькихпар, равен сумме моментовслагаемых пар
из которых лежит в плоскости / и в плоскости II и имеет момент 此* предположим, что эти плоскости не пересекаются под углом 6. Воспользовавшись только что доказанными свойствами пар, представим каждую данную пару парой, ей эквивалентной, лежащей в той же плоскости и имеющей плечо АВ (рис. 46), расположенное по линии пересечения обеих плоскостей. Модули сил Fx первой пары и F2——второй определим из условия эквивалентности
Сложение пар. Покажем, что несколько пар, приложенных к твердому телу, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме их моментов. Пусть к некоторому телу приложены две пары сил, одна
имеет момент 鳩，а другая — Для общности доказательства параллельны между собой, а
储
爲，F*
財2
ЛВ'
Сложим силы- обеих
пар, прило-
женные к телу в точке А, а затем
сложим силы, приложенные в точке В, Получим два параллелограмма сил с вершинами в точках А и В. Эти параллелограммы равны *жду собой, так как попарно равны и параллельны их стороны. Следовательно, равны и параллельны диагонали параллелограммов.
В результате сложения двух пар мы получили одну пару сил с тем же плечом и с силами, равными геометрической сумме соот- ветствуюгцих сил слагаемых пар. Найдем момент М этой пары.
На векторах моментов 此 и 此 построим как на сторонах параллелограмм, называемый параллелограммом моментов. Диагональ этого параллелограмма по величине и по направлению изображает момент пары (RR), полученной в результате сложения пар (尸口 F；) и (尸2，尸;)• В самом деле, стороны параллелограмма моментов перпендикулярны и пропорциональны сторонам параллелограмма сил, а потому и диагональ параллелограмма моментов перпендикулярна плоскости пары и равна R AB.
Мы пришли к заключению, что для сложения двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях, достаточно сложить их моменты. Но методом доказательства от м к n 4~ 1 нетрудно показать, что теорема остается справедливой для любого количества пар сил, т. е.
М = М. Мп = У М月，где 左=1, 2, 3, ..., м. (25)
Если сумма моментов всех пар равна нулю, то система пар находится в равновесии, так как, наличие такой системы эквивалентно ее отсутствию. Справедливо и обратное заключение: если система пар находится в равновесии, то сумма моментов всех пар системы равна нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия системы пар, не лежащих в одной плоскости, является равенство нулю геометрической суммы моментов всех пар системы:
工元^ = 0. (26)
Момент пары является векторной величиной, а потому суммирование надо производить, разумеется, геометрически, т. е. по правилу параллелограмма. В частном, но очень важном случае (имеющем большое применение в технике), когда пары расположены в одной плоскости, сложение моментов производят алгебраически. В самом деле. Будем поворачивать плоскости / и // на рис. 46 до их совпадения. Тогда угол 6 станет равным нулю, параллелограммы выродятся в отрезки прямой и геометрические суммы сил и сумма моментов превратятся в сложение векторов, направленных по прямой, т. е. в алгебраическое сложение.
Поэтому, чтобы сложить пары сил, расположенные в одной плоскости ,достаточно алгебраически сложить их моменты:
М = М2 + М3 + .+ Мп^ М k. где 左=1, 2 3, (25‘)
Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех пар системы: -
2Л1й = 0. (26‘)
Задача № 13 (4.16, 128 М). Шлюпка (рис, 47, а) висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 960 к「，распределяется между ними поровну. Шлюпбалка АВС нижним полушаровым концом опирается на подпятник А и на высоте 1,8 м над ним свободно проходит через подшипник 8; вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить давление ее иа опоры А и В.
Решение, Требуется определить давление на опоры, но мы будем определять реакции в опорах и рассмотрим для этого равновесие шлюпбалки. Какие же силы действуют на шлюпбалку? На одну шлюпбалку приходится половина веса шлюпки (480 "). Эта сила приложена н точке С (рис. 47, 6) и направлена вертикально вниз.
В точках 4 и В на шлюпбалку наложены связи, и в этих точках приложены
по вертикали, следовательно, реакцияпо вертикали, следовательно, реакцияреакции связей, равные и противоположные давлениям на опоры. ' Подшипник В допускает перемещение
по вертикали, следовательно, реакция
по вертикали, следовательно, реакция
связи, направленная, как известно, перпендикулярно виртуальным перемещениям, горизонтальна. Очевидно, она направлена влево, так как шлюпбалка давит иа подшипник вправо.
Направление реакции в шарнире обычно бывает неизвестным, поэтому реакцию в подшипнике разложим на две составляющие X/ и Уд, направленные, как показано на чертеже.
Мы видим, что система сил, приложенных к шлюпбалке, представляет собой две пары сил. Для равновесия такой системы необходимо и достаточно выполнение условия (26)
工財=0; 足歹 1,8 — 480・2,4 = 0.
Заметим, что момент пары (R& X』)положителен, так как эта пара стремится повернуть шлюпбалку против часовой стрелки, а момент (0,5G, У<) отрицателен, потому что под действием этой пары шлюпбалка стремится повернуться по ходу
часовой стрелки. Из написанного уравнения находим 电=640 кГ. Векторы сил пары равны и противоположны, следовательно, реакция X工= 640 кГ и направлена вправо, реакция У/= 480 кГ и направлена вверх, а давления направлены в обратные стороны.
Ответ. Х/ = — 6,4 汇咒，У^ = — 4,8 长咒， Хд = + 6,4 кн.
Задача № 14 (8.4, 245 М). К окружности трех дисков: Д — радиуса 15 см (рис. 48, а), 8 — радиуса 10 см и С —радиуса 5 см приложены пары сил; величины
снн, составляющих пары, соответственно равны 10 кГ, 20 кГ и Р. Оси СМ, °8 и ОС лежат в одной плоскости. Угол ДОВ — прямой. Определить величину сплел Р и угол ВОС = а так, чтобы система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.
Решение. Рассмотрим равновесие твердого тела, представляющего собой три пересекающиеся оси 04, ОВ и ОС, на которые жестко насажены диски. К окруж- ностям дисков приложены три пары, две из которых известны, у третьей известно Только плечо. Представим моменты этих пар в виде векторов (рис. 48, 6), направленных перпендикулярно плоскостям дисков и численно равных: М± = 1Б0 н-см, 何2 = 200 н-см и 財з = 5/\ По условию равновесия (26) геометрическая сумма Моментов пар должна равняться нулю, следовательно, треугольник моментов дол- *ен быть замкнут. Отсюда следует, что оси ОА, ОВ и ОС лежат в одной пло- скостн. Решая треугольник, легко получаем ответ.
Ответ. Р = 50 н, a=arctg(—0,75) = 143°10'・
Всякая сила, приложенная к твердому телу, эквивалентна такой же силе, но приложенной в другой точке тела, и паре сил с моментом, равным моменту первой силы относительно точки приложения второйВсякая сила, приложенная к твердому телу, эквивалентна такой же силе, но приложенной в другой точке тела, и паре сил с моментом, равным моменту первой силы относительно точки приложения второйРис. 49Рис. 49
Всякая сила, приложенная к твердому телу, эквивалентна такой же силе, но приложенной в другой точке тела, и паре сил с моментом, равным моменту первой силы относительно точки приложения второй
Всякая сила, приложенная к твердому телу, эквивалентна такой же силе, но приложенной в другой точке тела, и паре сил с моментом, равным моменту первой силы относительно точки приложения второй
Рис. 49
Рис. 49
§ 11. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОЙ ТОЧКЕ
Метод Пуансо. Согласно теореме, доказанной в § 3, действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу перенести в какую-либо другую точку тела, лежащую на линии действия этой силы.
Докажем, что действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу пе
ренести в точку тела, не лежащую на линии действия данной силы, но при этом одновременно добавить пару сил с моментом, равным моменту данной силы относительно той точки, в которую мы эту силу перенесли 1.
Пусть дана сила F, приложенная в точке Л к твердому телу. Возьмем на теле произвольную точку О, не лежащую на линии дей-
Рис. 50Рис. 50
Рис. 50
Рис. 50
Кетелу в точке О систему двухКетелу в точке О систему двухствия силы F (рис. 49, d). Приложим
Кетелу в точке О систему двух
Кетелу в точке О систему двух
взаимно уравновешенных сил, из которых /\ равна данной силе 尸， а 尸纟'равна ей по модулю, но противоположна по направлению (рис. 49, б). Система сил F, /\ и 尸？ эквивалентна силе F, так как получена путем присоединения к этой
силе взаимно уравновешенных сил. Но силы 尸 и 尸？ представляют собой пару сил, а потому всю систему можно рассматривать как силу 尸° геометрически равную данной силе F, но приложенную в точке О, и пару сил (F F2). Момент этой пары равен моменту данной силы относительно точки О. Пару мы можем поворачивать (рис. 49,8), переносить в другое место
или заменить эквивалентной парой, а сила F^ равная данной силе останется приложенной в точке О.
1 Теорема и метод приведения силы к точке принадлежат Пуансо (1804 г.).
Такое перенесение силы является формальным, но может соответствовать физической сущности явления. Пусть, например, сила F, приложенная в точке 力，действует на металлический брусок, заделанный в каменную стену (рис. 50). Перенеся силу в точку О с добавлением пары сил, мы можем рассматривать ее как силу, приложенную в точке О и изгибающую брусок, а пару (FF^ — как скручивающую его. На этом примере мы видим, что сила 尸 по своему действию эквивалентна силе Fx вместе с парой (FF2).
Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна главному вектору, приложенному в произвольной точке тела, и главному моменту относительно этой точкиведения и, следуя методуСистема сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна главному вектору, приложенному в произвольной точке тела, и главному моменту относительно этой точкиведения и, следуя методуПриведение системы сил к точке. Пусть к твердому телу приложена произвольная система сил, т. е. такая система, на силы которой, на точки их приложения и на линии действия не наложено никаких ограничений. Какую-либо из точек тела, безразлично которую, назовем центром при- Пуансо, приведем к этой точке каждую из
Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна главному вектору, приложенному в произвольной точке тела, и главному моменту относительно этой точки
ведения и, следуя методу
Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна главному вектору, приложенному в произвольной точке тела, и главному моменту относительно этой точки
ведения и, следуя методу
сил системы.
Тогда получим в центре приведения пучок сил (каждая из ко
торых по величине и направлению равна одной из сил заданной системы) и систему пар. Момент каждой из этих пар равен моменту одной из сил заданной системы относительно центра приведения.
Главным вектором системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов всех силсистемы:Главным вектором системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов всех силсистемы:Складывая все силы пучка, мы заменим их одним вектором, приложенным в выбранном нами центре приведения и равным сумме векторов всех сил, перенесенных в эту точку. Его называют главным вектором системы сил:
Главным вектором системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов всех силсистемы:
Главным вектором системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов всех силсистемы:
(27)(27)%л = 2Fkl где /г — 1, 2, .. ., л.
(27)
(27)
При перенесении сил системы к центру приведения мы не меняли ни величин, ни направлений этих сил, поэтому главный вектор си
стемы сил не зависит от того, какую точку тела мы приняли за центр приведения. Главный вектор является инвариантом (неизмен
ной величиной) данной системы сил.
Главным моментом системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов моментоввсех сил системы относитель-но данной точкиГлавным моментом системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов моментоввсех сил системы относитель-но данной точкиЧтобы сложить пары сил, получившиеся при приведении по методу Пуансо всех сил системы к выбранному нами центру, достаточно геометрически сложить их моменты. Но моменты этих пар равны мо
Главным моментом системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов моментоввсех сил системы относитель-но данной точки
Главным моментом системысил называют вектор, рав-ный сумме векторов моментоввсех сил системы относитель-но данной точки
ментам соответствующи х сил заданной системы относительно центра приведения. Поэтому, чтобы сложить эти
пары, достаточно взять сумму моментов всех сил системы относительно центра приведения. Мы обозначим эту сумму через МГД. о и назовем главным моментом системы сил относительно центра О, или, коротко, главным моментом:
(28)(28)Мгл. о = ЕМ^о, где h = 1, 2, ...} м.
(28)
(28)
В отличие от главного вектора главный момент системы сил не является инвариантом и зависит от выбранного нами центра приведения. Меняя центр приведения, мы изменили бы и моменты сил системы относительно этого центра, отчего изменился бы и главный момент.
Итак, всякая система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе, называемой главным вектором, равной геометрической сумме всех сил системы и приложенной в любой точке тела (в центре приведения), и одной паре, момент которой называют главным моментом и который равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки. Такое преобразование системы сил, не изменяя действия ее на твердое тело, значительно упрощает ее изучение.
ГЛАВА V
СИСТЕМА СИЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Плоской системой сил назы-вают совокупность сил, рас-положенных в одной плос-костиПлоской системой сил назы-вают совокупность сил, рас-положенных в одной плос-кости§ 12. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Плоской системой сил назы-вают совокупность сил, рас-положенных в одной плос-кости
Плоской системой сил назы-вают совокупность сил, рас-положенных в одной плос-кости
Приведение плоской системы сил к точке. Для изучения плоской системы сил, т. е. совокупности сил, приложенных к твердому телу и расположенных в одной
плоскости, приведем все силы к центру приведения, выбрав его где-либо в той же плоскости. Тогда мы получим в центре приведения плоский пучок сил, геометрически сложив которые, мы найдем главный вектор системы. Кроме того, при
приведении всех сил к точке мы получим пары, расположенные в одной плоскости. Как уже было сказано, в плоской системе моменты сил относительно точки и моменты пар направлены перпендикулярно к плоскости системы в ту или другую сторону. Эти моменты вполне характеризуются величиной и знаком, а потому для вычисления главного момента плоской системы относительно центра приведения, лежащего в плоскости системы, нужно взять алгебраическую сумму моментов всех сил системы относительно центра приведения. Следо
(27)(29)(27)(29)вательно, система сил, произвольно расположенных на плоскости, эквивалентна главному вектору, равному геометрической сумме всех сил и приложенному к твердому телу в любой точке этой плоскости, и главному моменту, равному алгебраической сумме моментов всех сил относительно той же точки:
(27)
(29)
(27)
(29)
Мгл. О ~ £ М^О・
Величину главного вектора удобно вычислить по его проекциям на координатные оси, равным суммам проекций на эти оси всех сил плоской системы:
尸гл= +H(£XJ + Cyj「где А=1, 2, .... п. (5)
Направление главного вектора можно определить по направляющим косинусам (6)
Если за центр приведения принято начало координат, то, выражая момент каждой силы плоской системы по (16) и суммируя, получим следующее выражение для главного момента плоской системы сил относительно начала координат:
Мм 0 = 2(/%—%х&), где /г = 1, 2, ..., п (29')
Задача № 15. К твердому телу в точке 4 (/ =十10,乡=十4)приложена сила 尸1 = 3, направленная вниз по вертикали; сила % = 4 направлена по оси Ох в положительную сторону и приложена к тому же телу. Длины выражены в метрах и силы — в ньютонах. Направление осей координат обычное (Ох горизонтально вправо, Оу вертикально вверх). Привести обе силы к началу координат и заменить данную систему сил главным вектором и главным моментом (см. рис. 52).
Ответ. Главный вектор лен вправо и вниз под углом равен —30 н-м.Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующейОтвет. Главный вектор лен вправо и вниз под углом равен —30 н-м.Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующейРис. 51Рис. 51
Ответ. Главный вектор лен вправо и вниз под углом равен —30 н-м.
Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей
Ответ. Главный вектор лен вправо и вниз под углом равен —30 н-м.
Если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей
Рис. 51
Рис. 51
Решение, Определив сумму проекций данных сил на оси координат, величину главного вектора вычислим по формуле (5), а его направление — по (6): Ггл~5;
43
cos а---=-~0,800; cos р —7H—0,600. Главный момент относительно начала
координат вычислим по формуле (29') или (29):財「л.。= —30.
равен 5 м, приложен в начале координат и направ- Зб°52' к оси Ох и 126°52‘ к оси Оу, главный момент
Случай приведения к равнодействующей.
Величину и направление главного вектора произвольной системы сил определяют по формулам, аналогичным тем, по которым определяют равнодействующую системы
сходящихся сил. Между тем главный вектор произвольной системы сил
не я&ляется равнодействующей этой системы. В самом деле, равнодействующей называют силу, которая одна эквивалентна системе сил, а главный вектор сам по себе не эквивалентен данной системе сил,
но эквивалентен ей только в совокупности с главным моментом.
Главный вектор может быть равнодействующей плоской системы сил лишь в случае, если главный момент системы относительно центра приведения равен нулю. Тогда главный вектор один, без главного момента, эквивалентен данной системе сил.
Следовательно: если главный вектор не равен нулю, а главный момент относительно центра приведения равен нулю, то система приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения.
Если же главный момент не равен нулю, то мы можем представить его в виде пары сил, которые мы выберем равными главному вектору, а плечо h——равным отношению величин главного момента и главного вектора (рис. 51, а):
(30)
广гл
Действие пары на тело не зависит от положения этой пары в ее плоскости, и мы вправе расположить ее так, чтобы одна из сил этой пары была направлена по линии действия главного вектора в сторону, ему противоположную (рис. 51,6). Тогда, отбрасывая эту силу
вместе с главным вектором, как взаимно уравновешенные, мы получим
только одну силу (рис. 51,6), эквивалентную данной системе; эта
сила является равнодействующей данной системы. Мы видим, что равнодействующая по модулю равна главному вектору, параллельна ему по направлению, но отличается от него линией действия.
Следовательно: если главный вектор иглавный момент плоской системы сил не равны нулю, то
система приводится к равнодейст
вующей, линия действия которой не проходит через центр приведения.
Учитывая, что главный вектор Ггл по величине и направлению
равен равнодействующей R (рис. 51), а также учитывая (29), можно равенство (30) переписать так:
(18)(18)Rh = ^MkOi где /г = 1, 2, ..п.
(18)
(18)
Мы получили теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно какой-либо точки, лежащей в этой плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же точки.
Задача № 16. Найти равнодействующую системы сил, заданных в условии задачи № 15.
Решение. При решении задачи № 15 данная система приведена к главному вектору 5 凡 и главному моменту ——30 н-м. Представим этот главный момент в виде пары, силы которой по модулю равны главному вектору, а плечо равно отиоше- нию величии главного момента и главного вектора, т. е. F = 5 и h^-^- =6. Мо
мент пары отрицательный ——вращение по стрелке часов. Расположим пару так (рис. 52), чтобы одна из ее сил уравновесила главный вектор. Система приведена к одной силе, равной и параллельной главному вектору, но линия действия этой силы отстоит от начала координат на 6 м. Нетрудно из (29') получить уравнение линии действия равнодействующей, т. е. —%3 ——у4 ———30.
К тому же результату можно прийти (и в данном случае проще), если заданные силы 尸 1 и 户2 перенести в точку 8 пересечения их линий действия и там
сложить.
Ответ. Равнодействующая равна 5 咒 н лежит на прямой 3% + 4у = 30.
Если главный вектор системысил равен нулю, а главныймомент нулю не равен, тосистема приводится к паресилЕсли главный вектор системысил равен нулю, а главныймомент нулю не равен, тосистема приводится к паресилто, следовательно, нетто, следовательно, нетСлучай приведения к паре. Исследуем случай, когда главный вектор системы равен нулю, но главный момент системы относительно центра приведения нулю не равен. Если главный вектор системы равен нулю, и равнодействующей. Главный момент мы
Если главный вектор системысил равен нулю, а главныймомент нулю не равен, тосистема приводится к паресил
Если главный вектор системысил равен нулю, а главныймомент нулю не равен, тосистема приводится к паресил
то, следовательно, нет
то, следовательно, нет
всегда можем представить в виде пары. Следовательно, если главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, то система
приводится к паре сил.
Заметим, что главный момент не зависит от центра приведения в том случае, когда главный вектор системы равен нулю. В самом деле, если система сил эквивалентна паре сил с моментом, равным
главному моменту системы, а момент пары, как известно (см. § 10), не зависит от центра моментов, то, следовательно, и главный момент (в этом случае) не зависит от центра приведения. Это ясно и из логических соображений: правильно (без ошибок) полученный результат приведения системы сил зависит только от данной системы, но не может зависеть от нашего подсчета. Он существует объективно, независимо от нас. Если система сил эквивалентна паре, то ясно, что, какую бы точку мы ни принимали за центр приведения, мы всякий раз должны получать одну и ту же пару и один и тот же главный момент.
Задача № 17. В точках Д, В и С к твердому телу приложены силы 尸再，Fq и Fc. В некотором масштабе (например, 1 咒=1 см) эти силы изображаются направленными отрезками:尸再=48, Fs = BCt fc =CA (рис. 53, а). Исследовать сис
тему сил.
Решение. Выбрав за центр приведения какую-либо точку, например точку О, и перенеся по методу Пуансо в эту точку все силы, убедимся, что силовой мно-
Рис. 53Рис. 53
Рис. 53
Рис. 53
гоугольник замкнут, а следовательно, главный вектор равен нулю. Главным момент системы относительно точки О равен алгебраической сумме моментов трех сил, изображаемых удвоенными площадями треугольников (рис. 53,6):
Л4ГЛ1 о = +2 пл. ДЛВО + 2 пл. △8С0 —2 пл. △。40 =十2 пл. △ АВС.
Независимо от центра приведения О главный момент системы равен удвоенной площади треугольника АВС, т. е. система сил эквивалентна паре.
К такому же результату мы придем путем следующих рассуждений. Главный вектор системы (а следовательно, и равнодействующая) равен нулю, так как силовой многоугольник замкнут. Вместе с тем система данных трех сил не может находиться в равновесии, так как не удовлетворено необходимое условие равновесия трех сил: линии их действия не пересекаются в одной точке. Перенеся силу Fb (рис. 53,8) по ее линии действия в точку С и сложив ее с силой 及,получим равнодействующую этих двух сил, равную и противоположную третьей силе Рд и составляющую вместе с ней пару сил.、
ответ, данная системаЕсли главный вектор и глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесииответ, данная системаЕсли главный вектор и глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесиисггрех сил эквивалентна паре сил.，
ответ, данная система
Если главный вектор и глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесии
ответ, данная система
Если главный вектор и глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесии
Случай равновесия. Если дана система сил и, приведя ее к какому-либо центру, мы убеждаемся, что и главный вектор и главный момент системы равны нулю, то наличие этой системы эквивалентно ее отсутствию, т. е. система находится в равновесии.
Справедливо и обратное заключение: если данная система сил
находится в равновесии, то главный вектор системы и главный момент системы относительно центра приведения равняются нулю. Следовательно, условия
£'л =。，〃гл. о = о (31) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия плоской системы сил. И в этом случае главный момент не зависит от центра приведения. В самом деле, если система сил находится в равновесии, то равновесие не может нарушиться от того, выберем ли мы за центр приведения ту или иную точку плоскости.
Все возможные частные случаи приведения плоской системы сил к данной точке представлены в следующей таблице:
F
‘ гл
步。
/0
=0
=0
М гл
=0
/0
=0
Равнодействующая не проходит 1 проходит через центр приведения
Пара сил
Равновесие
Таблица систематизирует возможные случаи приведения плоской системы сил и не нуждается в пояснениях.
§ 13. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Для равновесия плоской сис-темы сил необходимо и до-статочно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат и суммамоментов всех сил относи-тельно какой-либо точкиплоскости，х = 0；2y=0； 2Mo=0новесия плоского пучка изменений, мы получим следующем виде:Для равновесия плоской сис-темы сил необходимо и до-статочно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат и суммамоментов всех сил относи-тельно какой-либо точкиплоскости，х = 0；2y=0； 2Mo=0новесия плоского пучка изменений, мы получим следующем виде:Первая форма уравнений равновесия.
Для равновесия плоской сис-темы сил необходимо и до-статочно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат и суммамоментов всех сил относи-тельно какой-либо точкиплоскости，х = 0；
2y=0； 2Mo=0
новесия плоского пучка изменений, мы получим следующем виде:
Для равновесия плоской сис-темы сил необходимо и до-статочно, чтобы равнялисьнулю суммы проекций всехсил на оси координат и суммамоментов всех сил относи-тельно какой-либо точкиплоскости，х = 0；
2y=0； 2Mo=0
новесия плоского пучка изменений, мы получим следующем виде:
Условия равновесия (31) плоской системы сил можно переписать так:
У声=0;о = 0・(32)
Первое из этих равенств является геометрическим. Мы можем заменить это геометрическое равенство двумя аналитическими, как это было сделано при отыскании аналитической формы условий рав- сил. Оставляя второе из равенств (32) без условия равновесия плоской системы сил в
(33)(33)?Х = 0, > =。， 2m0=0.
(33)
(33)
Таким образом, для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости.
Заметим, что оси координат не обязательно должны быть между собой перпендикулярны, а могут составлять любой отличный от нуля угол, если по условию задачи целесообразно дать им такие направления. Сумму моментов можно взять относительно любой точки плоскости системы сил, поскольку при равновесии системы главный
момент ее не зависит от центра приведения.
Соотношения (33) называют условиями равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости. Если эти соотношения со
держат неизвестные величины, то их называют уравнениями равновесия.
Задача № 18 (№ 4.8, 120М). Однородная балка %8 весом P = 20d опирается на гладкий горизонтальный пол в точке В под углом 60° и, кроме того, поддерживается двумя опорами С и D. Определить реакции опор в точках Bt С и Dt если длина 48 = 3 他色8=0,5,% BD— 1 м (рис. 54).
Решение. Порядок решения задач на равновесие плоской системы сил такой же, как и при решении задач на равновесие плоской системы сходящихся сил,
только в данном случае мы имеем три, а не два уравнения равновесия.
Все искомые и известные силы в этой задаче действуют на балку АВ, поэтому рассмотрим равновесие балки АВ.
На балку действуют одна активная сила (собственный вес) и три реакции в трех точках опоры. Реакции, как всегда, направлены перпендикулярно виртуальным перемещениям. Таким перемещением балки 48, ие нарушающим ее связи с полом, является горизонтальное перемещение, и реакцию Rb мы направим вертикально вверх. Давая балке АВ мысленные малые перемещения, ие нарушающие ее связи с полом, мы не должны беспокоиться о том, чтобы эти перемещения ие нарушили связи в других местах, например в точке С. Аналогично, определяя виртуальные перемещения в точке С, мы не заботимся о том, что при этом нарушается связь в точке В. Перемещениями, не нарушающими связи в точках С и D, являются перемещения вдоль балки (подобно смычку по струне), поэтому реакции в точках С и D
направим перпендикулярно балке.
Строим оси координат. Удачный выбор системы координат может упростить уравнения равновесия. Можно пользоваться и косоугольной системой координат, например, направив одну ось горизонтально, а другую—под углом 60° по ВА. Мы направим оси, как указано на чертеже. Тогда
1^ X = 0; R(j cos 30° — Rq cos 30° = 0;
2y = 0; — Rc sin 30°-J-Rd sin 30°+RB — P = 0.
За центр моментов удобнее принимать точку, в которой пересекаются линии действия неизвестных по величине реакций. Так, в дагтном случае удобно принять точку, в которой пересекаются линии действия реакций R方 и Rc・ В результате такого выбора обе эти реакции ие войдут в уравнение моментов. Чтобы опреде
лить плечо реакции R。, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию действия этой реакции. Нетрудно видеть, что плечо CD = 0,5 期.Чтобы опреде
лить плечо силы тяжести, опустим перпендикуляр из центра моментов на линию действия этой силы. Получим -^- cos 60° = 0,75 м. Реакция R。 относительно
центра моментов направлена против хода часов (момент положителен), а сила тяжести ——по ходу часов (момент отрицателен). Уравнение моментов имеет вид
2M==0; Rd0,5 —Р・0,75 = 0.
Решая совместно все три уравнения равновесна, получаем ответ. Ответ. 7?^= 20 кГt 7<с = 3б кГ, Rq = 30kZ\
Система сил, действующих на балку АВ, состоит из двух пар сил. Рекомендуем решить эту задачу при помощи уравнения (26') равновесия системы пар на плоскости, по примеру задачи № 13.
Вторая форма уравнений равновесия. Не-
Для равновесия плоской системы снл необходимо н достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой:三М/ = 0； 2m日=。；Для равновесия плоской системы снл необходимо н достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой:三М/ = 0； 2m日=。；обходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить не только равенствами (33). К одному из других видов условий равновесия плоской системы сил приводит теорема, обычно называемая теоремой о трех моментах： для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы
Для равновесия плоской системы снл необходимо н достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой:
三М/ = 0； 2m日=。；
Для равновесия плоской системы снл необходимо н достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой:
三М/ = 0； 2m日=。；
моментов всех сил системы относительно
каждой из трех точек, произвольно взятых на плоскости, но не лежащих на одной прямой. Докажем эту теорему.
Пусть дана плоская система сил. Возьмем в плоскости произвольную точку А и определим сумму моментов всех сил относительно этой точки. Если бы сумма моментов не равнялась нулю, то система, конечно, не была бы в равновесии. Если же £財再=0, то система может либо находиться в равновесии, либо быть приведенной к равнодействующей, проходящей через точку А (см. таблицу на стр. 79). Следовательно, написанное условие хотя и необходимо, но не достаточно для равновесия системы. Возьмем в той же плоскости другую произвольную точку В и определим сумму моментов всех сил системы относительно точки В. Если ^Ms~0t то это равенство вместе с предыдущим все же не может быть достаточным условием равновесия системы, поскольку равнодействующая системы (если она существует) может проходить через обе эти точки, тогда моменты равнодействующей относительно каждой из этих точек, а следовательно, и суммы моментов составляющих (теорема Вариньона)
равны нулю, но система не в равновесии, а приводится к равнодействующей, проходящей через точки А и В.
ООО一一 一一=ДасМММ2X2ООО一一 一一=ДасМММ2X23434Возьмем сумму моментов всех сил относительно третьей точки, выбрав эту точку С где-либо не на прямой АВ. Если сумма моментов всех сил системы относительно точки С равна нулю, то система находится в равновесии, так как равнодействующая не может проходить через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Следовательно, три равенства
ООО一一 一一=ДасМММ2X2
ООО一一 一一=ДасМММ2X2
34
34
выражают, так же как и равенства (33), необходимые и достаточные условия равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости.
Если равенства (34) являются уравнениями равновесия, т. е. содержат неизвестные величины, которые нужно определить, то соответствующим выбором центров моментов Д, В и С можно со-
ставить уравнения так, неизвестную величину,ставить уравнения так, неизвестную величину,чтобы каждое из них содержало только одну и вместо системы трех уравнений с тремя
ставить уравнения так, неизвестную величину,
ставить уравнения так, неизвестную величину,
о н к о в ио н к о в иА. П.А. П.неизвестными получить три уравнения, каждое из которых содержит только по одной неизвестной.
о н к о в и
о н к о в и
А. П.
А. П.
Однородный стер-Однородный стер-Задача № 19 (№ 138. Н. Н. Бухгольц, И. М. Вор Минаков. Сборник задач по теоретической механике, 1938).
Однородный стер-
Однородный стер-
жень длиной 2/ и весом Р прикреплен в точке 8 при помощи шарнира к стене (рис. 55), а в точке D опирается на угол другой стены. Найти все реакции, если известно, что точка D отстоит от первой стены на расстоянии а и находится на высоте b лад шарниром В* Решение, Равновесие какого тела надо рассматривать? Ответ на этот вопрос в данной задаче очевиден: равновесие стержня. Какие силы действуют на это тело? На него действуют вес Р, приложенный в середине стержня; реакция Rq в точке D, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению, т. е. перпендикулярно стержню； реакция в шарнире 8, которую мы раскладываем на две составляющие Л н У& поскольку направление реакции в шарнире обычно бывает неизвестно, хотя в данном случае это направление можно было бы определить по необходимому условию равновесия трех непараллельных сил (см. § 3). Теперь составляем уравнения равновесия, для чего воспользуемся равенствами (34). За центры моментов выберем точки пересечения линий действия искомых сил. Эти точки обычно называют точками Риттера. Уравнения равновесия принимают вид:
£財日=0； RqP/cosa = 0;
Jcos a
УЛ4Л = О; Ла——Pl cosa = 0; Jcos cc sin cc
Jcos2a 1'cos2 a丿
Остается решить эти уравнения, содержащие по одной неизвестной.
М
У^=Р 1У^=Р 1®2+ 乃 2
У^=Р 1
У^=Р 1
◎十Ь2)2 .
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через этн две точки:2х = 0Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через этн две точки:2х = 0Третья форма уравнений равновесия. Если две из неизвестных сил параллельны друг другу и точка пересечения их, следовательно, уходит в бесконечность, то для решения задачи удобно воспользоваться третьим видом уравнений равновесия. Пусть суммы моментов плоской системы сил относительно произвольно выбранных точек А и В равняются нулю:
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через этн две точки:
2х = 0
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через этн две точки:
2х = 0
£m再=0, ?恤=0.
В илиВ илитаком случае, как только что было показано, система сил находится в равновесии, или приводится к равнодействую-
В или
В или
Рис. 56Рис. 56щей, проходящей через точки Л и В. Спроецируем все силы на какую-либо ось, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки А и В. Если система сил приводится к равнодействующей, лежащей на прямой 48, то сумма проекций всех сил на выбранную нами ось должна равняться модулю этой равнодействующей, помноженному на косинус угла между осью и прямой АВ. Если же система находится в равновесии, то сумма проекций всех сил равняется нулю. Обратно, если сумма проекций всех сил на эту ось равна нулю, то, следовательно, равна нулю равнодействующая, т. е. эта система находится в равновесии.
Рис. 56
Рис. 56
сил системы насил системы наТаким образом, для равновесия системы сил, расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил системы относительно двух произвольно выбранных точек плоскости и сумма проекций вс
сил системы на
сил системы на
какую-либо ось Ох, не перпендикулярную к прямой, проходящей через выбранные центры моментов:
》Мв = 0，卜(35)
2X=0.丿
Задача № 20 (№ 40. Б. С. Зернов. Сборник задач по теоретической механике. Часть первая. Госиздат, 1931). Между двумя вертикальными стенами, находящимися на расстоянии а друг от друга (рис, 56), помещен стержень весом Р и длиной 2/, который может вращаться вокруг шарнира 4, прикрепляющего конец его к одной из стен. Найти реакции опор.
Решение. 1. Равновесие какого тела надо рассмотреть? Равновесие стержня.
Какие силы на это тело действуют? Вес Р; реакция в точке D, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению стержня (стержень, не нарушая связи, можно перемещать вдоль стены, поэтому реакция R。направлена перпендикулярно стене DC); реакция в шарнире %, которую мы разложим на и у А-
Составим уравнения равновесия в третьей форме, выбрав за центры моментов точки Л и В, в которых пересекаются линии действия искомых реакник Точка пересечения Rq и Хл находится в бесконечности, поэтому в качестве третьего уравнения возьмем сумму проекций всех сил на какую-либо ось, лишь бы эта ось ие была перпендикулярна к АВ. Имеем
一也』=。； R02/sina — Pl cos a~0;
2 Мв — 0\ Хд 2/ sin a—P/cosa = 0;
£y=o；Y д — P — 0.
Определив из чертежа sin a и cos a и решая эти уравнения, содержащие по одной неизвестной, найдем ответ.
Ответ.
口 Р J16/2— 3d^Л== T ? 飞0 一02 ，
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на какую- либо ось, не перпендикулярную линиям действия сил, и сумма моментов относительно какой-либо точки:£х = о； £Мс = оДля равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на какую- либо ось, не перпендикулярную линиям действия сил, и сумма моментов относительно какой-либо точки:£х = о； £Мс = ои главный вектор равени главный вектор равенУсловия равновесия плоской системы параллельных сил. Если все силы системы параллельны друг другу, то одно из трех уравнений становится • следствием двух Других.
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на какую- либо ось, не перпендикулярную линиям действия сил, и сумма моментов относительно какой-либо точки:
£х = о； £Мс = о
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на какую- либо ось, не перпендикулярную линиям действия сил, и сумма моментов относительно какой-либо точки:
£х = о； £Мс = о
и главный вектор равен
и главный вектор равен
В самом' деле, в этом случае линия действия главного вектора (если он не равен нулю) параллельна линиям действия всех сил и для его определения достаточно взять сумму проекций всех сил на ось, параллельную их лилиям действия. Если сумма проекций всех сил равна нулю, то нулю. Если же, кроме того, равен нулю
и главный момент, то система находится в равновесии. Справедливо и обратное заключение: если система параллельных сил, расположенных на плоскости, находится в равновесии, то равняются нулю сумма проекций сил на любую ось и сумма моментов сил относительной любой точки плоскости:
(36)(36)RX =0,[
(36)
(36)
Ось Ох может быть и яе параллельной линиям действия сил,
а составлять с нимиа составлять с нимикакой-либо угол, кроме прямого. ~
а составлять с ними
а составлять с ними
Пусть дана система сил, расположенных
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммыДля равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммымоментов всех снл относительно двух точек плоскости, не лежащих на прямой, параллельной линиям действия снл:E心=0； емв=。моментов всех снл относительно двух точек плоскости, не лежащих на прямой, параллельной линиям действия снл:E心=0； емв=。в одной плоскости и параллельных друг другу. Возьмем на этой плоскости произвольную точку 4 Если 三m再=0, Tо система может либо находиться в равно-
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы
моментов всех снл относительно двух точек плоскости, не лежащих на прямой, параллельной линиям действия снл:
E心=0； емв=。
моментов всех снл относительно двух точек плоскости, не лежащих на прямой, параллельной линиям действия снл:
E心=0； емв=。
весии, либо быть приведенной к равнодействующей, проходящей через точку А параллельно линиям действия составляющих сил. Возьмем сумму моментов всех сил относительно какой-либо точки В, выбрав эту точку так, чтобы прямая АВ не была параллельна силам системы. Если
сумма моментов относительно этой точки равна нулю, то система находится в равновесии, потому что равнодействующая не может проходить через точки Айв, так как должна быть параллельной силам системы. Поэтому равенства
(37)(37)g Мл = 0, I
(37)
(37)
являются необходимыми и достаточными условиями равновесия плоской системы параллельных сил.
Задача № 21 (№ 3. 16, 90 М). На двухконсольную горизонтальную балку
действует пара сил (РР), из левую консоль — равномерно распределенная нагрузка интенсивности р, а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если Р=1Т, Q = 27\ р^=2Т/м, а = 0,8м (рис. 57).
Решение. Иногда (как в данной задаче), кроме сил, действующих на тело, имеется пара, заданная моментом. Силы пары равны и противоположны, поэтому пара сил не входит в уравнения проекций, но входит в уравнения моментов.
Рассмотрим равновесие балки CD. На балку действуют: 1) пара сил (РР) с моментом 十Р・а = = 0,8 九阳 2) вертикальная сосредоточенная нагрузка Q = 2T, приложенная в точке D; 3) равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем одной вертикальной силой (равнодействующей) р・а=1,6 7\ приложенной в середине СЛ;
4 M4 Mвертикальными, следовательно, и реакция вертикальна.Для решения задачи составим уравнение равновесия в "форме (36):2y = 0; -1,6+R4 + Rb-2 = 0.Пара снл в это уравнение не входит, но обязательно должна нрйти в уравнение моментов:вертикальными, следовательно, и реакция вертикальна.Для решения задачи составим уравнение равновесия в "форме (36):2y = 0; -1,6+R4 + Rb-2 = 0.Пара снл в это уравнение не входит, но обязательно должна нрйти в уравнение моментов:4) реакция Rr в подвижной опоре В, направленная перпендикулярно виртуаль-» ным перемещениям, т. е. вертикально; 5) реакция RA в неподвижном шарнире А. Направление реакции в неподвижном шарнире, вообще говоря, неизвестно. Если повернем пару, изображенную на чертеже, на 90°, отчего, как известно, действие пары на балку не изменится, то все силы, действующие на балку, станут
4 M
4 M
вертикальными, следовательно, и реакция вертикальна.
Для решения задачи составим уравнение равновесия в "форме (36):
2y = 0; -1,6+R4 + Rb-2 = 0.
Пара снл в это уравнение не входит, но обязательно должна нрйти в уравнение моментов:
вертикальными, следовательно, и реакция вертикальна.
Для решения задачи составим уравнение равновесия в "форме (36):
2y = 0; -1,6+R4 + Rb-2 = 0.
Пара снл в это уравнение не входит, но обязательно должна нрйти в уравнение моментов:
X 財力=°；十 1,6• 0,4十 PQ^ 1,6 —
-2・2,4+0,8 = 0.
Решая совместно два этих уравнения, получим ответ.
Можно воспользоваться также и уравнениями (37). Тогда вместо уравнения проекций надо составить второе уравнение моментов:
2 Af 5 — 0；十 1,6・2•—R/・l,6 —-2・0,8十0,8 = 0.
Решая первое уравнение, найдем R®,
решая второе, найдем Ra・
Ответ. R再=1,57\ Rr = 2,\ Т*
Задача № 22 (3.35, 109 М). Балка АВ длиной 4 用，весом 200 к「может вращаться
вокруг горизонтальной оси Л и опирается концом В на другую балку CD длиной Зм, весом 160 к「, которая подперта в точ
ке £ и соединена со стеной шарниром D. В точках М н N помещены грузы по 80к「каждый. Расстояния: АМ = 3л/, ED = 2m, ND = 1 м. Определить опорные
реакции (рис. 58, а).
Решение. Балки АВ и CD не являются одним твердым телом, а представляют собой систему сочлененных тел. Рассмотрим отдельно равновесие каждого тела под действием всех приложенных к этому телу сил.
1-й вопрос: равновесие какого тела рассматривать?
Ответ: равновесие балки АВ.
?-й вопрос: какие силы действуют на это тело?
Ответ; на балку АВ действуют (рис. 58, б):
собственный вес балки 200 лГ, приложенный к середине балки н направленный по вертикали вниз;
вес 80кГ груза М, направленный по вертикали вниз;
реакция Rg с。стороны балки CD, поддерживающей балку АВ. Эта реакция приложена к- балке АВ в точке 8 и направлена по вертикали вверх;
реакция R^ в шарнире А, Эта реакция вертикальна, так как балка находится в равновесии, а все остальные действующие на балку силы направлены по вертикали. Нетрудно сообразить, что R再 направлена вверх.
Уравнения равновесия можно составить в форме (36) или в форме (37) по нашему желанию. Составим их в форме (37), приравняв нулю суммы моментов относительно точки А и относительно точки В:
W〃a = 0； —200-2 —80-3-Ь/?д.4 = 0;
£m日=0; 200.2+80.1 —R/.4 = 0.
Решая эти уравнения, находим R^ — 120 кГ, R^— 160 кГ.
Теперь приступаем ко второй части задачи и опять задаем себе тот же вопрос: равновесие какого тела рассматривать? На этот раз рассмотрим равновесие балки CD. Какие силы на нее действуют? На нее действуют (рис. 58, в):
собственный вес балки 160 кГ、приложенный в середине балки;
вес 80 кГ груза ^, приложенный между опорами Е н D;
давление балки АВ, приложенное к балке CD в точке С, направленное по вертикали вниз и (по закону равенства действия и противодействия) равное реакции R^, а следовательно, равное 160 кГ;
реакция RE, приложенная в точке Е и направленная вверх;
реакция R°. Эта реакция должна быть вертикальной, так как вертикальны все остальные действующие на балку силы, а балка находится в равновесии. Однако трудно сказать (без предварительных вычислений), направлена ли эта реакция вверх или вниз. При составлении уравнений равновесия примем условно, что Rq направлена вверх, но если в результате решения уравнений мы получим отрицательную величину реакции Rq, то это будет означать, что мы реакцию направили неверно, и тогда изменим ее направление на обратное. При правильном направлении сил значения их из уравнений равновесия должны всегда получаться положительными.
Возьмем сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно точки D:
» = 0； —160 —80—160+R?+Rq = 0;£〃曾=0; 160.1,5 + 80*1 —/?£.2+160-3-0.
Решая эти уравнения, находим ответ.
От в ет. R再=120 кГt Rb= 160 紹，R^— 400 кГ, Rq = 0.
Статически определенной задачей называют задачу о равновесии, в которой число неизвестных равно числу уравнений равновесияСтатически определенной задачей называют задачу о равновесии, в которой число неизвестных равно числу уравнений равновесияИтак, имеется только два уравнения равновесия системы параллельных сил, расположенных в одной плоскости, вместо трех уравнений равновесия системы сил,
Статически определенной задачей называют задачу о равновесии, в которой число неизвестных равно числу уравнений равновесия
Статически определенной задачей называют задачу о равновесии, в которой число неизвестных равно числу уравнений равновесия
расположенных на плоскости произвольно.
Равновесие плоского пучка сил определяется двумя уравнениями, если же силы пучка не лежат в одной
плоскости, то появляется третье уравнение равновесия, как это показано в гл. III.
В системе уравнений число неизвестных не дол^кно превышать числа уравнений, иначе система уравнений не имеет однозначных решений.
Статически определенными задачами называют задачи о равновесии твердого тела, в которых число неизвестных равно числу урав-
нений равновесия. В противном случае задачи не могут быть решены
методами статики и являются статически неопределенными.
Равновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесииРавновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесииРавновесие системы сил. Часто встречается необходимость в статическом расчете системы тел, так или иначе соединенных («сочлененных») между собой.
Равновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесии
Равновесием системы тел называют такое состояние, при котором каждое из тел находится в равновесии
Силы, действующие на тела такой си
стемы, можно подразделить на две категории: внешние——силы, приложенные к телам данной системы, но обусловленные наличием других тел, не входящих в эту систему, и внутренние——силы взаимодействия между телами одной и той же системы.. Такое подразделение относится как к активным силам, так и к реакциям связей L
Если система находится в равновесии, то в равновесии находится каждое тело, входящее в состав этой системы. Мы можем рассматривать каждое тело отдельно от других тел системы и составить уравнения равновесия всех сил, приложенных к этому телу, не исключая и сил, обусловленных действием на это тело соседних тел системы, т. е. внутренних сил системы, приложенных к этому телу. Так было сделано, например, при решении задачи № 22 о равновесии двух балок.
Вместе с тем, пользуясь аксиомой затвердения, мы можем всю систему рассматривать как одно абсолютно твердое тело и составить уравнения равновесия всех внешних сил системы. Внутренние же силы в эти уравнения равновесия всей системы не входят, так как они взаимно уравновешиваются по принципу равенства действия и противодействия, поскольку взаимодействия каждых двух тел «затвердевшей» системы оказываются приложенными к частям одного абсолютно твердого тела.
Задача №23 (№ 13. В. М. Старжински й. Теоретическая механика, изд. ВЗИТЛП, 1964—1965). На невесомую трехшарнирную арку АВС (рис. 59, а)Задача №23 (№ 13. В. М. Старжински й. Теоретическая механика, изд. ВЗИТЛП, 1964—1965). На невесомую трехшарнирную арку АВС (рис. 59, а)
Задача №23 (№ 13. В. М. Старжински й. Теоретическая механика, изд. ВЗИТЛП, 1964—1965). На невесомую трехшарнирную арку АВС (рис. 59, а)
Задача №23 (№ 13. В. М. Старжински й. Теоретическая механика, изд. ВЗИТЛП, 1964—1965). На невесомую трехшарнирную арку АВС (рис. 59, а)
действует вертикальная сила Р. Определить реакции шарниров Л, В и С. Размеры указаны на чертеже.
1 Подробнее об атом см. в динамике: «Классификация сил», стр, 255
Решение. Конструкция состоит из двух полуарок АВ и ВС, сочлененных шарниром В. Собственным весом полуарок пренебрегаем, поэтому на арку АВС действуют следующие внешние силы: вертикальная сила Р и реакции в шарнирах Л и С.
Между полуарками имеется взаимодействие в точке В их сочленения. Одна нз этих внутренних сил системы приложена к полуарке АВ, другая равна ей по величине, обратна по направлению, но приложена к полуарке ВС. Если всю арку рассматривать как твердое тело, то эти две силы учитывать не надо, так как они оказываются приложенными к одному твердому телу и, следовательно, взаимно уравновешивают друг друга. В уравнения равновесия всей арки войдут только внешние силы системы:
£х = о； х』一Хс = о； 2y = 0; Ya+Yc-P^
Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными.Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными.Для смотримДля смотрим£m再=0； уe2/ —Pq = 0.
Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными.
Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными.
Для смотрим
Для смотрим
определения горизонтальной реакции в шарнире С, а также Rr, рас- равновесие всех сил, действующих на полуарку ВС. На эту полуарку действуют (рис. 59, 6): реакции Хс и У^ в шарнире С (внешние реакции системы) и реакция в шарнире В (внутренняя реакция для всей системы, но внешняя для полуарки 8С) со стороны полуарки АВ. Эту реакцию мы тоже разложим по осям координат на Х^ и Yr. Составим уравнения равновесия для полуарки ВС'.
?x = 0; ХТ?-Хe = 0; еУ = 0； -f日十ye=0； УМв = 0; Ус/ —Хс/1 = 0.
Мы получили три уравнения, содержащие четыре неизвестных, но две из этих неизвестных входят также и в предыдущие три уравнения. Всего мы имеем шесть уравнений с шестью неизвестными. Решая уравнения, получим ответ.
Ответ. Х』= —Хс = Х^ = *,
Ра
Жесткая заделка
Задача № 24 (№ 24. С. М. Тар г. Краткий курс теоретической механики. Физматгиз, 1958). Брус, вес которого Р= 100 ", приложен в точке С, жестко заделан в стену, образуя с ней угол а = 60° (рис. 60, а). Внутри угла DAB лежит цилиндр весом Q— 180 кГ, касающийся бруса в точке £, причем /е = 0,3 м и АС — 0,4 м. Определить реакцию заделки.
Решение. Если балка заделана в стену, то на заделанный конец балки действует система распределенных сил (реакций). Приведем их по методу Пуансо к точке А, заменим одной неизвестной реакцией заделки (с проекциями X再 и У再)и одним неизвестным моментом заделки М. Эти три неизвестные определим из уравнений, равновесия сил, действующих па балку.
Чтобы определить реакцию заделки (Х/】，У/ и M)f надо составить три уравнения равновесия сил, действующих на брус, и, решив их, найти три неизвестные величины. Однако среди сил, действующих на брус, имеется еще одна неизвест-
ная (четвертая)—сила давления F цилиндра, приложенная к брусу в точке Е.
Для определения этой силы предварительно рассмотрим равновесие цилиндра (рис. 60, 6), на который действуют вес Q~ 180 кГ, реакция R' стены, направленная горизонтально вправо (перпендикулярно виртуальным перемещениям цилиндра вдоль стены), и реакция R" бруса, направленная влево вверх, перпендикулярно брусу (перпендикулярно виртуальным перемещениям цилиндра по брусу). По принципу равенства действия и противодействия эта реакция R" по величине равна, а по направлению противоположна силе 尸 давления цилиндра на брус.
Из системы сил, действующих на цилиндр, надо определить лишь одну (R"), а потому достаточно одного уравнения равновесия, если составить его так, чтобы в него не входила другая неизвестная (及‘),Таким уравнением может быть уравнение工м = о относительно какой-либо точки, лежащей на линии действия (кроме точки 0), или Цг=о. Сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к цилиндру, имеет вид
2^ = 0； —180+R〃 sin 60。= 0, откуда
=КЗ.
Сила 尸 давления цилиндра на брусок равна 120 丿3, но направлена в противоположную сторону (рис. 60, 6).
Кроме силы F, на брусок действуют его вес Р= 100 кГ и реакция в заделке, которую мы представили проекциями X』и У』，а также моментом М.
Уравнения проекций и моментов всех сил, приложенных к бруску, напишем, приняв за центр моментов точку 4:
£х = 0; Хл+120 Кз cos 60° = 0;
?У = 0；120 КЗ sin 60°—100 = 0;
2 Мл = 0; М —120 К 3-0,3— 100-0,4 sin 60° = 0.
Решая эти уравнения, находим неизвестные величины.
Ответ. Хд = — 103,8 кГ; Уj =十280 к「； Л4 = +96,9 кГ*儿
Знак минус перед реакцией X才 показывает, что направление реакции противоположно принятому на рис. 60, в. Это и очевидно, так как давление цилиндра стремится выдернуть брусок из заделки.
Определение внутренних усилий в стержнях фермы
Задача № 25. Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана (рнс. 61, а) при нагрузке G = 8 Т. Весом стержней пренебречь.
Решение. В задаче требуется определить опорные реакции и внутренние усилия в стержнях фермы. Под фермой понимают жесткое сооружение, состоящее из стержней, соединенных шарнирами.
Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие крана. На кран действуют три внешние силы: 1) вес груза G = 8T; 2) реакция ^2 в опоре О?, направленная вертикально вверх, перпендикулярно виртуальным перемещениям, и 3) реакция R】в шарнире Ог. Реакции в шарнирах мы обычно раскладывали по координатным осям и определяли проекции из уравнений равновесия. Очевидно, что в данном случае проекция R】 на горизонтальную ось равна нулю, потому что все остальные действующие на кран внешние силы вертикальны, следовательно, вертикальна и реакция R】. Эта реакция направлена вниз, так как груз стремится повернуть кран вокруг опоры О2.
Определим плечо силы G относительно О2- Треугольник О】百О? равносторонний и АО2~3 м. В прямоугольном треугольнике АВО^ катет ЛО2 равен половине гипотенузы, следовательно, угол /。2占=60°. Таков же угол, составляемый ВО2 с горизонтальной прямой, и искомое расстояние /г = 6 cos 60° = 3. Итак.
^Мо^0- &・3 —8・3 = 0;
\л101 = О; /?2,3 — 8・6 = 0,
откудаоткуда
откуда
откуда
R=8T, &=16Т.
Переходим к определению внутренних усилий в стержнях фермы. Как уже было сказано (см. задачу № 8), усилием в стержне называют силу, действующую вдоль стержня, растягивающую или сжимающую его; если стержень растянут, то на шарнир действует сила, направленная к стержню, а если сжат, то от него. В уравнения равновесия, выводимые в статике твердого тела, входят только внешние силы, потому что внутренние силы согласно принципу равенства действия и противодействия попарно равны и противо по ложны.
Для определения внутренних усилий в стержнях фермы надо рассмотреть равновесие не всей фермы, а лишь части ее, мысленно разрезав ферму, отбросив одну из отрезанных частей и заменив отброшенную часть силами,
направленными вдоль разрезанных стержней. Этот метод определения внутренних усилий называют методом РОЗ по первым буквам слов, определяющих те операции, которые надо проделать (разрежем, отбросим, заменим).
Итак, для определения внутренних усилий в стержнях фермы надо сначала определить реакции, а потом:
разрежем мысленно ферму на две части, но так, чтобы разрезано было не более трех стержней с неизвестными усилиями, потому что мы имеем всего три уравнения равновесия. При этом нельзя разрезать ферму так, чтобы все три разрезанных стержня с неизвестными усилиями были между собой параллельны или же все три сходились в одной точке, потому что для этих случаев мы имеем всего по два уравнения. Например, если усилия в стержнях АОЪ ЛО2 и АВ неизвестны, то не следует мысленно отрезать узел А. Можно сначала отрезать узел В, определить усилие в стержне /В, а затем уж отрезать узел А, тогда из двух уравнений равновесия сил, приложенных к шарниру Л, определим усилия в стержнях АОг и ЛО2. С этим ограничением можно не только разрезать ферму, но и вырезать из фермы отдельные шарниры. Разрежем ферму крана, как показано на чертеже (рис. 61, 6);
отбросим мысленно одну из частей, на которые разрезана ферма. Принципиально говоря, безразлично, которую из частей отбросить. Отбросим верхнюю часть (рис. 61,6). В результате этих действий жесткость фермы нарушилась бы и, чтобы сохранить равновесие оставленной части фермы, необходимо к ней приложить внешние силы, в точности такие же, как внутренние усилия в соответствующих стержнях неразрезанной фермы. Поэтому мы
заменим отброшенную часть фермы неизвестными по величине силами, направив их по разрезанным стержням в сторону от оставленной части, т. е. наружу (рис. 61, г). Если среди разрезанных стержней имеются такие стержни, усилия в которых известны, то наружу мы их направляем только в том случае, если стержень растянут; когда стержень сжат, мы направляем вектор, изображающий это усилие внутрь, к шарниру. Эти силы, равные внутренним усилиям в стержнях, обозначают буквой S с индексом, соответствующим номеру стержня. Теперь составим уравнения равновесия оставленной части фермы. Здесь удобно применить третий вид (35) уравнений равновесия:
У Х = 0; Si cos 60°—S3 cos 60°4-S4 cos 60° = 0;
2Mo2 = 0; 8-3—Sx-3sin 60° = 0;
£〃4 = 0; 8-1,5+ 16-l,5 + S4-3sin60° = 0.
Решая эти уравнения, находим
Si = +9,2 7; §з = —4,6 Т; §4 = —13,8 Т.
Знаки минус при полученных из уравнений значениях усилий в третьем и в четвертом стержнях показывают, что направления сил на рис. 60, е нужно изменить на противоположные, так как эти стержни не растянуты, а сжаты.
Чтобы определить усилия в других стержнях, надо снова применить метод РОЗ, разрезав ферму по другим стержням;
разрежем ферму, как показано на чертеже (рис. 60, 0);
отбросим одну часть, например правую (рис. 60, е);
заменим отброшенную часть силами, направленными по стержням.
Если усилие в стержне неизвестно, то условно считаем, что стержень растянут, и направляем силу от шарнира: S5 и S? (рис. 60,兆).Если же усилие в разрезанном стержне уже известно» то направляем его от шарнира, когда стержень растянут, и к шарниру, когда стержень сжат (усилие в третьем стержне, равное 4,6 Т на рис. 60, ж). Затем составляем и решаем уравнения равновесия:
У Х = 0; S2 + S5 cos 30° — 4,6 cos 60° = 0;
£Мо, = 0; 8-3-S5-3 = 0.
Из этих двух уравнений находим и S5.
Ответ: в тоннах: R『8 (вниз), R?=16 (вверх), усилия в стержнях: s]=+9,2; S2 = -4,6; s3 = -4,6; S4 = -13,8; Ss =十80
Заметим, что ферму (и вообще всякую неизменяемую механическую систему) называют статически определимой, если внутренние усилия ее элементов при любой нагрузке могут быть найдены из уравнений статики. В противном случае систему называют статически неопределимой.
§ 14. СИЛЫ ТРЕНИЯ
Максимальное значение силы трения скольжения равно произведению нормального давления н коэффициентаТрения： FMaKC = fMМаксимальное значение силы трения скольжения равно произведению нормального давления н коэффициентаТрения： FMaKC = fMученых открыты законы трения. Точные формулыученых открыты законы трения. Точные формулыКулоново трение. Трение материальных тел связано с явлениями не только механического, но и электрического, термического, внутримолекулярного и пр. характера, и изучение трения относится к области физики. Трудами советских и зарубежных и выведены формулы, определяющие силы очень сложны, но в технике обычно поль-
Максимальное значение силы трения скольжения равно произведению нормального давления н коэффициента
Трения： FMaKC = fM
Максимальное значение силы трения скольжения равно произведению нормального давления н коэффициента
Трения： FMaKC = fM
ученых открыты законы трения. Точные формулы
ученых открыты законы трения. Точные формулы
зуются для приближенного определения трения простыми соотношениями, установленными еще в XVIII в. Ш. Кулоном опытным путем. Для вывода закона трения по Кулону проделаем опыт, обычно называемый опытом Морена, по имени одного из основателей научной практической механики. Однако этот же опыт еще задолго до Морена проделал Амонтон ——один из первых серьезных исследователей трения.
К телу (рис. 62), лежащему на горизонтальной негладкой плоскости, прикреплена перекинутая через блок нить, к другому концу
которой привязана чашка с грузом, силы: вес G, реакция R плоскости, натяжение Q нити, равное весу груза, приложенного к концу нити, сила трения 尸丁卩,направленная
На тело действуют следующие
Рис. 62
Рис .63
против натяжения нити. Из условия равновесия тела следует, что при покое тела сила трения равна и противоположна той силе Q, которая стремится вывести это тело из состояния покоя.
Постепенно увеличивая груз Q, а следовательно, и натяжение нити, мы убедимся, что тело начнет двигаться, как только это натяжение достигнет определеной величины. До тех пор, пока натяжение нити меньше этой величины, оно уравновешивается силой трения, и тело находится в покое. Отсюда можно сделать заключение: при покое тела увеличение силы, стремящейся привести тело в движение, вызывает увеличение силы трения от нуля до известного предела FMaKC, больше которого сила трения быть не может. Этот предел называют силой трения скольжения при начале движения:
(38)
Как показывает опыт, максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению:
尸 макс =『М (39)
Под нормальным давлением мы понимаем составляющую полного давления, перпендикулярную к соприкасающимся плоскостям. Так, если тело веса G лежит на плоскости, составляющей угол а с плоскостью горизонта (см. рис. 63). то нормальное давление ^ = Gcosa.
Безразмерный коэффициент пропорциональности
^макс 尸макс
называют статическим коэффициентом трения скольжения.
(38')(38')Сопоставляя равенства (38) и (39), находим, что во время покоя тела действующая на тело сила трения -
(38')
(38')
После начала движения коэффициент трения скольжения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента трения скольжения:
ffДИН'
Согласно приближенным кулоновым законам трения коэффициенты трения скольжения не зависят ни от давления, ни от величины трущихся поверхностей, ни от скорости. Они зависят от физической природы трущихся тел, от шлифовки поверхностей, от расположения волокон1 и, конечно, от смазки. Числовые значения статического и динамического коэффициента трения имеются в любом техническом справочнике.
“Угол трения, тангенс трения, конус тре-
Статическии коэффициент ния( Коэффициенты трения легко можно трения скольжения равен广
тангенсу угла трения. определить экспериментальным путем.
Пусть тело (рис. 63) лежит на наклонной плоскости ОА, угол наклона которой мы можем изменять по нашему желанию. На тело действуют три силы: вес G, сила трения скольжения 尸丁卩,направленная вдоль плоскости соприкосновения тел, и реакция R плоскости, перпендикулярная к этой плоскости, по величине равная нормальному давлению N.
Будем постепенно увеличивать угол наклона до тех пор, пока тело не начнет двигаться вниз по плоскости. Угол наклона плоскости, при котором начинается скольжение, называют углом трения атр для данной пары трущихся материалов. Если, например, тело сделано из бронзы, а плоскость стальная, то атр есть угол трения бронзы по стали.
Построим оси координат, как показана на чертеже, и составим уравнения равновесия:
》х = о； FMaKC —G sin атр = о；
£У = 0; R — G cos 0.
Отсюда
F макс tg атр R・
Сравнивая это равенство с (39), находим, что статический коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла трения. Тангенс угла трения иногда коротко называют тангенсом трения.
Реакцию, перпендикулярную к опорной поверхности (рис. 64, а), называют идеальной реакцией в отличие от полной реакции, выражающейся геометрической суммой идеальной реакции и силы трения.
Таким образом, сила трения является касательной составляющей полной реакции, идеальная реакция ——нормальной составляющей полной реакции, а угол трения ——углом максимального возможного отклонения полной реакции Rrp опорной поверхности от нормали к ней.
Если мы -будем поворачивать силу Р вокруг этой нормали, то также будут поворачиваться сила трения и полная реакция. При этом полная реакция опишет конус с осью, нормальной к поверх-
Рис. 64
ности соприкосновения тел, и с углом при вершине, равным удвоенному углу трения. Stot конус, называемый конусом трения, является геометрическим местом всевозможных направлений полной реакции Rr
Пусть к телу, лежащему на негладкой поверхности, весом которого можно пренебречь (рис. 64, б), приложена сила Р, составляющая угол 6 с нормалью к этой поверхности, как показано на чертеже. Убедимся, что сила Р не может привести тело в движение, если угол р меньше угла трения атр. Разложим силу Р на две составляющие:
Psin Р и Р2 = Pcos р.
Составляющая 戶丄 стремится привести тело в движение, а Р? давит на поверхность, вследствие чего возникает сила трения 户”，направленная против составляющей Р「Движение тела под действием силы Р произойдет лишь в том случае, если составляющая Р± будет больше максимально возможного значения силы трения:
匕〉尸 макс = f R н
или, принимая во внимание предыдущие равенства,
Р sin § > tg aTpPcos[3.
Деля обе части неравенства на Pcosp, получим следующее необходимое условие движения тела:
tg[3>tgaTp, или р > атр.
В это условие не входит значение силы Р и надо сделать такое заключение: если на тело, лежащее на негладкой плоскости, оказывает давление сила, линия действия которой лежит внутри конуса трения, то, сколь бы велика ни была такая сила, она не приведет тело в движение.
Этим правилом широко пользуются в технике, на нем построены теория клина, теория самоторможения и др.
Задача № 26. Идеально сыпучее тело, лежащее на горизонтальной плоскости, принимает форму конуса. Определить угол наклона образующей к горизонтальной плоскости (угол естественного откоса).
Рис. 65Рис. 65Решение. Рассмотрим равновесие какой- либо частицы М (рис. 65), находящейся на поверхности конуса. На частицу действуют три силы:
Рис. 65
Рис. 65
вес G, направленный по вертикали вниз;
ла, направленная перпендикулярно возможному перемещению частицы и равная нормальному давлению частицы на поверхность конуса;
сила трения £丁卩=/2, направленная по образующей вверх.
Л1ногоугольннк (треугольник) сил, действующих иа частицу, должен быть замкнут, так как она находится в равновесии и
tg<ptg<pGp fNGp fN
tg<p
tg<p
Gp fN
Gp fN
Рис. 66Рис. 66
Рис. 66
Рис. 66
Но коэффициент трения, как известно, равен тангенсу угла трения, следовательно, угол естественного откоса равен углу трения:
Ф = *^Тр'
Угол естественного откоса, называемый также углом ската, имеет большое значение при проектировании различных насыпей, элеваторов, овощехранилищ и пр.
Задача № 27. Сколько яровой пшеницы можно насыпать на круглую площадку диаметром 10 加，если вес 1 / яровой пшеницы равен 750 Г, а / = 0,75?
Решение. Умножив насыпной вес яровой пшеницы 0,75 Т/м^ на объем конуса V = } nrh~~ лг1дф, где ф—угол естественного откоса, получим ответ.
От вет. 98 Т.
Задача № 28. Лестница АВ (рис. 66) прислонена к стене под углом 30°. По лестнице поднимается человек весом Р. Пренебрегая весом лестницы, определить наибольшее расстояние ВС, на которое может подняться человек, не уронив лестницы, если коэффициент трения лестницы о пол и о стену / —tg 15°.
Решение. Рассмотрим равновесие лестницы в предельном положении. На лестницу действуют: 1) вес 户 человека, приложенный в точке С; 2) полная реакция Ктр.再 в точке А, направленная вправо н вверх под углом 90°—15° = 75° к стене, так как в предельном положении оиа составляет с идеальной реакцией угол, равный углу трения; 3) полная реакция Ктр.н в точке 占,направленная вверх и влево
под углом 75° к полу. Уравнения равновесия имеют вид:
%р. л cos 15° —/?тр.方 sin 15。= 0;
/?тР. л sin 15°-h^Tp. scos 15° — P = 0；
2ВС sin 30° — Rt* a^AB cos 15° = 0.
Определив R^p.日 из первого уравнения, подставим во второе: ^ТР. л sin 15° + Ra3^^ = p.
Умножив это уравнение на sin 15°, найдем, что R^p.若=Р sin 15°, и, подставляя это значение в третье уравнение равновесия, получим
Р-ВС sin30° = P・48 sin 15° cos 15° = Р-Л В-1-sin 30°,
откуда ВС = ~^-АВ.
Если человек поднимается по лестнице выше 48/2, то три силы, действующие на лестницу, не пересекутся в одной точке, и необходимое условие равновесия трех непараллельных сил (см. § 3) будет нарушено. Если же человек будег находиться на лестнице ниже, то равновесие сохранится, так как угол трения является максимальным углом, который может составлять полная реакция с идеальной реакцией. В этом случае сила трения будет меньше произведения коэффициента трения на нормальное давление, и три приложенные к лестнице силы пересекутся в одной точке.
Трение качения. В различных задачах
Момент пары, противодей-ствующей качению тела поопорной поверхности, назы-вают моментом трения каче-ния.Момент пары, противодей-ствующей качению тела поопорной поверхности, назы-вают моментом трения каче-ния.механики надо учитывать трение, возникающее при качении тел. Оно не может быть объяснено в механике абсолютно твердого тела, а потому мы коснемся его лишь в общих чертах.
Момент пары, противодей-ствующей качению тела поопорной поверхности, назы-вают моментом трения каче-ния.
Момент пары, противодей-ствующей качению тела поопорной поверхности, назы-вают моментом трения каче-ния.
Пусть перпендикулярно к оси цилиндрического катка (рис. 67)
веса G и радиуса г, лежащего на негладкой горизонтальной поверхности, приложена горизонтальная сила F. Вследствие деформа
ций катка и опорной поверхности их касание происходит не в одной точке, а по некоторой площадке, и нормальная реакция R бывает смещена относительно вертикальной плоскости симметрии катка на некоторое расстояние 6. В направлении, обратном силе F, в том месте, где каток касается опорной поверхности, возникает сила F\ которую называют силой трения качения. Во время равновесия катка эта сила по модулю равна 尸 и составляет с ней пару
(尸尸")，уравновешиваемую парой (GR), момент которой называют моментом трения качения. Плечо 6 этой пары при предельном равновесии называют коэффициентом трения качения. Отметим, что в отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения ко-
эффициент трения качения имеет размерность длины и его выражают в миллиметрах, поэтому оба эти коэффициента―величины несравнимые. Неправильно было бы считать, что трение качения всегда меньше, чем трение скольжения. Они зависят от свойства трущихся тел. Летом ездят на колесах, а зимой на санях.
Момент трения качения вполне это трение характеризует, но иногда бывает удобно пользоваться силой трения каления, величину которой
尸=6^ (40)
легко получить из равенств моментов двух пар.
4 № 784
ГЛАВА VI
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 15. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Главный вектор н главный момент относительно начала координат можно вычислить по их проекциям на оснГлавный вектор н главный момент относительно начала координат можно вычислить по их проекциям на оснКак было показано в § 11, всякая система сил, приложенных к твердому телу, может быть приведена к главному вектору (27), приложенному в любой точке тела, равному геометрической сумме всех
Главный вектор н главный момент относительно начала координат можно вычислить по их проекциям на осн
Главный вектор н главный момент относительно начала координат можно вычислить по их проекциям на осн
сил системы, и к главному моменту (28), равному геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.
Чтобы избежать геометрического суммирования, величину главного вектора можно вычислить через суммы проекций всех сил на три оси координат:
=/ (wX)—(£ 号 + (£力,=/ (wX)—(£ 号 + (£力,(5)(5)
=/ (wX)—(£ 号 + (£力,
=/ (wX)—(£ 号 + (£力,
(5)
(5)
а его направление——по трем направляющим косинусам (6).
Если за центр приведения выбрано начало координат, то главный момент системы сил относительно этой точки удобно определять по формуле, аналогичной (22):
(22')(22')Мгл. О = "|/^М^".х+ Л1гл. у Ч- -Мгл.г,
(22')
(22')
а главные моменты относительно осей координат—по формулам:
(23‘)(23‘)А4гл.х = 2(^-гУ); MMy = £(zX-xZ);MrSi.z^xY-yX\
(23‘)
(23‘)
причем суммирование распространено на все силы.
кой сумме моментов всехСистема сил, приложенных к твердому телу, в общем случае эквивалентна динаме, т. е. силе и паре, момент которой параллелен силекой сумме моментов всехСистема сил, приложенных к твердому телу, в общем случае эквивалентна динаме, т. е. силе и паре, момент которой параллелен силеЗаметим, что проекцию главного момента системы сил относительно центра приведения на какую-либо ось, проходящую через этот центр, называют главным моментом системы сил относительно этой оси. Момент силы относительно оси является скаляром второго рода, поэтому главный момент системы относительно оси равен алгебраичес-
кой сумме моментов всех
Система сил, приложенных к твердому телу, в общем случае эквивалентна динаме, т. е. силе и паре, момент которой параллелен силе
кой сумме моментов всех
Система сил, приложенных к твердому телу, в общем случае эквивалентна динаме, т. е. силе и паре, момент которой параллелен силе
сил системы относительно этой оси.
Динамический винт. В произвольной системе сил, как и в плоской, главный вектор является инвариантом, он не зависит от центра приведения, а главный момент зависит от центра приведения. Но система сил,
не расположенных в одной плоскости, имеет второй инвариант——проекция главного момента на равный вектор.
Пусть к твердому телу приложена произвольная система сил. Если, приведя такую систему сил к какой-либо точке А (рис. 68, а), мы найдем, что главный вектор и главный момент не равны нулю и не перпендикулярны между собой (общий случай), то мы можем раз-
«дожить Мт.再 на две составляющие, из которых одна Мгл. i направлена по главному вектору, а другая Л1ГЛ. д2 перпендикулярна к нему.
Представив М「л,Представив М「л,—涉*, мы расположим эту пару 尸гл.—涉*, мы расположим эту пару 尸гл.д2 в виде пары сил, модули которой равны модулю
Представив М「л,
Представив М「л,
—涉*, мы расположим эту пару 尸гл.
—涉*, мы расположим эту пару 尸гл.
главного вектора, а плечо равно
(рис. 68, б) так, чтобы одна из сил пары уравновесила главный вектор. Данная система сил приведена нами (рис. 68, в) к главному вектору, линию действия которого называют центральной осью системы сил \ и к главному моменту Л1глЛ( параллельному главному вектору. Мы можем представить Л1ГЛ<1 в виде пары сил. Совокупность силы и
Рис. 68Рис. 68
Рис. 68
Рис. 68
пары, момент которой параллелен силе, называют динамическим винтом, или динамой. Так как момент пары есть вектор свободный, можно перенести его на центральную ось системы сил (рис. 68, г).
Таким образом, система сил, приложенных к твердому телу, в общем случае может быть приведена к динамическому винту.
Если бы мы приняли за центр приведения не точку Л, а какую- либо другую точку В (рис. 68, d), то получили бы такой же главный вектор (инвариант), приложенный в этой точке В, но иной главный момент Л1ГЛ.比 Раскладывая главный момент на две составляющие (параллельно и перпендикулярно главному вектору), мы получили бы такой же 財几叫】(второй инвариант), но Л1ГЛ< В2 отличался бы от Mg. л 2- Представляя Д4ГЛ.日2 в виде пары сил, мы пришли бы к тому же динамическому винту и с той же центральной осью, так как этот динамический винт эквивалентен данной системе сил и, конечно, не может зависеть от того, какую точку мы выберем за центр приведе-
ния. Скалярную величину, характеризующую динамический винт и равную отношению модуля вектора момента МглЛ к модулю вектора силы Fra, называют параметром динамического винта.
Случаи приведения к равнодействующей и
Если главный момент перпендикулярен главному вектору, то система сил эквивалентна равнодействующейЕсли главный момент перпендикулярен главному вектору, то система сил эквивалентна равнодействующейк паре. Если, приведя систему к какому- либо центру Л, мы обнаружим, что главный вектор и главный момент взаимно
Если главный момент перпендикулярен главному вектору, то система сил эквивалентна равнодействующей
Если главный момент перпендикулярен главному вектору, то система сил эквивалентна равнодействующей
ммииэтот момент вэтот момент вперпендикулярны, то система приводится к одной равнодействующей. В самом деле, положив (рис. 68), что
м
м
и
и
этот момент в
этот момент в
(см. рис. 68, б), силы которой равны главному вектору, мы сведем
всю систему к одной силе Frn (см. рис. 68, в), т. е. к равнодействующей, направленной вдоль центральной оси, которая в этом случае становится линией действия равнодействующей. Здесь мы имеем случай, аналогичный встреченному нами при приведении плоской системы сил к равнодействующей (см. рис. 51).
Понятно, что произвольная система сил также эквивалентна одной
равнодействующей и в том случае, если главный момент равен нулю, а главный вектор нулю не равен. В этом случае главный вектор один, без главного момента, эквивалентен системе сил, т. е. является ее
равнодействующей, а линия действия равнодействующей проходит
через центр приведения.
Если же в результате приведения системы сил к центру окажется, что главный вектор равен нулю, а главный момент нулю не равен, то система эквивалентна паре, момент которой равен главному моменту и (в этом случае) не зависит от центра приведения.
§ 16. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
Если главный вектор н глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесииЕсли главный вектор н глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесииСлучай равновесия. Если и главный вектор системы, и главный момент системы относительно точки приведения равны нулю, то система сил находится в равновесии. Справедливо и обратное заключение: если
Если главный вектор н глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесии
Если главный вектор н глав-ный момент системы сил рав-ны нулю, то система сил на-ходится в равновесии
данная система сил находится в равновесии, то и главный вектор системы, и главный момент равны нулю.
Следовательно, условия
(41)(41)尸гл = °； Мрп. О = °
(41)
(41)
являются необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной системы сил.
В случае равновесия системы не только первое из равенств (41), но и второе не зависят от центра приведения. В самом деле, если система находится в равновесии, т. е. если система сил такова, что наличие этой системы эквивалентно ее отсутствию, то это равновесие системы не может нарушиться от того, выберем ли мы за центр приведения ту или иную точку тела.
Равенства (41) называют условиями равновесия произвольной системы сил в геометрической форме. Сравнивая их с полученными ранее условиями (31) равновесия плоской системы сил, мы видим, что различие заключается в том, что в (41) главный момент системы написан как вектор, а в (31) — как скалярная величина. По сути дела равенства (31) являются частным случаем равенств (41), как
и плоская система сил является частным случаем системы сил, расположенных произвольно в пространстве.
Напишем условия равновесия в таком виде:
Для равновесия произволь-п、
ной системы сил необходимоVр _ л |
и достаточно, чтобы равня-自'总
лись нулю суммы проекцийk~1}(41)
всех сил на оси координатRfI
и суммы моментов всех сил2也用о =I
относительно осей координат比=1丿
Оба равенства (4Г) геометрические и выражают условие замкнутости многоугольника сил и многоугольника моментов. Оба эти многоугольника являются не плоскими, а пространственными, поэтому каждая из геометрических сумм векторных величин (41') может быть заменена тремя алгебраическими суммами проекций этих векторов на оси прямоугольной системы координат. Построим прямоугольную систему координат с началом в центре приведения (з любой точке пространства). Спроецировав все силы на эти координатные оси, а также спроецировав на те же оси все векторы моментов сил относительно начала координат, мы заменим два геометрических равенства (41') шестью аналитическими равенствами:
» о о =°o о 一一 == ===X у z X у ZMMM 222222» о о =°o о 一一 == ===X у z X у ZMMM 222222
» о о =°o о 一一 == ===X у z X у ZMMM 222222
» о о =°o о 一一 == ===X у z X у ZMMM 222222
Эти равенства называют условиями равновесия произвольной системы сил, выраженными в аналитической форме. Если эти условия содержат неизвестные величины, то их называют уравнениями равновесия, произвольной системы сил.
Вместо Мх, Му и Mz мы можем подставить их выражения (23) и условия равновесия произвольной системы сил записать в следующем виде;
£х=0, 》у = о,
(43)(43)£Z = 0, £("-zy)=0, X(zX—xZ)=0, 2(%У_дХ) = 0.
(43)
(43)
Таким образом, для равновесия произвольной системы сил не* обходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей.
Выведенные ранее условия равновесия системы сил для различных случаев (8), (33), (36) могут быть получены из условий (42) или (43). Так, например, если система сил лежит в плоскости хОу, то аппликаты г точек приложения сил и проекции Z сил на ось Oz равны нулю, третье, четвертое и пятое из равенств (43) тождественно обращаются в нуль, а шестое ввиду равенства (16) будет представлять сумму моментов относительно точки О, и мы получим равенства (33).
Выведем условия равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости. Построим систему прямоугольных координат, направив ось Oz параллельно линиям действия сил. В таком случае первое, второе и шестое из равенств (42) и (43) обращаются в тождество 0 = 0, остаются лишь третье, четвертое и пятое равенства:
222222Z = 0,] g = 0, }(44)
222
222
являющиеся необходимыми и достаточными условиями равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости,
Задача о равновесии должна содержать столько же неизвестных, сколько имеется уравнений равновесия для данной системы сил, поэтому в задачах на равновесие системы сил, произвольно расположенных в пространстве, не может быть более шести неизвестных, а задачи на равновесие системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, могут иметь лишь по три неизвестных, в противном случае это будут статически неопределенные задачи. Так, например, определение реакций в четырех ножках стула является статически неопределенной задачей, так как имеется лишь три уравнения (44) и число неизвестных в задаче больше числа уравнений равновесия.
Задачи на определение равновесия пространственной системы сил решают аналогично задачам на равновесие плоской системы сил. Сначала выделяют твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть, потом к этому телу прикладывают все действующие на него заданные в условии задачи и искомые силы (и пары сил), а затем составляют и решают уравнения равновесия.
Пространственные системы сил, приложенные к твердому телу, обычно включают в себя большое количество сил, и для определения неизвестных величин обычно приходится составлять много (до шести) уравнений равновесия. Поэтому при решении задач удобно пользоваться таблицей, как это сделано при решении следующего примера.
Задача № 29 (№ 8.29, 270 М). Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения ABt открыта на угол 240 = 60° и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна CD перекинута через блок и натягивается грузом Р —32 кГ, другая EF ——привязана к точке 尸 пола. Вес двери 64 кГ, ее ширина AC — AD=18 дм, высота 48 = 24 дм. Пренебрегая трением на блоке,
определить натяжение Т веревки EF, а также реакции цилиндрического шарнира в точке А и подпятника в точке В (рис. 69, а).
Решение. На дверь действуют следующие силы:
вес двери G — 64 кГ, приложенный в середине двери (на пересечении диагоналей);
натяжение Р = 32 к「веревки CD, направленное по веревке от точки С к точке D, так как блок меняет направление натяжения веревки, но не меняет его величину;“
натяжение Т веревки EF, направленное по этой веревке;
, 5), 6) —неизвестная по величине и направлению реакция в подпятнике В, которую разложили на составляющие Х^, У& Zg；
и 8)——неизвестная по величине и направлению горизонтальная реакция в подшипнике (в цилиндрическом шарнире Л), которую мы разложили на состав
ляющие X再 и У幺；вертикальная составляющая Z幺 заведомо равна нулю, так как шарнир допускает вертикальное перемещение, а следовательно, реакция горизонтальна (рис. 69, б).
Выяснив, какие силы действуют на дверь, напишем уравнения равновесия этой системы сил (42) или (43). В данном призере мы воспользуемся формулой (43), для чего составим таблицу, в которую впишем проекции сил и координаты точек приложения сил. Для облегчения этой части решения задачи полезно составить чертеж (рис. 69, е) проекций системы сил на плоскость ху.
Таблица
е Е 含
Сила
Проекция силы
Координаты
Моменты относительно оси
X
У
Z
X
g
2
М x=yZ — zY
My~zX^xZ
М а=#У — уХ
1
G
0
0
—64
4,5 КЗ
4,5
12
—4,5・64 = = —288
4,5 ГТб4 = = 498
0
2
Р
-16唄=
= — 27,7
16
0
9 КЗ
9
24
-24-16 = = —384
—24-16 КЗ- = —664
9 /~3-16 + +9-16 уТ= ==498
3
Г
0
—Г
0
9 КЗ
9
0
0
0
—9 /1・7=
=—15,6Т
П родолжение таблицы
営
Сила
Проекция силы
Координаты
Моменты относительно оси
X
У
z
г
M.x^yZ-zY
М 产 zXtZ
Mz=xY-yX
4
Хв
Хв
0
0
0
0
0
0
0
0
5
厶
0
厶
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
Zr
0
0
0
0
0
0
7
X幺
厶
0
0
0
0
24
0
24.Х»
0
8
力
0
0
0
0
24
一24 .力
0
0
Просуммировав третью графу этой таблицы, найдем 2 X; просуммировав четвертую графу, найдем ^Yt а пятую—£Z:
£х=0; Ха + Хв-27,7 = 0;
£у = 0; 16-Г + Ув+Ул-0;
£z = 0; Zb—64 = 0.
Три последние графы дадут нам три уравнения моментов сил относительно осей координат：
2 М# = 0； —288 — 384 — 24 力=0;
£Му = 0; 498 — 664 + 24 X月=0;
£此=0; 498—15,67 = 0.
Решая эту систему шести уравнений равновесия, находим шесть неизвестных величин.
Моменты сил относительно координатных осей мы определяли по проекциям этих сил и по координатам точки их приложения, применяя формулы (23). Но их можно определить и иначе ——для этого надо спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и затем определить момент проекции силы на плоскость относительно точки пересечения оси и плоскости. Знак момента в таком случае определяют в зависимости от того, поворачивает ли проекция силы свое плечо по ходу часовой стрелки или против хода, если смотреть с положительной стороны оси. Мы рекомендуем читателям определить моменты сил относительно осей в задаче и этим способом.
Решая систему уравнений равновесия, получим положительные значения для всех сил и реакций, кроме /^. Это означает, что на чертеже (см. рис. 69, 6) направления сил и реакций взяты правильно, а направление У以 надо изменить на противоположное.
Ответ. 7 = 32 «Г; X兑= 6,9 кГ; У』= —28 кГ; Xg = 20,8 к「； У^ = 44 к「; Zg = 64 кГ.
ГЛАВА VU
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 17. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Центром параллельных сил называют точку иа линии действия равнодействующей системы параллельных сил, вокруг которой поворачивается эта линия действия, если все силы поворачиваются вокруг точек их приложения, оставаясь параллельными между собой
Центр параллельных сил. Система параллельных сил, приложенных к твердому телу и направленных в одну сторону, не может находиться в равновесии или приводиться к паре сил——такая система приводится к равнодействующей. Пусть параллельные силы 尸и F2,尸з，. . ., (рис. 70), составляющие данную систему, не лежат в одной плоскости.
Для получения равнодействующей применим метод последователь-
ного сложения. Сначала сложим две правилу сложения двух параллельных сил обозначим 7?心 и приложим в точке С12, находящейся на прямой, соединяющей точки приложения Л и В слагаемых сил, и определяемой из пропорции
силы 尸 1 и 尸2 п0 известномусил. Равнодействующую этих
ВС]2 4c12
(И)
Затем проведем плоскость через линии действия сил R^ и F3 и найдем равнодействующую трех сил R123, которую мы приложим, руководствуясь тем же правилом, в точке С133. Поступая далее таким же образом, мы найдем равнодействующую
всей системы R = £尸
и точку С ее приложения.
Предположим, что все параллельные силы повернулись в какую- либо сторону на некоторый угол. Очевидно, что тогда и равнодействующая R12 двух первых сил повернется в ту же сторону и на тот же угол, так как равнодействующая параллельных сил параллельна своим составляющим. Точка С12 останется на прежнем месте, так как модули сил 尸】н 尸2 H их точки приложения 4 н В не изменились, а следовательно, не изменилась и пропорция (11). Не изменится также и модуль равнодействующей, равный, как известно, сумме модулей составляющих сил. Но если величина и точка приложения силы К】？ ые изменились, а сила повернулась, став парал-
лельной 尸з，то, следовательно, не изменится и точка приложения равнодействующей R123 трех сил системы. Рассуждая таким образом и дальше, мы убедимся, что и точка С останется на прежнем месте, а линия действия равнодействующей 次 повернется вокруг этой точки, оставаясь параллельной линиям действия сил системы.
Точка приложения равнодействующей не является строго фиксированной, так как равнодействующую всегда можно перенести в другую точку ее линии действия, поэтому мы определим центр параллельных сил как точку на прямой действия равнодействующей системы параллельных сил, вокруг которой поворачивается эта прямая, если
все параллельные силы поворачиваются вокруг точек их приложения,
оставаясь параллельнымиЦентром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого телаоставаясь параллельнымиЦентром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого теламежду собой. .
оставаясь параллельными
Центром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела
оставаясь параллельными
Центром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела
Центр тяжести и его координаты. Примером центра параллельных сил может явиться центр подъемных сил корабля или центр давления насыпи на плоскую стенку. Но особенно часто приходится определять
центр параллельных сил тяжести, которые, по сути дела, не являются параллельными, но могут с большой точностью быть приняты за параллельные. Под действием силы тяжести каждая материальная частица тела, находящаяся вблизи Земли, притягивается к Земле и вектор силы тяжести направлен «вниз» по отвесу к центру Земли1. Таким образом, силы тяжести двух частиц не являются параллельными, так как их линии действия пересекаются в центре Земли. Однако громадные размеры Земли и сравнительно небольшие размеры материальных тел, центры тяжести которых при
ходится определять, позволяют считать силы тяжести частиц одного тела параллельными. Например, направления сил тяжести двух частиц, находящихся на корме и на носу океанского лайнера длиной 300 му составляют между собой угол в десять секунд дуги, который невозможно даже отметить на чертеже ввиду его малости. С очень большой точностью можно принимать силы тяжести различных частиц одного и того же тела за параллельные, а общий вес тела считать
приложенным в центре этих параллельных сил тяжести, называемом центром тяжести тела2.
Как бы ни поворачивали тело и ни изменяли его положение по отношению к Земле, силы тяжести его отдельных частиц останутся вертикальными и параллельными между собой. Относительно тела они будут поворачиваться вокруг своих точек приложения, сохраняя величину и параллельность. При этом линия действия равнодействующей параллельных сил будет проходить через одну и ту же точку— центр тяжести. Отсюда следует, что центр тяжести твердого тела не изменяет своего положения относительно этого тела при изменении
Понятия 《верх» и《низ》в таком смысле впервые определены Аристотелем. Понятие «центр тяжести» впервые установлено Архимедом около 250 г. до и. э.
положения самого тела. Положение центра тяжести в теле зависит только от формы тела и от распределения в нем материальных частиц.
Отыскивать центр тяжести какого-либо Координаты центра тяжести тела методом последовательного сложения определяются равенствами
векторов сил тяжести его частиц не пред-
^Gkxk £g饱” ставляется целесообразным из-за громозд- %с= ―g— ; ус= —g—；кости вычислений. Мы выведем общие фор-
у Gмулы, позволяющие сравнительно легко
zc=- А^определять координаты центра параллель-
Gных сил (или центра тяжести тела).
Разобьем мысленно тело на такие части, центры тяжести которых можно было бы сравнительно легко определить. Заменим каждую такую часть точкой (которую мы будем называть изображающей точкой), совпадающей с центром тяжести этой части и имеющей вес, равный весу этой части тела. Таким образом, изображающая точка характеризуется своим весом и положением в исследуемом теле, а все твер-
Рис. 71
дое тело заменено нами системой изображающих точек. Положим, что изображающих точек в теле получилось п. Веса этих точек будем обозначать буквой G с индексом, указывающим принадлежность к той или иной точке: G~ G2, G3, ..., Gn. Построим систему координат, неразрывно связанную с данным телом, направив ось Oz по вертикали вверх (рис. 71,。)，и обозначим координаты изображающих точек через %, g 旺？ с индексами, соответствующими точкам. Равнодействующая всех сил тяжести системы изображающих точек равна весу G всего тела, приложенному в его центре тяжести, координаты которого обозначим хс, ус и zc.
Воспользуемся теперь формулами (23), выражающими моменты сил относительно координатных осей через координаты точек приложения силы и проекции силы на оси координат:
Мх =yZ — гУ, Му = zX—xZ, Mz~xY — yX. (23)
Выразим по первой из этих формул моменты относительно оси х сил тяжести всех частей тела, т. е. сил, приложенных к изобража
ющим точкам. Проекции этих сил на ось у равны нулю, а на ось г — весам соответствующих частей тела с отрицательным знаком:
Мх, г=у，、—人匕=—yfii^
М”，2 " %Zz —22y2 = — У2G2，
必,“ =%Z”一z“y“ = — ynGn.
Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим /?=〃k—n
k-\fe=l
Выразим теперь по той же формуле (23) момент равнодействующей относительно оси Ох:
Mx{G)= — ycG.
В левой части этого раве^тва записан момент равнодействующей G относительно оси %, а в левой части предыдущего равенства—сумма моментов всех составляющих относительно той же оси. Эти две величины равнн ,между собой, следовательно, равны и правые части ■ равенства, т. е
Ус^ ~ 用2] yfik-
Из этого соотношения находим ординату центра тяжести:
Если воспользоваться вторым из равенств (23)
My = zX—xZ
и определить сумму моментов сил тяжести, приложенных к изображающим точкам, относительно оси у, приравняв ее моменту равнодействующей относительно той же оси, то .аналогично предыдущему получ им абсциссу центра тяжести
Для определения аппликаты zc центра тяжести тела повернем это тело вместе с осями координат на 90° вокруг оси х в направлении вращения стрелок часов, тогда место оси у займет ось г, а ось у будет направлена по вертикали вниз. В результате этого поворота все силы тяжести повернутся на один и тот же угол 90°, а центр параллельных сил (или в нашем случае—центр тяжести тела) не изменит своего местоположения как относительно тела, так и относительно неразрывно связанных с ним координатных осей (рис. 71,6).
Силы тяжести расположатся теперь параллельно оси у, и их проекции У на эту ось будут положительны и равны модулям сил тяжести. Найдем моменты сил тяжести относительно оси % при новом положении тела:
М%, 1 = У 厶一马匕=—2®1，
2 = %Z? — %兀=—22G2，
М#, « =%Z也一глУn = — ^nGri.
Суммируя отдельно левые и правые части этих равенств, найдем k~nk—n
三必,k — -fe=lk=\
Определив момент равнодействующей относительно той же оси, получим
Mx(G) = -zcG
и, приравнивая момент равнодействующей сумме моментов составляющих, найдем аппликату центра тяжести:
k= n
S Z伤
fe= 1
Напишем теперь вместе выведенные нами формулы:
11k=n
1
1
% °
£ у а兑£ у а兑(45)(45)УсУсk^n5 z毎k^n5 z毎
£ у а兑
£ у а兑
(45)
(45)
Ус
Ус
k^n
5 z毎
k^n
5 z毎
Эти формулы определяют положение центра тяжести.
Суммы произведений сил на координаты точек их приложения, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами, а в знаменателях всех формул мы имеем вес всего тела.
Координаты х, у п z всякой точки равны проекциям на оси координат радиуса-вектора г точки относительно начала координат. Следовательно, три аналитических равенства (45) можно заменить одним векторным равенством .
k~n
S込
比=1
§ 18. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ЛИНИЙ, ПЛОСКИХ ФИГУР И ТЕЛ
Если тело имеет плоскостьсимметрии (или ось симмет-рнн, или центр симметрии),то центр тяжести тела лежитна этой плоскости (оси илив центре) симметрииЕсли тело имеет плоскостьсимметрии (или ось симмет-рнн, или центр симметрии),то центр тяжести тела лежитна этой плоскости (оси илив центре) симметрииУс = уу-V，Ус = уу-V，(46)(46)Если тело однородное, то, представляя^ вес тела как произведение его объема V на вес у единицы объема, а вес отдёль- ных его частей —как произведение у на их объем, получим:
Если тело имеет плоскостьсимметрии (или ось симмет-рнн, или центр симметрии),то центр тяжести тела лежитна этой плоскости (оси илив центре) симметрии
Если тело имеет плоскостьсимметрии (или ось симмет-рнн, или центр симметрии),то центр тяжести тела лежитна этой плоскости (оси илив центре) симметрии
Ус = уу-V，
Ус = уу-V，
(46)
(46)
В таком смысле можно говорить о центре тяжести объема, понимая под этим центр тяжести однородного тела данной геометрической формы.
В том же смысле говорят о центре тяжести поверхностей и фигур, понимая под этим центр тяжести однородных пластин равной толщины. Его можно определить по аналогичным формулам:
Zc = —s —，
где S左(при «=1, 2, 3, .. ., п) — площади отдельных частей пластины, S—площадь всей пластины.
В том же смысле говорят и о центре тяжести линий, понимая под линией тонкую однородную нить:
Если тело, хотя бы и неоднородное, имеет плоскость симметрии, т. е. каждой частице тела по одну сторону этой плоскости соответствует симметрично расположенная частица такого же веса по другую сторону плоскости, то центр тяжести такого тела лежит на плоскости симметрии. В самом деле, если каждой частице по одну сторону плоскости соответствует такая же по весу и симметрично расположенная частица по другую сторону, то равнодействующая сила тяжести этих двух частиц приложена к точке, лежащей в плоскости симметрии. По той же причине в плоскости симметрии лежат и точки приложения равнодействующих весов других взятых попарно' симметричных частиц. Складывая эти равнодействующие, найдем
и их равнодействующую, которая приложена в той же плоскости, а точка приложения этой равнодействующей лежит в центре тяже
сти тела.
Для случая, если тело имеет ось симметрии или центр симметрии, можно доказать аналогичные теоремы. Из этих теорем можно
вывести следующие следствия:
центр тяжести однородного прямого стержня (или отрезка прямой) лежит в его середине;
центр тяжести параллелограмма (однородной тонкой пластины, имеющей форму параллелограмма) лежит в точке пересечения его диагоналей, являющейся центром симметрии параллелограмма;
центры тяжести однородного правильного многоугольника, круга, эллипса, шара лежат в их геометрических центрах.
В виде примеров ограничимся определением центров тяжести дуги окружности и площади треугольника, так как учащиеся будут иметь возможность идаже необходимость определять центры тя
жести различных тел на упражнениях по интегральному исчислению.
Центр тяжести дуги окружности отстоит от ее центра иа расстоянии, равном произведению длины хорды наЦентр тяжести дуги окружности отстоит от ее центра иа расстоянии, равном произведению длины хорды наПостроим оси координат, как показано на чертеже (рис. 72), и разобьем дугу на п элементарных отрезков А/а. Центр тяжести дуги лежит на оси симметрии (ус= 0). Абсциссу центра тяжести найдем по (48):
Центр тяжести дуги окружности отстоит от ее центра иа расстоянии, равном произведению длины хорды на
Центр тяжести дуги окружности отстоит от ее центра иа расстоянии, равном произведению длины хорды на
радиус окружности, делен
々=1々=1ному иа длину дуги
々=1
々=1
Приняв элементарные отрезки дуги за прямолинейные, разложим один из них на △乃总 и ^yk. Если радиус, проведенный на середину этого отрезка, составляет с осью 0% угол а&, то, как видно из чертежа,
cosa—T， откуда
xkMk = r\yk.■
Составим такие выражения для всех отрезков и просуммируем их:
k~nк = п
〉/A/为=Г 2 %=Г也，
*=i
где h——длина хорды. Подставив найденное выражение в (48), определим центр тяжести дуги.
Учитывая, что h = 2r sin а и / = 2аг, этой формуле можно дать
следующий вид:
sin а
% =г, 0 a
В частности, для полуокружности 仪=万，sma=l и хс = —.
Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан на расстоянии от
основания, трети
равном одной высоты
Разобьем площадь треугольника (рис. 73) прямыми, параллельными основанию, на очень большое число узких полосок, которые можно рассматривать как отрезки прямых линий. Центр тяжести каждого отрезка лежит на его середине, а потому
и центр тяжести всей площади треугольника лежит где-то на медиане, соединяющей' вершину треугольника с серединой его основания. Разбив площадь треугольника прямыми, параллельными какой-либо другой стороне, и рассуждая аналогично, мы придем к заключению, что центр тяжести треугольника должен лежать и на другой медиане. Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Как известно из планиметрии, медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей от вершины.
Для нахождения координат центра тяже-
Для определения координат центра тяжести тел и фигур сложной формы эти тела и фигуры заменяют системой точек и определяют координаты по формулам (45)
тяжести каждой такой части. Будем называть,
сти тела (или фигуры), имеющего сложную форму, нужно мысленно разбить это тело (или эту фигуру) на такие простейшие формы (если, конечно, это возможно), для которых положение центра тяжести и вес могут быть легко определены. В центре части тела считают приложенным вес этой
как
А^
Рис. 73
6
Z
мы это уже сделали выше, центры тяжести частей с приложенными в них весами этих частей изображающими точками. Для нахождения координат центра тяжести тела сложной формы остается лишь найти центр тяжести всех изображающих точек по формулам (45). Однако на практике эти подсчеты содержат большие трудности. Так, например, некоторые тела (пароходы, самолеты, автомобили и т. п.) приходится иногда заменять тысячами изображающих точек. В
этих случаях может оказаться удобным подсчет по таблице, приведенной нами при решении следующей задачи.
Задача № 30 (№ 9.17, 299 М). Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда (рис. 74), ребра которого суть однородные бруски длиной: 04=8 дм; 08 = 4 дм; ОС —6 дм; веса брусков, выраженные в ньютонах: О А = 250; OBt ОС и CD по 75; CG = 200, 4 尸=12§; 4G и GE —по 50; BD, В尸，DE и EF ——по 25.
Решение. Заменим стержни изображающими точками. Каждая из них имеет координаты середины того стержня который она изображает, и его вес.
Заполняем таблицу:
№ п.п.
Название
小
办
yk
Ga”
G左"
75
0
0
0
150
75
3
225
0
0
75
6
450
0
150
25
3
75
0
100
25
0
0
100
100
250
0
0
1000
0
200
6
1200
800
0
25
6
150
100
100
50
3
150
400
0
10
125
0
0
1000
250
11
50
6
300
400
100
12
25
3
75
200
100
у
1000
2625
4000
1050
Суммируя третий столбец и подсчитав суммы трех последних, определяем вес системы и статические моменты, и нам остается лишь поделить статические моменты на вес системы.
Ответ. %с = 2,625 дм; //с = 4,000 дм\ 2^=1,050 дм, 一
Если в теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести пользуются теми же приемами и фор
мулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей отрицательными* Этот метод иногда называют методом отрицатель- ных масс.
Поясним применение этого метода решением задачи.
Задача № 31 (№ 87. Проф. Н. Е. Жуковский. Задачник по механике). В диске радиуса 厂 сделан эксцентрический вырез в виде круга, построенного на радиусе как на диаметре. Найти центр тяжести оставшейся части диска (рис. 75).
Решение. Оставшаяся часть диска имеет ось симметрии. Начало координат возьмем в центре диска и ось симметрии примем за ось Ох. Искомый центр тя- *естн лежит на оси симметрии, следовательно, ус = ^> Найдем абсциссу центра тяжести. Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс н пред- Ставим оставшуюся часть диска двумя изображающими точками. Первая — это
точка, лежащая в центре диска и имеющая массу, равную массе диска (считаем, что вырез в диске не сделан). Так как диск однородный, то за массу диска можно принять его площадь. Следовательно,
0]=打г2;%1= g]=0.
Вторая точка ——это точка, лежащая в центре выреза, имеющая массу, равную массе вырезанной части диска, но взятую с обратным знаком. Опять вместо массы вырезанной части возьмем，площадь. Имеем
5 =Y，也=m；！/2 = 0・
От присоединения этой «отрицательной площади» к площади первого диска и получается фигура, изображенная на рис. 75.
Абсциссу центра тяжести оставшейся части диска находим по формуле
Ответ. хс = —"g-; рс = 0.
Объем тела, полученного отвращения плоской фигурывокруг оси, лежащей в ееплоскости, равен произведе-нию площади фигуры надлину дуги, описанной еецентром тяжестиОбъем тела, полученного отвращения плоской фигурывокруг оси, лежащей в ееплоскости, равен произведе-нию площади фигуры надлину дуги, описанной еецентром тяжестиТеоремы Паппы. При определении центров тяжести часто оказываются полезными две следующие теоремы. Пусть даны какая- либо плоская фигура, ее центр тяжести С (рис. 76) и ось гг, не пересекающая фигуры, но лежащая в ее плоскости. Разобьем площадь 3 фигуры на п элементарных частей AS 饱. Поворачивая фигуру
Объем тела, полученного отвращения плоской фигурывокруг оси, лежащей в ееплоскости, равен произведе-нию площади фигуры надлину дуги, описанной еецентром тяжести
Объем тела, полученного отвращения плоской фигурывокруг оси, лежащей в ееплоскости, равен произведе-нию площади фигуры надлину дуги, описанной еецентром тяжести
вокруг оси zz, получим тело вращения, которое можно представить
как состоящее из элементарных колец, объемом 2冗尤总AS饱 каждое.
Тогда объем тела
ft = nк =п
Р = £ 2лх总AS总=2л 2 /AS^,ii
k~n
но 2 y^AS^mYcS——статический мо
мент площади, а потому
К = 2ji%qS.(49)
Если объем тела и площадь образующей фигуры известны, то по (49)
легко найти положение центра тяжести фигуры*
Задача № 32. Найти центр тяжести площади полуокружности.
4戸
Решение. Объем шара V=：—лг3, площадь полукруга S=-^-, подставляя в (49), получаем
V 4r
5涼5 =而・
Ответ. хс = 0,4244г.
Легко доказать аналогично и вторую теорему: площадь поверхности, описанной при вращении плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей эту кривую, равна произведению длины кривой на длину траектории, описанной ее центром тяжести,
S = 2лхс/.(50)
Задача № 33. Найти центр тяжести дуги полуокружности.
Решение. Поверхность шара S = 4nrt длина полуокружности 1 = яг, Подставляя в (50), получаем уже известный нам результат
S 2r
2л/ л
Ответ.= 0,6366г.
ЧАСТЬ II
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА VH1
ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ
ПРЕДМЕТ КИНЕМАТИКИ
Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектамКинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектамАрифметика наряду с некоторыми другими науками, занимающимися исчислением, является наиболее отвлеченной из математических наук. Для нее достаточно одного понятия «число», и она не нуждается ни в каких других фундаментальных понятиях.
Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам
Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета сил, приложенных к движущимся объектам
Геометрия не может ограничиться одним
понятием числа. Она основывается также и на понятиях, связанных с геометрической формой (длина, поверхность, объем, угол). Геометрия часто пользуется понятием движения; линию геометрия определяет как след точки. Но если точка оставила след, то, следовательно, она передвигалась; фигура, образовавшая тело вращения, поворачивалась вокруг оси, т. е. тоже находилась в движении. Однако геометрию не интересует, совершалось ли это движение в течение многих тысячелетий или же в малые доли секунды. Понятие времени чуждо геометрии. Размерностью геометрических величин является размерность длины L в той или иной степени (площадь измеряется в L2, объем ——в L3, размерность угла ~ = 1, т. е. отвлеченная величина).
К понятиям числа и геометрической формы добавляется новое понятие — «время» в науке, изучающей геометрические свойства движения и называемой кинематикой.'
«В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени»2. Механическое движение, как и все прочие виды движения (теплота, электричество, ядерные процессы, органическая жизнь ипр.), не может
происходить вне времени. Напомним, что под механическим движе- н^ем мы понимаем один из видов движения материи, выражающийся в изменении с течением времени взаимных положений тел или частей теЛа. Положение тел, а также их механическое движение может быть отмечено лишь относительно других реальных или условных тел. Так, например, положение корабля может быть отмечено относительно берегов или относительно сетки географических долгот и широт; чТОбы дать положение летящего самолета, можно указать направление, в котором этот самолет находится, и расстояние до него или же дать его координаты х, у и z относительно системы осей, определенным образом ориентированных в пространстве; чтобы дать положение поезда, можно назвать железную дорогу, по которой он движется, и его расстояние от станции. Реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движущихся тел, называют системой отсчета.
Кинематика изучает изменения в положении тел по отношению к системе отсчета. Она дает возможность разобраться в многообразии видов механического движения и установить пространственные и временные меры движения (путь, скорость и т. п.), но не дает возможности предсказать, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, или определить, какие силы должны быть приложены к телу для того, чтобы оно совершало то или иное движение. Понятие «силы>> чуждо кинематике.
Формулы размерности кинематических величин содержат размерности длины L и времени Т, размерность же силы F или массы М в размерность кинематических велнчнн не входит.
Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучают механическое движение, рассматриваемое без учета си』， приложенных к движущимся объектам. Изучение же механического движения в связи с силами, приложенными к движущимся объектам, составляет предмет динамики.
Кинематика наряду со статикой является необходимой предпосылкой динамики и, следовательно, всех других механических дисциплин. Но кинематика имеет также и непосредственное применение в технике. Техника широко пользуется законами и формулами кинематики. Большое значение кинематика имеет в теории механизмов и машин (ТММ).
КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ сведения
Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сло-Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сло-О РАЗВИТИИ КИНЕМАТИКИ
Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сло-
Многие сведения из кинематики были известны еще в глубокой древности. Так, например, в сочинении «Механические проблемы», принадлежащем Аристотелю или кому-либо из его учеников, дан закон сло-
Кинематика как самостоятельный раздел теоретичес- к°й механики возникла в XIX столетии
*ения двух прямолинейных равномерных движений. В древней астро- Номнн пользовались равномерным круговым движением точки и зна』％ что проекция этой точки на прямую, лежащую в той же плоскости, совершает гармоническое колебание. Но появление отры-
вочных сведений еще не является возникновением науки. И хотя основателем кинематики иногда называют Галилея, кинематика как самостоятельный раздел теоретической механики возникла лишь в Х1Хв.
Упомянем о некоторых из открытий Галилея в области кинематики.
