Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 6
Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие автора к первому изданию 7
Глава!. Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек 11
Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация 11
Возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи 15
Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода 23
Принцип виртуальных перемещений.ПринципДаламбера.28
Голономные системы. Независимыекоординаты.Обобщенные силы 37
Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах 44
Исследование уравнений Лагранжа 48
Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативныесилы 52
Электромеханические аналогии 58
Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты 60
Г лав а II. Уравнения движения в потенциальном поле . . .69
Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральныесистемы 69
Канонические уравнения Гамильтона 74
Уравнения Рауса 81
Циклические координаты 83
Скобки Пуассона 86
Г лав а III. Вариационные принципы и интегральные инварианты 91
Принцип Гамильтона 91
Вторая форма принципаГамильтона 98
Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре-Картана) 99
Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта. Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях 107
Обобщенные консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мо- пертюи-Лагранжа 112
Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы 117
Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна 119
Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля 125
Глава IV. Канонические преобразования и уравнение Гамильтона-Якоби 128
Канонические преобразования 128
Свободные канонические преобразования 132
Уравнение Гамильтона-Якоби 135
Метод разделения переменных. Примеры 142
Применение канонических преобразования в теории возмущений 151
Структура произвольного канонического преобразования .152
Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа 158
Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования 160
Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании 162
ГлаваУ. Устойчивость равновесия и движения системы . .165
Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия 165
Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева 171
Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы 174
Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова 179
Устойчивость линейных систем 186
Устойчивость по линейному приближению 190
Критерии асимптотической устойчивости линейных систем 195
Глав а VI. Малые колебания 200
Малые колебания консервативной системы 200
Нормальные координаты 210
Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы 212
Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей 215
Малые колебания упругих систем 220
Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени 226
Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы 229
Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика 233
Г лав а VII. Системы с циклическими координатами 239
Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии 239
Устойчивость стационарных движений 249
Список литературы 257
Именной указатель 259
Предметный указатель 260
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Монография Ф.Р. Гантмахера по аналитической механике получила широкую известность в мировой литературе по механике. После выхода первого издания она была переведена на несколько иностранных языков. За время, прошедшее после второго издания (1966 г.), книга практически стала библиографической редкостью. В настоящем издании сделаны отдельные исправления. Работа по подготовке этого издания выполнена сотрудниками кафедры механики Московского физико-технического института. По предложению Издательства книга выпускается вместе с третьим изданием «Сборника задач по аналитической механике», составленного Е.С. Пятницким, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаевым и Р.П. Яковенко на основе курса лекций Ф.Р. Гантмахера.
Ноябрь 2000г. Е.С. Пятницкий
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание книги подготовлено к печати уже после смерти ее автора. Работа по подготовке этого издания была выполнена кафедрой механики Московского физико-технического института, которой в течение многих лет руководил Ф.Р. Гантмахер. Большая часть исправлений и дополнений, сделанных в процессе этой работы, отражает пожелания и замечания, высказанные автором сотрудникам кафедры. Некоторые исправления обусловлены стремлением сделать текст более доступным для студентов. Внося эти уточнения, кафедра стремилась полностью сохранить специфические особенности книги, в которой строгость выводов основных положений аналитической механики и лаконичность текста удивительным образом сочетаются с предельной ясностью изложения.
Август 1965 г.М.А. Айзерман
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В литературе по механике нет единого общепринятого толкования термина «аналитическая механика». Некоторые авторы отождествляют аналитическую механику с теоретической1). Другие считают, что определяющим признаком аналитической механики является изложение в обобщенных координатах. Третья точка зрения, из которой исходил автор этой книги, назвав ее «Лекциями по аналитической механике», состоит в том, что аналитическая механика характеризуется как системой изложения, так и определенным кругом вопросов, в ней рассматриваемых.
Характерным для системы изложения аналитической механики является то, что в ее основу кладутся общие принципы (дифференциальные или интегральные) и уже из этих принципов аналитическим путем получаются основные дифференциальные уравнения движения. Изложение общих принципов механики, вывод из них основных дифференциальных уравнений движения, исследование самих уравнений и методов их интегрирования — все это составляет основное содержание аналитической механики.
Аналитическая механика входит как часть курса теоретической механики в программы механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов и педагогических институтов. В то же время общая программа по теоретической механике во втузах либо совсем не содержит аналитической механики, либо содержит только ее элементы. Между тем современная техника выдвигает задачи, для решения которых недостаточно основ курса теоретической механики, излагаемых в его традиционных разделах «статика», «кинематика» и «динамика точки и системы». Инженеры-исследователи, работающие в разнообразных областях современной техники, должны владеть и общими методами аналитической механики, которые дают универсальный аналитический аппарат для исследования сложных задач, относящихся не только к чисто механическим, но и к электрическим и электромеханическим явлениям.
Настоящая книга не претендует на полноту охвата материала по аналитической механике. Книга возникла из курса лекций, читавшихся автором на протяжении последних шести лет на 4-м семестре Мо-
•*•) Так, например, известные курсы теоретической механики Г.К. Суслова и Ш.Ж. Валле Пуссена были названы авторами курсами аналитической механики.
сковского физико-технического института. Это обстоятельство определило отбор материала и характер его изложения.
Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби, системы с циклическими координатами (главы II, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом.
Технические приложения связаны с рассмотрением несвободных систем. Эти системы подробно изучаются в главе I. В специальном параграфе этой главы, посвященном электромеханическим аналогиям, выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. В главах V и VI даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний. Наряду с классическими вопросами теории линейных колебаний, излагаются и элементы современных частотных методов. Задачи из динамики твердого тела разбираются в отдельных примерах.
Книга предполагает у читателя знакомство с общими основами теоретической механики и высшей математики. Книга предназначается для студентов и аспирантов механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-исследователей и других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.
Светлой памяти своего учителяпрофессора механики
ГАВРИИЛА КОНСТАНТИНОВИЧАСУСЛОВАавтор посвящает эту книгу
ГЛАВА I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДВИЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 1. Свободные и несвободные системы.Связи и их классификация
Изучается движение системы материальных точек
Pv (z/ = l, ...,7V)
относительно некоторой инерциальной (галилеевой) системы координат. На положения и скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями. Системы с такого рода связями называются несвободными в отличие от свободных систем, у которых подобные связи отсутствуют.
Аналитически связь выражается уравнением1)
/(t,^,^) = О,(1)
где в левую часть входят время Д радиусы-векторы г^ и скорости vv = rv всех точек Pv системы (и = 1, ..., N\ В частном случае, когда скорости г^ не входят в уравнение связи (1), связь называется конечной или геометрической. Ее аналитическая запись выглядит так:
Л#,гД = 0.(2)
') Точка, поставленная над буквой, обозначает дифференцирование соответствующей величины по времени. Все радиусы-векторы строятся из одного и того же полюса, неподвижного в данной системе координат. Далее, f(t,rv,rv) = 0 представляет собой сокращенное обозначение для функции /(£, щ, ..., tn, ri, ..., 1*nY Подобного рода сокращенные обозначения будут употребляться на протяжении всей книги. Если ж^, уу, z-v — декартовы координаты точки Pv в рассматриваемой системе координат ^v — 1? •••> ^)? то функцию / можно считать функцией от 67V + 1 скалярных аргументов t, ж^, yVl Zy, Жу, уу^ zv ^v — 1, • • •, ^Y Относительно функции /, как и относительно всех функций, встречающихся в дальнейшем тексте, предполагается (при отсутствии соответствующих оговорок), что эти функции непрерывны вместе с теми своими производными, которые фигурируют в соответствующих местах текста.
В общем же случае связь (1) называется дифференциальной или кинематической. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких дифференциальных связей, в уравнения которых скорости точек входят линейно:
N
^Л„ + Ь = 0. (3)
Здесь Ip Гр — скалярное произведение векторов 1Р и 3, а векторы 1р и скаляр D представляют собой заданные функции от t и всех г^ (ц^ v = 1, ..., N\ При этом предполагается, что векторы 1р не могут все одновременно обращаться в нуль.
При наличии конечной связи вида (2) система не может в каждый данный момент времени занимать произвольное положение в пространстве. Конечная связь накладывает ограничения на возможные положения системы в момент времени t. При наличии же только дифференциальной связи система в любой момент времени t может иметь произвольное положение в пространстве. Однако в этом положении скорости точек системы уже не могут быть произвольными. Дифференциальная связь накладывает ограничения на эти скорости.
Каждая конечная связь вида (2) влечет за собой как следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается почленным дифференцированием равенства (2):
(4)(4)^ ar„ Tv + at °’
(4)
(4)
где х) Эф/dry = grad^ / (v = 1, ..., TV). Но такая дифференциальная связь не эквивалентна конечной связи (2). Она эквивалентна конечной связи
(5)(5)Ф^.Гу) = с,
(5)
(5)
где с — произвольная постоянная. Поэтому конечная связь (4) называется интегрируемой.
(Г)(23(Г)(23Заметим, что в прямоугольных декартовых координатах уравнения связей (1)-(4) записываются так:
(Г)
(23
(Г)
(23
/ (3 xvi yvi zy^ Ху, yvi Zy^ — О,/(3 xvi у у. Zy^ = 0,
3 Если rv = жЩ + yv3 + zvk, где i, j, k — взаимно-ортогональные орты координатных осей, то
Эту Эху dyv dzyЭту Эху dyv dzy<v = 1, ..., N).<v = 1, ..., N).
Эту Эху dyv dzy
Эту Эху dyv dzy
<v = 1, ..., N).
<v = 1, ..., N).
N
£М+в^ + СаНв = о^,(з')
Р=1
Конечная связь (2) или (2') называется стационарной^ если t не входит явно в уравнение связи, т. е. если df/dt = 0. В этом случае левая часть уравнения дифференциальной связи (4) линейна и однородна относительно скоростей. По аналогии с этим дифференциальная связь (3) или (3') называется стационарной^ если D = 0 и векторы Ip в уравнении (3) [соответственно коэффициенты Лр, Вр, Cv в уравнении (З7)] не зависят явно от t.
Система материальных точек называется голономной^ если на точки этой системы не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи. Таким образом, голономной является всякая свободная система материальных точек, а также несвободная система с конечными или дифференциальными, но интегрируемыми связями. У голономной системы все связи могут быть записаны в конечном виде.
При наличии дифференциальных неинтегрируемых связей система называется него лономной^У
Система называется склерономной, если на нее наложены только стационарные связи. В противном случае система называется рео- номной.
Примеры. 1. Материальная точка может двигаться только по поверхности. Пусть уравнение этой поверхности задано в виде
/(г) = О(6)
ИЛИ
/(ж, у, г) = 0.(6')
Это конечная стационарная связь.
Если поверхность подвижная или деформирующаяся, то в уравнение поверхности явно войдет время t:
f(t, г) = 0(7)
ИЛИ
№ ж, у, г) = 0.(7')
В этом случае связь конечная, но нестационарная.
Av, Bv, Ср (v = 1, ..., N) — скалярные функции от t, х±, yi, zi, ..., xn, VN, ZN-
Часто и сами дифференциальные неинтегрируемые связи называются неголономными. Иногда дифференциальные интегрируемые связи называются
полуголономными.
Две материальные точки соединены стержнем постоянной длины I. В этом случае уравнение связи имеет вид
(Г1 - г2)2 - /2 = О(8)
($1 - х2)2 + (yi - Уг)2 + («I - z2)2 - /2 = 0.(8')
Это голономная склерономная система.
Заметим, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга, т. е. подчиненных связям вида (8). С этой точки зрения свободное твердое тело является частным случаем несвободной голономной склерономной системы материальных точек.
Две материальные точки соединены стержнем переменной длины I = f(t). Уравнение связи записывается так:
(n-r2)2-/2(t) = 0(9)
ИЛИ
(Ж1 - ж2)2 + (yi - у2)2 + («1 - z2)2 - /2(1) = 0.(9')
Это голономная реономная система.
Две материальные точки в плоскости соединены стержнем постоянной длины I и могут двигаться только так, чтобы скорость середины стержня была направлена вдоль стержня Движение конька по плоскости). Уравнения связей записываются следующим образом:
^1 = 0, ^2 = 0,
(Ж1 - Ж2)2 + (yi - yzf - Z2 = 0,(10)
Ж1 + ^2 _ 7/1 + У2
Ж1 - Ж2 7/1 - 7/2 ’
Эта система неголономная, так как последнее из уравнений (10) определяет дифференциальную неинтегрируемую связь.
Наряду со связями вида (1), которые называются удерживающими, в механике рассматриваются также неудерживающие связи, которые записываются в виде неравенства
№, г„, г„) > 0.(11)
В качестве примера можно рассмотреть две материальные точки, соединенные нитью длиной I. Эта связь выражается неравенством
Z2 - (п - г2)2 > 0.(12)
Если в условии (11) имеет место знак равенства, то говорят, что связь напряжена.
Движение системы, на которую наложена неудерживающая связь, можно разбить на участки таким образом, чтобы на одних участках связь была напряжена и движение проходило так, как если бы связь была удерживающей, а на других участках связь была не напряжена и движение проходило так, как если бы этой связи не было. Таким образом, на отдельных участках неудерживающая связь либо заменяется удерживающей, либо совсем отбрасывается. Исходя из этого, мы в дальнейшем будем рассматривать исключительно удерживающие связи.
§ 2. Возможные и виртуальные перемещения.Идеальные связи
Пусть на материальную систему наложены d конечных связей
f<M Г Д = О(О = 1, . .., d)(1)
и у дифференциальных1)
N
Е Цу, + Dp = 0(3 = 1, ...,д\(2)
Заменим конечные связи вытекающими из них дифференциальными:
_l ^^ A f 1
+(з)
Систему векторов vp будем называть возможными скоростями для некоторого момента времени t и для некоторого возможного в этот момент положения системы, если векторы vv удовлетворяют d + д линейным уравнениям (2) и (3).
Таким образом, возможные скорости — это скорости, допускаемые связями. Для каждого возможного положения системы в момент времени t существует бесчисленное множество систем возможных скоростей. При действительном движении системы в момент t реализуется одна из этих систем скоростей.
Систему бесконечно малых перемещений
drv = vvdt (и = 1, ..., TV),(4)
где vv (и = 1, ..., TV) — возможные скорости, будем называть возможными бесконечно малыми перемещениями или, для сокращения,
•*•) В уравнениях дифференциальных связей мы вместо г^ пишем vv.
(а = 1, ..., d^(5)()3 = 1, ... ,g\(а = 1, ..., d^(5)()3 = 1, ... ,g\просто возможными перемещениями. Умножив уравнения (2) и (3) почленно на dt^ получим уравнения, определяющие возможные перемещения:
(а = 1, ..., d^
(5)
()3 = 1, ... ,g\
(а = 1, ..., d^
(5)
()3 = 1, ... ,g\
N
у^ Xpv Лр + D^dt = О
Возьмем две системы возможных перемещений для одного и того же момента времени и для одного и того же положения системы:
drv = vvdt и d*Tv = Vvdt (и = 1, ... , N).
Как drvi так и ^ти удовлетворяют уравнениям (5), а разности
5rv = d’vv — drv (v = 1, ..., N)(6)
удовлетворяют однородным соотношениям:
У1/Зр^Гд/ = 0 Щ = 1, ..., у).Р=1У1/Зр^Гд/ = 0 Щ = 1, ..., у).Р=1
У1/Зр^Гд/ = 0 Щ = 1, ..., у).
Р=1
У1/Зр^Гд/ = 0 Щ = 1, ..., у).
Р=1
Разности 5тv = ^ти — drv будем называть виртуальными перемещениями. Всякая система векторов 5гV1 удовлетворяющая уравнениям (7), представляет собой систему виртуальных перемещений. Уравнения (7) для виртуальных перемещений отличаются от уравнений (5), определяющих возможные перемещения, отсутствием членов (8fa/8t)dt и Dpdt. Поэтому говорят, что виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями при «замороженных» связях.
Действительно, при «замораживании» время t, входящее в уравнения конечных связей, фиксируется, т. е. связь как бы застывает в той конфигурации, которую она имела в момент t. Тогда при дифференцировании функций fa члены (8fa /8t) dt не появляются и первые d уравнений (5) совпадают с соответствующими уравнениями (7). Для дифференциальной связи «замораживание» означает придание ей стационарного характера, т. е. отбрасывание Dp в левой части уравнений связи и фиксирование ^, явно входящего в коэффициенты lpv. После этого и последние у уравнений (5) совпадают с соответствующими уравнениями (7).
Можно еще сказать, что виртуальные перемещения представляют собой перемещения точек системы из одного возможного положения системы в момент t в другое бесконечно близкое, возможное для того же самого момента времени t положение системы.
При стационарных связях виртуальные перемещения совпадают с возможными.
Примеры. 1. Точка движется по неподвижной поверхности (рис. 1). В этом случае любой вектор v, построенный из точки Р и касательный к поверхности в этой точке, будет представлять собой возможную скорость. Соответствующее возможное перемещение dr = v dt также лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р. Разность £r = d'r —dr двух касательных векторов в свою очередь представляет собой вектор, касающийся поверхности в той же точке. Таким образом, любой вектор, построенный из точки Р и лежащий в касательной плоскости, можно рассматривать как некоторое dr и как некоторое ^г. В данном примере связь стационарна и виртуальные перемещения совпадают с возможными.
Связь представляется поверхностью S, которая сама движется (как твердое тело) с некоторой скоростью и относительно исходной системы координат (рис. 2).
В этом случае возможная скорость v получается из произвольного вектора vi, касательного к поверхности, прибавлением к нему скорости и:
V = V1 + и.
Поэтому
dr = v dt = vi dt + и dt.
Аналогично для другого возможного перемещения d'r = vi dt + u dt
и виртуальное перемещение
6r = d'r — dr = (vi — vi) dt
представляет собой, в отличие отпредставляет собой, в отличие отРис. 3 екциями на оси 5xv, 5yv, 5zvРис. 3 екциями на оси 5xv, 5yv, 5zvdr, вектор, лежащий в плоскости, касательной к поверхности в точке Р (рис. 3).Вектор 5г представляет собой возможное перемещение для «остановленной» поверхности S.В декартовых координатах вектор 5тv характеризуется тремя про- (z/ = 1, ...,7V), и уравнения (7),dr, вектор, лежащий в плоскости, касательной к поверхности в точке Р (рис. 3).Вектор 5г представляет собой возможное перемещение для «остановленной» поверхности S.В декартовых координатах вектор 5тv характеризуется тремя про- (z/ = 1, ...,7V), и уравнения (7),определяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в слеопределяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в сле
представляет собой, в отличие от
представляет собой, в отличие от
Рис. 3 екциями на оси 5xv, 5yv, 5zv
Рис. 3 екциями на оси 5xv, 5yv, 5zv
dr, вектор, лежащий в плоскости, касательной к поверхности в точке Р (рис. 3).
Вектор 5г представляет собой возможное перемещение для «остановленной» поверхности S.
В декартовых координатах вектор 5тv характеризуется тремя про- (z/ = 1, ...,7V), и уравнения (7),
dr, вектор, лежащий в плоскости, касательной к поверхности в точке Р (рис. 3).
Вектор 5г представляет собой возможное перемещение для «остановленной» поверхности S.
В декартовых координатах вектор 5тv характеризуется тремя про- (z/ = 1, ...,7V), и уравнения (7),
определяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в сле
определяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в сле
дующем виде:
^ (^/3iv бху + В^ 5уу + С^у 5zy^ = 0(/3 = 1,..., д).
Если эти d + д уравнений независимы, то среди 37V виртуальных приращений координат бху, бу у, 5zv будет п = 37V — d — д независимых. Число п называется числом степеней свободы данной системы материальных точек.
Пусть в точках Pv системы приложены соответственно силы F^ (и = 1, ... , 7V)х). Если бы связи отсутствовали, то, согласно второму закону Ньютона, между массами mv, ускорениями wp и силами F^ имели бы место соотношения mvwv = F^ (z/ = 1, ..., TV). При наличии связей ускорения wv = (l/m^F^ могут оказаться (в данный момент времени t, в данном положении точек системы rv и при заданных скоростях Vy) несовместимыми со связями. Действительно, продифференцировав почленно равенства (3) и (2) по времени, мы получим аналитическое выражение для ограничений, накладываемых связями на ускорения wv точек системы):
9 fa/ d Эфа А б Эфа ~(
Е а^ + Е^аУ+= 0
1(8)
Е-^ + Е^ + ^о (fl = iду
•*•) Под F^ мы понимаем равнодействующую всех сил, приложенных непосредственно к материальной точке Pv (н = 1, ..., N\
Ускорения wp = (l/mv)Ev могут не удовлетворять этим соотношениям. Тогда материально осуществленные связи действуют на материальные точки системы Pv с некоторыми дополнительными силами Rp (z/ = 1, ..., TV); эти силы воздействия связей Rp носят название реакций связей). Возникающие реакции таковы, что ускорения, определяемые из уравнений
mvwv = F^ + R^ (р = 1, ..., TV),(9)
уже допускаются связями.
В отличие от реакций R^ (р = 1, ..., TV) заранее заданные силы F, (р = 1, ... , TV) называются активными силами. Активные силы обычно задаются как известные функции от времени, положения и скоростей точек системы ):
F^F^r^) (p = l,...,N).(10)
Основная задача динамики несвободной системы состоит в следующем.
Заданы активные силы F^ = F^f, r^, v^), и даны совместимые со связями начальные положения г® и начальные скорости v^ точек системы (р = 1, ..., TV). Требуется определить движение системы и реакции связей R^ (р = 1, ..., TV) ).
Если относительно характера связей ничего не известно, кроме определяющих уравнений (1) и (2), и, следовательно, ничего не известно относительно вызываемых этими связями реакций R^, то сформулированная выше задача является неопределенной, так как число подлежащих определению скалярных величин xv, yv, zv, RVXi Rpy^ R^z больше числа имеющихся скалярных соотношений — уравнений mvxv = FVX^RVX, mvyv = FvyFRVy, mv2v = FvzFRVz и уравнений связей (1) и (2) [6TV > 3TV + d + g\.
Для того чтобы основная задача динамики стала определенной, необходимо иметь какие-то дополнительные 6TV — (3TV + d + g) = 3TV — — d — g = n независимых соотношений между искомыми величинами. Эти соотношения мы получим, если ограничимся важным классом идеальных связей.
Связи называются идеальными, если сумма работ реакций этих связей на любых виртуальных перемещениях всегда равна нулю, т. е. еслиn
52 Ю 6г„ = 0.(11)
Это равенство можно переписать и в развернутом виде:
N
52 ^Rvx дху Я- R^y 6yv + R^z ^^v^ — 0.(11 )
P=1
Среди 37V величин 5xvi 5yvi 5zv имеется n независимых (n = 37V — — n — g — число степеней свободы данной системы). Поэтому в равенстве (11') можно выразить 37V—п зависимых приращений 5xvi 5yvi 5zv через п независимых приращений и приравнять нулю коэффициенты при этих независимых приращениях. Тогда мы получим недостающие п соотношений, благодаря которым основная задача динамики несвободной системы становится определенной.
Естественность и практическая важность выделенного нами класса связей станут ясными после рассмотрения следующих примеров идеальных связей.
Примеры. 1. Материальная точка вынуждена двигаться по неподвижной гладкой поверхности (рис. 4).
В этом случае любое возможное перемещение dr. как и любое виртуальное перемещение 5г, лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р, а реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности в этой точке; поэтому всегда
RcZr = 0 или R5r = 0.
Материальная точка вынуждена двигаться по подвижной или деформирующейся гладкой поверхности (рис. 5).
В этом случае возможная скорость материальной точки и, следовательно, бесконечно малое перемещение dr = v dt уже не лежит в касательной плоскости (см. пример 2 на с. 17). Виртуальное же перемещение 5г, которое представляет собой бесконечно малое возможное перемещение для «оста-
новленной», или «замороженной» поверхности, лежит в касательной плоскости. Поскольку реакция и в случае подвижной или деформирующейся гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности, то RJr = О (в то время как RcZr / 0).
Таким образом, гладкая поверхность, как неподвижная, так и подвижная или дефор-р R
мирующаяся представляет собой идеальную'
X/\/г2г\ /ОРис. 6X/\/г2г\ /ОРис. 6связь.
X/
\/г2
г\ /
О
Рис. 6
X/
\/г2
г\ /
О
Рис. 6
Пример 2 наглядно поясняет, почему при определении нестационарных идеальных связей необходимо приравнивать ну- у лю работу сил реакций на произвольных R виртуальных, а не возможных перемещениях.
В дальнейших примерах мы встретимся уже только со стационарными связями ).
Две материальные точки соединены стержнем неизменной длины с пренебрежимо малой массой (рис. 6).
Обозначим через Ri и R2 реакции связи, приложенные к материальным точкам Pi и Р2. Тогда согласно третьему закону Ньютона на стержень действуют силы Ni = — Ri и N2 = — R2. Обозначая через т и w массу стержня и ускорение его центра инерции, а через I и е — центральный момент инерции и угловое ускорение, будем иметь:
mw = Ni + N2, Ie = L,
где L — суммарный момент сил Ni и N2 относительно центра инерции. Но, по условию, т = 0 и I = 0. Следовательно, Ni + N2 = 0 и L = 0 при конечных w и е). Из этих равенств следует, что силы Ni и N2, а значит, и Ri и R2 прямо противоположны, т. е. направлены вдоль стержня.
Далее,
Rl (frl + R2 5г2 = — R2 С?Г1 + R2 dxs = R2(t/r2 — dxi) = R2 d(r2 — Г1).
Пусть R2 = c(r2 — ri). Тогда
Ri 5ri + R2 5г2 = с(г2 - ri) d(r2 - п) = | d(r2 - п)2 = 0,
поскольку (г2 — Г1)2 = const.
Абсолютно твердое тело является системой материальных точек, в которой на любые две точки наложена связь рассматриваемого типа. Поэтому твердое тело можно считать системой материальных точек, подчиненных идеальным связям. При отсутствии других связей, кроме связей, осуществляющих жесткое соединение точек тела между собой, твердое тело называется свободным.
Рис. 7Рис. 7
Рис. 7
Рис. 7
Два твердых тела шарнирно соединены в точке А (рис. 7). Пренебрегая массой и размерами шарнира, можно утверждать (как и в предыдущем примере), что Ri + R2 = 0. Но тогда
Ri 5г + R2 5r = (Ri + R2) 5г = 0.
Два твердых тела при движении соприкасаются идеально гладкими поверхностями. (Трением пренебрегаем!) (рис. 8). В этом случае снова Ri + H~R2 = 0. При этом Ri и R2 направлены по общей нормали к поверхностям. С другой стороны, относительная скорость этих тел в месте соприкосновения v2 — Vi, а значит, и разность возможных перемещений dr2 — dri = (v2 — — vi) dt лежат в общей касательной плоскости. Поэтому
Ri 5ri + R2 5г2 = R2 dri + R2 dr2 = R2(cZr2 - dri) = 0.
Два твердых тела при движении соприкасаются идеально шероховатыми поверхностями («зубчатое зацепление»). В этом случае относительная скорость скольжения равна v2 — vi = 0. Следовательно, и dr2 — dri = = (v2 — vi) dt = 0. Поэтому и здесь
Ri 5ri + R2 5г2 = R2(cZr2 — dri) = 0.
Сложный механизм можно рассматривать как систему твердых тел, которые попарно либо соединены между собой жестко или шарнирно, либо соприкасаются своими поверхностями. Если считать все
жесткие соединения абсолютно жесткими, все шарниры — идеальными, все соприкасающиеся плоскости — идеально гладкими или идеально шероховатыми, то любой сложный механизм можно трактовать как систему материальных точек, подчиненную идеальным связям.
Заметим, что во многих случаях подобная идеализация не является допустимой. Так, например, пренебрежение силами трения может иногда существенным образом исказить физическую картину явления. В этом случае условие идеальности связей следует отбросить и вместо него взять другие условия, вытекающие из характера связей и законов трения.
Однако можно поступить иначе. Можно и в этих случаях считать связи идеальными, учитывая при этом только нормальные составляющие реакций негладких поверхностей и рассматривая силы трения как неизвестные активные силы. Появление новых неизвестных компенсируется дополнительными соотношениями, получаемыми из экспериментальных законов трения.
При такой трактовке понятия идеальных связей применимость этого понятия становится практически универсальной.
В дальнейшем всегда предполагается, что все связи, наложенные на систему, являются идеальными.
§ 3. Общее уравнение динамики.Уравнения Лагранжа первого рода
Для материальных точек несвободной системы имеют место уравнения
= F^ + R^ (и = 1, ..., TV),(1)
где mv — масса zv-й точки, wp — ее ускорение, a Fp и Rp — соответственно равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций, действующих на эту точку (z^ = 1, ..., TV). Поскольку связи идеальны, то в любом положении системы при любых виртуальных перемещениях
N
^К^Г1/ = 0.(2)
Подставляя сюда вместо реакций Rp их выражения из уравнений (1) и умножая обе части полученного равенства на — 1, получаем
N
- m^w^)5г,, = 0.(3)
Р=1
Равенство (3) называется обидим уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.
Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам F^ (и = 1, ..., N\
Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3). Тогда, полагая
Rp = mvwv - F, (и = 1, ..., TV),
будем иметь равенства (1) и (2). Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции R^, которые в силу равенства (2) были бы допустимыми для данных связей и при которых имеют место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1). Мы считаем, что эти реакции Rp в действительности реализуются («гипотеза о реализации допустимых реакций») и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам F^^, r^, v^) (и = 1, ..., N\ Таким образом, обицее уравнение динамики выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы движение, совместимое со связями, соответствовало заданной системе активных сил Fp (и = 1, ..., TV)х).
Найдем выражения для реакций Rp с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек системы (см. § 2):
N
Е^;^ = ° = (4)
N
У ^8yv = 0 (/3 = 1, у). (5) Р=1
Умножая почленно равенства (4) и (5) на произвольные скалярные множители —Ха и — ц^ и складывая почленно полученные равенства с равенством (2), получаем:
/ d A f 9 \
У? ( ^ — У? ^ У? 1 dvv = 0. (6)
Р = 1 Q = 1 V /3 = 1
•*•) При этом не следует забывать, что общее уравнение динамики (3) представляет собой, по существу, не одно уравнение, а систему уравнений, поскольку для любого момента времени t в уравнение (3) вместо дг^ (н = 1, ... , 7V) можно подставить произвольные виртуальные перемещения.
В развернутом виде это соотношение запишется так:
N / d \
( Rvx ^ ^ ^а у ^ ^ ld^Apv ) ^v “И {?/}р §Pv + {^}v 5zv — 0.
Р = 10 = 1^/3 = 1
(6') Здесь мы через ^y^v и ^z^v сокращенно обозначили выражения, которые отличаются от выписанного в формуле (6') коэффициента при 5xv заменой букв ж, А на у, В или на г, С соответственно.
Соотношения (7') §2 позволяют выразить d-\-g из 3N виртуальных приращений 5xvi 5yvi dz^ через остальные п = 3N — d — g приращений. При этом определитель J. составленный из коэффициентов при «зависимых» приращениях в уравнениях (7') §2 отличен от нуля.
Подберем d + g множителей Ха и (щ так, чтобы в равенстве (6') коэффициенты при «зависимых» приращениях обратились в нуль. Это можно сделать, и притом единственным образом, ибо определитель J из коэффициентов при определяемых величинах Ха^ цр не равен нулю. После этого в равенстве (6') остаются только слагаемые с независимыми приращениями 5xvi 5yvi 5zy. Но тогда и коэффициенты при этих независимых приращениях также должны быть равны нулю.
Иначе говоря, неопределенные множители Ха и рр могут быть подобраны так, чтобы все скалярные коэффициенты в равенстве (6') и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве (6) обращались в нуль. Но тогда
dg
Ю = ЕЛ«7Г^ + Е* ^ = V...,N\(7)
а=1 Yv /3=1
Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа Х^ рщ (а = 1, ... , с/; (3 = = 1, - - -,
Подставляя выражения (7) для R^ в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагранжа первого рода1)*.
dex рg
= Fy + ^ Ао(y=l,...,N\(8)
а=1Г1//3=1
К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей:
N
/о(г1/) = 0, У2 ^Гр + Dp = 0 (а = 1, ..., d; 3 = 1, .g\ (9)
Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из 3N-\-d-\-g скалярных уравнений с 3N + d + g неизвестными скалярными величинами xvi у^. z^, Ха1 р,^. Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются.
В § 6 и § 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для го- лономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих уравнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) равно 3N — с/, т. е. на 2d -V g единиц меньше, чем в системе уравнений (8) и (9).
Пример. Две весомые материальные точки Mi и М2 с одинаковой массой m = 1 соединены стержнем неизменной длины I с пренебрежимо малой массой. Система может двигаться только в вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек Mi и М2.
Пусть Ж1, yi и Ж2, у 2 — координаты точек Mi и М2. Запишем уравнения связей:
I [($2 - Ж1)2 + (уг - yi)2 - Z2] = о,
2(10)
($2 - $1)(У2 + У1) - («2 + Ж1)(У2 - У1) = 0.
Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями Аид имеют вид
Ж1 = -А($2 - Ж1) - р(у2 - У1),
(11) yi = -д - А(у2 - yi) + р(ж2 - яД
и
«2 = А($2 - «1) - Р(У2 - У1),
(12)
У2 = -д + А(у2 - У1) + р(ж2 - Ж1).
Из уравнений (11) с учетом первого уравнения (10) определим Аир:
А = -^ (У2 - У1) - ^ [($2 - Ж1)$1 + (уг - У1)У1],
(13)
Р = ^ ($2 - Ж1) - — [(у2 - У1)$1 - ($2 - Ж1)у1].
Заметим, что уравнения (12) получаются из уравнений (11), если в последних заменить А на —А и ад, yi — на ад, У2- Поэтому, определяя А и /1 из уравнений (12), находим
А = "^ (1/2 - У1) + ^ [($2 - Ж1)®2 + (3/2 - З/i )М
\(14)
М = ^ («2 “ Ж1) - — [(у2 - У1)®2 - ($2 - Ж1)у2].
Приравняв между собой соответствующие выражения для /1 и А в формулах (13) и (14), после элементарных преобразований получим
(15)(15)(ж2 - Ж1)(у2 - 3/1) - (i/2 - У1)(®2 - Ж1) = О,($2 + ®1)(®2 - Ж1) + (у2 + У1)(у2 - 3/1) + 2д(у2 - У1) = 0.
(15)
(15)
Введем сокращенные обозначения:
П = Ж2-Ж1, U = y2-yi, Р = Ж1+Ж2, Q = yi^y2. (16)
Тогда уравнения (10) и (15) перепишутся так:
2.2,2
и + U = 1 .
йи — ии = 0,
(17)
Ри — Qu = 0, Ри + Qu + 2gu = 0.
(18)
(19)
Равенства (17) показывают, что в плоскости (и, и) точка с координатами и, и движется по кругу радиуса I с центром в начале координат, причем ее ускорение все время направлено к центру. Но тогда движение этой точки будет равномерным. Поэтому
и = I cos у), и = I sin у?, р = а = const, у? = at + /3.(20)
Согласно равенству (18) можно положить
P=yU, Q=^-(21)
Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства (17) и (20), найдем
• 2g•
/ + — и = 0, т. е. / = —2g sin р.
Тогда
df1 ; 2g .2g
= — j =sin p и j = — cos p + 27. dpa aa
Следовательно, в силу равенств (20) и (21), имеем
Р = 2 (у + — cos р^ cos р, Q = 2 ^у + — cos р^ sin р. (22)
Интегрируя, находим
Ж1 + Ж2 = /Р dt = — [ Р dp = — sin р + Дг sin р cos р + Дг р + 25,
Ja Jаа2а2
92~
Ух + У2 =COS р-cos р + 2е.аа2
(23)
Из равенств (16), (20) и (23) окончательно получим
7 •9•9с
Ж1 = — sin р Н sin р cos р Н рcos р + 5, а2а22а22
92 I .
УХ =COS р COS рSin р + 8,а2а22
7 .. 9•.9.1, с (24)
Ж2 = — Sin р Н sin р cos р Н р А— cos р + 5, v 7 а2а22а22
92 I .
У2 =COS р — —— COS р + - S1H р + 8. а2а22
р = at + (3
(о, /3, у, б, 8 — произвольные постоянные).
Принцип виртуальных перемещений.Принцип Даламбера
Положением равновесия называется такое положение системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находилась в этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю.
Положение системы r^ (v = 1, ..., TV) будет положением равновесия в том и только в том случае, когда «движение» rv(t) = г^ (v = 1, ..., TV) удовлетворяет общему уравнению динамики, т. е. когда в этом положении системы
N
= 0.(1)
Равенство (1) выражает собой принцип виртуальных перемещений.
Для того чтобы некоторое (совместимое со связями) положение системы было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ активных сил на любых виртуальных перемещениях системы равнялась нулю.
Обычно принцип виртуальных перемещений применяют к стационарным связям, если связи стационарны, то термин «совместимое со связями» означает, что положение системы удовлетворяет конечным связям. Дифференциальные же связи, будучи линейными и однородными относительно скоростей, автоматически удовлетворяются, поскольку мы полагаем v^ = О (z/ = 1, ..., TV).
Если связи нестационарны, то термин «совместимое со связями» означает, что они удовлетворяются при любом Г если в них положить rv = г^ и vp = 0 (v = 1, ... , TV). Заметим, что в этом случае при различных t могут быть различными и виртуальные перемещения 5rv (z/= 1, ..., TV).
В общем случае силы F^ зависят от ^, гм, vM (ц = 1, ... , TV): F^ = = Бу^г^Уу.) (z/ = 1, ..., TV). Тогда предполагается, что равенство (1) имеет место при любом значении t, если в выражении для F^ положить все гм = г^ и все vM = 0.
В простейших частных случаях принцип виртуальных перемещений (или, как его иногда называют в применении к склерономным системам, принцип возможных перемещений) был известен еще во времена Галилея под названием «золотого правила механики» Д Пусть на концы невесомого рычага, находящегося в равновесии, действуют силы Fi и F2. Тогда, обозначая через F^ и F2 касательные (к возможным траекториям) составляющие этих сил, а через 511 и 5/2 — величины соответствующих элементарных возможных перемещений, мы в силу равенства (1) с точностью до знака будем иметь:
F^h =^51-2,
т. е.
5к = П
5к
(выигрыш в силе компенсируется проигрышем в перемещении и наоборот — «золотое правило механики»).
Принцип виртуальных перемещений представляет собой самый общий принцип аналитической статики. Из него можно получить условия равновесия любой конкретной механической системы.
Примеры. 1. Выведем из равенства (1) условия равновесия свободного твердого тела, обычно получаемые в курсах механики из соображений геометрической статики. Обозначая через Vo скорость какой-либо точки твердого тела, через ш — угловую скорость тела, через F и Lo — главный вектор и главный момент относительно полюса О для системы внешних сил,
•*•) Галилей приписывал обоснование «золотого правила механики» Аристотелю. В общей формулировке принцип виртуальных перемещений встречается впервые у Иоганна Бернулли в 1717 г.
действующих на твердое тело, мы приравниваем нулю выражение1) для элементарной работы сил, приложенных к твердому телу на произвольном бесконечно малом перемещении этого тела:
б А = (Fvo + Low) dt = 0.(2)
В силу произвольности векторов Vo и ш равенство (2) может иметь место тогда и только тогда, когда
F = 0, Lq = 0.(3)
Эти равенства представляют собой необходимые и достаточные условия равновесия свободного тела.
Аналогично получаются условия равновесия несвободного твердого тела. Пусть, например, точка О закреплена. Тогда Vo = 0 и равенство (2) имеет вид б А = Low dt = 0, откуда, в силу произвольности вектора w, получаем искомое условие равновесия: Lq = 0.
Если тело может только вращаться вокруг неподвижной оси и (с ортом е), то равенства (2) принимают форму б А = Lowe dt = 0, откуда, в силу произвольности величины w, следует условие равновесия Lu = 0; здесь Lu = Loe — главный момент внешних сил относительно оси и.
Выведем условия равновесия произвольной несвободной системы твердых тел, находящихся под действием силы веса. Обозначим через М сумму масс всех тел и через %с — вертикальную координату центра тяжести системы тел (считаем ось г направленной вертикально вниз). Тогда, согласно равенству (1), получим:
б А = Mg 6zc = 0,
и, следовательно, условия равновесия системы имеют вид
б^с = 0.(4)
Таким образом, положениями равновесия системы тяжелых тел будут положения, в которых центр тяжести занимает наинизшее, наивысшее или
•*•) Равенство 5А = (Fvo + Lqw) dt может быть получено следующим образом. Обозначим через Ft силы, действующие на точки твердого тела, через г^ и Vi — радиусы-векторы (проведенные из точки О тела) и скорости точек приложения сил Ft (г = 1, 2, ...) соответственно. Тогда, обозначая знаком х векторное умножение, найдем
б А = У^ Ft бг^ = У2 Fivi dt = У? Ft(vo + w х rj dt =
= [ (^52 F*) v° + У2 x F*] dt
(замена 5rt на dr^ = Vt dt законна в силу того, что твердое тело является склерономной системой; см. с. 14). Но в силу третьего закона Ньютона главный вектор и главный момент внутренних сил в твердом теле равны нулю. Поэтому 52t Ft = F и . Et X Ft = Lq.
какое-либо другое «стационарное» положение по вертикали («принцип Торричелли»).
Форма равновесия тяжелой однородной цепи, закрепленной в двух точках. Пусть цепь длины I имеет форму кривой х = х^, соединяющей две заданные точки Ai и А 2 (см. рис. 9, где Oxz — вертикальная плоскость, а Оz — вертикаль). Поскольку длина однородной цепи при перемещениях не меняется, всякая кривая х = ж(^), определяющая форму цепи, должна удовлетворять равенству
2dz = I, (5)2dz = I, (5)где ds = ^/1 + ^dxjdzY dz — дифференциалрис g
2
dz = I, (5)
2
dz = I, (5)
дуги, а I — длина цепи. Координата zc центра
тяжести однородной цепи длины I, имеющей форму кривой х = x^zY опре
(6)(6)деляется равенством zc = /2Д где
(6)
(6)
Если рассмотреть совокупность всех возможных положений цепи (т. е. совокупность всех кривых х = х(z) длины I, проходящих через точки Ai и Л2), то форму равновесия цепи будет определять кривая, которая доставляет стационарное значение интегралу Is при условии (5). В этом случае центр тяжести цепи, закрепленной в точках Ai и Л2, будет занимать стационарное положение.
Из вариационного исчисления известно: если кривая x(z) доставляет стационарное значение интегралу Is при условии Д = /, то существует такая постоянная А, что эта кривая доставляет стационарное значение интегралу
При этом оказывается, что кривая х = x^zY проходящая через заданные две точки и доставляющая стационарное значение интегралу /з, должна удовлетворять дифференциальному уравнению 1)
d ЭЕ ЭЕ dz Эх* Эхd ЭЕ ЭЕ dz Эх* Эх
d ЭЕ ЭЕ dz Эх* Эх
d ЭЕ ЭЕ dz Эх* Эх
где F = (А + г) ^/1 + (dx/dz)2. Так как функция F не зависит от ж, то это дифференциальное уравнение принимает вид
ddzddzхdx/dz(А + г) ' . у 1 + (dx/dz)2 _хdx/dz(А + г) ' . у 1 + (dx/dz)2 _(7)(7)
ddz
ddz
хdx/dz
(А + г) ' . у 1 + (dx/dz)2 _
хdx/dz
(А + г) ' . у 1 + (dx/dz)2 _
(7)
(7)
Отсюда
х dx/dz
(А + Д L^= =
у 1 + (dx/dz)2
(8)(8)dx _ с
(8)
(8)
dz Ж^Ж^'
где с — произвольная постоянная. Интегрируя, получаем уравнение цепной линии
(9)(9)z = -А Д (е<=-“)/= + е-^-“)/=) = -А + ch
(9)
(9)
где значения постоянных А, с и а определяются из условий закрепления концов и равенства (5), задающего длину цепи. Таким образом, форма равновесия однородной тяжелой цепи представляет собой цепную линию1).
Неизменная плоская фигура может скользить двумя своими точками А и В по неподвижным кривым, лежащим в той же плоскости. Выясним, под действием какой силы F фигура может находиться в равновесии (рис. 10).
Помимо активной силы F на фигуру действуют еще две реакции, направленные по нормалям к кривым, и линии действия этих трех сил должны пересекаться в одной точке. Другими словами, линия действия силы F должна проходить
через точку пересечения нормалей к кривым в точках А и В, т. е. линия действия силы F должна проходить через мгновенный центр возможных скоростей С фигуры2).
К этому же выводу можно прийти, исходя из принципа возможных перемещений. Действительно, обозначим через О какую-либо точку на линии действия силы F. Тогда из условия 6А = Fvo dt = 0 заключаем, что Vo 1 F,
откуда и следует, что мгновенный центр возможных скоростей фигуры расположен на линии действия силы F.
Некоторые геометрические приложения. Начнем с предварительного замечания. Пусть в плоскости даны некоторая кривая С и точка Р (в частном случае кривая С может выродиться в точку). Проведем из точки Р нормаль к кривой С и обозначим через г расстояние по нормали от кривой С до точки Р; таким образом, г = PqP (рис. 11). Приложим к точке Р некоторую силу F, направленную вдоль нормали PqP и будем считать F > 0, если направление силы F совпадает с направлением от Ро до Р, и F < 0 — в противном случае. Элементарная работа силы F равна 8 А = = F(dro + dr). Но dr складывается из двух элементарных перемещений: из перемещения вдоль прямой PqP (величина этого перемещения равна dr) и перемещения точки Р, вызванного поворотом прямой PqP. Последнее перемещение, как и dro, перпендикулярно к прямой PqP, т. е. к линии действия силы F. Поэтому)
8 А = F dr.(10)
Пусть в одной и той же плоскости расположены п кривых Ci, С2, ... ... , Сн и точка Р. Обозначим через ri, Г2, ... , rn расстояния (по нормалям) от точки Р до этих кривых) (рис. 12 соответствует случаю п = 2).
Рассмотрим в той же плоскости кривую D, задаваемую уравнением х)
(11)(11)/(п, Г2, . . . , Г„) = 0.
(11)
(11)
Покажем, как по уравнению (11) построить нормаль к кривой D в точке Р.
При любом бесконечно малом перемещении точки Р вдоль кривой D получим
(12)(12)Е<цг. = о.
(12)
(12)
“ OTi
Теперь приложим к точке Р силы Fi = df / dri, направленные вдоль нормалей г г (г = 1, ..., п). Тогда равенство (12) запишется так:
а это согласно предварительному замечанию означает, что сумма работ сил Fi, F2, ... , Fn при произвольном перемещении точки Р вдоль кривой D равна нулю. Но тогда несвободная точка, которая может перемещаться вдоль гладкой кривой D. будет в равновесии под действием сил Fi, F2, ... , Fn. Поэтому равнодействующая сил Fi, F2, ...; Fn направлена по нормали к кривой D.
Мы получили очень простой способ геометрического построения нормали к кривой F, задаваемой уравнением (11).
Рассмотрим частные случаи:
D — эллипс. В этом случае Ci и С2 — точки (фокусы эллипса), уравнение (11) имеет вид ri + Г2 — 2а = 0, Fi = 1, Fs = 1 и нормаль к эллипсу является биссектрисой угла между фокальными радиусами-векторами (рис. 13).
D — гипербола. Уравнение гиперболы: ri — Г2 — 2ц = 0, Fi = 1, F2 = — 1, и из построения легко усмотреть (рис. 14), что касательная к гиперболе есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами (а нормаль является биссектрисой смежного угла).
*) Каждая из величин ri, Г2, .*) Каждая из величин ri, Г2, .D — парабола (рис. 15), Ci — прямая (директриса), аСг точка (фокус). Уравнение параболы: ri — Г2 = 0. Как и в случае гиперболы, из построения следует, что касательная к параболе является биссектрисой угла между фокальным радиусом-вектором ri и перпендикуляром Г2, опущенным на директрису.
*) Каждая из величин ri, Г2, .
*) Каждая из величин ri, Г2, .
Уравнение (1) для принципа виртуальных перемещений представляет собой частный случай общего уравнения динамики (см. уравнение (3) на с. 24). Однако общее уравнение динамики можно рассматривать как уравнение, выражающее принцип виртуальных перемещений и характеризующее положение равновесия системы, которое получается, если к активным силам F^ дополнительно причислить фиктивные силы инерции —m^w^ (v = 1, ..., N\ Таким образом, мы приходим к принципу Даламбера.
Рис. 14 Рис. 15Рис. 14 Рис. 15
Рис. 14 Рис. 15
Рис. 14 Рис. 15
Принцип Даламбера. При движении системы любое ее положение можно рассматривать как положение равновесия, если к активным силам, действующим на систему в этом положении, прибавить фиктивные силы инерции.
Принцип Даламбера позволяет перенести приемы и методы решения статических задач на задачи динамики. В частности, он позволяет статическими методами определять динамические реакции. Действительно, в положении равновесия реакции R^ отличаются только направлением от F^ — т^р*.
F^ - mv-wv = -R^ (^ = 1, • • •, АГ).
Но тогда
m^w^ = F^ + R^ (z/ = 1, ..., N\
т. e. определенные с помощью принципа Даламбера реакции R^ являются искомыми динамическими реакциями. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Даламбера можно дополнить следующим положением:
Рассматривая силы инерции в качестве дополнительных активных сил, приложенных к точкам системы, мы заменяем данную динамическую задачу новой статической задачей. Статические реакции в новой задаче совпадают с искомыми реакциями в исходной динамической задаче.
Применение статических методов к решению задач динамики проиллюстрируем на следующих примерах.
Примеры. 1. Тендер с водой движется с ускорением w. Требуется
Рис. 16Рис. 16определить форму и положение поверхности воды.
Рис. 16
Рис. 16
При отсутствии ускорения поверхность воды — горизонтальная плоскость. Данная плоскость в каждой своей точке перпендикулярна к направлению объемных сил веса, приложенных к воде. Это статическое положение может быть применено и к случаю ускоренного движения тендера, если к каждому элементу массы dm приложить дополнительно фиктивную силу инерции dJ = = —dmw. Поверхность воды будет плоскостью, перпендикулярной к равнодействующей двух объемных сил: вертикальной силы веса dm^ и горизонтальной силы инерции —dmw (рис. 16). Поверхность воды будет наклонена к горизонту под углом ц)^ где tg</9 = w/g.
Напишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси и (рис. 17). К каждому элементу массы dm
Рис. 17Рис. 17приложим фиктивную силу инерции —Twm. Вычислим главный момент
Рис. 17
Рис. 17
сил инерции относительно оси вращения
dmpCpp = р dm =
где Iu = J р2 dm — момент инерции тела относительно оси вращения и. Обозначим через Lu главный момент внешних сил, приложенных к телу,
относительно оси и т). Тогда, согласно принципу Даламбера, тело может находиться в равновесии под действием суммарного момента Lu — 1иф. Поэтому (см. с. 30) этот суммарный момент должен равняться нулю. Получаем:
1иф = Lu.
Горизонтальный однородный вал равномерно враи^ается с угловой скоростью ш. Перпендикулярно к оси вала на равных расстояниях от подшипников на вал эксцентрично насажен однородный диск. Требуется определить давления на подшипники при вращении вала.
Рассмотрим силы инерции дтшг, соответствующие отдельным элементам dm диска (рис. 18). Это сходящиеся силы, направленные от оси вала. Равнодействующая этих сил равна J = ш2 J г dm = М1Ш2гс, где Mi — масса диска, а гс = ОС (О — точка пересечения плоскости диска с осью вала, a С — геометрический центр диска). Применяем принцип Даламбера и определяем статические давления на подшипники, считая, что к оси вала приложены три силы2): 1) сила веса вала Mg; 2) сила веса диска Mig и 3) сила J = М1Ш2гс-
Давление N на каждый подшипник определяется формулой
N = j Ш + Mi)g + | М^тс-
Сила N имеет максимальную величину
AUx = ^ Ш + М^д + | М^2 ОС
в том положении диска, когда геометрический центр диска С расположен под точкой О.
§ 5. Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы
Пусть дана голономная система из N материальных точек Pv с радиусами-векторами) r^ = xv\ + уД + z^k (z/ = 1, ..., TV), подчиненная конечным связям
/<Д,г„) = 0 (а = 1, .с/),(1)
или (в эквивалентной записи)
fa(t)— 0((Г — 1, . . . , б/).(1 )
*) Главный момент внутренних сил равен нулю.
Мы будем предполагать, что d функций fa от 3N аргументов xviyv^v ^v = 1, ..., TV) независимы1); t здесь рассматривается как параметр. Поэтому мы можем из уравнений (1') выразить d координат как функции 3^ — d остальных и времени t и рассматривать эти 3^ — d координат как независимые величины, определяющие положение системы в момент времени t.
Однако не обязательно в качестве таких независимых координат брать декартовы координаты. Можно все 3^ декартовых координат выразить в виде функций от п = 3^ — d независимых параметров Qb ... , qn и от t\
Xv = ^(i, gi, • • •, q»Y Uv = ^(^ gi, • • •, 9»),
(2) = хД, gi, , gn) (y=V - .^NY
Эти функции, будучи подставлены в уравнения связей (!'), обращают последние в тождества. Кроме того, мы будем предполагать, что любое положение системы, совместимое со связями в данный момент времени, может быть получено из равенств (2) при некоторых значениях величин (ц, ..., qn.
Равенства (2) эквивалентны векторным равенствам
r^ = rv(t, qi, .q^ (у = 1, .NY(2')
Скалярные функции (2), а следовательно, и векторные функции (2') предполагаются непрерывными и дифференцируемыми.
Минимальное число величин q^ с помощью которых формулами (2) можно охватить все возможные положения голономной системы, совпадает с числом степеней свободы этой системы п = 3N — d (см. с. 18).
Величины Qi, ..., qn в формулах (2) или (2') (п — число степеней свободы) называются независимыми обобщенными координатами системы.
Для каждого момента времени t между возможными положениями системы и точками некоторой области в n-мерном координатном пространстве (щ, ..., qn) устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Каждому положению системы в момент времени t соответствует точка в пространстве (qi, ... , Qn), изображающая это положение системы. Движению системы соответствует движение точки в координатном пространстве (qi, ..., qn\
*) В противном случае, при наличии, например, зависимости вида
fd = ^(/1, •••, fd-iA
одна из связей (в данном случае fa = 0) либо противоречила бы остальным [при Q(0, ... , 0, t) ^ 0], либо была бы следствием остальных [при Q(0, ... , 0, t) = 0].
Если все связи стационарны (склерономная система!), то время t не входит явно в уравнения (Е). Тогда всегда можно выбрать так координаты (qi, ..., Qn), чтобы и в уравнения (2) время t не входило.
В дальнейшем предполагается, что для склерономной системы независимые координаты (qi, ... , qn) выбраны именно таким образом. Тогда для склерономной системы формулы (2) и (2') принимают вид
или
YV = YV^ (у =1, N\ (3')
Примеры. 1. Двойной маятник (рис. 19), движущийся в плоскости, имеет две степени свободы. В качестве независимых координат qi и qs можно взять углы <р и ф.
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В качестве независимых координат можно взять три координаты ж д, у а , % а какой-либо точки А тела и три угла Эйлера ф, 0 и <р, определяющие поворот системы осей Афг)(, неизменно связанной с телом, относительно непо-
Рис. 19Рис. 19движной системы осей координат Oxyz.
Рис. 19
Рис. 19
Углы Эйлера определяются следующим образом (рис. 20). Проводим через точку А оси Axi, Ayi, Azi, параллельные и одинаково направленные с осями Ox, Оу, Oz. Линия AN пересечения плоскостей Axiyi и Афу называется линией узлов1). Тогда 9 — «угол нутации» — угол между осями
Azi и Л^; ф — «угол прецессии» — угол между осями Axi и AN, ^ — «угол чистого вращения», образованный осями AN и Л^.
Тремя параллельными сдвигами — вдоль осей Ox, Оу, Oz — соответственно на ха, У а, % а триэдр осей Oxyz переходит в положение AxiyiZi. Тремя последовательными поворотами — на угол ф вокруг оси Azi, на угол 9 вокруг оси AN и на угол <р вокруг оси Аф — триэдр AxiyiZi переводится в положение Л^ф
Таким образом, величины ха, У а, za, ф, 0, ц) определяют положение триэдра осей Афуф относительно триэдра Oxyz, т. е. определяют положение дан-
Рис. 20Рис. 20ного твердого тела относительно исходной системы осей координат. Возьмем произвольную точку твердого тела. Она определяется заданием ее ко-
Рис. 20
Рис. 20
ординат £, у, ф Тогда координаты ж, у, z этой точки могут быть представлены как функции величин жд, уд, za, ^ 9, ^- Так, например, из рис. 20 легко усмотреть, что
z = % а + £ sin <р sin 6 + у cos <р sin 6 + £ cos 6.
Аналогичные, несколько более сложные формулы имеют место для ж и у т). Эти формулы представляют собой частный случай формул (2). Они не содержат явно t. Свободное твердое тело является склерономной системой.
Заметим, что при движении твердого тела величины жд, у a, za, фц 0, ^ меняются и приведенное выше разложение перехода от Oxyz к А£ц£ на три параллельных сдвига и три поворота дает представление произвольного движения твердого тела в виде сложного (составного) движения, состоящего из шести простых движений: трех поступательных (вдоль осей Ох, Оу, Oz) и трех чисто вращательных (вокруг осей Azx, AN и А£). Поскольку угловая скорость в сложном движении равна векторной сумме слагаемых угловых скоростей, то
а? = ш^ + а>0 + wv, (4) где w^, ше, wv направлены соответственно вдоль осей Azi, AN, А(, причем си^ = ф, ше = 6, ш^ = ф.
