ГЛАВА ПЕРВАЯ

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИСИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

Основные понятия. Связи

Механическая система. Виды связей. Механической системой называется такое множество материальных точек, в котором движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы. Условия, налагающие ограничения на движение точек системы, называются связями; эти условия аналитически выражаются в виде уравнений, связывающих между собой координаты и скорости точек системы, а также время (см. ч. I, § 14, п. 5). Уравнение неосвобождающей связи дается равенством вида

/Оь yb zv х2, у2, z2хп, у„, zn;

*1. Уъ zx, х2, у2, г2х„, уа, zn; t^ = О,

где п есть число точек системы, или, сокращенно, /(х, у, z-, х, у, z\ ^^О1).(1)

Для освобождающей же связи это уравнение имеет вид неравенства

/(х, у, z, х, у, Z, 0>0./(х, у, z, х, у, Z, 0>0.(1')(1')

/(х, у, z, х, у, Z, 0>0.

/(х, у, z, х, у, Z, 0>0.

(1')

(1')

Так как при движении системы координаты х, у, z и скорости ху, z являются функциями времени, то время в уравнения связи входит неявно через эти аргументы; кроме того, оно может входить и явно. Связь, не зависящая явно от времени, называется склерономной или стационарной; если же связь явно зависит от времени, то

*) При отсутствии индексов условимся в выражениях вида / (х, у, z, х, у, z) под х понимать всю совокупность величин хь х2, ..., х„, под У — совокупность уь у2у„ ИТ. д.

8 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК (ГЛ. 1 она называется реономной или нестационарной. Уравнение склерономной связи имеет вид

/(х, у, z, х, у, z) = 0,(2)

а связь, выражаемая уравнением вида (1), будет реономной.

Уравнения (1) и (2) определяют связи, налагающие ограничения не только на координаты точек системы, но и на их скорости; такие связи носят название кинематических или дифференциальных связей. Связь, которая налагает ограничение только на положения точек системы и, следовательно, выражается уравнением, связывающим только координаты этих точек, называется геометрической или конечной связью; уравнение геометрической связи имеет вид

/(х, у, г; #) = О или /(х, у, д) = 0.(3)

Мы ограничимся рассмотрением кинематических связей, которые выражаются уравнениями, линейными относительно скоростей точек системы. Эти уравнения, если связи реономны, имеют вид

^ (^v^v + ^v^v Н~ cv^v) + о = 0,(4)

где ov, b^, cv, а суть функции координат х, у, z и, возможно, Времени t, т. е.

х, у, z,av, bv, cw a t .

Если же эти связи склерономны, то они выразятся уравнениями вида

2 (ovxv4-Z>vyv4-cvzv) = 0,(5)

v=i

где ач, Ь^, с^ зависят только от координат х, у, z.

Умножая уравнения (4) и (5) на dt, получим выражения уравнений кинематических связей в виде

л

^(a^dxv-irbvdx)v-V-cvdzv)-sradt = O(4а)

для реономной связи и

5 (tivdxv4-»vdyv + cvdzv)== 0(5а)

для склерономной связи. Левые части уравнений (4а) и (5а) представляют собой линейные формы относительно дифференциалов координат и, может быть, времени; если эти линейные дифференциальные многочлены являются полными дифференциалами какой-нибудь

функции координат и времени (т. е. интегрируются), то после интегрирования дифференциальная связь перестает быть таковой и становится конечной связью, налагающей условия только на координаты точек системы, т. е. геометрической связью. Следовательно, связь будет дифференциальной только в том случае, если она неинте- грируема.

По терминологии Г. Герца механическая система, имеющая только связи, выраженные в конечной форме (геометрические), называется голономной; если же на систему наложены дифференциальные неин- тегрируемые связи, то система называется неголономной.

Примерами неголономных систем являются твердые тела, вынужденные катиться без скольжения по какой-либо шероховатой поверхности. Кинематический характер такой связи виден из того, что скорость точки касания тела с поверхностью должна равняться нулю. Если уравнения, выражающие это условие, не могут быть проинтегрированы, то связь будет неголономной.

Примеры. 1. Колесо радиуса 7? катится без скольжения по прямолинейному рельсу (рис. 1). Положение колеса в плоскости движения Оху определяется Координатами хс, ус центра С колеса (полюса) и углом поворота ф. Если ось х направить вдоль рельса, то ус = R (геометрическая связь). Кроме того, должна быть равна нулю скорость точки касания К колеса с рельсом; это условие дает хс—■ 7?<р = О (кинематическая связь). Но данное уравнение сразу интегрируется и приводит к соотношению между координатами хс иф, имеющему вид хс— ^ф = const. Таким образом, рассмотренная система является голономной.

Колесико планиметра (с острым, режущим краем) катится без скольжения по горизонтальной плоскости, оставаясь перпендикулярным к этой плоскости; вид колесика в проекции на горизонтальную плоскость Оху показан на рис. 2. Положение колесика определяется координатами хс, ус его центра С (zc = R, где R — радиус колесика), углом 9, который плоскость колесика образует с осью х, и углом поворота ф колесика вокруг его оси (на рисунке не показан). Так как скорость точки касания колесйка с плоскостью равна нулю, то скорость центра колеса ис = 7?ф. Наличие острого края, не допускающего перемещение колесика в направлении, перпендикулярном к его плоскости, требует, чтобы вектор ос все время лежал

в плоскости колесика. Это приводит к следующим двум соотношениям между координатами хс, ус, ф, 0:

хс = /?фсоз0, ус = /?ф81п0.(а)

Уравнения (а), когда 0 =# const, не могут быть проинтегрированы; следовательно, система является неголономной.

Положение шара радиуса R, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 3), определяется координатами хс, ус, zG его центра и тремя углами поворота вокруг центра, например углами Эйлера ф, тр, 0 [ч. I, § 7 (рис. 80)]. Так как ско-

Рис. 3.Рис. 3.рость точки касания К должна быть равна нулю, то скорость центра С удовлетворяет векторному равенству vc 4" (® X СК) = 0, где а — мгновенная угловая скорость шара. Учитывая, что проекции вектора СК на неподвижные у оси Oxyz равны 0, 0, — R, получим в проекциях на оси

Рис. 3.

Рис. 3.

хс — R® = 0, ус + R®x = 0, zc = 0.

(б)

Последнее уравнение интегрируется

и дает геометрическое условие zc = R. Первые же два уравнения неинтегрируемы, в чем можно убедиться, выразив «х и Гоу через углы <р, гр, 0 и их производные по времени [эти выражения даются ниже уравнениями (4) в § 14, где р’ = <вх, q' = ®у]. Следовательно, данная система также является неголономной.

Условия, налагаемые связями на вариации координат. Рассмотрим голономную систему из п материальных точек, на которую наложено к конечных связей, выражаемых уравнениями вида

f^x, у, z; t) = 0(я=1, 2к).

Тогда число независимых координат этой системы будет равно Зл — к (см. ч. I, § 14, п. 6). Дадим системе некоторое виртуальное перемещение, вследствие которого координаты точек системы получат приращения, равные вариациям этих координат

bxx, byv, bz^ (v= 1, 2n).

Эти вариации, число которых равно йп, не будут независимыми, так как вследствие наложенных конечных связей они должны удовлетворять к условиям вида

п

+С”1'26>’ <6>

V—1

которые мы получим, варьируя уравнения связей (см. ч. I, § 28, п. 2). Следовательно, число независимых вариаций будет равно Зл—к, т. е. числу независимых координат системы.

Предположим теперь, что система неголономна и на нее, кроме конечных связей, выражаемых уравнениями вида

f^x, у, z\ t^ — Q, (х=1, 2/г),

наложено еще г дифференциальных (неинтегрируемых) связей, уравнения которых имеют вид

п

S(«Pvdxv+6pvdyv+cpv</zv)4-a ^ = 0 (р = 1, 2, . .., г). (7) V= I

Уравнения (7) связывают между собой проекции dx, dy, dz истинных перемещений точек системы, совершаемых за элементарный промежуток времени dt. При виртуальном перемещении изменения координат точек системы выражаются их вариациями бх, бу, bz, причем 6^ = 0, так как виртуальное перемещение есть изменение положения системы, соответствующее данному моменту (при определении этих перемещений время не варьируется). Поэтому уравнение, связывающее между собой вариации координат бх, бу, dz, мы получим из уравнения (7) путем замены дифференциалов вариациями, принимая во внимание, что 6^ = 0; следовательно, дифференциальные связи типа (7) налагают на вариации координат условия

п

2 («Pvd^v + »pv6yv+cpvdzv)==0 (р=1, 2г).(8)

V=1

Отсюда ясно, что при дифференциальных связях, так же как и при конечных, виртуальные перемещения совпадают с истинными только в том случае, если связь склерономна, т. е. если уравнение дифференциальной связи имеет вид

2 («pv dx^ + »pv d^ + cpv dz^ = 0,

причем apv, b^, cpv будут функциями только координат, но не времени, входящего явно.

Итак, пусть на систему наложено к конечных связей, выражаемых уравнениями вида

/и(х, у, z\ t) = 0(х—1, 2, ./г),

и г дифференциальных неинтегрируемых связей, уравнения которых имеют вид

S(apvdxv--HPvdyv + cPvd2v) + aP^:=0(Р= 1. 2г).

V=1

Число независимых координат системы будет равно Зл — к, где п есть число точек системы. Вариации же координат будут связаны

условиями п

<x=L2*>

V=1ил5(«pv6xv+6pv6yv+cpv6zv) = 0(р=1, 2, .... г).

V=1

Число этих условий равно к-\-г, следовательно, число независимых вариаций равно Зга— (fe + r). Отсюда следует, что в неголономных системах число независимых вариаций меньше числа независимых координат системы, тогда как для голономных систем эти числа совпадают.

Числом степеней свободы системы будем называть число независимых вариаций координат. Тогда для голономной системы число степеней свободы равно числу независимых координат, а для неголономной системы меньше числа независимых координат.

Обратимся к примерам, рассмотренным в конце п. 1. В примере 1 ко- кординаты хс, Ус, <р колеса удовлетворяют уравнениям ус = R, хс — /?ф = = const. Следовательно, положение колеса определяется одной координатой,

например хс; число степеней свободы колеса также равно единице.

В примере 2 положение колесика определяется четырьмя координатами хс, ^с ч’’ ®' Н° вариации этих координат, согласно уравнениям (а), связаны „соотношениями

6хс = /?бф cos 0, бус = Лбф sin 0. Следовательно, независимых вариаций будет две, например 6ф и 50, и колесико имеет две степени свободы.

В примере 3 число координат системы равно пяти: хс, ус и углы ф, ^, 0. Но вариации этих координат будут связаны двумя соотношениями, вытекающими из первых двух равенств системы (б). Следовательно, шар имеет три степени свободы.

Иногда бывает удобно обозначать координаты точек одной буквой с различными индексами, со

ответствующими координатным осям, которые в свою очередь обозначаются номерами 1, 2, 3 (рис. 4). Так, например, координаты

точки тИ, вместо xv yv zx обозначаются хр xv х3, точки Л12 вместо х2, у2, z2 обозначаются х4, хБ, х6,

точки Мп вместо х„, у„, zn обозначаются х3л_2> хзя-1’ хзя-

вектором mv»v, векторов mv»vвектором mv»v, векторов mv»vQ = S mvTv,Q = S mvTv,системусистемуПреобразуем выражениеПреобразуем выражение

вектором mv»v, векторов mv»v

вектором mv»v, векторов mv»v

Q = S mvTv,

Q = S mvTv,

систему

систему

Преобразуем выражение

Преобразуем выражение

Массы этих точек для удобства суммирования обозначаются одной буквой с теми же индексами, что и координаты этих точек; например, масса точки 34, обозначается или тх, или т2, или т3, причем, конечно, тх — т2 = т3; масса точки 342 обозначается или т4, или т5, или т6, причем т4 = т5 = т6; масса точки Мп обозначается или «зл-г. или т3п_х, или т3п, причем т3п_2 = т3п-1 = т3п. Такими обозначениями мы будем иногда пользоваться.

Основные динамические величины

Рассмотрим систему п материальных точек, находящихся в движении. Тогда в любой момент времени количество движения каждой

точки системы с массой mv будет изображаться

приложенным в этой точке. Приведем к какому-нибудь центру О (рис. 5). В результате получим: 1) главный вектор *)

который равен геометрической сумме количеств движения всех точек системы и называется главным вектором количеств движения системы или просто количеством движения системы, и 2)главный момент

Go = 5 (rv X mv»v)>V

который равен геометрической сумме моментов количеств движения всех

точек системы относительно центра О и носит название главного момента количеств движения системы или кинетического мо

мента системы относительно центра О.

Количество движения системы.

количества движения системы

Q = 2 ^A-

V

Так как ф = то at

VV

Условимся в дальнейшем для краткости во всех случаях, когда п

»то не может вызвать недоразумений, вместо 2 писать просто 5 или 2 •

Но из формулы, определяющей радиус-вектор гс центра масс системы, следует, что

2 mV\ = ^о

V

где А1 = 2 mv есть масса всей системы; поэтому V

(1)(1)Q= М —— = Мтс,

(1)

(1)

at L

где тс есть скорость центра масс. Отсюда имеем теорему: количество движения системы равно количеству движения, которое имел бы центр масс системы, если бы в нем была сосредоточена масса всей системы. Иными словами, количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Проекции количества движения системы на оси координат будут Сх=^^тчх^ = Мхс, Qy = 2 mvyv = Myc, vv

Q^ = 2”tv2v = ^2c.

v

Из доказанной теоремы следует, что количество движения системы по отношению к любым осям Cx'y'z', имеющим начало в центре масс С и перемещающимся вместе с этим центром, равно нулю, так как относительно этих осей фс = 0. В частности, очевидно, будет равно нулю количество движения твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс этого тела.

Кинетический момент системы. Кинетическим моментом относительно центра О называется, как было указано выше, вектор

ная величина, определяемая равенством

Go = Т (гт X =

V

(2)

V

Преобразуем это выражение. Проведем через центр масс С системы оси Сх'у'с/ (рис. 6), которые будут перемещаться по отношению к основной инерциальной системе от

счета Oxyz поступательно вместе с центром масс. Обозначим радиус-вектор любой точки Mv системы с массой mv по отношению к осям Oxyz через rv, а по отношению к осям Cx'y'z' через г'; ра

диус-вектор центра масс назовем гс. Тогда

(3)(3)rv = rc + r\

(3)

(3)

Если система движется, то rv, rG и г^ суть функции времени; поскольку равенство (3) имеет место в любой момент времени, то

dt dt ' dt

Подставляя выражения (3) и (4) в равенство (2), получим

/ dr с4г'А

(rc + rv)X mv\dT ""V" АП” )]*

V

dr„

Раскрывая скобки и обозначая скорость -^- центра масс через »с, находим

Go = ^<rc X mv»c) + 2i(rc X mv^-) + VV

+ 2 « X ^cW 2 (rv X -^).VV

Заметим, что

’21mv = M, ^m^'^Mr^Q;VV

здесь M — масса системы, а г'с = 0, так как-г^ есть радиус-вектор точки С в осях Cx'Vz'. Тогда будем иметь следующие очевидные равенства:

2 (гс X т^с) = гс X М<ос, V

, ^г’А ., v rfrv

VсХ ^v dt ) — гсХ2Цпч dt —

Vv=l

. , d V I

= ГсХц^Ч^

v=iW

2 « X mv»c) = ^ mvr; X vc = 0,Vv

2 (< X ^ = 2 « X тХУ VV

где »' есть скорость точки с массой т.^ относительно осей Cx'Vz'. На основании этих равенств получим выражение кинетического

16 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. I момента Go в виде

Oo = rcXM»c + £(r;XmX)-(6)

V

Первый член правой части есть момент относительно центра О количества движения, которое имел бы центр масс системы, если бы в нем была сосредоточена масса всей системы. Второй член

°с=2«ХтХ)V

представляет собой сумму моментов относительно центра масс количеств движения точек системы в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета Cx'y'z'.

Отсюда получаем теорему: кинетический момент системы, относительно какого-нибудь неподвижного центра равен моменту относительно этого центра количества движения центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, сложенному с кинетическим моментом системы относительно центра масс в ее движении по отношению к подвижной системе отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно, т. е.

Go = rcXM-oc-VG'c.(6')

Равенство (6') можно еще представить в виде

Go = rcXM-oc-VGc.(6")

где °с=2«X т^°^- В самом деле, так как, согласно фор- муле (4), ^^^c + ^v’ то* Учитывая третье из равенств (5), будем иметь

« X т^) = 2 « X mv®c) + 2 « X т^ = s « X tn.-D^, VVVV

или GC = G'C.

Если перейти к декартовым координатам, положивrv=V+yvv+zX r; = x;t-\-yy-bz;fe,rc = xci^-ycj4-zcfe,

то проекции кинетического момента системы на оси координат, или, что то же, кинетические моменты системы относительно координатных

Рис. 7.Рис. 7.Go =Go— 00' X Q-Go =Go— 00' X Q-(8)(8)

Рис. 7.

Рис. 7.

Go =Go— 00' X Q-

Go =Go— 00' X Q-

(8)

(8)

осей, выразятся так:

Ох = 2 mv (У v^v — Mv) = V

= М (yczc — zcyc) 4- 2 mv(y^; — z'^, Oy = 2 ”tv(zvxv — x^ =

= AI ^zcxc — xczc) + m^x; — x*/^,

02 —-

V

= M (xcyc — ycxc) 4- 2 mv (x^ — y^.

Перемена центра приведения. Как было сказано в п. 1 этого параграфа, количество движения системы Q и кинетический момент системы Go относительно центра О являются соответственно главным вектором и главным моментом относительно того же центра системы векторов mvTv, представляющих собою количества движения точек системы. Если взять другой центр приведения О', то, очевидно, главный

вектор Q останется без изменения, а главный момент, т. е. в данном случае кинетический момент системы относительно центра О', будет уже иной. В самом деле, так как (рис. 7)

Go- — 2 « X mv®v) V

И

Fv~rv — 00',

ТО

Go' = 2 l(rv — 00) X mvTv] = V

= 2 (J\ X mv®v) — 00' X 2 ”tvyv, VV

2 mvTv = Q, получим V2 mvTv = Q, получим Vоткуда, принимая во внимание, что

2 mvTv = Q, получим V

2 mvTv = Q, получим V

В частном случае, если точка О' является центром масс С системы, равенство (8) дает формулу (6").

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. В качестве примера найдем кинетический момент относительно оси х для абсолютно твердого тела, вращающегося

2 Н. Н. Бухгольц

вокруг этой оси с угловой скоростью <й (рис. 8), Кинетический момент твердого тела относительно оси Ох есть сумма моментов количеств движения всех точек тела относительно этой оси. Так как

скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения, то моментскорости точек тела перпендикулярны к оси вращения, то моментколичества движения точкиколичества движения точкиважную роль в динамикеважную роль в динамикес массой mv относительно оси Ох равен mvvvhv, где Av есть расстояние точки от оси вращения. Поэтому

скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения, то момент

скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения, то момент

количества движения точки

количества движения точки

важную роль в динамике

важную роль в динамике

О, = S mvyvAv.

Но так как yv=Avto, то

Gx = 5 т^ = ® 2 т^.VV

получимполучимGz — Jxto.Gz — Jxto.(9)(9)Величина 2 т^- равная сумме про- V изведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния ее до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси и играет очень твердого тела. Обозначая 2 mvAv = JX>

получим

получим

Gz — Jxto.

Gz — Jxto.

(9)

(9)

Найдем ту же самую величину иным путем. Кинетический момент твердого тела относительно какой-либо оси х равен проекции кинетического момента относительно любой точки этой оси на ось, т. е.

G, = V°’

где хв есть единичный вектор направления оси х. Но

G. = 2 г Хт щ ,

О ^-1 V V V

причемпоэтомупричемпоэтомуV

причем

поэтому

причем

поэтому

vv = ю х rv;

° о= 5 rv х mv (® х r^ = ® 5 тЛ—2 т^ (® •г^.МVV

(Отсюда видно, что вообще кинетический момент вращающегося тела, взятый относительно какого-нибудь центра, лежащего па оси вращения, не направлен по этой оси.) Спроектируем вектор GQ на ось Ох; получим

Gx = Go . х° = to ■ х° 2 «vrv — 2 mv (rv 1 х°) (® " rv) •

VV

Так как ось Ох направлена по оси вращения, то (рис. 9)

и • х° = «, rv ■ х° = ОР = xv; ci • rv = wxv; отсюда

Gx = to'2im^ — »S'”v^ = ®2'”v(rv — ЛУVVV

йди, так щен ия,йди, так щен ия,каккакг^— х2 = Л^, где h^ есть расстояние точкиг^— х2 = Л^, где h^ есть расстояние точкиG, = to 2 mvAv = Jx»-G, = to 2 mvAv = Jx»-6. Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы, называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы. Если скорость точки с массой mv обозначим через yv, то ки-6. Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы, называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы. Если скорость точки с массой mv обозначим через yv, то ки-нетическаянетическаяэнергия системы будетэнергия системы будет(10)(10)где сумма стемы.Введемгде сумма стемы.Введемраспространяется на все точки си-распространяется на все точки си-опять систему осей Cx'Vz', переопять систему осей Cx'Vz', переAfv до осиAfv до осивра-вра-мешающихся вместе с центром масс поступательно (см. рис. 6). Тогда, согласно равенству (4), будем иметьмешающихся вместе с центром масс поступательно (см. рис. 6). Тогда, согласно равенству (4), будем иметь

йди, так щен ия,

йди, так щен ия,

как

как

г^— х2 = Л^, где h^ есть расстояние точки

г^— х2 = Л^, где h^ есть расстояние точки

G, = to 2 mvAv = Jx»-

G, = to 2 mvAv = Jx»-

6. Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы, называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы. Если скорость точки с массой mv обозначим через yv, то ки-

6. Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы, называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы. Если скорость точки с массой mv обозначим через yv, то ки-

нетическая

нетическая

энергия системы будет

энергия системы будет

(10)

(10)

где сумма стемы.

Введем

где сумма стемы.

Введем

распространяется на все точки си-

распространяется на все точки си-

опять систему осей Cx'Vz', пере

опять систему осей Cx'Vz', пере

Afv до оси

Afv до оси

вра-

вра-

мешающихся вместе с центром масс поступа

тельно (см. рис. 6). Тогда, согласно равенству (4), будем иметь

мешающихся вместе с центром масс поступа

тельно (см. рис. 6). Тогда, согласно равенству (4), будем иметь

yv = yc + <.

где Тс — скорость центра масс, »v— скорость точки с массой т^ в основной системе отсчета Oxyz, т^, — скорость той же точки по отношению к подвижным осям Cx'Vz' •

Подставляя это значение ®v в выражение кинетической энергии (10), найдем, что

Т = у 2^с + Т^ = У 2^с + 2 «^с • < + Т S mv<VVVV

Преобразуем члены правой части. Получаем

2 mvv2c = ^с • 2 mv = ЛЦ,VV

где Tl = 2mv—масса всей системы. Далее V

2mvoc-®; = vc-SmX;VV

НО

L ^. = L mv = It 1 тА = ЖМгс = °- VVV

20 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ I так как г^ = 0; следовательно,

2 щ^с • < = °-V

В результате окончательно будем иметь

7' = 4^yc + 42'”v<(И)

V

Первый член правой части равенства (11) есть кинетическая энергия, которую имел бы центр масс, если бы в нем была сосредоточена масса всей системы; второй член представляет собой кинетическую энергию системы при ее движении относительно подвижной системы отсчета, имеющей начало в центре масс и перемещающейся вместе с центром масс поступательно. Следовательно, кинетическая энергия системы равна кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, сложенной с кинетической энергией системы при движении ее относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно (теорема Кёнига).

Предположим теперь, что система точек движется относительно подвижной системы отсчета, которая в свою очередь движется поступательно относительно основной инерциальной системы ориентировки с произвольной скоростью ©0. Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей, скорость какой-либо точки системы с массой mv относительно основной системы отсчета будет

где *0^ есть скорость той же точки по отношению к подвижной системе отсчета В результате кинетическая энергия системы для движения относительно основной системы отсчета будет равна

т=42=4^+42 тХ+^ ■ 2

МVV

Но Ум я' есть количество движения системы относительно по- V V V

движной системы отсчета; при этом, согласно равенству (1),

v

где ©^ есть скорость центра масс относительно подвижной системы отсчета, поэтому предыдущее выражение кинетической энергии может быть представлено в виде

Г^Л^+у^Х’+^оХ-<12>

Если 1^ = 0, т. е. центр масс движущейся системы точек неподвижен относительно подвижной системы отсчета, то тс = е0 и

V

т. е. мы получаем теорему Кёнига.

Кинетическая энергия твердого тела. Найдем сначала кинетическую энергию абсолютно твердого тела, движущегося поступательно. Тогда для любой точки тела ev = Tc, где ®с— скорость центра масс, и

7 = 4 2^1 = 42 ^с = 4 ^с-(13)

Вычислим теперь кинетическую энергию абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ох с угловой скоростью ок Имеем

7=42^.V

но -nv = h^to, где Av есть расстояние точки с массой mv до оси вращения Ох, поэтому

т=40)2 2 ^v=4и4>

Величина Jx = ^m^ есть момент инерции тела относительно оси вращения. Заметим, что формула (14) будет справедлива и в том случае, когда ось х является мгновенной осью вращения, так как равенство vv = Av« имеет место и для этого случая. При этом Jx будет моментом инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

В общем случае движения кинетическая энергия твердого тела вычисляется по теореме Кёнига. Так как по теореме Шаля движение твердого тела относительно подвижных осей Cx'y'z' слагается из мгновенных вращений вокруг осей, проходящих через точку С, то 2 mvvv2 = ^сл®2’ и Ф°РмУла (И) Дает

Т^Лк^-Ц^.(15)

где JCx — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через его центр масс, <о — мгновенная угловая скорость тела. Формула (15) выражает теорему Кёнига для абсолютно твердого тела.

Осевой момент инерции. При вычислении динамических характеристик вращающегося твердого тела в их выражения вошла величина

(16)(16)Jx ^hJ ^V^V,V

(16)

(16)

где Av есть расстояние точки с массой mv от оси х. Эта величина Jx, как было сказано, называется моментом инерции тела относительно оси х или осевым моментом инерции.

Выясним механический смысл величины Jx. Если твердое тело движется поступательно со скоростью т, то его количество движения равно Afo, а кинетическая энергия 7 = у А1у2, где М есть масса всего тела. При вращении тела вокруг оси х с угловой скоростью со кинетический момент тела относительно оси вращения будет Ох = Jxto, а кинетическая энергия Т = ~JX(A2. Сравнивая эти выражения с предыдущими, можно сказать, что при вращательном движении момент инерции тела относительно оси вращения играет такую же роль, как масса тела при поступательном движении.

Из равенства (16) видно, что размерность момента инерции Jx есть [масса • (длина)2]

Моменту инерции тела относительно оси можно еще дать другое выражение. Положим

4 =(17)

V

где М есть масса всего тела; тогда 1Х есть некоторая длина, которая называется радиусом инерции тела относительно оси х.

Радиус инерции, как видно из предыдущего равенства, равен расстоянию от оси х той точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы получить тот же момент инерции. Очевидно,

(17')

Из формулы (16) видно, что момент инерции тела относительно данной оси зависит только от закона распределения масс в объеме, занимаемом телом.

Вычислим моменты инерции некоторых однородных твердых тел (тело называется однородным, если отношение массы любой части тела к ее объему есть для всех частей тела величина постоянная; это отношение называется плотностью тела).

1) Тонкое однородное кольцо. Пусть масса кольца М, радиус R. Проведем через центр С кольца ось Сх, перпендикулярную к пло-

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительноОчевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительно

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительно

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительно

скости кольца (рис. 10). Тогда для любой точки кольца h^ = R и 2 mvh\ — 2 m^R? = М/?2. Следовательно, для кольца

(18)(18)Jx = MR?.

(18)

(18)

инерции этого кольца относительно оси Сх, Рис 10. перпендикулярной к плоскости пластины,

будет, согласно формуле (18), равен ^-^-Sr^r^ г^. Складывая осевые моменты инерции всех колец и переходя к пределу npnArv-*0, мы получим выражение для момента инерции всей пластины в виде

а)б)

Очевидно, такой же результатрис ц

получится для момента инерции

однородного круглого цилиндра массы /И и радиуса /? относительно его оси (рис. 11, б)

Однородный тонкий стержень. Пусть масса стержня Л1, длина /. Найдем момент инерции стержня относительно оси Ах, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец А (рис. 12), Масса любого элемента стержня длиною A/zv будет равна mv = — \hv. Подставляя это значение m„ в формулу (16) и пере

ходя к пределу при AAv->0, получим

й2 dh =й2 dh =М РI 3 •М РI 3 •

й2 dh =

й2 dh =

М Р

I 3 •

М Р

I 3 •

или окончательно

(20)(20)А = 1 №■А о

(20)

(20)

Если таким же образом вычислить момент инерции относительно

оси Сх', проходящей через центр масс С тела и параллельной оси Ох, то получим

Т]Jcx-=-^MP.(20')

hЗаметим, что вообще между моментами инер-

^ с ( ции тела относительно параллельных осей Ох $ и Сх', из которых Сх' проходит через центр масс тела, имеет место соотношение

^hvy^Jox-Jcx'^McP,(21)

LJгде d — расстояние между осями (теорема

8Гюйгенса).

рис 12.Равенства (20) и (20') могут быть полу

чены одно из другого с помощью формулы (21). Подробнее вопрос о моментах инерции тела и их свойствах будет рассмотрен в § 11; там же будет доказана и теорема Гюйгенса.

Общие теоремы динамики системы

Общие теоремы динамики системы, являясь прямым следствием уравнений движения, дают связь между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и Действующими на систему силами; в некоторых случаях из общих теорем можно получить первые интегралы движения. Эти интегралы часто дают достаточно данных для определения движения системы и поэтому имеют большое значение при решении практических задач; кроме того, они допускают наглядную физическую интерпретацию и могут быть выражены в виде определенных физических законов, вследствие чего часто называются законами динамики.

Для полного решения механической задачи необходимо проинтегрировать систему уравнений движения и найти координаты всех точек системы как функции времени, что в большинстве случаев связано со значительными трудностями, особенно если число уравнений велико; но практически иногда требуется знать лишь некоторые величины, характеризующие движение системы в целом, вследствие чего можно не интегрировать всю систему уравнений, а найти только некоторые ее интегралы, что часто может быть легко достигнуто применением общих теорем динамики.

Дифференциальные уравнения движения системы. Пусть мы имеем систему, состоящую из п материальных точек. Рассмотрим некоторую точку системы Mv с массой mv (рис. 13), где v есть номер точки. В общем случае на эту точку действуют внешние и

Рис. 13.Рис. 13.внутренние силы, которые в свою очередь могут быть как активными, так и пассивными (реакциями связей). Обозначим равнодействующую всех внешних сил, как активных, так и пассивных, действующих на рассматриваемую точку, через Г^, а равнодействующую всех внутренних сил — через FV

Рис. 13.

Рис. 13.

На основании принципа связей мы можем считать эту точку свободной, так как к ней приложены, кроме действующих на нее активных сил, и реакции связей; поэтому уравнение движения этой.

а по аналогии и уравнения движения всех других точек системы: будут

mv^ = ^4-^(v=l, 2, 3, .... л).(1}

Уравнения (1) представляют собою л дифференциальных уравнений движения системы в векторной форме. В проекциях на оси координат эти уравнения дадут Зл скалярных дифференциальных уравнений движения.

Общие теоремы динамики, как указывалось, являются прямыми следствиями этих дифференциальных уравнений.

Теорема об изменении количества движения системы ж теорема о движении центра масс. Сложим почленно все уравнения (1). Тогда получим

(2>(2>

(2>

(2>

VVV

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны, т. е. если частица А действует на частицу В с силой /, то частица В действует на частицу А с силой —/; поэтому сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. е.

2К = 0,V

и равенство (2) примет вид

2 ^^ = 2^.(3).

Vv

Принимая во внимание, что "^^" = ®v' имеем

S

^r, d V drv d VdQ

m''-d^ = -diLm''-dr = ^tLnl^ = -^’

VVV

где вектор Q = 2 ^v®v есть количество движения системы. Заме- V

няя левую часть уравнения (3) ее значением, получаем

V

или в проекциях на оси

^ — У ре dQy _ У р= ^ ре

VVV

Равенство (4) выражает первую основную теорему динамики системы, именно теорему об изменении количества движения: производная по времени от количества движения системы, равна сумме всех действующих на систему внешних сил.

Эту теорему можно также представить в интегральной форме. Умножая обе части векторного равенства (4) на dt и беря от них определенные интегралы в пределах от t0 до t, получим

t

Q — Qo = 2 / ^ dt или Q — Qo = ^ Sv. (5)

X 16V

где Qq — количество движения системы в момент t^, a Q — количество движения в момент t; Sv есть импульс силы F^ за промежуток времени t — tQ. Таким образом, изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется сумме импульсов всех действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. В проекциях на оси координат будем иметь

Qx— Qox~2*$vx> Qy Qoy — 2 ^vy> Qz QzO — 2Sv2.(^ )

vVV

Из векторного соотношения (4) легко получить теорему о движении центра масс системы. В самом деле, принимая во внимание, что

Q = M-oc,

где М есть масса всей системы, а ®с — скорость ее центра масс, найдем из уравнения (4)

ИЛИ

M-dF = 2^<6>

V=1 d2rc

где ^ есть ускорение центра масс. Уравнение (6) показывает, что центр масс системы, движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, на которую действуют все приложенные к системе внешние силы (теорема о движении центра масс).

В некоторых случаях эти теоремы могут дать интегралы движения. Пусть на систему действуют только одни внутренние силы; тогда-

п 2^ = о, v = l

и, следовательно, из уравнения (4) имеем -^- = 0, откуда

Q = const,(7)

или, так как

Q = Mvc, то

Тс = const.(7Z)

В этом случае центр масс системы движется по инерции, и количество движения системы есть величина постоянная. Проектируя обе части равенств (7) и (7Z) на оси координат, получим три первых интеграла

О, = <4, Qy = c2. Qz = ca.(8>

или

л:с = ср Ус = с2, zc = cy(8)

Вели внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма проекций этих сил на какую-либо ось, например на ось х, равна нулю, т. е. если 5^л- = 0, то из уравнений (4Z)'имеем

— оdt ’

откуда

Qx = Мхс = const.(8")

Следовательно, при указанном условии проекция количества движения системы на ось х есть величина постоянная, или, что то же, проекция центра масс системы на эту ось имеет постоянную скорость; теорема дает в этом случае один первый интеграл.

Примеры. 1. Если пренебречь притяжением звезд, то на тела, составляющие солнечную систему, не будут действовать внешние силы. Поэтому центр масс солнечной системы должен двигаться прямолинейно и равномерно относительно системы неподвижных звезд.

При взрыве артиллерийского снаряда возникают внутренние ударные силы, которые не могут изменить движения центра масс. Поэтому центр масс всех осколков снаряда и прочих остатков после взрыва продолжает двигаться по той же самой траектории, по которой двигался центр масс снаряда до взрыва. Это вполне верно для движения в пустоте и лишь приближенно справедливо для движения в сопротивляющейся среде, ибо при взрыве на осколки действуют внешние силы сопротивления воздуха, отличные от сил, которые действовали на снаряд.