Галилей показал, что пути, проходимые движущимся телом, не всегда пропорциональны времени, и в своих исследованиях он пользовался понятием скорости. Но во времена Галилея считали возможным делить друг на друга только отвлеченные или одноименные числа, и потому Галилей не дал формулы скорости точки как отношения пройденного пути ко времени: и
Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального псчисл?ния. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданном в Петербурге в 1736 г.
Совершенно новым понятием, к которому пришел Галилей, возможно, под влиянием работ Бенедетти, было понятие ускоренного прямолинейного движения, хотя Галилей не вводит термина «ускорение» и не приводит формулы ускорения как отношения изменения величины скорости ко времени.
Галилей дал законы равноускоренного движения и свободного падения тел, установив, что пути, проходимые падающим телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел. Так, было установлено, что пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадрату времени, и в современном обозначении
u = gf; h=哆.
Законы падения тел Галилей вывел экспериментально, наблюдая качение шаров по наклонным плоскостям. Еще Леонардо да Винчи, великому предшественнику Галилея в области механики, была известна зависимость между длинами (и высотами) наклонных плоскостей и временем, в течение которого с этих плоскостей спускаются шары. Но эти работы Леонардо да Винчи не могли оказать влияния на развитие науки, они стали частично известны лишь после того, как в 1797 г. их опубликовал Вентури. К。времени их опубликования эти работы имели только историческое значение,
Галилей показал, что движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, состоит из двух независимых друг от друга движений: горизонтального равномерного и вертикального равнопеременного. Этим он не только ввел в употребление законы параллелограмма перемещений (см. § 27), но в принципе обосновал введенный значительно позднее (в 1742 г.) Маклореном координатный способ определения движения (см. § 21), при котором движение точки рассматривают по движениям ее проекций на неподвижные оси.
Кинематика солнечной системы была создана в развитие теории Коперника астрономом Иоганном Кеплером и выражена в трех законах (1609и 1619 гг.). Хотя законы Кеплера относятся только к движению планет, они имели громадное влияние на развитие всей теоретической механики.
Гюйгенс установил, что при движении точки по окружности центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга, откуда позднее было установлено, что при всяком криволинейном движении нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально радиусу кривизны.
Эйлер, по-видимому, первый (1772 г.), а за ним уже Ампер (1834 г.) предложили выделить кинематику в самостоятельный раздел механики —учение а,механическом движении без учета сил, приложенных к движущимся объектам.
Гаспар Кориолис исследовал составное движение и доказал (1831 г.) знаменитую теорему, позднее получившую название теоремы Кориолиса* Эта теорема является основной в механике относительного движения и имеет огромное значение для различных отраслей науки. Несколько позднее на основе этой теоремы в кинематике составного движения точки стали применять ускорение Кориолиса.
Понятие полного ускорения как величины, характеризующей изменение скорости в данное мгновение, установлено сравнительно недавно. Эта честь принадлежит Понселе, впервые начавшему применять поня* тие и термин «ускорение» в своих лекциях (1841 г.), и Резалю, впервые применившему его в учебнике (1851 и 1862 гг.).-
Луи Пуансо в работе «Новая теория вращения тел» (1834 г.) обогатил кинематику рядом блестящих исследований и дал наглядные геометрические интерпретации. В частности, он изучил сложение вращений и вращение тела около неподвижной точки. Эта геометрическая теория позднее была развита Понселе, Шалем, Мебиусом и др.
По-видимому, первую монографию по кинематике под названием «Трактат по чистой кинематике (движение, рассматриваемое независимо от его причин)» издал Резаль (1862 г.). По прикладной кинематике заслуживает упоминания книга проф. П. О. Сомова «Кинематика подобно-изменяемой системы двух измерений» (1885 г.).
В настоящее время кинематика является хорошо исследованной областью науки, и дальнейшее развитие кинематики происходит преимущественно в виде применения ее к различным частным задачам техники.
ГЛАВА IX
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 21. ЕСТЕСТВЕННЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ движения точки
При естественном способе определения движения точки должны быть заданы ее траектория н расстояние как некоторая непрерывная однозначная функция времениПри естественном способе определения движения точки должны быть заданы ее траектория н расстояние как некоторая непрерывная однозначная функция времениЕстественный способ определения движения. Изучение движения точки без учета приложенных к ней сил составляет задачу кинематики точки. Кинематика точки является основным и вместе с тем наиболее простым отделом кинематики.
При естественном способе определения движения точки должны быть заданы ее траектория н расстояние как некоторая непрерывная однозначная функция времени
При естественном способе определения движения точки должны быть заданы ее траектория н расстояние как некоторая непрерывная однозначная функция времени
Чтобы определить движение точки, не
обходимо знать, какое положение она занимает в данное мгновение
и как это положение изменяется с течением времени.
Определить положение и движение точки относительно какой- либо системы отсчета можно различными способами. Познакомимся с одним из этих способов, называемым естественным способом определения движения точки, или способом определения движения точки по заданной траектории.
Движущаяся точка в различные мгновения занимает различные положения относительно системы отсчета. Геометрическое место всех последовательных положений движущейся точки относительно данной системы отсчета называют траекторией точки \ или, коротко, траекторией.
Движение точки называют прямолинейным, если траектория — прямая линия, и криволинейным, если траектория——не прямая, а какая-либо кривая линия. Эта кривая может быть плоской (например, парабола) или не плоской кривой (например, винтовая линия).
Траектория точки может быть известна (задана) еще до того, как началось движение точки. Так, например, полотно железной дороги является траекторией поездов, траек- —十тории (орбиты) искусственных спутников вы
числяют еще до начала их полета.
s/Пусть точка движется по некоторой траек-
/тории (или, как говорят, описывает траек-
Jторию) и в данное мгновение занимает поло
жение М. (рис. 77). Положение точки М. известно, если дано ее расстояние s = АМ (изме-
Рис. 77ренное по траектории) от точки 4, принятой
речи часто встречается выражение «траектория движения».речи часто встречается выражение «траектория движения».1 В разговорной ,..
речи часто встречается выражение «траектория движения».
речи часто встречается выражение «траектория движения».
Эю выражение неправильно, употреблять его не следует.
За начало отсчета, причем расстояние считают положительным по одну сторону от. точки А и отрицательным——по другую. Положительное направление отсчета выбирают в зависимости от условий задачи. Так, например, местонахождение поезда известно, если известна железная дорога и расстояние s поезда от какой-либо станции; разумеется, при этом надо знать, по какую сторону от станции находится поезд на данном расстоянии s.
Расстояние s движущейся точки с течением времени изменяется, оно является функцией времени
(51)(51)s = s (f).
(51)
(51)
Эта функция однозначна, так как точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение, а не несколько.
Эта функция непрерывна, так как точка не может перейти из одного положения на траектории в другое, минуя промежуточные.
Кроме того, функция (51) должна быть дважды дифференцируемой; прочие случаи в нашем курсе не рассмотрены, как не имеющие практического значения.
Функцию s (/) называют кинематическим уравнением движения точки по траектории у или законом движения.
Движение точки задано, если положение точки может быть определено в любое мгновение. Чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо и достаточно задать траекторию точки и уравнение движения точки по траектории. Так, например, если известно, что поезд идет из Москвы в Курск (траектория — Московско-Курская ж. д.), следуя закону s= 100/, где s—расстояние от Москвы в километрах, f—время, протекшее после отхода поезда из Москвы, выраженное в часах, то местонахождение поезда в любой момент времейи может быть определено, и движение поезда является заданным в естественной форме.
Алгебраическая величинаскорости выражается первойпроизводной от расстоянияпо времени:dsАлгебраическая величинаскорости выражается первойпроизводной от расстоянияпо времени:dsАлгебраическая величина скорости. В каждое мгновение движущаяся точка занимает одно и вполне определенное положение на своей траектории. Но с течением времени положение точки меняется. Чтобы охарактеризовать изменение положения точки на ее траектории в любое дан-
Алгебраическая величинаскорости выражается первойпроизводной от расстоянияпо времени:
ds
Алгебраическая величинаскорости выражается первойпроизводной от расстоянияпо времени:
ds
ное мгновение, введем понятие алгебраической величины скорости ТОЧКИ.
Подставим в (51) какое-либо частное значение времени / и вычислим значение s, соответствующее этому значению t、Тем самым мн определим положение точки М на ее траектории в это мгнове- Ние. Через промежуток времени △/ положение точки изменится на Некоторую величину As. Предположим, что точка Л1 в течение вре- Менн △才 движется по своей траектории в одном направлении (не совершает возвратных движений). Величину As мы назовем прира-
щением расстояния точки М за время А/ и определим ее по приращению функции (51):
(52)(52)Отношение приращения расстояния точки к соответствующему промежутку времени называют средней скоростью точки:
(52)
(52)
% = 57・
Если мы будем уменьшать промежуток времени, оставляя неизменным начало этого промежутка, то отношение (52) будет стремиться к некоторому пределу, называемому алгебраической величиной скорости точки в данное мгновение, или, коротко, алгебраической скоростью точки:
Aslim .
dsdsВ правой части равенства мы имеем производную от расстояния по времени. Следовательно, алгебраическая величина скорости выражается первой производной от расстояния по времени:
ds
ds
(53)
Итак, если движение точки задано в естественной форме, то для определения алгебраической величины скорости нужно взять первую производную по времени от расстояния, выражаемого законом движения точки. Если знак производной положителен, то, следовательно, расстояние возрастает, и точка М движется по траектории в том направлении, которое мы приняли за положительное при отсчете расстояний s; при отрицательной производной точка движется в обратную сторону. Таким образом, формула (53) определяет величину скорости и показывает, в какую сторону траектории движется точка. Эту формулу широко применяют при решении задач. Размерность скорости равна размерности длины, деленной на размерность времени:
[v] = LaT-1.
В зависимости от условий задачи скорость измеряют в километрах в час (км/ч), или км/сек, или мм [сек и т. п.
При естественном способе определения движения закон движения точки может быть задан графиком расстоянияПри естественном способе определения движения закон движения точки может быть задан графиком расстоянияГрафики. При изучении движения точки по траектории часто пользуются графическим методом. Графический метод при естественной форме задания движения особенно удобен в тех случаях, когда за-
При естественном способе определения движения закон движения точки может быть задан графиком расстояния
При естественном способе определения движения закон движения точки может быть задан графиком расстояния
висимость расстояния s от времени t не может быть выражена аналитически соотношением (51), но могут быть определены (например, экспериментально) расстояния sn sa, s3, ..., srt точки M, соответствующие отдельным мгновениям 友，％, %, …，tn.
Откладывая по «оси времени» (по оси абсцисс) (рис. 78, а) значения времени, а по «оси расстояний» (по оси ординат)—расстоя-
н11я s, соответствующие этим мгновениям, мы построим отдельные точкм графика, соединяя которые, получим кривую (рис* 78, а, 6), называемую графиком расстояний, или графиком движения. Движение точки определено, если даны ее траектория и график движения. /
В таком случае для определения алгебраической скорости применяют методы графического дифференцирования, изучение которых
今 ％ 々 0cb 雌мени in a)今 ％ 々 0cb 雌мени in a)：歹Ось времени G：歹Ось времени G-нкои!--s4-нкои!--s4
今 ％ 々 0cb 雌мени in a)
今 ％ 々 0cb 雌мени in a)
：歹Ось времени G
：歹Ось времени G
-нкои!--s4
-нкои!--s4
Рнс. 78
не входит в нашу программу. По одному из этих методов для определения скорости в какое-либо мгновение tr нужно измерить тангенс угла между осью времени и касательной к графику расстояний, проведенной в точке, абсцисса которой равна У (рис. 78, б). Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен 黑.В нашем случае ось расстояний——это ось у, а ось времени——это ось х, следовательно,
, ds
Можно построить график зависимости скорости и от времени Л Такой график называют графиком скорости, или тахограммой.
Графический метод широко применяют, в частности, при изуче- ник различных механизмов и машин.
Задача № 34. Точка М совершает прямолинейное движение по закону s= ЛЛ4 — 2 sin л/+ I- Определить расстояние точки, величину и направление ее ^корости через каждые 1/4 сек от начала движения и построить по точкам гра- Я*ик движения (рис. 79, а).
Решение. Дифференцируя уравнение движения, получим
о = 6,28 cos л/.
(7 — ро"ставляя сюда и в уравнение движения частные значения времени Q°ce% 0,25 се%, 0,5 сек), найдем следующие частные значения з и и:
0
0(00 I 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 + 1,00 I +2,41 I +3,00 I +2,41 I +1,00 | -0,41 | -1,00 I -0,41 | +>.00
十6,28 I +4,43 I 0,00 J 一4,43 | —6,28 ( -4,43 ) 0,00 ) +4,43 | +6,28
Если за положительное направление на траектории принято направление вправо от начала отсчета (от точки 4), то в''
дилась справа от 4 на расстоянии 1 см,
в это мгновение
начальное мгновение точка
М нахо-
алгебраическая величина скорости
движение
тоже положительна
-書E--qoo
Затем
происходит
вправо.
скорость уменьшается и
Рис. 79
Для оси (ось
в мгновение / = 0,5 се/с обращается в нуль. С этого мгновения точка М начинает двигаться влево, алгебраическая скорость становится отрицательной, расстояние пока остается положительным, но уменьшается. В какое-то мгновение, находящееся между 1 сек и 1,25 сек, точка М проходит через начало отсчета 4 и расстояние равно 0, но затем становится отрицательным. Точка 附 продолжает двигаться влево, но скорость ее по абсолютной величине уменьшается и в мгновение / = 1,5 сек меняет знак, следовательно, меняется направление движения, но расстояние остается отрицательным, так как точка М находится по отрицательную сто рону от точки А. В мгновение 2 = 2 се% точка возвращается i начальное положение, обладав' скоростью, равной начально!! скорости, и с этого мгновение движение повторяется в том ж「 порядке.
построения графика расстояний нарисуем две взаимно перпендикулярны*времени и ось расстояний) и нанесем точки, абсциссы которых (в каком-
либо масштабе) равны 0; 0,25; 0,50, а ординаты (тоже в каком-либо масштабе)— соответствующие им расстояния s (рис. 79, 6). Соединяя затем плавной кривой вс? эти точки, получим график расстояний (рис. 79, в).
График расстояний не зависит от траектории, и если бы точка М двигалась, следуя тому же закону s = 2sinn£+i, по какой-либо другой траектории, тс
график расстояний остался бы
тот же.
При векторном способе определения движения точки должен быть задай ее радиус- вектор как функция времени
к точке М (рис. 80, а). Во время движения
Задание движения точки в векторной форме. Положение точки М по отношению к какой-либо системе отсчета может быть определено радиусом-вектором г = 0М, проведенным из центра О данной системы отсчета
точки радиус-вектор ее изменяется. Чтобы
определить движение точки, нужно задать ее радиус-вектор для каждого мгновений, т. е. выразить его в виде некоторой векторной
функции времени
(54)
Эта функция должна быть однозначной и непрерывной. Такой способ определения движения точки называют векторным.
Пусть положение движущейся точки в мгновение, принятое нами за начальное, определяется радиусом-вектором г^ОМ (рис* 80,6). Через промежуток времени А/ точка переместилась и заняла другое положение, которое мы назовем конечным для данного отрезка времени, и радиус-вектор ее стал г^ОМр Проведем вектор Дг = ЛШх из точки М в точку Mlt Как видно из чертежа,
g=尸+а尸и ДГ ^rx -T.
Вектор Дг, проведенный из начального положения точки в конечное, определяет изменение положения точки в данной системе отсчета и называется перемещением точки.
Вектор Af отмечает положения точки только в начальное и конечное мгновения интервала времени △九 но не дает возможности определить положение точки в промежуточные мгновения этого ин
тервала времени. За бесконечно малый отрезок времени перемеще- нне точки тоже бесконечно мало. Оно выражается бесконечно малым вектором, называемым элементарным перемещением. Элементарное перемещение точки соответствует ее действительному передвижению за данный бесконечно малый промежуток времени.
Перемещение — пространственная мера движения точки и выра- ^зется в единицах длины. Оно характеризует передвижение точки Только с геометрической стороны, вне зависимости от времени, и, Как и траектория точки, является геометрическим понятием.
Но между перемещением точки за какой-либо промежуток вреМени и траекторией, описанной точкой за то же время, есть сущестВенное различие: перемещение—это вектор, соединяющий положения
точки в начальное и конечное мгновения данного промежутка времени, а траектория—совокупность всех положений, которые занимала точка в различные мгновения этого промежутка времени. Так, например, если теплоход вышел из Москвы, по каналу прошел в Волгу, спустился по Волге до Волго-Донского канала, перешел в Дон и доплыл до Ростова, то перемещение его изобразится вектором, проведенным из Москвы в Ростов по хорде земного шара, а траекторией является вся пройденная теплоходом трасса.
К понятиям траектории и перемещения близко примыкает понятие «путь», с которым мы сейчас ознакомимся. Пусть в начальное мгновение точка занимает на своей траектории положение М. (рис. 81, а), а через промежуток времени А/ — конечное положение Мп. Вектор ММп является перемещением точки за время Д/. Разбив интервал времени А/ на части, мы отметим промежуточные положения точки (М1У 〃纟,М3, .. .) и все их последовательно сое-
Рис. 81
диним хордами. Мы получим ломаную 〃伍此此…此(рис. 81, 6). Чем меньше отрезки времени, на которые мы разбили Д/, тем ближе ломаная соответствует траектории точки и тем меньше длина ломаной отличается от длины дуги, пройденной точкой за время А/. Назовем путем точка предел суммы абсолютных значений элементарных перемещений точки за данный конечный промежуток времени. Следует обратить внимание на то, что для получения пути мы взяли предел арифметической суммы абсолютных значений (модулей) элементарных перемещений, а не геометрической суммы этих перемещений. Если бы эти перемещения мы складывали геометри
чески (рис. 81,8), то получили бы перемещение ММ也.
Путь не надо смешивать с расстоянием s. Отличие заключается в следующем: путь всегда положителен и с течением времени возрастает, расстояние же определяется величиной и знаком 《+》или 《一》и с течением времени может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от направления движения точки. Если точка (см. рис. 81), двигаясь по траектории из пункта М, достигла пункта М}1, а затем вернулась в пункт Л13, то путь точки равняется сумме дуг ММп-\-МпМ^ а расстояние от точки М (если этот пункт принят за начало отсчета расстояний) равно длине дуги 必此，причем ему
следует приписать знак《+》или «—》в зависимости от того, какое направление принято за положительное при отсчете расстояний.
Вектор скорости. Для характеристики дви-
Скорость выражается пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от радиуса-вектора по времени:今 drСкорость выражается пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от радиуса-вектора по времени:今 drжения точки не только в пространстве, но и во времени возьмем отношение перемещения точки ко времени, в течение которого происходило это перемещение:
Скорость выражается пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от радиуса-вектора по времени:
今 dr
Скорость выражается пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от радиуса-вектора по времени:
今 dr
岂
Такое отношение является вектором, направленным по вектору перемещения
точки, потому что от деления на скалярную величину вектор не меняет направления. Будем уменьшать промежуток времени А九 оставляя неизменным начало этого проме
жутка. Тогда вектор будет приближаться к определенному век
limlimтору и как к своему пределу:
lim
lim
(55)
Вектор V выражает скорость точки и характеризует с кинематической (а не только с геометрической) стороны изменение положения точки в данное мгновение.
Следовательно, скорость точки——это пространственно-временная мера движения, характеризующая изменение положения точки в данное мгновение в данной системе отсчета, выражающаяся пределом отношения элементарного перемещения к соответствующему промежутку времени, т. е. первой геометрической производной от радиуса- вектора по скалярному аргументу — времених.
Определим направление и. Вектор ^ направлен по хорде траектории в сторону движения точки. Пусть промежуток времени А/ стремится к нулю, но начало этого промежутка остается неизменным. Одновременно хорда (точнее, секущая) стремится к касательной, следовательно, вектор и в данной точке траектории направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (см. рис. 80, в)2.
Заметим, что всякую кривую, являющуюся геометрическим местом концов переменного вектора, выходящего из одной точки и выра-
Часто употребляемое выражение «скорость движения» неправильно, так как скоростью обладает точка, а не движение,
Это открытие сделано Робервалем (1635 г.).
женного функцией времени, называют годографом вектора1. Следо
вательно, траектория точки является годографом ее радиуса-вектора.
Ускорение выражается пределом отношения изменения скорости к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от вектора скорости по времени:dtное мгновение ив даннойУскорение выражается пределом отношения изменения скорости к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от вектора скорости по времени:dtное мгновение ив даннойВектор ускорения. При равномерном прямолинейном движении точки скорость сохраняет свою величину и свое направление. При неравномерном и криволинейном движении скорость изменяется по величине и по направлению.- Изменение величины и направления скорости происходит с течением времени. Пространственно-временной мерой изменения скорости точки в дан- системе отсчета, является ускорение точки2.
Ускорение выражается пределом отношения изменения скорости к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от вектора скорости по времени:
dt
ное мгновение ив данной
Ускорение выражается пределом отношения изменения скорости к соответствующему промежутку времени, т. е. первой производной от вектора скорости по времени:
dt
ное мгновение ив данной
Пусть скорость точки в некоторое мгновение изображается вектором V (рис. 82, а), а через промежуток времен。А/ она изменилась
и стала vt. Изменение скорости за время А/ изобразится разностью этих векторов (рис. 82, 6):
Возьмем отношение вектора А и изменения скорости ко времени А/, в течение которого это изменение произошло, и будем умень
шать А九 сохраняя начало этого промежутка, тогда вектор ^ будет изменяться, приближаясь к определенному вектору а, как к своему пределу. Этот предельный вектор а изображает ускорение точки. Следовательно, ускорение точки выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка к нулю:
илиилиа = Игл , т. е・也=而,а = Игл , т. е・也=而,(56)(57)(56)(57)
или
или
а = Игл , т. е・也=而,
а = Игл , т. е・也=而,
(56)
(57)
(56)
(57)
Размерность ускорения — это размерность скорости, деленной на размерность времени, или, что то же, размерность длины, деленной на квадрат размерности времени:
- [а]=иТ1
Единицей ускорения может быть кМ]се* м/се依 и т. п.
Формулы (56) и (57) часто применяют при выводе различных теорем кинематики и динамики, но ими не всегда удобно пользоваться при практических подсчетах и при решении различных технических задач. Более удобные для практики формулы будут выведены в следующих параграфах.
Метод Роберваля построения касательных к кривым
Задача № 35*. Построить касательную к эллипсу.
Решение. Рассмотрим эллипс как траекторию точки М (рис. 83, а). Приняв фокус ⑦ 1 за начало системы отсчета, мы можем считать эллипс годографом радиуса-вектора Г1 = Ф1Л1, выраженного в функции времени. Скорость точки М всегда направлена по касательной к траектории и, чтобы найти эту касательную, предположим, что мы разложили вектор скорости на две составляющие, одна из
Рис. 83Рис. 83
Рис. 83
Рис. 83
которых выражает быстроту изменения величины радиуса-вектора, следовательно, направлена по ФХМ и по величине равна первой производной от модуля радиуса-
вектора по временивектора по времениTPTPНазовем ее радиальной компонентой скорости и отложим
вектора по времени
вектора по времени
TP
TP
вдоль радиуса-вектора в виде произвольного отрезка МРЪ так как величина этой компоненты неизвестна. Вторая составляющая скорости направлена перпендикулярно к первой и характеризует быстроту поворота радиуса-вектора ФгМ. Эту компоненту вектора скорости называют mрансверсальной. Изобразим ее отрезком Р]7\ произвольной длины, перпендикулярным к MPlt так как величина этой компоненты также неизвестна. Если бы отрезки МРг и Р^Тх были нам известны, то скорость точки М изобразилась бы вектором МТг и мы нашли бы направление касательной к эллипсу в точке М.
Примем теперь за начало отсчета фокус Фа (рис. 83, 6). Тогда эллипс станет годографом радиуса-вектора г2=^Ф2М, радиальная компонента скорости будет направлена по радиусу-вектору и по величине равна . Припомним, что арифметическая сумма расстояний точки М, описывающей эллипс, от фокусов есть величина постоянная:
ri + r2 = c°nst.
Дифференцируя это равенство по времени, мы найдем, что величины радиальных компонент скорости па рис. 83, а и б равны между собой:
Знак минус показывает, что если увеличивается один радиус-вектор, то одновременно уменьшается другой и, как видно, иа такую же величину. Поэтому на рис. 83, 6 мы отложим от /И к Ф2 отрезок МР2 = MPlt а затем от точки Р2 перпендикулярно к МФ2 ——отрезок Р^Г^ представляющий трансверсальную компоненту скорости. Величина этого отрезка нам неизвестна, поэтому неизвестно и направление касательной МТ2.
Но если мы соединим оба чертежа вместе, то получим (рис. 83, в) точку Т на пересечении перпендикуляров Р/ и Р2T. Отрезок МТ в некотором масштабе изображает скорость точки М, а его направление дает нам касательную.
В эпоху, предшествующую открытию дифференциального и интегрального исчислений, проблема построения касательных к кривым имела исключительное значение (см. также стр. 227). Метод, примененный нами к решению этой задачи, был предложен Робервалем и основан на сделанном им открытии, что скорость точки всегда направлена по касательной к траектории.
§ 22・ КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:元=元(e); y=y(f)；z = z(f)При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:元=元(e); y=y(f)；z = z(f)Задание движения точки в прямоугольных координатах. Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки М в пространстве может быть определено положением ее проекций Р, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.
При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:
元=元(e); y=y(f)；z = z(f)
При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:
元=元(e); y=y(f)；z = z(f)
Положение точки Р на оси Ок вполне
определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой г.
Если точка М движется относительно осей хОуг, то проекции Р,
Q я R перемещаются по осямQ я R перемещаются по осями координаты точки М изменяются. Для определения движения точки М нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени х.
Q я R перемещаются по осям
Q я R перемещаются по осям
x~x(i), (58‘)
У = Уб (58〃) (58")
Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно
Соотношенияжения точки 6Соотношенияжения точки 6положение.
Соотношения
жения точки 6
Соотношения
жения точки 6
называют кинематическими уравнениями дви- прямоугольных координатах, а способ определения
Проектирование движущейся точки на систему трех неподвижных взаимно перпендикулярных осей впервые предложил Маклорен в 1742 г.
движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно,-1 потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.
Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат кОу，:
x = x(f), y^yW-
Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением
Уравнение траектории. Можно определить
Если движение точки заданов координатной форме, то дляопределения ее траекториинадо из уравнений движенияисключить времятельно, кинематическиеЕсли движение точки заданов координатной форме, то дляопределения ее траекториинадо из уравнений движенияисключить времятельно, кинематическиетраекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следова- уравнения движения точки (58) можно
Если движение точки заданов координатной форме, то дляопределения ее траекториинадо из уравнений движенияисключить время
тельно, кинематические
Если движение точки заданов координатной форме, то дляопределения ее траекториинадо из уравнений движенияисключить время
тельно, кинематические
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической
форме, а время ——как независимый переменный параметр.
Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в гео
метрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время Л Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58‘)и (58"), мы получим соотношение, связывающее хну:
(59)(59)/ (х, У) = 0.
(59)
(59)
Это уравнение плоской кривой——траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
(59')(59')/1 (х. У, Z)= о,]九(х, у, z) = 0, j
(59')
(59')
1 Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма н независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже.
выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59') выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.
Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:
ds з= +К(dx)2 + (dy)? + (厶尸.(60)
Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.
Задача № 36. По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:
х —5 cos 2/, y = 3 + 5sin2/;
х= 21,2 sin1, // = 21,2 cos21,
В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.
Решение. 1) Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим
尤望+ ®—3)2 = 25.
Это уравнение окружности с центром в точке:尤=0, у = +3.
Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx = — 10 sin 2/ dt, dy= 10 cos 2/ dt.
Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:,
s=10f + & где C = s0.
Исключим время из уравнений движения во втором примере:
尤+ у = 212
Это уравнение первого порядка относительно хну, следовательно, траектория——прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что хну должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой 尤+у = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).
На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.
Продифференцируем уравнения движения:
dx— 21,2*2 sin / cos f df, %== — 21,2*2 sin t cos £ dt.
Теперь по формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:
ds= К898,8*(2 sin £cQs7Z/d30・2 sin / costdt.
Для получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при £ = 0, so = O):
s = 30，2 sih £ cos t dt-\-С = 30 sin2 i.
Ответ. Уравнения траекторий
严 + 匂―3)2 = 25 и 尤+g = 21,2; уравнения движения по траектории s= 10/ + so и s = =30 sin 2f.
Задача № 37. Движение точки задано уравнениями:
% = / cos ф (/) —У sin ф (/),у = / sincp (f) + y cos 屮(f),
где %’ и д' — некоторые постоянные величины, а(р(/) — любая функция времени. Определить траекторию точки.
Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:
,产十外=元，2十g%
По условию, xf и yf — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через г2, получим
产+д2 = /Л
Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса г = И x,z+y,2.
Задача № 38 (№ 327. Н. Н, Б у х г о льц, И. М. Воронков и А. П. Минаков. Задачник по теоретической механике.
Гостехиздат, 1944). Поезд длиной I м сначала」
Рис. 86Рис. 86идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2а к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.
Рис. 86
Рис. 86
Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.
Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделящим угла 2a (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью у м/се& и в начальное мгновение』0 подошел к горе.
Тогда за время £ сек на гору поднимется и/ м состава поезда и останется на горизонтальном пути / — vt м. Будем считать, что единица длины поезда весит у.
Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда;
yvt — cos а—y (Z—”)一-— cos а-
丫次-~ sina + Y (/亠 vt) —g— sina
(況)2一 (/ — ”)22/”一/2
Xc = —~^ cos a = —^— cos a,
何)2+(/ 一")2 ,2(")2 — 2历ё十聲.
Ус =工丿J~- sin a =~f———sin a.
Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или vt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:
sina 2 . 1 ..
Ответ. Парабола.
Задача № 39 (10.5, 313 М). Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению % = £; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у— 1,5/ (% и у—в м, / — в сек). Цепь укорачивается со скоростью и = 0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).
Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:
然35,
откуда dz = 0,5df, и легко получаем третье уравнение:
2 = 0,5/.
Определив / из первого уравнения, подставим во второе и в третье:
у =1,5尤， 2 = 0,5%.
Ответ. Прямая.Алгебраическая величина скорости проекции точки иа координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени;Ответ. Прямая.Алгебраическая величина скорости проекции точки иа координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени;Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.
Алгебраическая величина скорости проекции точки иа координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени;
Ответ. Прямая.
Алгебраическая величина скорости проекции точки иа координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени;
Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось. Пусть движение точки М определяется тремя уравнениями:
х = х«),(58，)
? = У0(瞅)
z =z(f).(58〃‘)
По мере движения точки М в пространстве ее проекции Р, Q н R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.
Так, координата (абсцисса) точки Р всегда равна абсциссе точки м, а координаты точек Q м R всегда равны ординате и аппликате точки М, Следовательно, при движении точки М в пространстве согласно уравнениям (58) точка Р движется по оси Ох согласно уравнению (58‘)，а точки Q и R — соответственно по осям Оу и Oz согласно уравнениям (587/) и (58")
Таким образом, движение точки М в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций Р, Q н R.
Определим скорость vp точки Р при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки М на ось Ох.
Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки Р является дифференциал абсциссы х, а поэтому
(6Г)
Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции Р точки М на координатную ось равна первой производной от текущей координаты 尤 по времени f. Она положительна, если точка Р движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка Р движется в отрицательном направлении.
3-出 ^-^3-出 ^-^Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и Я на ось Оу и на ось Ог:
3-出 ^-^
3-出 ^-^
(61〃)
(6У〃)
Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
Up=i& % = ! &； UR=h^・(61)
Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось: ~ = у cos а&Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось: ~ = у cos а&Скорость проекции и проекция скорости. Пусть точка М. за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):
Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на ту
же ось: ~ = у cos а&
Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на ту
же ось: ~ = у cos а&
ds = + /(厶)2+(也/户+ (血产,
где d%, dy и dz ——проекции элемента дуги на оси координат, или, "то то же, элементарные приращения координат точки М.
На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элемен-
тарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны:
空曲亚由女心_一 -=%心咒空曲亚由女心_一 -=%心咒
空曲亚由女心_一 -=%心咒
空曲亚由女心_一 -=%心咒
Величина скорости точки М может быть определена по (53):
и =и =ds"S'ds"S'
и =
и =
ds
"S'
ds
"S'
Чтобы определить проекцию скорости и на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между
направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки М на оси координат имеем:
ds dx dx
% = ucosa° =不石=应
(63，)
a ds dy dy
(63")
由 dz dz
% = UCOS% =京工=迈=外。
(63"‘)
Равенства (63) словами нужно Читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.
Задача № 40*. Доказать, что проекция vXy скорости и точки М (х, yt г) иа плоскость хОу равняется скорости vx, с которой движется по плоскости проекция Mi (х, у, О) точки М на ту же плоскость.
Решение, Скорость у точки М составляет с осью Oz угол у&, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° ——у& н косинус этого угла равен sin у». Поэтому модуль проекции скорости точки М на плоскость хОу
。勺=^ /1 —cos2 Yp.
Подводя — под радикал и выражая cos 丫皆 по формуле (62), мы убедимся.
что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:
Направления векторов vxy и Vj тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.Направления векторов vxy и Vj тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:u - p^ 成 +02 +0？Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:u - p^ 成 +02 +0？Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:〜=и cos 乩，'(63)% = и cos % /Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:〜=и cos 乩，'(63)% = и cos % /и сложим их:и сложим их:理 + 呜 + ^ = v2 (cos2 а + cos2 р + cos2 7).Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице иD2 =破+ %+%ИЛИ.。=+ /礎 + 验+ %•(64)Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак 《+》или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.Направляющие косинусы скорости. Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых理 + 呜 + ^ = v2 (cos2 а + cos2 р + cos2 7).Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице иD2 =破+ %+%ИЛИ.。=+ /礎 + 验+ %•(64)Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак 《+》или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.Направляющие косинусы скорости. Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемыхНаправление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:cos а^cos а^у.у.cos ₽г, = —； cos Yy=—cos ₽г, = —； cos Yy=—направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):，° +l/(>+G)5+W cos8 =也= -〃 ，° +l/(>+G)5+W cos8 =也= -〃 где xt у и z — производные от х, г/ и 2 по ЛЕсли точка движется в плоскости хОу, то ^ = 90°, cos V^ — 0 и cos alsin3它.Задача № 41 (№ 385. И. Н. Веселовский. Сборник задач по теоретической механике. Гостехиздат, 1955). Уравнения движения сутьгде xt у и z — производные от х, г/ и 2 по ЛЕсли точка движется в плоскости хОу, то ^ = 90°, cos V^ — 0 и cos alsin3它.Задача № 41 (№ 385. И. Н. Веселовский. Сборник задач по теоретической механике. Гостехиздат, 1955). Уравнения движения суть%%-—(两十ef ) g = ^ (欧t — eW-—(两十ef ) g = ^ (欧t — eW
Направления векторов vxy и Vj тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.
Направления векторов vxy и Vj тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.
Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:
u - p^ 成 +02 +0？
Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:
u - p^ 成 +02 +0？
Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
〜=и cos 乩，'(63)
% = и cos % /
Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
〜=и cos 乩，'(63)
% = и cos % /
и сложим их:
и сложим их:
理 + 呜 + ^ = v2 (cos2 а + cos2 р + cos2 7).
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и
D2 =破+ %+%
ИЛИ.
。=+ /礎 + 验+ %•(64)
Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак 《+》или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.
Направляющие косинусы скорости. Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых
理 + 呜 + ^ = v2 (cos2 а + cos2 р + cos2 7).
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и
D2 =破+ %+%
ИЛИ.
。=+ /礎 + 验+ %•(64)
Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак 《+》или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.
Направляющие косинусы скорости. Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых
Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
cos а^
cos а^
у.
у.
cos ₽г, = —； cos Yy=—
cos ₽г, = —； cos Yy=—
направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):
направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):
，° +l/(>+G)5+W cos8 =也= -〃
，° +l/(>+G)5+W cos8 =也= -〃
где xt у и z — производные от х, г/ и 2 по Л
Если точка движется в плоскости хОу, то ^ = 90°, cos V^ — 0 и cos alsin3它.
Задача № 41 (№ 385. И. Н. Веселовский. Сборник задач по теоретической механике. Гостехиздат, 1955). Уравнения движения суть
где xt у и z — производные от х, г/ и 2 по Л
Если точка движется в плоскости хОу, то ^ = 90°, cos V^ — 0 и cos alsin3它.
Задача № 41 (№ 385. И. Н. Веселовский. Сборник задач по теоретической механике. Гостехиздат, 1955). Уравнения движения суть
%
%
-—(两十ef ) g = ^ (欧t — eW
-—(两十ef ) g = ^ (欧t — eW
Определить траекторию и скорость.
Решение, Из уравнений движения следует, что х п у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность
№ — у2~а2.
Для определения скорости найдем сначала ее проекции:
=可（或* — e-机）=电/,=可（或* — e-机）=电/,
=可（或* — e-机）=电/,
=可（或* — e-机）=电/,
а затем уже и полную скорость.
Ответ. Траектория — ветвь гиперболы № — у』。?一расположена в области положительных значений 尤；скорость и三々 У 产十У%
Задача № 42 (№ 11.6, 363 М). Движение точки задано уравнениями
x = v(yt cos а0, y = vot sin а0 — -- g*,
причем ось。尤 горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх, у0, g и 几Т Т U
а0 < -^—величины постоянные. Наити траекторию точки, координаты наивыс
шего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.
Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью и0 под углом а0 к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим
片xtga0一
2^o cos2 a0
уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).
Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную 黑,приравняв ее нулю, определить значение 尤 и,
подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная < 0. Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:
vx = v0 cosa0> 丐=% sina0—g/.
Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.
Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна и0 sin a0; затем, по мере увеличения /, проекция 斗 уменьшается, оставаясь положительной до мгно- / sin a0上
вения t =~^ , когда Vy обращается в нуль, после чего vy становится отри
цательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени /.
Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь, sin an
Мгновение / 石,при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и и=и%. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, иайдем координаты наивысшей точки траектории:
尤=^ sin2ao> ^ =甄 Sid%
Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем нулю второе из уравнений движения:
%/sin%—^-g尸=0, или / (% sin а。号)=0.
тссsin а0
Точка находится на оси Ох два раза: при /=0 и при / = ―^^.
'Первое значение Z соответствует началу движения, второе—падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.
Подставляя значение f = 0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:
% = + и。cos а0,巧=+ % sin а0.
Подставляя второе из найденных значений 九 найдем скорости в момент падения:
勿=+ % cos а0> % = — % sin а0.
Ответ. 1) Парабола у~х tg а0萨；
2vo cos2 a0
2)"翁 sin2&,2)"翁 sin2&,Vo ■ о4=帝 sm2 a0>Vo ■ о4=帝 sm2 a0>
2)"翁 sin2&,
2)"翁 sin2&,
Vo ■ о
4=帝 sm2 a0>
Vo ■ о
4=帝 sm2 a0>
ggРис. 89Рис. 89
g
g
Рис. 89
Рис. 89
u* 二^ Vq cos a。，Vy =： 土 ％ sin a。,
причем верхний знак соответствует началу движения, а нижнии — концу.
Задача № 43 (№ 11. Б. С. Зернов. Сборник задач по теоретической механике, ч. I, Кинематика. ГНТИ, 1931). По осям координат (рис. 89) скользят две муфты А и В, соединенные стержнем АВ длиной /. Скорость В равна Од. При
каком положении муфт скорость муфты Л вдвое больше ид?
Решение. Координата точки 4 связана с координатой точки В соотношением
УА = У —
Считая х а у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек;
dxR
dt Ji?一務 *
TT dxn,du лс
Но -~=vq и по условию надо, чтобы величина -~ была равна 2“& т. е.
2切=一2切=一Р/ТР/Т
2切=一
2切=一
Р/Т
Р/Т
откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.
2 М5
Ответ. хв=—g— Z (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).
Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости иа ту же ось или второй производной от текущейПроекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости иа ту же ось или второй производной от текущейУскорение проекции и проекция ускорения. Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого
Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости иа ту же ось или второй производной от текущей
Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости иа ту же ось или второй производной от текущей
координаты по времени： промежутка времени к нулю.
_d2xДля того чтобы определить ускорение
凉гточки М при ее движении в пространстве,
рассмотрим сначала движение по оси Ох точки Р, являющейся проекцией точки М на эту ось.
Пусть в некоторое мгновение f алгебраическая величина скорости точки Р была %, а в мгновение G = f + A£ стала % + А%. Тогда ускорение точки Р по величине и по знаку выразится пределом
a产 lira ^)
или
dvx爆=才・
Если знаки vx и ap одинаковы, то движение точки Р ускоренное, а если различны, то замедленное.
Аналогично выразятся ускорения проекций Q н R точки М на другие координатные оси:
曲уdvz
aQ = N，恤=夜.
Проекции и#, vy и vz сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций Р, Q я R в мгновение 九
Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е, к ускорению. Это значит, что написанные
выше равенства ния а точкивыше равенства ния а точкивыражают такжевыражают такженанакоординаткоординатпроекции %, ау и 能 ускоре- Ох, Оу и Oz:проекции %, ау и 能 ускоре- Ох, Оу и Oz:осиоси-状咼読-"一一 一一 --状咼読-"一一 一一 -a cos аа, а COS Ра， а cos Y〃，a cos аа, а COS Ра， а cos Y〃，(65)(65)
выше равенства ния а точки
выше равенства ния а точки
выражают также
выражают также
на
на
координат
координат
проекции %, ау и 能 ускоре- Ох, Оу и Oz:
проекции %, ау и 能 ускоре- Ох, Оу и Oz:
оси
оси
-状咼読-"一一 一一 -
-状咼読-"一一 一一 -
a cos аа, а COS Ра， а cos Y〃，
a cos аа, а COS Ра， а cos Y〃，
(65)
(65)
где cosaa, cos pa и cosya — направляющие косинусы ускорения.
Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:
a# = 旬=iciyya# = 旬=iciyyaz = ka.az = ka.(65‘)(65‘)
a# = 旬=iciyy
a# = 旬=iciyy
az = ka.
az = ka.
(65‘)
(65‘)
Векторы (65‘) являются составляющими ускоренияВекторы (65‘) являются составляющими ускоренияa.a.Модуль ускорения точкиравен квадратному корню изсуммы квадратов проекцийускорения на оси координат:a н /成+礴十冠Модуль ускорения точкиравен квадратному корню изсуммы квадратов проекцийускорения на оси координат:a н /成+礴十冠Величина ускорения при координатном способе задания движения точки. Возведем в квадрат каждое из равенств:% = acosaa， a，= acos0a， az = a cos уаВеличина ускорения при координатном способе задания движения точки. Возведем в квадрат каждое из равенств:% = acosaa， a，= acos0a， az = a cos уаи затем сложим их:и затем сложим их:磴 + 啰 + 從=围(cos2 4 + COS2 13a + COS2 丫 J磴 + 啰 + 從=围(cos2 4 + COS2 13a + COS2 丫 J
Векторы (65‘) являются составляющими ускорения
Векторы (65‘) являются составляющими ускорения
a.
a.
Модуль ускорения точкиравен квадратному корню изсуммы квадратов проекцийускорения на оси координат:a н /成+礴十冠
Модуль ускорения точкиравен квадратному корню изсуммы квадратов проекцийускорения на оси координат:a н /成+礴十冠
Величина ускорения при координатном способе задания движения точки. Возведем в квадрат каждое из равенств:
% = acosaa， a，= acos0a， az = a cos уа
Величина ускорения при координатном способе задания движения точки. Возведем в квадрат каждое из равенств:
% = acosaa， a，= acos0a， az = a cos уа
и затем сложим их:
и затем сложим их:
磴 + 啰 + 從=围(cos2 4 + COS2 13a + COS2 丫 J
磴 + 啰 + 從=围(cos2 4 + COS2 13a + COS2 丫 J
откудаоткудаa = + /磯+時+心.a = + /磯+時+心.(66)(66)
откуда
откуда
a = + /磯+時+心.
a = + /磯+時+心.
(66)
(66)
из суммы квадратов егоНаправление ускорения можно определить по направляю* щим косинусам ускорения: ах а °у cos иа — ~, cos pa —~COS Ya = ?из суммы квадратов егоНаправление ускорения можно определить по направляю* щим косинусам ускорения: ах а °у cos иа — ~, cos pa —~COS Ya = ?
из суммы квадратов его
Направление ускорения можно определить по направляю* щим косинусам ускорения: ах а °у cos иа — ~, cos pa —~
COS Ya = ?
из суммы квадратов его
Направление ускорения можно определить по направляю* щим косинусам ускорения: ах а °у cos иа — ~, cos pa —~
COS Ya = ?
Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать
так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню
проекций на оси координат.
Направляющие косинусы ускорения. Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
cosaa = ^, ■
(67，)
cos 瓦=^，
(67〃)
COS Ya = %
(67'")
Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).
Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.
Если точка движется в плоскости хОу, то 丫《 = 90°, cosy& = 0, cosaa = sin 必
Задача № 44. Точка М движется в системе координат хОу согласно уравнениям x~r cos л/, у— г sin л/, где х и у — в см, а / — в се&. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени Е = 0; 0,25; 0,5; 6,75,….，2 сек дать чертежи положений точки М, вектора скорости и вектора ускорения.
Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки М являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора г, составляющего с осью абсцисс угол л/:
COS = —=COS Л£； cos 卩尸== sin л/.
Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности
%2+炉==2.
^_Л弘一出^_Л弘一出Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:.
^_Л弘一出
^_Л弘一出
Uy — откуда по (64) получаем модуль скорости
Величина скорости точки М постоянна.'
Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62'):
cosа& = * = — sin л/,
cos = cos
V
Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.
Ускорение точки М найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:
dvx ?,
ах —cos
为 di，
dvy
勺=万=——Гл2 sin Я/,
откуда по (66) получаем величину ускорения
0 = )/成+若= гла
Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного
равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):
cos=竺=—• cos ,
COsBa = — = — Sinn 九
Направление ускорения точки М противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки М в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90, б и векторы ускорения — на рис. 90, в.
Ответ. Точка М движется по окружности радиуса 厂 против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью v~rn и с постоянным по величине ускорением а —гп.
Задача № 45 (№ 361. И. В. Мещерский. Сб. задач, издания 14—31). Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью у= 1600 м/сек под углом а。= 55° к горизонту. Определить теоретическую 1 дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек..
Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:
Разделив переменные, интегрируем:
乙=&, % = _以+金■‘
Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что С] и Са равны проекциям начальной скорости:
1600 cos 55° = С1, 1600 sin 55。= — g*0 + C2.
必一由现一由必一由现一由Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:
必一由现一由
必一由现一由
= 1600 cos 55°,
= 1600 sin55°—g九
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
%= 1600 / cos 55° + Сз・
у— 1600/ sin 55° —^)-С4.
При £ = 0 координаты снаряда были: №0, у=0・ Подставляя эти данные, найдем, что С3 = 0 и С4 = 0. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:
% = 917,7/, у= 1310,6/-^-•
Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (/= 13纟7 сек); подставляя это значение £ в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (А = 87 636 л/); удваивая время /, найдем время полета снаряда (/ = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (/ = 245 393 м).
Ответ. £ = 245 кл<;九=87,5 кл<・
И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИПроекция ускорения на касательную и на нормаль. Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в томИ НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИПроекция ускорения на касательную и на нормаль. Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в томкасательное
И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ
Проекция ускорения на касательную и на нормаль. Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том
И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ
Проекция ускорения на касательную и на нормаль. Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том
Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное —по направлению
месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).
При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.
Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens ——касающийся), и обозначают а『.
Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают aN.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над аТ и aN ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.
Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.
Касательное ускорение. Пусть точка М
Касательное ускорение равно движется по траектории, р асположен но й первой производной от ве- в ПЛОСКОСТИ хОу,
личины скорости jio времени： Проведем касательную и нормаль к 仪丁=康кривой в точке А1 (рис. 91,6), нанесем
на чертеж вектор ускорения а точки М и его составляющие ах и ау по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих ах и ау полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем ах и ау на касательную:
ат = ах cos а鞏 + ау cos
Составляющие ускорения ах и ау направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов аир равны направляющим косинусам скорости:
(62')(62')(62")(62")(68)(68)cos% 吾,
(62')
(62')
(62")
(62")
(68)
(68)
COS ро=^.
Подставляя значения направляющих косинусов, получаем
По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки,
если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58‘) и (瞅).
Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а): ат = a cos 6,
но угол 6, как внутренний угол треугольника, равен внешнему без другого внутреннего %, поэтому:~
cos 6 = cos (а«—а&) R cos а@ cos 仪万 + sin a& sin av
или, так как а« = 90° — > и = 90° —也，
cos 6 = cos aa cos 仪万 + cos pc cos §〃.
Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) *и (62), получим-
с axvx + Gvyv
COS 6 =—
и, умножая на а, найдем тангенциальное ускорение
Q「Q「vxax+vyayvvxax+vyayv(68)(68)
Q「
Q「
vxax+vyayv
vxax+vyayv
(68)
(68)
Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.
Задача № 46. Движение точки зада но в декартовых координатах уравнениями:
х = 21,2 sin2 /,(/ = 21,2 cos2 Л
Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132). Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем
% = 21,2 sin 2/, % = —21,2 sin 2九 Определим теперь полную скорость:
и = J^" Vx-\-Vy = 30 sin 2/,
Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем
外= 42,4 cos 2/,勺=—42,4 cos 2/.
Касательное ускорение определим по формуле (68):
60 cos 2九60 cos 2九2H'2*42,4*sin 2/-cos 2/・2
60 cos 2九
60 cos 2九
30 sin 2/
Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2/.
Задача № 47. Точка М движется в системе координат хОу согласно уравнениям х~ г cos л/, y = rsinjtf. Найти касательное ускорение точки М.
Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки М были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142), Для определения касательного ускорения точки 財 нам остается только подставить эти величины в формулу (68):
axvx-\-ayVy 厂2冗3 §］口 л/ cos л/ ——г2л3 sin л^ cos л/
Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.
Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:
vxdvx + Vydvy vdu 工
& 一 v~dt — v dt
и, сокращая на и, найдем касательное ускорение
Q「=Q「=曲曲(69)(69)
Q「=
Q「=
曲
曲
(69)
(69)
Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:
(69‘)
Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:
Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления. ,
Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.
Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.
Каждое из этих движений называют переменным движением.
Если величина скорости точки постоянна, то производная 凉•=(), а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.
Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным,
dv 之 眦 d (或+「&) 曲2 2у dv '
и равенство ^ = 0 означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.
При равномерном движении точки по любой траектории
(70)(70)aT = 0, и— const, ■ s = s()+ 口‘“，
(70)
(70)
Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.
Равнопеременное движение точки. Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постояннымх.
(71)(71)При равнопеременном движении точки по любой траекторииar = const,v = vQ + aTtt
(71)
(71)
S = So + 好十号
Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.
Задача № 48. Точка Л начала двигаться с начальной скоростью “,= 1 м/сек и с ускорением а「= 2 м/сек2. Через одну секунду следом за точкой Л по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками Л и В через Е сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.
Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, чтоdv,
——= const.
• Разделяя переменные и интегрируя, получим■
и =。丁£ —р С].
Постоянную Ci определим из начальных данных:
и。0 -С】； Ci = Uq. Следовательно,
V=и。—|— а у/ ■
Написав у по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем
s= j 伍十。丁/) df + С? = и。/+ С?,где'
Sq 0.
Понятие и термин «равнопеременное движение» дал Галилей (1638 г.).
Подставляя вместо и。 и ат заданные величины, найдем расстояние (в ле), пройденное точкой Л за время £:
2/2
«4= 1・£ Ч— = ^-]~/2.
В то же мгновение / расстояние, пройденное точкой 8, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь £—1 сек. Для точки 8
Расстояние между Л и В найдем как разность пройденных ими путей: ~S/—S8=2/ м.
Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после
Рис. 92Рис. 92того, как через нее прошла точка Л.
Рис. 92
Рис. 92
Графики движения точек Л и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение
точки 瓦 смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между Л и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками Д и В какой-либо точки ^
траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Г рафики наглядно показывают, что точка В отстает от точки Л по расстоянию, так как АВ непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок
как и точка Л.как и точка Л.траектории за такое же время, Ответ. $4 — S8 = 2/m.
как и точка Л.
как и точка Л.
Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории: а^= — .Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории: а^= — .ставляющих ах и ау наставляющих ах и ау наНормальное ускорение. Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим aN как алгебраическую сумму проекций со- нормаль к траектории точки. Выберем за
Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории: а^= — .
Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории: а^= — .
ставляющих ах и ау на
ставляющих ах и ау на
положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)
&№ =旬 COStZu —%COS К
Подставляем значения (62) направляющих косинусов:
ии(72)
и
и
По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58‘) и (58").
Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль Мп (рис. 91, а):
а# = а sin 6 н а sin (аа—%)
или
а#=а (sincCa cos%—cosa« sin а)
cos а产 ^ , ' sin % = coscos а产 ^ , ' sin % = cosЭти тригонометрические величины нам хорошо известны:
cos а产 ^ , ' sin % = cos
cos а产 ^ , ' sin % = cos
sina。= cos> = £, cosaa = -£
Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:
Задача № 49. Движение точки задано уравнениями %= 21,2 sin2 /, у = 212 cos2 t. Определить нормальное ускорение точки.
Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: %§ vy и, axt 仪 Подставляя их в формулу (72), найдем
aN=aN==0.=0.—21,2- 42,4 sin 2/ cos 2/ + 21,2-42,4 sin 2/ cos 2/
aN=
aN=
=0.
=0.
30 sin 2/
Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.
Задача №50. Точка Л4 движется согласно уравнениям x=r cos л/, y~r sin л/. Найти нормальное ускорение точки М..
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):
Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем
%勺一a#% —「2Л3 sin2 гf + /^^3 cos2 j1f
Ответ. Нормальное ускорение равно гл2.
Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривойх, представленной
Напомним вывод этой формулы. Кривизной плоской кривой называют величину, определяемую первой производной от угла а наклона касательной по дуге s:
Если уравнения кривой даны в параметрической форме (58), то
в параметрической форме уравнениями (58‘)и (58"),
一 Р — s
Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
Сравнивая равенства (72) и (73), находим а№=у •(74)
Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки М в положительном направлении оси Мп (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.
(74')(74')Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор п нормали:
(74')
(74')
生尸几万•
Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на
величину скорости,величину скорости,потому что оно направлено перпендикулярно
величину скорости,
величину скорости,
скорости.скорости.к скорости. Оно влияет на направление
скорости.
скорости.
Итак, нормальное ускорение——это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.
Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в
каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не
а потому
制一ху
ХУТУХУТУs3s31 — dot df — 炉1— xy—xy
ХУТУ
ХУТУ
s3
s3
P dt dS ］十/_ W 依十力 2(X+i^)*11
является прямолинейным и равенство ■— = 0 означает, что в это
мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных
местах траектории при равномерном движении.
Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касатель-Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касатель-иого и нормальногоускорений:@=!/吟+碟иого и нормальногоускорений:@=!/吟+碟ИЛИИЛИУскорение при естественном способе задания движения. Если движение точки задано в естественной форме, то проекции
Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касатель-
Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касатель-
иого и нормальногоускорений:@=!/吟+碟
иого и нормальногоускорений:@=!/吟+碟
ИЛИ
ИЛИ
a=+ J 借 了+(訂.a=+ J 借 了+(訂.(75')(75')ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину прлного ускорения точки (см. рис. 91): 〃=+/"力 + a机 (75)
a=+ J 借 了+(訂.
a=+ J 借 了+(訂.
(75')
(75')
Перед радикалом стоит знак《十》，потому что величина ускорения существенно положительна.
Вектор полного ускорения а направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения а по
тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:
tgw =两•
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории,
а нормальное—к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой
расположена траектория точки.
При криволинейном ускоренном движении точки полное ускорение
составляет со скоростьюВектор ускорения лежит в соприкасающейся плоско^ сти, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:% = 0составляет со скоростьюВектор ускорения лежит в соприкасающейся плоско^ сти, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:% = 0острый угол, а при замедленном——тупой. Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну
составляет со скоростью
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоско^ сти, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:
% = 0
составляет со скоростью
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоско^ сти, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:
% = 0
касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных
в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).
Пусть в мгновение / точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку М± (не показанную на чертеже)^ в которую движущаяся точка придет в мгновение 胃 + 厶九 проведем плоскость и будем стремить Д/ к нулю. Тогда точка Мг будет стремиться к точке М, При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью1. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точ
кой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке ЛЬ А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.
Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостьюа.
Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью , а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,——главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).
Касательная Л1т, главная нормаль Мп и бинормаль Mb пересекаются в точке М под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естествен-
17；^Гермин «соприкасающаяся плоскость» впервые применил Ив. Бернулли
ные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.
Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол xMnb можно было привести в совпадение с углом xOyz. Касательная Мт играет роль оси Ох, главная нор・ ма^ь Мп — оси Оу и бинормаль Mb — оси Oz.
Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости хМп, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю & = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.
Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69') и (69") касательного ускорения, формулы (74) и (74Л) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75‘)полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.
Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение
-a= +m成+%+般=+ /%+a^(76)
ИЛИ
。= 十 /(詞 需)打+(訂-(78
Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.
Задача № 51 (12.25, 371 М). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:
1
% = а£, y^t — ^-gt^.
Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:
% = % = % 无= а# = 0, у = % = §—g/, у=—g.
Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение •
. g(B—0) . /
Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение
Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось 此一вправо, ось 例〃一вниз), а неподвижные — по правой.
Ответ. nT=-l-iгде у —скорость точки.
Задача № 52. Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения тонки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:
х= 3 sin 2/, y = 4sin2 九
， Решение. Найдем сначала проекции скорости:
% = 6 cos 2/, 0y = 8 cos 2九
Затем определим величину полной скорости точки:
и= +/ 或 + 或=10 cos 2九
Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем
ах=——12 sin 2九 ay =——16 sin 2/,
a = +/虚+ W=20 sin 2/.
Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):
^т= ^~= —20 sin 2九
Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем
kk1616616+12，8 103 cos3 2/616+12，8 103 cos3 2/cos 2/ sin 2/ = 0.cos 2/ sin 2/ = 0.
k
k
1
6
1
6
616+12，8 103 cos3 2/
616+12，8 103 cos3 2/
cos 2/ sin 2/ = 0.
cos 2/ sin 2/ = 0.
По второму способу найдем ^ =彳无(прямая).
Ответ, у = 10 cos 2/; a = 20sin2E; ат~—20 sin 2/; а#=0.
Задача № 53. Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям х~ г (ct ——sine/), y~r (1 —cose/). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь： найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.
Дифференцируя уравнения движения, найдем
i\ = rc (1 ——cos сЕ), Vy — rc sin ct.
Далее получаем
и = / Vx^Vy — rc M 匸-2cSs efros? cFl sid cE = rc }^2 (1 — cos ct)==rc |/^2-2 sin2-^- —2rcsin
Дифференцируя проекции скорости, найдем
ах = rc2 sin сЕ, ® = re? cos ct и полное ускорение
а = гс2.
Дифференцируя и, найдем касательное ускорение:
cos~.
1 — cos' —=rc3 sin 万.1 — cos' —=rc3 sin 万.Вектор ат перпендикулярен вектору а_у н в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому
1 — cos' —=rc3 sin 万.
1 — cos' —=rc3 sin 万.
aN —aN ——Oj. = ГС2—Oj. = ГС2
aN —
aN —
—Oj. = ГС2
—Oj. = ГС2
Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:
aNaNvxay 一а%" % (1 一 cos ci) rc2 cos ct — rc2 sin ct rc sin ctvxay 一а%" % (1 一 cos ci) rc2 cos ct — rc2 sin ct rc sin ctууc . ct2rc sin ~c . ct2rc sin ~„ . ct* sin —.„ . ct* sin —.
aN
aN
vxay 一а%" % (1 一 cos ci) rc2 cos ct — rc2 sin ct rc sin ct
vxay 一а%" % (1 一 cos ci) rc2 cos ct — rc2 sin ct rc sin ct
у
у
c . ct
2rc sin ~
c . ct
2rc sin ~
„ . ct* sin —.
„ . ct* sin —.
Ответ. ©v= rc3 sin 五.
Задача № 54 (№ 59. С. M. Тарг. Краткий курс теоретической механики. Физматгиз, 1958 г. и следующие издания). Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонталь- ^——*5^Z ной скоростью и。и движется согласно уравнениям х=у0/,
P = qg"・ Найти траекторию, скорость, касательное и нор- ^^^мальное ускорения в любом положении, выразив их через
口# Zскорость тела в этом положении.
\ V\Решение. Определяя из первого уравнения / и подстав-
\，，Д^Вг ляя во второе, найдем уравнение траектории:
^ис, 95Траектория —парабола (рис. 95). Дифференцируя урав*
нения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:
V=V t^+g2*・V=V t^+g2*・
V=V t^+g2*・
V=V t^+g2*・
В начальное мгновение (/ = 0), скорость точки ^ = 0°, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время /, в течение которого тело приобретает скорость у：
/ =丄/u2二證.
Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения иа оси координат и полное ускорение:
ах~ ^2~^> ，= ^i = g，a — g.
В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь а = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие а= const, а условие йг —const. В данном же случае, как мн сейчас увидим, ат непостоянно.
Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение
Подставляя вместо / найденное нами значение, выразим касательное ускорение а『через скорость и:
Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда и==%, аг = 0. Затем с увеличением и величина ат растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем
%% — &% — UpgaN= v 一 v
В начальное мгновение (при / = 0 и ^ = 0。) а&=『,а затем с увеличением у «N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола
и = Р 吗+g"*「；и = Р 吗+g"*「；a = g；a = g；2党2党1f，1f，
и = Р 吗+g"*「；
и = Р 吗+g"*「；
a = g；
a = g；
2党
2党
1f，
1f，
Задача № 55 (№ 353 из задачника И. В. Мещерского издания 14—31 вкл.). Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид:无= 2Е, g = # (/ ——в сек;爲 у—в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем
1歩
fe^у~^у
Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим f = 0:
"" =近=2； 4fo = 2； 屮==总=2/; VyQ - 0;
。¥=0; Uy - 2.
Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям: /
UoW 吗о+喩=2.
Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ..
Ответ. р = 2 м.
Задача № 56. Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана ——дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равнопеременном движении величина скорости пропорциональна времени, а в дайной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии лано
&= А*
Найдем коэффициент пропорциональности
. у 303
8нk研n犷
Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим 3
ds = vdt =而"步九
откуда, интегрируя, получаем
s=# + C.
или в конце 20-й секундыили в конце 20-й секундыПостоянную С определим из начальных данных: в начальное мгновение(/ = 0) автомобиль ие прошел еще никакого расстояния, а потому С = 0. Дваждыдифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорениеат = "^/期/呢鹏，
или в конце 20-й секунды
или в конце 20-й секунды
a丁=3 м/сек^.
Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74) 3029,
an=丽=丁 м,еек -
Полное ускорение в конце 20-й секунды было
уУ —- м/се^.
Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения / — 20 сек:
s=/・2()3 = 200 他
Ответ. « = 3,75 м/сек2r s —200 м.
ГЛАВА X
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ, ВРАЩАТЕЛЬНОЕ И СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
§ 24. О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Движение твердого тела. Далеко не во Движение твердого тела всех задачах кинематики можно пренебре- в пространстве определяется гать размерами движущегося тела и при- движением трех его точек,гт
не лежащих на одной прямой ннмать его за точку. Для тех случаев, когда расстояния между частицами тела не изменяются, но по условиям задачи приходится учитывать движения его различных частиц, разработан раздел кинематики, называемый кинематикой твердого тела.
Мы неизменно связываем движущееся твердое тело с осями координат £Е”, которые движутся вместе с ним. Тогда движение тела и его точек определяется движением системы координат х'Еу'，. В кинематике часто допускают, что это тело имеет неограниченные размеры.
Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет поворачиваться вокруг прямой, проходящей через эти две точки. Если закрепить еще и третью точку, не лежащую на той же прямой, то все тело окажется закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой, а движение тела——движением трех его точек.
Проекции скоростей двух то-чек твердого тела на пря-мую, соединяющую эти точ-ки, равны между собойПроекции скоростей двух то-чек твердого тела на пря-мую, соединяющую эти точ-ки, равны между собойОсновная теорема кинематики твердого тела. Рассмотрим какие-либо две точки Л и В твердого тела и их скорости. Проведем прямую через точки Л и В и спроецируем на нее скорости точек Л и В
Проекции скоростей двух то-чек твердого тела на пря-мую, соединяющую эти точ-ки, равны между собой
Проекции скоростей двух то-чек твердого тела на пря-мую, соединяющую эти точ-ки, равны между собой
(рис. 96). Существует теорема о том, что проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, всегда равны между собой. Из множества имеющихся доказательств этой теоремы приведем следующее логическое доказательство: проекции скоростей двух точек абсолютно твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой, так как в противном случае расстояние АВ между этими точками изменялось бы：
va cos (vaAB)= vBcos (vBAB). (77)
Эта теорема относится, разумеется, не только к двум точкам Л н В, а ко всем точкам, составляющим прямую, и может быть сформулирована так: проекции на какую-либо ось, проведенную в твердом теле, скоростей точек этой оси равны между собой.
Задача № 57. Плоская фигура движется в своей плоскости, при этом точка А фигуры (см. рис. 89 на стр. 139) движется по оси Оу, а точка В фигуры —по оси Ох системы координат L При каком соотношении координат точек 4 и В % = 2уд?
Решение. Проекции скоростей точек 4 и В на прямую АВ равны между собой. Косинус угла между направлением скорости ид и прямой АВ равен ^~ и между скоростью ив и той же прямой ■— и, следовательно»
以普=切磊.
Подставляя вместо 0d его требуемое значение 2吻 получаем ответ.
Ответ:尤в = 2у4
§ 25. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Поступательным движениемназывают такое движениетвердого тела, при которомлюбая прямая, взятая в те-ле, остается параллельнойсвоему начальному иаправ*леииюПоступательным движениемназывают такое движениетвердого тела, при которомлюбая прямая, взятая в те-ле, остается параллельнойсвоему начальному иаправ*леииюПоступательное движение тела и его уравнение. Наиболее простым движением твердого тела является поступательное движение. СоединЕш две какие-либо точки тела отрезком прямой. При поступательном движении тела этот прямолинейный отрезок передвигается параллельно самому себе, не изменяя своего направления. Движение
Поступательным движениемназывают такое движениетвердого тела, при которомлюбая прямая, взятая в те-ле, остается параллельнойсвоему начальному иаправ*леиию
Поступательным движениемназывают такое движениетвердого тела, при которомлюбая прямая, взятая в те-ле, остается параллельнойсвоему начальному иаправ*леиию
тела называют поступательным, если каждая проведенная в теле прямая сохраняет свое направление.
Для выяснения вопроса, является ли данное движение поступательным, нет необходимости проводить в теле множество прямых и
проверять, не меняет ли . каждая из них своего направления во время движения тела. Движение тела вполне определяется движением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Следовательно,
нужно провести минимум две прямые; конечно, эти прямые должны быть непараллельны между собой.
Из определения видно, что поступательное движение может совершать только тело. Одна точка не может двигаться поступательно. Вместе с тем поступательное движение твердого тела вполне характеризуется движением любой из его точек.
пательно, то все его точкиописывают одинаковые тра-екториипательно, то все его точкиописывают одинаковые тра-екторииПусть некоторое тело совершает поступа- Если тело движется посту- тельное движение относительно системы
пательно, то все его точкиописывают одинаковые тра-ектории
пательно, то все его точкиописывают одинаковые тра-ектории
координат xOyz (рис. 97, q), которую мы примем за неподвижную и будем называть основной системой отсчета. Отметим в этом
теле какую-либо точку Е, движущуюся вместе с телом. Не обращая пока внимания на прочие точки тела, рассмотрим движение точки Е， которое, как движение всякой точки, определяется уравнениями
(78)(78)xB = x(t)f yE^y(t), Z^ = Z(f)・
(78)
(78)
1 Если две точки Л и В плоской фигуры движутся по взаимно перпендикулярным осям Ох и Оу неподвижной плоскости, то движение плоской фигуры называют кардановым движением по имени итальянского ученого Кардано.
Давая аргументу / последовательные значения, получим положения точки Е, геометрическое место которых является ее траекторией. На рис. 97 траектория не изображена.
Проведем теперь в теле через Е три взаимно перпендикулярные оси (рис. 97, б), которые назовем подвижной системой отсчета, или подвижными осями координат. Для простоты доказательства в этом параграфе подвижные оси взяты параллельными неподвижным. Подвижные оси передвигаются вместе с телом относительно основных осей, оставаясь им параллельными, по условию поступательного движения.
Отметим в теле какую-либо другую точку К (рис. 97, в), координаты которой относительно подвижных осей обозначим х^, у^ и %3 а относительно основных:
Хк = Хе+%к，Ук = Уе+у'к，?k = Ze十 Zq (79)
Обратим внимание на то, что координаты % ук и 〃 точки К относительно подвижных осей постоянны, потому что и точка К и подвижные оси взяты в одном и том же твердом теле. Следовательно,
Рис. 97
при всяком положении поступательно движущегося тела координаты точек Е и К отличаются друг от друга на постоянные величины. Отсюда следует, что траектории точек Е и К одинаковы и одинаково ориентированы относительно основной системы координат xO^z. Поскольку точки выбраны нами произвольно, доказанное относится к любым точкам тела.
Если определять движение тела по движению его точек, то можно определить поступательное движение тела как движение, при котором перемещения всех точек тела за один и тот же произвольно выбранный промежуток времени равны между собой.
Именно поэтому поступательное движение иногда различают по траекториям, описываемым точками тела. Так, например, говорят, что спарник паровой машины, установленной на фундаменте, совершает круговое поступательное движение; это означает, что все точки спарника описывают одинаковые окружности. Говорят, например, что
поршень совершает прямолинейное поступательное движение; это • означает, что все точки поршня описывают одинаковые и параллельные прямолинейные траектории.
Задача № 58. Определить движение спарника тепловоза на прямолинейном участке пути.
Решение. Спарник АВ (рис. 98)——это стержень, соединенный шарнирами Л и В с кривошипами О А и。］8 равной длины. Длина спарника равна расстоянию
между осями О и Такой механизм О±ОАВ называют шарнирным параллелограммом. Противоположные звенья его, как противоположные стороны всякого параллелограмма, параллельны между собой: АВ || ОО>
При заданном движении тепловоза точки О н 。1 движутся прямолинейно и прямая АВ не меняет своего направления, т. е. движется поступательно. (При повороте тепловоза или при изменении уклона железнодорожного пути поступательное движение нарушается.) Все точки спарника описывают одинаковые траектории — укороченные циклоиды.
Ответ. Движение спарника АВ поступательное.
круге / произвольную точку К и соединим езком ЕК (рис. 99, б). От центра。непод- 。0犬，равный и параллельный отрезку £К.круге / произвольную точку К и соединим езком ЕК (рис. 99, б). От центра。непод- 。0犬，равный и параллельный отрезку £К.Задача № 5g. Круг / радиуса 「1 (рис. 99, а) движется поступательно, постоянно соприкасаясь с неподвижным кругом // радиуса г2. Найти траекторию любой точки круга /.
круге / произвольную точку К и соединим езком ЕК (рис. 99, б). От центра。непод- 。0犬，равный и параллельный отрезку £К.
круге / произвольную точку К и соединим езком ЕК (рис. 99, б). От центра。непод- 。0犬，равный и параллельный отрезку £К.
Рис. 99Рис. 99Решение. Возьмем на подвижж с ней центр Е подвижного круга вижного круга II отложим отрез( При поступательном движении круга / отрезок ЕК, как всякая прямая/ проведенная в поступательно движущемся теле, не меняет своего направлейия и остается равным и параллельным неподвижному отрезку 00^. Соединив точку О с точкой Е, а точку 0K——с точкой К, получим параллелограмм КЕООк» в котором
Рис. 99
Рис. 99
Од*К к ОЕ н г 1 十 г?.
Следовательно, при поступательном движении круга / по кругу // точка К движется, оставаясь на постоянном расстоянии г^г^ от неподвижной точки 0驳,т. е. описывает окружность.
Ответ. Точки круга / описывают окружности радиуса「i + f.
Задать движение тела—это значит дать положение всех его точек для каждого мгновения. Мы видим, что при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково и движение всего тела вполне характеризуется движением какой-либо из его точек. Следовательно, уравнения движения точки Е являются одновременно и уравнениями поступательного движения тела.
Часто даже в тех случаях, когда движущееся тело не является твердым, пренебрегают движением некоторых его частей по отношению к другим частям и рассматривают движение системы как по-
ступательное движение абсолютно твердого тела. Например, движение поезда иногда принимают за поступательное, пренебрегая вращением колес, движениями частей машины и т. п.
Если тело движется поступательно» то все его точки имеют одинаковые скоростиуравнения (79), помня,Если тело движется поступательно» то все его точки имеют одинаковые скоростиуравнения (79), помня,Скорости точек поступательно движущегося тела. Чтобы определить проекции скорости произвольной точки К поступательно движущегося тела на неподвижные оси координат, продифференцируем.по времени что 尤长，ук и z« постоянны. Найдем
Если тело движется поступательно» то все его точки имеют одинаковые скорости
уравнения (79), помня,
Если тело движется поступательно» то все его точки имеют одинаковые скорости
уравнения (79), помня,
(80)(80)V^x=VEXt V^y = VEy, VK2 — Vez.
(80)
(80)
Отсюда следует, что равны и полные скорости (64), и направляющие косинусы (62), иными словами, что равны векторы скоростей точек £ и К： 巨(80)
Поскольку эти точки взяты произвольно, доказанное относится к любым точкам тела, а потому во всякое мгновение скорости всех точек поступательно движущегося тела одинаковы.
Одинаковость скоростей не следует понимать как их постоянство, как неизменяемость во времени. Если тело движется поступательно, то в данное мгновение скорости всех亠
точек тела одинаковы; с течением же』 一乡 времени скорости могут измениться. Но если изменится скорость одной точки, то на столько же изменятся скорости всех других точек тела, и они опять-таки豆
останутся одинаковыми.0夫а
Одинаковость скоростей всех точек '昜物物^
тела ——необходимый, но недостаточныйРис. 100
признак поступательного движения тела. Может оказаться, что в какое-либо мгновение скорости всех точек тела одинаковы, но в следующее мгновение они различны. Так, например, движение шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма не
является поступательным, но при некоторых положениях механизма (рис. 100) скорости всех его точек одинаковы.
Если тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые ускоренияЕсли тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые ускорениярений обеих точек:рений обеих точек:Ускорения точек поступательно движущегося тела. Продифференцировав по времени (80), найдем
Если тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые ускорения
Если тело движется поступательно, то все его точки имеют одинаковые ускорения
рений обеих точек:
рений обеих точек:
a&*=ae%, аку =QEy‘a及2=a反，(81) откуда следует, что равны векторы уско-
“К = “Е，“К = “Е，(8Г)
“К = “Е，
“К = “Е，
Траектории точек К и Е одинаковы и одинаково расположены, а потому к написанным равенствам надо присоединить еще следующие:
Во всякое мгновение ускорения всех точек поступательно дви^ жущегося тела одинаковы. В этой теореме, как и в предыдущей, одинаковость не надо понимать как неизменяемость с течением времени.
§ 26. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Вращательное движение. Как было пока-
Вращеннем вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к их плоскостямВращеннем вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к их плоскостямзано, для определения движения твердого тела достаточно определить движение трех его точек, не лежащих на одной прямой. Пусть во время движения тела две его точки О и О】 остаются неподвижными.
Вращеннем вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к их плоскостям
Вращеннем вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к их плоскостям
Тогда движение тела можно определить движением третьей точки К, принадлежащей телу и не лежащей на одной прямой
с точками О и 0「Выберем эту точку произвольно и, соединив все
три точки прямолинейными отрезками, получим треугольник 00因 Так как точки О и 0г неподвижны, то неподвижна и сторона 00х треугольника 00К и движение точки К, а также и всего тела определится поворотом плоскости треугольника 00*К вокруг прямой 00г Точку К мы выбрали произвольно, следовательно, поворачивается вокруг прямой ОО】 любая плоскость, проведенная в теле через эту прямую. Такое движение тела называют вращательным движением, или, коротко, вращением, а неподвижную прямую 00п вокруг которой вращается тело, называют осью вращения.
Ось вращения может проходить и за пределами тела. Так, например, Луна, двигаясь вокруг Земли, повернута к ней всегда одной стороной. Движение Луны по отношению к Земле можно назвать вращением. Ось вращения проходит за пределами Луны
через центры круговых траекторий ее точек.
Если движение тела определять по движению его точек, то
вращение вокруг оси можно определить как движение твердого
тела, при котором все точки тела описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой, перпендикулярной к плоскостям этих окружностей, а ось вращения можно определить как неподвижную прямую, на которой расположены центры окружностей,
описываемых точками вращающегося тела.
Вращательное движение твер-дого тела определено, еслизадан как функция времениугол, на который поворачи-вается плоскость, проходя-щая через ось вращения икакую-нибудь точку враща-ющегося тела:Ф^Ф(ОВращательное движение твер-дого тела определено, еслизадан как функция времениугол, на который поворачи-вается плоскость, проходя-щая через ось вращения икакую-нибудь точку враща-ющегося тела:Ф^Ф(ОУравнение вращательного движения. Построим основную систему координат xOyz, направив ось Oz по оси вращения тела (рис. 101). Эта система неподвижная и не связана с вращающимся телом. Построим теперь другую, подвижную, систему координат х'О", направив ось О/ также по оси ОО】 вращения тела, а ось О/ — на какую-либо точку К】 т£ла. Эта система
Вращательное движение твер-дого тела определено, еслизадан как функция времениугол, на который поворачи-вается плоскость, проходя-щая через ось вращения икакую-нибудь точку враща-ющегося тела:Ф^Ф(О
Вращательное движение твер-дого тела определено, еслизадан как функция времениугол, на который поворачи-вается плоскость, проходя-щая через ось вращения икакую-нибудь точку враща-ющегося тела:Ф^Ф(О
координат неизменно связана с телом и поворачивается вместе с ним относительно основной системы xOyz. Угол, на который поворачивается плоскость, проходящая через
ось вращения и какую-нибудь точку вращающегося тела, называют углом поворота и обозначают буквой (р. Так, если в начальное мгновение оси Ох' и Ох (см. рис, 101) совпадали, то углом пово
рота мы назовем двугранный угол между неподвижной плоскостью xOz и подвижной плоскостью xfOzf или+
равный ему линейный угол хОх\'
Угол ф можно рассматривать как八
угловую координату тела, потому что он определяет положение всего вращающегося тела. Измеряется угол ф в радианах L
Будем считать угол 屮 положительным, если он отсчитан от положительной оси Ох к положительной оси Оу, т. е. против вращения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Oz, При отсчете в противоположную сторону будем считать угол отрицательньш.
Чтобы определить вращение тела, надо знать угол поворота как некоторую непрерывную однозначную функцию времени:
Ф = Ф (0- (82)
Уравнение (82) является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Всякая плоскость ОО К проведенная через ось вращения и какую-либо точку К тела, поворачивается за данное время на такой же угол ср, на который за это же время повернулась плоскость xfOzr. Это следует из условия неизменяемости твердого тела.
Угловая скорость. Угол поворота харак
Угловая скорость выражается первой производной от углаУгловая скорость выражается первой производной от углаповорота по времени:atповорота по времени:atтеризует вращение тела только с геометрической стороны. Чтобы охарактеризо-
Угловая скорость выражается первой производной от угла
Угловая скорость выражается первой производной от угла
поворота по времени:
at
поворота по времени:
at
вать вращение тела не только в пространстве, но и во времени, возьмем отношение изменения Аф угла поворота ко времени А/,
ходило, называемоеходило, называемоев течение которого это изменение проис- средней угловой скоростью тела:
ходило, называемое
ходило, называемое
(83‘)
Пределом отношения (83‘) при А/, стремящимся к нулю, является первая производная от угла поворота по времени. Она характери-
1 Напомним, что радиан —это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Один радиан приблизительно равен 57°17‘44", 8. В окружности 360°, или 2л радианов. Измеряя углы отношением дуги к радиусу, т. е. в радианах, мы выражаем их отвлеченным числом. ■
(83)(83)зует изменение угла поворота в данное мгновение, т. е. характеризует вращение тела не только по отношению к окружающему пространству, но и во времени. Эта величина принята за пространственно-временную меру вращения твердого тела вокруг оси и ее называют угловой скоростью тела:
(83)
(83)
8=/
Знак производной (83) указывает, в какую сторону поворачивается тело вокруг оси Ог; если производная (83) положительна, то наблюдатель, смотрящий с положительной стороны оси Oz, видит тело вращающимся против часовой стрелки, т. е. справа налево —— от положительного направления оси Ох к положительному направлению оси 0у\ при отрицательной производной (83) вращение тела происходит в обратном направлении.
Размерность угловой скорости равна размерности угла поворота, деленной на размерность времени. Но угол поворота является отвлеченной величиной, и размерность его——единица. Следовательно, размерность угловой скорости обратна размерности времени.
Чаще всего время измеряют в секундахJ, тогда единица угловой скорости сек，
Равномерное вращение иногда характеризуют числом п оборотов, совершаемых телом за единицу времени (обычно за минуту).
Найдем соотношение между угловой скоростью (о, выраженной в радианах в секунду, и числом оборотов в минуту. Если тело делает п оборотов в минуту, то оно поворачивается за каждую минуту на 2т радианов, а за секунду—в 60 раз меньше, следовательно,
(84)(84)2пп пп
(84)
(84)
СО=='60' = 30 •
ппФормулу (84) широко применяют в технической механике. Приближенно можно считать
п
п
(84')
В формулах (84) и (84‘)п выражено в оборотах за минуту, а со — в радианах за секунду, как их большей частью и выражают. Однако для очень медленно вращающихся тел число оборотов удобнее считать не за минуту, а за другие единицы времени. Так, Земля вращается вокруг своей оси, делая 1 оборот в сутки. Было бы неудобно считать, что Земля делает 泣% =总5 оборота в минуту. Угловую скорость Земли следует подсчитывать не по формуле (84),
Иногда единицу угловой скорости записывают так: рад/сек. Такая запись рекомендована ГОСТ 9867, группа ТО1.
а из тех соображений, что Земля делает один оборот (2л радианов) за сутки, а в сутках 86 400 сек, следовательно,
Отт
(и н 褊丽 ~ 0,0000727 рад/сек.
Самые медленные вращения встречаются в звездном мире. Так» например, период обращения Солнца вокруг центра Галактики (Млечного пути) составляет 190 миллионов лет.
Наибольшая угловая скорость, полученная в технике, соответствует миллионам оборотов в минуту. С такой скоростью вращаются гироскопы Гюгенара—маленькие роторы, подвешенные без подшип
ников в магнитном поле.
За одно и то же время все части твердого тела поворачиваются вокруг оси на один и тот же угол. Следовательно, угловая скорость является общей мерой вращения для всего тела, и в каждое мгновение тело, вращающееся вокруг оси, имеет только одну угловую
скорость.
Для тех случаев, когда тело совершает сложное движение, на
пример вращается вокруг оси в то время, как эта ось поворачивается, удобно изображать угловую скорость вектором, направленным вдоль оси вращения1. Величина и положение вектора показывают величину угловой скорости и положение оси вращения. Но вектор угловой скорости, как и вектор момента силы относительно точки, отличается от прочих известных нашим читателям векторов (скорость точки, ускорение точки, радиус-вектор, сила и др.) тем, что, изображая его стрелкой соответствующей длины, отложенной вдоль оси вращения, надо (вполне произвольно) условиться относительно направления стрелки. В нашем курсе мы всюду пользуемся правой системой координат, поэтому установим и для вектора угловой скорости правило правого винта, т. е. будем направлять вектор угловой скорости вдоль оси вращения к той ее стороне, с которой вращение тела представляется происходящим против вращения часовой стрелки. Так, например, вектор угловой скорости земного шара,
вращающегося с запада на восток, мы направим к северному полюсу: глядя с северного полюса, мы увидели бы Землю вращающейся против часовой стрелки.
Угловое ускорение. Изменение угловой
У гловоеускорение выра*жается первой производнойот угловой скорости по вре-мени:8 = /У гловоеускорение выра*жается первой производнойот угловой скорости по вре-мени:8 = /скорости происходит с течением бремени и, вообще говоря, бывает различным в разные моменты времени. Пространственно-временную меру, характеризующую изменение угловой скорости тела в данное мгновение, называют угловым ускорением тела.
У гловоеускорение выра*
жается первой производнойот угловой скорости по вре-мени:
8 = /
У гловоеускорение выра*
жается первой производнойот угловой скорости по вре-мени:
8 = /
Поскольку угловая скорость——векторная величина, вектором Должно быть и угловое ускорение. Но при вращении тела вокруг Неподвижной оси мы обычно рассматриваем угловую скорость как
Угловая скорость действительно имеет векторный характер. Как показал е^е Кориолис, угловые скорости складываются по правилам геометрического Сложения.
скаляр, и потому здесь нас могут интересовать только величина
и знак углового ускорения.
Пусть величина угловой скорости изменилась на Д(о в течение промежутка времени А九 Предел отношения ^ при А/, стремящемся к нулю, выражает угловое ускорение тела и обозначается греческой буквой £ (эпсилон):
или, принимаяили, принимаяво вниманиево вниманиеравенстворавенство(83),(83),8 =8 =d2(p dp 'd2(p dp '
или, принимая
или, принимая
во внимание
во внимание
равенство
равенство
(83),
(83),
8 =
8 =
d2(p dp '
d2(p dp '
Следовательно, угловое ускорение выражается первой производной 'от угловой скорости по времени, или, что то же, второй производной от угла поворота по времени. Эта величина характеризует быстроту изменения угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Размерность углового ускорения равна размерности угла'поворо- та, деленной на квадрат размерности времени, т. е, равна единице, деленной на квадрат времени.
Чаще всего время измеряется в секундах, тогда единица углового ускорения сек"2, или по записи, рекомендованной ГОСТом, рад/сек2.
Если с течением времени абсолютная величина угловой скорости тела увеличивается, то производная имеет тот же знак, что и (о, и вращение тела ускоренное. Если же величина угловой скорости с течением времени уменьшается, то производная ~ и угло
вая скорость имеют различные знаки—вращэние тела замедленное. Каждое из этих вращений, и ускоренноэ и замедленное, называют
переменным вращением.
Задача № 60. Унифиляр (тело, подвешенное на вертикальном стержне) (рис. 102) закрутили на угол ф0 рад от равновесного положения и затем (в мгновение / = 0) предоставили самому себе, и он стал вращаться согласно уравнению
ф = фо COSgf.
Определить угловую скорость (в рад/сек) и угловое ускорение (в рассек2) через каждые 3 се& от начала движения.
Решение. Дифференцируя уравнение движения, получим выражение угловой скорости унифиляра:
со— —— sin — / — — 0,182 sin — /.
Дифференцируя вторично найдем, угловое ускорение унифиляра:
e= cos勺 f = - 0，064 cos 勺 t.
Чтобы определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение в заданные мгновения, надо в уравнение движения тела и в полученные соотношения подставить / = 3, 6, 9, ... и т. д. секунд. Анализируя полученные данные относительно (о и е, убедимся, что унифиляр совершает крутильные колебания с периодом 18 сек.
Равномерное и равнопеременное вращения. Если угловая ско- рость (о постоянна, то производная 0, и вращение равномерное. Таким образом, при равномерном вращении тела угловое ускорение равно нулю, угловая скорость постоянна, а угол поворота изменяется пропорционально времени:
£ = 0,= const, ф = q)0 + , (86)
где ф0 ——начальное значение угла.
Формулы (86) справедливы только для равномерного вращения тела и неприменимы при других движениях.
Из различных переменных вращений тела в задачах наиболее часто встречается равнопеременное вращение. Равнопеременным вращением называют такое вращение твердого тела вокруг оси, прй котором угловое ускорение остается постоянным:
8 = COriSt.
Интегрируя это уравнение, находим о)=虱-С].
Постоянную интегрирования С\ находим из начальных данных. В начальное мгновение (при f = 0) величина угловой скорости была (о。. Подставляя эти частные значения аргумента / и функции (о, находим постоянную &:
Таким образом,Таким образом,①=器=5 +虱.①=器=5 +虱.
Таким образом,
Таким образом,
①=器=5 +虱.
①=器=5 +虱.
Интегрируя это равенство, получаем
屮—д/+ &
Постоянную С2 находим из начальных данных. Если при начале вращения тело было повернуто на некоторый угол ф0, то, подстав-
ляя q)0 вместо ф и 0 вместо 九 найдем С2 = ф0. Для равнопеременного вращения тела имеем:
(87)(87)£ = const,(D = О)о + £九中=%+Оv+勺，
(87)
(87)
Формулы (87) справедливы только для равнопеременного вращения твердого тела и неприменимы при других движениях.
Задача № 61. Барабан суперцентрифуги делает при установившемся движении 30 000 об/мин, а после прекращения подачи энергии (на выбеге) вращается равнозамедленно с угловым ускорением 8 ———nl/сек2. Определить время выбега (время до остановки) и угол поворота барабана за это время.
Решение. В мгновение прекращения подачи энергии угловая скорость барабана была
лЗО ООО 1ЛЛЛсо尸一30—= 1000 九
С этого мгновения барабан вращается равнозамедленно по (87): о)= 1000л—л/.
В мгновение остановки барабана угловая скорость его равна нулю. Подставляя это значение угловой скорости, находим время выбега.
Е = 1000 сек= 16 мин 40 сек.
За это время барабан повернется на угол
р/2JT. Ю002
-屮=со。/+皆=1000л .10002— = 500 000 л.
Чтобы по углу поворота определить число оборотов, надо поделить этот угол (выраженный в радианах) на 2冗——число радианов в одном обороте.
Ответ. / = 16 мин 40 сек,(р = 250 000 об.
Задача № 62. В инерционном аккумуляторе Уфимцева (1918 г.) для ветроэлектрических станций стальной диск вращается в глубоком вакууме, делая 20 000 об/мин. Предоставленный самому cede, он продолжает вращаться в течение двух недель. Определить е диска, считая вращение равнозамедленным.
Решение. Определим начальную угловую скорость диска н время (2 нед.) до остановки в секундах:
h/г л20 000^^"зо30~h/г л20 000^^"зо30~и / = 2・7・86 400 сек.и / = 2・7・86 400 сек.
h/г л20 000
^^"зо30~
h/г л20 000
^^"зо30~
и / = 2・7・86 400 сек.
и / = 2・7・86 400 сек.
20 000л30・2・7・86 40020 000л30・2・7・86 4000,001731 сек-2.0,001731 сек-2.Ответ получим, разделив соо на /.
20 000л30・2・7・86 400
20 000л30・2・7・86 400
0,001731 сек-2.
0,001731 сек-2.
§ 27. ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Точки вращающегося тела,расположенные на одной пря-мой, параллельной оси вра-щення, совершают одинако-вые движенияТочки вращающегося тела,расположенные на одной пря-мой, параллельной оси вра-щення, совершают одинако-вые движенияТраектории точек вращающегося тела. Вращением тела называют движение, при котором точки тела описывают окружности с центром на оси вращения. Следова
Точки вращающегося тела,расположенные на одной пря-мой, параллельной оси вра-щення, совершают одинако-вые движения
Точки вращающегося тела,расположенные на одной пря-мой, параллельной оси вра-щення, совершают одинако-вые движения
тельно, по самому определению вращательного движения траектории точек тела — окружности.
Если тело мысленно пересечь какой-либо плоскостью, перпенди-
кулярной оси вращения, то в этой плоскости будут находиться круговые траектории всех расположенных в ней точек тела. Очевидно,
перпендикуляре, восставленперпендикуляре, восставленчто движения точек тела, лежащих на ном в какой-либо из точек к этой плоскости, совершенно одинаковы, а потому и движение точек всего тела может быть полностью охарактеризовано движением точек, лежащих в этой плоскости.
перпендикуляре, восставлен
перпендикуляре, восставлен
Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101), при котором оси Oz и Oz‘ неподвижной и подвижной систем совпадают с осью вращения тела, а плоскость
£Оу‘ находится в плоскости хОу.
Возьмем в этом теле какую-либо точку К (рис. 103), координаты ко
торой относительно подвижной системы обозначим xr,yf и г\ Эти координаты точки К во время вращения тела не меняются, так как оси подвиж
ной системы координат неизменно связаны с телом и вращаются вместе с ним. Координаты той же точки в основной системе обозначим %, у из
Координаты % и у точки К связаны с координатами / и уг той же точки формулами, известными из аналитической геометрии и понятными из чертежа (рис. 103):
(88')(88〃) 1(88')(88〃) 1% = %’ cos ф—у sin 屮,у = х‘ sin 屮 + у' cos ф.
(88')
(88〃) 1
(88')
(88〃) 1
Если тело вращается, то с течением времени меняется угол ф, являющийся некоторой функцией (71) от времени t, а следовательно, меняются и координаты х а у точки К в основной системе отсчета. Координата же г при направлении оси Oz вдоль оси вращения не изменяется и остается равной 2‘：
z = z'・(88〃“
Аналогично можно определить подвижные координаты по неподвижным и углу ф：
Хг = Х COS ф + У sin ф； y' = ycoscp ——xsin ф； z' = Z・
Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси: v = corСкорость точки тела, вращающегося вокруг оси, равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси: v = corСкорости точек вращающегося тела. Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат продифференцируем по времени равенства (88), рассматривая ф как функцию времени. Будем иметь
Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси: v = cor
Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси: v = cor
% = ^= —(x'sinq)十d cos 叫雾， 。尸挈=(%'cos LT sin ср)患，
=0.
Но согласно (88) выражение, стоящее в скобках в первом из этих равенств, есть у, а во втором х, а потому
(89)(89)—У®
(89)
(89)
Vy = Х(0, % = 0.
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, найдем
班+若+砖=(炉+夕)3z
Но в левой части мы имеем квадрат полной скорости точки, а в скобках правой части——квадрат расстояния точки от оси. Мы получили одну из главнейших формул кинематики:
(90)(90)v = mr
(90)
(90)
—величина скорости точки вращающегося тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки от оси вращения.
Таким образом, для определения скорости точки вращающегося тела нет необходимости знать ее координаты, надо знать лишь расстояние точки от оси вращения и угловую скорость тела.
Можно определить угловую скорость тела по скорости какой- либо из его точек и по расстоянию этой точки от оси вращения:
(91)(91)Если заданным является число п оборотов в минуту, то, подставляя в (90) вместо (о выражение (84), найдем
(91)
(91)
仁丽.
По этим формулам можно определить скорость любой точки вращающегося тела, независимо от того, какую форму имеет тело и находится точка на поверхности или внутри тела. Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, называют вращательной скоростью точки. Она направлена перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и ось вращения, против хода часовой стрелки или по ходу часовой стрелки в зависимости от знака производной (83).
Если же смотреть на тело с той стороны оси вращения, куда мы направили вектор(о угловой скорости, то вектор вращательной скорости V всякой точки тела направлен против хода часов. Такое же направление (против хода часов) имеет вектор (о, если смотреть на него с конца вектора вращательной скорости v.
Следовательно, вектор вращательной скорости точки и по величине и по направлению можно рассматривать как момент вектора угловой скорости тела относительно этой точки. Его можно пред-
Соотношения (89) представляют частный случай (со направлена по оси Oz) формул Эйлера, выражающих зависимости между проекциями скоростей точек вращающегося тела, координатами этих точек и проекциями вектора угловой скорости на неподвижные оси координат (см. стр. 182).
ставить в виде векторного произведения аналогично тому, как это сделано в статике с моментом силы относительно точки1.
V = KQх(о =(ох г.
(90‘)
Вращательную скорость точек, лежащих на поверхности цилиндра (шкива, барабана, махового колеса, вала и т. п.), вращающегося вокруг своей оси, называют окружной скоростью тела. Окружная скорость равна произведению со 6 на радиус R тела:
Задача № 63. Определить вращательную скорость точек земной поверхности на экваторе и на широте Москвы (55°45‘) при вращении Земли вокруг оси (рис. 104). Средний радиус Земли 6371 км и cos 55°45‘= 0,5628.
Решение. Вращаясь вокруг своей оси, Земля совершает один оборот (2л рад) за сутки (86 400 сек), и угловая скорость Земли со = 727• 10~7 рад!сек. Умножая угловую скорость на радиус Земли, выраженный в метрах (6371-103), найдем вращательную скорость точек Земли на экваторе:
Рис. 104
卄= o)R = 727・6371・ 10-4 = 463 м/сек.
Для определения вращательной скорости точек в Москве надо умножить (о Земли на расстояние г от Москвы до
земной оси:
727-10-7-0,5628-6371-103 = 261 儿/%/с.
Ответ. Вращательная скорость
Рис. 105
точек на экваторе 463 м/сек, в Москве 261 м}сек. Она направлена против вращения часовой стрелки, если смотреть с северного полюса.
Задача № 64. Шкив динамомашины Ri=15 см (рис. 105) вращается посредством* бесконечного ремня от паровой машины со шкивом 欠2 = 60 см, делающим 100 об/мин. Определить угловую скорость сох шкива динамомашины.
Решение. Определим окружную скорость шкива паровой машины:
mR2 3,14-100-60 %KP=F=—30—
= 628 см [сек.
Такова же величина скорости скорость шкива динамомашины. Его
частиц ремня, а следовательно, и окружная угловая скорость
(01 =餐出=塞=41力7 рад/сек.
Ответ. 3[ = 41,87 рад/сек, /г = 400 об/мин.
Подробнее об этом см. § 28.
Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения тела:Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения тела:
Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения тела:
Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения тела:
Ускорение точек вращающегося тела. Если в выражении касательного (69) и нормального (74) ускорений вместо скорости с мы подставим выражение (90) вращательной скорости, то получим касательное и нормальное ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Касательное ускорение
или
0T =".
(92)
Касательное ускорение точки вращающегося тела равно произведению углового ускорения тела на расстояние точки от оси вращения.
Центростремительное ускорение точки вращающегося тела равно произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние точки от оси вращения тела:
<2дг=С02Г
Каждая точка вращающегося тела описывает окружность, а потому радиус кривизны р траектории точки равен расстоя
нию этой Имеем
точки от оси вращения тела.
или
aN =(о2г.
Нормальное ускорение точки вращающегося тела вают центростремительным ускорением. Оно равно квадрата угловой скорости на расстояние точки от тела：
(93) обычно назы- произведению оси вращения
Величина полного ускорения точки тела, вращающегося вокруг оси, выражается формулой
a- г у言；国
Зная касательное и центростремительноеускорения, определим по формуле (75)величину полного ускорения этой точки:а= + / * 十凉=十，&)2 + ”r)2,
ИЛИ
a= +「，e2 + oA
(94)
Иногда бывает необходимо определить проекции ускорения точки вращающегося тела на неподвижные оси координат. Для этого продифференцируем равенства (89) по времени, учитывая, что при вращении тела меняется не только его угловая скорость, но и координаты 尤 и у его точек:
g—e即a尸Х£ + %«г = 0.
Подставляя вместо vx и vy их значения (89), найдем проекции ускорения точки вращающегося тела на неподвижные оси:
a#=——дЁ--%①厶 ау =%£-у* 能=0.
(95)
Возводя в квадрат и складывая, найдем
酸=(炉+歹)(炉+炉),
или, так как х2 -\- у2 ~ г2, получаем уже знакомую нам формулу (94). Следовательно,
атх =―护；аТу = хг\ aNx= — х(о2; а^=—yd. (95‘)
Задача № 65. Тело вращается вокруг оси Oz без начальной угловой скорости и с постоянным угловым ускорением 8 = 0,4 рад/сек2-. Определить для t = 10 сек: 1)координаты точки К тела, если при / = 0 координаты точки К были: % = + 10,
g = 0, z = 0; 2) ее вращательную скорость; 3) направляющие косинусы вращательной скорости; 4) касательное и центростремительное ускорения той же точки; 5) направляющие косинусы касательного и центростремительного ускорений; 6) угол, составляемый векторами полного и центростремительного ускорений.
Решение. Тело вращается равноускоренно; по (87) найдем угловое ускорение, угловую скорость и >гол поборота тела для заданного мгновения: е = 0,4 рад/сек.2; со = 0,4• 10 = 4 раО/сек;
0,4-102 “,
$= = 20 рад.
Тело повернулось за 10 сек на 20 рад. Переведем радианы в градусы:
20 “0= 1145°54'56",
за вычетом полных оборотов определим угол аг> составляемый радиусом-вектором с осью Ох (рис. 106):
а「= 65°54'56".
По тригонометрическим таблицам находим: cos а「= 0,4080, sin аг —0,9130. Приняв во внимание, что расстояние точки К от оси вращения тела равно 10 см, найдем координаты точки К в мгновение t = 10 сек:
尤=10 cos а「= +4,080 см,у= 10 sin аг = -]-9,130 см.
Величину вращательной скорости определим по (90): и = сог = 4-10 = 40 см^сек.
Чтобы определить направляющие косинусы вращательной скорости, найдем сначала по (89) ее проекции на оси координат：
%=—усо = —36,52 см/сек,'
% = +尤①= + 16,32 см/сек
н затем по (62) — направляющие косинусы:
cos а。若=Y = -0,9130, cos % 比=^ = +0,4080.
Определим по (92) величину касательного ускорения: ат=“ = 0,4・ 10 = 4 см/сек.2 и по (95')——проекции касательного ускорения на оси х я у: ат%=—护=—3,652 см/сек2, аТу — хе= + 1,632 см/сек2.
Разделив проекции на модуль касательного ускорения, найдем направляющие косинусы касательного ускорения:
cosar=-^=—些=-0,9130, cos ₽г=^ = — = + 0,4080.
Мы видим, что направляющие косинусы касательного ускорения тождественны с направляющими косинусами скорости.
Напомним, что знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Если со и 8 имеют одинаковые знаки (как в данной задаче), то тело вращается ускоренно и направление касательных ускорений его точек совпадает с направлением их скоростей, если же знаки со и 8 различны, то вращение замедленное и векторы касательных ускорений и скоростей точек направлены в противоположные стороны.
Величину центростремительного ускорения определим по (93);
адг=(о2г = 42* 10 = 160 см/сек2
и по (95‘)一его проекции на оси координат: '■
—尤①2=—65,280 см/сек2,
—z/co2— — 146,080 см/сек2.
Проекции нормального ускорения точки на оси координат имеют знаки, обратные знаку соответствующей координаты точки. В самом деле, а^х отрицательна, если абсцисса х положительна, и положительна, если х отрицательна (аналогично и а^у). Следовательно, центростремительное ускорение всегда направлено к началу координат, т. е. к центру круговой траектории точки.
Разделив проекции центростремительного ускорения на его модуль, найдем направляющие косинусы центростремительного ускорения:
cos ₽№^= -^= - 0,9130.
CLN ГСО2
Так как касательное ускорение перпендикулярно к центростремительному, то (по условию перпендикулярности, известному из аналитической геометрии) сумма произведений соответствующих направляющих косинусов должна равняться нулю. Действительно,
cos arcos a“+ cos prcos §*= ( — 0,9130)( —0,4080) + (十 0,4080)(—0,9130) =0.
Определим теперь тангенс угла между направлением полного и нормального ускорений:
tg ц — — —0,0250.
Пользуясь таблицами тригонометрических функций, определим, что угол равен 1。26 似.
Ответ. 1) % = +4,080 см, у=+9,130 см\ 2) и = 40 см/сек, 3) cosa& = =—0,9130, cos 九=+0,4080; 4) аг = 4 см/се}&, a^~ 160 см/сек2-, 5) cos ar = =—0,9130, cos pr— 4-0,4080, cos a^——0,4080, cosB&=—0,9130; 6) угол равен 1。26'0".
Задача № 66. При сборке ротора молотковой дробилки была допущена неточность, в результате которой центр тяжести ротора отстоит от оси вращения на расстоянии 1 мм. Определить центростремительное ускорение центра тяжести ротора, если п = 3000 об/мин.
Решение. По формулам (84) и (93) имеем
со = = ~^ = 100л сек~1) 4%= со21r= 1002娥.1 次次/呢&2 = 98,6 м/ced.
Ответ, адг—98,6 м/сек2 в 10g.
вращательного движения аналогичны соответствующим формулам кинематики точки и могут быть из них получены, если завращательного движения аналогичны соответствующим формулам кинематики точки и могут быть из них получены, если заАналогия формул. Формулы кинематики
вращательного движения аналогичны соответствующим формулам кинематики точки и могут быть из них получены, если за
вращательного движения аналогичны соответствующим формулам кинематики точки и могут быть из них получены, если за
менить расстояние s углом поворота ф, скорость V—угловой скоростью s и каменить расстояние s углом поворота ф, скорость V—угловой скоростью s и касательное ускорение ат—угловым ускорением 8. Это правило является мнемонисательное ускорение ат—угловым ускорением 8. Это правило является мнемониЗависимости между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем аналогичны зависимостям между расстоянием, скоростью, касательным ускорением и временем
менить расстояние s углом поворота ф, скорость V—угловой скоростью s и ка
менить расстояние s углом поворота ф, скорость V—угловой скоростью s и ка
сательное ускорение ат—угловым ускорением 8. Это правило является мнемони
сательное ускорение ат—угловым ускорением 8. Это правило является мнемони
ческимх, оно непригодно для вывода формул, но может облегчить их запоминание. Ниже приведен ряд формул, получающихся одна из другой такой заменой.
Вращение точкиВращение точкиДвижение точки
Вращение точки
Вращение точки
Уравнение движения по траектории s = s(f)Средняя скорость точкиAsВеличина скорости точки dsВеличина касательного ускорения dv d2sРавномерное движение точки◎т = 0, у=const, s=“ +加Равнопеременное движение= const, v = Уо + ^тЛs= s()+ %f Н ^~Уравнение движения по траектории s = s(f)Средняя скорость точкиAsВеличина скорости точки dsВеличина касательного ускорения dv d2sРавномерное движение точки◎т = 0, у=const, s=“ +加Равнопеременное движение= const, v = Уо + ^тЛs= s()+ %f Н ^~Уравнение вращения вокруг оси 屮=①⑴Средняя угловая скорость тела Д(рВеличина угловой скорости телаВеличина углового ускоренияРавномерное вращение телае = 0,(о = const, ф =(р0 4- (й^Равнопеременное вращение£ = const, со = а)о +或，g/2ф = Фо + ^ +-g-Уравнение вращения вокруг оси 屮=①⑴Средняя угловая скорость тела Д(рВеличина угловой скорости телаВеличина углового ускоренияРавномерное вращение телае = 0,(о = const, ф =(р0 4- (й^Равнопеременное вращение£ = const, со = а)о +或，g/2ф = Фо + ^ +-g-
Уравнение движения по траектории s = s(f)
Средняя скорость точки
As
Величина скорости точки ds
Величина касательного ускорения dv d2s
Равномерное движение точки
◎т = 0, у=const, s=“ +加
Равнопеременное движение
= const, v = Уо + ^тЛ
s= s()+ %f Н ^~
Уравнение движения по траектории s = s(f)
Средняя скорость точки
As
Величина скорости точки ds
Величина касательного ускорения dv d2s
Равномерное движение точки
◎т = 0, у=const, s=“ +加
Равнопеременное движение
= const, v = Уо + ^тЛ
s= s()+ %f Н ^~
Уравнение вращения вокруг оси 屮=①⑴
Средняя угловая скорость тела Д(р
Величина угловой скорости тела
Величина углового ускорения
Равномерное вращение тела
е = 0,(о = const, ф =(р0 4- (й^
Равнопеременное вращение
£ = const, со = а)о +或，
g/2
ф = Фо + ^ +-g-
Уравнение вращения вокруг оси 屮=①⑴
Средняя угловая скорость тела Д(р
Величина угловой скорости тела
Величина углового ускорения
Равномерное вращение тела
е = 0,(о = const, ф =(р0 4- (й^
Равнопеременное вращение
£ = const, со = а)о +或，
g/2
ф = Фо + ^ +-g-
Сферическим называют такое движение твердого тела, при котором точки тела описывают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же неподвижным центромСферическим называют такое движение твердого тела, при котором точки тела описывают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же неподвижным центромдвижение называют вокруг неподвижнойдвижение называют вокруг неподвижной
Сферическим называют такое движение твердого тела, при котором точки тела описывают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же неподвижным центром
Сферическим называют такое движение твердого тела, при котором точки тела описывают траектории, лежащие на сферах с одним и тем же неподвижным центром
движение называют вокруг неподвижной
движение называют вокруг неподвижной
§ 28.* СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вращение тела вокруг точки. Пусть во
время движения тела одна из его точек остается неподвижной. Тогда всякая другая точка тела может двигаться только по поверхности сферы, описанной вокруг неподвижной точки радиусом, равным расстоянию этой точки от неподвижной. Такое
сферическим движением тела, или вращением точки.