Свободная материальная точка М имеет три степени свободы. В качестве независимых координат можно взять декартовы или какие-либо другие координаты точки. В случае, когда в качестве qi, qs, q^ берутся цилиндрические координаты г, ф, z, формулы (2) выглядят так (рис. 21):
ж = г cos ф, у = г sin ф, z = z. (5)
В случае сферических координат г, <р, ф (рис. 22) вместо формул (5) имеем
ж = г cos ф sin<^, у = г sin ф sin ср, z = г cos р. (6)
1) См., например, [25. — С. 77 и 83].
Несвободная материальная точка М находится на подвиэюной сфере (х — at)2 + (у — bt)2 + (z — ct)2 = г2.
Тогда п = 2 и в качестве независимых координат можно использовать «долготу» и «широту» на сфере (рис. 23):
х = at + г cos щ cos Q2,У = bt + г sin q^ cos #2,
Z = ct + r sin Q2.
Каждой координате q^ соответствует своя обобщенная сила Qi (г = 1, ..., п). Обобщенные силы определяются следующим образом. Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях
N
5А = ^РЛг..(7)
Р=1
tZ 8qitZ 8qily = i,N\ly = i,N\(8)(8)Но виртуальными перемещениями 5гv являются виртуальные дифференциалы (т. е. дифференциалы при фиксированном («замороженном») t) от функции1) rv(t, qi)\
tZ 8qi
tZ 8qi
ly = i,N\
ly = i,N\
(8)
(8)
Подставим выражения (8) в правую часть формулы (7) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные приращения 5qi независимых координат qi (г = 1, ..., п):
Nn рn / N О \п
8А = £ F, £ ^ 8qi = £ £ F. -^ К = £ Q, 5Qi,(9)
р=1г=1 $г г=1 V=1 $г /г=1
т) Действительно, функции rv(t, qi) (р = 1, ..., N), будучи подставлены в уравнения связей fa(t, rv) = 0 (си = 1, ..., d), обращают эти уравнения в тождества. Продифференцируем почленно полученные тождества, предварительно зафиксировав t. Найдем:
(*)(*)
(*)
(*)
где 5rv (р = 1, ..., N) — виртуальные дифференциалы. Но уравнения (*) совпадают с первыми d уравнениями (7) на с. 16, которыми определялись виртуальные перемещения голономной системы. Следовательно, виртуальные дифференциалы радиусов-векторов являются виртуальными неремегцениями точек голономной
системы.
где коэффициенты при 5qi — «обобщенные силы Q^» — определяются
равенствамиравенствами7V о7V о(г = 1, ..., п).(г = 1, ..., п).(10)(10)
равенствами
равенствами
7V о
7V о
(г = 1, ..., п).
(г = 1, ..., п).
(10)
(10)
Заметим, что на практике при нахождении величины Qi далеко не всегда пользуются формулой (10); вместо этого системе дают такое элементарное виртуальное перемещение, при котором только г-я коор
м5qi *м5qi *дината Qi получает некоторое приращение, а остальные независимые координаты не изменяются. После этого вычисляют работу активных сил 5Ai на таком специально выбранном перемещении. Тогда 5Ai = — Qi ^Qi И
м
5qi *
м
5qi *
Примеры. 5. Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси х. Тогда п = 1 и в качестве независимой координаты можно взять абсциссу х какой-либо точки тела А. При этом
5А = Х5х,(11)
где X — сумма проекций на ось х всех активных сил, действующих на тело. Очевидно, что X и есть обобщенная сила для координаты х;
Q = X.(12)
Твердое тело может только вращаться вокруг некоторой неподвижной оси и. Соответствующий угол поворота (р может быть взят в качестве независимой координаты. Тогда
5 A = Lu 5рц(13)
где Lu — суммарный момент всех активных сил относительно оси вращения и
= Lu.
Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем три координаты ха, У a, za какой-либо точки А тела и три угла Эйлера ^, 0, <р (см. пример 2 на с. 39). Тогда, согласно равенству (9),
5А = Q^Sx-V- Qy 5у + Qz6z + Q^ бф + Qe69 + Q^ Sip. (15)
Для определения Qx сообщим телу элементарное перемещение вдоль оси х. Тогда Sy а = Sza = 0 и 8-ф = 59 = Sip = 0. Поэтому 8 А = Qx 8ха- Сопоставление с равенством (11) дает
Qx = X.
Аналогично Qy = Y, Qz = Z. Здесь А, У, Z — проекции на неподвижные оси ж, у, z главного вектора всех активных сил, действующих на тело.
Дадим теперь нашему телу такое элементарное перемещение, при котором изменяется только угол ^, а величины жа, ул^ za, 9 и ip остаются неизменными. Тогда
8А = Q^ 8-ф.
С другой стороны, рассматриваемое элементарное перемещение тела представляет собой поворот вокруг оси Azi. Поэтому в соответствии с формулой (13)
Q ф — L^,
где L^ — суммарный момент всех активных сил относительно оси Azi, вокруг которой совершается поворот на угол ^.
Совершенно аналогично Qg = Lg и Qv = L^, где Lg и L^ — суммарные моменты активных сил относительно осей AN и Аф
К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной работы активных сил, приложенных к твердому телут) (см. с. 30):
5 А = RJfa + Law dt.(16)
Здесь R и La — главный вектор и главный момент системы сил относительно полюса А. Поскольку [см. формулу (4)] w = Шф + шд + w^,, где Шф = ф, шд = 0, ш^ = ф, и проекции вектора La на направления векторов w^, w^, wv равны соответственно L^, Lg, L^, из формулы (16) находим
5 А = X 5хА + Y бу A + ZSzA + Ьф 5ф -\-Lg 56-\- L^ 5р.(17)
Сопоставление выражений (17) и (15) дает нам выражения для обобщенных сил.
Пусть теперь некоторое положение системы является положением равновесия. Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда и только тогда, когда
6А = ^дг 5q, = 0.(18)
г=1
Но приращения 5qt независимых координат qt могут быть совершенно произвольными. Поэтому равенство (18) эквивалентно системе равенств
Qt = O (г = 1, ..., п).(19)
Таким образом, положение голономной системы является положением равновесия в том и только в том случае, когда в этом положении все обобщенные силы равны нулю.
Примеры. 8. В соответствии с равенствами (19) условия равновесия свободного твердого тела запишутся так:
X = Y = Z = 0, L^ = L6 = L^ = 0(20)
(см. предыдущий пример). Здесь X, Y, Z — проекции на оси координат главного вектора R внешних сил, действующих на тело, a L^, Lg, L^ —
*) Так как мы здесь имеем дело со склерономной системой, то вместо знака 5 можно писать знак d, и наоборот. Поэтому dr а = 5г а и 5ф = бф = ф dt, 56 = 6 dt и 5р = ф dt.
проекции главного момента La этих сил на три некомпланарных направления. Поэтому скалярные равенства (20) эквивалентны двум векторным:
R = 0, La = 0.
Это необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, которые уже были установлены на с. 30.
§ 6. Уравнения Лагранжа второго родав независимых координатах
Приступая к выводу дифференциальных уравнений движения го- лономной системы в независимых координатах Qi, ..., qm мы будем исходить из общего уравнения динамики
N
^2 (F„ - m^w,,) 5г„ = 0.(1)
Р=1
Вспомним полученное в предыдущем параграфе выражение для элементарной работы активных сил
Nп
5A = ^2Ev5rv = ^2Q16q11(2)
и=1г=1
где
N аг
=(з)
Совершенно аналогично можно представить элементарную работу сил инерции —m^w^ ^v = 1, ..., N):
Nn
(4)(4)5Aj = -^ 5rv = - ^2 zi 5Qi,
(4)
(4)
P = 12 = 1
где по аналогии с выражением (3)
N
U=1
d 9yv dt dqid 9yv dt dqi(г = 1, ...,n). (5)(г = 1, ...,n). (5)
d 9yv dt dqi
d 9yv dt dqi
(г = 1, ...,n). (5)
(г = 1, ...,n). (5)
Но скорость
(6)(6)
(6)
(6)
линейно зависит от ф. (к = 1, ... , п). Из этой формулы находим
5гр _ Уг„ dqt qt5гр _ Уг„ dqt qt(г = 1, ..., n; v = 1, ..., TV).(г = 1, ..., n; v = 1, ..., TV).(7)(7)
5гр _ Уг„ dqt qt
5гр _ Уг„ dqt qt
(г = 1, ..., n; v = 1, ..., TV).
(г = 1, ..., n; v = 1, ..., TV).
(7)
(7)
С другой стороны, из того же равенства (6) получаем
drv^ 52гр . a2rpd dr у
= X я я Чк + ^—51 = 77г(« = 1, • • • , п; v = 1, ..., N,
dqi^ 9qidqk dqidtdt dqi
(8)
Поэтому выражение (5) для Z, может быть записано и так:
Zi =Zi =d dTd dTдТдТdt dqi dqidt dqi dqi(? = 1, ...,п), (9)(? = 1, ...,п), (9)
Zi =
Zi =
d dT
d dT
дТ
дТ
dt dqi dqi
dt dqi dqi
(? = 1, ...,п), (9)
(? = 1, ...,п), (9)
р=1р=1где Т — кинетическая энергия системы:
р=1
р=1
(Ю)
Общее уравнение динамики (1) нам дает
5A^5Aj = 0,(11)
или, в силу равенств (2) и (4),
^Qi-Z^5qi = Q (i =(12)
z=l
Так как qt — независимые координаты и поэтому dqt — совершенно произвольные приращения координат (г = 1, ..., п), то равенство (12) может иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при 5Qi в уравнении (12) равны нулю. Поэтому общее уравнение динамики (12) эквивалентно системе уравнений
(13)(13)2{ — Qi (^ — С • • • , ^),
(13)
(13)
которые, согласно соотношениям (9), могут быть записаны в следую
щем виде:щем виде:d ЭТ ЭТ dt dqi dqid ЭТ ЭТ dt dqi dqi(г = 1, ..., n).(г = 1, ..., n).(14)(14)
щем виде:
щем виде:
d ЭТ ЭТ dt dqi dqi
d ЭТ ЭТ dt dqi dqi
(г = 1, ..., n).
(г = 1, ..., n).
(14)
(14)
Уравнения (14) носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах.
Величины ф (г = 1, ..., п) называются обобщенными скоростями. Скорости точек системы vv = r^ выражаются через обобщенные скорости (а также через независимые координаты и время) с помощью
формул (6). Величины щ (г = 1, ..., п) называются обобщенными ускорениями.
В левые части уравнений Лагранжа (14) после выполнения операции d/dt входят время ^ обобщенные координаты q^ обобщенные скорости ф и обобщенные ускорения ^ (г = 1, ..., п). Обобщенные силы Qi (г = 1, ..., п), стоящие в правых частях уравнений Лагранжа, обычно задаютсях) как функции от ^, ^, ^ (k = 1, ... , п):
Qi = Qi(t. Qk. Qk) (г = 1, ..., n).(15)
Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2п. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голономной системы с п степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2п, так как в силу произвольности начальных значений величин ^ и ф (г = 1, ..., п) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2п произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок.
В случае несвободной системы подлежат определению еще реакции Rp (и = 1, ... , N). Реакции не входят в уравнения Лагранжа. Это существенное преимущество уравнений Лагранжа. После того как уравнения Лагранжа проинтегрированы и найдены функции qt (^) (г = = 1, ..., п^ определяют (подстановкой этих функций в формулы (2') на с. 38) Гр = г^) и, следовательно, Vp = Гр, Wp = Гр и Ер(^,Гр,Гр) (и = 1, ...,^). После этого неизвестные реакции определяются из формул
Rp = mpWp - Fp (и = 1, ..., TV).(16)
В случае свободной системы материальных точек уравнения Лагранжа представляют собой компактную запись уравнений движения в произвольной системе координат.
Примеры. 1. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и. В качестве независимой координаты берем угол поворота р. Соответствующая обобщенная сила Q (см. пример 6 на с. 42) равна вращающему моменту Lu. С другой стороны, Т = ^ 1иф2, где 1и — момент инерции тела относительно оси вращения.
Уравнение Лагранжа
£ЭТ _ ЭТ dt дф Эр после подстановки
*) См. формулы (3) и (6) этого параграфа, а также формулу (10) на с. 19 и формулу (2') на с. 38.
принимает вид
duP — Lu.
Это дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Двойной математический маятник, движущийся в плоскости (рис. 24). Составим выражение для элементарной работы
SA = mig 5^i + m2g dz2,
где zi = Zi cos уд, z2 = Zi cos уд +l2 cos p2. Вычисляя 6zi и 5z2, находим
5А = —(mi + m2^gh sin уд 5pi — m2gl2 sin уд 5уд
и
Qi = —(mi + m2)gh sin pi, Q2 = — m2gl2 sin p2. С другой стороны,
г = | ТП,111Ф1 + | т2[11ф1 + 12ф2 + 2Z1Z2 COS (y>i - ч^Ф1Ф1\ =
= | (mi + т2)11ф1 + т21112ф1ф2 cos (<^i - ^2) + | т212ф2.
Первое уравнение Лагранжа d ЭТЭТ
dt dpidpi 1
имеет вид
-^ [(mi + т2)11ф1 + т2к12ф2 cos (уд - уд)] +
+т21112ф1ф2 sin (уд — рД = —(mi + m2)gh sin pi.
Предоставляем читателю составить второе уравнение, соответствующее координате р2.
Требуется определить дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в сферических координатах (см. пример 3 на с. 40 и рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей: 1) радиальной; 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана и 3) вращательной от вращения плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогональны, и потому
121 / • 2 . 2 • 2 . 2 • 2 J 2 \
Т = - mu = - m(r + г ф + г sin рф ).
Рис.Рис.2424Для нахождения обобщенной силы Qr дадим точке перемещение вдоль радиуса. Тогда 5Ar = Fr Sr, где Fr
Рис.
Рис.
24
24
— проекция прило— проекция приложенной силы F на направление радиуса. Отсюда Qr = Fr.
— проекция прило
— проекция прило
Теперь дадим точке элементарное перемещение по меридиану. Тогда бА^ = Е^гбр^ где Е^ — проекция силы F на касательную к меридиану). Поэтому
Q — F^r.
Аналогично
Q^ = F^t sin р, где Еф — проекция силы F на касательную к параллели.
Уравнение Лагранжа для координаты г
£ЭТ _ ЭТ dt dr dr т
принимает вид
m(r — гр — г sin2 р ф2) = Fr.
Для координат р и ф находим уравнения m^rpE^rp — г sin р cos рф2) = Ер^
m(r sin рф + 2 sin ргф + 2г cos ррф) = Еф.
Мы получили три дифференциальных уравнения движения свободной материальной точки в сферических координатах.
7. Исследование уравнений Лагранжа
Для того чтобы составить уравнения Лагранжа, нужно предварительно найти выражение для кинетической энергии в виде функции от времени Д обобщенных координат q^ и обобщенных скоростей ф (г = 1, ..., п). Сделаем это в общем виде:
Т =Т =
Т =
Т =
= | У aikQiqk + ^aiqi + ao. (1) г,/с=1г=1
Здесь коэффициенты щь а^ а^ — функции от С щ, ..., qn. определяемые равенствами
• = Е(2)
(3)(3)
(3)
(3)
Формула (1) показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей:
(5)(5)т = т2 + т1 + т0,
(5)
(5)
где
т2 = I у^ Л = У2 а^’ Т° = а°‘(6)
г,/с=1г=1
В случае склерономной системы, как было выяснено в § 1, время t явно не входит в зависимость между rp и ^, и потому
Аг
Но тогда, согласно равенствам (3) и (4),
ао = О, Щ = 0 (г = 1, ..., п)
и
1 пТ — Т^ — ~^ СЦк9г9к*
i,k=l
Таким образом, кинетическая энергия склерономной системы представляется в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от обобщенных скоростей.
Заметим, что у произвольной (склерономной или реономной) голономной системы форма Т2 является всегда невырожденной, т. е. определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля:
det (a^^k^ т^ d-(7)
Действительно, пусть
det (aife)"fe=i = О-
Тогда система однородных линейных уравнений
(8)(8)^ ^ агк^к — 0 (z — 1, . . . , Tl) к=1
(8)
(8)
имеет вещественное ненулевое решение.
Умножая систему (8) почленно на А^, суммируя по г от 1 до п и используя формулы (2), получаем:
0 —^ ^гк^г^к —^z,fc=lг,^=10 —^ ^гк^г^к —^z,fc=lг,^=1drv 5г^\dqi dqk уdrv 5г^\dqi dqk уAgAfe —AgAfe —
0 —^ ^гк^г^к —^
z,fc=lг,^=1
0 —^ ^гк^г^к —^
z,fc=lг,^=1
drv 5г^\dqi dqk у
drv 5г^\dqi dqk у
AgAfe —
AgAfe —
Отсюда
Ё^^=0(9)
Эти N векторных равенств можно заменить 3N скалярными:
. ! иЧг• ! иЧг• ! иЧг
г=1г=1г=1
Равенства (97) показывают, что в якобиевой функциональной матрице
дя?1
Эху
^Qn
Эуг
9yi
dqV ""
^Qn
ддГ ""
9<1ti
(10)
d$N
8xn
dqi’
8(in
8un
9yN
dqi’ ""
9Qti
9zn_
dqi’ “
9yn
столбцы линейно зависимы, т. е. ранг р этой функциональной матрицы меньше п. Тогда среди 3N функций яд, ух^ ^i, .
PNi Л от n аргументов щ, ... , qn (t рассматривается как параметр) имеется р независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы п, а р < п. Неравенство (7) установлено ).
Свойство коэффициентов квадратичной формы Т/ выражаемое неравенством (7), очень существенно и будет нами неоднократно использоваться в дальнейшем. Заметим, что поскольку всегда Т2 ^ О (Т2 — кинетическая энергия при «замороженных» связях!), то из неравенства (7) следует, что квадратичная форма Т^ = (1/2) ^^ к=1 ац^Лк является положительно определенной, т. е. Т-2 ^ 0, причем Т-2 = О только тогда, когда все ср (г = 1, ..., п) равны нулю. Поэтому для коэффициентов а^к имеют место детерминантные неравенства Сильвестра):
«и > О,«и > О,«11«12«21«22«11«12«21«22«11«12• • •«1п«21«22• • •«2п«п1«п2• • •«пп«11«12• • •«1п«21«22• • •«2п«п1«п2• • •«пп>0. (11)>0. (11)
«и > О,
«и > О,
«11«12
«21«22
«11«12
«21«22
«11«12• • •«1п
«21«22• • •«2п
«п1«п2• • •«пп
«11«12• • •«1п
«21«22• • •«2п
«п1«п2• • •«пп
>0. (11)
>0. (11)
Подставив выражение (1) для кинетической энергии в уравнения Лагранжа
(г = 1,n).(г = 1,n).(12)(12)(13)(13)d дТ дТdt 8сц dqi
(г = 1,n).
(г = 1,n).
(12)
(12)
(13)
(13)
получим
52 ^qk + (**) = Qi(t,qj,qj) к=1
Здесь через (**) обозначена сумма членов, не содержащих вторых производных от координат по времени. Правые части также не содержат вторых производных, так как представляют собой в общем случае функции от величин q^ qj (J = 1, ..., n).
Поскольку det ^k^k=\ т^ ^, т0 уравнения (13) можно разрешить относительно вторых производных и представить в виде
qt= С^МкЛк) (г = 1, ...,п\(14)
Но тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых предположениях относительно правых частей Gi которые в механике всегда предполагаются выполненными), существует одно и только одно решение уравнений Лагранжа при произвольных наперед заданных начальных данных q^ q® для t = to (г = G ... ^ п). Таким образом, движение голономной системы однозначно определяется заданием начального положения (^) и начальных скоростей (др).
§ 8. Теорема об изменении полной энергии.Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы
Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей
(1)(1)(2)(2)Qi — Qi(t") Qh • • • ) Qn)•
(1)
(1)
(2)
(2)
и существует функция П(£, щ, ..., qn) такая, что
Qi — Д ^ — 1, • • • ч ^ч9qi
то силы Qi называются потенциальными, а функция П — потенциалом сил или потенциальной энергией. Равенства (2), определяющие потенциал П, можно записать так):
5 А = Qi 54i = "Я1-5 А = Qi 54i = "Я1-(3)(3)
5 А = Qi 54i = "Я1-
5 А = Qi 54i = "Я1-
(3)
(3)
Qi Qi^t Qj• Qj)Qi Qi^t Qj• Qj)ТогдаТогдаапОг — ~ Дн 9qiи уравнения Лагранжа принимают видd дт ап _ ап ~dt dqi dqi dq, + *апОг — ~ Дн 9qiи уравнения Лагранжа принимают видd дт ап _ ап ~dt dqi dqi dq, + *(5)(5)(6)(6)
Qi Qi^t Qj• Qj)
Qi Qi^t Qj• Qj)
Тогда
Тогда
ап
Ог — ~ Дн 9qi
и уравнения Лагранжа принимают вид
d дт ап _ ап ~dt dqi dqi dq, + *
ап
Ог — ~ Дн 9qi
и уравнения Лагранжа принимают вид
d дт ап _ ап ~dt dqi dqi dq, + *
(5)
(5)
(6)
(6)
Рассмотрим теперь общий случай, когда помимо потенциальных сил, определяемых потенциалом П, на систему действуют еще непотенциальные силы
(4)
Введем в рассмотрение полную энергию Е, равную сумме кинети-
ческой и потенциальной энергий
я = т + п,
и вычислим производную dE/dt. Для этого сначала найдем
dTЭТА ЭТ
dt ^ \c^ oqi / at
d А ЭТ . А (ЭТ d 9Т\ . ЭТdt dqi ^г \ 9qi dt 9qt J ^г 9t *
(7)(7)(8)(8)2^dt2^dtd nmX dT Л1 - Д + 2T0 + 777 + 777 dt at dtd nmX dT Л1 - Д + 2T0 + 777 + 777 dt at dtandtandtE ^®' (9)Z = 1E ^®' (9)Z = 1Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находимОтсюда с учетом равенства (7) окончательно находимdE Ал- d x ST an■^-E^ + ^№+2To)-^ + ^.dE Ал- d x ST an■^-E^ + ^№+2To)-^ + ^.(10)(10)Стоящее в правой части выражениеСтоящее в правой части выражение_ IL"=iQidqi _ 6АAiQi~ dt " dt'_ IL"=iQidqi _ 6АAiQi~ dt " dt'(И)(И)где 8А — элементарная работа непотенциальных сил Q^ представляетх) Для однородной функции /(ж1, ..., жп) m-й степени имеет место формула Эйлера 52^=1 (df/dxi)xi = mf. Применяя эту формулу к линейной форме Ti и квадратичной форме Т^^ находим:где 8А — элементарная работа непотенциальных сил Q^ представляетх) Для однородной функции /(ж1, ..., жп) m-й степени имеет место формула Эйлера 52^=1 (df/dxi)xi = mf. Применяя эту формулу к линейной форме Ti и квадратичной форме Т^^ находим:А 9(кА 9(кЭТ .q dqiЭТ .q dqiСправедливость этих тождеств следует также непосредственно из выражений для Т-2 и Ti, приведенных на с. 49.Справедливость этих тождеств следует также непосредственно из выражений для Т-2 и Ti, приведенных на с. 49.Замечая, что Т = Т^ + Т^ + То, и используя уравнения Лагранжа (6), получаем1)
(7)
(7)
(8)
(8)
2^dt
2^dt
d nmX dT Л1 - Д + 2T0 + 777 + 777 dt at dt
d nmX dT Л1 - Д + 2T0 + 777 + 777 dt at dt
an
dt
an
dt
E ^®' (9)
Z = 1
E ^®' (9)
Z = 1
Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим
Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим
dE Ал- d x ST an
■^-E^ + ^№+2To)-^ + ^.
dE Ал- d x ST an
■^-E^ + ^№+2To)-^ + ^.
(10)
(10)
Стоящее в правой части выражение
Стоящее в правой части выражение
_ IL"=iQidqi _ 6А
AiQi~ dt " dt'
_ IL"=iQidqi _ 6А
AiQi~ dt " dt'
(И)
(И)
где 8А — элементарная работа непотенциальных сил Q^ представляет
х) Для однородной функции /(ж1, ..., жп) m-й степени имеет место формула Эйлера 52^=1 (df/dxi)xi = mf. Применяя эту формулу к линейной форме Ti и квадратичной форме Т^^ находим:
где 8А — элементарная работа непотенциальных сил Q^ представляет
х) Для однородной функции /(ж1, ..., жп) m-й степени имеет место формула Эйлера 52^=1 (df/dxi)xi = mf. Применяя эту формулу к линейной форме Ti и квадратичной форме Т^^ находим:
А 9(к
А 9(к
ЭТ .
q dqi
ЭТ .
q dqi
Справедливость этих тождеств следует также непосредственно из выражений для Т-2 и Ti, приведенных на с. 49.
Справедливость этих тождеств следует также непосредственно из выражений для Т-2 и Ti, приведенных на с. 49.
собой мощность непотенциальных сил Qi (г = 1, ..., п). Слагаемое в правой части
отлично от нуля лишь для реономной системы (для склерономной системы 71 = То = 0 и dT/dt = 0). Последнее же слагаемое отлично от нуля только тогда, когда потенциальная энергия П зависит явно от времени.
Формула (10) определяет изменение полной энергии при движении произвольной голономной системы. Рассмотрим частные случаи.
Система склерономная. Тогда
(1ЕдП/юХ
Е '(13)
г=1
Система склерономная, и потенциальная энергия не зависит явно от времени. Тогда
Для такой системы производная от полной энергии по времени равна мощности непотенциальных сил.
Система консервативная, т. е.: 1) система склерономная; 2) все силы потенциальные и 3) потенциальная энергия П не зависит явно от времени. Для консервативной системы, согласно равенству (10),
т. е. при любом движении системы
Е = const = h.(16)
Полная энергия консервативной системы не изменяется при движении системы.
Равенство (16), не содержащее щ и включающее произвольную постоянную h, определяет первый интеграл уравнений движения. Оно называется интегралом энергии.
Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю:
и диссипативными^ если их мощность х) отрицательна или равна нулю:
о.(18)
г=1
Если потенциальная энергия не зависит явно от ^ то из равенств (14) и (17) следует dE/dt = 0 и, таким образом, для склерономной системы при гироскопических силах таксисе имеет место интеграл энергии
Е = const.
Если же на такую систему действуют диссипативные силы, то при движении системы
т. е. полная энергия убывает во время движения2). В этом случае саму систему мы будем называть диссипативной.
•*•) В случае склерономной системы
Nп
^ F t/ drv = ^ ^ Q{ dq^i
i/=lг=1
откуда после почленного деления на dt находим
Nп
Ft/Vt/ = ^ QiAi-(*)
1/=1г=1
Поэтому равенство (17) выражает условие гироскопичности
N
Уд Ft/Vt/ = 0,
17=1
а равенство (18) — условие диссипативности
N
У2 Ft/Vt/ < 0.
17=1
В случае реономной системы равенство (*) может не иметь места. В этом случае 5rv = drv — (Orv/Ot) dt и из равенства
TVп
У2 Ft/ 5rv = ^Qz 5qt
17=1г=1
следует
При диссипативных силах происходит рассеивание (диссипация) энергии. Отсюда и термин «диссипативные силы».
В соотношениях (17) и (18) обобщенные силы Qi в общем случае зависят от обобщенных скоростей. Рассмотрим важные частные случаи, в которых эта зависимость линейна и однородна.
1°. Пусть ~„
Qi = У^ ^Йк (г = 1, • • •, п)(19)
к=1
и матрица коэффициентов у^ является кососимметрической):
Ик = ~lki ^,к = ^,(20)
Тогда силы (19) являются гироскопическими.
Действительно, в этом случае
ппп1, ..., п
QiQi — ^ ^ 1ikQ.iQ.k — ^ ^ ^ггЧг ^ у ^гк “Ь ^ki^QiQk — 0.
г=1г, к = 1г=1г<к
Последнее равенство показывает, что кососимметричность матрицы коэффициентов 7^ является не только достаточным, но и необходимым условием для того, чтобы приложенные к склерономной системе силы (19) были гироскопическими.
Примеры. 1. Кориолисовы силы инерции для склерономной системы являются гироскопическими силами. Действительно, кориолисова сила инерции, прикладываемая к точке Pv системы, определяется формулой
F^ = -2тДш х уД.
Здесь mv — масса точки Р^, vv — ее скорость в рассматриваемой неинерциальной системе осей координат, а си — угловая скорость вращения этой системы относительно некоторой инерциальной системы координат (и = = 1, ..., TV). Но тогда
у^ F^V^ = 0.
V=1
Пусть на твердое тело с неподвижной точкой О действуют силы с главным моментом Lo = I(wi х W2), где I — скаляр, и пусть си = сщ + + ^2 — угловая скорость тела. Тогда приложенные к телу силы являются гироскопическими, так как их мощность равна нулю:
Low = 0.
Если твердое тело обладает динамической симметрией, I — момент инерции относительно оси симметрии, с^2 — угловая скорость «чистого вращения», направленная по оси симметрии, а сщ — угловая скорость прецессионного движения, то момент Lo = I(wi х 0^2) называется гироскопическим. Таким образом, силы, создающие гироскопический момент, являются гироскопическими ).
2°. Пусть
Qi ^ ^ bikQk (^1) • • • ^),(21)
к = 1
где матрица коэффициентов bik является симметрической
bik = bki (г = 1, ..., п),(2Г)
и пусть квадратичная форма ^2н k=i bikQiQk положительна:
^ bikQiQk ^ 0.(22)
г, к = 1
Тогда для склерономной системы мощность сил равна
QiQi —^ ^ bikQiQk 0(23)
i=li, к = 1
и силы Qi являются диссипативными.
В этом случае квадратичная форма
п
R Д ^ bikQiQk(^4)
i,k=l
называется диссипативной функцией Релея. Легко видеть, что обобщенные силы (21) получаются из диссипативной функции Релея с помощью формул
ЯП
Ог = -^ (г = 1, ..., п).(25)
9qi
Если система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени, то в силу равенств (14), (23) и (25) п
-^ = 12 ^ = -2Д-(26)
i=l
Последняя формула указывает на физический смысл функции Релея: удвоенная функция Релея равна скорости убывания полной энергии.
Если функция Релея (24) является положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей, то говорят о полной диссипации энергии. В этом случае систему мы будем называть определенно-диссипативной. У такой системы, согласно формуле (26), полная энергия строго убывает.
В качестве примера рассмотрим приложенные к точкам системы силы сопротивления среды, пропорциональные первым степеням скоростей точек:
(27)(27)F, = -0vv (^ = 1, ..., У).
(27)
(27)
В этом случаеВ этом случаегдегде52 F^ = -2R,V = 11 Nк^Р^ГДV=152 F^ = -2R,V = 11 Nк^Р^ГДV=1(28)(29)(28)(29)§ 9. Электромеханические аналогии§ 9. Электромеханические аналогииВ этом параграфе мы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим,В этом параграфе мы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим,Рис. 25Рис. 25но и к электрическим и электромеханическим системам.Рассмотрим контур, в котором индуктивность L, омическое сопротивление R и конденсатор с емкостью С соединены последовательно (рис. 25). Для этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) и величиной тока г (г = dq/dt, где q — заряд) будет соответственно равнано и к электрическим и электромеханическим системам.Рассмотрим контур, в котором индуктивность L, омическое сопротивление R и конденсатор с емкостью С соединены последовательно (рис. 25). Для этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) и величиной тока г (г = dq/dt, где q — заряд) будет соответственно равнаdin = Ldfdin = Ldfи = RLи = RLи =и =(1)(1)Если в контуре имеется еще внешний источник э.д. с. е(£), то, записывая, что по закону Кирхгофа величина э. д. с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметьЕсли в контуре имеется еще внешний источник э.д. с. е(£), то, записывая, что по закону Кирхгофа величина э. д. с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметь_ di 1ьл+Кг + с_ di 1ьл+Кг + с(2)(2)ИЛИИЛИт d?q dq q , хт d?q dq q , х(3)(3)
В этом случае
В этом случае
где
где
52 F^ = -2R,
V = 1
1 Nк^Р^ГД
V=1
52 F^ = -2R,
V = 1
1 Nк^Р^ГД
V=1
(28)
(29)
(28)
(29)
§ 9. Электромеханические аналогии
§ 9. Электромеханические аналогии
В этом параграфе мы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим,
В этом параграфе мы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим,
Рис. 25
Рис. 25
но и к электрическим и электромеханическим системам.
Рассмотрим контур, в котором индуктивность L, омическое сопротивление R и конденсатор с емкостью С соединены последовательно (рис. 25). Для этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) и величиной тока г (г = dq/dt, где q — заряд) будет соответственно равна
но и к электрическим и электромеханическим системам.
Рассмотрим контур, в котором индуктивность L, омическое сопротивление R и конденсатор с емкостью С соединены последовательно (рис. 25). Для этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) и величиной тока г (г = dq/dt, где q — заряд) будет соответственно равна
di
n = Ldf
di
n = Ldf
и = RL
и = RL
и =
и =
(1)
(1)
Если в контуре имеется еще внешний источник э.д. с. е(£), то, записывая, что по закону Кирхгофа величина э. д. с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметь
Если в контуре имеется еще внешний источник э.д. с. е(£), то, записывая, что по закону Кирхгофа величина э. д. с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметь
_ di 1ьл+Кг + с
_ di 1ьл+Кг + с
(2)
(2)
ИЛИ
ИЛИ
т d?q dq q , х
т d?q dq q , х
(3)
(3)
Это уравнение является аналогом уравнения механических колебаний
|4)
При этом индуктивности L отвечает инерционный коэффициент (обобщенная масса) а, омическому сопротивлению R — диссипативный коэффициент 5, коэффициенту 1/С, где С — емкость, отвечает приведенный коэффициент упругой силы с, заряд q соответствует обобщенной координате q. э.д. с. е^ — обобщенной силе Q^t\
С другой стороны, в контуре, изображенном на рис. 26, по закону Кирхгофа складываются токи, проходящие через индуктивный эле
мент, сопротивление и конденсатор, поэтому
Почленно дифференцируя, получаем:Почленно дифференцируя, получаем:и du , х р + 7 udt + C— = г(1\ (5) II .l j at
Почленно дифференцируя, получаем:
Почленно дифференцируя, получаем:
di dtdi dtd^u 1 du 1
di dt
di dt
Cd£2 + R~di + LU =
Здесь мы имеем другую систему анало-рис ^^
гий, в которой координате q соответствует’
напряжение и и механические коэффициенты а, Ь, с заменяются на С, 1/^, 1/L; обобщенной силе Q^ здесь отвечает величина di/dt.
Две электрические системы, имеющие одинаковые (с точностью до обозначений) уравнения, представляют собой две разные электрические модели одной и той же механической системы.
Кинетической и потенциальной энергиям, функции Релея, обобщенной силе у механической системы с одной степенью свободы
T=^aq2, R^bq2, П = фд2, Q = Q(t)
в первой системе аналогий соответствуют величины
е = е(£),е = е(£),di dtdi dtT = V^ ^2R^ п = ^сД а во второй
е = е(£),
е = е(£),
di dt
di dt
Т=-Сй\ R=^-u\П=2_ы2
22R ’2L
Таким образом, системы электромеханических аналогий определяются следующей таблицей:
Мех.: q
а
b
с
Q
ГТ1*2
т = - aq
Я=^б92
Tj12
П = - cq
1-я эл.: q
L
R
£ С
е
1 т .2
|^2
1 2
2С q
2-я эл.: и
С
1
R
1
L
di dt
Си2
1 -2 2R
1 2
2L
Рассмотрим в качестве более сложного примера электрическую цепь, изображенную на рис. 27.
L.R3
Рис. 27
Составим уравнения Лагранжа, придерживаясь первой системы аналогий; предварительно вычислим
Т = - L^q^ + - L^q^ — da)2)
= 2 ^^2 ^2^2 Дз^’
Кроме того, 62 = ез = 0. Положим
ci = A sin Ш.
Теперь выпишем уравнения Лагранжа
Lig'i + Riqi + A qi - Д 92 = A sin fit,Р12012
^23^2 — ^23^3 + ^2^2 + q^ ~ Q1 = 0,
^23^3 — ^23^2 + ^3^3 + 77" Q3 = 0.
Эти уравнения и будут уравнениями состояния электрической цепи, изображенной на рис. 27.
Уравнения Аппеля для неголономных систем.Псевдокоординаты
В этом параграфе мы выведем уравнения Аппеля, определяющие движение неголономной системы. Пусть на неголономную систему наложены d конечных и д дифференциальных связей (см. § 1). Использовав сначала только d конечных связей, мы выразим радиусы-векторы
точек системы через т = 3^ — d независимых координат щ, ..., qm и время t:
Гр = гЩ, 91, ..., qm) (v = l,...,N\(1)
Отсюдат
Ит гх
drp = ^2^dqi (v = l,...,NY(2')
г=1
Однако Гр и Гр (v = 1, ..., N) удовлетворяют еще дифференциальным связям) N
^13рГр+В@=0(3 = 1, ...,gY(3)
где 1^р и Dp являются функциями от t и Гр (и = 1, ... , N\
Подставив выражения (1) и (2) для Гр и Гр в уравнения связей (3), мы представим эти уравнения в виде
У^ AptQi + Ар = 0 ф = 1^ ... д\(4)
г=1
где коэффициенты Apt при ср и свободные члены Ар являются функциями ОТ £ И Щ, . . . , Qm.
Таким образом, для неголономной системы координаты щ, ..., qm могут принимать произвольные значения, но при этом обобщенные скорости ф, ..., qm уже не могут быть произвольными; они связаны между собой соотношениями (4). Считая д связей (4) независимыми, мы можем из уравнений (4) выразить д обобщенных скоростей, например, ф+i, ... ^ qm через остальные ф, ... , ф (п = т—д = 3N — d—g — число степеней свободы системы; см. с. 18). Скоростям ф, ..., qn можно давать произвольные значения, и тогда уже определятся значения остальных скоростей.
Однако мы пойдем по более общему пути и в качестве независимых величин возьмем не п (п - число степеней свободы) обобщенных скоростей, а некоторые п независимых линейных комбинаций этих скоростей)т
= ^2 fstqt (s = l, - .^nY(5)
г=1
где f8i — функции от t и Qi, , qm.
На линейные формы (5) нужно наложить лишь одно условие: эти п линейных форм вместе с д линейными формами
АРЛ (3 = 1, ..., д')
г=1
должны образовать полную систему из т = п + д линейно независимых форм, т. е. определитель, составленный из коэффициентов этих т форм, должен быть отличен от нуля. Тогда величины tts (s = 1, ..., п) смогут принимать произвольные значения, так как при любых значениях этих величин мы найдем соответствующие ф (г = 1, ..., ттг), разрешая систему линейных уравнений (4) и (5). При этом получим
* = У? his^s + hi (г = 1,(6)
8 = 1
где his и hi — функции от t и щ, ..., qm.
Величины 7TS, являющиеся линейными формами от обобщенных скоростей, будем называть псевдоскоростями^ а символы тг5 — псевдокоординатами (s = 1, ...,п). В частности, тг5 могут совпадать с некоторыми обобщенными скоростями. В общем же случае М + п величин Г s и q^ связаны зависимостями (5) и (6).
Для того чтобы найти ограничения, налагаемые дифференциальными связями на виртуальные перемещения 5qi^ нужно (см. § 2) в уравнениях (4) отбросить свободные члены Ар и заменить ср на 5qi (?’ = 1, ..., п). Тогда мы получим
^A9i5qi = o (3 = 1, ...,g).(4')
г=1
В соответствии с равенствами (5) вводим обозначения)
5тг6 = У2 fsi 51i (s = 1, . . . , n).(5')
г=1
По предположению формы (4') и (5') линейно независимы. Поэтому 5tts могут принимать произвольные значения, а соответствующие 5qi определятся из системы уравнений (4') и (5'):
5qi = У2 ^ 5^8 G = 1, т\(6')
8 = 1
Выражение для работы элементарных сил на виртуальных перемещениях можно представить в виде
6A = ^Qi6qil(7)
г=1
где, как и для голономной системы,
N
Qi = ^F-
Этр 9qtЭтр 9qt(г = 1, ..., т).(г = 1, ..., т).Теперь, подставив в равенство (7)Теперь, подставив в равенство (7)вместо 5qi выражения (6'), найдемвместо 5qi выражения (6'), найдем5Qi his дтг8г=1 s=l5Qi his дтг8г=1 s=l— I hisQi j 5тг8,s=l \г=1/— I hisQi j 5тг8,s=l \г=1/Р=1
Этр 9qt
Этр 9qt
(г = 1, ..., т).
(г = 1, ..., т).
Теперь, подставив в равенство (7)
Теперь, подставив в равенство (7)
вместо 5qi выражения (6'), найдем
вместо 5qi выражения (6'), найдем
5Qi his дтг8г=1 s=l
5Qi his дтг8г=1 s=l
— I hisQi j 5тг8,s=l \г=1/
— I hisQi j 5тг8,s=l \г=1/
т. е.
(8)(8)= 52 П« 7TS,г=1
(8)
(8)
где
тmNns hisQi =hisг=1г=1 р=1тmNns hisQi =hisг=1г=1 р=19qi9qi(s = 1, ... , п\(s = 1, ... , п\(9)(9)
тmN
ns hisQi =his
г=1г=1 р=1
тmN
ns hisQi =his
г=1г=1 р=1
9qi
9qi
(s = 1, ... , п\
(s = 1, ... , п\
(9)
(9)
Величины П5 будем называть обобщенними силами, соответствующими псевдокоординатам тг8 (s = 1, ..., п).
С другой стороны, подставляя в равенства (2) выражения (6) для щ, мы получаем
Гр = ^2evs7Ts + ev (р = 1, ..., N),(10)
8 = 1
где eV8 и ev (и = 1, ..., TV; s = 1, ..., n) — некоторые вектор-функции от t и щ, ..., qm.
Из равенств (10) находим1)
5rv = 52 evs 6тт$ (у = 1, • • •, IV)(11)
8 = 1
И
Гр = 52 е™^ + • • •(^ = 1, • • •, IV);(12)
8 = 1
при этом в правых частях формул (12) выделены лишь члены, содержащие псевдоускорения И8 (s = 1, ..., п).
■*•) Величины rv^ TVs и qi связаны соотношениями (2), (4) и (5). Исключив из этих соотношений величины qi, мы получим формулы (10). Величины 5r v, 5tvs и 5qt удовлетворяют однородным соотношениям (2Z), (47) и (б7), которые отличаются от соотношений (2), (4) и (5) только отсутствием свободных членов. Поэтому и формулы (11), являющиеся результатом исключения 5qi из соотношений (2'), (4') и (5'), получаются из формул (10) заменой г^ на 5rv, тг5 на 5tvs и отбрасыванием свободных членов е^.
С помощью равенств (8) и (11) запишем общее уравнение динамикиN
5А — У^ mvYv 5yv = 0(13)
v=i
в таком виде
п /Nх
( ns ^ ^ mvYvevs) 5tvs — 0.(14)
s = lv = l'
Так как 5тг6 — совершенно произвольные множители, то отсюда следует:N
У mvrvevs = Щ (s = 1, . ,.,п).(15)
Введем в рассмотрение «энергию ускорений»
N
и = - У т^1 = ^Ж Qi, -ks, its\(16)
Замечая, что на основании формул (12)
e^s = У (у = 1, • • •, N; ; s = 1, ..., n),(17)
d7Ts
мы уравнения (15) можем записать так:
^=Щ (s = 1,(18)
Уравнения (18) были впервые получены Аппелем и носят название уравнений Аппеля.
Эти п = 3^ — d — д дифференциальных уравнений совместно с д уравнениями связей
У АрЛ + Ар = 0 Щ = 1, ..., у)(19)
г=1
и с п дифференциальными соотношениями
TVs = У JsiQi(20)
г=1 образуют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.
Запишем уравнения Аппеля в развернутом виде, для чего в формулу (15) подставим вместо yv выражения (12). Тогда получим
У UpsTVs + (**) = Пр (р=1,(21)
8 = 1
где
Пр — Пр(£, q^ 7rs),
TV
^Ps — ^Ps (A ^) — ^ ^ ^V^VS^Vp (Д, S — A * * * 5 ^A*(^^)
Через (**) в уравнениях (21) обозначены члены, не содержащие псевдоускорений 7TS (s = 1, . . . , 7l).
Можно доказать, что определитель, составленный из коэффициентов ир8, не равен тождественно нулю:
det (ups)p, S=1 ф Ох).(23)
Тогда уравнения (21) можно разрешить относительно псевдоускорений
7TS = Hs(t, Qi, 7Гр) (s = 1,n).(24)
С другой стороны, соотношения (19) и (20) также можно представить в виде, разрешенном относительно ф (г = 1, ..., т) [см. формулы (6)].
Таким образом, движение неголономной системы определяется системой п + ш дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций щ, ..., qm, тгх,... , тгп, причем эти уравнения разрешены относительно производных. Тогда задание начальных данных ^i, • • • , ^, тг?, • • • , тг^ однозначно определяет движение системы. Но с помощью этих начальных данных формулами (1) и (6) задаются совместимые со связями произвольное начальное положение и произвольные начальные скорости. Поэтому задание начального положения системы и начальных скоростей, не противоречащих конечным и дифференциальным связям, однозначно определяет движение неголономной системы.
Замечание 1. Если в частном случае в качестве псевдоскоростей взяты п независимых обобщенных скоростей, например ф, ..., qn, то для определения соответствующих обобщенных сил Q^, ..., Q* нужно в равенстве (7) выразить dq^y, ..., 5qm через 5qy, ... , 5qn;
5A = ^Qi6qi = ^Q*5qs.(25)
г=1s=l
В этом случае энергию ускорений U можно представить в виде функции В(ф, qy, ... , qm, ф, ..., qn, qy, ..., ф) и уравнения Аппеля принимают вид
^ = Q* (s = l, ...,п).(26)
У 48
А В отдельных точках этот определитель может равняться нулю. Эти особые точки исключаются из рассмотрения. Обоснование неравенства (23) аналогично обоснованию неравенства det фгк^ &=i ^ 0 на с. 49.
Замечание 2. Уравнения Аппеля можно, в частности, применить и к голономной системе. В этом случае все скорости q^ будут независимыми, Qt = Q* (г = 1, ..., п) и уравнения (26) представляют собой другую запись уравнений Лагранжа второго рода).
Примеры. 1. При помощи уравнений Аппеля определим движение системы, описанной в примере §3 (см. с. 26). Это позволит читателю сопоставить два метода отыскания движения неголо- номной системы — с помощью множителей Лагранжа и с помощью уравнений Аппеля — и убедиться в преимуществах второго. Введем в качестве независимых координат координаты центра стержня ж, у и угол р^ образованный отрезком Mi М2 с горизонтальной осью ж (рис. 28). Тогда
II
Ж1 = Ж — - COS р, Ж2 = ж + - cos р,
I .I .
У1 = У - - Sin р, у2 = у р - sin р.
Уравнение дифференциальной связи в новых координатах принимает видж = Уcos рsin р ’
Энергия ускорений 77, как легко проверить, выразится следующим образом:
тт 1 /••‘2 I ”2 I ”2 I ”2\ ”2 I ”2 I 1 /2/ ”2 , '4\
U — - (жх + У1 + Ж2 + У2) — Ж + у + -I (р + р ).
Введем псевдоскорость тг, полагая
Ж = ТГ cos р, у = тг sin р;
тогда т т• • 2 । 1 72 2 ।
и = тг -I р + . . . , 4’
где невыписанные члены не содержат ускорений. Определим обобщенные силы. Для этого напишем
6А = П 5тг + Ф §р = — 2g 5у = —2g sin р 5тг.
Отсюда
П = —2g sin р^ Ф = 0.
Составим уравнения Аппеля
dU9Uж
— =П.—= Ф.
ai’др
В данном случае эти уравнения не содержат координат ж, у и имеют вид
тг = — д sin р^ </5 = 0.
Интегрируя, получаем
р = at +
d^ 1 .. д .. д
— = — 7Г =S1H (£>, 7Г = - COS р + у. dp а аа
Найдем х и у:
dx1 .1 .д2,7
— = — х = —7Г cos р = — cos р Аcos р, dpа аorа
dy 1 .1 . . д. у .
ОтсюдаОтсюда—— = — у = —7Г sin р = — cos р sin р Нsin р. dp а аота
Отсюда
Отсюда
дд\
ж = —— р + Н —— cos р sin р + о,2а \а 2а2/
/7д\
у = - - + cos ^ cos р + е.\а2а2/
Подставляя at + 3 вместо р, получаем конечные уравнения движения, содержащие пять произвольных постоянных: а, Д 7, 5 и £:
7-^7 (at + 3) + Г- + cos (at + /5)1 sin (at + 0) + 5, 2a2La 2a2J
у = - Г— + cos (at + /5)1 cos (at + /5) + s, p = at + 0. La 2a2J
Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой О.
Пусть р, q, г — проекции угловой скорости ш на главные оси инерции О§, Огр О(. Они, как известно, представляют собой линейные комбинации обобщенных скоростей §р 0. Р^де §р 0, р — углы Эйлера (см. с. 39)х). Поэтому мы можем принять р, q, г за три псевдоскорости. Вычислим энергию ускорении ):
Заметим, что
е = dw/dt = 8ш/dt + ш х cv = dw/dt.
Здесь d/dt и 5/dt означают соответственно дифференцирование в неподвижной системе осей и в системе осей, неизменно связанных с телом) . Поэтому р, ср г — проекции углового ускорения е на оси Of, Огр Of.
Тогда по аналогии с выражением для кинетической энергии )
2Т = I(ш х г)2 dm = Ар2 + Bq2 + Ст2
(Л, В и С — моменты инерции относительно главных осей инерции Of, Огр Of) мы можем написать
I(е х г)2 dm = Ар2 + Bq2 + Ст2.
С другой стороны, кинетический момент G = J г х ш dm имеет компоненты Ар, Bq, Ст. Поэтому окончательно получаем следующее выражение для 2U:
2U = Ар2 + Bq2 + Of2 + 2[(О - B)qrp + (А - C^pq + (В - A)pqf^ + ... С другой стороны, для элементарной работы внешних сил имеем
6А = Low dt = L^p dt + L^q dt + L^r dt.
Поэтому уравнения Аппеля непосредственно дают уравнения Эйлера
А^+(С - B)qr = ц,
B^ + (A-C)rp = Lv,dt
С + (В - A)pq = Lc.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
§11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил.Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы
Пусть обобщенные силы Qi являются потенциальными, т. е. пусть существует потенциал сил (потенциальная энергия) П = П(£, q^
(см. § 8) и
Qi = -^- (i = l,...,n).(1)
Тогда уравнения Лагранжа
£8Т _ЭТ _ _ЭП
dt dqi dqt(Jq,'■ ■ ■ ■ ■ rl
записываются в виде1
d 8L dL n , x /nX Д7^-^-=° » = 1, , 2 dt 8qi dqi
где
L = T - П.(3)
Функция L называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.
Кинетический потенциал L, так же как и кинетическая энергия Т, представляет собой функцию второй степени относительно обобщенных скоростей:
L — L2 + L± + Lq,(4)
гдеnп
Ь2 =52 CikQiqk, L1 = 52 ci9i^ ^0 = С0.(4')
г, к=1г=1
•*•) Поскольку потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей, a L = Т — П, то dL/дсц = dT/dqi, a dL/dqi = dT/dqi — №Jdqt (г = 1, • •., n).
Здесь коэффициенты с^, с^, Со являются функциями от координат щ, ..., Qn и времени t (г, к = 1, ..., п). Сопоставление формулы (3) с формулой (5) на с. 49 дает
(5)(5)^2 — Т2, Li — Т1, Lo — То — П.
(5)
(5)
Заметим, что в случае, когда действующие на материальные точки активные силы F^ = Xvi + Y^j + Zvk (v = 1, ..., TV) имеют потенциал П(Т, ж^, yvs 2^ в декартовых координатах ж^, yVl %v (v = 1, ... , TV), т. e.
апdxv'апdxv'_ ап9yv_ ап9yv_ апdzv_ апdzvэти силы и в независимых координатах qt (г = 1, ..., п) имеют потенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координатыщ, ..., qn и время t. Действительно,nNпQt 5qi = ^ (Xv 5х„ + Yv 5yv + Zv 5zv) = -5П = - J^г=1v=li=lэти силы и в независимых координатах qt (г = 1, ..., п) имеют потенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координатыщ, ..., qn и время t. Действительно,nNпQt 5qi = ^ (Xv 5х„ + Yv 5yv + Zv 5zv) = -5П = - J^г=1v=li=lan roqi dq%an roqi dq%откуда и следуют равенства (1).откуда и следуют равенства (1).Рассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала П(С q^) существует обобиценний потенциал V^t^ QbQkb через который обобщенные силы Qi выражаются с помощью формулРассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала П(С q^) существует обобиценний потенциал V^t^ QbQkb через который обобщенные силы Qi выражаются с помощью формулО - ±д\^_ду_ г dt dqi dqiТогда уравнения ЛагранжаО - ±д\^_ду_ г dt dqi dqiТогда уравнения Лагранжа(г = 1, ..., п).(г = 1, ..., п).£ЭТ _ЭТ _ £8У _8У dt dqi dqi dt Qqi dqi£ЭТ _ЭТ _ £8У _8У dt dqi dqi dt Qqi dqiснова записываются в виде (2), где теперьснова записываются в виде (2), где теперьL = Т - V.L = Т - V.Из формул (6) следует:Из формул (6) следует:n a2 v/с=1n a2 v/с=1(6)(7)(8)(6)(7)(8)где (**) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений q^ (к = 1, ..., п).где (**) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений q^ (к = 1, ..., п).
ап
dxv'
ап
dxv'
_ ап
9yv
_ ап
9yv
_ ап
dzv
_ ап
dzv
эти силы и в независимых координатах qt (г = 1, ..., п) имеют потенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координаты
щ, ..., qn и время t. Действительно,
nNп
Qt 5qi = ^ (Xv 5х„ + Yv 5yv + Zv 5zv) = -5П = - J^
г=1v=li=l
эти силы и в независимых координатах qt (г = 1, ..., п) имеют потенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координаты
щ, ..., qn и время t. Действительно,
nNп
Qt 5qi = ^ (Xv 5х„ + Yv 5yv + Zv 5zv) = -5П = - J^
г=1v=li=l
an r
oqi dq%
an r
oqi dq%
откуда и следуют равенства (1).
откуда и следуют равенства (1).
Рассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала П(С q^) существует обобиценний потенциал V^t^ QbQkb через который обобщенные силы Qi выражаются с помощью формул
Рассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала П(С q^) существует обобиценний потенциал V^t^ QbQkb через который обобщенные силы Qi выражаются с помощью формул
О - ±д\^_ду_ г dt dqi dqi
Тогда уравнения Лагранжа
О - ±д\^_ду_ г dt dqi dqi
Тогда уравнения Лагранжа
(г = 1, ..., п).
(г = 1, ..., п).
£ЭТ _ЭТ _ £8У _8У dt dqi dqi dt Qqi dqi
£ЭТ _ЭТ _ £8У _8У dt dqi dqi dt Qqi dqi
снова записываются в виде (2), где теперь
снова записываются в виде (2), где теперь
L = Т - V.
L = Т - V.
Из формул (6) следует:
Из формул (6) следует:
n a2 v
/с=1
n a2 v
/с=1
(6)
(7)
(8)
(6)
(7)
(8)
где (**) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений q^ (к = 1, ..., п).
где (**) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений q^ (к = 1, ..., п).
Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когда обобщенные силы Qi не зависят явно от обобщенных ускорений, а зависят лишь от времени, координат и обобщенных скоростей
(9)(9)Qi = Qi(t, qk, qk) (г = 1,n),
(9)
(9)
то, согласно формулам (8), в этом случае все частные производные второго порядка от V по обобщенным скоростям должны быть тождественно равны нулю, т. е. обобщенный потенциал V линейно зависит от обобщенных скоростей:
г = У^ + п = ч+п,(10)
г=1
где П^ (г = 1, ..., п) и П — функции от координат щ, ..., qn и времени t. Но тогда, согласно равенству (7), L снова будет квадратичной функцией относительно скоростей ф и вместо равенств (5) будем иметь 1)
L0=T0-II.(11)
Подставляя выражение (10) для V в формулу (6), получаем
Jап A /ац ап\ . ап= -^ + Е ® +I12)
Формулы (12) показывают, что в случае, когда линейная часть Vi обобщенного потенциала не зависит явно от времени t [дП^/9t = 0 (г = = 1,п)], обобщенные силы Qi складываются из потенциальных
сил — ЭП/Qqi (г = 1, ..., п) и гироскопических сил
Qi — ^ ^гкЧк (^ — 1) • • • ) ^))(1^)
где
Ж ЭПк
Лк = -Лг = и, к = 1, ..., п).(13')
9qi dqi
Важность рассмотрения обобщенного потенциала подтверждается следующим примером.
•*•) Коэффициенты в выражениях для L и Т связаны между собой. Действительно, при обычном потенциале Ci = а^, а при обобщенном потенциале Ci = а^— ГЦ (г = 1, ..., п). В обоих случаях с^ = сщ (г, к = 1, ..., п), со = ао — П и L-2 = Т2 — положительно определенная квадратичная форма.
Примеры. На точечный электрический заряд в электромагнитном поле действует сила Лоренца
(14)(14)F = е [е + ^ х Н
(14)
(14)
где v — скорость точки, е — заряд, с — величина скорости света, а Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей. Векторы Е и Н выражаются через скалярный потенциал <р и векторный А с помощью формул )
i заЕ = -grad<£- - —-, с ati заЕ = -grad<£- - —-, с atН = rot А.Н = rot А.(15)(15)
i за
Е = -grad<£- - —-, с at
i за
Е = -grad<£- - —-, с at
Н = rot А.