На человека, стоящего на гладкой горизонтальной плоскости, действуют сила тяжести и реакция плоскости, проекции которых на эту плоскость равны нулю. Поэтому идти по идеально гладкой плоскости человек не мог бы; это становится возможным лишь вследствие наличия трения. Если человек, стоя на плоскости, выдвинет вперед ногу, то другая нога должна отодвинуться назад для сохранения неподвижности проекции центра масс иа горизонтальную плоскость. Это и имеет место, если плоскость идеальная. Если же плоскость шероховатая, то при скольжении развивается сила трения, направленная вперед и являющаяся внешней силой, делающей возможным движение. Под действием одних внутренних мускульных сил человек не может переместить свой центр тяжести.

Вагонетка массы Л1 стоит на рельсах, а на ней находится человек массы т, который в начальный момент неподвижен, а затем идет по вагонетке со скоростью т относительно вагонетки (рис. 14). Требуется определить движение вагонетки, пренебрегая трением о рельсы.

^9

Рис. 14.

При отсутствии трения единственными внешними силами, действующими на систему человек — вагонетка, являются силы тяжести и нормальные реакции рельс; поэтому сумма проекций внешних сил на горизонтальную ось х равна нулю; следовательно, сумма проекций количества движения системы на ось х должна оставаться постоянной. Когда человек стоял на неподвижной вагонетке, то количество движения системы было равно нулю. Если человек пойдет по вагонетке со скоростью я вправо, а вагонетка останется на месте, то количество движения системы будет равно тт, что невозможно, так как количество движения системы должно равняться нулю согласно начальным условиям. Следовательно, вагонетка тоже должна двигаться.

Обозначим через У скорость вагонетки; тогда теорема об изменении количества движения дает в проекции на ось х уравнение

m(v,+ ^r)+vMVx = 0, ибо скорость человека относительно рельс равна n-J-У. Из последнего уравнения определится скорость движения вагонетки

Vx

Знак минус показывает, что вагонетка будет двигаться в сторону, обратную движению человека.

Масса вала мотора равна mv, а масса всех остальных его частей—т2; центр масс вала, вращающегося равномерно с угловой скоростью го, смещен

Рис. 15.

от оси на расстояние АВ = а. Найтн реакции опоры и болтов, закрепляющих мотор, считая, что они приводятся к равнодействующей с составляющими Nx и N2 (рис. 15).

Внешними силами, действующими на мотор, являются силы тяжести mxg и m2g и реакции Nx и N2. Уравнение (6) в проекциях на оси х и у дает

Мхс = Np Мус = Мг — (m, + m2) g,

где М = тх-\- т2 — масса всей системы. В данном случае закон движения центра масс С всей системы известен; так как q> = tot, то

Мхс = Щ2ХЛ + mlVCA + а Sin “О’ ^Ус = ^^ А + т1 (Ул — а C0S “О"

Отсюда, учитывая, что хд — const, уд = const, получим

Мхс = — m^ato2 sin tot, Мус = т^й2 cos tot.

Следовательно,

IVi = — 7И1«6>2 sin tot, N2 = («! + m2) S'+ т^а2 cos tot.

Наибольшие значения реакции имеют соответственно при sin tot или cos tot, равных единице.

Если угловая скорость вращения такова, что т^а2 > (тх + rn A g, то при верхних положениях центра масс вала мотор будет отрываться

с площадью поперечного сечения о, углом а к вертикали (рис. 16). Найдемс площадью поперечного сечения о, углом а к вертикали (рис. 16). Найдемот опорной плоскости (прижиматься к головкам болтов, а при незатянутых болтах — подпрыгивать).

с площадью поперечного сечения о, углом а к вертикали (рис. 16). Найдем

с площадью поперечного сечения о, углом а к вертикали (рис. 16). Найдем

Давление струи. Пусть струя жидкости вытекает из трубы имея скорость v, направленную под. силу нормального давления струи на вертикальную стенку, пренебрегая сжатием струи и считая движение установившимся.

Применим первое из уравнений (5') к объему жидкости, ограниченному сечениями аах, bbx, ссх. Внешней силой, действующей на этот объем и дающей проекцию на ось х, будет реакция N стенки (давлением в сечении аах струи пренебрегаем). Тогда, считая N = const и беря t •— /0 = 1 сек, получим в проекции на ось х

kQx — QoAceK = — N • 1.

За секунду граница аах сместится на величину v, перейдя в положе- 1аха ах равна рои, где р — плотность

жидкости; следовательно, количество движения в выделенном объеме убывает за счет этого перемещения границы на величину pay2. Приращения же количеств движения в объемах ЬЬхЬ'бх и сс1с С] проекций на ось х не дают. Поэтому ^Qx— QOx)CM =— poo2 sin а и окончательно

N = pay2 sina.

Теорема об изменении кинетического момента системы (или теорема площадей). Пусть мы имеем систему я материальных точек, на которые действуют как внешние, так и внутренние силы. Возьмем дифференциальные уравнения движения этой системы

^^-^+^(v= 1, 2я)

и умножим обе части каждого из уравнений векторно слева на rv, т. е. на соответствующий радиус-вектор; сложив полученные таким образом равенства, будем иметь

2 (rv х гп. ^ = 2 (rv х F0 + 2 (rv X F1^. (9) v v v

Так как внутренние силы попарно равны и противоположны, то сумма моментов этих сил относительно любого центра равна нулю. В самом деле, возьмем две силы РА и F в, причем F А =—Гв (рис. 17), тогда сумма моментов этих сил относительно какого-либо центра О будет

rA X FA-\-rB X FB = (гв — Гд) X FB = АВ X FB

Но АВ X Fв = ^’ так как векторы АВ и FB коллинеарны; следовательно, сумма моментов двух равных взаимно противоположных сил относительно любого центра равна нулю; отсюда вытекает, что

S(rvx^) = o.V

Принимая во внимание, что

гу drvV

v А dt2 — dt V v dt ) '

в чем нетрудно убедиться, выполнив дифференцирование, можно представить уравнение (9) в виде

^S^x^^-S^x^,).(Ю)

VV

Выражение, стоящее под знаком производной, есть кинетический момент системы относительно центра О; обозначая его через Оо, получим уравнение (10) в виде

^ = ^Х$.(10')

V

Уравнение (10') выражает теорему об изменении кинетического момента системы, которая формулируется так: производная по времени от кинетического момента системы отно

сительно какого-либо неподвижного

центра равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.

Если воспользоваться понятием секторной скорости (см. ч. I, § 6, п. 6), то уравнение (10) можно еще представить в виде

d п VI dov Vг-е

(10")(10")^22jm^^r=:2^momoFv,

(10")

(10")

VV

где

dvg dtdvg dt

dvg dt

dvg dt

есть секторное ускорение точки.

Уравнение (10") представляет собой так называемую теорему площадей: удвоенная сумма произведений масс материальных точек

на их секторные ускорения относительно какого-либо центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Предположим, что сумма моментов внешних сил относительно некоторого центра О равна нулю (что, например, имеет место, если внешние силы на данную систему не действуют); тогда

S(rvx^)=o,V

следовательно.

dt

откуда получаем векторный интеграл

Go = const,

т. е. при этих условиях кинетический момент системы Go есть величина постоянная. Плоскость, перпендикулярная к направлению Go, будет тоже иметь постоянное направление в пространстве и называется неизменяемой плоскостью Лапласа (иногда ее также называют плоскостью максимума площадей).

Проектируя обе части равенства (10) на оси координат, получаем следующие уравнения:

V

(Н)(Н)(U')(U')~ЗГ = 2 тоту^’V

(Н)

(Н)

(U')

(U')

-^ = 2 momz^v-

или

dt j^^v^v^v^уУу) ^j (^v^vz Vvy)-

VV

"37 2 OTV (^v^v-^v^v) = 2 ( Vvxv^vz)’

VV

4t 2 ™v ^v — W^ = 2 (^vy — ^vO vv

Уравнения (11) можно еще представить в другом виде, спроектировав

обе части равенства (10") на оси координат; получим

22Vmvd I "di*( dt )*=2VmomxFe 1 v22mvd ."dt\ dt )1=2mom.FevVV22mvd dt(d<^> \ dt J1=2mom2FvVV22Vmvd I "di*( dt )*=2VmomxFe 1 v22mvd ."dt\ dt )1=2mom.FevVV22mvd dt(d<^> \ dt J1=2mom2FvVV(11")(11")

2

2

V

mv

d I "di*

( dt )

*=2

V

momx

Fe 1 v

2

2

mv

d .

"dt

\ dt )

1=2

mom.

Fev

V

V

2

2

mv

d dt

(d<^> \ dt J

1=2

mom2

Fv

V

V

2

2

V

mv

d I "di*

( dt )

*=2

V

momx

Fe 1 v

2

2

mv

d .

"dt

\ dt )

1=2

mom.

Fev

V

V

2

2

mv

d dt

(d<^> \ dt J

1=2

mom2

Fv

V

V

(11")

(11")

Если сумма моментов всех внешних сил относительно одной из осей, например х, равна нулю, т. е. если 2 тотх^ = 0, то из V уравнений (И) получаем скалярный интеграл

ОЛ = 5 momx (т.^) = const; V

таким образом, если сумма моментов всех действующих внешних сил относительно какой-либо оси равна нулю, то сумма моментов количеств движения системы относительно той же оси, или, что то же, проекция кинетического момента на эту ось постоянна.

Из уравнений (И") тот же интеграл получается в виде

Gx — 2-^р = const,

V

следовательно, если сумма моментов внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то сумма произведений масс всех точек системы на секторные скорости их проекций на плоскость, перпендикулярную к той же оси, есть величина постоянная.

Рассмотрим теперь применение теоремы о кинетическом моменте к движению системы относительно центра масс, т. е. относительно осей Cx'y'z', имеющих начало в центре масс и перемещающихся вместе с центром масс поступательно по отношению к основной системе отсчета Ox^z (см. рис. 6). Пусть положение центра масс С определяется координатой гс, и пусть радиус-вектор точки с массой т^ относительно осей Cx'^'z' будет г'. Тогда

'\ = гс + <- (12)

Теорема об изменении кинетического момента при движении по отношению к основной системе отсчета имеет вид

3 Н. Н. Бухгольц

Заменим справа вектор rv его значением (12), а величину Go ее выражением (6), полученным в § 2. Тогда будем иметь

(13)

VVV

Известно, что центр масс системы движется как точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все действующие на систему внешние силы; поэтому по отношению к движению центра масс имеют место все теоремы динамики точки и, в частности, теорема о кинетическом моменте; следовательно, имеем л

4(rcX ^c) = rcx2Fv-v= I

Сокращая в уравнении (13) равные члены, получим

^ 5«х^;)=^«хО<14)

VV

или, обозначая 2 Х X mx'D^ = ^с-

V т. е. при движении системы относительно центра масс производная по времени от суммы моментов количеств движения всех точек системы относительно центра масс равна сумме моментов всех действующих внешних сил относительно того же центра1).

Таким образом, для движения относительно центра масс теорема об изменении кинетического момента выражается совершенно так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой

В предыдущих рассуждениях мы считали центр О, относительно которого брали кинетический момент системы, неподвижным и получили выражение теоремы об изменении кинетического момента в виде

T^S^X^)’(15)

V

причем как сумма моментов количеств движения всех точек системы. Так и сумма моментов всех внешних сил взяты относительно неподвижного центра О. Посмотрим, как изменится это выражение,

*) Движением относительно центра масс мы будем в дальнейшем называть движение относительно системы отсчета, имеющей начало в центре масс и движущейся вместе с центром масс поступательно по отношению к основной системе отсчета.

если за центр моментов взять точку О', которая движется относительно основной системы отсчета. Выше [§ 2, уравнение (8)] мы нашли, что

Go' = G0 — ОО' X Q,

или, обозначая для удобства письма Go* = G'; Go = G,

G' = G-OO'XQ.(16)

Дифференцируя равенство (16) по времени и принимая во внимание? что ^^~ =т' есть скорость центра О' относительно основной системы отсчета и что на основании уравнения (4)

5Q __ V ре

v получим

^-^Ж-^Х^-^Х^^.(17)

V

„dG. -

Определяя отсюда величину -^- и подставляя ее в уравнение (15), найдем

■^+®' X Q=2 Krv ~ °0') X ^ЬV

или, принимая во внимание, что г^— ОО' = r'v (см. рис. 7), ^Xt^X^),(18)

V

Уравнение (18) выражает теорему об изменении кинетического момента системы по отношению к центру О', движущемуся со скоростью о' относительно основной системы отсчета. При этом следует иметь в виду, что G' = 2(Г^Х mv®v)’ т 61 ПРИ вычислении G' скорости vv точек системы берутся относительно основной системы отсчета, а моменты векторов mvTv берутся относительно подвижного центра О'; в правой части уравнения стоит сумма моментов внешних сил также относительно подвижного центра О'.

Если т' = 0, то уравнение (18) переходит, очевидно, в уравнение (10) Если же О' совпадает с центром масс С системы, то о' X Q= VCX Mvc = 0 и уравнение (18) принимает вид

<1Э>

V

Это уравнение совпадает с (14'), если учесть, как было показано в § 2, п. 3, что Ос—Ос.

Примеры. 1. Если не принимать во внимание притяжения неподвижных звезд, то главный момент внешних сил, действующих на солнечную систему, равен нулю, поэтому кинетический момент солнечной системы Gc относительно центра масс должен оставаться неизменным, т. е. Gc = const. Плоскость, перпендикулярная к направлению Gc, также будет сохранять свою ориентировку относительно неподвижных звезд и называется, как уже было сказано, неизменяемой плоскостью Лапласа, который предложил относить движение тел солнечной системы к этой плоскости.

Если человек стоит на платформе Жуковского (круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных подшипниках, которая может вращаться с малым трением вокруг вертикальной оси), то на эту систему (человек — платформа), если пренебречь трением, действуют только сила тяжести и нормальные реакции опор. Сумма моментов этих внешних сил относительно вертикальной оси х равна нулю; следовательно, если системе сообщить толчком вращение вокруг оси х, то во все последующее время будет

(20)(20)Gx = Jxto = const,

(20)

(20)

где J х—момент инерции системы относительно оси х, со — угловая скорость вращения. Величина J, здесь может изменяться, например, за счет движения рук человека. Если руки вначале были разведены в стороны, а затем будут опущены, то J х уменьшится и угловая скорость со увеличится и наоборот.

Аналогичный результат получается при прыжке акробата в воздухе, когда он делает сальто. В начале прыжка акробат сообщает своему телу угловую скорость вокруг горизонтальной оси х, проходящей через центр масс тела. Так как единственная действующая на него внешняя сила — сила тяжести—проходит через центр масс (сопротивлением воздуха пренебрегаем), то ее момент >.относительно оси х равен нулю, и здесь имеет место

равенство (20). Группируя корпус, акробат уменьшает момент инерции Jx, в результате чего угло- /\ вая скорость увеличивается (для достижения пол/\ ного оборота).

/г—-.\3. На круглой горизонтальной платформе

I] радиуса R и массы М (рис. 18), могущей вращаться

I0 'Я / без трения вокруг вертикальной оси Ог, стоит чело-

\/ век массы т. В некоторый момент он начинает

\/ идти вдоль окружности платформы со скоростью у

./(относительно платформы). Найти угловую скорость

вращения платформы.

р .„Так как силы тяжести параллельны оси вра-

РИС-щення, а реакции подшипников эту ось пересекают,

то сумма моментов внешних сил относительно оси г равна нулю и, следовательно, Gz = const. Но в начальный момент ни человек, ни платформа не двигались; поэтому Gz = 0 во все время движения. Если бы при движении человека платформа не вращалась, то кинетический момент системы не был бы равен нулю; следовательно, для того чтобы Gz было равно нулю, необходимо, чтобы сама платформа вращалась с некоторой угловой скоростью Q.

Если момент инерции платформы относительно оси г обозначим через Jz, то кинетический момент платформы относительно этой оси будет равен J^t. Скорость человека относительно земли равна | г»отя -|- упер | = о -ф- QR. Тогда момент количества движения человека относительно оси г будет равен

§ 3]ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ37

т (v-V&R^R. Вставляя все найденные величины в условие Gz = 0, получим J^ + miv-VQR)R = O, откуда £2 =ГЧГ^ТрГ1 J g —р ГП-ГХ

MR2

Если платформа однородна, то по формуле (19) из § 2 Jz = —^—, и

£2 =£2 =mvRmvRmvmvMR22MR22mR2mR2Знак минус указывает на то, что платформа будет вращаться в сторону,Знак минус указывает на то, что платформа будет вращаться в сторону,обратную движению человека.Через сплошной неподвижный блок весом р перекинута гибкая не"~'19). Пренебрегаяобратную движению человека.Через сплошной неподвижный блок весом р перекинута гибкая не"~'19). Пренебрегаярастяжимая нить с грузами весом Р и Q на концах весом нити и трением в оси, найти ускорения грузов при движении системы.Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока Ох, составим первое из уравнений (11):растяжимая нить с грузами весом Р и Q на концах весом нити и трением в оси, найти ускорения грузов при движении системы.Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока Ох, составим первое из уравнений (11):(рис.(рис.dGxdtdGxdtmommom(а)(а)Величина Gx слагается из кинетических моментов блока и грузов и будет равнаР ОGx = dxto+ — vR + ^-vR,где <о—угловая скорость блока, R — его радиус, v — скорость грузов. Учитывая, что Jx = 0,5-^-R2 Vи ю = —, получим окончательноВеличина Gx слагается из кинетических моментов блока и грузов и будет равнаР ОGx = dxto+ — vR + ^-vR,где <о—угловая скорость блока, R — его радиус, v — скорость грузов. Учитывая, что Jx = 0,5-^-R2 Vи ю = —, получим окончательноt/t/Рис. 19.Рис. 19.GGV.V.

£2 =

£2 =

mvR

mvR

mv

mv

MR22

MR22

mR2

mR2

Знак минус указывает на то, что платформа будет вращаться в сторону,

Знак минус указывает на то, что платформа будет вращаться в сторону,

обратную движению человека.

Через сплошной неподвижный блок весом р перекинута гибкая не"~'19). Пренебрегая

обратную движению человека.

Через сплошной неподвижный блок весом р перекинута гибкая не"~'19). Пренебрегая

растяжимая нить с грузами весом Р и Q на концах весом нити и трением в оси, найти ускорения грузов при движении системы.

Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока Ох, составим первое из уравнений (11):

растяжимая нить с грузами весом Р и Q на концах весом нити и трением в оси, найти ускорения грузов при движении системы.

Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения блока Ох, составим первое из уравнений (11):

(рис.

(рис.

dGxdt

dGxdt

mom

mom

(а)

(а)

Величина Gx слагается из кинетических моментов блока и грузов и будет равна

Р О

Gx = dxto+ — vR + ^-vR,

где <о—угловая скорость блока, R — его радиус, v — скорость грузов. Учитывая, что Jx = 0,5-^-R2 V

и ю = —, получим окончательно

Величина Gx слагается из кинетических моментов блока и грузов и будет равна

Р О

Gx = dxto+ — vR + ^-vR,

где <о—угловая скорость блока, R — его радиус, v — скорость грузов. Учитывая, что Jx = 0,5-^-R2 V

и ю = —, получим окончательно

t/

t/

Рис. 19.

Рис. 19.

G

G

V.

V.

Далее, ^S momr (F®) = PR — QR (полагаем для определенности, что Р > Q, и момент силы считаем положительным в том же направлении, что и момент количества движения; моменты силы р и реакции N относительно оси Ох равны нулю). Подставляя все найденные величины в равенство (а), получим

(p + 2P4-2Q)-^^-=(P-Q) R, откуда

dv2(Р — Q)

dt p-^IP^^Q g-

Теорема об изменении кинетической энергии системы. Пусть мы имеем систему л материальных точек. К каждой точке системы, кроме действующих на нее активных сил, приложим реакции Связей и разделим все приложенные к точке силы на две группы:

внешние силы, равнодействующую которых обозначим через F^, и внутренние силы, равнодействующая которых пусть будет FV тогда каждую точку системы можно рассматривать как свободную, находящуюся под действием двух сил F^ и FV По отношению к каждой точке системы имеет место теорема об изменении кинетической энергии, являющаяся следствием уравнений (1):

—^-\—F^-dr^-\-FVdr^(v= 1, 2, 3я).(21)

Сложив эти n уравнений почленно, получим

d ^ (| ^^ = 2 F" • dr4 + 2 ^ • dr,.VVV

Величина

Г = 2(|^)V

есть кинетическая энергия системы. Таким образом, окончательно будем иметь

dT = '£1 Fev • dr^^ F‘v • drv.(22)

Vv

Равенство (22) выражает следующую теорему об изменении кинетической энергии (в дифференциальной форме): дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Если каждое из уравнений (21) представить в конечной форме 9/2 \

—2—2—уо = ^v + ^v (^ — 1, 2д),

где Лу и Л^ — работы сил F^ и F^ на перемещении точки системы из начального положения в данное, и затем просуммировать эти равенства, то мы получим

7-Т0=2 Л^ + 2 ^(23)

VV

Равенство (23) выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при перемещении ее из какой-то начальной конфигурации в данную равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Рассмотрим, что представляет собою сумма работ внутренних сил, полагая, что эти силы, как силы взаимодействия между точками системы, являются функциями только расстояния между этими точками

и направлены по прямой, их соединяющей. Пусть материальная точка /I действует на точку В с силой FA> а точка В на точку А с силой F в (см. рис. 17); тогда по третьему закону Ньютона

Fa = -Fb.

Положим, что

\FA\ = \FB\=f(pAB^

где рдв — АВ. Если точки А и В совершат некоторые элементарные перемещения drA и drs, то работа этих сил будет

Рд ■ drA + FB • dr в = FB ■ (drB — drд) = FB-d ^rB—rA^FB • dAB.

Обозначим орт вектора AB через а0. Тогда ЛВ = рдда0, FB = = ± /(Рдв)а° (знак зависит от направления силы FB) и dAB = = dpABa° -^-pAeda0. В результате, учитывая, что a°-a° = l и Оо . ^ао _ о, ПОЛуЧиМ

Fa 1 drA + FB- drB = FB. dAB = + / (рдд) <ZpAB.

Отсюда следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки системы действуют друг на друга, равна произведению силы взаимодействия на дифференциал расстояния между этими точками. Итак, если внутренние силы зависят только от расстояния, то

vк, I

Положим, что

^^\± f^dphl\ = dUv\(24)

где Uw есть функция взаимных расстояний между точками системы, которая называется потенциалом внутренних сил (такая функция существует, потому что каждый член суммы есть дифференциал некоторой функции от pti); тогда уравнение (22) можно представить в виде

dT — dUw FV dr^.V

ИЛИ (/(r+V'^^^.tfrv,(25)

V

где Vw = — Uw есть потенциальная энергия внутренних сил, или, просто, внутренняя потенциальная энергия системы.

Если мы имеем неизменяемую систему, то для такой системы все dpkl = 0, потому что расстояния между точками системы не изменяются; поэтому

2i±/(p«)4W = ^(,) = o,

откуда и^ = const.

В этом случае работа внешних сил идет только на приращение кинетической энергии системы. Если система изменяемая, то, как показывает формула (25), работа внешних сил идет и на приращение кинетической энергии, и на изменение внутренней энергии системы (например, упругой энергии). Итак, для неизменяемой системы имеем

dT = 2 ^ • drX)(26)

V

т е дифференциал кинетической энергии неизменяемой система равен сумме элементарных работ внешних сил. Эту теорему можно также представить в интегральной форме, аналогичной (23).

Допустим, что внешние силы, работа которых отлична от нуля, потенциальны (нулю может равняться работа идеальных связей; подробнее об этом см. § 7, п. 2). Тогда

2 Fv • dr^ = dU^ = — dV^,

где Vм — внешняя потенциальная энергия системы, и уравнение (25) дает ^(Т + И^ + И^^О. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае имеет место интеграл энергии

7-|-V(1)-)-Vte) = const или Е = const,

где Е— полная механическая энергия системы. Механическую систему, для которой имеет место интеграл энергии, называют консервативной.

Рассмотрим теперь теорему об изменении кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс, т. е. относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Для движения по отношению к основной (инерциальной) системе отсчета имеем

dT = 2 Fv • dr^ + S F^ • dr^.(27)

VV

На основании теоремы Кенига [§ 2, формула (И)] будет

7 = 1^2с + |2^<(28)

Кроме того, i\ = rc-Y-r'v где гс — координата центра масс, аг'— координата точки с массой т^ относительно подвижных осей Cx'y'z' (см рис 6); поэтому

^ Fwdrv-\- 5 Fv-drv=:

= 2 Fv ■ drc +5 ^v - <7гС + 5 Fv -drc-V^FV dr'v VVVV

ИЛИ

У F * dr* dr v =

= 2 fv • drc + 2 ^V * dr^ 4- 2 ^ • drV (29) VVV

так как третий член правой части предыдущего равенства

5 F^-drc^drc-^ Flv = 0,

VV

поскольку по третьему закону Ньютона

п

5 ^ = о.

V=1

Вставляя в уравнение (27) выражения (28) и (29), получим

д 4 Мг,с)+d 4 2

\ V/

^^.F^.drc + ^F^-dr^^FVdrV (30)

VVV

Так как центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы и в которой сосредоточена вся масса системы, то для него, как и для всякой материальной точки, имеет место теорема об изменении кинетической энергии, т е.

4^4 = 2 Fv-drc\(31)

V

поэтому, сокращая в равенстве (30) равные члены, получаем

(32)

Уравнение (32) выражает теорему об изменении кинетической энергии для движения системы относительно ее центра масс, а именно: дифференциал кинетической энергии системы в ее движении относительно центра масс равен сумме элементарных работ всех внутренних и внешних сил на перемещениях их точек приложения по отношению к центру масс.

Примеры. Теорема об изменении кинетической энергии позволяет устанавливать зависимость между перемещением системы и скоростями ее точек (тел) в начале и в конце перемещения. Для систем с одной степенью свободы с помощью этой теоремы составляется дифференциальное уравнение движения.

Однородный брус АВ весом Р положен на два одинаковых сплошных цилиндрических катка, весом Q каждый, которые могут катиться без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 20). К брусу приложена постоянная сила F. Пренебрегая сопротивлением качению, найти скорость бруса

В зависимости от его перемещения s, а также ускорение бруса. Движение начинается из состояния покоя, брус по каткам не скользит.

Применим для решения уравнение (23):

Г-Г0 = 5л; + 5^.(а)

VV

формула (15)):формула (15)):^2 ~ 2" "g" + "2 ^с*^-^2 ~ 2" "g" + "2 ^с*^-(б)(б)В нашем случае 7"о = О, a 7=r1-j-272, где 7] — кинетическая энергия 1 Р бруса, Т2 — катка. Брус движется поступательно; следовательно, ^1=2«А где о — скорость бруса. Величину Т2 подсчитаем по теореме Кёнига (§ 2,

формула (15)):

формула (15)):

^2 ~ 2" "g" + "2 ^с*^-

^2 ~ 2" "g" + "2 ^с*^-

(б)

(б)

Выразим здесь все скорости через искомую скорость о. Учитывая, что точка К является мгновенным центром вращения, будем иметь ® = -^-, где/? - ра-

диус катка. Далее момент инерции JCj£ = тр ~ Я2. Наконец, такдиус катка. Далее момент инерции JCj£ = тр ~ Я2. Наконец, такпо катку не скользит, то скорость верхней точки катка о Подставляя все эти значения в равенство (б), получимТ = — 5. V2 = 3 ^ о224 g с 16 g 'по катку не скользит, то скорость верхней точки катка о Подставляя все эти значения в равенство (б), получимТ = — 5. V2 = 3 ^ о224 g с 16 g 'Ъ = о иЪ = о икак брусvc = о/2.как брусvc = о/2.(в)(в)Следовательно,Следовательно,7=r1 + 27'2 = ^U(4P + 3Q) Л7=r1 + 27'2 = ^U(4P + 3Q) Л(О(О

диус катка. Далее момент инерции JCj£ = тр ~ Я2. Наконец, так

диус катка. Далее момент инерции JCj£ = тр ~ Я2. Наконец, так

по катку не скользит, то скорость верхней точки катка о Подставляя все эти значения в равенство (б), получим

Т = — 5. V2 = 3 ^ о2

24 g с 16 g '

по катку не скользит, то скорость верхней точки катка о Подставляя все эти значения в равенство (б), получим

Т = — 5. V2 = 3 ^ о2

24 g с 16 g '

Ъ = о и

Ъ = о и

как брусvc = о/2.

как брусvc = о/2.

(в)

(в)

Следовательно,

Следовательно,

7=r1 + 27'2 = ^U(4P + 3Q) Л

7=r1 + 27'2 = ^U(4P + 3Q) Л

(О

(О

на каток.на каток.Перейдем к вычислению работы. Внешними силами, действующими.

на каток.

на каток.

являются F, Р, Qb Q2 (Qi = Q2 = <?), Ni, Na и ^ь ^2, где Р^ и Г2 —силы

трения, препятствующие скольжению катков. Работа сил Р, Q} и Q2 равна нулю, так как они перпендикулярны к перемещениям их точек приложения. Для точки К имеем г>„ = 0 и dr =v„dt — O. Поэтому N,.dr„ = 0, F1 • drK = 0; следовательно, работа этих сил на конечном перемещении будет также равна нулю. Аналогичный результат получим для сил N2, Р2, а также для внутренних сил давления и трения, действующих в точках D касания бруса н катков (относительные скорости перемещения этих точек равны нулю, как и скорость точки К\ Следовательно' работу совершает только сила F и Ае = F ■ s.

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получим

(Д)

откуда

Для определения ускорения бруса продифференцируем обе части равенства (д) по времени; будем иметь

—.— (ДР + 3Q) V —— F -Т-.

4g х 1 dt dt

,, ds„

Но = v, поэтому, сокращая, найдем окончательно

du 4F

dt 4P + 3Q g

Обращаем внимание на примененный здесь прием определения ускорения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

К брусу D массы тъ лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно в точке А однородный стержень АВ, имеющий массу т2 и длину I (рис. 21). Система начинает движение из состояния покоя в момент, когда стержень отклонен до горизонтального положения Ав0.

Пренебрегая трением в оси А, найти скорость ь бруса в тот момент, когда стержень проходит через вертикаль.

Обратимся опять к уравнению (23). Так как внутренние силы работы не совершают, то, обозначая кинетическую энергию системы в момент, когда стержень вертикален, через 7\, будем иметь

^-ТД-^А^ .v^-ТД-^А^ .v(а) Рис. 21.(а) Рис. 21.

^-ТД-^А^ .v

^-ТД-^А^ .v

(а) Рис. 21.

(а) Рис. 21.

Здесь 70 = 0, а Tt = T -Д-Т Пользуясь для вычисления Т теоремой Кенига, имеем

td — "^m\^> Tab — 2" тД^с + у ^сх^*^

где а—угловая скорость стержня, а момент инерции JCx = — т21г. Скорость vc центра масс стержня складывается из относительной (по отношению

к брусу) скорости т', численно равной 0,5 I® и переносной скорости т; следовательно, yc = 0,5Z®— v. В результате

Т\ = у miу2 + у m2I —у- + у2 — /юу ) + -уу ®2 =

1 ,, х 2 I т21г®г1

= у (mj + m2) у2 4уу m2Z®y. (в)

Чтобы исключить отсюда величину м, заметим, что все действующие на систему внешние силы вертикальны. Следовательно, сумма их проекций на горизонтальную ось у равна нулю и проекция количества движения Q системы на эту ось должна быть величиной постоянной. Так как Qo = 0, то Qy = т^ + m2vcy = ^ УЧИТЬ1Вая направления у и тс, находим отсюда

/ Z \,2 (mv Ч- m2)

m,y = т„У- = т„ -д- ® — у и Z© = —2——— у.

12 с 2 \ 2т2

Подставляя это значение Z® в равенство (в), найдем окончательно

(4m14-m2) (т^Шг) ,6m2'(4m14-m2) (т^Шг) ,6m2'(г)(г)

(4m14-m2) (т^Шг) ,

6m2'

(4m14-m2) (т^Шг) ,

6m2'

(г)

(г)

Рис. 22.Рис. 22.

Рис. 22.

Рис. 22.

Работу здесь совершает только сила тяжести m2g; при этом Ae = 0,5l- m2g. ।Следовательно, уравнение (а) принимает

вид

Tt=Lbm2g.

Заменяя здесь 7j найденным значением, получим окончательно

и =игуз^

/(4mj + m2) («1 + тА

Ползуны Л и В, весом Р каждый, соединены прикрепленным к ним шарнирно однородным стержнем длиной Z и весом Q (рис. 22). Ползуны могут скользить без трения по взаимно перпендикулярным направляющим (одна из которых горизонтальна). На ползун А действует горизонтальная сила F, изменяющаяся по

закону F = Fo sin pt. Считая величину Fa малой по сравнению с Р и Q, найти закон малых колебаний системы, если

в момент Z —0 она находится в равновесном положении.

Составим дифференциальное уравнение движения системы, пользуясь равенством (26), которое представим в виде

(а)(а)dT-^d'A®,

(а)

(а)

где d'A®—элементарные работы внешних сил. Положение системы будем определять углом ф отклонения стержня от вертикали, считая его при малых колебаниях малым. Имеем

Т= Т 4- Т 4- Т .

2 А “АВ

Воспользуемся тем, что точка К является, мгновенным центром вращения для стержня АВ. Тогда уд = йф, Уд = 6ф, где а = АК, b = ВК; поль-

зуясь тем, что формула (14) § 2 справедлива и для мгновенного вращения, получим

гдЦ^а* ТвЦ^, тдвЦ^.

Но так как точки К и А находятся на одинаковом расстоянии Z/2 от центра масс С стержня, то по теореме Гюйгенса J Кх = ^Дх = QPi^g. В результате, учитывая, что a2-|-62 = Z2, будем иметь

Для вычисления элементарной работы воспользуемся тем, что она равна моменту силы относительно оси поворота на элементарный угол поворота [см. ч. I, § 30, формула (21)]. Так как в нашем случае момент относительно оси Кх совпадает с моментом относительно центра К, то

— PZ sin ф — Q ^ sin q> + Fl cos ф j dф.

Вычисляя из равенства (б) dT и подставляя все значения в уравнение (а), получим

Но ф dt = йф. Поэтому, произведя сокращение, найдем дифференциальное уравнение движения системы в виде

■^(ЗР + Оф■^(ЗР + Оф2Р4- Q

■^(ЗР + Оф

■^(ЗР + Оф

(в)(в)Дsin ф = Fo sin pt cos ф.

(в)

(в)

Для малых колебаний, полагая вшф ж ф, созф я 1 и вводя обозначения

(Г)(Г)3g(2P^Q) = 3gFa _

(Г)

(Г)

2Z(3P+Q)' Z(3P+Q)°’

будем иметьбудем иметьФ 4- &2ф = Но sin pt.Ф 4- &2ф = Но sin pt.(Д)(Д)

будем иметь

будем иметь

Ф 4- &2ф = Но sin pt.

Ф 4- &2ф = Но sin pt.

(Д)

(Д)

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, общее решение которого имеет вид (см. ч. 1, § 35, п. 3)

ф = a sin (kt -]-а)ф = a sin (kt -]-а)■feiZr^inpL■feiZr^inpL(е)(е)

ф = a sin (kt -]-а)

ф = a sin (kt -]-а)

■feiZr^inpL

■feiZr^inpL

(е)

(е)

Здесь а и а — постоянные интегрирования. Определяя их по начальным данным: при Z = 0 ф = 0, ф = 0, найдем окончательно закон колебаний

ФФН»У — р1Н»У — р1sin pt— Е- sin ktsin pt— Е- sin kt(ж)(ж)

Ф

Ф

Н»

У — р1

Н»

У — р1

sin pt— Е- sin kt

sin pt— Е- sin kt

(ж)

(ж)

Система может совершать малые колебания вдали от зоны резонанса р = k. При этом, если р k, то приближенно

Но . ,

Ф = -ЕГ sin pt,

т. е. колебания являются вынужденными с частотой р и периодом т = 2л//>.