I Мнемоника — совокупность приемов, имеющих целью облегчить запоминание различных формул, сведений, фактов и т. п.
Положение тела, имеющегонеподвижную точку, можноопределить тремя независи-мыми угламиПоложение тела, имеющегонеподвижную точку, можноопределить тремя независи-мыми углами2 =屮（/）；中= 9（/）；令=令（/）.2 =屮（/）；中= 9（/）；令=令（/）.(96)(96)
Положение тела, имеющегонеподвижную точку, можноопределить тремя независи-мыми углами
Положение тела, имеющегонеподвижную точку, можноопределить тремя независи-мыми углами
2 =屮（/）；中= 9（/）；令=令（/）.
2 =屮（/）；中= 9（/）；令=令（/）.
(96)
(96)
Углы Эйлера. Чтобы определить положение
тела, имеющего неподвижную точку, построим две системы координатных осей с общим началом в этой точке О: основную xOyz и подвижную х'Оу'Т, неизменно свя
занную с движущимся телом (рис. 107). Три оси подвижной системы
составляют 9 углов с тремя осями основной, но для определения положения тела, имеющего неподвижную точку, нет необходимости
знать все 9 направляющих косинусов, так как они связаны известными из аналитической геометрии соотношениями, и независимых величин остается только три.
Положение тела, имеющего неподвижную точку, можно определить тремя независимыми углами. Эти углы обычно называют эйлеровыми.1 Ознакомимся с углами, предложенными Эйлером и применяемыми в астрономии, в гироскопии и во многих других науках.
Линией узлов называют ли
нию ON пересечения плоскостей хОу и £Оу‘ основной и подвижной систем. Первый угол——угол
прецессии 屮——лежит в плоскости хОу между неподвижной осью Ох и линией узлов. Его измеряют от оси Ох к оси ON против хода часов, если смотреть с оси Oz.
Второй ——угол собственного вращения ф ——лежит в плоскости xfOyf
и его отмеривают от линии узлов до оси Охг против хода часовой стрелки, если смотреть с оси Oz'・ Третий ——угол нутации 令——лежит в плоскости zOzr и его отсчитывают от оси On к оси On' против
хода часов, если смотреть с положительного направления линии узлов, а за положительное направление линии узлов принимают такое, глядя с которого -& < 180°, если отмеривать против хода часовой стрелки.
Во время движения тела эти углы изменяются. Чтобы задать уравнение сферического движения, надо представить их как некоторые непрерывные однозначные функции времени:
Предельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, чтобы перевести его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращенияПредельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, чтобы перевести его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения济济6)6)Рис. 108Рис. 108иметь скорости, перпенди-иметь скорости, перпенди-
Предельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, чтобы перевести его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения
Предельное положение такой оси, вокруг которой следует повернуть твердое тело на бесконечно малый угол, чтобы перевести его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения
济
济
6)
6)
Рис. 108
Рис. 108
иметь скорости, перпенди-
иметь скорости, перпенди-
Мгновенная ось вращения. Положение тела в пространстве можно определить различными способами, В частности, для этого можно задать положение трех его точек. Применим этот способ для изучения сферического движения тела. За одну из этих точек примем неподвижную точку О (рис. 108, а), а две другие, 4 и В, выберем произвольно, но с условием, чтобы их
скорости не были параллельны между собой.
Рассмотрим сначала точку А. Проведем прямую через точку А и неподвижную точку О. Согласно основной теореме кинематики твердого тела (77) проекции скоростей точек Л и 0 на АО должны
быть равны. Но скорость точки О, а потому и ее проекция равны ну-
лю. Скорость точки А нулю не равна, но проекция ее на ЛО должна равняться нулю, следовательно, скорость точки А перпендикулярна к АО. Если мы проведем через точки Д и О плоскость (рис. 108, б) перпендикулярно к скорости точки 4 то по той же теореме скорости точек этой плоскости должны быть перпендикулярны к прямым, соединяющим эти точки с неподвижной точкой О, т. е. перпендикулярны плоскости.
Рассмотрим теперь точку В и повторим те же рассуждения. Если мы проведем через точки В и О плоскость В перпендикулярно к скорости точки В, то скорости то-
чек этой плоскости должны быть перпендикулярны к плоскости В.
Точки, лежащие на линии ООХ пересечения плоскостей Л и В, должны
кулярные сразу к обеим пересекающимся плоскостям, что невозможно. Следовательно, скорости точек этой прямой ОО± в данное мгновение равны нулю. Мы пришли к убеждению, что при движении тела с одной неподвижной точкой через эту точку всегда можно
провести ось, скорости точек которой в данное мгновение равны нулю. Эту ось называют мгновенной осью вращения.
Если в движущемся теле существует ось, скорости точек которой
в данное мгновение равны нулю, то скорости других его точек должны быть пропорциональны их расстояниям от оси. Таким образом,
8 =8 =limА/-0limА/-0Д соД соМ ~ dt 'М ~ dt '(97)(97)
8 =
8 =
lim
А/-0
lim
А/-0
Д со
Д со
М ~ dt '
М ~ dt '
(97)
(97)
картина распределения скоростей в теле с одной неподвижной точкой оказалась на данное мгновение такой же, как и в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси.•
При изучении вращения тела вокруг неподвижной оси мы условились о направлении вектора угловой скорости. То же условие сохраняется на сферическое движение, где вектор угловой скорости (о направлен от неподвижной точки О по мгновенной оси вращения в такую сторону, чтобы вращение тела представлялось происходящим против хода часов, если смотреть с конца вектора со, к точке О. Этот вектор можно переносить вдоль оси вращения, но нельзя перемещать параллельно оси. Глубокоеотличие вектора угловой скорости при сферическом движении заключается в том, что он постоянно меняет свое направление.
В связи с этим другое толкование принимает и угловое ускорение. Изображая угловое ускорение тела при вращении вокруг оси вектором, мы направляли его в ту или иную сторону по вектору угловой скорости. При вращении тела относительно неподвижной точки дело обстоит иначе:
Рис. 109направление угловой скорости меняется.
Мы будем называть вектором углового ускорения тела вектор, характеризующий изменение в данное мгновение величины и направления угловой скорости тела*
Направление этого вектора, вообще говоря, не совпадает с мгновенной осью вращения. Пусть, например, угловая скорость тела, имеющего неподвижную точку О (рис. 109) и не показанного на чертеже, в данное мгновение равна(о, а через малый промежуток времени А/ станет 5=со+А(о. Разделив А(о на А/, мы получим вектор среднего углового ускорения тела. Если мы будем уменьшать промежуток времени А/, оставляя неизменным его начало, то вектор среднего углового ускорения тела будет стремиться к своему предельному значению — вектору углового ускорения тела. Этот вектор £ проходит через неподвижную точку О и параллелен касательной к годографу вектора(о.
При сферическом движениитела подвижный аксоид ка-тится без скольжения понеподвижномуПри сферическом движениитела подвижный аксоид ка-тится без скольжения понеподвижномуАксоиды при сферическом движении. Положение мгновенной оси в теле, имеющем одну неподвижную точку, непрерывно меняется. Но в каждое мгновение ось имеет вполне определенное положение и всегда
При сферическом движениитела подвижный аксоид ка-тится без скольжения понеподвижному
При сферическом движениитела подвижный аксоид ка-тится без скольжения понеподвижному
проходит через неподвижную точку О. Геометрическое место мгно-
венных осей вращения, проведенных в теле, представляет собой некоторую коническую поверхность и называется подвижным аксои- дом. Положение мгновенной оси вращения можно отметить и относительно неподвижных координат. Их геометрическое место относительно неподвижных координат, называемое неподвижным аксоидом.
также является конической поверхностью с вершиной в той же неподвижной точке О. Оба конуса соприкасаются по мгновенной оси
вращения. Сферическое движение тела можно представить как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному \
Зависимость между проекциями скоростей точек тела, их координатами и проекциями угловой скорости выражается формулами ЭйлераЗависимость между проекциями скоростей точек тела, их координатами и проекциями угловой скорости выражается формулами ЭйлераФормулы Эйлера. Как было только что показано, скорость каждой точки К тела, имеющего неподвижную точку О, перпендикулярна к прямой КО и пропорциональна расстоянию KOsirra точки К от мгновенной оси вращения (рис. 110), т. е.
Зависимость между проекциями скоростей точек тела, их координатами и проекциями угловой скорости выражается формулами Эйлера
Зависимость между проекциями скоростей точек тела, их координатами и проекциями угловой скорости выражается формулами Эйлера
vk =①К。sin а.
Таким образом, приТаким образом, присферическом движении, как и при враща
Таким образом, при
Таким образом, при
тельном, скорость всякой точки тела можно рассматривать как мо
мент вектора угловой скорости тела относительно этой точки. Проведем из какой- либо точки К тела вектор КО в неподвижную точку О, принятую нами за начало отсчета. Этот вектор равен по модулю, но направлен противоположно радиусу-вектору г =ОК точки Л относительно начала отсчета О. Момент вектора угловой скорости относительно точки К представим векторным произведением и запишем в виде
определителя третьего порядка, как это
мы делали (см. 17 и 17') в статике при определении момента силы:
_ — — — — 7
v = kО xе= ①x广=①尤①y ①z
X у z
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки:
и =，(①/—-①?у) + / (①/—①尤z) + &(Sy—3/)；
раскладывая скорость точки по осям координат:
1 Такая геометрическая интерпретация предложена Пуансо (1834 г.).
и сравнивая оба равенства, мы можем выразить проекции скорости точки через проекции угловой скорости тела и координаты точки:
и尸J ](98)
Эти соотношения, очень напоминающие знакомые нам выражения (23) момента силы относительно оси, отличаются от них не только тем, что вектор силы заменен вектором угловой скорости, но и знаками. Круговой заменой букв в любой из трех формул (98) можно получить две остальные. Эти формулы имеют применение при определении проекций скоростей точек тела, совершающего сферическое движение или вращение вокруг неподвижной оси. В частном случае, если тело вращается вокруг оси Ог, то проекции угловой скорости сох —(0^, = 0, а е? = з, мы получаем формулы (89).
Задача № 67 (№ 19.10,603 М). Тело движется вокруг неподвижной точки — начала координат. В некоторое мгновение угловая скорость его изображается вектором, проекции которого на координатные оси равны V 3, V 5, V 7. Найти скорость точки Л тела, определяемой координатами рПз, V20, V28.
Решение. Подставляя данные в формулы Эйлера, получим
^*х ^^ 0, Uy = 0, 0彳=0.
Ответ, у = 0. В этот момент времени мгновенная ось проходит через точки О и К.
Задача № 68. (№ 12. О. В. Голубева. Теоретическая механика. Физматгиз, 1961). Ось ОД мельничного бегуна (рис. 111) вращается равномерно вокруг вертикальной ОСИ С уГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ 3]. Длина оси ОА = 1, радиус бегуна равен г* Пренебрегая скольжением бегуна, определить вектор его угловой скорости.
Решение. Движение бегуна можно рассматривать как вращение около неподвижной точки О. Бегун катится без скольжения, поэтому скорость точки С соприкосновения его с горизонтальной плоскостью равна нулю, и, следовательно, в каждое мгновение ось, проходящая через точки О и С, есть мгновенная ось вращения. Центр бегуна (точка Л) движется вокруг вертикальной оси, прохо- величине скоростью
и』=О)!/.
Но точка Л принадлежит бегуну, а потому ее скорость в то же время является вращательной скоростью вокруг мгновенной оси вращения ОС. Опуская из Л перпендикуляр на мгновенную ось, получаем
идsina =,
4力2十戸
где со——угловая скорость бегуна, а а —угол ДОС, Из двух выражений 〃/ находим ответ.
Ответ. Ш =
Ускорение всякой точки тела,совершающего сферическоедвижение, состоит из вра-щательного и осестремитель-ного ускоренийУскорение всякой точки тела,совершающего сферическоедвижение, состоит из вра-щательного и осестремитель-ного ускоренийЧтобы получить ускорение какой-либо точки К тела, находящегося в сферическом движении, продифференцируем по
Ускорение всякой точки тела,совершающего сферическоедвижение, состоит из вра-щательного и осестремитель-ного ускорений
Ускорение всякой точки тела,совершающего сферическоедвижение, состоит из вра-щательного и осестремитель-ного ускорений
времени вектор ее скорости v = ©xr. Имеем:
dv d(o f , + dr
M = RXr+sx 近，
или
a=exr +(oxv.(99)
Таким образом, ускорение каждой точки К тела, имеющего одну неподвижную точку О, состоит из векторной суммы двух ускорений:
вращательного ускорения авр — &Хг и осе( @ос = ехи・ В общем случае оба эти ускорения не перпендикулярны друг другу, что необходимо учесть при их суммировании (рис. 112, а). **
宕=4р + %с・(99，)
Эту формулу называют формулой Ривальса.
Чтобы лучше уяснить чему равны и как направлены эти ускорения, обратимся к чертежу.
Вращательное ускорение (рис. 112, б) выражается векторным произведением углового ускорения е и радиуса вектора
0К=尸.Следовательно, оно направлено перпендикулярно плоскости, образованной этими векторами, и по модулю равно
&р =屮 sin (er) = £儿，(100)
где ht ——длина перпендикуляра, опущенного из точки К на прямую, по которой направлено угловое ускорение е. Из формулы (100) в частности следует, что эта прямая обязательно должна проходить через неподвижную точку О, потому что в противном случае точка О имела бы неравное нулю вращательное ускорение, т. е. стала бы подвижной.
Осестремительное ускорение по модулю равно
&с =①usin (①и),
но этот синус равен единице, так как векторы угловой и вращательной скорости взаимно перпендикулярны. Модуль же вектора вращательной скорости v = sh, где h——длина перпендикуляра, опущенного из точки К на мгновенную ось вращения, а потому
(101)(101)"ос九3?・
(101)
(101)
Чтобы найти скорость точки В, надоЧтобы найти скорость точки В, надо
Чтобы найти скорость точки В, надо
Чтобы найти скорость точки В, надо
Направлено осестремительное ускорение перпендикулярно векторам угловой скорости тела и вращательной скорости точки К, т. е, по прямой h от точки К к мгновенной оси вращения.
Задача № 69. Найти скорость и ускорение точки В конического катка, равномерно катящегося без скольжения по горизонтальной конической кольцевой опоре (рис. 113). Диаметр катка ВС = 30 см, 。4 工 20 см, скорость центра катка 歹/=40 см/сек, и направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя.
Решение. Мгновенная ось проходит через неподвижную точку О и точку С, скорость которой в данное мгновение равна нулю, потому что каток катится без скольжения. Векто р угловой скорости(о направлен по мгновенной оси. Модуль его определим, разделив скорость точки 4 на расстояние АК от мгновенной оси. Из треугольника О АС находим ОС2 = ОД2 + ЛС2 — 625. Тогда
ОС = 25 см, sin а — = 0,6, cosa=^=0,&
Имея эти данные, находим угловую скорость:
40& &1
3=苏章=3,3….
угловую скорость помножить на расстоя
ние точки В от мгновенной оси h~ =OB sin 2a =25• 2・0,6 ・0,8 =24 сл<. Скорость точки В перпендикулярна плоскости чертежа, направлена на читателя и по модулю равна 79,2 см/сек.
Найдем теперь вектор углового ускорения. Каток катится равномерно, величина угловой скорости не изменяется, но меняется ее направление, и конец вектора угловой скорости описывает годограф — окружность радиуса ① sin (多―а) . Угловая скорость з】, с которой поворачивается вектор угловой скорости з, равна угловой скорости, с которой поворачивается ось О А во время движения катка:
以 40
5 = ^=気=2 СеК7
Вектор углового ускорения ра-
Рис. 113вен скорости годографа вектора угло
вой скорости. Он направлен перпендикулярно плоскости чертежа на читателя, но приложен в неподвижной точке О:
g =(Di3 sin (■^■―а) =3,3・2・0,8 = 5,28 с^к-2.
Чтобы определить вращательное ускорение точки В, надо помножить угловое ускорение е на длину перпендикуляра 力工=80 = 25 см:
авр = 5,28*25= 132 см/се©：
Направлен вектор вращательного ускорения перпендикулярно вектору углового ускорения и плечу ВО и в такую сторону, чтобы вектор е указывал против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора авр. Следовательно, вектор Овр лежит в плоскости ВОС и перпендикулярен ВО.、
Осестремительное ускорение по модулю равно произведению квадрата модуля угловой скорости на длину перпендикуляра 九，опущенного из точки В на мгновенную ось, и направлено к оси:
Оос = 3,32*24 = 261 cjw/ce"
Угол между векторами вращательного и осестремительного ускорений равен 2а.
Полное ускорение точки В определим, применив теорему косинусов
]/^22 + 2訐2 — 2 / 32 • 261 • (6耳—0石亏
Ответ: vB —79 см/сек\ 。月=257 сл/сек2.
ГЛАВА XI
СОСТАВНОЕ (СЛОЖНОЕ) ДВИЖЕНИЕ
§ 29. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ И ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЯ
Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчетаАбсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчетаАбсолютное движение. Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений • тел (или частей тела). Такое изменение можно
Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчета
Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчета
отметить только относительно других тел. Так, река течет вдоль берегов, биллиардный шар катится по биллиардному столу, пароход пересекает экватор. Реальные или условные тела (берега, биллиардный стол, экватор), по отношению к которым мы определяем положения других движущихся тел (воды, шара, парохода) и которые мы принимаем за системы отсчета, тоже не неподвижны. Так, системы отсчета, только что приведенные нами в виде примера, находятся на поверхности нашей планеты и вместе с ней вращаются вокруг земной оси, движутся вокруг Солнца и совершают множество других движений- Но и предметы, не связанные непосредственно с Землей, тоже не неподвижны——Солнце движется
относительно звезд, которые движутся относительно друг друга.
Однако для целей механики далеко не всегда нужно иметь не“ подвижную систему отсчета. Так, например, если мы передвигаем какой-либо груз с носа корабля на корму, то нас может интересовать движение груза по палубе независимо от движения корабля. В подобных случаях в кинематике можно условно принять за неподвижную любую систему отсчета и назвать ее основной системой отсчета. Движение же точки (или системы точек) по отношению к основной системе отсчета называют абсолютным движением.
Относительным движением называют движение точки или системы точек по отно-Относительным движением называют движение точки или системы точек по отно-Относительное движение. Встречаются случаи, когда приходится изучать движение (точки или тела) по отношению к системе
Относительным движением называют движение точки или системы точек по отно-
Относительным движением называют движение точки или системы точек по отно-
шеиию к подвижной си- отсчета, которая сама передвигается отно- стеме отсчетасительно другой системы, принятой за
основную. При рассмотрении движения точки или тела по отноше
нию к двум системам отсчета ту из этих систем, которая движется относительно основной системы отсчета, называют подвижной системой отсчета.
Так, например, перемещение корабля в море, измеренное при помощи лага \ не учитывает снос корабля морским течением. Лагом измеряют движение корабля относительно воды. Можно представить себе подвижную систему координат, плывущую вместе с водой по течению, т, е. передвигающуюся относительно другой системы от-
Лаг——механический или гидравлический инструмент для измерения скорости корабля относительно воды.
счета, принятой за основную. Движения корабля можно рассматри
вать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к подвижной системе (связанной с водой) и к основной (связанной
с материками, принимаемыми за неподвижные). Движение корабля по отношению к подвижной ' системе координат, измеряемое лагом, будем называть относительным движением корабля. Вообще относительным движением будем называть движение (точки, тела или системы точек) по отношению к подвижной системе отсчета. Отно
сительное движение изучают обычно в тех случаях, когда приходится учитывать не только движение данного объекта по отношению к подвижной системе отсчета, но и движение самой системы отсчета.
Переносным движением на-зывают движение подвижнойсистемы отсчета по отноше-нию к основной системе от-счетаПереносным движением на-зывают движение подвижнойсистемы отсчета по отноше-нию к основной системе от-счетаПереносное движение. Так, в данном примере, чтобы знать движение корабля относительно берегов, надо кроме движения корабля относительно воды знать также и движение самой воды, т. е. движение
Переносным движением на-зывают движение подвижнойсистемы отсчета по отноше-нию к основной системе от-счета
Переносным движением на-зывают движение подвижнойсистемы отсчета по отноше-нию к основной системе от-счета
подвижной системы отсчета относительно основной. Движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета
называют переносным движением.
Во многих задачах кинематики переносным бывает движение среды, в которой находится тот объект, движение которого нужно изучить. В только что рассмотренном примере течение воды действительно переносит корабль. Еще один пример: человек идет по поезду. Движение поезда является переносным движением для чело
века, а движение человека относительно вагонов является относительным. Поезд переносит (в буквальном смысле слова) человека. Но иногда переносное движение не является движением среды, которая увлекает с собой данный объект. Например, рассматривая движение Земли вокруг ее оси и вокруг Солнца, мы можем первое из этих движений считать относительным, а второе—переносным, хотя нет такой среды, которая вращалась бы вокруг Солнца, увлекая с собой и Землю.
Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переиосиого движенийСоставным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переиосиого движенийСоставное движение. В первых двух примерах движение объекта (корабля, человека) состоит из двух движений, которые мы назвали относительным и переносным. В третьем примере Земля совершает дви
Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переиосиого движений
Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переиосиого движений
жение, которое мы искусственно разложили на относительное и переносное. Часто, чтобы упростить изучение какого-либо сложного движения, это движение искусственно раскладывают на более простые, называя одно из них относительным, другое——переносным. Независимо от того, состоит ли движение в действительности из относительного и переносного или же мы искусственно, для упрощения расчетов, считаем его состоящим из двух движений, мы будем называть сложным или составным движением абсолютное движение точки или системы точек, состоящее "(или составляемое) из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета и переносного движения вместе с подвижной системой отсчета.
Если в составнрм движении мы мысленно прекратим одно из составляющих движений, то получим второе составляющее движение. При решении некоторых задач бывает удобно пользоваться таким приемом:
чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное;
чтобы определить переносное движение, мысленно остановим относительное. '
Возвращаясь к первому из только что разобранных примеров, мысленно остановим морское течение; корабль будет двигаться относительно воды, но не будет относиться течением; останется только одно движение—относительное. Остановим теперь собственный ход ко
рабля, но предоставим воде продолжать свое течение, и корабль поплывет по течению; останется только одно движение корабля —переносное.
Также легко выделить относительное и переносное движения во втором примере. Остановим мысленно поезд, но предоставим чело
веку идги по вагону, и получим относительное движение человека;
остановим мысленно человека в его движении по поезду, но не
будем останавливать поезд, и найдем переносное движение человека.
Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простыхстить его, чтобы болееДвижение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простыхстить его, чтобы болееНесколько сложнее третий пример (движение Земли). Здесь нет движения среды, переносящей Землю, подобно морскому течению, переносящему корабль. ^Мы лишь мысленно приняли движение Земли за составное, искусственно разложили его на переносное и относительное, чтобы упро- наглядно себе его представить и легче по
Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простых
стить его, чтобы более
Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простых
стить его, чтобы более
нять. Мы можем вообразить подвижную систему координат, связанную с Землей и движущуюся относительно основной системы, связанной с Солнцем и звездами, и считать, что движение Земли состоит из переносного и относительного. Поскольку движение земного шара (движение по отношению к основной системе) мы искусственно рас；
сматрнваем как составное, постольку от нас самих зависит, как разложить это движение на переносное и относительное. Мы можем
считать, что подвижная система отсчета движется поступательно или вращательно. В зависимости от этого, конечно, изменится и относительное движение. Земля совершает 366} оборота в год относительно поступательно движущихся осей (рис. 114, а) и на один оборот меньше относительно осей, вращающихся вокруг Солнца (рис. 114, б) и совершающих один оборот в год. •
Такой искусственный метод разложения движения на относительное и переносное широко применяют в различных областях механики. Л. Пуансо в предисловии ко второму изданию своей книги «Элементы статики» (1824) писал даже о невозможности представить наглядно движение тел иначе, как в виде одновременного перемещения и вращения.
Очень часто движение раскладывают не на два, а на большее число составляющих движений. Напомним, что мы уже так поступали, изучая движение точки как составное из трех прямолинейных движений, параллельных осям координат (см. § 22).
§ 3〃 ТЕОРЕМЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СКОРОСТЕЙ И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА УСКОРЕНИЙ
Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчетаОтносительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчетаОтносительные скорость и ускорение. Пусть некоторая точка М (рис. 115) движется относительно системы координат. x'Eg'z'. Если бы эту систему координат мы считали неподвижной, то движение, скорость
Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчета
Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчета
и ускорение точки по отношению к этим координатам мы называли бы абсолютными. Но пусть система координатных осей x'Ey'z' по условиям задачи движется относительно
основной системы отсчета хОуг. В таком случае скорость и ускорение точки М относительно системы координат x'Ey'z' называют относительными. Итак:
относительной скоростью точки называют скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета г;
относительным ускорением точки называют ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета.
Мы будем обозначать относительную скорость буквой и с индексом г (от латинского слова relativus ——относительный).. Относительное ускорение будем обозначать буквой а с тем же индексом г.
Для обозначения проекций относительных скорости и ускорения будем ставить рядом с индексом г второй индекс. Так, vrx
1 Понятие «относительная скорость» в науку ввел Мариотт.
есть проекция относительной скорости на ось Ox; %n — отно
сительное нормальное ускорение.
Переносными скоростью иПереносными скоростью иускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точкаускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точкаПереносные скорость и ускорение. Чтобы определить переносное движение точки М,
Переносными скоростью и
Переносными скоростью и
ускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка
ускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка
прекратим мысленно ее относительное движение, закрепив ее относительно координатных осей £Ey'z' в том положении, которое она занимает в данное мгновение. Таким образом, мы будем считать, что точка М неизменно скреплена с осями
x'Ey'z', но оси продолжают двигаться относительно основной системы координат xOyz вместе с точкой М. Тогда скорость и ускорение точки М относительно основных осей координат явятся скоростью и ускорением точки М в ее переносном движении. Итак:
переносной скоростью точки М называют абсолютную скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгно
вение совпадает движущаяся точка М;
переносным ускорением точки М называют абсолютное ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М.
ось будем ставить рядомВектор абсолютной скоростиравен сумме векторов отно-сительной и переноснойскоростей:ось будем ставить рядомВектор абсолютной скоростиравен сумме векторов отно-сительной и переноснойскоростей:Мы будем обозначать переносную скорость точки буквой и с индексом е (от французского слова entrainer——увлекать за собой), а переносное ускорение——буквой а с тем же индексом. Для обозначения проекций переносных скорости и ускорения на какую-либо
ось будем ставить рядом
Вектор абсолютной скоростиравен сумме векторов отно-сительной и переноснойскоростей:
ось будем ставить рядом
Вектор абсолютной скоростиравен сумме векторов отно-сительной и переноснойскоростей:
с индексом е индекс, соответствующий оси. Параллелограмм скоростей. Ознакомившись с понятиями относительной и переносной скоростей точки, найдем зависимость между этими скоростями и абсолютной скоростью,
0 =力+%0 =力+%т. е. скоростью точки по отношению к основной системе отсчета.
0 =力+%
0 =力+%
Пусть подвижная система координат x'Ey'z' (рис. 116) движется поступательно. В таком случае оси Ex', Еу‘ и Ez‘ будут оставаться параллельными своему начальному направлению. Для простоты выкладок пусть эти оси направлены параллельно осям основной системы координат. Тогда во все время движения будем иметь:
Exf\\Ox; Eyr^Oy\ Ez^Oz. '
Рассмотрим сначала относительное движение точки М и для этого остановим мысленно движение- подвижной системы отсчета.
Напишем уравнения движения точки М относительно подвижной системы отсчета:
£ = /(/), “=“(£), d = z'(f)・(102)
Продифференцировав по времени и обозначая, как обычно, точкой производные по времени, найдем проекции относительной скорости на подвижные оси координат:
%；，=“； “，= z'・
Так как оси подвижной системы координат параллельны соответствующим осям основной системы, то проекции относительной
скорости на оси Ex', Eyf и Ez‘ соответственно равны проекциям на параллельные нм оси 0%, Оу и Ог основной системы отсчета:
Зная проекции относительной скорости, легко найдем по формулам (64) и (62) величину и направление полной относительной скорости.
продолжать движение.продолжать движение.Чтобы определить переносное движение, мысленно остановим движение точки относительно подвижной системы координат, но пре
продолжать движение.
продолжать движение.
доставим самой подвижной системе £Еу‘z‘ Напишем по (77) уравнения переносного поступательного движения:
xE^x(t), fe^y(0. Ze = z(/).
Продифференцировав равенства (77), получим проекции переносной скорости точки М, которые при поступательном движении системы равны проекциям скорости точки Е:
Величину и направление вектора полной переносной скорости точки М легко найти по формулам (64) и (62).
Для определения абсолютной скорости точки М найдем сначала ее координаты х, у и г. Применив формулу преобразования начала координатных осей при сохранении направления осей, получим
%0/ + х£, у^у, + уe, Z = Z' +在.
Точка М находится в составном движении, следовательно, хч у ^ z изменяются с течением времени, причем первые члены правых частей этих равенств изменяются согласно (102), а вторые——согласно (77). Продифференцировав по времени, получим . проекции абсолютной скорости точки М:
%=%' +焉，屮=0'十旅，% = 7十公 или ■
% = %х + &%, %=%у+%у,+(103)
Эти равенства показывают, что проекция абсолютной скорости на какую-либо ось равна сумме проекций относительной и переносной скоростей на ту же ось. Следовательно, вектор абсолютной скорости точки равен сумме векторов относительной скорости и переносной скорости той же точки:
Поэтому доказанную теорему называют теоремой параллелограмма скоростей.
Равенства (103) и (103') выражают связь между тремя скоростями (абсолютной, относительной и переносной) одной и той же точки и позволяют определить любую из этих скоростей, если известны две другие. Они доказа-
Рис. 117Рис. 117какую-либо ось равна разности проекций тельной скоростей той же точки на туИз векторного равенства (103) получаемкакую-либо ось равна разности проекций тельной скоростей той же точки на туИз векторного равенства (103) получаемныв предположении, что переносное движение поступательное, но справедливы при всяком переносном движении, как это будет показано в§31.
Рис. 117
Рис. 117
какую-либо ось равна разности проекций тельной скоростей той же точки на ту
Из векторного равенства (103) получаем
какую-либо ось равна разности проекций тельной скоростей той же точки на ту
Из векторного равенства (103) получаем
Из равенств (103) непосредственно получаем:
проекция относительной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и переносной скоростей той же точки на ту же ось;
проекция переносной скорости точки на абсолютной и относи-
же ось.
一二=二+（一京）.
Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти относительную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее переносной скорости. Аналогично, чтобы найти переносную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее относительной скорости.
Задача № 70 (А. И. Некр асов. Курс теоретической механики в векторном изложении, ч. 2. ГИТТЛ, 1933). Вертикально падают дождевые капли со скоростью 2 м/сек. Пешеход идет справа налево со скоростью 1,5 м/сек. Найти скорость дождя по отношению к пешеходу (рис. 117, а).
Решение. В данной задаче за основную систему отсчета примем Землю. Подвижная система отсчета связана с пешеходом. Вертикальная скорость дождя является абсолютной скоростью (и = 2 м/сек)', переносной скоростью уе является скорость подвижной системы отсчета, т. е. скорость человека, направленная влево и равная 1,5 м/сек. Чтобы найти вектор относительной скорости, сложим вектор абсолютной скорости (рис. 117,6) с вектором, который по величине равен переносной скорости, а по направлению противоположен ей, т. е. направлен слева направо:
力.=УЧ 十 2,25 = 2,5 м/сек,
Вектор относительной скорости составляет с вертикалью угол а, тангенс которого равен
tga = ^"=0,75.
Ответ.。尸=2,5 川/сек; а = 37°.
Задача № 71 (№ 22.11, 432 М). Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч.
Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 30 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля,
определяемую наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля. При вычислении принять 42,3 = 30 М 2.
Решение. З-адача аналогична предыдущей, но решать ее будем не в векторной, а в координатной форме, для чего перепишем (ЮЗ) в следующем виде:
Vrx — vx — vex, Vry = Vy — Vey.
Построим основную систему координат, связанную с Землей, направив ось Ох на юг, а ось бу—на восток, (рис. 118). Подвиж
ную систему отсчета свяжем с первым ко
раблем, так как относительно первого корабля надо определить скорость второго. Проекции абсолютной скорости второго корабля на оси основной системы таковы:
% = 30 cos 45。= 15 }^2;屮=30 sin 45° — 15 )^2.
Переносным движением мы называем движение подвижной системы отсчета по отношению к основной. Поэтому в данной задаче переносной скоростью является скорость первого корабля. Ее проекции следующие:
=十 30 ]/ 2, %у = °・
Подставляя эти значения в написанные выше уравнения, найдем проекции относительной скорости:
15 VT—3015 У^ 15 М2
По проекциям находим модуль:
力=+)/* 色* 十 ?:y = 30 км/ч
и направляющие косинусы относительной скорости:
cos аcos а力汇 —]5 У~^vr 30力汇 —]5 У~^vr 30口 о 叮『cos^F口 о 叮『cos^F15 /Т一3厂15 /Т一3厂22
cos а
cos а
力汇 —]5 У~^
vr 30
力汇 —]5 У~^
vr 30
口 о 叮『cos^F
口 о 叮『cos^F
15 /Т
一3厂
15 /Т
一3厂
2
2
Следовательно, относительная скорость второго корабля составляет углы по 45° С положительным направлением оси Оу п с отрицательным направлением оси О%, т. е. направлена на северо-восток.
Ответ. ?尸=30 км/ч н направлена на северо-восток.
Задача № 72. Ширина АВ реки (рис. 119,а) равна 900 л, и берега ее параллельны. Моторная лодка, выйдя из пункта В, держала курс перпендикулярно берегам и достигла противоположного берега через 5 мин, но не в пункте Л, находящемся против В, а в пункте С, лежащем на 300 м ниже по течению. Во втором рейсе та же моторная лодка, выйдя из того же пункта В, взяла курс под углом о к В А (начальное направление на пункт D, лежащий на 300 м выше пункта Л по течению) и сохраняла свое направление (угол д), но подошла к правому берегу в пункте Е, лежащем ниже А.
Считая скорость лодки относительно воды постоянной и пренебрегая изменением течения воды у берегов, определить расстояние АЕ, скорость течения, скорость лодки относительно воды и скорости % и и? лодки относительно беретов в обоих рейсах.
Решение. Возьмем начало основной системы координат в точке В, направив ось абсцисс перпендикулярно к берегу по 34, а ось ординат ——вниз по течению реки (для решения задачи пользуемся формулами 103). Скорость лодки относительно этой системы является абсолютной. Подвижная система координат движется поступательно вместе с водой и скорость течения реки является переносной скоростью лодки.
Тогда, имея в виду, что 4c = 300 m^DA, для первого рейса (рис. 119,6)
5 cos 6 = % vx sin 6 = ve
и для второго рейса (рис. 119, s)
?2 cos 6』？「cos 6, и? sin 3' = %—?尸 sin 6.
В первом рейсе лодка держала курс перпендикулярно берегам и в относительном движении проплыла 900 л за 5 мин = 300 сек. Следовательно, и「= 3 м/сек.
За то же время ее снесло течением иа 300 財,а потому %=1 м/сек.
Подставляя эти значения в уравнения, составленные для первого рейса, и деля второе из этих уравнений на первое, найдем
1W1Wtg6 = "=4", откуда cos 6 =; sin 6
1
W
1
W
力 3“О
Из тех же уравнений найдем скорость лодкн относительно берегов (т. е. абсолютную скорость) в первом рейсе：
S = V】。=3,16 м/сек.
Величина относительной скорости лодки, определенная по Данным первого рейса, не изменится и во втором, так как по условию задачи скорость лодкн относительно воды постоянна. Также не изменится и переносная скорость лодки — скорость течения реки. Подставляя найденные значения в уравнения, составленные для второго рейса, получим
02 cos 3'==2,85, 5sin6'=l__ = 0,05.
К ю ■/10
Из этих уравнений найдем: v2 = 2,85 м/сек и sin 6' = 0,018,
Умножая Л В —900 府 на tgb', найдем АЕ.
Ответ. и&=1 附/сек; иг= 3 м/сек; 近=3,16 府/ce/c;
va==2,85 м/сек; 4Е==16
Если переносное движениепоступательное, то векторабсолютного ускорения точкиравен сумме векторов ее от-носительного и переносногоускорений。=0r +。gЕсли переносное движениепоступательное, то векторабсолютного ускорения точкиравен сумме векторов ее от-носительного и переносногоускорений。=0r +。gПараллелограмм ускорений. В отличие от теоремы параллелограмма скоростей, применимой при всяком переносном движении, аналогичная теорема параллелограмма ускорений справедлива только в том случае, если переносное движение поступательное.
Если переносное движениепоступательное, то векторабсолютного ускорения точкиравен сумме векторов ее от-носительного и переносногоускорений
。=0r +。g
Если переносное движениепоступательное, то векторабсолютного ускорения точкиравен сумме векторов ее от-носительного и переносногоускорений
。=0r +。g
Пусть точка совершает составное дви
жение, причем подвижная система отсчета x'Ey'z' движется поступательно по отношению к основной системе xOyz. Пусть соответствующие оси обеих координатных систем парал
лельны друг другу, это упростит доказательство.
Проекции относительной скорости точки нами уже определены. Продифференцировав эти равенства по времени, найдем проекции относительного ускорения точки:
%= %';却=旷；。Г2 = 2‘.
Величину и направление полного относительного ускорения можно определить по формулам (66) и (67).
Продифференцировав по времени равенства (78), найдем проекции ускорения точки в переносном поступательном движении:
〃ех = %Е； &у = Уе；奥2 =立，
Величину и направление полного переносного ускорения можно определить по формулам (66) и (67), применимым для всякого ускорения точки, независимо от того, является это ускорение абсолютным, относительным или переносным. '
Чтобы определить проекции абсолютного ускорения точки (в рассматриваемом случае переносного поступательного движения), надо продифференцировать по времени равенства (103). Получим
ах = х' +хЕ, ау = у' + уЕ, % = £'+*
ИЛИ
% = агх + &尤，ау = агу +。”，& = arz + aez.(104)
Из этих равенств видно, что если переносное движение поступательное, то проекция абсолютного ускорения точки на ось состоит из суммы проекций на ту же ось относительного и переносного ускорений точки. Следовательно, вектор абсолютного ускорения точки в этом случае равен геометрической сумме двух векторов—относительного и переносного ускорений:
3=｝尸+乙 .(1049
В этом заключается теорема параллелограмма ускорений.
Равенства (104) и (104') выражают связь между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки в случае, если переносное движение поступательное, и позволяют определить какое- либо одно из этих ускорений по двум другим.
Если относительное и переносное движения заданы в естественной форме, то для определения ускорений приходится сначала определять их нормальную и касательную составляющие. Так, для определения относительного ускорения надо определить относительное касательное и относительное нормальное ускорения, а уж потом по формулам (75) и (76)—полное относительное ускорение. Аналогично для определения переносного ускорения определяют переносные касательное и нормальное ускорения, а затем полное переносное ускорение. Для получения полного абсолютного ускорения нужно взять геометрическую сумму полного относительного и полного переносного ускорений, которые составляют между собой, вообще говоря, угол, отличный от прямого.
Приводим схему разложения полного абсолютного ускорения точки для случая переносного поступательного движения. При решении задач на параллелограмм ускорений бывает полезно написать эту схему и заполнять ее справа налево:
(105)
Часто определяют абсолютное ускорение по его проекциям axt Оу, & на осн основной системы координат и, получив проекции результирующего вектора 生 как алгебраические суммы проекций составляющих а“，arN, аеТ и aeNi на те же оси:,
ах н arTx + arNx + &Тх + 〃еах，)
ау ~ arTy + arNy + ^гГу + ^еЛ>» }(1°6)
az = arTz + arNz + aeTz + aeNz-丿
Эти равенства являются лишь некоторым видоизменением равенств (104).
Если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки состоит из суммы трех векторов: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса. Доказательство теоремы Кориолиса дано в § 31. ■
Задача № 73. Кривошипно-кулнсный механизм приводного молота (рис. 120, а) состоит из прямолинейной поступательно движущейся кулисы АВ, в прорези которой скользит звено С (камень), соединенный шарнирно с кривошипом ОС длины г, вращающимся с постоянной угловой скоростью со. Найти скорость и ускорение кулисы как функции угла поворота кривошипа.
Решение. Будем рассматривать движение камня С как составное, состоящее из относительного движения по прорези кулисы и переносного движения вместе с кулисой. Для решения воспользуемся формулами (103) и (104). Примем неподвижный шарнир О за начало основной системы координат, направив ось Ох вправо и ось Оу вверх (рис. 120,6). Подвижную систему координат неизменно соединим с кулисой, взяв начало в точке Е и направив ось Ехг по прорези
вправо, а Ед —вверх. Движение подвижной системы координат, как и движение кулисы, поступательное. Ось Ехг передвигается к неподвижной оси Ох, а ось Еу‘ скользит по оси Оу.
Абсолютное движение камня есть круговое поступательное движение по отношению к основной системе координат. Для определения абсолютных скорости и ускорения обратим внимание на то, что точка С (шарнир) принадлежит не только камню, но и кривошипу, а потому абсолютная скорость точки С равна сог- (см. рис. 120, б), а ее проекции:
vv =(or cos(oZ и vy — <ar sin со/.
Абсолютное ускорение точки С равно(o2z, а его проекции (рис. 120, в):
ах~—(o2r sin(о/ и ау~<^г cos(ot
Эти равенства можно было бы получить, продифференцировав предыдущие.
Относительное' движение камня ——это возвратно-поступательное движение по
прорезн вправо и влево. Такое движение камня мы видели бы, если бы сами двигались вместе с кулисой, не замечая ее движения. Камень движется по гори* зонтальной оси Ел/, а цотому
Проекции относительного ускорения:
0r4=土0г，0号=0.
Переносное движение камня (движение подвижной системы отсчета относительно основной) — возвратно-поступательное движение кулисы вверх и вниз. Поэтому проекции переносных скорости и ускорения на вертикальную ось Оу равны модулям скорости и ускорения со знаком «+》или 《一», а на горизонтальную ось Ох一равны нулю. Имеем
%尤=0, %У = 土 % н 0eм =。，0" = ±。8.
Из трех движений камня нас интересует переносное движение (движение кулисы). Определив проекции переносной скорости
%¥ = %—。尸¥，％у = % — ?гуи подставив найденные значения, получим переносную скорость из уравненийО —(ог cos со/ — ?尸， ve =(or sin(o^.■
Таким образом, переносная скорость камня (скорость кулисы) определена. Для определения переносного ускорения мы могли бы продифференцировать по времени выражение, полученное для переносной скорости (так как переносное
движение прямолинейно-поступательное). Но мы применим более общий метод —— определим из (104) проекции переносного ускорения：
%尤=aх一0rХ, %у = aу - aryt
подставим в эти уравнения найденные нами значения проекций переносного и абсолютного ускорений камня:
0 = — 32r sin 皿—％, ae —(o2r cos st.
Таким образом, переносное ускорение ае камня равно ①2r cos 皿.Оно же является ускорением кулисы.
Ответ. u =(or sin(о^; а = а^г cos(оЛ
§ 31. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ УСКОРЕНИЙ ТОЧКИ ПРИ ПЕРЕНОСНОМ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)
При составном движении точки в случае непоступа- тельиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:При составном движении точки в случае непоступа- тельиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:ас — 2(0?，sin (侖Jас — 2(0?，sin (侖Jпозволяющие определить ном движении точки.позволяющие определить ном движении точки.Величина ускорения Кориолиса. Теорема параллелограмма ускорений пригодна только в частном случае, если подвижная система отсчета движется поступательно. Если же переносное движение не поступательное, то у абсолютного ускорения появляется еще одна составляющая, называемая ускорением Кориолиса, или поворотным ускорениемг. Выведем формулы, абсолютное ускорение при всяком состав-
При составном движении точки в случае непоступа- тельиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:
При составном движении точки в случае непоступа- тельиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:
ас — 2(0?，sin (侖J
ас — 2(0?，sin (侖J
позволяющие определить ном движении точки.
позволяющие определить ном движении точки.
Пусть точка М (рис. 121) движется относительно подвижной
УУРис. 121Рис. 121системы £Oy'z' и это движение определяется какими-либо уравнениями
У
У
Рис. 121
Рис. 121
£ = %' (%), У’ =У‘ (0>z' = z<)・
Пусть подвижная система отсчета вращается вокруг оси Ог основной системы согласно уравнению 屮= <р«)・
Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101, стр. 165), при котором оси Oz' и Oz подвижной и неподвижной систем совпа
дают между собой и с осью вращения, а плоскость £Од‘ находится в плоскости хОу. Тогда координаты точки М в основной системе
1 Теория составного движения точки создана Гаспаром Кориолисом в 1831 г.
определятся соотношениями
x^xr cos ф—yf sin ср,)
у = sin ср -f- yf cos ср, >(107)
z = z-丿
Эти равенства (107) отличаются от уже известных нам равенств (88) тем, что здесь координаты х\ 夕 и zf переменны, тогда как в равенствах (88) они были постоянны.
Если мы мысленно остановим точку Л4 в ее относительном движении, т. е. будем считать ее координаты х\ у' и z‘ постоянными, но сохраним переносное вращение, то, дифференцируя равенства (88) по времени, найдем знакомые нам выражения (89) проекций вращательной скорости, которая в данном случае явится переносной скоростью точки Л4:
&х = —(/sin(р + у'со5(р)(р = —ye, 1 Проекции u” = (£cos(p—yf sin ср) ср = +%co,} переносной
%z = 0・丿 скорости
Дифференцируя вторично, найдем проекции переносного ускорения, которые выражаются также известными нам формулами (95):
аех = — (xz sin cp + y' cos ср) ср ——(xz cos ср ——'
—d sin ср) © = _ g-x心,Проекции
aey — (x" cos cp——g，sin 屮)<p ——(£ sin 屮+переносного
+ y" cos cp) q)2 = xe — yd, ускорения
〃ez = 0・丿
vrx = xf cos ср——yr sin ср, vry = %’ sin 屮 + y‘ cos cp,vrx = xf cos ср——yr sin ср, vry = %’ sin 屮 + y‘ cos cp,Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное, т. е. будем считать ср постоянной, а х\ р‘ и z‘ ——переменными. Дифференцируя при таких условиях (107) по времени, определим проекции относительной скорости:
vrx = xf cos ср——yr sin ср, vry = %’ sin 屮 + y‘ cos cp,
vrx = xf cos ср——yr sin ср, vry = %’ sin 屮 + y‘ cos cp,
Проекции относительной скорости.
Заметим попутно, что, возводя каждое из этих равенств в квадрат, складывая и извлекая квадратный корень, мы определили бы величину относительной скорости (рис. 122). Если же мы возведем в квадрат и сложим лишь два первых равенства, то, извлекая корень, мы получим, очевидно, величину проекции относительной скорости на плоскость %Оу:
1/"。％+。％= UrSin".,
Напомним, что вектор угловой скорости 苍 направлен по оси вращения, а потому угол 丫尸 есть угол между векторами относительно
ной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:
/% + % = % sin 砌).
Это соотношение скоро нам понадобится.
Чтобы получить проекции относительного ускорения, надо про>дифференцировать по времени выраже-
Gния, полученные для проекций относи
Рис. 122Рис. 122тельной скорости, по-прежнему считая ср постоянной. Имеем
Рис. 122
Рис. 122
агх = х' cos ср—у' sing), | Проекции ary = xz sin q) + / cos ср, } относительного 〃,"=£'・ускорения
Чтобы определить проекции абсолютной скорости точки М, надо продифференцировать уравнения (107) по вре-
мени, считая все величины переменными. Имеем
Uv = / cos ф—/ sin(Р — (xz sin(f + yf cos <p) ф, ] Проекции
% = £ sin <p+ “ cos <p + (%'cos <p—у' sin ср) ср, г абсолютной
и =£'I скорости
или
% = U» + %3 ^ = ^ry + ^ %H%z + %z・(103)
Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, следовательно, остается в силе и при вращательном переносном движении.
Чтобы определить проекции абсолютного ускорения, возьмем вторые производные, опять-таки считая все величины переменными. Имеем: J
ах ~(Xх cos 屮一yf sin ср)——(£ sin cp + g，cos cp) q)——
——(N sin(p + yr cos ф) ср ——(N cos 屮——yr sin cp) q)2 ——
Проекции абсолютного ускоренияПроекции абсолютного ускорения—(xz sin 屮 + y，coscp) ф,
Проекции абсолютного ускорения
Проекции абсолютного ускорения
ay = (%7 sin 屮 + /，cos cp) + & coscp—y‘ sin(p)(p +
+ (%，coscp—/ sin ср) (p ——(xz sin cp + f/z cosq))(p2 + + (%' cos <p——yf sin cp) cp,
az = z\,
или
& = &尤 + 〃叩—2 (?sinq)+ / cos(p)(p = arx +2%з,
旬=〃尸歹+ &y+ 2 (N coscp—〃‘ sin ср) ср = ary-(-aey + 2vrx(o, aZ = aГ2.
Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений,
появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения Ос：
аСх = ~^гу, '
аСу = + 2avrx, •(ЮЗ)
&Cz = °・丿
Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса.
Определим величину ускорения Кориолиса:、
^с=^ 龙 * 十 а% = 2s‘ * + 0K
или, заменив корень полученным выше значением, находим окончательно
ас = 2 叫 sin (叫).(109)
Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное движение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.
Итак, если переносное движение непоступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:
а ^аг+ае + ас.(НО)
В случае, если переносное движение непоступательное, необходимо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая принимает следующий вид:
(110‘)
Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схемой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.
Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательноеУскорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательноеПри каком движении бывает ускорение Кориолиса? В выражение (109) ускорения Кориолиса входят множителями относительная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла
Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательное
Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательное
между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относитель
ной скорости точки, т. е. если 0厂=0, то не может быть и ускорения Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступательное и о)= 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109)
видно, что и в составном движении точки, и при переносном вра-
причина ускорения Кориолиса. Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса,причина ускорения Кориолиса. Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса,через промежутокчерез промежуток1. Переносная скорость на отрезке 0гА1У так как,1. Переносная скорость на отрезке 0гА1У так как,
причина ускорения Кориолиса. Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса,
причина ускорения Кориолиса. Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса,
через промежуток
через промежуток
1. Переносная скорость на отрезке 0гА1У так как,
1. Переносная скорость на отрезке 0гА1У так как,
щательном движении ускорение Кориолиса
равно нулю, если относительная скорость параллельна оси вращения. Так, например, корабль, плывущий по меридиану, имеет ускорение Кориолиса, если рассматривать его
движение как составное из относительного
движения корабля и переносного движения Земли. Это ускорение равно удвоенному произведению скорости корабля на угловую скорость Земли и на синус географической широты (рис. 123) и равнялось нулю в то время, когда корабль пересекал экватор и его относительная скорость была параллельна вектору угловой скорости Земли. Физическая
Физическая причина ускорения Кориолиса заключается в изменении вектора переносной скорости от относительного движения и вектора относительной скорости от
переносного движения для чего представим себе два прямолинейных отрезка 01А1 и 02Д2 (рис. 124), по которым движутся точки В] н В2. Штри
хами отмечены положения этих отрезков и точек
времени А/. Первый из отрезков движется поступательно, второй
вращается вокруг 02.
Существуют две физические причины ускорения Кориолиса;
точки В] не зависит от положения ее по свойству поступательного движения,
скорости всех точек прямой 01Д1 между собой равны. Напротив, величина переносной скорости точки 纥 равна о)-О2В2 и всецело зависит от ее положения. Переносная скорость точки В2 меняется от ее относительного движения. Чем быстрее движется точка В2 по прямой 0аЛа и чем быстрее вращается эта прямая, тем значительнее изменяется переносная скорость точки В2. Таким обра
зом, изменение скорости точки в данное мгновение (т. е. ускорение точки), вызванное указанной причиной, пропорционально величине относительной и угловой скоростей. В этом заключается один из факторов, порождающих ускорение Кориолиса.
2. Направление относительной скорости точки В* не меняется,
так как, по свойству поступательного движения, прямая 01Ai передвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относительной скорости точки В? непрерывно изменяется по мере вращения 02Д2. Даже при прямолинейном относительном движении направление относительной скорости изменяется (вследствие переносного вращения). Изменение вектора скорости точки в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной, тоже пропорционально величине относи-тельной и угловой скоростей, ' В этом заключается другой фактор, порождающий ускорение Кориолиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. По этой причине его иногда называют поворотным ускорениемг.
Вектор ускорения Кориолисаперпендикулярен векторамугловой и относительнойскоростейВектор ускорения Кориолисаперпендикулярен векторамугловой и относительнойскоростейНаправление ускорения Кориолиса. При выводе формулы ускорения Кориолиса мы убедились, что проекция этого ускорения на 0? равна нулю. Отсюда следует, что вектор ускорения Кориолиса лежит в пло-
Вектор ускорения Кориолисаперпендикулярен векторамугловой и относительнойскоростей
Вектор ускорения Кориолисаперпендикулярен векторамугловой и относительнойскоростей
скости, перпендикулярной к оси вращения, или, иными словами, к вектору угловой скорости, который направлен по оси вращения Oz.
Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и обозначим углы, составляемые им с осью Ох и Оу, через ас и рс. Направляющими косинусами являются: асх
J ac2叫
aCy2з“
COS B「== + n；.
c ac _ I 2d)L>rsin(i)vr
Углы, составляемые относительной скоростью точки с теми же осями, обозначим через а「и >:
cosa, = ^,
•cosp，= ^.
Сравнивая направляющие косинусы ускорения Кориолиса с направляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие перпендикулярности двух направлений—сумма произведений соответствующих направляющих косинусов равна нулю:
cos ас cos аг + cos 瓦 cos & = О,следовательно, ускорение Кориолиса перпендикулярно не только■ к угловой, но и к относительной скорости точки М.
Отсюда вытекает следующее правило: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем ■ повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону переносного вращения. Следовательно, если переносное вращение происходит в положительном направлении, то проекцию vrxy относительной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов,
Термин «поворотное ускорение» предложен О. М, Сомовым (1872 г.).
а если переносное вращение происходит в отрицательном направлении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускорения Кориолиса и относительной скорости.
Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направлению можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:
(109‘)(109‘)&с = 2 (① хи)
(109‘)
(109‘)
Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между векторами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:
(109〃)(109〃)ac~2u)vr.
(109〃)
(109〃)
В этом частном, но очень распространенном в технике случае для определения направления ускорения Кориолиса не нужно проецировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повернуть его на 90° в плоскости движения точки в сторону переносного вращения. Поясним это следующей задачей. ■
Задача № 74. Стержень О А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скс^юсти к оси вращения) и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Корио-Задача № 74. Стержень О А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скс^юсти к оси вращения) и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Корио-Рис. 125Рис. 125
Задача № 74. Стержень О А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.
Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скс^юсти к оси вращения) и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Корио-
Задача № 74. Стержень О А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.
Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скс^юсти к оси вращения) и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Корио-
Рис. 125
Рис. 125
лиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возможных случая изображены на рис, 125, а, б, 8, г.
Задача № 75. Прямая трубка (рис. 126) равномерно вращается с угловой скоростью со —л рад/сек. вокруг оси Oz, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Шарик М совершает гармонические колебания вдоль трубки по закону %’= 041 = A sin 冗九 Определить ускорение шарика при £ = 4 сек.
Решение. Будем рассматривать движение шарика как составное, состоящее из движения относительно трубки и движения вместе с трубкой (рис. 126, а). Для решения задачи воспользуемся схемой (110') (см. стр. 206).
Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносной вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть
%'= 4 sin л/.
Относительная скорость
п「=*' — Ля cos ⑪九
В относительном движении шарик имеет касательное ускорение
агТ — ^ = 一 Ля2 sin л/.
Относительное движение в данном случае прямолинейное, поэтому относи' тельное нормальное ускорение аг^~0.
Переносное движение обусловлено вращением трубки. Мысленно остановим
Рис. 126
шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного вращения трубки, положив фо = О：
中=л亡
Переносной скоростью шарика является вращательная скорость той точки среды (трубки), в которой в это мгновение находится шарик:
ие —(ог — Лл sin л/,
причем в этом выражении время / соответствует тому мгновению, в которое мысленно остановлен шарик, а потому / здесь нельзя рассматривать как переменную величину.'
Переносное вращение равномерное, и переносное касательное ускорение равно нулю:
аеТ = " = 0*
Переносное центростремительное ускорение
%N= s'' — Л л2 sin л/,
где / имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.
Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:
ас = 2ох7 = 2Лл2 cos 欣.
Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (110'):
/0гТ= — Ля2 sin л/a「N=0
/4〃 = 0
'。2川=Лл2 sin Л/
= 24№ cos 加
В мгновение / = 4 сек имеем：
/a"=0
/ о
7/%Т =0
、、％N = 0
、% = 2%n2
Таким образом, абсолютное ускорение в это мгновение состоит из ускорения Кориолиса а = ас = 2А^.,
При f = 4 сек точка М совпадала с точкой О (%' = A sin 4л = 0) и имела относительную скорость 十4冗,направленную в положительном направлении Ох\ Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор относительной скорости на 90° в сторону вращения трубки, т. е. против хода часовой стрелки.
При / = 4 сек угол поворота трубки(р = 4л и ось О£ совпадала с осью Ох. Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по положительной оси Оу.
Если мы не станем рассматривать движение шарика как составное, а изучим его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим,
координаткоординатразумеется, тот же результат.
координат
координат
Составим уравнения движения шарика в основной системе (рис. 126, 6):
х= Л sin л/ cos л£ =万 sin 2л£,
у= A sin л/ sin л/ = Л sin2 冗九
Дифференцируя эти уравнения по времени, найдем проекции скорости: их — х= Ля cos 2л/, % = у= Лл sin 2л/.
Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:
При f = 4 сек,При f = 4 сек,х = — 2Лл2 sin 2л/, ау = ^ = 2Лл2 cos 2лЛ
При f = 4 сек,
При f = 4 сек,
0x=% = 0,
^У~у — 2Ал2,
Для время из ставляемДля время из ставляемМы получили те же значения ускорения точки, не пользуясь ускорением Кориолиса. Из этого примера видно, что ускорение Кориолиса бывает лишь при составном движении точки.
Для время из ставляем
Для время из ставляем
才，под-才，под-определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим
才，под-
才，под-
уравнений движения. Из второго уравнения находим sin2 л/ в первое уравнение и возводим в квадрат (рис. 126, в):
炉=4/一火
4
Это уравнение окружности с центром в точке % = 0, у=+~^- . Чтобы убедиться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы координат, положив у =力十丁，тогда уравнение траектории примет вид:
2丄2 乎
Найдем уравнение движения шарика М по этой окружности: dx= Ля cos 2л/ dt; dy= Ля sin 2л/ dt;
и, интегрируя,и, интегрируя,s = Ал/ 十 С = Лл/.s = Ал/ 十 С = Лл/.ds = У (山炉十(dg)z = Ля dt
и, интегрируя,
и, интегрируя,
s = Ал/ 十 С = Лл/.
s = Ал/ 十 С = Лл/.
Следовательно, шарик движется по своей траектории равномерно со скоростью v= Ля; при Е = 4 сек он находится в наинизшей точке окружности, а нормальное ускорение —=方》=24冗2 направлено вертикально вверх.
Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика (как и движение всякого тела) можно представить различными способами и ускорение шарика в заданное мгновение (/ — 4 сек) можно выразить различными формулами.
Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль трубки и одновременного вращения трубки. Тогда ускорение 24# шарика в заданное мгновение является ускорением Кориолиса.
Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых координатах, а ускорение 2Лл2 ——проекциями на оси координат.
Можно, наконец, это движение шарика определить как равномерное движение со скоростью u=4ji по окружности радиуса г — — и ускорение 2Лл2 представить как нормальное ускорение —.
Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и позволяют определить его характеристики.
Ответ. а = 24冗2.
Задача № 76, Окружность радиуса 厂 равномерно вращается по ходу стрелки часов с угловой скоростью s вокруг оси, перпендикулярной к ней в одной из ее точек С (рис. 127, а). По окружности движется точка М со скоростью 少厂=3尸, обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить ускорение точки М.
Решение. Движение точки будем рассматривать как составное, состоящее из относительного равномерного движения по окружности и переносного равномерного вращения самой окружности.
Напишем схему (110‘)и будем заполнять ее справа (см. стр. 208).
Чтобы определить относительное движение точки М, мысленно остановим вращение окружности. Относительная скорость равна 少尸=3尸 и направлена по касательной к окружности. Относительное касательное ускорение агТ = 0, а относительное нормальное направлено к центру О окружности и равно
。小=—=(02f.
Чтобы определить переносное движение, мысленно закрепим точку М на окружности. Проведем хорду МС (рис. 127, 6) и обозначим через 6 угол, составляемый ею с диаметром, проходящим через С. Так как окружность вращается равномерно, то %T = 0 и-
ag^ — a^CM. =3% cos 6
и направлено по хорде Л1С к точке С.
ускорения точки изображены на рис. 127, 6, а ускорения запи-ускорения точки изображены на рис. 127, 6, а ускорения запи-Скорости иСкорости и
ускорения точки изображены на рис. 127, 6, а ускорения запи-
ускорения точки изображены на рис. 127, 6, а ускорения запи-
Скорости и
Скорости и
Величина ускорения Кориолиса в- нашем случае равна
ас = 2йю「= 2①忆
Переносное вращение происходит по ходу стрелки часов, следовательно, для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости на 90° по ходу стрелки часов.
саны по схеме (110'):
Чтобы определить абсолютное ускорение точки М, надо сложить его составляющие. Сложив ускорение Кориолиса с противоположным ему по направлению нормальным относительным ускорением, найдем, что результирующий вектор этих двух ускорений равен з?厂 и направлен в сторону ускорения Кориолиса:
2ш2г —(о2г =(о2г.
Чтобы сложить этот результирующий вектор с вектором переносного ускорения, воспользуемся теоремой косинусов (рис, 127, в). Имеем
戒=(炉厂产十(2з?厂 cos 8)2 — 2 (w2r) (2(o3r cos 6) cos 6 —(①纟厂产
Как видно из чертежа (рис. 127, в), абсолютное ускорение направлено параллельно ОС независимо от угла 5, т, е. независимо от положения точки М на окружности. Иными словами, независимо от положения точки М на окружности вектор ее абсолютного ускорения равен вектору ускорения центра окружности в его движении вокруг оси С.
Ответ.a= 3忆,
Задача № 77. В ручке молочного сепаратора по ее длине просверлен цилиндрический канал, закрытый с одной стороны металлической пластинкой (звонком) (рис. 128). В канале помещен металлический шарик. Если вращать ручку с недостаточной скоростью (менее 45 об/мин), то шарик ударится о звонок и даст соответствующий сигнал. Определить ускорение Кориолиса сигнального шарика, если ручка сепаратора наклонена к своей оси вращения под углом 75°, рабочий вращает ручку, делая 45 об/мин, а шарик движется по каналу по закону %'= = 220 sintp十357еГ мм.
Решение. Вектор угловой скорости ручки направлен по оси вращения, а относительная скорость шарика —вдоль канала, составляя с ним угол 75°. Ускоре-
ние Кориолиса определяем по формуле (105). Угловая скорость= 1,5л.
Синус 7 5° берем из таблиц или подсчитываем как sin (45°4-30°) = 0,966.
Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по времени уравнение движения, в котором(р =(о£ = 1,5л/:
=330л cos ф=330л cos ф— 535— 535ле-?.ле-?.
=330л cos ф
=330л cos ф
— 535
— 535
ле-?.
ле-?.
Таким образом, имеем
«с — 2* 1,5л (330л cos ф—бЗбле-?) 0,966.
Ответ. Ускорение Кориолиса равно 9420 cos ф——15300®-? мм/сек^ и направлено перпендикулярно к ручке и к ее оси.
§ 32* СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Сложение двух поступатель-ных движений одного телаприводит к поступательномудвижениюСложение двух поступатель-ных движений одного телаприводит к поступательномудвижениюСложение поступательных движений. Изучив теоремы сложения скоростей и ускорений точки, заметим, что движение не только точки, но и тела часто приходится
Сложение двух поступатель-ных движений одного телаприводит к поступательномудвижению
Сложение двух поступатель-ных движений одного телаприводит к поступательномудвижению
рассматривать как составное. Более сложные случаи составного дви
жения тела, а именно сложение поступательного и вращательного движений и сложение поступательного и сферического мы будем изучать в следующих параграфах, а здесь коснемся лишь сложения скоростей при простейших движениях тела.
В случае поступательного движения тела все точки имеют одинаковые скорости, и движение любой из точек тела вполне характеризует движение всех остальных. Если телу сообщено не одно, а одновременно два или несколько поступательных движений, то все его точки продолжают находиться в совершенно идентичных условиях, параллелограммы скоростей всех точек одинаковы, так же как и параллелограммы ускорений, и тело совершает поступательное движение.
Угловые скорости склады-вают по правилам геометри-ческого сложенияУгловые скорости склады-вают по правилам геометри-ческого сложенияСложение угловых скоростей. Пусть некоторое твердое тело (рис. 129) вращается с угловой скоростью 吗 вокруг оси OR, в то время как эта ось поворачивается
Угловые скорости склады-вают по правилам геометри-ческого сложения
Угловые скорости склады-вают по правилам геометри-ческого сложения
вокруг оси ОЕ с угловой скоростью o)g. Представим эти угловые скорости в виде векторов ОА и ОВ, отложенных по осям, и пост
роим на них параллелограмм ОАСВ, Легко показать, что скорости
этого удобноэтого удобноточек тела, лежащих на диагонали ОС, равны нулю. В самом деле, точка С обладает двумя скоростями: относительной 0rHs「СЛ1, направленной перпендикулярно к чертежу на читателя, и переносной ve = sf№, направленной в противоположную сторону. Но ①£Л1 = й)СМ так как оба эти произведения выражают площадь одного и того же параллелограмма ОАСВ. Следовательно, скорость точки С равна нулю, как и скорость точки О, находящейся на пересечении осей OR и ОЕ. Отсюда заключаем, что мгновенная ось вращения совпадает с диагональю параллелограмма угловых скоростей.
этого удобно
этого удобно
ДляДляОпределим теперь угловую скорость s тела при составном вращении вокруг этой оси ОС. взять точку А. Скорость точки Л в относитель
Для
Для
ном движении тела вокруг оси OR равна нулю, а в переносном вращении вокруг оси ОЕ равна шеДА. Но meAL выражает площадь параллелограмма ОАСВ и может быть представлена как произведение ОС - АК, где АК——расстояние точки тела от мгновенной оси вращения. Следовательно, суммарная угловая скорость по величине и по
направлению изображается диагональю параллелограмма, построен
ного на слагаемых угловых скоростях как на сторонах:
со — а)е o)r. (111)
Результирующая угловая скорость эквивалентна двум слагаемым угловым скоростям, одновременно приложенным к телу. Таким образом, угловые скорости складывают как векторы и при сложении их можно менять местами: а)еН~ о)г —о)г +<^е-
Обращаем внимание читателей, что это относится к сложению угловых скоростей, но не конечных вращений. Сложение вращений происходит не по правилам векторного исчисления, а по правилам введенного Гамильтоном исчисления кватернионов. Результат сложения двух конечных поворотов зависит от их последовательности и их нельзя менять местами.
Задача № 78. Шаровая дробилка состоит из полого шара II (рис. 130, а), в котором находятся тяжелые дробящие шарики и дробимое вещество. Шар // сидит на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое колесо К радиуса г. Ось CD сидит в подшипниках в раме /, составляющей одно целое с осью АВ и приводящейся во вращение рукояткой с угловой скоростью «е. Колесо К сцеплено с неподвижным колесом L радиуса R. Определить абсолютную угловую скорость шаровой дробилки.
в сопри косновениив сопри косновенииРешение. Рабочая камера дробилки имеет одновременно две угловые скорости: переносная направлена по оси АВ и равна з@; относительная угловая скорость направлена по оси CD и величина ее неизвестна. Скорость зуба Е под
в сопри косновении
в сопри косновении
вижной шестеренки К, находящегося в данное мгновение
Рис. 130Рис. 130с неподвижной шестеренкой L, равна нулю, а потому мгновенная ось вращения проходит через центр О и эту точку (рис. 130, б). Отсюда мы можем определить относительную угловую скорость：
Рис. 130
Рис. 130
R
①г = g —.
Квадрат абсолютной угловой скорости определим по теореме косинусов:
to2 —(ol + ш? — 2з@3г cos а = з^ ( 1 十 R — 2 m cos а ) •
Ответ.
\s = d 旷产 + R2 — 2№ cos a .
Аналогично легко показать, что при вращении одного тела одновременно вокруг двух или нескольких параллельных осей угловые скорости надо складывать по правилам сложения параллельных -векторов (см. § 7).
Задача № 79 (№ 24.2, 581 М). Найти относительную и абсолютную угловые скорости зубчатого колеса // радиуса 厂(рис, 131), катящегося по неподвижному зубчатому колесу / того же радиуса н приводящегося в движение кривошипом О А, вращающимся вокруг оси неподвижного колеса с угловой скоростью ①^; движение кривошипа ОА принять за переносное.
Решение. Движение колеса // будем рассматривать как составное, состоящее из двух вращательных: переносного с угловой скоростью ①^ вокруг оси О против хода часов н относительного вокруг оси А, тоже против хода часов. Мгновенная ось вращения должна быть им параллельна и проходить через точку касания подвижной шестеренки // и неподвижной шестеренки /, т. е. в середине О А. Ответ получается непосредственно из закона сложения параллельных векторов.
Ответ. 3「= 3g； 3 = 23©.
Задача № 80. Диск с центром Л (рис. 132), катящийся с угловой скоростью Si = —50 сек~х внутри неподвижного диска с центром О, приводится в движение кривошипом О А, равномерно вращающимся с угловой скоростью(о2 = 25 сек-1. Определить угловую скорость диска относительно кривошипа.
Решение. Величина абсолютной угловой скорости диска ш =——50 сек~1 является алгебраической суммой величин относительной угловой скорости соп с ко-
торой диск вращается вокруг пальца кривошипа, и переносной угловой скорости (ое ~ + 25 сек-工 кривошипа. Пользуясь законами сложения векторов, направленных в противоположные стороны, имеем
①「= —50 сек-】一25 сек" = —75 сек-】.
Ответ. з「= — 75 рад/сек.
Пара угловых скоростейсообщает телу поступатель-ное движениеПара угловых скоростейсообщает телу поступатель-ное движениеПара угловых скоростей. Пусть некоторое тело вращается вокруг оси АА1 с угловой скоростью s (рис. 133, а), в то время как эта ось поворачивается вокруг пара』-
Пара угловых скоростейсообщает телу поступатель-ное движение
Пара угловых скоростейсообщает телу поступатель-ное движение
лельной оси ВВ‘ с такой же угловой скоростью, но в противоположную сторону. Такую систему двух равных и противоположных векторов угловых скоростей называют парой угловых скоростей. Пара угловых скоростей сообщает всем точкам тела, к которому она при
определивопределивции иции ипоположена, одинаковые линейные скорости. Действительно, легко показать, что vA = vB\ точка Л имеет только вращательную скорость вокруг оси ВВ\ равную о)ЛВ, а точка В обладает скоростью о)ДВ во вращении вокруг оси ДЛ\
определив
определив
ции и
ции и
по
по
Следовательно, прямая АВ движется, не меняя своего направления. Чтобы установить, что движение тела поступательное, надо показать, что не меняют направления, по крайней мере, две непараллельные прямые или что три не лежащие на одной прямой точки тела всегда имеют одинаковые скорости. Третью точку К (рис. 133, б) для простоты рассуждений выберем в плоскости, в которой лежат скорости точек Д и В. Согласно основной теореме кинематики твердого тела проекции скорости точки К на прямые КА и КВ .должны быть равны проекциям скоростей точек А и В, Отложив от точки К эти проек- проекциям скорость точки К, убедимся, что
"』=^月="к，
(80)(80)причем скорость поступательно движущегося тела равна моменту пары угловых скоростей1. Вместе с тем следует иметь в виду, что
(80)
(80)
и поступательное движение тела можно представить в каждое мгновение парой угловых скоростей.
Задача № 81. Определить абсолютную угловую скорость шестеренки III планетарного механизма, представленного на рис. 134.
Решение. Шестеренка 〃/ имеет одновременно две угловые скорости: перенос
но в противоно в противоную (угловую скорость кривошипа, вращающегося вокруг оси О) и относительную (вокруг оси В). Пусть кривошип вращается против хода часовой стрелки с угловой скоростью 十3g. Чтобы определить относительное вращение, мысленно остановим переносное, будем считать кривошип неподвижным, В относительном движении шестеренка II вращается с той же угловой скоростью 3g против хода часовой стрелки, как это было показано в предыдущей задаче № 79. Колесо /// в относительном движении (относительно кри
но в противо
но в противо
вошипа, принимаемого за неподвиж
ный) вращается с такой же угловой скоростью, как и шестеренка //,
положную сторону, т. е, относительная угловая скорость шестерни ///:
Следовательно, к шестерне /// приложена пара угловых скоростей и шестерня III совершает поступательное движение.
Ответ. з〃/ = 0 („парадокс Фергюсона11).
Задача № 82. Чтобы отвинтить гайку с колеса автомобиля, приподнятого домкратом, шофер накинул на гайку ключ (рис. 135) и, не поворачивая ключа,
Рис. 135Рис. 135вращал рукой колесо против часовой стрелки. Какое движение совершает зажатая ключом гайка?
Рис. 135
Рис. 135
Решение. Вращаясь вместе с колесом вокруг его оси против часовой стрелки, гайка одновременно поворачивается ключом вокруг оси болта по часовой стрелке. Пренебрежем пока движением гайки вдоль оси болта и рассмотрим лишь два эти вращения. Угловая скорость колеса является переносной угловой скоростью 3g гайки, а угловая скорость гайки в ее вращении вокруг оси болта — ее относительной угловой скоростью з厂 Нетрудно видеть, что при повороте колеса вокруг его оси на какой-либо угол tp, гайка поворачивается за то же время на такой же угол, но в другую сторону, вокруг оси болта. Следовательно
3g = — 3「.
Мы имеем здесь пару угловых скоростей и гайка вместе с ключом совершает поступательное движение по окружности. Радиусы круговых траекторий, описывае- мнх точками гайки при ее круговом поступательном движении, равны расстоянию R от оси болта до оси колеса.
Если мы примем теперь во внимание и движение гайки вдоль оси болта, то убедимся, что кроме уже рассмотренного нами кругового поступательного движения гайки имеется еще прямолинейное поступательное движение гайки в перпендикулярном направлении (вдоль оси болта). В результате сложения этих двух поступательных движений получается одно поступательное движение, при котором все точки гайки описывают одинаковые н одинаково расположенные винтовые линии радиуса R с шагом, равным шагу нарезки болта. Это же движение гайки можно рассматривать как состоящее из переносного вращательного вокруг оси колеса и относительного винтового вокруг оси болта,
ГЛАВА XII
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 33. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных дайной неподвижной плоскостиПлоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных дайной неподвижной плоскостиПлоское движение и его уравнение. Ознакомление с плоским движением твердого тела начнем с частного примера. Представим себе, что закрытая книга лежит на столе. Не раскрывая книги, будем переме
Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных дайной неподвижной плоскости
Плоским движением называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся только в плоскостях, параллельных дайной неподвижной плоскости
щать ее по поверхности стола, но так, чтобы контакт книги со столом ни в одной точке не нарушился; в остальном движение книги произвольно. При этом условии частицы
книги опишут траектор ии, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости стола, и каждая страница будет двигаться в той плоскости, в которой она находилась до начала движения. Такое движение книги назовем плоским.
Вообще плоским движением называют такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Каждую из этих плоскостей можно назвать плоскостью движения тела. Вращение является одним
из частных случаев плоского движения тела.
Плоское движение часто встречается в технике. Большинство
современных механизмов имеет звенья, совершающие только плоские движения. Такие механизмы называют плоскими.
Плоское движение твердого тела иногда называют плоскопараллель
ным движением, или движением параллельно неподвижной плоскости.
Все эти термины идентичны.
Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек телаПлоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек телаЕсли тело, находящееся в состоянии плоского движения, пересечь плоскостью, в которой лежит траектория какой-нибудь из его точек, то плоская фигура, получившаяся от пересечения тела, будет передвигаться только в этой плоскости. Движения точек
Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек тела
Плоское движение тела характеризуется движением фигуры, полученной от пересечения тела плоскостью, в которой лежит траектория какой-либо из точек тела
тела, лежащих на перпендикуляре, восставленном к плоскости фигуры, совершенно одинаковы, а потому движение тела может быть охарактеризовано движением фигуры в ее плоскости, и для исследования плоского движения тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, полученной при пересечении тела одной из этих плоскостей. Так, в приведенном примере движение книги вполне определяется движением какой-либо из ее страниц в плоскости, параллельной плоскости стола.
Это обстоятельство позволяет заменить изучение плоского движения тела изучением движения плоской фигуры в ее плоскости.
Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного и относительного вращательногоДвижение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного и относительного вращательногоПусть плоская фигура (рис. 136) движется в плоскости хОу относительно основной системы координат. Примем какую-либо точку Е этой фигуры за начало подвижной системы отсчета и назовем эту точку полюсом. Построим в точке Е систему
Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного и относительного вращательного
Движение плоской фигуры можно рассматривать как составное, состоящее из переносного поступательного и относительного вращательного
декартовых координат х'Еу\ неизменно связанную с фигурой.
Для определения положения фигуры на плоскости хОу достаточно знать положение системы отсчета хТ//\ т. е. координаты % и у^) точки Е, и угол, на который повернута фигура, например угол ф между положительными направлениями осей Ох и £х\ По мере
движения фигуры положение подвижной системы координат хгЕуг относительно неподвижной системы хОу изменяется и, чтобы определить движение фигуры, нужно знать эти величины как некоторые непрерывные однозначные функции времени:
Уе~ Уе С)，中=①0)「Уе~ Уе С)，中=①0)「(Uh) (112〃) (Н2'〃)
Уе~ Уе С)，中=①0)「
Уе~ Уе С)，中=①0)「
Эти уравнения являются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости, следовательно, они определяют плоское движение твердого тела.
Обратим внимание на то, что уравнения (112‘)н (112") тождественны :(68") движения точки по плоскости или с уравнениями (77) плоского поступательного движения; уравнение же (112"') тождественно с уравнением (81) вращения вокруг неподвижной оси. Это наводит на мысль рассматривать движение плоской фигуры как составное движение, состоящее из переносного поступательного движения, определяемого движением полюса Е, и относительного вращательного движения вон круг полюса, точнее, вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно к плоскости фнтурн】. Поэтому движение плоской фигуры в ее плоскости часто рассматривают
как составное и искусственно раскладывают его на два движения, причем переносное обычно выбирают поступательным, а относительное ——вращательным.
Такое разложение плоского движения очень удобно и, несмотря на то что оно является чисто искусственным, его широко применяют при решении различных конкретных задач. В частности, преимущества разложения плоского движения на переносное поступательное и относительное вращательное заключаются в том, что при таком разложении кориолисово ускорение всякой точки фигуры равно нулю,
Такую мысль высказал Л. Эйлер.
а также равны нулю переносные угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а потому угловая скорость и угловое ускорение фигуры в ее относительном вращательном движении вокруг полюса оказываются равными соответственно абсолютным угловой скорости и угловому ускорению фигуры.
Задача № 83 (№ 15. 4, 494 М), Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвижной шестеренки радиуса R, приводится в движение кривошипом О А,
вращающимся равномерно вокруг оси О неподвижной шестеренки с угловой скоростью ①а При / = 0 кривошип расположен
вдоль оси 0% (рис. 137). Составить уравнениеУ
Рис. 137Рис. 137движения подвижной шестеренки, принимая ее центр за полюс.
Рис. 137
Рис. 137
Решение. Шестеренка совершает плоское движение, которое будем рассматривать как составное, состоящее из переносного кругового поступательного движения, определяемого движением точки А, и относительного вращательного движения вокруг точки Л. Принятая нами за полюс точка Л принадлежит одновременно и шестеренке радиуса г и кривошипу ОА. Вращаясь с постоянной угловой скоростью ①加 кривошип О А за время / повернется от начального горизонтального положения на угол ①/ н координаты полюса в мгновение f будут:
х = 0А cos %/ = (/? — г) cos «0/,
у~ О A sin 30f = (R — r) sin соо/.
Эти координаты—функции времени, следовательно, написанные равенства представляют уравнения движения полюса 4, или, что то же, уравнения переносного поступательного движения шестеренки.
Вращение шестеренки вокруг полюса происходит с иной угловой скоростью з, чем вращение кривошипа, и, поскольку зацепление внутреннее, — в противоположную сторону. В данном случае кривошип вращается в положительном направлении, а шестеренка — в отрицательном. Предполагается, что шестеренка катится без скольжения, а потому, согласно известной из элементарной физики формуле, передаточное отношение
. co R — гR — г
z — — ——, откуда со —соо.
Заменяя ① его значением (73), разделяя переменные и интегрируя, получаем уравнение вращательного движения шестеренки.
Ответ. x~(R — r) cosw0/;у = (R —— r) sin з。％ 屮=——(1 j cooZ,
где ф — угол поворота подвижной шестеренки; минус показывает, что шестеренка вращается в сторону, противоположную вращению кривошипа.
Переносное (поступательное) движение фигуры в ее плоскости зависит от выбораПереносное (поступательное) движение фигуры в ее плоскости зависит от выбораДвижение вместе с полюсом и вокруг полюса. Уравнения (112') и (112") представляют поступательное движение плоской
Переносное (поступательное) движение фигуры в ее плоскости зависит от выбора
Переносное (поступательное) движение фигуры в ее плоскости зависит от выбора
полюса, а вращательное — независитполюса, а вращательное — независитфигуры. Вместе с тем они выражают коор-
полюса, а вращательное — независит
полюса, а вращательное — независит
динаты полюса Е в функции времени. Следовательно, поступательное движение фигуры определяется дви
жением полюса. Если бы за полюс мы выбрали какую-нибудь другую точку фигуры, то уравнения (112') и (112w) были бы иными, а сле
довательно, изменилось бы и описываемое этими уравнениями движение плоской фигуры.
Напротив, уравнение (112'〃)не связано с полюсом Е、поэтому вращение фигуры (угол поворота ср, угловая скорость со, угловое ускорение е) не должно зависеть от выбора полюса.
Поясним это примером. Пусть находящаяся в плоском движении фигура—треугольник АВС (рис. 138)—в начальное мгновение занимает положение А0В0С^ а через некоторое время А/ — положение А1В1С1.,Это положение фигуры АВС в ее плоскости будем рассматривать как результат составного движения — переносного поступательного, определяемого движением полюса, и относительного вращательного вокруг полюса. Если за полюс мы примем точку 4, то перемещение полюса за время Af определится вектором ДОЛР не показанным на рис. 138. Мысленно остановим относительное движение фигуры и, передвигая ее поступательно вместе с полюсом Д,
мы убедимся, что в результате такого переносного движения она займет положение 儿百《 Если же за полюс мы приняли бы другую точку, например точку С, то переносное движение привело бы треугольник в положение 4'В"С「Заметим, что относительным движением фигуры в обоих случаях этого примера является поворот на 90° по часовой стрелке.
Проведем теперь общее доказательство независимости вращения фигуры от выбора полюса. Пусть произвольная плоская фигура движется в своей плоскости относительно основной системы координат хОу (рис. 139). Сначала выберем за полюс точку £ и построим систему координат х'Еу', которая будет двигаться вместе с фигурой. Переносное поступательное движение будет характеризоваться движением точки £, а относительное вращательное движение — изменением угла ф между осями Ох и Ех\ Затем повторим то же самое движение фигуры, но за полюс выберем какую-либо другую точку, например точку L, и построим на фигуре систему координатных осей x"Ly", параллельных осям х'Еу'. Тогда переносное поступательное движение фигуры будет характеризоваться движением точки L, отличающимся от движения точки £, а относительное вращательное движение фигуры будет характеризоваться изменением угла 仆 между
осями Ох и 厶лЛ Угол 仆 всегда равен углу ср, так как стороны их параллельны, а следовательно, всегда равны и изменения этих углов с течением времени. Поэтому угловая скорость фигуры не зависит от выбора полюса.
Сказанное относится к относительному вращательному движению всей фигуры, но не к относительному движению ее точек. Угол поворота и связанные с ним угловая скорость s и угловое ускорение s являются общими для всего тела (для всей фигуры) и не зависят от того, какую из точек фигуры мы приняли за полюс. Однако длины дуг, описываемые различными точками в их относительном движении вокруг полюса, а также вращательные скорости со/* и ускорения ег и о?尸 точек фигуры при ее вращении относительно полюса зависят не только от угла поворота ф фигуры и его производных о)и е, но также и от расстояния г точек от полюса, а следовательно, и от выбора полюса. Таким образом, хотя угол поворота фигуры, угловая скорость и угловое ускорение фигуры не зависят от выбора полюса, относительные движения, скорости и ускорения точек фигуры зависят от этого выбора.
§ 34. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Скорость точки фигуры в плоском состав-
Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюсаСкорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюсаном движении. Пусть плоская фигура вместе с нанесенными на ней координатными осями х'Еу' движется в плоскости основной системы координат (см. рис. 136). Пусть К——какая-либо точка плоской фигуры. Ее координаты %' и д' не изменяются,
Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюса
Скорость любой точки фигуры, находящейся в плоском движении, равна геометрической сумме скорости этой точки относительно полюса и скорости полюса
потому, что точка К и подвижная система xfEyf неизменно связаны
с фигурой. Как известно из аналитической геометрии и как видно из рисунка, координаты точки К (居 у) связаны с координатами (/, уг) той же точки соотношениями
(ИЗ)(ИЗ)%==%£■+%'cos ср—yr sin ср, I// = //E+x'sin(p + y'COS(p. J
(ИЗ)
(ИЗ)
Для получения проекций скорости на неподвижные оси координат п р одифференциру ем по времени равенства (113), рассматривая ф как функцию времени:
Таким образом,Таким образом,(114)(114)(114)(114)х = хЕ— (xz sin ① + у，cos ф) ф,У = УЕ+ 出 cos ①一у，sin ср) ф.
Таким образом,
Таким образом,
(114)
(114)
(114)
(114)
% = VEx —(У — Уе)屮，
Uy = %y + (%—尤Е)Ф-
Последние члены правых частей выражают согласно формулам Эйлера (79) проекции вращательной скорости точки К при враще- фигуры вокруг полюса.-
Следовательно, вектор абсолютной скорости любой точки К плоской фигуры равен геометрической сумме двух векторов: 1) переносной скорости в поступательном движении, равной скорости какой- либо точки Е, неизменно связанной с фигурой и принятой за полюс, н 2) относительной скорости во вращательном движении фигуры вокруг полюса Е. Теорему параллелограмма скоростей для любой точки К плоской фигуры запишем так:
гдегде? = % +
где
где
(115)(115)%口％ и % = зЕК.
(115)
(115)
Относительная скорость vr точки К относительно точки Е, как всякая вращательная скорость, направлена перпендикулярно к ЕК в сторону вращения фигуры.
Выясним, как зависят скорости точек плоской фигуры от выбора полюса. Абсолютные скорости точек, очевидно, не могут зависеть от выбора полюса: они существуют объективно и обусловлены только физическими причинами. Переносные скорости всех точек равны ско
рости полюса, а следовательно, зависят от полюса. Относительные скорости точек фигуры равны произведению угловой скорости (не зависящей от полюса) фигуры на их расстояния от полюса.
Так, например, на рис. 140, а изображены абсолютные скорости точек Д, В, С, D,尸 некоторой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Эти скорости зависят только от движения фигуры и, конечно, не могут зависеть от метода их определения. Рассмотрим эти скорости как составные. Если мы примем за полюс точку F, то получим параллелограммы скоростей, представленные на рис. 140, б. Если же примем за полюс точку Д, то получим параллелограммы скоростей, изображенные на рис. 140, в. Диагонали параллелограммов (абсолютные скорости) не зависят от тех составляющих скоростей, на которые мы их разлагаем. На каждом из рисунков переносные скорости точек плоской фигуры одинаковы и равны скорости полюса. Относительные скорости точек фигуры различны. Они равны
произведению угловой скорости со на расстояние точки от полюса и направлены перпендикулярно к отрезку прямой, соединяющему точку О полюсом.
Ту точку фигуры, совершаю-щей плоское движение, ско-рость которой в данное мгно-вение равна нулю, называютмгновенным центром скоро-стейТу точку фигуры, совершаю-щей плоское движение, ско-рость которой в данное мгно-вение равна нулю, называютмгновенным центром скоро-стейМгновенный центр скоростей. Пусть какая- либо плоская фигура движется относительно своей плоскости, принятой нами за неподвижную. Будем считать, что эта фигура имеет неограниченные размеры, или, что то же, соединим фигуру неизменно
Ту точку фигуры, совершаю-щей плоское движение, ско-рость которой в данное мгно-вение равна нулю, называютмгновенным центром скоро-стей
Ту точку фигуры, совершаю-щей плоское движение, ско-рость которой в данное мгно-вение равна нулю, называютмгновенным центром скоро-стей
с подвижной плоскостью, которая движется вместе с этой фигурой в той же неподвижной плоскости. Возьмем на фигуре две произвольные точки А и В и к их скоростям vA и t^ (рис. 141, а) восставим перпендикуляры до пересечения в какой-то точке Е. Перпендикуляры
Рнс.⑷Рнс.⑷к скоростям надо восставлять, разумеется, в точках их приложения, потому что скорость есть вектор прикреп„ченный.
Рнс.⑷
Рнс.⑷
Согласно основной теореме (77) кинематики твердого тела проекции скоростей всех точек прямой АЕ на эту прямую АЕ равны проекции и^, т. е, равны нулю:
Аналогично равны нулюАналогично равны нулюпроекции на В£ скоростейпроекции на В£ скоростейвсех точек,всех точек,J cos (о/力£) = vA cos 90° 0.
Аналогично равны нулю
Аналогично равны нулю
проекции на В£ скоростей
проекции на В£ скоростей
всех точек,
всех точек,
составляющих прямую BE. Следовательно, скорости точек, составляющих прямые АЕ и В£, перпендикулярны этим прямым.
Скорость точки £ равна нулю, потому что равны нулю ее проекции на две пересекающиеся прямые АЕ и BE. Назовем эту точку
мгновенным центром скоростей и припишем ей индекс мцс:
^мцс = °"^мцс = °"(116)
^мцс = °"
^мцс = °"
В каждое мгновение на подвижной плоскости фигуры может быть только одна точка со скоростью, равной нулю, т. е. только один
мгновенный центр скоростей.
Соединим точки 4HB прямой (рис. 141, б) Во всякое данное мгновение и спроецируем на нее скорости точек А иВ: скорости точек фигуры, совершающей плоское движе-^/ COS(УЛДВ) — VB COS (vBXB).
ние, являются вращатель
рон, получимилирон, получимилиными вокруг мцс . Опустим перпендикуляр из £мцс на АВ. Тогда, выражая косинусы отношением сто
рон, получим
или
рон, получим
или
VA =Ug"^g ,"'мне
% АЕмце
т. е. величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей. Этот вывод можно сделать и из условий неизменяемости фигуры. В самом деле, если фигура движется в своей плоскости, а скорость одной из точек фигуры равна нулю (умцс = 0), то скорости всех прочих точек должны быть пропорциональны расстоянию от мцс.
Таким образом, скорости точек плоской фигуры удовлетворяют обоим признакам вращательных скоростей: они перпендикулярны и пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей.
Предыдущую пропорцию мы можем переписать так:
где ①——угловая скорость фигуры. Точки А и В взяты произвольно, поэтому полученный результат относится ко всем точкам фигуры.
Если сделанные нами построения не умещаются на площади движущейся фигуры, то это не ограничивает общности доказательств, так как эти построения могут быть сделаны не на фигуре, а на неизменно связанной с фигурой воображаемой подвижной плоскости.
Мгновенный центр скоростей играет важную роль в теории плоского движения. Ознакомимся с некоторыми методами, позволяющими найти эту точку на плоскости.
Положение мгновенного центра можно определить аналитически.
Задача № 84*. Определить координаты мгновенного центра скоростей, если известны уравнения (112) движения плоской фигуры.
Решение. Уравнения (114) выражают проекции скорости любой точки, координаты которой хну. Скорость мгновенного центра скоростей равна нулю, обозначив его координаты через хмцс и z/MUC, подставим в уравнения (114) вместо скорости точки нуль, а вместо координат точки — координаты мгновенного центра скоростей:
^Ех —(//мне —f/Е)S = °，UEy + (%MUC —%Е)8 = °，
откуда непосредственно получим координаты мгновенного центра скоростей.
0£уЕх
Отв ет. хмцс = х£—-—； УЯЛс = Уе+— •(U8)
В этих равенствах хЕ и у^——координаты любой точки фигуры, а и^# и и?у — проекции абсолютной скорости той же точки.'
Если известны угловая скорость ① фигуры и линейная скорость Ur какой-либо одной точки К фигуры, то положение мгновенного центра скоростей можно определить, рассматривая скорость о* как вращательную скорость вокруг мгновенного центра скоростей £мцс. Мы найдем эту точку £мцс, отложив от точки К перпендикулярно к скорости и* отрезок /<£睜=嘗.
В самом деле, вращательная скорость точки перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющей эту точку с центром, а длина этого отрезка равна отношению вращательной скорости точки к угловой скорости. Прямой угол между направлением скорости % и перпен-
дикуляром КЕмцс должен быть положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным, если фигура вращается по часовой стрелке (см. § 24).
Задача № 85. Диск радиуса г = 20 см (см. рис. 137, стр. 217), катящийся с угловой скоростью w =——50 сек-1 внутри неподвижного обода радиуса R = 60 см, приводится в движение кривошипом О А, вращающимся равномерно вокруг центра О неподвижного обода с угловой скоростью w0 = 25 сек-】* Найти мгновенный центр скоростей диска.
Решение. Известна угловая скорость диска и может быть определена скорость хотя бы одной из его точек. Такой точкой является палец Л кривошипа О А. Точка Л принадлежит не только диску, но и кривошипу, а потому ее скорость перпендикулярна к кривошипу и по модулю равна
и/ = ОЛ(оо — (R—■ г)(оо ~ 10 м/сек.
Рассматривая скорость точки Л как вращательную скорость точки диска вокруг его мгновенного центра скоростей, отложим перпендикулярно к ее скорости отрезок Л£мцс = ^=— м = 20 см. Диск вращается по часовой стрелке, и,
чтобы определить, в какую сторону надо восставить перпендикуляр к скорости ^再，мы должны повернуть вектор и< на 90° по вращению часовой стрелки.
Ответ. Мгновенный центр находится в точке касания диска и неподвижного обода.
Мгновенный центр скоростейнаходится в точке пересеченияперпендикуляров к скоростямточек фигурыМгновенный центр скоростейнаходится в точке пересеченияперпендикуляров к скоростямточек фигурыIIL Распределение скоростей точек фигуры таково, как будто фигура вращается в данное мгновение вокруг мгновенного центра скоростей. Вращательные скорости точек перпендикуляр
Мгновенный центр скоростейнаходится в точке пересеченияперпендикуляров к скоростямточек фигуры
Мгновенный центр скоростейнаходится в точке пересеченияперпендикуляров к скоростямточек фигуры
ны к радиусам траекторий этих точек, а все радиусы пересекаются в центре. Поэтому, чтобы найти мгновенный центр скоростей, достаточно восставить перпендикуляры к направлениям скоростей каких- либо точек фигуры. Точка их пересечения является мгновенным центром скоростей. Перпендикуляры к направлениям скоростей точек
надо восставлять, разумеется, в этих точках, так как скорость есть вектор закрепленный.
Задача № 86. Стержни (рис. 142, а) ОгЛ и О?В, соединенные со стержнем АВ посредством шарниров Л и В, могут вращаться вокруг неподвижных точек 。1 и О?, оставаясь в одной плоскости (шарнирный четырехзвенник). Даны: длина кривошипа 0]4 и его угловая скорость з/ длина коромысла О.^В и углы фг и 屮2, которые шатун АВ образует с кривошипом и с коромыслом при данном положении механизма.
Найти построением ту точку D шатуна, скорость которой в данное мгновение направлена вдоль шатуна, определить величину этой скорости и угловую скорость <1)2 коромысла О2В как функции углов 屮】и 屮2・
Решение. Механизм состоит из четырех твердых звеньев (включая и станину О1О2)； естественно, что угловые скорости различных звеньев могут быть различны.
Шарнир Л принадлежит кривошипу 力М (рис. 142, 6), его скорость перпендикулярна к 。1才 и по модулю равна 0孙=(01。14. Шарнир В принадлежит коромыслу О2В, и потому его скорость 切 (неизвестная по величине) направлена перпендикулярно к О2В.
Но те же точки Л и В принадлежат шатуну ЛВ, а следовательно, их скорости и百 и ив можно рассматривать как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Перпендикуляры, восставленные в точках
Л и В к направлениям их скоростей, пересекаются в точке £мцс (рис. 142, в), где, следовательно, н находится мгновенный центр скоростей. Скорость каждой точки шатуна перпендикулярна к отрезку прямой, соединяющему эту точку с мгновенным центром скоростей, и пропорциональна длине этого отрезка. Чтобы
Рис. 142Рис. 142
Рис. 142
Рис. 142
найти точку D, скорость которой направлена вдоль 4В, опустим перпендикуляр Емис° нз точки £мцс на эту прямую. Величина скорости ис =(о£мис°，где(о — угловая скорость звена 4В, определить которую можно по известной скорости шарнира Л:
уА _<огО1Л
—АР — др ■^^МЦС Смцс
Подставляя это значение(о в предыдущее равенство, найдем
°D=U4°D=U4£ П 4£мцс£ П 4£мцс
°D=U4
°D=U4
£ П 4£мцс
£ П 4£мцс
но из прямоугольного треугольника Л£)ЕМЦС имеем
а потомуа потомуЕмнс。 4£мЦСЕмнс。 4£мЦСsin (180° —屮1) = sin ф1(sin (180° —屮1) = sin ф1(0Q=U再.sin <P1，0Q=U再.sin <P1，
а потому
а потому
Емнс。 4£мЦС
Емнс。 4£мЦС
sin (180° —屮1) = sin ф1(
sin (180° —屮1) = sin ф1(
0Q=U再.sin <P1，
0Q=U再.sin <P1，
Чтобы определить угловую скорость коромысла 。纟‘，найдем модуль скорости точки В, принадлежащей шатуну:
「ub = 3・8Emuc = 3i・Oi4 .
Угловую скорость(о2 коромысла определим по скорости。丛 так как точка В принадлежит и коромыслу:
Применяя теорему синусов, получим ответ.
Ответ.
sin го,°2 一则02方 sin ф2-'
Задача № 87 (№ 186. И. И. Артоболевский, В. А. Зиновьев и Б. В. Эдельштейн. Сборник задач по теории механизмов и машин. Гостех- издат, 1947). Найти мгновенный центр скоростей звена BD (рис. 143, а) для случая, когда: 1) % = 45°; 2)中i? = 90°; 3) <рх = 0о.
Решение. В этом плоском механизме звено BD продето в качающуюся шайбу С и, двигаясь в плоскости чертежа, постоянно проходит через неподвижную точку С. Следовательно, скорость той точки звена BD, которая в данное мгновение совпадает с точкой С, направлена вдоль звена BD. Точка В (палец кривошипа) описывает окружность с центром в точке А, и ее скорость всегда перпендикулярна к АВ.
Рис. 144Рис. 144
Рис. 144
Рис. 144
Рассмотрим первое заданное поло
жение механизме и нанесем на чертеж (рис. 143, б) скорости точки В и точки звена BD, совпадающей при данном положении механизма с точкой С. Восставляя перпендикуляры к скоростям в точках В и С, найдем в точке их пересечения мгновенный центр скоростей звена В*
При ф12 = 90° (рис. 143, б) перпендикуляры, восставленные в точках В и С к направлениям скоростей, становятся параллельными между собой и мгновенный центр скоростей уходит в бесконечность. При данном положении механизма распределение скоростей точек звена BD не соответствует такому, какое бывает при вра- щательном движении, угловая скорость звена равна нулю, линейные скорости всех точек звена одинаковы.
Третье заданное положение механизма изображено на рис. 143, а. Как и в предыдущих случаях, восставляем перпендикуляры к скоростям точки Вик прямой ВС, Перпендикуляры пересекаются в точке С, следовательно, при данном положении механизма мгновенный центр скоростей звена BD находится в точке С. Скорость той точки звена, которая совпадает с точкой С, в данное мгновение равна нулю. Рассматриваемое положение звена называется «крайним положением» (или «мертвым положением»). Картина распределения скоростей точек звена BD в данном положении такова, как будто оно вращается вокруг точки С.
Ответ. 1) на пересечении линии 4В и перпендикуляра, восставленного в точке С к линии АС; 2) в бесконечности в направлении АВ\ 3) в точке С.
Задача № 88. Прямая движется в плоскости. Показать, что величина скоро- сти^той точки прямой, которая ближе всех отстоит от мгновенного центра скоро- стей, равна проекции скорости любой другой точки прямой на эту же прямую (рис. 144).
Решение. Дано:。прямая, мгновенный центр скоростей £мцс и угловая ско- рость(о этой прямой. Опустив из точки £мцс перпендикуляр на данную прямую, определим точку D (см. рис. 144) прямой, находящуюся на кратчайшем расстоянии от мгновенного центра скоростей. Скорость точки D равна un =(o.£M1ICD н направлена перпендикулярно к £мцс£), т. е. по данной прямой.
匸附〃сВозьмем на той же прямой какую-либо
другую точку Л. Скорость точки Л перпендикулярна к Л£мцс и равна
Как видно из чертежа,
口 л Ем*
а потому,
64 COS ОС — (0 • £мц с。~~ “Q.
Так как точку Л мы выбрали на прямой совершенно произвольно, то, следовательно, полученное равенство справедливо для всякой точки прямой.
Ответ. Проекции скоростей всех точек прямой на эту прямую равны между собой.
Задача № 89. Линейка эллипсографа АВ (см. рис. 89 на стр. 139) совершает Варданово движение, причем ползун Л линейки движется по оси Од, а ползун В—по оси Ох. При каком положении линейки скорость ползуна Л вдвое больше скорости ползуна В?
Решение. Эту задачу, уже решенную нами ранее (см. № 43 на стр. 139, № 57 на стр. 160), можно просто решить, пользуясь мгновенным центром скоростей. Восставим перпендикуляры в точках Л и В к направлениям их скоростей. Перпендикуляры пересекутся в точке £мцс ——мгновенном центре скоростей линейки (эти построения на рис. 88 не сделаны). Величины скоростей точек линейки пропорциональны расстоянию этих точек от точки £мцс. Чтобы выполнялось условие ^百=2。®, тоика Л должна отстоять от точки £мцс вдвое дальше, чем точка В, а так как ОЛ£МЦСВ является прямоугольником, то х® = 2д再.
Ответ.冲= 2д».，
При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касанияПри качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касанияIV. При решении задач бывает полезно иметь в виду, что если какая-либо плоская фигура катится по другой плоской фигуре, лежащей с ней в одной плоскости (например, подвижная шестеренка катится по неподвижной), то скорость точки катящейся фигуры, находящейся в данное
При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касания
При качении плоской фигуры по неподвижной кривой, лежащей в плоскости фигуры, мгновенный центр скоростей находится в точке касания
мгновение в соприкосновении с неподвижной фигурой, должна быть
равна нулю, если, конечно, качение не сопровождается проскаль
зыванием или пробуксовыванием. А так как в каждое мгновение на фигуре, совершающей плоское движение, имеется только одна
точка со скоростью, равной нулю (мгновенный центр скоростей), то, следовательно, он и находится в точке касанияг.
Пусть, например, колесо катится по прямолинейному рельсу (рис. 145). Рассмотрим движение колеса как составное, состоящее из переносного поступательного движения вместе с осью колеса О и относительного вращательного движения вокруг этой оси. На рис. 145, а изображены переносные скорости некоторых точек колеса, а на рис. 145, б—вращательные скорости тех же точек относительно центра колеса. В случае качения без скольжения и без буксования вращательная скорость точек, лежащих на ободе колеса, по модулю равна скорости оси, так как при повороте колеса на один полный оборот его ось переместится на 2冗厂,а точки обода опишут в их относительном вращательном движении окружности той же длины. Абсолютные скорости точек колеса изображены на рис. 145, в. Эти абсолютные скорости можно получить как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей, совпадающего с точкой касания колеса и рельса (рис. 145, г). '
Мгновенный центр скоростей лежит на самой катящейся фигуре или на неизменно с ней связанной подвижной плоскости. Точку, совпадающую с мгновенным центром скоростей, но лежащую на неподвижной плоскости, по которой движется фигура, называют мгновенным центром вращений. В рассмотренном примере мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса, а мгновенный центр вращений——на рельсе.
Задача № 90. (№ 24.3,582 М). Зацепление, приводящее в быстрое вращение точильный камень, устроено следующим образом (рис. 146, а)： стержень /V посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси 0】с угловой скоростью <о4. На конце О2 стержня находится палец, на который свободно надето колесо // радиуса /•?・ При вращении ручки палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наружному неподвижному кругу /// радиуса г3. При этом благодаря трению колесо // вращает без скольжения колесо / радиуса rlt свободно насаженное на ось Ог и неизменно связанное с осью точила. По данному радиусу г3 наружной неподвижной обоймы найти такое значение гъ чтобы выпол^ нялось соотношение -^1=12, т. е. чтобы точило вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.
Решение. В этом плоском механизме колесо // катится без скольжения по неподвижному колесу III и мгновенный центр скоростей колеса // находится в точке их касания (рис. 146, б). Палец О2 принадлежит стержню /匕 и его скорость .
%2 = 84 (广 1 + Г2)-
Та же точка О? принадлежит колесу //, что позволяет определить его угловую скорость:
「2“「2
1 Автором этой теоремьь следует считать Декарта, показавшего (1638 г.), что касательные к траекториям точек катящегося круга перпендикулярны к прямым, соединяющим эти точки с точкой касания круга с прямой, по которой он катится, и распространившего свое доказательство на прочие катящиеся фигуры,
Теперь нетрудно определить скорость точки В касания колес / и П. Эта точка отстоит от мгновенного центра скоростей на расстоянии 2г2, т. е. в два раза дальше, чем точка О?, поэтому и скорость ее вдвое больше:
2r2 = 2g (广 1 + 广2)*2r2 = 2g (广 1 + 广2)*
2r2 = 2g (广 1 + 广2)*
2r2 = 2g (广 1 + 广2)*
Та же точка 8 принадлежит колесу / (рнс. 146, е) и для определения угловой скорости этого колеса надо поделить окружную скорость иа его радиус:
о о 2 (厂i + %)
2+「2)
откуда —_-.
Это отношение должно равняться 12, т. е.
2 (广 i+二?)= |2
Но нам задан радиус г3 неподвижного обода ///. Как видно из чертежа (см. рис. 146, а)广3 =广1扌 2r2*
Решая совместно два последних соотношения, получим ответ.
Ответ.
1
Задача № 91. Доказать теорему: если скорости % и ид двух точек Л и В плоской фигуры перпендикулярны к прямой АВ, соединяющей эти точки, то мгновенный центр скоростей делит отрезок АВ на части, пропорциональные величинам скоростей внешним образом, когда скорости направлены в одну сторону, нли внутренним образом, когда скорости направлены в противоположные стороны.
Доказател ьство. Движение фигуры плоское. Мгновенный центр скоростей должен лежать на прямой 4В, так как скорости перпендикулярны к прямым, соединяющим их точки приложения с мгновенным центром скоростей (рис. 147, а). Вращение фигуры может происходить в данное мгновение лишь в одну сторону (на нашем
что и требовалось доказать. О тв е т.что и требовалось доказать. О тв е т.При плоском движении фи-гуры подвижная центроидакатится без скольжения понеподвижнойПри плоском движении фи-гуры подвижная центроидакатится без скольжения понеподвижнойрисунке — по часовой стрелке), поэтому мгновенный центр скоростей должен лежать по одну сторону от точек Л и В, если их скорости направлены одинаково, и между ними, если скорости противоположны (рис. 147, 6). В обоих случаях скорости точек пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей: ид = (О* Л£мцс и = ВЕм_с，
что и требовалось доказать. О тв е т.
что и требовалось доказать. О тв е т.
При плоском движении фи-гуры подвижная центроидакатится без скольжения понеподвижной
При плоском движении фи-гуры подвижная центроидакатится без скольжения понеподвижной
^^мцс
ВЕмцс иВ
Центроиды**. В различные моменты времени мгновенный центр скоростей находится в различных точках. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. совокупность всех точек, в которых за
время движения находился мцс, называют центроидой, Покажем, что центроида является непрерывной линией и мцс всегда перемещается из точки, в которой он в данное мгновение находится, в какую-нибудь соседнюю, смежную точку.