Н = rot А.
(15)
(15)
Найдем обобщенный потенциал V для силы Лоренца F. Из формул (14) и (15) находим
__ е ЭА е ,. х_ е dA
Ь = —е grad —|— (v х rot А) = — е grad —И
с at сс dt
+ “ [(vV)A + v х rot А] = —e grad <p — -+ - grad (vA),(16)
сc dt c
где скорость v в выражении grad (vA) считается вектором, не зависящим от точки поля ).
Отсюда, выбирая в качестве независимых координат декартовы координаты точки ж, у, % и полагая
V = e^--(vA),(17)
с
т. е.е
V = е<р^хАх + уАу + zAz\с
имеем
_ _е dA^ЭУ _ d ЭУЭУ
ж с dtЭх dt ЭхЭх ’
Аналогичные формулы имеют место для Fy и Fz. Таким образом, обобщенный потенциал силы Лоренца (14) определяется формулой (17). Для функции Лагранжа L имеем выражение
(18)(18)L = Т — V = | mu — е<р + - (vA).
(18)
(18)
Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал П(Д Qi) или обобщенный потенциал V(^, ^, ф), мы будем называть натуральными. Для таких систем функция Лагранжа L является функцией второй степени от обобщенных скоростей, т. е. представляется выражением (4), где L^ — положительно определенная квадратичная форма относительно обобщенных скоростей.
В качестве примера ненатуральной системы можно рассмотреть движение материальной точки в релятивистской теории при отсутствии силового поля. В этом случае движение точки определяется уравнениями Лагранжа, в которых
L = —тс 1- I ,
\ с /
где г2 = ж2 + ?/2 +i2, ас — величина скорости света. Здесь L уже не является функцией второй степени относительно скоростей ж, у, У
Если в выражении для функции L разложить (1 — ж2/с2)1^2 в ряд по степеням и/с и отбросить члены второго и более высокого порядка относительно ж/с, т. е. положить (1 — ж2/с2)1^2 ^ 1 —ж2/2с2, то получится «классическое» выражение функции Лагранжа для изолированной материальной точки, а именно:
L = - mi? + const.
В этой и следующей главах мы будем вести изложение для систем общего типа1) , движение которых определяется уравнениями Лагранжа (2) с произвольной функцией L = L(t^ q^ q^. Мы будем лишь предполагать, что гессиан функции L относительно обобщенных скоростей не равен нулю 2):
detdetd^L \9qt 9qk /d^L \9qt 9qk //0./0.г, к=1г, к=1(19)(19)
det
det
d^L \
9qt 9qk /
d^L \
9qt 9qk /
/0.
/0.
г, к=1
г, к=1
(19)
(19)
Уравнения (2) в развернутом виде могут быть записаны так:
п п2 г
У д. д. qk + (**) = о,(20)
^ dqidqk
х) Те положения, которые справедливы только для натуральных систем, будут специально оговорены.
где через (**) мы обозначили сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений Qi (г = 1, ... , п). Поскольку определитель системы линейных (относительно q^ уравнений (20) отличен от нуля [см. неравенство (19)], то систему (20) можно разрешить относительно обобщенных ускорений и записать в виде
Ф = (г = 1,
Поэтому сделанный в § 7 вывод об однозначном определении движения системы путем задания начальных данных q^ q^ (г = 1, ..., п) справедлив не только для натуральных систем, но и для рассматриваемых здесь систем более общего типа.
. Канонические уравнения Гамильтона
Лагранж показал, как выписываются дифференциальные уравнения движения системы, если известен кинетический потенциал (функция Лагранжа) L = L(t, qi, ф).
Будем называть переменные t, q^, щ (г = 1, ..., п), через которые выражается функция Лагранжа, переменными Лагранжа. Система значений этих переменных характеризует момент времени и соответствующее состояние системы, т. е. положение системы и скорости ее точек. Как уже было отмечено в конце предыдущего параграфа, задание функции Лагранжа и начального состояния однозначно определяет движение системы.
Гамильтон предложил в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы, взять величины t, q^ Pi (г = 1, ..., п^ где pi (г = 1, ..., п) — обобщенные импульсы, определяемые равенствами
Pi = ^~ (г=1, (1)
Переменные I, q^, pi (г = 1, ..., п) будем называть переменными Гамильтона.
Поскольку якобиан правых частей равенств (1) по переменным ф является отличным от нуля гессианом функции L [см. условие (19) на с. 73], то уравнения (1) могут быть разрешены относительно ф (г = = 1, ..., п):
Si = ^i(t, qk, Pk) (г = 1, (2)
Таким образом, переменные Гамильтона могут быть выражены через переменные Лагранжа и наоборот, и состояние системы можно характеризовать как системой значений переменных Лагранжа, так и системой значений переменных Гамильтона.
В случае натуральной системы L — квадратичная функция (см. с. 69-70) относительно обобщенных скоростей и, согласно равенствам
(1), обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости:
Рг = 52 a«fcdfc + Сг (г = 1,п).(3)
fe=l
Решая эту систему линейных уравнений относительно ф ), получаем для ф снова линейные выражения
% = 52 ь*рк+bi («= i,(4)
к=1
где bik и bi — функции от t, дъ ..., qn.
Если в натуральной системе силы Qi (г = 1, ..., п) имеют обычный потенциал П(Д qi^ то из равенства L = Т — П следует):
ЭТPi =
Заметим, что любая функция от переменных Лагранжа
F = F(t, qt, %)
после подстановки в нее вместо обобщенных скоростей Qi выражений (2) или (4) превращается в некоторую функцию F^ qi^ р^ от переменных Гамильтона. Функции F(t, qi, pi) будем называть союзным выражением для функции F(t, qi, qi).
Примеры. Для свободной материальной точки декартовы координаты ж, у, z являются независимыми и в потенциальном поле П = П(£, ж, у, z) функция Лагранжа имеет вид
L = | ш(ж2 + у2 + i2) — П(7, ж, у, z).
Декартовым координатам соответствуют импульсы
ЭЬ ..., .
Рх = ^ = тж, ру = my, pz = mz.(6)
Если мы отсюда определим ж, у, z и полученные выражения подставим в L, то получим союзное выражение для L
L = Д (р^ +Ру + р!) - n(t, ж, у, z).(7)
Если вместо II(t, ж, у, z) имеем обобщенный потенциал
V = Пд + П2?/ + n3i + П,
где П1, Щ, Пз, П — функции от I, х, у, z^ то из равенства
L = | т^х + у2 + i2) — П1Ж — П2?/ — Пз^ — П
находим
Рх = ^ = тх - П., ру = ту - П2, pz = mz - П3,(6')
и союзное выражение L имеет вид
L=^ ^ + Р« +Р1) " Л (П1 + п2 + П^) - П. (7')
Гамильтон ввел в рассмотрение функцию H(t^ q^ Pi^ определяемую равенством
н = 'LL р^г -(8)
г=1
и показал, что с помощью этой функции уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
ЭНdPi _ ЭН
dt dpi'dt dqi
Эти уравнения называются каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона1). Функция Н^ q^ PiY определяемая равенством (8), называется функцией Гамильтона.
Вывод канонических уравнений Гамильтона будет опираться на следующую математическую теорему.
ТеоремаДонкина2). Пусть дана некоторая функция
гессиан которой отличен от нуля:
detdet/ Э^Х V у Эх^ дх^ у/ Э^Х V у Эх^ дх^ у7^0,7^0,(10)(10)
det
det
/ Э^Х V у Эх^ дх^ у
/ Э^Х V у Эх^ дх^ у
7^0,
7^0,
(10)
(10)
•*•) Впервые эти уравнения в общем виде были получены английским математиком У. Гамильтоном в 1834 г.
и пусть имеется преобразование переменных, «порождаемое» функцией Х(ху, ..., хп):
ш =G = 1, ...,п\(II)
Тогда существует преобразование, обратное преобразованию (11), которое также порождается некоторой функцией Y(yy, ..., уп);
BY
Xi =(г = 1,n);(12)
при этом порождающая функция Y обратного преобразования связана с порождающей функцией X прямого преобразования формулой1)
Y = X - х-(^)
г=1
Если функция X содержит параметры ai, ..., ат, т. е.
X = Х^ху, хп* ау, атУ
то Y также содержит эти параметры, т. е.
Y = ^(Уь , уп; «1,«т)
и ах ах
Доказательство. Гессиан функции X совпадает с якобианом правых частей в уравнениях (11). Поэтому условие (10) показывает, что из уравнений (11) можно выразить переменные Ху, ..., хп через Уъ •••, Уп-
Xi = fi(yi, ■. ■, Уп) (г = 1, ...,п).(15)
Пусть функция Y(yy, ..., уп) определяется формулой (13), в которой переменные х^ заменены выражениями (15). Тогда
9Y д /А Эх^ЭХ дхк
Эш - Эш (^ ЖкУк )^9шУк^Жг ^ Эхк dyi ■
Но, согласно равенствам (11), две суммы, стоящие в правой части этого равенства, взаимно уничтожаются и, следовательно, имеют место формулы (12).
•*•) Предполагается, что в левой части формулы (13) все ж^ выражены через У4, т. е. что У = у(уу, ..., упу
Пусть теперь X содержит помимо переменных яд, ..., хп еще параметры од, ... , ат. Тогда эти параметры фигурируют в прямом преобразовании (11), а следовательно, и в обратном:
^г = /г(?/1) • • • ) Уги ^1? • • • ) ^m)(^ = 1) • • • ? ^)*
Функция Y определяется равенством (13), в котором х^ заменены на Л(Уь ■ • ■, У»; «!,..., а„); поэтому х)
оу О (Г v\ dxi
13 \г=1/г=13
ЭХ dxt ЭХ dxi 9а^ dajЭХ dxt ЭХ dxi 9а^ dajЭХ да.ЭХ да.U = 1, тДU = 1, тД
ЭХ dxt ЭХ dxi 9а^ daj
ЭХ dxt ЭХ dxi 9а^ daj
ЭХ да.
ЭХ да.
U = 1, тД
U = 1, тД
Теорема Донкина доказана полностью.
Используем теорему Донкина для перехода от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона, заменяя в теореме функцию X на L, переменные яд, ..., хп — на ф, ..., qni параметры ах, ..., ат — на щ, ..., t/n, t, переменные у^ ..., уп — на pi, ... , рп и, наконец (с учетом примечания 1 на с. 77), функцию Y = 53™=1 x^y% — X — на Н = ^2н=1 PiQi — L. Тогда по теореме Донкина (гессиан функции L относительно ф (г = 1, ..., п) не равен нулю!) из формул (1) следует:
ЭН9г = dpiЭН9г = dpi9L _ 9qt9L9t9L _ 9qt9L9t9Н9уг_9Н^9t *9Н9уг_9Н^9t *(16)(17)(16)(17)
ЭН
9г = dpi
ЭН
9г = dpi
9L _ 9qt
9L9t
9L _ 9qt
9L9t
9Н
9уг
_9Н^
9t *
9Н
9уг
_9Н^
9t *
(16)
(17)
(16)
(17)
dpi 9Ldt 9qidpi 9Ldt 9qiРавенства (16) и (17) представляют собой тождества, являющиеся следствием связи (1) между обобщенными скоростями и обобщенными импульсами. Но уравнения Лагранжа могут быть, в силу (1), записаны так:
dpi 9L
dt 9qi
dpi 9L
dt 9qi
(18)
Эти уравнения совместно с равенствами (16) и приводят нас к каноническим уравнениям Гамильтона
(19)(19)dq^-ЭН^ dpH_ 9Нdt 9pi' dt 9qi
(19)
(19)
Помимо уравнений Гамильтона мы получили тождество (17), которое будет использовано в дальнейшем.
1) При вычислении производной dY/daj величины щ, ..., yn рассматриваются как постоянные.
Из уравнений (19) следует тождество
7Я _ Д^ /ЭЯ 7^ 9Я^\ ЭН _ ЭНdt\ 9qi dt Эрг dt ) Ot dt
Назовем систему обобщенно-консервативной, если функция Гамильтона Н не зависит явно от t, т. е. если
Я = Н^, р^.
В этом случае) ЭН/dt = 0 и, следовательно, в силу тождества (20), dH/dt = 0, т. е. при движении системы
H(qi, Pi) = const = h,H(qi, Pi) = const = h,(21)(21)
H(qi, Pi) = const = h,
H(qi, Pi) = const = h,
(21)
(21)
где h — произвольная постоянная. Функцию Н будем называть обобщенной полной энергией, а соотношение (21), не содержащее q или р и включающее произвольную постоянную h, — обобщенным интегралом энергии.
Для того чтобы пояснить эту терминологию, рассмотрим натуральную систему. Тогда L является квадратичной функцией [см. равенство (4), §11] _
L — U + Li + Lg
и
dL dqtdL dqt9U dqt9U dqtqi —— Ь1 — Lg.dqtqi —— Ь1 — Lg.dqt
dL dqt
dL dqt
9U dqt
9U dqt
qi —— Ь1 — Lg.
dqt
qi —— Ь1 — Lg.
dqt
Но по теореме Эйлера об однородных функциях )
-г- qi — 2L2, 9qi-г- qi — 2L2, 9qi(22)(22)(23)(23)9Li .
-г- qi — 2L2, 9qi
-г- qi — 2L2, 9qi
(22)
(22)
(23)
(23)
= U. 9qi
Поэтому окончательно для произвольной натуральной системы
Н = U - Lg.
Пусть Т = Т2 + 71 + ТЬ. Если силы имеют обычный потенциал П = H(t, qi) или обобщенный потенциал V = Vi + П, то L2 = ^2, То = То — П, и поэтому
Н = ТЧ - То + П.(24)
Если система склерономна, то Т = Т2, То = 0, и потому
Я = Т + П. (25)
Таким образом, для склерономной натуральной системы функция Гамильтона Н представляет собой полную энергию^ выраженную через переменные Гамильтона.
Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. натуральную склерономную голономную систему с не зависящим явно от времени обычным потенциалом сил.
В этом случае время t не входит явно в выражение (25) для полной энергии Н и потому, согласно равенству (21), имеет место закон сохранения энергии
Т^П = Н. (26)
Консервативная система является частным случаем обобщенноконсервативной, и в этом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный.
Если система склерономна и силы имеют обобщенный потенциал V = V + П, в котором П не зависит явно от времени t (8H/8t = 0), то снова функция Н определяется формулой (25) и не зависит явно от t. Поэтому и в этом случае система является обобщенно-консервативной и имеет место интеграл энергии (26) ).
Пример. Горизонтальная рейка вращается около вертикальной оси, а вдоль реки движется груз массы т. Сила, действующая на груз, имеет потенциал П(г), где г — расстояние груза до оси вращения.
Обозначим через ^ угол поворота рейки, а через I = md? — ее момент инерции относительно вертикальной оси вращения. Тогда г и <р — независимые координаты системы и
т 1 т -2 , 1 /-2 . 2 -2\ 1 г-2 . / 2 . ,2\ . 2i
Т = - 1ф + - m^r + г ф ) = - т\т + (г + а )ф
Отсюда
8Т .рг = — = mr,8т8Т .рг = — = mr,8тРу =Ру =—^ = myr + d )<р. 8<р—^ = myr + d )<р. 8<р
8Т .
рг = — = mr,8т
8Т .
рг = — = mr,8т
Ру =
Ру =
—^ = myr + d )<р. 8<р
—^ = myr + d )<р. 8<р
Поскольку система консервативна, то
Н=Т+П=Н=Т+П=12m12m22р2у АГ2 + d2 )р2у АГ2 + d2 )+ П(г).+ П(г).
Н=Т+П=
Н=Т+П=
1
2m
1
2m
2
2
р2у А
Г2 + d2 )
р2у А
Г2 + d2 )
+ П(г).
+ П(г).
Канонические уравнения в данном случае имеют вид
dr _ pr dp _ р^ dt т‘ dt m(r2 + d2Y
М гД _= 0
dt m(r2 + d2y Vb dt ’
а интеграл энергии записывается так:
Рг + дГ^2 + 2mII(r) = hi (hi = 2mh\
. Уравнения Рауса
Раус предложил взять в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы в момент времени Д часть переменных Лагранжа и часть переменных Гамильтона. Переменными Рауса являются величины
q^ Qa. q^ Ра (г = 1, ..., m; а = т + 1, ..., n) (1)
(здесь т — произвольное фиксированное число, меньшее п).
Для того чтобы от переменных Лагранжа перейти к этим переменным, нужно все qa выразить через величины ра (а = т + 1, ..., п^ используя для этой цели соотношения
(а = т + 1, ..., п).(а = т + 1, ..., п).(2)(2)8L
(а = т + 1, ..., п).
(а = т + 1, ..., п).
(2)
(2)
Ра = ^7- 8qa
Допустим, что гессиан функции L относительно обобщенных скоростей qa («малый гессиан») отличен от нуля1):
detdetQqadqp)Qqadqp)(3)(3)
det
det
Qqadqp)
Qqadqp)
(3)
(3)
•*•) В общем случае это неравенство не следует из неравенства (19) на с. 73, а является дополнительным условием. Для натуральной же системы неравенство (3) вытекает из того, что L^ = (1/2) ^^ S=1 aTSqTqs — положительно определенная квадратичная форма. В этом случае главный минор, составленный из коэффициентов квадратичной формы:
а2ь уЭ4аЭд0) а@=т+1а2ь уЭ4аЭд0) а@=т+1— det (аа/з)а, у=т+1 >— det (аа/з)а, у=т+1 >
а2ь у
Э4аЭд0) а@=т+1
а2ь у
Э4аЭд0) а@=т+1
— det (аа/з)а, у=т+1 >
— det (аа/з)а, у=т+1 >
должен быть положителен.
Тогда, применив доказанную в предыдущем параграфе теорему Донкина, получим преобразование, обратное преобразованию (2), а
именно
= — (а =1, ... , п),(4)
ОРа
где R = R(t, q%^ Lai Qi^ Ра) — функция Рауса, определяемая равен-
СТВОМ
R= У PaQa ~ L(5)
а=т+1
здесь знак означает, что все qa выражены через ра.
При этом переменные t, q^, qa, q^ (г = 1, ..., т; а = т + 1, ... , п) рассматриваются как параметры и потому, в силу этой же теоремы Донкина,
ЭК _ _ЭЕ_
Эд» Эд, ’
ЭК _ Эд«
9R8L с 1i
=(г = 1, ..., т),(6)
Эд»Эд,
8L
--—(а = m + 1, ..., п),(7)
UQa
ЭК эь
дГ " "(8)
Уравнения Лагранжа для координат qt в соответствии с равенствами (6) перепишутся так:
у эк dt dgi
-^=0 Ц = 1,...,т\(9)
Уравнения Лагранжа для координат qa
dPa _ dt
dL,,.
——(a = m + 1, ..., n)
9ga
совместно с формулами (4) и (7) дают
dqa 8R
dt 8qa 1
dpa8R,,x
— =--—(a = m+1,n).(10)
dt8qa
Уравнения (9) и (10)
d 8R
dt 8ф
dqa 8R
dt 8qa 1
-^- = о (г = 1,m),
9Ql(ID
dpaЖ
Лг = -^— (a = m + l,n
dtdga
образуют систему уравнений Рауса. Она состоит из т дифференциальных уравнений второго порядка типа Лагранжа и 2(п — т) дифференциальных уравнений первого порядка типа Гамильтона, причем функция Рауса в первых уравнениях играет роль функции Лагранжа, а во вторых — функции Гамильтона1).
§ 14. Циклические координаты
Координата qa называется циклической, если она не входит явно в функцию Лагранжа L, т. е. если dL/dqa = 0.
При выводе уравнений Гамильтона и уравнений Рауса были установлены равенства
_дГ_дН_Дй9qa 9qa 9qa
Из этих равенств следует, что частные производные 9L /9qa , ЭН/9qa и 9R/9qa могут обращаться в нуль только одновременно. Поэтому циклическая координата может быть также определена как координата, не входящая явно в функцию Гамильтона Н или в функцию Рауса R. Все эти определения эквивалентны.
Обобщенный импульс, соответствующий циклической координате qa, во время движения сохраняет постоянное значение. Действительно, из канонических уравнений следует:
dPa = _8Н_ = 0dt dqa ’
т. е. ра = const = са.
Допустим теперь, что имеется г = п — т циклических координат qa (а = т + 1, ..., п). Циклические координаты qa не входят явно в Н, а соответствующие этим координатам импульсы ра могут быть заменены постоянными са. Тогда)
Н = H(t, Qi, Pi, са).(2)
Выпишем канонические уравнения для нециклических координат
ЭНdPi _ ЭН
dt dpi1dt 9qi
•*•) Если мы хотим сохранить связь между обобщенными импульсами и функцией Лагранжа, то следует считать, что в первых уравнениях (11) роль функции Лагранжа играет функция —R, поскольку, согласно формулам (6):
М _ 9(-R)
9qt дщ
(г = 1, ..., m).
Из структуры (2) функции Н следует, что уравнения (3) представляют собой систему из 2т дифференциальных уравнений первого порядка с 2т неизвестными функциями q^ Pi (г = 1, ..., т). Проинтегрировав эту систему, найдем
(4)(4)Qi = М*, са, Ci, М Pi = Mt, ca, Ct, c'i)
(4)
(4)
где c^ c^ (г = 1, ..., m) — новые 2m произвольных постоянных. После подстановки выражений (4) в Н мы можем определить qa из уравнений
dqa ЭН
т = эг; =(5)
при помощи квадратур
Qa —Qa —(а = т + 1, ..., п).(а = т + 1, ..., п).(6)(6)
Qa —
Qa —
(а = т + 1, ..., п).
(а = т + 1, ..., п).
(6)
(6)
Таким образом, по существу все свелось к интегрированию системы (3), порядок которой 2т меньше порядка исходной системы 2п на 2г единиц, где г = п — т — число циклических координат, т. е. наличие г циклических координат дало возможность понизить порядок системы на 2г единиц.
Система уравнений (3) гамильтонова. Покажем, как при помощи уравнений Рауса можно получить автономную систему х)из т дифференциальных уравнений второго порядка типа уравнений Лагранжа. Действительно, заменив обобщенные импульсы pai соответствующие циклическим координатам q^ через постоянные са (а = т+1, ..., п^ мы функцию Рауса запишем в виде функции от t. q^ Qi и са (^ = = 1, ..., т; а = т + 1, ..., п):
(7)(7)R = R(t, q^ ф, са\
(7)
(7)
Тогда уравнения Рауса для нециклических координат
а ЭК ЭК dt dqi dqiа ЭК ЭК dt dqi dqi(г = 1, ..., m)(г = 1, ..., m)(8)(8)
а ЭК ЭК dt dqi dqi
а ЭК ЭК dt dqi dqi
(г = 1, ..., m)
(г = 1, ..., m)
(8)
(8)
(9)(9)образуют искомую автономную систему, а циклические координаты qa определяются из соответствующих уравнений Рауса (11) предыдущего параграфа с помощью квадратур
(9)
(9)
Qa —
При этом предварительно в ЭН/Эса все q^ и q^ заменяются функциями от 2т + 1 аргументов t, с^ и с- (i = 1, ..., т), получаемыми в результате интегрирования системы (8).
Пример. В примере, рассмотренном в конце § 12,
L = Т - П = | m[r2 + (г2 + d2V] - П(г),
<р — циклическая координата и
р^ = т^т2 + д?^ф = const = cv.
Составим функцию Рауса:
R = Р-^Ф - = | т\-т2 + (г2 + d2>^ + П(г) =
1 -2,1Р'^, -г-г/ \1 -2 ,, -г-г/ \
= _ mr +-о+ П(г) = -- тт + ——— + Щг).
2 2m г2 + d22 2m г2 + d2
Определение движения сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка
£ эн _ эн _ 0
dt 9т дт 1 которое в развернутом виде выглядит так:
^ = - / 2 । Л2\2 - П V )•m (г2 + d2)2
Заметим, что это уравнение относительного движения груза вдоль рейки, поскольку в правой части стоит центробежная сила
2
— 7TV^2A2 = mr^ vcv = PvY т + d2)2
Циклические координаты иногда называют игнорируемыми или скрытыми координатами. Это название объясняется тем, что при интегрировании системы уравнений (3) или (8) мы как бы забываем о существовании циклических координат, считая ра постоянными параметрами.
В разобранном примере игнорирование циклической координаты привело к игнорированию вращательного движения рейки и мы получили дифференциальное уравнение для относительного движения вдоль рейки.
Само название «циклическая координата» связано с тем, что во многих задачах механики угол (^, характеризующий движение по замкнутым траекториям (циклам), не входит явно в выражение для L и потому является циклической координатой.
Отметим некоторую аналогию между голономной системой, имеющей циклическую координату, и обобщенно-консервативной системой. Для первой системы 9H/dqa = 0, для второй ЭН/dt = 0. Для
первой имеет место интеграл ра = const, для второй системы имеет место интеграл Н = const. Корни этой аналогии будут обнаружены в дальнейшем при рассмотрении основного интегрального инварианта механики.
В заключение заметим, что более глубокое исследование движения систем с циклическими координатами будет проведено в гл. VII.
Скобки Пуассона
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые свойства интегралов гамильтоновой системы уравнений движения.
Некоторая функция /(^, q^ р^ называется интегралом уравнений движения
dqt дН dpi дН
если для любого движения данной системы эта функция сохраняет постоянное значение с1):
М Qi, Pi) = с.(2)
Иногда интегралом называют само соотношение (2).
Для обобщенно-консервативной системы интегралом является функция H(q^ р^\ Если qa — циклические координаты, то интегралом будет ра.
Очевидно, что если функции Д, /; являются интегралами уравнений движения, то произвольная функция от этих интегралов E(/i, ... , /;) будет также интегралом. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать только независимые интегралы.
Если известна «полная» система интегралов, состоящая из 2п независимых интегралов Д, ..., f^n (^ — число степеней свободы системы), то, разрешая соотношения
fk(t, Qi, Pi) = ск Ц = 1,...,п)(3)
относительно q^ и р^ получаем конечные уравнения движения
% = У>Д,СЪ С2и), Pi = ^Д,С1,С2„),(4)
содержащие 2п произвольных постоянных щ, ..., С2П-
Таким образом, если известны 2п независимых интегралов, то известны все движения системы. Если нам известны I независимых интегралов /1, ..., /;, где I < 2п, то мы имеем лишь частичное представление о движениях системы, и чем больше Z, тем более полным является это представление. Поэтому мы всегда заинтересованы в нахождении возможно большего числа независимых интегралов.
•*•) Это значение с может меняться, когда мы переходим от одного движения системы к другому.
Мы познакомимся здесь с методом нахождения интегралов уравнений движения, предложенным Пуассоном и Якоби.
Пусть /(^, qi, Pi) — интеграл уравнений (1). Тогда при подстановке вместо qi, pi (г = 1, ..., п) любого решения гамильтоновой системы (1) функция / превращается в постоянную с, т. е., согласно уравнениям (1)
dt dt \9qi dpi dpi dqi /*
Пуассон ввел специальное обозначение — скобки Пуассона — для следующего выражения, составленного из частных производных двух произвольных функций p^t, qi, pi) и ^(^, qi, pi):
((^l^L_^f- УС\(r\
8Pi 8Pi N-/ '
При помощи скобок Пуассона равенство (5) — необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция /(^, qi, р^ была интегралом уравнений (1) — записывается так:
+ ТО = 0.(7)
Отметим следующие свойства скобок Пуассона:
Для любых функций у>(Д %, Pi), ^(Л %, РгУ Х^Ф Sii PiY
1°. ^<р^ = -(iNY
2°. (срф) = с^рф) (с — постоянная);
з°. (ф + Фх^ (фх) + (ФхУ
4°. ((W)x) + (С<Ы ф) + ((хф^Ф) = 0;
5°. (Э/Э1ИфФ) = ((Др/^Н) + ^(Эф/^\
Тождества 1°, 2°, 3°, 5° получаются непосредственно из определения (6) скобок Пуассона.
Тождество 4°, которое называют тождеством, Пуассона, устанавливается при помощи специальных соображений. Пусть X и У — дифференциальные операторы первого порядка над функцией /Щ .хту
ТПгч рТПгч р
xf = Y,xki^ Yf = ILY^(8)
где Х^, У/, (k = 1, ..., т) — функции от переменных жх, ..., хт. Тогда «коммутатор» Z = XY — YZ также будет оператором первого
порядка1)
Zf = хто - Y(xp = £ [ВД) - Г№)] д^-.(9)
Вернемся к скобкам Пуассона (р f\ Эти скобки можно рассматривать как результат применения линейного оператора Ф вида (8) к функции / от переменных q^ pt (г = 1, ... , п):
Ф/ = Ы) = Ег=1Ф/ = Ы) = Ег=1дф df dtp df dpt 8q, 8qt др,дф df dtp df dpt 8q, 8qt др,(Ю)(Ю)
Ф/ = Ы) = Е
г=1
Ф/ = Ы) = Е
г=1
дф df dtp df dpt 8q, 8qt др,
дф df dtp df dpt 8q, 8qt др,
(Ю)
(Ю)
Этот дифференциальный оператор первого порядка вполне определяется функцией р. Аналогичные операторы Ф, X определяются функциями ^ и %.
Перейдем теперь непосредственно к установлению тождества Пуассона 4°. После раскрытия сложных скобок любой член в левой части 4° будет содержать в качестве множителя частную производную второго порядка от одной из функций р, ^, у. Но ^р^х^ не содержит частных производных второго порядка от у, а сумма
((^ х) у) + ((х у) ^) = (^ ку х)) - (у кФ х)) = (ФФ - ФФ)х
представляет собой дифференциальный оператор первого порядка относительно у. Таким образом, в левую часть тождества Пуассона не входят частные производные второго порядка от у, а значит, в силу симметрии, отсутствуют и частные производные второго порядка от р и ф. Другими словами, все члены в левой части 4° взаимно уничтожаются, что и требовалось доказать.
Докажем теперь основную теорему.
Теорема Якоб и-П у а с с о н а. Если fug— интегралы уравнений движения, то (f g) — также интеграл этих уравнений.
Доказательство. Требуется доказать, что для функции (/д) выполняется соотношение (7):
+(11)
когда такое же соотношение имеет место для каждой из функций /, д:
^ + (/Д = о, ^ + (дя) = о.(12)
•*•) Непосредственные вычисления показывают, что в правой части равенства (9) все члены, содержащие частные производные второго порядка от функции /, взаимно уничтожаются.
Действительно, согласно 5°
9 ,, х _ / df \/ Эд \ _
dt^ (dt5) + Vdt)
= -((/H)g) - (ДдН^ = ((НПд) + ЦдНПУ
Поэтому, используя тождество Пуассона, получаем
^^ + ^д)Н) = ((fg)H) + ((дНИ) + ^Н П д) = О, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема дает автоматическое правило, позволяющее из двух интегралов /(^, q^ р^^ g^t, q^ р^)при помощи алгебраических операций и операции дифференцирования получить третий интеграл:
9^\9qi dpi dpi dqi J '
Взяв скобки Пуассона, например, от / и (/g), мы снова получим интеграл и т. д. Однако не следует забывать, что новый интеграл может оказаться или тождественно равным нулю или функцией от предыдущих известных нам интегралов. Таким образом, только при специальном выборе независимых интегралов Д, ..., /; (Z < 2п) можно быть уверенным, что при помощи скобок Пуассона можно получить недостающие (до полной системы) интегралы /;+1, ..., f^n-
В качестве примера) рассмотрим интегралы количеств движения и моментов количеств движения для свободной и изолированной от внешних воздействий системы материальных точек):
Де =Ру =Pz =
Мж = ^тж = ^(ypz - zpy\ Му = ^2ту = ^(zpx - хр^,
Mz = ^mz = '^хру - yp^,гдерж = тх, ру = ту, pz = mz.
Функции Рж, Ру, Pz, Мх, Му, Mz являются интегралами, т. е. имеют место «интегралы сохранения»
Рх = Ci, Ру = С2, Pz = Сз, Мх = С4, Му = C^,MZ = Сб, (13)
если система изолирована. При наличии же внешнего силового поля с главным вектором R(X, У, Z) и главным моментом Lq(LXi Ly, Lz) любой из этих интегралов имеет место, если соответствующая из величин X, У, У, £ж, Lyi Lz равна нулю.
Составим скобки Пуассона для величин, связанных с одной точкой:
(р=Ру) = 0,(р=Ру) = 0,(Рх т^ = -(Рх т^ = -Эрх дту _Ор, Эх РхЭрх дту _Ор, Эх Рх
(р=Ру) = 0,
(р=Ру) = 0,
(Рх т^ = -
(Рх т^ = -
Эрх дту _
Ор, Эх Рх
Эрх дту _
Ор, Эх Рх
дтх дтуdz Эр2дтх дтуdz Эр2дтхdpzдтхdpzдту
дтх дтуdz Эр2
дтх дтуdz Эр2
дтхdpz
дтхdpz
-5— = хру - урж = mz.
Заметим, что скобки Пуассона, в которых одна величина (р или т) относится к одной точке, а вторая к другой, всегда равны нулю; поэтому
(Дс Д/) — ^ ^(Рж Ру) — 0,
^Рх Му) = ^ ^Рх Шу) = ^ ^Pz = Pz,(14 )
(Мж Му) = У^(шж ту) = ^2^mz = Mz.
Циклической перестановкой букв ж, р, z получаем аналогичные соотношения
(PyPz) = 0, (PzPx) = 0,
(PyMz) = Px, (PzMx) = Py,(14")
(MyMz) = Mx, (MzMx) = My.
Шесть законов сохранения (13) не являются независимыми. Из соотношений (14) и (14") следует, что если имеют место интегралы
РЖ=С1,Мх = с4.МУ = С5,(15)
то имеют место и интегралы
Ру = с2,Pz = сз,Mz = cq.(16)
■*•) Интегралы сохранения (15)■*•) Интегралы сохранения (15)Конечно, все это верно для потенциального силового поля. В непотенциальном силовом поле из равенств
■*•) Интегралы сохранения (15)
■*•) Интегралы сохранения (15)
X = 0,
Lx — 0,
Ly — 0
(17)
не следуют равенства1)
У =
0,
Z--
= 0,
Lz = 0.
(18)
ГЛАВА III
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫИ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
. Принцип Гамильтона
Рассмотрим произвольную голономную систему с независимыми координатами щ, ..., qn и функцией Лагранжа L(t,q^, qi).
Интеграл
ti
W = I Ldt(1)
to
называется действием (no Гамилътону) за промежуток времени (^о, й), а выражение Ldt — элементарным действием1).
Так как функция L имеет вид L = L(t, q^ ф), то для вычисления действия (1) необходимо задать функции q^ = qi(t) (i = 1, ..., п) в
Рис. 29Рис. 29интервале времени to ^ t ^ ti. Другими словами, действие W есть функционал, зависящий от движения системы.
Рис. 29
Рис. 29
Если мы произвольно зададим функции q^ = qt(t) (i = 1, ..., п), то получим некоторое кинематически возможное (т. е. допускаемое связями) движение. В расширенном (п + 1)-мерном координатном пространстве, где координатами являются величины q^ и время t, это движение изображается некоторой кривой. Мы будем рассматривать всевозможные такие кривые — «пути», проходящие через две заданные точки пространства M^(to, q^) и MT(tT, q1) (см. рис. 29 для п = 2), т. е. все
возможные движения, переводящие систему из данного начального положения (q^), которое она занимала в момент времени to, в данное конечное положение (q1), которое она занимает в момент времени L. При этом заранее фиксируются начальный и конечный моменты вре-
•*•) Для натуральных систем L = Т — П имеет размерность энергии. Поэтому размерность действия есть энергия х время = сила X длина X время.
мени ^о и ^1? начальное и конечное положения системы. В остальном движения произвольны.
Если система натуральная и несвободная, то рассматриваемые здесь движения подчиняются лишь одному ограничению: при движении системы наложенные на точки системы связи не должны нарушаться. Это условие выполняется автоматически, когда мы задаем движение в независимых координатах, полагая qt = qi(t) (г = = 1, ..., п).
Допустим, что среди рассматриваемых путей имеется так называемый «прямой» путь, т. е. путь, по которому может двигаться система при заданной функции L (т. е. в данном силовом поле). Для прямого пути функции Qi = q^(t) (г = 1, ... , п) удовлетворяют уравнениям Лагранжа
dt dqi dqi
Все остальные пути, проходящие через точки М^ и Mi, будем называть «окольными» путями. (На рис. 29 прямой путь изображен сплошной линией, а окольные пути пунктирными линиями.)
Мы докажем, что действие W имеет для прямого пути экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с окольными путями. В этом и заключается принцип Гамильтона1).
Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство путей q^ = qi(t,a) (t0 < t < tv -7 < а < 7; z = l, ...,n), содержащее в себе при а = 0 данный прямой путь; при d ^ 0 получаются окольные пути. Пусть все эти пути имеют общее начало Мд и общий конец Mi:
дД0, а) = д°, дД1, а) = д/ (-7 < « < 7! г = 1, ...,п).
Действие W, вычисленное вдоль пути, принадлежащего этому семейству, представляет собой функцию параметра а
ИДа) = I L[t, qi(t,a), qi(t,a)]dt.
to
■*•) Этот принцип содержится в работах У. Гамильтона, опубликованных в 1834-1835гг. (см.: Вариационные принципы механики: [Сборник]. — М., 1959. — С. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Т в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего случая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г. (там же. — С. 770-771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гами льтона-0 строградского.
Вычислим вариацию действия W^ т. е. дифференциал по а*.
6W = Г 5Ldt = Wdt = ± 5дг +
JJ dqi dqi Jdqi .
toto Z=1Z=1°
d dL\ dt dqi /d dL\ dt dqi /5qi dt.5qi dt.(3)(3)
d dL\ dt dqi /
d dL\ dt dqi /
5qi dt.
5qi dt.
(3)
(3)
ddЗдесь мы преобразовали интеграл при помощи интегрирования по частям, использовав для этого перестановочность операции варьирования б и операции дифференцирования по времени d/dt\
d
d
dtdtNi = § ^qiUvV) = Г-t-qi^^^a =^.8qi
dt
dt
dtda dtdt dadt
Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве. Поэтому при t = to и при t = ti вариации 6qi = 0 и проинтегрированная часть обращается в нуль.
Из равенства (3) видно, что для прямого пути, т. е. при а = О, выражение, стоящее под знаком преобразованного интеграла, в силу уравнений Лагранжа, равно нулю. Поэтому
для прямого пути 5W = 0. (4)
Это и есть математическое выражение принципа Гамильтона.
Имеет место и обратное утверждение: если для некоторого пути 5W = 0, то этот путь является прямым. Действительно, вследствие произвольности вариаций 5qi (г = 1, ..., п) (они на концах равны нулю, в остальных же точках пути совершенно произвольны) из условия 5W = 0, в силу равенства (3), следуют равенства (2), т. е. уравнения Лагранжа для прямого пути.
Поскольку из принципа Гамильтона вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах (и наоборот), то принцип Гамильтона может быть положен в основу динамики голономных систем1).
Прямые пути, т. е. «истинные» движения при заданной функции L, могут быть охарактеризованы как при помощи дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариационного принципа Гамильтона. Однако между дифференциальными
•*•) Приведенная выше формулировка принципа Гамильтона предполагает (в случае натуральной системы) существование потенциала сил. Более общая формулировка принципа, охватывающая и случай непотенциальных сил, будет дана ниже [формула (9) на с. 96].
уравнениями движения и вариационными принципами имеется одно принципиальное различие.
Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собой момент времени t, положение системы, скорости и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики.
Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация 5W ^ где интеграл W имеет вид (1). В вариационном исчислении уравнения (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи
5 j qi, q^dt = 0.
to
Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения, в случае натуральной системы, были получены из общего уравнения динамики
N
(F^ - mvrv) 5rv = 0.(5)
17=1
Покажем, как принцип Гамильтона моэюет быть непосредственно обоснован с помощью общего уравнения динамики (5). Тогда уравнения Лагранжа сразу получаются из принципа Гамильтона.
Если в выражениях для г^
r^ = ^(t, q^ (v = 1, ..., TV)
вместо qt подставить функции q^t^a^ то г^ станет сложной функцией от t и а. Продифференцируем ее по о, т. е. вычислим вариации
Siv = V^8qi kv=V-..,NY(6)
г=1
Эти формулы совпадают с формулами (8) на с. 41, определяющими виртуальные перемещения точек голономной системы. Таким образом, вариации радиусов-векторов при любом t являются виртуальными перемещениями точек системы.
В справедливости этого положения можно убедиться и не прибегая
к формуле (6), а исходя только из определения вариации и виртуально
го перемещения. Действительно, вариация 8rv = = (drv/da) 8а представляет собой бесконечно малое перемещение точки системы Pv. переводящее точку траектории, получающейся при некотором фиксированном значении а (для прямого пути а = 0), в точку смежной траектории, соответствующей значению параметра а + 8а (рис. 30). При этом обе точки берутся для одного и того же момента вре
мени С так как при дифференцировании по а значе
ние t фиксируется. Следовательно 8rv осуществляетРис. 30
переход из одного возможного положения точки Pv
в момент времени t в другое возможное положение для того же момента t, т. е. 8tv — виртуальное перемещение точки системы Pv.
Таким образом, в общем уравнении динамики (5) мы можем считать 8rv вариацией радиуса-вектора rv. Но тогда можно изменить последовательность выполнения операции d/dt и операции 8 дифференцирования по а;
d х dt5r'd х dt5r'dtdtдд
d х dt5r'
d х dt5r'
dt
dt
т— tvU, а) 8а = 7— yvH а) 8а = 8rv. дада
Поэтому
NNN,
N
N
22 mvTp — 8rt
= ^ 57 тЛи 6rv - 6Т, (7)
где 8Т — вариация кинетической энергии Т = (1/2) ^^=1 mvT^.
Обозначая по-прежнему через 8А элементарную работу активных сил Е^ на виртуальных перемещениях 8г р (и = 1, ..., 7V), мы с помощью преобразования (7) записываем уравнение (5) в виде
d N
8Т + 8А—- V mvrv 8rp = 0.
Проинтегрируем обе части этого уравнения по t в пределах от t = to
/ (5Т + 6 A) dt -/ (5Т + 6 A) dt -ДО t = tr-,n
/ (5Т + 6 A) dt -
/ (5Т + 6 A) dt -
57 тЛУ 8rv = 0.(8)
Здесь []*Z^ означает разность между значениями (при t = ti и t = to) выражения, стоящего в квадратных скобках. Но при t = to и t = ti радиус- вектор rv не варьируется, поскольку начальное и конечное положения системы заранее фиксированы:
r^to, а) = r°, r^(ti, а) = ri (z/ = 1, ..., N).
Поэтому 5rv = 0 при t = to и при t = ti. Второй член в равенстве (8) равен нулю, и это равенство принимает вид
J(8Т + 8 A} dt = 0.(9)
Рассмотрим тот случай, когда силы имеют потенциал П = П(£, qi\ В этом случае
ЗА = -ОТ,
где ОТ — виртуальный дифференциал (вариация) функции П(£, q^ ') , и равенство (9) записывается так:
titi
J(8Т - <Ш) dt = j 8Ldt = 0,
откуда titi
8W = 8 J Ldt = j 6Ldt = 0.
Таким образом, основное уравнение динамики (5) привело нас к принципу Гамильтона 8W = 0, а отсюда, как было указано выше, сразу получаются уравнения Лагранжа
£сГГ_сГГ dt dqi dqi£сГГ_сГГ dt dqi dqi(г = 1, ..., n).(г = 1, ..., n).
£сГГ_сГГ dt dqi dqi
£сГГ_сГГ dt dqi dqi
(г = 1, ..., n).
(г = 1, ..., n).
В случае непотенциальных сил Qi для получения уравнений Лагранжа следует исходить из равенства (9) [вместо равенства (4)]. Применяя к интегралу J^ 8Т dt формулу (3) [с заменой функции L функцией Т(£, ^, ф)] и используя выражение для элементарной работы активных сил ЗА = 52 ^=1 Qt 3qi, мы найдем
А УЛ dt dqt /А УЛ dt dqt /8qi dt = 0.8qi dt = 0.(10)(10)
А УЛ dt dqt /
А УЛ dt dqt /
8qi dt = 0.
8qi dt = 0.
(10)
(10)
Отсюда, в силу произвольности величин 3qi (г = 1, ..., п), должны быть равны нулю выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла (10), т. е. для прямого пути должны выполняться уравнения Лагранжа
£ дТ_ _ дТ_ dt dqi dqi£ дТ_ _ дТ_ dt dqi dqi(г = 1, ..., n).(г = 1, ..., n).(11)(11)
£ дТ_ _ дТ_ dt dqi dqi
£ дТ_ _ дТ_ dt dqi dqi
(г = 1, ..., n).
(г = 1, ..., n).
(11)
(11)
Выясним, является ли значение действия для прямого пути наименьшим по сравнению с окольными путями.
!) То есть ОТ = £™=1 (дП/dqi) 5qi.
Рассмотрим в качестве примера движение несвободной материальной точки, вынужденной двигаться но сфере при отсутствии силового поля (движение по инерции на сфере). Пусть масса точки
т = 1. В сферических координатах
Рис. 31Рис. 31(рис. 31)
Рис. 31
Рис. 31
02.
Для прямого путиДля прямого путиЬ=^ = ^-(^ + 8т2^^2).
Для прямого пути
Для прямого пути
d dLdt dфd dLdt dфdLdL
d dLdt dф
d dLdt dф
—- = О и г = const
dp)Эф
(ф — циклическая координата), т. е. ф — sin р) cos р) ф2 = О,
sin2 <рф = sin2 (^о Фо-
Без нарушения общности можем считать, что для прямого пути начальная скорость Vo направлена по меридиану (ф = const), т. е. фо = 0; тогда
ф = 0, ф = const и и2 = Н2ф2 = const.
Таким образом, прямой путь представляет собой равномерное движение по дуге большого круга. При этом
Ток - ТПр = 11(v2 - Vg) dt = v0 - уо) dt +
+ У (v - Vo)2 dt^VQ vo) dt = v0(<TOK - <Tnp).
Длина дуги большого круга сгпр меньше длины cj№ любой другой кривой на сфере, соединяющей те же точки Мц и Mi. Поэтому
Жпр < Жок.
Однако это справедливо лишь тогда, когда сгпр = МцМ\ < тгН. Если <тпр > ттН, то Wnp уже не всегда будет меньше Жж, а наименьшее значение действия W будет достигаться на дополнительной дуге большого круга, которая в этом случае будет представлять собой кратчайшее расстояние между Мц и Mi . Если будем двигать точку Mi по дуге большого круга, увеличивая эту дугу, то критической
точкой Mq (до этой точки НДр будет минимумом, а после перехода точки Mi через М^ уже не будет таковым) является точка, диаметрально противоположная точке Мц.
Аналогично обстоит дело и в общем случае. Доказывается), что если точка Му выбрана достаточно близко к Мд, то через Мц и Му проходит один прямой путь. Но при достаточном удалении точки Му от Мо через Мц и Му может проходить два прямых пути или даже целый пучок прямых путей. Такое положение М^ точки Му называют сопряженным кинетическим фокусом для Mq. Установлено, что действие вдоль прямого пути М^Му имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге М^Му нет сопряженного для Mq кинетического фокуса М^.
. Вторая форма принципа Гамильтона
Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п+ 1)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п + 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором
Рис. 32Рис. 32координатами точки являются величины qi, pi (г = 1, ..., п) и t. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки Во(ф-, Pi, to) и Ву^, р^, ty), а также всевозможные другие кривые, соединяющие эти точки («окольные» пути; см. рис. 32, п = 1).
Рис. 32
Рис. 32
Функции qi(t) и pi(f) (г = 1, ..., п), задающие прямой путь, удовлетворяют уравнениям Гамильтона
dqi дН dpi дН
"di =8^’ ~dt = ~~8qi {г = 1—п^ ^
Введем в рассмотрение функцию от 4п + 1 независимых переменных L*(t, qi, pi, ф, ф), определяемую равенством)
(2)(2)L* = У^ piqi - H^t, qi, pi).
(2)
(2)
г=1
С помощью этой функции канонические уравнения Гамильтона (1), как легко видеть, могут быть записаны в форме Лагранжа:
d dL* dL* dt dqi dqid dL* dL* dt dqi dqid_ dL^ _ dL^ dt дф dpid_ dL^ _ dL^ dt дф dpi(г = 1, ..., п).(г = 1, ..., п).(3)(3)
d dL* dL* dt dqi dqi
d dL* dL* dt dqi dqi
d_ dL^ _ dL^ dt дф dpi
d_ dL^ _ dL^ dt дф dpi
(г = 1, ..., п).
(г = 1, ..., п).
(3)
(3)
Так как прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл
(4)(4)У L*(t, qi, Pi, qi, Pi) dt to
(4)
(4)
имеет стационарное значение
(5)(5)
(5)
(5)
С первого взгляда может показаться, что вторая форма (5) для принципа Гамильтона ничем не отличается от первой 5W = 0, поскольку, согласно формуле (8) на с. 76, выражение L* совпадает с функцией L. Однако это не всегда так. Это справедливо лишь для движений системы, т. е. для таких путей qt = Qi(t), pt = pi(t) (г = 1, ..., n), у которых функции qi(t) и pt(t) связаны соотношениями
8LPi =8LPi =(г = 1, ..., п).(г = 1, ..., п).(6)(6)
8L
Pi =
8L
Pi =
(г = 1, ..., п).
(г = 1, ..., п).
(6)
(6)
Однако при второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой!) к сравнению допускаются в качестве окольных путей произ вольные кривые (2п + 1)-мерного расширенного фазового пространства, проходящие через точки Во и Вь Для этих путей соотношения (6) могут не выполняться, и потому в общем случае для них L* ф L. Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма принципа Гамильтона переходит в первую 5W = 0.
Заметим еще, что в отличие от точек Мо и Mi в первой форме принципа Гамильтона точки Во и Bi не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства в общем случае прямой путь провести нельзя. Точки Во и Bi выбираются на том прямом пути, для которого формулируется принцип Гамильтона.
. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре—Картана)
Выведем формулу для вариации действия 5W в общем случае, когда начальные и конечные моменты времени, так же как и начальные и конечные координаты, не фиксированы, а являются функциями параметра о:
(1)(1)to=to(a),Qi = Qi (а),
(1)
(1)
0=0(<Дq^ = q^ («)
В этом случае, дифференцируя интеграл W = J^ L dt по параметру си и интегрируя по частям, находим
Ldt =
to(a)
tl= Li 5ti — Lq 5t0 + J totl= Li 5ti — Lq 5t0 + J to8L ;8L\^-dqi + — dq» dt = 8 QitJQi/8L ;8L\^-dqi + — dq» dt = 8 QitJQi/
tl
= Li 5ti — Lq 5t0 + J to
tl
= Li 5ti — Lq 5t0 + J to
8L ;8L\
^-dqi + — dq» dt = 8 QitJQi/
8L ;8L\
^-dqi + — dq» dt = 8 QitJQi/
= Li 5ti + 52pHMt=ti - L05t0 - 52 P? [<Mt=t0 +
-i- qAt, a)8a-i- qAt, a)8atltltoto6qi dt;6qi dt;(2)(2)5a t=tx5a t=tx(z = 1, n; A = 0, 1).(3)(z = 1, n; A = 0, 1).(3)
-i- qAt, a)
8a
-i- qAt, a)
8a
tl
tl
to
to
6qi dt;
6qi dt;
(2)
(2)
5a t=tx
5a t=tx
(z = 1, n; A = 0, 1).(3)
(z = 1, n; A = 0, 1).(3)
С другой стороны, для вариаций конечных координат q^ = = ql\ti(a^ а] имеем формулы
5qt = Qi Sh +5qt = Qi Sh +8qi(t, a)8a8qi(t, a)8a5a t=h5a t=h
5qt = Qi Sh +
5qt = Qi Sh +
8qi(t, a)8a
8qi(t, a)8a
5a t=h
5a t=h
(z = 1, ..., zz).(z = 1, ..., n).(z = 1, ..., n).(z = 1, ..., zz).(z = 1, ..., n).(z = 1, ..., n).(4)(5)(4)(5)
(z = 1, ..., zz).
(z = 1, ..., n).
(z = 1, ..., n).
(z = 1, ..., zz).
(z = 1, ..., n).
(z = 1, ..., n).
(4)
(5)
(4)
(5)
или
5qt = [^]t=t! + ф1 Sti
Отсюда
[^ф=<1 = dq^ - q- 5ti
Совершенно аналогично
[^i]i=*0 = 5q° - q® 5t0
Подставляя выражения (4) и (5) для [5^ф=^1 и [5^]z=z0 в выражение (2) для 5W^ выражая, как обычно, ф через р^ и замечая, что
52 -ь = н,
г=1
получаем следующую формулу для вариации действия 8W в общем
случае:5W =случае:5W =52 р» Sq» - H6tЛ=1J о52 р» Sq» - H6tЛ=1J о5qi dt, (6)5qi dt, (6)toto
случае:
5W =
случае:
5W =
52 р» Sq» - H6t
Л=1J о
52 р» Sq» - H6t
Л=1J о
5qi dt, (6)
5qi dt, (6)
to
to
где
■ п" 1
;о-;о-52 Pi ^^i ~ H5t
;о-
;о-
Л=1J о
В частном случае, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е. когда q^ = q7(t. а) (г = 1, ..., п) — семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (6) равен нулю при любом а и формула для вариации действия принимает следующий
простой вид:
5W =5W =52 Pi 5Чг - H5tJ=1J о52 Pi 5Чг - H5tJ=1J о(7)(7)
5W =
5W =
52 Pi 5Чг - H5t
J=1J о
52 Pi 5Чг - H5t
J=1J о
(7)
(7)
Вместо расширенного координатного (п + 1)-мерного пространства возьмем расширенное фазовое (2п + 1)-мерное пространство, в котором координатами точки будут величины q^ Pi (г = 1, ... , п) и t. В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Со с уравнениями
qi = qi(a), Pi = pHaV t = tQ(a) (г = 1, ..., n; 0 < a < Z). (8)
Здесь при a = 0 и a = Z имеем одну и ту же точку кривой Со. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 33, п = 1)
qi = qt(t,a^ pt = pt(t, а) (г = 1, ..., щ 0 < a < Z), (9)
где
qi(C 0) = qi(t, Z), р^ 0) = p^t, Z) (г = 1, ..., n).
На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую Ci, охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Уравнения кривой Ci можно записать в виде1)
qi = qUa)i Pi=pUa)i 1 = ^а\(ю)
■*•) Каждому значению си из интервала 0 ^ a ^ Z соответствует определенная «образующая» трубки (прямой путь), а на этой образующей имеется только одна точка кривой Ci. Поэтому каждому значению а отвечает только одна точка кривой Ci, т. е. координаты точки кривой Ci являются функциями параметра а.
Рассмотрим действие W вдоль образующей трубки от кривой Со
до кривой Cv.
Рис. 33Рис. 33t0(a)t0(a)Тогда при любом а, согласно формуле (7),
Рис. 33
Рис. 33
t0(a)
t0(a)
5W = W,H =5W = W,H =52 Pi5® - H5tJ=1J о52 Pi5® - H5tJ=1J оИнтегрируя это равенство почленно по а в пределах от си = 0 до а = 1^ получаем
5W = W,H =
5W = W,H =
52 Pi5® - H5t
J=1J о
52 Pi5® - H5t
J=1J о
т. е.
(11)(11)
(11)
(11)
I =I =Pi 5qi - H6tPi 5qi - H6tТаким образом, установлено, что криволинейный интеграл
I =
I =
Pi 5qi - H6t
Pi 5qi - H6t
(12)
взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т. е. является интегральным инвариантом. Интеграл I мы будем называть интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана.
Докажем теперь обратное предложение. Пусть известно, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка
^ = Qi(t, qj, Pj), ^ = Pi(t, q^pj) (г = 1,п).(13)
(ЛЪ(Ли
Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным q^ р^ (г = 1, ..., п). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре- Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре-Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что
т. е. докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией К, которая входит в выражение под знаком интеграла I.
Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр) /д дополнив систему (13) еще одним уравнением:
dqi Qidqi Qidqn _ dpi Qn Pidqn _ dpi Qn Pidpn dt— = - = vdn.rn 1dpn dt— = - = vdn.rn 1(15)(15)
dqi Qi
dqi Qi
dqn _ dpi Qn Pi
dqn _ dpi Qn Pi
dpn dt
— = - = vdn.
rn 1
dpn dt
— = - = vdn.
rn 1
(15)
(15)
Здесь тг = тг(£, q^ p^ — произвольная функция от точки расширенного фазового пространства. Интегрируя систему (15), мы находим выражения для q^ pt и t в виде функций от переменной д и от произвольных начальных данных q^ р^ (?' = 1, ..., п) и ^о (при д = 0):
qt = <рМ q^ Pj, t0),
Pi = <М^ q^ Pj, to), (г = 1, ...,n).(16)
t = x(w q^ p°, t0)
Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку Мо(^, Pj, to) на кривой Со, т.е. в уравнения (16) вместо q^ р® и to следует подставить
Сделав это, мы найдем параметрические уравнения для прямых путей, образующих данную трубку,
^ = ^(д, а),^=^(/z, a), t = t(p,a)(17)
(г = 1, ..., щ 0 ^ а ^ Z);
здесь значение а выделяет определенный прямой путь («образующую» трубки), а значение параметра д фиксирует определенную точку на этом прямом пути.
