Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
СТАТИКА
Глава 1. Основные понятия и аксиомы статики 31
Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета 31
Понятие силы 33
Аксиомы статики . . 37
Связи и реакции связей 41
Глава 2. Сходящиеся силы 43
Сложение сил, приложенных в одной точке43
Разложение силы 48
Проекция вектора иа ось51
Умиожеиие вектора на скаляр. Единичный вектор54
Разложение вектора ио координатным осям 55
Аналитический способ сложения сил 57
Равновесие системы сходящихся сил62
Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага 69
Глава 3. Параллельные силы 73
Сложение двух параллельных сил 73
Разложение данной силы иа две, ей параллельные 7(>
Сложение многих параллельных сил. Центр системы параллельных сил 78
Равновесие рычагапридействиинанегопараллельных сил 84
Глава4. Теория пар 88
Момент пары88
Эквивалентныепары.Моментпары каквектор 89
Сложение пар 94
Глава 5. Плоская система сил , . . 98
Момент силы относительно точки .98
Приведение плоской системы сил к данному центру99
Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Варипьона 103
Случай, когда плоская система сил приводится к одной паре 107
Условия равновесия плоской системы силЮ8
Примеры решения задач статики в том случае, когда все приложенные к телу силы лежат в одной плоскости109
Условия равновесия плоской системы параллельных сил .・ 117
Понятие о статически иеопределениых задачах .,,.,,.. 118
Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел 119
Глава 6. Трение 122
Трение скольженпя122
Треиие качеипя133
Глава 7. Основные сведения из графостатики137
Сложение сил, лежащих в одной плоскости. Графические условия равновесия плоской системы сил137
Разложение данной силы иа две, ей параллельные143
Графический способ определения “ентра системы параллельных сил143
Графическое определение реакций в плоской задаче статики 145
Глава 8. Фермы(48
Понятие о ферме.Задача расчета ферм148
Способвырезанияузлов 252
СпособКремоны[55
СпособРиттера [60
Глава 9. Произвольная система сил 163
Момент силы отиосительио оси,163
Формулы для моментов силы относительно координатных осей 166
Момент силы относительно точки как вектор[68
Зависимость между моментами силы относительно данной точки и относительно оси, проходящей через эту точку169
Векторное н скалярное произведения двух векторов .... 172
Выражение момента силы относительно тозкн в виде векторного произведения
Приведение произвольной системы сил к данному центру.
Главный вектор и главный момент. Инварианты системы сил 179
Равиодепствующая системы сил. Теорема Вариньона .... 185
Случай, когда система сил приводится к одной паре . . . . 187
Приведение системы сил к дииаме. Центральная ось .... 187
Условия равновесия системы сил в общем случае£94
Равновесие несвободного твердого тела . . . 196
Глава 10. Центр тяжести 203
Общие формулы для координат центра тяжести , 203
Положение центра тяжести симметричного тела ..・・...205
Теоремы Гюльдепа207
Центры тяжести некоторых простейших однородных тел и фигур 211
Определение центра тяжести тел и фигур сложной формы . 215
Применение общих формул к вычислению координат центра тя?кести220
Графическое определение центра тяжести плоских фигур . . 222
КИНЕМАТИКА
Глава И. Прямолинейное двияФние точки225
Введеиие в кинематику225
Уравнение движения точки 口 график движения227
Равномерное движение точки230
Скорость точки при неравномерном движении234
Оцределеиие пути, иройдеииого точкой по заданному закону изменения ее скорости239
Ускорение точки в прямолинейном движении. Равномерно переменное движение 241
Глава12. Криволинейное движение точки246
Уравнения движения точки 246
Дифференцирование переменного вектора. Свойства векторной производной249
Скорость точки в криволинейном движении 252
Ускоренно точки в криволииейпом движении255
Определение скорости и ускорения из уравиеиий движения точки в декартовых координатах256
Понятие о кривизне кривой липни и о радиусе кривизны. Естественные оси261
Проекции ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения 264
Глава13. Основные виды движения твердоготела 275
Поступательное движение275
Вращение твердого тела вокруг неподвижной осп . .' . . 277
Угловая скорость как вектор. Выражения линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведении286
Глава14. Сложное движениеточки290
Относительное,переносноеи абсолютное движения290
Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки292
Теоремы сложения скоростей и сложения ускорений в том случае, когда иереиосиое движение является поступательным 294
Глава 15. Плоскопараллельное движение твердого тела299
Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела 299
Разложение движения плоской фигуры иа поступательное и вращательное301
Скорости точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр вращения фигуры303
План скоростей309
Центроиды313
Ускорения точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений 319
Аналитическое исследование движения плоской фигуры . . . 326
Глава 46. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Движение свободного твердого тела в общем случае330
Уравнения движения твердого тела, имеющего одиу иеио- двнжную точку 330
Теорема Даламбера——Эйлера332
Распределение скоростей в твердом теле, движущемся вокруг пеподвияшой точки. Мгновенная ось вращения тела333
Распределение ускорений в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки338
Уравнения движения свободного твердого тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки , . . 344
Распределение скоростей и ускорений в твердом теле в общем случае ,, . . 346
Глава 17. Сложное движение точки в общем случае350
Теорема сложения скорост('й350
Теорема Кориолиса353
Глава 18. Сложное движение твердого тела359
Сложение поступательных движений359
Сложение вращательного и поступательного движений в топ случае, когда скорость поступательного движения перпендикулярна к оси вращения360
Винтовое движение тела361
Сложение вращательного и цостуиателького движений в том случае, когда скорость поступательного движения не перпеиди- куляриа к оси вращения363
Сложение двух вращений вокруг параллельных осей .... 363
Сложение двух вращений вокруг пересекающихся осей . . . 373
ДИНАМИКА
А. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава 19. Введение в динамику378
Основные законы динамики. Абсолютная и техническая системы единиц378
Дифференциальные уравиеиия движения материальной точки 385
Две основныезадачидинамикиточки386
Глава20. Прямолинейноедвижениематериальной точки390
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки390
Движение точки под действием силы, зависящей от времени 392
. Движение точки под действием силы, зависящей от положения этой точки394
Движение точки иод действием силы, зависящей от скорости 397
Глава 21. Общие теоремы динамики точки399
Теорема о количестве двнжсинн 399
Теорема о моменте количества движения 402
Работа406
Теорема о кинетической энергии материальной точки . . . 413
Понятие о потенциальном силовом иоле417
Понятие о потенциальной энергии419
Закон сохранения энергии420
Глава 22. Движение несвободной материальной точки* . . 421
Дифференциальныеуравиеииядвижениянесвободной материальной точки421
Теорема о кинетической энергии для несвободиой материальной точки428
Принцип Даяамберадляматериальнойточки431
Глава 23. Колебательное движение материальной точки ....... 435
Гармоническое колебание материальной точки иод действием силы, пропорциональнойрасстоянию435
Затухающие колебания440
Вынужденные колебания445
Глава 24. Относительное Движениематериальной точки452
Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки452
Теорема о кинетической энергии материальной точки в относительном движении456
Б. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
Глава 25. Принцип возможных перемещений458
Механическая снстсма. Связи 458
Классификация сил, действующих на систему460
Понятие возможного перемещения. Число стенепеп свободы 461
Совершенные связи464
Принцип возможныхперемещений 466
Глава 26. Общие теоремы динамикисистемы472
Дифференциальные >гравнеиия движения системы в общем виде472
Теоремаоколичестве движения системы473
Теоремаимпульсов477
Теоремаодвижении центра масс системы478
Теоремаокинетическом моменте системы481
Теоремаокинетической энергии системы487
Движение системы в иотеициальпом силовом поле. Закон со- храиеиия энергии . 494
Глава 27. Принцип Даламбера для системы497
Принцип Даламбера497
Общее уравнение динамики . . 499
Глава 28. Моменты инерции501
Общие формулы для моментов инерции501
Примеры вычисления моментов инерции504
Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей 508
Моменты ииерцип относительно осей, пересекающихся в одной точке. Эллипсоид инерции510
Главные оси ииерцип 512
Глава 29. Динамика твердого тела 516
Вращение твердого тела вокруг неподвижной осп516
Случай вращения твердого тела вокруг его главной дептраль- иой оси инерции. Изменение кинетической энергии вращающегося твердого тела522
Плоскопараллельное движение твердого тела527
Глава 30. Метод обобщенных координат .... * .536
§ 142. Обобщенные координаты системы536
§ 143. Условия равновесия системы в обобщенных координатах . 538
Возможные перемещения системы в случае нестационарных связей544
ОГЛАВЛЕНИЕ9
Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах . , . 549
Условия равновесия системы и уравнения Лагранжа в случае существования силовой функции558
Примеры применения уравнений Лагранжа560
Глава 31. Теория удара .. 571
Явление удара571
Действие ударной силы на материальную точку571
Удар шара о иеиодвижиую поверхность574
Прямой удар двух шаров •. . 577
Потеря кинетической энергии при ударе двух тел581
Изменение количества движения системы при ударах . . . 584
Изменение кинетического момента системы при ударах . . . 586
Действие ударной силы на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси .. . 589
Центр удара 591
Предметный указатель 593
ПРЕДИСЛОВИЕ К ОДИННАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
Я. ВоронковЯ. ВоронковОдиннадцатое издание воспроизводится без изменений с десятого издания. Исправлены только замеченные опечатки.
Я. Воронков
Я. Воронков
Москва Октябрь 1963 г.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика является одной из важнейших дисциплин, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других дисциплин при решении самых разнообразных и сложных технических задач: все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при 口3yqeшш полета снарядов п т. п. основаны на законах теоретической механики.
В чем же состоит основное содержание этой науки? Каковы ее задачи и какими методами пользуется механика при решении этих задач?
Теоретическая механика есть наука об общих законах механического движения и равновесия материальных тел.
Движение, понимаемое в широком смысле слова, является неотъемлемым атрибутом материи и, следовательно, обнимает собой все происходящие в мире явления. В «Диалектике природы» Энгельс пишет: «Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое, как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собой все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением» (Энгельс, Диалектика природы, 1953, стр. 44).
Таким образом, под движением материи понимается не только перемещение тел в пространстве, но и любые изменения, происходящие в телах при тепловых, электромагнитных, химических и других процессах. Наконец, под движением материи понимается и самая высшая форма движения — наше сознание и мысль. Конечно, между всеми этими формами движения материи существует глубокое качественное различие: чем о ио больше, тем глубже различие в методах их изучения. Однако все эти формы движения материи находятся во взаимной связи и при соответствующих условиях переходят одна в другую. Движение есть внутренне присущий материи атрибут, так как оно неотделимо от материи. «Материя без движения,——по выражению Энгельса,—— так же немыслима, как и движение без материи» (Энгель с, Антидюринг, 1951, стр. 57).
Разоблачая идеализм в физике, В. И. Ленин пишет; «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени» (В. И. Леи н н, Материализм и эмпириокритицизм, 1948, стр. 158). И далее: «...оторвать движение от материи равносильно тому, чтобы оторвать мышление от объективной реальности, оторвать мои ощущения от внешнего мира, т. е. перейти на сторону идеализма» (там же, стр. 250). А потому движение, так же как и материя, существует извечно и не может быть ни создано, ни уничтожено. При этом неунпчтожаемость движения нужно понимать ие только в количественном, но и в качественном смысле, т. е. в том смысле, что не может быть уничтожена ни одна из форм движения материи.
Теоретическая механика изучает простейшую форму движения материи ——механическое движение. Механическим движением называется изменение с течением времени положения материальных тел относительно друг друга (а также изменение относительного положения материальных частиц данного тела, т. е. деформация тела).
Так как состояние равновесия тела есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел. Но необходимо иметь в виду, что абсолютного равновесия в природе не существует и что «всякое равновесие лишь относительно и временное (Энгельс, Диалектика природы, 1953, стр. 196).
Имея в виду, что механика изучает простейшую форму движения ,Энгельс, классифицируя естественные науки, начинает эту классификацию с механики, указывая, что такая последовательность соответствует и историческому ходу развития естествознания: из всех естественных наук раньше других возникла и стала развиваться механика. В «Диалектике природы» (стр. 44) Энгельс пишет: «Всякое движение связано с каким-нибудь перемещением ―■ перемещением небесных тел, земных масс, молекул, атомов или частиц эфира. Чем выше форма движепия, тем незначительнее становится это перемещение. Оно никоим образом не исчерпывает природы соответствующего движения, но оно неотделимо от него. Поэтому его необходимо исследовать раньше всего остального».
Поскольку механическое движение мы постоянно и всюду наблюдаем и в природе, и в технике, становится понятной та огромная роль, какую играет теоретическая механика для всего современного естествознания и современной техники. Изучепие общих законов движения материальных тел объясняет нам очень многие явления, происходящие в окр5тжающем нас мире. Однако необходимо иметь в виду, что, поскольку теоретическая механика изучает только механическое движение, она не может претендовать на исчерпывающую роль в науке; далеко не все происходящие
в мире процессы и явления можно объяснять и изучать на основании только законов механики и при помощи только механических моделей. Ввиду глубокого качественного различия между отдельными формами движения материи нельзя все многообразие явлений природы сводить только к механическому движению.
Настоящий курс механики посвящен изучению так называемой классической механики, т. е. механики, основанной на законах, которые впервые были точно сформулированы в окончательном виде Галилеем и Ньютоном.
Благодаря блестящим успехам физики в конце XIX и первой четверти XX в. и новым важиейшилг открытиям в области электродинамики, радиоактивности, учения о строении атома и о движении составляющих его мельчайших частиц выяснилось, что область применения законов классической механики ограничена; эти законы неприменимы к движению микрочастиц, а также к движению тел, скорость которых близка к скорости света. В связи с этим в XX в. возникла так называемая релятивистская механика, основанная на теории относительности А. Эйнштейна. Возникновение этой новой дисциплины является новым важным этапом в развитии механики.
Теория относительности в отличие от классической механики установила закономерные связи между пространством и временем и между массой и энергией. Однако классическая механика полностью сохраняет свое значение и в настоящее время, так как различие между результатами, полученными на основании законов классической механики и законов релятивистской механики, становится значительным только в тех случаях, когда скорость движущегося тела близка к скорости света; если же этого нет, то это различие настолько мало, что им вполне можно пренебречь. Таким образом, областью классической механики является изучение медленных по сравнению со скоростью света движений макроскопических тел.
Теоретическая механика связана с техникой с самого начала своего возникновения. Техническая практика постоянно выдвигала перед механикой новые задачи, которые способствовали дальнейшему развитию механики. В свою очередь и механика содействовала и содействует техническому прогрессу. Современная техника все чаще и чаще выдвигает перед наукой весьма сложные проблемы, разрешение которых возможно только на основании точного эксперимента и глубоких теоретических исследований. Для советского инженера, который имеет дело с самой передовой в мире техникой ——техникой страны победившего социализма, который должен не только в совершенстве владеть этой техникой, Ro и двигать ее вперед, знание теоретической механики как научной базы современной техники совершенно необходимо. Советский инженер должен обладать широким научным и техническим
кругозором, ибо задача науки состоит не только в том, чтобы объяснять мир, но и в том, чтобы изменять его. В настоящее время нельзя быть образованным инженером без основательного и достаточно широкого знания теоретической механики.
Каждая отдельная наука в зависимости от той области явлений объективно реального мира, какую она исследует, имеет свои методы описания и изучения этих явлений. Каковы же методы теоретической механики?
Как во всякой естественной науке, в механике исходной точкой исследования являются наблюдения, опыт, практика. Но, наблюдая какое-нибудь явление, мы ие имеем возможности сразу охватить это явление во всем его многообразии.
Поэтому приходится выделять в наблюдаемом явлении наиболее существенные для него черты, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что является менее существенным, второстепенным.
При первом приближении к действительности, в целях упрощения исследования в механике часто приходится отвлекаться от некоторых свойств тех материальных объектов, с которыми опа имеет дело, при условии, что эти свойства не играют существенной роли в изучаемом механическом явлении или в рассматриваемой задаче. В результате этого подмечаются некоторые упрощенные схемы (упрощенные модели), которые служат механике для построения приближенной теории движения и равновесия реальных физических объектов. Так, например, абстрагируясь от свойств всякого реального физического тела изменять свою форму (деформироваться), приходят к понятию абсолютно твердого тела. К такого же рода упрощенным моделям относятся понятия материальной точки, идеальной жидкости и т. п. После того как задача решена в первом приближении при принятых упрощающих условиях т необходимо сделать следующий шаг в приближении к действительности, т. е. необходимо перейти к решению более сложной задачи с учетом тех свойств реальных физических объектов или тех факторов, которые не были учтены в первом приближении. Такой путь исследования от простого к сложному имеет широкое применение в теоретической механике. После того, например, как изучены законы равновесия абсолютно твердого тела, переходят к изучению равновесия деформируемых тел; после того как изучены законы движения идеальной жидкости, переходят к решению более сложной задачи о движении жидкости с учетом внутреннего трения.
Метод абстракции, таким образом, играет в теоретической ме- хаиике весьма важную роль. Отвлекаясь при наблюдении и изучен нии единичных предметов и явлений от всего частного, случайного, индивидуального, свойственного этим единичным явлениям и предметам, мы получаем возможность подойти к установлению общих закономерностей, глубже проникнуть в сущность явлений.
«Мышление, восходя от конкретного к абстрактному,— пишет Ленин,——не отходит ——если оно правильное...——от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, законаприроды, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» (В. И. Л е н и н, Философские тетради, 1947, стр. 146).
Применение метода абстракции и обобщение результатов многовекового опыта, непосредственных наблюдений и производственной деятельности людей позволили установить некоторые общие простые положения или законы, которые служат фундаментом для всего стройного здания классической механики. Эти основные законы играют в классической механике роль постулатов или аксиом, т. е. простейших положений, которые являются исходными предпосылками для всех ее дальнейших выводов. Ньютон, излагая эти основные законы классической механики, называет их аксиомами движения. Из этих аксиом при помощи строгих математических рассуждений и вычислений вытекают все дальнейшие выводы и результаты классической механики; таким образол!, в теоретической лтеханике находит широкое приме нейие метод математической дедукции. Приступая к изучению теоретической механики, необходимо иметь в виду, что, поскольку эта наука рассматривает по преимуществу количественные отношения, математический анализ играет в ней очень важную роль. О диако никогда не следует забывать, что аксиоматика теоретической механики, так же как и все ее основные понятия, имеет опытное происхождение.
Первоисточником, из которого возникли при зарождении механики ее основные понятия и основные законы, являлись непосредственные наблюдения, повседневный опыт и производственная деятельность человека. Побуждаемая затем к дальнейшему развитию запросами техники и производства, используя данные новых опытов и наблюдений, применяя мощные методы математического анализа, механика постепенно создала свои обширные теории, охватывающие многочисленные и многообразные механические явления: теорию движения- и равновесия абсолютно твердых тел (механика твердого тела), деформируемых тел (теорияупругости и теория пластичности), теорию движения и равновесия жидких и газообразных тел (гидро- и аэромеханика):
Понятно, что единственным критерием истинности этих теорий являются опять-таки опыт, практика; всякая научная теория только тогда может считаться верной, т. е. достаточно точно отра^ жающей и объясняющей те или иные явления объективно реального мира, если эта теория хорошо согласуется с действительностью, с наблюдаемыми фактами.
Таким образом, развитие теоретической механики, как и всякой истинной науки, идет по тому пути, который указан
В. И. Лениным для развития нашего научного познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике ——таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 146—147).
Обратимся теперь к краткому истортаескому обзору развития механики.
Как было уже указано, возникновение механики и ее дальнейшее развитие теснейшим образом связаны с технической практикой.
На истории механики вполне подтверждается высказывание Энгельса о том, что наука многим больше обязана производству, чем производство ―■ науке.
Возникновение механики уходит в глубокую древность. Уже в древности при постройке различных, нередко грандиозных сооружений, например египетских пирамид, строители пользовались некоторыми эмпирически полученными знаниями по механике н для подъема и перемещения тяжелых грузов применяли простейшие механические приспособления (рычаг, блок, наклонная плоскость).
Однако переход от чисто эмпирических знаний к установлению общих законов механики не мог, конечно, совершиться сразу, а потребовал весьма длительного времени, в течение которого в результате наблюдений, опыта и производственной деятельное!и людей, постепенно накоплялся обширный фактический материал. Потребности земледелия, строительного дела, необходимость точного взвешивания в связи с развитием торговли ——все это вызывало развитие механики при ее зарождении.
В «Диалектике природы» Энгельс пишет: «... на известной сту~ пени развития земледелия и в известных странах (поднимание воды для орошения в Египте), а в особенности вместе с возникновением городов, крупных построек п развитием ремесла развилась н механика. Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела» (Энгельс, Диалектика природы, 1953, стр. 145).
Вначале механика, имевшая объектом своего изучения простей-' шие орудия II машины, развивалась главным образом в области статики, т. е. учения о равновесии материальных тел ——этого наиболее простого раздела теоретической механики.
В самых старинных трактатах по механике встречаются рассуждения о силе и ее основных свойствах.
Знаменитый греческий философ Аристотель (384——322 гг. до н. э.) уже знал закон сложения сил, приложенных в одной точке и действующих по одной прямой. Он рассматривал также задачу о равновесии рычага, однако строгого решения этой задачи он дать не смог. Кроме того, у Аристотеля мы находим рассуждения и о движении тел; но эти рассуждения в большинстве случаев
являются чисто умозрительными, не согласованы с опытом и потому неверны.
Основоположником статики как точной науки следует считать выдающегося ученого древности Архимеда (287——212 гг. до н. э.). В своих работах по механике Архимед подытожил знания древних по статике и заложил ее научные основы. Им дано точное решение задачи о равновесии рычага и создано учение о центре тяжести. Кроме того, Архимедом были разработаны основы гидростатики; ему принадлежит открытие известного закона, носящего его имя, о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело.
Архимед является величайшим геометром и выдающимся изобретателем своего времени. По дошедшим до нас сведениям, ему принадлежит много различных технических изобретений и, в частности, ряд изобретений, относящихся к военной технике того времени. Но в рабовладельческом обществе механика не могла успешно развиваться; благодаря дешевому труду рабов и низкому уровню производства не было надобности в применении машин, а потому не было и предпосылок к быстрому развитию техники и механики.
Эпоха средних веков характеризуется в области механики, так же как н в области других естественных наук, почти полным застоем, что объясняется характером общественных отношений при феодальном строе и юсподством теологии в философии и науке.
Только в эпоху Возрождения (со второй половины XV в.), в связи с развитием торгового капитала, ремесла, мореплавания, военного дела, начинает быстро развиваться и механика.
В эту эпоху, пишет Энгельс, «...были заложены основы для позднейшей мировой торговли н для перехода ремесла в ману- факт>тру, которая, в свою очередь, послужила исходным пунктом для современной крупной промышленности. Духовная диктатура церкви была сломлена... Это был величайший прогрессивный переворот из всех пережитых до того времени человечеством, эпоха, которая нуждалась в титанах и которая породила титанов по силе мысли, страсти и характеру, по многосторонности и учености» (Энгельс, Диалектика природы, 1933, стр. 3 и 4).
Среди этих титанов мысли и разносторонней учености следует прежде всего назвать знаменитого итальянского художника, физика и инженера Леонардо да Винчи (1452—1519). Леонардо да Винчи один из первых порывает со схоластикой средневековья. Он придавал большое значение опыту и применению математики при решении механических задач. В области механики Леонардо Да Винчи занимался исследованием движения тела по наклонной плоскости и исследованием трения скольжения. На основании экспериментов он впервые пришел к выводу, что сила трения скольжения не зависит от величины поверхности соприкосновения трущихся тел. Исследуя равновесие сил, приложенных
к блоку, он ввел в механику понятие момента силы. Кроме того, ему принадлежат многочисленные технические изобретения, в том числе изобретение эллиптического токарного станка, а также попытки разрешения проблемы о полете человека при помощи крыльев,——проблемы, привлекавшей к себе внимание человека с самых древних времен.
Вскоре после Леонардо да Винчи один из величайших ученых Николай Коперник (1473——1543) создал гелиоцентрическую систему мира, которая сменила геоцентрическую систему Птолемея и произвела переворот в научном миросозерцании той эпохи.
«Отсюда,——по выражению Энгельса,——начинает свое летосчисление освобождение естествознания от теологии...>> (Э н г е л ь с, Диалектика природы, 1953, стр. 5). Открытие Коперника вызвало зарождение небесной механики ——науки о движении небесных тел. Иоганн Кеплер (1571—1630) на основании учения Коперника и многочисленных астрономических наблюдений установил три закона движения планет (законы Кеплера), которые в дальнейшем послужили Ньютону основой для открытия закона всемирного тяготения.
Новую эпоху в развитии механики открывают работы великого итальянского ученого Галилея (1564——1642).
Галилей в противоположность схоластическим воззрениям признавал необходимость опыта для обоснования механики и физики и последовательно проводил эту точку зрения в своих научных изысканиях, Галилей является основоположником важнейшего раздела механики ——динамики, т. е. учения о движении материальных тел. Он впервые ввел понятия скорости и ускорения движущегося тела при неравномерном прямолинейном поступательном движении и установил на основании своих опытов точные законы падения тел в пустоте, отметив тот важный факт, что в данном месте наблюдения все тела падают в пустоте с одним и тем же постоянным ускорением, не зависящим от веса падающего тела; тем самым он опроверг неверное воззрение, твердо державшееся в науке со времен Аристотеля, что из двух тел, падающих на землю, более тяжелое тело движется быстрее.
Кроме того, Галилей установил один из основных законов динамики ——закон инерции. Исходя из этого закона и из идеи сложения движений, Галилей первый дал верное решение задачи о движении в пустоте тела, брошенного под углом к горизонту (снаряда), и нашел, что траекторией центра тяжести тела в этом движении является парабола. В то время решение этой задачи имело первостепенное значение для баллистики.
Оценивая значение работ Галилея по динамике, знаменитый французский математик и механик Лагранж говорит: «Нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть закон природы в таких явлениях, которые всегда пребывали перед глазами, но объясне-
нпе которых тем не менее всегда ускользало от изысканий философов».
Продолжением работ Галилея по динамике явились исследования голландского ученого Гюйгенса, состоявшего членом французской Академии наук (1629——1695), который создал теорию физического маятника, введя при этом понятия о центре качаний и о приведенной длине физического маятника. Кроме того, Гюйгенс обобщил введенное Галилеем понятие ускорения на случай криволинейного движения точки и установил понятие центробежной силы. Ряд работ Гюйгенса относится к теории удара твердых тел.
Установление основных законов динамики, начатое Галилеем, было завершено крупнейшим английским ученым Ньютоном (1643—1727).
В своем знаменитом сочинении «Математические начала естественной философии» (1687), переведенном на русски" язык акад. А. Н. Крыловым, Ньютон установил основные законы классической механики п, исходя из этих законов, дал систематическое изложение динамики. Кроме установления общих законов динамики, Ньютону принадлежит решение многих новых математических и механических задач, создание теории движения тела в сопротивляющейся среде и, наконец, открытие закона всемирного тяготения, послужившего основой для дальнейшего блестящего развития небесной механики.
В своих естественнонаучных взглядах Ньютон стоял на метафизической точке зрения. Метафизические взгляды Ньютона выразились прежде всего в том, что при установлении основных законов механики он вводит понятия «абсолютного пространства» и «абсолютного времени», считая их независимыми от материи и ее движения. Открыв закон всемирного тяготения, Ньютон не смог дать научного решения вопроса о происхождении солнечной системы; для этого ему пришлось прибегнуть к антинаучной гипотезе «первоначального толчка», которая по существу содержит в себе антиматериалистическую идею о сотворении движения и потому, по выражению Энгельса, «предполагает также и творца» (Энгельс, Диалектика природы, 1953, стр. 47).
В то время как Ньютон разрабатывал динамику, статика получила свое дальнейшее развитие главным образом в работах его современника, французского ученого Вариньопа (1654—1722).
Варпньон установил в окончательном виде понятие момента силы относительно точки и доказал теорему о моменте равнодей- ствуютцей, носящую его имя. В своей работе «Проект новой механики» (1687) Варипьон, пользуясь этой теоремой, а также методом сложения и разложения сил, дает строгую статическую теорию простейших машин. В этой работе статика твердого тела получила почти полное завершение.
XVII век в истории механики можно охарактеризовать как период установления основ динамики.
XVIII век характеризуется разработкой общих принципов механшш п важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. При этом развитие механики идет по пути создания и разработки аналитических методов, чему способствовало развитие новых мощных методов анализа бесконечно малых, основы которого были заложены Ньютоном и Лейбницем. Наиболее крупными учеными-механиками XVIII в. являются Иван Бернулли, Эйлер, Даниил Бернулли, Даламбер и Лагранж.
Иван Бернулли (1667——1748) впервые сформулировал в обп^ем виде один из основных принципов механики ——принцип возможных перемещении, выражающий необходимое н достаточное условие равновесия механической системы, идея которого в применении к простейшим машинам была известна уже Галилею. Кроме того, И. Бернулли исследовал явление удара твердых тел. В этих работах И. Бернулли, так же как и в работах Гюйгенса и других ученых по теории удара, получили развитие весьма важные для механики идеи о сохранении количества движения и живой силы (кинетической энергии).
Сын Ивана Бернулли Даниил Бернулли (1700——1782), состоявший членом Петербургской академии наук, в 1738 г. издал свою фундаментальную работу «Гидродинамика», в которой он выводит уравнение, носящее его имя и являющееся и до настоящего времени одним из основных уравнений гидромеханики.
В 1743 г. один из выдающихся французских ученых XVIII в. Даламбер (1717——1785) в своей работе «Трактат по динамике» установил важнейший принцип механики, носящий его имя, который дает общий метод решения задач динамики несвободной механической системы.
До этой работы Даламбера такого общего метода решения этих задач не существовало. Принцип Даламбера позволяет в динамических задачах применять методы статики.
Развитие аналитического направления в механике получило наиболее яркое выражение в работах знаменитого французского математика и механика Лагранжа (1736—1813). В его сочинении «Аналитическая механика» (1788) вся механика изложена строго аналитически на основе единого общего принципа ―■ принципа возможных перемещений (указанного Иваном Бернулли еще в 1717 г.). Лагранжу принадлежат дальнейшее развитие и математическая разработка методов применения этого принципа к решению задач механики. При этом Лагранж не ограничился применением этого принципа только в статике; объединив прппцпп возможных перемещений с принципом Даламбера, он получил в общем виде дифференциальные уравнения движения
механической системы, носящие его имя. Эти уравнения Лагранж применил, в частности, к решению весьма важной задачи о малых колебаниях механической системы.
Для XIX века характерно быстрое развитие техники, внедрение в промышленность паровых машин, строительство железных дорог, развитие военной промышленности. Все это выдвигало перед наукой новые проблемы и содействовало успешному развитию механики. Потребности новой машинной техники вызвали появление как самостоятельной дисциплины технической или прикладной механики. Это техническое направление в развитии механики получило свое начало во Франции. В эпоху французской буржуазной революции 1789——1794 гг., открывшей широкие пути для подъема производительных сил, в Париже были учреждены Высшая политехническая школа и Высшая нормальная школа, имевшие целью подготовку как инженеров, так и преподавателей для технических учебных заведений. Основное значение в создании и дальнейшем развитии технической механики имели работы французских ученых Понселе (1788—1867), Кориолиса (1792—1843), Резаля (1828—1896) и других; в этих работах были заложены основы динамики машин, причем исходным пунктом в этих исследованиях является энергетический принцип. Применяя этот принцип, Понселе впервые (в 1829 г.) сформулировал понятие механической работы.
Развитие техники предъявляло к теоретической механике требование создания более простых и наглядных методов решения различного рода технических задач, так как аналитические методы нередко оказывались весьма сложными и мало пригодными в инженерной практике. Этим объясняется успешное развитие в XIX в., главным образом в Германии, графостатики, основные положения которой и их применение к решению статических задач были указаны еще Вариньоном, а также дальнейшее развитие геометрических методов в механике. Из работ этого направления прежде всего нужно отметить работу французского ученого Пуансо (1777—1859) «Элементы статики» (1804), которая явилась основанием современной геометрической статики твердого тела. В этой работе Пуансо устанавливает понятие пары сил, разрабатывает теорию пар и затем применяет эту теорию к решению в общем случае задачи о приведении к простейшему виду системы сил, приложенных к твердому телу, и к выводу условий равновесия твердого тела.
Пуансо применял геометрические методы исследования также в кинематике и в динамике твердого тела, где он дал весьма простую и наглядную геометрическую интерпретацию движения твердого тела.
В XIX в. продолжает развиваться и аналитическая механика, ведущая свое начало от Лагранжа. Это развитие идет преимущо-
ственно по двум направлениям: 1) установление так называемых вариационных принципов механики и 2) усовершенствование и разработка новых методов интегрирования дифференциальных уравнений; движения механической системы.
Сушность вариационных принципов механики состоит в том, что некоторая определенная функция координат механической системы и их производных по времени для действительного движения системы имеет наименьшее значение по сравнению со всеми другими движениями, кинематически возможными для данной системы. К этим принципам относятся:
«принцип наименьшего действия», идея которого была впервые высказана без доказательства французским философом Мопер- тюи (1698——1759)； дальнейшее развитие этого принципа, его точная формулировка и математическое доказательство принадлежат Лагранжу и английскому математику Гамильтону (1805——1863);
«принцип наименьшего принуждения», установленный великим немецким математиком Гауссом (1777——1855);
«принцип прямейшего пути» знаменитого немецкого физика Герца (1857——1894), представляющий собой обобщение закона инерции Галилея —— Ньютона.
Каждый из этих принципов может быть математически выведен при помощи дифферснциальных уравнений движения механической системы, и наоборот, уравнения движения системы выводятся как следствие из каждого вариационного принципа.
Разработку новых методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики мы находим главным образом в трудах Гамильтона, французского ученого Пуассона (1781—1840) и выдающегося немецкого математика Якоби (1804—1851). В связи с прогрессом машхшостроенпя, железнодорожной и строительной техники, с необходимостью исследования движения тел в сопротивляющейся среде в XIX в. и в особенности в текущем столетии весьма быстро и успешно развивается механика сплошной среды —— гидро- и аэромеханика и теория упругости. Развитие этих разделов теоретической механики, представляющих собой в настоящее время обширные самостоятельные дисциплины, связано с именами таких крупнейших ученых, как Пуассон, Ляме, Навье, Коши, Сен-Венан (во Франции), Гельмгольц, Кирхгоф, Клебш, Мор, Прандтль (в Германии), Стокс, Грин, Томсон, Рэлей (в Англии) и многих других.
Большой вклад в развитие теоретической механики внесли паши отечественные ученые, среди которых мы имеем немало знаменитых имен. Поэтому необходимо отдельно остаиовитьсл на развитии этой науки в нашей стране.
В 1725 г. по указу Петра I, который придавал развитию наук в России и в особенности техническому образованию государственное значение, открывается в Петербурге Российская академия наук*
Нервам русским академиком был гениальный М. В. Ломоносов (1711——1765) —— основатель Московского университета. По выражению нашего великого поэта А. С. Пушкина, Ломоносов был сам «русским университетом». В своей исключительно широкой и разносторонней научной деятельности Ломоносов занимался физикой и химией, русской историей и литературой, горным делом и металлургией, геологией и географией. Научная деятельность н методологические взгляды Ломоносова имели огромное влияние на развитие всей русской науки и, в частности, на развитие механики.
По своему мировоззрению Ломоносов являлся убежденным материалистом. Он требовал исследования природы не только математическими методами, но и путем постановки точных опытов, неразрывно связывая при этом теорию с опытом, «Из наблюдений установить теорию, через теорию направлять наблюдения есть лучший всех способ изыскания правды», пишет Ломоносов. Он считал, что все в природе находится в состоянии непрерывного изменения, что материя и ее движение не могут ни исчезнуть, ни возникнуть из ничего.
Исходя из этих взглядов, Ломоносов впервые экспериментально установил закон сохранения вещества и высказал идею о законе сохранения движения.
В одной из своих работ он говорит: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимается, столько присовокупляется к другому. Так, если где убудет несколько материи, то умножится в другом месте... Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своей силой другое, столько же оные у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение получает».
Для Ломоносова основной целью всех его научных изысканий являются благо и польза отечеству. Как великий и горячий патриот, он упорно и настойчиво боролся за развитие русской отечественной науки, боролся с сильным в то время немецким влиянием в Петербургской академии наук.
Одновременно с М. В. Ломоносовым членом Петербургской академии наук в течение 35 лет состоял величайший математик п механик Леонард Эйлер (1707—1783), который был приглашен в Россию вместе с Д. Бернулли. В то время как Ньютон в своих «Началах» пользовался почти исключительно геометрическим методом, Эйлер создал аналитические методы решения задач механики.
В своей работе «Механика» (1736) он развивает, применяя аналитический метод, полную теорию свободного и несвободного движения материальной точки и впервые дает уравнения движения материальной точки в так называемой естественной форме.
Работа Эйлера «Теория движения твердых тел» (1765) отно- стен к динамике твердого тела. Здесь он дает в общем виде
дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела, носящие его имя. В своих многочисленных работах, замечательных по мастерству изложения, по новизне идей и методов, Эйлер, помимо чисто математических исследований, занимался также и различными техническими задачами, связанными глав^ ньш образом с потребностями мореплавания и баллистики. Сюда относятся его работы по астрономии, по теории морских приливов, теории движения снаряда, по гидромеханике и многие другие; в гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Творческий талант Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны; достаточно сказать, что им написано 865 научных сочинений.
М. В. Ломоносов высоко ценил труды Л. Эйлера и свою основную пдею о всеобщем законе сохранения вещества и движения впервые высказал в письме к Л. Эйлеру.
Характерное для XIX в. быстрое развитие техники, внедрение в промышленность паровых машин, строительство железных дорог, развитие военной промышленности содействует успешному развитию механики и в России и кладет отпечаток на содержание работ русских ученых.
Выдающимся русским математиком и механиком XIX в. я в- ляется М. В. Остроградский (1801—1862)——крупнейший представитель аналитического направления в механике и родоначальник русской школы аналитиков-механиков. Его главнейшие работы относятся к аналитической механике и ее основным принципам. Так, принцип возможных перемещений Остроградский обобщил на случай так называемых неудерживающих связей, т. е. связей, выражающихся математически неравенствами, и впервые применил этот принцип в общей теории удара.
М. В. Остроградский независимо от Гамильтона и в более общей форме установил один из основных принципов механики — принцип наименьшею действия. Ряд важных исследований Остро- I радского относится к гидромеханике, теории упругости и баллистике. Помимо обширнойиразностороннейнаучнойдеятельности, Остроградский вел также большую педагогическую работу, читая своп блестящие лекции во многих высших учебных заведениях. О и поднял преподавание механики и математики в России на высокий по тому времени уровень. Н. Е. Жуковский по достоинству оценил научные заслуги Остроградского, сказав в своей речи, посвященной его памяти: «Россия может гордиться именем Остроградского г и Москва, сердце России, хранит в стенах своего университета его высокие научные заветы».
Другим выдающимся русским математиком и механиком XIX в. является П.Л. Чебышев (1821 —1894), работы которого оказали огромное влияние на развитие математики и механики
как в России, так и за границей. Его труды по математике создали новые направления в теории функций, теории чисел и в теории вероятностей. В области механики Чебышев является основоположником русской школы теории механизмов и машин.
Придавая огромное значение сближению теории с практикой н роли математики и теоретической механики в развитии техники, Чебышев писал: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика явно обнаруживает неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике». Этот взгляд на связь теории с практикой являлся для Чебышева руководящим во всей его научной деятельности. Применяя в теории механизмов новые созданные им методы математического исследования, Чебышев разработал теоретически и построил свыше 40 новых механизмов; в том числе он дал новую теорию и новые конструкции механизмов, преобразующих вращательное движение в прямолинейно-поступательное, а также механизмов с остановками, которые находят широкое применение в современной автоматике.
Одним из наиболее талантливых учеников П. Л. Чебышева является гениальный русский математик А. М. Ляпунов (1857 —— 1918).
Почти все работы А. М. Ляпунова относятся к двум труднеп- пшм задачам механики: 1) к задаче об отыскании тех форм, какие может принимать однородная жидкость, равномерно вращающаяся вокруг некоторой постоянной оси, если частицы этой жидкости притягиваются по закону Ньютона, и 2) к задаче об устойчивости движения механических систем.
Первая из этих задач, поставленная еще Ньютоном, имеет весьма важное значение в астрономии, так как с решением задачи об устойчивых формах вращающейся жидкости связаны вопросы о форме звезд и планет, о происхождении солнечной системы. Мысль заняться этой проблемой была дана Ляпунову его учите- пем П. Л. Чебышевым. Вторая задача, т. е. задача об устойчивости движения механической системы, играет первостепенную Р°ль в современной технике, например, при расчете самолета на устойчивость во время полета.
Результаты, полученные А. М. Ляпуновым в его удивительных по глубине, остроумию и силе математического таланта, исследованиях, далеко продвинули решение этих труднейших и важнейших проблем механики. Идеи Ляпунова, создавшего новое направление и новые методы исследования в теории устойчивости движения, успешно разрабатываются в настоящее время многими советскими и зарубежными учеными.
Помимо проблемы устойчивости движения, одной из классических задач теоретической механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, т. е. тела, закрепленного при помощи сферического шарнира. Этой задачей занимались самые выдающиеся ученые-механики: Эйлер, Лагранж, Пуансо. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простей- июм случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо для этого же случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки дал наглядную геометрическую картину этого движения. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет ось динамической симметрииг проходящую через неподвижную точку. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки имеет первостепенное значение для теории гироскопов, которая находит широкое применение в различных областях современной техники. После Эйлера и Лагранжа многие ученые безуспешно пытались найти новые случаи решения этой задачи. В 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию в этом конкурсе получила первая русская женщина-математик Софья Васильевна Ковалевская (1850——1891). В своей работе «Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки» она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С. В. Ковалевской мировую известность и, по выражению Н. Е. Жуковского, «немало способствовала прославлению русского имени».
После Ковалевской задачей о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимались многие русские ученые: Н. Е. Жуковский, Д. Н. Горячев, С. А. Чаплыгин, В. А. Стеклов и др., которые получили в своих исследованиях много новых и интересных результатов.
В настоящее время в работах советских и зарубежных ученых эта область динамики твердого тела разрабатывается в направлении развития теории гироскопов и ее технических применений.
В конце XIX в. в России получил свое начало новый раздел теоретической механики —— механика тела переменной массы. Профессор Ленинградского университета и Ленинградского политехнического института, автор известного сборника задач по теорети-
ческой механике И. В. Мещерский (1859——1935) в своей диссертации «Динамика точки переменной массы» (1897) впервые поставил в общем виде задачу о движении материальной точки, масса которой изменяется с течением времени, и вывел основное дифференциальное уравнение движения такой точки. Кроме того, в этой работе он рассмотрел решение ряда частных задач о движении тела переменной массы.
Работы И. В. Мещерского по механике тел переменной массы, относящиеся к концу XIX и началу XX в., являются ярким примером того, как труды ученых иногда намного опережают техническую мысль своего времени; исследования Мещерского нашли широкое применение только в технике нашего времени, много лет спустя после их опубликования. В настоящее время механика тела переменной массы является основой теории реактивных двигателей и динамики ракет.
Великий русский ученый Николай Егорович Жуковский (1847—1921), профессор Московского университета и Московского высшего технического училища, является основоположником современной теоретической п экспериментальной аэродинамики. Ему принадлежит огромное число работ, имеющих первостепенное значение во всех областях теоретической механики и главным образом в области аэро- и гидромеханики. Из его работ по гидромеханике наиболее крупными являются следующие:
«Кинематика жидкого тела» (1876).
Эта работа посвящена изучению распределения скоростей и ускорений в движущейся жидкости.
«О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью» (1885). За эту работу, имеющую весьма важное значение не только в теоретической механике, по и в астрономии, II. Е. Жуковский получил от Московского университета премию имени проф. Братвмана (основателя Московского математического общества).
«Видоизменение метода Кирхгофа» (1890). В этой работе П. Е. Жуковский дал новый метод исследования струйного течения капельной жидкости и применил этот метод к решению многих новых задач.
По поводу этих трех работ сам Н. Е. Жуковский в связи с сорокалетием своей научной деятельности в 1911 г. писал: «Мои главные работы по гидромеханике представляют три статьп: „Нипематика жидкого телаи, „Движение твердого тела с полостями, наполненными жидкостьюtl и „ Видоизменение метода Кирх- гдфа*. Во всех своих работах я стремился нарисовать картину движения —— дать его отчетливый геометрический образ».
Геометрическому методу в механике Н, Е. Жуковский придавал Очень большое значение пе только в научных исследованиях, но m в преподавании теоретической механики.В статье «О значении
геометрического истолкования в теоретической механике» он говорит:
«Если могут быть споры о самостоятельной роли геометрии при решении недоступных до сих пор задач динамики, то ее высокое значение в преподавании механики не подлежит сомнению. Ум изучающих весьма склонен к формальному пониманию. Я из своего педагогического опыта знаю, как часто запоминаются формулы без понимания стоящих за ними образов. В этом отношении геометрическое толкование, предпочтение геометрического доказательства аналитическому всегда приносит пользу. Если формулы п подстановки некоторыми из изучающих легко запоминаются, то так же скоро они исчезают бесследно из памяти; но раз усвоенные геометрические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго западают в голову и живут в воображении изучающего».
Весьма важное практическое значение имела работа Н. Е. Жуковского «О гидравлическом ударе», которая была написана мм в результате экспериментальных исследований гидравлического удара в трубах московского водопровода.
В этой работе Н. Е, Жуковский дал строгое математическое исследование явления гидравлического удара, возникающего при быстром закрытии задвижки в водопроводной трубе, н вывел формулу для ударного давления, учитывающую как упругие свойства воды и стеиок трубы, так и скорость движения воды в трубе. Эта работа, переведенная на многие иностранные языки, доставила Жуковскому мировую известность. Но все же наиболее важные его открытия относятся к области аэродинамики. Его глубокие идеи в этой области являются до сих пор руководящими. Знаменитая теорема Жуковского о подъемной силе служит основой современной теории крыла самолета.
Н. Е. Жуковский является также автором вихревой теории гребного винта, на основании которой проектируются и строятся пропеллеры большей части современных самолетов.
Работы Жуковского дали возможность при конструировании новых типов самолетов применять строгий математический расчет. Н. Е. Жуковский был не только выдающимся теоретиком, по и создателем экспериментальной аэродинамики. Он является основателем крупнейшего научно-исследовательского института ЦАГИ (Центральный аэрогидродинамический институт). Советское правительство высоко оценило труды Н. Е. Жуковского: в постановлении, принятом Советом Народных Комиссаров в ознаменование пятидесятилетия научной деятельности Н. Е. Жуковского и подписанном В. И. Лениным 3 декабря 1920 г., были отмечены огромные заслуги Н. Е. Жуковского как «отца русской авиации». Жуковский создал многочисленную и блестящую школу русских гидро- и аэромехаппков. Одним из крупнейших представителей
этой школы является Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869— 1942).
Главные работы С. А. Чаплыгина относятся к динамике твердого тела и к гидро- и аэродинамике. По динамике твердого тела им написан ряд работ, относящихся к задаче о катании твердого тела по шероховатой плоскости, а также к задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, которой, как указывалось выше, зашшалнсв после С. В. Ковалевской многие русские ученые.
Первой работой С. А. Чаплыгина по гидродинамике является его исследование «О движении твердого тела в жидкости» (1893). Эта работа получила высокую оценку Н. Е. Жуковского, который особенно отметил найденную Чаплыгиным наглядную геометрическую интерпретацию движения твердого тела в жидкости.
Целый ряд важнейших работ Чаплыгина относится к теории самолета («О давлении плоскопараллельного потока па преграждающие тела», «К общей теории крыла моноплана», «Теория решетчатого крыла», «О влиянии плоскопараллельного потока воздуха и а движущееся в нем цилиндрическое крыло» и др.).
В этих работах С. А. Чаплыгин дает общие формулы для определения сил давления воздуха на крыло самолета, применяя эти общие формулы к определению подъемной силы различного вида крыльев; устанавливает основы теории составного крыла самолета, выясняя при этом преимущества таких составных крыльев; исследует вопрос об устойчивости самолета. В последней из указанных работ, опубликованной в 1926 г., С. А. Чаплыгин впервые создает общий метод для нахождения сил даеления воздуха на крыло самолета при каком угодно его движении. Во всех прежних исследованиях по теории крыла предполагалось, что крыло движется поступательно с постоянной скоростью, что, понятно, далеко не всегда соответствует действительности, как, например, в том случае, когда самолет делает мертвую петлю. В этой работе С. А. Чаплыгин заложил основы нового важного раздела аэродинамики и теории самолета. Необходимо особо отметить докторскую диссертацию С. А. Чаплыгина «О газовых струях» (1903), в которой он дал метод решения задач, относящихся к струйному течению газа, учитывая влияние сжимаемости газа на силу его давления на обтекаемое тело. Эта работа, получившая достойную оценку и всеобщее признание только через 30 лет после ее опубликования, имеет выдающееся значение для современной скоростной авиации, так как при тех больших скоростях, которых достигают современные самолеты, необходимо учитывать сжимаемость воздуха.
Вместе со своим учителем Н. Е. Жуковским С. А. Чаплыгин сыграл выдающуюся роль в развитии русской авиации не только своими теоретическими исследованиями, но и своей организатор- с^ой и руководящей работой в ЦАГИ.
Идеи Жуковского и Чаплыгина, оказавшие огромное влияние на развитие гидро- и аэромеханики не только в нашей стране, но и во всем мирет успешно разрабатываются в настоящее время в трудах многих советских и зарубежных ученых.
Конечно, в кратком введении к курсу механики не представляется возможным сколько-нибудь подробно осветить развитие механики н в дореволюционной России и в особенности в Советском Союзе. Мы здесь упомянули только о некоторых наиболее выдающихся представителях русской науки в области механики, научные труды которых признаны теперь классическими.
В теоретической механике обычно различают три основных раздела: статику, кинематику и динамику.
Статика есть учение о равновесии материальных тел. Кинематика занимается изучением движения материальных тел, причем это движение изучается только с геометрической сюроны, независимо от сил, действующих на движущиеся тела.
Предметом динамики является изучение движения материальных тел в связи с действующими и а них силами.
Первые две части настоящего «Курса теоретической механикш> (статика и кинематика) посвящены механике абсолютно твердого тела; в третьей части (в динамике) мы будем изучать как движение отдельной материальной точки, так ij движение системы материальных точек и, в частности, движение абсолютно твердого тела.
СТАТИКА
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
Абсолютно твердое тело. Материальная точка.Система отсчета
Первая часть настоящего курса теоретической механики —— статика твердого тела ——представляет собой учение о равновесии сил, приложенных к твердому телу. В статике рассматриваются следующие две основные задачи: 1) замена данной системы сил, приложенных к твердому телу, другой системой сил, ей эквивалентной, и 2) вывод общих условий, при которых твердое тело под действием приложенных к нему сил остается в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного поступательного движения (т. е. вывод условий равновесия сил, приложенных к твердому телу).
Поэтому основными понятиями, с которыми прежде всего приходится встречаться при изучении статики, являются понятие твердого тела и понятие силы.
Необходимо заметить, что в статике твердое тело рассматрп- вается как абсолютно твердое. Абсолютно твердым называется такое тело, расстояния между каждыми двумя точками которого остаются всегда неизменными; другими словами, абсолютно твердое тело всегда сохраняет неизагенпой свою геометрическую форму (не деформируется). В действительности, как известно из опыта, пе существует абсолютно твердых тел. Во всяком твердом теле мы всегда наблюдаем при соответствующих условиях те или иные деформации. Например, стальная балка, лежащая на двух опорах, испытывает деформацию изгиба под действием положенного на нее груза; если возьмем металлический стержень и прикрепим его вертикально одним концом к потолку, а к другому его концу подвесим некоторый груз, то длина стержня при этом несколько увеличится; в данном случае будем иметь деформацию растяжения.
Однако в дальнейшем изложении мы будем все-таки считать тела абсолютно твердыми. Это объясняется следующими соображениями: 1) если деформации, происходящие в твердом теле,
невелики, как это на самом деле часто и бывает, то в первом приближении ими можно пренебречь; 2) считая расслгатриваемые тела абсолютно твердыми, мы тем самым значительно упрощаем исследование действия сил на тело и условий, при которых силы находятся в равновесии. Только изучив статику абсолютно твердого тела, можно затем перейти (в курсе сопротивления материалов) к рассмотрению более сложной задачи о равновесии деформируемого тела.
Однако, если это упрощение оказывается достаточным для успешного изучения статики твердого тела, то в динамике исследование движения даже такой упрощенной модели, как абсолютно твердое тело, представляет собой далеко не простую задачу. Как хорошо известно из повседневных наблюдений, движения отдельных точек твердого тела в общем случае неодинаковы (отдельные точки тела, например точки вагонного колеса, катящегося по рельсу, движутся по различным траекториям с различными скоростями). Поэтому изучение динамики приходится начинать с изучения движения еще более простого объекта ——так называемой материальной точки.
Под материальной точкой в теоретической механике понимают такое тело, размеры которого по всем направлениям весьма малы, так что различием в движении отдельных точек этого тела можно пренебречь.
В теоретической механике иногда и тела конечных размеров рассматривают как материальные точки; это делают в тех случаях, когда в условиях данной задачи размеры тела не играют существенной роли и потому ими можно пренебречь. Например, в задаче о движении планет вокруг Солнца планеты рассматриваются как материальные точки ввиду того, что их размеры весьма малы сравнительно с их расстояниями от Солнца.
Если твердое тело конечных размеров имеет поступательное движение, то все его точки движутся одинаково (они описывают одинаковые траектории и имеют численно равные и одинаково направленные скорости)； примером такого поступательного движения твердого тела может служить прялюлиней юе движение кузова железнодорожного вагона. Чтобы определить в этом случае движение твердого тела, достаточно, как увидим в динамике, найти движение одной его точки ——центра тяжести тела, предполагая при этом, что вся масса тела сконцентрирована в этой точке. Поэтому в динамике в случае пост5гпателыюго движения твердого тела мы можем рассматривать это тело как материальную точку, совпадающую с его центром тяжести и имеющую массу, равную массе этого тела.
Если данные материальные точки так или иначе связаны между собой, так что каждая из этих точек не может двигаться независимо от остальных, то такие точки образуют, как говорят, меха-
ническую систему материальных точек, или, короче, просто систему. Если при движении данной системы расстояния между ее точками остаются постоянными, то такая система материальных точек называется неизменяемой системой.
Всякое механическое движение материальной точки или материального тела конечных размеров мы можем наблюдать и изучать только по отношению к какому-нибудь другому физическому телу, например по отношению к Земле. При этом положение наблюдаемого движущегося объекта относительно этого другого физического тела определяется в механике при помощи некоторой выбранной системы координат (большей частью системы декартовых прямоугольных координат), неизменно связанной с этим физическим телом (например, с Землей). Система координат, неизменно связанная с каким-нибудь физическим телом, относительно которого определяется положение данного движущегося объекта, называется в механике системой отсчета.
Система отсчета, по отношению к которой являются справедливыми основные законы классической механики, т. е. основные законы движения, установленные в точном и окончательном виде Галилеем и Ньютоном, называется инерциальной пли галилеевой системой обсчета. Понятно, что в классической механике при изучении движения материальных тел мы должны пользоваться инерциальной системой отсчета. Вопрос о том, возможно ли и каким образом применять законы классической механики к изучению движения, отнесенного к неииерциалыюй системе отсчета, будет выяснен в динамике. Опыт и наблюдения показывают, что при изучении механического движения в очень многих случаях и почти во всех случаях технической практики систему отсчета, связанную с Землей, можно с большой степенью точности считать пнерциалыюй системой.
Поэтому в статике мы всегда будем пользоваться систелюй отсчета, неизменно связанной с Землей.
В связи с этим следует подчеркнуть, что когда в статике мы говорим, что данное тело находится в равновесии, т. е. что под действием приложенных к нему сил тело остается в покое или движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то здесь имеется в виду покой или движение тела по отношению к выбранной нами инерциальной системе отсчета, т. е. по отношению к Земле.
Понятие силы
Понятие силы является одним из основных понятий механики. Хотя это понятие каждому из нас хорошо знакомо из повседнев^ ного опыта и наблюдений, но к установлению понятия силы в его общем виде наука пришла далеко не сразу. В течение долгого времени не понимали, что сила, вызывающая ускоренное падение
2 И. М・ Воронков
какого-нибудь тела на Землю, есть та же сила тяготения к Земле, которая удер/кивает Луну на ее орбите при движении вокруг Земли. .
Первоначально понятие силы возникло из ощущения человеком своих мускульных напряжений, когда он приводит в движение какое-нибудь тело, например поднимает груз или бросает камень. Постепенно это понятие было распространено на обширную область различных механических и физических явлений и из субъективного представления превратилось в научное понятие, отражающее объективное существование механического взаимодействия материальных тел.
«Взаимодействие, — говорит Энгельс, —— вот первое, что выступает перед нами, когда мы рассматриваем движущуюся материю в целом с точки зрения теперешнего естествознания» (Энгельс, Диалектика природы, 1949, стр. 183).
В природе мы наблюдаем различные формы взаимодействия материальных тел, но в механике рассматриваются только механические взаимодействия, т. е. такие взаимодействия, в результате которых происходит изменение скоростей взаимодействующих тел.
Мы постоянно наблюдаем, что окружающие нас тела изменяют свое кинематическое состояние, т. е. видим, что изменяется не только положение данного тела в пространстве, но и его скорость. Так, например, тело, сначала находившееся в покое, в некоторый момент приходит в движение; скорость тела при падении на Землю возрастает; при торможении вагона его скорость уменьшается и обращается в нуль при остановке вагона; при этом скорость движущегося тела часто изменяется не только по величине, но и по направлению. Где же причины этих изменений скорости тела?
Эти изменения обусловлены механическим взаимодействием материальных тел.
Взаимодействия материальных тел, в результате которых про исходит изменение кинематического состояния этих тел, называются в механике силами. Например, взаимодействие между Солнцем it планетами называется силой всемирного тяготения; взаимодействие Земли и всякого тепа, в результате которого движение падающего на Землю тела ускоряется, мы называем силой тяжести; когда пар, расширяясь, приводит в движение поршень паровой машины, мы говорим, что на поршень действует сила давления пара, и т. д.
Если имеем вообще два взаимодействующих материальных тела (или две взаимодействующие материальные точки) А и В, то в результате этого взаимодействия скорости обоих тел будут изменяться. Наблюдая изменение скорости тела N, мы говорим, что и а него действует с некоторой силой тело А; эта сила, таким образом, имеет источником тело Л и объектом своего действия
тело В. Наоборот, наблюдая изменение скорости тела Л, мы говорим о силе, с которой на тело А действует тело В; следовательно, эта сила имеет источником тело 5 и приложена к телу А.
Энгельс, анализируя понятие силы, подчеркивает, что в природе не существует силы как особого фактора, находящегося вне материи и не связанного с движением материи. Он указывает, что к понятию силы мы приходим при наблюдении изменения скоростей взаимодействующих материальных тел, при «переносе движения с одного тела на другое», т. е. при передаче движения от одного тела к другому, например при передаче движения от паровоза к вагону или при ударе двух тел.
Зная изменение скорости данного тела, мы можем определить действующую на него силу. Поэтому сила является величиной, характеризующей механическое взаимодействие материальных тел. Понятие силы в механике оказывается весьма плодотворным именно потому, что это понятие не только выражает механическое взаимодействие тел, но и дает меру этого взаимодействия.
Важно заметить, что механическое взаимодействие материальных тел может проявляться не только в изменении скоростей этих тел, но также и в их деформации, т. е. в изменении их внутреннего состояния, в изменении молекулярного движения частиц этих тел, как в случае, например, взаимного давления двух тел, находящихся в покое. В этом случае мы имеем, как говорят, статическое проявление силы.
Как было указано выше, в природе мы встречаемся с различными силами: силой тяжести, силой давления пара, силой притяжения или отталкивания наэлектризованных тел и т. д. В теоретической механике физическая природа силы не играет роли, так как здесь нас интересует только тот эффект, который производят па данное твердое тело или на материальную точку действующие на них силы независимо от физической сущности этих сил.
Как известно из опыта, действие силы на данное абсолютно твердое тело, т. е. вызываемое ею изменение кинематического состояния этого тела, вполне определяется следующими тремя факторами: 1) точкой приложения силы, 2) направлением силы и 3) численным значением силы.
Точкой приложения силы называется та материальная частица данного тела, на которую эта сила действует (которой непосредственно передается движение от другого тела). Под направлением данной силы понимают направление того перемещения, которое получает под действием этой силы материальная точка, вначале находившаяся в покое. Прямая, по которой направлена Данная сила, называется линией действия этой силы; так, например, сила тяжести направлена по вертикали вниз.
Найти численное значение данной силы ——это значит сравНить ее с некоторой силой, принятой за единицу. За единицу силы
в технической системе единиц принимается килограмм, и численное значение каждой силы выражается, следовательно, в килограммах. При статическом способе измерения сил применяют специальные приборы, называемые динамометрами (силомерами). Примером простейшего из них могут служить обыкновенные пружинные весы, принцип действия которых основан на деформации (сжатии или растяжений) пружины, принимая во внимание, 4что при действии равных сил пружина полу-
林/чает равные удлинения или сжатия 】).
На рис. 1 изображен один из таких динамо/ ，метров. Точка Л динамометра закрепляется не-
Nподвижно; если к крючку В приложить силу,
// Zчисленное значение которой нужно найти? то это
\\.^ численное значение определяется по положению
1Г К ^f\ на циферблате )《онца стрелки, соединенной сиП «^ J стемой рычагов с пружиной CD. При этом, коп )Г ^F нечно, шкала циферблата должна быть предва- 、//рительно проградуирована путем подвешивания
\ “к крючку В грузов в 1, 2, 3 и т. д. килограммов.
\В механике, так же как в физике и в других
^Ц〃науках, различают два рода величин： векторные
耨и скалярные; если при определении данной ве-
g夕личины приходится принимать во внимание не
рис ] только ее численное значение, но также и ее направление, то такая величина называется векторной*, если же в характеристике данной величины направление не играет никакой роли, то эта величина называется скалярной. Примерами скалярных величин могут служить объем тела, температура. Численное значение векторной величины называется также ее модулем. Векторные величины графически изображаются в виде отрезков, имеющих определенную длину и определенное направление, т. е, в виде векторов. Направление вектора указывается стрелкой, стоящей на его конце. Два вектора считаются равными, если они имеют равные модули и одинаковое направление (т. е. параллельны и направлены в одну сторону).
Сила представляет собой векторную величину, так как эффект действия силы на тело определяется не только ее численным значением, но также и ее направлением. Поэтому графически силы изображаются в виде векторов. При этом длина вектора выражает в произвольно выбранном масштабе численное значение (модуль) данной силы, прямая, на которой расположен вектор, п его направление указывают линию действия и направление силы, а начало вектора определяет точку приложения силы.
В Другой, динамический, способ определения численного значения и направления силы будет указан в динамике.
Мы будем обозначать вектор одной жирной буквой или двумя светлыми буквами (обозначающими начало и конец вектора) с черточкой наверху. Модуль вектора мы будем обозначать той н、с светлой буквой или 1еми же двумя буквами, но без черточки наверху. Например, модуль вектора Р равен Р пли дю дуль вектора АВ равен АВ.
Аксиомы статики
Совокупность сил, приложенных к данному твердому телу, называется системой сил.
Если под действием данной системы сил твердое тело остается в покое (по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета) пли движется поступательно, равномерно и прямолинейно, т. е. так, что все его точки движутся по прямым линиям с одинаковой постоянной скоростью, то такое состояние тела называется состоянием равновесия, а приложенная к нему система сил называется уравновешивающейся системой. Поскольку такая система сил не вызывает изменения скорости тела, то можно сказать, что у рае новешивающе й ся системой сил называется татя система f которая, будучи приложена к абсолютно твердому телуf находящемуся 6 состоянии равновесия, ме нарушает этого состояния ира услобии, что все до этого действовавшие ма тело силы остаются без изменения. Если к данному телу приложена уравновешивающаяся система сил, то говорят также, что эти силы находятся в равновесии, или взаимно уравновешиваются. Одна из сил уравновешивающейся системы называется уравновешивающей по отношению ко всем остальным.
Если одну систему сил, приложенных к данному твердому телу, можно заменить другой системой, не нарушая при зтсш его покоя (если под действием первой системы тело находится в покое) или не изменяя его движения (которое оно получает под действием первой системы сил), то такие две системы сил называются эквивалентными. Из этого определения следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.
Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. В основе учения о равновесии абсолютно твердых тел лежат некоторые простые положения, которые являются постулатами или акспо- мами статики. Эти аксиомы выражают те основные факты, которые дают нам опыт и наблюдения при изучении действия сил на абсолютно твердое тело.
Аксиома I. Для равновесия двух с〃〃, приложенных к абсолютно твердому тену, необходимо и достаточноt чтобы зт儿 силы были равны по модулю w направлены по прямой^ соединяющей шочки их приложения, в противоположные стороны.
Аксиома П. Не изменяя действия данной системы сил на абсолютно твердое тело, можно прибавить к этой системе или отнять от нее две уравновешивающиеся силы, т. е. две силы^ равные по модулю 北 направленные по одной прямой 6 противоположные стороны.
Смысл этой аксиомы заключается в следующем:
Пусть на тело действует данная система сил 居, 居,..., 居厂 Если приложим к этому телу еще две уравновешивающиеся силы F и 尸',то полученная после этого система 孔十 2 сил будет эквивалентна данной системе п сил, т. е.（忆尸'，居，居，…，耳）三 三（尸и 尸2,尸也）'гДе знак = обозначает эквивалентность сил.
Точно так же, если в данной системе сил 尸「F?、、.., F气 имеются две 5травновешивающиеся силы, например силы Fx и F2, то данная система сил будет эквивалентна той же системе за исключением этих двух уравновешивающихся сил, т. е.
（尸 1,居，居，. • .，居I）三（尸3,居，. • •，尸）
Этой аксиомой часто пользуются при выводе многих теорем статики.
Следствие 1. Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое "?е儿。,точку приложения этой силы можно переносить по ее линии действия.
Доказательство. Пусть на тело действует сила F （рис. 2）. Возьмем на линии действия этой силы какую-нибудь ^ точку В и приложим в ней две силы 6\ Fx и 居，направленные по прямой АВ -_>.^"--尸 в противоположные стороны, причем
£ уF± ~ F2 ^= F.' Так как силы 居 и 居，
7так же как и силы 尸 и / уравнове- Рпс 2.шиваются （аксиома 1）? то па основа
нии аксиомы II заключаем, что система трех сил 尸］,務 к 尸 эквивалентна^ с одной стороны, силе F и, с другой стороны, силе 尸卜 т. е.
（尸，居，居）三尸и （居居，网）三居，
откуда следует, что F = F1} т. e. сила F эквивалентна силе 居, что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что, поскольку точку приложения силы можно переносить по линии действия этой силе, вектор, изображающий данную силу, приложенную к абсолютно твердому телу, есть еектор скользящий. Этим свойством силы постоянно пользуются в статике абсолютно твердого тела, ио при этом не следует забывать, что следствие 1, так же как и предыдущие аксиомы, применимы только к абсолютно твердому телу.
Следствие 2. Если к абсолютно твердому телу приложена у рае ноееш ивающа яся система сил, то одна из этих сил, взятая е обратном направлении, является равнодействующей для всех
остальных сил.
Доказательство. Пусть данное твердое тело находится в равновесии под действием системы сил Flf 居,居,•••，居匕 (рис. 3). Заменим систему сил 尸?，居,•••，尸壮 одной силой — ^ 3), приложенной в той же точке, что и сила 尸】，т. е. силой, рав- ной по модулю и противоположной по направлению силе 尸广 Так как силы 居 и —尸】согласно аксиоме I уравновешиваются, то после произведенной за- ^^^\^^
мены равновесие тела не нарушается. Отсюда，^
на основании определения понятия эквивалент- /I
ности сил заключаем, что система сил 居, ( 夕、 / 居, …,Fn эквивалентна силе —尸口 т. е. \\/
(居，居，…，&)三一居，片J' 夕
а потому сила ——居 является равнодействую- 夕 щей системы сил,居,F3; Fn, что и Рис. 3. требовалось доказать. Отсюда следует, что нахождение равнодействующей данной системы сил можно свести к нахождению силы, уравновешивающей эту систему.
Аксиома III. Равнодействующая двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу в одной точке, равна их геометрической сумме, т. е. выражается по модулю и направлению диагональю
параллелограмма? построенного на этих силах (рис. 4).
Если обозначим через Я равнодействующую двух данных сил 冗 и 居，то на основании этой аксиомы имеем:
7?=生+居.
Знак -р здесь обозначает операцию гео
метрического сложения сил, т. е. сложения двух векторов Fx и 爲 по правилу параллелограмма.
Пользуясь законом параллелограмма сил, докажем следующую
теорему о трех уравновешивающихся силах.
Теорема. Если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости7 уравновешиваются} то их линии действия пересекаются в одной mo4^Q.
Доказательство. Пусть данное тело находится в равновесии под действием трех сил 居, 居 и 居，приложенных в точках А1} Л2 и А3 (рис. 5). Продолжим линии действия сил 居 и 居 До их пересечения в точке В; перенесем их точки при-
1) Знак ——(минус), стоящий перед вектором, указывает на изменение направления этого вектора на противоположное.
ложения в эту точку В и сложим затем эти силы по правилу параллелограмма; получим равнодействующую силу Я.
Если заменим силы 尸^ и 居 одной эквивалентной им силой R, то равновесие не нарушится; следовательно, силы /? 口居 уравновешиваются, а потому эти две силы должны быть равны по модулю 11 направлены по одной прямой в противоположные стороны (аксиома I). Поэтому линия действия силы 爲 совпадает с линией действия силы Я и, сле- / 'довательно, проходит через
§/точку В, что и требова-
/лось доказать.
Как было указано в /Z^^^предыдущем параграфе,
когда мы говорим, что ”к данному телу А прило-
%жена некоторая сила, то
Рис.5.это значит, что на тело А
действует какое-то другое тело 8, причем это действие выражается в изменении скорости тела А. Но действие одного тела на другое никогда не может быть односторонним: мы всегда наблюдаем взаимодействие материальных тел. Следующий закон устанавливает весьма важный факт, относящийся к взаимодействию двух тел.
Аксиома IV. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой е противоположные стороны.
Этот закон был сформулирован впервые Ньютоном в его «Началах» и называется законом равенства действия и противодействия. Если, например, два тела давят друг на друга, то сила давления (действие) первого тела на второе равна по численному значению и противоположна по направлению силе давления (противодействию) второго тела па первое. Если тело Л (Земля) притягивает другое тело В (Луну) с некоторой силой F, то и тело В притягивает А с силой, численно равной и направленной противоположно силе 尸.
Важно заметить, что действие п противодействие представляют собой две силы, приложенные всегда к двум разным телам. Поэтому нельзя сказать, что эти две силы уравновешиваются в том смысле, как это говорят о двух численно равных силах, приложенных к одному zz тому же твердому телу и направленных по одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома V. Если деформируемое fне абсолютно твердое) тело^ находящееся под действием данных сил в состоянии равновесия, станет абсолютно твердым (отвердеет)} то его равновесие не нарушится.
Этот закон называется принципом отвердевания^ он имеет важное значение при изучении равновесия деформируемых тел. Из
этого закона следует, что условия, которым должны удовлетворять при равновесии силы, приложенные к абсолютно твердому телу, необходимо должны соблюдаться и при равновесии тела деформируемого. Поэтому этот закон устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемых тел.
Связи и реакции связей
Если данное твердое тело может получить любое перемещение в пространстве, то такое тело называется свободным. Если же тело поставлено в такие условия, в силу которых некоторые, переме
щения для него становятся невозможными, то такое тело называется несвободным. Эти условия, стесняющие свободу движения тела, называются в механике связями. Связи, с которыми прихо
дится встречаться в статике, практически осуществляются при помощи материальных тел, твердых или гибких. Сила, с которой тело, осуществляющее связь, действует на данное рассматривае
мое тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией (противодействием) этой связи.
Направление реакции связи противоположно тому направлению, по которому связь препятствует двигаться данному телу.
Из аксиомы IV следует, что сила, с которой данное тело действует на тело, осуществляющее связь, и реакция этой связи
всегда имеют равные модули и противоположные направления.
рассматриватьрассматриватьВ задачах статики почти всегда приходится
рассматривать
рассматривать
равновесие несвободного тела, т. е. тела, так пли иначе закрепленного или имеющего ту пли иную опору. В зависимости от характера закрепления тела или от вида опоры можно указать следующие основные типы связей:
Тело опирается па неподвижную поверхность в точке А (рис. 6); в этом случае реакция опорной поверхности приложена к телу в точке А и направлена при отсутствии трения
几。нормали к опорной поверхности в этой точке 工).Поэтому эта сила называется нормальной реакцией и обозначается обычно иерез N.
Тело опирается на неподвижную точку Л (папример, на острый конец неподвижного стержня, рис. 7); в этом случае реакция N стержня приложена к телу в точке А и направлена
по нормали к поверхности тела, если трения между телом и °порой нет.
О Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной Носкости, проведенный яерез тонку касания. '
Тело опирается на неподвижную линию ребро двугранного угла). В зтом случае, так же
(например, пакак и в преды-(например, пакак и в преды-NN
(например, пакак и в преды-
(например, пакак и в преды-
N
N
дущем, реакция опоры при отсутствии трения направлена 〃о
нормали к поверхности данного тела, как указано на рис. 8
(сила Na); реакции Nb и Nc направлены по нормалям к соответствующим опорным плоскостям.
Связь осуществляется при помощи гибкого тела (нити, каната, цепи). Реакция такой связи (реакция нити) приложена к телу в точке прикрепления к нему нити и направлена вдоль этой нити, как указано на рис. 9, где 7\ и Т2 изображают реакции нитей, на которых подвешено данное тело.
Связь осуп^ествляется при помощи непо
движного цилиндрического шарнира. На непо
движный болт (рис. 10) надевается втулка '), жестко скреплен
ная со стержнем АВ, причем внутренний диаметр втулки равен диаметру болта. Тело, жестко скрепленное со стержнем АВ,
Рис. 10.Рис. 10.может, очевидно, только вращаться вокруг оси шарнира, перпендикулярной к плоскости рисунка.
Рис. 10.
Рис. 10.
Если пренебречь трением в шарнире (между поверхностью болта и поверхностью втулки), то реакция неподвижного болта направлена по нормали
к его цилиндрической поверхности в той точке, где поверхность втулки прижимается к болту и, следовательно, лежит в плоскости, перпендикулярной к оси болта. Таким образом, если
связь осуществлена посредством неподвижного цилиндрического шарнира, вокруг оси которого тело может вращаться, то напра-
I) Втулкой называется тело цилиндрической формы, имеющее соосное цилиндрическое отверстие.
вления реакции такой связи заранее указать нельзя; эта реакция может иметь любое направление3 перпендикулярное к оси шарнира, в зависимости от положения
данного тела и приложенных к немуГ\
других сил.
Связь осуществляется при по
мощи сферического шарнира (рис. И).^В^〈О^^^
В этом случае тело может перемещаться
так, что точка О (центр сферического /\
шарнира) остается неподвижной. На- /\
правления реакции и в этом случае за- 「/\
ранее указать нельзя; эта реакция,
нормальная к поверхности сфериче-Ркс.1L
скоро шарнира, может быть направлена
по любой нормали к этой сферической поверхности, т. е. по любой прямой^ проходящей чере^ неподвижную точку О.
ГЛАВА 2
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
§ 5. Сложение сил, приложенных в одной точке
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.
Так как точки приложения сходящихся сил можно перенести по линиям их действия в точку пересечения этих линий, то систему сходящихся сил всегда можно заменить систе-夕_'
мой сил, приложенных в одной /^^^/
точке.0/^**^*****
Сложить две или пескольь о2\^ —*-****^^,。/
сил — это значит заменить эти
силы одной силой, им эквива-夕°
лентной, другими словами, най
ти их равнодействующую. За-^ис- 12*
дача о сложении двух спл, приложенных к твердому телу в одной точке, решается, как мы знаем из предыдущей главы, на основании закона параллелограмма: равнодействующая двух сил, составляющих между собой некоторый угол, равна по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 12). Обозначим угол между данными силами 居 и 居 через а, а углы, которые Равнодействующая R образует с этими силами, обозначим соответственно через 屮工 и (р2-
Из треугольника ADC находим:
尺2 =歹j + 储 一 2尸仍2 cos (180° — a), или
Я2 =歹；十歹；+ 2FrF2 cos a, откуда
R=联网亠F3 + 2F1% cos a：(1)
Далее, из того же треугольника, применяя теорему синусов, получаем:
sin §2 —siiitpi — sin (180° — a) 1 откуда .尸2 sin a
Формулы (1) ii (2) позволяют определить модуль и направление равнодействующей двух данных сил Fr и 居，образующих между собой данный угол а.
Применяя последовательно правило параллелограмма, можно найти равнодействующую скольких угодно сходящихся сил. Найдем сначала равнодействующую трех сил 居，居 и 居，при- ложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости (ппс. 13).
Сложив по правилу параллелограмма силы F* и 居，получим их равнодействующую R^ сложив по тому же правилу силы Rt и 居，найдем равнодействующую R трех данных сил Р1Л 居 я 居. Из рис. 13 видно, что равнодействующая трех сил, приложенных е одной точке 弘 не лежащих 6 одной плоскости, равна по модулю 弘 направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих трех силах (правило параллелепипеда). Полезно заметить, что при нахождении равнодействующей двух сил нет надобности строить весь параллелограмм. Достаточно выполнить лишь следующее построение: из конца вектора первой силы 務 (рис. 14) проводим вектор второй силы 居；вектор, соединяющий началь-
ную и конечную точки полученной ломаной линии, изобразит, очевидно, по модулю и направлению равнодействующую R двух данных сил F1H 居(правило треугольника).
Пусть теперь нужно сложить несколько сил, например четыре силы 居,居,户з и 居,приложенных в точке А (рис. 15). Сложим сначала две первые силы F* и 居；для〃
этого, на основании только что сделан-/■ ""少、
ного замечания, из конца вектора 居 力\
проводим вектор ВС, равный вектору /彳夕/々丿А
居；вектор АС игзоражает равнодей- ^/ ствующую сил F1 и F2. Сложим теперь 区勺/〜 силы АС и 居；для этого проведем иэ不右
точки С вектор CD} равный вектору、£
居，и соединим точки Л и D. Векторр 1С.
AD представляет собой равнодействующую сил АС и 7^ или, что то же, равнодействующую трех данных сил: F1? F2 и 居.Остается теперь сложить силы AD и 居；из точки D проведем вектор DE, равный вектору 居,и соединим точки А и £;
вектор АЕ изображает искомую равнодействующую R четырех сил: А,居,居 и F4. Выше было указано, что система сходящихся сил всегда может быть заменена системой сип, приложенных в одной точке; поэтому мы приходим к следующему заключению: равнодействующая нескольких сходящихся сил выражается по модулю и направлению вектором, соединяющим начальную и конечную точки ломаной линии, стороны которой представляют собой векторы, равные векторам, изображающим данные силы, или, другими словами, вектором, замыкающим эту ломаную 儿弘乂弘口； линия действия этой равнодейстпвуюгцей проходит через точку пересечения линий действия данных сил.
Это правило, определяющее модуль и направление равнодействующей, называется правилом силового многоугольникаf а ломаная линия ABCDE (рис. 15) называется силовым многоугольником.
Сложение сил по правилу силового многоугольника называется геометрическим сложением этих сил и, как известно из векторной алгебры, совпадает с общим правилом сложения векторов. Итак, равнодействующая R системы сходящихся сил равна по модулю и направлению их геометрической сумме, т. е., другими словами, изображается вектором, равным сумме векторов, изображающих данные силы, что записывается так：
R=生十居+居十.•.十ь"二工е
В § 2 было указано, что сила представляет собой векторную величину. Однако нужно заметить, что для того, чтобы данная
физическая величина являлась величиной векторной, еще недостаточно, чтобы с этой величиной было связано представление об определенном направлении в пространстве. Для этого еще необходимо, чтобы операция геометрического, или векторного, сложения этих величин имела физический смысл.
Полученное правило сложения сил показывает, что теперь мн с полным основанием можем утверждать, что сила есть векторная величина.
Применяя правило силового многоуголгпика к частному случаю, когда все данные силы направлены по одгтой прямой, найдем, что в этом случае модуль равнодействующей ; звен абсолютному значению алгебраической суммы всех этих сил; пги этом силы,
одну сторону, мы должны считать положительными, а силы, направленные в обратную сторону,— отрицательными. Знак алгебраической суммы слагаемых сил укажет, в какую сторону по данной прямой направлена их равнодействующая. Равнодействующая двух сил, равных по модулю и направленных по одной прямой в противоположные стороны, т. е. двух уравновешивающихся сил, равна, очевидно, нулю.
Рассмотрим применение правила сложения сходящихся сил на нескольких примерах.
направленные внаправленные вккблоки Л и В, иблоки Л и В, иПример 1. Три нити связаны в узел С (рис. 16); две из них перекинуты через
направленные в
направленные в
к
к
блоки Л и В, и
блоки Л и В, и
концам их подвешены грузы весом Рг — 3 кг и 尸2 = 5 кг： К концу третьей нити подвешен груз весом при этом LACB - 60°.
Найти величину Р3, если вся система находится в равновесии.
Решение. На узел С действуют три силы: сила Р2, направленная по СА, сила 鸟,направленная по С8, и сила Р3, направленная по вертикали вниз. Сложив первые две силы, найдем их равнодействующую 凡 причем по формуле (1) будем иметь:
W = М炉十尹，• 3 • 5 • cos б№ =
Так как эта сила R уравновешивается силой 尸3，то
Рз = R = R ка.Рз = R = R ка.Пример 2. Найти равнодействующую двух равных по модулю сил, действующих под углом а (рис. 17).
Рз = R = R ка.
Рз = R = R ка.
Решение, Так как силы по модулю равны(^ = F? = F), то построенный па них параллело!рамм представляет собой ромб ABDC. Так как диа-
гонали ромба делят его углы пополам, то равнодействующая R двух равных
по из
модулю сил делит угол между прямоугольного треугольника ОА = /С • cos 多，
ними пополам. Проведя диагональ АОС находим:
ВС、
но
1 К
= 2
и 4e =尸,
l а=F cos 2 ,
откуда
Л = 2F cos у .
следовательно,
Пример 3. Радиомачта поддерживается двумя тягами АВ и ВС (рис. 18), натяжения которых равны F2 hF[. Каково должно быть отношение этих натяжений, чтобы мачта не гнулась? Дано: AD = 9 此 DC = 5 м и DB = 12 ж.
Решение. Чтобы мачта не гнулась, равнодействующая Н сил 尸工 и 房 ~по прямой BD. Обо-
должна быть, очевидно, направлена вдоль мачты, т. е. значая углы ABD и DBC через (р工 и ф2» будем иметь
Fi sin (р工
по теореме синусов:
歹2sin ф2・
Из прямоугольного треугольника ABD находим:
АВ = У%»』от? = /81+ 144 = 15 л, sin 伙
Точно так же из треугольника DBC имеем:
/£> _ 9 _ 3 Afi =Т5
ВС = / DC2 + DB2
/25 + Ш = 13 м, sin
DC 5 中2= вс^Чз-
Следовательно,
3539,
5-：ТЗ = 25 =26,
т. е. сила J\ должна быть приблизительно в 11/2 раза больше силы F2.
Прим через блоки
.К грузу весом Р привязаны четыре веревки, перекинутые 19, а); эти веревки тянут с усилиями Flt Fit F3 и^4. При
этом значения F1? F2 11 斤3 〃анк. Требуется определить величину F4 так, чтобы 1руз стал подниматься по вертикали.
Решение. По условию задачи равнодействующая всех сил, приложенных к грузу (включая и его вес), должна быть направлена по вертикали вверх. Построив многоугольник сил 尸,",% 尸з，получим ломаную линию ABODE (рис. 19, 6). Из точки Е проводим прямую, параллельную линии действия силы F4, до пересечения в точке Н с вертикалью, проведенной через А. Вектор ЕН определяет искомую силу 尸《.Вектор АН определяет равнодействующую 7? всех сил, приложенных к грузу, под действием которой груз начинает двигаться вертикально вверх.
§ 6. Разложение силы
Задача, обратная той, которая была рассмотрена в предыду^ щем параграфе,——это задача о разложении данной силы на две или несколько составляющих. Задача эта может оказаться неопре^
деленной; в самом деле, разложить данную силу на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, можно бесчисленным мно^ жеством способов, так как можно построить сколько угодно параллелограммов, для которых данная сила будет служить диагональю. Чтобы задача стала определенной, нужно поставить еще некоторые дополнительные
Рис. 20.условия. Рассмотрим следующие три случая
этой задачи: 1) Разложить данную силу F на две силы по двум заданным направлениям, лежащим с ней в одной плоскости.
Для этого достаточно из конца вектора F провести прямые, параллельные данным прямым I и II (рис. 20), до их пересечения
66с этими прямыми в точках В и С. Векторы АВ и АС определяют искомые составляющие силы.
6
6
Разложить данную силу F на две силы, лежащие с ней в одной плоскости и имеющие заданные численные значения,
Из начала А и конца В вектора F (рис. 21) проводим две дуги радиуса^ш, равными в выбранном масштабе заданным значениям 尸】и 夕?• Эти дуги пересекутся в точках С и D; дополним треугольники АСВ и ADB до соответствующих параллелограммов, в которых АВ является диа-
Рис. 21. гональю. Тогда векторы АС и ЛЕ или
AD и АК определят искомые составляющие силы. Отсюда видим, что соответственно двум точкам (С и D) пересечения дуг окружностей задача имеет два решения.
Разложить данную силу 尸 на три силы по трем заданным направлениям, не параллельным одной плоскости (например, по
трем взаимно перпендикулярным координатным осям).
Для этого на основании правила параллелепипеда достаточно построить такой параллелепипед, ребра которого имели бы заданные направления и диагональю которого являлась бы данная сила.
Пример 5. На наклонной плоско-рис 22.
с，и с углом а лежит тело весом Р (рис. 22).''
Какую силу, параллельную наклонной плоскости, нужно приложить к телу, чтобы удержать его в равновесии?
Решение. Разложим силу Р на две составляющие： одну % перпендикулярную к наклонной плоскости, и другую В, параллельную этой плоскости. Угол между силами 尸 н 乌 равен, очевидно, углу а. Из прямоугольного силового треугольника находим:
Р2 = Р cos а н В = Р sin а.
Сила Р2 на движение тела, очевидно, не влияет (опа только прижимает тело к плоскости). Таким образом, движущей силой является сила R. Чтобы удержать тело в равновесии, к нему нужно приложить силу Q, равную по модулю и противоположную по направлению силе Рх; следовательно, Q = Pi = Р sin а; отсюда видим, что Q меньше веса данного тела. На этом основано применение наклонной плоскости при поднятии тяжелых грузов.
Пример 6. В точке В соединения двух брусьев АВ и ВС подвешен груз весом Р (рис. 23, а). Найти силу, сжимающую каждый из этих брусьев, и силу, растягивающую горизонтальную балку ЛО (так называемую затяжку), если АВ = ВС и N АВС = а.
а)а)Рис. 23.Рис. 23.б)б)
а)
а)
Рис. 23.
Рис. 23.
б)
б)
Решение. Разлагая силу Р на две составляющие 匕 и Р2 (рис. 23, 6), направленные по ВА и ВС, и принимая во внимание, что Рг = Р2, так как линия действия силы Р делит угол АВС пополам, получим (так же как в примере 2 § 5): “
Р = 2Pl cos ^ ;
отсюда находим силы, сжимающие каждый из брусьев:
А = А =
р
2 cos 2
8TH силы передаются на затяжку в точках А и С. Перенося точки прило жения этих сил по прямым ВА и ВС в точки Л и С и разлагая каждую из сил на две составляющие — верти- кальную и горизонтальную, видим, что вертикальные силы Qi и Q2 вызывают давления на опорные столбы,
■=T2
а горизонтальные силы 邑 и 邑 растягивают балку АС, Из прямоугольных силовых
треугольников находим:
по модулю сил:
Q2 — Qi = Р] cos
S2 — SL =^ 尸]sin
а _
0 =
а
工
1
Р,
2 = '2
Ptg»
Пример 7. Груз весом Р = 6000 кг подвешен симметрично на двух одинаковых железных тяжах с прямоугольным поперечным сечением, угол между которыми равен 30°. Ширина тяжа равна 7 см. Какова должна быть наименьшая толщина тяжа, если допускаемое напряжение его равно 400 кг/см2? (Напряжением называется отношение силы натяжения к площади поперечного сечения.)
Решение. Разлагая силу Р (рис. 24) на две С5
ставляющие 7\ 以笃 по направлениям тяжей и
нимая во внимание, что вследствие симметрии 7\ Т, получим по формуле для равнодействующей двух равных
Р = 2Tcos 15°,
откуда находим, что сила, растягивающая тяж, равна
7 =
Р
2 cos 1产.
Если обозначим искомую толщину тяжа через с, то площадь поперечного сечения его будет равна 7僦；следовательно, напряжение равно
Г Р —3000」2
7方-146 cos 15° 一 7方 cos 15° 報"С",
Приравнивая лучим уравнение
эту величину допускаемому напряжению 400 кг/см2^ по-
= 4。。，
lx cos 15
пз которого находим:
15
* — 14 cos 15°
0 1,2 см»
§ 7. Проекция вектора на ось
Пусть имеем вектор Л В = Р и некоторую ось 力，т. е. прямую, на которой установлены положительное и отрицательное направления. Проведем через начало и конец этого вектора плоскости, перпендикулярные к оси х и пересекающие эту ось в точках а и b
Рис. 25<Рис. 25<(рис. 25). Эти точки называются проекциями точек А и В на ось 冗,а длина отрезка ab, взятая с соответствующим знаком, называется проекцией вектора АВ на ту же ось. Таким образом, проекция вектора на ось представляет собой алгебраическую скалярную величину; ей приписывается знак плюс или минус, смотря по тому, как направлен отрезок ab: если
Рис. 25<
Рис. 25<
его направление совпадает
с положительным направлением данной оси, как на рис. 25, то проекция считается положительной; в противном случае
проекция отрицательна, как на рис. 26. Это записывается так:
Рх 二二十 ab и Р*х = — а*Ь*.
Выведем теперь соотношение, устанавливающее зависимость между модулем вектора и его проекцией. Проведем для этого через начало Л вектора Р (рис. 25) прямую, параллельную оси проекций; эта прямая пересечет плоскость ВЬ в точке
С. В треугольнике АВС угол С ——прямой 工)；угол ВАС = а есть угол между вектором 尸 и положительным направлением оси проекций. Из этого треугольника получаем;
АС = АВ cos а,
но АС = ab, а потому
= Р cos а.
1) Так как прямая АС перпендикулярна к плоскости 6瓦
Полученное выражение для проекции вектора на ось определяет не только абсолютную величину, но и знак проекции. В самом деле, в рассматриваемом случае проекция Рх положительна, а угол а — острый; следовательно, его косинус также положителен. Обратимся теперь к случаю отрицательной проекции (рис. 26)； из треугольника А1В1С1 имеем:
Л1С1 = Л151 cos р, и, следовательно
Ртк —A COS р,
■по если обозначим угол между вектором 尸】и положительным направлением осп проекций через а1: то cos % = — cos 6, а потому
夕 1х P1 cos %•
Мы приходим, таким образом, к заключению, что проекция вектора на ось равна (по абсолютной величине 弘 по знаку) произведению модуля вектора на косинус угла между этим вектором и полож и тел ьн ым направлением оси проекций.
Рассмотрим два частных случая:
Вектор параллелен оси проекций, т. е. а — 0 или а = 180° в зависимости от того, совпадет ли направление вектора с положительным или с отрицательным направлением оси проекций; в этом случае, следовательно, cos а = £ или cos а = —1, а потому Рх = Р или Рх =——Р. Таким образом, если вектор параллелен оси, то его проекция на эту ось равна его модулю, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление вектора с положительным или с отрицательным направлением оси проекций.
Вектор перпендикулярен к оси проекций; в этом случае а = 90° и cos а = 0, а следовательно, Рх = 0. Таким образом, если вектор перпендикулярен к оси, то его проекция на эту ось равна нулю (в этом случае, очевидно, проекция вектора превращается в точку).
Из самого определения проекции вектора на ось следует, что проекция пе изменяется, если мы будем переносить вектор параллельно самому себе или если будем проектировать его на различные, но параллельные и одинаково направленные оси.
Пусть мы имеем теперь прямоугольную систему осей Oxyz и некоторый вектор АВ = Р (рис. 27). Проведем через точку Л оси Ах у Ауг и Azf} параллельные данным координатным осям, и построим на этих новых осях прямоугольный параллелепипед, для которого вектор АВ является диагональю.
Из чертежа ясно, что длины выходящих из вершины Л ребер этого параллелепипеда, взятые с соответствующими знаками, представляют собой проекции вектора АВ на оси Ах 3 Ау‘ и Az ,
или, что то же, на данные оси Ох, Оу и Oz. Обозначая эти проекции через %, Ру 0 Pz 0 принимая во внимание, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер, получаем:
产=8十用十 月， откуда
Р = УР^Р1^Р1(3)
Если обозначим углы вектора Р с координатными осями 伤 у, z соответственно через а, § н % то будем иметь:
Ру = Р cos a, R, = Р cos В, Р = Р cos у.
⑷
откуда
cos а =—,
Vp什Р产p厂
(5)
cos 丫 = • ,z,
В формулах (3) и (5) перед радикалами нужно брать знак плюс, так как модуль вектора Р является величиной существенно
положительной. Формулы (3) и (5) позволяют аналитически определить величину и направление вектора по трем заданным его проекциям на координатные оси ').
Заметим, что для нахождения проекций данного вектора на координатные оси можно применить еще следующий способ: спроектируем вектор Р на координатную плоскость Оху, для чего опустим из точек 4 и 6 перпендикуляры на эту плоскость (рис. 27); вектор ab представляет собой проекцию вектора Р на плоскость Оху, Спроектируем теперь этот вектор ab на оси Ох и Оу, для чего опустим из точек а и b перпендикуляры на эти оси. Отрезки а也 и й2^2 на осях Ох и Оу представляют собой, как видно из рис. 27, искомые проекции вектора Р на эти оси. Точно так же найдем и третью проекцию вектора Р на ось Oz: проектируя сначала вектор Р на плоскость xOz, находим его проекцию ^Ь" на эту плоскость; опустив, далее, из точек а и Ь' перпендикуляры на ось Oz, получим отрезок а3^3, который представляет собой проекцию вектора Р на эту ось.
Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
Как известно из векторной алгебры, умножить данный вектор Р на какой-нибудь положительный скалярный множитель Z ■ — это значит построить новый вектор 尸口 модуль которого равен LP и который имеет то же направление, что и вектор Р, что записывается так:
Л = %Р・ (6)
Если множитель Z отрицателен, то направление вектора 尸工 будет противоположно направлению вектора Р, а модуль вектора Рг в этом случае будет равен ｛九丨 Р, где |九！ обозначает абсолютную величину множителя 九.Таким образом, два вектора Ри 入尸 всегда параллельны или расположены на одной прямой. Такие векторы называются коллинеарными.
Найдем теперь зависимость между проекциями векторов 巴 и Рна координатные оси. Если 九〉0, то параллельные векторы Р* и Р направлены в одну сторону и образуют с положительньш направлением оси 冗 один и тот же угол. Если обозначим этот угол через а, то будем иметь:
Р1Х = Рх cos а =九夕 cos а;
но Р cos а =夕當，а потому
Р1Х = ^я. ⑺
Аналогично этому получим и два других равенства:
Ад —九 Ру， Az =九 2，(7)
Эти равенства, как легко понять, остаются верными и при 九 < 0・ В последнем случае проекции векторов 尸】и 尸 на данную ось имеют разные знаки.
Иэ полученных равенств следует:
т. e. проекции параллельных векторов на координатные оси пропорциональны.
Равенства (7) и (7‘)получены из векторного равенства (6). Наоборот, из этих скалярных равенств (7) и (7‘) можно вывести как следствие векторное равенство (6); следовательно, соотношение (6) между векторами Рг и Р равносильнор
трем соотношениям (7) и (7‘)между проекциями/^z^
этих векторов на координатные оси.
Вектор, направление которого совпадает с на- ^< правлением данного вектора Р и модуль кото- Рис 28 рого равен единице, называется единичным век-''
тором данного вектора Р. Если обозначим этот единичный вектор через Р° (рис. 28), то Р°= 1. Так как векторы Р и 尸*» имеют одинаковое направление, а модули этих векторов равны соответственно Р и 1, то между этими векторами существует, очевидно, зависимость
尸=РР\(8)
Таким образом, всякий вектор можно представить s виде произведения его модуля на его единичный вектор.
Равенство (8) играет важную роль при операциях над векторными величинами, так как здесь выделены оба основных элемента, характеризующие данный вектор 尸：скалярный множитель Р определяет его модуль, а единичный вектор 尸'определяет его направление. Единичный вектор Р°, определяющий направление данного вектора 尸，называется также ортом этого вектора (от слова «ориентация»). Ясно, что все векторы данного направления имеют один и тот же орт.
Разложение вектора по координатным осям
Пусть имеем вектор АВ = Р. Построим в точке А систему прямоугольных координатных осей Axyz (рис. 29). Чтобы разложить вектор Р по направлениям этих осей, нужно построить на этих осях такой прямоугольный параллелепинед, для которого отрезок
АВ является диагональю, совершенно так же, как это делается в случае разложения силы по трем направлениям, не лежащим в одной плоскости (§ 6).
Векторы 4С, AD и АЕ называются составляюгцими данного вектора Р по координатным осям, или (в случае прямоугольных осей, который мы и рассматриваем) прямоузольными составляю- 广щими вектора Р. Если обозначим
эти составляющие через 匕，Ру
/ Z /и Рг, то получим:
—尸=? + % + ?•(9)
р у7口~^Следует обратить внимание на
^^//различие между составляюгцими
/Гданного вектора по координатным
胃осям и проекциями этого вектора
Рпс. 29.на оси и не смешивать этих двух
понятий: проекция вектора на ось, как было уже указано в § 7, есть величина скалярная, а составляющая данного вектора есть также вектор.
Построим теперь единичные векторы, направленные по координатным осям в положительную сторону. Эти векторы называются единичными координатными векторами, или координатными о〃~ тами, и обозначаются буквами /, j, к.
Задавая векторы i} j, к, мы тем самым определяем направления осей выбранной нами координатной системы.
На осиовашш равенства (8) для прямоугольных составляющих вектора Р получаем следующие выражения:
? = Р/, % = р/, pz = ргк.(Ю)
В этих равенствах скалярные множители Рх, Ру и Pz представляют собой, очевидно, проекции вектора Р на координатные оси, т. е. длины отрезков AC, AD и АЕ, взятые с соответствующими знаками. На рис. 29 все три проекции вектора 尸 положительны и направления его составляющих Рх, Ру и 匕 совпадают с направлениями соответствующих ортов. Если бы, например, вектор Р2 был направлен в отрицательную сторону оси г, то проекция Р2 была бы отрицательна. Ясно, что равенство Pz = Pz乃 и в этом случае остается верным, так как вектор Pz имел бы теперь направление, противоположное вектору к.
Подставляя выражения (10) в равенство (9), получим：
P=Pxi+Pyj-YPzk. (И)
Это равенство представляет собой очень важную формулу разложения вектора Р по координатным осям. Напомним еще раз, что 6 формуле разложения вектора мо координатным осям скалярные
коэффициенты при ортах i, j 弘盍 представляют собой проекции этого вектора на эти оси.
Пример 8. Вектор Р, модуль которого Р = 10, лежит в плоскости Оху и образует с осью 僦 угол а = 150° (отсчитываемый от положительного направления этой оси против часовой стрелки). Написать формулу разложения этого вектора по координатным осям.
Решение. Найдем сначала проекции вектора Р на координатные оси. Так как этот вектор образует с положительным направлением оси у угол, равный, очевидно, 60°, а с осью z угол, равный 90°, то по формулам (4) имеем:
Рх = 10 cos 150° = — 5 MS
Ру — 10 cos 60° = 5, Pz = 0«
Подставляя эти значения проекций в формулу (11), получим:
尸=—5]/Mi + 5/
Пример 9. Формула разложения данного вектора по координатныл! осям имеет следующий вид:
尸=3*十与一 5.V.
Найти модуль этого вектора и его направление, т. о. углы, образуемые им с осями координат.
Решение. Из сравнения дайной формулы с формулой (И) следует, что 尸％ = 3, Ру = 4 и Pz =— 5. Отсюда по формуле (3) находим:
P = ]/32+4」+52 =5 /£
По формулам (5) определяем искомые углы а, В н 丫 вектора Р с осями:
^a = f?T=°，3m2'《^ =不=。,4以'
Аналитический способ сложения сил
Правило силового многоугольника (§ 5) позволяет геометрически (построением) определить модуль и направление равнодействующей данной системы сходящихся сил. Аналитическое решение этой задачи основано на применении метода проекции и базируется на следующей теореме о проекции равнодействующей силы на ось:
Теорема. Проекция равнодействующей на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
Доказательство. Пусть для данных сил 凡 居，F3 построен силовой многоугольник и пусть А= AD есть их равно- Действующая (рис. 30). Спроектируем все силы на данную ось 比,
для чего проведем через начало и конец каждой силы плоскости,
перпендикулярные к оси 才.перпендикулярные к оси 才.Рис. 30.Рис. 30.Пусть эти плоскости пересекают ось ж в точках а^ bf с d. Тогда имеем：
перпендикулярные к оси 才.
перпендикулярные к оси 才.
Рис. 30.
Рис. 30.
& = adj F 1х = аЪ,夕2* == 6с, ^зх н2 ―' с"；
сложив последние три равенства, получим:
%м十4H十歹Зн =
=ab + be ——cd = ad = Rx,
что и требовалось доказать.
Пусть имеем теперь систему сходящихся сил, заданных своими проекциями на координатные оси. Обозначим эти проекции соответствующими заглавными буквами:
X],匕，Z】，Х2, /, Z2,…，Х^, Yn1 Zn.
Требуется определить модуль и направление их равнодействующей. Обозначив искомую равнодействующую через R и ее проекции через Е%, 7?屮 RZ1 согласно только что доказанной теореме найдем:
(12)(12)国=X]十%十Х3十…十Х. = £Х,Ry = ЕУ, Rz = £Z.
(12)
(12)
Величина R определяется по формуле (3):
я = m华十勺十卮三/(ЕХ)2十(£y)2十(£02:" (13)
Чтобы определить направление равнодействующей, нужно найти ее углы с координатными осями. Обозначив эти углы через а, 0 и у, на основании формул (5) будем иметь:
(14)(14)С°$Р = / =万，，cos Y=="/r= Л ]
(14)
(14)
где величина R известна из предыдущего равенства (13). Равенства (13) и (14) представляют собой формулы для определения модуля и направления равнодействующей по заданным проекциям составляющих сил. Так как алгебраическая сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых, то из формул (12) следует, что проекции равнодействующей, а следовательно, ее модуль и
направление 〃е зависят от порядка, в котором производится сложение данных сил.
Из равенств (И) и (12) следует также, что формула разложения равнодействующей R по координатным осям имеет следующий вид:
R = Rxi^~ Е/ + R2k = (EX) i+ (SK) /+ (EZ) k. (15) После того как найдены модуль н направление равнодействующей сходящихся сил, можно найти и линию действия этой равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения линий действия данных сил и имеющей направление их равнодействующей. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде
еgу — %么Zn
EM =，
где х, у, 2 ——текущие координаты, а х0, у。，飞 ——координаты точки пересечения линий действия данных сил.
Рассмотренное сейчас аналитическое решение задачи сложения сходящихся сил можно получить еще и другим путем, а именно: можно сначала вывести для равнодействующей векторную формулу (15), далее получить из нее формулы (12), а затем вытекающие из них формулы (13) и (14).
В самом деле, разлагая каждую из данных сил по трем координатным осям, получим:
凡=灯十YJ+Z血］
居=Xz 力 + У2у + Z2 儿 I
Fn=Xni^-Ynj^Z^. J
Складывая эти векторные равенства и принимая во внимание, что £F = R, будем иметь:
a = (X1十X2 +…十XJ»+(匕+ /+…+匕)，十
+ (A 十 Zg 十…+ Z/ &, или
т. е. мы получили формулу (15) разложения равнодействующей по координатным осям. Но так как в формуле разложения вектора по координатным осям коэффициенты при г, у, к представляют собой проекции этого вектора па соответствующие оси (§ 9), то из последнего равенства находим:
&=£Х, 々 = £У, % = £Z,
г с. получаем формулы (12). Таким образом, мн другим путем
доказали теорему о проекции равнодействующей на ось. Из полученных выражений для проекций равнодействующей непосредственно вытекают, как мы видели выше, формулы (13) и (14), определяющие модуль и направление равнодействующей.
Понятно, что полученные результаты, в частности теорема о проекции равнодействующей на ось, применимы не только в статике и имеют место не только для равнодействующей силы, но и для всякого вектора, представляющего собой сумму нескольких векторов. Следовательно, проекция суммы данных векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Точно так же формулы (13) и (14) позволяют апалптическп определить модуль и направление суммы любых векторных величин.
Пример 10. На тело действуют четыре сходящиеся силы, проекции которых иа координатные оси даны в следующей таблице:
死
居
X
1
2
0
2
У
10
15
一5
10
Z
3
4
1
—2
Найти модуль их равнодействующей и углы ее с координатными осями.
Решение. Из данной таблицы находим:
工X = 1 十 2 + 0 + 2 = 5, £У = 30 и WZ = 6.
Подставляя эти значения в формулу (13), получим:
К = J5斗 §0?十亨=/961 = 31.
Теперь по формулам (14) находим:
5„306
cos а =讶，cos р =济，cos Y = 3亍
Отсюда при помощи логарифмических таблиц найдем искомые углы:
a = 80。43%3 = 14。35\7 = 78。50‘.
Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то тогда достаточно проектировать их только на две координатные оси О% и Оу, расположенные в той же плоскости. Модуль равнодействующей в этом случае определяется по формуле
R =/(密Х)2 十(ЕУ)2.(13，)
Кроме того, в этом случае, очевидно, cos 卩=sin а и направление равнодействующей определяется по формулам
cos а =飞 и sm ct =我，cos а =飞 и sm ct =我，(伍’)(伍’)
cos а =飞 и sm ct =我，
cos а =飞 и sm ct =我，
(伍’)
(伍’)
где аир обозначают углы равнодействующей с координатными осями 力 и у, причем угол а отсчитывается от положительного направления оси х против часовой стрелки, как принято в тригонометрии. Из этих формул следует, что
tg a =京，
Если в задаче слагаемые силы известны по модулю и направле
нию, но проекции их не даны, то для нахождения их равнодействующей аналитическим способом нужно сначала, выбрав коор
силы F3. Проектируясилы F3. Проектируядинатные оси, определить углы каждой силы с этими осями, далее найти ее проекции на эти оси по формулам (4), а затем выполнить вычисления так же, как в примере 10.
силы F3. Проектируя
силы F3. Проектируя
Пример И. В точке А к телу приложены три силы:尸 1 = 18 кг, F2 = 24 кг и F3 = 30 咒统 лежащие в одной плоскости и образующие между собой углы в 105°, 135° и 120°. Определить величину и направление их равнодействующей (рис. 31).
Решение. Направим ось у по линии действия силы F3 и ось 方 перпендикулярно к ней. Тогда, как легко видеть из чертежа, углы с положительным направлением этих осей будут равны 30° и 60° для силы % 135° и 45° для силы 居，90° и 180° для все данные силы на координатные оси, находим:
Xi = 18 cos 30° = 9 р^З,匕=18 cos 60° = 9,
Х2 = 24 cos 135° =一 12/2； % = 24 cos 45° = 12/2；
Хз = 0,% =— 30.
Следовательно, проекции равнодействующей равны
R% = £Х = 9/3 — 12 М牙=—1,380,
% = £工=9 + 12/2 — 30 =一 4,032.
Отсюда по формуле (13') находим:
а = /1,3802 + 4,0322 = 4,262 кг.
Для определения угла а, который равнодействующая образует с осью х, по формулам (14，)имеем:
cos а =cos а =1,380.4,032
cos а =
cos а =
1^ёГ и sm а =—《/б?
Так как и косинус и синус этого угла отрицательны, то угол а лежит в третьей четверти. При помощи логарифмических таблиц найдем;
а = 251°6'・
Рис. 32.Рис. 32.Из треугольника ОАВ найдем: cos 丫Из треугольника ОАВ найдем: cos 丫с 一 1°0S 3T0Jс 一 1°0S 3T0JОА41 23ОА41 23= 0,8, откуда= 0,8, откудакг.кг.
Рис. 32.
Рис. 32.
Из треугольника ОАВ найдем: cos 丫
Из треугольника ОАВ найдем: cos 丫
с 一 1°0
S 3T0J
с 一 1°0
S 3T0J
ОА
41 2
3
ОА
41 2
3
= 0,8, откуда
= 0,8, откуда
кг.
кг.
Таков угол, который равнодействующая образует с положительным направлением оси 方；этот угол, отсчитываемый от оси 方 в направлении, обрат
ном движению часовой стрелки, определяет направление искомой равнодействующей.
Пример 12. В точке А скрепления 7рех брусьев /笈，АС и AD подвешен груз весом Р — 100 кг (рис. 32). Найти усилия, сжимающие каждый из этих брусьев, если расстояние точки / от земли равно АО = 8 他 а длина каждого бруса I = 10 ж. Точки В, С и D образуют равносторонний треугольник.
Решение. Для определения искомых усилий достаточно разложить силу Р на три составляющие, направленные по АВ, АС и AD; вследствие симметрии эти составляющие будут иметь один и тот я<е модуль; обозначим его через S. Угол каждого из брусьев с вертикалью обозначим через у. Проектируя теперь силу Р п составляющие силы на вертикаль, гГолучим (по теореме о проекции равнодействующей):
Р = 3S cos V, откуда S = .
3 cos у
§ И. Равновесие системы сходящихся сил
Пусть данное твердое тело находится под действием п сходящихся сил. Сложив по правилу силового многоугольника п—1 из этих сил, мы приведем данную систему сил к двум силам. Но из аксиомы I известно, что две силы, приложенные к твердому телу, находятся в равновесии в том и только в том случае, если эти силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. если их равнодействующая равна нулю. Следовааельно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.
Но эта равнодействующая R изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник; следовательно, для того чтобы равнодействующая равнялась нулю, силовой многоугольник должен быть замкнутым, т. е. его конечная точка (конец вектора, изображающего последнюю силу) должна совпадать с начальной точкой (с началом вектора, изображающего первую силу). Таким образом, приходим к следующему заключению: для равновесия системы сходягцихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнутым.
Таково условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме. Выразим теперь то же условие аналитически.
Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей определяется по формуле
R = ]/ (eX)2 + ауР 十(人户一
Отсюда следует, что при равновесии должно иметь место равенство
(£Х)2 + (£У)2 + (£Z)2 - 0.
Так как ни одно из слагаемых, стоящих в левой части, не может быть отрицательным, то это равенство возможно в том и только в том случае, если
£Х = 0, £У = 0 и £Z = 0.(16)
Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.
Понятно, что, имея плоскую систему сходящихся сил, мы всегда можем плоскость, в которой расположены все эти силы, принять за координатную плоскость Оху, и тогда для равновесия такой системы сил должны быть выполнены только первые два из условий (16).
Если данное тело несвободно, т. е. если на него наложены некоторые связи, то необходимо принимать во внимание реакции этих связей, о которых мы говорили в § 4. В большинстве случаев в задачах статики по некоторым заданным (известным) силам, приложенным к данному твердому телу, требуется определить неизвестные реакции связей, предполагая, что тело находится в покое и что, следовательно, все приложенные к нему силы уравновешиваются.
Для решения таких задач в том случае, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, включая и реакции связей, пересекаются в одной точке, нужно воспользоваться полученным условием равновесия сходящихся сил в геометрической или в аналитической форме.
В первом случае искомые силы определяются графически при помощи построения замкнутого силового многоугольника. Во втором случае, при аналитическом решении задачи, эти силы находятся из уравнений (16), в левые части которых войдут, кроме заданных известных сил, и неизвестные реакции связей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 13. Шар весом Р опирается в точке Л на наклонную плоскость, образующую с вертикалью угол а, и привязан к стене веревкой,
Умпожая первое уравнениеУмпожая первое уравнение
Умпожая первое уравнение
Умпожая первое уравнение
которая образует с вертикалью угол р (рис. 33, а). Определить реакцию плоскости в точке А и натяжение веревки.
Решение. Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали Ап к этой плоскости, через %, а реакцию веревки, численно рав- Линии действия всех трех сил N, Т н 尸 пересекаются в центре шара О. Примем вертикаль и горизонталь в точке О за координатные оси. Замечая, что 乙ВОу = 0 и 匕 пОх = а (эти углы равны, так как стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого), находим проекции сил N, Т м Р на ати оси:
叩芯—TV cos a, Ng — N sin а, T* =— 7 sin £ Ту = Т cos 卩， Лс — °，% Р*
Условия равновесия (16) имеют, следовательно, такой вид:
TV cos а — Т sin р = 0,
TV sin а + Г cos 卩一Р = 0.
на cos р, а второе на sin 卩 и складывая их, получим;
/V (cos a cos § 十 sin а sin §) = Р sin 自 откуда
N = "SEB .cos(a — В)，
теперь из первого уравнения находим:
Т _ N cos a — р cos a
一 sin § — cos (a — p)
Полагая здесь p = a, получим:
Д7 = P sin a и Г — P cos a;
это решение соответствует тому случаю, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной плоскости.
Если положим a = 0, то будем иметь:
7V = PtgBHT =―勺
cos p *
эти значения соответствуют тому случаюг когда шар опирается на вертикальную плоскость.
Решим теперь эту же задачу графически; для этого нужно построить замкнутый силовой многоу! ольник. Из произвольной точки а (рис. 33, 6) проводим вектор ab, параллельный данной силе Р, длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы〔)； через точки а и ^ проводим пря^ мые, параллельные прямым ОВ и Ап, по которым направлены искомые силы Т и 7V; эти прямые пересекутся в точке с； векторы Ъс и са определяют
Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных в задаче сил.
искомые силы N и Т. Чтобы найти направление искомых сил па силовом треугольнике, нужно, как легко понять из рис. 33, 6 обойти этот треугольцик по его периметру, причем направление этого обхода определяется направлением данной силы Р. Измерив длину сторон ас и Ьс и зная масштаб, в котором построена сила Р, найдем численные значения сил Т и N.
Пример 14. Фонарь весом Р подвешен на двух проволоках СА и СВ, образующих с вертикальными стенами углы а и 隹 Найти натяжения этих проволок (рис. 34, а).
Решение. Обозначим реакции проволок, численно равные искомым натяжениям, через 厶 и 厶. Через точку С проводим оси Сх и Су в горизонтальном и вертикальном направлениях; определив углы сил Т］乳 Т2 c этими осями (эти углы указаны на рисунке), находим проекции трех сил Т2 и Р на эти оси:
sin а, Г1у = cos а, ^2Х =北 sin £丁2" = 4 cos P,
p* = 0；Ру =— P
Так как эти три силы находятся в равновесии, то имеем следующие два уравнения:
) Т? sin р — 7*! sin а = 0} 2)北 cos 卩 + 厶 cos а — Р = 0.
сложив их, получим:сложив их, получим:Умножив первое уравнение на cos а, а второе па sin а и
сложив их, получим:
сложив их, получим:
Т& (sin р cos а + cos 卩 sin а) = P sin а, отсюда
7 — Р sin а
— sin (а + р)'
Из первого уравнения находим:
_ Т2 sin р — Р sin В1 — sin а — sin (а -г р) *
можно получить и из силового треугольника, в котором известим сторона Р и углы аир, применяя теорему синусов.Пример 15. К концу горизонтальной балки, закрепленной на шарможно получить и из силового треугольника, в котором известим сторона Р и углы аир, применяя теорему синусов.Пример 15. К концу горизонтальной балки, закрепленной на шарГрафическое решение этой задачи, совершенно такое же, как и в предыдущем примере, дано на рис. 34, 6. Заметим, что найденные выражения для натяжений Тх и Т*
можно получить и из силового треугольника, в котором известим сторона Р и углы аир, применяя теорему синусов.
Пример 15. К концу горизонтальной балки, закрепленной на шар
можно получить и из силового треугольника, в котором известим сторона Р и углы аир, применяя теорему синусов.
Пример 15. К концу горизонтальной балки, закрепленной на шар
нире О, подвешен груз весом Р Балка удерживается в равновесии при помощи тяги ВС, закрепленной в точке С и образующей с направлением балки угол а. Найти иатяженпе Т тяги и реакцию Ro шарнира, если ОА = I и
4В = (рис. 35, а). Весом балки пренебрегаем.
3 И. М. Воронков
Решение. Постараемся определить сначала направление реакции R。шарнира, которое пока не известно. Так как к балке приложены три силы (Р, Т и Rq), то мы можем воспользоваться теоремой о трех уравновешивающихся силах. Как известно (§ 3), линии действия таких трех сил должны пересекаться в одной точке. Поэтому продолжим линию действия силы Т, т. е. прямую ВС до пересечения в точке D с линией действия силы Р. Линия действия силы Hq должна проходить через точку 力；следовательно, эта сила направлена по прямой OD.
Теперь задача очень просто решается графически, как это уже известно из предыдущих примеров: пз произвольной точки а (рис. 35, 6) проводим вектор, изобраи^ающий данную силу Р; из начала а и конца 6 этого вектора проводим прямые, параллельные прямым DO и DC. Эти прямые пересекутся в точке с; векторы be и са определяют искомые силы Т п Но.
Для аналитического решения задачи возьмем ось Ох, направленную по балке, и ось Оу, перпендикулярную к ней. Угол силы А。с осью 方 обозначим через <р. Для определения этого угла заметим, что из треугольников ABD и AOD имеем:
‘ DA /Аtga = 4B=3~T，
tg中二tg中二DA _DAAO^ T 1DA _DAAO^ T 1
tg中二
tg中二
DA _DA
AO^ T 1
DA _DA
AO^ T 1
отсюда следует:
tg 屮=з tg a・
Проектируя на координатные оси все силы, приложенные к балке, получим следующие два уравнения равповеспя:
Rq cos 屮一T cos a = О,
T sin a — Rq sin 屮一P = 0.
Из первого уравнения находим:
n Т cos aи cos ф
подставляя это значение R。во второе уравнение, получим:
Т (sin a — cos a tg ср) = P,
или, заменяя tg 中 его значением,
2
^ 7 sin a = Р；
отсюда
Г
ЗР2 sin a
и, следовательно,
Но
3 р etga
2 cos 屮
cos屮
=y1 + tg2 中=]/1 + 嘗=J /9 + tg2 a.
а потому
年=^ /1 + 9 ctg2 а.
Рис. 37.Рис. 37.
Рис. 37.
Рис. 37.
Полученные численные значения сил Т и Во можно было бы также наити из силового треугольника abc (рис. 35, б), применяя теорему синусов и замечая, что в этом треугольнике Labe — 90° — а и ЛасЬ — а — (р.
Пример 16. Шар весом Р подвешен в углу комнаты на веревке, которая образует с вертикалью угол у. Определить натяжение веревки Т и реакции стен и TV2 в точках касания
их с шаром (рис. 36).
Решение. В данном случае мы имеем систему четырех уравновешивающихся сил, не лежащих в одной плоскости и сходящихся в центре шара О (на рис. 36 силы ТУ】и 恥 перенесены в точку О). Возьмем начало координат в точке О; ось z направим по вертикали вверх, а оси 力 и у — перпендикулярно к стенам, т. е. по линиям действия сил М и 恥.Чтобы найш проекции реакции
веревки Т на координатные оси, перенесем эту силу в точку О и разложим ее на две составляющие: вертикальную, направленную по оси z, и горизонтальную, лежащую в плоскости Оху. Если обозначим эти составляющие соответственно через Т и то Т' = Т cos у и Т" = Т sin у.
Легко видеть, что вследствие симметрии сила Т" направлена по биссектрисе координатного угла Оху (рис. 37). Проектируя теперь все силы на оси ①，у и z, получим следующие три уравнения равновесия:
М — 7" cos 45° =0, 恥一Т" cos 45° = 0,/ — Р = 0
или
7Vl = TV? = Т sin у и 71 cos у = Р.
Отсюда находим:
р
7 = —— и $ = У Р tgv.
cosy I 22 г
Пример 17. Груз весом Р подвешен на крюке, который поддерживается тросом АВ и двумя стержнями, соединенными шарниром Л и закрепленными шарнирно в точках С и Z). Плоскость треугольника ACD горизонтальна. Найти силы, сжимающие стержни АС и AD3 и силу, растягивающую
трос, если LACD = //DC = а, угол троса с вертикалью BE равен В и СЕ = ED. Весом стержней пренебрегаем (рис. 38, «).
Решение. Так как весом стержня N。пренебрегаем, то на этот стержень действуют две силы: реакция шарнира С и реакция шарнира (узла) /I;
поскольку стержень находится в равновесии, эти две силы равны по модулю
и направлены по прямой АС в противоположные стороны, как показано на рис. 38, а. Под действием этих сил стержень АС испытывает сжатие.
Сила % с которой стержень АС действует на узел А (реакция этого стержня), согласно закону равенства действия и противодействия равна по модулю и противоположна по направлению силе, сжимающей стержень АС (реакции узла А, приложенной к этому стержню); следовательно, сила 瓦 направлена так же, как отрезок С А. Точно так же направление реакции стержня AD, которую обозначим через $2, совпадает с направлением отрезка DA. Реакция троса, которую обозначим через 力，направлена вдоль троса. Кроме этих трех сил,风，风近北 к узлу Л приложена еще сила натяжения веревки, на которой подвешен груз, равная, очевидно, по модулю весу груза Р. Таким образом, узел А находится в равновесии под действием четырех сил, не лежащих в одной плоскости.
勿Возьмем начало координат в точт е
А; ось z направим по вертикали вверх, ，ис・ 38.ось у — по высоте ЕА равнобедренного
треугольника ACD и ось 方一параллельно прямой CD. Силы $工 и $2 лежат в координатной плоскости хАу9 углы этих сил с осями Ах и Ау показаны на рис. 38, 6. Так как сила Т лежит в плоскости zAyt то эта сила перпендикулярна к оси х и, следователь-
но, ее проекция на эту ось равна нулю.
Проектируя на координатные оси все силы, приложенные к узлу Л, получим следующие уравнения равновесия:
) S? cos а — S] cos 2) S2 sin а + S] sin 3) T cos 卩一P = о.
а = 0,а — T sin 卩=0,а = 0,а — T sin 卩=0,Т =Т =COS ВCOS ВИз третьего уравнения находим:
а = 0,
а — T sin 卩=0,
а = 0,
а — T sin 卩=0,
Т =
Т =
COS В
COS В
Из первого уравнения следует, что S± = S?; поэтому из второго уравнения получаем:
с с т sin В Р tg В2sma 2 sin a
§ 12. Момент силы относительно точки.Условие равновесия рычага
Представим себе твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и пересекающей эту плоскость в точке О (рис. 39); пусть на это тело действует система сил, лежащих s одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения (в плоскости чертежа), например две силы /\ и 居. Такое тело называется рычагом. Эффективность силы, приложенной к рычагу и стремящейся, очевидно, повернуть рычаг вокруг его оси вращения, определяется, как известно из опыта (например, при отвинчивании или завинчивании гайки ключом), моментом этой силы относительно точки О. Моментом силы относительно
данной точки называется взятое со знаком гиюс или минус произведение модуля силы на длину перпендикуляра^ опущенного 〃з этой точки на линию действия силы. Расстояние дайной точки от линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки; следовательно, абсолютная величина момента силы относительно данной точки равна произведению модуля силы на ее плечо относительно этой точки. Условившись приписывать моменту силы знак плюс или минус в зависимости от того, в каком направлении эта сила стремится повернуть рычаг вокруг точки О, будем считать момент силы положительным, если эта сила вращает рычаг
вокруг точки О в направлении, обратном движению часовой стрелки; в противном случае будем считать момент силы отри
цательным.
Если линия действия данной силы проходит через точку О, то плечо, а следовательно, и момент этой силы относительно точки О будут равны нулю. Такая сила, очевидно, не может вызвать вращения рычага.
Момент силы F относительно точки О будем обозначать так: то (F). Тогда, как видно из рис. 39, будем иметь:
电）（居）=无1з h mo （居）=-h2F2.
Если численное значение силы выражено в килограммах, а длина ее плеча ——в метрах, то момент силы выражается в кило- ^раммометрах (司ем).
Пользуясь понятием момента силы, можно очень просто выразить условие равновесия рычага, т. е. найти то условие, которому Должны удовлетворять приложенные к рычагу силы F、и 玛，
чтобы он оставался неподвижным. В самом деле, пусть рычаг закреплен в точке О при помощи цилиндрического шарнира (рис. 39); предполагая, что линии действия сил F、и 居 не параллельны, продолжим их* до пересечения в точке С; перенося точки приложения сил 尸工 п 居 в точку С и складывая эти силы по правилу параллелограмма, приведем их к одной равнодействующей R. Теперь рычаг находится под действием двух сил: силы Я и реакции Rq шарнира О. При равновесии эти две силы должны быть направлены по одной прямой. Отсюда следует, что при равновесии рычага линия действия равнодействующей сил 死 и F2 проходит через неподвижную точку О. Опустим теперь из конца D вектора R перпендикуляры Dax и Dbr на линии действия сил /\ и F2. Так как площадь параллелограмма, построенного на силах А】и 居,выражается произведением одной из его сторон на соответствующую высоту, то
&D。i =与0%, или
Так как D^ || Оа и Dby || Ob, то, как легко понять из рис. 39, эти отрезки пропорциональны, т. е.
DbiOb Л2 ,d生0а 一 hJ
следовательно,
т. е. при равновесии рычага численные значения сил 歹1 и F? обратно пропорциональны плечам этих сил относительно неподвижной точки рычага.
В этой форме условие равновесия рычага было впервые дано Архимедом.
Предыдущее равенство можно переписать в виде
6也一F2h2 = 0, или
mo (居)+ m0 呢)=0,(17)
т. е. при равновесии рычага алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил относительно неподвижной точки рычага равна нулю、
Если это условие пе выполнено, то рычаг не может находиться в равновесии, так как линия действия равнодействующей R в этом случае не пройдет через неподвижную точку О, а потому сила R не может быть уравновешена реакцией 7?。шарнира и вызовет вра-
щение рычага вокруг точки О. Наоборот, если условие (17) выполнено, то линия действия равнодействующей Я пройдет через неподвижную точку О и потому не сможет вызвать вращения рычага; сила Я будет уравновешиваться в этом случае реакцией Яо шарнира О и рычаг будет оставаться неподвижным. Таким образом, мы видим, что равенство (17) выражает необходимое и достаточное условие равновесия рычага. Этим условием удобно пользоваться при решении задач статики, относящихся к равновесию рычага.
Так как при равновесии рычага силы 7?о и R равны по модулю, то в том случае, когда в задаче нужно найти реакцию закрепленной точки рычага (шарнира), для этого достаточно определить модуль этой равнодействующей Д.
В качестве примера рассмотрим решенную в § И задачу 15. Балка ОА представляет собой прямолинейный рычаг с неподвижной точкой О (рис. 35). Плечо силы Р равно О А = /; чтобы найти плечо силы Т、опустим из точки О перпендикуляр на линию действия этой силы; длину этого перпендикуляра h находим из прямоугольного треугольника:
2h = OB sin а = § Zsin а.
Следовательно,
mo (Р) = — IP
и
то (Т) = hT = з /Т sin а.
Так как балка находится в равновесии, то, приравнивая нулю сумму этих моментов, получим:
IT sin а —必=О,
откуда находим:
sin а *
Сравнивая это решение с тем, которое дано в § 11, мы видим, что в данном случае способ моментов позволяет найти силу Т скорее и проще, чем способ проекций.
Решим еще следующую задачу того же типа.
=儿=儿ОВОВПример 18. Балка ОА весом Р, закрепленная на шарнире О, опирается в точке 8 на неподвижную опору, как показано на рис. 40. Найти реакции в точках О и В, если известны угол а наклона балки к горизонту и отношение
=儿
=儿
ОВ
ОВ
Решение. Обозначим реакцию в точке В через /V; зта сила направлена перпендикулярно к балке (см. § 4). Реакцию шарнира О обозначим через Яо. Так как три силы Р, N и % уравновешиваются, то они должны
быть сходящимися: поэтому линия действия силы Rq проходит через точку
пересечения D линий действия сил Р п N; следовательно, сила Яо направлена по прямой OD. Для определения модуля силы ^ воспользуемся, как и в предыдущем примере, условием равновесия рычага, т. е. приравняем нулю сумму моментов сил N и Р относительно неподвижной точки О. Если обозначим расстояние ОВ через а, то по условию задачи СВ =砌 и
ОС ~ а — па = (1 — п) а.
Плечо силы N относительно точки О равно а и, следовательно,
niQ (N) — aN.
Плечо силы Р равно расстоянию точки О от линии действия этой силы, т. е., как видно из рис. 40, равно ОС cos а = (1 ——п) а cos а и, следовательно, m0 (Р) = 一 (1 — п) аР cos а.
Согласно условиюСогласно условиюравновесия рычага имеем:
Согласно условию
Согласно условию
aN 一 (1 — п) аР cos а = 0,
отсюда находим:
TV = (1 — /г) Р cos а.
Остается определить модуль силы R® Для этого достаточно найти равно действующую сил N и Р, так как сила % должна быть равна по модулю (и противоположна по направлению) этой равнодействующей. Так как угол между направлениями сил 尸 и 7V равен, очевидно, 180° — а, то по формуле ⑴ § 5 находим:
R。= ]/>2 十 N2 十 2P7V cos^lSO匸一о) = 了严飞 n? — 2尸％ cos a.
Силу Яо мы можем, конечно, найти и по способу проекций. В самом деле, направим координатные оси 方 и у по оси балки ОА и перпендикулярно к ней; обозначая угол, который сила 百。образует с осью 幻，через 屮 и проектируя силы Hq , JV и Р на оси 方 и у, получим следующие два уравнения:
Ro cos 屮一Р sin a = 0 и Ro sin 屮 + W — P cos a = 0.
Так как величина TV уже известна, то из этих уравнений нетрудно найти R。 и (р. Для этого перепишем эти уравнения в виде:
R О cos 屮 =Р sin а и RQ sin ф = P cos a — ^.
Разделив второе уравнение на первое, получим:
. Р cos a —
g 中_P sin a—
Для определения R。возведем предыдущие два уравнения в квадрат и сложим; тогда получим:
откудаоткудаR方（cos2 ср 十 sin2 屮）=Г? sin2a 十 P® cos2 a — 2PW cos a + №,
откуда
откуда
й0 = /№ + р2 — 2PN cos a,
т. е. приходим к тому же результату, что и выше.
Остается теперь в полученные формулы подставить найденное выше значение ^ — （1 — ?i）P cos а; тогда
ииRq ~ РУ （i —几）2 cos2 a + 1 — 2 （1 —打）соь2 a = ~ Р У sin2 a + 几2 cos2 aRq ~ РУ （i —几）2 cos2 a + 1 — 2 （1 —打）соь2 a = ~ Р У sin2 a + 几2 cos2 atgcp =tgcp =P cos a — （1 —冷 P cos aP sin aP cos a — （1 —冷 P cos aP sin a=7i etg a.=7i etg a.
и
и
Rq ~ РУ （i —几）2 cos2 a + 1 — 2 （1 —打）соь2 a = ~ Р У sin2 a + 几2 cos2 a
Rq ~ РУ （i —几）2 cos2 a + 1 — 2 （1 —打）соь2 a = ~ Р У sin2 a + 几2 cos2 a
tgcp =
tgcp =
P cos a — （1 —冷 P cos aP sin a
P cos a — （1 —冷 P cos aP sin a
=7i etg a.
=7i etg a.
Рис. 41.Рис. 41.
Рис. 41.
Рис. 41.
Таким образом, сила R。определена полностью: н по модулю, и но направлению.
Г Л А В А 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ
Сложение двух параллельных сил
Пусть на данное тело действуют две параллельные силы /\ и 居，направленные в одну сторону （рис. 41）. Требуется найти их
равнодействующую. Для этого в точках приложения А и В этих сил приложим две равные по модулю силы 7\ и G, направленные по прямой АВ в противоположные стороны. Система четырех сил 吊，居，7\ и 笃 эквивалентна данной системе сил 网 и 居,что следует из аксиомы II. Сложив теперь силу 7\ С СИЛОЙ ?1 И силу 丁2 С силой 居，получим две уже непараллельные силы 7?1 и Я2; перенесем эти силы в точку О пересечения их направлений, так что они изобразятся соответственно
векторами 7?； и R\. Поступим
теперь обратно: силу 7?； разложим на две силы Ft и Тх и силу 耳一на две силы 居 и %
Равнодействующая сил ^ и Т2 равна нулю, а потому остается сложить две силы ^ и /^, приложенные в точке О и направленные， по одной прямой. Их равнодействующая Я направлена по той же прямой, а модуль ее равен сумме модулей данных сил, т. е.
R =与 + %. (18)
Эта сила 7?, очевидно, является искомой равнодействующей двух данных параллельных сил.
Перенесем точку приложения этой силы по линии ее действия в точку С, лежащую на прямой АВ. и найдем положение точки С на этой прямой. Из подобных треугольников имеем:
ОС _ F2 ОС _ % с万и =
внимание,(19)(20)внимание,(19)(20)Разделив первое равенство па второе и принимая во что 7\ —厶，получим:
внимание,
(19)
(20)
внимание,
(19)
(20)
cb = f；> или %・АС =%・СВ.
Из предыдущей пропорции следует также, что АС СВ АС +。冃—/月
откуда находим:
ac=-it~=f^\ и С8 = —й-=^^・
Таким образом, приходим к следующему заключению: равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторонуч параллельна этим силам и направлена 8 ту же сторону; модуль равнодействующей равен сумме модулей данных сил, а линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения данных сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные этим силам.
Пусть имеем теперь две параллельные силы 网 л 居,приложенные в точках Л и В и направленные в противоположные стороны; такие силы называются
антипараллельными. Пусть Fx ^>F2\ найдем равнодействующую этих сил. Заменим для этого силу 尸】двумя эквивалентными ей параллельными силами: силой 网，приложенной в точке В, причем F〈=夕2, и силой 7?, приложенной в некоторой точке С (рис. 42).
Так как сила £ должна быть эквивалентна силам 居 и 7?, т. е. является их равнодействующей, то на основании предыдущего результата будем иметь:
т. е.иотсюдат. е.иотсюдаF^F. + R^F^R,7?"1一储F^F. + R^F^R,7?"1一储(18')(18')
т. е.
и
отсюда
т. е.
и
отсюда
F^F. + R^F^R,
7?"1一储
F^F. + R^F^R,
7?"1一储
(18')
(18')
—ab>f2 _ab f2
это равенство определяет положение точки С. Из предыдущей пропорции получаем:
АС + АВ _F2 + R
~АС~ =尸 2—， или
= 丄 и F1AC=F2CB.(19')
Так как силы 居 11 尸;взаимно уравновешиваются, то в результате остается одна сила Я, которая, следовательно, является искомой равнодействующей двух данных (антппараллельных) сил 尸 1 л 戸2； таким образом, приходим к заключению: равнодействующая двух антипараллелъных сил параллельна этим силам и направлена 8 сторону большей силы; модуль равнодействуюгцей равен разности модулей данных сил, а линия действия раенодействуюгцей делит расстояние между точками приложение данных сил внешним образом на части, обратно пропорциональные этим силам.木3
Мы видим, что в этом случае линия действия равнодействующей Я проходит через точку, лежащую вне отрезка АВ, и притом ближе к болъ~ 'j шей силе.I
При сложении двух антипараллельных сил мы ] предположили, что эти силы не равны по модулю. £
Пусть имеем теперь две равные по модулю Рис. 43. аптипараллельные силы; этот случай, как сейчас увидим, является особым; такая система двух равных по модулю антипараллельных сил называется парой сил (рис. 43). Из полученных выше равенств
К = / —% и
АС
_/8尸2
следует, что если F2 стремится к 6口 то R стремится к нулю, а 4С неограниченно возрастает.
Таким образом, мы видим, что численное значение равнодействующей двух равных по модулю антипараллельных сил обращается в нуль, а точка ее приложения удаляется в бесконечность. Этот результат указывает на то, что в действительности пару сил невозможно заменить одной силой, ей эквивалентной, т. е. пара не имеет равнодействующей. Отсюда следует также, что пару нельзя уравновесить одной силощ в самом деле, если бы пара уравновешивалась одной силой, то на основании следствия 2 параграфа 3 эта уравновешивающая сила, взятая в противоположном направлении, являлась бы для данной пары равнодействующей, что невозможно. Ясно, что пара, приложенная к твердому телу, вызывает вращение этого тела, если только этому не препятствуют наложенные на тело связи.
Разлоягение данной силы на две, ей параллельные
Пусть данную силу F требуется разложить на две параллельные ей силы, приложенные в заданных точках Л и В (рис. 44). Перенесем точку приложения силы F по линии ее действия в точку С, лежащую на прямой АВ. Так как точки Л и В даны, то отрезки АС и СВ известны. Пусть АС = а и СВ = 6; обозначим искомые составляющие силы через 尸厶 и FB. Тогда на основании результатов предыдущего параграфа бу-
Совершенно так же задача решается и в том случае, когда точка С пересечения линии действия данной силы F с прямой АВ находится вне отрезка АВ. В этом случае силы 尸а и Fb будут, очевидно, антипараллельны, а модуль силы F будет равен разности модулей составляющих сил.
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 19. К стержню ABt подвешенному на двух параллельных веревках AD и BE, привязан груз весом р = 80 кг. Определить натяжения веревок, если АС = 30 см и СВ = 50 см. Собственным весом стержня можно пренебречь (рис 45).
Рис. 45.Рис. 45.очевидно,очевидно,Q.DBАВQ.DBАВ60 • J лв_АВ~60 • J лв_АВ~~ 45 кг (на опору Л),~ 45 кг (на опору Л),
Рис. 45.
Рис. 45.
очевидно,
очевидно,
Q.DB
АВ
Q.DB
АВ
60 • J лв
_АВ~
60 • J лв
_АВ~
~ 45 кг (на опору Л),
~ 45 кг (на опору Л),
Решение. Стержень находится в равновесии под действием трех параллельных сил: Т^, Тв и Р, где ТА и Тв — реакции веревок; следовательно, равнодействующая Я сил 丁厶 и 4 уравновешивает силу Р, а потому] эти две силы имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Отсюда следует：
или
ТА+ТВ = 80, ЗГА = 5ТВ.
Из этих уравнений находим:
ТА = 50 кг и 7石=30 кг.
полупить, разложив данную силу Р на две параллельные ей силы, приложенные в точках / и В. Эти составляющие силы определяют искомые натяжения веревок.
Пример 20. Балка весом Р = 100 кг лежит на двух опорах Л и В.
На балку положен груз весом Q = 60 кг, причем AD = % АВ、Определить давления на опоры А и В (рис. 46).