Пусть в мгновение t мцс находился где-либо в точке А, а через промежуток времени А力 переместился в точку 8 В мгновение fi = f + A£ точка Л уже не является мгновенным центром скоростей и имеет скорость vA = со- АВ, направленную перпендикулярно к АВ. Если промежуток времени А/ мал, то скорость, приобретенная точкой А к моменту f + Af, тоже должна быть мала, потому что скорости точек фигуры не могут изменяться скачками. При А/, стремящемся к нулю, скорость и точки А тоже стремится к нулю, а так как угловая скорость со фигуры нулю не равна, то, следовательно, к нулю стремится АВ, т. е. мгновенный центр скоростей во время движения фигуры перемещается непрерывно. Если мы отметим все точки фигуры, которые были или будут мгновенными центрами скоростей, то получим некоторую непрерывную кривую.
Положения мгновенных центров скоростей можно отметить и на подвижной плоскости %'£“， неизменно связанной с фигурой, и на неподвижной плоскости хОу. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на подвижной плоскости называют подвижной .центроидой. Геометрическое место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости (мгновенных центров вращений) называют неподвижной центроидой. В рассмотренном выше примере качения колеса по рельсу подвижной центроидой является обод колеса, а неподвижной центроидой——рельс.
Покажем, что при всяком плоском движении подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной.
Предположим, что кроме точек фигуры имеется одна геометрическая точка, назовем ее следящей точкой, которая не принадлежит этой плоской фигуре и движется относительно нее, совпадая в каждое мгновение с мгновенным центром скоростей. Скорость следящей точки в ее движении по центроиде называют сменной скоростью мгновенного центра скоростей. Следовательно, под сменной скоростью мгновенного центра скоростей понимают ту скорость, с коте рой пе-
редается от мгновенного центра скоростей смежной по центроиде точке основное его свойство—иметь в данное мгновение скорость, равную нулю.
Во время движения фигуры следящая точка перемещается и относительно неподвижных координат и в самой движущейся фигуре. Ее движение относительно неподвижных координат хОу есть абсолютное движение по неподвижной центроиде. Ее движение по движущейся фигуре есть относительное движение, движение по подвижной центроиде. Пусть (рис. 148, а) кривая ЕЕ изображает неподвижную центроиду, а кривая £х£х——подвижную. Предположим,
что обе центроиды в мгновенном центре скоростей пересекаются. В таком случае вектор абсолютной сменной скорости и должен быть направлен по касательной к неподвижной центроиде, а вектор относительной сменной скорости иг по касательной к подвижной центроиде. По закону параллелограмма скоростей
〃 = % + %.
Переносной скоростью называют абсолютную скорость той точки среды (в данном случае фигуры), с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка. В данном случае переносная скорость следящей точки есть скорость мгновенного центра скоростей. Следовательно
% = О И U = Ur.
Мы доказали, что сменная скорость следящей точки по неподвижной центроиде геометрически равна ее сменной скорости по подвижной центроиде. Это означает, что обе центроиды в мгновенном центре скоростей имеют общую касательную, т. е. не пересекаются, а лишь соприкасаются в этой точке. Наше предположение о пересечении центроид оказалось неправильным и рис. 148, а должен быть заменен рисунком 148, б. Из равенства абсолютной и относительной сменных скоростей следует, что за одни и те же промежутки
времени следящая точка передвигается по подвижной и неподвижной центроидам на одинаковые расстояния, т. е., что при движении плоской фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения.
Рис. 149Рис. 149Задача № 92. Эллипсограф (рис. 149) состоит из линейки АВ длиной /, ползуны Л и В которой скользят в пазах крестовины. При движении линейки точки ее описывают эллипсы. Указать другой механизм, в котором отрезок АВ = / совершает точно такое же движение.
Рис. 149
Рис. 149
Решение. Движение линейки 4В плоское, а следовательно, оно может быть осуществлено качением подвижной центроиды по неподвижной. Примем прорези крестовины за оси основной системы координат хОу. Подвижную систему координат х'Еу' свяжем с линейкой, взяв за начало ее середину Е. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к скоростям точек Л и В (см. задачу № 89), и, как видно из чертежа, находится на расстоянии ОЕыис — 1 от точки О
и на расстоянии ££мцс = -у от середины линей-
т. е.т. е.гео-гео-ки, причем эти расстояния сохраняются при всяком положении линейки. Следовательно, подвижная центроида,
т. е.
т. е.
гео-
гео-
метрическое место £мЦС относительно подвижной системы £Еу\ есть окружность
радиуса 万 с центром в £, а геометрическое место £мцс относительно основной системы хОу есть окружность
%2+//2 =卩
радиуса / с центром в О.
Если мы сделаем две зубчатые шестерни с внутренним зацеплением радиусов /
и ~ и заставим меньшую из них бегать внутри неподвижной большей, то ее
диаметр будет совершать такое же движение, какое совершает линейка АВ эллипсографа. Такой механизм называют кругами Лагира. На этом примере читатель убедится, как знание теории может помочь при конструировании машин.
Ответ. Круги Лагира.
Скорости точек плоской фи-гуры можно определить гра-фически планом скоростейСкорости точек плоской фи-гуры можно определить гра-фически планом скоростейПлан скоростей **. На рисунке 150, а изображена фигура, находящаяся в плоском движении и скорости vA и Vr двух ее произвольных точек 4 HB. Напомним, что
Скорости точек плоской фи-гуры можно определить гра-фически планом скоростей
Скорости точек плоской фи-гуры можно определить гра-фически планом скоростей
проекции скоростей этих точек на прямую АВ равны между собой. От какой-либо точки О, не принадлежащей этой фигуре (рис. 150, б), отложим направленные отрезки 0@ =豆 н ОЬ = %, проведем прямую, параллельную отрезку АВ и спроецируем их на эту прямую. По основной теореме кинематики твердого тела в треугольнике ОаЬ сторона ab перпендикулярна направлению АВ. Воспользуемся этим обстоятельством для графического построения, называемого планом скоростей
и позволяющего определить скорости всех точек фигуры, если известна скорость одной точки Л (рис. 150, 8), и хотя бы только направление скорости другой точки В.
Построим план скоростей (рис. 150, г), приняв произвольную точку О за полюс плана скоростей, т. е. за центр плоского пучка абсолютных скоростей точек фигуры. Отложим от полюса луч Oaf равный в некотором масштабе скорости % проведем через полюс прямую, параллельную направлению скорости точки В, а из точки а до пересечения с ней ——отрезок ab перпендикулярно направлению АВ, проведенному на фигуре (см. рис. 150, в). Направленный отрезок ОЬ изображает в том же масштабе вектор скорости точки В.
Пусть скорость точки К фигуры не известна ни по величине, ни по направлению. Соединим точку 庆 с точками Л и В фигуры, скорости
Рис. 150
которых известны (см. рис. 150, в). На плане скоростей (см. рис. 150, г) проведем от точки а линию, перпендикулярную направлению АК на фигуре. По только что доказанному, конец направленного отрезка Ok, изображающего скорость точки 女,должен лежать на этом перпендикуляре.
Проведем от точки b плана скоростей прямую, перпендикулярную направлению ВК на фигуре, и повторим наши рассуждения: конец направленного отрезка 0々 должен лежать и на этом перпендикуляре. Следовательно, точка k плана скоростей лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек а и b к направлениям АК и ВК, а отрезок 0々 плана скоростей изображает скорость точки ^ фигуры.
Отсюда можно вывести следующий графический метод определения скоростей точек фигуры при плоском движении (см. рис. 150, в, в).
Если известна скорость одной точки А фигуры и направление скорости другой точки В, то для определения скорости всякой точки К фигуры надо:
от произвольной точки О (полюса плана скоростей) отложить направленный отрезок Оа, изображающий скорости точки А;
через полюс О провести направление, параллельное направлению скорости точки В；
от точки а плана скоростей провести прямую, перпендикулярную отрезку АВ, соединяющему точки Л и В фигУРьЬ А。пересечения в точке b с указанным в п. 2 направлением. Отрезок ОЬ изобразит скорость точки В;
от точки а плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку АК на фигуре, а от точки b плана скоростей провести направление, перпендикулярное отрезку ВК на фигуре до их пересечения в точке k. Отрезок 0々 изобразит скорость точки К;
многоугольник abk ... плана скоростей подобен многоугольнику АВК …фигуры и повернут относительно него на 90°, так как стороны их взаимно перпендикулярны. .
Поскольку отрезки Оа, Ob, Ok, ..., соединяющие полюс О с вершинами a, b, h,… плана скоростей, изображают абсолютные скорости точек Д, В, К,…，очевидно, что отрезки 血 成，恤…изображают в том же масштабе относительные скорости этих точек.
Таким образом, план скоростей плоской фигуры представляет собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек плоской фигуры, а отрезки, соединяющие концы лучей,——относительные скорости соответствующих точек. План скоростей можно построить не только для неизменяемой фигуры, но и для целого механизма, как это показано при решении задачи № 93.
Задача № 93. ** Определить скорости точек А, В и D механизма, изображенного на рис. 151, а, в положении 屮= 30° и при следующих данных: з = 20 сек-1, 0 4 = 50 мм, ОС = 200 мм, АВ = 250 мм, 8D = 200 мм.
Решение. Прежде чем строить план скоростей, нужно точно в масштабе построить план механизма при заданном положении. От точки Of (рис. 151, б) откладываем перпендикулярно к О А в масштабе отрезок Ofa~v^ = = 20*50= 1000 мм/сек. На нашем рисунке принят масштаб; 1000 ли〃се/с = 25 мм. Скорость точки звена 4В, совпадающей при данном положении механизма с точкой С, направлена по 4В. Поэтому от полюса О' отложим параллельно 4В на-
Рис. 151Рис. 151
Рис. 151
Рис. 151
правление этой скорости, а от точки а проведем перпендикуляр к этому направлению. В пересечении получим точку с. Отрезок acb плана скоростей подобен отрезку АСВ механизма. Точку 6 плана находим по подобию, сохраняя те же пропорции.
Проводим от точки а направление перпендикулярно к AD, а от точки 6 — направление перпендикулярно к BD и в пересечении находим точку d.
Полученная на плане фигура acbd подобна фигуре ACBD механизма. Скорости точек механизма по величине и направлению изображаются отрезками, соединяющими полюс плана О' с соответствующими точками плана скоростей.
Ответ, рд~ 1000 мм/сек,切= 450 мм/сек,切=1040 мм/сек,
Задача № 94. Скорость точки Л фигуры, движущейся в своей плоскости, изображена в заданном масштабе вектором ид (рис. 152, а). Указано направление скорости точки В. Определить графически скорости точек В и С.
Решение. Задачу решим тремя способами. Все эти три способа графические и результат зависит от точности выполнения чертежей.
1-й способ (по основной теореме кинематики твердого тела). Проведем прямую АВ через точки Л и В (рис. 152, 6) и спроецируем на нее вектор скорости и再. От точки В по этой прямой отложим отрезок, равный проекции на нее vA и от конца этого отрезка восставим перпендикуляр до пересечения с направлением скорости точки В. Вектор скорости гочки В определен.
Проведем прямую через точку Л и С. Спроецируем на нее 仃再，отложим от точки С отрезок, равный этой проекции, и от конца его восставим перпендикуляр к АС. Проведем прямую через точки В и С, спроецируем на нее ид, отложим
Рис 152
от точки С отрезок, равный этой проекции и от его конца восставим перпендикуляр к ВС. Проводим вектор vc от точки С до пересечения перпендикуляров.
2-й способ (по плану скоростей) **. От произвольной точки О отложим направленный отрезок Оа — иА (рис. 152, в). От той же точки О проведем прямую, параллельную вектору скорости точки В До пересечения с этой прямой в какой-то точке 6 проведем от точки а отрезок ab перпендикулярно АВ. Вектор скорости точки В представлен отрезком ОЬ.
От точки а проведем прямую, перпендикулярную 4В, а от точки 力，перпендикулярную ВС. Эти прямые пересекутся в какой-то точке с. Отрезок Ос по величине и направлению представляет скорость точки С.
3-й способ (по мгновенному центру скоростей). От точек Л и В восставим перпендикуляры к направлениям скоростей до нх пересечения в мгновенном центре скоростей £мцс. Соединим £мцс с концом а вектора ид. Тангенс угла 3 между отрезками £мцс Л и Емцс а, соединяющими £мцс с началом Лис концом а вектора скорости какой-либо точки Л фигуры, равен в принятом масштабе угловой скорости фигуры:
& 匸 ммс
Проведя отрезок ЕМЦСЬ под углом 3 к отрезку £*мцс5 до гтереса
чения с заданным направлением вектора скорости vB, определим
скорость Vp= ВЬ.
ЕмцсС. Вектор скоростиУскорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюсаЕмцсС. Вектор скоростиУскорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюсаДля определения скорости всякой точки С фигуры надо провести отрезок JhcC и под углом 6 к нему отрезок £мцсс до пересечения в точке с с перпендикуляром, восставленным в точке С к отрезку
ЕмцсС. Вектор скорости
Ускорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюса
ЕмцсС. Вектор скорости
Ускорение любой точки фигуры, совершающей плоское движение, равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений точки при вращении фигуры относительно полюса
Ускорение точек фигуры при плоском движении*. Чтобы определить ускорение точки К плоской фигуры, надо продифференцировать равенства (114), выражающие скорость этой точки. Введем обозначения: %i = x—хЕ и у、= у—yF и перепишем эти равенства в следующем виде:
X = Хр — р1(р,у=уЕ+х^.
Дифференцируя, имеем
%二 хe-Pi屮一У1 屮,
По формулам Эйлера (см. 89)
X] =： -у]ер и弘=占中.
⑴9)⑴9)Подставляя, находим
⑴9)
⑴9)
旬 ~ аЕу + 尤声一У1<^2-
согласно (95) вторые члены третьи — проекции центросгре- вращательном движении фигурысогласно (95) вторые члены третьи — проекции центросгре- вращательном движении фигурыВ правых частях этих равенств выражают проекции касательного, а мительного ускорения точки К во относительно полюса £. Они отличаются от известных нам равенств (95) только тем, что в данном случае ось вращения проходит не через начало координат О, а через полюс £ (рис. 153),
согласно (95) вторые члены третьи — проекции центросгре- вращательном движении фигуры
согласно (95) вторые члены третьи — проекции центросгре- вращательном движении фигуры
Эти равенства показывают, что проекции на какую-либо неподвижную ось ускорения каждой точки К фигуры равны алгебраической сумме проекций на эту ось трех
его составляющих: ускорения по-一一一
люса £, касательного ускорения
точки К во вращении фигуры вокруг полюса Е и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры.
Если вместо алгебраической суммы проекций мы пожелаем взять геометрическую сумму ускорений, то вектор ускорения точки К
(ЮГ)(ЮГ)мы определим как сумму трех векторов: ускорения полюса 瓦 касательного ускорения точки ^ во вращательном движении фигуры вокруг полюса и центростремительного ускорения точки К в том же движении фигуры, т. е.
(ЮГ)
(ЮГ)
где, обозначив через гх расстояние данной точки от полюса Е, имеемагТ = егх и arN=^ o2rr
Задача № 95. Электропоезд при отходе со станции движется по прямолинейному участку пути с ускорением 3 м/сек2, причем колеса катятся без буксования и без скольжения. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса через 2 сек после отхода поезда, если радиус колеса 0,5 м.
Решение. Мгновенный центр скоростей лежит на ободе колеса в точке каса
ния его с рельсом. Движение колеса рассмотрим как составное, состоящее из
переносного (поступательного и прямолинейного) движения вместе с центром £ колеса и относительного вращательного вокруг оси колеса (рис. 154).
Скорость поезда, а следовательно, и скорость точки £ через 2 сек при равноускоренном движении равна v — aTt = 6 м/сек.
Деля эту величину на расстояние точки Е от мгновенного центра скоростей £мцс, находим угловую скорость колеса в конце второй секунды:
(о = / = 12 рад/сек.
Определим также угловое ускорение колеса:
е— — — б рад/сек^.
Теперь мы располагаем всеми данными для определения ускорения точек колеса по формуле (104"). Ускорение мгновенного центра скоростей, как и всякой точки колеса, выражено суммой трех составляющих: 1) переносного ускорения &, равного ускорению полюса £, но приложенного в данной точке £мцс (величина ускорения задана 3 лг/се№; если поезд движется влево, то и ускорение направлено горизонтально влево, см. рис. 154); 2) касательного ускорения точки при вращении колеса вокруг центра Е; эта составляющая равна ег — 6 *0,5 = =3 м/сек^. Если поезд движется влево, то колееа вращаются против вращения часовой стрелки и эта составляющая ускорения в нижней точке колеса направлена вправо по касательной; 3) центростремительного ускорения, равного (о2г — 144-0,5 —72 м/сек2 и направленного к центру колеса.
Направления этих двух составляющих у всех точек обода колеса различны. В наинизшей точке абсолютное ускорение найдем, складывая три его составляющие. Оно равно 72 м/сек2 и направлено вверх. Абсолютная скорость мгновенного центра скоростей в данное мгновение равна нулю, абсолютное ускорение мгновенного центра скоростей нулю не равно.
Ответ, а = 72 м/сек.2 и направлено вверх.
Обратим внимание на то, что точка фигуры (в данном случае колеса), в которой находится мгновенный центр скоростей, не имеет скорости ®мис = °), но имеет ускорение 亿限*°)・ Через весьма малый промежуток времени А/ эта же точка фигуры будет иметь некоторую скорость Ди = амцсД/, перпендикулярную к прямой, соеди-
няющей ее с новым положением мгновенного центра скоростей, т. е. перпендикулярную к общей касательной к центроидам. То же
направление всегда имеет и амцс.
Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигурыТу точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры**Мгновенный центр ускорений при плос-
Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры
Ту точку фигуры, совершающей плоское движение, ускорение которой в данное мгновение равно нулю, называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры
ком движении. Итак, ускорения точек фигуры складываются из переносного ускорения в поступательном движении вместе с полюсом £ и из относительного ускорения во вращательном движении вокруг
полюса Е. В поступательном движении ускорения всех точек фигуры одинаковы и равны ускорению полюса £. Во вращательном движении ускорения всех точек фигуры различны между собой. Если фигура в данное мгновение имеет угловую скорость ① и угловое ускорение е, то ускорение какой-либо точки 百,принадлежащей этой фигуре, по модулю равно:
аг = £К К е2 + о?
и составляет с отрезком ЕК угол 世,тангенс которого
Таким образом, различные точки К фигуры имеют при вращении фигуры различные по величине и по направлению ускорения. На всей фигуре нет двух точек с одинаковыми векторами ускорений,
Вместе с тем на самой фигуре или на плоскости, вращающейся вместе с нею, во всякое мгновение есть одна точка, имеющая любой, наперед заданный нами, вектор ускорения аг. В частности, всегда можно найти на плоскости фигуры такую точку, у которой в данное мгновение вектор ускорения в относительном вращательном движении равен и противоположен вектору ускорения в переносном поступательном движении, а следовательно, абсолютное ускорение этой
точки равно нулю. Ее называют мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Мы будем приписывать ей индекс мцу.
Чтобы определить положение мгновенного центра ус орений Емцу на плоскости фигуры, отложим (рис. 155, а) от полюса £ (за полюс может быть принята любая точка фигуры) отрезок ££мцу определенной длины:
пмНу —卄е•
Пусть этот отрезок составляет с ускорением аЕ полюса £ угол
N = arctgM・
Угол |л лежит в пределах между —90° и +90°. Конечно, если е > 0, то угол 卩 надо отмерять в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, если же е < 0, то по ходу. Покажем, что конец этого отрезка (точка £мцу) является мгновенным центром ускорений плоской фигуры. Действительно, относительное и переносное ускорения этой точки равны по модулю
= еемиу р^ 十 亦 = ”^_不一八2+34 = aE
(120)(120)и, как видно из чертежа, противоположны по направлению. Следовательно, абсолютное ускорение найденной нами точки в данное мгновение равно нулю:
(120)
(120)
@мцу匸°・
Ускорения точек плоскойфигуры относительно мгно-венного центра ускоренийявляются абсолютными ус-корениямиУскорения точек плоскойфигуры относительно мгно-венного центра ускоренийявляются абсолютными ус-корениямиЭтим простым построением можно найти £мцу всякой фигуры, движущейся в своей плоскости.
Ускорения точек плоскойфигуры относительно мгно-венного центра ускоренийявляются абсолютными ус-корениями
Ускорения точек плоскойфигуры относительно мгно-венного центра ускоренийявляются абсолютными ус-корениями
**Рассмотрим движение плоской фигуры как составное, приняв за полюс мгновенный центр ускорений плоской фигуры. Тогда в правой части формулы 104' (см. стр. 195), выражающей абсолютное уско
рение произвольной точки К фигуры как сумму ее относительного и переносного ускорений, отпадет второе слагаемое (ускорение полюса) и величина абсолютного ускорения всякой точки фигуры выразится простой формулой:
а == аГт + a『N,
где
= eKJuy н arN = «/(£мцу ИЛИ
а = К£миу Pl+ s&・(121)
Направление абсолютного ускорения каждой точки К этой фигуры составляет с отрезком прямой К^мну，соединяющим ее с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол 卩,определяемый по тангенсу
tgN = % (12Г)
Следовательно, картина распределения ускорений на время dt такова, как будто бы фигура вращается в своей плоскости вокруг Ем” с угловой скоростью со и с угловым ускорением е. Это не относится к их нормальным и касательным составляющим, как показано в задаче № 97.
В виду того, что угол 卩 между абсолютным ускорением точки фигуры и отрезком, соединяющим эту точку с £мцу, для всех точек фигуры один и тот же, надо сделать заключение, что £мцу нахо- . е дится на пересечении прямых, проведенных под углом ц — arctg — к ускорениям точек фигуры (рис. 155, б). Если известны ускорения двух точек фигуры и угол 卩,то надо от этих точек под углом 世 к их ускорениям провести прямые до их пересечения в точке £мцу. В задаче № 96 дан аналитический способ определения Емцу.
Задача № 96. Определить координаты мгновенного центра ускорений плоской фигуры, если известны ее угловая скорость, угловое ускорение, а также координаты хЕ и уЕ и проекции ускорений аЕх и 仪片歹 одной из точек Е этой фигуры.
Решение. Проекции ускорений каждой точки ^ связаны с координатами %1 =工——％е и yi = y —— yE этой точки соотношениями 119 (см стр, 235). Ускорение мгновенного центра ускорений равно нулю, поэтому, заменяя в 119 х и z/ на %миу н //мну н подставляя нули вместо ах и ау, получим:
аЕх — (Умну — УЕ)& — (%миу —无尸)炉=0,^Fy+ (^мцу—ХЕ)е — (f/мцу—УЕ)炉=0*
Умножая первое из этих равенств на (о2, а второе на —s и складывая, найдем %мцу，а умножая первое равенство на +6> а второе на(о2 и складывая, найдем ординату.
Ответ.
“ ар^ — а^г(ciEx^ + ^ty^ ,
уМ цу = -&2十炉h尤上，дм цу н _诞+小и де.
Задача № 97**. В планетарном механизме шестеренка радиуса R= 100 мм (рис. 156, а) катится против хода часовой стрелки по неподвижной шестеренке радиуса 7?1 = 480 мм, имея в данное мгновение угловую скорость (о = 2 сек-1 и угловое ускорение е= 1,655 сек-2. Найти построением мгновенный центр ускорений, его координаты (по формулам, выведенным в задаче № 96), найти полное, нормальное и касательное ускорения центра шестеренки О, мгновенного центра скоростей £мцс и диаметрально противоположной точки Л. Определить абсолютное нормальное и абсолютное касательное ускорения точки Л.
Решение. Мгновенный центр скоростей находится в точке £мцс касания шестерен. Окружность подвижной шестерни является подвижной центроидой, а окружность неподвижной шестерни — неподвижной центроидой Построим оси координат с началом в £мЦС, направив ось абсцисс влево, т. е. в ту сторону, куда передвигается точка касания центроид при качении подвижной центроиды по неподвижной. Ось ординат направим вниз (правая система).
Скорость центра О подвижной шестеренки определим 口о угловой скорости фигуры и по расстоянию точки。от мгновенного центра скорое гей
% =(оОЕмцс = 200 мм/сек,
Определим касательное ускорение точки О:
аго = еО£мцс= 165,5 мм/сек2.
Точка О описывает окружность радиуса R 十氐=100十480 = 580 мм и вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности, описываемой точкой О. Величину нормального ускорения определим, поделив квадрат скорости точки О на радиус описыва- аггемоЙ ею окружности
嗚 40 000
aNo = ^^ = •記° = 69 мм/сек^; направлен вектор нормального ускорения к центру окружности, описываемой точкой О.
Вектор полного абсолютного ускорения точки О направлен по диагонали прямоугольника, построенного на этих составляющих и по модулю равен:
—]/"32 151 = 179,3 мм/сек2.
Зная(о, &近 ускорение точки О, мы могли бы найти мгновенный центр ускорений и, пользуясь им, определить ускорения остальных точек. Однако целесообразно сначала по схеме (110'), приняв точку О за полюс, найти ускорение мгновенного центра скоростей. Заполнив эту схему, получим (рис. 156, б).
Полное абсолютное ускорение точки Емцс равно геометрической сум> ме составляющих. Относительное
касательное ускорение равно по величине и противоположно по направлению переносному касательному, их сумма равна нулю. Отно-
Рнс. 156сительное нормальное направлено
'по одной прямой, но в противопо
ложную сторону с переносным нормальным ускорением. Следовательно абсолютное ускорение точки £мцс по величине равно
ам цс = 400 — 69 = 331 мм/сск^
и направлено к точке О, т. е. по оси ординат в отрицательную сторону. Следовательно:
"мцсх = °； *^мцс у ~ 331 мм/сек?.
Точка подвижной шестеренки, которая в данное мгновение является центром скоростей, описывает эпициклоиду и в заданное мгновение находится в точке возврата своей траектории. Таким образом абсолютное ускорение мгновенного
центра скоростей является абсолютным касательным ускорением. Нормальное ускорение мгновенного центра скоростей равно нулю.
Найдем теперь мгновенный центр ускорений. Определим сначала угол 卩： . е . 1,655 с … tgH = ^ = 4~— = 0,414.
По таблицам определяем
屮=22。30‘.
Повернув вектор ускорения Омну на этот угол против хода часовой стрелки (потому что е > 0), отложим в найденном направлении отрезок (рис. 156, а)
EmucEmVку^ = 76,6 л
Конец Емиу этого отрезка является мгновенным центром ускорений подвижной шестеренки в данное мгновение. Координаты этой точки в выбранной нами системе отсчета можно определить непосредственно по чертежу или же подсчитать по общим формулам, полученным при решении предыдущей задачи № 96,
амцсу'е —331.1,655.^мису 炉—一331 ・4一
»миу = — е2 + ш4-=—18J4~ = + 29⑵ имиу =峻 + 辰=18,74 = ~70,7,
Теперь для определения ускорения точки 4 надо знать только ее расстояние от £МЦу. Это расстояние легко определить по формуле аналитической геометрии или по теореме косинуса:
Л£'2цу = 76,63 + 200а —2-76,6-200-0,924=17 556.
Извлекая корень, находим
4Емиу = 132,5 мм.
Остается лишь подсчитать по формулам относительное нормальное ускорение tzriV=со3 Л£МЦу = 4 • 132,5 = 530 мм/се^
и отложить его от точки Л по направлению к Емцу, затем подсчитать относительное касательное ускорение
агТ = £4Емиу = 1,655* 132,5 — 219,3 лш/сек2 и отложить его перпендикулярно к Л£мцу, сообразуясь со знаком. Полное относительное ускорение можно определить как диагональ прямоугольника или непосредственно подсчитать по формуле
。尸=4Емну Ме?十①4= 132,5 МЖ^З = 573,6 мм/се&2
и отложить вектор под углом 卩(в нашей задаче 十22°30') к отрезку Л£мцу.
Движение плоской фигуры мы рассматривали как составное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг полюса, приняв за полюс мгновенный центр ускорений. При таком условии переносное ускорение и ускорение Кориолиса равны нулю и в схеме (110') остается только одна ее часть. Полное относительное ускорение становится тождественным полному абсолютному ускорению. Но чтобы получить абсолютное нормальное ускорение и абсолютное касательное ускорение точки, мы должны спроецировать это полное ускорение точки на прямую, соединяющую эту точку с мгновенным центром скоростей (а не ускорений), и на прямую, ей перпендикулярную, т. е. надо спроецировать ускорение на главную нормаль к абсолютной траектории точки и на направление абсолютной скорости. Схема (110') принимает вид:
по абсолютной скорости | или против нее|на мгновенный центр [ скоростей или от него /по абсолютной скорости | или против нее|на мгновенный центр [ скоростей или от него /по относительной скорости или против неепо относительной скорости или против нееперпендикулярно относительной скоростиперпендикулярно относительной скорости
по абсолютной скорости | или против нее|
на мгновенный центр [ скоростей или от него /
по абсолютной скорости | или против нее|
на мгновенный центр [ скоростей или от него /
по относительной скорости или против нее
по относительной скорости или против нее
перпендикулярно относительной скорости
перпендикулярно относительной скорости
Чтобы вычислить эти проекции, найдем сначала по теореме синусов угол между направлениями на £мцс и Емцу v= 12°45/ и затем.
От=а cos (|i-|-v) —573,6*0,817 = 468,6 мм]се心,а% =。sin (|i + v) = 573>6*0,577 — 331,0 мм/сек^.
Приняв' £мцу за полюс, мы достигли того, что абсолютное уско-? рение всякой точки фигуры стало равно ее относительному ускоре-' нию. Но мы должны помнить, что нормальная и касательная составляющие абсолютного ускорения не равны нормальной и касательной составляющим относительного ускорения. Это происходит оттого, что не тождественны между собой абсолютное и относительное движения точек. Так, например, в рассмотренной задаче № 97 точка О в абсолютном движении описывает окружность радиусом R + & = = 580 мм с центром в точке 0口 а в относительном движении движется вокруг £мцу по дуге радиуса О£мцу, точка А в абсолютном движении описывает гипоциклоиду, а в относительном движется по дуге окружности радиуса 132,5 мм с центром Емцу.
Понятия о мгновенном центре скоросаей и мгновенном центре ускорений плоской фигуры очень удобны для вычислений, но связанные с ними картины распределения скоростей и ускорений не отображают полностью реальное движение фигуры. Это происходит потому, что вводя эти понятия мы рассматривали движение лишь в данное мгновение, при данном положении тела, т. е. пытались рассматривать движение как бы в отрыве от основных условий его существования — времени и пространства. Результаты такого подхода к вопросу, конечно, не могут быть полными и объективными.
План ускорений * *
Задача № 98**. Фигура движется в своей плоскости. Известно положение мгновенного центра ускорений £МЦу и вектор ускорения одной точки А фигуры* Найти построением ускорение точки В той же фигуры. На рис. 157 заданы отре”
Рис. 157
зок АВ, точка Емиу и вектор。再・
Решение. Проведя прямую Л£мцу, мы получим угол 卩,который составляет ускорения всех точек фигуры с прямыми, соединяющими эти точки с £мцу. Под
таким же углом 卩 должен быть наклонен искомый вектор а® к отрезку В£мцу. Для определения модуля этого вектора сделаем следующее построение. Повернем вектор。再 на угол “ до его совпадения с отрезком %Емиу，когда конец повернутого вектора будет в точке Лх. Из точки Лх параллельно АВ проведем прямую А1В1 до пересечения в точке Вх с В£мцу. Из подобия треугольников ЛВ£мцу и Л1В1£мцу заключаем, что отрезок ВВ】представляет модуль ускорения точки В 例=BE^uy У £2十卧 в том же масштабе, в котором отрезок АА± выражает модуль ускорения ал = Л£мцу Ме^ + з’. для получения вектора ускорения точки В остается лишь повернуть отрезок ВВ* на угол |i.
Примечание. Метод, примененный при решении этой задачи, является общим в кинематике плоского движения и им можно определить ускорение любой точки фигуры, если известно положение £мцу. Вариант этого метода, называемый методом плана ускорений, позволяет определить ускорения точек фигуры и при неизвестном положении £мцу, лишь бы были известны ускорения двух точек фигуры, или ускорение одной точки, направление ускорения другой точки и план скоростей фигуры. Построим план ускорений для отрезка АВ. Для этого отложим от Емну направленные отрезки
£мцУ a = ал и j储=a8，
Соединив точки а я Ь, мы получим треугольник АВЕ^у, заштрихованный на чертеже и подобный треугольнику АбЕм11у. Действительно оба треугольника имеют по равному углу (/厶瓦口/= = /〃£миуЬ)，заключенному между пропорциональными сторонами, причем треугольник аЬЕм^ повернут относительно треугольника АЗЕмиу на угол 180° ——|л. Заштрихованный треугольник называют планом ускорений фигуры, неизменно связанной с отрезком АВ* Существует определенное взаимное соответствие между фигурой и ее планом ускорений, и всякому отрезку, соединяющему две какие- либо точки фигуры, соответствует на плане ускорений вполне определенный отрезок, пропорциональный ему и повернутый относительно него на угол 180°——р,.
Заметим, что наше построение не нарушится, если при построении заштрихованного треугольника мы возьмем вершину не в £мцу, а в любой точке е неподвижной плоскости. Точку е называют полюсом плана ускорений. Применение плана ускорений к определению ускорений точек фигуры показано в задаче № 99.
Задача № 99 **. Фигура (рис. 158) движется в своей плоскости. По заданным ускорениям точек Л и В определить ускорения точек Q и С.
Решение. От произвольной точки е вне фигуры откладываем направленные отрезки еа — а^ и eb =ав- Проводим отрезок ab и от его концов две прямые: от точки а проводим прямую под углом BAD, а от точки b под углом ABD до их пересечения в точке d. Для определения положения точки с плана ускорений надо провести до их пересечения какие-либо две из трех следующих прямых: 1) от точки а прямой ab под углом ВАС, 2) от b прямой ab под углом АВС или 3) от точки d прямой ad под углом A DC. Эти прямые пересекаются в точке с плана ускорений. Направленные отрезки еа, е匕，ес и ed представляют векторы абсолютных ускорений точек 4, В, С и Q, а отрезки 。匕，be и т. д. соответствующие относительные ускорения этих точек. Для получения ускорения всякой точки фи-
гуры надо определить подобным же образом соответствующую ей точку на плане ускорений и соединить с ней полюс е (для получения вектора абсолютного ускорения) или точки плана (для получения относительного ускорения относительно соответствующей точки).
§ 35**. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Движение свободного теласостоит из поступательногои сферического движенийДвижение свободного теласостоит из поступательногои сферического движенийУравнение движения свободного тела. В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятойУравнение движения свободного тела. В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятойнами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.Движение свободного твердогоДвижение свободного твердоготела может быть описано шестьютела может быть описано шестью4,4,2244
Движение свободного теласостоит из поступательногои сферического движений
Движение свободного теласостоит из поступательногои сферического движений
Уравнение движения свободного тела. В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой
Уравнение движения свободного тела. В самом общем случае движение твердого тела мы представим как составное, разложив его на переносное поступательное вместе с какой-либо точкой Е, принятой
нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.
нами за полюс, и относительное сферическое вокруг полюса.
Движение свободного твердого
Движение свободного твердого
тела может быть описано шестью
тела может быть описано шестью
4,
4,
2
2
4
4
G勿G勿勿 а г；勿 а г；
G勿
G勿
勿 а г；
勿 а г；
Рис. 159
уравнениями: тремя уравнениями (78) поступательного движения и тремя уравнениями (96) сферического движения:
%е = х(/), % = У(/), Z£ = z(f),屮=屮(/), <p =(p(/), ^ = ^(t). (122)
Во всякое мгновение мы представляем движение тела как поступательное с некоторой скоростью vE (рис. 159, а) и вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью со.
Поступательное движение тела со скоростью vE в свою очередь разложим на два поступательных движения, одно из которых происходит со скоростью и吊，направленной по мгновенной оси вращения, а другое ——со скоростью v^2, направленной перпендикулярно о).
Эту скорость VE% поступательного движения мы представим как пару угловых скоростей (рис. 159, б), момент которой равен и弓，а плечо h= —. Тогда (рис. 159, в) одна из двух о), составляющих эту пару, уравновесится с угловой скоростью, направленной по мгновенной оси вращения, проходящей через полюс £, и останется лишь вращение, происходящее вокруг оси, ей параллельной и отстоящей от выбранного нами полюса на расстоянии h. Кроме того, останется поступательное движение тела со скоростью vEe происходящее в направлении вектора угловой скорости (рис. 159, а).
Следовательно, картина распределения скоростей твердого тела в самом общем случае такова, как будто тело вращается в данное мгновение вокруг некоторой оси и одновременно скользит вдоль нее. Эту ось называют мгновенной осью вращения—скольжения \ или мгновенной винтовой осью.
Таким образом, картина распределения скоростей в твердом теле вполне аналогична динамическому винту (см. § 15), выражающему общий случай приведения системы сил, приложенной к твердому телу.
Движение свободного тела мы разложили, на поступательное движение, определяемое движением произвольной точки £, принятой за полюс, и сферическое движение вокруг полюса Е и представили уравнениями движения (122).
Очевидно, что и скорость любой точки К этого тела мы получим как скорость точки в составном движении по параллелограмму скоростей, как сумму скорости полюса и относительной скорости точки при сферическом движении тела вокруг полюса.
Аналогично и ускорение любой точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при сферическом движении тела, определяемого формулами 99—101 (см. стр. 183).
Эта ось впервые была открыта Юлием Моцци (1766 г.).
ЧАСТЬ III
ДИНАМИКА
ГЛАВ А XIII
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
§ 36. ПРЕДМЕТ ДИНАМИКИ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ ГАЛИЛЕЯ — НЬЮТОНА
Динамикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение в связи с си- ламн, приложенными к движущимся объектамДинамикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение в связи с си- ламн, приложенными к движущимся объектамПредмет динамики. Динамика является основным и наиболее общим разделом теоретической механики. Если в статике мы изучали условия равновесия твердого тела, совершенно не занимаясь вопросами движения, а в кинематике, напротив, изучали движение тел без учета сил, прило
Динамикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение в связи с си- ламн, приложенными к движущимся объектам
Динамикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают механическое движение в связи с си- ламн, приложенными к движущимся объектам
женных к этим телам, то в динамике нас будут одинаково интересовать и силы, действующие на материальные тела, и движение
этих тел.
В динамике изучают зависимость между движением материальных объектов и действующими на них силами, по данному движению точки или тела устанавливают, какие силы его производят, и по действующим силам определяют движение материального объекта. Поэтому динамика не может, подобно кинематике, ограничиться добавлением к понятиям геометрии одного лишь понятия времени. Она дополняет понятия кинематики понятием силы, известным нам из статики. Нас не интересует физическая сущность силы, и здесь, как и в статике, мы характеризуем силу величиной, направлением и точкой приложения, разве лишь с тем добавлением, что в динамике чаще, чем в статике, рассматривают силы, переменные по величине и направлению.
Две одинаковые силы, приложенные к двум различным материальным телам, могут сообщить этим телам за одно и то же время совершенно различные движения, что зависит от инертности этих тел. Движущиеся объекты характеризуются также и массой и рас-
пределением массы. В динамике изучают движение только материальных тел (или точек), обладающих определенной массой.
Таким образом, динамикой называют раздел теоретической меха
ники, в котором изучают механическое движение материальных объектов в связи с силами, приложенными к этим объектам.
Три закона движения. В основе всей
В основе динамики лежат три закона Ньютона: 1) принцип инерции, 2) основной закон динамики, 3) принцип равенства действия и противодействияВ основе динамики лежат три закона Ньютона: 1) принцип инерции, 2) основной закон динамики, 3) принцип равенства действия и противодействиямеханики, в частности динамики, лежат три закона, называемые основными законами Галилея ——Ньютона и сформулированные Ньютоном под названием «Аксиомы, или законы движения». Они опубликованы в сочинении Ньютона «Математические
В основе динамики лежат три закона Ньютона: 1) принцип инерции, 2) основной закон динамики, 3) принцип равенства действия и противодействия
В основе динамики лежат три закона Ньютона: 1) принцип инерции, 2) основной закон динамики, 3) принцип равенства действия и противодействия
начала натуральной философии» (1686)х.
С двумя из этих законов (с первым и третьим) мы ознакомились в курсе статики (см. § 3). Но необходимо обратить внимание на некоторые обстоятельства, которые в динамике имеют большое значение. Поэтому, приступая к курсу динамики, мы критически рассмотрим первую аксиому Ньютона, затем изучим вторую аксиому, а потом расширим наше знакомство с третьей аксиомой.
Инерциальная система отсчета. Первый
Систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица под действием взаимно уравновешенных сил совершает прямолинейное и равномерное движение, называют инерциальной системой отсчетаСистему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица под действием взаимно уравновешенных сил совершает прямолинейное и равномерное движение, называют инерциальной системой отсчетаосновной закон механики (принцип инерции) сформулирован Ньютоном так: «Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние».
Систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица под действием взаимно уравновешенных сил совершает прямолинейное и равномерное движение, называют инерциальной системой отсчета
Систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица под действием взаимно уравновешенных сил совершает прямолинейное и равномерное движение, называют инерциальной системой отсчета
Проверить принцип инерции прямым и непосредственным экспериментом вряд ли можно. Для такого эксперимента понадобилось бы тело, на которое не действуют никакие силы; это тело должно быть полностью изолировано от всех других тел. Никакое тело,, никакая материальная система во Вселенной не являются полностью изолированными. Но ввиду громадности расстояний до звезд можно допустить, что звезды не оказывают заметного действия на солнечную систему, т. е. на систему, состоящую из Солнца, планет и их спутников. Полагают, кроме
того, что эта система не подвержена никаким другим посторонним воздействиям, как, например, сопротивление среды, заполняющей мировое пространство. Тогда можно считать, что центр масс (центр тяжести) солнечной системы в данное время находится в состоянии равномерного прямолинейного движения. Центр масс солнечной системы почти совпадает с центром Солнца, и в дальнейшем мы будем называть его центром Солнца.
Возникает вопрос: по отношению к какой системе отсчета центр Солнца движется прямолинейно и равномерно? Вполне конкретно и однозначно ответить на этот вопрос невозможно. Ньютон ошибочно
Имеется русский перевод акад. А. Н. Крылова, изданный Морской академией в 1916 г., а также АН СССР в Собрании трудов А. Н. Крылова, т. VII.
полагал, что независимо от материи существует абсолютно неподвижное пространство. «Абсолютное пространство по самой сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным», —писал он в《Математических началах натуральной философии». Но мы не мыслим пространства безотносительно к внешнему миру, и для нас пространство есть форма существования материи. Материя же немыслима без движения, поэтому не может быть и пространства, которое было бы абсолютно неподвижно безотносительно к чему бы то ни было, т. е. не может быть неподвижной пустоты. Д'Аламбер, критикуя Ньютона за то, что он понятия пространства и времени отрывал от понятия материи, писал в 1759 г.: «Те философы, которые хотят создать пустоту, теряются в собственных выдумках» \
В этом вопросе воззрения Д'Аламбера близко подходят к позиции Энгельса, который писал: «Разумеется, обе эти формы существования материи (т. е. пространство и время—М. Г.) без материи суть ничто, пустые представления, абстракции, существующие только в нашей голове» 3.
Лобачевский показал, что представления геометрии Эвклида и механики Ньютона о пространстве не являются истинными, и подготовил почву для развития современных физических представлений о пространстве и времени.
Не следует думать, что неправильное понимание Ньютоном абсолютного пространства делает его законы неверными и неприемлемыми. Неправильно только было бы считать аксиомы очевидными истинами, абсолютно верными и не нуждающимися в доказательствах, о чем мы уже говорили в § 3. Аксиомы нуждаются не только в доказательствах, но также и в уточнениях.
Представим себе какую-либо систему координат (связав ее, например, со звездами), по отношению к которой центр Солнца совершает равномерное и прямолинейное движение с какой-либо скоростью V, примем эту систему за основную и назовем инерциальной системой.
Представим себе также вторую систему координат, совершающую поступательное движение относительно первой системы. Пусть одна из точек (а значит, и все остальные) второй системы движется относительно инерциальной прямолинейно и равномерно с какой-либо скоростью ve. Тогда скорость и「центра Солнца относительно второй системы согласно закону параллелограмма скоростей равна
亡. (103，)
В правой части равенства мы имеем разность постоянных величин, следовательно, постоянна и левая часть равенства, т. е. центр Солнца относительно второй системы координат тоже находится в
Щ'А ламбер. Об элементах философии или принципах человеческих познаний с пояснениями.
К- Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, изд. 2-е, т. 20. Госполитиздат, 1961, стр. 550.
прямолинейном и равномерном движении. Таким образом, характер движения центра Солнца по отношению к обеим системам координат один и тот же—прямолинейное и равномерное движение. Поэтому и вторую систему координат мы можем называть инерциальной системой, как и всякую прочую систему координат, движущуюся относительно первой поступательно, прямолинейно и равномерно.
В таком движении по отношению ко всякой инерциальной системе находится не только центр солнечной системы, на которую, по нашему заключению, не действуют извне никакие силы, но и каждая материальная частица, находящаяся под действием взаимно уравновешенных сил, потому что наличие взаимно уравновешенных сил эквивалентно их отсутствию (см. § 3). Все это требует значительно расширить понятие ^инерциальная системам и определить ее как такую систему отсчета, по отношению к которой всякая материальная частица, находящаяся под действием взаимно уравновешенных сил, совершает прямолинейное и равномерное движение. Любую такую систему можно принять за неподвижную при решении задач динамики. В этом заключается открытый Галилеем так называемый принцип относительности классической механики.
В целом ряде проблем, например в задачах небесной механики —— при вычислении траекторий искусственных спутников, при исследованиях, связанных с движением нашей планеты (опыты Фуко), и др., за инерциальную систему принимают систему координат, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на какие-либо три «неподвижные» звезды. Чтобы показать, как незначительна погрешность, которую допускают, считая звезды неподвижными друг относительно друга, представим себе модель звездного мира, сделанную в масштабе 1:1 000 000 000 000. В таком масштабе наше Солнце, диаметр которого 1 500 0G0 к儿,изобразится шариком с булавочную головку диаметром 1,5 мм. На расстоянии 15 см от этого шарика будет кружиться невидимая глазу пылинка——Земля. Другие же звезды, в среднем такие же булавочные головки, мы должны будем поместить километров на 40 от Солнца и друг от друга. Если принять скорость Солнца относительно соседних звезд равной 150 км/сек, то, следовательно (в том же масштабе), модель Солнца (начало координат) движется со скоростью 1 мм/ч. Таким образом, относительные перемещения звезд ничтожны, и систему отсчета, связанную со звездами, можно принимать за инерциальную с большой степенью точности.
При многих технических расчетах можно принимать за неподвижную всякую системуПри многих технических расчетах можно принимать за неподвижную всякую системуотсчета, неизменно связан-отсчета, неизменно связан-Всякую систему координат, неподвижную относительно Земли, обычно принимают за инерциальную систему отсчета, пренебрегая движением Земли вокруг Солнца и
При многих технических расчетах можно принимать за неподвижную всякую систему
При многих технических расчетах можно принимать за неподвижную всякую систему
отсчета, неизменно связан-
отсчета, неизменно связан-
ную с Землей.ную с Землей.вокруг оси. Конечно, при этом допускают некоторую ошибку, потому что невозможно, чтобы принцип инерции был верен одновременно и по отноше-
ную с Землей.
ную с Землей.
нию к осям, направленным на звезды, и по отношению к осям, участвующим в движении Земли. Но эта ошибка невелика и вполне может быть допущена в обычных технических задачах.
Еще Галилей, который до Ньютона был знаком с принципом инерции, проделал для проверки этого принципа такой интересный опыт. Он катал тяжелые шары вверх по наклонной плоскости, сообщая им одинаковую начальную скорость, и установил, что шары достигали всегда одной и той же высоты h независимо от угла наклона плоскости. Таким образом,
где s ——путь, пройденный шаром, а 仆 ——угол между наклонной и горизонтальной плоскостями. Отсюда следует, что при 8 = 0 шар должен двигаться непрерывно с сообщенной ему начальной скоростью. Галилей в 1638 г. писал: «Пусть мы метнули илн бросили тело по горизонтальной плоскости, устранивши все препятствия. Его движение будет продолжаться равномерно и непрерывно по означенной
плоскости, если она простирается неопределенно далеко».
Благодаря этим простым опытам Галилея, проведенным над шарами, катящимися с треннем в воздушной среде, принцип инерции полу
чил хотя и косвенное, но прекрасное экспериментальное подтверждение. Однако Галилей неправильно допускал, что возможно инерциальное движение и по окружности. Принцип инерции в инерци
Декартом.Ускорение точки пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.Декартом.Ускорение точки пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.альной системе отсчета вполне строго впервые был сформулирован
Декартом.
Ускорение точки пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Декартом.
Ускорение точки пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Основной закон динамики. Из принципа инерции следует, что всякое изменение скорости происходит только от действия сил, приложенных к данному телу. Соотношение между силой и ускорением установлено в основном законе динамики.
Ньютон писал, что изменение скорости «всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила», независимо от того, находилось тело в покое или в движении и действует сила по скорости, против скорости или же под углом к ней. Хотя Ньютон называл материальную точку телом и не употреблял термина «ускорение» (вошедшего в науку почти два века спустя), но открытый им основной закон динамики можно сформулировать такими словами: сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, п ропорциональное силе и направленное по силе. Математически этот закон можно записать в виде такой формулы:
(123)(123)F = та.
(123)
(123)
Если на материальную точку действует несколько сил, то действие каждой из сил не зависит ог действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием нескольких сил точка получает ускорение а, какое получила бы под действием их равно-
т h = rif
действующей R = 2 f"
(123‘)(123‘)2 Fk~ma.
(123‘)
(123‘)
В этом заключается принцип независимости действия сил. Величина т в формуле (123') не является только коэффициентом
пропорциональности между силой и ускорением, а имеет большой
физический смысл, к пояснению которого мы сейчас переходим.
Массой материальной частицы называют меру ее инерции, численно выражающуюся отношением модулей силы, действующей на частицу, и вызванного еюМассой материальной частицы называют меру ее инерции, численно выражающуюся отношением модулей силы, действующей на частицу, и вызванного еюускорения.ускорения.Массах. Всякая материальная частица стремится сохранить свое состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения. Свойство материальных тел сохранять механическое движение при отсутствии механического взаимодействия их с
Массой материальной частицы называют меру ее инерции, численно выражающуюся отношением модулей силы, действующей на частицу, и вызванного ею
Массой материальной частицы называют меру ее инерции, численно выражающуюся отношением модулей силы, действующей на частицу, и вызванного ею
ускорения.
ускорения.
другими телами, присущую материи не-
уничтожаемость движения называют инерцией. Это же свойство инерции побуждает различные тела при одинаковых механических взаимодействиях изменять механическое движение постепенно и различно для каждого тела. Камень притягивается Землей и притягивает к себе Землю с силой такой же величины. Однако эти равные по величине силы вызывают в камне и в Земле далеко не одинаковые ускорения, потому что инерция земного шара, его свойство сохранять свое движение во много миллиардов раз превосходит инерцию камня. Таким образом, в формуле (123) величина 加一не только коэффициент пропорциональности, она представляет собой меру инерции материальной точки и выражает ее массу. Итак, масса материальной частицы является мерой инерции материальной частицы, выражающейся положительной скалярной величиной, равной отношению величин силы, приложенной к материальной частице, и ускорения, полученного ею в инерциальной системе отсчета:
(124)(124)F加=—•
(124)
(124)
В частности, все свободно падающие на Землю тела получают под действием силы тяжести G ускорения g свободно падающих тел:
G — mg.
Отсюда, приняв Землю за инерциальную систему отсчета, получаем легкий способ определения массы тел по их весу согласно формуле
« = 7-(124，)
Все тела, находящиеся в одном и том же месте Земли, падают на Землю с одинаковым ускорением g, из чего следует, что веса тел, находящиеся в одном и том же месте Земли, пропорциональны их массам и не зависят от формы тел. Однако еще во времена Ньютона точные эксперименты показали, что ускорение падающего тела и вес его на экваторе меньше, чем в наших широтах, хотя масса остается прежней. Поэтому Ньютон четко разграничил понятия массы и веса. Открытие Ньютоном закона всемирного тяготения придало различию между массой и весом особо важное значение. Космонавт, летящий вдали от Земли в кабине космической ракеты, почти полностью теряет свой вес, но сохраняет свою массу.
Мы рассматриваем тело как состоящее из отдельных частиц, и, следовательно, масса тела состоит из масс его частиц. Необходимо,
однако, учесть, что при движении твердого тела различные частицы совершают, вообще говоря, различные движения и имеют различные ускорения, а потому мера инерции материального тела зависит не только от масс его частиц, но и от их распределения в теле. Только
при поступательном движении тела, когда ускорения всех его частиц одинаковы, масса тела является его мерой инерции.
Системы механических единиц. Напомним,
Существуют две системы механических единиц: 1) техническая, в которой за основные приняты единицы длины, силы и времени, и 2) физическая, в которой за основные приняты единицы длины, массы и времени.Существуют две системы механических единиц: 1) техническая, в которой за основные приняты единицы длины, силы и времени, и 2) физическая, в которой за основные приняты единицы длины, массы и времени.что в механике приняты две системы единиц: техническая и физическая. Эти две системы отличаются друг от друга по своей основе 2.
Существуют две системы механических единиц: 1) техническая, в которой за основные приняты единицы длины, силы и времени, и 2) физическая, в которой за основные приняты единицы длины, массы и времени.
Существуют две системы механических единиц: 1) техническая, в которой за основные приняты единицы длины, силы и времени, и 2) физическая, в которой за основные приняты единицы длины, массы и времени.
Техническая система единиц построена на понятиях длины L, силы F и времени Т. За основные единицы принимают: длины — метр (м), силы — килограмм-сила (кГ), времени — секунда (сек), но с равным пра
вом применяют также единицы, являющиеся кратными и дольными основных. При решении задач не имеет принципиального значения, какие именно размеры единиц L, F и Т приняты в той или иной задаче, это зависит от нашего выбора, и нужно выбирать такие единицы, в которых практически проще можно провести необходимые математические подсчеты. Так, если балка прогибается на несколько миллиметров под нагрузкой в несколько тонн, то, по-видимому, в данном случае выгодно принять миллиметр за единицу длины и тонну-силу за единицу силы, выражать же их в сантиметрах и в граммах или в метрах и килограммах вряд ли целесообразно. Скорость света измеряют километрами в секунду, скорость звука ——метрами в секунду, а скорость осадки зданий ——миллиметрами в год.
В каждой задаче каждую из единиц мы вправе выбирать основной, кратной или дольной независимо от выбора двух других. Но коль скоро эти единицы нами приняты при решении данной задачи, мы не должны допускать при ее решении никаких других единиц
и обязаны брать единицы производных величин, исходя из тех, которые мы выбрали для L, F, Т. Так, приняв в задаче за единицы длины, силы и времени метр, грамм-силу и секунду, мы обязаны принять ускорение свободно падающего тела g = 9,8i м/се^ и было бы ошибкой принять в этой задаче g = 981 см/сек. ,
В технической системе единиц размерность массы является производной: [т] hLtFT. Например, размерность единицы массы в технической системе единиц может быть Г • сек2/см, если мы выражаем в этой задаче длину в см, силу — в Г, время — в сек.
Неудобство этой системы состоит в том, что единица силы является величиной, требующей указания определенного места земного шара (например, килограмм—вес одного литра воды в Париже при 4° С, или сила, с которой Земля притягивает массу в 1 кг на широте 45° на уровне моря при нормальном давлении).
От этого неудобства можно избавиться, как показал еще Гаусс, если в качестве основных принять единицы длины L, массы М и времени Т и вывести единицу силы как производную из этих основных.
Система глеханических единиц, называемая физической, принимает за основные, кратные и дольные такие же единицы длины (метр, сантиметр и пр.), такие же единицы времени (секунда, минута, час и пр.), но принимает массу, а не силу, за основную единицу (килограмм, а также кратные и дольные килограмм-массы). В этой системе единиц сила является величиной производной и имеет размерность [F] = LWT"3, например г-см/сек2.
В СССР в качестве государственного стандарта принята Международная система единиц (СИ) (S/ от Le systeme international dunites), в которой за основные приняты единицы длины, массы и времени. Таким образом, в области механики СИ относится к системе единиц, которую мы назвали физической системой. В качестве основных единиц этой системы в механике оставлены прежние единицы: метр (м). килограмм-масса (ка) и секунда (сек). С целью уточнения метр измерен не в долях земного меридиана, как это было при его установлении, а длиной волны излучения атома криптона, секунда определена как 1/31556925,9747 часть тропического года \ а килограмм ——как масса прототипа килограмма, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Париже.
Единица силы в СИ является производной. Ньютоном называют силу, сообщающую массе в 1 кг ускорение, равное 1 м]се«. Размер этой единицы силы 1 кг• м[се^.
Таким образом,
1 к - 100 000 дин = 1/9,81 102 Г н 1 к「= 9,81 н.
Задача № 100. Автомобиль весом G ~ 1000 к,Г во время разгона движется по прямолинейному горизонтальному пути согласно закону х —0,1Р, где / —— время, считаемое от начала движения и выраженное в секундах, а х—-путь, пройденный
автомобилем за время 九 выраженный в метрах. Определить в ньютонах равнодействующую всех сил, действовавших на автомобиль в конце 20-й секунды.
Решение. Условие задачи дано в технических единицах (L — в м, F — в кГ и Т— в сек), но силу требуется определить в ньютонах. Будем решать задачу в физических единицах и примем L в л, М—в яг и Т — в сек. Тогда масса автомобиля т = 1 000 кг, остальные величины остаются без изменения.
Написав кинематическое уравнение движения
尤= 0,“з, продифференцируем его дважды по времени и найдем ускорение точки:
% = 0,6/,
или через 20 сек после начала движения х = 12 м/сек^. Умножая на массу, находим силу в ньютонах: F — 1000* 12=12 000 н.
Если решать задачу в технической системе единиц, предложенной в условии задачи, то в этой системе
G 1000 1ПО 尸[
g 9,81
Умножая на ускорение х— 12 M[ceU, найдем силу
F=12・102=1224
Чтобы выразить ее в ньютонах, надо умножить 1224 на 9,81. Ответ.户=12 000 н.
Системой материальных точек называют мысленно вы-Системой материальных точек называют мысленно вы-деленную определенную со-вокупность материальныхчастиц или тел, взаимодей-ствующих друг с другом позакону равенства действияи противодействияделенную определенную со-вокупность материальныхчастиц или тел, взаимодей-ствующих друг с другом позакону равенства действияи противодействияСистема материальных точек. Принцип равенства действия и противодействия нам хорошо известен еще из статики, где
Системой материальных точек называют мысленно вы-
Системой материальных точек называют мысленно вы-
деленную определенную со-вокупность материальныхчастиц или тел, взаимодей-ствующих друг с другом позакону равенства действияи противодействия
деленную определенную со-вокупность материальныхчастиц или тел, взаимодей-ствующих друг с другом позакону равенства действияи противодействия
мы им часто пользовались для определения давления тела на опоры: мы составляли уравнения равновесия сил, действующих на данное тело, и определяли реакции опор, а затем уже, пользуясь принципом равенства действия и противодей
ствия, определяли искомые давления тела на опоры, хотя эти давления и не входили в уравнения равновесия твердого тела.
В задачах динамики тот же принцип равенства действия и противодействия приобретает еще и иное значение. Дело в том, что в геометрической статике изучают силы, приложенные только к одному абсолютно твердому телу, под которым понимают такую материальную систему, расстояния между точками которой остаются неизменными. В динамике наряду с абсолютно твердыми телами изучают также и изменяемые системы, т. е. такие системы, расстояния между точками которых могут изменяться под действием сил.
Руководствуясь соображениями удобства решения задачи, мы выделяем некоторое количество тел или частей тела и принимаем их за систему материальных точек： При исследовании движения точек материальной системы необходимо учитывать, что эти материальные
1 При вычислениях удобно иметь в виду,
чт0在乖麻=°」％
поэтому
точки взаимодействуют между собой по закону равенства действия и противодействия. Таким образом, под системой материальных точек мы понимаем мысленно выделенную совокупность материальных частиц или тел, взаимодействующих друг с другом по закону равенства действия и противодействиях. Систему материальных точек иногда коротко называют материальной системой, или механической системой.
Число и точек в системе может быгь любым целым числом, боль
шим единицы.
Силы, действующие в мате-риальной системе, подраз-деляют на внутренние ивнешние или иа активные иреакции связейСилы, действующие в мате-риальной системе, подраз-деляют на внутренние ивнешние или иа активные иреакции связейКлассификация сил. В динамике, как и в статике, приступая к решению каждой задачи, мы должны в первую очередь определить материальную точку, или абсолютно твердое тело, или материальную систему,
Силы, действующие в мате-риальной системе, подраз-деляют на внутренние ивнешние или иа активные иреакции связей
Силы, действующие в мате-риальной системе, подраз-деляют на внутренние ивнешние или иа активные иреакции связей
движение которой надо исследовать в этой задаче. В очень многих случаях вторым вопросом при постановке задачи бывает вопрос о
том, какие силы действуют на эту точку, тело или систему точек. Силы, действующие на точки материальной системы, часто раз
деляют на две категорий: внешние и внутренние силы.
Внешними силами системы материальных точек называют силы, действующие на точки этой системы со стороны других материальных объектов, не входящих в состав этой системы. Внешние силы обозначают Fe (буква е является начальной буквой латинского слова exterior——внешний) и их проекции Xе, У°, Z、
Внутренними силами системы называют силы взаимодействия между точками этой системы. Для обозначения внутренних сил и их проекций к соответствующим буквам' приписывают сверху и справа букву i (от латинского interior ——внутренний), например 尸厶 XL
Одна и та же сила может быть внешней или внутренней в за
висимости от того, какие тела мы включили в систему материальных точек. Так, например, давление пара на поршень паровой машины является внешней силой по отношению к поршню и внутренней силой по отношению ко всей паровой машине. Другой пример: велосипедист давит ногой на педаль велосипеда; если за материальную систему принят велосипед, то сила эта внешняя, если же за систему принят велосипед вместе с велосипедистом, то та же сила — внутренняя.
Такое подразделение сил системы на внешние и внутренние полезно в том отношении, что в некоторых общих теоремах динамики (см. § 42 и 44) оказалось возможным исключить внутренние силы и получить зависимости движения только от внешних сил.
Если точки системы свободны, т. е. если движения точек системы не ограничены связями, то силы системы обычно подразделяют на внешние и внутренние. В тех же случаях, когда точки системы не-
1 Предложение рассматривать любую часть материи как систему материальных точек сделано Босковичем (1758 г.) и очень удобно для вычислений. Но, абстрагируясь от размеров тел, не следует забывать, что пространство есть форма существования материи.
свободны, т. е. их движения ограничены связями, иногда оказывается более целесообразным разделять силы системы на две категории по совершенно иному признаку — на активные силы и реакции связей.
Понятие реакции связей хорошо знакомо нам из курса статики. Этим же понятием мы будем пользоваться и в динамике, с тем лишь добавлением, что в динамике реакции связей зависят от движения системы. Мы будем обозначать реакцию связей и ее проекции Fr, Х「，
Все прочие силы системы, кроме реакций, будем называть активными силами и отмечать индексом a: F&, Ха.
Всякая сила является активной или реакцией связи по своей природе, независимо от того, какие точки мы включили в данную материальную систему. Так, давление ноги на педаль является активной силой, а давление педали на ногу——реакцией, независимо от того, принят за систему один велосипед или велосипед с велосипедистом. '
§ 37. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИ ДИНАМИКИ
Возникновение динамики. Как уже было Научные принципы класси- сказано в общем очерке развития теоре- гескои мех^ткн заложены ТИЧеской механики (см. § 2), динамика воз- Галилеем и сформулированы“
Ньютономникла в XVII в. в связи с потребностями
быстро развивающейся п ромышленности, судоходства, а также в связи с возникновением артиллерии.
Развивая работы Галилея и отчасти Гюйгенса, англичанин Исаак Ньютон создал основы теоретической механики и опубликовал их в своем сочинении «Математические начала натуральной философии». Во введении к этой книге, обыкновенно называемой «Начала», сформулированы аксиомы, или законы движения, которые легли в основание всей механики, называемой теперь механикой Галилея — Ньютона, или классической механикой.
Галилей первый (1638 г.) обнародовал закон инерциального движения тел. Этот закон Галилея Ньютон (1686 г.) сформулировал в более общей форме, приведенной нами в § 3 и 36, и назвал первым законом механики.
Галилей открыл (1589 г.) законы падения тел на Землю. Ньютон пришел к общему понятию движения с переменной скоростью. К этому он присоединил очень трудное и важное для динамики понятие массы. Соотношение между изменением движения и силой сформулировано им во втором законе.
Следующий важнейший принцип, лишь слабые и неясные высказывания которого намечались до Ньютона, был сформулирован им под именем третьего закона в форме, приведенной нами в § 3.
«Мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определенно ограниченного кругаявлений» (Энгельс)1стно, сделал гениальную«Мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определенно ограниченного кругаявлений» (Энгельс)1стно, сделал гениальнуюСпор о nw и mv. Как только начала создаваться динамика, сейчас же появилась потребность в определенной мере для измерения движения. Такие меры уже намечались в работах Галилея. Декарт признал произведение массы движущегося тела на его скорость mu единственной мерой механического движения, назвав эту меру количеством движения. Декарт, как изве- догадку о сохранении движения (1644 г.).
«Мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определенно ограниченного круга
явлений» (Энгельс)1
стно, сделал гениальную
«Мы находим, что механическое движение действительно обладает двоякой мерой, но убеждаемся также, что каждая из этих мер имеет силу для весьма определенно ограниченного круга
явлений» (Энгельс)1
стно, сделал гениальную
Он считал, что сохраняется именно mj, правда, не отличая четко
массы от веса.
Напротив, Гюйгенс в своих работах пользовался, и очень успешно, произведением массы на квадрат скорости.
Этим открытием Гюйгенса и утверждением Паскаля, что одно и то же ——поднять сто фунтов воды на один дюйм или один фунт на сто дюймов, воспользовался Лейбниц, написав, что декартова мера mv противоречит декартову закону сохранения движения. Лейбниц доказывал, что сохраняется 加唄，а не mv. Тот факт, что mv2 не сохраняется при ударе неупругих тел (см. § 48), Лейбниц объяснил поглощением движения частицами ударяющихся тел. «Это не противоречит,——писал он,——нерушимой истине сохранения силы в природе. То, что поглощается частицами, не потеряно для общей силы участвующих в движении тел》％ Лейбниц назвал (1695 г.) эту меру 加川 «живой силой».
Сторонники Декарта выступили в его защиту. Лейбница основательно поддержал Кван Бернулли, опубликовавший в 1724 г. сочинение «Дискуссия о законах передачи движения», удостоенное премии Парижской академии наук по конкурсу, объявленному на эту тему. «.. Загорелся знаменитый, длившийся много лет спор, в котором принял участие в первом своем сочинении «Мысли о правильной оценке живых сил» (1746 г.) также и Кант, хотя он неясно разбирался в этом вопросе»,——пишет Энгельс.
Дебют великого философа был не очень удачен, о чем опубликовал ядовитое четверостишие Лессинг. Эпиграмма вызвана не только слабостью выступления Канта, но и остротой дискуссии, которая расколола ученый мир на два враждебных лагеря.
Приблизительно в это время (1758 г.) М. В. Ломоносов читал свою диссертацию, в начале которой он говорил и об этой дискуссии: «Самые первые начала механики, даже физики, еще находятся в периоде обсуждений, и наиболее выдающиеся ученые этого столетия не могут прийти к соглашению о них. Самым блестящим при-
мером этого есть величина сил движения, которая согласно одним увеличивается в простом, по другим ——в двойном отношении скорости».
Сторонниками меры mu были Дени Папе.н (один из изобретателей паровой машины), Маклорен, Кларк (английский философ, переводивший Ньютона и Декарта), английский математик Валлис, Яков Бернулли, Вариньон, Мариотт, Мерсенн, французский физик Орту де Меран, Вольтер н многие другие, тогда как друг Вольтера маркиза дю Шатле, переведшая Ньютона на французский язык, Лопиталь, Кёниг, Иван Бернулли, академик С.-Петербургской академии Даниил Бернулли, распространивший понятие живых сил на жидкость, Яков Герман, немецкий философ Вольф и многие другие защищали меру mv3. Голландский математик н физик Гравезанд вначале был на стороне' Декарта, но потом перешел на сторону Лейбница.
Свои соображения высказал и Д'Аламбер (1743 г.), после чего этот великий спор затих, но не потому, что Д'Аламбер убедил споривших, а потому, что спор утомил противников и не видно было ему конца. Ведь спорили о том, чем измеряется механическое движение, что сохраняется в природе——my3 или mv. Вот почему Ньютон, вообще отрицавший закон сохранения движения, вовсе не принял участия в споре. Но во времена Декарта и Лейбница еще не знали, что ме
ханическое движение может переходить в другие виды движения, хотя, как видно и из приведенной нами цитаты Лейбница, эти мысли уже начали зарождаться. Более определенно о немеханических формах движения высказывался AL В. Ломоносов (1744, 1745).
После того как (в XIX веке), по предложению Кориолиса, «живой силой» стали называть -^—, постепенно начала выявляться связь
между изменением живой силы и работой.
Четкое толкование понятий обеих мер движения мы находим в «Диалектике природы» Ф. Энгельса. Материальное тело обладает двумя мерами механического движения:
живая сила, или кинетическая энергия, характеризует способность механического движения данного тела превращаться в потен
циальную энергию или другие виды движения;
количество движения характеризует, способность механического
движения данного тела передаваться другим материальным телам
в виде механического же движения.
В каждом движущемся теле обе меры механического движения существуют одновременно и не противоречат одна другой. Мы подробно остановимся на этом вопросе в главах, посвященных теоремам о количестве движения п теоремам о кинетической энергии.
В задачах динамики несвободных точек и материальных систем большое применение имеют принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений, укоренившиеся в механике в XVIII и XIX rb.В задачах динамики несвободных точек и материальных систем большое применение имеют принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений, укоренившиеся в механике в XVIII и XIX rb.Принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений. В кратких исторических сведениях о проблемах динамики коснемся истории двух принципов динамики: принципа Д'Аламбера и принципа виртуальных перемещений.
В задачах динамики несвободных точек и материальных систем большое применение имеют принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений, укоренившиеся в механике в XVIII и XIX rb.
В задачах динамики несвободных точек и материальных систем большое применение имеют принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений, укоренившиеся в механике в XVIII и XIX rb.
В основном законе динамики Ньютон установил зависимость между силой, дей-
ствующей на точку, и изменением движения, дав тем самым пути решения задач динамики свободной материальной точки. Здесь возникают трудности только математического характера.
Но оставалась не исследованной динамика несвободных систем, т. е. таких систем, на точки которых наложены связи. Быстрое развитие промышленности и торговли выдвигало все новые требования к теоретической механике; понадобились методы, которые давали бы наибольший практический выход и, в частности, имели бы большее применение к машинам, т. е. как раз в области динамики несвободных систем.
Многие крупные ученые проявляли большое остроумие и находчивость, решая различные частные задачи по движению твердого тела и по движению несвободных точек. Однако необходимо было найти общий метод, который дал бы возможность аналитически выразить действие связей, указать общие принципы решения подобных задач.
Честь создания таких методов выпала на долю Д'Аламбера н Лагранжа. .
Д^ламбер предложил для решения всех задач динамики новый принцип. «Данное правило, —писал он позже в Энциклопедии, — приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простой задаче о равновесии»,
Здесь у Д'Аламбера были свои предшественники (Гюйгенс,Яков Бернулли, Яков Герман). «Однако только Д'Аламбер подошел к этому принципу с более общей точки зрения и придал ему всю ту простоту и плодотворность, на которые только он был способен». Поэтому этот принцип называют принципом Д'Аламбера.
Д'Аламбер усматривал достоинство своего метода и в том, что в нем не были применены такие понятия, как сила: «метафизика этих понятий никогда не станет ясной». Но в формулировку принципа Д'Аламбера позднее были введены понятия не только силы, но и так называемых сил инерции, и была придана та форма, которая приведена нами в § 50.
Пять лет спустя после смерти Д'Аламбера, в 1788 г., в Париже была издана «Аналитическая механика» Лагранжа; второе, значительно дополненное издание вышло в 1811―1815 гг. Это одно из лучших сочинений по механике, обогатившее ее новыми могучими методами.
В основу статики был положен «принцип виртуальных перемещений», который теперь можно сформулировать так: при равновесии системы сумма работ всех активных сил на всяком виртуальном перемещении (см. § 4) равна нулю. Тот же принцип в соединении с принципом Д'Аламбера был положен в основу динамики, (см. § 51).
Корни принципа виртуальных перемещений уходят в глубокую древность. Довольно общую формулировку принципа для сил тяжести дали Торичелли (1644 г.), Иван Бернулли (1717 г.) и др. Доказательство принципа Лагранжем (1796 г.) является лишь видоизменением доказательства, которое предложил в 1783 г. Лазар Карно. Одновременно с Лагранжем строгое доказательство опубликовал Фурье. Но большая заслуга Лагранжа заключается и в том, что он положил этот принцип в основу всей механики.
В те времена еще не было определено понятие работы силы. Только в начале XIX в. появилось точное определение понятия работы, столь необходимое для принципа виртуальных перемещений и в теореме живых сил. В отдельных механических исследованиях начали применять произведение "силы на путь еще в XVIII в. Карно (отец) уже в 1786 г. дал ему даже специальное название《момент активности», Гаспар Монж называл его «динамический эффект», англичанин Юнг употреблял слово <(работа» еще в 1807 г. Но окончательное ввэдение в науку термина «работа», и притом в точном, современном нам смысле, четкое установление понятия «работа» принадлежит Понселе и Кориолису, развившим идеи Лазара Карно, Гаспара Монжа и отчасти Луи Навье относительно механической работы. Это большое принципиальное достижение в науке было принято не сразу и оценено по достоинству лишь значительно позже.
В этом параграфе мы коснулись развития только немногих проблем динамики, которые входят в программу по теоретической механике втузов. Поэтому в наш краткий исторический очерк развития динамики не вошли многочисленные работы, выполненные за последнее столетие отечественными и иностранными учеными. Желающим более подробно ознакомиться с историей динамики рекомендуем прочитать следующие труды: Геронимус Я. Л. «Очерки о работах корифеев русской механики» (1952 г.); Григорьян А. Т. «Очерки истории механики в России» (1961 г.); Ишлинский А. Ю. «Очерки по истории техники» (1955 г.); Космодемьянский А. А. «Очерки по истории теоретической механики в России» (1948 г.); Т ю л и- н а И. А., Ракчеев Е. Н. «История механики» (1962 г.); Боголюбов А. Н. «История механики машин» (1964).
ГЛАВА XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§38. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Динамика имеет две основные задачи: 1) по заданному движению определить действующие силы и 2) по заданным силам определить движениеДинамика имеет две основные задачи: 1) по заданному движению определить действующие силы и 2) по заданным силам определить движениеПрямая и обратная задачи динамики. В динамике изучают механическое движение в связи с силами, приложенными к движущимся объектам. Следовательно, перед динамикой стоят две основные задачи:
Динамика имеет две основные задачи: 1) по заданному движению определить действующие силы и 2) по заданным силам определить движение
Динамика имеет две основные задачи: 1) по заданному движению определить действующие силы и 2) по заданным силам определить движение
по движению материального объекта (точки, твердого тела или системы точек) определить силы, производящие, данное движение. Эту задачу называют прямой, или первой основной задачей динамики;
вторая задача——обратная по отношению к первой, поэтому ее называют обратной, или второй основной задачей динамики: даны силы, действующие на данный материальный объект; требуется определить движение этого объекта под действием данных сил.
Наиболее просты с механической стороны эти задачи для одной материальной точки, хотя и здесь встречаются большие трудности математического характера.
Пусть точка М массы т находится под действием сил, представленных в мгновение / векторами 尸口 f2, ... , Fn или их равнодействующей 尸.Согласно основному закону динамики ускорение, получаемое точкой М от действия сил, направлено по силе и пропорционально ей:
(123)(123)та = F.
(123)
(123)
(54)(54)Если решают первую основную задачу динамики точки и движение точки определено в векторной форме, т. е. дан радиус-вектор г как некоторая векторная функция времени /:
(54)
(54)
г = ；(/),
то надо определить по (57) ускорение о, выражающееся второй производной от радиуса-вектора точки по времени 九 и умножить его на массу т точки. Тогда мы получим следующее выражение основного закона динамики:
(125)
где правая часть даст нам искомую силу.
Если же решают вторую основную задачу динамики точки и задан вектор силы, но требуется определить радиус-вектор как функцию (54) от времени, то для решения задачи нужно интегрировать уравнение (125).
Значительно проще решать такие задачи не в векторной, а в координатной форме.
Все основные теоремы дина-мики точки могут быть выве-дены из трех дифференци-альных уравнений движенияматериальной точки в прямо-угольных координатах:,тх — X; ту = У; mz=ZВсе основные теоремы дина-мики точки могут быть выве-дены из трех дифференци-альных уравнений движенияматериальной точки в прямо-угольных координатах:,тх — X; ту = У; mz=ZДифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных координатах. Пусть движение точки М задано в прямоугольных координатах кинематическими уравнениями
Все основные теоремы дина-мики точки могут быть выве-дены из трех дифференци-альных уравнений движенияматериальной точки в прямо-угольных координатах:
,тх — X; ту = У; mz=Z
Все основные теоремы дина-мики точки могут быть выве-дены из трех дифференци-альных уравнений движенияматериальной точки в прямо-угольных координатах:
,тх — X; ту = У; mz=Z
E = %(f), p = p(f), z = z()(58)
Преобразуем выражение (123) основного закона динамики; для этого определим
проекции на оси координат ускорения а и силы F. Направляющие косинусы (67) ускорения являются вместе с тем и направляющими косинусами силы, так как направление ускорения совпадает с направлением силы. Умножая величины (123) на cos а = ~, получим: тах = F cos а.
Но согласно (65) 4 =历1 • Подставляем это значение и, пользуясь для проекции силы на ось абсцисс (и аналогично для проекций на оси у и г) знакомым нам по статике обозначением, получим
mmттX,X,d2P 衣d2P 衣(126)(126)
m
m
т
т
X,
X,
d2P 衣
d2P 衣
(126)
(126)
m 丽"= Z，
или, если обозначать вторые производные по времени двумя точками,
тх X, ту — Y, mz = Z*тх X, ту — Y, mz = Z*(126‘)(126‘)Система трех дифференциальных уравнений (126) второго порядка эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений первогоСистема трех дифференциальных уравнений (126) второго порядка эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений первогопорядка:порядка:тт出чdx出чdx曲у m-di曲у m-diу,у,dy ~dt'dy ~dt'(127)(127)
тх X, ту — Y, mz = Z*
тх X, ту — Y, mz = Z*
(126‘)
(126‘)
Система трех дифференциальных уравнений (126) второго порядка эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений первого
Система трех дифференциальных уравнений (126) второго порядка эквивалентна системе шести дифференциальных уравнений первого
порядка:
порядка:
т
т
出ч
dx
出ч
dx
曲у m-di
曲у m-di
у,
у,
dy ~dt'
dy ~dt'
(127)
(127)
Уравнения (126) или (127) называют дифференциальными уравнениями движения материальной точки в прямоугольных координатах.
Из уравнений движения мы выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравдения движения (58) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений: умножив на массу вторую производную от координаты но времени, полечим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У н Z, а нужно определиib координаты точки х, у н z как
функции времени (58), решение свэдчгся к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым переменным является время. *
Три совместных дифференциальных уравнения (126) второго порядка определяют координаты х, у и г в функции времени Л Если движущаяся точка М совершенно свободна, то приложенгые к ней силы могут быть функциями ее координат х, у и z, проекций ее скорости х, у и n и времени f:
F = F(x, у, г, х, у, г, /).
Проинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некоторых видах функции 尸 эти интегралы могут быть получены. В оченьПроинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некоторых видах функции 尸 эти интегралы могут быть получены. В оченьмногих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующихмногих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующихмашинах.машинах.При интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки появляется шесть постоянных интеграции, которые при решении каждой задачиПри интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки появляется шесть постоянных интеграции, которые при решении каждой задачиПостоянные интегрирования. Общие интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки содержат шестьПостоянные интегрирования. Общие интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки содержат шестьпостоянных интеграции: &,постоянных интеграции: &,СБ1 CQ. Эги постоянные величиныСБ1 CQ. Эги постоянные величины3，J &,3，J &,отнюдьотнюдьдолжны быть определены начальных условийдолжны быть определены начальных условийне ЯВЛЯЮ1СЯ произвольными, и в каждой частной задаче, при решении которой приходится интегрировать дифференциальныене ЯВЛЯЮ1СЯ произвольными, и в каждой частной задаче, при решении которой приходится интегрировать дифференциальныеуравнения движения, постоянные интеграции должны быть опреде-уравнения движения, постоянные интеграции должны быть опреде-лены излены изначальных условий. Если заданы положение и скоростьначальных условий. Если заданы положение и скоростьдвижущейся точки для какого-либо мгновения 方=九(九 может бьпь равным или не равным нулю), то нужно определить постоянные Ср С2,以 С4, Са и & таким образом, чтобы при t t^ координаты л‘，у н z получили заданные значения х0, % и z()и производныедвижущейся точки для какого-либо мгновения 方=九(九 может бьпь равным или не равным нулю), то нужно определить постоянные Ср С2,以 С4, Са и & таким образом, чтобы при t t^ координаты л‘，у н z получили заданные значения х0, % и z()и производные
Проинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некоторых видах функции 尸 эти интегралы могут быть получены. В очень
Проинтегрировать их в общем виде невозможно, но при некоторых видах функции 尸 эти интегралы могут быть получены. В очень
многих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующих
многих случаях вычисления возможно проводить на интегрирующих
машинах.
машинах.
При интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки появляется шесть постоянных интеграции, которые при решении каждой задачи
При интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки появляется шесть постоянных интеграции, которые при решении каждой задачи
Постоянные интегрирования. Общие интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки содержат шесть
Постоянные интегрирования. Общие интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки содержат шесть
постоянных интеграции: &,
постоянных интеграции: &,
СБ1 CQ. Эги постоянные величины
СБ1 CQ. Эги постоянные величины
3，J &,
3，J &,
отнюдь
отнюдь
должны быть определены начальных условий
должны быть определены начальных условий
не ЯВЛЯЮ1СЯ произвольными, и в каждой частной задаче, при решении которой приходится интегрировать дифференциальные
не ЯВЛЯЮ1СЯ произвольными, и в каждой частной задаче, при решении которой приходится интегрировать дифференциальные
уравнения движения, постоянные интеграции должны быть опреде-
уравнения движения, постоянные интеграции должны быть опреде-
лены из
лены из
начальных условий. Если заданы положение и скорость
начальных условий. Если заданы положение и скорость
движущейся точки для какого-либо мгновения 方=九(九 может бьпь равным или не равным нулю), то нужно определить постоянные Ср С2,以 С4, Са и & таким образом, чтобы при t t^ координаты л‘，у н z получили заданные значения х0, % и z()и производные
движущейся точки для какого-либо мгновения 方=九(九 может бьпь равным или не равным нулю), то нужно определить постоянные Ср С2,以 С4, Са и & таким образом, чтобы при t t^ координаты л‘，у н z получили заданные значения х0, % и z()и производные
х, у п г —заданныех, у п г —заданныезначения %,乜叮 и %значения %,乜叮 и %
х, у п г —заданные
х, у п г —заданные
значения %,乜叮 и %
значения %,乜叮 и %
ДопускаюДопускаюг, чго данным начальным условиям соответствует только
Допускаю
Допускаю
одно движение, конечно, при заданной массе т и силе 戶.В справедливости этого положения мы убедимся на всех примерах, которые будем рассматривать, хотя эю положение имеет и математическое доказательство. Поэтому, если \гы нашли какое-либо движение точки /И, удовле гворяющее уравнениям (126) и начальным данным, то, следовательно, мы определили именно то движение, которое
искали.
Задача № 101. Точка массы т к? движется по винтовой линии согласно кинематическим уравнениям движения: х~ г cos kt, у ■= г sin kt, z 二二〃厶 где а, у, г и г выражены в метрах, а / —— в секундах; известно, что г, k и и постоянны. Определить величину и направление силы в функции расстояния.
Решение. Задача заключается в определении силы по заданному движению, т. е. является прямой задачей динамики. Условие выражено в физической системе единиц (СИ). При решении будем выражать длину в метрах, массу - - в килограммах и время ——в секундах.
Определим по (126) проекции силы на координатные оси, для чего сначала дважды продифференцируем заданные текущие координаты точек:
х=—rk- cos kt\ у = —rk- sin kt; i== 0.
Умножая на m полученные значения проекций ускорения, определим в ньютонах проекции силы:
Х = —mk-x; Y =—也收у; Z = 0,откуда-
?jA%二(一f2十z?=小总1广百于 У加出几
“=4“=4Направляющие косинусы силы найдем по (6):
“=4
“=4
-у； cosBF = }= — g COSYf=^=0.
Задача № 102. Мз орудия, стоящего на пер моря (рис. 160), выпущен снаряд массы т яг соЗадача № 102. Мз орудия, стоящего на пер моря (рис. 160), выпущен снаряд массы т яг соОтвет. Сила постоянна по величине и перпендикулярна к оси Oz. згу на высоте 30 м над уровнем скоростью 1000 м/сек под углом 30° к плоскости горизонта н под углом 60° к линии берега. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить точку, в которой упадет снаряд.
Задача № 102. Мз орудия, стоящего на пер моря (рис. 160), выпущен снаряд массы т яг со
Задача № 102. Мз орудия, стоящего на пер моря (рис. 160), выпущен снаряд массы т яг со
Решение. Единственной силой, действующей на снаряд во время полета, является его вес G~mg. По дашюй силе и по начальным данным (местополо- жение орудия и начальная скорость снаряда) надо определить движение снаряда и место его падения в морс. Задача отно- си1ся к обратным задачам динамики. Для ее решения надо составить и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения снаряда.. Задачу будем решать в единицах СИ. Построим систему координат, взяв за начало точку О, находящуюся под орудием на уровне моря. Ось Ох направим горизонтально, перпендикулярно к берегу в сторону моря, ось Оу —— вдоль берега, а ось Oz ——вертикально вверх.
Для составления дифференциальных уравнений движения надо знать проекции действующей силы на оси координат. На снаряд после вылета его из орудия действовала только одна сила тяжести G mg, направленная по вертикали вниз. Проекции действующей силы：
Х = 0; Y = 0; Z = —G.
Дифференциальные уравнения движения снаряда напишем в виде (127):
dvx сm寸0;dvx сm寸0;dvyт —dtdvyт —dt0,0,ттdvzdtdvzdt—а—а
dvx сm寸0;
dvx сm寸0;
dvyт —dt
dvyт —dt
0,
0,
т
т
dvzdt
dvzdt
—а
—а
Сокращаем на т, разделяем переменные:
^'х — 0； duy = 0; d% = —gd/,■
откуда, интегрируя, находим：
以=c\; Уy ^ С 2 ： %匸一g/十e3"，
Чтобы определить постоянные интеграции, подставим вместо i нуль, а вместо проекций скорости —их начальные значения 匸力十，vt)y и и。％, соответствующие мгновению Z — 0. Получим
& = %京 С2 H ^оу； Сз = %?.
Таким образом, три первые постоянные интеграции в нашей задаче равны проекциям начальной скорости снаряда. Чтобы определить числовые значения этих проекций, надо знать направляющие косинусы начальной скорости. Снаряд
был выпущен под углом 30° к плоскости горизонта, следовательно, угол у&, 0 начальной скорости с вертикалью равен 60°. Угол 卩办 °, по условию задачи, тоже равен 60°, cos а&, 0 определим из равенства единице Суммы квадратов направляющих косинусов:'
cos2 a^t о=1— cos? В巩 о — cos? 丫仃,о =万；cos 仪办 o^—^―・
Теперь нетрудно определить и проекции начальной скорости;
vOi х —500 ]/" 2; у0 —500; и。. z = 500.
Мы получили числовые значения постоянных интеграции:
Сх-500 /"2^707; С2r500; С3^500.
Подставляя эти значения постоянных в уравнения и выражая проекции скоростей по （63）, получим три новых дифференциальных уравнения:
否= 707;樂=500; J = 500-g/.
Разделив переменные и проинтегрировав, получим
x-707Z-L.c4:斤二50也*e5； z = 30S一号+ 以・
Для определения С4，。力 и Св подставим и в эти уравнения вместо ，его частное значение 0, а вместо х, у и г一нх частные значения х0, у0 и г0:
&кХ（）；。方丁儿；& = %（）•
При выбранной нами системе координат имеем х0 ~ 0; у（г：0; 2（）=十30 拙, следовательно, С4 — 0; С5 — 0; Cft---|-30.
Подставляя эти значения в уравнения, полученные после второго интегрирования, найдем кинематические уравнения движения снаряда:
尤= 707/； у = 500У; г^ЗО-Н500/-^-.
Чтобы определить положение точки, в которой снаряд упадет в море, надо знать продолжительность полета снаряда. Для этого приравняем нулю аппликату г, так как в мгновение, когда снаряд коснется моря, он будет находиться в плоскости хОу. Из уравнения
4,905/2 —500Z —30--0
находим два значения: /^101,6 сек и f——0,06 сек. Второе значение отбрасываем а первое подставляем в кинематические уравнения дг1ижения. Находим ответ.
Ответ, х = 71 831 м — 71,8 км; t/ — 50 800 м — 50,8 км; 2=0.
Из этого примера видно, что движение точки зависит не только от действ}^ющих сил, но и от начальных данных. Если бы начальная скорость нлп начальные координаты были иными, то и движение снаряда отличалось бы от полученного. Оно по-прежнему было бы равномерным по горизонтали и равнопеременным по вертикали; траекторией снаряда оставалась бы парабола, но она была бы иной и иначе расположенной; иной была бы и точка попадания. Полученные значения постоянных Сх, С2, .. ., С6 определены для данной задачи, и при этих значениях постоянных может быть только одно найденное нами решение. Эти постоянные величины вовсе не являются произвольными. Постоянные интеграции, являясь первоначальными значениями переменных, придают решению какой-либо задачи механики всю ту общность, какую она способна иметь.
Вариации постоянных интеграции**. Пусть движение какой-либо точки М массы т происходит под действием силы R Составив и проинтегрировав дифференциальные уравнения движения точки, определим постоянные интеграции С\, С2, ..., Се. Тогда, подставляя в полученные уравнения частные значения времени 九 мы можем определить положение точки /И во всякое данное мгновение. Пусть, например, в мгновение 左 координаты точки М равны 弘，zx. Если мы дадим постоянным интеграции бесконечно малые приращения 5cH 6С2, . . . произвольного знака и произвольной величины, называемые вариациями, то положение точки Л4 в то же мгновение * но при измененных постоянных интеграции С\ + 5С\, С2 + 6С2,..., будет иным. Точка М при неизменившемся времени получит бесконечно малое отклонение, координаты ее получат некоторые бесконечно малые приращения 5х“ буп 6zn называемые вариациями координат точки, при движении, определяемом величинами Сх, С2, ... постоянных интеграции.
Задача № 103 (26.16, 652 М). Движение точки весом 2 Г выражается уравнениями х~3 cos 2л/ см; y = 4sinn/ см, где / выражено в секундах. Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.
Решение. Задача относится к прямым задачам динамики: по данному движению точки надо определить действующую силу. Для ее решения продифференцируем дважды кинематические уравнения движения точки и, умножив на m найденные хну, получим X и 匕
Условие дано в технической системе единиц, и в этой задаче примем L в см, F в Г и Т в сек. Кинематические уравнения движения известны. Дифференцируя дважды, находим
х~ ——4门°3 cos 2л/ =——4门2%； у = —4л2 sin л/ ——冗2y.
2
Умножая массу т=^^ Г •см-1 •сек1 на проекции ускорения, найдем проекции силы в граммах. Чтобы перевести их в ньютоны, надо умножить число граммов на 0,00981.
Решим теперь эту же задачу в физической системе единиц. Принимать за основные единицы метр, килограмм и секунду в этой задаче нецелесообразно. Выразим L в сж, М в г и Т в сек.
В условии задачи дан вес точки G— 2 Г. Следовательно, ее масса т ~ 2 г. Умножая проекции ускорения на массу, выраженную в граммах, получим проекции силы в динах:
Х = —8冗2尤=—78,88% [дин];
У = —2712y = —19,72// [дин].
Чтобы выразить их в ньютонах, надо число дин поделить на 100000. Ответ. Х = —0,08х Г = —78,88* дин = —0,0007888% н;
Y = —0,02// Г = — 19,72у дин. = —0,0001972(/ н.
Обратим внимание на одно обстоятельство, которое легко усмотреть в только что решенной задаче. Определяя силу по заданному движению материальной точки, мы нашли, что движение произведено силой, являющейся функцией координат точки. Но мы могли бы выразить силу и как функцию времени. В самом деле, продиф-
ференцировав дважды кинематические уравнения движения и умножив вторые производные на mt найдем
Х = — 12mMeos 2欣；У = —4mn2 sin л/.
Так одно и то же движение может совершаться под действием
если точка движется в одной за плоскость хОу, можно опи-если точка движется в одной за плоскость хОу, можно опи-УУразлично выраженной силы.
если точка движется в одной за плоскость хОу, можно опи-
если точка движется в одной за плоскость хОу, можно опи-
У
У
Из этого же примера видно, что плоскости, то, приняв эту плоскость сать движение точки системой первых двух дифференциальных уравнений движения (126‘)； третье же дифференциальное уравнение становится лишним.
Задача № 104. Найти плоскую траекторию точки Л! массы т, притягиваемой к неподвижному центру О с силой, пропорциональной расстоянию г и равной k^mr, при следующих начальных данных:
/0 =。； x()= 。； д0 =。；u0* = °； Уоу ~ ^о-
Решение. Задача относится к обратным задачам динамики: по заданной силе определить движение. Точка М описывает плоскую траекторию, и нам понадобятся только
два уравнения движения..
Если в какое-либо мгновение t точка М имела координаты х и // и находилась от центра на расстоянии ОМ ^yx2~]-yz (рис. 161), то проекции силы на
оси координат:
—卜?tnx;—卜?tnx;X = — A2mr cos a ~ — ^2mr —=
—卜?tnx;
—卜?tnx;
у = — ^2mr cos (3 — — k2mr ~=^— l^my.
Дифференциальными уравнениями движения точки являются:
didt
Сократим на ffi и умножим первое из уравнений на % df = dx, а второе—на 屮由-dy:
их dvx = — k-x dx; Vy dVy — — k2y dy.
Интегрируем и умножаем на 2：'
и^=—左2炉 + C*I； Vy ~ —左2g2 + Cg.
Для определения постоянных интеграции С\ и С2 подставляем в эти уравнения вместо переменных величин их начальные значения:
0 =一左202+e1； * =+0》
Значения постоянных вносим в уравнения, одновременно выражая vx и % по (63):
?№(”一■炉)；(噜Y =涓
Извлекаем квадратные корни, разделяем переменные н интегрируем:
d* =.=后 f 力+6?3； arcsin — = ^ + C3;p废-九？ J。
=々(山+&; arcsin ~ = kt
Для определения постоянных интеграции С3 и С4 подставляем в эти уравнения вместо переменных величин /, х и 夕 их начальные значения:
arcsin 1 — С3; arcsin О — С4.
Следовательно,'
е3 =皆；以二0.
Эти значения постоянных интеграции вносим в уравнения:
arcsin — =； arcsin — y~kt.
а 2о。
откуда
Мы получили кинематические уравнения движения (58) точки в декартовых координатах. Чтобы определить траекторию, надо из них исключить время. Возводя в квадрат и складывая, получаем уравнение траектории
Ответ. Эллипс с полуосями а и .
В еще более частном случае, когда сила имеет постоянное направление, а начальная скорость направлена по силе или равна нулю, движение точки прямолинейно. Направив ось Ох по этой траектории, мы обойдемся первым нз уравнений (126), которое и нужно интегрировать, чтобы получить закон (58‘) искомого движения точки. При этом нельзя забывать, что под X мы понимаем не силу, а ее проекцию F cos а, которая в данном случае по величине равна модулю силы. Если а = 0, то сила направлена в сторону положительной оси Ох, и тогда X > 0. Если же a — л, то сила направлена в сторону отрицательного направления оси Ох, тогда X < 0. Более подробно такой случай рассмотрен в § 39.
Падение в сопротивляющейся среде
Задача № 105. Определить для мгновения / скорость тяжелого тела, падающего без начальной скорости и испытывающего сопротивление, пропорциональное квадрату скорости: R = mgk2.
Решение. Предположим, что тело начинает падать из начального положения О, и направим вниз из точки О ось Ох. Так как движение прямолинейное, то для его определения достаточно первого уравнения (126). На падающее тело действуют
две силы: 1） постоянная сила G~mg, направленная в положительную сторону оси 0%, и 2） переменная сила R = mgk2v2, являющаяся функцией скорости; она возрастает пропорционально квадрату скорости и направлена против скорости, а следовательно, против положительного направления оси Ох. Имеем
Yl…dx
m 石=X —mg —加g/e%?, где yx — — = у.
Перепишем это уравнение, сократив его на 加: 肛g（i呀
Из этого уравнения видно, что падение не может быть равноускоренным, что по мере возрастания скорости сила сопротивления увеличивается, правая часть уравнения уменьшается и ускорение стремится к нулю.
Разделим переменные:
dv -
ИЛИ
（1 + 团）（1一 Au） =8
Чтобы взять интеграл, перемножим соответственно левые и правые части этого уравнения и следующего выражения:
ТогдаТогда^［（］ +也）十（1-红）］ = 2 財^［（］ +也）十（1-红）］ = 2 財kdv . kdvс,+ g~「=gd/・2冗1 +如 1 -kvkdv . kdvс,+ g~「=gd/・2冗1 +如 1 -kvилиилиПроинтегрируем:Проинтегрируем:kdv ,1 4■也子kdv ,1 4■也子1 --kV J1 --kV JIn （1 4■如）一In （1 —kv） = 2kgt + C-In （1 4■如）一In （1 —kv） = 2kgt + C-
Тогда
Тогда
^［（］ +也）十（1-红）］ = 2 財
^［（］ +也）十（1-红）］ = 2 財
kdv . kdvс,
+ g~「=gd/・2冗
1 +如 1 -kv
kdv . kdvс,
+ g~「=gd/・2冗
1 +如 1 -kv
или
или
Проинтегрируем:
Проинтегрируем:
kdv ,1 4■也子
kdv ,1 4■也子
1 --kV J
1 --kV J
In （1 4■如）一In （1 —kv） = 2kgt + C-
In （1 4■如）一In （1 —kv） = 2kgt + C-
Постоянную интеграции С определим по начальным данным： при f = 0 имеем и0 —0, а следовательно, С —0.
Разность логарифмов есть логарифм частного, поэтому
In
1 + kv
1 一々и
или
Далее,
1kv
1 十配二（1—依）dhgJdhgtfihgt； 屈（1十卢宓门）一（—1十？?收f）；
k （1十产幻）
Это уравнение позволяет определить скорость падающего тела во всякое данное мгновение 九 Оно уточняет известную формулу u = gt, так как здесь учтено и сопротивление воздуха.
Ответ:
//egf— 1
々（匚可而广
Движение точки можноописать в проекциях на осиестественного трехгранникадвумя уравнениями:тДвижение точки можноописать в проекциях на осиестественного трехгранникадвумя уравнениями:тm —=卜 nm —=卜 nДифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Эйлера.
Движение точки можноописать в проекциях на осиестественного трехгранникадвумя уравнениями:
т
Движение точки можноописать в проекциях на осиестественного трехгранникадвумя уравнениями:
т
m —=卜 n
m —=卜 n
ные оси — уравненияминые оси — уравнениямиВ кинематике мы изучали три способа определения движения точки: 1) векторный, 2) в прямоугольных координатах, 3) естественный. Соответственно и в динамике мы можем определить движение точки по заданным силам (или силы по заданному движению) векторным уравнением (125), в проекциях на прямоуголь- (126), а также естественными уравнениями
ные оси — уравнениями
ные оси — уравнениями
движения. Из многих форм уравнений движения эти три применяют
наиболее часто.
Проецируя ускорение на оси естественного трехгранника, мы нашли '(см. § 23), что проекции ускорения на касательную aTl на главную нормаль aN и на бинормаль аь выражаются следующими формулами:
做=万；ab~0
составляющих полное ускорение имеет только две. направлена по ускорению точки, а следовательно,составляющих полное ускорение имеет только две. направлена по ускорению точки, а следовательно,и вместо трех Но сила всегда
составляющих полное ускорение имеет только две. направлена по ускорению точки, а следовательно,
составляющих полное ускорение имеет только две. направлена по ускорению точки, а следовательно,
здесь F N - двумя(128)здесь F N - двумя(128)проецируя силу на оси естественного трехгранника, мы и получим только две составляющие (%—на касательную и на главную нормаль) и определим движение точки только уравнениями :
здесь F N - двумя
(128)
здесь F N - двумя
(128)
=&，
Задача № 106. Горнолыжник в конце склона развил скорость 54 км]% после чего свободно скользил по горизонтальному прямолинейному участку пути. Определить длину и время свободного скольжения, если коэффициент трения лыж по снегу /' = 0,051.
Решение. В задаче примем единицы СИ; тогда вес лыжника, выраженный в ньютонах, G — 9,81 -т, где tn ——его масса в ка. Задача является обратной задачей динамики, так как требуется определить движение по заданной силе Frp~ffG. Достаточно одного первого из уравнений (128), потому что движение прямолинейное： Проекция силы имеет отрицательный знак, так как сила трения направлена против скорости, а скорость направлена в положительном направлении (в сторону возрастания расстояния):.>
m "^п—0,051т-9,81.
Сокращаем на m и разделяем переменке：
du= — 0,051 ・9,8Mf =—0,50d/. Интегрируем:
u = _0,50/+&.
Чтобы определить постоянную &, подставим вместо f нуль, а вместо ”一началь- ^54-1000，
ное значение скорости 飞百前- =}5 м/сек:
15 = —0,50.0 + Cj.'
Подставляя это значение Сх в уравнение, полученное после интегрирования, и заменяя и но (53), получим повое дифференциальное уравнение:
万=15".
Разделив переменные и проинтегрируем:
s= 15/s= 15/0,50/2 ( с▼""十 2.0,50/2 ( с▼""十 2.
s= 15/
s= 15/
0,50/2 ( с
▼""十 2.
0,50/2 ( с
▼""十 2.
В начальное мгновение лыжник не прошел еще никакого расстояния по горизонтальному участку, а потому С2 = 0. Время скольжения до остановки опреде-
”им, положив в уравнении, полученном для скорости, ^- = 0:
15 — 0,50/ — 0( откуда / ^30.
Подставляя это значение / в последнее уравнение, найдем длину свободного скольжения.
Ответ. Время скольжения 30 сея, длина 225 м.
Задача № 107, Маятник Борда для определения ускорения свободно падающих тел представляет собой латунный шарик массой 200 а, подвешенный на очень тонкой проволоке длиной 100 см. При качании шарик в наинизшег4 положении имеет скорость 8 см/сек. Определить натяжение проволоки в ее нижнем конце при наинизшем положении маятника.
Решение. В задаче применена физическая система единиц. Примем L в см, М в г, Т в сек.
Задача относится к прямим задачам динамики. Чтобы по данному движению латунного шарика, принимаемого за материальную точку, определить действующую силу, напишем второе из естественных уравнений движения материальной точки (128). В наинизшем положении на шарик действует сила натяжения проволоки, проекцию которой Т будем считать положительной, так как она направлена внутрь траектории, и сила тяжести G = 200-981 @ua> проекцию которой будем считать отрицагельной:
P
илн, подставляя числовые значения,
64
200-—- = Г—196 200, откуда получаем ответ.
Ответ. Г = 196 328 дан= 1,96328 н.
Уравнения движения точки в полярных
Движение точки в плоскости можно описать двумя уравнениями в полярных координатахный радиус-вектор равнаДвижение точки в плоскости можно описать двумя уравнениями в полярных координатахный радиус-вектор равнакоординатах**. В ряде задач бывает удобно исследовать движение точки в полярных координатах. Примем без доказательства, что проекция ускорения точки на поляр- (/• ——厂屮2), а на перпендикулярное направ
Движение точки в плоскости можно описать двумя уравнениями в полярных координатах
ный радиус-вектор равна
Движение точки в плоскости можно описать двумя уравнениями в полярных координатах
ный радиус-вектор равна
ление равна (г(р + 2г(р). Помножив на массу эти проекции ускоре
ния точки и приравняв проекциям силы, напишем дифференциальные
уравнения движения точки в полярных координатах:
(129)(129)т (г— г ср2) = F「
(129)
(129)
т (r(p + 2r(p)=尸。
Движение материальнойсистемы, состоящей из пточек, может быть опре-делено системой Зл диффе-ренциальных уравненийДвижение материальнойсистемы, состоящей из пточек, может быть опре-делено системой Зл диффе-ренциальных уравненийДифференциальные уравнения движения точек материальной системы. Пусть имеется материальная система, состоящая из п материальных точек. Для каждой из этих точек мы можем написать по три дифференциальных уравнения движения:
Движение материальнойсистемы, состоящей из пточек, может быть опре-делено системой Зл диффе-ренциальных уравнений
Движение материальнойсистемы, состоящей из пточек, может быть опре-делено системой Зл диффе-ренциальных уравнений
где mk——масса 岳й точки,芜左，yk и zk——проекции ее ускорения, а X加 Yk и Zk——проекции равнодействующей всех сил, приложенных к этой точке (й = 1, 2, 3, ..., п).
Далеко не всегда действующие силы бывают известны. Обычно остаются неизвестными внутренние силы. Для вывода некоторых общих теорем динамики и при решении некоторых частных задач бывает удобным выделить внутренние силы уже при написании дифференциальных уравнений движения.
Рассмотрим сначала одну из материальных точек системы, например точку с индексом 1 (々=1), и распределим все силы, приложенные к этой точке, на две группы: внешние и внутренние. Сложив все внешние силы, действующие на эту точку, получим их равнодействующую 尸;，а сложив все внутренние, получим равнодействующую внутренних сил FJ Проекции этих сил обозначим X；, У：, Z： и %i, Yj, Z； '
Аналогично поступим с силами, приложенными к остальным точкам, и заменим в написанных выше уравнениях проекции равнодействующей Xk суммой Х£ + Х£; то же сделаем по двум другим осям. Тогда дифференциальные уравнения примут вид:
т/к = Х^ + Х%; \
加/=噴 +吸；｝азо)
где 女=1, 2,..几. ‘
Следовательно, движение свободной механической системы, состоящей из п материальных точек, определяется системой Зп дифференциальных уравнений второго порядка.
Если система не свободна, а на нее наложены связи, выражающие некоторую зависимость между координатами точек механической системы, то бывает возможным сократить число дифференциальных уравнений движения, о чем будет подробнее сказано в § 52 п § 53.
В ряде случаев оказывается целесообразным разделить все силы, действующие на материальные точки механической системы на две категории по иному признаку, а именно на активные силы и реакции связей. Как уже было сказано, реакции связей часто зависят
от движения системы и не могут быть найдены, пока не определено движение системы. Обозначая проекции равнодействующей всех активных сил, действующих на 历ю точку, Х£, У^ и Z^ а проекции равнодействующей всех реакций связей, приложенных к fe-й точке, X，，У{ и Z%, получим:
恤尤尼н х^ + Х^;]
加^=嗯+胃；卜(130‘)
mkzk = Z^^r Z^,丿
где 々=1, 2, . . ., п.
Во всем нашем курсе (если это специально не оговорено) рассмотрены только свободные механические системы и механические системы с идеальными связями. Понятие идеальных связей нам уже встречалось в статике (см. § 4) и будет уточнено в динамике (см. § 51).
В дальнейшем из дифференциальных уравнений (130) и (130') мы выведем общие теоремы динамики таких материальных систем.
Решение многих проблем по динамике механических систем сопряжено с большими трудностями математического характера. Интегрирующие машины в очень многих случаях дают возможность преодолеть эти трудности.'
§ 39*. КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
” В качестве примера интегрирования дифК исследованию колебании ференциальных уравнений движения рас- могут быть сведены многие смотрим колебания материальной точки, технические задачи Еще совсем недавно изучение колебаний не входило в программу курсов теоретической механики высших учебных заведений. Но необходимость создания новых методов расчета всевозможных машин и различных сооружений, обладающих большой прочностью при небольшом весе, а также необходимость увеличения скоростей и производительности машин стимулировали быстрое развитие раздела динамики, называемого теорией колебаний. Раздел, посвященный колебаниям, включен теперь во все программы по теоретической механике. В нашем курсе колебаниям посвящены § 39 и § 53..