Если же р ^> к, то приближенно

Нй wп> = —г sin kt,Y рк

т. е. колебания будут собственными с частотой к и периодом т = 2л/й, где значение к дается равенством (г)

Пример показывает, что, пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, можно составить дифференциальное уравнение движения любой механической системы с одной степенью свободы при любых действующих на систему силах.

6. В кинематике мы имели теорему Шаля, согласно которой всякое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела, и движения тела около этой точки как неподвижной. Вышеизложенные теоремы динамики показывают, что за такую точку удобнее всего брать центр масс В самом деле, движение центра масс определяется по соответствующей теореме как движение материальной точки под действием всех приложенных к системе внешних сил, а к движению относительно центра масс теоремы об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии применяются совершенно так же, как и к движению около неподвижной точки. Поэтому всякое движение механической системы можно изучать, рассматривая его как совокупность двух движений: поступательного, определяемого движением центра масс, и движения около центра масс как неподвижной точки.

§ 4. Динамика точки переменной массы

Понятие о теле и точке переменной массы. Под механической системой мы понимаем такую совокупность материальных точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Эта зависимость обусловлена наличием сил взаимодействия между точками системы (внутренних сил). До сих пор мы считали множество точек, образующих каждую рассматриваемую систему, неизменным. Между тем на практике могуг иметь место случаи, когда в некоторые моменты времени tv t^, ... взаимодействие каких-то отдельных точек системы с остальными ее точками практически мгновенно прекращается; таким образом, эти точки после моментов времени tv t^, . .. уже не будут входить в рассматриваемую систему. В результате состав, т. е. множество точек, образующих данную систему, а следовательно, и масса системы будут со временем изменяться. Аналогично могут иметь место случаи, когда в какие-то моменты времени tx, t^, ... с рассматриваемой системой мгновенно начинают взаимодействовать точки, до этого в данную систему не входившие (с нею не взаимодействовавшие) В результате также будет происходить изменение состава системы и ее массы. Примером может служить движущийся транспор-

§ 4] ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 47 тер, с которого в какие-то моменты времени снимают (или на который кладут) грузы.

Для изучения движения системы в указанных случаях нужно всякий раз после моментов времени ^, ^2, .. . составлять для образовавшейся новой системы свои уравнения движения, учитывая мгновенное изменение ее скорости в момент отделения (присоединения) частицы методами теории удара (гл. VII).

Однако в ряде случаев процесс отделения (или присоединения) частиц можно практически считать непрерывным, а следовательно, рассматривать как непрерывный и процесс изменения массы системы.

Примерами таких систем в природе являются плавающая льдина, масса которой убывает при таянии или возрастает при намерзании, планета, масса которой изменяется вследствие оседания" метеоритной пыли и т. д., а в технике — ракета на активном участке траектории или реактивный самолет, масса которых убывает при выгорании топлива, веретено, на которое наматывается или с которого сматы» вается нить, и т. п.

Систему (в частности, тело), масса которой непрерывно изменяется со временем вследствие изменения состава системы, т. е. непрерывного присоединения к ней или отделения от нее частиц, и принято называть системой (телом) переменной массы. Если расстояния, проходимые точками тела, велики по сравнению с его размерами или если тело движется поступательно, то его (пренебрегая изменением положения центра масс, происходящим в процессе отделения или присоединения частиц) можно рассматривать как точку переменной массы. Движение такой точки переменной массы мы и рассмотрим, полагая, что масса /И этой точки является непрерывной и дифференцируемой функцией времени Л1 Д) и что взаимодействие с этой точкой отделяющихся частиц после отделения мгновенно прекращается, а присоединяющиеся частицы до момента присоединений с этой точкой не взаимодействуют Для такой точки можно составить дифференциальные уравнения, описывающие ее движение в течение всего времени изменения массы.

Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы (уравнения Мещерского). Составим уравнение движения точки переменной массы, масса которой изменяется вследствие одновременного отделения и присоединения частиц Обозначим в момент времени t через Л1Д) всю массу точки, через Л^Д)— массу вошедших в ее состав присоединяющихся частиц и через Л12Д)— массу входящих в ее состав отделяющихся частиц; здесь MY (t) — возрастающая функция уМг> 0), а Л12 — убывающая (dM2 < 0), функция же Л1Д) может быть как возрастающей, так и убывающей и. в частности, постоянной

Применим теорему об изменении количества движения к системе, состоящей из точки с массой М Д), присоединяющейся к ней за

малый промежуток времени AZ частицы с массой kMT и отделяющейся от нее в течение того же промежутка времени частицы с массой |АМ3| (рис. 23). По сделанным выше предположениям, указанные частицы и точка взаимодействуют, т. е. образуют механическую систему лишь в момент времени t (после отделения или до присоединения взаимодей- Iствия нет). Поэтому результаты наших рас

' суждений будут справедливы, когда мы coz'*. 1 вершим предельный переход, полагая AZ—>0.

/Упомянутая теорема дает

-у/■*Qx — QQ = F\t,(1)

МгГде q0 — количество движения системы в мо-

•/.мент /, а О,—в момент ^Ч-А/; F— равно-

уvlдействующая приложенных к точке сил.

Обозначим абсолютную скорость точки с мас- Рис. 23.сой M(Z) через *о, а абсолютные скорости

присоединяющейся частицы с массой AMj и отделяющейся частицы с массой |АуИ2| через иг и о2 соответственно. Тогда

Qq = МрЧ-АМ! - Bp

Qi = (ЛГ Ч~ АМ1 — [ АуИ2 [) (у + Ар) Ч- | АМ2 [ ®2>

где Ар— приращение скорости точки за промежуток времени AZ. Подставляя эти величины в уравнение (1) и учитывая, что | АЛ421 = = —АМ2 (масса частицы—величина положительная, а M2(f)— функция убывающая), получим

/И А р -|- АМ! (р — их) + АМ2 (у — в2) + (АМ1 + Ам2) Ар = F \t.

Отсюда, деля обе части равенства на AZ и переходя к пределу при АУ—>0, найдем окончательно

de _ , ,. dM, , ,. dM2

(2)(2)Af^- = F + («i-^)-571 + (»2-^)-^.

(2)

(2)

Это и есть дифференциальное уравнение движения точки переменной массы или обобщенное уравнение И. В. Мещерского, составленное для случая одновременного отделения и присоединения частиц.

Если имеет место только присоединение (или только отделение) dM, dM / dM2 dM \

частиц, то ■ j - = -^~ I или, и уравнение (2) прини

мает вид

^=^ + «*-<0^.(3)

где и — абсолютная скорость присоединения (или отделения) частиц. Уравнение в виде (3) было получено И. В. Мещерским в 1897 г., а в обобщенном виде (2) опубликовано в работе 1904 г.

Величина иг — и — и представляет собой относительную (по отношению к основной точке с массой М) скорость присоединения (отделения) частиц. Если ввести эту величину, то уравнение (3) примет вид

(4)

Как видим, и при отделении и при присоединении частиц уравнения (3) или (4) имеют один и тот же вид, с той лишь разницей, что dM . „

в случае присоединения частиц д ■ > 0, а в случае их отделения ^<0 dt '

Если абсолютная скорость присоединяющихся (отделяющихся) частиц равна нулю, т. е. а = 0, то уравнение (3) можно представить в виде

=(5)

dtх '

если же относительная скорость присоединяющихся (отделяющихся) частиц есть нуль, т. е. аЛ = 0, то уравнение Мещерского принимает такой же вид, как для точки постоянной массы, т. е.

(6)(6)M^ = F,

(6)

(6)

однако М в левой части является при этом величиной переменной. Заметим, наконец, что если ввести величину

Ф —«Ф —«dMdMr dtr dt(7)(7)

Ф —«

Ф —«

dM

dM

r dt

r dt

(7)

(7)

то уравнение (4) можно представить тоже в виде уравнения движения точки постоянной массы

М^- = Р + Ф.<8)

Из уравнения (8) следует, что эффект отделения (присоединения) частиц эквивалентен действию на точку (тело) некоторой добавочной силы Ф, называемой реактивной силой.

Обозначим через GceK = |-^^| секундный расход отделяемой (или присоединяемой) массы, и пусть ®t и Ф2— реактивные силы соот»- ветственно при присоединении и отделении частиц. Тогда

Ф1 = Осекаг, Ф2 = — GLeKar.(9)

•4 Н. Н. Бухгольц

т. е реактивная сила равна численно произведению секундного расхода массы на относительную скорость отделения (присоединения)

частиц и направлена противоположно вектору йг в случае отделения

частиц и так же, как вектор иг, в случае присоединения частиц

Отметим в заключение, что преобразования, проделанные с уравнением (3), можно таким же образом произвести и с обобщенным уравнением (2).

Рассмотрим несколько примеров приложения уравнений Мещерского

Движение ракеты вне поля сил. Формула Циолковского.

В качестве первого примера рассмотрим случай поступательного движения ракеты вне поля сил (1-я задача Циолковского). Тогда, по

лагая в равенстве (4) F = 0, получим для движения ракеты в этом случае векторное уравнение

— - (10)

Направим ось х вдоль вектора скорости я ракеты (рис 24) и допустим, что относительная скорость отделения частиц иг (скорость вы

лета продуктов горения топлива из

сопла ракетного двигателя) постоянна и направлена противоположно и Тогда, проектируя обе части равенства (10) на ось х и учитывая, что -цл = р, итх =— иг, будем иметь

М dv = — ur dM

Отсюда, интегрируя и полагая в начальный момент скорость ракеты равной v0, а массу равной Л40, получим окончательно

(11)(11)V^Vo+ttJn-^.

(11)

(11)

Формула (И) устанавливает, по какому закону возрастает скорость ракеты с уменьшением ее массы Если начальную массу топлива обозначить Мт, а массу корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом через Л4К, то Мо = Мк + Мт, а масса ракеты в момент, когда сгорит все топливо, будет равна Мк В результате найдем, что предельная (наибольшая) скорость, которую получает ракета, когда будет израсходовано все топливо, определяется равенством

/ м \

v^^+ajn 1+^ .(12)

Это известная формула К Э Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г.

Из формулы Циолковского следует тот интересный факт, что предельная скорость ракеты зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его горения, от того, по какому закону расходуется топливо, предельная скорость ракеты не зависит

Для закона движения ракеты в рассматриваемом случае получаем из (11), полагая, что при Zo = O, х — О'

x = 4)ot-\-ur J In^^^бx = 4)ot-\-ur J In^^^б(13)(13)Следовательно, закон движения будет зависеть от закона расходаСледовательно, закон движения будет зависеть от закона расходатоплива, т е от вида зависимости /И (£), которая для интеграла, входящего в правую часть равенства (13), должна быть задана4. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Рассмотрим ракету, движущуюся вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды (2-я задача Циолковского). Направим ось х также по вертикали вверх и примем, что вектор иг относительной скорости отделения частиц постоянен и направлен по вертикали вниз (рис. 25). Учитывая, чго на ракету действует сила тяжести Р = Mg, получим уравнение движения (4) в проекции на ось х в виде(14)Интегрируя это уравнение и полагая, что при ^ = 0 М = Мо, ^0 = 0, найдем следующий закон изменения скорости.v = “rln-^- — gt(15)топлива, т е от вида зависимости /И (£), которая для интеграла, входящего в правую часть равенства (13), должна быть задана4. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Рассмотрим ракету, движущуюся вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды (2-я задача Циолковского). Направим ось х также по вертикали вверх и примем, что вектор иг относительной скорости отделения частиц постоянен и направлен по вертикали вниз (рис. 25). Учитывая, чго на ракету действует сила тяжести Р = Mg, получим уравнение движения (4) в проекции на ось х в виде(14)Интегрируя это уравнение и полагая, что при ^ = 0 М = Мо, ^0 = 0, найдем следующий закон изменения скорости.v = “rln-^- — gt(15)вычислениявычисленияОРнс. 25.ОРнс. 25.Для дальнейшего интегрирования уравнения (15) надо задать какой-го закон изменения массы Примем, что масса М убывает по показательному законуДля дальнейшего интегрирования уравнения (15) надо задать какой-го закон изменения массы Примем, что масса М убывает по показательному законуМ — Мое-а/,М — Мое-а/,(16)(16)

x = 4)ot-\-ur J In^^^б

x = 4)ot-\-ur J In^^^б

(13)

(13)

Следовательно, закон движения будет зависеть от закона расхода

Следовательно, закон движения будет зависеть от закона расхода

топлива, т е от вида зависимости /И (£), которая для интеграла, входящего в правую часть равенства (13), должна быть задана

4. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Рассмотрим ракету, движущуюся вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды (2-я задача Циолковского). Направим ось х также по вертикали вверх и примем, что вектор иг относительной скорости отделения частиц постоянен и направлен по вертикали вниз (рис. 25). Учитывая, чго на ракету действует сила тяжести Р = Mg, получим уравнение движения (4) в проекции на ось х в виде

(14)

Интегрируя это уравнение и полагая, что при ^ = 0 М = Мо, ^0 = 0, найдем следующий закон изменения скорости.

v = “rln-^- — gt(15)

топлива, т е от вида зависимости /И (£), которая для интеграла, входящего в правую часть равенства (13), должна быть задана

4. Вертикальное движение ракеты в однородном поле тяжести. Рассмотрим ракету, движущуюся вертикально вверх в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления среды (2-я задача Циолковского). Направим ось х также по вертикали вверх и примем, что вектор иг относительной скорости отделения частиц постоянен и направлен по вертикали вниз (рис. 25). Учитывая, чго на ракету действует сила тяжести Р = Mg, получим уравнение движения (4) в проекции на ось х в виде

(14)

Интегрируя это уравнение и полагая, что при ^ = 0 М = Мо, ^0 = 0, найдем следующий закон изменения скорости.

v = “rln-^- — gt(15)

вычисления

вычисления

О

Рнс. 25.

О

Рнс. 25.

Для дальнейшего интегрирования уравнения (15) надо задать какой-го закон изменения массы Примем, что масса М убывает по показательному закону

Для дальнейшего интегрирования уравнения (15) надо задать какой-го закон изменения массы Примем, что масса М убывает по показательному закону

М — Мое-а/,

М — Мое-а/,

(16)

(16)

где а — постоянный коэффициент,где а — постоянный коэффициент,нения массы. Тогданения массы. Тогдауравнение (15) примет видуравнение (15) примет видхарактеризующий быстроту измехарактеризующий быстроту изме

где а — постоянный коэффициент,

где а — постоянный коэффициент,

нения массы. Тогда

нения массы. Тогда

уравнение (15) примет вид

уравнение (15) примет вид

характеризующий быстроту изме

характеризующий быстроту изме

у = ~м ^(aur — g^t.у = ~м ^(aur — g^t.(17)(17)

у = ~м ^(aur — g^t.

у = ~м ^(aur — g^t.

(17)

(17)

Отсюда, интегрируя и считая при ( = 0 х = 0, найдем закон движения ракеты:Отсюда, интегрируя и считая при ( = 0 х = 0, найдем закон движения ракеты:X = (aur — g)-^.X = (aur — g)-^.(18)(18)В этом равенстве аиг есть, очевидно, ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, в чем можно убедиться и непосредственно; в самом деле, вычисляя с учетом равенства (16) реактивную силу, по фор-В этом равенстве аиг есть, очевидно, ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, в чем можно убедиться и непосредственно; в самом деле, вычисляя с учетом равенства (16) реактивную силу, по фор-муле (7), получимИз уравнения (17) следует подъем при у0 = 0 возможен когда ускорение, сообщаемое силы тяжестимуле (7), получимИз уравнения (17) следует подъем при у0 = 0 возможен когда ускорение, сообщаемое силы тяжестишzrMQe-a, — cwzAf.шzrMQe-a, — cwzAf.очевидный вывод, что вертикальный лишь в случае, когда aiir > g, т. е. реактивной силой, больше ускоренияочевидный вывод, что вертикальный лишь в случае, когда aiir > g, т. е. реактивной силой, больше ускоренияДопустим теперь, что масса ракеты может убывать до некоторого значения Мг (разность Л10—Му равна запасу топлива), и найдем, какой будет полная высота Н подъема ракеты. Время tx движения под действием реактивной силы (активный участок траектории) определяется из равенства Мх = Moe~afi, откудаДопустим теперь, что масса ракеты может убывать до некоторого значения Мг (разность Л10—Му равна запасу топлива), и найдем, какой будет полная высота Н подъема ракеты. Время tx движения под действием реактивной силы (активный участок траектории) определяется из равенства Мх = Moe~afi, откуда1 a ’1 a ’(19)(19)гдегде1П = In-^.Мх1П = In-^.Мх(19')(19')Подставляя это значение ^ в равенства (18) и (17), найдем для длины хх активного участка и скорости v1 в конце этого участка значенияПодставляя это значение ^ в равенства (18) и (17), найдем для длины хх активного участка и скорости v1 в конце этого участка значения—^r" g"2a2—^r" g"2a2an,g■u, = n—1aan,g■u, = n—1a(20)(20)

Отсюда, интегрируя и считая при ( = 0 х = 0, найдем закон движения ракеты:

Отсюда, интегрируя и считая при ( = 0 х = 0, найдем закон движения ракеты:

X = (aur — g)-^.

X = (aur — g)-^.

(18)

(18)

В этом равенстве аиг есть, очевидно, ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, в чем можно убедиться и непосредственно; в самом деле, вычисляя с учетом равенства (16) реактивную силу, по фор-

В этом равенстве аиг есть, очевидно, ускорение, сообщаемое ракете реактивной силой, в чем можно убедиться и непосредственно; в самом деле, вычисляя с учетом равенства (16) реактивную силу, по фор-

муле (7), получим

Из уравнения (17) следует подъем при у0 = 0 возможен когда ускорение, сообщаемое силы тяжести

муле (7), получим

Из уравнения (17) следует подъем при у0 = 0 возможен когда ускорение, сообщаемое силы тяжести

шzrMQe-a, — cwzAf.

шzrMQe-a, — cwzAf.

очевидный вывод, что вертикальный лишь в случае, когда aiir > g, т. е. реактивной силой, больше ускорения

очевидный вывод, что вертикальный лишь в случае, когда aiir > g, т. е. реактивной силой, больше ускорения

Допустим теперь, что масса ракеты может убывать до некоторого значения Мг (разность Л10—Му равна запасу топлива), и найдем, какой будет полная высота Н подъема ракеты. Время tx движения под действием реактивной силы (активный участок траектории) определяется из равенства Мх = Moe~afi, откуда

Допустим теперь, что масса ракеты может убывать до некоторого значения Мг (разность Л10—Му равна запасу топлива), и найдем, какой будет полная высота Н подъема ракеты. Время tx движения под действием реактивной силы (активный участок траектории) определяется из равенства Мх = Moe~afi, откуда

1 a ’

1 a ’

(19)

(19)

где

где

1

П = In-^.Мх

1

П = In-^.Мх

(19')

(19')

Подставляя это значение ^ в равенства (18) и (17), найдем для длины хх активного участка и скорости v1 в конце этого участка значения

Подставляя это значение ^ в равенства (18) и (17), найдем для длины хх активного участка и скорости v1 в конце этого участка значения

—^r" g

"2a2

—^r" g

"2a2

an,g

■u, = n—

1a

an,g

■u, = n—

1a

(20)

(20)

После момента ^ масса ракеты остается постоянной; имея в этот момент скорость и,, ракета пройдет еще до наивысшей точки путь

у,h = ъ— — п?2gу,h = ъ— — п?2g(«", —g)2(«", —g)2Тогда для полной высоты подъема илиТогда для полной высоты подъема или2ga2 ’получим значение /7=л:1-(-А2ga2 ’получим значение /7=л:1-(-А«,«,Н=ге2 '_ '\ 2g 2aН=ге2 '_ '\ 2g 2a(21)(21)

у,h = ъ— — п?

2g

у,h = ъ— — п?

2g

(«", —g)2

(«", —g)2

Тогда для полной высоты подъема или

Тогда для полной высоты подъема или

2ga2 ’

получим значение /7=л:1-(-А

2ga2 ’

получим значение /7=л:1-(-А

«,

«,

Н=ге2 '_ '

\ 2g 2a

Н=ге2 '_ '

\ 2g 2a

(21)

(21)

* п* пКак видим, Н, в отличие от V, зависит от параметра а, определяющего быстроту расхода топлива. При этом Н тем больше, чем больше а. Наибольшая высота подъема

* п

* п

(2Г)

получается при а=со, т. е. при мгновенном сгорании топлива. Практически этот результат означает, что для получения наибольшей высоты подъема в однородном поле тяжести при отсутствии сопротивления надо возможно быстрее сжигать топливо

Решим теперь другую экстремальную задачу. Найдем, при каком значении а длина активного участка Xj будет наибольшей (такой режим обеспечит движение с наименьшим ускорением, т. е. с наименьшими перегрузками). Из (20) получаем

dxi _ ^g — итада ~2а3

Приравнивая эту производную нулю, найдем, что указанный оптимальный режим имеет место, когда

“ = 1Г.(22)

т. е. когда ускорение, сообщаемое реактивной силой, вдвое больше ускорения силы тяжести. По знаку второй производной легко убедиться, что при найденном значении а величина Xj действительно имеет максимум. Из равенств (20) и (21) находим, что при aur = 2g

у —L м —L1 max gg. *4g ■

Полная высота подъема Н в этом случае вдвое меньше оптимальной, определяемой равенством (21')

Можно поставить еще одну оптимальную задачу: при заданной длине активного участка Xj найти значение а, для которого число п (характеризующее у ракеты запас топлива) будет наименьшим. Для этого из (20) выражаем п2 через Xj и а; находим

,2х,а2

—!.

<шг— g

Вычисляя отсюда производную от п2 по а и приравнивая ее нулю, получим, что п имеет минимум при том же значении а, которое определяется равенством (22). Таким образом, в данном случае один1 и тот же закон изменения массы обеспечивает максимум Xj при заданном значении п и минимум п при данной величине хР

Рассмотрим теперь другую, так называемую обратную задачу: найдем, по какому закону должна изменяться масса ракеты, чтобы ракета совершала вертикальный подъем с постоянной скоростью. Для этого положим в уравнении (14) v = const; получим для определения закона изменения массы уравнение

«л^+^ = 0.(23>

54 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. 1

Отсюда, интегрируя и полагая при £ —О М = Л40, найдем

М = Мое иг .(24)

Таким образом, равномерный подъем ракеты возможен только в том случае, когда закон изменения массы имеет вид (16); при этом должно быть a — glun или aur = g (ускорение, сообщаемое реактивной силой, равно ускорению силы тяжести).

При выводе уравнения (14), а следовательно, и (23) мы считали вектор аг направленным вертикально вниз.

Рассмотрим еще, какой результат получится, если считать скорость ит направленной по вертикали вверх. Тогда в уравнении (23) вместо иг будет стоять —иг, и мы, интегрируя, получим

S-t

(24')(24')M = MQeur .

(24')

(24')

ВВСледовательно, равномерное движение по вертикали возможно и тогда, когда масса возрастает по показательному закону. В этом случае реактивная сила направлена так же, как вектор аг, т. е. вертикально вверх, и уравновешивает силу тяжести. Такой случай мог бы иметь место, конечно, не при движении ракеты, а, например, при падении капли воды в насыщенной водяными парами атмосфере, если допустить, что масса капли вследствие конденсации на О ее поверхности пара будет возрастать по закону (24'), ~ а сопротивление движению пренебрежимо мало.

В

В

Вертикальное движение тяжелой нити. Меха- 137 ника тел переменной массы находит интересные приложения и в динамике нити. Рассмотрим следую- —щую задачу. Пусть нерастяжимая гибкая однородная нить АВ длиною I смотана в клубок, лежащий на краю стола (рис. 26). Высота стола над полом равна h <.1. Исследуем процесс падения нити со *7777777 стола на пол, пренебрегая сопротивлением разматы- д? ванию нити, а также сопротивлением воздуха при ее

Рис. 26. движении. Задача распадается на 3 этапа: 1) с момента начала движения до момента, когда свободный конец А нити коснется пола; 2) от конца первого этапа до момента, когда другой конец В нити сходит со стола; 3) от конца второго этапа и до момента, когда конец В нити коснется пола.

Переходя к рассмотрению первого этапа движения, проведем координатную ось Ох вертикально вниз, беря начало координат О в плоскости стола, и будем положение нити при ее движении определять координатой х точки А (рис. 26). Найдем движение нити лри начальных условиях

^о = О, х = 0, v = x = 0.(25)

Из физических соображений ясно, что условиями (25) последующее движение не определяется однозначно: если считать, что в момент /0—0 точка А не имеет ускорения, то нить будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (со стола свешивается бесконечно малый элемент нити), то нить придет в движение. Нас будет интересовать второй случай.

Составим уравнение движения нити. В произвольный момент времени t со стола свешивается отрезок нити ОА длиною х < А, который движется поступательно и может рассматриваться как точка с переменной массой /И = рх, где р — масса единицы длины нити. К этому отрезку непрерывно присоединяются частицы нити, свернутой в клубок, имея в момент присоединения абсолютную скорость п = 0. Следовательно, уравнение движения нити (уравнение (3)) имеет вид

do„ dM

M — = F — V ,dtdt

где F— в данном случае действующая на нить сила тяжести, численна равная pxg. Проектируя обе части этого уравнения на ось х и учитывая, что -их = ,и, FX = F, а Л4=рх, будем иметь

do4.x

px-^^pgx — 'vv^.(26}

Легко видеть, что уравнение (26) имеет особое решение х^О, удовлетворяющее начальным условиям (25), при котором и w = z = 0. Это решение соответствует упомянутому выше случаю покоя нити. Будем искать другое решение уравнения (26), дающее интересующий.

нас случай движения нити. Для этого, учитывая, что —

ил til dv

= и , приведем уравнение (26) к виду

х d (v2)9

Общим решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка будет

92, С

При начальных условиях (25) С = 0; следовательно,

<27>

Отсюда, интегрируя вторично, получим

Рис. 27.Рис. 27.М^-=Е — -иdtМ^-=Е — -иdtdMidt 'dMidt '(30)(30)

Рис. 27.

Рис. 27.

М^-=Е — -иdt

М^-=Е — -иdt

dMi

dt '

dMi

dt '

(30)

(30)

56 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. I и закон движения нити в рассматриваемой задаче будет

X = 1^2.(28)

Движение по такому закону длится до момента, когда станет х = к, /6А D.

— . В момент tx конец А

нити касается пола; скорость нити в этот момент, как видно из формулы (27), будет

^V^ 1(29)

С момента tx начинается второй этап движения нити (рис. 27),

В течение этого этапа в движении находится отрезок нити, имеющий

постоянную длину к, но состав этого отрезка все время изменяется: к нему непрерывно присоединяются частицы клубка, лежащего на столе (абсолютная скорость этих частиц в момент присоединения, как и в предыдущем случае, равна нулю, т. е. «1 = 0); в то же время от указанного отрезка непрерывно отделяются частицы нити, падающие на пол, имея в момент отделения абсолютную скорость, равную скорости нити, т. е. а2 = ,о (было бы ошибочно считать а2 = 0, так как когда скорость отделившейся частицы нити вследствие ее взаимодействия с полом обращается в нуль, взаимодействие этой частицы с движущимся отрезком нити отсутствует, поскольку нить не воспринимает усилий сжатия, а а2, как было отмечено при выводе

уравнения Мещерского, представляет собой скорость отделяющейся частицы в момент, когда она еще взаимодействует с нитью). Таким

образом, движение рассматриваемого отрезка нити описывается уравнением (2), которое при указанных значениях их и а2 принимает вид

Будем на этом этапе движения снова отсчитывать время от нуля, полагая ^ = 0; далее, обозначим через х координату той точки D нити (см. рис. 27), которая в момент tx находилась в точке О (на краю стола). Тогда в уравнении (30) AI = p& = const, F = pgk и Л11 = рх [заметим одновременно, что здесь Л12 = рй—рх, но в уравнение (30) эта величина не входит, так как а2 — Ф — О]. Проектируя ■ обе части уравнения (30) на ось х и заменяя М, F и Мх их значениями, получим

, dv , dx^-^hg-^ — .

Введем обозначение

а2 = gh.а2 = gh.(31>(31>Тогда предыдущее уравнение примет видТогда предыдущее уравнение примет вид— = — (а2и2) dt h 1— = — (а2и2) dt h 1(32)(32)Это уравнение совпадает с уравнением движения точки постоянной массы, падающей вертикально в среде, где сопротивление пропорционально квадрату скорости. Интегрируя уравнение (32) и принимая во внимание, что при ^ = ^ = 0 v — v^ где У] определяется равенством (29), найдем окончательно для скорости движения нити выражениеЭто уравнение совпадает с уравнением движения точки постоянной массы, падающей вертикально в среде, где сопротивление пропорционально квадрату скорости. Интегрируя уравнение (32) и принимая во внимание, что при ^ = ^ = 0 v — v^ где У] определяется равенством (29), найдем окончательно для скорости движения нити выражение_ 2 —— t- /1 -|- пе й е й 4- пегде_« 0,1« + «./3+/2_ 2 —— t- /1 -|- пе й е й 4- пегде_« 0,1« + «./3+/2Нетрудно также нение (32) в видеНетрудно также нение (32) в виденайти зависимость у(х), если представить урав-найти зависимость у(х), если представить урав-у —— = — (а2 — у2) dx h- 'у —— = — (а2 — у2) dx h- 'и проинтегрировать тате будем иметьи проинтегрировать тате будем иметьего, учитывая, что при х = 0 v — Vy. В резуль-его, учитывая, что при х = 0 v — Vy. В резуль-— 2 —- v2 = а2 — (а2 — у2) е й— 2 —- v2 = а2 — (а2 — у2) е йили, так как, согласно равенствам (29) и (31), у2 — ^ gh = -|- а2.или, так как, согласно равенствам (29) и (31), у2 — ^ gh = -|- а2.(34)(34)

а2 = gh.

а2 = gh.

(31>

(31>

Тогда предыдущее уравнение примет вид

Тогда предыдущее уравнение примет вид

— = — (а2и2) dt h 1

— = — (а2и2) dt h 1

(32)

(32)

Это уравнение совпадает с уравнением движения точки постоянной массы, падающей вертикально в среде, где сопротивление пропорционально квадрату скорости. Интегрируя уравнение (32) и принимая во внимание, что при ^ = ^ = 0 v — v^ где У] определяется равенством (29), найдем окончательно для скорости движения нити выражение

Это уравнение совпадает с уравнением движения точки постоянной массы, падающей вертикально в среде, где сопротивление пропорционально квадрату скорости. Интегрируя уравнение (32) и принимая во внимание, что при ^ = ^ = 0 v — v^ где У] определяется равенством (29), найдем окончательно для скорости движения нити выражение

_ 2 —— t- /

1 -|- пе й е й 4- пе

где_

« 0,1

« + «./3+/2

_ 2 —— t- /

1 -|- пе й е й 4- пе

где_

« 0,1

« + «./3+/2

Нетрудно также нение (32) в виде

Нетрудно также нение (32) в виде

найти зависимость у(х), если представить урав-

найти зависимость у(х), если представить урав-

у —— = — (а2 — у2) dx h- '

у —— = — (а2 — у2) dx h- '

и проинтегрировать тате будем иметь

и проинтегрировать тате будем иметь

его, учитывая, что при х = 0 v — Vy. В резуль-

его, учитывая, что при х = 0 v — Vy. В резуль-

— 2 —- v2 = а2 — (а2 — у2) е й

— 2 —- v2 = а2 — (а2 — у2) е й

или, так как, согласно равенствам (29) и (31), у2 — ^ gh = -|- а2.

или, так как, согласно равенствам (29) и (31), у2 — ^ gh = -|- а2.

(34)

(34)

Из полученных результатов следует, что скорость падения нити стремится, и притом достаточно быстро, к предельной величине -vn¥ = a=V"gh.

Используя формулу (34), легко подсчитать, что когда после момента tx с клубка смотается отрезок нити, равный 1,5А, скорость его падения будет отличаться от предельной меньше чем на 1%. Поэтому, если l^>h, скорость у2 падения нити в конце второго этапа можно считать равной а="У gh; в противном случае эта скорость определяется по формуле (34).

Чтобы найти время падения нити до момента начала третьего этапа, следует проинтегрировать уравнение (33). Учитывая, что при /=^ = 0 х = 0, получим закон движения нити в виде

— <- — I

х = А 1пх = А 1п(35)(35)eh -j- n5 hпр

х = А 1п

х = А 1п

(35)

(35)

Отсюда, полагая х — 1— 2А, найдем время t2 движения нити

до конца второго этапа.3) На третьем этапе (рис. 28) происходит непрерывный процесс уменьшения массы движущейся части нити, причем, как было установлено выше, абсолютная скорость отделяющихся частиц в момент отделения равна скорости нити у, т. е. и, = *о. Масса движущейся части нити М — 9^к — х), где х— координата конца В нити. Тогда, составляя для движущейся части нити уравнение (3) в проекции на ось х, получимf<h—x^-dt=P<,l—x>g или "dF^g-Отсюда, ведя теперь отсчет времени от момента t2 конца второго этапа, т. е. полагая ^2 = 0> и учитывая, что при ^2 — 0 у = у2, найдему = у24-^ и х = у3^+-^-.(36)Таким образом, конец В нити в этом случае падает с постоянным ускорением g как свободная мате- постоянной массы. Скорость конца В можно ещедо конца второго этапа.3) На третьем этапе (рис. 28) происходит непрерывный процесс уменьшения массы движущейся части нити, причем, как было установлено выше, абсолютная скорость отделяющихся частиц в момент отделения равна скорости нити у, т. е. и, = *о. Масса движущейся части нити М — 9^к — х), где х— координата конца В нити. Тогда, составляя для движущейся части нити уравнение (3) в проекции на ось х, получимf<h—x^-dt=P<,l—x>g или "dF^g-Отсюда, ведя теперь отсчет времени от момента t2 конца второго этапа, т. е. полагая ^2 = 0> и учитывая, что при ^2 — 0 у = у2, найдему = у24-^ и х = у3^+-^-.(36)Таким образом, конец В нити в этом случае падает с постоянным ускорением g как свободная мате- постоянной массы. Скорость конца В можно ещеООазазhhВВРис. 28.Рис. 28.риальная точкариальная точка

до конца второго этапа.

3) На третьем этапе (рис. 28) происходит непрерывный процесс уменьшения массы движущейся части нити, причем, как было установлено выше, абсолютная скорость отделяющихся частиц в момент отделения равна скорости нити у, т. е. и, = *о. Масса движущейся части нити М — 9^к — х), где х— координата конца В нити. Тогда, составляя для движущейся части нити уравнение (3) в проекции на ось х, получим

f<h—x^-dt=P<,l—x>g или "dF^g-

Отсюда, ведя теперь отсчет времени от момента t2 конца второго этапа, т. е. полагая ^2 = 0> и учитывая, что при ^2 — 0 у = у2, найдем

у = у24-^ и х = у3^+-^-.(36)

Таким образом, конец В нити в этом случае падает с постоянным ускорением g как свободная мате- постоянной массы. Скорость конца В можно еще

до конца второго этапа.