Решение. Так как в данном случае к балке приложены две силы Р и Q, то для определения искомых давлений достаточно каждую из этих сил разложить, как и в предыдущей задаче, на две параллельные ей силы, приложенные в точках А и В. Предположим, что собственный вес балки приложен в ее середине; тогда составляющие силы Р будут равны между собой; следовательно, давление, вызываемое весом балки, на каждую из опор равно 50 кг. Давления на опоры А и В, вызываемые силой Q, находим по формулам (22). Эти давления равны
С ЛП 6° • ； /В
—15 кг (на опору В).—15 кг (на опору В).Q • AD 4
—15 кг (на опору В).
—15 кг (на опору В).
АВ =^~
Полные давления на опоры, следовательно, равны — на опору А: 50 十 45 = =95 кг и на опору В : 50 -Ь 15 == 65 кг.
Пример 21. Полиспаст состоит из неподвижного блока А и трех подвижных блоков В, С и D. Груз весом Q, подвешенный к нижнему блоку D, Уравновешивается вертикальной силой, равной Р и приложенной к свобод-
ному концу веревки, перекинутой через неподвижный блок А. Пренебрегая собственным весом подвижных блоков и сопротивлением трения, найти зависимость между Р и Q, если веревки, охватывающие все блоки, параллельны (рис. 47). Решение. Рассмотрим
"耽物勿勿""
как сила Q приложена в его
нижний блок D\ так
,,центре, то натяжения
обоих параллельных концов веревки, охватываю- ,X., очевидно, равны между собой и,
щей этот блок.
следовательно, каждое из них равно J; поэтому ко Вто^
рому блоку в точке С приложена
как эта сила приложена в центре
концов веревки, охватывающей
сила, равная g. Так
блока, то
блок С,
каждое; следовательно, к третьему блоку
натяжения
равны
в точке
й
приложена сила, равная |. Отсюда заключаем, чтонатяжение веревки, охватывающей блок В, равно §・
Но, с другой стороны, это натяжение равно, оче- видно, Р，Следовательно,
p_Q_Q
Рис. 47.8 ~ 23 •
Если в полиспасте имеется 几 подвижных блоков, то
§ 15. Сложение многих параллельных сил.Центр системы параллельных сил
Умея складывать две параллельные силы и применяя способ последовательного сложения, можно найти равнодействующую скольких угодно параллельных сил.
Пусть даны параллельные силы 居，居，居 и 冗(рис. 48), приложенные в точках Лп Л2,』з и 4& и направленные в одну сторону. Сложим сначала силы 瓦 и 居；получим силу 7?卜 причем 7?1 = 6工 + /； линия действия этой силы пересекает прямую ЛгЛ2 в точке С〕* положение которой на отрезке а】/? опреде* ляется по формуле (21) § 13:
А£ =А£ =Е2 ' /1/2Е2 ' /1/2
А£ =
А£ =
Е2 ' /1/2
Е2 ' /1/2
Сложим теперь силы Rt и F3; получим силу /?2, причем R2 = Лг + 十 63 =/^ + 月2 + 歹з； ппнин действия этой силы проходит через точку С?, положение которой на отрезке СХА3 определяется из
равенства
Сложив, далее, силы Т?2 и F4, найдем равнодействующую R данной системы параллельных сил, причем
К = Т?2 +^4 =Л +Л +歹3 +^4 = £6.
За точку приложения этой равнодействующей может быть принята точка С, положение которой на отрезке С2Л4 определяется из равенства
%^ = ^.
от точек ихот точек ихприложения, но не зава- сил. Эта точка С назы-приложения, но не зава- сил. Эта точка С назы-Мы видим, таким образом, что равнодействующая системы параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет то же н@- правление, что и данные силы} модуль равнодействующей равен сумме модулей этих сил. Кроме того, ясно,что положения точек С2 и С останутся неизменными^ если, не изменяя положения точек Л1? Л2, А3 и и модулей данных сил 吊，F2,居 и 爲，мы изменим только их общее на- правление^ оставляя эти силы параллельными. Другими словами, положение точки С зависит только от модулей данных параллельных сил и
от точек их
от точек их
приложения, но не зава- сил. Эта точка С назы-
приложения, но не зава- сил. Эта точка С назы-
сит от направления этих п( вается центром данной системы параллельных сил. Если изменим только направление данных сил, оставляя их параллельными, то при этом соответственно изменится и направление их равнодействующей Я, но линия действия этой силы R по-прежнему пройдет через точку С. Таким образом, центром системы параллельных сил, модули и точки приложения которых заданы, называется такая точка, через которую проходит линия действия их равнодействующей при любом направлении этих сил.
Определим теперь положение центра С данной системы параллельных сил аналитическим путем. Для этого решим следующую задачу: дана система параллельных сил 居，居，居，…，Fn, направленных в одну сторону и приложенных в точках 4丄，Л2, <з, ..., Ап, причем координаты этих точек (勺,％, zj, (&,圾，^2j, (#з，Уз，餐),..., (хп1 Уп, 2П) известны. Требуется найти координаты 货с, ус, z(； центра С этой системы параллельных сил.
Вычислим сначала абсциссу х точки Съ в которой приложена равнодействующая R{ сил 居 и 居（Рис. 48）; заметив, что точка Сг делит отрезок АгА2 па части, обратно пропорциональные силам Fx и 居，т. е. что ф~ =§, воспользуемся известной формулой аналитической геометрии для координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении ^ = X. По этой формуле имеем:
xf =
〃2] + mx2 _ e1 + 九宏2
加十71
1 +大
где 勺 и & обозначают абсциссы концов данного отрезка.
В рассматриваемом случае нужно, очевидно, положить 方=尸 тогда получим:
，_尸1定1 +尸2方2 一修十FT
Найдем теперь абсциссу #" точки С2, в которой приложена
равнодействующая Т?2 сил Rr и 居；точка С2 делит отрезок СгА3
на части, обратно пропорциональные силам % 口居，т. е. По той же формуле аналитической геометрии имеем:
полагая здесь
получим:
胃〃 —nxr + mx3 m十n '
竺=g丄_戸3 n 一瓦一瓦不瓦"，
，_ （尸1 + 尸2）£'+尸3£3
/+ % +/'
или, подставляя найденное выше значение а/：
"一f1修 + 尸2方2 +尸3方3
Вычисляя, далее, таким же путем абсциссу а"' точки С3, в которой приложена равнодействующая 7?з сил Т?2 и 居，найдем:
产=尸1/ + 尸23 + 尸3m3 + 尸#4
Продолжая эти вычисления до тех пор, пока сложим все данные силы, и замечая общий закон составления получаемых формул, для абсциссы хс центра С будем, очевидно, иметь следующее выражение:
一 尸产1 + 万2方2 + 尸3^3 + .… +F箇方？1 _ 工尸方
С/十/十尸8十. . . 古歹?ге* ♦
имеютимеют
имеют
имеют
Для двух других координат ус и z。будем иметь два аналогич- ных выражения. Таким образом, получаем следующие общие формулы для координат центра системы параллельных сил;
^FxEFy£Fz/ооч
хс ~ 一£斤，Ус = £戸，％ н S? *（23）
Рассмотрим теперь задачу сложения параллельных сил в более общем случае.
Пусть к телу приложена система п параллельных сил, причем силы 居，F2,…，Fk направлены в одну сторону и приложены в точках 4 （#1, w，zj, 4 （х2, Ум 旳），…,4為（昨,力，zft）, а силы 耳心 Fk+^ ..., Fn направлены в противоположную сторону и приложены в точках 厶狂1 （冲+1,沙“1, Zw）,…，A„ （吃，yn, zn）. Чтобы найти рав- недействующую этой системы параллельных сил, сложим сначала силы F” 居，…，旦，направленные в одну сторону. Если обозначим пх равнодействующую через /Г, а координаты центра С' этих параллельных сил — через 冗с，, у а и z。，, то на основании предыдущих результатов будем иметь:
R =г = 1
kkk
%，-]‘沙讣 Уu =元^ ] F?У、、“c7 H 27〉匕Zj.
i=li = li = l
Затем сложим силы 爲十㈠ 爲+2, •・・，耳,также направленные в одну сторону. Пусть Rtf и Сп （纳，，ус，，，zc“）обозначают равнодействуювдую и центр этих параллельных сил. Тогда
』内+ 1пп
i = *4-16 =左+1
Остается теперь сложить две антипараллельные силы R и Rf, （рис. 49）. Здесь могут представиться следующие три случая: 1） силы /Г и Rf,
ные модули; такие силы, как известно из § 13, приводятся к одной равнодействующей силе; 2） модули сил й' и Rf, равны; в этом случае данная система параллельных сил не имеет равнодействующей, а приводится к паре сил; 3） силы 笈'и R' имеют
равные модули и направлены по одной прямой; в этом случае данная система параллельных сил представляет собой уравновешивающуюся систему сил.
Остановимся на первом из этих случаев, т. е. предположим, что R,f W пусть, например, R〉
В этом случае искомая равнодействующая Я данной системы параллельных сил совпадает с равнодействующей двух антипа- раллельных сил А' и А" и, следовательно, направлена в сторону большей из этих сил и имеет модуль, равный разности их модулей, т. е.
R = R — Е" или
7? = S Л - 2 鳥=2Х+ W (一鳥)，г — 1 i=电 + 1 г = 1 i =电+ 1
или, короче,
Е =它 (24) i= 1
где под Fi теперь нужно -понимать алгебраическое значение силы, т. е. модуль силы, взятый со знаком + или ——в зависимости от того, в какую сторону направлена эта сила.
Таким образом, мы видим, что в общем случае модуль равнодействующей системы параллельных сил равен сумме алгебраических значений этих сил; при этом значения сил, направленных в одну сторону, нужно считать положительными, а сил, направленных в противоположную сторону,——отрицательными. Понятно, что в том случае, когда сумма алгебраических значений данных сил окажется отрицательной, модуль их равнодействующей равен абсолютному значению этой суммы; знак этой суммы указывает, в какую сторону направлена равнодействующая.
Линия действия равнодействующей Я проходит через точку С, лежащую на продолжении отрезка С^С' за большей силой, причем расстояния точки С от С' и С" обратно пропорциональны силам А' и т. е.
Эта точка С является центром данной системы параллельных сил. Найдем координаты этой точки. Для этого воспользуемся опять формулой деления отрезка в данном отношении. Как из^ вестно из аналитической геометрии, в случае внешнего деления отношение ^ = %, в котором делится данный отрезок, является
отрицательным, а так как точка С делит отрезок (УС" внешним образом, то в рассматриваемом случае нужно положить X = —交； следовательно,
ж^, 九冗с〃7?%с，R'%c”
Хс = —1 + 九—^Н' — R" .
Подставляя сюда найденные выше значения :г。，и £с〃 и заменяя R —力''через 凡 получим:
Ankп
хс =хс =2 (一"闯
хс =
хс =
1=1i0奄+1i=l i=奄 + 1
или
% =% =nni=li=l
% =
% =
n
n
i=l
i=l
где ^ опять обозначает алгебраическое значение силы. Такие же формулы получим и для ус и zj Таким образом, в самом общем случае, опуская для краткости индекс 2, имеем следующие формулы для координат центра системы параллельных сил:
(23‘)(23‘)Е尸定Е尸yЕ尸z
(23‘)
(23‘)
% ~ EF，％=豆尸 1% = ‘2夕•
Это — те же самые формулы (23), но напомним еще раз, что в общем случае, когда в данной системе параллельных сил имеются силы, направленные в противоположные стороны, в этих формулах под F нужно понимать алгебраическое значение силы. Так как в формулы (23') входят только алгебраические значения данных сил и координаты их точек приложения, то отсюда следует, что и в общем случае положение центра системы параллельных сил зависит только от алгебраических значений этих сил и от координат их точек приложения.
Если данная система параллельных сил не имеет равнодействующей, а приводится к паре сил, то в этом случае, как было уже указано, равнодействующая А' сил, направленных в одну сторону, равна по модулю равнодействующей Rf, остальных сил, направленных в противополояшую сторону, и следовательно, сумма алгебраических значений всех данных сил равна нулю, т. е. £歹 = 0; точка С в этом случае является бесконечно удаленной.
Пример 22. На тело действуют пять параллельных сил в 10, 15, 30, 15 и 10 кг, приложенных соответственно в точках Лх (1, 2, 3,) Z? (2, 3, 1),
力3 (3, 1, 2), Л4 (О, 1, 1) и Л5 (1, —1,0), причем первые четыре силы направ* лены в одну и ту же сторону, а последняя сила направлена в противоположную сторону. Найти координаты центра этой системы сил.
Решение. Полагая в полученных выше формулах для координат центра параллельных сил согласно условиям задачи 尸^ = 10, F2 — 15, 7?з = 30, % = 15,耳5 =——10 и a^i = 1, g = 2, & = 3,旳=0,磔=1, получим:
10<1 4* 15 - 230-3 -Ь 15 - 0 — 10-1120
10+15 4-30 4- 15-10= 60 =乙
Таким же способом находим и две другие координаты точки С： % = 2 н %с = 2.
§ 16. Равновесие рычага при действии на негопараллельных сил
Рычагом, как уже было указано, называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и находящееся под действием системы сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси. В § 12 мы говорили о равновесии рычага в случае действия на него сходящихся сил. Рассмотрим теперь тот случай, когда к рычагу приложена система 斗 к —/5параллельных сил. Пусть на рычаг
действуют параллельные силы F^ 厂芍*]勿 孔，居,冗(рис. 50), лежащие в плосок J^кости чертежа, и пусть в точке О
土N^^^f^^ рычаг закреплен при помощи цилинИдрического шарнира, ось которого
( 丿/『0»перпендикулярна к этой плоскости.
\_^_ JНайдем условие, которому должны
К ^ ~Чудовлетворять действующие на рычаг
'силы при равновесии. Приложенная
Рис. 50.к рычагу система параллельных сил,
как мы знаем из предыдущего параграфа, может быть приведена или к одной равнодействующей силе А, или к паре сил. Ясно, что если линия действия равнодействующей Я не пройдет через точку опоры О, то она вызовет вращение рычага вокруг этой точки, и следовательно, равновесие в этом случае невозможно; если же линия действия силы Я пройдет через неподвижную точку О, то эта сила уравновесится реакцией шарнира и рычаг будет оставаться неподвижным.
Допустим теперь, что приложенная к рычагу система парал
лельных сил приводится к паре; понятно, что в этом случае равновесия быть не может: в самом деле, если бы рычаг при действии на него пары сил оказался в равновесии, то это значило бы, что реакция шарнира О уравновешивает эту пару, что невозможно, так как пара не может быть уравновешена одной силой. Следовательно,
так же как и в § 12, приходим к заключению, что при равновесии рычага приложенная к нему систем! заданных параллельных сил приводится к равнодействующей симе, проходящей через неподвижную точку рычага.
Выразим теперь это условие в другой форме. Возьмем начало координат в неподвижной точке О, ось Ох направим перпендикулярно к данным силам, а ось Оу ——параллельно им. Если обозначим абсциссу центра приложенных к рычагу заданных параллельных сил через хс, то по формуле （23'） имеем:
Если равнодействующая Я этих сил проходит через точку О, то 冗с = 0. Отсюда заключаем, что рычаг может находиться в равновесии только в том случае, если £歹冗 = 0. В этом равенстве, как известно из предыдущего параграфа,冗 обозначает абсциссу точки приложения данной силы, a F — алгебраическое значение силы, т. е. модуль силы, взятый со знаком + или ——в зависимости от направления этой силы. Будем считать силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси у, положительными, а силы, направленные в противоположную сторону, отрицательными. Тогда, как видно из рис. 50, получим:
一歹1勺+F2/2十月3花3-b4R ~ 0.
Далее, из рлс. 50 видим, что абсолютное значение абсциссы xz точки приложения силы 居 равно расстоянию линии действия этой силы от точки О, т. е. представляет собой плечо /% этой силы относительно точки О; следовательно,
花1 - /% n2 =力2，花3 =力3，g = "4.
Составляя теперь моменты всех сил относительно точки О и принимая во внимание знаки этих моментов, согласно сказанному в § 12 получим:
加。（FJ — — 4力1 =-尸口1，WO （爲）=+ /每=用2优2；
加。（居）=-4力3 - %优3， mO （居）=+ P^ = - F^x^
Поэтому предыдущее равенство, выражающее условие равновесия рычага, можно представить в виде
Ш0 （名）+ m0 （房）+ то （居）+ m。（爲）=0
или короче:
S^o （曾=0,
т. е. мы получили условие равновесия рычага в той же самой форме, как и в том случае, когда к рычагу приложены сходящиеся силы, а именно: при равновесии рычага, находящегося под действием
системы параллельных сил, алгебраическая сумма моментов этих сил относительно неподвижной точки, вокруг которой может вращаться рычаг, равна нулю,
С задачей о равновесии рычага, находящегося под действием
системы параллельных сил, в статике приходится часто встречаться. Все такие задачи очень просто решаются при помощи полученного уравнения моментов, выражающего условие равновесия рычага.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 23. Предохранительный клапан D парового котла соединен стержнем AD с рычагом ОВ длиной в 40 см и весом в 1 кг, вращающимся на шарнире О, причем ОА = 5 см, а площадь клапана равна 25 см2 (рис. 51).
В точке С рычага подвешен груз весом Р = 32,8 ка. Определить расстояние ОС
при условии, чтобы клапан открывался при давлении в котле, большем 10 атмосфер. Атмосферой (технической) называется давление, равное 1 左2 на 1 а*
Решение. На рычаг ОВ действуют три силы: сила Р, приложенная к рычагу в точке С, собственный вес стержня Q, приложенный в середине
ааРис. 52.Рис. 52.ОВ, и сила F давления пара, направленная по DA и приложенная к рычагу в точке Л 】).По условию задачи рычаг должен находиться в равновесии при давлении в котле в К) атмосфер. Составив моменты сил 尸,Q и 歹 относительно точки О и ириравияв сумму этих моментов нулю, получим условие равновесия рычага ОВ:
а
а
Рис. 52.
Рис. 52.
—Р • ОС — Q • 0,505 +F-OA = 0.
Найдем численное значение силы F; при 10 атмосферах давление на 1 см2 равно 10 кг, а так как площадь клапана В равна 25 см2, то F = 10 • 25 кг.
Подставляя в предыдущее уравнение численные значения сил и расстояний, получим:
32,8 - ОС + 1 - 20 — 10.25 - 5 = 0,
откуда
ОС = 37,5 см.
Пример 24. Дифференциальный блок, схематически изображенный на рис. 52, состоит из двух неподвижных блоков радиусов ОА и ОВ, жестко соединенных между собой и вращающихся на общей оси О, и из подвижного блока 。厂 Края блоков снабжены зубцами, иа которые надеваются звенья замкнутой цепи CBDEFA.
Один конец этой цепи свободно свептива ется с непо
движного блока в точке А; к другому концу, свешивающемуся с неподвижного блока в точке С, приложена сила 尸；к блоку О1 подвешен груз весом Q. Найти зависимость между 尸 и Q при равновесии, если ОВ = К и ОА = г.
Сила давления пара, действующая иа клапан Р, передается на рычаг через стержень DA.
Решение. Рассмотрим сначала нижний блок С\; так как сила Q приложена в центре этого блока, то ясно, что натяжения параллельных цепей EF и DB равны? каждое, а потому на верхний блок действуют три силы:
сила Р и две силы, равные у и приложенные в точках F и В, При равновесии этого блока сумма моментов этих трех сил относительно неподвижной точки。 равна нулю, а потому получаем следующее уравнение:
ря + Я =0,
откуда находим:
p = ^Fq・
Пользуясь условием равновесия рычага, можно легко находить опорные реакции в случае балки, нагруженной параллельными силами.
Пример 25. К горизонтальной балке, лежащей на двух опорах, приложены вертикальные силы ^，^ и ^3, Расстояния точек приложения этих сил от опор и расстояние между опорами указаны на рис. 53. Найти реакции опор.
Рис. 54.Рис. 54.
Рис. 54.
Рис. 54.
Решение. Устранив мысленно правую опору, мы должны будем для удержания балки в равновесии приложить к ней в точке В силу, равную реакции этой опоры; обозначим эту силу через 也.(Мы могли бы, например, привязать к балке в точке В веревку, перекинутую через блок, и подвесить к свободному концу этой веревки соответствующего веса груз, как это показано па рис. 54.) Очевидно, мы не нарушим равновесия балки, если в точке Л вместо опоры установим неподвижный шарнир. Тогда мы можем рассматривать балку как рычаг с неподвижной точкой Л. Поэтому, поскольку балка находится в равновесии, сумма моментов всех приложенных к ней сил относительно точки А должна равняться нулю, т. е.
-lvFx - l^F2 - (l - %) % + 2死=。。
Отсюда находим реакцию правой опоры:
Zi%+什2+(2一 %)% 厶尸丄为斤丄4 餡下
Совершенно так же, обозначая реакцию левой опоры через Л\ и составляя
уравнение моментов относительно точки В, получим:
—INl + （Z -厶）Fr + （I 一 %）耳2 + 4尸3 ~。.
Отсюда находим:
Сумма реакций 叩丄 + TV2 равна, очевидно, сумме заданных сил 歹工 十 下2 十歹з・
ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ ПАР
§ 17. Момент пары
Парой сил называется система двух равных по модулю антипа* раллельных сил. В § 13 мы установили, что пара сил не имеет рав~ нодействующей, т. е. пару сил нельзя заменить одной силой, ей эквивалентной. Поэтому в статике наряду со свойствами сил, действующих на твердое тело, приходится рассматривать и свойства пар. Теория пар позволяет, как /, / увидим далее, весьма просто разре-
—一^ ' / шить основной вопрос статики —— вы- ^г‘ / вести условия равновесия системы / 卜/ /сип, приложенных к твердому телу
/^^8 /в самом общем случае.
//Расстояние между линиями дей
ствия сил пары （居 F'）, т. е. длина Рис. 53.перпендикуляра d, опущенного из
точки приложения А одной из сил пары на линию действия второй силы, называется плечом пары （рис. 55）. Плоскость, в которой расположена данная пара, называется плоскостью действия этой пары. Основным н важнейшим понятием в теории пар является понятие момента пары. При этом численное значение момента пары определяется как произведение модуля одной из сил пары на плечо этой пары. Обозначая численное значение момента пары через т, имеем, следовательно,
т — Fd = Ffd.
Если численные значения сил пары выражены в килограммах^ а длина ее плеча —— в метрах, то численное значение момента пары выражается 6 килограммометрах.
Из рис. 55 следует, что момент пары численно равен удвоенной площади треугольника АВС, т. е. треугольника, который получим, соединив начало и конец одной из сил пары, например F\ с точкой приложения А второй силы, так как в этом треугольнике отрезок ВС = /' является основанием, а плечо пары —— высотой.
§ 18. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
В этом параграфе мы рассмотрим теоремы, выражающие основные свойства пар и устанавливающие условие эквивалентности двух пар.
Теорема 1. Две пары, лежащие 6 одной плоскости 辽 имеющие численно равные моменты и одинаковое направление врагце- ния, эквивалентны.
Доказательство. Пусть даны две пары (F, F') и (Fb F/), лежащие в одной плоскости (рис. 56), имеющие численно равные моменты и одинаковое направление вращения (по часовой стрелке). Требуется доказать, что эти пары эквивалентны.
Предполагая, что силы 方 и 招 не параллельны, обозначим точки пересечения линий действия сил двух данных пар через А} В, С и D. Если обозначим плечи данных пар через d и dv то из условия равенства моментов этих пар имеем: Fd — F\Q
Перенесем точку приложения силы F в точку А, а точку приложения силы Ff в точку В. Разложив силу Fno направлениям АС и В А, получим две силы 居 и 爲.Точно так же, разложив силу Fz по направлениям BD и 43, получим силы 月 п 方;.
В силовых треугольниках, которые получились при разложении сил Ри F\ углы попарно равны как углы с параллельными сторонами; кроме того, F —尸；следовательно, эти треугольники равны, а потомуF2 = Р；0% =夕з・ Силы F3n F3 как равные по модулю и прямо противоположные уравновешиваются, а потому остаются только силы 居 и 居，образующие, очевидно,пару. Следовательно, вместо данной пары (F,厂‘)мы получили новую, эквивалентную ей пару (F2,居)；эти пары имеют равные моменты; в самом деле, момент пары (F, Ff) выражается удвоенной площадью треугольника
AEBf а момент пары （爲，居）равен удвоенной площади треугольника АКЗ; но эти треугольники равновелики, так как они имеют общее основание АВ, а вершины Е 口 К лежат на прямой, параллельной основанию; следовательно, если обозначим моменты пар （F, F'） и （F2,居）соответственно через тх и т2, то
Ш] — "^2，
С другой стороны, m （F,尸）=Fd й m2 （居，冃）—%&, а потому Fd = F2dv Но по условию теоремы Fd = F^d-^ отсюда приходим к равенству F2d\ — F*d* или % =厶 Таким образом, мы видим, что силы F2 II X имеют равные модули и направлены по одной прямой в одну и ту же сторону; то жег относится и к силам К и Fr Отсюда, очевидно, следует, что пары （F2, 网）и （Fn Fj） эквивалентны, т, е.
（居，项三（居，月）.
Но выше мы установили, что
（務，居）三（居F）.
Отсюда заключаем, что
（居，品）三（F, F）,
что и требовалось доказать.
Для доказательства этой теоремы в том случае, когда силы F и Fi параллельны, достаточно одну из данных пар, например пару （F1?冗），переместить в ее плоскости так, чтобы ее силы оказались не параллельными силам пары （F,尸）.Так как при таком перемещении пары ее момент и направление вращения, очевидно, нс изменяются, то, обозначая эту пару в ее новом положении через （務，居），на основании предыдущего результата будем иметь:
（居，居）三（居，F；）
（居，居）三（居F）, откуда следует, что
（居，川）三（居尸）.
Доказанная теорема дает условие эквивалентности пар, лежащих в одной плоскости. Отсюда вытекает ряд важных следствий:
Данную пару, не изменяя ее действия на тело, можно кап угодно переносить в ее плоскости. Следовательно, действие пары на тело не зависит от положения пары в ее плоскости.
〃е изменяя действия данной пары на тело, можно изменять модуль сил 辽 плечо этой пары} но при условии^ чтобы ее момент 辽 направление вращения оставались неизменными,
Две данные пары всегда можно привести к одному плечу.
В самом деле, пусть даны две пары （吊，居）и （居，К）. Пусть, например, Fx = F\ = 20 茂2 и 夕2 =夕；=30 кг. Пусть плечо первой пары dx = 1,5 м7 а плечо второй пары d2 = 0,5 м. Тогда момент первой пары равен 30 кгм, а Момент второй пары равен 15 кгм. Заменим эти пары двумя парами （F3, KJ и （爲，川），им эквивалентными и имеющими одно и то же плечо, равное, например, 2 м. Так как момент пары （爲,居）должен равняться 30 лам, то силы этой пары 居 и F； нужно, очевидно, взять равными 30 : 2 = 15 кг. Точно так же момент пары （凡，川）должен быть равным 15 кгм; следовательно, силы этой пары нужно взять равными 15 : 2 = 7,5 кг.
Таким образом, две или несколько пар мы всегда можем заменить эквивалентными им парами, имеющими равные плечи, т. е., другими словами, привести данные пары к одному плечу. Этим свойством пар мы воспользуемся далее, когда будем рассматривать сложение пар.
Получив условие эквивалентности пар, лежащих в одной плоскости, естественно поставить такой вопрос: могут ли быть эквивалентными пары, расположенные в разных плоскостях, и можно ли данную пару, не изменяя ее действия на тело, переносить в другую плоскость.
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема 2. Данную пару, не изменяя ее действия на тело, можно переносить 6 любую плоскость, параллельную плоскости этой пары.
Доказател ьст в о. Пусть данная пара （F,尸） лежит в плоскости I （рис. 57）. Проведем плоскость ZZ, параллельную плоскости /, и
возьмем где-нибудь в этой плоскости отрезок Л1В1, равный и параллельный отрезку АВ. Соединив точку А с точкой Лг и точку В с точкой В、, получим параллелограмм АВА^^ точку пересечения диагоналей этого параллелограмма обозначим через О. Разложим теперь силу Ff на две параллельные ей составляющие силы, приложенные в точках О и 力「Так как точка А лежит вне отрезка ОВ” то эти составляющие силы должны быть анти- параллелъны. В точке О будет приложена большая составляющая 居,имеющая то же направление, что и сила F\ в точке Вх будет приложена меньшая составляющая Fj, имеющая противоположное
направление. Модуль силы F' равен разности модулей этих составляющих, т. е.
僞一厘=仆
Так как, кроме того, расстояние АВ± вдвое больше расстояния АО, то F? = 2户;.Отсюда находим модули обеих составляющих:
凡=? и 用=2U.
Итак, силу F мы заменили двумя эквивалентными ей силами 居 и F；. Точно так же поступим и со второй силой F данной пары. Разложив эту силу на две антипараллельные составляющие, приложенные в точках О и 儿，получим силу F2, приложенную в точке О и направленную в ту же сторону, что и сила F, и силу 爲, приложенную в точке А± и направленную в противоположную сторону. При этом F2 = 2F и Fx — F. Таким образом, данную пару (F, Ff) мы заменили четырьмя эквивалентными ей силами: 居，F；, А и ^1- Но так как / = ?, то
/ = F4 и 尸 1 =*・
Отсюда видим, что силы F2 и Ь£, как равные по модулю и прямо противоположные, уравновешиваются, а потому остаются только две силы 居 и F；, образующие пару. Итак, вместо данной пары (F, Ff) мы получили эквивалентную ей пару (死,F^), но эта вторая пара представляет собой, очевидно, ту же самую пару (夕,Fz), перенесенную в плоскость II} и, следовательно, теорема доказана. Так как перпендикуляры к параллельным плоскостям имеют одинаковое направление, то из этой теоремы следует, что действие пары на тело не зависит от положения плоскости этой пары, а зависит только от направления перпендикуляра к этой плоскости. Соединяя результаты, полученные на основании доказанных теорем 1 и 2, мы видим, что действие пары на тело определяется следующими тремя факторами:
численным значением момента пары; 2) направлением перпендикуляра к плоскости действия пары и 3) направлением вращения пары 1).
Поэтому для полной характеристики пары недостаточно знать только численное значение ее момента; необходимо знать еще направление перпендикуляра к плоскости действия этой пары и направление ее вращения (в ту или другую сторону). Отсюда приходим к мысли о возможности представить момент пары в виде вектора так, чтобы этот вектор определял все три указанных фактора, от которых зависит действие пары на тело. Модуль этого
Сравните с тремя факторами, определяющими действие силы на тело: 1) численное значение силы, 2) положение линии действия силы в пространстве и 3) направление силы в ту или другую сторону вдоль этой линии.
вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента данной пары, т. е. произведение модуля одной из сил пары на ее плечо, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости действия пары; следовательно, этот вектор должен быть направлен по прямой, перпендикулярной к плоскости данной пары. Остается теперь выяснить, е какую сторону по перпендикуляру к плоскости пары должен быть направлен ее момент. Понятно, что выбор этого направления должен быть связан с направлением вращения данной пары так, чтобы, зная направление вектора-момента, мы могли бы определить направление вращения пары. Условимся направлять вектор-момент пары по перпендикуляру к ее плоскости всегда в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару, видеть эту пару вращающей тело против часовой стрелки; другими словами, при определении направления момента пары мы будем пользоваться так называемым правилом винта (правого).
Вектор-момент пары будем обозначать через т.
Когда вектор m задан (построен), то мы можем определить все три вышеуказанных фактора, которыми характеризуется действие данной пары на тело, т. е.: 1) плоскость действия пары или любую параллельную ей плоскость (эта плоскость перпендикулярна к вектору т), 2) численное значение момента пары (это численное значение равно модулю вектора т) и 3) направление вращения пары (это направление определяется по направлению вектора т согласно правилу правого винта). Отсюда следует, что действие пары на данное тело вполне определяется модулем и направлением ее момента. Точка приложения вектора т, как видно из предыдущих соображений, в характеристике данной пары никакой роли не играет и потому может быть выбрана произвольно. За начало вектора т часто берут середину отрезка, соединяющего точку приложения сил данной пары, хотя этот вектор, повторяем, можно построить и во всякой другой точке (например, в точке приложения одной из сил пары). Такой вектор, который не связан ни с какой материальной или геометрической точкой и, следовательно, может быть перенесен параллельно себе в любую точку, называется свободным вектором.
Следовательно, момент пары есть вектор свободный. На рис. 58, а и 58, 6 вектор m изображает момент пары (F, Fz).
Чтобы иметь право рассматривать момент пары как векторную величину, нужно еще убедиться согласно сказанному в § 5, что моменты пар складываются по правилу векторного (геометрического) сложения; это будет показано в следующем параграфе.
Установив на основании теорем 1 и 2, что действие пары на данное тело определяется ее вектором-моментом, мы можем
теперь выразить условие эквивалентности пар в следующем общем виде:
Две пары эквивалентны, если их векторы-моменты равны между собой, т. е. имеют равные модули, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
В самом деле, если обозначим моменты данных пар через т1 и т2, то из условия параллельности этих векторов следует, что
данные пары лежат в параллельных плоскостях, а потому на основании теоремы 2 одна из этих пар может быть перенесена в плоскость второй пары； кроме того, из равенства модулей векторов //г】и т2 следует, что данные пары имеют численно равные моменты; так как векторы 叫 и т2 направлены в одну сторону, то данные пары имеют одинаковое направление вращения. А если две пары лежат в одной плоскости и имеют численно равные моменты и одинаковое направление вращения, то согласно теореме 1 они будут эквивалентны, что и требовалось доказать.
§ 19. Сложение пар
В этом параграфе мы рассмотрим задачу сложения пар, т. е. приведения нескольких данных пар к одной равнодействующей паре. Так как действие пары на данное тело определяется ее вектором-моментом, то следует ожидать, что операция сложения пар должна приводиться к векторному сложению моментов этих пар; это мы сейчас и докажем.
Теорема. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар.
Доказательство. Пусть данные пары лежат в пересекающихся плоскостях I и II （рис. 59）. Возьмем на линии пересечения этих плоскостей произвольный отрезок АВ = d и приведем данные пары к одному плечу, равному АВ; далее, пользуясь тем, что пару мы можем, как угодно, переносить в ее плоскости, переместим каждую из данных пар в ее плоскости таким образом, чтобы их плечи совпали с отрезком АВ; после этого получим пары （Еъ 居）и （居,居）,как показано на рис. 59. Пара （Fn 居）лежит
в плоскости /, а пара （居,居）лежит в плоскости IL Сложив силы 爲 и 爲，приложенные в одной точке, получим равнодействующую А; сложив, далее, силы F{ и 旦,получим равнодействующую Я\ Следовательно,
А =居+ % R=^ + F^
но
居=一居n居=一居，
а потому
= —А,
е. силы R и Rf равны по модулю и противоположны по направлению; следовательно, эти силы образуют пару. Таким образом,
две данные пары мы привели к одной равнодействующей паре （А, А'）; остается показать, что ее момент равен векторной сумме моментов данных пар.
Пусть моменты пар （居，F；）,（居，居）и （А, А'） изображаются соответственно векторами AC, AD и АЁ\ при этом вектор АС перпендикулярен к плоскости /, вектор AD перпендикулярен к плоскости 77, а вектор АЕ перпендикулярен к плоскости пары （凡 А'）. Так как эти три вектора перпендикулярны к прямой АВ, то они лежат в одной плоскости. Так как модуль момента пары равен произведению модуля одной из сил пары на плечо этой пары, то
АС = %• d, AD = %• d и АЕ = R、（i«
Рассмотрим два треугольника АСЕ и Асе; в этих треугольниках углы САЕ и сАе равны как углы с перпендикулярными
сторонами, так как АС 丄 4cli АЕ 丄 Ае; стороны этих равных углов пропорциональны, так как
АС — F^ • d —尸 1 — AcАЕ == R Ае*
Отсюда следует, что треугольники АСЕ и Асе подобны. Совершенно так же можно доказать подобие треугольников ADE и Ade. Отсюда заключаем, что четырехугольник ACED подобен параллелограмму Acde и потому является также параллелограммом. Следовательно, вектор АЕ равен сумме векторов АС и AD, т. е.
АЁ АС + AD,
что и требовалось доказать.
Если теперь дано несколько пар, расположенных в непараллельных плоскостях, то, складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар, получим в результате одну равнодействующую пару (A, J?'), момент которой М равен векторной сумме моментов всех данных пар, т. е.
М=£т
или, другими словами, момент равнодействующей пары равен по модулю 辽 направлению замыкающей стороне многоугольника, построенного на моментах слагаемых пар.
В том случае, когда слагаемые пары лежат в параллельных плоскостях, мы можем на основании теоремы 2 предыдущего параграфа перенести их в одну плоскость; в этом случае, очевидно, векторы-моменты слагаемых пар будут направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и будут складываться как коллинеарные векторы (так же, как силы, действующие по одной прямой). Так как вершины многоугольника моментов располагаются в этом случае на одной прямой, то отсюда следует, что момент равнодействующей пары направлен по той же прямой, а его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы моментов слагаемых пар; при этом моменты слагаемых пар, направленные в одну сторону, мы должны считать положительными, а направленные в противоположную сторону — отрицательными. Таким образом, при сложении пар, лежащих в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), мы рассматриваем момент пары как величину алгебраическую, т. е. берем его со знаком + или — в зависимости от направления этого момента, или, что то же, от направления вращения данной пары. Знак алгебраической суммы моментов слагаемых пар определяет направление вращения равнодействующей пары.
Пример 26. Три пары лежат в координатных плоскостях Oyz, Ozs и Оху, как указано на рис. 60. Момент первой пары тг = 6 кгм, момент второй пары т2 = 24 麗？恥 и момент третьей пары т? = 8 кгм, Найти величину и направление момента равнодействующей пары.
Решение. Из произвольной точки, например из начала координат О, проводим векторы т^, т^ и т?, изображающие моменты данных пар; так как слагаемые пары расположены в координатных плоскостях, то эти векторы направлены по соответствующим координатным осям. Искомый момент М
равнодействующей пары, равный сумме векторов m1? т? и т3, изобразится диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах; следовательно, М = ]/同十咽 丁 侬=у67g = 26 Ка.
Для определепия косинусы:Для определепия косинусы:направления вектора М находим его направляющиенаправления вектора М находим его направляющиеcos а =cos а =mi Мmi М313'313'cos § =cos § =т2 _ 12 м = IT，т2 _ 12 м = IT，冷Zq4cos V =——=—丫 M 13 •冷Zq4cos V =——=—丫 M 13 •
Для определепия косинусы:
Для определепия косинусы:
направления вектора М находим его направляющие
направления вектора М находим его направляющие
cos а =
cos а =
mi М
mi М
3
13'
3
13'
cos § =
cos § =
т2 _ 12 м = IT，
т2 _ 12 м = IT，
冷Zq4
cos V =——=—
丫 M 13 •
冷Zq4
cos V =——=—
丫 M 13 •
Пример 27. Сложить три пары, лежащие в плоскости чертежа (рис. 61). Дано: F± = F[ ^= 20 кг,厶=0,25 м\ F? = F] = 30 кг,庵—0,5 м; F‘3 = F； = 10 ке,厶=0,75 м.
Решение. Условимся считать момент пары, вращающей тело против часовой стрелки (для читателя), положительным, а момент пары с обратным направлением вращения — отрицательным. Тогда, обозначая алгебраические значения моментов данных пар через 也工,ma и m3, будем иметь согласно условиям задачи:
底1 — 20 • 0,25 = 5 кгм^
,〃2 —— 30 • 0,5 =— 15 к гм и
zn? =— 10 • 0,75 —— 7,5 кгм.
Складывая эти моменты, получим алгебраическое значение момента равнодействующей пары:
М = 5 — 15 — 7,5 = — 17,5 кем.
4 И. М. Воронков
Так как это значение отрицательно, то равнодействующая пара стремится вращать тело по часовой стрелке. Модуль момента равнодействующей пары равен 17,5 кгм. Плечо равнодействующей пары можно выбрать произвольно; если взять, например, это плечо равным 0,5 м, то каждая из сил равнодействующей пары будет, очевидно, равна 丁引= 35 кг.
Теорема сложения пар позволяет просто решить вопрос об условии равновесия системы пар; для того чтобы данные пары уравновешивались, момент М равнодействующей пары (Я, А') должен, очевидно, равняться нулю. Это условие не только необходимо, но и достаточно. В самом деле, если обозначим плечо равнодействующей пары (Я, А') через d, то из равенства М = =Rd = 0 следует, что или R = R = 0, или d = 0； в последнем случае данная система пар приводится к двум равным по модулю силам, направленным по одной прямой в противоположные стороны. Понятно, что в обоих этих случаях имеет место равновесие. Но
М =
а потому условие равновесия системы пар принимает вид
Sm = 0,
т. е. для равновесия системы пар необходимо и достаточно^ чтобы векторная сумма их моментов равнялась нулю,辽儿辽,другими словами, чтобы многоугольник моментов этих пар был замкнутым.
ГЛАВА 5
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
Момент силы относительно точки
Одним из основных понятий механики наряду с моментом пары является понятие момента силы относительно данной точки. С этим понятием мы уже встречались, когда говорили о равновесии рычага (§ 12 и § 16).
Во всех задачах статики, относящихся к плоской системе сил, мы будем рассматривать момент силы как величину алгебраическую; мы условились считать момент силы относительно данной точки положительным, если сила направлена относительно этой точки против движения часовой стрелки, и отрицательным, если сила направлена по движению часовой стрелки (§ 12 и § 16).
Кроме того, напомним, что абсолютное значение момента силы относительно данной точки равно произведению модуля силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из этой точки
на линию действия силы. Поэтому для силы F на рис. 62 будем иметь:
mo (F) = — F ■ /г；
в случае же, изображенном на рис. 63, имеем:
m。（Ю — +尸厂无Г
Из рис. 62 видим, что абсолютное значение момента силы F относительно точки О численно равно двойной площади треугольника ОАВ, так как отрезок АВ = F является для этого тре
Рис. 62.Рис. 63.Рис. 62.Рис. 63.угольника основанием, а плечо h — высотой. Точно так же момент силы 网 относительно точки О (рис. 63) численно равен удвоенной площади треугольника OArBlt
Рис. 62.Рис. 63.
Рис. 62.Рис. 63.
Из данного определения момента силы следует:
Момент силы относительно данной точки не изме~
няется при переносе точки приложения силы по линии ее действия, так как при этом не изменяются ии модуль силы, ни её плечо, ни
направление вращения.
Момент силы относительно данной точки обращается 6 нуль в том случае, когда линия действия силы проходит через эту точку〉так как в этом случае плечо силы равно нулю.
Сумма моментов двух равных по модулю сил，направленных по одной прямой с противоположные стороны, относительно любой точки равна нулю, так как моменты таких сил равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Приведение плоской системы силк данному центру
Изучение плоской системы сил, т. е. системы таких сил, линии действия которых расположены в одной плоскости, мы начнем с рассмотрения задачи сложения таких сил.
Пусть на данное тело действует плоская система сил F^ F2, 居,...,Fn. Применяя способ последовательного сложения сил, такую систему всегда можно привести или к одной равнодействующей силе, или к одной паре, если только эта система сил не находится в равновесии.
В самом деле, перенося точки приложения сил 网 и 品 в точку пересечения линий действия этих сил и складывая их по правилу параллелограмма, получим равнодействующую 修 = 工 + 居； если бы силы 居 и 品 были параллельны, то мы нашли бы их равнодействующую по правилу сложения параллельных сил.
4*
Складывая затем таким же способом силы 修 и 仆，получим равнодействующую 1ff2 H А[ + 爲 11T.iц. В конечном результате мы, очевидно, всегда получим или равнодействующую силу, или пару сил, или же две прямо противоположные и равные по модулю, т. е. две уравновешивающиеся силы. В последнем случае данная плоская система сил, эквивалентная двум уравновешивающимся силам, будет находиться в равновесии.
Однако нужно сказать, что этот способ мало удобен, во-первых, потому, что при значительном числе слагаемых спл он становится громоздким, и, во-вторых, потому, что точка пересечения линий действия двух слагаемых сил может оказаться настолько удаленной, что не будет помещаться на чертеже. Поэтому мы рассмотрим другой способ приведения плоской системы сил, более простой и более общий; этот способ применим, как увидим далее, также в самом общем случае, когда последовательное сложение сил становится невозможным, так как линии действия данных сил не будут лежать в одной плоскости и потому могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными.
戶 Этот второй способ называется приведением системы сил к данному центру (к данной точке) и основан на следующей простой теореме.
Теорема. Всякая данная сила эквивалентна такой же по модулю 辽 направлению силе, но приложенной 6 другой точке, тела, и некоторой паре.
Доказательство. Пусть имеем
Рис. 64.силу 尸，приложенную к телу в точке Л
(рис. 64). В произвольно выбранной точке 3 тела приложим две равные по модулю и противоположные по направлению силы F и F", действующие по прямой, параллельной силе F, причем F' = F,r = F. Согласно аксиоме 2 (§ 3) система трех сил F, F' и Fr эквивалентна данной силе 户；таким образом, данную силу F можно заменить равной ей силой F\ приложенной в произвольно выбранной точке В, и парой (F, F"), что и требовалось доказать.
Эта теорема показывает, что данную силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела с присоединением соответствующей пары. Поэтому пару (F, F"), получающуюся при переносе точки приложения силы F из точки Л в точку В, называют присоединенной парой.
Очевидно, что момент присоединенной пары (居 Ftr) равен т = Fk,
где h ——плечо этой пары, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки В на линию действия силы F. С другой стороны, произве-
дение Fh представляет собой момент силы F относительно точки В; следовательно,
m— тв （耳）.
Мы получили это равенство для случая, представленного на рис. 64, когда сила F стремится вращать тело вокруг точки В против движения часовой стрелки, т. е. когда и момент присоеди^ ненной пары и момент силы F положительны. Легко видеть, что
это равенство будет иметь место и в том случае, когда момент силы F относительно точки В отрицателен.
Итак, момент присоединенной пары （F,方"）равен （по абсолютной величине и по знаку） моменту силы F относительно новой точки приложения этой силы,
Пусть имеем теперь плоскую систему сил 居,居,居,приложенных соответственно в точках Л15 Л2, Л3 （рис. 65） х）. Возьмем в плоскости этих сил какую-нибудь точку О, называемую центром приведения^ п, пользуясь предыдущей теоремой, перенесем точки приложения всех данных сил в эту точку О; получим силы 居, 居 и 居 п соответствующие присоединенные пары （居,居）,（居,/；） и （居，F^）. Силы Fn 居 и 居，как приложенные в одной точке О,
На рис. 65 взяты только три силы, но понятно, что все дальнейшие выводы не зависят от числа сил данной плоской системы.
мы можем сложить по правилу силового многоугольника. Получим равнодействующую 7?「 приложенную в той же точке О и равную их векторной сумме, т. е.
不Н居+典+居， или, что то же,
R = F^F, + F^ £居（25）
так как силы 居,居 乳 居 равны соответственно силам 氏,居 и 居. Сложив, далее, пары （招,F/）,（居，FQ и （居，卫'），мы получим согласно сказанному в § 19 о сложении пар, лежащих в одной плоскости, одну равнодействующую пару, алгебраическую величину момента которой обозначим через М>
Так как при сложении пар, лежащих в одной плоскости, момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов слагаемых пар, то, обозначая алгебраическое значение момента присоединенной пары （冏, F；） через mb будем иметь:
М（）— mx + m2 + т3 — £加.
Мы видели, что момент присоединенной пары, получаемой при изменении точки приложения данной силы, равен моменту силы относительно ее новой точки приложения. Поэтому
加 1 = m0 （方J,恤=m0 （R2）
и т. д., а следовательно,
Мо - £加。（F）.（26）
Векторная сумма всех сил системы, т. е. вектор
7Г = £Е
называется главным вектором данной системы сил.
Сумма моментов всех сил системы относительно какого-нибудь центра называется главным моментом системы сил относительно данного центра.
Пользуясь этими терминами, мы можем полученный выше результат сформулировать так:
Плоскую систему сил в общем случае можно привести к одной силе R} приложенной е произвольно выбранной точке и равной главному вектору данной системы сил, т. е.
* = £居
и к одной паре, момент которой Мо равен главному моменту данной системы сил относительно той же точки, т, е.
Мо =工加。（£）•
Важно заметить, что сила 7Г, приложенная в точке О, не является раенодейстеующей данной системы сил Fx,居，F,, так как эта система, как видим, ие эквивалентна одной силе Я\ Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни модуль, ни направление его, очевидно, не зависят от выбора центра приведения; другими словами, если за центр приведения будем брать различные точки плоскости, то сила R, равная главному вектору, будет одна и та же как по модулю, так и по направлению. Что же касается главного момента, то его значение вообще зависит от выбора центра приведения, так как с изменением центра приведения плечи сил данной системы, а следовательно, и их моменты изменяются; каждой точке плоскости соответствует определенное значение главного момента; поэтому, когда говорят о главном моменте данной системы сил, то всегда нужно указывать, к какому центру приведения относится этот момент.
Выведем теперь формулы, определяющие модуль и направление главного вектора Я\
Проведем через центр приведения О координатные оси Oz и Оу (рис. 65). Проекции данных сил Fi на эти оси обозначим через Xi и У” а проекции силы R обозначим через Е； и Е； Из векторного равенства Я7 = ^F на основании теоремы о проекции суммы данных векторов (§ 10) имеем:
Х± + Х2+ ... + Хп = £Х и
% = У1+ % +…+ ^n " £y； отсюда находим:
R' =]/冗2 十 R； =(£У)2.(25，)
Эта формула позволяет вычислить модуль главного вектора Я\ Направление же главного вектора определяется углом а между этим вектором и положительным направлением оси z; этот угол находится по формулам (14') § 10:
В； WX . Л； 2Г‘с、
cos а =歹丁 = &丁 , sm а =飞厂—-出.(27)
・ Равнодействующая плоской системы сил.
Теорема Вариньона
Пусть к телу приложена некоторая плоская система сил 风居，£“•
Приводя эту систему сил к произвольно выбранному центру О, получим одну силу
R = £忆
приложенную в точке О, и одну пару с моментом
м0 = £加0 (曾.
Эта сила 7?' не является, как было уже указано, равнодействующей данной системы сил; чтобы найти равнодействующую, нужно привести эту систему к одной эквивалентной ей силе. Для этого поступим следующим образом; преобразуем полученную пару с моментом Мо так, чтобы силы этой пары оказались равными по модулю силе А'; при этом нужно соответственно изменить плечо этой пары так, чтобы ее момент Мо оставался неизменным. Далее, пользуясь тем, что пару можно как угодно переносить в ее плоскости, переместим эту преобразованную пару так, чтобы одна из ее сил оказалась приложенной в точке О и направленной противоположно силе Я\ После этого получим пару (/?,——Я), изображенную на рис. 66, причем R = М Если обозначим плечо этой пары через d, то будем иметь:
м0 м0d =元=X
Итак, данная плоская система сил эквивалентна силе Я' и паре (Я, —— А); но силы Я' и —— Я уравновешиваются, а потому данная система сил эквивалентна одной силе R, приложенной в точке О'; следовательно, эта сила Я является равнодействующей данной системы сил. Так как Я = £, то равнодействующая плоской си,стемы сил равна по модулю и направлению
夕главному вектору этой системы, т. е.
/ Из равенства d =岩？ следует, что
/ XМо = Rd,
Рис. 66.но произведение Rd, как видно на рис. 66,
равно (по абсолютной величине и по знаку) моменту равнодействующей Я относительно точки О. Следовательно,
Мо = т0 (7?) 1);
с другой стороны,
Мо = £mo (F),
а потому приходим к равенству
加。(й) = £п)(碎(28)
Мы предполагаем, что Мо > 0; в том случае, когда 〃。<； 0, мы имели бы Mq =— Rd и (А) =— Rd.
Это равенство выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любого центра, лежащего е плоскости этих сил, равен алгебраической сумме мо* ментов сил этой системы относительно того 歹 же центра.
Отсюда, очевидно, следует, что главный момент плоской систем* сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.
Рассмотрим два примера применения теоремы Вариньона.〃
Пример 28. Сила 尸，проекции которой на координатные оси Ох и Оу равны соответственно 10 и 5 кг, приложена в точке А с координатами 力=0,2 м и у = 0,3 м. Вычислить момент этой силы относительно начала координат О （рис. 67）.
Решение. Разложив силу 尸 на две составляющие Fx и Fy, параллельные координатным осям, на основании теоремы Вариньона получим;
叱（尸）=m0（FJ + m0 （尸j）.
По, как видно из рис. 67,
^0 （^） =一 П， Fx и
m° （尸『）=%•», следовательно,
7?勺（尸）=xFу 一 уЕх = 0,2*5 — 0,3*10 =— 2 кгм.
Пример 29. Зная значения главных моментов плоской системы сил относительно трех данных точек А, 8 и С, не лежащих на одной прямой, М А = 0, Мр = 0 и Мс > 0, найти модуль и направление равнодействующей Я этой системы сил.
Решение. По теореме Вариньона имеем:
г"а （А） == 0， 吗в（А） = 〃в = 0
и
〃紀（А） = 4% > 0.
Из первых двух равенств следует, что сила А проходит через точки Л и В, так как ее моменты относительно этих точек равны нулю; следовательно, эта сила действует по прямой АВ （рис. 68）. Если из точки С опустим на прямую АВ перпендикуляр 九,то'
〃?С （А） = Rh и, следовательно,
Rh = Мс,
откуда находим модуль искомой равнодействующей:
Если бы величина Мс была отрицательной, то сила А была бы направлена на рис. 68 по прямой АВ в обратную сторону.
В предыдущем параграфе было указано, что главный момент плоской системы сил зависит от выбора центра приведения. Выясним теперь, как будет изменяться главный момент данной системы сил при изменении центра приведения.
Пусть к телу приложена плоская система сил 居，居，…，％ Выберем какой-нибудь центр приведения О и рассмотрим одну из сил 居 данной системы （рис. 69）. Перенося точку приложения этой силы в точку О, получим силу Fl = 爲 и присоединенную пару （居,居'）. Если обозначим плечо силы 居 относительно точки О через h^ то
现0 （招）=/电。
Возьмем теперь в качестве нового центра приведения какую- нибудь точку О] и опустим из этой точки перпендикуляр О^ на линию действия силы 居；точку пересечения этого перпендикуляра с линией действия силы R обозначим через &; понятно, что aibi — %.
Как видно из рис. 69, будем иметь:
现01 （骂）=/•。1出=/（0也+ b^ =
=Л-°也 + £% = G •°也十 mo （居）•
Ho m01 （К） = F'i .。也，а потому
m01闻=m。（居）+加01 （月）.
Аналогичные равенства будем иметь и для всех других сил данной системы.
Сложив все эти равенства, получим:
2 moi （骂）=t mo （居）+ 2 加。]（居‘）• i=li=lt=l
Если обозначим главные моменты данной системы сил относительно центров О и. Ог соответственно через Мо и Мои то
Мо = S т0 (居)и Mo = 2 т0 (F^.11
Так как, далее, сила Я\ приложенная в точке О и равная главному вектору данной системы сил, является равнодействующей сил F[, К ,.••> 凡,приложенных в той же точке, то по теореме Вариньона
2 加01 (居)="01 (*).
А потому предыдущее равенство принимает вид
М01 = мо + m01 (/?'), ИЛИ
М01 一 Мо = Ш5 (*),(29)
т. е. изменение главного момента плоской системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра.
・ Случай, когда плоская система силприводится к одной паре
Если геометрическая сумма сил данной плоской системы равна нулю, т. е. если многоугольник этих сил оказывается замкнутым, то главный вектор Я' этой системы обращается в нуль; следовательно, приводя данную систему к какому-нибудь центру О, получим только одну пару с моментом
Мо = £加0 (F).
Равнодействующей в этом случае не существует. Понятно, что главный момент остается в этом случае неизменным, к какому бы центру мы ни приводили данную систему сил.
В самом деле, так как главный вектор Я" равен нулю, то из равенства (29) предыдущего параграфа получим:
Mq1 — Mq = 0, или Mot = Мо,
где Мо】 обозначает главный момент данной системы сил относительно какого-нибудь центра О「
Это значит, что, приводя последовательно данную систему сил к двум каким-нибудь центрам О и С\, получим соответственно две пары с равными моментами Мо и "о/ следовательно, эти пары
будут эквивалентны, как это и должно быть, так как каждая из этих пар эквивалентна данной системе сил.
Итак, если главный вектор данной плоской системы сил равен 我歹儿70, а ее главный момент относительно какого-нибудь центра не равен нулю7 то эта система эквивалентна паре сил, причем главный момент системы 6 этом случае не зависит от выбора центра приведения.
Условия равновесия плоской системы сил
В предыдущих параграфах мы видели, что если главный вектор R данной плоской системы сил не равен нулю, то система приводится к одной равнодействующей силе; если же Я' — 0, а главный момент системы Мо не равен нулю, то система приводится к паре сил. Понятно, что в обоих этих случаях твердое тело под действием данной системы сил не будет находиться в равновесии. Поэтому для равновесия плоской системы сил необходимо выполнение условий
* = 0 к Mq = 0.(30)
Но эти необходимые условия равновесия являются вместе с тем и достаточными.
В самом деле, из равенства Я' — 0 следует, что все силы 居,居,居,...,凡,равные данным силам ",艮,••., Fn и приложенные в центре приведения О, уравновешиваются; далее, из равенства Мо = 0 следует, что сумма моментов присоединенных пар (居，竹)，(居，居‘)，...,(凡，瑞)равна нулю, а это значит, как известно из § 19, что эти пары также уравновешиваются.
Итак, для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный еектор этой системы и ее главный момент относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.
Эти условия равновесия можно выразить еще в другой форме: из формул § 21 для модуля главного вектора и для главного момента
Rf = ]/®Х户十(》У)2 и %。= £加。(F)
следует, что Е' и Мо обращаются в нуль в том и только в том случае, если имеют место равенства
£Х = 0, £У = 0 м £加。(F) - 0,(31)
т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо " достаточно, чтобы сумма проекций всех сил дтой системы на каждую
〃з двух произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма их моментов относительно произвольно выбранной точки также равнялась нулю.
При этом, конечно, предполагается, что эти две координатные оси и эта произвольно выбранная точка лежат в той же плоскости, в которой расположены линии действия сил рассматриваемой плоской системы.
§ 25・ Примеры решения задач статики в том случае,когда все приложенные к телу силы лежат в одной плоскости
Типичная задача, с которой главным образом приходится
встречаться в статике твердого тела, как мы уже это видели, когда рассматривали равновесие тела под действием сходящихся сил, состоит в том, чтобы по некоторым заданным, известным силам, приложенным к телу, определить неизвестные реакции связей,
в частности опорные реакции, при условии, что данное тело находится в равновесии. В этом параграфе мы рассмотрим тот случай этой задачи, когда все приложенные к телу силы, включая и реакции связей, лежат с одной плоскости. Общий аналитический метод решения этой задачи будет тот же, каким мы пользовались в случае сходящихся сил, а именно: так как данное тело
находится в покое, то все приложенные к нему силы, включая и реакции связей, должны удовлетворять условиям равнове-夕
Рис. 70.Рис. 70.сия, полученным в предыдущем параграфе; написав эти уело-夕纟 вия равновесия в форме (31), получим три уравнения, в которые, кроме заданных сил, войдут и реакции связей. Решая эти уравнения, найдем из них те неизвестные силы, которые требуется определить в данной задаче.
Рис. 70.
Рис. 70.
П р и м е р 30. Лестница АВ длиной 2a и весом Р опирается на гладкий горизонтальный пол и гладкую вертикальную степу; на ней в точке Е стоит
человек весом Q. Чтобы лестница не скользила, она привязана к стене веревкой OD. Определить реакции в точках Л и В, а также натяжение веревки, если углы аир, образуемые лестницей и веревкой с плоскостью пола, известны и если расстояние 6£ = Ь. Центр тяжести С лестницы находится в ее середине (рис. 70).
Решение. Обозначим искомые реакции в точках Л и В через N* и 恥】
эти силы перпендикулярны к соответствующим опорным плоскостям; реакцию веревки, равную по модулю натяжению веревки, обозначим через Т; эта сила направлена по прямой DO. Оси координат направим по прямым ОА и ОВ;
начало координат выберем в точке О. Проектируя все силы, приложенные к лестнице, на координатные оси, получим:
"1芯=。，№1у к "1，N2К = “2，"2y = °；
Тх — Т cos р, Ту =— Т sin р;
Рх = 0, Ру =- RQx = о, Qy =— Q・
Найдем моменты этих сил относительно точки О. Момент силы ^ положителен, так как эта сила направлена относительно точки О против часовой стрелки; абсолютное значение этого момента равно произведению модуля силы № на плечо ОА, но
ОА = АВ • cos а = 2。cos а;
следовательно,
m0(Ai) = 2a% cos а;
точно так же найдем:
(饵)=■— Л72 •。6 = — 2〃7Vz sin а;
момент силы Т равен нулю, так как ее линия действия проходит через точку О.Плечо силы Р равно OF, а так как сила Р приложена в середине лестницы,то OF н 2 = 〃 cos а; плечо силы Q равно ОН = К£ = 6 cos а, а потомут0 (尸)=—аР cos а
и
mQ (Q) = — 6Q cos а.
Выпишем теперь все полученные значения проекций и моментов в виде следующей таблицы
N,
М
Т
尸
Q
X
0
4
—Т cos В
0
0
У
%
0
—Tsin В
—р
—Q
то
+ 2аЛ\ cos а
-2。包 sE a
0
—аР cos а
—bQ cos а
Теперь составляем уравнения равновесия (31). Для данной задачи эти уравнения имеют следующий вид:
TV2 — У cos р = 0,% — Т sin § — Р — Q = 0,2a% cos а — 2。他 sin а — аР cos а — bQ cos а = 0.
Остается решить эту систему уравнений относительно трех неизвестных Ng Ла и Т・ Из уравнения (1) находим.
也=7 cos В;
из уравнения (2):
m = Tsin3十р十Q;
подставляя эти значения Л\ н 2Vз в уравнение (3), получаем:
2a cos а (Т sin 卩 + Р + Q) — 2аТ cos Р sm а — cos а (аР $ 6Q) = О, или
2аТ sin (а — Р) — [аР + (2а — 6) Q ] cos а;
отсюда находим:
т /Р 卜 2а — 6 с \ cos а
T = ll^F7~Q/)sE(a-凯
Определив силу Т, находим затем и остальные две силы:
ммР十Q +伶，传十\ 22аР十Q +伶，传十\ 22а33cos а sin §cos а sin §\ cos а cos §Q 丿 sin (а — р)'\ cos а cos §Q 丿 sin (а — р)'/ sin (а — р) */ sin (а — р) *
м
м
Р十Q +伶，
传十
\ 22а
Р十Q +伶，
传十
\ 22а
3
3
cos а sin §
cos а sin §
\ cos а cos §Q 丿 sin (а — р)'
\ cos а cos §Q 丿 sin (а — р)'
/ sin (а — р) *
/ sin (а — р) *
Пример 31. Вагонетка весом Р = 1000 кг удерживается на наклонной плоскости с углом наклона а = 30° канатом, перекинутым через блок и параллельным этой плоскости. Определить
Рис. 71.Рис. 71.давления колес вагонетки на плоскость в точках Л и В и натяжение каната, если AD = DB = а = 0,75 м и СЕ = =& = 0,3 м, причем С обозначает центр тяжести вагонетки (рис. 71).
Рис. 71.
Рис. 71.
предыдущей задаче, таблицу проекций всех сил на координатные оси ипредыдущей задаче, таблицу проекций всех сил на координатные оси иРешение. Обозначим реакции в точках Л и В, перпендикулярные к наклонной плоскости, через 儿 и 餌, реакцию каната, модуль которой равен его натяжению, обозначим через Т. Начало координат возьмем в точке £, ось х направим параллельно наклонной плоскости, а ось у — перпендикулярно к этой плоскости. Составляя, как в
предыдущей задаче, таблицу проекций всех сил на координатные оси и
предыдущей задаче, таблицу проекций всех сил на координатные оси и
N、
昧
T
尸
X
0
0
—T
P sin а
У
Ni
%2
0
—P cos а
小石
—а%
aN&
0
—bP sin а
моментов этих сил относительно точки Е, получим:
Далее составляем уравнения равновесия:
(1 ⑵(3)(1 ⑵(3)—7 + Р sin а = 0,N*± N兔—Р cos а = 0,—aN工 4r aN% — bP sin а = 0.
(1 ⑵
(3)
(1 ⑵
(3)
Из уравнения (1) паходим:
Т = Р sin а = 1000 sin 30° = 500 кг.
Умножая уравнение (2) на а и складывая с уравнением (3), получаем:
откудаоткуда2&N& — Р (a cos а + & sin а) = 0,2&N& — Р (a cos а + & sin а) = 0,%=%=а cos а 4■& sin а2aа cos а 4■& sin а2aР = 533 кг.Р = 533 кг.
откуда
откуда
2&N& — Р (a cos а + & sin а) = 0,
2&N& — Р (a cos а + & sin а) = 0,
%=
%=
а cos а 4■& sin а2a
а cos а 4■& sin а2a
Р = 533 кг.
Р = 533 кг.
Умножая теперь уравнение (2) на а и вычитая из него уравнение (3), получим:
2aЛ\ — Р (a cos а — 6 sin а) = 0;
отсюда находим:
М = 3「ina Р 二 333 «г.
Искомые давления вагонетки на наклонную плоскость в точках / и 3 равны, конечно, по модулю силам Л\ и N& но направлены в обратную сторону.
Пример 32. К крану весом Р = 1 mf который может вращаться вокруг вертикальной осп АВ, подвешен груз весом Q = 4 т. Найти реакции в подпятнике А и подшипнике В, если вылет крапа равен 3,5 м, расстояние АВ = 5 м и расстояние центра тяжести С крана от оси вращения равно 1,5 м (рис. 72).
Решение. В подпятнике А имеем две реакции: вертикальную УЛ и горизонтальную ХЛ, в подшипнике В имеем только одну реакцию Х^,
перпендикулярную к оси вращения крапа; так как давление крана иа подшипник направлено, очевидно, вправо, то реакция Лв направлена влево.
Приравнивая нулю суммы проекций всех сил, приложенных к краиу, па оси Ах и Ау и сумму их моментов относительно точки А, получим следующие три уравнения равновесия:
”=0，
ya-p-q^0,
5Хв — 1,5 Р — 3,5 Q = 0.
Отсюда находим:
У_А=尸 + Q = 5 т, хв = 0,3 Р + 0,7 Q = 3,1 m и Х&= Xr — 3,1 т.
Рис. 72.Пример 33. К ферме, изображен
ной на рис. 73, приложены заданные силы 耳1,尸2,尸з・ Высота фермы равна h и АВ = ВС = CD = 2. В ючке D — неподвижный шарнир, а в точке А ферма опирается катками на гладкую горизонтальную неподвижную опору. Найти реакции в этих точках.
Решение. Так как в точке А ферма опирается на гладкую горизонтальную плоскость, то реакция N в этой точке направлена по вертикали вверх. Что касается точки D, то заранее указать направление реакции в этой точке нельзя, так как реакция в шарнире может иметь любое направление. Поэтому разлагаем эту реакцию на две составляющие: гсУризоптальную XD и вертикальную У。и находим каждую из этих составляющих в отдельности.
Возьмем начало координат в точке D, ось 冗 направим по горизонтали вправо, а ось у — по вертикали вверх. Проектируя на эти оси все силы, приложенные к ферме, и составляя сумму моментов этих сил относительно точки 0, получим следующие три уравнения равновесия:
*D —% = °，
YD+ W 一/ 一/ = 0,
hFt + ZF2 + 22/ — 3Z^ = 0.
Из первого уравнения получаем:
Xd = %；
из третьего уравнения паходим:
N = 3Z 仇/ + "% + 2*\) = 3z % 十 ~з / 十-3 %
Теперь из второго уравнения имеем:
厶=/十% - n=.3% + ?/一3 严「
Пример 34. Балка АВ подъемного крана длиной 2a и весом 尸, которая может вращаться па шарнире ▲, удерживается в равновесии горизонтальной цепью ВС. К концу В балки подвешен 1руз весом Q. Определить
натяжение цепи и реакцию в шарнире А, если угол балки с вертикалью равен а (рис. 74).
Решение. Возьмем начало координат в точке А, Реакцию цепи, модуль которой равен се натяжению, обозначим через Т; эта сила направлена, очевидно, по ВС. Реакцию в шарнире /?А разлагаем на две составляющие: горизонтальную %л и вертикальную Ул. Определив проекции всех сил (Хл, Уд, Т、Р и Q) па координатные оси Ах и Ау и моменты этих сил относительно точки А, получим три уравнения равновесия в следующем виде;
⑴(2)(3)⑴(2)(3)ХА-Т = ^F& — Р — Q = О,2аТсо§ а — aPsin а — 2@Q sin а =
⑴
(2)
(3)
⑴
(2)
(3)
Из уравнений (2) и (3) находим:
YA^P + QnT =十 Q 卜ga.
Из уравнения (1) имеем:
^А = Т = (^ + Q)电 а.
Если сложим силы Ха и УЛ( то получим полную реакцию RА шарнира. Модуль этой реакции находим по формуле
Ra = /X玄十 У厶= ]Z(4^+ Q『tg2 a + (P + Q)2.
Для определения направления силы /?д достаточно вычислить угол 屮， который эта сила образует с осью 冗.Из прямоугольного силового треугольника имеем:
УЛ 2(P+Q)tgP=X；= АТ迈 dga・
Из предыдущих примеров мы видим, что при определении реакции в шарнире эту реакцию обычно разлагают на две составляющие, направленные по координатным осям х и у. Но заранее не всегда бывает известно, в какую сторону (положительную или отрицательную) направлена составляющая реакции по соответствующей оси. В этом случае при решении задачи эти составляющие направляют по осям х п у в положительную сторону. Если, решая уравнения равновесия, мы получим для искомой составляющей реакции положительное значение, то это значит, что эта составляющая действительно направлена по соответствующей оси в положительную сторону, если же из уравнений равновесия мы получим для искомой составляющей реакции отрицательное значение, то это указывает на то, что эта составляющая имеет направление, обратное принятому, т. е. направлена по соответствующей оси в отрицательную сторону. Таким образом, истинное направление составляющей реакции в шарнире определяется по знаку полученного из уравнений равновесия алгебраического значения этой составляющей.
Иногда при решении задач бывает удобнее составлять уравнения равновесия в иной форме, чем во всех предыдущих примерах. Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то, выбрав произвольно три точки 4, В и С и приравняв нулю сумму моментов всех сил, приложенных к телу, относительно каждой из этих точек, получим три уравнения, и задача сводится, как и в предыдущих примерах, к решению этих трех уравнений.
При этом три точки Л, В и С нужно выбирать так, чтобы они не лежали на одной прямой, так как в противном случае одно из
трех уравнений равновесия окажется следствием двух остальных, и потому будем иметь только два независимых уравнения.
В самом деле, из равенств
£“а (戶)=0 и £加石(F) = О
следует на основании теоремы Вариньона, что равнодействующая Я данной плоской системы сил, если опа существует, имеет своей линией действия прямую АВ (см. пример 29), а потому для всякой точки С, лежащей на этой прямой^ будем иметь:
тс (й) = О,
и следовательно, согласно той же теореме Вариньона
£тс (F) = 0.
Отсюда видим, что это последнее уравнение является следствием первых двух.
В качестве примера решим этим способом предыдущую задачу (пример 34). Выберем за центры моментов точки А, В и С. Составив моменты всех сил, приложенных к балке, относительно каждой из этих трех точек и расположив их в таблице, получим:
Ха
Q
T
P
Q
0
0
2aT cos a
—aP sin a
—2aQ sin a
2аХА cos a
—2aYA sin a
0
aP sin a
0
2аХА cos a
0
0'
—a尸 sin a
—2aQ sin a
Уравнения равновесия принимают следующий вид:
2аТ cos а — aPsin а — 2aQ sin а = 0,(1)
2аХд cos а — 2аУд sin а + аР sin а = 0,(2)
2аХ& cos а — аР sin а — 2aQ sin а = 0.(3)
Из уравнений (1) и (3) находим:
Ха = Т = (J Р + Q ) tg а.
Из уравнения (2) имеем:
Уа = 4 ^ + X^ctga;
подставляя сюда найденное значение Х&, получаем:
Уд = |р + (|р + <? )tga-ctga =| Р + |р + <2 = Р +(2.
Следовательно, мы пришли к тем же результатам, какие имели выше.
Вообще при решении задач статики следует всегда стремиться к тому, чтобы уравнения равновесия имели наиболее простой вид и потому могли бы быть решены проще и скорее. Этого упрощения уравнений равновесия можно достигнуть соответствующим выбором направления осей, на которые проектируют силыл приложенные к телу, а также выбором точек, относительно которых берут моменты этих сил.
Наиболее простое решение системы трех уравнений равновесия мы имеем в том случае, когда каждое из этих уравнений содержит только одну из неизвестных сил. Так, например, в только что рассмотренной задаче уравнение моментов относительно точки Л содержит только одну неизвестную силу Т, так как моменты двух других неизвестных сил Ха и У& относительно этой точки равны нулю, и потому сила Т из этого уравнения сразу определяется. Точно так же в уравнение моментов относительно точки С входит только одна из неизвестных сил Хд, так как в этой точке пересекаются линии действия двух других неизвестных сил У& и 7 и, следовательно, моменты этих сил относительно точки С равны нулю. Чтобы получить уравнение, в которое из неизвестных сил входила бы только одна сила У&, нужно составить уравнение проекций на ось у: силы Т и Х〃，перпендикулярные к этой оси, в это уравнение не войдут.
Таким образом, приходим к заключению, которое полезно иметь в виду при решении задач: уравнения равновесия в случае плоской системы сил можно составлять следующими тремя способами: 1) составляют два уравнения проекций на две какие- нибудь оси и одно уравнение моментов относительно какой-нибудь точки; 2) составляют три уравнения моментов относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, и 3) составляют два уравнения моментов относительно двух каких-нибудь точек и одно уравнение проекций на какую-нибудь ось, не перпендикулярную к прямой, соединяющей эти две точки. Условие, чтобы ось проекций не была перпендикулярна к прямой, соединяющей две точки, относительно которых составляют уравнения моментов, необходимо для того, чтобы уравнение проекций не оказалось следствием этих двух уравнений моментов.
В самом деле, из равенств SmA (F) = 0 и £加石(方)=0 следует, что равнодействующая Я данной системы сил, если она существует, имеет своей линией действия прямую АВ, а потому, если ось х перпендикулярна к АВ, то Е^ = 0 и, следовательно,
£ 居=0.
Таким образом, последнее уравнение вытекает как следствие из первых двух.
§ 26. Условия равновесия плоской системы параллельных сил
Рассмотрим частный случай равновесия тела, находящегося под действием плоской системы сил, а именно тот случай, когда все приложенные к телу силы параллельны.
Пусть к данному телу приложена система параллельных сил 网，居,居，•••> ^n- Uep°3 произвольную точку О проведем ось 0%, перпендикулярную к данным силам, и ось Оу, параллельную этим силам. Как известно из § 24, при равновесии плоской системы сил должны выполняться следующие три условия:
£Х = 0, £У = 0, £加。(F) = 0.
Но первое из этих условий в рассматриваемом случае, очевидно, всегда будет выполнено тождественно независимо от того, уравновешиваются данные силы или нет, так как каждая из этих сил перпендикулярна к оси 步 и, следовательно, ее проекция на эту ось равна нулю.
Так как, далее, все силы параллельны оси у, то проекция каждой силы на эту ось равна модулю этой силы, взятому со знаком плюс или минус (в зависимости от направления силы), т. е. Yi = =/纟 или У* ———F^ Поэтому условия равновесия плоской системы параллельных сил принимают вид
£У = О, £加。俨)=о, (32)
*г. е. для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо 以 достаточно, чтобы алгебраическая сумма всех этих сил равнялась нулю и чтобы сумма их 从
моментов относительно произ--厶伤
вольно вобранной точки также равнялась нулю.
П р и м е р 35. Горизонтальная балка лежит на двух опорах ^4 и 5; к ней р-「 —丁二― ~|
в точках Cf D и Е приложены три ^^广一…“「什―…〜
вертикальные силы 尸】=150 кг, Р2 = =100 кг и Р3 = 60 кг. Определить реакции опор, если АВ = 3 м, АС = 1 м, AD = 1,5 м и АЕ = 2,5 м (рис. 75).
Решение. Обозначим искомые'
реакции опор через Л\ 近死；эти силы перпендикулярны к оси балки. МыРис. 75.
имеем, следовательно, пять параллель
ных сил:网,例,А> R и 尸з，П0Д действием которых балка находится в равновесии. Приравняв нулю алгебраическую сумму всех этих сил (сумму их проекций на вертикальную ось у) и сумму их моментов относительно какой-нибудь точки, например точки 4, получим следующие два уравнения:
идииди^1 + ^г ~ 150 — 100 — 60 = 0,ЗМ — 150 -1 — 100 • 1,5 — 60- 2,5 = 0,
иди
иди
做 + %2 H 310,3他=450;
отсюда находим:
JV2 == 150 幷2 и N、= 160 кг.
Согласно сказанному в § 25 но поводу составления уравнений равновесия можно вместо первого уравнения составить уравнение моментов относительно какой-нибудь второй точки, например относительно второй опоры В. Тогда мы имели бы два таких уравнения:
37V2 = 450 и 150-2 4- 100-1,5 + 60 - 0,5 — 37Vl = 0.
Эти уравнения имеют то преимущество, что каждое из них содержит только одну неизвестную величину. Из этих уравнений получаем, конечно, те же значения искомых сил：
N工=160 кг и “2 = 150 кг.
§ 27・ Понятие о статически неопределенных задачах
Из примеров, рассмотренных в §§ 25 и 26, мы видим, что в общем случае при равновесии плоской системы сил, приложенных к данному твердому телу, мы имеем три уравнения; в том же случае, если к данному телу приложена уравновешивающаяся система параллельных сил, мы располагаем только двумя уравнениями. Отсюда следует, что в первом случае задача является статически определеннойf если число неизвестных сил не превышает трех; во втором же случае число неизвестных сил не должно быть больше двух. В противном случае задача становится статически неопределенной, так как число уравнений окажется меньше числа неизвестных. Так, например, задача определения опорных реакций в случае балки, нагруженной перпендикулярными к ней силами и лежащей на трех опорах, является статически неопределенной, так как неизвестных реакций будем иметь в этом случае три, а уравнений только два. Точно так же, если бы ферма, рассмотренная в примере 33 (§ 25), имела два неподвижных опорных шарнира Л и D, то задача оказалась бы статически неопределенной, так как мы имели бы в этом случае четыре неизвестные реакции (по две в каждом шарнире), а уравнений только три.
Причина этой неопределенности, т. е. недостаточности уравнений статики для определения всех искомых величин, заключается в том, что в статике твердого тела мы рассматриваем тела как абсолютно твердые, недеформируемые. В действительности же в твердом теле под действием приложенных к нему сил возникают соответствующие деформации. Так, например, горизонтальная балка, лежащая на опорах, под действием приложенных к ней вертикальных сил испытывает деформацию изгиба; стержни фермы под действием сил, приложенных к этой ферме, испытывают деформации сжатия или растяжения. Статически неопределенные
задачи могут быть решены, если принять во внимание упругие свойства тела и возникающие в нем деформации. Но решение этих задач выходит за пределы статики абсолютно твердого тела. Такие задачи рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики.
Равновесие системы, состоящейиз нескольких твердых тел
Во всех предыдущих задачах мы рассматривали равновесие одного твердого тела. Если имеем систему, состоящую из нескольких твердых тел, то в этом случае приходится рассматривать равновесие каждого тела в отдельностит учитывая при этом силы, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в эту систему. Эти силы согласно аксиоме равенства действия и противодействия всегда равны ^тежду собой по модулю и противоположны по направлению. Силы, с которыми тела, входящие в данную систему, действуют друг на друга, называются внутренними силами этой системы. Все остальные силы, действующие на систему (например, сила тяжести, опорные реакции), называются внешними силами. Если система находится в покое, то силы, приложенные к каждому из твердых тел, входящих в систему, уравновешиваются, и, следовательно, для каждого из этих тел можно составлять уравнения равновесия так же, как в предыдущих примерах (§ 25). Если составим одно из уравнений равновесия (например, уравнение проекций на ось 它)для каждого тела данной системы в отдельности и затем все эти уравнения сложим, то в полученном после этого уравнении члены, содержащие внутренние силы, сокращаются, так как эти силы попарно равны по модулю и противоположны по направлению и, следовательно, сумма их проекций на любую ось равна нулю; поэтому в полученное уравнение будут входить только внешние силы, приложенные к данной системе. То же самое относится и к уравнениям моментов, ибо, поскольку гнутренние силы системы попарно равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны, сумма их моментов относительно любого центра равна нулю.
Отсюда следует, что при равновесии данной системы мы можем составлять для нее уравнения равновесия, так же как мы это делали для одного твердого тела, причем в эти уравнения войдут только внешние силы, приложенные к системе, или, другими словами, если система находится s равновесии^ то действующие на нее внешние силы удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу х).
К этому же заключению можно прийти, применяя принцип отвердевания (§ 3).
Пример 36. Лестница-стремянка, состоящая из двух одинаковых частей АС и ВС, весом 尸 каждая, соединенных в точке С шарниром и связанных веревкой DE, стоит на гладком горизонтальном полу. В точке К на лестнице стоит человек весом Q. Найти реакции в точках А и В, натяжение веревки и реакцию в шарнире С, если АС = ВС = 2厶 DC = ЕС = а; ВК = Ь и N САВ = а (рис. 76, а).
Решение. Обозначим вертикальные реакции пола в точках Л и В через N、и ^2• Реакции веревки, приложенные в точках D и Е, обозначим через 厶 и 么,причем 4 = — П・ В данном случае система состоит из двух тел АС и ВС\ обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие реакции левой части лестницы АС, приложенные к ее правой части в точ^ ке С, через Хс и Yc; составляющие реакции правой части лестницы ВС, приложенные к ее левой части в той же точке, обозначим через Хгс и У^， при этом Х《=—Хс и Yq =— Ус. Веса Р будем считать приложенными в серединах отрезков АС и ВС.
Сначала напишем уравнения равновесия для всей системы в целом, т. е. рассматривая эту систему как одно абсолютно твердое тело. Проектируя все внешние силы, приложенные к системе, на вертикаль и составляя моменты этих сил относительно точки В, получим следующие два уравнения:
М + М — 2Р — Q = 0, 4Z cos а Р + ^ cos а Q — 4Z cos а = 0.
Как было указано выше, внутренние силы (Х© Q，%, У^, 7Tl и Т2) в эти уравнения не входят. Из этих уравнений находим опорные реакции в точках Л и В:
л^! = р + zjQ и 凡=р + (1 —幫)Q・
Рассмотрим теперь в отдельности какую-нибудь из двух частей лестницы, например левую часть АС, К телу АС приложены силы 网, 看,Р, X. и Yq (рис. 76, б). Проектируя все эти силы на горизонтальную и вертикальную оси 力 и у и составляя моменты этих сил относительно точки С, получил! три уравнения равновесия для левой части лестницы;
"艾=。，
m 一 汽 一 р = 0,
a sin а •厶+ I cos а • P — 2i cos а • 7V± = 0.
Из этих уравнений находим:
у& = № — р и ^jQ
х& = % = ? (2品 一 Р) ctg а =；(尸十耳 Ctg а.
Понятно, что мы пришли бы к тем же самым резулктатам, если бы рассматривали равновесие каждой части лестницы АС и ВС в отдельности и для каждой из пих составили бы по три уравнения равновесия.
Если бы из уравнений равновесия мы получили для одной из искомых реакций, например для У^, отрицательное значение, то это указывало бы на то, что сила У& имеет направление, противоположное принятому на рис. 76, т. е. что вертикальная реакция, приложенная в точке С к левой половине лестницы, направлена не вниз, а вверх; понятно, что реакция %, приложенная к правой половине лестницы, была бы направлена тогда вниз. То же самое относится и к силе Х^.
Таким же методом могут быть определены реакции в шарнирах Л, В и С трехшарнирной арки, находящейся под действием заданной плоской системы сил (рис. 77; силы, приложенные к арке, на чертеже не показаны).
шарнире). Составив для каждой из двух частей арки по три уравнения равновесия (или три уравнения для всей арки в целом и три уравнения для Одной ^= _предыдущей задаче), мы получим всегошарнире). Составив для каждой из двух частей арки по три уравнения равновесия (или три уравнения для всей арки в целом и три уравнения для Одной ^= _предыдущей задаче), мы получим всегоВ этой задаче мы имеем шесть неизвестных реакций (по две в каждом
шарнире). Составив для каждой из двух частей арки по три уравнения равновесия (или три уравнения для всей арки в целом и три уравнения для Одной ^= _предыдущей задаче), мы получим всего
шарнире). Составив для каждой из двух частей арки по три уравнения равновесия (или три уравнения для всей арки в целом и три уравнения для Одной ^= _предыдущей задаче), мы получим всего
Рис. 78.Рис. 78.из ее частей, как мы это делали в шесть уравнений; следовательно, эта задача является статически определенной.
Рис. 78.
Рис. 78.
Пример 37. Составная балка состоит из двух балок АС и CD, соединенных в точке С шарниром (рис. 78). В точке А — неподвижный шарнир, в точке В ——подвижная опора (на катках), конец D балки поддерживается при помощи вертикальной тяги DE. К балке CD приложена заданная вертикальная сила F. Найти реакцию в шарнире Л, реакцию опоры В и натяжение тяги
DE. Соответствующие размеры указаны на чертеже, причем 厶=
⑴ ⑵ (3)⑴ ⑵ (3)Решение. Неизвестную реакцию в шарнире А разложим на две составляющие: горизонтальную ХА и вертикальную УА; вертикальную реакцию подвижной опоры обозначим через N, а реакцию тяги — через Т、В данном случае система состоит из двух тел: балки /С и балки CD. Составим сначала уравнения равновесия для всей составной балки ACD, рассматривая ее как одно абсолютно твердое тело. Проектируя все приложенные к ней внешние силы на оси 齡 н у и составляя сумму моментов этих сил относительно точки А, получим следующие уравнения:
⑴ ⑵ (3)
⑴ ⑵ (3)
YA + N + Т О,外V + 2 (厶+厶)7 一仏十2厶)尸=0.
Первое уравнение показывает, что в шарнире А мы имеем только вертикальную реакцию, что и понятно, так как все остальные внешние силы, приложенные к балке, вертикаль®. Уравнения второе и третье содержат три неизвестные силы: УА, /V и 7; поэтому необходимо составить еще одно уравнение. Для этого, рассматривая отдельно балку CD, составим для нее уравнение моментов относительно точки С; получим:
(厶 + 厶)7 - l2F = 0.
Неизвестная реакция шарнира, приложенная к балке СО в точке С, в это уравнение не входит, так как ее момент относительно точки С равен нулю. Из этого уравнения находим:
一厶十,
Подставляя это значение в уравнение (3), получим:
厶"=(厶十2/2)尸一 2厶下=厶/
отсюда находим:
N =F*
Теперь из уравнения (2) имеем:
Ya …N - T一法；
знак минус здесь указывает па то, что сила У^ имеет направление, противоположное принятому иа чертеже; следовательно, вертикальная реакция в шарнире А в действительности направлена вниз. Составляя для балки CD второе уравнение равновесия (уравнение проекций на ось у или уравнение моментов относительно точки D), найдем из него вертикальную реакцию в шарнире С, приложенную к этой балке; горизонтальная реакция в шарнире С будет, очевидно, равна нулю.
Если данная система состоит из п тел, то в этом случае будем, очевидно, иметь всего Зп уравнений равновесия.
Г Л А В А 6
ТРЕНИЕ
Трение скольжения
Сопротивление, возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого, называется трением скольжения.
Рассматривая равновесие несвободного твердого тела, мы предполагали до сих пор, что в том случае, когда тело опирается на неподвижную поверхность в какой-нибудь точке А (рис. 79), реакция опорной поверхности направлена по нормали к этой поверхности. Опыт показывает, однако, что это предположение не соответствует действительности- реакция Ra неподвижной поверхности образует с нормалью к этой поверхности некоторый
угол ф, так что эту силу можно разложить на две составляющие: 1) силу N，направленную по нормали к опорной поверхности и называемую нормальной реакцией, и 2) силу F, лежащую в плоскости, касательной к опорной поверхности, и противодействующую скольжению тела по этой поверхности. Эта сила F называется силой трения скольжения.
&&Рис. 79.Рис. 79.NNЕсли соприкасающиеся тела достаточно тверды и хорошо отполированы, то сила F незначительна и в первом приближении ею можно пренебречь; так мы и делали до сих пор, считая тела абсолютно твердыми и абсолютно гладкими. Но при технических расчетах силу трения всегда приходится принимать во внимание.
&
&
Рис. 79.
Рис. 79.
N
N
Представим себе следующий опыт: на неподвижную горизонтальную плоскость
положен брусок весом Р. Приложим к этому бруску горизопталь- ную силу Q, что можно осуществить, привязав к бруску гибкую и тонкую веревку, перекинутую через блок, к концу которой подвешена чашка с гирями (рис. 80). Если бы реакция неподвижной плоскости сводилась только к нормальной силе N、то горизонтальная сила Q, как бы мала она ни была, оставаясь неуравновешенной, заставила бы брусок скользить по плоскости. Но в действительности брусок остается в покое до тех пор, пока сила Q не достигнет некоторой определенной величины. Это приводит к заключению, что, кроме нормальной реакции N, возникает еще сил& 居 противоположная силе Q и препятствующая скольжению бруска. Эта сила F и есть сила трения между бруском и опорной плоскостью.
Будем постепенно увеличивать силу Q. До тех пор пока брусок остается в равновесии, будем иметь:
N = Р и F = Q;
чением силы Q такой момент,чением силы Q такой момент,возра-когдавозра-когдаиз последнего равенства видим, что с уве стает w сила трения F. Наконец, наступ」
чением силы Q такой момент,
чением силы Q такой момент,
возра-когда
возра-когда
брусок будет находиться, так сказать, на грани между покоем и движением, или, иначе, на пороге скольжения. Дальнейшее увеличение силы Q, хотя бы самое малое, вызовет уже скольжение его по плоскости. В этот момент сила F достигает максимального значения и при дальнейшем увеличении силы Q она уже не сможет уравновесить эту силу. Сила трения, проявляющаяся при покое тела, называется силой трения 6 покое или силой
статического трения] сила трения, возникающая при скольжении тела, называется силой трения £ движении. Из рассмотренного опыта мы видим, что модуль силы трения в покое может иметь любое значение, заключающееся между нулем и некоторым максимальным значением Fmax, различным в зависимости от различных условий опыта. Установить факторы, от которых зависит величина /^пах, и выяснить характер этой зависимости возможно только на основании опытов.
Исследованием явления трения впервые занимался еще Леонардо да Винчи (1452——1519). В конце XVIII в. многочисленные и но тому времени достаточно точные опыты были проведены известным французским физиком Кулоном. Ввиду того важного значения, которое имеет явление трения в технической практике, экспериментальное изучение этого явления продолжалось и после Кулона л в широких размерах проводится и в настоящее время.
Теоретические и экспериментальные работы многих советских ученых значительно продвинули вперед современное учение о трении. Однако нужно заметить, что эта трудная физико-механическая проблема и до сих пор еще не вполне разрешена.
Возникновение силы трения скольжения объясняется прежде всего тем, что поверхности трущихся тел не являются абсолютно гладкими: как бы хорошо ии была отшлифована поверхность тела, на ней всегда имеются выступы и углубления, которые вследствие их малости пе могут быть, конечно, обнаружены простым глазом. На рис. 81 изображена кривая, показывающая в увеличенном виде микроструктуру поверхности тела (профилограмма). Профилограмма дает наглядное представление о степени шероховатости данной поверхности. Для получения таких профилограмм в настоящее время пользуются специальными приборами (профилографы). Для того чтобы заставить одно тело скользить по другому, необходимо преодолеть возникающее при этом сопротивление микроскопических выступов (неровностей), имеющихся на соприкасающихся поверхностях этих тел. Кроме того, при этом приходится преодолевать еще силы молекулярного взаимодействия между частицами поверхностных слоев соприкасающихся тел. Таким образом, возникновеиие трения скольжения объясняется
двумя причинами: 1) шероховатостью поверхностей трущихся тел и 2) проявлением сил молекулярного взаимодействия этих тел.
На основании многочисленных опытов установлено, что макси^ малъная величина силы трения £ покое прямо пропорциональна нормальному давлению одного тела на другое, или, что то же, нормальной реакции.
Так, если в предыдущем опыте возьмем два бруска, из которых один вдвое тяжелее другого, то при прочих равных условиях максимальное значение силы трения для этого бруска оказывается вдвое большим.
Если обозначим через Fmax максимальную величину силы статического трения и через N ——нормальную реакцию опорной поверхности, то будем иметь:
(33)(33)Р max = jN,
(33)
(33)
где / ——коэффициент пропорциональности, называемый статическим коэффициентом трения скольжения. Величина этого коэффициента зависит от материала трущихся тел, а также от состояния их поверхностей (степени шероховатости, влажности, температуры). Значения коэффициентов трения для разных
материалов и при разном состоянии трущихся поверхностей, определяемые опытным путем, можно найти в таблицах, помещаемых в технических справочниках J). Из равенства
Л
следует, что коэффициент трения скольжения есть число отвлеченное.
Следует иметь в виду, что формула (33) является лишь приближенной формулой, далеко не отражающей в полной мере сложного физического явления трения твердых тел. Однако ввиду простоты этой формулы и ее достаточной точности во многих случаях технической практики эта формула имеет широкое применение и в настоящее время. Применяя эту формулу при расчетах в условиях производственной практики, нужно возможно точнее определить значение коэффициента трения. Опыты показывают, что значение коэффициента трения зависит также и от удельного давления, т. е. от величины нормального давления, приходящегося на единицу площади контакта трущихся тел.
См., например, Краткий технический справочник, под ред. Вяч. А. Зиновьева, ч. I, изд. 2-е, Гос^ехиздат, М., 1952, или Технический справочник железнодорожника и др.
Приведем значения статического коэффициента трения для некоторых тел J):
Бронза по чугуну/= 0,16
»» железу/= 0,19
Сталь » стали/= 0,15
Металл » дубу}= 0,62
Дуб по дубу (волокнапараллельны)/= 0,62
»»»(»перпендикулярны) . . . .，= 0,54
Кожаный ремень подубовому шкиву/= 0,47
»”》» чугуну/ = 0,28
Камень или кирпич по кирпичу/ = 0,50—0,73
»пожелезу/= 0,42—0,49
»»дереву/= 0,46—0,60
Сталь»льду/= 0,027
Относительно трения в движении опытами установлено еле* дующее:
Сила трения в движении направлена противоположно скорости одного из трущихся тел относительно другого.
Сила трения в движении пропорциональна нормальному давлению одного из трущихся тел на другое, т. е. Ff — fN, где /' есть коэффициент трения скольжения 6 движении,
Коэффициент трения в движении несколько меньше статического коэффициента трения и зависит от материала трущихся тел и состояния их поверхностей.
Коэффициент трения в движении зависит от относительной скорости трущихся тел. В большинстве случаев с увеличением скорости этот коэффициент убывает, стремясь к некоторому постоянному значению. Однако наблюдается и обратное явление: при трении, например, кожи о металл (в ременных передачах) рядом исследователей установлено, что коэффициент трения возрастает с увеличением скорости. В некоторых случаях значение коэффициента трения в движении проходит через максимум, т. е. сначала при возрастании относительной скорости от нуля коэффициент трения возрастает, при некотором значении скорости он имеет наибольшее значение и затем при дальнейшем увеличении скорости начинает убывать.
Разными исследователями предложены многочисленные экспериментальные формулы, устанавливающие зависимость коэффициента трепия в движении от относительной скорости трущихся тел; так, например, при торможении железнодорожных вагонов для определения коэффициента трения скольжения между чугунными тормозными колодками и стальными бандажами нередко пользуются следующей формулой:
,,_ 1 + 0,0112и ,,
Данные взяты из «Краткого технического справочника» (1952).
где V — скорость скольжения в километрах в час, /； — 0,45 для сухих поверхностей и % = 0,25 для влажных поверхностей.
При изучении трения твердых тел, кроме коэффициента трения, важную роль играет также угол трения. Пусть твердое тело, нахо
дящееся в равновесии, опирается на неподвижную поверхность (рис. 82) и пусть Ra есть равнодействующая сил N и FmaXl т. е.
полная реакция опорной поверхности в точке А. Угол(ртр между силой Аа и нормалью к опорной поверхности называется углом трения.
Из прямоугольного треугольника имеем: 斤так __
т. е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения,
Геометрическое место прямых линий,Рис. 82.
проведенных из точки А под углом (ртр
к нормали п опорной поверхности в точке А, образует коническую поверхность, которая называется конусом трения (рис. 83). Если при движении тела по неподвижной плоскости в любом направ
лении коэффициент трения скольжения имеет одно и то же значение, то конус трения будет, очевидно, круглым конусом. В некоторых случаях при движении тела по неподвижной плоскости в разных направлениях коэффициент笈
трения скольжения имеет различные значения, например при скольжении по дереву
Рис. 83.Рис. 83.вдоль волокон и поперек волокон. В этих V^L^y случаях образующие конуса трения составляют \« L / с нормалью опорной поверхности различные уМ*-у углы, а потому конус трения не будет круглым \ / конусом. Так как модуль F силы статического V,丿, трения не может быть больше Fmax)то
Рис. 83.
Рис. 83.
tg屮=w V犷tg屮=w V犷Если обозначим через ср угол полной реакции Яд с нормалью к опорной поверхности в том случае, когда модуль силы статического трения не достиг еще максимального значения Fmax (рис. 79), то
tg屮=w V犷
tg屮=w V犷
или tgcp V 厶 или tgcp V tg(pTp,
а потому
ф三三фтр*
Отсюда следует, чтоОтсюда следует, чтополная реакция опорной поверхности не
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что
может быть направлена по прямой, лежащей вне конуса трения. Рассмотрим примеры решения задач статики при наличии трения.
Пример 38. Плоскость ОЛ может вращаться на шарнире О, так что ее можно установить под любым углом а к горизонту. На эту плоскость положено тело весом Р (рис. 84). При каком угле а тело будет оставаться в равновесии?
Решение. Обозначим через N нормальную реакцию плоскости и через 尸 силу трения. Проектируя все силы, действующие на тело (TV, F и Р), на направление ОА (на ось г) и на направление, перпендикулярное к ОА (на ось у), будем иметь при равновесии:
F — Р sin а = 0 и TV — Р cos а — О,
отсюда находим: F = Р sin a, N = Р cos а и, следовательно,
tga=".
Наибольшее значение, которого может достигнуть сила трения в покое, есть ^тах = К>
а потому
и, следовательно,
tg а & 方，или tg а V /；
но /=tgq)Tp，гДе Фтр ~ Угол треннн， а потому tg а tg фтр или а & <ртр,
т. е, тело будет оставаться 6 равновесии до тех nopt пока угол наклона плоскости не превышает угла трения.
Заметим, что при помощи прибора, изображенного на рис. 84, можно определить коэффициент трения; для этого нужно постепенно увеличивать угол а наклона плоскости от нуля до тех пор, пока тело не начнет скользить вниз; если измерить максимальный угол а, при котором тело еще остается в равновесии, то тангенс этого угла равен искомому коэффициенту трения.
Пример 39. На наклонной плоскости с данным углом наклона а, большим угла трения, леяшт тело весом Р. На него действует сила Q, направленная параллельно наклонной плоскости вверх (рис. 85). Определить модуль этой силы дри условии, чтобы тело оставалось в равновесии.
вниз, как указано начерез N и проектируявниз, как указано начерез N и проектируяРешение. Определим сначала наибольшее значение силы Q, при котором еще возможно равновесие, предполагая, что дальнейшее увеличение этой силы вызовет уже скольжение тела вверх по плоскости. В этом случае
вниз, как указано начерез N и проектируя
вниз, как указано начерез N и проектируя
сила трения F направлена по наклонной плоскости рис. 85. Обозначая нормальную реакцию плоскости все силы, приложенные к телу, на оси $ и у, получим:
aaQ =尸 + р sin a, W = Р cos а; кроме того, имеем:
a
a
F 冬 jN или F & /Р cos aj отсюда находим:
Q W Р (sin a + / cos a), и, следовательно,
Qmax = Р ⑻11 a + / cos a).
Найдем теперь наименьшее значениеРнс. 85*
силы Q, необходимой для того, чтобы тело ие скользило вниз по плоскости. В этом случае сила трения имеет направлен ние, обратное показанному на рис. 85, т. е. направлена по наклонной плоскости вверх, что, очевидно, соответствует изменению знака этой силы в предыдущих уравнениях равновесия.
Поэтому будем иметь:
Qmin = Р (sina — / cos a).
Объединяя оба полученных результата, видим, что тело будет находиться в равновесии в том случае, если модуль силы Q удовлетворяет условиям
Р (sin а4-/ cos а) ^ Q 三 Р (sin а — / cos а).
Пример 40. Лестница АВ длиной 2a и весом Р опирается концами па вертикальную стену и горизонтальный пол. При каком угле наклона а лестница будет оставаться в равновесии, если коэффициент трения в точках А и В равен /?
Решение. К лестнице приложены пять сил: вес Р, нормальные реакции Л7! и N2 в точках А и В и силы трепия 瓦 и 色 в тех же точках (рис. 86). “
Проектируя все эти силы на осп Ох и Оу и составляя уравнение моментов относительно точки О, получаем следующие три уравнения равновесия:
стеныстеныМ—/ = 0,
стены
стены
M十尸2 一尸=0.
—27V2 sin a 十 27Vl cos a — P cos a = 0 】).
Обозначим равнодействующую сил F? и №, т. е. полную реакцию в точке В, через В2, а угол между В2 и 伤 обозначим через ф2; тогда / = ^2 tg фо*
I) Это уравнение сокращено на общий для всех членов множитель а.
Если положим tg фг = 及,то
/ =左声2，
Так как
歹2 W /”2， то
左2 V /-
Аналогично для силы 网 будем иметь:
/=公7], причем
自=tg % W /.
Подставляя эти значения ^ и ^ в первые два из уравнений равновесия, получим:
%2 = *1%”&%2 + %] = Р
Из этих уравнений находим:
Подставляя эти значения в уравнение моментов, получим (по освобождении от знаменателя и сокращении на Р):
2*工 sin а — 2 cos а + (1 十自自)cos а = 0 или
2*i tg а + 瓦& = !•
Так как на основании написанных выше неравенств
/ ^ ^1 и /2 ^ В*?, то
2/ tg а + /2 ^ 1, откуда
tg a—^厶一.
Отсюда следует, что наименьшее значение угла наклона а, при котором еще возможно равновесие, определяется из равенства
-产
tg amin =2/ . •
Если заменим здесь коэффициент трения / через tg(ртр, где <ртр — угол трения, то
1 - tg2 屮
tg amin = 2 tg % — = Ctg 2<PW
откуда следует
amin = 90° — 2фтр・
По смыслу задачи угол наклона а не может быть больше 90° (при а = 90° лестница стоит у стены в вертикальном положении).
Поэтому приходим к выводу, что лестница остается в равновесии при угле наклона к горизонту, заключающемся в пределах
90° а 90° 一 2Фтр.
Пример 41. На рис. 87 показана схема колодочного тормоза. Найти наименьшее значение силы Р, необходимое для того, чтобы затормозить шкив О】. Нужные размеры указаны на чертеже. Коэффициент трения между тормозной колодкой и поверхностью шкива равен /.
Решение. Обозначим нормальное давление и силу трения, приложенные к шкиву в точке С, через N vl F. К тормозной колодке в той же точке С приложены нормальная реакция шкива W и сила трения F', равные по модулю и противоположные по направлению силам N и. F соответственно. Напишем условия равновесия для шкива и для рычага О АВ в отдельности, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, приложенных к шкиву, относительно неподвижной точки Ох и сумму моментов сил, приложенных к рычагу, относительно точки О. Получим, как легко видеть из рис. 87, следующие два уравнения:
rQ — RF — 0, cF‘ 十 аР — b№ = 0.
Кроме того, как и в предыдущем примере, положим F = kN, где Л ^ /. Подставляя это значениеF в предыдущие уравнения и заменяя %' nF' через W н F, получим:
kRN =《，аР = bN — MN = (6 — ck) TV.
Определяя величину TV из первого уравнения и подставляя ее значение во второе уравнение, находим:
Q 尸 6 — ck Q г j Ь \
Р = ~а ♦ R ' ~ir-=^-R\k~C)-
Как видно из этой формулы, с увеличением коэффициента к величина Р уменьшается; когда к достигает наибольшего значения /, сила Р имеет наименьшее значение; следовательно,
Из рассмотренных примеров мы видим, что аналитический метод решения задач статики при наличии трепня остается таким же, как и в тех случаях, когда мы трением пренебрегаем. Различие состоит лишь в том, что в уравнениях равновесия появляются, кроме нормальных реакций, силы трения. При этом максимальное значение силы трения определяется по формуле/^тач = jN; в большинстве случаев в задачах статики приходится вести расчет именно на максимальное значение силы трения; в частности, в примере 40 мы могли бы проще определить минимальный угол наклона лестницы, при котором еще возможно равновесие, если бы с самого начала в уравнениях равновесия положили Fx = fN* и 夕纟=/”2； это соответствовало бы предположению, что мы рассматриваем то положение лестницы, при котором силы трения в точках Л и 5 достигают максимального значения (когда тело находится на пороге скольжения). Важно еще заметить, что, как видно из тех же примеров, условия равновесия тела при наличии трения выражаются неравенствами. Поэтому при наличии трения имеются по одно или несколько отдельных положений равновесия, а множество смежных положений равновесия тела, или так называемая область равновесия. В примере 40 границы области равновесия определяются полученными выше неравенствами
90° ^； ct ^； 90° — 2(pTp.
Все сказанное до сих пор в этом параграфе относится к так называемому сухому трению^ т. е. к трению сухих или слабо смазанных твердых тел. Если между твердыми телами, например между вращающимся валом и подшипником, имеется тонкий слой жидкости (смазочного масла), то в этом случае трение называется жидкостным. Изучение жидкостного трения, имеющее очень важное практическое значение, относится к области гидродинамики. Основоположником гидродинамической теории смазки является выдающийся русский ученый ——профессор Инженерной академии Н. П. Петров; он впервые изучил явление жидкостного трения и теоретически и экспериментально, проведя весьма обширные и точные опыты. Результаты своих исследований Н. П. Петров опубликовал в своей классической работе «Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости» (1883). Дальнейшее развитие гидродинамическая теория смазки получила в трудах Рейнольдса и русских ученых Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина и Н. И. Мерцалова.
Трение качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому.
Представим себе цилиндрический каток, положенный на горизонтальную плоскость (рис. 88). Пусть 尸 есть вес катка и пусть в его центре О приложена некоторая горизонтальная сила • Q. Опыт показывает, что пока сила Q невелика, каток будет оставаться в покое. Следовательно, действующие на каток силы Q и Р уравновешиваются сопротивлением неподвижной плоскости. В точке А соприкосновения катка с плоскостью возникают нормальная реакция N этой плоскости, противоположная весу катка Р, и сила трепня Е, препятствующая скольжению катка по плоскости и равная по модулю силе Q, но направленная в противоположную сторону. Однако если бы сопротивление не
подвижной плоскости сводилось только кРис. 88.
силам N и F, то каток не мог бы быть в равповеспи, так как пара (Q, F) оставалась бы, очевидно, неуравновешенной. Поэтому необходимо допустить, что реакции неподвижной плоскости приводятся не только к силам 7V и F, но еще и к некоторой паре, которая уравновешивает пару (Q,万).
Эта пара, препятствующая качению катка, называется парой трения качения. Возникновение этой пары объясняется тем, что вследствие неабсолютной твердости рассматриваемые тела испытывают деформацию, так что каток несколько вдавливается в опорную плоскость и соприкосновение его с этой плоскостью происходит по некоторой малой площадке около точки А. Приводя реакции, распределенные по этой площадке, к точке А, получаем силы N и F, приложенные в этой точке, и пару трения качения х). Относительно пары трения качения Кулон опытным путем нашел, что момент этой пары пе может превышать некоторого определенного в условиях данного опыта максимального значения; это максимальное значение момента пары трения качения не зависит от радиуса катка и прямо пропорционально нормальному давлению катка на плоскость, или, что то же, нормальной реакции N.
Таким образом, если обозначим абсолютную величину этого максимального момента пары треиия качения через Л/тах, то Мтах = /к", где /к —— коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения качения. Из предыдущего равенства
Согласно теореме о приведений плоской системы сил к данному центру(§ 21).
ясно, что этот коэффициент выражается и линейных единицах, например в сантиметрах, так как он играет роль плеча пары. Значение коэффициента трения качения определяется опытным путем и, как показывают опыты, зависит от материала катка и опорной плоскости. В следующей таблице даны значения этого коэффициента для некоторых тел:
Трущиеся тепа
/ в см к
Дерево по дереву
Мягкая сталь по мягкой стали ....
Дерево по стали
Шарик из закаленной стали но стали
0,05—0,06 0,005
0,03—0,04
0,001
Рассмотрим теперь более общий случай равновесия катка. Пусть к катку приложена горизонтальная сила Q в некоторой точке В, так что АВ = Л (рис. 89), и пусть каток находится в покое. В точке А к катку приложены сила трения скольжения F и нормальная реакция N опорной плоскости, направленная вертикально вверх. Кроме того, к катку будет приложена еще пара трения качения. Сложив эту пару с нормальной реакцией, получим, как известно из § 22, одну силу, равную по модулю этой реакции и имеющую то же направление, но приложенную уже не в точке <, а в некоторой другой точке С; если расстояние точки С от прямой
АО обозначим через 〃，то ^ = ^ , где М есть момент пары трения качения. Напишем теперь три уравнения равновесия сил, приложенных к катку, приняв за координатные оси вертикальную и горизонтальную прямые, а за центр моментов точку А. Получим:
Q = F, N = Р, Qh = Nd.
Максимальное значение модуля силы F есть
FmaxFmax="V = /Р,="V = /Р,
Fmax
Fmax
="V = /Р,
="V = /Р,
где / ——коэффициент трения скольжения; следовательно,
Кроме того, величина Nd = М есть момент пары трения качения; эта величина не может быть больше fnN\ следовательно, d V /к, а потому
hQ V fKNf или hQ V 危夕， т. е.
Итак, при равновесии катка сила Q должна удовлетворять условиям
Q^fP н Q V 4'Л
Если эти условия выполнены, то не произойдет ни скольжения, ни качения катка.
Пример 42. На двух цилиндрических катках радиуса г и весом р каждый леясит доска, на которой находится груз; вес доски вместе с грузом равен Р. К доске приложена горизонтальная сила Q, под действием которой
доска вместе с грузом перемещается равномерно (с постоянной скоростью). Определить модуль силы 0, если коэффициент трения качения между катками и грунтом равен /к, а между катками и доской равен /： (рис. 90).
Решение. Так как по условию задачи система, состоящая из доски и катков, движется равномерно, то все силы, приложенные к доске и каткам, уравновешиваются. К правому катку приложены следующие силы: вес р, силы трения скольжения 玲 н F；, приложенные в точках Л и В, нормальная реакция грунта N± и нормальная реакция доски N； Так как между катком и грунтом возникает трение качения, то, как это было указано в предыдущем примере, нормальная реакция 伤 приложена к катку не в точке /, а в точке Л', причем расстояние линии действия этой силы от точки А равно коэффициенту трения качения между катками и грунтом, т. е. ” Точно так же реакция N； приложена не в точке В, а в точке В\ причем расстояние линии действия этой силы от точки В равно коэффициенту трения качения между катком и доской, т. е. /；* К левому катку приложены силы 卩，於,尸& N^ и %!，причем расстояние линии действия силы N^ от точки С равно /к, а расстояние линии действия силы N\ от точки D равно /；. Проектируя все силы, приложенные к правому катку, на вертикаль и составляя сумму моментов этих сил относительно точки А, получим следующие два уравнения равновесия:
I)何-7V；一?=0, 2) &也 4> &图一2声；=0.
Точно так же, проектируя на вертикаль все силы, приложенные к левому катку, и составляя сумму моментов этих сил относительно точки С, полу- наем еще два уравнения:
3)品一 m 一 р = 0, 4)九m十厶陷-2皿=0.
Спроектируем, далее, на вертикальное и горизонтальное направления все силы, приложенные к доске; принимая во внимание, что реакции катков, приложенные к доске, по закону равенства действия и противодействия равны по модулю и противоположны по направлению силам F\ N： 尸! и N* получим следующие уравнения:
5) %； + %； =尸，
'6)尸；+尸] = Q.
Сложив теперь уравнения первое и третье, получим:
W] + м = N； + м + 2р = Р + 2р;
.сложив, далее, уравнения второе и четвертое, получим:
2尸(斤；+ К) - % (М + NJ + Q(N； + М) = /к (Р + 2р) + /；В
или, принимая во внимание шестое уравнение,
2« = & (Р + 2р) + /КР,
откуда находим:
八 /к (Р + 2р)十 /М
Если, как это обычно бывает, вес катков мал по сравнению с весом груза, то величиной р можно пренебречь, т. е. можно положить 戸=0； тогда
Пусть, например, Р = 1000 кг,尸=7,5 см, /к = 0,2 см и & = 0,05 см. Подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим:
с 0,2 + 0,05 men (2
Q = 花 1000 =丄6 m кг.
Более точные опыты показывают, что коэффициент трения качения зависит не только от материала трущихся тел и их упругих свойств, но также и от радиуса катка и от его нормального давления на опорную плоскость. Поэтому в настоящее время при определении момента пары трения качения нередко пользуются другими, более точными формулами, чем вышеприведенная формула Кулона, учитывающими все эти факторы.
Г Л А В А 7
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГРАФОСТАТИКИ
Сложение сил, лежащих в одной плоскости.
Графические условия равновесия плоской системы сил
В этой главе мы рассмотрим графические методы решения задач статики в том случае, когда все приложенные к телу силы лежат в одной плоскости. Вообще графические методы имеют очень широкое применение в технической практике. Хотя эти методы и менее точны по сравнению с аналитическими, так как точность результата здесь зависит от точности выполнения чертежа, однако
эти методы имеют то преимущество, что дают быстрое и наглядное решение задачи. Тот отдел статики, в котором излагаются графические способы решения статических задач, называется графостатикой.
Задача сложения сил, лежащих в одной плоскости, состоит в нахождении равнодействующей этих сил. Эта задача может быть решена графически путем последовательного сложения данных сил, но в этом параграфе мы рассмотрим другой, более удобный и быстрый способ решения этой задачи.
Пусть дана некоторая плоская система сил, напримэр система трех сил, изображенных на рис. 91; обозначим эти силы цифрами 2, 2 и 3. Модуль и направление искомой равнодействующей этих сил найдем по известному правилу силового многоугольника.
Для этого из произвольно взятой точки А проведем вектор, равный вектору, изображающему силу 7; в конце этого вектора поставим букву 8; далее, из точки В проводим второй вектор, равный вектору, изображающему силу 2; в конце этого вектора ставим букву С; из точки С проводим третий вектор, равный вектору, изображающему силу 3, и в конце его ставим букву D. Вектор AD, замыкающий полученную ломаную линию, определяет по модулю и направлению равнодействующую R данной системы сил.
Остается найти точку приложения этой равнодействующей или же ее линию действия, так как точку приложения силы можно переносить по липни действия этой силы в любую точку. Для этого сделаем следующее построение: выберем произвольно какую- нибудь точку О, называемую полюсому и соединим эту точку прямыми со всеми вершинами силового многоугольника; полученные при этом отрезки называются лучами. Два крайних луча О А и OD, направленных в первую и последнюю вершины силового многоугольника, обозначим через а и о). Луч ОВ, направленный в ту вершину силового многоугольника, где сходятся векторы 1 и 2, обозначим через 1——2, а луч ОС, направленный в точку С} общую для векторов 2 и 3, обозначим через 2——3. Теперь возьмем где- нибудь недалеко от линии действия данной силы 1 точку Е н проведем из этой точки прямую, параллельную лучу а, до пересечения в точке а с линией действия силы 1; эту прямую обозначим также через а. Из точки а проводим, далее, прямую, параллельную лучу 1——2, до пересечения в точке b с линией действия силы 2; эту прямую обозначим через 1—2; из точки b проводим прямую, параллельную следующему лучу 2——3, до пересечения в точке с с линией действия силы 3; эту прямую обозначим через 2——3. Наконец, из точки с проведем прямую, параллельную последнему лучу о), и обозначим эту прямую через о).
Построенная таким способом ломаная линия EabcF называется веревочным многоугольником. Продолжим две крайние стороны веревочного многоугольника а и о)до их пересечения в точке К. Через эту точку К проходит искомая линия действия равнодействующей А. Поэтому остается через точку К провести прямую, параллельную замыкающей стороне AD силового многоугольника; эта прямая является линией действия искомой равнодействующей. Итак, задача решена полностью; мы нашли модуль, направление и линию действия равнодействующей данной системы сил.
Теперь нужно доказать, что линия действия равнодействующей R действительно проходит через точку К. Для доказательства перенесем точку приложения силы 1 в точку а и разложим эту силу по правилу параллелограмма на две составляющие, направленные по сторонам а и 1——2 веревочного многоугольника; эти составляющие обозначим соответственно через ае и а/. Так же поступим с силами 2 и 3, т. е. перенесем точку приложения силы 2
в точку Ъ и разложим эту силу на две составляющие bg и ^t, направленные по сторонам 1——2 и 2——3, а силу 3, точку приложения которой перенесем в точку с, разложим на две силы cZ и сп, направленные по сторонам 2——3 и со веревочного многоугольника. Рассмотрим теперь треугольники ade и ОАВ\ эти треугольники имеют соответственно равные углы как углы с параллельными сторонами. Кроме того, сторона АВ равна стороне ad, так как эти стороны изображают одну и ту же силу 1; следовательно, эти треугольники равны, откуда заключаем, что ае = АО и а/ = ОВ, Совершенно так же убеждаемся в равенстве треугольников bhg и ОВС и треугольников elm и OCD} откуда заключаем, что bg = = ВО, bi = ОС} cl = СО и сп = OD. Из полученных равенств следует, что 硏=bg s bi = cl.
Итак, силы, направленные по сторонам 1——2 и 2——3 веревочного многоугольника, взаимно уравновешиваются (эквивалентны нулю) как силы, попарно равные по модулю и прямо противоположные; следовательно, остаются только две силы ае и с办,направленные по крайним сторонам веревочного многоугольника и равные соответственно АО и OD. Отсюда заключаем, что данная плоская система сил эквивалентна двум силам ае и с/г, а потому искомая равнодействующая R этой системы совпадает с равнодействующей этих двух сил ае и сп. Но линии действия этих двух сил пересекаются в точке К; следовательно, через эту точку проходит и их равнодействующая, или, что то же, равнодействующая R данной системы сил, что и требовалось доказать.
Итак, мы приходим к следующему правилу графического сложения сил плоской системы.
Обозначив данные силы по порядку номерами 2, 2, 3, 4 п т. д., строят многоугольник этих сил. Потом выбирают произвольно полюс и соединяют его лучами со всеми вершинами силового многоугольника; эти лучи по порядку обозначают через а, 1——2, 2——3, 3——4, ... , со. Из произвольно взятой точки проводят прямую, параллельную лучу а; из точки пересечения этой прямой с линией действия силы 1 проводят прямую, параллельную лучу 1——2; из точки пересечения этой второй прямой с линией действия силы 2 проводят прямую, параллельную лучу 2——3, до пересечения с линией действия силы 3 и т. д. Последнюю прямую проводят параллельно лучу со. Стороны полученного таким образом веревочного многоугольника обозначают, так же как и параллельные им лучи силового многоугольника, через а, 1——2, 2——3, ..., со. Продолжают крайние стороны а и со веревочного многоугольника до их пересечения в точке К. Через эту точку К проводят вектор, равный замыкающему вектору силового многоугольника; этот вектор определяет искомую равнодействующую данной системы сил.
Это правило, доказанное для трех сил, применимо, как видно из предыдущих рассуждений, к системе с любым числом сил. На рис. 92 показано сложение пяти сил. Заметим, что, выбирая
в качестве полюса О различные точки плоскости, мы будем получать различные по форме и положению веревочные многоуголь- точки К пересечения крайних сторон а и со этих многоугольников, но все эти точки будут лежать, конечно, на одной прямой ——на линии действия равнодействующей данной системы сил.
Указанное правило графи- 'ческого сложения сил, являясь вполне общим, применимо и к частному случаю системы параллельных сил, направленных как в одну, так и в противоположные сторо
ны. Сложение четырех параллельных сил показано на рис. 93. В этом случае все вершины силового многоугольника лежат на одной прямой.
Рассмотрим теперь тот случай, когда лшогоугольник данных сил является замкнутым, т. е. когда главный вектор данной системы сил равен нулю. Этот случай изображен па рис. 94, где дана система четырех сил. Так как многоугольник данных четырех сил замыкается, то начало вектора, изображающего силу 1 на силовом многоугольнике, совпадает (в точке 4) с концом век-
тора, изображающего силу 4, а потому крайние лучи а и(о силового многоугольника совпадают. Построив теперь по указанному выше правилу веревочный многоугольник, мы видим, что в данном случае крайние стороны а и(о этого многоугольника параллельны, так как их приходится проводить параллельно одному и тому же лучу 04. Следовательно, точка К пересечения этих сторон лежит в бесконечности, и веревочный многоугольник не замыкается.
Разложив каждую из данных сил на две составляющие силы, направленные по тем двум сторонам веревочного многоугольника,
D
Рис. 94.
которые пересекаются на линии действия этой силы, как это сделано на рис. 91, мы так же, как и там, убедимся, что составляющие силы, направленные по промежуточным сторонам веревочного многоугольника (т. е. по сторонам 1—2, 2—3 и 3—4), уравновешиваются, и что данная система четырех сил эквивалентна двум силам bp) и 判①),направленным по крайним сторонам а и со веревочного многоугольника и выражающимся по модулю крайними лучами а и (о силового многоугольника, т. е. равными в данном случае одному и тому же отрезку О А.
Итак, эти две силы 邦а〉и 用⑺ равны по модулю и параллельны; кроме того, как видно из рис. 94, они направлены в противоположные стороны^ следовательно, данная система четырех сил приводится к паре (F?* 乃侬)).В этом можно убедиться также следующим образом: разложив силу 1 по направлениям а и 1——2, получим, как видно из силового многоугольника, равенство
АВ = АО + 0В-,
точно так же, разложив силу 4 по направлениям 3—4 и со, получим：
DA = DO + ОА.
Отсюда следует, что 尸州=ЛО и F(^ = ОА, т. е.
方р) = — /^(з).
Из этого равенства видим, что силы F(^ и F^> образуют пару Если обозначим плечо этой пары через d, а ее момент — через М, то
М представляет собой главный момент данной системы сил и не зависит от выбора полюса О.
Таким образом, приходим к следующему заключению: если силовой многоугольник данной плоской системы сил является замкнутым^ а вере^ вочный многоугольник не зам
М =夕” d = ОА • d. ВеличинаМ =夕” d = ОА • d. Величина•Рис. 95.•Рис. 95.кнут, то эта система приводится к паре сил, Равнодей-
М =夕” d = ОА • d. Величина
М =夕” d = ОА • d. Величина
•Рис. 95.
•Рис. 95.
ствующей в этом случае не существует. Если допустим теперь, что плечо d пары
(F<a>, F^) равно нулю, то силы F^ и 网2 будут направлены по одной прямой и потому будут уравновешиваться. Крайние сто
роны а и со веревочного многоугольника в этом случае совпадают (направлены по одной прямой).
Рис. 96.Рис. 96.Отсюда получаем графические условия равновесия плоской системы сил: для равновесия плоской системы сил необходимо и
Рис. 96.
Рис. 96.
достаточноj чтобы совпадали и крайние лучи а и со еилового многоугольника 卫 крайние стороны а и со веревочного многоугольникаf или, другими словами, чтобы оба многоугольникаf и силовой и вере- еочный, были замкнутыми.
На рис. 95 изображена уравновешивающаяся система четырех сил; крайние стороны а и со веревочного многоугольника составляют одну прямую; замкнутая площадь, ограниченная сторонами
веревочного многоугольника 1—2, 2—3, 3—4 и а — со, на рисунке заштрихована.
На рис. 96 изображена уравновешивающаяся система пяти параллельных сил.
§ 32. Разложение данной силы на две, ей параллельные
Пусть дана сила F; требуется разложить ее на две параллельные ей силы, приложенные в заданных точках А и В (рис. 97). Проведем через точки А п В прямые, параллельные силе F; эти прямые представляют собой линии действия искомых составляю
щих сил, которые обозначим соответственно цифрами 7 и 2.
Построим вектор аЪ} равный вектору, изображающему данную силу F, и, взяв произвольно полюс О, проведем лучи Оа и ОЬ} которые обозначим через а и (о. Проведем, далее, прямую, параллельную лучу а;
эта прямая пересечет линиюРис. 97.
действия силы 1 в некоторой
точке С и линию действия силы 尸一в точке К; из точки К про
водим прямую, параллельную лучу(о, которая пересечет линию действия силы 2 в некоторой точке D. Соединив точки С и D, получим сторону 7—2 веревочного многоугольника. Остается теперь из полюса О провести луч Ос, параллельный CD. Построив в точке Л вектор, равный вектору ас, и в точке 8 — вектор, равный вектору cb, получим искомые составляющие 7 и 2 данной силы F.
Правильность данного решения поставленной задачи очевидна. В самом деле, если сложить графически по общему правилу приложенные в точках Л и В силы 7 и 2, то их равнодействующая, во-первых, равна по модулю и направлению данной силе F и, во-вторых, проходит через точку К; следовательно, она совпадает с силой F.
§ 33. Графический способ определения центрасистемы параллельных сил
Пусть дана система параллельных сил 7, 2, 3, приложенных в точках Ль Л2 и Л3 (рис. 98); требуется найти центр этих параллельных сил. Построив силовой и веревочный многоугольники и продолжив стороны а и со веревочного многоугольника до их пересечения в точке К, проводим через эту точку прямую,
параллельную данным силам. Эта прямая будет служить линией действия равнодействующей данных сил, а потому искомый центр лежит на этой прямой. Как известно из § 15, положение центра системы параллельных сил не зависит от направления этих сил; если, не изменяя точек приложения данных сил, повернуть все си^ лы вокруг этих точек и а один и тот же угол, то положение их центра при этом не изменяется. Повернем данные силы по часовой стрелке на прямой угол так, чтобы они оказались направленными по прямым 7',2',3' и построим для этой новой системы сил силовой
Рис. 98.
и веревочный многоугольники. Для построения нового силового многоугольника достаточно построенный уже силовой мно- I оугольник повернуть вокруг полюса О по часовой стрелке также на прямой угол; при этом лучи а', 2'——2', 2'——3’ и о/ нового (повернутого) силового многоугольника окажутся перпендикулярными соответственно к лучам а, 1—2, 2—3 и (о.
Отсюда следует, что и стороны нового веревочного многоугольника будут также перпендикулярны к соответствующим сторонам веревочного многоугольника, построенного для сил 2, 2 и <3. Поэтому новый веревочный многоугольник получаем следующим простым построением： проводим прямую а', перпендикулярную к стороне а; из точки пересечения этой прямой с прямой Г проводим прямую Г——2‘, перпендикулярную к стороне 7——2; из точки пересечения этой прямой с прямой 2' проводим прямую 2'——3', пер- пендйкулярную к стороне 2—3, и, наконец, из точки пересечения этой прямой с прямой 3' проводим прямую а/, перпендикулярную к стороне со. Продолжив прямые а' 口 s' до их пересечения в точке К', проводим через эту точку прямую, параллельную новому направлению данных сил. Искомый центр должен лежать на этой
прямой, а потому он лежит в точке С, т. е. в точке пересечения двух прямых, проведенных через К v К', из которых первая параллельна данным силам, а вторая к ним перпендикулярна. Задача, таким образом, решена.
§ 34. Графическое определение реакций в плоской задаче статики
Как известно из главы 5, в плоской задаче статики по заданным силам, приложенным к данному твердому телу, находящемуся в равновесии, приходится определять неизвестные реакции связей; при этом предполагается, что все заданные силы и неизвестные реакции связей лежат в одной плоскости; аналитический метод определения реакций из уравнений равновесия был рассмотрен в главе 5; теперь мы рассмотрим графический метод решения этой задачи на следующих простых примерах.
II р и м е р 43, К горизонтальной балке, лежащей на двух опорах, приложены четыре заданные вертикальные силы. Определить реакции опор (рис. 99).
Решение. Данные в задаче силы, приложенные к балке, обозначим цифрами I, 2, 3, 4. Реакции опор обозначим цифрами 5 и 6; эти силы направлены перпендикулярно к балке вверх; требуется найти эти реакции. Для этого строим сначала силовой многоугольник; так как все силы параллельны, то в силовом многоугольнике они лежат на одной прямой, причем силы 7, 2, 3 и 4 направлены вниз, а силы 5 и 6 ——вверх. Так как при равновесии силовой многоу! ольник должен быть замкнутым, то конец силы 6 должен совпадать с началом силы I, т. е. с точкой А. Выбрав произвольно полюс О, проведем лучи 7—2, 2——3, 3 — 4 и 4——5; два крайних луча а и со совпадают с лучом ОА, который обозначим через 6—7, так как точка А является концом вектора 6 и началом вектора 7. Поскольку силы 5 и 6 нам не даиы, направление луча 5—6 пока неизвестно.
Строим, далее, веревочный многоугольник: из точки % произвольно взятой на линии действия силы 6, проводим прямую, параллельную лучу 6—7, ДО пересечения с линией действия силы 7; эта прямая представляет собой сторону 6—1 веревочного многоугольника; из точки пересечения этой прямой
Рпс. 100.щая Я проходит через точку пересеченияРпс. 100.щая Я проходит через точку пересечения
Рпс. 100.
щая Я проходит через точку пересечения
Рпс. 100.
щая Я проходит через точку пересечения
с линией действия силы 2 проводим прямую, параллельную лучу 1——2, до пересечения с линией действия силы 2; получаем сторону 1—2 веревочного многоугольника и т. д. Сторона 4—5 веревочного многоугольника пересечет линию действия силы 5 в некоторой точке &; из этой точки 6 мы должны провести теперь последнюю сторону 5—6 веревочного многоугольника до пересечения с линией действия силы 6. Но так как при равновесии веревочный многоугольник должен быть замкнутым, то ясно, что его сторона 5—6 должна проходить через точку а. Поэтому, соединив прямой точки а и Ь, получим эту последнюю сторону 5——6 веревочного многоугольника. Остается теперь на силовом многоугольнике из полюса О провести луч 5—6, параллельный ab. Определив направление луча 5—6, мы тем самым находим и " с1 5 равна отрезку прямой /В, за
ключенному между лучами 4—5 и 5——6, а сила 6 равна отрезку той же прямой, заключенному между лучами 5—6 и 6—7 х). Задача, следовательно, решена.
Пример 44. Балка АВ подъемного крана весом Р может вращаться на шарнире Л; в точке 8 к ней подвешен груз весом Q. Балка удерживается в равновесии цепью ВС. Определить натяжение цепи и реакцию в шарнире Л (рис. 100).
Решение. Реакция цепп направлена по 8С; реакция в шарнире не известна ни по модулю, ни по направлению. Сложим графически при помощи силового и веревочного многоугольников данные в задаче параллельные силы Р vl Q. Их равно действую- К сторон а и со веревочного многоугольника. Продолжим линию действия силы Я до пересечения с прямой ВС в точке D; так как к балке теперь приложены три силы (сила К, реакция шарнира и реакция цепи), то на основании теоремы о трех уравновешенных силах) заключаем, что линия действия реакции шарнира А проходит через точку Л; следовательно, она направлена по прямой AD. Таким образом, направления обеих искомых сил теперь известны; чтобы найти эти силы, достаточно построить силовой треугольник: проводим вектор аЬ, равный силе Я; из точек а и & проводим прямые, параллельные ВС и AD, до их пересечения в точке с; векторы 6с и са определяют искомую реакцию шарнира ЯА и реакцию цепи Т, модуль которой и равен искомому натяжению цепи.
Пример 45. К ферме, изображенной на рис. 101, приложены три заданные нертикальные силы 尸^ ^ и 歹з・ В точке Л ферма имеет неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную опору, которая может перемещаться на катках по гладкой неподвижной наклонной плоскости. Найти реакции в точках А а В.,
Решение. Эта задача решается аналогично предыдущей. Реакция RB в точке 笈 направлена по нормали к опорной плоскости. Реакция R
На рис. 99 для большей ясности чертежа векторы, изображающие силы 5 и 6, отложены не на самой прямой АВ, а рядом.
на рис. 101. Равнодействующаяна рис. 101. Равнодействующаяв шарнире А не известна ни по модулю, ни по направлению. Сложим сначала графически данные силы 招,^2 и F3t построив для этого силовоп и веревочный многоугольники, как пок В этих сил направлена по прямой, параллельной этим силам и проходящей через точку К пересечения крайних сторон а и о)веревочного многоугольника. Сложив силы 修,歹2 и 歹3， мы приведем систему сил, прило- я；енных к ферме, к трем силам: ЯА, Я и А. Так как эти три силы уравновешиваются, то их линии действия должны пересекаться в одной точке. Продолжим известные линии действия сил П и Яв до их пересечения в точке С; линия действия силы ВА должна проходить через эту точку; следовательно, эта сила направлена по прямой АС. Таким образом, теперь известны модуль и направление силы R и направления искомых реакций НА и Нв. Остается, как и в предыдущей задаче, построить треугольник этих сил: из произвольно взятой точки проводим вектор
на рис. 101. Равнодействующая
на рис. 101. Равнодействующая
ab = /?, из начала а и конца 6 этого вектора проводим прямые, параллельные прямым АС и ВС, до их пересечения в точке с; векторы Sc и со" определяют искомые реакции и 方从.
Рис. 102.Рис. 102.Рассмотрим еще другой способ решения этой задачи, основанный на построении замкнутых силового и веревочного многоугольников, т. е. тот же способ, который был применен при решении задачи 43. Обозначим заданные
Рис. 102.
Рис. 102.
силы 尸и 房 и % соответственно цифрами I, 2, 3; реакцию опоры В обозначим цифрой 4, а реакцию шарнира А ——цифрой 5 (рис. 102). Так как силы 1, 2 и 3 параллельны, то на силовом многоугольнике эти силы лежат на одной прямой. Из конца & вектора 3 проводим прямую, параллельную силе 4, линия действия которой известна, ио так как модуля этой силы мы ие знаем, то положение конца вектора 4 в силовом многоугольнике остается пока неизвестным. Так как силовой многоугольник должен быть замкнутым, то конец
силы 5 в этом многоугольнике должен совпадать с началом силы 2. Выбрав произвольно полюс О, проводим лучи 5—7, 7—2, 2—3 и 3—4; что касается луча 4—5, то его направление пока не известно, поскольку неизвестно положение конца силы 4 и совпадающего с ним начала силы 5. Теперь переходим к построению веревочного многоугольника. Стороны этого многоугольника параллельны соответствующим лучам, проведенным из полюса О, а его вершины должны лежать на линиях действия сил, приложенных к ферме (так же, как в задаче 43). Направления линии действия силы 5 (реакции шарнира А) мы не знаем, но одна точка, принадлежащая этой линии,——точка А — известна. Поэтому построение веревочного многоугольника нужно начинать с построения стороны 5—7, проводя эту сторону из точки А до пересечения с линией действия силы 7. Далее строим стороны 7—2, 2——3 п 3——4 веревочного многоугольника. Обозначим точку пересечения стороны 3——4 с линией действия силы 4 через С. Так как веревочный многоугольник должен быть замкнутым, то для построения его стороны 4——5 следует, очевидно, соединить точки С и Л. Построив сторону АС, можем теперь построить луч 4—5 на фигуре силового многоугольника; для этого нужно из полюса О провести прямую, параллельную стороне 4—5 веревочного многоугольника, до пересечения в точке с с прямой, проведенной через точку 6 параллельно силе 4. Вектор Ъс определяет силу 4. Так как силовой многоугольник должен быть замкнутым, то, соединив конец с вектора 4 с началом а вектора 2, получим вектор са, определяющий силу 5. Таким образом, обе искомые реакции 4 и 5 определены.
ГЛАВА 8
ФЕРМЫ
§ 35. Понятие о ферме. Задача расчета ферм
При постройке мостов, подъемных кранов и других сооружений применяются конструкции, называемые фермами. Фермой называется конструкция^ состоящая из стержней, соединенных между собой по концам шарнирами и образующих геометрически неизменяемую систему.
Шарнирные соединения стержней фермы называются ее узлами. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, то такая ферма называется плоской. В этой главе мы будем рассматривать только плоские фермы.
Среди разнообразных типов ферм необходимо различать следующие два основных вида: 1) фермы без лишних стержней и
фермы с лишними стержнями.
Если с фермы нельзя снять ни одного стержня, не лишив ее свойства геометрической неизменяемости, то такая ферма принадлежит к первому типу, т. е. не имеет лишних стержней. Такой простейшей фермой является стержневой треугольник с шарнирными соединениями в вершинах. К таким же фермам без лишних стержней принадлежит четырехугольник с одной диагональю (рис. 103). Такова же состоящая из треугольников мостовая ферма (рис. 104, а). Если от фермы, изображенной на рис. 103, отнять
один стержень, например стержень, расположенный по диагонали, то полученная конструкция не будет уже геометрически неизменяемой системой; в самом деле, так как соединения стержней шарнирные, то ясно, что такая система, состоящая из четы- / рех стержней с четырьмя узлами, под действием при
ложенных к ней сил может изменять свою форму. ^^\
Если же при снятии одного или нескольких стержней Рис 1из> ферма не теряет свойства неизменяемости, то такая
ферма принадлежит ко второму типу, т. е. является фермой с лишними стержнями. Примером такой фермы служит четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 105). Ясно, что если отнять от этой фермы одну диагональ, то ферма останется геометрически неизменяемой; следовательно, вторая диагональ с точки зрения
обеспечения неизменяемости фермы является излишней; эта ферма имеет один лишний стержень. Постараемся установить зависимость между числом стержней т и числом узлов п фермы без лиш^ них ^стержней. Вывод проведем для так называемой простой фермы7 т. е. состоящей из ряда треугольников, сто
ронами которых служат стержни фермы и в вершп- /^^А нах которых находятся ее узлы. Будем рассмат- 乙/^\\ ривать один из таких треугольников как основ
ной. При добавлении к этому основному треуголь- Рис 乂后 пику каждого нового узла приходится добавлять
два новых стержня, соединяющихся в этом узле } Таким образом, при добавлении к трем основным узлам п — 3 остальных узлов добавляется 2 (п ——3) стержней; следовательно, число всех стержней фермы (вместе с тремя основными) равно
2 (п — 3) + 3 = 2/г — 3, т. е.
m = 2п — 3.
Если бы новый узел был присоединен к основному треугольнику при помощи трех стержней, то ферма имела бы вид, изображенный на рис. 105, т. е. имела бы один лишний стержень.
Это равенство выражает искомую зависимость между числом стержней и числом узлов фермы без лишних стержней. Если т <^2п —— 3, то число стержней недостаточно для обеспечения геометрической неизменяемости фермы; мы имеем в этом случае изменяемую стержневую систему. Если же m ^> 2п — 3, то имеем ферму с лишними стержнями.
В дальнейшем мы будем предполагать выполненными следующие условия:
Все стержни фермы — прямолинейные.
Трение в шарнирах отсутствует.
Заданные силы, действующие на ферму (нагрузки), лежат 6 плоскости этой фермы и приложены только е ее узла岔.