Полагая д = const, мы на каждой образующей получаем точку, а на трубке — замкнутую кривую. Будем считать, что в интеграле (12) вместо q^ Pi и t подставлены их выражения (17). Тогда интеграл I будет представлять собой функцию параметра р и при каждом фиксированном значении р будет криволинейным интегралом вдоль соответствующей замкнутой кривой р = const.
В силу инвариантности,
dI = 0,
0 =0 =где буква d означает дифференцирование по параметру р. Проводя дифференцирование под знаком интеграла, находим:
0 =
0 =
^2 (dpi 5qi -Vpid Sqi) — dH St — H dSt
_i=l.
Написав 8 dqi и 8 dt вместо d 6 qi и dSt1) и проинтегрировав по частям вдоль замкнутого контура, получим:
— Spi dq^ — dH St + SH dt
' 9H A .( j 9H A . 1
dpi + dt Sqi + -dqi + -д— dt Spi +
,/\Opi J _
,rr 9H
—dH 4———ot
•*•) Операции d и 5 можно переставить местами, так как они представляют собой дифференцирование по различным независимым переменным ц и а. Далее, при интегрировании по частям проинтегрированная часть пропадает (равна нулю), так как конечная точка пути интегрирования совпадает с начальной. Поэтому для любых двух функций и и г при интегрировании по замкнутому контуру f и dv = — f v ди.
или, в силу (15), разделив почленно на dp = dtjiv,
( dH ЭН , \ Л
+ —— + ^- dt) 5t > тг. (18)
\ dtdt / J
Выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе тг, а это возможно только тогда, когда выражение в фигурных скобках равно нулю. Приравняв это выражение нулю, получим
что и требовалось доказать 1).
Из доказанного следует, что инвариантность интеграла Пуан- каре-Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона.
Замечание. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную у и использовали то обстоятельство, что интеграл I не меняет своего значения при переходе от одной кривой семейства у = const к другой кривой того же семейства. Из-за произвольности функции тг(£, qt, pi) семейство кривых у = const по существу является произвольным семейством непе- ресекающихся замкнутых кривых, охватывающих данную трубку прямых путей. Если мы не ввели бы параметр у, а приняли бы в качестве параметра время t, то, повторяя те же рассуждения, мы только частично использовали бы инвариантность интеграла I (только для кривых из одновременных состояний t = const) и не могли бы прийти к нужному результату.
Рассмотрим теперь подробнее структуру интеграла Пуанкаре- Картана.
В интеграле Пуанкаре-Картана (12) время t входит на правах координаты q^ а роль соответствующего импульса играет величина —Н, т. е. энергия, взятая с противоположным знаком. Это — далеко идущая аналогия.
Сделаем в интеграле I замену переменных, введя новую переменную г, связанную со старыми переменными соотношением
z =-H(t, Qi, Pi\(19)
■*•) Мы получаем еще тождество dH/dt = dH/dt, которое является следствием канонических уравнений Гамильтона [см. равенство (20) на с. 79].
Из этого соотношения выразим pv-
(20)(20)Pi = -K(t, qi, ..., qn, z, р2, ..., рп\
(20)
(20)
Тогда основной интеграл I в новых переменных запишется так:
1 =1 =zdt + pzdqzAVpn 5qn - К 5qvzdt + pzdqzAVpn 5qn - К 5qv(21)(21)
1 =
1 =
zdt + pzdqzAVpn 5qn - К 5qv
zdt + pzdqzAVpn 5qn - К 5qv
(21)
(21)
Таким образом, и в новых переменных интеграл I имеет вид интеграла Пуанкаре-Картана, но только теперь роль времени играет переменная Qi, а вместо прежней энергии Н стоит импульс pi, взятый с противоположным знаком, т. е. К. Поэтому, согласно доказанному ранее, в новых переменных движение системы должно описываться следующей гамильтоновой системой дифференциальных уравнений:
dt
_ ЭК
dz
ЭК
dqi
<^_
dz ’
dqi
dPj =
dt ’
ЭК
(j = 2,
и).
(22)
dqi
dPj’
dqi
dqj
Здесь независимой переменной является щ.
Проиллюстрируем это на примере линейного осциллятора. Для него
22
Р . сд
2m 2
Составим канонические уравнения, приняв за независимую переменную д.
Для этого положим
22 \
z — —z — —Р , сд \2m 2 / ’
z — —
z — —
откудаоткудар =V—2z — сд2.р =V—2z — сд2.
откуда
откуда
р =V—2z — сд2.
р =V—2z — сд2.
Таким образом, в нашем случае
К = — Дт V-2^ — сд2.
Соответствующие канонические уравнения (22) запишутся так:
dt _ Гт 1dz
dq N с^]с^ - q2 ’ dq
Из второго уравнения z = const = —h. При помощи квадратуры находим t;
. Г dq
cut =—,= — а.
J y/Zh/c^g2
где ш = д/с[т^ а а — произвольная постоянная, или
cut + а = arcsin а — q.
т. е.т. е.q = A sin (cut + а)q = A sin (cut + а)
т. е.
т. е.
q = A sin (cut + а)
q = A sin (cut + а)
. Гидродинамическая интерпретация основногоинтегрального инварианта. Теоремы
Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях
Для конкретной интерпретации понятия об интегральном инварианте рассмотрим движение идеальной жидкости под действием внешних сил с потенциалом П(^, ж, у, z). Как известно из гидродинамики) , уравнение движения частицы такой жидкости имеет вид
а = — gradll — - gradp,(1)
Р
где а — ускорение частицы, р и р — ее плотность и давление, а потенциал П отнесен к единице массы.
Примем, что р и р связаны функциональным соотношением р = /(р) (это, в частности, имеет место при изотермическом протекании процесса). Тогда, положив
мы запишем уравнение (1) в виде
а = — grad П.(1')
Последнее уравнение показывает, что движение частицы жидкости идентично движению материальной точки с массой т = 1 в потенциальном поле П = П(£, ж, р, z). Поэтому для движения частиц жидкости интегральным инвариантом будет интеграл Пуанкаре-Картана, который в данном случае имеет вид
I = ^ и8х + v бу + w 8z — Е 6t,(2)
где ж, ж, w — компоненты скорости частицы (они в данном случае [при т = 1) представляют собой импульсы рф Е — энергия, определяемая формулой
Е = | (и2 + и2 + w2) + n(t, ж, у, z).(3)
Таким образом, интеграл (2), взятый вдоль произвольно замкнутого контура в семимерном пространстве (Г х, у, z, и, и, w), не меняет своей
величины при произвольном смещении точек контура в соответствии с движением жидкости. Это движение происходит в соответствии с дифференциальными уравнениями,которыевсилу формулы (1') имеют вид
dxdudz
— =и,—=и,— = W,
dtdtdt
du__dH dv__dH dw _ _dHdt dx dt dy* dt dz *
Для данного частного случая уравнения (4) представляют собой канонические уравнения Гамильтона.
Если задано конкретное движение жидкости, при котором поле скоростей известно, т. е. если известны функции u^t, х, у, z), v(t, х, у, z), w(t, xi IT ^^ то интеграл (2) можно рассматривать как интеграл в расширенном координатном пространстве, т. е. в четырехмерном пространстве t, х, у, z. Значение этого интеграла не меняется, если мы точки контура интегрирования произвольно сместим вдоль путей движения частиц, т. е. интеграл
I u(t, х, у, z) dx + и(Г xi IT ^) dy + w(t, х, у, z) dz — E(t, х, у, z) dt (5) с
является интегральным инвариантом в расширенном координатном пространстве для движения жидкости с заданным полем скоростей.
Если контур интегрирования состоит из одновременных состояний (t = = const), то интеграл (2) принимает вид
I ибх + V бу + w §z.(6)
с
В гидродинамике этот интеграл называется циркуляцией скорости вдоль контура С. Мы попутно получили теорему Томсона о сохранении циркуляции скорости: величина циркуляции (6) не изменится, если частицы жидкости, образующие контур в момент времени ti, перевести в положения, занимаемые ими в произвольный другой момент времени ^2.
Если частицы жидкости в некоторый момент времени образуют линию, то эти же частицы в другой момент образуют другую линию. Мы будем говорить о перемещающейся и деформирующейся со временем «жидкой линии». Аналогично определяется понятие «жидкой поверхности».
Теорема о сохранении циркуляции утверждает, что каждой замкнутой жидкой линии отвечает определенная циркуляция.
Заметим, что согласно формуле Стокса1) интеграл (6) записывается в виде интеграла по поверхности S, ограниченной контуром С:
Ц E.dydz^Tidzdx^C.dxdy,(7)
с
где
_ dw ди _ ди dw _ ди ди,.
др dz' ^ dz dx'dx dy
— компоненты некоторого вектора П. называемого вихрем (ротором) скорости или просто вихрем. Интеграл (7) обычно представляют в виде
ff^lndS,(7')
S
где Qn — проекции вектора П на нормаль к поверхности, a dS — элемент площади поверхности S. Отсюда видно, что интеграл (7) задает величину потока вихря через поверхность. Теорема о сохранении циркуляции скорости переходит в теорему о сохранении потока вихря: каждой ограниченной жидкой поверхности соответствует определенная величина потока вихря через эту поверхность1).
Движение жидкости с заданным полем скоростей определяется дифференциальными уравнениями
dxх dyх dz ,х
— = U\t, X, У, Z).— = u(t, X, У, Z),— = Wkt, X, У, Z).9
По отношению к интегральным кривым системы (9) интеграл (5) является интегральным инвариантом.
Поставим вопрос, какие другие системы дифференциальных уравнений вида
dxdydzdt.
P(t^ x, у, z)Q(ts x, y, z) R(t, x, y. z)U(ts x, y, z)
наряду с системой (9) обладают тем же свойством, т. е. для каких еще систем интеграл (5) является интегральным инвариантом?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях системы (10) параметр ц и приравняем, как это делалось в предыдущем параграфе, отношения (10) произведению тг(Г х- IT z) dp, где тг — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий эту трубку замкнутый контур С, для которого ц = const = с. Заметим, что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величины ц = с.
Обозначая буквой d дифференцирование по ц и проводя те же рассуждения, что и на с. 105, мы получим, опираясь на формулы (8):
0 = d^u5x-\-u5y-\-w5z — E5t =
= ^ du5x + du бу + dw 5z — dE 5t — 5udx — 5u dy — 5w dz + 5E dt =
•*•) Отсюда, в частности, следует, что в жидком объеме идеальной жидкости вихри не могут ни исчезать, ни появляться [если, конечно, силы имеют потенциал и имеет место соотношение р = f(p)\-
ди дЕ\ „ _ г п _ г п _
— + ^— \ dt бх + * бу + * бz + dt дх
Г ди _dudw ,дЕ 1
+ —dE - — dx-— dy -— dz+— dt5t,
dtdtdtdt
где коэффициенты при бу и бz получаются из коэффициента при бх циклической перестановкой.
Заменим dx, dy, dz, dt знаменателями дробей (10), умноженными на тг(£, х, у, z) dt. Так как при любом выборе функции ir(t, х, у, z) выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом, то оно должно тождественно равняться нулю. Поэтому выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю (после замены в них дифференциалов dx, dy, dz, dt пропорциональными величинами Р, Q, R, U), т. е.
имеют место равенства:
nR-CQ+(^ + ^)u = 0,\dt dx )
(11)
^Q - п? +^Q - п? +dw dE\
^Q - п? +
^Q - п? +
^ = 0dt dz )
ииdu dE\ dt dx )du dE\ dt dx )P +P +du эе dt dydu эе dt dydw dE\dt dz )dw dE\dt dz )R = 0.R = 0.(12)(12)
и
и
du dE\ dt dx )
du dE\ dt dx )
P +
P +
du эе dt dy
du эе dt dy
dw dE\dt dz )
dw dE\dt dz )
R = 0.
R = 0.
(12)
(12)
Соотношение (12) является следствием равенств (И), если U ф 0, и равенств (11) и (1'), если U = 0.
Равенства (11) совместно с уравнениями (10) определяют все дифференциальные системы, по отношению к которым интеграл (5) является интегральным инвариантом. Среди этих систем будем искать те, для которых U = 0, т. е. dt = 0. Тогда из (11) найдем:
Р = Q = Р
£ л С
и система (10) примет вид
(13)(13)dx _ dy _ dz _ dt
(13)
(13)
Интегральные кривые системы (13) носят название вихревых линий.
Таким образом, система дифференциальных уравнений вихревых линий является единственной системой с dt = 0, по отношению к которой интеграл (5) является интегральным инвариантом1).
х) Интеграл (5) является интегральным инвариантом и для других систем [например, для системы (9)], у которых dt ф 0.
Из этого положения вытекает важное следствие.
Возьмем в пространстве (ж, у, z, t) произвольную трубку вихревых линий и два охватывающих ее контура Ci и С-2 (рис. 34). В силу инвариантности интеграла (5) относительно вихревых линий
uSx + и бу + w 8z — Е St = ^ uSx + и бу + w Sz — Е St.
С1с2
Зададим произвольно величину т > 0 и переместим любую точку пространства (х, у, z, t) в точку (ж', у', z', t + т), где х', у', z — координаты в момент t-\-T той частицы жидкости, которая в момент t имела координаты ж, у, z. При таком сдвиге вдоль траекторий частиц жидкости вихревые линии перейдут в некоторые новые линии, которые мы назовем «перемещенными линиями». Взятая нами трубка вихревых линий перейдет в трубку перемещенных линий, а контуры Ci и С-2 — в контуры Di и D2 (см. рис. 34)т) . Так как сдвиг осуществлялся движением частиц
Di D2
Можно считать, что Di и D2 — два произ-
вольных контура, охватывающих трубку пере
мещенных линий. Поэтому равенство (14) выражает инвариантность интеграла (5) по отношению к «перемещенным линиям». При этом вдоль каждой перемещенной линии, как и вдоль вихревой, dt = 0. Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, могут обладать только вихревые линии. Значит, перемещенные линии являются вихревыми линиями. При этом время смещения т является произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой.
Мы пришли к теореме Гельмгольца, которую можно сформулировать и так: вихревая линия есть жидкая линия.
Попутно мы получили, что с каждой вихревой трубкой связана определенная «интенсивность», определяемая интегралом
и Sx + v Sy + w Sz — E St.(15)
c
Величина этой интенсивности не меняется при движении жидкости. Если будем брать трубку вихревых линий для одного и того же момента времени t (St = 0), то интенсивность (15) представляет собой циркуляцию скорости вдоль контура С
uSx + v Sy + w Sz.
с
§ 20. Обобщенные консервативные системы.Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби.
Принцип наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа
Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, т. е. произвольную (быть может, и ненатуральную) систему, для которой функция Н не зависит явно от времени. Для нее имеет место обобщенный интеграл энергии
H(qi,pi)=h.(1)
Этот интеграл аналогичен интегралу сохранения импульса рх = = с, который имеет место в случае, когда qx является циклической координатой, т. е. когда dH/dqx = 0.
Исходя из аналогии между переменной времени t и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы.
С этой целью рассмотрим обычное (т. е. нерасширенное) 2п-мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины q^ pi (г = 1, ..., п). Ограничимся рассмотрением только тех точек фазового пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1) с фиксированным значением постоянной Hq. Другими словами, мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии
Н = Н^, р^ = Ао.
Тогда основной интегральный инвариант I представится в виде
р п
I = i^PiSqt,(2)
i=l
поскольку, в силу равенства (1),
ф Н St = Hq ф St = 0.
Теперь разрешим уравнение (1) относительно одного из импульсов, например pv.
(3)(3)Pi = -K(qb ..., qn, p2, ..., pn. M,
(3)
(3)
и полученное выражение подставим вместо pi в интеграл (2); тогда
(4)(4)
(4)
(4)
Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре- Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины qj и pj (j = 2, ..., п), а переменная q^ играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. §18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2п — 2:
^ = ^=0 = ^---^-(5)
dqi opj aqi oqj
Эти уравнения были получены Уиттекером и носят название уравнений Уиттекера.
Проинтегрировав систему уравнений Уиттекера, мы найдем величины qj и pj (j = 2, ..., п) как функции от переменной q^ и 2п — 2 произвольных постоянных щ, ..., С2п-2 5 кроме того, интегралы уравнений Уиттекера будут содержать произвольную постоянную Ло, т. е. будут иметь вид
Qj = ^<91, h0, ci, ...,c2n_2), pj = ^j(qi, h0, c^ c2n_2)
0 = 2,W
После этого, подставив выражение (6) в формулу (3), найдем аналогичное выражение для
Pi = ^(qi, Ло, щ, ..., с2п-2).(6')
Таким образом определяются все траектории в фазовом пространстве, т. е. геометрическая картина движения.
Зависимость координат от времени t мы получим из уравнения dq^/dt = дН/др\ при помощи квадратуры
t = / дН/дрг +C2n"i;
при этом в частной производной дН/др\ все переменные выражены через щ с помощью равенств (6) и (6').
Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) может быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа:
d ЭР ЭР dqi dq’j dq.d ЭР ЭР dqi dq’j dq.U = 2, ПГU = 2, ПГ(8)(8)
d ЭР ЭР dqi dq’j dq.
d ЭР ЭР dqi dq’j dq.
U = 2, ПГ
U = 2, ПГ
(8)
(8)
р = 4 ц+н) =Q1р = 4 ц+н) =Q12ТQi ’2ТQi ’(П)(П)
р = 4 ц+н) =
Q1
р = 4 ц+н) =
Q1
2Т
Qi ’
2Т
Qi ’
(П)
(П)
где q'j = dqj/dqi, а функция P (аналог функции Лагранжа) связана с функцией К (аналогом функции Гамильтона) равенством1)
Р = Р(9ъ qn, q'2, q'n) = ^ PjQj ~ К- ()
J=2
Обратим внимание на то, что система (8) содержит не n, а п - 1 уравнений второго порядка. В последней части этого соотношения импульсы р^ должны быть заменены их выражениями через
, _ ^2, _ dqn
42 " dq?dq?
которые могут быть получены из первых п — 1 уравнений (5).
Преобразуем выражение для функции Р, исходя из равенств (3)
И (9):nп
р = У PjQj + Pl = 4 У Pi4i = I(L + Н\ (10) 3=291 г=191
причем кинетическая энергия Т может быть записана в виде
1 п
Т = 9 У dikQiQk = сЦсУц, ..., qn, q2, .. ■, qV); (12) г, k=l
здесь
1 n
G(.qi, ..., qn, q2, ..., q^ = - ^ а^д'к (q^ = 1).(13)
i,k=l
Из равенств (1) и (12) находим
(14)(14). h-П
(14)
(14)
Qi = \
т) См. равенство (8) на с. 76.
и получаем для функции Р следующее выражение:
2Т
(15)(15)р = — = гЛЛЛщ.
(15)
(15)
41
Дифференциальные уравнения (8), в которых функция Р имеет вид (15) и которые, таким образом, относятся к натуральным, т. е. обычным, консервативным системам, носят название уравнений Якоби).
Интегрируя уравнения Якоби, мы определяем все траектории в координатном пространстве (щ, ..., q^
t =t =-dqi +c2n-i.h — 11-dqi +c2n-i.h — 11(17)(17)
t =
t =
-dqi +c2n-i.
h — 11
-dqi +c2n-i.
h — 11
(17)
(17)
Переходим теперь к установлению принципа наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа. Поскольку уравнения (8) являются уравнениями типа Лагранжа, то из них вытекает
(18)(19)(18)(19)вариационный принцип, согласно которому для прямого пути
(18)
(19)
(18)
(19)
гдегде6W* = О,
где
где
91w* = I Pdqi
91
— действие по Лагранжу. Здесь «допус
каются к соревнованию» все движенияр^ ^
обобщенно-консервативной системы, кото-*
рые переводят систему из заданного начального положения q^ в заданное конечное положение q^ (рис. 35). При этом моменты времени ^о и й не фиксируются и при переходе от прямого пути к окольным могут варьироваться).
Выражая в интеграле (19) функцию Р с помощью равенства (10), находим связь между действием по Лагранжу W* и действием по Гамильтону W:
tititi
w* = j(L + H)dt = j Ldt + h j dt = W + /1^1 - t0\(20)
tototo
В случае обычной (натуральной) консервативной системы можно воспользоваться выражением (11) и представить действие по Лагранжу в виде
ЧNN
W* = 2Тdt =mvu^ dt = У^ / mvuv dsv. (21)
toto ^=1^^B
Но при этом уже имеется в виду, что «к соревнованию» допускаются только те движения системы, при которых полная энергия системы имеет одно и то же значение h (изоэнергетичность!).
Полученное выражение для W* показывает, что действие по Лагранжу W* равно работе векторов количеств движения точек системы на соответствующем перемещении системы.
Вариационный принцип (18) носит название принципа наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа).
В качестве примера рассмотрим сравнение оптического принципа Ферма с принципом наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа).
Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы время пробегаs
* = / ^1И>
80 было минимальным.
Введя в каждой точке среды коэффициент преломления п = с/г — отношение скорости света с в пустоте к скорости г в данной среде, — мы преобразуем эту формулу к виду s
t = - / nds.
с J
so
где n — функция точки среды. Поэтому принцип Ферма запишется так:
8 J nds = 0.(23)
80
С другой стороны, для одной материальной точки с массой т принцип Мопертюи-Лагранжа дает (поскольку (l/2)mf2 + П = h)
6 J mu ds =§ J — П) ds = 0.(24)
Траектория светового луча совпадает с траекторией материальной точки, если [см. формулы (23) и (24)]
П = /г-|п2.(25)
Если принять, что вблизи поверхности Земли показатель преломления п убывает как линейная функция высоты z
где Н — высота атмосферы, то, пренебрегая малыми членами порядка {z/H}2, можно написать
^Дс + дг,(27)^Дс + дг,(27)П = h — | ng (1 — 2 к
^Дс + дг,(27)
^Дс + дг,(27)
где
,1 2кп20
c = h--n0,9 = ДГ*
Формула (27) определяет потенциал силы тяжести вблизи поверхности
Земли с видоизмененным значением д.
Поэтому если показатель преломления п указанным образом изменяется с высотой, то свет распространяется по параболе с вертикальной осью.
§ 21. Движения по инерции. Связь с геодезическимилиниями при произвольном движенииконсервативной системы
Пусть дана произвольная склерономная система; ее кинетическая энергия равна
п Т=9 Е aik(qi, дп)<Мк-(1)
г, к = 1
Введем метрику в координатном пространстве (gi, ..., qn\ определив квадрат длины дуги ds2 с помощью положительно определенной квадратичной дифференциальной формы
ds2 = У a.k^qi, qn)dqtdqk.(2)
г, к = 1
а%к ^Qi dqk.а%к ^Qi dqk.Тогда величина дуги кривой, соединяющей две точки координатного пространства (д°) и (д»), определяется равенством
а%к ^Qi dqk.
а%к ^Qi dqk.
(3)
Сопоставляя формулы (1) и (2), найдем, что при движении системы
\dt)
т. е. что кинетическая энергия системы [при метрике (2)] всегда совпадает с кинетической энергией изображающей точки в п-мерном координатном пространстве, если этой точке приписать массу т = 1.
Рассмотрим теперь движение системы по инерции (П = 0). Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий [по отношению к метрике (2)]. Из интеграла энергии
Т = h, согласно формуле (4), следует, что
т. е. движению по инерции (а также любому движению с постоянным значением h кинетической энергии) соответствует в координатном пространстве (#1, • • •, Qn) равномерное движение изображающей точки со скоростью yf^h.
В соответствии с принципом наименьшего действия геодезические линии являются экстремалями 1) вариационной задачи
5W = 0,(6)
где W* — действие по Лагранжу. Но в рассматриваемом случае как для прямого, так и для окольного пути имеет место интеграл энергии Т = h с фиксированным значением /г; поэтому
t
w* = 12Т dt = 2Ц1 - to) = V2hs,(7)
to
где s = V2h(t — to) — длина кривой в координатном пространстве (qi, ...
• • • , qn\
Вариационная задача (6) принимает вид
6s = 6^ агк dqi dqk = 0.(8)
(q0) V,fc=i
Таким образом, геодезическая линия характеризуется тем, что длина дуги этой кривой имеет экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с дугами других кривых, имеющими с геодезической одни и те эюе концы) (см. рис. 35 на с. 115).
В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга геодезической.
Поэтому геодезические линии называются также кратчайшими линиями в пространстве.
Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. склерономную систему с не зависящей явно от t потенциальной энергией П = П(щ, ..., qn). Тогда, согласно формулам (15) и (19) предыдущего параграфа,
Поэтому движение консервативной системы с данным значением полной энергии h осуществляется в координатном пространстве вдоль экстремали вариационной задачи (с закрепленными концами)
Сопоставляя формулу (10) с формулой (8), заключаем, что для консервативной системы траектории прямых путей являются геодезическими линиями в координатном пространстве с метрикой
ds^ = (h - П) У^ aik dqi dqk.(11)
i, k = l
§ 22. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.Теорема Ли Хуа-чжуна
Рассмотрим теперь интеграл I = f р™=1 Pi §qi — Н вдоль контура С, состоящего из одновременных состояний системы. Такой контур получается, если трубку прямых путей (см. рис. 33 на с. 101) рассечь гиперплоскостью t = const. Для такого контура St = 0 и основной интегральный инвариант принимает вид
(1)
Этот интеграл был впервые введен Пуанкаре. Позже Картан рас
пространил этот интеграл и на контуры, состоящие из неодновременных состояний, введя дополнительное слагаемое —Н 51.
Интегральный инвариант Пуанкаре Д не меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С', состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл Ii удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) 2п-мерном фазовом пространстве (щ, pi, ..., qn. рп). В рэтом пространстве контурам С и С1 (рис. 33)
соответствуют контуры D и D' охватываю/г щие трубку «прямых» траекторий (рис 36);
/при этом
Г пЛГ ПЛ
J » pt 5Qi = f^Pi ^qt-
Заметим, что один из контуров D и D' например D. можно выбрать совершенно проРис’ 36извольно. Можно считать, что точки контура
D являются различными состояниями системы в один и тот же мо
мент времени t; тогда соответствующие состояния системы в момент времени f составят контур D'.
Вместо фазового пространства рассмотрим отдельно п фазовых плоскостей qi^ Pi (г = 1, ... , п). Спроектируем произвольный замкнутый контур D. расположенный в фазовом пространстве, на эти плоскости (рис. 37). Получим контуры Di (г = 1, ..., п). Тогда для любого г
Pi 6qt = Pi ^i =(2)
DDi
Рис. 37Рис. 37где Si — площадь области, ограниченной контуром Di в плоскости (qi, р^ (г = 1, ... , п). Направление обхода контура D индуцирует направление обхода на проекции Di. В формуле (2) перед Si берется знак плюс, если контур Di обходится по часовой стрелке (т. е. в направлении кратчайшего поворота оси pi к оси qi), и знак минус — в противном случае.
Рис. 37
Рис. 37
Тогда
11 = ^2 Pi Sqt = ^ ±St-(3)
г=1г=1
Таким образом, при движении системы меняются кон
туры D и D^ изменяются и площади Si, но алгебраическая сумма (3) этих площадей остается неизменной. Это и есть геометрическая интерпретация инвариантности интеграла Пуанкаре.
В выражение для Д не входит Н. Следовательно, интеграл Пуанкаре /1 является инвариантом для любой гамильтоновой системы. Поэтому интеграл Д называется универсальным интегральным инвариантом.
Нетрудно доказать и следующее положение.
Если для некоторой системы дифференциальных уравнений
/х dp; _ zх
—- = Qt(t, qk, pk\ — = qk, pk)( x
(z = 1, ..., n)
интеграл Д является инвариантом, то система (4) является гамильтоновой.
Действительно, в этом случае
a d ТfdPi £ d \
° = Л7 J1 = Ф / . Mr 5qi + Pi -Т. 5qt =
at J у atat }
dqA(dpi dqi \
Z = 1
Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции 1) qk, р^;
52 № S4i "" Qi SPi^ = -SH^t^ Qk, pQ, Z = 1
что и требовалось доказать.
Отметим еще следующие термины: интеграл Пуанкаре-Картана I и интеграл Пуанкаре Д называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Термин «относительный» означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур; первый порядок означает, что в выражение, стоящее под знаком интеграла, дифференциалы входят линейно. Заметим, что относительный интегральный инвариант первого порядка 1^ при помощи
т) Здесь 5Н = £^=1 ^9Н/адг) 5дг + (9Н/аРг) 5Pi\
формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного интегрального инварианта второго порядка
(5)(5)
(5)
(5)
где интеграл в правой части берется по поверхности S, ограниченной замкнутым контуром D.
Эта формула в применении к интегралу Д дает
Известно, что в фазовом 2п-мерном пространстве существуют следующие универсальные относительные интегральные инварианты Isk-i нечетных порядков и абсолютные интегральные инварианты J^k четных
порядков,порядков,7з7з=л=//// ^ ^ ^ ^^=л=//// ^ ^ ^ ^^^2п-1 —^2п-1 —• • ^Pin ^Qin — ^2п• • ^Pin ^Qin — ^2п5Рй £дй ...Spt^q^.5Рй £дй ...Spt^q^.
порядков,
порядков,
7з
7з
=л=//// ^ ^ ^ ^^
=л=//// ^ ^ ^ ^^
^2п-1 —
^2п-1 —
• • ^Pin ^Qin — ^2п
• • ^Pin ^Qin — ^2п
5Рй £дй ...Spt^q^.
5Рй £дй ...Spt^q^.
В 1947 г китайский ученый Ли Хуа-чжун доказал единственность этих универсальных интегральных инвариантов. Он показал, что всякий другой универсальный интегральный инвариант отличается постоянным множителем от одного из перечисленных интегралов ).
Нам в дальнейшем понадобится теорема Ли Хуа-чжуна для интегрального инварианта первого порядка; поэтому мы формулируем эту теорему для произвольного п и докажем ее для n = 1.
Теорема Ли Хуа-чжуна. Если
р п
I' = Ф X ^^’ %’Р*) §4i + ВЛ, qk, рк) 5pi]
J г=1
универсальный относительный интегральный инвариант, то
г = сЛ,(6)
где с — постоянная, а 1\ — интеграл Пуанкаре.
Доказательство. Пусть
I’ = ф A^t^ q, р) 5q + В(£, q, р) 5р
универсальный интегральный инвариант. Интегрирование ведется по замкнутому контуру в фазовой плоскости (q, р). Пусть далее дана какая-либо гамильтонова система дифференциальных уравнений с функцией H(f q^ р):
dqЭНdpЭН
dtЭр 1dtdq *
Общее решение этой системы имеет вид
q = q(t, q0, р0), Р = p(t, q0, Ро),(8)
где qo^ Ро — начальные значения q, р при t = t^.
Пусть
q = qo(a^ Р=Ро(«)
[О < а < I; 9о(О) = 9о(0, Ро(О) = Ро (01(9)
— уравнения замкнутого контура Dq в фазовой плоскости (рис. 38).
Точки, которые в момент t = to находились на контуре Do. в произвольный другой момент времени t образуют контур D. Параметрические уравнения этого контура получаются из равенств (8), если туда вместо qo и ро подставить их выражения (9). Сделав это, получим:
q = q(f а), р = p(f а) (0 < а < I).(10)
Подставляя эти функции вместо q и р в интеграл /', мы получим Г как функцию параметра t. Из инва
риантности Г следует, что di’/dt = 0. Дифференцируя под знаком интеграла и интегрируя по частям 1), находим
di’fdAdBdd
° == ф—5q^—-5p^A — 5q^B — 5p =
dtJ dtdtdtdt
fdAdBdqdp
= ф —— 5q H—— 5p У A5 — У В 5—- =J dtdtdtdt
■*•) См. примечание 1 на с. 105. В процессе преобразований мы полагаем 6А = = (ЭА/dq) dq + (дА/др) др, дВ = {dB/dq) dq + (дВ/др) dp и затем используем уравнения (7).
dA _ _ . dq dB _ г dp-5q- 5А+ -5р- 5В 4-dt dt dt dt
гдегдеdB\ dp8A"dq } dtdtdB\ dp8A"dq } dtdt/8В 8A\ dq 8B~\ _ \8q dp } dt dt _
где
где
dB\ dp8A"
dq } dtdt
dB\ dp8A"
dq } dtdt
dH 8A\ c / dH dB—h —- I 5q + I —Z —h ——dq 8t )\8p 8t
dA 8B dp dq *
Последний интеграл равен нулю при любом значении переменной t, рассматриваемой как параметр, и при произвольном контуре интегрирования. Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом относительно переменных q и р. Отсюда
89А\ _ 8_9В\
8р \8q 8t )8q\др dt / ’
или после элементарных преобразований
8Z 8Н 8Z 8Н 8Zдр dq dq dp dt
Так как функцию Н можно выбрать совершенно произвольно, то
dZ dpdZ dpdq dt 1dq dt 1
dZ dp
dZ dp
dq dt 1
dq dt 1
т. е.т. е.dA dpdA dp
т. е.
т. е.
dA dp
dA dp
dB
—- = const = c.
8q
Тогда
d^A — cp) dBdp dq
и, следовательно, существует функция Ф(^, q^ р^ такая, что1)
дФдФ
(Л — ср) 5q + В 5р = —— 5q + —— 5р = 4Ф.dqdp
•*•) Здесь время t рассматривается как параметр.
Но тогда
A 5q + В 5р = ср 5q + 5Ф,
и потомуи потому^ A 6q^ A 6q+ В Зр = с ф р 5q = с1ъ+ В Зр = с ф р 5q = с1ъ
и потому
и потому
^ A 6q
^ A 6q
+ В Зр = с ф р 5q = с1ъ
+ В Зр = с ф р 5q = с1ъ
что и требовалось доказать.
При п > 1 идея доказательства сохраняется, хотя само доказательство становится более сложным.
§ 23. Инвариантность объема в фазовом пространстве.Теорема Лиувилля
Рассмотрим «полный» абсолютный интегральный инвариант
J = I'l 6pi5q!...6pn5qn.(1)
Инвариантность этого интеграла означает инвариантность фазового объема в 2п-мерном фазовом пространстве и устанавливается следующим образом1).
Запишем конечные уравнения движения, получающиеся после интегрирования уравнений Гамильтона, в следующем виде:
= зД, з£, Р/D, Pi = qM gg, p°k) (г = 1,n),(2)
где q^ Pk — начальные значения q^ pk при t = t^ ^k = V ... ^ пф
Выберем в фазовом пространстве некоторый объем J^ и примем каждую точку из этого объема за начальную (при t = ^о)- Тогда преобразование (2) к моменту времени t переводит объем J^ в объем J. При этом
J= ф ..ф I6q^p»...«,(3)
где
т_ 8(дг, pi, .дп, Рп)
т. е. I является якобианом, составленным из частных производных от q^ pj по начальным данным q^p^ (г, 3 = 1, ..., п). Без нарушения общности, мы можем считать, что якобиан, стоящий в равенстве (3) под знаком интеграла, положителен, и опустить знак абсолютной величины.
•*•) В дальнейшем (см. § 31) инвариантность фазового объема будет установлена, исходя из общих свойств движения гамильтоновых систем.
При t = to этот якобиан равен 1, поскольку при этом значении t все Qk = 9^ и Рк = Р^- При изменении t якобиан изменяется непрерывно, не обращаясь в нуль, так как особые точки, в которых этот якобиан мог бы обратиться в нуль, исключаются из рассмотрения, т. е. предполагается, что в рассматриваемом объеме таких точке нет. Тогда якобиан положителен в этом объеме 1).
Дифференцируя по t под знаком интеграла, получаем:
5qi 5pi . ..5qn5pn. t=to5qi 5pi . ..5qn5pn. t=toJoJo
5qi 5pi . ..5qn5pn. t=to
5qi 5pi . ..5qn5pn. t=to
Jo
Jo
di dtdi dt1° при г ^ j1° при г ^ j8q>8q>NN= 0,= 0,припри3° при3° при8Pj8Pj9p°t9p°tt=tot=tot=t0t=t0любом глюбом гt=tot=toлюбом глюбом гt=to —t=to —dqt 8q®dqt 8q®= 0,= 0,= 1,= 1,t=tot=toнаходим:находим:t=tot=toии8pt8p®8pt8p®t=t0t=t0ДляДляi = 1, ..., пi = 1, ..., пдля г = п + 1, ..., 2п;для г = п + 1, ..., 2п;
di dt
di dt
1° при г ^ j
1° при г ^ j
8q>
8q>
N
N
= 0,
= 0,
при
при
3° при
3° при
8Pj
8Pj
9p°t
9p°t
t=to
t=to
t=t0
t=t0
любом г
любом г
t=to
t=to
любом г
любом г
t=to —
t=to —
dqt 8q®
dqt 8q®
= 0,
= 0,
= 1,
= 1,
t=to
t=to
находим:
находим:
t=to
t=to
и
и
8pt
8p®
8pt
8p®
t=t0
t=t0
Для
Для
i = 1, ..., п
i = 1, ..., п
для г = п + 1, ..., 2п;
для г = п + 1, ..., 2п;
Подсчитаем производную от якобиана J:
2n
= 52 i^it=to ’
t=tQ г=1
где li — определитель, получаемый из якобиана дифференцированием г-й строки. Учитывая теперь, что
поэтому
di dtdi dtt=tot=to2п2пдщ dpt"dq® dp9jt=toдщ dpt"dq® dp9jt=to" a УД,Qj- 8р®" a УД,Qj- 8р®8 дН0" М 8^ .8 дН0" М 8^ .Г д^Но д^Но 1Г д^Но д^Но 1Nt др® Эр^Эс^.Nt др® Эр^Эс^.= 0.= 0.
di dt
di dt
t=to
t=to
2п
2п
дщ dpt"
dq® dp9jt=to
дщ dpt"
dq® dp9jt=to
" a УД,
Qj- 8р®
" a УД,
Qj- 8р®
8 дН0" М 8^ .
8 дН0" М 8^ .
Г д^Но д^Но 1
Г д^Но д^Но 1
Nt др® Эр^Эс^.
Nt др® Эр^Эс^.
= 0.
= 0.
•*•) В доказательстве на с. 162, упомянутом в предыдущем примечании, не требуется каких-либо предположений об особых точках.
Таким образом, (dJ/dt)t=tQ = 0. Так как начальный момент ^о можно выбрать совершенно произвольно, то для любого t
(4)(4)у.,0.
(4)
(4)
dt
т. е. величина фазового объема J не изменяется при сдвиге точек этого объема из состояний, занимаемых в момент времени ^ в состояния, занимаемые в произвольный другой момент времени t.
Из инвариантности фазового объема вытекает одна из основных теорем статистической механики — теорема Лиувилля.
Представим себе, что имеется очень большое число совершенно одинаковых «экземпляров» системы, отличающихся друг от друга только начальными состояниями q^ р^ (г = 1, ..., п). Все эти «экземпляры» образуют статистический ансамбль.
Примером статистического ансамбля является совокупность молекул газа, находящегося в данном объеме.
Каждому элементу объема dV фазового пространства можно отнести «массу» dp. характеризующую количество «экземпляров», приходящихся на данный элемент объема dV. В силу доказанной инвариантности объема в фазовом пространстве величина dV не меняется с течением времени. По своему физическому смыслу не изменяется и величина dp, так как экземпляры, находившиеся в объеме dV в какой- то момент времени, будут перемещаться вместе с этим объемом. Поэтому при движении остается неизменной плотность статистического ансамбля
/\ dpz .
Qi. Рг) = ^7,(5)
т. е.
В развернутом виде равенство (6) может быть записано так (см. §15):
^ + № = 0,(6')
где (pH) — скобки Пуассона. Согласно равенству (6), функция р(£, q^ р^ является интегралом движения.
Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема Лиувилля. Плотность статистического ансамбля всегда является интегралом движения.
Так, например, для консервативной системы любая функция от энергии системы может служить плотностью статистического ансамбля.
ГЛАВА IV
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
§ 24. Канонические преобразования
qt(t, qk,Pk)Pikt. Qk,Pk)qt(t, qk,Pk)Pikt. Qk,Pk)г = 1, ..., n;г = 1, ..., n;Преобразование координат в 2п-мерном фазовом пространстве (содержащее в общем случае переменную времени t как параметр)
qt(t, qk,Pk)
Pikt. Qk,Pk)
qt(t, qk,Pk)
Pikt. Qk,Pk)
г = 1, ..., n;
г = 1, ..., n;
называется каноническим^ если гамильтонову систему
это преобразование переводит любую
dgz^Рг
dt Эр^1dt
=(2)
5(^1, Pl, • • • , Qn, Pn) d(gi,Pi, •qn, Pn)
+ o) (1)
снова в гамильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Га-
мильтона Н):
dqi дН dt dpi'
dpiЭН
—— = —--^(? = 1, ...,п).(3)
dtdq^v;
Важность изучения канонических преобразований связана с тем, что эти преобразования дают возможность заменить данную гамильтонову систему (2) другой гамильтоновой системой (3), в которой функция Н имеет более простую структуру, чем Н.
Если в фазовом пространстве последовательно выполнить два канонических преобразования, то результирующее преобразование снова будет каноническим. Кроме того, преобразование, обратное некоторому каноническому преобразованию, всегда является каноническим и тождественное преобразование су = q^ pt = Pi (г = 1, ..., n) есть каноническое. Поэтому все канонические преобразования в совокупности образуют группу.
Примеры. 1. Преобразование
qt = aqt, pt = 0pt (г = 1, ..., n; a ^ 0, /3 ^ 0),
как легко проверить, является каноническим. Оно переводит систему (2) в систему (3) с
Н = арН.
Преобразование
qt = apt. pi = 3qt (г = 1, ..., n; a ^ 0, /3 + 0)
будет каноническим. В этом случае
Н = -арН.
Преобразование
qi=Pi^t, pi = qictgt (г = 1, ..., n)
будет каноническим, так как легко проверяется, что из уравнений (2) всегда получаются уравнения (3) при
Н = -Н+ — VqiPi.sin t cos t
Для вывода условий, при которых преобразование (1) является каноническим, рассмотрим два расширенных (2n + 1)-мерных фазовых пространства (q^ р^ t) и (q^ р^ I), переходящих одно в другое при каноническом преобразовании (1), и две трубки прямых путей гамильтоновых систем (2) и (3) (рис. 39).
Рис. 39
Возьмем два произвольных замкнутых контура С и С, которые охватывают эти трубки и соответствуют друг другу в силу преобразования (1). Кроме того, пересечем обе трубки одной и той же гиперплоскостью t = const. В сечении получим два «плоских» контура Со
и Со- Эти контуры также переходят друг в друга при каноническом преобразовании (1), так как при каноническом преобразовании величина t остается неизменной. Из инвариантности интеграла Пуанкаре- Картана следует, что
(4)(5)(4)(5)
(4)
(5)
(4)
(5)
С другой стороны, если в универсальном интегральном инварианте f ^^iPi ^Qi перейти к переменным q^ pi (г = 1, ... , п) с помощью канонического преобразования (1), то этот интеграл перейдет в некоторый универсальный интегральный инвариант первого порядка в 2п-мерном фазовом (q^ pj-пространстве; по теореме Ли Хуа- чжуна полученный инвариант может отличаться только постоянным множителем с от J 53™=1 Pi 5qi- Поэтому
(6)(6)
(6)
(6)
Из равенств (4)-(6) следует, что
(7)(7)
(7)
(7)
Если в первом интеграле считать, что переменные (ц, ..., рп выражены через переменные щ, ..., рп (при этом контур интегрирования С заменяется контуром интегрирования С), то равенство (7) может быть переписано так:
y^pi 5qt — H8t.*=1.y^pi 5qt — H8t.*=1.= 0.= 0.(8)(8)
y^pi 5qt — H8t
.*=1.
y^pi 5qt — H8t
.*=1.
= 0.
= 0.
(8)
(8)
Но С — совершенно произвольный контур в (2п + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве. Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным дифференциалом некоторой функции от 2n + 1 аргументов щ, pi, ..., qn, Рп
и t. Эту функцию нам удобно будет обозначать через —F(t, q^ р^\ тогда)
У^Й Sqi — Н St = с f ^pz §Qi — Н St\ — SF.(9)
г=1\г=1/
Заметим, что постоянная с в тождестве (9) всегда отлично от нуля, с ф 0, так как выражение J2™=1 Й Sqi — Н St не является полным дифференциалом) и потому не может быть равным —SF.
Функцию F будем называть производящей функцией, а постоянную с — валентностью рассматриваемого канонического преобразования (1). Каноническое преобразование будем называть унивалент- ным, если для него с = 1.
Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (1) является существование производящей функции F и некоторой постоянной с, при которых равенство (9) тождественно выполняется в силу преобразования (1).
Замечание. Если преобразование (1) является каноническим, то существуют производящая функция F и валентность с ф 0 такие, что имеет место равенство (9) при любой функции Н и соответствующей Н. Однако если равенство (9) справедливо для одной пары функций Н и Н, то преобразование (1) уже является каноническим).
Действительно, наряду с Н возьмем произвольную другую функцию Ну и определим Ну из условия
Ну - Н = с^Ну - Я).
Умножая обе части этого равенства на St и вычитая почленно полученное равенство из равенства (9), получаем:
УТ»6qt - Hv8t = с \ \^Pi6qi - HY й) - 5F.г=1\г=1/
Таким образом, равенство (9) справедливо для любой функции Ну и соответствующей Ну.
Канонические преобразования иногда называют также контактными преобразованиями.
В литературе часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования. Многие авторы ошибочно считают, что этими преобразованиями исчерпываются все преобразования (1), переводящие гамильтоновы системы снова в гамильтоновы. Эти авторы не замечают произвольного постоянного множителя с, который должен фигурировать в общей формуле для произвольного канонического преобразования.
§ 25. Свободные канонические преобразования
Проведем более подробное исследование так называемых свободных канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются дополнительно неравенством
обеспечивающим независимость величин t, щ, ..., qn. q^ ... qn. которые теперь могут быть выбраны в качестве основных переменных1). Действительно, это неравенство позволяет из первых п уравнений (1) § 24 выразить обобщенные импульсы pi, ..., рп через 2n + 1 величин t, q^ qt (г = 1, ..., п) и, следовательно, позволяет представить любую функцию от переменных ^, q^ Pi (г = 1, ... , п) в виде функции от переменных 1р q^ (р (г = 1, ..., п). В этом случае можно считать, что производящая функция представлена в виде функции S от этих переменных:
F(t, Qi, Pi) = S(t, Qi, QiY
Тогда основное тождество (9) предыдущего параграфа запишется так:
у?ft 6qt - н5t = с I r^Pi 6q, - Н5t j - SS^t, q», q^.(2)
z=l\z=l/
Приравнивая слева и справа коэффициенты при 5qt, 5g; и 5t, получим следующие формулы:
dSas ~
-^-=Фг,= -pi г = 1, ...,п),3)
8qidqt
~ тт 9S,лх
Н = сН+-.(4)
•*•) В случае несвободного канонического преобразования величины t, qt, qt (г = 1, ..., п) связаны некоторыми зависимостями.
Уравнения (3) определяют рассматриваемое каноническое преобразование. Покажем, что они могут быть приведены к виду (1) §24.
Частные производные dS/dqi (г = 1, ..., п), стоящие в левых частях первых п уравнений (3), как функции величин щ, ..., qn независимы, потому что в силу формул (3) зависимость )
= 0= 0Э8dS
= 0
= 0
оо iQii • • • i Qn
uq^$Qn
перешла бы в равенство
Щф1, ..., срп, qi, ..., g„) = 0,
что возможно лишь при Q = 0, так как координаты точки фазового пространства qt^ Pt (^ = 1, • • • , п) — независимые величины. Из независимости производных dS/dqi (г = 1, ..., тг), рассматриваемых как функции переменных щ, ..., qn, следует, что якобиан этих функций не равен тождественно нулю. Таким образом, для производящей функции S свободного канонического преобразования должен быть отличен от нуля определитель
(5)(5)dS \ х пд я~ / 0dqidqkJik=1
(5)
(5)
Из неравенства (5) следует, что первые п уравнений (3) можно разрешить относительно щ (г = 1, ..., п) и таким образом все новые фазовые переменные q^ Рг (г = 1, ..., п) выразить через старые переменные q^ Pi (г = 1, ..., п). Полученное таким образом преобразование вида (1) будет обратимым, т. е. для него
5(91, ...,Pn) , п
5(91,’
так как в силу неравенства (5) последние п равенств (3) можно разрешить относительно qt и, следовательно, выразить все q^ Pi через q^ Pi (^ = 1, • • • ч п)- Таким образом, уравнения (3) определяют свободное каноническое преобразование с данной произ водящей функцией S^ q^ Qi) и с данной валентностью с ^ 0. Формулы же (4) устанавливают простую связь между функциями Гамильтона Н и Н.
Перебирая различные производящие функции S, удовлетворяющие условию (5), и различные валентности с ^ 0, мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования2).
Для унивалентных (с = 1) свободных канонических преобразований формулы (3) и(4)принимаютболее простой вид
Э8dS~х
=Рй ^ = -Pi (г = 1, ..., п)(6)
8qidqi
Последнее равенство показывает, что после применения одного и того же свободного унивалентного канонического преобразования к различным гамильтоновым системам во всех случаях разность между Н и Н будет одной и той же (равной Э8/Ot).
Из равенства (4) следует, что Н = сН тогда и только тогда, когда dS/dt = 0, т. е. когда производящая функция 8 не зависит явно от t. В этом случае в силу равенств (3) время t не будет входить явно в формулы канонического преобразования. При таких канонических преобразованиях функция Н существенно не меняется, она умножается только на константу с. Поэтому, если мы желаем получить новую систему с существенно более простой функцией Гамильтона, мы обязательно должны взять свободное каноническое преобразование, содержащее время t как параметр.
Примеры. 1. На с. 129 были рассмотрены три канонических преобразования:
qt = aqt, pt = Ppp, 2) qt = apt, pt = /3^;
qt=ptt§t, pi = qiCtgt (г = 1, ...,n).
Преобразования 2) и 3) являются свободными. Они имеют производящие функции и валентности соответственно 8 = —Р ^2^=1 qtqt, с = —ар; S = = — ctg t J2™=1 qiqi, с = — 1. Преобразование же 1) не является свободным. Для него с = ар, F = 0.
Рассмотрим произвольное аффинное преобразование фазовой плоскости (q, р) (здесь п = 1):
(api — aip т^ 0).(api — aip т^ 0).(8)(8)q = aq + Рр, р = aiq + Pip
(api — aip т^ 0).
(api — aip т^ 0).
(8)
(8)
Подставим правые части равенств (8) в основное тождество (9) на с. 131. Поскольку переменная t не входит в правые части (8), мы и F будем искать в виде функции, не зависящей от времени t явно: F = F(q, р). Тогда основное тождество примет вид
(aiq + pip)(a6q + р 6р) — ср 6q = —6F,
илиили| aaig2 + | P3ip2| aaig2 + | P3ip2+ a^pq 5р + (a/3i — с^р 5q = —5F.+ a^pq 5р + (a/3i — с^р 5q = —5F.
или
или
| aaig2 + | P3ip2
| aaig2 + | P3ip2
+ a^pq 5р + (a/3i — с^р 5q = —5F.
+ a^pq 5р + (a/3i — с^р 5q = —5F.
Левая часть этого равенства будет полным дифференциалом при условии, что
С = CY^l — CY1^.
Таким образом, преобразование (8) является каноническим с валентностью с, равной определителю преобразования, и с производящей функцией
^ = | ^1Q2 + | 331Р2 + ai0qp.
Это преобразование будет свободным, если В ^ 0.
Преобразование q = ^ cos 2р, р = ^/q sin ^Р является свободным унивалентным каноническим преобразованием с производящей функ
цией
с 1 q 1~ /ч
S = ~q arccos — - - qVq - Г-
Для натуральной системы координаты щ, ..., qn определяли положение системы, а совместно с импульсами р^^ ..., рп они определяли состояние системы, т. е. положение и скорости ее точек. При каноническом преобразовании общего типа эта специфика координат теряется. Величины щ, ..., qn уже не определяют положения системы, а только вместе с щ, ..., рп определяют состояние системы. Переменные 01, ..., 0п будут по-прежнему определять положение системы лишь в частном случае точечного канонического преобразования, при котором функции q^t, q^ р^ фактически не содержат импульсов:
% = й(^ Qk) (г = 1, ..., п).
Заметим, что в дальнейшем преобразование произвольной системы Гамильтона к системе с функцией Н простой структуры удается осуществить с помощью свободного канонического преобразования. Свободное же каноническое преобразование не является точечным. Таким образом, неточечные канонические преобразования играют существенную роль в теории гамильтоновых систем.
§ 26. Уравнение Гамильтона—Якоби
Теория канонических преобразований приводит нас непосредственно к уравнению Гамильтона-Якоби.
Пусть дана голономная система, движение которой подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона
ЭНdPi _ ЭН
dt dpi’dt 9qt
Постараемся определить такое свободное унивалентное каноническое преобразование, чтобы в преобразованной гамильтоновой системе__
ЭНdpi _ эн
dt dpidt 9qi
функция Н была тождественно равна нулю:
Н = 0.(3)
Тогда система (2) интегрируется непосредственно
qt = ai, Pi = 3i,(4)
где оц и Д суть 2п произвольных постоянных. Зная каноническое преобразование, т. е. связь между q^ pt (г = 1, ..., п) и q^Pi (г = = 1, ... , п), мы выразим все qt и р^ как функции времени t и 2п произвольных постоянных аь, Pk (& = 1, ..., п), т. е. полностью найдем конечные уравнения движения данной голономной системы [все решения системы (1)].
Как же определить нужное нам каноническое преобразование? Для этого, в силу формулы (7) предыдущего параграфа, необходимо и достаточно, чтобы для производящей функции S(t, q^ q^ искомого канонического преобразования выполнялось равенство
ЭЯ— + H(t, qt, Pi) = 0.ЭЯ— + H(t, qt, Pi) = 0.(5)(5)
ЭЯ
— + H(t, qt, Pi) = 0.
ЭЯ
— + H(t, qt, Pi) = 0.
(5)
(5)
Это в сочетании с формулами (6) того же параграфа дает
= 0.= 0.(6)(6)Полученное уравнение в частных производных (6) носит название уравнения Гамильтона-Якоби. Таким образом, производящая функция S(t, q^ q^ с основными переменными t и q^ (q^ рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона-Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона- Якоби, для производящей функции S(t, ^, ^) должно выполняться условиеdetПолученное уравнение в частных производных (6) носит название уравнения Гамильтона-Якоби. Таким образом, производящая функция S(t, q^ q^ с основными переменными t и q^ (q^ рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона-Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона- Якоби, для производящей функции S(t, ^, ^) должно выполняться условиеdetd^Sd^S9qi qk ) ;9qi qk ) ;^0.^0.(7)(7)Как только производящая функция S(t, q^ qi) найдена, формулыКак только производящая функция S(t, q^ qi) найдена, формулы9S9qt9S9qt9S ~= -Рг 9qt9S ~= -Рг 9qt(г = 1, ..., п)(г = 1, ..., п)
= 0.
= 0.
(6)
(6)
Полученное уравнение в частных производных (6) носит название уравнения Гамильтона-Якоби. Таким образом, производящая функция S(t, q^ q^ с основными переменными t и q^ (q^ рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона-Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона- Якоби, для производящей функции S(t, ^, ^) должно выполняться условие
det
Полученное уравнение в частных производных (6) носит название уравнения Гамильтона-Якоби. Таким образом, производящая функция S(t, q^ q^ с основными переменными t и q^ (q^ рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона-Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона- Якоби, для производящей функции S(t, ^, ^) должно выполняться условие
det
d^S
d^S
9qi qk ) ;
9qi qk ) ;
^0.
^0.
(7)
(7)
Как только производящая функция S(t, q^ qi) найдена, формулы
Как только производящая функция S(t, q^ qi) найдена, формулы
9S
9qt
9S
9qt
9S ~
= -Рг 9qt
9S ~
= -Рг 9qt
(г = 1, ..., п)
(г = 1, ..., п)
определят искомое свободное каноническое преобразование. Заменив в этих формулах q^ на оц и р^ на Д, мы получим уравнения движения данной голономной системы в конечном виде. Весь этот процесс удобнее описать, если с самого начала в S заменить $ нас^ (г = 1, ..., п).
Введем определение. Решение S(t, qi. с^) уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби, содержащее п произвольных постоянных ai, ..., ап^ называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие
(8)(8)d2S .х п
(8)
(8)
—^ 0
oqi9ak;ik=1
Теперь мы можем сформулировать доказанную теорему.
Теорема Якоби. Если S(t, qi, а^ — некоторый полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (6), то конечные уравнения движения голономной системы с данной функцией Н могут быть записаны в виде1)
9S9S пх
(9)
где оц и 8 гпроизвольные постоянные (г = 1, ..., п).
Таким образом, знание полного интеграла уравнения в частных производных (6) избавляет нас от необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнений Гамильтона-Якоби в частных производных.
Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую «горстку» решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название «полный интеграл»). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем
Э8
= fi(t, Qk, «к) (г = !,■•■,«),(Ю)
С'Qi
(И)(И)= /оЩ Qk, «к\
(И)
(И)
•*•) Здесь мы вместо произвольных постоянных — Pi пишем просто Д. В силу условия (8) последние п уравнений (9) можно разрешить относительно qt и выразить qi, ..., qn в виде функций от t и 2п произвольных постоянных аг, Pt-
Если известен полный интеграл S(t, q^ ol^Y то известны и функции fi(t^ q^ а^) (г = 0, 1, ..., п). Из соотношений (10) можно выразить каждое а^ через частные производные dSjdq^ t и q^ поскольку, в силу условия (8),
+ 0.(12)г, /с=1+ 0.(12)г, /с=1= det ( 928d(«i, . ..,an) \dqidak
+ 0.(12)
г, /с=1
+ 0.(12)
г, /с=1
Подставив полученные выражения для ак в равенство (11), получим исходное уравнение в частных производный (6)1).