3) На третьем этапе (рис. 28) происходит непрерывный процесс уменьшения массы движущейся части нити, причем, как было установлено выше, абсолютная скорость отделяющихся частиц в момент отделения равна скорости нити у, т. е. и, = *о. Масса движущейся части нити М — 9^к — х), где х— координата конца В нити. Тогда, составляя для движущейся части нити уравнение (3) в проекции на ось х, получим

f<h—x^-dt=P<,l—x>g или "dF^g-

Отсюда, ведя теперь отсчет времени от момента t2 конца второго этапа, т. е. полагая ^2 = 0> и учитывая, что при ^2 — 0 у = у2, найдем

у = у24-^ и х = у3^+-^-.(36)

Таким образом, конец В нити в этом случае падает с постоянным ускорением g как свободная мате- постоянной массы. Скорость конца В можно еще

О

О

аз

аз

h

h

В

В

Рис. 28.

Рис. 28.

риальная точка

риальная точка

представить в виде

(37)(37)V = У"у2 4“ ^gX .

(37)

(37)

Время t3 движения нити до конца третьего этапа и скорость иэ точки в момент падения на пол найдутся из уравнений (36) и (37), если в них положить x — h.

В частности, считая l^>h и принимая у2 — a~ Vgk- найдем, что ^ = V^ ^ = (^3- Oj/A^OJSl/A,

Все время движения нити от начала первого этапа до конца третьего будет Т = ^ + ^+^з-

Рассмотренная задача интересна тем, что в ней на первом этапе происходит движение системы при непрерывном присоединении частиц, на втором — при одновременном непрерывном присоединении и отделении частиц и, наконец, на третьем — при непрерывном отделении частиц.

ГЛАВА ВТОРАЯУРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

§ 5. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера для точки. В применении к одной материальной точке принцип Даламбера заключается, как известно, в том, что в каждый момент движения действующие на точку активные силы и реакции связей можно уравновесить добавлением к ним силы инерции (см. ч. I, § 38, п. 15). Если сумму всех действующих на точку с массой т. активных сил обозначим через F, уско

рение — через w и сумму всех реакций связей (пассивных сил) — через N, то на основании принципа Даламбера имеем

F—ff^w^-^=0.(1)

Сила F— mw = R (рис. 29) названа Даламбером потерянной силой, так как она уравновешивается силой ^ и не сообщает точке ускорения; поэтому принцип Даламбера может быть еще формулирован так: в каждый момент движения потерянная сила уравновешивается реакциями связей, т. е.

/? + ЛГ = О.(Г)

Принцип Даламбера для системы. Применим теперь принцип Даламбера к произвольной системе п материальных точек. Рассмотрим какую-либо точку системы с номером v и массой mv. Пусть, равнодействующая всех действующих на точку активных сил (как внешних, так и внутренних) будет Fv, а пассивных (реакций связей) Vv; ускорение точки обозначим через wv. Тогда, на основании аксиомы связей, эту точку можно рассматривать как свободную и составить для нее уравнение (1), т. е.

(2)(2')(2)(2')Fv —mvwv + ^ = 0,или, полагая Fv— mviov = 7?v,/?V + ATV = O,

(2)

(2')

(2)

(2')

-60 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II Уравнения (2) или (2'), составленные для всех точек системы, выражают принцип Даламбера для системы: в любой момент движения действующие на каждую точку системы активные силы и реакции связей могут быть уравновешены добавлением к ним соответствующей силы инерции, или, другими словами, в любой момент движения для каждой точки системы потерянные сийы уравновешиваются реакциями связей.

Составив для всех точек системы уравнения (2) или (2') и сложив их почленно, получим

22 ^v+3vv = o,(3)

VVV

ИЛИ

2*v+2X=o-(3')

VV

Далее, умножая каждое из уравнений (2) или (2') векторно на rv и складывая их затем почленно, получим

2(rvX/7v)-2(rvXmvwv) + 2(rvX^Vv) = 0,(4)

VVV

ИЛИ

2(rvXKv) + 2(rvXAy = 0.(4')

VV

При этом из свойств внутренних сил следует, что в уравнениях (3) и (4) сохранятся только внешние активные силы и реакции.

Уравнения (3) и (3') или (4) и (4') показывают, что в любой момент движения действующие на систему внешние активные силы, реакции связей и силы инерции (или потерянные силы и реакции связей) удовлетворяют основным уравнениям статики, т. е. сумма всех этих сил и сумма моментов всех этих сил относительно произвольного центра равны нулю.

Таким образом, принцип Даламбера, как и в случае одной точки, дает возможность составлять уравнения движения системы в форме уравнений равновесия, вводя в рассмотрение силы инерции, которые считаются приложенными к точкам системы.

Если механическая система движется относительно инерциальной системы отсчета, то, применяя теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, мы будем иметь два векторных уравнения:

^- = 2^ И ^-^Х^)-(5)

VV

которые связывают действующие на систему внешние силы с динамическими величинами Q и G. Эти уравнения, как указывалось в начале § 3, можно часто с успехом использовать для изучения движе-

ния системы; однако полностью определить это движение с их помощью можно не всегда. В самом деле, в проекциях на оси координат равенства (5) дают 6 скалярных уравнений и, следовательно, позволяют найти 6 неизвестных (координат, определяющих положение системы, и реакций внешних связей); между тем в общем случае этих неизвестных может быть значительно больше. Но, например, для абсолютно твердого тела положение которого определяется шестью параметрами, равенства (5) дают систему уравнений, позволяющих изучить его движение полностью.

Если уравнения (5) представить в виде

^-^- = 0, 2(гУХ^)-^-0(6)

VV

и посмотреть на них с точки зрения принципа Даламбера, то, сравнивая уравнения (6) с уравнениями (3) и (4), мы убедимся, что вели-

dQ dO,

чиныипредставляют собою соответственно геометрическую сумму (главный вектор) сил инерции и сумму моментов (главный момент) сил инерции точек движущейся системы, которые в силу принципа Даламбера должны вместе со всеми внешними силами (как активными, так и пассивными), действующими на систему, образовать уравновешенную систему сил. Уравнения (6) являются основными уравнениями кинетостатики; они аналогичны основным уравнениям статики, в которые переходят, если система находится в покое, потому что в этом случае Q — 0 и 0 = 0.

Как и в статике, основные уравнения кинетостатики являются для любой механической системы только необходимыми, но не достаточными. Однако для абсолютно твердого тела они будут также и достаточны и, следовательно, как было указано выше, вполне определяют движение (конечно, при заданных начальных условиях); вся задача сводится только к интегрированию этих уравнений.

Необходимо заметить, что производные -^ и -^ в равенствах (5) берутся относительно инерциальной системы отсчета; если же эти уравнения отнести к подвижной системе, то они примут вид

#+»х<г=£г,:

V

^ttXO4»'XQ=^(r;x4(7)

V

где ю есть мгновенная угловая скорость, т/— скорость начала под* вижной системы, причем производные будут уже локальными.

Примеры. 1. Через неподвижный блок перекинута гибкая нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы весом Р и Q (рис. 30, й). Найти ускорение грузов, натяжение нити и давление на ось. Массой блока и нити пренебречь.

Предположим, что Р > Q; тогда система грузов А и В будет двигаться с некоторым ускорением го. Поскольку грузы движутся поступательно, их можно рассматривать как материальные точки. Прикладывая к грузам А и В, кроме активных сил Р и Q, силы инерции, составим, согласно принципу Даламбера, условие равновесия системы, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси блока; сократив на г, j имеем (так как момент реакции N равен нулю) 1РО

Р® — О —— w = 0,gg

откуда получим ускорение

Для определения натяжения S нити мысленно разрежем нить в какой-либо точке и составим условие равновесия оставшейся части (рис. 36, б); получим

Р— — ® — 5 = 0,g

2PQ P-VQ"2PQ P-VQ"откуда, подставляя w из предыдущей формулы, найдем

2PQ P-VQ"

2PQ P-VQ"

4PQ~ P + Q '4PQ~ P + Q 'Сила давления на ось при движении грузов, которую обозначим Nt, равна, очевидно, 25. Следовательно,

4PQ

~ P + Q '

4PQ

~ P + Q '

Если грузы были бы неподвижны, то статическое давление на ось равнялось бы NtT = P-VQ- Легко подсчитать, что

(Р^ст-^д = -> + д->а

Следовательно, Na < NCT, т. е. при движении грузов давление на ось будет меньше статического, причем величина Na тем меньше, чем больше разность Р — Q.

Однородный стержень АВ длиною I и весом Р, укрепленный посредством шарнира в точке А, равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку (рис. 31); при этом стержень концом В опирается на горизонтальную плоскость и образует угол а с вертикалью. Найти, при какой угловой скорости <о давление стержня на плоскость равно нулю и чему при этом равна реакция в точке А.

Пользуясь принципом Даламбера, присоединим к действующим на стержень внешним силам активной Р и реакциям N, Хд, ¥д силы инерции. Так как стержень вращается вокруг оси у равномерно, то каждый его элемент имеет только нормальное ускорение, направленное к оси и равное х®2, где х — расстояние элемента от оси у. Следовательно, для каждого элемента сила инерции направлена от оси и равна dJ = х®2 dm, где dm — масса эле-

= -^- d^. Тогда= -^- d^. Тогдаdj = ^ £ sin a d^.dj = ^ £ sin a d^.мента. Направляя вдоль стержня ось 4^, будем иметь x = gsina и dm —

= -^- d^. Тогда

= -^- d^. Тогда

dj = ^ £ sin a d^.

dj = ^ £ sin a d^.

Действующие на стержень внешние силы и силы инерции лежат в одной плоскости и образуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенную си

стему сил. Составляя для них известные уравнения статики и учитывая, что суммы сил инерции и их моментов выразятся соответствующими интегралами, будем иметь:

z

V/7 ^х . 4--^-Sina Г £d£ = 0, NX A gl J

VО

У/7— P + N = 0,

vy А 1

V

V mom^v = — Pysina + Msina +

Рис. 32.Рис. 32.последний результат следует из того, что тотд dJ = dJ% cos а. Из третьего уравнения при N =0 находим

Рис. 32.

Рис. 32.

откуда

Из первых двух уравнений при этом значении го и при N = 0 получим

X. = — v^tga, К =Р.(б)

А 4° Д'

Уравнение (а), по существу, определяет ту угловую скорость, с которой должен вращаться стержень, чтобы составлять с вертикалью данный угол а. Как видно, отклонение стержня от вертикали начи-

нается, лишь когда <о > У 3g/21.

Составим, пользуясь принципом Даламбера, дифференциальное уравнение движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси АВ, которую назовем осью г (рис. 32). Приложим в каждой точке тела с массой т^, находящейся на расстоянии Av от оси АВ, касательную /VT и нормальную Jw силы инерции; численно JVT = mvhx6, Jvn = m^h^2, где <о ие—угловая скорость и угловое ускорение тела. Согласно принципу Даламбера эти силы вместе с активными силами Pfc и реакциями R и RB образуют уравнове-

шейную систему. Составляем уравнение равновесия 2 momz А = 0, в которое не войдут неизвестные реакции Яд н Яд. Учитывая, что и mom^ Jvn = 0, будем иметь

2 momz Ps 4-2 momz Jvt = 0.(8)

кN

Так как momzJvt и угловое ускорение е всегда имеют противоположные знаки, то momzJvx = — Jvth4 = —mvh^e. Далее, обозначим 5 mom2 Pb = к

= Mz, где величина Mz называется вращающим моментом. Подставляя все эти значения в равенство (8), найдем, что

mvhv\ 6 = °-\ V/

Но сумма, стоящая в скобке, представляет собой момент инерции Jz тела относительно оси г; в результате получим

J^ = М2 нли Jz^ = Mz,(9)

г. е. произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно вращающему моменту.

Уравнение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Другим путем это уравнение будет5 получено в § 12. Из уравнения (9) непосредственно видно, что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении (см. § 2, п. 8).

. Уравнение Даламбера — Лагранжа. Пользуясь принципом Даламбера, можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к заданным активным силам и реакциям связей присоединить силы инерции.

Это позволяет использовать для решения задач динамики принцип виртуальных перемет чий (см. ч. I, гл. V). Пусть мы имеем систему п материальных точек с неосвобождающими идеальными связями. Тогда для каждой точки системы с массой mv, согласно принципу Даламбера, имеет место уравнение (2)

^-^■^ + ^ = 0(v=l, 2, .... п\ (10)

Сообщим точкам системы виртуальные перемещения (см. ч. I, § 28) и умножим каждое из уравнений (10) скалярно на виртуальное перемещение 6rv соответствующей точки; сложив полученные выражения почленно, будем иметь

V

Но для связей идеальных и неосвобождающих 21Nv-6rv = 0 (см. ч. I, § 30). Следовательно,

^(Fv-OTv^)-drv=0.(11)

V

Выражая скалярное произведение, стоящее под знаком суммы в уравнении (11), через проекции сомножителей, получим

2 [(^ - mN ^) Ъх. + ^ - mv ^ 6yv +

=(И')

причем суммирование распространяется на все точки системы.

Уравнение (11) представляет собой соединение принципа Даламбера с принципом виртуальных перемещений и иногда называется уравнением Даламбера—Лагранжа или символическим уравнением динамики. Это уравнение является наиболее общим уравнением механики и, можно сказать, включает в себя всю механику; из него можно получить как следствие общие теоремы динамики и уравнения движения механической системы.

6. Общие теоремы динамики, выаодимые ' из уравнения Даламбера — Лагранжа

Предварительные замечания. Общие теоремы динамики, изложенные в § 3, устанавливают зависимости между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на систему силами, как активными, так и реакциями связей, причем связи могут быть любыми. Эти теоремы можно получить и из уравнения Даламбера — Лагранжа, если, отбросив с»чзи, заменить их соответствующими реакциями и рассматривать эти реакции как активные силы, а все точки системы считать при этом свободными, т. е. имеющими любые виртуальные перемещения.

Пользуясь указанными теоремами, можно, как мы видели, изучать движение системы и определять реакции связей. При этом, если нас интересует только изучение движения, то реакции связей из соответствующих уравнений нужно тем или иным способом исключать.

Уравнение Даламбера—Лагранжа позволяет получить другие выражения общих теорем динамики, не содержащие реакций связей и дающие непосредственно зависимость между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на нее активными силами. Однако при этом на связи системы должны быть наложены некоторые ограничения.

Частный случай теоремы об изменении количества движения системы. Пусть на систему наложены идеальные стационарные связи, обладающими тем свойством, что они допускают поступательное перемещение системы как абсолютно твердого тела параллельно некоторой неподвижной оси х. Тогда к виртуальным перемещениям

Н. Н. Бухгольц

системы будут принадлежать и такие, для которых перемещения всех точек системы одинаковы, т. е.

6rv = x°6s (v=l, 2, ..., n),(1)

где ds имеет одно и то же значение для всех точек системы, а х°—const. Уравнение (11) из § 5 для такого виртуального перемещения системы примет вид

Отсюда, сокращая на ds и учитывая, что

У* £lcL _ А т — ^

L ^ dt4 " dt М т^^ dt '

VV

получим

^.V = Sf?-.Z(2)

Заметим, что в правую часть равенства (2) входит сумма активных сил, и притом только внешних, ибо сумма всех внутренних сил, как попарно равных и противоположных, дает нуль; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, здесь и введен символ «(я, е)».

Учитывая, что Q-x° = Qx и Fv • x° = FNX, где Qx и Fxx суть проекции векторов Q и fv на ось х, будем окончательно иметь

(3)

V

Уравнение (3) дает следующее выражение теоремы об изменении количества движения системы: если на систему наложены идеальные стационарные связи, допускающие в любой момент времени поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси, то производная по времени от проекции количества движения системы на эту ось равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.

Выше мы имели

Q = 2 mvTv = Mvc,

V

где ®с есть скорость центра масс, а М — масса всей системы. ОтсюдаQx ^СХ.

где юСх есть проекция скорости центра масс системы на ось х, параллельно которой возможно поступательное перемещение системы. Подставляя это значение Qx в равенство (3), получим

VVF m rv I — О V '"v уГ/2 I] F m rv I — О V '"v уГ/2 I]

V

V

F m rv I — О V '"v уГ/2 I]

F m rv I — О V '"v уГ/2 I]

Это равенство выражает теорему о движении центра масс системы в форме, аналогичной той, которую уравнение (3) дает для теоремы об изменении количества движения.

Частный случай теоремы об нзмененни кинетического мо

мента системы. Пусть наложенные на систему идеальные стационарные связи допускают поворот системы как абсолютно твердого тела вокруг некоторой неподвижной оси х (рис. 33). Тогда к числу

виртуальных перемещений любой точки с массой mv будет принадлежать перемещение

6rv = бфХ° X rv,(5)

где б<р есть элементарный угол поворота вокруг оси х, a rv — радиус-вектор, проведенный из какого-нибудь центра О, лежащего на этой оси. Подставляя выражение (5) для drv в уравнение Даламбера — Лагранжа [формула (11) § 5], получим

^ [(fv — mv ^^ • (бфх° X rv)] = О,

или, переставляя циклические множители в смешанном произведении и сокращая на дф,

Это уравнение можно представить в виде

X,-^(rvXmv^j==X-.2(^XFv).(6)

VV

Здесь

V v x dt2 ) — dt <rv X mv®v) — at - VV

где Go есть кинетический момент системы относительно центра О, Заметим еще, что в правой части равенства (6) сохранятся только моменты внешних активных сил, поскольку сумма моментов внутренних сил, как попарно равных и противоположных, обращается в нуль; таким образом, будем иметь

Но

Go 1 хо = °х- а <А X Fv) • х? = (rv X F^x = motnxFv.

VVУ mv-5r •dr-^=d 4 У=dT'VVУ mv-5r •dr-^=d 4 У=dT'VV

V

V

У mv-5r •dr-^=d 4 У=dT'

VV

У mv-5r •dr-^=d 4 У=dT'

VV

68 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II В результате окончательно получаем

= У (rv X F^' ^х или = У mom, F^' е\ (7)

VV

Уравнение (7) дает следующее выражение теоремы об изменении кинетического момента системы: если на систему наложены идеальные стационарные связи, допускающие в каждый момент времени вращательное перемещение системы вокруг некоторой неподвижной оси, то производная по времени от кинетического момента системы относительно этой оси равна сумме моментов относительно той же оси всех действующих на систему внешних активных сил.

Частный случай теоремы об изменении кинетической энергии системы. Пусть на систему наложены идеальные стационарные связи. Как известно (см. ч. 1, § 28), при стационарных связях истинное перемещение системы принадлежит к числу виртуальных. Тогда, принимая за виртуальные перемещения точек системы их истинные перемещения, т. е. полагая

br^ = dr4 (v = 1, 2, .... п),

мы получим уравнение Даламбера — Лагранжа в виде

Но

есть кинетическая энергия системы. Следовательно,

НТ = ^ ^ 1 drv(8)

Равенство (8) дает следующее выражение для теоремы об изменении кинетической энергии системы: если на систему наложены идеальные стационарные связи, то дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ действующих на систему внешних и внутренних активных сил.

Если же система является неизменяемой, то в правой части уравнения (8) останется элементарная работа только внешних активных сил.

$ 71

Примечание. При решении примеров, рассмотренных в § 3, п. 5, мы, по существу, пользовались уравнением (8), так как в этих примерах наложенные на систему связи были идеальными и стационарными.

В частности, первый из рассмотренных в п. 5 примеров показывает, что шероховатая поверхность, вдоль которой тело катится без скольжения, является идеальной связью, если мы пренебрегаем деформациями поверхности и катящегося тела, так как элементарная работа реакций поверхности (нормальной и силы трения) равна нулю. Но если тело скользит вдоль шероховатой поверхности, то такая связь не является идеальной, поскольку в этом случае работа силы трения не равна нулю.

Уравнения движения механической системыв декартовых координатах

Уравнения Лагранжа 1-го рода. Рассмотрим механическую систему, находящуюся под действием активных сил (как внутренних, так и внешних) и подчиненную конечным и дифференциальным (не- интегрируемым) связям. Условимся в дальнейшем число точек системы обозначать через N, а декартовы координаты этих точек — одной буквой х с индексами 1, 23^(см. § 1, п. 3). Соответственно

проекции действующих на точки системы активных сил будем обозначать одной буквой X, а проекции реакций связей — буквой R с теми же индексами.

Таким образом, масса точки системы с индексом v, ее координаты и проекции равнодействующих приложенных к этой точке активных сил и реакций связей будут соответственно

m3v-2 = m3v-l = m3v‘>X3v-2> x3v-l' X3v’

^3v-2’ ^3v-b ^3v>^3v-2- ^3v-l> ^3v

При этих обозначениях получаем следующие дифференциальные уравнения движения точек системы в проекциях на оси декартовых координат:

=(v=l. 2,3^).(1)

Эти уравнения содержат ^N неизвестных: ^N декартовых координат xv и 3^ проекций реакций R^, которые должны быть определены как функции времени.

Пусть на точки системы наложены: 1) связи конечные, выражаемые уравнениями вида

Д (х; /) = О (и = 1, 2, . .., к);(2)

связи дифференциальные, линейно зависящие от скоростей и выражаемые уравнениями вида

3N

5Vv+aP=° ф= 1. 2, .... г),(3)

V = 1

причем

apv ар[х; t.

Таким образом, мы имеем неголономную систему, на которую наложено к конечных и г дифференциальных неинтегрируемых связей, причем все связи явно зависят от времени.

Дифференциальные уравнения движения (1) вместе с уравнениями связей (2) и (3) дают систему 37V-|-& Д-г уравнений для определения 6^ неизвестных xv, Rv Следовательно, число неизвестных будет на 3^ — (к-^г), т. е. на число степеней свободы системы, больше числа имеющихся уравнений. Отсюда видно, что задания связей их уравнениями вида (2) и (3) недостаточно для того, чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной. Необходимо, очевидно, наложить на связи системы дополнительные ограничения.

Допустим, что все связи являются идеальными. Тогда, как мы увидим, задача будет определенной. При идеальных связях воспользуемся для изучения движения системы уравнениями (11') из § 5, в которые реакции связей не входят. При наших обозначениях эти уравнения Даламбера — Лагранжа имеют вид

ЗАГ

(4) v=l Х

Вариации координат dxv(v = 1, 2ЗА/) связаны между собой условиями, налагаемыми на них уравнениями связей (2) и (3); эти условия, согласно п. 2 § 1, будут

3.V

^^-6xv = 0(х=1, 2к)(5)

v-l V

И

2opv6xv=0 (Р=1, 2г).(6)

v=l

Таким образом, 3N вариаций dxv связаны к 4-г условиями (5) и (6), следовательно, независимых вариаций будет ЗА/-— (&4~г), а остальные (^Ч- г) будут зависимыми. Определив из уравнений (5) и (6) к4~г зависимых вариаций через 3^—(АЧ~г) независимых (которые можем выбрать произвольно), подставим выражения зависимых вариаций в уравнение (4); после этого оно будет содержать только независимые вариации. Ввиду произвольности этих вариаций множители при них должны быть равны нулю, что дает 3^ — (^+г) уравнений; присоединяя к этим уравнениям к 4-г уравнений связей (1) и (2), получим систему 3N уравнений, определяющих 3^ координат точек системы как функции времени.

Но исключение зависимых вариаций удобнее выполнить, пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, подобно тому как это делается в аналитической статике. Для этого умножим каждое из к уравнений (5) соответственно на Хи(х=1, 2 к)и каждое

из г уравнений (6) на рр(р = 1, 2, . .., г) и сложим полученные равенства почленно с уравнением (4); получим одно уравнение

SNkт

2 (^ - ^+ 2 Хи ^ + 2 pp<Zpv) 6xv = 0.(7)

v=lи=1р=1

Пользуясь неопределенностью лагранжевых множителей X и р, число которых равно к-\-г, выберем их так, чтобы множители при к-\-г зависимых вариациях обратились в нуль; тогда множители при оставшихся 3N—(&4~г) независимых вариациях должны быть также равны нулю; таким образом, получаем 3^ уравнений

йг

=2^-5^-+ S^pv (v=l, 237V). (8)

и=1р=1

Присоединяя к этим уравнениям к-\-г уравнений связей

/и(х; /) —0 (х = 1, 2/г)(2')

и

3.V

^ а(«Л + аР = 0(Р= 1. 2Г),(3')

v=l

получим полную систему 3N4-fe-|-r уравнений для определения 37V координат точек системы, а также кЦ-r лагранжевых множителей к и р. Проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, мы найдем х, к, р как функции времени t. Уравнения xv=xv(0 определяют закон движения системы. С помощью же множителей к^Г) и рр (О найдутся динамические реакции связей. В самом деле, сравнивая уравнения (8) с дифференциальными уравнениями движения (1), мы видим, что

йг

^V= 2 ^ £;+ 2 W (v= 1. 237V).(9)

х=1р=1

Таким образом, механическое значение множителей к^ и рр такое же, как и в статике, т. е. они пропорциональны реакциям связей.

Равенства (9) определяют реакции связей, заданных уравнениями (2) и (3), если эти связи являются идеальными. Отметим, что справедливо и обратное утверждение, т. е. связи, заданные уравнениями (2) и (3), будут идеальными, если их реакции можно представить в виде (9).

Итак, уравнения (8) вместе с уравнениями связей (2) и (3) определяют движение любой неголономной системы с идеальными связями при условии, что неголономные связи являются линейными функциями скоростей ). Эти уравнения движения системы в декартовых координатах принято называть уравнениями Лагранжа 1-го рода.

Поскольку интегрирование уравнений (8) является задачей весьма сложной, то обычно ими пользуются лишь для определения реакций связей, а закон движения системы находят с помощью других уравнений, которые будут получены ниже.

Интеграл энергии. Уравнения Лагранжа 1-го рода (8) дают интеграл энергии, если: 1) силы, действующие на систему, имеют потенциал, т. е. если существует функция U(xp х2, .. ., хзл,) такая, что

^ = х^ (v=l, 2, .... 3N),(10)

и 2) связи идеальны, причем конечные связи (2) склерономны, а дифференциальные связи (3) однородны относительно скоростей, т. е.

■^ = 0(х=1,2£);ар = 0(р=1, 2г).(11)

Умножая каждое из уравнений системы (8) соответственно на dx^ и складывая, получим

ЗА'

S dxx = v=l

3N3N к3N г

= ^ X.. dXv+ ^ ^^ dX^ + 2 2 Hp%v dxv ( 12>

v=lv=lx=lV=1р=1

Преобразуем уравнение (12). Для левой части имеем

3N3143N

mv at1 dXv — mv "at"d \dt~J^“2 ^)d7;

v=l№1v=l

(13) далее, на основании равенства (10),

3N3N

^XNdx, = ^^-dx. = dU.(14)

v=lV=1

Дифференцируя уравнения голономных связей (2), получим

3N

2-и7^.+т"“ = ° (-=1.2ч.

V=1

откуда

3N

<15>

v= I

кроме того, из уравнений неголономных связей (3), которые можно представить в виде

3N

2i «pvdxv4-apd^ = 0(р=1, 2г),

V = 1

имеем

3N

2 0PV dxv = — Др dt.(16)

v=l

Принимая во внимание равенства (13), (14), (15) и (16), преобразуем уравнение (12) к виду

кт

dT = dV-^^dt-^papdt.(17)

и=1р=1

Если имеют место условия (11), то второй и третий члены правой части уравнения (17) обращаются в нуль, и мы имеем

dT = dU,

откуда, интегрируя, получим интеграл энергии

T = U-Vh.(18)

Итак, уравнения Лагранжа 1-го рода дают интеграл энергии, если: 1) активные силы, действующие на систему, имеют потенциал; 2) геометрические (конечные) связи системы идеальны и склерономны, т. е. от времени явно не зависят; 3) дифференциальные (неголономные) связи системы идеальны и являются линейными и однородными функциями скоростей. Очевидно, что уравнения Лагранжа 1-го рода дадут интеграл энергии и в случае, когда неголономные связи являются склерономными, т. е. когда арч не зависят явно от времени и ар = 0,= но это требование не является необходимым; необходимо лишь, чтобы было ар = 0, т. е. чтобы эти связи были однородны относительно скоростей.

Уравнения движения системыв обобщенных координатах

Уравнения движения голономной системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода). Рассмотрим движение по отношению к основной инерциальной системе отсчета механической системы, состоящей из N материальных точек. При этом положения точек системы определяются ЗЛУ декартовыми координатами xv. Пусть на систему наложены только голономные связи вида

Д(х; У) = 0 (х = 1, 2fe).

Тогда число независимых координат будет равно п^ЗЛУ — к

и положение системы можно однозначно определить п, соответствующим образом выбранными независимыми между собой параметрами любой размерности qx, q^qn, которые называют обобщенными (или лагранжевыми) координатами системы. Заметим, что параметры qt могут быть отнесены и к любой подвижной системе отсчета, движение которой по отношению к основной системе известно.

Поскольку параметры qt определяют положение системы однозначно, то все декартовы координаты xv могут быть выражены через qt равенствами вида

■^v = %(?!• ЧгЧт О-(D

Уравнениями (1), по существу, учитываются все наложенные на систему голономные связи. Если функции <pv явно не содержат времени, механическую систему называют склерономной.

Так как

п

=(v=l, 237V),

i=i

то, подставляя эти выражения вариаций координат в уравнение Даламбера—Лагранжа, получим

3Nп

v=l1=1

или, раскрывая скобки,

ЗХл3Nп

<2»

v=lZ = 1v=l1=1

Первая из сумм в левой части равенства (2) есть элементарная работа 6Д всех действующих на систему сил, так как

ЗУЗУп

ЪА^Х^^Х^^^.v=lv=lZ=1

Ясно, что

ЗУ пи 3Nп

М = 2 2 X. ^- bqt = 2 bqt ^ X. ^ =Q^,(3)

v=li = l‘i=l v=l1 i=l

где величина

ЗУ

называется обобщенной силой. Преобразуем теперь второйИмеемназывается обобщенной силой. Преобразуем теперь второйИмеемотнесенной к координате qt. член левой части уравнения (2).отнесенной к координате qt. член левой части уравнения (2).

называется обобщенной силой. Преобразуем теперь второй

Имеем

называется обобщенной силой. Преобразуем теперь второй

Имеем

отнесенной к координате qt. член левой части уравнения (2).

отнесенной к координате qt. член левой части уравнения (2).

ЗУЗУv = lv = ld2xvdt2d2xvdt2d2xv dxv .T^7^ =d2xv dxv .T^7^ =

ЗУ

ЗУ

v = l

v = l

d2xvdt2

d2xvdt2

d2xv dxv .

T^7^ =

d2xv dxv .

T^7^ =

dxv bqidxv bqi^Qt*^Qt*(5)(5)

dxv bqi

dxv bqi

^Qt*

^Qt*

(5)

(5)

Сделаем теперь предварительно несколько замечаний относительно дифференцирования координат. Очевидно, что dxv _ дх^_‘ , дх^ ■ ,. дх^ • , дх^ _

dt v dqx ^х ‘ dq2 ^2 + • • • i ^ Qn + 5^ п

S

dx^ * . дхм -д^+^jr.

z = i

Взяв от обеих частей частную производную по q:, получим дх^ dxv dqt6qt ’

Далее, п[ п

d / dxv \ VI д2х,, • . д2хч д / yi дх^ • . dxv

dt \ dqt )^ dqtdqj ^i т~ 6qt dtdqt dq} ^j H §f

Выражение в скобках есть, очевидно, -^- = xv; следовательно,

d ( dxv \ дх^"dd \ dqi )dqT '

На основании равенств (6) и (7) преобразуем двойную сумму в пра

вой части уравнения (5); имеем

п / ЗА

6»e =6»e =v I V d2x^ дх^ 2d 2d mv dt2 dqt

6»e =

6»e =

Z = 1 v=l

dxv dx^ dt dqtdxv dx^ dt dqt3N3Ndxv dtdxv dtd dtd dt(7')(7')

dxv dx^ dt dqt

dxv dx^ dt dqt

3N

3N

dxv dt

dxv dt

d dt

d dt

(7')

(7')

Введем теперь выражение кинетической энергии системы

3N3NV»V»(8)(8)

3N

3N

V»

V»

(8)

(8)

тогда, так как х | q, t, то х | q, q, t и

6ГNt6ГNtdxv d^dxv d^d‘xv dqt 1d‘xv dqt 1

6Г

Nt

6Г

Nt

dxv d^

dxv d^

d‘xv dqt 1

d‘xv dqt 1

Следовательно, выражение для двойной суммы в уравнении (7') преобразуется к виду

п 3N( = 1 V = 1п 3N( = 1 V = 1дТ ]дТ ]tyz-tyz-

п 3N

( = 1 V = 1

п 3N

( = 1 V = 1

дТ ]

дТ ]

tyz-

tyz-

Возвращаясь к равенству (2), получаем уравнение Даламбера — Лагранжа в обобщенных координатах в виде

В этом уравнении все вариации обобщенных координат bqt произвольны, а потому, полагая все, кроме одной, равными пулю, получим, что выражение в фигурной скобке при этой вариации равно нулю. Рассуждая так же по отношению к оставшимся теперь а— 1 слагаемым, найдем, что выражение в фигурной скобке и при следующей вариации равно нулю, и т. д. Таким образом, получим следующую систему п уравнений:

d / дТ \ дТ „1 „

—77 I—— — = Qt (1= 1, 2, .... п),(10)

dt \ dqt) dqtv/

Эта система есть система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат qv q^, .... qn (см. п. 2). Интегрируя ее, находим координаты системы q как функции времени и 2п произвольных постоянных, которые определяются обычным способом по начальным условиям. Следовательно, система уравнений (10) вполне определяет движение. Уравнения (10) называют уравнениями Лагранжа 2-го рода.

Важное преимущество уравнений (10) по сравнению с уравнениями движения в декартовых координатах состоит в том, что число этих уравнений равно числу степеней свободы системы и от числа частиц, образующих систему, не зависит; кроме того, уравнения (10) не содержат наперед неизвестных реакций связей. Поэтому уравнениями Лагранжа 2-го рода широко пользуются для изучения движения голономных систем.

Выражение кинетической энергии в обобщенных координатах. Кинетическая энергия системы в декартовых координатах имеет вид

3N

Т = ^^т^.(11)

V = 1

Для преобразования этого выражения к обобщенным координатам подставим в равенство (11) выражения производных от декартовых координат по времени. Принимая во внимание зависимости (1), получим

*«=Ё4^+т <’=>.23">-

1 = 1

При этих значениях xv равенство (11) дает

или, возводя в квадрат и меняя порядок суммирования,

п 3Nп 3N/, 7=1 V=1v<=4v=iп 3Nп 3N/, 7=1 V=1v<=4v=iдх^6qtдх^6qt0xxdt0xxdt?i +?i +

п 3Nп 3N

/, 7=1 V=1v<=4v=i

п 3Nп 3N

/, 7=1 V=1v<=4v=i

дх^6qt

дх^6qt

0xxdt

0xxdt

?i +

?i +

3N

Введем обозначения

3NXT дх« dxvV=13NXT дх« dxvV=1»И<»И<3NSdxv dxv т^^Гv=I3NSdxv dxv т^^Гv=I(13)(13)

3N

XT дх« dxv

V=1

3N

XT дх« dxv

V=1

»И<

»И<

3N

Sdxv dxv т^^Г

v=I

3N

Sdxv dxv т^^Г

v=I

(13)

(13)

где aij — aji. Тогда

(14)(14)— у ^ ацЧЯ] + ^j btQi + ус — Т'г ~И ^1 Н~ ^о-

(14)

(14)

I, у = 1i = l

причем вообще

а- Ь, с|^, ?2qn; t,

и Т^, Tv и То соответственно будут функциями второй, первой и нулевой степени от скоростей. Следует заметить, что в выражении (14) коэффициенты а, Ь, с могут явно от времени не зависеть.