Собственный вес каждого стержня фермы настолько мал по сравнению с силамиf приложенными в узлах фермы7 что им можно пренебречь.
Нетрудно видеть, что при выполнении этих условий каждый стержень фермы будет испытывать только сжатие или растяжение и не будет подвергаться изгибу, в чел состоит основная особенность и главное преимущество фермы как строительной конструкции.
В самом деле, при условии, что все нагрузки приложены в узлах фермы и что трения в шарнирах нет, каждый стержень фермы будет находиться под действием только двух сил, приложенных к его концам (реакций шарниров, находящихся на концах этого стержня); но при равновесии твердого тела под действием только двух сил эти силы должны быть равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей точки их приложения, в противоположные стороны; следовательно, силы, приложенные к стержню фермы, будут непременно направлены вдоль этого стержня, а потому будут вызывать только его сжатие или растяжение.
Первая задача при расчете фермы состоит в следующем: к данной ферме (в ее узлах) приложена система заданных сил F1T 居, F3, ... Требуется определить реакции опор и силы, сжимающие или растягивающие каждый из стержней этой фермы (усилия в стержнях фермы). Эту задачу мы и будем рассматривать в этой главе.
Заданные силы £, приложенные к ферме, и опорные реакции являются по отношению к этой ферме внешними силами; искомые же усилия в стержнях фермы являются для нее силами внутренними (§ 28).
При расчете ферм приходится различать фермы, статически определимые и статически неопределимые. Если все неизвестные силы, которые нужно найти при расчете дайной фермы, т. е. реакции опор и усилия в ее стержнях, могут быть определены методами статики твердого тела, то такая ферма является статически определимой; в противном случае мы имеем статически неопре-
делимую ферму. Постараемся выяснить, в каком случае ферма является статически определимой. Для этого заметим прежде всего, что так как ферма представляет собой неизменяемую систему, то, как мы знаем из главы 5, число неизвестных опорных реакций не должно быть более трех; в противном случае задача определения опорных реакций для данной фермы становится статически неопределенной. Но, кроме трех неизвестных реакций, требуется определить еще снимающую или растягивающ^^ю силу для каждого из m стержней фермы; таким образом, мы имеем всего m -|- 3 неизвестных сил. Посмотрим теперь, сколько же можно составить независимых уравнений для определения этих неизвестных сил. Для этого применим так называемый способ вырезания узлов. Вырежем какой-нибудь узел фермы, изображенной на рис. 104, а, например узел С, и рассмотрим этот узел в отдельности (рис. 104, 6). К этому узлу С приложены заданная сила 尸з и реакции стержней, соединяющихся в этом узле/ направленные вдоль этих стержней; эти реакции численно равны, очевидно, искомым усилиям в перерезанных стержнях. Поскольку силы, приложенные к узлу С, представляют собой плоскую систему уравновешивающихся сходящихся сил, мы будем иметь для этого узла два уравнения равновесия, которые получим, приравняв нулю суммы проекций всех этих сил на оси х и у. Точно так же мы можем поступить и по отношению к каждому из остальных узлов фермы. Поэтому получим всего 2п уравнений, где п обозначает число узлов фермы.
Теперь понятно, что для того, чтобы рассматриваемая задача была статически определенной, число уравнений должно равняться числу неизвестных, т. е. мы должны иметь равенство m -^ 3 = 2几 или т = 2п — 3. Но это равенство, как было указано выше, имеет место для фермы без лишних стержней. Отсюда следует, что ферма без лишних стержней является статически определимой.
Ферма, имеющая лишние стержни, является статически неопределимой, так как в этом случае число уравнений будет недостаточно для определения всех неизвестных сил (в этом случае 2孔＜т + 3). Способы определения усилий в стержнях таких ферм рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики; при этом приходится принимать во внимание упругие деформации (деформации сжатия или растяжения), вызываемые в стержнях фермы приложенными к ней внешними силами.
В этой главе мы рассмотрим следующие способы определения усилий в стержнях статически определимых ферм;
Упомянутый уже способ вырезания узлов.
Способ Кремоны.
Способ Риттера.
Способ вырезания узлов
При определении усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов можно решать задачу и аналитически, и графически. Обычно пользуются графическим способом, так как этот способ значительно проще, нагляднее и скорее ведет к цели.
Способ вырезания узлов, как указывалось уже в предыдущем параграфе, состоит в следующем: вырезают в последовательном порядке каждый из узлов фермы и рассматривают силы, приложенные к вырезанному узлу; в число этих сил входят, во-первых, реакции перерезанных стрежней, приложенные к вырезанному узлу, численно равные искомым усилиям в этих стержнях, и, во-вторых, могут входить заданные силы, приложенные в узлах фермы, и опорные реакции. Так как силы, приложенные к вырезанному узлу, уравновешиваются, то многоугольник этих сил является замкнутым. Построив замкнутые силовые многоугольники для каждого узла фермы, можно определить графически усилия в стержнях этой фермы.
к каждому вырезанному узлу, пят из них неизвестные силы.к каждому вырезанному узлу, пят из них неизвестные силы.При аналитическом решении задачи составляют уравнения равновесия сил, приложенных и, решая эти уравнения, нахо
к каждому вырезанному узлу, пят из них неизвестные силы.
к каждому вырезанному узлу, пят из них неизвестные силы.
В качестве примера применим способ вырезания узлов к ферме, изображенной на рис. 106. Эта ферма имеет одну неподвижную шарнирную опору Л и одну подвижную опору В; к ферме приложены заданные вертикальные силы F1T 居 и 吊.
Решение задачи начинают всегда с определения опорных реакций.
В данном случае все заданные силы 居 вертикальны, следовательно, горизонтальная составляющая реакции в шарнире Л равна нулю. Вертикальные реакции опор Л и В графически определяются построением замкнутых силового и веревочного многоугольников, как это указано в примере 43. Обозначим эти реакции через ЯА н Яв; когда реакции ЯАи Rb будут найдены, все внешние силы, приложенные к ферме, будут известны.
Определив опорные реакции, переходим к вырезанию узлов. При этом первым нужно вырезать тот узел, в котором соединяются только два стержня. Обычно такими бывают узлы на опорах, что мы и видим в рассматриваемой ферме. Начнем с узлаЛ. К этому узлу приложены три силы: известная сила Яд и две реакции S] и §2 перерезанных стержней 7 и 2; линии действия этих
реакций известны (эти силы направлены вдоль соответствующих стержней), а численные значения их нужно определить. Для этого строим замкнутый многоугольник этих трех сил: из произвольно выбранной точки проводим вектор, изображающий силу Яд； из начала и конца этого вектора проводим прямые, параллельные стержням 7 II 2; точка пересечения этих прямых определяет третью вершину силового треугольника, а длины его сторон, параллельных стержням 2 n 2, определяют численные значения，и 52 реакций этих стержней, равные искомым усилиям (рис. 107, Л).
Напомним, что для определения направления сил $ и 邑 в силовом треугольнике нужно обойти этот треугольник по его периметру в направлении известной силы Ra, т. е. в данном случае против часовой стрелки.
Остается выяснить характер усилий в стержнях 1 и 2, т. е. определить, будут ли эти стержни сжаты или растянуты. Это легко сделать, принимая во внимание направления сил S± и S2 ^ силовом треугольнике, из следующих соображений: сила Sx представляет собой реакцию стержня 1, приложенную к узлу Л; если перенесем вектор 51 с силового треугольника на стержень 7, то увидим, что этот вектор направлен к узлу Л; следовательно, стержень 7 давит на узел Л с силой 5П а потому сам испытывает сжатие; в самом деле, реакция узла /, приложенная к стержню 7, равна по модулю и направлена противоположно силе S】；следовм тельно, к стержню 7 в точке Л приложена сила ——Sx; вторая сила приложена к этому стержню в точке С (реакция шарнира С); так как стержень 7 находится в равновесии, то эти две силы равны по модулю и направлены противоположно; таким образом, мы впдим, что стержень 1 находится под действием двух сил, направленных навстречу одна другой, как показано на рис. 108, а, и вызывающих, очевидно, сжатие. Рассмотрим теперь стержень 2; перенося вектор & на этот стержень, видим, что этот вектор будет
направлен от узла А; следовательно, стержень 2 тянет узел Л с силой §2； отсюда на основании таких же соображений, как и впре- дыдущем случае, убеждаемся, что стержень 2 находится под действием двух растягивающих сил, как показано на рис. 108, 6.
Таким образом, приходим к следующему заключению, которое необходимо помнить, при определении характера усилий в стержнях фермы: если реакция данного стержне, приложенная 匿 выре
занному узлу, направлена к этому узлу, то стержень сжат; если
же эта реакция направлена от узла, то стержень растянут. После узла Л нужно вырезать узел С; к этому узлу приложены
четыре силы： из них сила 居 дана, а реакция стержня 1 уже най
дена; таким образом, из числа сил, приложенных к этому узлу, неизвестны опять только две: реакции стержней 3 и 4. Построение замкнутого многоугольника четырех сил, действующих на узел С, нужно начинать с построения известных сил; при этом необходимо обратить внимание на то, что реакция S；, стержня 1, приложен
ная к узлу С, очевидно, равна по
модулю II направлена противоположно реакции этого стержня, приложенной к узлу А. Поэтому S； = ——S” т. е. реакции каждого стержня, приложенные к узлам, которые этот стержень соединяет, всегда равны по модулю и противоположны по направлению. Чтобы построить теперь силовой многоугольник для узла С, проводим из произвольной точки вектор, изображающий силу 耳1，из конца этого вектора проводим вектор S；, далее из начала вектора 居 и из конца вектора S； проводим прямые, параллельные стержням 3 и 4, до их пересечения. Длины сто
рон полученного замкнутого четырехугольника, параллельных стержням 3 II 4, определяют численные значения искомых усилий 53 и 54 в этих стержнях. Обходя этот четырехугольник по его периметру в направлении одной из известных сил 网 или S；, находим направления сил & и S& (рис. 107, С).
Так как вектор 53, как видим из чертежа, направлен от узла С (если перенести этот вектор на стержень 3), то отсюда заключаем, что стержень 3 растянут. Вектор S& направлен к узлу С; следовательно, стержень 4 сжат. Теперь следует переходить к узлу Н (рис. 106), так как из четырех сил, приложенных к этому узлу, две силы (реакции стержней 2 и 3) уже найдены, и, следовательно, неизвестными остаются только две силы ——реакции стержней 5 и 6, которые обозначим через 53 и 56. При построении силового многоугольника для узла Н опять нужно принять во внимание, тио реакции S] и S； стержней 2 и 3, приложенные к узлу Я,
соответственно равны по модулю и противоположны по направлению реакциям этих стержней, приложенным к узлам Л и С, т. е. S；———§2 и S；=——53. Этот силовой многоугольник показан на рис. 107, Н. Принимая во внимание направления сил Sg и $6，видим, что стержень 5 сжат, а стержень 6 растянут.
Всякий раз при переходе к новому узлу нужно следить за тем, чтобы в этом узле имелось не более двух стержней, в которых усилив еще не определены. Поэтому после узла 〃 нужно вырезать узел D. Затем вырезаем узлы G и Е.
Силовые многоугольники, построенные для этих узлов, показаны на рис. 107 (D, G, Е). Таким образом, усилия во всех стержнях данной фермы определены. Понятно, что нет надобности вырезать последний узел 3, так как усилия в стержнях 10 и 11, соединяющихся в этом узле, определены уже ранее при вырезании узлов G и Е. Но силовой многоугольник для узла 8 можно построить в целях контроля правильности произведенных до этого постров' ний: при построении многоугольника найденных уже сил, приложенных к узлу В, этот многоугольник должен замкнуться.
Понятно, что вырезание узлов данной фермы можно было бы начать с узла В, далее вырезать узел Е, затем узел G и т. д.
Способ Кремоны
Изложенный в предыдущем параграфе графический способ вырезания узлов по своей идее очень прост, нагляден и не может вызвать затруднений, так как всегда легко сообразить, в какой последовательности следует вырезать узлы дайной фермы. Однако этот способ имеет тот недостаток, что каждую силу (за исключением внешних сил) приходится, как мы видели, изображать на чертеже два раза (в противоположных направлениях), что при расчете ферм с большим числом узлов усложняет работу и делает построение менее точным. Кроме того, так как силовые многоугольники строятся отдельно для каждого узла, то мы не получаем единой, общей картины распределения усилий в стержнях данной фермы. Поэтому, естественно, возникает стремление усовершенствовать этот способ так, чтобы освободиться от этих недостатков. Для этого, очевидно, было бы достаточно соединить вместе все разрозненные силовые многоугольники, изображенные, например, на рис. 107, таким образом, чтобы они образовали одну геометрическую фигуру ——единую, общую диаграмму усилий для всей данной фермы ——и чтобы при этом каждая сила на этой диаграмме встречалась только один раз. Геометрическая теория пострсе- ния таких диаграмм была разработана итальянским геометром Кремоной.
При построении диаграммы Кремоны приходится строить силовые многоугольники для каждого из узлов фермы совершенно так
же, как это было указано в предыдущем параграфе. Но для того, чтобы диаграмма была построена правильно, чтобы эти силовые многоугольники образовали одну геометрическую фигуру и притом так, чтобы каждая сила на диаграмме встречалась только один раз, при построении диаграммы Кремоны нужно строго придерживаться определенных правил. Эти правила мы и рассмотрим на примере построения диаграммы для симметричной фермы, изображенной на рис. 109, а. К этой ферме приложена одна заданная вертикальная сила 力*
Прежде чем приступать к построению диаграммы Кремоны, определяют сначала опорные реакции. Это можно сделать или аналитически из трех уравнений равновесия внешних сил, приложенных к ферме, в которые, кроме заданных сил, войдут и опорные реакции, или графически, как это было указано в § 34. В рассматриваемом случае горизонтальная составляющая реакции в неподвижном шарнире равна, понятно, нулю. Что касается вертикальных реакций этого шарнира и подвижной опоры, то вследствие полной симметрии эти реакции, очевидно, равны между собой и, следовательно, каждая из них равна по модулю г/2 F. Обозначим эти реакции через Яг и /?2. Внешние силы будем всегда изображать на чертеже так, чтобы они были расположены вне данной фермы. Поэтому внешняя сила F изображена на чертеже так, что в узле V находится конец вектора F, а не начало его.
Части плоскости, ограниченные внешним контуром фермы и линиями действия внешних с卫孔, будем называть внешними областями. В данном случае имеются три внешние области, которые обозначим буквами А, В и С. Части плоскости, расположенные внутри фермы и ограниченные только стержнями фермы, будем
называть внутренними областями, В данном случае имеются три внутренние области, которые обозначим буквами D, Е, Н. На диаграмме Кремоны мы не будем ставить стрелок, указывающих направления сил, а будем обозначать каждую силу двумя буквами, стоящими в начале и в конце прямолинейного отрезка, изображающего на диаграмме эту силу. Заметим, что порядок буквенного обозначения сил при построении диаграммы Кремоны играет весьма существенную роль; условимся каждую силу на диаграмме обозначать двумя малыми буквами, соответствующими тем большим буквам, какими обозначены две смежные области, разграниченные линией действия этой силы. Кроме того, необходимо установить определенную последовательность букв при обозначении всех внешних сил на диаграмме. Условимся при обозначении каждой внешней силы на диаграмме ставить буквы в том порядке, в каком расположены две смежные внешние области, разграниченные линией действия этой силы, при обходе фермы по часовой стрелке 工),поэтому сила F должна иметь на диаграмме обозначение ab (а не 厶а); при этом первая буква обозначает начало отрезка, изображающего на диаграмме силу F, а вторая — конец этого отрезка. Точно так же силы % и 丸？ должны иметь обозначения соответственно са и Ьс. Определив, как указано выше, опорные реакции, переходят к построению многоугольника внешних сил, который всегда будет замкнутым, так как все внешние силы, приложенные к ферме, находятся в равновесии. Так как в рассматриваемом случае все внешние силы параллельны, то на диаграмме отрезки, изображающие эти силы, расположатся на одной прямой, как показано на рис. 109, 6 (отрезки ab, Ьс, са). (Масштаб сил на этом чертеже взят в четыре раза большим, чем на рис. 109, а.) Важно заметить, что построение многоугольника внешних сил можно начинать с какой угодно внешней силы, но все остальные силы необходимо строить в той последовательности, в какой мы их встречаем при обходе фермы в установленном направлении, т. е. по часовой стрелке.
Построив замкнутый многоугольник внешних сил, переходим к построению на диаграмме силовых многоугольников для каждого из узлов фермы. При этом, как было указано в предыдущем параграфе, нужно начинать с такого узла, в котором соединяются только два стержня. Для рассматриваемой фермы такими узлами являются узлы I и 〃； начнем с узла I. К этому узлу приложены три силы: сила Rx = са и реакции стержней 7 и 5, направленные вдоль этих стержней. Так как стержень 1 разграничивает смежные области Л и D, то согласно принятому правилу реакция этого стержня должна быть обозначена на диаграмме буквами а и 〃;
Выбор направления обхода фермы является, конечно, условным. Можно условиться обходить ферму н против часовой стрелки.
точно так же реакция стержня 5 должна обозначаться на диаграмме буквами 〃 и с. Теперь уже ясно, как нужно строить на диаграмме треугольник сил, приложенных к узлу I: так как отрезок са на диаграмме уже построен, то остается из точки с провести прямую, параллельную стержню 5 (а не стержню 7, так как буква с не входит в обозначение реакции этого стержня), а из точки о провести прямую, параллельную стержню 7; точку пересечения этих прямых мы должны обозначить буквой ", которая является общей в обозначениях реакций стержней 7 и 5. Таким образом, силовой треугольник adca для узла I построен (рис. 109, 6). Обходя этот треугольник в направлении силы R^ т. е. в направлении от с к а, видим, что реакции стержней 7 и 5, приложенные к узлу I, изображаются векторал1и а" и de. Отсюда приходим к следующему заключению: для определения направления реакции стержняприложенной к вырезанному узлуу мы должны читать буквы, обозначаюгцие эту реакцию на диаграмме^ 6 том порядке, в каком расположены две смежные области, разграниченные этим стержнем, при обходе вырезанного узла по часовой стрелке. В самом деле, обходя узел I по часовой стрелке, мы должны согласно этому правилу обозначить реакцию, например, стержня 1, приложенную к этому узлу, вектором ad (а не da), что соответствует действительному направлению этой силы в силовом треугольнике, построенном для узла 7.
При переходе к новому узлу нужно выбирать всегда такой узел, в котором имеется не более двух неизвестных сил, т. е. не более двух стержней, в которых усилия еще не определены. Поэтому переходим к узлу III. К этому узлу приложены три уравновешивающиеся силы ——реакции стержней 5, 2 и 6. Обходя этот узел по часовой стрелке, видим, что эти силы на диаграмме должны изображаться соответственно отрезками cd, de и ес. Но отрезок с〃 и а диаграмме уже имеется; остается, следовательно, из точки d провести прямую, параллельную стержню 2, а из точки с — прямую, параллельную стержню 6; точку пересечения этих прямых обозначаем буквой е; таким образом, получаем силовой треугольник cdec для узла IIL
Вырезаем теперь узел IV. Обходя этот узел по часовой стрелке, находим, что три уравновешивающиеся силы, действующие на этот узел (реакции стержней 6, 3 и 7), должны на диаграмме составлять треугольник со сторонами се, eh и he; поэтому из точки е проводим прямую, параллельную стержню 3, а из точки с — прямую, параллельную стержню 7; точку пересечения этих прямых обозначаем буквой h.
Переходим к узлу IL Из трех сил be, ch и hb, приложенных к этому узлу, две первые на диаграмме уже имеются; поэтому для построения силового треугольника для узла II достаточно соеди-
пить на диаграмме точки Л и Ь. Понятно, что если построение диаграммы выполнено достаточно точно, то прямая hb должна оказаться параллельной стержню 4.
Переходя, наконец, к узлу V, видим, что многоугольник сил, приложенных к этому узлу, на диаграмме уже построен (многоугольник abhedd). Таким образом, диаграмма Кремоны для данной фермы построена полностью. Измерив на диаграмме длину отрезков ad, de, ch и т. д. и зная масштаб, в котором построены внешние силы, приложенные к ферме, находим численные значения усилий в каждом из ее стержней.
Посмотрим теперь, как по диаграмме Кремоны определить, какие стержни сжаты и какие растянуты. Из предыдущего параграфа известно, что характер усилия в данном стержне определяется направлением реакции этого стержня, приложенной к одному из узлов, находящихся на его концах; но мы уже знаем, как найти это направление на диаграмме. Пусть, например, мы хотим определить, сжат или растянут стержень 3. Для этого обходим по часовой стрелке один из двух узлов, которые соединяет этот стержень, например узел У. Реакция стержня 3, приложенная к узлу У, изображается на диаграмме вектором he (а не e/z); если перенесем вектор he на стержень 3, то увидим, что этот вектор направлен от узла Р; отсюда на основании сказанного в предыдущем параграфе заключаем, что стержень 3 растянут. Легко проверить, что придем к тому же результату, обходя по часовой стрелке узел IV. При обходе узла V видим также, что реакция стержня 4, приложенная к этому узлу, изображается на диаграмме вектором /Л; но этот вектор, если его перенести на стержень 4, будет направлен к узлу У; следовательно, стержень 4 сжат. На диаграмме Кремоны сжимающие усилия принято изображать двойными или жирными линиями.
Две геометрические фигуры, которые изображают ферму вместе с линиями действия всех приложенных к ней внешних сил (включая и опорные реакции) и построенную для этой фермы диаграмму Кремоны, называются взаимными. Укажем на следующие основные свойства таких взаимных фигур:
Взаимные фигуры имеют равное число сторон. В самом деле, каждой прямой линии фермы (линии действия внешней силы пли стержню) соответствует только одна прямая линия на диаграмме (внешняя сила или реакция стержня) и обратно.
Стороны взаимных фигур попарно параллельны или перпендикулярны. Действительно, каждую прямую линию на диаграмме мы проводим параллельно соответствующей прямой линии на ферме. Чтобы получить две взаимные фигуры с перпендикулярными сторонами, достаточно, очевидно, повернуть диаграмму Кремоны вокруг какой-нибудь точки на прямой угол.
Прямым линиям, ограничивающим на одной фигуре многоугольную область, соответствуют на другой фигуре прямые линии, пересекающиеся в одной точке, и обратно. В самом деле, прямым линиям на ферме, ограничивающим какую-нибудь область, например область D, соответствуют на диаграмме прямые линии, имеющие общую точку d.
§ 38. Способ Риттера
Рассмотренные в §§ 36 и 37 способ вырезания узлов и способ Кремоны представляют собой графические способы определения усилий в стержнях фермы. В этом параграфе мы рассмотрим аналитический способ решения той же задачи.
а)勿Рис. 110.а)勿Рис. 110.
а)勿
Рис. 110.
а)勿
Рис. 110.
Применим этот аналитический способ к расчету фермы, изображенной на рис. 110, а, состоящей из стержневых равнобедренных треугольников. Эта ферма имеет неподвижную шарнирную опору Л и подвижную опору В на катках, которые могут перемещаться по неподвижной горизонтальной плоскости. К ферме приложены три заданные силы: две вертикальные силы 戶工 и 居 и одна горизонтальная сила 居.Размеры фермы указаны на чертеже. Требуется найти усилия в стержнях этой фермы.
Определим прежде всего опорные реакции; в неподвижном шарнире Л имеем две составляющие реакции: горизонтальную Ха и вертикальную Уд； в точке В, считая опорную плоскость гладкой, имеем только вертикальную реакцию У^. Для определения этих реакций составим три уравнения равновесия всех внешних сил, действующих на ферму. Составляя уравнение проекций внешних сил на ось 化 и два уравнения моментов этих сил относительно точек Л и В, получим:
^а + ^2 = 0, ЗаУв —а/— ^а储一万％ = 0,
2а/ + -J aF1 — hF2 — ЗаУ^ = 0.
Из этих уравнений находим:
Xа = _F 2,1\=今 + 彳% _ ~F 2,
=彳 + з
Отрицательное значение величины Ха показывает, что реакция Ха имеет направление, обратное принятому на чертеже, т. е. направлена влево.
Переходим теперь к определению усилий в стержнях фермы. Для этого разрежем данную ферму на две части и притом так, чтобы оказались перерезанными только стержни (а не узлы), по не более, чем три стержня. Проведем, например, разрез по стержням 4, 5 II 6; после этого удалим мысленно одну из отрезанных частей фермы, например правую, и рассмотрим оставшуюся левую часть. Эта часть останется в равновесии, если приложить к ней в узлах £ и С реакции перерезанных стержней, которые численно равны искомым усилиям в этих стержнях. Обозначим эти реакции через S4, S& и S§ (рис. ПО, 6). Реакция перерезанного стержня может быть направлена вдоль этого стержня как в ту, так и в другую сторону в зависимости от того, будет ли этот стержень сжат или растянут. Так как действительное направление сил S^ нам заранее не известно, то для определенности будем предполагать, -что все перерезанные стержни растянуты, и, следовательно, направим каждую из сил 5- вдоль соответствующего стержня от узла, как показано на рис. 110, б. Таким образом, рассматриваемая часть фермы находится в равновесии под действием шести сил: Ха, Уд,爲,S《,S§ и S§; из них первые три известны, а три последние нужно определить, что можно сделать, составив три уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы.
Наиболее простое решение этой системы трех уравнений мы будем иметь в том случае, когда каждое из них может быть решено независимо от остальных, т. е. когда в каждое из этих уравнений входит только одна неизвестная сила. Чтобы получить уравнение равновесия, в которое из трех неизвестных сил входила бы только S&, нужно, очевидно, составить уравнение моментов относительно точки С, т. е. точки пересечения линий действия двух других неизвестных сил 55 и S^, так как моменты этих сил относительно С равны нулю.
Второй аналогичной точкой является, очевидно, узел Н, в котором пересекаются линии действия сил S§ и S&. Если составим уравнение моментов относительно точки Н, то величины 凡 и S《 в это уравнение не войдут. Точка пересечения линий действия сил S《и §6 является бесконечно удаленной, так как эти силы параллельны. Поэтому, чтобы получить уравнение, не содержащее неизвестных S《и 56) нужно составить уравнение проекций
6 и. М. Воронков
на ось, перпендикулярную к направлению сил S《и 56, т. е. на ось 沙, так как проекции сил S& и 56 на эту ось равны нулю. Таким образом, составив два уравнения моментов относительно точек С и Н и уравнение проекций на ось д, получим следующую, наиболее простую в рассматриваемом случае систему уравнений равно~ весия:
уравнение моментов относительно точки С:
—〃Fa ~■力S《=О,
уравнение моментов относительно точки Н: hSR + ^F3 + hXA-^aYA = 0,
уравнение проекций на ось у:
Ya + S^ sin а —F3 = 0.
Из этих уравнений находим:
—-不Ya, з6=2元北一儿一而％,s sin a '
Остается подставить сюда найденные выше значения Хд и УА. Что касается угла а, то он определяется по данным размерам фермы из прямоугольного треугольника с катетами 无 и ：, а именно:
. 2h
Таким образом, усилия в стержнях4, 5 и 6найдены. Если YА^> 0, то величина S《получает отрицательное значение; это значит, что сила S& имеет направление, обратное принятому, т. е. она будет направлена к узлу Е; следовательно, стержень 4 будет сжат. Отсюда видим, что при определении усилий в стержнях фермы аналитическим способом характер усилия в стержне определяется по знаку найденной реакции этого стержня: если из уравнений равновесия получим для реакции данного стержня отрицательное значение^ то стержень сжат, если же эта реакция имеет положительное значение, то стержень растянут. Понятно, что это правило будет верным лишь в том случае, если мы условимся реакцию перерезанного стержня направлять есеаАа от соответствующего узла.
Если сделаем теперь второй разрез, например по стержням 8, 9 и 10, и составим три уравнения равновесия для одной из отрезанных частей фермы, например для левой части AEHD или для пр а* вой части, т. е. для стержня КВ》то найдем из этих уравнений у си-
лия $8, S9 и Si。в стержнях 8, 9 и 10. Чтобы найти усилия в стержнях 7 и 2, достаточно перерезать только эти два стержня и составить два уравнения равновесия для отрезанной правой части фермы ЕКВС (два уравнения моментов относительно точек Е и С) или же два уравнения равновесия для отрезанного узла 4, проектируя все силы, приложенные к этому узлу (Ха, Уд，Si и 邑)，на оси х и г/.
В заключение, резюмируя все изложенное выше, укажем еще раз, как определяются усилия в стержнях фермы аналитическим способом (по способу Риттера):
Определяют сначала опорные реакции, составляя для этого три уравнения равновесия для всей данной фермы в целом (в эти уравнения входят только внешние силы, приложенные х ферме, т. е. заданные нагрузки и опорные реакции).
Разрезают ферму на две части, делая при этом первый разрез не более, чем но трем стержням, и рассматривают одну из отрезанных частей, удалив мысленно вторую часть фермы. Реакцию каждого перерезанного стержня направляют вдоль этого стержня от узла.
Составляют для оставшейся части фермы три уравнения рав- новеспя: три уравнения моментов относительно трех точек, в которых попарно пересекаются направления перерезанных стержней; если из перерезанных стержней два параллельны, то вместо третьего уравнения моментов составляют уравнение проекций на ось, перпендикулярную к параллельным стержням.
Из этих трех уравнений находят реакции перерезанных стержней; при этом положительным значениям реакций соответствуют растягивающие усилия, а отрицательным ——ежи- мающие.
Делая последовательно ряд разрезов фермы по различным стержням, определяют, таким образом, усилия во всех стержнях фермы.
ГЛАВА 9
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 39. Момент силы относительно оси
При изучении плоской системы сил мы видели, какую важную роль играет понятие момента силы относительно какой-нибудь точки, лежащей в плоскости этих сил. При изучении системы сил, линии действия которых расположены произвольным образом в пространстве, не менее важную роль играет понятие момента силы относительно оси,
6*
Пусть дана сила F, изобрая^аемая вектором АВ, и какая- нибудь ось z (рис. 111). Проведем через точку приложения Л этой
силы плоскость, перпендикулярную к оси z; точку пересечения этой плоскости с осью z обозначим через О. Разложим, далее, силу 尸на две составляющие: одну, параллельную оси z, и другую, f, перпендикулярную к этой оси, и опустим из точки О перпендикуляр на линию действия силы /, длину которого обозначим через 瓦
Если представим себе, что сила F приложена к твердому телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси z, например к дверл, вращающейся на петлях
вокруг оси z, как показано на рис. 112, то понятно, что составляющая силы F, параллельная этой оси, не может сообщить телу вращательного движения; эта
сила стремится только сдвинуть тело вдоль оси z (спять дверь с петель); вращательный эффект вызывает составляющая сила /. Но при рассмотрении задачи о равновесии рычага (§ 12) мы видели, что мерой вращательного эффекта силы, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, является ее момент относительно точки пересечения оси вращения с этой плоскостью. Отсюда приходим к заключению, что мерой вращательного эффекта силы F, приложенной к телу, вращающемуся вокруг оси z, является момент относительно точки О составляющей /# перпендикулярной к оси z. Поэтому момент силы / относительно точки О, т. е. взятое с соответствующим знаком произведение jh, называется моментом силы F относительно оси z.
Так как вектор /является проекцией силы Ьна плоскость, перпендикулярную к оси z? и не зависит от того! через какую точку
проведена эта плоскость, то приходим к следующему определению момента силы относительно оси:
Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой оси с этой плоскостью, или, что то же, взятое со знаком плюс или минус произведение модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную 尤 данной оси, на расстояние этой проекции от точки пересечения данной оси с этой плоскостью, т. е.
吃(曾=+ 〃，пли m2 (F) = — fh.(34)
Этот момент считается положительнымесли для наблюдателя} смотрящего с положительного конца оси z на перпендикулярную к ней плоскость, е которой лежит сила /, эта сила стремится повернуть тело вокруг оси z е направлении^ обратном движению часовой стрелки. В противном случае момент силы F относительно оси z считается отрицательным 】).
Так как произведение /% выражает удвоенную площадь треугольника ОАЪ (рис. 111), то можем также написать:
mz (F) - 2 д ОАЬ.
Из данного определения момента силы относительно оси следует:
Момент силы относительно оси равен нулю в том случае, когда линия действия силы пересекает ось (в этом случае h = 0) пли когда сила параллельна этой оси (в этом случае / = 0). Объединяя эти два случая, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия рилы и ось лежат в одной плоскости.
Момент силы относительно данной осп не изменяется при переносе точки приложения силы в другую точку по линии ее действия, так как при таком переносе точки приложения силы, очевидно, не изменяются ни проекция /, ни длина перпендикуляра h.
Момент силы относительно оси в технической системе единиц выражается в килограммометрах.
Пример 46. К двери, вращающейся вокруг вертикальной оси z, н точке 力 приложена сила F, модуль которой равен'2 кг и которая составляет угол y = 60° с вертикалью; вертикальная плоскость, в которой расположена линия действия этой силы, образует с плоскостью двери угол а = 45°. Определить момент силы F относительно оси z, если ширина двери а = 0,5 м (рис. 112).
1) Следовательно, для силы F, изображенной на рис. 111,打勿(尸)=牛/瓦
Решение. Проектируем силу F на плоскость Оху, перпендикулярную к оси z； модуль этой проекции равен
/ = R sin у;
опустив из точки О на направление проекции / перпендикуляр Л, найдем: h = a sin а, а потому
тг (F) = — jh = — aF sin a sin 丫 ==—0,5-2 sin 45° ■ sin 60° =-坐 кгм.
§ 40. Формулы для моментов силы относительно"координатных осей
В задачах пространственной статики, как увидим ниже, приходится находить моменты приложенных к телу сил относительно трех координатных осей. Поэтому выведем формулы, по которым эти моменты легко могут быть
вычислены.
Пусть дана сила F, приложенная к телу в точке Л, координаты которой обозначим через 力,у и z; проекции этой силы на координатные оси обозначим через X, У и Z (рис. ИЗ).
Найдем сначала момент силы F относительно оси z. Для этого спроектируем эту силу на плоскость Оху и обозначим ее проекцию через /. Согласно сказанному в предыдущем параграфе будем иметь:
m2(戶)=wo (/).
Разложим теперь вектор / на две составляющие ас и 〃〃, параллельные осям any. Эти составляющие равны по модулю проекциям силы F на оси х w. yf и. е. ас = X и ad ~ Y.
На основании теоремы Вариньона о моменте равнодействующей (§ 22) будем иметь:
底о(/)==加о(〃с) + т0 (ad);
следовательно,
也7(幼=m。(ас) + то (ad).
Но, как видно из рис. 114,
то (〃с) = — у • ас ~ — уХ 】) и
то (ad) = a・ad = xY, а потому
mz (F) = xY — уХ.(35)
Аналогично получим и две другие формулы:
(36)(37)(36)(37)% (斤)=/ — zV,my (F) = zX — xZ.
(36)
(37)
(36)
(37)
Напомним еще раз, что в этих формулах X, Y и Z обозначают
проекции данной силы на координатные осп, а 才，у м z ——коорди
наты точки приложения этой силы. Заметим также, что выведенные формулы получаются одна из другой путем круговой перестановки букв.
Пример 47. В точке А (3, 2, 4) к телу приложены силы F1T 尸纟 и 爲，проекции которых на координатные оси равны：
一一== 二= %4一一== 二= %4zl44zl44=3；
一一== 二= %4
一一== 二= %4
zl44
zl44
=一5；
=10.
Найти моменты равнодействующей А этих сил относительно координатных осей.
Решение. По теореме о проекции равнодействующей имеем:
Rx = WX = 2+ 4 - 6=0, Ry = 2 У = 2+3+1=6,
Rz — 2Z = 3 — 5 + 10 = 8.
Искомые моменты находим по предыдущим формулам:
тх (А) — у/ — z^y = 2・8 — 4 • 6 = — 8,
Шу (Я) — zHx 一 £& = — 3 • 8 = — 24,
тг (Я) = xRy — yRx — 3 ■ 6 = 18.
Если бы направление вектора ас срвпадало с отрицательным направлением оси с (т. е. если бы этот вектор был направлен вверх на рис. 114), то его момент относительно точки О был бы пололштельным, но мы по-прежнему имели бы:
Шр (ас) = у • ас = — у • X,
так как в этом случае проекция X была бы отрицательной) н, следовательно,
X = - ac.
§ 41. Момент силы относительно точки как вектор
При изучении плоской системы сил мы рассматривали момент силы относительно данной точки как алгебраическую величину, равную произведению модуля силы на ее плечо, взятому со знаком плюс или минус. Из теоремы Варпньона известно, что моменты сил, лежащих в одной плоскости, складываются алгебраически. Точно так же алгебраически складываются и моменты пар, расположенных 6 одной плоскости. Говоря о приведении плоской системы сил к данному центру (§ 21), мы видели, что при переносе
§ 夕 точки приложения силы Fb какую-нибудь точку О,
Py^M^q не лежащую на линии действия этой силы (рис. 115), F /^/^ получается присоединенная пара (F, /*'), причем ^^^，九(務 F) - mo (F).
Рис. 115. В этом равенстве под т (F, W") и то (F) в случае плоской системы сил мы понимали алгебраические значения момента присоединенной пары и момента силы F относительно точки О. Но в том случае, когда пары лежат в пере
секающихся плоскостях, их моменты складываются по правилу векторного, или геометрического, сложения, и следовательно,
в этом случае приходится рассматривать момент пары как величину векторную. С этим случаем сложения пар, лежащих в разных и притом непараллельных плоскостях, мы встретимся далее, когда будем рассматривать приведение к данному центру системы сил, расположенных как угодно в пространстве. Отсюда естественно приходим к заключению, что при изучении произвольной системы сил момент силы относительно данной точки следует рассматривать как вектор. В самом деле, распространяя предыдущее равенство и на тот случай, когда под Пь (F, F") мы понимаем вектор-момент пары (F, F"), т. е.рассматривая теперь это равенство не как алгебраическое, а как векторное, мы должны под выражением m0 (F) понимать вектор, равный вектору-моменту пары (F, f).
Поэтому при изучении произвольной системы сил мы будем рассматривать момент силы относительно какой-нибудь точки как вектор, равный вектору-моменту той присоединенной пары, которую получим, перенося данную силу в эту точку.
Отсюда, зная, как определяются модуль и направление вектора- момента пары, мы приходим к следующему определению момента силы относительно точки:
Модуль момента силы F относительно точки О равен произведению модуля этой силы на длину перпендикуляра h, опущенного из точки О на линию действия силы, или, что то же, численно равен удвоенной площади треугольника О АВ, который получим, соединив начало и конец силы F с точкой О (рис. 115). Понятно,
Ч1О этот модуль как модуль всякого вектора есть всегда величина положительная. Если, следовательно, обозначим момент силы F относительно точки О через то, то его модуль 加。= +歹•力.
Вектор-момент силы F относительно точки О направлен по перпендикуляру к плоскости, с которой лежат сила F х точка О, и притом 6 ту сторону, чтобы^ смотря с конца этого вектора-
эту силу направленной противэту силу направленной противмомента на силу F, мы видели движения часовой стрелки относительно точки О, как показано на рис. 116, где вектор т0 есть вектор-момент силы F относительно точки О, равный моменту пары (F, F). Начало (точка приложения) вектора-момента силы F относительно точки О совпадает с этой точкой.
эту силу направленной против
эту силу направленной против
Из сказанного следует, что,
когда сила F и точка О даны,
вектор то вполне определен; поэтому при построении этого вектора нет надобности всякий раз переносить силу F в точку О и рассматривать получающуюся при этом присоединенную пару. Понятно, что с изменением положения точки О вектор то изменяется вообще как по модулю, так и по направлению (за исключением того случая, когда точка О перемещается по прямой, параллельной силе F). Следовательно, модуль и направление вектора-момента силы относительно точки зависят не только от этой силы, но и от положения этой точки.
При переносе точки приложения силы F е любую точку тела по линии действия этой силы вектор тп^, очевидно^ не изменяется.
Зависимость между моментами силы относительно данной точки и относительно оси, проходящей через эту точку
Эта зависимость выражается следующей теоремой:
Проекция еектора-момента силы относительно данной точки на какую-нибудь ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно этой оси.
В самом деле, пусть даны сила F, изображаемая вектором АВ, и какая-нибудь точка О (рис. 117). Построим момент то этой силы относительно точки О. Он перпендикулярен к плоскости треугольника О АВ и по модулю равен удвоенной площади этого треугольника, т. е.
то = 2 △ О АВ.
Проведем теперь через точку О какую-нибудь ось z и составим момент силы F относительно этой оси; для этого спроектируем
силу 尸 на плоскость, проходящую через точку О и перпендикулярную к оси z. Тогда согласно сказанному в § 39 m2 (F) = 2 △ ОаЬ, причем треугольник ОаЬ является проекцией треугольника О АВ на эту плоскость. По известной из геометрии теореме площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции; но угол между плоскостями О АВ и ОаЬ равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу между вектором то и осью z. Поэтому, обозначив этот угол через у, получим: △ ОаЬ = △ ОАВ * cos у и, следовательно,
т2 仍)=2 △ ОАВ-cos у.
С другой стороны, проекция вектора то на ось z равна
тог = m0 cos у = 2 △ О АВ • cos у.
Отсюда следует, что moz~ ^г (尸)，что и требовалось доказать.
Доказательство этой теоремы проведено для случая, представленного на рис. 117, когда вектор то образует острый угол у с осью z* В этом случае проекция момента т0 па ось z положительна, положителен и момент силы F относительно оси z. Очевидно, что теорема остается справедливой и в том случае, когда угол у —— тупой. Тогда проекция момента т0^ ось z будет отрицательной, но, как легко видеть, в этом случае проекция/ силы Ьна плоскость, перпендикулярную к оси z, будет направлена по движению часовой стрелки (если смотреть с положительного конца осп z), а следовательно, и момент силы F относительно оси z будет отрицательным. Поэтому равенство
тОг = m2 (F)
остается верным и в этом случае.
Вычислив по формулам § 40 моменты данной силы относительно трех координатных осей, мы сможем на основании доказанной теоремы найти модуль и направление момента этой силы относительно начала координат, так как три проекции mOx— mx(F), mOy=my(F) и m()z = mz (F) вектора m。определяют и модуль, и направление этого вектора.
Пример 48. В примере 46 найти модуль и направление момента силы F относительно начала координат О, если расстояние точки / от плоскости хОу равно 1 м (рис. 112).
Решение. Если обозначим координаты точки / , в которой приложена сила F, через х, у и z, то, как видно из рис. 112,讶=0, у = 0,5 м н z = 1 亦・
Чтобы найти проекции X н У силы F на координатные оси сну, достаточно спроектировать на эти оси вектор /; следовательно,
„,, .„ .„ /3/2/6
Д = /% = / sm а =笈 sm у sin а = 2 •,
MS V2 УТ
У = /у = — / cos а =—笈 sin у cos а = — 2 • ~~ •=.
Проекция силы F на ось z равна Z =尸 cos у = 1.
На основании предыдущей теоремы и формул § 40 для моментов силы относительно координатных осей находим проекции искомого момента т0 на координатные оси：
mOx = wx 仍)=yZ — zY =—,
7n。廿=my (月)=衣一"Z = —，
加8=% (尸)="一 2/X = 一毕
Отсюда
mO = 了加& + 〃％ + mOz =
=0,5 /旧5 十 2 p&= 0,5-4,405 = 2,203 кгм.
Для направляющих косинусов вектора т0 имеем:
тОх cos (тп, /)— итО
1 + /63,449
—л= 0,783,
4,40j4,405
т0 cos (т0, j)=— то
/62,449
= m05=М65 = °'556，
切02
cos (тП1 А)
/ 6"2,449
2 • 4,405 一 8,810 ~0,278,
Векторное и скалярное произведения двух векторов
Момент силы относительно какой-нибудь точки можно представить в виде векторного произведения. Поэтому напомним из векторной алгебры, как производится операция векторного умножения одного вектора на другой.
Пусть имеем два вектора а н 6. Перенесем начала этих векторов, не изменяя их направления, в одну какую-нибудь точку О;
ахЪахЪРис. 118.Рис. 118.угол между этими векторами обозначим через а (рис. 118). Векторным произведением векторов а и 6 называется новый вектор, который определяется следующим образом:
ахЪ
ахЪ
Рис. 118.
Рис. 118.
Модуль этого вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, т. е. параллелограмма О АВС. Так как площадь этого параллелограмма равна ab • sin а, то модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, умноженному на синус угла между ними.
Этот вектор направлен по перпендикуляру к плоскости параллелограмма О АВС 6 ту сторону, чтобы, смотря с конца этого вектора на параллелограмм ОАВС, мы. видели поворот первого сомножителят. е. вектора а, на угол, меньший 180° -), до совмещения его со вторым сомножителем, т. е. с вектором Ь, происходящим 6 направлении, обратном движению часовой стрелки. Следовательно, при определении направления векторного произведения мы пользуемся правилом правого винта.
Мы будем обозначать векторное произведение знаком умножения в виде косого креста, т. е.
а X Ь.
Из данного определения векторного произведения вытекает ряд важных свойств этого произведения, которые мы н рассмотрим.
Изменим порядок сомножителей в произведении а X Ь, т. е. возьмем произведение b X а. Модули этих произведений, очевидно, равны, но так как направление поворота вектора 6 на угол а противоположно направлению поворота на тот же угол вектора а, то вектор 6 х а направлен противоположно вектору а X Ь, как показано на рис. 118. Следовательно,
b X а — — (а X 6), (38)
е. при изменении порядка сомножителей векторное произведение изменяет свой знак. Мы видим отсюда, что векторное произведение не обладает свойством переместительности.
Если векторы а и 6 параллельны, то угол а между ними равен 0 или 180°; следовательно, sin а = 0, а потому векторное произведение этих векторов равно нулю. Итак,
если а у 6, то а X 6 = 0. (39)
Следовательно, равенство нулю векторного произведения двух векторов является условием параллельности этих векторов.
В частности, имеем:
а X а = 0.(40)
Рис. 119.Рис. 119.Если векторы а и 6 перпендикулярны, то три вектора а, b 込 а X 6 будут, очевидно, ориентированы по отношению друг к другу так же, как оси 力,у и z прямоугольной, правой системы координат. Так как в этом случае
Рис. 119.
Рис. 119.
а а аа а а=90° и sin а = 1, то модуль произведения X 6 равен произведению модулей векторов
а а а
а а а
и bj т. е.
(41)(41)если а 丄仇 то \aXb\ —ab.
(41)
(41)
Применяя эти результаты к векторному произведению координатных ортов i, j 显 к.
т. е. единичных векторов, направленных по
осям координат (рис. 119), получим следующие важные формулы:
i X i = 0,
jx j = o,
A X Л
=0;
(42)
i X j = k),
J X *= S,
k X i
=j;
(43)
у X i =—k,
在xj =-—i，
i X k
(必)
Из определения векторного произведения следует, что для умножения этого произведения на какой-нибудь скалярный множитель 九 достаточно умножить на этот скалярный множитель один из сомножителей векторного произведения, т. е.
(45)(45)X (а X Ь) = Ха X 6 = а X Х6.
(45)
(45)
В векторной алгебре доказывается, что векторное произведение обладает свойством распределительности, т. е. векторное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме векторных произведений каждого слагаемого на вектор-множитель. Следовательно,
(а + 6)Хс = аХс +，Хс・(а + 6)Хс = аХс +，Хс・(46)(46)
(а + 6)Хс = аХс +，Хс・
(а + 6)Хс = аХс +，Хс・
(46)
(46)
Отсюда сейчас же следует, что при векторном умножении одного векторного многочлена на другой нужно каждый член множимого векторно умножить на каждый член множителя и результаты сложить.
Выведем формулу разложения векторного произведения аХб по координатным осям. Согласно сказанному в § 9, формулы разложения векторов а и 6 по координатным осям имеют вид
а = axi + а/ + .а/ ^ Ъ = bxi + byj + bzk.
Следовательно,
a X b — (axi + ayj 十 агк) X (bxi + byj + %巾)•
Умножая векторно в правой части этого равенства каждый член множимого на каждый член множителя в том порядке, как они написаны, и принимая во внимание формулы (42), (43) и (44), получим после приведения членов с одинаковыми ортами:
。义 6 = SJz —。»丿力 + (azbx — %b)j + (axby — a/JG. (47) Этот результат можно также представить в простой для запоминания форме определителя:
а X 6 = ах ау az Ьх ЬУ &а X 6 = ах ау az Ьх ЬУ &(48)(48)
а X 6 = ах ау az Ьх ЬУ &
а X 6 = ах ау az Ьх ЬУ &
(48)
(48)
Легко убедиться, что, развертывая этот определитель по элементам первой строки, получим предыдущую формулу (47). Формула (47), или, что то же, (48), представляет собой формулу разложения векторного произведения а X 6 по координатным осям. Но в формуле разложения вектора по координатным осям, как изве- с тио из § 9, скалярные коэффициенты при i, j 皿 к являются проекциями этого вектора на эти оси; отсюда получаем следующие выражения для проекций векторного произведения аХб на коор- динатныеоси: '
(49)(49)(а X 6% = * — &Z%(а X % = а2Ьх — axbz,(« X叽=*-%厶。
(49)
(49)
Так как по трем проекциям вектора можно найти и его модуль, и его направление (направляющие косинусы), то формулы (49) позволяют, когда проекции векторов а и 6 известны, аналитически определить модуль и направление векторного произведения а X 6.
Кроме векторного произведения, в механике нередко приходится встречаться и со скалярным произведением двух векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется скалярная величинаf равная произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов а и 6 мы будем обозначать знаком умножения в виде точки, т. е. а ■ Ь. Если по-прежнему обозначим угол между векторами а и 6 через а, то по определению будем иметь:
a b = ab cos а.,(50)
В зависимости от знака cos а скалярное произведение может быть положительным или отрицательным. Укажем на некоторые основные свойства скалярного произведения:
Так как величина произведения, стоящего в правой части равенства (50), не зависит от порядка сомножителей, то скалярное произведение двух векторов обладает свойством переместительности, т. е.
а* 6 = Ь-а.(51)
Если векторы а и 6 параллельны и направлены в одну сторону, то а = 0 и cos а = 1, а потому в этом случае
a- b = ab.
Если же векторы а и 6 параллельны и направлены в противоположные стороны, то а — 180° и cos а =— 1; следовательно, в этом случае
а*Ь = — ab,
В частности, скалярное произведение двух равных векторов (а = Ь) равно квадрату модуля одного из этих равных сомножителей, т. е.
а* а = а2 а2.(52)
Если векторы а и 6 перпендикулярны, то а = 90° и cos а —0; следовательно,
если а J_ 6, то а・ b = 0.(53)
Таким образом, равенство нулю скалярного произведения двух векторов выражает условие перпендикулярности этих векторов.
Если будем перемножать скалярно координатные орты /, /, k, то, принимая во внимание, что эти векторы взаимно перпендикулярны и что их модули равны 1, получим:
(54)(54)i • i = j・j = k • k = 1 i*j = j.k = k• t — 0
(54)
(54)
Из равенства (50) следует, что для умножения скалярного произведения на некоторый скалярный множитель 入 достаточно
умножить на этот множитель один из сомножителей скалярного произведения, т. е.
к (а* b) ~ Ха* b ~ а* 入氏(55)
Скалярное произведение, так же как и векторное, обладает свойством распределительности, т. е. скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого слагаемого на век тор-мн ож ит елъ.
Следовательно,
(а + 6) ■ с = а ■ с 十 6- с.(56)
Отсюда следует, что при скалярном умножении одного векторного многочлена на другой нужно каждый член множимого ска- лярно умножить на каждый член множителя и результаты сложить.
Пусть, например, вектор Я есть равнодействующая двух сил F、 и 居，приложенных в одной точке и образующих между собой угол а. Toi дa a =网一居.
Возводя это равенство в квадрат, получим А?=(死 + F^ или
?7?=(居+居).仍］+居).
Раскрывая скобки в правой части и пользуясь равенством (52), будем иметь:
斤=用 + 捐 + 2死.居-^1+^ + 2// cos a, откуда
R = /^i + Fj + 2FrF2 cos a,
т. e. мы получили известную формулу для модуля равнодействующей двух сходящихся сил.
Если единичный вектор (орт) вектора 6 обозначим через 6* то по формуле (50), принимая во внимание, что * = 1, получим а - 6° = a cos а. Но произведение a cos а есть, очевидно, проекция вектора а на направление вектора 6; следовательно, скалярное произведение одного вектора на орт другого равно проекции первого вектора на направление второго.
В частности, для проекций вектора а на координатные оси имеем:
%a(57)
Скалярное произведение двух векторов а и 6 можно просто выразить через проекции этих векторов на координатные оси. Применяя формулу разложения вектора по координатным осям (§ 9)г имеем:
а = axi + а/ + azkъ = bxi + bvi + bzk.
Умножим скалярно первое равенство на второе:
@. 6 =(仆力 + а/ + &期• (bxi + bj+ b2k).
Раскрывая скобки правой части этого равенства на основании свойства 6 скалярного произведения и принимая во внимание равенства (54), получим:
е 6 = %，х + ау^у + а?% (58) Эта формула позволяет найти скалярное произведение двух векю- ров по их проекциям на координатные оси.
§ 44. Выражение момента силы относительно точкив виде векторного произведения
Пусть к данному твердому телу в точке Л приложена сила F, изображаемая вектором АВ (рис. 120). Возьмем какую-нибудь точку О и построим момент лг° силы F относительно этой точки.
Согласно сказанному в § 41 этот момент направлен по перпендикуляру к плоскости треугольника О АВ в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на треугольник ОАВ} мы видели силу F направленной относительно точки О против движения часовой стрелки, а модуль этого момента выражается удвоенной площадью треугольника
О АВ. Проведем из точки О вектор ОС} равный вектору F, т. е. ОС — F; соединив точки С и 3, получим параллелограмм О АВС, Обозначив вектор О А, т. е. радиус-вектор точки приложения данной силы, через г, составим векторное произведение г X ОС, Как известно из предыдущего параграфа, вектор г X ОС направлен по перпендикуляру к плоскости параллелограмма О АВС в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на этот параллелограмм, мы видели поворот вектора г на угол а (до совмещения с вектором ОС) происходящим в направлении, обратном движению часовой стрелки; модуль же вектора г X ОС выражается площадью параллелограмма ОЛБС, или, что то же, удвоенной площадью треугольника ОЛВ. Отсюда видим, что векторы 7no и г X ОС имеют равные модули и одинаковое направление; следовательно, то == =г X ОС, но так как ОС = F, то
илиилит0 — г X F,
или
или
(59)(59)то (£) = г х F,
(59)
(59)
т. е. момент силы относительно какого-нибудь центра равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения сплы? проведенного из mmoao центра, на эту силу.
Пользуясь этим результатом, легко можем получить формулу разложения по координатным осям момента силы относительно начала координат, а следовательно, и проекции этого момента на координатные оси.
В самом деле, пусть имеем прямоугольную систему осей Oxyz и силу F, приложенную к телу в точке Л (рис. 121). Обозначим радиус-вектор точки Л через г, [а координаты этой точки —— через
力,у, z; проекции силы F на ко- 貯ординатные оси обозначимчерез
\^^^^^^川工円汽)X, У и Z. Построив момент т0
\силы F относительно началакоор-
\динат. будем иметь:
.m0(F) =X F.
/ОУ „
/Принимая во внимание, что проек-
/ции радиуса-вектора г на коор-
4динатные оси равны соответствую-
Рис. 121.щим координатам точки Л, т. е.
%=力，% = u酬％ =鋼
F в виде определителя получим:F в виде определителя получим:и представляя векторное произведение г X по формуле (48) предыдущего параграфа,
F в виде определителя получим:
F в виде определителя получим:
(60)(60)i j к
(60)
(60)
^0 (F) = Шо = X у Z X Y Z
или, развертывая этот определитель по элел!ентам первой строки: то (F) = то = (yZ — zV) i + (zX — xZ)j + (力У — уХ)к. (61)
Это есть формула разложения по координатным осям момента силы относительно начала координат; скалярные коэффициенты при % j и 友 в этой формуле представляют собой проекции вектора то на координатные оси, следовательно,
шох = yZ — zV, тоу = zX —力Z,加柒=^Y — yX.
По теореме, доказанной в § 42, проекции вектора то на координатные оси равны моментам силы F относительно этих осей, т. е.
тОх = тх (F), тОу = ту (/?),тОг = тг (F);
следовательно,
тх (F) = yZ — zV,
% (F) = zX — aZ,(62)
m2 仍)=xY — gX.
Мы пришли, таким образом, другим путем к известным уже из § 40 формулам для моментов силы относительно трех координатных осей.
§ 45. Приведение произвольной системы сил к данному центр;・ Главный вектор и главный момент. Инварианты системы сил
Метод приведения плоской системы сил к произвольно выбранному центру, которым мы пользовались в главе 5, применим и к любой системе сил.
Так же как и в случае плоской системы сил, докажем следующую основную теорему:
Теорема. Систему сил, линии действия которых как угодно расположены е пространстве} можно привести е общем случае 匿 одной силе, приложенной е произвольно выбранной точке тела, и к одной паре.
В самом деле, пусть имеем систему сил 居, 居,F?,…,Fn, приложенных соответственно в точках 4】，Л2, /?,…,Ап (рис. 122, а). Возьмем какую-нибудь точку О, и пользуясь теоремой о переносе
точки приложения силы в любую точку тела (§ 21), перенесем точки приложения всех данных сил в эту точку О. При этом получим новую систему сил F；,方之，務，…，Е； и присоединенные пары (","), (居，")(居，项，；阳，珊.
Сложив силы F；, приложенные в точке О по правилу многоугольника, получим одну силу Я\ приложенную в той же точке О, причем
К=居+居+…+凡=ь]+居+…+ Fn == ^F.
Сложив, далее, все присоединенные пары, получим одну пару с некоторым моментом Мо, и теорема, следовательно, доказана.
Так же как и в случае плоской системы сил, точка О называется центром приведения, а векторная сумма всех сил данной системы называется главным вектором этой системы сил.
Вектор Мо представляет собой момент пары, которая получилась при сложении п присоединенных пар (吊,Ff), (F2,孫)，•*• ...,(凡,F^. Поэтому он равен векторной сумме моментов этих пар 】)； следовательно, если мы обозначим эти моменты соответственно через тъ т2, тп (на рис. 122, 6 построен вектор znj, то
Мо /П! + т^ + . .. + тп = £/п.
С другой стороны, на основании сказанного в § 41 момент 贿 присоединенной пары (F1? Ff) равен моменту силы Ft относительно точки О, т. е. ml = т0 (FJ, точно так же т2 = то (居)и т. д., а потому
Мо = тп0 (R) + то (居)+ •・・ + т0 (耳)=Цт0 (F). (63)
В соответствии с тем, что мы имели для плоской системы сил, векторная сумма моментов всех сил данной системы относительно точки О называется главным моментом данной системы сил относительно этой точки.
Поэтому предыдущую теорему можно сформулировать так:
8 результате приведения произвольной системы сил к какому- нибудь центру е общем случае получаем одну силу7 приложенную е том центре приведения 比 равную равному вектору данной системы сил, и одну пару} момент которой равен главному моменту дтой системы сил относительно центра приведения.
Выведем теперь аналитические формулы, определяющие модули и направления главного вектора R и главного момента Мо, Возьмем для этого прямоугольную систему координат Oxyz} начало которой выберем в центре приведения О (рис. 122, а).
Главный вектор R равен векторной сумме сил 居,т. е.
#=工厂； (64)
На основании теоремы сложения пар (§ 19).
отсюда для проекций вектора /?' на координатные оси будем иметь: л^^ = 2Х, 7?； = £Ру=£У, А； = £Pz = WZ. (63) Зная все три проекции вектора А', его модуль находим по формуле R =丿狼彳冗外兄『工/(£X)2 + (£y)2 + (0Z产 (66)
Для определения направления этого вектора нужно найти его углы с координатными осями; косинусы этих углов определяются по формулам § 10:
cos" i)=^ =手,]
R yy I
cos (R,*，卜(67)
cos (ff,向=g =旱.
Из векторного равенства
Mo = »场
следует, что проекция главного момента Mq на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов т., т. е.
w m n££2w m n££2
w m n££2
w m n££2
Но из § 42 известно, что проекция момента силы 居 относительно точки О на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы 居 относительно этой оси, а потому
Wlx =
mx
(项,
冏,
Fz =
(科)■
Точно так же
^2x ^ 心
(居),
7n2y = %
(居)
m2z = mz
(吊)
и т. д.
Следовательно, предыдущие равенства принимают вид
m。*= £/ 3), m。尸 三% 仍)，(68)
"а=(ь)，.
т. е. проекция главного момента относительно данного центра на какую-нибудь ось, проходящую через этот центрt равна алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно этой оси.
Сумма моментов сил данной системы относительно какой-нибудь оси называется главным моментом этой системы сил относительно этой оси. Поэтому из равенств (68) следует, что проекция главного момента системы сил относительно данного центра на какую-нибудь ось, проходящую нерез этот центр, равна главному моменту этой системы сил относительно той же оси.
Если воспользуемся формулами § 40 для моментов силы относительно координатных осей, то для проекций главного момента получим следующие выражения:
мох = £(Z/Z — zY),)
Мои = £ (zX — xZ),(69)
Мог = w зу 一亦).丿
Определив, таким образом, проекции вектора Мо на координатные оси, модуль этого вектора находим по формуле
Мо = /М& 十 ME 十 Л/九二
=/[£% (F)F 十叵m? (MF + [£饵(F)]：(70)
или
加。=(70‘)
Направляющие косинусы главного момента Мо находим по форму-
лам
пмох(尸)
COS ”0, 1)= Мо =%,
cos (Мо,м0~Мо' ■⑺)
COS (Mo,期 _ 川。一,
или
cos (Mo, 1)=~
cos (Wo, /)=-(Z^-，(72)
cos (Mo, /с)=工(^=吟.
Так же как и в случае плоской системы сил, из равенства R = SF следует, что ни модуль, ни направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения: главный вектор данной, системы сил инвариантен по отношению к центру приведение.
приведения какую-приведения какую-Что касается главного момента, то из равенства Мо = £他)仍) следует, что главный момент свойством инвариантности по отношению к центру приведения не обладает, так как при изменении положения центра приведения О моменты данных сил F- относительно этого центра, а следовательно, и сумма этих моментов вообще будут изменяться. Нетрудно впдеть, как изменяется главный момент системы сил при изменении центра приведения.
приведения какую-
приведения какую-
Пусть в результате приведения данной системы сил 冗(г = 1, 2,..., /г) к какому- нибудь центру О мы получили силу, равную главному вектору А', приложенную в центре О, и пару, момент которой равен главному моменту Мо относительно этого центра (рис. 123), причем R = £居 и Мо= ^^о (居). Примем теперь за центр
нибудь другую точку О'. Пусть сила Fi данной системы приложена в точке /у радиусы-векторы этой точки, проведенные из центров О и О', обозначим соответственно ^ через ri и г；; вектор (УО обозначим через г' (рис. 123). Тогда, как видно из треугольника AflO\ будем иметь:
г:=产十％
Составляя моменты силы F- относительно центров приведения О и О, на основании формулы (59) (§ 44) получим: то (居)= q X 居，
^0(居)=尸；X 居=(/ + C)X 居=
П产X居+ q X修=产X a+^。事)■
Складывая моменты всех сил 居(i = 1, 2, 3,..., ri) относительно нового центра приведения。‘，пол57чим главный момент М。、данной системы сил относительно этого центра; следовательно,
М。，= £т。，(£) -Z^xF^ + ^mo (冗)=
= £&'х/)+М)・
В первом члене правой части этого равенства общий для всех слагаемых множитель 尸'можно вынести за знак суммы, а потому
£bX居)=产X £居=产X k.
Но векторное произведение 产 X К есть момент главного вектора А', приложенного в точке О относительно центра 0； т. е.
产 X К = то< (Яу
Следовательно, полученное выше равенство принимает вид
Mo, = Mo + mag(73)
Из этого равенства следует, что для нахождения главного момента Мог достаточно вектор Мо сложить с вектором т。，(7?), как пока^ зано на рис. 123. Предыдущее равенство можно переписать в виде
М()，— Мо = ^о* (К),(73)
т. е. изменение главного момента системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра.
Так как момент силы 7?' относительно всякой точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю, то из равенства (73) следует, что при перемещении центра приведения по прямой^ имеющей направление главного вектора, главный момент данной системы сил остается неизменным.
Проектируя векторное равенство (73) на направление главного вектора R и принимая во внимание, что проекция вектора т0' (К) на это направление равна нулю, так как то- (А‘)丄 А', получим
Мо' cos q/ = Мо cos ф,
где ф и ф' обозначают соответственно углы, которые векторы Мо и Мо^ образуют с направлением главного вектора /Г (рис. 123).
Отсюда следует, что проекция главного момента данной системы сил относительно любого центра на направление главного вектора есть величина постоянная^ не зависящая от выбора этого центра. Если умножим обе части предыдущего равенства на 7Г, то будем иметь:
RM。, cos q/ — RM。cos ф.
Но величина RMq cos 屮 есть скалярное произведение векторов R и Мо (§ 43). Поэтому из предыдущего равенства следует, что скалярное произведение главного вектора 比 главного момента данной системы сил инвариантно по отношению к центру приведения.
Таким образом, для всякой системы сил мы имеем два инварианта, т. е. две величины, не зависящие от выбора центра приведения; первым (векторным) инвариантом системы сил является главный вектор этой системы, вторым (скалярным) инвариантом системы сил является скалярное произведение главного вектора и главного момента этой системы.
§ 46. Равнодействующая системы сил;Теорема Вариньона
Как мы видели в предыдущем параграфе, произвольная система сил в общем случае приводится к одной силе 7?, равной главному вектору этой системы сил, и к одной паре с моментом Мо, равным главному моменту той же системы сил относительно центра приведения; так же как и в случае плоской системы сил, эта сила R не является равнодействующей для данной системы сил. Выясним теперь, при каких условиях система сил, не лежащих в одной плоскости, приводится только к одной силе и, следовательно, имеет равнодействующую.
Прежде всего ясно, что если при приведении данной системы сил к какому-нибудь центру окажется, что ее главный момент отно
сительно этого центра равен нулю, то данная система приводится к одной только силе Я\ приложенной в центре приведения; следовательно, сила R в этом случае представляет собой равнодействую
щую данной системы сил.
Итак, если главный момент системы сил относительно данного центра равен нулю, а главный вектор этой системы не равен нулю, то система приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору R и приложенной в этом центре.
Если же главный момент не равен нулю, то система приводится к одной силе (к равнодействующей) только в том случае, когда Мо .1. К,
т. е. когда главный момент относительно выбранного центра при
ведения О окажется перпендикулярным к главному вектору.
Действительно, в этом случае пару, которая получается при
сложении всех присоединенных пар, и момент которой равен Мо, можно, очевидно, перенести в одну плоскость с силой Я\ приложенной в центре О (рис. 124). Но, как известно из главы 5 (§ 22), сила и пара, лежащие в одной плоскости, приводятся к одной силе. В самом деле, преобразуем пару, полученную в результате приведения данной системы сил к центру О, так, чтобы силы этой пары стали равными по модулю силе Я'; далее, переместим эту пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из ее сил оказалась приложенной в точке О и противоположной силе Яг; после этого получим пару (Я, — Я), изображенную на рис. 125, причем R = R. Так как при указанном преобразовании пары ее момент должен
оставаться неизменным, то момент пары (К,——А) равен Мо и, следовательно, ее плечо ООГ = Мо : Л — Mo ： R.
Силы R и —— Я как равные по модулю и прямо противоположные уравновешиваются, а потому остается только одна сила Я. Таким образом, данная система сил привелась к равнодействующей силе Я = R, приложенной в точке О'. Так как К 丄。。‘ и Мо _L ОО\ то отрезок ООГ будет перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы Я1 и Мо*
Итак, если главный момент Мо системы сил относительно данного центра。перпендикулярен ^ ее главному вектору Яг, то эта система приводится к равнодействуюгцей силе, равной главному вектору 才,причем линия действия этой равнодействующей проходит через точку О', лежащую на прямой, перпендикулярной к плоскости, в которой расположены векторы Мо 比 Я\ на расстоянии от точки О, равном ООГ = Мо : R：
Понятно, что в этом случае главный момент относительно центра。‘, а следовательно, и относительно всякого центра^ лежащего на линии действия равнодействующей, равен нулю, В самом деле, если главный момент данной системы сил относительно центра 。‘ обозначим через Мо , то на основапии теоремы об изменении главного момента при перемене центра приведения (§ 45) будем иметь;
Мо — Мо,十 то (Я).
Но момент силы Я относительно точки О, как видно из рис. 125, совпадает по модулю и по направлению с моментом пары (/?,——А), т. е. Шо(/?) = Мо, а потому предыдущее равенство принимает вид Мо = Мо + Мо, откуда Мо- = 0.
Если Мо 丄 Я\ то проекция главного момента Мо на направление главного вектора R равна нулю, по эта проекция инвариантна по отношению к центру приведения; следовательно, если Mq _L А', то проекция главного момента относительно любого центра, не лежащего на линии действия равнодействующей, на направление главного вектора равна нулю, т. е. главный момент относительно любой точки, ке лежащей на линии действия равнодействующей, перпендикулярен к главному вектору.
Теорема Вариньопа о моменте равнодействующей, доказанная в § 22 для плоской системы сил, имеет место и для системы сил, как угодно расположенных в пространстве, если эта система приводится к равнодействующей силе.
Для доказательства этой теоремы возьмем за центр приведения произвольную точку А и обозначим главный момент данной системы сил относительно этого центра через М&. Применяя опять теорему § 45 об изменении главного момента при перемене центра приведения, получим: Ma — Мо' + m& (Я), но Mq = 0, а потому
Мл = лпа (й).
Но главный момент данной системы сил относительно центра Л есть векторная сумма моментов всех сил этой системы относительно того же центра, т. е.
Ма = 1>А (F).
Следовательно,
^А (Я) = S^A (F). (74)
Это равенство выражает теорему Вариньона в общем случае: если данная система сил имеет равнодействующуюу то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен векторной сумме моментов всех сил этой системы относительно того же центра.
Если проведем через точку А какую-нибудь ось х и спроектируем на эту ось предыдущее векторное равенство (74), то, принимая во внимание зависимость между моментами силы относительно данной точки и относительно какой-нибудь оси, проходящей через эту точку (§ 42), получим:
тх (Я) = 2mx(F), (75)
е. если данная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы относительно той же оси.
Случай, когда система сил приводится к одной паре
Система сил, не лежащих в одной плоскости, так же как и плоская система сил, приводится к одной паре, очевидно, в том случае, когда главный вектор R этой системы равен нулюу а главный момент относительно произвольно выбранного центра О не равен нулю, В этом случае силовой многоугольник данной системы сил является замкнутым, а главный момент представляет собой вектор, не зависящий от выбора центра приведения. В последнем можно убедиться на основании равенства (73) § 45, из которого при # = 0 следует, что Мо> — Mq.
Приведение системы сил к динаме.Центральная ось
Приводя данную систему сил к какому-нибудь центру О, мы получаем в общем случае силу R и пару с моментом Мо, причем векторы R и Мо могут образовать между собой любой угол ф. Если 屮=90°, то данная система сил, как было указано в § 46, приводится к равнодействующей. Если же угол ф окажется равным 0 или 180°, то векторы Я и Mq будут коллинеарны. Такая система,
состоящая из силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к этой силе, называется динамой, или динамическим винтом.
Нетрудно показать, что если главный момент не перпендикулярен к главному вектору, то данную систему сил можно привести к динаме,
В самом деле, пусть 屮力 90° (рис. 126). На основании теоремы о сложении пар мы можем вектор М^ разложить по правилу парал-
两两Рис. 126.Рис. 126.лелограмма на два составляющих вектора М°, и М& из которых первый направлен по вектору R、а второй к нему перпендикулярен, т. е. пару с моментом Мо можем заменить двумя парами с моментами М'о и Mq.
两
两
Рис. 126.
Рис. 126.
Модуль вектора М'о равен, очевидно, абсолютному значению проекции главного момента Мо на направление главного вектора, т. е.
М'о — I Mq cos <р |.
При этом, если(р<90° (как на рис. 126), то проекция главного момента Мо на направление главного вектора R положительна, и направления векторов М'о и R совпадают; если же (р〉90°, то эта проекция отрицательна, и
направления этих векторов противоположны. Но проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная, не зависящая от выбора центра приведения; отсюда следует, что вектор Mj инвариантен по отношению к центру приведения. Поэтому в обозначении этого вектора нижний индекс можно опустить, и в дальнейшем мы будем обозначать этот вектор через ".
Так как Мо 丄 R, то система (Я\ М'о} приводится к одной силе Я\ проходящей через точку О', причем расстояние ООГ = М'о :衣—Mo sin ф : &i).
Следовательно, в результате полу- чаем силу R, приложенную в точке О', и пару с моментом М'о — АГ, параллельным этой силе. Перенося свободный вектор М'о ) в точку О', получим дипаму, изображенную на рис. 127.
сила R и момент ной системы сил.сила R и момент ной системы сил.Прямая, проходящая через точку О', по которой направлены
сила R и момент ной системы сил.
сила R и момент ной системы сил.
См. § 4G.Момент парыСм. § 4G.Момент парыМг динамы, называется центральной осью дан-
См. § 4G.
Момент пары
См. § 4G.
Момент пары
Так как при перемещении центра приведения по прямой, имеющей направление главного вектора, главный момент данной системы сил остается неизменным (§ 45), то, приводя данную систему сил к любому центру, лежащему на центральной оси, получим ту же динаму (Я\ Мг). Отсюда следует, что центральная ось данной системы сил есть геометр ическое место точек^ относительно которых главный момент этой системы сил направлен или так же, как ее главный вектор7 или противоположно ему.
Так как катет меньше гипотенузы, то, как видно из рис. 126, будем иметь: Мо> < Мо, или, что то же,
Мг < Мб
Отсюда следует, что модуль главного момента данной системы сил относительно всякой точки, лежащей на центральной оси, имеет одно и то же и притом наименьшее значение. Поэтому эта ось называется также осью наименьших моментов.
Чтобы найти положение центральной оси аналитически, выведем уравнения этой оси.
Пусть данная система сил 居(z = 1, 2,..., п) отнесена к прямоугольной системе координат Oxyz. Главный момент этой системы сил относительно начала координат О обозначим через Мо (рис. 128). Проекции вектора Мо на координатные оси равны главным моментам данной системы сил относительно этих осей (§ 45), т. е.
Мо* = £%(",MOv=^my(F),Mq = IX ⑺.
Проекции главного вектора R данной системы сил на координатные оси будут равны
к； = ^х = £Х,Ry = £g-”Rz - £匕=£Z.
Приводя данную систему сил Fi к какой-нибудь точке / (х, у, z), лежащей на центральной осм этой системы7 получим силу, равную R, приложенную в точке А, и пару, момент которой равен наименьшему главному моменту М, причем оба эти вектора 7?' и М будут направлены вдоль центральной оси (рис. 128). Так как изменение главного момента системы сил при перемене центра приведения равно моменту главного вектора этой системы, приложенного в прежнем центре приведения, относительно нового центра (§ 45厶 то, сравнивая главные моменты Мо и М, будем иметь:
М° = МУ т0 (А)
Проектируя это векторное равенство на координатные оси и принимая во внимание, что проекция момента силы R относительно точки О на любую ось, проходящую через эту точку, равна моменту этой силы относительно той же оси, получим:
ОтсюдаОтсюдаМоу = м'у+ ту (ff), Mqz = Mrz 十 mz (Я).М； = Мох 一 加光(А\Му = Ms」一 & (&)，= MOz - m2 (砌.Моу = м'у+ ту (ff), Mqz = Mrz 十 mz (Я).М； = Мох 一 加光(А\Му = Ms」一 & (&)，= MOz - m2 (砌.МОх - Mi + тх (Я),МОх - Mi + тх (Я),
Отсюда
Отсюда
Моу = м'у+ ту (ff), Mqz = Mrz 十 mz (Я).
М； = Мох 一 加光(А\
Му = Ms」一 & (&)，
= MOz - m2 (砌.
Моу = м'у+ ту (ff), Mqz = Mrz 十 mz (Я).
М； = Мох 一 加光(А\
Му = Ms」一 & (&)，
= MOz - m2 (砌.
МОх - Mi + тх (Я),
МОх - Mi + тх (Я),
Моменты силы R, приложенной в точке А (力,у, z), относительно координатных осей можно найти по формулам (62) § 44:
% (А) = У兄一*；, my (Я) = zR'x —力瓦， 加工(")=力玛-У応，
а потому
^x ~ Mo* - {yRz - 2斤1/), A/У = Moy ~ (zA* -力比)， 八厶=Mqz - (z/Yy 二 ^冗*)、
Так как векторы 財 и 7? направлены по одной прямой, то их проекции на координатные оси пропорциональны (§ 8), т. е.
М] Му М；
или
МОх -(火-Z砲MOy ~(^；一叭)."0乞 一 Q匐-nRJ EU
Щ«6)
Два уравнения (76) представляют собой уравнения прямой линии. Так как точка А выбрана на центральной оси произвольно, то значения координат 力,у, z всякой точки, лежащей на этой оси, удовлетворяют уравнениям (76). Следовательно, эти уравнения являются уравнениями центральной оси данной системы сил. Если положим последовательно в этих уравнениях х — Q, у = 0 и z — 0, то найдем из них координаты точек пересечения центральной оси с координатными плоскостями.
В § 45 мы видели, что для всякой системы сил существуют два инварианта, т. е. две величины, не зависящие от выбора центра приведения, а именно: главный вектор А' данной системы сил и скалярное произведение главного вектора на главный момент относительно произвольно выбранного центра О, т. е. произведение RM0.
Объединяя теперь результаты, полученные в этом параграфе, а также в §§ 46 и 47, приходим к следующим выводам:
Если оба инварианта данной системы сил не равны нулю, т. е. 7?' W 0 и R -Mq W 0, то эта система сил приводится к динаме.
Если К W 0 и R • Mq — 0, то в этом случае Мо = 0 или Мо 丄 К； следовательно, система сил приводится к равнодействующей; в этом случае главный момент относительно каждой точки, лежащей на линии действия равнодействующей, равен нулю; главный момент относительно всякой точки, не лежащей на линии действия равнодействующей, перпендикулярен к главному вектору. г
Если К = 0 и Mq W 0, то система сил приводится к одной паре; в этом случае главный момент не зависит от выбора центра приведения: относительно любого центра он равен Мо-
Пример 49. В вершинах А, В и С прямоугольного параллелепипеда приложены три силы 尸口 F2 и F3, имеющие равные модули и направленные по его ребрам, как показано на рис. 129.'
Ребра ОА, ОВ и ОС параллелепипеда равны соответственно а, бис. Определить, приводится ли эта система сил к равнодействующей силе, к одной паре или к динаме. В последнем случае найти положение центральной оси, а также модуль силы и модуль момента пары, составляющих эту динаму.
Решение. Обозначив общий модуль трех данных сил через F, приведем эту систему сил к какому-нибудь центру, например к вершине О параллелепипеда, которую примем за начало координат; координатные оси х, у, z направим по ребрам параллелепипеда (рис. 129).
Чтобы определить для данпой системы сил главный вектор А' и главный момент М。относительно точки О, найдем проекции этих векторов на координатные оси.
Для проекций главного вектора имеем:
成=WX =/ =m 7? ； = 2 У = F[=尸， A； = WZ =斤2 =F.
Так как точка приложения силы 修 лежит на оси 冗,а сила F3 параллельна этой оси, то моменты этих сил относительно оси х равны нулю; точно так же
Рие. 129."切(吕)=%，仍2)= °
и
〃％ (方2)= Q (%)=。，
а потому для проекций главного момента Мо иа координатные оси имеем：
Mo*A’OzMo*A’Oz~ D冷х 仍)нmх (居)=bF, =£『/ (尸)=ту (%) ~ cF, —52mz (F) ~ mz (吕)=aF.
Mo*
A’Oz
Mo*
A’Oz
По найденным проекциям главного вектора определим его модуль и направляющие косинусы:
к=/К 丁%彳疋=/3/
R' УЗcos (% i) = -R, = —,
cos (A', j) = I j= ~з~，
К /3
COS (/?', k) = R = —у .
Из последних равенств следует, что главный вектор образует с координатными осями равные углы; каждый из этих углов равен arc cos = 54 4о .
Далее, находим модуль главного момента:
〃0 = / МОх + M^v + M^z =丿。2 十，2 十 dF =F%
где d есть длина диагонали OD параллелепипеда. Направляющие косипусы главного момента равны
cos (力夕°, i)
_МОх
b =2一
cos (М。，力
"о?
cos (Mq,左)
—丽
=『
Отсюда следует, что углы, которые вектор М。образует с координатными осями х, у, z, равны соответственно углам BOD, COD ^AOD, Так как главный вектор данной системы сил не равен нулю, то эта система не может быть приведена к одной паре. Поэтому остается установить, приводится ли полученная система (Н\ М^), т. е. система, состоящая из силы 方一 приложенной в точке О, и пары с моментом М。, к одной силе (к равнодействующей) или к динаме.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно выяснить, будут ли векторы R* и Мо взаимно перпендикулярными или нет. Так как условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то составим скалярное произведение векторов R' и М°. На основании равенства (58) § 43 имеем:
R'.M0=Rx.M0x + Ry-MQy + R'z.M0z.
Подставляя сюда полученные выше значения проекций векторов 7?' и М® находим:
7Г • Л/。=如2 + cF2 + aF^ =- (b + с + 〃)斤纟・
Так как эта величина не равна нулю, то главный момент Мд не перпендикулярен к главному вектору, и следовательно, данная система сил приводится к динаме.
Чтобы найти положение центральной оси, составим уравнения (76), которые в рассматриваемой задаче принимают следующий вид:
bF — yF + zF cF — zF + xF — aF — xF + yF
P,
или
a — :r+y = b — у z ~ с •— z+方.
Чтобы найти точку пересечения центральной оси с координатной плоскостью нОу, достаточно в этих уравнениях положить z = 0； тогда получим два уравнения:
а ■— о+унЬ1— у = с х.
из которых находим:
а — 2c2 匕с
仁一3—,? = —3-
Так как центральная ось имеет такое же направление, как и главный вектор 7?\ то в рассматриваемой задаче центральная ось образует с координатными осями равные углы.
Теперь остается найти модуль М，главного момента данной системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси (наименьший
7 II. М. Воронков
главный момент). Согласно сказанному в этом параграфе этот модуль равен абсолютному значению проекции главного момента М。на направление главного вектора R', т. е. Mf = | Мо cos <р |, где (р есть угол между векторами Е‘ и М。、илиглавный момент). Согласно сказанному в этом параграфе этот модуль равен абсолютному значению проекции главного момента М。на направление главного вектора R', т. е. Mf = | Мо cos <р |, где (р есть угол между векторами Е‘ и М。、илиMzMz\R‘ • М° cos <р j\R‘ • М° cos <р j京~京~
главный момент). Согласно сказанному в этом параграфе этот модуль равен абсолютному значению проекции главного момента М。на направление главного вектора R', т. е. Mf = | Мо cos <р |, где (р есть угол между векторами Е‘ и М。、или
главный момент). Согласно сказанному в этом параграфе этот модуль равен абсолютному значению проекции главного момента М。на направление главного вектора R', т. е. Mf = | Мо cos <р |, где (р есть угол между векторами Е‘ и М。、или
Mz
Mz
\R‘ • М° cos <р j
\R‘ • М° cos <р j
京~
京~
Подставляя сюда найденные выше значения скалярного произведения 7?' • М° и модуля главного вектора 7?\ получим：
М'=包±В +—С)£2 . = ” Ь + с F
Так как в данном случае 7?' • Мо > 0, то коллинеарные векторы Rr и М' направлены в одну сторону. Если бы проекция главного момента Mq на направление главного вектора оказалась отрицательной, т. е. если бы имело место неравенство R * М。 <0, то в этом случае векторы Л/' и R' были бы направлены в противоположные стороны.
§ 49. Условия равновесия системы силв общем случае
Если главный вектор R данной системы сил и главный момент ее Мо относительно какого-нибудь центра приведения О не равны нулю, то эта система приводится к силе и паре, и следовательно, твердое тело при действии на него такой системы сил не может находиться в состоянии равновесия, так как пара не может быть уравновешена одной силой. Если в частном случае окажется, что Мо _L й\ то данная система сил приводится к равнодействующей силе, и равновесие, очевидно, и в этом случае невозможно. Если ж г один из векторов R или Mq обращается в нуль, а другой не равен нулю, то данная система сил приводится или к равнодействующей силе, приложенной в центре приведения О (в том случае, когда /? # 0 и Мо = 0), или к одной паре (в том случае, когда " = О и Мо W 0). Ясно, что в обоих этих случаях равновесие также невозможно.
Отсюда приходим к заключению, что для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо выполнение условий: 7?' = 0 и Мо = 0; эти необходимые условия равновесия системы сил являются, очевидно, и достаточными, так как при этих условиях будут уравновешиваться и все данные силы, перенесенные в центр приведения О, и все присоединенные пары.
Итак, для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу f в общем случае необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.
Полученные условия равновесия можно выразить в аналитической форме.
В § 45 мы видели, что проекции на координатные оси главного вектора данной системы сил и ее главного момента относительно начала координат выражаются так:
К = £X,兄=£上兄=£Z
и
М°х = £人(F), Моу = £% ⑺，Mq = £也(f )•
Отсюда следует, что два векторных равенства 7? = 0 и Mq = О равносильны следующим шести алгебраическим равенствам, которые выражают условия равновесия системы сил в аналитической форме:
£Х = 0,£У = 0, £Z - 0,
⑺=0,⑺=0,£饵⑺-0,(77)
т. е. для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, 8 общем случае необходимо и достаточноf чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей р〃8兄兄儿асз нулю и чтобы сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю 】).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Система сходящихся с и л. Пусть на твердое тело действует система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Примем эту точку за начало координат. Так как каждая из данных сил пересекает все три координатные оси, то, каковы бы ни были эти силы, последние три из условий равновесия (77), очевидно, удовлетворяются. Таким образом, для системы сходящихся сил условия равновесия сводятся к следующим трем:
£Х = 0, £У = 0, £Z = 0.
Этот результат мы имели уже ранее, в § 11.
Плоская система сил. Пусть на твердое тело действует система сил, лежащих в одной плоскости. Примем эту пло* скость за координатную плоскость Оху. Так как каждая из данных сил перпендикулярна к оси z и, кроме того, каждая из них лежит в одной плоскости с осями 力 и у, то ясно, что, каковы бы ни были зти силы, третье, четвертое и пятое из условий (77) всегда удовлетворяются; таким образом, для плоской системы сил получаем только три условия равновесия:
£Х = 0, £У = 0, £凡(尸)=°*
Так как в данном случае каждая сила лежит в координатной плоскости Оху, то ее момент относительно оси z совпадает
1) Понятно, что если эти условия выполнены относительно одной какой- ннбудь системы декартовых координат, то они будут выполнены и относительно всякой другой декартовой координатной системы.
7审
с алгебраическим значением момента этой силы относительно начала координат О; поэтому последнее из трех предыдущих равенств можно заменить таким:
£тп。(F) = О, где сумма моментов ——алгебраическая.
Мы получили, следовательно, те самые условия равновесия плоской системы сил, которые уже имели в § 24.
Система параллельных сил. Пусть на твердое тело действует система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости. Направим ось z параллельно данным силам; тогда момент каждой силы относительно оси z будет равен нулю; так как оси «г и у перпендикулярны к данным силам, то проекции каждой силы на эти оси будут также равны нулю. Следовательно, из общих шести условий равновесия первое, второе и шестое всегда удовлетворяются, каковы бы ни были данные параллельные силы, а потому для системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, получаем только три следующих условия равновесия:
£Z = О, 2Х (F) = 0, £% ⑺=0, (78)
т. е. для равновесия, системы параллельных сил7 не лежащих в одной плоскости^ необходимо и достаточно, чтобы сумма их проекций на осъ, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сумма их моментов относительно калсдой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам^ также равнялась нулю.
§ 50. Равновесие несвободного твердого тела
Рассмотрим на ряде примеров решение задач статики о равновесии несвободного твердого тела в общем случае, т. е. в том случае, когда приложенные к телу силы, включая и силы реакции связей, не лежат в одной плоскости и их линии действия не пересекаются в одной точке.
Метод решения этих задач по существу остается таким же, как и в случае плоской системы сил, но в общем случае мы имеем шесть условий равновесия. Поэтому в задаче о равновесии несвободного твердого тела в общем случае мы можем составить шесть уравнений, а не три, как в случае плоской системы сил. При этом следует иметь в виду, что поскольку при составлении уравнений равновесия (уравнений (77) предыдущего параграфа) выбор координатных осей произволен, то при равновесии твердого тела сумма проекций всех приложенных к нему сил на любую ось и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю. При составлении уравнений равновесия следует стремиться к тому, чтобы эти уравнения были возможно проще, т. е. чтобы каждое из них содержало возможно меньшее число неизвестных сил. Этого можно достигнуть соот-
ветствующим выбором осей, на которые проектируются силы, приложенные к данному твердому телу, и тех осей, относительно которых определяются моменты этих сил.
Тело с одной неподвижной точкой. Пусть
имеем твердое тело, одна точка которого закреплена неподвижно,
т. е. тело, закрепленное при помощи сферического шарнира; примем неподвижную точку тела за начало координат (рис. 130). В кинематике мы увидим, что в этом случае положение тела может быть определено заданием трех независимых параметров, например трех так называемых углов Эйлера; поэтому говорят, что такое тело обладает тремя степенями свободы.
Пусть на это тело действуют заданные силы 居, 居, 居,一•, 耳・ Реакцию неподвижной точки (сферического шар
нира) обозначим через Яо； проекции
этой силы на оси координат обозначим через X。，Yo и Z。. Если
£ 夕光 + X0= 0, £乙 + Z。= 0, £% (F) = 0,£ 夕光 + X0= 0, £乙 + Z。= 0, £% (F) = 0,皿 + У。= 0, £% ⑺=о, IX ⑺=о.皿 + У。= 0, £% ⑺=о, IX ⑺=о.данное тело находится в равновесии, то согласно сказанному в § 49 будем иметь шесть уравнений:
£ 夕光 + X0= 0, £乙 + Z。= 0, £% (F) = 0,
£ 夕光 + X0= 0, £乙 + Z。= 0, £% (F) = 0,
皿 + У。= 0, £% ⑺=о, IX ⑺=о.
皿 + У。= 0, £% ⑺=о, IX ⑺=о.
Так как моменты силы Яо относительно всех трех координатных осей равны нулю, то в последние три уравнения входят только заданные силы 居.Эти три уравнения представляют собой, следовательно, те условия, которым должны удовлетворять заданные силы 居,действующие на тело, чтобы оно могло оставаться в равновесии.
Из последних трех уравнений следует, что главный момент сйстемы заданных сил Fi относительно точки О должен равняться нулю, т. е. эта система должна приводиться к равнодействующей силе, линия действия которой проходит через точку О.
Таким образом, приходим к заключению, что при равновесии твердого тела с одной неподвижной точкой сумма моментов всех действующих на тело заданных сил относительно каждой из трех координатных осе近,начало которых находится в неподвижной точке, равна нулю, т. е. что система заданных сил приводится к равнодействующей силе, проходящей через неподвижную точку.
Если эти условия не выполнены, то тело не может оставаться в равновесии. Что касается первых трех из предыдущих уравнений, мо они позволяют определить проекции неизвестной силы Rq и.
противополо?кны попротивополо?кны повых, определить,вых, определить,ворота тела поэтому мы твердое теловорота тела поэтому мы твердое тело
противополо?кны по
противополо?кны по
вых, определить,
вых, определить,
ворота тела поэтому мы твердое тело
ворота тела поэтому мы твердое тело
следовательно, найти ее модуль и направление (при равновесии). Из этих уравнений находим:
Хо = - SFX,汽=一工乙，Zo = — £%.
Если обозначим через R равнодействующую заданных сил 居, проходящую через точку О, то
4 = £%, Rv = £%， 几=w也；
отсюда следует:
X0=一 йК, Yo =一 A炉Z0=一 Й2.
Таким образом, проекции двух векторов Яо и Я отличаются только знаками, а потому эти два вектора равны по модулю и
направлению, т. е. % =—凡 как это, очевидно, и должно быть, так как система сил 居 уравновешивается реакцией Ro неподвижной точки.
Тело с двумя неподвижными точками. Рассмотрим твердое тело, две точки которого。и。 закреплены неподвижно (рис. 131). Ясно, что прямая, проходящая через эти две точки, остается неподвижной. Примем эту прямую за ось z; начало координат возьмем в точке О. Расстояние между О и О' обозначим через а. Единственное движение, возможн-ое для такого тела, — это вращение вокруг оси z, и положение тела определяется единственным параметром ——углом по-
вокруг неподвижной оси; имеем в данном случае с одной степенью свободы.
Пусть на это тело действует система сил А，居,Fg,...,/^. Требуется, во-пер- какому условию должны удовлетворять эти
силы, и, во-вторых, найти реакции закрепленных точек при равновесии тела.
Обозначим искомые реакции закрепленных точек О и О' через Ro и Яо-; проекции этих сил на координатные оси обозначим соответственно через X。，F。，Zo и У。，Z。，.
Моменты силы Ro относительно координатных осей, очевидно, равны нулю, так как эта сила пересекает все три оси.
Моменты силы Яо- относительно тех же осей находим по формулам (62) § 44:
% (К。') ~ У。'％。，一 zo，y*
^4 (%)=纺 X o’ —Ho’Z。，(Яо) = xo' Yor — у O'X-o',
где ха1-, Уо' и zcr обозначают координаты точки приложения силы Яо*, т. е. точки О'. Как видно из рис. 131, эти координаты соответственно равны 0, 0, 〃； поэтому
тх (Яо-) =— aYo-, ^沙(А。，) = 〃Х。，, mz (Яо-) = 0.
Уравнения (77) предыдущего параграфа принимают следующий вид:
£几 + X。+ X。’ = 0,Smx 仍)一dYО' = 0;
£九 + У。+ У。，- 0,2И 仍)+ 〃Х。，= 0；
^Pz + z° + Z。’ = 0,2mz ⑷=°*
В последнее из этих уравнений неизвестные реакции не входят; это уравнение, следовательно, представляет собой то условие, которому должны удовлетворять заданные силы 居,действующие на тело, при равновесии. Если это условие не выполнено, то тело не может оставаться в равновесии. Таким образом, приходим к заключению: при равновесии твердого тела с двумя неподвижными точками (с неподвижной осью) сумма моментов всех действующих на него заданных сил относительно неподвижной оси равна нулю.
Из первых пяти уравнений определяем неизвестные реакции. Из пятого и четвертого уравнений получаем:
X0= 一 } wm"(F) и у。, = ； £%①).
Подставляя эти значения в первое и второе уравнения, находим из них:
И
У。=一£乙一；wд(尸)■
Наконец, из третьего уравнения имеем:
z。+ Zo= — £3・
Отсюда видим, что в данном случае мы имеем статически неопределенную задачу: мы люжем найти только составляющие реакций, перпендикулярные к оси вращения тела; что же касается продольных составляющих реакций (направленных вдоль оси вращения), то мы можем определить только их равнодействующую, но не каждую из этих сил в отдельности.
Пример 50. С горизонтальным валом трансмиссии неизменно соединены два шкива радиусов R = 0,4 м н 尸=0,2 м (рпс. 132, а). Даны натяжения ветвей ремня, охватывающего первый шкив: 2\ = 340 кг и Т2 = 200 кг, причем сила 厶 вертикальна, а сила Т? образует с вертикалью угол в 45°. Натяжения ветвей ремня, охватывающего второй шкив, равны Тз и Т^ причем силы 北 и 北 параллельны и образуют с вертикалью угол в 30°. Определить реакции подшипников Л и В, перпендикулярные к оси вращения вала, и модули сил 北 и Т4, зная, что Т3 = 2Г4 и что реакции подшипников и силы
7\, T# 北，北 уравновешиваются (вал вращается равномерно). Расстояние между шкивами и расстояния шкивов от подшипников указаны на чертеже. Весом вала и шкивов пренебрегаем.
Решение. За начало координат возьмем точку А, ось у направим по оси вала, а ось z по вертикали вверх. Силы 厶，"，北，Т4 перпендикулярны к оси у, так как они лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси; составляющие по осям жиг реакций подшипников в точках Л и В обозначим соответственно через *, & и &, &♦ Таким образом, в данной задаче имеем шесть неизвестных, подлежащих определению: Л\, Z】,X?, Z?, Т3 и 7\. Для нахождения этих неизвестных имеем шесть уравнений: пять уравнений равновесия (уравнение проекций на ось у отпадает; так как все силы перпендикулярны к этой оси, то это уравнение превращается, очевидно, в тождество) и еще соотношение, данное в условии задачи: Т3 = 2T《.
Найдя непосредственно из чертежа (рис. 132, а и б) проекции всех сил на оси х и z, расположим их в следующей таблице:
複
X?
&
北
4
Л
X
Х1
0
爲
0
0
厶 cos 45°
丁3 sin 30°
7\ sin 3Q°
Z
0
4
0
Zz
7
—北 cos 45°
—丁3 cos 30°
-T4 cos 30°
Далее, составим моменты всех сил относительно каждой из координатных осей. Моменты сил, приложенных в точках А и В, относительно оси у равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают эту ось. Чтобы получить моменты сил 7\,"，北 и Т& относительно оси у, достаточно, как легко понять из рис. 132, 6, модуль каждой из этих сил умножить на радиус
соответствующего шкива и взять это произведение с соответствующим знаком. Моменты силы ” относительно осей 力 и z найдем по формула м
тХ （丁2）= yT^Z 一 zT2g
И
mz （"）=方北沙一nT豆х.
Так как сила 笃 дежит в плоскости, перпендикулярной к оси у и отстоящей от начала координат」4 на расстояние 0,25 м, то ордината у тояки приложения этой силы равна 0,25 м. Проекция 72y этой силы на ось у равна нулю. Значения проекций Т2Х и Т22 возьмем из предыдущей таблицы; сле- довательпо, будем иметь:
тх （北）=—0,25 北 cos 45°
и
m2 （笃）=一0,25 72 cos 45°.
Аналогично найдем моменты относительно осей ① н z всех остальных сил, заметив при этом, что ординаты тояек приложения сил 4 117T厶 имеют одно и то же значение, равное 0,23 м + 0,75 м = 1 м, а ордината тояки В равна, очевидно, 1,5 л. Полученные значения моментов расположим в виде следующей таблицы:
Xi
zj Xz
z?
4
北
北
0
00
+ L5Z?
一0,257\
-0,25T2cos45°
-1-T3cos 30°
-1.73 30О
0
00
0
一0,仍
+ 0,4T2
+ 0,24
一0,2北
切Z
0
0 -1,5%
0
0
—0,25厶 cos 45°
—1 ■ 丁3 sin 30。
—1・北 sin30°
Теперь составляем уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил на оси а? и 2 и суммы их моментов относительно осей ①,у н z：
吊十马+北 cos45。十（Тз 十&） sin30°= 0,
°'°'°'о°'°'°'оZ]+ Z? — T1—T2 cos45。一（7*3 十7《）cos30°=
°'°'°'о
°'°'°'о
Z2 - 0,25 4 - 0,25T2 cos45°—（北 +TQ cos30°=
一0,4 （7\ —4） + 0,2（北 一&）=
1,5 К?十 0,25 7\ cos 45° + （T3 十 TJ sin 30° =
Подставляя сюда значения тригонометрических функций, а также заданные яисленные значения сил 7\ и 北 н заменяя везде Т3 через 2Т4, получим следующие пять уравнений:
*1十居十100/牙十1,5 & = 0,
Z]十 Za — 340-100/2"— 1,5/3 Г4 = 0,
'3） - 1,5 Z2 -t- 85 + 25/0 1,5 /3 Т4 = О,
56 — 0,2 Т4 = О,
l,5£z + 25/2-> 1,5 Т. = 0.
Из четвертого уравнения находим: Т《 — 280 кг и, следовательно, Т3 = 560 кг. Теперь из третьего и пятого уравнений получаем:
v 85 十 25 М^+ 420 /317 + 5 /2+ 84 /3 ,сс-
厶Г5=565 *
25 /2 + 4205 /2 + 84
/=r5=(Гз~■ = _ 304 К"
Подставляя полученные значения Z2 и Х2 в первое и второе уравнения, вайдем из этих уравнений:
% = 304 — 100 МТ — 420 - — 257 кг,
Z] = 340 十 100 ]^2 + 420 /3 — 565 = 643 唸
Полученные отрицательные значения для X】и Х2 показывают, что направление сил X1H 氏 совпадает с отрицательным направлением оси о, т. v. что эти силы имеют направление, противоположное принятому на яертеже.
Пример 51. На платформе трехколесной тележки в тояке М лежит груз весом Р = 100 кз. Определить реакции в точках А, В и С, если 。1“ ~ i м^ KD = 1,6 м^。丄£ — 04侈 и ЕМ = 0,6 ж. Точка D лежит в середине отрезка 6\4 (рис. 133).
Решение. Направим оси координат, как указано на яертеже; искомые вертикальные реакции обозначим через 餌，餌 и % В данвом случае все силы, приложенные к тележке, параллельны оси z, и потому имеем три следующих уравнения равновесия (уравнения (78) предыдущего параграфа):
£2 = "1 + М+ w3 一Р=0,W (%2)+ ^Х (-^3)+ 打依(Р) = °，my(TV2) + шу (Лг3) + my (Р) = 0.
Так как сила 呼 проходит через наяало координат Ot, то ее моменты
относительно координатных осей равны нулю; поэтому в уравнения моментов эта сила не входит. Как нетрудно видеть из чертежа, моменты сил 也，“з и Р выражаются следующим образом:
mх (例)=0,
力为(Лз) = DK • %з = 1,6 %з，
тх (Р) = — ЕМ • Р = ■— 0,6 • 100 — — 60,
my №)— OS •也=—1 * “2，
my (能)=一 OR .w3 = - 0,5%,
^篁(P) = O\E - P — 0,4 • 100 = 40.
Подставляя эти значения в предыдущие уравнения равновесия, получим:
N* + 也 + 网=ЮО,
%з = 60,牝 + 0,5 凿=40.
Решая эти уравнения, находим:
Лт 60-
1,0
餌=40 — 0,5 ^3 = 40—18,75 = 21,25 кг,
“I = 100 — М —品=100—21,25 — 37,5 = 41,25 кг.
ГЛАВА 10
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 51. Общие формулы для координат центра тяжести
Представим себе какое-ниоудь твердое тело (рис. 134), находящееся близ поверхности Земли. На каждую элементарную частицу этого тела действует сила притяжения к земле, направленная по вертикали вниз,——вес этой частицы. Строго говоря, эти силы, которые будем обозначать через 〃工,р2, р3 ,...,представляют собой
систему сходящихся сил, так как все они пересекаются в одной точке — приблизительно в центре Земли.
Но ввиду того, что расстояние данного тела от центра Земли весьма велико сравнительно с расстояниями между отдельными частицами этого тела, углы, под которыми пересекаются силы 〃, весьма малы, и с большой степенью точности можно считать, что все эти силы параллельны. Центр С этой системы параллельных сил
называется центром тяжести дан
ного тела, а равнодействующая этих сил Р = ^Pi，проходящая через точку С, представляет собой вес этого тела.
Spy "=方,Spy "=方,В этой главе мы рассмотрим решение задачи, состоящей в определении положения центра тяжести данного тела. Отнесем это тело к прямоугольной системе координат Oxyz. Чтобы определить положение центра тяжести С, нужно найти его координаты, которые будем обозначать через %с, ус и zc・ Так как центр тяжести тела есть центр параллельных сил, представляющих собой веса элементарных частиц этого тела, то для вычисления координат центра тяжести мы можем применить общие формулы, выведенные в § 15 для координат центра системы параллельных сил. Эти формулы имеют следующий вид:
Spy "=方,
Spy "=方,
Здесь X, у ^ z обозначают координаты точек приложения сил
Обозначим вес единицы объема данного тела через у, объемы элементарных частиц, на которые мы разбиваем все тело г), обозначим через АР\, А%, ДF31... Если данное тело однородно, то величина у для всех частиц тела одинакова, и следовательно, будем иметь:
Pi ~ 丫厶匕，Ра = уДF2t Рз = уДУз, ...
Подставляя эти значения сил рг в предыдущие формулы, получим: £方ya卩 YЁ必卩 £方a『
Хс = EyAF = y£AV ~'
где V = 2ДУ есть объем всего тела. Такие же формулы получим и для двух других координат:
Ус = ——•
Чтобы получить теперь точные формулы для координат центраЧтобы получить теперь точные формулы для координат центратяжести однородного тела, нужно в предыдущих выражениях петяжести однородного тела, нужно в предыдущих выражениях перейти к пределу, предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем А 匕 каждой такой частицы стремится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:рейти к пределу, предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем А 匕 каждой такой частицы стремится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:ХсХсlim工①А0lim工①А0lim £zA0Plim £zA0Plim £yAPlim £yAP(79)(79)
Чтобы получить теперь точные формулы для координат центра
Чтобы получить теперь точные формулы для координат центра
тяжести однородного тела, нужно в предыдущих выражениях пе
тяжести однородного тела, нужно в предыдущих выражениях пе
рейти к пределу, предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем А 匕 каждой такой частицы стремится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:
рейти к пределу, предполагая, что число элементарных частиц, из которых состоит тело, неограниченно возрастает, а объем А 匕 каждой такой частицы стремится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:
Хс
Хс
lim工①А0
lim工①А0
lim £zA0P
lim £zA0P
lim £yAP
lim £yAP
(79)
(79)
Рис. 135.Если имеем тело двух измерений, напри
мер очень тонкую пластинку, толщиной которой можно пренебречь, то задача сводится к определению центра тяжести материальной плоской фигуры.
Если такая пластинка однородна, то предыдущие формулы для координат центра тяжести объема остаются, очевидно, верными и в этом случае, только вместо элементов объема Д Уг нужно брать элементы площади AS*, а в знаменателе вместо объема V нужно брать площадь S данной фигуры (рис. 135); следовательно, для координат центра тяжести плоской фигуры будем иметь:
Хс =Хс =lim £ ① ASSlim £ ① ASSlim EyAS5lim EyAS5(80)(80)
Хс =
Хс =
lim £ ① AS
S
lim £ ① AS
S
lim EyAS5
lim EyAS5
(80)
(80)
i) Например, плоскостями, параллельными координатным плоскостям; тогда материальные частицы будут иметь форму элементарных прямоуголь* иых параллелепипедов.
Совершенно так же для координат центра тяжести однородной плоской материальной линии АВ (например, тонкой проволоки, согнутой в виде некоторой плоской кривой) получим:
lim У 0Az/c 7lim У 0Az/c 7lim £ “AZ ,Ус = Jlim £ “AZ ,Ус = J(81)(81)
lim У 0Az
/c 7
lim У 0Az
/c 7
lim £ “AZ ,Ус = J
lim £ “AZ ,Ус = J
(81)
(81)
В этих формулах AZ обозначает длину элементарной дуги данной линии, а 2 ——всю длину этой линии (рис. 136).
Следует отметить, что центр тяжести С кривой линии вообще не лежит на этой линии.
Понятно, что формулы (81) остаются такими же и в том слу
чае, когда данная однородная материальная линия не является плоской; в этом случае будем иметь:
lim £。厶2lim£yAZ
(8Г)(8Г)lim £ zAZlim £ zAZ-/-, %=L
(8Г)
(8Г)
lim £ zAZ
lim £ zAZ
Вычисление пределов сумм, входящих в полученные формулы, производится в общем случае методами интегрального исчисления; эти пределы выражаются определенными интегралами, распространенными соответственно на весь объем
данного тела или на всю площадь данной фигуры или же взятыми вдоль данной линии. Но если тело имеет простую геоме* трическую форму, то, как увидим ниже, положение центра
тяжести такого тела можно определить элементарным путем.
§ 52. Положение центра тяжести симметричного тела
Лемма. Если точки приложения всех данных параллельных сил лежат в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит соответственно в той же плоскости или на той же тгр兄мо力.
Доказательство. Примем плоскость, в которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную плоскость 。①у; тогда, очевидно, в правой части формулы
мы должны положить все координаты z^ равными нулю, а потому zc = 0, т. е. центр данной системы параллельных сил лежит в плоскости Oxyt что и требовалось доказать.
Аналогично докажем и вторую часть леммы: примем ту прямую, на которой лежат точки приложения всех данных параллельных сил, за координатную ось z; тогда для всех этих точек будем иметь: R = % = °，а потому
叱=或=° н % = ^ = 0,
т. е. центр данной системы параллельных сил лежит на оси z, что и требовалось доказать.
Пользуясь этой леммой, нетрудно доказать следующую теорему о положении центра тяжести тела симметричной формы:
Теорема. Если однородное тело имеет плоскостьf или ось, или центр симметрии^ то центр тяжести такого тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или 8 этом центре симметрии.
Доказательство. Пусть данное однородное тело имеет плоскость симметрии; тогда мы можем разбить все тело на пары одинаковых элементарных частиц равного веса, симметрично расположенных относительно этой плоскости: Аг и 4；, А2 и А^ и т. д. (рис. 137). Отрезки Л^), А2А2 и т. д. перпендикулярны к плоско、 сти симметрии и в точках пересечения с ней делятся пополам, так что А±МГ — =4府工，Л2М2 = А2М2 и т. д. Обозначим веса элементарных частиц через р” _ _как веса симметричных частиц равны, то
р* = р；, р% = р\ 0 т. д. Сложив две равные параллельные силы рг и 〃；, приложенные в точках At и 4；, получим равнодействующую 2рт, приложенную в точке %. Поступив так же с весами каждой пары симметричных частиц, получим систему параллельных сил 2#1，2〃2 и т. д., точки приложения которых М» “2，.., лежат в плоскости симметрии, а следовательно, па основании предыдущей леммы в этой же плоскости лежит и центр этой системы параллельных сил, т. е. центр тяжести данного тела, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается эта теорема и для тех случаев, когда тело имеет ось или центр симметрии. Эта теорема имеет частые применения; так, например, из нее непосредственно вытекает, что центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму параллелограмма, лежит в точке пересечения его диагоналей, центр тяжести однородной эллиптической пластинки лежит в ее геометрическом центре, центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения, так как эта ось является для такого тела осью симметрии.
длине этой линии, умножен-длине этой линии, умножен-ХС1 —ХС1 —отсюдаотсюда£%・АГ —况с—£АГ = xq'V ^£%・АГ —况с—£АГ = xq'V ^
длине этой линии, умножен-
длине этой линии, умножен-
ХС1 —
ХС1 —
отсюда
отсюда
£%・АГ —况с—£АГ = xq'V ^
£%・АГ —况с—£АГ = xq'V ^
§ 53. Теоремы Гюльдена
Теорема 1. Площадь поверхности^ полученной вращением некоторой плоской линии вокруг оси, лежащей g плоскости этой
линии и ее не пересекающей, равна ной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Доказательство. Представим себе поверхность, полученную вращением дуги АВ некоторой плоской кривой линии вокруг оси Оу (рис. 138). Пусть центр тяжести этой дуги находится в точке С; обозначим его абсциссу через хс. Впишем в дугу АВ ломаную линию, состоящую из весьма большого числа весьма малых прямолинейных отрезков. Рассмотрим одну из сторон этой ломаной линии, например сторону аЪ. Центр тяжести прямолинейного отрезка аЪ находится в его середине —— в точке т; обозначим абсциссу этой точки через %; при вращении вокруг осп Оу отрезок ab опишет усеченный конус; если обозначим длину отрезка ab через АГ, то бо-
ковая поверхность этого конуса будет равна 2冗力• АТ. Если, далее, обозначим через S' сумму боковых поверхностей всех таких
усеченных конусов, описанных каждой стороной вписанной
ломаной линии, то
S' = 2 2nz • АГ。2пЕ/・АГ.
С другой стороны, если обозначим через хсг абсциссу центра тяжести С' этой ломаной линии, то
где Г = ЕА〃 есть длина ломаной линии; следовательно, S' — 2"с“‘.
Перейдем теперь к пределу, предполагая, что число сторон вписанной ломаной линии неограниченно возрастает, а длина каждой стороны стремится к нулю; тогда будем иметь:
lim S' = 2л lim (xcdf).
Но в пределе вписанная ломаная линия совпадает с данной дугой АВ, ее длина становится равной длине I этой дуги, а ее центр тяжести С совпадает с точкой С, а потому
lim Г = Z, lim/c，=工已 ц lim (工户厂)—xqI.
Кроме того, предел, к которому стремится величина S', определяет площадь S рассматриваемой поверхности вращения, т. е. lim Sf = S. Следовательно, получаем:
S = 2л xclf (82)
что и требовалось доказать, так как 2яхс есть длина окружности, описанной точкой С.
Теорема 2. Объем тела^ полученного вращением некоторой плоской замкнутой фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой
фигуры V. ее не пересекающей, равен произведению площади этой
фигуры на длину окружности^ описанной ее центром тяжести.
Доказательство. Возьмем некоторую плоскую фигуру, площадь которой равна S; пусть центр тяжести этой фигуры лежит в точке С (рис. 139); вращая эту фигуру вокруг оси Оу, получим тело, объем которого V нужно определить. Для этого разобьем площадь данной фигуры па очень большое число весьма малых
элементов, проводя прямые, параллельные координатным осям 力 и у, на весьма близком расстоянии друг от друга. Рассмотрим один из таких элементов ——прямоугольник abed. Центр тяжести этого прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей; обозначим абсциссу этой точки через х. Пусть, далее:
ad — А/ и ab = Ау;
тогда площадь этого прямоугольника равна
AS = А%・ Ау;
кроме того, как видно из рис. 139, fa — х2~ и х +.
Объем Л V тела, полученного вращением прямоугольника abed вокруг оси Оу t равен, очевидно, разности объемов двух цилиндров, полученных вращением прямоугольников feed и feba вокруг той же оси, т. е.
А『=九(％ + ^У Ау — л [х 一 ^-j Ay = 2冗％ A% Ay — 2пх AS.
Если обозначим через У сумму объемов всех таких тел, полученных вращением элементарных прямоугольников, на которые мы разбили всю данную фигуру, то
У = ^дГ = 2九£忆a5.
Перейдем теперь к пределу, предполагая, что число элементарных прямоугольников неограниченно возрастает, а площадь каждого прямоугольника стремится к нулю; тогда будем иметь:
V = lim『=2n lim £”AS;
с другой стороны, если обозначим абсциссу центра тяжести С данной плоской фигуры через хс^ то по формуле (80) имеем:
xc =, или hm £况 АЗ =况已• 3;
следовательно,следовательно,V = 2mcS,V = 2mcS,(83)(83)
следовательно,
следовательно,
V = 2mcS,
V = 2mcS,
(83)
(83)
что и требовалось доказать.
Доказанные теоремы позволяют иногда весьма просто находить положение центра тяжести плоской линии или плоской фигуры, а также определять поверхность и объем тел вра・ щения.
Рассмотрим следующие примеры.
Возьмем полукруг радиуса 7? и будем вращать его вокруг диаметра О А (рис. 140). Полученное при этом тело вращения представляет собой шар радиуса R. Пусть центр тяжести дуги АВ находится в точке С1Т а центр тяжести площади полукруга — в точке С2; оба эти центра лежат на оси 0% являющейся осью симметрии и для полукруга и для дуги АВ.
Пусть ОС\ =乃 и ОС2 = &. По первой теореме Гюльдена имеем:
S = 2几勺2,
где S обозначает поверхность шара, a Z —— длину полуокружности АВ\ следовательно,
S = 4лЯ2 н 2 = л7?.
Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим: 4л/?2 = 2л^г .冗凡 откуда находим:
Эта формула определяет положение центра тяжести полуокруж- 22
ности. Если положим приближенно л = у, то
_7 后
勺一殺7
По второй теореме Гюльдена имеем:
V — 2^x2S,
где объем шара V = ^兀冗亠 и площадь полукруга S = у лЯ2; подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим:
у х/?з = 2m2 * у лЯ2,
откуда находим:
4R
Эта формула определяет положение центра тяжести площади полу- 22
夕круга. Полагая 九=万, получим при
ближенно:
ОРис. 141.ОРис. 141.называемое тором (рис. мой при этом вращенииназываемое тором (рис. мой при этом вращенииВозьмем круг радиуса г. Центр тяжести С круга совпадает с его геометрическим центром. Если будем этот круг вращать вокруг оси Оу, то получим кольцеобразное тело вращения, 141). Радиус окружности, описывае- точкой С, т. е. расстояние точки С от
О
Рис. 141.
О
Рис. 141.
называемое тором (рис. мой при этом вращении
называемое тором (рис. мой при этом вращении
оси Оу, обозначим через R. Теоремы Гюльдена позволяют легко
найти поверхность и объем тора.
Так как центр тяжести окружности радиуса г находится,
очевидно, в точке С, то по первой теореме поверхность тора равна
S = 2лг- 2лЯ = 4冗2Rr.
По второй теореме объем тора равен
V 二 лг2-2л/? = 2л2Яг2.
§ 54・ Центры тяжести некоторых простейшиходнородных тел и фигур
44Рис. 142.Рис. 142.большое число например aLa3, 4большое число например aLa3, 4Це нт р тяжести площади треугольника. Найдем центр тяжести тонкой однородной треугольной пластинки АгА2А3 (рис. 142). Для этого разобьем всю площадь треугольника
4
4
Рис. 142.
Рис. 142.
большое число например aLa3, 4
большое число например aLa3, 4
прямыми, параллельными основанию А1А3, на очень узких полосок. Каждую такую полоску,
ввиду ее незначительной ширины можно рассматривать как прямолинейный отрезок; следовательно, центр тяжести каждой такой элементарной полоски находится в ее середине. Но средние точки всех этих полосок расположены, очевидно, на одной прямой, а именно на медиане А2М2 данного треугольника; следовательно (лемма § 52), на этой же медиане лежит и искомый центр тяжести всего треугольника. Разбив площадь треугольника прямыми,
параллельными другой его стороне, например стороне AXA^ мы также убедимся, что искомый центр тяжести треугольника должен лежать на медиане А3М3. Отсюда заключаем, что центр тяжести，С площади треугольника совпадает с точкой пересечешь凡 его медиан. Так как точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, то полученный результат можно выразить еще так: центр тяжести площади треугольника лежит на одной из его медиан на расстоянии 2/3 этой медианы от вершины треугольника.
Если обозначим координаты вершин данного треугольника через (工「у。,(工2,沙2)，(力3, Уз), а координаты его центра тя/кести через хс и ус, то по формулам аналитической геометрии для координат точки пересечения медиан треугольника будем иметь:
力0 =力0 =(84)(84)勺 + & + 伤1一 У* + % 十 “3
力0 =
力0 =
(84)
(84)
3， УС -§'
Центр тяжести площади многоугольника. Чтобы найти центр тяжести площади какого-нибудь многоугольника AtA2A3A4As (рис. 143),координатывершин которого известны, разобьем данный многоугольник диагоналями на три треугольника А1А2А31 АгА3А^ и ArA^\ площади этих треугольников обозначим соответственно через £工，S? и 53, а их центры тяжести 一 через G (/с” ус), С2 (%а，ус) и Сз (工5, Усз)・ Зная координаты вершин каждого из этих треугольников, нетрудно вычислить его площадь (по известной формуле аналитической геометрии) и координаты его центра тяжести; так, для абсцисс точек С^ С2 и С3 будем иметь:
宏1 + / + т； 工 Q =з宏1 + / + т； 工 Q =з» 一/+①4T 勺%
宏1 + / + т； 工 Q =з
宏1 + / + т； 工 Q =з
"G?3， 丄Сз” 3 一 」
В точках £ С? и °з приложены веса Р1Т 修 и ? соответствующих треугольников. Теперь задача сводится к определению центра
与色•,0)与色•,0)Рис. 143.Рис. 143.
与色•,0)
与色•,0)
Рис. 143.
Рис. 143.
Рис. 144.Рис. 144.дугу АВ вокруг диаметра,дугу АВ вокруг диаметра,
Рис. 144.
Рис. 144.
дугу АВ вокруг диаметра,
дугу АВ вокруг диаметра,
системы параллельных сил R, R и R・ Поэтому для координат хс и ус искомого центра тяжести многоугольника имеем:
一尸 1ne： + ^2хс2 + Р3方爲—Р1ye1 + ^2уe3 十Р3"&
= 匕+Р;+马,Vc =" 已+% + A •
Если обозначим вес единицы площади данного многоугольника зерез у, то
Р] = 丫S1，p2 = YS2，p3 = YS3"
Подставляя эти значения в предыдущие формулы и сокращая
на у, получим окончательно:
$1 ①С[ + $2%2 卡 $3①Сз邑不邑工s3 ，
yc - S] + Sg + 龜 (85)
поверхность АВВ^А^ представляющую собой часть поверхностиповерхность АВВ^А^ представляющую собой часть поверхностиЦентр тяжести дуги окружности. Пусть требуется найти центр тяжести дуги АВ окружности радиуса R с центром в точке。 (рис. 144). Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии дуги АВ} т. е. на радиусе, перпендикулярном к хорде АВ\ остается определить расстояние ОС. Для этого воспользуемся первой теоремой Гюльдена. Вращая параллельного хорде 45, получим
поверхность АВВ^А^ представляющую собой часть поверхности
поверхность АВВ^А^ представляющую собой часть поверхности
шара и называемую шаровым поясом. Как известно из геометрии, площадь этой поверхности равна 2лЯ • АВ.
На основании первой теоремы Гюльдена будем иметь:
2nR • АВ = 2九・ОС •厶
где I ——длина дуги АВ. Отсюда
ос = ^Л
Если обозначим половину центрального угла дуги АВ, измеряемого в радианах, через а, то
/ = 2/?а и АВ = 2Я sin а,
а потому
(86)(86)ое =e虹а
(86)
(86)
Центр тяжести кругового сектора. Определение положения центра тяжести кругового сектора О АВ радиуса R (рис. 145) можно свести к предыдущей задаче. Обозначим половину
Рис. 145.Рис. 145.центрального угла этого сектора через а. Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии данного сектора, т. е. на биссектрисе угла АОВ, Остается найти расстояние ОС. Разделим дугу АВ на большое число п весьма малых равных частей и точки деления соединим с центром О. Тогда данный сектор разделится на п равных элементарных секторов; рассмотрим один из таких секторов ОаЪ. Ввиду малости дуги ab этот сектор можно принять за равнобедренный треугольник;
Рис. 145.
Рис. 145.
следовательно, его центр тяжести лежит на радиусе, делящем угол аОЪ пополам, на расстоянии 2/3 7? от точки О. От
сюда заключаем, что центры тяжести всех элементарных секторов расположены на дуге А1В1 радиуса ОА± = 2/3 R на равных расстояниях друг от друга. В этих центрах приложены равные
веса а элементарных секторов.
Следовательно, искомый центр тяжести С сектора АОВ совпадает с центром системы параллельных силрг. В пределе при п-^оо задача, очевидно, сводится к нахождению центра тяжести однородной дуги АГВГ. Поэтому на основании результата, полученного и предыдущем примере, находим:
ОС =丄 a 3 aОС =丄 a 3 a(87)(87)
ОС =
丄 a 3 a
ОС =
丄 a 3 a
(87)
(87)
Центр тяжести призмы. Чтобы найти центр тяжести однородной призмы с основанием AtA2A3A4Лб (рис. 146)， разобьем всю призму на большое число весьма тонких пластинок
Рпс. 146.прямолинейногоРпс. 146.прямолинейногоплоскостями, параллельными основанию, проведенными на равных весьма малых расстояниях друг от друга (на чертеже изображена одна из таких пластинок ага2а3а^. Ввиду того, что толщина этих пластинок очень мала, их можно принять за плоские многоугольники; центры тяжести всех этих многоугольников, в которых приложены их равные веса 〃订 лежат, очевидно, на одной прямой С^С^ соединяющей центры тяжести нижнего и верхнего оснований призмы. Следовательно, искомый центр тяжести призмы совпадает с центром системы параллельных сил р^ равных между собой и приложенных в точках, находящихся на прямой СХС2 на равных расстояниях друг от друга. В пределе при п->со задача, очевидно, сводится к нахождению центра тяжести однородного отрезка СгС2* Отсюда заключаем, что центр
Рпс. 146.
прямолинейного
Рпс. 146.
прямолинейного
тяжести однородной призмы назсоОитс^ в середине отрезка, соеди-
Рис. 147.Рис. 147.няющего центры тяжести нижнего и верхнего оснований этой призмы.
Рис. 147.
Рис. 147.
Этот вывод, а следовательно, и результат остаются, очевидно, верными и для какого угодно однородного цилиндра.
Центр тяжести пирамид ы. Рассмотрим сначала однородный тетраэдр, т. е. однородную треугольную пирамиду A t А 2Л 3 А 4 (рис. 147). Плоскостями, параллельными основанию, разобьем всю пирамиду на большое число весьма tohiuix треугольных пластинок. Принимая эти пластинки за плоские треугольники, замечаем, что центры тяжести всех этих подобных треугольников лежат на одной прямой.
соединяющей вершину Л 4 пирамиды с центром тяжести ее основания, т. е. с точкой М пересечения медиан треугольника А^А^А^
следовательно, на этой же прямой лежит искомый центр тяжести данной пирамиды. Совершенно так же, разбивая данную пирамиду плоскостями, параллельными грани А2А3А4т приходим к заключению, что ее центр тяжести должен лежать на прямой Л^, причем К есть центр тяжести треугольника А2Л3А4, т. е.
1乙41 и LK == п 厶4《；1乙41 и LK == п 厶4《；чточтоточка пересечения его медиан, а потому искомый центр тяжести пирамиды находится в точке С пересечения прямых А^М и АГК. Найдем расстояние МС. По свойству медиан треугольника имеем:
1
乙41 и LK == п 厶4《；
1
乙41 и LK == п 厶4《；
что
что
из этих двух равенств следует,
МК II АХА^ и МК = ^4144.
Но если прямые ЛХЛ4 и МК параллельны, то треугольника АгСА4 и МСК подобны.
А потому
МС МК I2 71/с п л
F = АА = 3 или ЗМС = СА„
но МС + СА4 = MA^t следовательно, 4МС = 加力"отсюда находим:
МС = ^МА^
Итак, центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезкеt соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести ее основа- ни凡? на расстоянии х/4 этого отрезка от центра тяжести осно~ вания пирамиды.
Этот результат, полученный для тетраэдра, нетрудно распространить и на однородную многоугольную пирамиду, так как данную многоугольную пирамиду можно разбить на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и диагонали многоугольника, являющегося ее основанием.
Рассматривая конус как предел вписанных в него пирамид, на основании предыдущего результата приходим к заключению, что центр тяжести однородного конуса лежит ма отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести его осмоеаки兄,на рассто兄наш J/4 этого отрезка от вершины конуса.
§ 55. Определение центра тяжести тел и фигурслоя«ной формы
Часто применяемый метод определения центра тяжести тела сложной геометрической формы состоит в том, что данное тело разбивают, если это возможно, на такие части простейшей формы, центры тяжести которых легко могут быть найдены на основании сказанного в предыдущем параграфе.
Обозначим объемы этих простейших по форме частей данного тела через 匕，％, 匕,…，а их веса — через 厶，Р2, Рз,… Координаты их центров тяжести обозначим через （^, %, zj,（①纟，城，出），… Силы R, % R,…приложены в этих центрах. Теперь задача на- хождения центра тяжести тела сводится к определению положения
центра системы параллельных сил 巴,приложенных в известных точках. Поэтому, обозначая координаты искомого центра тяжести、 данного тела через хс, ус и zc, будем иметь:
工С — 2 P， Ус = ~^Р， 2с
£Pz
Если, предполагая тело однородным, обозначим через у вес единицы объема тела, то Pr = Y^i, Pz = Y% ◎ т. Д. Подставляя эти вначения в предыдущие формулы и сокращая на у, получим:
_£Р±£Vy ， Е Vz
(88)
Знаменатель этих формул £ V выражает, понятно, объем всего данного тела.
В тех случаях, когда нужно найти центр тяжести однородной плоской фигуры или линии, в предыдущих формулах следует вместо
части: полукруг
объемов Fi брать соответственно площади Si или длины li тех простейших по форме частей, на которые разбивается данная сложная фигура или данная линия.
Этот способ мы применяли уже в предыдущем параграфе при нахождении центра тяжести многоугольника.
Пример 52. Найти центр тяжести фигуры, состоящей из полукруга радиуса А и прямоугольника со сторонами 2Й и Л (рис. 148).
Решение. Возьмем начало координат в геометрическом центре。полукруга и направим координатные оси, как указано на яертеже. Так как ось у является для данной фш уры осью симметрии, то искомый центр тяжести лежит на этой оси и, следовательно, хс = 0. Остается найти у。. Для этого разбиваем данную фигуру на две
..一 и прямоугольник. Обозначим центры тяжести этих частей через С\ и С2. Точка С2 лежит в середине отрезка ОА. Тояка С】 находится
от тояки О на расстоянии, искомого центра тяжести
Здесь 邑 и S? обозначают ординаты тояек & и С2.
*冗А2
42?
равном, как мы видели в § 53,京. Ординату С данной фигуры определяем теперь по формуле
площади полукруга и прямоугольника, а ^ и у?— Следовательно,
AR y* = Зл '
Sg = 27?九 у2 H —^-
^R3—Bh2
% = "7
у лЯ2 + 2Rh
_ 2 (2R2-3胪)
3 5r + 4九)*
-*Зсм —*--*Зсм —*-Рис. 149.Рис. 149.3 4 33 4 3力■Зе•石5• 4^3П^О^-1ЛП^З力■Зе•石5• 4^3П^О^-1ЛП^З一二二一二二二一一一= ж力邑旳汝5^一二二一二二二一一一= ж力邑旳汝5^
-*Зсм —*-
-*Зсм —*-
Рис. 149.
Рис. 149.
3 4 3
3 4 3
力■Зе•石5• 4^3П^О^-1ЛП^З
力■Зе•石5• 4^3П^О^-1ЛП^З
一二二一二二二一一一= ж力邑旳汝5^
一二二一二二二一一一= ж力邑旳汝5^
R 广飞
Если 五=了 у , то ус = 0, т. е. центр тяжести данной фигуры совпадает с центром О полукруга. В противном случае центр тяжести лежит выше или ниже точки О, смотря по тому, будет ли отношение В : А больше или
меньшеменьше
меньше
меньше
Пример 53. Определить положение центра тяжести Z-образной фигуры, размеры которой указаны на рис. 149.
Решение. Проведем оси координат, как указано на чертеже, и разобьем данную фигуру на три прямоугольника (линии разрезов обозначены на
чертеже через ab и с"). Центры тяжести этих прямоугольников обозначим яерез С15 С? и Сз, а их площади — через 5匕 5纟 и 53. Координаты тояек С\, С? и С3 обозначим соответ-
ственно через х, и у» х2 и у2ственно через х, и у» х2 и у2。3 и Уз* Как видно из чертежа, будем иметь:
ственно через х, и у» х2 и у2
ственно через х, и у» х2 и у2
Координаты xq и ус искомого центра тяжести данной фигуры определяем по формулам
+ 方2s2 十 方3s3- 4,5 + 2 + 4,5
而=-邑平邑+‘*3--3十4+ 3- = °-2明
,队邑 + у2s2 + узбз 13,5+12 丄 1,5
% = 干瓦平風--3+ 4 十 3- = 2,7ет.
11 р и м e p 54. Определить положение центра тяжести двойного конуса, т. е. тела, состоящего из двух конусов, имеющих общее основание радиуса R и высоты Я. и / (рис. 150).
Решение. Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии тела, которую примем за ось Oz. Центры тяжести конусов, из которых состоит данное тело, обозначим яерез Сг и С2, а координаты точек Сх и С2 — через 迎 и &; объемы этих конусов обозначим через 匕 и 唯 Тогда
出 = %%=響,出 = %%=響,一牛，%=胖一牛，%=胖
出 = %%=響,
出 = %%=響,
一牛，%=胖
一牛，%=胖
Координату zq искомого центра тяжести данного тела находим теперь по формуле (88):
勿匕+ ^F2
или
i2^ (Hl-Hl) &马
|лВ2(^1 + ^2)
Ruf. Площадь первогоRuf. Площадь первогоЕсли в данном теле или данной плоской фигуре имеются вырезанные части (полости или отверстия), то для определения центра тяжести такого тела или такой фигуры пользуются теми же приемами и теми же самыми формулами, как и в предыдущих примерах, но только площади или объемы вырезанных (отнятых) частей нужно считать отрицательными, т. е. брать их в этих формулах со знаком минус.
Ruf. Площадь первого
Ruf. Площадь первого
Пример 55. Определить положение центра тяжести фигуры, представляющей собой круг радиуса R, из которого вырезан круг меньшего радиуса г; расстояние между центрами кругов
。。1 — й (рис. 151).
Решение. Искомый центр тяжести лежит па осп симметрии。隼,проходящей через центры кругов О и О” наяало координат возьмем в центре большого круга. Будем рассматривать данную фигуру как состоящую из двух кругов радиусов круга У】=л/?2; центр тяжести этого круга совпа-
дает с началом координат О, следовательно, абсцисса этого центра О] ~ 0. Центр тяжести второго круга совпадает с точкой Olt абсцисса которой
=а. Так как площадь S2 этого круга отнимается, то ее нужно брать со
знаком минус; следовательно,
$2 =一冗产。
Абсцисса хс искомого центра тяжести определяется теперь по той же формуле, как и в примере 53,
①十 n2s2С =邑 + £①十 n2s2С =邑 + £——冗尸2aа/2 i)
①十 n2s2
С =邑 + £
①十 n2s2
С =邑 + £
или жс = ^ -ту = - R2^ •
Пример 56. Найти центр тяжести фигуры ABDE, представляющей собой трапецию, из которой вырезан полукруг с центром в тояке Оке диаметром, равным АВГ если /£ = a, BD = 6 н АВ = h (рис. 152).
Решение. Возьмем начало координат в центре О вырезанного полукруга, ось х направим параллельно стороне АЕ и ось у — перпендикулярно к этой стороне. Выделим в данной фигуре три части* прямоугольник ABDK, вырезанный полукруг и прямоугольный треугольник KDE. Если обозначим площади этих частей соответственно через S】， 邑 и J, а их центры тяжести — через e1 31，?/1）» c2 （方2，у2）И е3 （①3，У3），T0
冗九2О （а ~ b） h
3】=ОЛ, >2 g~ ,》3 = 2
bn47? 2h _
%=2，2/1 =0, ±2=説=^,"2=0.
Птобы вычислить координаты ①3 и “з точки С3, найдем сначала координаты вершин треугольника kDE:
я^к ~~ b, ^D — 5,*е — а,
hh无
УК = 一 三，打=2， Уе = 一 2 .
Применяя формулы （84）, получим:
±К +XD + ХЕ 。十 26%=—з —,
Ук + Уо + Уе G
Уз = 3 = _ 6 •
Площадь данной фигуры ABDE равна
S = bhg- лЛ2 十至" （°一 °）无=
^ [86 —冗五十 4 （а — b）]^ [86 —冗五十 4 （а — b）]=^ [4 （а 十 b） — лЛ].=^ [4 （а 十 b） — лЛ].
^ [86 —冗五十 4 （а — b）]
^ [86 —冗五十 4 （а — b）]
=^ [4 （а 十 b） — лЛ].
=^ [4 （а 十 b） — лЛ].
Координаты хс и ус искомого центра тяжести дайной фигуры находим по q ормулам
1$1 + ① 2s2 + 方3$3°У/] + 仍邑 + 2/3S3
%j, УсJ•
Подставляя значения входящих сюда величин, полуяим:
114
у b2h -~ 胪十常（° 一 6）（° + 26）无
七=
耳■ /1 [4 （а + 6） —• лЛ]
=2 6/ 一 公+2（a2+ 而 一2产）=2 2 d +a6 + 川）-九 2
~ 34 （a +ь）Л九 ~ 34 （a + 6万-乳б ,
=―专（" 一S 公_b）h
JС ；瓦4仅+6） 一砌 3 4 （a &） - ЛЛ -
§ 56. Применение общих формул к вычислению координатцентра тяжести
Пример 57. если высота этогоПример 57. если высота этогосегментасегментаРис. 153.Рис. 153.Найти центр тяжести параболического сегмента АОВ,Найти центр тяжести параболического сегмента АОВ,Способ нахождения центра тяжести, рассмотренный в предыдущем параграфе, не является общим： он становится неприменимым в том случае, когда данное тело или данную фигуру нельзя разбить на несколько частей простейшей геометрической формы, когда, например, данное тело ограничено криволинейной поверхностью произвольного вида или данная плоская фигура ограничена каким- нибудь криволинейным контуром. В этих случаях, чтобы найти положение центра тяжести, нужно применять общие формулы (79), или (80), или (81) и входящие в эти формулы пределыинтеграль- ных сумм вычислять, как было уже указано в § 51, методами интегрального исчисления.
Пример 57. если высота этого
Пример 57. если высота этого
сегмента
сегмента
Рис. 153.
Рис. 153.
Найти центр тяжести параболического сегмента АОВ,
Найти центр тяжести параболического сегмента АОВ,
равна 九，а уравнение параболы имеет вид у =厂，где р — параметр параболы (рис. 153).
Решение. Так как ось у является для сегмента АО В осью симметрии, то искомый центр тяжести С лежит на этой оси, а потому 宓С = 0, и достаточно иайти только ординату ус，т. е. расстояние ОС.
Разобьем всю площадь сегмента АО В прямыми, параллельными оси о, на большое яисло и весьма узких полосок. Если обозначим ширину такой элементарной полоски яерез Ау, то ее площадь будет равна
AS = 2①■ Ay.
Суммируя эти элементарные площади и переходя затем к пределу при и—со и Ду 0, получим величину площади S сегмента АОВ\ следовательно,
S = lim £ 2①• Ay,
Но предел этой суммы выражается определенным интегралом, взятым по переменному у в тех пределах, в которых изменяется у, т. е. в рассматриваемом случае в пределах от 0 до Л, а потому
h
S = 2，① dy.
Из уравнения параболы имеем:
х =丿2网
н, следовательно, hh JL
5 = 2У2ру 的=2 У2P у 2dy =
оо
=2 /2^ у А 2 - у Л 了派
Для вычисления искомой ординаты yG центра тяжести сегмента АО В воспользуемся формулой (80):
lim W
Ус = —J■
В этой формуле AS обозначает площадь элементарной части данной фигуры, у обозначает ординату центра тяжести этой элементарной площадки, a S есть площадь всей данной фигуры. Так как величина S уже определена, то остается найти значение числителя предыдущей дроби.
Принимая за элемент площади AS площадь элементарной полоски, центр тяжести которой лежит, очевидно, на оси у, и заменяя AS через 2G • Ay, по
лучим:
lim £ у • AS =】im £ 2吟 ^y = 2\ xy dy
九九 2
=2 У 2py у dy = 2 p2尸 \ J dy =
Следовательно,Следовательно,==2 ■/切等 Л 2 = А Л2 /2М.
Следовательно,
Следовательно,
4 Л2 У 2m
уe = -4~3 = °，6瓦
~ Л V2ph
Пример 58. Найти положение центра тяжести однородного полушара радиуса £ (рис. 154).
Решение. Примем ось симметрии полушара за ось z, а начало координат возьмем в геометрическом центре О полушара. Искомый центр тяжести
С лежит на оси симметрии z, и потому достаточно найти расстояние ОС = ^с.