В качестве примера полного интеграла уравнения Гамильтона- Якоби рассмотрим так называемую главную функцию Гамильтона. Для этого вернемся к формуле (7) на с. 101 и к рис 33 на с. 101. Рассмотрим только частный случай, когда ^о(^) = const = tg? т- е- примем, что контур Со состоит из начальных состояний системы при t = to- Кроме того, вместо t. q^ р^ Н\ будем писать просто Г q^ Pi^ Н. Тогда, если W — действие вдоль прямого пути (т. е. вдоль образующей трубки) от начальной точки (t = to) до конечной точки, соответствующей данному значению Г то
ж = ^Pi 5qi -H6t- ^р« Sqf.(13)
г=1г=1
Если использовать конечные уравнения движения
Qi q^ Pk) z. = 1 х()
Pi =^i(t, qk, Рк)’’'(15)
и вместо qi (t) подставить в выражение для действия
t
W = j L(t, QiqOdtto
их значения (14), то W станет функцией от t, q^ р^ (i = 1, ..., n). Гамильтон предложил, используя конечные уравнения движения (14), выразить р^ через Г q^ и qi и таким образом представить действие в виде
W = W^qfY(16)
Действие W, представленное в виде (16), т. е. в виде функции от начальных координат, конечных координат и конечного момента
времени ^ называется главной функцией Гамильтона. Считая, что в равенстве (13) W есть главная функция Гамильтона, мы на основании этого равенства получаем
и
Из равенств (17) и (18) следует, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
= 0,= 0,(19)(19)8WТТ/8W
= 0,
= 0,
(19)
(19)
~Н7I”^I ^Qi*)“о
8t\8qi
а соотношения (17) представляют собой конечные уравнения движения, содержащие 2п произвольных постоянных q^ р^ (г = 1, ..., п).
Таким образом, Гамильтон показал, как записываются конечные уравнения движения при помощи полного интеграла уравнения (19). Однако этот полный интеграл у Гамильтона не был произвольным, и в нем произвольными постоянными были начальные значения q^ и р^. Получался порочный круг: для написания конечных уравнений движения (17) нужна главная функция Гамильтона, а для составления этой функции, как выше было показано, нужно знать конечные уравнения движения.
Заслуга Якоби заключается в том, что, продолжив исследования Гамильтона, он разорвал этот порочный круг. Он показал, что конечные уравнения движения могут быть написаны в виде (9) при помощи произвольного полного интеграла S(C q^ а^ уравнения Гамильтона- Якоби.
Вернемся к тождеству (13) и сопоставим его с тождеством (2) на с. 132. Из сопоставления видно, что формулы (14) и (15), представляющие собой конечные уравнения движения и выражающие гамильтоновы координаты q^ Pi состояния системы в момент t через начальные координаты q^ ... ^ р^ можно рассматривать как свободное унивалентное каноническое преобразование от переменных q^ р® (г = = 1, ..., п) к переменным q^ р^ (k = 1, ... , п); производящей функцией этого канонического преобразования является —W, где W — главная функция Гамильтона1).
•*•) Для обратного канонического преобразования, в котором осуществляется переход от переменных qi, Pi к переменным q^, р^ производящей функцией будет главная функция Гамильтона W.
Таким образом, преобразование фазового пространства, осуществляемое с помощью движений любой гамильтоновой системы, является каноническим (при этом свободным и унивалентным).
Пример. Составим функцию Гамильтона для движения по инерции свободной материальной точки. В этом случае (полагаем to = 0)
Ж = Ж0 + Жо^, у = Уо + yot, Z = Zo + Zot
и потому
w=^ J (i2 + y2 + z2)df =
= ^ (жо + Уо + го) =[(ж - жо)2 + (у - уо)2 + (г - г0)2].
Если исходить из найденной главной функции Гамильтона ^=^[(Ж-Жо)2 + (у-уо)2 + (г-го)2],
случае выглядят так:
9W
= т
Ж — Жо
t '
0
-Рх =
dW _ дхо
—m
Ж — Жо t
dW
У -Уо .
0
dw
У -Уо
= т
t '
-Ри
—
Oyo
—
—m
t :
dW
Z - Zp .
0
dw
z - Zp
= т
t '
-Pz
—
dz0
—
—m
t ’
по формулам (17), которые в данном
то уравнения движения получаются
Пусть мы имеем обобщенно-консервативную систему (dH/dt = 0). В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид
dqt /dqt /(20)(20)Э8
dqt /
dqt /
(20)
(20)
9t
и его полный интеграл можно искать в виде
S = —ht + V(qi, ..., qn; «1, ..., an-i, h),(21)
где h и Qi, ..., an-i — произвольные постоянные.
Подставляя это выражение для S в уравнение (20), мы получаем для определения функции V следующее уравнение:
ИИq^q^(22)(22)
И
И
q^
q^
(22)
(22)
Найдя полный интеграл этого уравнения, т. е. решение V (qv, сц, ...
... , Qn-i, h?), для которого выполняется неравенство
/ Э^У \п
det __ДО (Qn = h),(23)
\дд18ак^ к=1
мы с помощью формул (9) и (21) получим следующие конечные уравнения движения обобщенно-консервативной системы:
^:=Pi(г=1,(24')
ЭУЭУ„
^=^ + 7,(24")
где aj, Pj (j = 1, ..., п — 1), h и — произвольные постоянные.
В силу условия (23) координаты qi, ..., qn могут быть определены из уравнения (24,z) как функции от t и 2п произвольных постоянных а^ Pj, h и у. Подставляя полученные выражения в уравнения (24z), найдем аналогичные выражения для обобщенных импульсов pt (г = 1, ... , п)т).
В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (6) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналогичное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая.
Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат Qm-n, • • • ... , qn являются циклическими. В этом случае Н = H(t, qi, ..., qm, pi, . ..,pn), и полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби можно искать в виде
s = ^2 «и9^ + So(t, Q1, ..., qm, cei, ..., ап\(25)
Для нахождения функции So получаем уравнение
(26)
Если координаты Qm+i, ..., qn являются циклическими у обобщенноконсервативной системы, то функцию S ищут в виде
S = -ht-^- ^+ Vo(t, qi, ..., qm, «1, ..., an, h),(27)
p,=m-\-l
где функция Vb определяется из уравнения
H(.qi, qmH(.qi, qmdVo dqi ’dVo dqi ’dV08qmdV08qm(28)(28)
H(.qi, qm
H(.qi, qm
dVo dqi ’
dVo dqi ’
dV0
8qm
dV0
8qm
(28)
(28)
x) Из первых n — 1 уравнений (24") можно выразить п — 1 координат через оставшуюся n-ю координату и 2п — 1 произвольных постоянных. Тогда получим уравнения траекторий в координатном пространстве. Последнее уравнение (24,z) устанавливает связь координат с переменной времени t.
§ 27. Метод разделения переменных. Примеры
Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение.
Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру.
1°. Пусть
н = G\Mqi, Pi), Mq», pn)Y (1)
В этом случае в выражении для функции Н переменные разделены: в каждую функцию Д входит только одна пара сопряженных переменных q^ р^.
Уравнение (22) предыдущего параграфа теперь запишется так:
ПоложимПоложимG fiG fi• , fn• , fn(2)(2)(3)(3)
Положим
Положим
G fi
G fi
• , fn
• , fn
(2)
(2)
(3)
(3)
где ai, ..., ап — произвольные постоянные. Тогда, согласно формуле (1), постоянную h можно выразить через постоянные ai, ..., ап следующим образом:
h = G(«i, ..., а„\(4)
Разрешив равенства (3) относительно dV/dqi, найдем1)
8V
F^qi, а^ (г = 1, ..., п),
И
S — — G(cii, . . . , Qr^t +S — — G(cii, . . . , Qr^t +(6)(6)
S — — G(cii, . . . , Qr^t +
S — — G(cii, . . . , Qr^t +
(6)
(6)
т) Мы предполагаем, что каждая функция fi(qi, р^ фактически содержит импульс р^ т. е. что dfilpi 7^ 0. В этом случае уравнения (3) могут быть разрешены относительно pi = dV/dqi; каждая функция Fi является функцией от двух переменных qi и си^ G = Г • • •, п).
В этом случае
о о =— = 0 при % к (г, к = 1, ..., п)
UQi ООЦ иоц oq% oo^k
и основное условие
^0
(7)
сводится к неравенству
п^о.
ООЦ
Поскольку соотношение
fM^ Pi) = ai
(8)
эквивалентно уравнению
Pt = F^, ai),
(9)
ТО
dFi (QfiV
—- = —^ 0
да» \ Op, /
(10)
и условие (7) всегда выполнено. Поэтому формула (6) определяет полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Конечные уравнения движения
^"=Pi,= (г = 1, ..., n)(11)
oqtOat
в данном случае запишутся так1):
8at J WildPi^FM,^ 1' (г = 1, ..., n).(12)
Pi = F^qp ai)
т) В формулах (5) и (6) мы под интегралом J Fi(q^ ai) dqt будем понимать интеграл У^г Fi(qi, ai) dqi, где постоянная 7^ фиксирована и не зависит от значений произвольных постоянных а^; тогда
[ Fk(Qk, oti)dqk =/ Fi^qi, dqt = f dqt.
9ai ^Jdai JJ dai
Затем мы используем соотношение (10).
Таким образом, нахождение конечных уравнений движения осуществляется с помощью квадратур.
случаеслучаеПример. Рассмотрим осциллятор с одной степенью свободы. В этом
случае
случае
22
Р . ед
2т 2
и, таким образом,и, таким образом,а Р2 , сд2а Р2 , сд2
и, таким образом,
и, таким образом,
а Р2 , сд2
а Р2 , сд2
а уравнение (2) имеет вид
1 /^У + ед2 _ h2т у dg )2’
Положим h = о; тогда
S = — at + j~ тс92 dg,
и из конечных уравнений движения (11) находим выражение для импульса р = у/2ша — тсд2,(13)
а собственно уравнение движения запишется так:
-t+- [ dq = 3,(14)
w J лУА2 — д2
где л 2 2о2 С
А = —, си = —. ст
Замечая, что интеграл в формуле (14) равен arcsin(g/A), получаем уравнение движения в следующем виде:
(15)(15)д = A sin w(t + Р).
(15)
(15)
2°. Пусть
н = д„£...g3^g2Vgi(qi, Pi), Q2, P2V Qs, РзУ • .Qn, РпУ (16)
Тогда уравнение для определения V запишется так:
9п9п• -9з \ 92• -9з \ 9291919191Э¥_\ ’ dqi)Э¥_\ ’ dqi)av 1av1av^92 J^9з J@9пav 1av1av^92 J^9з J@9п= К= К
9п
9п
• -9з \ 92
• -9з \ 92
91
91
91
91
Э¥_\ ’ dqi)
Э¥_\ ’ dqi)
av 1av1av
^92 J^9з J@9п
av 1av1av
^92 J^9з J@9п
= К
= К
Введем произвольные постоянные ai, ..., an-i и ап = /г и поло
жим последовательно
£1£19191’ 091/’ 091/— ^11— ^11№№«1, 92«1, 92ЭУ’ 092ЭУ’ 092— ^2-— ^2-(17)(17)
£1
£1
91
91
’ 091/
’ 091/
— ^11
— ^11
№
№
«1, 92
«1, 92
ЭУ
’ 092
ЭУ
’ 092
— ^2-
— ^2-
(17)
(17)
д»д»— ^п-— ^п-'эу\
д»
д»
— ^п-
— ^п-
С^П— 1, Qni о I
.9qn /
Определяя отсюда частные производные, найдем1)
ЭУ
9qy
ЭУ
-^- = G^q^ ад, а^\
ЭУ
= G^q.8qn
Отсюда
ииСЦ-ЪСЦ-ЪS — — Qnt +S — — Qnt +^г) dq^.^г) dq^.(18)(19)(18)(19)
и
и
СЦ-Ъ
СЦ-Ъ
S — — Qnt +
S — — Qnt +
^г) dq^.
^г) dq^.
(18)
(19)
(18)
(19)
Здесь
0 5 O^i OS
я я= д—,^-^— = о при г < к (г, /г = 1, ..., п).
Эqi Эо,^ Эо,^ 8qi Эа^
Поэтому условие (7)
сводится к неравенству
т) Мы предполагаем, что dgt/dpt ф 0, т. е. что pt действительно входит в функцию gt(qt, р^.
Здесь и далее в этом параграфе под неопределенным интегралом понимаем (как и в и. 1°) определенный интеграл с переменным верхним пределом и фиксированным, не зависящим от од, ..., схп постоянным нижним пределом.
которое всегда выполняется, поскольку уравнение
дрсц-т, Qi, р^ = «i(20)
эквивалентно уравнению
Pi = Gpqt, «i-l, «г),(21)
и потому
9«i\9pi) р^а^оц.^а^9«i\9pi) р^а^оц.^а^(г = 1,n).(г = 1,n).(22)(22)
9«i\9pi) р^а^оц.^а^
9«i\9pi) р^а^оц.^а^
(г = 1,n).
(г = 1,n).
(22)
(22)
Для дальнейшего нам понадобятся выражения для производных дОг/дс^-х, которые находятся из уравнений (20) и (21), а именно:
эсгdai-iэсгdai-idgi/dai-idgi/dpidgi/dai-idgi/dpiPi=Gi(qi,ai_i1ai)Pi=Gi(qi,ai_i1ai)(23)(23)
эсгdai-i
эсгdai-i
dgi/dai-idgi/dpi
dgi/dai-idgi/dpi
Pi=Gi(qi,ai_i1ai)
Pi=Gi(qi,ai_i1ai)
(23)
(23)
Подставляя в конечные уравнения движения (11) выражение (19) и учитывая формулы (22) и (23), получаем окончательно:
Йг
^gildpi^G^,^.^
dgi+l/dai8gi+i/8pi+idgi+l/dai8gi+i/8pi+iЙ«+1 = PiЙ«+1 = Pi
dgi+l/dai
8gi+i/8pi+i
dgi+l/dai
8gi+i/8pi+i
Й«+1 = Pi
Й«+1 = Pi
(24)(24)
(24)
(24)
(г = 1, n- 1),
И
Pi = Gt(qt, сц-ъ Qi) (г = 1, ..., n). (25)
Здесь первые п — 1 уравнений (24) являются уравнениями для семейства траекторий в координатном пространстве; эти уравнения содержат 2п — 1 произвольных постоянных «1, ..., ап, Д, ..., Зп_Ь Последнее уравнение (24) содержит новую произвольную постоянную Зп и устанавливает связь координат q^ с переменной времени t.
Уравнения (25) после подстановки в них функций q^t, а^ 3k) (^ = = 1, ... , п), найденных из уравнений (24), определяют импульсы рг (г = 1, ..., п) как функции от t и всех произвольных постоянных а^ Pi (г = 1, ..., п).
Пример 2. Рассмотрим кеплерово движение, при котором материальная точка массы т притягивается к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра.
В этом случае в сферических координатах
Т =(г2 + г2 О2 + г2 sin2 Оф2), П = — —(у > 0),
2г
н _ 1 (2 .Ре , Ру 7
2т \ г2 г2 sin 0 г
и уравнение для определения V имеет вид
ПоложимПоложим12т12т1sin2 01sin2 091 = Р-ф — од, 92 = Ре Н—. о л — а2. sin 991 = Р-ф — од, 92 = Ре Н—. о л — а2. sin 9- = аз = h. г- = аз = h. гТогда, согласно формулам (24), находим:Тогда, согласно формулам (24), находим:d9sin2 9^а? — а\! sin2 9d9sin2 9^а? — а\! sin2 931.31.(26а)(26а)d0f1/r2 dr2y/<a2 — <^2/ sin2 9 J 2у/2таз + 2m^jr — а^г2.d0f1/r2 dr2y/<a2 — <^2/ sin2 9 J 2у/2таз + 2m^jr — а^г2.(266)(266)mdr^2таз + 2m^[r — a^ Ir1mdr^2таз + 2m^[r — a^ Ir1(26b)(26b)Мы получили конечные уравнения для кеплерова движения.При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ф = const. Тогда в начальный момент dф/d9 = 0 и, следовательно, согласно формулеМы получили конечные уравнения для кеплерова движения.При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ф = const. Тогда в начальный момент dф/d9 = 0 и, следовательно, согласно формуле(26a),(26a),Ql = 0Ql = 0(27)(27)и ф = 01 = const, т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (266) и (26в), получаем, что секториальная скорость1) равнаи ф = 01 = const, т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (266) и (26в), получаем, что секториальная скорость1) равна1 2 ^V^2,-г — = - = const, 2 dt 2т1 2 ^V^2,-г — = - = const, 2 dt 2тт. е. движение в плоскости ф = const происходит в соответствии с законом площадей.т. е. движение в плоскости ф = const происходит в соответствии с законом площадей.*) То есть производная по времени от площади, описываемой радиусом- вектором, проведенным из центра.*) То есть производная по времени от площади, описываемой радиусом- вектором, проведенным из центра.
Положим
Положим
1
2т
1
2т
1
sin2 0
1
sin2 0
91 = Р-ф — од, 92 = Ре Н—. о л — а2. sin 9
91 = Р-ф — од, 92 = Ре Н—. о л — а2. sin 9
- = аз = h. г
- = аз = h. г
Тогда, согласно формулам (24), находим:
Тогда, согласно формулам (24), находим:
d9
sin2 9^а? — а\! sin2 9
d9
sin2 9^а? — а\! sin2 9
31.
31.
(26а)
(26а)
d0f1/r2 dr
2y/<a2 — <^2/ sin2 9 J 2у/2таз + 2m^jr — а^г2.
d0f1/r2 dr
2y/<a2 — <^2/ sin2 9 J 2у/2таз + 2m^jr — а^г2.
(266)
(266)
mdr
^2таз + 2m^[r — a^ Ir1
mdr
^2таз + 2m^[r — a^ Ir1
(26b)
(26b)
Мы получили конечные уравнения для кеплерова движения.
При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ф = const. Тогда в начальный момент dф/d9 = 0 и, следовательно, согласно формуле
Мы получили конечные уравнения для кеплерова движения.
При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ф = const. Тогда в начальный момент dф/d9 = 0 и, следовательно, согласно формуле
(26a),
(26a),
Ql = 0
Ql = 0
(27)
(27)
и ф = 01 = const, т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (266) и (26в), получаем, что секториальная скорость1) равна
и ф = 01 = const, т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (266) и (26в), получаем, что секториальная скорость1) равна
1 2 ^V^2,
-г — = - = const, 2 dt 2т
1 2 ^V^2,
-г — = - = const, 2 dt 2т
т. е. движение в плоскости ф = const происходит в соответствии с законом площадей.
т. е. движение в плоскости ф = const происходит в соответствии с законом площадей.
*) То есть производная по времени от площади, описываемой радиусом- вектором, проведенным из центра.
*) То есть производная по времени от площади, описываемой радиусом- вектором, проведенным из центра.
Наконец, для определения траектории полагаем 1/г = ж и из формулы (266) с учетом равенства (27) находим
[ , d$ =3-0,J Vc + 2kx — ж2
где 2ш«з 7 my с=, к =,3 = 2Vo^3*2.(28)
Вычислив интеграл, получим
arccos Ж = 0 — Р
и, следовательно,
х = к + V^2 + с cos (6 — Р\
Наконец, вспомнив, что х = 1/г, получим для траектории уравнение конического сечения, в одном из фокусов которого расположен центр притяжения:
Г = 1 + е cos (У - /3) ’
где параметр и эксцентриситет конического сечения определяются из равенств
е =е =2СК2СКЗ ту22СК2СКЗ ту2(30)(30)1«2
е =
е =
2СК2СКЗ ту2
2СК2СКЗ ту2
(30)
(30)
Р = т =,
к
Пусть точка описывает замкнутую орбиту (движение планеты, притягиваемой Солнцем). Тогда эта орбита — эллипс, в одном из фокусов которого находится центр притяжения (Солнце).
Обозначив через F и а, b (а > Ь) площадь и полуоси эллипса, найдем (поскольку, как известно, р = Ъ2 / а)
Пусть т — период (время обращения), т = 2mF/л/о^. Тогда на основании равенств (30)
1222222
(31)(31)1 т _ m I _ тгтр_ тгт_ тг
(31)
(31)
4 а3 а2 а3 а^yi
где, согласно закону притяжения Ньютона, величина yi зависит только от центра притяжения. Мы получили три закона Кеплера для движения планет вокруг Солнца: 1) планеты движутся с постоянной секториальной скоростью по плоским орбитам; 2) этими орбитами являются эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце; 3) отношение квадратов времен обращения к кубам больших осей орбит для всех планет одинаково.
3°. Рассмотрим еще в качестве примера применения метода разделения переменных случай, когда
H = /i(gi,pi) + ... + /n(gn,Pn)
9i(9i, Pi) + • • • +9n(9», Pn)'
Тогда основное дифференциальное уравнение
(32)
ТТ (ЭР
Н 91, .q„,5-
может быть записано в следующем виде:
dv\ . /
- hgi ^, I vQi Jу OQi J _
= 0.
(33)
Положим
, /8V\,/dV
J г I Qi э I ^9г I Qi 5
\OQi /\OQi
(34)
где ац, ..., an-i — произвольные постоянные, а постоянная an, в силу уравнения (33) и равенств (34), выражается через ад, ..., an~i, а именно:
С^п —«1• • •С^п —!•
Разрешим уравнения (34) относительно производных dV/dqi: dV
— = F^qt, at, К) (i = 1, ..., n).
Решение уравнения (33) берем в виде
V = У^ I Fi^qt, ai, h^dq,.
Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид
S = —ht + ^2 У Ft(qt, at, h) dqi.
(35)
(36)
(37)
(38)
Тогда конечные уравнения движения (11) получаются с помощью квадратур
I ^dqj- f^dq" = 33 U = v...,n-1Y
J vCkjJ uOin
(39)
Pi = Fi^qi, ai, h) (i = 1, ..., n),
(од + Q2 + • • • an — 0).
Ж доцЖ доцРазрешая уравнение fi(qi, Pi) — hgi(qi, pi) = at относительно pi, получаем pt = Fi(qi, ai, h) (i = 1, ..., n\ Предполагается, что выполняется условие разрешимости dfi/dpi — h(dgi/dpi) 7^ 0. В этом случае производные неявной функции Fi равны
Ж доц
Ж доц
"9ft h 9дУ
8Pi dPi\pi=Fi(qitaith)
ИИ8F,8h8F,8h8 ft h 8g,8Pi 8Pi8 ft h 8g,8Pi 8Pi-1)gM, pt) г1 Pi=Fi(qi1 h)-1)gM, pt) г1 Pi=Fi(qi1 h)(г = 1, ..., n).(г = 1, ..., n).
И
И
8F,8h
8F,8h
8 ft h 8g,
8Pi 8Pi
8 ft h 8g,
8Pi 8Pi
-1)
gM, pt) г
1 Pi=Fi(qi1 h)
-1)
gM, pt) г
1 Pi=Fi(qi1 h)
(г = 1, ..., n).
(г = 1, ..., n).
Уравнения (39) в окончательной форме имеют вид
"8^8-Рз"8^8-Рздрз\дрз\dqj -dqj -Pn - р?г = -Р'?г (д?г , otni h)Pn - р?г = -Р'?г (д?г , otni h)dqn — 3jdqn — 3j
"8^8-Рз
"8^8-Рз
дрз\
дрз\
dqj -
dqj -
Pn - р?г = -Р'?г (д?г , otni h)
Pn - р?г = -Р'?г (д?г , otni h)
dqn — 3j
dqn — 3j
U = 1, n- 1),U = 1, n- 1),(40)(40)9i(qt. pt) fc?^ = t + ^n,^г' Pi=Ft(qt1 h)9i(qt. pt) fc?^ = t + ^n,^г' Pi=Ft(qt1 h)Pi = Fi(qi, ai, h) (г = 1, ..., n)Pi = Fi(qi, ai, h) (г = 1, ..., n)(Ql + C^2 + • • • + CYn — 0).(Ql + C^2 + • • • + CYn — 0).Как частный случай получаем теорему Лиувилля:Если кинетическая и потенциальная энергия системы имеют видКак частный случай получаем теорему Лиувилля:Если кинетическая и потенциальная энергия системы имеют вид
U = 1, n- 1),
U = 1, n- 1),
(40)
(40)
9i(qt. pt) fc?^ = t + ^n,
^г' Pi=Ft(qt1 h)
9i(qt. pt) fc?^ = t + ^n,
^г' Pi=Ft(qt1 h)
Pi = Fi(qi, ai, h) (г = 1, ..., n)
Pi = Fi(qi, ai, h) (г = 1, ..., n)
(Ql + C^2 + • • • + CYn — 0).
(Ql + C^2 + • • • + CYn — 0).
Как частный случай получаем теорему Лиувилля:
Если кинетическая и потенциальная энергия системы имеют вид
Как частный случай получаем теорему Лиувилля:
Если кинетическая и потенциальная энергия системы имеют вид
Т=и^А^в^’\г=1/ г=1Т=и^А^в^’\г=1/ г=1тт=кка1^=1 А?тт=кка1^=1 А?(41)(41)
Т=и^А^в^’
\г=1/ г=1
Т=и^А^в^’
\г=1/ г=1
тт=кка
1^=1 А?
тт=кка
1^=1 А?
(41)
(41)
где Ai, Bi и Hi — функции от одной переменной qi (г = 1, .п), то конечные уравнения движения системы могут быть получены с помощью квадратур.
Действительно, для системы Лиувилля
E7=i kPi/Bi + 2П0
Е”=М
но это частный случай формулы (32).
§ 28. Применение канонических преобразованияв теории возмущений
Пусть известны движения системы с данной функцией Н. т. е. решения/ О 0\/ / О 0\
9г =Pkb Pi = Чк. Рк)
Vli = Ы1=0, Pi = (рЩ=о; г = 1, ..., n] системы дифференциальных уравнений dq»ЭНdp,дН
"^7 =(г=1, ...,п),(2)
atdpiatoqi
и пусть требуется определить движение «возмущенной» системы с гамильтоновой функцией Н + Н^^ т. е. определить решения системы дифференциальных уравнений
^ = д(Я + Я1)^ = _£(Я + Я1)
dt Эрг ’ dt9qi
Если в формулах (1) рассматривать ^ ир^ (fc = 1, п) как новые переменные, то, как было выяснено на с. 139, формулы (1) определяют свободное унивалентное каноническое преобразование. Это преобразование переводит гамильтонову систему (2) в гамильтонову систему с функцией Н = 0 [см. формулу (13) на с. 138]
^ = 0, f=0 (4)
а гамильтонову систему (3) — в гамильтонову систему с функцией Н. которая будет равна1) Hv«
'It Я ' dt eg ' ' ' 1 '
Таким образом, новые переменные q^. и р^ обладают следующим замечательным свойством: для невозмущенного движения они сохраняют постоянные значения, равные начальным значениям: для возмущенного же движения они представляют собой функции от времени и начальных значений:
ЧкЧ^ Ч®, Pj), РкЧм^Р®') (fc = l, (6) определяемые как общее решение гамильтоновой системы (5), в которой функцией Гамильтона является «энергия возмущения» Hi.
•*•) Это следует из соотношения Н — (Н + Hi) = 0 — Н. Левая и правая части этого равенства равны dS/dt, где S — производящая функция рассматриваемого свободного унивалентного канонического преобразования (см. с. 133).
Конечные уравнения для возмущенного движения в исходных координатах q^ pi (г = 1, ..., п) получаются при подстановке функций (6) в формулы для невозмущенного движения (1) вместо постоян
ных И
Нам удалось, используя теорию канонических преобразований, заменить интегрирование гамильтоновой системы (3) интегрированием гамильтоновых систем (2) и (5); из общих решений (1) и (6) этих систем суперпозицией получаем общее решение системы (3)
qi = Mt, ГГ q^p]), Pk\t, ГрГ.
(г = 1, .п).(17)
Pi = ФМ q[k\t, Qj, Pj), Plk\t, q®, p°)]
В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости t = 0В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости t = 0Мы фактически показали, что «возмущение в энергии» системы эквивалентно «возмущению начальных данных». Проиллюстрируем это на рис. 40.
В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости t = 0
В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости t = 0
возьмем фиксированную точку Мо и проведем из нее невозмущенный
прямой путь, т. е. прямой путь (1) для системы (2). На рис. 40 этот путь изображен жирной линией MqNq. В гиперплоскости t = 0 смещение начальной точки, задаваемое функциями (6), изобразим тонкой линией М^М^. Из точки Mot этой кривой проведем невозмущенный прямой путь Mot N^ (на Рис- 40 он изображен пунктирной линией). На этом пути возьмем точку Р с данным значением координаты времени t. Это и будет положе-
рис 4Qние системы в возмущенном движении в
’момент времени t. При невозмущенном
движении система в момент t занимала положение Q. Таким образом, возмущение сказалось в «сдвиге» QP. Прямой путь в возмущенном движении изображен жирной линией MqP. Таким образом, воз
мущенное движение можно рассматривать как «сложное» движение в фазовом пространстве: точка движется по невозмущенному прямому пути, но сам этот путь смещается (в общем случае деформируясь) из-за «возмущения» начальных данных.
§ 29. Структура произвольного каноническогопреобразования
В этом и в следующих параграфах этой главы мы приведем некоторые дополнительные сведения о канонических преобразованиях.
Для произвольного канонического преобразования можно установить формулы, определяющие это преобразование с помощью произ-
водящей функции и валентности с, подобно тому, как это было сделано в §25 для свободного канонического преобразования.
Пусть, например, из 4п величин
Qi, Pi, Qi, Pi (г = 1, ..., n),(1)
связанных между собой каноническим преобразованием Qi = Pi(t, qk, Pk), Pi = qk, Pk),
г = 1, ..., n;г = 1, ..., n;8(qi, ...,Pn)8(qi, ...,Pn)8(qi, --^рЛ8(qi, --^рЛ(2)(2)
г = 1, ..., n;
г = 1, ..., n;
8(qi, ...,Pn)
8(qi, ...,Pn)
8(qi, --^рЛ
8(qi, --^рЛ
(2)
(2)
можно в качестве 2n независимых взять величины
(3)(3)Q1? • • • ? Qb Pl + li • • • iPni Qh • • • ? Qm^ Pm-Vh • • • ? Pn(0 ^ l.m ^ n).
(3)
(3)
Тогда с помощью тождеств
n/ n\ n
52 Pg^g = 5 52 ^Pg - 52 Ь5Рд^
y=Z-|-l\Д=^Н~1уУ=^~Н1
n/ n\n
52 рь 59h = § I 52 5hPh j - 52 ^h 5Ph
К=т^1\h=m-\-l/h=m-\-l
можно основное определяющее равенство (9) на с. 131 записать в виде
52PjЧ)- 52 qh$Ph-H6t =
3 = 1h=m-\-l
= c^^Pidqi - 52 Чд^Рд- H^ ) “ ^Г, (4) \г = 1g = l-\-l/
где
и = F + 52 ^Ph -c 52 ЬРд-(5)
K=mA-lg=l-\-l
Поскольку все 4n величин (1) выражаются через 2п величин (3), то мы можем считать, что U есть функция от величин (3). Тогда из тождества (4) легко находим
dU6UдИ ~ дИ ~
wr^p” ^ = ч" (6)
(г = 1, ..., Z; g = I + 1, ..., п^ j = 1, ..., т^ h = т + 1, ..., п).
Формулы (6) эквивалентны формулам (2) и определяют рассматриваемое каноническое преобразование с помощью валентности с и производящей функции U от независимых величин (3).
Ниже мы докажем математическую лемму, согласно которой из 4п величин (1), связанных преобразованием (2), всегда можно выбрать 2п независимых так, чтобы среди выбранных величин не было ни одной пары сопряженных q^ , р^ или фИ рг А). Тогда при надлежащей перенумерации координат q^ фк (i, k = 1, ..., n) и соответственной перенумерации импульсов р^ pk (i, k = 1, ..., n) выбранные 2n независимых величин можно представить в виде (3). Поэтому для произвольного канонического преобразования имеют место формулы, которые могут отличаться от формул (6) лишь нумерацией величин (1) ).
Подобно тому, как это было сделано в § 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка п, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции U, отличен от нуля). Поэтому первые п уравнений (6) могут быть разрешены относительно величин (qj, Ph j = 1, ..., m; h = = m-\-1, ..., n\ После подстановки полученных выражений в последние п уравнений (6) мы представим уравнения канонического преобразования (6) в виде (2).
Сформулируем и докажем лемму, на которую мы опирались при получении структурных формул (6) для произвольного канонического преобразования.
Лемма. Если даны 2п независимых функций ф, ..., qn, pi, ..., рп от 2п независимых величин qi, ..., qn, pi, ..., рп, то из 4п величин qi, pi, ф, pt (г = 1, ..., п) всегда моснсно выбрать 2п независимых так, чтобы среди них не было ни одной пары сопряснсенных (qk, Pk) или (фк, Pk).
Доказательство. Допустим противное, т. е. допустим, что любые 2п из рассматриваемых величин, среди которых нет ни одной пары сопряженных, всегда зависимы. Тогда выберем п + d независимых из данных 4п величин таким образом, чтобы первые п не имели значка ~, а послед-
■*•) В книге Голдстейна [8, с. 262] утверждается, что при произвольном каноническом преобразовании в качестве системы 2п независимых величин всегда может быть взята одна из четырех систем: qi и ф; qi и ф; pi и ф; pi и ф (i = 1, ..., п). Ошибочность этого утверждения можно усмотреть из простого примера канонического преобразования ф = —pi, ф — qx, qj = qj, Pj = Pj (j = 2, ..., n).
ние d имели этот значок, причем выберем эти п + d величин так, чтобы среди них не было сопряженных и чтобы число d имело наибольшее из всех возможных значений. Согласно допущению d < п.
Поскольку, не изменяя ни условия, ни утверждения леммы, можно поменять ролями две сопряженные величины qt и pt или qt и pi, а также сделать произвольную перестановку индексов 1, ..., п как у величин qt, pi, так и у величин qt, р^ то можно считать, что выбранными являются следующие п + d величин:~~\
Qi, • ••, qn, qi, • • ♦, qd < n).
Ряд величин (7) назовем максимальным базисом. Очевидно, что
qj = /(91,qn, qi,qa),.
~~ и = d + i, и),
Pj = /(91,9n, 91,9d)
где / — знак функциональной зависимости).
Не нарушая общности, можно считать, что из величин
Р1, Рп, Р1, Pd,не входящих в формулы (8), величины
Pi, ..., ра, Р1, ...,рь (а < п, b < d)
являются функциями от базисных величин (7), а каждая из величин
Ра-\-1, • • • , Рп, Pb+1, - - - , Pd независима по отношению к базису. Таким образом,
Pi = /(91, • • •, Qn, qi, • • •, qa) (г = 1, ..., а),Pk = /(91, • • •, qn, qi, • • •, qa) (ft = 1, ... , b).
Покажем теперь, что величины qa^x, • • •, qn, Qw, • • •, qd, сопряженные «независимым» величинам (10), фактически не входят в правые части формул (8). Действительно, пусть, например, qx (А > а) фактически входит в выражение для некоторого qj (j > d):
q3 = /(•••, qx, •••)•
Тогда система величин qi, ..., Qa-i, Qa+i, • • •, Qn, Qi, • • •, qd, qj эквивалентна базису (7):
(gi, ..., gA-i, gA+i, ..., qn, qi, qd, qj) ~ (91, ■ ■ ■, 9», 91, • • •, qa), (12) т. e. каждая из величин, входящих в одну из двух систем, выражается через величины другой и наоборот). Поэтому п + d + 1 величин
(7)(8)(9)(Ю)(П)(7)(8)(9)(Ю)(П)Qi, • • •, Qa-i, Рх, Qa+i, Qn, qx, qd, qj независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7).
(7)
(8)
(9)
(Ю)
(П)
(7)
(8)
(9)
(Ю)
(П)
Таким образом, формулы (8) могут быть записаны так:
qj = /(91, ■ ia, Ч1,---,чъ), Pj = f^qi, Чат, qi,...,^)(13)
(j = d + 1, ., n).
Обозначим через qi, . . . , qai, qi, . . . , qbi (&i ^ a, 6i ^ b) все величины, фактически входящие хотя бы в одну из правых частей формул (13); тогда
q3 = /(91, Чах, 41, ■■■,961), Й =/(91,9=1, 91, •••,961)(14)
(j = d+ 1, ., n).
Покажем теперь, что величины qx, q^ (А > а, р > Ь) фактически не входят в те формулы (11), где г ^ ai, k ^ bi. Допустим противное. Пусть, например, qx (А > а) фактически входит в выражение (11) для р^, где И ai,
Ph = fl- - -, qx, - - - ) (й < ai, А > а).
Но величина q^ фактически входит в одно из выражений (14); пусть, например, она входит в выражение для qj (j > d):
qj = /(•••, 9й> •••) Gi < a^ j > d)-
Тогда
(щ, .qp-i, рр, ^1+1, ..., qa-1, QA+i,...,Qn, qi,...,qd, qj) ~
~ (щ, .... qn, qi, .... qd) (15) и, следовательно, n + d + 1 величин
Щ,...,дй-^ Рй, Qh+1, • • • , Qa-i, Рл, QA+i,...,Qn, qi,***,qd, qj
независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7).
Таким образом,
Р«1 =/(91, •••, 9а, 91, •••, 9б),№1 =/(91, •••, 9а, 91, •••, 9б)(16)
(й = 1, ..., ai, ki = 1, ..., bi).
Обозначим через Qai+i, ..., qa2, ?ь+й • • • , qb2 те из величин ^, qk (г > ai, к > 61), которые фактически входят в правые части формул (16). Тогда
Ря = /(91, •••, 9а2, 91, •••, 9б2)(*1 = 1, • • •, «1; «1 ^ «2 ^ в),, .
№1 = /(91, • • •, 9а2, 91, • • •, 9б2)(&! = 1, • • •, 61; 61 < ?>2 < 6).
Теперь покажем, что величины qx, qp, (А > а, /а > Ь) фактически не входят в выражения (11) для р^, рк, где г ^ П2, к ^ 62. Действительно, пусть, например, qx (А > а) фактически входит в выражение для р^2 (ai < < г2 < (Z2):
Pi2 = fl- • •. qx, • • •) (й < h < fl2, A > a).
Но величина ^2 фактически входит в одно из выражений (17), например,
в выражение для р^. Тогда величина q^ фактически входит в одно из выражений (14), например, в выражение для qj (j > d);
p*i =q«2,qj = f (• • •, 9h, • • •)p*i =q«2,qj = f (• • •, 9h, • • •)(»i ai < «2«2),(Й ^ «1, j > d").(»i ai < «2«2),(Й ^ «1, j > d").
p*i =q«2,
qj = f (• • •, 9h, • • •)
p*i =q«2,
qj = f (• • •, 9h, • • •)
(»i ai < «2«2),
(Й ^ «1, j > d").
(»i ai < «2«2),
(Й ^ «1, j > d").
В этом случае имеет место эквивалентность между системой величин
Q1 ? • • • ? Qil — 1 , Pit . Qil + l, • • • ? 9i2 — 1. Pi2 > 9^2 + 1 ’ * * ‘ ? QA —1 ?
Qa+1, • • •, qn. qi. • • •, qd. qj (18)
и базисом (7). Поэтому величина рх независима от величин (18). Прибавляя р\ к величинам (18), получим базис из п + d + 1 величин, что невозможно.
Таким образом,
^2 = f(q^ Qa, q^qb\Pk2 = f(qi. • • •, qa. qi. qb) (19)
(^2 = ai + 1, . . . , (Z2? &2 = &1 + 1, • • •, ^2)-
Обозначим через Qa2+i, ..., qa3, qb2+i, • • •, qb3 те из величин qi, qk (i > > a2, k > b^Y которые фактически входят в формулы (19). Равенства (19) запишем так:
pt2 = Kq^ -q»3. q^ -9ь3)
(22 = ^1 Т 1, • • • , ^2) &1 С ^2 С а3 С аУ
~ И~~ .(20)
Pk2 = Rqi. ... qa3. qi. .... qb3)
(k2 = bi + 1, ..., 62; bi b2 С k C b).
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одновременно не будут достигнуты равенства as = as+i, bs = Ьв-нА тогда
Pis = Kqi. qas.qi. • . qbs)
(21)(21)(is = as-i + 1, ..., as; ai < ... < as < a), Pks = f(qi. .... qas.qi. ... qbs)
(21)
(21)
(ks = bs-i + 1, ..., bs' bi < ... < bs < b).
Вместо формул (14), (17), (20), ..., (21) можно написать
qj = /(91,
Pj = /(91,
• •, 9»s, 91, • • •, qbs), .,/ooi
-~ , b = d+ 1,n),(22)
..,qas, 91, qbs)
pt = /(91, •
Рк = /(91, •
qa„, qi, ...Лъ^(г = 1,as),(23)
9as, 91,96,)(k = 1,b„Y(24)
Пусть теперь as > bs. Тогда из формул (23) можно исключить qi, ..., qbs и получить зависимость между qt, pi, что противоречит условию леммы.
Если as ^ bs, то аз < bs + 1. Тогда из формул (22) и (24) можно исключить все qt и получить зависимость между qk, pk, что опять противоречит условию.
Таким образом, допущение о существовании максимального базиса (7), в котором d < п, привело нас к противоречию. Лемма доказана.
§ 30. Критерий каноничности преобразования.Скобки Лагранжа
Установим некоторые критерии каноничности, т. е. необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять 2п независимых функций [относительно qk, Pk (к = 1, ..., п)]
qt = tpilt, qk, рк\ Pi = il>i(.t, qk, Рк) (г = 1, ..., n) (1) для того, чтобы определяемое этими функциями преобразование было каноническим.
Пусть преобразование (1) является каноническим. Выпишем для него определяющее тождество
^^Pi 5щ - Н St = с f У^ 5qt - Н 6t j - 5F(t, qi, pi\ (2) i=l\i=l/
Возьмем произвольное фиксированное значение t = t. Тогда из тождества (2) находим:nп
^Pidqt = c^ptSqt - 5F(t, Qi, PiY(3)
г=1i=l
Но равенство (3) есть определяющее тождество для преобразования, не содержащего явно времени,
qt = <Рг(Г qk, PkY Pt = ^i(r qk, Рк) (г = 1, ..., n) (4)
Следовательно, формулы (4) определяют каноническое преобразование с валентностью с, не зависящей от выбранного значения t = t.
Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразования, получающиеся из преобразования (1) после замены переменной t различными фиксированными значениями t, являются каноническими, и притом с одной и той же валентностью с. Тогда, определяя функцию Н равенством
Й = сН+^ + ^Р.^,(5)
мы из равенств (3) и (5) получаем равенство (2), т. е. приходим к тому, что зависящее от времени t преобразование (1) является каноническим.
Таким образом, для того чтоби зависящее от времени преобразование (1) било каноническим, необходимо и достаточно, чтоби били каноническими, и притом с одной и той снсе валентностъю с, все не зависящие от времени t преобразования, получающиеся из преобразования (1) заменой t произвольним значением t.
Поэтому при установлении критериев каноничности можно ограничиться каноническими преобразованиями, не содержащими явно переменной времени t;~~
qt = v.^qk, Pk), Pi = ^(qkPk) и = 1, ^Sh^iiiKL ^ о ). (6)
\УДО,Pn) /
Для канонического преобразования (6) определяющее тождество (2) записывается так:
^Pk 5qk = с^рк 5qk - 5K(qb рД(7)
к = 1к = 1
Выразим здесь 5qk через 8qt и 5pt с помощью формул (1). Тогда равенство (7) примет вид
^2^i6qt + Ф<5р;) = -6K(qk, рк),(8)
1=1 где
ф< = УД -^ -cpi, ^ = УД-^;(г=1,(8')
Остается записать условия того, что левая часть равенства (8) является полным дифференциалом, и мы получаем критерий каноничности в виде равенств
<Ж _ ЭФк ЭФг _ ЭФк 9Фг _ ЭФ кГ к - 1Гей
8qk dqt ’ дрк dpi ’ 8рк 8qt ’ г’
Подставляя сюда выражения (8'), после элементарных преобразований находим
у 6dqj_ дрз_ _ dqj_ ЭрД = Q
у \ dqi dqk 9qk dqi /’
\9pi 9pk 9pk 9pi J
^ (9qj_ 8рз_ _ 8qj_ dpA = =
\ 8qt 8pk dpk dqi / tk
где 5tk — символ Кронекера: 6ik = 0 при г ф к, 5tk = 1 при г = к (г, к = = 1, ..., п).
Условия (10) можно записать в компактной форме, если ввести так называемые скобки Лагранжа, которые определяются для заданных 2п функций (pi, i^i (г = 1, ..., п) от двух переменных q и. р следующим образом г):
(11)(11)У' (д^з д-фз _ &Ч>3 NA = У'
(11)
(11)
у^ \ 9q Эр Эр 9q / у^ ^(q, р) *
•*•) Пусть читатель сравнит скобки Лагранжа со скобками Пуассона, введенными в § 15. Там были заданы две функции р, ф от 2п переменных qi, Pi и скобки Пуассона равнялись сумме якобианов ЭД, Д/д^, pt\ Здесь же даны 2п функций от двух аргументов и скобки Лагранжа равны сумме якобианов (11).
Использовав эти обозначения и взяв в качестве (р^ -ф1 функции q^ pi (г = 1, ..., п), определяемые формулами (6), мы можем записать условия (10) так:
\qtqk^ = O, \piPk] = 0, [qiPk] = cdik (г, k = 1, ..., n); (12)
здесь с — валентность канонического преобразования.
Равенства (12) выражают необходимые и достаточные условия того, чтобы преобразование (6) было каноническим. В случае преобразования, зависящего от времени t, условия (12) сохраняются, только они должны выполняться при любом значении t.
§ 31. Симплектичность якобиевой матрицыканонического преобразования
Рассмотрим якобиеву матрицу канонического преобразования
dgi dgi "'dqi'' 8q„dqi dpi "dqi '' dpndq„dqndq„dq„dqi "'' 8q„dpi "'' dpndpidpidpidpidqi ''' 8q„dpi "'' dpndp„dpndp„dp„dqi "dqndpi "'' dpndgi dgi "'dqi'' 8q„dqi dpi "dqi '' dpndq„dqndq„dq„dqi "'' 8q„dpi "'' dpndpidpidpidpidqi ''' 8q„dpi "'' dpndp„dpndp„dp„dqi "dqndpi "'' dpn/ dq dq \dq дрдр др\ dq dp // dq dq \dq дрдр др\ dq dp /
dgi dgi "'
dqi
'' 8q„
dqi dpi "
dqi '' dpn
dq„
dqn
dq„
dq„
dqi "
'' 8q„
dpi "
'' dpn
dpi
dpi
dpi
dpi
dqi '
'' 8q„
dpi "
'' dpn
dp„
dpn
dp„
dp„
dqi "
dqn
dpi "
'' dpn
dgi dgi "'
dqi
'' 8q„
dqi dpi "
dqi '' dpn
dq„
dqn
dq„
dq„
dqi "
'' 8q„
dpi "
'' dpn
dpi
dpi
dpi
dpi
dqi '
'' 8q„
dpi "
'' dpn
dp„
dpn
dp„
dp„
dqi "
dqn
dpi "
'' dpn
/ dq dq \dq дрдр др
\ dq dp /
/ dq dq \dq дрдр др
\ dq dp /
Здесь dq/dq — якобиева матрица n-го порядка ||d^/dgfc||. Аналогично определяются якобиевы матрицы n-го порядка dq/dp, dp/dq и dp/dp.
Введем в рассмотрение специальную матрицу порядка 2п
0 ... 0 -1 ...0
(2)(2)0...00...-1
(2)
(2)
1...00...0
0 ...10...0
где Е — единичная матрица n-го порядка. Рассматривая наряду с матрицей М транспонированную матрицу М', составим произведение M'JM и докажем, что в силу соотношений (12) предыдущего параграфа это произведение тождественно равно cJ:
(3)(3)M'JM = cJ,
(3)
(3)
где с — валентность канонического преобразования.
HoHoДействительно 1),Действительно 1),м'лм =м'лм =/ ( dp У dq\ dq / dq/dp5'dq\ \dp/ dq/ ( dp У dq\ dq / dq/dp5'dq\ \dp/ dqdqy dp dq/ dq dqy 9p Эр) dqdqy dp dq/ dq dqy 9p Эр) dqdp у dq dq/ dp dp\zdq dp / dpdp у dq dq/ dp dp\zdq dp / dpdq dqdqdpdq dqdqdp' dP \ dp' dp dp /' dP \ dp' dp dp /dp у dq/ dq у dp _ 9pj 9qjdq/ dq\dq/ dqd^ 9qk3 = 1dp у dq/ dq у dp _ 9pj 9qjdq/ dq\dq/ dqd^ 9qk3 = 1d% dpjOq, 8qkd% dpjOq, 8qkПроведя аналогичные вычисления для остальныхПроведя аналогичные вычисления для остальныхM'JM =M'JM =осЕосЕ-сЕ0-сЕ0= 0.= 0.трех блоков, получимтрех блоков, получим
Ho
Ho
Действительно 1),
Действительно 1),
м'лм =
м'лм =
/ ( dp У dq
\ dq / dq
/dp5'dq
\ \dp/ dq
/ ( dp У dq
\ dq / dq
/dp5'dq
\ \dp/ dq
dqy dp dq/ dq dqy 9p Эр) dq
dqy dp dq/ dq dqy 9p Эр) dq
dp у dq dq/ dp dp\zdq dp / dp
dp у dq dq/ dp dp\zdq dp / dp
dq dq
dq
dp
dq dq
dq
dp
' dP \ dp
' dp dp /
' dP \ dp
' dp dp /
dp у dq/ dq у dp _ 9pj 9qj
dq/ dq\dq/ dqd^ 9qk
3 = 1
dp у dq/ dq у dp _ 9pj 9qj
dq/ dq\dq/ dqd^ 9qk
3 = 1
d% dpj
Oq, 8qk
d% dpj
Oq, 8qk
Проведя аналогичные вычисления для остальных
Проведя аналогичные вычисления для остальных
M'JM =
M'JM =
осЕ
осЕ
-сЕ
0
-сЕ
0
= 0.
= 0.
трех блоков, получим
трех блоков, получим
что и требовалось доказать.
Для унивалентного канонического преобразования равенство (3) записывается так
(4)(4)M'JM = J.
(4)
(4)
Матрицы М, для которых справедливо равенство (4), называются сим- плектическими. Поскольку det J = 1, а определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей, то из (4) находим
det М = ±1.
Таким образом, симплектические матрицы являются неособенными).
Матрицу М, удовлетворяющую соотношениям (3), будем называть обобщенно-симплектической (с валентностью с)*).
Так как соотношения (12) предыдущего параграфа свелись к условию обобщенной симплектичности якобиевой матрицы М, то критерий каноничности преобразования может быть сформулирован так:
Для того чтобы некоторое преобразование
Qi = Qi(t, Qk, PkY Pi = Pi(t, qk, pk) (г = 1, ..., n)
было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая этому преобразованию якобиева матрица М была обобщенно-симплектической с постоянной валентностью сДВ случае унивалентного преобразования матрица М является обыкновенной симплектической.) При этом условие симплектичности (3) долснсно выполняться тождественно относительно всех переменных t. qt, pi (г = 1, ..., п).
В § 26 было установлено, что движение любой гамильтоновой системы может рассматриваться как свободное унивалентное каноническое преобразование. Следовательно, его якобиева матрица симплектична и ее определитель I (см. с. 125) равен ±1.
Поскольку в начальный момент 1(0) = +1, то I = +1 во все последующие моменты времени, но именно этот определитель служит подынтегральной функцией в выражении для фазового объема в 2п-мерном пространстве (формула (3) §23).
Это замечание может рассматриваться как отличное от проведенного в § 23 доказательство теоремы Лиувилля.
§ 32. Инвариантность скобок Пуассона приканоническом преобразовании
Представим условие каноничности преобразования, записанное в форме равенства (3) предыдущего параграфа, в несколько измененной форме. Умножим обе части этого равенства слева на (М')-1, а справа — на М-1. Получим:
(м'цЧм-1 = - j.(1)
С
Возьмем обратные матрицы от обеих частей этого равенства, замечая, что 2) J1 = —J:
(2)(2)1) Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех с ф 0) также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то det М = ±сп.2) Мы пользуемся здесь следующим правилом: обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке: (АВС)”1 = С^В^А"1. Кроме того,1) Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех с ф 0) также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то det М = ±сп.2) Мы пользуемся здесь следующим правилом: обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке: (АВС)”1 = С^В^А"1. Кроме того,MJM' = cJ.
(2)
(2)
1) Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех с ф 0) также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то det М = ±сп.
2) Мы пользуемся здесь следующим правилом: обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке: (АВС)”1 = С^В^А"1. Кроме того,
1) Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех с ф 0) также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то det М = ±сп.
2) Мы пользуемся здесь следующим правилом: обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке: (АВС)”1 = С^В^А"1. Кроме того,
т.е. J"1 = -J.
Равенство MJM' = сЗ получается из равенства M'JM = сЗ путем замены якобиевой матрицы М транспонированной матрицей М'. Но эта замена [см. формулу (1) §31] сводится к замене производных dqi/dqk, 8qt IЭрк, dpi Idqk , dpi / dpk соответственно на производные dqk / dqi, Эрк Idqi, dqk/dpi, dpk/dpi, т. e. в каждой производной меняются местами буквы и индексы, стоящие вверху и внизу1). Поэтому, если равенство M'JM = сЗ было эквивалентно системе равенств
VqiQk^=O, [p^pfc] = 0,\qiPk\ = c§ik(г, к = 1, ..., п),(3)
то равенство (2) будет эквивалентно системе равенств
М* = ^[РгРкУ =о,[qiPkY=^ik(г, к = 1, ..., п),(4)
где значок * указывает, что внутри скобки Лагранжа следует произвести указанную выше замену производных. Но тогда скобки Лагранжа переходят в скобки Пуассона. Действительно,
/ dq} dpj dpj dq} \ “ \ dqi dqk dqi dqk / j=1
dqi dqk \x
= wqkb dpj dq3
где (qi qk) — скобки Пуассона для функций qi и qk относительно независимых переменных щ, щ, ..., q^ Рп- Совершенно аналогично
fem]* = VPiPkY fem]* = (qtPk).
Поэтому условия каноничности преобразования (4) могут быть записаны с помощью скобок Пуассона в следующем виде:
(qtqk) = O, (PiPk) = ®, (qtPk) = c5tk (г, k = 1, ..., n).(5)
Рассмотрим теперь две функции ^ и ^ от величин qi, pi (г = 1, ... , п) и L Выражая в этих функциях qi, Pi (г = 1, ..., п) через qk, Pk (k = 1, ..., n) с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных qk, Pk (к = 1, ..., п). Соответственно скобки Пуассона от у), ^ можно вычислить как по отношению к переменным qi, pi [обозначение (y>V0L так и по отношению к переменным qi, pi [обозначение (у)^)^].
Докажем справедливость тождества
(6)(6)(у^) = с^ф^) .
(6)
(6)
х) Значок ~ по-прежнему остается вверху.
Доказательство этого тождества опирается на известное выражение якобиана от системы сложных функций
++д(^, У1) _ у " д(^, ^ 8(qj, 9k) + д(^, VQ 8(р,, pk)8(qj, Pj) ^ L^(5i, 9k) 8(qj, p,) 8<Pi, Pk) 8(qj, p3)
+
+
у д^р, ф) 8(qj, Pk)i^ 8(qi, Pk) 8(qj, Pj)
Просуммировав почленно эти тождества, получим
i^) = 52i^) = 528^ 1р д(ср 9k)8^ 1р д(ср 9k)Oli 9k) +Oli 9k) +8)p, VO8(pi, Pk)8)p, VO8(pi, Pk)Он Pk)Он Pk)8(p, VO8^, Pk)8(p, VO8^, Pk)Он Pk).Он Pk).
i^) = 52
i^) = 52
8^ 1р д(ср 9k)
8^ 1р д(ср 9k)
Oli 9k) +
Oli 9k) +
8)p, VO
8(pi, Pk)
8)p, VO
8(pi, Pk)
Он Pk)
Он Pk)
8(p, VO
8^, Pk)
8(p, VO
8^, Pk)
Он Pk).
Он Pk).
Согласно равенствам (5), отсюда находим
(^V) = С^ д^’ ^ = С^ .(7)
j = i5 Рз)
Справедливо и обратное утверждение. Если для любых двух функций <р и ф выполняется тождество (7) при одной и той же постоянной с / О, то переход от 2п переменных qi, Pi к 2п переменным qt, pi осуществляется каноническим преобразованием с валентностью 1) с.
Для унивалентного канонического преобразования с = 1, и потому
(у^) = (,р4>) .
Другими словами, скобки Пуассона инвариантны относительно унива- лентных канонических преобразований. Это свойство унивалентных канонических преобразований выделяет эти преобразования среди всех возможных преобразований фазового пространства.
•*•) Действительно, из равенства (7) вытекает, что
Й15к) = с(дгдкр = 0, (ptPk) = с(ргркр = О,
(qtPk) = c(qtpk) = c5ik.
ГЛАВА V
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И
ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
§ 33. Теорема Лагранжа об устойчивостиположения равновесия
Начнем с определения устойчивого положения равновесия.
Предварительно напомним ), что положение системы называется положением равновесия, если система, находящаяся в начальный момент в этом положении при нулевых скоростях, все время остается в этом положении.