С основами явлений колебаний удобно ознакомиться сперва на примере, колебания одной материальной точки. Изучение вибраций одной материальной точки интересно также и потому, что к вибрации точки могут быть непосредственно приведены многие практически важные задачи.
Пусть точка М массы т притягивается к точке О силой 尸，пропорциональной (рис. 162) расстоянию ОМ, а начальная скорость точки М направлена по прямой ОМ или равна нулю. В таком случае точка М будет двигаться по прямолинейной траектории, вдоль которой мы направим ось 芜.Начало координат возьмем в точке О (в равповесном положении). Сила F как бы стремится вернуть точку М
в равновесное положение О, за что ее называют восстанавливающей силой. Примером такой силы могут служить сила упругости стержня, совершающего малые колебания, или равнодействующая сил веса G и натяжения Т нити при малых колебаниях маятника ит. п. Чем больше координата 芜，тем больше величина этой силы. Вместе с тем сила
УО F R М 戸—Mt^i・"W・・“n争■*j^aУО F R М 戸—Mt^i・"W・・“n争■*j^a(точнее говоря, ее проекция на ось Ох) по знаку всегда противоположна знаку координаты х. В самом деле, если точка М находится справа от Е начала координат О, то координата % положительна, а сила направлена в отрицательную сторону, и наоборот,
У
О F R М 戸
—Mt^i・"W・・“n争■*j^a
У
О F R М 戸
—Mt^i・"W・・“n争■*j^a
если координата х отрицательна, то
Рн& 162восстанавливающая сила направлена
в положительную сторону. Обозначив коэффициент пропорциональности между силой и расстоянием через с (причем с > 0), выразим восстанавливающую силу формулой
сх.сх.(131)
сх.
сх.
Пусть на точку Л4 во время ее движения действует сила сопротивления R, пропорциональная скорости точки и направленная против скорости. Таким образом, если точка М движется вправо (х > 0), то сила сопротивления направлена влево (/? < 0), ”，наоборот, если х < 0, то R〉0. Обозначив коэффициент пропорциональности через а (причем а > 0), мы определим силу сопротивления (выражаясь точнее, ее проекцию на ось Ох) формулой
R 二二—a芜.(132)
Кроме того, пусть на точку М действует возмущающая сила Р, т. е. некоторая дополнительная сила, вызывающая изменение движения, обусловленного основной силой F. Возмущающая сила направлена по прямолинейной траектории точки М и, периодически изменяя свою величину и знак, раскачивает точку Л4 то в ту, то в другую сторону. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая и предположим, что сила Р изменяется с течением времени по закону синуса:
P = //sin"九(133)
Очевидно, что сила Р изменяется в пределах от +" по —Н. Пример такой силы приведен в задаче № 110.
Напишем дифференциальное уравнение движения точки /И:
тх = F + R~\- Р или тх = —сх—ах + Н sin pt.
Разделив обе части уравнения на in, введем обозначения
2 = /#; * = 2〃； —- == h(134)
и перенесем члены, содержащие % или его производные, влево: %4-2nx + &2x^/isin pt.(135)
Мы имеем неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из: 1) общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения (135) без правой части, и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (135).
Для интегрирования уравнения
х+ 2пх + k2x = 0
составим характеристическое уравнение
Z2 ^-2п2 一卜左2 = 0.
Если п < й («малое сопротивление»), то характеристическое уравнение имеет комплексные корни:
人= —n^iV 岳一/г2,
и общее решение однородного уравнения имеет вид
х = еcos ]尸依一外 / С2 sin j/炉一n2 /),(136)
где & и С2 — постоянные интегрирования. Эти постоянные можно определить лишь после того, как будет получено частное решение неоднородного уравнения (135).
Частное решение неоднородного уравнения (135) при p=^k будем искать вида
芜=В sin (pt — б).
Подберем такие 匸осто^ннме В и 5, при которых написанное выражение удовлетворяет уравнению (135). Найдем первую и вторую производные от 芜 по времени:
х = Bp cos (pt — 6); х = — Bp2 sin (川一6)
и подставим в (135) написанное выражение 芜 и его производных: ——Bp2 sin (р/ ——6) + 2几Bp cos (〃/ ——б) + 左2В sin (〃Z ——б) — h sin pt.
Преобразуем правую часть этого равенства:
hs\n pt —/isin (pt — 5 + 6) = /i sin (pf —6) cos 5 + % cos (pt — 6) sin 6.
Перенеся все члены влево и собирая члены, содержащие sin(〃f — 6) и cos (pt—б), получим
[В (依一户)一ft cos 5] sin (* —6) + (2B/?p—/isin 6) cos(p/ — б) = 0.
Это равенство обращается в тождество, если.
8 (々2 — р2)= ft cos б; 2Впр = h sin 6, или
y(底一户)2+4般户 ь »一рТ ,
Складывая общее решение (136) однородного уравнения с найденным частным решением неоднородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения (135) в таком виде:
х = е (С\ cos Уkz—〃寸 + С2 sin J/%? — /г2 /) -J- +W^w=^U38)
Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил 尸广 R и Р, выражаемое уравнением (138), рассмотрим более простые движения, которые точка совершала1 бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какой- либо^ одной из двух остальных R или Р.Свободные колебания без сопротивления. Предположим, что на материальную точку М (см. рис. 162 hq стр. 274) действует только восстанавливающая сила (131), сила же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная !лена по прямой МО или равна нулю.Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил 尸广 R и Р, выражаемое уравнением (138), рассмотрим более простые движения, которые точка совершала1 бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какой- либо^ одной из двух остальных R или Р.Свободные колебания без сопротивления. Предположим, что на материальную точку М (см. рис. 162 hq стр. 274) действует только восстанавливающая сила (131), сила же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная !лена по прямой МО или равна нулю.Точка, движущаяся по прямой, совершает под дейст-Точка, движущаяся по прямой, совершает под дейст-виемвиемвосстанавливающейвосстанавливающейсилы гармоническое колеба-ниесилы гармоническое колеба-ниеТОЧКИ МТОЧКИ М
Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил 尸广 R и Р, выражаемое уравнением (138), рассмотрим более простые движения, которые точка совершала1 бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какой- либо^ одной из двух остальных R или Р.
Свободные колебания без сопротивления. Предположим, что на материальную точку М (см. рис. 162 hq стр. 274) действует только восстанавливающая сила (131), сила же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная !лена по прямой МО или равна нулю.
Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил 尸广 R и Р, выражаемое уравнением (138), рассмотрим более простые движения, которые точка совершала1 бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какой- либо^ одной из двух остальных R или Р.
Свободные колебания без сопротивления. Предположим, что на материальную точку М (см. рис. 162 hq стр. 274) действует только восстанавливающая сила (131), сила же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная !лена по прямой МО или равна нулю.
Точка, движущаяся по прямой, совершает под дейст-
Точка, движущаяся по прямой, совершает под дейст-
вием
вием
восстанавливающей
восстанавливающей
силы гармоническое колеба-ние
силы гармоническое колеба-ние
ТОЧКИ М
ТОЧКИ М
В таком случае точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох), дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы получим, положив в (135) и в (138)匕 и % равными нулю. В самом деле, если сила сопротивления 7?=0, то, следовательно, а = 0, потому что R =——а芜 и 芜 переменная величина. Если же а — 0, то равно нулю и п, которое согласно (134) равно ^ . Аналогично, равенство нулю возмущающей силы означает, что равны нулю Huh.
В таком случае уравнение (135) принимает вид
л； + 4х = 0,(139)
а его интеграл
x^Cr cos kt + C2-sin kt.(140')
Этому уравнению придадим более удобный вид, для чего выразим постоянные интегрирования С、и С2 через две другие постоянные величины Л и Р, однозначно связанные с & и С2 соотношениями
& = 4 sin [3 и С.^ A cos р.(140")
Тогда
х= Asm (kt + Р).(140)
Это уравнение является одним из важнейших уравнений в теории колебаний и описывает наиболее простое колебательное движение, называемое гармоническим. Еще в древности было известно, что если некоторая точка ЛГ (рис. 163) равномерно движется по окружности радиуса О'ЛГ = 4 со скоростью kA, то проекция М этой точки на какую-либо ось Ох, лежащую в плоскости окружности, совершает гармонические колебания. Мы воспользуемся рис. 163, чтобы нагляднее ознакомить читателя с параметрами гармонического колебания.
Если точка Mf опишет полную окружность, то точка /И совершит одно полное колебание.
Время одного полного колебания точки в течение которого точка М' описывает одну полную окружность) называют периодом колебаний.
Угловая скорость 幺 с которой поворачивается радиус-вектор О'ЛГ при равномерном движении точки ЛГ, равна циклической, круговой или угловой частоте колебаний точки М. Эту величину обычно коротко называют частотой, хотя, как будет видно из дальнейшего, оба понятия не вполне идентичны.
Период и угловая частота связаны простым соотношением, которое становится
очевидным, если учесть, что т0—это время, в течение которого 0гМ\ вращаясь с угловой скоростью 居 поворачивается на 2п:
% 工丁 И = —,(141)
или ввиду (134)
?.(142)
Период имеет размерность времени
Частота имеет размерность угловой скорости
肉= T~i.
Из (141) видно, что круговая частота 々 равна числу полных колебаний, совершаемых в 2л 。曰匚 Уастота v колебаний пропорциональна круговой (циклической, угловой) частоте k и равна В технике и в физике частоту обычно измеряют в герцах (ец). I гц — частота, равная одному полному колебанию (циклу) в секунду. Иначе говоря, герц есть частота такого периодического процесса, который повторяется каждую секунду. Обратите внимание на то, что частота и период гармонических колебаний зависят от массы точки и коэффициента с восстанавливающей силы и не зависят от начальных данных.
Максимальное отклонение 4 точки М от среднего (равновесного) положения О в ту или в другую сторону (или, что то же, радиус круговой траектории точки М') называют амплитудой. Амплитуду измеряют в единицах длины:、
Аргумент синуса (左f + р) называют фазойг колебания, а 0 ——начальной фазой. Физический смысл фазы колебания выявляется при
сравнении двух колебаний с одинаковыми частотами, но с разными начальными фазами. Колебание с фазой (々％ + 0) опережает колебание с фазой kt, а колебание с фазой (々f ——0) отстает от него (разумеется, при поло?кителыюм В).
Напомним, что 4Hp являются постоянными интеграции, а следовательно, их определяют по начальным данным. Пусть в начальное мгновение f = 0, х = х0 и х~х0. Продифференцировав (140) по времени, получим х= Лйсоз (й^ + В), и подставляя начальные значения:
х0 = Л sin р и / = 4^cos 艮
'получим
4
Из техtgB =々旦.尤0
же равенств можно определить и начальную Амплитуда и начальная фаза зависят от частоты
(143) фазу
И от
начальных данных.
Задача № 108 (32. 2, 826 М). Груз весом 2 Т подвешен на тросе (рис. 164).- При равномерном спуске груза со скоростью у — 5м/сек произошла неожиданная задержка верхнего конца троса вследствие защемления троса в обойме блока.
Пренебрегая весом троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса с =4 Т[см.
Решение. Примем следующие единицы измерений: длина—в см, время — в сек, сила ——в Т. Рассмотрим движение груза. На груз действуют две силы: вертикально вниз вес груза 27, вертикально вверх — натяжение троса. Груз спускался равномерно, следовательно, до защемления натяжение троса равнялось весу груза. В этом равновесном положении его застала авария. После защемления троса груз не остановился мгновенно. В это мгновение он имел скорость 5 м/сек и продолжал опускаться. Но по мере опускания груза сила натяжения троса
возрастала от своего груза направлено по му опускание груза мгновение скорость направленной вверх,
начального значения 2T. Ускорение силе и пропорционально ей. Поэто- было замедленным и в некоторое груза, перейдя через нуль, стала в направлении силы и ускорения.
Движение вверх было ускоренным, но по мере того как груз
поднимался, растяжение троса, а следовательно, и его натяжение уменьшались, а потому уменьшалось ускорение груза, скорость же продолжала увеличиваться до момента прохождения через равновесное положение. После этого груз, набрав скорость, продолжал подниматься, но замедленно, так как натяжение троса стало меньше силы веса и равнодействующая приложенных к грузу сил была направлена вниз. Затем скорость стала равной нулю, груз начал падать вниз, натяжение троса возрастало и движение повторялось снова неопределенное количество раз.
Начало О системы отсчета выберем обязательно в равновесном положении груза, относительно которого происходят колебания, направив ось Ох вертикально вниз (рис. 164). В начальное мгновение (в момент защемления троса) было: х0 -- 0; х0 — 500 см/сек. Квадрат круговой частоты определим по (134). После подстановки с4-981
в формулу А2 = — имеем /г2 — ―• Определим амплитуду по формуле (143):
Л =
5002
Таким образом, при равновесном положении груза натяжение троса равно 2Т; когда же груз опустился на одну амплитуду, то трос растянулся еще на 11,28 см, а при жесткости троса в 4 77cM натяжение его увеличилось еще на 45,12 Т.
Ответ. 47,1 Т.
Натуральный логарифм отно-Натуральный логарифм отно-шения двух последующих амплитуд затухающих колебаний называют логарифмическим декрементомшения двух последующих амплитуд затухающих колебаний называют логарифмическим декрементомСвободные колебания с сопротивлением.
Натуральный логарифм отно-
Натуральный логарифм отно-
шения двух последующих амплитуд затухающих колебаний называют логарифмическим декрементом
шения двух последующих амплитуд затухающих колебаний называют логарифмическим декрементом
Движение под действием восстанавливаю-
щей силы и силы сопротивления будем называть свободными колебаниями. Мы только что убедились, что свободные колебания без сопротивления являются гармо
ническими и, раз возникнув, они повторялись бы до тех пор, пока
их не прекратила бы или не изменила бы какая-нибудь внешняя сила. Пусть возмущающая сила отсутствует (Р ~ О, Я = 0, /г = 0); а на точку
действуют силы F = ——сх (135) движения точки Мдействуют силы F = ——сх (135) движения точки Муравнениеуравнение(144)(144)и R =——а尤.Дифференциальное принимает вид
действуют силы F = ——сх (135) движения точки М
действуют силы F = ——сх (135) движения точки М
уравнение
уравнение
(144)
(144)
芜+ 2几芜+々2尤=0,
а его интеграла его интегралполучим, положив в (138) Л 0:
а его интеграл
а его интеграл
х = £-"〔(& cos У 依—九2 / + & sin У fe2 — 7户 t)
или, если воспользуемся соотношениями (140),
芜=Ae~ul sin (К炉一〃2 / + р).(145)
Постоянные 4Hp определяют по начальным данным.
Наиболее существенное отличие уравнения (145) от уравнения (140), иначе говоря, наиболее существенное изменение в свободном колебании точки Mf внесенное наличием силы сопротивления, заключается в множителе e^nt, который с течением времени непрерывно уменьшается, вследствие чего амплитуда Ae~nt колебаний с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к нулю. Такое колебание называют затухающим.
Переходя к определению периода затухающих колебаний, обратим внимание на то, что вообще периодом периодического движения называют промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки (или системы) через одно и то же положение в одном и том же направлении. В случае затухающих колебаний только равновесное положение удовлетворяет такому определению периода, через всякое же другое положение точка М (или любая система, совершающая затухающие колебания) проходит через неравные промежутки времени (см. рис. 165). Поэтому под периодом затухаюищх'колебаний понимают промежуток времени xL между двумя последовательными прохождениями точки М (или системы) через положение равновесия в одинаковом направлении. В таком же смысле колебания, описываемые уравнением (145), могут быть названы изохронными. Период затухающих колебани!! можно определить по формуле
2лh^2-л2
Проф. И. М. Бабаков в учебнике «Теория колебаний» дует для практических расчетов более удобную формулу:
рекомен-
(146‘)
увеличи-увеличи-Сравнивая (141) и (146), мы видим, что сопротивление вает период свободных колебаний, но незначительно.Сравнивая (141) и (146), мы видим, что сопротивление вает период свободных колебаний, но незначительно.
увеличи-
увеличи-
Сравнивая (141) и (146), мы видим, что сопротивление вает период свободных колебаний, но незначительно.
Сравнивая (141) и (146), мы видим, что сопротивление вает период свободных колебаний, но незначительно.
Гораздо больше оно влияет на убывание амплитуд. Так, например, при 冷=0,05 сопротивления увеличивают период на 0,125%, а амплитуда за время одного полного колебания уменьшается более чем на 25%. На рис. 165 изображен график затухающих колебаний для случая 孔= 0,05 幺 позаимствованный из «Лекций» проф. Е. Л. Миколаи.
Отношение абсолютных значений
(147)(147)
(147)
(147)
двух отклонений точки от равновесного циентом затухания:
Ae~ni
последовательных амплитудных положения называют коэффи-
Ле
Для характеристики быстроты убывания амплитуды удобнее пользоваться натуральным логарифмом коэффициента затухания, называемым логарифмическим декрементом колебаний L
(147‘)(147‘)6Ут屮一 * .
(147‘)
(147‘)
На рис. 165 пунктиром изображены кривые, уравнения которых х=^ A e~nt и х =——Ае~пх. График затухающих колебаний расположен между этими двумя кривыми и поочередно их касается.
Задача № 109. Маятник, масса которого равна 1 кг и воздушной среде т0= I сек, заставили качаться в среде, закону R=——2х н. Определить: 1) период затухающих 2) уменьшение амплитуды в течение трех периодов.Решение. Определим параметры колебаний.Круговая частота. Период т0~ 1 сек =^、откуда k- Коэффициент а = 2;『几=1； 2孔=糸,откуда 〃=1.Задача № 109. Маятник, масса которого равна 1 кг и воздушной среде т0= I сек, заставили качаться в среде, закону R=——2х н. Определить: 1) период затухающих 2) уменьшение амплитуды в течение трех периодов.Решение. Определим параметры колебаний.Круговая частота. Период т0~ 1 сек =^、откуда k- Коэффициент а = 2;『几=1； 2孔=糸,откуда 〃=1.период качания в без- сопротивляющейся по колебаний маятника ипериод качания в без- сопротивляющейся по колебаний маятника и2л」6,28.2л」6,28.Период затухающих колебаний qПериод затухающих колебаний q2n2nУ!匸7FУ!匸7F|~|^ 1,0129 сек, или по (146'),|~|^ 1,0129 сек, или по (146'),Т]=]十 ! з = ],0]27. Логарифмический декремент. Коэффи-7о,УэЬо22丄、циент затухания 屮=6? =1,648721.Т]=]十 ! з = ],0]27. Логарифмический декремент. Коэффи-7о,УэЬо22丄、циент затухания 屮=6? =1,648721.
Задача № 109. Маятник, масса которого равна 1 кг и воздушной среде т0= I сек, заставили качаться в среде, закону R=——2х н. Определить: 1) период затухающих 2) уменьшение амплитуды в течение трех периодов.
Решение. Определим параметры колебаний.
Круговая частота. Период т0~ 1 сек =^、откуда k- Коэффициент а = 2;『几=1； 2孔=糸,откуда 〃=1.
Задача № 109. Маятник, масса которого равна 1 кг и воздушной среде т0= I сек, заставили качаться в среде, закону R=——2х н. Определить: 1) период затухающих 2) уменьшение амплитуды в течение трех периодов.
Решение. Определим параметры колебаний.
Круговая частота. Период т0~ 1 сек =^、откуда k- Коэффициент а = 2;『几=1； 2孔=糸,откуда 〃=1.
период качания в без- сопротивляющейся по колебаний маятника и
период качания в без- сопротивляющейся по колебаний маятника и
2л」6,28.
2л」6,28.
Период затухающих колебаний q
Период затухающих колебаний q
2n
2n
У!匸7F
У!匸7F
|~|^ 1,0129 сек, или по (146'),
|~|^ 1,0129 сек, или по (146'),
Т]=]十 ! з = ],0]27. Логарифмический декремент. Коэффи-
7о,УэЬо22
丄、
циент затухания 屮=6? =1,648721.
Т]=]十 ! з = ],0]27. Логарифмический декремент. Коэффи-
7о,УэЬо22
丄、
циент затухания 屮=6? =1,648721.
1 От латинского слова decrementum—убавление, поэтому иногда встречающееся выражение «декремент затухания» совершенно неправильно.
Под действием восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает сложное колебание, являющееся результатом наложения трех гармонических колебаний:Под действием восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает сложное колебание, являющееся результатом наложения трех гармонических колебаний:свободного, сопровождаю-щего свободного и вынуж-денногосвободного, сопровождаю-щего свободного и вынуж-денногопротивления:工十炉尤=h sinпротивления:工十炉尤=h sin(148)(148)
Под действием восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает сложное колебание, являющееся результатом наложения трех гармонических колебаний:
Под действием восстанавливающей и возмущающей сил точка совершает сложное колебание, являющееся результатом наложения трех гармонических колебаний:
свободного, сопровождаю-щего свободного и вынуж-денного
свободного, сопровождаю-щего свободного и вынуж-денного
противления:
工十炉尤=h sin
противления:
工十炉尤=h sin
(148)
(148)
Отношение каждого максимального отклонения к последующему (через полпе*
риода) равно коэффициенту затухания, следовательно, если амплитуду при первом
размахе принять за 1, то следующие уменьшаются в отношении —.
Ответ. тх^ 1,01 сек\ Лх 1; Л2--0,603； 4厂二0,367；片$ = 0,222;片；= 0,13 4; 片$「0,081.
Вынужденные колебания без сопротивления. Пусть на точку М, движущуюся по оси Ох, действуют две силы ——восстанавливающая F =^~сх и возмущающая Р = —Н sin pf, направленные также по оси Ох. Величина pf может быть названа-фазой
силы, постоянную р назовем круговой частотой возмущающей силы, а период этих изменений обозначим через т. Дей
ствие сопротивления мы пока не учитываем, поэтому, положив в уравнении (135)几=0, получим следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без со
Чтобы найти решение этого уравнения, надо в (138) положить равным нулю не только п, но и 6, так как согласно (137) 5 = 0 при 几=0. Имеем
х = Сх cos kt + С2 sin kt + k^pl sin pt.
Определим постоянные. Если в начальное мгновение х = х0 и х = х0, то
С и С =——hp
и
x = x。cos比十普sin就一行，他"叫Sin配十戸餐sin" (149)
Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой k. Воспользовавшись соотношениями (140"), эти два слагаемых можно представить в виде ^ X sin (kt + Р). Если в начальное мгновение х = х = 0, то эти колебания во все время действия возмущающей силы не возникают. Третье слагаемое
%~TГ sin kt
—гармоническое колебание, происходящее с частотой 々 свободных колебаний, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание всегда, при любых начальных условиях, сопровождает вынужденные колебания и его называют свободным сопровождающим колебанием. Четвертое слагаемое -
% = T^sin〃(149，)
описывает вынужденные колебания. Таким образом, колебания точки являются результатом линейного наложения трех гармонических
00Е叩口标баюшде сб 而。бнмеЕ叩口标баюшде сб 而。бнмеВыеденныеВыеденные
0
0
Е叩口标баюшде сб 而。бнме
Е叩口标баюшде сб 而。бнме
Выеденные
Выеденные
колебаний: 1) свободных, 2) сопровождающих свободных и 3) вынужден ных (рис. 166):
% =片+/+% = A sin附十何一我僧.竺河sin觎十京*-sinpf. (149")
На схеме (рис. 166) приведены только частоты этих колебаний, но разумеется, не изображены амплитуды и начальные фазы.
Вынужденные колебания происходят с частотой р, равной частоте возмущающей силы. Они не зависят от начальных данных.
Как видно из (143), для изменения амплитуды свободных колебаний достаточно изменить начальное отклонение или начальную скорость. Напротив, для изменения амплитуды вынужденных колебаний надо изменить возмущающую силу, что обычно бывает сопряжено с необходимостью преобразования конструкции.
Если частота р вынужденных колебаний меньше частоты k собственных (случай «малой» частоты), то
амплитуда вынужденных колебаний 儿=炉：户,а фаза р/ вынужденных колебаний совпадет с фазой р/ возмущающей си^ы. Но если р〉h (случай «большой» частоты), то выражение, написанное для /：» становится отрицательным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажущееся несоответствие объясняется тем, что при р > ^ фаза вынужденных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид ■
$ =万T^sin (" + “).
Резонанс*^. Если частоты собственных и вынужденных колебаний близки между собой, то амплитуды получаются очень большими. Напомним, что при интегрировании уравнения (135) мы положили p^k. Если р = &, то дифференциальное уравнение (148) имеет вид x-\-k2x^h?>inkt.(148‘)
Будем искать частное решение вида х = Bt cos ht.
Определив .v™ ——2Bk sin^/ ——Btkr cos kt и подставив его вместе с х в дифференциальное уравнение, получим
—2Bk sin 々/ к/i sin 飢，
откуда
A h
Находим общее решение дифференциального уравнения движения:
х = С\ cos kt + С2 sin 々/ — ~ / cos kt.
Дифференцируем по времени:
x = — sin kt 十 С。力 cos 目£—我 cos kt -)—曾 t sin 配*
Если в начальное мгновение х = х0 и х~ х0, то
&.=芻И以=%+击，
и общее решение принимает вид
х = д- cos^if+^-sin 配 + 爲 sin kt ~~cos kt,
или, полагая х0— A sin Р и ^-=4 cos ₽, получим
(149")(149")% = 4 sin(觥 + 6) + 蔡sin kt—费 cos kt.
(149")
(149")
изизСледовательно, и при равенстве частот движение точки состоит трех колебательных движений, однако вынужденные колебания коэффициент которогоСледовательно, и при равенстве частот движение точки состоит трех колебательных движений, однако вынужденные колебания коэффициент которогопредставлены непериодическим членом,представлены непериодическим членом,ввРис. 168Рис. 168
из
из
Следовательно, и при равенстве частот движение точки состоит трех колебательных движений, однако вынужденные колебания коэффициент которого
Следовательно, и при равенстве частот движение точки состоит трех колебательных движений, однако вынужденные колебания коэффициент которого
представлены непериодическим членом,
представлены непериодическим членом,
в
в
Рис. 168
Рис. 168
входит множителем время. С течением времени это третье слагаемое, называемое вековым членом, безгранично растет по абсолютной величине. Размах вынужденных колебаний непрерывно растет по линейному закону. Это явление называется резонансом. График вынужденных колебаний при резонансе представлен на рис. 167.
Задача № 110 (32.81,855 М; Г. Н. Савин, Н. А. Кильчевский, Т. В. П у т я т а. Теоретическая механика). Груз М подвешен в точке В к пружине АВ (рис. 168), верхний конец А которой прикреплен к поступательно движущейся кулисе. Кривошип кулисного механизма имеет длину а =0,02л/ и вращается с угловой скоростью 〃々7^?， вследствие чего точка А совершает
гармонические колебания по закону 屮再』0,02 sin 7f 川.Определить вынужденные колебания груза М, если его вес G = 3,6&, а жесткость пружины с = 3б&/,к.
Решение. Составим дифференциальное уравнение движения груза М. Начало координат выберем в точке, с которой центр тяжести груза совпадал в момент начала движения (при / = 0), когда верхний конец А пружины, совершающей гармонические колебания вместе с кулисой, занимал свое среднее положение. При сделанном нами выборе начала отсчета (в равновесном положении груза) вес G = 3,6〃 уравновешивался статическим натяжением пружины с Хсг —36-0,1. Наличие этих двух взаимно уравновешенных сил эквивалентно их отсутствию, а потому мы можем их отбросить и в дальнейшем рассматривать движение центра тяжести груза лишь под действием натяжения пружины, обусловленного только ее динамической деформацией, т. е. только деформацией пружины при колебании груза около равновесного положения.
При f 卉 0 положение центра тяжести груза определяется координатой % получающейся от суммирования двух перемещений: динамической деформации пружины и перемещения a sin pt верхнего конца А пружины. Следовательно, динамическая деформация пружины равна разности перемещений ее нижиего конца В и верхнего конца А, т. е. равна х ——a sin pt. Дифференциальное уравнение движения центра груза имеет вид
са .益=儿Пp*са .益=儿Пp*тх — — с (х — a sin pf).
са .
益=儿Пp*
са .
益=儿Пp*
Деля обе части уравнения на m и вводя обозначения ^ = /г2 и дадим этому уравнению знакомый нам вид (148)
尤+尼2% = /z sin pt,
r，e 炉=*=98;户= 49;仁嗡*=1,96.
Подставляя в (149'), находим вынужденные колебания груза.
Ответ. 0,04 sin 7/.
mg5mg5Задача № 111 (№ 32.83, 858 М). Статический прогиб рессор^товарного вагона равен 5 см. Определить критическую скорость вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные колебания на рессорах: длина рельсов равна 12 м.
mg
5
mg
5
Решение. Жесткость рессор сРешение. Жесткость рессор счастота собственных колебаний
Решение. Жесткость рессор с
Решение. Жесткость рессор с
仁/匕二/穿=14//сеК.
Если поезд идет со скоростью и см!сек, то вагон получает толчки на стыках 1200 т1Т
через каждые сек. 1 аков период г возмущающей силы. Частота возмущаю-
2л2лу1200 р 尸
щей силы—=, откуда и — . I алопирование вагона произойдет
Т1NUUЛ
при резонансе, т. е. при равенстве часто г собственных и вынужденных колебаний. Подставляя в выражение, полученное для скорости,"=内=14, найдем
屮= 2675 3
Чтобы выразить скорость в км/ч, умножим выраженную в см/сек скорость на 0,036. Ответ, и = 96 尤м/%
Если к точке приложены восстанавливающая и возмущающая сила и сила сопротивления, то свободные колебания затухают и остаются только вынужденныеЕсли к точке приложены восстанавливающая и возмущающая сила и сила сопротивления, то свободные колебания затухают и остаются только вынужденныеВлияние сопротивления на вынужденные колебания. Если на точку, кроме восстанавливающей и возмущающей сил, действует также и сила R сопротивления, то движение точки описывается дифференциальным уравнением (135) и его решением (138).
Если к точке приложены восстанавливающая и возмущающая сила и сила сопротивления, то свободные колебания затухают и остаются только вынужденные
Если к точке приложены восстанавливающая и возмущающая сила и сила сопротивления, то свободные колебания затухают и остаются только вынужденные
Первый член правой части (138) с возрастанием t стремится к нулю, и соответствующие ему колебания точки с течением вре
мени затухают, поэтому ими можно пренебречь. Остаются только вынужденные колебания (рис. 169): х 二 = sin (pf — б).
К依2一户)2十4m户 / ) (150)
Они происходят с частотой возмущающей силы, сопротивление не влияет на период вынужденных колебаний. Амплитуда не зависит от начальных условий и времени и не изменяется с течением времени.
Предположим, что возмущающая сила сохраняет свое максимальное значение Н. При равновесии под действием такой силы и восстанавливающей силы F 工 工一■ сх точка M получила бы так называемое статическое отклонение
Я Н /zРис. 169
Из этого соотношения найдем максимальное ускорение точки М под действием возмущающей силы:力=依工仃 и> подставляя это значение Л в выражение (150), выразим амплитуду вынужденных колебаний равенством
BblHm但1-戸)十4力/2,一卢4山一浜*
]/ -一忌)丁 4必.必
Отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний
zT(151)
носит название коэффициента расстройки и отношение величины 几， измеряемой в с^'1, к частоте собственных колебаний называют безразмерным коэффициентом вязкости:
(⑸')(⑸')
(⑸')
(⑸')
Введя эти обозначения в предыдущее равенство и разделив обе части его на 儿「получим:
(152)(152)
(152)
(152)
Св ннСв ннh色2 -卢h色2 -卢
Св нн
Св нн
h
色2 -卢
h
色2 -卢
Величина 刀——коэффициент динамичности ——позволяет охаракте-
ризовать динамический эффект, вызываемый возмущающей силой. Коэффициент динамичности п зависит от двух величин (z и Р). Задавшись каким-либо значением
р, и откладывая по оси абсцисс различные значения z, а по оси ординат—соответствующие значения коэффициента динамичности ”，получим, так называемые, резонансные кривые. На рис. 170 изображены резонансные кривые для значений безразмерного коэффициента вязкости: 0,25, 0,15. и 0,10. Пунктиром нанесена уходящая в бесконечность при z = "= 1 резонансная кривая, соответствующая Р = 0, т. е. вынужденным колебаниям без сопротивления.
Как показывает график (рис. 170) в областях, достаточно далеких от резонанса, амплитуды вы-
нужденных колебаний с сопротивлением почти не зависят от безразмерного коэффициента вязкости. В этих областях при вычислении амплитуд вынужденных колебаний можно не учитывать сопротивлений и пользоваться более простой формулой ■
При резонансе (р = &) амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивлений остается конечной, но наибольшее значение амплитуда имеет, если р =『* ——2几&, в чем легко убедиться, определив максимум амплитуды при различных р, считая h, k и п данными. •
В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда бывает сдвиг фазы колебания по отношению к фазе возмущающей силы. Величина этого сдвига определяется формулой (137).
Заметим, что все сказанное здесь относительно малых колебаний материальной точки полностью соответствует малым колебаниям материальной системы с одной степенью свободы.
§ 40*. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО движения ТОЧКИ
Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размера ность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускоренияКориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размера ность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускоренияДифференциальные уравнения относительного движения. Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в ос
Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размера ность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения
Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размера ность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения
новное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):
та = т{аг + & + &) откуда
таг~ 尸一та€— - тас.
(153)(153)Векторную величину
(153)
(153)
имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.
Векторную величину
-必=一/，(154)
равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.
匾="或+丸 (155)
или в проекциях на оси координат:
ту г「У 十①"十 R’v, I (155)
Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.
Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.
для записи вертикальныхдля записи вертикальныхЗадача № 112. (Пример 4. II. М. Бабаков. Теория колебаний). Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе
для записи вертикальных
для записи вертикальных
с фундаментом колебания по закону х~а sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины & Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения 亡 груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить пере
и противопо- груза.и противопо- груза.носную кориолисову силу, равную ложную произведению вектора переносного ускорения на массу Переносная сила инерции груза равна
и противопо- груза.
и противопо- груза.
G G °,
—х — а — sin pt.
Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на т:
£ + 尼2%' — ар2 sin pt,
где 右2 =詈-Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149') установившегося вынужденного колебания груза:-
sin〃.
Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота 左 прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.
Ответ. А —•
(庐)一
Задача № 113. Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде АВ равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам Я и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью -|- каждая. Принимая ползун за точку массы 加 и пренебрегая трением, определить зависимость периода т его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости со диска.
Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ох' по хорде.
Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину %', то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации %' и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила
尸=尸=с , с ,，互У—歹£=—”.с , с ,，互У—歹£=—”.
尸=
尸=
с , с ,，
互У—歹£=—”.
с , с ,，
互У—歹£=—”.
Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Фг ——переносной и Фс— поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы m ползуна на его переносное ускорение:— Vh~~{-x,2 и направлена против переносного ускорения, т. е.
от центра С диска. Чтобы определить проекцию этой силы на。工'，надо ее модуль
умножить на направляющий косинус, который при OGh^' равен — "■…‘ •
Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2(0^' и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно АВ и проекция ее на Ох' равна нулю.
При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:
т£ = — ex' 4- /т?(о2х, — — (с —加①2) £.
Это уравнениеЭто уравнениеОтвет, т = 2лОтвет, т = 2лпериодомпериодомвыражает гармоническое колебание
Это уравнение
Это уравнение
Ответ, т = 2л
Ответ, т = 2л
периодом
периодом
Задача № 114. Составить дифференциальное уравнение относительного движе-Задача № 114. Составить дифференциальное уравнение относительного движе-при его движениипри его движении；и не зависит от положения хорды.
Задача № 114. Составить дифференциальное уравнение относительного движе-
Задача № 114. Составить дифференциальное уравнение относительного движе-
при его движении
при его движении
чточто7’7’2s:’2s:’GG①'①'&&Рис. 172Рис. 172ния ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, вдоль хорды АВ возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.
что
что
7’
7’
2s:’
2s:’
G
G
①'
①'
&
&
Рис. 172
Рис. 172
Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.
Поворотная сила ползуна ①с = 2тс)У переменна 勿 по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде АВ, но в сторону положительных значений у', если точка G движется в сторону отрицательных значений х\ т. е. если к' < 0, и, наоборот, в сторону отрицательных у', если %' положительно. А так как сила трения направлена всегда против относительной скорости, то силу трения, обусловленную давлением Фс, мы вполне определим по величине и по знаку выражением
ползуна постоянна поползуна постоянна по—/2т(ох\
ползуна постоянна по
ползуна постоянна по
Нормальная составляющая переносной силы инерции величине и всегда направлена в сторону положительных у'. Чтобы ее определить.
надо 虱=加①2/九*丄/* умножить на sin а =九：丿公十 V . Тогда получим m^h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у', а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при xz < 0 и вычитаются при х' > 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид
加/= —(с — men2) xf — fm (2(ox, 土 a)2h),
причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х' < О и отрицательным при £ > 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если 九不0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости. .
ГЛАВА XV
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ
§ 41 КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ ИМПУЛЬС СИЛЫ
Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.Количество движения точки и системы. Ньютон во введении к «Началам» дал такое определение «Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»
Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.
Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.
Всякая материальная частица обладает двумя мерами механического движения, о чем уже было сказано в § 37 Одна из этих мер, называемая количеством движения, имеет применение всякий раз, когда
механическое движение от одного тела переходит другому в виде механического же движения Так, например, один билчиардный шар, ударивши другой, передает ему часть своего механического движе
ния, выражаемого количеством движения
Количество движения материальной частицы обладающей массой т и скоростью и, выражается вектором К, направленным по скорости частицы и равным произведению массы частицы на ее ско
(156)(156)рость
(156)
(156)
К = mv
Размерность количества движения в физической системе единиц [KU-LWT-1,
например м кг/сек Эта величина принята за единицу количества движения в СИ
В технической системе единиц размерность количества движения [KhLQFT,
например кГ сек, если в технической системе сила выражена в килограммах, а время — в секундах
Наряду с вектором количества движения в механике применяют проекции количества движения на оси
Кх = mu cos & = m%, Ky = trw cos 乩=mvyt
(=тис。、％ = mvx(157)
Направляющие косинусы количества движения равны направляю щим косинусам (62) скорости, так как вектор количества движения материальной точки и пи частицы направлен по скорости.
cosaAcosaAcosp&r—。一ds，cosp&r—。一ds，cosy& =cosy& =Kz _力_dz人-J — dsKz _力_dz人-J — ds(62")(62")
cosaA
cosaA
cosp&r—。一ds，
cosp&r—。一ds，
cosy& =
cosy& =
Kz _力_dz人-J — ds
Kz _力_dz人-J — ds
(62")
(62")
Модуль количества движения легко подсчитать по формуле
К=T/代+个+mК=T/代+个+m(158)(158)
К=T/代+个+m
К=T/代+个+m
(158)
(158)
Проекция количества движения на ось (как и проекция на ось всякого вектора)——скаляр 2-го рода и опредетяется величиной и знаком
Если мы умножим проекцию количества движения на единичный вектор этой оси, то получим составляющую, или компоненту, количества движения по оси Вектор количества движения точки (или материальной чаоицы) связан со своими компонентами по координатным осям обычным соотношением
元=灰X +友厂ь余z
Количество движения материальной системы выражается суммой количеств движения всех частиц этой системы «Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его» (Ньютон) Таким образом, для материальной системы, содержащей п частиц или и гочек,
к— 2 恤％,(159)
где суммирование распространено на все частицы материальной системы
(159，)(159，)Под проекцией количеова движения сис1емы на какую-либо ось понимают алгебраическую сумму проекции количеств движения всех точек системы на эту ось
(159，)
(159，)
КХ=2恤％,勺=£加卢恥й= 1А=1
(=£m也左々=1
Точку, определяемую коор-динатами, равными отноше-нию статического моментатела или системы относи-тельно соответствующей осик его массе, называют цент-ром массТочку, определяемую коор-динатами, равными отноше-нию статического моментатела или системы относи-тельно соответствующей осик его массе, называют цент-ром массЦентр масс Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести гвердого тела ——это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определенияЦентр масс Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести гвердого тела ——это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определениякоордина: центра 1яжесги мы вывели формулыкоордина: центра 1яжесги мы вывели формулыk=nk=nk—n_左=1/г=1也=1^, Ус— g *互=—gk=nk=nk—n_左=1/г=1也=1^, Ус— g *互=—g(45)(45)
Точку, определяемую коор-динатами, равными отноше-нию статического моментатела или системы относи-тельно соответствующей осик его массе, называют цент-ром масс
Точку, определяемую коор-динатами, равными отноше-нию статического моментатела или системы относи-тельно соответствующей осик его массе, называют цент-ром масс
Центр масс Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести гвердого тела ——это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определения
Центр масс Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести гвердого тела ——это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определения
координа: центра 1яжесги мы вывели формулы
координа: центра 1яжесги мы вывели формулы
k=nk=nk—n
_左=1/г=1也=1
^, Ус— g *互=—g
k=nk=nk—n
_左=1/г=1也=1
^, Ус— g *互=—g
(45)
(45)
где в числителе ——ста гический момент веса относи гельно соотвект- в)ющей оси, а в знаменателе ——вес всего тела или в векторной форме
А=1GА=1G
А=1
G
А=1
G
Понятие «центр тяжести» и формулы, определяющие координаты этой точки, связаны с весом, с тяжестью. Но в динамике встречается такое состояние механических систем, при котором подобное определение недостаточно. Вспомним, например, «состояние невесомости», с котором рассказывали наши космонавты,— здесь понятие «вес» и «тяжесть» теряют свой смысл. Кроме того, в мировом пространстве существуют области, где в состоянии невесомости пребывает всякое тело независимо от его движения, как, например, точка пространства, в которой материальное тело притягивается к Земле и к Солнцу с равными и противоположно направленными силами. В таких случаях понятие 《центр тяжести тела» теряет смысл, но сама точка продолжает существовать и не теряет своего значения. Поэтому целесообразно определить эту точку в зависимости не от веса, а от массы частиц.
，厂(160)，厂(160)Пусть какое-либо твердое тело или материальная система подвержены дейовию силы тяжести, и координаты центра тяжести определяются равенствами (45). Поделим в,зтех равенствах и числители и знаменатели на ускорение свободно падающего тела. Коор,- динаты точки от деления числителя и знаменателя на одно и то же число не изменятся, но в знаменателе мы получим, согласно (124), не вес, а массу системы, а в числителе——статические моменты масс:
，厂(160)
，厂(160)
% =у =
неощутим.Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:К = mvcнеощутим.Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:К = mvcТочка, определяемая координатами (160), совпадает с центром тяжести, но определение ее связано не с весом, а с массой частиц твердого тела или системы. Ее называют центром инерции, или центром масс. Это понятие шире нснятня центра тяжести, так как масса не исчезает даже при таких обстоятельствах, при которых вес
неощутим.
Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:
К = mvc
неощутим.
Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:
К = mvc
Выражение количества движения системы через ее массу и скорость центра масс. Координаты центра инерции С материальной системы, движущейся относительно осей xOyz, принимаемых за неподвижные,
определяются равенствами (160), где xk, yk и zk ——переменные координаты точек системы. Из этих равенств, освободившись
от знаменателя, определим статические мол^енты массы на данное
мгновение:
2 3尤=тхзЛ=12 3尤=тхзЛ=1Продифференцировав чества движения на осьПродифференцировав чества движения на осьk—nk=n
2 3尤=тхз
Л=1
2 3尤=тхз
Л=1
Продифференцировав чества движения на ось
Продифференцировав чества движения на ось
2恤力二加"，2m比人=mzc- (161)
也=1攵=1
по времени, находим, что проекция коли- равна произведению массы системы и про-
кап2恤% =恤Cz・ k— Iлюбую ось, то, следова-кап2恤% =恤Cz・ k— Iлюбую ось, то, следова-
кап
2恤% =恤Cz・ k— I
любую ось, то, следова-
кап
2恤% =恤Cz・ k— I
любую ось, то, следова-
екции скорости центра масс на ту же ось: k~nfe = ?t
k~Ife=1
Но если равны проекции векторов на тельно, равны и сами векторы:
£ "%% =恤c・
Мы нашли, что количество движения всякой материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы:
К — "2「
(162)
Задача № 115. Вычислить количество движения К однородного диска радиуса
г— 50 см и массы 80 кг в двух случаях:
диск вращается вокруг неподвижной оси, делая 60 об/мин;
диск катится без скольжения и буксования по прямолинейному рельсу, делая 60 об/мин.
Решение. Количество движения диска равно количеству движения точки, масса которой равна массе диска, а скорость равна скорости центра масс диска. Задачу решаем в единицах СИ.
В первом случае скорость центра масс равна нулю, следовательно, К：二6.
Во втором случае скорость центра масс определим как вращательную относительно мгновенного центра скоростей, находящегося в точке
проходящей через ег о центр.
касания диска и рельса:
：1ГП
■f —飞万---л .к/сек
и
К = 80л -1 251,20 кг*м/сек.
Ответ, i) К - 0; 2) /(二- 251,20 忌•兄/сек.
Задача № 116. Определить количество движения эллипсографа (рис. 173, а), состоящего из кривошипа 00, линейки АВ н двух ползунов, центры масс которых совпадают с шарнирами А 11 8, соединяющим и ползуны с линейкой АВ. Кривошип II лнненку рассматривать как однородные стержни веса Р и 2Р, причем OD~ AD = BD = l、
К=гп 又
2P+2Q
б)
Рис. 173
веса ползунов одикаковы и равны Q; кривошип вращается с угловой скоростью з.
Решение, Механическая система состоит из четырех тел: кривошипа, линейки и двух ползунов. Найдем центр масс системы. Центр масс кривошипа находится в середине кривошипа (рис. 173, б). Центр масс линейки и двух ползунов совпадает с их центром симметрии D Центр масс всего механизма лежит на кривошипе между этими точками. Расстояние центра масс системы от точки О определим по (160):
ОС-.—
，т 2P+ 2Q ,
ЗР -2Q
g
Умножая это расстояние иа угловую скорость з кривошипа, найдем скорость центра масс системы:
4-+ 2P+ 2Q
℃ = -3р干м 一心■
.,3P + 2Q ..
Умножая на массу всен системы, на идем количество движения си
стемы.
Ответ. Количество движения-вектор, равный 5P扌《Q /①, перпендикулярный кривошипу и приложенный в центре масс эллипсографа.
Импульсом ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы иа время ее действия:S-7iИмпульсом ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы иа время ее действия:S-7iИмпульс постоянной силы. В § 1 мы определили механическое действие материальных тел на данную материальную частицу тремя основными характеристиками: величиной, направлением и продолжительностью. Рассматривая это механическое действие лишь за одно мгновение, мы пришли тогда к понятию силы. Но действие всегда происходит во времени, хотя бывают механические действия (не
Импульсом ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы иа время ее действия:
S-7i
Импульсом ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы иа время ее действия:
S-7i
которые случаи удара), продолжительность которых измеряется всего лишь миллионными долями секунды. Если 户=const, то векторную величину S, направленную по силе и равную по модулю произведению модуля силы на время ее действия, называют импульсом постоянной силы за данный промежуток времени:
S = Ft.(163)
Определим размерность импульса силы в физической системе единиц:
Единицей импульса силы в системе СИ является 1 м • кг/сек. Размерность импульса силы в технической системе единиц
[S],-^1!1.
Если сила выражена в кГ, а время ——в сек, то единицей импульса силы является 1 кГ -сек.
Размерности импульса силы и количества движения одинаковы.
Импульс переменной силы. Если сила непостоянна по величине или по направлению, то для определения ее импульса за данный промежуток времени надо разбить этот промежуток времени на столь малые интервалы, в течение которых можно пренебречь изменением силы, и определить для каждого такого интервала элементарный импульс. Элечентарным импульсом силы называют импульс за столь малый промежуток времени, при котором можно пренебречь изменением силы:
dS —尸 df.(164)
Импульс переменной силы за конечный промежуток времени выражают пределом геометрической суммы элементарных импульсов за бесконечно малые части данного промежутка:
(164')(164')§=,产山.
(164')
(164')
Следовательно, импульс переменной силы за данное время выражается интегралом от вектора К по скалярному аргументу 九
Для вычисления импульса переменной силы пользуются его проекциями на оси координат. Построим прямоугольную систему координат и спроецируем элементарньгй импульс на ось 0%:
dSx — Fdt cos aF= X dt.
Интегрируя в пределах от % до t, находим Sx и аналогично Sy и S/：
?tf
Sx = , X df, Sy = , У df, Sz= ^ Z dt.(165)
‘0^0厶
По проекциям (165) легко определить модуль и направляющие
косинусы вектора, однако в этом редко встречается необходимость
и практически обычно ограничиваются определением проекций (165).
Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось：Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось：Пусть на точку действует несколько сил, проекции которых на какую-либо ось Ох обозначим X], X?, ..., Х„, а проекцию равнодействующей этих сил обозначим X. Тогда
Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось：
Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось：
s#= 2 邑噴 х == X]+х? + …+ х公
I Умножим обе части этого равенства на бесконечно малый промежуток времени dt и проинтегрируем в пределах от G до /: ，
илиилиУ X d/ = ^ Хг d/ -f- ^ ^2 dt ~\~. t, + ,Х?//, %厶/оо
или
или
(166)
k — nk — nИтак, проекция импульса равнодействующей на любую ось за данный промежуток времени равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту я^е ось и за то же время, следовательно, импульс равнодействующей равен геометрической сумме импульсов составляющих:
k — n
k — n
(166')
Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:nw — mi% г Sимпульс силы. Конечно,Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:nw — mi% г Sимпульс силы. Конечно,ттdu.du.
Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:
nw — mi% г S
импульс силы. Конечно,
Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:
nw — mi% г S
импульс силы. Конечно,
т
т
du.
du.
§ 42. ТЕОРЕМЫ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
Теорема об изменении количества движения материальной точки. По основному закону динамики под действием силы материальная точка получает ускорение. Но, чтобы сообщить материальной точке скорость, сила должна действовать в течение некоторого времени. Таким образом, скорость материальной точке сообщает не сила, а эта скорость зависит не только от импульса
силы, но н от массы точки.
Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в фо])ме (127):
Умножая каждое из уравнений (127) на d/ и вводя постоянную т под знак дифференциала, получим
dm vx^ X dt, dm vy dt, dm ~Zdt.(167)
Мы нашли, что дифференциал проекции количества движения равен проекции элементарного импульса силы на ту же ось.
Проинтегрируем левую и правую части первого из этих уравнений в соответствующих пределах и^, и尤 и 厶，九 аналогично поступив и с двумя другими уравнениями, получим:,
тих — тихй Sv,]
mvy — mvya^ Sy, I(168)
mvz — mv,a к 氏，J
т. e. изменение проекции количества движения материальной точки на ось равно проекции импульса силы на ту же ось и за то же время. Но если равны проекции на любую ось двух векторов, то, следовательно, равны и эти векторы:
mv — /nv0 — S,(168)
т. e. вектор изменения количества движения материальной точки за какое-либо время равен вектору импульса силы, действующей на материальную точку за то же время. Конечно, и здесь под силой надо понимать равнодействующую, если на точку действует не одна, а несколько сил.
Задача № 117. Тяжелая точка массой 加 кг, получив начальную скорость и0 = 24,5 м/сек, поднимается по негладкой плоскости (рис. 174), наклоненной к плоскости горизонта под углом 30°. Сколько времени будет подниматься точка, если коэффициент трения f = 0,577?
Решение. По заданным силам надо определить время движения точки. Но для решения задачи нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения, а можно воспользоваться теоремой об изменении количества
движения. На точку действуют вес G, сила трения 尸［p=fGcos30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох но наклон ной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна ”движения. На точку действуют вес G, сила трения 尸［p=fGcos30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох но наклон ной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна ”X - — G sin 30°fG cos 30° = — G (^ +Если точка двигалась в течение £ се% гоX - — G sin 30°fG cos 30° = — G (^ +Если точка двигалась в течение £ се% го仇仇Рис. 174Рис. 174проекция импульса ——G/. Подставляя в и % = 0, получимпроекция импульса ——G/. Подставляя в и % = 0, получимсилы за это время равнасилы за это время равнауравнение (168) найденное значение 邑，заданное значение 以°уравнение (168) найденное значение 邑，заданное значение 以°откуда находим Л Ответ. £ --2,5откуда находим Л Ответ. £ --2,5—ш 24,5 = —GZ,—ш 24,5 = —GZ,сек.сек.Задача № Н8. Материальная гочка, масса которой m — 3 ке、Задача № Н8. Материальная гочка, масса которой m — 3 ке、двигалась подвигалась погоризонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную енлу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (CPI). По изменению скорости точки надо определить силу, произеодящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем,горизонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную енлу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (CPI). По изменению скорости точки надо определить силу, произеодящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем,применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-жительиым. Тогдажительиым. Тогдадвижется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-Подставляя этиПодставляя этиS大二一尸.30,俏八一 =3.45 и 加以•()=-35данные в (168), найдем
движения. На точку действуют вес G, сила трения 尸［p=fGcos30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох но наклон ной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна ”
движения. На точку действуют вес G, сила трения 尸［p=fGcos30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох но наклон ной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна ”
X - — G sin 30°fG cos 30° = — G (^ +
Если точка двигалась в течение £ се% го
X - — G sin 30°fG cos 30° = — G (^ +
Если точка двигалась в течение £ се% го
仇
仇
Рис. 174
Рис. 174
проекция импульса ——G/. Подставляя в и % = 0, получим
проекция импульса ——G/. Подставляя в и % = 0, получим
силы за это время равна
силы за это время равна
уравнение (168) найденное значение 邑，заданное значение 以°
уравнение (168) найденное значение 邑，заданное значение 以°
откуда находим Л Ответ. £ --2,5
откуда находим Л Ответ. £ --2,5
—ш 24,5 = —GZ,
—ш 24,5 = —GZ,
сек.
сек.
Задача № Н8. Материальная гочка, масса которой m — 3 ке、
Задача № Н8. Материальная гочка, масса которой m — 3 ке、
двигалась по
двигалась по
горизонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную енлу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.
Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (CPI). По изменению скорости точки надо определить силу, произеодящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем,
горизонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную енлу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.
Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (CPI). По изменению скорости точки надо определить силу, произеодящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем,
применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-
применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-
жительиым. Тогда
жительиым. Тогда
движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-
движется точка, за ось Ох, считая направление вправо поло-
Подставляя эти
Подставляя эти
一尸.30.二 м-3■ 454*3• 5 —+150 Нг-м/сек,
откуда определим силу.
Ответ.尸工5 кг-м, сек- 5 н.
Производная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо :ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:力=пА- = пА= 1k~IПроизводная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо :ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:力=пА- = пА= 1k~IТеорема о проекциях количеств движения системы. Теорема о количестве движения находит большое применение при исследовании движения системы материальных точек, так как в этой теореме исключены все внутренние силы системы.
Производная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо :ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:
力=пА- = п
А= 1k~I
Производная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо :ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:
力=пА- = п
А= 1k~I
Пусть дана механическая система, сос- тоягцая из /г материальных точек. Распределив все силы, приложенные к точкам этой системы, на две категории (силы внешние и силы внутренние), напишем
дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129) в проекциях на ось абсцисс:
恤魯= Х"Х$,'
恤券= Х% + Х4.
Сложив отдельно левые и отдельно правые части написанных уравнений, получим k—nk—nk~n
h== 1々=1玄二 I
Но сумма проекций всех внутренних сил системы равна нулю, так как внутренние силы, согласно закону равенства действия и противодействия, попарно равны и противоположно направлены:
2 xz = o.
В левой части постоянные тк внесем под знак производной, заменим сумму производных производной от суммы и получим для проекций на ось абсцисс
k—nk=n
石£恤%后=£/2.(169)
fe=l仁1
Мы не накладывали никаких ограничений на направление оси абсцисс, поэтому мы можем сформулировать следующую общую теорему, называемую теоремой о проекциях количеств движения системы материальных точек: производная по времени от суммы проекций, количеств движения всех точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на fy же ось.
Равенства (169) справедливы для любой оси; следовательно, их можно записать в векторной форме:
k=nk—n
比或=汴.(169，)
A= 1fe=I
Умножая уравнения (169) на dt и интегрируя, найдем, что изменение суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо неподвижную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил системы на ту же ось за то же время:
£ «Ла— £ mkvxku = £ S标.(170)
k= 1k— 1k— 1
При решении задач это уравнение иногда находит применение, но теорему о проекции количеств движения системы чаще применяют в дифференциальном виде (169), чем в конечном виде (170).
Если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постояннаЕсли сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постояннаИнтеграл количеств движения. В частном случае, если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось, например на ось 0% равна нулю, то уравнение (169) принимает вид
Если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постоянна
Если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постоянна
откуда, проинтегрировав, получаем
k—n
(171)(171)2 m^xk = Const.
(171)
(171)
A=1
Это равенство называют интегралом количества движения системы материальных точек и словами его можно сформулировать так: если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения всех точек системы на эту ось постоянна.
Справедливо и обратное заключение: если сумма проекций количеств движения системы на какую-либо ось постоянна, то сумма проекций всех внешних сил системы на эту ось равна нулю. В самом деле, дифференцируя (171) по времени, найдем, что производная по времени от суммы проекций количеств движения на ось Ох равна нулю и ввиду (169) равна нулю сумма проекций на эту ось всех внешних сил системы.
Если равна нулю сумма проекций всех внешних сил не только на ось Ок, но также и на оси Оу и Oz, то сохраняется не только сумма проекций на оси, но и геометрическая сумма векторов количеств движения точек "системы, т. е.
k = n 一k — n f
если2 尸Z =то £ m卢论=&(17Г)
仁1k-i
и обратно,
k = n ffe = n_>
если2 恤％ = & то £ 龄=0.
k—I右=1
Такой случай мы можем представить себе в изолированной материальной системе, т. е. в системе, на точки которой не действуют никакие внешние силы. Примером почти полностью изолированной механической системы может служить солнечная система (см. § 36). Количество движения изолированной системы остается неизменным;
этот закон называют иногда принципом сохранения количества
движения.
Теорема о движении центра масс. К тео-
Центр масс системы движет-ся как материальная точка,в которой сосредоточена мас-са всей системы и к которойприложены все внешниесилы:加/= £х?; тус^^Уе>tnzc~ * Z?Центр масс системы движет-ся как материальная точка,в которой сосредоточена мас-са всей системы и к которойприложены все внешниесилы:加/= £х?; тус^^Уе>tnzc~ * Z?реме о проекциях количеств движения примыкает теорема о движении центра масс. Во многих задачам эти теоремы вполне заменяют друг друга. В § 41 уже было показано, что сумму количеств движения всех материальных точек системы можно представить как количество движения одной точки, совпадаюи1ей с центром инерции системы, обладающей скоростью
Центр масс системы движет-ся как материальная точка,в которой сосредоточена мас-са всей системы и к которойприложены все внешниесилы:
加/= £х?; тус^^Уе>tnzc~ * Z?
Центр масс системы движет-ся как материальная точка,в которой сосредоточена мас-са всей системы и к которойприложены все внешниесилы:
加/= £х?; тус^^Уе>tnzc~ * Z?
центра инерции и массой, равной, сумме масс всех точек системы:
Efv1cli = tm)cx; 2加戒舛=侬，少 ^rnkvl!t = mvCl.
Дифференцируя эти равенства по времени и принимая во внимание теорему (169) о проекциях количеств движения на 。犬，Оу и
Ог, найдем:—
к— 1
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (127), можно убедиться, что движение центра масс математически описывается тремя дифференциальными уравнениями, как и движение материальной точки.
Однако с физической стороны имеется некоторое различие между уравнениями (127) и (172). Всякая материальная точка обладает некоторой массой- и движется согласно (127) под действием всех приложенных к ней сил. Центр масс является геометрическол точкой и может не совпадать ни с одной из материальных частиц системы.
Уравнения (172) говорят о том, что центр масс (инерции, тяжести) движется как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы и к которой приложены силы, равные всем внешним силам, действующим на материальные точки данной системы; внутренние силы не изменяют движения центра масс и не могут нарушить его покоя.
Три уравнения (172) движения центра масс в прямоугольной системе координат могут быть заменены одним векторным уравнением
―*■ k~n
加誓耳 (172)
О независимости движения центра масс от внутренних сил. Независимость движения центра масс от действия внутренних сил была установлена Ньютоном. «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения», — писал он в «Началах». Теорема о движении центра тяжести (масс) имеет в механике большое значение, а потому необходимо пояснить физическую сущность этой теоремы.
На первый взгляд может показаться, что движение центра масс системы иногда происходит под действием ее внутренних сил. Например, чтобы увеличить скорость парохода, поднимают давление пара, т. е. увеличивают внутренние силы системы. Молодой и здоровый человек с хорошо развитой муск\\чатурой ног легко обгонит старика с дряблыми мышцами и т. д. нт. п. Но отсюда не следует делать вывод, что центр масс системы передвигается внутренними силами этой системы. В приведенных примерах внутренние силы лишь заставляют точки данной системы воздействовать на окружающие ма
термальные тела, отчего возникают внешние силы, создающие движение центра масс данной системы. Так, человек силой своих мышц (внутренней силой) отталкивается ногами от дороги, отчего в точках соприкосновения подошв с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения и позволяющая передвигаться всей системе (человеку). Конечно, эта сила зависит от внутренних сил человека, но она является внешней силой, и человек не смог бы идти по поверхности без трения. Ни один силач не может силой своих мышц поднять себя за волосы над Землей. Пароход развивает пары, чтобы быстрее вращать гребной винт и лучше отталкиваться им от воды. Давление воды на гребной винт является внешней силой для парохода. Никакое давление пара (внутренняя сила) не создало бы движение парохода, если бы не было гребного винта или воды, взаимодействие которых создает силу тяги, являющуюся внешней силой для парохода.
Теоремы о движении центра масс и о количестве движения системы являются основой для расчетов реактивных движений. Ракета для своего полета не нуждается во внешней среде. Газообразные продукты горения с большой скоростью выбрасываются из сопла. Это движение продуктов горения (назовем их пороховыми газами) происходит под действием внутренних сил, а потому не может повлиять на движение центра тяжести всей системы, включающей пороховые газы и корпус ракеты. Если до взрыва ракета была неподвижна, то движение газов так компенсируется движением корпуса ракеты в противоположном направлении, что сумма количеств движения всей системы равна нулю и центр масс всей системы остается неподвижным и после взрыва.
Задача № 119. Лодка стоит в неподви?кной воде перпендикулярно к берегу, причем расстояние от берега до носа лодки равно 1,6 м, а до кормы 5,2 м. Чтобы пододвинуть лодку к берегу, человек, стоящий на носу лодки, переходит на корму. На каком расстоянии будет нос лодки от берега после перемещения человека, если вес лодки Gt = 100 кГ, вес человека G? = 80 кГ, а сопротивлением воды пренебрегаем? .
Решение. Физическая сущность задачи состоит в том, что человек переходит с носа на корму, отчего лодка перемещается в обратном направлении. Перемещение человека на лодке, его вес и вес лодки заданы, требуется определить расстояние, на которое переместится лодка вследствие перемещения человека. Здесь механическое движение человека передается лодке в качестве механического же движения. В подобных задачах обычно применяют теорему о проекциях количеств движения или аналогичную ей теорему о движении центра масс. Мы покажем применение обеих этих теорем.
При решении почти каждой задачи бывает необходимо уточнить два вопроса: 1) движение какой точки, твердого тела или механической системы надо изучить и 2) какие силы действуют на эту точку, это тело или эту систему. Также необходимо выбрать основные единицы измерения, например единицы CII, тогда масса лодки 〃？i = T00 кг, масса человека /п2 — 80 кг.
В данной задаче нужно изучить движение механической системы, состоищей из лодки, представляемой се центром инерции, и человека, принимаемого за материальную точку. На точки этой механической системы действуют различные внешние силы (вес лодки, вес человека, архимедова подъемная сила), но все они
вертикальны, а нас интересует горизонтальное перемещение лодки, а потому и горизонтальные силы. В системе дейс1вуют внутренние силы (сила, с которой человек отталкивается от стланей, идя по лодке, реакция лодки и др.), но внутренние силы не входят в уравнения (169), (172) и несущественны для данной задачи.
1-й способ. Применим сначала теорему о проекциях количеств движения системы (169). Построим неподвнжну;ю систему координат (рис. 175,а), взяв начало
в точке 0 иа берегу и направив ось Ох горизонтально вдоль лодки. Сумма проекций всех внешних сил на Ох равна нулю. Система состоит из двух материальных точек — лодки и человека. Равенство (169) принимает вид
Если сумма проекций внешних снл равна нулю, то имеет место интеграл количеств движения (171). Действительно, проинтегрировав, получаем
2
2 т/，хк = Сг
Постоянную интеграции Сх определим из начальных данных: в начальное мгновение лодка и человек были неподвижны. Таким образом, ■ в начальное мгновение количества движения точек системы и сумма количеств движения равнялись нулю, а потому С】 = 0, т. е.
盍=2
Умножая на d/ и интегрируя, получим
片二2
В левой части хА означают перемещения точек системы по осн Ох. В начальное мгновение этих перемещений не было, а потому, определяя С2 из на-
чальных данных, находим, что С2 = 0. Раскроем знак суммы, дав индексу k значения 1 и 2 соответственно числу точек системы:.
加1勺 + 加2%2 = °，
т. е. сумма произведений масс точек системы на их перемещения по оси Ох равна нулю. Здесь под перемещением tio оси 0% мы понимаем проекцию абсолютного перемещения точки на Ох. Предположим, что лодка переместилась влево на величину—хх (рис. 175, 6). Человек в относительном движении передвинулся вправо на длину лодки (3,6 л/), но в то же время лодка перенесла его в своем движении влево, следовательно, х2 — 3,6 ——хх. Подставляя эти данные и величины масс в предыдущее уравнение, находим
—100/ + 80 (3,6 — /) = 0.
У студента, не имеющего достаточного навыка в решении задач, может возникнуть сомнение в правильности знака второго члена. Для проверки знака существует удобное правило: во все члены уравнения 打 должно входить с одним и тем же знаком, если конечно, эти члены находятся по одну сторону от знака равенства. В данном уравнении все члены находятся слева; первый член ——100 хх, следовательно, второй член должен быть 十80(3,6 —勺)，так как знак при 々 должен и во втором члене быть таким же, как и в первом члене.
Решая это уравнение, находим перемещение лодки:
2-" способ. Решим ту же задачу, применив теорему о движении центра масс. До начала движения центр масс всей системы был неподвижен — человек пошел вдоль лодки. Сила взаимодействия между человеком и лодкой является внутренней силой системы «лодка с человеком», а потому не может переместить центр масс этой системы. Для решения задачи надо написать выражения абсциссы Хс центра масс системы при двух положениях системы: 1) человек на носу лодки, 2) человек на корме —и приравнять их друг другу, так как общий центр масс системы не переместился.
Определим абсциссу центра масс системы в начальное мгновение (рис. 175, 8). Пусть центр массы лодки находится на расстоянии q от носа. Тогда его абсцисса /0 = (1，6十5)儿；х20— 1,6 м. Подставляем в формулу (160):
_100(1,6 + %)+80，1,6
180,
Обращаем внимание на то, что при этом способе решения задач величины и х2 являются уже не перемещениями точек, а их координатами.
В конечное мгновение, когда человек перейдет на корму (рис. 175, а), а лодка переместится ближе к берегу, общий центр масс всей системы останется на прежнем месте. При конечном положении лодки нос находится от начала координат на искомом расстоянии х. Тогда в этом положении %1 = %+С] и х2 —х + 3,6. Подставляя эти значения в формулу (160), получим
100 (% + q)上80(%+3,6)
180•
Приравниваем друг другу оба выражения абсциссы центра масс системы и находим положение лодки:
180* 1,6= 18080*3,6, откуда х = 0.
Ответ. Лодка подойдет к берегу.
Задача № 120. Сидящий в лодке охотник стреляет вперед в горизонтальном направлении. Пренебрегая трением воды, определить скорость лодки после выстрела, если до выстрела она была неподвижна; масса охотника 70 кг, масса лодки 30 кг, масса заряда 40 г и его начальная скорость 300 м/сек.
Решение. Механическое движение заряда передается в качестве механического же движения («отдача») на охотника и лодку. Примем, что механическая система
сосгоит из двух точек: 1) лодка вместе с охотником и 2) заряд. Сила давления пороховых газов является внутренней по отношению к этой системе, давление газа в ру?кейном стволе во все стороны одинаково и, как было показано, сумма проекций внутренних сил на любую ось равна нулю. Внешних горизонтальных сил в системе нет. Проведя ось 0汇 горизонтально в направлении выстрела, получаем интеграл количества движения (171):
k = 2
В начале выстрела, пока заряд еще не успел приобрести скорость, лодка тоже была неподвижна и, следовательно, С = 0. В написанное выражение входят проекции абсолютных скоростей и, раскрывая знак суммы, получим
0,04 (300 一 ％) — 100 % = 0,
где и2 — скорость лодки после выстрела, а (300~у2) — абсолютная скорость заряда после выстрела, состоящая из разности скоростей (300 м/сек) заряда по стволу и скорости отдачи ®)'
Решая эуо уравнение, находим скорость отдачи.
Ответ. Лодка с охотником движется в сторону, противоположную выстрелу, со скоростью i^ — 0,12 М/сек.
Задача № 121 (№ 36.15,977 М). Вода входит в неподвижный канал (рис. 176) переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью и产 2 м/сек под углом 仪尸90° к
Рис. 176Рис. 176горизонту; площадь сечения канала при входе 0,02 л/?, скорость воды у выхода из канала % 二二 4 м/сек и составляет угол ад — 30° с горизонтом. Определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает на стенки канала.
Рис. 176
Рис. 176
Решение. Вода течет по каналу, меняя направление н величину своей скорости. Механическое движение воды не исчезает и не возникает вновь, меняется лишь вектор скорости. Требуется определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает па стенки канала. Правильнее было бы назвать эту активную силу «давлением» воды на стенки канала. Все данные этой' .задачи относятся к воде, и мы будем опре
делять горизонтальную составляющую реакции, оказываемой стенками канала на воду. Эта сила равна п противоположна искомой силе. Система единиц ——СИ,
В плоскости симметрии канала проведем горизонтальную ось Ох и напишем уравнение (170)
&= I k= 1 ° /г= 1
В правой части £ Х£ есть сумма проекций на горизонтальную ось внешних сил, приложенных к системе (к воде). Единственной горизонтально!! внешней си" лой является горизонтальная составляющая равнодействующей реакций стенок, т. е. та сила, которую мы должны определить. Эта сила при установившемся движении воды является постоянной. Поэтому
'左 Н /Z& = 〃
6 4Hl々E
За время / в канал поступает 0,02 л/?・2 л^'секП сек = 0,04/м§ = 40/ л, или 40/ кг воды:£т走=40Е кг.
Такое же количество воды покидает канал за то же время. Начальная и конечная скорости даны в условии. Подставляем все эти величины в (170):
40/-4 cos (180° -丁30。)一40£ • 2 cos 90° = £ Х〃
Ответ. £ X ^ —- — 801 3 = —138,4 н.
Знак минус показывает, что по нашему чертежу проекция реакции отрицательна, т. е. направлена влево. Искомая в задаче горизонтальная составляющая давления на стенку имеет обратное направление——вправо. В задачнике II. В. Мещерского ответ приведен в килограммах. Чтобы перевести ньютоны в кГ, надо умножить число ньютонов на 0,102; имеем 138,4・0,102 = 14,1 кГ.
Давление струи **
Задача № 122. (Е, Л. Николая. Лекции по теоретической механике, ч. 2, 「ТТН, 1934, стр. 203). Определить давление струи воды на гладкую стенку, если
скорость воды и = 20 м；сек, сечение струи о —0,005 з户 и струя направлена под углом а-- 30° к стенке (рис. 177).
Решение. Решим задачу сначала в общем виде. Отложим вдоль струн от стенки неболыпо!! отрезок AB^vt, где т — малый промежуток времени. У конца В этого отрезка проведем поперечное сечение струи н рассмотрим движение системы частпц воды, находящихся в данное мгновение между этим сечением и стенкой. Общая масса всех частиц рассматриваемой системы /п = -£ 〃5：-оузг, где у —масса 1 смл жидкости. До соприкосновения со стенкой частицы воды имеют общую скорость 口，проекция которой на ось Ох (перпендикулярную стенке) c'x^csin а. После соприкосновения со стенкой частицы движутся вдоль стен
ки и % = 0..
На систему действует реакция 尸 стенки, силой тяжести и давлением на вы-
де/енную часть струи со стороны следующих частиц стр\н, внешних по отношению к выделенной системе, пренебрегаем, так как они при большой и незначительны по сравнению с 尸.Подставляя эти данные в (170), имеем
—voy2r sin ot ~t У X$
откудаоткудаF = £ X = Y(K@ sin а.F = £ X = Y(K@ sin а.(173)(173)
откуда
откуда
F = £ X = Y(K@ sin а.
F = £ X = Y(K@ sin а.
(173)
(173)
Ответ.尸=102 кГ.Ударом называют кратко-временное взаимодействиетел, вызывающее за ничтож-но малый промежуток вре-мени резкое изменение ско-ростей их точекОтвет.尸=102 кГ.Ударом называют кратко-временное взаимодействиетел, вызывающее за ничтож-но малый промежуток вре-мени резкое изменение ско-ростей их точек
Ответ.尸=102 кГ.
Ударом называют кратко-временное взаимодействиетел, вызывающее за ничтож-но малый промежуток вре-мени резкое изменение ско-ростей их точек
Ответ.尸=102 кГ.
Ударом называют кратко-временное взаимодействиетел, вызывающее за ничтож-но малый промежуток вре-мени резкое изменение ско-ростей их точек
струи жидкости или сыну-струи жидкости или сыну-Этой формулой определяется давление иа стенку чего тела. Подставляя данные, находим ответ задачи.
струи жидкости или сыну-
струи жидкости или сыну-
Ударный импульс.* Иногда материальные тела, находятся во взаимодействии всего лишь тысячные или даже стотысячные доли секунды, но при этом возникают настолько большие силы, что их импульс за столь малый промежуток времени до
стигает значительной величины и получается резкое, почти мгновенное изменение скоростей точек этих материальных тел. Такое
кратковременное взаимодействие тел называют ударом, возникающие при этом силы называют ударными силами, а импульс ударной силы за время удара——мгновенным импульсом.
Ударные силы во многие тысячи раз превосходят вес ударяющего тела. Так, например, легким ударом молотка можно забить в деревянную стену гвоздь, но нужна громадная сила, чтобы тот же гвоздь вдавить, а не вбить в стену. Пуля, вес которой измеряется граммами, при выстреле пробивает доску, но пуля должна была бы весить многие тонны, чтобы сделать в доске такую же дырку своим весом. Поэтому за время удара пренебрегают весом тел и всеми прочими неударными («конечными»)-- силами, пренебрегают перемещениями тел и считают, что векторы скоростей точек ударяющихся тел изменяются мгновенно.
«Количество движения си-стемы никогда не изменяетсяот ударов при встрече еетел» (Ньютон)«Количество движения си-стемы никогда не изменяетсяот ударов при встрече еетел» (Ньютон)Прямой центральный удар двух тел.* Пусть два тела движутся поступательно и прямолинейно со скоростями % и %, причем центры масс С\ и С2 этих тел движутся по одной прямой, которую мы
«Количество движения си-стемы никогда не изменяетсяот ударов при встрече еетел» (Ньютон)
«Количество движения си-стемы никогда не изменяетсяот ударов при встрече еетел» (Ньютон)
примем за ось Ох. В некоторое мгновение f первое тело, движущееся с большей скоростью, настигает второе и начинается удар, продолжающийся в течение малого отрезка времени т「 Пусть для каждого тела удар является центральным (т. е. мгновенный импульс проходит через центр масс тела) и прямым (т. е. относительные скорости точек соприкосновения тел перед ударом перпендикулярны к поверхности соприкасающихся тел в точке их соприкосновения). Предположим, что удар является неупругим (т. е. таким, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел полностью сохраняются к концу удара). При отсутствии упругих сил тела не отталкиваются друг от друга и после удара продолжают двигаться с некоторой общей скоростью и. Определим мгновенный импульс S, действующий на каждое из тел со стороны другого. Для каждого из тел этот импульс является импульсом внешней реакции, и мы его легко определим, написав для каждого из тел уравнение (168')・ В данном случае эти уравнения примут следующий вид:
%(〃一%)= —S，］m2(u — v2) = + S, /
где тг и т2—массы первого и второго тел, а% н 与一их скорости (выражаясь точнее, проекции их скоростей на прямую удара Ох) перед ударом. Из этих уравнений определим мгновенный импульс:
S =宀但一9)(175)
加1 +加2、/
и скорость обоих тел после неупругого удара:
Если равенство (176) умножим на 色-+g, то убедимся, что'сумма количеств движения обоих тел при ударе не изменилась. .
В природе не существует абсолютно неупругих тел и в действительности явление удара не заканчивается к тому мгновению, когда скорости тел становятся равными и. Во время удара тела стремятся восстановить свою первоначальную форму, они отталкиваются друг от друга и отдаляются, имея различные скорости "】и и2.
Чтобы определить эти скорости и мгновенный импульс, разделим весь процесс удара на две стадии: 1) от начала соприкосновения тел до мгновения, при котором их скорости сравнялись, и 2) от этого мгновения до конца контакта. Удар, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел частично сохраняются к концу удара, называют не вполне упругим.
Уравнения для первой стадии удара ничем не отличаются от только что полученных, мгновенный импульс определяется по (175) и скорость ——по (176). Исходными уравнениями для второй стадии явятся те же уравнения (170), с той лишь разницей, что 〃 будет в них играть роль начальной скорости, а конечными будут 以】и и2. Иным становится мгновенный импульс ударной реакции за эту вторую стадию удара. Обозначим его kS. Физическое значение коэффициента 2, зависящего от упругих свойств соударяющихся тел, рассмотрим в дальнейшем. Имеем
"( (〃1 一 〃)= 一片S m2 (% — и) = kS.
(177)(177)Из системы уравнений (174) и (177) найдем скорости не вполне упругих тел после удара:
(177)
(177)
% g 〃 +々(以—％); и2-= u-\-k(u — %).(178)
Сложив два уравнения (174), а также два уравнения (177), в правых частях получим нуль. Приравнивая друг другу левые части ■сумм, получим
mlv1 + 疗％内=тд 十 т^и2.
Таким образом, количество движения системы и при неупругом ударе не изменилось. Это объясняется тем, что для системы соуда
ряющихся тел ударная сила является внутренней, а потому согласно интегралу количеств движения (171) ^ mkvk = const.
Коэффициент восстановлен и я. * Из тех же
Отношение тангенсов углападения и угла отраженияравно коэффициенту восста-новления:Отношение тангенсов углападения и угла отраженияравно коэффициенту восста-новления:^~tga：tg^^~tga：tg^k =k =I U1 -冉 II U1 -冉 I(179)(179)уравнений (178) легко получить величину 々,называемую коэффициентом восстановления 1. Имеем
Отношение тангенсов углападения и угла отраженияравно коэффициенту восста-новления:
Отношение тангенсов углападения и угла отраженияравно коэффициенту восста-новления:
^~tga：tg^
^~tga：tg^
k =
k =
I U1 -冉 I
I U1 -冉 I
(179)
(179)
Понятие «коэффициент восстановления» введено в науку Ньютоном. Им же впервые экспериментально определен коэффициент восстановления различных материалов.
В числителе этого равенства мы видим относительную скорость тел после не вполне упругого удара, а в знаменателе—до удара. Величина А всегда положительна, поэтому взято отношение абсолютных величин относительных скоростей. Таким образом, коэффициен г восстановления равен отношению модуля относительной скорости х центров масс соударяющихся тел после прямого центрального удара к модулю относительной скорости их до удара.
Если маленький шарик ударяется о гладкую плиту под углом падения а，0 (рис. 178), то, принимая удар за центральный и раскладывая движение по осям координат, заметим, что ударный импульс направлен перпендикулярно к гладкой плите, а потому проекция скорости шарика на гладкую плиту от удара не изменяется, но изменяется проекция скорости на нормаль к поверхности:一
4 sin а =• % sin 乳 阮、cos а —以】cos (3, откуда
.署， (18°)
т. е. отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления.
Уравнение движения точки переменной Движение точки переменной массы.* Пусть некоторая материальная массы определяется уравне- точка 〃 движется относительно непод- нием И. В. Мещерского“ тс个
,вижнои системы координат xUyz под деи-
"近=尸+石('—°)ствием силы F. Предположим, что масса m
-точки М не остается постоянной, а изме
няется, являясь, например, функцией времени, координат точки М, длины пройденного точкой пути, но не зависит от скорости точки:
пг = m3 х, у, г, s).
В таком случае дифференциальные уравнения (125——127) не выражают движения точки М, так как в этих уравнениях m = const. Дифференциальные уравнения, описывающие движения точки переменной массы, выведены И. В. Мещерским. Процесс изменения массы точки (или тела) он рассмотрел как присоединение к ней новых частиц (^изменяющих масс») или как отделение от нее изменяющих масс. В случае присоединения изменяющие массы положительны, а в случае отделения —отрицательны.
Присоединение или отбрасывание масс возможно лишь при условии, что их скорости не равны скорости точки М. Поэтому в мгновение, в которое изменяющая масса отрывается от точки М или присоединяется к ней, между ними возникает мгновенное взаимо-
действие, аналогичное удару, изменяющее количество движения точки А4. Однако это взаимодействие, конечно, не изменяет количества движения всей материальной системы, состоящей из точки М и изменяющих масс, так как внутренние силы не могут изменить количества движения системы.
Обозначим через № ускорение, получаемое точкой М от присоединения или отбрасывания изменяющих масс, и через ае ——ускорение точки М, от равнодействующей F приложенных к ней сил, обусловленных другими материальными телами. Таким, образом, полное ускорение а точки М складывается из двух составляющих:
aa/ 十户./ 十户.
a
a
/ 十户.
/ 十户.
Руководствуясь принципом гпруемся от влияния внешнихРуководствуясь принципом гпруемся от влияния внешнихнезависимости действия сил, абстра- сил и найдем выражения для проек-
Руководствуясь принципом гпруемся от влияния внешних
Руководствуясь принципом гпруемся от влияния внешних
ций на оси координат ускорения а"- сообщаемого точке М пз^^e- няющими массами.
Пусть в мгновение / масса точки М равна т и ее абсолютная ■ скорость равна и. Изменяющая масса dm в то же мгновение пусть имеет абсолютную скорость и. Через бесконечно малый промежуток времени df, когда изменяющая масса присоединится к точке Л4, их общая скорость ｛】рн отсутствии внешних сил） станет равной V-rdv. Выразим по （159'） проекции количества' движения системы до присоединения к точке М изменяющей массы:
и после присоединения:
Кх - （m + d他）（％ + dvx）.
Приравняем согласно （171） эти два выражения друг другу и после элементарных преобразований получим
Деля на df, найдем проекцию ускорения на ось абсцисс: .或=才=方石网-%）•
Умножив это равенство на массу 川，найдем проекцию прибавок ной силы на ось Ох и аналогично на две другие оси:
而（"x - %）；不（勺一%，）；凉（〃2 一%）.
Учитывая, что, кроме прибавочной силы и независимо от нее, на точку М действует сила Л, проекции которой обозначим X, У и Z, получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы (уравнения И. В. Мещерского)х:
d-x и、
他宿=X4(% -%)：
'"‘* = y+^(旬—%)； .,(181)
Эти равенства справедливы как при dm > 0, так и при dm < 0. Они справедливы и для поступательного движения тела, если центр масс этого тела не перемещается в теле значительно от присоединения к телу или отбрасывания изменяющих масс.
Три уравнения Мещерского можно заменить одним уравнением, написанным в векторной форме,•
du I ~f"、/1 о 1 \
质=尸十％(”—°)・(181)
Задача № 123*. Формула К. 3. Циолковского. Определить скорость ракеты (точки переменной массы) при ее прямолинейном движении и без действия внешних сил, если относительная скорость выбрасываемых газов 少=〃一и постоянна и направлена противоположно скорости ракеты. -
Решение. Направив ось Ох по скорости ракеты, напишем первое из уравнений Мещерского применительно к данному частному случаю:
dv dm
Разделим переменные:
Введем некоторые ограничения на изменение массы, а именно предположим, Wto масса 加 в каждое мгновение пропорциональна значению некоторой функции от времени:(t). При / —0 масса 加=加>
Интегрируя, получаем равенство, которое носит название формулы Циолковского.'
Ответ. v = vit-[-vr In —■ . Это равенство правильнее называть задачей, а не
формулой (см. В. В. Дсбронравов, Н. Н. Никитин и А. П. Дворников, «Курс теоретической механики»).
Горизонтальное движение реактивного самолета .
Задача № 124. Определить закон движения % = %(f) самолета с жидкостным реактивным двигателем на активном и горизонтальном участке полета, положив, что масса самолета изменяется по линейному за кону:
加=加0 (I -a/),
относительная скорость vr отбрасываемых частиц относительно самолета постоянна и аэродинамические силы зависят от квадрата скородтн самолета, т. е. считать силу лобового сопротивления
Q=^c%pSu2
и подъемную силу
P=^CypSv2t
причем отношение коэффициентов сопротивлений («качество самолета》) считать постоянным
包=К = const.
Решение. Направим ось абсцисс горизонтально (рис. 179) по скорости самолета, ось ординат перпендикулярно к ней.
УУНа самолет по вертикальной оси действуют следующие силы: вес G и подъемная сила Р. При горизонтальном полете самолета они уравновешивают друг друга
У
У
mg 土^"CypSM.
qqПо горизонтальной оси на самолет действуют сила лобового сопротивления, направленная против абсолютной скорости и прибавочная сила/ направленная против относительной скорости 勿，т. е. по движению самолета.
q
q
Рис. 179Рис. 179Движение самолета прямолинейное и горизонтальное, его можно описать одним (первым) из уравнений Мещерского (181). В этой задаче оно принимает вид:
Рис. 179
Рис. 179
'ат
Определим квадрат скорости из условия равенства вертикальных снл:
и подставим его в выражение силы лобового сопротивления
0—%丝 к ■
Для определения производной массы по времени, продифференцируем линейный закон изменения массы, заданный в условии задачи
Из тоги же закона видно, что
сип
поэтому
dm am
После подстановки найденных выражений в уравнение Мещерского и сокращения на 加 имеем:
成改_ g 原厶
Интегрируя один раз, получим：
*% =—艮+ m In (1—а£)$&.
Подставляем начальные данные (при £=0, и*-二f&J, имee^f
Получаем следующее выражение изменения скорости самолета в зависимости от времени
也=%*一* + 峭 In (1-а/).
Чтобы получить закон движения самолета, надо в левой части этого выражения представить 。工 как производную от текущей координаты # по времени, разделить переменные и проинтегрировать
х — yo v/ — ^ vrx J 山(1—а0 ^^^2-
Возьмем отдельно последний интеграл
卜п (i — at)山 二二。…&"〃-"^ (1 ―以)In (i — aZ)4-C2. Следовательно,
x~vGxt — ~—^ (1—at) In(i —a力十g (I —a^)H-C2.
Определим C2 по начальным данным, положив, что при / — 0 и % = 0, тогда
a 1 2
Подставив в предыдущее равенство вместо С2 его значение —^~ , найдем закон, определяющий движение самолета на активном участке пути. Естественно, что в эту формулу проекции входят со своими знаками, например, в рассмотренной задаче проекция относительной скорости vix отрицательна, а проекция начальной скорости и%% положительна.
ответ,网% - vrx) / 一患一专"(1 一a/)e U -a0,
ГЛАВА XVI
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
§ 43. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ
Момент количества движения материальной точки относительно центра является динамической характеристикой механического движения точки, выражающейся векторным произведением радиу-Момент количества движения материальной точки относительно центра является динамической характеристикой механического движения точки, выражающейся векторным произведением радиу-са-вектора и количества движения материальной точки:са-вектора и количества движения материальной точки:Момент количества движения материальной точки относительно центра. Во многих задачах динамики, например в небесной механике при изучении движения планет или комет вокруг Солнца, приходится учитывать не только количество движения данной точки, его величину и направле-
Момент количества движения материальной точки относительно центра является динамической характеристикой механического движения точки, выражающейся векторным произведением радиу-
Момент количества движения материальной точки относительно центра является динамической характеристикой механического движения точки, выражающейся векторным произведением радиу-
са-вектора и количества движения материальной точки:
са-вектора и количества движения материальной точки:
иие, но и ее положение по отношению к центру (к Солнцу).
Динамической характеристикой механического движения, учитывающей поло
жение материальной точки (или частицы) по отношению к данному центру, является момент количества движения точки относительно
данного центра.
Пусть количество движения точки М (рис. 180, а) изображается
Рис. 180Рис. 180вектором МВ -К. Опустим из точки О, принятой нами за центр моментов, перпендикуляр (плечо) h на вектор К или на его продолжение. Соединим центр моментов О с началом и с
Рис. 180
Рис. 180
концом вектора К，Нетрудно видеть, что удвоенная площадь треугольника ОМВ равна произведению модуля количества движения К на плечо h (см* § 8). Произведение количества
движения на плечо, или, что то же, удвоенную площадь треугольника ОМВ,
изобразим вектором 厶°, на
правленным от центра 0 перпендикулярно к плоскости ОМВ. Вместе с тем нельзя забывать, что плоскость имеет две стороньь
и вектор Lo мы условимся восставлять с той стороны плоскости, с которой вектор К представлялся бы поворачивающимся вокруг центра 0 против хода стрелок часов. Вектор Lo выражает момент количества движения точки М относительно точки 0. Пользуясь понятиями векторной алгебры, скажем, что момент количества движения Lo точки М относительно точки О (центра) выражается векторным произведением радиуса-вектора г = 0М (рис. 180,6), прове-
денного из данного центра О в данную материальную точку (или частицу) М, и количества движения К этой точки (или частицы):
(182)(182)Т0 = 7хк.
(182)
(182)
Размерность момента количества движения——это размерность количества движения, умноженная на размерность длины. Таким образом, в физической системе
[L% = DM】TT,
а в технической системеа в технической системеединиц момент количества движения имеет размерность первой степени относительно длины, относительно силы и относительно времени:
а в технической системе
а в технической системе
Если точка М (рис. 181) движется в плоскости хОу, то момент количества движения точки М относительно начала координат удобно выражать через координаты % у и проекции количества движения тх, ту. Величина момента количества движения равна произведению Кк, или, как видно из чертежа,
Lo — Kh = mvr sin 6 — mvr sin (a«——a J
Раскроем синус суммы:
Заменив синусы иЗаменив синусы икосинусы их значениямикосинусы их значениямиLo = mvr (sin a&, cos a尸一cos aA^sin a，.
Заменив синусы и
Заменив синусы и
косинусы их значениями
косинусы их значениями
Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения данной материальной точки относительно какой-либо точки этой осиМомент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения данной материальной точки относительно какой-либо точки этой оси
Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения данной материальной точки относительно какой-либо точки этой оси
Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения данной материальной точки относительно какой-либо точки этой оси
cosar =；;cosar =；;cosa* =气；sina. = — ; sinar = —
cosar =；;
cosar =；;
получим окончательно
(183)(183)L0 = m[xvy~yvx).
(183)
(183)
Момент количества движения материальной точки относительно оси. Пусть дана какая-либо ось (рис. 182, а). Возьмем на ней произвольную точку О. Пусть момент количества движения материальной точки М относительно точки О выражается вектором Ln = ОР. Спроецируем вектор Ln на данную ось:
ON = ОР соз 祖
Скалярную величину, равную проекции на данную ось момента количества движения материальной точки относительно какой-либо точки той же оси, называют моментом количества движения материальной точки относительно оси.
Чтобы определить момент количества движения точки М относительно оси, надо спроецировать вектор количества движения К = АВ (рис. 182, б) на плоскость, перпендикулярную оси, и определить величину момента этой проекции ab относительно точки 。пересечения оси и плоскости. В самом деле, модуль момента количества
движения относительно точки О выражается удвоенной площадью треугольника О АВ. Треугольник ОаЬ есть проекция треугольника О АВ, двугранный угол определяется линейным, а потому
2 пл. △ ОаЬ = 2 пл. △ О АВ cos О1,откуда в принятом масштабе
2 пл. △ ОаЬ 匸 OP cos 卄=CW,
что и требовалось доказать.■
Для определения момента количества дви-
Момент количества движения а материальной точки относительно оси Oz связан с координатами х, у этой точки и с проекциями ее количества движения тх, ту соотношениемLz~xmy—ytnxМомент количества движения а материальной точки относительно оси Oz связан с координатами х, у этой точки и с проекциями ее количества движения тх, ту соотношениемLz~xmy—ytnxжения материальной точки относительно координатных осей существуют удобные формулы, к выводу которых мы сейчас приступим.
Момент количества движения а материальной точки относительно оси Oz связан с координатами х, у этой точки и с проекциями ее количества движения тх, ту соотношением
Lz~xmy—ytnx
Момент количества движения а материальной точки относительно оси Oz связан с координатами х, у этой точки и с проекциями ее количества движения тх, ту соотношением
Lz~xmy—ytnx
Пусть х, у, z ——координаты материальной точки (рис. 183), К——вектор количества движения этой точки, а т% 『孔必，и
mv2 ——проекции количества движения на оси координат. Чтобы определить момент количества движения точки относительно оси Ог, надо сначала спроецировать вектор К на плос
кость хОу. Обозначим зту проекцию К%?. Абсцисса 工 н ордината у точки приложения проекции Кху те же, что и у вектора К・ Проекции обоих векторов на оси Ох и Оу также одинаковы. Но, как только
что было показано, величина момента вектора «#歹 относительно на-
чала координат выражается через его проекции и координаты точки приложения формулой (183), следовательно, той же формулой выражается момент количества движения точки относительно оси Oz:
Lz ~ xmvy——ytnvx.
Путем таких же рассуждений выведем аналогичные формулы для
Рис. 183Рис. 183Lx и I, Обозначая точками производные от координат по времени (проекции скоростей), будем иметь:
Рис. 183
Рис. 183
Lx^m(yz — zy)t \ г, Ly^rn(zx~xz),；》；(184)
Lz~m (ху—") •丿
Рис. 184Рис. 184Иным путем эти же формулы можно просто получить из векторного произведения (182), представив его в виде определителя:
Рис. 184
Рис. 184
-* —»I j k.
Lq — г К — л* //2— iiti (yz — zy) -f /ш(2X—工2)-「А(лд—уХ)
"，工 my mz,
и сравнив это равенство со следующим:
L。=①乂 十 j Ly + hLz.
Задача № 125. Материальная точка М (рис. 184) массы m движется согласно уравнениям x~r cos л/, y~f sin nZ, z~r sin л/. Определить момент количества движения точки М относительно начала координат О.
Решение. Определим по формуле (184) моменты количества движения точки М ошосительно осей координат:
Lx = m (г sin п/•厂a cos а/ — г sin л/ -гл cos а/)工0;
Ly = m (— г sin л/ • гл sin л/ — г cos лЛгл cos Е)=—加戸л;
Lz = m (г cos п/•厂口 cos nf + 厂 sin л/• r口 sin 北/)=十 mr-л.
Моменты количества движения материальной точки относительно координатных осей являются проекциями на этн оси момента количества движения той же точки относительно начала координат, поэтому
Lp = k Lx 十 Lj 十 L； = m产汽 p^^.
Направляющие косинусы вектора момента количества движения точки М имеют следующие значения:
cosa_ 二六=0; cos 阮=尸=； 85y乙=厂=%•
Ответ. Момент количества движения точки М постоянен по величине и направлению, равен но модулю /?zr2n М2 и направлен перпендикулярно к оси О*, под углом 135° к оси Оу и под углом 45° к оси Oz.
Главный момент количеств движения материальной системы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:Главный момент количеств движения материальной системы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:Главный момент количеств движения системы. Если дана система материальных точек и некоторый центр О, то, определив моменты KOvinqecTB движения каждой материальной 1очкп относительно этого центра, получим пучок векторов, пересекающихся в центре О. Вектор, равный геометрической сумме всех этих векторов, изображает главный, момент количеств движе
Главный момент количеств движения материальной системы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:
Главный момент количеств движения материальной системы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:
k—nk—nния системы материальных точек относительно данного центра:
k—n
k—n
(185)
Эту же величину называют также кинетическим моментом системы материальных точек относительно данного центра. Главный
момент количества движения системы относительно центра является динамической характеристикой механического движения, учитывающей положение материальной системы по отношению к данному центру. Момент количества движения материаль-
Главный момент количеств движения материальной системы относительно оси равен алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы от-Главный момент количеств движения материальной системы относительно оси равен алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы от-носительно этой осиносительно этой осииой частицы относительно оси —величина скалярная. Поэтому для определения главного момента количеств движения системы материальных точек относительно оси надо взять алгебраическую сумму моментов
Главный момент количеств движения материальной системы относительно оси равен алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы от-
Главный момент количеств движения материальной системы относительно оси равен алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы от-
носительно этой оси
носительно этой оси
количеств движения всех точек системы относительно этой оси:
々=1
Главный момент количеств движения системы относительно оси равен проекции на эту ось главного момента количеств движения той же системы относительно какой-либо из точек оси:
厶工х二「厶」.0 cos a上.
Эту же величину называют также кинетическим моментом системы материальных точек относительно оси.
Для определения главного момента системы относительно координатных осей определим по (184) моменты количеств движения
всех частиц системы ивсех частиц системы изатем просуммируем эти выражения:
всех частиц системы и
всех частиц системы и
/г = л
(186)(186)丄2 mk(ykZk — Zkyk), 论=1
(186)
(186)
fe = /[
几尸 £ тИ2Л —хАгА), 月=1
厶2 ^ (Xkyk — ykX^. fe=l
§ 44. TEQPEMbl О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительнотой же оси: =Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительнотой же оси: =Lx^m(yz—zy). (184)Lx^m(yz—zy). (184)Теорема моментов (для материальной точки). Пусть какая-либо точка массы т движется под действием силы. Напишем выражение момента количества движения этой точки относительно оси Ох:
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительно
той же оси: =
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительно
той же оси: =
Lx^m(yz—zy). (184)
Lx^m(yz—zy). (184)
Дифференцируя по времени левую и правую части этого равенства, получим
告=团(血 + yz 一 zy—zy) - ymz — zmy;
но согласно (126')
tny = Y и mz = Z,
где У и Z——проекции силы, действующей на данную точку. Следовательно,
at '
В правой части мы полумили момент силы относительно оси Ох, как это было показано (23) еще в статике (см. § 9).
Согласно этой теореме, называемой теоремой моментов, производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, действующей на эту точку, относительно той же оси. Теорема доказана для оси Ох, но совершенно аналогично можно доказать ее и для всякой другой оси:
而 =心，而 =1?=检•(187)
Равенства (187) справедливы для любой оси, следовательно, их можно записать и в векторной форме:
午=血.(187)
Словами это равенство читают так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно
какого-либо центра О равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра О.
Если точка движется в одной плоскости, то равенство (187) можно рассматривать как скалярное:
(187")(187")^О—Мat 一仅
(187")
(187")
Математический маятник
Задача № 126. Материальная точка М массы т подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины /, другой конец которой закреплен неподвижно в точке。(рис. 185). Точке М сообщили начальную скорость у0, перпендикулярную нити, и вывели из равновесного состояния («математический маятник»). Определить движение точки при условии, что начальная скорость мала.Решение. На точку действуют собственный вес G = mg и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной начальной скорости математический маятник движется в вертикальной плоскости. Для решения задачи составим уравнение моментов относительно точки О.Обозначим через 屮 угол отклонения маятника, тогда количество движенияЗадача № 126. Материальная точка М массы т подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины /, другой конец которой закреплен неподвижно в точке。(рис. 185). Точке М сообщили начальную скорость у0, перпендикулярную нити, и вывели из равновесного состояния («математический маятник»). Определить движение точки при условии, что начальная скорость мала.Решение. На точку действуют собственный вес G = mg и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной начальной скорости математический маятник движется в вертикальной плоскости. Для решения задачи составим уравнение моментов относительно точки О.Обозначим через 屮 угол отклонения маятника, тогда количество движенияК = /Иф/'Помножив на плечо /, получим момент количества движения:К = /Иф/'Помножив на плечо /, получим момент количества движения:Lo =加屮/久Lo =加屮/久Момент силы натяжения нити относительно всегда равен нулю, а момент силы GMo =——g/ sin 屮=-mgl sin 中.Подставляя в уравнение моментов (187") и/屮=--g sin еР.Момент силы натяжения нити относительно всегда равен нулю, а момент силы GMo =——g/ sin 屮=-mgl sin 中.Подставляя в уравнение моментов (187") и/屮=--g sin еР.точки Оточки ОсокращаясокращаяРис. 185Рис. 185нанат/, получимт/, получим
Задача № 126. Материальная точка М массы т подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины /, другой конец которой закреплен неподвижно в точке。(рис. 185). Точке М сообщили начальную скорость у0, перпендикулярную нити, и вывели из равновесного состояния («математический маятник»). Определить движение точки при условии, что начальная скорость мала.
Решение. На точку действуют собственный вес G = mg и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной начальной скорости математический маятник движется в вертикальной плоскости. Для решения задачи составим уравнение моментов относительно точки О.
Обозначим через 屮 угол отклонения маятника, тогда количество движения
Задача № 126. Материальная точка М массы т подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длины /, другой конец которой закреплен неподвижно в точке。(рис. 185). Точке М сообщили начальную скорость у0, перпендикулярную нити, и вывели из равновесного состояния («математический маятник»). Определить движение точки при условии, что начальная скорость мала.
Решение. На точку действуют собственный вес G = mg и натяжение Т нити. Под действием этих сил и полученной начальной скорости математический маятник движется в вертикальной плоскости. Для решения задачи составим уравнение моментов относительно точки О.
Обозначим через 屮 угол отклонения маятника, тогда количество движения
К = /Иф/'
Помножив на плечо /, получим момент количества движения:
К = /Иф/'
Помножив на плечо /, получим момент количества движения:
Lo =加屮/久
Lo =加屮/久
Момент силы натяжения нити относительно всегда равен нулю, а момент силы G
Mo =——g/ sin 屮=-mgl sin 中.
Подставляя в уравнение моментов (187") и
/屮=--g sin еР.
Момент силы натяжения нити относительно всегда равен нулю, а момент силы G
Mo =——g/ sin 屮=-mgl sin 中.
Подставляя в уравнение моментов (187") и
/屮=--g sin еР.
точки О
точки О
сокращая
сокращая
Рис. 185
Рис. 185
на
на
т/, получим
т/, получим
Чтобы определить движение математического маятника, надо это уравнение проинтегрировать, но оно не интегрируется в элементарных функциях и требует применения эллиптических функций, относящихся к разряду высших трансцендентных функций. Однако в нашей задаче угол 屮 изменяется незначительно, так как точка М до начала движения находилась в наинизшем положении, т. е. в состоянии устойчнвого, равновесия, и получила незначительную скорость. Поэтому мы можем положить
sin 屮 ~ у.
Тогда уравнение принимает вид
屮十 §"屮=°*
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для интегрирования этого уравнения составим характеристическое уравнение
z2 + f"
Корни характеристического уравнения мнимые:
следовательно, общее решение имеет вид
ф —Cj cosф —Cj cos
ф —Cj cos
ф —Cj cos
где Сх и С2 — постоянные интегрирования.
J§sin рЛ| Z + C2J§sin рЛ| Z + C2Определим эти постоянные по начальным данным, для чего предварительно продифференцируем по времени полученное уравнение:
J§sin рЛ| Z + C2
J§sin рЛ| Z + C2
,определим,определим/=0, fl0,伙)/=0, fl0,伙)屮=一e1
,определим
,определим
/=0, fl0,伙)
/=0, fl0,伙)
и затем, подставив начальные данные
&l。，С., —=r .
V gE
Обозначая вторую постоянную буквой а, получим
Это уравнение определяет yro.'i поворота как функнию времени, т. е. является кинематическим уравнением качания математического маятника.
Величину~
К т=*
называют частотой качаний математического маятника. Она связана с периодом тм качаний .uq〃/g”a加〃"戏хомо маятника обратной зависимостью
Тм = 2пТм = 2пВВ
Тм = 2п
Тм = 2п
В
В
Следовательно, период малых качаний математического маятника зависит Только от длины нити и от ускорения g свободно падающего тела.-
Ответ. Малые колебания по дуге радиуса / с периодом
(188)
Если колебания не малые, и sin 屮 нельзя приравнять q?, то колебания мая-
амплитуды I.амплитуды I.ника ^неизохроппы, т. е. период зависит от
амплитуды I.
амплитуды I.
Если момент действующей на материальную точку силы относительно данной оси равен нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси постояненЕсли момент действующей на материальную точку силы относительно данной оси равен нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси постояненИ нтеграл моментов (для материальной точки). В случае, если момент силы, приложенной к данной материальной точке, относительно какой-либо осн, например относительно оси Oz, постоянно равен нулю, то уравнение моментов относительно этой оси имеет вид
Если момент действующей на материальную точку силы относительно данной оси равен нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси постоянен
Если момент действующей на материальную точку силы относительно данной оси равен нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси постоянен
岑=加（切一"）=0.
1 Неизохронность колебаний маятника впервые отметил Пикар (1647 г.).
откуда, интегрируя, получаем
(189)(189)т (尤у—ух) = С.
(189)
(189)
Мн доказали теорему, называемую законом сохранения момента количества движения материальной точки относительно оси. Сформулировать ее можно так: если момент силы, действующей на материальную точку, взятый относительно кйкой-либо оси, постоянно равен нулю, то момент количества движения этой точки относительно той же оси постоянен. Когда на точку действует несколько сил, то здесь (как и везде) под действующей силой мы понимаем равнодействующую.
Момент силы, не равной нулю, относительно оси может равняться нулю только в двух случаях: 1) сила параллельна оси, 2) сила пересекает ось. В обоих этих случаях имеет место закон сохранения момента количества движения относительно данной оси.
Чтобы равнялся нулю момент силы относительно данного неподвижного центра, линия действия силы должна проходить через этот центр. Следовательно, условия сохранения момента количес1ва движения относительно данного центра следующие: 1) равнодействующая сил проходит через этот центр или 2) все силы взаимно уравновешены. В этих случаях
7。= С (189)
Под действием центральнойсилы точка описывает плос-кую траекториюПод действием центральнойсилы точка описывает плос-кую траекториюЦентральная сила *. Пусть к точке М массы m приложена сила F, линия действия которой всегда проходит через неподвижный центр О. Такую силу называют
Под действием центральнойсилы точка описывает плос-кую траекторию
Под действием центральнойсилы точка описывает плос-кую траекторию
центральной. Построим в точке О систему прямоугольных координат хОуг. Моменты силы F относительно осей координат равны нулю,
следовательно, моменты количества движения точки М постоянны.
Обозначим момент количества движения относительно оси Ох буквой 4, относительно оси Оу——буквой В и относительно On ——буквой С:
m(yz —沔)=4, m (zx—xz) = В, m (xy—yx) = C,
где x, у, z——координатьГточки M в какое-либо мгновение, а х, у и z —— проекции скорости точки в то же мгновение. Умножим первое из написанных выражений на координату % точки М, второе—на координату у, третье—на N и сложим их:
m (%必 + xyz 十 xyz—xyz—xyz—xyz) = 4% 十 Bg + Сл, или
Ах + By + Cz-^O.
Мы получили уравнение плоскости. Координаты %, у н z точки М должны удовлетворять -тому уравнению, следовательно, точка М. должна двигаться в этой плоскости. Таким образом, под действием центральной силы точка описывает плоскую траекторию. Например, Земля под действием притяжения к Солнцу движется в плоскости эклиптики.
«Прямая линия, соединяю-щая планету с Солнцем, опи-сывает равные площади вравные промежутки времени»(Кеплер)«Прямая линия, соединяю-щая планету с Солнцем, опи-сывает равные площади вравные промежутки времени»(Кеплер)Рис. 187Рис. 187
«Прямая линия, соединяю-щая планету с Солнцем, опи-сывает равные площади вравные промежутки времени»(Кеплер)
«Прямая линия, соединяю-щая планету с Солнцем, опи-сывает равные площади вравные промежутки времени»(Кеплер)
Рис. 187
Рис. 187
Интеграл площадей*. Равенство (189) является первым интегралом дифференциальных уравнений движения точки для рассмотренного случая. Поэтому его называют интегралом моментов. Его называют также интегралом площадей. Чтобы пояснить это
название, приведем следующую геометрическую интерпретацию.