Разобьем данный полушар плоскостями, перпендикулярными к оси z, иа большое число п весьма топких слоев; центр тяжести каждого такого элементарного слоя лежит, очевидно, на осп 2. Для вычисления искомой координаты 2。применим формулу (79):
lim £ z也= - .
В этой формуле A U есть объем элемен' тарной части данного тела, z ——координата центра тяжести этого элементарного
объема, а V обозначает объем всего данного тела. Если за элемент объема AV примем объем элементарного слоя, то
AV =：冗评Az,
где г есть радиус нижнего основания слоя, a Az — его бесконечно малая высота; следовательно,
lim £zAU = lim £лг2г Дг.
Предел суммы Sjtr2zAz при п—»со и Дз-^0 выражается определенным интегралом, взятым по переменному z в пределах изменения этого переменного, т. е. в пределах от 0 до R. А потому
lim ^z AV = \ П1Л2 dz»
Но, как видно из рис. 154,川 = 炉 一 必. Подставляя это значение г?, получим:
Иш £z AU =、冗(к — d) z dz ~ о
»2 С/С 一 02冗
лЛ2 \ z dz —冗 \ z3dz = Я/?2 • 一^Я 厶一 =~. оо
Объем V полушараОбъем V полушара2
Объем V полушара
Объем V полушара
равен 百 лН3. Следовательно,
g л/?3g л/?3=М・=М・
g л/?3
g л/?3
=М・
=М・
§ 57. Графическое определение центра тяжестиплоских фигур
Графический способ нахождения центра тяжести сложной плоской фигуры состоит в следующем: данную фигуру разбивают на несколько таких частей простейшей геометрической формы, положение центров тяжести которых известно (например, на треугольники пли прямоугольники). Обозначим центры тяжести таких частей через Cj, С2, С3,...; положение этих точек может быть легко найдено (например, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, центр тяжести прямоугольника — в точке пересечения его диагоналей). В этих точках приложены веса 尸и 〃2, 尸з, ••• соответствующих частей, на которые разбивается данная фигура. Обозначим площади этих частей через 5。S2, 531...; поскольку размеры фигуры заданы, эти площади также могут быть найдены. Если данная фигура однородна, то веса Р^ Р^ Р3)..* пропорциональны площадям S「52* *з,•一 ； поэтому при изображении сил 尸и 尸2，尸з, ••• на чертеже в произвольно выбранном мас^ штабе длины векторов, изображающих эти силы, нужно брать пропорциональными площадям 5“
В результате получаем систему параллельных сил Р1? Р2» 尸з,八.， приложенных в известных точках С\, С2, С3, ... Центр этих параллельных сил есть искомый центр тяжести данной фигуры; такил!
образом, мы приходим к задаче нахождения центра заданной системы параллельных сил, графическое решение которой рассмотрено в § 33.
Если данная фигура имеет ось симметрии, то решение задачи упрощается, так как заранее известно, что центр тяжести такой фигуры лежит на этой оси симметрии.
Пример 59. Найти'центр тяжести симметричной двутавровой фпгуры, изображенной на рис. 155.
Решение. Так как фигура имеет ось симметрии хг, то искомый центр тяжести лежит на этой оси. Разбиваем данную фигуру прямыми ab и cd на три прямоугольника. Веса этих прямоугольников, приложенные в их центрах
Рис. 155.Рис. 155.
Рис. 155.
Рис. 155.
тяжести на оси ⑦⑦,пропорциональны их площадям; следовательно, эти веса, как видно из заданных размеров фигуры, относятся между собой, как 3:4:4. Построив в масштабе эти силы, которые обозначены иа чертеже цифрами 1, 2 и 3, сложим их графически при помощи силового и веревочного многоугольников; равнодействующая этих сил направлена по прямой, им параллельной и проходящей через точку К пересечения сторон а и(о веревочного многоугольника. Искомый центр тяжести лежит на этой прямой; следовательно, он находится в точке С пересечения этой прямой с осью симметрии данной фигуры.
Пример 60. На рис. 156 дана Z-образная фигура; требуется найти положение ее центра тяжести.
Решение. В§ 55 мы решили эту задачу аналитически, вычисляя координаты искомого центра тяжести; теперь решим ее графически. Разобьем данную фигуру на три прямоугольника прямыми ab и cd. Веса этих прямоугольников обозначим цифрами 7, 2 и 3. Взяв размеры с рис. 149, видим, что эти веса относятся между собой, как 3:4:3. Сложив графически эти силы при помощи силового и веревочного многоугольников, найдем прямую, по которой направлена равнодействующая этих сил; эта прямая параллельна
данным силам и проходит через точку пересечения К сторон а и w веревочного многоугольника; искомый центр тяжести фигуры лежит на этой прямой. Так как данная фигура оси симметрии не имеет, то далее поступим согласно сказанному в § 33, а именно: повернем силы 1, 2 к 3 вокруг их точек приложения на прямой угол, так, итобы они заняли положения 2\ 2’ и 3'・
Рис. 156.
Построим веревочный многоугольник для этой новой системы сил; стороны этого многоугольника а', Г—2「2'—3' п а/ проводим перпендикулярно к соответствующим сторонам а, 1—2, 2—3 и (о первого веревочного многоугольника. Искомый центр тяжести лежит па прямой, параллельной силам Г, 2‘, 3' и проходящей через точку пересечения К' сторон а' и а)‘ второго веревочного многоугольника; следовательно, он находится в точке С пересечения прямых КС и К'С.
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА И
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Введение в кинематику
В статике мы рассматривали равновесие абсолютно твердого тела. Во второй части «Курса теоретической механики» ——в Кинематике ——мы будем изучать движение абсолютно твердого тела.
Кинематика есть часть теоретической механики, в которой изучается движение механических систем, в частности движение твердого тела, независимо от сил, действующих на эти системы. Поэтому с такими физическими понятиями, как масса движущегося тела, действующие на него в данном движении силы, в кинематике мы встречаться не будем.
Всякое движение происходит в пространстве и во времени. В. И. Ленин пишет: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени» (Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, 1948, стр. 158).
Пространство и время так же объективно реальны, как материя, и представляют собой формы существования материи. Энгельс в «Диалектике природы» указывает, что «обе эти формы существования материи без материи суть ничто, пустые представления, абстракции, существующие только в нашей голове» (Энгельс, Диалектика природы, 1953, стр. 187).
Механика, а следовательно, и кинематика изучают простейшую форму движения материи ——механическое движение. Под механическим движением понимается изменение с течением времени относительного положения материальных тел. При изучении движения данного тела в кинематике его положение определяется по отношению к некоторой системе координат, связанной с другим телом, например с землей, и называемой системой отсчета. Если положение данного тела по отношению к выбранной системе отсчета с течением времени остается неизменным, то это тело относительно этой системы отсчета находится в покое. Кинематически определить движение тела — это значит указать его положение относительно выбранной .системы отсчета 6 каждый данный момент времени.
8 И.瓦.Воронков
Отсюда следует, что покой и изучаемое в кинематике механическое движение относительны в том смысле, что и покой и движение тела мы наблюдаем по отношению к некоторой выбранной системе отсчета. Одно и то же тело может совершать одновременно различные движения по отношению к разным системам отсчета; так, например, тело, находящееся в движущемся вагоне, относительно системы отсчета, связанной с вагоном, может быть неподвижно, а относительно системы отсчета, связанной с землей, это тело будет двигаться со скоростью, равной скорости вагона.
Классическая механика рассматривает пространство, в котором происходят наблюдаемые движения материальных тел, как трехмерное евклидово пространство и в своих построениях пользуется евклидовой геометрией. Время в классической механике является универсальным, т. е. оно предполагается одинаковым во всех системах отсчета и не зависящим от относительного движения этих систем. С математической точки зрения время рассматривается в кинематике как непрерывно изменяющаяся величина, играющая роль независимого переменного (аргумента) и обозначаемая буквой /.
Практически для измерения времени пользуются часами или секундомером. За единицу времени в механике принимается 1 се1 кунда而с средних солнечных суток
При измерении времени в кинематике приходится встречаться с двумя понятиями: «момент Z» и ^промежуток времени Л>. В первом случае под t понимается число секунд, отделяющих данный момент (данное мгновение) от некоторого начального момента (начала отсчета времени), например, от момента начала движения тела пли от того момента, с которого начали наблюдать это движение. Для начального момента значение переменного t равно, следовательно, нулю. Переменное t может принимать и отрицательные значения, которые определяют моменты, предшествующие начальному моменту. Промежуток времени представляет собой число t секунд, отделяющих два каких-нибудь последовательных момента времени. Промежуток времени между двумя данными последовательными моментами 厶 и % равен, очевидно, разности Z2—厶.
Все линейные величины, с которыми приходится встречаться в кинематике (координаты движущейся точки, длина пройденного ею пути и т. д.), мы будем, как правило, выражать в метрах, как это принято в технической системе единиц.
В самостоятельный раздел теоретической механики кинематика выделилась сравнительно недавно (в первой половине XIX в.) в связи с развитием техники и машиностроения. Конструирование новых сложных машин и механизмов ставило перед механикой задачу исследования геометрических свойств движения твердого тела и тем самым способствовало развитию кинематики. Весьма
крупные достижения и успехи в области кинематики машип и механизмов принадлежат русским ученым. Здесь необходимо отметить работы акад. П. Л. Чебышева ——основоположника русской школы теории механизмов и машин, проф. Л. В. Ассура, создавшего свою известную и получившую широкое распространение классификацию механизмов, и многих других выдающихся ученых.
Наблюдая движение какого-нибудь твердого тела, мы очень часто видим, что движения различных точек этого тела различны; так, при качении вагонного колеса по рельсу центр колеса движется по прямой линии, а какая-нибудь точка, лежащая на окружности колеса, описывает кривую линию (циклоиду); длина пути, пройденного этими двумя точками за одно и то же время, например за один оборот колеса, также неодинакова. Поэтому изучение движения тела приходится начинать с изучения движения отдельной точки, т. е. с кинематики точки.
Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией этой точки. Если траектория точки —— прямая линия, то движение точки называется прямолине иным; в противном случае движение называется криволинейным. Мы начнем изучение движения точки с более простого случая прямолинейного движения.
Уравнение движения точки и график движения
Пусть движущаяся точка М описывает прямолинейную траекторию (рис. 157). Примем эту прямую за ось 胃 и будем определять положение точки на траектории ее абсциссой ОМ —胃,причем О есть произвольно выбранная на траектории неподвижная точка (начало координат). Так как при движении точки М каждому данному ? g仆)
моменту времени (каждому число- " j, ? j вому значению переменного 方)соответствует единственное определенноеРнс. 137.
положение этой точки на оси 胃 и так
как при перемещении точки М из одного положения в другое она последовательно проходит через все промежуточные положения, то абсцисса точки М является некоторой однозначной и непрерывной функцией времени, что в общем виде можно записать так:
N = / (0-(1)
Это уравнение называется уравнением движения или законом движения точки М по оси 胃；в зависимости от вида функции / мы будем иметь различные виды движения точки по данной прямолинейной траектории. Если закон движения нам известен, т. е. известна функция /(£), то для каждого произвольно выбранного
8*
момента времени (для каждого числового значения аргумента /) мы сможем найти соответствующее значение 胃 и, следовательно, в каждый данный момент будем знать положение движущейся точки М на ее траектории. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет движение точки по заданной прямолинейной траектории. Для того чтобы иметь более наглядное представление о характере движения точки, часто применяют графический способ; зависимость между / н 厶 выражаемую уравнением (1), как функциональную зависимость между двумя переменными, можно изобразить на чертеже некоторой линией. Эта линия, изображающая зависимость между абсциссой х движущейся точки и временем 厶 т. е. график функции х = /(Z), называется графиком движения, или кривой расстояний.
Для того чтобы построить график движения, возьмем две взаимно перпендикулярные координатные оси; по оси абсцисс будем откладывать значения аргумента Z； эта ось называется осью времени; по оси ординат будем откладывать значения 胃；эта ось называется осью расстояний. Масштаб для изображения единиц времени п единиц расстояния можно выбрать произвольно. Давая t различные числовые значения, мы можем из уравнения (1) найти соответствующие значения %; таким образом, зная ряд значений Z и 胃,можно построить по этим координатам ряд точек. Соединяя эти точки непрерывной линией, получим график данного движения.
Рассмотрим в качестве примера движение точки, закон которого выражается уравнением
胃=0,5z2.
Как видно из этого уравнения, абсцисса движущейся точки возрастает пропорционально квадрату времени, Давая t последовательные числовые значения и находя по данному уравнению соответствующие значения х, получим следующую табличку:
t
0
1
2
3
4
0
0,3
2
4,5
8
График движения представляет собой в данном случае кри* вую второго порядка ——параболу (рис. 158).
Рассмотрим другой пример. Пусть точка Му выходя из М。, описывает окружность радиуса а (рис. 159). Исследуем движение точ* ки т по оси Ох, т. е. прямолинейное движение проекции точки М на горизонтальный диаметр。胃.Пусть точка М описывает всю окруж^ ность, длина которой равна 2冗。,в течение Т секунд. Если эта точка движется так, что в равные промежутки времени проходит равные
пути, то длина пути, пройденного точкой М по окружности за ,а угол поворота радиуса ОМ за.
Рис. 158.Рис. 158.одну секунду будет равен — (в радианах). Тогда угол поворота 屮 радиуса ОМ за t секунд будет, очевидно, равен 于 九 ПолагаяОпг = /, из прямоугольного треугольника ОМт находим: х = a cos 屮 или
Рис. 158.
Рис. 158.
2л « a cos 不 t.2л « a cos 不 t.Рис. 161.линейного движения точки т. Это движение называется гармоническим колебанием. Точка О называется центром колебания, величина а ——амплитудой колебания7 величина 屮=^J X называется фазой колебания и Т — периодом колебания.Построим теперь график этого гармонического колебания. Возьмем координатные оси 0x1 (рис. 160) и отложим на осиРис. 161.линейного движения точки т. Это движение называется гармоническим колебанием. Точка О называется центром колебания, величина а ——амплитудой колебания7 величина 屮=^J X называется фазой колебания и Т — периодом колебания.Построим теперь график этого гармонического колебания. Возьмем координатные оси 0x1 (рис. 160) и отложим на оси啰啰Это уравнение, выражающее зависимость между абсциссой точки m и временем, представляет закон рассматриваемого прямо-
2л « a cos 不 t.
2л « a cos 不 t.
Рис. 161.
линейного движения точки т. Это движение называется гармоническим колебанием. Точка О называется центром колебания, величина а ——амплитудой колебания7 величина 屮=^J X называется фазой колебания и Т — периодом колебания.
Построим теперь график этого гармонического колебания. Возьмем координатные оси 0x1 (рис. 160) и отложим на оси
Рис. 161.
линейного движения точки т. Это движение называется гармоническим колебанием. Точка О называется центром колебания, величина а ——амплитудой колебания7 величина 屮=^J X называется фазой колебания и Т — периодом колебания.
Построим теперь график этого гармонического колебания. Возьмем координатные оси 0x1 (рис. 160) и отложим на оси
啰
啰
времени в каком-нибудь масштабе величину периода колебания Т. Разделим Т на несколько, например на восемь, равных частей. В моменты
ТТ3
厶=0,厶 Н ,勾=丁，g =百 T，
движущаяся точка М занимает положения М。, Л/\, М2, М3, М4, Мь, Л/6, М? и М8 (рис. 161), а соответствующие значения х будут:
才0 = a, %1 =0加1 = —2— , g = U, 弋3 =一0"% =—,
а V2па /2
£4 = —0， g =2, 胃6 = u, £7 = -2_, и 例=a■
Таким образом получаем следующую таблицу:
2
0
T T
T
勺
a
0
а /2
a /2
0
"~2~
a
По координатам Z,胃 строим на рис. 160 девять точек. Эти точки располагаются на кривой линии, называемой косинусоидой; следовательно, график движения точки ш представляет собой косинусоиду.
Равномерное движение точки
Пусть точка, находившаяся в начальный момент (при 2 = 0) в положении М。, движется по оси х (рис. 162). Начальное расстся- ине OMq обозначим через 胃。,переменную абсциссу ОМ обозначим через х. Тогда расстояние М^М представляет собой, очевидно, длину пути, пройденного точкой за t секунд. Обозначая длину пути через S, будем иметь:
Рис. 162.Рис. 162.S — х — g.
Рис. 162.
Рис. 162.
Равномерным движением точки называется такое движение 7 при котором
отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени остается постоянным для любого промежутка времени. При равномерном движении будем, следовательно, иметь;
丁 = const.
Это постоянное отношение пути ко времени называется скоростью равномерного движения и обозначается буквой % т. е.
^ = 4 •(2)
Отсюда получаем:
S = vt,(3)
т. е. путь, пройденный точкой при равномерном движении, равен произведению скорости на время, и
£
т. е. времяf в течение которого точка при равномерном движении проходит данный путь, равно отношению этого пути к скорости.
Равенства (2), (3) и (4) являются основными формулами для равномерного движения. По этим формулам определяется одна из трех величин S, v, t, когда две другие известны.
Из равенства (2) находим размерность скорости:
Пусть, например, за время Е = 10 сек точка, двигаясь равномерно, прошла путь S = 20 м. Тогда скорость точки равна 2。： 40 = 2 九 в секунду, или о = 2 м/сек.
Подставляя в уравнение (3) вместо S разность 胃——n。，получим: х——xQ = rZ, или
x vt,(5)
Уравнение (5), выражающее зависимость между z и Z, представляет собой закон равномерного движения. Так как это уравнение первой степени относительно переменных х и Z, то графин равномерного движения —— ①依м.
прямая линия.
Как на пример таких прямолинейных графиков можно
указать на железнодорожные графики движения поездов.
Пример 61. Первый поезд выходит со станции Л в 3 часа и приходит на станцию В в 5 ч. 30 м. Второй поезд выходит со станции В в 4 ч. 30 м. и приходит на станцию Л в 7 часов. Определить графически место и вре
мя встречи поездов, если расстояние между 4 и В равно 75 км.
Решение. Возьмем прямоугольные оси координат (рис. 163) и будем на оси абсцисс откладывать время 〃 а на оси ординат — расстояние 宓 поезда от станции А. Пусть отрезок некоторой произвольно выбранной длины, например 0,5 см, на оси абсцисс изображает промежуток времени в 1 нас,
а на оси ординат ——расстояние в 10 км. Построим сначала график движения первого поезда. Начальная точка этого графика, как видно из условия задачи, имеет координаты 3 и 0; конечная точка его (когда поезд приходит на станцию Д) имеет координаты 5,5 и 7,5. Построив эти точки и соединив их прямой линией, получим график движения первого поезда. Точно так же начальная точка графика движения второго поезда имеет координаты 4,5 и 7,5, а его конечная точка (когда поезд приходит на станцию А) имеет координаты 7 и 0; построив эти точки и соединив их прямой линией, получим график движения второго поезда. Координаты точки пересечения этих прямых определяют время и место встречи поездов. Как видно из рис. 163, эта встреча произойдет в 5 часов на расстоянии 60 км от станции Л.
Пример 62. Точка движется равномерно по оси 幻 в положительном направлении в течение 4 сек и за это время проходит путь, равный 5 м, Затем точка останавливается; остановка продолжается 3 сек. После этого точка движется равномерно в обратном направлении и через 3 сек достигает начала координат. Построить график этого движения, если в начальный 壮 } момент абсцисса точки 幻° = 3 л(.
' Решение. Взяв прямоугольные оси Oxt (рпс. 164), строим первую точку / искомого графика; так как в начальный момент при г = 0 по условию задачи 幻о =
=3 м, то координаты точки А равны 0 и 3. За 4 сек движущаяся точка проходит расстояние 5 м; следовательно, в момент t = ^сек ее абсцисса будет 幻 = 3十3 = 8 м. На графике строим точку В с координатами 4 и 8. Соединяя точки А и В, получаем график движения до остановки. Так как остановка длится 3 сек, и за это время величина х остается без изменения, то в момент е = 7 сек абсцисса движущейся точки будет 幻=8 м. На графике получаем точку С с координатами 7 п 8. Периоду остановки соответствует на графике движения прямолинейный отрезок ВС, параллельный оси времени. После остановки точка движется в течение 3 сек и за это время достигает начала координат; следовательно, в момент £ = 7 + 3 = 10 сек абсцисса движущейся точки будет а? = 0; на графике строим точку D с координатами 10 и 0. Соединив точки С aD, получаем график движения точки после остановки. Весь график данного движения изображается, следовательно, ломаной линией ABCD.
Посмотрим теперь, как по данному графику равномерного движения определить скорость этого движения. Пусть движущаяся 0точка в некоторый момент 厶 занимает на
L^ _[" Г z траектории положение М], а в момент 该—% — положение М?. Абсциссу ОМ± обо-
—4’-J значим через ^, а абсциссу ОМ2 ——через
-—х2 (рис. 165). Путь М^^ пройденный
Рнс. 165.точкой за время £ = % —厶，обозначим
через S; тогда, очевидно, S =忆？ — xi* Пусть график этого движения изображается прямой линией, образующей с осью времени угол а (рис. 166), и пусть отрезок ОА на оси абсцисс изображает промежуток времени & а отрезок ОВ — промежуток времени %； тогда отрезок АВ изображает
промежуток времени %—J =九 Пусть, далее, расстояние 胃工 напромежуток времени %—J =九 Пусть, далее, расстояние 胃工 награфике движения изображается ординатой АС, 二2 ——ординатой BD; тогда DE = =BD — BE — BD — AC = x2 — / = S.графике движения изображается ординатой АС, 二2 ——ординатой BD; тогда DE = =BD — BE — BD — AC = x2 — / = S.Чтобы определить скорость кого движения, нужно путь S делить на время %; получим:S DE DE *"=7 =彳а=証Н堆%Чтобы определить скорость кого движения, нужно путь S делить на время %; получим:S DE DE *"=7 =彳а=証Н堆%Дан- раз-Дан- раз-(6)(6)т. е. скорость равномерного движе- ния численно равна тангенсу угла между осью времени и прямолинейным графиком этого движения.Этот результат верен только в томт. е. скорость равномерного движе- ния численно равна тангенсу угла между осью времени и прямолинейным графиком этого движения.Этот результат верен только в тома расстояниеа расстояниеслучае, когда при построении граслучае, когда при построении графика движения масштаб и для времени 〃 и для расстояний х взят одинаковый, т. е. если единица времени и единица расстояния па обеих осях изображаются отрезками одинаковой длины.Посмотрим, как выразитсяфика движения масштаб и для времени 〃 и для расстояний х взят одинаковый, т. е. если единица времени и единица расстояния па обеих осях изображаются отрезками одинаковой длины.Посмотрим, как выразитсяскорость V при разных масшта-скорость V при разных масшта-для времени и для расстоядля времени и для расстояний. Пусть отрезок, равный единице длины (например, 1 ел), на оси абсцисс изображает промежуток времени т (например, 60 сем), а на оси ординат изображает расстояние о (например. 10 м). Пусть, далее, отрезок АВ содержит п таких единиц длины, а отрезок DE содержитний. Пусть отрезок, равный единице длины (например, 1 ел), на оси абсцисс изображает промежуток времени т (например, 60 сем), а на оси ординат изображает расстояние о (например. 10 м). Пусть, далее, отрезок АВ содержит п таких единиц длины, а отрезок DE содержитт этих же единиц; тогда промежуток времени t, изображаемый отрезком АВ} равен от, а путь S, изображаемый отрезком DE, равен та и, следовательно,т этих же единиц; тогда промежуток времени t, изображаемый отрезком АВ} равен от, а путь S, изображаемый отрезком DE, равен та и, следовательно,V —V —S — та% мтS — та% мтнонотптпDE _АВ =DE _АВ =tga,tga,а потому в атом случае будем иметь:
промежуток времени %—J =九 Пусть, далее, расстояние 胃工 на
промежуток времени %—J =九 Пусть, далее, расстояние 胃工 на
графике движения изображается ординатой АС, 二2 ——ординатой BD; тогда DE = =BD — BE — BD — AC = x2 — / = S.
графике движения изображается ординатой АС, 二2 ——ординатой BD; тогда DE = =BD — BE — BD — AC = x2 — / = S.
Чтобы определить скорость кого движения, нужно путь S делить на время %; получим:
S DE DE *
"=7 =彳а=証Н堆%
Чтобы определить скорость кого движения, нужно путь S делить на время %; получим:
S DE DE *
"=7 =彳а=証Н堆%
Дан- раз-
Дан- раз-
(6)
(6)
т. е. скорость равномерного движе- ния численно равна тангенсу угла между осью времени и прямолинейным графиком этого движения.
Этот результат верен только в том
т. е. скорость равномерного движе- ния численно равна тангенсу угла между осью времени и прямолинейным графиком этого движения.
Этот результат верен только в том
а расстояние
а расстояние
случае, когда при построении гра
случае, когда при построении гра
фика движения масштаб и для времени 〃 и для расстояний х взят одинаковый, т. е. если единица времени и единица расстояния па обеих осях изображаются отрезками одинаковой длины.
Посмотрим, как выразится
фика движения масштаб и для времени 〃 и для расстояний х взят одинаковый, т. е. если единица времени и единица расстояния па обеих осях изображаются отрезками одинаковой длины.
Посмотрим, как выразится
скорость V при разных масшта-
скорость V при разных масшта-
для времени и для расстоя
для времени и для расстоя
ний. Пусть отрезок, равный единице длины (например, 1 ел), на оси абсцисс изображает промежуток времени т (например, 60 сем), а на оси ординат изображает расстояние о (например. 10 м). Пусть, далее, отрезок АВ содержит п таких единиц длины, а отрезок DE содержит
ний. Пусть отрезок, равный единице длины (например, 1 ел), на оси абсцисс изображает промежуток времени т (например, 60 сем), а на оси ординат изображает расстояние о (например. 10 м). Пусть, далее, отрезок АВ содержит п таких единиц длины, а отрезок DE содержит
т этих же единиц; тогда про
межуток времени t, изображаемый отрезком АВ} равен от, а путь S, изображаемый отрезком DE, равен та и, следовательно,
т этих же единиц; тогда про
межуток времени t, изображаемый отрезком АВ} равен от, а путь S, изображаемый отрезком DE, равен та и, следовательно,
V —
V —
S — та% мт
S — та% мт
но
но
т
п
т
п
DE _
АВ =
DE _
АВ =
tga,
tga,
(6)(6)"彳tg а，
(6)
(6)
П р и м е р 63. На рис. 1G7 прямая /6 изображает график равномерного движения. Найти скорость этого движения.
Решение. Как видно из чертежа, единица длины на оси времени изображает промежуток времени в 1 час; следовательно, т = 1 час. Та же единица длины на оси 幻 изображает расстояние в 10 駡м; следовательно, а = 10 км. Из треугольника О АВ находим: tg а =需==-| . По формуле (6‘) получаем:
5 км 25 000 м _ м
V = 10 • — = 25=а 7 —・
2 -час ЗьОО сек сек
Скорость точки при неравномерном движении
Пусть точка движется по оси х по закону 胃 = / (t). Если / (£) есть линейная функция t} то согласно сказанному в предыдущем параграфе в этом случае мы имеем равномерное движение; график этого движения изображается прямой линией. Пусть / (Q есть теперь какая угодно функция 土； график движения изображается в этом случае некоторой кривой линией. Такое движение называется нер авномер н ым.
При неравномерном движении отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени не является постоянной величиной; другими словами, расстояния, проходимые точкой за одинаковые промежутки времени, не равны между собой.
Рассмотрим, например, следующее уравнение движения: х=2/2, где х выражено в метрах, a t ——в секундах. При 土 = 0 имеем х0 = 0; полагая £ = 1, получим хх = 2; следовательно, путь, пройденный точкой за первую секунду, равен
邑 н — х^ — 2 м.
Полагая, далее, £ = 2 н £ = 3, получим а:2 = 8 и а:3 = 18; пути, пройденные точкой за вторую и третью секунды, будут соответственно равны:
S2 ■—^ 胃&R】—6 М^
S3 =胃3 —■胃2 = 10 Mt
Мы видим, таким образом, что за каждую последующую секунду точка проходит путь, больший, чем за предыдущую; следовательно, быстрота движения возрастает с течением времени.
Если мы составим отношение пути S, пройденного точкой при неравномерном движении, ко времени t} в течение которого этот путь пройден, то это отношение дает нам так называемую среднюю скорость за данный промежуток времени t или на данном пути S. Среднюю скорость мы будем обозначать через о*; следовательно,
Определим в предыдущем примере среднюю скорость точки за первые три секунды; путь, пройденный точкой за первые три секунды, равен
следовательно,следовательно,S ~ х3 一 х0 = 18 龙；
следовательно,
следовательно,
*18 с м
0* =亏=b——
3 сек
Средняя скорость характеризует быстроту движения за некоторый данный промежуток времени, но не дает представления о быстроте движения точки в отдельные моменты этого промежутка времени. Поэтому, кроме средней скорости, приходится определять мгновенную скорость, или скорость точки ~^ в данный момент. Эта скорость опре
деляется следующим образом: пустьpHCt [68.
в данный момент t точка занимает на траектории положение М (рис. 168). Через некоторый весьма малый промежуток времени Ае, т. е. в момент t + А厶 точка займет положение АГ; расстояние ОМ' обозначим через а'》 причем
n' = /(Z + Az).
Путь, пройденный точкой за время Ае, будет, очевидно, равен отрезку ММ\ причем
ММ1 = хх — х = Az = /(Z + Д/) —• / (Е).
Следовательно, средняя скорость за время А土 будет равна
о*о*АсАс
о*
о*
Ас
Ас
Ag дГAg дГБудем теперь промежуток времени А土 брать все меньше и меньше, неограниченно приближая его к нулю. Предел, к которому стремится средняя скорость ~, когда промежуток времени Ае стремится к нулю, называется скоростью точки в данный момент 九 т. е.
Ag дГ
Ag дГ
о = lim г?* = lim
AJO Д(-*0
⑺
Следовательно, скорость точки в прямолинейном движении равна производной от абсциссы движущейся точки по времени 9
Если производная ~ положительна, то х с течением времени возрастает и, следовательно, движение происходит в положительном направлении оси х.
Если же производная 五 при данном значении t отрицательна, то а: с течением времени убывает; следовательно, точка движется по оси х в отрицательном направлении. Таким образом, знак скорости определяет направление движения точки (в ту или другую сторону) по заданной прямолинейной траектории.
Чтобы указать это направление, скорость точки в прямолинейном движении изображают вектором, направленным вдоль прямолинейной траектории точки в ту сторону, куда движется точка. Длина этого вектора выражает в произвольно выбранном масштабе абсолютную величину скорости.
В предыдущем примере при движении, совершающемся по закону х = 2±2, скорость точки согласно сказанному будет равна dx z .
/ м% = 4 ~—丄 сек/ м% = 4 ~—丄 сек—= 12 —“ сек ' сек—= 12 —“ сек ' секОтсюда видим, что скорость возрастает пропорционально времени. Полагая в этом уравнении 土 = 4, £=2, 土 =3, найдем значения скорости через одну, две и три секунды после начала движения:
/ м
% = 4 ~—
丄 сек
/ м
% = 4 ~—
丄 сек
—= 12 —
“ сек ' сек
—= 12 —
“ сек ' сек
Таким образом, определение скорости при неравномерном движении, закон которого известен, сводится к дифференцированию известной функции 胃=/ (Е).
Ту же задачу можно решить и графическим путем. Пусть нам дан график движения, изображаемый некоторой кривой
линией, уравнение которой есть 胃 = / «) (рис. 169); требуется по этому графику найти скорость движущейся точки в некоторый момент 九 Возьмем на данной кривой точку А, абсцисса которой имеет заданную величину t} и проведем через эту точку касательную к этой кривой; угол касательной с осью времени обозначим через а. Из дифференциального исчисления известно, что производная ^ от функции %=/(%) равна тангенсу угла касательной с осью абсцисс. Следовательно,
"tg %
те скорость точки при неравномерном движении численно равна тангенсу угла между касательной к графику движения и осью времени.
Этот результат верен лишь в том случае, когда на графике движения величины 1rH 力 изображаются в одинаковом масштабе» При разных масштабах для х п t будем иметь:
0 =不 tg %
т. е. ту же формулу (6‘), как и в случае равномерного движения.
Скорость точки при неравномерном движении, определяемая по формуле г —(Z), представляет собой переменную величи
ну, являющуюся функцией времени. Если изобразить функциональную зависимость между о м 土 графически, в виде соответствующей кривой, то эта кривая называется графиком скорости или кривой скоростей. Для построения графика скорости поступаем следующим образом: берем прямоугольные координатные оси и на оси абсцисс откладываем в каком-нибудь масштабе значения времени 土, а на оси ординат —— значения скорости о. Давая переменному 才 в уравнении v = f (Е) какие-нибудь числовые значения и вычисляя соответствующие значения v, строим на чертеже по этим координатам t п v ряд точек. Соединяя эти точки непрерывной линией, получим график скорости.
График скорости равномерйого движения изображается, очевидно, прямой линией, параллельной оси времени.
Пример 64» Точка совершает гармоническое колебание по закону/2л \g = acos(7 Ej.
Найти ее скорость и построить кривую скоростей.
Решение. Дифференцируя данное уравнение движения, находим:
Так как наибольшее значение синуса равно 1, то наибольшая скорость (по абсолютной величине) равна ~^ ; обозначим эту наибольшую скорость че
Рез %ах，т・ е.
2ла
Давая е последовательно значения О,Давая е последовательно значения О,%ах =
Давая е последовательно значения О,
Давая е последовательно значения О,
0
г
Г 丁
Г
Ат 8
iT
7
0
0
上。
2 шах
—'max
-県%aх| 0
/2
2 max
°max
哈max
0
",#拉犷箭，打,訳7
и вычисляя соответствующие значения и, получим следующую таблицу:
Строим по этим координатам на рис. 170 девять точек. Соединяя их непрерывной линией, получаем синусоиду, которая представляет собой кривую скоростей для данного гармонического колебания.
Пример 65. Закон движения шахтной клети при так называемом гармоническом подъеме выражается следующей формулой:
А = у (1— cos ф),
где Н обозначает полную высоту подъема клети,
X и а = const.X и а = const.Ф =Ф =
X и а = const.
X и а = const.
Ф =
Ф =
Решение. Дифференцируя по 力 уравнение движения клети, находим:
но
следовательно,
Для определения времени полного подъема клети в уравнении движения нужно положить 万=Н; тогда получим:
Н = -| (1 - cos ф);
отсюда находим: cos <р = —— 1 и, следовательно, ф = л. Искомое время Т определяется из уравнения
откудаоткудачерезчерезdxdydt z dtdxdydt z dt2y_2。不，2y_2。不，или yv2 =—叫；или yv2 =—叫；<р, то ctg'tp<р, то ctg'tpXУXУ% =—以 etg <р.% =—以 etg <р.
откуда
откуда
через
через
dxdy
dt z dt
dxdy
dt z dt
2y_2。不，
2y_2。不，
или yv2 =—叫；
или yv2 =—叫；
<р, то ctg'tp
<р, то ctg'tp
X
У
X
У
% =—以 etg <р.
% =—以 etg <р.
T = nv^'
Пример 66. Прямолинейный стержень АВ = I скользит концами по двум неподвижным прямолинейным направляющим 。幻 и Оу (рис. 171).
Зная скорость vr точки /, найти скорость и? точки В.
Решение. Обозначим расстояние ОА через ①,а расстояние ОВ 2/; тогда
Из треугольника ОАВ имеем:
Дифференцируя это уравнение по г, получим:
отсюда находим:
?2 = — ^ %
Если обозначим переменный угол наклона стержня через следовательно,
Знак мипус указывает на то, что точка В движется по оси у в отрицательном направлении.
§ 62. Определение пути, пройденного точкой,по заданному закону изменения ее скорости
Пусть закон изменения скорости с течением времени известен и выражается уравнением г = /'«), где/'") —— известная функция времени. Предположим, что за данный промежуток времени Е = % —— 厶(от момента 彳 до момента 勾)точка движется по своей траектории е одном и том же направлении- и, следовательно, функция f (Е) сохраняет постоянный знак- пусть /'(X)〉0. Так как г; = * то & = г;阳 интегрируя это равенство в соответствующих пределах, получим:
号(2(2
、石=J ?? d力 или /2 ——胃1 = ,0 d九
Но разность 胃2 ——胃 1 представляет собой путь S, пройденный точкой за промежуток времени 土； следовательно,
S = , г;成=,/' (土)d九(8)
Эта формула позволяет вычислить путь S, когда скорость является известной функцией времени.
В том случае, когда广（Е） <0 в промежутке от 厶 до %, при определении длины пути S нужно брать абсолютную величину скорости, т. е.
S = §|7'（小山=一『广（/）山.（8'）
Рассмотрим еще графический способ решения той же задачи. Построим кривую скоростей （рис. 172） и определим по этой кривой путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента 厶 до момента %; пусть этот промежуток времени изображается ^. отрезком AD. Разделим весь этот
Рис. 172.Рис. 172.промежуток на большое число п очень малых промежутков Д^. За весьма малый промежуток времени △厶 скорость успеет измениться весьма мало: движение за время А厶 можно считать почти равномерным, а потому путь AS” пройденный точкой за это время, приближенно выразится так:
Рис. 172.
Рис. 172.
где Vi есть скорость точки, которую она имеет в начале промежутка А/「 Величина %А% на чертеже изображается площадью заштрихованного элементарного прямоугольника.
Длина всего пути, пройденного точкой за время t, равна п
S = Е ASj 〜F 勿Ц.
В пределе, когда каждый промежуток времени 厶厶 стремится к нулю, а число п стремится к со, сумма площадей всех элементарных прямоугольников представляет собой площадь криволинейной фигуры A BCD и, следовательно,
S = пл. ABCDt
т. е. пройденный путь изображается площадью, ограниченной осью времениj кривой скоростей и двумя ее крайними ординатами.
Пусть, например, на рис. 173 изображен график скорости рудничной клети, имеющий вид трапеции OABCt Пусть время ускоренного движения клети равно *, т. е. OD =厶,время равномерного движения равно /2, т. е. DE =为,и время замедленного движения равно %, т. е. ЕС =小
Максимальную скорость, т. е. скорость равномерного движения клети, обозначим через Тогда время движения £ =厶 4'勾 + %，вы" разится так:
S = пл. OAD + пл. DABE + пл. ЕВС = =Dm (г + & + у) •
При определении пройденного пути по графику скорости нужно, конечно, принимать во внимание масштабы,
в которых изображаются на этой диаграмме значения ^ и г. Пусть, например, график скорости (кривая скоростей), изображенный на рис. 172, построен па миллиметровой бумаге, и пусть отрезок, равный 1 мм, изображает на оси абсцисс промежуток времени, равный т се左,а на оси ординат — скорость, равную 0 м/сек. Тогда пройденный путь в метрах выразится так:
S =阮 пл. ABCD,причем площадь A BCD выражается в квадратных миллиметрах.
§ 63. Ускорение точки в прямолинейном движении.Равномерно переменное движение
Ускорением точки в прямолинейном движении называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости с те
чением времени, т. производная .
Если закон движения точки выражается уравнением 力=/(Z), то
” =^ = /' «)；
обозначая ускорение через wf будем иметь:
w =w =m=/"（力m=/"（力⑼⑼
w =
w =
m=/"（力
m=/"（力
⑼
⑼
Отсюда следует, что если скорость г и ускорение w имеют одинаковые знаки, то абсолютная величина скорости возрастает, и следовательно, движение точки является ускоренным, если же г? и ip имеют разные знаки, то движение будет замедленным. Из формулы (9) следует также, что ускорение обращается в нуль в те люменты, когда величина скорости проходит через максимум или минимум.
Если ускорение сохраняет во все время движения постоянное значение а, то такое движение называется равномерно перелхенным.
При этом, если скорость по абсолютной величине возрастает, то движение называется равномерно ускоренным; если же скорость по абсолютной величине убывает, то движение называется равномерно замедленньш.
Из равенства
dv
L °
имеем:
dv ~ a dt.
Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, находим:
^dv ^^ adt}гоО
ИЛИ
V = vQ + at,(10)
где vQ ——начальная скорость точки, т. е. скорость в момент 看=0.
Для определения пути S, пройденного точкой за время Z при равномерно переменном движении, на основании формулы (8) предыдущего параграфа имеем:
£/
S = ^ г Л = ^ (г0 + at) dt = %£ + ^ 凉2(И)
bо
(при условии, что движение за весь промежуток времени Z происходит в одном и том ?ке направлении). Пусть г0^>0; тогда, если а〉。, то движение будет равномерно ускоренным; если же а<0, то движение будет равномерно замедленным до того момента, когда скорость V обращается в нуль, т.е. до момента Z=—— 号.Формула (11) для пути S будет справедлива только до этого момента.
(формулу (11) можно представить еще в другом виде: вынося множитель 2 за скобки, получим:
S = 2 (2^о + 矶)=2 (内 + % + аЕ),
или на основании формулы (10)
S =咛亠.(ir)
Из формулы (10) получаем:
а =а =й 一
а =
а =
т. е. при равномерно переменном движении ускорение равно отношению изменения скорости к соответствующему промежутку времени. Из этого соотношения находим размерность ускорения:
[а] = [и?]=['[а] = [и?]=['скоростьвремяскоростьвремяНдлина 1 г 1 fi 弱瓦I ：[呼丽=LНдлина 1 г 1 fi 弱瓦I ：[呼丽=Lдлина "Iерем凡 2 j *длина "Iерем凡 2 j *
[а] = [и?]=['
[а] = [и?]=['
скоростьвремя
скоростьвремя
Ндлина 1 г 1 fi 弱瓦I ：[呼丽=L
Ндлина 1 г 1 fi 弱瓦I ：[呼丽=L
длина "I
ерем凡 2 j *
длина "I
ерем凡 2 j *
Если £ = 1 сек но ——4=1 м/сек, то а = 1 м/сек2. Единицей ускорения является, следовательно, ускорение такого равномерно переменного движения, при котором скорость в течение 1 сек увеличивается на 1 м/сек. Эта единица обозначается так: м/сек2 или м ■ сект2.
Из физики известно, что тело, падающее в пустоте, движется равномерно ускоренно, причем его ускорение, обозначаемое буквой g, равно 9,81 м/сс左纟 Скорость падающего тела выразится, следовательно, так:
沙=% + gZ, (12)
а путь, пройденный падающим телом, определяется по формуле (11), в которой нужно положить а = g, т. е.
(13)(13)S = W* + ^ gZ汽
(13)
(13)
Если тело начинает падать без начальной скорости, то v0 — О, и предыдущие формулы принимают следующий вид:
V = gt п S = gt2.
Исключая из этих равенств t} находим:
(14)(14)V -/碎
(14)
(14)
При движении тела, брошенного вертикально вверх, его скорость убывает; движение тела является равномерно замедленным; и этом случае ускорение а =——g. Поэтому в формулах (12) и (13) нужно брать в этом случае знак минус, а не плюс.
Аналогично тому, как строится кривая скоростей, можно построить график ускорения или кривую ускорений, т. е. кривую, изображающую графически зависимость между 必 и Е, или, что то же, график функции w = (Z).
Мы знаем, что скорость численно выражается тангенсом угла касательной к графику движения с осью времени; совершенно так же ускорение численно равно тангенсу угла у, который касателъ-
ная к графику скорости образует с осью времени (рис. 174), т. е.
山=tg у.(15)
При разных масштабах для скорости и времени будем иметь:
s = §tgY，(15z)
где § — масштаб скорости и т — масштаб времени.
Пример с ускорениями Doi = 10 м/секПример с ускорениями Doi = 10 м/секДва тела движутся по прямой линии навстречу друг другу & = 6 м/сек и я2 = 4 м}се^2 и начальными скоростями =15 м/сзк, Начальное расстояние между ними Z =
Пример с ускорениями Doi = 10 м/сек
Пример с ускорениями Doi = 10 м/сек
= 750 м. Через сколько времени эти тела встретятся?
Решение. Обозначив путь, пройденный до встречи первым телом, нерез S], а путь, пройденный вторым телом, через S&, будем иметь на основании формулы (И) для пути при равномерно переменном движении:
Sx = Юг + 3卢 и 邑=15г 十 2Л Так как
Si + Sz = Z = 750,
Рис. 174.то получаем уравнение
5* + 25е — 750 = 0.
Решая это уравнение, находим искомое время t = 10 сек 】).
Пример 68. Найти ускорение точки, совершающей гармоническое колебание по закону
ж = a cosж = a cos2冗 т2冗 т
ж = a cos
ж = a cos
2冗 т
2冗 т
4П2 a 2n ■ ,2，COS4П2 a 2n ■ ,2，COSw =一w =一4献4献
4П2 a 2n ■ ,2，COS
4П2 a 2n ■ ,2，COS
w =一
w =一
4献
4献
Решение. Дифференцируя два раза по t данное уравнение движения точки, находим:
dv d2x
W = — = ~w dt ©В
ИЛИ
Последнее равенство показывает, что ускорение при гармоническом колебании пропорционально расстоянию точки от центра колебаний.
Это ускорение изменяется в пределах от^- до + -^- ; в тот момент, когда точка проходит через центр колебаний, ее ускорение равно нулю. Если построим кривую ускорений, то получим, очевидно, косинусоиду.
П р и м е р 69. Кривошип ОА = г (рис. 175) вращается вокруг неподвижной точки О равномерно, т. е. так, что угол поворота 屮 возрастает пропор- хщонально времени. В точке А он соединен при помощи шарнира с шатуном
АВ = Е, который приводит в движение соединенный с ним шарнирно ползун 8, двигкугцийся прямолинейно между двумя направляющими параллелями. Определить скорость и ускорение ползуна В.Решение. Обозначим угол поворота кривошипа за промежуток времени, равный t, через 屮；величину этого угла будем выражать в раАВ = Е, который приводит в движение соединенный с ним шарнирно ползун 8, двигкугцийся прямолинейно между двумя направляющими параллелями. Определить скорость и ускорение ползуна В.Решение. Обозначим угол поворота кривошипа за промежуток времени, равный t, через 屮；величину этого угла будем выражать в радианах.дианах.При равномерном вращении кривошипа отношение — естьПри равномерном вращении кривошипа отношение — естьвеличина постоянная,величина постоянная,~ = const;~ = const;эта постоянная величина называется угловой скоростью кривошипа и обозначается буквой со; следовательно,эта постоянная величина называется угловой скоростью кривошипа и обозначается буквой со; следовательно,Рис. 175.Рис. 175.手=(0, или手=(0, илиф = 9九ф = 9九Опустив из точки стояние ОВ черезОпустив из точки стояние ОВ черезА перпендикуляр АС на прямую ОВ и обозначив рас- аг, будем иметь:А перпендикуляр АС на прямую ОВ и обозначив рас- аг, будем иметь:①=ОС + СВ = г cos q> + I cos 屮,①=ОС + СВ = г cos q> + I cos 屮,где 屮 обозначает угол наклона шатуна, т. е. угол ОВА, Этот угол находим из треугольника ОАВ, применяя теорему синусов:где 屮 обозначает угол наклона шатуна, т. е. угол ОВА, Этот угол находим из треугольника ОАВ, применяя теорему синусов:sin屮 sin фsin屮 sin ф-—,или sin 屮-—,или sin 屮sin ф.sin ф.
АВ = Е, который приводит в движение соединенный с ним шарнирно ползун 8, двигкугцийся прямолинейно между двумя направляющими параллелями. Определить скорость и ускорение ползуна В.
Решение. Обозначим угол поворота кривошипа за промежуток времени, равный t, через 屮；величину этого угла будем выражать в ра
АВ = Е, который приводит в движение соединенный с ним шарнирно ползун 8, двигкугцийся прямолинейно между двумя направляющими параллелями. Определить скорость и ускорение ползуна В.
Решение. Обозначим угол поворота кривошипа за промежуток времени, равный t, через 屮；величину этого угла будем выражать в ра
дианах.
дианах.
При равномерном вращении кривошипа отношение — есть
При равномерном вращении кривошипа отношение — есть
величина постоянная,
величина постоянная,
~ = const;
~ = const;
эта постоянная величина называется угловой скоростью кривошипа и обозначается буквой со; следовательно,
эта постоянная величина называется угловой скоростью кривошипа и обозначается буквой со; следовательно,
Рис. 175.
Рис. 175.
手=(0, или
手=(0, или
ф = 9九
ф = 9九
Опустив из точки стояние ОВ через
Опустив из точки стояние ОВ через
А перпендикуляр АС на прямую ОВ и обозначив рас- аг, будем иметь:
А перпендикуляр АС на прямую ОВ и обозначив рас- аг, будем иметь:
①=ОС + СВ = г cos q> + I cos 屮,
①=ОС + СВ = г cos q> + I cos 屮,
где 屮 обозначает угол наклона шатуна, т. е. угол ОВА, Этот угол находим из треугольника ОАВ, применяя теорему синусов:
где 屮 обозначает угол наклона шатуна, т. е. угол ОВА, Этот угол находим из треугольника ОАВ, применяя теорему синусов:
sin屮 sin ф
sin屮 sin ф
-—,или sin 屮
-—,или sin 屮
sin ф.
sin ф.
Искомая скорость ползуна 6 выразится так:
=_gin 中関+ 2sin2 露.
Ho 雰=①，а производную ―5 находим, дифференцируя по 土 равенство, выражающее зависимость между углами ф и хр:
cos屮cos屮dibг
cos屮
cos屮
откудаоткуда—— cos • (О, dtI т
откуда
откуда
"屮 _ Г COS Фdt Z cos 屮
Подставляя значения производныхПодставляя значения производных才 el 宁 в выражение для скорости u I uz才 el 宁 в выражение для скорости u I uz
Подставляя значения производных
Подставляя значения производных
才 el 宁 в выражение для скорости u I uz
才 el 宁 в выражение для скорости u I uz
находим:
—rto—rtosin (tp + 2)cos屮sin (tp + 2)cos屮/ .,., COS ф
—rto
—rto
sin (tp + 2)cos屮
sin (tp + 2)cos屮
V = — rd) Sin ср + Sin Ф -
cos屮
Эта формула позволяет, задавшись значением угла <р, найти скорость ползуна при любом положении кривошипа; например, при 屮=0 имеем = 0 風, следовательно, ь = 0; при 屮=90° имеем:
sin (ср + 屮)=sin (90° 十屮)=cos 屮
и, следовательно, ?? = 一 rw. Знак минус указывает на то, ято ползун движется по оси х в отрицательном направлении.-
Полученную формулу для скорости v можно заменить более простой, приближенной, формулой; это можно сделать в том случае, когда отношение ；невелико (обычно длина шатуна в 5——6 раз больше длины кривошипа). Положим, например, что 彳=0,2, тогда
sin 屮=0,2 sin 屮 и cos 屮=У\ — 0,04 sin2 ф；
так как наибольшее значение sin 屮 равно 1, то
1 ^ cos 屮^ У(),96, или 1 ^ cos 屮^ 0,98.
Отсюда видим, что с достаточной точностью можно принять cos 屮 равным 1. Тогда
и = — no (sin 屮 + sin p cos 屮).
Заменяя здесь sin 屮 его значением / sin 屮,получаем следующую прибли- жеииую формулу для и, которой часто пользуются в кинематике механизмов:
и = —，3(sinq)+j sinpcosp),
или
V =V =sin 屮十 jy sinsin 屮十 jy sin
V =
V =
sin 屮十 jy sin
sin 屮十 jy sin
Чтобы определить теперь ускорение ползуна, достаточно найти производную ^£； пользуясь приближенным выражением для и, получим следующую ври- блаженную формулу для ускорения ползуна:
W =W =dv _ 迈=dv _ 迈=-rw-rwcos ф -J——-coscos ф -J——-cosd屮dtd屮dt
W =
W =
dv _ 迈=
dv _ 迈=
-rw
-rw
cos ф -J——-cos
cos ф -J——-cos
d屮
dt
d屮
dt
rw2 ( COS Ф +rw2 ( COS Ф +или
rw2 ( COS Ф +
rw2 ( COS Ф +
w =
ГЛАВА 12
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 64. Уравнения движения точки
Пусть точка М движется по заданной криволинейной траектории (рис. 176). Для того чтобы вполне определить движение точки, недостаточно знать только ее траекторию; нужно еще знать положение точки на этой траектории в каждый данный момент времени. Выберем произвольно на данной траектории неподвижную точку О и будем определять положение движущейся точки М на траектории ее расстоянием от точки О, отсчитываемым по этой
траектории, т. е. длиной дуги ОМ = s. Однако величиной этой дуги s положение точки М не определяется однозначно. В самом деле, дугу, равную s, мы можем откладывать на данной траектории от точки О как в одном направлении, так и в другом; следовательно, каждому значению s будут соответствовать два положения точки М на траектории. Для избежания этой двойственности установим на данной траектории положительное направление отсчета дуг s и будем считать величину s алгебраической, т. е. положительной или отрицательной: если направле
ние перемещения точки по траектории из положения О в положение М совпадает с выбранным положительным направлением отсчета дуг s, то длину дуги ОМ будем считать положительной; в противном случае ату длину будем
считать отрицательной. Тогда каждому алгебраическому значению величины s будет соответствовать единственное и вполне определенное положение точки М на задан
ной траектории; аналогично этому на прямолинейной траектории положение точки М однозначно определяется алгебраическим значением ее абсциссы. Алгебраическую величину s будем называть дуговой координатой точки М.
Так как в каждый данный момент точка М занимает вполне
определенное положение на траектории, то каждому данному значению Е соответствует единственное, вполне определенное значение s; другими словами, при движении точки ее дуговая координата s является функцией (однозначной и непрерывной) от 厶 т. е.
(16)(16)s = / (0.
(16)
(16)
Это равенство, так же как и в случае прямолинейного движения, называется законом движения или уравнением дзижения точки по данной траектории.
Если известны траектория точки и закон движения ее по этой траектории? т. е. вид функции /, то движение точки вполне определено: во всякий данный момент времени мы сможем определить положение движущейся точки на данной траектории, а следовательно, и в пространстве.
Другой кинематический способ определения криволинейного движения точки заключается в том, что положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей; при движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени t, т. е.
Эти уравнения называются уравнениями @6〃№6儿忆兄 точки 6 Зе~ картовых координатах. Если функции 力,/2 и /3 известны, то положение точки в пространстве для каждого данного момента времени вполне определено, а потому предыдущие уравнения вполне определяют криволинейное движение точки. Исключая из этих уравнений время t, получим два соотношения между координатами %, у и z, которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т. е. ее траекторию.
Если движущаяся точка остается во все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную плоскость Оху, будем иметь только два уравнения движения:
£ =片")，У =病⑴. (17')
Итак, криволинейное движение точки может быть определено следующими двумя способами: 1) известны траектория точки и закон движения ее по этой траектории, т. е. уравнение (16); 2) известны уравнения движения точки в декартовых координатах, т. е. уравнения (17) или (17).
Для определения положения движущейся точки можно пользоваться, конечно, не только декартовыми прямоугольными координатами. Так, если точка описывает плоскую траекторию, то в этом случае в кинематике нередко пользуются полярными координатами. Уравнения, выражающие полярные координаты движущейся точки (полярный угол ф и радиус-вектор г) в функциях времени, т. е. уравнения
Ф ~ ^1 (О?
называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Исключив из этих уравнений время t, получим уравнение тр凝кторип точки в полярных координатах.
Пример 70. Движение точки определяется уравнениями
①=а + ае, у = 6 + 饱， z = с -^ 丫九
Требуется найти траекторию точки.
Решение. Из данных уравнений находим:
а ' Р ' У
Отсюда получаем уравнения траектории
c - а у - 6 z — c
Следовательно, в данном случае точка движется по прямой линии.
Пример 71. Отрезок АВ данной длины скользит концами В п А по осям Ох и Оу (рис. 177). Возьмем на этом отрезке какую-нпбудь точку М, причем МА = а и МВ = &. Требуется определить траекторию этой точки.
Рис. 177.Рис. 177.Решение. Построив координаты точки М и обозначив угол наклона отрезка АВ к оси х через ф, будем, очевидно, иметь:
Рис. 177.
Рис. 177.
х ~ a cos ф, у = Ь sin ф.
Для исключения из этих уравнений переменного параметра 屮 перепишем их в виде
——COS Ф， 芒=Sin ф.
Ь. На этомЬ. На этомполуосями а и прибора для вычерчиванияполуосями а и прибора для вычерчиванияВозводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим уравнение искомой траектории
Ь. На этом
Ь. На этом
полуосями а и прибора для вычерчивания
полуосями а и прибора для вычерчивания
П р п м е р 72. Прямолинейная трубка ОА вращается равномерно в гори-П р п м е р 72. Прямолинейная трубка ОА вращается равномерно в гори-с угловой скоростью ①с угловой скоростью ①Следовательно, точка М описывает эллипс с ^=.0СН0ВаП0УСТР0ЙСТВ° ЭЛЛИПС°ГРафа' Т- е
П р п м е р 72. Прямолинейная трубка ОА вращается равномерно в гори-
П р п м е р 72. Прямолинейная трубка ОА вращается равномерно в гори-
с угловой скоростью ①
с угловой скоростью ①
зонтальной плоскости вокруг иеподвигкной точки О (рис. 178). Находящийся в трубке шарик М движется вдоль трубки по закону ОМ = «еш/. Найти траекторию шарпка, если в начальный момент угол 屮，образуемый трубкой с неподвижной осью 0僦,равен нулю.
Решение. Так как трубка вращается равномерно, то ее угол поворота <р через г сек будет равен (о£ (см. пример 69). Следовательно, полярные координаты точки М (полярный угол 屮 и радиус-вектор г = ОМ) в момент Е равны 屮=сое, г = аеш^.
Отсюда, исключая £, находим уравнение искомой траектории в полярных
координатах
Зто есть уравнение логарифмической спирали.
§ 65. Дифференцирование переменного вектора.Свойства векторной производной
В кинематике часто приходится встречаться с переменными векторными величинами, изменяющимися с течением времени как по модулю, так и по направлению. Такими переменными векторами являются, например, радиус-вектор г движущейся точки, а также, как увидим далее, скорость и ускорение точки в криволинейном движении. Поэтому, прежде чем переходить к дальнейшему изучению криволинейного движения точки, рассмотрим операцию векторного дифференцирования.
Пусть имеем переменный вектор а, изменяющийся (как по модулю, так и по направлению) с течением времени по определенному закону. Рассматривая а как векторную функцию времени, будем иметь:
a = F ⑴.
Пусть в моменты Z, Zn 灰，％ и т. д. значения данного переменного вектора будут а, @工,а2т «з и т. д. (рис. 179). Геометрическое место концов этих векторов, или, другими словами, линия, описываемая в пространстве _ —.夕концом переменного вектора, начало ко-
^^^^5*=^**" торого находится в данной неподвижной ^^ ‘% ^^\. точке, называется годографом этого век- а\ /тора. Так, например, годографом ради-
、［^^^°*уса-вектора г движущейся точки М яв-
〃卜ляется траектория этой точки.
)Рассмотрим теперь два каких-нибудь
* к" 'близких момента времени t и Z + Ал
Значения переменного вектора в эти моменты пусть, будут а = ОА и а' — ОА‘. Соединив точки годографа А и А\ из треугольника О А А будем иметь:
(/ = а + AAf или
44’ = а' — а*
Следовательно, вектор 力力'представляет собой изменение (приращение) данного вектора а за время AZ. Если обозначим разность а'—а через Да, то АА1 = Да.
Разделив вектор Да на приращение аргумента At, получим новый вектор АВ, направленный по хорде АА* годографа1) и равный по модулю отношению длины этой хорды к А/, т. е.
Перейдем теперь к пределу, предполагая, что А£ стремится к нулю； предел отношения ^- при Д^ -> 0 называется производной от вектора а по аргументу % и обозначается через ^ , т. е.
= lim ^ = lim АВ. (18)
或 ^t-^0 ^ AJO
Пусть вектор АВ в пределе займет положение АС. Тогда 寫=АС. Так как точка Аг в пределе совпадает с точкой А, то секущая АВ превращается в касательную к годографу; следовательно, вектор АС направлен по касательной к годографу вектора а.
Таким образом, мы видим, что операция векторного дифференцирования аналогична дифференцированию скалярной функции, но производная от данного вектора представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.
Рассмотрим некоторые основные свойства векторной производной, которые являются следствием из данного определения операции векторного дифференцирования:
Если а = const, т. е. если вектор а остается постоянным как по модулю, так и по направлениюt то = 0.
q d (а ^ Ь — с) _ da db de
* dt 一 山十 dt dt '
Эти свойства векторной производной можно доказать совершенно так же, как доказываются аналогичные теоремы в дифференциальном исчислении. Точно так же нетрудно показать, что при дифференцировании произведения вектора а на скаляр X или произведения двух векторов (скалярного или векторного) мы имеем то же самое правило, как и при дифференцировании произведения двух скалярных функций, т. е.
о d a)d九n da
3.质传十儿五.
Если X = const, то ^- = 0 и, следовательно, в этом случае
口. d (Ха)d九
Если а = const, то —■, — = — dt
仇 dt dt ° M df r d (a X b) da , . db
Разлагая переменный вектор а по трем неподвижным коорди- латным осям, будем илгеть (§ 9):
а — axi + ayj + а&
В этом равенстве координатные орты г, у и А: представляют собой постоянные векторы, так как ни их модуль, ни направление с течением времени не изменяются. Что касается проекций ах, ау и 仪工，то из равенства а == F (t) следует, что проекции переменного вектора а на данные координатные оси, изменяясь с течением времени по
определенному закону, являются некоторыми скалярными функ^ циями от 厶 т. е.
ах " /1(0? ау = /з(0» 口亡—/з(0-
Дифференцируя предыдущее векторное равенство и принимая во внимание свойства (2) и (3) векторной производной, получим:
da da；c • 1• . do,z 厶
Это равенство представляет собой формулу разложения производной 寥 по координатным осям. Так как в формуле разложения вектора по координатным осям скалярные коэффициенты при i, j м 4 являются проекциями этого вектора на соответствующие оси, то из полученной формулы следует:
е. приходим к следующей теореме: проекция производной данного вектора на неподвижную ось равна производной от проекции этого вектора на ту же 0cb.
Если функции 厶«), /2(0 и /з(£), которыми выражаются проекции переменного вектора а, известны, то, дифференцируя эти функции, найдем на основании полученной теоремы проекции о da производной 打 на координатные оси, а зная три проекции вектора 穿，можно по известным формулам (§ 7) определить его модуль и его направление (направляющие косинусы).
Отсюда следует, что производную ^ от вектора» можно определить как такой вектор, проекции которого на неподвижные координатные оси равны производным по t от соответствующих проек^ ций вектора а на те же оси.
§ 66, Скорость точки в криволинейном движении
Скорость точки в криволинейном движении представляет собой векторную величину, характеризующую для каждого данного момента быстроту движения точки и направление этого движения.
Пусть точка М описывает данную криволинейную траекторию, двигаясь по ней по закону s = /(£), где s — ОМ есть дуговая координата этой точки (рис. 180).
Предположим, что в некоторый момент £ движущаяся точка занимает положение М на траектории; пусть через малый промежу-
ток времени At, т. е. в момент t + А/, та же точка занимает поло* жение М‘. Тогда OMr = s' = /(Z + At) и ММ1 us' — s = Л5.
Вектор ММ\ т. е. вектор, начало которого совпадает с началь* ным положением движущейся точки, а конец ——с ее конечным положением, называется перемещением точки за время AZ.
Отложим от точки М по направлению MMf вектор МК, равный по модулю отношению длины ММ' к соответствующему промежутку времени Az. Этот вектор называется средней скоростью точки за время А 九 Если обозначим среднюю скорость точки через с*, то
и*и*MW
и*
и*
А丁 = МК, Будем теперь при
ближать А% к нулю; точка Мг будет при этом приближаться к точке М. В пределе направление вектора и* совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, а модуль его будет равен ：：% 厶才 \
Пусть вектор, представляющий собой предел вектора и*
ЖЖпри AZ —* 0, изображается на рис. 180 вектором ML. Предел средней скорости и* при А£ -> 0 называется скоростью движущейся точки в момент Z.
Ж
Ж
Если обозначим эту скорость через 沙,то
и — lim и* = limlim МК = ML,
г? = limAJOг? = limAJOММ'ММ'lim△t-olim△t-o竺竺竺As Ai竺竺竺As Ai「 MM' lim f “ lim As-0 AS Д/-*0「 MM' lim f “ lim As-0 AS Д/-*0AsAsДля модуля скорости имеем:
г? = lim
AJO
г? = lim
AJO
ММ'
ММ'
lim
△t-o
lim
△t-o
竺竺竺
As Ai
竺竺竺
As Ai
「 MM' lim f “ lim As-0 AS Д/-*0
「 MM' lim f “ lim As-0 AS Д/-*0
As
As
Но, как известно, предел отношения бесконечно малой дуги к стягивающей ее хорде равен 1, т. е.
а потомуа потомуlimAs-*OlimAs-*OММ'ММ'—4im△s-»0—4im△s-»0MMrMM1MMrMM11,1,沙 ~ lim△JO沙 ~ lim△JOAs ds ,/ / ,vK?=凉=/(')•As ds ,/ / ,vK?=凉=/(')•(19)(19)
а потому
а потому
lim
As-*O
lim
As-*O
ММ'
ММ'
—4im
△s-»0
—4im
△s-»0
MMr
MM1
MMr
MM1
1,
1,
沙 ~ lim
△JO
沙 ~ lim
△JO
As ds ,/ / ,v
K?=凉=/(')•
As ds ,/ / ,v
K?=凉=/(')•
(19)
(19)
Если производная 必 положительна, то с увеличением t величина 5 возрастает; следовательно, точка движется по траектории в положительном направлении, т. е. направление движения точки
по траектории совпадает с положительным направлением отсчета дуг s； если же эта производная отрицательна, то точка движется по траектории в отрицательном направлении. В последнем случае при определении модуля скорости нужно брать абсолютное значение производной ^.
Таким образом, производная ~ определяет алгебраическое значение скорости, а знак этой производной указывает, в какую сторону по касательной к траектории (в направлении возрастания или убывания дуговой координаты s) направлен вектор скорости и.
Итак, скорость и направлена по касательной к траектории, q равна по модулю абсолютному значению производной от дуговой координаты движущейся точки по времени.
Если скорость точки остается постоянной по модулю, т. е.沙 = const, то мы имеем равномерное криволинейное движение. В этом случае, так же как и при равномерном прямолинейном движении, величина s является
линейной функцией времени, т. е. s = $0 + г^, где s0 ное значение s при i = 0.
Дадим теперь выражение для скорости и в виде
—началь-
векторной
производной. Возьмем какую-нибудь неподвижную точку О (начало координат) и соединим точку М с О (рис. 181). Радиус- вектор г — ОМ движущейся точки М, изменяясь с течением вре-
мени, является векторной
Проводя радиус-вектор имеем:
Г/ = T +而怀,
функцией от 厶 т. е.
г = F(Z).
rz точки М\ из треугольника ОММ*
или ММ' = гг
г = Аг,
где А^ есть изменение радиуса-вектора движущейся точки за время At На основании предыдущего имеем:
ММ'
м
Аг
Л? и г
Но согласно сказанному в предыдущем
4-0 А*
параграфе предел отно-
шения 底 при A£ — U есть производная 五；следовательно, 。=寡， (2。)
т. е. скорость движущееся точки равна (по модулю и направлен нию) векторной производной от радиуса-вектора этой точки 几。 времени.
Ускорение точки в криволинейном движении
Мы знаем, что ускорение в прямолинейном движении точки выражается производной 血；в случае криволинейного движения эта производная, очевидно, не может уже вполне характеризовать изменение скорости со временем, так как скорость в этом случае изменяется не только по модулю, но и по направлению.
Ускорение точки в криволинейном движении выражается векторной производной от скорости по времени. Это есть вектор, который согласно сказанному в § 65 строится следующим образом:
Рис. 182.
пусть в момент t движущаяся точка занимает на траектории положение М (рис. 182, а) и имеет скорость % пусть через малый промежуток времени А% т. е. в момент Z + А厶 эта точка занимает положение М‘ и имеет скорость и'; перенесем начало вектора и' в точку М и соединив его конец с концом вектора и, дополним полученный треугольник до параллелограмма; тогда вектор ш представит собой изменение (векторное) скорости за время А& так как
МА = «/ — и — Аи.
Построим теперь вектор МВ, равный отношению изменения скорости Ди к соответствующему промежутку времени Ai, т. е.
竺_而
Этот вектор называется средним ускорением точки за &рем兄 Ае.
Так как при делении вектора МА на положительную скаляр* ную величину А% его направление не изменяется, то направление среднего ускорения МВ совпадает с направлением вектора МА. Предел^ к которому стремится среднее ускорение при АЕ —* О,
АазАбаетс兄 ускорением точки в данный момент L Мы будем обозначать ускорение через w.
Следовательно,
Пусть на рис. 182, а вектор МС есть тот вектор, к которому стремится в пределе при Az — 0 среднее ускорение МВ; тогда
w = МС.
Если проведем из какой-нибудь неподвижной точки О векторы От, От', Omv Om2 и т. д. (рис. 182, б), равные скоростям % г\ Uj, и? и т・ Д- движущейся точки М в различные моменты времени, то геометрическое место концов этих векторов представляет собой годограф вектора и, или годограф скорости. Согласно сказанному в § 65 заключаем, что ускорение w точки М параллельно касательной к еодографу скорости в соответствующе й точке т,
Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
Пусть движение точки определяется уравнениями
优=/1(0)у =%⑶,Z = /з(0-
Требуется найти ее скорость и ускорение. Для этого найдем сначала проекции скорости и ускорения на координатные оси, имея в виду, что если проекции вектора на координатные оси найдены, то модуль и направление этого вектора уже легко могут быть определены.
Мы знаем, что скорость движущейся точки равна векторной производной от радиуса-вектора этой точки по времени, т. е.
Отсюда на основании теоремы о проекции производной от данного вектора на ось (§ 65) заключаем, что проекции скорости на координатные оси равны производным по времени от проекций радиуса-вектора г на те же оси. Но проекции радиуса-вектора г на координатные оси представляют собой координаты движущейся
точки 弱 у и z; следовательно, проекции скорости выражаются так:
dx
近，
(22)(22)г,=也.
(22)
(22)
dz
% =近，
т. е. проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.
Эти производные находятся из уравнений движения точки. Для модуля скорости теперь получаем следующую формулу:
Чтобы определить направление вектора и, нужно найти его направляющие косинусы; из равенствVy = V cos (и, у), % = VCOS (и, %)Чтобы определить направление вектора и, нужно найти его направляющие косинусы; из равенствVy = V cos (и, у), % = VCOS (и, %)（2з）
Чтобы определить направление вектора и, нужно найти его направляющие косинусы; из равенств
Vy = V cos (и, у), % = VCOS (и, %)
Чтобы определить направление вектора и, нужно найти его направляющие косинусы; из равенств
Vy = V cos (и, у), % = VCOS (и, %)
dx dtdx dt&У&УdzdtdzdtUr =沙 COS (u, Z), иолучаем:
dx dt
dx dt
&У
&У
dz
dt
dz
dt
cos (и, i)
cos (% у)
cos (и, Ar)
Аналогично определяются модуль и направление ускорения w. Из равенства гг = ^ на основании той же теоремы § 65 следует, что проекция ускорения на какую-нибудь неподвижную ось равна производной по времени от проекции скорости на ту же ось; следовательно, d2xdvz d2z
% = 7e = #一; % =才=丽；吗=0一 =正，
т. e. проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным от соответстбующих координат движущейся точки по времени.
9 И. М. Воронков
вектора wвектора wОтсюда для модуля и направляющих косинусов получаем следующие формулы:
вектора w
вектора w
(26)(26)(27)(27)
(26)
(26)
(27)
(27)
Рис. 183.Рис. 183.
Рис. 183.
Рис. 183.
Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий применение полученных формул. Пусть движение точки М, движущейся в дан
ной плоскости, которую примем за плоскость Оху, определяется уравнениями
х = a cos (Az), у = bsin (kt).
Для нахождения траектории, как мы знаем, нужно из этих двух уравнений исключить время t. С этой целью, переписав данные уравнения в виде
/ = cos (ЛО, у = sin 侬),
В результате получим:В результате получим:возведем их в квадрат и сложим.
В результате получим:
В результате получим:
/亠于_ ]酒十》一 L
Следовательно, траектория точки есть эллипс (рис. 183). Проекции скорости на координатные оси определяются по формулам (22):
% =嘗=~ак sin (Az) = —к у
и
vy — — = 6А cos (加)=Л^.
Модуль скорости выразится так:
0 = U 備/+% / = " /"%m2 (屏)+ b2cos2 (屏), или
у 看 + 礬=^VWT^.
Первая из этих формул определяет модуль скорости как функцию времени, вторая —— как функцию координат движущейся точки.
Если обозначим расстояние касательной к эллипсу, по которой направлена скорость точки М. от центра эллипса через Л, то, как известно из аналитической геометрии, будем иметь:
h =—….
Поэтому величину скорости можно представить в следующем более простом виде:
откуда видно, что модуль скорости изменяется обратно пропорционально расстоянию касательной от центра эллипса. В вершинах большой и малой осей эллипса скорость имеет соответственно наименьшую и наибольшую величину.
Проекции ускорения на координатные оси равны
wx = ^-^ =—仪儿2 cos (kt) = —А?%
и
wy =—- = - bk2 sin (乱)= -4力.
Модуль ускорения выразится так:
w=V^+^ = k2 /х2+Я = ЛЧ
где 尸 есть модуль радиуса-вектора движущейся точки. Отсюда видим, что модуль ускорения пропорционален расстоянию движущейся точки от центра эллипса. Для определения направления вектора о? на основании формул (27) имеем:
/、 к2х х
COS (IT, z) = —=
И
cos (it, j)=—热=—岂.
С другой стороны, для косинусов углов радиуса-вектора г с осями имеем:
cos (г, i) = / и cos (г, у) = ^-.
Следовательно, направляющие косинусы вектора w отличаются от направляющих косинусов вектора г только знаком, а это значит, что вектор tv имеет направление, противоположное направлению вектора г, т. е. ускорение точки М все время направлено к центру эллипса.
Пример 73. Движение точкп М определяется уравнениям网 с = a cos2 (Н), у = а sin2 (Н).
Найти траекторию точки и закоп движения ее по траектории.
Решение. Чтобы найти траекторию точки, нужно исключить из уравнений движения время 九 Для этого в данной задаче достаточно сложить эти уравнения, после чего уравнение траектории получаем в виде с 十 у = а; это есть уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные а (рис. 184). В начальный момент £ = 0 имеем:冗° = а и 如=0; следова-
следовательно, в этот момент точка опять находится в начальном положении Л/о, и далее движение повторяется. Отсюда видим, что точка совершает колебательное движение на отрезке MQMLf причем период колебания равен
Найдем скорость точки.
Дифференцируя по t уравнения движения, получмм
vx =案=一 2ак cos (左方)sin (左方)=-ak sin (2左ё), 。期= ^i = 2仪左 sin (砌cos (屏)=ak sin (2kt).
О тсюда находим:
V = /2a2Fsin2 (2kt) = /2 а^ , sin (2包)|・
Так как траектория точки — прямая линия, то вектор и направлен по этой прямой в ту или в другую сторону в зависимости от знака sin (2kt). Определив скорость точки, нетрудно найти закон движения ее цо траектории;
будем определять положение точки на траектории ее расстоянием s от начального положения 此；так как определяет алгебраическое значение скорости, то
^ = /Т ак sin （2狂），
отсюда
ds = V 2 ак sin （2也）dt
и
s = /У ak j sin （2kt）dt = — —^ 2 cos （2乩）十 С.
Для определения постоянной С заметим, что при 看=0 （в начальный момент） $о — 0; поэтому предыдущее уравнение для начального момента принимает вид'
0 = -”с,,
откуда
Подставляя это значение С, получаем:
s = 9 ^~2 口— cos（2"*）1 = У% sin2 （砌.
Это уравнение, выражающее s как функцию от £, дает искомый закон движения точки по ее траектории.
Понятие о кривизне кривой линиии о радиусе кривизны. Естественные оси
Криволинейное движение точки, как известно из § 64, может быть определено или уравнениями движения в декартовых координатах, или траекторией и законом движения s = /（Z）по этой траектории. В том случае, когда движение точки определено первым способом, ускорение w находится по его проекциям на декартовы координатные оси, как это рассмотрено в предыдущем параграфе. Когда же движение точки определено вторым способом, ускорение w находится по его проекциям на оси, направления которых связаны с данной траекторией, а именно: на касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Но, прежде чем переходить к выводу формул для проекций ускорения на эти оси, необходимо рассмотреть некоторые геометрические понятия.
Пусть нам дана некоторая кривая （траектория точки）; возьмем на ней две близкие точки Л и В; длину дуги АВ обозначим через As （рис. 185）; проведем в точках Л и В касательные к данной кривой （в направлении от Л к В）. Угол между этими касательными,
называемый углом смежности и измеряемый в радианах, обозначим через △屮；отношение 芻 называется средней кривизной дуги АВ. Будем теперь приближать точку 3 к точке Л. Предел, к которому стремится средняя кривизна дуги АВ^ когда точка В неограниченно приближается к точке Л, называется кривизной данной линии в точке А. Если обозначим кривизну через 力, то будем, следовательно, иметь:
Рис. 185.加
А$тО As
Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны данной кривой в точке 4. Обозначив радиус кривизны через р, получим:
4~Р и ^ = у-(29)
Для прямой линии кривизна, очевидно, равна нулю и, следовательно, радиус кривизны р = оо.
Найдем кривизну окружности радиуса R. Возьмем на окружности (рис. 186) бесконечно малую дугу ЛВ = As; соединим точки Л и В с центром О и проведем в этих точках касательные к окружности. Так как угол смежности А ср и центральный угол АОВ равны между собой как углы с перпенди- J^^\кулярными сторонами, то △屮=^ .Отсюда
/Zследует, что для окружности Л = ^, а по/7тому окружность представляет собой кри・
I卜|\вую линию постоянной кривизны, равной
\°/ \ обратной величине ее радиуса. Для радиуса
\/' кривизны окружности имеем: р = 1: А = /?,
\vУ т. е. радиус кривизны окружности равен
ее радиусу.
Рис. 186.Отсюда заключаем, что радиус кривизны
кривой линии есть радиус такой окруж- HocmUj которая имеет с данной кривой в данной ее точке одинаковую кривизну.
Если траектория точки есть плоская кривая, заданная уравнением у = /(力),то радиус кривизны в какой-нибудь точке этой кривой можно вычислить по следующей общей формуле, которая выводится в дифференциальном исчислении:
где У’ 匸 思，а \уг，\ есть абсолютное значение второй производной 芸 в выбранной точке данной кривой.
В общем случае траектория движущейся точки М представляет собой кривую линию, не лежащую в одной плоскости, т. е. линию двоякой кривизны.
Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой s, отсчитываемой от произвольно выбранной на траектории неподвижной точки О.
Проведем через точку М касательную Mt к траектории и будем определять положительное направление этой касательной единичным вектором * направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты s и равным по модулю 1 (рис. 187); этот вектор т называется ортом касательной. Если проведем через точку М плоскость, перпендикулярную к касательной в этой точке, то такая плоскость называется нормальной плоскостью. Всякая прямая, проведенная через точку 7И в нормальной плоскости, перпендикулярна к касательной Mt и является нормалью траектории в точке М. Выясним теперь, какая из этих нормалей называется главной нормалью траектории в точке М, Для этого поступим следующим образом: возьмем на траектории точку М\ весьма близкую к точке М (рис. 187); орт касательной в точке АГ обозначим через т'; проведем через точку М прямую Mt\ параллельную вектору т\ и построим плоскость, проходящую через две прямые Mt и Mt\ Будем теперь точку М' неограниченно приближать к точке М так, чтобы в пределе точка М' совпала с точкой М\ так как направление вектора т\ а следовательно, и направление прямой Mt', параллельной этому вектору, будет при этом изменяться, то соответственно будет изменяться и положение плоскости tMf; эта плоскость будет, очевидно, вращаться вокруг прямой Mt, приближаясь к некоторому определенному предельному положению. Плоскость, представляющая собой предельное положение плоскости tMf при Мг —*7И, называется соприкасающейся плоскостью данной кривой в точке М. Из этого определения следует, что касательная в точке М лежит в соприкасающейся плоскости. Понятно, что в случае плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с той плоскостью, в которой расположена эта траектория.
Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (т. е. линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей), называется главной нормалью данной кривой в точке М. За
положительное направление главной нормали принимается направление от точки М в сторону вогнутости траектории. Направление главной нормали будем определять единичным вектором п, направленным по главной нормали в положительную сторону (рис. 188); этот вектор п называется ортом главной нормали. Нор
маль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью] орт бинормали будем обозначать через 6. Что касается положительного направления бинормали, или, что то же, направления орта 6, то это направление будем определять так, чтобы три вектора т, п и 6 были ориентированы по отношению друг к другу так же, как орты iy j и к правой системы координат; следовательно, орт 6 связан с т и 打 следующим соотношением (см. § 43):
й =： Т X п.
Три оси, имеющие начало в точке М
и направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории в этой точке, называются естественными осями и являются ребрами так называемого естественного триэдра, или естественного трехгранника (рис. 188). Отложим на главной нормали в положительном направлении (в сторону вогнутости траектории) отрезок МС = р, где р ——радиус кривизны траектории в точке М; если, приняв точку С за
центр, проведем в соприкасающейся плоскости окружность радиусом р, то эта окружность, имеющая с данной кривой в точке М общую касательную и общую кривизну, называется соприкасающимся кругом или кругом кривизны. Центр С этой окружности называется центром кривизны данной кривой, соответствующим точке М,
Проекции ускорения на естественные оси.Касательное и нормальное ускорения
Пусть точка движется по данной криволинейной траектории и пусть в момент Е она занимает положение М, а в момент Z 十 Ае — положение М‘ на этой траектории (рис. 189). Длину элементарной дуги ММ' обозначим через As. Обозначая через и скорость точки в момент tf можем написать:
V = г?%
где г ——модуль скорости, ат ——ее орт, т. е. орт касательной, направленный 8 ту же сторону, что и вектор и.
Дифференцируя по Е это равенство и принимая во внимание, что ускорение w точки равно производной от вектора скорости по времени, получим:
du dv , dt№= dt^dt^ + ^f
Найдем вектор ?彳,т. е. определим его модуль и направление.
Согласно сказанному в § 65 производная 显 есть предел отношения изменения вектора т к приращению аргумента Az при Д/ — О,
dr — Атdr — Атт. е.
dr — Ат
dr — Ат
параллелограмма МаЪс. Векторпараллелограмма МаЪс. Векторгде Ат есть разность векторов т и т, построенных в точках М‘ и М. Чтобы найти вектор Ат, перенесем вектор т\ не изменяя его направления, из точки W в точку М; соединив концы векторов т и т\ дополним полученный треугольник МаЪ до
параллелограмма МаЪс. Вектор
параллелограмма МаЪс. Вектор
Мс представляет собой разность векторов т/ и т, т. е.
Мс = т' — т = Ат.
Разделив Ат на Ai, получим вектор 衣，направленный по прямой Мс. Выясним направление этого вектора * в пределе при Д/ 一 0.
Как было указано в предыдущем параграфе, плоскость параллелограмма Mabe в пределе при А% —^ Опревращается в соприкасающуюся плоскость траектории в точке М; отсюда следует, что вектор 济 лежит в соприкасающейся плоскости. Найдем, далее, величину угла между векторами 费 и т, т. е. угла аМс. Треугольник аМЬ является равнобедренным, так как в этом треугольнике
Ма = т — 1 и МЪ =七‘ =1;
угол при вершине М равен углу смежности (углу между касательными в точках М и М) который обозначим через Д(р (в радианах); отсюда следует, что 乙 МЬа = 乙 МаЬ = ； ——~ t а потому
LMc = LaMb + 厶ЬМс = А什(1■一号) = $+第
отсюда заключаем, что в пределе при Дф f 0 угол аМс становится прямым, и следовательно, направление вектора ^ совпадает с положительным направлением главной нормали, т. е. с направлением орта 办.
Остается теперь найти модуль этого вектора. Из равнобедренного треугольника аМЬ имеем:
ab — 2M(zsin ^ ,
ОтсюдаОтсюдаI Ат|F =I Ат|F =2 sin 粤Лг2 sin 粤Лгно Ма = 1 н а，= Мс = Ц а потому I Ат| = 2sin 粤.
Отсюда
Отсюда
I Ат|
F =
I Ат|
F =
2 sin 粤Лг
2 sin 粤Лг
Переходя к пределу, получим:
dxI 、. IЛт[Л Г 1™ - дгdxI 、. IЛт[Л Г 1™ - дг2sin 粤 lim -—-2sin 粤 lim -—-
dxI 、. IЛт[
Л Г 1™ - дг
dxI 、. IЛт[
Л Г 1™ - дг
2sin 粤 lim -—-
2sin 粤 lim -—-
или
協=増協=増.Лф 'SID а А2_ Лф AsА(р As Ае.Лф 'SID а А2_ Лф AsА(р As Ае=1 • lim ” lim 齡А吁0 aЗ aю а2=1 • lim ” lim 齡А吁0 aЗ aю а2
協=増
協=増
.Лф '
SID а А
2_ Лф As
А(р As Ае
.Лф '
SID а А
2_ Лф As
А(р As Ае
=1 • lim ” lim 齡
А吁0 aЗ aю а2
=1 • lim ” lim 齡
А吁0 aЗ aю а2
ноно丄6丄6
но
но
丄6
丄6
где Лир обозначают соответственно кривизну и радиус кривизны траектории в точке М 】).Кроме того, согласно сказанному в § 66 (равенство (19)) имеем:
Следовательно,Следовательно,dtdidtdiИтак, мы установили, что векторИтак, мы установили, что вектор..As hm AJO Nt
Следовательно,
Следовательно,
dtdi
dtdi
Итак, мы установили, что вектор
Итак, мы установили, что вектор
р •
嘗 направлен по главной нор-
мали к центру кривизны и по модулю равен -; следовательно, можем написать окончательный результат в следующем виде:
期
at р
1) На основании равенств (28) и (29),
(31)(31)и вектор т, т. е.и вектор т, т. е.(32)(32)九 p九 pп.п.(33)(33)
(31)
(31)
и вектор т, т. е.
и вектор т, т. е.
(32)
(32)
九 p
九 p
п.
п.
(33)
(33)
Подставляя это значение производной ^才 в полученное выше выражение для ускорения 切,находим:
dv. №
勿=儿
at1 р
Эта формула дает разложение ускорения 切 по естественным осям.
Вектор 历 т направлен по той же прямой, что ° I dv I
по касательной и по модулю равен 近 ；этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением и обозначается через и\
(рис. 190); следовательно, dv
5 =五工
Вектор — п направлен по главной нормали и по модулю равен у； этот вектор называется нормальным ускорением и обозначается через wn (рис. 190); следовательно,
Так как оба вектора, и т и пт лежат в соприкасающейся плоскости, то из формулы (31) следует, что ускорение w также лежит 8 соприкасающейся плоскости.
Если обозначим проекцию ускорения на касательную, т. е. на направление скорости (при указанном в начале этого параграфа направлении орта т), через 笫管,а его проекцию на главную нормаль через wn, то из формулы (31) следует:
% =加 Н ^п = 3，(34)
т. е. проекция ускорения на направление скорости равна производной от модуля скорости по времени^ а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, разделенному на радиус кривизны траектории 8 той ее точке} где е данный момент находится движущаяся точка.
Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то его проекция на бинормаль равна нулю, т. е. wb = 0.
Для модуля ускорения w получаем теперь следующую формулу;
第=m^+叫=m (期+⑵二 (35)
Если модуль скорости с течением времени возрастает, т. е.
dv
если точка движется ускоренно, то производная ^ положительна ; в этом случае касательное ускорение 叫 направлено по касательной в сторону движения точки, т. е. в ту же сторону, что и скорость и. ndv
В случае же замедленного движения производная 应 отрицательна, и ускорение w\ направлено по касательной в сторону, противоположную скорости. Что касается нормального ускорения wn, то оно направлено всегда по главной нормали в сторону вогнутости траектории (к центру кривизны), так как величина 万 всегда положительна и, следовательно, направление вектора wn совпадает с направлением орта п.
В формулах (34) величина v обозначает модуль скорости и, следовательно, всегда положительна. При выводе этих формул мы предполагали, что направление орта т совпадает с направлением скорости V. Предположим теперь, что направление орта т (положительное направление касательной) совпадает с положительным направлением отсчета дуговой координаты s движущейся точки, как это было указано в § 69; найдем проекцию 以工 ускорения на касательную при этом предположении. Здесь могут представиться два случая:
d s
Производная 不 положительна; тогда для модуля скорости dsdv d~s n
имеем: v = и, следовательно, 石=曲.В этом случае направления векторов и и т совпадают, а потому
ds
Производная 五 отрицательна; тогда
ds廿=—к иds廿=—к иdt dt^dt dt^
ds
廿=—к и
ds
廿=—к и
dt dt^
dt dt^
Направления векторов и и т в этом случае противоположны, а потому
Таким образом, в обоих случаях независимо от знака производной ds
—имеем:
т. е. проекция ускорения на касательную, положительное направление которой совпадает с положительным направлением отсчета дуговой координаты движущейся точки, равна второй производной от этой дуговой координаты по времени.
ds
Производная 近 представляет собой, как было уже сказано в § 66, алгебраическое значение скорости, т. е. проекцию вектора и на касательную при вышеуказанном направлении орта касательной т.
Так как проекция ускорения на главную нормаль выражается
через квадрат скорости, то независимо от знака производной ^彳 имеем:
Формулу (35) можно представить теперь в виде
= v^r^ = М 常)"+ ^ 関二 (36)
Рассмотрим некоторые частные случаи движения точки.
Прямолинейное движение. В этом случае wn = г2 : р = 0, так как для прямой линии р = бо； следовательно, направление ускорения w или совпадает с направлением движения, т. е. с направлением скорости и, или противоположно этому направлению в зависимости от знака производной - . По модулю ускорение w в этом случае равно абсолютной величине производ- нои ?.
dt
Равномерное криволинейное дв и же - н и е. Так как при равномерном движении точки модуль скорости остается постоянным, т. е.少 = const, то в этом случае
% =血=°-
Ускорение w направлено, следовательно, по главной нормали в сторону вогнутости траектории и по модулю равно -.
Равномерное прямолинейное движение. В этом случае wv ~ wn — 0, а следовательно, и 笫=0.
Таким образам, мы видим, что касательное ускорение возникает в тех случаях, когда изменяется модуль скорости, т. е. при неравномерном движении точки, а нормальное ускорение ——в том случае, когда изменяется направление скорости, т. е. при криволинейном движении точки.
Отсюда приходим к заключению, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
При неравномерном движении касательное ускорение обра-
ds
щается в нуль, очевидно, в те моменты, когда производная 方
достигает максимума или минимума, так как в эти 〃 2s
моменты вторая производная @演 равна нулю.
Нормальное ускорение в криволинейном движении равно нулю в тех точках траектории, где р = оо, т. е. в точках перегиба траектории. Кроме того, нормальное ускорение становится равным нулю в те моменты, когда изменяется на противоположное направление движения точки по данной траектории (например, при колебательном движении), так как в эти моменты производная 近, меняя знак, становится равной нулю.
Рассмотрим теперь примеры применения полученных результатов к решению задач, относящихся к криволинейному движению точки.
Пример 74. На шкив радиуса R, вращающийся
Рис. 'J1. вокруг горизонтальной оси О, навернут канат, к которому подвешен груз (рис. 191). Движение груза определяется уравнением s = ^-. Наити ускорение тотаи Мf лежащей на окружно
сти шкива.
Решение. Если обозначим скорость груза через и, то
ds
"=济="
Так как скорость 沙 точки М равна, очевидно, по модулю скорости груза, то
отсюдаотсюдау — at;
отсюда
отсюда
du
% =哀=а.
Так как для окружности радиус кривизны р = R, то
^= у
切=?炉+不e切=?炉+不eд 1* + %*д 1* + %*Искомое ускорение точки М равно
切=?炉+不e
切=?炉+不e
д 1* + %*
д 1* + %*
П р и м е р 75. Материальная точка (пуля) брошена из некоторой точки О, которую принимаем за начало координат, с данной начальной скоростью г0, образующей с горизонтальной осью Ох данный угол а (рис. 192). В некотором положении М скорость точки образует с горизонталью данный угол 0. Определить траекторию, а также скорость и нормальное и касательное ускорения точки в положении М, если известно, лто уравнения движения точки при отсутствии сопротивления воздуха имеют следующий вид:
1 重 = %£ cos а, у = yoi sin a
Решение. Для определения траектории нужно из уравнений движения исключить время 九 Из первого уравнения имеем:
一 ％ cos a'
подставляя это значение t во второе уравнение, получим уравнение траектории
Это — уравнение параболы, имеющей указанный на рис. 192 вид.
Далее, из первого уравнения находим проекцию скорости на ось Ох：% = ^ = % cos a,
откуда видим, что эта проекция есть величина постоянная. Так как, с другой стороны,
рх = у cos б,
то искомая скорость в точке М равна
— vx _ % cos a
—cos 6 — cos 0 *
Для проекций ускорения ю на координатные оси имеем:
отсюда находим:
2 n М^ + wj = g・
Из полученных для wx и wy значений видим, что ускорение ю направлено параллельно оси Оу (по вертикали) вниз 】).Проектируя это ускорение на касательную и нормаль траектории и принимая во внимание, что угол между ю и нормалью равен 0, находим:
wv — —w sin 0 == — g sin 0 и
tz?n = u? cos 0 = g cos 0.
Пользуясь формулой зп = —, можем найти радиус кривизны траектории в точке М:
V2 崎 cos2 а
Р _— g cos3 0 *
В частности, в вершине траектории 6 = 0 и, следовательно, % cos2 а g
Проекции ускорения па касательную и нормаль можно найти еще другим способом: так как vx =沙° cos а и 沙？=击=沙° sin а — gt, то
v = M吸+% = М%—2%sin а • g£ 丁 g》2 =
=]/" % - 2g 卜q sin а • £ — ^ 冃庐)=H% 二 2gy：
Отсюда
吆g 仇 sin а — g力 =—g (% sin а — g£) 婚a —办M* — 2г?о sin а • g£ + 8冲”•
Зная w и wVi находим wn из равенства 缈2 =也+% откуда
% = g3 一 一3粤丄- =炉(一畠=
и
gp0 cos a
Пример 76. В § 68 было рассмотрено эллиптическое движение точки Л/, определяемое уравнениями
точки (рис. 193). Крометочки (рис. 193). Кромех = a cos (kt)f у = Ь sin (&£).
точки (рис. 193). Кроме
точки (рис. 193). Кроме
Мы нашли, что модуль скорости точки равен
—abk
а модуль ускорения равен
IV =a2г，
где Л есть расстояние ОН касательной к эллипсу в точке М от центра эллипса, а г есть радиус-вектор движущейся того, мы установили, что ускорение w направлено
по радиусу-вектору точки М к центру эллипса. Выведем теперь формулу для радиуса кривизны эллипса.
Решение. Пусть ускорение w изображается на рис. 193 вектором МК. Спроектируем ускорение на нормаль к эллипсу и обозначим эту проекцию
через MN, так что MN=i0n. Тогда из подобных треугольников ОНМ и KMN имеем:
ОН _ MN ОМ^МК'ОН _ MN ОМ^МК'илиилиЛЛ2?W2?Whw откуда 切冷=；2? И IP, получим：hw откуда 切冷=；2? И IP, получим：и, следовательно,и, следовательно,廿_处Р 一 7廿_处Р 一 7Подставляя сюдаПодставляя сюдазначениязначенияР公 rР公 rили = /г3.Рили = /г3.Р
ОН _ MN ОМ^МК'
ОН _ MN ОМ^МК'
или
или
Л
Л
2?
W
2?
W
hw откуда 切冷=；
2? И IP, получим：
hw откуда 切冷=；
2? И IP, получим：
и, следовательно,
и, следовательно,
廿_处
Р 一 7
廿_处
Р 一 7
Подставляя сюда
Подставляя сюда
значения
значения
Р公 r
Р公 r
или = /г3.
Р
или = /г3.
Р
радиуса кривизнырадиуса кривизны
радиуса кривизны
радиуса кривизны
Отсюда находим следующую простую формулу для эллипса:
a2 b 2 р
Пример 77. Круглый цилиндр радиуса г вращается вокруг неподвижной оси z> причем угол поворота цилиндра возрастает пропорционально времени. Точка М, выходя из Мо, движется вдоль образующей цилиндра с постоянной скоростью и. Найти траекторию, скорость и ускорение этой точки, а также определить радиус кривизны траектории (рис. 194, а).
Решение. Пусть движущаяся точка в момент t занимает положение М, Угол поворота цилиндра за £ сек, т. е. угол M0Omt обозначим через <р. Так как по условию задачи этот угол возрастает пропорционально времени, то отношение ?- есть величина постоянная; если обозначим Эту величину через (о, то 步 =со (угловая скорость цилиндра); отсюда <р =(о，Если координаты точки М обозначим через х, у и z, то, как видно из рис. 194, б, будем иметь:
х = г cos ф == г cos (со£), у = rsintp = г sin (st).
Так как скорость и постоянна, то за £ сек точка переместится вдоль образующей цилиндра на расстояние тМ = z = 〃九 Итак, уравнения движения точки получаем в следующем виде:
х = г cos(co?)t 2) у = г sin(coг), 3) z~ut.
Траектория точки в этом движении представляет собой винтовую линию. Чтобы получить уравнения траектории, нужно из уравнений движения исключить 九 Заменяя г в третьем уравнении через ^, получим:
z = ' ф.(0 т
Пусть за один оборот цилиндра вокруг оси z точка перемещается вдоль образующей на расстояние Л; это расстояние Л называется гиагом винтовой линии. Полагая в предыдущем уравнении ф = 2л (в радианах), получим:
7с®
Л = 2л — •
отсюда
и _ h
и, следовательно,
A2冗
Z =или <Р =万 Z.
Подставляя это
значение <р в выражения для % н у, получим уравнения траек-
тории, т. е. уравнения винтовой линии:
重= 尸cos（2n 万）, y = 尸sin（2П 万卜
Найдем теперь
скорость точки. Дифференцируя по £ уравнения движения,
получим:
vx = —гео sin (сог), vy =尸со cos (сог), vz =
отсюда
» = m咚+% 十 ^ = )/ 产d + U2.
Мы видим, что точка движется с постоянной по модулю скоростью. Если обозначим углы вектора и с координатными осями через а, § и у, то
cos a =,—sin (co£),
”/戸炉+ "2
COS 6 = У = — cos (coz),
0 Уг2Ш2 + u2
cos y = - £ =―厂…=.
0 "ой + “2
Последнее равенство показывает, что у = const, следовательно, винтовая линия пересекает все образующие цилиндра под одним и тем же углом. Этот угол у называется углом наклона винтовой линии.
Переходим к определению ускорения. Находим проекции ускорения на координатные оси:
Отсюда
wx = ~— =~-尸①2 COS (S力=-0)2%, Wy = "^ = 一 ro)2 sin (on) ^ — (о?弘 wz = — 0.
u? = Mu?^ 十 IP j 十 U^ = (1)2 У 重2 十 y2 =■尸炉.
Что касается направления вектора 也 то из равенства 吗 = 0 следует, что этот вектор пер пендик ул яр ен к оси z. Определяя, далее, косинусы углов, которые вектор гг образует с осями ^ и у, легко убедиться, так же как в примере, рассмотренном в § 68, что ускорение ю направлено противоположно радиусу-вектору точки т, как показано на рис. 194, а.
Чтобы найти радиус кривизны винтовой линии, заметим, что точка М движется с постоянной но модулю скоростью и, следовательно, касательное ускорение и*弋 равно нулю; поэтому ускорение ю совпадает с нормальным ускорением wn\ отсюда получаем равенство
№ 2
из которого находим:
卢 尸2炉十弘2r 炉
p ==一而—
Полученное выражение для радиуса кривизны можно представить в более простом виде; в самом деле, из равенства
имеем:
2U2
cos Y п л
И U2r2C02
8111 Y i-内載+炉=内d+分' отсюда
rco2 sin2 у
尸2炉+ m2 一 Г и, следовательно,
卩—sin2 у .
Так как угол 丫 во всех точках винтовой линии имеет одно и то же значе^ ние, то р == const; следовательно, винтовая линия есть линия постоянной кривизны.
ГЛАВА 13
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Поступательное движение
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, остается параллельной своему начальному положению.
Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории % е каждый
данный момент имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Доказательство. Пусть отрезок АВ (рис. 195), соединяющий две произвольно взятые точки А п В поступательно движущегося тела, перемещается за время Е из положения АВ в положение ЛП5П. Точка Л описывает при этом криволинейную траекторию АА^^.. Ап, точка В——криволинейную траекторию ВВ]В?…Вп. Разделим весь промежуток времени % на большое число п малых промежутков и отметим положения отрезка АВ. занимаемые им в конце каждого такого промежутка; 4/1,
Рис. 195.
Л2В2 и т. д., причем АВ = &月工=Л2В3 = ... = Л„ВП. Кроме того, все эти отрезки на основании данного определения поступательного движения параллельны, а потому отрезки ЛЛ1? АХА^..^ А^_гАп соответственно равны и параллельны отрезкам ВВЪ В工及,…,Вп^Вп, Таким образом, ломаные линии АА^^.. Лпи BBX В2, ... Вп имеют равные и параллельные стороны и, следовательно, могут быть совмещены друг с другом. Будем теперь число промежутков п увеличивать неограниченно так, чтобы каждый промежуток стремился к нулю. В пределе ломаная AA±A2 ... Ап превратится в траекторию точки А, а ломаная ВВ^В? ... Вп — в траекторию точки В, Отсюда следует, что эти две траектории также могут быть совмещены одна с другой, т. е. представляют собой две одинаковые кривые, и следовательно, первая часть теоремы доказана.
Соединим теперь точки Л и В с неподвижным началом координат О. Обозначая радиусы-векторы этих точек через Гд и гв, будем иметь:「а = d + В А.
Так как ни длина, ни направление отрезка В А при движении тела не изменяются, то В А = const. Дифференцируя предыдущее равенство по t и принимая во внимание, что производная достоян-
ного вектора В А равна нулю, получим:
介а =小df — dt *
Но
d%drB
而и
где vA и vB обозначают скорости точек А ^ В ^] следовательно,以=иа
Дифференцируя это равенство по t, получим:； dl?A dt>B
или
^А =况В，
где 切厶 и м?в обозначают ускорения точек Л и В.
Таким образом, теорема доказана. Из этой теоремы следует, что поступательное движение тела будет вполне определено, если известно движение только одной какой-нибудь его точки, например центра тяжести тела. Поэтому изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной какой- нибудь его точки, т. е. к задаче кинематики точки, рассмотренной в предыдущей главе.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Если твердое тело движется так, что две какие-нибудь его точки остаются неподвижными, то такое движение называется вращательным. Неподвижная прямая, проходящая через две неподвижные точки тела, называется осью вращения тела. Каждая точка телат не лежащая на оси вращения, описывает при таком движении окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения и центр которой лежит на этой оси.
Установив на оси вращения z положительное направление, проведем через эту ось неподвижную плоскость И】； кроме того, через ту же ось проведем подвижную плоскость П2, неизменно связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Угол между этими двумя плоскостями, отсчитываемый от неподвижной плоскости 口工 в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z, и измеряемый в радианах, обозначим через ср (рис. 196); положение подвижной плоскости П2 в пространстве вполне определяется значением этого угла ср,
1) На основании формулы (21) § 67.
а поскольку плоскость П2 неизменно связана с вращающимся телом, то значением угла 屮 будет вполне определяться и положение этого тела. При вращении тела вокруг оси z этот угол является
непрерывной и однозначной функцией времени, т. е. 屮=Л(0-
(37)
Это уравнение называется уравнением или законом вращательного движения тела. Если функция /(Z)известна, то вращательное движение тела будет вполне определено, так как для каждого данного момента (для каждого числового значения переменного t) мы сможем из уравнения (37) найти соответствующее значение
угла ср и, следовательно, будем знать положение тела в этот момент; Так как положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром (углом ф), то говорят, что такое тело имеет одну степень свободы.
Производная от угла 屮 по времени называется угловой скоростью тела и обозначается буквой о; следовательно,
3 =患=/()•
(38)
Так как угол ср измеряется в радианах, то
угловая скорость измеряется в в секунду. Единица угловой обозначается так:
радсек
сек
сек1
радианах скорости
(39)
Заметим, что через ось вращения z можно провести множество (пучок) плоскостей, неизменно связанных с вращающимся телом. Выберем в качестве подвижной плоскости вместо плоскости П2 какую-нибудь другую плоскость П3, проходящую через ось z и неизменно связанную с вращающимся телом, и обозначим угол между плоскостями П^ и П3 через(р1. Так как угол между плоскостями П2 и П3 при вращении тела остается, очевидно, постоянным, то угол ф1 будет отличаться от угла 屮 на некоторую постоянную (положительную или отрицательную) величину, т. е.屮^ = 屮 十 + const, а потому ^- = ^. Отсюда следует, что угловая скорость тела не зависит от выбора подвижной плоскости.
Производная от угловой скорости по времени называется угловым ускорением тела и обозначается буквой е; следовательно,
угл. скоростьугл. скоростьРавмерность углового ускорения выражается так:
угл. скорость
угл. скорость
время
единица углового ускорения обозначается так:
(41)
Если тело вращается в направлении возрастания угла 屮,т. е. против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси вращения, то угловая скорость положительна; в противном случае угловая скорость отрицательна.
Таким образом, знак угловой скорости определяет направление {положительное или отрицательное) вращения тела вокруг данной оси. *
Допустим, что з〉0; тогда, если е〉0, то угловая скорость возрастает, т. е. вращение тела является ускоренным; если же е <^ 0, то угловая скорость убывает ——мело вращается замедленно.
Предположим теперь, что(о < 0; в этом случае при е〉0 абсолютная величина угловой скорости убывает — тело вращается замедленно; если же 8 <^ 0, то абсолютная величина угловой скорости возрастает ——тело вращается ускоренно.
Отсюда приходим к следующему заключению: если(о н £ имеют одинаковые знаки, то тело вращается ускоренно^ если(о и в имеют разные знаки^ то вращение тела является замедленным.
Если угловая скорость тела постояннаt m. е. о = const, то такое вращение называется равномерным; из ревенства
следует:
dtp == о dZ.
Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, при о = const получим:
、曲=s \ dt,
пли
屮=屮0 + coz,(42)
где фо ——начальное значение угла ср, т. е. его значение в момент Z — 0. Разность ср ——(р0 представляет собой, очевидно, угол поворота тела за время 九 Будем обозначать этот угол через(рпов; тогда
т. е. при равномерном вращении угол поворота тела за данное время равен произведению угловой скорости тела на это время, а угловая скорость тела равна отношению угла поворота к соответствующему промежутку времени.
В технической практике при вращательном движении тела часто приходится встречаться с таким вопросом: тело, вращаясь равномерно, делает п оборотов в минуту; какова его угловая скорость?
При одном полном обороте угол поворота тела в радианах равен 2л, при п оборотах этот угол равен 2лп; поэтому, полагая Фпов = 2лп и % = 60 сек, получим из равенства (43) следующую важную формулу:
При приблизительном подсчете угловой скорости можно принять л 〜3; тогда о ~ 0,1 п, т. е. угловая скорость тела равна приблизительно 0,1 числа оборотов в минуту.
Если угловое ускорение тела постоянно, т. е. & — const, то такое вращение тела называется равномерно переменным.
Из равенства
следует:
do = £ Л.
Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, при 8 = const получим:
\ ds = & \ dt
«о0
ИЛИ
о = о0 +(45)
где о0 ——угловая скорость тела в момент 2 = 0.
Заменяя (о через 雰,получим:
雰=5 + ez； отсюда
dtp =働 dZ + £E 山；
интегрируя это уравнение, получаем:
Р/2
<Р = <Ро + °М Н—%»(46)
или
Эту формулу можно представить еще в другом виде:
фпов = 2" (2g + &Е)=彳(Ц)+ 5 + ЕЕ),
или
(48)
Если w0 = 0, то из уравнений (45) и (47) будем иметь: з = “(45‘)
и
屮нов = "2 £尸・(47')
Эти формулы, выражающие угловую скорость и угол поворота тела в зависимости от времени при равномерно переменном вращении, вполне аналогичны формулам для скорости и пройденного пути при равномерно переменном движении точки. Пусть w0〉0; тогда при в〉0 тело будет вращаться равномерно ускоренно} если же е V 0, то будем иметь равномерно замедленное вращение тела.
Перейдем теперь к определению скоростей и ускорений точек вращающегося твердого тела. Рассмотрим движение какой-нибудь точки М тела. Радиус окружности, которую описывает точка М, равный расстоянию этой точки от оси вращения тела, обозначим через 7? (рис. 196); точку пересечения этой окружности с неподвижной плоскостью Hi обозначим через О', а центр этой окружности —через О.
Предположим, что тело вращается в положительном направлении, т. е. в направлении возрастания угла ср.
Так как угловая скорость тела не зависит от выбора подвижной плоскости П2т то мы всегда можем выбрать эту плоскость так, чтобы она проходила через рассматриваемую точку М тела (рис. 196). Будем определять положение точки М на ее траектории дуговой координатой s, т. е. длиной дуги OfM^ отсчитываемой от неподвижной точки О', причем за положительное направление отсчета дуг s примем положительное направление отсчета угла ф (рис. 196 и 197). Тогда ^ = ф и s^R^.
Отсюда
« = *也
но ^ =(о, а |^| =少,где г обозначает модуль скорости точки 7И, которая в отличие от угловой скорости называется линейной скоростью точки М. Поэтому предыдущее равенство принимает вид
V = А| з |. (49)
Линейная скорость и направлена по касательной к окружности, которую описывает точка М^ и, следовательно, перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и ось вращения тела (рис. 196 и 197). Итак, мо/\ дуль линейной скорости точки вращающегося
(尸 °\ твердого тела равен произведению абсолютного
。4~--^"^^£^I значения угловой скорости тела на расстояние
、，// этой точки от оси вращения.
\// Переходим к определению ускорения точ-
^у^к и М. Для этого найдем проекции ускорения w
на касательную и нормаль к траектории, при- 、' чем за положительное направление касательной Рис. 197. примем направление в сторону возрастания угла ср, а за положительное направление нормали ——направление в сторону вогнутости траектории, т. е. к центру окружности) описываемой точкой М. Согласно сказанному в § 70 [формула (34')] имеем:
а потому
wx = 7?е.(50)
Следовательно, модуль касательного ускорения равен
|5| = Т?旧，(50z)
т. е. модуль касательного ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижный оси, равен произведению абсолютного значения углового ускорения тела на расстояние этой точки от оси вращения.
Для проекции ускорения на нормаль имеем:
но для окружности р =凡 а потому
wn — 7?w2.(51)
Так же выражается и модуль нормального ускорения:
\wn\=R^,- (5Г)
т. е. модуль нормального ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению квадрата угловой скорости тела на расстояние этой точки от оси вращения.
Если(о и е имеют одинаковые знаки, т. е. если тело вращается ■ускоренно〉то абсолютное значение угловой скорости | w |, а следовательно, и модуль линейной скорости г возрастают. В этом случае, как было указано в § 70, касательное ускорение н\ и скорость и
направлены 6 одну и ту же сторону. Если же w и е имеют разные знаки, т. е. если тело вращается замедленно, то векторы trT и и направлены 6 противоположные стороны. Оба эти случая показаны на рис. 198 и 199.
Что касается направления нормального ускорения 出乳,то оно направлено всегда по радиусу окружности, описываемой точкой М, к центру этой окружности. Поэтому это ускорение называется также центростремительным ускорением.
Рис. 198.Рис. 198.Рис. i99.Рис. i99.
Рис. 198.
Рис. 198.
Рис. i99.
Рис. i99.
Для модуля ускорения w точки М получаем теперь следующее выражение:
w = У W^ + Wn ~У7?2&2 + 笛3*
или
(52)(52)w = R^^>2 со4.
(52)
(52)
Чтобы определить направление ускорения 出,достаточно найти угол а, который вектор w образует с радиусом МО (рис. 198 и 199). Из прямоугольного треугольника находим:
也a=* =需,
(53)(53)ИЛИ
(53)
(53)
tg а =不
Как нетрудно видеть из рис. 198 и 199, в случае ускоренного вращения острый угол а = arctg 歹 нужно откладывать от радиуса МО в направлении, противоположном направлению вращения тела (по часовой стрелке на рис. 198), а в случае замедленного вращения этот угол нужно откладывать от радиуса МО в направлении, совпадающем с направлением вращения тела (против часовой стрелки на рис. 199).
В частном случае, когда тело вращается равномерно, т. е. при з = const, угловое ускорение е = 0. В этом случае из формул (52) и (53) получаем:
w = 7?w2 и а — 0.
Следовательно, при равномерном вращении тела ускорение w совпадает с нормальным fцентростремительным) ускорением.
Так как з и е & данный момент для всех точек тела имеют одно и то же значение, то из формул (49), (52) и (53) следует:
Численные значения скоростей и ускорений точек вращаю- гцегося твердого тела в данный момент пропорциональны расстояниям этих точек от оси вращения,
Угол а для всех точек вращающегося твердого тела в данный момент имеет одно и то же значение.
Пример 78. Колесо с диаметром, равным ", вращается равномерно и делает п оборотов в минуту. Найти скорость и ускорение точек, лежащих на окружности колеса.
Решение. Полагая в формуле у = В | <о | согласно условиям задачи
находим:
Так как колесо вращается равномерно, то е = 0, а потому
Прим ер 79. Колесо, получившее начальную угловую скорость <оо, сделав всего 7V оборотов, остановилось вследствие трения в подшипниках. Предполагая вращение колеса равномерно замедленным, найти его угловое ускорение.
Решение. При остановке колеса его угловая скорость <о = 0; так как колесо сделало N оборотов, то угол поворота фпов ~ 2?rZV\ Считая, что (о。，。, и подставляя эти значения в формулы (45) и (47), получим:
(0。+ ЕЕ = 0
才2
2^ = 0v + е —.
Из первого уравнения находим:
强.
8 *
подставляя это значение t во второе уравнение, получаем:
-2: = 2叽
откуда
Пример 80. Маятник совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси по законуПример 80. Маятник совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси по законуф = ф0 cosф = ф0 cosпричем ф обозначает угол между неподвижной вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения маятника, и подвижной плоскостью, проходящей через ту же ось и центр тяжести маятника, а Т обозначает полный период колебаний маятника. Найти скорость и ускорение центра тяжести маятника в начальный момент и в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия, если расстояние центра тяжести маятника от оси вращения равно а.Решение. Дифференцируя уравнение движения маятника по г, получим:причем ф обозначает угол между неподвижной вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения маятника, и подвижной плоскостью, проходящей через ту же ось и центр тяжести маятника, а Т обозначает полный период колебаний маятника. Найти скорость и ускорение центра тяжести маятника в начальный момент и в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия, если расстояние центра тяжести маятника от оси вращения равно а.Решение. Дифференцируя уравнение движения маятника по г, получим:(О(Ос?Фс?Ф2лф0 .2лф0 .Дифференцируя это уравнение по t.Дифференцируя это уравнение по t.находим:находим:Следовательно, угловая скорость и угловое ускорение маятника в начальный момент при t = 0 равныСледовательно, угловая скорость и угловое ускорение маятника в начальный момент при t = 0 равны3。= 0 и % =3。= 0 и % =Отсюда для скорости и ускорения центра тяжести маятника в начальный момент по формулам (49), (50), (51) и (52) получаем:Отсюда для скорости и ускорения центра тяжести маятника в начальный момент по формулам (49), (50), (51) и (52) получаем:% = a I g I = 0,% = a I g I = 0,wwотота%а%4л2ф0а4л2ф0а
Пример 80. Маятник совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону
Пример 80. Маятник совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси по закону
ф = ф0 cos
ф = ф0 cos
причем ф обозначает угол между неподвижной вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения маятника, и подвижной плоскостью, проходящей через ту же ось и центр тяжести маятника, а Т обозначает полный период колебаний маятника. Найти скорость и ускорение центра тяжести маятника в начальный момент и в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия, если расстояние центра тяжести маятника от оси вращения равно а.
Решение. Дифференцируя уравнение движения маятника по г, получим:
причем ф обозначает угол между неподвижной вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения маятника, и подвижной плоскостью, проходящей через ту же ось и центр тяжести маятника, а Т обозначает полный период колебаний маятника. Найти скорость и ускорение центра тяжести маятника в начальный момент и в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия, если расстояние центра тяжести маятника от оси вращения равно а.
Решение. Дифференцируя уравнение движения маятника по г, получим:
(О
(О
с?Ф
с?Ф
2лф0 .
2лф0 .
Дифференцируя это уравнение по t.
Дифференцируя это уравнение по t.
находим:
находим:
Следовательно, угловая скорость и угловое ускорение маятника в начальный момент при t = 0 равны
Следовательно, угловая скорость и угловое ускорение маятника в начальный момент при t = 0 равны
3。= 0 и % =
3。= 0 и % =
Отсюда для скорости и ускорения центра тяжести маятника в начальный момент по формулам (49), (50), (51) и (52) получаем:
Отсюда для скорости и ускорения центра тяжести маятника в начальный момент по формулам (49), (50), (51) и (52) получаем:
% = a I g I = 0,
% = a I g I = 0,
w
w
от
от
а%
а%
4л2ф0а
4л2ф0а
^оп = ^^0 = °,
5 = а МёП^ = а I % |= ^^・
Из равенства юоп = 0 следует, что ускорение 人 совпадает с касательным ускорением; так как 1Pos6 то ускорение wQ направлено по касательной к окружности, описываемой центром тяжести маятника, в сторону убывания угла ф. В тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия, угол ф, очевидно, обращается в нуль; следовательно, в этот момент
Отсюда для угловой скорости и углового ускорения маятника а этот момент получаем следующие значения:
s = 4 2；?о и е = о.
Для скорости и ускорения центра тяжести маятника в рассматриваемый момент находим:
e24几2中沁
= (ZE = 0, Wn =2 =—刃厶 п, следовательно,
4n2ф 沁Ц7 = Wn = —yg一'.
Ускорение ⑦ совпадает с нормальным ускорением.
Угловая скорость как вектор. Выражения линейнойскорости и касательного и нормального ускоренийв виде векторных произведений
До сих пор мы рассматривали угловую скорость тела как величину скалярную; в соответствии с этим формула (49) устанавливает зависимость между угловой скоростью и модулем линейной скорости точки вращающегося тела. Чтобы получить векторную формулу для линейной скорости, которая определяла бы не только модуль этой скорости, но и ее направление в каждой точке вращающегося тела, будем теперь рассматривать угловую скорость тела как вектор. При этом вектор(о, изображающий угловую скорость тела, строят на оси вращения тела, направляя его вдоль этой оси в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на его начало, видеть вращение тела совершающимся против часовой стрелки 】)；модуль этого вектора равен абсолютной величине угловой скорости, т. е.
что касается точки приложения этого вектора (начала вектора), то эту точку можно выбирать на оси вращения произвольно, т. е. угловая скорость тела есть вектор скользящий.
Зная вектор о), мы сможем, очевидно, найти скорость любой точки вращающегося тела в данный момент, так как, если этот вектор задан, то будут известны: 1) положение оси вращения тела (прямая, на которой расположен вектор о), 2) направление вращения тела вокруг этой оси, определяемое направлением вектора ® по правилу правого винта, и 3) абсолютная величина угловой скорости тела, равнаямодулю вектораш. Поэтому изображение угловой скорости в виде вектора оказывается полезным и целесообразным во многих задачах кинематики твердого тела.
*) То есть при определении направления вектора угловой скорости мы пользуемся правилом правого винта.
Кроме того, как увидим далее, угловые скорости подчиняются основному требованию, которому должна удовлетворять всякая
векторная величина, а именно: эти скорости скла- г z дываются по правилу параллелограмма.丄
Идя дальше в этом направлении, можно и[
угловое ускорение тела представить также в виде s с вектора. Производная от вектора угловой скоро- ' сти по времени, т. е. ^, называется вектором …‘ углового ускорения тела и обозначается через £. °°
Если примем ось вращения тела за ось z и обозначим через к орт этой оси, то%
8 =行"•Рис. 200.
Так как ось вращения тела неподвижна, то А — const. Дифференцируя предыдущее равенство по 力 получим:
£ =而
Отсюда следует, что если производные 患 и 霜 имеют одинаковые
знаки, т. е. если тело вращается ускоренно^ то
направлены по оси вращения в одну и ту же сторону (рис. 200, а); если же производные
U и 答 имеют разные вращается замедленно,
знаки, т. е. если телознаки, т. е. если телото векторы w и ето векторы w и енаправлены е противоположные стороны (рис. 200, 6).
знаки, т. е. если тело
знаки, т. е. если тело
то векторы w и е
то векторы w и е
Модуль вектора е равен абсолютной вели
чине производной т. е.
Выведем теперь векторную формулу для линейной скорости и какой-нибудь точки М вращающегося твердого тела (рис. 201). По
векторы(о и 8векторы(о и 8строим вектор о, за начало которого возьмем Рис. 201. какую-нибудь точку О, лежащую на оси вра
векторы(о и 8
векторы(о и 8
щения z, и проведем из этой точки радиус-вектор г точки М; угол между г и осью z обозначим через у; центр окружности, описываемой точкой М, обозначим через 。口 а радиус этой окружности — через R, Так как вектор и перпендикулярен к оси гик радиусу МО^ то он перпендикулярен к плоскости
треугольника ОМОХ. Модуль этого вектора определяется по формуле (49) предыдущего параграфа, т. е.
V = R I о) |.
Но из треугольника ОМОГ имеем：
R — г sin у.
Следовательно,
Г = Г I G) |sin у.
Правая часть этого равенства представляет собой, очевидно, модуль векторного произведения о)X г % а потому
Г = I (О X г|.
Вектор з X г перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы ® и г, т. е. к плоскости треугольника ОМОЪ и направлен так, чтобы поворот вектора з на угол у до совмещения его с вектором г представлялся наблюдателю, смотрящему с конца вектора о X г на плоскость ОМОГ, происходящим против часовой стрелки (рис. 201). Отсюда следует, что векторы г и о)X г параллельны и направлены в одну и ту же сторону, а так как, кроме того, эти векторы имеют равные модули, то они равны между собой. Следовательно, и = о X г,(54)
т. е. линейная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-еектор этой точки, проведенный из произвольно выбранной точки, лежащей на оси зрсщения тела.
Формула (54) дает распределение скоростей в твердом теле, вращающемся вокруг данной оси.
Дифференцируя по t равенство (54), получим:
1r =匠=哀 Xr + SXQ；
но производная по времени от радиуса-вектора точки М равна „drds
скорости этой точки; следовательно,应=и, а производная есть вектор углового ускорения е; поэтому предыдущее равенство принимает вид
出=eXr+(0*1\(55)
Эта формула дает разложение ускорения точки М на две составляющие. Рассмотрим каждое из слагаемых в правой части этой формулы в отдельности. Пусть векторы н\ и wn обозначают соответственно
Модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, умноженному на синус угла между ними (§ 43).
касательное и нормальное ускорения точки М (рис. 202, а). При ускоренном вращении тела векторы w и е направлены по оси вращения z в одну и ту же сторону (как на рпс. 202, а). Тогда из сравнения векторов ехгиг —(оХг следует, что эти векторы параллельны 1) и имеют одинаковое направление. При замедленном вращении тела, когда векторы з и £ направлены по оси z в противоположные стороны, векторы е X г и г имеют противоположные направления.
Рис. 202.
Таким образом, направление вектора е X г совпадает с направлением скорости точки М или противоположно этому направлению в зависимости от того, движется ли эта точка ускоренно или за-
медленно; отсюда следует, что направление вектора £ X г всегда совпадает с направлением касательного ускорения 叫.Легко убедиться, что эти два вектора имеют и равные модули. В самом деле, согласно сказанному в предыдущем параграфе модуль касательного ускорения равен
|%=Е
или
I叫 |= г sin у[е|;
с другой стороны, для модуля векторного произведения еХг имеем:
|е X г I = |е |rsin у;
следовательно,'
|trj = |e X г|.
) Оба эти вектора перпендикулярны к плоскости OMOV
IL М. Воронков
Итак, приходим к заключению, что векторы tuT и ехг, имеющие одинаковое направление и равные модули, равны между собой:
5 = е X А(56)
т. е. касательное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению углового ускорения тела на радиус-вектор этой точкиf проведенный из произвольно выбранной точки, лежащей на оси зрсщения тела.
Рассмотрим теперь вектор w X г. Если перенесем вектор з в точку М и построим векторное произведение з X и, то, как видно из рис. 202, 6, направление вектора з Хи совпадает с направлением нормального ускорения wn точки М; кроме того, эти два вектора имеют равные модули. В самом деле, по формуле (5Г) предыдущего параграфа имеем:
■ It^nl =Пз?；
с другой стороны, так как угол между з и и равен 90°, то
но г = 7?| <й I，а потому
|wXv|—Я|(о|2= ЕоА
Отсюда заключаем, что векторы wn и (о Хг равны между собой: wn = w Хг,(57)
т. е. нормальное fцентростремительное) ускорение точки твердого телаf вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению угловой скорости тела на линейную скорость зтой точки.
Из полученных выражений (56) и (57) для касательного и нормального ускорений мы видим, что формула (55) представляет собой не что иное, как разложение ускорения w точки вращающегося тела на касательную и нормальную составляющие. Вместе с тем эта формула дает распределение ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси.
Г Л А В А 14
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 74. Относительное, переносное и абсолютное движения
До сих пор мы рассматривали движение точки по отношению к некоторой системе координат Oxyz (системе отсчета), которую считали неподвижной. Представим себе теперь, что мы наблюдаем движение точки М по отношению к некоторой системе координат
О'^у^^ которая сама движется относительно осей Oxyz, принимаемых за неподвижные. Движение точки М по отношению к подвижным осям (к подвижной системе отсчета) называется относительным. Движение подвижных осей по отношению к неподвижной системе отсчета называется переносным. Движение точки М относительно неподвижных осей (неподвижной системы отсчета) называется в этом случае абсолютным движением. Абсолютное движение точки (или тела) можно назвать также сложным или результирующим движением, поскольку его можно рассматривать как результат сложения относительного и переносного движений, которые по отношению к абсолютному движению являются составляющими движениями.
Так, например, если какое-нибудь тело движется по палубе идущего парохода, то движение тела по отношению к пароходу (к предметам, находящимся на палубе) есть движение относительное, движение самого парохода есть движение переносное и, наконец, движение тела относительно неподвижных берегов есть движение абсолютное. В данном случае подвижной системой отсчета является пароход, неподвижной —— земля. Движение человека, поднимающегося по движущейся лестнице эскалатора, по отношению к эскалатору есть движение относительное; движение эскалатора является переносным, а движение человека по отношению к окружающим неподвижным предметам есть движение абсолютное.
Итак, укажем еще раз, относительное движение есть движение по отношению к подвижной системе отсчета, а абсолютным движением мы будем называть движение относительно неподвижной системы отсчета. Основная задача кинематики в случае сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное дви?ьение точки и переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчета, найти абсолютное движение точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении. Обратно, всякое движение точки или тела относительно данной условно неподвижной системы отсчета можно рассматривать как сложное и разложить на составляющие движения (относительное и переносное); для этой цели необходимо выбрать систему подвижных осей, движение которой известно, и найти движение точки или тела относительно этой подвижной системы. Этот прием разложения движения точки или тела на составляющие движения является полезным в тех случаях, когда при соответствующем выборе подвижной системы отсчета относительное и переносное движения оказываются более простыми, чем изучаемое движение точки или тела относительно неподвижной системы отсчета. Мы воспользуемся этим приемом в следующих главах, где будем изучать случаи движения твердого тела более сложные, чем те, которые были рассмотрены в предыдущей главе.
§ 75. Относительные, переносные и абсолютныескорость и ускорение точки
,В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе при изучении сложного движения точки приходится различать относительную, переносную и абсолютную скорости этой точки, а также ее относительное, переносное и абсолютное ускорения.
Абсолютной скоростью Uq и абсолютным ускорением wa точки называются ее скорость и ее ускорение в абсолютном движении, т. е. в ее движении относительно неподвижной системы отсчета. Относительной скоростью vr и относительным ускорением wr точки называются ее скорость и ускорение в относительном движении, т. е. в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета.
Под переносной скоростью точки понимается та скорость, которую имела бы эта точка в данный момент, если бы она была неизменно связана с подвижными осями. Другими словами, переносной скоростью точки М называется скорость той точкиf неизменно се兄за咒咒о" с системой подвижных осей, с которой е данный момент совпадает точка М,
Переносную скорость точки М будем обозначать через и^. Аналогично под переносным ускорением точки, которое будем обоиу значать через q, следует понимать то
ускорение, которое имела бы в данный \у‘ "I8 момент эта точка, если бы она была неиз-
\ /Nменно связана с подвижными осями и,
\/ Азследовательно, участвовала бы только
、'/'в переносном движении. Иначе, перенос-
\ныл ускорением точки М называется уско-
\^^^^， рение той точки, неизменно связанной
\ /с системой подвижных осей, с которой ，^^哀 6 данный момент совпадает точка М.
Пусть, например, точка М (рис. 203) Рте. 203.движется по некоторой линии АВ относи
тельно осейОх'г/', вращающихся вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью з. Линия АВ представляет собой траекторию относительного движения точки М. Пусть закон движения точки М по этой траектории выражается уравнением s = /(Z). Относительная скорость гг точки М направлена по касательной к кривой АВ и по модулю равна абсолютному значению производной 历.Переносная же скорость % точки М есть
скорость той точки вращающейся плоскости Ох1уг ^ с которой в данный момент совпадает точка М. Эта скорость направлена перпендикулярно к радиусу-вектору ОМ и равна по модулю ОМ • со. Абсолютная скорость га точки М есть та скорость, с которой движется эта точка в данный момент по отношению к неподвижным осям。硏
Переносное ускорение wp точки М есть ускорение той точки вращающейся плоскости Ох'у\ с которой совпадает в данный момент точка М. Поэтому это ускорение определяется как ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, т. е. по формулам (52) и (53) § 72; следовательно,
we = ОМ Уле2 4- со4;
угол, который вектор wp образует с направлепием МО, равен a=arctgj, где е =
Если обозначим координаты движущейся точки в подвижной системе осей через 力',у' и z', то уравнения
х，= /1 «)，J = /2 (%)，z，= /з «)， выражающие этп координаты в функциях времепи, представляют собой уравнения относительного движения точки. Если исключим из этих уравнений время t, то получим уравнения траектории относительного движения. Понятно, что относительная траектория точки не остается неподвижной, а перемещается в пространство вместе с подвижными осями.
Когда уравнения относительного движения точки известны, то, поступая совершенно так же, как в § 68, мы сможем найти относительную скорость точки, а именно: дифференцируя по Е уравнения относительного движения, получим проекции относительной скорости на подвижные осн; определив эти проекции, сможем затем найти величину и направление относительной скорости. Обозначая проекции относительной скорости на подвижные оси через vrx^ 办岁 и ггГ, будем, следовательно, иметь:
Отсюда, обозначая орты подвижных осей через 力‘,『и А/, получаем формулу разложения относительной скорости гг по подвижным осям:
% =质，》' + %" + %z，G'=工 i' + % j' + 寫 М (58)
Аналогично, дифференцируя два раза по t уравнения относительного движения точки, найдем проекции относительного ускорения на подвижные оси, т. е.
Следовательно, формула разложения относительного ускорения wr по подвижным осям имеет вид
(59)(59)WT = Wr^i + Wry'f + Wrz'K =d~x' ., . d2y' ., d-z' z,
(59)
(59)
§ 76. Теоремы сложения скоростей и сложения ускоренийв том случае, когда переносное движение являетсяпоступательным
Пусть движение точки М относительно подвижных осей О'х'у' zr определяется уравнениями
%' ~ /1(0» У’ = /2〃)，z' = /з«)・
Кривая АВ (рпс. 204) изображает траекторию точки М в этом относительном движении. Предположим, что система осей О'х'у'^ имеет относительно неподвижной системы отсчета Oxyz поступательное движение^ обозначим скорость точки О в этом движении через и。，. Так как при поступательном движении твердого тела все его точки в каждый данный момент имеют одинаковые скорости (§ 71), то скорость всякой точки, неизменно связанной с подвижными осями, равна скорости точки О'. Отсюда следует, что переносная скорость точки М в каждый данный момент равна скорости точки О1 в тот же момент, т. е.
Рис. 204.Up=zuo‘.
Что касается относительной скорости точки М, то согласно сказанному в § 75 [формула (58)], она может быть представлена в следующем виде:
—dz' y
где i*『и kr обозначают орты подвижных осей.
Для определения абсолютной скорости точки М, т. е. скорости этой точки относительно неподвижной системы отсчета Oxyz, заметим, что эта скорость равна векторной производной по времени
от радиуса-вектора г точки М, проведенного из неподвижного начала т. е. % = %.
Если проведем из точки О радиус-вектор г。，точки О' и из начала О' подвижных осей радиус-вектор г' точки М (рис. 204), то
г =「о, + г.
Применяя формулу разложения радиуса-вектора г' по подвижным осям, получим:
产=%» + К/' + Z%',
где 右'，у' и z' обозначают координаты точки М в подвижной системе отсчета.
Следовательно,
г = rof + z'i' +『，'十 ^У.
Дифференцируя это равенство но 方 и принимая во внимание, что при поступательном движении подвижных осей орты t\ j' и к' являются постоянными векторами, так как их модули и направлен ния не изменяются, получим:
а потомуа потому=% + %.=% + %.(60)(60)
а потому
а потому
=% + %.
=% + %.
(60)
(60)
Это равенство выражает теорему сложения скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей, или, другими словамиf абсолютная скорость точки равна по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 204).
Отсюда следует, что если известны переносная и относительная скорости и угол а между ними, то модуль абсолютной скорости определяется по известной формуле, выражающей длину диагонали параллелограмма, т. е.
% = М 党 + ^ + 2%% cos £% = М 党 + ^ + 2%% cos £(60‘)(60‘)
% = М 党 + ^ + 2%% cos £
% = М 党 + ^ + 2%% cos £
(60‘)
(60‘)
Если а = 0, т. е. если скорости и。и гг направлены по одной прямой в одну сторону, то cos а = 1 и га = ге + %. Если а = 180°, т. е. если скорости и® и t^ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то cos а 二—1 и % = |吸一％ |・
Если а = 90°, то % = + 若.
Найдем теперь относительное и переносное ускорения точки М, По формуле (59) предыдущего параграфа имеем:
wr =+ 叫n『+ Mrz也'=幣"？ + ^"/+ ^^ 川*
Так как при поступательном движении твердого тела ускорения всех его точек в каждый данный момент равны между собой, то ускорение всякой точки, неизменно связанной с осями O'xy'z', равно ускорению точки О'. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае, когда переносное движение пзлкетс贪 поступательным} переносное ускорение we точки М ъ каждый данный момент равно ускорению точки О' в тот же момент. Поэтому, обозначая ускорение точки О' через 出。、 имеем: we = it。，, или wp = -^. Чтобы найти абсолютное ускорение юа точки М, нужно найти производную 尊 от абсолютной скорости этой точки по времени. Поэтому, дифференцируя по 力 полученное выше выражение для абсолютной скорости
% =绚+ -元"+%丿+瓦з
находим:
или
(G1)(G1)% =叫+吟.
(G1)
(G1)
Это равенство выражает теорему сложения ускорений при поступательном переносном движении: s том случае, когда переносное движение^ т. е. движение подвижной системы отсчета, яз&孔етст поступательным7 абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений этой точки.
Следовательно, в этом случае абсолютное ускорение точки может быть найдено по тому же правилу параллелограмма, как и абсолютная скорость.
Что касается теорем сложения скоростей и сложения ускорений в общем случае, т. е. в случае произвольного переносного движения, то мы рассмотрим их в главе 17.
В качестве примера применения полученных теорем рассмотрим следующие задачи.
Пример 81. Вагонное колесо радиуса В катится без скольжения по прямолинейному рельсу (рис. 205). Скорость его центра О равна о。. Найти скорости точек Z и В колеса.
Решение. Проведем через центр 。колеса координатные оси Он/ и Oyf постоянного направления^ т. е. оси, связанные с поступательно движущимся вагоном; эти оси, следовательно, будут двигаться поступательно. Движение колеса по отношению к этим подвижным осям (по отношению к вагону), т. е. его относительное движение, является, очевидно, вращательным движением вокруг точки О. Поэтому скорость всякой точки колеса равна геометрической сумме двух скоростей: 1) переносной скорости, равной скорости ^центра Оу (уг)
ививРис. 205. скорости 气尸 и %е направлены поРис. 205. скорости 气尸 и %е направлены поколеса, и 2) относительной скорости,‘ 5
ив
ив
Рис. 205. скорости 气尸 и %е направлены по
Рис. 205. скорости 气尸 и %е направлены по
равной скорости этой точки колеса во вращательном движении вокруг
центра О. Чтобы найти относительную скорость какой-нибудь точки колеса, нужно знать угловую скорость колеса со в его относительном вращении вокруг точки О. Для определения этой угловой скорости рассмотрим точку С, в которой колесо касается рельса. Относительная скорость %= этой точки направлена, очевидно, по касательной к окруж
пости колеса влево и равна по модулю В(о; переносная скорость 气。 точки С равна по модулю и направлению скорости %; следовательно, одной прямой в противоположные стороны. Так как колесо катится по
рельсу без скольжения, то абсолютная скорость точки С в данный момент
уО*откуда ①=红•уО*откуда ①=红•равна нулю, а потому Vqv = ь^е，или 兄①
уО*откуда ①=红•
уО*откуда ①=红•
Рассмотрим теперь точку Л; для относительной и переносной скоростей
этой точки имеем: vAe = 沙。и vAr = Лео = R 耳 = ^。； скорость гАг направлена по касательной к окружности колеса. Так как 以了 丄 乌厶外 т0 м0~ 口упь абсолютной скорости точки / равен
VA =匕齧+ ^ =
=/安 + 峪=S
Из аналогичных соображений найдем, что абсолютная скорость ив точки В направлена по касательной к окружности колеса и имеет модуль, равный 2沙°.
П р и м е р 82. Клин АВС с углом а движется поступательно по горизонтальной плоскости со скоростью м (рис. 206) и толкает вертикальный стержень 0£, проходящий через неподвижную муфту F. Найти скорость этого стержня.
Решение. Будем рассматривать движение точки D стержня как сложное, состоящее из двух движений: 1) относительного (движения по отношению к клину) и 2) переносного (движения вместе с клином).
Так как относительно клина точка D перемещается, очевидно, по прямой АВ, то относительная скорость т> этой точки направлена по /В・ Так как клип движется поступательно, то скорости всех его точек одинаковы; поэтому переносная скорость ие точки D равна и. Принимая во внимание, что абсолютная скорость га точки D направлена по вертикали вверх, заключаем, что диагональ параллелограмма, построенного на скоростях vT и ге( должна быть направлена по DE. Теперь из прямоугольного треугольника скоростей находим:
”а = %tg а = м tg а.
Из того же треугольника определяется и относительная скорость стержня:
cos a cos а
Нередко в задачах требуется найти относительную скорость точки, зная ее абсолютную и переносную скорости. В этом случае из равенства
% = % + %
находим:
% = % — %, или % = % + (—%)•
Отсюда видим, что для того, чтобы найти относительную скорость точки, нужно к ее абсолютной скорости геометрически при-
бавить скорость, равную по модулю и противоположную по
направлению переносной скорости этой точки 1).