Пусть положение голономной системы определяется с помощью независимых координат щ, ..., qn (n — число степеней свободы системы). Как было выяснено в § 5, в положении равновесия (и только в этом положении) все обобщенные силы равны нулю: Qi = 0 (г = = 1, ... , п) ). Без нарушения общности можем считать, что рассматриваемое положение системы находится в начале координат qi = ... ... = qn = 0. Тогда координаты любого другого положения системы щ, ..., qn характеризуют отклонение этого положения от положения равновесия и потому сами называются отклонениями системы.
Положение равновесия q^ = ... = qn = 0 (или состояние равновесия щ = ... = qn = 0, qi = ... = qn = 0) называется устойчивым, если при достаточно малых начальных отклонениях q^ и достаточно малых начальных скоростях q^ (г = 1, ... , п) система во все время движения не выходит из пределов сколь угодно малой (наперед заданной!) окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые скорости ср (г = 1, ... , п), т. е. если для любого е > 0 можно указать такое 5 = 5(e) > 0, что для всех t to выполняются неравенства
\д^0\<Е,|%(t)|<E (г = 1, . ..,n),(1)
коль скоро в начальный момент t = to
V£\<5, \q"\<5 (г = 1, ... , n).(2)
Неравенства (1) и (2) удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний (^, ф). На рис. 41 (для случая п = 1) в плоскости (q, q) изображены две окрестности начала координат О, соответствующие неравенствам (1) и (2). Если начало координат О — устойчивое состояние равновесия и для заданного £ > 0 должным образом подобрано 5 > 0, то любое движе- _ ние, начинающееся в момент to внутри квадрата с центром в О и стороной 25, будет проходить все время внутри такого же квадрата со стороной 2е.
Примеры. 1. Тяжелый шарик может двигаться по ободу, имеющему форму окружности и расположенному в вертикальной плоскости. Имеются два положения равновесия: наинизшая и наивысшая точки окружности. Из них первая представляет собой устойчивое, а вторая — неустойчивое положение равновесия.
Линейный осциллятор. Положение равновесия устойчиво. Действительно, для линейного осциллятора Т = (1/2) mq2, П = (1/2) cq2 (т > > 0, с > 0) и дифференциальное уравнение движения mq + cq = 0 имеет общее решение
q = qo cos w (t — to) + — sin w(t — to) (w2 = — ) • V m/
Поэтому kWI < ko| + - ko| < 8, \4(A\ < Д$о| + |4o| < e,
если только |qo| < 5, |qo| < 5, где, например, 5 = min(€/2cj, ше)2\
Материальная точка массы т может двигаться вдоль оси х под действием двух сил: восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению —сх, и силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости —2fx (с > 0, / > 0).
х = е тх = е тТочка х = 0 будет устойчивым положением равновесия. Рассмотрим сначала случай, когда коэффициент силы сопротивления мал: 0 < / < у/тс. В этом случае дифференциальное уравнение движения тх + 2fx + сх = 0 имеет общее решение
х = е т
х = е т
Ci cos — (t — to) + С-2 sin — (t — to)mm
где
d = y/mc- f2, Ci = x0, C2 = - (fx0 + mx^Y
Отсюда при любом значении t
WY < |C1| + |C2| < fl +ко I + ^ 1^01 < s
и
1^(01 < - fl + Г (1^11 + 1^1) < - fl + 4) Ы + fl + 4) Ы < e,m \ d Jm \ d J\ a J
если |жо| < ф |жо| < Ф где, например,
5 = min5 = minde теW 2d(l + //d)2. "de теW 2d(l + //d)2. "
5 = min
5 = min
de те
W 2d(l + //d)2. "
de те
W 2d(l + //d)2. "
Если же / ^ Vmc^ то общее решение дифференциального уравнения движения тх + 2fx + сх = 0 имеет вид где
f Рр - тс^жо + жощж0 + жо
Щ 2 = > и, С1 = ,02 = •
тV2 — V1Щ — V2
/Ы +т|ж0|УР - тс/Ы +т|ж0|УР - тсОтсюда при любом значении t
/Ы +т|ж0|УР - тс
/Ы +т|ж0|УР - тс
Ц(01 < IOI + |с2| < О + ^Ы^ы
Щ2 — ^11
И
• mi < „ 1Г I „ 1Г I < ^^W + (^1 + ^2)|жо| _ ф0| + /|ж0| 4^1 $ ^|Ci| + ^2|С2| $п——। —,< е,
Щ2 — ^11У тс
если |жо| < 5, |жо| < 5, где
5 = min5 = min/ VP - тс(2/£/ VP - тс(2/£УР -тс2с £УР -тс2с £Ур - тс2тУр - тс2т
5 = min
5 = min
/ VP - тс
(2/£
/ VP - тс
(2/£
УР -тс
2с £
УР -тс
2с £
Ур - тс
2т
Ур - тс
2т
В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесия устанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Эти конечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений Qi и обобщенных скоростей ф от времени t и начальных данных Qt^Qt (г* = 1, • • • , ^)- В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы.
Еще Торричелли (1644 г.) было известно, что положение системы тел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, если центр тяжести этой системы тел занимает наинизшее из возможных положений. Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и установил следующий критерий устойчивости положения равновесия консервативной системы:
Теорема Лагранжа). Если в некотором положении консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.
Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что в рассматриваемом положении все координаты q^, ..., qn и потенциальная энергия H(qi, ..., qn) равны нулю, т. е. q^ = ... = qn = О и П(0, ..., 0) = О) . Так как в данном положении системы функция П имеет минимум, то в этом положении обобщенные силы равны нулю
ап
Qi == 0 (г = 1,, п),
dqt
т. е. точка q^ = ... = qn = 0 является положением равновесия системы. Далее, из того, что значение П(0, ..., 0) = 0 есть строгий минимум, следует, что в некоторой Д-окрестности положения равновесия
Ш < А (г = 1, ...,п)(3)
имеет место строгое неравенство
П(91, ...,9п)>П(0, ...,0) = 0,(4)
если только все координаты q^ не равны одновременно нулю.
Составим выражение для полной энергии системы:
E<qi, • • •, qn, qi, • • •, qn) = T + П =
1 "
= 9 52 aik(qii • • •, Qn)qiqk + n(gi, ..., qn\ (5) k=l
Из неравенства (4) и из того, что Т > 0, если хотя бы одна из обобщенных скоростей ф не равна нулю), следует, что при выполнении неравенств (3) всегда
Е > 0,
если только все 2п величин ^, ф (г = 1, ... , п) не равны одновременно нулю, т. е. полная энергия E(qi, щ), обращаясь в нуль в начале координат О 2п-мерного пространства состояний, имеет в этой точке строгий минимум (равный нулю).
Выберем теперь произвольно число г, подчинив его лишь ограничению 0 < е < Д, и рассмотрим значения полной энергии Е на
границе s-окрестности, определяемой неравенствами
Ы<е, k«|<e (г = 1,(6)
Е > Е* > 0.Е > Е* > 0.(7)Рис. 42(7)Рис. 42(рис. 42). Поскольку эта граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек, то непрерывная функция Е достигает на этой границе своего минимума Е*. Так как на границе s-окрестности все значения Е положительны, то положителен и минимум Е*. Таким образом, на границе е-окрестности
Е > Е* > 0.
Е > Е* > 0.
(7)Рис. 42
(7)Рис. 42
С другой стороны, поскольку непрерывная функция Е обращается в нуль в начале координат О, то всегда существует такая 5- окрестность точки О 1), в которой
Е<Е\(8)
Поскольку если начальные координаты и начальные скорости удовлетворяют неравенствам (2), то начальная энергия Eq < Е*. Но при движении консервативной системы ее полная энергия сохраняет свою начальную величину Eq и, следовательно, во все время движения Е < Е*. Поэтому при движении системы точка, изображающая это движение в пространстве состояний, не может достигнуть границы s-окрестности, на которой Е ^ Е*, и находится все время внутри этой окрестности.
Теорема доказана.
К доказанной теореме мы сделаем два замечания.
Замечание 1. Теорема Лагранжа остается справедливой для неконсервативной системы, которая получается из консервативной добавлением гироскопических и диссипативных сил. Действительно, заметим прежде всего, что положение равновесия сохранится, если к системе дополнительно приложить гироскопические или диссипативные силы Qv(qk^ Qk)- Для этих сил
^ Qiv^Qk о, \qk\ < Д, \9к\ < Д*
Р=1
•*•) Поскольку в 5-окрестности выполняется неравенство (8), то 5 ^ е.
Выберем, как и ранее, за начало координат пространства состояний положение равновесия и предположим, что среди функций Qv есть хотя бы одна Qj такая, что 9^(0) ф 0. Тогда по непрерывности Qj\ ф 0 и в Д-окрестности начала координат. Но поскольку q^ и ^ независимы, их значения в этой окрестности всегда можно выбрать так, что
^QAak, qk)qv > о,
а это противоречит условию диссипативности или гироскопичности сил. Поэтому предположение о существовании Qj(O) ^ 0 приводит к противоречию, т. е. все 9^(0) = 0, (z/ = 1, ..., п), а это и свидетельствует о том, что добавление гироскопических и диссипативных сил не нарушает равновесия.
Гироскопические силы не нарушают закона сохранения полной энергии (см. § 8), и потому все доказательство теоремы Лагранжа остается без изменения и при наличии гироскопических сил. При диссипативных силах полная энергия Е = Т + П убывает при движении системы, и, следовательно, во время движения вместо равенства Е = = Eq имеет место неравенство Е ^ Eq. Но отсюда также следует, что во все время движения Е < Е\ если Eq < Е*. Поэтому и здесь с этим небольшим изменением доказательство теоремы сохраняется.
Замечание 2. Положение равновесия консервативной системы будет устойчивым и в том случае, когда в этом положении потенциальная энергия П имеет нестрогий минимум, но в любой s-окрестности положения равновесия существует замкнутая гиперповерхность
/(gi, .g„) = 0, (9)
содержащая положение равновесия внутри себя и обладающая тем свойством, что на этой гиперповерхности значения потенциальной энергии строго больше, чем значение П в положении равновесия.
Действительно, пусть по-прежнему в положении равновесия qi = ... ... = qn = 0 и П(0, ..., 0) = 0. Кроме того, пусть уравнение гиперповерхности (9) выбрано так, чтобы для точек, расположенных внутри замкнутой гиперповерхности (9), выполнялось неравенство
/(91, gn) >0. (10)
Тогда это неравенство вместе с неравенствами
\qk\ < ск (0 < ск < s; к = 1, ..., п) (11)
определяет в 2п-мерном пространстве состояний область (конечный «гиперцилиндр» ) G. расположенную внутри s-окрестности (6). На границе области G либо / = 0 (тогда П > 0, Г ^ 0), либо хотя бы при одном к имеет место равенство \qk\ = ск (тогда Т > 0, П ^ 0). Поэтому на границе области G всегда выполняется строгое неравенство Е = Т + П > 0.
В рассматриваемом случае минимум функции Е на границе е-окрест- ности (6) может равняться нулю. Тогда при доказательстве теоремы Лагранжа нужно вместо s-окрестности взять расположенную внутри нее область G. На границе области G минимум полной энергии Е* > 0. После этого остальная часть доказательства остается без изменения.
При п = 1 замкнутая гиперповерхность (9) вырождается в совокуп
ность двух точек на оси д, расположенных по разные стороны от начала О,
а область G — в прямоугольник, расположенный внутри s-окрестности точки О (рис. 43).
Изложенные в замечании 2 соображения сохраняют свою силу и тогда, когда к системе дополнительно приложены гироскопические и диссипативные силы (см. замечание 1).
Если точки, в которых функция П имеет минимум П = 0, заполняют сплошную кривую, исходящую из положения равновесия, то это положение равновесия может быть и неустойчивым. В качестве соответствующего примера можно взять движение свободной материальной точки с потенциальной энергией, не содержащей одной из координат, например ж: П = "Шу, zY причем
П(0, 0) = 0 и П(г/, z > 0) при у2 + z2 > 0. В этом примере точки минимума заполняют ось ж. Положение равновесия х = у = z = 0 неустойчиво,
так как при сколь угодно малой по величине начальной скорости, направленной вдоль оси ж, точка будет совершать равномерное движение вдоль
оси ж.
В приведенных на с. 166 примерах 1 и 2 рассматривается консервативная система, а в примере 3 (с. 166) на точку действует и диссипативная сила. Потенциальная энергия имеет строгий минимум в примере 1 в наинизшей точке окружности, а в примерах 2 и 3 при ж = 0. Поэтому эти положения равновесия являются устойчивыми.
Пример 4. Консервативная система с одной степенью свободы имеет потенциальную энергию П = Q4sin2l/g [дополнительно определяем: П(0) = 0]. В соответствии с замечанием 2 положение q = 0 — устойчивое положение равновесия.
§ 34. Признаки неустойчивости положения равновесия.Теоремы Ляпунова и Четаева
Еще в 1892 г. А.М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия.
Пусть по-прежнему в положении равновесия
Т = • • • = Qn = О и П(0, ..., 0) = 0.
Напишем разложение потенциальной энергии в ряд по степеням координат («отклонений»):
П = П^, . . . , Qn) + Пт+1(щ, . . . , Qn) + • • •
[nm(gi, ..., gn) ^ 0, m > 2],(1)
где Пк(д1, ..., Qn) —однородная функция А>й степени (к = m, т+ 1, ...), а наинизшая из степеней членов, фактически входящих в разложение, т ^ 2, так как в положении равновесия все (8IY/8qt)o = 0.
Теорема Ляпунова!. Если потенциальная энергия П(щ, ..., qn) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно усмотреть из членов второй степени П2(щ, .. •, Qn) в разложении (1)), то данное положение равновесия неустойчиво.
Доказательство. В выражении для кинетической энергии
Т = (1/2) <Чк<Мк
к = 1
разложим коэффициенты atk(qi, ..., qn) в ряд по степеням координат и обозначим через а^к свободные члены (т. е. значения функций a^(gi, ..., q^ при щ = ... = qn = 0). Тогда, полагая То = (1/2) ^ fe=1 а^фдк, будем иметь
Т = То + (*), П = П2 + (*);
здесь и далее через (*) обозначаем сумму членов, имеющих более высокий порядок малости относительно координат и скоростей, чем выписанные ранее члены. Так как То — положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами, то при помощи неособенного линейного преобразования переменных можно одновременно привести две квадратичные формы То и П2 к сумме квадратов, после чего разложение для Т и П в новых переменных 01, ..., 0п примет вид)
т = |Ё^ + (*), n = |f>^ + (*)-(2)
к=1к=1
Поскольку квадратичная форма П2 принимает некоторые отрицательные значения, то, по крайней мере, одно Хк < 0.
В координатах 9к уравнения Лагранжа запишутся так:
6к = -ХкОк^М (к = 1,...,п\(3)
Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму
/2 \+ Xk + ^-j 6k +/2 \+ Xk + ^-j 6k +
/2 \
+ Xk + ^-j 6k +
/2 \
+ Xk + ^-j 6k +
(4)(4)+ /1(1 — Xk)6k6k + f 1 + Xk + ^- j Ok
(4)
(4)
где Sk = 1 при Xk ^ 0 и Sk = — 1 при Xk < 0 (k = 1, ..., n), а число /1 > 0.
А (е’^У) =А (е’^У) =Непосредственно проверяется, что в силу уравнений (3) и равенства (4) при движении системы
А (е’^У) =
А (е’^У) =
(5)(5)р-^2,ек (л + ^) (^+^ + ^
(5)
(5)
. к = 1.
Не нарушая общности, будем считать, что Ai < 0 и что Ai — наибольшее число из отрицательных Хк. Положительное число /1 выберем так, чтобы одновременно выполнялись неравенства
Ai + ^ < 0, Ai + Ai + ~" > 0.(6)
Из первого неравенства следует, что сумма в правой части равенства (5) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Но тогда при достаточно малых (по абсолютной величине) Ок и Ок
\0к\<4Х. \0к\<^ (^ = 1, ...,п)(7)
правая часть равенства (5) будет всегда положительна, т. е.
4(е-^у)>0,
откуда
е^У > е^Уо,
ИЛИ
(8)
Положим все начальные значения 0^ 0^ (к = 1, ..., п) равными нулю, за исключением 0^ которое возьмем по модулю меньшим А. Тогда, используя выражение (4) и второе неравенство (6), находим УЬ > 0. Но при этом движение обязательно выйдет за пределы окрестности (7), как бы мал ни был |^i|, так как в противном случае из неравенства (8) следовало бы, что lim ¥ = ос, а квадратичная форма ¥ в окрестности (7) ограничена.
Теорема доказана.
В случае, когда в разложении (1) т > 2, можно применять следующие две теоремы, которые приведем без доказательства1).
х) Доказательства читатель может найти в следующих книгах: Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. — 1935. — § 16 и 25; Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — 1965. — §17; Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — 1952. - §14 и 17.
Теорема Ляпунова II. Если потенциальная энергия П консервативной системы при qi = ... = qn = О имеет строгий максимум и это обстоятельство может быть определено, исходя из членов наинизшей степени Пт(щ, ..., qn) (т ^ 2) в разложении (1)), то положение qi = ... • • • = qn = 0 является неустойчивым положением равновесия системы.
Теорема Ч е т а е в а. Если потенциальная энергия П консервативной системы является однородной функцией отклонений qi, ..., qn и в положении равновесия qi = ... = qn = 0 не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво.
Примеры. 1. Пусть П = Л(1 — cos aq); п = 1. Функция П в точках q^k = 2kir/a имеет строгие минимумы, а в точках q^k-i = (2к — 1)тг/а — строгие максимумы (к = 0, ±1, ±2, ...). При этом последнее обстоятельство следует из вида члена наинизшего порядка в разложении по степеням отклонений
2
п =2~ (^ “ Q2fc-1)2 + • • •
Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкам q^k соответствуют устойчивые, а точкам q^k-i — неустойчивые положения равновесия.
2. П = Aqi.. .qn. Из теоремы Четаева следует, что положение щ = ... ... = qn = 0 является неустойчивым положением равновесия.
Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы
Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени t стремятся к нулю, т. е. если существует такое число 5о > 0, что
lim qi(t) = 0, lim q^t) = 0 (г = 1, ... , n)(1)
t—>ооt—>оо
всякий раз, когда удовлетворяются неравенства
k°l<^o, |d°|<5o (г = 1,...,ДЦ)
При геометрической интерпретации (рис. 44) это означает, что в пространстве состояний (q^, щ) все траектории, начинающиеся в 5о-окрестности начала координат О, асимптотически приближаются (при t —> ос) к точке О.
В рассмотренных на с. 166-167 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым.
Мы будем рассматривать склерономные системы, находящиеся
под воздействием потенциальных сил —ЭП/Эд{ и непотенциальных сил Qi (г = 1, ... , п), и будем предпола
гать, что потенциальная энергия П и непотенциальные силы Qi не зависят явно от времени:
П — П(Щ;), Qi — Qi^Qki Qk^
(2)
(г = 1, ... , n).
В этом случае время t не входит явно вРис- 44
уравнения Лагранжа, которые могут быть записаны в следующем виде (разрешенном относительно обобщенных ускорений) (см. § 7, с. 52):
(3)(3)Qi = Gi(qk, qk) (г = 1, ... , n).
(3)
(3)
В рассматриваемом случае полная энергия Е склерономной системы не содержит явно времени:
(4)(4)Е = E(qk, qk\
(4)
(4)
Вычисляя ее полную производную по времени при движении системы, находим:
dE ^ГЭЕ. ЭЕ \ ч
Ей = Е\ Qi + = Uk, QkV (5) ^ \oqt oqi J
Таким образом, в каждой точке пространства состояний (^, q^ не только полная энергия, но и ее полная производная по времени имеют определенные значения.
Если силы Qi (г = 1, ... , п) являются диссипативными (см. §8), то при движении системы dE/dt ^ 0, т. е. функция E’^q^ q^ в рассматриваемой области пространства состояний принимает лишь неположительные значения.
В случае определенно-диссипативной системы (см. § 8) dE/dt = = E’^q^ q^ обращается в нуль только в тех точках пространства состояний, где все ср = 0, г = 1, ..., п. Будем предполагать, что положение равновесия системы является изолированным, т. е. в его окрестности нет других положений равновесия1). Тогда имеет место
Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определенно-диссипативной
системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть снова в положении равновесия
91 = 92 = • • • = 9» = 0 и П(0) = 0.
Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, выберем в пространстве состояний s-окрестность начала координат О, в которой энергия Е положительна
E(qi, 9i) > 0E(qi, 9i) > 0(6)(6)во всех точках, отличных от О, и в которой нет состояний равновесия, отличных от О.
E(qi, 9i) > 0
E(qi, 9i) > 0
(6)
(6)
Так как, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия
Qi = ... = qn = 0 устойчиво, для любого е > 0 можно указать 5(e) > 0
Рис. 45Рис. 45такое, что все движения протекают внутри s-окрестности точки О, если начальная точка выбрана в 5-окрестности (рис. 45). В качестве 5»-окрестности возьмем окрестность, в которой выполняется условие (8) §33 (5о ^ 5). Рассмотрим какое-либо из движений q%(t) (г = 1, ..., п), начинающихся в 50-окрестности. Поскольку при движении энергия Е убывает, то 1)
Рис. 45
Рис. 45
Jim E(t) = Е^ 0,
причем E(t) ^ Е^ (t ^ to). Допустим сначала, что Е^ ^ 0, т. е. что Е^ > 0, и рассмотрим последовательность значений
времени ts —> ос и последовательности значений фазовых координатвремени ts —> ос и последовательности значений фазовых координатqi^=qi(tsy 9р)=9ДД г = 1, ..., п.
времени ts —> ос и последовательности значений фазовых координат
времени ts —> ос и последовательности значений фазовых координат
14м I14м IЕ.Е.Так как вся траектория лежит в е-окрестности, то при всех s и г выполняются неравенства
14м I
14м I
Е.
Е.
В силу леммы Больцано-Вейерштрасса из бесконечных ограниченных последовательностей q^ и q^ можно выбрать сходящиеся подпосле- (fc) .(/с) -рг довательности сц и Г Пусть
lim д-^ = 9*, lim q^ = q*, г = 1, ..., n;(7)
’A:—loo г гv ’
х) Этот предел существует в силу того, что -ЕД) — непрерывная монотонно убывающая неотрицательная функция.
при этом
k*l<^ 14*1 <^ i = i,
Но тогда, в силу непрерывности E(tY
Е^, q^ = ^Е^, q^) = В». > 0.
По предположению точка (g*, q*) не совпадает с началом координат, где Е = 0.
Примем точку (q*, q*^ г = 1, ..., п, за начальную точку движения при t = to- Так как эта точка не совпадает с точкой О, т. е. не является положением равновесия, то при движении системы хотя бы одна из обобщенных скоростей q^ будет отлична от нуля и потому dE/dt < 0. Но тогда при некотором t = Е будет выполняться неравенство Е < Е^.
Рассмотрим далее движение системы, начинающееся при t = to из точки (q^k\ q^Y В силу (7) значения q^ и q^ при достаточно больших к будут сколь угодно близки к значениям q* и q* соответственно. Следовательно, при достаточно больших к будут сколь угодно близки и значения фазовых координат при t = Е У движений, начинающихся при t = to из начальных точек (q^k\ q^) и (q^ q*) (решения систем дифференциальных уравнений являются непрерывными функциями начальных данных). Поэтому для движения, начавшегося при t = = to из точки q^ и с^к\ при t = Е будет выполняться неравенство Е^Е^ < Е^ так как полная энергия Е представляет собой непрерывную функцию фазовых координат. Но в силу единственности решений уравнений Лагранжа, состояние в момент t = Е системы, вышедшей при t = to из начальной точки (q^k\ q^Y г = 1, ..., п, совпадает1) с состоянием в момент tk + Е системы, вышедшей при t = to из на- „/ (0) .(0)\ .,
чальнои точки (^ д ^ ), г = 1, ..., п; поэтому интересующее нас значение энергии E(t^ + Е) должно удовлетворять неравенству
E(tk + М < Е^
а это невозможно, так как Е^ ^ Е^ при любом t > to-
Итак, мы пришли к противоречию, допустив, что Е^ ф 0, следовательно,
Е^ = 0 и Jim E(t) = 0.(8)
Так как, в силу неравенства (6), равенство Е = 0 имеет место только в точке О, то из равенства (8) вытекает, что при t -д ос точка,
х) Так как в уравнения движения (3) время t явно не входит, то выбор начала отсчета времени не играет роли. Поэтому, если вместо q^ , q^ за начальное состояние принять q^Y Q^Y ^ — 1? ..., п, то в дальнейшем система будет проходить те же состояния, что и в исходном движении, но в иные моменты времени.
изображающая систему в пространстве состояний, стремится к началу координат, т. е. имеют место соотношения (1). Теорема доказана.
В примере 3 на с. 166 Е = (1/2)т±2 + (1/2)сж2 и
^^ = тхх + схх = (тж + сх)х = —2/ж2 < О,
поскольку / > 0. Система определенно-диссипативная, и положение равновесия является изолированным, что следует из уравнения движения при подстановке решения х = const. В силу теоремы положение равновесия асимптотически устойчиво.
Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в § 46.
Ляпунов доказал теорему, которая обобщает теорему Лагранжа. Он обратил внимание на то, что при доказательстве теоремы Лагранжа можно вместо энергии Е взять любую непрерывную (с непрерывными частными производными первого порядка?) функцию V^Qk^ QkY имеющую в состоянии равновесия строгий минимум и не возрастающую при любом движении системы.
Вычислим производную по времени от функции V, использовав при этом уравнения движения (3):
В частности, из этой формулы следует, что в начале координат О пространства состояний функции V1 обращается в нуль, так как точка О соответствует состоянию равновесия, в котором все ф = 0 и все щ = Gi = 0. Если функция V не возрастает при любом движении, то dV/dt = V'^qk^ щ) 0. В этом случае функция V в состоянии равновесия О имеет максимум. Если же этот максимум строгий, то в окрестности точки О (за исключением самой точки О) V < 0 и при движении системы в пределах этой окрестности функция V строго убывает.
Теперь можно почти дословно повторить доказательство теоремы Лагранжа, используя вместо Е функцию V. В случае асимптотической устойчивости (например, для диссипативной системы) доказательство будет даже более простым, если потребовать, чтобы производная dV/dt имела в положении равновесия строгий экстремум противоположного типа по отношению к экстремуму функции V 1) .
•*•) При доказательстве теоремы об устойчивости диссипативной системы производная dE/dt не имела в положении равновесия строгого максимума. В связи с этим нам пришлось специально оговорить, что положение равновесия является изолированным.
Заметим еще, что при формулировке критерия устойчивости можно поменять местами слова «минимум» и «максимум», так как замена функции V на функцию —V возвращает нас к прежней формулировке.
Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему:
Теорема. Если дано положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием сил, нс зависящих явно от времени, и существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка функция V(qb qk\ имеющая в данном состоянии равновесия строгий экстремум, в то время как производная V' от V по времени (вычисленная в силу уравнений движения^ имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво.
Функцию V(qk^ qk\ о которой идет речь в теореме, принято называть функцией Ляпунова.
Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса.
Теорема Ляпунова
В неравенствах (1) и (2) на с. 166, определявших устойчивость положения равновесия, фигурировали все отклонения q^ и все обобщенные скорости ф. Однако во многих вопросах мы встречаемся с условной устойчивостью, когда указанные неравенства выполняются для некоторых из 2п величин q^, ..., qn, ф, ..., qn или, в более общей постановке, для некоторых функций Xi, ..., хт от этих величин:
3Ci = Mqk,qk^ (г = 1,(1)
При этом предполагается, что все функции (1) обращаются в нуль при qk = О, qk = o (k = l, ...,п), т.е. /ДО, . .. , 0) = О, и удовлетворяют автономной) системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка )
^ = Xi(xi, ..., хт, t) (г = 1,(2)
где Xi(x{, ..., хт, t) (г = 1, ..., т) —непрерывные функции в области
t^ t0 (г = 1, ... , m)(3)
(to — фиксированный начальный момент времени).
Состоянию равновесия отвечает нулевое решение
Xi = 0 (г = 1, ... , ш)
системы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию
^(0, ..., ОД) = 0 (г = 1, ... , т).(4)
С математической точки зрения речь идет об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем эта устойчивость определяется так: для любого е > 0 существует такое 5 = 5(e) > 0, что при любом t^t^
|жг(01 < е (г = 1,, ш),(5)
коль скоро
(г = 1,(6)
Для геометрической интерпретации неравенств (5) и (6) используются е- и 5-окрестности начала координат в m-мерном пространстве (яд, ..., хт\ В случае асимптотической устойчивости дополнительно требуется существование такого 5о > 0, что
Jim х^ = 0 (г = 1, ... , m),(7)
если только
|^г(^о)| < 5о (г = 1, ... , т\(8)
Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная!), то в качестве ад, ..., хт можно взять величины щ, ..., Qn, ф, ..., qn или Qi, ..., qn, pi, ..., рп. В первом случае уравнения (2) представляют собой уравнения Лагранжа, записанные в виде системы 2п дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями qi, ..., qn. Во втором случае уравнениями (2) являются канонические уравнения Гамильтона
dqtдНdptЭН
-77 ==(« = 1,, и).(9)
atoptatoqi
Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2), которые часто встречаются в приложениях.
1°. Стационарный случай, когда t не входит явно в правые части Xi уравнений (2), т. е. когда dXi/dt = 0 (г = 1, ..., т).
2°. Периодический случай, когда правые части Xi имеют период т относительно переменной t:
ХфяД, • • • ? ^тч t -\" Т^ — Xi^Xi, . . . , Хт, t} (i — 1, . . . , т).
В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце §35.
Теорема Ляпунова. Если в стационарном иди в периодическом случае существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка в области (3) функция V^x^ ... , хт, t\ которая при любом t, рассматриваемом как параметр, имеет в точке жх = ... = хт = 0 строгий экстремум, в то время как в той же точке снова при любом t ее производная по времени
имеет экстремум противоположного типа, то нулевое решение системы (2) устойчиво. Если при этом экстремум производной V' также является строгим, то нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво. При этом предполагается, что в стационарном случае функция V не зависит явно от t, а в периодическом эта функция периодична относительно t с периодом т [т —период правых частей уравнений (2)].
Доказательство этой теоремы достаточно проверить для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым т. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы об асимптотической устойчивости со следующими изменениями: вместо Е теперь используется разность
У(жх, ..., xm, t) — V(0, ..., 0, t),
а вместо пространства (^, ф) берется m-мерное пространство (жх, ...
... , хт\ Величину t. входящую в V, рассматриваем как параметр. В силу периодичности этот параметр можно изменять в конечном интервале to С t С ^о + Т- Благодаря этому обстоятельству наличие в V переменной t не вызывает каких-либо осложнений при доказательстве теоремы.
Заметим, что в общем (нестационарном и непериодическом) случае на функцию Ляпунова нужно наложить более жесткие условия1).
Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости.
Пусть функция У(жх, ..., жтД) является интегралом системы дифференциальных уравнений (2), т. е. функция V при подстановке в нее любого решения системы (2) превращается в постоянную. В этом случае dV/dt = У^жх, ..., хт, t) = 0 и можно считать, что функция V’ в точке жх = ... = хт = 0 при любом t имеет максимум и минимум (конечно, нестрогий). Поэтому имеет место такое следствие из теоремы Ляпунова:
■*•) См., например: Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — Гл. II.
Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл ТДяд, ..., хт, t) [не зависящий от t в стационарном случае и периодический относительно t с периодом т в периодическом случае] и этот интеграл в точке Xi = ... = хт = О при любом фиксированном t имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво.
Заметим, что при доказательстве теоремы Лагранжа для консервативной системы используется интеграл энергии Е.
Рассмотрим теперь движения или более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка:
-^ = Z^zt, ..., zm, Г) (? = 1,(10)
где правые части — непрерывные функции в некоторой области изменения переменных zi, ..., zm при t ^ t^, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения по заданным начальным данным zt(to) (z = 1, ... , т).
Пусть Zi^ (z = 1, ... , т) — решение системы уравнений (10), определяющее некоторый процесс. Для выяснения вопроса об устойчивости этого процесса введем вместо неизвестных функций zi, ... ... , zm новые неизвестные функции — «отклонения»
xi=zi-zilX) (г = 1, ...,m).(11)
Тогда в новых переменных система дифференциальных уравнений (10) запишется в виде системы (2), где
Xi = Zi\xY + z^, ..., хт + zm(t^ t] - Zi\z^t\ ..., zm(t\ t]. (12)
Решению Zi = Zi(t) (z = 1, ... , m) системы дифференциальных уравнений (10) в новых переменных соответствует нулевое решение Xi = ... = хт = 0 системы дифференциальных уравнений (2). Это обстоятельство позволяет свести вопрос об устойчивости процесса Zi^ (z = 1, ... , т) к изученному нами вопросу об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2). Другими словами, решение z^ = Zi^ (z = 1, ... , т) системы (10) называется устойчивым (соответственно асимптотически устойчивым), если устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) нулевое решение Ж1 = ... = хт = 0 системы уравнений в отклонениях (2) при правых частях, определяемых формулами (12). Все это открывает широкое поле для применений приведенной в этом параграфе теоремы Ляпунова. Это теорема может быть использована не только для определения устойчивости положения равновесия, но и для определения устойчивости движения и вообще любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример. Рассмотрим вращение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку О. Динамические уравнения Эйлера в этом случае имеют вид
А^ = (В-С^г, В ^ = (С — A)rp, C^ = (A-B)pq. (13) atatat
Здесь p, q, г — проекции угловой скорости ш на главные оси инерции тела Of,, Огр Of: А, В, С — моменты инерции относительно этих осей.
Уравнения (13) допускают следующие три частных решения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей:
1° q = г = 0, р = const = ро;
2° г = р = 0, q = const = qo;
3° Р = q = 0, г = const = го.
Мы ограничимся выяснением устойчивости вращения 1°, поскольку 2° и 3° могут быть записаны в виде 1° при другом обозначении осей. При этом устойчивость решения 1° уравнений Эйлера (13) будет определять условную устойчивость вращения 1° относительно угловой скорости ш 1) .
Составим уравнения в отклонениях, положив a?i = р — ро, ж2 = q, хз = г;
dxidtdxidtВ-С—-— Ж2Ж3,В-С—-— Ж2Ж3,dx-2dtdx-2dtС-А ,.——— Жз(Ж1 +ро),С-А ,.——— Жз(Ж1 +ро),(14)(14)dx3dtdx3dtА-В , х Ж2(Ж1 +ро).А-В , х Ж2(Ж1 +ро).
dxidt
dxidt
В-С
—-— Ж2Ж3,
В-С
—-— Ж2Ж3,
dx-2dt
dx-2dt
С-А ,.
——— Жз(Ж1 +ро),
С-А ,.
——— Жз(Ж1 +ро),
(14)
(14)
dx3dt
dx3dt
А-В , х Ж2(Ж1 +ро).
А-В , х Ж2(Ж1 +ро).
Пусть вдоль оси Of исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А < В, С или А > В, С. Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию
V = (Аж2 + Вх2 + С ж2 + 2Ар0Ж1)2 ± (В(В - А)^ + С(С - А)^],
где знак «+» берется в случае А < В, С, а знак « —» — в случае А > В, С.
Функция V обращается в нуль при хг = ж2 = хз = 0 и положительна в окрестности этой точки, т. е. функция V имеет в этой точке строгий минимум. С другой стороны, как легко проверить, dV/dt = 0 в силу уравнений (14), т. е. функция V является интегралом системы дифференциальных уравнений (14). Поэтому, согласно следствию из теоремы Ляпунова,
•*•) Устойчивость относительно о? означает, что малое изменение начальной угловой скорости о?о влечет малое изменение вектора ио во все время движения Другими словами, это устойчивость относительно отклонений Ж1 = р — ро, ж2 = q, хз = г. Разумеется, углы Эйлера при этом непрерывно растут.
перманентное вращение относительно большой или малой оси эллипсоида инерции устойчиво.
Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева).
Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости вращательного движения снаряда ).
Примем для упрощения задачи, что центр тяжести снаряда С движется прямолинейно вдоль горизонтальной оси ж с постоянной скоростью и = = const. Пусть Сху — вертикальная плоскость стрельбы. Положение оси снаряда (оси динамической симметрии) СЕ определяется двумя углами: уг
лом а, образованным проекцией Схлом а, образованным проекцией СхРис. 46Рис. 461 оси СЕ на плоскость Сху с осью Сх, и углом Р между Cxi и СЕ (рис. 46). Последовательными поворотами на угол а и на угол Р триэдр осей Схуz переходит в триэдр СЕрЕ- Дополнительный поворот на угол е вокруг оси СЕ переводит триэдр СЕрЕ в триэдр осей, неизменно связанных со снарядом. Поэтому угловая скорость снаряда ш состоит из трех составляющих:
лом а, образованным проекцией Сх
лом а, образованным проекцией Сх
Рис. 46
Рис. 46
CU = CUi + CU2 + С^з ?
где сщ = а, ш-2 = Р, шз = ф- Проекции угловой скорости на главные оси инерции С Ei Стр СЕ определяются формулами
р = ф + d sin Р,
q = —Р, г = a cos р.
Обозначая через А аксиальный, а через В экваториальный момент инерции снаряда, получаем для кинетической энергии выражение
Т = | [Ар2 + B(q2 + г2)] = | [А(<р + a sin ^)2 + В^р2 + d2cos2 P)Y
Будем считать, что помимо силы тяжести к снаряду приложена в точке D на оси снаряда (в «центре давления») сила лобового сопротивления воздуха R, постоянная по величине) и направленная в сторону, противоположную скорости v, т. .е. в отрицательном направлении оси х. Пусть I = CD, ay — угол между осями Сх и СЕ- Тогда момент силы R относительно С равен RI sin у, а элементарная работа силы R будет
6 А = RZsiny Jy = —J(RZcosy),
поэтому в качестве потенциала сил можно принять функцию )
II = RI cos 7 = RI cos a cos [3.
Колебания оси снаряда характеризуются изменением углов а и 8. Для определения устойчивости вращательного движения снаряда будем исходить из трех интегралов движения:
Т + П = const; 2) Gx = const; G^ = Ар = const.
Первый интеграл представляет собой интеграл энергии; Gx и G^ — проекции кинетического момента Gc на оси Сх и С^. Постоянство Сж при движении системы следует из того, что момент силы R относительно оси Сх равен нулю. Третий интеграл выражает постоянство обобщенного импульса Ар, соответствующего циклической координате <р. Заметим, что) (см. рис. 46)
Сж = G^ соз(ж^) + G^ соз(жц) + G^ cos(x() =
= Ар cos(;r£) + Bqcos(xri) + Вт cos(x(^) =
= Ар cos a cos [3 + ВЦЗ sin а — a cos a cos [3 sin (3\
Комбинируя первые два интеграла с третьим и используя полученные выражения для Т, П, Gx^ находим следующие два интеграла движения Wi и Ж, обращающиеся в нуль при а = /3 = (3 = в = 0;
Ж = | В(а2 cos2 (3 + /З2) + RZ(cos a cos j3 — 1) = const,
Ж = В^Р sin а — a cos a cos [3 sin 0) + Ap(cos a cos [3 — 1) = const.
Будем искать знакоопределенную линейную комбинацию интегралов движения Ж — АЖ- Предварительно определим в Ж и Ж члены наи- низшей степени относительно малых величин а, 8, а, (3;
W! = ^B(a2 + 32V^Rl(a+32H--- ,
W2 = B(j3a -apV^ М« + /З2) + • • • ;
тогда
Wi -XW2 = I [Ва2 + 2ВХаЗ + (АрХ - Д?)^2] +
+ j ^В8" - 2ВХЗ& + (АрХ - RlV^ + • • •
Для того чтобы каждое из выражений в квадратных скобках было положительно определенным, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
В2 А2 < B(ApX-Rl).
Сокращая на В и преобразуя, получаем
ВЛ2 - АрХ + RI < 0.
Для того чтобы последнее неравенство имело место при некотором вещественном А, нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имел вещественные корни, т. е. должно иметь место неравенство А2р2 > 4BRI.
Это и есть условие, обеспечивающее устойчивость вращательного движения снаряда (при «отклонениях» а, 0^ а, 3), так как при выполнении этого условия можно подобрать вещественное значение А, при котором интеграл Wi — АЖ будет иметь при а = Р = а = [3 = ^ строгий минимум, равный нулю.
§ 37. Устойчивость линейных систем
В предыдущем параграфе было показано, что исследование устойчивости любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1), сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы уравнений в отклонениях.
Пусть дифференциальные уравнения в отклонениях линейны и имеют постоянные коэффициенты
Будем искать частное решение этой системы в виде
= щеХ1 м = 1, ... , щ ^2 1^1^ > 0 ) •(2)
\г=1/
Подставляя выражения (2) в уравнения (1) и сокращая на ех\ получаем соотношения, связывающие искомые величины щ и А:
^2,агкик = Xui (г = 1, ...,п),(3)
к=1
•*•) Как известно, обычно такая система может быть записана в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Для системы уравнений Лагранжа такая запись возможно всегда (см. §7).
илиили
или
или
У(«^ - X6ik)uk = 0 (г = 1, ...,п),(4)
к=1
где 6ik — символ Кронекера
(5ik = 1 при г = к, 5гк = 0 при г ф к).
Так как в искомом решении (2), по крайней мере, одна из постоянных Ui должна быть отлична от нуля, то определитель системы однородных уравнений (4) должен равняться нулю:
^11 — А 6112• • • Clin
(5)(5)^21^22 — А . . . а^п
(5)
(5)
^nl^п2• • • ^пп
Таким образом, для определения А мы получили алгебраическое уравнение п-й степени относительно А.
Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов
61ц6112• • •Clin
6121<^22• • •^2п
^nl ^п2• • • ^пп
Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы А.
Взяв в качестве А какое-либо характеристическое число матрицы А, мы найдем соответствующие этому числу постоянные и^ из системы линейных уравнений (4).
Для дальнейшего нам удобно будет ввести матричную запись как для исходной системы (1), так и для систем соотношений (2) и (3).
Введем в рассмотрение векторы-столбцы
х =х =Ж1 ж2Ж1 ж2U =U =П1 ^2^пП1 ^2^п
х =
х =
Ж1 ж2
Ж1 ж2
U =
U =
П1 ^2
^п
П1 ^2
^п
Тогда вместо равенств (1)-(3) и (5) можно написать)
с/х ,
—- = Аж, dt’
(1'
х = ueAt,
(2'
Au = Au (u ф 0),
(3'
det(A - AE) = 0.
(5'
Здесь Е = PzA;||7a;=i — единичная матрица.
Столбец и ф 0, удовлетворяющий вместе с числом А соотношению (3'), называется собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу Л. Таким образом, в каждом решении системы (Т), имеющем вид (2'), А — характеристическое число матрицы А, а и — соответствующий собственный вектор.
Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение (5) имеет п различных корней А^ (k = 1, ..., п). Каждому характеристическому числу А& соответствуют собственный вектор щ и частное решение системы (1) вида ukexkt. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами
х = 5? Окикехк1(6)
к=1
снова будет решением системы (1). Для того чтобы показать, что формула (6) охватывает все решения системы (1), предварительно докажем, что векторы-столбцы щ, U2, ..., un, соответствующие различным характеристическим числам Ai, А2, ..., Ап, линейно независимы.
52ckufe = o.(?)
к=1
Умножим обе части равенства (7) слева на матрицу А. Тогда, используя равенства
Агц = Afcufc (ик ф 0, к = 1, ..., п), находим:
^Хкскик = 0.(8)
к=1
Исключим из соотношений (7) и (8) постоянную щ:
^^(^j — ^i)cjuj = 0-(9)
j=2
Это равенство опять умножим слева на А и используем полученное равенство совместно с (9) для исключения С2 и т. д. В конце концов получим:
(^П ^lX^n ^2) • • • (^П^п—l)^nUn — О,(Ю)
откуда сп = 0. Так как в равенстве (7) все слагаемые равноправны, то щ = С2 = ... = сп = 0, т. е. никакой зависимости вида (7) между собственными векторами щ, U2, ..., un не существует и эти векторы линейно независимы.
Положив в формуле (6) t = 0, найдем:
х0 = ^2скик.(11)
к=1
Произвольно задавшись начальным вектором xq, мы из равенства (11), в силу линейной независимости векторов щ, ..., un, однозначно определим Ск (к = 1, ..., п). Таким образом, формула (6) охватывает решения системы (1), удовлетворяющие любым начальным условиям х(0) = Xq, т. е. охватывает все решения системы (1).
В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые «вековые члены», содержащие вместо постоянного вектора и^ полином относительно t: u^ + u^ + ... В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется
х = ^Ск(ик + и').1 + ...ухк‘.(12)
к=1
Из формул (6) и (12) непосредственно получаются важные следствия.
1°. Если все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, т. е.
max Re Хк = — а < 0,
1^/с^п
то Jim х(£) = 0 и нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) асимптотически устойчиво).
Пусть теперь НеА^ > 0 хотя бы для одного к. Тогда система (1) имеет ненулевое решение х = Ск^квхк1, которое стремится к бесконечности при t —> ос. В то же время начальное значение (при t = 0) х0 = CkUk может быть сколь угодно малым, поскольку С к — произвольная постоянная. В этом случае решение х = 0 неустойчиво. Таким образом, имеет место предложение:
2°. Если хотя бы одно характеристическое число Хк матрицы А имеет положительную вещественную часть (НеА^ > 0), то
нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) неустойчиво1).
Пример. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на с. 166), дифференциальное уравнение движения тх + 2/ж + сх = 0 (т, с, / > 0) может быть записано в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если положить Xi = х, х^ = х;
dxidxi"УГ = Ж2’ at"УГ = Ж2’ atdX2dtdX2dtсXI — 2— X2.m mсXI — 2— X2.m m
dxi
dxi
"УГ = Ж2’ at
"УГ = Ж2’ at
dX2dt
dX2dt
с
XI — 2— X2.
m m
с
XI — 2— X2.
m m
Характеристическое уравнение
-A— c/m-A— c/m1—2 f /m — A1—2 f /m — A= A2 + 2 — A + — = 0 m m= A2 + 2 — A + — = 0 m m
-A
— c/m
-A
— c/m
1
—2 f /m — A
1
—2 f /m — A
= A2 + 2 — A + — = 0 m m
= A2 + 2 — A + — = 0 m m
имеет корни с отрицательной вещественной частью — f /т, что и обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия.
§ 38. Устойчивость по линейному приближению
В системе дифференциальных уравнений (нелинейных!)
^ =Х^Ж1, жп, t) (« = 1, • ..,n)(1)
разложим правые части в ряды по степеням отклонений яд, ..., хп:
где ф — сумма всех членов разложения Х^, начиная с членов второго порядка относительно яд, ..., хп (г = 1, ... , п).
В стационарном случае а^ — постоянные коэффициенты, а функции Д зависят от яд, ..., хп и не зависят от t. В периодическом случае а^к — периодические функции от t с периодом т, а нелинейные члены /г = Л (ад, ..., хп, t) также периодичны относительно t с периодом т.
Если в уравнениях (1') отбросить все нелинейные члены Д, то получим линейную систему дифференциальных уравнений, которая называется линейным приближением для нелинейной системы (1).
В конце XIX века в исследованиях Пуанкаре и Ляпунова было установлено, что как в стационарном, так и в периодическом случае об устойчивости нулевого решения нелинейной системы (1) можно
•*•) Если все Не Х^ ^ 0 (к = 1, ..., п) и хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак равенства, то решение х = 0 будет устойчивым, если в формуле (12) во всех слагаемых, где Re Ад, = 0, будут отсутствовать вековые члены. В противном случае решение х = 0 будет неустойчивым.
судить по линейному приближению, а именно из асимптотической устойчивости нулевого решения линейного приближения следует асимптотическая устойчивостъ нулевого решения нелинейной системы1^. Это положение находит широкие применения, поскольку исследование линейных систем значительно проще, чем исследование нелинейных систем.
Мы ограничимся рассмотрением стационарного случая и в этом случае для доказательства высказанного утверждения запишем систему (1') в матричном виде:
- = Ax + f(x).(1")
Здесь А = ||щ/с||™ к=1 — квадратная матрица с постоянными элементами, a f(x) — столбец с элементами /Джх, ..., жп) (г = 1, ... , п\ Поскольку по предположению нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво, то (см. §37) все характеристические числа Ai, ..., Ап матрицы А имеют отрицательные вещественные части
max ReA/, = — а < 0.(2)
1^/с^п
Условимся через |z| обозначать «длину» вектора-столбца z с компонентами ^i, ..., гп:,
(
п\ V2
Еы2 •(з)
fc = l/
Поскольку каждый элемент столбца f(x) начинается с членов второго измерения, то
|f(x)|<s|x|,(4)
где постоянное число е > 0 может быть выбрано сколь угодно малым, если ограничить изменение переменных яд, ..., хп достаточно малой окрестностью |х| < Д.
Доказательство2) утверждения Пуанкаре и Ляпунова можно построить, опираясь на следующую лемму.
Лемма. Линейная система дифференциальных уравнений dx/dt = = Ах с помои^ъю линейного неособенного преобразования переменных
х = Uy (det U ^0)(5)
') При этом предполагалось, что правые части АДж1, ..., жпЩ) — непрерывные функции. В настоящее время выяснено, что следует понимать под линейным приближением при разрывных правых частях Xi, и установлен соответствующий критерий устойчивости по линейному приближению как в периодическом случае, так и в некоторых непериодических случаях. См.: Айзерман М.А и Гант- махер Ф.Р. // Прикл. матем. и мех. 1955. Т. 21. Вып. 5. и Ливартовекий И.В. там же. — 1959. Т. 23, Вып. 3.
См. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М., 1952.
может быть приведена к «треугольному» виду)
"ЗГ =А1У1+ &12У2 + . .. + 61пУп,
at
Х2У2 + • • • + 62nyn,Х2У2 + • • • + 62nyn,(6)(6)
Х2У2 + • • • + 62nyn,
Х2У2 + • • • + 62nyn,
(6)
(6)
—\гъУги
at
где Ai, Ап — характеристические числа матрицы А, а модули «недиагональных» коэффициентов Ь^ (г < к) могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет надлежащего выбора преобразования (5) ).
Преобразование (5) применим к нелинейной системе (l^). В новых переменных система (1") запишется так:
\77/\
=Ш2?/2 ++ binyn + #i(y),
~тг =A2?/i ++ b^nUn + g^yY(7)
=>ЧъУп + Ыу),
где столбец g(y) с элементами #i(y), ..., ^(у) определяются равенством
g(y) = U-1f(Uy)(8)
и удовлетворяет неравенству)
|g(y)l < ^1у1^(9)
где число ту (как и число е) может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора достаточно малой окрестности |х| < Д (и соответственно 1у1 < Ai)-
Тогда, в соответствии с уравнениями (7) и неравенствами (2) и (9), найдем ):
Iyl at 2 dt ^2 dt ^y'y’
1 п /1-7\™
+=^НеЛ.|Ю| +
г=1г=1
+ 2 'У^кУкШ + bikykyt) + 2 У^91Ш + 919^ < %>кг=1
< (-а + 5 + ??)|у| (<5 = ^2|Ы\ г<к
т. е.
^ < (-а + <Нт?)|у|,
откуда
|у| < |уо|е(-“+^(‘-*о) (Уо = y(t0)).(10)
Выберем положительные числа 5 и ту так, чтобы выполнялись неравенства а — б > 0 и ту < а — б; тогда из неравенства (10) следует, что
|у| < |у0| и Пт y(t) = 0,(11)
т. е. решение у = 0 системы (7) асимптотически устойчиво. Но векторы х и у связаны между собой линейным преобразованием (5); поэтому и решение х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво2).
Доказательство леммы. Покажем сначала, что с помощью преобразования х = U^z вида (5) можно привести систему дифференциальных уравнений
^ = АХ(12)
к виду, в котором: 1) первая переменная z\ не входит в правые части всех уравнений, начиная со второго, и 2) в первом уравнении коэффициент при zx равен характеристическому числу Ai матрицы А, т. е. к следующему виду:
Л1111
-—— —A1Z1+ 012^2 + . . . +
at
dz-zdtdz-zdt622^2+ • •• + bf2nZn,622^2+ • •• + bf2nZn,(13)(13)dz-n,dtdz-n,dtb'n2^2 + . . . + b'^Zn.b'n2^2 + . . . + b'^Zn.
dz-zdt
dz-zdt
622^2+ • •• + bf2nZn,
622^2+ • •• + bf2nZn,
(13)
(13)
dz-n,dt
dz-n,dt
b'n2^2 + . . . + b'^Zn.
b'n2^2 + . . . + b'^Zn.
Для этого достаточно в качестве первого столбца матрицы U^ взять собственный вектор Ui, соответствующий характеристическому числу Ai (Aui = A1U1, щ ^ 0), а остальные столбцы матрицы U2, ..., un выбрать так, чтобы вместе с щ они были линейно независимы (тогда detU^1^ Д 0).
Действительно, преобразование х = U^z может быть записано и так:
х = iii^i + u.2^2 + ... + unzn, где zx, ..., zn — координаты вектора х в базисе Ui, U2, ..., un. Система (12) имеет решение
х = uieAlt.(15)
Поэтому преобразованная система дифференциальных уравнений
согласно равенству (14), имеет решение
zx = eAlt, z^ = ... = zn = 0,(15')
что возможно лишь тогда, когда 6Д = Ai и 6'21 = ... = 6Д = 0, т. е. когда система (16) имеет вид (13).
Так как при линейном неособенном преобразовании характеристическое уравнение матрицы А не изменяется1) , то матрица ||Да;||2 имеет своими характеристическими числами остальные п — 1 характеристических чисел (А2, ..., Ап) матрицы А.
Применяя аналогичное преобразование к системе последних п — 1 уравнений (13) и т. д., мы в конце концов с помощью неособенного линейного
•*•) Характеристические уравнения матриц А и U-1AU (см. примечание 1 к с. 192) совпадают, так как
U-1(A - AE)U = U^AU - АЕ, и поэтому
det(U“1 AU - АЕ) = det U”1 det(A - AE) det U = det(A - AE)
(E — единичная матрица).
преобразования приведем исходную систему дифференциальных уравнений
К виду
dzi.
—— —A1^1+012^2 + . . . + binZn,
at
~^ =A2Z2 + • •• + b2nzn,(17)
dzn at Наконец, сделаем последнее преобразование переменных
Zk = цкук (ц > 0; k = 1, ..., n).
Тогда система (17) заменится системой (6), в которой недиагональные коэффициенты bik = yk~lbfik (г < к) могут быть сделаны сколь угодно малыми по модулю, если выбрать число /1 > 0 достаточно малым. Лемма доказана.
§ 39. Критерии асимптотической устойчивостилинейных систем
В предыдущих двух параграфах было установлено, что в стационарном случае нулевое решение произвольной (нелинейной) системы дифференциальных уравнений в отклонениях асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения, составленного для матрицы коэффициентов линейного приближения, имеют отрицательные вещественные части. Поэтому приобретают большую практическую значимость необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами
/(А) = а^Хп + а^Хп 1 + ... + ап_\Х + ап = 0 (ад > 0)(1)
имели отрицательные вещественные части.
Обозначим через А& (k = 1, ..., д) вещественные, а через Tj ± isj (j = 1, ..., (п — д)/2) — комплексные корни уравнения (1) и предположим, что в комплексной плоскости все эти корни лежат слева от мнимой оси, т. е. что
Afe < 0, Tj < 0= 1, ..д; j = 1, .>(2)
тогда
д(п-д)/2
fW = аоП(А--М П (Х~ гз -^й^-^з ^is^ =
^=1j = l
д
= П(А — Хк) П (А2 — 2r jX + r^ + Sj). (3)
к=1j = l
Так как, согласно неравенствам (2), каждый множитель в последней части равенства (3) имеет положительные коэффициенты, то и в уравнении (1) все коэффициенты положительны. Положительность всех коэффициентов — необходимое (при ао > 0 ), но отнюдь не достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (1) были расположены слева от мнимой оси.
В 1875 г. уже известный читателю английский механик Раус дал алгоритм, с помощью которого по коэффициентам многочлена /(А) можно узнать, является ли он «устойчивым», т. е. имеют ли все его корни отрицательные вещественные части. В 1895 г. немецкий математик Гурвиц независимо от Рауса установил тот же критерий в видоизмененной форме с помощью определителей («определителей Гурвица» )
Ai — ai, Д2 —Ai — ai, Д2 —^1 а3п0 а2 1^1 а3п0 а2 1Д,Д,ауа3а5Ноа^а^ОHiа3Он0н2ауа3а5Ноа^а^ОHiа3Он0н2• (4)• (4)
Ai — ai, Д2 —
Ai — ai, Д2 —
^1 а3
п0 а2 1
^1 а3
п0 а2 1
Д,
Д,
ауа3а5
Ноа^а^
ОHiа3
Он0н2
ауа3а5
Ноа^а^
ОHiа3
Он0н2
• (4)
• (4)
(Здесь всюду следует положить ар = 0 при р > п.)
Условие Рауса-Гурвица1). Для того чтобы все корни уравнения (1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства
Д1 > О, Д2 > 0, ..., Ап > 0. (5)
Если коэффициенты уравнения (1) заданы как числа, то условия (5) легко проверяются. Если же коэффициенты уравнения (1) содержат буквенные параметры, то вычисление определителей Д^ при большом к уже вызывает затруднение.
Поэтому представляют интерес другие условия, установленные в 1914 г. французскими математиками Льенаром и Шипаром. В этих условиях число детерминантных неравенств примерно вдвое меньше, чем в условиях (5) Рауса-Гурвица.