Планета Р (рис. 186) движется вокруг Солнца О, находящегося в одном из фокусов эллипса. Количество движения планеты изобра-
зим вектором mv, касательным к орбите. Момент количества движения планеты относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости орбиты, равен mv・OB、следовательно, по (189),
тбОВ = С, а так как масса m планеты постоянна, то
ОВ = — = С】,т
Пусть за время 山 планета сместилась на элемент дуги ds = vdt радиус-вектор ОР планеты описал сектор, заштрихованный на чертеже. Площадь этого сектора do равна
da ~ ^ OB' V - dt — dt.
Отсюда видно, что площадь о, описываемая радиусом-вектором планеты, возрастает пропорционально времени % независимо от положения планеты на ее орбитех. Планета движется по своей эллиптической орбите неравномерно. Чем ближе она находится к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите, но площади, описываемые радиусом-вектором за одинаковые промежутки времени, всегда одинаковы, независимо от того, находится планета (рис. 187) в перигелии Р] (ближайшей к Солнцу точке своей орбиты), или в афелии (наиболее удаленной точке), или же где-либо в другом месте своей орбиты. На чертеже белые и заштрихованные части фигуры обозна-
чают равные площади, соответствующие движению планеты за равные промежутки времени, а именно за 1/12 времени полного оборота планеты вокруг Солнца.
' Разумеется, закон площадей справедлив не только для движения планет под действием притяжения к Солнцу. Движение каждой материальной точки под действием всякой центральной силы происходит с постоянной секторной скоростью (о = const).
Напишем выражение интеграла площадей в декартовых координатах:
& = 2о.(189)
Аналогичное выражение в полярных имеет вид
/\р = С[ = 2&.(189")
Эту формулу можно получить из предыдущей преобразованием координат. Она полезна при решении ряда вопросов динамики.
Задача № 127. Материальная точка М (искусственный спутник) движется по эллипсу (рис. 188) под действием силы притяжения к точке О (к центру Земли),
находящейся в одном из фокусов эллипса. Определить скорость и2 точки М в наиболее удаленной от фокуса О точке Р2 ее траектории (в апогее), если скорость в наиболее близком положении Рх (в перигее) равна 8 км/сек, ОРх —6500 &加 и ОР2 = 6600 км.
Решение. Точка движется под действием центральной силы, следовательно, ее момент количества движения относительно точки О постоянен.
Если массу точки обозначим через т, то момент количества движения точки М в положении 孔 получим, умножив массу на скорость и на плечо:
Lo = m-8-6500 = 52 ООО m км^^кг^сек^1.
Аналогично в положении Р2
厶=加•乜2・6600 км^-кг-сек.^1.
Приравнивая друг другу эти два выражения постоянного момента количества движения точки, найдем ее скорость v2.
Ответ. у2 — 7,88 км/сек.
Задача № 128 (№ 28.4, 736 М). Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА (рис. 189), часть которой ОЛ пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC=R, делая
ri。=120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОМЪ при которой гирька описывает окружность радиуса 万 R・ Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
Решение. Применим теорему моментов. К материальной точке (гирьке) приложены две силы: вес гирьки, направленный по вертикали вниз, и натяжение нити, направленное по нити в точку О. Первая из этих сил параллельна оси трубки, вторая пересекает эту ось; следовательно, моменты обоих приложенных к точке сил относительно оси трубки равны нулю, и согласно (189)
Lz — C.
В начале движения гирька описывала окружность радиуса R, делая 〃о=12О об/мин. Обозначая массу гирьки через т, определим момент количества движения гирьки относительно оси z в начале движения:
Когда радиус уменьшился, гирька стала делать п оборотов в минуту, но момент количества движения гирьки относительно оси не изменился:
\ 2 / —
зб ="~зб， откуда п^4п0
Ответ. п = 480 об/мин.'
Некоторые сведения из небесной механики **
Формулы Биие позволяютрешать прямые и обратныезадачи динамики при движе-нии точки под действиемцентральной силыФормулы Биие позволяютрешать прямые и обратныезадачи динамики при движе-нии точки под действиемцентральной силыУравнение Бине. Многие проблемы динамики содержат вопросы о движении точки под действием центральной силы. Сюда относятся задачи небесной механики о движении планет, искусственных спутников,
Формулы Биие позволяютрешать прямые и обратныезадачи динамики при движе-нии точки под действиемцентральной силы
Формулы Биие позволяютрешать прямые и обратныезадачи динамики при движе-нии точки под действиемцентральной силы
задачи теоретической физики о движении электрона в поле ионизированного атома и многие другие задачи. Формулы Бине, к выводу которых мы сейчас приступаем, дают решение обоих основных задач динамики в случаях движения точки под действием одной централь
ной силы.
Под действием центральной силы точка движется в плоскости, а потому ее движение можно описать двумя дифференциальными уравнениями. Напишем эти уравнения в полярных координатах (см. стр. 272), учитывая, что проекция Fr центральной силы F на направление полярного радиуса-вектора равна модулю этой силы (с отрицательным или положительным знаком в зависимости от того, притя
гивает к центру или отталкивает от него центральная сила движущуюся точку), а проекция центральной силы на трансверсальное (перпендикулярное к радиальному) направление равна нулю:
(129)(129)m (Г--г(р2)＞尸，
(129)
(129)
m (« + 2r 屮)н 0.
Здесь, как обычно, г~полярный радиус-вектор, ср——полярный угол, а одной и двумя точками обозначены первая и вторая производные по времени.
Второе из этих уравнений можно один раз проинтегрировать и получить первый интеграл этих уравнений. Для этого запишем второе уравнение в следующем виде:
и далее
空+ 2包=0.
Интегрируя
In q)+ 21пг = In Ci
и потенцируя, получаем знакомое нам равенство
г3(р = С】=2п.(189")
Система уравнений (129) распадается на два отдельных уравнения: г—г(р2 —— =0,
r2(p = 2cr.
Исключая ф, получаем одно уравнение
В этом уравнении произведем следующую замену, использовав равенство (189"):
• dr dr • dr 2a n • r
Г =— • (p =—
at т 1
и аналогичным путем:
dr dr.a3 V
Получаем дифференциальное уравнение относительно у г I 1
4ma2 г t 1 a
Это уравнение позволяет определить центральную силу путем дифференцирования уравнения траектории г = г (ср). В небесной механике ему обычно придают другой вид, заменяя полярный радиус-вектор его обратной величиной 〃 = ；, тогда
Fr = -^u? [и+^.(190)
Это уравнение принадлежит Бине и его обычно называют второй формулой Бине. Первая формула Бине позволяет определить квадрат скорости точки по заданной траектории. Вывод первой формулы Бине удобнее провести тоже в полярных координатах и
для этого воспользуемся известным из курса математики выражением дифференциала дуги в полярных координатах:
ds = I/ (dr产+(川中产
Деля на dt и возводя в квадрат, получим следующее выражение квадрата скорости
Напомним (см. задачу № 35 на стр. 129), что в правой части мы видим сумму квадратов радиальной и трансверсальной скоростей. Определив из равенства 189" дифференциал времени
подставим это значение в предыдущее уравнение, тогда
Введем опять функцию 〃 =《,т. е. примем: г = ~ и dr=—庐.
Внесем эти величины в написанное выше уравнение
* = 4。心十(幫.(191)
Мы получили первую формулу Бине.
Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера**.
Задача № 129. По движению планет солнечной системы определить силу, вызывающую это движение.
Решение. Планеты движутся по законам, открытым Кеплером:
Все планеты (и кометы) движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце
Площади, описываемые радиусом-вектором планеты относительно Солнца, пропорциональны времени L
Для планет (все планеты движутся по эллипсам) квадраты времен обращения относятся, как кубы больших полуосей их орбит .
Уравнение всех конических сечений в полярных координатах имеет вид:
е cos ф '
где р—параметр, е—эксцентриситет (у гипербол е > 1, у парабол е=1, у эллипсов е < 1, у окружностей е = 0). Следовательно, для всех конических сечений имеем:
u——(1+ecos ф) и™ cos ф.
Внесем во вторую формулу Бине
尸=—4a2w2m (丄 + 且cos ср—— cos= —4a2«2 —.
Положим
и, подставив вместо и его обратную величину — , найдем:
Действующая сила притягивает планету к Солнцу, так как ее проекция отрицательна, сила обратно пропорциональна квадрату расстояний; это соответствует закону тяготения. Чтобы доказать всемирность этого закона, необходимо показать, что коэффициент р для всех планет одинаков.
Для этого воспользуемся третьим законом Кеплера:'
—-=—■-=…=const,
где Т],厶…一времена обращений планет, a alt а2...—большие полуоси их эллиптических орбит. Площадь эллипса, описываемого какой-либо 々-й планетой, равна па色匕左.Обозначив о走 ——секторную скорость этой планеты, найдем время ее обращения, разделив площадь на секторную скорость:
nakbk
J纟・
Возведя в квадрат, подставим в предыдущее равенство (третий закон. Кеплера):
№ 碌 b| bk , r ・一£=冗一q=const. % о左QQh
Но квадрат малой полуоси, деленный на большую полуось, есть параметр р эллипса, а потому
质=弘=4
%凉咸厂
Ввиду чего предыдущее равенство принимает вид
или
Ц—1尸 constЦ—1尸 constconst.const.
Ц—1
尸 const
Ц—1
尸 const
const.
const.
Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же осиПроизводная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же оси
Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же оси
Производная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же оси
Следовательно число р постоянно и одинаково для всех планет. Ойо было с большой точностью вычислено Гауссом L поэтому его называют гауссовым числом.
Положив ^ = kM, где М — масса Солнца, получим равенство'
f=—＞，
тяготения Ньютона.тяготения Ньютона.выражающее закон всемирного
тяготения Ньютона.
тяготения Ньютона.
Теорема моментов (для системы). Пусть движение системы материальных точек определяется дифференциальными уравнениями (130).
На всякую точку К, принадлежащую к этой системе, действуют внешние силы, равнодействующая которых F|, и внутренние силы, равнодействующая кото-
Г а у с с. Теория движения небесных тел, 1809 г.
рых 尸｛. Обозначим через М^* момент относительно оси Ох равнодействующей всех внешних сил, приложенных к этой точке; через МК——момент относительно той же оси равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к той же точке; через Mkx—момент относительно Ох равнодействующей всех приложенных к точке сил, как внешних, так и внутренних. Тогда
此х = ^Wfex+^L-
Подставим это выражение в первое из уравнений моментов (187), написанное для этой точки:,
Составим такие же уравнения для всех других точек системы и просуммируем их почленно:
k~n月=“k=n
Согласно закону равенства действия и противодействия внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны, а потому сумма моментов всех внутренних сил системы равна нулю:
k=n
М%х — О-
В правой части остается только первый член (первая сумма). Заменив в левой части сумму производных производной от суммы, получим окончательно уравнение моментов относительно оси 0% (и аналогично для двух другихосей): -
k=nk=n
备Е%=£мк,
论Н Ife= I
k = nhu%
^£以尸£m爲，｝(192)
Сформулируем следующую общую теорему, называемую теоремой моментов системы материальных точек относительно оси: производная по времени от суммы моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно какой-либо оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно той же оси.
Формулировка и содержание этой теоремы очень схожи с теоремой о проекции количеств движения системы, только слова «проекция на ось» заменены здесь словами «момент относительно оси». Эта аналогия существует и между равенствами (169) и (192).
Равенствам (192) можно придать несколько иной вид, если принять во внимание, что алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно какой-либо оси является главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно этой оси, а алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси называется главным моментом системы сил относительно этой оси. Тогда
^ГЛ. х 些"■丿 一 др l£s±Z 工 Me 门92，) dt mrn.xt dt 一”小® dt —仪rgz・ (3 丿
Производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо оси равна главному моменту внешних сил системы относительно той же оси.
Равенства (192。 справедливы для любой оси. Следовательно, их можно записать в векторной форме;
dLrn.o —dLrn.o —М%・ о-М%・ о-(1923(1923
dLrn.o —
dLrn.o —
М%・ о-
М%・ о-
(1923
(1923
Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил системы относительно той же точки.
Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения точек системы относительно этой оси постояннаЕсли сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения точек системы относительно этой оси постояннаИнтеграл моментов (для системы). Если сумма моментов относительно какой-либо оси Ох всех внешних сил системы равна нулю во все время движения, то по (192)
Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения точек системы относительно этой оси постоянна
Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения точек системы относительно этой оси постоянна
откуда получаем интеграл моментов
k = n
(193)(193)2厶在X = С.
(193)
(193)
k— 1
Если же (постоянно) равна нулю сумма моментов всех внешних сил системы относительно точки, то по (192"),
откуда следует, что
k= 1k= 1(193‘)
k= 1
k= 1
Таким образом, если сумма моментов относительно точки О всех внешних сил постоянно равняется нулю, то вектор кинетического момента системы относительно этой точки О остается постоянным во все время движения. Так как вектор Lrn.o сохраняет свое направление в пространстве, то плоскость, перпендикулярная вектору Lrn.o， также остается неизменной. Поясним это примером.
Неизменяемая плоскость*. Солнечная система может быть принята за изолированную механическую систему. Можно считать, что на точки этой системы действуют только внутренние силы и поэтому кинетический момент солнечной системы остается постоян* ным по величине и направлению. Зная скорость, массу и положение каждой планеты, Лаплас, принимая планеты за материальные точки, вычислил кинетический момент 厶⑪.。солнечной системы и определил положение плоскости, перпендикулярной к этому вектору . Эта плоскость имеет большое значение в астрономии. Ее называют Неизменяемой плоскостью Лапласа.
Только что перед этим мы показали, что Земля под действием силы притяжения к Солнцу должна двигаться в плоскости эклиптики. Но на Землю действуют также притяжения других планет солнечной системы, которыми мы пренебрегли, а потому плоскость эклиптики не может считаться неизменной. Притяжения планет друг к другу являются внутренними силами для всей солнечной системы и не влияют на положение неизменяемой плоскости Лапласа. Пуансо уточнил вычисления Лапласа. Он рассматривал каждую планету как тело, движущееся по своей орбите и вращающееся вокруг своей оси, и добавил в уравнения новые члены, вызванные вращением планет вокруг своих осей, но эти члены оказывают лишь незначительное влияние на результат.
Задача № 130 (№ 37.49, 982 М). Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинута веревка; за точку Л веревки ухватился человек весом 尸；к точке 8 подвязан груз того же. веса. Что произойдет с грузом, если человек станет под-Задача № 130 (№ 37.49, 982 М). Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинута веревка; за точку Л веревки ухватился человек весом 尸；к точке 8 подвязан груз того же. веса. Что произойдет с грузом, если человек станет под-ниматься пониматься поверевке со скоростью % относительно веревки (рис. 190,а)?Решение. Требуется nd заданной относительнойверевке со скоростью % относительно веревки (рис. 190,а)?Решение. Требуется nd заданной относительной，守，守4力4力А^А^скорости человека определить движение груза В. Рассмотрим движение всей системы, изображенной на чертеже. На точки системы действуют три внешние силы: вес Р = mg человека, вес Р ~ mg груза и реакция в оси блока; натяжение веревки является внутренней силой в рассматриваемой системе (рис. 190,6).Механическое движение человека передается грузу в виде механического же движения. В подобных случаях обычно бывает полезно применятьскорости человека определить движение груза В. Рассмотрим движение всей системы, изображенной на чертеже. На точки системы действуют три внешние силы: вес Р = mg человека, вес Р ~ mg груза и реакция в оси блока; натяжение веревки является внутренней силой в рассматриваемой системе (рис. 190,6).Механическое движение человека передается грузу в виде механического же движения. В подобных случаях обычно бывает полезно применятьтеоремы о количестве движения илитеоремы о количестве движения или〃丿〃丿6)6)В данной задаче, чтобы .реакцию в оси, применим системы относительно осиВ данной задаче, чтобы .реакцию в оси, применим системы относительно осиРис.Рис.190190月=2月=2исключить теорему о вращенияk~2исключить теорему о вращенияk~2его моменте, неизвестную моментах для блока:его моменте, неизвестную моментах для блока:
Задача № 130 (№ 37.49, 982 М). Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинута веревка; за точку Л веревки ухватился человек весом 尸；к точке 8 подвязан груз того же. веса. Что произойдет с грузом, если человек станет под-
Задача № 130 (№ 37.49, 982 М). Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинута веревка; за точку Л веревки ухватился человек весом 尸；к точке 8 подвязан груз того же. веса. Что произойдет с грузом, если человек станет под-
ниматься по
ниматься по
веревке со скоростью % относительно веревки (рис. 190,а)?
Решение. Требуется nd заданной относительной
веревке со скоростью % относительно веревки (рис. 190,а)?
Решение. Требуется nd заданной относительной
，守
，守
4力
4力
А^
А^
скорости человека определить движение груза В. Рассмотрим движение всей системы, изображенной на чертеже. На точки системы действуют три внешние силы: вес Р = mg человека, вес Р ~ mg груза и реакция в оси блока; натяжение веревки является внутренней силой в рассматриваемой системе (рис. 190,6).
Механическое движение человека передается грузу в виде механического же движения. В подобных случаях обычно бывает полезно применять
скорости человека определить движение груза В. Рассмотрим движение всей системы, изображенной на чертеже. На точки системы действуют три внешние силы: вес Р = mg человека, вес Р ~ mg груза и реакция в оси блока; натяжение веревки является внутренней силой в рассматриваемой системе (рис. 190,6).
Механическое движение человека передается грузу в виде механического же движения. В подобных случаях обычно бывает полезно применять
теоремы о количестве движения или
теоремы о количестве движения или
〃丿
〃丿
6)
6)
В данной задаче, чтобы .реакцию в оси, применим системы относительно оси
В данной задаче, чтобы .реакцию в оси, применим системы относительно оси
Рис.
Рис.
190
190
月=2
月=2
исключить теорему о вращения
k~2
исключить теорему о вращения
k~2
его моменте, неизвестную моментах для блока:
его моменте, неизвестную моментах для блока:
Внутренние силы не входят в уравнение моментов. Сумма моментов двух сил Р равна нулю, так как моменты этих сил равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, мы имеем интеграл моментов (193)
L]# 十"# = С.
Определим моменты количеств движения точек системы. Момент количества движения человека равен произведению его массы на скорость и на плечо. Под
скоростью в этих теоремах следует понимать абсолютную скорость. В условии задачи дана скорость человека относительно веревки. Чтобы получить абсолютную скорость, надо добавить к vr переносную скорость, которой является скорость веревки (среды). Направления относительной и переносной скоростей в данном случае противоположны, поэтому абсолютная скорость выразится их разностью, и момент количества движения человека относительно оси блока равен
к=—т(и, —%)九
Знак минус поставлен потому, что вектор количества движения человека направлен по ходу часов относительно оси блока.
У груза В имеется только одна скорость — скорость % веревки. Поскольку нет относительной скорости груза, его переносная скорость одновременно является и абсолютной, и момент количества движения груза равен
Интеграл моментов принимает следующий вид:
—th (vr — %) г + mver — С.
Определим постоянную интеграции С. В начальное мгновение человек был неподвижен. Скорость веревки тоже равнялась нулю, следовательно, С = 0. Решая уравнение относительно %, находим ответ.
Ответ. Груз будет подниматься вместе с веревкой со скоростью
%4
Закон моментов в относительном движении системы имеет тот же вид, что и в абсолют-Закон моментов в относительном движении системы имеет тот же вид, что и в абсолют-ном движении, если ось мо-ментов проходит через центрмасс системыном движении, если ось мо-ментов проходит через центрмасс системыЗакон моментов при относительном движении Во многих случаях абсолютное движение системы целесообразно рассмат-
Закон моментов в относительном движении системы имеет тот же вид, что и в абсолют-
Закон моментов в относительном движении системы имеет тот же вид, что и в абсолют-
ном движении, если ось мо-ментов проходит через центрмасс системы
ном движении, если ось мо-ментов проходит через центрмасс системы
ривать как составное, состоящее из переносного поступательного движения вместе с центром масс и относительного движе
ния относительно осей х'С”, движущихся поступательно вместе с
центром масс.
Чтобы определить это относительное движение, надо к силам, действующим на каждую материальную частицу, добавить кориолисовы силы инерции (см. § 40): поворотные и переносные.
Таким образом, чтобы получить теорему моментов для относительного движения системы, нужно в правую часть уравнений (192) добав.ить сумму моментов всех кориолисовых сил инерции.
Поскольку переносное движение поступательное, поворотные кориолисовы силы равны нулю. Что же касается переносных кориолисовых сил, то при переносном поступательном дЕижении все они параллельны между собой и направлены против ускорения центра масс, а по величине каждая равна произведению массы частицы на ускорение центра масс. Равнодействующая таких сил равна произведению массы системы на ускорение центра масс, и центр параллельных сил, в котором приложена равнодействующая, совпадает с центром масс.
Но, по теореме Вариньона, момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих, а следовательно, сумма моментов всех кориолисовых сил относительно осей, проходящих через центр
масс, равна нулю. Поэтому теорема моментов для относительного движения системы выражается совершенно так же (192), как и для абсолютного, если переносное движение есть поступательное движение вместе с центром масс.
§ 45. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Главный момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость:厶 Z = J*Главный момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость:厶 Z = J*Главный момент количества движения вращающегося тела. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Построим систему координатных осей хОуг, приняв ось вращения за ось Oz. Будем рассматривать это тело как состоящее из множества материальных точек. Тогда
Главный момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость:
厶 Z = J*
Главный момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость:
厶 Z = J*
главный момент количества движения тела относительно оси Oz
определится формулой (186):
(186)(186)^ГЛ. z= a mk (ХЛу — УиА%)・
(186)
(186)
Проекции скоростей точек вращающегося тела выразим формулами
Эйлера:〜
.以4 = —%①；Vky = + /3.(89)
Подставляя (89) в (186) и вынося общий множитель со за знак суммы, получим
4工.z = 3 £叫做+威)■
Обозначим
厶=2加佗⑴+奠)(194)
и назовем эту сумму моментом инерции твердого тела относи^ тельно оси О/. Тогда '
Lg. z =」2；з. (195)
Как видно из (194), момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений массы тА каждой материальной частицы на квадрат расстояния xl + у1 = г* этой частицы от оси и является величиной существенно положительной. Поэтому знак 厶皿.彳 всегда совпадает со знаком со. ，
Словами равенство (195) можно выразить так: кинетический мо- момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно той же оси.
Дифференциальным уравнением вращения тела вокруг данной неподвижной оси Oz являемся уравнениеДифференциальным уравнением вращения тела вокруг данной неподвижной оси Oz являемся уравнениеДифференциальное уравнение вращения тела. Подставим выражение (195) в уравнение моментов (192):
Дифференциальным уравнением вращения тела вокруг данной неподвижной оси Oz являемся уравнение
Дифференциальным уравнением вращения тела вокруг данной неподвижной оси Oz являемся уравнение
илиили厶3 =
или
или
(196)(196)J^- = Мгл.2-
(196)
(196)
Принимая во внимание известные из кинематики соотношения, перепишем это равенство в следующей форме:
厶е = М；л・2,(196)
или.
-厶需=m*2.(196")
Зная моменты внешних сил, приложенных к вращающемуся твер-； дому телу, можно найти вторую производную от угла поворота по времени. Интегрируя полученное уравнение, можно выразить угол поворота 屮 как функцию времени t и определить вращение те厶а. Конечно, при интегрировании появятся. две постоянные, который надо определить по начальным данным, т. е. по начальным значе- НИЯМ屮Н才.
Уравнение (196) называют дифференциальным уравнением вра
щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Плоское движение тела опи« сывают: уравнениями движения центра масс и уравнение ем вращения вокруг цент* ральной оси, перпендикулярной плоскости движенияПлоское движение тела опи« сывают: уравнениями движения центра масс и уравнение ем вращения вокруг цент* ральной оси, перпендикулярной плоскости движенияДифференциальное уравнение плоского движения тела*. Если твердое тело двн， жется в плоскости, то его движение мож* но рассматривать как состоящее из поступательного движения вместе с полюсом и относительного вращательного вокру? оси, проходящей через полюс перпендику
Плоское движение тела опи« сывают: уравнениями движения центра масс и уравнение ем вращения вокруг цент* ральной оси, перпендикулярной плоскости движения
Плоское движение тела опи« сывают: уравнениями движения центра масс и уравнение ем вращения вокруг цент* ральной оси, перпендикулярной плоскости движения
лярно плоскости движения.
При относительном движении необходимо учесть кориолисовы силы. Но если за полюс принять центр масс тела, то, как было показано, момент этих сил равен нулю, а потому дифференциаль
ные уравнения плоского движения тела имеют вид:
тхс = ^ xk, ту С = 2 ^, ^г<Р = 2 ^г-(197)
Задача № 131. Шкив (рис. 191) радиуса г— 20 см и веса 3,27 кГ приводится во вращение ременной передачей. Определить натяжение Тг ведущей и T2 ведомой ветвей ремня, считая 7,1 = 2Т2> если шкив, принимаемый за тонкий обод, вращается с угловым ускорением 1,5 сек—2, а момент сопротивления Мсопр~— {кГ^м.
Решение. Задача задана в технической системе единиц. Примем при решении задачи L в см,尸——в кГ и Т — в сек. Составим дифференциальное уравнение вращения шкива.
На шкив действуют: момент натяжения ведущего ремня М1 = Т1г^2Т2г; момент натяжения ведомого ремня Л/2=—Т^\ момент сопротивления Мсопр~—100 кГ•см} моменты прочих сил (вес шкива, реакции подшипников) равны нулю. Главный момент внешних сил относительно оси вращения равен алгебраической сумме составляющих моментов:
Mg = T2・2J—100.
Момент инерции шкива, принимаемого за тонкий обод, равен сумме произведений массы % каждой частицы обода на квадрат ее расстряния х^ + ^| ™г3 от сси вращения шкива:
k=n
£加“2 =加曰 J = 1,333 кГ'см-сек^.
Уравнение (196) принимает вид
1,333，1,5 = 7m20 - 100,
откуда находим Т2. Натяжение Тх ведущего ремня вдвое больше.
Ответ. Ti= 10,2 кГ, 72 = 5,1 кГ или в СИ Т±~ 100 н, 7\ = 50 «.
Физическим маятником называют твердое тело, способное качаться относительно осиФизическим маятником называют твердое тело, способное качаться относительно осипод действием собственногопод действием собственногоФизический маятник. Твердое тело, закрепленное на горизонтальной или на наклонной оси так, что оно может качать-Физический маятник. Твердое тело, закрепленное на горизонтальной или на наклонной оси так, что оно может качать-ся относительно этой оси под действиемся относительно этой оси под действиеммаятником. Определим период горизонтальной оси. Обозначим скостью, проведенной через осьмаятником. Определим период горизонтальной оси. Обозначим скостью, проведенной через осьсобственного веса, называют физическимсобственного веса, называют физическимкачаний физического маятника на буквой ф угол, составляемый пло- подвеса О и центр масс С маятникакачаний физического маятника на буквой ф угол, составляемый пло- подвеса О и центр масс С маятника
Физическим маятником называют твердое тело, способное качаться относительно оси
Физическим маятником называют твердое тело, способное качаться относительно оси
под действием собственного
под действием собственного
Физический маятник. Твердое тело, закрепленное на горизонтальной или на наклонной оси так, что оно может качать-
Физический маятник. Твердое тело, закрепленное на горизонтальной или на наклонной оси так, что оно может качать-
ся относительно этой оси под действием
ся относительно этой оси под действием
маятником. Определим период горизонтальной оси. Обозначим скостью, проведенной через ось
маятником. Определим период горизонтальной оси. Обозначим скостью, проведенной через ось
собственного веса, называют физическим
собственного веса, называют физическим
качаний физического маятника на буквой ф угол, составляемый пло- подвеса О и центр масс С маятника
качаний физического маятника на буквой ф угол, составляемый пло- подвеса О и центр масс С маятника
с вертикальной плоскостью. Будем считать, что на фйзический маятник действуют только его вес G и реакция оси подвеса (рис. 192). Для составления дифференциального уравнения качаний физического маятника воспользуемся (196)
丿屮=—Gc sin ср.
Здесь J—момент инерции физического маятника относительно оси подвеса и с—расстояние центра масс от оси подвеса.
Если угол ср достаточно мал, то, полагая sinq)«<р, получим
屮+7屮=0,
т. е. дифференциальное уравнение, уже проинтегрированное нами в задаче № 126 и др. Оно описывает гармонические колебания, частота которых
а периода период% = 2л J/^ 瓦.% = 2л J/^ 瓦.(198)(198)
а период
а период
% = 2л J/^ 瓦.
% = 2л J/^ 瓦.
(198)
(198)
Длину / математического маятника с таким же периодом качаний, что и данный физический, называют приведенной длиной физического маятнике^. Чтобы определить эту длину, приравняем период тм качаний математического маятника —
тм = 2л )/1 (188)
(см. стр. 320) периоду тф качаний физического маятника. Получим
(199)
Отложим от точки О (рис. 193) по прямой ОС отрезок О А, равный приведенной длине физического маятника. Точку Л называют
центром качания маятника, а ось, проведенную через центр качания параллельно оси подвеса маятника,—ось/о качания маятника. Если ось качания сделать осью подвеса, то период качаний не изменится. Это свойство использовано в «оборотном маятнике Катера» для гравиметрических измерений.
Момент инерции твердого тела относитель- Моментом инерции твердого но оси. Как видно из уравнений (196),
тела относительно оси называют меру инерции этого тела при его вращательном движении вокруг данной оси, выражающуюся суммой произведений массы каждой материальной частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:k = nJ 削紋月fe= 1тела относительно оси называют меру инерции этого тела при его вращательном движении вокруг данной оси, выражающуюся суммой произведений массы каждой материальной частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:k = nJ 削紋月fe= 1угловое ускорение тела зависит не только от момента приложенных к нему внешних енп, но и от момента инерции 7 тела относительно оси вращения. Чем больше момент инерции тела, тем больший враща” ющий момент нужен, чтобы сообщить телу заданное угловое ускорение s.
тела относительно оси называют меру инерции этого тела при его вращательном движении вокруг данной оси, выражающуюся суммой произведений массы каждой материальной частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:
k = n
J 削紋月fe= 1
тела относительно оси называют меру инерции этого тела при его вращательном движении вокруг данной оси, выражающуюся суммой произведений массы каждой материальной частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:
k = n
J 削紋月fe= 1
Отсюда можно сделать заключение, что момент инерции твердого тела относительно оси вращения имеет такое же значение при вращательном движении тела, какое имеет
масса тела при его поступательном движении или же масса одной материальной частицы при движении этой частицы.
Следовательно, момент инерции твердого тела относительно оси есть мера инерции этого тела при вращательном движении вокруг данной оси.
Момент инерции тела относительно оси зависит только от масс частиц тела и от их распределения в теле. Исследование моментов инерции, определение центра масс и некоторые другие проблемы, связанные с распределением масс, составляют предмет геометрии масс.
Так как момент инерции является понятием геометрии масс и не зависит от вращения тела, то, очевидно, можно определять моменты инерции не только вращающихся тел относительно оси вращения, но также и тел, не вращающихся относительно любой неподвижной оси. Мы можем считать, что момент инерции неподвижного тела относительно любой оси явится мерой инерции этого тела в случае, если оно будет вращаться вокруг этой оси. Таким образом, момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела в его вращательном движении (реальном или воображаемом) вокруг этой оси.
Момент инерции, как и вращение, является понятием, присущим только телу. В применении к материальной точке оно теряет всякий смысл. Поэтому момента инерции материальной точки не существует.
Если даны твердое тело и координатные оси, то, разбивая мысленно это тело на л элементарных частиц, обозначая массу k-й частицы через тА, ее координаты——через 尤后 yk и zk (где k принимает последовательно все значения от 1 до п), мы можем написать следующие выражения момента инерции тела относительно осей координат:
w(威+z亂
£ 叫觴+ у z(194)
k~ п
厶=wm八篠+发).
k = 1丿
Вообще, если дано какое-либо тело и какая-либо ось и если это тело разбить мысленно,на элементарные массы m15 т2, т3, ..., тп и обозначить расстояния частиц от оси соответственно rn r2, г§,...,厂君, то момент инерции тела относительно оси выразится суммой
J = m/? + m2r^ + m3r| + . .. + mnr^, J = ^)^zt (200)
Таким образом, момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений, полученных от умножения массы каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от оси.
Размерность момента инерции в физической системе единиц и в технической системе единиц:
Uk = L2M】т。,[〃т = и 户「・
Если тело, момент инерции которого определяют, имеет правильную геометрическую форму и масса в нем распределена непрерывно, то сумму (200) следует заменить интегралом
J = J гЧт,(200，)
распространенным по всей массе тела.
尸аднусом инерции тела относительно данной оси называют такую величину, имеющую размерность длины, иа квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции этого тела относительно дайной оси:尸аднусом инерции тела относительно данной оси называют такую величину, имеющую размерность длины, иа квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции этого тела относительно дайной оси:Радиус инерции. Только в том случае, если все частицы тела отстоят от оси на одинаковом расстоянии, 产 выходит за знак интеграла (200‘)и момент инерции тела выражается произведением квадрата этого расстояния на массу тела. Такой случай можно представить себе, если предположить, что вся масса тела расположена по поверхности круглого цилиндра, построенного вокруг данной оси. В технике (например, в различных каталогах) часто
尸аднусом инерции тела относительно данной оси называют такую величину, имеющую размерность длины, иа квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции этого тела относительно дайной оси:
尸аднусом инерции тела относительно данной оси называют такую величину, имеющую размерность длины, иа квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции этого тела относительно дайной оси:
вместо значения момента инерции какой-либо детали машины или какого-либо иного тела приводят так называемый радиус инерции этого тела относительно данной оси, понимая под этим радиус такого воображаемого круглого полого цилиндра, построенного вокруг данной оси, который обладает той же массой tn и тем же моментом инерции J относительно этой оси, что и данное тело. Иными словами, под радиусом инерции ги тела относительно данной оси понимают такую величину, имеющую размерность длины, на квадрат которой надо умножить массу тела, чтобы получить значение момента инерции тела относительно этой оси:
「1/沙(201)
Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции того же тела относительно оси, ей параллельнойt но проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат рас-Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции того же тела относительно оси, ей параллельнойt но проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат рас-Теорема о параллельных осях. Найдем зависимость между моментами инерции одного и того же тела относительно различных осей, параллельных между собой. Пусть известен момент инерции тела относительно некоторой оси Cz, проходящей через центр масс С тела, и требуется
Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции того же тела относительно оси, ей параллельнойt но проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат рас-
Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции того же тела относительно оси, ей параллельнойt но проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат рас-
стояния между осями： определить момент инерции тела относи>J& = 〃c + mc2тельно оси Oz\ ей параллельной и отсто-
(Эйлер)ящей от нее на расстоянии с. Следуя
Эйлеру, построим прямоугольные координатные оси с началом в центре масс С, направив ось Су в плоскости обеих осей (рис. 194).
Если координаты какой-либо материальной частицы К данного тела обозначим через %无,у左,zki то квадрат расстояния этой частицы от оси Oz‘ определится из треугольника ^^L по теореме косинусов:
r'k =(xl + yl) +с2 ~2с /丽万I cos а, или
r'k =(xl + yl) + c2—2cyk.
Зная квадрат расстояния каждой частицы тела от оси 0zf, мы легко определим момент инерции тела, для чего составим сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния от осн k—n々=〃k~n
Jz，= 5 叫僞十说)+ 2 ^c2 —2 2 cmkyk.k~ 1k= 1k~ 1
расстояния с между осями, арасстояния с между осями, а2 171忠卜 является статическим2 171忠卜 является статическимВынесем общий множитель с за знаки второй и третьей сумм. Первый член правой части выражает момент инерции JzC тела относительно центральной оси О, второй член равен произведению суммы масс всех материальных частиц (т. е. массы всего тела) на квадрат третий член равен нулю, так как моментом масс относительно центральной оси. Получаем
расстояния с между осями, а
расстояния с между осями, а
2 171忠卜 является статическим
2 171忠卜 является статическим
Jz^ = Jzc + ^.(202)
Словами равенство (202) можно прочитать так: момент инерции тела относительно оси равен моменту инерции того же тела отно- 夕 сительно оси, проведенной через центр масс тела параллельно данной оси, сложенному с произве- ■ дением массы тела на квадрат расстояния между осями.
Если надо определить момент инерции тела по известному моменту инерции того же тела относительно оси, параллельной данной, но не проходящей через центр масс, то, проведя через центр масс параллельную ось, можно для двух данных осей написать соотношения
J^ = JZo + mcl и J/ ^=JzQ + 加唸 откуда непосредственно вытекает
Jz，= J%" + 加(£ —喲,(203)
где с】и с?—расстояния центра масс от данных осей.
Это равенство позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, если известен момент инерции этого тела относительно какой-либо параллельной оси л известно положение центра масс1.
Если известны три момента инерции и три центробежных момента инерции тела относительно осей координат, то можно вычислить его момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат: J — Jxcos2a+ +' Jу COS2 6 +厶 cos2 у ——2Jg・z COS В cos у ——2JZ"K cos y cos a ——2厶.》cos a cos pЕсли известны три момента инерции и три центробежных момента инерции тела относительно осей координат, то можно вычислить его момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат: J — Jxcos2a+ +' Jу COS2 6 +厶 cos2 у ——2Jg・z COS В cos у ——2JZ"K cos y cos a ——2厶.》cos a cos pТеорема о пересекающихся осях**. Пусть дано некоторое тело, оси координат xOyz и какая-либо ось ОД, составляющая с осями координат углы а, § и 丫. Распределение масс тела относительно координатных осей известно, и требуется определить момент инерции тела относительно оси 04
Если известны три момента инерции и три центробежных момента инерции тела относительно осей координат, то можно вычислить его момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат: J — Jxcos2a+ +' Jу COS2 6 +厶 cos2 у —
—2Jg・z COS В cos у —
—2JZ"K cos y cos a —
—2厶.》cos a cos p
Если известны три момента инерции и три центробежных момента инерции тела относительно осей координат, то можно вычислить его момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат: J — Jxcos2a+ +' Jу COS2 6 +厶 cos2 у —
—2Jg・z COS В cos у —
—2JZ"K cos y cos a —
—2厶.》cos a cos p
этой частицы равен сумме квадратов ее координат:этой частицы равен сумме квадратов ее координат:Рассмотрим сначала одну произвольную материальную частицу К данного тела (рис. 195). Квадрат радиуса-вектора ОК
этой частицы равен сумме квадратов ее координат:
этой частицы равен сумме квадратов ее координат:
илиилитак KN OKтак KN OKOK2 = xl + yl + zl
или
или
так KN OK
так KN OK
0№ =罐 + 必 + ^) (cos2 a + cos2 卩 + cos2 Y),
как последняя скобка равна единице. Опустим перпендикуляр на ось ОД. Отрезок ON является проекцией радиуса-вектора на ось 04:
ON = /cos a + yk cos P ++ 办 cosy.
Квадрат расстояния произвольной частицы К от оси ОД определим из прямоугольного треугольника 6nk：
+ 成 + 之今)(cos? a + cos2 p +
+ cos2 Y)—(勺 cosa + 十坎COS0 + L cosy)2,
или
嚏=(yl + 4) COS2 a + 傢 + 啕 cos2 p + (xl + 仇)cos3 丫一——2y电之左 cos p cos у— 2zkxk cos 丫 cos a — 2xkyk cos a cos §•
Зная квадрат расстояния частиц тела от данной оси, мы легко определим момент инерции тела, для чего составим сумму произве-
Доказана Эйлером (1765 г.).
дений массы каждой частицы на квадрат расстояния:
J = Jxcos2а + Jy cos2 р +Jzcos2у—27^.2cos 卩 cosy—
—2Л?，* cos ”о$а — 2J“ cos a cos P，(204)
где J#, Jy и Jg——моменты инерции тела относительно осей координат, а
A'-г ~ £加走总；
/2.*= 2 m"/为；＞ j j(205)
k—n
т. e. суммы произведений массы каждой частицы тела на две координаты этой частицы—центробежные моменты инерции тела или произведения инерции. Индекс справа и снизу буквы J соответствует координатам, произведения которых стоят под знаком суммы. Между индексами ставят точку, означающую произведение. Центробежные моменты инерции имеют размерность моментов инерции, но в отличие от них могут быть как положительными, так и отрицательными величинами или равняться нулю.
Три взаимно перпендикулярные координатные оси, проведенные через данную точку в таких направлениях, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, называют главными осями инерции тела в этой точкеТри взаимно перпендикулярные координатные оси, проведенные через данную точку в таких направлениях, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, называют главными осями инерции тела в этой точкеЭллипсоид инерции**. Если мы будем изменять направление оси ОАУ то будет изменяться и момент инерции тела относительно этой оси. Зависимость момента инерции тела относительно направления оси может быть легко представлена следующим геометрическим построением. Проведем через начало координат всевозможные направления и вдоль каждого направления
Три взаимно перпендикулярные координатные оси, проведенные через данную точку в таких направлениях, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, называют главными осями инерции тела в этой точке
Три взаимно перпендикулярные координатные оси, проведенные через данную точку в таких направлениях, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю, называют главными осями инерции тела в этой точке
отложим отрезок 0乂 = "^^, где J—момент инерции тела относительно той осн, вдоль которой отложен отрезок ОМ.
Определим' геометрическое место точек М, для чего найдем их координаты:
cos a;= —— cos р; z— 一 cosy.
Отметим тут же, что к, у \\ z не могут быть бесконечно большими, потому что момент инерции J не может равняться нулю, а направляющие косинусы, конечно, меньше единицы. Из этих равенств определим направляющие косинусы:
cos а = % / J ; cos § = у]/ J ; cos 丫 = z J J .
Подставив выражения направляющих косинусов в (204) и сократив на J, получим уравнение второго порядка:
Jxx2 + J^ + J ^~2J у,гуг — 2Jz.xzx— 2Jx.yxy = 1.(206)
Этому уравнению удовлетворяют координаты точек Mt а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы от〃о~ женных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции. Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через ату точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наи* меньший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центрсбежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции 之 в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает вид
J = JX cos а + cos2 Р +J3 cos2 у. (204‘)
Если эллипсоид инерции построен для центра масс тела, то его называют центральным эллипсоидом инерции, а его главные оси―> главными центральными осями инерции.
размерностью величину, ности момента инерции, графические построения, каждой оси, проходящейразмерностью величину, ности момента инерции, графические построения, каждой оси, проходящейРадиус-вектор и все длины в эллипсоиде инерции Коши имеют
размерностью величину, ности момента инерции, графические построения, каждой оси, проходящей
размерностью величину, ности момента инерции, графические построения, каждой оси, проходящей
обратную квадратному корню из размер- что вносит ряд осложнений, особенно в Значительно удобнее откладывать вдоль через данную точку 4 не как уста-
выразить его полуоси ввыразить его полуоси вновил Коши, а величину f , где JА (полярный момент инерции тела относительно той точки. Л, в которой строят эллипсоид инерции) и масса т——величины, постоянные для данного эллипсоида инерции . Это не видоизменяет эллипсоида инерции, но позволяет
выразить его полуоси в
выразить его полуоси в
единицах длины, так как их размерность:
=L.=L.
=L.
=L.
Если фигура лежит в плоскости хОу, то ]г ~ Jx + JуЕсли фигура лежит в плоскости хОу, то ]г ~ Jx + JуТеорема о плоской фигуре. Докажем еще одну теорему, называемую теоремой о плоской фигуре и полезную при решении мно-
Если фигура лежит в плоскости хОу, то ]г ~ Jx + Jу
Если фигура лежит в плоскости хОу, то ]г ~ Jx + Jу
гих задач. Материальные тела, одно из измерений которых значи-
тельно меньше двух остальных, в механике часто принимают за плоские материальные фигуры. Так возникло понятие момента инерции плоской фигуры. Пусть любая плоская фигура лежит в плоскости хОу. В таком случае координаты z左 точек этой фигуры равны нулю и моменты инерции (194) относительно координатных осей:
厶=》映媒^ = 2^4,厶=£叫(殮+©
(207)(207)Складывая два первых равенства, получаем третье; следовательно, для всякой плоской фигуры, лежащей в плоскости xOyt
(207)
(207)
/z =(+厶
независимо от направления в этой плоскости осей Ох и Оу.
Момент инерции тела относительно начала координат равен полусумме трех моментов инерции относительно координатных осей или сум-Момент инерции тела относительно начала координат равен полусумме трех моментов инерции относительно координатных осей или сум-Моменты инерции тела относительно полюса и плоскости. Наряду с моментом инерции тела относительно оси применяют понятия: момент инерции тела относительно полюса (иначе называемый моментом инер-
Момент инерции тела относительно начала координат равен полусумме трех моментов инерции относительно координатных осей или сум-
Момент инерции тела относительно начала координат равен полусумме трех моментов инерции относительно координатных осей или сум-
ме трех моментов инерции Щ1И относительно точки, или полярным относительно координатных моментом инерции) и момент инерции от- плоскостей ■「，‘
носительно плоскости \ (иначе называемый моментом инерции Бине).
Эти величины не имеют самостоятельного физического смысла и
служат как вспомогательные для вычисления моментов инерции относительно оси и для разработки их теории. Математически они выражаются суммами (200), в которых rk означает расстояние материальной частицы от полюса или плоскости. У полярных моментов
инерции индекс справа внизу означает полюс, индекс у момента инерции относительно плоскости обычно состоит из двух букв, означающих эту плоскость, причем между буквами не ставят точки в отличие от центробежных моментов инерции (205).
В прямоугольных координатах моменты инерции тела относительно начала и координатных плоскостей выражают суммами:
Jo = k^mk(xl + yl + zl)(208)
k-nk-n々二〃
Jyz= £加岗；£团圆 厶У= 2m添•(2°9)
k=iA=1
Складывая три момента инерции относительно координатных плоскостей (209), получим момент инерции относительно начала координат (208). Аналогично, складывая три момента инерции относительно координатных осей (194), получим удвоенный момент инерции относительно начала координат, следовательно:
(厶+ Jy + JJ = (Jyz + 丿2苫 + J&y)・ (210)
Обратим внимание на то, что равенство (210) остается справедливым независимо от направления осей координат.
1 Предложены Бине в 1813 году.
Примеры вычисления моментов инерции i
Задача № 132. Определить момент нейного стержня длины / относительно оси, перпендикулярной стержню в его конце. Вычисления провести с различной точностью: сосредоточив массу 加 стержня в двух точках, в четырех точках, в восьми точках и учитывая, что масса распределена по стержню непрерывно и равномерно.Решение. 1) Разделим мысленно стержень на две равные части и- массу каждой половины сосредоточим в ее середине (рис. 196, а). Момент инерции стержня подсчитаем по (200) какЗадача № 132. Определить момент нейного стержня длины / относительно оси, перпендикулярной стержню в его конце. Вычисления провести с различной точностью: сосредоточив массу 加 стержня в двух точках, в четырех точках, в восьми точках и учитывая, что масса распределена по стержню непрерывно и равномерно.Решение. 1) Разделим мысленно стержень на две равные части и- массу каждой половины сосредоточим в ее середине (рис. 196, а). Момент инерции стержня подсчитаем по (200) какинерции тонкого однородного прямоли-инерции тонкого однородного прямоли-/〃6/〃6дд33момент инерции неизменяемой системы двух материальных точек:k = 2момент инерции неизменяемой системы двух материальных точек:k = 2dxвdm ^ ~ - dxРис. 196dxвdm ^ ~ - dxРис. 19666,т,т若(+)=£若(+)=£
Задача № 132. Определить момент нейного стержня длины / относительно оси, перпендикулярной стержню в его конце. Вычисления провести с различной точностью: сосредоточив массу 加 стержня в двух точках, в четырех точках, в восьми точках и учитывая, что масса распределена по стержню непрерывно и равномерно.
Решение. 1) Разделим мысленно стержень на две равные части и- массу каждой половины сосредоточим в ее середине (рис. 196, а). Момент инерции стержня подсчитаем по (200) как
Задача № 132. Определить момент нейного стержня длины / относительно оси, перпендикулярной стержню в его конце. Вычисления провести с различной точностью: сосредоточив массу 加 стержня в двух точках, в четырех точках, в восьми точках и учитывая, что масса распределена по стержню непрерывно и равномерно.
Решение. 1) Разделим мысленно стержень на две равные части и- массу каждой половины сосредоточим в ее середине (рис. 196, а). Момент инерции стержня подсчитаем по (200) как
инерции тонкого однородного прямоли-
инерции тонкого однородного прямоли-
/〃6
/〃6
д
д
3
3
момент инерции неизменяемой системы двух материальных точек:
k = 2
момент инерции неизменяемой системы двух материальных точек:
k = 2
dx
в
dm ^ ~ - dx
Рис. 196
dx
в
dm ^ ~ - dx
Рис. 196
6
6
,т
,т
若(+)=£
若(+)=£
Разделим мысленно стержень на четыре равные части, массу каждой части будем считать сосредоточенной в ее центре (рис. 196,6). Момент инерции стержня подсчитаем по той же формуле (200), для системы четырех материальных точек:
*(方+г(訂+г传户号
fe=l
=盜0+9 + 25 + 49)=篇.
Разделим мысленно стержень на восемь частей и массу -g- каждой части сосредоточим в ее середине (рис. 196, в), а затем подсчитаем момент инерции стержня по формуле (200)
А= 8-
厶=£ 叫嗯= ^^(1+9 + 25 + 49 + 81 + 121+169 + 225)= ^|2=駕.
Чем на большее число частей мы разбивали стержень, тем меньше оказывалась масса каждой части. Разобьем стержень на бесконечно большое число бесконечно малых отрезков длины dx каждый (рис. 196, г). Чтобы подсчитать массу такого отрезка надо помножить его длину на массу единицы длины У=— ■ Сумма конечного числа слагаемых (200) превратится в предел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых величин, т. е. в интеграл (200‘)，и мы получим точное решение задачи, взяв интеграл
J = \ г2 dtnt
распространенный по всей массе стержня:
ответ. 1)丿=з；2)丿=^； 3)丿二痂；4) / = -•
1 Моменты инерции 400 различных тел приведены в справочнике «Моменты инерции тел», составленном М. В. Фааориным под редакцией М. М. Гернета. Машгиз, 1970 (стр. 312).
Задача № 133. Вычислить момент инерции однородного тонкого круглого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска в его центре.
Решение. Если плотность диска (массу единицы его поверхности) обозначим через у, то масса диска
откуда, дифференцируя, dm = у2лг dr.
Подставляем в (200Л)
оо0
Ответ, Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к диску в его центре, равен половине произведения массы диска на квадрат его радиуса.
Задача № 134. Определить момент инерции однородного круглого цилиндра относительно его оси.
Решение. Поступая, как и в предыдущей задаче, будем иметь:
т — ynr2h, dm = y2nhr dr,
,J = J ?2n3 小=-^ .
о
Ответ. Момент инерции цилиндра относительно его оси равен половине произведения массы цилиндра на квадрат его радиуса.
Задача № 135. Определить момент инерции однородного круглого цилиндра относительно образующей.
Решение. По теореме о параллельных осях имеем
“厶=厶 c + mc2 = "^|-mr2= 1,5 加/А
Ответ. Момент инерции цилиндра относительно образующей равен трем вторым произведения массы цилиндра на квадрат его радиуса.
Задача № 136. Определить радиус инерции цилиндра относительно его оси.
Решение. Подставляя в (201) данные цилиндра, находим
Ответ. Радиус инерции цилиндра равен 0,707 его радиуса.
Задача М 137, Вычислить момент инерции диска относительно диаметра.
Решение. Построим в центре диска оси координат, направив ось Oz перпендикулярно к его плоскости. Тогда, по теореме о плоской фигуре (207),
‘2= '% 十 ％
Так как моменты инерции однородного диска относительно каждого его диаметра одинаковы, то Jx—Jy.
Известно, чтоа следовательно,
Ответ. Момент инерции диска относительно диаметра равен одной четверти произведения массы диска на квадрат его радиуса.
Задача М 138. Вычислить момент инерции диска относительно касательной.
Решение^ Моменты инерции диска относительно каждого из его диаметров одинаковы. Для решения задачи применим теорему о параллельных осях, выбрав диаметр, параллельный касательной:
</=?+加户=^.加儿
Ответ. Момент инерции диска относительно касательной равен пяти четвертым произведения массы диска на квадрат его радиуса.
Задача № 139. Вычислить момент инерции прямого тонкого стержня длины / относительно оси, перпендикулярной к стержню в его середине.
Решение. Обозначим массу единицы длины стержня у. Тогда масса стержня m~ylt дифференциал массы dm = ydl и момент инерции по (200')
+ -+ -
+ -
+ -
Y投_加理
Тот же момент инерции можно получить, применив формулу (202) о моментах инерции тела относительно параллельных осей. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к нему в его конце ( 7=-^- J , известен из задачи № 132. Расстояние этой оси от центральной равно "^. Следовательно по (202) искомый момент инерции стержня относительно центральной оси ,欣2
Ответ. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню в его середине, равен одной двенадцатой произведения массы стержня на квадрат его длины.
Задача № 140. Определить радиус инерции тонкого стержня длины I относительно оси, перпендикулярной к стержню в его конце.
Решение. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню в его конце Г J ) , был определен в задаче № 132. Для вычисления радиуса инерции нам остается только воспользоваться формулой (201):
Ответ. Радиус инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню в его конце, равен 0,577 его длины.
Экспериментальное определение моментов инерции**
Задача № 141. Для определения моментов инерции твердых тел (Н, Е. Ж ук о в с к и й. О новом аппарате для определения моментов инерции тел. Поли, собр. соч,, т. I, стр, 310) применяют прибор (рис. 197), идея которого заключается в следующем. Горизонтальная стрелка 尸 жестко скреплена с вертикальным цилиндром 8 и может вращаться вместе с ним почти без трения вокруг оси цилиндра. На цилиндре имеется винтовая резьба с большим шагом, по которой может перемещаться массивный диск А. Для определения момента инерции испытуемое тело D закрепили на цилиндре 6, затем подняли диск Л до наибольшей высоты
и предоставили его действию силы тяжести. Опускаясь, диск повернулся по ходу часовой стрелки на некоторый угол ф, а тело D вместе с цилиндром В и стрел
кой 尸 повернулось при этом против хода часовой стрелки на угол ф1( отмеченный стрелкой 尸 прибора. Определить момент
инерции Jd тепа D относительно оси СС】， если момент инерции диска равен J厶,а момент инерции стрелки 尸 с цилиндром В равен Js.
Решение. Рассмотрим движение системы, состоящей из 1) диска Л, 2) стрелки 尸，жестко соединенной с цилиндром 8 и представляющей с ним одно неразрывное целое, и 3) испытуемого тела D. Механическое движение диска передается другим телам системы в виде механического же движения. Тела совершают вращения вокруг оси н для решения задачи удобно воспользоваться теоремой (192) моментов системы относительно оси. На точки системы действуют только вертикальные внешние силы ——веса тел й реакция в опоре С. Внешнее трение отсутствует. Трение между диском Л и цилиндром 8, возникающее при движе
нии диска по винтовой резьбе, является внутренней силой и потому не входит в уравнение моментов. Моменты внешних сил относительно оси СС】равны нулю, и мы можем написать уравнение (193)
比=3
* L左? = С】.
k= 1
В начале движения моменты количества движения всех входящих в систему тел были равны нулю, следовательно, С\ = 0.
Момент количества движения вращающегося тела можно выразить через произведение момента инерции на угловую скорость тела и, раскрывая знак суммы, получим
J+ </ 5»I + J曾仰=0(
где со——угловая скорость диска, а ①】——угловая скорость цилиндра. Интегрируем уравнение, принимая во внимание начальные условия:
以屮+ (厶+ J。)屮1 = 8
Для конца движения к этому уравнению добавляем еще уравнение
■屮1一屮=冷，
где и зависит от геометрических параметров прибора.
Исключая из этих уравнений угол 屮，получаем формулу
~— J '
из которой можно определить момент инерции испытуемого тела, если угол фх найден при наблюдении за движением стрелки 尸.
СГ Г 几 一 Ф1J
Ответ. Jd =
Задача № 142. Для определения момента инерции шатун подвесили на горизонтальную призму (рис. 198) (М. М. Гернет. Новый метод определения моментов инерции. Вестник инж. и техн., 1941, № 3). Через ту же призму перекинули тонкую нить, на одном конце которой висел не большой грузик, а другой натягивали рукой. Отклонив шатун и грузик из равн овесного положения, заставили их
свободно качаться в параллельных плоскостях. Изменяя длину нити между призмой и грузом, добились того, что период качания грузика стал в точности равен периоду качания шатуна. Определить момент инерции шатуна относительно оси подвеса, если масса шатуна 加= 40,0ке, расстояние центра тяжести шатуна от оси подвеса С = 75,0 см и длина нити 1~ 107,9 см.
Решение. Принимая груз на нити за математический маятник, применим для решения формулу (199) приведенной длины физического маятника
или、
</ = 40.75・107,9 = 323 700 кг-см2 = 32,37 кг^м2.
При этом способе экспериментального определения моментов инерции амплитуда колебаний не ограничена, так как формула (199) справедлива для колебаний физического и математического маятников с любыми одинаковыми амплитудами.
Ответ. J = 32,37 зМ.
Задача № 143. Для измерения момента трения Л4тр в подшипниках махового колеса проделали следующий опыт. Маховое колесо обмотали цепью (рис. 199), оба конца которой во все время опыта лежали на полу. К цепи в точке Л при
вязали гирю весом G] и, предоставив ей опускаться с высоты Л, измерили время 九 опускания. Затем опыт повторили, заменив гирю G^ гирей G» которая опустилась с той же высоты за время /2* Вычислить момент трения в подшипниках махового колеса, считая его постоянным и не зависящим ог веса гирь и цепи.
Решение. Применим теорему моментов к системе, состоящей из махового колеса, цепи и груза.
Внешними силами системы являются вес махового колеса, идеальная реакция подшипников, трение в подшипниках, вес гири и той части цепи, которая не лежит на полу, так как лежащие на полу концы цепи уравновешены реакцией пола.
Главный момент внешних сил относительно оси колеса при первом эксперименте был
Кинетический момент системы относительно оси равнялся алгебраической сумме моментов количеств движения всех входящих в систему тел:.
^гл = Ло 十 +V ①吟
〕хе J ——момент инерции маховика; Р ——вес той части цепи, которая не лежит на п°〃у, со—угловая скорость и г — радиус махового колеса..
По теореме моментов
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
0+ 号厶)3=(年+ %办+ g.
В начальное мгновение / — 0 и 9 = 0, следовательно Cl=Q. Выразим ① как dtp
方 и, разделив переменные, проинтегрируем вторично:
(」+導^八)屮=(“' + MtpW+C2.
Из начальных данных определим С2 —0. При опускании груза с высоты 九 маховое колесо повернулось за время 厶 на угол 5 = 7 , а потому
Если в этом уравнении имеются две неизвестные величины (財【卩 и J), то из второго опыта получим второе уравнение:.
(/ + @^"32)^=(5г + мтр)等.
Решая оба уравнения совместно, получим ответ задачи.
Ответ.
(G]— GJ ^-(Gj/； —Gg儲)г
Задача № 144. С какой скоростью следовало бы пустить по экватору с запада на восток поезд, масса которого 2000 丸 для того чтобы увеличить продол жительность суток на одну секунду? При этом Землю можно считать за однород ный шар радиуса 6000 км и массы 5-1021 m (И. В. ?4ещерский. Сборник зада' по теоретической механике. ГТТИ, 1932, стр. 135).
Решение. Земля вращалась вокруг своей оси, имея на поверхности (относительно) неподвижный поезд. Она совершала один оборот за 86 400 сек. По Земле с запада на восток пустили поезд с искомой относительной скоростью и「. Поезд двигался вперед, отталкиваясь силой трения и с такой же силой (по закону равенства действия и противодействия) отталкивая Землю. Механическое движение поезда передалось Земле в качестве механического же движения, угловая скорость З^мли уменьшилась, и Земля стала делать один оборот за 86 401 да. Ввиду того что переход механического движения от одного тела к другому связан с вращением, применим теорему моментов для системы, понимая под системой Землю и поезд. Примем физическую систему единиц.
Внешние силы системы (притяжение Солнца, Луны и др.) приложены к центру Земли, и моменты внешних сил относительно земной оси равны нулю. Мы пришли к интегралу моментов (193):
Определим значения величин, входящих в это равенство. Рассмотрим механическую систему до начала движения поезда. Момент количества движения Земли относительно оси вращения равен произведению момента инерции Земли
на ее угловую скорость. Землю примем за однородный шар. Момент инерции шара J=0,4mr2. Подставляя числовые значения, получим
厶「。,4.5・咏，36・1。，赢=儲•1。叫
Поезд был неподвижен относительно Земли, но он участвовал в ее движении. Скорость его "e = ow; количество движения m2ve' момент количества движения 厶产恤"=2。。。赢• 60。。』^ • 10。.
Находим постоянную С:
с=А+М=^(М + 5.
Рассмотрим теперь ту же систему после того, как поезд развил скорость иг и продолжительность суток стала 86 401 сек. Момент количества движения Земли уменьшился вследствие уменьшения угловой скорости и стал
£； — 4巫_，Jj .[()271 — 86 401*
Момент количества движения поезда увеличился, так как поезд, кроме переносной скорости (несколько уменьшившейся), получил значительную относительную скорость. Мы рассматриваем абсолютное движение точек системы и
k =m2位+也=^^ • 10+000。L6000.
Действие внутренних сил не изменило главного момента количества движения системы, и мы приравниваем друг другу суммы моментов количеств движения системы до начала и во время движения поезда:
12-10^+lw(102,+心)=縉(13+1°°)・
Из этого уравнения первой степени определяем vr. Оказывается, что для увеличения продолжительности суток на 1 сек поезд массой 2000 加 нужно было бы пустить со скоростью广 в 17 миллионов раз превосходящей скорость света. Этот поезд должен был бы совершать по экватору 118 миллионов кругосветных путешествий за каждую секунду.
Ответ. иг — 5,05* 1012 км/сек.
Центр удара**
Задача № 145**. В плоскости, проведенной через центр масс С и ось вращения тела, найти такую точку, через которую должен проходить перпендикулярный к этой плоскости мгновенный импульс, чтобы ось вращения не испытывала удара.
Решение. Для определения этой точки, называемой центром удара, рассмотрим ударные силы, действующие на тело во время удара. Приложенный к телу ударный импульс S вызывает мгновенные давления на подшипники, в которых укреплена ось вращения тела, а следовательно, соответствующие мгновенные реакции в подшипниках. Опустим из центра масс С (рис. 200) перпендикуляр СО —с на ось вращения тела. Примем направление ОС за ось Ох, а ось Оу направим перпендикулярно к ней и к оси вращения. Если подитпники расположены на одинаковых расстояниях от точки О, а импульс S приложен в плоскости xOyt то реакции в подшипниках можно заменить одной реакцией» приложенной в точке О, и данную задачу свести к плоской. Пренебрегая действием за время удара Конечных сил, составим дифференциальные уравнения (197) плоского движения тела под действием приложенного импульса 5 и импульса ударной реакции, который мы разложим на Sx н 5歹：
^ ®9*一DjJC)= S#；加®2y — 01y) = S — Sy； J ®2 — (01) = SN,
где 加一масса тела,纟上 и г2 — скорости центра масс до и после удара, J — момент инерции тела относительно оси вращения, o)i и (о2 — угловая скорость тела и ^'-плечо импульса S.
В данном случаеВ данном случае①2 = ^①2 = ^81 = }81 = }，(211)，(211)нлинли
В данном случае
В данном случае
①2 = ^
①2 = ^
81 = }
81 = }
，(211)
，(211)
нли
нли
口1# = °, 02х = °，01у = &1，02y =^2,
Подставляя эти значения скоростей, определим импульс ударной реакции:
S* = 0；邑=(7一加)(d2一。1)， Эти равенства показывают, что прн
тс
ось вращения не испытывает ударов. Полученная формула, определяющая при рассмотренных условиях центр удара, имеет большое значение при конструировании различных маши% вращающиеся детали ко торых подвергаются ударам.
Обратим внимание наОбратим внимание на,тождественность полученного равенства с (199), определяю
Обратим внимание на
Обратим внимание на
щим центр качания физического маятника, хотя, вообще говоря, центр качания
и центр удара отличаются друг от друг а и совпадают лишь в отдельных случаях 1.
Задача № 146 (№ 1063, М). Валы / и // вместе с насаженными на них шкивами и зубчатыми колесами (рис. 201) имеют моменты инерции, соответственно равные: 厶= 500 см •&及2 и j3 — —400 "・CM・ce/d; передаточное число зубчатой передачи ^12 —2/3. Через сколько оборотов вал // будет делать и2 — 120 об/мин, если система приводится в движение из
состояния покоя вращающим моментом Мх = 50 кГ・м приложенным к валу /? Трением в подшипниках пренебречь. Реш-ение. За единицы принимаем м, к/ и сек.. Тогда /г = 5 кГ-м*се^, J2 — 4 к，'M'CeK2t Мг~^ кГ*м, начальные угловые скорости (о1>о —(о2,0 —0, конечные угловые скорости
/28几
仰=前 =4"；①1=可")2=百・
Задачу решим, применив дифференциальное уравнение вращения твердогс тела. Сначала рассмотрим.вращение вала / вокруг оси / ——/. На вал действуют вращающий момент 〃1=十50 и сила F сопротивления вала //, момент которой равен —А］；
dJs р я.
/з 一 J(o0 =(2 М)厶
В нашем случае соо = О иВ нашем случае соо = О и厶(01 = 50/ — /7也Затем переходим к рассмотрению вращения вала // вокруг оси 〃一//. На второй вал действует сила F давления зубьев первого вала. Ее момент равен 十户「2, поэтому厶(01 = 50/ — /7也Затем переходим к рассмотрению вращения вала // вокруг оси 〃一//. На второй вал действует сила F давления зубьев первого вала. Ее момент равен 十户「2, поэтому人①2 =fГ2九
В нашем случае соо = О и
В нашем случае соо = О и
厶(01 = 50/ — /7也
Затем переходим к рассмотрению вращения вала // вокруг оси 〃一//. На второй вал действует сила F давления зубьев первого вала. Ее момент равен 十户「2, поэтому
厶(01 = 50/ — /7也
Затем переходим к рассмотрению вращения вала // вокруг оси 〃一//. На второй вал действует сила F давления зубьев первого вала. Ее момент равен 十户「2, поэтому
Решаем оба уравнения совместно:
50/ =厶仰+几铀:=5 • "I■几+4.4 n= (^+24)冗=117,227; / = 2,344 сек.
Под действием постоянного момента второй вал вращается равноускоренно:
о)2 ~— 4jt £?/； 屮2 — g- *
За время f 〃 вал сделалЗа время f 〃 вал сделалоборотов
За время f 〃 вал сделал
За время f 〃 вал сделал
Я屮2
风=五.
Ответ. "2 = 2,344 об.Скорость конца вектора ки-нетического момента относи-тельно некоторой точки рав-на главному моменту всехвнешних сил относительноэтой точкиОтвет. "2 = 2,344 об.Скорость конца вектора ки-нетического момента относи-тельно некоторой точки рав-на главному моменту всехвнешних сил относительноэтой точкиского момента было быского момента было быТеорема Резаля—Гейуорда L Пусть гироскоп (рис. 202, о) (волчок) имеет ось симметрии , Допустим, что главный момент количеств движения волчка направлен по оси симметрии. Если бы ось была неподвижной, то такое направление кинетиче- очевидным. Но основным свойством всякого
Ответ. "2 = 2,344 об.
Скорость конца вектора ки-нетического момента относи-тельно некоторой точки рав-на главному моменту всехвнешних сил относительноэтой точки
Ответ. "2 = 2,344 об.
Скорость конца вектора ки-нетического момента относи-тельно некоторой точки рав-на главному моменту всехвнешних сил относительноэтой точки
ского момента было бы
ского момента было бы
гироскопа является способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость со гироскопа вокруг его оси очень велика, а угловая скорость д, с которой поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной точностью можно допустить, что главный момент количеств движения гироскопа относительно точки опоры О направлен по оси симметрии и равен произведению угловой скорости на момент инерции гироскопа относительно оси симметрии:
Построим систему координатных осей хОуг с началом в -точке О (рис. 202, б) и отложим вдоль оси симметрии вектор OA=^Lo в такую сторону, чтобы вращение гироскопа представлялось происходящим против хода часов, если смотреть от Л к О.
Проекции вектора 厶。на оси координат представляют главные моменты количеств движения 厶门.*，^га.у и 厶巾.乞 гироскопа относительно этих осей. Эти же величины являются координатами точки Л. При движении системы главный момент Lo не остается постоянным,
точка А (конец вектора) перемещается в пространстве и координаты ее меняются. Проекции скорости vA точки Л на оси координат равны первым производным от текущих координат точки по времени, т. е. производным от главных моментов количеств движения системы
внешних сил относительно тех же осей:
VAx =
dxA = di
〃ГЛ.Х — dt
°Ау =
djj = 成
^^гл.у dt
>(212)
力z =
以4 = di
dt
AC.z,
или в векторной форме
(212')
На примере гироскопа мы доказали теорему Резаля: скорость конца вектора главного момента количеств движения, взятого относительно точки О, равна главному моменту всех внешних сил системы относительно той же точки.
Прецессия оси гироскопа *
Задача № 147 (№ 40.1, 1027 М). Волчок вращается вокруг своей осн протиа часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со = 6ОО cw」ось О А накло^ йена к вертикали; нижний конец оси О А остается неподвижным; центр тяжести С волчка находится на оси О А на расстоянии 00 = 30 см от точки О; радиус инер ции волчка относительно оси равен 10 см. Определить движение осн О А волчк;：. допуская, что при весьма большой угловой скорости з главный момент количеств движения волчка направлен по ос и О А и равен /со.
Решение. Применим к решению данной задачи теорему Резаля. Определим главный момент внешних сил относительно точки О. Внешними силами являются вес гироскопа и реакция в точке О (рис. 202, в). Главный момент внешних сил относительно точки О направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ОС, и равен произведению веса mg на плечо CO・sin®. По теореме Резаля,
VA^M^ Q^tng-CO sin^,
причем скорость и/ перпендикулярна к вертикальной плоскости, содержащей в себе ось симметрии гироскопа. Так как точка А принадлежит этой оси, то движение точки Л определяет движение оси гироскопа. Ось симметрии гироскопа перемещается в направлении, перпендикулярном направлению действия внешней силы (силы тяжести), и описывает коническую поверхности. Это движение оси гироскопа называют прецессией. Точка Л описывает окружность радиуса J(o sin^, двигаясь с окружной скоростью, численно равной'
а)1」а)sin 8 =以= mgC0 sin 屯
Следовательно, ось гироскопа вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью
tngCO sin ^—981 -30 —°1'
Jo sin 8 —100*600 — ' сек,'
Ответ. Ось О А вращается вокруг вертикали против часовой стрелки, описывая круглый конус с постоянной углов。访 скоростью а)= 0,49 се及-1.
Гироскопический эффект**. Рассмотрим некоторые особенности движения гироскопа. Пусть быстройращающийся ротор установлен в кардановом подвесе (рис. 203). Он может вращаться с большой угловой скоростью со вокруг оси О。】，в
то время как эта ось вместе с рамой / может поворачиваться вокруг оси КК】 и вместе с рамой 〃 вокруг оси ^^1. Это гироскоп с тремя степенями свободы. Он имеет одну неподвижную. точку С (центр масс).
Если гироскоп не вращается (①工。)， то, приложив к внутренней раме / (например, в точке О) силу F, мы сообщим раме (и вместе с нею ротору гироскопа) вращение вокруг оси К% в том направлении, в каком действует сила. Причем, во время действия силы (пока Л4гл.с #= 0) это вращение будет ускорен' ным, а после прекращения ее действия (Л1rq e = 0) оно станет равномерным.
Совсем иначе подействует та же сила на гироскоп, вращающийся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью (о. Отложим вдоль оси 001 вектор кинетического момента 厶二 Jco = C4 По тео
реме Резаля точка Л на время действия силы получит скорость, равную моменту этой силы (и^ = 〃门./, т. е. не в направлении этой силы, а в направлении ее момента, перпендикулярно силе F и плечу
ОС. Вместе с точкой Л в том же направлении получит движение ось ротора, она будет поворачиваться вокруг оси N& с некоторой угловой скоростью = = Если сила (ее момент МрЛ.с) постоянна, то движение равномерное (ил —const, а следовательно, и со1 —const), но как только действие силы прекратится, тут же прекратится движение оси (О/ = 0, со = О). Поэтому ударные силы, действующие весьма малый промежуток времени, почти не изменяют положения оси гироскопах. Ось быстровращающегося гироскопа с тремя степенями свободы не чувствительна к ударным нагрузкам.
Гироскопы с двумя степенями свободы этим свойством не обладают, так как, отняв у гироскопа одну степень свободы, например, закрепив вторую раму, мы лишим ось ротора возможности перемещаться в направлении, перпендикулярном к направлению приложенной силы. От дополнительного давления гироскопа на подшип-
НИКИ К Н KiНИКИ К Н Ki(213)(213)возникает пара сил с моментомМ ~ J(о(о「
НИКИ К Н Ki
НИКИ К Н Ki
(213)
(213)
Этот момент носит название гироскопического момента, а его появление называют гироскопическим эффектом. Если угол -&, заключенный между осью ротора и той осью, вокруг которой она вращается,
(213‘)(213‘)не прямой, то гироскопический момент М = Jco% sin 8.
(213‘)
(213‘)
Задача № 148 (№ 40.4, 1030 М) (рис. 204). Определить максимальное гироскопическое давление на подшипники быстроходной турбины, установленной на корабле. Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 сек вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к оси ротора. Ротор турбины весом 3500 кГ с радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об/мин. Расстояние мелСду подшипниками 2 м.
Решение. Гироскопический момент определим по (213), так как угловые скорости взаимно перпендикулярны. Все необходимые данные имеются в условии задачи:
7 G 2
момент инерции ротора </ =彳嗑
угловая скорость ротора (а~ — = Ю0л.
Для вычисления углов。访 скорости (о】 оси ротора примем во внимание, что килевая качка в условии задачи задана гармоническо访，с угловой амплитудой л • 9 л
9-Гот； =рад и периодом 15, следовательно, частота 尼=— и мы имеем
lot) NU了
уравнение
(₽ = 2бЗШТ5Л
Дифференцируя определим угловую скорость качки •2“2 2л
'Р^зоб^31УЛ
В точной теории гироскопов показано, что под действием таких нагрузок ось ротора приходит в колебание с очень малой амплитудой и с большой частотой, называемое нутационным.
Максимальное значение этой угловой скорости примем за д;
_2л2^300'
Тогда по (213) гироскопический моментТогда по (213) гироскопический моментМ = J(D(DiМ = J(D(Di3500-0,363500-0,36Отг2• 100л— = 2638 кГ^м.Отг2• 100л— = 2638 кГ^м.Для определения давления на ческий момент на расстояние 2 мОтвет, 1320 кГ»Для определения давления на ческий момент на расстояние 2 мОтвет, 1320 кГ»подшипники остается лишь поделить гироскопи- между подшипниками.подшипники остается лишь поделить гироскопи- между подшипниками.Уравновешивание вращающегося тела **Уравновешивание вращающегося тела **Задача № 149. Определить реакции в подпятнике Лив подшипнике В твердого тела (рис. 205), вращающегося вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью со и с угловым ускорением % и найти такую ось, при вращении тела вокруг которой эти реакции не зависят от со и е. Заданными являются все внешние активные силы 戏 ° и расстояние АВ — 1.Решение. Кроме активных сил, на тело действуют искомые реакции R/ н R^・ Построим оси координат, взяв начало в подпятнике, и, направив ось аппликат *по оси вращения, спроецируем реакции на оси.Представим тело как неизменяемую систему, состоящую из и частиц, и иапишем уравнения (169)" количества движения и уравнения моментов (192), учитывая, что проекции скоростей точек тела на ось вращения равны нулю (U/ = Q), а последнее из уравнений (192) Моментов относительно осн вращенияЗадача № 149. Определить реакции в подпятнике Лив подшипнике В твердого тела (рис. 205), вращающегося вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью со и с угловым ускорением % и найти такую ось, при вращении тела вокруг которой эти реакции не зависят от со и е. Заданными являются все внешние активные силы 戏 ° и расстояние АВ — 1.Решение. Кроме активных сил, на тело действуют искомые реакции R/ н R^・ Построим оси координат, взяв начало в подпятнике, и, направив ось аппликат *по оси вращения, спроецируем реакции на оси.Представим тело как неизменяемую систему, состоящую из и частиц, и иапишем уравнения (169)" количества движения и уравнения моментов (192), учитывая, что проекции скоростей точек тела на ось вращения равны нулю (U/ = Q), а последнее из уравнений (192) Моментов относительно осн вращения
Тогда по (213) гироскопический момент
Тогда по (213) гироскопический момент
М = J(D(Di
М = J(D(Di
3500-0,36
3500-0,36
Отг2
• 100л— = 2638 кГ^м.
Отг2
• 100л— = 2638 кГ^м.
Для определения давления на ческий момент на расстояние 2 м
Ответ, 1320 кГ»
Для определения давления на ческий момент на расстояние 2 м
Ответ, 1320 кГ»
подшипники остается лишь поделить гироскопи- между подшипниками.
подшипники остается лишь поделить гироскопи- между подшипниками.
Уравновешивание вращающегося тела **
Уравновешивание вращающегося тела **
Задача № 149. Определить реакции в подпятнике Лив подшипнике В твердого тела (рис. 205), вращающегося вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью со и с угловым ускорением % и найти такую ось, при вращении тела вокруг которой эти реакции не зависят от со и е. Заданными являются все внешние активные силы 戏 ° и расстояние АВ — 1.
Решение. Кроме активных сил, на тело действуют искомые реакции R/ н R^・ Построим оси координат, взяв начало в подпятнике, и, направив ось аппликат *по оси вращения, спроецируем реакции на оси.
Представим тело как неизменяемую систему, состоящую из и частиц, и иапишем уравнения (169)" количества движения и уравнения моментов (192), учитывая, что проекции скоростей точек тела на ось вращения равны нулю (U/ = Q), а последнее из уравнений (192) Моментов относительно осн вращения
Задача № 149. Определить реакции в подпятнике Лив подшипнике В твердого тела (рис. 205), вращающегося вокруг неподвижной оси АВ с угловой скоростью со и с угловым ускорением % и найти такую ось, при вращении тела вокруг которой эти реакции не зависят от со и е. Заданными являются все внешние активные силы 戏 ° и расстояние АВ — 1.
Решение. Кроме активных сил, на тело действуют искомые реакции R/ н R^・ Построим оси координат, взяв начало в подпятнике, и, направив ось аппликат *по оси вращения, спроецируем реакции на оси.
Представим тело как неизменяемую систему, состоящую из и частиц, и иапишем уравнения (169)" количества движения и уравнения моментов (192), учитывая, что проекции скоростей точек тела на ось вращения равны нулю (U/ = Q), а последнее из уравнений (192) Моментов относительно осн вращения
превращается в уравнение (196):
4еmk°kx~ ^2°+R若戈十R冃屮
W~ £ 妆％у = £ 魄 а + ^Ау + ^Ву^0 = ?Z? a + RAzt
备 £ 秋⑸孤)=£ Me^ya + RRxlt/£ = £m3°，где k=\, 2,
Как видно из третьего уравнения, проекция реакции подпятника на ось вращения не зависит от Л<орости и равна проекции внешних активных сил на ту же ось:
RAz = EiZ% а.
Шестое уравнение не содержит реакцийШестое уравнение не содержит реакцийявляется дифференциальным уравнением вращения тела и опор. Выполняя дифференцирование в четырех остальных
Шестое уравнение не содержит реакций
Шестое уравнение не содержит реакций
уравнениях, получим:
S mkakx ~ 2 口飢十 Rrx， ^j mkaky ™ 2 ^V。+ r/y 十 R8y， ■ 一 加左z用%了=^M^a-RByl, 光加紋左3=丫愕丿十^丿.
Подставляя вместо akx и aky их значения (95) %x= 一У庐一Х声2, %У = х庐一y用①2 и вынося общие множители е и。戸 за знак £ , получим: 一£ £ mkUk ~ w2 2 mkxk = 2 ^。+^Лд;+^Вх» 6 £映/ 一炉2秋欤=£瞰а+^ау + ^ 一£ £ mkzkKh + ^^ mkykzk^ M^xa-RBylt -& 2 тк%2к-©Е mkzkxk = £ M |/+ RrJ.
Из этих уравнений на访дем четыре неизвестные проекции реакций. Заметим, что суммы, стоящие в левых частях первых двух из этих уравнений, являются статическими моментами:
тхс =』加/A，加Ус н』加々”,
а суммы, стоящие в левых частях двух последних уравнений
у.z ~2 ^^2й* ，z % = ± 加左纟統qp
являются центробежными моментами инерции тела. Четыре полученных нами уравнения можно переписать в следующем виде:
——加xcd = £% + R冃巾
mxcz—myc^ = ^yek й+ RAy + Rpy，
—J? xe+^у № = ХR^y厶
- J у产一厶收=£货/+凡"，
Чтобы реакции в опорах вращающегося тела не зависели от w и е (или, что то же, от скоростей его точек), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
%с = °； Ус = °； /夕2 = 0； J?尤=0«
Вращающееся тело, реакции в опорах которого не зависят от скоростей точек тела, называют полностью уравновешенным телом.
Если выполнены два первых условия, т. е. ось вращения проходит через центр масс («центральная ось》), то тело называют статически уравновешенным.
Если выполнены два последних условия, то вращающееся тело называют динамически уравновешенным, а ось ——главной осью инерции
Ответ. Для полно访 у равновешенности вращающегося тела необходимо и достаточно, чтобы оно вращалось вокруг центральной и главной оси инерции.
ГЛАВА XVII
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§ 46. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ, СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кинетической энергией называют меру механического движения, выражающуюся половиной суммы произведений массы каждой частицы материальной системы на квадрат ее скорости:Кинетической энергией называют меру механического движения, выражающуюся половиной суммы произведений массы каждой частицы материальной системы на квадрат ее скорости:(214)(214)Кинетическая энергия. Ознакомившись в двух предыдущих главах с одной из мер механического движения, перейдем теперь к другой мере—кинетической энергии, которая наряду с количеством движения существует во всяком движущемся материальном теле. Кинетическая энергия каждой материальной точки выражается половиной произведения массы точки на квадрат ее скорости:
Кинетической энергией называют меру механического движения, выражающуюся половиной суммы произведений массы каждой частицы материальной системы на квадрат ее скорости:
Кинетической энергией называют меру механического движения, выражающуюся половиной суммы произведений массы каждой частицы материальной системы на квадрат ее скорости:
(214)
(214)
Чтобы получить кинетическую энергию системы, надо взять сумму кинетических энергий всех ее точек. Сумму надо брать, конечно, арифметическую, потому что, как видно из (214), кинетическая энергия есть величина скалярная и всегда положительная:
Т=£ 孥，(215)
1
или
7=£譬俄+电+ 2亂⑵5，)
Размерность кинетической энергии в физической системе единиц [T]^LWT-2,
в технической системе единиц
[Т]тп[?РТ0・
Обе меры механического движения (количество движения и кинетическая энергия), как это уже было сказано в гл. XIII, не противоречат одна другой, но каждая из них является мерой для определенного круга явлений. Количество движения характеризует способность механического движения передаваться от одних материальных частиц другим в виде механического же движения, а кинетическая энергия характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого движения (в потенциальную энергию, в теплоту и пр.).
Так, например, во время удара движущегося биллиардного шара по неподвижному шару часть механического движения перешла от ударяющего шара к ударяемому и ударяемый получил некоторую
скорость. Мерой этого переданного механического движения является количество движения. От удара количество движения системы двух шаров не изменилось, потому что внутренняя сила не изменяет количества движения в системе. Вместе с тем часть механического движения шара во время удара перешла в другие виды движения (в звук, теплоту), и мерой этого движения является кинетическая энергия. Часть кинетической энергии ударяющего шара была потеряна системой, перешла в другие виды движения, кинетическая энергия системы от удара уменьшилась.
Отсюда не следует делать вывод, что уравнения проекций количеств движения (169) и уравнения моментов количеств движения (192), а также уравнение кинетической энергии (230), которое будет доказано в этой главе, не имеют всеобщего применения, а законны лишь в отдельных частных случаях. Они выведены математически вполне строго из дифференциальных уравнений движения н носят название семи всеобщих уравнений движения. В зависимости от условий задачи приходится решать, каким из этих уравнений удобнее воспользоваться. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проингегрировать уравнения (169). Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями расстояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравнения для решения задачи.
Выяснив физический смысл и математическое выражение кинетической энергии, резюмируем все сказанное о ней: кинетической энергией называется мера механического движения, характеризующая его способность превращаться в эквивалентное количество другого вида движения и выражающаяся половиной суммы произведений массы каждой ма!ериальной частицы механической системы на квадрат ее скорости.
В случаях движения неизменяемой механической системы (твердого тела) выражению (215) можно придать вид, более удобный для вычисления.
Кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, выражаются половиной произведения массы на квадрат скорости:亠2Кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, выражаются половиной произведения массы на квадрат скорости:亠2Кинетическая энергия поступательно движущегося тела. Скорости всех частиц поступательно движущегося тела между собой равны (80), поэтому если твердое тело совершает поступательное движение, то в формуле (215) кинетической энергии квадрат скорости как общий множитель выходит за знак суммы:
Кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, выражаются половиной произведения массы на квадрат скорости:
亠
2
Кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, выражаются половиной произведения массы на квадрат скорости:
亠
2
где k 1, 2, 3, . ■ *, п.
Сумма масс всех частиц 】ела равна массе т всего тела и
ТТmv2mv2
Т
Т
mv2
mv2
Таким образом, кинетическая энергия поступательно движущегося тела, как и кинетическая энергия материальной точки, равна половине
Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительноКинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительнопроизведения массы тела на квадрат скорости любой из его частиц. ” Кинетическая энергия вращающегося тела.
Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно
Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно
оси вращения на угловой скорости:7 = 丁оси вращения на угловой скорости:7 = 丁квадратквадратСкорости частиц вращающегося твердого тела пропорциональны угловой скорости тела и расстояниям частиц от оси враще-
оси вращения на угловой скорости:
7 = 丁
оси вращения на угловой скорости:
7 = 丁
квадрат
квадрат
НИЯ：
% =吟(90)
Возводя это равенство в квадрат и подставляя в (215), получим
T _2
Вынося общий множитель 万 за знак суммы и принимая во внимание, что сумма произведений массы каждой частицы на квап^т расстояния этой частицы от оси выражает момент инерции (200) тела относительно оси, получаем окончательно
ТТ/со2/со22 '2 '(216)(216)
Т
Т
/со2
/со2
2 '
2 '
(216)
(216)
Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии его центра масс, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела, плюс кинетическая энергия тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс тела:mvl ,7 = 丁Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии его центра масс, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела, плюс кинетическая энергия тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс тела:mvl ,7 = 丁
Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии его центра масс, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела, плюс кинетическая энергия тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс тела:
mvl ,
7 = 丁
Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии его центра масс, в котором предполагается сосредоточенной масса всего тела, плюс кинетическая энергия тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс тела:
mvl ,
7 = 丁
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.
Эта формула применима не только в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, но и вокруг мгновенной оси. В случае плоского движения момент инерции фигуры или тела в формуле (216) надо подсчитывать относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, перпендикулярно плоскости движения, тогда
(216')(216')Т — J MUcW
(216')
(216')
—2~
Формула Кёнига. Выведем формулу для определения кинетической энергии твердого тела, совершающего плоское движение. Для определения проекций скорости были выведены формулы
0用X 一%女9, I (114，) ' vky = vEy + xlka>, j
где xlk и ylk——координаты каждой точки тела относительно системы координатных осей, параллельных неподвижным осям, но имеющих начало в произвольной точке Е, принятой за полюс.
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, найдем квадрат полной скорости любой точки тела:
М = и^ + (Хи + 朮Q d —2%*%卢 + 2%户1心.
Подставляя затем в (215), найдем
Разобьем эту сумму на четыре части и вынесем за знаки £ величины, не зависящие от 々：
2 六=%k — nk~nfe = n
fe = 1k= 1k= 1k— 1
左二n左二nЗдесь k — n
左二n
左二n
£ 〃％二〃2—масса всего тела; £ 〃纭(宕左 + y储二 ％—момент инер- й — 1月=1
ЮТ тела относительно оси, проходящей через Е, перпендикулярно
плоскости движения; £ 团月％i左 и k= 1плоскости движения; £ 团月％i左 и k= 1k = n
плоскости движения; £ 团月％i左 и k= 1
плоскости движения; £ 团月％i左 и k= 1
X ткУгк — статические моменты k= 1
масс относительно осей координат, имеющих начало в полюсе Е.
Если за полюс принять центр масс С тела, то последние два члена обращаются в нуль (工1,仃=0, у，^ = 0) и кинетическая энергия получает простое выражение
(217)(217)T 吟|厶①2
(217)
(217)
Эта формула доказана нами для плоского движения твердого телаг. Она имеет большое применение в различных областях механики и, в частности, в теории механизмов и машин, где плоское движение встречается очень часто. Но формула (217) остается справедливой при всяком движении твердого тела. Словами ее можно прочитать так: кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии материальной точки, обладающей массой всего тела и скоростью центра масс, плюс кинетическая энергия тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс.
При разложении движения в кинематике мы могли принимать за полюс любую точку тела. При определении кинетической энергии по формуле (217) мы обязаны принимать за полюс только центр масс тела, иначе появятся члены, содержащие статические моменты масс.
Задача № 150. Определить кинетическую энергию диска массы m = 10 ке и радиуса • /? —0,5 м, катящегося со скоростью ис = 2 м/сек по прямолинейному рельсу без скольжения.
Решение. Задачу решим пока двумя различными способами (система единиц, физическая).
Она является частным случаем более общей формулы, доказанной Кёни' гом (1751 г.).'
1-й способ. Мгновенный центр скоростей находится в точке касания (рис. 206, а). Угловая скорость диска
я 1
0,5
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно диску, определим по теореме о параллельных осях:
Jмцс=—F加/?2 =彳・ 10•彳= 3,75 кг-м2. 'Jмцс=—F加/?2 =彳・ 10•彳= 3,75 кг-м2. 'Кинетическую энергию диска определим по (216'):Кинетическую энергию диска определим по (216'):Рис. 206Рис. 2062-й способ. Кинетическую энергию определяем по формуле (217) Кёнига2-й способ. Кинетическую энергию определяем по формуле (217) Кёнига(рис. 206, 6):(рис. 206, 6):Т 加龙丄.Т 加龙丄.10 — .162・2 一10 — .162・2 一30 еМ/седЛ30 еМ/седЛ
Jмцс=—F加/?2 =彳・ 10•彳= 3,75 кг-м2. '
Jмцс=—F加/?2 =彳・ 10•彳= 3,75 кг-м2. '
Кинетическую энергию диска определим по (216'):
Кинетическую энергию диска определим по (216'):
Рис. 206
Рис. 206
2-й способ. Кинетическую энергию определяем по формуле (217) Кёнига
2-й способ. Кинетическую энергию определяем по формуле (217) Кёнига
(рис. 206, 6):
(рис. 206, 6):
Т 加龙丄.
Т 加龙丄.
10 — .16
2・2 一
10 — .16
2・2 一
30 еМ/седЛ
30 еМ/седЛ
Теорема Коши**. Однако существуют и некоторые другие оп ределенные точки, которыми в формуле (217) можно заменить центр масс С. Найдем эти точки.
В общем случае движения тела скорости его частиц можно рассматривать (см. § 35) как состоящие из двух взаимно перпендикулярных скоростей: переносной скорости г£, направленной по мгновенной винтовой оси, и относительной, вращательной вокруг этой оси (рис. 207, а). Квадрат скорости какой-либо точки К, отстоящей на расстоянии rk от мгновенной винтовой оси:
渡=症+3嘀.
Подставим это выражение в (215):
工挈=£ 攀+唱
Момент инерции тела относительно мгновенной винтовой оси обозначим через “，тогда
т =磐 + 缪•(217')
Проведем через центр масс С ось параллельно мгновенной винтовой оси. Если расстояние между этими осями равно с。то, выразив 厶 по (202), получим
加磅/nе；炉厶炉
/2・
Но ve + cI^ = Vc, и мы пришли к формуле Кёнига:
Т =警 + 缪•(217)
Проведем через какую-либо точку Л третью ось ДА (рис. 207, 6) параллельно двум предыдущим, обозначим через JА момент инерции
тела относительно этой оси, через с2 — расстояние ее от централь-ной оси, а через с3 ——от мгновенной винтовой оси. Согласно (203)(=j力 + m储一喲，
подставим в (217‘)：
加唱 加(с； — с|) to2匸J А^7 =2*
В случае, если плоскость, проведенная через эту ось АА и мгновенную винтовую ось, составляет с плоскостью, проведенной через эту ось АА и центр масс С тела, прямой угол (ос = 90°), то по пифагоровой теореме с；-或=臂 и 0胃=近+(/一或)* а потому т =學 + 冬.(217〃)
Если же а，90°, то это равенство не выполняется.
Для определения кинетической энергии твердого тела этим способом надо провести через центр масс тела ось, параллельную мгновенной винтовой оси (рис. 207, в). Приняв обе оси за диаметрально противоположные образующие, построить на них поверхность пря*
мого круглого цилиндра. Во всякое мгновение кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости любой из точек этой цилиндрической поверхности, сложенной с половиной произведения момента инерции тела относительно образующей, проходящей через эту точку, на квадрат угловой скорости тела..
Задача № 151**. Решить задачу № 150, применив теорему Коши.
Решение. Мгновенная винтовая ось существует в общем случае движения тела. При плоском движении она превращается в мгновенную ось вращения, проходящую через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения. Построенная на мгновенной винтовой оси цилиндрическая поверхность, о которой говорится в теореме Коши, в пересечении с плоскостью движения фигуры образует окружность, у которой мгновенный центр скоростей и центр масс фигуры являются диаметрально противоположными точками (см. рис. 206, в).
Возьмем на этой окружности какую-либо точку А. Ее скорость
иА (о4£мцс =(оС£мцс cos 仔=2 cos 也
Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости в точке Л, определим по (202):
〃 =Jc + m(4C)2 = ^+¥siM 也
Полная кинетическая энергия диска
Г = —^+，* = 10 + 20 (sin2 仔十 cos2 令)=30 K2，M?KeU.
Если взять какую-либо точку, не лежащую на окружности, нанесенной на чертеже пунктиром (см. рис. 206, в), то полусумма произведений массы диска на квадрат скорости этой точки и момента инерции диска относительно проходящей через эту точку оси на квадрат угловой скорости диска не будет равна кинетической энергии диска. Так, например, для точки В
=По
Ответ. Кинетическая энергия диска Т — 30 л:г*^2/^№.
Задача № 152. Определить кинетическую энергию эллипсографа в задаче № 116.
Решение. Механическая система состоит из четырех тел： кривошипа, линейки и двух ползунов. Чтобы определить кинетическую энергию этих тел, найдем сначала скорост%
Эллипсограф является плоским механизмом: все звенья его совершают плоские движения. Угловая скорость кривошипа дана. Скорость пальца равна со/. Эта же точка принадлежит и линейке эллипсографа. Известны направления скоростей трех точек линейки. Перпендикуляры, восставленные в этих точках к направлениям их скоростей, пересекаются в мгновенном центре скоростей £мцс (рис. 208). Определяем угловую скорость линейки вокруг мгновенного центра скоростей. Для этого делим линейную скорость пальца на его расстояиие от мгновенного центра скоростей:
Рис. 208Рис. 208т 2P①2/22P (2/)2т 2P①2/22P (2/)2炉 4РП32炉 4РП32
Рис. 208
Рис. 208
т 2P①2/22P (2/)2
т 2P①2/22P (2/)2
炉 4РП32
炉 4РП32
Следовательно, угловая скорость линейки вокруг мгновенного центра скоростей равна угловой скорости кривошипа вокруг оси О. Для определения кинетической энергии линейки нам надо знать угловую скорость линейки вокруг оси, проходящей перпендикулярно к плоскости движения в центре масс. Напомним, что угловая скорость не зависит от выбора полюса, а потому искомая угловая скорость равна найденной угловой скорости относительно мгновенного центра скоростей.
Чтобы определить скорости точек 4 и В линейки, надо умножить угловую скорость линейки на расстояние этих точек от мгновенного центра скоростей. Если обозначим через ср угол поворота кривошипа, то и/= з 2/cos ср, Уд = со 2/ sin ф.
Кинетическую энергию кривошипа определим по формуле (216) как энергию вращающегося тела:
тР/2① 2р/2 ① 2
Кинетическую энергию линейки определим по формуле (217) Кёнига:
g 2Q/2co2 sin2 ф吋___—g 2Q/2co2 sin2 ф吋___—Кинетическую энергию поступательно движущихся ползунов определим по ⑵5):
g 2Q/2co2 sin2 ф
吋___—
g 2Q/2co2 sin2 ф
吋___—
Q 6)24/2 cos2 屮 _ 2Q/2(o2 cos2 (p
万2= g
Кинетическая энергия механизма равна арифметической сумме кинетических энергий его звеньев:
^ — ^кр+^л + ^в + ^л-
Ответ.Ответ.(L5P + 2Q)(L5P + 2Q)/2О)2/2О)2
Ответ.
Ответ.
(L5P + 2Q)
(L5P + 2Q)
/2О)2
/2О)2
зубчатых колесазубчатых колесарадиуса г и массы m каждый.Решение. Система состоитрадиуса г и массы m каждый.Решение. Система состоитЛЛшшРис. 209Рис. 209т 丿炉 m (4r)2 /1- —= ~3—т 丿炉 m (4r)2 /1- —= ~3—
зубчатых колеса
зубчатых колеса
радиуса г и массы m каждый.
Решение. Система состоит
радиуса г и массы m каждый.
Решение. Система состоит
Л
Л
ш
ш
Рис. 209
Рис. 209
т 丿炉 m (4r)2 /1- —= ~3—
т 丿炉 m (4r)2 /1- —= ~3—
Задача № 153. Определить кинетическую энергию планетарного механизма "(рис. 209). Рукоятка ОХО3 массы т и длины 4г вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси О], проходящей через
центр неподвижного зубчатого колеса /. На рукоятке свободно насажены два
из рукоятки и двух зубчатых колес (// и ///), Кинетическая
энергия системы равна сумме кинетических энергий этих тел. Кинетическую энергию рукоятки определим по (216), приняв рукоятку за однородный стержень:
Кинетическую энергию среднего колеса определим по формуле (217) Кёнига, считая зубчатое колесо круглым диском. Скорость центра О2 диска II
%2 = з2г,
потому что эта точка принадлежит и рукоятке, вращающейся вокруг 0】.Мгновен- ннй центр скоростей этого диска находится в точке касания его с неподвижным
зубчатым колесом 1. Угловую скорость среднего диска найдем, поделив у0з на расстояние от О2 до мгновенного центра скоростей:
ТогдаТогда「2 =「2 =加4n①2mr2加4n①2mr22222~ = 3,mrW.~ = 3,mrW.
Тогда
Тогда
「2 =
「2 =
加4n①2mr2
加4n①2mr2
2
2
2
2
~ = 3,mrW.
~ = 3,mrW.
Эту же величину можно определить по (216'), считая, что колесо вращается вокруг мгновенного центра скоростей; в таком случае момент инерции колеса относительно осн вращения надо подсчитать по теореме о параллельных осях (^~ + 加『2 ~^ 加「2) . Умножив' затем ■^加厂？ на квадрат угловой скорости (2со)2 и поделив на 2, получим Т2.
Чтобы определить угловую скорость крайнего колеса, найдем скорость точки касания его со средним колесом. Скорости точек среднего колеса определим как вращательные вокруг мгновенного центра скоростей. Таким образом, точка касания обоих подвижных колес движется со скоростью со22г ~ 4о)г, равной скорости О§, откуда угловая скорость крайнего колеса w3 = 0, следовательно, крайнее колесо совершает поступательное движение. ‘
Кинетическая энергия крайнего зубчатого колеса
т ®4г)?~~2т ®4г)?~~2—8т「2(о2—8т「2(о2
т ®4г)?
~~2
т ®4г)?
~~2
—8т「2(о2
—8т「2(о2
Кинетическая энергия всего механизма равна его звеньев.Кинетическая энергия всего механизма равна его звеньев.сумме кинетическихсумме кинетическихэнергийэнергий
Кинетическая энергия всего механизма равна его звеньев.
Кинетическая энергия всего механизма равна его звеньев.
сумме кинетических
сумме кинетических
энергий
энергий
Ответ. 7=(^+3+8)m川炉=Ответ. 7=(^+3+8)m川炉=ymr2<o\ymr2<o\
Ответ. 7=(^+3+8)m川炉=
Ответ. 7=(^+3+8)m川炉=
ymr2<o\
ymr2<o\
§ 47. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ СИЛЫ
«Работа — это изменениеформы движения, рассматри*ваемое с его количественнойстороны» (Энгельс)1«Работа — это изменениеформы движения, рассматри*ваемое с его количественнойстороны» (Энгельс)1Понятие работы. Энергия может переходить из одного вида в другие. Например, потенциальная энергия воды, поднятой плотиной на гидроэлектростанции, переходит в кинетическую энергию вращающихся
«Работа — это изменениеформы движения, рассматри*ваемое с его количественнойстороны» (Энгельс)1
«Работа — это изменениеформы движения, рассматри*ваемое с его количественнойстороны» (Энгельс)1
турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энергию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять
перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию электропечей, в световую, в звуковую и в прочие виды энергии. При всех этих явлениях исчезает (или возникает) такое же количество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс называет .работой.
Из множества различных видов движения в теоретической механике интересуются только механическим движением. Переход механического движения в немеханическое или же, наоборот, немеханичес
кого в механическое происходит на протяжении некоторого пути и
зависит от действующих сил. Поэтому понятие работы в механике связано с понятиями перемещения и силы.
Работу постоянной силы прн прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением:^ =尸s cos ееРаботу постоянной силы прн прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением:^ =尸s cos ееРабота постоянной силы при прямолинейном движении. Знакомство с понятием работы силы в механике начнем с частного случая —— работы постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения..
Работу постоянной силы прн прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением:^ =尸s cos ее
Работу постоянной силы прн прямолинейном движении выражают произведением модуля силы на величину перемещения материальной частицы и на косинус угла между направлением силы и перемещением:^ =尸s cos ее
Пусть к некоторой материальной частице приложена сила постоянная по
величине и по направлению. Пусть точка приложения силы переместилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае произведение
Л = Fscos а(218)
выражает работу постоянной силы F при прямолинейном движении и характеризует механическое воздействие на материальную частицу со стороны других материальных объектов на данном пути.
Работа является скалярной величиной, она не имеет направления и вполне характеризуется величиной и знаком. В формуле (218) ^IOдyv^ь силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «——» определяются знаком косинуса угла а между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости и, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если угол (F0 острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F совпадает с направлением перемещения, то угол (Fv) — 0, cos (Fy) = 1 и
Если же сила направлена противоположно перемещению, то (足)=180°, cos (Fv) = — 1 и
Л = —Fs.
Сила, перпендикулярная к перемещению, работы не совершает, так как cos 90° =0.
Определим размерность работы. В физической системе единиц
［川广UMiL.
Единицей работы в СИ является джоуль ——работа силы в 1 ньютон, действующей по направлению перемещения на пути в 1 метр (1 дж—
Размерность работы в технической системе единиц ⑷т = UFT・
Размерности работы иЭлементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:d4 = Fcos (爲)dsРазмерности работы иЭлементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:d4 = Fcos (爲)dsЕсли сила выражена в кГ, а длина ——в м, то единицей работы является 1 килограммометр.
Размерности работы и
Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:
d4 = Fcos (爲)ds
Размерности работы и
Элементарной работой силы называют работу силы на столь малом перемещении точки ее приложения, при котором изменением силы можно пренебречь:
d4 = Fcos (爲)ds
кинетической энергии одинаковы.
Элементарная работа силы. В общем случае, если сила переменна или движение точки приложения силы криволинейное, определять работу силы по (218) нельзя. Но, разбив мысленно весь путь на такие маленькие участки, которые можно считать прямолинейными и на которых можно пре-
небречь изменением величины и направления силы, мы определим на каждом из этих участков работу, называемую элементарной работой силы:
(219)(219)dA=F cos (Fv)dst
(219)
(219)
В этом равенстве ds выражает длину элементарного перемещения и является величиной всегда положительной.
Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно определить работу на конечном участке. Докажем некоторые теоремы о работе силы.
Элементарная работа равно-действующей равна суммеэлементарных работ состав-ляющих:d# = £d4Элементарная работа равно-действующей равна суммеэлементарных работ состав-ляющих:d# = £d4Теорема об элементарной работе равнодействующей. Пусть к точке О приложен пучок сил Fi， F2, ..., Fn. Обозначим равнодействующую этого пучка F. Спроецируем все силы пучка и равнодействующую на направление скорости точки О и приравняем
Элементарная работа равно-действующей равна суммеэлементарных работ состав-ляющих:
d# = £d4
Элементарная работа равно-действующей равна суммеэлементарных работ состав-ляющих:
d# = £d4
ААпроекцию равнодействующей сумме проекций составляющих:
А
А
尸COS (户0)=尸1 COS (F卫)+f2 COS (F2①+…+ & COS (尸解).
Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds элементарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элементарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:
F cos (Fv)ds = J cos (F^ds + 尸？ cos (户w)ds + ...十 F也 cos (Fnv)dst или
(220)(220)dA = 2力4既
(220)
(220)
Под суммой следует понимать, конечно, алгебраическую сумму, потому что работа не имеет направления, но имеет знак.
Элементарная работа силысвязана с проекциями силы наоси координат соотношением:dA — Xdx-j-Ydy-^-ZdzЭлементарная работа силысвязана с проекциями силы наоси координат соотношением:dA — Xdx-j-Ydy-^-ZdzВыражение элементарной работы через проекции силы на оси координат. Разложим силу F на составляющие по осям координат и определим элементарную работу силы по сумме работ ее составляющих. Пусть
Элементарная работа силысвязана с проекциями силы наоси координат соотношением:dA — Xdx-j-Ydy-^-Zdz
Элементарная работа силысвязана с проекциями силы наоси координат соотношением:dA — Xdx-j-Ydy-^-Zdz
составляющие силы направлены в положительном направлении осей
координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) направляющих косинусов скорости. В таком случае имеем
dA = F cos (Fv)ds = X cos %ds + Y cos 自 ds + Z cos y/s, или, подставляя значения направляющих косинусов,
dA = x ^ds+Y^ds+z ids<
сокращая на ds, получаем окончательно
dA=X dx + Y dy-\-Zdz.dA=X dx + Y dy-\-Zdz.(221)(221)
dA=X dx + Y dy-\-Zdz.
dA=X dx + Y dy-\-Zdz.
(221)
(221)
Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При. выводе этой формулы мы считали X, У и Z направленными положительно по осям координат. Если какие-либо из составляющих
силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, У и Z являются
не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат, т.е. определяются не только величиной, но и знаком. Кроме того, в отличие от (219), где всегда ds〉0, в (221) величины 才招 dy и dz являются дифференциалами координат точки приложения силы и
могут быть как положительными, так и отрицательными.
Заметим, что в общем случае дифференциальный трехчлен X dx~\~Ydy + Zdz не является полным дифференциалом и обозначение элементарной работы dA не следует понимать как полный дифференциал от 4'
Работа силы на данном пути. Возьмем
Работу силы на данном путивыражают пределом суммывсех элементарных работ си-лы на элементарных переме-щениях, из абсолютных ве-личин которых составляетсяданный путь:4= \ (Xdx + Y dy + Zdz)Работу силы на данном путивыражают пределом суммывсех элементарных работ си-лы на элементарных переме-щениях, из абсолютных ве-личин которых составляетсяданный путь:4= \ (Xdx + Y dy + Zdz)какие-либо два положения 嶋 и М2 точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы 尸 на конечном перемещении М±М2 выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемещениях, на которые разбит конечный участок пути МХМ2.
Работу силы на данном путивыражают пределом суммывсех элементарных работ си-лы на элементарных переме-щениях, из абсолютных ве-личин которых составляетсяданный путь:
4= \ (Xdx + Y dy + Zdz)
Работу силы на данном путивыражают пределом суммывсех элементарных работ си-лы на элементарных переме-щениях, из абсолютных ве-личин которых составляетсяданный путь:
4= \ (Xdx + Y dy + Zdz)
Эта сумма состоит из бесчисленного множества бесконечно малых слагаемых. Такую
сумму называют криволинейным интегралом, взятым по дуге МгМ2, и обозначают так:
Л = \ F cos (Ft) dsЛ = \ F cos (Ft) ds(222)(222)
Л = \ F cos (Ft) ds
Л = \ F cos (Ft) ds
(222)
(222)
или, если воспользоваться выражением элементарной работы через проекции силы на оси координат,
4=，(X dx^Y dy + Zdz).4=，(X dx^Y dy + Zdz).(222)(222)
4=，(X dx^Y dy + Zdz).