Пример 83. Вагон движется поступательно со скоростью % (рис. 207). Скорость дождевой капли М направлена по вертикали вниз и равна иа. Найти скорость капли относительно вагона (относительно подвижных осей, связанных с вагоном).
Решение. Так как переносная скорость точки М равна скорости вагона i?i, то согласно только что сказанному для решения задачи нужно к абсолютной скорости и? этой точки геометрически прибавить скорость, равную —гг. Диагональ параллелограмма, построенного на векторах и2 и —1?£, определяет искомую относительную скорость %♦ Из прямоугольного треугольника скоростей находим:
Угол наклона ф относительной скорости к вертикали определяется из равенства tg 屮=少工：％. Этим объясняется то явление, что пассажиру, едущему в вагоне, вертикально падающий дождь всегда кажется косым.
П р и м е р 84. На пароходе, движущемся прямолинейно и поступательно с данным ускорением а, установлена турбина, вал которой вращается равно-
1) На это указывает знак минус, стоящий перед ие в предыдущем равенстве.
мерно с данной угловой скоростью s, причем ось вращения турбины перпендикулярна к направлению движения парохода. Найти абсолютные
Рпс. 208.Рпс. 208.ускорения точек Л1? /?，“з и 幺4 ваЛа (рис. 208).
Рпс. 208.
Рпс. 208.
Решение. Так как переносное движение (движение парохода) является поступательным, то переносные ускорения всех точек вала одинаковы и равны а. Относительное движение вала (движение по отношению к пароходу) есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через 0 и перпендикулярной к плоскости чертежа, с постоянной угловой скоростью з. Поэтому относительное ускорение каждой из точек 4
направлено по соответствующему радиусу к центру О и по модулю равно В со2, где Я есть радиус вала.
Складывая геометрически относительное и переносное ускорения каждой
из точек Л2 и Л4, для модуля абсолютного ускорения этих точек получим:
= ММ十*8、
Относительное и переносное ускорения каждой из точек Лх и 4з складываются, очевидно, алгебраически, так как эти ускорения направлены по одной прямой. Поэтому для модулей абсолютных ускорений этих точек получаем:
w% = а 十 7?со2 и wa^ =丨 а — Es? |.
Если а>В(о2, то вектор ica^ направлен по радиусу ОА3 от центра О; если жо а < Над2, то этот вектор направлен к центру О.
Г Л А В А 15
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 77. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором расстояние каждой точки тела от данной неподвижной плоскости остаётся постоянным, или иначе такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.
Примерами такого движения могут служить: 1) движение конуса, основание которого скользит по данной неподвижной плоскости; 2) качение колеса по прямолинейному рельсу; 3) движение шатуна кривошипно-шатунного механизма.
Если пересечем данное движущееся тело плоскостью II, параллельной данной неподвижной плоскости I, то в сеченип получим некоторую плоскую фигуру S (рис. 209). Из определения плоскопараллельного движения следует, что при таком движении тела фигура S, перемещаясь вместе с данным телом, остается в плоскости II.
445；5；Рис. 209.Рис. 209.кулярный к плоскостикулярный к плоскостиВозьмем теперь в теле какой-нибудь отрезок 41^2, перпенди-
4
4
5；
5；
Рис. 209.
Рис. 209.
кулярный к плоскости
кулярный к плоскости
сечения S. Так как фигура S во все время движения тела остается в плоскости //, то отрезок ЛХЛ2 остается перпендикуляр-
движения тела (сечения теладвижения тела (сечения теланым к этой плоскости и, следонательно, перемещается параллельно самому себе. Но в таком случае можно показать, совершенно так же, как это было сделано при рассмотрении поступательного движения тела (§ 71), что все точки данного тела, лежащие на прямой 厶^厶纟，движутся одинаково —так же как точка а фигуры S (т. е. точка пересечения прямой А±А2 с плоскостью //). Точно так же все точки тела, лежащие на прямой 5^2, движутся так же, как точка 6 фигуры S. Отсюда следует, что изучение плоскопараллельного приводится к изучению ббьжения плоской фигуры плоскостью, параллельной данной неподвижной
движения тела (сечения тела
движения тела (сечения тела
плоскости), движущейся в своей плоскости.
ной системе неизменно сной системе неизменно сИтак, пусть имеем некоторую плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа (рис. 210). Отнесем это движение к неподвиж-
ной системе неизменно с
ной системе неизменно с
координат Оху\ кроме того, на самой фигуре возьмем ней связанные и движущиеся вместе с ней координат
ные оси О'х'у'. Ясно, что положение движущейся фигуры иа неподвижной плоскости определяется положением подвижных осей О%'£ относительно неподвижных Оху, а это последнее определяется положением подвижного начала О, т. е. координатами 力°，и ус и углом поворота подвижной системы осей относительно неподвижной, т. е. углом <р, который будем отсчитывать от оси Ох в направлении, обратном движению часовой стрелки. Отсюда следует, что движение плоской фигуры в ее плоскости будет вполне определено, если для каждого момента времени будут известны значения 力о, уо^ и ср.
При движении плоской фигуры координаты подвижного начала хо- и у。， и угол ср, изменяясь с течением времени,
являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями 厶 т. е.
江 о，= /№， у。—病⑴，屮=/з(2)・ (62)
Если функции /К»), %М) и /з«) известны, то для каждого момента Z можно из уравнений (62) найти соответствующие значения ①о，， у。， и (р и, следовательно, определить положение движущейся фигуры в этот момент. Поэтому уравнения (62) вполне определяют движение плоской фигуры и называются уравнениями движения плоской фигуры, движущейся 6 своей плоскости} или, что то же, уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
В частном случае угол <р может оставаться постоянным, а будут изменяться с течением времени только координаты ①°，и у。，； в этом случае подвижные оси перемещаются, оставаясь параллельными своему начальному положению, т. е. фигура, а следовательно, и данное тело имеют поступательное движение. Если же, наоборот, 花о’ и у。’ остаются постоянными, а изменяется только угол <р, то точка О' остается неподвижной, и фигура вращается вокруг этой точки; следовательно, в этом случае тело вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О' и перпендикулярной к плоскости чертежа.
§ 78. Разложение движения плоской фигурына поступательное и вращательное
Пусть данная фигура движется в плоскости чертежа (рис. 211). Как и в предыдущем параграфе, отнесем это движение к некоторой
отношению к подвижнымотношению к подвижнымнеподвижной системе координат Оху и, кроме того, возьмем систему подвижных осей О'*'у', неизменно связанных с движущейся фигурой, начало которых совпадает с произвольно выбранной точкой О' этой фигуры. Проведем, далее, через точку О' оси 0'自 и О'” неизменного направления, так что эти оси остаются все время параллельными неподвижным осям; тогда система подвижных осей 。笺％ перемещаясь вместе с точкой О' фигуры в плоскости чертежа, будет двигаться поступательно.
отношению к подвижным
отношению к подвижным
Положение движущейся фигуры по
осям О飞刀 определяется углом 屮，т. е. углом между осями 0先 и О'/', а движение фигуры относительно этих осей, т. е. ее относительное движение, есть, очевидно, вращение вокруг точки О' (вокруг оси 0^, проходящей через точку О' и перпендикулярной к плоскости чертежа). Угловая скорость со фигуры в этом
вращательном движении равна производной от угла 屮 по времени, т. е.(о =鶴 или на основании уравнений (62^ предыдущего параграфа:
Переносное движение^ т. е. движение осей 0'自刀,как было указано ,является поступательным. Скорость этого поступательно го движения равна скорости точки О фигуры; если обозначим радиус- вектор этой точки через г。，，а ее скорость через и。，，то
办0，
Проекции скорости и。，на неподвижные оси будут равны
研=居H叽т
где хо' и уо> — координаты точки О', или на основании уравнений (62):
^О'х = /1(%)迈 ^О'у = /з (О'
Отсюда
力/ (等斤(4г/= /[7ЛОГ+Т7Ж2.
Мы приходим, таким образом, к следующему важному выводу: движение плоской фигуры g общем случае можно разложить на два движения: 1) поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной точки фигуры, и 2) вращательное движение вокруг этой точки.
Первые два из уравнений (62) определяют поступательное движение, а последнее из этих уравнений есть уравнение относительного вращательного движения фигуры.
Заметим, что при рассмотренном разложении движения фигуры на поступательное и вращательное мы выбрали точку О' совершенно произвольно. Если бы вместо точки О' фигуры мы взяли какую-нибудь другую ее точку О；, то получили бы другое разложение данного движения фигуры, т. е. разложили бы это движение на поступательное со скоростью, равной скорости точки О；, и на вращательное вокруг этой точки О[. Отсюда следует, что разложение данного движения фигуры на поступательное и вращательное можно произвести бесконечным числом способов. Так как различные точки фигуры движутся с различными скоростями!, то ясно, что скорость поступательного движения зависит от выбора точки О'. Что же касается угловой скорости фигуры в ее относи-
тельном вращательном движении, то эта скорость не зависит от выбора точки О'.
произвольно выбраннуюпроизвольно выбраннуюРис. 212.Рис. 212.В самом деле: проведем через другую точку О； движущейся плоской фигуры неизменно связанные с этой фигурой оси О\хх и О\у[, параллельные осям О'хг и Oryf, и оси。& и О；%, движущиеся поступательно и параллельные осям 。飞 и О” (рис. 212). Обозначим через(рг угол между осями。患^ и。；图,отсчитываемый от оси 0'^ против часовой стрелки. Так как оси Orxf и О；/； неизменно'связаны с фигурой, то при движении фигуры эти оси остаются параллельными, а потому углы <р и 屮^ все время будут
произвольно выбранную
произвольно выбранную
Рис. 212.
Рис. 212.
равны как углы с параллельными сторонами, т. е. все время будем
иметь:
Отсюда % =穿Отсюда % =穿Ф1 =恥
Отсюда % =穿
Отсюда % =穿
или о)1 = (о, что и требовалось доказать.
§ 79. Скорости точек плоской фигуры.
Мгновенный центр скоростей и мгновенный центрвращения фигуры
Пользуясь заключением, к которому мы пришли в предыдущем параграфе, а именно, что всякое движение плоской фигуры
в ее плоскости можно разложить на два движения ——поступательное со скоростью, равной скорости какой-нибудь точки О' фигуры, и вращательное вокруг этой точки ——и, зная скорость и(у поступательного и угловую скорость s вращательного движений, легко определить скорость любой точки М фигуры (рис. 213). • В самом деле, скорость точки М на основании теоремы сложения скоростей будет равна векторной сумме скоростей, которые точка М
имеет в каждом из этих двух дви-Рис. 213.
жений —— переносном и относительном
(§ 76). Но переносное движение является поступательным, а потому переносная скорость всякой точки фигуры равна и。, а скорость точки М во вращательном (относительном) движении, которую обозначим через и「, перпендикулярна к радиусу вращения О'М
п равна по модулю гео, где г = О'М^ а под со здесь и в дальнейшем будем понимать абсолютное значение угловой скорости фигуры, т. е. (о н I 曾 I ・ Следовательно, диагональ параллелограмма, построенного на этих двух скоростях, определяет по модулю и направлению искомую скорость и точки М фигуры.
Итак, скорость всякой точки М движущейся плоской фигуры равна векторной сумме двух скоростей: 1) скорости произвольно выбранной точки О' этой фигуры и 2) скорости точки М во вращательном движении вокруг точки О'.
В связи с этим возникает вопрос, имеет ли фигура такую точку, скорость которой в данный момент равна нулю, и как найти такую
Iточку? Это будет, очевидно, такая точка, для
которой переносная и относительная скорости и^ / ЬВ犷 равны по модулю и противоположны по на-
《乎 правлению. Эту точку легко найти следую
Тщим простым построением (рис. 214): повер
нем полупрямую, по которой направлена скорость ио-, на прямой угол вокруг точки d 0 物 °’ в направлении вращения фигуры и затем на этой повернутой полупрямой отложим
Рис. 214.八5v О'з
отрезок О С = ~ , т. е. отрезок, равный отношению переносной поступательной скорости к угловой скорости фигуры. Тогда точка С будет искомой точкой. В самом деле, абсолютная скорость ис точки С равна векторной сумме двух скоростей: переносной скорости и。，п относительной скорости, т. е. скорости точки С во вращательном движении вокруг точки О'; эта вращательная скорость перпендикулярна к О'С и по модулю равна VrC~m *OfC. Как видно из рис. 214, эти две скорости направлены по одной прямой в противоположные стороны, а потому
Vq, Vq =少0，&) ' О С = V(y (JL) = 0.
Таким образом, скорость точки С фигуры в данный момент равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скоростей.
Так как скорость точки С фигуры в данный момент равна нулю, то распределение скоростей в движущейся плоской фигуре в этот момент, очевидно, таково же, как при вращении фигуры вокруг неподвижной точки С.
В самом деле, при разложении движения плоской фигуры на поступательное и вращательное точку О' можно выбрать произвольно; если при этом разложении вместо точки О' мы выберем
точку С} то согласно сказанному выше для скорости любой точки М фигуры будем иметь:
им= Uc + Ums
где им，обозначает скорость точки М во вращательном движении фигуры вокруг точки С. Но% = 0, а потому им= vMCi т. е. скорость любой точки фигуры, в данный момент равна по модулю и направлению той скорости, которую имеет в тот же момент эта точка во вращательном движении фигуры вокруг точки С. Поэтому та точка неподвижной плоскости, с которой совпадает в данный момент мгновенный центр скоростей С, называется мгновенным центром вращения фигуры. Как было указано в предыдущем параграфе, угловая скорость фигуры не зависит от выбора точки О'; поэтому угловая скорость фигуры в ее вращении вокруг центра С равна той же угловой скорости со, с которой фигура вращается вокруг точки О'.
Итак, мы приходим к следующему заключению: при движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент имеется мгновенный центр вращения фигуры, так что скорости всех ее точек в этот момент определяются как вращательные скорости вокруг этого центра.
Важно заметить, что положение мгновенного центра вращения не остается неизменным на неподвижной плоскостиt по которой перемещается фигура, так же как и положение мгновенного центра скоростей на плоскости самой движущейся фигуры; различным моментам времени соответствуют как различные точки данной фигуры, которые являются в эти моменты центрами скоростей, так и различные положения этих точек на неподвижной плоскости, т. е. различные положения мгновенного центра вращения фигуры.
Таким образом, движение плоской фигуры можно представить как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных центров, занимающих в разные моменты времени различные, но вполне определенные положения как на неподвижной плоскости, так и на плоскости движущейся фигуры. В дальнейшем мгновенный центр скоростей и совпадающий с ним в данный момент мгновенный центр вращения фигуры мы будем обозначать через。管.
Если положение мгновенного центра вращения в данный момент найдено и угловая скорость фигуры в этот момент известна, то скорости всех точек фигуры определяются
весьма просто: как было указано выше, ско- Рис. 215. рость каждой точки будет равна по модулю
л направлению вращательной скорости этой точки вокруг мгновенного центра。管；так, например, для точек Л и В движущейся фигуры (рис. 215) будем иметь:
vA = CVA • з и vA _L С^А, vb == CvB •(о и и^ 丄容反
Отсюда следует, что 1) мгновенный центр вращения фигуры лежит 6 точке пересечения перпендикуляров, восставленных в
двух точках фигуры к скоростям этих точекдвух точках фигуры к скоростям этих точек,乂 2),乂 2)VBVB0管40管4модули скоростей точек движущейся фигуры пропорциональнымодули скоростей точек движущейся фигуры пропорциональныи,и,Рис. 216.Рис. 216.расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения фигуры.Пример 85. Вагонное колесо катится без скольжения по рельсу так, что скорость его центра равна и。. Найти скорости точек &, А2, Л3, Л4 колеса, если радиусы Епт известны (рис. 216).Решение. Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки С касания колеса с рельсом равна нулю; следовательно, эта точка С является мгновенным центром вращения колеса. Обозначая через со угловую скорость вращения колеса вокруг точки С (рав-расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения фигуры.Пример 85. Вагонное колесо катится без скольжения по рельсу так, что скорость его центра равна и。. Найти скорости точек &, А2, Л3, Л4 колеса, если радиусы Епт известны (рис. 216).Решение. Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки С касания колеса с рельсом равна нулю; следовательно, эта точка С является мгновенным центром вращения колеса. Обозначая через со угловую скорость вращения колеса вокруг точки С (рав-ную угловой скорости вращения колеса вокруг его центра О), будем, очевидно,ную угловой скорости вращения колеса вокруг его центра О), будем, очевидно,
двух точках фигуры к скоростям этих точек
двух точках фигуры к скоростям этих точек
,乂 2)
,乂 2)
VB
VB
0管4
0管4
модули скоростей точек движущейся фигуры пропорциональны
модули скоростей точек движущейся фигуры пропорциональны
и,
и,
Рис. 216.
Рис. 216.
расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения фигуры.
Пример 85. Вагонное колесо катится без скольжения по рельсу так, что скорость его центра равна и。. Найти скорости точек &, А2, Л3, Л4 колеса, если радиусы Епт известны (рис. 216).
Решение. Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки С касания колеса с рельсом равна нулю; следовательно, эта точка С является мгновенным центром вращения колеса. Обозначая через со угловую скорость вращения колеса вокруг точки С (рав-
расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения фигуры.
Пример 85. Вагонное колесо катится без скольжения по рельсу так, что скорость его центра равна и。. Найти скорости точек &, А2, Л3, Л4 колеса, если радиусы Епт известны (рис. 216).
Решение. Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки С касания колеса с рельсом равна нулю; следовательно, эта точка С является мгновенным центром вращения колеса. Обозначая через со угловую скорость вращения колеса вокруг точки С (рав-
ную угловой скорости вращения колеса вокруг его центра О), будем, очевидно,
ную угловой скорости вращения колеса вокруг его центра О), будем, очевидно,
иметь: о。=①尸,откуда находим угловую скорость колеса:①=Теперь, как видно из рис. 216, модули искомых скоростей выразятся так:
v^^-CA,=之-0,v^^-CA,=之-0,у3 = со • С4зу3 = со • С4з2? + г2? + гу2 - со. СЛ2 = *2 d 口0, S =①・。4у2 - со. СЛ2 = *2 d 口0, S =①・。4疗帀3疗帀3。・。・
v^^-CA,=之-0,
v^^-CA,=之-0,
у3 = со • С4з
у3 = со • С4з
2? + г
2? + г
у2 - со. СЛ2 = *2 d 口0, S =①・。4
у2 - со. СЛ2 = *2 d 口0, S =①・。4
疗帀3
疗帀3
。・
。・
расстояниям этихрасстояниям этихОА =尸,длина шатуна АВ =ОА =尸,длина шатуна АВ =пропорциональны щения, топропорциональны щения, то
расстояниям этих
расстояниям этих
ОА =尸,длина шатуна АВ =
ОА =尸,длина шатуна АВ =
пропорциональны щения, то
пропорциональны щения, то
Направления этих скоростей соответственно перпендикулярны к CAlf СА2, СА3 и С4k
Пример 86. В кривошипно-шатунном механизме длина кривошипа ” f 厶 Кривошип вращается вокруг точки О с угло-
вой скоростью со0. Найти скорость ползуна В (рис. 217).
Решение. Скорость 砂从 точки / кривошипа перпендикулярна к радиусу ОА и по модулю равна гсоо. Скорость точки В направлена по прямой ВО. Точка Cv пересечения перпендикуляров, восставленных в точках Л и 5 к скоростям этих точек, определяет положение мгновенного центра вращения шатуна.
откуда находим:откуда находим:"о ="о =С/厶4С/厶4Так как скорости точек Л и В точек от мгновенного центра вра-
откуда находим:
откуда находим:
"о =
"о =
С/
厶4
С/
厶4
Если в точке О восставим перпендикуляр к ОВ до пересечения его в точке D с продолжением прямой BAf то из подобных треугольников ODA и ABCV найдем:
&,£ _ OD
CVA г
а потомуа потомуоB = 7•①0"=①0.0nоB = 7•①0"=①0.0n
а потому
а потому
оB = 7•①0"=①0.0n
оB = 7•①0"=①0.0n
Пример 87. Даны по модулю и направлению скорости иА и vB двух
Рпс. 218.Рпс. 218.точек / и В фигуры, причем эти скорости параллельны и направлены в одну сторону, а прямая АВ перпендикулярна к направлению этих скоростей (рпс. 218). Найти мгновенный центр вращения и угловую скорость фигуры, если
Рпс. 218.
Рпс. 218.
ЛВ = I.
Решение. Перпендикуляры, восставленные в точках /奴石 к скоростям этих ючек, направлены в данном случае по одной прямой; положение мгио^ венного центра вращения Cv на этой прямой определяется из пропорции
跖一万В，
отсюда следует, что мгновенный центр вращения Cv лежит в точке пересечения прямой АВ с прямой, соединяющей концы векторов vA и 口召,как показано на рис. 218. Чтобы определить расстояние ЛС13, перепишем предыдущую пропорцию в виде '
2 VB， отсюда находим:
Искомую угловую скорость вращения фигуры вокруг мгновенного центра находим из равенства
= ACV • со,
откуда
以一气以一气
以一气
以一气
Решение примера 86 показывает, что если нам известна по модулю и направлению скорость одной точки фигуры (точки А) и направление скорости какой-нибудь другой ее точки (точки В), то мы можем найти модуль этой второй скорости. Отсюда заключаем, что нельзя задавать произвольно по модулю и направлению скорости двух точек фигуры] эти скорости находятся между собой в определенной зависимости, которая устанавливается следующей теоремой,
Теорема. Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.Теорема. Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.Доказательств гуры равны и& и vb (рис.Доказательств гуры равны и& и vb (рис.о. Пусть скорости двух точек А и В фи-219). Рассматривая движение фигурыо. Пусть скорости двух точек А и В фи-219). Рассматривая движение фигурыРис. 219.Рис. 219.согласно сказанному в § 78 как сложное, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью 办 и вращательное движение вокруг точки 4согласно сказанному в § 78 как сложное, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью 办 и вращательное движение вокруг точки 4с угловой скоростью з,с угловой скоростью з,заключаем, что скорость точки В равна векторной сумме двух скоростей: скорости Ua поступательного переносного движения и скорости этой точки В в относительном вращательном движении вокруг точки 4; если обозначим эту вторую скорость через Рва, то эта зависимостьзаключаем, что скорость точки В равна векторной сумме двух скоростей: скорости Ua поступательного переносного движения и скорости этой точки В в относительном вращательном движении вокруг точки 4; если обозначим эту вторую скорость через Рва, то эта зависимостьвыразится векторным равенствомвыразится векторным равенствомЬв = и& + ГВА,Ьв = и& + ГВА,причем скорость Vba равна по модулю АВ • со и направлена перпендикулярно к АВ.Проектируя теперь скорости 以 и Vb на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и ВЬ, из очевидного равенства треугольников АКа и BLb получим: Аа = ВЪ, что и требовалось доказать.Пример 88. Вдоль неподвижной прямой хх движутся два ползуна с данными скоростями % и и2 (рис. 220). К этим ползунам при помощи тар- виров присоединены два стержня АС и ВС, которые скреплены друг с другом шарниром в точке С. Найти скорость точки С.причем скорость Vba равна по модулю АВ • со и направлена перпендикулярно к АВ.Проектируя теперь скорости 以 и Vb на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и ВЬ, из очевидного равенства треугольников АКа и BLb получим: Аа = ВЪ, что и требовалось доказать.Пример 88. Вдоль неподвижной прямой хх движутся два ползуна с данными скоростями % и и2 (рис. 220). К этим ползунам при помощи тар- виров присоединены два стержня АС и ВС, которые скреплены друг с другом шарниром в точке С. Найти скорость точки С.Рис. 220.Рис. 220.
Теорема. Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.
Теорема. Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.
Доказательств гуры равны и& и vb (рис.
Доказательств гуры равны и& и vb (рис.
о. Пусть скорости двух точек А и В фи-
219). Рассматривая движение фигуры
о. Пусть скорости двух точек А и В фи-
219). Рассматривая движение фигуры
Рис. 219.
Рис. 219.
согласно сказанному в § 78 как сложное, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью 办 и вращательное движение вокруг точки 4
согласно сказанному в § 78 как сложное, которое можно разложить на поступательное движение со скоростью 办 и вращательное движение вокруг точки 4
с угловой скоростью з,
с угловой скоростью з,
заключаем, что скорость точки В равна векторной сумме двух скоростей: скорости Ua поступательного переносного движения и скорости этой точки В в относительном вращательном движении вокруг точки 4; если обозначим эту вторую скорость через Рва, то эта зависимость
заключаем, что скорость точки В равна векторной сумме двух скоростей: скорости Ua поступательного переносного движения и скорости этой точки В в относительном вращательном движении вокруг точки 4; если обозначим эту вторую скорость через Рва, то эта зависимость
выразится векторным равенством
выразится векторным равенством
Ьв = и& + ГВА,
Ьв = и& + ГВА,
причем скорость Vba равна по модулю АВ • со и направлена перпендикулярно к АВ.
Проектируя теперь скорости 以 и Vb на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и ВЬ, из очевидного равенства треугольников АКа и BLb получим: Аа = ВЪ, что и требовалось доказать.
Пример 88. Вдоль неподвижной прямой хх движутся два ползуна с данными скоростями % и и2 (рис. 220). К этим ползунам при помощи тар- виров присоединены два стержня АС и ВС, которые скреплены друг с другом шарниром в точке С. Найти скорость точки С.
причем скорость Vba равна по модулю АВ • со и направлена перпендикулярно к АВ.
Проектируя теперь скорости 以 и Vb на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и ВЬ, из очевидного равенства треугольников АКа и BLb получим: Аа = ВЪ, что и требовалось доказать.
Пример 88. Вдоль неподвижной прямой хх движутся два ползуна с данными скоростями % и и2 (рис. 220). К этим ползунам при помощи тар- виров присоединены два стержня АС и ВС, которые скреплены друг с другом шарниром в точке С. Найти скорость точки С.
Рис. 220.
Рис. 220.
Решение. Спроектируем скорость 砂】на направление СА и скорость е? на направление С8; пусть эти проекции изображаются отрезками Аа и ВЬ. По доказанной теореме проекции искомой скорости точки С на направления СА и СВ должны быть равны проекциям Аа и ВЬ; поэтому отложим от точки С отрезки CD — Аа и С£ = ВЬ; по этим двум проекциям нетрудно построить искомую скорость; для этого достаточно восставить в точках D и Е перпендикуляры к АС и 石С; пусть эти перпендикуляры пересекутся в точке 尸； тогда вектор CF определит по модулю и направлению искомую скорость точки С.
Предположим, что скорости двух точек Л и В плоской фигуры в данный момент параллельны, причем эти скорости образуют с прямой АВ некоторый угол а, не равный 90° (рис. 221). На основании доказанной теоремы о равенстве проекций этих скоростей на направление АВ имеем： va cos а =己石 cos а, или 少厶=vb и, следовательно,
% = Ьв •
А потому из равенства ив = fa + гва получаем Vba= 0, или АВ * со = 0, откуда з = 0. Если рассмотрим какую-нибудь третью точку С фигуры, то ее скорость равна
где uca обозначает скорость точки С во (“? /
вращательном движении фигуры во- I С °—> с扛“尸§/
круг точки Л и, следовательно, vca =\
=АС • о = 0, а потому
% = Ua .
Таким образом, скорости всех точекРис. 221.
фигуры в данный момент равны как по
модулю, так и по направлению, т. е. в данном случае мы имеем такое же распределение скоростей в движущейся плоской фигуре, как при поступательном движении этой фигуры.
Если в точках Л и В восставим перпендикуляры к скоростям этих точек, то эти перпендикуляры будут параллельны (рис. 221). Поэтому мгновенный центр вращения фигуры, находящийся в точке пересечения этих перпендикуляров, оказывается в данном случае бесконечно удаленным. Отсюда приходим к заключению: & тот момент, когда мгновенный центр вращения фигуры оказывается бесконечно удаленным, угловая скорость фигуры равна нулю, а скорости всех ее точек равны по модулю и имеют одно и то же направление.
Так, в примере 86 в тот момент, когда кривошип ОА занимает вертикальное положение, скорости всех точек шатуна АВ равны по модулю и параллельны; если бы в примере 87 скорости ^а и Vb были равны, то точка Cv была бы бесконечно удаленной, и распределение скоростей в движущейся фигуре было бы такое же, как при поступательном движении.
§ 80. План скоростей
Определение скоростей различных точек движущейся плоской фигуры легко может быть выполнено графически при помощи построения плана скоростей.
Если из произвольно взятой точки проведем векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек
движущейся плоской фигуры в данный момент, то полученный таким образом чертеж называется планом скоростей для этой фигуры. Пусть например, скорости трех точек А, В п С данной фигуры равны %, ив и % (рис. 222, а). Если проведем из произвольной точки о векторы оа = оЬ = ив и oc^Vc, то получим план скоростей (рис. 222, б).
Мгновенный центр - вращения С。фигуры лежит, как мы знаем, в точке пересечения перпендикуляров, восставленных в точках А, В и С к скоростям 5 и С с центром Cv и отло
жим на CVA, CVB и CVC отрезки CVA±, CVB1 и 。①С\, равные CVA± = vr = CVA * co, C笛В* =，в = CVB ■ со и CvCr — vc~ CVC • co, где з обозначает угловую скорость фигуры в ее вращении вокруг центра Сг. Следовательно, будем иметь:
CVA.\ _ e管石IC1)e1 —
Если соединим теперь между собой прямыми точки А, В и С и точки 41, §1 и С\, то из предыдущих пропорций следует, что соответствующие стороны треугольников АВС и Л1В1С1 параллельны, а потому эти треугольники подобны, причем отношение их соответствующих сторон равно со.
Так как скорости г»&, г»в и г»с соответственно перпендикулярны к CVA^ CvBr и。①С\, то ясно, что, повернув четырехугольник CVAiB1C1 вокруг точки Cv на 90° в направлении вращения фигуры, получим план скоростей. Таким образом, четырехугольник oabc, представляющий собой план скоростей, равен четырехугольнику CVA1B^C1 и повернут относительно него на прямой угол. Отсюда непосредственно вытекают следующие основные свойства плана скоростей:
Всякий многоугольник на плане скоростей подобен соответствующему многоугольнику на движущейся фигуре.
В самом деле, 4AlВ1c工2 £\АВС、ноДЛ iB^y — £\abc, следовательно, ^аЪссо /\АВС.
Отношение соответствующих сторон этих многоугольников равно со.
Всякая прямая на плане скоростей перпендикулярна к соответствующей прямой на движущейся фигуре.
В самом деле, так как фигура оаЪс, как сейчас было указано, повернута относительно фигуры 。^力丿九^工 на прямой угол, то
ас丄41&, но А1С1 И 40; следовательно, ас丄4a Точно так же abJ_AB и bc_LBC.
Укажем еще на следующее свойство плана скоростей: из треугольника оаЪ на плане скоростей имеем:
ob = оа + &Ь или
ив = Da + аЪ.
С другой стороны, как мы знаем, движение плоской фигуры можно разложить на два движения: 1) поступательное со скоростью и& точки Л и 2) вращательное вокруг этой точки А с угловой скоростью со. Поэтому, обозначая скорость точки В во вращательном движении фигуры вокруг точки А через Рва, будем иметь:
Ьв ^^ u_a + Uba・
Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем: ab = Uba,
т. е. вектор ab на плане скоростей равен по модулю и направлению скорости точки В фигуры во вращательном движении вокруг точки Л.
Точно так же
Ьс = vcb,
где "св есть скорость точки С во вращательном движении фигуры вокруг точки В, и т. д.
Для построения плана скоростей достаточно знать модуль и на
правление скорости одной какой-нибудь точки движущейся фигуры
Рис. 223.Рис. 223.ипрямую, по которой направлена скорость какой-нибудь второй ее точки. Тогда скорости всех точек фигуры могут быть найдены.
Рис. 223.
Рис. 223.
В самом деле, пусть известна скорость и& точки 4 и направление скорости точки В, указанное на чертеже тонкой линией (рис. 223, а). Проведем
из произвольной точки о вектор оа = ua и прямую 。卩,параллельную заданному направлению скорости точки В (рис. 223, б); вектор оЬ, изображающий скорость точки В, направлен по прямой о§; следовательно, остается только определить положение точки Ъ на этой прямой. Для этого заметим, что по третьему свойству плана скоростей аб丄4》.Поэтому из точки а проводим прямую, перпендикулярную к 45; точка пересечения этой прямой с о§ является искомой точкой Ь, а вектор оЪ определяет скорость точки В. Возьмем теперь какую-нибудь третью точку С фигуры. Если
обозначим конец вектора, изображающего скорость этой точки на плане скоростей, буквой с, то по указанному сейчас свойству плана скоростей имеем: ас^АС и Ъс±_ВС. Поэтому точка пересечения двух прямых, проведенных из а и b и соответственно перпендикулярных к АС и ВС, определяет на плане скоростей точку с, а вектор ос определяет искомую скорость точки С. Как видим, этим способом легко может быть определена графически скорость любой точки фигуры. Заметим, что при рассмотренном способе построения плана скоростей не требуется находить положения мгновенного центра вращения фигуры, что практически весьма существенно, так как мгновенный центр вращения часто оказывается настолько удаленным, что не помещается на чертеже.
Пример 89. Построить план скоростей для двухкривошипного механизма, изображенного на рис. 224, а, если известны длина кривошипа СА — г и угловая скорость со, с которой он вращается вокруг неподвижной точки С.
Решение. Так как г и со даны, то модуль скорости точки А известен: иА— гео; эта скорость направлена перпендикулярно к С А. Из произвольной точки о проводим вектор о。, перпендикулярный к СА, длина которого в произвольно выбранном масштабе изображает модуль скорости точки Л (рис. 224,6). Так как точка В принадлежит кривошипу В£, вращающемуся вокруг неподвижной точки £, то ее скорость перпендикулярна к В£; относительная скорость иВАвращенпя точки 石 вокруг А перпендикулярна к Д5.Поэтому для построения на плане скоростей скорости точки В проводим из точки о прямую, перпендикулярную к BE、а из точки а ——прямую, перпендикулярную к 幺石； точку пересечения этих прямых обозначим через 匕；вектор оЬ определяет скорость точки В. Далее, для определения скорости какой-нибудь точки М звена АВ поступаем следующим образом: так как точки А, М п В лежат на одной прямой, то на основании первого свойства плана скоростей заключаем, что соответствующие им точки о, m и & на плане также должны лежать на одной прямой и, кроме того, должна иметь место пропорция
ат АМ
mb МВ"
Поэтому достаточно разделить отрезок ab в отношении и точку деления т соединить прямой с точкой о; тогда вектор от определит скорость точки М. Таким образом, планы скоростей для звеньев ЛВ и BE построены. Переходим к шатуну BD. Скорость точки В уже найдена. Направление скорости
точки D известно, так как эта точка движется по прямой DE. Поэтому проводим из точки о прямую, параллельную О£, а из точки & — прямую, перпендикулярную к BD. Точку пересечения этих прямых обозначим через d; тогда вектор od определит скорость точки D. Для определения скорости какой- нибудь точки N шатуна BD поступаем совершенно так же, как и при оирс- делении скорости точки ж: делим отрезок bd в отношении ^^風 точку деления п соединяем прямой с точкой о; вектор on определяет скорость точки 7V. Таким образом, получаем план скоростей для всего механизма.
§ 81. Центроиды
Распределение скоростей в движущейся плоской фигуре, полученное в § 79 и основанное на понятии мгновенного центра вращения фигуры, относится только к данному моменту времени.
В этом параграфе мы рассмотрим теорему, которая дает наглядное представление о движении плоской фигуры в течение конечного промежутка времени.
Вывод этой теоремы основан на следующей лемме:
Лемма. Всякое непоступателъное перемещение плоской фигуры из одного положения в другое можно осуществить при помощи одного поворота на некоторый определенный угол вокруг некоторой определенной точки.
Доказательство. Пусть данная фигура переместилась из положения / в положение II так, что произвольно взятый на этой фигуре отрезок переместился из положения АВ в AfBr (рис. 225), соединим точку Л прямой с точкой 4' и точку В с В' и в серединах отрезков 44’ и ВВГ восставим к ним перпендику* ляры. Пусть эти перпендикуляры пересекутся в точке С. Соединим точку С прямыми с точками 4, 5, 4’ и 5’. Два треугольника АВС и А'В'С имеют, очевидно, по три равные стороны, так как
CA^CAf, СВ—СВ' и АВ—А ГВ\ а потому эти треугольники равны; отсюда следует, что если мы повернем треугольник АВС вокруг точки С на угол АСА ' =(р так, чтобы сторона СА совместилась с равной ей стороной CAf, то треугольник АВС совместится с треугольником А'ВГС\ отрезок АВ совместится при этом с а так как положение данной фигуры на плоскости вполне определяется положением отрезка АВ, то фигура займет положение //, и лемма, следовательно, доказана.
Предположим теперь, что фигура переместилась из положения / в положение //, двигаясь как угодно в своей плоскости в течение времени Л Разобьем весь этот промежуток времени на весьма большое число 孔 весьма малых промежутков
В начале промежутка △% фигура занимает положение /, в конце его она занимает близкое положение, которое обозначим цифрой 2; в течение следующего промежутка времени Д/2 фигура переместится в новое положение 3 и т. д. К каждому из этих перемещений мы можем применить только что доказанную лемму; поэтому каждому из них будет соответствовать свой определенный центр вращения и определенный (весьма малый) угол поворота вокруг этого центра. Обозначим эти центры через С1Г “。纟,Сз,…，Сп, а углы поворота обозначим соответственно через 厶屮口 Д(р2, Афз»厶屮几• Таким
образом, данное движение фигуры мы можем с известной степенью точности заменить рядом последовательных вращений вокруг
центров Сг с угловыми скоростями, соответственно равными
Точность этой замены будет тем больше, чем больше будет взято число п промежутков времени и чем каждый из этих промежутков А% будет меньше; при возрастании числа п и уменьшении А% ряд указанных последовательных вращений будет все ближе подходить к истинному движению фигуры. В пределе при п -> сю и Д/г 0 мы в точности получим истинное движение фигуры в течение времени Z между положениями / и //.
Центры Сг в пределе превращаются в мгновенные центры вращения фигуры; истинная угловая скорость фигуры при вращении вокруг мгновенного центра Cvi будет, очевидно, равна
Мы пришли, таким образом, другим путем к известному уже нам заключению: в каждый данный момент существует точка, вокруг которой в этот момент вращается фигура.
Отметив положения центров вращения Съ С2, С3, ... на неподвижной плоскости, по которой перемещается данная фигура, и соединив их между собой прямыми, получим на этой плоскости ломаную линию С,1С2С,3С,4... (рис. 226). В течение промежутка времени Aq фигура поворачивается вокруг точки С\ на угол А%.
Нетрудно найти на самой движущейся, фигуре ту ее точку, которая после этого поворота совпадет с точкой С2, т. е. будет служить в течение следующего промежутка времени Д/2 центром вращения. Для этого, очевидно, достаточно отложить от прямой С©? Уго^， равный Аф!, в направлении, обратном вращению фигуры вокруг C\i), и па стороне этого угла отложить отрезок С\С； = С^С?. Ясно, что после поворота фигуры вокруг Сг на угол Ад по часовой стрелке точка С； совпадет с точкой С2. Точно так же можно найти ту точку движущейся фигуры, которая после второго поворота фигуры вокруг С? на угол Д(р2 совпадет с точкой С3, т. е. будет служить центром вращения в течение промежутка А%. Для того чтобы найти на фигуре такую точку, поступим так: построим угол СХС\А1 с вершиной в точке С%, равный углу 。1。2。3； затем от прямой CzAi отложим протии часовой стрелки угол, равный , Aq)2, и на стороне этого угла отложим отрезок С；С；, равный С2С3； точка С； будет искомой.
В самом деле, после первого ' поворота фигуры вокруг С工 на угол Дф! точка совпадет с С2; вследствие равенства по построен
прямая 。；力1 совпадет при этом с прямой С2С3, а прямая С]С； будет составлять с прямой С2С3 угол Д(р2; при втором повороте фигуры вокруг С2 на угол Д(р2 по часовой стрелке прямые U2cg п С2С3 совпадут, причем точка С^ совпадет с &, так как отрезки С2С3 и。2。3 по построению равны.
Аналогичным построением можно найти, далее, точку фигуры С；, которая после поворота фигуры вокруг центра С3 на угол Д(р3 совпадет с точкой С4; для этого построим угол С^С^А2 с вершиной в точке Сз, равный углу С2С3С^ затем от прямой С；%2 отложим угол, равный Д(р3, в направлении, обратном направлению вращения фигуры вокруг С3, и па стороне этого угла отложим отрезок С'зС^ =^С3С^ точка С\ является искомой. Продолжая, далее, эти построения, получим на самой движущейся фигуре ломаную линию СС[С£；…,которая при последовательных вращениях фигуры вокруг центров &, С2, С3,... перекатывается по неподвижной ломаной С1С,2С,3С4... так, что соответственно равные стороны этих ломаных линий последовательно приходят в совпадение.
В пределе при п -> оо и Д^-> 0 ломаные С^^С^^.. и С£]С；С[… превращаются в соответствующие кривые — геометрические места
На рис. 226 предполагается, что повороты фигуры вокруг центров Q происходят ио часовой стрелке.
мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, по которой перемещается фигура, и мгновенных центров скоростей на плоскости самой движущейся фигуры. Эти кривые соответственно носят названия неподвижной и подвижной центроид, или полодий (рис. 227).
Отсюда приходим к следующей теореме:
При движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центроида катится, без скольжения по неподвижной и обратно: всякое движение плоской фигуры 6 ее плоскости \можно осуществитьj построив подвиж-
ную и неподвижную центроиды и заста-
,/вив первую катиться без скольжение
&歹^<e?^sff4^^ffWW 龍0 второй с соответствующей g каждый
屯/j^^ZdaHHbiH момент угловой скоростью.
^^?В каждый данный момент подвижная
Жи неподви?кпая центроиды имеют общую
>J 饰точку (на рис. 227 — точка Сг1), которая
//является мгновенным центром скоро-
£стей фигуры в этот момент.
"Нетрудно видеть, что в этой точке
Рис. 227.центроиды имеют общую касательную.
В самом деле, точка & (рис. 226) в пределе становится мгновенным центром скоростей Cvl (и мгновенным центром вращения), а прямые СХС2 и С1cl в пределе превращаются соответственно в касательные к неподвижной и подвижной центроидам в точке Cvl. Но угол A(px между прямыми ^^ и С\С； при А^ -> 0 стремится к нулю, а потому эти касательные совпадают. Качение подвижной центроиды по неподвижной происходит без скольжения потому, что скорость точки касания этих
кривых равна нулю, так как эта точка является мгновенным центром скоростей.
Теорема о центроидах дает наглядное геометрическое представление о движении плоской фигуры как о качении без скольжения одной кривой по другой. Если построенные центроиды меняются ролями, т. е. если неподвижную центроиду сделать подвижной, а подвижную центроиду ——неподвижной, то получим
новое движение плоской фигуры, которое по отношению к первому называется обращенным движением.
Рассмотрим следующий простой пример. Колесо катится без скольжения по неподвижному рельсу (рис. 228). Так как качение происходит без скольжения, то скорость точки С» касания ко
леса с рельсом равна нулю; следовательно, эта точка является мгновенным центром вращения колеса. Через некоторый промежу-
ток времени мгновенный центр вращения переместится в точку 6^1； с точкой 6^1 на рельсе придет в совпадение точка С/ колеса; спустя еще некоторое время мгновенным центром вращения колеса будет служить точка CV2 на рельсе, а мгновенным центром скоростей ——точка С%2 на колесе (в этот момент обе эти точки совпадают) и т.д. Таким образом, неподвижной цен- троидой является прямая хх (рельс), а подвижной центроидой — окружность колеса. Справедливость теоремы о центроидах в данном случае очевидна.
Так как на рис. 226 соответственные стороны ломаных линий равны, т. е. С© = &以,。2。3 = CU и т. д., то отсюда следует, что длины соот~ ветственных дуг неподви^сной и подвижной центроид равны. Поэтому на рис. 227 CvlCJ，2 = С、£*2、°雜工&3 =
С①①з и т. д. точно тан же на рис• 2280力0以c④°。1，0力°&?
"С^С①2 и т* Д*
Пример 90. Плоская фигура движется так, что две ее точки А и В, расстояние между которыми равно /, перемещаются по двум неподвижным прямым Oz и Оу (рис. 229). Найти центроиды для этого движения.
Решение. Скорость ?& точки А направлена по прямой Ох, а скорость (?в точки В — по прямой Оу; восставив в / 且石 перпендикуляры к этим скоростям, найдем мгновенный центр вращения в точке их пересечепия С等. Разным положениям прямой /8 соответствуют различные положения точки Сг,
но, как видно из рис. 229, расстояние OCV = /8 = 2 остается постоянным; отсюда заключаем, что неподвижная центроида есть окружность, описанная из центра О радиусом /. Переходим к определению подвижной центроиды; положение точки Cv относительно прямой АВ, т. е. положепие на плоскости самой движущейся фигуры, также изменяется с течением времени, но расстояние OfCv =
=2 остается постоянным (О' есть середина отрезка АВ)\ следовательно, подвижная центроида есть окружность радиуса 2 с центром в О .
На основании теоремы о центроидах мы получим данное движение фигуры, если будем меньшую окружность катить
Рис. 230.Рис. 230.без скольжения по большей. Диаметр АВ меньшей окружности при этом будет двигаться так, ято его коицы все время бунут оставаться на прямых 0% и 0у・
Рис. 230.
Рис. 230.
Пример 91. Стержень АВ (рис. 230) движется в плоскости чертежа так, что во все время движения он касается неподвижного полуцилиндра радиуса г, а конец его А перемещается по прямой О”. Найти центроиды для этого движения стержня.
Решение. Скорость точки А направлена по прямой Ох, а скорость точки касания D стержня с цилиндром направлена по касательной к цилиндру, т. е. вдоль ВА 】)；восставив в Л и £> перпендикуляры к этим скоростям, найдем мгновенный центр вращения стержня в точке их пересечения Cv.
Выбрав неподвижные оси Оху, как указано на рис. 230, и обозначив координаты точки Cv через $ л у, будем иметь: $ = ОА л у = ACV. Из треугольников ODA и OCVA находим:
尸,尸COS ф
9 = _ и у = 9 ctg 屮=.2 т .
Sin ф У от Sin2 ф
Если из этих уравнений исключить переменный угол ф, то получим уравнение геометрического места точек Cv, т. е. уравнение неподвижной центроиды. Для этого перепишем эти уравнения так:
sin го = — , cos ф — — sin2 屮=~-.
ИЛИИЛИВозведя теперь эти уравнения в квадрат и сложив их, получим: Г2 丄 $24
ИЛИ
ИЛИ
冗& — г2 Q2 -ф-疗)=0.
подвижных осей Ах'у',подвижных осей Ах'у',Таково уравнение неподвижной центроиды; это ——кривая четвертого порядка. Для того чтобы найти уравнение подвижной центроиды, возьмем систему
подвижных осей Ах'у',
подвижных осей Ах'у',
6〃6〃5 ВРис. 231.5 ВРис. 231.связанных с движущимся стержнем^ причем ось Ау направим но стержню, а ось Ах,——перпендикулярно к нему. Построив координаты точки Си 33 в подвижной системе осей, будем иметь：宓'= =DCp и yf=AD. Но из прямоугольного треугольника OCVA имеем: AD2 = OD • ВСгили yf2 = г"; следовательно, подвижная центроида есть парабола.
6〃
6〃
5 В
Рис. 231.
5 В
Рис. 231.
— Пример 92. Две параллельные рейки движутся поступательно с данными постоянными zj скоростями D] п г2 в противоположные стороны и силой трения приводят в движение находящееся между ними колесо радиуса г. Найти для колеса неподвижную и подвижную центроиды, предполагая, что колесо не скользит по рейкам (рис. 231).
Решение. Так как по условию задачи колесо пе скользит по рейкам, то скорости точек / 風 石 касания колеса с рейками равны соответственно ?^ и г»2・ Мгновенный центр вращения колеса лежит на общем перпендикуляре АВ к этим скоростям. Так как скорости точек движущейся фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения, то, чтобы найти положение этого центра, нужно отрезок АВ разделить в отношении
—;для этого достаточно соединить прямой лпниеи концы векторов о^ и и2.
Точка Cv пересечения этой прямой с прямой 4В определяет положение мгновенного центра вращения колеса.
Из пропорции
или
г — ВСр — Vi
BCV — находим:
так как скорости ух и f2 постоянны, то BCV = const. Отсюда видим, что на неподвижной плоскости мгновенные центры вращения колеса расположены на одинаковом расстоянии от нижней рейки; следовательно, неподвижная центроида представляет собой прямую, проходящую через точку Cv и параллельную рейкам. Найдем теперь расстояние OCV\
OCV = 尸-BCV = 尸 一 2尸^—■ = Г = const,
т. 9. расстояние мгновенного центра скоростей от центра колеса остается постоянным. Отсюда следует, что подвижная центроида есть окружность с центром в точке О и радиусом, равным
_ 4 -内
Согласно теореме о центроидах рассматриваемое движение колеса можно получить, заставляя окружность радиуса OCV катиться без скольжения по неподвижной прямой, проходящей через точку Cv и параллельной рейкам.
§ 82. Ускорения точек плоской фигуры.Мгновенный центр ускорений
Перейдем теперь к определению ускорений точек движущейся плоской фигуры.
Как было указано в § 78, в общем случае движение плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, можно разложить на два движения: 1) поступательное, скорость которого равна скорости произвольно выбранной*точки О' фигуры, и 2) вращательное вокруг этой точки с угловой скоростью S, не зависящей от выбора точки О'. Отсюда на основании теоремы сложения ускорений (§76) следует, что ускорение каждой точки движущейся плоской фигуры равно геометрической сумме двух ускорений: 1) ускорения 6 поступательном fпереносном) движении и 2) ускорения во вращательном движении вокруг точки О' (в относительном движении).
Поэтому, если обозначим ускорение переносного поступательного движения, равное ускорению точки О', через wq' (рис. 232), а ускорение какой-нибудь точки А фигуры во вращательном
движении вокруг точки О' (относительное ускорение) через м^, то будем иметь:
w =⑦0，+⑦门(63)
где w обозначает абсолютное ускорение точки 4. Ускорение wr можно разложить на два ускорения: нормальное, или центростреми-
Рис. 232.Рис. 232.тельное, ускорение wrn, направленное по радиусу вращения точки 4, т. е. по 4。'，и касательное ускорение wr^, направленное перпендикулярно к АОГ (рис. 232). Следовательно,
Рис. 232.
Рис. 232.
Wr = wrn + *广.(64)
При этом на основании формул (§ 72) будем иметь:
\^гп \ = 3,；加广 I = Г 1^1；
丨1r/ = Г /^2 + 3“，(64‘)
где г = О'А. а е обозначает угловое ускорение фигуры в ее вращательном движении, т. е. е =
(65)(65)При ускоренном вращении фигуры ускорение wrx будет направлено по перпендикуляру к АО' в ту же сторону, куда направлена скорость vr точки А во вращательном движении вокруг точки О'; при замедленном вращении фигуры это ускорение будет направлено в сторону, противоположную направлению скорости иг. Если обозначим через а острый угол, который ускорение wr образует с направлением АО\ то, как видно из рис. 232,
(65)
(65)
电а -瓦^一瀛
Отсюда следует, что этот угол имеет 6 данный момент одно 乂 то же значение для всех точек фигуры.
Вектор wr отклоняется от направления АО' всегда в ту сторону, куда направлено касательное ускорение wrx. Поэтому при ускоренном вращении фигуры вектор wr отклоняется от направления АО' на угол а в ту же сторону, куда направлена скорость vr точки Л во вращательном движении вокруг точки О'; при замедленном вращении фигуры вектор wr будет отклонен от 40' на угол а в сторону, противополо7кную направлению скорости v「.
Таким образом, при ускоренном вращении фигуры векторы wr и ^расположены по одну сторону от прямой АО', а при замедленном вращении ——по разные стороны от этой прямой. Если в = О, то а = 0; в этом случае ускорение wr совпадает с центростремительным ускорением и направлено по прямой АО\
Равенство (63) на основании формулы (64) можно переписать в виде
W = Wo + wrn + Wn,(66)
или
Wa =加О, + W^AO' + W^AOS(66‘)
где ггд^ и w^a обозначают соответственно касательное и нормальное ускорения точки Л фигуры в ее вращательном движении вокруг точки О', т. е.
^SkO，^rt Н ^АО' = W^rn'
Отсюда, принимая во внимание формулы (64‘) и (65), видим, что для определения ускорений точек данной фигуры нужно знать ускорение wo> одной какой-нибудь точки О' этой фигуры# а также угловую скорость и угловое ускорение фигуры.
При определении скоростей точек движущейся плоской фигуры мы видели, что в каждый данный момент имеется такая точка Со фигуры, скорость которой в этот момент равна нулю и которая называется мгновенным центром скоростей.
Аналогично этому нетрудно показать, что в каждый данный момент существует такая точка фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Посмотрим, как найти эту точку.
Пусть точка Cw будет искомым центром ускорений (рис. 233). Предположим, что
ускорение wo какой-нибудь точки。‘ фигуры нам известно. Мы найдем положение точки С乜,если будем знать направление прямой О'С紀,на которой лежит эта точка, т. е. угол, который прямая OfCw образует с вектором «г。，, и если, кроме того, будем знать расстояние OfCw.
Ускорение точки С^, как и всякой другой точки фигуры, складывается из ускорения Wq1 и ускорения ггсдаО'которое имеет точка Cw во вращательном движении фигуры вокруг О'\ при этом вектор wCwq> образует с направлением Си^ угол а = arctg*. Так как по условию ускорение точки С^ равно нулю, то векторы wo' и ^cwor должны иметь равные модули и противоположные направления. Отсюда следует, что прямая OrCw образует с вектором wo> угол, равный а. Остается определить расстояние OfCw. Для этого заметим, что на основании формулы(64') имеем:
\wc^0'\= г F е2 + CD4 = O'CW • У^ + w\
11 II. М. Воронков
по |гг(%о,丨= 力о； следовательно,
откуда'
O'CW =,%/82 4- 0?
Таким образом, приходим к следующему заключению: чтобы найти мгновенный центр ускорений, нужно полупрямую, по которой направлен вектор гго<, повернуть вокруг точки О' на острый угол а = arctg Тн затем отложить на ней от точки。‘ отрезок, равный
一…一――;конец этого отрезка определяет положение искомого }/ &2 十 ©4
центра ускорений в данный момент.
При этом, как нетрудно попять, при ускоренном вращении фигуры поворот полупрямой, по которой направлен вектор w()^ вокруг точки。‘ на угол а нужно производить в направлении вращения фигуры; при замедленном же вращении фигуры этот поворот нужно производить в направлении, обратном вращению фигуры. Если £ = 0, то а = 0, и мгновенный центр ускорений лежит на прямой, по которой направлен вектор Wo^ Расстояние O'CW равно в w(y зтом случае 一 .
Поло7кение мгновенного центра ускорений при движении фигуры не остается неизменным: различным моментам времени соответствуют различные положения центра ускорений как на неподвижной плоскости, в которой движется данная фигура, так и на подвижной плоскости этой фигуры.
Когда положение центра ускорений для данного момента времени определено, ускорения точек движущейся фигуры находятся проще по сравнению с тем, что было сказано в начале этого параграфа.
В самом деле, ускорение какой-нибудь точки Л фигуры определяется по формуле (63):
1Га = wq> + «Гдо-,
где Wo1 обозначает ускорение произвольно выбранной точки О' фигуры, a wA0' — ускорение точки / во вращательном движении фигуры вокруг этой точки О'. Если вместо точки 。‘ возьмем аочку Cw (мгновенный центр ускорений), то согласно этой формуле будем иметь:
叫=W；“ + ^ACW.
где wAclv обозначает теперь ускорение точки Л во вращательном движении фигуры вокруг точки Cw. Но ускорение wcw точки Cw равно нулю, а потешу
Wa = 1«АСШ,(67)
ГЛ. 15. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 323 т. е. ускорение всякой точки движущейся плоской фигуры s данный момент определяется так же, как ускорение зтой точки при вращательном движении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.
Формула (67) дает распределение ускорений в движущейся плоской фигуре в данный момент времени. Следовательно, это распределение ускорений такое 出е? как если бы фигура вращалась с той же угловой скоростью и с тем же угловым ускорением вокруг неподвижной точки, совпадающей с точкой Cw ——мгновенным центром ускорений (рис. 234).■
Так как модуль ускорения гг&с⑦ как ускоренияg
во вращательном движении вокруг точки Cw/7
определяется по формуле (64'), т. е. | «гас缈;/Й/ =CWA • |/е2 + з&, то на основании равенства (67)/ I
для модуля ускорения к)а точки А фигуры полу- / I чаем выражение/ W%
WA = CWA • /е2 + oA
Точно так же модуль ускорения wB точки В фп~ гуры (рис. 234) равен
必в = CWB • /川 + з& .Рис. 234,
Из равенства (67) следует, что угол а, который ускорение w^ образует с направлением АС^ определяется по формуле (65), т. е.
tga= g
этот угол, как было уже указано выше, имеет в данный момент одно и то же значение для всех точек фигуры. .
Из полученных результатов следует: 1. Так как
то модули ускорений точек движущейся плоской фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений.
Мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых, проведенных из двух каких-нибудь точек А п В фигуры под одним и тем же углом
а = arctg 目
к ускорениям этих точек (рис. 234).
Если е — 0 и, следовательно, а — 0, то в зтом случае прямые, до которым направлены ускорения всех точек фигуры в данный
11*
Точка О принадлежитТочка О принадлежиткривошипу;кривошипу;касания чтокасания чтоа потомуа потомуТак как со】=const, тоТак как со】=const, тоугловаяугловая
Точка О принадлежит
Точка О принадлежит
кривошипу;
кривошипу;
касания что
касания что
а потому
а потому
Так как со】=const, то
Так как со】=const, то
угловая
угловая
момент, пересекаются в одной точке — мгновенном центре ускорений.
Пример 93. Кривошип О^О = Z вращается с постоянной угловой скоростью (О】 вокруг неподвижной точки Ох. На палец О этого кривошипа свободно насажено колесо радиуса г, которое катится при этом без скольже-
пия по неподвижному колесу радиуса А = Z — г. Найти ускорения точек А и В окр}тжности колеса, если тонка А лежит на прямой OjO, а точка 丑 лежит на радиусе, перпендикулярном к этой прямой (рис. 235).
е Решение. Найдем сначала скорость и ускорение центра колеса О.
следовательно, ее скорость равна по мо~ дулю v0 =心工.Так как кривошип вращается равномерно, то ускорение точки О направлено по ОО± и равно по модулю w0 ==心？. Теперь определим угловую скорость колеса (о. Так как по условию задачи это колесо катится без скольжения по неподвижному колесу радиуса К, то мгновенный центр вращения
первого колеса лежит в точке С этих колес. Отсюда следует,
% = Г (0,
скорость (о постоянна; следовательно, угловое ускорение колеса е = 0, а потому касательные ускорения точек Л и ^ во вращательном движении колеса вокруг центра О равны нулю, т. е.
WAO = wSo = 8
Нормальные ускорения этих точек во вращательном движении вокруг центра О направлены по соответствующим радиусам АО и ВО и по модулю равны
紡爲=WBO =尸載=3呜.
Теперь согласно формуле (66) остается сложить эти ускорения с ускорением w0. Так как w0 и гг眾 направлены по одной прямой, то эти ускорения складываются алгебраически; следовательно,
WA~WO^ WAO = 2叫+今叫=Zwf (I十；卜
Так как м•旣 J_w'o, то модуль ускорения точки В равен
WB = /”力+ ("泥尸=to? j/"l + ^ .
Пример 94. Колесо радиуса 尸 катится без скольжения по рельсу, причем скорость и。 его центра постоянна. Найти нормальное
и касательное ускореиия точки М колеса, считая известным LMOA = (р (рис. 236).
Решение. Мгновенный центр вращения колеса лежит в точке С касания его с рельсом. Поэтому, обозначая угловую скорость колеса через з, имеем: и0 = г(о, откуда as — vQ \ г = const; следовательно, угловое ускорение колеса е = 0. Точка-О колеса движется равномерно и прямолинейно； следовательно, ускорение этой точки равно нулю, т. е. ?〃。= 0; отсюда видим, что точка О является мгновенным центром ускоренны.
точки во враща-точки во враща-Из равенств 缈° = 0 и ^д$о=『拒। = 0 следует, что ускорение точки М колеса равно центростремительному ускорению it脏 тельном движении вокруг центра О. Поэтому, обозначая модуль искомого ускорения точки М через w, имеем:
точки во враща-
точки во враща-
= WMO = ГСО2 = -у-;
это ускорение направлено по радиусу МО.
Чтобы найти теперь касательное и нормальное ускорения точки М, нужно ускорение и? этой точки разложить по направлениям касательной и нормали ее траектории (точка М при качении колеса описывает циклоиду).
Для того чтобы определить эти направления, достаточно найти направление скорости точки М. Но скорость точки М перпендикулярна к прямой МС, соединяющей эту точку с мгновенным центром вращения С колеса; следовательно, касательная
к циклоиде, описываемой точкой М, направлена по МА, а нормаль — по МС. Так как угол <р является внешним углом равнобедренного треугольника
МОС, то LOMC =；.
Следовательно, искомые ускорения точки М, как видно из рис. 236, но модулю равны
.Ф РО . фWt = W Sin 方=Sin у
И.
ФФ
• 出乳=w cos~— cos -^ .
В частности, для точки А колеса ср — 0 и, следовательно,砂賣)=0 е w^ = W ; скорость этой точки по модулю равна
Рд = СА •(о = 2г(о = 2。5
По известной формуле для нормального ускорения точки имеем: или
отсюда находим радиус кривизны циклоиды в ее вершине: р
§ 83. Аналитическое исследование движенияплоской фигуры
В этом параграфе мы рассмотрим аналитическое решение основных задач, относящихся к теории плоскопараллельного движения твердого тела, которые в предыдущих параграфах были рассмотрены с геометрической точки зрения.
Уравнения движения плоской фигуры относительно некоторой неподвижной системы координат Оху имеют следующий вид (§ 77):
汽 О — /1(』)，У О1 = /2(2), <р = /з О
x и 〃 во всеx и 〃 во всекоординаты какой-нибудь точки О' фигуры, принятой за начало подвижной системы координат О' £ у', неизменно связанной с движущейся фигурой, а ф обозначает угол поворота подвижной системы осей относительно неподвижной (рис. 237).
x и 〃 во все
x и 〃 во все
Возьмем какую-нибудь точку М фигуры； положение этой точки на подвижной плоскости определяется координатами н' и у'; координаты этой точки в системе неподвижных осей обозначим через а и у. Так как подвижные оси неизменно связаны с движущейся фигурой, то время движения остаются постоянными.
По известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат будем иметь следующие равенства,выражающие зависимость между коордииатами точки М в неподвижной и подвижной системах:
х—хо1 -f-^'cos ср——y'sincp,У~Уо' + £‘ sin ср 十 К cos ср. (68)
В этих уравнениях 汽о，，уо' и ср являются известными функциями времени, а 胃'и у\ как было сейчас указано, имеют постоянные значения.
Уравнения (68) представляют собой уравнения движения точки М фигуры. Если исключим из этих уравнений время X, то получим уравнение траектории точки М,
Найдем скорость точки М. Дифференцируя по времени уравнения (68), получим проекции на неподвижные оси скорости и ЭТОЙ ТОГПЛ1： da3d%.唧
% = & = п 一 国 sin <p + у cos <p)
dy dy。d^
»U』位=b + ("cos Ф-^ sm(p)五,
или
唯=^О'х —(公 sin ср + у cos ф) со,
гу 匸 г?о-у + cos 屮 一 У sin ср) з,
где гоч и 沙ох обозначают проекции на неподвижные оси скорости г0' точки。‘ фигуры, а со есть алгебраическое значение угловой скорости фигуры, т. е.
"Гн = "^ = /； (О-
=呈=右(小
Из уравнений (68) имеем:
xf sin ср 一卜 yf cos ср = у — go и х cos ср — y'sin ср — х—度。，； поэтому предыдущие равенства можно представить в виде
% =力氏—(У — Уо) 3，巧=W? + (н — £о) з・ (69)
Эти формулы определяют проекции скорости точки М на неподвижные оси, а следовательно, и модуль и направление этой скорости.
При помощи этих формул можно найти положение мгновенного центра скоростей Сг фигуры. Обозначим координаты точки Cv через zcu и Ус£ так как скорость точки Cv фигуры в данный момент равна нулю, то из формул (69) получаем:
Vox —(Усо 一 Уо) 3 = о и 沙О'и + (£Си — Но) з = 0・
Отсюда находим координаты xcv и Уси, определяющие положение мгновенного центра скоростей на неподвижной плоскости:
也=%0—也=%0—сосо,V0'xУс» = у。+ —,V0'xУс» = у。+ —(70)(70)
也=%0—
也=%0—
со
со
,V0'x
Ус» = у。+ —
,V0'x
Ус» = у。+ —
(70)
(70)
Подставляя сюда значения н。，, у。，,沙。光,voy и з, эти формулы можно представить в виде
%Со ~ /1")> Ус。н % (%) + ^^ •
Исключая из этих уравнений переменное 厶 получим уравнение геометрического места точек Сг на неподвижной плоскости, т. е. уравнение неподвижной центроиды..
Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей на подвижной плоскости (на плоскости движущейся фигуры), нужно найти координаты н2и и ycv точки Cv в подвижной системе осей. Из уравнений (68) имеем:
^Cv COS 屮一Уси sin 屮=Хс^—ХО' И £% sin ф + у& COS『Уси—уо-
Подставляя сюда найденные значения zcu и усо, получим:
н& cos ср — у& sin ср =#•, xCv sin ф + у& cos ①=
Из этих уравнений находим xcv^yrcv\ умножая первое уравнение па cos ср и складывая со вторым, умноженным на sin ср, получим:
vO'x sin 中 一 ^0 у COS фvO'x sin 中 一 ^0 у COS ф(О(О(71)(71)
vO'x sin 中 一 ^0 у COS ф
vO'x sin 中 一 ^0 у COS ф
(О
(О
(71)
(71)
Умножая теперь второе уравнение на cos ср и вычитая из него
первое, умноженное на sin ф, получим:
绮霁 cos ср + vQ，v sin ф(0绮霁 cos ср + vQ，v sin ф(0(72)(72)
绮霁 cos ср + vQ，v sin ф(0
绮霁 cos ср + vQ，v sin ф(0
(72)
(72)
Формулы (71) и (72) определяют положение мгновенного центра скоростей на подвижной плоскости. Исключив из этих уравнений время 厶 получим уравнение подвижной центроиды.
Перейдем теперь к определению ускорения точки М движущейся фигуры.
Дифференцируя по t уравнения (69), получим проекции на неподвижные оси ускорения w точки М:
%%d% =吧空」电dt dt \dtd% =吧空」电dt dt \dtdv（y, 一d「dv（y, 一d「盤,3—(у—yo)盤,3—(у—yo)①+ （н 一穹0）迈,①+ （н 一穹0）迈,dcodidcodi
%
%
d% =吧空」电dt dt \dt
d% =吧空」电dt dt \dt
dv（y, 一d「
dv（y, 一d「
盤,3—(у—yo)
盤,3—(у—yo)
①+ （н 一穹0）迈,
①+ （н 一穹0）迈,
dco
di
dco
di
или
% - 必O'x - (% — &0？)3 一(у - у0,) £,
^y = ^0? + (% -。。%)8 +(X —胃。，)8,
где Wq>x и w()>y обозначают проекции на неподвижные осп ускорения w0> точки。‘ фигуры, а £ обозначает угловое ускорение фигуры, т. е.
WO'X =WO'X ==/1(0»=/1(0»
WO'X =
WO'X =
=/1(0»
=/1(0»
"‘。？ = ~dt~ %（力
£ 一夜一方2 一/3（小
Подставляя в эти равенства значения vx и vy из формул (69), получим окончательно:
% = 必0土一位 一 Н0)з2 - (у - у0) E, I必4 =з0? _ e _ У0')82 + Q 一重0，) 8. J
По этим формулам можно вычислить проекции ускорения точки М и, следовательно, определить модуль и направление этого ускорения.
Если обозначим координаты мгновенного центра ускорений Cw через xcw^ Ус^, то, принимая во внимание, что ускорение точки Cw в данный момент равно нулю, получим из формул (73):
wO'x — (/?酬一^О')ш2 — й/С缈一Уо') £ = 0,
出О'и — (ycw — Уо)з2 + Зс@ 一 重0，) £ = 0・
Из этих уравнений находим координаты xCw и ycw\ для этого перепишем эти уравнения в виде
3“ — Но，)з2 + ("@ — Уо，)£ = Зоз
(虞“ 一Н0，)£ - (ycw - У0)з2 =-必0？.
Умножая первое уравнение на со2 и складывая со вторым, умноженным на 8, получим:
位“ 一 土О') ®& + £?)= 必о* •①2 — ^O'y • е.
Отсюда находим:
.出0，罠鄒一缈0,泸^八
-穹0, + g2 十 国 ・(74)
Точно так же, умножая первое из предыдущих уравнений на £ и вычитая из него второе, умноженное на со2, получим:
(Усш — Ы(е2 + 亦)= Wo^^ + 必o，m% оттуда
„ 一"丄吟不+出0,产
ygw 一 У°,•(75)
Формулы (74) и (75) определяют положение мгновенного центра ускорений на неподвижной плоскости.
ГЛАВА 1 6
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙТОЧКИ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 84. Уравнения движения твердого тела, имеющего однунеподвижную точку
Пусть имеем твердое тело с одной неподвижно закрепленной точкой, вокруг которой это тело может как угодно поворачиваться. С таким случаем мы встречаемся, например, при движении тела, закрепленного при помощи сферического шарнира, или при движении волчка, когда заостренный конец ножки волчка опирается и а подставку (или на горизонтальнуюповерхностьстола) иостается неподвижным. Будем называть движение такого тела с одной неподвижной точкой движением вокруг этой
N' 2неподвижной точки.
5、Прежде всего постараемся выяснить,
\ сколько требуется параметров для определе- / \\ния положения в пространстве твердого тела,
/\J^^『 имеющего одну неподвижную точку, а затем
\j^^)* получить в общем виде кинематические урав-
卜yjoW)~7^ нения движения такого тела. Отнесем движе-
'^^/ ние данного тела к системе неподвижных
/j-—осей Oxyz, имеющих начало в неподвижной 4/точке тела О. Кроме того, в самом теле возь-
“'мем систему неизменно связанных с пим ноРис. 238.двц/кных осей Ox'yfzf, имеющих начало в той
же точке О (рис. 238). Положение данного тела в пространстве будет вполне определено, если будет известно доложеиие подвижной системы осей Oxyf^\ следовательно, чтобы определить положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, достаточно определить положение неизменно связанной с ним подвижной системы осей, начало которых находится и этой неподвилшой точке.
Из аналитической геометрии известно, что положение подвижной системы ОЕ尊引 относительно неподвижной системы Oxyz можно определить девятью напра в ляющнми косинусами подвижных осей, т. е. косинусами тех углов, которые каждая из подвижных осей образует с неподвижными осями. Но значительно проще и удобнее определять положение системы Оху'zr относительно осей Oxyz при помощи трех так называемых углов Эйлера. Это делается следующим образом. Обозначим линию пересечения координатных плоскостей Оху и Oxfyf через ON и установим на пей положительное направление (направление от О к N); эта
прямая ON называется линией узлов (рис. 239). Угол между осью 。重 и линией узлов ON обозначим черезгр; этой угол лежит, очевидно, в плоскости Оху и отсчитывается от осп Ох в положительном направлении, т. е. против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z. Угол между плоскостями Оху и 0工'寸、 или, что то же, угол между осями zu z', обозначим через 6; этот угол отсчитывается от оси z в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца линии узлов; ясно, что линия узлов ON перпендикулярна к плоскости Ozz . Угол между линией узлов ON я осью Oxf обозначим через ср; этот угол лежит в плоскости О£у‘ и отсчитывается от линии узлов в положительном направлении, т. е. против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z'. Три эйлеровых угла,屮，6 и <р носят следующие названия: угол《называется углом прецессии, угол 6 —— углом нутации и угол ф — углом собственного вращен ия 工).
Систему осей Oxyz можно перевести в положение Oxfyf zf по
средством следующих трех враще-Р®с. 239.
ний: поворачиваем сначала си
стему осей Oxyz вокруг оси z на угол 屮，тогда ось Ох совпадет с линией узлов ON; затем производим поворот вокруг оси ON на угол 6, тогда ось z займет положение оси z'; наконец, производим поворот вокруг оси z' на угол ср, тогда ось Ох (которая до этого поворота совпадала с осью ON) займет положение оси ^\ и, следовательно, система осей Oxyz перейдет в положение Ох'у'^. Отсюда следует, что положение подвижных осей Охгуг zf, а значит, и положение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, вполне определяется тремя углами Эйлера} т. е. тремя параметрами. Поэтому говорят, что твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы. При движении тела эти углы являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями времени, т. е.
屮=九 〃)，6 = /2 (Х), ф = /3 (%)•(76)
Если функции 九 〃),/2 (/) и /3 (/) известны, то для каждого данного момента времени (для каждого числового значения аргумента Z)мы
1) Термины «линия узлов», «прецессия» и《нутацин» заимствованы из астрономии.
сможем из уравнений (76) найти углы 屮，6 н <р и, следовательно, будем знать положение тела в этот момент. Поэтому уравнения (76) вполне определяют движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, и называются уравнениями движения твер^ дого тела вокруг неподвижной точки.
§ 85. Теорема Даламбера ——Эйлера
Аналитически двшкение твердого тела вокруг неподвижной точки определяется уравнениями (76) предыдущего параграфа. Рассмотрим теперь это движение с геометрической точки зрения. Как увидим ниже, геометрическая картина движения тела вокруг неподвижной точки аналогична той, которую для плоскопараллельного движения тела дает теорема о центроидах (§ 81).
Нетрудно видеть, что положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку。, будет вполне определено, если будут известны положения двух каких-нибудь его точек А ^ Bf не лежащих на одной прямой с точкой О, так как, зная положения трех точек тела О, Л и В, не лежащих на одной прямой, мы можем определить положение всякой другой точки М этого тела. В самом деле, если соединим между собой точки Оt А у В п М прямыми, то получим тетраэдр ОАВМ} который при движении тела остается неизменным, так как расстояния между точками О7 А, В и М остаются постоянными. Ясно, что положение этого тетраэдра, а следовательно, и его вершины будет однозначно определено, если будет известно положение треугольника ОАВ.
При движении твердого тела, имеющего неподвижную точку О, каждая точка этого тела перемещается по поверхности сферы, описанной из центра О радиусом, равным расстоянию этой точки от точки О. Выберем две точки Л и В тела так, чтобы их расстояния от неподвижной точки О были равны (ОЛ = О В); если опишем из центра О неподвижную сферу радиусом, равным О А, то плоскость треугольника ОАВ пересечет эту сферу по окружности большого круга. Дуга АВ этого круга (рис. 240)
Рис. 240. при движении тела будет перемещаться по поверхности этой неподвижной сферы; при этом каждому положению дуги АВ па неподвижной сфере будет соответствовать единственное и вполне определенное положение данного тела в пространстве и обратно.
Докажем теперь следующую теорему Даламбера ——Эйлера: Теорема. Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точкуj из одного положения в другое можно
ГЛ 16. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 333 осуществить поворотом на некоторый определенный, угол вокруг некоторой определенной оси} проходящей через эту неподвижную точку.
сЬсЬи 4]В1 равны междуи 4]В1 равны междуДоказательство. Пусть данное твердое тело, имеющее неподвижную точку О, переместилось из одного положения в другое. Предположим, что некоторая точка этого тела переместилась при этом из положения Л в положение Л1? а точка В этого тела, которая сначала находилась в точке /[, заняла положение В^ (рис. 241). Понятно, что три точки тела А, 4工 и 瓦 лежат на поверхности сферы, описанной из центра О радиусом, равным ОА. Плоскость, проведенная через эти три точки, пересекает сферу по окружности, центр которой обозначим через О^ прямая, соединяющая точки О и О1? перпендикулярна к плоскости этой окружности. Точку пересечения этой прямой со сферой обозначим через Р. Так как отрезки 4/工 и А1В1 представляют собой расстояния между теми же двумя точками Л и ^ твердого тела, переведенными только в новое положение, то АА± = /乃" отсюда следует, что дуги окружности ААг собой.
сЬ
сЬ
и 4]В1 равны между
и 4]В1 равны между
Так как положение данного тела однозначно определяется положением двух его точек (Л и В), то, для того чтобы перевести тело из первого положения во второе, ему нужно сообщить такое перемещение, при котором точка Л должна занять положение 4口 а точка В(/[)——положение 5工.Для этого, очевидно, достаточно повернуть тело вокруг оси。力 на угол, равный углу АОХА^ тогда треугольник АО^В совместится с равным ему треугольником 4工。1笈1，а дуга АА± совместится с равной ей дугой А^^ и, следовательно, теорема доказана.
§ 86. Распределение скоростей в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела
Пусть твердое тело, имеющее неподвижную точку О? в момент t занимает некоторое положение /; в момент X + А厶 т. е. через весьма малый промежуток времени А%, это тело, переместившись, займет некоторое положение II, близкое к положению I. Пусть какая-нибудь точка этого тела перемещается при этом из положения М в положение М\ Применяя теорему Даламбера —— Эйлера к этому перемещению тела, найдем ось ОР*, вокруг которой нужно повернуть тело на некоторый малый угол Дф, чтобы перевести
со*со*ДфAt 'ДфAt 'течение вокругтечение вокруг
со*
со*
Дф
At '
Дф
At '
течение вокруг
течение вокруг
его из положения 7 в положение II (рис. 242). Если бы в промежутка времени Ах тело равномерно вращалось оси ОР*, то его угловая скорость была бы равна
lim со*lim со*и*и*—ММ，—ММ，
lim со*
lim со*
и*
и*
—ММ，
—ММ，
тела затела заЭта величина з* называется средней угловой скоростью
тела за
тела за
время А九 Вектор средней угловой скорости(о* направлен по оси ОР* в ту сторону, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого
вектора, видел вращение тела в направлении, обратном движению часовой стрелки. Обозначим предел, к которому стремится вектор средней угловой скорости (о* при Ах -> 0, через со, т. е. положим:
Вектор со направлен по оси ОР, которая представляет собой предельное положение оси ОР* при Д/ -> 0; модуль этого вектора равен
Понятно, что два движения —— истинное движение данного тела в течение промежутка времени А£ и предполагаемое равномерное вращение этого тела вокруг оси ОР* с угло- ——различны, но начальные и конечные положе
ния тела в обоих движениях совпадают, а потому совпадают в обоих движениях начальные и конечные положения и точки М. Отсюда следует, что перемещения этой точки и ее средние скорости за время А% в обоих движениях равны; если обозначим средние скорости точки М в истинном движении и во вращательном движении вокруг оси ОР* соответственно через и* и и^р, то
Обозначим радиус-вектор точки М, проведенный из неподвижной точки О, через г. Линейная скорость гвр точки М во вращательном движении вокруг оси ОР* в момент / равна, как известно (§ 73), векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, а потому
гвр = (О* X 儿
С другой стороны, скорость гвр в момент % является пределом средней скорости Ьвр при A% f 0. Поэтому можем написать:
ивр = %р 十"=(О* X Г 十"，
где ” обозначает бесконечно малую величину, стремящуюся к нулю вместе с At Сопоставляя это равенство с написанным выше, получаем:
Переходя к пределу при Д^ -> 0 и принимая во внимание, что lim п = 0 н Нт и* 二 и, где и обозначает истинную скорость
△，т О AJ О
точки М в момент t, получим:
Г = со х Г. (77)
Эта формула позволяет найти скорость любой точки тела в данный момент; следовательно, она дает распределение скоростей в данныik момент в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки; из формулы (77) следует, что это распределение скоростей таково же, как при вращении тела вокруг оси ОР с угловой скоростью со. Вектор со называется мгновенной угловой скоростью тела, а прямая 。尸，по которой направлен этот вектор и скорости точек которой к данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения тела.
Таким образом, приходим к заключению: при движении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения} проходящая через эту неподвижную точку.
Отсюда следует, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить себе как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных осей, проходящих через эту неподвижную точку. Важно заметить, что положение мгновенной оси вращения тела нс остается неизменным: в различные моменты времени эта ось занимает различные положения как в пространстве, так и в самом движущемся теле 工).
Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве называется неподвижным аксоидом. Так как все мгновенные оси проходят через неподвижную точку тела, то неподвижный аксоид представляет собой конус (в частном случае круглый) с вершиной в этой неподвижной точке.
Геометрическое место мгновенных осей вращения в самом движущемся теле называется подвижным аксоидом. Подвижной аксоид также представляет собой конус с вершиной в неподвижной точке тела. Этот конус, связанный с данным телом, перемещается вместе с ним. Подвижной и неподвижный аксоиды в каждый данный
Сравните с тем, что было сказано о мгновенном центре вращения в теории плоскопараллельпого движения тела (§ 79),
катится без скольже- аналогичное теоремекатится без скольже- аналогичное теоремемомент касаются вдоль общей образующей ОР, которая является в этот момент мгновенной осью вращения тела (рис. 243).
катится без скольже- аналогичное теореме
катится без скольже- аналогичное теореме
При движении тела подвижной аксоид ния по неподвижному. Это заключение,
Рис. 243.Рис. 243.о центроидах (§ 81), дает наглядную геометрическую картину движения твердого тела вокруг неподвигкной точки. Понятно, что качение подвижного аксоида по неподвижному происходит без скольжения потому, что скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения (на общей образующей, вдоль которой касаются оба аксоида), в данный момент равны нулю.
Рис. 243.
Рис. 243.
Из формулы (77) следует, что модуль скорости точки М тела выражается так:
少=(ог sin %
где 丫 есть угол между радиусом-вектором г точки М и мгновенной осью вращения ОР (рис. 244). Но г sin у = h} где h обозначает расстояние точки М от оси ОР, т. е. дггновенный радиус вращения точки М, а потому
V =力①. (77')
РазвертываяРазвертываяВектор и перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы со и г; следовательно, скорость точки М перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и мгновенную ось вращения тела.
Развертывая
Развертывая
Если представим правую часть равенства (77) в виде определителя [по формуле (48) § 43], то
i /*
U =叫％ О)?，
X у z
где 3# %,吗 обозначают проекции вектора угловой скорости со на оси неподвижного координатного трехгранника Oxyz (рис. 244), а х, у, z ——проекции на те же оси радиуса-вектора г, т. е. координаты точки М, ' определитель по элементам первой строки,
получим формулу разложения скорости и по неподвижным коорди^ натным осям:
и =(3严—co2y)i 十(з/ — %z) / + (qy — 3产)k.(78)
Так как в формуле разложения вектора по координатным осям коэффициенты при ортах it j, к представляют собой проекции этого
вектора на эти оси, то из формулы (78) получаем следующие выражения для проекций скорости и на неподвижные координатные оси：
% = " — 2，(79)
/ ~ 3m/ - 3产，
Эти формулы называются кинематическими формулами Эйлера.
Если проекции угловой скорости з”，соу и(oz в данный момент известны, то по этим формулам легко найти проекции скорости и любой точки тела в этот момент и, следовательно, определить модуль и направление этой скорости.
Понятно, что такие же формулы будем иметь и для проекций скорости и на подвижные координатные оси Oxfyfz\ неизменно связанные с движущимся телом, т. е.
%，= ^z 一 5也'J
%，~ 3乞々'一3x，z* ■(79)
勿=5“ 一 3M
Здесь 3步，з夕 и 3%, обозначают проекции угловой скорости со на подвижные оси Or'y'z', а 疗，『皿 z'——координаты точки М в этой подвижной системе осей. Заметим, что координаты х, у м z в формулах (79) являются функциями времени, так как точка М перемещается относительно неподвижных осей Oxyz\ координаты же х\ у' и z' в формулах (79') имеют постоянные значения, так как подвижные оси。疗y'z* неизменно связанные с данным телом, пере- лющаются вместе с ним и, следовательно, положение точки М тела относительно этих осей с течением времени не изменяется.
Если возьмем какую-нибудь точку тела, лежащую в данный момент на мгновенной оси вращения, то радиус-вектор г этой точки и вектор со будут направлены по одной прямой; следовательно, проекции этих векторов на оси Oxyz пропорциональны. Поэтому, обозначая координаты точки, лежащей на мгновенной оси вращения, через у и z, будем иметь:
х _ У _ zSx Sy Sz
Этим уравнениям удовлетворяют координаты всех точек тела, лежащих в данный момент па мгновенной оси вращения; поэтому уравнения (80), представляющие собой уравнения прямой, проходящей через начало координат, являются уравнениями мгновенной оси вращения в неподвижной системе осей.
Легко видеть, что правые части формул (79) при значениях н, у и z, удовлетворяющих уравнениям (80), обращаются в нуль, что
и должно быть, так как скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения, в данный момент равны нулю.
Аналогично уравнениям (80) получаем уравнения мгновенной оси вращения. 6 подвижной системе осей:
宓'_У' z'
§ 87. Распределение ускорений в твердом теле,движущемся вокруг неподвижной точки
Перейдел! теперь к определению ускорений точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки О. Так как ускорение w точки М тела равно векторной производной от скорости и этой точки по времени, то, дифференцируя по % равенство (77), получим:
Как было указано в § 73, вектор 彳丁 т. е. производная от вектора угловой скорости по времени, называется угловым ускорением тела; следовательно, если обозначим угловое ускорение тела через е, то
芻=&(81)
При этом важно заметить, что так как вектор со изменяется с течением времени не только по модулю, но и по направлению, то угловое ускорение е = ^ не будет направлено по одной прямой с вектором со, как это имеет место при вращении тела вокруг неподви/К- ной оси (§ 73). Производная 班 от радиуса-вектора точки М по вре- dr
(82)(82)мени равна скорости этоп точки, т. е.血=и； поэтому полученное выражение для ускорения w принимает следующий вид:
(82)
(82)
«г — е X г + ® X и — exr + <i>X (<» X г).
Эта формула дает распределение ускорений в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки; она показывает, что ускорение w мо出но представить как сумму двух составляющих ускорений.
Обозначим слагаемые этой суммы соответственно через w^ игг^, т. е. поло/ким
£义厂=加£ И (DXU=(DX((OXr) = w^
и рассмотрим каждое из этих слагаемых в отдельности.
Ускорение w^, равное векторному произведению ехг, направлено перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы е
и г, и притом в ту сторону, откуда поворот вектора е (на угол, меньший 180°) до совмещения его с вектором г виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки), как это показано на рис. 245. Модуль этого ускорения равен
u?g = |е X г I = sr sin (% г).
Если опустим из точки М перпендикуляр Мтг на направление век
тора £ и обозначим длину этого перпендикуляра через ", то из
прямоугольного треугольника 0Mmf имеем (рис. 245):
// = г sin (е, г).
Следовательно,
明=勿 £.(83)
Из тех же соображений, о которых было сказано в § 73, легко убедиться, что ускорение irw, равное векторному произведению со Хи, направлено по перпендикуляру Мт, опущенному из точки М на
мгновенную ось вращения (т. е. по мгновенному радиусу вращения точки М), от точки М к этой оси, как показано на рис. 245.
Поэтому ускорение % по аналогии с тем случаем, когда тело вращается вокруг неподвижной оси, называется центростремительным ускорением точки М. Поскольку ускорение trw направ
лено к оси вращения тела, его называют также осестремительным ускорением. Так как 岱一Lu, то модуль ускорения irw равен
必3 = I сох и I = з〃 sin 90° =①，
(84)(84)Но так как г = /гз, где h обозначает длину перпендикуляра Мт} опущенного из точки М на мгновенную ось вращспия тела, то
(84)
(84)
必3 = Асо2,
Важно заметить, что хотя формула (82) по своему внешнему виду совпадает с формулой (55) § 73, однако ускорение гг& не равно (ни по модулю, ни по направлению) касательному ускорению wx точки М; точно так же центростремительное ускорение irw не совпадает (ни по модулю, ни по направлению) с нормальным ускорением wn этой точки, как это имеет место в том случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси.
Модуль и направление вектора е легко могут быть определены, если известны проекции этого вектора на неиодвижные оси Oxyz; из равенства
следует, что проекции вектора углового ускорения на неподвижные координатные оси равны производным по времени от соответствующих проекций вектора угловой скорости ма те же оси, т. е.
(85)(85)(7(о хdco〃dco?
(85)
(85)
% =号，% =才，"=才・
Выведем теперь формулы для проекций ускорения w точки М на неподвижные координатные оси.
Представляя векторные произведения е X г и охи в виде определителей [по формуле (48) § 43], будем иметь:
i j k
гге = г х г = 彳%% , irw = со х ^ = (ох(оу со2 ・ 土 У纟%固％
Развертывая эти определители по элементам первой строки, получим:
S = 同z — %y) i +(£w一%z) / + (%y - £产)总 и
Ww = (%% —叫陷)。+ ® 県—axv^j + (“一％%)«.
Следовательно,
= S + ^w = (%z — £理 + ^yVz — Sz%)» +
+ (%“ — %z + 叫％ — ％%) j + (“У — £ 产 + 5% — ayvx)k.
Из этой формулы разложения ускорения w по неподвижным координатным осям следует, что искомые проекции %, wy и wz равны соответственно коэффициентам при ортах i, / и G, т. е.
% = %z — %у + %% — 3務， % = В - %z + 叫% - 3m%, S = %У — 3 + %巧一％%.
Подставляя сюда значения проекций скорости %, vy и vz из формул (79), получим:
% = %z — %У + %(3点—%z) — «2(и2х — 3樓)= =%Z — %У + 3式3消 + 3zZ)— x (cog + 就)= =eyZ — e2y + 3式3工2 + 3川 + 3zZ)— 2 (唠 + 3； + 3；).
Но о)х + ®у + «z = «2, а потому
% = %z — %У + % (н% + yav + Z3z) — 232.
Путем круговой перестановки букв получим аналогичные формулы и для двух других проекций. Таким образом, приходим к следующим формулам:
% = %z — е2у +(ож(N3& + у% + zw2) — w2, ■
% = %х — %z + % 依叫 + у% + z%) — уа2, ■(86)
忆=ехУ — 3 + 叫(%% + У% + 叫)—2®2..
По этим формулам нетрудно вычислить проекции ускорения w и затем определить модуль и направление этого ускорения.
Пример 95. Твердое тело двинется вокруг пеподвижной точки О, принятой за начало координат, причем проекции вектора угловой скорости тела па неподвижные координатные осп выражаются так:
со% = 5 sin @ £), (0^ = 5 cos ^ гj , (о2 = 5 ｝尸3.
Найти в момент i — 1 сек скорость и ускорение точки М тела, координаты которой в этот момент равны * = 0,夕=0,2 м н 名=0,3 м.
Решение. По заданным проекциям угловой скорости находим модуль этой скорости:
①=■/*:十吗十叱=/23+7j = 10姦^ .
При £ = 1 имеем:
со^ — 5 sin 密'— 5, ①у - 5 cos ~^ -— 0, ^z ~— 5 "р^3»
Проекции скорости точки М находим по формулам Эйлера;
fx =(OyZ — gy = --0,2 • 5 U3 = — 了3,
Vy — (огх —(ох2 = —5 • 0,3 = ■— 1,5,
vz = (олу — <0产=5 • 0,2 = 1,
Отсюда получаем модуль искомой скорости:
ускорения па неподвижные оси согласно формулам (85)ускорения па неподвижные оси согласно формулам (85)^ = ]/ 也；十時 + f： + у/ 3 丁 2,25 丁 1 = /6,25 = 2,5 м'сек.
ускорения па неподвижные оси согласно формулам (85)
ускорения па неподвижные оси согласно формулам (85)
Проекции углового будут равны
d%
_5h =
cos h
% =
dcoy dt
=一
5л .,
-у sm 1
% =
rf«2
=0.
При £ = 1 имеем: 厶cos 上=U, еy - sin 2=2- * £之=0，
Отсюда видим, что угловое ускорение е в момент £ — 1 равно но модулю
-^— сек & и направлено по оси у в отрицательную сторону. Проекции
искомого ускорения точки М на неподвижные оси находятся по формулам (86):
- 0,3 • -^- + 5 • 0,3.5 /3 = 1,5 ^5 /3-^ ,
iVy = —0,2 -102 = —20,
5^3 .0,3-5/3 — 0,3-102 = 22,5—30 = —7,5.
По этпм проекциям уже нетрудно вычислить модуль и направляющие косинусы ускорения w.
Пример 96. Круглый конус с образующей, равной 厶 катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости; при этом вершина О конуса остается неподвижной, а центр О】 его основания описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости, с данной постоянной по модулю скоростью и. Найти ускорения концов 力 и 力 диаметра основания
Поа потомуПоа потому2uZsin а2uZsin а=const.=const.
По
а потому
По
а потому
2u
Zsin а
2u
Zsin а
=const.
=const.
конуса, зная, что точка А лежит в данный момент на линии касания конуса с неподвижной плоскостью и что Z, АОВ = а (рис. 246, а).
Решение. Возьмем систему неподвижных осей Oxyz, причем ось у направим по образующей ОА, вдоль которой в данный момент конус касается неподвижной плоскости, а ось z направим перпендикулярно к этой плоскости, как показано на рис. 246, а. Так как конус катится без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент нулю; следовательно, мгновенная ось вращения конуса направлена по оси у； по этой же оси направлена и мгновенная угловая скорость(о. Если из точки Ох опустим перпендикуляр ОХС на ось у, то О]С есть мгновенный радиус вращения точки О. а потому имеем [ио формуле (77')]:
и ~(о • О1С;
отсюда васходим модуль мгновенной угловой скорости конуса:
W
OLC = ОО「sin ^ = ОА • cos 习 sin ^ =讶 sin а,
заметим, что производнаязаметим, что производнаяЧтобы иайти угловое ускорение копуса £ = jj,
заметим, что производная
заметим, что производная
~ представляет собой скорость, с которой конец вектора о)перемещается по годографу этого вектора. Так как з = const, то годограф вектора о)есть окружность, описанная в плоскости。篤у пз центра О радиусом, равным со. Поэтому вектор е имеет направление касательной к этой окружности, откуда следует, что этот вектор перпендикулярен к вектору о), т. е. направлен по оси х. Так как угловая скорость, с которой плоскость О。】。вращается вокруг оси z, равна 芯,то скоро сть, с которой конец вектора(о движется ио
окружности годографа, равнаокружности годографа, равнапо модулю (о. Следовательно,
окружности годографа, равна
окружности годографа, равна
6 = ОС*
по u — 01c ♦(о, а потомупо u — 01c ♦(о, а потомуе =е =°№22 + а^з -з tgy°№22 + а^з -з tgy
по u — 01c ♦(о, а потому
по u — 01c ♦(о, а потому
е =
е =
°№22 + а
^з -з tgy
°№22 + а
^з -з tgy
Определив угловую скорость и угловое ускорение конуса, переходим к определению искомых ускорений точек А и В. Для этого воспользуемся векторной формулой (82). Так как точка А лежит па мгновенной оси вращения, то ее центростремительное ускорение равно нулю, т. е. u/曾=0. Следовательно, 优A=ic^ = e X。4
Из этог о равенства следует:
вектор wA направлен перпендикулярно к плоскости Оху, т. е. параллельно оси z, как показано на рис. 246, 6;
модуль вектора ггл равен
i^A = О* •£ = %①Kg^・
Црнтростремительное ускоренле точки В направлено по мгновенному радиусу вращения этой точки, т. е. по перпендикуляру BD, опущенному из точки 5 и а ось у (рис. 246, 6); модуль этого ускорения согласно формуле (84) равен
з寶)=BD • со2 — Zco2 sin а.
Вторая составляющая ускорения точки В, т. е. ускорение и^\ перпендикулярна к плоскости ВОх; следовательно, это ускорение лежит в плоскости Oyz и перпендикулярно к образующей ОВ, Так как £丄。豆，то модуль этого ускорения согласно формуле (83) равен
з伊=ОВ • £ = Z • £ = /со2 tg ^ .
Сложив ускорения w^J и 〃贤乙 получим искомое ускорение wB точки В. Так как угол между векторами 比^)и w^ равен 180° — а, то по известной формуле для диагонали параллелограмма находим:
吗=(^*尸十(s後))2 - 23伊3贤)cos a.
Прпнимая во вниманпс, что 唠)==Ze и
必伊=心2 sin a = Ze ctg ^ sin a = 2Ze cos2 у = Ze (1 -^ cos a),
получаем:
w^ = Z2e2 U 十(1 十 cos a)2 — 2 (1 十 cos a) cos a]=
』拦炉(I 十(1 十 cos a)(l—cos a)] = Z2e2 (1 十 sin2 a). Отсюда
u； B = Ze У"1 + sin2 a = Z(o2 tg у p3 十 sin2 a.
Заметим, что ускорения точек Л и В легко найти п аналитически, пользуясь формулами (86) и принимая во внимание, что в рассматриваемый момент
времени
имеем:
①х *~ 0,(0у —— з,①z — 0j
% = е = у? tg ^, еу = 0,е2 = 0;
以=°>Уа =厶々а = 0；
力8 —— 0,у в — % cos a,Zg — Z sin a.
Так как мгновенная ось вращения конуса во все время движения остается в плоскости Оху, то неподвижным аксоидом является эта плоскость, подвижным аксоидом является, очевидно, боковая поверхность данного конуса.
§ 88. Уравнения движения свободного твердого тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение н движение вокруг некоторой точки
Рис. 247.Рис. 247.До сих пор мы изучали частные случаи движения твердого тела. Рассмотрим теперь общий случай движения свободного твердого которое может получить любое перемещение в пространстве. С таким общим случаем движения твердого тела мы встречаемся, например, при изучении движения артиллерийского снаряда.
Рис. 247.
Рис. 247.
Отнесем движение данного свободного тела к системе неподвижных осей Oxyz.
Кроме того, в самом теле возьмем неизменно связанную с ним систему подвижных осей。'胃，'/> имеющих начало в произвольно выбранной точке тела О' (рис. 247). Проведем еще через точку О подвижные оси J, % g неизменного направления, пред-
полагая, что эти осп,полагая, что эти осп,перемещаясь вместе с точкой О', остаются
полагая, что эти осп,
полагая, что эти осп,
все время параллельными неподвижным осям 力,у и z.
Положение данного свободного тела в пространстве будет вполне определено, если будет известно положение связанной с ним системы подвижных осей 。'胃'Jz'. Но для того, чтобы определить положение в пространстве системы осей O'x'y'z^ не-
ГЛ. 16. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 345 обходимо и достаточно знать: во-первых, положение подвижного начала (У, т. е. координаты 胃°，, уо- и 纱，точки О', и, во-вторых, положение системы O'x'y'z относительно осей Of^^, параллельных неподвижным осям. Так как две системы осей。'胃，'z' и 0'^^ имеют общее начало О', то положение первой из них относительно второй может быть определено, как указано в § 84, тремя эйлеровыми углами 取 6 и ф. Отсюда следует, что положение осей。'胃'y'z* а следовательно, и положение свободного твердого тела в пространстве определяется шестью параметрашс тремя координатами точки О' и тремя углами Эйлера. Поэтому свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.
При движении тела в общем случае все эти шесть параметров, изменяясь с течением времени, являются однозначными и непрерывными функциями переменного 办 т. е.
胃°, = /1 (/), уо' = /2(£), 绮—/3(£)‘ )
Если все шесть функций времени, стоящие в правых частях этих равенств, известны, то положение тела в каждый данный момент t будет известно, и, следовательно, движение тела будет вполне определено. Поэтому уравнения (87) являются уравнениями движения свободного твердого тела в общем случае.
Первые три из уравнений (87) определяют движение точки О' тела и вместе с тем поступательное движение осей Ort^ (переносное движение), а последние три уравнения определяют движение тела относительно этих осей (относительное движение тела); так как точка О занимает в подвижной системе。飞刀之 неизменное положение, то относительное движение тела представляет собой движение тела, имеющего одну неподвижную точку, или движение вокруг точки О, т. е. такое движение, которое было рассмотрено в предыдущих параграфах этой главы. Скорость переносного поступательного движения равна, очевидно, скорости и。，точки О'; эту скорость можно определить по ее проекциям на неподвижные координатные оси, причем эти проекции находятся из первых трех уравнений (87):
(1xq. ,
纷 д： = = /1 (От
绮У =厶⑴，绚z = -^-=九(/)•
Таким образом, приходим к следующему заключению: движение свободного твердого тела е общем случае можно разложить на два движения: 1) поступательное движение, скорость которого равна
скорости произвольно выбранной точки Ог тела, и 2) движение вокруг этой точки О'.
Так как относительное движение тела (движение относительно осей 。飞，］С) есть движение вокруг точки О', то согласно сказанному в § 86 это движение таково, что в каждый данный момент существует мгновенная ось, которая проходит через точку Ог и вокруг которой тело вращается с некоторой угловой скоростью <о.
Как было указано в § 86, это движение можно представить как качсппе без скольжения одного конуса (подвижного аксоида), неизменно связанного с движущимся твердым телом, по другому конусу, 1；оторый в данном случае, поскольку мы рассматриваем движение тела относительно осей。飞т)С, будет связан с этими осями, а так как система осей 0飞刀工 движется поступательно, то отсюда приходим к заключению: движение свободного твердого тела в общем случае можно представить как качение без скольжения одного конуса по другому, который движется поступательно. Эти два конуса имеют общую вершину О' и в каждый данный момент касаются вдоль общей образующей, по которой направлен вектор мгновенной угловой скорости о).
Так как за начало О' подвижной системы осей。‘三刀工 можно выбрать произвольную точку тела, то вышеуказанное разложение данного движения тела на два движения можно произвести бесконечным числом способов. При этом понятно, что скорость переносного поступательного движения, равная скорости точки О', зависит от выбора этой точки; что же касается угловой скорости(о относительного вращения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О', то, как увидим в следующем параграфе, ни модуль, ни направление вектора (о не зависят от выбора этой точки 1).
§ 89. Распределение скоростей и ускоренийв твердом теле в общем случае
Определим скорость и какой-нибудь точки М свободного твердого тела в общем случае. Для этого выберем какую-нибудь точку тела О' и будем определять положение этой точки радиусом- вектором г。，, проведенным из начала О неподвижной системы осей Oxyz (рис. 248). Радиус-вектор точки М, проведенный из точки О', обозначим через г\
В предыдущем параграфе мы установили, что движение твердого тела в общем случае можно разложить на два движения: 1) поступательное движение, скорость которого равна скорости vo< точки Ог (переносное движение), и 2) движение вокруг этой точки
Сравните с тем, что было сказано о разложении плоскопараллельною движения тела на поступательное и вращательное (§ 78).
О' (относительное движение), причем это последнее движение таково, что в каждый данный момент существует мгновенная ось, которая проходит через точку О' и вокруг которой тело вращается с угловой скоростью(о. Отсюда на основании теоремы сложения скоростей заключаем, что искомая скорость и точки М равна векторной сумме двух скоростей: 1) скорости го- поступательного движения (переносная скорость) ц 2) вращательной скорости vf точки М вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О (относительная скорость). Следовательно,
и = v()> + М(88)
Скорость vf определяется по формуле (77) § 86, т. е.
и = о)х 产.(89)
Эта скорость направлена перпендикулярно к плоскости, в которой лежат точка М и мгновенная ось вращения тела, проходящая через точку О, и по модулю равна произведению расстояния точки М от этой оси (мгновенного радиуса вращения точки М) на модуль угловой скорости(о. Равенство (88) на основании формулы (89) принимает вид
в = и。，十 @ х М (90)
Эта формула дает распределение скоростей в движущемся твердом теле в общем случае.
перпендику-перпендику-Проектируя векторное равенство (90) на направление радиуса- вектора г' и принимая во внимание, что вектор(0Хг? —
перпендику-
перпендику-
ляреп к г и, следовательно, его проекция на направление вектора г' равна нулю, получим:
Про-Л! (и) = пром(VO').
Так как точки О' и М тела выбраны произвольно, то отсюда приходим к теореме, которая была доказана для частного случая плоскопараллельного движения тела: при любом движении твердого тела проекции скоростей двух его точек на прямую, сосНин凡｝огцую эти точки,
равны.
Покажем теперь, что ни модуль, ни направление вектора угловой скорости w ие зависят от выбора точки О'. Возьмем вместо О' ］；акую-нибудь другую точку тела О；. Пусть угловая скорость, с которой тело вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О；, равна ①工(рис. 249). Требуется доказать, что
Если обозначим через г； радиус-вектор произвольно взятой точки М тела, проведенный из точки О；, то скорость точки М будет равна*
и ^^ и°| + (О】X Г].
Сравнивая это равенство с равенством (90), получим: и。；十81 X 元=и。+ (О х /.
Скорость точки О； можно найти по формуле (90); следовательно, uq； = “，+ 8 х OfOv
Подставляя это значение и。； в предыдущее равенство, получим; о)X О'О； + 吗 X 尸；=(о X r\ или
C)L X r[ — (0 X &‘-。'0；).
Но, как видно из рис. 249, имеем:
ОО； + X = к, или к — О'О； = г{, а потому
<ot X Г； — (О х П,
или
(<ох —(о) xrj — 0.
Это равенство должно иметь место при любом выборе точки 7И, т. е. при любом значении вектора г[, но это возможно только в том случае, когда <0丄 —— <о = 0, т. е. (0^ = (о, что и требовалось доказать.
Чтобы определить теперь ускорение w точки М, достаточно найти производную ^; дифференцируя по времени равенство (90), получим: du du。，\/ dr' \
dvQ,
Производная -^- есть ускорение wo> точки О\ или, что то же, ускорение переносного поступательного движения. Производная d，есть угловое ускорение тела в его относительном движении вокруг точки О, т. е. ^ = е. Чтобы выяснить, что представляет dr'
собой производная 血，соединим точку М с неподвижным началом О и обозначим радиус-вектор ОМ через г. Тогда (рис. 248) имеем: г = г О'十“
ГЛ. 16. движение твердого тела вокруг неподвижной точки 349
Дифференцируя это равенство по t} получим:
dr dr^, dr'
dt — dt + 山.
drН。yu нdrН。yu н等=и。、等=и。、а потомуа потому
dr
Н。yu н
dr
Н。yu н
等=и。、
等=и。、
а потому
а потому
dr'и = Do, + 贬.
Отсюда на основании равенств (88) и (89) следует, что
^ = и = ® х “(91)
е. производная 券 равна вращательной скорости точки М вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О'.
Полученное выше выражение для ускорения w принимает вид
w = w(y +(8 х 尸)+ (s 乂 吟=и?。’ + (e X /) + w X (w X /). (92)
Эта формула дает распределение ускорений в движущемся твердом теле в общем случае и отличается от формулы (82) только членом ггоч Члены £Хг' и(о х и' представляют собой соответственно составляющие Wq и 就)ускорения точки М тела в его относительном движенигГвокруг точки О\ Модули и направления этих ускорений определяются так же, как было указано в § 87, при выводе формулы (82).
Отсюда следует, что ускорение всякой точки свободного твердого тела в общем случае равно геометрической сумме двух ускорений'. 1) ускорения произвольно выбранной точки О' тела и 2) ускорения данной точки тела в его движении вокруг точки О'.
Понятно, что этот результат можно было бы получить непосредственно из теоремы сложения ускорений в том случае, когда переносное движение является поступательным (§ 76), аналогично тому, как формула (90) для скорости и получена из теоремы сложения скоростей.
Если возьмем две какие-нибудь точки А п В свободного твердого тела, то на основании формул (90) и (92), в которых точку Of можно заменить точкой Af а точку М — точкой В)будем иметь:
^в = ^а + Uba,
где _—
Гва = тхАВ^ и
^B = Ra + 覆鼠 + UJ 敢，
усы-векторы О。'，О'М и ОМусы-векторы О。'，О'М и ОМкак видно из рис. 250,как видно из рис. 250,будем иметь:г = го, +产・будем иметь:г = го, +产・Если координаты точки чим через 胃*『，z「аЕсли координаты точки чим через 胃*『，z「а
усы-векторы О。'，О'М и ОМ
усы-векторы О。'，О'М и ОМ
как видно из рис. 250,
как видно из рис. 250,
будем иметь:
г = го, +产・
будем иметь:
г = го, +产・
Если координаты точки чим через 胃*『，z「а
Если координаты точки чим через 胃*『，z「а
где_
гг露=£ X АВ и itba =(о X ((о X /5)；
эти формулы устанавливают зависимость между скоростями и ускорениями любых двух точек движущегося твердого тела.
Формула (91) получена при произвольном выборе точки М твердого тела; следовательно, эта формула справедлива для всякого вектора г\ неизменно связанного с движущимся твердым телом. В частности, мы можем в этой формуле последовательно положить г，= Г, г = j，и г，= А/, где 於,j，н кг обозначают ортн по- двияшых осей О'х', О'у' и O'z', неизменно связанных с движущимся телом. Тогда получим следующие важные формулы, определяю- ище производные по времени от ортов подвижных координатных осей:
嘗=8 X Г,冬=8Х『，宵=9Хк'・(9Г)
ГЛАВА 17
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 90. Теорема сложения скоростей
В главе XIV мы уже видели, в чем состоит задача о сложном движении точки, и рассмотрели теоремы сложения скоростей и сло- ?кения ускорений для того частного случая, когда переносное дви
жение, т. е. движение подвижной системы отсчета,——поступательное. Теперь мы докажем эти теоремы в общем случае, т. е. не делая никаких частных предположений о переносном движении.
Пусть подвижная система отсчета О'胃'y'z' движется произвольным образом относительно неподвижной системы Oxyz и пусть точка 7И в ее относительном движении , т. е. в движении относительно системы О'^у z ^ описывает некоторую траекторию АВ (рис. 250). Если обозначим р а дисоответственно через г。，，г' и г7 то,
М в подвижной системе осей обозна- орты этих подвижных осей обозначим
через Г,『и к, то
ь=%e + у7 +父川,
а потомуа потомуГ = Го' + 胃宕 + У7 + 2 &\Г = Го' + 胃宕 + У7 + 2 &\
а потому
а потому
Г = Го' + 胃宕 + У7 + 2 &\
Г = Го' + 胃宕 + У7 + 2 &\
Так как абсолютная скорость va точки М равна производной от радиуса-вектора г этой точки по времени, то, дифференцируя по t предыдущее равенство и принимая во внимание, что при непоступательном движении системы осей О'胃'у'/ направления ортов ?,『 и к' непрерывно изменяются и что, следовательно, эти орты являются переменными векторами, получим:
dr 〃с， 成' dj' dk' dx' dy' dz'
% =迈=石+ M而+『血+ z' z +『+血M
Последние три члена этой формулы представляют собой относительную скорость точки М, так как согласно сказанному в § 75 эта относительная скорость равна
Покажем, что сумма первых четырех слагаемых, входящих в выражение, полученное для va, равна переносной скорости точки М.
Переносной скоростью vp точки М называется скорость той точки, неизменно связанной с подвижным трехгранником O'x'y'z", с которой в данный момент совпадает точка М (§ 75). Поэтому при определении переносной скорости точки М нужно эту точку неизменно связать с подвижным трехгранником О'胃'y'z', т. е. нужно считать ее координаты х , у', z' постоянными. Отсюда следует, что переносная скорость точки М равна производной от радиуса- вектора г этой точки по времени, причем при вычислении этой производной координаты Z, у', z' нужно рассматривать как постоянные, т. е., другими словами, нужно предположить, что относительное движение точки М остановлено.
Дифференцируя в этом предположении написанное выше выражение для радиуса-вектора г, получим:
办 с,di' di' dk'
% = k+瓦+矿涯+ z'
Из сопоставления полученных выражений для га, и「и ир> очевидно, следует:
% = % + %.(93)
Это равенство выражает теорему сложения скоростей в общем случае: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной 〃 относительной скоростей этой точки.
Мы видим отсюда, что абсолютная скорость точки и в общем
случае определяется так же, как при поступательном переносном
движении.
выведем выражение для скорости точки в полярных координатах.выведем выражение для скорости точки в полярных координатах.В качестве первого примера применения полученной теоремы
выведем выражение для скорости точки в полярных координатах.
выведем выражение для скорости точки в полярных координатах.
Рис, 251.Рис, 251.Если точка М движется в данной плоскости, то ее положение в каждый данный момент t может быть определено двумя ее полярными координатами: полярным углом 屮 и радиусом- вектором г (рис. 251); при движении точки обе эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени:
Рис, 251.
Рис, 251.
<Р = Л С), г = % (0- (94)
Эти уравнения представляют собой уравнения движения точки в полярных координатах (§ 64).
Будем рассматривать движение точки М по прямой Ох" как относительное; тогда переносным движением является вращение этой прямой вокруг неподвияшой точки О.
Скорость и точки М равна, следовательно, векторной сумме двух скоростей: 1) относительной иг, называемой радиальной скоростью, которая направлена по Охг и алгебраическое значение которой равно, очевидно,山，и 2) переносной d?, представляющей собой скорость той точки вращающейся прямой 。花'，с которой в данный момент совпадает точка М. Так как все точки прямой Ох описывают окружности с центром в точке О, то переносная скорость точки М перпендикулярна к Ох , а ее алгебраическое значение на основании сказанного в § 72 равно г
Отсюда следует, что модуль абсолютной скорости точки М равен
+252.” = М 讨+ 區=У ⑶2 + (嘤『•(95)
По этой формуле определяется модуль скорости, когда движение точки задано уравнениями в полярных координатах.
Пример 97. Центробежный регулятор вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz с данной угловой скоростью со. В то же время муфта С скользит вверх по оси Oz, а шары А и В удаляются от этой оси, так что углы 屮 возрастают (рис. 252). Найти абсолютную скорость шаров, если 。4 = 03 =
Решение. Проведем через точку。подвижную горизонтальную ось Оу', лежащую во вращающейся плоскости ОАВС. Относительное движение точки 3, т. е. движение по отношению к осям Oy'z, представляет собой вращение с угловой скоростью ①】=賞 вокруг оси Ох\ перпендикулярной к плоскости Оу' Z.
Предположим, что угловая скорость со丄 в данный момент известна. Тогда относительная скорость v(^ точки 5 равна по модулю /(ох, направлена перпендикулярно к ОВ и лежит в плоскости Оу'z. Переносное движение представляет собой вращение вокруг оси Oz с угловой скоростью со; следовательно, переносная скорость i^")точки В равна по модулю гз = Ез sin <р и направлена перпендикулярно к плоскости Oy'z. Отсюда на основании теоремы сложения скоростей находим, что модуль искомой абсолютной скорости точки В равен
"产=丿4"/ + Ь产2 = £ /3: +(о2 sin2 ф.
§ 91. Теорема Кориолиса
В предыдущем параграфе мы нашли, что абсолютная скорость точки М} движущейся по некоторой траектории АВ относительно подвижной системы отсчета 。'花'y'z' (рис. 250), равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Найдем теперь абсолютное ускорение этой точки.
Как было указано в § 75, формула разложения относительного ускорения wr точки М по подвижным осям имеет следующий вид:
% = к +% = к +d2y , d2^d2y , d2^
% = к +
% = к +
d2y , d2^
d2y , d2^
Переносным ускорением we точки М называется ускорение той точки, неизменно связанной с подвижным трехгранником O'x'y'z^ с которой в данный момент совпадает точка М. Поэтому для определения переносного ускорения точки М нужно найти производную по времени от переносной скорости этой точки, предполагая при этом, что точка М неизменно связана с трехгранником О'*'у' z', т. е. считая ее координаты 胃',у', z' постоянными. В предыдущем параграфе мы нашли, что переносная скорость точки М равна
+ z'+ z'dkrdkr
+ z'
+ z'
dkr
dkr
Дифференцируя no t это выражение в предположении, что xf, д', z' посто凡нны》получим переносное ускорение точки М:
^е^е+ "海+ '亦+ Z+ "海+ '亦+ Zd2krd2kr
^е
^е
+ "海+ '亦+ Z
+ "海+ '亦+ Z
d2kr
d2kr
Абсолютное ускорение м^ точки М равно производной по времени от абсолютной скорости va этой точки, но
% = % + %,
12 И. М. Воронков
а потомуа потому叨a叨a也。dt也。dtdve dvr"万十z .dve dvr"万十z .
а потому
а потому
叨a
叨a
也。dt
也。dt
dve dvr
"万十z .
dve dvr
"万十z .
Найдем производные, стоящие в правой части этого равенства:
db& _ dz 一db& _ dz 一訂察+“号 + K案十Yf訂察+“号 + K案十Yf
db& _ dz 一
db& _ dz 一
訂察+“号 + K案十Yf
訂察+“号 + K案十Yf
d?广о，t,d~i',国炉，, dx' ^ , di/ <f f dz' dkr
dt2 十dl~ 十”成2 十dz?十 dt dt 十 df dt 十 d£ dt
dx' di， dy' df dz' dk'
Заменим здесь производные от ортов Г, /\ к' их значениями по формулам (9Г) § 89:
凉=8* 好2T = 8X0
где о)есть мгновенная угловая скорость, с которой вращается трехгранник О'花'y'z' (твердое тело, с которым связана подвижная система отсчета) вокруг мгновенной оси, проходящей через точку 0、
Тогда получим:
"展"Е'丄"式 "J" j-dl dt ' dt 山十"展"Е'丄"式 "J" j-dl dt ' dt 山十dtdtdz' dk'—%成一：(S X 0 + 雾((О X 力 + ~(wx 川)=dz' dk'—%成一：(S X 0 + 雾((О X 力 + ~(wx 川)=гдегде% =苏2 +居, +凉加% =苏2 +居, +凉加есть относительная скорость точки М. Итак,есть относительная скорость точки М. Итак,dve ,、，蕾=叫+ 8 X %.dve ,、，蕾=叫+ 8 X %.Далее:dvr — d I dkdt — dt I dtДалее:dvr — d I dkdt — dt I dt「'+箱+ "_!「'+箱+ "_!d2^ v . d2y' , d~z' ,, dV . dy' df t d£ dk， 而/ +-d^,e + -dm+ndt + dt=q + (О X %•Итак,d2^ v . d2y' , d~z' ,, dV . dy' df t d£ dk， 而/ +-d^,e + -dm+ndt + dt=q + (О X %•Итак,%：=再十位X %%：=再十位X %
"展"Е'丄"式 "J" j-dl dt ' dt 山十
"展"Е'丄"式 "J" j-dl dt ' dt 山十
dt
dt
dz' dk'—
%成一
：(S X 0 + 雾((О X 力 + ~(wx 川)=
dz' dk'—
%成一
：(S X 0 + 雾((О X 力 + ~(wx 川)=
где
где
% =苏2 +居, +凉加
% =苏2 +居, +凉加
есть относительная скорость точки М. Итак,
есть относительная скорость точки М. Итак,
dve ,、，
蕾=叫+ 8 X %.
dve ,、，
蕾=叫+ 8 X %.
Далее:
dvr — d I dkdt — dt I dt
Далее:
dvr — d I dkdt — dt I dt
「'+箱+ "_!
「'+箱+ "_!
d2^ v . d2y' , d~z' ,, dV . dy' df t d£ dk， 而/ +-d^,e + -dm+ndt + dt
=q + (О X %•
Итак,
d2^ v . d2y' , d~z' ,, dV . dy' df t d£ dk， 而/ +-d^,e + -dm+ndt + dt
=q + (О X %•
Итак,
%：=再十位X %
%：=再十位X %
Складывая полученные выражения для производных %j и , найдем:
"% = R + 吟十 2з X vr.(96)
Эта формула показывает, что в том случае, когда переносное движение не является поступательным, абсолютное ускорение точки складывается из трех ускорений: переносного wp1 относительного 〃‘г и ускорения, равного 2(оХгг> которое называется ускорением Кориолиса х). Обозначая ускорение Кориолиса через 工？屈,имеем, следовааелыю:
叫= 2((0 X %),(97)
т. е. ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости твердого тела, с которым, связана подвиж- ноя система отсчета, на скорость точки относительно этой подвижной системы.
Равенство (96), которое можно переписать в виде
"% =叫 + 叫 + IV h,(98)
равно векторнойравно векторнойвыражает теорему Кориолиса: в том случае, когда переносное движение, т, е. движение подвижной системы отсчета, не является
равно векторной
равно векторной
ъъпоступательным у абсолютное ускорение точки сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова.
ъ
ъ
Модуль и направление ускорения Кориолиса определяются из формулы (97). Если обозначим угол между векторами(о 迈 и^ через 6, то, принимая во внимание, что модуль векторного произведения о)Хиг равен(oz?rsin 8, получим:
wh = 2s% sin 6.(99)
Чтобы определить направление вектора 况屈,
которое совпадает с направлением векторного
произведения(ох%, нужно перенести вектор <о в точку М (рис. 253) и восставить в этой точке перпендикуляр к плоскости, в которой лежат векторы(о и и『；вектор 况在 будет направлен по этому перпендикуляру в ту сторону, чтобы наблюдателю, смотря- гцему с его конца, поворот вектора <о на угол 8 до совмещения его
с вектором ^представлялсяпроисходящим против часовой стрелки.
Для определения модуля и направления кориолисова ускорения удобно пользоваться также следующим правилом: разложим относительную скорость vr на две составляющие и； н ь； по
Густав Кориолис — профессор Политехнической школы в Париже (1792—1843).
направлению, к нему перпендику- составляющей скорости в； равен,направлению, к нему перпендику- составляющей скорости в； равен,направлению вектора ⑨ и по лярному (рис. 253); модуль очевидно, 斗 sin 0, а потому
направлению, к нему перпендику- составляющей скорости в； равен,
направлению, к нему перпендику- составляющей скорости в； равен,
(99')(99')wk = 2s&,
(99')
(99')
е. кориолисово ускорение равно по модулю удвоенному произведению модуля угловой скорости s переносного вращения, т. е. вращения, подвижной системы отсчета у на модуль составляющей относи- телъной скорости, перпендикулярной к вектору о).
Чтобы получить направление кориолисова ускорения, достаточно, как видно из рис. 253, повернуть составляющую и^ относительной скорости, перпендикулярную к вектору <о, вокруг оси} параллельной этому вектору и проходящей через точку Мt на прямой угол в направлении переносного вращения.
w* Рассмотрим два частных случая:
Если гг _[_(о, то 0 = 90°, sin 0 = 1 и, следовательно,
Рис. 254.
В этом случае три вектора и『,<о 口 wh взаимно перпендикулярны (рпс. 254). Чтобы получить направление вектора zu〃, достаточно в этом случае повернуть вектор относительной скорости vr вокруг точки М (в плоскости, перпендикулярной к вектору (о) на прямой угол в направлении переносного вращения.
Если vr I：(о, то 0 = 0 или 0 = 180° и, следовательно, sin 0 = 0, а потому wk ~ 0, т. е. в этом случае ускорение Кориолиса обращается в нуль.
Пример 98. Окружность радиуса г вращается равномерно в своей плоскости вокруг центра О по часовой стрелке, делая
Рнс. 255.?“ оборотов в минуту; в то же время точка
М движется равномерно по этой окружности в обратном направлении, делая л2 оборотов в минуту. Найти абсолютное ускорение точки М (рпс. 253).
Решение. Переносное движение представляет собой равномерное вращение вокруг точки О; поэтому переносное ускорение точки М равно по модулю
S =产時，
причем
аналогично выражается и модуль относительного ускорения точки М:
причем
Ускорения м> и му направлены по радиусу окружности к центру О. Так как вектор угловой скорости переносного вращения ю】направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, то a)i丄и^. Поэтому, повернув относительную ско^ рость и『на 90° в направлении переносного вращения (по часовой стрелке), получим направление кориолисова ускорения; это ускорение направлено, следовательно, по радиусу от центра О; модуль этого ускорения равен
山在 ~ 2(о^^^ -—■ SrcOgO)j»
Сложив все три ускорения, получим 】)： 冗2
^а =汽О； + 产①?一2rge01=产(31-(02)2 = 9丽г(«1-k2)2.
Вектор wa направлен по радиусу окружности к центру О.
П р и м е р 99. Прямая ОА вращается вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой скоростью з; точка М движется по этой прямой с постоянной относительной скоростью 沙广 Найти ее абсолютное ускорение (рис. 256).
Решение. Как и в предыдущем примере, переносное движение есть равномерное вращение вокруг точки О; следовательно, % = ОМ ■ со2 = го)2, кричем ускорение we направлено к центру вращения О; относительное! движение точки М есть движение прямолинейное и равно
мерное; следовательно,рис. 256.
% = 0.
Как и в предыдущем примере,(о丄и「； поэтому, чтобы получить направление кориолисова ускорения, нужно повернуть вектор и『в плоскости чертежа вокруг точки М на прямой угол в направлении переносного вращения; следовательно, ускорение 北‘在 направлено перпендикулярно к ОА, как указано на рис. 256, и
На основании теоремы Кориолиса имеем:
^a = ^e+ wr+"在=we+"在•
Так как "е丄①在,то модуль абсолютного ускорения точки М равен
30= ]/必+ ^^ =①]/储①2 + 4诈.
Представим себе теперь, что вместо прямой ОА мы имеем вращающуюся горизонтальную трубку, в которую положен щарик М. Согласно сказанному в предыдущем примере заключаем, что кориолисово ускорение шарика будет направлено перпендикулярно к трубке и равно по модулю 2уг(о, где vr есть скорость движения шарика вдоль трубки. Из физики известно, что произведение массы т движущейся материальной точки на ее ускорение равно силе,
Так как все три ускорения направлены по одной прямой, то они складываются алгебраически.
сообщающей точке это ускорение 】). В данном случае силой, сообщающей шарику ускорение u'^, является нормальная горизовтальпая реакция трубки. В свою очередь шарик давит на степку трубки с такой ?кс по модулю силой, равной
Эта сила давления шарика на трубку называется иногда силой Кориолиса.
ния точки М на ось z н на подвижные осп а/ i пый момент. Ось “' перпендикулярна к осиния точки М на ось z н на подвижные осп а/ i пый момент. Ось “' перпендикулярна к осии у', зная широту <р точки М в дап-и у', зная широту <р точки М в дап-Пример 100. Шар радиуса R вращается вокруг оси 名 с постоянной угловой скоростью з (рис. 257). По меридиану Л В движется точка М с постоянной ио модулю относительной скоростью гг. Найти проекции абсолютного ускоре-
ния точки М на ось z н на подвижные осп а/ i пый момент. Ось “' перпендикулярна к оси
ния точки М на ось z н на подвижные осп а/ i пый момент. Ось “' перпендикулярна к оси
и у', зная широту <р точки М в дап-
и у', зная широту <р точки М в дап-
.z и лежит в плоскости меридиана
АВ, ось х‘ перпендикулярна к этой плос-
кости.
Решение. Так как переносное дви- я«енпе есть вращение вокруг неподвижной оси z с постоянной угловой скоростью, то переносное ускорение м> точки М направлено по радиусу МОг параллели ab; если обозначим этот радиус через 尸,то г = =Е cos ф； следовательно,
we = гео2 — R cos (рее?.
и пои поВ относительном движении точка М движется по окружности радиуса К с постоянной по модулю скоростью “.； следовательно, относительное ускорение wr направлено
и по
и по
по радиусу МО этой окружности модулю равно
Кориолисово ускорение 比屈 перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы о)и。厂；следовательно, вектор tc屈 направлен перпендикулярно к плоскости меридиана АВ (по касательной к параллели 〃bj в ту же сторону, что и ось Оа/, как указано на рис. 257 2). Так как угол между векторами о и и「 равен, очевидно, ф, то
~ 2%со sin ф.
Согласно теореме Кориолиса имеем:
Отсюда следует, что проекция абсолютного ускорения tra на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций ускорений ire, wr и wA на ту же ось. Проекции этих ускорений на оси xz, у' и 力 легко пайти из чертежа:
wexr = 0, wey> = — we = — R cos q>.①2, Wez = 0;邛vr
wT^ — 0, wrv> = 一 wr cos (p ——五 cos ф, wYZ = — u?rsin ip = — ~ sin ф；
^屈*' = ^在二 2分to sin <р, ^hy，— °, ^kz = °・
2-й закон динамики.
Чтобы получить направление вектора ①冗,нужно составляющую отно- сительпой скорости иг, перпендикулярную к оси z, которая, очевидно, направлена по радиусу МО^ повернуть (в плоскости параллели а6) на прямой угол в даправленпи переносного вращения,
Следовательно,
^ах = ^ех + %謂’ + ^& = 2%，(0 Sin ф,编ад' =3 ёу" + + ^hy " '(*32+ 五)COS 中，
^az = wez + ^rz + whz = 一 互 Sill ф.
По найденным трем проекциям абсолютного ускорения нетрудно определить его модуль и направление. Кориолисова сила в данном случае равна 2〃缈/0 sin ф и направлена противоположно ускорению ick.
Действием этой силы Кориолиса, возникающей вследствие суточного вращения Земли, объясняется так называемый закон Бэра, т. е. размывание правых берегов рек в Северном полушарии, текущих в направлении меридиана.
Точно так же колеса движущегося в направлении меридиана паровоза оказывают горизонтальное давление на правый рельс. При вычислении этого давления в примере 100 иод со нужно, очевидно, понимать угловую скорость суточного вращения Земли, а под <р ——географическую широту данного места земной поверхности.
Г Л А ВА 18
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 92. Сложение поступательных движений
В этой главе мы рассмотрим задачу о сложном движении твердого тела, аналогичную той, которую мы рассматривали в предыдущей главе для отдельной точки. Пусть данное твердое тело движется определенным образом относительно системы осей O'xy'z', которая в свою очередь имеет определенное движение относительно неподвижных осей Oxyz. Требуется найти результирующее, или абсолютное движение тела, т. е. его движение по отношению к неподвижным осям Oxyz. Мы рассмотрим решение этой задачи в нескольких основных случаях.
В зависимости от того, какими являются относительное дви，;е~ пие тела и движение подвижной системы осей, мы будем иметь задачи о сложении поступательных движений, или о сложении вращательного и поступательного движений, или о сложении вращательных движений.
Начнем со случая сложения поступательных движений, т. е. с того случая, когда относительное движение тела (движение относительно подвижной системы отсчета) и переносное движение (двии^епие этой подвижной системы отсчета) являются поступательными.
Пусть данное твердое тело движется поступательно со скоростью и】 относительно некоторой системы отсчета, которая в свою очередь движется поступательно со скоростью и^
относительно другой системы отсчета, принимаемой за неподвижную. Требуется определить двил«ение тела относительно этой последней системы.
Абсолютная скорость и какой-нибудь точки тела по теореме сложения скоростей равна геометрической сумме скоростей относительной и переносной, т. е. в = и「+ и^. Но для всех точек тела имеем: vr = 力 и % ~ %. Это следует из того, что относительное и переносное движения являются поступательными. А потому и = 力 十 v2. Из этого равенства видим, что абсолютные скорости всех точек тела в каждый данный момент одинаковы. Отсюда следует, что движение тела относительно неподвижной системы отсчета является поступательным со скоростью и, равной геометрической сумме скоростей и】и с^. Таким образом, приходим к заключению: в том случае, когда относительное и переносное движения являются посту нательными f абсолютное движение тела есть также поступательноеу причем скорость этого поступательного движения равна геометрической сумме скоростей относительного и переносного движений.
§ 93. Сложение вращательного п поступательного движенийв том случае, когда скорость поступательного движенияперпендикулярна к оси вращения
Пусть движение твердого тела относительно данной системы отсчета О'х^т! есть вращение с угловой скоростью(о вокруг оси z'
и пусть эта система отсчета, связанная, например, с движущимся
Рис. 258.Рис. 258.ложно вектору и.ложно вектору и.вагоном, обладает поступательным движением со скоростью 〃，перпендикулярной к вектору(о (рис. 258). Требуется найти абсолютное движение тела. Повернем по- и『 л упрямую 。'花',по которой направлена скорость 〃，вокруг оси z' на 90° в напра- _〜влении относительного вращения так, 9 чтобы опа заняла положение 0'у‘. Абсолютная скорость какой-нибудь точки А тела, лежащей на осп О'у', равна геометрической сумме переносной скорости и и
Рис. 258.
Рис. 258.
ложно вектору и.
ложно вектору и.
относительно!! скорости и” равной по модулю 0'4 •(о и направленной противопо- Если выберем точку А так, чтобы имело
место равенство О' А * т — и, т. е. О' А = и :(о, то абсолютная скорость такой точки в данный момент равна нулю х).
Этот вывод, очевидно, не зависит от положения точки О' на оси z', а потому абсолютная скорость каждой точки, лежащей на
Сравните с тем, что было сказано в теории плоскопараллельного движения тела (§ 79) нри определении мгновенного центра скоростей;
прямой 48)параллельной этой оси, равна нулю. Отсюда следует, что в абсопютном движении тела прямая АВ представляет собой мгновенную ось вращения тела; найдем угловую скорость Q этого вращения, причем вектор Q направлен по оси 48; для этого заметим, что абсолютная скорость точки О' равна вращательной скорости этой точки вокруг мгновенной оси АВ\ с другой стороны, абсолютная скорость точки О' равна переносной скорости и, так как относительная скорость этой точки равна нулю; из этого следует прежде всего, что вектор Q направлен в ту же сторону, что и вектор о; далее, из равенства О' А • Q = и находим:
Q =以=и ：加=3； следовательно,
Q =(о.
Таким образом, приходим к следующему заключению: при сложении вращательного движения с угловой скоростью(о и поступательного Ззижения, скорость которого и перпенЗикулнрна 厚(о, абсолютное движение тела таково, что е каждый данный момент существует менобенная 0cb вращения тела,孔ара儿&£“ьма兄 оси данного бр(ш«ени凡 и отлети。兄叫а兄 от нее на расстоянлт, равном %, причем мемобенма兄 абсолктная уалозая скорость тела равна (о.
Примеролт рассмотренного сложного движения тела может служить движение вращающейся пароходной турбины при поступательном движении парохода, причем ось вращения турбины перпендикулярна к направлению продольной оси парохода.
§ 94. Винтовое движение тела
Пусть данное твердое тело вращается вокруг неподвижной оси г с угловой скоростью(о (относительное движение) и в то же время перемещается (вместе с подвижной системой отсчета) 之 поступательно со скоростью и, направленной вдоль 丄 этой оси (переносное движение). Векторы(о и и в этом случае направлены по одной прямой (рпс. 259). Такое ® движение тела называется винтовым.'
Если векторы (о и и направлены по осп z в одну и、 сторону, то в таком случае мы имеем правый винт; если же эти векторы направлены в противоположные стороны, то они образуют левый винт. Отноше- '
пие и : со = р называется параметром винтового дви- Рис. 259.
жения или параметром кинематического винта.
через ф,через ф,Если обозначим угол поворота тела вокруг оси z
через ф,
через ф,
а величину поступательного перемещения тела вдоль этой оси —— через s, то будем иметь:
ds
отсюда находим, чтоотсюда находим, чтоds〃中 『ds〃中 『Допустим, что параметр р есть величина постоянная^ как это имеет место, например, при двшкешш винта в неподвижной гайке с данной нарезкой. Тогда, интегрируя уравнение ds = р d(p в пределах от 0 до s и от 0 до ф, получим:
отсюда находим, что
отсюда находим, что
ds
〃中 『
ds
〃中 『
s = р ・ <р,
т. е. при постоянном параметре кинематического винта посту
пательное перемещение тела вдоль винтовой оси пропорцио
нально углу поворота тела вокруг этой оси.
Если полояшм ф = 2л, а величину поступательного перемещения, соответствующего этому углу поворота, обозначим через 历,то
方=2пр и Р = ^ •
Эта величина 力,т. е. расстояние, на которое перемещается тело вдоль винтовой оси при одном полном обороте вокруг этой оси, называется шагом винта. Так как при винтовом дви7кении расстояние каждой точки тела от неподвижной оси z остается, очевидно, постоянным, то траектория какой- нибудь точки Мйтела, отстоящей от оси z на
расстоянии г, расположена на радиуса г (рис. 260).Абсолютная скорость точки двух скоростей: скорости гвр ворасстоянии г, расположена на радиуса г (рис. 260).Абсолютная скорость точки двух скоростей: скорости гвр воповерхности круглого цилиндра
расстоянии г, расположена на радиуса г (рис. 260).
Абсолютная скорость точки двух скоростей: скорости гвр во
расстоянии г, расположена на радиуса г (рис. 260).
Абсолютная скорость точки двух скоростей: скорости гвр во
М равна геометрической сумме вращательном движении, причем
—2” —Рис. 261.—2” —Рис. 261.^вр = г①,и скорости и в поступательном движении. А так как эти скорости взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости точки М равен
—2” —
Рис. 261.
—2” —
Рис. 261.
D = / U2 + Г2(О2 = (О / 卩2 + 厂久
рость то же, с образующей цилиндра,рость то же, с образующей цилиндра,составляет с осью z, или, что определяется по формулесоставляет с осью z, или, что определяется по формулеtg Y =tg Y =Угол у, который абсолютная ско
рость то же, с образующей цилиндра,
рость то же, с образующей цилиндра,
составляет с осью z, или, что определяется по формуле
составляет с осью z, или, что определяется по формуле
tg Y =
tg Y =
Отсюда следует, что при р = const угол у остается /гост。兄мм垃.м, т. е. траектория точки, назыбаемая винтовой линиейt пересекает все образующие цилиндра под одним и тем же углом. Если поэтому разрежем цилиндр вдоль образующей и развернем его на плоскости, то винтовая линия изобразится на этой плоскости прямой линией (рис. 261). Из рис. 261, очевидно, имеем: h = 2лг ctg у.
§ 95. Сложение вращательного п поступательного движенийв том случае, когда скорость поступательного движенияие перпендикулярна к осп вращения
Пусть вектор относительной угловой скорости (о, направленный по оси z\ и скорость переносного поступательного движения и образуют между собой некоторый угол а (рис. 262).
Разложим скорость м на две составляющие скорости:现口 направленную по оси /, причем u】= u cos а, и и2, перпендикулярную к оси z', причем u2 — u sin а. Поступательное движение со скоростью 我？ 口 вращение с угловой скоростью (о вокруг оси z' на основании сказанного в § 93 приводятся к одному вращению с угловой скоростью Q = з вокруг мгновенной оси АВ, параллельной оси /, причем
〜/〃 sin a
Таким образом, мы получаем совокупность мгновенной угловой скорости С и поступательной скорости 我 1, направленной
параллельно мгновенной оси вращения 48; следовательно, распределение абсолютных скоростей в теле в данный момент в рассматриваемом случае таково же, как при винтовом движении с винтовой осью АВ, угловой скоростью(о и скоростью поступательного движения, равной 我广 Параметр этого винтового движения равен.
〃1 и cos а
—СО — (О
§ 96. Сложение двух вращений вокруг параллельных осей
Рассмотрим тот случай, когда относительное движение тела и переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчета, представляют собой вращения вокруг параллельных осей.
Пусть, например, кривошип ОгО2 вращается вокруг неподви;к- ной оси Оп перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой
скоростью со】 (рпс. 263). Предположим, что на ось О2, перпендп- кулярную к плоскости чертежа и неизменно соединенную с кривошипом, свободно насажено тело (например, шкив), вращающееся вокруг этой оси с относительной угловой скоростью (о2.
Следовательно, о>2 есть угловая скорость тела относительно
кривошипа} т. е. относительно системы отсчета, неизменно связанной с кривошипом. Сначала допустим, что оба вращения совершаются в одном направлении (против часовой стрелки). Построив векторы угловых скоростей о】и о)2 (рис. 264), постараемся определить абсо-
— лютное движение тела, получающееся в ре- 。广~зультате сложения этих двух вращений.