Таким образом, в общем случае кинетическая энергия системы представляет собой функцию второй степени от обобщенных скоростей q. Если система склерономна (связи явно от времени не зависят), то в правые части равенств (1) время явно не войдет и

^ = 0(v=l, 2%N\

Тогда bt — 0, с = 0(Z= 1, 2п).

и выражение кинетической энергии в этом случае приобретает вид

п

ai/Ii4j»(15)

где atj будут функциями только координат qv q„, .. ., qn. Таким образом, в случае склерономной системы кинетическая энергия есть однородная функция второй степени от обобщенных скоростей, или, иначе, квадратичная форма от этих скоростей.

Из равенств (14) или (15) видно, что левые части уравнений (10) представляют собой некоторые функции от qp qt, qp и, следовательно, уравнения Лагранжа 2-го рода действительно являются системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат qP Явный вид этих уравнений будет получен в п. 7.

Механическую систему с п степенями свободы, положение которой определяется п обобщенными координатами qx, q^, . . ., qn, можно, следуя идеям Г. Герца, рассматривать как одну точку в пространстве п измерений.

Тогда уравнения q\ = q\W q^q-A^?« = ?«(0 представляют собой закон движения этой «изображающей» точки или, если на время t смотреть как на параметр,—уравнение траектории этой точки в параметрической форме; эта траектория будет, очевидно, кривой в пространстве п измерений, и ее можно назвать траекторией системы. Каждая точка этой траектории соответствует конфигурации системы в данный момент времени, определяемой совокупностью значений координат qx, q^, . . ., qn.

IN

Если приписать «изображающей» точке массу М = 2 mv- т. е. v=l

массу, равную массе всей системы, то выражение кинетической энергии (15) можно преобразовать следующим образом. Согласно равенствам (13) злгзлг

п — X ™ дх^дху__dxv

44v oqt dq,44M dqi dq, '

V=1V=1

Тогда, полагая n

v=l*I, 7 = 1

получим n

7=2^ 2^ аи^Ч^"2МЫ .(15')

Выражение n ds^ 2 a'ijd4id4j

представляет собой фундаментальную метрическую форму, определяющую метрику рассматриваемого п- мерного пространства; ds является элементом дуги «траектории системы», т. е. траектории точки, изображающей систему в н-мерном пространстве.

Обобщенные силы. Из равенства (3) (см. п. 1) следует, что выражение элементарной работы действующих на систему активных сил имеет вид

По аналогии с выражением элементарной работы силы, действующей на точку с координатами хь х2, ха,

дЛ = X [бХ] + ^6^2 + А"збх3

величины Qt и называют обобщенными силами. Из равенства (16) видно, что обобщенные силы можно определить как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты и определяется соотношением

_ MJ

М *

Например, если q— угол, то Q имеет размерность момента силы.

Величины Qt могут вычисляться по формуле (4). Однако практически часто удобнее пользоваться другим приемом. Так как все bq между собой независимы, то для определения Qt можно сообщить системе такое виртуальное перемещение, при котором bqt =£ 0, а все остальные bq равны нулю. Подсчитав работу bAt всех сил на этом перемещении, мы, согласно равенству (16), будем иметь

дЛ,-^.(17)

Следовательно, коэффициент при bqt в выражении (17) и дает искомую обобщенную силу Qt.

Пример. Пусть тело совершает плоскопараллельное движение параллельно плоскости Оху под действием сил Fb F2, ..., Fn. Примем за обобщенные координаты декартовы координаты хс и ус центра масс тела и угол поворота ф вокруг оси Сг', перпендикулярной к плоскости Оху и проходящей через центр масс (^j = хс, q^ = ус, q^ = ф). Тогда, сообщая телу виртуальное перемещение, при котором координата Х^ получает приращение 6хс, найдем, что на этом перемещении элементарная работа

6Д = Г2 bxc и Qt = 2 fnx-

\ V /V

Аналогично найдем, что Q2 = 2 ^vy Сообщая теперь виртуальное переме- v

щение, при котором тело совершает поворот вокруг оси Cz" на угол дф, получим

6АЭ = ( 2 тотг' 6Ф и Оз = 2 тотг’ Fv\ V/V

Случай потенциальных сил. Если все действующие на механическую систему активные силы потенциальны, т. е. для них существует потенциальная функция U (х,, х2x3N; t), то

Учитывая, что ^v = q>v(i7i- ?2Чп* О- мы можем представить

U в виде U (дь q^, .... q„; f). Тогда по формуле (4) получим

3N3N

п V v ^v V dU дх^

—dqt ~ dxv dqt ’

V = 1v=l

ИЛИ

(18)(18)О

(18)

(18)

Qt ” dqt '

т. е. обобщенная сила в этом случае равна частной производной от силовой функции по соответствующей обобщенной координате.

Уравнения Лагранжа для системы, находящейся под действием потенциальных сил. В этом случае уравнения (10), если заменить в них Qt значениями (18), примут вид

d ( дТ\ дТ dU1 ох

— ——I= 2п).(19)

dt (dqt I dqt dqt

Учитывая, что U~U(qb q^qn, f), и, следовательно, -^-=0, dqt

можно уравнения (19) представить в иной форме, а именно

d d(T + U) 21£±П0>

dt dqtdqt

Полагая здесь

Т 4- U = L{q, q, t),(20)

окончательно получим

d i dL X dt \ dqt /d i dL X dt \ dqt /^=0 dqi^=0 dqi(Z = 1, 2n\ (21)(Z = 1, 2n\ (21)

d i dL X dt \ dqt /

d i dL X dt \ dqt /

^=0 dqi

^=0 dqi

(Z = 1, 2n\ (21)

(Z = 1, 2n\ (21)

Уравнения (21) являются уравнениями Лагранжа для голоном- ной системы, находящейся под действием потенциальных сил. Функция Т = Т -ф- U = Т— V, представляющая разность между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом (по Гельмгольцу). Эта разность, как и кинетическая энергия Т, является вообще функцией второй степени от скоростей, т. е.

L — ^2 + ^-1 ~Ь ^о- (22)

где Ц, и Lx являются соответственно функциями второй и первой степени от скоростей qb a Lo зависит только от координат qb

Из уравнений (21) видно, что движение системы вполне определяется заданием для нее некоторой функции L(q, q, t), которая вообще может и не определяться равенством (20). Если функция L определяется равенством (20), где U—U(q, t), т. е. имеет вид (22),

6 Н. Н. Бухгольп

то систему будем называть динамической. Если же L будет произвольной функцией от скоростей q, то систему называют лагранжевой системой.

Интеграл энергии. Уравнения Лагранжа дают первый интеграл, когда система находится под действием потенциальных сил и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Если действующие силы потенциальны, уравнения Лагранжа имеют вид (21). Умножим каждое, из этих уравнений на qt и сложим их. Получим

поэтому предыдущее равенство можно представить в виде

Пусть L от времени явно не зависит, т. е. L = L (д, q). Тогда

dL ■ . 6L •• dL =— oqt oq^ dt

и равенство (23) примет вид

(24)(24)

(24)

(24)

Отсюда имеем интеграл

(25)(25)

(25)

(25)

Рассмотрим отдельно следующие случаи.

Произвольная динамическая система. В этом случае

L = Ц -)- L} 4- Lo,(26)

где L^ и Lx являются, как было выше указано, соответственно функциями второй и первой степени относительно скоростей qb a Lq. зависит лишь от одних координат qt. По известной теореме Эйлера об однородных функциях

хд dL •

вследствие чего полученный интеграл уравнений движения сразу упрощается, а именно, подставляя в равенство (25) величины (26) и (27), получим

2/^2 -ф- ^1 — (^2 "4“ ^1 ^о) == COnSt,

ИЛИ

(28)(28)/^ — 7-0= const.

(28)

(28)

Полученное соотношение называется обобщенным интегралом энергии для динамической системы. Этот результат можно представить в ином виде. В рассматриваемом случае имеем

L=T + U.

Разлагая Т на части второй, первой и нулевой степени относительно скоростей, т. е. полагая, согласно равенству (14), Т = T^-j-T,-)-Т'д, найдем, что

Ц = Тг, LX = TX, L0 = Tq + U.

Тогда интеграл (28) принимает вид

712— Тй—U = const.(29)

Этот обобщенный интеграл энергии называют также интегралом Якоби, который впервые нашел его на примере относительного движения.

Итак, если система голономна, а действующие силы потенциальны, причем потенциальная функция явно не зависит от времени, и если кинетическая энергия системы также от времени явно не зависит (но система не обязательно склерономна), то для такой системы имеет место обобщенный интеграл энергии (29). Заметим, что соотношение (29) нельзя назвать физическим интегралом энергии, так как, хотя его левая часть и имеет размерность энергии, она не представляет полной энергии системы, поскольку разность Т2—То не есть кинетическая энергия системы. При этом величина Тъ являющаяся частью кинетической энергии системы и содержащая члены, линейно зависящие от скоростей, в интеграл (29) вообще не входит. Такие, не входящие в выражение кинетической энергии Т члены (когда Т явно от времени не зависит) называют гироскопическими членами.

Примечание. Пусть действующие силы потенциальны и Т = Т2 -|- + 7’1 + TQ, причем Т не зависит явно от времени. Тогда уравнениям (10), учитывая, что T0=T0(.q'), можно придать вид

(30)(30)(31)(31)d (дТ2\ дТ2 _ SU , дТ0 ~ dt\dq.) dq. dqt dq.

(30)

(30)

(31)

(31)

где

Qt =

Величины -^ - и Qi можно считать некоторыми обобщенными силами инер

ции, наличие которых позволяет рассматривать систему с кинетической анергией Тг как склерономную. Первые на этих сил, зависящие только от координат q, потенциальны и имеют силовую функцию Го, а вторые, т. е. Qi, зависят линейно от скоростей q и обладают тем свойством, что сумма их работ равна нулю, т. е.

(32)(32)2^=°-

(32)

(32)

В последнем легко убедиться, если учесть, что Л = 2^< и

dt \ ^1 /, d9j Qf d4t ^ ^

Силы Q„ зависящие от скоростей, сумма работ которых на истинных перемещениях системы равна нулю, носят название гироскопических сил (по Томсону и Тэту). В силу свойства (32) они и не входят в обобщенный интеграл энергии (29). Примером таких сил служат кориолисовы силы инерции (см. п. 6, пример 4).

Склерономная система. Для склерономной системы кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией от скорости, имеющей вид (15). Следовательно, в этом случае Т = Тг, а Т1 = То=О и интеграл (29) переходит в обычный физический интеграл энергии

Т\— U = const. (33) Следовательно, для голономной системы имеет место интеграл Энергии, если система склерономна, а действующие силы потенциальны, причем потенциальная функция явно от времени не зависит.

Лагранжева система. Пусть теперь L(q, q; t) есть произвольная функция скоростей. Полагая, что -^-=0, и повторяя в точности приведенные выше рассуждения, придем к равенству (24). Введем функцию

H* = -L^Y^Lqt, (34)

причем, очевидно, H* — H*(q, q; t). Тогда будем иметь

и /Г = const. (35) dt v '

Это соотношение также можно назвать обобщенным интегралом энергии для лагранжевой системы; для существования этого интеграла необходимо, чтобы было -^- = 0.

Примеры. При решении задач обычно пользуются уравнениями Лагранжа в виде (10). Для их составления, установив число степеней свободы системы, выбирают обобщенные координаты q и выражает

Qr-Qr-<а)<а)Qx = Мг.Qx = Мг.

Qr-

Qr-

<а)

<а)

Qx = Мг.

Qx = Мг.

кинетическую энергию системы Т через эти координаты и обобщенные скорости q в* виде (14) или (15). Имея выражение Т (q, q\ легко составить левые части уравнений (10). Входящие в правые части обобщенные силы обычно вычисляют так, как это показано в п. 3. Рассмотрим примеры.

Составим, пользуясь уравнениями Лагранжа, дифференциальное уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г (см. рис. 32 на стр. 63). В данном случае тело имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол <р (У1 = ф). Тогда урав

нение Лагранжа примет вид d (дТ\дТ dt ] Ар

Кинетическая энергия тела

т = ^.*

и, следовательно, дТ , • дТ _ —— = J = О,

АрАр

где Jz— момент инерции тела относительно оси вращения z.

Сообщая телу виртуальное перемещение—поворот на угол бф, найдем, что

6Л = (2 momz F^ бф = Мг бф;

следовательно,

Подставляя все найденные величины в уравнение (а), получим

Лф = Mz.(б).

Результат совпадает с найденным выше [см. § 5, п. 4, пример 3].

Через блок перекинута нить с двумя грузами А и В массой тх и тг иа концах (рис. 34). Пренебрегая массой нити и блока, найдем движение системы, считая, что блок подвешен на вертикальной пружине с жесткостью с (такая схема учитывает влияние упругих деформаций оси блока). Движение начинается из состояния покоя.

При условиях задачи грузы будут перемещаться по вертикали и положение системы определяется двумя параметрами х и у (qx = x, qi = yY где х— смещение оси блока от положения статического равновесия, у— расстояние груза А от блока.

Выражение кинетической энергии системы через х и у имеет, очевидно, вид

г = ^- (^ +у)2 + ^ (Зс— у)2.

Отсюда

— ==тх (х + у) + /и2 (х — у), — ^=тх (х-^-у) — т2 tx — у);

охду

дТ _ дТ

дх ду

Теперь, сообщая системе виртуальное перемещение, при котором х изменяется на бх, а у = const, и учитывая, что х отсчитывается от статического положения, в котором сила тяжести (Mj -|- м2) g уравновешена упругой силой пружины, будем иметь

0Л, = — сх-bx и Qi = — сх.

Сообщая затем системе другое независимое от первого виртуальное перемещение, при котором у изменяется на бу, а х = const, получим, что на этом перемещении

6Л2=(м^ —M2g)6y и Q2 = (M[ — m^g.

Составляя теперь уравнения Лагранжа

d!дТ\дТ

~77 Т7")

dt\ох Iох

d/дТ\дТ

dtуду /ду 2’

получим

(т,4-м2)х+(м1—м2)у = —сх,(а)

(М! — m2)x4-(M!4-m2)y = (m1 — m^ g.(б)

Исключив из этой системы у, найдем для определения х (ft уравнение х + к2х = — а,(в)

где обозначено

_ (м] + м2)с ._ (mx — m2yg

4miM2 ’4miM2 ’'

Решение уравнения (в) при начальных данных t = 0, х = О, х = О, дает

х = — -р- (1 — cos kty(д)

Ось блока совершает гармонические колебания с частотой А и амплитудой к2 тх 4- т2 с '

Из решения примера 1 в § 5, п. 4 (см. рис. 30) видно, что эта амплитуда пропорциональна разности между статическим NCT и динамическим N^ давлением на жесткую ось. При этом, так как NR < N„, то естественно, что из начального положения ось начинает движение вверх, на что указывает знак минус в уравиеиии (д).

Интегрируя теперь дважды уравнение (б) и отсчитывая у от начального положения, получим

(тх + м2) у = (М! — м2)(m _ щ2)

Заменяя здесь х его значением из уравнения (д), найдем окончательно

ту — от2 gt2 mv-\-m2 2ту — от2 gt2 mv-\-m2 2tn — М[ а т-\-т2 к2tn — М[ а т-\-т2 к2(1 — cos kty(1 — cos kty(е)(е)

ту — от2 gt2 mv-\-m2 2

ту — от2 gt2 mv-\-m2 2

tn — М[ а т-\-т2 к2

tn — М[ а т-\-т2 к2

(1 — cos kty

(1 — cos kty

(е)

(е)

Равенство (е) определяет закон удаления груза А от оси блока; для абсолютного движения груза А будем, очевидно, иметь уд = у + х, а для груза ,В

соответственно УВ = У— х, где ув отсчитывается от начального положения груза вверх.

Поскольку все действующие на систему силы потенциальны, то для нее можно составить функцию Лагранжа

L = Т + U = -^- ^х + у)2 + -у (х — у)^- + (тх — м2) gy + const.

Тогда, используя уравнения (21), придем к тем же результатам, т. е. к уравнениям (а) и (б).

сом р (рис. 35). Цилиндр находится иа шероховатой горизонтальной плосом р (рис. 35). Цилиндр находится иа шероховатой горизонтальной плоСоставить дифференциальные уравнения движения и найти закон малых колебаний системы, состоящей из сплошного однородного цилиндра весом Р и шарнирно прикрепленного к его оси стержня АВ длиною / и ве-

сом р (рис. 35). Цилиндр находится иа шероховатой горизонтальной пло

сом р (рис. 35). Цилиндр находится иа шероховатой горизонтальной пло

скости, вдоль которой может катиться без

скольжения.

Система имеет, очевидно, две степени свободы, и ее положение определяется параметрами х и ф (qx = х — расстояние цилиндра от его начального положения, ^2 = ф — отклонение стержня от вертикали).

Вычислим сначала кинетическую энергию Тц цилиндра и Гст стержня. По теореме Кёнига

„1 Р 2 , 1 PR2 2

(а)(а)2 g 2 2g Юц’

(а)

(а)

гст — 2 g с + 2 12g ст’

где множители перед Год и го^ являются соответственно моментами инерции цилиндра и стержня относительно осей, проходящих через точки А и С перпендикулярно к плоскости рис. 35.

Выражая все скорости через х и ф и учитывая, что ®с = ®отн + ®пер> где численно t-0T£j = 0,5/ф, vnep = гд, имеем

Уд=-*. ®ц = -^-’ юст=ф, vc = -^- + .x24-/фхсозф.

В результате окончательно получим

Т^Тц+Гст = 4У*2+ 57 (^2+ ^'рссбф + у Ф2)-

Отсюда

дТ ЗР + 2р д"х 2gдТ ЗР + 2р д"х 2gpl •-— ф cos ф;^gpl •-— ф cos ф;^gдТ дхдТ дх0;0;дТ дфдТ дфр Н •, Р— — х cos ф -4ф g \23 Фр Н •, Р— — х cos ф -4ф g \23 ФдТдфдТдф-^- lx® sin ф. 2д-^- lx® sin ф. 2д

дТ ЗР + 2р д"х 2g

дТ ЗР + 2р д"х 2g

pl •

-— ф cos ф;

^g

pl •

-— ф cos ф;

^g

дТ дх

дТ дх

0;

0;

дТ дф

дТ дф

р Н •, Р

— — х cos ф -4ф g \23 Ф

р Н •, Р

— — х cos ф -4ф g \23 Ф

дТ

дф

дТ

дф

-^- lx® sin ф. 2д

-^- lx® sin ф. 2д

Для вычисления обобщенных сил сообщаем сначала системе перемещение,, при котором х получает приращение Ьх, а ф = const, получаем Mt = 0 иг следовательно, Q1==0. Сообщая теперь другое, независимое от первого-

перемещение, при котором ф получает приращение бф, а х = const, найдем ■6Л2 = — р — sin ф 6ф; следовательно, Q2 = — Р-^этф'.

Составляя теперь уравнения Лагранжа, получим после очевидных сокращений

-^ [(ЗР 4" 2р1 х 4* р<ф cos ф] = 0, ...

tZ /.2 • \•(а)

-^- (х cos ф 4" у /ф 14" sin ф = — g sin ф.

Таковы искомые дифференциальные уравнения движения системы. Чтобы найти закон малых колебаний, примем, считая угол ф малым, sin ф »ф, созфяа1 и пренебрежем членом хфф, содержащим произведения малых величин. Тогда окончательно получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы:

(ЗР4-2р) х4-р<ф = о, д:4--д/ф4-ет = о.(б)

Исключая из этих равенств х, найдем для определения ф уравнение

гдегдеФ 4* &2ф = О,Ф 4* &2ф = О,(в)(в), . 3(ЗР4-2р) g 6Р4-Р' i *, . 3(ЗР4-2р) g 6Р4-Р' i *(г)(г)

где

где

Ф 4* &2ф = О,

Ф 4* &2ф = О,

(в)

(в)

, . 3(ЗР4-2р) g 6Р4-Р' i *

, . 3(ЗР4-2р) g 6Р4-Р' i *

(г)

(г)

Интегрируя уравнение (в) и полагая при t = 0 ф = ф0, ф = 0, получим

ф = Фо cos kt.(д)

После этого, интегрируя первое из уравнений (б) и полагая при t = О х = 0, х = 0, найдем

■* = ЗР ^ 2У ^о (1 — cos kt\ (е)

Уравнения (в) и (е) определяют закон малых колебаний системы, частота которых равна к. Такой сравнительно простой результат для системы с двумя степенями свободы получился здесь благодаря тому, что Qi = 0.

В общем же случае при Qi ^= 0 и Q2 =£ 0 колебания системы с двумя степенями свободы выглядят значительно сложнее (см. гл. III).

Рассмотрим материальную точку с массой т, которая движется в потенциальном силовом поле с потенциальной функцией U (х, у, г) относительно подвижной системы отсчета хуг, вращающейся с постоянной угловой скоростью го вокруг оси г (рис. 36); вращение происходит по отношению к инерциальной системе отсчета X\yvzt.

Выберем в качестве обобщенных координат координаты точки х, у, z в подвижной системе отсчета. Для составления уравнений Лагранжа вычислим проекции абсолютной скорости точки на подвижные оси (напоминаем, что в уравнениях Лагранжа Т есть кинетическая энергия абсолютного движения). Имеем

vx = х — гоу; vy = у 4* ю-*> vz = 2-

§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ89-

Тогда кинетическая энергия точки будет

Т = -^-т {(х — иу)24-(у 4-tox)24-i2},

ИЛИ

Т = ^ m (х2 4- у2 4- г2) 4- то (ху — ух) 4- ^ те2 (х2 4- у2).(а>

Отсюда

дТх дТ , • , , .

—- = m (х — озу), = m (my 4" о2-*);

дхдх

дТ . . ч дТ . •, ч

—— =т(у4-ох), = — m (®х— ®2у);

дуду

дТ . дТ п

dzdz

Теперь, составляя соответствующие уравнения Лагранжа, будем иметь

т(х — 2(о у — <о2х) = -^-;

т(у'4-2о)х— (о2у) = -^-;т(у'4-2о)х— (о2у) = -^-;(6>(6>mzmzdUdz 1dUdz 1

т(у'4-2о)х— (о2у) = -^-;

т(у'4-2о)х— (о2у) = -^-;

(6>

(6>

mz

mz

dU

dz 1

dU

dz 1

Мы получили дифференциальные уравнения относительного движения точки. Как видим, при применении метода Лагранжа эти уравнения составляются так же, как и уравнения абсолютного движения; все определяется лишь выбором соответствующих обобщенных координат.

Первые два из уравнения (б) можно представить в виде

тх =4- 2m<oy 4- т«2х;

-dU.^

ту =4- (—2ш(ох) 4- ш»2у.

Легко видеть, что последние члены в правых частях уравнений (в) представляют собой проекции переносной (центробежной) силы инерции, а предпоследние— кориолисовой силы инерции. Таким образом, результат совпадает с тем, который дает метод, изложенный в части I, § 39.

В рассматриваемом примере уравнения, дающие связь декартовых координат точки в основной системе отсчета, т. е. xh yn zt, с обобщенными координатами х, у, z, имеют вид

Xj = X COS totySinto/, У! = X Sin tot 4" У cos tot, Z\=Z

и содержат явно время. Следовательно, система не является склерономной (в силу условий, налагаемых движением системы отсчета хуг, к которой отнесены обобщенные координаты); поэтому здесь, в отличие от предыдущих примеров, кинетическая энергия ие является однородной квадратичной

формой от скоростей и, как видно из равенства (а), имеет вид Т = Т2 + ^i 4* Л>> где

Т2 = ^т С*2 + У2 + z2); Тх = тю (ху — ух);

Л^у тю2 (х24-у2).

Но поскольку оказалось, что Т, как и U, явно от времени не зависят, .здесь имеет место обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби)

т2-тй—и = н

или

-i-m (х2-|-у2 + ^2)—g-»ио2 (х2-|-у2)—U = h.(г)

В этом равенстве первый член можно рассматривать как кинетическую энергию точки в относительном движении, а второй — как потенциал переносной (центробежной) силы инерции, который накладывается на поле потенциала U. Гироскопический член Г1 = »»о(лу — ух) в выражение интеграла (г) не входит.

В соответствии с равенством (31) гироскопическая сила должна иметь проекции:

х dt дх дх J ’ у [ dt ду ду J ‘

Следовательно, Qx = 2щ<оу; аналогично Qy = — 2ти<ох, т. е. гироскопической силой здесь является кориолисова сила инерции [см. равенство (в)]. Ее работа dA = Qxdx-Y Qy dy = 2/»» (у dx — x dy) = 2mco(yx —xy) dt = 0

(см. также ч. I, § 39, n. 4). По этой причине и отсутствует гироскопический член в интеграле (г).

7. Уравнения движения для склерономной системы, разрешенные относительно вторых производных. Для склерономной системы кинетическая энергия будет однородной квадратичной формой скоростей, а уравнениями движения будут уравнения (10), т. е.

=(6=1,2п),(36)

dt ( dqh / dqk

где, по предположению, 1• •1• •

Л 2^иЯЙк1

jI, к

дТдЯкдТдЯкS- d I дТ \" 1 V daik • •ST 1 ^ дац . . dqk ~ "2 dqft ^i"S- d I дТ \" 1 V daik • •ST 1 ^ дац . . dqk ~ "2 dqft ^i"Очевидно, что

дТ

дЯк

дТ

дЯк

S- d I дТ \" 1 V daik • •

ST 1 ^ дац . . dqk ~ "2 dqft ^i"

S- d I дТ \" 1 V daik • •

ST 1 ^ дац . . dqk ~ "2 dqft ^i"

§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 91 Подставляя эти выражения в уравнения (36), имеем

•■ VT d^ik 1 •1 VI да1} * ■

24О^ + "d^7qiqi—l "dH7qiqi = Qi> (^=1,2п). f=iI, /=11I, j=i

(37)

В эти уравнения вторые производные входят линейно, и нетрудно- разрешить эту систему п уравнений относительно qv q2, . .., qn.

Более изящное решение получим, введя особый символ, так называемый символ Кристоффеля. Разбивая второй член левой части в уравнениях (37) на два и переставляя в последнем из них индексы I и у", будем иметь

дй1ъ • •1 дй;ъ • ■1 дсЦь - •

X ~dq7 qiqi ~ У ^ "5^7 qiqi + 2" ^"dqTqiqi"’

it, i6 i

и уравнения (37) примут вид

S

- ri 1 / datkда$кдац \ . .s

a«^' + 2j 2 V dqjdqtdqk]qiqi~^k (A ~ 1 • 2

L- i(38)

Введя теперь символ Кристоффеля

p^fe dajhday\_ p Л

\ dqj ' dq,dqk /L A J ’' '

получим уравнения движения (38) в следующей форме: пп

^aikqi+ ^ ['2]^9у = <?6(А=1, 2, .п).(40)

г=1I, j = i

Обозначим через D= 11^11 дискриминант квадратичной формы 2 а1кЯ1Чк*, минор D, соответствующий элементу аи, обозначим че- I, к рез А1к; тогда

будет элементом определителя, взаимного с D, причем будут иметь место два следующих соотношения:

S«tz^ftZ = O (если i^l\

S^ztiti^1 (если Z = Z).

к

Умножим теперь обе части уравнений (40) на ам и просуммируем по к; получим п пп пл

6 = 1 t = li, j=x 6=16 = 1

При I = I член первой двойной суммы будет qt У, а^а^ = qt; если же 1 ф I, то члены первой двойной суммы обращаются в нуль. Вводя теперь новый символ, так называемый символ Кристоффеля 2-го рода,

6=1 получим окончательно пп

^+ 2 {' /У)^у = 2"йА (/==1, 2п^ (42)

Z, У = 1А-1

Равенства (42) выражают .уравнения Лагранжа в виде системы ■обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с искомыми функциями q, разрешенных относительно вторых производных.

Если мы предположим, что движущаяся система свободна от действия активных сил, т. е. Qft = 0 (А=1, 2я), и будем рас

сматривать систему как точку в n-мерном пространстве (см. п. 2 этого параграфа), то изображающая систему точка будет двигаться по геодезической линии данного «-мерного пространства; следовательно, система уравнений

ж+717т = 0 <'=сг") <«> lJ = X

•будет представлять собой дифференциальные уравнения геодезических линий «-мерного пространства в параметрической форме, причем t будет параметром.

Игнорирование координат. Функция Рауса. Как известно •(см. ч. I, § 40, п. 7), циклической координатой называется координата, входящая в лагранжеву функцию Ид, q; t) только своей производной; явно, следовательно, эта координата в L не содержится. Раус показал, что в таком случае число уравнений движения можно уменьшить на число циклических координат.

Пусть, для определенности, будут циклическими первые I координат, т. е. qx, q^qt. где I <7 п; производные qv q2qt от циклических координат будем называть циклическими скоростями; тогда

L = L(ql+1q„; qv q2. qb ql+1, ...,qn; t\

■§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 93 Для циклических координат qxqv очевидно, имеем

4^ = 0= 1, 20,

и поэтому уравнения движения для этих координат примут вид

-£/4L) = 0(А=1, 2iy(44;

dt\dqk)ХVV '

Интегрируя эти / уравнений, находим I первых интегралов уравнений движения:

~ = ск (fe=l,2/),(45)

где cb сг, ..., ct суть произвольные постоянные; эти интегралы будем называть циклическими интегралами. Выразив из этих равенств производные циклических координат, т. е. qv q,qt, в функции остальных нециклических координат, их производных и произвольных постоянных сх, с2, .... сх и подставив найденные функции вместо qx, q2, .... qt в оставшиеся п— I уравнений движения, получим, опять лагранжеву систему уравнений движения, но уже с п—/ неизвестными. Это и выполнил Раус (Routh); примененный им способ называется способом исключения или игнорирования координат.

Введем новую функцию, играющую ту же роль, что и функция Лагранжа. Эта функция, называемая функцией Рауса, имеет вид

i

R = L-^^-qk.(46)

В функции Рауса производные циклических координат qxqt заменены указанным выше способом, и потому

R = R(ql+xqn\ ql+v ..., qn; cx, c2, . ... c^, ty

Варьируя правые и левые части равенства (46), находим

пп.Iп

«Sh5»-.Sh5»-S,"'-.St,5»-

InIl

+S^»«.+ S^^-Sd(^H--S-

tit5»- .fit5»-“

В правой части полученного равенства второй и последний члены сокращаются. Тогда, приравнивая в обеих частях этого равенства

множители при одинаковых вариациях и учитывая при этом, что, согласно равенствам (45),—6сй, находим

\dqkl

dL _ dR } дЯь ~ dqk ’ I dL _ dR ? (k — l-Vln), dqk d9k ’ J^

2

нdL dL

Подставляя найденные выражения для и —— в уравнения дви-

6qk dqk

жения (21), получим

= 0(^+1, .... п).(48)

dt \dqk) dqk

Таким образом, мы действительно получаем п — I уравнений того же лагранжева вида, но в которых роль функции Лагранжа играет функция Рауса; эти уравнения содержат только нециклические координаты и их производные.

Зная функцию Рауса, легко определить и циклические координаты, так как последнее из равенств (47) дает

Чк= —Чк= —dR д^кdR д^к(А = 1, 2, . . ., Z).(А = 1, 2, . . ., Z).(49)(49)

Чк= —

Чк= —

dR д^к

dR д^к

(А = 1, 2, . . ., Z).

(А = 1, 2, . . ., Z).

(49)

(49)

В заключение отметим, что если уравнения (48) дают обобщенныйВ заключение отметим, что если уравнения (48) дают обобщенныйR явно от времени не зависит, то интеграл энергии (см. п. 5):R явно от времени не зависит, то интеграл энергии (см. п. 5):

В заключение отметим, что если уравнения (48) дают обобщенный

В заключение отметим, что если уравнения (48) дают обобщенный

R явно от времени не зависит, то интеграл энергии (см. п. 5):

R явно от времени не зависит, то интеграл энергии (см. п. 5):

ft=i+ift=i+iок •.——= const.dqkок •.——= const.dqk

ft=i+i

ft=i+i

ок •.

——= const.

dqk

ок •.

——= const.

dqk

Если же, кроме того, R есть функция второй степени от нециклических скоростей qm, 4i+2> •■•> ?«> т- е- если

/? = /?2-b/?l +Ло-

то предыдущий интеграл обратится в интеграл Якоби

Лг — Ло = const;

члены, содержащиеся в Rv будут в этом случае гироскопическими членами функции R.

Пример. В задачах, рассмотренных выше (п. 6), все или часть координат были циклическими, чем мы непосредственно пользовались

при интегрировании сравнительно простых уравнений, не вводя функции Рауса. Покажем на примере, как производится игнорирование циклических координат методом Рауса.

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, определяемую координатами qx и 92; пусть кинетическая энергия системы равна

191,1'2

2 й + ^ + 2

а потенциальнаяа потенциальнаяV = c-VeqX,V = c-VeqX,

а потенциальная

а потенциальная

V = c-VeqX,

V = c-VeqX,

причем а, Ь, с, е суть постоянные. Функция L выразится так:

L =L =T — VT — V19,2 «4-6^19,2 «4-6^4-1 у2_ с_ eq^4-1 у2_ с_ eq^

L =

L =

T — V

T — V

19,

2 «4-6^

19,

2 «4-6^

4-1 у2_ с_ eq^

4-1 у2_ с_ eq^

Координата qx будет циклической. Циклический интеграл получим в виде

откудаоткуда^ _ дх _ ддх а 4- bq^

откуда

откуда

qY = a(a-Vbq^,

где а есть постоянная, определяемая начальными условиями. Составляем функцию R; имеем

D , dL •191, 1 -22

/?==/,_у1==_—y + -^q^ — c — eq^

dqx2 д4-^2

Исключая циклическую скорость qx, получим

^= у 92 — с~ «9а ~ у «2

Задача сводится к интегрированию одного уравнения d dR dR _Q dt dq2 dq2

или,

92 + (2г 4- 6a2) ?2 = О, откуда

92 = ^ sin (/2г 4" 6<у9 + 6)>

где Л ие— постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Циклическая координата qx получится из уравнения

91 J ’1г Л==а / ^a^-bq^dt.

Подставляя сюда вместо 92 найденное выражение и выполняя интегрирование найдем 91.

Уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах с множителями Лагранжа (уравнения Рауса). Пусть на систему материальных точек наложено к голономных связей, уравнения которых имеют вид

/х(.г, 9 = 0(х=1, 2к).(50)

и г неголономных линейных связей, выраженных уравнениями вида 3N

2 a dxv-V-apdt = 0<р=1. 2, . .., г).(50')

V = 1

Учитывая сначала только голономные связи и вводя n = 3N— к обобщенных координат q^ мы, рассуждая так же, как и в п. 1, придем к уравнению (9) п

V п Г d / дТ \ дТ 1 1 Л л

X Qi— — Нт- —— б^ = 0-<51)

t = 1 *■ L \ dqt У dqt J }

Однако теперь в данном равенстве вследствие условий (50') вариации bqt не независимы, а потому коэффициенты при вариациях bqt вообще не равны нулю. Для получения уравнений движения в этом случае применим способ неопределенных множителей (см. § 7),

Так как xv = %(<?, 9» то

п

dx. = ^dt+^l^-dql (v=l, 23N).

t = l

Подставляя эти выражения dx^ в равенства (50'), преобразуем уравнения неголономных связей к обобщенным координатам; имеем

3Nп3N

IXS^^ + SXv^ + V^0(р= 1 2г),

v=lZ = 1'v=I

или, меняя порядок суммирования в двойной сумме,

п / 3N\/3N\

I 2 °pv gqi I d4i +1 2 °pv at + ap) ^ ®'

i=i \v=i/4=1/

Вводя обозначения

3N3N

^j apv~a^7 — ^pi’^йру~5^ + °р = ^р’

v=lv=l

получим уравнения неголономных связей в обобщенных координатах в виде

п

^Apldqi + Apdt^ (р=1, 2г).(52)

Условия, налагаемые этими связями на изохронные вариации координат, будут

п ^ApiMi = 0(р=1, 2г).(52')

z=i

Умножим теперь обе части равенств (52') на Хр и просуммируем по р; получим т пп / т \

2 Ч 2 Api Mi = 2 2 ЧЧ* мг = о. (53) р=1 1 = 1 рZ = l\p=l

Сложив почленно равенство (53) с уравнением (51), найдем и zт

V п / дТ \ , дТ . V 1 л * л z=i 1dqt ' d4t p=l j

В этом равенстве всего п вариаций М\> ■ • • • ^Чп» из них> в силУ условий (50'), г зависимых; но и число неопределенных множителей X тоже равно г. Тогда, применяя обычные при способе неопределенных множителей рассуждения, получим п уравнений движения системы в виде

Г

d { дТ \ дТ, V А Л7,Ч/САХ

— -г— = Qi + 2ЧЧ*^—^ 21п)-^4)

di \ dqt ) dqtр р

Присоединяя к этим уравнениям уравнения связей (52), будем иметь полную систему п —}—г уравнений с п + r неизвестными функциями qv q2, .. ., qn и Х^, Х2Хг. Заметим, что идея обобщенных координат по самому смыслу предполагает, что и их вариации независимы, чего нет в рассмотренном методе. Этот метод, предложенный Раусом, является комбинацией Лагранжевых методов обобщенных координат и неопределенных множителей. Поэтому в уравнения (54) входят еще множители Хр, т. е. реакции связей, чем утрачивается одно из важных преимуществ уравнений Лагранжа 2-го рода.

Уравнения Аппеля. Аппель в 1899 г. нашел уравнения, которые по типу своему близко подходят к уравнениям Лагранжа 2-го рода и применимы к неголономным системам (а следовательно, и к голономным, которые являются частным случаем неголономных). Выведем эти уравнения из основного уравнения динамики Даламбера — Лагранжа.

Пусть имеем систему N материальных точек, положение которой определяется п обобщенными координатами qv q^qn; тогда xv = cpv (q; f) и, следовательно,

nn

dx^=^^dq‘+Sfdt-s^fe6^ (v=1-23N)- <55>

1=1‘Z=1

7 H. H. Бухгольц

98 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II Пусть, далее, на систему наложены неголономные связи, уравнения которых в обобщенных координатах имеют вид

п

^a^dqt-Vapdt^Q (р = 1, 2г).(56)

Эти связи, как известно, налагают на вариации координат условия п

^a^bq^O (р= 1, 2г).(56')

i = l

Таким образом, п дифференциалов dqv ..., dqn, а также и вариаций bqx bq^, .. ., bqn связаны г условиями (56) и (56'); поэтому число независимых дифференциалов и вариаций (а следовательно, и число степеней свободы системы) будет равно п— г (см. § 1, п. 2).

Посредством равенств (56) и (56') исключим из уравнений (55) г зависимых дифференциалов и вариаций; получим, обозначая соответствующие коэффициенты через Лv^ и Л¥

dxv = 2 A^tdqt-V- Axdt, bxs=^Avibqt (v=l, 23N), (57)

причем здесь дифференциалы и вариации будут уже независимы.

Возьмем уравнение Даламбера — Лагранжа

ЗА!,

5 (^v — rnvxv)6xv = О v=l

и вставим в него выражения вариаций 6xv из равенств (57); получим n-r 3Nп-т 3N

S 2 m^xvAvi bq^^ 2 XvAvibqx.(58)

= 1 v=li=I v = l

В правой части уравнения (58) стоит элементарная работа активных сил, которую, введя обозначения

3N

^XvAvi=Q'i (/ = 1, 2, . . ., п — г),(59)

V=I

можно представить в виде n-r З/Vп-г

5 ^X^tbql = ^iQ'lbql.(60)

1=1 V=11=1

Величины Q't являются здесь обобщенными силами для независимых вариаций обобщенных координат и число их равно п — г, т. е. меньше числа обобщенных координат п [в отличие от обобщенных сил Qt, входящих в выражение (16), которые вычисляются для всех вариаций координат и число которых равно п].

Преобразуем теперь левую часть уравнения (58). Разделив первую группу уравнений (57) на dt, получим п — т

^=5^ + Л (v=l, 232V);

MvdtMvdtпродифференцировав это равенство по времени, найдем n-fп-r ппп-г

Mvdt

Mvdt

Z = 1Z = 1 / = 15i=l1 Z = 1

(v=l, 232V).

Из полученного равенства имеем

dqt ’dqt ’^vZ -

dqt ’

dqt ’

тогда левую часть уравнения (58) можно представить в виде

п-r 3Nп-r 3N•• дхм к dq•• дхм к dq3NS=4^, v —13NS=4^, v —1Введем функциюВведем функцию(61)(61)

п-r 3N

п-r 3N

•• дхм к dq

•• дхм к dq

3N

S=4^, v —1

3N

S=4^, v —1

Введем функцию

Введем функцию

(61)

(61)

которая по аналогии с кинетической энергией называется энергией ускорений. Тогда, очевидно,

3N3Nv —1v —1dx\ dS ^ ~ dq.dx\ dS ^ ~ dq.(2=1, 2n — r)(2=1, 2n — r)

3N

3N

v —1

v —1

dx\ dS ^ ~ dq.

dx\ dS ^ ~ dq.

(2=1, 2n — r)

(2=1, 2n — r)

и уравнение (58) преобразуется к виду

откуда, так как вариации 6^z здесь независимы, имеем

4?- = Qz' (2=1,2п — г).(62)

ддг

Уравнения (62) и представляют собой уравнения Аппеля; они, как и уравнения Лагранжа, образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, число которых равно п — г, т. е. числу степеней свободы системы (а не числу п обобщенных координат).

Для получения уравнений (62) надо составить выражение энергии ускорения 5 (61), выразив в нем все ускорения через координаты q^ <?2Чп> а затем посредством уравнений неголономных связей (56) исключить из 5 вторые производные тех из координат q, которые в силу уравнений (56) являются зависимыми (при всех этих расчетах слагаемые, не содержащие q, могут, очевидно, не вычисляться). Для нахождения Q'. составляется выражение элементарной работы действующих сил в виде (16), т. е.

6Л —<21 б^] + (?2 ^2~Н "VQn^Qtv

и из этого выражения посредством уравнений (56'), выражающих условия, налагаемые на вариации координат дифференциальными связями, исключаются вариации зависимых координат; тогда коэффициенты при вариациях п — г независимых координат, дадут величины Q', Q'Q' После этого составляются уравнения (62), которые вместе с уравнениями дифференциальных связей (56) дают систему п уравнений для определения п функций qv q^qn.

Заметим, что для энергии ускорений 5 имеет место теорема, аналогичная теореме Кёнига для кинетической энергии (см. § 2, п. 6). Применяя те же обозначения, что и в § 2, имеем

з^

V=1

Последний член правой части равен нулю, так как

3Nо ,3NЗДГ

S

d Г d VV 'л

v = lv=i

Следовательно, ЗАГ

s=4 wc+45>(вз)

где w^ есть ускорение в движении системы относительно центра масс.

Уравнением (63) бывает удобно пользоваться для вычисления энергии ускорений твердых тел.

Пример. Рассмотрим движение вдоль наклонной плоскости саней, (рис. 37, а), пренебрегая трением. Система является неголономной, если считать, что сани не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к полозьям.

Положение саней в плоскости движения Оху определяется тремя координатами, в качестве которых выберем декартовы координаты х, у центра масс С саней и угол ф, который полозья образуют с линией наибольшего ската (рис. 37, 6), т. е. примем qx = х, q2 = у, qa = ф.

Рис. 37.

В силу указанного выше условия вектор скорости ®с центра масс саней всегда направлен параллельно полозьям, что налагает на его проекции х, у условие y = xtgф или

xtgv— у = 0.(а)

Это уравнение неголономной связи вида (52) или (56).

На сани в плоскости движения действует составляющая силы тяжести mgt (gi~g sin а), параллельная оси х; кроме того, для уяснения всех особенностей метода допустим еще, что к саням приложена в центре масс С постоянная сила F = та, параллельная оси у (на рисунке сила F не показана).

Уравнения с множителями. Составим сначала уравнения движения саней, пользуясь уравнениями (54) с множителями Лр. Кинетическая энергия системы по теореме Кенига будет

T = !T^Jr^Jr^JCz^'<б>

где JCz— момент инерции саней относительно оси, проходящей через центр С перпендикулярно к плоскости ху.

Выражение элементарной работы действующих сил имеет внд

6Л = mgx 6х 4- та бу;(в)

следовательно, Q[ = mgu Q2 = та, Q3 = 0.

Уравнение (а) накладывает на вариации координат условие

tg ф ■ бх — бу = 0.(г)

Сравнивая это выражение с равенством (52'), заключаем, что в нашем случае йц = tg<p; Л]2 = —1; А)3 = 0 и уравнения (54) принимают вид

тх = mgv + X tg<р,my = та — X,

Jc^=Q'

(д)(д)Присоединяя сюда уравнение связи (а), получаем четыре уравнения для определения четырех функций х, у, ф, X.

(д)

(д)

Для решения системы исключаем сначала из первых двух уравнений системы (д) множитель X; сокращая одновременно на т, получаем

^ + У tgф = ^l+atgф.(е)

Отсюда в свою очередь с помощью уравнения (а) исключаем вторую производную от зависимой координаты у. Дифференцируя равенство (а), имеем

^ф + хф^-;. (1к)

Подставляя это значение у в равенство (е), получаем

X(l+tg= ф) +^ф —^^-= ,grl 4-Я tg ф.

Окончательно задача сводится к интегрированию системы уравнений х+ Лф tg q> = gt cos ф + a sin ф cos ф, )

..}(з>

2 \ cos2ф2 \ cos2фS2+‘ cos2 ф у 21S2+‘ cos2 ф у 21(и)(и)Ф = 0.J

2 \ cos2ф

2 \ cos2ф

S2+

‘ cos2 ф у 21

S2+

‘ cos2 ф у 21

(и)

(и)

где многоточие указывает на невыписанные члены, не содержащие х илн ф. Для нахождения Qz обратимся к выражению элементарной работы (в).

Входящие туда вариации 6х, бу связаны в силу уравнения (а) условиемtg ф бх — бу = 0, откуда бу = tg ф бх.

Подставляя это значение бу в равенство (в), получим 6Л = Vm8v + та tg ф) бх + 0 • бф.

§ 8] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 103 Следовательно,

Q'w = (m£i + a tg <р), Q^ = 0.(к)

Составляя теперь с помощью функции (и) уравнения

51-о'dx~Qw* дф

найдем

т(—« (Д1+<ztgq>); У-,ф = О.

\ COS2ф 1 т COS2 ф)& сгт

В результате сразу получаем систему (з).

Интегрирование уравнений движения. Проинтегрируем теперь дифференциальные уравнения движения, считая, что при/ = 0 х = 0, у = О, ф = 0, х = v0, ф = <в0 [величина у0 не может быть задаваема, так как она связана с х0 соотношением (а)]. Кроме того, будем считать, что на сани действует только сила тяжести, т. е. положим а = 0 (сила F = та была введена лишь с целью отметить все особенности вычисления величин Q,).

Тогда из второго уравнения системы (з) получаем ф = <в0/ и первое уравнение принимает вид

X 4" <йо< tg (Во/ = £] COS2 (Во/.

Это линейное уравнение легко интегрируется, например, подстановкой x = pq и при указанных выше начальных условиях дает

х = — sin (Bq/ cos <в0/ + v0 cos (Bq/ ;

(Bq

тогда из уравнения (а) имеем

у = — sin2 (Во^ + v» sin <в0/.

Интегрируя полученные уравнения еще раз и учитывая начальные условия, найдем окончательно

(л)(л)х = sin2 (Вд/ + — sin <в0/, 2б>о“о

(л)

(л)

у = -^- / + — (1 — COS (Bq/)Sin 2(В0/, 2(В0 (Во4®о

ф = (Во/.

Уравнения (л) и определяют закон движения саней. Из них следует, что сани будут равномерно вращаться вокруг центра масс с угловой скоростью <в0, а центр масс будет описывать кривую, заключенную между го-

£1 «оуо-

ризонтальными прямыми х =4и х = — -—, в чем можно убедиться,

решив уравнение х = 0.

104 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК [ГЛ II

В частном случае, когда Va = 0, центр масс описывает циклоиду

х =(1 — cos 2<в01), у =(2<B0i — sin 2<Во/)

с точками возврата на оси у.

В другом частном случае при движении вдоль горизонтальной плоскости (^1 = 0) траекторией центра масс будет окружность

Г V ®0 /\6>о/

имеющая центр на оси у и касающаяся оси х в начале координат.

Наконец, при <bo = O уравнения (л) дают после раскрытия неопределенностей очевидный результат: х = и01 4 -^ ■ У = 0.

Имея решение (л), можно из уравнений (д) определить реакцию неголо- номной связи. Согласно уравнениям (д)

Nx = X tg <в01, Ny = — X.

Кроме того, X = — ту (при а = 0), т. е.

X = — m (^ sin 2о>о< 4 v06>0 cos м04

Следовательно,

N = ]/х2 + Ny = т ] voao 4 2^ sin mt |.

Направлена реакция N, как нетрудно проверить, перпендикулярно к вектору ис (см. рис. 37, б).

Уравнения Чаплыгина. Пусть система, положение которой определяется п координатами qx, Qiqn, подчинена г стационарным неголономным связям, налагающим на обобщенные скорости и вариации координат условия

пп

S«pA = °. S^py^y^0 (Р=1. 2г),(64}

у=1у = 1

где ар] не зависят явно от t. Таким образом, независимых вариаций будет 1 — п — г. Условимся обозначать в дальнейшем символом qt (1=1, 2, .... /) те из координат q}, вариации которых мы будем считать независимыми, а через qa (a = /-j-l, Z —|—2я) остальные (зависимые) координаты.

Тогда из уравнений (64), линейных относительно qj, bq^, можно выразить все qa и bq0 через qt и bqt в виде

q0-ibatqt (a = /+l, /42п),(65)

= 1

I

bq0=^balbqt (o = /4L /42n).(65')

= 1

п

Далее, в равенстве bA=^1Qjbqj, определяющем элементарную работу действующих сил, можно с помощью (65') выразить все зависимые вариации bqa через bqt и представить ЬА в виде

z бД=2^б9г,(66)

i = i

где Q't — те же обобщенные силы, которые входят в уравнения Аппеля.

Пусть теперь рассматриваемая система такова, что все коэффициенты Ьо1 в равенствах (65), а также обобщенные силы Q' и кинетическая энергия системы Т зависят не более чем от 1 — п—г координат, где п—г есть число степеней свободы системы, т. е., например, зависят только от qv q^qt (но в выражение Т могут входить все обобщенные скорости qv q2qnY Тогда для такой неголономной системы имеют место уравнения, полученные С. А. Чаплыгиным в 1897 г.

Выведем эти уравнения исходя опять из уравнения Даламбера— Лагранжа, которое в обобщенных координатах (см. п. 1) приводится к виду п

\ а I дТ\ дТ _ V п dq, 7 J J

Так как, по предположению, Т от qt+1, q^, .... qn, не зависит, то пI

VI дТ _д7^ dq,dq( ’

j = ii=i

Далее, согласно равенству (66), пI

^Qj bq} = дД = 2 Qi ^и

Наконец,

где, согласно соотношениям (65'),

Подставляя все найденные величины в равенство (67), будем иметьПодставляя все найденные величины в равенство (67), будем иметь

Подставляя все найденные величины в равенство (67), будем иметь

Подставляя все найденные величины в равенство (67), будем иметь

Отсюда, так как все bqt между собой независимы, находим

d / дТ\ 5Тdt ydqj dqtd / дТ\ 5Тdt ydqj dqt°;+ ^6«4о =1 + 1°;+ ^6«4о =1 + 1'^ = 0Ло/'^ = 0Ло/(i= 1, 2/).(68)(i= 1, 2/).(68)

d / дТ\ 5Тdt ydqj dqt

d / дТ\ 5Тdt ydqj dqt

°;+ ^6«4

о =1 + 1

°;+ ^6«4

о =1 + 1

'^ = 0

Ло/

'^ = 0

Ло/

(i= 1, 2/).(68)

(i= 1, 2/).(68)

Условимся в дальнейшем вместо F(qv q2q^ писать F (q^ и т. д. Тогда, согласно сделанным допущениям, T = T(.qt, qt, q^. Обозначим через Т то выражение кинетической энергии, которое получится, если из Т исключить все qa с помощью равенств (65). Таким образом,

T^i- q^T^, qb qa)

где символ qa-*qt означает, что здесь все qa должны быть выражены через qt. Тогда, принимая еще во внимание равенства (65'), получим

~П.пI

а? .аг,у^гaggат,VдТV

д9‘dqi\,+Адч‘dqi& dqiK*

дТ _дТудТ,dqaдТ.удТ

dq.dq■dqdqdqdq°1’

Y1 0=1+1110=14-1 ’O

а также, поскольку все bai зависят только от qt, ~лпI

d / дТ \ дТ —— I и , под- dt \dqt) dqtd / дТ \ дТ —— I и , под- dt \dqt) dqtI = п — г, будем иметьI = п — г, будем иметьd (дТ\_ d / дТ\ у ^fdTX^ । у дТ у dbaldt\dqj dtydqj^ ^^dtXdqJ al ^d^^ dq^

d / дТ \ дТ

—— I и , под- dt \dqt) dqt

d / дТ \ дТ

—— I и , под- dt \dqt) dqt

I = п — г, будем иметь

I = п — г, будем иметь

Вычисляя из найденных равенств значения

ставляя их в уравнения (68) и учитывая, что

- х^^О^ + а (Z=l, 2п-г),(69)

rlerledt \dqj dqt 1

rle

rle

п Г I

(70)(70)SdT Vldbat dboK\^ dq \ dqK dq ) q>- о=/+1 ча LX=1 х‘ '

(70)

(70)

§ 81

Уравнения (69) и представляют собой уравнения Чаплыгина. Напоминаем, что эти уравнения справедливы для склерономной системы, обладающей тем свойством, что коэффициенты в равенствах, выражающих зависимые обобщенные скорости через независимые, а также кинетическая энергия и обобщенные силы системы зависят не более чем от s — г координат, где s—г — число степеней свободы системы. Такой класс систем в приложениях встречается довольно часто.

Для получения уравнений Чаплыгина надо вычислить два выражения кинетической энергии: выражение Т через все обобщенные скорости и выражение Т через независимые обобщенные скорости, затем подсчитать обобщенные силы Q't так же, как при составлении уравнений Аппеля, и, наконец, найти по формулам (70) члены Bt (подчеркнем, что в выражения Bt входит Т, а не Т). После этого составляются уравнения (69).

Уравнения (69) указывают также на то, какая ошибка будет сделана, если для неголономной системы составить обычные уравнения Лагранжа, исключив предварительно из выражения Т зависимые обобщенные скорости с помощью уравнений связей: при этом утратятся члены В^

Пример. Составим уравнения движения саней вдоль наклонной плоскости (см. пример в конце п. 10 на стр. 101), пользуясь уравнениями Чаплыгина.

В этой задаче положение системы определяется координатами х, у, ф (п = 3), а уравнение неголономной связи имеет внд

У = (tgv) х.(а)

Кроме того,

и обобщенные силы [см. п. 10, равенства (к)]

Q^) = m(6ri + «tgT)-Qw=°-(в)

Коэффициент при х в уравнении (а) и обобщенная сила Q^, зависят только от ф, а в равенство (б) координаты вообще не входят. Следовательно, для данной системы справедливы уравнения Чаплыгина.

Заменяя в выражении (б) у его значением из равенства (а), получим

Отсюдаdt х—_ — m,дхcos2фдТ . дТ—- = J- ф, дфдфОтсюдаdt х—_ — m,дхcos2фдТ . дТ—- = J- ф, дфдфГ ~ 2 cos2 ф + 2 J Cz^ 1Г ~ 2 cos2 ф + 2 J Cz^ 1d / дТ \ mx "^ф з1Пф .dt \ дх / cos2 ф cos5 фX2 Sin ф Х21Яф= т— = m — COS3<PCOS2 фd / дТ \ mx "^ф з1Пф .dt \ дх / cos2 ф cos5 фX2 Sin ф Х21Яф= т— = m — COS3<PCOS2 ф-^ = 0;дх-^ = 0;дх(г)(Д)(г)(Д)

Отсюда

dt х

—_ — m,

дхcos2ф

дТ . дТ

—- = J- ф,

дфдф

Отсюда

dt х

—_ — m,

дхcos2ф

дТ . дТ

—- = J- ф,

дфдф

Г ~ 2 cos2 ф + 2 J Cz^ 1

Г ~ 2 cos2 ф + 2 J Cz^ 1

d / дТ \ mx "^ф з1Пф .

dt \ дх / cos2 ф cos5 ф

X2 Sin ф Х21Яф

= т— = m — COS3<PCOS2 ф

d / дТ \ mx "^ф з1Пф .

dt \ дх / cos2 ф cos5 ф

X2 Sin ф Х21Яф

= т— = m — COS3<PCOS2 ф

-^ = 0;дх

-^ = 0;дх

(г)

(Д)

(г)

(Д)

Для установления соответствия с формулами п. 11 будем считать x = qlr Ф = q^, у = у3. Тогда, учитывая, что в данном случае число неголономных связей г = 1, а 1 = п — г = 2, и сравнивая равенства (65) и (а), имеем Ь31 = ^Ф> 632 = 0; далее в членах Bt будет а = 3 и они примут вид

22дТ VI /д?з з^Д ^дТ VI /д?з з^Д ^^7)9х^7)9х(i = 1, 2).(i = 1, 2).

2

2

дТ VI /

д?з з^Д ^

дТ VI /

д?з з^Д ^

^7)9х

^7)9х

(i = 1, 2).

(i = 1, 2).

Заметим сразу, учитывая равенства (б) и (а), что дТ дТ •• ,

—— = —— = my = mx tg ф. dy3 dy

Тогда, опуская члены, обращающиеся в нули, получим

Bi = mxtgv(^-y2) =Bi = mxtgv(^-y2) =/ИЛф tgфCOS2 ф ’/ИЛф tgфCOS2 ф ’B2=^tgv(-^-y,)B2=^tgv(-^-y,)mx2 tg фcos2 фmx2 tg фcos2 ф(е)(е)

Bi = mxtgv(^-y2) =

Bi = mxtgv(^-y2) =

/ИЛф tgф

COS2 ф ’

/ИЛф tgф

COS2 ф ’

B2=^tgv(-^-y,)

B2=^tgv(-^-y,)

mx2 tg фcos2 ф

mx2 tg фcos2 ф

(е)

(е)

Составляя с помощью соотношений (д) и (е) уравнения Чаплыгина

Q('<p) + B2Q('<p) + B2d fдТ \ дТ , _ d [6Т\ I _ I_- = Q U»^—77 1- dt \дх / дх\ дф /

Q('<p) + B2

Q('<p) + B2

и учитывая равенства (в), получим окончательно

х -{- ^ф tg ф = gi cos2 ф 4- a sin ф cos ф, ф = 0,

т. е. придем к той же системе уравнений, что и система (з) на стр. 102. Неучет членов В/ привел бы, как видим, к ошибочным результатам.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯРАВНОВЕСИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

Малые колебания системы

Уравнения движения системы под действием потенциальных сил в сопротивляющейся среде. Функция рассеяния. Рассмотрим голономную механическую систему, состоящую из N материальных точек, подчиненных связям, явно не зависящим от времени (т. е. склерономным). Пусть система имеет п степеней свободы; тогда положение системы будет определяться п независимыми координатами, которые обозначим через qv q2qn. Допустим далее, что силы, действующие на систему, имеют потенциал U(qv q^, . ... q^; тогда потенциальная энергия системы выразится функцией V = —U. Наконец, положим, что система движется в сопротивляющейся среде, влияние которой механически характеризуется тем, что на каждую точку системы действует сила, являющаяся функцией скорости и имеющая направление, противоположное направлению скорости. При малых скоростях можно считать, что обобщенная сила сопротивления, отнесенная к координате qT, есть линейная функция обобщенных скоростей qx, Чг. • . .. qn точек системы, т. е.

=(г=1, 2,я).(1)

»=i

Введем для сил сопротивления функцию F, аналогичную потенциальной функции для обычных сил и называемую функцией расссеяния или диссипативной функцией. Для этого положим

= —^ = -2и^г(2)

Легко видеть, что сама функция рассеяния будет однородной функцией второй степени (квадратичной формой) обобщенных

скоростей, т. е.скоростей, т. е.п

скоростей, т. е.

скоростей, т. е.

(3)(3)F "2" ^j ^гзЧгЧз"

(3)

(3)

Г, 3=1

d / дТ Xdt \dqr)d / дТ Xdt \dqr)дТ дУдРNrNrdqfдТ дУдРNrNrdqf(г =1,2я).(4)(г =1,2я).(4)При сделанных предположениях уравнения движения системы будут

d / дТ Xdt \dqr)

d / дТ Xdt \dqr)

дТ дУдР

NrNrdqf

дТ дУдР

NrNrdqf

(г =1,2я).(4)

(г =1,2я).(4)

Кроме того, нами еще наложено ограничение на связи, а именно мы полагаем, что связи склерономны. В этом случае кинетическая энергия системы будет однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей, т. е

Т="^^агзЧгЧз. (5) Г, S

где коэффициенты aTS зависят явно только от координат q.

Используя уравнения движения (4), нетрудно выяснить механический смысл функции рассеяния. С этой целью обе части уравнения (4) умножим сначала на qT, а затем просуммируем по индексу г от 1 до /г; получим

(6)(6)

(6)

(6)

Полученное ствительно.Полученное ствительно.выражение по теоремевыражение по теоремелегко преобразуется вЭйлера об однородных2^—легко преобразуется вЭйлера об однородных2^—более простое. Дей- функциях имеемболее простое. Дей- функциях имеем

Полученное ствительно.

Полученное ствительно.

выражение по теореме

выражение по теореме

легко преобразуется вЭйлера об однородных

2^—

легко преобразуется вЭйлера об однородных

2^—

более простое. Дей- функциях имеем

более простое. Дей- функциях имеем

Очевидно также, что

(7)(7)дУ • dV

(7)

(7)

Za dqr Чт~ dt •

Далее,

Чг =Чг =дТ ♦ . дТNr NrдТ ♦ . дТNr NrЧгЧг

Чг =

Чг =

дТ ♦ . дТ

Nr Nr

дТ ♦ . дТ

Nr Nr

Чг

Чг

(8)

Так как по условию Т есть однородная функция второй степени от скоростей q, то по той же теореме Эйлера

, Nr

§9]МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ111

вторая же сумма в правой части равенства (8) равна ^-; поэтому

S

d / дТ \ •dT • с dT dT dT

г dt \ dqr /* dqr

Подставляя выражения (7) и (9) в уравнение (6), получим

dt

или, обозначая полную механическую энергию системы через Е, т е. полагая Т -\-V — Е, будем иметь

Выполняя интегрирование, находим, что

Е =—J 2/7Jf + const.(10')

Механический смысл функции рассеяния теперь ясен. Функция 2F, как видно из равенства (10), дает меру убывания энергии в единицу времени, а формула (10') — то же самое для конечного промежутка времени при движении системы в сопротивляющейся среде; итак, функция рассеяния есть мера убывания механической энергии системы.

Уравнения малых движений. Допустим, что рассматриваемая система может в некотором положении находиться в равновесии. Будем отсчитывать координаты qr системы от положения равновесия, считая, что в этом положении qr = 0 (г=1, 2, ., «) Тогда вблизи положения равновесия координаты qT и их производные по времени будут величинами малыми; пользуясь этим, можно существенно упростить изучение малых движений системы вблизи положения равновесия, заменяя полные уравнения движения приближенными, в которых' будут сохранены лишь члены первого порядка малости. Кроме того, изучение малых движений вблизи положения равновесия, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем, позволяет судить и о характере самого равновесия

Пусть рассматриваемая система под действием приложенных к ней потенциальных сил находится в равновесии (силы сопротивления среды, зависящие от скоростей, при равновесии равны нулю). Тогда в положении равновесия потенциальная энергия V должна, как известно, иметь стационарное значение, т, е.

Так как вариации &qr между собой независимы, отсюда следует, что необходимые и достаточные условия равновесия системы имеют вид

= 0 (г =1.2п).(11)

Допустим теперь, что система сообщением ей небольших возмущений выведена из положения равновесия, и составим для нее уравнения (4), ограничиваясь случаем малых движений, т. е. сохраняя в этих уравнениях члены с qr, qT, qT только первого порядка малости. Поскольку в уравнения (4) входят производные от функций V. Т и F по qr или qT, то, чтобы сохранить в уравнениях (4) члены с qT и qr первого порядка, надо при вычислении функций V, Т и F сохранить в них члены второго порядка.

Будем, как уже указывалось, отсчитывать координаты qr от положения равновесия, считая в положении равновесия qf = 0. Тогда, разлагая потенциальную энергию системы в окрестности ^ = 0 в ряд Тейлора, получим

vz = v0 + 21teVr+2-2j(^7^7VA+^- высш- П°Р- (12)

гг, S

где индексом 0 отмечены значения функции V и ее производных в положении равновесия, т. е. при ^ = 0 (r= 1, 2, . .., п). Первая сумма в правой части равенства исчезает вследствие того, что в положении равновесия выполняются условия (11). Членами порядка выше третьего мы также, как было указано, пренебрегаем. Наконец, поскольку потенциальная энергия системы определяется с точностью до аддитивной постоянной, то полагаем аддитивную постоянную выбранной так, что Vo = O; в результате получаем

V = у 2 сг$ЧгЧ$.О2')

Г, S

где коэффициенты с7»~постоянны.

Преобразуем теперь выражение кинетической энергии (5). Разлагая коэффициенты ars, являющиеся функциями координат qT, в ряд Тейлора, получим

ч^кл+Е^^+ЕЩ^^высш- п°р- iI, }

Вследствие малости скоростей удержим члены лишь второго порядка малости; тогда в разложении коэффициентов а„ придется ограничиться только первым членом (sr5)g, так как все остальные члены

в произведении с qrqs дадут члены не ниже третьего порядка. Выражение кинетической энергии поэтому примет вид

Т =^^aT$qrq$\(13)

г, »

в обозначениях коэффициентов ars здесь опущен индекс нуль; не следует, однако, забывать, что эти коэффициенты теперь являются постоянными. Коэффициенты в разложениях V, Т и F носят специальное название, а именно: crs называются коэффициентами восстановления или квазиупругими коэффициентами-, ars — коэффициентами инерции и Hfs — коэффициентами сопротивления.

Принимая во внимание равенство (13), имеем пп

2 arsQs'ars4s* Д О-

Кроме того, из равенств (2) и (12') находим лл

дРV X dVV „

dqrdq — 2

s=ls=l

Подставляя эти выражения в уравнения движения (4), получим уравнения малых движений системы вблизи положения равновесия

Л

2 (^ + и„^+сгА) —О (г=1, 2н).(14)

^= 1

Таким образом, уравнения малых движений системы вблизи положения равновесия представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно п неизвестных координат q. Проинтегрировав эту систему, мы найдем координаты q в функции времени и 2« произвольных постоянных, определяемых начальными условиями.

Интегрирование уравнений движения. Как известно, линейные однородные уравнения, а таковыми и являются уравнения малых движений (14), интегрируются подстановкой

qs — Aseu, где As и суть постоянные величины. Подставляя эти выражения координат в уравнения движения (14), получим

Л

2^(М2 + н^ + с„) = 0(г-1,2п),(15)

5=1

т. е. систему п однородных линейных уравнений относительно Л5. Известно, что система однородных линейных уравнений, в которой

8 Н. Н. Бухгольц

число неизвестных равно числу уравнений, дает решения, отличные от нуля только в том случае, если определитель системы равен нулю, т. е. если

Д(Х) = ||га„Х2 + х„Х + с„|| = 0,(16)

или, в развернуто м виде.

ЙП^+ХИ^+^И а12^2+х12Х+с12 • . . «lnV-}-Xln^+cln

А(Х) =А(Х) =— 0.— 0.Й2А24~Х2А-ЬС21 Й22^2-Ьх22Х4-С22 . . . U2nK24-H2„X4-C2n

А(Х) =

А(Х) =

— 0.

— 0.

Ял^+Хд^+Сл!алл^2+ипп^+слл

Уравнение (16) есть уравнение степени 2га относительно X; оно называется характеристическим или уравнением частот. Решая его, найдем 2га значений X, называемых собственными значениями. Подставляя какое-либо из этих значений Ха в уравнения (15), мы определим одну из систем решений этих однородных уравнений, т. е. га значений множителей Ла, которые обозначим через

Л?, Л?Л“.

Эти значения множителей Л пропорциональны некоторой произвольной постоянной, которая является постоянной интегрирования, так как из теории однородных линейных уравнений известно, что если им удовлетворяет некоторая система решений, то им удовлетворяет и всякая иная система, полученная из первой путем умножения ее решений на какое-либо число. Таких систем значений множителей Л будем иметь столько, сколько корней имеет характеристическое уравнение, т. е. 2га. Каждая из этих систем, определяемая индексом а, включает в себя произвольную постоянную; число этих произвольных постоянных равно 2га, т. е. их столько, сколько и должно содержаться в общем решении системы (14). Число всех значений Л будет, очевидно, 2га2. Тогда, согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, найдем окончательно для координат точек системы следующие выражения:

2л

2 л"/™'(s=l, 2, . .., га),(17)

а = 1

Вид функций qs, а следовательно и характер малых движений, определяется свойством корней уравнения частот Ха.

Исследование корней и характер малых движений. Свойство корней характеристического уравнения дает возможность судить не только о характере малых движений, но и о характере равновесия системы.

Чтобы получить выражение, удобное для исследования характера движения в зависимости от вида корней уравнения частот, рассмотрим какой-нибудь корень уравнения (16), который для общности будем предполагать комплексным; пусть этот корень будет X = ji-|-Zv, а корень, ему сопряженный, V = ц— Zv. Тогда множители Д, соответствующие корню X, будут, вообще говоря, комплексные вида

Д = о.3 4- Zp^.

Так как уравнения (15), которым удовлетворяют значения А, линейные, оанородные и с действительными коэффициентами, то множители Д, соответствующие сопряженному корню X', будут комплексными и сопряженными As, т. е. будут иметь вид

Д^ = а5 — ф5.

Умножим каждое из уравнений системы (15), т. е. уравнения

2 ДЛа„Х2 + кгЛ + сг? = °(r= 1, 2п),

5=1

на Аг (г = 1, 2, . ... я) и сложим полученные выражения почленно; будем иметь

X2 2 arsA'rAs-^-X 2 ИгЛАА 2 сг/А = 0.(18)

Г, SГ, SГ, S

Так как

^г» ^sr’ ^rs ^sr* Crs ^sr*

то множители при коэффициентах ars, 7.TV crs в двойных суммах имеют вид

АД4- А$АГ;

подставляя вместо А их комплексные выражения, получим

АА + ЛЛ = (“г + Д) (»5 - Д) + (»5 + Д) («Г - Д) =

= 2(аА+0Д).(19)

Следовательно, квадратное уравнение (18) будет иметь действительные коэффициенты и примет вид

X2 2 «» («А + РД) 4- ^ 2 Xrs («А + РД) + 2 Crs <№ + РД) = 0.