4=，(X dx^Y dy + Zdz).
(222)
(222)
Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути. .
Так как сила, вообще говоря, зависит от координат точки. ее приложения, от проекций скоростей точки и от времени:
F = F(x, у,爲 К £,力，
то мы можем вычислить интеграл (222‘)только в случае, если из^ вестно движение точки. Подставив тогда вместо %, у, z, х, у, z их
выражения в зависимости от времени, мы сможем представить работу силы в виде интегралаJ
/ ="(/)成，
где ^ и ^2 —— мгновения, соответствующие положению точки в Мг и М2.
Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатамиРабота графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатамиГрафическое определение работы. Ввиду сложности математического вычисления работы на практике часто пользуются для этой' цели графическим методом. Будем откладывать по оси абсцисс длину пути, пройденного точкой, а по оси ординат ——
Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами
Работа графически выражается площадью, ограниченной кривой, изображающей зависимость проекции силы на скорость от пути, осью абсцисс и крайними ординатами
соответствующую проекцию силы на направление скорости, учитывая п знак проекции. Получим некоторую кривую, изображающую зависимость между проекцией силы на направление скорости и путем точки. Площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними ординатами, изображает работу силы на данном пути. Если кривая или часть ее расположена по отрицательную сторону, вниз от оси абсцисс, то соответствующая площадь изображает отрицательную работу.
Для построения графика зависимости силы от пути имеются различные приборы. В частности, специальный прибор ——индикатор——служит для записи давления в цилиндре в зависимости от хода поршня. Работу, вычисленную при помощи индикаторной диаграммы, т.е. диаграммы, начерченной этим прибором, называют индикаторной работой.
Работа силы тяжести. Складывая веса
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела наРабота силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела наизменение высоты центратяжести тела: Aq — GHизменение высоты центратяжести тела: Aq — GHвсех частиц тела, заменим их одной силой G, равной весу тела и приложенной в центре тяжести С. Пусть при движении
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и равна произведению веса тела на
изменение высоты центратяжести тела: Aq — GH
изменение высоты центратяжести тела: Aq — GH
тела центр тяжести тела переместился из &(%,弘，zj в С? (%,必，г2) (рис. 210). Определим проекции веса на оси коорди-
нат, считая, чтонат, считая, чтоOz направлена вертикально вверх:
нат, считая, что
нат, считая, что
Х = о； У = 0; Z = —G, и, подставив их в (222'), получим под знаком интеграла полный дифференциал, а потому
А = — \ Gdz — — ^Gdz = —G(2a—厶)，
илиилиA — G(Z] — 22) = Gh,A — G(Z] — 22) = Gh,(223)(223)
или
или
A — G(Z] — 22) = Gh,
A — G(Z] — 22) = Gh,
(223)
(223)
Рис. 210Рис. 210Следовательно, работа силы тяжести не зависит от вида траектории точек тела и равна произведению веса тела на разность начальной и конечной высот центра тяжести. Если тело опускается, то сила тяжести тела совершает положительную работу, а если поднимается, то отрицательную. Так, например, если человек поднял гирю весом 10 кГ на высоту одного метра (безразлично—по
Рис. 210
Рис. 210
вертикали или по иной траектории), то работа силы тяжести равна —10 к「•附，а работа человека на преодоление силы тяжести равна + 10 "•儿
Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной осн, равна произведению момента силы относительно оси вра* щен и я на бескоиечио малый угол поворота: d4 = Md(pЭлементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной осн, равна произведению момента силы относительно оси вра* щен и я на бескоиечио малый угол поворота: d4 = Md(pРабота силы, приложенной к вращающемуся телу. Пусть тело вращается (или может вращаться) вокруг неподвижной оси и к какой-либо точке К этого тела приложена сила F. Примем ось вращения тела за ось Oz прямоугольной системы координат. Элементарная работа силы выразится равенством
Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной осн, равна произведению момента силы относительно оси вра* щен и я на бескоиечио малый угол поворота: d4 = Md(p
Элементарная работа силы, приложенной к телу, закрепленному на неподвижной осн, равна произведению момента силы относительно оси вра* щен и я на бескоиечио малый угол поворота: d4 = Md(p
dA X dx -\-Y dy + Z dz.(221)
%=—уз, Uy=+xs;乏=0.%=—уз, Uy=+xs;乏=0.(89)(89)Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, %) с угловой скоростью и координатами этой точки:
%=—уз, Uy=+xs;乏=0.
%=—уз, Uy=+xs;乏=0.
(89)
(89)
Умножая эти равенства на Л, найдем приращения координат точки приложения силы:
dx = — yd①; dy =十 xdcp, dz = 0.
Подставим эти выражения dx, dy и dz в формулу (221) dA — (— уХ -[-xY)d^.
Разность, стоящая в скобках, выражает момент данной силы относительно оси вращения Ог:
М2 = xY—yX,(23)
а следовательно, элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота:
dA = M dtp.(224)
Если на тело действует несколько сил, то, составив такие равенства для определения работы каждой из них и просуммировав,
найдем, что элементарная работа всех сил равна произведению главного момента сил относительно оси вращения на dtp.
Чтобы определить работу силы, действующей на тело при его повороте от у】 до(р2, надо проинтегрировать уравнение (224) в этих пределах, выразив момент силы в функции угла поворота:
/ = \ Aldcp.(225)
В частном случае постоянного момента силы
А = М^(226)
работа равна произведению момента силы на угол поворота тела.
Задача № 154 (№ 29.1,755 М). Однородный массив ABED, размеры которого указаны на чертеже (рис. 211, а), весит 4 Т. Определить работу, которую необходимо произвести, чтобы опрокинуть его вращением вокруг ребра D,
Решение. 1-й способ. Рассматриваем опрокидывание массива. Какие силы действуют на массив? Их две: вес массива G = 4T, приложенный в его центре
Рис. 211
тяжести С, и реакция фундамента. Во время опрокидывания реакция приложена в ребре D, вокруг которого происходит опрокидывание (рис. 211,6), как известно из статики (см. § 6, задача № 6). Но во время опрокидывания ребро D неподвижно, поэтому работа реакции равна нулю. Работу веса (силы тяжести) определим по (223). Для опрокидывания массива достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, изображенного на рис. 211, в, при котором центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ребро D; далее массив опрокинется сам. Имеем
Z] = = 4 他 г2 — DC = М42 十3? = 5
A = G (2工一Za) = —4 T • м.
Такова работа силы тяжести при опрокидывании массива. Чтобы опрокинуть массив, надо произвести работу, такую же по величине и обратную по знаку.
2-й способ. Несколько сложнее получится решение задачи, если мы воспользуемся формулой (225) о работе сил, приложенных к вращающемуся телу.
На поворачиваемый вокруг ребра D массив аействуюг вес и реакция в ребре D. Момент реакции относительно оси вращения равен нулю, следовательно, равна нулю и работа реакции. Момент веса — величина переменная — равен произведе- дению силы 4 Т на плечо CD cos ф, где ф (см. рис. 211, б) —угол, составляемый CD с горизонтальной плоскостью:
М = 20 cos ф.
Определим пределы интегрирования. При начале работы массив стоял вертикально, высота центра тяжести была 4 м и
.4
sin ф0 == 0,8.
Угол считаем отрицательным, так как отсчет производим по ходу часов:
ф0 = arcsin 0,8.
В конечном положении (см. рис. 211, в)
Подставляя в (225), получаем
л
4= J—arcsin4= J—arcsin20 cos ф d(p = 20 sin ф |= — 20十16 = — 4.
4= J
—arcsin
4= J
—arcsin
°'- arcsin 0,8
Мы определилиМы определилиработу восстанавливающего момента, вызванного силой тя-
Мы определили
Мы определили
жести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку.
Ответ. Л — + 4 Тм.
Задача № 155. Определить работу на преодоление силы земного притяжения при запуске на высоту 30 000 м ракеты массой m = 2000 &е, считая силу притяжения изменяющейся по закону всемирного тяготения. Радиус земного шара принять R = 6 37。000 м.
Решение. На ракету действует сила, направленная к центру Земли и равная f=5
где ^—постоянный коэффициент пропорциональности \ М——масса Земли, /п==—— масса ракеты и x = h + R — расстояние ракеты от центра Земли.
Обозначая kM через ц, имеем
откудаоткудаПри y=R ракета находится на поверхности Земли и F = mg> mg=~F，
откуда
откуда
M = R2g = 9,81 R2.
Зная р, и 也，можно определить массу Земли, потому что 也=卩：加.
Работу переменной силы F на перемещение ракеты с поверхности Земли и а высоту /г = 30 000 м определим по (222):
ЛЛmgdx=—万“ = 一 5 621 262 369 а%.
Л
Л
炉R(R +力)
Отрицательный знак показывает, ракеты к Земле направлена против заданном расстоянии, надо совершить тельную по знаку.Ответ. 4 =十5 621 262 369 дж.Отрицательный знак показывает, ракеты к Земле направлена против заданном расстоянии, надо совершить тельную по знаку.Ответ. 4 =十5 621 262 369 дж.что при подъеме ракеты сила тяготения движения. Чтобы преодолеть эту силу на работу, такую же по величине, но положи-что при подъеме ракеты сила тяготения движения. Чтобы преодолеть эту силу на работу, такую же по величине, но положи-
Отрицательный знак показывает, ракеты к Земле направлена против заданном расстоянии, надо совершить тельную по знаку.
Ответ. 4 =十5 621 262 369 дж.
Отрицательный знак показывает, ракеты к Земле направлена против заданном расстоянии, надо совершить тельную по знаку.
Ответ. 4 =十5 621 262 369 дж.
что при подъеме ракеты сила тяготения движения. Чтобы преодолеть эту силу на работу, такую же по величине, но положи-
что при подъеме ракеты сила тяготения движения. Чтобы преодолеть эту силу на работу, такую же по величине, но положи-
1 Коэффициент k был определен Кавендишем (1798 г.) из опытов над притяжением двух шаров —- большого свинцового и маленького медного.
Задача № 156. Доказать, что сумма работ внутренних сил абсолютно твер
дого тела при всяком перемещении тела равна нулю.
Решение. Рассмотрим две точки .4 и В твердого тела (рис. 212). Силы взаимо
действия этих точек всегда равны между собой и направлены по прямой АВ в противоположные стороны.
Проекции скоростей точек Л и В на прямую %В всегда равны между собой:
以 cos a = vs cos р.
Поэтому при любом перемещении работы сил взаимодействия точек Л и В равны по величине, но обратны по знаку, и сумма работ равна нулю- 2dA =尸и/ cos a df + 尸切 cos (180° — §) d/ =
=Fv^ cos ad/ — Fvb cos § d/ = 0.
Доказательство проведено для двух точек абсолютно твердого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твердого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землей (внутренние силы системы Земля — камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не разна нулю.
Ответ. Сумма работ всех внутренних сил в абсолютно твердом теле при всяком перемещении тела равна нулю.
Работа упругой силы равнаполовние произведения коэф-фициента жесткости на квад-рат деформации:Работа упругой силы равнаполовние произведения коэф-фициента жесткости на квад-рат деформации:Работа упругой силы. Определим работу упругой силы F пружины при растяжении ее на 九 см, если для растяжения этой пружины на 1 см необходима сила с кГ (рис. 213). Сначала определим работу, которую необходимо совершить для растяжения этой пружины на X см.
Работа упругой силы равнаполовние произведения коэф-фициента жесткости на квад-рат деформации:
Работа упругой силы равнаполовние произведения коэф-фициента жесткости на квад-рат деформации:
Согласно одномуСогласно одномуиз основных законов теории упругости и сопро
Согласно одному
Согласно одному
тивления материалов, называемому законом Гуках, растяжение на
груженного тела прямо пропорционально нагрузке:
F = сх,
где F—нагрузка, %—растяжение и с—коэффициент жесткости.
Подставляя это значение F в (221) и интегрируя в пределах от 0 до X, найдем работу, необходимую для искомой деформации пружины:
A = ^cxdx = ^-.(227)
о
Если к пружине приложить силу, например растягивать пружину рукой, то со стороны пружины возникнет реакция, называемая упругой реакцией, или упругой силой, пружины. По принцип〉 равенства действия и противодействия упругая сила равна и противоположна растягивающей силе F, а поэтому работа упругой силы определяется найденным значением. Знак работы упругой силы отрицателен, если сила упругости направлена против деформации, т. е. если деформация увеличивается, и положителен, если деформация уменьшается.
Закон деформации упругого тела открыт Гуком в 1660 г.» но опубликован только в 1676 г.
Задача № 157. Применить графический метод для вывода формулы (227).
Решение. Будем откладывать (рис. 214) по оси абсцисс растяжение пружины, а по оси ординат——силу F, потребную для этого растяжения, затем построим по точкам кривую зависимости между силой и перемещением точки приложения силы. В нашем случае это кривая первого порядка, т. е. прямая линия.
Первую гочк у поставим в начале координат, так как при отсутствии растягивающей силы растяжение пружины равно нулю. Чтобы растянуть пружину на 1 см, нужна сила с &厂，поэтому вторая точка кривой имеет координаты х=1,
р = с будетр = с будетпродолжатьпродолжатьоставаться растянутойоставаться растянутойдействоватьдействоватьна пружину, то пружинана пружину, то пружина〜一 чтобы растянуть пружинуувеличить силу еще на с кГ. Следовательно, коор- , у = 2с и т. д. Для растяжения пружины на X сч нужна сила в сХ кГ. Точка 尤=九，у = с九 лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с осно-〜一 чтобы растянуть пружинуувеличить силу еще на с кГ. Следовательно, коор- , у = 2с и т. д. Для растяжения пружины на X сч нужна сила в сХ кГ. Точка 尤=九，у = с九 лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с осно-еще на один сантиметр, надоеще на один сантиметр, надодинаты третьей точки 乃динаты третьей точки 乃2,2,на один сантиметр, нона один сантиметр, нованием X и высотой с九.Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.л=ст-ванием X и высотой с九.Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.л=ст-
р = с будет
р = с будет
продолжать
продолжать
оставаться растянутой
оставаться растянутой
действовать
действовать
на пружину, то пружина
на пружину, то пружина
〜一 чтобы растянуть пружину
увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, коор- , у = 2с и т. д. Для растяжения пружины на X сч нужна сила в сХ кГ. Точка 尤=九，у = с九 лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с осно-
〜一 чтобы растянуть пружину
увеличить силу еще на с кГ. Следовательно, коор- , у = 2с и т. д. Для растяжения пружины на X сч нужна сила в сХ кГ. Точка 尤=九，у = с九 лежит на прямой, соединяющей все нанесенные точки. Проведя ординату крайней точки, получим треугольник с осно-
еще на один сантиметр, надо
еще на один сантиметр, надо
динаты третьей точки 乃
динаты третьей точки 乃
2,
2,
на один сантиметр, но
на один сантиметр, но
ванием X и высотой с九.
Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.
л=ст-
ванием X и высотой с九.
Ответ. Работа выражается площадью этого треугольника, т. е.
л=ст-
Величину, характеризующую быстроту приращения работы (илы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:N=liВеличину, характеризующую быстроту приращения работы (илы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:N=li
Величину, характеризующую быстроту приращения работы (илы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:
N=li
Величину, характеризующую быстроту приращения работы (илы и выражающуюся отношением элементарной работы к дифференциалу времени, называют мощностью силы:
N=li
Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = cxt
где х—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас —— постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п.
Мощность силы. Одну и ту же работу
можно произвести за различное время. Величину, характеризующую быстроту приращения работы, называют мощностью силы и обозначают буквой М Разделив работу, произведенную силой, на время, в течение которого эта работа произведена, получим значение средней мощности силы:
В этом смысле говорят, хотя и несколько нечетко, что средняя мощность — это работа за единицу времени. При таком определении
получается, что мощность является работой, или элементарной ра・ ботой, чего не может быть, так как мощность имеет свою размерность. В физической системе единиц
[NQUMiTf
Единицей мощности в СИ является мощность силы, производящей работу в один джоуль за одну секунду. Эту единицу называют ватт и обозначают em. На практике часто употребляют единицу мощности киловатт (квт)\
1 кет = 1000 вт = 102 кГ-м/сек.
В технической системе единиц
В технической системе в качестве единицы мощности силы обычно применяют кГм/сек. Употребляют также другую единицу мощности, называемую лошадиной силой:
1 九.с. = 75 кГ-м/сек = 736 вт.
Чем меньше промежуток времени, за который определена сред- няя мощность силы, тем ближе она соответствует мощности в данное мгновение, которую мы определим в пределе, если будем уменьшать промежуток времени, сохраняя начало этого промежутка:
^ = lim^ = lim必 _坦А/ — dt必 _坦А/ — dt(228)(228)
^ = lim
^ = lim
必 _坦
А/ — dt
必 _坦
А/ — dt
(228)
(228)
Таким образом, мощность силы выражают отношением элементарной работы к дифференциалу времени.
При некоторых частных выражениях работы мощность можно определить по другим формулам. Так, например, если сила направлена по скорости, то dA = Pds, и, подставляя в (228), найдем
N = F、・u,(229)
т. е. мощность можно выразить произведением силы на скорость. При езде на автомобиле по ровной хорошей дороге, где нужно по- лучить большую скорость, но не надо преодолевать большие сопротивления, включают высшие передачи, а при подъеме или на плохой дороге, где нужно развить при полной мощности возможно большую силу тяги, хотя бы и за счет потери скорости, включают низшие передачи.
Если сила выражена в килограммах, скорость — в км/ч, а мощ- ность надо выразить в л. с., то формула (229) принимает следующий вид:
川—Fv-1000 — Fv
При вращательном движении тела подставим вместо d4 его выражение (224):
(230)(230)% =缥НМ电
(230)
(230)
т. е. мощность выражается произведением вращающего момента и угловой скорости.
Задача № 158. Тягач, развивая мощность 80 л. с., тянет по горизонтальной ледяной дороге со скоростью 15 км/ч сани с грузом 36 т. Определить коэффициент трения саней о дорогу.
Решение. За основные единицы примем: L ——в км, F —— B &厂，Т — в %
На сани действуют следующие силы: 1) вес 36 000 кГ, направленный вертикально вниз, 2) реакция дороги, направленная вертикально вверх; 3) сила тяги тягача, направленная горизонтально вперед по ходу саней, и 4) сила трения полозьев о дорогу, направленная горизонтально назад.
Работа вертикальных сил при горизонтальном движении саней равна нулю, и эти силы нас не интересуют.
Сани движутся равномерно, откуда следует, что горизонтальные силы уравновешивают друг друга. Следовательно, сила тяги 尸 уравновешена силой трения, равной, как известно, произведению коэффициента трения на нормальное давление (36 000 кГ). Подставляя эти данные, найдем
ол f・36 000・15
откудаоткуда80=2ТО~'
откуда
откуда
「80・270^збоооЛб"0,04'
Решим теперь эту же задачу в СИ, а. е. примем L в л, М—в №, Т — в сел. Мощность силы, развиваемую тягачом, выразим в ваттах:
N = 80• 736 = 58 880 ет,
скорость—в метрах в секунду:'
15 000 ,。 =磁0 м№к、
силу трения выразим в ньютонах:
FTp ==/*36 000*9,81 w,
и, пользуясь формулой (229), получим ответ.
с f 58880-3600…
°твет. / = 15 000.36 000-9,81 = °'04'
Задача № 159 (№ 791. Н. Н. Бухгольц, И. М. Воронков и А П. Мин а к о в. Задачник по теоретической механике). Нажим Прони.
Определение мощности машины можно произвести следующим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который центрируют и закрепляют наглухо винтами (рис. 215). На шкив надевают две связанные болтами деревянные подушки, одна из которых имеет плечо / с чашкой для грузов Q, Противовес Р подбирают так, чтобы свободно надетый на шкив нажим находился в равновесии без гирь Q в горизонтальном положении, т. е. так, чтобы плечо проходило между двумя неподвижными балками А и В, Испытание начинают с того, что затягивают болты подушек до тех пор, пока машина не даст наперед заданное число оборотов п. Коромысло прижимается при этом к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири до тех пор, пока плечо не отстанет от Л и не займет горизонтальное положение между Л и В.
Определить мощность, если вес гирь известен и равен Q, длина плеча равна /, а число оборотов в минуту п. Подобрать длину плеча так, чтобы мощность выражалась формулой N = Qn вт.
Решение. Центр тяжести подушек с противовесом Р по условию задачи лежит на одной вертикали с осью шкива На шкив действуют вращающий момент и момент сил трения, сумма которых равна нулю, так как шкив вращается равномерно.
Чтобы определить момент сил трения, рассмотрим равновесие подушки и составим сумму моментов действующих на нее сил относительно оси вала:
= Л1тр — Q1 = 0.
Тогда, по (230),
N = Л1Тр<о — Q-/.
Пусть вес выражен в &Г, а длина — в м, тогда для выражения мощности в вт надо эту величину разделить на 0,102 или умножить на 9,81：
2 = Q./^^ = QS」'°26 ет.
Если 1 = 0,98 м, то N = Qn em.
Ответ. 乂 =1,026 Qin вт. Если / — 0,98 м, то N = Qn вт.
Задача № 160 (№ 29 18,722 М). Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.
Предполагая, чго натяжение Tj ведущей ветви вдвое больше натяжения Т2 ведомой ветви, определить натяжение 7\ и Т2.
Решение. Условие задачи дано в технической системе единиц, будем решать в СИ и выражать L — в м, F — в н, Т — в %&.
Момент натяжения ремня, взятый относительно оси вращения шкива
1 Т
л4 = T]Г 一Tm=球 必初.
Угловая скорость
Мощность 20 л. с. выразим в ваттах.
и по (230)и по (230)Л/ = 20・736= 14 720 卽,
и по (230)
и по (230)
N = Ms =，・5n,
ои<у ia
0■J, 14
Натяжение ведущей ветви в два раза больше.
Ответ. 7\ = §750 咒；Т2= 1875 я. В задачнике И. В. Мещерского ответ дан в ^Г, умножая число ньютонов на 0,102, выразим натяжение ремней в килограммах: 九= 382 ", 7\=191кГ.
§ 48. ТЕОРЕМЫ ОБ§ 48. ТЕОРЕМЫ ОБИзменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:Т-П=4Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:Т-П=4ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
§ 48. ТЕОРЕМЫ ОБ
§ 48. ТЕОРЕМЫ ОБ
Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
Т-П=4
Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе, приложенной к точке силы:
Т-П=4
ТОЧКИ И СИСТЕМЫ
ттттXK.Z. === 『dr眩出喧出XK.Z. === 『dr眩出喧出127)127)Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки:
т
т
т
т
XK.Z. === 『dr眩出喧出
XK.Z. === 『dr眩出喧出
127)
127)
Умножим первое из этих уравнений на % =券， второе — на 口尸% и третье—на %=嘗.Сокращая dt в знаменателях правых и левых частей, получим:
mvx dux = X dx, mvy dvy = У dp, mvz d% = Z dz, или у2№t；2
dm-^ = Xd% dm—= У dy, dm~ = Zdz.
Сложим все три уравнения и заменим в левой части сумму дифференциалов дифференциалом суммы:
d 生丄喳翼t£l = X dx + У dg + Z dz.
В числителе левой части имеем квадрат полной скорости (64), а правая часть выражает элементарную работу силы (221). Следо
вательно,
(231)(231)d^ = d4
(231)
(231)
е. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе. Интегрируя равенство (231), получим
*4+с.
Постоянную интеграции определим из начальных данных. В начальное мгновение скорость точки ^工。。,а работа равнялась нулю. Подставляя эти данные, получим 一
Н окончательноН окончательно留М 加吗留М 加吗2222Л.Л.・，(232)・，(232)
Н окончательно
Н окончательно
留М 加吗
留М 加吗
2
2
2
2
Л.
Л.
・，(232)
・，(232)
Равенство (232) словами можно прочитать так: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении этой точки на каком-либо участке пути равно работе силы, приложенной к точке, на том же участке пути. Уравнение (232) называют уравнением кинетической энергии.
Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к т(5чке сил.Уравнение (232) можно записать более коротко:Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к т(5чке сил.Уравнение (232) можно записать более коротко:Т—Т0 = А.Т—Т0 = А.(232，)(232，)Задача № 161. Самолет делает посадку с выключенным мотором на болоЗадача № 161. Самолет делает посадку с выключенным мотором на болотистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость у может иметь капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центратистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость у может иметь капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центрасамолет, не рискуясамолет, не рискуятяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)Л = — Gh = — Gc (1 — cos ее).Л = — Gh = — Gc (1 — cos ее).самолета шассисамолета шассиВертикальная скорость самолета теряется Землю, но горизойтальная сохраняется. Если остановится, то оставшаяся кинетическая энергияВертикальная скорость самолета теряется Землю, но горизойтальная сохраняется. Если остановится, то оставшаяся кинетическая энергияпри ударе о при спуске-^― уйдет напри ударе о при спуске-^― уйдет наопрокидывание самолета:опрокидывание самолета:ту2ту2mgc (1 —cos ее).mgc (1 —cos ее).
Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к т(5чке сил.
Уравнение (232) можно записать более коротко:
Если на материальную точку действует несколько сил, то А означает работу равнодействующей приложенных к т(5чке сил.
Уравнение (232) можно записать более коротко:
Т—Т0 = А.
Т—Т0 = А.
(232，)
(232，)
Задача № 161. Самолет делает посадку с выключенным мотором на боло
Задача № 161. Самолет делает посадку с выключенным мотором на боло
тистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость у может иметь капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра
тистую местность. Какую максимальную горизонтальную скорость у может иметь капотировать (опрокинуться), если расстояние ОС центра
самолет, не рискуя
самолет, не рискуя
тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).
Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)
тяжести от оси шасси равно с и угол наклона прямой СО с вертикалью в мгновение посадки равняется а (рис. 217).
Решение. Опрокидывание самолета происходит от того, что при соприкосновении с Землей скорость шасси уменьшается, а корпус продолжает двигаться с постоянной скоростью. Для капота достаточно (и необходимо), чтобы центр тяжести, поднявшись, оказался на вертикали, проходящей через ось шасси.
Так как работа силы тяжести не зависит от траектории центра тяжести, а зависит лишь от его вертикального перемещения, то работа силы тяжести при опрокидывании (рис. 218)
Л = — Gh = — Gc (1 — cos ее).
Л = — Gh = — Gc (1 — cos ее).
самолета шасси
самолета шасси
Вертикальная скорость самолета теряется Землю, но горизойтальная сохраняется. Если остановится, то оставшаяся кинетическая энергия
Вертикальная скорость самолета теряется Землю, но горизойтальная сохраняется. Если остановится, то оставшаяся кинетическая энергия
при ударе о при спуске
-^― уйдет на
при ударе о при спуске
-^― уйдет на
опрокидывание самолета:
опрокидывание самолета:
ту2
ту2
mgc (1 —cos ее).
mgc (1 —cos ее).
Решая это уравнение, находим ответ.
Ответ. V < 丿2辰(1 — cSs 出.'
Задача № 162. (№ 121. Б. С. Зернов. Сборник задач по теоретической механике, ч. II — Динамика). Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, с какой наименьшей скоростью надо бросить материальную точку вертикально вверх, чтобы она не вернулась на Землю,
Решение. Сила, действующая на брошенную с Земли точку, пропорциональна массе точки и обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от центра Земли：
F = M产•
Коэффициент пропорциональности был определен при решении задачи № 155:
N = gR2.
Материальная точка, получив начальную скорость у0, будет удаляться от Земли, при этом под действием силы 尸 скорость ее будет уменьшаться, уменьшаться будет и сила F. Материальная точка не вернется на Землю, если в мгновение, когда скорость ее станет равной нулю, перестанет действовать и сила. Сила притяжения обратится в нуль при г = оо.
Работу силы 尸* прн изменении 厂 от R 区о 8 выразим интегралом
加吟 pirn加吟 pirnЗнак минус перед интегралом взят потому, что сила направлена в сторону, противоположную движению. Подставляем в (232):
加吟 pirn
加吟 pirn
откуда
Подставляя числовые данные, получим ответ.
Ответ. у0 — ]Л2• 9,8• 6 366 000 а^ 11 200 м/сек. (2-я космическая скорость).
Задача № 163. В автоматическом оружии отдача используется для выбрасывания пустой гильзы и вкладывания нового патрона. Это осуществляется посредством специального кожуха, сдерживаемого пружиной, который «принимает на себя» отдачу, отскакивает назад и под действием пружины возвращается обратно, производя упомянутые операции. Какова должна быть скорость пули, достаточная для того, чтобы работал автоматический пистолет, если вес пули 8 Г, вес кожуха 250 Г, расстояние, на которое отскакивает кожух, 3 см и сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 4 к「？
Решение. Путь кожуха 3 см. На этом пути начальная скорость кожуха у0 уменьшается, достигая нуля. Механическое движение кожуха переходит в упругую энергию пружины. Следовательно, применима теорема об изменении кинетической энергии, пользуясь которой, определим начальную скорость кожуха, так как конечная скорость равна нулю:
Упругая сила пружины изменяется по закону Гука 尸= с%; подставляя вместо F и х их заданные значения, находим
4 ?с「= с・1 см, откуда
с=4 кГ/см и F = 4x.
Подставляя в (221) и интегрируя в пределах от 0 до 3, находим '
з
А =— , 4хdx — — 18 кГ-см.
0
Работа отрицательна, так как упругая сила пружины направлена против ее деформации и выражена в кГ>см. Выразив в тех же единица-% кинетическую энергию кожуха, найдем его начальную скорость:
0,25 • с?о0,25 • с?о=—18 кГ *см3=—18 кГ *см3
0,25 • с?о
0,25 • с?о
=—18 кГ *см3
=—18 кГ *см3
нлинли£ 叫=0,£ 叫=0,илиили響。п +嘗 3,76 = 0,響。п +嘗 3,76 = 0,
нли
нли
£ 叫=0,
£ 叫=0,
или
или
響。п +嘗 3,76 = 0,
響。п +嘗 3,76 = 0,
и0 ~ У 18・2・98i *4 = 376 смIсек.
Итак, после выстрела кожух начал двигаться со скоростью 3,76 м/сек и, пройдя 3 см, остановился, затратив свое механическое движение на сжатие пружины.
После выстрела механическое движение получил не только кожух, но и пуля. Мы не будем больше рассматривать переход механического движения в упругую энергию пружины, а рассмотрим лишь механическое движение кожуха и пули.
Рассмотрим систему, состоящую из пистолета (с кожухом) и пули. Построим оси координат, проведя Ох вдоль дула пистолета. Проекция внешних сил на ось Ох равна нулю. Сила взрыва ——внутренняя сила системы и, следовательно, центр масс системы не смещается по оси Ох, и сумма проекций количеств движения после выстрела, как н до выстрела, равна нулю:
откуда скорость пули
—117,5 м/сек ^— 120 м/сек,—117,5 м/сек ^— 120 м/сек,0,250-3,76
—117,5 м/сек ^— 120 м/сек,
—117,5 м/сек ^— 120 м/сек,
=0,008
Знак минус показывает, что скорость пули направлена в сторону, противоположную скорости кожуха. Если скорость пули будет меньше, будет меньше и количество движения пули, а потому уменьшится ,и количество движения кожуха. Если же уменьшится количество движения кожуха, то уменьшится и его кинетическая энергия и ее будет недостаточно для совершения работы ——сжатия пружины на 3 см, т. е. при меньшей начальной скорости пули пистолет не будет автоматически перезаряжаться. При большей скорости пули избыток кинетической энергии кожуха будет передаваться ударом на руку. “
Ответ. V— 120 м/сек,
Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: Т — TQ = 4Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: Т — TQ = 4Теорема об изменении кинетической анер- гии материальной системы. Пусть механическая система состоит из п материальных точек. Разбив на две категории все силы, действующие на точки системы, напишем дифференциальные уравнения в форме (130):
Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: Т — TQ = 4
Изменение кинетической энергии материальной системы равно сумме работ внешних и внутренних сил системы: Т — TQ = 4
mkxk = Х£ + X" mkyk =嗯 + 嚥，m庐产 Z^ + Z£,
где 儿=1, 2, 3, ..., n.
Рассмотрим отдельно какую-либо из точек системы и напишем для нее уравнение кинетической энергии. На эту точку действуют как внешние, так и внутренние силы, и в правой части уравнения кинетической энергии мы напишем сумму работ внешних и внутренних сил:
零一噜=
Составим такие же уравнения для всех точек и возьмем сумму：
k = nк = пk= п
■ £粤一Е啓砲=£费十E兑. (233)
В левой части мы имеем разность кинетических энергий системы, а в правой—сумму работ всех внешних и внутренних сил системы; следовательно, изменение кинетической энергии материальной системы при каком-либо ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на том же перемещении системы:
7 - 7。= £ 屋 + 胃黑=4 (233，)
Припомним, что внутренние силы системы не вошли в уравнения проекций количеств движения системы (169) и в уравнения моментов системы (192). Однако они имеются в уравнении (233) кинетической энергии системы. Происходит это потому, что сумма проекций на любую ось и сумма моментов всех внутренних сил относительно любой оси всегда равны нулю, так как внутренние силы системы попарно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Но сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю, как это было показано в задаче № 156.
Пусть, например, две точки системы отталкивают друг друга внутренними равными и противоположно направленными силами и под действием этих сил расстояние между точками увеличивается. Перемещения обеих точек направлены по силам, работы обеих сил положительны, и сумма работ этих сил не равна нулю. Внутренние силы системы можно рассматривать как силы взаимодействия точек, взятых по две. Поэтому сказанное о двух точках распространяется на все точки системы.
Силы взаимодействия между каждыми двумя частицами направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти частицы. Если расстояние между частицами не изменяется, то относительное перемещение этих частиц может быть только в направлении, перпендикулярном к этой прямой. Но силы, перпендикулярные к перемещениям, работы не совершают, а потому работа внутренних сил неизменяемой системы (абсолютно твердого тела) равна нулю.
Если система состоит из нескольких твердых тел, то работа внутренних сил каждого твердого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твердыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю.
Задача № 164 (№ 38.13, 1053 М). Цилиндрический вал диаметром 10 см и весом 0,5 Т, на который насажено маховое колесо диаметром 2 л( и весом 3 Т, вращается в данное мгновение с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? При решении задачи массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.
Решение. Примем следующие единицы измерения: L — в см, F — в 7, Т — в сек.
Требуется определить количество оборотов вала до остановки. Механическое движение (вращение) вала с маховиком исчезает, переходит в другие виды движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии (233)
На вал с насаженным на него маховым колесом действуют силы: 1) вес всей системы, состоящий из веса махового колеса и веса вала, G = 3,5; 2) реакции
в опорах; 3) сила трения в подшипниках, равная произведению веса на коэффициент трения;尸тр = 0,05・3,5.
Точка приложения первой из этих сил неподвижна, а потому работа первой из этих сил равна нулю.
Реакции перпендикулярны перемещениям, а потому работа реакции равна нулю.
Работу сил трения определим по (226) как работу силы, приложенной к вращающемуся телу. Момент силы трения относительно оси вращения равен произведению силы трения на плечо (на радиус вала):
Мтр = 0,05-3,5*5.
Работа отрицательна, так как сила направлена против скорости, т. е. если вращение вала происходит против хода часовой стрелки (ср > 0), то 財丁卩 < 0, а потому 4 = Л4тр ср < 0; если же (① < 0), то Мтр > 0, а потому 4 < 0:
А =一0,05*3t5*5q)Т• см = —0,875(р.
Кинетическую энергию системы определим по (216) как кинетическую энергию вращающегося тела.
Момент инерции системы равен сумме момента инерции маховика и момента инерции вала. Хотя вес вала только в 6 раз меньше веса махового колеса, но люмент инерции вала исчезающе мал по сравнению с моментом инерции махового колеса, так как момент инерции зависит не столько от массы тела, сколько от ее распределения. Действительно, если масса маховика равномерно распределена по ободу, то
, П2 3 I …30 0009
J ==Т-см*сек2.
Уо1Уо1
Момент инерции цилиндрического вала определим как момент инерции цилиндра относительно его оси (см. задачу № 134):
Т • см • се&2Т • см • се&2,加2 о,512,5
Т • см • се&2
Т • см • се&2
/="2~=2W5 =Г98Т
Следовательно, момент инерции вала в 4800 раз меньше момента инерции маховика и при решении задачи моментом инерции вала можно пренебречь.
Определим начальную угловую скорость:
冗几30冗几30л *60 ~30~л *60 ~30~=2兀.=2兀.
冗几
30
冗几
30
л *60 ~30~
л *60 ~30~
=2兀.
=2兀.
Конечная угловая скорость равна -нулю.
Все полученные данные подставляем в (233‘)：
30 000 *4я298Ь2-
Из этого уравнения можно определить число оборотов вала до остановки. Так как 屮 выражен в радианах, а в каждом обороте 2л радиан, то, обозначая искомое число оборотов х, получим
ф —2лх.
Подставляем ① в предыдущее уравнение и, решая, получаем ответ.
Ответ. Вал сделает до остановки 109(7 оборота.
Задача № 165 (№ 35. А. А. Яблонский. Курс теоретической механики, ч. 2, «Высшая школа», 1962). Доска весом G] лежит на двух одинаковых цилиндрических катках весом G каждый, находящихся на горизонтальной плоскости. К доске приложена постоянная горизонтальная сила Р. При движении системы скольжение между катками и доской отсутствует. Определить ускорение доски, пренебрегая сопротивлением качению.
Решение. К механической системе, состоящей из доски и двух катков, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (233‘)：
k—n k—n
Определим кинетическую энергию системы. При качении катка без скольжения его мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскостью. Кинетическую энергию каждого из цилиндрических катков определим по формуле (216'):
G产 G「2\ у2 3GG产 G「2\ у2 3G
G产 G「2\ у2 3G
G产 G「2\ у2 3G
Кинетическую энергию доски, движущейся поступательно со скоростью и, равной скорости верхней точки обода каждого катка, определим по (214):
*=綻・
Величины скоростей точек фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра скоростей, следовательно,
v — 2vc.
Кинетическая энергия всей механической системы, т. е. двух цилиндрических катков и доски, равна
Т = 2Тц4-Тд = -|- • ~-痉 +у ・ ^ М =・"^ (3G十4G".
Аналогично
I 2
Определим работу внешних сил. На систему действует внешние силы (рис. 219); движущая сила Р, веса Gi, 6 и G, нормальные реакции R】и R2 неподвижной плоскости и силы трения скольжения F± тр и Л2 тр.
и сил трения, приложенных в мгновени сил трения, приложенных в мгновенРабота сил тяжести на горизонтальном перемещении их точек приложения
и сил трения, приложенных в мгновен
и сил трения, приложенных в мгновен
равна нулю. Работа идеальных реакций ных центрах скоростей катков, равна нулю. Сумма работ всех внешних сил содержит только работу силы Р на пути s, т. е.
k = n
но в уравнение кинетической энергии системы входит также работа внутренних сил системы. Определим ее. Работа внутренних сил каждого из твердых тел всегда равна нулю. Работа вн утренних сил взаимодействия между твердыми телами системы (между доской и каждым катком) в данном случае тоже равна нулю, так как эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к точкам, элементарные перемещения которых одинаковы, так как нет скольжения доски по каткам. Таким образом, имеем
2 4% = 6
fe= 1
k=n
Подставляя знамения Т, Т° н ? 4^ в уравнение (233'), находим
专(3G + 4&)(产—喲= Ps.
Продифференцировав это уравнение по времени, получим 联崂(3G + 4&) = P糸 4P
°TBeT-a=3G + 4O；^•
Задача № 166. Параллелепипед веса Р】(рис. 220) опирается на плоскость, наклоненную под углом а к плоскости горизонта; цилиндр веса Р3 и радиуса R опирается образующей на плоскость, наклоненную под углом р. Оба тела соединены идеальной нитью, перекинутой через блок радиуса R и веса Р2. Система выходит из состояния покоя. Определить скорость у параллелепипеда после того, как он переместится по плоскости на расстояние s, если коэффициент трения его о плоскость равен /, а трением при качении цилиндра и вращении блока можно пренебречь. Массу блока считать равномерно распределенной по его поверхности.
Рис. 220Решение. Рассмотрим движение системы, со'стоящей из параллелепипеда, цилиндра и блока.
Для движения параллелепипеда вверх необходимо, чтобы
Pi sin a + fPi cos а < Р3 sin р, откуда
1 sin а4-/ cos а'
Для движения параллелепипеда вниз необходим^' чтобы Pi sin а—/Р] cos а > Р3 sin р, откуда
р > PgsEB
1 ' sin а—f cos а'
Если вес Р] параллелепипеда заключается в пределах
Рз$ЕВ < р < Рз §Е 6sin а-|-/ cos а 1sin а—f cos а，
то система остается в равновесии. При прочих значениях Рх возникает движение системы. Для определения скорости определим кинетическую энергию системы.
В начальное мгновение кинетическая энергия системы равнялась нулю. Когда параллелепипед приобрел скорость у, то вследствие нерастяжимости нити такую же скорость получила и ось цилиндра. Кроме того, цилиндр получил
угловую скорость 飞-угловую скорость 飞-Такую же угловую скорость получил блок.
угловую скорость 飞-
угловую скорость 飞-
Кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий матери
альных тел, составляющих эту систему. Кинетическая энергия параллелепипеда
г/ nг/ nКинетическая энергия блока~Кинетическая энергия блока~R2R2R2R2Р2У2Р2У2
г
/ n
г
/ n
Кинетическая энергия блока~
Кинетическая энергия блока~
R2
R2
R2
R2
Р2У2
Р2У2
Кинетическая энергия цилиндра 7Ц = у ^~^"卜 卩£ .・ 旨)=
Следовательно,
3亜4 ~3亜4 ~7 = ^(2A + 2% + 3%).
3亜
4 ~
3亜
4 ~
Работа сил при перемещении s параллелепипеда вверх по плоскости 4 = (—Р] sin a—PJ cos а4-Р3 sin р) s.
Если же параллелепипед опустился на такое же расстояние, то
4 =(+Р1 sin а —Р丿 cos а—Р3 sin р) s.
Приравнивая работу изменению кинетической энергии, получим ответ.
Ответ. Скорость параллелепипеда выражается равенствами: 1) при подъеме:
1/"4gs (—Pi sin^ —Pi/cos а + Р3 sin Р)0= У2Р1 + 2% + ЗР,'
2) при опускании:
4gs (匕 sin a —PJ cos а二》3 sin §)
0= У2p1 + 2Р3 + ЗР3•
Задача № 167. Решить задачу № 146 (см. стр. 350), применив теорему об изменении кинетической энергии.
Решение. Выразив все заданные величины в кГ, м и сек, вычислим конечную кинетическую энергию системы:
u 64 I …一
I 2 j 25*к+4・16.
£7=缥 + 増=—Ц——般=4" (99,556) m2.
Начальная кинетическая энергия системы ^ ^0 = 0.
Вращающий момент приложен к первому валу. Когда второй вал сделает искомое число оборотов п^ первый вал повернется на — п2, а потому работа £ 4& = 50拉;2 л =-^- ЮОлЛг； 2л< = 0.
Подставляя эти данные в (233), имеем1© , 200 ,万(99,556) л/ - лл2*
Ответ.拉2 = 2,344 оборота.
Потеря кинетической энергии при ударе*
Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно): ~=一产产+ m.2(u — v2)2l+ ~~2—JКак было показано центральном неупругомПотеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно): ~=一产产+ m.2(u — v2)2l+ ~~2—JКак было показано центральном неупругомТеорема Карно. Кинетическая энергия является мерой, характеризующей способность механического движения превращаться в эквивалентное количество других ' видов движения (теплота, электричество и т. п.). Удары тел всегда сопровождаются явлениями, требующими затраты энергии (нагревание тел, звук и пр.), поэтому удары, происходящие при встрече тел всякой механической системы, обязательно уменьшают кинетическую энергию системы, в § 45, мгновенный импульс при прямом ударе двух тел может быть выражен любой
Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно): ~=一产产+ m.2(u — v2)2l
+ ~~2—J
Как было показано центральном неупругом
Потеря кинетической энергии системы, происходящая от ударов при встрече ее тел, равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям (Л. Карно): ~=一产产+ m.2(u — v2)2l
+ ~~2—J
Как было показано центральном неупругом
из следующих формул:из следующих формул:% (〃 一％) = — s, m2(" 一G=S,% (〃 一％) = — s, m2(" 一G=S,(174)(174)团1团2 (% -u2)团1团2 (% -u2)m1 +加2m1 +加2=S.=S.(175)(175)
из следующих формул:
из следующих формул:
% (〃 一％) = — s, m2(" 一G=S,
% (〃 一％) = — s, m2(" 一G=S,
(174)
(174)
团1团2 (% -u2)
团1团2 (% -u2)
m1 +加2
m1 +加2
=S.
=S.
(175)
(175)
Кинетическую энергию системы двух тел до удара обозначим Т。, а после удара Т. Изменение кинетической энергии
T—TlИЛИT—TlИЛИ加1我 2m2〃2)/加1電加1我 2m2〃2)/加1電2 丁 22 丁 2TfTfm2屿m2屿2'22'2加 1 (" — yl) (U + ^l)加 1 (" — yl) (U + ^l)22m1 (M2 -У1) ,也2 (户一资)2 г- 2m1 (M2 -У1) ,也2 (户一资)2 г- 2m2 (〃一 %)(〃 + ?2)m2 (〃一 %)(〃 + ?2)22Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получимЕсли тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получимт т _ —S(〃 + 力)S(〃+?2) / — / о12 I2~т т _ —S(〃 + 力)S(〃+?2) / — / о12 I2~S ®1一u2)2S ®1一u2)2Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:T _ Tm1加2 (办一般2)2 v 00 一 2(加1 +加1•T _ Tm1加2 (办一般2)2 v 00 一 2(加1 +加1•(234)(234)Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (О2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (О2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:ииTf =Tf =加2加2恤+他2恤+他2(235)(235)
T—Tl
ИЛИ
T—Tl
ИЛИ
加1我 2m2〃2)/加1電
加1我 2m2〃2)/加1電
2 丁 2
2 丁 2
Tf
Tf
m2屿
m2屿
2'2
2'2
加 1 (" — yl) (U + ^l)
加 1 (" — yl) (U + ^l)
2
2
m1 (M2 -У1) ,也2 (户一资)
2 г- 2
m1 (M2 -У1) ,也2 (户一资)
2 г- 2
m2 (〃一 %)(〃 + ?2)
m2 (〃一 %)(〃 + ?2)
2
2
Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получим
Если тела неупруги, то, принимая во внимание (174), получим
т т _ —S(〃 + 力)S(〃+?2) / — / о12 I2~
т т _ —S(〃 + 力)S(〃+?2) / — / о12 I2~
S ®1一u2)2
S ®1一u2)2
Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:
Подставив вместо S его значение (175), убедимся, что кинетическая энергия системы уменьшилась:
T _ Tm1加2 (办一般2)2 v 0
0 一 2(加1 +加1•
T _ Tm1加2 (办一般2)2 v 0
0 一 2(加1 +加1•
(234)
(234)
Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (О2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:
Если одно из тел, например второе, до удара было неподвижно (О2 = 0), то начальная кинетическая энергия системы равна кинетической энергии первого тела:
и
и
Tf =
Tf =
加2
加2
恤+他2
恤+他2
(235)
(235)
Следовательно, в этом случае потеря кинетической энергии зависит исключительно от отношения масс ударяющихся тел. При ковке металла переход кинетической энергии в тепловую целесообразен, а потому наковальня должна быть во много раз массивнее молота. Так, например, если молот в 99 раз легче наковальни, то Т—7^ = — 0,99 То, т. е. 99% энергии уходит главным образом на полезную работу (на ковку) и лишь 1 % затрачивается на сотрясение наковальни. Напротив, при забивании свай надо сообщить свае возможно большую скорость, т. е. надо по возможности сохранить при ударе кинетическую энергию системы, а потому целесообразно ударять сваю массивной бабой. Так, например, если масса бабы в 99 раз больше массы сваи, то Т — То=： — 0,01 То и 99 % энергии уходит на полезную работу (забивку сваи) и лишь 1 % теряется на звук, теплоту и пр.
Потерю кинетической энергии при ударе выразим более удобной формулой. Для этого возведем (175) в квадрат и потом разделим
правую часть полученного равенства на левую:
S2（Ш] +^2）3 —田欣e1一内）2
Умножим теперь на полученное выражение (т. е. на единицу) равенство (234):
7_7 =_例]加2 ®1 -02产$2 (例1 + ^2)2 = _ I S2 S2 ]
02(忆 +恤)mlml (yx — и?)?1.2 恤 2mJ
или в виду равенств (174)
7 —7。= —[3二直+!^E尹口 ；(236)
(% —") и (% —") выражают скорости, потерянные первым и вторым телами при ударе. Поэтому равенство (236) словами читают так: потеря кинетической энергии неупругих тел при ударе равна сумме кинетической энергии, которую имели бы эти тела, если бы их скорости были равны тем скоростям, которые они потеряли при
ударе.
Аналогично можно показать, что в случае не вполне упругого удара потеря кинетической энергии равна Д°ле кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям:
7f7f1 -月「加](卄 1 — "1)2 I ^2 e2"?)2I 21 -月「加](卄 1 — "1)2 I ^2 e2"?)2I 2(236，)(236，)
7f
7f
1 -月「加](卄 1 — "1)2 I ^2 e2"?)2
I 2
1 -月「加](卄 1 — "1)2 I ^2 e2"?)2
I 2
(236，)
(236，)
Если бы существовали абсолютно упругие тела 伍= 1), то их соударение происходило бы без потери кинетической энергии, т. е. без нагревания, без звука и пр.
Задача № 168. Определить потерю кинетической энергии при прямом центральном ударе двух тел, а также их скорости после уаара, если тх ~т2 = 2 /сг, vx = 4 м/сек, у2 = 0, —0,5.
Решение. Если бы удар был не упругим, то скорость тел после удара была бы по (176):
2-4 с=2 м/сек.
Учитывая коэффициент восстановления, скорости каждого из тел определим по (178):
〃1 = 2 + 0,5 (2 — 4) = 1; "2 = 2 + 0,5 (2 — 0) = 3.
Потерю кинетической энергии определим по (236'):
т т 0,5「2(1—4)2 丄 2(3 —О)?] а 2,,
Т — То= —丁飞~- =^Ькг^!сек\
Напомним, что механическое движение имеет две меры： 1) количество движения, т. е. меру, характеризующую способность механического движения передаваться от одних материальных тел к другим в виде механического же движения, и 2) кинетическую энергию, характеризующую способность механического движения переходить в другие немеханические виды движения.
Поэтому кинетическая энергия системы теряется при ударе, переходит
в теплоту, звук и пр. и £ 生験户 const* В данном примере (задача № 168) 2・4?
удара сталаудара сталакинетическая энергия системы до удара была 70 = —^— = 16 кг^^се^^ а после
удара стала
удара стала
Л f 2 О Q2
т=* +晉=10 爆•炉/се/Л
Потерянная системой двух тел кинетическая энергия 6 кгм2/сек2 перешла в другие немеханические виды движения.
Количество же движения системы лишь передалось от одного тела другому, но сохранилось в снстеме. В самом деле, К()= 2・4 = 8/<а♦兄/с绚 K = 2・l-j-2・3 = =8 кг-м/сек, т. е. К —仆=0.
Ответ. Т — Tq = 6 дж; ux = 1 м)сек\ и2 — 3 м/сек.
ГЛАВА XVHI
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ*
§ 49. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ И СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
Силовым полем называют часть пространства, приведенную какими-либо телами в такое состояние, при котором в каждой ее точке на данную материальную частицу действует сила, зависящая только от положения частицы и от времени, но не от ее скоростиСиловым полем называют часть пространства, приведенную какими-либо телами в такое состояние, при котором в каждой ее точке на данную материальную частицу действует сила, зависящая только от положения частицы и от времени, но не от ее скоростиСиловое поле. Пусть к материальной частице находящейся внутри некоторой области (части пространства), приложена сила, обусловленная наличием каких-либо тел. Если материальная частица передвигается в этой области, то действующая на нее сила может изменяться в зависимости от положения частицы или же оставаться постоянной. Эта сила может изменяться и со временем, но не должна зависеть от скорости частицы. Такую часть про
Силовым полем называют часть пространства, приведенную какими-либо телами в такое состояние, при котором в каждой ее точке на данную материальную частицу действует сила, зависящая только от положения частицы и от времени, но не от ее скорости
Силовым полем называют часть пространства, приведенную какими-либо телами в такое состояние, при котором в каждой ее точке на данную материальную частицу действует сила, зависящая только от положения частицы и от времени, но не от ее скорости
странства называют стационарным, еслистранства называют стационарным, еслисиловым полем, причем силовое поле называют силы его не зависят от времени, 口- нестацио
странства называют стационарным, если
странства называют стационарным, если
нарным, если силы поля с течением времени меняются.
Так, например, наша планета находится под действием силы
притяжения к Солнцу. Эта сила обратно пропорциональна квадрату
Рис. 221Рис. 221расстояния Земли от Солнца, т. е. зависит от положения Земли относительно Солнца, но не зависит от времени, и поле тяготения к Солнцу является стационарным силовым полем.
Рис. 221
Рис. 221
Тяготением Ньютон объяснил
(1687 г.) морские приливы и от
ливы. Его теория, усовершенствованная главным образом Д. Бернулли, рассматривает океан как водяной покров, окружающий твердый земной шар. Капли воды, находящиеся ближе- к Луне, притягиваются к ней сильнее, чем более удаленные капли. Вследствие «приливного ускорения» (рис. 221), т. е. геометрической разности ускорений, которые Луна сообщает центру земного шара и каплям водяной оболочки Земли, возникает движение воды такого характера, как будто обращенная к Луне часть океана притягивается ею, а противоположная отталкивается. Поэтому навстречу вращению Земли (т. е. с В ча 3) всегда бежит по океану приливная волна (но не течение!). Аналогичное явление получается от притяжения к Солнцу, но расстояние до Солнца так велико по сравнению с размерами Земли, что приливное ускорение от притяжения к Солнцу составляет всего у приливного ускорения от притяжения к Луне. Тем
не менее при вычислении приливов и отливов приходится учитывать положение Земли по отношению к Солнцу и к Луне. Взаимное положение светил непрерывно меняется со временем, поэтому на каждую каплю воды действует сила, зависящая не только от поло-
жения этой капли, но и от времени, и капли воды океана можно рассматривать как находящиеся в нестационарном силовом поле.
Силовой функцией называют такую функцию координат точек стационарного поля, полный дифференциал которой равен элементарной работе сил поляСиловой функцией называют такую функцию координат точек стационарного поля, полный дифференциал которой равен элементарной работе сил поляСиловая функция силового поля. Дано какое-либо стационарное поле и пусть существует некоторая функция координат U = U 陋 у, z),(237)
Силовой функцией называют такую функцию координат точек стационарного поля, полный дифференциал которой равен элементарной работе сил поля
Силовой функцией называют такую функцию координат точек стационарного поля, полный дифференциал которой равен элементарной работе сил поля
обладающая тем свойством, что ее частные производные по xt у a z являются однозначными функциями координат и равны
проекциям X, У н / силы поля на соответствующие оси координат, т.е.
=¥ =(238)
Функцию U называют силовой функцией \ а силу 尸 поля, проекции которой на оси равны частным производным от силовой функции по этим осям, называют градиентом силозой функции:
户=衣+衣+应=：^+7 瑞 + 茉4^ = gradU.(239)
Геометрическое место точек, в которых силовая функция имеет
одинаковое значение
(240)(240)U (х, у, z) = const
(240)
(240)
называют эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня. Все силовое поле можно представить заполненным непрерывным множеством бесконечно близких друг другу поверхностей уровня. Для каждого мгновения существуют определенные поверхности уровня и в нестационарных силовых полях
U(X, у, Z, /) = const.U(X, у, Z, /) = const.(2409(2409
U(X, у, Z, /) = const.
U(X, у, Z, /) = const.
(2409
(2409
Во всякой точке поля градиент (239) направлен по нормали к поверхности уровня.
.Подставив в выражение (221) элементарной работы вместо X, У и Z эти значения, получим
dA = Xd% + Vdy+ Zdz = -^-dx + ^-dy+ ^- dz = dU,
e. элементарная работа силы поля равна полному дифференциалу силовой функции
(241)(241)dA^dU,
(241)
(241)
Для существования силовой функции должны удовлетворяться определенные соотношения между проекциями силы поля. Продифференцируем по z второе из равенств (238), а третье продифференцируем по 协 получим .
” _ dW az ― д2и дг 一 ду dz * ду — dz ду '
Термин ввел Гамильтон.
На основании свойств частных производных можем написать
следующие равенства:
dx _ ” ду — дхdx _ ” ду — дх(242)(242)arazdzах
dx _ ” ду — дх
dx _ ” ду — дх
(242)
(242)
= ь и аналогично
OzдуoxOz
Задача № 169 (Г. Н. Савин, Н. А. К и л ь ч е в с к и й, Т. В. П у т я т а. Теоретическая механика, Киев,' 1963). Существует ли силовая функция в стационарном силовом поле, если проекции силы поля на оси координат зависят от координат материальной точки следующим образом Х = 2ху; У=%2; Z —О?
Решение. Для ответа на вопрос воспользуемся равенством (242)
ах о а/ _而=2招而= 2".
Следовательно, условия (242) выполняются.
Ответ. Да, существует. -
Потенциальное силовое поле. Стационар-
Потенциальным полем называют такое стационарное силовое поле, в котором работа силы поля, приложенной к материальной частице, зависит только от начального и конечного положений этой частицыПотенциальным полем называют такое стационарное силовое поле, в котором работа силы поля, приложенной к материальной частице, зависит только от начального и конечного положений этой частицыное поле, в котором выполняются эти условия, т. е. имеется силовая функция U, называют потенциальным полем. Пусть в потенциальном поле движется материальная частица, перемещающаяся с произвольной скоростью и безразлично по какой траектории из одного положения,
Потенциальным полем называют такое стационарное силовое поле, в котором работа силы поля, приложенной к материальной частице, зависит только от начального и конечного положений этой частицы
Потенциальным полем называют такое стационарное силовое поле, в котором работа силы поля, приложенной к материальной частице, зависит только от начального и конечного положений этой частицы
которое мы примем за начальное, в какое-либо другое, которое мы назэвем конечным. Обозначим через U。 значение силовой функции в той точке поля, которую мы приняли за начальное положение частицы, а через U — в конечной точке и затем, проинтегрировав левую и правую части равенства (241) в соответствующих пределах от 0 до Л и от UQ до U, получим
(243)(243)A = U — U『
(243)
(243)
Таким образом, независимо от скорости частицы и формы траектории работа силы потенциального поля равна разности значений силовой функции в конечной и в начальной точках траектории. Пусть имеется такое положение точки, для которого значение силовой функции равно нулю. Назовем это положение нулевым и примем его за начальное 亿=0). В таком случае
A = U.
Следовательно, силовая функция выражает ту работу, которую производит сила поля при переходе материальной частицы из
нулевого положения в данное.
Потенциальная энергия материальной точки равна работе сил потенциального поля при переходе точки из данного положения в нулевоеПотенциальная энергия материальной точки равна работе сил потенциального поля при переходе точки из данного положения в нулевоеПотенциальная энергия материальной частицы. Наряду с силовой функцией U нам понадобится величина П, связанная с силовой функцией простой зависимостью □ = - U(244)
Потенциальная энергия материальной точки равна работе сил потенциального поля при переходе точки из данного положения в нулевое
Потенциальная энергия материальной точки равна работе сил потенциального поля при переходе точки из данного положения в нулевое
и называемая потенциальной энергией Ч
1 Термин «потенциальная энергия» принадлежит Лазару Карно. Во всеобщее употребление термины «кинетическая энергия» и «потенциальная энергия» были введены Ранкиным, определившим кинетическую энергию как активную, а потенциальную—как энергию положения,. ■
Равенство (244) вместе с предыдущим равенством позволяют выяснить физическую сущность этого понятия: потенциальная энергия материальной точки, находящейся в каком-либо данном положении, равна работе силы потенциального поля при переходе точки из данного положения в нулевое.
Поясним это следующими примерами.
Потенциальная энергия пружины. Сжатая пружина обладает потенциальной энергией, обусловленной упругими деформациями в материале пружины. Если пружина сжата на величину х, то, как было показано (227), при переходе ее в ненапряженное состояние сила упругости может совершить работу . Эта способность сжатой пружины совершить работу является потенциальной энергией пружины:
Так же выразится и потенциальная энергия растянутой пружины.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести. Материальная частица или тяжелое тело, поднятое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, равной той работе, которую совершит сила тяжести при опускании тела до «нулевого положения». Однако нулевое положение в поле силы тяжести не может быть так естественно определено, как в поле упругой силы. Для пружины и вообще в случаях упругих сил нулевым положением является то, при котором отсутствует деформация. Для тяжелого тела нулевым положением может быть уровень пола, уровень земли и т. д. Уровень, относительно которого отсчитывают потенциальную энергию тела, поднятого на некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Но эта условность в выборе нулевого положения не сказывается на расчетах, так как в расчеты всегда входит не полная потенциальная энергия, а ее изменение. Нужно лишь отсчитывать потенциальную энергию относительно одного и~ того же уровня. Поэтому для определения потенциальной энергии тела в поле силы тяжести мы построим систему прямоугольных координатных осей, направив ось Oz вертикально вверх, но не будем пока уточнять положение начала отсчета и определим проекции силы тяжести:
Х = 0; У = 0; Z = -G.
Условия (242) существования силовой функции удовлетворяются. Определим дифференциал силовой функции:
'Xdx + Ydy + Zdz = — Gdz — dU.
Интегрируя, найдем силовую функцию силы тяжести:
U = — Gz*C.
Постоянная интеграции С зависит от начала отсчета, но изменение U — и。силовой функции от начала отсчета не зависит. Интегрирование можно провести и в пределах. Выберем, например,
ПолучимПолучимcos y = — cos % =——.cos y = — cos % =——.X =一号，y=一号，z——屮.X =一号，y=一号，z——屮.
Получим
Получим
cos y = — cos % =——.
cos y = — cos % =——.
X =一号，y=一号，z——屮.
X =一号，y=一号，z——屮.
за нулевое положение уровень моря и пусть тело поднято на высоту й, тогда
•h
U = — § Gdz = — Gh
о
и
П = + Gh.
Нетрудно видеть, что изменение П—По потенциальной энергии
тела при заданном изменении его высоты одинаково, выразим ли мы ее как П 三 G/i или П — Gz + C, и не зависит от С.
Силовая функция поля всемирного тяготения. По закону всемирного тяготения планеты притягиваются к Солнцу с силой F = k ^^ , где М —— масса Солнца, m—масса планеты и k— постоянная величина. Построив систему координат с началом в центре Солнца (рис. 222), определим проек
ции силы на оси, для чего умножим модуль силы на ее направляющие косинусы:
cos а — cos,
COS В = — COS Bl =—纟
Взяв частные производные от этих величин по х, у н z, можно показать, что условия (242) существования силовой функции выполняются, а следовательно, силовая функция существует. Найдем эту функцию:
dU = Xdx + Ydy + Zdz = — Шт *吋十時+〃z .
Числитель дроби в правой части есть rdr, в чем можно убедиться, продифференцировав равенство 戸之炉 + 歹 + 岩 поэтому
dU = — kMm~ = — kMm ^ .
Интегрируя, находим силовую функцию ньютонианского поля:
(245)1(245)1U = k — + C.
(245)1
(245)1
',Открыта Л а Гранжем в 1773 г.
(245')(245')Или, если ввести гауссово число ^ = kM, то и^^ + С.
(245')
(245')
с обратным знаком.При движении материальной частицы под действием силы потенциального поля сумма кинетической и потенциальной энергий частицы остается постояннойравенством (243), найдемс обратным знаком.При движении материальной частицы под действием силы потенциального поля сумма кинетической и потенциальной энергий частицы остается постояннойравенством (243), найдемПотенциальная энергия выражается той же величиной, но взятой
с обратным знаком.
При движении материальной частицы под действием силы потенциального поля сумма кинетической и потенциальной энергий частицы остается постоянной
равенством (243), найдем
с обратным знаком.
При движении материальной частицы под действием силы потенциального поля сумма кинетической и потенциальной энергий частицы остается постоянной
равенством (243), найдем
Закон сохранения механической энергии. На материальную частицу, находящуюся в потенциальном поле, действует сила этого поля, поэтому при движении частицы ее скорость, а следовательно, и кинетическая энергия ее в общем случае меняются. Выражая в уравнении (232) работу А зависимость изменения кинетической энер
гии от изменения силовой функции:
(246)(246)加u2 加*"
(246)
(246)
Это равенство называют интегралом кинетической энергии. Оно показывает, что изменение кинетической энергии материальной частицы, движущейся в потенциальном поле, равно изменению силовой функции, не зависит от пути материальной частицы, а зависит лишь от ее начального и конечного положений в потенциальном поле.
Если в равенстве (246) силовую функцию мы выразим посредством (244) через потенциальную энергию, то получим
откуда
嚟+ п =畔+L
и вообще
^ + п = const.(247)
Таким образом, если материальная частица движется в потенциальном поле под действием сил этого поля, то во всякое мгновение при всяком положении частицы сумма ее кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Равенство (247) выражает закон сохранения механической энергии и имеет применение в тех случаях, если на частицу не действуют никакие силы, кроме сил потенциального поля. Поэтому потенциальные поля называют также консервативными (от лат. conservativus——сохраняющий).
Так, например, закон сохранения механической энергии справедлив при движении планет в поле ньютонианского тяготения: чем ближе к Солнцу находится планета на своей эллиптической орбите, тем меньше ее потенциальная энергия и соответственно больше кинетическая (см. § 44 ——закон площадей). Скорость периодических комет, движущихся по очень вытянутым эллипсам, в пери-
гелии во много тысяч раз превышает их скорость в афелии, но в любой точке орбиты сумма кинетической и потенциальной энергий кометы есть для этой кометы величина постоянная.
Вывод первого закона Кеплера из закона всемирного тяготения Ньютона **
Задача № 170. ** Определить траекторию небесного тела (планеты, кометы, космического корабля), движущегося под действием тяготения к Солнцу, подчиняясь закону всемирного тяготения Ньютона.
Решение. Задача относится к обратным задачам динамики: определить движение по заданной силе. Для решения воспользуемся интегралом кинетической энергии ,
嚟—齊—% (246)
или, применительно к данной задаче и в виду (245‘)
mvz /пуо — цт 卩加
22 — г г。
Определим из этого равенства у2 и заменим радиус-вектор его обратной ве- „1
личннои и~ —:
и? = 2[ли ~I- t?o — 2ji"q.
Для упрощения записи введем обозначение
fo — 2jxtz()— В.
Тогда
滨=2卩〃 + 3.
Это значение и2 внесем в первую формулу Бине (191):
(2j)2(2j)2["2 + (^Н=2М" + &["2 + (^Н=2М" + &
(2j)2
(2j)2
["2 + (^Н=2М" + &
["2 + (^Н=2М" + &
Решим это уравнение относительно dtp:
^Ф= ±^Ф= ±В 2|хи&F 十"^В 2|хи&F 十"^d〃
^Ф= ±
^Ф= ±
В 2|хи
&F 十"^
В 2|хи
&F 十"^
Если мы отсчитываем ср от какого-либо начального положения, в котором 1 радиус-вектор возрастает, а следовательно, его обратная величина 〃=——убывает,
то d〃 имеет отрицательный знак и
82卩我
而^十（2寸
Для интегрирования преобразуем выражение, стоящее под знаком корня, прибавив к подкоренному количеству и вычтя из него — (2а)4'
説十源"鳥+訪一（"一券十焉）•
Выражение, взятое в скобки, представляет полный квадрат разности двух количеств, и радикал принимает следующий вид:
Сумма двух первых членов в подкоренном количестве должна быть больше отрицательного третьего члена, потому что в противном случае (р было бы мнимой величиной. Введем обозначение
В . р,2 —с?
(2<j)2 十(2&)4—彦.
Положим, кроме того, как это мы уже приняли при решении задачи № 129,
IX 1
чтои перепишем уравнение в следующем виде:
В правой части равенства мы имеем дифференциал арккосинуса от аргумента
〃01 F
-i~—— .Теперь интегрирование не составляет труда и, учитывая, что постоянная
интеграции равна нулю, получаем
q)= arccosq)= arccosup 一 1up 一 1
q)= arccos
q)= arccos
up 一 1
up 一 1
Решим это уравнение относительно и:
1
〃=万(1 cos ф).
Мы получили уравнение конического сечения в полярных координатах.
Ответ.尸=,厂一. Траектория—коническое сечение. 1 cos ф
Задача 171. ** По данным предыдущей задачи определить условия, при которых траекторией небесного тела является эллипс, парабола или гипербола.
Решение. В обозначениях, принятых в предыдущей задаче, напишем:
8 丄卩2 _ g2 р, — 1(2<i)2 十(2<i)4 —庐(2<i产—万.
Как видно из конечного результата предыдущей задачи, величины р и е имеют следующий геометрический смысл: р является параметром, а е——эксцентриситетом. Вводя в квадрат второе из принятых обозначений и вычитая из первого, найдем:
В _迎 1 _£2—1
(2"一讲一蕾
Подставим вместо 6 в левую часть равенства его значение, принятое в предыдущей задаче:
%八91
mvlmvlgR* = —豊+С,gR* = —豊+С,откуда находим Н =откуда находим Н =Ответ. Н = 51 км.Ответ. Н = 51 км.2gR —W2gR —Wи, подставляя числовые значения, получаем ответ.и, подставляя числовые значения, получаем ответ.
mvl
mvl
gR* = —豊+С,
gR* = —豊+С,
откуда находим Н =
откуда находим Н =
Ответ. Н = 51 км.
Ответ. Н = 51 км.
2gR —W
2gR —W
и, подставляя числовые значения, получаем ответ.
и, подставляя числовые значения, получаем ответ.
Из этого соотношения определим квадрат эксцентриситета:
В аналитической геометрии показано, что у эллипса эксцентриситет меньше единицы, у параболы равен единице и у гиперболы больше единицы. Как видно из написанного равенства, эксцентриситет меньше единицы, равен единице или больше единицы в зависимости от того, является ли выражение, стоящее в скобках, отрицательным, нулем или положительным.
Ответ. Эллипс:
е < 1, у§ < —.
「о
Парабола:
e=l, oR* го Гипербола:
е , t»o > — •г0
Задача № 172 (№ 30.24, 793 М). Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной лмнин с начальной скоростью и0. Определить величину Я поднятия тела, принимая во внимание, что сила притяжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Радиус Земли R = 6370 км, у0 — 1 км/сек.
Решение. Рассматриваем движение тела в поле тяготения Земли. На тело “ с ,Мт т , ц 一
действует одна лишь сила 尸=月-^~ =卩.声，где « = —- — коэффициент пропорциональности, М ——масса Земли и т ——масса тела. Коэффициент |x=gR2 для силы земного притяжения определен в задаче № 155.
Начальная кинетическая энергия тела То ——, конечная / =0; начальная потенциальная энергия
конечная
Приравняем сумму энергий в начале движения сумме энергий в конце движения:
При движении тела в поле тяжести вблизи земной поверхности на тело, кроме силы тяжести, действуют различные диссипативные силы, например сила сопротивления воздуха, поэтому закон сохранения механической энергии здесь неприменим: происходит рассеяние механической энергии, переход ее в другие немеханические виды. Вместе с тем и немеханические виды энергии могут переходить в механическую энергию. Переход не только механической, но и всякой другой энергии из данного вида в эквивалентное количество энергии всякого другого вида подчинен всеобщему закону сохранения 〃 превращения энергии, изучаемому в курсах физики. Согласно этому закону во всякой изолированной системе сумма энергий всех видов (кинетической^
потенциальной, тепловой, электрической и т. д.) остается постоянной.
Открытие закона сохранения механической энергии (выражаясь точнее, вывод равенства 246) обычно приписывают Гельмгольцу. Но он провел разработку лишь математической стороны вопроса, однако, физическая сущность равенств (246) и (247) не могла получить правильного освещения в трудах Гельмгольца, понимавшего движение не как внутренне присущий материи атрибут, а как нечто внешнее по отношению к материи, «существо которой»,-по выражению Гельмгольца, «в самом себе представляется для нас покоящимся и бездейственным».
Открытие же всеобщего закона сохранения и превращения энергии приписывают обычно Р. Майеру или Джоулю. Но никакое крупнейшее открытие не может принадлежать одному человеку. В частности, открытие этого закона было подготовлено трудами Декарта, Гюйгенса, Лейбница, Ломоносова, Сади Карно и многих других ученых. Постановка этой проблемы и, в частности, изучение перехода тепловой энергии в механическую было вызвано в первой половине XIX в. развитием промышленности и применением паровых
машин, практически осуществляющих этот переход.
Потенциальная энергия ме-ханической системы зависиттолько от положения точексистемы в потенциальномполеПотенциальная энергия ме-ханической системы зависиттолько от положения точексистемы в потенциальномполеПотенциальная энергия системы» Чтобы лучше осветить физическую сторону вопроса, мы все формулы и формулировки в этой главе дали для реальной материальной частицы. Они останутся, конечно,
Потенциальная энергия ме-ханической системы зависиттолько от положения точексистемы в потенциальномполе
Потенциальная энергия ме-ханической системы зависиттолько от положения точексистемы в потенциальномполе
без изменения, если материальную частицу мы заменим материальной точкой, являющейся абстрактным образом материального тела. Они применимы и к такой материальной системе, в которой сумма работ всех сил, приложенных к точкам системы, при перемещении
системы из одного положения в другое не зависит от траекторий точек. В частности, они применимы к абсолютно твердому телу, так как работа внутренних сил твердого тела равна нулю.
Очевидно, что потенциальная энергия системы, математически
выражается функцией координат всех точек системы
口 = 口(%,协,乙,• • •, х", %, Z„),
причем полный дифференциал этой функции, взятый с обратным знаком, равен сумме элементарных работ сил потенциального поля, приложенных к точкам системы. Такое поле является консервативным, т. е. при движении системы в таком поле под действием только сил этого поля сумма кинетической и потенциальной энергий
системы сохраняет постоянное значение.
Равновесные положения механической системы в потен-Равновесные положения механической системы в потен-циальном поле, при которыхциальном поле, при которыхпотенциальная энергия си-стемы достигает минимума,устойчивыпотенциальная энергия си-стемы достигает минимума,устойчивыТеорема Лежен Дирихле. Отметим интересные свойства равновесия механических
Равновесные положения механической системы в потен-
Равновесные положения механической системы в потен-
циальном поле, при которых
циальном поле, при которых
потенциальная энергия си-стемы достигает минимума,устойчивы
потенциальная энергия си-стемы достигает минимума,устойчивы
систем в потенциальном поле:
если система находится в покое в потенциальном поле и занимает положение, при котором потенциальная энергия П
минимальна (а следовательно, силовая функция U имеет максимум),
то система находится в устойчивом равновесии, т. е., будучи незна-
чительно выведена из этого положения, она стремится вернуться к нему, совершая около него малые колебания;
наоборот, если потенциальная энергия при равновесии системы имеет максимум, то система находится в состоянии неустойчивого равновесия и, будучи выведена ил этого состояния, не может остаться близкой к первоначальному положению равновесия \
Так, например, на рис. 223, а и б изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рис. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. § 52) имеет громадное применение в различных отраслях науки и техники и, в частности, в теории вибрации машин.
Рис. 223Рис. 223Закон был открыт Лагранжем (1788 г.) и в отношении устойчивости равновесия при максимуме силовой функции строго доказан Лежен Дирихле (1846 г.); в отношении же неустойчивости равновесия, при котором условие максимума силовой функции не выполнено, доказан для широкого класса случаев А. М. Ляпуновым (1892 и 1897 г.), но пока еще никем не доказан в общем виде.
Рис. 223
Рис. 223
ГЛАВА XIX
ПРИНЦИП Д'АЛАМВЕРА И ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Силой инерции материальной частицы называют геометрическую сумму сил йротиво- действия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение
§ 50. ПРИНЦИП Д'АЛАМВЕРА
Сила инерции. Если в задаче динамики или статики требуется определить движение или условия равновесия какого-либо материального объекта, то, составляя уравнения движения или равновесия этого материального объекта, мы включаем в них только те силы, которые на него реально
действуют. В эти уравнения не должны входить силы, с которыми данное тело действует на окружающие материальные тела.
динамике есть
Однако в
Рис. 224
и такой метод решения задач, где наряду с силами, приложенными к данному объекту и сообщающими этому объекту ускорение, учитывают также и силы, с которыми данный объект противодействует телам, сообщающим ему ускорение.
Пусть имеется некоторая материальная частица М. (рис. 224, а)
и другие 即，% данную
материальные…，действие
материальную
объекты Мр
которых частицу
наМ
представлено силами 尸。f2, F8,...
Эти силы сообщают материальной
ча-
стице М ускорение а.
Материальная частица Л4 противодействует телам л4n м，此，…，Силы противодействия равны силам 尸° 尸2，尸3， • • • и противоположно направлены (рис. 224, б), но не уравновешиваются ими, так как силы противодействия приложены не к материальной частице М а к телам Л4Р
М3 ,...
Приложим (совершенно условна) эти силы противодействия не к телам Мг, Л12, М3, ..., к которым они приложены в действительности, а к материальной частице Л4 и сложим их (рис. 224； 6). Эту геометрическую сумму сил противодействия движущейся
материальной частицы М телам М” Л42, М3, ..., сообщающим ей ускорение, называют силой инерции, Мы будем обозначать ее буквой Ф.
Понятие «сила инерции» нельзя отождествлять с уже знакомым нам понятием «инерция». Еще Лазар Карно, первый определивший (1803 г.) силу инерции как силу, «которую тело сообщает всем другим телам, стремящимся вывести его из данного состояния», указывал, что «сила инерции»—величина, вводимая в вычисления наравне
с другими силами, тогда как «инерция»—это проявление присущего
материи свойства сохранять движение без действия сил.
Сила инерции материальной частицы выражается произведением массы частицы наСила инерции материальной частицы выражается произведением массы частицы наСилы инерции широко применяют в науке и технике при различных расчетах, о чем будет сказано в дальнейшем, а сейчас
Сила инерции материальной частицы выражается произведением массы частицы на
Сила инерции материальной частицы выражается произведением массы частицы на
ее ускорение и направлена определим величину, направление и раз- противоположно ускорению”f
мерность силы инерции. Ускорение а, по
лучаемое частицей М под действием сил 尸口 尸?，f3, согласно основному закону динамики(123') направлено по равнодействующей всех этих сил и пропорционально ей.
Составляющие силы, геометрическая сумма которых является
силой инерции, равны, но противоположны силам 尸工，尸?，尸з， действующим на частицу Л4, а потому сила инерции частицы М. по
величине равна произведению массы частицы на ее ускорение, но направлена в сторону, противоположную ускорению:
(248)(248)①=一ma.
(248)
(248)
Как видно из этого равенства, размерность силы инерции Ф есть размерность обычных ускоряющих сил, т. е. в физической системе единиц:
[①]产 1?mr2 и в технической системе единиц:
[①]tнитT.
Единицей силы инерции в технической системе единиц могут служить килограмм-сила или его дробные и кратные единицы, а в СИ—ньютон ⑺.
Составляющие силы инерции. В различных
Касательной силой инерции называют составляющуюКасательной силой инерции называют составляющуюсилы инерции, направленную по касательной к траектории частицы и равную произведению массы частицы иа ее касательное ускорение с обратным знаком:силы инерции, направленную по касательной к траектории частицы и равную произведению массы частицы иа ее касательное ускорение с обратным знаком:задачах динамики, в которых применяют силы инерции, эти силы приходится про
Касательной силой инерции называют составляющую
Касательной силой инерции называют составляющую
силы инерции, направленную по касательной к траектории частицы и равную произведению массы частицы иа ее касательное ускорение с обратным знаком:
силы инерции, направленную по касательной к траектории частицы и равную произведению массы частицы иа ее касательное ускорение с обратным знаком:
ецировать на оси и раскладывать по различным направлениям, причем особенно часто по направлениям касательной и главной нормали. Так как сила инерции противоположна ускорению частицы, то и на-
①T = - тат①T = - татния, и компонента точки М равнания, и компонента точки М равнаправляющие косинусы силы инерции по величине равны, а по знаку противоположны направляющим косинусам ускоре- силы инерции по касательной к траектории
①T = - тат
①T = - тат
ния, и компонента точки М равна
ния, и компонента точки М равна
(249)(249)Фг = — ma-r,
(249)
(249)
или по абсолютной величине
T| = | 喘.
Эту компоненту называют касательной силой инерции. Как видно
из полученного равенства, касательная сила инерции частицы равна
произведению массы частицы на ее касательное ускорение и направ
лена в сторону, противоположную касательному ускорению, т. е.
замедленном.Нормальной силой инерции называют составляющую силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы и равную произведению массы на ее нормальное ускорение с обратным знаком:• фдг = —та^инерции частицы равназамедленном.Нормальной силой инерции называют составляющую силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы и равную произведению массы на ее нормальное ускорение с обратным знаком:• фдг = —та^инерции частицы равнапротив скорости при ускоренном движении и по скорости — при
замедленном.
Нормальной силой инерции называют составляющую силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы и равную произведению массы на ее нормальное ускорение с обратным знаком:
• фдг = —та^
инерции частицы равна
замедленном.
Нормальной силой инерции называют составляющую силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы и равную произведению массы на ее нормальное ускорение с обратным знаком:
• фдг = —та^
инерции частицы равна
Компоненту силы инерции, направленную по главной нормали к траектории частицы, называют нормальной силой инерции материальной частицы:
①— /тШдг.(250)
По абсолютной величине
I n I •
Как видно из (250), нормальная сила произведению ее массы на нормальное уско
рение и направлена против нормального ускорения, т. е. всегда в сторону выпуклости траектории. Нормальную силу инерции ча
стицы вращающегося тела
I ①,у I = т^-г
называют центробежной силой.,.
Касательную и нормальную силы инерции можно рассматривать как проекции силы инерции Ф на касательную и на главную нормаль. В таком случае они являются скалярными величинами, как
всякие проекции силы наЕсли ко всем действующим на точку силам добавить силу инерции, то систему действующих на точку сил можно считать на данное мгновение уравновешенной и применять к ней законы статикивсякие проекции силы наЕсли ко всем действующим на точку силам добавить силу инерции, то систему действующих на точку сил можно считать на данное мгновение уравновешенной и применять к ней законы статикиОСЬ.
всякие проекции силы на
Если ко всем действующим на точку силам добавить силу инерции, то систему действующих на точку сил можно считать на данное мгновение уравновешенной и применять к ней законы статики
всякие проекции силы на
Если ко всем действующим на точку силам добавить силу инерции, то систему действующих на точку сил можно считать на данное мгновение уравновешенной и применять к ней законы статики
на точку активных и реактивных сил равна нулю:на точку активных и реактивных сил равна нулю:Принцип Д'Аламбера для одной материальной точки. Изложим принцип Д*Аламбера сначала для одной материальной точки, а потом распространим его на механическую систему. Согласно основному уравнению статики точка находится в состоянии равновесия, если сумма всех действующих
на точку активных и реактивных сил равна нулю:
на точку активных и реактивных сил равна нулю:
⑵⑵» = 0.
⑵
⑵
Основным уравнением динамики является
^F^ma,(123)
Пусть некоторая точка М массы m под действием всех приложенных к ней активных сил и реакций связи получила ускорение а. Будем считать, что к точке М приложена также и сила инерции Ф.
Тогда, сложив почленно равенства (123') с равенством (248), получим
илиилиw厂+①=ma—та,E方+不=0.w厂+①=ma—та,E方+不=0.(251)(251)
или
или
w厂+①=ma—та,E方+不=0.
w厂+①=ma—та,E方+不=0.
(251)
(251)
Уравнение динамики переходит в уравнение статики, если ко всем действующим на точку активным силам и силам реакций связей прибавить еще и силу инерции Ф, а следовательно, при этом условии задачу динамики можно решать методами статики. В этом заключается принцип Д'Аламбера.
Если спроецировать все приложенные к точке силы (включая и силу инерции) на оси координат, то принцип Д'Аламбера можно записать в такой форме:
Wx + 0>* = 0, £旷 + 吗,=0, £Z +叫=0. (252) Здесь ‘
Ф^——тх;①у=—ту;①z=—俏， (253)
Обозначим через 尸。равнодействующую всех приложенных к точке активных сил, а равнодействующую всех реакций обозначим Fr, Тогда равенство (251) можно записать так:
(251')(251')济a+万+不=0.
(251')
(251')
Если к каждой точке материальной системы приложить силу инерции, то систему можно считать на данное мгновение находящейся в равновесии и применять к ней уравнения статикиЕсли к каждой точке материальной системы приложить силу инерции, то систему можно считать на данное мгновение находящейся в равновесии и применять к ней уравнения статикиПринцип Д'Аламбера для системы материальных точек. Пусть на материальные частицы системы действуют активные силы и реакции связей. Приложим к каждой частице системы силу инерции, равную произведению массы частицы на ее ускорение, но направленную против ускорения
Если к каждой точке материальной системы приложить силу инерции, то систему можно считать на данное мгновение находящейся в равновесии и применять к ней уравнения статики
Если к каждой точке материальной системы приложить силу инерции, то систему можно считать на данное мгновение находящейся в равновесии и применять к ней уравнения статики
частицы. Тогда для каждой частицы можно написать
百+ А +宓=0,
где F* ——равнодействующая всех активных сил, приложенных к этой частице, F^ ——равнодействующая реакций связей, наложенных на эту частицу,①丸——сила инерции этой частицы.
Составив такие уравнения для всех точек системы, мы убедимся, что каждую из этих точек можно считать находящейся в данное мгновение в равновесии. Таким образом, если к каждой точке системы ^приложить силу инерции, то систему, можно рассматривать как находящуюся в данное мгновение в равновесии и применять к
ней уравнения статики. В этом заключается принцип Д'Аламбера для материальной системы.-
Рассматривая только силы инерции, приложенные к какому-либо телу, можно, следуя методу Пуансо, привести их к одной точке, заменить их главным вектором сил инерции и главным моментом сил инерции относительно этой точки и т.п., как это делают в в статике.
При определении силы инерции матери- Сила инерции ие действует альной частицы М мы мыслецно прило- на данную массу, но дейст- жили к ней силы действия (или противо- вует на тела, осуществля- 。“
ющие связьдействия) этой частицы на другие мате
риальные тела, сообщающие ей ускорение, и геометрическую сумму этих сил назвали силой инерции частицы Л4. Но эти силы- в действительности приложены не к частице М, а к окружающим ее телам, среди которых могут быть и тела, осуществляющие связь, наложенную на частицу М (тело Л42 на рис. 224). Сила инерции лишь мысленно приложена нами к данной частице М, Если бы еила инерции реально действовала на массу, то она реально уравновесила бы все прочие силы, пргьчоженные к этой массе и привела бы массу в равновесие.
Так, например, если бы на нашу планету, движущуюся вокруг Солнца, кроме силы притяжения к Солнцу, реально действовала бы и центробежная сила, равная произведению массы Земли на ее центростремительное ускорение и направленная от Солнца, то обе эти силы (сила притяжения и центробежная сила) взаимно уравновесились бы. Тогда согласно принципу инерции Земля продолжала бы удерживаться в состоянии равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не принудили бы ее изменить это состояние. Но с точки зрения классической механики дело обстоит иначе. На движущуюся Землю действует реальная сила гфитяжения к Солнцу. Центробежная сила инерции на Землю не действует. Земля обладает скоростью, направленной под углом к прямой, соединяющей ее с Солнцем. Сила притяжения к Солнцу сообщает Земле ускорение, направленное по силе. Нормальное ускорение изменяет направление скорости Земли, и Земля описывает эллипсг, находясь под действием лишь одной силы притяжения к Солнцу.
Сила, с которой Земля притягивается к Солнцу, приложена к Земле. Равная и обратная сила приложена к Солнцу. Других сил в этой системе двух свободных тел нет. Применяя к Земле любое уравнение динамики, мы должны учитывать лишь одну реально действующую на Землю силу тяготения к Солнцу. Только в случае, если мы желаем применить уравнения статики, рассматривать Землю как находящу юся в данное ^мгновение в равновесии, только применяя принцип Д'Аламбера или принцип виртуальных перемещений (см.
1 Движение материальной точки по эллипсу под действием притягивающей силы было рассмотрено в задаче № 104, а также в задачах № 170* и № 171*.
§ 51), мы мысленно прикладываем к Земле силу, действующую на Солнце, и называем ее силой инерции Земли.
Динамической реакцией связиназывают реакцию связн,вызванную действием силинерцииДинамической реакцией связиназывают реакцию связн,вызванную действием силинерцииДинамические реакции. Но силы инерции необходимо учитывать при определении сил, действующих на связи. Силы инерции изменяют реакции связей, и в телах, осуществляющих связь, производят такие же
Динамической реакцией связиназывают реакцию связн,вызванную действием силинерции
Динамической реакцией связиназывают реакцию связн,вызванную действием силинерции
явления, как и прочие известные нам силы, деформируют эти тела,
вызывают в них внутренние напряжения и могут даже разрушить.
Рассмотрим пример, внешне очень похожий на предыдущий. Грузик, весом которого пренебрегаем, закрутили на нНТке, другой конец которой держат в руке, грузик движется по окружности с постоянной скоростью. На грузик действует единственная сила —— натяжение нитки, направленная от грузика к руке. Эта единственная сила выводит грузик из присущего ему, по свойству инерции, равномерного и прямолинейного движения, сообщает грузику нормальное ускорение. Противодействие этой силы приложено к нитке, натягивает ее с силой, равной силе инерции груза.
Реакции связи, вызванные силами инерции, называют динамическими реакциями. При решении следующих задач покажем применение принципа Д'Аламбера к определению динамических реакций.
Задача № 173. Ускорение скоростного лифта высотного здания при подъеме изменяется в пределах от 十2 м[се# до —2 м/сек.2. Определить натяжение троса, если вес кабины с пассажирами 1200 «Г.
Решение. Задачу решаем методом Д'Аламбера в СИ. Натяжение троса происходит от веса G=1200 кГ (статическая нагрузка) и от силы инерции Ф (динамическая нагрузка). К действующим на кабину лифта силам (вес G = m・g=lt 772 н и натяжение Т троса) мысленно прикладываем силу инерции Ф =——та и рассматриваем равновесие лифта.
Если лифт поднимается ускоренно, то ускорение направлено вверх, а сила инерции — вниз:
2^=0; Т —G —①=0,
откуда, считая ускорение максимальным,
T = G +①=11 772 + 1200*2 = 14 17 2 儿
Если лифт поднимается замедленно, то ускорение направлено вниз, а сила инерции —вверх:
》У = 0; Т-G +①=0, откуда
T = G —①=11 772—1200・2 = 9372 儿
Сила инерции реальна для троса (для связи), так как она меняет его нат5b жеиие. На кабину лифта сила инерции не действует, так как не приводит ее ни в состояние покоя, ни в равномерное прямолинейное движение.
Ответ. Ттах= 14 172 咒=1445 才；Tmin = 9372 咒= 955 汇「•
Задача № 174. Вагон совершает вертикальные гармонические колебания по закону j/ = 0,4 sin 10冗£ (вибрация). Колебания происходят на рессорах, расположенных между кузовом вагона, весящим 20 Т, и его тележкой, весящей вместе с колесами 2 Т. Определить давления на рельсы.
Решение. Задачу будем решать, применяя принцип Д'Аламбера. Единицами измерения примем L в л/, F в Т и Т в сек. На вагон действуют следующие силы： вес (кузова и тележки) 22 TH реакция рельсов R.
Определяем силу инерции:
Ф = — ту =
20— ^0,004-100л2 sin Юл/.20— ^0,004-100л2 sin Юл/.Экстремальные значения силы инерции получим, положив sin 10л/~ ± 1. Сокращая л = 9,86 и g=9,81, определим
20
— ^0,004-100л2 sin Юл/.
20
— ^0,004-100л2 sin Юл/.
①max = 8T Н ①miL—8T.
Нагрузка на рельсы складывается из статической (вес кузова и тележки) и динамической (силы инерции кузова). Давление вагона на рельсы найдем из условия равновесия всех сил (включая и силу инерции), действующих на вагон:
》У = 0; —20 — 2 干 8 + R = 0.
Ответ. Максимальное давление 30 Т; минимальное давление 14 Г.
" ^a рельсы, так как изменяет давление вагона на
рельсы. Сила инерции не действует на вагон, так как не приводит его в состояние равновесия.
Задача № 175 (№ 26.10, 646 М). Автомобиль весом 1000 «Г движется по выпуклому мосту со скоростью 0=10 м>сек\ радиус кривизны в середине моста р = 50 м. Определить давление автомобиля на мост в мгновение прохождения его через середину моста.
Решение. Рассмотрим автомобиль, движущийся по мосту (рис. 225).“
Rv="2Rv="210001000РРА。，А。，кГ.кГ.На автомобиль действуют его вес G — 1000 кГ и реакция моста R. Эти силы не уравновешивают друг друга, так как автомобиль не находится в равновесии. К этим действующим на автомобиль силам приложим мысленно еще силу инерции, равную массе автомобиля, умноженной на ускорение. Автомобиль движется равномерно по криволинейной траектории, поэтому он имеет центростремительное ускорение. Нормальная сила инерции
Rv="2
Rv="2
1000
1000
Р
Р
А。，
А。，
кГ.
кГ.
Силу инерции прикладываем к автомобилю, направляем ее вверх, против нормального ускорения. (В формулах сил инерции знак 《一》показывает, что сила инерции направлена против ускорения). Дав такое направление силе (в данном случае вверх), мы тем самым учитываем знак минус и в дальнейшем считаем силу положительной.
После того как сила инерции прибавлена, система сил как бы находится в равновесии, и мы можем применять к пей уравнения статики. Составим сумму проекций сил на вертикальную ось:
£『 = 0； R +①— G = 0; R+ 204—1000 = 0, откуда
R= 1000 — 204 = 796 кР.
Заметим, что сила инерции реально действует на связь (в данном случае на мост) и не действует на движущуюся точку (в данном случае на автомобиль), к которой мы ее прикладываем. Сила инерции реальна для моста, так как давление на мост действительно меньше статического на величину силы инерции. Сила инерции не действует на автомобиль, так как в таком случае он находился бы под действием уравновешенной системы сил и двигался бы равномерно и прямолинейно
Ответ. R = 796 к「.
Задача № 176 (№ 220. М. И. Б ать, Г. Ю. Джанелидзе и А. С. Кел ь- з о н. Теоретическая механика в примерах и задачах. Физматгиз, 1961). Опреде- /нть, с какой скоростью должен двигаться искусственный спутник Земли на высоте h —900 км, если орбиту спутника принять за окружность с центром в центре Земли. Радиус Земли R — 6370 км. Ускорение тела, свободно падающего у поверхности Земли, g=9,81 м/сек2. Сила притяжения спутника обратно пропорциональна квадрату расстояния спутника от центра Земли. Спутник считать точечной массой.
Решение. На спутник действует сила притяжения, направленная к центру Земли,
尸.(R + M，
где m —масса спутника, jx —коэффициент, найденный при решении задачи № 155, N=gR2. Следовательно, сила притяжения, действующая на спутник,
mg©
Эта сила сообщает спутнику нормальное ускорение, направленное к центру Земли,
Приложим мысленно к спутнику центробежную силу инерции ①％, равную та^ и направленную противоположно центростремительному ускорению. По принципу Д'Аламбера, эта сила уравновешивает единственную действующую на спутник силу F. А по аксиоме статики две взаимно уравновешивающиеся силы по величине равны. Следовательно,
№ — mgR2m灭耳不=(R+份2，
откуда находим скорость спутника:
"R /告=6 370 00° /启綜= 740。М!сек.
Ответ, и = 7,4 км/сек.
Задача № 177 (№ 880 М). Бревно АВ длиной I опирается концом Л на горизонтальную дорогу ЛЕ; другой конец его В привязан веревкой BD длиной d в точке D к грузовику, движущемуся равноускоренно по прямолинейному горизонтальному участку пути, причем высота ED = k. Пренебрегая поперечными размерами бревна, найти, при каком ускорении а грузовика веревка и бревно составляют одну прямую (рис. 226).
Решение. На бревно действуют следующие силы： вес G = mg, приложенный в середине бревна С； на
тяжение веревки Т, приложен ное в точке 5 и направленное к точке D; реакция Rt приложенная в точке Л и направленная вертикально вверх; сила трения 尸丁卩, приложенная к бревну в точке Л и направленная горизонтально влево. Прикладываем к бревну силу инерции Ф. Эту силу прикладываем в центре инерции С бревна и направляем против ускореяия, т. е. горизонтально влево. По величине эта сила равна т^а. Сила инерции уравновешивает всю .систему сил, и мы вправе применять уравнения статики. Составляем сумму моментов всех сил относительно точки А:
£м『о；£м『о；т-ат-а™ sin / BAE ~т-g-^-™ sin / BAE ~т-g-^-cos 4 BAE 二0,cos 4 BAE 二0,
£м『о；
£м『о；
т-а
т-а
™ sin / BAE ~т-g-^-
™ sin / BAE ~т-g-^-
cos 4 BAE 二0,
cos 4 BAE 二0,
откуда
a = gctg / BAE.
Как видно из чертежа:
./ 4Еу(/+d)2 —掘
Подставляя в предыдущее равенство, определим ускорение. Ответ.
а = ^ К(/+d)z—犷.
При таком ускорении автомобиля давление бревна на дорогу, а следовательно, и сила трения равнялись бы нулю.
Силы инерции вращающегося звена*
Задача № 178. Определить величину, направление и точку приложения разнодействующей всех сил инерции звена, вращающегося вокруг неподвижной оси О
при следующих данных: масса звена т, момент инерции относительно оси вращения J, расстояние центра масс С от оси вращения ОС = с, угловая скорость в данное мгновение со, угловое ускорение е.
_ 2畋%_ 2畋%=с,=с,Решение. Построим систему координатных осей хОу (рис. 227, а) с началом на оси вращения, направив ось Ох к центру масс звена, тогда координаты центра масс：
_ 2畋%
_ 2畋%
=с,
=с,
где mk—масса материальной частицы, а %尼 и yk—ее координаты, и суммирование распространено на все материальные частицы звена.
К каждой материальной частице звена мысленно приложены центробежная сила инерции и касательная сила инерции. Требуется найти равнодействующую этих сил.
Займемся сначала центробежными силами. Если радиус-вектор 左-й частицы обозначим %, а угол, составляемый радиусом-вектором с осью 0%, обозначим ос内 (рис. 227, 6), то центробежная сила этой частицы и ее проекции на оси Ох и Оу выразятся следующим образом：
^kN^mkrk^
&kNx = mkrk^ C0S绘=团川々①2学 нт左冲①2.rk
①在Ny =小川脚2 Sin绘=m“左炉 ^ 论柒炉・
Центробежная сила направлена обратно центростремительному ускорению (от оси вращения О звена), следовательно^центробежные силы всех частиц плоского звена представляют собой плоский пучок сил, пересекающихся в точке О.
Равнодействующая Фдг этого пучка (центробежная сила звена) Приложена в той же точке О, проекции этой силы:-
①Nx = £①用an = 2m川饱①2 =炉£ mAxA^加e*22м用①2=炉2=°-
Следовательно, центробежная сила звена направлена по оси Ох, т. е. от осн вращения звена к центру масс, и равна произведению массы звена на центростремительное ускорение центра масс:
Ф^~тса)2.
Перейдем теперь к касательным силам инерции (рис. 227, в). Касательная сила инерции элементарной частицы равна произведению массы этой частицы на ее касательное ускорение и направлена против ускорения：.
Проекции этой силы на оси координат:
①G=十”庐 sin%= +mkrk^^+mkyk^
①打y =一m*庐c°s c^= 一加“庐u=一m后%庐，
Линии действия касательных сил инерции различных частиц не пересекаются в точке О, и, чтобы сложить эти силы, надо, следуя методу Пуансо, перенести их к точке О, добавив соответствующие пары, моменты которых равны моментам данных сил относительно точки приведения.
Момент касательной силы инерции, приложенной к 左-起 точке относительно начала координат О, подсчитаем по формуле (28):
М走0 = /У丸—y^k = xi^kTy — y^kТх ——团左 04+虚)&
Проекции главного вектора касательных сил инерции:
①厶=?=+ 2皎缈=+8光秋% = 0,
①7? = 上a7> =-》m/庐=—£》m/生=—加С£，
Следовательно, главный вектор касательных сил инерции равен (по модулю) произведению массы звена на тангенциальное ускорение центра масс звена:
①г工Т = ЕС£・
Но этот главный вектор не является равнодействующей касательных сил инерции, так как при перенесении этих сил появился главный момент касательных сил инерции относительно точки приведения, равный алгебраической сумме моментов тангенциальных сил инерции всех частиц звена:
^гл. 0 = 2 М^о = —(麻+ 處)£ = ■ eS 团左(成+ j/2)——」&•
Итак, главный момент касательных сил инерции звена относительно оси вращения равен взятому с обратным знаком произведению момента инерции на угловое ускорение.
Представим главный момент в виде пары, силы которой равны главному вектору, а плечо / равно отношению главного момента к главному вектору:
一/ё — тс'
Мы получили знакомое нам выражение (199) приведенной длины физического маятника.
Одна из сил пары уравновешивается главным вектором Фгл 丁 касательных сил инерции, и остается равнодействующая касательных сил инерции, которая равна произведению массы звена на касательное ускорение центра масс, но приложена в центре качания Л звена.
Перенесем в центр качания Л по линии действия центробежную силу ①％ (рис. 227,е), сложим здесь обе составляющие (①％ н Фг) силы инерции и найдем равнодействующую всех сил инерции звена.
Определим модуль равнодействующей:
Ф^тс $£& 十
и по (6) определим направляющие косинусы:
cos % =-7= ； COS 阻=h二’…：一• •
Ответ. Сила инерции равна произведению массы звена на ускорение центра масс, направлена против ускорения центра масс, но приложена не в центре масс, а в центре качания.
Задача № 179. Решить задачу № 146, применив для системы принцип Д'Аламбера. (См. другие решения этой задачи: № 146, 167, 189, 193.)
Решение. Рассмотрим вращение первого вала вокруг оси / ——/. На вал действуют вращающий момент Mi = 50 кГ н момент сопротивления второго вала ——尸г「Добавим момент сил инерции, который равен М (①)=——J1e1. Имеем
Мг — Fr1 — JlQ1 = 0.
Рассмотрим вращение второго вала вокруг оси II — II. На него действуют момент со стороны первого вала 尸г?，Добавим момент сил инерции —」2&2・ Имеем
Fr 2~■■ J 2Б2 — 0.
Определим отсюда F н подставим в предыдущее уравнение:
Ai]—J2员 —— - J 1e] 0.
Г 2
г 3
Н0 £尸守比 и й=歹. Кроме того, дано 此=50(=5 кГм^ек2,
Jz = 4 кГм• сек2 и предыдущее уравнение принимает вид:
50 — 4е ^—5-^- е2 = 0 и е2 —^52_ —5(357 се&Т
Теперь, когда угловое ускорение второго вала определено, легко вычислить гю формулам (87) равноускоренного вращения время, в течение которого вал разовьет угловую скорость(й2 —4л и число оборотов за это время.
Ответ. = 2,344 оборота.
Задача № 180. (42.4,1101М). Стержень длины 2无(рис. 228, а), на концах которого находятся грузы ^1 и ^2 равного веса (Р1_р2==р), вращается равномерно с угловой скоростью ① вокруг вертикальной оси ^АСВ,' проходящей через середину С длины стержня. Расстояние точки С от подпятника АС^а, от подшипника BC = b, АВ = а-^Ь — 1. Угол между стержнем и осью вращения /5
сохраняет постоянную величину а. Пренебрегая весом стержня и размерами грузов, определить проекции давлений на опоры Л и В в тот момент, когда стержень находится в плоскости Ayz.
Решение. Вращающаяся механическая система (твердое тело) состоит из двух точек: ^1 с координатами 尤i = 0, Уг = -~-九 sin а, гг —а——h cos а и ^2 с координатами 尤2 = 0,》2=十无$也《, г2= +о：+Л cos а. На систему (рис. 228, б) действуют внешние силы: веса точек Рг — pz = Р и реакции в опорах, которые мы
Рис. 228Рис. 228
Рис. 228
Рис. 228
проецируем на оси координат. Задачу решим двумя способами: 1) с применением общих уравнений динамики и 2) с применением принципа Д'Аламбера.
1-й с п о с о б. Для решения задачи первым из указанных способов выпишем уравнения, полученные нами при решении аналогичной задачи № 149*:
—f 2 ткУк —①2 2 团/九=2j XG " + X』+ Xd；
£ 2 以修一①2 £= £ У阳 “ + 乙 + Ун；
o = £z%&+Z/；
-£ 2m左4"+①2 £次以z用= ^Mx,a~Y5/;
~е 2加磁Z左一①2 SmA%=2 Mey'a+Xfil.
Подставим в этн уравнения данные для рассматриваемой системы и положим е = 0：
0 = Ха + Хв；
РР
~ A sin а (о2 — — /г sin а(0? = У/+У“；
0 = — 2P + Z/；
РР
— /i2sin а cos а а)2 -|——М sin а cos а о?=——Ph sin а + Р九 sin а—Y^\
gg o = xsz.
Решая уравнения, находим проекции реакций:
V V n VМ ^2«2 sin 2а 7. OD
x金 = X8 = 0, 匕4 = 一=- ； Z力=+2尸.
Проекции давлений на опоры имеют ту же величину, но обратные знаки.
2-й способ. Решим теперь задачу методом Д'Аламбера. К действующим в системе внешним (активным и реактивным) силам прибавим мысленно силы инерции. Тело вращается равномерно, поэтому к точкам мы приложим только
центробежные силы инерции (рис. 228, в):
р
Ф — — h sin a
Теперь мы можем рассматривать систему как находящуюся в равновесии. Составим уравнения (42) равновесия пространственной системы сил:
2]Х = 0; Х/ + Х? = 0;
£у = о；乙十Ув№+5=0;
工Z = 0; -2P+Za = 0;
2^=°； ——Ph sin a + P/i sin a——Ф2 (a-^h cos a) +
+ ① 1 (a—A cos a) — У疗/ = 0;
£ Л4y = 0; Xr/ = 0.
Шестое уравнение равновесия превращается в тождество 0 = 0. Решая уравнения, находим проекции реакций, а затем и проекции давлений.
Рассмотрим в отдельности систему сил инерции.
Главный вектор этой системы равен нулю:
k—n
2 ФА = °-
fe= 1
Моменты си/r относительно осей у и n тоже равны нулю. Определим сумму моментов центробежных сил инерции относительно оси х. Момент центробежной силы, приложенной к точке ^2, определим по формуле (23)；
М%2 = yZ—zY =— г/2г2(о2.
Аналогично выражается момент силы Фг:
尸
причем знаки моментов получатся автоматически после подстановки в формулу (23) значений (с их знаками) проекций силы и координат точки приложения силы. ГлавЕ1ый момент центробежных сил ннерннн относительно оси х равен сумме моментов всех центробежных сил:
Поэтому сумму произведений массы каждой материальной частицы тела на две координаты этой частицы в данной прямоугольной системе осей называют центробежным моментом инерции:
k~n
Таким образом, система сил инерции приводится к паре сил с моментом
Мгл = — Jy. г(о2 =——^- A2 sin 2a 炉.
Пара сил инерции уравновешивается парой сил реакции в опорах. Вращающееся тело уравновешено статически (%с = 0; Ус =。)， но динамическая неуравновешенность (7у? W 0) вызывает дополнительные давления иа опоры.
Ответ. Проекции давлений на опоры：'
X4=x3 = 0; 一"3 一竺嘗"丝；Z—2P.
Сравним оба способа, которыми мы решили задачу № 180.
При втором способе решения задачи мы -применяли метод Д*Алам- бера, для чего ко всем фактически действующим на тело активным силам и реакциям мы мысленно добавили силы инерции его точек. Обратим внимание на то, что сила инерции какой-либо точки, например К】 или К?, является силой противодействия, оказываемого этой точкой стержням, с которыми она жестко связана и вращение которых сообщает ей центростремительное ускорение. Противодействие передается на опоры и они воспринимают давления неуравновешенного вращающегося тела. Таким образом, сила противодействия оказывается фактически приложенной к опорам А и В. При решении задачи по методу Д'Аламбера мы условно перенесли это давление к самой движущейся массе, отчего система всех сил. приложенных к вращающемуся телу (фактически или только мысленно), оказалась в равновесии. Написав для этой системы сил шесть уравнений статики, мы решили их и определили реакции в опорах, а следовательно, и давления на опоры.