Рис. 263.Возьмем на прямой О】。？ в самом теле
или неизменно связанную с ним какую-
нибудь точку С (рис. 263). Абсолютная скорость va этой точки
равна геометрической сумме двух скоростей: относительной ско-
С, т. е. ее вокруг оси точки, т. е. ниц вокругЭти две направлены потомуС, т. е. ее вокруг оси точки, т. е. ниц вокругЭти две направлены потомурости % точкирости % точкиDD.3 /.3 /скорости во вращательном движении О2, и переносной скорости гр этой ее скорости во вращательном движе- оси О】.
С, т. е. ее вокруг оси точки, т. е. ниц вокруг
Эти две направлены потому
С, т. е. ее вокруг оси точки, т. е. ниц вокруг
Эти две направлены потому
рости % точки
рости % точки
D
D
.3 /
.3 /
скорости перпендикулярны к О^ и в противоположные стороны, а
Га = Vp — Vr = (О】• °1° —①2 * °2°・
Если выберем точку С так, чтобы имело место равенство
①1 *0£ =①2,。201口口 ^^y - -3,
то абсолютная скорость такой точки равна нулю. Такова же будет и абсолютная скорость любой точки, лежащей на прямой CD (рис. 264), проходящей через С и параллельной векторам (о1 и (о2, т. е. перпендикулярной к плоскости чертежа на рис. 263. Отсюда следует, что в абсолютном движении тела прямая CD представляет собой мгновенную ось вращения тела. Определим угловую скорость Q этого вращения. Абсолютная скорость ио? точки О2 равна по модулю Q СО^ с другой стороны, модуль этой же скорости равен, очевидно,铀.О^. Принимая во внимание направление скорости и。？, видим, что вращение тела вокруг мгновенной оси происходит в том же направлении, что и вращения вокруг осей О】и О* т. е. против часовой стрелки (рис. 263); далее, из равенств
廿。2 Q ,c°2 ①1， °1°2
находим:Q =находим:Q =0)1 ^0，01 _ (Oj (010+e。2)_ gI *0储 + tt>t • CO2
находим:
Q =
находим:
Q =
со?= 同 = ё^ I
со,со,QQ(о& • СО2 Н~ <j)i • СО2(о& • СО2 Н~ <j)i • СО2С5С5=(О]十(о2.=(О]十(о2.заменяя здесь произведение ^-О^С равным ему произведением (о2 • СО^ получим:
со,
со,
Q
Q
(о& • СО2 Н~ <j)i • СО2
(о& • СО2 Н~ <j)i • СО2
С5
С5
=(О]十(о2.
=(О]十(о2.
Таким образом, приходим к следующему заключению:
При сложении двух направленных в одну сторону вращений
вокруг параллельных осей абсолютное движение тела таково^ что
в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения
тела, паралле虱ьнап осям относителъного и переносного вращений и делящая расстояние между ними внутренним образом на части,
обратно пропорциональные относительной и переносной угловым
Рис. 265.Рис. 265.скоростям, Менозенная абсолютная уело- еа兄 скорость тела параллельна относительной и переносной угловым скоростям и направлена е ту же сторону, а ее ло- дулъ равен сумме модулей этих угловых скоростей.
Рис. 265.
Рис. 265.
Предположим теперь, что тело вращается вокруг оси。2 口。часовой стрелке, а кривошип。用 по-прежнему вращается вокруг О】 против часовой стрелки. Угловые скорости (Oj и(о2 этих вращений пред-
ставляют собой два антипараллельных вектора (рис. 265). Пусть g)2〉(1)!. Совершенно так же, как и в предшествующем случае, легко убедиться в том, что для точки С тела, лежащей на прямой 0]0窑,абсолютная скорость будет равна нулю при условии, что эта точка лежит вне отрезка Ofi^ за вектором большей угловой скорости, и что имеет место равенство оэг • О^С =(о2 • О2С; следовательно, в абсолютном движении тела прямая CD представляет собой мгновенную ось вращения тела, параллельную осям данных вращений (рис. 265). Для определения угловой скорости Q этого вращения рассмотрим скорость точки О2. Абсолютная скорость точки。2, очевидно, равна той скорости, которую имеет эта точка во вращательном движении кривошипа вокруг оси О】； эта скорость направлена перпендикулярно к плоскости чертежа 265 (от читателя) и равна по модулю(о「О/?2； с другой стороны, эта скорость на основании сказанного об абсолютном движении тела может быть представлена как скорость во вращательном движения вокруг мгновенной оси CD, Отсюда заключаем, что вращение тела вокруг оси CD происходит в том же направлении, что
и относительное вращение вокруг оси О* т. е. в направлении вращения с большей угловой скоростью. Далее из равенств
沙02Q •。。纟—①].О]^^2
находим:
Q ①1 ，。1。2 _ (0] (01С一5S(0( *0]е -020
заменяя здесь ^ • О^С равным ему произведением(о2 О2С, получим :
Таким образом, мы приходим к следующему заключению:
При сложении двух направленных е противоположные стороны вращений вокруг параллельных осей абсолютное движение тела таково, что е каждый данный момент существует мгновенная ось 6ращения тела, параллельна凡 ос兄附 данных вращений и бел乳一 出仪兄 расстояние между ними внешние образом ма части, обратно пропорциональные относительной и переносной угловым скоростям. Мгмоеемма兄 абсолютная, уалобая скорость тела параллельна относительной и переносной угловым скоростям и направлена в сторону большей из них, а ее модуль равен разности модулей этих угловых скоростей.
Так как в обоих рассмотренных случаях абсолютное движение тела представляет собой, очевидно, движение, параллельное плоскости, перпендикулярной к осям относительного и переносного вращений, то мы можем к этому движению тела применить теорему о центроидах (§ 81). Геометрическое место мгновенных центров вращения С на неподвижной плоскости (на плоскости рис. 263) образует неподвижную центроиду. Геометрическое же место мгновенных осей CD в пространстве представляет собой в данном случае цилиндрическую поверхность, для которой неподвижная центроида является направляющей и образующие которой параллельны осям относительного и переносного вращений. Эта поверхность называется неподвижным аксоидом.
Геометрическое место мгновенных осей CD в самом движущемся теле называется подвижным аксоидом. В данном случае подвижной аксоид представляет собой также цилиндрическую поверхность, для которой направляющей служит подвижная центроида, В каждый данный момент эти два цилиндра касаются вдоль общей образующей, которая является в этот момент мгновенной осью вращения тела; абсолютное движение тела 8 обоих рассмотренных слу~ чаяз: преастаз^яет собой качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному.
В частном случае, когда отношение модулей угловых скоростей (о】и(о2 является постоянным, расстояния 01c и 02С будут, очевидно, постоянными, и, следовательно, оба аксоида в этом случае
представляют собой круглые цилиндры с радиусами Ofi (неподвижный аксоид) и О2С (подвижной аксонд). Если относительное м переносное вращения направлены в одну сторону, то касание цилиндров будет внешним (рис. 266); при сло?кении же вращений, направленных в противоположные стороны, касание цилиндров
будет внутренним, т. е. один из них будет находиться внутри дру- юго (рис. 267).
При сложении двух вращений, направленных в противоположные стороны, мы предположили, что модули угловых скоростей этих вращений не равны (①2〉°h)・
Рассмотрим теперь тот случай, когда модули этих угловых скоростей равны между собой. Такие два направленные в противо
положные стороны вращения вокруг параллельных осей с равными по модулю угловыми скоростями называются парой вращений. Векторы угловых скоростей таких вращений образуют пару угловых скоростей I).
Нетрудно убедиться, что в случае пары вращений абсолютное движение тела является поступательным.
Пусть имеем пару угловых ско
ростей (%,(о2), так что 吗=—(о2
(рис. 268). Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела. Скорость гт точки М во вращательном движении вокруг оси О】 может быть представлена в виде векторного произведр- пия угловой скорости со】 на радиус-вектор гт этой точки,
】)Сравните с парой сил в статике.
т. е. I% = 0)! X /\. Точно так же скорость г2 точки М во вращательном движении вокруг оси О2 выражается так: г2 =(о2 X г2. Абсолютная скорость и точки М равна векторной сумме скоростей и】и и" следовательно,
г = % +。2 = («iXrJ 4- (ю2Хг2).
Заменяя здесь «! через —(о2, получим:
U = (®2 X Г2) (6)2 X Г]) = ©2 X (%' Г])=
= ——(&— r2) X(о2 =(厶一r2) Х(о2.
Но из рис. 268 имеем:
0102 + Q = T отсюда
r1 -■尸2 ―。1°2， а потому
и = О1О2Х(о2*
Векторное произведение ОХО2 X(о2 представляет собой момент вектора ю2 относительно точки Ор или, что то же, момент пары (5, со?), а потому
Отсюда следует: 1) абсолютная скорость точки М равна по модулю ① 1 ・。1。2 и направлена перпендикулярно к плоскости пары («!,(о2); 2) абсолютная скорость точки М не зависит от выбора этой точки:
Рис. 269.Рис. 269.все точки тела имеют в каждый данный момент одинаковые абсолютные скорости, равные по модулю и направлению моменту пары ((»)!, (о2), откуда заклю* чаем, что абсолютное движение тела является поступательным.
Рис. 269.
Рис. 269.
Таким образом, приходим к выводу： пара вращений эквивалентна поступательному движению, скорость которого равна вектору-моменту этой пары.
Чтобы еще нагляднее в этом убедиться, рассмотрим опять движение тела, свободно насаженного на вращающийся кривошип.
Пусть кривошип。1。2 (рис. 269) вращается вокруг оси Ог по часовой стрелке с угловой скоростью ①二 а шкив, свободно насаженный на ось О^ вращается (относительно кривошипа) вокруг этой оси с относительной угловой скоростью(о2 = со】 против часовой стрелки. Возьмем на шкиве какой-нибудь отрезок, который в начальный момент пусть занимает положение О2А. Через некоторый
промежуток времени кривошип повернется на угол 屮】и точка О2
займет положение О；. Если бы шкив был жестко соединен с кривошипом, то отрезок О2Л занял бы, очевидно, положение О'^А^ Но так как шкив вращается относительно кривошипа с угловой скоростью, равной по абсолютной величине угловой скорости кра- вошипа, то за тот же промежуток времени шкив повернется относительно кривошипа против часовой стрелки на тот же угол ф, и, следовательно, отрезок О2Л займет положение 0]4\ причем Z Л'О^г = <р.
Из равенства углов АО1А1 и ^0^± следует, что О^А1 || О2Л, т. е. при движении шкива отрезок О2А остается себе параллельным, а это и значит, что абсолютное движение шкива является поступа- телъным.
Для определения скорости этого поступательного движения достаточно найти абсолютную скорость одной какой-нибудь точки шкива, например точки О2； абсолютная скорость и этой точки, очевидно, равна по модулю О^О2 • w1 и направлена перпендикулярно К0102。
Пример 101. Кривошип ОгО2 = I вращается вокруг оси С\ но часовой стрелке с угловой скоростью ю; диск радиуса г вращается вокруг оси О& по часовой стрелке с той же угловой скоростью ш относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек А л В диска (рис. 270).
Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращения С диска лежит посредине между 3工 и О&, т. е. 01c = СОа = =攵. Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки С равен Q = 2(о.
Отсюда находим:
ра = Q • СА = 2(о 7^ 十 N = со ]/卢孑 4r2 и t?A J_ СА,
bp = Q • СВ = 2(o ^-~ 十 г) = со (Z + 2г) н % 丄 СВ.
Пример 102. Кривошип。工。2 вращается вокруг оси О* с угловой скоростью (О]. На палец。& кривошипа свободно насажена шестерня радиуса г2, сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса “. Найти абсолютную угловую скорость Q шестерни и ее угловую скорость(о2 относительно кривошипа (рис. 271).“
Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки С зацепления шестерни с этим колесом равна нулю; следовательно, точка С является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда следует:
OQg尸 1со?
忐=* ИЛИ = T
СО.^(0 jГ2(0j
откуда
①2①2
①2
①2
Абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства
ИЛИ
Q = 3] *г 6)! = со р
Пример 103. На ось АВ свободно насажены два зубчатых колеса / и /Ри рама 0±020304, на которой могут вращаться два жестко связанных между собой зубчатых колеса II и III, причем колесо II сцеплено с колесом /, а колесо III — с колесом IV. Зная числа зубцов 名口 出,蜀 и z《этих колес, а также угловые скорости g и ш4 рамы и колеса IVг найти угловую скорость 3] колеса / (рис. 272, а).
9勿Рис. 272.9勿Рис. 272.
9勿
Рис. 272.
9勿
Рис. 272.
Решение. В данном случае мы имеем так называемый дифференциальный зубчатый механизм. Этот механизм имеет две степени подвижности, так как для определения движения всех его звеньев нужно знать угловые скорости двух звеньев; в задаче даны угловые скорости рамн и колеса IV.
Изобразим схему данного механизма в плане и обозначим точки зацепления колес 7 и 7/ и колес III и IV соответственно через С и Р (рис. 272, 6). Предположим, что рама и колесо IV вращаются в одном иаправлепип (против часовой стрелки на рис. 272, 6). Движение колес II и III можно рассматривать как сложное. Если движение рамы примем за переносное, то движение этих колес по отношению к раме (к кривошипу О】。" является относительным. Переносное и относительное движения представляют собой соответсгвеппо вращения вокруг параллельных осей。1。4 и О2О3.
Обозначим алгебраическое значение относительной угловой скорости колеса III через со；; если относительное вращение этого колеса направлено в ту же сторону, что и вращение кривошипа 0^2, т. е. против часовой стрелки на рис. 272, 6, то угловую скорость со； будем считать положительной, в противном случае эту угловую скорость будем считать отрицательной.
Переносная скорость точки колеса III, совпадающей с точкой D, направлена перпендикулярно к ОХР вверх (на рис. 272, б) и равна по моду-
пю。]。3 = Г4З，где 尸4 есть радиус колеса IV. Если радиус колеса 7/Z обозначим через г3, то относительная скорость той же точки равна пи модулю Гз1з；| и направлена перпендикулярно к d2D вниз при(о^ > 0 или вверх, если (о j < 0. Следовательно, модуль абсолютной скорости рассматриваемой точки в обоих случаях будет равен
尸承一
С др5тгой стороны, скорость точки колеса IV^ совпадающей с точкой D, направлена перпендикулярно к OrD вверх и равна по модулю г4(о4. Так как эта скорость равна абсолютной скорости точки колеса 77/, совпадающей с D, ю
Г 4co f з(О { ―― Г《(О 4 •
Аналогичным образом, приравнивая скорость точки С колеса / и абсолютную скорость точки колеса //, совпадающей с С, приходим к уравнению
/*](0Т*2(02 п：尸]СО],
「де гх и 尸纟 обозначают радиусы колес / и //, а со； есть алгебраическое значение относительной угловой скорости колеса II.
Из полученных уравнений находим:
(Оз = — ®—6)И 3] = (0 ——叫.
Так как колеса 11 и III связаны между собой жестко (движутся как одно твердое тело), то з； =со；, а потому
①1 = 3 (ш —① 4).
Так как числа зубцов двух сцепленных зубчатых колес пропорциональны радиусам этих колес, то
/,2 __ ^2 и "=三3
П Z丄 Г3 Зз * а потому
①I =(0 -- ^-^ (3-sj
Если вычисленное по этой формуле значение з】окажется положительным, то колесо / вращается против часовой стрелки, в противном случае колесо I будет вращаться по часовой стрелке.
Пример 104. На кривошип ОА, вращающийся вокруг неподвижной оси。 с данной угловой скоростью з, свободно насажена шестерня IV с числом зубцов z& si две жестко связанные между собой шестерни II и III с числами зубцов z? и z3. Шестерня IV сцеплена с шестерней 777, а шестерня II — с неподвижной шестерней
/, имеющей Z] зубцов. Найти абсолютнуюРис. 273.
угловую скорость ©4 шестерни IV (рис. 273).
Решение. В данном случае мы имеем так называемый планетарный зубчатый механизм, т. е. механизм, имеющий несколько сцепленных зубчатых колес, из которых некоторые вращаются вокруг осей, закрепленных на кривошипе (водиле), вращающемся вокруг неподвижной оси. Такой механизм имеет одну степень подвижности: для определения движения всех его звеньев достаточно знать угловую скорость одного звена — кривошипа ОА (водила).
Пусть кривошип ОА вращается вокруг оси。против часовой стрелки; примем это вращение за переносное движение. Относительные угловые скорости шестерен 77, III и /V, т. е. угловые скорости их вращательных движений по отношению к кривошипу, обозначим соответственно через со；, з； и (о；. При этом, как и в предыдущем примере, под со； будем понимать алгебраическое значение относительной угловой скорости ——положительное, если относительное вращение направлено против часовой стрелки, и отрицательное— в противном случае. Радиусы шестерен обозначим соответственно через 厂抬 q,т и入.
Рассмотрим точку В зацепления шестерен I и Переносная скорость точки В шестерни II равна по модулю 尸丄① и направлена перпендикулярно к ОВ вверх (на рис. 273). Относительная скорость той же точки равна по модулю & ◎以 и направлена перпендикулярно к Ьв вниз, если со；〉0, или вверх, если «а V 0. Следовательно, модуль абсолютной скорости этой точки равен
丨 /уо — г2«з 1・
Так как шестерня II сцеплена с неподвижной шестерней 1} то абсолютная скорость точки В шестерни II равна в данный момент нулю; следовательно,
С©—г?叫=0 и «2= 3 со =纟 со.
Так как шестерни II и /// связаны между собой жестко, то со； =(о；・ Полученное для з； выражение показывает, что угловые скорости со； и со имеют одинаковые знаки; следовательно, относительное вращение шестерен II и III направлено в ту же сторону, что и вращение кривошипа ОД, т. е. против часовой стрелки.
Рассмотрим теперь точку С зацепления шестерен III и IV. Переносная скорость точки С шестерни 111 равна по модулю ОС • з и направлена перпендикулярно к ОС вверх; относительная скорость той же точки равна ло модулю 尸з(о； и направлена перпендикулярно к О'С вверх, а потому абсолютная скорость этой точки равна по модулю ОС ■(о + 々①：.
Подобным же образом находим, что абсолютная скорость точки, принадлежащей шестерне IV и совпадающей с точкой С, равна по модулю
ОС • (0 — 尸4(0；・
Так как эта скорость равна абсолютной скорости точки С шестерни 777, то получаем равенство
ОС • (о +尸3*= 0С • 3 一e叫， или
①；__尸4 — «_/4
①4，323
Отсюда видим, что относительные угловые скорости двух сцепленных зубчатых колес обратно пропорциональны числам зубцов и при внешнем зацеплении имеют разные знаки. Нетрудно понять, что при внутреннем вацепле~ нии эти угловые скорости будут иметь одинаковые знаки.
Из предыдущей пропорции находим:
=一三3
，，，，Но
，，
，，
а потому
Абсолютная угловая скорость шестерни IV равна алгебраической сумме относительной и переносной угловых скоростей; следовательно,
Рассмотрим еще другой способ решения этой задачи, позволяющий быстрее решать задачи данного типа.
Если алгебраическое значение абсолютной угловой скорости шестерни обозначим через ①订 то на основании теоремы о сложении вращений вокруг параллельных осей имеем:
% =叫 + со.
Отсюда
Но выше мы видели, что относителъные угловые скорости сцепленных шестерен обратно пропорциональны числам их зубцов и имеют одинако- сые или разные знаки 8 зависимости от того, является зацепление внутренним или внешним. Так как в данной задаче оба зацепления внешние, то имеем:
СО IZ? 3 jZ4
~ —力•3?Zi ①а马
Так как шестерня 1 неподвижна, то 3丄=0, и, следовательпо,
①；^ 31一(0 = -(о.
Знак мипус здесь указывает на то, что относительное вращение шестерни / направлено по часовой стрелке. Кроме того, имеем:
з； = з，л со； =(о4—со.
Поэтому предыдущие пропорции можно переписать в виде
со со.со со.
со со.
со со.
Перемножая эти пропорции, получим
Отсюда находим:Отсюда находим:со(о4— (Осо(о4— (ОилиилиСО4 ——со соСО4 ——со со
Отсюда находим:
Отсюда находим:
со
(о4— (О
со
(о4— (О
или
или
СО4 ——со со
СО4 ——со со
Таким же способом можно было бы решить и задачу, рассмотренную в примере 103.
§ 97. Сложение двух вращений вокруг пересекающихся осей
Пусть относительное движение данного тела есть вращение вокруг некоторой оси Ozr с угловой скоростью д', а переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью (о. Этот случай сложения &вух вращений можно
осуществить, например, при помощи прибора, изображенного на рис. 274.
Если диску О】 сообщить вращение вокруг оси z' и в то же время сообщить оси 0017 на которую свободно насажен диск, вращение вокруг оси z, то движение диска можно рассматривать как сложное, причем ось z' относительного вращения и ось z переносного вращения пересекаются в неподвижной точке О.
Изобразив угловые скорости ю п » переносного и относительного вращений в виде векторов О А и ОБ (рис. 275), построим на
этих векторах параллелограмм ОАСВ п покажем, что абсолютная скорость точки тела, совпадающей с точкой С, равна в данный момент нулю.
В самом деле, переносная скорость этой точки равна по модулю ①• DC п направлена по прямой, перпендикулярной к плоскости чертежа (от читателя); относительная скорость точки С равна но модулю о/ - ЕС 11 направлена по той же прямой в противо- полояхную сюрону. Произведения (о・ DC и s「СЕ равны, так как каждое пз них выражает площадь одного и того же параллело- 1рамма ОАСВ. Отсюда следует, что абсолютная скорость точки С равна нулю. А так как скорость неподвижной точки Q также равна нулю, то в данный момент абсолютные скорости двух точек тела оказываются равными пулю, а потому в абсолютном движении тела прямая ОС представляет собой мгновенную ось вращения этого тела. Определим угловую скорость Q этого вращения. Для этого возьмем в данном теле точку, совпадающую с точкой 8; ее абсолютная скорость по модулю равна Q FB\ с другой стороны, эта скорость равна, очевидно, по модулю и направлению переносной скорости точки В, так как относительная скорость точки В равна нулю. Отсюда прежде всего следует, что вращение
тела вокруг оси ОС происходит в направлении, указанном на рис. 275 стрелкой. Далее, принимая во внимание, что модуль переносной скорости точки В равен (о • НВ} из равенства Q FB = =(о • НВ находим： Q =%，：?，но(о • НВ = пл ОАСВ = ОС FB, а потому
о OC-FB
Q = ев = 0c
Таким образом, вектор мгновенной абсолютной угловой скорости тела направлен по оси ОС, а его модуль равен ОС. Следовательно,
Q = ОС} или Q =(о 十 со，1).
Отсюда заключаем, что при сложении двух брагцений вокруг пересекающихся осей абсолютное движение тела таково^ что в каждый данный момент существует мгновенная ось враще- 〃〃笈,проходящая через точку пересечения данных осей, причем мгновенная абсолютная угловая скорость тела равна по модулю е направлению диагонали параллелограмма, построенного на переносной и относительной угловых скоростяхf 〃儿а, что то же, равна геометрической сумме переносной и относительной угловые скоростей.
К этому результату легко прийти также и другим путем. Возьмем в движущемся теле какую-нибудь точку М и найдем ее абсолютную скорость (рис. 275). Относительная скорость и? точки М, т. е. ее скорость во вращательном движении вокруг оси z', равна векторному произведению относительной угловой скорости(о' на радиус-вектор г этой точки; следовательно, vr =(oz Хг; аналогично выражается и переносная скорость и「точки М, т. е. ve =(охг. Сложив эти две скорости, получим абсолютную скорость точки М;
га ~ гг + fp = <*>' X г + (О X Г = ((0х +(о) X г.
Так как точка М выбрана произвольно, то эта формула показывает, что абсолютные скорости всех точек тела в данный момент определяются так же, как при вращательном движении тела вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью, равной Q =(о + д'； следовательно, прямая ОС, по которой направлен вектор Q, является мгновенной осью вращения тела, а абсолютная угловая скорость тела равна Q =(о + д'.
Объединяя этот результат с тем, который мы имели в предыдущем параграфе при сложении вращений вокруг параллельных
Этот результат убеждает нас в том, что угловая скорость есть действительно векторная величина, так как угловые скорости, как теперь видим, складываются по правилу геометрического сложения.
осей, мы видим, что угловые скорости складываются так же, как параллельные или сходящиеся силы. Задача кинематики о сложении угловых скоростей и задача статики о сложении сил, приложенных к данному твердому телу, решаются вполне аналогично.
Выясним теперь, каковы будут в рассматриваемом случае аксоиды, т. е. геометрические места мгновенных осей ОС в про- zстранстве и в самом движущемся теле. Так
как мгновенная ось ОС все время проходит W через неподвижную точку О, то аксоиды в данном случае представляют собой два конуса с общей вершиной О. В частном случае, когда со = const и s' = const, углы, образуемые мгновенной осью ОС с осями Oz и Oz , будут оставаться непзменньши; следовательно, в этом случае неподвижный и подвижной аксоиды представляют собой два круглых конуса. В каждый данный момент Оаксоиды касаются друг друга вдоль общей
Рис. 276.образующей, которая является для этого мо
мента мгновенной осью вращения тела, и абсолютное движение тела представляет собой качение без сколъ- жения подвижного конуса по неподвижному (рис. 276).
П р и й! е р 105. Горизонтальная ось ООГ бегуна вращается с данной угловой скоростью(о вокруг вертикальной оси z, а бегун катится при этом без скольжения по горизонтальной плоскости (рпс. 277). Определить относительную угловую скорость со' бегуна вокруг оси ООХ и его абсолютную угловую
скорость Q вокруг мгновенной оси вращения, если радиус бегуна равен г, а расстояние。。丄=Z.
Решение. Так как бегун катится без скольжения, то скорость точки касания С бегуна с неподвижной плоскостью равна пулю; следовательно, эта точка принадлежит мгновенной оси вращения бегуна； второй точкой, принадлежащей этой оси, является неподвижная точка。； поэтому мгновенная ось вращения бегуна направлена по прямой ОС; следовательно, по этой >:е прямой направлен вектор Q. Построив векторы ❾,д' н С (рис. 278), из
подобных треугольников находим:
0т _001
откуда
Кроме того, из прямоугольного треугольника имеем: Q = 了 0)2 + 3包
Подставляя сюда найденное значение со', получим:
ДИНАМИКА
А. ДИНАМИКА ТОЧКИ
ГЛАВА 19
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ
Основные законы динамики»Абсолютная и техническая системы единиц
Динамика есть часть теоретической механики, в которой устанавливается и изучается связь между движением материальных тел и действующими на них силами. Из этого определения следует, что различие между кинематикой и динамикой состоит в том, что в кинематике движение изучается только с геометрической стороны, независимо от сил, действующих на движ^^щиеся тела, в динамике же движение тела (или вообще движение механической системы) изучается в связи с действующими на это тело (или на эту систему) силами.
В целях большей систематичности изложения материала динамика обычно делится на две части: динамику материальной точки и динамику системы.
В первой части изучается движение простейшего тела ——так называемой материальной точки, т. е. такого тела, размеры которого исчезающе малы, так что различием в движении отдельных точек этого тела можно пренебречь (см. § 1). Во второй части изучается движение механической системы, т. е. совокупности материальных точек, которые благодаря существующим между этими точками связям не могут двигаться независимо друг от друга. В частности, в динамике системы рассматривается движение абсолютно твердого тела, т. е. системы материальных точек, расстояния между которыми остаются постоянными (неизменяемая система).
Основные задачи динамики состоят в следующем:
зная движение данной материальной точки или данной системы точек, найти силы, действующие на эту точку или на эту систему;
зная силы, действующие на данную материальную точку или на данную систему, найти движение этой точки или этой системы.
При решении этих задач динамика устанавливает общие количественные соотношения между различными физическими величинами, теснейшим образом связанными с движением материальных 1ел (масса, сила, количество движения, работа, энергия и др.).
В основе классической динамики лежат законы, впервые точно сформулированные и систематически изложенные Исааком Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» (1687).
Все дальнейшие выводы динамики получаются дедуктивным
путем при полющи математического анализа из этих основных
законов.
С рассмотрения этих основных законов классической механики мы и начнем изучение динамики материальной точки.
1-й закон (з а к о и и н е р ц и п). Ес〃" на материальную точку не действуют никакие силы, то эта точка или находится 6 покое7 или движется прямолинейно и равномерно.
Есди обозначим силу, действующую на материальную точку, через F, а скорость точки — через и, то первый закон можно выразить так: если F ~ 0, то г — const. В частности, скорость и может быть равной нулю.
Так как сила выражает механическое действие, оказываемое па данную материальную точку со стороны других тел, то, чтобы представить себе точку, поставленную в те условия, о которых говорится в первом законе, нужно вообразить, что эта точка изолирована от всяких воздействий на нее со стороны окружающих тел.
Свойство материальной точки сохранять свою скорость неизменной как по модулю, так и по направлению, в частности сохранять состояние покоя, называется инертностью или инерцией. Это свойство было указано еще Галилеем.
Таким образом, первый закон динамики устанавливает свойство инерции маг1ериаль- ной точки. С другой стороны, из этого закона
вытекает, что если точка имеет движение,
отличное от инерциального7 т. е. прямолинейного и равномерного, то на нее действ^^ет некоторая сила.
2-й закон (з а к о и зависимости между с ило ii и количеством движения). Модуль силы, действующей на материальную точку7 равен произведению массы точки на модуль ее ускорения, а направление силы совпадает с направлением ускорения.
Пусть материальная точка М движется по некоторой криволинейной траектории (рис. 279). Если обозначим массу точки через т,
ее ускорение через w, а силу, действующую на эту точку, через F, то согласно этому закону имеем:
F = mwt(1)
Это векторное уравнение, устанавливающее зависимость между тремя величинаА1И —— силой, массой и ускорением, является основным уравнением динамики материальной точкц и дает динамический способ определения модуля и направления силы.
Масса m материальной точки представляет собой скалярную положительную и притом согласно воззрениям классической механики постоянную для данной материальной точки величину, остающуюся неизменной при любом движении этой точки.
Из уравнения (1) следует, что при одном и том же ускорении w модуль силы пропорционален массе точки, т. е., другими словами, чтобы сообщить точке данное ускорение, к ней нужно приложить тем большую силу, чем больше ее масса. Поэтому, чем больше масса точки, тем больше эта точка как бы сопротивляется изменению ее скорости (отклонению ее движения от инерциального). Таким образом, масса является мерой инертности материальной точки.
Если перепишем уравнение (1) в виде
то отсюда следует, что ускорение, сообщаемое материальной точке данной силой j равно отношению этой силы к массе точки.
Из скалярного равенства F — mw следует:
т. е. масса материалъной точки равна отношению силы к ускорению； которое эта сила сообщает данной точке.
Из опыта известно, что при свободном падении всякого тела на него действует сила тяжести и что в данном месте наблюдения все тела падают на землю (в пустоте) с одним и тем же ускорением g 丄). Величина g различна в разных местах земной поверхности: она зависит от географической широты данного места, от его высоты над уровнем моря, а также и от других физических причин.
Если обозначим вес материальной точки через Р, то на основании равенства (3) имеем:
7,⑷
т. е. масса материальной точки равна ее весу, разделенному на
Имеется в виду, ято падающее тело движется поступательно.
ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) в данном месте земной поверхности.
Из равенства (4) следует:
Р = mg,⑸
т. е. бес материальной точки равен произведению ее массы на ускорение свободного падения е данном месте земной поверхности. Материальное тело конечных размеров мы представляем себе состоящим из множества элементарных материальных частиц (материальных точек). Вес тела равен сумме весов всех этих элементарных частиц, а массой тела называется сумма масс этих частиц. Тогда, как нетрудно понять, соотношения (4) и (5) имеют место и для тела конечных размеров. Поэтому практически масса тела определяется по его весу на основании равенства (4). Масса тела является мерой инертности этого тела при его поступательном движении 1).
Так как ускорение g различно в разных местах земной поверхности, то и вес данного тела не является постоянной величиной, тогда как его масса остается всегда неизменной.
Второму закону динамики, выражаемому уравнением ⑴， можно дать еще другую формулировку, установив предварительно понятие количества движения.
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скоростъ} т. е. величина ти; количество движения, следовательно, всегда совпадает по направлению со скоростью движущейся точки (рис. 279).
Как известно из кинематики, ускорение точки равно векторной производной от ее скорости по времени, т. е.
Так как масса m является постоянной величиной, то уравнение (1) можно представить в виде
F=^“)，(6)
т. е. сила} приложенная к материальной точке, равна производной от количества движения этой точки по времени.
3-й закон (закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми действуют друг на друга дее материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяюгцей эти точки, в противоположные стороны.
Ньютон определяет массу как меру количества вещества, заключающегося в теле.
Об этом законе мы говорили уже в статике (§ 3). Если материальная точка Л действует на точку В с силой F, то точка В действует на Л с силой 歹',причем F =——F. Если обозначим массы точек Л и В через т н т\ а их ускорения — через it и ir\ то согласно второму закону имеем:
F = mw и F' = m'w'.
Из равенства F = F1 следует, что
m , или 「=, w т
т. е. ускорения, которые сообщают друг другу две материальные точки Л и В, по модулю обратно пропорциональны массам этих точек. Эти ускорения направлены по прямой АВ в противоположные стороны.
4-й закон (закон независимости действия с и л). Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то ускорение этой точки равно геометрической сумме тех ускорений, которые получает эта точка при действии каждой из этих сил в отдельности.
Пусть на точку, масса которой равна т, действуют силы Fn F2t ..., Fn. Обозначим ускорение точки через и\ а ускорения, которые имела бы эта точка, если бы каждая из данных сил действовала на нее отдельно,——через и^, w2, ..., wn; тогда согласно этому закону будем иметь:
w — w± + w2 + …，+ %.(7)
Кроме того, на основании второго закона имеем:
?1 = ттги 居 ^^2，•，•，歹冗=
Сила А, эквивалентная данным силам 用, 居,...,Fn и называемая их равнодействующей, сообщает данной точке то же ускорение w, которое получает эта точка при совместном действии этих сил.
Следовательно,
R = mw, или
R = т (ir1 + ы?2 + ... +?rn) = mw1 + mw2 + ... + mirn, откуда
R- F^F^ +Fn^(8)
Это равенство выражает известный из статики закон сложения сил: равнодействуюгцая нескольких сил, приложенных к данной материальной точпе, равна их геометрической сумме.
Если и? = 0, т. е. точка движется прямолинейно и равномерно пли находится в покое, то А = 0 или на основании равенства (8) SF — 0. В этом случае система сил 月,居，...,Fn называется уравновешивающейся системой.
Ньютон, излагая основные законы динамики, указывает, что эти законы применимы только в случае абсолютного движения материальной точки; при этом под абсолютным движением Ньютон понимает движение точки по отношению к абсолютно неподвижному, безотносительному к материальным телам, «пустому» пространству. Однако с точки зрения диалектического материализма и современной физики понимание пространства н времепи как особых категорий, независимых о^ материи и ее движения, совершенно неправильно. Энгельс в «Диалектике природы» указывает, пто «пространство и время ——формы существования материи; без этой материи (они) представляют ничто, только пустое представление, абстракцию, существующую только в нашей голове».
В начале кинематики было уже указано, что всякое механическое движение мы можем наблюдать и изучать только по отношению к выбранной системе отсчета, связанной с каким-нибудь материальным телом. Следовательно, в действительности мы не можем установить абсолютно неподвижную систему отсчета, по отношению к которой мы могли бы считать движение с точки зрения Ньютона абсолютным. Отсюда возникает весьма важный вопрос, имеющий в динамике основное принципиальное значение, а именно: в какой системе отсчета применимы к механическому движению законы Ньютона? Система отсчета, в которой эти законы справедливы, называется инерциальной или галилеевой системой отсчета. Следовательно, желая воспользоваться законами классической механики, мы должны прежде всего установить такую систему отсчета, которую можно было бы считать инерциальной, т. е. должны выбрать систему отсчета, в которой применимы, но крайней мере с достаточной степенью точности, законы Ньютона.
Как показывают наблюдения и опыт, в большинстве задач динамики, относящихся к технической практике, за такую систему отсчета можно принять систему осей, связанных с Землей. В тех же случаях, когда приходится учитывать суточное вращение Земли, за инерциальную систему отсчета принимают геоцентрическую систему координат, начало которой находится в центре Земли, а оси направлены к трем выбранным «неподвижным» звездам. В астрономии пользуются гелиоцентрической системой координат, начало которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены к трем выбранным «неподвижным» звездам. Современное состояние наших знаний показывает, что гелиоцентрическая система отсчета с весьма большой степенью точности является инерциальной системой.
В дальнейшем изложении, говоря об инерциальной, или условно «неподвижной», системе отсчета, мы почти везде будем иметь в виду систему, связанную с Землей. В главе 24 мы рассмотрим с точки зрения классической механики задачу об относительном движении материальной точки, т. е. рассмотрим движение материальной точки относительно системы отсчета, которая сама движется по отношению к инерциальной системе.
При измерении физических величин, с которыми приходится встречаться в теоретической механике, пользуются или технической системой единиц, или системой CGS (абсолютной системой единиц).
В технической системе основными единицами являются: единица длины ——метр, единица времени ——секунда и единица силы ——килограмм. Все остальные единицы, в которых в технической системе выражаются различные другие величины, являются производными от этих трех основных единиц. В этой системе масса измеряется техническими единицами массы, а размерность массы выражается так:
= Г снла I = Г сила X время2 1(<)、
[] IускорениеJ [ длина ]'()
Если в формуле
F m w
положим F = i кг vlw~1 為 ,то m = l (одной технической единице массы). Следовательно, единицей массы е технической системе является такая масса, которой сила, равная 1 кг, сообщает ускорение^ равное 1 м/сек1.
Принимая в формуле (4) ускорение g равным 9,81 м/сек2, получим:
鳥；(10)
следовательно, чтобы выразить массу тела в технических единицах, нужно его вес, выраженный 8 килограммах, разделить на 9,81. Отсюда следует, что если Р = 9,81, то m = 1, т. е. техническая единица массы равна массе тела, вес которого равен 9,81 ка.
В системе CGS основными единицами являются: единица длины ——сантиметр, единица времени ——секунда и единица массы —— грамм-масса, т. е. масса 1 кубического сантиметра чистой воды при нормальном барометрическом давлении (760 мм) и при температуре 4° С. В этой системе единица силы является производной единицей и размерность силы выражается так:
г1Г масса X длина I
[сила] = [массах ускорение] = [—^^—(И)
Если в формуле F = mw положить т ~ 1 г (грамм-масса) и w = 1 см/сек2, то
£ = £ а • см/сек2^
следовательно, в системе CGS единицей силы является такая сила* которая массе, равной 1 а, сообщает ускорение, равное 1 см/сек2. Эта сила называется диной.
Так как g = 9,81 м/сек2 = 981 см/сек2, а вес 1 см3 воды при 4° С равен 1 г, то 1 грамм-вес = 981 дине и 1 дина =丽( грамм-веса =而;才无 кг.
В динамике, так же как в статике и кинематике, мы будем пользоваться технической системой единиц.
§ 99. Дифференциальные уравнения движенияматериальной точки
Пусть материальная точка М (片,у, z) массы m движется по криволинейной траектории под действием переменной силы F
(рис. 280). Проекции этой силы на координатные оси инерциальной системы отсчета Oxyz обозначим через X, У и Z.
Если обозначим ускорение точки через Wj то на основании второго закона Ньютона
F = mw.
Проектируя это векторное равенство па координатные оси, получим: X = mwxt У = mw^ Z = mwv
Но, как известно из кинематики (§ 68), проекции ускорения
на координатные оси выражаются так:
Подставляя эти значения в предыдущие уравнения, получим:
тт〃2宓 V 萨=X，〃2宓 V 萨=X，=z.=z.(12)(12)
т
т
〃2宓 V 萨=X，
〃2宓 V 萨=X，
=z.
=z.
(12)
(12)
Таким образом, мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка, выражающих в координатной форме второй закон динамики.
Эти уравнения, являющиеся в динамике точки основными, называются дифференциальными уравнениями движения материальной
13 工 М. Воронков
точки. Если на точку действует одновременно несколько сил, то па основании четвертого закона под X, У и Z нужно понимать в этом случае проекции на координатные оси равнодействующей всех этих сил.
Две основные задачи динамики точки
При помощи полученных в предыдущем параграфе дифференциальных уравнений (12) решаются обе основные задачи динамики точки.-
Первая задача. Зная движение материальной точки данной массы, найти силу, действующую на точку в этом движении в каждый данный момент.
Пусть движение точки определяется кинематическими уравнениями
况=/1 (*)，沙=/2 (%)， z = % (z),
выражающими координаты движущейся точки как известные функции времени. Требуется найти сплу F, действующую на эту точку. Решение этой задачи получаем непосредственно из уравне
ний (12) предыдущего параграфа, а именно:
X = m/J* (0, У н "2% (О, Z ~ mf\(Z), где m ——масса данной точки. Определив три проекции искомой силы F, мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент t.
Пусть, например, точка М
массы т движется по эллипсу в плоскости Оху, причем движение ее задано следующими ки
нематическими уравнениями:
ж — a cos (Л/), у — b sin (kt)，.
Определим силу F, действующую на эту точку (рис. 281). Из данных уравнений находим:
? ： = - k2a cos 阳)=一 //，
^ ?==—右2b 8山阳)一 /g.
Если исключим из этих уравнений время 力 то получим уравнение траектории ^ + ^ == 1, т. е. уравнение эллипса.
Умножая эти уравнения на массу т, получаем проекции искомой силы:
X — т ^2 ~ - 兀2加于,
Y = т d^ = — к2nly.
Теперь модуль искомой силы определится по формуле
F = /X + Г2 =依加 |/%2 十炉=pmrj
где к = ]/况2 + у? есть радиус-вектор движущейся точки. Для определения направления вектора F находим его направляющие косинусы:
cos (F, " = ' = — -：，COS (居 j) = J, = — -у .
С другой стороны, направляющие косинусы радиуса-вектора г выражаются так: cos (г, i) =£- и cos (г, /) — } Отсюда видим, что направляющие косинусы векторов Fh 尸 отличаются только знаками; следовательно, эти векторы направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому имеем:
F — k2inr.
Это векторное равенство показывает, что в данном эллиптическом движении на точку действует притягивающая сила, пропорциональная массе точки и ее расстоянию от центра притяжения, находящегося в начале координат, т. е. в центре эллипса ‘).
Вторая задача (о б действующая на материальную найти движение этой точки, т. е. выразить ее координаты как функции времени.
Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения точки, т. е. уравнений (12), в которых X, У
данной массы. Требуетсяданной массы. ТребуетсяточкуточкуНайти движениеНайти движение282).282).ратная). Известна сила F,ратная). Известна сила F,и 2 будут теперь известны, поскольку известна сила F.
данной массы. Требуется
данной массы. Требуется
точку
точку
Найти движение
Найти движение
282).
282).
ратная). Известна сила F,
ратная). Известна сила F,
только силы тяжести.только силы тяжести.В качестве примера рассмотрим следующую задачу: материальная точка брошена в пустоте с начальной скоростью и。под углом а к горизонту (рис. этой точки, происходящее под действием
только силы тяжести.
только силы тяжести.
888888ДИНАМИКА
888
888
Примем начальное положение точки за начало координат, ось z направим по вертикали вверх, а ось у 一 по горизонтали так, чтобы начальная скорость точки и0 лежала в плоскости Ozy,
Так как на точку действует только сила тяжести5 то при указанном выборе осей имеем:
ХнУ==о, Z = ~ mg.
Кроме тогоа в начальный момент при Z = 0 имеем】
岂0 =》о = z。= 0а
%y=% cos a,力鱼=% sin а.
Составляя дифференциальные уравнения движения точки, полу* чим:
или, сокращая на т:
d2x с d^y с d2z
證=0, zW=0,診= — g・
Интегрируя сначала первое уравнение, находим: 凉=и；
заменяя -^ через гЛ, получаем:
% =
с* — ^оя = о,с* — ^оя = о,т. е. проекция скорости на ось х имеет постоянное значенир. Остается найти постоянную С^ так как проекция скорости 。工 остается неизменной, то во все время движения она имеет то же значение, какое она имела в начальный момент. Отсюда следует, что
с* — ^оя = о,
с* — ^оя = о,
а потому
откуда находим:
化=С*2；
по в начальный момент х = ж0, следовательноа G = & = 0・
Итак, находим решение первого уравнения:
х = 0,
откуда следует, что траектория точки лежит в вертикальной плоскости Oyz.
Из второго дифференциального уравнения получаем:
или
т. е. проекция скорости на ось у остается постоянной. Так же как и в предыдущем случае, находим, что
°3 =力0у = % cos Cl)
следовательно)
犬少 cos at и
Интегрируя это уравнение, получаем:
у = vot cos a + J
Подставляя сюда для определения постоянной С4 начальные значения у。= 0 к 力=0，находим:
= 0.
Итак, получаем решение второго уравнения:
у = voi cos a.
Переходим к третьему дифференциальному уравнению
Интегрируя, находим:
^ = _ gt + &, ИЛИ Vz = — gt + &.
Для определения постоянной С5 нужно обратиться опять к начальным условиям задачи; подставляя начальные значения rOz='rosin а и 力=0, получим：
& = v0 sin a.
Слеаоватепвно,
寫=—g方+内sin %
откуда, интегрируя еще раз, имеем:
z =2—卜沙(/ sin a + Q.
Подставляя сюда начальные значения г0 = 0 и ^ = 0, находим:
С6 = 0.
Итак, получаем уравнения искомого движения точки в плоскости Ozy в конечном виде
,g2
у = cos a, z = sin а ——丁.
Исключив из этих уравнений время t, получим уравнение параболической траектории точки：
у ° 2呢 cos2 a
Из решения рассмотренной задачи мы видим, что произвольные постоянные^ появляющиеся при интегрировании дифференциальных уравнений движения, определяются 几。начальным условиям, т. е. по начальным координатам z0, ^0, z。движущейся точки и по проекциям ее начальной скорости на координатные оси: гОх, гОу и о。？. Отсюда следует, что для полного определения движения точки недостаточно знать только силу, действующую на эту точку. Необходимо еще знать начальные условия движения, т. е. начальное положение точки и ее начальную скорость и» Следует заметить, что в общем случае при интегрировании дифференциальных уравнений движения точки мы получаем шесть произвольных постоянных. В случае же плоского движения точки мы имели бы два дифференциальных уравнения второго порядка и, следовательно, четыре произвольных постоянных, которые определяются по четырем заданным начальным значениям координат и проекций скорости:网,?/0,丸工 и гОу.
ГЛАВА 20
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Дифференциальное уравнение прямолинейногодвижения точки
Пусть материальная точка описывает под действием силы F прямолинейную траекторию. Примем эту прямую за ось 况；так как координаты у и z остаются во все время движения равными нулю, то дифференциальные уравнения движения точки принимают следующий вид:
加嘗=X, 0 = У, О = Z.
Из последних двух уравнений следует, что в прямолинейном движении точки направление действующей силы совпадает с на-
правлением траектории и, следовательно, X = ± F, причем знак плюс соответствует тому случаю, когда действующая сила направлена в положительную сторону оси х, а знак минус —— противоположному направлению этой силы. Таким образом, в случае прямолинейного движения имеем лишь одно дифференциальное уравнение
m 点=X. (13)
В этой главе мы рассмотрим решение второй задачи динамики для случая прямолинейного движения точки, т. е. рассмотрим, как определяется закон прямолинейного движения точки, когда действующая на нее сила известна. В том случае, когда действующая на точку сила является постоянной, т. е. X = const, точка имеет постоянное ускорение, проекция которого на ось х равна
X . F ,= 一 = ± - = const.
Следовательно, движение точки является равномерно переменным. В этом случае скорость и пройденный точкой путь определяются по известным из кинематики формулам равномерно переменного движения (§ 63). Поэтому останавливаться подробно на этом простом случае нет надобности.
Что же касается переменной силы, то такая сила: 1) может изменяться по определенному закону с течением времени, 2) может зависеть от положения точки, определяемого ее координатой ① (например, сила всемирного тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от притягивающего центра), 3) может зависеть от скорости движущейся точки (например, сила сопротивления окружающей среды ——воздуха, воды,——в которой движется материальная точка). В самом общем случае действующая на точку переменная сила, или, точнее, равнодействующая нескольких сил, приложенных к точке, может зависеть одновременно от всех трех аргументов: времени /, координаты х и скорости и, т. е.
X = / (厶况，г).
В этом случае интегрирование уравнения (13) может представить большие математические трудности. В настоящее время нет общих методов интегрирования этого уравнения при произвольном виде функции /, и часто приходится ограничиваться приближенным интегрированием этого уравнения.
Мы рассмотрим способы интегрирования этого уравнения в трех основных частных случаях: 1) когда действующая на точку переменная сила является функцией только времени Z, 2) когда действующая сила является функцией только координаты х и 3) когда эта сила зависит только от скорости и.
§ 102. Движение точки под действием силы,зависящей от времени
Пусть материальная точка массы m движется по оси а под дей
ствием переменной силы, зависящей от времени, т. е. пусть X = /(/). Замечая, что
dx 1、 d2r dv
近=0)и用=血，
дифференциальное уравнение движения точки можем написать в виде
т~ — Х9 или т dv = X dt.
Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, получим:
mv —力内=J X d£ = j / (£) d£2).
Так как функция / (/) известна, то последний интеграл можно вычислить, в результате чего получим некоторую функцию времени t, которую обозначим через Ф «), так что можем написать:
mv —加％ = Ф(Z).
Определяя отсюда v, получим:
。=。0 +①(0-
Это уравнение определяет скорость точки как функцию времени i. Заменяя здесь о через 嘗,получим:
而=% +万①⑺，или "工=网血+浜①(0 di.
Здесь v обозначает алгебраическую величину скорости, т. е. проекцию вектора и на ось х.
При интегрировании мы могли бы брать неопределенные интегралы и затем определять значение произвольной постоянной С по начальным условиям движения, как мы это делали в предыдущем параграфе. Вместо этого в задачах динамики часто бывает несколько проще брать определенные интегралы в соответствующих пределах.
В данном случае нижними пределами интегрирования являются значения переменных г и р в начальный момент, т, е. £ ~ 0 и р ^ р0 (начальная скорость точки при t = 0).
Пусть начальная абсцисса точки при 力=0 равна х0. Тогда интегрируя последнее уравнейИе в пределах от а?0 до ж и от 0 до 厶 нм ХОДИМ!
» — а：0 ж» voi 4- J- j ф(«)dt, или
犯 н g + 2V +, Ф (z) dt*
Это уравнение, выражающее 化 в функции от t, представляет собой искомый закон прямолинейного движения точки под действием данной переменной силы, зависящей от времени.
Пример 106. Пусть X =夕 sin (*); найти движение точки, если в падальный момент х ~ х^ и ь= %.
Решение. Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид m ™ = р sin (kt), или т dv = р sin (kt) dt.
Интегрируя это уравнение в пределах от р0 до р и от 0 до % имеем:
mv~mvQ к —方［cos (kt) — 1］, или t? = р0 + 肃［1 — cos 伙川.
Заменяя здесь о через 嘗,получаем:
寫="。十肃口-侬(矶
откудаь
感=卜。十К?)办—肃cos伙‘)dt-
Интегрируя это уравнение в пределах от а;0 до ж и от 0 до 厶 находим закон прямолинейного движения точки под действием заданной периодической силы:
" = %十卜。十告卜一岛Sin (血).
Это уравнение показывает, что в данном случае движение точки можно рассматривать как результат сложения двух движений:
равномерного движения
# = g十卜。十隱卜
И
гармонического колебания
§ 103. Движение точки под действием силы,зависящей от положения этой точки
Пусть X = / (/), где / (化)есть некоторая данная функция от абсциссы 况 движущейся точки. В этом случае для интегрирования дифференциального уравнения движения точки
представим это уравнение в таком виде:
du dxах d£du dxах d£
du dx
ах d£
du dx
ах d£
Заменяя здесь 寫 через v, получим:
ОтсюдаОтсюдаdv mv < ax
Отсюда
Отсюда
mv dv = X de.
Пусть 化о и г0 будут соответственно абсцисса и скорость точки в начальный момент при £ = 0; интегрируя предыдущее уравнение в соответствующих пределах, получим:
門gy = \ X 点=j / (胃)dx.
Выполняя здесь интегрированно [а это можно сделать, поскольку функция /(z) известна], получим некоторую новую функцию переменного 况，которую обозначим через Ф (z). Теперь из предыдущего уравнения получаем
2
卢=為十/①Q)
и, следовательно,
° =・± ]/*十^①® 1)・
Эта формула определяет скорость точки как функцию ее абсциссы х. Заменяя v через 寡 и умножая обе части последнего равенства на dt, получим:
d% = ± ^/^ 若 十 ^①(%)dt.
1)Знак перед радикалом выбирается в зависимости от того, в каком направлении (положительном или отрицательном) движется точка по оси с.
Разделяя переменные, будем иметь:
±±dx% + ^① З)dx% + ^① З)
±
±
dx
% + ^① З)
dx
% + ^① З)
Интегрируя это уравнение в пределах от х0 до хи от0 до 厶 получим:
движения точкидвижения точкипроекция этой силы на ось 宓 выразится так:проекция этой силы на ось 宓 выразится так:
движения точки
движения точки
проекция этой силы на ось 宓 выразится так:
проекция этой силы на ось 宓 выразится так:
Это уравнение устанавливает заЬпснмость между х и t. Выпол
нив интегрирование в левой части и решив полученное после этого
уравнение относительно 化,найдем уравнение в конечном виде:胃=屮").Таков общий способ интегрирования дифференциального уравнения движения точки в рассматриваемом случае.
Пример 107. К тонкому упругому вертикальному стержню, закрепленному в нижнем конце Л, прикреплен на верхнем конце шарик Л/ с массой ???. Допустим, что стержень отклонили немного от его вертикального положения и затем отпустили без начальной скорости. Шарик М, отклонившись при этом от положения О на некоторое расстояние а, придет в колебательное движение (вместе со стержнем). Требуется найти закон этого движения, пренебрегая массой стержня 工)(рис. 283).
Решение. Примем точку О за начало координат. На материальную точку М действует реакция изогнутого стержня, направленная к точке О; модуль
этой силы, как показывает опыт, пропорционален
отклонению ОМ = с точки А/ от положения равновесия О; следовательно,
X = •—сх,
где с ——положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для данного стержня. В начальный момент по условию задачи имеем:
宓о = а н % = 0.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки Л/ напишем в виде
dv
mv「ах
или
mv dv = —ex dx,
i) При небольшом отклонении стержня от вертикального положения движение точки Л/ можно. с достаточной точностью считать прямолинейным.
откуда, интегрируя, получаем:
打3、u duu(« е\ае 睑,Оа
ИЛИ
mv2 = с (а2—宓2).
=Л2, или к ==Л2, или к =Вводя обозначение
=Л2, или к =
=Л2, или к =
т
находим:
d =土/ >a2 - Ж2.
Заменяя 口 иерез — , отделяя переменные и взяв знак минус перед радикалом (так как скорость точки М направлена по оси х влево), получим:
=к=кdkdkОтсюдаОтсюдаdxУ。2 — с'dxУ。2 — с'
=к
=к
dk
dk
Отсюда
Отсюда
dx
У。2 — с'
dx
У。2 — с'
или, выполняя интегрирование,
arccos ㈢[
Заметив, ито arccos 1
=0, получаем:
arccos 停)=&%
или
Т = cos (*),
откуда
х ~ a cos (&£)・
Следовательно, шарик М совершает гармоническое колебание с амплитудой а и периодом
§ 104. Движение точки под действием силы,зависящей от скорости "
Пусть X == / (г). В этом случае можно указать два способа интегрирования дифференциального уравнения движения точки<
Напишем дифференциальное уравнение движения в виде 爲黑=X = / (г).
Отделяя переменные, получим:
н大d 力
Интегрируя это уравнение в пределах от v0 до v и от 0 до t, получим:
:иг dv
I W
Выполнив интегрирование и решив полученное после этого уравнение относительно у, найдем скорость как некоторую функцию времени:
" =石=屮⑶.
Отсюда вторичным интегрированием находим абсциссу а движущейся точки как ^функцию времени, а именно:
歳=ср «) dt
и, следовательно,
# = & + \ 屮(£)"
о
Напишем дифференциальное уравнение движения в виде
m噥= /®・
Разделив переменные, получим:
mv dv 7
1) Этот случай, как было уже указано, имеет место при движении точки в сопротивляющейся среде; сила сопротивления среды, как известно из опыта, зависит от скорости и движущейся точки.
Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, получим:
Выполнив интегрирование в левой части и решив затем полученное уравнение относительно о, найдем скорость как некоторую 巾унк- цию от 况：
0 =警=屮⑶.
Отсюда
dx ,
-г-/~г = 61/
中3)
и, следовательно,и, следовательно,XГ daXГ da
и, следовательно,
и, следовательно,
X
Г da
X
Г da
Последнее уравнение устанавливает зависимость между 力 и 厶 т. е. дает искомый закон движения точки. Остается выполнить интегрирование и затем решить полученное уравнение, если это
，附，附ОО7777.7777.возможно, относительно Xj т. е. выразить 力 как явную функцию t.Пример 108. Шар М массы m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О, которую примем за начало координат, направив ось у по вертикали вниз (рис. 284). При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха F, пропорциональное скорости, т. е.尸=——模и, где р,——данный постоянный коэффициент пропорциональности х). Найти закон движения шара.Решение. Дифференциальное уравнение движения шара напишем в видевозможно, относительно Xj т. е. выразить 力 как явную функцию t.Пример 108. Шар М массы m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О, которую примем за начало координат, направив ось у по вертикали вниз (рис. 284). При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха F, пропорциональное скорости, т. е.尸=——模и, где р,——данный постоянный коэффициент пропорциональности х). Найти закон движения шара.Решение. Дифференциальное уравнение движения шара напишем в виде
，附
，附
О
О
7777.
7777.
возможно, относительно Xj т. е. выразить 力 как явную функцию t.
Пример 108. Шар М массы m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О, которую примем за начало координат, направив ось у по вертикали вниз (рис. 284). При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха F, пропорциональное скорости, т. е.尸=——模и, где р,——данный постоянный коэффициент пропорциональности х). Найти закон движения шара.
Решение. Дифференциальное уравнение движения шара напишем в виде
возможно, относительно Xj т. е. выразить 力 как явную функцию t.
Пример 108. Шар М массы m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О, которую примем за начало координат, направив ось у по вертикали вниз (рис. 284). При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха F, пропорциональное скорости, т. е.尸=——模и, где р,——данный постоянный коэффициент пропорциональности х). Найти закон движения шара.
Решение. Дифференциальное уравнение движения шара напишем в виде
，夕Рис. 284.，夕Рис. 284.dv
，夕
Рис. 284.
，夕
Рис. 284.
/п ~ = mg— цр.
В правой части этого уравнения имеем сумму проекций на ось ?/ сил, действующих на шар, а именно его веса Р и сопротивления 尸,причем Р = mg.
получим:получим:Разделив это уравнение на т, положив ^ = % и отделив переменные,
получим:
получим:
上-= dt.
g —
Отсюда, интегрируя, находим:
—扑n (gi) |；=
Знак минус берем потому, что сила сопротивления F направлена в сторону, противоположную скорости &
или
откуда
Решая это уравнение относительно v, получим:
(1—Е).
dt п ''
Из последнего уравнения видно, что при £ — 8 будем иметь: limь=支. t —► OQ儿
Так как функция e~nt с возрастанием г быстро убывает, то практически по истечении некоторого конечного промежутка времени движение шара становится равномерным, причем его скорость будет равна Рпред= — (предельная скорость) 1).
Интегрируя уравнение
dy = -^- (1 — 6-乳£) dt
в пределах от 0 до ?/ и от 0 до h получим:
3 = * \ dt _ * \ Е dt,о о
или
у t—— e-吗.
J 几儿2、/
Если в этой задаче предположить, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, т. е. F = цу, то решение ее будет аналогично рассмотренному.
ГЛАВА 21
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 105. Теорема о количестве движения
Эта теорема устанавливает зависимость между количеством движения материальной точки и импульсом действующей на точку силы. Как было уже указано в § 98, количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению скорости этой точки на ее массу, т. е. величина mv.
Определим размерность этой величины:
длина _ время 一^ силах время.длина _ время 一^ силах время.[количество движения] = масса X скорость = -
длина _ время 一
^ силах время.
длина _ время 一
^ силах время.
силасила 乂 время3
=X скорость =
ускорение 『длина
Таким образом, количество движения в технической системе единиц измеряется в килограммо-секундах (кг сек).
Проекции количества движения mu на оси координат, очевидно, равны dxdz
m% = m” mvy =加房， mvz = m 豆. (14)
Элементарным импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на бесконечно малый промежуток времени, в течение которого действует эта сила, т. е. вектор 歹А& имеющий, очевидно, то же направление, что и сила F. Чтобы найти импульс силы за конечный промежуток времени t, нужно разделить этот промежуток на весьма большое число п очень малых интервалов А%, составить геометрическую сумму элементарных импульсов, соответствующих каждому из этих интервалов, и затем перейти к пределу, предполагая, что 几一> 8 и А^ -> 0. Если обозначим импульс силы за время t через 5, то будем иметь:
SS=lim=limn工 Fi^i =n工 Fi^i =Fdt.Fdt.(15)(15)оо
S
S
=lim
=lim
n
工 Fi^i =
n
工 Fi^i =
Fdt.
Fdt.
(15)
(15)
о
о
пi±Х4 =『х^,h 丁пi±Х4 =『х^,h 丁Sy = limSy = limп2匕м=1 = 1п2匕м=1 = 1(16)(16)оо
пi
±Х4 =『х^,
h 丁
пi
±Х4 =『х^,
h 丁
Sy = lim
Sy = lim
п
2匕м=
1 = 1
п
2匕м=
1 = 1
(16)
(16)
о
о
Таким образом, импульс силы за конечный промежуток времени выражается определенным векторным интегралом.
Так как импульс есть произведение силы на время, то его численное значение выражается, очевидно, в килограммо-секундах (кг сек).
Проекции вектора S на координатные оси на основании равенства (15) выражаются так:
S = lim
"П-8
А” О
nt
Sz = lim У Z4 = f Z d詳
n OO .'"JJ
A 厶一()2=10
Здесь X, У, Z обозначают проекции силы F на координатные оси.
Возьмем теперь основное уравнение динамики
mw =尸，или m ^ = F, или ^ (mr) = F.
Отсюда получаем:
d (mu) = F dt,
т. е. дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу действующей на эту точку силы.
Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до i и обозначая начальную и конечную скорости точки через и0 и v, получим:
mu — mu0 = \ 尸 d厶о'
или
mu — mr0 = S.(17)
Это равенство выражает теорему о количестве движения: изменение количества движения материальной точки за некоторый
промежуток времени равно импульсу действующей на эту точку силы за то же время.
Если известны количества движения материальной точки mu и mu0J то легко построить вектор S, как указано на рис. 285. Обратно, если известен импульс S и начальная скорость точки г0) то из предыдущего равенства находим скорость v, а именно; .
и = % + S
Проектируя левую и правую части векторного равенства (17) на оси координат, получим:
mvx — mvax = S第=\ XdZ,
t
mvy — mv^y = 5^ = ^ Ydt,卜(18)
0
mvz ・一加少鱼—S z = ^Z dt,
о |
т. e. изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции импульса действующей силы на ту же ось.
Если проекции силы %, У, Z являются известными функциями времени t, то, выполняя интегрирование в уравнениях (18), найдем проекции скорости гж, vy и vz и, следовательно, сможем определить модуль и направление скорости точки для любого момента Z.
Укажем на некоторые следствия рассмотренной теоремы:
Пусть X = 0. Тогда
mvx — mvQx = 0, илп
% = % = const,
т. е. если проекция действующей силы на данную ось во есе время движения равна нулю, то проекция скорости движущейся точки на эту ось остается постоянной,
t
Пусть X = const. Тогда、X dt = Xt и, следовательно,
о
mvx -加方眠=Xz.
Пусть F= const. Тогда S = \F dt = Fts, следовательно,
о
mu — mu0 — Ft.
Теорема о моменте количества движения
Пусть точка М массы т движется по некоторой кривой под действием силы F (рис. 286). Построим вектор то. изображающий момент силы F относительно начала координат О.
Из статики известно (§ 41), что этот вектор направлен перпендикулярно к плоскости треугольника, который получим, соединив
начало п конец вектора F с точкой О, и по модулю равен удвоенной площади этого треугольника. Проекции mox，7no优 加0乞 этого вектора на координатные оси равны моментам сипы 夕 относительно этих осей (§ 42).
В § 44 мы видели, что момент силы F относительно точки О можно представить в виде векторного про-?
изведенпя радпуса-вектора г точки М наа
эту силу, т. е.
т0^ то (F) = г X F. (19)力
Совершенно так же мы можем по-к\ уАх^
строить вектор 2°, изображающий момент /^^夕 количества движения nw относительно/°
точки О./
Этот вектор перпендикулярен к плоско-Рис. 286.
сти треугольника, который получим, со
единяя начало и конец вектора mu с точкой О, и по модулю равен удвоенной площади этого треугольника, причем, смотря с конца вектора 2。на этот треугольник, мы должны видеть вектор mv направленным против часовой стрелки относительно точки О.
Момент количества движения относительно точки О мы можем представить так же, как и момент силы, в виде векторного произведения радиуса-вектора г на вектор mv, т. е.
Zo = m()(mv)=尸 X mu.(20)
Между моментом количества движения тс относительно данной точки О и моментом относительно какой-нибудь оси, проходящей через эту точку, существует такая же зависимость, как и между теми же моментами силы F, Поэтому проекции вектора Zo на координатные оси равны моментам количества движения относительно этих осей, т. е.
Zox = mx (mu), ZOy = ^у (тс), 2% = тг (ти).
В § 44 были получены следующие формулы для моментов силы относительно координатных осей:
工 % (斤)=W - zY, nq — my (尸)=zX — xZ, 加0 加7 (斤)^^ aY - yX.
Здесь X, У m Z обозначают проекции силы F на оси, a xf у и z ——координаты точки приложения этой силы, т. е. в данном случае координаты движущейся точки.
Понятно, что моменты количества движения относительно координатных осей мы можем вычислить по этим же формулам, но
только проекции X, У m Z вектора F нужно заменить проекциями вектора mu на те же оси. Следовательно, будем иметь:
加眞(打2) /Пу (mv) /и? (mu)加眞(打2) /Пу (mv) /и? (mu)Нд，mvz - z，mvy = m(y不一2Нд，mvz - z，mvy = m(y不一2==z ・ mvx — ж • mr2 = m z==z ・ mvx — ж • mr2 = m z-①-①(21)(21)=» x • mvy — у • m% = m=» x • mvy — у • m% = m— У— У
加眞(打2) /Пу (mv) /и? (mu)
加眞(打2) /Пу (mv) /и? (mu)
Нд，mvz - z，mvy = m(y不一2
Нд，mvz - z，mvy = m(y不一2
==z ・ mvx — ж • mr2 = m z
==z ・ mvx — ж • mr2 = m z
-①
-①
(21)
(21)
=» x • mvy — у • m% = m
=» x • mvy — у • m% = m
— У
— У
Теорема, доказательство которой мы сейчас изложим, выражает зависимость между векторами то (ти) и то (尸).
Дифференцируя по t векторное равенство (20), получим:
7no (^и) = ^ (尸 х mu) = ^Хт^+гХ±т%
но
州 и и ^(制=F>
а пото му
^zno (nw) V X mv + г X F.
Но так как векторы и и mu направлены по одной прямой, то
и X тии = О
и, следовательно,
7no (mu) = г X F,
или на основании равенства (19)
7г^го (^w) = zn0 (F),(22)
т. е. производная 冷。времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-нибудь неподвижного центра О равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра.
Переписав векторное равенство (22) в виде
спроектируем это равенство на координатные оси; так как проекция производной от данного вектора на какую-нибудь ось равна
производной от проекции этого вектора на ту же ось (§ 65), то получим:
В7n0，号=叫，W = т6"
или
脑工(mu) = % (F), J
^ my (mr) = my (F),(22，)
^ "z 孤u)=7nz (尸)•
Эти уравнения выражают теорему о моменте количества движения в координатной форме: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Отметим два следствия доказанной теоремы.
Следствие 1. Пусть момент действующей на материальную точку силы относительно осп z во все время движения остается равным нулю, т. е( т2 (F) = 0，). Тогда будем иметь;
■J/(询=0,
откуда следует, что m2 (mr) = const, т. е. если момент действующей силы относительно какой-либо неподвижной оси все время равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.
Следствие 2. Пусть линия действия силы F все время проходит через одну и ту же неподвижную точку О. В этом случае сила называется центральной^ а точка О называется центром этой силы. Тогда то (F) = 0 и, следовательно, наосновании предыдущей теоремы имеем;
± т0 (тг) = 0,
а потому
历=mo (mr) = const,
т. e. s случае центральной силы момент количества движения материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным.
1) Как известно из статики, момент силы относительно оси равен нулю в том случае, когда сила и ось лежат в одной плоскости.
Отсюда также следует, что под действием центральной силы точка описывает всегда плоскую траекторию, плоскость которой проходит через центр этой силы J).
Пример 109. Планета в своем движении вокруг Солнца описывает эллипс, в одном из фокусов которого S находится Солнце (рис. 287). Пусть скорость планеты, когда она находится в ближайшей к Солнцу вершине В эллипса, равна рх; требуется найти скорость р2 планеты в противоположной вершине эллипса Л.
Решение. Обозначая большую полуось и эксцентриситет эллипса соответствеиио через а и е и принимая во внимание, что фокусное расстояние 0s = 〃％ получим для модулей момеп-
движения планеты относительно Sдвижения планеты относительно Sтов количества движения планеты относительно фокуса S следующие выражения:
движения планеты относительно S
движения планеты относительно S
I т$ (，初1) [t = mfx. S6 = /н^ (a — ae),j т$ ("，％) I ="券2 ♦ S/l = 7,券2 (a + ae)・
точках В и Л равны между собой. Следовательно,точках В и Л равны между собой. Следовательно,Так как действующая иа планету сила F притяжения Солнцем является центральной силой, направленной к центру Солнца, то момент количества остается постоянным и значения его в
точках В и Л равны между собой. Следовательно,
точках В и Л равны между собой. Следовательно,
〃纺i〃 (1—е) = mv2a (1 十 f).
откуда находим:
1 - e
% T+7 %•
Работа
Рассмотренные в предыдущих параграфах первые две теоремы относятся к понятию количества движения материальной точки. Третья теорема, которую мы должны теперь рассмотреть, относится к понятию кинетической энергии, причем кинетической энергией или живой силой движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная •
Количество движения и кинетическая энергия, как указывает Энгельс, являются основными мерами механического движения. Из теоремы о количестве движения следует, что эффект действия силы, выражающийся в изменении количества движения материальной точки, измеряется импульсом этой силы. Как увидим в следующем параграфе, эффект действия силы, выражающийся в изменении кинетической энергии материальной точки, измеряется рабо-
Это видно из того, что если Iq = const, то остается неизменной и влоскость, проходящая через точку 0 и перпендикулярная к вектору /°, в которой лежит радиус-вектор точки А/.
той этой силы. Всякий раз, когда происходит изменение кинетической энергии материальной точки, говорят, что действующие на эту точку силы производят некоторую работу. Поэтому, прежде чем переходить к изложению теоремы о кинетической энергии материальной точки, рассмотрим, как выражается количественно работа силы. Если точка приложение постоянной силы F движется по прямой, совпадаюгцей с линией действия силы, то работа этой силы равна произведению ее модуляF на длину пути s, пройденного точкой приложения силы, взятому с определенным знаком (плюс или минус).
Если обозначим работу через 4, то
4 = Fsf или А = —Fs.(23)
Работа считается п ол о ж и тел ъной, если направление силы F совпадает с направлением движения точки. Если же сила направлена в сторону, противоположную движению точки, то работа считается отрицательной и будет равна ——
Размерность работы выражается так:
[А] = [сила X длина],
а потому работа в технической системе единиц измеряется, очевидно, в килограммометрах (кгм). Так, например, если материальная точка весом Р — 5 кг падает по вертикали с высоты /е = 4 Mf то работа силы Она этом пути равна А = Ph = 20 кгм. Если точка весом Р движется прямолинейно по негладкой горизонтальной плоскости, то работа силы трепия на пути s выразится так;
4 = — fpSf
где / ——коэффициент трения.
Предположим теперь, что модуль силы 尸 есть величина переменная. В этом случае для вычисления работы на пути s разобьем этот путь на большое число п очень малых участков As】, As2,...
As^. Значения переменного модуля силы в начале каждого из этих участков обозначим соответственно через F1T F2, ...» Fn. Так как участок А“ очень мал, то величину ^ на этом участке прибли- /кенно можно считать постоянной (с тем большей точностью, чем меньше Д^). Поэтому элементарная работа на пути As； согласно равенству (23) будет равна
F^Si или —F^sv(24)
Взяв сумму этих элементарных работ и переходя затем к пределу при А> f 0 m 〃 f сю, получим работу переменной силы на конечном пути s* В пределе сумма этих элементарных работ
выразится определенным интегралом, и мы будем, следовательно, иметь или
nnssилиилиА «= lim £F4t r\? ds.А «= lim £F4t r\? ds.п — 8 i = 1 % 90п — 8 i = 1 % 90(25)(25)4 к —、戶 ds»о4 к —、戶 ds»оДля того чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы F нужно выразить как функцию переменного s. В качестве примера вычис*Для того чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы F нужно выразить как функцию переменного s. В качестве примера вычис*ооРис. 288.Рис. 288.ления работы переменной силы решим следующую задачу.Пример НО. В круглом цилиндре под с поршнем находится газ. Вначале поршень занимает положение Мо. Газ, расширяясь, отодвигает его в положение 京广 Определить работу, совершаемую при этом силой Р давления газа на пор*ления работы переменной силы решим следующую задачу.Пример НО. В круглом цилиндре под с поршнем находится газ. Вначале поршень занимает положение Мо. Газ, расширяясь, отодвигает его в положение 京广 Определить работу, совершаемую при этом силой Р давления газа на пор*тень, если OMQ ^ 風 0Ml = 6 и если диаметр поршня равен d (рис. 288).Решение. Рассмотрим какое-нибудь промежуточное положение поршня М, причем ОМ = а. Расстояние М0М обозначим через st а расстояние MQMX — через s" тогдатень, если OMQ ^ 風 0Ml = 6 и если диаметр поршня равен d (рис. 288).Решение. Рассмотрим какое-нибудь промежуточное положение поршня М, причем ОМ = а. Расстояние М0М обозначим через st а расстояние MQMX — через s" тогдаоткудаоткудаS = С—Со И S] = С]—%,£ = Со 十 S Н • = &0 十 «1-S = С—Со И S] = С]—%,£ = Со 十 S Н • = &0 十 «1-Искомая работа будет равнаИскомая работа будет равнаS1/ = \ 尸 ds.ОS1/ = \ 尸 ds.ОЕсли предположим, что газ расширяется изотермически (при постоянной температуре), то, обозначая объем, занимаемый газом, через У, по закону Еойля ——Мариотта будем иметь:PV = const = Р0Т0,Если предположим, что газ расширяется изотермически (при постоянной температуре), то, обозначая объем, занимаемый газом, через У, по закону Еойля ——Мариотта будем иметь:PV = const = Р0Т0,где Ро и 卩о обозначают соответственно начальные значения давления 尸 и объема 匕 когда поршень занимает положение Мо.Отсюда получаем;где Ро и 卩о обозначают соответственно начальные значения давления 尸 и объема 匕 когда поршень занимает положение Мо.Отсюда получаем;РРпо так какпо так как44И几И几Jtd2 丁0，Jtd2 丁0，
n
n
s
s
или
или
А «= lim £F4t r\? ds.
А «= lim £F4t r\? ds.
п — 8 i = 1 % 90
п — 8 i = 1 % 90
(25)
(25)
4 к —、戶 ds»о
4 к —、戶 ds»о
Для того чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы F нужно выразить как функцию переменного s. В качестве примера вычис*
Для того чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы F нужно выразить как функцию переменного s. В качестве примера вычис*
о
о
Рис. 288.
Рис. 288.
ления работы переменной силы решим следующую задачу.
Пример НО. В круглом цилиндре под с поршнем находится газ. Вначале поршень занимает положение Мо. Газ, расширяясь, отодвигает его в положение 京广 Определить работу, совершаемую при этом силой Р давления газа на пор*
ления работы переменной силы решим следующую задачу.
Пример НО. В круглом цилиндре под с поршнем находится газ. Вначале поршень занимает положение Мо. Газ, расширяясь, отодвигает его в положение 京广 Определить работу, совершаемую при этом силой Р давления газа на пор*
тень, если OMQ ^ 風 0Ml = 6 и если диаметр поршня равен d (рис. 288).
Решение. Рассмотрим какое-нибудь промежуточное положение поршня М, причем ОМ = а. Расстояние М0М обозначим через st а расстояние MQMX — через s" тогда
тень, если OMQ ^ 風 0Ml = 6 и если диаметр поршня равен d (рис. 288).
Решение. Рассмотрим какое-нибудь промежуточное положение поршня М, причем ОМ = а. Расстояние М0М обозначим через st а расстояние MQMX — через s" тогда
откуда
откуда
S = С—Со И S] = С]—%,
£ = Со 十 S Н • = &0 十 «1-
S = С—Со И S] = С]—%,
£ = Со 十 S Н • = &0 十 «1-
Искомая работа будет равна
Искомая работа будет равна
S1
/ = \ 尸 ds.
О
S1
/ = \ 尸 ds.
О
Если предположим, что газ расширяется изотермически (при постоянной температуре), то, обозначая объем, занимаемый газом, через У, по закону Еойля ——Мариотта будем иметь:
PV = const = Р0Т0,
Если предположим, что газ расширяется изотермически (при постоянной температуре), то, обозначая объем, занимаемый газом, через У, по закону Еойля ——Мариотта будем иметь:
PV = const = Р0Т0,
где Ро и 卩о обозначают соответственно начальные значения давления 尸 и объема 匕 когда поршень занимает положение Мо.
Отсюда получаем;
где Ро и 卩о обозначают соответственно начальные значения давления 尸 и объема 匕 когда поршень занимает положение Мо.
Отсюда получаем;
Р
Р
по так как
по так как
4
4
И几
И几
Jtd2 丁0，
Jtd2 丁0，
то
р = р
а потому искомая работа равнаS1а потому искомая работа равнаS1力=尸亭о £个£•；=尸亭° I m (&十s) I =尸o& • m ^"・J % 十 SIIA
а потому искомая работа равна
S1
а потому искомая работа равна
S1
В технической практике для вычисления работы часто пользуются графическим способом. Если модульF переменной силы выражен в функции от s, то эту зависимость^ — / (s) мы можем изобразить в виде некоторой кривой ВС (рис. 289). Разобьем весь путь О А = s,
Рис. 291.Рис. 291.
Рис. 291.
Рис. 291.
пройденный точкой приложения силы, на весьма малые участки. Тогда элементарная работа ^Д^ на участке А% выразится па чертеже площадью элементарного заштрихованного прямоугольника. Сумма элементарных работ выразится суммой площадей
всех таких прямоугольников. Предел этой суммы равен площади криволинейной фигуры ОВСА, и, следовательно, работа на пути s будет численно выражаться площадью ОВСА.
Так, например, в предыдущей задаче работа выразится площадью ОВСА; эта площадь ограничена осью абсцисс, дугой ВС гиперболы, уравнение которой
п двумя ординатами ОБ = Ро и АС — Р^ (рис, 290).
Рассмотрим теперь, как вычисляется работа в случае криволинейного движения точки. Пусть точка приложения М силы F, переменной как по величине, так и по направлению (рис. 291), описывает криволинейную траекторию. Требуется определить работу этой силы на пути MQMt = s. Разобьем весь этот путь на большое
число весьма малых участков; пусть один из таких элементарных участков есть ММе = As. Разложим силу F на две составляющие 凡 и 骂с направленные соответственно по касательной и нормали к траектории в точке
Тогда элементарная работа силы 尸 на пути As выражается произведением \FZ | As, взятым, так же как и в случае прямолинейного движения, со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы Е с направлением скорости и точки приложения этой силы пли эта сила направлена в сторону, противоположную скорости г. Если под Fv будем понимать проекцию силы 尸 на направление скорости и, то, обозначая угол между векторами F и и через q>, будем иметь или
几=F cos 屮=I'
или
FV~F cos q> = ―I I
в зависимости от знака cos q>. Следовательно, элементарная работа в обоих случаях будет равна
夕工5 = F cos q> As*(26)
Если угол q> острый, как на рис. 291, то элементарная работа положительна. Если же этот угол тупой (в этом случае касательная сила F- направлена, очевидно, противоположно скорости 力), то эта работа отрицательна.
Взяв сумму элементарных работ п переходя к пределу в предположении, что число п участков, на которые была разбита дуга М0М17 неограниченно возрастает, а длина каждого участка As： стремится к нулю, получим работу силы F на конечном пути от 此 до М：
4= lim ^ Fi^ = \Fvds,(27)
—0
ИЛИ
А = lim £修 cos 屮厶生=、夕 cos ф ds,(28)
К T 吗 i = I6
Таким образом, работа силы па конечном Пути выражается криволинейным интегралом, взятым вдоль соответствующей дуги траектории, которую описывает точка приложения силы.
Если сила во все время движения перпендикулярна к направлению скорости ее точки приложения, то работа этой силы равна нулю, так как в этом случае ф = 90° и cos ф = 0. Так, например, при движении материальной точки по горизонтальной плоскости работа силы тяжести, действующей на эту точку, равна нулю.
Выражение работы (28) можно представить еще в другом виде. Из кинематики известно, что элементарный путь ds, пройденный движущейся точкой за время 〃£, равен v dt, а потому
F cos ц> ds ~ Fv cos ф(29)
следовательно, выполняя интегрирование по переменному 厶 получим:
4 = \?г? cos ф dt.(30)
о
Этой формулой для вычисления работы можно пользоваться в том случае, когда скорость точки приложения силы, а также модуль и направление силы известны для любого момента £ (т. е. определены как функции от £). Выражение Fv cos ф dt, стоящее иод интегралом, представляет собой, очевидно, элементарную работу силы F за время dt.
Произведение Fv cos 屮 есть скалярное произведение силы F и скорости и, а потому
Fv cos ^> dt ~ F * v dt.
Если обозначим радиус-вектор точки М через г (г = ОМ), то по известной из кинематики формуле имеем (§ 66):
отсюда
dr = V dt
и, следовательно,
Fv cos q dt = F • dr,(31)
т. e. элементарная работа равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения этой силы.
Если разложим векторы 尸 м 尸 по координатным осям, то получим:
尸=X»+y/+Z4 口尸=位+疗+zk,
где X, У и Z обозначают проекции силы F на эти оси, а ж, у, z — координаты точки М, Из второго из этих равенств следует, что
dr = idx + jdy + k dz.
Подставляя значения F n dr в равенство (31) и принимая во внимание, что
ii= ]•] = fc-А = 1 и i・j = j•左二 k-i = 0 ?),
Скалярноз произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.
(32)(32)получим следующее аналитическое выражение элементарной ра~ боты:
(32)
(32)
F»dr = X doc * Y dy * Z dz.
Здесь dx, dy и dz представляют собой дифференциалы координат точки приложения силы, т. е.
dx = vxdtj dy = vydt и dz = vzdt.
Полученным аналитическим выражением (32) для элементарной работы часто пользуются при вычислении работы силы на криволинейном пути.
Докажем теперь теорему о работе равнодействующей силы.
Пусть к материальной точке М приложены две силы 居 и F3, равнодействующая которых равна Я. Обозначим работы сил 尸】, F2 и Я на пути s соответственно через Л1? Л2 и /.
Проектируя векторное равенство
К =尸Т+爲
на направление скорости точки М, получим:
%
движения точки приложениядвижения точки приложенияУмножая обе части этого равенства на элемент пути ds и интегрируя в пределах от 0 до 5 (вдоль траектории точки М), получим:
движения точки приложения
движения точки приложения
\Rvds = \ Flvds + \/n 〃s
Ооо
или на основании равенства (27)
4 = 41十Л2.
Таким образом, приходим к теореме: работа равнодействующей, на некотором пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.
В качестве примера вычисления работы в случае криволинейного силы найдем работу силы тяжести.
Пусть материальная точка М весом Р переместилась по некоторой криволинейной траектории из положения Мг (жг> y】,zj в положение М2(£&, у2» 22) (рис. 292). Проекции силы Р на координатные оси будут равны
Х = 0, У = 0 и Z = — Р
(ось z мы берем направленной по вертикали вверх). Следовательно, элементарная работа этой силы будет равна
X 〃н 十 Y dy + Z dz = — Р dz,
а работа на конечном пути МгМ2 равна
га
А = — \ Р dz — Р(4 —幺2)・
Полагая гг — 纟含 = h} получим:
4 = P .力；
отсюда следует, что работа силы тяжести9 действующей на материальную точку, не зависит ни от длины пути, ки от вида траектории этой точки w равна произведению веса этой точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях^ причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной, горизонтальной плоскости.
§ 108. Теорема о кинетической энергии материальной точки
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, кинетической энергией^ или живой силойf движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная —, m. е. равная полоеине произведения массы движущейся точки на квадрат ее скорости.
Определим размерность этой величины:
m
r 一9】「сила X время2 длина2 ]
=[масса X скорость^ = [―— X=
=[сила X длина].
Таким образом, кинетическая энергия имеет размерность ра-* боты, а следовательно, как и работа, в технической системе единиц измеряется в килограммометрах.
Пусть материальная точка М массы m движется под действием силы F по некоторой криволинейной траектории (рис. 293).
Напишем основное уравнение динамики точки, выражающее второй закон Ньютона:尸=mw; проектируя это векторное равенство на направление скорости г? получим：
mwv =
Но, как известно из кинематики (§ 70),
следовательно,
^ % = % =歹 COS ф, где ф есть угол между векторами 尸 и и・
Умножая обе части этого равенства на г dt} получим:
илиилиmu dv = Fv cos ф dttmu dv = Fv cos ф dtt
или
или
mu dv = Fv cos ф dtt
mu dv = Fv cos ф dtt
Fv cos ф dt.Fv cos ф dt.
Fv cos ф dt.
Fv cos ф dt.
(33)
Правая часть этого равенства представляет собой элементарную работу силы 尸；следовательно, дифференциал кинетической энер
гии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.
Этот результат выражает теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (33) в соответствующих пределах, получим:
^= ] # 沙 cos 屮 dttоили
空一苧=4.(34)
Это равенство выражает теорему о кинетической энергии в конеч- ной форме:
Изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силы на пройденном этой /почкой пути.
Если на движущуюся материальную точку действуют несколько сил, то в уравнении (34) под 4 нужно понимать работу их равнодействующей, равную сумме работ этих сил на данном пути. Рассмотрим несколько примеров применения полученной теоремы.
Пример 111. Вагонетка массы m движется по прямой горизонтальной колее. Коэффициент трения равен /. Начальная скорость вагонетки равна г0. Найти длину пути s, который пройдет вагонетка до остановки.
Решение. Так как конечная скорость вагонетки 沙 =0, то уравнение (34) принимает вид
Сила трения, действующая на вагонетку и направленная противоположно ее скорости, равна fmg; работа этой силы равна
А = —fmgs.
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:
т^ .Го
= /mgs, откуда s =.
Пример 112. Шарик весом 尸 подвешен к нижнему концу вертикальной винтовой пружины. Верхний конец Л пружины закреплен неподвижно.
Найти наибольшее расстояние, на которое опускается шарик, еслъ в начальный момент его скорость равна нулю и пружина не растянута (рис. 294).Решение. Пусть в начальный момент шарик находится в точке О. Промежуточное положение шарика обозначим через М, а самое нижнее его положение, соответствующее максимальному удлинению пружины, обозначим через В. Если удлинение пружины обозначим через X, а ее максимальное удлинение через Хт, то ОМ — X и ОВ = Кт. На шарик действуют две силы: вес Р и реакция пружины 尸,направленная вверх. Согласно закону Гука 1) имеем:F =儿где с — постоянный для данной пружины коэффициент пропорциональности (так называемая жесткость пружины). Так как скорость шарика в точках О и 3 равна нулю, то из теоремы о кинетической энергии следует, что работа сил Р и f па пути ОВ равна нулю. Эта работа, как легко видеть, выразится так:Найти наибольшее расстояние, на которое опускается шарик, еслъ в начальный момент его скорость равна нулю и пружина не растянута (рис. 294).Решение. Пусть в начальный момент шарик находится в точке О. Промежуточное положение шарика обозначим через М, а самое нижнее его положение, соответствующее максимальному удлинению пружины, обозначим через В. Если удлинение пружины обозначим через X, а ее максимальное удлинение через Хт, то ОМ — X и ОВ = Кт. На шарик действуют две силы: вес Р и реакция пружины 尸,направленная вверх. Согласно закону Гука 1) имеем:F =儿где с — постоянный для данной пружины коэффициент пропорциональности (так называемая жесткость пружины). Так как скорость шарика в точках О и 3 равна нулю, то из теоремы о кинетической энергии следует, что работа сил Р и f па пути ОВ равна нулю. Эта работа, как легко видеть, выразится так:入m入m力=Р^т 一 \ Е ds = РКт — \ с* dh =尸入m — 2 '%<■•力=Р^т 一 \ Е ds = РКт — \ с* dh =尸入m — 2 '%<■•ОСлодователыю,ОСлодователыю,ОО尸%" 一 ^。% = 0,尸%" 一 ^。% = 0,откудаоткудапо модулю; еслипо модулю; еслиВ положении равновесия шарика силы 尸 и:歹 равны …“,
Найти наибольшее расстояние, на которое опускается шарик, еслъ в начальный момент его скорость равна нулю и пружина не растянута (рис. 294).
Решение. Пусть в начальный момент шарик находится в точке О. Промежуточное положение шарика обозначим через М, а самое нижнее его положение, соответствующее максимальному удлинению пружины, обозначим через В. Если удлинение пружины обозначим через X, а ее максимальное удлинение через Хт, то ОМ — X и ОВ = Кт. На шарик действуют две силы: вес Р и реакция пружины 尸,направленная вверх. Согласно закону Гука 1) имеем:
F =儿
где с — постоянный для данной пружины коэффициент пропорциональности (так называемая жесткость пружины). Так как скорость шарика в точках О и 3 равна нулю, то из теоремы о кинетической энергии следует, что работа сил Р и f па пути ОВ равна нулю. Эта работа, как легко видеть, выразится так:
Найти наибольшее расстояние, на которое опускается шарик, еслъ в начальный момент его скорость равна нулю и пружина не растянута (рис. 294).
Решение. Пусть в начальный момент шарик находится в точке О. Промежуточное положение шарика обозначим через М, а самое нижнее его положение, соответствующее максимальному удлинению пружины, обозначим через В. Если удлинение пружины обозначим через X, а ее максимальное удлинение через Хт, то ОМ — X и ОВ = Кт. На шарик действуют две силы: вес Р и реакция пружины 尸,направленная вверх. Согласно закону Гука 1) имеем:
F =儿
где с — постоянный для данной пружины коэффициент пропорциональности (так называемая жесткость пружины). Так как скорость шарика в точках О и 3 равна нулю, то из теоремы о кинетической энергии следует, что работа сил Р и f па пути ОВ равна нулю. Эта работа, как легко видеть, выразится так:
入m
入m
力=Р^т 一 \ Е ds = РКт — \ с* dh =尸入m — 2 '%<■•
力=Р^т 一 \ Е ds = РКт — \ с* dh =尸入m — 2 '%<■•
О
Слодователыю,
О
Слодователыю,
О
О
尸%" 一 ^。% = 0,
尸%" 一 ^。% = 0,
откуда
откуда
по модулю; если
по модулю; если
обозначим соответствующее этому положению статическое удлинение пружины через 入с* то
откуда
с九ст ~~ Р,с九ст ~~ Р,и, следовательно,
с九ст ~~ Р,
с九ст ~~ Р,
九m = 2九ст・
ПримерИЗ. Материальная точка (пуля) брошена в пустоте из точки О наклонно к горизонту с начальной скоростью d(). Найти скорость этой точки в тот момент, когда она поднимется на высоту h.
mv2mv2〃心〃心2222—mgh,—mgh,Решение. При движении в пустоте на материальную точку действует только сила тяжести, равная Р = mg. Работа этой силы при поднятии точки на высоту h, как мы уже знаем, равна ——Ph; следовательно, имеем:
mv2
mv2
〃心
〃心
22
22
—mgh,
—mgh,
откуда искомая скорость равна
0=m * 一 2成
工)Закон Гука: сила упругости растянутой пружины пропорциональна ее удлинению 入；этот опытный закон верен до тех пор, пока 入 не превосходит некоторого определенного значения («предела пропорциональности»).
Пример 114. Тело падает на землю с очень большой высоты Н без начальной скорости. Определить его скорость при падении на землю, прен е- брегая сопротивлением воздуха.
Решение. Возьмем начало координат на поверхности земли в точке О; ось 名 направим вертикально вверх; радиус земли обозначим через R (рис. 295), Если высота падения Н очень велика, то силу F, с которой тело притягивается землей, считать постоянной нельзя: она будет изменяться по закону Ньютона, т, е.
где ш * масса тела, г его расстояние от центра зем- ли и /с — коэффициент пропорциональности. У поверх- ности земли, т. е. при г = В, сила F равна весу тела mg； следовательно, имеем:
откудаоткуда炉=mg.
откуда
откуда
厶=gR2.
Проекции силы F на координатные оси будут равны (оси е и у лежат в горпзонтальной плоскости)
Z 声=Z 声=伍十z户•伍十z户•X = Г = О,
Z 声=
Z 声=
伍十z户•
伍十z户•
Элементарная работа силы Ft с которою тело притягивается землей, равна
X dx r dy + Z dz ^ - кЩ 下а"」——；
十
следовательно, работа на пути Н выразится так:
О
л = f (RT^ = ы|^тт|н = km^i~R^)=WTH)''
подставляя вместо 厶 его значение, получим:
二 mgHR
К^г Н'
Принимая во внимание, что начальная^скорость тела г0 = 0, по теореме о кинетической энергии имеем:
mf2 mgHR
"2" = RF炉
откуда
F в + я-
тотоЕсли разделим числитель и знаменатель подкоренной дроби на R,
то
то
получим:
Если высота Н мала сравнительно с радиусом земли, то дробью H/R можно пренебречь, и мы приходим к известной формуле Галилея
р — К 2gH.
§ 109. Понятие о потенциальном силовом поле
Часть (ограниченная или неограниченная) пространства, в каждой точке которого на находящуюся там материальную точку действует некоторая сила, зависящая только от положения 9To立 точки, т. е. от ее координат xf у z, называется силовым полем. Проекции X, У и Z силы поля на координатные оси являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями от н, у m z, т. е.
х = л.⑵ у, Z), У = % (力，У，z), z = /з (伤 у, z).
Допустим, что существует такая функция координат U (方，у, z), частные производные которой по координатам равны проекциям силы поля на соответствующие координатные оси, т. е.
Х =鳴，У =瑞，Z = ^・(35)
Такая функция U называется силовой функцией данного силового поля, а силовое поле в этом случае называется потенциальным. Таково математическое определение силовой функции как функции, удовлетворяющей соотношениям (35). Выясним теперь ее физическое значение. Для этого найдем выражение элементарной работы силы потенциального поля. Эта работа равна
X dx + Y dy + Z dz =^ dx +^ dy + d^dz = dU, т. e. элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции.
Следовательно, работа на конечном пути, когда точка приложения силы перемещается из положения Мо в положение М, выразится так:
л =，dU=U— UJ),(36)
(М)
т. е. работа силы потенциального поля равна разности значений силовой функции 6 конечной w начальной точках пути 瓦,следовательно, не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемегцается точка приложения силы из положения Мо е положение М.
Отсюда непосредственно следует, что в случае однозначной силовой функции U работа силы потенциального поля на всякой замкнутой траектории равна нулю ).'
В качестве примера найдем силовую функцию в следующих двух случаях:
1) Поле силы тяжести. Если направим ось z верти-
кально вверх, то проекции силы тяжести на координатные будут равны
Х = 0, У = 0 й Z = ™• mg. Следовательно,
dU = Xdx + Ydy 十 Zdz = —mg dz,
откуда, интегрируя, находим:
U == — mgz + С.
Постоянная С здесь может иметь произвольное значение.
Если в этом равенстве z — const, то m U = const, откуда
ОСИ
(37)
сле-
дует, что во всех точках данной горизонтальной плоскости силовая функция сохраняет постоянную величину. Такая поверхность, на которой силовая функция имеет постоянное значение^ называется поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью. Следовательно, в поле силы тяжести поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.
2) Поле ньютоновой силы. Пусть материальная точка М притягивается силой 尸 по закону Ньютона к неподвиж-
ному центру О, который примем F =
где г — радиус-вектор точки М,
за начало координат. Тогда кт
а к — коэффициент пропорцио-
налыюсти. Принимая во внимание, что сила Fнаправлена противоположно радиусу-вектору, можем написать:
「 кт
F = 一方人
Отсюда следует, что проекции силы 尸 на координатные оси выразятся так:
х =—声伤 Y = —vy, Zn—^zi).
Далее, имеем:
dU = Xdx + Ydy + Zdz = —^(xdx + ydy+ z dz)=
1) Это видно из того, что в формуле с кт
множитель^ — величина скалярная, а проекции радиуса-вектора г на координатные оси представляют собой координаты xt у п z точки М,
Отсюда, интегрируя, находим:
и = 一 кт\：；=号 + С.(38)
Полагая в этом равенстве U = const, получаем г = const. Следовательно, поверхности уровня представляют собой в данном случае сферы с центром в начале координат. В общем случае уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид
и(X, у, Z)= С.
Давая произвольной постоянной С различные значения, получим различные эквипотенциальные поверхности данного силового поля.
Уравнение выражающее теорему о кинетической энергии при движении материальной точки в потенциальном силовом поле на основании равенства (36) принимает следующий вид:
2"2"=и — 4,=и — 4,илиОтсюдаилиОтсюдаmv2 ~2~mv2 ~2~u =历u =历(39)(40)(39)(40)VV222("吼2("吼
2"
2"
=и — 4,
=и — 4,
или
Отсюда
или
Отсюда
mv2 ~2~
mv2 ~2~
u =历
u =历
(39)
(40)
(39)
(40)
V
V
2
2
2("吼
2("吼
следовательно, зная постоянную h, которая определяется по начальному положению движущейся точки (по начальным координатам ^0, у0, zj и ее начальной скорости в。, можем найти скорость точки в ее любом положении.
§ 110. Понятие о потенциальной энергии
Пусть материальная точка, движущаяся в потенциальном силовом поле, находится в точке М (力,у, z), в которой силовая функция имеет значение U, и пусть М® Q®,力叫 z⑻)будет какая- либо произвольно выбранная неподвижная («нулевая») точка, в которой силовая функция имеет значение
U⑻ _ и Q⑻，y⑹，z(。)
Работа, производимая силой поля при перемещении материальной точки 瓦3 положения М s ^нулевую точкуъ М^} t называется потенциальной энергией е точке М. Обозначая потенциальную энергию через П, на основании этого определения и формулы (36) предыдущего параграфа будем иметь:
П = и(°)— и.(41)
Ясно, что в нулевой точке М^ потенциальная энергия равна нулю. За пулевую точку М® мы можем, очевидно, принять любую точку поверхности уровня, на которой силовая функция имеет значение 。叫
Пусть, например, материальная точка находится в поле силы тяжести. Примем произвольно взятую горизонтальную плоскость (например, на уровне моря) за《нулевую» и будем считать потенциальную энергию на этой плоскости равной нулю. Тогда потенциальная энергия в точке М, находящейся на высоте Л над этой нулевой плоскостью, будет, очевидно, равна Ph, где Р ——вес данной материальной точки.
Так како。) есть величина постоянная, то из равенства (41) следует, что
叨一一丝四__丝 也_ au,дх ~ дх * ду dy ' dz ' — dz 1
отсюда на основании соотношений (35) предыдущего параграфа по
лучаем:лучаем:(42)(42)
лучаем:
лучаем:
(42)
(42)
т. е. проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратным знаком частным производным от поте” циалыюй энергии по соответствующим координатам.
§ 111. Закон сохранения энергии
Пусть М± и М2 будут два различных положения материальной точки, движущейся в потенциальном силовом поле, и U\ r U% —— соответствующие значения силовой функции в этих точках. Напишем уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии:
mvlmvl=4=4
mvl
mvl
=4
=4
где г\ л 方含—скорости движущейся точки в положениях М】и М2. Но так как работа А равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях движущейся точки, то
mvl丁mvl丁mv\mv\=内一八=内一八
mvl
丁
mvl
丁
mv\
mv\
=内一八
=内一八
Согласно сказанному в предыдущем параграфе, потенциальная энергия в точках М± и М2 будет выражаться так:
h1 = 0。)一力，n2 = u⑹-小•
Отсюда
% =小—Пг и / = U ⑹一П2.
Подставляя эти значения в написанное выше уравнение получим:
или
粤+ Hl =等+h2, т. е.
^―+ П = const.(43)
Следовательно, при движении материальной точки е потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.
Этот результат, выражающий сохранение механической энергии, представляет собой частный случай общего физического закона сохранения энергии.
ГЛАВА 22
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 112. Дифференциальные уравнения движениянесвободной материальной точки
Материальная точка называется несвободной, если ее движение ограничено некоторыми наперед заданными условиями. Эти условия, стесняющие движение точки, называются в механике связями. Такой несвободной точкой является, например, материальная точка, движущаяся под действием данной силы F по некоторой неподвижной поверхности (рис. 296), осуществляющей в этом случае связь. Пусть уравнение этой поверхности есть
/(2, у, Z)= 0.
Это уравнение называется уравнением связи. Во все время движе^ ния, пока точка остается на поверхности, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. При рассмотрении движения такой несвободной точки необходимо принять во внимание механическое действие на нее со стороны неподвижной поверхности, т. е. реакцию этой поверхности.
Предположим, что данная поверхность совершенно гладкая, т. е. что трение отсутствует. Тогда реакция, как известно из статики, будет направлена по нормали к этой поверхности и
Рис. 296.Рис. 296.дифференциальные уравнения движе-дифференциальные уравнения движе-ния, приведем их к видуd2xX * N 5/ )d2gу 4- A . 5£ 1№Z +与А/ 北丿ния, приведем их к видуd2xX * N 5/ )d2gу 4- A . 5£ 1№Z +与А/ 北丿Подставляя эти значения вПодставляя эти значения в(46)(46)
Рис. 296.
Рис. 296.
дифференциальные уравнения движе-
дифференциальные уравнения движе-
ния, приведем их к виду
d2x
X * N 5/ )
d2g
у 4- A . 5£ 1
№
Z +与
А/ 北丿
ния, приведем их к виду
d2x
X * N 5/ )
d2g
у 4- A . 5£ 1
№
Z +与
А/ 北丿
Подставляя эти значения в
Подставляя эти значения в
(46)
(46)
называется нормальной реакцией (рис. 296). Обозначив эту реакцию через N, на основании второго закона Ньютона будем иметь: mw =歹 + N.(44)
Проектируя обе части этого векторного уравнения на неподвижные оси декартовых координат, яолучилг дифференциальные уравне-
пия движения несвободной точки в следующем виде:
噂А X十м，I 嚼=y + N〃 } (45)
Первые члены в правых частях этих уравнений представляют собой проекции силы F, а вто
рые члены ——проекции нормальной реакции N на координатные оси, причем
& = N cos (N, i), Ny = % cos (N, /), Nz = N cos (W, *).
При определении направляющих косинусов нормали данной поверхности, выражаемой уравнением / (а, у} z) 工 0, обозначим для краткости радикал
関関
через Д/ ]).
Тогда, как известно из дифференциальной геометрии, будем иметь:
cos (N, i)=第 COS (N, j) = *, cos (N, *) ==^.
Эта величина называется первым дифференциальным параметром функции /.
Если обозначим отношение через X, то эти уравнения принимают вид*
т~ = X += У += Z 4-(47)
di11 дх成 21 ду'成 2dz 、，
Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения несвободной точки в форме Лагранжа,
Из этих трех уравнений и из уравнения связи / (а, у, z) = О ьгожпо определить все четыре неизвестные величины: х, у7 z и 九 в функциях от £; тогда движение точки будет определено; кроме того, определив множитель Лагранжа 九,найдем и реакцию поверхности： N = % • А/.
Примечание. Заметим, что если точка может сходить с данной поверхности в одну какую-нибудь сторону, т. е. если поверхность не препятствует такому одностороннему перемещению точки, то в этом случае связь называется неудерживающей. Реакция неудерживающей поверхности будет направлена всегда нс нормали к этой поверхности в одну определенную сторону и именно в ту сторону, куда точка может беспрепятственно двигаться, т. е. может сойти с поверхности. Поэтому величина N в уравнениях движения может иметь в этом случае только один определенный знак. Если в какой-нибудь момент эта величина, обращаясь в нуль, изменяет знак, то это указывает на то, что в данный момент точка покидает поверхность.
Если имеем удерживающую связь, т. е. если точка не может сходить с данной поверхности ни в ту, ни в другую сторону, то величина N в уравнениях движения может оказаться как положительной, так и отрицательной, так как в этом случае реакция N может быть направлена по нормали к данпой поверхности как в одну, так и в другую сторону.
Рассмотрим теперь движение материальной точки М по заданной плоской неподвижной линии (например, движение шарика в плоской изогнутой трубке). Пусть уравнение этой плоской линия, отнесенное к осям Оху, лежащим в ее плоскости, т. е. уравнение связи, будет:
/(2, у) = О, и пусть на точку М действует некоторая заданная сила F, лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы F, к точке М будет приложена еще реакция связи N, направленная в случае отсутствия трения по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости (рис. 297).
Дифференциальные уравнения движения точки, как и в предыдущем случае, будут иметь следующий вид:
m 嘗=X 十 W cos (N, i),権絮=У 十 N cos (N, /),(48)
ИЛИИЛИ(49)(49)d2x v . л 5/ d2y v . л 5/Wi TT = X + 九刁Ш = У + 九 № •
ИЛИ
ИЛИ
(49)
(49)
Из этих двух уравнений, к которым нужно еще присоединить уравнение связи / (芷，屮)= 0, можно определить а, у и 九 как функции времени t и, следовательно, найти движение точки М и реакцию связи /V.
При исследовании движения точки по заданной плоской линии часто бывает удобнее проектировать векторное уравнение miv = F * N не на оси декартовых 夕координат, как это только что было
сделано, а на касательную и нормаль траектории, т. е. на естественные оси. Тогда получтш следующие два уравнения:
mwx = б。, mwn =Fn + N, z где Sp и Fn обозначают проекции силы F на касательную и нормаль, a N есть
Рис. 297.проекция силы N на нормаль. При этом
ииwwпп廿Р廿Рза положительное направление касательной мы принимаем направление в сторону возрастания дуговой координаты s = ОМ, отсчитываемой от неподвижной точки。‘， произвольно выбранной на заданной траектории точки М. За положительное направление нормали принимаем направление к центру кривизны траектории. Как известно из кинематики, проекции ускорения на касательную и нормаль выражаются так:
и
и
w
w
п
п
廿
Р
廿
Р
Подставляя эти значения в предыдущие уравнения, получим дифференциальные уравнения движения несвободной точки в так называемой естественной форме или 8 форме Эйлера:
А^ + мА^ + м(50)(50)
А^ + м
А^ + м
(50)
(50)
Интегрируя первое уравнение, найдем закон движения точки М по заданной линии и ее скорость. Определив скорость, из второго уравнения находим реакцию N.
Перейдем к рассмотрению движения материальной точки по заданной неподвижной поверхности с учетом трения; силу трения обозначим через 尸Е В этом случае материальная точка будет находиться под действием трех сил: F (заданная сила), N (нормаль-
пая реакция поверхности) и F^, Дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий вид:
m^^X + Nx+F^, I
mg= У 4- A； +F；₽,(51)
=Z +忆十".
Проекции силы трения на координатные оси можно предста
вить в следующем виде:
唯=Qp cos 仍гр, i)=—宀 cos (и, i) = — QP ^ =—学.霄
/?тр в —・ ри/?тр в —・ ри£тр =—>£тр =—>巴.以1)g dt巴.以1)g dtПодставив в уравнения (51) эти значения проекций силы трения, а также полученные выше выражения для проекций нормальной реакции, получим дифференциальные уравнения движения точки в видеПодставив в уравнения (51) эти значения проекций силы трения, а также полученные выше выражения для проекций нормальной реакции, получим дифференциальные уравнения движения точки в виде診=X +且亙Д/ дхJTP dx }网_ dt —У十且电 后9у_严P dy 1(52)d2z 亦=z +JV"Д/ dzу dt *診=X +且亙Д/ дхJTP dx }网_ dt —У十且电 后9у_严P dy 1(52)d2z 亦=z +JV"Д/ dzу dt *加加Присоединяя к этим трем уравнениямПрисоединяя к этим трем уравнениямО и урав-О и урав-=fN} где / есть=fN} где / естьуравнение связи / (х, у, z)уравнение связи / (х, у, z)нение, выражающее закон Кулона, т. е. Qpнение, выражающее закон Кулона, т. е. Qpкоэффициент трения, получим пять уравнений, из которых можно- определить все пять неизвестных величин: а, у, z, N м Т^’р.В заключение рассмотрим два примера, относящихся к движению несвободной точки.1. Пусть точка М массы т (рис. 298) движется под действием силы тяжести внутри трубки, имеющей форму окружности радиуса г и расположенной в вертикальной плоскости. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, находим проекции силы Р (веса точки М) на оси координат:коэффициент трения, получим пять уравнений, из которых можно- определить все пять неизвестных величин: а, у, z, N м Т^’р.В заключение рассмотрим два примера, относящихся к движению несвободной точки.1. Пусть точка М массы т (рис. 298) движется под действием силы тяжести внутри трубки, имеющей форму окружности радиуса г и расположенной в вертикальной плоскости. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, находим проекции силы Р (веса точки М) на оси координат:
/?тр в —・ ри
/?тр в —・ ри
£тр =—>
£тр =—>
巴.以1)g dt
巴.以1)g dt
Подставив в уравнения (51) эти значения проекций силы трения, а также полученные выше выражения для проекций нормальной реакции, получим дифференциальные уравнения движения точки в виде
Подставив в уравнения (51) эти значения проекций силы трения, а также полученные выше выражения для проекций нормальной реакции, получим дифференциальные уравнения движения точки в виде
診=X +
且亙
Д/ дх
JTP dx }
网_ dt —
У十
且电 后9у
_严P dy 1
(52)
d2z 亦=
z +
JV"
Д/ dz
у dt *
診=X +
且亙
Д/ дх
JTP dx }
网_ dt —
У十
且电 后9у
_严P dy 1
(52)
d2z 亦=
z +
JV"
Д/ dz
у dt *
加
加
Присоединяя к этим трем уравнениям
Присоединяя к этим трем уравнениям
О и урав-
О и урав-
=fN} где / есть
=fN} где / есть
уравнение связи / (х, у, z)
уравнение связи / (х, у, z)
нение, выражающее закон Кулона, т. е. Qp
нение, выражающее закон Кулона, т. е. Qp
коэффициент трения, получим пять уравнений, из которых можно- определить все пять неизвестных величин: а, у, z, N м Т^’р.
В заключение рассмотрим два примера, относящихся к движению несвободной точки.
1. Пусть точка М массы т (рис. 298) движется под действием силы тяжести внутри трубки, имеющей форму окружности радиуса г и расположенной в вертикальной плоскости. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, находим проекции силы Р (веса точки М) на оси координат:
коэффициент трения, получим пять уравнений, из которых можно- определить все пять неизвестных величин: а, у, z, N м Т^’р.
В заключение рассмотрим два примера, относящихся к движению несвободной точки.
1. Пусть точка М массы т (рис. 298) движется под действием силы тяжести внутри трубки, имеющей форму окружности радиуса г и расположенной в вертикальной плоскости. Выбрав координатные оси, как указано на чертеже, находим проекции силы Р (веса точки М) на оси координат:
X = О, У = Р = mg.
Уравнение связи (т. е. уравнение окружности) имеет вид
/ («, у)/ («, у)#2 + у2 —尸2 = 0.#2 + у2 —尸2 = 0.
/ («, у)
/ («, у)
#2 + у2 —尸2 = 0.
#2 + у2 —尸2 = 0.
Отсюда находим:
Дифференциальные уравнения движения точки М в форме Лагранжа принимают вид
小衣=2册，W"=mg + 2彻.
Кроме того,
節=М (券 + 關、 /^TF = 2r
и, следовательно, N = 2т*九.
Рх = mg cos ср, 「九=—^g sin ср i),Рх = mg cos ср, 「九=—^g sin ср i),Составим теперь для этой же задачи уравнения движения в форме Эйлера. Проектируя силу Р на касательную и нормаль, получим:
Рх = mg cos ср, 「九=—^g sin ср i),
Рх = mg cos ср, 「九=—^g sin ср i),
следовательно, дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера имеют вид
^万2 = mg cos ф,^万2 = mg cos ф,—二一mg sin ср + TV,—二一mg sin ср + TV,
^万2 = mg cos ф,
^万2 = mg cos ф,
—二一mg sin ср + TV,
—二一mg sin ср + TV,
где s обозначает длину дуги OfМ. Так как s = г^, то
ds
dt
Поэтому первое из дифференциальных уравнений движения приводится к виду
产中 g
一：=且 COS ф.
a/2 г *
Интегрируя это уравнение, можно найти угол <р как функцию от t, т. е. найти закон движения точки М.
Из второго уравнения, замечая, что р = г, находим нормальную реакцию:
N = mg sin ср +
Из этой формулы видим, что нормальная реакция N трубки является равнодействующей двух сил, направленных по радиусу
МО к центру О окружности: 1) силы, равной по модулю mg sin 屮， которая уравновешивает нормальную составляющую веса Р, и 2) силы, равной по модулю ^^, которая сообщает точке М нор
мальное ускорение и которая называется центростремительной
Рис. 299.Рис. 299.силой. Отсюда следует, что сила давления точки М на трубку, равная — N, также слагается из двух сил: силы, равной нормальной составляющей веса Р, и силы, равной по мо- дулю-у- и направленной по радиусу ОМ от центра О, называемой центробежной силой.
Рис. 299.
Рис. 299.
В качестве второго примера рассмотрим прямолинейное движение
материальной точки М по негладкой
наклонной плоскости под действием
силы тяжести (рис. 299). Пусть угол наклона плоскости к горизонту равен а. Выберем координатные оси так, как указано на чертеже. Так как точка М движется по оси х, то уравнение связи имеет вид у — 0. Проакции силы Р (веса точки М) на оси
any равны
X = mg sin а, У = — mg cos а.
Составляем дифференциальные уравнения движения точки М:
т 乔"=mg sin a 一夕吗
d2y. 7v
m 温=—mg cos а + TV,
где Ftp ——сила трения и N ——нормальная реакция наклонцой плоскости.
Из равенства у = 0 следует, что 需= 0; поэтому из вюрого дифференциального уравнения находим:
N = mg cos а.
Далее, согласно закону Кулона имеем: Qp = /N, где / ——коэффициент трения. Отсюда £тр = fmg cos а.
Подставляя это значение силы Qtp в первое дифференциальное уравнение и сокращая это уравнение на т, получим;
疗=g (sin а — / cos а),
ИЛИ
^ = g (sin а — / cos а)#
где
есть скорость точки М.
Отсюда видим, что ускорение точки М постоянно. Интегрируя это уравнение и предполагая, что в начальный момент (при Z = 0) скорость точки равна %, получим:
в = % + g (sin а — / cos а)厶(53)
Эта формула определяет скорость точки М для любого момента t・ Заменяя здесь в через будем иметь:
霄=2% + g (sin а — / cos а)九
Интегрируя это уравнение в предположении, что в начальный момент а = %, получим:
а = д ++ g (sin а — / cos а) у.(54)
Это уравнение выражает закон движения материальной точки по негладкой наклонной плоскости под действием силы тяжести.
Из этого уравнения следует, что;
если sin ct〉/ cos а, т. е. tg ct > /, то движение при г0 ^ 0 (т. е. движение по наклонной плоскости вниз) будет равномерно ускоренным;
если tg а</, то движение будет равномерно замедленным;
если tg а = / (т. е. если угол наклона плоскости равен углу трения), то движение точки будет равномерным (при г0 ^> 0).
§ ИЗ. Теорема о кинетической энергии для несвободнойматериальной точки
Пусть материальная точка движется по неподвижной гладкой поверхности под действием данной силы F. Применим к этой точке теорему о кинетической энергии (§ 108);
тР2 —j
где А обозначает сумму работ всех сил, приложенных к движущейся точке. Но так как нормальная реакция поверхности N образует, очевидно, с направлением скорости и (лежащей в касательной плоскости) прямой угол, то ее работа равна нулю〉и еле* довательно, мн будем иметь (§ 107):
4 = \ У7 cos ср 〃s;о
внося это значение Л в предыдущее уравнение, получим:
嘤—赞=\ Q cos 屮 ds;(55)
о
отсюда видим, что при движении точки по неподвижной гладкой поверхности нормальная реакция поверхности в уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии не входит.
Примечание. Теорему о кинетической энергии для несвободной точки в форме (55) нельзя применять в том случае, когда гладкая поверхность, по которой движется материальная точка, сама перемещается в пространстве. В этом случае нельзя ужэ утверждать, что работа нормальной реакции поверхности равнг нулю и что изменение кинетической энергии материальной точки равно работе только заданной силы F. В самом деле, когда точка перемещается по движущейся поверхности, то ее скорость складывается геометрически из двух скоростей: относительной и переносной. Нормальная реакция поверхности N остается все время перпендикулярной к относительной скорости точки, но、с переносной скоростью она может образовать любой угол как острый, так и тупой. Поэтому работа силы N в абсолютном движении точки не будет уже равна нулю.
Пусть точка движется по неподвижной негладкой поверхности. Так как спла трения Ftp направлена в сторону, противоположную скорости точки, то уравнение теоремы о кинетической энергии в этом случае имеет вид
F cos 屮 〃s — f MP ds. (56)
о
Модуль силы трения Ftp определяется, как и выше, из равенства FTP = fN.
Пример 115. Шарик весом Р подвешен на нити длиной I (рис. 300). Какую начальную горизонтальную скорость и。нужно сообщить шарику, чтобы он отклонился от вертикали на данный угол а?
Решение. Скорость шарика в тот момент, когда угол отклоненйя его от вертикали достигает наибольшего значения а, равна нулю. Работа силы
тяисести на пути М0М равна — "?g〃, работа реакции W нити равна нулю; позтому, применяя теорему о кинетической энергии, получим
2~ = 一〃3，
откуда находим:
% = Iх 2g/，
Замечая из чертежа, что
h = Z—I cos a = I (1—cos a) = 2Z sin2 -^ ,
получаем:
% = 2 M館.sin —.
Пример 116. Санки, выходя из точки А без начальной скорости, скользят по плоскости, наклоненной под углом а к горизонту, и, пройдя затем
некоторый путь по горизонтальной плоскости, останавливаются. Длина наклонного пути АВ равна 5Х; длина горизонтального пути ВС равна ^2- Найти коэффициент трения / (рис. 301).
Решение. Так как кинетическая энергия санок в точках Л и С равна нулю, то по теореме о кинетической энергии сумма работ всех действующих на санки сил на пути АВС тоже равна нулю. Работа на пути АВ составляется: 1) из работы силы тяжести, равной Ph = Psx sin а, и 2) из работы силы трения, равной——F：Ps[. Но сила трения J^[p равна произведению нормальной 1)еакции N、= Р сов а на коэффициент трения /. Следовательно, работа этой силы равна — Pj” cos а. Работа силы трения на горизонтальном пути ВС равна ——Р/$2, так как нормальная реакция TV2 горизонтальной плоскости равна, очевидно, весу санок Р, и следовательно, сила тренияPgP = /Р, Таким образом, получаем уравнение
PS】 (sin a — / cos a) — Pfs2 = 0, откуда находим:
— Si sin a
U cos a 十 s? • Из чертежа имеем:
OA — S] sin a, OB = s】cos a и ВС = s?; подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим:
/ = ов + вс = ОС = tg / АС0'
Отсюда видим, что угол АСО равен углу трения 1).
Как известно из статики, тангенс угла трения равен коэффициенту трения.
§ 114. Принцип Даламбера для материальной точки
Пусть М есть движущаяся несвободная материальная точка, F ——заданная действующая на нее сила и N ——реакция связи (рис. 302). Сложив силы F и А\ получим равнодействующую силу Я. Согласно второму основному закону динамики сила Я направлена по ускоре- 尸第 нию w точки М и по модулю равна mw.
Представим себе теперь, что мы при-\
дожили в данный момент к точке М еще силу, имеющую тот же модуль, что и сила\ ^?*^
Я, т. е. mw, и направленную противопо-尸\^^^
ложно ускорению w. Эта сила, равная по модулю произведению массы точки наРис, 3°2.
модуль ее ускорения w направленная про
инерции и опреде*инерции и опреде*(57)(57)тивоположно ускорению} называется силой
инерции и опреде*
инерции и опреде*
(57)
(57)
ляется, следовательно, равенством
歹 нн — — т1V.
Ясно, что силы Я и FHH, как равные по модулю и противоположно направленные, уравновешиваются; но так как Я есть равнодействующая сил F и 2V, то три силы 尸叱 方 口 N также взаимно уравновешиваются, т. е.
F + N + ^ ^ 0. (58)
Таким образом, приходим к заключению: при движении материальной точки е каждый данный момент заданная сила F, реакция связи N а сила инерции 戶皿 взаимно уравновешиваются, В этом и состоит принцип Даламбера для материальной точки.
Проектируя векторное равенство FHH ~ ——mw на три коорди
натные оси, получимнатные оси, получимпроекции силы инерции на=—mwx = — m , I=一権% = 請，}dz I——mwz = - m ^-. Iпроекции силы инерции на=—mwx = — m , I=一権% = 請，}dz I——mwz = - m ^-. Iэти оси;эти оси;(59)(59)
натные оси, получим
натные оси, получим
проекции силы инерции на
=—mwx = — m , I
=一権% = 請，}
dz I
——mwz = - m ^-. I
проекции силы инерции на
=—mwx = — m , I
=一権% = 請，}
dz I
——mwz = - m ^-. I
эти оси;
эти оси;
(59)
(59)
Аналогично, проектируя то же векторное равенство на естественные оси, получим проекции силы инерции на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории 】)：
F* = - ти?х = 一 尊，F^' = _ mw = -
P (60)
&н = — Ш1Рь = 0.
i) При этом за положительное направление касательной припимаем на* правление скорости точки, а за положительное направление главной нормали — направление к центру кривил1Ы траектории.
Составляющие силы инерции 弊н и /?ин? направленные по касательной и главной нормали, называются соответственно касательной (или тангенциальной) и нормальной силами инерции. Эти силы направлены противоположно соответствующим ускорениям wx и wn. Нормальная сила инерции иначе называется центробежной силой.
Для разъяснения термина «сила инерции» укажем на следующих! простой пример: рабочий толкает вагон массы т и сообщает ему ускорение гг; к вагону в этом случае будет приложена сила 8 = miT, направленная в сторону движения вагона. В то же время рабочий испытывает инерционное сопротивление вагона, равное по модулю mw, но направленное в противоположную сторону; это и есть сила инерции вагона, приложенная е действительности не к самому вагону, а к руке рабочего.
В общем случае согласно закону равенства действия и противодействия сила инерции является «противодействием» по отношению к силе Я, следовательно, е действительности сила инерции приложена не к самой движущейся точке М, а к тому телу, е результате взаимодействия с которым эта точка получает данное ускорение.
Вводя при решении задач динамики силу инерции, мы согласно принципу Даламбера получаем уравновешенную систему сил, а потому можем воспользоваться уравнениями статики. Этот метод, называемый методом кинетоста- тикиг часто оказывается весьма удобным при решении динамических задач, в особенности при определении динамических реакций связей. Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р 117. Материальная точка М массы ?儿 движется прямолинейно под действием силы тяжести по негладкой
плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Коэффициент трения равен /. Найти ускорение этой точки (рис. 303).
Решение. Если приложим к точке М силу инерции, направленную противоположно ускорению ы\ то согласно принципу Даламбера получим уравновешенную систему следующих сил: веса Р, силы трения F丁「, нормаль-
ЭТОМЭТОМmwtmwtной реакции плоскости Wn силы инерции Рин. При
ЭТОМ
ЭТОМ
mwt
mwt
F = mg> Гтр =尸1ra =
Направим оси координат так, как показано на чертеже, и напишем два уравнения равновесия. Проектируя все указанные силы на координатные осн, ио- 〃учим:
mg sin а — /^ — mw = О,
N mg cos а s» 0.
Из второго уравнения находим:
N = mg cos а;
подставляя это значение в первое уравнение, находим из него： ip = g (sin а — / cos а).
П р и м е р 118. Тележка М массы m скатывается без начальной скорости с высоты h по гладким рельсам и описывает окружность радиуса г в верти^ кальной плоскости («мертвую петлю»). Определить высоту h, при которой возможно такое движение тележки (рис. 304).
Рис. 304.Рис. 305.
Решение. Когда тележка находится в высшей точке С окружности, то в этой точке согласно принципу Даламбера уравловепшваются нормальная сила инерции F^^ направленная по вертикали вверх, вес тележки Р и нор” мальная реакция рельсов N、направленные по вертикали вниз; следовательно, 尸片 一 Р 一 W = 0,
откуда
•N =F^ - Р,
причем
尸 нн — т^2
Для определения скорости у тележки в точке С применим теорему о кинетической энергии; принимая во внимание, что натальная скорость тележки vQ = 0, пренебрегая трением и определяя работу силы Р на пути ЛВС t получим：■
嘤=尸他一 2r);следовательно,mv22P/2Л\
2V =— P = ™ (л — 2г) — P ~ P / ■~— 5).
Для того чтобы тележка прошла всю окружность, необходимо, ятобы выполнялось неравенство JV ^Q ^, следовательно, должно быть:
2h 5г, или h 2,5г.
Если бы значение величины N оказалось отрицательным, то это значило бы, что реакция направлена в противоположную сторону, т. е. вверх, что невозможно, так как тележка движется по внутренней стороне окружности и, следовательно, тележка в этом случае не могла бы достигнуть точки С.“'
Пример 119. Сосуд в форме круглого цилиндра с вертикальной осью вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью со вместе с на- ходягЦейся в нем жидкостью. Найти форму свободной поверхности жидкости (рис. 305).
Решение. Возьмем частицу жидкости М на свободной поверхности и проведем через точку М и через ось вращения цилиндра плоскость, которая пересечет свободную поверхность жидкости по линии АОВ. Найдем уравнение этой линии по отношению к координатным осям, выбранным так, как указано на чертеже. На частицу М действуют сила тяжести Р и реакция N остальной массы жидкости, направленная по нормали к поверхности жидкости в точке М. Приложим еще к этой частице нормальную силу инерции, мнм, иначе, центробежную силу F^^ направленную по радиусу г от оси вращения у. (Касательная сила инерции, очевидно, равна нулю, так как угловая скорость вращения жидкости постоянна.) Так как радиус вращения г точки М равен абсциссе х этой точки, то центробежная сила будет равна
Рис. 306.Рис. 306.dy —(о2 dx ~ gdy —(о2 dx ~ g
Рис. 306.
Рис. 306.
dy —(о2 dx ~ g
dy —(о2 dx ~ g
но скорость частицы г；=厂①=хсо, а потому Р^н = тхсо2.
Проектируя теперь уравновешенные силы Р, ^ и F^H на касательную к кривой АОВ в точке М, получим:
шхео2 cos а — mg sin а = О,
где а — угол наклона касательной к горизонтальной оси ж. Отсюда находим:
заменяя tg а через 黑，получим:
Интегрируя это уравнение, получим уравнение кривой АОВ
丁圻 + C.
Так как эта кривая проходит через начало координат, то С = 0. Уравнение
есть уравнение параболы, и следовательно, свободная поверхность жидкости представляет собой параболоид вращения вокруг оси Оу.
Пример 120. Материальная точка весом Р подвешена на невесомой гибкой нити длиной 厶 Эту точку отводят в положение М05 причем нить отклоняется от вертикали на угол 屮。,и затем отпускают без начальной скорости. Найти натяжение нити при движении точки (рис. 306).
Решение. Обозначим через ф угол отклонения нити от вертикали в некоторый момент, когда движущаяся точка занимает положение М. Согласно принципу Даламбера сила Р, реакция нити W, центробежная сила Г™ и касательная сила инерции ^и будут находиться в равновесии, Проек-
тируя эти уравновешенные силы на нормаль к траектории в точке М, т. е. на направление радиуса ОМ> получим:
下片 + 尸 cos ф — TV = 0.
Из этого уравнения находим:
N =ь看+pcos ф,
причем
Так как скорость точки в начальном положении Мй равна нулю, то по теореме о кинетической энергии имеем:
где
Л = От — 0人=I (cos (p — cos “)； отсюда
mv2 = 2Р/ (cos (p — cos %),
а потому
F^ = 2尸(cos <p — cos (pj
и.
TV = 2尸(cos <p — cos(p0) + P cos ф = P (3 cos 屮一2 cos 必).
Из полученной формулы видим, что если <р0 = 90°, то в самом нижнем положении точки М (при 屮 = 0)натяжение нити в три раза больше веса Р.
ГЛАВА 23
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
.Гармоническое колебание материальной точкипод действием силы, пропорциональной расстоянию
Пусть точка М с массой m движется прямолинейно под действием силы притяжения F к неподвижному центру О (рпс. 307). Предположим, что модуль силы F пропорционален расстоянию точки М от центра О, т. e.Q = с • ОМ, где с — постоянный коэффициент про-〃 户“
порциональности. Требуется найти?
закон движения точки М.U— е」
Если примем прямолинейную тра-рис 3^7
екторию точки М за ось х, начало*
координат возьмем в неподвижной точке О, абсциссу точки М обозначим через ж, а проекцию силы F на ось 力 обозначим через X, то, очевидно, будем иметь:
X = — сх.
Дифференциальное уравнение движения точки М имеет, следовательно, вид
т 凜=—см.(61)
Разделив это уравнение на 加 и вводя обозначение 工=Л, приведем его к видуw
抹+ 枷=°.(62)
Это есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами ,и без свободного члена. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общий интеграл этого уравнения выражается так：
х = a sin (kt + а),(63)
где а и а имеют произвольные постоянные значения 工)・ Это есть уравнение гармонического колебания; следовательно, е случае прямолинейного движения под действием иритягивающей силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения у материальная точка совершает гармоническое колебание.
Величина а, т. е. наибольшее отклонение точки М от центра О, называется амплитудой колебания, аргумент (AZ + а) называется фазой колебания, а величина а называется начальной фазой колебания (значение фазы в начальный момент, т. е. при Е = 0).
График гармонического колебания представляет собой, очевидно, синусоиду.
Скорость точки при гармоническом колебании определяется по формуле
г = ^у = аЛ cos (灰 + а).(64)
Знак производной 第 определяет, в каком направлении (в положительном или в отрицательном) по оси а в данный момент движется точка М,
Амплитуда а и начальная фаза а колебания определяются по начальным условиям движения. Пусть в начальный момент (при £ = 0) абсцисса точки М равна а。, а ее скорость равна г0. Полагая Z = 0 в предыдущих формулах для х и v, получим:
#о = a sin а и г0 = аЛ cos а.
Отсюда находим:
a = )/嗎 + 鲁 и tg a =督.(65)
Найдем теперь полный период колебания Г, т. е. тот промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в данное положение с той же самой скоростью. Так как период синуса и косинуса равен 2л, то по истечении времени Т фаза колебания возрастает на 2л; следовательно, будем иметь:
A(Z + Т) + Q —■(左£ + сс) = 2%
откуда находим:
или, подставляя вместо к его значение,
T = 2njm.(66)
Так как в эту формулу не входят ни а。, ни v0, то период колебания не зависит от начальных условий движения.
Из предыдущей формулы имеем: к =工;отсюда следует, что величина к определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2л секунд. Эта величина 4 называется круговой частотой колебания.
Уравнение гармонического колебания (63) можно еще представить в другом виде. Пользуясь известной формулой тригонометрии для синуса суммы двух аргументов, получим:
х = a sin (例)• cos а + a cos (kt) * sin а.
Полагая здесь a cos а = Л и а sin а — 5, получим:
х = A sin (例)+ В cos (砌.(67)
Но выше мы имели:
а sin а = %@ и ак cos а = г0;
следовательно,
=筝 и 5 = д,
а потому уравнение гармонического колебания можно представить в виде
胃口g cos (瓦)+ У sin (询、(68)
Если % — 0, то
胃=3 cos (砌.(69)
В качестве примера рассмотрим колебание груза, подвешенного на пружине (или упругом канате). Пусть к вертикальной пружине, имеющей в естественном состоянии длину АВ —厶 и
нение пружинынение пружины
нение пружины
нение пружины
закрепленной в точке Л, подвешен груз М весом Р. Примем поло-
;кеиие равновесия груза, т. е. то положение, в котором вес груза
уравновешивается реакцией пружины, за начало координат О
(рис. 308). Ось х направим по вертикали вверх. Статическое удли
ВО, соответствующее положению равновесия груза, обозначим через Хст. Удлинение пружины ВМ, соответствующее положению М груза, обозначим через 九.Тогда, как видно из чертежа, будем иметь:
九—九 с те #♦
Согласно закону Гука сила упругости (реакция) пружины F пропорциональна ее удлинению, т. е. F — сК, где с — коэффициент пропорциональности (жесткость пружины). Так как в положении равновесия модуль силы F равен весу Р, то
Р = С九ст・
Отсюда
Лст
Зная из опыта Хст, можно иайти по этой формуле коэффициент с 】). Обратно, зная жесткость с пружины, находим статическое удлинение пружины:
入 ст =，•
Дифференциальное уравнение движения груза будет иметь следующий вид:
или
Заменяя здесь X через Хст ——х, получим:
7m ^^ — с九ет —汝-尸, или, так как еА-ст — Р = 0,
Этот коэффициент обычно выражается в килограммах на сантиметр {кг[см)9
Это есть дифференциальное уравнение гармонического колебания (61), которое мы рассмотрели выше. Следовательно, груз, подвешенный на пружине, совершает гармоническое колебание около положения равновесия. Амплитуда этого колебания определяется из начальных условий движения груза, а период колебания находится по формуле
Т = 2в Н .
Если подставим сюда значения
то получим:
Т = 2п]/勺.(70)
Аналогично решается задача и о колебании груза, лежащего па упругой балке, опирающейся на две
неподвижные опоры (рис. 309).^77^二长
Так как упругая реакция балки пропор- ' цпональна стреле прогиба балки /, то совер-ри& зи»
шенно так же, как и в предыдущей задаче, найдем, что груз, положенный на балку, совершает гармоническое колебание с периодом
Т,
где /ст ——статический прогиб балки, вызываемый данным грузом.
В качестве третьего примера рассмотрим малые колебания простого (математического) маятника, т. е. колебания материальной точки М, подвешенной на нити длиной I (рис. 306). В примере 120 (§ 114) мы получили уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии для математического маятника в виде
mv2 = 2Р/ (cos 屮——cos(p0);
заменяя здесь P через mg и сокращая на шл получим: г2 — 2g/ (cos ср — cos(р0).
Если обозначим длину дуги М0М через s, то
но, как видно из чертежа,
= / ® — ф)； следовательно,
а потому предыдущее уравнение можно представить в виде
/2 [^Р = 2g/ (cos ср — cos(р0), или / ^j2 = 2g (cos ср — cos <р0).
Дифференцируя это уравнение по £, получим:
2噜•需к — 2g sin <р 雾，или 寫=—fsintp.
Это есть дифференциальное уравнение движения математического маятника. При малых отклонениях маятника от положения равновесия с достаточной точностью можно положить sin ср = ср. Тогда предыдущее уравнение принимает вид
霊Н 一手屮，или寥+依中=0,
где к2 = -p
Это есть дифференциальное уравнение гармонического колебания; следовательно, при малых колебаниях маятника угол ср изменяется по гармоническому закону и период колебаний маятника определяется по формуле
Заменяя здесь к его значением, получим:
Т = 2л У^,(71)
Затухающие колебания
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по оси ж в сопротивляющейся среде, например в воздухе, под действием силы притяжения F к неподвижному центру О, пропорциональной расстоянию точки от этого центра О, который примем за начало координат (рис. 310). Силу сопротивления среды Я будем предполагать пропорциональной скорости точ-
N 丁 -ат ки; так как эта сила направлена всегда 尸 Rпротивоположно скорости, то
Рис. 310.R = 一 “и.
где 卩——постоянный коэффициент пропорциональности. Следовательно, проекция этой силы на ось 胃 будет равна
& =一n% =一"凉.
Проекция силы F на ось х； как мы видели в предыдущем параграфе, равна — сх.
Поэтому дифференциальное уравнение движения точки М будет
иметь следующий вид:
一世小一世小(72)(72)
一世小
一世小
(72)
(72)
Разделив обе части уравнения на m и вводя обозначения
——/с2 и 上=2п,
приведем это уравнение к виду
泉十2吟+依" = 0.(73)
Для интегрирования этого уравнения применим способ замены переменного, полагая х = ^nt, где 己——новая переменная. Дифференцируя по t это равенство, получим;
” Y一叫
密=一2時+阀•
Подставляя значения функции х и ее производных в дифференциальное уравнение (73) и сокращая его иа общий множитель е"% получим:
塞一 2嵯十п^ + 2nf-2^十兴E = О,
ИЛИ
需十(炉一吟自=o.(74)
Допустим, что к>п; полагая тогда 左之 —— n2 ^ AJ, приведем предыдущее уравнение к виду
亲+续=0.
Это есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, рассмотренное в предыдущем параграфе; интегрируя это уравнение, получаем: g = a sin (k^t + а) и, следовательно,
/ = ae~nt • sin (&看 + а).(75)
Это уравнение отличается от уравнения гармонического колебания множителем е<"; поэтому движение точки представляет собой колебания около центра О, но размахи этих колебаний, т. е. максимальные отклонения в ту или другую сторону от точки О, не сохраняют теперь постоянного значения: они быстро уменьшаются с течением времени. Поэтому эти колебания называются затухающими.
Если продифференцируем уравнение (75) по £, то получим скорость точки при затухающих колебаниях:
г = ^ = ае~叫自 cos (kLt + сс) — n sin (&力 + a)].(76)
Постоянные амсс определяются по заданным начальным значениям абсциссы х0 и скорости v^. Полагая £ = 0 в формулах (75) и (76), получим:
W = a sin а и 内=a (& cos a — n sin a)=仪自 cos a —孔②皿
или
•Vq + пха
a sin a = * и a cos a —：.
Отсюда находим:
Do + nx0Do + nx0a = 小诉 + (。味产.=//储h:+ So +九窃)2
Do + nx0
Do + nx0
Для более точного выяснения характера рассматриваемого движения точки М найдем, при каких значениях t скорость точки будет обращаться в нуль и, следовательно, точка будет достигать максимального отклонения от центра колебаний О.
Приравнивая нулю скорость г, из уравнения (76) получим:
自 cos 的£ + a) — n sin (加亚 + a) = 0, или tg (鱼£ +。)= В ；
отсюда находим:
Так как арктангенс является многозначной функцией, последовательные значения которой при данном значении аргумента
отличаются друг от друга на л, то последовательные значения X, определяемые предыдущим равенством, будут отличаться друг
эти последовательные моменты черезэти последовательные моменты черезот друга на /^ . Обозначая
эти последовательные моменты через
эти последовательные моменты через
G， %, %，…，будем иметь:
% =厶+ ^，匕=为+^=厶+書，
% = % + 片=厶::II T. Д.