Условия Льенара-Шипара. Для того чтобы многочлен /(А) = а^Хп + HiAn-1 + ... + ап_1Х + ап при но > 0 имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы
все коэффициенты многочлена /(А) были положительны
Hi > 0, н2 > 0, ... , ап > 0; (6)
■*•) Относительно вывода условий Рауса-Гурвица см., например: Гантма- жер Ф.Р. Теория матриц. — Гл. XV. — §6; Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. — 2-е изд. — Гл. III. — § 1.
имели место детерминантные неравенства
Дп-1 > о, Ап-з > О, ...Дп-1 > о, Ап-з > О, ...(7)(7)
Дп-1 > о, Ап-з > О, ...
Дп-1 > о, Ап-з > О, ...
(7)
(7)
(здесь, как и ранее, ^ обозначает определитель Гурвица k-го порядка)).
Теперь мы познакомимся с геометрическим критерием устойчивости.
Заменим в равенстве)
/(А) = а0П(А-Ак)к = 1
А на гш и будем изменять ш от — ос до +оо. Вычислим соответствующее приращение угла 6 = arg/(zw):
△±^M = £At~arg(^-Afe).
к = 1
Теперь заметим, что) (рис. 47)
+оо _. (тг, если НеА/^О,
AT^arg^-Afc) =
тг, если Не Ад. > 0.
Поэтому, обозначая через I и г число корней, лежащих слева и соответственно справа от мнимой оси (I + г = п), будем иметь:уД®
/\
К/\
Рассмотрим кривую, описываемую аффиксом) *\
комплексного числа f(ico) при изменении и от -оок*
до +оо. Эта кривая распадается на две ветви: на од- ной ш > 0, на другой ш < 0. Одна ветвь получается из другой зеркальным отображением относительно вещественной оси, поскольку f(iw) и /(—гш) — ком- Рис- ^7 плексно сопряженные числа. Поэтому, обозначив через Aq° приращение при изменении ш от 0 до ос, получим
1
A0^M = -A±^M = (Z-r)-.(8)
(9)(9)Отсюда видно, что все корни будут расположены слева от мнимой оси (Z = п, г = 0) тогда и только тогда, когда
(9)
(9)
Геометрический критерий устойчиво стих). Для того чтобы многочлен /(А) был устойчивым, т. е. чтобы все его корни бы
ли расположены слева от мнимой оси, необходимо и достаточно: 1) чтобы годограф Дгш) при изменении ш от 0 до +оо нс проходил через нулевую точку) и
2) чтобы для этого годографа
^6 = п^,
где п — степень многочлена /(А)
(см. рис. 48 для п = 6).
Рис* 48Заметим, что для устойчивого много
члена) аргумент 6 изменяется монотонно при изменении ш от 0
до сю. Это следует из формулы
ом = 52 аг§(^ - Mtk=l
поскольку для такого многочлена каждое слагаемое в правой части является монотонно возрастающей функцией от ш.
Пример. Пусть
/(А) = А5 + 5А4 + ЮА3 + НА2 + 7А + 2.
Тогда
Дгш) = и(ш) + г¥ (ш), где
U(x) = 5cj4 — 11cj2 + 2, V(x) = cj(cj4 — IOcj2 + 7).
Для построения годографа f(iw) замечаем, что П(0) = 2 и У(ш) обращается в нуль при ио = 0 и при ио = сщ, ио = CJ2 (0 < сщ < W2); квадраты Wi и сД определяются из квадратного уравнения:
сщ = 5 - V18 0, 76; xl = 5 + V18 9, 24.
•*•) Этот критерий впервые был применен А.В. Михайловым для исследования систем автоматического регулирования. Поэтому в технической литературе геометрический критерий устойчивости часто называется критерием Михайлова.
Нетрудно убедиться в том, что 17(^1) < 0, 77(^2) > 0. Кроме того, К^О) = = 7 > 0.
Таким образом, годограф при ш = 0 начинается на положительной вещественной оси, идет сначала вверх, пересекает положительную мнимую ось и, наконец, снова положительную вещественную ось (при ш = шз\ При ш > шз годограф не пересекает осей координат и уходит в бесконечность в пятом квадранте (U > 0, V > 0), так как п = 5. При этом tg# = У(ш)/П(ш) —> +оо при ш —> +оо. Таким образом
т. е. /(А) - устойчивый многочлен.
К этому же выводу можно было бы прийти, исходя из критерия Лье- нара-Шипара, поскольку в /(А) все коэффициенты положительны и
△2 =△2 =5 111 105 111 10> о, Д4 => о, Д4 =5100510011 105111 10512711102711100 о270 о27
△2 =
△2 =
5 11
1 10
5 11
1 10
> о, Д4 =
> о, Д4 =
5
1
0
0
5
1
0
0
11 10
5
1
11 10
5
1
2
7
11
10
2
7
11
10
0 о
2
7
0 о
2
7
ГЛАВА VI
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 40. Малые колебания консервативной системы
Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача «линеаризуется». В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы.
Кинетическая и потенциальная энергии консервативной системы с п степенями свободы выражаются через независимые координаты Qi и обобщенные скорости qt (г = 1, ..., п) следующим образом:
п
т = - atk^qi, qn)qtqk, П = II(gi, ..., g„)-С)
fc=l
Как и в предыдущей главе, примем, что начало координат qi = ... = qn = 0 является положением равновесия и что в этом же положении П = 0. Разложим коэффициенты a^k^Qh • • • , Qn) в РЯДЫ по степеням координат:
aik(qi, qn) = aik^r ...(г, к = 1, ..., п),(2)
где а^к = a%k^ ..., 0) ^к = ак^ г, к = 1, ... п) — постоянные. Подставляя эти выражения для коэффициентов в формулу (1) для кинетической энергии, получаем
Разложим также и потенциальную энергию в ряд по степеням координат:
п = по + ^ — 6 + 2L (мг) ^ + Н-,=1 у uq, / 0zу и ср uqk / 0
По условию По = 0. Кроме того, в положении равновесия обобщенные силы равны нулю
-^ = (^ =0 (^ = 1,---^)-
Поэтому, введя обозначения
а2п \dqt 8qk / оа2п \dqt 8qk / о^ik — C-kii i^ k — 1, . . . , 71),^ik — C-kii i^ k — 1, . . . , 71),(4)(4)
а2п \
dqt 8qk / о
а2п \
dqt 8qk / о
^ik — C-kii i^ k — 1, . . . , 71),
^ik — C-kii i^ k — 1, . . . , 71),
(4)
(4)
мы и потенциальную энергию представим в виде
1 "
П = - 52 С»к<Ык + (**)'(5)
г, /с=1
Отбрасывая в формулах (3) и (5) члены третьего и более высокого порядков малости относительно ^ и ^, мы представим кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами
= 2 > ^ikQiQki П = — Cikgigki (6) г, /с=1 г, /с=1
где a^k = cikii cik = скг (^ & = 1, • • •, nY Из физического смысла кинетической энергии ясно, что всегда Т ^ 0. Поскольку мы предполагаем, что положение равновесия не является особой точкой1) , то всегда Т > 0, если только не все обобщенные скорости равны одновременно нулю, т. е. квадратичная форма ^^ к=1 a^q^Qk = 2Т является положительно определенной:
п / 1 \
52 aikqtqk > о I 52 5 > 0) • (7) г, /с=1 \г=1 /
Далее, для того чтобы обеспечить устойчивость данного положения равновесия, потребуем, чтобы (в соответствии с теоремой Лагранжа) в положении равновесия потенциальная энергия имела строгий
х) См. примечание к с. 51.
минимум. Поскольку По = 0, то это означает, что в некоторой окрестности начала координат
п/ 1\
CikQiQk > ° (52 ^ >0 •(8)
г, /с=1\г=1/
Но квадратичная форма (8) представляет собой однородную функцию второй степени относительно координат. Поэтому неравенство (8) имеет место во всем пространстве, за исключением начала координат, где эта форма обращается в нуль. Другими словами, потенциальная энергия также представлена в виде положительно определенной квадратичной формы относительно координат1).
Составим уравнения Лагранжа, исходя из выражений (6) для Т и П:
^(aiktik + cikqk) = 0 (г = 1, .п\(9)
к=1
Будем искать частное решение этой системы линейных дифференциальных уравнений в виде
Qi = Ui sm(cut + а) (г = 1, ..., n),(10)
т. e. в виде гармонических колебаний с одной и той же частотой ш и с одной и той же постоянной а для всех координат. Подставляя выражения (10) для qi в дифференциальных уравнениях (9) и полагая
А = сЛ(11)
получаем после сокращения на sin(cc;^ + а) следующую систему алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд щ 2):
^ ^(^zfe ^^гк^^к = 0 (z = 1, . . . , 71).(12)
/с=1
Так как все амплитуды и^ искомого колебания не должны обращаться в нуль, то определитель системы однородных уравнений (12) должен
') Конечно, возможны случаи, когда функция H(qi, ..., qn) до отбрасывания членов (**) имеет в начале координат строгий минимум, а после отбрасывания этих членов имеет в этой же точке нестрогий минимум (например, П = c2(qi + + ... ^ qH)2 ^d? (q^ ^... + q^), с > 0, d > 0). Но такие случаи мы будем считать особыми и исключим из рассмотрения. В этих особых случаях отбрасывание членов (**) в выражении для П не оправдано. Оно может резко исказить картину движения.
быть равен нулю:
Си
С21
— Апц — Ап21
С12
С22
— АП12 • •
— А&22 • •
• С1п
•С2п
Adin — А(22п
= 0.
(13)
Cnl
Хапх
Сп2
Хап2 • •
1 • ^пп
Хапп
После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен n-й степени относительно А. Таким образом, квадрат частоты А = w2 искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению n-й степени (13). Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот.
Каждому корню А уравнения (13) соответствует частное решение (10) (при произвольном постоянном а) системы дифференциальных уравнений (9). В этом решении ш = VA.
и векторы-столбцыи векторы-столбцыЗапишем приведенные выше формулы в матричной форме. Введем в рассмотрение две симметрические положительно определенные матрицы1)
и векторы-столбцы
и векторы-столбцы
Иц ..
, С = |Ы1 =
cn . .
1 • Cin
Cnl . .
■ • C,nn
Cnl • •
1 • Cnn
А — ||^г/с || —
(14)
П1
(15)
(и — амплитудный вектор). Тогда система дифференциальных уравнений (9) запишется в виде
(16)(16)Aq + Cq = 0.
(16)
(16)
Частное решение (10) будет выглядеть так:
q = usin(o>f + а\(17)
а результат подстановки решения (17) в уравнение (16), т. е. система алгебраических уравнений (12), имеет вид
(С- АА)и = 0 (Х = ш2).(С- АА)и = 0 (Х = ш2).(18)(18)
(С- АА)и = 0 (Х = ш2).
(С- АА)и = 0 (Х = ш2).
(18)
(18)
■*•) Симметрическая матрица А = ||«^||7 называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичная форма У^ k=1 aikQiQk является положительно определенной.
Уравнение частот запишется так:
det(C - АА) = 0 (А = ш).(19)
Для того чтобы выяснить, что корни А векового уравнения (19) всегда вещественны и положительны, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм с вещественными коэффициентами.
Каждой квадратичной форме ^^ k=1 а^щи^ соответствует некоторая билинейная форма ^™ к=1 а^щу^, для которой введем сокращенное обозначение
^(u> v) = У a-ik'U-i'Uk;
к=1 тогда квадратичная форма запишется так:
А(и, u) = ^ aikUiUk.
к=1
Легко проверяются следующие свойства билинейной формы:
1°. Л(и1 + и2, г) = Л(и1, у) + Л(и2, v).
2°. Л (Au, v) = АЛ(и, v) (А — скаляр).
3°. Л(и, у) = Л(у, и)х).
Покажем еще, что для любого комплексного вектора и
4°. Л (и, й) — вещественное число2).
Действительно, полагая u = v + zw (v и w — вещественные векторы-столбцы), в силу 1°-3°, найдем:
Л(и, й) = Л(у + zw, у — zw) = Л(у, v) — iA(v^ w) +
+ M(w, v) + Л(w, w) = Л(у, у) + Л(w, w). (20)
Последнее выражение явно вещественно.
Из равенства (20) следует также
5°. Если Л (и, и) — положительно определенная квадратичная форма, а и ф 0 — произвольный комплексный вектор, то
Л(и, й) > 0 (и ф 0).(21)
В самом деле, полагая и = v + zw, имеем Л (у, у) > 0, Л(w, w) > 0. В одном из этих соотношений имеет место знак >, так как из и ^ 0 следует, по крайней мере, одно из неравенств v ^ 0, w ^ 0. Тогда из равенства (20) следует равенство (21).
■*•) В отличие от равенств 1° и 2° равенство 3° справедливо только для билинейной формы с симметрической матрицей коэффициентов.
Докажем теперь
6°. Если А — корень векового уравнения det (С — ЛА) = 0, а и — соответствующий ему амплитудный вектор [см. (18)]
Си = ААи (и^О),(22)
то при любом векторе v
С(и, v) = АА(и, v).(23)
Действительно, в скалярной записи равенство (22) принимает вид
^ ^ik^k —^ ^ ^ik^k (^ — 1, • • • , ^)*(22 )
/с=1/с=1
Умножив обе части г-го уравнения (22') на щ и просуммировав по г, получим:
^ik^i^k =^ik^i^k-)
i, k=li, k=l
т. e. равенство (23).
Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и и', соответствующих различным корням векового уравнения А и А' (А ф А'), выполняется соотношение)
Л(и, и') = 0.(24)
Действительно, согласно 6°, имеют место два равенства:
С(и, и') = АЛ(и, и'), С(и, и') = АД(и, и').(25)
Но А ф А'. Поэтому из равенств (25) следует соотношение (24) ).
Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и из положительной определенности матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет только вещественные корни.
Л(и, и') = 0.(24)
■*•) Если ввести в n-мерном пространстве A-метрику, т. е. под квадратом длины вектора и понимать величину квадратичной формы
А(и, и) = ^2 aikutuk,
Действительно, пусть А — комплексный корень векового уравнения (А ф А) и ему соответствует комплексный вектор и ^ 0. Тогда А также корень векового уравнения с амплитудным вектором й. Поскольку А ф А,то, по доказанному, А (и, и') = 0, что противоречит неравенству (21).
Если А вещественно, то и соответствующий ему амплитудный вектор и ф 0 может быть выбран вещественным. Тогда, полагая в (23) v = и и замечая, что А (и, и) > 0, находим
= С(и, и)А(и, и) *
Но в нашем случае квадратичная форма С(и, и) = ^^ k=1 CikUiUk также является положительно определенной. Тогда не только А (и, и) > > 0, но н С(и, и) > 0. Следовательно, А > 0.
Таким образом, вековое уравнение (13) имеет п положительных корней Xj, которым соответствуют вещественные положительные частоты cjj = y/Xj и вещественные амплитудные векторы Uj (J = = 1,n).
Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому Ajсоответствует частное решение
q = и, sin(wjt + ay) (wj = V^)(27)
с амплитудным вектором Uy, координаты которого u±j ^ ..., unj должны удовлетворять системе линейных уравнений
^ ^(^zfe ^^ik^^kj — 0 (z — 1, .. . , 71),(^S)
/с=1
или в матричной записи
(С - А.А)^ = 0.(29)
Так как система дифференциальных уравнений (9) [или (16)] линейна, то линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений (27) есть снова решение этой системы. Поэтому
q = ^2 С3М3 sin(o7jf + аф фо^ = ^/Х^ 3 = 1, ..., п) (30)
при произвольных постоянных Cj, 0,3 (3 = 1, ..., п) является решением системы (9) или (16). Мы покажем, что формула (30) охватывает все движения системы.
Докажем предварительно, что п амплитудных векторов Uy (j = = 1, ..., п) линейно независимы х). Действительно, пусть
^Cj^j = °-
Тогда при любом фиксированном k (1 С к ^ п)
0 = A(ufe, ^c,uJ =^c^(ufe, и,).(31)
3 = 13=1
Ho Д(и&, Uj) = 0 при к ф j и A(u^ Uy) > 0 при к = j. Поэтому из равенств (31) следует:
Q = 0 (к = 1, ..., п),
т. е. между векторами щ, ..., un не может быть линейной зависимости.
Подберем теперь в формуле (30) значения произвольных постоянных Cj, aj так, чтобы удовлетворялись произвольные наперед заданные начальные условия
9г(0) = 9г0,%(0) = 9i0(< = 1, • ■ • , «),(32)
или в матричной записи
q(0) = qo, q(0) = qo-(33)
Из формул (30) находим
Чо = ^Cj-sinajUj,
1=1
„(34)
qo = ^2 Сз cos аз uj •j=i
В силу линейной независимости векторов Uy (j = !,...,%) отсюда однозначно определяются произведения Cj sin aj и wCj cos aj и, следовательно, поскольку Wj ф 0, однозначно определяются значения произвольных постоянных Cj и aj (j = 1, ..., n) ).
•*•) Для частного случая, когда А — единичная матрица, это предложение было доказано в § 37.
Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы).
Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида u sin (wt + а) будет во всяком случае ш, где т — число различных корней Xj векового уравнения.
Лагранж считал, что в случае кратных частот общее решение системы (9) уже не представляется в форме (30) и что в правой части (30) появляются так называемые вековые члены вида
(и + иТ + и'Т2 + ...) sin, (cut + а).
Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню А р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Xj р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частот существует п линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае.
Колебания
q = CjUj sin(wjt + Qj) (j = 1, ..., n),(35)
из которых складывается произвольное колебание системы, называются главными колебаниями системы.
Строгий вывод формулы (30) в общем случае (т. е. и при наличии кратных частот) с помощью так называемых «нормальных» координат будет дан в следующем параграфе. При этом выводе случай кратных корней векового уравнения не выделяется особо.
Пример. Связанные маятники. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой т и длиной I расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии h (0 < h ^ Z), соединены между собой пружиной жесткости 7; пружина находится в нерастянутом состоянии, когда маятники занимают вертикальное положение. Требуется определить колебание системы в вертикальной плоскости.
В качестве независимых координат возьмем углы (pi и (р^ образованные маятниками с вертикалью (рис. 49). В положении равновесия (pi = (ръ = 0.
•*•) Для амплитудных векторов щ выполняются соотношения
А^-, щ) = ^ atkUijUkh = О (j/h; j,h = l,...1 n).
С точностью до малых величин высшего порядка удлинение пружины равно h\ sin(£2 — siny?iI % Ti|<^2 — ^i|- Поэтому в данном случае
Т = ^т12(ф1 + Ф2),
П = mgl(l — cos yi) + тд1(Д — cos уг) +—Н ... =
= | mgl^2 + ^2) + | ^Н2^ ~ Vif + • • •
Сохраняя в П только квадратичные члены, окончательно будем иметь
Т — - а^ф2 + фХУ
П = |С(^1 +^1) - ^1^2, где
а = ml2, с = mgl ^ ^h2, b = ^h2.
с — Ха—Ьс — Ха—Ь—Ьс — Ха—Ьс — Ха= 0 (A = w2)= 0 (A = w2)Напишем уравнение частот
с — Ха
—Ь
с — Ха
—Ь
—Ьс — Ха
—Ьс — Ха
= 0 (A = w2)
= 0 (A = w2)
и одно из двух уравнений для определения амплитуд в главных колебаниях (эти два уравнения зависимы)
(с — Xa)ui — Ьи2 = 0, т. е. — = —^——.
U2 с — Ха
4 h2 т I2 *4 h2 т I2 *Из уравнения частот находим
4 h2 т I2 *
4 h2 т I2 *
2-х _С—^_92 Л _С^Ь_9
^1 — Ai — — -,^2 — А2 — — 7
alal
Соответственно для первого главного колебания Ui = U2 = Ci и
^i = Ci sin(cjit + Qi), (£2 = Ci sin(c<Ji£ + ад) (^1=^2),
а для второго Ui = — U2 = C2 и
^i = C2 sin(cj2t + «2), <^2 = — C2 sin(cj2t + «2) (^1 = —^2)-
В первом главном колебании оба маятника все время находятся в одной фазе, пружина нерастянута и маятники не оказывают никакого влияния друг на друга. Во втором главном колебании маятники находятся все время в противоположных фазах.
Произвольное колебание получается наложением двух главных колебаний:
<pi = Ci sin(cjit + Qi) + С2 sin(cj2t + «2),
^2 = Ci sin(cjit + ал) — C2 sin(cj2t + «2).
§41. Нормальные координаты
Две квадратичные формы
«4(q, q) = 52 ^QiQk и C(q, q) = 52 cikqiQk, (1)
г, /с=1г, /с=1
из которых хотя бы одна, например, A(q, q) является положительно определенной, всегда можно одними тем же (неособенным) преобразованием переменных
Qt — 5 ^ ^ij^j (^ — ^ • • • ? ^5 det{u-ij^j—i^O)(2)
привести к «сумме квадратов» х)
^(q, q) = 52 гq) = 52 хз61
j=i7=1
При этом все Xj > 0, так как (см. § 40) форма C(q, q) также является положительно определенной.
Поскольку обобщенные скорости ф и 6j связаны между собой такими же соотношениями, какими связаны q^ и 6 р.
Qi = 5 ^ ^ij^j (^ =• • • ?
2=1
то в первом из равенств (3) можно заменить q^ и 6j на ф и 6р после чего для кинетической и потенциальной энергий получаем следующие выражения:
= 2 52 aik^k = о 52^2
г,к=13=1(4)
П = 2 52 CikQiQk = 2 52•
к=1j = l
Переменные Ух, ..., 6п называются нормальными или главными координатами. Формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в «векторной» записи могут быть представлены так:
q = 52^u>’(5)
гдегдеQiQiQnQnuj =uj =^ijUnj^ijUnjU = i, ■ n\U = i, ■ n\
где
где
Qi
Qi
Qn
Qn
uj =
uj =
^ij
Unj
^ij
Unj
U = i, ■ n\
U = i, ■ n\
Так как преобразование координат (2) является неособенным, то соответствующий определитель отличен от нуля:
det^-)"^! О,
т. е. векторы Ui, ..., un линейно независимы.
Используя простые выражения (4) для Т и П в нормальных координатах, составим уравнения Лагранжа в этих координатах:
9j + Xj6j = 0 (j = 1,п).(6)
Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания
9j = Cjsm^jt + aj) (j = 1, ..., п),(7)
где Cj и Qj — произвольные постоянные (j = 1, ..., п). Подставляя эти выражения в формулу (5), получаем общую формулу для колебанийп
Я = 52 Сзиз s^jt + Qj).(8)
j=l
Таким образом, строго установлено, что эта формула в самом общем случае охватывает все малые колебания консервативной системы ).
Полагая в формуле (8) все произвольные постоянные, кроме Cj и aj^ равными нулю, получим J-e «главное» каноническое колебание
q = CjUj sin(wjt + aj).(9)
(В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6г = 0 при г ф j и изменяется только координата 6j.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = ш^ удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Xj = ^ (j = 1, ..., п) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется
здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Uy, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа.
Таким образом, мы снова доказали, что все корни Xj векового уравнения вещественны и положительны и установили, что п частотам шз = V^j соответствуют п линейно независимых амплитудных векторов Uj (j = 1, ..., n).
Подставив в формулу A(q, q) вместо q его выражение (5), получим:
/ ПП\п
A(q, q) = А(^djUj, У^иД = ^ и/АА- (10) Д=1Л,=1'3^=1
С другой стороны,
^(q, q) = y^2-(и)
Сопоставляя равенства (10) и (11), получаем для амплитудных векторов Uj (j = 1^ п^ с помощью которых по формуле (5) осуществляется переход к нормальным координатам, соотношения1):
Л(и^, uj) = 5ij = / i -A q (^ .7 = С • • • ^ nY (12)
§ 42. Влияние периодических внешних сил на колебанияконсервативной системы
Пусть помимо потенциальных сил —дП/д^ на систему действуют некоторые силы Qi = Qi(t) (i = 1, ..., п). Перейдем к нормальным координатам с помощью формул
qt = ^^363 (г = 1, п; detAA^A °)-(1)
Силам Qi в координатах q^ (г = 1, ..., п) соответствуют силы 0у в координатах 6j Q = 1, ..., п). Установим связь между Qi и ©j, исходя из равенства выражений для элементарной работы сил:
^О^дг = ^з59з.(2)
г=1j=l
•*•) Другими словами, векторы щ (j = 1, ..., п) ортонормированы в А-метрике (см. примечание 1 на с. 205).
Замечая, что в силу формул (1)
dq, = У^ uij ^з 0 = 1, - - -, п),(3)
и подставляя эти выражения для 5^ в равенство (2), получаем п / п\п
52 (52 игз9г j ^з= 52 ®з ^3*№
j=l \г=1/з = 1
Отсюда, приравнивая коэффициенты при независимых приращениях нормальных координат 56^ находим
ldj='^2uijQi U =(5)
1=1
Таким образом, если «старые» координаты qt выражаются через «новые» 6j при помощи матрицы U = ll^lh
91 = ^1161 + 1612^2 + ... + Uin6n^
q2 =+ и^ +... + и^еП1 (q = ш, det и ^ 0))(6)
9п — ^nl^l “Ь ^n2^2 Н- • • • Н- ^ппбп
то «новые» обобщенные силы 0у выражаются через «старые» обобщенные силы Qi при помощи транспонированной матрицы U':
(0 = U'Q).(0 = U'Q).(7)(7)01 — UnQi + 212102 + • • • + ^nlQm ©2 = H12Q1 + H22Q2 + • • • + U^Qn^
(0 = U'Q).
(0 = U'Q).
(7)
(7)
©n — UlnQl “Ь И2п^2 “h • • • “h ^nnQn
Сопоставляя матричные формулы q = U6 и Q = (U')" x0, мы видим, что при переходе от координат к силам матрица преобразования U заменяется) матрицей (U')-1.
Это обстоятельство выражают словами: обобщенные силы преобразуются контравариантно по отношению к координатам).
После того как мы научились определять @j по заданным Q^ напишем уравнения Лагранжа в нормальных координатах, используя для Т и П выражения (4) из предыдущего параграфа:
в, + 0^ = Q^t) (j = 1,n).(8)
Обозначим через 0J (j = 1, ..., n) произвольное частное решение уравнения (8). Тогда общее решение уравнения (8) будет
(9)(9)6j = Cj sm(ojjt + аф + 6* (j = 1^ ... ^ n).
(9)
(9)
Пусть @j (t) — периодическая сила и притом синусоидальная с частотой Q:
©j(t) = Aj sinQt(10)
Тогда, как нетрудно видеть, в качестве 0j можно взять
0; = sin^-(11)
Если Qt(t) (г = 1, ..., п), а следовательно, и ©j(t) (j = 1, ..., n) — произвольные периодические силы с периодом т и частотой Q = 2тг/т, то @j(t) можно разложить в ряд Фурье
Oj W = У^ Ajm sm^mttt + ^m) (j = 1, ..., n\ (12) m=0
Тогда, в силу линейности уравнений (8),
6j = £ ^2 ^2^2 sin lmnt + (j = 1,n).(13)
m=03
Если некоторое m?l совпадает с ш^ и соответствующее Ajm ф 0, то для координаты 0j имеет место явление резонанса.
Подставляя выражения (9) для 6j в формулу
q = I2^uJ’
1=1
получаем:
q = q + q*,(14)
ГД6п
4 = 'I2Cjujsm(ujjt + aj')(15)
1=1
свободные колебания, а
вынужденные колебания системы, иу — амплитудный вектор с координатами U^j, U2j, • • • , unj (j = 1, . . . , П).
§ 43. Экстремальные свойства частотконсервативной системы. Теорема Релеяоб изменении частот с изменением инерциии жесткости системы. Наложение связей
В § 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат
q = 52^uJ’W
j=i
или в скалярной записи
® = 52М»Л (г = 1, ..., п; ае1(и^)^=1 / 0),(V)
осуществляющее переход к нормальным координатам Ух, ..., 6п, в которых квадратичные формы 1)
-4(q, ч) = 52 atk4iqk, C(q, q) = 52 ^fo (2)
г, /с=1г, /с=1
имеют простой («канонический») вид:
-4(q, q) = 52 61’ с^ ч) = 52 “W (3)
2=12=1
В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумерованы так, что их частоты идут в возрастающем порядке
(4)(4)^1 ^ ^2 С • • • С шп
(4)
(4)
') C(q, q) — удвоенная потенциальная энергия, а Л(q, q) получается из выражения для удвоенной кинетической энергии Л(ф q) заменой в нем q на q.
Рассмотрим отношение квадратичных форм (3)
^(g, q) = ‘^TI±^M±i2i±J^l
A(q,q) у2 + 02 + ,,, + 02
при любом q ф 0 или, что то же, при любых значениях Ух, ..., 0П, не равных одновременно нулю. Заменяя в числителе дроби (5) все ио^ на меньшее или равное им число ш^ найдем
(6)(6)С(д, д)
(6)
(6)
Дд, д)
С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, что при
02 = • • • = ^п = 0 отношение C(q, q)/A(q, q) достигает значения шф Следовательно ),
(7)(7)2• ^(q, q)
(7)
(7)
шг = mm —-.
Ж q)
Наложим теперь на систему линейную однородную связь ):
(8)(8)kqi + ^2^2 + ... + InQn — 0 ^52
(8)
(8)
д=1-
Выражая здесь Qi, g2 • • • •, Qn через нормальные координаты с помощью преобразования (1), мы в нормальных координатах снова будем иметь линейную однородную связь
(8')(8')r^i+^2 + ... + ^n = o (Е^2>0
(8')
(8')
Д=1-
Связь (8) или (8') будем сокращенно обозначать так: L = 0.
Всегда можно найти такие значения 6^ и 6^ которые вместе с 6$ = ... = 6п = 0 удовлетворяют уравнению связи (8'). Для соответствующего q, согласно формуле (5),
Поэтому и 1)Поэтому и 1)C(q, q) _ ш^ + ш^ 2A(q,q)-02 + 022^2
Поэтому и 1)
Поэтому и 1)
(9)(9). с^ q)mm —-
(9)
(9)
l=o A(q, q)
Будем теперь варьировать связь L = 0. Тогда левая часть в неравенстве (9) будет изменяться, оставаясь все время меньшей или равной ^2- Но при связи 01 = 0 (здесь 1\ = 1, V2 = ... = Vn = 0) отношение C(q, q)/A(q, q) задается формулой
C(q, q) = w^ + • ■ • + ш^02
A(q, q) 0^ + ... + 02’
и поэтому [по аналогии с формулами (5) и (7)]
. C(q, q) 2min — = w2.
91=0 A(q, q)
Таким образом, среди всех связей вида L = 0 величина
. C(q, q)min —
L=o 4(q, q)
вательно,вательно,достигает своего наибольшего значения Д при связи 0i = 0. Следо-
вательно,
вательно,
(10)(10). C(q, q)2
(10)
(10)
max min — = ш9.
L=o A(q, q)2
Вместо одной связи L = 0 можно накладывать на систему несколько связей Li = 0, ..., L^-i = 0. Аналогично тому, как это было сделано в частном случае одной связи, можно показать, что
2•^(q, q)ш„ = max mm —гLi=o A(q, q)^h-i=02•^(q, q)ш„ = max mm —гLi=o A(q, q)^h-i=0(Л = 2,n).(11)(Л = 2,n).(11)
2•^(q, q)
ш„ = max mm —г
Li=o A(q, q)
^h-i=0
2•^(q, q)
ш„ = max mm —г
Li=o A(q, q)
^h-i=0
(Л = 2,n).(11)
(Л = 2,n).(11)
Формулы (7) и (11) выражают экстремальные свойства частот консервативной системы. Эти свойства иногда называются максимини- малъними.
Вместо формул (7) и (11) легко получить аналогичные формулы:
(7')(7')(И')(И')2 C(q, q)= max,
(7')
(7')
(И')
(И')
^(q, q) ’
= min max(h = 1, ..., n — 1).
h l1=o ^(q, q) v7
Lh=0
Экстремальные свойства главных частот, выражаемые равенствами (7') и (11'), иногда называют минимаксималъными1).
X \^ > ^ikQiQkk=lX \^ > ^ikQiQkk=l(12)(12)Наряду с данной системой рассмотрим еще одну консервативную систему с кинетической и потенциальной энергиями
X \
^ > ^ikQiQk
k=l
X \
^ > ^ikQiQk
k=l
(12)
(12)
тД(Ч, q) = 2 52 ®ikMk’ ^^^ Q)z, /с=1
и с главными частотами
(13)
Для этой системы
(14)(14)~2• C(q, q)
(14)
(14)
= mm —,
Дч, q)
Д = max min 22—t—^ (h = 2, ..., n\ (15) ^=0 A(g, q)
Lh-i=0
Пусть новая система имеет большую жесткость при той же инерции, т. е. при любом q
Л(ч, ч) = Дч, q), C(g, g) > C(q, q), или меньшую инерцию при той же жесткости
Л(д, q) < A(q, q), C(q, q) = C(q, q).
В обоих случаях при любом q ф О
С(д, д) С(д, д)
Жч) " Л(д,ч)'1 ;
•*•) Экстремальные свойства частот были установлены немецкими математиками Е. Фишером [Monatshefte fiir Math, und Phys. 1905. № 16. P. 243-249] и P. Курантом [Zeitschrift fiir angew. Math, und Meeh. 1922. №2. P. 278-285].
Но тогда и минимумы, и максимумы этих отношений будут связаны между собой таким же неравенством, т. е. из неравенства (16), в силу формул (7), (И), (14) и (15), следует:
Uj^Uj и = 1, п\Uj^Uj и = 1, п\(17)(17)
Uj^Uj и = 1, п\
Uj^Uj и = 1, п\
(17)
(17)
При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак <, если только не выполняется тождество )
35Д = Э15).(18)
^(q, q) A(q, q)
Мы пришли к теореме Релея):
при увеличении снсесткости системы или уменьшении се инеруии главные частоты увеличиваются^.
Выясним, как влияет наложение связей на величины главных частот wi ^ ^2 ^ • • • ^ Wn консервативной системы.
Наложим на систему з независимых линейных связей
Li = О, L2 = 0, ..., Ls = 0.
Пусть полученная таким образом консервативная система с п — з степенями свободы имеет главные частоты ^ ^ ^2 ^ • • • С ^n-s- При этом
ls=o
Сопоставляя формулу (19) с формулами (7) и (11) (при h — 1 = s), находим:
wi С (^i С ^s+i-(20)
Точно так же при любом h ^ п — з
= max min.(21)
Li=0,L^-i=0
Здесь связи Li=0, ..., Ls = 0 фиксированы, а варьируются связи Li=0,..., L^-i = 0. Сопоставляя равенства (21) с равенствами (11) и с формулой
•q)
wh , е = max min —-,
М=о A(q, q)
^h+s — 1 =0
в которой варьируются все s + h — 1 связей, будем иметь
^h^h-Vs (^ — 1? . . . , П s).(22)
Формулы (22) показывают, что при наложении з независимых связей каждая из первых п — з главных частот увеличивается, не превосходя при этом старую главную частоту, номер которой на s единиц больше номера данной частоты.
В качестве приложения последнего предложения можно показать, что корни Ai < А 2 < ... < Хп векового уравнения А (А) = det(c^ — АщД™ k=i = 0 разделяются корнями А^ ^ ... ^ А* _! уравнения
Ai(A) = det(cik - Аа^)"!^ = О1),
т. е.
А^А^Аз^А^.-.^А^^Ап.(23)
Действительно, уравнение АДА) = 0 является вековым уравнением для консервативной системы, получающейся из исходной наложением одной связи qn = 0. Поэтому, полагая Xk = с<Д (к = 1, ..., п), А* = ш*2 (j = = 1, ..., п — 1), мы сразу из неравенств (22) получаем неравенства (23) при 8 = 1.
Укажем еще на одно любопытное применение предложения об изменении частот при наложении связей. Известно, что наличие трещины в стакане определяют, постукивая о стакан пальцами. Это связано с тем, что у стакана без трещины по сравнению со стаканом с трещиной имеются дополнительные связи между его частями. Поэтому у стакана без трещины частоты колебаний должны быть более высокими.
§ 44. Малые колебания упругих систем
В качестве важного примера малых колебаний консервативной системы рассмотрим п масс mi, m2, ..., тп, сосредоточенных в п точках (1), (2), ..., (п) упругой системы S (струны, стержня, мембраны, пластины и т. д.), имеющей конечные размеры и каким-либо образом закрепленной на краях.
Будем предполагать, что перемещения (прогибы) yi, у2, ..., уп точек (1), (2), ..., (п) системы S и действующие на массы mi, m2, ..., тп силы Fi, F2, ..., Fn параллельны одному и тому же направлению и потому определяются своими алгебраическими величинами (рис. 50). Прогибы yi, у2, ..., у-п, можно рассматривать как независимые координаты системы, а силы Fi, F2, ..., Fn — как соответствующие обобщенные силы, так как элементарная работа этих сил равна
52 Fidy*-
г=1Рис. 50
При исследовании свободных колебаний
мы в качестве сил Fi, F2, ..., Fn берем упругие силы Fi , ..., F*, действующие на массы mi, m2, ..., тп со стороны упругой системы S при наличии прогибов yi, у2, ..., уп- Рассматриваемая система п материальных точек, находящихся под воздействием упругих сил, является консервативной и имеет определенную потенциальную энергию П(щ, у2, ..., Уп)- Разлагая функцию П(?/1, у2, ..., Уп) в степенной ряд и сохраняя в этом ряду только квадратичные члены (см. §40), получаем для П выражение
1 п
П = — ^ ^ С-гкУгУк ^Cik = Скг i, к = 1, . . . , п).(1)
г, к = 1
Тогда для упругих сил F* = —ЭП/Эуг (г = 1, ..., п) находим
Д = - 52 с-кУк (г = 1, ..., п).(2)
к=1
Считая положение равновесия yi = ... = уп = 0 устойчивым, принимаем, что квадратичная форма (1), выражающая потенциальную энергию как функцию прогибов, является положительно определенной:
6 СгкУгУк >0 (52^>О)-(3)
г, к=1\к=1/
Кинетическая энергия системы имеет простой вид:
т = 152 т^2 •w
г=1
В поисках гармонического колебания уг = щ sin (cut + а) (как это мы делали в § 40) приходим к уравнению частот
сц — mi ACi2 - - - cin
= 0 (A = CJ2) (5)= 0 (A = CJ2) (5)С21С22 — Ш2А . . . С2п
= 0 (A = CJ2) (5)
= 0 (A = CJ2) (5)
Сп1Сп2 • • • спп ТПпХ
и алгебраическим уравнениям для определения амплитуд
^2(cik - Xmt5tk)uk = 0 (г = 1, ..., п).(6)
k=i
Система имеет п частот
wi С Ш2 С ... с Шп(7)
и соответствующие амплитудные столбцы ui, U2, ..., un; свободные колебания определяются формулой
У = 52 ^u, sin(^t + a3),(8)
где Cj и &j (j = 1, ..., n) — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Пусть внешние силы Fi, ..., Fn вызывают статические прогибы yi, ... ... , у±. Тогда силы Ft уравновешиваются упругими силами F* (Ft = —F*; г = 1, ..., п), и потому, согласно равенствам (2),
F% — СгкУк (^ — 1? • • • ? ^)-(9)
к=1
При исследовании упругих систем большую роль играет матрица G = = 1Ы1?,
обратная) для матрицы С = ||c^||i:
G = С1.
С помощью матрицы G можно разрешить систему соотношений (9) относительно прогибов yi, ..., уп и представить ее в виде
'yi = '^2gikFk (г = 1, ...,п).(10)
k=i
Величина gtk равна прогибу в точке (г), вызванному единичной внешней силой, приложенной в точке (к), и называется коэффициентом влияния точки (/с) на точку (г) (г, к = 1, ..., п). Из матрицы G, составленной из коэффициентов влияния)
Угк = 9кг (г, к = 1, ..., п),(11)
а из положительной определенности формы (3) следует положительная
(12)(12)определенность квадратичной формы
(12)
(12)
G(F, F) = ^ g»FFk > О
г, к = 1
поскольку квадратичная форма ^27 k=i сгкУгУк переходит в форму (12) при преобразовании переменных (10):
(13)(13)1 х А1 х А1 х А
(13)
(13)
П = — с^УгУк =F^yi = — g^FiF^.
г, /с = 1г=1г, к = 1
Рассмотрим линейную упругую систему S — струну или стержень при обычных закреплениях концов. Можно показать, что в этом случае матрица коэффициентов влияния G обладает следующими свойствами.
1°. Все миноры (не только главные!) любого порядка матрицы G неотрицательны:
9iiki9iiki9iikp9iikp> 0> 0
9iiki
9iiki
9iikp
9iikp
> 0
> 0
9ipki • • • д^ркр
(0гр п; 0 к\кр n; р = 1, ..., п).
2°. д^ > 0 при |г — к\ ^ 1 (г, к = 1, ..., п).
3°. Определитель det G = |g^|i > 0.
Матрицы, обладающие свойствами 1°, 2° и 3°, называются осцилляци- онными.
Заметим, что для всякой положительно определенной матрицы G выполняются свойство 3°, а также неравенства 1° для главных миноров и неравенства 2° для диагональных элементов да (г = 1, ..., п). Однако неотрицательность неглавных миноров любого порядка р ) и положительность элементов ^12, ..., gn-i^n представляют собой специфические свойства матрицы коэффициентов влияния линейной упругой системы.
Из осцилляционности матрицы коэффициентов влияния вытекают следующие основные «осцилляционные» свойства упругих колебаний линейной системы.
1°. Все частоты различны:
W1 < Ш2 < • • • < Шп.
2°. Все амплитуды иц, U21, ..., ин1 в первом главном колебании (с частотой сщ) отличны от нуля и имеют одинаковые знаки.
3°. Среди амплитуд и-ц, U2j, ..., unj в j-м главном колебании (с частотой LUj) имеется ровно j — 1 перемен знака (j = 1, 2, ..., п), (рис. 51).
Исследование осцилляционных матриц и обоснование осцилляционных свойств упругих колебаний выходит за рамки настоящей книги).
Пример. Рассмотрим классическую задачу о колебании струны конечной длины I с закрепленными концами в случае, когда вся масса стру-
ны сосредоточена в п равноудаленных (между собой и от концов) точках, причем сосредоточенные массы равны между собой (и равны т) (рис. 52).
Удлинение г-го участка (между точками с прогибами yt и 2/^+1) выразится (с точностью до малых четвертого порядка) следующим образом:
(№+i - уГ ■(№+i - уГ ■Считая натяжение струны <т постоянным1),Считая натяжение струны <т постоянным1),потенциальной энергии:потенциальной энергии:получаем выражение дляполучаем выражение для
(№+i - уГ ■
(№+i - уГ ■
Считая натяжение струны <т постоянным1),
Считая натяжение струны <т постоянным1),
потенциальной энергии:
потенциальной энергии:
получаем выражение для
получаем выражение для
(14)(14)
(14)
(14)
Рис. 51Рис. 51(1) (2)(Z+1)(1) (2)(Z+1)Рис. 52Рис. 52
Рис. 51
Рис. 51
(1) (2)(Z+1)
(1) (2)(Z+1)
Рис. 52
Рис. 52
Кинетическая энергия имеет простой вид:
(15)
Для нахождения главных частот и соответствующих амплитудных векторов изберем косвенный путь). Напишем уравнения (6) для амплитуд
используя выражения (14) и (15) для П и Т. Каждое из полученных уравнений (6)разделим почленно на с и введем сокращенное обозначение:
1 — ^ и? = cos 0,(16)
где 0 — вспомогательная величина. Тогда уравнения (6) для амплитуд при- •*•) Это предположение оправдано тем, что рассматриваются только малые прогибы yi, у2, ..., Уп.
мут следующий вид:
Uk-y — 2uk cos О + Uk^y = 0 (k = 1, ..., n),(17)
где
Uq — U^^y — 0.(1$)
Алгебраическим уравнениям (6) можно удовлетворить, положив1)
Uk = sin/c# (k = 0, 1, ..., n + 1).(19)
При этом первое из «граничных» условий (18) удовлетворяется автоматически, а второе дает условие для определения искомых частот:
sin(n + 1)0 = 0.
Отсюда 0j = ук In + 1 (j = 1, ..., п) и, следовательно, согласно равенству (16),
= — (1 — cos 6jY
J т т. е. — sin —= 2а — sin ——
\ т 2\ т 2(п + 1)
Л 1(п+1)<т\
Для нахождения амплитуд ji-ro главного колебания иур U2j, ..., unj полагаем в равенствах (19) 0 = Ор
Uki = sin kOj = sinUki = sin kOj = sinkjirn + 1kjirn + 1(k, j = 1, ..., n).(k, j = 1, ..., n).(22)(22)
Uki = sin kOj = sin
Uki = sin kOj = sin
kjirn + 1
kjirn + 1
(k, j = 1, ..., n).
(k, j = 1, ..., n).
(22)
(22)
Произвольное свободное колебание системы определяется формулой
Ук = У^ CjUkj sin^jt + aj) =
= 52 ^sin j=l= 52 ^sin j=lkjivn + 1kjivn + 1sinsin2 sin2 sin3^2(n+l)3^2(n+l)
= 52 ^sin j=l
= 52 ^sin j=l
kjivn + 1
kjivn + 1
sin
sin
2 sin
2 sin
3^
2(n+l)
3^
2(n+l)
Из формул (21) и (22) сразу видно, что полученные главные колебания обладают осцилляционными свойствами 1°-3°.
Лагранж показал, как из найденных формул предельным переходом можно получить свободные колебания однородной струны (с закрепленными концами), масса которой уже не сконцентрирована в п точках, а распределена равномерно вдоль струны, имеющей плотность р.
•*•) При подстановке выражения (19) в уравнения (17) получаем тригонометрические тождества
sin(fc — 1)0 — 2 sin к0 cos 0 + sin(fc + 1)0 = 0 (к = 0, 1, ..., п).
Полагая в рассмотренной задаче т = pl/n, находим дискретный аналог для однородной струны с главными частотами
(24)
В пределе при п ^ ос получим для частот Wj однородной закрепленной струны известные выражения:
(J = l,(25)
Эти формулы выражают закон Мерсенна, согласно которому все частоты являются целыми кратными частоты основного тона изг = (^/1)у/~о^р и каснсдая из частот прямо пропорциональна корню квадратному из натя- снсения и обратно пропорциональна длине и корню квадратному из плотности.
Представим j-e гармоническое колебание однородной струны в виде
yj(x, t) = Uj(x) sin^t + &j) (0 ^ x ^ Z),(26)
где Uj(x) — амплитудный прогиб в этом колебании.
Считая, что амплитудный прогиб и5^ может быть получен из величин (22) предельным переходом
Uj (ж) = lim Uki
при п оо и kl/(n + I) ж, мы из формулы (22) найдем:
Uj(®)=sin^ U = 1, 2, .
Тогда свободное колебание однородной струны, которое получается линейной суперпозицией главных колебаний (26), выразится формулой
. 77ГЖ . /. х
C7SHI — SHl^t
3 = 1
где Cj и aj (j = 1, 2, ...) — произвольные постоянные.
Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени
Напишем уравнения Лагранжа для склерономной системы в случае, когда обобщенные силы Qt зависят только от координат и скоростей:
аат от .
(1)
Пусть начало координат является положением равновесия. Тогда (см. § 40) кинетическая энергия с точностью для членов третьего
порядка малости относительно ^ и Ф (z = 1, ..., п) может быть представлена квадратичной формой с постоянными коэффициентами
(2)(2)m1 А . .
(2)
(2)
Т~ СЦкФЯк*)
г, к=1
где а^к — (Z/л (z, к — 1, ..., п).
Разложим теперь обобщенные силы Qi(qk, Qk) в степенные ряды относительно q^ и q^;
Qi — QzO “И ^А?=1Qi — QzO “И ^А?=1дОЛ9qk) 0дОЛ9qk) 0qk +qk +SQA9qk ) оSQA9qk ) оqkqk+ (**)•+ (**)•(3)(3)
Qi — QzO “И ^
А?=1
Qi — QzO “И ^
А?=1
дОЛ
9qk) 0
дОЛ
9qk) 0
qk +
qk +
SQA
9qk ) о
SQA
9qk ) о
qk
qk
+ (**)•
+ (**)•
(3)
(3)
(4)(4)Так как начало координат является положением равновесия, то при нулевых координатах и скоростях все обобщенные силы должны равняться нулю, т. е.
(4)
(4)
QiO — 0 (z — 1, ... , 71).
Введем следующие обозначения:
^гк —^гк —ОО^гк —^гк —(z, к = 1, ..., тг).(z, к = 1, ..., тг).(5)(5)
^гк —
^гк —
О
О
^гк —
^гк —
(z, к = 1, ..., тг).
(z, к = 1, ..., тг).
(5)
(5)
После этого, отбрасывая в разложении (3) все члены второго и более высокого порядков малости, будем иметь:
Qi = -^(bikQk + cikqQ (г = 1, .n).(6)
к=1
Подставляя в уравнения Лагранжа (1) выражения (2) и (6) для кинетической энергии и для обобщенных сил, получим линейные дифференциальные уравнения движения для малых колебаний склерономной системы
^2(aikqk + bikqk + c^qQ = 0 (г = 1, ..., n).(7)
к=1
Обозначим через А, В, С квадратные матрицы1)
А=|Ы1?, В = |1Ы1?> С = ||с^||Г,
а через q — столбец из щ, ..., qn. Тогда система дифференциальных уравнений (7) в матричной записи будет выглядеть так:
(8)(8)Aq + Bq + Cq = 0.
(8)
(8)
х) Заметим, что А — положительно определенная симметрическая матрица (это обстоятельство здесь не используется).
Будем искать решение системы (8) вида
(9)(9)q = ueMt,
(9)
(9)
где и — столбец с постоянными элементами iq, ..., и„, а д — число.
Подставляя выражение (9) в матричное уравнение (8) и сокращая на ем<, получаем:
(Ад2 + Вд + С)и = О,(10)
или в развернутой записи
^ ^^гкР “И ^ikP “И С^к^к — 0 (z — 1, .. . , 71).(10 )
Для того чтобы система (10) или (10') имела ненулевое решение и, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:
Д(ц) = det(A/? + Вр + С) = 0,(11)
или в развернутом виде
аир? + Ьцц + сц ...&1п/^2 + binp + щпаир? + Ьцц + сц ...&1п/^2 + binp + щп^птГ2 + Ьп1р + Cni . . . аппР? + Ьппр + спп^птГ2 + Ьп1р + Cni . . . аппР? + Ьппр + спп= 0.= 0.(1Г)(1Г)
аир? + Ьцц + сц ...&1п/^2 + binp + щп
аир? + Ьцц + сц ...&1п/^2 + binp + щп
^птГ2 + Ьп1р + Cni . . . аппР? + Ьппр + спп
^птГ2 + Ьп1р + Cni . . . аппР? + Ьппр + спп
= 0.
= 0.
(1Г)
(1Г)
Уравнение (11) называется вековым уравнением для данной системы. Это алгебраическое уравнение степени 2п относительно р.
Ограничимся рассмотрением только основного случая, когда все корни векового уравнения pi^ ..., ц^п различны между собой. Каждому корню р^ соответствует некоторое ненулевое решение и^ = = (ni^, ..., ипк) системы однородных алгебраических уравнений (10) и, следовательно, частное решение u^eMht системы дифференциальных уравнений (8) (h = 1, ..., 2п). Общее решение этой системы дифференциальных уравнений получается как линейная комбинация (с произвольными постоянными коэффициентами) этих частных решений:
2п
q^C^e^.(12)
h=l
Особо важным является тот случай, когда все вещественные части корней рк отрицательны:
Нерк < 0 (h = 1, ..., 2п).
В этом случае положение равновесия системы является асимптотически устойчивым не только для линеаризированной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциальными уравнениями (1) (см. §38).
В заключение отметим, что для консервативной системы В = = ||6^||i = 0, а А = ||<2гА?||1 и С = ||c^||i — симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение det (Ад2 + С) = О переходит в уравнение det(C —ЛА) = 0 из § 40, если положить д = iVX (г = V™Т)- Но, как было показано в §40, уравнение det (С — ЛА) = 0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (И) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни.
Диссипативная функция Релея. Влияниемалых диссипативных сил на колебанияконсервативной системы
Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в § 39.
Пусть в выражениях для обобщенный сил [см. равенство (6) на
с. 227]
Qi^ikQk ^ikQk (^1, • • • , ^),
(1)(1)/с=1
(1)
(1)
/с=1/с=1составленные из коэффициентов матрицы В = ||&г/с||1 и С = ||с^^||1' являются симметрическими и положительно определенными.
/с=1
/с=1
Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея R (см. §8), которые задаются положительно определенными квадратичными формами
dikQiQk > 0
мы формулы (1) перепишем так:
На систему, помимо потенциальных сил — дП/д^ (г = 1, ..., п), действуют еще диссипативные силы —QRjQq^ определяемые функцией Релея. В § 8 было выяснено, что в этом случае система является определенно-диссипативной. Так как, согласно первой из формул (2), потенциальная энергия в положении равновесия имеет строгий минимум и положение равновесия является изолированным, то (см. теорему на с. 176) положение равновесия является асимптотически устойчивым.
Таким образом, диссипативные силы, определяемые функцией Ре- лея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение асимптотически устойчивым.
В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ие^. Для определения столбца и получаем уравнение [см. с. 228]
(Ад? + Вд< + C)u = 0,(4)
или в развернутой записи
^^гкЦ ^ik^ Счк^к = 0 (z = 1, . . . , 71).(4 )
Умножая обе части z-ro уравнения (4') на Иц (й^ — величина, комплексно сопряженная с и^ и суммируя по z, находим
ппп
ц ^ сцкщик Т ц ^ ^ b^ku^uk Т ^ ^ Сгкъцик — 0, г, /с=1г, /с=1г, /с=1
или в сокращенных обозначениях
Л(и, й)ц + В(и, й)д + С(и, й) = 0,(5)
где Л(и, й) > 0, В(и, й) > 0 и С(и, й) > 0х).
Таким образом, любой корень ц векового уравнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с полжительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что Re ц < 0.
Если вековое уравнение имеет комплексный корень д = у + г‘5, то это же уравнение имеет и комплексно сопряженный корень Д = — гб. Числа ц и Д — корни квадратного уравнения (5). Поэтому, полагая и = = v + zw, й = v — zw (v, w — вещественные векторы-столбцы), можно написать 2):
В(и, й) B(v, v) + B(w, w)
2Re д = д + Д = - . ’ _ = - л ’, J . < 0,
Л(и, и) Л(у, v) + A(w, w)
(6)
I |2 _ _ _ С(и, и) _ C(v, v) + C(w, w)Л(и, й) Л(у, v) + A(w, w) *
Комплексно сопряженным корням ц н Д соответствуют комплексно сопряженные колебания ие^ и йе^1. Сумму соответствующих членов
в выражении для q [см. формулу (12) на с. 228] можно привести к вещественному виду при комплексно сопряженных значениях произвольных постоянных С = (1/2)(F + %G\ С = (1/2)(F — iG):
Сие^ + Сйе^ = | Д + iG^v ++
+ ^Д - гСУу -=
= Re {[Fv — Gw + i(Fv + Gw)]e7t(cos5£ + zsin^)} =
= Д[ [(Fv — Gw) cos 5t — (Fv + Gw) sin 6t\. (7)
Если мы имеем два вещественных корня д и д' и соответствующие им столбцы обозначим через и и и', то, умножая обе части г-го уравнения (4') на и^ (вместо щ), получаем вместо равенства (5) следующее равенство:
Л(и, и')ц2 + В(и, и')ц + С(и, и') = 0. (8)
Меняя ролями векторы и и и', заключаем, что число д' также удовлетворяет уравнению (8). Поэтому
(9)(9), В(и, и'), С(и, и')
(9)
(9)
ц + ц = ~ /W =,v
Л(и, и')Л(и, и')
Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил1). Введем нормальные координаты 01, ..., 0п. В этих координатах
тДЕ^ ПДЕш^(10)
г=1г=1
д=|Ём2 + 5Ёмд(и)
г=1г, к = 1
(к^г)
где си» (г = 1, ..., п) — главные частоты консервативной системы, а коэффициенты в выражении (11)для функции Релея /Зг, 3tk (^ k = 1, ..., n; Згк = = pkt при г ф к) малы (квадратами и произведениями этих величин можно пренебрегать). Из положительной определенности квадратичной формы (П)следует, что Зг > 0 (г = 1, ..., п).
Составим уравнения Лагранжа
О4 + ЗЛ+ш-04+ ^2 3ik0k = 0 (г = 1,(12)
г, к = 1(к^г)
Подставляя сюда
(13)(13)0i = Хгв^ (г = 1, ..., п)
(13)
(13)
и сокращая на е^1, получаем систему линейных уравнений
(ц2 + Зщ + w^Xi + ц У 3ikxk=0 (1 = 1, ...,п).(14)
г, к = 1
Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое уравнение
/12 + 3iP + cj? /312/1• • •31-п.р
311Р Р? + 02Р + С^2• • • З^пР
Зп1РЗп^Р• • • Р “h ЗпР Н- ^п
Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов /3», /3^, представим вековое уравнение в следующем виде:
П (р2 + ЗкР + ^к) = 0.(16)
к=1
Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид
Цк ~ - ^ ± гшк =(17)
Найдем амплитуды xi, xi, ..., хп для р = pi = —/31/2 + гсщ. Подставив это значение р в коэффициенты последних п — 1 уравнений (14) и разделив левые части уравнений на pi, получим:
Л\
/З21Х1 + ( /З2 — /31 Н: I Х2 + • • • + З^п^п = 0,
у2СЩ у
(18)
/Зп1Хп + /Зп2><2 + • • • + ( Зп ~ /31 Н—.~ ] хп = 0.