Решая задачу первым способом, мы учитывали только фактически действующие на тело активные и реактивные силы и составили шесть всеобщих уравнений движения (169) и (192), связывающих проекции этих сил с массами и с проекциями ускорений частиц тела. Силы инерции не входят во всеобщие уравнения движения, так как они не действуют на массы, для описания движения которых написаны эти уравнения, т. е. в данном случае они не действуют на точки тела, вращение которого рассматривается в задаче. Решив уравнения движения, мы определили реакции в опорах, а следовательно, и давления на опоры. Таким образом, мы решили задачу как прямую основную задачу динамики: по данному движению системы мы определили силы, действующие на точки системы.
Во всех уже известных нам теоремах и методах мы учитывали только «эффективные», или «ускоряющие», силы, т. е. активные или реактивные силы, фактически приложенные к материальному объекту, движение которого мы изучали. Силы инерции мы применили впервые лишь в принципе 疝'Аламбера. В следующем параграфе мы ознакомимся с принципом виртуальных перемещений, в некоторые уравнения которого также входят силы инерции. При решении задач прочими изложенными в нашем курсе методами силы инерции учитывать не надо.
Идеальными связями называют связи, при которых сумма виртуальных работ их реакций равна нулю:»3* = 0Идеальными связями называют связи, при которых сумма виртуальных работ их реакций равна нулю:»3* = 0§ 51. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Идеальными связями называют связи, при которых сумма виртуальных работ их реакций равна нулю:
»3* = 0
Идеальными связями называют связи, при которых сумма виртуальных работ их реакций равна нулю:
»3* = 0
Идеальные связи. В уравнения равновесия и во всеобщие уравнения движения наряду с активными силами входят и реакции связей. В этих уравнениях могут быть и неизвестные реакции, часто
(особенно в динамике)^ затрудняющие решения..
Если в связях отсутствует трение, то можно при помощи мето
дов, основанных на принципе виртуальных перемещений, получить
уравнения, не содержащие сил связи.
В статике мы пользовались виртуальными перемещениями для определения направления реакций. При отсутствии трения мы направляли реакции перпендикулярно к плоскости виртуальных перемещений и называли такие реакции идеальными.
Сила, перпендикулярная к перемещению, не производит работы. Поэтому работа идеальной реакции при виртуальном перемещении равна нулю. Так как существуют связи более сложной природы, выражаемые уравнениями, то указанное свойство принимают как определение и под идеальными связями понимают такие связи, при которых сумма элементарных работ их реакций на всяком виртуальном перемещении системы (или, как говорят, сумма виртуальных работ) равна нулю. Будем считать их связями без трения, стационарными, т. е. не изменяющимися со временем, и удерживающими, т. е. не допускающими таких перемещений, в результате которых точка освобождается от связи.
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения материальной точки или механической системы, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения ихкак бы мгновенно. ТогдаВиртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения материальной точки или механической системы, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения ихкак бы мгновенно. ТогдаВиртуальные перемещения. Расширим теперь понятие виртуальных («возможных») перемещений, которое нам известно еще со статики. Дадим материальной точке М. виртуальное перемещение, т. е. воображаемое бесконечно малое перемещение 6г, которое не нарушит связей и произойдет при фиксированном значении /, координаты точки получат бесконечно ма
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения материальной точки или механической системы, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения их
как бы мгновенно. Тогда
Виртуальными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения материальной точки или механической системы, допускаемые в данное мгновение наложенными связями без нарушения их
как бы мгновенно. Тогда
лые приращения, называемые изохронными вариациями координат. Это название показывает, что изменения координат происходят при данном значении t. Мы уже встречались с вариациями координат (см. § 38) и обозначили их 3居 by. 6г в отличие от обозначений дифференциалов &% dy, dz, которые выражают действительные бесконечно малые изменения координат точки, происходящие за бесконечно малый промежуток времени dt.
Различие между дифференцированием и варьированием какой- либо функции / (х, у, z, Z) обнаруживается при вычислении бесконечно малых изменений этой функции, получающихся вследствие того, что при дифференцировании время t является переменной величиной, при вариации координат, при виртуальных перемещениях время рассматривают как постоянный параметр. Таким образом,
可（尤，У, z, "）=肺次+就％ +而dz +万
ии
и
и
3〃X, y, Z, /)=篇舐十鄒9+^62.
Из сопоставления этих двух равенств следует, что вариации функции / (%, р, г, %) вычисляют по тому же правилу, что и дифференциал, но при фиксированном значении Л Отсюда становится ясным и различие между воображаемым виртуальным перемещением (происходящим как бы при остановившемся времени) и действитель-
ным перемещением (происходящим с течением времени под действием сил и реакций, приложенных к данной точке).
Заметим, что все сказанное здесь о виртуальном перемещении одной точки относится также и к виртуальным перемещениям системы точек.
Работу силы на виртуальном перемещении обозначают 8А и иногда коротко называют виртуальной работой.
Если механическая система находится в равновесии, то при любом виртуальном перемещении системы сумма работ всех активных сил равна нулю:£б"=оЕсли механическая система находится в равновесии, то при любом виртуальном перемещении системы сумма работ всех активных сил равна нулю:£б"=оПринцип виртуальных перемещений при равновесии системы. Пусть какая-либо механическая система находится в равновесии, т. е. все точки системы находятся в равновесии под действием активных сил и идеальных реакций. Покажем, что в этой системе сумма элементарных работ
Если механическая система находится в равновесии, то при любом виртуальном перемещении системы сумма работ всех активных сил равна нулю:
£б"=о
Если механическая система находится в равновесии, то при любом виртуальном перемещении системы сумма работ всех активных сил равна нулю:
£б"=о
всех активных сил на всяком виртуаль
ном перемещении равняется нулю.
Рассмотрим какую-либо одну из точек этой системы. Точка находится в равновесии под действием активных с^л (равнодействующую которых обозначим Fa) и идеальных связей (равнодействующую реакций которых обозначим 尸广).Так как точка находится в равновесии, то равнодействующая всех приложенных к ней сил равна нулю:
户。+齐工0.
Известно, что работа равнодействующей равна сумме работ составляющих. А так как равнодействующая всех сил, приложенных к взятой нами точке, равна нулю, то, следовательно, равна нулю и сумма элементарных работ всех приложенных к точке активных и реактивных сил, если мы сообщим этой точке какое-либо виртуальное перемещение.
Точку мы выбрали произвольно, и сказанное относится ко всем точкам механической системы. ■
Дадим теперь механической системе какое-либо виртуальное перемещение. Это переме цение (как всякое виртуальное перемещение) выводит систему из данного положения, но не нарушает связей. Как доказано, сумма работ всех активных сил системы и работ всех идеальных реакций на этом виртуальном перемещении равняется нулю:■
k—nk~n
2 з组+ 2 З4 = о.
fe= 1fe= 1
Но вторая сумма этого равенства тождественно равняется нулю, потому что связи идеальные, следовательно, равна нулю и первая сумма:
k—n
£ 3凡=0.(254)
Это равенство выражает принцип виртуальных перемещений: для того чтобы механическая , система в некотором положении находилась в равновесии, необходимо, чтобы при любом виртуальном перемещении сумма элементарных работ всех активных сил равнялась нулю
При решении задач статики по принципу виртуальных перемещений удобно выражать элементарную работу по (221); тогда условие (254) принимает вид
k=n
N & 3/ + % 8yk + Zk8zk) = Q.(255)
Это уравнение называют общим уравнением статики.
Задача № 181. Через две гладкие взаимно перпендикулярные плоскости АВ и ВС (рис. 223) перекинута тяжелая цепь так, что 100 см цепи лежит на %В,
единицы длины цепи. Реакции связей нас не интересуют, так как они не входят в уравнение (254). Перемещением, не нарушающим связей, является скольжение цепи (вверх или вниз) по плоскости. Даем системе виртуальное перемещение os вдоль плоскостей. Сумма элементарных работ сил тяжести на этом перемещении равна нулю, и условие равновесия цепи напишем в следующем виде:
—100у sin a 6s + 70у cos a 3s = 0, откуда
,70
tga=100-
Ответ, tg а = 0,70; а = 35°.
Задача № 182. (№5. Б. С. Зернов. Сборник задач по теоретической механике, ч. II. — Динамика). В представленном на чертеже (рис. 230) механизме ABDE — параллелограмм, составленный из стержней, соединенных шарнирами, из которых Л и Е неподвижны. Стержень АВС представляет одно целое. Точка С и ползушка М соединены нитью СМ. В точке В к механизму приложена сила Q, направленная вдоль стержня BD. К ползушке М приложена сила Р, перпендикулярная к BD. Весом частей пренебрегаем. Установить, какова связь между силами 尸 и Q при равновесии.
Различные доказательства этого принципа см. В. А. Кирпиче в. Беседы о механике. ГТТИ, 1933.
Решение, Рассматриваем равновесие всего механизма. На механизм действуют активные силы Q и Р. Условие равновесия механизма запишем в форме общего уравнения (255) статики. Оси координат даны на рисунке. Длина /в = /.
При решении задач по (255) удобно составлять следующую таблицу:
№
Сила
X
У
*
У
бх
М
1
2
Q 尸
—Q 0
0
—Р
/ COS Ф
1 sin ф
—Z sin ф 6ф
/ COS ф 6ф
Сначала заносим в таблицу все активные силы (2-й столбец), затем в столбцы 3-й и 4-й——их проекции на оси координат, затем в столбцы 5-й . и 6-й заносим координаты точек приложения 4：ил, а в столбцы 7-й и 8-й ——вариации этих координат. Если система имеет три измерения, то таблица пополняется соответствующими столбцами для г. Таблица предназначена для решения задачи по уравнению (255), поэтому если в 3-м илн 4-м столбцах имеются 0, то заполнять соответствующие строки в столбцах 5, 6, 7 и 8-м- излишне.
Внося в (255) данные из таблицы, получим
£ (X & + У “)=十 Q/ sin ф 6ф—PZ cos ф 6ф = 0.
Ответ. £=tg<p.
Сколько выиграно в силе,столько потеряно в скоростиСколько выиграно в силе,столько потеряно в скоростиПрименение принципа виртуальных перемещений к простейшим машинам *. Простейшими машинами здесь названы машины
Сколько выиграно в силе,столько потеряно в скорости
Сколько выиграно в силе,столько потеряно в скорости
или механизмы с полными связями, т. е. такие, в которых положение всех частей полностью определяется положением одной из точек. Положение всех звеньев такого механизма может быть определено посредством только одного параметра, называемого обобщенной координатой механизма, фиксирующего положение некоторой точки на ее траектории или значение угла
поворота звена.
Рассмотрим такой механизм, находящийся под действием двух сил: движущей силы Р, приложенной в точке Л, и силы сопротивления R, приложенной в точке В. Сообщим звеньям механизма некоторое бесконечно малое перемещение. Пусть в этом перемещении vA и vB—проекции скоростей точки Л на направление силы Р и точки В на направление силы R. Тогда получим следующее условие равновесия механизма; '
(PvA + RvB)dt = 0J ■ откуда
Из этой пропорции видно, что движущая сила и сила сопротивления находятся между собой в отношении, обратном отношению проекций скоростей их точек приложения на направления этих сил.
Это условие выражает золотое правило механики, известное еще древним грекам, оно было сформулировано Героном, а после Галилеем в следующих словах: сколько выиграно в силе, столько потеряно в скорости.
н а к о в.н а к о в.Рис. 231Рис. 231FFНо откуда находимНо откуда находим
н а к о в.
н а к о в.
Рис. 231
Рис. 231
F
F
Но откуда находим
Но откуда находим
Если пренебречь трением, то это правило можно приложить ко многим механизмам и простейшим машинам: к рычагам, блокам, полиспастам, зубчатым колесам, различным тинам весов, домкратам и т. д. и т. п.
А. П. М и-А. П. М и-Задача № 183 (№ 769. Н. Н. Бухгольц, И. М. Воронков и
А. П. М и-
А. П. М и-
Задачник по теоретической механике. Гостехиздат, 1944). Плоский шарнир-
ный механизм («пантограф») имеет показанное на чертеже
устройство (рис. 231). Стержни 4Q, ВС,….невесомы и образуют ряд ромбов. 0^~ пружинные весы. Найти, сколько показывают весы, если внизу подвешен груз Q.
Решение. Дадим точке Л4 элементарное перемещение
вниз. Тогда гочка д получит перемещение — тоже вниз.
Обозначая силу натяжения пружины (показание весов) через 尸，составим и приравняем нулю сумму элементарных работ всех активных сил системы:
6/4。= Q б/i — F=0;
из этого равенства находим 尸= 3Q.
Ответ. Показание весов nQ, где п—число ромбов, “в данном случае /г = 3.
” Задача № 184 (№ 4. Сборник задач по теоретической механике под ред. проф. М. Г. Слободянского, ч. Ш ——Динамика, 1956). В шарнирном параллелограмме О АВС (рис. 232), расположенном в вертикальной плоскости, длина кривошипа О А = 20 см. Шатун АВ весит G — 40 н. Пренебрегая весами кривошипов, найти величину момента Л4, приложенного к кривошипу OAt при условии, что механизм находится в равновесии в указан
ном на чертеже положении.
Решение. Дадим системе виртуальное перемещение, мысленно повернув- кривошип О А на угол 6屮；тогда, по (223), (224) и (254)
2"=М6<р—G6z = 0.
г —0,20 sin ф,
6г = 0,20 cos ф 6ф,
Подставляем это значение 5г в уравнение:
Л4 6ф —40-0,20 cos ф бф = О.
При ф — 60° имеем Л4 = 4 н^м. Ответ. Л4 —4 н-м.
Задача № 185 (№ 9. Б. С. Зернов. Сборник задач по теоретической механике, ч. II—Динамика. Гос. научно-техническое изд-во, 1931). У стены здания положены три одинаковые чугунные трубы, как указано на чертеже (рис. 233).
Какую горизонтальную силу R надо приложить к правой нижней трубе, чтобы удержать трубы в равновесии? Сила R пересекает ось трубы. Радиус сечения труб г, вес каждой трубы 尸；линии, соединяюш.ие центрьг сечений, образуют равнобедренный треугольник с углом а при основании.
Решение. Рассматриваем равновесие системы, состоящей из трех труб. На систему действуют веса труб, приложенные в их центрах тяжести Л, В и С, и горизонтальная сила, которую мы переносим (в пределах твердого тела, к кото
рому она приложена) в точку С. Реакции нас не интересуют, так как задачу будем решать, применяя принцип виртуальных перемещений.
Если правой нижней трубе сообщить виртуальное перемещение вдоль оси абсцисс, то виртуальную работу совершат только две силы: сила R, приложенная к нижней трубе в точке С, и вес верхней трубы, приложенный в точке 8. Определим проекции этих сил:
R^=—R; Ry = 0; 7\ = 0; Py = — P・
Для точек С и В определим нужные нам координаты и их вариации:
力с = 4r cos а; 6хс = — 4r sin а да,， y8 = 2rsina; 6уь = 2「cosaba.
Подставляем найденные величины в (255):
4Rrsina6a—2Pr cos a da = 0.
Сокращаем на 2r da и находим ответ.
Ответ.
р
^ = yctga.
Задача № 186. Верхний конец А однородного бруса 4В (рис. 234), длина которого 2/, упирается в гладкую вертикальную стену. К нижнему концу В бруса
привязана веревка ВС, длина которой 2L, а верхний конец укреплен на стене в точке С. Определить положение равновесия бруса.
Решение. На стержень действует только одна активная сила——его собственный вес G. Виртуальным перемещением системы является мысленное малое перемещение точки Л
вверх или вниз тяжести бруса, ной стеной, и стеной.Обозначимвверх или вниз тяжести бруса, ной стеной, и стеной.Обозначимпо стене,угол а,угол §по стене,угол а,угол §При этом меняются высота центрасоставляемый брусом с вертикаль-между веревкой и вертикальной
вверх или вниз тяжести бруса, ной стеной, и стеной.
Обозначим
вверх или вниз тяжести бруса, ной стеной, и стеной.
Обозначим
по стене,угол а,угол §
по стене,угол а,угол §
расстояние по вертикали центра
тяжести бруса от точки С. Тогда
z： = 2Lcos § — / cos a.
Находим вариаций, считая г, а и ^ переменными параметрами:
3z = —2L sin § 6§十/sin a 6a.
Работа всех (в данном случае одной) активных сил системы при ее виртуальном перемещении равна нулю:
G 6z~G (I sin a 6a — 2L sin § G§) = 0. Но вес бруса пулю не равен, следовательно,
Z sin a6a = 2L sin § 6§.
Как видно из чертежа,
BD = 2/ sin a = 2厶 sin р.
Из этого равенства после варьирования находим
2/ cos ада = 2L cos ^бр.
Делим на него равенство, полученное из уравнения равновесия:
Следовательно,Следовательно,1 BDТ АО1 BDТ АОBDDCBDDCи DC^2AD.и DC^2AD.
Следовательно,
Следовательно,
1 BDТ АО
1 BDТ АО
BD
DC
BD
DC
и DC^2AD.
и DC^2AD.
Ответ. AC=^AD независимо от угла наклона стержня.
Задача № 187 (№ 12. Н. В. Бутенини. «Введение в аналятическую меха
нику». 《Наука》，1971 г.). При каком соотношении между весами Р】，Р2> Р§
и Р& грузов %, В, С н D система, изображенная на рис. 235, будет находиться в равновесии? Нить невесома и нерастяжима, трением пренебречь.
Решение. Пусть длины s^ х2, х3, s4 определяют положения грузов Л, В, С и D. Пусть каждый груз получит виртуальное перемещение. Возьмем сумму виртуальных работ всех активных сил системы, т. е. сил тяжести:
£ 64左=尸1 sin a 6sx + Р^х2 + ^36^3 + Р4 sin ^ 6s4 = 0.
Из условия нерастяжимости нити имеем:
Si + 2%r + 2%з + s4 = const.
Отсюда:'
6” 十 26/ + 2В*з + 6s4 = 0.
Этим соотношением четыре вариации связаны между собой, а потому только трем из них можно давать независимые друг от друга значения, например трем первым, а четвертая определится из полученного соотношения:
3s& =—(也1 十 26x3 + 26*3)•
Подставим это значение ds4 в уравнение равновесия:
(Pi sin а — Р& sin р) 6sl + (Ра—2P《sin 卩)6打 + (尸3 — 2P& sin p) dx3 = 0.
Вариации dsn 6尤2 и 6х3 независимые величины и могут принимать различные
значения, а потому написанное равенство может тождественно равняться нулю только при условии, что равны нулю все коэффициенты при вариациях. Приравнивая каждую из скобок "нулю, найдем ответ.
Ответ. Р& = Р3 = 2P& sin 卩；Р】sin а = Р4 sin р.
Во всякой механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил я силВо всякой механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил я силинерции иа всяком виртуаль-ном перемещении равна нулю:£ [(X — тх) Йх++(У—ту)Ьу++(Z—mz) 3z] =0инерции иа всяком виртуаль-ном перемещении равна нулю:£ [(X — тх) Йх++(У—ту)Ьу++(Z—mz) 3z] =0Общее уравнение динамики. Если механическая система с идеальными связями не находится в равновесии, то, приложив к каждой точке силы инерции, мы можем
Во всякой механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил я сил
Во всякой механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил я сил
инерции иа всяком виртуаль-ном перемещении равна нулю:£ [(X — тх) Йх++(У—ту)Ьу+
+(Z—mz) 3z] =0
инерции иа всяком виртуаль-ном перемещении равна нулю:£ [(X — тх) Йх++(У—ту)Ьу+
+(Z—mz) 3z] =0
согласно принципу Д'Аламбера рассматривать эту систему как находящуюся в данное мгновение в равновесии и применять к ней все уравнения статики и, в частности, уравнение (254).
В самом деле, для каждой точки си
стемы
闻+月+⑸=0.
Но если равна нулю равнодействующая всех активных сил, реакций связей и сил инерции, приложенных к каждой точке, то равна нулю и сумма элементарных работ всех сил, приложенных к каждой точке, а потому равна нулю и сумма элементарных работ всех сил системы:
k=rt々二:2k = rt
2б&+ 2§^+ 2б^ = о.
fe= 1 k~ 1 fe= 1
Если связи системы идеальные, то сумма работ реакций связей на всяком виртуальном перемещении тождественно равняется нулю и в написанном равенстве средняя сумма отпадает:
26Л?+ 2бЛ? = 0. (256) fe=1 А= 1
Следовательно, во всякой системе с идеальными связями на всяком виртуальном перемещении сумма работ всех активных сил и всех сил инерции равна нулю. В частном случае, если система находится в равновесии, силы инерции системы равны нулю, и мы получаем (254).
Это уравнение (256) обычно пишут в так называемой аналитической форме, в которой оно особенно удобно при различных применениях. Обозначая проекции активных сил системы на оси координат Х^, Yk и Z^, представляя проекции сил инерции каждой ча』 стицы как произведение массы частицы на проекции ускорения с обратным знаком (—тЛхд,——"2走у尼 и ——/孔色z尼)и обозначая через 8xk, 8yk и 3z龙 проекции виртуальных перемещений, мы можем выразить элементарные работы по (221), тогда получим
£ [(ХА —8xk + (Yk—mkyk) byk + {Zk—mkz^ 6zA] = 0. (257)
Уравнение (257) называют общим уравнением динамики системы с идеальными связями.
Рис. 236Рис. 236Задача № 188 (№ 47, 16, 935 М). Центробежный регулятор Уатта (рис. 236, а) вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о. Определить угол отклонения ручек О А и ОВ от вертикали, принимая во внимание только вес Р каждого из шаров Л и 5 и вес 巳 муфты С; все стержни имеют одинаковую длину.
Рис. 236
Рис. 236
Решение. Составим общее уравнение динамики для центробежного регулятора. К трем действующим на регулятор активным силам (к весу муфты и шаров) добавим еще силы инерции. Регулятор вращается равномерно, и
строим координатные осистроим координатные осиимеются только две силы инерции— центробежные силы шаров. Для решения задачи составим таблицу, аналогичную той, какую мы составили при решении задачи № 182. По- (рис. 236,6), спроецируем на них силы, найдем ко
строим координатные оси
строим координатные оси
№
Сила
X
У
g
6х
8
1
0
—Р
—/ cos а
/ sin а 6а
2
Рв
0
—Р
—/ cos а
/ sin а За
3
匕
0
—2/cos а
2/ sin а да
4
Фа
(о2/ sin а g
0
—/ sin а
—/cos а 6а
5
①в
—sin а g
0
/ sin а
十/ cos а да
ординаты точек приложения сил и их вариации.
Найденные значения проекций сил и приращений координат точек их приложения внесем в уравнение (256):
р
—2Р/ sin а За —2PJ sin а 3仪十2 — о2/2 sin а cos а ба —0.
Полагаем, что а 卢 0, н сокращаем все члены уравнения на 2/ sin аба:
—Р —心2 cos а = 0,
откуда определяем угол отклонения ручек.
Ответ.
(Р + Pi) gcos a —i• “：： аР/32
Для работы регулятора необходимо условие о > J/ ? ~^；“ 纟 ‘ так как cos а < 1.
Задача № 189. Решить задачу № 146 по принципу виртуальных перемещений. (Ср. решения этой же задачи другими методами: № 146 стр. 350, № 167 стр. 387, № 179 стр. 412, № 193 стр. 434).
Решение. На систему действует активный момент Л1Х = 50 кГм. Сила 尸 взаимного давления валов вызвана связью и в уравнение (256) не входит. Добав-
ляем моменты сил инерции J^x и 厶出，причем е! = —82. Даем системе виртуальное перемещение, повернув первый вал на бср】. Тогда второй вал получит 3
перемещение 3屮2=万6中1・ Сумма элементарных работ всех активных сил и сил
инерции равна нулю：илиинерции равна нулю：илиЛ1 ]3屮1 — JiSjdtpi — J2®2^ф2 ^^ О
инерции равна нулю：
или
инерции равна нулю：
или
2з
〃抖屮1 —g- J 1826ф1 —- 厶^3中I =0.
5。一 (^•5+"^・4)82 = 0,5。一 (^•5+"^・4)82 = 0,откудаоткуда£2 = ^^=5,357 сек-2.£2 = ^^=5,357 сек-2.6q)i не равно нулю, поэтому, сокращая на 6中〕и подставляя заданные величины, получим'
5。一 (^•5+"^・4)82 = 0,
5。一 (^•5+"^・4)82 = 0,
откуда
откуда
£2 = ^^=5,357 сек-2.
£2 = ^^=5,357 сек-2.
По формулам (87) равноускоренного вращения определим время, в течение которого второй вал разовьет угловую скорость ш2 = 4л, и число оборотов, сделанное валом за это время.
Ответ. /?2 = 2,344 оборота.
Задача № 190. Два груза —Л!】 весом Gi = 20k「и Л12 весом G* = 34 кГ — подвешены на двух гибких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на чертеже (рис. 237, о), на жестко скрепленные барабаны, имеющие радиусы /х — 5 см и л2 ~ 10 см и- насаженные иа общую ось. Вес малого барабана 4 %厂，а большого ——8 кГ. Массы барабана считаем равномерно распределенными по их вешним поверхностям. Определить угловое ускорение е барабанов и натяжение нитей Тг и Г2.“
Решение. На систему действуют активные силы: веса двух грузов и веса двух блоков. Груз Мг поднимается, груз 加纟 опускается, центр тяжести блоков неподвижен. Приложим силы инерции. Ускорение груза 此 направлено вниз и равно ег2> следовательно, сила инерции Ф2 направлена вверх и равна ~ ег2- Ускорение груза 此 направлено вверх; следовательно, сила инерции, прикладываемая к этому грузу, направлена
Gi вниз и равна — е>
Нормальные ускорения материальных частиц блоков нас не интересуют, потому что эти ускорения перпендикулярны к скорости и работа центробежных сил инерции равна нулю. Касательное ускорение каждой из частиц большого блока равно ег2, а малого блока равно елг и направлено против хода часовой стрелки; касательные силы инерции приложены в каждой частице блоков и направлены по ходу стрелок часов.
Даем системе виртуальное перемещение — мысленно поворачиваем блоки с грузами вокруг оси О иа угол 6ф. Будем для определенности считать, что мы повернули систему против хода часовой стрелки. Тогда груз М2 получит виртуальное перемещение вниз 广2》$, груз Mi получит виртуальное перемещение вверх, равное jS屮.
Вычисление работы сил тяжести и сил инерции грузов не требует пояснений. Работу касательных сил инерции блоков определим по (224). Умножая вектор касательного ускорения ег каждой частицы блока на массу т частицы и изменив направление па обратное, получим силы инерции частиц. Умножая на плечо г и суммируя моменты сил инерции всех частиц, найдем главный момент касатель-
ных сил инерции блока относительно оси вращения:
Л1 = — ^тгг2~—
Мы получили уже известную нам важную в технике формулу: момент касательных сил инерции вращающегося тела относительно оси вращения равен про- изведеник? момента инерции тела относительно той же оси и взятого с обратным знаком углового ускорения тела.
По условию этой задачи, масса блоков распределена по их внешним поверхностям. Следовательно, виртуальная работа сил инерции большого блока
6畿=一爲1叫
и малого
64?=一爲5电师
Составим сумму элементарных работ всех активных сил и всех сил инерции на данном виртуальном перемещении и приравняем эту сумму нулю:
34* 106(р——20*56(р —g^- ЮеЮбф —^gj 5е*5Й(р 一ggy lOOgbtp 一§§f 25еб(р = 0.
Сокращая на 3屮，определяем 8：
240-981 .Q 2-
e = ~WT=49 2.
В задаче требуется еще определить натяжение нитей. Натяжения нитей (как силы связи) не вошли в написанное нами уравнение. Чтобы определить натяжение нити Г, применим следующий метод.
Разрежем эту нить, отбросим часть системы, но, чтобы не упал груз, заменим нить силой Г, равной натяжению нити, и уравновесим груз, приложив силы инерции и написав уравнения равновесия (сумму проекций сил на ось ординат).
Уравнение равновесия груза 心 (рис. 237, 6):
2y = 0; —20— 誥，49.5 + 7\ = 0,
откуда 7\ = 25 кГ.
Уравнение равновесия груза 心：
2y = 0; -344-^.49.10 + Т2 = 0,
откуда 丁2= 17 кГ.
Этот метод аналогичен методу, применяемому в статике для определения внутренних усилий в стержнях фермы (см. задачу № 25 на стр. 89). Его называют методом РОЗУ по первым буквам слов, выражающих производимые действия (разрежем, отбросим, заменим, уравновесим).
Ответ. е = 49 сек-2；厶=25 &Г; Т2~ 17 кГ.
ГЛАВА XX
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СИСТЕМЫ*
§52. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ *
Голономными называют связи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между координатами этих точекГолономными называют связи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между координатами этих точекопределение подходят также и такие связи, не только перемещения, но и скорости точек Рассмотрим следующий пример.определение подходят также и такие связи, не только перемещения, но и скорости точек Рассмотрим следующий пример.Голономные связи. Связи, с которыми мы встречались при решении задач по статике, ограничивали свободу перемещения тел и не зависели от времени. В § 4 мы назвали связью ограничения, стесняющие движение материальной точки или ме- ханической системы, осуществляемые другими материальными объектами. Под это
Голономными называют связи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между координатами этих точек
Голономными называют связи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между координатами этих точек
определение подходят также и такие связи, не только перемещения, но и скорости точек Рассмотрим следующий пример.
определение подходят также и такие связи, не только перемещения, но и скорости точек Рассмотрим следующий пример.
которые ограничивают механической системы.
Пример. 1-й случай. Шар радиуса г может передвигаться (скользить и перекатываться по плоскости хОу); 2-й случай: шар может только перекатываться без скольжения по плоскости. В первом случае связь может быть выражена уравнением гс~ г, которое не содержит производных от координат по времени и накладывает■ ограничение только на положение точки С (центра шара). Во втором случае на шар наложена связь, заключающаяся в том, что скорость точки касания равна нулю, а следовательно, уравнение связи должно выражать условие, чтобы равнялись нулю производные по времени 尤，у, г от координат х, д, г той точки шара, которой он в данное мгновение соприкасается с плоскостью хОу,
В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором ——неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи.
Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скоростей точек, то отсюда еще не следует делать вывод, что связь не является голономной. Нужно предварительно исследовать, возможно ли проинтегрировать это уравнение и получить из него уравнение, не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, то связь является голономной, в противном случае связь называют неголономной. или реинтегрируемой 工 Если среди связей, наложенных на сис-
Неголономные связи — это связи совершенно иного типа. Их существование впервые отметил М. В. Остроградский. Он же первый вывел уравнения движения иеголономных систем, правда, в недостаточно удобной для практического применения форме.
тему, имеется хоть одна неголономная связь, то систему называют неголономной. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь голоном- ные системы.
Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновениеОбобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновениеОбобщенные координаты. Положение в пространстве свободной материальной точки определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Такая точка имеет три степени свободы. Для определения положения в мгновение / системы, состоящей из " свободных точек, необходимо
Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновение
Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновение
3/г координат. Если система не свободна, то связи, наложенные на систему, выражают некоторые зависимости между координатами ее точек, а поэтому число независимых друг от друга координат, определяющих положение в данное мгновение всех точек несвободной системы, меньше чем Зп.
Пример. Система состоит из двух точек А и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки Л и 5 могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии г. Связи голономные и их уравнения z』= 0, 2以=0, г= К(尤/—хв)2 + (Уа^Ув)2' Очевидно, что из шести координат (%д, у., z再,无月，у& ?в) независимых остается только три, а остальные три определяются из уравнений связи. Выбор этих независимых координат мы можем сделать по собственному усмотрению. Можно принять за независимые, например,无月，у/ и 无冃，а у^ определить по независимым координатам и по уравнениям связи. Но можно поступить иначе и принять за независимые величины декартовы координаты хну одной из точек, хотя бы В, выбрав за третью независимую величину угол ф— arctg ————,составляемый отрезком АВ (или его продолжением) с осью Ох, а остальные декартовы координаты точек системы (т. е. точки А) определить по независимым координатам системы и по уравнениям связи. Заметим, что для данной несвободной системы существуют только три независимые координаты.
Из этого примера видно, что вместо декартовых координат за независимые можно выбирать другие, связанные с ними величины, даже и другой размерности (угол). Эти независимые параметры называют обобщенными координатами системы и обозначают буквой q. Так, в рассмотренном примере мы могли выбрать следующие обобщенные координаты: 1) 9】=хл, q? = yAt q3 =尤月 или 2) q】=%月,q2 = ув, 73 =(р. Возможен, разумеется, и другой выбор трех обобщенных координат этой механической системы.
Следовательно, под обобщенными координатами системы мы понимаем независимые друг от друга величины, обычно имеющие размерность длины [q] — LWT0 или угла [q] = L°M°T° и определяющие полностью и однозначно возможные положения системы в данное произвольно выбранное мгновение. Но встречаются случаи, когда обобщенные координаты имеют размерность площади или объема, или других геометрических или даже механических величин.
Декартовы координаты точек системы связаны с обобщенными координатами определенными уравнениями. Они являются функциями
обобщенных координат и, возможно, времени. Так, если положение системы /г точек определяется s обобщенными координатами (夕口 %，…，9)т。9TH уравнения в параметрической форме имеют вид:
(258)(258)где 々=1, 2, ..., п.Число степеней свободы го-лономной механической си-стемы равно числу обобщен-ных координатгде 々=1, 2, ..., п.Число степеней свободы го-лономной механической си-стемы равно числу обобщен-ных координат/ = /{%, 7г) • • • » %, 0» Ук ~ Ук(71» 7г» • • • »，s，О»
(258)
(258)
где 々=1, 2, ..., п.
Число степеней свободы го-лономной механической си-стемы равно числу обобщен-ных координат
где 々=1, 2, ..., п.
Число степеней свободы го-лономной механической си-стемы равно числу обобщен-ных координат
Если на систему наложены только голо- номные связи, то число обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным системам это правило не относится. В при
кладной механике большое значение имеют полносвязные системы,
т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положение полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты.
Примеры. Тело с двумя неподвижными точками имеет одну степень свободы: оно может поворачиваться вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки. Для определения положения тела, занимаемого им в данное
мгновение, нужна лишь одна обобщенная координата, например угол поворота ср.
Тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы и его положение определяют тремя обобщенными координатами, например тремя углами Эйлера.
Кривошипно-ползунный механизм (рис. 238) — система с одной степенью свободы. Чтобы задать положение всех точек механизма, нет надобности задавать декартовы координаты всех точек, достаточно одной обобщенной координаты, напри
мер угла ф или дуги Л0Д. Одной обобщенной координатой и уравнениями связи 卜胃十У，=「2；(无{—尤в产十匂/ —Ув)2 = /2, Уб = 0] положение механизма,
занимаемое им в данное мгновение, определяется вполне и однозначно.
Регулятор Уатта имеет две степени свободы и для определения его положения нужно задать две независимые друг от друга величины, т. е. две обобщенные координаты, например угол (см. рис. 236) отклонения ручек от вертикали и угол поворота плоскости АОВ вокруг оси Оу.
Обобщенные координаты, как и всякие координаты, характеризуют положение неподвижной системы или положение движущейся системы, занимаемое ею в данное мгновение. Чтобы охарактеризовать движение системы, надо выразить обобщенные координаты как непрерывные однозначные функции времени. Изменение каждой обобщенной координаты характеризует соответствующее изменение в положении системы. Так, в последнем из разобранных примеров (регулятор Уатта) изменение одной обобщенной координаты означает поворот системы вокруг вертикальной оси, а изменение другой обобщенной координаты выражает изменение наклона ручек к вертикальной оси.
Обобщенная скорость выра-жается первой производнойот обобщенной координатыпо времениОбобщенная скорость выра-жается первой производнойот обобщенной координатыпо времениОбобщенная скорость. Для характеристики движения системы, определяемого обобщенной координатой 夕£ = 0.(方)не только в пространстве, но и во времени, возьмем первую производную от этой координаты по времени
Обобщенная скорость выра-жается первой производнойот обобщенной координатыпо времени
Обобщенная скорость выра-жается первой производнойот обобщенной координатыпо времени
力• (259)
Полученная величина являетсХ пространственно-временной характеристикой изменения одной из обобщенных координат. Ее называют обобщенной скоростью, соответствующей данной координате. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная скорость, поэтому число обобщенных скоростей в системе равно числу обобщенных координат.
Обобщенная координата обычно выражается длиной или углом, соответственно этому обобщенная скорость может иметь размерность либо скорости точки, либо угловой скорости тела.
Обобщенной силой называютОбобщенной силой называютОбобщенная сила. Пусть положение механической системы в данное мгновение /
Обобщенной силой называют
Обобщенной силой называют
скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех снл системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координатыствие изменения одной изскалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех снл системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координатыствие изменения одной изопределяется обобщенными координатами %, ,2， . . •, q$. Дадим одной из координат qi мысленно бесконечно малое изменение Зд『, сохранив для всех остальных обобщенных координат то значение, которое они в данное мгновение'имеют. Вслед- обобщенных координат материальные точки
скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех снл системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координаты
ствие изменения одной из
скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех снл системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координаты
ствие изменения одной из
системы получат мысленные бесконечно малые перемещения, а при
ложенные к этим точкам силы произведут виртуальную работу;
£ (Х^3/ +У笛勿 +Z龙5%).£ (Х^3/ +У笛勿 +Z龙5%).(221)(221)
£ (Х^3/ +У笛勿 +Z龙5%).
£ (Х^3/ +У笛勿 +Z龙5%).
(221)
(221)
Сумма работ всех реакций на данном виртуальном перемещении равна нулю (так как связи предполагаем идеальными), поэтому написанная сумма выражает работу всех активных сил системы. Из уравнений (258) найдем вариации декартовых координат точек системы, соответствующих приращению 3%・ обобщенной координаты 仇.при фиксированном (неизменном) значении других обобщенных координат:
Эти вариации подставим в предыдущее выражение: 女=九k-n
Ji + P=(X左毅+%鬻+2左隸)3力.
Эту сумму виртуальных работ всех сил (или, что то же, всех активных сил), приложенных к системе, при изменении только одной из обобщенных координат qi мы можем записать как произведение
вариации 3% этой координаты на скалярную величину
(260)(260)
(260)
(260)
называемую обобщенной силой, соответствующей координате q「
Если мы дадим воображаемое приращение какой-либо другой из обобщенных координат этой системы при фиксированном значении всех остальных обобщенных координат, то совершенно аналогично получим выражение обобщенной силы, соответствующей этой второй обобщенной координате. Таким образом, в системе столько же обобщенных сил, сколько в ней обобщенных координат.
Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.
Задача № 191. Определить обобщенную силу в регуляторе Уатта (рис. 236 на стр. 424), соответствующую обобщенной координате си Точечные грузы Л и В имеют одинаковый вес А ", вес муфты С равен 匕 кГ, а стержни имеют одинаковую длину / мм.
Решение. Декартовы координаты точек приложения силы, как функции обобщенной координаты (параметра а), их вариации и виртуальные работы всех активных и инерционных сил определены при решении задачи № 188. Для вычисления обобщенной силы воспользуемся некоторыми полученными при решении задачи № 188 данными и составим сумму виртуальных работ только активных сил при вариации 6а:
£ ЬАа = —2Pz sin а За — 2Plz sin а 6а.
Разделив эту сумму виртуальных работ активных сил системы на Йа, полу-- ч им ответ.
Ответ. Q= — 2/(Р十尸О sin а кГ•用初.
Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:d дТ <9Г 八dt dqi 此'Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:d дТ <9Г 八dt dqi 此'♦ дхь • . dxb • ,， +晟办+'■ + 體 9$ +。• dzh ■ . dzb • .2ь = ^—仇 + -ч~~ 仇 + . •* dqj工*函2“1 • +/《$ +(♦ дхь • . dxb • ,， +晟办+'■ + 體 9$ +。• dzh ■ . dzb • .2ь = ^—仇 + -ч~~ 仇 + . •* dqj工*函2“1 • +/《$ +(Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, Выразим в обобщенных координатах проекции скоростей точек системы на оси декартовых координат. Для этого продифференцируем по времени соотношения (258). Имеем:
Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:
d дТ <9Г 八dt dqi 此'
Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:
d дТ <9Г 八dt dqi 此'
♦ дхь • . dxb • ,
， +晟办+'
■ + 體 9$ +。
• dzh ■ . dzb • .
2ь = ^—仇 + -ч~~ 仇 + . •
* dqj工*函2“
1 • +/《$ +(
♦ дхь • . dxb • ,
， +晟办+'
■ + 體 9$ +。
• dzh ■ . dzb • .
2ь = ^—仇 + -ч~~ 仇 + . •
* dqj工*函2“
1 • +/《$ +(
Возьмем теперь частные производные этих проекций скоростей 犬々，U为，纟為 口。 какой-либо одной обобщенной скорости %•:
d焉一d年0応_d勿 祝 dzkd《i 此，d% 凯，dq{ dqi
Эти соотношения справедливы только для голономных систем, и мы воспользуемся ими для вывода дифференциальных _ уравнений движения таких систем в обобщенных координатах. .Возьмем частные производные от (215‘) кинетической энергии Т =彳£"厶(尤2 + + yl + ^k) системы по обобщенной координате % и по обобщенной скорости %:
Производную от кинетической энергии по обобщенной скорости называемую обобщенным импульсом, мы представим в другом виде, для чего воспользуемся соотношениями (261):
Продифференцируем обоб.ценный импульс по времени:
Преобразуем первую сумму правой части этого равенства, приняв во внимание дифференциальные уравнения движения системы в форме (130): m论办= Х^, т^у 1t = Y卜,打％% = Z走，вторую сумму, равную 丽,перенесем влево:
山此询 £、 呪丿
В правой части имеем обобщенную силу системы, соответствующую координате 办 Обозначая, согласно (260), правую часть этого равенства через Q『，мы получим уравнения движения материальной системы в обобщенных координатах, называемые иначе уравнениями (второго рода) Лагранжа:
(262)(262)d дТ дТ n .1 с
(262)
(262)
石石;= гае I, 2S. ■
I При дифференцировании учтено, что операции полного дифференцирования
Jd дхь
по f и частного дифференцирования по % переместительны, т. е. — .
Случай существЬвания силовой функции
Если к механической системе приложены только силы поля и существует силовая функция U, то, имея в виду равенства (238), с 三(dU dxk . dU dyk . dU dzk\ dU
Q尸与［荻丽瓦丽匹丽■丿=麻•
Инн, так как U = — П, где П——потенциальная энергия (244), dU dll
Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы:
d дТ\ дТ _ ЭП
Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому 更=0; перенеся все члены в левую часть и
прибавив —石-г-, получим
(264)(265)(264)(265)叭 dqj dqj 、。疗 3q# ИЛИ d dL dL n 由dqi 0先 где
(264)
(265)
(264)
(265)
называют функцией Лагранжа.
Задача № 192. В планетарном механизме (задача № 90, стр. 227), изображенном на рис. 146, а, определить угловое ускорение колеса / при следующих условиях. Передаточное число ^- = 12. К колесу / приложен постоянный момент сопротивления Л!】，а к рукоятке IV——постоянный вращающий момент М. Колеса / и 11 считать однородными дисками одинаковой толщины и из одного и того же материала. Массой рукоятки /И пренебречь. Механизм находится в горизонтальной плоскости.
Решение. Механизм имеет одну степень свободы, следовательно, его положение можно определить одной обобщенной координатой, а его движение——одним уравнением Лагранжа. В данном случае за обобщенную координату удобно выбрать угол 屮& поворота рукоятки (屮4 = д). Тогда обобщенная скорость системы равна угловой скорости рукоятки (^ —ш4). Выразим в обобщенной скорости кинетическую энергию системы, которая равна сумме кинетических энергий первого и второго колес.
Момент инерции первого колеса 厶=—^ , его угловая скорость шх^ 12^ и
144.'
Радиус второго колеса (см. задачу № 90) г2 = ^<1» следовательно, масса второго колеса в 25 раз больше массы первого, а его момент инерции в 625 раз .6 .
больше. Скорость его центра равна g・6「i, а его угловая скорость 恤=写夕 Его кинетическую энергию определяем по формуле Кенига:
△ 一T-4^5—Л
Кинетическая энергия механизма
т = ~- 1422户.
Чтобы подсчитать обобщенную силу, определим работу всех активных сил системы при вариации обобщенной координаты. Сообщим координате малое приращение М, т. е. мысленно повернем рукоятку на угол 6(р4. Тогда первое колесо повернется на угол 126g и произойдет работа ”
?64=M6g —М1126g.
Эта работа равна работе Q3g обобщенной силы, следовательно, обобщенная сила в этой задаче имеет размерность момента силы и равна
Q = M-12Mi.
Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости
• 1422g.
После дифференцирования по времени q заменится /・ Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате равна нулю. Следовательно,
%r“ 1422g = M — 12Af「
Из этого уравнения механизма при заданныхИз этого уравнения механизма при заданныхОтвет.Ответ.М —12Ml 一 1422m j；М —12Ml 一 1422m j；непосредственно определяем ускорение е = д рукоятки моментах. ,
Из этого уравнения механизма при заданных
Из этого уравнения механизма при заданных
Ответ.
Ответ.
М —12Ml 一 1422m j；
М —12Ml 一 1422m j；
Задача № 193 (№ 1063 М). Решить задачу № 146 уравнением Лагранжа.
Решение. В этой задаче будем выражать L в 初，Т в се&, F в к「Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату q выберем угол поворота фх первого вала. Тогда обобщенной скоростью q системы будет угловая скорость первого вала. Угловая скорость второго вала равна 丁 д. Кинетическая
энергия системыэнергия системы4 _9т^^^Н-~笠力,или т=^冷4 _9т^^^Н-~笠力,или т=^冷
энергия системы
энергия системы
4 _9
т^^^Н-~笠力,или т=^冷
4 _9
т^^^Н-~笠力,или т=^冷
Вычислим величины» входящие в уравнение Лагранжа (262):
дТ , . ddT м дТ с拓近芯匂州布=0;
Q = Af, т. e. Q = 50.
Напишем уравнение движения системы:
闽= 50,
откуда 0=3,57 сек-2 и по передаточному отношению 出二^力,т. е. б2 = 5,36сек-2. Вращение равноускоренное, без начальной угловой скорости, следовательно, по (87):
g)2 = 5,36/ и 屮2 = 5『6/2.
Угловая скорость будет 120 об/мин, т. е. 4л сек-1, откуда ^ — g^； в это u А5,36・16№'
мгновение второй вал будет повернут на угол 屮尸工 5■ ^тооы определить
соответствующее число оборотов вала, надо разделить угол поворота на 2兀.
Ответ. Через 2,344 оборота.,
§ 53. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ *
Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от_ некотоДвижение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от_ некоторых ний,рых ний,средних своих положе- иазывают колебательнымсредних своих положе- иазывают колебательнымВо многих областях техники часто приходится рассматривать колебательные движения механических систем, т. е. такие движения, при которых точки системы перемещаются последовательно то в ту, то в другую сторону относительно их некоторого среднего положения. Сюда относят вибра-
Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от_ некото
Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от_ некото
рых ний,
рых ний,
средних своих положе- иазывают колебатель
ным
средних своих положе- иазывают колебатель
ным
ции машин и их деталей, возникающие при различных условиях, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, а также автомобилей, судов, самолетов и пр.
Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями
около положенияКолеблющиеся тивными, т. е. ихоколо положенияКолеблющиеся тивными, т. е. ихравновесия.
около положения
Колеблющиеся тивными, т. е. их
около положения
Колеблющиеся тивными, т. е. их
механические системы обычно являются консерва- колебания происходят в потенциальном поле, по-
этому уравнения Лагранжа удобно писать в форме (263) и (264). Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не полную потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же мы будем стараться так определить эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном положении, т. е. при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие/является устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (П = 0) согласно теореме Лежен Дирихле (см. § 49) должна иметь минимум.
Рассмотрим несколько задач на малые колебания системы, причем для начала рассмотрим с позиций уравнений Лагранжа малые колебания физического маятника.
Задача № 194. Определить малые колебания физического маятника без сопротивления на неподвижной оси (см. рис. 192 на стр. 334). Все данные по геометрии масс маятника считать заданными.
Решение. Задачу будем решать по (262). Направим оси декартовых координат как указано на чертеже (рис. 192). За обобщенную координату примем угол ф отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную координату ф от положения устойчивого равновесия системы. Тогда обобщенная скорость (259)
Выразим кинетическую энергию через обобщенную координату
и вычислим производные, входящие в левую часть уравнения (262):
空=用；^竺=两
dtp山 °屮，dtp
Для определения обобщенной силы подсчитаем виртуальную работу при изменении обобщенной координаты-
64 =——Gc sin фбф— Gcq)6屮..
И полученное выражение разделим на вариацию обобщенной координаты
Q = — бсф.
Обобщенная сила имеет размерность момента силы, так как обобщенной координатой является угол.
После проделанных вычислений и внесения их в (262) уравнение Лагранжа принимает вид:
Это диффереициальное уравнение малых качаний физического маятника, выведенное другим способом, было проинтегрировано в § 45.
Ответ. Гармонические колебания с периодом •
Задача № 195. Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика, принимаемого за точку М массой mlt укрепленного на конце невесомого стержня АМ длины /. Точка Л стержня находится в центре однородного
диска массы m2 и радиуса г. Диск может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Стержень и днсу жестко скреплены между собой (рис. 239). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.*
Решение. Построим правую систему декартовых координат с началом в центре диска при положении устойчивого равновесия системы. Ось Оу направим вертикально вниз.
Определим связи, наложенные на систему. Диск может катиться по горизонтальному рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением у^ — О.Но качение диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы
Рис. 239Рис. 239скорость о% точки касания диска равнялась нулю. Хотя связь наложена на скорость, но для диска, катящегося в своей плоскости, она является голо- номной (в отличие от катящегося по плоскости шара, рассмотренного выше). В самом деле, приняв центр диска за полюс и разложив плоское движение диска на переносное поступательное вместе с полюсом и относительное вращательное вокруг полюса, получим для точки касания;
Рис. 239
Рис. 239
V/——(ОГ ~0 или =— г.
Интегрируя, получаем второе уравнение связи
Следовательно, связь интегрируемая, т. е. голо-
номная. ■ u
Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение ——одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу х< центра диска или угол 屮 отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а величины х』н 屮 являются зависимыми и связаны соотношением кА = гф. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем 屮.Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика Mt принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи 尤厶=「屮：
х= r(p —— Z sin ср; y = l cos ф.
Продифференцировав по времени, найдем проекции скорости: х~ лер ——Z cos фф, g =——Z sin(p(p.
Определим квадрат полной скорости точки М:
02用=(Г2 十〃——2" cos ф) ф2
и кинетическую энергию точки М:■
'1 = £^ (「2+/2 - 2f/ cos (р)(р2,
. Кинетическую энергию диска определим по формуле Кёнига, учитывая, что 七4 =广中：
一也2以丄加2戸中2T 3, ■
= —21йЛй T2 =不加2产中2.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий точки М и диска:
Г =［夢(戸+2〃 cos中) +2r"而支
Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. § 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, qra而 в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, в которой потенциальная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае:
П —mig/ (1 — cos ф) (при(р = 0 П —0; при 屮片 0 П > 0)
Функция Лагранжа L^T—П:
L =L =COS 中)+ ^-m2戸］ ^-^lg^ (1 ~ COS ф).
L =
L =
Подсчитаем величины, входящие в уравнение (264):
■^ =［他1 (Г2+,2 — 2" COS ф) +у 加2戸］ф；
^ «^ = ［"“ (г2 + * — 2" cos ф)十—ni2r^ 屮 卜 2mхг/ sin фф2;
■|^ ="厶〃 sin 中屮2 — mig/ sin ф.
Уравнение Лагранжа
d dL dL
［灯“(产+ /2 — 2〃 cos ф) + у /п2г2 j Ф + Зт^/ 6也中而2_
—т±г1 sin фф2 十"ug/ sin 屮=0.
Колебания малые, и мы полагаем sin ср ^ ф, cos ф ^= 1 и пренебрегаем малыми величинами второго и высшего порядка, а также произведениями малых величин. Уравнение движения системы принимает вид:
［% (Z -Г)2 +Ут2Г40+垃这你=0，
откудаоткудаф +ф +巾屈巾屈з也1 （/一「）2十攵■m2rз也1 （/一「）2十攵■m2r屮=0.屮=0.
откуда
откуда
ф +
ф +
巾屈
巾屈
з
也1 （/一「）2十攵■m2r
з
也1 （/一「）2十攵■m2r
屮=0.
屮=0.
Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. § 39). Конечно, частота этих колебаний не может зависеть только от масс, но завнснт и oi их распределения. Система представляет собой своеобразный физический маятник, и квадрат частоты свободных колебаний пропорционален статическому моменту веса и обратно пропорционален моменту инерции маятника относительно мгновенной оси.
Ответ. №Ответ. №也1 （/一「）2十至■加2戸也1 （/一「）2十至■加2戸
Ответ. №
Ответ. №
也1 （/一「）2十至■加2戸
也1 （/一「）2十至■加2戸
Задача № 196 (№ 12. А. А. Яблонский и С, С. Н ор е й к о. Курс теории колебаний. «Высшая школа», 1966). Определить частоту свободнык поперечных колебаний двухопорной балки, изображенной на рис. 240. На балке находится груз весом mg; расстояния от груза до опор балки равны а н 氏 Сечеиие и материал балки считать известиыми» весом балки пренебречь.
Решение. Система имеет одну степень свободы. Построим декартовы координаты с началом в центре масс груза при равновесном положении системы и
няпрэвим ось Оу вертикэльно вниз. За обобщенную коордннату системы примем ординату ус центра масс.'
Выразим в обобщенной координате и обобщенной скорости кинетическую и потенциальную энергии системы. Массой балки пренебрегаем, и кинетическая энергия системы равна кинетической энергии груза при его поступательном движении：
7 =万m户.
Рис. 240Рис. 240Несколько сложнее определить потенциальную энергию, потому что система находится в потенциальном поле силы тяжести и в потенциальном поле упругости балки и полная потенциальная энергия 口 = 口]十幵？. Потенциальная энергия системы в поле силы тяжести
Рис. 240
Рис. 240
% = —mg协
口2 ="|c(f 十 4)2-} С产.口2 ="|c(f 十 4)2-} С产.Потенциальную энергию сил упругости найдем из разности двух частных ее значений： при прогибе (f + g) и при нулевом положении, при котором прогиб балки в месте расположения груза равен /:
口2 ="|c(f 十 4)2-} С产.
口2 ="|c(f 十 4)2-} С产.
Тогда
П — — mgy^с[у+~су2 = ( — mg+ cf) у + ^ ◎*•
Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле, должна иметь минимум, а потому ее производная
= (—mg+cf) + cy
должна обратиться в нуль, если вместо у подставить нуль — его значение, соответствующее равновесному положению системы,
=(—mg+cf) = 0・=(—mg+cf) = 0・
=(—mg+cf) = 0・
=(—mg+cf) = 0・
Следовательно, потенциальная энергия системы
п=4^
Здесь с—коэффициент жесткости балки и, поскольку сечение и материал балки известны, может быть определен по формулам сопротивления материалов：
3EJ3 (а+&)
с=——'
где Е——модуль упругости материала, /э ——экваториальный момент поперечного сечения балки.
Определим теперь члены уравнения (263):
дТ ♦а?дТ ♦а?dt е旷0；dt е旷0；
дТ ♦
а?
дТ ♦
а?
dt е
旷0；
dt е
旷0；
0口 _3£厶(0+ b)
历 両^ У'
После подстановки имеем
ту =ту =ЗЕ J9 ® + 6)丽 у-ЗЕ J9 ® + 6)丽 у-
ту =
ту =
ЗЕ J9 ® + 6)
丽 у-
ЗЕ J9 ® + 6)
丽 у-
/纪厶m+b)/纪厶m+b)Ответ.Ответ.Это уравнение выражает малые колебания системы. Разделив «коэффициент жесткости» с на «коэффициент инерции» т, найдем квадрат частоты колебаний системы, и для получения ответа остается только извлечь квадратный корень.
/纪厶m+b)
/纪厶m+b)
Ответ.
Ответ.
Малые колебания бифиляриого подвеса
Задача № 197. К концам Мх и М2 тонкого однородного стержня (рис. 241, а) массы т и длины 2。подвязаны две невесомые нити одинаковой длины /. Верхние концы N± и ^2 нитей неподвижно закреплены на горизонтальной прямой на расстоянии 2a друг от друга. Стержень повернули на малый угол вокруг центральной вертикальной оси и отпустили без начальной скорости. Исследовать малые колебания 】.
Решение, При заданном движении будет изменяться высота центра масс стержня, но он не может отклоняться в сторону. Положение системы определяется высотой центра масс, углом поворота стержня вокруг вертикальной оси и
Рис. 241Рис. 241
Рис. 241
Рис. 241
углом отклонения нитей от вертикали. Но эти параметры зависят друг от друга, система имеет одну степень свободы, положение ее определяется одной обобщенной координатой, а движение ——одним уравнением Лагранжа. Это уравнение удобно записать в форме (263), так как система находится в потенциальном поле тяжести и единственной активной силой системы является вес стержня.
За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра масс, потому что обобщенная координата должна однозначно определять положение системы, а каждому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол поворота стержня вокруг вертикальной оси можно принять за обобщенную координату, но удобнее в качестве таковой выбрать угол наклона нитей к вертикали, так как через этот угол легко выразить потенциальную энергию системы. Покроим прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Пусть в произвольное мгновение f угол поворота стержня был а, а угол наклона нитей 9 (рис. 241, 6). Спроецируем стержень на плоскость хОу (рис. 241, 8). Равнобед-
Первые научные исследования колебаний нитяных подвесов проведены Даниилом Бернулли в Петербурге в 1732 г.
ренный треугольник Mff0M1 и прямоугольный треугольник N^M'М имеют равные стороны ЛГМ = М1М":
M"Mi = 2。sin ^~, ММ1 = 1 sin ^.
Эти два равенства позволяют выразить угол а в обобщенной координате О1：
а — 2 arcsin — sin 0* .
Определим в обобщенной координате и положение центра масс:" = / —/ cos О.
Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для zc и а:Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для zc и а:ic = vc = l sin ^; а = з =ic = vc = l sin ^; а = з =2/cos 82/cos 8М4a& — /2 sin2 ОМ4a& — /2 sin2 О台.台.
Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.
Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для zc и а:
Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.
Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для zc и а:
ic = vc = l sin ^; а = з =
ic = vc = l sin ^; а = з =
2/cos 8
2/cos 8
М4a& — /2 sin2 О
М4a& — /2 sin2 О
台.
台.
Подставляя эти величины в (217) и учитывая, что стержень длиной 2а имеет * та2 момент инерции = получим довольно сложное выражение:
7=万（。。+ 計27=万（。。+ 計2加 * an2 M 4aH^cos^ V2
7=万（。。+ 計2
7=万（。。+ 計2
TV Sin 0十3" 4M —GsiMO 丿"
При малых колебаниях можно положить cos2 ^= 1 и sin? 0 = 0: Т = ^т1г^.
Вычисляя потенциальную энергию П системы, так определим постоянную С, чтобы П обращалось в нуль при 0 = 0：
'П = mgl (1 — cos 8).
Как видно из этого равенства, при 6 = 0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. § 49), означает устойчивое равновесие. Разложим cos в ряд. Тогда
/ m 机 \
Отбросив все члены выше второго порядка, получим приближенно П = у mgl^.
Теперь вычислим члены уравнения Лагранжа：
Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами，
8 =一汽.
Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:
Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом
инерции и из опыта определить период тх колебания бифиляриого подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела L
Ответ,Ответ,Малые колебания с периодом 1三2江
Ответ,
Ответ,
Колебания системы с двумя степенями свободы
Малые колебания системыс двумя степенями свободыявляются линейным нало-жением двух главных коле-банийМалые колебания системыс двумя степенями свободыявляются линейным нало-жением двух главных коле-банийМалые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия, описываемые изменением обобщенных координат, представляют собой линейные наложения двух так назы
Малые колебания системыс двумя степенями свободыявляются линейным нало-жением двух главных коле-баний
Малые колебания системыс двумя степенями свободыявляются линейным нало-жением двух главных коле-баний
ваемых главных, или собственныху колебаний системы. В каждом из
главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотно
шение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от начальных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения час- шота или период колебаний для системы, у которой число степеней свободы больше единицы, имеет смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. В системе с двумя степенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда можно наблюдать оставшееся главное колебание системы.
Решим задачу на малые колебания системы с двумя' степенями свободы.
Двойной математический маятник
Задача № 198. Две материальные точки 此 массы т1 и М2 массы т2 (рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой нитью длины /2, а точка М】связана, кроме того, такой же идеальной нитью длины 厶 с неподвижной точкой О. Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной плоскости хОу .
Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких активных сил, кроме сил тяжести, на систему не действует, поэтому уравнения Лагранжа напишем в виде (263).
Выберем за обобщенные координаты углы 8 н 屮 наклона нитей к вертикали и выразим через них декартовы координаты точек '
先=—厶sin仇％ = /1 cos吼
无2 = 一 a sin 分一/2 sin(p) 我=A cos 0 + 厶 cos ф.
Продифференцировав по времени, возведя в квадрат и складывая, найдем квадраты скоростей точек:
W =貧+就=?强Г
建=%： + 状=/^2 _|_ /2(р22/1/2^,(p COS ((P —例・
Теперь легко вычислить кинетическую энергию Г системы:
T = 7\ + 7\ = * 比成+ 争"口汾2+ 点F +
+ 2?1%6而 cos(Q - 8)].
Определяя потенциальную энергию 口, выберем так произвольную постоянную С, чтобы при равновесии системы П равнялось нулю:
П =—加ig& cos 0—加咽(厶 cos 今十 ％ cos (p) + С.
Пусть произвольная постоянная С означает потенциальную энергию системы при О —ф~ 180°, т. е. положим
C = Z7Zig/i + m2g (厶 + ?2).
Теперь потенциальная энергия системы при любых значениях обобщенных координат выражается равенством
口 =加信厶(1 一COS ^j + tn^li (1 — COS 切 +加唔％ (1 — COS (p).
При O =(p = 0 величина П равна нулю, при остальных значениях П > 0, е. П является определенно положительной функцией обобщенных координат.
_дТd ОТ_дТd ОТПодсчитаем члены уравнений (263) Лагранжа:
_дТ
d ОТ
_дТ
d ОТ
=т ^i^ + ma/i^ + /т? 2Zi/гф cos (<p —^);
由06由06=(加 i + 恤)2部 + 恤厶% cos (<p -^) ф—
由06
由06
—恤A厶sin (屮一仆)①2 +生厶为平sin (屮-0) 5;дТ • •
(①一8);
翁=(恤十切2)g厶sin^;
:-=加2%中十加""20COS ((P - 3)；
条 ^--tnjl^^m2lilficos (①一切 + 加山/E%m (①-0)一m2a厶令 sin (ф - 8)而; дТ.
而■ =/也加)sin @ —О);
而"=加灌% sln(p.
Подставляя эти величины в уравнения （263）, получим следующие точные уравнения движения системы:
A （加1 +加2）^ + ^2^2 cos （＜p —分）ф 一勾加2 sin （＜p_分）喂+（加］+ 加Gg 5т 0 м 0；
Acos仰-分）8十友平十/力2 sin （①一8） +g sin（p = 0.
Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим т2；т1 = ^. Уравнения примут вид:
А （1 + М）8 + 勾卩屮十（1 + М）g© 。；
?仔十/螂十g＜p =。。
Второе уравнение позвЪ^яет упростить первое: ?抖一開①+ （1 +⑴g句=0;
/仔 + /2ф + §ф = 0-
Частные решения этой системы уравнений мы будем искать в виде
О 二 В】 sin （kt + сс）;屮 н B2 sin （kt 十 a）,
т. e. в предположении, что обе обобщенные координаты изменяются гармонически, с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и сокращая на sin （也/十 а）, найдем
81卩仔-（1 +n）用十ng% = 0；
В"便+ B2（^2—g）=o.
Эта система двух уравнений, линейных относительно В± и 6?, может иметь отличные от нуля решения, если определитель системы равен нулю:
卩仔一（1+R）g Ng I А仔2舟一gL '
ИЛИ
А%屐一（厶+勾）（1 + м） g卧+（1 +м） g?=o.
В теории колебаний это уравнение называют вековым уравнением, или уравнением частот, так как оно позволяет определить частоты главных колебаний системы. При условиях нашей задачи это решение записано в ответе. Оба периода главных колебаний различны между собой и зависят от отношения 卩 масс точек и от длины % и /2 нитей. Один из периодов близок к периоду качаний математического маятника длины /2, другой ——к периоду маятника длины 厶. Изменяя длину одного из маятников, мы можем период соответствующего главного колебания сделать больше или меньше периода второго главного колебания, однако мы не смогли бы добиться, чтобы оба главных периода качания двойного маятника были бы в точности одинаковы. Этот парадокс был открыт Стоксом и объясняется тем, что написанное выше уравнение частот не имеет одинаковых корней, при которых возможны устойчивые колебания двойного маятника.
Ответ.瓦，尸+ |/ e^^（h + li± ,/（А + %）_啓
Задача № 199 （И. М. Беленький. Введение в аналитическую механику, задача № 2）. В условии задачи № 195 вместо жесткого соединения невесомого стержня МЛ с диском сделано шарнирное соединение в точке Д, остальные условия не изменены （рис. 243）.'
Решение. В отличие от системы, рассмотренной в задаче № 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины ① и хд. При подсчете кинетической энергии скорость точки Л мы уже не можем опре-
делять как г(р, а должны писать x再.Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид
厶=号(吟+必而2-2/以0 cos ф)+-^-%吟一加期(1 —cos ф).
Вычислим члены уравнений Лагранжа:
d 次=dLd 次=dL^i+^ma ) хл — т11 cos(р(р + %/ sin 屮而2;^i+^ma ) хл — т11 cos(р(р + %/ sin 屮而2;=0；=0；Рис. 243Рис. 243-：—=加/4-т^ cos qp十丁 加2工工；
d 次=
dL
d 次=
dL
^i+^ma ) хл — т11 cos(р(р + %/ sin 屮而2;
^i+^ma ) хл — т11 cos(р(р + %/ sin 屮而2;
=0；
=0；
Рис. 243
Рис. 243
-^•=加1/2平一加1及上COS ф； dtp
—l=加.2①一m^ха cos ф +/屮匕4 sin ф；
* d(p
^-—m^x^ sin ф —加ig/ sin ф.
Напишем оба уравнения Лагранжа:'
(加i+^-"iz) В — 加"cos ф*(р + т1^ sin(p・(p2=0;
m“ (/ф一л：д cos(p + g sin <p) —0.
Мы ищем период малых колебаний системы, поэтому, допустив применяемые в подобных случаях упрощения, перепишем эти уравнения в таком виде:
(mj m2 ) х^一加d(p = 0; /<р一％,4 十g<P = O・
Определяя л•再 из первого уравнения и подставляя во второе, получим ,3
屮 T . у Ф — 0.
Множитель, стоящий перед обобщенной координатой, выражает частоту колебаний.
Ответ. Период малых колебаний маятника
f ^l + y m2
Задача № 200. (Я. Г. П а н о в к о и И. И. Г убанова. Устойчивость и колебания упругих систем. Изд-во «Наука», 1967). Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих параллельно плоскости его симметрии, если масса приведенной в колебание системы рацна т, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, равен
Решение. На рис. 244 вверху изображен автомобиль, а внизу его динамическая схема. Деформации кузова пренебрежимо малы по сравнению с осадкой опор, поэтому в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме того, мы полагаем, что горизонтальные колебания системы невозможны.
Построим оси декартовых координат с началом в центре масс при равновесном положении системы, направив ось ординат по вертикали вниз. Система обладает двумя степенями свободы и за обобщенные координаты q* и 夕纟 примем
Рис. 244Рис. 244П =П =ординату центра масс и угол наклона рамы к горизонтальной плоскости.
Рис. 244
Рис. 244
П =
П =
Кинетическую энергию системы определим по формуле Кёнига:.
Для определения потенциальной энергии заметим, что если рама автомобиля опустится на gi и при этом наклонится на (у2, то задняя опора сожмется на gi + ag?, а передняя на 夕〕——bq# Учитывая жесткости рессор и ппевматиков, обозначим через q и с2 приведенные жесткости задней и передней подаески автомобиля. Тогда потенциальную энергию системы определим аналогично тому, как -это было сделано в примере § 49;
G + 阳12 j c2(?i -^2)2
Подставляя найденные значения Т н И в уравнения Лагранжа, получим ответ.
Ответ.就 1 + ©十 Q) q* + (c^a—q匕)％ = 0,
制Г前2十(/。一C26)% + (%" + 也力2%2 = 0・
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аламбер (d'Alembert) Жан ле Рон (1717—1783), чл. Париж, и Петерб. Ак. Н. 15, 179, 248, 251, 258, 259, 402—407, 423
Амонтои (Amontons) Гильом (1663— 1705), чл. Париж. Ак. Н. 92
Ампер (Ampere) Андре Мари (1775— 1836), чл. Париж. Ак. Н. Н6, 119
Аппель (Appell) Flojfb (1855—1930), през. Париж. Ак. Н. 39
Аристотель (384—322 г. до н. э.) 12, 13, 14, 20, 106, 117
Артоболевский Иван Иванович (р. в 1905), Герой Социалистического Труда, чл. Ак. Н. СССР 224
Архимед (ок. 287—212 до н. э.) 12, 13, 18, 54, 106
Архит Тарентский (ок. 440—360 до н. э.) 12'/
Бабаков НЬан Михайлович (р. в 1890), проф. 280, 288
Бать Моисей Иосифович (р. в 1910) 409
Беленький Илья Маркович (р. в 1910), проф.-докт. 444
Белецкий Вениамин Яковлевич (р. в 1907), проф.-докт. 4
Бенедетти (Benedetti) Джамбатиста (1530—1590) 118
Бернулли (Bernoulli) Даниил (1700— 1782), чл. Петерб. Ак. Н. 258, 391, 440, 442
Бернулли (Bernoulli) Иван I (1667— 1748), проф. 153, 258, 260, 350
Бернулли (Bernoulli) Яков I (1654— 1705), проф. 258, 260
Бине (Binet) Жак Филипп (1786—1856), чл. Париж. Ак. Н. 324—326, 342, 397
Боголюбов Алексей Николаевич (р. в 1911), проф.-докт.» чл.-корр. АН УССР 260
Борда (de Borda) Шарль Жан (1733 — 1799), чл. Париж. Ак. Н. 271
Боскович (Boscovich) Рожер Иосиф (1711 — 1787), чл. Петерб. Ак. Н. 255
Бутенин Николай Васильевич (р. в 1914), проф.-докт. 422
Бухгольц Николай Николаевич (1880— 1944), проф. 82, 133, 377, 420
Валлис (Wallis) Джон (1616—1703), чл.
Лонд. К. О. 111, 132, 258, 308
Зарнньон (Varignon) Пьер (1654—1722), чл. Париж. Ак. Н. 19, 22, 23, 59, 60, 63, 77, 331
Вентури (Ventouri) Джмовани Батиста (1746—1822), проф. 118
Веселовский Иван Николаевич (р. в 1892), проф.-докт. 4, 137
Вольтер (Voltaire) Мари Франсуа Аруе (1694—1778) 258'”
Вольф (Wolf) Христиан (1679—1754) 258
Воронков Иван Михайлович (р. в 1894), проф.-докт. 82, 133, 377, 420
Вышнеградский Иван Алексеевич (1831 — 1895), чл. Петерб. Ак. Н. 15
Галилей (Galilei) Галилео (1564—1642), чл. Ак. дей Лин чей 14, 20, 23, 118, 148, 246, 247, 249, 250, 256, 257, 419
Гамильтон (Hamilton) Уильям Руан (1805—1865), чл. Ирланд. Ак. Н. 8, 128, 210, 392
Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (1777— 1855), проф. 253, 327
Гейуорд 351
Гельмгольц (Helmholtz) Герман Людвиг (1821 — 1894), проф. 400
Гераклит Эфесский (ок. 530—470 до н. э.) 5
Герман (Herman) Яков (1678—1733), чл.
Петерб. Ак. Н. 258, 259
Гернет Михаил Михайлович (р. в 1903), проф.-докт. 343, 345, 346, 442
Геронимус Яков Лазаревич (р. в 1898), проф.-докт. 260
Герои Старший (конец I — начало II века) 13, 419
Герц (Hertz) Генрих Рудольф (1857— 1894), проф. 428
Гиббс (Gibbs) Джозайя Уиллард (1839— 1903), проф. 59
Голубева Ольга Владимировна (р. в 1915), проф.-докт. 182
Гравезаид (s*Grawesande) Вильгельм
Якоб (1688—1742) 258
Григорьян Аиют Тигранович (р. в 1910), проф.-докт. 4, 260
Губанова Искра Ивановна (р. 1924) 445
Гук (Нооке) Роберт (1635—1703), чл.
Лонд. К. О. 288, 374, 375
^ульдин (Guldin) Пауль (1577—1643)
115
Гупийер (de la Goupilliere) Атон (1833— 1927), чл. Париж. Ак. Н. 336
Гюгенар (Huguenard) (р. в 1900?) 167
Гюйгенс (Huygens) Христиан (1629— 1695), през. Париж. Ак. Н. 14, 15, 54, 119, 256, 257, 259, 332,335, 338, 400
Д'Аламбер см. Аламбер
Дворников Александр Лазаревич (1902—1971) 310
Декарт (Descartes по лат. Cartesius) Рене (1596—1650) 131, 227, 250, 257, 258, 335, 400
Джанелидзе Георгий Юстинович (1916— 1964), проф.-докт. 409
Дзядзио Александр Михайлович (р. в 1908), проф.-докт. 4
Джоуль (Joule) Джемс (1818—1889), чл.
Лонд. К. О. 400
Дирихле (Dirichlet) Густав Лежён (1805—1859), проф.400, 401, 436, 438, 441
Добронравов Владимир Васильевич (р. в 1901)ч проф.-докт. 310
Егоршии Василий Петрович (р. в 1898), проф.-докт. 259
Жуковский Николай Егорович (1847— 1921), проф., чл.-корр. АН СССР 16, 113, 345
Зернов Борис Сергеевич (1873—1942), проф. 83, 139, 380, 418, 421
Зиновьев Вячеслав Андреевич (р. в 1898), проф.-докт. 224'
ИшлиИский Александр Юльевич (р. в 1913), чл. АН СССР, Герой Социалистического Труда 260
Кавендиш (Cavendisch) Генри (1731 — 1810), чл. Лонд. К・ О. 335, 373
Кайт (Kant) Иммануил (1724—1804), проф. 258
Карагодин Владимир Михайлович (р. в 1924), проф.-докт. 309
Кардано (Cardano) Джеронимо (1501 — 1576), проф. 160
Карно (Carnot) Лазар (1753—1823), чл. Париж. Ак. Н. 260, 336, 387, 389, 393, 403
Карно (Carnot) Сади (1796—1832) 400
Катер (Kater) Генри (1777—1835), чл.
Лонд. К・ О. 335
Кельзон Анатолий Саулович (р. в 1908), проф.-докт. 409
Кёниг (Konig) Самуэль (1712—1757), чл. Париж. Ак. Н. 258, 360—365, 434, 437, 446
Кеплер (Kepler) Иоганн (1571 —1630) 14, 19, 322, 326, 327, 397
Кибальчич Николай Иванович (1853— 1881) 301
Кильчевский Николай Александрович (р. в 1909), чл. АН УССР 4, 283, 393, 408
Кирпичев.Виктор Львович (1845—1913), проф. 351, 418
Кларк (Clark) Самуил (1675—1729) 358
Клеро (Clairaut) Алексис Клод (1713— 1765), чл. Париж., поч. чл. Петерб. Ак. Н. 15, 132, 442
Ковалевская Софья Васильевна (1850— 1891), проф., чл.-корр. Петерб. Ак. Н. 16, 351
Коперник (Kopernik) Николай (1473— 1543) 14. 119
Кориолис (Coriolis) Гаспар Гюстав (1792—J843), чл. Париж. Ак. Н. 119, 167, 196, 198—209, 210, 258, 260, 287, 289, 367
Космодемьянский Аркадий Александрович (р. в 1909), проф.-докт. 260, 310
Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789— 1857), чл. Париж. Ак. Н. 340, 341, 362, 364
Крылов Алексей Николаевич (1863— 1945), чл. Петерб. Ак. Н., чл. АН СССР, Герой Социалистического Труда 17, 247
Кузнецов Владимир Дмитриевич (1887— 1963), чл. АН СССР, Герой Социалистического Труда 92.
Кулон (Coulomb) Шарль Огюстен (1736—1806), чл. Париж. Ак. Н. 92
Лаваль (de Laval) Карл Густав Патрик (1845—1913) 16
Лагир (de La Hire) Филипп (1640— 1718), чл. Париж. Ак. Н. 231
Лагранж (de Lagrange) Луи Жозеф (1736—1813), чл. Париж., през. Берлин. Ак. Н. 15, 54, 259, 260, 401, 431—446
Лами (Lamy) Бернард (1640—1715) 23
Ланкре (Lancret) (1774—1807) 153
Лаплас (Laplace) Пьер Симон (1749— 1827), чл. Париж. Ак. Н. 15, 330
Леви-Чивита (Levi-Civita) Тулио (1873— 1942), чл. Итальян. Ак. Н., чл.- корр. Ак. Н. СССР 17
Лейбниц (Leibnitz) Готфрид Вильгельм (1646—1716), чл. Париж. Ак. Н. и Лонд. К・ О. 246, 257, 258, 400
Ленин (Ульянов) Владимир Ильич (1870—1924) 9, 116
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) (1452—1519) 14, 118
Лессинг (Lessing) Готгольд Эфраим (1729—1781) 257
Лиссажу (Lissajous) Жюль Антуан (1822—-1880), проф. 155
Лобачевский Николай Иванович (1793—— 1856), проф. 248
Лойцянский Лев Герасимович (р. в 1900), проф.-докт. 259
Ломоносов Михаил Васильевич (1711 — 1765), чл. Петерб. Ак. Н. 9, 15, 257, 258, 400
Лопиталь (de L'Hospital) Гийом Франсуа (1661—1704) 258
Лурье Анатолий Исаакович (р. в 1901),
проф.-докт., чл.-корр. Ак. Н. СССР 259
Ляпунов Александр Михайлович (1857— 1918), чл. Петерб. Ак. Н. 16, 401
МайеР (Mayer) Юлиус Роберт (1814— 1878) 400
Маклорен (Maclaurin) Колин (1698— 1746), чл. Лонд. К. О. 1-18( 130, 258
Максвелл (Maxwell) Джемс Клерк (1831 — 1879), чл. Лонд. К. О. 99. 122
Мариотт (Mariotte) Эдм (1620—1684), ЧЛ. Париж. Ак. Н. 189'
Маркс (Marx) Карл (1818—1883) 5, 8, 14, 248, 257, 258, 366*
Мёбиус (Mobius) Август Фердинанд (1780—1868), проф. 119
Меран (d'Ortous de Mairan) Жан Жак (1678—1771), чл. Париж. Ак. Н. 258
Мерсен (Mersenne) Марен (1588—1648) 335
Мещерский Иван Всеволодович (1859— 1935), проф. 17, 35, 143, 305, 308, 310, 312, 348, 378
Минаков Андрей Петрович (1893—1955), проф.-докт. 82, 133, 377, 420
Монж (Monge) Гаспар (1746—1818), чл.
Париж. Ак. Н. 39, 260
Mop (Mohr) Отто (1835--1918),проф. 231
Морен (Morin) Аргур Жюль (1795— 1880), чл. Париж. Ак. Н. 92
Моцци (Mozzi) Юлио (1730—1813), през.
Флорент. Ак. Н. 245
Навье (Navier) Луи Мари Анри (1785 1836) 260
Некрасов Александр Иванович (1883— 1957), чл. Ак. Н. СССР 192
Неморария Иордан (2-я пол. XIII в.) 14
Никитин Николай Никитич (р. в 1914) 310
Николаи Евгений Леопольдович (1881— 1950), проф.-докт. 280, 305
Норейко Сигизмунд Сильвестрович (1896—1972), проф.-докт. 438
Ньютон (Newton) Исаак (1642—1727) През, Лонд. К. О., чл. Париж. А. Н. 15, 19, 23, 26, 27, 246—252, 256, 258, 290, 291, 307, 327, 391, 397
Остроградский Михаил Васильевич (1801—1861), чл. Петерб. Ак. Н. 15, 427
Пановко Яков Гилелевич (р. в 1913), проф.-докт., чл.-корр. Ак. Н. ЛССР 445
Папен (Papin) Дени (1647—1714), чл.
Париж. Ак. Н. 258
Папп Александрийский (Ш век) 13, 114, j 115
Паскаль (Pascal) Блез (1623—1662) 257
*нкар (Picard) Жаи (1620—1682), проф.
\ 320, 335
Пифагор (ок. 580—500 до н. э.) 24
Погосов Григорян Семенович (р. в 1914) 4
Понселе (Poncelet) Жан Виктор (1788— 1867), чл. Париж. Ак. Н. 119, 128, 260, 367, 368
Проии (Ргопу) Мари Риш (1755—1839), чл, Париж. Ак. Н. 335, 377
Птолемей Клавдий (ок. 100—ок. 168) 13
Пуансо (Poinsot) Луи (1777—1859), чл.
Париж, Ак. Н. 16, 19, 64, 72, 73, 99, 181, 330, 332, 406, 411
Путята Татьяна Васильевна (р, в 1906), проф. 4, 283, 393, 408
Ракчеев Евгений Николаевич (р. в 1927) 260
Ранкин (Rankine) Уильям Джон (1820— 1872), проф. 393
Ратобыльский Всеволод Федорович (р. в 1923) 345, 442
Резаль (Resal) Анри Аме (1828—1896), чл. Париж. Ак. Н. 23, 119,140〕！45, 351, 353
Ривальс (Rivals) 183
Риттер (Ritter) Август (1826—1906), проф. 90
Роберваль (Roberval, Personnier) Жиль (1602—1675), чл. Париж. Ак. Н. 34, 127, 129, 130, 335
Савин Гурий Николаевич (р. в 1907), вице-през. Ак. Н. УССР 283, 393, 408
Свешников Георгий Николаевич (1889— 1970), ироф. 4
Сегнер (Segner) Янош Андраш (1704一 1777), проф. 341
Седов Леонид Иванович (р. в 1907), чл. Ак. Н. СССР, Герой, Социалистического Труда 252
Сен-Веиан (de Saint —Venant) А дем ар Жан Клод Барре (1797—1886), чл. Париж. Ак. Н. 153
Слободянский Михаил Григорьевич (р- в 1912), проф.-докт. 420
Соколовский Вадим Васильевич (р. в 1912), проф.-докт., чл.-корр. Ак. Н. СССР 95
Сомов Осип Иванович (1815—1876), чл.
Петерб. Ак. Н. 203
Сомов Павел Осипович (1852—1919), проф. 119
Старжинский Вячеслав А1ихайлович (р. в 1918), проф.-докт. 87
Стевин (Stevin) Симон (1548 — 1620) 14； 23, 34
Стокс (Stokes) Джордж Габриель (1819— 1903), чл. Лонд. К. О. 444
Сторчи (Storchi) Эдоардо 341
Суслов Гавриил Константинович (1857— 1935), проф. 258
Тарг Семен Михайлович (р, в 1910), проф.-докт. 88, 156
Торичелли (Toricelli) Евангелиста (1608—1647) 260
Тюлина Ирина Александровна (р. в 1923) 260
Уатт (Watt) Джемс (1736—1819) 376, 440, 431
Уфимцев Анатолий Григорьевич (1880— 1936) 170
Фаворин Михаил Владимирович (р. в 1927) 343
Ферма (Fermat) Пьер (1601 —1665) 131
Фергюсон (Ferguson) Джемс (1710— 1776), чл. Лонд. К・ Q 213, 336
Фуко (Foucault) Жан Бернар Леон
(1819—1868), чл. Париж, Ак. Н. 351
Фурье (Fourier) Жан Батист Жозеф (1769—1830), чл. Париж. Ак. Н. 252, 260
Христиченко Павел Иосифович (р. в 1918), проф.-докт. 4
Циолковский Константин Эдуардович (1857—1935) 301, 310
Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869— 1942), чл. Ак. Н. СССР, Герой Социалистического Труда 15, 17
Чебышев Пафнутий Львович (1821 — 1894), чл. Петерб. и многих других Ак. Н. 15
Чижов Дмитрий Степанович (1785— 1853), чл. Петерб. Ак. Н. 368
Шаль (Chasles) Мишель (1793—1880), чл. Париж., почетный чл. Петерб. Ак. Н. 119, 336
Шатлэ (du Chatelet) Габриэль Эмилия (1706—1749) 258
Шепелевская Наталья Николаевна (р. в 1916) 4 '
Штейнер (Steiner) Якоб (1796—1863), -чл. Берлин. Ак. Н. 338
Щелкачев Владимир Николаевич (р. в 1907), проф.-докт. 4
Эвклид (Ш сек до н. э.) 248
Эдельштейн Борис Витальевич (р. в 1905), проф. 224
Эйлер (Euler) Леонард (1707—1783), чл. Петерб. и Берлин. Ак. Н, 15, 16, 39, 118, 119, 172, 178, 179, 181, .182, 216,219, 270, 332, 337—341, 371
Энгельс (Engels) Фридрих (1820—1895) 5, 8, 11, 14, 248, 257, 258, 366
Юнг (loung) Томас (1773—1829) проф. 260
Яблонский Александр Александрович (р. б 1903), проф.-локт. 384, 438
Якоби (lacobi) Карл Г устав Якоб (1804—1851), чл. Берлин. А к. Н. 15
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстракция 9
Аксиомы механики 19, 26, 247—2 50
—статики 19—28
Аксоиды при сферическом движении тела 181
Амплитуда колебаний 277
Аналогии \}юрмул кинематики 177
Апогей 323
Афелий 322
Бине формула вторая 325
первая 326, 397
Бинормаль 153
Вариации координат 266, 416
—постоянных интеграции 266
Вариньона теорема 59, 77
Ватт 376
Вектор' 8
一 главный системы сил 73
сил инерции 406
— единичный 63
—прикрепленный 59
—свободный 67
—скользящий 22
—угловой скорости тела 167, 173, 179
— углового ускорения тела 180
Взаимодействие механическое 5, 26, 255
Винт динамический 98
Воздействие механическое 5
Вращение твердого тела вокруг оси 164
———.—точки 177
— 一 一 переменное 168
равномерное 169
— — —■ равнопеременное 169
Время 116, 248, 253
Гаусса число 327
Геометрия масс 336
Герц 277
Гироскоп 351
Год тропический 253
Годограф 127, 352
Градиент силовой функции 392
График движения 123
—скорости 123
Давление на ось вращающегося тела 357, 413
—струи 305
Движение 5
—абсолютное 186, 247
一 вращательное 164
——в сопротивляющейся среде 268
— гармоническое колебательное 276
—замедленное 147
— карданово 160
—механическое 5
—относительное 186
—переменное 147
—переносное 187
—плоское 215
— плоской фигуры 215
—плоскопараллельное 215
— поступательное 160
— прямолинейное 151
—равномерное 147
— равнопеременное 148
—ракеты 301, 311
— реактивное 310
—составное 187
— сферическое 177
—твердого тела 159
—точки переменной массы 308
—ускоренное 147
—центра масс 299, 300
Декремент логарифмический 280
Джоуль 367
Динама 100
Динамика 11, 246
—переменной массы 308
Дирихле теорема 400
Длина, приведенная, физического маятника 335
Живая сила 257
Задача динамики, вторая (обратная) 261
первая (прямая) 261
Задачи на опрокидывание 44
—статически неопределенные 87
определенные 86
Заделка жесткая 88
Закон движения точки по траектории 121
—второй, Кеплера 322, 326
— затвердения 27
—инерции 19, 247-
—независимости действия сил 251
—основной, динамики 250
•— параллелограмма 23
—первый Каплера 326, 397
— равенства действия и противодействия 26, 247
—сохранения количества движения 298
момента количества движения 322, 329 一
.при относительном движении 331
энергии 396
Законы движения, основные, Ньютона 19, 26, 247—250
—Кеплера 326, 397
—Кулона 91, 92
Импульс обобщенный 432
—переменной силы 295
—— постоянной силы 294
—силы, элементарный 294
—ударный 305
Инвариантность при заме не осей 73, 343
Инварианты системы сил 73, 98
Инерции принцип 19, 247
Инерция материи 19, 251, 3 35, 403
Интеграл кинетической энергии 396
— количеств движения 298
—моментов 322, 329
— площадей 322
Карно теорема 387
Кёнига формула 360
Кеплера законы 326, 327
Киловатт 376
Килограмм-масса 253
Килограмм-сила 252
Килограммометр 368
Кинематика И, 116
Классификация сил 255
Колебания вынужденные 281, 285
—затухающие 279
—математического маятника 319, 436
—нутационные 354
一 свободные 276, 279
■сопровождающие281•
—системы главные 442
■малые 435
собственные 442
—точки, гармоническое 276
—физического маятника 334
Количество движения материальной частицы 257, 290
точки 290
— — системы материальных точек 291, 292
Компонента силы 38
Конус трения 94
Координата обобщённая 419, 428
— угловая вращающегося тела 165
Координаты декартовы 130, 131
Кориолиса ускорение 198
—силы 287
Косинусы, направляющие, вектора 39
силы 40
скорости 136, 137
ускорения 141
Коши теорема 262
Коэффициент восстановлен ня 3Q7
— вязкости, безразмерный 285
—динамичности 286
—жесткости '374
—затухания 280
—инерции 440
—расстройки 285
——трения динамический 93
—трения качения 96
скольжения 93
статический 93
Кривые резонансные 286
Кулона законы 91, 92
Лапласа неизменяемая плоскость 330
■ Линеаризация уравнений 435
Линия действия силы 22
—узлов 178
Масса 251
— изменяющая 308
— переменная 308—312
Л^аятник Борда 271
—математический 319； 436
двойной 442
—оборотный 335
—физический 334
Маятника приведенная длина 335
Метод последовательного сложения сил
з1
—Г1уансо 72
—Рбберваля 129
—РОЗ 90
—РОЗУ 426
—силового многоугольника 33
— отрицательных масс 113
Метр 253
Механика 5
—классическая Галилея — Ньютона 6, 246
Механика общая 6
—теоретическая 6
Многоугольник, силовой 33
Момент, главный, количеств движения
системы точек 317
вращающегося тела 332
——плоской системы сил 75
— — произвольной системы сил 73
——сил инерции 406, 411
—инерции главный 341
диска 344
стержня 343
— — тела относительно оси 335
————плоскости 342
полюса 342
экспер. определение 345
центробежный 340
——цилиндра 344
— кинетический 317, 332
—количества движения точки относи- гельно оси 314
центра 313
—пары сил 64
— силы относительно начала координат 57
———оси 60
координат 62
точки 56
—статический 109
Мощность силы 375
Нормаль, главная 153
Нутация 354
Ньютон 253
Опрокидывание 44
Оси естественные 153
—координат, декартовы 130
Ось вращения 164
——мгновенная 179
—инерции, главная 341, 357、
центральная 341, 357, 414
——качания физического маятника 335
—мгновенная, винтовая 245
—подвеса физического маятника 335
—центральная системы сил 99
Падение тела в сопротивляющейся среде 268
Парадокс Стокса 444
—Фергюсона 213
Параллелограмм сил 23
—скоростей 190, 200
—ускорений 195
Параметр динамического вннта 100
Пара сил 64
— угловых скоростей 212, 213
Перемещение точки 125
элементарное 125
Перемещения виртуальные 29, 416
—возможные 29, 416
Перенесение пары сил в ее плоскости 65
параллельную плоскость 66
—силы вдоль линии действия (по
Вариньону) 22
в другое место тела (по Пуансо) 72
Перигей 323
Перигелий 322
Период гармонических колебаний точки 277
—главных колебаний системы 442
— затухающих колебаний 279
——качаний математического маятника 319
физического маятника 334
—периодического движения 279
План скоростей 231
— ускорений 242
Плечо пары сил 64
—рычага 64
— силы относительно точки 56
Плоскость Лапласа, неизменяемая 330
—неподвижная 227
—нормальная 153
—подвижная 227
—соприкасающаяся 153
—спрямляющая 153
—эклиптики 321
Поверхность уровня 392
—эквипотенциальная 392
Покой тела 9
Поле консервативное 396
—силовое 391
нестационарное 391
стационарное 391
—потенциальное 393
Полюс плана скоростей 232
ускорений 243
Постоянные интегрирования 263, 266
Правило механики, золотое 419
Прецессия оси гироскопа 352
Принцип Д'Аламбера 258, 402
'— виртуальных перемещений 258, 415
Принцип инерции 19, 247
—независимости действия сил 251
—относительности классической механики 248—249
—равенства действия и противодействия 26, 254
Проекция вектора на ось 38
иа плоскость 40
— импульса равнодействующей силы на ось 295
—равнодействующей 40
—силы на ось и на плоскость 39
—скорости на ось 134
—ускорения на бинормаль 153
главную нормаль 144, 149
касательную 144,. 147
Проекции количества движения на оси координат 290
—скорости иа оси координат 135
точки вращающегося тела на неподвижные оси 171
— ускорения на естественные оси 152
неподвижные оси координат 140
Проекция ускорения точки вращающегося тела и а неподвижные оси 174
Произведения инерции 340
Пространство абсолютное 248
Пуансо, метод 72
Путь точки 126
Пучок сил 31
Работа виртуальная 417
— индикаторная 37()
—постоянной силы на прямолинейном пути 367
—равнодействующей силы 368
Работа силы 251, 366—375
графическое определение 370
на данном пути 369
приложенной к вращающемуся телу 371
тяжести 370
—упругой силы 374
―элементарная 368
Равновесие относительное 9
—системы тел 87
—неустойчивое 400
—устойчивое 400
Равнодействующая 31, 76t 100
—двух параллельных сил 48, 50
—плоской системы сил 76
—сил инерции 410
— системы параллельных сил 48, 105-
сходящихся сил 31, 33, 41
Радиан 1G5
Радиус-вектор 124
Радиус инерции 337
Разложение движения точки 130
Разложение силы на составляющие 37, 51
Рассеяние энергии 199
Расстояние точки по дуге траектории 120, 126
Реакции идеальных связей 30
——связей 93
динамические 407
полные 93
Резаля, теорема 351
Резонанс 282, 286
Риттера, точки 82
Рычаг 54
Самоторможение 95
Связь 28
Связи голономные 427
—идеальные 30, 416
—неголономные 427
—стационарные 416
—с трением 93
—удерживающие 416
Секунда 253
Семь всеобщих уравнений движения 359
Сила 8
—возмущающая 274
—восстанавлива)ош.ая 274
—живая 257
—инерции 402
касательная 403
Кориолиса 287
— — нормальная 404
переносная 287
центробежная 404
— кориолисова переносная 287
поворотная 287
—обобщенная 430
一 переменная 263
—прибавочная 309
—лошадиная 367
—равнодействующая 31, 76, 100
—сопротивления 274
—трения 91—97
—упругая 374
—уравновешивающая 22
—центральная 321
Силы активные 256
—внешние 255
—внутренние 255
—диссипативные 20
— параллельные 48, 105
—реакций связей 30, 93, 256
— составляющие 37, 51
— ускоряющие 415
—эквивалентные 22
— эффективные 415
Система единиц измерения (СИ) 253
техническая 252
физическая 253
—координат— см. система отсчета
— материальных точек 7, 254
неизменяемая 7, 20
Система механическая 7, 254
—отсчета 120, 186
инерциальная 247
——основная 186
подвижная 186
—параллельных сил 48, 105
—полносвязная 419, 429
—сил, плоская 75
——произвольная 98
сходящихся 31, 38
уравновешенная 21
—статически неопределимая 91
определимая 91
—солнечная 247, 330
—механических единиц 252
Системы сил эквивалентные 22
Скаляр 39
—второго рода 39
—первого рода 39
Скорость обобщенная 430
—' проекции точки 135
—точки 127
абсолютная 189
алгебраическая 122
вращательная 172
относительная 189
переносная 190
плоской фигуры 219, 221
■полная 137
— — радиальная 129
секторная 323
—сменная м.ц.с. 229
—средняя 122
трансверсальная 130
—тела, окружная 173
―—угловая 165
— средняя 165
Сложение параллельных сил 48, 50
—пар сил в одной плоскости 70
—в пересекающихся плоскостях 69
— пересекающихся сил 23, 31, 33
—скоростей точки 190, 200
——ускорений точки 195, 201
Составляющие силы сходящиеся 37
параллельные 51
Способ определения движения точки, векторный 124
естественный 120
Способ определения движения точки, координатный 130
Статика 10, 18
Степени свободы 429
Струй давление 305
Тангенс трения 94
Тахограмма 123
Тела сочлененные 87
Тело, абсолютно твердое 7, 20
—несвободное 28
—свободное 28
—сыпучее идеальное 95
—твердое 7, 20
Теорема Варинъона 59, 77
—Дирихле 400
—Карно 387
—Кориолиса 198
—Коши 362
—моментов 318, 329, 351
——в относительном движении 331
— об изменении кинетической энергии 379, 382
■количества движения точки в векторной форме 296, 297
в координатной форме 296, 297
ускорениях точек поступательно движущегося тела 163
эквивалентных парах 68
— — элементарной работе равнодействующей 368
—о движении центра масс 299, 300
качении центроид 230
———количестве движения системы в векторной форме 298
—一 моментах инерции относительно параллельных осей 337
пересекающихся осей 339
плоской фигуры 341
——моменте равнодействующей 59, 76
проекции импульса равнодействующей 295
количества движения системы в дифференциальном виде 297
—о проекции количества движения системы в конечном виде 298
一равнодействующей 40, 57
——скоростях точек поступательно движущегося тела 163
Теорема о сложении пар 69
ускорений 195, 198
■~ 一 траекториях точек поступательно движущегося тела 161
—основная кинематики твердого тела 159
—Паппы 114
—параллелограмма скоростей 190
ускорений 191
—Резаля 351
Точка изображающая 107 '
—изолированная 247
—материальная 6
—несвободная 28
—перегиба 152
—свободная 28
—следящая 229
Точки Риттера 82
Траектория точки 120, 126, 131
Траектории точек тела при вращении 170
плоском движении 215
поступательном движении 161
Трение качения 96
—скольжения 91
Триэдр натуральный 153
Углы Эйлера 178
Угол естественного откоса 95
—нутации 178
— отражения 308
—падения 308
— поворота 165
—прецессии 178
—собственного вращения 178
—трения 93
—чистого вращения 178
Удар 305, 387
—не вполне упругий 307, 389
—неупругий 306, 388
—прямой 306
—упругий 389
—центральный 306
Уравнение Бине 325, 326, 397
—вековое 444
—вращения твердого тела, дифференциальное 333
кинематическое 164
—движения дифференциальное точки
в векторной форме 250, 261
Уравнение динамики, общее 423
статики, общее 418
—частот 444
Уравнения движения всеобщие 359
— дифференциальные материальной точки в полярных коордииатах/271
в прямоугольных координатах 262
в форме Эй.оера 270
относительного 287
точек материальной системы 272
движения свободного твердого тела 244
—кинематические, движения точки в векторной форме 124
в прямоугольных коорд. 130
по траектории 120
вращательного движения тела 165
плоского движения тела 216
поступательного движения тела 161
— кинетической энергии 379, 382
—Лагранжа 2-го рода 431
—линеаризованные 435
—Мещерского 308
——равновесия——см. условия равновесия
Уравновешивание вращающегося тела 357
—динамическое 357
—полное 357
一 статическое 357
Усилия в стержне 47, 89
Ускорение Кориолиса 198
—приливное 391
—проекции точки 140
—тела, угловое 167
как вектор 180
—точки 128, 141, 152, 195, 198
абсолютное 189
——вращательное 183
——касательное 147
нормальное 151
осестремительное 183
относительное 189-
—■ переносное 190
一 一поворотное 203
полное 152
при составном движении 195, 201
Ускорение точки тангенциальное 144
центростремительное 174
Ускорения точек тела при вращательном движении тела 174
плоском движении тела
235 — 244
поступательном движении тела 163
Условие равновесия, необходимое, трех непараллельных сил 25
рычага 54
системы пар 70
сходящихся сил, геометрическое 34
Условия равновесия параллельных сил 84, 102
плоской системы сил 79, 81, 82
произвольной системы сил 100
пучка сил, аналитические 43
Фаза колебаний 277, 282
начальная 277
Ферма 89
Формула Бине вторая 325
первая 326, 397
—Кенига 360
—Ривальса 183
—Эйлера 181
Функция Лагранжа 433
—силовая 392
Центр вращения, мгновенный 227
—инерции 292
—качания физического маятника 335, 350
—масс 291
—момента 56
——скоростей, мгновенный 221 ——231
—параллельных сил 105
一 приведения 73
—тяжести тела 106
. 一 объема 110
—■ — фигуры 110
линии ПО
一 удара 349
—ускорений, мгновенный 237 — 242
Центроида неподвижная 229
— подвижная 229
Частица материальная 6, 400
Частота колебаний 277
——круговая 277
угловая 277
——циклическая 277
——качаний математического маятника
320
физического маятника 335
Число, гауссово 327
Эйлера, углы 178
Эйлера, формула 171," 181
Эквивалентность пар 68
—сил 22
—системы сил 22
Эклиптика 321
Эллипсоид инерции 340
..центральный 341
Энергия кинетическая 358
вращающегося тела 360
материальной частицы 358
поступательно движущегося тела 359
системы точек 358
твердого тела 360, 362
тела при плоском движении 361
一 一точки 358, 379
—— потенциальная материальной частицы 393
тела 400
Элемент дуги 132
Эффект гироскопический 353, 354
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
3 5 5 13 5 5 1Предисловие
3 5 5 1
3 5 5 1
Глава 1. Введение в механику
Основные понятия теоретической механики ....
Основные исторические этапы развития механики
Часть I
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава //. Основные понятия и аксиомы статики18
Аксиомы статики . . , . 18
Связи и реакции связей28
Глава ///. Система сходящихся сил31
Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме31
Условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме38
Г лава /V.Момент силы. Теория пар48
Приведение двух параллельных сил к равнодействующей 48
Момент силы относительно точки,54
Момент силыотносительно оси60
Пара сил64
Приведение системы сил к данной точке72
Глава V. Система сил, расположенных на плоскости75
Различные случаи приведения плоской системы сил75
Равновесие плоской системы сил79
.§ 14. Силы трения . . ：■91
Г лава V/. Произвольная система сил98
Различные случаи приведения произвольной системы сил98
Равновесие системы произвольно расположенных сил100
Г лава V7/. Центр параллельных сил и центр тяжести105
Координаты центра .параллельных сил105
Центр тяжести линий, плоских фигур и тел ..110
Часть II
КИНЕМАТИКА
6 66 67 о1*27 о1*2004 9904234 5566004 9904234 5566Глава V///. Введение в кинематику
6 6
6 6
7 о
1*2
7 о
1*2
004 9904
234 5566
004 9904
234 5566
Предмет кинематики
Краткие исторические сведения о развитии кинематики Глава /X. Кинематика точки
Естественный и векторный способы определения движения точки
Координатный способ определения движения точки
Касательное и нормальное ускорение точки ... Глава X. Поступательное, вращательное и сферическое движения тела
О движении твердого тела
Поступательное движение твердого тела ....
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося тела170
Сферическое движение твердоготела177
Глава XI. Составное (сложное) движение186
Относительное и переносноеДвижения186
Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений189
Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса) 198
Сложение движений твердого тела209
Глава Х〃. Плоское движение твердого тела215
Разложение плоского движения на поступательное и вращательное215
Скорости и ускорения точек плоской фигуры . . 219
Понятие об общем случае движения твердого тела 244
Часть III
ДИНАМИКА
Глава X///. Введение в динамику 246
*§ 36. Предмет динамики. Основные законы механики
Галилея — Ньютона246
Некоторые исторические сведения о развитии динамики 256
Г лава XIV. Дифференциальные уравнения движения261
Две основные задачи динамики261
Колебания материальной точки273
Дифференциальные уравнения относительного движения точки 287
Г лава XV. Количество движения . . . . 290
Количество движения материальной точки и системы. Импульс силы290
Теоремы。количестве движе^адя точки и системы и о движении центра масс296
Г лава XV/. Момент количества движения313
Момент количества движения материальной точки и системы относительно центра и оси313
Теоремы о моменте количества движения .... 318
Кинетический момент вращающегося тела. Момент инерции 332
Г лава XVII. Кинетическая энергия358
Кинетическая энергия материальной точки, системы и твердого тела358
Работа силы. Мощность силы 366
Теоремы об изменении кинетической энергии точки и системы379
Глава XV1H.Потенциальная энергия 391
Потенциальное силовое поле и силовая функция 391
Глава XIX. Принцип Д'Аламбера и принцип виртуальных перемещений 402
Принцип Д'Аламбера 402
Принцип виртуальных перемещений. Общее уравнение динамики 415
Г лава XX. Обобщенные координаты системы427
Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах 427
Малые колебания системы435
Именной указатель447
Предметный указатель452
Михаил Михайлович Гернет КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Редактор К- И. Аношина Художник В. 3. Казакевич Художественный редактор Н. К. Гуторов Технический редактор Э. М. Чижевский Корректор М. М. Малиновская
Сдано в набор 26/VII-72 г. Поди, к печати 2/1-73 г. Формат 60><90%б・ Объем 29 печ. л.
Уч.-изд. л. 29,61. Изд. № ОТ-186/71 Тираж 45 000 экз. Цена 99 коп. План выпуска литературы для вузов и техникумов издательства «Высшая школа» на 1973 г.
Позиция № 92
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Союзполиграфпром при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Отпечатано в ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградской типографии № 1 «Печатный Лвор》имени А. М. Горького. Ленинград, Гатчинская ул., 26 с матриц ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова.
^Москва, М-54, Валовая, 28 Зак. 784
1 Терминология общей механики. М., Изд-во АН СССР, 1955.
1 Крест для обозначения векторного произведения предложил Гиббс.
1 Центральная ось системы сил открыта Л. Пуансо, им же предложен термин.
2 В. И. Л е н и н. Материализм и эмпириокритицизм. 1948, стр. 158.
2 Понятие «спрямляющая плоскость» в науку ввел Лайкре в 1805 г.
1 Понятие «масса» в теоретической механике дано Ньютоном (1686 г.).
1 Тропическим годом называют время между двумя последовательными про
хождениями Солнца через точку весеннего равноденствия.
：К・ Маркс и Ф. Энгельс. Соч» т. 20, Госполитиздат, 1961, стр. 418.
2 Лагран ж. Аналитическая механика, т. I, перевод под ред. Л. Г. Лонцян-
1 Даны И. В. Мещерским в 1897 г.
1 Кеплер. Комментарии о движении Марса, 1609 г.
1 Моменты инерции впервые ввел Гюйгенс (1673 г.), термин предложен
3 Равенство (195) впервые появляется у Пуансо (1824 г.) во 2-м издании «Элементов статики».
1 Задача определения приведенной длины маятника была поставлена Мер сеном (1646 г.). Над нею работали многие ученые (Декарт, Роберваль, Кавендиш, Пикар и др.). Полное и точное решение этой задачи Гюйгенсом (1673 г.) явилось едва ли не первым случаем геометрического интегрирования, первым точным решением задачи по динамике твердого тела, первым введением понятия момента инерции и, безусловно, создало эпоху в развитии физико-математических наук.
1 Различие между центром качания и центром удара установил Иван Бер нулли в 1714 г.
1 В. Л. Кирпичев в книге «Беседы о механике» сообщает, что раньше Резаля эту теорему доказал англи访скнй математик Ге访уорд.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20. Госполитиздйт, 1961, стр. 419.
1 -Рекомендуем читателям решить эту задачу не по принципу Д'Аламбера, а с применением уравнения (128") (см. Г. Н. Савин, Н. А. К и л ь ч е в с к и й,
1 См.: М. М. Г е р н е т и В. Ф. Ратобыльский. Определение моментов инерции. Машгиз, 1969.
Проф. М- М. ГЕРНЕТ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ИЗДАН И Е 3-е
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов немашнно- строительных специальностей высших учебных заведений
Г20
УДК 531.01(075.8)
Гернет М. М.
Курс теоретической механики. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1973. 464 с. с илл.
Учебник по содержанию соответствует программе курса для механических специальностей. Но курс построен так, что в нем легко можно выделить материал, предназначенный для различных специальностей немашинострон- тельного профиля.
Большое число задач с подробным решением позволяет читателю овладеть не только теорией, но и ее применением.
Третье издание дополнено рядом интересных задач, связанных с полетом космических кораблей и др.
0242—073
「001(01)^73 92—73
© Издательство «Высшая школа», 1973