Таким образом, через одинаковые промежутки времени, равные n//q, скорость точки, проходя через нуль, меняет знак, т. е. изменяется направление движения точки. Найдем значения абсциссы движущейся точки в эти последовательные моменты. Полагая в уравнении движения (75) последовательно X =厶,t — %， получим:
々=ae^ntl sin (&厶 + ct), z2 = ае^^ sin (/£必 十 a)
Заменяя % через 厶 + j, получим:
х2 = ае 友-sin (k±tx + a + л)=
= —— aernti • sin (自厶 + a) e互1= -- e 加①r
Точно так 织е найдем, что
пл為=—е м 1r2 и т. д.
Отсюда видим, во-первых, что в люменты 厶,％，片,... точка находится по разные стороны от центра О (так как знаки ^, z2, z3, ... чередуются) и, во-вторых, что абсолютные значения ее отклонений от центра О в эти моменты убывают по закону геометриче- _nл
ской прогрессии, знаменатель которой равен е & • Промежуток времени
Т _ 2н _ 2H
一元一丁彦三
называется периодом затухающих колебаний. Так как
& 二 /依—公 ＜心 то
2л、2n
следовательно, период затухающих колебаний больше, чем период гармонического колебания, совершаемого точкой под действием той же силы F при отсутствии сопротивления.
Отвлеченное число пл пТ е fei — е 2 называется декрементом затухающих колебаний; натуральный логарифм декремента, т. е. величина ——называется логарифм мическим декрементом.
На рис. 311 изображен график затухающих колебаний с декрементом, равным 0,5 (при 勺》0 и v0 = 0).
Уравнение (75) затухающих колебаний можно представить еще в другом виде, а именно
х = ae~nt sin (月，十 а)=已一叫а sin (%) • cos а + a cos (月力)・ sin а], но, как мы видели выше,
Do + nr0•
а cos а —г и а sin а =
а потому, подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:
n = e-ni ^Xo cos (/)+ "。： “• sin (自力)].(78)
Пример 121. Материальная точка, масса которой равна единице, движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру О, пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности равен 25. Сила сопротивления окружающей среды пропорциональна скорости точки, причем коэффициент пропорциональности равен 6. Найти закон движения точки, зная, что в начальный момент расстояние Аточки от центра О равно 8 и скорость ее
травна пулю 】).
卜Решение. Из условий задачи име-
、ем: т = 1, с = 25, |а — 6, следовательно,
I I/с2 = —- = 25 и 2孔=—=6;
〃忆 /TTI/X^~Т отсюда
I / Л "к = 5и?г = 3
МУи потому
["1 = У〃2 —孔2 = 4.
Рис. 311.
Кроме того, g = 8 и = 0.
Подставляя эти числовые значения в уравнение (78), получим искомый закон движения точки:
力=2е~з£ (4 cos 4匕 + 3 sin 匂.
Период этих затухающих колебаний равенПериод этих затухающих колебаний равен2л л
Период этих затухающих колебаний равен
Период этих затухающих колебаний равен
~1~1曰=夕 сек, а декремент равен
~1
~1
• Таким образом, через каждые л/4 сек. амплитуда колебаний
уменьшается приблизительно в весьма быстро.уменьшается приблизительно в весьма быстро.1
уменьшается приблизительно в весьма быстро.
уменьшается приблизительно в весьма быстро.
10 ^-раз. Колебания, как видим, затухают
Мы рассмотрели тот случай движения материальной точки, когда Л〉п. Не останавливаясь подробно на разборе тех случаев, когда к <^п или к = nf заметим только, что в обоих этих случаях движение точки является апериодическим, т. е. оно не имеет уже характера колебательного движения.
丄)Все величины выражены в соответствующих единицах системы CGS.
§ 117. Вынужденные колебания
Предположим теперь, что на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию /, и силы сопротивления среды R, пропорциональной скорости 必 действует еще некоторая, периодически изменяющаяся сила F (рис. 312). Допустим, что проекция силы 尸 на ось / изменяется со временем по закону синуса, т. е. 〃 м
X，= Н sin ”，—^Vp—Г—7
где Нир — некоторые данные по- — z ―* стоянные числа.Силу F, стремящуюсяРис. 312.
вернуть точку М в положение равно
весия О, называют иногда восстанавливающей силой, а силу F1 —— возмущающей силой. Дифференциальное уравнение движения точки М имеет в этом случае следующий вид;
771 崇=_ с” 一唠十 Н sin (凶.(79)
Если разделим это уравнение на т； то, сохраняя обозначения предыдущего параграфа и полагая еще Hjm = h, приведем уравнение (79) к виду
祭 + 2п 嘗+ 依2 = h sin 3).(80)
Это есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью, отличной от нуля. На основании теоремы, известной из теории линейных дифференциальных уравнений, общее рещение этого уравнения можно представить в виде
а： = % + х2,
где х2 есть какое-либо частное решение данного уравнения, а хг 一 общее решение того же уравнения, но без правой части, т. е. уравнения
5+2п5 + № = 0.-
Решение этого последнего уравнения было уже рассмотрено в предыдущем параграфе; его общий интеграл имеет вид
々=ae~nt sin (自，+ a),
где а и a — произвольные постоянные, а fcx == ^к2 ——n2.
Таким образом, интегрирование дифференциального уравнения (80) сводится к отысканию его частного решения х2*
Предположим, что
& = b sin (р£ 十 Р),
где i и р ——некоторые постоянные величины, которые нужпо подобрать так, чтобы это значение z2 тождественно удовлетворяло данному дифференциальному уравнению (80). Отсюда находим:
嘗=加 cos (pl + В) н 争=—bp2 sin (pZ + P).
Подставляя эти значения производных, а также значение 旳 в данное дифференциальное уравнение (80), получим:
—bp? sin (pt + В) + 2nbp cos (р£ + 仍+左2匕 sin (р£ + §) = /г sin (”), или, полагая для краткости “ + р = 6,
b (к2 — р?) sin 6 十 2nbp cos в = Л sin (9 — §), или
b (收一p2) sin 6 + 2nbp cos 9 = Д sin в cos 卩一h cos 9 sin 0.
Так как это равенство должно выполняться тождественно (при всяком значении переменного в), то коэффициенты при sin 9 и cos 6 в левой и правой частях должны быть равны, т. е. мы должны иметь:
h cos Р = & (fc2 — р3) и 九 sin В = — 2"bp.
Из этих уравнений находим:
& = •" 一 к и tg 0 =2吻 .
К (F ~ ^2)2 + 4п2?2 ЗУ М—р2
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения, дающее закон движения точки при наличии возл!ущающей силы, выражается так:
/ = ae~nt • sin (%工£ + а) + b sin (pz + §),(82)
где b н В определяются по формулам (81).
Первый член правой части этого равенства представляет собой затухающие колебания, второй же член выражает гармонические колебания с чэстотой р и периодом 2 л/р, обусловленные действием возмущающей силы; эти колебания называются вынужденными.
Постоянные а и а, как обычно, определяются по начальным условиям движения. График движения материальной точки в данном случае можно построить сложением графика затухающих колебаний, рассмотренных в предыдущем параграфе, с графиком гармонических колебаний, т. е. с синусоидой.
Так как размахи затухающих колебаний быстро стремятся к нулю, то на практике обычно приходится считаться главным образом с вынужденными колебаниями. Поэтому рассмотрим
подробнее изменение амплитуды b вынужденных колебаний в зависимости от частоты р этих колебаний.
Разделив в формуле (81) для амплитуды b числитель и знаменатель на /$2, перепишем ее в следующем виде:
h
Полагая здесь р = 0, получим b —九/左窑；если обозначим эту величину h/k2 через 瓦，а отношение рк ——через V, то предыдущая формула получает вид
『/ " ；而(1一可+k『/ " ；而(1一可+k(83)(83)
『/ " ；而
(1一可+k
『/ " ；而
(1一可+k
(83)
(83)
Отсюда следует, что при заданном отношении п/к амплитуда b является функцией переменного v. Найдем, при каких значениях v амплитуда b достигает минимального или максимального значения. Для этого обозначим подкоренную функцию через / (v), т. е. положим:
/(V) = (1 一2？ + 综上
Первая и вторая производные этой функции выразятся так:
f(V)= 4v I V2 — 1 +
п
Приравнивая нулю первую производную, получим уравнение中一1 +答)=0,
v2 = "|Z~ 1 —v2 = "|Z~ 1 —корни которого равны
v2 = "|Z~ 1 —
v2 = "|Z~ 1 —
Vt = 0 и
2几2
Если 庐 <1, что обычно и имеет место, так как величина п значительно меньше А〉то корень v3 имеет действительное значение.
")Это имеет место в том случае, когда сопротивление среды, в которой движется материальная точка, невелико.
Подставляя теперь значения 1Vl и v2 во вторую производную, получим:
尸(%) = 4幫一 1)<0
И
г (v2) = 8(1-^)>0.
Отсюда заключаем, что при v = 0, или, что то же, при р = О, функция /(V)достигает максимума, а амплитуда b имеет минимум. При V = v2, т. е. при р J //с?——2п2, функция / (v) достигает ми* нимума, а амплитуда 6 достигает максимального значения, равного
Ьтах =Ьтах =_°—, =■ °— -,. Итак, когда частотар вы-
Ьтах =
Ьтах =
■/("%)，+喳% ^优Y
амплитуда этих колебаний возрастает от 匕。до максимального значения bmax ； при дальнейшем увеличении частоты р амплитуда вынужденных колебаний начинает убывать и при неограниченном возрастании р она стремится к нулю. График зависимости между b и V (при п/к = 0,25) изображен на рис. 313.
Если дробь п[к невелика, то в формуле
V-2 = ]Z 1 — ^
без существенной погрешности можно пренебречь квадратом этой дроби в сравнении с единицей и принять, что v2 = 1. Следовательно, с достаточной точностью можно утверждать, что наибольшего значения амплитуда вынужденных колебаний достигает при v2 = 1, или, что то же, при р =斤,т. е. 8 том случае, когда частота вынужденных колебаний равна частоте свободных колебаний точки, совершаемых ею под действием только восстанавливающей силы (при отсутствии сопротивления).'
Этот случай совпадения частот вынужденных и свободных колебаний носит название резонанса. Явление резонанса харак-
терно тем, что в этом случае амплитуда колебаний точки достигает значения, близкого к максимальному.
Пример 122. Груз М массы т подвешен на пруншне с жесткостью с; конец А пружины совершает вертикальные гармонические колебания по закону Л(у4 = Н sin (р£). Найти закон движения груза, если сила сопротивлеПример 122. Груз М массы т подвешен на пруншне с жесткостью с; конец А пружины совершает вертикальные гармонические колебания по закону Л(у4 = Н sin (р£). Найти закон движения груза, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости груза, причем коэффициент пропорциональности равен 批(рис. 314).Решение. Примем исподвижиую точку Ло за начало координат; ось 力 направим по вертикали вниз. Дифференциальное уравнение движения груза в данном случае будет иметь вид，”證=_ j _ n 五，где 入 ——удлинение пружины, а — с入 есть проекция на ось 第 реакции пружины.Если обозначим естественную длину пружины через 厶, то, как видно из чертежа,九=力-/()，4 - Zq =%—H sin (pt) - Iq-ния движению пропорциональна скорости груза, причем коэффициент пропорциональности равен 批(рис. 314).Решение. Примем исподвижиую точку Ло за начало координат; ось 力 направим по вертикали вниз. Дифференциальное уравнение движения груза в данном случае будет иметь вид，”證=_ j _ n 五，где 入 ——удлинение пружины, а — с入 есть проекция на ось 第 реакции пружины.Если обозначим естественную длину пружины через 厶, то, как видно из чертежа,九=力-/()，4 - Zq =%—H sin (pt) - Iq-Рис. 314.Рис. 314.Tl^i^^nsTl^i^^nsПодставляя это значение X в предыдущее уравнение, получим:Подставляя это значение X в предыдущее уравнение, получим:'mg'mg— с% + сН sin (р方)+ с10 —— с% + сН sin (р方)+ с10 —dxdx
Пример 122. Груз М массы т подвешен на пруншне с жесткостью с; конец А пружины совершает вертикальные гармонические колебания по закону Л(у4 = Н sin (р£). Найти закон движения груза, если сила сопротивле
Пример 122. Груз М массы т подвешен на пруншне с жесткостью с; конец А пружины совершает вертикальные гармонические колебания по закону Л(у4 = Н sin (р£). Найти закон движения груза, если сила сопротивле
ния движению пропорциональна скорости груза, причем коэффициент пропорциональности равен 批(рис. 314).
Решение. Примем исподвижиую точку Ло за начало координат; ось 力 направим по вертикали вниз. Дифференциальное уравнение движения груза в данном случае будет иметь вид
，”證=_ j _ n 五，
где 入 ——удлинение пружины, а — с入 есть проекция на ось 第 реакции пружины.
Если обозначим естественную длину пружины через 厶, то, как видно из чертежа,
九=力-/()，4 - Zq =%—H sin (pt) - Iq-
ния движению пропорциональна скорости груза, причем коэффициент пропорциональности равен 批(рис. 314).
Решение. Примем исподвижиую точку Ло за начало координат; ось 力 направим по вертикали вниз. Дифференциальное уравнение движения груза в данном случае будет иметь вид
，”證=_ j _ n 五，
где 入 ——удлинение пружины, а — с入 есть проекция на ось 第 реакции пружины.
Если обозначим естественную длину пружины через 厶, то, как видно из чертежа,
九=力-/()，4 - Zq =%—H sin (pt) - Iq-
Рис. 314.
Рис. 314.
Tl^i^^ns
Tl^i^^ns
Подставляя это значение X в предыдущее уравнение, получим:
Подставляя это значение X в предыдущее уравнение, получим:
'mg
'mg
— с% + сН sin (р方)+ с10 —
— с% + сН sin (р方)+ с10 —
dx
dx
Для упрощения этого уравнения сделаем замену переменного, полагая 宮=Е + %, где 三一новая переменная, а тг ——некоторая постоянная вели- .чина. Тогда
dx dg d% — d2g
4t =方、3?=妍，
и вместо предыдущего получаем следующее дифференциальное уравнение:
加济=mg —成一с/ + сН sin (pt)十儿о —卩凉.
Выберем 第 1 так, чтобы постоянные члены в правой частл этого уравнения исчезли, т. е. положим:
mg — с%】 十 cZ0 = О,
отсюда
Но так как согласно сказанному в § 115
тото纱一 >
то
то
/ = % + 入СТ，
где % — статическое удлинение пружины.
Отсюда видим, что произведенная замена переменной равносильна переносу начала координат из точки Ло в положение О, которое занимает груз при равновесии, если конец пружины закрепить в точке Ао. После этой
15 И. М. Воронков
замены полученное дифференциальное уравнение не будет содержать постоянных членов, т. е. будем иметь:
m/十n請丁床=cH sm (pt)r
или
醬十 2n 崇 + 火E = /zsin(”)，
где
〃=9竺，2n = -t "47北
Мы получили то самое дифференциальное уравнение (80) вынужденных колебаний, которое было рассмотрено выше. Общий интеграл этого уравнения выражается так:
e = ae~nt sin (自方十 a)十 b sin 5t 十3).
Так как множитель e~nf быстро стремится к нулю, то через достаточно большой промежуток времени можно пренебречь членом, выражающим аа- тухающие колебания; тогда будем иметь:
Е = 6 sin (” + В), т. е. груз будет совершать только вынужденные колебания около положения равновесия 0.
Амплитуда 6 и начальная фаза § этих колебаний определяются по формулам (81).
Если в этих формулах разделить числитель и знаменатель на /с2, то получим:
h
.0 п п к tg Р z . .
к2
Если р значительно меньше А (это соответствует тому случаю, когда точка Л колеблется медленно), то дробь p/к будет мала; точно так же будет мала и дробь 孔/А, так как п обычно значительно меньше к. Поэтому в этом случае будем иметь:
& 弋 Н, § р 0
и, следовательно,
Е* Н sin (”)，
т. е. колебания груза почти совпадают с колебаниями точки /.
С увеличением частоты 尸 амплитуда 6 будет возрастать; при
наступает явление резонанса: амплитуда колебаний груза достигает максимального значения. В том случае, когда р значительно больше к (точка Л совершает очень быстрые колебания), амплитуда & ^= 0, т. е. груз остается почти неподвижным.
Последнее обстоятельство имеет важное значение при устройстве сейсмографов, т. е. приборов для записи колебаний почвы при землетрясениях.
Из практики известно, что при работе двигателя, установленного на фундаменте или на горизонтальных балках, вследствие неполной уравновешенности движущихся частей мотора возникают вибрации, которые в зависимости от скоростей этих движущихся частей становятся иногда весьма значите л ьными, что, конечно, является не только нежелательным, но часто и опасным. Такие скорости движущихся частей мотора, при которых наблюдаются наибольшие вибрации, называются критическими.
Определение критических скоростей имеет поэтому очень важное практическое значение. В качестве примера рассмотрим следующую упрощенную задачу.
Пример 123. На упругой горизонтальной балке, лежащей па двух опорах, установлен мотор весом Р, приводящий в движение кривошип ОА = г, который вращается с постоянной угловой скоростью ① и песет на конце А небольшой груз массы т. Требуется найти критическую угловую скорость кривошипа (рис. 315). Массой кривошипа пренебрегаем.
Решение. Кроме веса Р и вертикальной реакции улругой балки, пропорциональной стреле прогиба /, к мотору пр-ГГлоЖеиа еще в точке О центробежная сила 歹口 вращающегося груза, рав-丄,
пая по модулю тг<^ (точнее реакция кривошипа,'
равная центробежной силе груза). Если обозначим угол поворота кривошипа, отсчитываемый от горизонтальной оси Ох, через 屮，то (р = з"
Если разложим силу 歹"на вертикальную и горизонтальную составляющие, то проекция вертикальной составляющей на ось у будет равна
尸?=耳口 sin 屮=mr(£>2 sin (co?)-
Из этого выражения для F^ видно, что вертикаль-л
у，Рис 315
ная составляющая центробежной силы играет*'
роль возмущающей силы, вызывающей вынуж
денные вертикальные колебания мотора, и что частота этих вынужденных колебаний р =(о.
Согласно сказанному в § 115 частота свободных гармонических колебаний в данном случае равна
〃 =г子，
где /ст — статический прогиб балки, вызываемый весом мотора Р. Явление резонанса, когда наблюдаются наибольшие вибрации, наступает при р = к, т. е. при
Эта формула определяет критическую угловую скорость кривошипа.
ГЛАВА 24
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 118. Диффереициальиые уравнения относительногодвижения материальной точки
Задача, рассматриваемая в этой главе, состоит в следующем: пусть система координатных осей。仅伍出(система отсчета) имеет известное нам движение относительно «неподвижной» системы отсчета Oxyz 】).Зная силы, действующие на данную материальную точку М, требуется найти движение этой точки относительно подвижной системы О^у^. т. е. найти ее относительное движение. Для решения этой задачи нужно сначала составить дифференциальные уравнения относительного движения точки М\ проинтегрировав эти уравнения, найдем искомое движение.
Согласно второму закону Ньютона при движении материальной точки относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета имеем:
mw = F + N,
где w обозначает абсолютное ускорение точки М, F ——действующую на эту точку заданную силу и N——реакцию связей. Но из кинематики известно (§ 91), что
S =加尸+加。+ wh,
где wr, wp, wh обозначают соответственно относительное, переносное и кориолисово ускорения точки М. Подставляя это значение w в предыдущее равенство, получим:
mwr = F + N — mwe — mwh.
Векторная величина ——mw#, равная по модулю произведению массы точки на модуль ее переносного ускорения и направленная противоположно переносному ускорению, называется переносной силой инерции; точно так же векторная величина ——m^ называется кориолисовой силой инерции. Если введем обозначения
—mwp = F^n и — m^& = F『，
то предыдущее уравнение примет следующий вид:
mwr = F+N + №ш + Fr.(84)
Согласно сказанному в § 98 под неподвижной системой отсчета здесь, 耳ак и во всем предшествующем изложении, понимается инерциальная система отсчета, т. е. такая система, в которой применимы законы Ньютона.
Это есть дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки в векторной форме. Проектируя это уравнение на подвижные оси。1勺力无 и принимая во внимание, что
炉看1d2ytd®zi
叫L涼，％1=加и ^ =試
получим дифференциальные уравнения относительного движения в координатной форме:
^嘉= Xi + N$+尸院 +尸需，j
小弟=爲+Nyi +歹吃+尸就，卜(85)
壮祟=%+乂，+ F™ +尸案「 I
Отсюда приходим к следующему заключению:
Дифференциалъные уравнения относительного движения материальной точки следует писать в том же виде, как iz уравнения ее движения относительно неподвижной системы отсчетаt но только к действующим на точку заданной силе iz реакции связей нужно присоединить еще переносную силу инерции и силу инерции Кориолиса, или, другими словами: относительно подвижный осей материальная точка движется так же, как если бы эти оси были неподвижны и если бы к этой точке, кроме действующих на нее сил, были приложены еще силы F*“ и F^H.
Рассмотрим некоторые частные случаи относительного движения точки.
Пусть подвижная система отсчета имеет поступательное движение. В этом случае 叫=0, и следовательно,耳产=0, а потому будем иметь:
mwr = F+N+Ffn,(86)
Соответственно упрощаются в этом случае и дифференциальные уравнения (85), в которых исчезают члены, выражающие проекции силы инерции Кориолиса на подвижные оси.
Пусть подвижная система отсчета движется поступательно9 прямолинейно и равномерно тогда
wh — u?e — 0 и F^ ~ F™ — 0.
В этом случае, следовательно, будем иметь:
mwr = F+ 2V.(87)
Это уравнение показывает, что в системе отсчета, имеющей относительно неподвижной системы равномерное прямолинейное поступательное движение, второй закон Нъютона применим s той
же самой форме, как и в неподвижной системе, и что, следовательно такая система отсчета является инерциальной. Отсюда следует, что в системе отсчета, имеющей относительно неподвижной системы прямолинейное равномерное поступательное движение, все механические явления происходят совершенно так же, как и в неподвижной системе, и потому никакими наблюдениями над этими явлениями такого движения системы отсчета обнаружить нельзя. Так, например, наблюдатель, находящийся в трюме парохода, движущегося поступательно, прямолинейно и равномерно, не сможет установить, движется ли пароход или стоит на месте. Этот важный результат, указанный еще Галилеем, выражает собой принцип относительности классической механики.
Рассмотрим еще случай относительного равновесия материальной точки, т. е. предположим, что точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно движущейся системы осей О^у^, В этом случае, очевидно, vr wr О и, следовательно (§ 91),
咻=0 и jFfcH = 0.
Поэтому уравнение (84) принимает вид
F + N+FT = 0,(88)
т. е. s случае относительного равновесия материальной точки заданная сила, реакция связей iz переносная сила инерции взаимно уравновешиваются.
К этому заключению можно, очевидно, прийти и непосредственно из принципа Даламбера.
Пример 124. Вагон движется по прямому горизонтальному пути вправо с постоянным ускорением а. Материальная точка М, двигавшаяся сначала
движение является поступательным, на нулю; так как, кроме того, точка 力движение является поступательным, на нулю; так как, кроме того, точка 力вместе с вагоном, в некоторый момент начинает свободно падать. Най- тп траекторию точки отпосительио нагона (рпс. 316).Решение. Выберем систему подвижных осей О^у^у связанных с вагоном, как показано на рисунке (ось Z] направлена вертикально вверх II проходит через начальное положение точки Мо). Обозначим высоту, с которой начинается падение материальной точки, через 2[0 = h. По условию задачи иачальная относительная скорость точки равна нулю. Переносная сила инерции F^H равна по модулю та и направлена горизонтально влево. Так как переносное то сила инерции Кориолиса F^H рав- движется свободно, то реакция связейвместе с вагоном, в некоторый момент начинает свободно падать. Най- тп траекторию точки отпосительио нагона (рпс. 316).Решение. Выберем систему подвижных осей О^у^у связанных с вагоном, как показано на рисунке (ось Z] направлена вертикально вверх II проходит через начальное положение точки Мо). Обозначим высоту, с которой начинается падение материальной точки, через 2[0 = h. По условию задачи иачальная относительная скорость точки равна нулю. Переносная сила инерции F^H равна по модулю та и направлена горизонтально влево. Так как переносное то сила инерции Кориолиса F^H рав- движется свободно, то реакция связей
движение является поступательным, на нулю; так как, кроме того, точка 力
движение является поступательным, на нулю; так как, кроме того, точка 力
вместе с вагоном, в некоторый момент начинает свободно падать. Най- тп траекторию точки отпосительио нагона (рпс. 316).
Решение. Выберем систему подвижных осей О^у^у связанных с вагоном, как показано на рисунке (ось Z] направлена вертикально вверх II проходит через начальное положение точки Мо). Обозначим высоту, с которой начинается падение материальной точки, через 2[0 = h. По условию задачи иачальная относительная скорость точки равна нулю. Переносная сила инерции F^H равна по модулю та и направлена горизонтально влево. Так как переносное то сила инерции Кориолиса F^H рав- движется свободно, то реакция связей
вместе с вагоном, в некоторый момент начинает свободно падать. Най- тп траекторию точки отпосительио нагона (рпс. 316).
Решение. Выберем систему подвижных осей О^у^у связанных с вагоном, как показано на рисунке (ось Z] направлена вертикально вверх II проходит через начальное положение точки Мо). Обозначим высоту, с которой начинается падение материальной точки, через 2[0 = h. По условию задачи иачальная относительная скорость точки равна нулю. Переносная сила инерции F^H равна по модулю та и направлена горизонтально влево. Так как переносное то сила инерции Кориолиса F^H рав- движется свободно, то реакция связей
N также равна нулю. Дифференциальные уравнения относительного движения точки будут поэтому иметь следующий вид:
илиили詮=—g.詮=—g./zi"E = ig,/zi"E = ig,
или
или
詮=—g.
詮=—g.
/zi
"E = ig,
/zi
"E = ig,
Интегрируя эти уравнения, получаем:
d力1dtd力1dtG，G，必dt必dt=一G%+ C2,=一G%+ C2,dz】dtdz】dt-g方+ G.-g方+ G.
d力1dt
d力1dt
G，
G，
必dt
必dt
=一G%+ C2,
=一G%+ C2,
dz】dt
dz】dt
-g方+ G.
-g方+ G.
Так как в начальный момент, т. е. при точки равна нулю, тоТак как в начальный момент, т. е. при точки равна нулю, то£ = 0 относительная скоростьО；£ = 0 относительная скоростьО；следовательно:следовательно:
Так как в начальный момент, т. е. при точки равна нулю, то
Так как в начальный момент, т. е. при точки равна нулю, то
£ = 0 относительная скорость
О；
£ = 0 относительная скорость
О；
следовательно:
следовательно:
dz】 dtdz】 dt号=0，患=一叫号=0，患=一叫Интегрируя эти уравнения, находим:Интегрируя эти уравнения, находим:
dz】 dt
dz】 dt
号=0，患=一叫
号=0，患=一叫
Интегрируя эти уравнения, находим:
Интегрируя эти уравнения, находим:
Принимая во внимание, что в начальный момент г10 = 0,打。=0 и Zj()= /% находим, что
С& ~ С5 — 0 я Сй h.
А потому окончательно имеем:
Из первого уравнения следует, что относительная траектория точки лежит в вертикальной плоскости Oz^y^ Исключая г из второго и третьего уравнений, получаем уравиеине траектории
л ^1 —百弘—ah, или ^ — ^^ = 1.
Это есть уравнение прямой линии, отсекающей на осях 01gl и Од отрезки, равные — — и Л.
Пример 125. В кабине лифта, опускающейся с постоянным ускорением a <z g, подвешен простой (математический) маятник. Наити период малых колебаний этого маятника (рис. 317).
Решение. Чтобы найти относительное движение маятника, достаточно приложить к маятнику переносную
силу инерции Г^н, направленную по вертикали вверх и Рис 317. равную по модулю та, где m —масса маятника. Поэтому маятник относительно лифта будет двигаться так же. как он двигался бы в то& случае, если бы точка подвеса была неподвижна н если бы на него действовала вертикальная сила, равная по модулю л^? (g — а) и наиравлепная вниз (равнодействующая веса маятника Р и силы инерции F^H). Отсюда следует, что для
того, чтобы найти искомый период Т колебаний маятника, достаточно в пз- вестной формуле для периода колебаний простого маятника при неподвижной точке подвеса ускорение силы тяжести g заменить через g ——а, а потому
Г = 2л 1/ ——,
изменить на +<г. При свободном :FgH будут уравновешиваться:изменить на +<г. При свободном :FgH будут уравновешиваться:где I обозначает длину нити маятника. Если бы лифт поднимался с постоянным ускорением а, то переносная сила инерции F^ была бы направлена вниз, и
изменить на +<г. При свободном :FgH будут уравновешиваться:
изменить на +<г. При свободном :FgH будут уравновешиваться:
в предыдущей формуле нужно было бы ——а 】 падении лифта, т. е. при а = g, силы Р и
маятник, отведенный от вертикали иа любой угол, будет оставаться в относительном равновесии. Для наблюдателя, находящегося в кабине лифта, все окружающие тела в этом случае казались бы невесомыми (состояние не- ьесомости).
§ 119. Теорема о кинетической энергииматериальной точки в относительном движении
Мы видели, что дифференциальное уравнение (84) относительного движения материальной точки имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение движения точки относительно неподвижной системы отсчета; различие между этими уравнениями состоит лишь в том, что в уравнение относительного движения, кроме заданных сил и реакций связей, входят еще переносная и кориолисова силы инерции. С другой стороны, в главе 21 мы видели, что все общие теоремы динамики точки (теорема о количестве движения, теорема о моменте количества движения, теорема о кинетической энергии) являются следствием основного дифференциального уравнения динамики точки, выражающего второй закон Ньютона. Отсюда следует, что все эти общие теоремы применимы и к относительному движению точки, но понятно, что, применяя эти теоремы к относительному движению, мы должны принять во внимание переносную п кориолисову силы инерции. В частности, при решении задач, относящихся к относительному движению точки, нередко приходится пользоваться теоремой о кинетической энергии. При составлении уравнения, выражающего эту теорему в относительном движении, необходимо принять во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки. Но так как ускорение Кориолиса wh всегда перпендикулярно к относительной скорости и户 то 尸厂‘丄и「; следовательно, работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю, и эта сила в уравнение теоремы о кинетической энергии не войдет. Поэтому это уравнение в дифференциальной форме будет иметь следующий вид:
?）=（Xi +歹期 % + （Л +尸设）电+ （Zi +歹设）也.
Правая часть этого уравнения выражает элементарную работу сил F и FgH на относительном перемещении точки.
Пример 126. Гладкая криволинейная трубка произвольной формы вращается в горизонтальной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью V. В трубку положен шарик М массы т. Найти относительную скорость шарика “「，если известно, что в начальный момент шарик нахо
дится в точке Мо и его относительная скорость равна нулю (рис. 318).
Решение. Так как переносное движение есть равномерное вращение вокруг точки О, то переносная сила инерции точки М представляет собой центробежную силу и, следовательно,
理 н = т(о2г,
где 尸—ОМ. Сила инерции Кориолиса F'『 равна по модулю
mw^ = 2шсо%1)
и направлена перпендикулярно к относительной скорости (противоположно ускорению Кориолиса). Реакция трубки N направлена по нормали к трубке в точке М.
Для решения поставленной задачи проще
всего воспользоваться теоремой о кинетичевсего воспользоваться теоремой о кинетической энергии, которая применима и в относительном движении, если, помимо работы приложенных сил, учесть еще работу сил F^11 и 歹^" па относитель
всего воспользоваться теоремой о кинетиче
всего воспользоваться теоремой о кинетиче
ном перемещении точки. Так как силы。F^H и ^ перпендикулярны к относительной скорости, то их работа в относительном движении будет равна нулю. Остается подсчитать работу центробежной силы F^H на пути М^М. Проектируя силу 歹;н = т^г па подвижные оси Ох^^ связанные с трубкой, получим:
啮；=m«2^, F™ = Ш3力 2)；
элементарная работа этой силы в относительном движении находится по формуле (32) (см. § 107) и будет равна
方设d勺+耳猊①=ms? fe^i +弘壮弘）=^- d （若+负）=^~ dТЛ
Отсюда, интегрируя, получим работу центробежной силы на пути М0М：
Так как ось вращения трубки (ось переносного вращения) перпендикулярна к и「, то ускорение Кориолиса 切左=2(орг (см. § 91).
Проекции радиуса-вектора 尸 на подвижные оси равяы хг и ^.
Так как начальная относительная скорость шарика по условию равна нулю, то уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии в относительном движении, принимает следующий вид:
- t 一唠.
Отсюда находим:
Б. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
ГЛАВА 25
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 120. Механическая система. Связи
Механической системой материальных точекf или короче просто системой, в механике называется совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек, известным образом связанных между собой, так что движение каждой точки не является независимым от движения остальных точек.
Если все материальные точки системы являются свободными, т. е. могут иметь любые перемещения в пространстве, то связи, объединяющие точки в систему, обусловливаются только силами, с которыми эти точки действуют друг на друга; в этом случае мы имеем, следовательно, механическую систему свободных материальных точек. Примером такой системы может служить солнечная система, между членами которой действуют силы всемирного тяготения.
Если я;е положение и перемещения точек системы подчинены некоторым заранее даннгям условиям геометрического характера, то в таком случае мы имеем систему с геометрическими связями. Примером такой системы являются две материальные точки, связанные между собой твердым невесомым стержнем (или гибкой нитью). Такую же систему с геометрическими связями представляет собой абсолютно твердое тело, расстояния между точками которого остаются постоянными; такая система называется неизменяемой.
Геометрические связи могут быть выражены математически в виде уравнений между координатами точек данной системы. Так, например, для системы, состоящей из двух точек М】(х17 y】，zj и M2(z2, у2, з2), соединенных между собой твердым стержнем длины I, связь состоит в том, что расстояние между этими точками
остается постоянным, что может быть выражено, очевидно, следующим уравнением:
(今一々)2 + 仇—处)2 + 储2 — Z[)2 = /2.
Для кривошипно-тпатунпого механизма (рис. 319) будем иметь три уравнения связей между четырьмя координатами точек А (^, г/х)
и В (z2, у?) (пальца кривошипа и крейцкопфа); эта уравнения имеют следующий вид:
А + У\ — Г2 = 0,(工2 — &)2 + 仇—J/1)2 — /2 = 0,如=0.
В общем случае системы, состоящей из п материальных точек с Зп координатами, будем иметь s уравнений (уравнений связей) вида
/1 (勺，J/1:z1，…，2"，уn，z/ 一。,
/2 (①1，У\1 Z],…，£7v Уn，z”)= 0, .(89)
/s 3工，％,…，②乳，yn, z/ = О.
При этом число s должно быть меньше 3孔,так как при s = Зтг координаты всех точек системы определялись бы из уравнений (89) и, следовательно, имели бы некоторые постоянные значения, а потому система не могла бы двигаться.
Если в эти уравнения не входит время t, то связи называются стационарнъьми\ если же в число аргументов функций /г входит время 厶 то связи называются нестационарными. Уравнения нестационарных связей имеют, следовательно, вид
/1 (勺，勿，Z],..・,闷,Уп, 2П, £) = 0,
% ⑵，处，Z" …，хП, %г, 2几,方)=0, I(90)
/s (力I，Уз “i, • • •, £汽，Уn，^п» ^) — 0.
В дальнейшем в этой главе мы будем иметь в виду только стационарные связи.
Геометрические связи налагают некоторые ограничения на положение точек системы, так что это положение не может быть вполне произвольным. Математически это выражается в том, что не все Зп координат точек системы являются независимыми друг от друга, так как из s уравнений связей, т. е. из уравнений (89), мы можем s каких-нибудь координат (например, z15 х2, /?, ... , /§) выразить через остальные Зп ——$ координат. Таким образом, только Зп ——s координат можно рассматривать как независимые переменные, которые могут принимать произвольные значения; остальные s координат определяются из уравнений связей как функции этих независимых координат.
§ 121. Классификация сил, действующих па систему
Все силы, действующие на материальные точки данной системы, можно разделить на два вида: 1) заданные силы, выражения которых в зависимости от времени, положения движущихся материальных точек системы и от скоростей этих точек известны, так что для математического выражения этой зависимости нет надобности знать движение данной системы, и 2) реакции связей (если на систему наложены некоторые связи); например: реакция поверхности, но которой принуждена перемещаться данная материальная точка системы, реакция нити, которой связаны две точки системы, реакция шарнира, при помощи которого закреплено твердое тело, входящее в состав данной системы, и т. п. Эти силы заранее, до исследования движения системы, неизвестны (в некоторых случаях, как об этом говорилось в статике, можно заранее указать только направления этих реакций). С другой стороны, силы, действующие на материальные точки системы, можно еще классифицировать по другому признаку, а именно: различать силы внутренние, т. е. силы, с которыми материальные точки данной системы действуют друг на друга, и силы внешние, т. е. силы, с которыми действуют на данную систему тела или материальные точки, не принадлежащие к этой системе. Эта вторая классификация сил имеет, как увидим далее, важное значение в динамике системы.
Для солнечной системы, состоящей из Солнца, планет и их спутников, силы всемирного тяготения между членами этой системы являются внутренними силами; силы тяготения членов солнечной системы к звездам, пе принадлежащим к этой системе, являются силами внешними. Для движущегося поезда, рассматриваемого как одна система, его вес, нормальная реакция рельсов, трение колес о рельсы, сопротивление воздуха — все это силы внешние; давление пара в котле, давление вагонных буферов друг на друга, трение в подшипниках ——эти силы являются внутренними. Силы, с которыми действуют друг на друга мате-
ГЛ. 25. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 461 риальные частицы твердого тела, являются по отношению к этому телу внутренними силами.
Поскольку внутренние силы предста-вляют собой взаимодействия между материальными точками данной системы, эти силы согласно закону равенства действия и противодействия всегда попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
Если мы выделим из данной системы какую-либо часть ее и будем рассматривать эту часть как отдельную систему, то силы, являющиеся внутренними для всей системы, могут оказаться внешними по отношению к этой выделенной части. Например, для системы, состоящей из Земли и Луны, силы тяготения к Солнцу являются внешними силами.
Понятие возможного перемещения.
Число степеней свободы
Прежде чем перейти к динамике системы, рассмотрим сначала задачу о равновесии системы. Для решения этой задачи мы применим принцип, который впервые был сформулирован И. Бернулли н затем математически разработан в общем виде Лагранжем в его «Аналитической механике» г). Этот принцип, называемый принципом возможных перемещений, выражает в общем виде необходимое и достаточное условие равновесия механической системы.
Если на данную систему наложены геометрические связи, то благодаря этим связям некоторые перемещения для точек системы оказываются невозможными. Так, например, для системы, состоящей из двух точек, связанных нерастяжимой нитью данной длины I, невозможно такое перемещение этих точек, при котором расстояние между ними становится больше Z; для того чтобы осуществить такое перемещение, пришлось бы нарушить данную связь, т. е. обрезать нить.
Возможным перемещением данной системы называется всякое элементарное перемещение ее точек} допускаемое g данный момент наложенными на систему связями, или, другими словами, всякое элементарное перемещение точек системы, которое можно осуществить без нарушения наложенных на систему связей.
Рассмотрим сначала одну материальную точку, которая принуждена оставаться на данной неподвижной поверхности, заданной уравнением
/(Z, у, Z)= 0.
Из этого уравнения, представляющего собой уравнение связи, следует, что две координаты (например, / и у) могут иметь
工)Лагранж, Аналитическая механика, перев. с франц., т. 1, изд. 2-е, Гостехиздат, М., 1950.
произвольные значения, а третья координата будет функцией первых двух. Поэтому такая точка имеет две степени свободы.
Возможным перемещением для этой точки является всякое элементарное перемещение, при котором точка не сходит с данной поверхности. Представим себе, что точка переместилась по данной поверхности из положения М (z, у, z) в весьма близкое положение Mf (z + 6力,у + by, z + 6z). Так как точка М‘ лежит на данной поверхности, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой поверхности, и, следовательно, имеем равенство
/ (х + 6z, у + бу, z + 6z) = 0.
Развертывая левую часть этого уравнения в ряд Тейлора и отбрасывая все члены второго и выше порядка малости, получим:
/3, У, Z)+^52 + ^М+^52 = 0.
Но так как точка М также лежит на данной поверхности, то
/ (芻 У, z) = 0；
из этих уравнений приходим к равенству
亲工+ ^刖+办z = 0,(91)
левая часть которого представляет собой не что иное, как полный дифференциал функции / (瑞 у, z). Величины 6z, by, 6z, т. е. изменения координат точки М при ее возможном перемещении, удовлетворяющие уравнению (91), называются вариациями координат этой точки. Возможное перемещение точки М изображается вектором 6г, проведенным из точки М, проекции которого на координатные оси равны вариациям координат 6z, by, 6s этой точки'). Теперь нетрудно понять геометрический смысл равенства (91): если обозначим единичный вектор, направленный по нормали к данной поверхности в точке М (орт нормали), через /г, то проекции этого вектора на координатные оси будут равны направляющим косинусам нормали и, следовательно, будут пропорциональны частным производным —•, ~, ^ (см. § 112). Поэтому равенство (91) можно представить в виде”
п-Ьг= 0,
где левая часть ость скалярное произведение векторов п и 6г. Но равенство нулю скалярного произведения двух векторов выражает, как известно, условие перпендикулярности этих векторов.
Здесь г есть радиус-вектор материальной точки Л/, проведенный из начала координат, а 6г обозначает изменение (вариацию) этого радиуса-вектора дри возможном перемещении точки Л/.
Поэтому из равенства (91) следует, что вектор 6г перпендикулярен к нормали, т. е. лежит в касательной плоскости.
Таким образом, всякая система значений 6力，бу и 6z, удовлетворяющая уравнению (91), определяет возможное перемещение точки в рассматриваемом случае, или, что то же, всякое элементарное перемещение точкиу лежащее 6 касательной плоскости, является возможным.
Заметим еще, что возможное перемещение точки не есть непременно то действительное перемещение, которое точка фактически получает под действием приложенных к ней сил; возможное перемещение есть лишь воображаемое перемещение, одно из тех, которые может получить точка при наличии данной связи.
Рассмотрим теперь общий случай системы, состоящей из га материальных точек с s стационарными связями. Пусть уравнения связей будут:
/1 (勺，内，母,•・•, хп, уп, %) = О,
/2 (力口 I/ii Z],…，力冷，沙也，zQ = 0,
/3 (化工，y1，Z1力71，Уn1 zQ = S
Аналогично предыдущему, приравнивая нулю полные дифференциалы этих функций от 3几 переменных, получим s следующих уравнений:
篆物十2：м+許м +…+設
黑呢翁阮+需汕誤6得+
+券邮-册6zn = 0, 侬)
證呢1 +霊阪+需М ++北产" +
+巡"嘉6"0.
Всякое возможное перемещение данной системы аналитически определяется значениями вариаций 6%曾 6力,6^ (i — 1, 2, ..., n), удовлетворяющими этим уравнениям. Из s уравнений (92) мы можем s каких-нибудь вариаций выразить через остальные Зп——s вариаций; поэтому только Зп ——s вариаций являются независимыми, которые могут получать произвольные значения; остальные
s вариаций определяются из уравнений (92). Число независимых вариаций называется числом степеней свободы данной системы. Поэтому, если число степеней свободы обозначим через к, то & = Зм — s.
Совершенные связи
Если сумма элементарных работ реакций связей при всяком возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются совершенными. К таким связям относятся геометрические связи без трения, в чем нетрудно убедиться из рассмотрения следующих основных типов геометрических связей.
Материальная точка, находящаяся на гладкой неподвижной поверхности. В этом случае, как известно из предыдущего параграфа, реакция связи направлена по нормали к поверхности, а возможное перемещение точки лежит в касательной плоскости; следовательно, реакция будет перпендикулярна ко всякому возможному перемещению, а потому элементарная работа реакции будет равна нулю при любом возможном перемещении точки.
Твердое тело, опирающееся на гладкую неподвижную поверхность. В этом случае, так же
一как и в предыдущем, воз-
加можные перемещения точ-
,°/ки тела, в которой оно
£ /削屮 ^^夕касается поверхности, пер-
г"нпендпкулярны к реакции
поверхности в этой точке, а потому работа этой реак^ ^^^*=4%^ ции при всяком возможном
〃^*夕 перемещении тела, при ко
' Рис. 320.тором оно не отделяется от
поверхности, равна нулю.
Твердое тело, имеющее одну или две закрепленные то чк и. В этом случае точка приложения реакции связи остается неподвижной, и работа этой реакции при всяком возможном перемещении тела, очевидно, равна нулю.
Подв и жной шарнир, при помощи которого соединены два тела, например два стержня ОА и ОВ (рис. 320). Согласно закону равенства действия и противодействия реакции N п N этих тел друг на друга в точке О равны по модулю и противоположно направлены, т. е.
N'=—N, или N + Nf= 0;
сообщим точке О возможное перемещение 6г. Тогда элементарные работы сил 7V и 7V' будут соответственно равны N cos <р |дг| =
=N•” и № cos (180°—ф) ] 6r I = Nr • 6г. Складывая эти выражения, получим:
N•" + N'，M = (N + 八")，* = 0,
что и требовалось доказать.
Абсолютно твердое свободное тело. Такое тело представляет собой неизменяемую систему материальных
точек. Связи, наложенные на эту систему, выражаются в том, что расстояния между этими точками остаются постоянными. Покажем, что при всяком перемещении абсолютно твердого тела сумма элементарных работ внутренних сил, т. е. тех сил, с которыми действуют друг на друга материальные частицы этого тела, равна нулю. В самом деле, обозначим силы, с которыми действуют друг на друга две какие- нибудь частицы тела А и 8, через 居 и 鳥 (рис. 321).
По закону равенства действия и противодействия имеем: 居——F2. Сообщим телу какое-нибудь элементарное перемещение. Перемещения, которые получат при этом точки Л и 8, обозначим через Srt и Sr2. Разложим каждое
из этих перемещений на два составляющих перемещения, направленных по прямой АВ и перпендикулярно к ней. Обозначим перемещения, направленные вдоль АВ, через 6rj и 6了%. Так как расстояние АВ остается постоянным, то эти перемещения должны быть равны и по модулю, и по
Рис. 322.Рис. 322.направлению, т. е.
Рис. 322.
Рис. 322.
6rJ = 6儿
Если обозначим углы, которые образуют векторы 6rt и 6г2 с направлением 48, через 屮】и ф2, то 2X1 = I 必 I COS 屮1, II 竹2 I COS ф2.
Сумма элементарных работ сил 居 и 居，очевидно, будет равна
Л cos ф! I *11 —危 cos(р2 I 什2 I = =门6〃一%]6出=0,
что и требовалось доказать.
Связь, осуществляемая при помощи гибкой нерастяжимой нити. Пусть две материальные точки Мг и М2 связаны гибкой нерастяжимой нитью, проходящей через небольшое кольцо О (рис. 322).
Реакции нити 看 и 北，приложенные к точкам М】и М2, равны между собой по модулю, т. е. 7\ = Т2- Разложим каждое из возможных перемещений 6^ и 6г2 точек Мх и М2 на два составляющих перемещения, направленных вдоль цити и перпендикулярно к ней. Так как нить нерастяжима7 то составляющие перемещения Sri и 6г；, направленные вдоль нити, равны между собой по модулю, т. е. I 6г； I ~ |6尸；|・ Так же как и в предыдущем случае, убедимся, чтб сумма элементарных работ сил 7\ и Т2 выразится так:
Т.\^\~ 鎧|”』=О,
что и требовалось доказать.
Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, состоит в следующем:
Для того чтобы система с совершенными связями оставалась 6 данном положении в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней заданных сил при всяком возможном перемещении системы из этого положения равнялась нулю.
Мы покажем сначала, что это условие необходимо, а затем, что оно и достаточно для возможности равновесия системы в данном положении.
Доказательство необходимости.
Пусть в данном положении система находится в равновесии. Требуется доказать, что при всяком возможном ее перемещении из “этого положения сумма работ всех заданных
^**^^сил равна нулю.
v*^^Рассмотрим одну какую-либо материаль-
逢J^**^^ную точку М системы (рис. 323). Так как
"^^К "^^ эта точка (как и вес другие точки системы) 、夕 по условию находится в равновесии, то \ равнодействующая 7V реакций связей и равно- Рис. 323.действующая F всех заданных сил, прило
женных к этой точке, уравновешиваются; следователгьно, эти силы N s F равны по модулю и противоположны по направлению. Сообщим системе какое-либо возможное перемещение. Возможное перемещение, получаемое при этом точкой Мj обозначим через 6г, а угол между векторами 6г и F — через ф. Если элементарные работы сил F и 7V на этом перемещении обозначим соответственно через 64戶 и 64As то
ЬАр^ F cos ф |6г| = F-br, &An = N cos (180° — ф) |Sr | = N・ Sr.
Сложив эти равенства, получим:
6Лр + 6Л м = Г ” + N* 6г = (В + N) • Йгг
а так как 戶 + 7V = 0$ то 64尸 + 64м = 0，
Такие же равенства будем иметь и для всех остальных точек системы; сложив их, получим:
£64 + £64м = 0.
Но на основании сказанного в предыдущем параграфе о работе реакций совершенных связей имеем:
£6Ам = 0.
Поэтому приходим к равенству
£64 尸=0, которое и требовалось доказать.
Доказательство достаточности. Пусть сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, при всяком возможном ее перемещении из данного положения равна нулю т. е.”
£64 丁 0.
Покажем, что если при этом скорости всех точек системы в данный момент равны нулю, то система не сможет прийти в движение.Рис. 324.
Будем рассуждать от противного. Допустим, что система под действием заданных сил пришла в движение из состояния покоя, а следовательно, пришла в движение и точка М системы (рис. 324). Равнодействующую приложенных к ней сил F и N обозначим через Я. Наше предположение равносильно тому, что эта равнодействующая не равна нулю. Так как скорость точки М в данный момент равна пулю, то под действием силы R эта точка получит некоторое перемещение 6г, направленное по линии действия этой силы, и мы будем иметь:
6Л 尸 + 64 n =崑4 & = 7? 16r I〉0 i).
Написав для всех материальных точек системы такие же неравенства и сложив их, получим:
£ ЗА尸 + £64%〉0, но по свойству совершенных связей
工皿-0,
Работа равнодействующей на всяком перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении (§ 107).
а потому приходим к неравенству £64尸＞а
которое противоречит данному условию:
£ 64戶=0.
Следовательно, при этом условии система не сможет прийти в движение, что и требовалось доказать.
Таким образом, принцип возможных перемещений дает необходимое и достаточное условие того, чтобы данное положение механической системы являлось положением равновесия этой системы. Если в этом положении скорости всех точек системы равны нулю, то действующие на систему заданные силы будут уравновешиваться реакциями связей, и система в этом положении будет оставаться в равновесии.
Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, полученное условие равновесия можно представить в следующем виде:
2 (X 力々 + УМ 十 Z力 zj = 0,(93)
где X储 У- и Zi обозначают проекции заданных сил, действующих на систему, а 6力储 Ьуг и 6^ ——вариации координат точек системы (проекции возможных перемещений 6г^ на координатные осп).
Уравнение (93) называется общим уравнением статики.
Рассмотрим теперь примеры применения принципа возможных перемещений к решению задач статики.
Выведем из принципа возможных перемещений условие равновесия рычага. Пусть имеем твердое тело, закрепленное при помощи цилиндрического шарнира О и находящееся под действием системы сил 居,расположен-
Рис. 325. ных в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела (в плоскости чертежа, рис. 325). Сообщим телу возможное перемещение, т. е. повернем его вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, на произвольный элементарный угол 6ф. Точка 4] тела получит при этом перемещение 6г1? направленное перпендикулярно к ОАХ и равное по модулю ОАг • 6ф 1). Элементарная работа силы 爲,приложенной в этой точке, будет равна
641 = /\ cos аг |6^| = ^-O^i-cos at6q),
Вектор 6尸]направлен по касательной к дуге окружности, которую описывает точка Аи а его модуль равен длине этой элементарной дуги.
где сц ——угол между 居 и 6^. Если из тоаки О опустим на линию действия силы Fr перпендикуляр 力工，то
ht = ОАХ cos 5,
а потому
641 =招^祖中.
Но произведение F® представляет собой момент силы 居 относительно оси О; следовательно,
ЗА = то （居）6ф.
Сумма элементарных работ всех сил, приложенных к рычагу, выразится, следовательно, так:
』34 = £^о（居 2 屮=询£апо（居）.
Приравнивая эту сумму нулю, получим условие равновесия рычага:
6（р£^о（修）=О,
или, так как 6ср W О,
£m0（居）=0;
следовательно, для того чтобы в данном положении рычаг оставался неподвижным, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно оси вращения рычага равнялась нулю.
Пример 127. Найти условие равновесия кривошипно-шатунного механизма под действием горизонтальной силы Р, приложенной к ползуну В, и силы Q, приложенной к пальцу кривошипа Л и перпендикулярной к ОА （рис. 32®）.
Решение. Сообщив механизму возмояспоо перемещение и приравнивая нулю сумму работ сил Р и Q на этом перемещении, получим:
尸己汩一QGs^ = 0：
откуда находим:
Q
где 6sB и 3sа — модули возможных перемещений точек В и Л; при этом перемещение точки В направлено по прямой ВО, а перемещение точки / —— перпендикулярно к кривошипу 。/. Чтобы найти зависимость между б$А и bsp, построим мгновенный центр вращения С шатуна: он лежит на пересечении перпендикуляров АС и ВС к направлениям возможных перемещений точек Л и В. Эти перемещения пропорциональны расстояниям точек Л и В от мгновенного центра вращения шатуна, т. е.
6sB : 6sA = ВС : AC), а потому
Q ВС
Если обозначим угол АО В через ф, а угол наклопа шатуна — через 屮，то LCAB = <р + 屮 н LABC = 90° —屮.
Из трехугольника АВС по теореме синусов находим:
ВС — sin (<р + 屮) ' АС 一 cos 屮 * следовательно,
Q = sin (tp + 电 P — cos 屮"
Таково условие, которому должны удовлетворять силы Q и Р при равновесии.
Рассмотренную задачу можно было бы, конечно, решить и иначе, применяя методы статики твердого тела. Для этого нужно было бы составить уравнения равновесия для каждого звена механизма (кривошипа, шатуна и ползуна); при этом пришлось бы принять во внимание неизвестные реакции связей (реакции в шарнирах 4 и 8 и реакцию направляющих, в которых движется ползун). При решении подобного рода задач, где требуется найти зависимость между заданными силами, приложенными к данному механизму, при равновесии, преимущество метода возможных перемещений очевидно; этот метод позволяет исключить из рассмотрения неизвестные реакции совершенных связей, так как эти реакции в условие равновесия системы, выражаемое принципом возможных перемещений, не входят.
Пример 128. К рукоятке/В винтового пресса приложена пара (尸,一Р), лежащая в горизонтальной плоскости, причем силы этой пары направлены
1) Если обозначим угол поворота шатуна вокруг мгновенного центра вращения С через 6屮，то 務从=СЛ • 6屮 и 6$^ = СВ • 6屮，откуда и получаем написанную пропорцию.
перпендикулярно к АВ. Найти силу, сжимающую прессуемое тело, если шаг винта равен 九，а длина АВ = 2Z (рнс. 327).
системе возможное перемещение,системе возможное перемещение,Решение. Обозначим вертикальную реакцию сжимаемого тела,
системе возможное перемещение,
системе возможное перемещение,
приложенную к прессу, через N и дадим для чего поверием рукоятку АВ яа угол 6屮 по часовой стрелке (если смотреть сверху); при этом система кроме этого вращательного перемещения получит и поступательное перемещение, равное по модулю 6s и направленное по вертикали вниз. Уравнение, выражающее условие равновесия системы, будет иметь следующий вид:
2Р/ • 6屮一W • 6s = 0.
2Р1-^2Р1-^6s6sОтсюда
2Р1-^
2Р1-^
6s
6s
ношение:ношение:Найдем теперь зависимость между бф и 6s. Так как поступательное перемещение винта пропорционально углу поворота его вокруг винтовой оси, и так как винт при повороте на угол, равцый 2л, перемещается вдоль оси на расстояние, равное шагу Л, то имеем следующее соот
ношение:
ношение:
бф _ 6s 而=% ；
отсюда находим:
Подставляя это значение бф в предыдущее выра- н<ение для 7V, получаем:
Искомая сила, сжимающая тело, равна но модулю найденной реакции N.t 夕
Пример 129. Шарнирный шестиугольник, состоящий из равных стержней весом Р каждый,^ис* 32&
с закрепленным горизонтальным стержнем АВ расположен в вертикальной плоскости симметрично относительно вертикальной оси Оу, проходящей через середину ЛВ; он удерживается в равновесии вертикальной силой F, приложенной в середине нижнего горизонтального стержня /'3'. Найти модуль силы F (рис. 328).
Решение. Центры тяжести стержней шестиугольника обозначим через Сп С2т С3, С4, С\. Если ординату точки С3 обозначим через у?, а ординаты точек Ct и С2 — через yY и у?，то, как бпдно из чертежа, будем иметь:
13
弘=先=彳？/9и场h 力 =м?3,
где р4 и уз обозначают соответственно ординаты точек С& и С5.
Дадим стержню А,В, весьма малое поступательное перемещение по вертикали вниз; тогда ордината точки С3 получит приращение буз, а соответствующие изменения ординат (вертикальные перемещения) точек 6\, С?, С& и С5
будут равны-:
5/1 = 8% =玄 Мз и 3况=6% = % Вуз.
Приравнивая нулю сумму элементарных работ всех сил, приложенных к шестиугольнику, получим:
р(® + 阪 + 阪 ++ 6%)—下阪=а
илп
g賞(3尸一F) = 0, по 6% W 0, а потому 3尸一尸=0, откуда находим:g賞(3尸一F) = 0, по 6% W 0, а потому 3尸一尸=0, откуда находим:2尸学+2尸学 +"6物一f•浊=0,
g賞(3尸一F) = 0, по 6% W 0, а потому 3尸一尸=0, откуда находим:
g賞(3尸一F) = 0, по 6% W 0, а потому 3尸一尸=0, откуда находим:
ИЛИ
Г Л А В А 26
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
Дифференциальные уравнения движения системыв общем виде
Пусть имеем систему, состоящую из п материальных точек. Согласно сказанному в § 121 все силы, действующие на систему, включая и реакции связей, можно разделить па силы внешние и силы внутренние. Возьмем какую-нибудь точку системы, масса которой равна mk\ обозначим равнодействующую всех внепших сил, приложенных к этой точке, через Fpfe, а равнодействующую всех внутренних сил, приложенных к той же точке, через Fik\ ускорение этой точки обозначим через wh. Тогда, применяя второй основной закон динамики, получим:
W 曲=Feh +
Всего для данной системы будем иметь п таких уравнений (А = 1, 2,..., п). Проектируя эти п векторных уравнений^на координатные оси, получпм Зп дифференциальных уравнений вида
Х「а + X/，
Yeh + У4„ 佐=1,2,…，吟(94)
+ Z/
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в общем виде. Исходя из этих уравнений, а также пользуясь теми результатами, которые мы получили в динамике точки, мы докажем в этой главе общие теоремы динамики системы.
Теорема о количестве движения системы
Возьмем уравнения предыдущего параграфа
mhwh = Fph + 骂а (友=1, 2,叫
или, что то же, 叫暫=%+时，
или
^ (皎%) = Feh + £丸.
Сложив эти п уравнений, получим:
(индекс к для сокращения записи здесь опущен).
Если обозначим главный вектор всех внешних сил через Яе, то
£* =此・
Что же касается суммы всех внутренних сил, то эта сумма всегда равна нулю, так как внутренние силы, представляющие собой взаимодействия материальных точек данной системы, па основании третьего основного закона динамики всегда попарно равны по модулю и противоположны по направлению (§ 121). Следовательно, ££ = 0.
Так кан, кроме того, e糸(皿)=^£叫
где £ гт представляет собой главный вектор количеств движения материальных точек системы, то предыдущее уравнение принимает вид
^£ти = &.(95)
Величина £тпи, т. е. векторная сумма количеств движения материальных точек системы, называется количеством движения данной системы.
Если обозначим количество движения системы через К, т. е. положим
£ mv = К,
то уравнение (95) принимает вид
f =簿.06)
Уравнения (95) или (96) выражают следующую теорему:
Производная по времени от количества движения данной с〃~ стемъь равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.
Отсюда следует, что если А。= 0, то ^ = 0 и, следовательно, К — const, т. е. если главный вектор внешних сил все время равен нулю? то количество движения системы, остается постоянным.
Проектируя векторное уравнение (96) на координатные оси и принимая во внимание, что проекция производной от вектора К равна производной от проекции этого вектора (§ 65), получим:
d厶—о 4/ — A d"z ,Аd厶—о 4/ — A d"z ,А(97)(97)
d厶—о 4/ — A d"z ,А
d厶—о 4/ — A d"z ,А
(97)
(97)
Но из векторных равенств К = £тш? и R,=工吗 следует, что КХ = £т%, Ку = £т巧，Кг = £т%, 仆=£Х“ ％ = Rpz = S Zp,
а потому уравнения (97) можно переписать в виде
^ E^x=SXpl 必叫=2%，打叫=£么.(98)
Уравнения (97) или (98) выражают теорему о количестве движения системы в координатной форме, а именно:
Производная по времени от проекции количества движения системы на какую-нибудь неподвижную ось равна сумме проекций всех внешних сил на ту же ось.
Отсюда следует, что если £ Х「= 0, то
^工叫=0
и, следовательно,
£®〃 = К* = const,
т. с. если сумма проекций всех внешних сил на какую-нибудь неподвижную ось все время равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось остается постоянной.
Эти случаи сохранения количества движения системы или его проекции на данную ось имеют место, в частности, при отсутствии внешних сил.
Рассмотрим несколько примеров применения полученной теоремы.
Пример 130. Две вагонетки с массами nii и 〃％ Движутся по прямому горизонтальному пути со скоростями и】и iq (рис. 329), причем и】＞ v2. Предполагая удар при столкновении вагонеток неупругим, найти их общую скорость е после удара.
Решение. Внешними силами в данном случае являются веса вагонеток Р1H 鸟 и нормальные реакции рельсов; эти силы перпендикулярны к горизонтальной оси 力】).Следовательно, сумма проекций внешних сил
Рис. 329.
на эту ось равна нулю, а потому проекция количества движения системы на ту же ось будет постоянной, т. е. после удара будет оставаться той же, что и до удара; следовательно, имеем:
〃«% -J-"改内=(加1 + 〃?2)〃, откуда находим:
忆+叫) .
Пример 131. Из орудия, масса которого равна М, вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью и. Найти скорость и орудия после выстрела (скорость отката).
Решение. В данном случае, так же как и в предыдущей задаче, все внешние силы вертикальны 2). Следовательно, проекция количества движения системы на горизонтальную ось остается неизменной, т. е. остается равной нулю, так как до выстрела система неподвижна, а потому имеем:
Ми + mv = 0, откуда находим:
Знак минус указывает на то, что орудие откатывается в направлении, противоположном скорости снаряда.
Пример 132. Через изогнутую трубу, имеющую одно колено вертикальное, а другое — горизонтальное, протекает жидкость (рис. 330). Зная вес единицы объема жидкости у, площадь о поперечного сечения трубы у выхода и секундный расход жидкости Q, т. е. количество жидкости &о объему), вытекающее из трубы за 1 сек, определить горизонтальную слагающую общего давления жидкости на трубу.
Внешней силой трения колес о рельсы пренебрегаем; силы же давления вагонеток друг на друга, развивающиеся при ударе, являются внутренними силами.
Силы давления пороховых газов в канале орудия являются для данной системы внутренними силами.
Решение. Рассмотрим жидкость, заключенную в объеме ABCD. Обозначим реакцию стенок трубы на эту жидкость в горизонтальном направлении через Ny. Искомая горизонтальная сила давления жидкости на трубу будет равна по модулю этой реакции Nx. Применяя теорему о количестве 'движения к рассматриваемому
объему жидкости, получим:
Найдем сначала величину d 工 mbx, т, е. элементарное изменение проекции на ось 力 количества движения рассматриваемой жидкости за время dt. За это
время сечеппе струп АВ перейдет ab, а сечение CD в положение cd.
в положение переместитсяв положение переместитсяПредполагая движение жидкости установив^имея, т. е. предполагая, что распределение скоростей в жидкости с течением времени не изменяется, нетрудно видеть, что искомое изменение проекции количества движения жидкости за время dt будет равно разности проекций на горизонтальную ось z количеств движения жидкости, заключенной в объемах CDcd к АВаЬ\ но проекция на горизонтальную ось 力 количества движения жидкости, заключенной в объеме АВаЪ, очевидно, равна нулю, так как скорость 中】 в сечении АВ вертикальна; следовательно,
в положение переместится
в положение переместится
d^mvx = b2""电，
где dm% обозначает массу жидкости в объеме CDcd, а ра ——скорость жидкости в выходном отверстии трубы. Так как вес жидкости, заключенной в объеме CDcd, равен yQ 阳 то
dm^ Q dt
nt следовательно,
d£ трд. — ~ Qg d九
ggQ也,Q也,Отсюда
g
g
Q也,
Q也,
а потому
g
Но Q = D。，откудаНо Q = D。，откуда乙乙QQ(У(У
Но Q = D。，откуда
Но Q = D。，откуда
乙
乙
Q
Q
(У
(У
YQ：YQ：п, следоваюльио,
YQ：
YQ：
Теорема импульсов
В предыдущем параграфе мы получили уравнение
выражающее теорему о количестве движения системы. Умножая обе части этого уравнения на 成，получим:
dK= ££・由.
Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до Z, находим:
K-K0^S^Fedt.
Векторный интеграл 、兄 dz представляет собой, как известно из б
§ 105, импульс внешней силы *; если обозначим этот импульс через Sp, т. е. положим、尸$ d£ = 5Р, то предыдущее уравнение принимает вид'
K一及=££.(99)
Это уравнение выражает теорему импульсов： изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Проектируя обе части предыдущего векторного уравнения на координатные оси, получим три равносильных ему скалярных уравнения :
Kr — Kqx = £ S「* = ] , Xe dt,
Ку~Кйу = ^8еу = ^Уе^,(100)
О
Kz-k°z = £S°z =工卜 成，
выражающих теорему импульсов в координатной форме: изменение проекции количества движения системы на какую-нибудь неподвижную ось равно сумме проекций импульсов всех внешних сил на ту же 0cb.
Теорема о движении центра масс системы
Пусть данная система материальных точек находится в поле силы тяжести. Обозначим веса этих точек через 尸互,их массы ——через mk и их координаты —— через xh, yk, zk (友 = 1, 2,3,..., n).
Распространяя известные из статики формулы для координат центра С параллельных сил 旦,приложенных к твердому телу, на изменяемую систему материальных точек, будем иметь:
с — FA ' yc 一 FK"'с — FA ' yc 一 FK"'Zc =Zc =£_尸在2互£_尸在2互
с — FA ' yc 一 FK"'
с — FA ' yc 一 FK"'
Zc =
Zc =
£_尸在2互
£_尸在2互
Эти формулы определяют положение точки С, которая называется центром тяжести данной изменяемой системы материальных точек. Если в этих формулах вес Pk заменим через m^g, то получим:
£ mhgxk 工 mhgyk S mkgzkXG^^F' %=前£，辽=屮仁,
или (вынося за скобку общий множитель g и опуская индекс /с):
3为小 ус=7^，zc^e^.
Сокращая правые части этих формул на множитель g и обозначая ^т, т. е. общую массу всей системы, через М, получим:
УсУс£ my£ myzczc£ mz" w£ mz" w(101)(101)
Ус
Ус
£ my
£ my
zc
zc
£ mz
" w
£ mz
" w
(101)
(101)
Эти формулы определяют точку С, положение которой уже не зависит от сил, действующих на систему, а зависит лишь от положения материальных точек данной системы и от их масс. Поэтому такая геометрическая точка С, координаты которой определяются по формулам (101), называется центром масс системы.
Из сказанного следует, что в том случае, когда система находится в поле силы тяжести, центр масс этой системы совпадает с се центром тяжести. Таким образом, понятие центра тяжести является частным случаем по отношению к понятию центра масс. Центр* тяжести существует только для системы, находящейся в поле силы тяжести, тогда как положение центра масс можно найти по формулам (101) для любой системы независимо от сил, действующих на материальные точки этой системы.
Из формул (101) имеем:
£加力=Мхе, £ту = Мус, ^mz — Mzc. (102)
Дифференцируя эти равенства по t, получим: dx dxrdy < dyc
£m# = Mr, ^m~di = МЧГ' £川万=〃丁，
илиилиMvcx— Smvx, М&с尸 ^mvy, MvGz = Smrz. (103)
или
или
Здесь 05 г；су и %z обозначают проекции скорости и。，с которой движется точка С, т. е. центр масс системы.
Согласно сказанному в § 126 равенства (103) можно представить в следующем виде:
М Vqx = “笈,MVcy ~ К у, М Vqz ~ Kz,
где Кх, Ку и Kz обозначают проекции количества движения системы на координатные оси. Из полученных равенств между проекциями векторов Mvc и К вытекает равенство этих векторов; следовательно,
Mvc = К = £ тг,
(104)(104)т. е. количество движения системы равно (по модулю и по направлению) количеству д&ижения центра масс этой системы, если предположить, что g этом центре сосредоточена вся масса системы.
(104)
(104)
Уравнение (104) позволяет найти скорость и。 центра масс системы, когда скорости всех материальных точек системы известны, и, обратно, позволяет весьма просто найти количество движения системы К, когда скорость % известна. Дифференцируя это уравнение по Е, получим;
而с dK
М~1Г = К・
dvcНо производная 万dvcНо производная 万есть ускорение wc точки С, т. е. ускоре-
dvc
Но производная 万
dvc
Но производная 万
иие центра масс системы. Кроме того, по теореме о количестве движения системы (§ 126) имеем:
需=纥=£居.
Поэтому предыдущее уравнение можно представить в виде
Mwc =£/；•(105)
Проектируя это векторное уравнение на координатные оси, получим:
MwCx = S^e, М^Сун£Уе，MwCz = 2 ^е»
ИЛИ
"雪= £Х“ /争=£%，m警=£2(106)
Уравнения (106), представляющие собой, очевидно, дифференциальные уравнения движения материальной точки С(£с,Ус, zc) с массой Му выражают теорему о движении центра масс системы: центр масс всякой системы движется так же, как материальная
точка, масса которой равна массе всей системы и к ко торой приложены все внешние силы, действующие на эту систему.
Из этой теоремы следует: 1) внутренние силы не влияют на движение центра масс системы； 2) если внешние силы отсутствуют, то центр масс системы движется как материальная точка в том случае, когда на нее не действуют никакие силы; следовательно, он или остается неподвижным или движется прямолинейно и равномерно.
Доказанная теорема часто позволяет находить движение центра масс системы, хотя движение отдельных ее точек может быть при этом неизвестно. Теорема эта имеет многочисленные применения.
Рассмотрим несколько примеров.
При полете снаряда единственной внешней силой является сила тяжести (если пренебречь сопротивлением воздуха). Поэтому центр тяжести снаряда движется так же, как материальная точка под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве; он описывает, следовательно, параболу. Если во время полета снаряд разрывается, то действующие при взрыве силы являются силами внутренними; они не могут изменить движения центра тяжести снаряда; поэтому хотя после взрыва осколки снаряда летят по разным направлениям, но их общий центр тяжести продолжает двигаться по той же самой параболе (до тех пор, конечно, пока хотя бы один из осколков не упадет на землю).
Представим себе человека, стоящего на совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Внешними силами для системы, которую представляет собой человек, являются его вес и нормальная реакция опорной плоскости; они направлены по вертикали. Поэтому если вначале человек стоит неподвижно, то внешние силы могут переместить его цеттр тяжести только по вертикальному направлению (человек может, например, подпрыгнуть). Но горизонтальные перемещения для его центра тяжести невозможны. Следовательно, хождение по такой совершенно гладкой плоскости оказалось бы для человека невозможным; в действительных условпях оно возможно только благодаря внешней горизонтальной силе трения, развивающейся между опорной плоскостью и подошвами человека.
Точно так же движение поезда возможно только благодаря силе трения между рельсами и ведущими колесами паровоза. На совершенно гладких рельсах центр тяжести поезда оставался бы неподвижным или перемещался бы только по вертикали (при вертикальных колебаниях вагонов).
Пример 133. Кузов вагона весом Р, укрепленный на рессорах, совершает вертикальньье гармонические колебания с амплитудой。и периодом Т около положения равновесия. Найти реакцию рессор.
Решение. Пусть О есть положение центра тяжести кузова вагона при равновесии и С ——смещенное положение центра тяжести в некоторый момепт при колебании вагона. Обозначим ординату ОС центра тяжести через Ус，причем ось у направим по вертикали вверх. Искомую вертикальную реакцию каждой двойной рессоры обозначим через
По условию задачи движение точки С определяется уравнением
У0= ° sm [号-少
Отсюда находим:
4盯2a不Г sin4盯2a不Г sin心уe或2.
4盯2a
不Г sin
4盯2a
不Г sin
По теореме о движении центра масс (центра тяжести) имеем:
d2yr4冗2"f = 2…皿一丁"sind2yr4冗2"f = 2…皿一丁"sin22V - Р22V - Р
d2yr4冗2"
f = 2…皿一丁"sin
d2yr4冗2"
f = 2…皿一丁"sin
22V - Р
22V - Р
где М — масса кузова; отсюда, заменяя М через P]g, находим: N =sm
Отсюда видим, что паимеиьшее и наибольшее значения силы N равны
〃мин = 20 — gT2 ) и “макс = 2 [' ^~gT2 一丿
sinsin± 1.± 1.при
sin
sin
± 1.
± 1.
§ 129. Теорема о кинетическом моменте системы
Пусть имеем систему п материальных точек; рассмотрим одну какую-нибудь из этих точек. Обозначим массу этой точки через ^包， а ее скорость ——через гА, внешнюю и внутреннюю силы, действующие на эту точку, обозначим, как и выше, соответственно через Fek и 骂％ По теореме о моменте количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной точки О (например, начала координат), доказанной в § 106, имеем:
^■册0 W庐а) = т0(GQ + m0(Fih).
Написав аналогичные уравнения для всех материальных точек данной системы и сложив их, получим:
£ ^ 矶＞ (mv) = ^т0 (Q) +^т0 (£).
Обозначим ^ т0 {F^, т. е. главный момент внешних сил относительно точки О, через М^; далее заметим, что £^о (骂)==0, так как внутренние силы попарно равны по модулю и прямо противоположны по направлению, и следовательно, главный момент этих сил относительно любой точки будет равен нулю. Так как, кроме того,
24то (砌=^ W 矶(mr),
18 П. М. Воронков
то предыдущее уравнение принимает вид
^то (mr) = vmo(гр).(107)
Если обозначим сумму Vmo (тг), т. е. главный момент количеств движения материальных точек системы относительно центра О, через ", то уравнение (107) можно представить в виде
dLo
丁 = М^.(108)
Вектор £о — ^то (nw), т. е. главный момент количеств движения материальных точек системы относительно центра О, называется кинетическим моментом системы относительно этого центра О.
Уравнения (107) или (108) выражают теорему о кинетическом моменте системы: производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной точки равна главному моменту внешних сил, действующих на эту см- с"比му, относительно той же точки.
Выразим теперь эту теорему в координатной форме. Для этого напишем для одной какой-нибудь материальной точки данной системы уравнение, выражающее теорему о моменте количества двшкения этой точки относительно координатной оси。况；согласно сказанному в § 106 будем иметь:
^ % (^卢力)=^支(гА) + mх (Flh).
Напишем, далее, аналогичные уравнения для всех остальных материальных точек системы и сложим их. Замечая опять, что сумма моментов всех внутренних сил Flk относительно любой оси равна нулю и что
IМ % (硝=壯 ％ (М.
ИОЛУ'ГИМ：
% (т) = £%(*)•
Присоединяя сюда два таких же уравнения относительно осей у и £, получим следующие три уравнения:
^ £ тх (m0 = S^x (Fp),
^ £ ту (加)=£ ту (Ff), •(109)
鼠ёf (mv) = £乙(尸J. !
Сумма моментов количеств движения или, что то же, главный момент количеств движения материальных точек системы относи-
тельно данной оси называется кинетическим моментом системы относительно этой оси.
Следовательно, если обозначим кинетические моменты системы относительно координатных осей 胃，沙，z соответственно через Lx, Ly и то будем иметь:
厶=£ mx(mv), & = £ my{mv),厶=£ 忆(™0・
Суммы, стоящие в правых частях уравнений (109), представляют собой главные моменты внешних сил относительно осей 况，у п z. Если обозначим эти главные моменты внешних сил соответственно через М^\ М^\ М^\ то уравнения (109) можно написать короче в таком виде:
学="<% 学=m⑹，= М^.(110)
dt к '办 п ' dt z'
Уравнения (109) или (110) выражают теорему о кинетическом моменте системы в координатной форме: производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему ? относительно той же оси.
Отметим некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы.
Пусть
м^ = о；
тогда
и, следовательно,
Lq = const,
е. если главный момент внешних сил, действующих на систему, относительно данной неподвижной точки все время равен нулю, то кинетический момент системы относителъно той же точки остается постоянным.
2. Пусть
"^ = £%(Ю н о；
тогда.
卷=铝%(加)=0
и, следовательно,
厶工=£ 小課(^и) = const,
т. е. если главный момент внешних сил, действующих на систему, относительно данной неподвижной оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно той же оси остается постоянным,
16*
Эти случаи сохранения кинетического момента системы имеют место, в частности, при отсутствии внешних сил. В случае отсутствия внешних сил кинетический момент системы относительно любой неподвижной точки или любой неподвижной оси
остается неизменным.
Применим теорему о кинетическомПрименим теорему о кинетическоммоменте системы к случаюмоменте системы к случаюнеподвижной оси z твердого тела, находящегося под действием системы заданных сил Fk (рис. 331).
Применим теорему о кинетическом
Применим теорему о кинетическом
моменте системы к случаю
моменте системы к случаю
Разобьем данное твердое тело на элементарные материальные частицы, обозначим массу одной из таких частиц Л через т. ее расстояние от оси вращения обозначим через г и ее скорость через с; угловую скорость тела обозначим через со. Составляя сумму моментов количеств движения всех таких элементарных частиц тела относительно оси вращения z и принимая во внимание, что г = гсо, будем, очевидно, иметь:
Е m2 (mr) = £ mrr = £ mr2s = s £ mN.
丄Z = £ 加工("2U)= 'з丄Z = £ 加工("2U)= 'з(Ш)(Ш)рис< зз1. Величина Smr2, т. е. сумма произведений массы каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси 2, называется моментом инерции тела относительно этой оси и обозначается через 厶.Эта величина играет очень важную роль в динамике твердого тела '). Таким образом, имеем:
丄Z = £ 加工("2U)= 'з
丄Z = £ 加工("2U)= 'з
(Ш)
(Ш)
т. е. кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости тела на момент инерции его относительно этой оси.
Применяя теперь теорему о кинетическом моменте системы, получим следующее уравнение:
甯=融小)=£М"2)，или 厶芻=£w⑺.(112)
Уравнение (112) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Ин-
О моментах инерции и способах их вычисления мы будем подробнее говорить в главе 28.
立)Неизвестные реакции закрепленных точек Он。' (подшипников), через которые проходит ось вращения тела, в это уравнение не войдут, так как их моменты относительно этой оси равны нулю.
тегрируя это уравнение, найдем угловую скорость тела со. Из этого
уравнения имеем:уравнения имеем:do _ —或一 一do _ —或一 一(113)(113)
уравнения имеем:
уравнения имеем:
do _ —
或一 一
do _ —
或一 一
(113)
(113)
т. е. угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно сумме моментов всех приложенных к нему сил относительно оси вращенияу разделенной на момент инерции тела относительно той же оси.
Если сумму £z^z (?), т. е. главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения z, обозначим через Mz, то предыдущее равенство принимает вид
(113')
Эта формула показывает, что при данном моменте Мz угловое ускорение тела обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения; отсюда становится понятным физическое значение величины 丿之.Мы можем рассматривать момент инерции как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг данной оси.
Если представим момент инерции тела относительно данной оси z как произведение массы М тела на квадрат некоторой длины, которую обозначим через г}, т. е. положим
(="(啜)2,
то величина г,〔 называется радиусом инерции тела относительно данной оси z. Радиус инерции будет определяться, следовательно, по формуле
Из равенства Jz = М(г^}2 следует, что радиус инерции представляет собой расстояние от данной оси такой точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции этой сосредоточенной массы был равен моменту инерции тела относительно данной оси.
Пример 134. На шкив радиуса 尸 весом Q, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси О, навернута веревка, к концу которой подвешен груз весом Р (рис. 332). К шкиву приложен вращающий момент, равный Л/вр г). Принимая, что масса шкива равномерно распределена по его окружности (рассматривая шкив как материальную окружность), найти ускорение и? поднимаемого груза.
То есть приложена пара с моментом Л/вр или сила, вращающая шкив, момент которой относительно оси вращения шкива равен Л/вр
Решение. Обозначим через t/ линейную скорость одной из точек окружности шкива, равную по модулю скорости груза г, и составим кинетический момент данной системы (груза и шкива) относительно оси вращения О (относительно оси, проходящей через О и направленной перпендикулярно к плоскости чертежа).
Тогда будем иметь:
- vr Е tn,
где m обозначает элементарную массу материальной частицы шкива; так к ;к Ew есть масса шкива, равная то
L。Т (尸+ Q)，
Главный момент внешних сил, действующих на данную систему относительно юй же оси О, будет, очевидно, равен
此，=—Q + 〃вр
(моментом силы трения в подшипниках пренебрегаем).
Применяя теорему о кинетическом моменте системы, получаем:
/〃)，、厂dv
丁 = М^ или -- (Р +Q) ~ =明р— Рг.
Отсюда находим искомое ускорение груза:
dvЛ/вр- Рг
否=0 = 7lP『T g・
Пример 135. Определить угловое ускорение шкива, зная радиус вшива R, его вес Р, радиус инерции 片值 относительно оси вращения и силы /\ и 居,передаваемые шкиву от ремня, при помощи ・"/ 11которого шкив приводится в движение (рис. 333).
夕 ( L?Решение. Для решения этой задачи восполь-
/ i\ з\ем「я формулой (ИЗ') для углового ускорения вра-
I^^)I щающо! ося тела. В этой формуле в данном случае
у ［丿 / пужио положить:
［丿П厶=尸盘一/R = R (尸1 一 FJ
рпе. 333.办二力/喩二匕/「
Подставив эти значения в формулу (113'), найдем угловое ускорение шкива
Пример 136. На рис. 334 изображена упрощенная схема центробежного регулятора. С горизонтальным стержнем АВ = 2а, который может вращаться вокруг вертикальной оси z, соединены при помощи шарниров два вертикальных стержня АС и BD равной длины Z; к этим стержням прикреплены одинаковые грузы С и D весом Р каждый. Вначале грузы связаны нитью и системе сообщена данная угловая скорость s。. В веко-
торый момент нить пережигают. Найти угловую скорость со стержня //6 в тот момент, когда стержни АС и BD отклонятся от вертикали на данный угол а. Массой стержней пренебрегаем.
грузов и реакции подшипника и подпятника, в которых вращается вертигрузов и реакции подшипника и подпятника, в которых вращается вертиРешение. Внешними силами для данной системы являются веса
грузов и реакции подшипника и подпятника, в которых вращается верти
грузов и реакции подшипника и подпятника, в которых вращается верти
кальная ось регулятора; моменты
этих сил относительно оси n равны нулю; следовательно,
此㈠=0, а потому на основании второго следствия из теоремы о кииети- иеском моменте имеем:
Lz = £ f (wr) = const.
Вначале, когда система вращается С угловой скоростью 0)(1, линейные скорости ис и uD грузов равны аз。，а сумма моментов количеств движения грузов относительно оси z, очевидно, будет равна 2a2о)о"2, где т обозначает массу каждого груза.
В тот момент, когда угол отклонения стержней АС и BD
от вертикали равен а, радиус
вращения грузов становится, как видно из чертежа, равным 。十 £ sin а; их линейная скорость будет равна (о + 2 sin а) о, а сумма моментов количеств движения грузов относительно оси z бупет равна
2 (а + 2 sin а)2 ют.
Так как эта сумма во все время движения остается постоянной, то 2 (а + 2 sin а)2 от = 2а2о)о/п
Отсюда па ходим искомую угловую скорость:
3 = (a +；sin а)а W° < "%，
§ 130. Теорема о кинетической энергии системы
Пусть имеем систему, состоящую из п материальных точек. Рассмотрим одну из этих точек, массу которой обозначим через т^ и скорость ——через %.
До сих пор, говоря о силах, приложенных к материальным точкам данной системы, мы разделяли их на силы внешние и силы внутренние; теперь будем классифицировать силы, действующие иа материальные точки системы, по другому признаку, а именно: будем различать силы заданные и реакции связей (§ 121).
Обозначим равнодействующую всех заданных спл как внешних, так м внутренних, приложенных к рассматриваемой точке системы, через 瑞声 равнодействующую реакции связей, приложенных к этой
точке, —— через N* Напишем для этой точки уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме, доказанную для 0Tlдельно立 материальной точки в § 108: дифференциал кинетической энергии движущейся материальной точки равен сумме элементарных работ всех сил, приложенных к этой точке.
Следовательно, будем иметь:
^ Fh-Vhdt + Nh-% dt-
Написав аналогичные уравнения для всех материальных точек системы и сложив их, получим:
dw粤=2ь.。成+ £N，u山.
системы, называется живой силой или кинетической энергией данной систему мы будем обозначать ее буквой Т; следовательно,
Т = У ^ . Сумма элементарных работ реакций связей, как мы ви
(114)(114)дели в § 123, в случае стационарных связей без трения при всяком перемещении системы, допускаемом этими связями, равна нулю. Поэтому E7V・u 山=0, и предыдущее уравнение принимает вид •
(114)
(114)
dT ~ ^F-v 山.
Интегрируя это уравнение по переменному t в пределах от 0 до t, получим:
(115)(115)Т—北—^^ F-v dt, или T —北=£4修
(115)
(115)
где Х4尸 есть сумма работ заданных сил при перемещении системы из ее начального положения в рассматриваемое положение, соответствующее моменту Z, а То обозначает кинетическую энергию системы в начальный момент, т. е.
w吧
Равенство (115) выражает теорему о кинетической энергии системы:
При стационарных связях без трения изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех заданных сил^ действующих на эту систему} как внешни岔, так и внутренних.
Мы видим, таким образом, что з случае стационарных связей без трения е уравнение, выражающее теорему о кинетической анергии^ реакции связей не входят, так как работа их равна нулю.
В связи с этим следует обратить внимание на различие между уравнением (115) и уравнениями, выражающими общие теоремы динамики системы, рассмотренные в предыдущих параграфах. Как мы видели выше, в уравнения, выражающие теоремы о количестве движения, о движении центра масс и о кинетическом моменте системы, внутренние силы не входят, но реакции связей, если они относятся к внешним силам, из этих уравнений не исключаются; в уравпение же, выражающее теорему о кинетической энергии системы, внутренние силы войдут, так как работа внутренних сил вообще не равна нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий простой пример: пусть имеем систему, состоящую из двух материальных точек, притягивающихся по какому угодно закону (например, по закону Ньютона). Силы взаимного притяжения этих точек являются для рассматриваемой системы внутренними силами; эти силы равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей данные точки, в противоположные стороны. Ясно, что если под действием этих сил точки будут сближаться, то работа каждой силы будет положительна и, следовательно, сумма работ внутренних сил не будет равна нулю, а будет больше нуля.
В том случае, когда наложенные на систему связи не являются совершенными, т- е. когда трением пренебрегать нельзя, приходится учитывать работу сил трения и, применяя теорему о кинетической энергии, в правую часть уравнения (115) в этом случае нужно включить работу сил трения.
Применяя теорему о кинетической энергии в задачах, относящихся к динамике системы, очень часто приходится вычислять кинетическую энергию движущегося твердого тела; найдем выражения для кинетической энергии твердого тела в следующих двух основных случаях:
Тело движется поступательно. Так как скорости всех точек тела при поступательном движении равны между собой, то в этом случае имеем:
где М = Sm есть масса данного тела. Следовательно, в случае поступательного движения твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.
Тел о вращается вокруг неподвижной о с и z с угловой скоростью со. Элементарная частица тела, находящаяся на расстоянии г от оси вращения z, имеет скорость, равную по модулю г = е
Следовательно, кинетическая энергия тела равна
_ V wp2 、加川載 (оа V е
=л Ътг，
ИЛИИЛИ(И7)
ИЛИ
ИЛИ
где J? ^ 2mr2 есть, как известно, момент инерции тела относительно оси z. Итак, кинетическая энергия твердого тела, вращаю-
Рис. 335.Рис. 335.щегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угловой скорости тела на момент инерции его относительно оси вращения.
Рис. 335.
Рис. 335.
Пример 137. На шкив весом Р3 и радиуса R, вращающийся вокруг горизонтальной оси О, навернут канат с двумя грузами весом 尸i и Р2 на концах (рис. 335), причем А】＞ Р2- Зная радиус инерции гин шкива относительно оси вращения, найти ускорение грузов, если система находится под действием только сил тяжести. Массой каната и сопротивлениями пренебрегаем.
Решение. Если обозначим скорость на окруж- пости шкива, равную по модулю скорости грузов, через р, а угловую скорость шкива через о, то кинетическая энергия данной системы (двух грузов и шкива) будет равна
7 =趴2 +趴"兵。*
где Jo обозначает момент инерции шкива относительно оси вращения О, причем
Кроме того,
откуда
У = /g,У = /g,я ；
У = /g,
У = /g,
подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим:
W 伍+ % + % 賢).
Пусть в начальный момент система была неподвижна; тогда 7ТО — 0, Работа заданных сил, приложенных к данной системе, т. е. сил Pt и Р2, равна
А = P]S — &s 1), где s ——длина пути, пройденного каждым грузом. Применяя теорему о кинетической энергии системы, получаем уравнение
点((鬲 + 3 + 嗡;)=(a - PJ S,
откуда можно найти скорость грузов р. Для определения искомого ускорения w достаточно продифференцировать это уравнение по времени; после
Работа силы 后，очевидно, равна пулю, так как эта сила приложеиа в неподвижной точке О.
этого получим：
V /\ duds
+P^ + P^Ri]^i-仍1 - 2)疝・
—ds
Принимая во внимание, что 应=ь 底 что искомое ускорение грузов равно dv
^£ , из предыдущего уравнения находим:
如一=月]—p2
Пример 138. В примере 135 (§ 129) найти угловое ускорение шкива, применяя теорему о кинетической энергии системы.
Решение. Применяя уравнение (114) и заметив, что сумма элементарных работ сил F* и 尸2, приложенных к шкиву, равна
F^ds —/ds =(尸 1 —/) ds, получим:
dT =(/一下2)厶
Кинетическая энергия шкива равна
отсюда
р
dT — ?尸tZw.
Поэтому предыдущее уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме, принимает вид
~ 片н© do —(耳1 —歹2)ds.
Ho ds =沙• d% где у есть скорость на окружности шкива, причем и = Ко и, следовательно, ds = Яо dt. Подставляя это значение ds в предыдущее уравнение, получим:
^ 片н® d® = (/ —/) Но 丸
Отсюда находим угловое ускорение шкива:
а —— 3(吊一/)g
Теорема о кинетической энергии системы играет важную роль в общей теории машин. Как известно, при работе всякой машины приходится преодолевать так называемые полезные и вредные сопротивления. Если обозначим работу двигателя (мотора), приводящего машину в движение, через Лм, а абсолютные значения работ полезных и вредных сопротивлений обозначим соответственно через Л пол и Лвр, то, применяя теорему о кинетической энергии системы, получим:
АТ = Лм—Лцол—ЛВр,(118)
где АТ обозначает изменение кинетической энергии движущихся частей машины за некоторый промежуток времени г). В период пуска машины в ход ее кинетическая энергия возрастает, поэтому АТ〉0, п следовательно, в течение этого периода на основании уравнения (118) имеем:
4 M〉* 4 ПОЛ + 4вр・
Наоборот, при торможении машины АТ<0 и, следовательно, в этом случае
4M < ^ПОЛ + 4вр・
Наконец, прп установившемся движении машины скорости ее движущихся частей остаются (в среднем) постоянными; точнее, по истечении некоторого определенного промежутка времени, равного, например, времени одного оборота главного вала, эти скорости вновь получают свои первоначальные значения; поэтому за этот промежуток времени остается неизменной и кинетическая энергия Т; следовательно, в этом случае имеем:
АТ = О и
4M = 4口0以 + 4вр・(119)
Отношение полезной работы к работе, произведенной двигателем, называется коэффициентом полезлого действия машины и обозначается обычно буквой п； следовательно,
小 пол
Из уравнения (119) следует, что Лм〉Лпол, а потому п < 丄
Величина работы, произведенной двигателем за промежуток времени Е, является некоторой функцией переменного £, т. е. Л = /«). Работа, отнесенная к единице времени, т. е. производная 需,называется мощностью двигателя^ следовательно, обозначая мощность через N} имеем:
% =得・(121)
Из этой формулы следует, что размерность мощности выражается так: [N] = [ %；；：： I • В технической практике мощность обычно измеряется в лошадиных силах или в киловаттахt причем i л. с.= = 75 кгм^сек и 1 киловатт = 102 кгм}сек.
1) В уравнении (118) члены Лпол и Лвр берем со знаком минус, по* тому что работа сопротивлений всегда отрицательна.
Интегрируя уравнение (121), получаем следующую формулу, выражающую работу, затраченную двигателем за время £ в зависимости от его мощности:
А - f N 成.(122)
В частном случае при постоянной мощности, т. е. при N = const, из формулы (122) получаем:
А = NT(123)
Пример 139. Найти среднюю полезную мощность паровой машины, если среднее давление пара на поршень в течение всего хода равно 5 кг на 1 сж2, площадь поршня S = 300 c.w2, длина хода поршня 2 = 40 с", число рабочих ходов в минуту л = 120 и коэффициент полезного действия п = 0,9.
Решение. Полное давление пара на поршень равно 5 • 300 = 1500 кг; следовательно, работа, совершаемая за 1 минуту, равна
4M = 150。• 40 • 120 кгсм = 72 000 кгм.
Величину полезной работы находим по формуле (120):
Лпол = Мм = °，9'72 000 кгм.
Разделив эту работу на промежуток времени £ — 60 сек, получим искомую полезную мощность:
Л7 0,9 - 72 ООО1080 л .
*пол gQ = 1080 кгмIсек = …污-л. с. — 14,4 л. с.
Пример 140. Поезд весом Р, отходя от станции, идет по горизонтальному пути с постоянным ускорением а. Сила сопротивления движению поезда равна кР, где к ——данный постоянный коэффициент. Определить мощность, развиваемую паровозом.
Решение. Обозначая работу паровоза через А и применяя теорему о кинетической энергии, получим:
Т — Т§ = А — кР •$, где s обозначает длину пути, пройденного поездом.
Кинетическая энергия в начальный момент То — 0, так как в начальный момент скорость поезда равна нулю. Поэтому предыдущее равенство можно написать в следующем виде:
a == T十左夕• s =
где p — скорость поезда.
Дифференцируя это уравнение по времени, получим искомую мощность паровоза:
dA„ ds
ds
Если вес Р выражен в килограммах, а скорость р — в метрах в секунду, то эта формула дает мощность 7V в килограммометрах в секунду. Чтобы получить мощность в лошадиных силах, нужно правую часть равенства разделить на 75:
■ N = 1^ （7 +к）
Так как поезд двшкется равномерно ускоренно без начальной скорости, то V == at; поэтому предыдущее равенство можно представить в виде:
" ~ 一污 \~g + '） at （"，
Отсюда видим, что при равномерно ускоренном движении поезда мощность, развиваемая паровозом, возрастает пропорционально времени. Если поезд движется равномерно, то в этом случае ④=° и, следовательно,
n =（儿.。.），
где f имеет постоянное значение.
§ 131. Движение системы в потенциальном силовом поле.Закон сохранения энергии
Пусть данная система материальных точек М （勺，九 zj М2 （а：2,沙2， 3）,-・， М<%, Ут zn） находится в некотором силовом поле. Предположим, что модуль и направление силы Fk этого поля, действующей на точку Mk, зависят только от положения материальных точек данной системы, т. е. предположим, что проекции силы Fk на координатные оси выражаются однозначными и непрерывными функциями координат 况丄,沙。z。..., xn. yn, sn; следовательно, будем иметь:
X 九=a ^ （n1，沙 1, %, • • • 1 /九,У 其，^n）»
y/t 一 ^k （n1，У й Z], ..., ^П^ У nf "Л），'（% I，2,^）,
Z在 = Z月（々,沙 1， Zj_,n也，уп, %）
Сказанное в §§ 109——111 по отношению к отдельной материальной точке можно обобщить и на систему точек.
Силовой функцией данного силового поля называется такая функция U ，况 1,沙1, Zq ..., хп. уп\ z拄）координат точек системы,, частные производные которой по координатам xk1 у九,zk равны проекциям силы Fk на соответствующие координатные оси, т. е.
Х& =历ГА= 乙=阮（乃=1, 2,儿）.（124）
Если такая функция существует, то силовое поле называется потенциальным. Тогда сумма элементарных работ сил Fk будет
равна
厶(X月d况也 + Ykdyh 4- Z^dQ =
=2 (Z К + 鼠 М + 爲 dz j =切，(125)
t. e. сумма элементарных работ равна полному дифференциалу силовой функции. Отсюда для суммы работ тех же сил при конечном перемещении системы из одного положения (/) в другое положение (//) получаем:
У\ dU и2 — %,(126)
-(0
где U^ и U] — значения силовой функции, соответствующие конечному и начальному положениям системы. Следовательно, при перемещении системы 6 потенциальном силовом поле сумма работ сил этого поля равна разности значений силовой функции^ соответствующих конечному и начальному положениям системы.
В качестве примера найдем силовую функцию для поля силы тяжести. Если направим ось z по вертикали вверх, то в этом случае имеем:
X九—Y友=О, Z在——m^g {k — 1, 2,…，п).
Следовательно,
d° = £ 陷小 + Yhdyk + Z0J =
=—£ &А = — g £耿 dzk.左=1h =1
Интегрируя это выра；1сепие, находим:
U = — g ] mkzk + const,
но, как известно из § 128,
I "Ma = Mzc,
где М ——масса всей системы и 名。——координата центра тяжести С этой системы, а потому
U = —Mgzc + const.(127)
Потенциалъной энергией, соответствующей данному положению системы, называется работа, совершаемая силами поля Fk при перемещении системы из данного положения в некоторое «нулевое» положение. Если обозначим потенциальную энергию через П, то па основании этого определения и равенства (126) имеем:
n =。⑼—“(128)
где U© = U(况71 у'； £「，…,况眾,yn\ zN) есть значение силовой функции, соответствующее нулевому положению системы. Отсюда следует, что в нулевом положении потенциальная энергия системы принимается равной нулю. За нулевое положение мы можем, вообще говоря, принять произвольно выбранное положение данной системы. Обычно принимают за нулевое такое положение системы, при ротором силовая функция имеет максимальное значение, так чтобы разность U^ — U при рассматриваемом движении системы оставалась положительной.
При движении системы в потенциальном силовом поле, когда система переходит из некоторого положения (/) в положение (//), уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии, на основании равенств (115) и (126) принимает вид
?2 — 7\ = / — ％.(129)
Если обозначим потенциальную энергию при первом и втором положениях системы соответственно через 口丄 и П2, то на основании равенства (128) будем иметь:
Пх = 0(。)一G '
и
П2 二 и(。)一/；
отсюда
u 2-01 Н 口1-П2,
и уравнение (129) можно представить в виде
鋒一？i = 口 1—П2 или У2 + П2 = 7\ + 口丄， т. е.
Т + Г! = const.(130)
Это уравнение выражает закон сохранения механической энергии: при движении системы з потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий, называемая полной механической энергией системы, остается постоянной^
ГЛАВА 27
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ
Принцип Даламбера
Мы уже знаем, в чем заключается принцип Даламбера в приме* нении к одной материальной точке (§ 114). Этот принцип легко распространить и на систему материальных точек. В самом деле, рассмотрим какую-нибудь точку ТИА данной системы: на эту точку действуют заданная сила Fk и реакция связей %; если приложить к этой точке еще силу инерции J^1, равную по модулю произведению массы точки на модуль ее ускорения и направленную противоположно ускорению, то эти три силы,凡,Nk и F*H, взаимно уравновешиваются. То же самое будет иметь место и для всех остальных точек системы, т. е. будем иметь:
Fk + Nk + ^=0 佐=1,2,…，吟
Отсюда приходим к заключению: если е любой момент к каждой
материальной точке данной системы приложить этой точкиf то эти силы инерции будут уравновешиваться заданными силами, действующими на систему7 и реакциями связей. В этом и состоит принцип Даламбера для системы.
Таким образом, вводя силы инерции, мы получаем возможность в задачах динамики составлять уравнения в той же форме, как мы это делали в статике, принимая во внимание, что поскольку заданные силы, реакции связей и силы инерции взаимно уравновешиваются, то сумма проекций всех этих сил на любую ось равна нулю и сумма их моментов относительно любой точки или любой оси также равна нулю. При этом следует иметь в виду, что если эти уравнения составлены для всей системы е целом, то внутренние силы в них, конечно, не войдут. Принцип Даламбера имеет в динамике системы очень важное значение, так как дает общий метод решения динамических задач. В особенности этим методом удобно пользоваться для определения ских реакций связей, т. е. реакций, возникающих при системы.
г, вращаю-г, вращаю-Пример 141. Через блок атвудовой машины радиуса
г, вращаю-
г, вращаю-
инерцииинерции336.336.динамиче- движениидинамиче- движениищийся вокруг горизонтальной оси О, перекинута нить, к концам которой подвешены грузы весом Pt и Р2» причем /^ > Р2. При движении грузов нить вследствие трения приводит во вращение блок. Определить ускорение, с которым движутся грузы, если вес блока равен 尸§ (рис. 336).
инерции
инерции
336.
336.
динамиче- движении
динамиче- движении
I ds1近=I ds1近=Решение. Обозначим модуль искомого ускорения грузов через и?. Сила ииерцпи правого груза равна по модулю F：11 = —1 и? и направлена по вертикали вверх, сила инерции левого груза равна по модулю "|：н = }2sH на11равлена по вертикали вниз. Пренебрегая массой спиц блока, будем считать, что вся его масса равномерно распределена по его ободу, который для простоты будем рассматривать как материальную окружность. Возьмем па ободе материальную частицу с массой т； так как эта частица движется по окружности, то ее ускорение равно векторной сумме 〃вух ускорений: нормального, модуль которого wn = го2, и тангенциального, модуль которого (Гр =尸| ^ ], где (о обозначает угловую скорость блока, а 彳£ есть его угловое ускорение. Соответствевпо этому и сила инерции частицы будет представлять собой сумму двух сил: нормальной силы инерции, равной по модулю F^” = тгм2 и направленной по радиусу от центра О,и тангенциальной силы инерции, равной по модулю F^n = тг | 雰] и направленной противоположно тангенциальному ускорению частицы. Так как ip, то 歹?н= mW. Приложив силы инерции к обоим грузам и ко
I ds
1近=
I ds
1近=
всем материальным частицам блока, можем согласно принципу Даламбера считать всю систему находящемся в равновесии х). Но при равновесии системы сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю; составляя сумму моментов внешних сил (в число которых нужно включить, конечно, и силы инерции) относительно оси О и приравнивая эту сумму нулю, получим:
wr 4- Р» + △• грг + Е тюг —戸\尸=0.
Нормальные силы инерции материал иных частиц блока, а также вес блока и реакции подшипников в это уравнение не войдут, так как их моменты относительно оси О равны пулю. Замечая, что
Y.fnivr = зг £ 〃匕=ivrMt где М ——масса всего блока, равная，, и сокращая предыдущее уравнение па г, получим:
? (?1 + ?2 + ?3)"=尸1 —尸2・ Отсюда находим:
А — 2
Чтобы определить натяжение 7\ правого конца нити, достаточно рассмотреть в отдельности правый груз, как находящийся в равновесии под действием трех сил: реакции нити П, иаправленной вверх, силы инерции 尸；【н и веса & Отсюда получаем:
Т1 十下,1 = Рр иди I；=修一尸卅=% — 3
Если представить себе, что система остановлена.
Подставляя сюда пай денное значение w, после простых преобразований получим:
А =
Р] (2戶2 + 戶з)
p]十月2 +尸3 .
Аналогично, рассматривая в отдельности левый груз и составляя для него уравнение равновесия, найдем из этого уравнения натяжение Т2 левого конца нити.
Пример 142. Стержень СР, весом коюрого можно пренебречь, длиной 2/, несущий на каждом из своих концов груз весом Р, жестко скреплен в середине с вертикальной осью, опирающейся на подпятник А и подшипник В и вращаю- шейся с постоянной угловой скоростью со. Угол между осью и стержнем равен а, расстояние АВ — Л. Найти горизонтальные реакции £厶 и Хв подпятника и подшипника в точках Л и В и вертикальную реакцию YА подпятника в точке А (рве. 337).
Решение. Приложив к грузам центробежные силы (нормальные силы инерции), равные по модулю
и направленные по радиусам вращения грузов от оси вращения х), составляем три уравнения равновесия плоской системы сил, которым согласно принципу Даламбера должны удовле-
творять заданные силы Р, силы инерции и
реакции в точках А и В. Проектируя все эти силы на оси Ах и 4у, получим
два уравнения:
Xg =。， 厶 一 2P =。・
Составляя затем сумму моментов всех 'этих сил относительно точки А, получаем уравнение
hXB 一 2斤学.Z cos а = 0.
Решая эти три уравнения, находим:
厶=2Р н Ха =乙
2/cos а •歹片 &2 sin 2a ^ 7й'
h
Общее уравнение динамики
Согласно принципу Даламбера, как мы видели в предыдущем параграфе, заданные силы, действующие на механическую систему, реакции связей и силы инерции материальных точек этой системы в каждый данный момент находятся в равновесии. Отсюда на основании принципа возможных перемещений (§ 124) следует, что сумма элементарных работ всех этих сил при всяком
т) Так как грузы вращаются равномерно, то их касательные ускорения, а следовательно, и их касательные силы инерции равны нулю. ”
силы инерции на координатные осисилы инерции на координатные оси"н = —mwx"н = —mwxd2x 口心 ^粉一，喈d2x 口心 ^粉一，喈Рис. 338.Рис. 338.модулюмодулю
силы инерции на координатные оси
силы инерции на координатные оси
"н = —mwx
"н = —mwx
d2x 口心 ^粉一，喈
d2x 口心 ^粉一，喈
Рис. 338.
Рис. 338.
модулю
модулю
возможном перемещении системы равна нулю. Но если на систему наложены совершенные связи, то сумма работ реакций таких связей при всяком возможном перемещении системы равна нулю. Поэтому в случае совершенных связей сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции будет равна нулю при любом возможном перемещении системы, т. е. будем иметь:
£(Х 6х + Y бу + Z 6^) + £(怨н 6况 + 尸『g + 歹产 6z) = 0,
где 6况，6沙 и 6s обозначают проекции возможных перемещений точек системы на координатные оси, X, У, Z ——проекции заданных сил и Ь*11, р^н, угин — проекции сил инерции на те же оси. Но проекции
выражаются так (§ 114): d2y =一叫=一m言
d^z
где m ——масса материальной точки, a u?x, wy и wz — проекции ее ускорения на координатные оси, а потому предыдущее уравнение принимает вид
У ~х _ 索“2 + (у _ /п 胱 М +(Z _ /п 5) 6z] =0. (131)
Это уравнение, вытекающее из двух основных принципов меха-
ники — принципа Даламбера и принципа возможных перемещений, — называется общим уравнением динамики. От общего уравнения статики (§ 124) оно отличается только тем, что, кроме проекций заданных сил на координатные оси, в него входят еще проекции сил инерции на те же оси.
Таким образом, вводя силы инерции и пользуясь уравнением (131), мы можем применять принцип возможных перемещений и в задачах динамики.
Пример 143. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси Оу с данной постоянной угловой скоростью (о. Вес каждого из грузов Л и В равен Рх; вес муфты С, которая может перемещаться вдоль оси Оу, равен Р2« Все стержни ОА, ОВ, АС и ВС имеют одинаковую длину Z. Найти угол АОС = а, предпола
гая, что при вращении регулятора этот угол остается постоянным; весом стержней пренебрегаем (рис. 338).
Решение. Приложив к грузам Л и В центробежные силы, равные по
寸=尸贯=，丄 ГЗ& =厶 4 sin а. ®2,
где г — радиус вращения грузов, сообщим системе возможное перемещение, при котором угол а получает элементарное изменение За. Приравнивая нулю сумму работ на этом перемещении всех сил, приложенных теперь к системе (включая и силы инерции), получим следующее уравнение:
P我ya+ p^Ув + ^г^с + ^в1 °①2 -f片6①а 。,
но, как видно из чертежа,
у А у в ■— Z cos а, у© 2—■ 2Z cos а,&а = — % sin а и ①в = Е sin а;
бу, =— 2Z sin а да,6叮=Z cos а 6а,бу, =— 2Z sin а да,6叮=Z cos а 6а,следовательно,
бу, =— 2Z sin а да,
6叮=Z cos а 6а,
бу, =— 2Z sin а да,
6叮=Z cos а 6а,
5gA = Зув = — Z sin а За, 6% = — E cos а ба,
а потому предыдущее уравнение принимает вид
21 (— В sin а — ％ siu а + -^™ cos а) 6а — 0.
Отсюда следует, что
F^1 cos а = (Р[ + PJ sin а.
Подставляя сюда значение F贾 и сокращая на sin а, получим:
心2 cos a = % + p2,
откуда находим:откуда находим:cos а =cos а =(A + A) g(A + A) g
откуда находим:
откуда находим:
cos а =
cos а =
(A + A) g
(A + A) g
ГЛАВА 28
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Общие формулы для моментов инерции
Как было уже указано в § 129, моментом инерции системы материальных точек относительно данной оси называется сумма произведений массы каждой точки на квадрат ее расстояния от этой оси.
Поэтому, обозначая момент инерции через J, имеем:
J = S^2,
где m ——масса материальной точки, а Л — ее расстояние от данной оси.
Аналогично, моментом инерции системы материальных точек от- носител^ио данной точки О называется сумма произведений массы каждой материальной точки на квадрат ее расстояния от этой точки О} т. е.
Jo - 工加产，
где m ——масса материальной точки, аг ——ее расстояние от данной точки О.
Если имеем сплошное твердое тело, то для определения момента инерции этого тела относительно данной точки или данной оси поступаем следующим образом: разбиваем все тело на очень большое число весьма малых материальных частиц, составляем сумму произведений массы каждой такой частицы на квадрат ее расстояния от данной точки или данной оси и затем вычисляем предел этой суммы в предположении, что число частиц, на которые мы разбили тело, неограниченно возрастает, а объем каждой частицы, а следовательно, и ее масса стремятся к нулю. Когда говорят о моменте инерции сплошного твердого тела, то для краткости слово «предел» обычно опускают, но его всегда нужно подразумевать.
Размерность момента инерции в технической системе единиц выражается, очевидно, так:
[J] = [массахдлина2] = | сил^^^—Xдлина21 =
=[сила х длина X время2].
Единицей измерения моментов инерции в технической системе единиц является момент инерции материальной точки, имеющей массу, равную одной технической единице массы, и находящейся на расстоянии одного метра от данной оси или от данной точки. Следовательно, единицей измерения моментов инерции служит 1 кгмсек2.
Пусть имеем твердое тело, отнесенное к системе координат О理么* Если расстояние одной из материальных частиц Л (а, у, z) этого тела от оси z обозначим через h (рис. 339), а ее массу обозначим через т, то момент инерции тела относительно оси z выразится так:
厶=£ m們
по, как видно из чертежа,
九2 =炉+广 а потому
/г = S m (%2 + 淌；
аналогичные формулы будем иметь, понятно, и для Jx и Jy. Таким образом, получаем следующие общие формулы для моментов инерции тела относительно трех координатных осей:
人=2 加(/ + Z2), 4 = 三 m(Z2 +峭，厶=e m(/2 + y2). (132)
Сумма произведений массы каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной плоскости называется моментом инерции тела относительно этой плоскости. Поэтому суммы 工『几化2, £my2 и 工7nz2, входящие в правые ^асти формул (132),
выражают соответственно моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx п Оху.
Момент инерции тела относительно начала координат О равен
厶=£?九产，
но так как
产二%2十*+z2,
ТО
厶=£加(方3+沙2+22).(133)
Из формул (132) и (133) получаем зависимость
厶=；(厶+厶十厶)， (134)
т. е. момент инерции тела относительно начала координат равен полусумме моментов инерции его относительно трех координатных осей.
Если тело имеет форму плоской тонкой пластинки, толщиной которой можно пренебречь, то приходится вычислять моменты инерции материальной плоской фигуры относительно осей Оху, лежащих в плоскости этой фигуры. В этом случае, как видно из рис. 340, имеем:
Лс = W W2; Jn = £ тх2
И
厶=£"2 =工加(力2 + 夕2); (135) отсюда следует：
厶=人十乙，(136)Р* 340.
т. е. момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции этой фигуры относительно двух координатных осей, лежащих в плоскости этой фигуры.
Формулы (135) н (136) можно получить, конечно, из предыдущих, полагая в них z — 0 и = Jo.
§ 135. Примеры вычисления моментов инерции
Вычислим моменты инерции некоторых тел простейшей геометрической формы.
Прямолинейный тонкий стержень. Рассматривая такой стержень как материальный прямолинейный отрезок АВ = I (рис. 341), вычислим момент инерции этого стержня относительно его конца А, или, что то же, относительно оси 4g, перпендикулярной к АВ. Разобьем для этого весь стержень на бесконечно малые отрезки; расстояние такого отрезка от точки 4 〃『L ?£ обозначим через х, а его массу —
ГТ~через т; тогда
е」Х£」а = ^тх2.
Рис. 341.Если обозначим через у линей
ную плотность стержня, т. е. массу, приходящуюся на единицу длины, а длину элементарного отрезка обозначим через △%, то его масса будет равна
m = у Дх.
Тогда
J a = ，y化込归.
Предел этой суммы будет выражаться определенным интегралом, взятым по переменному х в пределах от 0 до Z и, следовательно,
Ja = J М dxtо
Если стержень однородный, то плотность у остается постоянной вдоль всего стержня; в этом случае
Ja = Y \ a2 dH = g уР.
о
Если обозначим массу всего стержня через М, то Л/ = у/ и, следовательно,
(137)(137)/a = ^ "汽
(137)
(137)
Прямоугольник. Пусть имеем тонкую однородную прямоугольную пластинку О АВС со сторонами а и 6 и массой М (рис. 342). Вычислим момент инерции этой пластинки относительно оси у, т. е. относительно стороны 04. Разобьем для этого площадь
прямоугольника ОАВС прямыми, параллельнылш осп ж, на бесконечно узкие полоски. Каждую такую полоску можно рассматривать как прямолинейный отрезок. Поэтому момент инерции такой элементарной полоски относительно оси у на основании формулы (137) будет равен 1/3|ict2, где 卩一масса полоски, а момент инерции
всего прямоугольника выразится так:
/У н Sy h^2 = ya2?n，
или, так как £卩=М,
乙=^ Ма2.(138)
Аналогично получим:
Jx = I Mb2.(139)
Для момента инерции прямоугольника относительно его вершины О на основании формулы (136) будем иметь:
Jo = Jx+Jy ^iM{^+b^.(140)
Окружность. Вычислим момент инерции материальной окружности (тонкого однородного проволочного кольца) радиуса R и массы М относительно ее центра О. Для этого разобьем всю окружность на бесконечно малые элементы, т. е. на бесконечно
малые дуги; массу элемента обозначим через т. Все эти элементы находятся от точки О на одном и том же расстоянии R. Поэтому искомый момент инерции равен
厶=£ 加R2 = R2 w 也=MR2 «《I)
К р у г. Пусть требуется вычислить момент инерции круга радиуса R и массы М относительно его центра О (рис. 343). Разобьем данный круг концентрическими окруж
ностями на элементарные плоские
кольца. Радиус такого кольца обозначим через г, его бесконечно малую ширину — через Аг. Рассматривая такое элементарное кольцо как материальную окружность, на основании формулы (141) найдем, что его момент инерции относительно центра О равен 卩产，Где 卩 — масса кольца. Искомый момент инерции круга равен сумме моментов инерции всех элементарных колец, т. е.
丿о = £ "2.
Обозначим поверхностную плотность данного круга, т. е. массу, приходящуюся на единицу площади, через у. Тогда, считая круг однородным, будем иметь:
Так как площадь элементарного кольца можно представить с точностью до бесконечно малых первого порядка в виде произведения 2лгДг (произведение длины его окружности на ширину), то его масса выразится так:
卩=2"»
а потому
= £ 2луг3 Аг.
Предел этой суммы выразится определенным интегралом по переменному г в пределах от 0 до А и, следовательно,
J。= 2пу \ 尹 〃「= ； луТ?4.
Подставляя сюда значение у, окончательно получим:
Jo 二；MR\(142)
Для того чтобы вычислить моменты инерции круга относительно осей х и у, направленных по двум его взаимно перпендикулярным диаметрам, заметим, что для круга моменты инерции относителько каждого из его диаметров будут, очевидно, равны между собой; поэтому иа основании формулы (136) предыдущего параграфа получаем:
人=人=^厶=：MR2.(143)
Круглый цилиндр. Вычислим момент инерции круглого однородного цилиндра относительно его оси вращения z. Пусть радиус основания цилиндра равен R, а его масса равна М. Разобьем весь цилиндр плоскостями, параллельными его основанию, на бесконечно тонкие круглые пластинки. Момент и нерции каждой такой пластинки относительно оси вращения цилиндра на основании формулы (142) будет равен 0,5 卩А?, где 卩 —— масса пластинки.
Искомый момент инерции цилиндра будет равен сумме моментов инерции всех элемешарных пластинок и, следовательно, выразится так:
а = 24^2 =；尸玄n，
а так как £卩=М} то
九=；-MR2.(144)
Шар. Вычислим момент инерции однородного шара радиуса R относительно его центра О. Если обозначим массу шара через М} а его объемную плотность, т. е. массу, приходящуюся на единицу объема, через у, то
где объем шара
'3 '
следовательно,
Y = 4諦•
Разобьем данный шар концентрическими сферами на бесконечно тонкие сферические слои. Такой элементарный слой будет заключаться между двумя сферами с радиусами г и г 4- △「, а толщина слоя будет равна △「. Так как все частицы слоя находятся на одинаковом расстоянии г от центра шара О, то момент инерции такого слоя относительно точки О равен 卩г?, где 卩 ——масса всего слоя.
Искомый момент инерции шара будет равен сумме моментов инерции всех элементарных слоев, т. е.
J。= £卩金
Так как объем элементарного сферического слоя можно представить с точностью до бесконечно малых первого порядка в виде произведения 4霏尸2 △「(произведения его внутренней поверхности на толщину), то его масса будет равна
卩=4№• у,
а потому
Jo = X 4луг1 Аг,
или, после перехода к пределу,
J。= 4пу，产〃г = ^ луВ5.
Подставляя сюда значение у, окончательно получим:
Jo = 5 MR\ '(145)
Чтобы вычислить моменты инерции шара относительно трех координатных осей, начало которых находится в центре шара, заметим, что эти моменты инерции будут, очевидно, равны между собой, т. е.
Поэтому на основании формулы (134) предыдущего параграфа
находим:
(146)(146)22
(146)
(146)
J^ = Jz = ~^Jo = 5 MR2.
§ 136. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей
Зависимость между моментами .инерции тела относительно параллельных осей выражается следующей теоремой:
Разность моментов инерции тела относительно данной оси и относительно оси, ей параллельной 北 проходящей через центр тяжести тела, равна произведению массы всего тела на квадрат расстояния между этими осями.
Возьмем начало координат О в центре тяжести тела. Обозначим данную ось через z', параллельную ей ось, проходящую через О, примем за ось z, ось у направим так, чтобы она пересекала ось z' в некоторой точке О', и проведем через эту точку О' ось 力',параллельную оси 宓 (рис. 344). Обозначим расстояние 00’ между осями z и z' через 2, а массу данного тела — через М. Требуется доказать, что
厶=几十"尸，
Как известно из § 134, моменты инерции Jz и Jf выражаются так:
Jz^т (炉+ ?/2)
и
厶=2>32+矿2).
По формулам преобразования координат при параллельном переносе осей в данном случае имеем:.
х' = ос, у' = у — I, Z — Z, а потому
Jz' = Srn [力2 + ®一02] = W 也(力2 + y2 - 2勿 + 分)=
=У]т (花2 十 у?) — 2D £ ту 十 Z2 V m — J z — ^l ^L^y + 戶恵
Но в § 128 мы имели равенство
2m沙=Мус,
где ус—ордината центра тяжести тела, а так как по условию центр тяжести тела совпадает с началом координат Q то ус = 0; следовательно,
£ ту = 0
и потому
Jr = jz + Ml\(147)
что и требовалось доказать.
Из формулы (147) следует;
Jz，〉Jj
отсюда заключаем, что 〃з всех моментов инерции относителыю различных осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно ос〃, проходящей через центр тяжести тела.
Доказанной теоремой часто пользуются при вычислении моментов инерции. Покажем применение этой теоремы на двух простых примерах.-
Пример 144. Найти момент инерции тонкого однородного прямого стержня АВ длины I относительно его центра тяжести (относительно средней точки С),
Решение. В предыдущем параграфе мы имели формулу (137) для момента инерции стержня относительно его конца Л:
так как расстояние АС ~ у, то, применяя доказанную теорему, получим:
JA =厶 + 丁； отсюда находим:
,М 汴MZ2 MZ2 М 替
Пример 145. Найти момент инерции однородного круглого тонкого диска радиуса R относительно какой-нибудь точки А, лежащей на его окружности.
Решение. По формуле (142) для момента инерции круга относительно его центра。имеем:
Так как расстояние ОА = R, то на основании формулы (147) получаем:
мл2а
JA^J0 + MR2 = ^- + MR2 = ^.MK久
§ 137, Моменты инерции относительно осей, пер(к*екающихся в одной точке. Эллипсоид инерции
Из теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, следует, что для того, чтобы вычислить моменты инерции тела относительно всевозможных осей, достаточно уметь находить момент инерции относительно оси любого направления, проходящей через центр тяжести тела.
Мы приходим, таким образом, к вопросу о вычислении моментов инерции относительно осей, пересекающихся в данной точке, в частности в центре тяжести тела. Примем какую-нибудь точку О за начало координатных осей Oxyz, направления которых выберем про- изволько (рис. 345).
Проведем через точку О какую- нибудь ось OL、образующую с координатными осями данные углы а, 卩 и » и вычислим момент инерции тела J относительно этой оси. Разобьем данное тело на элементарные материальные частицы и обозначим ~Рис. 345.координаты одной из таких частиц а
через х, у и z, ее расстояние от начала О обозначим через 乙 а расстояние от прямой OL ——через /г. Тогда
J = ^mh2, где m — масса частицы.
Из аналитической геометрии известно, что расстояние h точки а от прямой OL, проходящей через начало координат и образующей с осями углы а, 0 и у, определяется следующей формулой：
/г2 = (у cos у — zcos 0)?十 (z cos а — x cosy)?十(a cos 0 — ?/cosa)2.
Раскрывая скобки и делая приведение, получим:
/г2 = соь2а 匂2 + z'2) +cos2p (z? + 宓?)+ cos2y (х2 十 у?)—
—2 cos 卩 cos у • yz — 2 cos у cos а • zf — 2cos a cos 0 * ay.
Следовательно,
J = £加胪=cos2 a £m О/? + z2) + соь2 0 2m (z2 + x2) + + cos2 у £w (x2 + 力)一2 cos 0 cos 丫 工 myz —
—2 cos у cos а £ mzx — 2 cos a cos § £ may.
СуммыСуммы
Суммы
Суммы
W也(疗+Z2), £加(z2 +/2),W也(力2 + y2)
представляют собой, как известно из § 134, моменты инерции данного тела J*, Jу и Jz относительно координатных осей а, у и z; величины х«е
У myzt Х?п〃, 2 тху
называются центробежными моментами инерции тела и обозначаются соответственно через Jyi, J2X и J^ эти моменты могут быть вычислены при помощи определенных интегралов аналогично тому, как мы вычисляли в § 135 моменты инерции /ж, Jy и J2. Если введем обозначения
厶=£ m 匂2 + z2)= 4,乙=£ 龍(z2 十炉)=в,
九=，7汽(七2 + №) = c
JVz ~ ^ myz = °,乙久二 £ mz七=E, JXy^L 丁几敬=E,
то предыдущее равенство перепишется так:
J = Л cos2 а + 5 cos2 0 + С cos2 у — 20 cos § • cos у —
一 2Е cos у cos а — 2夕 cos a cos 仇 (148)
Проводя через точку О прямые под разными углами а, 0, 丫 к координатным осям, мы можем по формуле (148) вычислять
моменты инерции относительно каждой из этих осей при условии, что шесть коэффициентов этой формулы А, 5, & D, Е п F известны.
Чтобы дать наглядную геометрическую интерпретацию зависимости этих моментов инерции от углов а, 0 и у, аналитически выражаемую формулой (148), сделаем следующее построение: проведем из точки О полупрямые по всевозможным направлениям и па каждой из них отложим в каком- нибудь масштабе отрезок ОК = = 1 : ]/ J, где J есть момент инерции тела относительно той оси, по
которой направлен этот отрезок; таким образом, каждой полупрямой, проведенной из точки О, будут соответствовать определенный отрезок ОК и, следовательно, определенная точка К (конец отрезка). Постараемся найти геометрическое место этих точек К (рис. 346).
Если обозначим через 宓,у, z координаты точки К, принадлежащей оси 0L, которая образует с координатными осями углы а, 0 и у, то
а = ОК • cos а, у = ОК • cos 0, z = OK ■ cosy,
cos Вcos уVjVjcos Вcos уVjVjcos ажVcos ажVИЛИ
cos Вcos у
VjVj
cos Вcos у
VjVj
cos ажV
cos ажV
Отсюда
cos а = а cos § = yUJ, cosy z]A7・
Подставляя эти значения в уравнение (148) и сокращая его на общий множитель J, получим:
Ах2 + 5y2 + Cz? — 2Dyz — 2Ezx — 2Fxy = 1.(149)
Так как координаты 力,у, z точки К удовлетворяют уравнению (149), то точка К принадлежит поверхности, выражаемой этим уравнением. Это уравнение является, следовательно, уравнением искомой поверхности, на которой расположены точки К. Из уравнения (149) следует, что эта поверхность есть центральная поверхность второго порядка с центром в начале координат. Из самого способа построения этой поверхности видно, что радиусы- взкторы всех ее точек имеют конечную величину, так как J 力 О, и, следовательно, ОК не может обращаться в бесконечность. Отсюда приходим к заключению, что эта поверхность представляет собой эллипсоид, который называется эллипсоидом инерции 工)・ Из равенства
0K =；
Kj
следует, что
J 0 K2 '
т. e. момент инерции относительно оси, проходящей через точку О, обратно пропорционален квадрату радиуса-вектора точки пересечения этой оси с эллипсоидом инерции.
Главные оси инерции
Из аналитической геометрии известно, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные оси и что уравнение эллипсоида, отнесенное к его осям, не содержит членов с произведениями координат. Оси эллипсоида инерции, построенного для произвольно выбранной точки О, называются главными осями
В частном случае эта поверхность может оказаться шаром.
инерции тела в этой точке О. Следовательно, в каждой точке имеются три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Если примем главные оси инерции в точке О за координатные оси 0aly1瓦,то три последних члена в левой части уравнения (149) эллипсоида инерции исчезают, т. е. коэффициенты D, Е nF обращаются в нуль; отсюда следует, что если координатные оси совпадают с главными осями инерции е данной точке, то центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.
」1//1 = J Z1X1 = JХ1У1 — 0.
Поэтому, если проведем через какую-нибудь точку О ось, образующую углы а, 0, у с главными осями инерции в этой точке, то момент инерции J относительно этой оси на основании формулы (148) будет равен
J = & cos2 а + Bj со$2 0 + & cos2 у.(150)
Здесь 4，В* и С\ обозначают моменты инерции тела относительно главных осей инерции в точке О.
Эллипсоид инерции, построенный для центра тяжести тела, называется центральным^ а его оси называются главными- центральными осями инерции. Теперь нетрудно показать, что для вычисления момента инерции тела относительно какой угодно оси достаточно знать направления трех главных центральных осей инерции тела, которые мы обозначим через 三，口 и & и моменты инерции J. J^ и /( относительно этих осей. В самом деле, пусть требуется вычислить момент инерции J' относительно произвольно выбранной оси L\ направление которой образует с главными центральными осями инерции углы a, 8 H Y・ Проведем через центр тяжести тела ось L, параллельную оси Z/; расстоя- ние*между этими осями обозначим через 2. Если момент инерции относительно оси L обозначим через J, то по теореме предыдущего параграфа имеем:
Jf = J + Л/尸；
с другой стороны, по формуле (150)
J = J& cos2 а + 厶 cos2 р + 人 cos2 y> поэтому предыдущее равенство принимает вид
Г =人 cos3a + J73cos2 В + 人 cos3y + Ml2. (151)
Мы видим отсюда, какую важную роль играют главные центральные оси инерции и как важно уметь находить их направление.
В общем случае определение направления главных центральных осей инерции тела представляет собой довольно сложную
17 И, м, воронков
задачу. Но если тело имеет симметричную форму, то эта задача упрощается, что видно из следующих двух теорем.
Теорема I. Если тело имеет плоскость симметрииf то одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна к этой плоскости (и, следовательно, две другие оси лежат в этой плоскости).
Действительно, если тело имеет плоскость симметрии, то, как известно из статики, центр тяжести его лежит в этой плоскости. Возьмем начало координат О в центре тяжести тела, плоскость симметрии примем за координатную плоскость Оху, а ось z направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда в силу симметрии каждой элементарной частице。公(力工 yk^ zQ тела с массой т^ соответствует частица 喝 (碇， 加，z£) с массой m^ причем
7汽h―加h,期=冲,Уh = Уh ^-2丸= 2ft.
Разбивая все тело на такие попарно симметричные элементарные частицы, составим центробежный момент инерции J^» который будет равен
乙z = О = W (m；^z； + 咻yg или
。=£ (欣y；Z —欣抓 zQ = 0;
точно так же докажем, что
J2X = £ = 0.
Поэтому уравнение центрального эллипсоида инерции принимает вид
Ах2 十 By2 + 叁2 — 2Fxy = 1.
В этом уравнении нет членов, содержащих z в первой степени, а это значит, что ось z является осью этого эллипсоида и, следовательно, является одной из главных центральных осей инерции тела, что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать и вторую теорему:
Теорема II. Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является его главной центральной осью инерции.
Докажем теперь еще следующую теорему:
Теорема III. Если одна из главных осей инерции тела в какой-нибудь точке О проходит через центр тяжести этого тела, то она является главной центральной осью инерции.
Доказательство. Построим в точке О систему координатных осей xyzf причем ось z направим по одной из главных осей инерции тела в этой точке О (рис. 347); тогда члены в урав-
нении эллипсоида инерции, содержащие z в первой степени, должны исчезнуть и, следовательно,
О = W ту2 = О и
£ = £ mzx = 0.
Пусть центр тяжести тела О> лежит на оси z, причем OOr = h. Построим в точке Of вторую систему осей а', у', z「параллельных осям а, у, z (ось z‘ совпадает с осью z), и составим центробежные моменты инерции:,
О' = £my'z‘ n Er = Xmz'a'.'j
Так как а/ = а, у' = у и z' = z —场，тоI
/ = £ my(z —例=£ myz — 场 £ ту =JT*
=0 一力工// =一 h ¥ my /^方
£" = V m (z —力)化==£ mzx —hY^mx =厂夕
=E 一九 W mx =一场工 mx. /
Hoz/
W 加沙=Myo1 п 2加化=Mxq^Рнс* 347.
где М — масса тела, а хо1 и у。，一 координаты его центра тяясести. Так как центр тяжести тела О' по условию лежит на оси z, то хо' = уо' = 0, а потому
D = 0 и £' = 0;
отсюда следует, что ось z ярл只стел главной осью инерции в точке О', и теорема доказана.
Если данное однородное твердое тело представляет собой тело вращения вокруг некоторой оси, то эта ось, являясь осью симметрии тела, будет на основании теоремы II одной из его главных центральных осей инерции; обозначим эту ось через g. Для такою тела вращения моменты инерции относительно двух его других главных центральных осей инерции g и 刀 будут, очевидно, равны между собой, т. е. /^ = /丁 Отсюда следует, что центральный эллипсоид инерции такого тела есть эллипсоид вращения вокруг оси С, а потому любая ось, проходящая через центр тяжести тела и перпендикулярная к его оси вращения g, будет главной центральной осью инерции, и моменты инерции тела относительно каждой из таких осей будут равны между собой. Примером такого аела может служить круглый однородный конус.
Если моменты инерции тела относительно каждой из его главных центральных осей инерции равны между собой, т. е. J:= =Jq = Jи то центральный эллипсоид инерции такого тела
17*
превращается в шар; в этом случае любая ось, проходящая через центр тяжести тела, является его главной центральной осью инерции, и моменты инерции тела относительно каждой из таких осей равны между собой. Примером такого тела может служить однородный куб.
ГЛАВА 29
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 139. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Представим себе твердое тело с двумя закрепленными тодка-
мн О и С\ (рис. 348), на которое действует заданная система
тело может иметь только вращательное движение вокруг неподвижной оси OOV
Задача, которую мы рассмотрим в этом параграфе, состоит в том, чтобы: 1) зная силы 居,найти закон вращательного движения тела и 2) определить реакции закрепленных точек О и О「
Для решения этой задачи применим принцип Даламбера. Разбив данное тело на элементарные частицы, приложим* к каждой частице нормальную силу инерции F^H, направленную по радиусу вращения частицы от оси вращения, и тангенциальную силу инерции 户:％ направленную перпендикулярно к радиусу вращения частицы противоположно тангенциальному ускорению этой частицы. Обозначим массу частицы Л через т, а ее радиус-вектор ——через г (рис. 348).
Возьмем начало координат в одной из закрепленных точек О} ось z
направим по оси вращения тела, а оси х и у направим произвольно, причем будем предполагать, что эти оси связаны с данным телом и, следовательно, вращаются вместе с ним. Расстояние ООг между закрепленными точками обозначим через h. Реакции R。и Ко^закрепленных точек разложим по осям координат
и обозначим их составляющие соответственно через Х°, У。，Zo и Хо】，У。” Zo「
Если обозначим вектор угловой скорости тела через w, то, принимая во внимание, что этот вектор направлен по оси вращения z, будем иметь:
s =①儿
где 靑 есть орт оси z. В этом равенстве под ① нужно понимать алгебраическое значение угловой скорости, т. е. проекцию вектора со на ось z; при вращении тела вокруг оси z в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z,① будет больше нуля; в противном случае ® имеет отрицательное значение.
Дифференцируя предыдущее равенство по времени, получим угловое ускорение тела:
ё =市=质森=吮
где e=凉・
Согласно принципу Даламбера, заданные силы Fki реакции закрепленных точек и силы инерции всех материальных частиц данного тела уравновешиваются. Поэтому составим шесть известных из статики уравнений равновесия сил, приложенных к твердому телу; для этого приравняем нулю сумму проекций всех этих сил на каждую из трех координатных осей и сумму их моментов относительно каждой из этих осей.
Составим сначала суммы проекций на координатные оси сил инерции. Если обозначим касательное ускорение точки Л через 叫,то
А? =— mwxt
Как известно из кинематики (§ 73), касательное ускорение wz равно векторному произведению векторов е и г, т. е.
и\ = бХг;
следовательно, F^ =—m (е Xл*), или после замены е через еА;
А；н =— me(k Xr) = me (г X A);
но так как
Г = xi + yj + zk,
где %, 4Hz обозначают координаты точки А, то уни те标+疗+旗)又/乳
Производя умножение и принимая во внимание, что / Хк = — у, jXk = i и kXk = 0, получим:
?：н = me (yi — xj).
Из этой формулы разложения вектора F^ по координатным
осям следует, что его проекции на эти оси равныFxx = WEy,歹罂=—ТПЕ%, Fxz = 0.
Нормальное ускорение точки Л равно по модулю wn = Ог А ■ со2,
где О1 А есть радиус вращения точки Л; следовательно, нормальная сила инерции равна по модулю
外н _ тО'А*
а так как направление этой силы совпадает с направлением вектора 04, то
/г 俨=m^QTjt
Если обозначим через а проекцию точки Л на плоскость Оху (рис. 348 и 349), то будем иметь:
следовательно,следовательно,О' А ^= Оа = xi ^ yj;
следовательно,
следовательно,
尸片=mo)2 (就+办).
Из этой формулы следует, что проекции силы ?『на координатные осп равны
歹黑=т^х,尸北=m叫/, F^ = 0.
Составляя теперь суммы проекций сил инерции на координатные оси и распространяя это суммирование на все частицы данного uena, получим:
£夕農=£ mw2 = ®2 £加伤
Z：^ny — £my®2 =①2»m弘
£尸^ = 0;
£歹£ = £ wye = & W ту, £歹詈=-2j"理=-E 2加伤
■^Fxz = о.
Но по формулам (102) (§ 128) имеем:
2 тх = Мхе 口 £加沙=Мус»
где М ——масса данного тела, а хс и ус — координаты его центра тяжести. Следовательно,
，歹黑=Мхс^\ W 歹盟=Мус^
，歹黑=Мус^ £歹黑=-Мхс^
Проектируя теперь на координатные оси заданные силы Fk и реакции в точках О и О], получаем первые три уравнения рассматриваемой задачи в следующем виде:
£尸工 + Хо + Хо] + Л/жси2 + Мусе = О,
£几 + У。+ У01 + МУс^ 一 Мхс^ = 0,（152）
£乙十 Z。+ Zs = 0..
Остается составить еще три уравнения, приравнивая нулю суммы моментов сил 心,реакций в точках О и С\ и сил инерции относительно каждой из трех координатных осей. Найдем сначала моменты сил инерции /” и 尸产 относительно этих осей. По известным из статики （^^О^формулам для моментов силы относительно координатных осей имеем:
心（皤"）=亦眾—zF^y =— mzy®2,
my （FnH） = z尸農—jT^ = mz 1rs2,
乙（峭=0>
（耳产）=yP^ - z夕謂=mz2Е,
my （Ft11）zF黑一х/噥=mzys,
mz （FtH）=?夕北-y网：~ —"比方2 — теу2 = - 7HБ （方2 + y2）.
Следовательно,
У, mx （F„H） =—Emzyco?=—必工加耽
£ my 便丁）н W mzxm2 = s? £ mzz,
£ 饵（ГГ） 0;
£% （死H） =£mzt£ =e£mz%
£ 附（尸；"）=£ mzye = £ £ mzy,
E w? （F"H） = — £ me （a? + у?） =— e W 加（力2 + г/2）.