\2СЩ у
Из этой системы определяем отношение Xk/xi (к = 2, ..., п), отбрасывая члены второго и более высокого порядков малости (относительно 3^ 3ik)'
(к = 2, ..., п).(к = 2, ..., п).(19)(19)Хк ./3fcic«Ji
(к = 2, ..., п).
(к = 2, ..., п).
(19)
(19)
— l£k 1 £к — о 2
Х1ш2к -
Формулы (19) показывают, что Ек — малые вещественные величины (к = = 2, ..., п). Корню pi = —/31/2 + zcji соответствует «комплексное колебание» (полагаем xi = Аега, А > 0):
01 = Х1еИ,; =Ae-^tei^lt+oi\ 0к = ЕкАе" ^^^^^(20)
(к = 2, ..., п).
Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно-сопряженного колебания, получим «главное» колебание, соответствующее корням
/31_/31.
/11 = - — + 1^1 и /ц = - — - гсщ :
9i = Ае- "2" sin (сщ£ + о), Ок = ЕкАе- "2" 1 sin ^cuit + о + ^(21)
(к = 2, ..., п\
Аналогичные выражения мы получим и для других главных колебаний.
Таким образом, в первом приближении: 1) малые диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы; 2) при этих силах колебания затухают при t —У со; 3) в j-м главном колебании все координаты малы по сравнению с j-й координатой и отличаются от нее по фазе на четверть периода (j = 1, ..., п).
Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы.
Амплитудно-фазовая характеристика
Пусть дополнительно к тем силам, о которых шла речь в §45, на склерономную систему действуют еще силы Qi(t) (г = 1, ... , п\ Тогда уравнения Лагранжа для малых колебаний системы будут отличаться от уравнений (7) на с. 227 только наличием ненулевых правых частей
^2^aikqk + bikqk + cikqk) = Q^t) (г = 1, ... , n).(1)
fe=i
Общее решение этой неоднородной системы дифференциальных уравнений представляется в виде
2п
q=^Chuhe^ + q*,(2)
/1=1
где первое слагаемое представляет собой общее решение соответствующей однородной системы, a q* — некоторое частное решение системы (1).
Мы предполагаем, что положение системы q\ = ... = qn = 0 является асимптотически устойчивым положением равновесия, т. е. что Ке р,у < 0 (h = 1, ..., 2п). Тогда первое слагаемое стремится к нулю при ^ ^ ос 1) и при достаточно больших t общее решение q неоднородной системы практически совпадает с q*. Поэтому мы в дальнейшем
будем интересоваться только «вынужденными колебаниями» q*, которые будем обозначать просто через q.
Поскольку система дифференциальных уравнений (1) линейна, то общий случай отыскания вынужденных колебаний сводится (за счет линейной суперпозиции частных решений) к тому случаю, когда только одна из обобщенных сил Qi^ отлична от нуля.
Пусть, например, Qi(^) ф 0, a Qj(^) = 0 (J = 2, ..., ti). Кроме того, допустим сначала, что Qi(t) — гармоническая сила, т. е.
Q!^ = Aeim.(3)
Тогда дифференциальные уравнения (1) запишутся так:
Т^аиЛ» + bikqk + clkqk^ = Ае,т,
к:г(4)
TTtjkQk + bjkQk + cjkQk) = 0 ^j = 2, k=i
Будем искать вынужденные колебания в виде
qk=Bkeim =(5)
Подставляя эти выражения для qk (к = 1, ..., 71) в дифференциальные уравнения (4) и сокращая на ezQt, получаем для определения величин Вк систему алгебраических уравнений:
^ ^[^ifc(^) 4- bik^iCl^ + cik^Bk = А,
к=п (6)
^ y[^j&(^^) 4” ^jfc^^) 4“ Cjk\Bk = О^ = 2, ..., ti).
к=1
= 1, ..., ti:= 1, ..., ti:Bk = wlkQAMBk = wlkQAM(7)(7)гдегдеvMin) =vMin) =^гк (1^)А(Ш)^гк (1^)А(Ш)(8)(8)— правильная дробно-рациональная функция от zQ с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комлексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитуднофазовой характеристики.Тогда «отклик» координаты qk на внешнее воздействие Qi = Аег^1— правильная дробно-рациональная функция от zQ с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комлексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитуднофазовой характеристики.Тогда «отклик» координаты qk на внешнее воздействие Qi = Аег^1получается умножением этого воздействия на частотную характериполучается умножением этого воздействия на частотную характеристику Wik(iViy.стику Wik(iViy.qk = WyMW^.qk = WyMW^.(9)(9)Решая эту систему алгебраических уравнений, находим для к =
= 1, ..., ti:
= 1, ..., ti:
Bk = wlkQAM
Bk = wlkQAM
(7)
(7)
где
где
vMin) =
vMin) =
^гк (1^)А(Ш)
^гк (1^)А(Ш)
(8)
(8)
— правильная дробно-рациональная функция от zQ с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комлексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитуднофазовой характеристики.
Тогда «отклик» координаты qk на внешнее воздействие Qi = Аег^1
— правильная дробно-рациональная функция от zQ с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комлексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитуднофазовой характеристики.
Тогда «отклик» координаты qk на внешнее воздействие Qi = Аег^1
получается умножением этого воздействия на частотную характери
получается умножением этого воздействия на частотную характери
стику Wik(iViy.
стику Wik(iViy.
qk = WyMW^.
qk = WyMW^.
(9)
(9)
ПолагаяПолагая(Ю)(Ю)ТДЮ) = Н1к№е№1к№ №fe w > 0]
Полагая
Полагая
(Ю)
(Ю)
[Д1ДО) — амплитудная, ФцДО) — фазовая характеристика], перепишем формулу (9) следующим образом:
(И)(И)Пусть теперьПусть теперьQi = AsinQ^,Qi = AsinQ^,(12)(12)qk = Я1к(П)Ле^+Ф1-=(ПИ (к = 1, . .. , п).
(И)
(И)
Пусть теперь
Пусть теперь
Qi = AsinQ^,
Qi = AsinQ^,
(12)
(12)
т. е.т. е.(13)силы (12)(13)силы (12)Рис. 53Рис. 53Наоборот, то ампли-Наоборот, то ампли-
т. е.
т. е.
(13)
силы (12)
(13)
силы (12)
Рис. 53
Рис. 53
Наоборот, то ампли-
Наоборот, то ампли-
Qi = ^ (eim -
Соответствующий отклик будет х)
qk = 1- e-W+MW«)h
2z
т. е.
Qk = iWQ)Asin[Q£ + Ф1ДО)].
Другими словами, при переходе от синусоидальной
к соответствующему отклику, т. е. синусоидальному вынужденно-
му колебанию (13), амплитуда силы умножается на амплитудную характеристику ^i^(Q), а смещение фазы определяется фазовой характеристикой ФцДО), взятой для того же значения Q.
На рис. 53 изображена амплитуднофазовая характеристика ^^(zQ) (0 < < Q < ос). Если для данного Q соответствующее ЯцДО) очень мало, то амплитуда отклика весьма мала по сравнению
с амплитудой «возбуждения» AsinQ^ данной частоты Q. если при данном Q соответствующее Т^ДО) очень велико,
туда отклика велика по сравнению с амплитудой обобщенной силы Qi. Таким образом, подбирая систему с надлежащими амплитудными характеристиками, мы можем гасить колебания на одних диапазонах частот и увеличивать амплитуды этих колебаний на других частотах. Это и есть принцип устройства фильтров.
Так как W (zQ) — правильная дробно-рациональная функция и потому W(zQ) —> 0 при Q ^ ос, то любая система практически допускает только конечный диапазон частот.
Так как ИДДгГ^) и ИД/Д—zQ) — комплексно сопряженные числа, то Rik(-^ = Rik№ и Tifc(-Q) = -^lk№-
Пусть теперь Qi(^) — произвольная периодическая функция, задаваемая рядом Фурье
Qi(t) = 52 ^m sin(mQi + <рт\(14)
m=0
Складывая отклики на отдельные гармоники этого ряда, получаем
Qfe = 52 RikWAm sin[mQi + ут + ФДтП)] (15) т=0
(к = 1, ... , п).
Пусть теперь Qi(t) — произвольная непериодическая функция /(f) от f, которую можно представить в виде интеграла Фурье 1)
+ оо+оо
Ж =J(16)
Полагая+оо
F(Q) = J(17)
будем иметь
Qi = /(t) = ^ / F^ymdti.(18)
Функция F(Q) называется комплексным спектром функции Qi = = ж
Воздействие
— F(f2)df2 Уи
вызовет отклик
rWlk(i^F^d?l eim.
2тг
Поэтому, основываясь на принципе линейной суперпозиции откликов, найдем:+оо
qk = L f Wlk(i^)F(^)eimd^ (k = 1, ..., п),(19)
2тг J
т. e. комплексный спектр ИЛ1^(гО)^(О) для координаты q^ получается умножением комплексного спектра воздействия Qi(f) на соответствующую частотную характеристику системы ^^(zQ).
См. например: Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. — М.: Т. 2. - Гл. 24. - § 3.
Пусть при t < 0 система находится в покое и движение системы при нулевых начальных условиях вызвано только внешним воздействием Q^ ^ 0 при t > 0. Представляя комплексный спектр отклика в виде
F(^Wlk(i^ = G(CL) +(20)
согласно формуле (19) будем иметь
qk = — / [G(Q) + zH(Q)][cosQ^ + zsinQ^] c/Q =
= — f [G(Q) cosQ^ — H(Q) sinQ^] c/Q +
2тг J
— 00+oo
+/ [G(Q) sinQ^ + H(Q) cos Q^] c/Q. (20)
2тг J
Так как qk(t) — вещественная функция, то второе слагаемое в правой части равно нулю 1) и поэтому
+ оо
qk =/ [G(Q) cosQ^ — Я(О) sinQ^] c/Q.(21)
Предположим теперь, что
Q1W = °’при t < 0;(22)
QkW = 0 (к = 1, ..., п) тогда
0= — / [G(Q) cos Q^ — K(Q) sinQ^] t/Q (при t < 0).
2тг J
Заменяя здесь t на — t:
+ OO
0=^- [ [G(Q) cosQ^ + H(Q) sinQ^] c/Q (при t > 0).(23)
Складывая почленно равенства (21) и (23), находим
qk = — J G(Q)cosQ^c/Q (при t > 0).(24)
Реальная система не может иметь частотную характеристику, не удовлетворяющую этому условию.
Можно показать, что выражение (24) определяет общее решение устойчивой системы для координаты q^ при условиях (22) и при нулевых начальных данных). Функция ТУцДО) строится непосредственно по коэффициентам сц^ Ь^ и с^, содержащимся в уравнениях (1), а функция F(Q) определяется выражением (17). После этого задача об определении движения, описываемого уравнениями (1), сводится с помощью выражения (24) к одной квадратуре.
Рис. 54Рис. 54Для приближенного определения движения пригоден поэтому любой метод приближенного интегрирования. Можно, например, построить график функции G(Q), заменить его ломаной линией и через точки излома провести горизонтальные линии до оси ординат. Тогда функция G(Q) приближенно заменяется суммой функций ^(Q),
Рис. 54
Рис. 54
Рис. 55
график каждой из которых представляет собой трапецию (в частном случае треугольник), как показано на рис. 54.
Для одной такой функции дj (Q) интеграл (24) может быть вычис-
лен):то
fАх sinQ?CD sin А Л
Qjk = - gj№ cos fit dil = =——,
J7Г j cp1
где Qj cp и Aj показаны на рис. 55, a Aj — площадь трапеции. Поэтому
где суммирование ведется по всем трапециям, полученным при аппроксимации G(Q) ломаной линией.
При использовании такой аппроксимации для построения движения могут быть использованы таблицы функции sin г /г.
ГЛАВА VII
СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИКООРДИНАТАМИ
§ 48. Приведенная система. Потенциал Рауса.Скрытые движения Концепция Герца о кинетическомпроисхождении потенциальной энергии
В настоящей главе общие положения, изложенные в гл. II и в гл. V, используются для исследования движения голономной склерономной системы с циклическими координатами qa (о = т + 1, ..., п). Кинетическая энергия такой системы имеет вид
п
— 2 Ctrs^Ql, • • • t Qm^QrQs*(1)
Найдем выражение для кинетической энергии в переменных Рауса qi, qi, ра (^ = 1, ..., m; о = М + 1, ..., п). Для этого выразим все qa через ра (о = т + 1, ..., п), используя исходные соотношения
оТ.оТ.(а = т + 1, ..., п).(2)(а = т + 1, ..., п).(2)
оТ.
оТ.
(а = т + 1, ..., п).(2)
(а = т + 1, ..., п).(2)
г=1/3=т+1
Поскольку определитель1) D = det^a^)™ ^=m+i ^ 0, то из соотношений (2) находим
9а = 52 b«P\P@ “ ^apiqi ) (а = т + 1, ..., п),(3)
/3=т+1г=1'
где ||6а/з||т+1 — обратная матрица для матрицы Цаа/зЦт+1,
IMIm+l = 1МГ-(4)
Полагая
7аг = 52 b^a/3i (г = 1, m; а = т+ 1,п),(5)
/3=т+1
запишем соотношения (3) в следующем виде:
9а = 52 ^Pf3 52 7ai® (а = m + 1, ..., n).(6)
/3=т+1г=1
Здесь Ьоф и ^аг — функции от нециклических (или, как их иногда называют, позиционных) координат q^ (г = 1, ... , ш). Подставляя выражения (6) для qa в формулу (1), получаем выражение Т для кинетической энергии в переменных Рауса:
^ = | 52 а*з^3 + | 52 О-арРаРр + 52 52 C&Pa- (7) г, j = lа, 0=т-\-1г=1 а=т-\-1
Замечательным является то обстоятельство (на него обратил внимание еще Раус), что в этой формуле все а*а = 0, т. е. выражение Т есть сумма квадратичной формы относительно позиционных скоростей ф, ..., qm и квадратичной формы относительно обобщенных им- пульсов1) pm+i, ...,рп-
Действительно,
* _ э^т __э_( А ат ддД _ э_ А _
aicx Ал- Ап Ал- IАл> An I Ал- ' v bpapp 0,(о)
Раy=m+iУ ^г (З=т-Н
так как 52^=т+1 Ьаррр зависит только от переменных q^ и р^ которые рассматриваются как независимые по отношению к ф (г = = 1, ... , т; 3 = т + 1, ..., п).
Вычислим теперь коэффициенты а^:
^ ^^7/3^7 — Ьар^ ^^7/3^7 — Ьар* _ Э^Т _ 8 ЭТ дд^ _ 8 дра Эрр дра Дд 5д7 Эрр 8ра
^ ^^7/3^7 — Ьар
^ ^^7/3^7 — Ьар
(9)(9)(а, 3 = m + 1, ..., п).
(9)
(9)
т) Использованное здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных qi, qa к переменным qi, ра, применяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (по методу Лагранжа) квадратичной формы к сумме квадратов. Действительно, применив несколько раз подобные преобразования, мы представим квадратичную форму от п переменных в виде суммы п квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е. равна произведению квадрата этой переменной на некоторый вещественный коэффициент.
Аналогично найдем коэффициенты а*-х)
* _ д2Гdqt* _ д2Гdqt88Т+ у OTOq.
* _ д2Г
dqt
* _ д2Г
dqt
8<и [^ qA"+i d^« 8^
82Т^82Т
О%9Qi 9а
J а=т+1
Используя равенства (5), получаем
^ij — ^Н ^ ^ bapCLajCLp^ (г, § — 1, • • • , Тп). (Ю) a. (3=т-\А
Но на основании равенства (4) bap = Apa/D, где А^а — алгебраическое дополнение элемента ара в определителе D. Используя это обстоятельство, можно вместо формулы (10) написать:
* 1а^ " D* 1а^ " D&ij^г,т+1• • •^гп
* 1а^ " D
* 1а^ " D
am+l,j^m+l,m+l•••am-\-l,n^ J = 1 ТП^
^nj^n,m+l• • •^nn
Таким образом формула (7) имеет вид
m1 п
Т = 2 ^2 aij9i9j + 2 12 Ь«ЗРаРЗ-(11)
i,j = lа. /3=т+1
Здесь коэффициенты a*j и Ьар определяются равенствами (4) и (10).
Пусть силы, приложенные к склерономной системе, имеют потенциал И = П(£, q^. Тогда L = Т — И. Вычислим функцию Рауса (см. §13):
r = R(t, qi, %,ра) = у^ p«q«-L =
Q=m+1 n/ nm\
— Pa I ^ba(3P(3^ 'laiQi I T + П —
a=m-\-l\ /3=m+lг=1/
т1 п
=-2 52+ 2 52 ь«рр«рр +
i.j = ^а,/3=т+1
т / п\
+ П-Е Е 7агРа j Qi- (12)
г=1 \O!=m+l/
Рассмотрим функцию П*(^ q^ PaY которую назовем потенциалом Рауса1):
1 X Л
(13)(13)IT = П + - У2 ЬарРаРр-
(13)
(13)
а. /3=т+1
Пользуясь тем, чтоПользуясь тем, чтоL _ ^^L _ ^^
Пользуясь тем, что
Пользуясь тем, что
L _ ^^
L _ ^^
где Ара — алгебраическое дополнение элемента ара в определителе D, можно записать выражение для потенциала Рауса еще в следующем
виде:
ООп* = П - 4-2Dп* = П - 4-2DРт-\-1Рт-\-1Рт-\-1^т+1, т+1Рт-\-1^т+1, т+1Рп^m+l, пРп^m+l, п(13')(13')Рп ^n,m+lРп ^n,m+l^пп^пп
О
О
п* = П - 4-
2D
п* = П - 4-
2D
Рт-\-1
Рт-\-1
Рт-\-1
^т+1, т+1
Рт-\-1
^т+1, т+1
Рп^m+l, п
Рп^m+l, п
(13')
(13')
Рп ^n,m+l
Рп ^n,m+l
^пп
^пп
Кроме того, введем обозначение
(14)(14)1 тТ = 2 52 aij^r
(14)
(14)
I3 = V
Тогда, согласно равенству (12), функция —Я, которая для позиционных координат играет роль функции Лагранжа, равна
(15)(15)Т* -V,
(15)
(15)
где V — обобщенный потенциал, определяемый равенством
Г = -^( 52 7aiPcJ Qi +n*(i, qt, Pa). (16) г=1 \O!=m+l/
Рассмотрим теперь какое-либо движение исходной системы. В этом
движениидвижениира = const = са (а = т + 1, ..., п),ра = const = са (а = т + 1, ..., п),(17)(17)
движении
движении
ра = const = са (а = т + 1, ..., п),
ра = const = са (а = т + 1, ..., п),
(17)
(17)
и изменение позиционных координат Qi = Qi (t) (^ = 1, ..., m) может быть определено из дифференциальных уравнений (8) на с. 84, в которых всюду ра следует заменить на са (а = т + 1, ..., п). Но эти уравнения являются уравнениями Лагранжа (с функцией Лагранжа —R = Т* — У) для некоторой вспомогательной натуральной склерономной системы с т степенями свободы, имеющей кинетическую энергию Т* = (1/2) ctijQiQj и обобщенный силовой потенциал г = - У^ (Е2=т+17«са) % + n*(i, qt, са\ Потенциальной энергией этой системы является потенциал Рауса П*(£, q^ са). Из формул (11)—(13) следует, что
Т + П = Т*+П*. (18)
Полученную вспомогательную систему будем называть приведенной системой.
Таким образом, изменение позиционных координат qi^ ..., qm определяет движение приведенной системы (с т степенями свободы) с кинетической энергией Т* и обобщенным потенциалом У = Ух + + П*, где П* — потенциал Рауса. При соответствующих движениях исходной и приведенной системы полные энергии этих систем равны между собой.
Когда функции qi = qi("t) G = 1, • • • ^ т)^ определяющие движение приведенной системы, найдены, то изменение со временем циклических координат qa = qa (а = т +1, ..., п) может быть определено из формул (9) на с. 84, которые сейчас могут быть написаны так:
_ г Гап*
Qa — 2_^ajVP)Qj dt + ca
(a = m + 1, ..., n).
Рассмотрим частный случай, когда выражение кинетической энергии исходной системы (1) не содержит произведений позиционных скоростей ф на циклические скорости qa, т. е. случай, когда все а^а = О (г = 1, ..., т; а = m +1, ..., п). В этом случае кинетическая энергия Т распадается на две квадратичные формы, из которых одна содержит только позиционные скорости ф, а вторая — только циклические скорости qa. Такая система называется гироскопически несвязанной. Для гироскопически несвязанной системы, согласно формулам (5), все ^аг = 0 и, следовательно, Ух = 0 и V = П*. Таким образом, если исходная система является гироскопически несвязанной, то приведенная система имеет обычный потенциал П* ).
Кроме того, из равенств (10) следует, что для гироскопически несвязанной системы а*- = а^ (г, j = 1, ..., m), т. е.
1 т
Т*=~^(20)
В этом случае исходная система имеет кинетическую энергию т1 п
= 2 52 ^Mj + 252 ЬацСаСр
1з = "Уа, /3=т+1
и потенциальную П = П(£, дД а приведенная — кинетическую энергию Т* = (1/2) 52™^ ctijQiQj и потенциальную
1 п
П — П(£, q^ + —Ъарсаср.
а, /3=т+1
Мы видим, что часть кинетической энергии исходной системы V/^^A^+lbацсас^ перешла в потенциальную энергию приведенной системы.
Все сказанное о склерономных системах справедливо, в частности, для консервативных систем, у которых 9H/9t = 0, т. е. П = П(^). Приведенная система для гироскопически несвязанной консервативной системы будет снова консервативной.
Пусть теперь дана произвольная консервативная система с т степенями свободы, с кинетической энергией
= 2 5 у ^ij^Qli • • • 1 Qm^QiQjг, 3=1
и потенциальной энергией П* = П*(^). Рассмотрим консервативную систему, у которой число степеней свободы равно т + 1 и которая имеет т позиционных координат ^i, ..., qm и одну циклическую координату qm^T.
Пусть у новой системы П = 0, а кинетическая энергия имеет вид
к
Т = Т* + - — q^+1 (fc = const).
Тогда
к .
Pm-\-l ТЛ Г Qm-\-l
П(^г)
И
т = т* + l-^qiWm+v
Но тогда при pm+i = cm+i = «2к
Рис. 56Рис. 56^п*(дг)Рт+1 = п*(да.
Рис. 56
Рис. 56
Таким образом, у данной консервативной системы кинетическая и потенциальная энергии Т* и П* = П*^), а у новой «расширенной» системы Т = Т* + П*(^) и П = 0.
Потенциальная энергия данной системы получилась за счет кинетической энергии «расширенной» системы, имеющей большее число степеней свободы.
Движения, при которых изменяются только циклические (скрытые) координаты, иногда называются скрытыми движениями х).
Выше мы видели, что потенциальная энергия консервативной системы всегда может быть рассматриваема как кинетическая энергия скрытых движений.
Эта концепция о кинетическом происхождении потенциальной энергии и, следовательно, о кинетическом происхождении сил, приложенных к телам, осуществляющим явные (нескрытые) движения, была широко развита Герцем в его «Принципах механики» (1894 г)) .
Пример. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой О в случае Лагранжа, когда на тело действует сила веса Мд, существует ось динамической симметрии и центр тяжести D расположен на этой оси.
Положение тела будем задавать с помощью трех углов Эйлера 9, ф, р, где угол нутации 9 — угол между вертикальной осью Оz и осью динамической симметрии О( (рис. 56),
^ — угол прецессии, а р — угол чистого вращения. Пусть I = OD, а Л и С — экваториальный и аксиальный моменты инерции соответственно. Тогда
2Т = А(р2 + q2) + Cr2, H = Mgl cos 9.
где р, q, г — проекции угловой скорости ш на главные оси инерции О§, Огр °C Но...
р2 + q2 = О2 + ф2 sin2 0, г = ф + -0 cos 9.
Поэтому окончательно
2Т = А<92 + ф2 sin2 9) + С^ф + ф cos 9)2,H = Mglcos9. (21)
х) Ярким примером проявления скрытых движений являются системы, содержащие внутри себя гироскопы. За счет «скрытых» движений гироскопов движение таких систем резко отличается от движения систем без гироскопов.
Найдем выражения для обобщенных импульсов р^, p-ф, соответствующих циклическим координатам <р, ф:
РФ = (A sin2 0 + С cos2 О^ф + С cos Оф,
(22)
р^ = С cos Оф + Сф.
Разрешив эти соотношения относительно ф и ф, получим
Asin2# ’
(23) . _ — С cos Орф + (A sin2 0 + С cos2 0)pv
V =AC sin2 6»"
Коэффициенты при рф и р^ в правых частях равенств (23) и представляют собой величины Ь^р. Выражение для кинетической энергии в переменных Рауса 0, 0, рф, рф получаем, подставляя выражения (23) для ф и ф в выражение (21) для 2Т, или сразу по формуле (11)х):
, А2 , Ср2 - 26^08^,^^ + (Asin2 0 + С cos2 У )р2
2Т = А6 +АС^О'(24)
При движении системы импульсы рф и р^ сохраняют постоянные значения
РФ = а, р^ = Ь.(25)
Нутационное движение определяется приведенной системой, для которой
П-= М,1 ==,6 +(26)
Изменение угла нутации 0 = 0(t) находится из соответствующего интеграла энергии
17 л (a — bcosOV7
- АО2 + Mgl cos 0 + -— 9= const = h.(27)
A sin О
Введем вспомогательную переменную и = cos#. Умножая обе части равенства (27) на (2/А) (1 — n2) = (2/А) sin2 0, находим
/ 7\ 2
\-гЛ = /п’28
у at)
где /(п) — многочлен третьей степени относительно и*.
= Мд1ф(1 - и2) - ^ (а - Ьи\(29)
•*•) В данном случае твердое тело представляет собой гироскопически несвязанную систему. В этом случае в формуле (11) а*^ (г, j = 1, ..., m).
Полагая в этом выражении п = ±1ип = по = cos#o < 1, находим *)
/ 7\ 2
/(-1)<0,/Ы= ^ >0,/(+!)< о.
Тогда многочлен /(п) имеет три вещественных корня ui = cos 0i, U2 = cos 62 и и';
— 1 < Ui < U2 < 1 < U ,
и [поскольку /(+00) = +00] график многочлена f(u) имеет такой вид, как показано на рис. 57.
Рис. 57Рис. 58Рис. 57Рис. 58
Рис. 57Рис. 58
Рис. 57Рис. 58
Так как при движении тела — 1 < и = cos# и /(n) = (du/dt) ^ 0, то величина и = cos# должна изменяться в интервале Ui ^ и ^ U2, т. е. #i > 6 ^ #2. Угловая скорость прецессии определяется из первой формулы (23):
• а — b cos #
Если отношение а/b находится вне интервала ui ^ и ^ П2, то скорость прецессии -ф сохраняет постоянный знак и прецессионное движение происходит все время в одном направлении. В этом случае след, оставленный осью О( на неподвижной сфере с центром в О, описывает кривую, изображенную на рис. 58.
Если же ui < a/b < U2, то скорость прецессии меняет знак при cos#* = = a/b и след динамической оси описывает на сфере кривую, показанную на рис. 59.
Если a/b = U2, то скорость прецессии не меняет знака, но обращается в нуль на верхней параллели # = #2 (рис. 60) 2).
Аналитически изменение угла нутации определяется из формул
= t + const, # = arccos и.= t + const, # = arccos и.(31)(31)
= t + const, # = arccos и.
= t + const, # = arccos и.
(31)
(31)
Здесь знак «+» берется при изменении 6 от значения 62 до значения 01 и знак « —» — при изменении 6 в обратном направлении. Очевидно, изменение угла 6 во времени будет периодической функцией 9(f) с периодом
duVWduVW(32)(32)
du
VW
du
VW
(32)
(32)
После того как изменение угла нутации 9 = 9(f) найдено, изменения углов ф и р определяются по формулам (23).
Рис. 59Рис. 59Рис. 60Рис. 60
Рис. 59
Рис. 59
Рис. 60
Рис. 60
Рассмотрим теперь движение твердого тела, проходящее через «особое» положение 9 = 0. В этой точке кинетическая энергия задается вырожденной квадратичной формой [см. выражение (21) при 9 = 0]
YT = Аб2 C(<W Ф?•YT = Аб2 C(<W Ф?•(33)(33)
YT = Аб2 C(<W Ф?•
YT = Аб2 C(<W Ф?•
(33)
(33)
Согласно формулам (22) в особой точке 9 = 0 должно иметь место ра
венство p^ = р^, т. е.венство p^ = р^, т. е.а = Ь.а = Ь.(34)(34)
венство p^ = р^, т. е.
венство p^ = р^, т. е.
а = Ь.
а = Ь.
(34)
(34)
Предполагая, что произвольные постоянные а и b связаны соотношением
циала Рауса1):циала Рауса1):(34), мы легко раскрываем неопределенность в выражении (26) для потен
циала Рауса1):
циала Рауса1):
а2 1 + cos9
П* = Mgl cos 0 + — —
УА 1 - cos 9
После этого нутационное движение снова определяется из интеграла энергии Т* + П* = const.
Если движение проходит через «особое» положение 9 = тг, то вместо (34) имеем соотношение_
а = —о
и выражение для потенциала Рауса принимает вид
л га2 1 + cos 9
П = Mgl cos 9 Н—- .
УА 1 - cos 9
В рассмотренных двух «особых» случаях верхняя или соответственно нижняя параллель на рис. 58-60 вырождается в точку.
х) В выражении для П* мы отбрасываем постоянное слагаемое 62/В.
§ 49. Устойчивость стационарных движений
Рассмотрим консервативную систему, положение которой задается при помощи т позиционных координат qi и п — т циклических координат qa (г = 1, ... , m; о = m + 1, ..., п). Движение такой системы определяется каноническими уравнениями:
dqr ЭН dpr ЭН(r = "(1>
где полная энергия системы Н = H^qi, р^ ра) имеет вид
1 п
>(91, ..., qm)PrPs + II(gi, ..., qm),(2)
Г, S = 1
причем квадратичная форма, стоящая в правой части этого равенства, является положительно определенной1). При движении системы функция Н и обобщенные импульсы ра (а = т + 1, ..., п) не изменяют своих значений, т. е. эти величины являются интегралами движения:
Я(%, Pi, ра) = Я(дг°,р°, р°),
о /। -1\W
Ра =Ра (а = m + 1,П).
Движение системы называется стационарным, если при этом движении все позиционные координаты сохраняют постоянные значения qi = const = qP (г = 1, ... , т).
При стационарном движении все позиционные скорости равны нулю и потому, согласно уравнениям (1) и равенству (2),
qt = ^С^Рк + ^ Сга(дг°)Ра=0 (г = 1, ..., т).(4)
/с=1а=?тг+1
Из этих соотношений следует) , что при стационарном движении имеют постоянные величины и все позиционные импульсы pi = = const = р^. Поскольку ф = pi = 0 (г = 1, ... , т), то из уравнений (1) вытекает, что при стационарном движении
ЭНэн= 0,—^QiЭpiЭНэн= 0,—^QiЭpi(г = 1, ... , т).(г = 1, ... , т).(5)(5)
ЭНэн
= 0,—
^QiЭpi
ЭНэн
= 0,—
^QiЭpi
(г = 1, ... , т).
(г = 1, ... , т).
(5)
(5)
Уравнения (5) представляют собой необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные значения q^ р^ р^ (г = 1, ... , m; а = т + 1, ..., п) для того, чтобы движение, определяемое этими начальными данными, было стационарным.
Заметим еще, что при стационарном движении имеют постоянные величины и циклические скорости qa (а = т + 1, ..., п), так как в соответствии с (1)
Qa =Qa =энЭраэнЭраУ cQS(g°)p° = constS = 1У cQS(g°)p° = constS = 1(а = m + 1, ..., n).(6)(а = m + 1, ..., n).(6)
Qa =
Qa =
эн
Эра
эн
Эра
У cQS(g°)p° = const
S = 1
У cQS(g°)p° = const
S = 1
(а = m + 1, ..., n).(6)
(а = m + 1, ..., n).(6)
Поэтому
(7)(7)Qa = О - Л))+<7° (a = m + l, n).
(7)
(7)
Начальные циклические координаты q^ являются произвольными постоянными и в условия (5) не входят.
Таким образом, при стационарном движении позиционные координаты сохраняют постоянные значения, а циклические координаты изменяются по линейному закону.
Пример. Регулярная прецессия тяжелого симметричного гироскопа представляет собой стационарное движение.
Действительно, регулярная прецессия характеризуется равенствами
6 = const = ^о, ф = const, ф = const,
где угол прецессии ф и угол чистого вращения ^ — циклические координаты, а угол нутации 6 — угол, образованный осью гироскопа с вертикалью, — позиционная координата).
Заметим, что согласно соотношениям (6) небольшое изменение начальных величин q^, р^, р^ дает небольшое изменение начальных циклических скоростей q^ (a = m+1, ..., п). Однако небольшое изменение величин q^ согласно формулам (7), дает с течением времени сколь угодно большое изменение самих циклических координат. Поэтому по отношению к циклическим координатам стационарное движение не может быть устойчивым.
В дальнейшем под устойчивостью стационарного движения мы будем понимать устойчивость по отношению ко всем импульсам р^ и ра и позиционным координатам q^ (г = 1, ... , m; a = т + 1, ..., п) ) .
Тогда имеет место следующий критерий устойчивости стационарных движений.
Движение с начальными данными q^, р^, р^ (г = 1, ... , т; а = = т + 1, ..., п) будет устойчивым стационарным движением, если функция H(qi, р^, р^) в точке q^ = ф-, Pi = Pi G' = 1, • • •, ш) имеет строгий экстремум.
Действительно, рассматриваемое движение будет стационарным, поскольку из существования экстремума функции H(qi, р^ р^) следует, что величины q^ р^ (г = 1, ... , ш) совместно с величинами р^ (а = т+1, ..., п) удовлетворяют уравнениям (5). Введем отклонения
Si = Qi -Qi, Pi = Pi ~ Pi, Ла = Ра- Ра-
Тогда, используя интеграл движения Н(q^ + ^, р^ + ту, р^) в качестве функции Ляпунова, можно сделать заключение (см. с. 182) об устойчивости нулевого решения ^ = 0, ту = 0 (т. е. устойчивости стационарного движения) в предположении, что циклические импульсы ра не испытывают возмущений (т. е. что эти величины для возмущенного движения имеют те же значения р^, что и для невозмущенного ) ).
Однако сформулированный выше критерий устойчивости сохраняет свою силу и в общем случае, когда для возмущенного движения величины т)а = ра — Ра (^ = m + 1, ..., п) могут быть отличными от нуля) . Для того чтобы убедиться в этом, достаточно использовать следствие из теоремы Ляпунова (с. 182), взяв в качестве функции Ляпунова функцию
VH(q; + &, Pi + Лм Ра) - Н^, р®, р°)]2 + Е Ра- (8) а=т+1
Эта функция является интегралом движения и имеет при ^ = 0, ту = = 0, уа = 0 (г = 1, ... , п; а = т + 1, ..., п^ строгий минимум, равный нулю.
Установим аналогию между устойчивостью состояния равновесия и устойчивостью стационарного движения. Для этого рассмотрим приведенную систему с т независимыми координатами q — 1, ..., qm и с потенциальной энергией, равной потенциалу Рауса:
1 п
=Е b^qiVaP^(9)
а, /3=т+1
(см. предыдущий параграф). На приведенную систему помимо потенциальных сил — dW/dqi (г = 1, ... , т) действуют еще гироскопи-
ческие силы. Так как стационарному движению исходной системы Qi = q^ Ра = Ра (г* = I, ..., m; а = m + 1, ..., п) соответствует положение равновесия приведенной системы, то величины q^ р^ должны удовлетворять уравнениям
522^1^2 = 0 (г = 1, (10) dqt
Это необходимые и достаточные условия существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (5) и получаются из последних исключением величин р^ (г = 1, ... , т). Применяя теорему Лагранжа к положению равновесия q^ = q^ приведенной системы, получаем критерий устойчивости стационарного движения в следующей форме.
Движение с начальными данными q^ qf = 0, р^ (г = 1, ..., т; а = т + 1, ..., п) будет устойчивым стационарным движением, если потенциал Рауса П*(^, р^) имеет строгий минимум при q^ = = Qt (г = 1, , т\
Применяя теорему Лагранжа к приведенной системе, мы фиксировали постоянные значения циклических импульсов ра = Р^ (а = = т + 1, ..., п). Однако критерий сохраняет свою силу и при варьировании импульсов р^. Для того чтобы установить это, достаточно в качестве функции Ляпунова взять интеграл движения
mqi+^qi,p«)-E4q^o,poa^+ £ ^а, (ii) а=т+1
где Е* = Т* + П* — полная энергия приведенной системы [она совпадает с полной энергией исходной системы, выраженной в переменных Рауса ф, %, ра (см. §48)], а & = qt-q®, qt, qa = ра -р°а (i = 1, ..., т; а = т + 1, ..., п) — отклонения возмущенного движения (от данного стационарного движения). Функция (11) имеет строгий минимум (равный нулю) при & = 0, ф = 0, Т]а 0 (г = 1, ..., т; а = т+1, ..., п).
Приведенный здесь критерий устойчивости стационарного движения в несколько иной форме был установлен Раусом в 1884 г.
Пример. Определить устойчивые стационарные движения неоднородного весомого шара на гладкой горизонтальной плоскости, если центр тяжести шара D отстоит от геометрического центра О на расстоянии d, масса шара равна М, момент инерции относительно оси OD равен С, а два других главных центральных момента инерции равны между собой, А = В (рис. 61) Д
•*•) Рассматриваемое в этой задаче твердое тело представляет собой физический маятник, у которого ось подвеса является осью динамической симметрии, а точка опоры О может свободно скользить (без трения) вдоль горизонтальной плоскости.
В качестве независимых координат возьмем две горизонтальные координаты центра тяжести xd, Ув и три угла Эйлера <р^ ф^ у. При этом угол <р
Рис. 61
является углом «чистого вращения» вокруг оси динамической симметрии О(, проходящей через точки D и О; направление оси О( совпадает с направлением вектора DO. Напишем выражения для кинетической и потенциальной энергии:
2Т = Афр + q ) + Сг + М^х^ + у^ + i^), П = Mgzjj.
Здесь р, q, г — проекции угловой скорости ш на центральные оси инерции. Но..
р2 + q2 = О2 + ф2 sin2 9, г = ф + ф cos 9, zd = —d cos 9.
Поэтому
2T = (А + Md2 sin2 9)92 + Аф2 sin2 9 + Ст2 + M(x2D + ^),
П = —Mgdcos9.
Координаты xd, Ув, <р и ф являются циклическими. Во время движения соответствующие импульсы сохраняют постоянные значения, а именно:
рж=Мхо, ру = Муо=3, р^ = Сг = у,
р^ = Аф sin2 9 + Ст cos 9 = 5.
Кроме того,
ре = (А + Md2 sin2 0)9.
Напишем выражение для функции Гамильтона в переменных 0. рх = а, Ру = 0, Ре, Ру =1,Рф= 8-
Ре . 12 (Л + Md2 sin2 У)2 АРе . 12 (Л + Md2 sin2 У)2 А8 — 7cos0\2 sin# /8 — 7cos0\2 sin# /Mg d cos 6 +Mg d cos 6 +
Ре . 1
2 (Л + Md2 sin2 У)2 А
Ре . 1
2 (Л + Md2 sin2 У)2 А
8 — 7cos0\2 sin# /
8 — 7cos0\2 sin# /
Mg d cos 6 +
Mg d cos 6 +
~l и* fl
2M" A^Md^™^1 1 ;
где
П*П*S — 7 cos 6 \ 2 sin# /S — 7 cos 6 \ 2 sin# /Mg d cos # +Mg d cos # +a2+^22Ma2+^22M(14)(14)
П*
П*
S — 7 cos 6 \ 2 sin# /
S — 7 cos 6 \ 2 sin# /
Mg d cos # +
Mg d cos # +
a2+^22M
a2+^22M
(14)
(14)
— потенциал Рауса1).
Условия существования стационарного движения (5) здесь имеют вид
Э6 ’Э6 ’ре = о.ре = о.
Э6 ’
Э6 ’
ре = о.
ре = о.
Условие устойчивости — наличие строго экстремума функции Н при ре = 0 и некотором искомом значении # — будет выполнено, если при этом значении # функция П* имеет строгий минимум. Для нахождения этого значения # = #о положим и = cos # и
/(и) = АП* = | ^J^ ~Ки + const (к = AMgd\
Найдем:
а _ --(би + (72 + 82)и - -8 _(1-М2)2
। с2
/"М = М2^2 (Т - ^М + 3“2 “ М«3),
— и2)2,
Где^_ 27<5
М 72 +'
Допустим, что уравнение f(u) = 0 имеет корень и такой, что |n| < 1. Этому значению |n| = cos# и соответствует стационарное движение шара, при котором центр шара перемещается равномерно и прямолинейно, а углы <р и ^ изменяются по линейному закону.
Для выяснения устойчивости стационарного движения докажем предварительно, что f"(и) > 0 при |n| < 1. Действительно, если бы f"(и) = 0 при |u| < 1, то из выражения для fn(и) вытекало бы, что ц = (1 + Зп2)/(п3+3п).
х) Мы исключаем из рассмотрения особые значения # = 0 и # = тг. Поэтому sin# V 0.
Отсюда легко усмотреть, что \ц\ > 1 при |n| < 1, что невозможно, поскольку у = 2yJ/(y2 + J2). Следовательно, fn(u) ^ 0 при |n| < 1, т. е. f\u^ сохраняет знак в интервале (—1, +1). Но /„(О) = у2 + 52 > 0. Следовательно, fM(u) > 0 при |n| < 1.
Поскольку
т2 тт*
Л= f" (и) sin2 6 — f(u) cos 6 = f" (и) sin2 6 > 0,
то при рассматриваемом значении 0 функция П* имеет строгий минимум, т. е. соответствующее стационарное движение устойчиво.
Условие существования стационарного движения ff(u) = 0 можно преобразовать, положив 5 = у и + Л^(1 — u2Y
Если затем в полученное равенство подставить у = Сг = С(ф У ф cos OY то это условие принимает окончательный вид
Сф-ф + (С — А)ф2 cos 0 + Mgd = 0.(15)
Это хорошо известное условие существования регулярной прецессии под воздействием внешнего момента Mgd sin 0 (момент вертикальной реакции N = Мд относительно полюса DY
Рассмотрим отдельно три случая.
1°. Если
\мда^сф-ф\ > |л-су2,
то условие (15) не выполняется ни при одном вещественном значении 0 и не существует стационарного движения с такими угловыми скоростями.
2°. Если \Mgd + Сфф\ < |Л — С^2 и величины Mgd + Сфф и Л — — С имеют одинаковые знаки, то при таких угловых скоростях существует стационарное движение с cos# > 0.
3°. Если же \Mgd + Сфф\ < \А — С\ф\ а величины Mgd + Сфф и А — С имеют разные знаки, то при стационарном движении cos# < 0. В этом случае существует устойчивое стационарное движение такое, при котором центр тяжести расположен выше геометрического центра шара.
Рассмотрим теперь особые случаи.
#о = 0. Тогда из формул (12) следует, что у = 5. Поэтому
f (u)(-sm0o) = 0,f (u)(-sm0o) = 0,А Ш у du ; 6=0
f (u)(-sm0o) = 0,
f (u)(-sm0o) = 0,
Yd2n*\ ,
Стационарное движение всегда устойчиво.
9о = тг. Из формул (12) находим: у = —6. Поэтому ,-У2
= /'(и)(—8тУ0) = О,0 = 7Г= /'(и)(—8тУ0) = О,0 = 7ГАА/'(u)(-cos0o)/'(u)(-cos0o)(1 - Ко)2(1 - Ко)2
= /'(и)(—8тУ0) = О,
0 = 7Г
= /'(и)(—8тУ0) = О,
0 = 7Г
А
А
/'(u)(-cos0o)
/'(u)(-cos0o)
(1 - Ко)2
(1 - Ко)2
Стационарное движение будет устойчивым при выполнении условия
(16)(16)которое в подробной записи выглядит так: С2 г2 > 4AMgd.
(16)
(16)
Если неравенство (16) имеет место, то, хотя в рассматриваемом случае центр тяжести расположен над геометрическим центром шара, вращение вокруг вертикальной оси будет устойчивым стационарным движением.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Аппель П. Теоретическая механика. Т. I, П/Пер. с фр. — М.: Физматгиз, 1960.
Бабаков И.М. Теория колебаний. — М.: Гостехиздат, 1958.
Бобылев Д.К. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия Лагранжа/Приложение к т. LXI Зап. Ак. наук. — СПб, 1889.
Булгаков Б.В. Колебания. — М.: Гостехиздат, 1954.
Валле Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике. Т. I, П/Пер. с фр. — М.: Издатинлит, 1948, 1949.
Вариационные принципы/сб. статей под ред. Л.С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959.
Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1950.
Голдстейн Г. Классическая механика/Пер. с англ. — М.: Гостехиздат, 1957.
Зигель К.М. Лекции по небесной механике/Пер. с нем. — М.: Издатинлит,1950.
Зоммерфельд А. Механика/Пер. с нем. — М.: Издатинлит, 1947.
Картан Э. Интегральные инварианты/Пер. с фр. — М.: Гостехиздат, 1940.
Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, T.I. - М.-Л., 1948.
Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. Т. I, П/Пер. с англ., Мир, 1964.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. — М.: Физматгиз, 1958.
Ландау Л., Пятигорский Л. Механика. — М.-Л., 1940.
Ланцош К. Вариационные принципы механики/Пер. с англ. — М.: Мир, 1965.
Ла-Салль Ж., С. Исследование устойчивости прямымм методом Ляпу- нова/Пер. с англ. — М.: Мир, 1964.
Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. Ч. III. — М.: СИТИ, 1934.
258258Список литературыСписок литературы
258
258
Список литературы
Список литературы
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Госте- хиздат, 1950.
Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела/Пер. с англ. — М.: Изда- тинлит, 1951.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1952.
Меркин Д.Р. Гироскопические системы. — М.: Гостехиздат, 1956.
Розе Н.В. Лекции по аналитической механике. 4.1. — Изд-во ЛГУ, 1938.
Синг Дене. Л. Классическая динамика/Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1963.
Суслов Г.К. Основы аналитической механики. — 2-е изд. — Киев, 19111912; [изд. 3, переработанное Н.И. Бухгольцем и В.К. Гольцманом под названием: Теоретическая механика. — М.: Гостехиздат, 1944].
Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика/Пер. с англ. — М.: ОНТИ, 1937.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. — М.: 1956.
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — 3-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
Якоби К. Лекции по динамике/Пер. с нем. — М.: ГОНТИ, 1936.
Corden Н. С., Stehle Ph. Classical mechanics. — N.Y., L.: Wiley, Chapman, 1950.
Routh E. T. The advanced part of a Treatise on the dynamics of a system of right bodies. — 6-th ed. — L.: Macmillan, 1905.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Айзерман М.А. 191, 196, 238
Аппель П. 64, 257
Аристотель 29
Бабаков И. М. 257
Бернулли И. 29
Бобылев Д. К. 98, 257
Булгаков Б. В. 257
Валле Пуссен Ш. 7, 257
Вебстер А. 245
Галилей Г. 29, 32
Гамильтон У. 74, 76, 92, 139
Гельмгольц Г. 111
Герц Г. 245
Голдстейн Г. 154, 257
Гурвиц А. 196
Гюйгенс X. 32
Даламбер Ж. 35
Дирихле Л. 168
Донкин У. 76
Зигель К. 257
Зоммерфельд А. 257
Каратеодори К. 154
Картан Э. 120, 257
КибельИ.А. 257
Корден Г. 258
Кочин Н.Е. 257
Крейн М.Г. 219, 223, 224, 257
Курант Р. 218
Ла-Салль Ж. 257
Лагранж Ж. 25, 74, 116, 168, 208,
257
Ландау Л. Д. 72, 257
Ланцош К. 257
Лежандр А. 76
Лефшец С. 257
Ли Хуа-чжун 122
Ливартовский И. В. 191
Лифшиц Е. М. 72, 257
Лойцянский Л. Г. 68, 257
Лурье А. И. 68, 257
Льенар А. 196
Ляпунов А.М. 172, 173, 178, 190,
258
Мак-Миллан В.Д. 258
Максвелл Дж. 222
Малкин И. Г. 173, 258
Меркин Д. Р. 258
Мерсенн М. 226
Мопертюи П. 116
Остроградский М. В. 92
Пожарицкий Г. К. 251
Пуанкаре А. 120, 190
Пятигорский Л. 257
РаусЭ. 81,196,240,242,251,252,
258
Релей Дж. 219
РозеН. В. 257
Сильвестр Д. 51
Синг Дж. 258
Стокер Дж. 191
Суслов Г. К. 7, 258
Томсон В. 245
Торричелли Э. 167
Тэт П. 245
Уиттекер Е. 113, 258
Ферма П. 116
Фихтенгольц Г. М. 236, 258
Фишер Е. 218
ЧетаевН.Г. 171,173,181,184,258
Шипар М. 196
Эйлер Л. 31
Якоби К. 87, 115, 258
предметный указатель
Ансамбль статистический 127
Аппеля уравнения 64
Вековое (характеристическое)
уравнение 187, 203
Виртуальные перемещения 16
Вихревые линии ПО
Вихрь (ротор) скорости 109
Возможные скорости 15
Возможные перемещения 16
Выражение союзное 75
Гамильтона переменные 74
— принцип 92, 93
вторая форма 98
— уравнения 76
— функция 76
главная 139
Гамильтона-Якоби уравнение 136
Гельмгольца теорема 111
Геометрический критерий
асимптотической устойчивости 198
Главные колебания 208
— координаты 172, see Нормаль
ные координаты, 210
Гурвица многочлен 198
— определители 196
Даламбера принцип 35
Движение стационарное 249
Действие по Гамильтону 91
Донкина теорема 76
Закон Мерсенна 226
«Золотое правило механики» 29
Импульсы обобщенные 74
Интеграл уравнений движения 86
— энергии 54
обобщенный 79
Интегральный инвариант 102
— абсолютный 122
— относительный 121
Пуанкаре универсальный 119— 120
Пуанкаре-Картана 102
гидродинамическая интерпретация 107
Каноническое преобразование 128
Координаты нормальные 172, 210
обобщенные 38
— позиционные 240
циклические 83
Коэффициент влияния 222
Критерий Михайлова 198
Рауса-Гурвица 196
устойчивости стационарных движений 250
Критерий Сильвестра 51
Лагранжа 69
Неопределенные множители 25
— неопределенные множители 24
— переменные 74
— скобки 159
— теорема 168
— уравнения второго рода 45
первого рода 25
Лежандра преобразования 76
Линии вихревые ПО
Лиувилля теоремы 127, 150, 162
Льенара-Шипара условия 196
Ляпунова теорема о неустойчивости равновесия I 172
II 174
— функция 179
Ляпунова теорема об устойчивости движения 181
Мерсенна закон 226
Метод разделения переменных 142150
Мопертюи-Лагранжа принцип 115— 116
Нормальные координаты 210
Нормальные координаты 172
Обобщенная полная энергия 79
Обобщенные координаты 38
— силы 41-42
— скорости 45
— ускорения 46
Обобщенные импульсы 74
Общее уравнение динамики 24
Переменные Гамильтона 74
— Лагранжа 74
— Рауса 81
Перемещения виртуальные 16
— возможные 16
Позиционные координаты 240
Потенциал кинетический 69
— обобщенный 70
— Рауса 242
— сил 52
Преобразование каноническое 128
— контактное 132
Преобразование каноническое свободное 132
— точечное 135
— унивалентное 131
Преобразования Лежандра 76
Преобразования канонического валентность 131
каноничности необходимое и достаточное условие 131
— производящая функция 131
Принцип взаимности Максвелла 222
— Гамильтона 92, 93
вторая форма 98
— Даламбера 35
— Мопертюи-Лагранжа 115-116
— Торричелли 31, 167
— Ферма 116
Принцип виртуальных перемещений 28
Пространство состояний 2п-мерное 166
Пространство координатное
п-мерное 38
расширенное (п + 1)-мерное 91
фазовое 2п-мерное 112
расширенное (2п+1)-мерное 98
Псевдокоординаты 62
Псевдоскорости 62
Псевдоускорения 63
Пуассона скобки 87
— тождество 87
Путь в расширенном координатном пространстве 91
— окольный 92
— прямой 92
Равновесие положения устойчивое асимптотически 174
Равновесия свободного тела условия 30
Равновесия положение 28
— устойчивое 165
Рауса переменные 81
— потенциал 242
— уравнения 83
— функция 82
Рауса-Гурвица условия 196
Реакция связи 19
Релея диссипативная функция 57
— теорема 219
Связь 11
— дифференциальная 12
— идеальная 19
— интегрируемая 12
— конечная 11
— неголономная 13
— неудерживающая 14
— полуголономная 13
— стационарная 13
— удерживающая 14
Силы активные 19
— непотенциальные 52
гироскопические 54
диссипативные 55
— обобщенные 41-42
— потенциальные 52
Система гироскопически несвязанная 243
— голономная 13
— консервативная 54
— неголономная 13
— несвободная 11
— обобщенно-консервативная 79
— определенно-диссипативная 57
— реономная 13
— свободная 11
— склерономная 13
Скобки Лагранжа 159
— Пуассона 87
Скорости возможные 15
— обобщенные 45
Союзное выражение 75
Степень устойчивости 189
Теорема Гельмгольца 111
— Донкина 76
— Лагранжа 168
Ли Хуа-чжуна 122
Лиувилля 127, 150, 162
Ляпунова об устойчивости движения 181
Ляпунова о неустойчивости равновесия I 172
II 174
о сохранении потока вихря 109
об асимптотической устойчивости 175
— об изменении полной энергии 5254
— Ре лея 219
— разделения корней векового уравнения 220
— Томсона 108
— Четаева 174
— Якоби 137
— Якоби-Пуассона 88
Тождество Пуассона 87
Торричелли принцип 31, 167
Углы Эйлера 39-40
Уиттекера уравнения 113
Уравнение вековое 187, 203
— Гамильтона-Якоби 136
— динамики общее 24
Уравнения Аппеля 64
— Гамильтона 76
— Лагранжа второго рода 45
первого рода 25
— Рауса 83
— Уиттекера 113
— Якоби 115
Ускорения обобщенные 46
Условия Льенара-Шипара 196
— Рауса-Гурвица 196
Устойчивости степень 189
Устойчивость условная 179
Ферма принцип 116
Функция Гамильтона 76
— Лагранжа 69
— Ляпунова 179
— Рауса 82
— Ре лея диссипативная 57
Характеристика частотная 234
Циклические координаты 83
Циркуляция скорости 108
Четаева теорема 174
Число степеней свободы 18
Эйлера углы 39, 40
Энергии интеграл 54
— обобщенный 79
Энергия обобщенная полная 79
— ускорений 64
Якоби теорема 137
— уравнения 115
Якоби-Пуассона теорема 88
Учебное издание
ГАНТМАХЕР Феликс Рувимович
ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор Н. Б. Бартошевич-Жагель
Компьютерная верстка Н. В. Болотиной, Е. Ю. МорозоваОформление переплета: А. А. Логунов
ЛР № 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 18.04.05. Формат 60x90Бумага офсетная. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 16,5. Уч.-изд. л. 18,2. Заказ №
Издательская фирма«Физико-математическая литература»МАРЖ «Наука/Интерпериодика»117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, Москва, Шубинский пер., 6
Д Галилей считал, что такой формой равновесия является парабола. Ошибка Галилея была исправлена Гюйгенсом.
Д При этом величина и направление силы F могут быть произвольными.
фиксируется. Поэтому 5П = Е?=1 (^П/с^) dqi.
мулам (5) и (б7), §^s = TVs dt.
= 1, ..., п), о котором идет речь в теореме Донкина, часто называют преобразо
ванием Лежандра.
2) Индекс г пробегает значения 1, ..., т, а индекс а — значения т +1, ..., п.
В случае натуральной, т. е. обычной, консервативной системы L =
1) В случае, когда элементами матрицы являются матрицы-блоки, умножение выполняется по тем же правилам, как если бы элементами матриц были числа, т. е. строки первой матрицы-сомножителя умножаются на столбцы второй матрицы- сомножителя (см. например: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — §5).
ординаты qi, хотя фактически амплитудой является абсолютная величина \иД;
начальной фазой (при t = 0) гармонических колебаний (10) является либо вели
чина а (при Ui > 0), либо величина —а (при Ui < 0).
равенство (3) выражает собой следующее свойство амплитудных векторов: ам
плитудные векторы, соответствуюи^ие различным корням векового уравнения,
всегда ортогональны мезюду собой в А-метрике.
2) В силу равенств (25) одновременно с равенством A(u, uz) = 0 имеет место
и равенство С(и, и') = 0.
+ ... je^^. Однако и в этом случае сумма стремится к нулю при t ^ ос, если все Re ун < 0.
x) Здесь и в дальнейшем q^ = ... означает, что в выражении, стоящем в
квадратных скобках, все qa заменяются их выражениями (6).
1) Мы здесь предполагаем, что а ф ±6. Особые случаи а = ±6 будут рассмотрены ниже. Кроме того, начальное значение #о выбираем так, чтобы #о ^ 0 и, следовательно, (du/dt)o ф 0.
УДК 531.3
Г19
ББК 22.21
Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е.С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 264 с. - ISBN 5-9221-0067-Х.
Монография посвящена изложению общих принципов механики. Подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнения Гамильтона-Якоби, системы с циклическими координатами. Выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. Даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний.
Книга предназначена для студентов и аспирантов механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-исследователей и других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.
ISBN 5-9221-0067-ХISBN 5-9221-0067-Х© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2002, 2005
ISBN 5-9221-0067-Х
ISBN 5-9221-0067-Х