г, о(20)у=т2с^дг, sг, о(20)у=т2с^дг, sПринимая во внимание, что функцииПринимая во внимание, что функцииГ, SГ, S

г, о

(20)

у=т2с^дг, s

г, о

(20)

у=т2с^дг, s

Принимая во внимание, что функции

Принимая во внимание, что функции

представляют собой квадратичные формы, легко видеть, что двойные суммы в коэффициентах квадратного уравнения (20) являются теми же

116МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ(ГЛ. Ill

квадратичными формами, но выраженными в переменных а и р, т. е.

S^ctA^27^). S «г A«s = 2/7 («)• 2 crsara$ = 2V (а), Т, SТ, SГ, S

2«„РА = 2Т(р), 2х„РД = 2^(р), 2^Л = 2^®-

Г, SГ, SГ, S

Подставляя эти выражения в уравнение (20), получим

Х2[77а) + Т(Р)] + Х[Л(а) + Л(р)] + У(а)+^^(21)

откуда

.— [/^ (а) + ^ (Р)1 ± 1<[/^ (а) + ^ (Р)]2 —4 [Г (а) + Т (р)] [У(«)+У(р)]

2[Г(а) + Г(р)]•

В зависимости от дискриминанта левой части уравнения (21)

Д = 4 \Т (а) + Т (р)] [У (а) + У (р)] - [F (а) + F (р)]2(22)

корниуравнения (21)могутбыть трех видов:

еслиД > 0,токорникомплексные.

„Д < 0„„действительныеиразличные,

„Д — 0„„действительныеиравные.

Таким образом, вид корней X зависит от знака дискриминанта Д. Так как кинетическая энергия Т всегда положительна, то квадратичная форма Т = ^ ^ агзЧгЧз будет определенной положительной формой, т. е. будет положительной при любом действительном значении переменных; поэтому Т (а) > 0, Т (р) > 0. То же самое относится и к функции рассеяния Р = -^ V ursqrqs. Что же касается Г, S

потенциальной энергии V = у ^ cTSqTqs, то эта функция может быть Г, S

и положительной, и отрицательной и, следовательно, не является определенной квадратичной формой. Поэтому ясно, что от знака функции V (т. е. потенциальной энергии) и зависит главным образом характер малых движений системы в расположенной вблизи конфигурации равновесия малой области D, а также характер и самого, равновесия системы. Могут быть три основных случая: 1) когда в области D будет V < 0; поскольку мы приняли, что в положении равновесия У = Уо = О, то, следовательно, в этом случае потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия максимум; 2) когда в области D будет У > 0, т. е. когда потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия минимум; 3) когда в области D значение V может быть и больше и меньше нуля, т. е.

§ 9] в положении равновесия потенциальная энергия будет ни maximum, ни minimum (так называемый minimax). Мы ограничимся исследованием только первых двух случаев:

V < 0; тогда Д < 0 и, следовательно, корни квадратного трехчлена действительные и различные. Из выражения для корней X следует, что они будут положительными, если квадратный корень взять со знаком плюс, и, наоборот, отрицательными, если квадратный корень взять со знаком минус. Тогда в равенствах (17), определяющих значения координат qs, множители eV, для которых Ха>0, будут со временем неограниченно возрастать и, следовательно, система будет все больше и больше удаляться от положения равновесия. Равновесие системы в этом случае называют неустойчивым.

Таким образом, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум, то равновесие системы в этом положении будет неустойчивым (по первому приближению). Если такую систему вывести из положения равновесия, то вначале, вблизи положения равновесия, ее движение будет апериодическим (т. е. не колебательным). О характере последующего движения системы по первому приближению здесь, конечно, судить нельзя.

V > 0. В этом случае малые движения системы носят различный характер в зависимости от того, будет ли сопротивление среды очень велико, очень мало или равно нулю; каждый из этих случаев рассмотрим в отдельности:

Сопротивление велико настолько, что F2 > 4VT и при этом А < 0; тогда корни X квадратного трехчлена будут действительными и отрицательными.

В этом случае в равенствах (17) все е V < 1 и со временем неограниченно убывают, стремясь к нулевым значениям; система при этом асимптотически возвращается в равновесное положение. Состояние равновесия, для которого это имеет место, называют устойчивым.

Сопротивление настолько мало, что F2 < 4VT и А > 0; тогда корни квадратного трехчлена будут комплексные и сопряженные вида

Xa = pa±Zva (a=l, 2ri).

Докажем, что вещественная часть корней ца отрицательна. По известному свойству корней квадратного уравнения будем иметь из уравнения (21)

F^-VF (Р)

— Г(а) + Т(р)-

Так как функции F и Т положительны, то из полученного соотношения заключаем, что р < 0. Принимая во внимание доказанное.

можем корень Ха представить в виде к = — На± \.

где ра суть числа только положительные. В таком случае выражения для координат qs в равенствах (17) будут следующими:

п

q$= 2+(s=l,2п\ (23)

а=1

Делая известные преобразования, можно вместо показательных функций мнимого аргумента ввести функции тригонометрические; тогда получим

п

^=2 e'^ta" cos(vaO + b"sin (v^)](s=l, 2n\ (23')

a=l

Равновесие системы здесь также будет устойчивым, а ее малые движения вблизи положения равновесия представляют собой затухающие колебания.

Резюмируя оба случая, можем сказать, что если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия минимум, то равновесие системы в данном положении будет устойчивым. Если такой системе сообщить небольшое возмущение, то она будет стремиться вернуться в положение равновесия. Возникающие при этом малые движения будут апериодическими, если сопротивление среды велико, или затухающими колебаниями, если сопротивление среды мало.

F = 0 (сопротивление отсутствует). В этом случае, полагая в уравнении (21) /7=0, найдем, что

х = + i/ZzM+EUT~ V Т(а) + Т(р) ’

а так как V > 0 и Т > 0, то корни X будут мнимыми, т. е. будут иметь вид

Xa = ± ika(а = 1, 2, ..., п).

Тогда из уравнений (17) найдем следующие выражения для координат qs\

п

qs = 2 [«“cos(V)+6“sin(M)l(S=l, 2П),(24)

a = l

или, преобразуя выражение в квадратных скобках обычным способом:

п

qs^^B}^kat + ^<s=\,1ny (24')

a = 1

Поскольку координаты -всех точек системы могут быть выражены через qs, то, следовательно, точки системы совершают в этом случае около их положений равновесия сложные незатухающие колебания.

являющиеся в общем случае результатом суперпозиции п простых колебаний с разными частотами Аа(а=1, 2«). При этом,

так как начальные возмущения считаются малыми, система во все время движения остается вблизи ее конфигурации равновесия. Равновесие системы в этом случае также называют устойчивым (по первому приближению).

Однако может случиться, что некоторые корни окажутся равными между собой, например Хт = Хп; в таком случае будут равны и частоты соответствующих колебаний. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение, соответствующее корню второй кратности, каковым является Хт , будет иметь вид

На этом основании Лагранж полагал, что в этом случае равновесие будет неустойчивым, так как при ^ —> оо член Ant также стремится к бесконечности.

Эта ошибка держалась долгое время, пока Вейерштрасс не обнаружил, что это не так. В 1858 г. он доказал, что в этом случае имеет место тождественность двух или большего числа уравнений (15) в зависимости от кратности корня; следовательно, корень фактически остается первой кратности, и тогда отпадает решение, соответствующее кратному корню, а вместе с тем и заключение Лагранжа. Вейерштрасс пришел к этому на основании теории квадратичных форм, каковыми являются выражения кинетической и потенциальной энергии:

"2" ^^ ^rs4r4s'"2* ^J ^ГзЧДб-

Г, SГ, S

Согласно теории квадратичных форм написанные квадратичные формы всегда можно привести к каноническому виду, т. е. к виду, содержащему скорости и координаты только в квадратах. Эта задача равносильна задаче об отыскании главных осей поверхности второго' порядка или, что то же, главных направлений тензора.

Нормальные координаты. В общей теории квадратичных форм доказывается, что если одна из квадратичных форм Т или V является определенной (а в данном случае определенной положительной формой является Т), то всегда можно найти такое линейное преобразование координат

п

4s=^Ns&t (s=i, 2«),

что Т и V одновременно преобразуются к каноническому виду пп

Т = ^Аи У = 1£^,(25)

где at и сЗ суть коэффициенты, полученные в результате преобразования !).

Уравнения Лагранжа для координат ^ в случае отсутствия сопротивления (F = 0) примут вид

d ( дТ\ дТ 6V п,,, о ч

+—°(/=1. 2, ..., га)

или, после подстановки выражений Т и V из равенств (25), «“t+^ = 0(/=1,2га).(26)

Интегрируя эти уравнения, найдем ^ = ^zcos(&/) + Bzsin(&/) (/=1, 2га), где

Координаты ^ называются главными или нормальными координатами. Из полученных для £г выражений следует, что каждая нормальная координата будет совершать гармоническое колебание со своей собственной частотой; другие же координаты, являясь линейными функциями нормальных, будут иметь сложные колебания как результат наложения п простых, что мы и имели прежде. Здесь с особенной ясностью обнаруживается тот факт, что если несколько корней, например два, между собой равны, то соответствующие им нормальные координаты имеют одинаковые частоты; при этом имеет место только явление унисона и не происходит бесконечного возрастания координат. Ясно также, что в системе уравнений (26), а следовательно, и в системе уравнений (15) уравнения, соответствующие равным корням ht, будут тождественны.

Двойной физический маятник. Рассмотрим, как конкретно исследуются малые колебания системы около положения устойчивого равновесия «а примере двойного физического маятника, состоящего из двух однородных стержней ОА и АВ одинаковой длины I и массы т, соединенных в точке А шарниром (рис. 38). Стержни могут совершать колебания в вертикальной плоскости Оху. Трением в осях и сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат .выберем углы ф[ и ф2, которые стержни образуют с вертикалью. Нетрудно убедиться, что у системы будет четыре положения равновесия:

ф| = 0, ф2 = 0; 2) ф! = 0, ф2 = л; 3) ф1 = я, ф2 = 0; 4) ф, = л, ф2 = л.

') См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. I изд. 7. 1956, стр. 137—138.

При этом только для первого потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум и равновесие будет устойчивым. Исследуем малые колебания системы около этого положения равновесия. Для этого, считая ф( и ф2 малыми, вычислим кинетическую Т и потенциальную V энергии системы, сохраняя в них члены второго порядка малости. Имеем

^ = *2 ЛФ1 + "2 mvC + *2 ^С*^’

где J\ = —gмомент инерции стержня ОЛ относительно оси О, J2C==

ml2л и

= -j^момент инерции стержня АВ относительно его центра масс G и ис — скорость этого центра масс. При этом (см. рис. 38) ®с = ®j + ®с > где численно vt = /фр vc = -уф2 • Следовательно,

«С = ;2 Ф1 + 4" Фг + ^Ф^г cos (Фз — Ф>)-

Поскольку в выражении Т сохраняются только члены второго порядка малости, то, учитывая, что cos (ф2— Ф1) =

= 1 — у (Фг — Ф1)2+ •■•» получим окончательно

_1 Г 4,2-2 1,2 ■ ■ 1 т/2 "21

г = 2" ["3 ml ф1 + mt ФА + " ^2j

или, по аналогии с формулой (13),

Т=^ (Й11Ф 1 + 2й12ФА + а22Ф 2) .(27)

где 4ml2ml2ml2

яи — —g—’ й12—~2—’ Й22— —З-’ (2? )

Для потенциальной энергии, если ее считать в положении равновесия равной нулю, будем иметь

V = mg-y (1 —cos Ф0 + mg\j (1 — cos Ф1) + 4 (1 — соэф2)

Замечая, чтосозф] = 1—-^ ф, + ..., cos ф2 = 1—-уф2+ •••> найдем, сохраняя члены второго порядка малости,

V = 4 mglcpi + -|- mgl<^

или по аналогии с формулой (12')

гдегде3,„1,Ci\=-^mgl, с12 = 0, cM = -^mgl.3,„1,Ci\=-^mgl, с12 = 0, cM = -^mgl.(28)(28)(28')(28')Составляя теперь для рассматриваемой системы уравнения Лагранжа (4), найдем по аналогии с (14) следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы:Составляя теперь для рассматриваемой системы уравнения Лагранжа (4), найдем по аналогии с (14) следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы:Й11Ф1 + а12фг + Сцф1 + Чгфг = 0, й12ф1 + й22ф2 + С12ф1 + с22ф2 — 0.Й11Ф1 + а12фг + Сцф1 + Чгфг = 0, й12ф1 + й22ф2 + С12ф1 + с22ф2 — 0.(29)(29)В рассматриваемом нами случае V > 0 (потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум) и F = 0 (сопротивление отсутствует). Следовательно, по доказанному в п. 4 корни уравнения частот будут чисто мнимыми и общее решение должно иметь вид (24'). Поэтому для упрощения выкладок решение уравнений (29) можно сразу искать в видеВ рассматриваемом нами случае V > 0 (потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум) и F = 0 (сопротивление отсутствует). Следовательно, по доказанному в п. 4 корни уравнения частот будут чисто мнимыми и общее решение должно иметь вид (24'). Поэтому для упрощения выкладок решение уравнений (29) можно сразу искать в видеф] = В] sin(A^4-P), ф2 = В2 sin(A^ + P).ф] = В] sin(A^4-P), ф2 = В2 sin(A^ + P).(30)(30)Подставляя эти значения ф] и ф2 в уравнения (29), получим следующие два отнородных уравнения для определения Вг и В2:Подставляя эти значения ф] и ф2 в уравнения (29), получим следующие два отнородных уравнения для определения Вг и В2:(Сц ЛцЙ2) В] -|- (с12 — д12А2) В2 = 0, (С[2 — а12й2) Вх -j~ (с22 — л22й2) В2 = 0.(Сц ЛцЙ2) В] -|- (с12 — д12А2) В2 = 0, (С[2 — а12й2) Вх -j~ (с22 — л22й2) В2 = 0.(31)(31)Приравнивая определитель этой системы нулю, находим для отыскания А следующее уравнение частот:Приравнивая определитель этой системы нулю, находим для отыскания А следующее уравнение частот:илиилиAW = |AW = |(бц—ЙИА2) (С12 — «]262) (с12 — йj2A2) (б22 — й22Й2)(бц—ЙИА2) (С12 — «]262) (с12 — йj2A2) (б22 — й22Й2)= 0= 0(32)(32)

где

где

3,„1,

Ci\=-^mgl, с12 = 0, cM = -^mgl.

3,„1,

Ci\=-^mgl, с12 = 0, cM = -^mgl.

(28)

(28)

(28')

(28')

Составляя теперь для рассматриваемой системы уравнения Лагранжа (4), найдем по аналогии с (14) следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы:

Составляя теперь для рассматриваемой системы уравнения Лагранжа (4), найдем по аналогии с (14) следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы:

Й11Ф1 + а12фг + Сцф1 + Чгфг = 0, й12ф1 + й22ф2 + С12ф1 + с22ф2 — 0.

Й11Ф1 + а12фг + Сцф1 + Чгфг = 0, й12ф1 + й22ф2 + С12ф1 + с22ф2 — 0.

(29)

(29)

В рассматриваемом нами случае V > 0 (потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум) и F = 0 (сопротивление отсутствует). Следовательно, по доказанному в п. 4 корни уравнения частот будут чисто мнимыми и общее решение должно иметь вид (24'). Поэтому для упрощения выкладок решение уравнений (29) можно сразу искать в виде

В рассматриваемом нами случае V > 0 (потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум) и F = 0 (сопротивление отсутствует). Следовательно, по доказанному в п. 4 корни уравнения частот будут чисто мнимыми и общее решение должно иметь вид (24'). Поэтому для упрощения выкладок решение уравнений (29) можно сразу искать в виде

ф] = В] sin(A^4-P), ф2 = В2 sin(A^ + P).

ф] = В] sin(A^4-P), ф2 = В2 sin(A^ + P).

(30)

(30)

Подставляя эти значения ф] и ф2 в уравнения (29), получим следующие два отнородных уравнения для определения Вг и В2:

Подставляя эти значения ф] и ф2 в уравнения (29), получим следующие два отнородных уравнения для определения Вг и В2:

(Сц ЛцЙ2) В] -|- (с12 — д12А2) В2 = 0, (С[2 — а12й2) Вх -j~ (с22 — л22й2) В2 = 0.

(Сц ЛцЙ2) В] -|- (с12 — д12А2) В2 = 0, (С[2 — а12й2) Вх -j~ (с22 — л22й2) В2 = 0.

(31)

(31)

Приравнивая определитель этой системы нулю, находим для отыскания А следующее уравнение частот:

Приравнивая определитель этой системы нулю, находим для отыскания А следующее уравнение частот:

или

или

AW = |

AW = |

(бц—ЙИА2) (С12 — «]262) (с12 — йj2A2) (б22 — й22Й2)

(бц—ЙИА2) (С12 — «]262) (с12 — йj2A2) (б22 — й22Й2)

= 0

= 0

(32)

(32)

(32')(32')(сн — auh^ (с22 — аг^ — (с12 — а12й2)2 = 0.

(32')

(32')

Решая это биквадратное уравнение при значениях коэффициентов, даваемых равенствами (27') и (28г), получим

й? = 3й? = 3^ = 3

й? = 3

й? = 3

откуда

й1 = 0,86й1 = 0,86й2 — 2,30й2 — 2,30(33)(33)пенииа)пенииа)В результате находим два частных " (29), соответствующих частотамВ результате находим два частных " (29), соответствующих частотампервое решениеф« = Bp sin^ + Pi),первое решениеф« = Bp sin^ + Pi),линейно независимых решения урав- kv и й2:линейно независимых решения урав- kv и й2:Ф^ = В^1 sin (kxt + Pj);Ф^ = В^1 sin (kxt + Pj);(34)(34)б)б)второе решениеФ<2> = B^sin^ + Pz),второе решениеФ<2> = B^sin^ + Pz),Ф(22>=В^51п(А2< + Р2).Ф(22>=В^51п(А2< + Р2).(35)(35)

й1 = 0,86

й1 = 0,86

й2 — 2,30

й2 — 2,30

(33)

(33)

пенииа)

пенииа)

В результате находим два частных " (29), соответствующих частотам

В результате находим два частных " (29), соответствующих частотам

первое решение

ф« = Bp sin^ + Pi),

первое решение

ф« = Bp sin^ + Pi),

линейно независимых решения урав- kv и й2:

линейно независимых решения урав- kv и й2:

Ф^ = В^1 sin (kxt + Pj);

Ф^ = В^1 sin (kxt + Pj);

(34)

(34)

б)

б)

второе решение

Ф<2> = B^sin^ + Pz),

второе решение

Ф<2> = B^sin^ + Pz),

Ф(22>=В^51п(А2< + Р2).

Ф(22>=В^51п(А2< + Р2).

(35)

(35)

Два гармонических колебания, определяемых уравнениями (34) и (35), называют главными колебаниями, а их частоты ^ и 4г — собственными ча-

стотами системы; при этом колебание с меньшей из частот, т. е. с частотой Аь называют первым главным колебанием, а колебание с частотой А2—вторым главным колебанием.

На постоянные 0[ и р2 никаких ограничений не накладывается; следовательно, это произвольные постоянные. Постоянные же В^\ В^ и В^\ В^ должны удовлетворять уравнениям (31) соответственно при А = At и А = А2. Полагая в (31) А = Аь будем иметь

(36)(36)(сц йцА]) В^ 4- (с12 — д12^1) ^ = О,(с12 — J12^1) ^1^ Ч~ (с22 — ^22^1) Е^ = 9-

(36)

(36)

Так как определитель (32) этой системы при А = At обращается в нуль, то одно из уравнений (36) является следствием другого. Тогда, считая, например, В^ = Bv где Bj — произвольная постоянная, найдем, что

Аналогичный результат получим для В^ и В^\ полагая в уравнениях (31) А = А2. Введем обозначения

(37)(38)(39)(40)(37)(38)(39)(40)С11 Йпй1сп а1162

(37)

(38)

(39)

(40)

(37)

(38)

(39)

(40)

^1~й~ >^2п •

с12 — й12А1с12 — а12А2

Тогда

8^ = 6., В^ = пхВг В^ = В,; В^ = п9В9

и решения (34), (35) примут вид:

для первого главного колебания

фМ = BY sin (А^ + Pj), ф^ = nxBY sin (А^ + pj),

для второго главного колебания

Ф^2) = В2 sin (A,Z + р2), ф<22) = п^ si п (А^ + р2),

где В], Pt, В2, Ра — произвольные постоянные.

Общее решение системы дифференциальных уравнений (29), содержащее указанные четыре произвольные постоянные, имеет вид

(41)(41)Ф1 = Bt sin (А^ 4~ Pt) 4~ В^ sin (A2# 4“ Pa), ф2 = nlBi sin (A^ 4" Pi) + пгВг sin (A2^ 4" Ps)-

(41)

(41)

Решение (41) и определяет закон сложных незатухающих малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия при произвольных начальных условиях. Мы видим, что колебания могут быть всегда представлены как результат наложения двух главных колебаний.

При соответствующих начальных условиях система может совершать одно из главных колебаний в чистом виде: первое главное колебание при В2 = 0 или второе главное колебание при Bt = O. Амплитуды каждого из главных колебаний зависят от произвольных постоянных В, или В2, определяемых по начальным условиям. Однако отношения этих амплитуд, равные соответственно для первого главного колебания zit, а для второго главного колебания п2, как видно из равенств (37), от начальных условий не зависят.

Числа пх и н2, определяющие отношения амплитуд или отношения координат ф! и ф2 при главных колебаниях, называются коэффициентами формы этих колебаний.Числа пх и н2, определяющие отношения амплитуд или отношения координат ф! и ф2 при главных колебаниях, называются коэффициентами формы этих колебаний.В рассматриваемойВ рассматриваемой°)°)Рис. 39.Рис. 39.88задаче при значениях коэффициентов ars, crs и частот, даваемых равенствами (27'), (28') и (33), коэффициенты формы будут равнызадаче при значениях коэффициентов ars, crs и частот, даваемых равенствами (27'), (28') и (33), коэффициенты формы будут равны88ДДб)б)времени будут отклонены отвремени будут отклонены отсп — йп^1сп — йп^1«1 =й12"1С11^П®2«1 =й12"1С11^П®2= 1,43,= 1,43,«2 =«2 =«12^2«12^22,10.2,10.Знаки коэффициентов я, и и2 в данном случае оказались разными. Отсюда следует, что если система будет совершать одно из главных колебаний, то при первом главном колебании (колебании с меньшей частотой AJ стержни в любой моментЗнаки коэффициентов я, и и2 в данном случае оказались разными. Отсюда следует, что если система будет совершать одно из главных колебаний, то при первом главном колебании (колебании с меньшей частотой AJ стержни в любой моментвертикали в одну и ту же сторону (рис. 39, а),вертикали в одну и ту же сторону (рис. 39, а),а при втором главном колебании с частотой А2 — в разные стороны (рис. 39, б\а при втором главном колебании с частотой А2 — в разные стороны (рис. 39, б\

Числа пх и н2, определяющие отношения амплитуд или отношения координат ф! и ф2 при главных колебаниях, называются коэффициентами формы этих колебаний.

Числа пх и н2, определяющие отношения амплитуд или отношения координат ф! и ф2 при главных колебаниях, называются коэффициентами формы этих колебаний.

В рассматриваемой

В рассматриваемой

°)

°)

Рис. 39.

Рис. 39.

8

8

задаче при значениях коэффициентов ars, crs и частот, даваемых равенствами (27'), (28') и (33), коэффициенты формы будут равны

задаче при значениях коэффициентов ars, crs и частот, даваемых равенствами (27'), (28') и (33), коэффициенты формы будут равны

8

8

Д

Д

б)

б)

времени будут отклонены от

времени будут отклонены от

сп — йп^1

сп — йп^1

«1 =

й12"1

С11^П®2

«1 =

й12"1

С11^П®2

= 1,43,

= 1,43,

«2 =

«2 =

«12^2

«12^2

2,10.

2,10.

Знаки коэффициентов я, и и2 в данном случае оказались разными. Отсюда следует, что если система будет совершать одно из главных колебаний, то при первом главном колебании (колебании с меньшей частотой AJ стержни в любой момент

Знаки коэффициентов я, и и2 в данном случае оказались разными. Отсюда следует, что если система будет совершать одно из главных колебаний, то при первом главном колебании (колебании с меньшей частотой AJ стержни в любой момент

вертикали в одну и ту же сторону (рис. 39, а),

вертикали в одну и ту же сторону (рис. 39, а),

а при втором главном колебании с частотой А2 — в разные стороны (рис. 39, б\

а при втором главном колебании с частотой А2 — в разные стороны (рис. 39, б\

Устойчивость равновесия. Теорема Дирихле

Понятие об устойчивости равновесия. При изучении малых движений системы около положения равновесия мы столкнулись с понятием об устойчивости равновесия, смысл которого сводится к следующему. Допустим, что механическая система в некотором положении (конфигурации) находится под действием приложенных к ней сил в равновесии. Если эту систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам достаточно малые начальные смещения и начальные скорости, то в последующем движении точки системы могут или оставаться все время вблизи их положений равновесия, или все более и более удаляться от этих положений; в первом случае рассматриваемое положение равновесия называется устойчивым, а во втором — неустойчивым.

Определим эти понятия более строго. Пусть система имеет п степеней свободы. Не нарушая общности, можно, во-первых, сделать все обобщенные координаты и обобщенные скорости безразмерными, отнеся каждую из них к соответствующей, характерной для данной координаты (илн скорости) величине, и, во-вторых, как мы уже делали, отсчитывать все обобщенные координаты системы qf от конфигурации равновесия О, полагая для этой конфигурации qr — 0 (/•=1,2п).

Допустим, что в некоторый момент времени t0 система выведена из конфигурации равновесия; ее обобщенные координаты и скорости

в этот момент обозначим через q^ и q^. Тогда равновесие системы в конфигурации О называется устойчивым (по Ляпунову), если, задав любое сколь угодно малое число р > 0, можно указать такое число т) (р) > 0, что при

|^0|<Л и |?г0|<Ч (г = 1, 2zi)(1)

в любой момент времени ^ > ^0 будет

kJ <Р (Г= 1. 2п).(2)

В противном случае равновесие системы в конфигурации О называется неустойчивым.

Равенства kJ — р определяют вблизи конфигурации равновесия О некоторую область D (в я-мерном пространстве). Если равновесие в конфигурации О устойчиво, то при малых возмущениях система, выведенная из состояния равновесия, будет двигаться, оставаясь все время в области D.

В § 9 мы видели, как можно исследовать вопрос об устойчивости равновесия (по первому приближению), рассматривая малые движения системы вблизи положения равновесия; этот метод применим и к системам, не находящимся под действием потенциальных сил.

В случае консервативных систем вопрос об устойчивости равновесия можно исследовать непосредственно, зная потенциальную энергию системы.

Теорема Лежен Дирихле. Для равновесия консервативной системы со склерономными связями необходимо и достаточно выполнение условия W (qv q^^л) = 0, где V — потенциальная энергия системы. Однако по этому условию нельзя судить о характере равновесия.

Достаточное (но не необходимое) условие равновесия консервативной системы со склерономными связями дает следующая теорема Лежен Дирихле: если для какой-либо конфигурации консервативной системы со склерономными связями потенциальная энергия V имеет минимум (а следовательно, силовая функция U — — V имеет максимум), то равновесие системы устойчиво.

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть для конфигурации равновесия О (т. е. при q1 = q2 = ... = qn = 0) потенциальная энергия V равна нулю (что всегда можно сделать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной) и имеет минимум; тогда всегда можно найти такое достаточно малое число р, чтобы в области О (| у | ^ р) потенциальная энергия V была положительна.

Пусть, далее, какая-либо обобщенная координата системы, например qr, принимает предельное значение |qj =р, а все остальные координаты принимают любые значения, по абсолютной величине не

превышающие р или равные р. Пусть Рт есть значение потенциальной энергии в этом случае. Тогда для системы с л степенями свободы существует п положительных чисел Pv Р^Рп, получаемых как значения потенциальной энергии V(qx, q2q^, если последовательно приравнивать модули обобщенных координат числу р. Таким образом,

PX = V (р, q2, q^, .... qn\

любые в области D

P2 = V(qv р, q3, . . ., qn\

любые в области D

Пусть наименьшее из чисел Рх, Р^, -. ■, Рп есть Р; тогда обязательно V (qv ..., q^^-P, как только одна из обобщенных координат достигнет по модулю значения, равного р, а все другие координаты будут принимать любые значения в области D. Отклоним систему от положения равновесия, давая координатам qf значения q^ по модулю, меньшие р, и сообщим точкам системы начальные скорости д]0, д20’ •••> ^ло- Тогда система придет в движение, и поскольку она консервативна и склерономна, будет иметь место интеграл энергии или

7 + И = 70 + И0, откуда

Т = <Г0 W-V.

Но поскольку всегда 7 > 0, то, следовательно, в любой момент движения

И<70+И0.(3)

Так как в области D потенциальная энергия положительна, сумма (70 + V0) непременно положительна, и вследствие непрерывности 7’в, Vo эту сумму можно сделать сколь угодно малой. Иначе говоря, можно найти число т], меньшее р, такое, что при 1^1 < т] и l^rol < Л будет иметь место следующее неравенство:

(70+И0)<Р1).

Чтобы удовлетворить этому неравенству, достаточно, например, вы- •рр

брать такие qra Hqr0, чтобы было 70 < ^- н Ио < -^-.

Тогда из неравенства (3) следует, что в любой момент движения

Р — V > 0.(4)

Поскольку начальные значения обобщенных координат лежат внутри области О, то из (4) мы видим, что ни одна из координат qf не может во время движения достигнуть значения р (т. е. система не может выйти из области D), так как тогда разность (Р — V) становилась бы отрицательной, что невозможно.

Следовательно, конфигурация равновесия системы устойчива.

Теорема, противоположная теореме Лежен Дирихле, формулируется так: если для некоторой конфигурации консервативной системы потенциальная энергия V имеет стационарное значение и не есть минимум, то равновесие системы неустойчиво. Эта теорема может быть доказана только с некоторыми ограничениями. Ляпунов доказал две теоремы, устанавливающие критерии неустойчивости равновесия консервативной системы, которыми практически охватываются все возможные случаи. Первая .теорема относится к случаю, когда разложение потенциальной энергии в ряд вблизи положения равновесия [см. ряд (12) в § 9] начинается с членов второго порядка. Эта теорема гласит: если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума, причем отсутствие минимума устанавливается по разложению потенциальной энергии в ряд, в котором сохранены только члены второго порядка, то равновесие системы неустойчиво. Вторая теорема устанавливает критерий неустойчивости для случая, когда разложение потенциальной энергии в ряд начинается с членов третьего или более высокого порядка. Она гласит: если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия максимум, причем наличие максимума устанавливается по разложению потенциальной энергии в ряд, в котором сохранены члены наименьшего порядка, не обратившиеся в нули, то равновесие системы неустойчиво.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Геометрия масс

Понятие о твердом теле. Как известно, система материальных точек (частиц), в которой расстояния между двумя любыми точками остаются постоянными, называется неизменяемой системой. Если же, кроме того, точки системы расположены непрерывно, т. е. заполняют область пространства, занятую системой, сплошным образом, то такая неизменяемая система называется абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело, согласно определению, не может подвергаться никаким деформациям и представляет собой идеальный образ, который тем ближе подходит к реальному твердому телу, чем меньше последнее способно деформироваться под действием сил.

Благодаря неизменяемости расстояний между своими частицами, абсолютно твердое тело представляет собой механическую систему, отличающуюся по сравнению с другими системами особыми свойствами, вследствие чего динамика твердого тела выделяется в особую главу, тем более, что эта глава динамики имеет большое значение в технических приложениях. В конце главы I было указано, что для определения движения неизменяемой системы достаточно уравнений, которые дают теоремы об изменении количества движения и кинетического момента системы, поэтому уравнения движения абсолютно твердого тела представляют собой развитие этих уравнений.

Характеристики распределения масс. В динамике абсолютно твердого тела играют большую роль величины, характеризующие распределение масс в теле. Учение об этих величинах носит название геометрии масс.

Величины, характеризующие распределение масс в системе, носят название (не совсем удачное) моментов ). Момент представляет собой

сумму произведений масс всех точек системы на однородную функцию координат этих точек, т. е. имеет вид 2 ^г^У^ь причем

n = a + P4“Y называется степенью момента. Если массы распределены непрерывно и плотность тела р (отношение массы частицы тела к ее объему) есть непрерывная функция координат, т. е. р = р(х, у, 2), то момент выражается в виде объемного интеграла

J J J р(х, у, z) xay^z^dx dy dz,

взятого по всему объему тела (если же функция р прерывна, то интеграл берется1 в смысле Стилтьеса). Когда тело однородно, плотность р от координат не зависит, и момен имеет вид

Р j" j" j" *аУ ^Y ^ dy dz,

т. е. представляет собой произведение плотности на объемный интеграл от функции только координат, который будет уже чисто геометрической величиной; эту величину мы будем называть геометрическим моментом я-й степени. Таким образом, в случае однородного тела момент (физический) равен плотности, умноженной на геометрический момент.

В механике встречаются обыкновенно только моменты первой и второй степени; моментами высших степеней иногда пользуются в теории прочности.

Моменты первой степени. Моменты первой степени, называемые обычно статическими моментами, выражаются величинами 2т1гь где ri есть радиус-вектор частицы с массой ть Это выражение представляет собой статический момент системы относительно центра О, служащего началом векторов rt. Известно, что

2 mtrz = Мгс,

где М есть масса всей системы, а гс—радиус-вектор центра масс; поэтому, если центр О совпадает с центром масс, то статический момент ^m^t обращается в нуль. Ясно, что

2 «4'1 = 2 «Ч^ + 2 «<У;У+S m-tZik.till

Величины ^т.х^ ^т^, ^m^i представляют собой статиче- iII

ские моменты относительно координатных плоскостей yz, zx, ху, причем

^т^ = Мхс, ^т^^Мус, ^т^ —Mzc,

9 Н. Н. Бухгольц

где хс, ус, хс суть координаты центра масс. Размерность статического момента равна произведению размерностей массы и длины. Если начало координат О совпадает с центром масс С, то статические моменты относительно координатных плоскостей будут, очевидно, также равны нулю.

Моменты второй степени. Моменты второй степени имеют вид;

2 mx2,/(гх) = 2 ту2,Jw = 2 mz2;

Jyz — ^myz, Jzx — 2mzx, JXy = 2imxy;

JXx = ^m{y2+z2), Jyy = 2m(z2 + x2), J„ = S m(x24-y2);

Jo = "2i tn (x2У2 -V- z2) = ^ mr2.