Выражения V]mzy и ^mzx представляют собой, как известно из предыдущей главы, центробежные моменты инерции данного
【）Так как сила 尸，11 пересекает ось z, ю ее момент относительно этой осн равен нулю.
тела J и J2X (§ 137). Обозначая эти моменты соответственно через D и Е, получим:
S mx (F沪)=一 D* 2 % (FD = E®2；
£ % (F；IH) = £7£ % (П1Н) = 0e・
Сумма £zn (a:2 4- у?) есть момент инерции тела относительно оси z (§ 134), т. е. Sm (х2 十 т/2) = /2, а потому
Моменты реакций, приложенных в начале координат О, и моменты силы Zoi，линия действия которой проходит через точку О, относительно каждой из координатных осей будут равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают каждую из этих осей. Моменты же сил Хд и Уои приложенных в точке Q, как легко видеть из рис. 348, выражаются так:
mx (У01) =-hY0^y (XoJ =九Xo"mx (У01) =-hY0^y (XoJ =九Xo"% (¥oj = m2 (У。)= 0; mx (XoJ = m2 (X01) = 0.
mx (У01) =-hY0
^y (XoJ =九Xo"
mx (У01) =-hY0
^y (XoJ =九Xo"
Таким образом, получаем следующие три уравнения:
(153)(153)£ тх (尸)一hYoi — О®? + £в = 0, S my (F) + 力Xq + £g)2 + 0e = o, W加z仍)一 J/=0.
(153)
(153)
Полученные шесть уравнений (152) и (153) дают решение поставленной в начале этого параграфа задачи.
Из кинематики известноИз кинематики известноТак как эти уравнения составлены по отношению к подвижным осям, связанным с телом, то входящие в них величины 0, Е, хс и ус являются постоянными.
Из кинематики известно
Из кинематики известно
(§ 72), что положение твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется углом между произвольно выбранной неподвижной плоскостью, проходящей через ось вращения тела, и подвижной плоскостью, связанной с телом и проходящей через ту же ось. Этот угол, отсчитываемый от неподвижной плоскости в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения z, обозначим через ср; тогда
d(pd3d2m
® =京НЕ = ~57="ГТ.
dtdtat2
(154)(154)Поэтому третье из уравнений (153) можно написать в виде 厶祭= £"?z (尸)•
(154)
(154)
Это дифференциальное уравнение второго порядка называется дифференциальным уравнением вращательного движения твер^ дого тела вокруг неподвижной оси.
Если проинтегрируем это уравнение, то сможем найти угловую скорость тела со, а также найти выражение угла 屮 в функции времени 厶 т. е. определить закон вращения тела под действием приложенных к нему заданных сил Fk,
Если £吃(尸)=0, то £ =穿=0 и, следовательно, з =
= const = ④口, т. е. в этом случае будем иметь равномерное вращение тела. Если £ 加％ ⑺=const, то
£ тг (F)
е = -―const;
следовательно, вращение тела в этом случае является равномерно переменным.
Когда £ 血① найдены, то нетрудно определить реакции в точках О и О】. Из первых двух уравнений (153) имеем:
Х01 =一 ^ [W % (尸)+ ез2+ 灰]
п(155)
=；〔上加д：(尸)一С©2 十 万6，
Подставляя затем эти значения в уравнения (152), определяем из этих уравнений реакции X。и У。：
=—£凡-М (хс^ + 勿£)+ *£%(" + Ео)2 十灰]J
Yo =- £/ - Уо, - Муса2 + Мхсе =! (156)
=—士几一М (уса2— хсе)—~[^mx(F)—Da2 + Ее]. I
Наконец, из последнего уравнения (152) находим:
Z。+ Zs =-£%・(157)
Здесь мы встречаемся с той же неопределенностью, как и в статике в случае равновесия тела с двумя закрепленными точками, так как мы можем определить лишь сумму величин Zo+Z。” но не каждую из них в отдельности.
При выводе уравнений (152) и (153) мы предполагали, что составляющие сил Но и R°i направлены по осям координат в положительную сторону. Если же при решении этих уравнений мы получим для некоторых из этих составляющих отрицательные значения, то это будет указывать на то, что эти составляющие в действительности имеют направление, противоположное тому, которое принято на рис. 348.
§ 140. Случай вращения твердого тела вокруг его главнойцентральной оси инерции. Изменение кинетической энергиивращающегося твердого тела
Полученные в предыдущем параграфе формулы, определяющие реакции X。，У。，Х” и 匕^ закрепленных точек тела, содержат, кроме членов, зависящих от заданных сил 芻,еще члены, зависящие от со? и £. Вследствие этого при больших значениях зле эти реакции (а следовательно, и давления на подшипники, при помощи которых закреплено вращающееся тело) будут достигать большой величины, что является, конечно, нежелательным. Поэтому представляется весьма важным выяснить, при каких условиях эти реакции, а следовательно, и давления на подшипники будут зависеть только от приложенных к телу сил Fh и не будут зависеть ни от со, ни от е. Для этого, очевидно, в уравнениях (152) и (153) должны исчезать члены, содержащие(о2 и е, т. е. должны быть выполнены следующие условия:
0 H £ = О и
КС = Ус = о.
Условия D = Е = 0 показывают, что ось вращения z есть одна из главных осей инерции тела в точке О. Условия хс = ус ^ О показывают, что центр тяжести тела С лежит на этой оси z. Но если эти условия выполнены, то по теореме Ш, доказанной в § 138, ось z будет являться одной из главных центральных осей инерции тела.
Следовательно, для того чтобы давления, оказываемые вращающимся твердым телом на подшипники, we зависели ни от уело- вой скорости, ни от углового ускорения тела, необходимо 比 до- статочно^ чтобы ось вращения тела совпадала с одной из его главных центральных осей инерции.
Выведем теперь у равнение f выражающее изменение кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; этим уравнением часто приходится пользоваться при решении задач, относящихся к вращательному движению твердого тела.
Возьмем уравнение (154) предыдущего параграфа:
•Л察=工网(埼или九雾=必
Так как со =宴，то левую часть второго из этих уравнений можно преобразовать так:
следовательно, получаем уравнение
откудаилиилиоткудаилиили厶①，=Л/ ,22，
откуда
или
или
откуда
или
или
丿?з d(o — Mz - йф,
(158)(158)"〔'z В) = Mz-d^,
(158)
(158)
dT = M「d(p,
где T = J? 一夕 есть кинетическая энергия вращающегося твердого тела (§ 130), a Mz ■ d^> выражает, следовательно, сумму элементарных работ всех сил, приложенных к этолту телу, при его повороте на угол 〃屮.Отсюда, интегрируя, получаем:
?У
Т — TQ = ^ Mz d(p, или -； Jz (со2 — з$) = ^ Mz- d(p. (159) ①оФо
Это и есть уравнение, выражающее изменение кинетической энергии вращающегося твердого тела.
Если главный момент Mz выражен в функции угла поворота ф, то, вычисляя интеграл, стоящий в правой части уравнения (159),
ооРис. 35。Рис. 35。найдем из этого уравнения угловую скорость со как функцию угла (р.
о
о
Рис. 35。
Рис. 35。
Рассмотрим несколько примеров применения полученных результатов.
Пример 146. Однородный стержень ОА длиной I и весом 尸=Mg вращается 2 вокруг неподвижной точки 。в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рас. 350). Найти угловое ускорение и угловую скорость стержня, а также реакцию шарнира О, если в начальный момент стержень отклонен от вертикали на угол (jpo и отпущен без начальной скорости.
Решение. Направим оси координат Ох и。“，как указано на рис. 350. Ось вращения Oz будет перпендикулярна к плоскости чертежа; за положительное направ-
ление этой осп примем направление к читателю. Так как в данном случае заданной силой является только сила 尸，то
Mz = mz (尸)=—Mg у sin <p.
Момент инерции сюржня оиюсительно оси вращения Oz равен
厶=j0 =厶=j0 =必必
厶=j0 =
厶=j0 =
必
必
Подставляя эти значения в уравнение (154) предыдущего параграфа^ находим угловое ускорение стержня:
Для определения угловой скорости стержня применим теорему о кинетической энергии; так как ①q ~ 0, то будем иметь:
/。2 = Mgh,
где h — вертикальное перемещение центра тяжести стержня, причем, как видно из рис. 350,
无=彳(cos 中一cos q)0).
Подставляя значения Jq и 儿 получим:
М^2 Mgl /、
—g—=扌(cos ф — cos ф0), откуда находим:
0)2 = }(COS ф ——COS 中0) и
丨①丨=У у- (cos 中一cos ф0) !).
Определим теперь реакцию неподвижной точки (шарнира) О. При указанном на рис. 350 выборе осей Ох и Оу имеем:
Рх = Mg sin 中，Ру == Mg cos tp, л：с = 0 и yc = j, и уравнения (152) предыдущего параграфа принимают вид
Mg sin tp + ^о 十 £〃 2 = °，
Mg cos ф + Уо + ①2M ^一 = 0.
Из этих уравнений находим:
X。=— М (； 8 + gsiu*
% = — М (g cos ① + 号}
Подставляя сюда найденные выше выражения для(о2 и е, окончательно получим:
/ з\ р
Xq = М (彳 g sin ф — g sin 屮丿 =——《sin tp,
У。= — w [g cos tp 十 *| g (cos ф — cos(p0) j =
=—Mg fy cos <p — ^- cos(p0 j = — 2 (5 cos <p — 3 cos <p0).
1)Этот результат можно было бы, конечно, получить и из уравнения (159).
Когда стержень проходит через вертикальное положение, то ф = 0; в этот момент реакция шарнира направлена по вертикали вверх и равна по
модулю ~~ (5——3 cos(р0). Если ф0 = 90°, то cos % = 0, в этот момент в 2х/2 раза больше веса стержня.
Пример 147. Физическим (или сложным) маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси Oz под действием только силы тяжести (рис. 351). Найти движение маятника (ось Oz перпендикулярна к плоскости чертежа).
Решение. Обозначая расстояние ОС центра тяжести маятника от оси вращения через а и вес маятника через Р, причем Р = Mg, будем иметь, как и в предыдущем примере：
Mz = mz (Р) ==— Mga sin 屮,
и реакция шарнираи реакция шарнирагде q) — угол отклонения маятника от вертикали, отсчитываемый в направлении, обратном движению часовой стрелки.
и реакция шарнира
и реакция шарнира
Поэтому дифференциальное уравнение (154)в данном случае принимает вид
(160)(160)」z "^ =— Mga sm Ф-」z "^ =— Mga sm Ф-Это есть дифференциальное уравнение движения физического маятника. При малых отклонениях маятника можно принять с достаточной точностью sin 中=屮；тогда получим приближенное дифференциальное уравнение малых колебаний маятника
(160)
(160)
」z "^ =— Mga sm Ф-
」z "^ =— Mga sm Ф-
(161)(161)полагая здесьполагая здесьMgaMgaJz 衣 u_ Mg叫;
(161)
(161)
полагая здесь
полагая здесь
Mga
Mga
приведем это уравнение к виду
察+к绚=察+к绚=0.0.
察+к绚=
察+к绚=
0.
0.
Это есть уже известное нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний (см. § 115).
Интегрируя это уравнение в предположении, что начальная угловая скорость маятника равна нулю, получим:屮==中。cos (Az); это уравнение выражает закон движения маятника при малых колебаниях. Отсюда следует, что полный период колебаний Т маятника приближенно равен
7 П然2冗］/給7 П然2冗］/給(162)(162)
7 П然2冗］/給
7 П然2冗］/給
(162)
(162)
Так как для простого (математического) маятника период колебания приближенно выражается формулой
Т = 2п J/ ；
где I — длина маятника, то из формулы (162) видим, что если простой маятник будет иметь длину
Л/а'
то он будет колебаться синхронно с данным физическим маятником.
Величина I = ^~ называется приведенной длиной физического маятника.
П р и м е р 148. Однородное твердое тело, имеющее форму тела вращения вокруг оси %', вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг неподвижной вертикальной оси z, проходящей через центр тяжести тела С. Определить горизонтальные реакции подпятника О и подшипника О1? если угол между осями z равен а (рис. 352).
Решение. Возьмем начало координат в центре тяжести тела С; горизонтальную ось у направим так, чтобы она лежала в одной плоскости с осями z и /• Так как данное тело является телом
вращения вокруг оси z', то ось Сх (как и всякая другая ось, проходящая через центр тяжести тела и перпендикулярная к оси z') будет одной из главных центральных осей инерции тела, а потому
Е =： £ mxz = 0.
Из условия со = const следует, что £ = 0; так как, кроме того, центр тяжести тела лежит на оси z, то 2c = % = °.
Если обозначим расстояния СО и Сб\ соответственно через а и 6 и положим а + b = А, то четыре из уравнений (!52) и (153), содержащие искомые реакции X。，У。，и Уд, принимают в данном случае следующий вид:
~ bY0[ + aY0 —0炉=0,bXOi 一 аХ° = 0;
где Q = £ mzy.
Из второго и третьего уравнений находим:
X。= X” = 0；
следовательно, горизонтальные реакции в точках О и Ог будут параллельны оси у. Далее, из четвертого уравнения имеем:
%, ― У。；
отсюда следует, что эти реакции равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. образуют пару сил, как показано на рис. 352. Подставляя У。вместо — У。] в первое уравнение, находим из него:
V00)2Q ①2
У。 =一中 =丁.
Первые два из этих уравнений отличаются от уравнений (153) членами, содержащими Xq и У。потому, что начало координат мы взяли в точке С, а не в точке О.
Для вычисления центробежного момента инерции Р проведем главную центральную ось инерции Cyf, перпендикулярную к Cz и лежащую в плоскости zCy (рис. 353). По известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат при повороте осей на угол а будем иметь:
у = yf cos а — z‘ sin a, z = у' sin а 十 z‘ cos а.
Следовательно,
Q=£ mzy = sin а ■ cos а £ пгу'? — sin а • cos а £ mz'?十
Но так как ось Cyf является главной осью инерции тела, то £ mzyf = О,Но так как ось Cyf является главной осью инерции тела, то £ mzyf = О,+ cos2 а £ mzyr — sin2 а £ mz'y'.
Но так как ось Cyf является главной осью инерции тела, то £ mzyf = О,
Но так как ось Cyf является главной осью инерции тела, то £ mzyf = О,
а потому
D = Е sin 2a (£ ту^ — £ mzf2)t или
D = у sin 2а [Еm(xf^ + у/2)—Е m(xz2+/2)].
Принимая во внимание, что
£ m (х/2 + у'?)=厶，и S (讶'2 + z^—Jy,^ получим окончательно:
D ~ ^ sin 2а (Jz> —厶/)・
Подставляя это значение в полученную выше формулу для У。, находим: (乙,一厶,)sin 2a
Если J^V J#, то направление силы У。совпадает с отрицательным направлением оси у.
Плоскопараллельное движение твердого тела
Как известно из кинематики, плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором расстояние каждой точки тела от данной неподвижной плоскости остается постоянным и при котором, следовательно, все точки тела движутся в плоскостях, параллельных этой неподвижной плоскости.
Предположим, что данное твердое тело движется параллельно некоторой неподвижной плоскости, которую примем за координатную плоскость хОу} под действием системы сил F1? F2, ..., Fn ]) (рис. 354).
Из кинематики известно также, что при плоскопараллельном движении положение твердого тела определяется тремя параметрами: двумя координатами какой-нибудь точки этого тела и углом его поворота вокруг оси, проходящей через эту точку и перпендикулярной к той неподвижной плоскости, параллельно которой
В эту систему, кроме заданных известных сил, могут входить и неизвестные реакции связей.
движется данное тело. Будем определять положение движущегося тела координатами /, и ус его центра тяжести и углом поворота ф вокруг оси z', проходящей через центр тяжести С и параллельной оси гг). Для определения плоскопараллельного движения тела мы должны найти выражения этих трех параметров хс, г/с и ю
Рис. 354.Рис. 354.в функциях времени Z, для чего необходимо составить три дифференциальных уравнения.
Рис. 354.
Рис. 354.
Эти уравнения мы полу, чим, применяя, так же как и в § 139, принцип Даламбера. Проведем через центр тяжести С, кроме оси z, параллельной оси z, еще две другие координатные оси Н и 矿， предполагая, что эти оси “ остаются все время параллельными неподвижным осям 力 и у (рис. 354), так что движение подвижной системы осей С£у‘z\ т. е. переносное движение, будет поступательным. Тогда относительным
движением данного тела, т. е. движением его относительно подвижной системы осей Сх'у’z\ будет вращение вокруг оси Cz'. Как известно из кинематики (§ 82), ускорение w каждой точки тела при плоскопараллельном движении равно векторной сумме двух ускорений: 1) переносного ускорения этой точки, равного ускорению какой-нибудь точки тела, выбранной за начало подвижной системы осей, т. е. в рассматриваемом случае равного ускорению wq точки С, и 2) относительного ускорения wT этой точки, т. е. в данном случае ее ускорения во вращательном движении вокруг оси Cz‘. Это относительное ускорение wr складывается в свою очередь из двух ускорений ——нормального wrn и касательного гг”. Следовательно,
= wc + wrn + wrx.
Если разобьем данное тело на элементарные материальные частицы, то сила инерции каждой такой материальной частицы А, массу которой обозначим через т} будет равна
FI1H = — mw = — m (гл, + wrn + wr^ = — mwc —加加「制—加加rc
За положительное направление отсчета этого угла принимаем направление, обратное движению яасовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z'・
илиили
или
или
F^=^Fr + F^ + F^t
где 理н = ——mwc есть переносная сила инерции материальной частицы A, a Frn = — ^^т и ^гх = ~ mwrr обозначают соответственно нормальную и касательную силы инерции этой частицы
в ее относительном движении, т. е. во вращательном движении вокруг оси Cz . Сечение данного тела плоскостью Cxfyf и проекции этих сил инерции на эту плоскость показаны на рис. 355; понятно ,что все силы инерции параллельны плоскости С岔'у', а потому их проекции на эту плоскость равны самим силам.
Из векторного равенства F^H= —mu>c следует, что переносные силы инерции материальных частиц тела параллельны ускорению д, а следовательно, параллельны между собой, и, кроме того,
пропорциональны массам этих частиц, а потому эти силы приводятся （так же как силы тяжести） к одной равнодействующей, линия действия которой проходит через центр тяжести тела С
и которая равна
£ F™ = — £ тюс = ^wc^m^ — MwCl
где М ——масса данного тела.
Согласно принципу Даламбера, силы 居,приложенные к данному телу, и силы инерции всех его материальных частиц находятся в равновесии; поэтому, пользуясь уравнениями статики и приравнивая нулю суммы проекций всех этих сил на оси хг и у' и сумму из моментов относительно оси CW、получим нужные нам три уравнения, определяющие плоскопараллельное движение тела.
Как мы видели в § 139, суммы проекций сил инерции F™ и 尸£ на оси 力‘ и『выражаются так:
£ （尸歌）久，="砲32,£ （跚）j = My'c^,
2 （/^%，= Му/, 2 （歹胃）у，= - М^е, где s и £ обозначают угловую скорость и угловое ускорение тела во вращательном движении вокруг оси С zf.
Так как начало осей С£у‘ z‘ совпадает с центром тяжести тела, то хс — у'с = 0. Поэтому все эти суммы равны нулю.
Далее, из равенства
^Ffn = —Mwc
следует, что суммы проекций сил 露11 на оси 力'и у' равны
£尸貶=—М〃Сх， и
£尸器=一 Mwc^t
Таким образом, получаем два следующих уравнения:
£凡/ — Mwcx' — 0, £%，一 Mwc^j = 0.
Так как оси 力'и у' параллельны осям / и у, то входящие в эти уравнения проекции сил Fh и ускорения w^ можем заменить равными им проекциями на неподвижные оси 力 и у. Сделав эту замену, получим:
£凡一MwCx = 0, ^Fy — MwCy = 0.
Но ^сd%c
а потому предыдущие уравнения принимают вид
"争= w4, "争=士尸У（163）
Заметим, что эти уравнения мы могли бы сразу получить из теоремы о движении центра масс системы.
Переходим к составлению уравнения моментов сил относительно осп Cz‘. Моменты сил F™ относительно этой оси равны, очевидно, нулю, так как все эти силы пересекают эту ось. Сумма моментов сил F™ по теореме Вариньона равна моменту их равнодействующей, а так как линия действия этой равнодействующей проходит через точку С, то ее момент относительно оси Cz равен пулю, а потому
£解欧（尸”）=0.
Сумма моментов сил 尸重 относительно оси Cz' согласно сказанному в § 139 равна
£^，照）=一小，
где 几2，一 момент инерции тела относительно оси Cz'・ Таким образом, приходим к уравнению
£ w?Cz，（尸）一JCz，e — 0, или
Jcz，^ =工加3 （歹）•（164）
Так как s = ^, то это уравнение можно представить еще в виде S奈= £/№).(164，)
Итак, мы получили три уравнения:
〃嘗= £%, М^ = ^Р^ 几，券= !>“(歹)，(165) которые представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Интегрируя эти дифференциальные уравнения второго порядка, найдем ус и ф в функциях от 土 и, следовательно, найдем движение тела. Если в число сил Fk будут входить неизвестные реакции связей, то для определения движения тела, кроме уравнений (165), нужно лринимать во внимание дополнительные условия, которые данные связи налагают на движение тела.
Рассмотрим один частный случай. Допустим, что вначале тело находится в покое, и пусть £ mcZ'(歹)=0. В таком случае з()= 0. а уравнение (164) принимает впд
“5=0 или dt =0;
из этого уравнения следует, что
з — const = G)u = 0;
Для этого найдем мгно-Для этого найдем мгно-отсюда заключаем, что тело в этом случае движется поступательно. Выведем теперь формулу для кинетической энергии твердого
Для этого найдем мгно-
Для этого найдем мгно-
СС‘ = / от точки С3СС‘ = / от точки С3где w есть угло-где w есть угло-тела при плоскопараллельном движении венный центр вращения С' плоской фигуры,представляющей собой сечение данного тела плоскостью Сх'у (рис. 356). Из кинематики известно, что мгновенный центр вращения такой плоской фигуры лежит на перпендикуляре, восставленном в точке С фигуры к скорости гс этой точки, на расстоянии
СС‘ = / от точки С3
СС‘ = / от точки С3
где w есть угло-
где w есть угло-
卫ая скорость вращения фигуры вокруг точки С} или, что то же, угловая ско-
рость, с которой вращается данное тело вокруг оси Cz', проходящей через С и перпендикулярной к плоскости фигуры (§ 79). Вращение тела вокруг мгновенной оси, проходящей через Сг и параллельной оси Cz', происходит с той же угловой скоростью wy как и вокруг оси С£,
Поскольку движение данного тела теперь можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, которую обозначим через C'z", то, чтобы найти кинетическую энергию Т этого тела, достаточно вычислить его кинетическую энергию в этом вращении; эта энергия равна половине произведения квадрата угловой скорости тела на момент инерции его относительно оси вращения; следовательно, будем иметь:
где Jc，z〃 ——момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения. Но по теореме о зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей (§ 136) имеем:
Jc^ = Jc^+M-CC,\ а потому
T^\jCz^+~M-CC'2^.
Подставляя сюда вместо СС‘ его значение, получим:
T = ~Mv^+~ JCz,^.(166)
Эта формула определяет кинетическую энергию твердого тела при плоскопараллельном движении: если тело движется параллельно данной неподвижной плоскости, то его кинетическая энергия равна
сумме кинетической энергиисумме кинетической энергиицентра тяжести е предположении, что 6 нем сосредоточена вся масса тела, и кинетической энергии тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр тяжести и перпендикулярной 鬼 данной неподвижной плоскости.
сумме кинетической энергии
сумме кинетической энергии
Рассмотрим несколько примеров, относящихся к случаю плоскопараллельного движения тела.
Рпс. 357.Пример 149. Однородный
круглый цилиндр радиуса 尸 и массы М скатывается без скольжения под действием силы тяжести по негладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а (рис. 357). Найти ускорение центра тяжести цилиндра, а также условие, при котором возможно качение цилиндра без скольжения.
Решение. На цилиндр действуют следующие силы: вес Р, нормальная реакция N плоскости, линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра С； и сила трения F, направленная вверх по наклонной плоскости.
Взяв координатные оси, как указано на рис. 357, составим три дифференциальных уравнения движения цилиндра:Взяв координатные оси, как указано на рис. 357, составим три дифференциальных уравнения движения цилиндра:= Mg sin a —F,M *• = Mg cos a — N,3)几需i= Mg sin a —F,M *• = Mg cos a — N,3)几需iгде J, есть момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей яерезгде J, есть момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей яерезего центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости вОу. едвижения у, = 0, тоего центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости вОу. едвижения у, = 0, тоТак как во все времяТак как во все времяследовательно, из второгоследовательно, из второгоуравнения получаем:уравнения получаем:N — Mg cos aN — Mg cos aТак как цилиндр катитсяТак как цилиндр катитсябез скольжения, то рс —尸① и, следовательно,без скольжения, то рс —尸① и, следовательно,加cds而 = 5加cds而 = 5Поэтому первое из дифференциальных уравнений принимает вид"尸 NT = "g sin 01 —F.Поэтому первое из дифференциальных уравнений принимает вид"尸 NT = "g sin 01 —F.Исключая F из этого уравнения и уравнения 3), получим: (Мг2 + 几)翁=Mgr sin a,Исключая F из этого уравнения и уравнения 3), получим: (Мг2 + 几)翁=Mgr sin a,илиилиMgr sin a,Mgr sin a,так как для однородного цилиндратак как для однородного цилиндраJcJc萼.Отсюда находим:萼.Отсюда находим:
Взяв координатные оси, как указано на рис. 357, составим три дифференциальных уравнения движения цилиндра:
Взяв координатные оси, как указано на рис. 357, составим три дифференциальных уравнения движения цилиндра:
= Mg sin a —F,
M *• = Mg cos a — N,
3)几需i
= Mg sin a —F,
M *• = Mg cos a — N,
3)几需i
где J, есть момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей яерез
где J, есть момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей яерез
его центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости вОу. едвижения у, = 0, то
его центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости вОу. едвижения у, = 0, то
Так как во все время
Так как во все время
следовательно, из второго
следовательно, из второго
уравнения получаем:
уравнения получаем:
N — Mg cos a
N — Mg cos a
Так как цилиндр катится
Так как цилиндр катится
без скольжения, то рс —尸① и, следовательно,
без скольжения, то рс —尸① и, следовательно,
加cds
而 = 5
加cds
而 = 5
Поэтому первое из дифференциальных уравнений принимает вид"尸 NT = "g sin 01 —F.
Поэтому первое из дифференциальных уравнений принимает вид"尸 NT = "g sin 01 —F.
Исключая F из этого уравнения и уравнения 3), получим: (Мг2 + 几)翁=Mgr sin a,
Исключая F из этого уравнения и уравнения 3), получим: (Мг2 + 几)翁=Mgr sin a,
или
или
Mgr sin a,
Mgr sin a,
так как для однородного цилиндра
так как для однородного цилиндра
Jc
Jc
萼.Отсюда находим:
萼.Отсюда находим:
|gsina.
Следовательно, искомое ускорение центра тяжести цилиндра будет равно "% ds 2.
Из уравнения 3) находим силу трения:
r，」С ds Мт* d(d 1 〃. Р .
"=丁石=一牙^ =m"g ‘in a = gsin a.
На основании закона Кулона имеем:
w W/M
где / — коэффициент трения; заменяя здесь 歹 к 7V найденными значениями, получим:
1
Р sin а V /Р cos а, откуда
f为百tg а・
Это неравенство является условием возможности качения цилиндра без скольжения.
Пример 150. Определить при условиях предыдущего примера ускорение центра тяжести цилиндра, применяя теорему о кинетической энергии.
Решение. Кинетическая энергия цилиндра по формуле (166) будет равна
Т = М必 + -^ Jq со2 = 〔Ми. + -； Л/т^м)=
=-；М ^С + -；尹炉)=2 м ：论 + ；- %) = ^ М%.
Обозначим путь, пройденный точкой С, через s; так как угол между направлением силы Р н скоростью гс равен 90° — а, то работа этой силы на пути s будет равна Mgs sin а. Работа же сил N п F равна нулю〔).
Если вначале цилиндр был неподвижен, то То = 0, и уравнение, вира- гкающее теорему о кинетической энергии, принимает вид
33
% М% = Mgs sin а, или -^ v^ gs sin а.
Дифференцируя это уравнение по времени, получил!：
3 dvc .2 % k = g Sin °3 dvc .2 % k = g Sin °dsdt *dsdt *
3 dvc .
2 % k = g Sin °
3 dvc .
2 % k = g Sin °
ds
dt *
ds
dt *
Пример 151.Пример 151.
Пример 151.
Пример 151.
ds
Отсюда, заметив, чтоОтсюда, заметив, что也 = 气，находим искомое ускорение:
Отсюда, заметив, что
Отсюда, заметив, что
2
丁 = ”С = 3 g sin а.
Однородный стержень АВ длиной 2Z и весом Р опи
рается концом А на гладкий горизонтальный пол. Вначале стержень образует с полом угол в 60° и находится в покое, а затем начинает падать. Определить траекторию конца В стержня и давление стержня на пол в момент начала движения (рис. 358).
Решение. Возьмем оси координат, как указано на рис. 358, при этом ось у выберем так, чтобы опа проходила через начальное положение центра тяжести стержня. Угол стержня с вертикалью обозначим через ср, а нормальную реакцию пола в точке А — через М
Будем обозначать для краткости первые и вторые производные по времени одной и двумя точками. Тогда дифференциальные уравнения движения
1) Работа силы трения 尸 равна нулю потому, что при качении цилиндра без скольжения скорость точки А, в которой приложена эта сила, равна нулю.
стержня напишутся в следующем виде:^
1)川动=U,
Мус = 7V — 尸，
3)几中=2N sin Ф»
Из уравнения 1) следует:
&С = const —泞、
но так как в начальный момент стержень неподвижен, то будем иметь:
品'=0
и, следовательно,
= 0.
Отсюда, интегрируя, находим:
%с = const =喏，
но так как по условию в начальный момент центр тяжести стержня лежит на осн у, то
Xq = 0
и, следовательно,
2 c = 0.
Этот результат показывает, что при падении стержня его центр тяжести движется по оси у. Обозначив теперь координаты точки В через х и у, из чертежа находим:
х = — I sin ф, у = 2£ cos ф.
Исключая отсюда <р, получим уравнение траектории точки В:
следовательно, точка 8 описывает эллипс с полуосями / и 2/.
Для определения искомой начальной реакции пола 2Vo обращаемся к дифференциальным уравнениям 2) и 3). Так как в эти уравнения входят три неизвестные величины: N, ус и $, то для решения задачи нужно иметь еще одно уравнение; это дополнительное уравнение можно получить, установив зависимость между ус и с. Из треугольника АСО имеем:
ус = I cos ф；отсюда дифференцированием по t получаем:
ус = — Z sin tp р 且 Re = — / 佃出 q) • ? + cos tp • ф2).
Так как вначале стержень неподвижен, то его начальная угловая скорость равна нулю, т. е. ^0 — 0, и, следовательно,
Ус = — ^sin(р0 -?о>
где q)0 обозначает начальное значение угла 中，а % есть начальное значение углового ускорения стержня. Кроме того, для момента инерции стержня относительно точки С имеем:
4/2 МР ^)
JC = 12 М 丁 •
См. пример 144 в § 136.
Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения 2) и 3), получим:
Р ~ NQ Ml sin ф0 • г?。， Nq sin % =岑 К.
Отсюда, исключая <f0, приходим к уравнению
Р — 泾=3N° sin2 仇， из которого находим:
М - [ + 3 ЙН5 欣.
Так как по условию задачи(р0 = 30° и, следовательно, sin2 <р0 = — , то
4М ” Р
Таким же по модулю будет и давление стержня на пол в начальный момент.
ГЛАВА 30
МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ
§ 142* Обобщенные координаты системы
Обобщенными или лагранжевыми координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно в любой момент определить положение этой системы и, следовательно, выразить декар-
Рис. 359.Рис. 359.товы координаты всех ее точек через эти параметры.
Рис. 359.
Рис. 359.
Число этих независимых параметров определяет число степеней свободы данной системы.
АВ =АВ =Рассмотрим, например, кривошипно-шатунный механизм, состоящий из кривошипа О А = г, шатуна
АВ =
АВ =
I и крейцкопфа В (рис. 359). Положение этого механизма,
очевидно, вполне определяется одним параметром: углом поворота ф кривошипа. Координаты точек А и В выражаются через (Р, как легко видеть из чертежа, следующим образом:
жх = г cos ф, у、= т sin 屮，
力2 = г COS ф + УI2 ——「2 sin2(pT y2 = 0.
В данном случае мы имеем систему с одной степенью свободы.
В качестве второго примера возьмем центробежный регулятор
(рис. 360). Положение этой системы определяется двумя параметрами: углом ф поворота регулятора вокруг вертикальной оси z, отсчитываемым от плоскости zOxf и углом а между этой осью и
стержнями ОМ】 или ОМ2. Эта система имеет, следовательно, две степени свободы. Если длину стержней ОМ、и ОМ2 обозначим
через 厶，а длину стержней МгМ3 и М2М3 ——через %, то декартовы координаты точек “и М2 и М^ будут равны
出=厶 sin a cos ф,
~ 厶 sin а sin 屮，
z1 =厶 cos а,
& =—厶 sin a cos ср, у2 =—厶 sin a sin 屮， Z2 =厶 cos а,
g =0，% =。，
4 —厶 cos а + ]/ 写一I； sin2 а.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, представляет собой
систему с тремя степенями свободы, так как положение такого тела определяется, как известно из кинематики (§ 84), при помощи трех независимых параметров ——трех углов Эйлера.
Рассмотрим теперь общий случай системы, состоящей из п материальных точек и имеющей к степеней свободы. Обозначим обобщенные координаты этой системы через д】，д&, ..., qh.
Тогда декартовы координаты каждой точки М{ (^,沙浦 zj системы могут быть выражены как функции параметров ，户 т. е.
(167)(167)% =皿（先，q2,…，*），Уг =%（弘，《2,…，外），Zf = Zf （弘，《2,…g） « = 1，2,…，n）.
(167)
(167)
Так выражаются декартовы координаты точек системы через ее обобщенные координаты в том случае, когда на систему наложены стационарные геометрические связи, т. е. такие связи, в уравнения которых время Z не входит (§ 120). Если же связи, наложенные на систему, являются нестационарными, то в уравнения этих связей входит в качестве аргумента время t, а потому оно будет входить и в правые части уравнений (167), т. е. в этом случае будем иметь:
0 =%(%, %,…，qg 2), Уг н %(9丄，02，…，9/1，％)，
z? н 生(％,，2,…，％，％), (» = 1, 2,n).(168)
Если исключим из этих Зп уравнений или из уравнений (167)
к параметров ^, q^ ..., ^, то получим Зп — к уравнений между координатами ^, у” 马,т. е. получим соответственно уравнения нестационарных или стационарных связей, о которых говорилось в § 120 [уравнения (90) или уравнения (89)].
§ 143. Условия равновесия системыв обобщенных координатах
Пусть данная механическая система, на которую наложены стационарные геометрические связи, имеет & степеней свободы и находится под действием заданных сил 冗 (г 二—1, 2,..., тг), приложенных в точках М{ (^, у», zj. Обозначая обобщенные координаты этой системы через ‘口 ^3, ..., qk, согласно сказанному в предыдущем параграфе будем иметь:■
Xi = g(91,g2，…，阪)，Уг ~ %(9丄，G，…，9/)
Zi = Zj (g1，q2,…，04) (i ~ 2，2,...,几).
Всякой (произвольной) системе значений параметров ql4 q2f .,., g电 в определенной области их изменения соответствует определенное положение данной механической системы. При бесконечно малых изменениях этих параметров данная система получает соответствующие возможные перемещения. Если элементарные изменения (вариации) обобщенных координат обозначим через 6夕口 ё^2,..., бд^, то вариации декартовых координат точек %, определяющие возможные перемещения этих точек, находятся из предыдущих равенств как полные дифференциалы функций д,沙錯 zi от к независимых переменных %, %， .一, 9左，т- е-
б%?=
需阮十
旣 6«2 + •
.дхА $
• 十就6备，
6% =
器"先十 •
(169)
6z尸
(г = 1, 2, ..., п).
Если обозначим проекции силы Fi на координатные оси через Х^ У； и 2储 то, умножая предыдущие равенства соответственно на Х^, У^ и Zj и затем складывая их, получим выражение
элементарной работы этой силы 64 = Xq力成 + 丫启弘 + ZQZj к jx +【X爲+匕歌+ Z,；；；)“2十
в обобщенных координатах: 魚+ y讚"嗚小弘十 …+代跷+匕馭十厶旣麻.
Суммируя эти выражения по индексу 力 и вынося при этом множители 6,丄,б,?，•••, 6夕立 за скобки, найдем сумму элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему:
+处£(X黑十 y信+厶窈十
+ М厂化凱戸謊十紹:”
Если введем обозначения
i = 1
У(X；+ У戶+ 厶戸)=Q
厶' 2 對23g・21 dQ^)
[/J 2@勿十" a我十2 @勿丿"儿
то предыдущее выражение элементарной работы в обобщенных координатах примет следующий вид:
£ 64 = ©Ml +。2“2 ++ Q向А・(171)
Выражения Qi, Q2l •••, Q^ носят название обобщенных сил. Обобщенные силы определяются или по общим формулам (170), или еще другим приемом, который часто оказывается более удобным при решении задач. Дадим системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна какая-нибудь обобщенная координата, например ,口 а все остальные координаты остаются неизменными; тогда будем иметь:
6,10, 6,23夕左■— 0.
Если сумму элементарных работ сил Fi на этом перемещении
n
обозначим через £6/；，то на основании равенства (171) получим;
2 6崖= &・м“
откуда находим:
g =气「("2)
Таким образом, чтобы найти обобщенную силу Q】，нужно дать системе такое возможное перемещение, при котором только одна обобщенная координата д】получает приращение бд】,а все остальные обобщенные координаты остаются неизменными, затем определить на этом перемещении сумму элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и разделить эту сумму на вариацию 6gl.
Из формулы (172) следует, что размерность обобщенной силы выражается так:
[работа]
Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не сов〕 падает с размерностью силы. Если, например, обобщенной координатой ,1 системы является некоторый угол, то q工 будет выражаться в отвлеченных единицах (в радианах); тогда соответствующая этой координате обобщенная сила Qi будет выражаться в единицах работы (而ам). Пользуясь выражением (171) для элементарной работы, можно получить условия равновесия системы в обобщенных координатах. В самом деле, если связи, наложенные на систему, являются совершенными, то на основании принципа возможных перемещений (§ 124) и равенства (171) условие равновесия системы принимает следующий вид:
Qi * 6gl + & “3,2 + …+ Qq Sq^ = 0.
Это равенство должно выполняться при всяком возможном перемещении системы, т. е. при любых} независимых друг от друга значениях вариаций ё^, ё^2, •••, 6g舟,а для этого необходимо и достаточно ,чтобы все коэффициенты Q*, ^3, ..., Qk при этих вариациях равнялись нулю; таким образом, условие равновесия, выражаемое предыдущим равенством, равносильно следующим к условиям:
© = °? 02 =。…г Q* — 0)© = °? 02 =。…г Q* — 0)(174)(174)
© = °? 02 =。…г Q* — 0)
© = °? 02 =。…г Q* — 0)
(174)
(174)
т. е. для того, чтобы система с совершенными связями оставалась 6 данном положении в равновесии, необходимо w достаточно, чтобы все обобщенные силы, вычисленные для этого положения системы, равнялись нулю.
Отсюда следует, что число условий равновесия системы в обобщенных координатах равно числу степеней свободы этой системы.
Пример 152. Найти условие равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные точки и находящегося под действием заданной системы сил Fl (рис. 361).
Рис. 361.Рис. 361.zOxf обозначимzOxf обозначими подвижной плоскостьюи подвижной плоскостьюРешение. Возьмем две системы координатных осей: неподвижную 。①yz, причем ось z проходит через^закрепленные точки тела О и О', и под^ вижную О①'y'z, связанную с данным телом. Угол между неподвижной плоскостью zOk
Рис. 361.
Рис. 361.
zOxf обозначим
zOxf обозначим
и подвижной плоскостью
и подвижной плоскостью
.через ф, причем будем отсчитывать этот угол от неподвижной плоскости в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z・ Данное тело может получить только вращательное перемещение вокруг неподвижной оси z； так как его положение вполне определяется одним параметром — углом q)t то это тело представляет собой неизменяемую систему с одной степенью свободы. Примем угол 屮 за обобщенную координату этой системы, т. е. положим % = ф. Если обозначим координаты точки М^ тела, т. е. точки приложения силы 招 匕 в неподвижной системе осей, через 勿纟 и у^ а в подвижной системе 一 через 所 и %, то по
известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат при повороте системы осей на угол 屮 будем иметь:
Xi =耳 cos 屮 一 у； sin q), yw ~ * sin ①十 yj cos 屮.
Что касается третьей координаты z； точки М^ то при вращении тела вокруг оси z эта координата, очевидно, не изменяется; следовательно, zt = const. Из этих равенств находим:
6冲 __ 一(①；sin 屮 + * cos 中)dф,
6责=(* cos 屮一也 sin 屮)6屮，6zt = 0i) или
6①£ = 一 ?/广 6①，6g2 =①「 6中，6z2 = 0.
Отсюда для элементарной работы силы 招 получаем следующее выражение:
6% =占63+匕6yi + Z力Z2 =(修n-yiXi) 6屮.
Но, как известно из статики (§ 40), выражение, заключенное в скобках, есть момент силы 招 относительно оси z, т. е.
а потому
6% = шг (/) • 6屮
I) Координаты а； и у；——величины постоянные, так как подвижные оси неизменно связаны с данным телом.
и, следовательно,
士 dAj — 士 /Hz (招)“ 6屮—6屮• 1s mz (^j).
Так как
где Mz обозначает главный момент системы сил 招 относительно оси z, то предыдущее равенство можно представить в виде
W дЛ^ = Л/2 • 6q),
т. е. сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, вращаю- гцемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента этих сил относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела.
С другой стороны, если обозначим через Q】обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате 弘=屮，то из равенства (171) получаем:
备必? = Qi . 6%=Q「6屮.
Следовательно,
Qi • 6屮=Mz ■ 69，
откуда находим обобщенную силу:
Qi =必=Smz (招).
Мы видим, что в рассматриваемом случае роль обобщенной силы играет глав-
данная горизонтальнаяданная горизонтальнаяприложенных к телу, относительно оси вращевия тела. Условие равновесия тела будет выражаться равенством
данная горизонтальная
данная горизонтальная
Qi — 0, или 士 mz (招)=0.
Мы получили, как этого и следовало ожидать, тот же результат, к которому другим путем пришли в перво立 части курса (Статика, § 50).
Пример 153. На шарнире О закреплен однородный стержень ОА длиной 2厶 и весом 尸^ в точке А с ним соединен при помощи шарнира второй однородный стержень АВ длиной 2厶 и весом 尸2； к концу В этого стержня ирилоя;ена сила 尸з・ Вся система находится в равновесии
в вертикальной плоскости. Найти углы q\ и q)2 стержней ОА и АВ с вертикалью (рис. 362).
Решение. Возьмем оси координат, как указано на рис. 362. Углы (Pi и(р2 примем за обобщенные координаты, определяющие положение данной системы. Из ч epi ежа находим, что координаты точек С 丄(①卜 у) C2(xZl у“ н
В (сз, 1/3), в которых приложены заданные силы, выражаются через фх и q)2 следующим образом:
力=厶 COS (J)i，旳 =2厶cos % + 厶c°s屮2，Уз — 2E］ cos 屮］T- 22? cos 屮2*6力=-厶sin屮拉屮》6У2 =一 2hsin屮2屮1 一 为sin屮№屮2, ,6% =- 2厶sin屮2屮1 ~~ 2厶sin %3屮2"力=厶 COS (J)i，旳 =2厶cos % + 厶c°s屮2，Уз — 2E］ cos 屮］T- 22? cos 屮2*6力=-厶sin屮拉屮》6У2 =一 2hsin屮2屮1 一 为sin屮№屮2, ,6% =- 2厶sin屮2屮1 ~~ 2厶sin %3屮2"a?i = A sin фх,
力=厶 COS (J)i，
旳 =2厶cos % + 厶c°s屮2，
Уз — 2E］ cos 屮］T- 22? cos 屮2*
6力=-厶sin屮拉屮》
6У2 =一 2hsin屮2屮1 一 为sin屮№屮2, ,6% =- 2厶sin屮2屮1 ~~ 2厶sin %3屮2"
力=厶 COS (J)i，
旳 =2厶cos % + 厶c°s屮2，
Уз — 2E］ cos 屮］T- 22? cos 屮2*
6力=-厶sin屮拉屮》
6У2 =一 2hsin屮2屮1 一 为sin屮№屮2, ,6% =- 2厶sin屮2屮1 ~~ 2厶sin %3屮2"
% = 2厶 sin j + 勾 sin 屮2,
弋3 = 2厶 sin (p! + 2厶 sin q)2,
Отсюда находим:
6Gl =厶 cos q)1dq)1J
6% = 2A cos q)1dq)1 十 为 cos 屮26屮2,
6*3 = 2厶 cos q)1dq)1 + 2% cos 屮我恥,
Проекции заданных сил на координатные оси равны
爲=0, % =尸 1, % = 0, % =尸2，羽=尸з，% = °・
Составляя сумму элементарных работ заданных сил при возможном перемещении системы, получим:
2dAi =五2网 + У16% + &2/2 + ?2的2 + 五3“3 + у38уз
= 一尸山sin屮2屮］一 2P2厶sin %6屮1 一尸2为S也фа^Фа +
+ 2尸з厶cos屮2屮1 + 2尸3厶cos屮26屮2 =
=厶(-尸 1 sin % — 2。2 sin % + 2。3 cos 吶)6% +
+为(-尸2 sin屮2 + 2尸3 cos恥2平2，
В этом выражении коэффициенты при 6屮］и 6屮2 представляют собой обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам 屮】и 屮？； следовательно,
Qi =厶［2尸3cos б —(尸1 + 2PJ sin q)J Q2 =勾(2% cos q)2 — P2 sin 恥)
Приравнивая нулю эти обобщенные силы, получим следующие два уравнения:
2Р3 cos % —(尸1 + 2尸2)sin б = 0, 2「з cos q)2 — P2 sin q)2 — 0,
tg6tg62%尸2 •2%尸2 •из которых находим:
tg6
tg6
2%
尸2 •
2%
尸2 •
g % = A + 2%，
Заметим, что обобщенные силы Q^ и Q2 можно было бы найти и по общим формулам (170):
ql e (嘀+喷"嚼廿喘+嘴= г = 1
=—PJi sin % — 2尸2厶 sin б + 2尸3厶 cos 5 =
=h ［2尸§ cos ф — (Pi + 2尸2) sin %］, з
i = l"
=—尸2勾 sin % + 2尸3勾 cos % = % (2% cos 恥—P2 sin %)・
Возможные перемещения системыв случае нестационарных связей
В задачах статики, решение которых методом обобщенных координат мы рассмотрели в предыдущем параграфе, связи, наложенные на механическую систему, всегда являются стационарными. Но в динамике связи могут быть и нестационарными. Каковы же будут возможные перемещения точки или системы материальных точек в случае нестационарных связей? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала материальную точку М, принужденную перемещаться по заданной поверхности, которая сама движется определенным образом в пространстве; в уравнение такой движущейся поверхности, поскольку ее положение в пространстве изменяется с течением времени, будет входить аргумент t, и, следовательно, это уравнение имеет вид
/ (с, у, z, t) = 0, (175) т. е. связь является нестационарной.
Представим себе, что в некоторый момент 看 движение поверхности (175) прекратилось; тогда с этого момента связь становится стационарной, и в уравнении (175) аргумент С нужно будет рассматривать как постоянный параметр, т. е. полагать t = const. Под возможным перемещением точки М будем понимать всякое элементарное перемещение этой точки, допускаемое s данный момент t связью (175) при условии, что с этого момента связь становится стационарной. Но если с момента С поверхность (175) становится неподвижной, то, как мы видели в § 122, всякое возможное перемещение точки М лежит в касательной плоскости этой неподвижной поверхности. Следовательно, в рассматриваемом случае (в случае нестационарной связи) возможное перемещение точки М представляет собой ее любое элементарное перемещение, лежащее в плоскости, касающейся в точке М поверхности (175) при том положении этой поверхности, какое она занимает 6 данный момент /. Поэтому, обозначая возможное перемещение точки М через 6г, а орт нормали поверхности (175) через п, будем иметь: и-бг — 0. Это равенство, как было указано в § 122, можно в координатной форме записать так:
翼6z = 0, (176)
где 3n, by и 6z обозначают проекции возможного перемещения 6г на координатные оси или, что то же, вариации координат точки М. Левая часть этого уравнения представляет собой дифференциал функции / (n, у} z,方)в предположении, что аргумент t не изменяется, а имеет постоянное значение，соответствующее рассматриваемому моменту времени. Если же будем рассматри^
вать действительное перемещение точки М за элементарный промежуток времени dt, то в уравнении (175) необходимо, конечно, учесть изменение аргумента Е, так как поверхность (175) в действительности движется; тогда из уравнения (175) будем иметь:
^-dx+^-dy + ^-dz+ У-dt =0,(177)
дх ' ду ' dz 九
где dxf dy и dz обозначают изменения за время dZ координат точки М при ее действительном перемещении, или, что то же, проекции на координатные оси действительного элементарного перемещения dr этой точки (dr —— дифференциал радиуса-вектора точки М, проведенного пз начала координат). Если бы связь была стационарной, то время Z не входило бы в уравнение (175), и тогда уравнения (176) и (177) совпадали бы, а потому s случае стационарной связи действительное элементарное перемещение точки является одним из ее возможных перемещений. Но в рассматриваемом случае производная 累 не равна нулю; поэтому, сопоставляя уравнения (176) и (177), видим, что проекции dx, dy, dz действительного перемещения точки М не могут быть равны соответствующим проекциям ее возможного перемещения; следовательно, s случае нестационарной связи действительное перемещение точки за время dt не принадлежит к числу ее возможных перемещений.
Поэтому в отличие от случая стационарных связей возможное перемещение точки при нестационарной связи будем называть виртуальным перемещением этой точки. Важно заметить, что при отсутствии трения реакция поверхности (175) направлена по нормали к этой поверхности в точке М, а так как виртуальное перемещение точки М лежит в касательной плоскости, то элементарная работа реакции нестационарной связи (175) на всяком виртуальном перемещении точки М равна нулю.
С другой стороны, из уравнения (177) имеем:
^cdx+?ydy+^dz=-^dt^Q
или
п- dr ^G.
Отсюда следует, что действительное перемещение dr точки М не перпендикулярно к нормали поверхности (175) в этой точке (не лежит в касательной плоскости), а потому работа реакции нестационарной связи на действительном перемещении точки не равна нулю, как это было уже указано в § ИЗ. В пояснение сказанного рассмотрим следующий пример: пусть материальная точка М под действием некоторой приложенной к ней заданной силы
546546ДИНАМИКА
546
546
перемещается по поверхности движущегося шара радиуса R, причем уравнения движения центра。‘ этого шара имеют вид
力0，=。厶 沙0，= bl, Zq' = с/.
Из этих уравнений следует, что центр。‘ шара движется по прямой линии, проходящей через начало координат О (рис. 363), с постоянной скоростью
Поскольку точка М принуждена оставаться на заданной сферической поверхности, эта точка является несвободной. Уравнение связи, т. е. уравнение этой сферической
поверхности, имеет вид
® — % ,)2 十(у —У о')2 4- (z — Zo，)2 =五2, ИЛИ
/(2, у, Z, Z) = (ж — а%)2 + (у — 4)2 + + (z -或)2 — Д2 = 0.(178)
Отсюда находим:
* = 2(" — аt), *=2匂一4)，
^ = 2(zi),
寥=-2〃(% - a%) — 2b 句一Ы)-
—2c (z — cZ).
Следовательно, уравнение (176), которому удовлетворяют проекции на координатные оси виртуального перемещения точки М} и уравнение (177), которому удовлетворяют проекции ее действительного перемещения, принимают соответственно такой вид：
(179)(179)(% —威)Ьх 4- (у 一 bt) бу + (z — с/) 6z = О
(179)
(179)
и
(化一就)dx 4- (у 一а)dy + (z - ct) dz -
—[a (化一 aZ) + 6 匂一例)+ c (z — c/)] dt = 0. (180)
Из уравнения (179), как было сказано выше, следует, что всякое виртуальное перемещение точки М лежит в плоскости, касающейся сферической поверхности в той ее точке, с которой совпадает в данный момент точка М. Уравнение (180) можно переписать так:
(% ——a£) (dx - a dt) +匂一bf) (dy ——6 "0+(z --ct) {dz ——c dz) = 0
или
(化一at) (dx - "上0)+ (沙一bt) (dy — dy0') +
+ (z — cZ) (dz — %，)= 0.
Отсюда видим, что уравнение (179) будет удовлетворяться, если примем
дх = dx — dx0'f by =^ dy — dy0^ 6z = dz ——dzQ^ тогда
〃n = 3化 + dx0>, dy = dy -\- dy0>, 〃z = 6z + "z。，.
Из этих равенств следует, что
cZr = Sr +
где dr есть действительное перемещение точки М за время dt dr ——ее виртуальное перемещение и dr^ ——перемещение точки О, за то же время dt.
Таким образом, действительное перемещение точки М за время dt равно геометрической сумме одного из ее виртуальных перемещений и действительного перемещения точки О' за то же время dt (рис. 363).
Изложенные соображения о возможных перемещениях одной точки в случае нестационарной связи распространяются и на систему лтатериальных точек.
Пусть на данную систему, состоящую из п материальных точек Mi (化储 у?, zj, наложены s нестационарных геометрических связей, уравнения которых имеют вид
(181)(181)А (%, У it Z],…，хп,沙气，znt /) — 0,/2 (勺，У1ч Z]J …，4», Уп，^п» *) = 3
(181)
(181)
fs (/' У\，^1? ' • * )”71，Уп^ ^n> ")=。・
Так же, как и в случае одной материальной точки, виртуальным перемещением системы при нестационарных связях называется всякое элементарное перемещение этой системы, допускаемое в данный момент Z наложенными на нее связями при условии, что с этого момента связи становятся стацпопарными.
Если предположим, что с момента 匕 связи, наложенные на систему, становятся стационарными, и будем поэтому в уравнениях (181) рассматривать аргумент Z как постоянный параметрt то, дифференцируя при этом предположении уравнения (181),
получим следующие соотношения, которым удовлетворяют проекции 6化〃 Зу簿 3员 на координатные оси виртуальных перемещений материальных точек системы или, что то же, вариации координат этих точек:
些湫%-.^ + + 6 6些湫%-.^ + + 6 6油+ 翁 М + ... + 矗 “с = О,如+ 窮 3zi ++ 盜 bzn = О,
些湫%-.^ + + 6 6
些湫%-.^ + + 6 6
装'伤 + 許 5yl + 患 6zi + 十患 6z“ = 0.
Это — те же самые уравнения, которые мы имели в § 122 для вариаций координат материальных точек системы в случае стационарных связей [уравнения (92)].
Что касается проекций dx^ "沙订 d& действительных перемещений точек системы за время dt, то эти проекции удовлетворяют соотношениям, которые мы получаем, дифференцируя уравнения (181) с учетом изменения аргумента F, т. е. следующим соотношениям:
(183)(183)2；即十案"%+患公1 +... +器以+禦出=0, 器"/ +薪姒+患也+…+訖% 禦di = °'
(183)
(183)
^ 感 1+^"%+£； dzi + --- + g^dzn + ^fdt = O.
Из сравнения уравнений (182) и (183) видим, что в случае нестационарных связей действительное перемещение систелш за время dZ не совпадает ни с одшш из ее виртуальных перемещений.
В § 123 было приведено определение стационарных совершенных связей, как таких связей, сумма элементарных работ реакций которых на всяком возможном перел!ещении системы равна нулю, и рассмотрены примеры таких связей.
Аналогично, нестационарные связи называются совершенными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при всяком виртуальном перемещении системы равна нулю.
Примером системы с такой совершенной нестационарной связью может служить твердое тело, закрепленное на абсолютно гладком сферическом шарнире О', который движется по определенному закону. Так как при определении виртуальных перемещений системы нужно рассматривать связь с данного момента t как ста-
ГЛ. 30. МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ 549 ционарную, то нужно мысленно остановить движение шарнира, и, следовательно, виртуальным перемещением тела в данном случае является его поворот на любой элементарный угол б ср вокруг любой оси, проходящей через неподвижную точку。- Ясно, что элементарная работа реакции шарнира при таком перемещении тела будет равна нулю, как работа силы, приложенной в неподвижной точке.
Дифференциальные уравнения движения системыв обобщенных координатах
В § 143 мы получили условия равновесия системы в обобщенных координатах. Теперь, пользуясь методом обобщенных координат, обратимся к выводу дифференциальных уравнений движения системы, которые находят широкое применение в динамике.
Представим себе систему п материальных точек Mi (^,夕订 zj, на которую наложены совершенные геометрические связи и которая имеет 衣 степеней свободы. Пусть на эти материальные точки действуют заданные силы, проекции которых на координатные оси обозначим черех Х^, У*, 2『 Если положение данной системы будем определять обобщенными координатами ^, ^2,...,，丸,то согласно сказанному в § 142 декартовы координаты материальных точек системы могут быть выражены как функции независимых переменных %, 依, …,qk. Если связи, наложенные на систему, являются нестационарными, то в эти функции будет входить в качестве аргумента еще и время 九 Следовательно, предполагая связи нестационарными, будем иметь:
(184)(184)吃=% (%,g2,Qkt ")， У г = %(%, 02, 孫，0» Zi = Zj (%, 72, 0左，t)
(184)
(184)
(i == 1, 2,几)*
В случае стационарных связей аргумент 看 в правые части этих уравнений не войдет.
Как мы видели в предыдущем параграфе, при определении виртуальных перемещений системы время 看 в уравнениях связей нужно рассматривать как постоянный параметр. Поэтому и в уравнениях (184) при определении виртуальных перемещений системы нужно положить С = const. Тогда, дифференцируя эти уравнения в предположении, что С сохраняет постоянное значение, а изменяются только переменные g】,д2, дю получим для проекций на координатные оси виртуальных перемещений точек
системы следующие выражения через вариации 6夕工,б^2, ..., 6дк обобщенных координат:
3© =
2 =
(i — 1, 2, ...,.
Эти уравнения имеют такой же вид, как и в случае стационарных связен [§ 143, уравнения (169)]. Применяя теперь принцип Даламбера и принцип возможных перемещений, приходим, как было сказано в § 133, к заключению, что сумма элементарных работ заданных сил, приложенных к материальным точкам данной системы, сил инерции этих точек и реакций связей при всяком возможном (в случае стационарных связей) или при всяком виртуальном (в случае нестационарных связей) перемещении системы равна нулю. Если нестационарные связи являются, как мы предполагаем, совершенными, то сумма элементарных работ реакций этих связей при всяком виртуальном перемещении системы равна нулю, и мы приходим к тому же общему уравнению динамики, которое в § 133 мы имели для случая стационарных связей
2(х/& + 匕 в% + z^) +
+ *仍即6外+夕瑞6%+g16z,)=o.
Первая сумма в левой части этого уравнения есть сумма виртуальных работ, т. е. работ на виртуальном перемещении системы, заданных сил, а вторая ——есть сумма виртуальных работ сил инерции. Так как здесь рассматриваются виртуальные перемещения системы, то вариации 6&, 3%, 3% (г = 1, 2, п) илгеют значения, определяемые уравнениями (185). Подставляя эти значения и выполняя преобразования, указанные в § 143, будем иметь:
£ (一招6勺 + Yibyi + Z/zJ = QiMi + Q26g2 + …+ Q/tM/i， (186)
где Q“ 02，•••, Qk представляют собой обобщенные силы, определяемые по формулам (170) параграфа 143. Аналогично получаем
выражение суммы виртуальных работ сил инерции в обобщенных координатах:
曾嘤％ + F^F-^Q^ + ^а+...+ QE^, (187)
причем
(188)(188)
(188)
(188)
Эти выражения называются обобщенными силами инерции. Следовательно, общее уравнение динамики в обобщенных координатах принимает вид:
«?! + QA) 6分 + @ + Q界)6仇 + …+ (Qa + Q片)Мк = 0.
Это уравнение должно выполняться при всяком виртуальном перемещении системы, т. е. при любых, независимых друг от друга значениях вариаций Зд】, Зд?, •・•, 67^, а это возможно только в том случае, когда коэффициент при каждой из этих вариаций равен нулю. Таким образом, получаем 衣 следующих уравнений:
Так как проекции силы инерции 解” на координатные оси равны尸黑=-miwix =-仆"，夕需=-miwiy =-人亦，£：T =—人Sz—m^J),
瓦，诟，2j обозначают вторые производные от х, у, z по времени. 18*
то, принимая во внимание равенства (188), приводим предыдущие уравнения к виду
i ■ I
i= 1
n
e仆@爲+MS+3鼠卜q丈 4=1
Преобразуем теперь левые части этих уравнений, причем эти преобразования достаточно рассмотреть только для первого уравнения; для остальных будем иметь, понятно, совершенно анало
гичные результаты.
Обозначая первые производные по времени от 化订 yi} z* через 6鎧 丸 и 2jH дифференцируя по £ произведение xi 詳 двух функций
% и% иdxidxi,получим:,получим:
% и
% и
dxi
dxi
,получим:
,получим:
откудаоткуда/派=石（勺近）-3而（為＞/派=石（勺近）-3而（為＞(190)(190)
откуда
откуда
/派=石（勺近）-3而（為＞
/派=石（勺近）-3而（為＞
(190)
(190)
Так как при движении системы ее обобщенные координаты 夕工, 42，••・，9h являются некоторыми определенными функциями времени, то из равенства
g = g (%，0
видим, что 化j есть сложная функция времени; эта функция зависит явным образом от Z и от аргументов 夕“ ,2，•••，0儿，которые сами представляют собой некоторые функции независимого переменного £• Поэтому, дифференцируя xi по t как сложную функцию переменного 厶 находим:
公=読负+需女+…+貌旅+芻,(191)
где
仇=嚮，员=需…，「寥
Производные 况，柒，…，旅 от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями. Так как производные
#, 才'•••) 謚, 粛 зависят только от переменных д「 д2,...
g?, t и не зависят, очевидно, от обобщенных скоростей 0“ ^2,...
“а, то из равенства (191) следует, что 芯 является линейной функцией обобщенных скоростей. Поэтому частная производная от ±i по ；i равна коэффициенту при ；丄 в равенстве (191), т. е.
(192)(192)а& дхг睛=阪
(192)
(192)
При нахождении же частной производной от i^ по д】необходимоПри нахождении же частной производной от i^ по д】необходимоиметь виметь в8/8/виду, что % входит 荻，元，а потомувиду, что % входит 荻，元，а потомув качестве аргумента в функции 才,в качестве аргумента в функции 才,из равенства (191) получаем:из равенства (191) получаем:НайдемНайдем些—方丄 8%茹~ 8无"十8%匣些—方丄 8%茹~ 8无"十8%匣女+••• +箫^旅+ 篇「 （193）女+••• +箫^旅+ 篇「 （193）теперь полную производную по времени от 产,котораятеперь полную производную по времени от 产,котораявходит в равенствовходит в равенство(190); учитывая, что 需 представляет собой(190); учитывая, что 需 представляет собойсложную функцию независимого переменного t, содержащую, кроме 厶 аргументы g】,д2, ..., д^, которые при движении системысложную функцию независимого переменного t, содержащую, кроме 厶 аргументы g】,д2, ..., д^, которые при движении системысами являютсясами являютсяфункциями этого переменного t, получим:функциями этого переменного t, получим:
При нахождении же частной производной от i^ по д】необходимо
При нахождении же частной производной от i^ по д】необходимо
иметь в
иметь в
8/
8/
виду, что % входит 荻，元，а потому
виду, что % входит 荻，元，а потому
в качестве аргумента в функции 才,
в качестве аргумента в функции 才,
из равенства (191) получаем:
из равенства (191) получаем:
Найдем
Найдем
些—方丄 8%
茹~ 8无"十8%匣
些—方丄 8%
茹~ 8无"十8%匣
女+••• +箫^旅+ 篇「 （193）
女+••• +箫^旅+ 篇「 （193）
теперь полную производную по времени от 产,которая
теперь полную производную по времени от 产,которая
входит в равенство
входит в равенство
(190); учитывая, что 需 представляет собой
(190); учитывая, что 需 представляет собой
сложную функцию независимого переменного t, содержащую, кроме 厶 аргументы g】,д2, ..., д^, которые при движении системы
сложную функцию независимого переменного t, содержащую, кроме 厶 аргументы g】,д2, ..., д^, которые при движении системы
сами являются
сами являются
функциями этого переменного t, получим:
функциями этого переменного t, получим:
dt\aqD dql 力十 80田% ""十 十 80田0左"十 HqQt，('
По известному свойству частных производных имеем:
炉①i标找尹僦2 d2xi勺
А потому, сравнивая равенства (193) и (194), видим, что
(195)(195)d (8勺、_dxi加w?J - a支
(195)
(195)
На основании полученных равенств (192) и (195) равенство (190)
перепишем теперь так:
/呢=也d?标丿一 i班.
(196)
Совершенно так же получим два других аналогичных равенства
(197)(198)(197)(198)
(197)
(198)
(197)
(198)
Умножая обе части каждого из равенств (196), (197) и (198) на 〃“ и складывая пх, находим:
叫（嘀+磷+嘀广
=訂叫伍芻+応器+丸Э］一叫何й+^+^ /尸
=^修^ 5 +居+就）］-^愕（谓+務+矶
Так как
说+说+就=*
где vi есть скорость г-й точки системы, то
2 \ 2 а%2 \ 2 а%礫十礫十а 万鱼а 万鱼
2 \ 2 а%
2 \ 2 а%
礫十
礫十
а 万鱼
а 万鱼
Полагая /=1,2，..., п, будем иметь п таких равенств; суммируя их, получим:
V п? ^ а勺丄方 дУг 丄；• а窗、 d ^ д pniui\ а у =11=1i — l
Но сумма 7 —r— есть кинетическая энергия 1 системы, а по-
тому
VI / ” дхл . дуА . dzi \ d / дТ \ дТ
減+啕+勺/)=也囱)-/,，
и аналогично
2叫瓷+磯+礫）=4缁）-即
2=1
色（叱）一дt龙1以丿 dqh色（叱）一дt龙1以丿 dqh
色（叱）一дt
龙1以丿 dqh
色（叱）一дt
龙1以丿 dqh
d / дТ\ дтd / дТ\ дтТаким образом, левые части уравнений (189) могут быть выражены через производные от одной функции Т, и, следовательно, эти уравнения принимают вид
d / дТ\ дт
d / дТ\ дт
(199)
Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобгценных координатах} они впервые были получены Лагранжем в его «Аналитической механике» и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, п, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с 女 неизвестными функциями q^ g2, ..., qk. Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 01, 02, …，^建区^ функции времени t, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. .определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений.
Если система имеет одну степень свободы, то будем иметь для нее одно уравнение Лагранжа, причем в случае совершенных стационарных связей это уравнение можно вывести из теоремы об изменении кинетической энергии системы. Рассмотрим этот
вывод. В случае системы со стационарными связями и с одной степенью свободы имеем:
& ~ 化t (%), Z/i = Vi(71)» Zj = zi (^)
(f = 1, 2,n).
Отсюда, имея в виду, что при движении системы 先 есть некоторая определенная функция времени, находим:
-—— dXi .； — dyid“2 .
/一近.Z —阪内，% 一兩/后=阪分，
• dze dq^ dzi ♦
Z：=髙."彳=石；弘；
+後+就=隐『+ (器у+儔yj窮，
719n
7=2讐=^2叫脸了 + (新+竄). i= 1г —1
Сумма в правой части последнего равенства не зависит, очевидно, от обобщенной скорости ^ и является функцией только координаты 0г Поэтому для краткости обозначим эту сумму через Ф (д，・ Тогда
?=户(分).%(200)
Продифференцируем это равенство по £, принимая во внимание, что в правой части мы имеем произведение двух функций Ф (%) и 91, причем ,i и О】 при движении системы являются функциями независимого переменного С; тогда, замечая, что
四(久).=变，虱.也=①，(仏).京，
dt dq± dt%
получим:
* = 4"［"睨%)•宣 + 2 ①(％)员醬］— у®' (%) d； + ①(?i) ^191 = ^伎①'s^ +①⑷诅］%， (201)
「He %
С другой стороны, рассматривая Т как функцию двух переменных ди из равенства (200) находим:
器=①(史)4，备⑷鍔.
Отсюда
亂箱=* +①(先)醬=①'⑷我+①⑷支
и, следовательно,
^馀)一薪=^①'(%) / +①(生)五.
Поэтому равенство (201) принимает вид:
嘗=[^慝)-創久。(202)
Применяя теперь теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме, согласно которой дифференциал кинетической энергии системы в случае совершенных стационарных связей равен сумме элементарных работ всех заданных сил, действующих на эту систему, имеем：
dT^^iX^ + Y^ + Z^.
i=l
Выражая, далее, сумму элементарных работ заданных сил в обобщенных координатах и принимая во внимание, что при стационарных связях действительное перемещение системы за время di является одним из ее возможных перемещений, в случае системы с одной степенью свободы получим:
£ (x^0 + 爲a% + Z^ =q1d置，
где 〃0i есть дифференциал обобщенной координаты ^工,т. е. ее изменение за время dt при действительном перемещении системы. А потому
dT = Q*dq*.
Отсюда
Сравнивая это равенство с равенством (202), приходим к уравнению Лагранжа
§ 146. Условия равновесия системы и уравнения Лагранжав случае существования силовой функции
коор-коор-Предположим, что для заданных сил Q, действующих на материальные точки Mi (хг, у⑪ zj данной системы, существует сило
коор-
коор-
(203)(203)коор-коор-вая функция U, зависящая от положения системы, т. е. от динат точек М^ так что
(203)
(203)
коор-
коор-
U = U (n1, y\,衍，уп^
Тогда согласно сказанному в § 131 для проекций сил 居 на динатные оси будел! иметь:
幺一呢，厶一初，(z —— 1, 2, .. *,孔).幺一呢，厶一初，(z —— 1, 2, .. *,孔).叱dzi叱dzi(204)(204)
幺一呢，厶一初，
(z —— 1, 2, .. *,孔).
幺一呢，厶一初，
(z —— 1, 2, .. *,孔).
叱
dzi
叱
dzi
(204)
(204)
%，生02，•• •%，生02，•• •Если в равенстве (203) вместо декартовых координат ^, подставим их выражения через обобщенные координаты %,
%，生
02，•• •
%，生
02，•• •
qh1 то получим выражение силовой функции в обобщенных координатах. Тогда, дифференцируя частным образом U по д1т как сложную функцию, зависящую от аргументов д, %, z” которые являются функциями переменных 分，g2, ..., g^, находим:
gu _叱 a% 一3①[gu _叱 a% 一3①[°/ д_ 8U 匆1 1 dU dzi 亠 亠 dU dzn —
gu _叱 a% 一3①[
gu _叱 a% 一3①[
3而十茹，3鱼十@Z1 ' a%十…十dzn.dqt _
V (8U 83丄8U 吼丄8U
厶 \呢 8鱼dyi 8% dzi
2 = 1
или на основании равенств^(204)
dU_ 6%dU_ 6%+(x爲+匕器+ Z, i = 1+(x爲+匕器+ Z, i = 1
dU_ 6%
dU_ 6%
+(x爲+匕器+ Z, i = 1
+(x爲+匕器+ Z, i = 1
и аналогично
dU a%dU a%iM廿嗨HiiM廿嗨Hiгг
dU a%
dU a%
iM廿嗨
Hi
iM廿嗨
Hi
г
г
黑£(喘+y儼+噫).г = 1
Но правые части этих равенств представляют собой обобщенные
силы Qh Q2，Qk (§ 143), а потому
"1 -荻，必一酝，必一际，"1 -荻，必一酝，必一际，(205)(205)
"1 -荻，必一酝，必一际，
"1 -荻，必一酝，必一际，
(205)
(205)
е. обобщенная сила равна частной производной от силовой функции по соответствующей обобщенной координате.
Потенциальная энергия П системы, как было указано в § 131, связана с силовой функцией равенством
n = u⑻ 一 U,
где U^ есть значение силовой функции, соответс гвующее тому положению системы, в котором ее потенциальная энергия принимается равной нулю.
Так как U^ = conbt, то отсюда получаем:
ап _ 际—
dU 一近，
апди
и, следовательно,
02 =-
一8口0 =
(206)
т. е. обобщенная сила равна взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии системы по соответствую- гцей обобщенной координате.
Условия равновесия системы в обобщенных координатах, полученные в § 143, иа основании равенств (200) принимают вид:
Н U, 公- U, • • • , m
Если функция П независимых переменных 分,g2, ..., qk при некотором положении системы, т. е. при некоторых определенных значениях этих переменных, достигает максимума или минимума, то ее частные производные по этим переменным будут равны нулю, и, следовательно, условия равновесия (207) будут выполнены. Отсюда приходим к заключению:
если 6 данном положении системы^ находящейся 6 потенциалъ*- ном силовом поле, ее потенциальная энергия достигает экстремального значения, то это положение является положением равновесия системы.
Заметим, что обратное предложение не всегда справедливо, так как равенство нулю частных производных функции П является необходимым, но еще недостаточным условием экстремума этой функции.
В качестве примера рассмотрим систему, находящуюся в поле силы тяжести. В § 131 мы видели, что в этом случае, если
координатную ось z направить по вертикали вверх, силовая функция выражается так:
U = 一 Mgzc + const,
где М есть масса системы и 先 一координата ее центра тяжести С Следовательно, потенциальная энергия системы равна
П = U(。)一 U = Mg (% —曙)・
Отсюда видим, что потенциальная энергия П достигает экстремума одновременно с zc, а потому то положение системы, находящейся в поле силы тяжести, при котором ее центр тяжести занимает наивысшее или наинизшее 北з всех возможных положе^ ний, является для этой системы положением равновесия. Этот известный результат называют иногда принципом Торичелли.
Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, т. е. уравнения Лагранжа, в случае существования силовой функции принимают на основании равенств (205) и (206) следующий вид:
илиили(208)(208)(209)(209)
или
или
(208)
(208)
(209)
(209)
Примеры применения уравнений Лагранжа
При решении задач динамики методом обобщенных координат, т. е. при помощи уравнений Лагранжа, нужно в последовательном порядке выполнять следующее:
установить, сколько степеней свободы имеет данная механическая система, и выбрать для нее столько же независимых обобщенных координат;
составить кинетическую энергию Т системы и затем выразить ее через обобщенные координаты и обобщенные скорости;
найти обобщенные силы; при этом обобщенные силы можно находить по одному из следующих трех способов: а) по общим формулам (170) или по формуле (172) § 143; б) как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении суммы элементарных работ заданных сил через обобщенные координаты; в) как частные производные по соответствующим обобщенным координатам от силовой функции или от потенциальной энергии системы, т. е. по формулам (205) или (206) предыдущего параграфа (в случае существования для заданных сил силовой функции); при этом нужно предварительно составить выражение силовой функции или потенциальной энергии в обобщенных координатах;
вычислить производные 訪認 н ^ 関)(/ = 1, 2, А);
подставить найденные выражения этих производных и обобщенных сил в уравнения (199) § 145, т. е. составить для данной системы уравнения Лагранжа (или одно уравнение в случае системы с одной степенью свободы);
из этих уравнений определить искомые ускорения (или искомое ускорение) или же, если это требуется в задаче, интегрируя эти уравнения, найти движение системы, т. е. найти ее обобщенные координаты как функции времени /. Число уравнений Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями
月月Рис. 364.Рис. 364.второго порядка, равно числу степеней свободы А данной механической системы. Поэтому при интегрировании этих уравнений будем иметь 2A произвольных постоянных; эти постоянные определяются, как всегда в задачах динамики, по начальным условиям движения системы, т. е. по начальным значениям обобщенных координат и обобщенных скоростей.
月
月
Рис. 364.
Рис. 364.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 154. В механизме, расположенном в горизонтальной плоскости (рис. 364), рукоятка OR, вращающаяся вокруг непод-
вижной вертикальной оси Оп приводит в дви
жение свободно насаженное на нее колесо II радиуса г2. Это колесо сцеплено с колесом I радиуса 勺,вращающимся вокруг той же оси О】,и с неподвижным колесом III* К рукоятке приложен заданный вращающий момент М = const, а к колесу I известный момент сопротивления М* = const. Пренебрегая массой рукоятки, найти ее угловое ускорение, если известны: длина I рукоятки, веса Pj и Р2 колес I и ZZ, радиус инерции 左々 колеса / относительно оси。^ и радиус инерции 左力 колеса II относительно оси О?, параллельной оси。1, причем — = 1,5.
Решение. В этой задаче мы имеем систему с одной степенью свободы, так как положение данного механизма определяется одвим параметром —-
углом поворота (р рукоятки. Этот угол и примем за обобщенную координату q данной системы, т. е. положим g =(р・ Тогда
где 9 есть угловая скорость рукоятки. Искомое угловое ускорение рукоятки равно
dco с?2(р “成 dt2 '
Так как рассматриваемая система имеет одну степень свободы, то ми будем иметь для нее одно уравнение Лагранжа. Прежде чем составлять это уравнение, нужно вычислить обобщенную силу <2 и кинетическую энергию системы 7 =力1 + Т2, где 7\ есть кинетическая энергия колеса Z, а Г2 — кинети- меская энергия колеса ZZ. Если угловую скорость колеса I обозначим через toj, а его момент инерции относительно оси вращения Ох — через Jn то
人=2代疗и%=厶空=患^；時,
но скорость точки В зацепления колес / и // равна vB = rx<o1T а потому
П=^к2 呢
Движение колеса II является плоскопараллельным; следовательно, его кинетическая энергия равна кинетической энергии его центра тяжести О? в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса колеса, плюс кинетическая энергия колеса в его вращательном движении вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжести О2, т> е.
где У02есть скорость точки О2, ш2 — угловая скорость колеса II и J2 —— момент инерции этого колеса относительно оси О2, равный -у ^rl，А потому 北=奇(崛+斤飞礴 и
7 =北+北=患a2%+ g (% +依内崎.
Так как колесо II сцеплено в точке Л с неподвижным колесом /77, то эта точка Л является для колеса ZZ мгновенным центром вращения; отсюда следует, что
^О2 = г2^2 И ^Е = 2г 2^2 = 2°О 屮 а потому
7 = ММ% + (1 + 心)％］芻.
Так как точка О? принадлежит и рукоятке, то уОз — 1а)— Z®. Таким образом» окончательно получаем следующее выражение кинетической энергии данного механизма через обобщенную скорость % т. е. через угловую скорость
рукоятки:
7 =打2 (4Р1 + %) + Р/ 时.
Отсюда находим:
Z2
^■ = ^ ［依(4%+%)十尸&吸
и
Так как кинетическая энергия Т не зависит от координаты 屮,то
дТ 5(рдТ 5(р=0.=0.
дТ 5(р
дТ 5(р
=0.
=0.
Перейдем теперь к вычислению обобщенной силы Q. Для этого рассмотрим перемещение системы, соответствующее изменению координаты 屮 на весьма малую величину дф, т. е. перемещение, при котором рукоятка поворачивается вокруг оси С\ против часовой стрелки на элементарный угол 6(р. Колесо / поворачивается при этом вокруг той же оси в том же направлении, т. е. против часовой стрелки, на некоторый угол бф^ Сумма элементарных работ движущих сил, приложенных к рукоятке, и сил сопротивления, приложенных к колесу /, при этом перемещении будет равна
ЕдЛ = Л/дф — М1дф1 !).
С другой стороны, та же сумма элементарных работ равна QBg = Qd(p.
Следовательно,
Q6(p = Л/дф — MiG%, откуда
уВф1 6(р
Так как углы поворота колеса / и рукоятки пропорциональны их угловым скоростям, то $/ = -1. Но
55а потомуд(ра потомуд(р衿… =2㈠；a2卜+財=5.衿… =2㈠；a2卜+財=5.
5
5
а потому
д(р
а потому
д(р
衿… =2㈠；a2卜+財=5.
衿… =2㈠；a2卜+財=5.
Следовательно,
Уравнение Лагранжа
1) См. § 143, пример 152.
для рассматриваемой системы принимает, таким образом, следующий вид：
У [Л2 (4尸1 +%)+%№ = "- 5%.
Отсюда находим искомое угловое ускорение рукоятки:
.. (М — 5МХ) g
Если М = 5М1( то е = О,Если М = 5М1( то е = О,& = 丫 = [№ (4% + %)十 R]* = COnSt，
Если М = 5М1( то е = О,
Если М = 5М1( то е = О,
е. рукоятка будет вращаться равномерно.
Пример 155. Однородный цилиндр радиуса г и весом 尸 катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса 五 под действием только силы тяжести (рис. 365). Составить дифференциальное уравнение движения этого цилиндра (уравнение Лагранжа), принимая за обобщенную координату угол 屮 прямой ОС с вертикальной осью у. Найти затем период малых колебаний цилиндра около положения равновесия. Решение. Так как по условию задачи цилиндр катится без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей, проходящей через точку 4 равны нулю, а потому эта образующая является для цилиндра мгновенной осью вращения. Следовательно, кинетическая энергия цилиндра равна
Т г to2
где」а — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения, а со — его угловая скорость. По теореме о зависимости между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей имеем:
=厶 + mr2,
где Jc — момент инерции цилиндра относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести С цилиндра, а т —— масса цилиндра. Но
а потому
」А = ~2 т7*2 и Т = Z zn/co九
Так как скорость 气 точки С равна rs, то
Т = 4 mVc-
Остается теперь выразить скорость vc через обобщенную скорость 中= 穿. Выражая для этого координаты точки С через угол ср, имеем;
а；с = (Е — г) sin ф, ус = (R — г) cos ф.
Отсюда
dxc
亦С ~ ~dt =(Е —，)cos 屮 * 中，
Ус =— (7? — г) sin ф • f,
%=泌+汴=(/?一Г)2 咨
Следовательно,
T ^^m(R —r)2 电2.
Отсюда находим:
^-=|т(Л-г)2ф, ^爲=^m(R — r)滔,第=0.
Так как работа силы трения, приложенной к цилиндру в точке Л, при качении цилиндра без скольжения равна нулю, то для вычисления обобщенной силы Q нужно найти только элементарную работу силы тяжести Р при перемещении цилиндра, соответствующем изменению угла ср на весьма малую величину dtp. Эта работа равна
6Л = РЗус =尸• 6 [(五一г) cos <р] = — Р (Е — г) sin ср • 6ф.
С другой стороны, эта же работа равна Q6(p. Следовательно,
Q6屮=—Р (五一г) sin ф • 6q), откуда
q = 一 尸(/? — г) sin 屮=一 mg (五 一 r) sin 5
Заметим, что этот результат можно было бы получить и по общей формуле для обобщенной силы (§ 143)：
дхг дуг
Q=p^ + f
Отсюда, принимая во внимание, что
Р国=0,尸廿=p,崙=一(五一"城口% находим:
Q =—尸(R — r) sin ф.
Подставляя теперь в уравнение Лагранжа
вышенайденные значения производных, стоящих в левой части этого уравнения, и значение Q, получаем искомое дифференциальное уравнение движения цилиндра:
3
у zn (Я — г)2 ¥ = — mg (R — /■) sin 屮,
или
年+双总不sin q> = 0.
В случае малых колебаний цилиндра около положения равновесия, т. е. того положения, при котором 屮 = 0, угол ф все время остается малым, а потому приближенно можно положить sin 屮 у ср. Тогда предыдущее уравнение принимает вид:
?十孔R七Г,屮=0 или 干+收屮=0, где
它_2g
—3(R - г]
Это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с частотой А. Период этих колебаний равен
2 л
2л:
厂于（瓦二ту
Пример 156. Через неподвижный блок О перекинута нерастяжимая лить, несущая на одном конце груз А весом Р3 = 3 кг, а на другом конце — блок О】. Через этот второй блок перекинута нерастяжимая нить, к концам
которой прикреплены груз В весом Ра ~ 2 кг. и груз С весом Р] = 1 кг. Пренебрегая массой блоков, найти ускорения грузов Л, В и С (рис. 366).
Решение. Общую длину обеих частей нити, свешивающихся с блока 0, обозначим через Zx, а общую длину частей нити, свешивающихся с блока С\, — через %♦ Так как нити иерастяжимы, то 厶= =const и % = const. Выбрав начало координат в точке。и направив ось у по вертикали вниз, ординаты точек 4 8 и С обозначим соответственно через Уз, У? и Vi* Если длину правой части нити, свешивающейся с блока。1, обозначим через 九，а ординату точки С\ — через 也，то будем, очевидно, иметь:
Уб =厶 一 Уз， Ух = Уо^ ^ = h — Уз + 儿
Уч = уд 十 厶_九=h + 厶_у3 一 儿
Отсюда видим, что четыре переменные у、, т/2, уз и 九 связаны между собой двумя уравнениями, а по
тому только две из них являются независимыми; чтобы определить ординаты всех трех грузов, т. е. определить положение данной системы, Достаточно знать значения двух величин:儿 и у3. Отсюда следует, что данная система имеет две степени свободы. Выберем за обобщенные координаты независимые переменные 入 и уз, т. е. положим 鱼=九 и д? = у3. Кинетическая энергия данной системы, состоящей из трех тел, движу
щи хся поступательно, равна
7 =需з+患%+ ^疗=圭⑷+2^+3%),
где о丄,v2 и v3 — скорости грузов. Но
а потомуа потому^爲）^爲）дТ _ дТ8生8入d I дТ\=禎;貳）дТ _ дТ8生8入d I дТ\=禎;貳）
а потому
а потому
^爲）
^爲）
дТ _ дТ
8生8入
d I дТ\
=禎;貳）
дТ _ дТ
8生8入
d I дТ\
=禎;貳）
Т = 1［（к- у^ + 2 4 + "з）" + 3孙=乙（3仆 + 2威 + 6戚
Отсюда находим:
1 . .
=? （ЗА, + Уз）,=-g （3兀 + %）,дТ дТ с近=а（=，
Сумма элементарных работ заданных сил, т. е. сил Рп Р2 и /, при возможном перемещении данной системы равна
£б力=尸抖％ +尸就у? + Рз6уз・
По
6yl = 6 （厶一 Уз + 入）=认一буз，
32 = 6 （a + 厶_УЗ -九）=一S九一6禽，
а потому
£6/ = % （北一阪）一尸2 （认+ 浊）+ %阪==（p1 一 尸2）8% + （p3 一p2 - p1） бу3"
В этом выражении коэффициенты при 6^ и буз представляют собой обобщенные силыQj и @2, соответствующие обобщенным координатам 九 и у3. Следовательно»
Q、= Р\ — Р2 H —1 ка, Q2 =尸3 一 尸2 —尸1 = 6
Уравнения Лагранжа
для данной системы принимают вид
^載+ £） = —1, 1 （Х+6у3） = 0 ИЛИ
з又 + Уз = —g,兄十 буз = 0.
Отсюда находим:
••1 г 6
Уз= 47 g,九=—^ g・
Искомые ускорения грузов At В и С соответственно равны
g = Уз = g，叫=旳=—Уз — yj s,
7
吗=弘=九_У3 = _ 行g•
Отрицательное значение ускорения 叫 указывает на то, что это ускорение имеет направление, противоположное положительному направлению оси у, т. е. что оно направлено по вертикали вверх.
Пример 157. Два груза весом Рх и Р2, связанные между собой пружиной, жесткость которой равна с, могут двигаться прямолинейно поступательно по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а, в направлении линии наибольшего ската этой плоскости (рис. 367). Пренебрегая трением, найти закон движения каждого из этих грузов, если в начальный момент их скорости равны нулю и пружина имеет длину, равную 区,причем Zo есть длина пружины в нена пряженном состоянии.
Рис. 367.
Решение. Примем прямолинейную траекторию грузов за ось а?; тогда положения первого и второго грузов определяются соответственно коордииа-
тами а?】и 力2，* извольно выбр;
отсчитыва емыми от
ПрО'
1анного начала О. Если
точку О выберем так, чтобы в начальный момент абсцисса хг равнялась нулю, то начальные значения координат хх и х2 будут:
力П = U, 力02 =彳・
Силы 修 и Е?, с которыми растянутая пружина действует соответственно
на первый и второй груз, пропорциональны удлинению пружины X, коэффициент пропорциональности есть жесткость с. Поэтому
尸1 =尸2 = С%・
причем
Если длину деформированной пружины обозначим через 厶 то
Поскольку положение данной системы, состоящей из двух грузов, ляется двумя независимыми координатами хг и х2, мы имеем здесь,
Опреде* как и в
предыдущем примере, систему с двумя степенями свободы. Независимые переменные xj и ха примем за ее обобщенные координаты.
Если скорости грузов обозначим через vx и v2» то
%=
а потому кинетическая энергия рассматриваемой системы равна
гдегдетmtVfZW]=丄Ml 「2厶и g2 т厶/По =-— gатd (дТдТc紘=恤$1,dt V^xjJ =恤 g,X= U,атd [dT\^2 ^21认“■ 1 ^m2①2,тmtVfZW]=丄Ml 「2厶и g2 т厶/По =-— gатd (дТдТc紘=恤$1,dt V^xjJ =恤 g,X= U,атd [dT\^2 ^21认“■ 1 ^m2①2,Отсюда получаем:Отсюда получаем:
где
где
т
mtVf
ZW]=
丄Ml 「2
厶и g
2 т
厶
/По =-— g
ат
d (дТ
дТc
紘
=恤$1,
dt V^xj
J =恤 g,
X= U,
ат
d [dT
\
^2 ^2
1认“
■ 1 ^m2①2,
т
mtVf
ZW]=
丄Ml 「2
厶и g
2 т
厶
/По =-— g
ат
d (дТ
дТc
紘
=恤$1,
dt V^xj
J =恤 g,
X= U,
ат
d [dT
\
^2 ^2
1认“
■ 1 ^m2①2,
Отсюда получаем:
Отсюда получаем:
Чтобы найти обобщенные силы, нужно составить сумму элементарных работ заданных сил Рх, 〃, ^, F2 при возможном перемещении данной системы. Так как возможные перемещения первого и второго грузов равны соответственно вариациям и 6а?2 координат ①工 и x2t то
£6/ = (A sin а 十 /) 6g + (尸2 sin а — /)坛之= =(尸1 sin ct + сХ) б/ 十(尸之 sin ct — cA)
Отсюда находим искомые обобщенные силы Q^ и Q2, соответствующие обобщенным координатам ^ иг2, как коэффициенты при вариациях 6Kl и ^设？ в полуденном выражении суммы элементарных работ заданных сил; следовательно,
Qi =尸1 sin а + с^ = sin а 十 с%,
Q2 = Р2 sin а — с% = m2g sin а — с%.
Теперь составляем два уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы:
?八1工1 = ^ig sin а + сХ,〃，2扌2 = m2g sin ct — с%.
Остается эти уравнения проинтегрировать, т. е. найти хг и 宓？ как функции времени 九 Для этого, умножив первое уравнение на — т» а второе на mlt сложим их; тогда получим
W17n2 (金2 一 金 1) = 一 C (〃" + m2)%；
отсюда
где
戸=也土0т е.戸=也土0т е.e ("丸+次2)
戸=也土0т е.
戸=也土0т е.
Но из равенства
К = х2 — Ху — /0 следует:
呢=戰一方1，
а потому предыдущее уравнение принимает вид
又+左2% = 0.
Это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой 左；его общее решение имеет вид
入=& sin (Ai) +。纟 cos (kt).
Следовательно,
& 一 / = 2。十九=Zo + & sin (H) + Ca cos (屏).
Отсюда..
為一Ej w 左& cos (kt) — kC2 sin (kt).
Постоянные Сх и Ca находим из начальных условий движения грузов. Полагая в предыдущих уравнениях t = 0, имеем:~
*心,-31 = /0十c2，(m2)0 一,(勺_)0 -左01.
Принимая во внимание, что х01 = 0 и х02Принимая во внимание, что х01 = 0 и х0222из первого равенства находим:из первого равенства находим:
Принимая во внимание, что х01 = 0 и х02
Принимая во внимание, что х01 = 0 и х02
2
2
из первого равенства находим:
из первого равенства находим:
Так как в начальный момент скорости грузов равны нулю, то
(金i)o "(热2)о = а
а потому С】=0. Следовательно,
*2① 1 = "0 件 cos (配).(a)
Теперь для определения 设1 и д нужно найти второе соотношение между ними. Сложив для этого дифференциальные уравнения движения грузов (уравнения Лагранжа), получим:
тх 瓦 十 т2 瓦=(mx + 〃包)g sin a ИЛП
J^ (nt^i + m向)=(тх + m2) g sin a.
Это уравнение выражает теорему о проекции количества движения рассматриваемой системы на ось х; проекции внутренних сил ^ и F2 в это уравнение ие входят, как это и должно быть. Интегрируя это уравнение, находим: тгх1 + т^у = (?П] + s) sin a • gi + С3.
Так как согласно начальным условиям движения при 力=0 левая часть этого уравнения равна нулю, то Сз = 0; следовательно,
m1£ + 门％中2 = ^(""/ + ?"咨2)=(飞 + 叫)sin a • g力.
Отсюда, интегрируя, получаем:
m^x + ?п好2 = ("“ + m2) sin a •+ C@.
В начальный момент имеем:
〃”①01 + WWoz = С@, I1J1II
⑹⑹а потому
⑹
⑹
Ш]^ + 酬2& = ^2 q+ (加1 + 7n2)sin a • ~2~•
Из уравнений (а) п (б) находим закон движения каждого из грузов:
% = g sin a . ^ — 芽需*J U - cos ⑷)]，
J} + gsina」； + ・2("^mjU — c°s(M)l・
Отсюда видим, что движение каждого груза слагается из двух движений:
равномерно ускоренного движения с ускорением g sin а, обусловленного силой тяжести, и
гармонического колебания с частотой 左,обусловленного дейстием пружины.
ГЛАВА 31
ТЕОРИЯ УДАРА
§ 148. Явление удара
В этой главе мы будем изучать явление удара. Для этого явления характерно то, что скорость материальной точки или тела, а следовательно, и количество движения этой точки или этого тела за очень короткий промежуток времени, измеряемый в тысячных и даже меньших долях секунды, в течение которого длится удар, изменяются на некоторую конечную величину.
Такое, почти мгповеипое, конечное изменение количества движения объясняется тем, что при ударе развиваются очень большие силы; хотя эти силы действуют на материальную точку или на тело в течение очень малого промежутка времени, но их импульс является конечной величиной. Такие силы называются мгновенными или ударными.
Итак, ударной (мгновенной) силой называется такая сила, которая действует на материальную точку f или на тело) е течение весьма короткого промежутка времени, но достигает при этом весьма болъшого значения, так что” импульс является величиной конечной.
§ 149. Действие ударной§ 149. Действие ударнойсилы на материальную точку
§ 149. Действие ударной
§ 149. Действие ударной
Пусть на данную материальную точку массы т действует в те
чение весьма короткого промежутка времени т ударная сила F (рис. 368). Применяя теорему о количестве движения материальной точки (§ 105), получим:
mw — mv = ^ F dt = 5,(210)
b
где и ——скорость точки до удара и и ——ее скорость после удара.
Векторная величина
S =、F dt'
т. е. импульс ударной силы за время ее действия, называется удар~ ным импульсом, или короче ударом, приложенным к данной материальной точке. Таким образом, удар, приложенный к материальной точке, определяется по модулю и направлению изменением
количества движения этой точки. Обратно, если удар S, подействовавший на материальную точку, известен, то из равенства
tn
определяется скорость, которую получит точка после удара. Модуль удара (ударного импульса) S измеряется, очевидно, в килограммо-секундах (кг сек).
Проектируя векторное равенство (210) на координатные оси, получим три следующих равносильных ему скалярных уравнения:
тих — mvx =，X 成=S寓,
(211)(211)muy — mvy =，У dz = 5力■о
(211)
(211)
т
muz — mvz = \ Z dt =邑，
т. е. изменение проекции количества движения материальной точки на какую-нибудь неподвижную ось равно проекции на ту же ось у@а〃а, приложенного к этой точке.
Предположим, что на материальную точку в течение времени т действует, кроме ударной силы F, еще «обыкновенная» (не ударная) сила 方'(какой является, например, сила тяжести). Обозначая проекции этой силы на координатные оси через Х\ У'叮 Z', будем иметь:
тих — mvx = j X 成 + , X’ d£ = S寓 + Х'*т ').оо
Но так как для неударной силы X'* имеет конечное значение, а т является величиной весьма малой, то произведение X'* т будет тоже величиной очень малой, и этим произведением в сравнении с конечной величиной Sx можно пренебречь. Поэтому эффект неударных сил, т. е. влияние их на изменение количества движения точки за время удара, практически можно считать рав-
По известному свойству определенного интеграла имеем:
X‘或=牙便T,
где Xх* есть некоторое среднее значение функции X’ в промежутке от 0 до т.
ным нулю, и при решении задач, относящихся к явлению удара, эти силы обычно в расчет не принимаются. Пусть материальная точка за время действия на нее ударной силы переместилась из положения М в положение М\ тогда
ЛОГ 索т ，
где и* обозначает среднюю скорость точки за время р. ОтсюдаММ' = и*т,
но и* — величина конечная, а т весьма мало; следовательно, перемещение точки ММ' будет весьма малым, и им можно пренебречь; поэтому считают, что за время удара точка не успевает переместиться и, следовательно, координаты ее в начале и в конце удара имеют одни и те же значения.
Рассмотрим теперь, как изменяется под действием удара, приложенного к данной материальной точке, момент количества движения этой точки относительно какого-нибудь неподвижного центра О. Обозначим радиус-вектор данной точки, проведенный из центра О, через г. Согласно только что сказанному, положение точки за время удара т будет оставаться неизменным; следовательно, за это время не будет изменяться и ее радиус-вектор г. Поэтому моменты количества движения материальной точки в начале и в конце удара будут выражаться так:
то (тг) = г X mu и 7no (mu) = г X mw.
Отсюда получаем:
то (mw) — 7no (mt?) == (г X mu) — (г X nw) — г X (mu — mu), или на основании равенства (210):
пг0 (加我)— то (mi?) = rXS = mQ (5).(212)
Это равенство выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки при ударе: изменение момента количества движения материальной точки относительно какого-нибудь неподвижного центра равно моменту удара^ приложенного к этой точке^ относительно того же центра.
Проектируя векторное равенство (212) на координатные оси и принимая во внимание, что проекция момента данного вектора относительно какой-нибудь точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту этого вектора относительно той же оси, получим:
тх (mw) — тж (mu) = тх (5),
my (mw) — my (mu) = %(S),(213)
mz (mw) — mz (mi?) = th% (S)・
Эти равенства выражают теорему об изменении момента количества движения в координатной форме: изменение момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равно моменту убара、пр итоженного к этой точке, относительно той же оси.
§ 150. Удар шара о неподвижную поверхность
Пусть шар М движется поступательно со скоростью и, направленной по нормали Ап к данной неподвижной поверхности (рис. 369). Когда шар достигает точки Л, то происходит удар, называемый в этом случае прямым. В конце удара шар получает скорость w, направленную по нормали Ап противоположно скопрости и. Опыт показывает, что величина
I史 будет меньше и, так что
()〃и =加，(214)
-〃где к — некоторая правильная дробь. Этот
множитель 右，равный отношению скоростей u/v} называется коэффициентом восста- новлеиия при ударе и зависит от упругих “свойств соударяющихся тел.
Рассмотрим подробнее, что происходит “с шаром за время удара. Обозначим про© должительность удара по-прежнему через 勿欢斤衣力牙勿勿济勿^ т； в течение этого промежутка времени / па шар будет действовать ударная реак-
Рнс. 369.ция N неподвижной поверхности, направ
ленная в случае гладкой поверхности по нормали Ап и достигающая весьма большого численного значения. При этом приходтися различать две фазы удара: в течение первой фазы, продолжительность которой обозначим через т^ шар деформируется (сжимается) до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю; в течение второй фазы удара, продолжительность которой обозначим через т2, форма шара вследствие его упругости восстанавливается, хотя и не вполне; за эту вторую фазу удара скорость шара возрастает от нуля до и. В тот момент, когда шар отделяется от поверхности, явление удара заканчивается.
Приняв направление внешней нормали Ап к данной поверхности за положительное и применяя к первой фазе удара теорему о проекции количества движения, получим:
0 — (— mv) — \ N dt, или mu — 5\,
причем
\ N dt
есть модуль удара (импульса ударной силы N) за первую фазу. Точно так же для второй фазы удара будем иметь:
ти — 0 =、N dt, или ти = 52,
причем т
S「、N dt
есть модуль ударного импульса за вторую фазу. Отсюда на основании равенства (214) получаем следующее соотношение между ударными импульсами St и 5之：
邑=kS^ или А = ^,(215)
т. е. коэффициент восстановления при ударе равен отношению модулей ударных импульсов за вторую и первую фазы удара.
Модуль ударного импульса за все время удара будет равен
S = Si + 必=то + ти =『及 ® + 史)=(1 + А) ти. (216)
Из равенства
s = \n dt = N*t
О
находим среднее значение ударной реакции поверхности:
=，=(1 十")
Коэффициент восстановления к может быть найден из следующего опыта: возьмем неподвижную горизонтальную плоскую плиту, сделанную из того материала, для которого хотят найти коэффициент к, и заставим падать на эту плиту с высоты /“ без начальной скорости шарик М (из того же материала); отскочив после удара от плиты, шарик поднимется до некоторой высоты 危 < 九(рис. 370).
Обозначив скорости шарика в начале и в конце удара через ими, будем иметь (по известной из кинематики формуле);
и = j/2g% и 〃 = /2g& ；
отсюда находим:
Измерив высоты 力1 и /г2, найдем по этой формуле значение коэффициента 肌 Из таких опытов найдено, что для слоновой кости М右=8/“ для стали к = /э» Для стекла А = 13/ю
_q, и для дерева А = /2.
Если А = 0, то имеем неупругий удар, и г в этом случае явление удара закапчивается
одной первой фазой; так как в этом случае и = 0, то при неупругом ударе шар, ударившись о поверхность, остается неподвижным. Для другого предельного случая к ~ 1, что соответствует вполне упругому удару. В этом случае S】=S2 и и = V, т. е. импульсы силы 7V за каждую фазу удара равны между собой
Проекция же скорости на нормаль Л п, очевидно, изменяется так же, как в случае прямого удара; поэтому на основании сказанного о прямом ударе будем иметь:
\Un\ = k\vn\, ИЛИ 14“=—М“1).
Если обозначим угол скорости w с нормалью 4汽 через 卩,то
% = и cos В и их = и sin В；
точно так же
vn = — у cos а и ” = г? sin а.
Внося эти значения в предыдущие равенства, получим:
u sin 卩= г? sin а и u cos = kv cos а.
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, находим:
〃2 — у2 (sin2 а + /с2 cos2 а), откуда
и = г?]/sin2 а + A2 cos2 а,(217)
а разделив первое уравнение на второе, получаем:
tg В = ^ tg а.(218)
Формулы (217) и (218) определяют модуль и направление скорости w.
Из равенства (218) следует:
т. е. коэффициент восстановления при ударе равен отношению тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. Если k = Т, то tg а = tg р и, следовательно, а = 0, т. е. при вполне упругом ударе угол падения равен углу отражения.
§ 151. Прямой удар двух шаров
Пусть два шара с массами т* и т? движутся поступательно со скоростями их и и2, направленными по прямой, соединяющей их центры, которую примем за ось х (рис. 372).
Предположим, что в некоторый момент шары сталкиваются и происходит удар. В конце удара шары будут иметь уже другие скорости 詠 1 и w2, направленные по той же прямой, т. е. по оси х. Задача об ударе двух шаров состоит, во-первых, в определении
этих скоростей 我]и w2 и, во-вторых, в определении ударного импульса.
Рассмотрим сначала случай неупругого удара, т.е. предположим, что шары совсем лишены упругости. Обозначим удар (ударный импульс), сообщаемый первым шаром второму, через 5;
этот удар будет направлен по общей нормали к шарам в точке их касания, т. е. ио оси х в положительную сторону. Удар же, получаемый первым шаром от второго, имеет по закону равенства действия н противодействия тот же самый модуль S, но противоположное направление (рис. 373). Вследствие взаимного давления шары будут деформироваться (сжи- /、尸—'маться) до тех пор, пока скорости
j~^УS 、их не сравняются. В этот момент
丁工- j工―尸-2сжатие достигает наибольшей ве-
'、丿、 / личины, но так как шары совсем
^лишены упругости, то это сжатие Рйс 373полностью останется, т. е. обрат
ная деформация (восстановление первоначальной формы шаров) не будет иметь места; следовательно, для неупругих шаров явление удара заканчивается в тот момент, когда их скорости становятся равными; таким образом, в этом случае щ = и2 = и.
Применяя теперь к каждому шару теорему о количестве движения, будем иметь:
W2j W —— 77Z]U] === • S, ТУТ?孤^zUz^1 S・
Сложив эти уравнения, получим:
m1我 + 加2比=+ m2r2,
т. e. сумма количеств движения шаров в начале удара и в конца удара остается неизменной.
Проектируя это векторное равенство на ось с, получим: тги + m2u = Tn】沙工+ 加2沙2 i)・
Здесь ^i, и? и и обозначают проекции скоростей на ось ①；эти проекции могут быть как положиiельными, гак и отрицательными в зависимости от направления движеиня шаров.
Отсюда находим алгебраическое значение общей скорости неупругих шаров после удара:
Предположим, что
?Н优1 +m2少2 = 0
п, следовательно, 也_色
е. что шары движутся навстречу друг другу (на это указывает знак минус) со скоростями, обратно пропорциональными их массам; тогда и = 0, т. е. в этом случае шары после удара остановятся.
Перейдем теперь к случаю упругого удара. Упругость тел при ударе, как было уже указано выше, характеризуется коэффициентом восстановления А. При столкновении упругих шаров явление удара протекает в две фазы; в течение первой фазы шары сжимаются до тех пор, пока скорости их не станут равными; после этого начинается вторая фаза удара, в течение которой вследствие упругости происходит восстановление (неполное) первоначальной формы шаров; при этом скорость центра масс одного шара увеличивается, а скорость центра масс другого — уменьшается. Явление удара заканчивается в тот момент, когда шары отделяются друг от друга, имея неравные скорости.
Обозначим проекции скоростей шаров па ось х в начале удара через z?i и v2, проекцию общей скорости шаров на ту же ось в конце первой фазы удара обозначим через и, а проекции их скоростей на ось z в конце второй фазы ——через иг и 出.Модуль удара за первую фазу обозначим через S', а модуль удара за вторую фазу — через Так же как и в предыдущем параграфе при ударе упругого шара о неподвижную поверхность, и здесь будем иметь:
8" = Л5\
Применяя теорему о проекции количества движения на ось z к обеим фазам удара, получим четыре уравнения (по два уравнения для каждого шара):
=т
扮今扮今= =
扮今
扮今
Таким образом, вместе с предыдущим уравнением, выражающим зависимость ме-кду ударными импульсами S' и S,f, имеем пять уравнений, из которых можно определить все пять
неизвестных величин: и,现。и2, S' и SJ Найдем сначала и. Для этого сложим уравнения 1) и 3), в результате чего получим:
九1 (U 一 %) + 加2 (m -必)=0；
отсюда
—m1^1 + m2v2
Умножая уравнения 1) и 3) на А: и принимая во внимание соотношение между ударными импульсами S' и S", получим на основании уравнений 2) и 4) два следуютцих уравнения:
к (и — %) = и】一и, 6) к (и —必)=и? — 〃•
Вычитая из уравнения 5) уравнение 6), получаем:
u1 - u2 =一及("1 一,必)， откуда
Эта формула для коэффициента восстановления является обобщением формулы (214) предыдущего параграфа на случай прямого удара двух шаров.
Значения 〃】и 〃纟 определяются теперь из уравнений 5) и 6):
Mi = (1 + 乃)м — kvY = (1 + 乃)м — (1 + A) z?i + % ==^ + (i + к) (и — %),
出Н (1 +及)m 一后必==(1 + а) m — (1 +田必+必==必 + (£ + А) (м —必)•
Подставляя сюда значение и, получим окончательно:
"1 =内一口 + ^)'(弘一为)，
铀(220)
① 2 = %-(1 +向7^^5- 外)•
Если положим здесь А: = 0, то после простых преобразований найдем:
т. е. придем к результату, полученному уже ранее для неупругого удара, чего и следовало ожидать, так как равенство нулю коэффициента восстановления соответствует случаю удара неупругих тел. Если же положим к = 1, то будем иметь вполне упругий удар; тогда формулы (220) примут следующий вид:
"1 =必一肃訳(% - %)' % =必一^p^- (%-%)• (221)
В частном случае, когда ^】~ т21 получаем: u】= v2 и и2 = ^, т. е. в этом случае шары после удара обмениваются скоростями.
Найдем теперь модуль ударного импульса S за обе фазы удара; так как S = S' + то, складывая уравнения 3) и 4), получим:
S =他2 (U2 -必).
Подставляя сюда значение и2, находим:
$ =(1+©"^В；⑵—％)•(222)
Если А = 0, то
S =⑵-％)；(223)
если же 友=1, то
5-^¥^-^-^(224)
Следует иметь в виду, что формулы (219), (220), (221) и (222), полученные для прямого удара двух шаров, применимы и в случае прямого центрального удара двух поступательно абижуищнс兄 твердых тел произвольной формы, так как все соображения, которыми мы пользовались при выводе этих формул, остаются верными и в этом случае. При этом под прямым центральным ударом двух поступательно движущихся тел понимается такой удар, при котором общая нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения в начале удара проходит через их центры тяжести и скорости обоих тел в начале удара направлены по этой нормали.
Потеря кинетической энергии при ударе двух тел
Выше было указано, что при неупругом и ие вполне упругом ударе происходит потеря кинетической энергии. Вычислим эту потерю кинетической энергии сначала для случая неупругого прямого центрального удара двух твердых тел.
Обозначив общую кинетическую энергию ударяющихся тел в начале удара через Го и в конце удара через Т и сохраняя для скоростей обозначения предыдущего параграфа尸 будем иметь:
n _ Т =聾5 一吟+岑⑶一吟_
=I [^1 g + u2) - 2^M + 恤⑷ + U2) -2加2比2]=
=^师1 (脅+炉)+恤⑵+公)—2㈣+ m2)吟，
19 И, М. Воронков
где и ——общая скорость обоих тел в конце удара; но по формуле (219) имеем:
一"片办Im2b2 .
следовательно,
2 (m1 T— ?n2)辽2 = 2 (m!^ -卜 m2v^ u,
а потому
To - T =；[w(诉 + 吟-Г 力2 5 + 吟一2(7П1% + 出沙2)u]=
=2 [^1(Щ + U2 - 2%u)+ 7n2 (鸿 + U2 - 2u2%)],
ИЛИ
爲—？=号⑵一")2 +号(%一")2.(225)
Если разности 力——и и 必—口 будем называть потерянными при ударе скоростями первого и второго тела, то равенство (225) выраукает теорему Карно 】)：потерянная при неупругом ударе кинетическая энергия равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям.
Рассмотрим частный случай, когда одно из ударяющихся тел находится до удара в покое; в этом случае имеем:
少2 =
:0 и = Ml
，"“十爪2，
Лп __ "%и[ / °
и Т = ^±^ 吟
подставляя в последнее выражение значение 〃, получим:
Допустим, что % значительно больше 〃q, тогда дробь —2 будет мала в сравнении с единицей и Т будет почти равно Т^ т. е. после удара почти вся кинетическая энергия сохраняется; такой случай мы имеем, например, при забивке свай. Если, наоборот, 〃％ во много раз превосходит ^, то множитель, стоящий при ГОт будет мал, а потому и Т будет мало, т. е. почти вся кинетическая энергия при ударе теряется, и тела после удара остаются почти неподвижными; такой удар мы имеем, например, при ковке металла.
1) Л. Карно (1753——1823)——выдающийся французский ученый и общественный деятель эпохи Великой французской революции.
Перейдем теперь к случаю упругого удара. В этом сл> чае будем иметь:
北一 ? =号（* —呜）+ ^ 5 -吟=
=釁（々一"1） （% + 以1） + 夢（网—“2）（% + “2）；
из формул （220） предыдущего параграфа находим:
外-=.（1 т-向 • （% — %）
И
"2-"2=一（1+/‘）^^ （外一%）；
подставляя эти значения разностей v± — ux и г2 ——〃纟 в предыдущее равенство, получим:
Tq 一 T = （1 -友）取詳号W （% -少2）（01 一必 + u1 一 u2）。
Но в предыдущем параграфе мы имели равенство
u1 — U2 ~ 一介（外 一少2）；
следовательно,
北一 T=（l+© 宕%（%.分）"I -快
или окончательно:
爲一7 = 2（岁心（1 一依）（％ 一融产（226）
Если А; = 1, то
Т0 — Т 0 илп Т = Tq,
т. е. при вполне упругом ударе кинетическая знереия не теряется: энергия, потерянная за первую фазу удара, полностью восстанавливается в течение второй фазы.
Полагая к — 0, получим выражение для потерянной кинетической энергии при неупругом ударо в ином виде, чем мы имели выше по теореме Карно, а именно:
Tq—TTq—T2 "а + Г"?）2 "а + Г"?）⑵一少2产⑵一少2产（227）（227）
Tq—T
Tq—T
2 "а + Г"?）
2 "а + Г"?）
⑵一少2产
⑵一少2产
（227）
（227）
Пример 158. Вес парового молота 尸i — 1 m. Общий вес поковки и наковальни Р2 = 15 т. Коэффициент восстановления к = 0,6. Найти коэффициент полезлого действия молота х）.
Коэффициепюм полезного действия называется отношение полезной работы к затраченной энергии （работе）.
19*
Решение. Обозначим скорость молота в начале удара через 0「Так как наковальнн н поковка до удара неподвижны, то v2 = 0; следовательно,
где тг обозначает массу молота.
Потерянную при ударе кинетическую энергию находим по формуле （226）
北一 7 = （1 -及2）%
2 （~+加2）
Эта энергия затрачивается на работу деформации поковки, которая в данном случае является полезной работой, а потому искомый коэффициент полезного действия равен
=М一T = （1 一炉）g _ 1 一收
一70 一 勿“十）耽一［；‘❷.
Подставляя сюда данное значение к и заменяя отношение масс отношением данных весов, получим:
「鹏=0,6.
1+ 15
§ 153. Изменение количества движения системыпри ударах
Пусть данная система л материальных точек испытывает действие некоторых ударных сил. Посмотрим, как изменится при этом количество движения системы. Так же как при доказательстве общих теорем динамики системы, разделим все ударные силы, действующие на материальные точки данной системы, на силы внешние и силы внутренние. Если обозначим сьоргсть /с-й точки системы в начале удара через %, скорость той же точкп в конце удара через 〃左,а количества движения системы в начале и в конце удара обозначим соответственно через №' и Л\ то
К = £ mkuk*
Применяя теорему импульсов （§ 127）, получим:
где Spk обозначает внешний удар (импульс внешней ударной силы), приложенный к 友-立 точке системы, т. е.
т
Sph = \ 山.
Из § 127 известно, что в уравнение, выражающее теорему импульсов, импульсы внутренних сил не входят. Поэтому уравнение (228) не содержит внутренних ударов, т. е. импульсов внутренних ударных сил. Заметим, что эти импульсы на основании закона равенства действия и противодействия попарно равны по модулю и противоположны по направлению, а потому их сумма всегда равна нулю, т. е., обозначая внутренний удар через S^, всегда будем иметь:
Уравнение (228) выражает теорему об изменении количества движения системы при ударах, т. е. изменение количества движения системы равно сумме всех внешних ударов, приложенных к этой системе.
Эту теорему можно выразить еще и в другой форме. Как известно из § 128, количество движения системы равно количеству движения центра масс этой системы, в котором сосредоточена вся ее масса; следовательно,
К = М uq и К^ = М и「,
где ?с и «с обозначают скорости центра масс С системы в начале и в конце удара, а М есть общая масса всей системы. Поэтому уравнение (228) принимает вид
Muc^Mvc = ^S/\ (229)
т. е. изменение количества движения центра масс системы, е котором сосредоточена вся ее масса, равно сумме всех внешних ударов, приложенных к этой системе.
Отсюда следует, что внутренние удары, возникающие, например, при столкновении тел, входящих в данную систему, не изме~ няют скорости центра масс системы.
При отсутствии внешних ударов будем иметь:
£S,= О
и, следовательно, на основании уравнения (228) в этом случаеk = "⑹，
1) В правой части этою уравнения индекс А для сокращения записи опущен.
т. з при действии только внутренних ударных сил количество бвижения системы остается неизменным.
Проектируя векторное равенство (229) на координатные оси, получим:
Mllcx — М Vex =工 Sg '
МиСч — МvCy S 5^,，(230)
МиС2 — MvCz=^Sez,.
т. е. изменение проекции на какую-нибудь ось количества дви- №£ни兄 центра масс системы, е котором сосредоточена вся ее масса; равно сумме проекций на ту же ось всех внешних ударов, приложенных к этой системе.
§ 154. Изменение кинетического момента системы при ударах
Постараемся выяснить теперь, как изменяется кинетический момент системы материальных точек при действии на эту систему ударных сил. Сохраняя обозначения предыдущего параграфа и применяя к каждой точке системы теорему об изменении при ударе момента количества движения материальной точки относительно какого-нибудь неподвижного центра О (§ 149), будем иметь:
т0 (mhuh) — m()(^人％) = т0 (Se^ + т0 (S加(Л = 1, 2, ..., п).
Сложив эти п уравнений, получим:
S 加0 (加我)—£ 権0 (mr) = W 7no (S/) + w mo (SJ.
Так как внутренние удары попарно равны по модулю и прямо противоположны по направлению, то сумма их моментов относительно любого центра равна нулю; следовательно,
£тпо (SJ = 0.
Поэтому предыдущее уравнение принимает вид
Е то (ти) — £ т0 (mu) — £ rn0 (SJ.(231)
Если обозначим кинетический момент системы относительно центра О в начале удара через Lq , а в конце удара —— через 厶о, т. с. ПОЛОЖИЛ!'
У т0 (/пи)工 Lq 11
£тпо (та) = £°, то будем иметь:
т. е. изменение кинетического момента системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равно сумме моментов всех внешних ударов, приложенных к этой системе, относительно того же центра. '
При отсутствии внешних ударов (при действии только внутренних ударных сил)
^то (5J = 0
и, следовательно,
е. при действии только внутренних ударных сил кинетический момент системы относительно произвольно выбранного неподвижного центра остается неизменным.
Рассуждая так же, как при выводе уравнения (231), но рассматривая теперь моменты количеств движения и ударных импульсов относительно координатных осей и пользуясь уравнениями (213) § 149, получим теорему об изменении кинетического момента системы при ударах в координатной форме, а именно:
(233)(233)£ тх (mw) ~^тх (ww) = £ % (S。)，' £ ту (та) — £% (mv) =-^ту (SJ, £ mjirm) — Цт2 (mv) = £ ^工(SJ,.
(233)
(233)
или, обозначая кинетические моменты системы относительно осей х, у, z в начале и в конце удара соответственно через £?,厶册，厶У и Lxi 厶"厶
% 一 г’=£"%(邑)，］
Ьу~Ц^^ту(8^(234)
т. e. изменение кинетического момента системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равно сумме моментов всех внешних ударов, приложенных к этой системеf относительно той же оси.
' Пример 159. Однородная квадратная пластинка со сюропой д и массой М движется поступательное данной скоростью у, параллельной стороне АВ (рис. 374). Точка Л мгновенно закрепляется, и пластинка начинает вращаться вокруг этой точки. Определить угловую скорость со пластинки и импульс реакции закрепленной точки.
Решение. Внешним ударным импульсом S, приложенным к пластинке, является в данном случае импульс реакции закрепленной точки Л; обозначим проекции этого импульса на координатные осп через S^ и 5у, причем эти осп направим по сторонам пластинки, как указано на рис.舒4. Разобьем пластинку на бесконечно малые элементы; массу такого элемента обозначим через т, а его расстояние от точки А — через г. Тогда модуль
кинетического момента пластинки относительно точки Л до закрепления этой точки, когда пластинка двигалась поступательно, будет равен
1
L^ = ) £ тА (mv) j = £ mvy = v^ ту ~ 加沙死=у Mva, причем у「обозначает ординату центра тяжести С пластивки, равную, оче
ВИДНО,-.
Принимая во внимание, что скорость и элемента при вращении пластинки вокруг точки А равна по модулю г со и направлена перпендикулярно к радиусу вращения этого элемента, найдем, что модуль кинетического момента пластинки относительно точки Л после закрепления этой точки будет равен
L А = I £ tnA (mu) I — £ тиг =
=£ /пг2® = з £ mr2 = J/3, где JА есть момепт инерции пластинки относительно точки Л, причем
2 =百 "a2 1),
а потому
2La = § Л7а2(о.
Так как удар S приложен в точке А, то его момент относительно этой точки равен нулю, а потому на основании только что доказанной теоремы заключаем, что кинетический момент пластинки относительно точки Л остается неизменным, т. е.
21
LА =丄Т，или § ТИа^со =彳 Mva;
отсюда находим искомую угловую скорость пластинки:
3 ь
со =".—.
4 д
1) Мис cos 45° — Mv = S*, 2)— Mu,q cos 45° = Sg*1) Мис cos 45° — Mv = S*, 2)— Mu,q cos 45° = Sg*Обозначим скорость центра тяжести С пластинки после закрепления точки А через «с; эта скорость направлена перпендикулярно к /С, т. е. по диагонали DB. Применяя теорему предыдущего параграфа об изменении проекции количества движения центра масс на осп 微 и у, получим,два уравнения:
1) Мис cos 45° — Mv = S*, 2)— Mu,q cos 45° = Sg*
1) Мис cos 45° — Mv = S*, 2)— Mu,q cos 45° = Sg*
Отсюда, принимая во внимание равенство аз y/*W и Г / С ” з 2—
Это значение JА находим из формулы для момента инерции прямо^ угольника (см. § 135), в которой нужно положить Ь = а.
находим:находим:г?) =g Mvг?) =g Mv
находим:
находим:
г?) =g Mv
г?) =g Mv
Sy = - M ^- = - Mv.
По этим проекциям можем вычислить модуль вектора S и его углы с координатными осями.
§ 155. Действие ударной силы на твердое тело,вращающееся вокруг неподвижной оси
Представим себе твердое тело, вращающееся вокруг неподвиж* ной оси %. Допустим, что на это тело в течение весьма короткого промежутка времени г действует ударная сила 尸；иначе говоря, допустим, что к телу приложен удар
S = \ F dt.
Выясним, как изменится под влиянием этого удара угловая скорость тела. Применяя доказанную в предыдущем параграфа теорему об изменении при ударе кинетического момента системы относительно данной оси, получим:
Ьг -厶7 n『乙(S) i).
Но кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости тела на момент инерции его относительно этой оси (§ 129); следовательно, обозначая угловую скорость тела в начале и в конце удара соответственно через соо и со, имеем:
Lz = Jz(o,
厶。)-(*・
Поэтому предыдущее уравнение принимает вид
，z (з — So) = mz (S).
Отсюда находим
■co — w0 =学2,(235)
Ударные импульсы реакций закрепленных точек тела (подшипников) в это уравнение не входят, так как моменты этих импульсов относительно оси вращения тела равны нулю.
т. е. изменение угловой скорости, твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, вызываемое приложенным к нему ударом, равно моменту этого удара относительно оси вращения, разделенному на момент инерции тела относительно той же оси.
Пример 160. К однородному прямолинейному стержню ОА = I, который может вращаться на шарнире вокруг горизонтальной оси。，приложен в его середине удар S, перпендикулярный к оси вращения и к направлению стержня. Предполагая, что в начале удара стержень находится в покос,
определить его угловую скорость в конце удара, а также модуль и направление ударного импульса, который передается при этом на шарнир О. Масса стержня равна М (рис. 375).
Решение. Искомую угловуюг скорость находим по формуле (235), в которой согласно условию задачи пу?кно положить соо = 0, следовательно,
то($)
В данном случае_
/6 _ с 2 гм巻
(£) = § у- з "，
а потому
Обозначим ударный импульс реакции шарнира。через S。； скорость центра тяжести С стержня в конце удара обозначим через 腥^ ； зта скорость направлена перпендикулярно к ОС и по модулю равна
ис = 2 •
Применяя теорему об изменении проекций количества движения центра масс на оси с н у (§ 153) и принимая во внимание, что скорость центра тянгести стержня в начале удара 0c = 0, получим:
1)$Оу + S = Л/气
%* = 6
Из первого уравнения находим:
S^y = Мuq — § =攵力/2з — S = z S — S —^ S.
Из второго уравнения следует, что удар S。направлен по осп у, а потому
S。= ! ^оу I = % £
Так как SOy V 0, то удар S。направлен по осп у влево. Удар, передающийся на шарнир, будет равен по модулю S。，ио направлен в противоположную сторону, т. е. по оси у вправо.
§ 156. Центр удара
Пусть имеем твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси Oz, перпендикулярной к плоскости чертежа;
предположим, что эта плоскость является для тела плоскостью симметрии, и пусть С есть центр тяжести этого тела, причем ОС = а (рис. 376). Допустим, что к этому телу приложен удар S,
лежащий в плоскости чертежа, т. е. в плоскости симметрии тела. Постараемся выяснить, при каких условиях приложенный к телу удар не будет передаваться на подшипники, при помощи которых закреплено данное тело.
Примем неподвижную точку 。 пересечения осп вращения с плоскостью симметрии тела за начало координат и направим оси /ид так, чтобы ось х проходила через центр тяжести тела. Предположим, что до
удара тело находилось в покое; тогда
<оо — 0. Угловую скорость тела в конце удара обозначим через <о, а скорость его центра тяжести в тот же момепт обозначим нерсз ис. Эта скорость будет равна по модулю асо и будет направлена перпендикулярно к ОС, т. е. параллельно оси (/; обозначим, далее, проекции удара S на координатные оси через S* и б?, а проекции на те же оси ударного импульса S。общей реакции подшипников, приложенной к телу в точке О, обозначим через Sox и SOy〉
Так же как и в предыдущем параграфе, применяя теорему об изменении проекций количества движения центра масс на оси
хну, получим два уравнения:
S* -\- Sох ~ 0,
Sy + “у = MuGt
Так как согласно условию подшипники не должны испытывать удара, то удар S。должен быть равен нулю, а потому
S。％ = So? — 0,и предыдущие уравнения принимают видSy — Мис, Sx = 0.
Мы предполагаем, что подшипники расположены симметрично относи- тельпо плоскости чертежа. Тогда вследствие полной симметрии ударные реакции подшипников будут равны и приведутся к одной силе, приложенной к телу в точке О.'
Второе уравнение показывает, что удар S, приложенный к телу, должен быть направлен перпендикулярно к оси х, т. е. к прямой, соединяющей центр тяжести с точкой пересечения оси вращения с плоскостью симметрии тела, как это показано на рис. 376.
Но в таком случае S^ = S л, следовательно,
S ~ Мис, а так как ис =(20), то
S ~ Ма(а.
Угловая скорость тела в конце удара определяется, как известно из предыдущего параграфа, по формуле
где J,——момент инерции тела относительно оси вращения и 场一 расстояние прямой, по которой направлен удар 5, от этой осп. Подставляя это значение угловой скорости в предыдущее равенство, получим:
S = Ма『,
откуда находим:
следовательно, прямая, по которой направлен приложенный к телу удар, должна находиться от оси зраще/шя тела на расстоянии, равном м；.
Точка К, в которой эта прямая пересекает ось %, называется центром удара. Заметим, что расстояние ОК равно приведенной длине того физического маятника, который представит собой данное тело, если оно будет качаться на оси Oz под действием собственного веса.
В качестве примера найдем центр удара для однородного, прямолинейного стержня ОА длиной I (рис. 375). В этом случае
Jz ~ у MZ2 и а = у ,
а потому по предыдущей формуле находим:
。К=余=Ф，2 ,
т. е. центр удара находится на расстоянии ^ Z от оси вращения стержня.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиомы статики 37
Аксоид неподвижный 335, 366
—подвижной 335, 366
Амплитуда колебания 229, 436
Бинормаль 264
Вариации координат 462
Вектор 36
——главный системы сил 102, 180
——единичный 55, 56
—свободный 93
—скользящий 38, 286
—углового ускорения 287
——угловой скорости 286
Векторы коллинеарные 54
Величина векторная 36, 45
—скалярная 36
Винт динамический 188
——кинематический 361
Вращение вокруг неподвижной оси 277, 516
равномерно переменное 280, 521
————равномерное 280, 284, 521
Вырезание узлов 152 и д.
Годограф 250
—скорости 256
График движения 228
—скорости 237
—ускорения 243
Графостатпка 137 и д.
Движение И
—абсолютное 291, 383
—апериодическое 444
—винтовое 361
—вращательное 277
—колебательное 229, 435 и д.
——криволипейное 227, 246
—механическое 12
—неравномерное 234
—обращенвое 316•
—отиоси1ельное 291, 452
Движение переносное 291
——плоскопараллельное 299, 527
—поступательное 32, 275, 309, 344
—прямолинейное 225—227, 390
—равномерно ускоренное 242
—равномерное 230
—сложное 290 и д.
——тела вокруг неподвижной точки 330 и д.
Декремент 443
——логарифмический 443
Диаграмма Кремоны 155
Дина 385
Динама 188
Динамометр 36
Дифференцирование векторное 249
Длина приведенная физического маятника 526
Задача ситически неопределенная 118
——определенная 118
Закон вращательного движения тела 278
—движения 227, 247
—Гука 415, 438
—инерции 379
— независимости действия сил 382
——равенства действия и противодей- С1вия 40, 381
—сохранения механической знср- гии^421, 496
Значение силы численное 35
Изменение кинетического момента системы при ударе 586
— количества движения системы при ударе 584
Импульс силы 400
—ударный 571
—элементарный 400
Инерция 379
Килова1т 492
Килограмм 36, 384
Кинетостатика 432
Колебание вынужденное 446
—гармоническое 229, 435
—затухающее 440
Количество движения 381, 473
Конус трения 127
Координата дуговая 247
Координаты обобщенные (лагранжевы) 536
Коэффициент восстановления 574, 575
——полезного действия 492, 583
—трения качения 133
——скольжения 125
Кривая расстояний 228
—скоростей 237
—ускорений 243
Кривизна 262
Круг соприкасамлцийся (круг кривизны) 264
Линия винтовая 363
действия силы 35
—узлов 331
Ло!падиная сила 492
Масса 380, 381
Метод кипетостатпки 432
Многоугольник веревочный 138
—силовой 45
Множитель Лаграшка 423
Модуль ве ктора 36
Момент времени начальнгдй 226
—главный системы сим 102, 180, 182
—инерции относительно начала координат 502
оси 483, 485, 501 и д.
— 一 一 параллельных осей 508
плоскости 503
—— —— центробежный 511, 513
—кинетический 482, 483
—количества движения 393, 403
—пары 88, 89, 93, 96
—силы 69, 98, 163, 168, 177
Мощность 492
Направление вектора 54
—силы 35
Независимость действия сил 382
Нормаль главная 263
Окружность, момент инерции 505
Орт 55
—бинормали 264
— главной нормали 264
■— касаюльпой 263
—координатный 56
Оси естественные 264
Ось вращения 277
— — мгновенная 335
—времени 228
——илерции главная 512
— — 一 центральная 513, 522
—наименьших моментов 189
■— расстояний 228
——центральная системы сил 488
Пара вращений 367
—сил 75, 88
——присоедипенпая 100
——треиия качения 133
—угловых скоростей 367
Параллелограмм сил 39
Перемещение 253, 545
—виртуальное 545, 547
—возможное 461, 538, 544
—— действительное 463
Период колебания 229, 437
План скоростей 310
Плечо пары 88
—силы 69
Плоскость действия пары 88
— соприкасающаяся 263
Поле силовое 417
потенциальное 417, 495
Полодия неподвижная 3J 6
—подвижная 316
Полюс 138
Правило параллелепипеда 44
— параллелограмма 39
——силового многоугольника 45
Приведение системы сил к данному центру 100, 179
Принцип возмож7(ых перемещений 461, 466
—Даламбера 431, 497
—отвердевания 40
——относительности классической механики 454
—— Торичелли 560
Произведение векторное 172
—скалярное 175
Производная векторная 249
Промежуток времени 226
Путь, пройденный точкой 239
Работа 406 и д.
—— равнодействующей 412
—силы тяжести 413
— элементарная 407
Равновесие 37
—относительное 434
Равнодействующая 37, 103, 185
Радиус инерции 485
Радиус кривизны 2G2
Разложение движения точки 290
—силы 48
Реакция связи 41, 122, 421 > 460
Резонанс 448
Рычаг 69, 84
Связь 41, 421
—геометрическая 458
—нестационарная 459, 537
—пеудерживающая 423
一 совершенная 464, 548
—стационарная 459, 537
—удерживающая 423
Сила 33 и д.
— внешняя 119, 460
— внутренняя 119, 460
—возмущающая 445
—восстанавливающая 445
—Бсемирпиго тяготения 34
一 «живая» 406, 413
—■ , зависящая от времени 392
——,一от положения точки 394, 435
— ,— от скорости 397
—заданная 460
—инерции 431
——касательная (тангенциальная) 432
—— ——кориолисова 452
——一нормальная (центробежная) 432
—обобщенная 551, 559
——переносная 452
—обобщенная 539
—треиия в движении 123
― — в покое (сила с1атического трения) 123
——скольжения 123 тяжести 34
—ударная (mi новепная) 571
— уравновешивающая 37
—центральная 405
一 центробежная 427
——центростремительная 427
Силомер 36
Силы антипараллсльпые 74 — параллельные 73 и д.
—сходящиеся 43 и д.
Система единиц абсолютная 384
— — техническая 384
——координат гелиоцентрическая 383
——геоцентрическая 383
—механическая 458
——неизменяемая 458
—отсчета 33, 225
инерциальная 33, 383, 4 54
Система сил 37, 188
————плоская 98 и д.
———сходящихся 43
Система сил уравновешивающаяся 37
Системы сил эквивалентные 37
Скорость абсолютная 351
—критическая 451
—обобщенная 553
—переносная 292
— потерянная при ударе 582
—радиальная 352
—средняя 234
—точки 235, 252
—yiловая 278, 286
——мгновенная 335
Сложение двух вращений вокруг нс- рссек^ющихся осей 373
—геометрическое 39
—пар 94
——поступательных движений 359
—сил 1рафическое 139
—скоростей 351
Сопротивление вредное 491
—полезное 491
Составляющая 48? 56
Состояние равновесия 37
Способ вырезания узлов 152 и д.
一 Кремоны 155
—Риттера 160
Степень свободы 461
С1ержень прямолинейный тонкий, мо
мент инерции 504
Тело абсолютно твердое 31
несвободное 41, 196
————свободное 41
Теорема Вариньона 105, 186
—Гюльдепа 207
——Даламбера — Эйлера 332
—идшульсов 477
—Карно 582
—Кориолиса 355
——о кинетическом моменте системи
482•
—о количестве движения 399
——о моменте количества движения
481“
—о работе равнодействующей силы.
412“
——сложения скоростей 350
Точка материальная 32, 413
——не( вободная 421
—приложения силы 35
Трение жидкостное 132
—качения 133
—скольжения 122
Трехгранник естественный 264
Тяготение всемирное 34, 418
Углы Эйлера 330
Угол нутации 331
—прецессии 331
—собственного вращения 331
—трения 127
Удар 571 и д.
—внешний 585
—внутренний 585
—вполне упругий 576
——не вполне упругий 576
— непрямой 576
—прямой 574
Узел фермы 148
Уравнение вращательного движения тела 278
—движения точки по прямой 227
—дифференциальное вращательного движения 】ела вокруг неподвижной оси 521
—общее статики 468
Уравнения движения тела вокруг неподвижной точки 332
——一 плоскопараллельного 301
———точки в декарювых координатах 248
————в полярпыА координатах 248
一 一 一 относительного 293
-~■ дифференциальные движения в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа) 555, 558
— — — материальной точки 385
—————в 帀 орме Лагранжа 423
——一 ——一 —Эйлера (в естественной форме) 424
— —— плоскопараллельного движения твердого тела 531
Усилия в стерншях фермы 150
Ускорение 255
—Кориолиса 355
—нормальное 267
—осестремительное 339
—переносное 292
— тангенциальное 267
—угловое 278
—центростремительное 283, 339
Условия начальные 390
Условия равновесия системы в обобщенных координатах 538
————в случае существования силовой функции 558
Фаза колебания 229, 436
——начальная 436
Ферма 148
——статически неопределимая 150
— статически определимая 150
Фигуры взаимные 159
Формулы Эйлера кинематические 337
Функция силовая 417, 494, 558
Центр колебания 229
—кривизны 264
—масс 478
—мгновенный вращения 305
——скоростей 304
ускорений 321
—тяжести 203 и д.
—— ——дуги окружности 212
— — кругового сектора 213
— — многоугольника 211
——пирамиды 214
——полукруга 210
——призагы 214
——симметричного тела 205
——треугольника 211
Центроида не подвижная 316
—подвижная 316
Цилиндр круглый 506
Частота круговая колебания 437
Число степеней свободы 461
Шаг винта 362
Шарнир сферический 43
——цилиндрический 42
Эквивалентность пар 90
Эллипсоид инерции 512
———центральный 513
Энергия кинетическая 406, 413, 428
— —— материальной точки в относительном движении 456
,потерянная при неунругом ударе 582
——твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 490
—потенциальная 419, 495, 559
5 И. М. Воронкив
1) Отрицательный корень этого уравнения по смыслу вопроса задачи,
1) На то, что сила F является притягивающей, указывает ее направление.
1) Если подставить в равенство Рпред= g/п вместо 几 его значение, то получим: Н^ пред = ??2g =尸,откуда следует, что предельная скорость представ^ ляет собой такую скорость тела, при которой численное значение силы со
：)% = U (%, Уо, г0), где %, % и z(j — координаты точки %.
I) Так как сила трения направлена в сторону, противоположную скорости
1) За положительное направление касательной примем направление в сто
i) В этом легко убедиться подстановкой выражения (63) в уравнение (62); при этой подстановке уравнение (62) обращается в тождество; следовательно,
И. М. ВОРОНКОВ
КУРСТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ИЗДАНИЕ ОДИННАДЦАТОЕ
Допущено Министерство vtеысшего и среднего специального образования РСФСР8 качестве учебника для студентов высшихтехнических учетных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»МОСКВА 1964
531
В 75
УДК 531.01 (075-8)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Иван Михайлович Воронков
Курс теоретической механики
М., 1964 г., 596 стр. с илл.
Редактор Н. Л Розалъская.
Техн, редактор Л В Лихачева.Корректор А. Д, Халанская,
Сдано в набор 6/XII 1963 г. Подписано к печати 2/IV 1964 г. Бумага 60x90'/ig.Физ- печ. л. 37,25. Усл. печ. л. 37,25. Уч -изд. л. 38,34. Тираж 100 000 экз. Т-04539.Заказ № 743. Цена книги 1 р. 25 к.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография N 1 «Печатяьгй Двор» имени А. 41. Горького <<Главпо-лиграфпрома» Государственного комитета Совета Министров СССР по печати,Гатчинская, 26c
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к одиннадцатому изданию . 10
Введение W