Первые три из них, представляющие суммы произведений масс на квадраты их расстояний соответственно до плоскостей yz, zx, ху, называются моментами инерции относительно этих плоскостей, вторые три называются центробежными моментами или произведениями инерции, три третьих, как суммы произведений из масс на квадраты их расстояний до осей х, у, z, — моментами инерции относительно этих осей или осевыми моментами инерции; наконец, последний, как сумма произведений из масс на квадрат их расстояний до точки О, — моментом инерции относительно точки О, или, иначе, полярным моментом инерции относительно этой точки. Из этих определений ясно, что:

Размерность момента второй степени равна произведению размерностей массы и квадрата длины. Единицей измерения этой величины в системе СИ будет 1 нм2, а в технической системе единиц — 1 кГ мсек2,

Сумма трех плоскостных моментов инерции равна полярному моменту инерции, т. е.

*^(yz) Лгх) Ч- Лху) = ^0-

Сумма трех осевых моментов инерции равна удвоенному полярному моменту инерции, т. е.

/гх 4~ ^уу Н~ Лг = 2 jy.

Сумма двух осевых моментов инерции всегда больше третьего, т. е.

/хх Ч- А У >Ау ^z > ZfX' ^zz Ч~/хх > ^УУ

В самом деле, так как

2 т (у2 + z2) 4- 2 т (z2 + х2) = 2 т (х2 + У2) + 2 2 тх2, то

S/n(y2+^2) + 2w(22+^2)> 2«ЧЧУ2) и т- Д-

Момент инерции относительно оси. В динамике твердого тела из моментов второй степени преимущественно встречаются моменты инерции относительно оси (осевые) и произведения инерции. Как уже было сказано, моментом инерции системы относительно данной оси, например оси х, называется сумма произведений масс точек системы на квадраты их расстояний до этой оси, т. е. выражение вида 2 wi^z> гДе суммирование распространяется на все точки системы (см. § 2, п. 8). Если мы имеем сплошное абсолютно твердое тело, то масса элементарной частицы тела будет равна pd-v, где р есть плотность тела, a dv — элемент объема; поэтому момент инерции относительно оси х в этом случае выразится (если р есть непрерывная функция координат) объемным интегралом, взятым по всему объему тела, т. е.

J^ = | ph? dv = J J | р(х, у, z)(y2 + z2) dx dy dz.

Если тело однородное, то р постоянно и может быть вынесено за знак интеграла, и мы получим

где J h^dv есть геометрический момент инерции объема, который, ,Гмасса 1

очевидно, имеет размерность (длина)3 ^размерность р есть (ддннар J •

Если тело представляет собой однородную тонкую пластину толщиной b (6 = const), то, полагая dv — bdo, где do есть элемент площади пластины, будем иметь

Jxx = 9b f №dO-

Здесь pb = р'— поверхностная плотность (отношение массы элемента пластины к ее площади), а интеграл

f h2do = f f (y2 + г2) dy dz,

взятый по площади пластины, будет геометрическим моментом инерции площади; его размерность (длина)4.

Точно так же в случае нахождения момента инерции однородного тонкого стержня с площадью поперечного^ сечения s (s — const), полагая dv=sdl, где dl— элемент длины стержня, найдем, что

Jxx = Ps / ^а1-

Здесь ps = р"— линейная плотность (отношение массы элемента стержня к его длине), а интеграл №dl, взятый вдоль отрезка

кривой (вдоль оси стержня), есть геометрический момент инерции отрезка линии, имеющий размерность (длина)3. Таким образом, для вычисления осевых моментов инерции однородного тела, пластины или стержня нужно вычислить соответствующие геометрические моменты инерции, т. е. моменты инерции объема, площади или отрезка линии (что является задачей интегрального исчисления) и затем умножить найденную величину на соответственную плотность (т. е. объемную, поверхностную, линейную).

Заметим еще следующее. Пусть нужно вычислить момент инерции однородного призматического тела (т. е. тела, ограниченного поверхностью призмы или цилиндра и перпендикулярными к оси призмы сечениями) относительно оси х, параллельной образующей (рис. 40).

Рис. 40.Рис. 40.

Рис. 40.

Рис. 40.

Задача, как мы видели, сводится к вычислению геометрического момента инерции объема этого тела относительно оси х, т. е. величины J h^dv. Возьмем за элемент объема объем волокна, площадь' поперечного сечения которого равна do, а длина равна длине тела L\ тогда dv — L do, и

h^dv — Lh^dv — L№ do,№ do,

h^dv — L

h^dv — L

№ do,

№ do,

причем интеграл берется по всей площади поперечного сечения. Очевидно,

J № do =J0,

т. е. этот интеграл равен полярному моменту инерции площади поперечного сечения относительно точки О. Следовательно, геометрический момент инерции призматического тела относительно оси, параллельной образующей, равен LJ0, т. е. произведению длины тела

на полярный момент инерции площади поперечного сечения относительно точки пересечения оси с плоскостью этого сечения.

Радиус инерции. Момент инерции системы относительно какой-либо оси х можно выразить в виде

Jxx == S Hltht —- ^Рхх>i

где М — масса всей системы, a рхх есть линейная величина, которая называется радиусом инерции относительно оси х. Из определения следует, что радиус инерции есть длина, равная расстоянию от оси х той точки, в которой нужно сосредоточить массу всей системы, чтобы получить тот же момент инерции Jxx. Ясно, что

Можно поставить вопрос иначе: найти массу ЛР, которую нужно сосредоточить в данной точке, находящейся от оси х на расстоянии d, чтобы получить тот же момент инерции Jxx. Для определения М' имеем равенство

Md2 = Mp2xx, откуда

2М' = М^.

Этот процесс называется приведением массы системы к данной точке. Очевидно, что радиус инерции вполне определяет момент инерции системы относительно данной оси.

Моменты инерции относительно осей параллельного пучка. Теорема Гюйгенса (Штейнера). Из определения ясно, что осевой момент инерции данной неизменяемой системы зависит от положения оси, относительно которой вычисляется момент инерции; следовательно, осевые моменты инерции данной системы могут иметь относительно различных осей бесконечное множество значений, которое, однако, имеет нижнюю границу. Рассмотрим, как изменяется осевой момент инерции при переходе от одной оси х к другой /; для этого рассмотрим: 1)моменты инерции относительно осей параллельного пучка и 2) моменты инерции относительно осей пучка, выходящего из данной точки. Зная, каким образом изменяется момент инерции при переходе от одной осикдругойв первом и втором случаях, мы можем по данному моменту инерции относительно какой-либо оси х найти момент инерции относительно любой другой оси /. Для этого, взяв произвольную точку О на оси /, находим сначала момент инерции относительно оси х', параллельной х и проходящей через точку О, а затем от оси х' переходим к оси I.

Начнем с установления зависимости между моментами инерции относительно осей параллельного пучка. Проведем оси Oxyz (рис. 41)

и рассмотрим момент инерции системы относительно оси х; он будет

—S/”z/zz = 2mc(y2+4). (1)

Возьмем ось х', параллельную оси х и проходящую через центр масс системы С, координаты которого пусть будут хс, ус, zc; проведем еще через С оси у' и z', параллельные осям у и z. Тогда

yz —У,' + УС.

z, = 4+zc,

где х'., у\, г\ будут координаты точки Л1 относительно системы

осей x'y'z'. Подставляя эти выражения в равенство (1), будем иметь

Jxx=2 ^ [(у;+Ус)2+(^;+м2!=

= S/«z(y;2+4) + 5т.(у9сН-4)+2 2тДу;ус + 24с). (2>

Первый член правой части равенства (2) есть момент инерции системы относительно оси х'; второй член можем представить в виде 2 т. (у^, + ^ = ^ + ^ 2 ^ = ма\

где Л4 есть масса всей системы, a d— расстояние между осями х и х'. Третий член равен нулю, потому что

2 ^ (У^с + zizc) = Ус^ т^ + zc S щ^,

a 2 miVt и S mzzz равны нулю, как статические моменты относи- iI

тельно плоскостей, проходящих через центр масс. Итак,

2 mt (у^ + z^ = 2 ”4 (Уi + ^') + ^ (Ус + 4)-

или

J^^Jx^.-VMd1.(3)

Равенство (3) выражает собой теорему Гюйгенса: момент инерции системы, относительно какой-либо оси равен моменту инер-

ции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между осями. Если ввести радиусы инерции, то мы получим

^х=^х-А-^.(4)

Из равенств (3) или (4) следует, что наименьшим из моментов инерции системы относительно осей параллельного пучка будет момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс си

стемы.

Пользуясь теоремой Гюйгенса, можно легко определить момент инерции системы относительно любой оси пучка параллельных осей, если дан момент инерции относительно какой-либо одной оси этого пучка. Пусть дан момент инерции Jx относительно оси 1; тогда по

теореме Гюйгенса

Jx = Jc + Mdt

где Jc есть момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, a dx— расстояние центра масс до оси 1. Для оси 2, параллельной оси 1, аналогично имеем

J2 = Jc + MdL

Из этих двух равенств получаем

J^J^M^di — di).

Теорема Гюйгенса относится не только к осевым моментам инерции, но может быть распространена на все моменты второй степени. Совершенно аналогичным способом легко доказать равенства

2 т^ = 2 т^'^ + Мх^, и т. д„ ii

Sw,y^z = S "izy;z; + n4yc2:c и т. д.,

'21mt(x^y^Z^ = I1mt (xf + у;2 + ^2) + Л*(4 + y^ + 4).

Моменты инерции относительно осей пучка, выходящего из данной точки. Найдем момент инерции системы относительно оси I, которая проходит через заданную точку О и направление которой по отношению к осям Oxyz определяется направляющими косинусами а, р, у (рис. 42); очевидно, момент инерции относительно

оси / будет функцией этих направляющих косинусов. Согласно определению осевого момента инерции имеем

/г = 2 тД,

где ht есть расстояние точки с массой mt до оси /. Возьмем начало координат в точке О и положим ОЛ4/ = г/, причем

Тогда.

г.р = axt + pyz + ^zt = гi cos qp/t

где ф; есть угол между направлениями rt и Р; далее, так как hl = = Г; sin ф(-, то

У; = 2 tn Д =^111^ sin2 ф; = 2 mt [г2— (г; совф^2].

Отсюда, принимая во внимание, что а2 + р2 + у2 = 1, находим

Jz = 2 «< [(х2 4" У2 + z^ (а2 + р2 + у2) — (ахг 4- ру j + уг^2]

/г = 2/пг[«2(у?+^+₽2(^+^)+т2(^+у?)- — 2pyyzzz — 2yazzxz — 2apxzyJ.

Введем теперь следующие обозначения (см. п. 4 этого параграфа):

У^=Л = 2/«/(У2+^)> J^D^^tn^^.,Jyy = 5^2wz(z2 + x2), ;M=f=2w

Угг = С = 2/п,(^+^)-Jxy = F = ^mtx^f

Тогда получим

Л = Jxx°-2 + Лу₽2 + J«N2 — 2Jyz№ — 2ЛхУа — 24yap,(5)

или, в других обозначениях,

Jt = Ла2 + Sp2 + Су2 — 2£)ру — 2Еуа — 2Гар. (5')

Тензор инерции. Из равенства (5) следует, что для определения момента инерции тела относительно любой оси пучка, проходящего через точку О, достаточно знать шесть величин Jxx, J^, Jzz, Jyz- ^zx' ^xy (или ^ В, C, D, E, F) и, конечно, направление этой оси, определяемое косинусами а, р, у; при этом Jxx, Jyy, Jzz представляют собой моменты инерции относительно соответствующих осей координат с началом в точке О, а Ууг, Jzx, Jxy— произведения инерции. Эти шесть величин зависят от положения точки О и от направления координатных осей, потому что с изменением точки О

и при перемене направления координатных осей координаты точек тела xt. yf, zt изменяются. Указанные величины можно расположить в виде симметричной матрицы

которая носит название тензора инерции', элементы этой матрицы называются компонентами тензора инерции. Из матрицы (6) видно, что диагональные компоненты тензора (V) представляют собой осевые моменты инерции, а остальные — произведения инерции со знаком минус, причем по определению Jxy = Jyx, Jyz — Jzy, Jzx — Jxz- Тензор (J) представляет собой символический оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор b с проекциями, являющимися линейными функциями проекций вектора а; при этом матрицей линейного преобразования является матрица (J). Вектор 6 называется линейной вектор-функцией вектора а, а самая операция называется операцией умножения вектора а на тензор (У) и обозначается так:

b — a (J).

Это равенство, согласно определению, запишется в проекциях следующим образом:

^х ^ ^ххах /ху«у ^xz^Z'

^у^ухах Н- ^уу«у ^yz^z*

bz =Jzxax /гу«у 4- Jzzaz‘

Если за вектор а взять радиус-вектор точки Л1 пространства г = xi -|- yj -{- zk, то уравнение

г' — г (Л),

где

(Л)^(Л)^«и «21 «31«и «21 «31«12«13

(Л)^

(Л)^

«и «21 «31

«и «21 «31

«22«23

«32#33

определит точку пространства М' (х', у', z'), причем

х' = аИх -f- <z12y -f~ а\з2>V — «21-* + «22У + a23Z>z' = а31х -j- а32у -|- a^z.

Таким образом, каждой точке М(х, у, z) пространства однозначно соответствует точка Л1'(х', у', г'). Такое преобразование пространства называется аффинным, поэтому оператор (Л) называется

аффинором. Следовательно, (J) также представляет собою аффинор, и притом симметричный.

Посредством тензора (У) мы можем формулу (5) выразить следующим образом. Возьмем единичный вектор направления оси /:

Р = at + Ру + уб;

тогда

W = Ухх» — 4У₽ — Jxz^ i + (— ^ух» + Ау₽ — J^) j +

+ ( ^гха Лу₽ + JzzV) *- Умножая вектор Z0 (У) на вектор Р скалярно, получим

W = Jxxa? + J^ + Jxx^ - 2 Jyzpy - 2Jzxya - 2^yapОбозначая стоящую в правой части квадратичную форму аргументова, р, у для сокращения записи через2F (а, р, у), получим

P(J) • P—2F(a, р, y) = J,.

Отметим в заключение, что вообще каждому симметричному аффинору соответ- У^ ствует квадратичная форма; если аффи- у нор (Д) будет симметричный, т. е. если alb — akl, то квадратичная форма, соответствующая (Д), будет 2F (х, у, г) = = г (Д) • г.

Эллипсоид инерции. В п. 8 мы получили выражение (5) момента инерции относительно оси / в зависимости от направляющих косинусов а, р, у этой оси; следовательно, зная компоненты тензора (У) для точки О и данного направления координатных осей хуг, мы можем найти момент инерции для любой оси, проходящей через точку О. Можно дать геометрическую картину распределения моментов инерции относительно осей пучка с центром О путем построения эллипсоида инерции.

Возьмем на оси / пока произвольную длину ОМ = R; тогда координаты точки М будут (ри?. 43)

х — Ra, y~R$, z — Ry.

Подставляя полученные из этих равенств значения а, р, у в выражение (5) для Jt, получим

JlR? = Jххх~ -|- ^ууУ2 Н~ ^zz^22Jyzyz 2Jzxzx2 J^xy,(7)

или, сокращенно,

JtRi = 2F (х, у, z).

Выберем теперь R так, чтобы было

JtR2 = £2(8)

или

где к есть постоянная величина. Тогда

V + W + V - 2/угУ2 - 2Jzxzx - 2Jxyxy = №(9)

или

2F<x, у, z) = k2,(9')

т. е. геометрическим местом точек М будет поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (9). Из уравнения (8') ясно, что поверхность (9) не имеет бесконечно удаленных точек, поскольку величина Jt существенно положительна и не равна нулю; следовательно, эта поверхность есть эллипсоид, который носит название эллипсоида инерции тела относительно центра О. Уравнение эллипсоида инерции (9) в иных обозначениях будет

Ах2 4- By2 + С г2 — ЧПуг — 2Ezx — 2Fxy = к2.(9")

Центр эллипсоида инерции, как показывает его уравнение, находится в точке О; постоянная к2 может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; меняя к2, мы будем получать подобные эллипсоиды. Таким образом, каждой точке О данного тела будет соответствовать (с точностью до масштаба) вполне определенный эллипсоид инерции. Если точка О взята в центре масс, то эллипсоид инерции, построенный для этой точки, называется центральным. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела для точки О.

Так как длина R удовлетворяет равенству (8'), то длина радиуса-вектора эллипсоида инерции обратно пропорциональна корню квадратному из момента инерции тела относительно оси, направленной по этому радиусу.

Если вместо Jt ввести соответствующий радиус инерции, т. е. положить Jt = Мр2, то формула (8') дает

т. е. длина радиуса-вектора эллипсоида инерции обратно пропорциональна радиусу инерции тела относительно оси того же направления.

Главные оси инерции. Главными осями инерции тела в данной точке называются главные оси эллипсоида инерции, построенного для этой точки; поэтому нахождение главных осей инерции

тела в данной точке О сводится к нахождению главных осей эллипсоида инерции, построенного для этой точки. Пусть уравнение этого эллипсоида в системе координат xyz будет (рис. 44)

2F(x, у, 2) = J^x2 + /yyy2 +

+ Jzzz2 — 2Jyzyz — ^Jzxzx — 2/хуху = k2. (10)

Для нахождения главных осей эллипсоида инерции (10) будем исходить из того соображения, что для главных осей направление ради-

Рис. 44.Рис. 44.уса-вектора R совпадает с направлением нормали к эллипсоиду, или из того, что для главных осей R, а следовательно, как это вытекает из равенства (8'), и Jt имеют стационарное значение; в обоих случаях вычисления совершенно одинаковы.

Рис. 44.

Рис. 44.

Итак, будем искать направления, для которых R совпадает с направлением нормали к эллипсоиду. Эти направления, очевидно, должны удовлетворять условию

gradF(x, у, z') = XR, (11)

где к есть коэффициент пропорциональности. Условие (11) в проекциях на оси xyz будет иметь вид

дР .дР.дР ....,.

-ч—= лх,-ч— = *у,-т— = кг,(И)

дхдуdzv z

или, принимая во внимание значение F, даваемое равенством (10), н перенося все члены в левую часть:

UXX ^) х/г>У^XZZ = ®"

(П")(П")^уХХ 4“ UyyМ У^yzz ==: ®’

(П")

(П")

^гххЛуУ "4" UzzМ ^ = 0.

Условие совместности системы трех однородных линейных урав

нений (11"), как известно, будет

Jxx

^ух

Zry

Ууу к

^xz Jyz

= 0.

(12)

^zx

^zz

Уравнение (12) представляет собой так называемое характеристическое (вековое) уравнение, которое в случае симметричности тен-

зора (J) и действительности его компонентов имеет три действительных корня: X,, Х2, Х3. Подставляя каждый из этих корней в систему (11") и решая ее, получим три системы отношений координат

Xi: У!: zx. х2: у2: z2, х3: у3: z3.

которые дают три действительных направления, удовлетворяющих условию (11), т. е. дают три главные оси эллипсоида инерции.

Докажем, что эти три направления (которые по отношению к тензору (J) называются главными направлениями тензора) взаимно перпендикулярны; для этого докажем сначала перпендикулярность первого и второго направлений. Возьмем уравнения (11') для координат первого направления, умножим их соответственно на х2, у2, z2 и сложим; получим

{дР\ . (дР\ . (дР\ , ,,,.

№ЛХ2+\ду Л^^Ьг), 3i = Mxxx^^x^-Vzxz^\ (13)

делая то же самое в обратном порядке, найдем

(тг)2 Х1 + ^\ У1 + к^\ 21 — ^2 (XzXl + УгУ1+ г2г1)1 (1 ^

Вычитая почленно из (13) равенство (13'), получим

(14)(14)О = Ф1 — М (*1*2 + У1У2 + ^1^2).

(14)

(14)

так как левые части этих равенств, как соответствующие квадратичной форме 2F(x, у, z) билинейные формы, будут равны, что легко проверить непосредственно.

Предположим, что X] ф Х2; тогда из равенства (14) следует x1x2+y1y24-z1z2=/?r/?2 = 0,

а следовательно, /?1±/?2. Точно таким же способом докажем перпендикулярность второго и третьего направлений, а также третьего и первого. Итак, если корни характеристического уравнения (12) различны, то в каждой точке тела О мы имеем три взаимно перпендикулярных направления, удовлетворяющих условию (11); эти направления будут, следовательно, главными осями эллипсоида инерции, а потому и главными осями инерции тела в точке О.

Возьмем теперь за оси координат главные оси инерции |т]£ и рассмотрим, как преобразуются при переходе к этой системе осей уравнение эллипсоида инерции (9) и компоненты тензора (J). Ясно, что квадратичная форма 2Д(х, у, г) преобразуется в другую квадратичную форму 2Д(£, т], С), причем для осей £, т], С будут тождественно удовлетворяться уравнения (11х). Для оси | (т. е. для случая, -когда вектор R направлен по оси £) будет ц = 0, С = 0, и мы

получимполучим(15)(15)

получим

получим

(15)

(15)

142

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

[ГЛ. IV

подобным

же образом для осей т] и С будем иметь

ал „ дР .дР _ „

ас ~ °’ "а^ ~ ^г11’ ас — °’

(15')

ас ’ ат) ’ ас

(15")

Из равенства (15) имеем для оси £ (г| = ^ = 0)

А& = А1>— А^ = 0- — ^^ = 0>

^1 = ^>= M = °-(16)

Таким же образом для оси т] (^ = ^ = 0) имеем

—-М-О, Лр^Лт. —-/^ = 0.

^2 = Лп' J^ = -,^==o-О6')

и для оси С (^ = т| = 0)

-^=0, J^ = 0, J^ = 4, т. е.

^з = Ле- Ле = Ае = 0 •(16")

Формулы (16), (16'), (16") показывают, что: 1) корни уравнения (12) Хр Х2, \3 соответственно равны J^, J^ J^, т. е. равны моментам инерции тела относительно главных осей инерции, 2) если за координатную ось взята главная ось инерции, то произведения инерции, содержащие координаты, соответствующие этой оси, обращаются в нуль, т. е. если ось £ главная, то J^ = J^ = 0 и т. д. Моменты инерции J^, Jw J^ называются главными моментами инерции тела для центра О.

Следовательно, если за оси координат взяты главные оси инерции £, г), то квадратичная форма

^хх^ Н- ЛуУ2 “Н ^zz^ 2Jy2y2: 2Jzxzx 2JXyXy

переходит в

форму

+ V + ^2

и тензор

^хх

-Try

— jxz [ Ле 0°

^ух ^ zx

•/уу ^zy

-Az -> о An о

AJ 00 J;

Уравнение эллипсоида инерции, отнесенное к главным осям, будет

(17)(17)

(17)

(17)

(18)(18)

(18)

(18)

или в других обозначениях

A£2 + Bti2+C£2 = A!2.(17х)

Если уравнение (12) имеет два равных корня, например X, = Х2, то заключение о перпендикулярности направлений / и 2, как видно из уравнения (14), не имеет места; в этом случае мы 'имеем

А^Ад (или А = В),

т. е. два главных момента инерции между собою равны, и условию (П) будут удовлетворять все направления в плоскости ^т], выходя

щие из точки О; следовательно, все оси в плоскости >г| будут главными осями инерции, и эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, а плоскость с,г|— его экваториальной плоскостью.

Если все три корня будут равны, т. е. если Х1 = Х2==Х3, то эллипсоид инерции обращается в сферу, и все оси, проходящие через точку О, будут главными; в этом случае точка О называется шаровой точкой тела.

Свойства главных осей инерции. В предыдущем пункте было доказано, что если какая-

либо ось, например х, является

главной для точки О, то произведения инерции, содержащие координату х, обращаются в нуль, т. е.

Обратно, если имеют место равенства (18), то ось х будет главной осью инерции. Действительно, в этом случае уравнение эллипсоида инерции будет

Jxxx2 + АуУ2 + V — ^М2 = &2>

откуда следует, что ось х будет главной осью этого эллипсоида. Следовательно, условия (18) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы ось х была главной осью инерции.

Докажем, что если однородное абсолютно твердое тело имеет ось симметрии, то эта ось будет главной осью инерции для всех точек данной оси. Пусть ось х (рис. 45) будет осью симметрии однородного абсолютно твердого тела; тогда каждой частице тела

Л4 (х, у, г) будет соответствовать такая же частица М' (х, —у, —г), а поэтому

Smzxzyz = 0, 2wzxzzz = 0;

следовательно, ось х будет главной осью инерции для точки О, причем приведенное доказательство имеет место для любой точки О на оси симметрии.

лярна. скостьлярна. скостьТочно так же можно доказать, что если однородное абсолютно твердое тело имеет плоскость симметрии, то для всех точек этой плоскости одна из главных осей инерции будет к ней перпендику-

лярна. скость

лярна. скость

на главныхна главныхлежащиележащиеВ самом деле, если примем плоскость симметрии за пло- ху, то всякой частице Ж (х, у, г) будет соответствовать такая же частица М' (х, у, — г), следовательно,

на главных

на главных

лежащие

лежащие

^т^^^О; Smzzzyz = 0,

а потому ось z, перпендикулярная к плоскости ху, будет главной осью инерции для точки О, причем положение точки О в плоскости симметрии совершенно произвольно.

Главные оси инерции для центра масс тела называются главными центральными осями инерции. Точки,

свойством, что длясвойством, что дляцентральных осях инерции тела, обладают тем всех этих точек главные оси инерции парал-

свойством, что для

свойством, что для

лельны главным центральным осям инерции (а следовательно, и между собой). Действительно, пусть С есть центр масс тела, а х, у, z—главные центральные оси инерции (рис. 46). Возьмем на оси х точку Л4, причем СМ = а, и проведем через тИ оси у' и г* параллельно осям у и г. Так как ось х есть главная для точки С, то

2'«zxzyz = 0, 2®1ЗД = 0.

Переходя к системе координат х', у', zr с началом в Ж, имеем xz = x/ + a, yz = y/, zz = z/;

подставляя эти величины в предыдущие равенства, получим Smz(x;+s)y; = o, S/Mz(x;+a)2; = o, или

2 «z<y; = — а 2 tn^, 2 m^V'i = — ° 2 ^р но так как

2 т^ = 2 т^ = О,

§ 11) ГЕОМЕТРИЯ МАСС 145 как статические моменты тела относительно плоскостей, проходящих через центр масс, то имеем

2/к(х'у' = 0, 2 mix'iz'i = О".

следовательно, ось х будет главной осью инерции и для точки Л1. Далее, так как оси у и z будут тоже главными, то 2 mtyizi — 0, а отсюда следует, что

следовательно, оси у' и z' будут также главными осями инерции для точки М, что и требовалось доказать. Нужно заметить, что другие точки тела этим свойством вообще не обладают.

Взаимный (гирациониый) эллипсоид инерции. В некоторых случаях вместо эллипсоида инерции, рассмотренного в п. 10 и обыкновенно называемого эллипсоидом Пуансо, удобно пользоваться взаимным эллипсоидом инерции.

Эллипсоид Пуансо для точки О, если за координатные оси взять главные оси инерции, имеет уравнение

Ах2 + Ву2 + Сг2 = А2, (19)

где А, В, С суть главные моменты инерции для точки О. Полуоси этого эллипсоида, согласно равенству (8'), будут

т. е. обратно пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции; или, если ввести главные радиусы инерции, положив

А = Мр2, В = Л1р2, С = Л1р2,ток , кк

а 7=^ , Ь =7=- , с т=- ,

Ра/ЗЙPbVMРсУМ

т. е. полуоси будут обратно пропорциональны главным радиусам инерции.

Во взаимном эллипсоиде инерции, наоборот, полуоси прямо пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции или главным радиусам инерции. Взаимный эллипсоид инерции получается из эллипсоида Пуансо (19) путем двойного преобразования. Первое преобразование состоит в том, что через каждую точку М эллипсоида (19) проводим касательную плоскость и из центра О опускаем на нее перпендикуляр; пересечение этого перпендикуляра с

10 Н. Н. Бухгольц

0M" = W-<2°)0M" = W-<2°)отсюдаотсюдах" k2 A R2 ’х" k2 A R2 ’_ у" к2 _ z" к2У — В R2 ’ Z — С R2 1_ у" к2 _ z" к2У — В R2 ’ Z — С R2 1(22)(22)

0M" = W-<2°)

0M" = W-<2°)

отсюда

отсюда

х" k2 A R2 ’

х" k2 A R2 ’

_ у" к2 _ z" к2

У — В R2 ’ Z — С R2 1

_ у" к2 _ z" к2

У — В R2 ’ Z — С R2 1

(22)

(22)

касательной плоскостью определит точку М' (рис. 47). Геометрическое

место точек /И' будет поверхностью, которая называется подерной поверхностью данного эллипсоида относительно центра О. Второе преобразование заключается в инверсии точки М' относительно окруж

ности произвольного радиуса R, т. е. в построении точки М", которая определяется равенством

Геометрическое место точек М" и даст поверхность, которая будет эллипсоидом, взаимным эллипсоиду (19). Найдем- уравнение этого эллипсоида, для чего необходимо найти выражения координат точки Л4 эллипсоида (19) через координаты точки М" и подставить в уравнение (19).

Выразим сначала координаты точки М (х, у, г) через координаты точки М"(х", у", z"). Так как ОМ' есть рас

стояние точки О до касательной плоскости, проведенной через точку М (х, у, z) эллипсоида, причем ОМ' параллельно нормали к эллипсоиду (19) в точке М, то имеем

0/14 = р = г2-...™.™--=- ;

3<A2x24-B2y24-C2z2

cos (ОМ', х) = ~^г~ > cos (ОМ', у) = -^£-, cos(OM', z") = ^Р ;

(21)

далее, из равенств (20) и (21) имеем

ОМ" — -^-; х" = ОМ" cos (ОМ', х^-^!,

у" = ОМ" cos (ОМ', у) = -№_, z" = ОМ"cos (ОМ', 2) = -^^-;

Подставляя значения (22)Подставляя значения (22)в уравнение эллипсоида (19), получим

Подставляя значения (22)

Подставляя значения (22)

(23)(23)Х№^у„2г„2 _ ^4

(23)

(23)

А + В + С ~ к2

т. е. геометрическое место точек М" есть эллипсоид (23), который и будет взаимным по отношению к эллипсоиду (19). Легко видеть, что главные оси эллипсоидов (19) и (23) совпадают, причем для

•§ 12] ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ 147 эллипсоида(23) полуоси будут прямо пропорциональны корням квадратным из главных моментов инерции, т. е.

« = 4^> Ь = -^УВ. с^^УС.

Если преобразования, посредством которых мы получили из эллипсоида (19) эллипсоид (23), применить к эллипсоиду (23), то, как нетрудно показать, получим эллипсоид (19), вследствие чего оба этих эллипсоида и называются взаимными.

§ 12. Вращение абсолютно твердого тела вокругнеподвижной оси

Уравнение движения. Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси под действием системы активных сил Fv F2, . .., Fn. Для вывода уравнения движения применим теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси, которую примем за ось z (рис. 48). Имеем )

dG, Vс

_^^2jmomzFz.(1) Л

Но, как было показано [см. § 2 формулу (9)], для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

GZ = JZ^ = JZ^.

Подставляя это значение Gz в равенство (1), получим уравнение движения твердого тела, вращающегося около неподвижной оси, в видеI

Jzz 5 momz Fi •(2)

Интегрируя это уравнение, находим угол <р как функцию времени и этим вполне определяем движение, ибо в данном случае система имеет одну степень свободы и положение ее вполне определяется углом ф. Если внешние силы отсутствуют или направление их проходит через ось вращения z, то 5mom^^'/ = 0- и мы имеем d2q> n dm,.,

-77- = »=-const, ф = ф0 + «Л

е. вращение будет происходить с постоянной угловой скоростью.

F2, .. ., Fn\ началоF2, .. ., Fn\ началоДавление иа ось. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси можно рассматривать как движение твердого тела, при котором две его точки Ли В неподвижно закреплены. Последнее определение удобно тем, что вполне определенно решается вопрос о реакциях связи, а именно можно сказать, что связь, осуществляемая двумя неподвижными точками Л и В, по аксиоме о связях эквивалентна двум реакциям, приложенным в этих точках; эти реакции обозначим через Л и В. Активные внешние силы обозначим через Fv

F2, .. ., Fn\ начало

F2, .. ., Fn\ начало

42w^42w^(3>(3>координат возьмем в точке Л и за ось Az примем ось вращения (рис. 49). Применяя теорему об изменении количества движения, имеем

42w^

42w^

(3>

(3>

Проектируя обе части равенства (3) на координатные оси, получим три уравнения:

1л»

42^42^(4)

42^

42^

Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно центра Л, имеем

Имея в виду, чтоИмея в виду, чтототАВ= АВ ХВ = ОтотАВ= АВ ХВ = О4 2 <г* X т^ = АВ х в + 2 (г^ х F^.(5)

Имея в виду, что

Имея в виду, что

тотАВ= АВ ХВ = О

тотАВ= АВ ХВ = О

j *

О АВ

В, в.

и проектируя обе части равенства (5) на координатные оси, получаем еще три уравнения;

4 2 mi ^л - <^=-АВ • ву+2- ztF^.

•^^tn^Zi’xt — xiz^ АВ. Bx-\-^{ZlFlx—xtFtz), . (6)

4 2 mi ^i ~ y^) =^ХД^ — ^FixY I

Преобразуем шесть уравнений (4) и (6), имея в виду, что

X = Г COS ф, х = — г sin ф ■ ф — — ум, X = — Xto2у<0, у = Г Sin ф, у = Г COS ф • ф = X®,у =у®2+х®.

2 = const, £=0,2 = 0;

тогда, выполняя дифференцирование и подставляя значения х, х, у, у, г, 2 в уравнения (4) и (6), получим

— ®22 m-tXt — ®2 mzyz = Лл4-Вл+ ^F^

— ®22 ^гУг + ^З^х, = Лу4-Ву + ^Fly, 0 = /1z + 5z+ 2^z-^

— ®S w^zxz-]-®25 ^ЗД = — AB . By+ 5 btFiz— ztFhY — to 2 «Wt — ®2 2 ^z^xz= AB • Bx + ^2tFlx— x^, to 2 mz(xz + y^)=2 {xtFty—у,Р1хУ

Принимая во внимание, что

2mzxz = Alxc, ^т^^Мус, ^m^^^Jy^'2imi2iXi = Jzx. ^т^х}-}-^~JZZ>

где С обозначает центр масс тела, представим уравнения (7) в виде

- Мх^ - Л1усю = Ах 4- Вх 4- 2 F х1,

— Л4усю24-Л1хс® = Лу-|-Ву -|- 2 Fyt,о=Аа-вг-^рг1,Jyz«? — jzxto = — АВ . By + 2 mom^ (F^,— Jzx«? — Jyzto = AB ■ Bx -)- 2 momy ^F^,Jzzto=Smom^B;).

Последнее уравнение системы (7) или (8) не содержит реакций и, следовательно, дает уравнение вращения твердого тела около неподвижной оси (2); интегрируя это уравнение, мы найдем сначала угловую скорость го, а затем и угол ф в функции времени t. Остальные пять уравнений содержат проекции неизвестных реакций Л и В, число которых равно шести; система, следовательно, оказывается неопределенной, а именно, из уравнения третьего первой группы мы можем

определить лишь сумму AZ4~BZ. [Эту неопределенность можно устранить соответствующим выбором форм подшипников (связей) в точках А и В.]

Условия, при которых динамические реакции равны статическим. Если бы твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, было неподвижно, то со — и=0, и левые части уравнений (8) равнялись бы нулю; первые пять уравнений были бы тогда обыкновенными уравнениями равновесия и служили бы для определения реакций, которые в этом случае назовем статическими, а последнее уравнение, как не содержащее реакций, было бы условием равновесия.

В отличие от статических реакций, реакции при вращении твердого тела будем называть динамическими. Возникает вопрос, весьма важный в технике, об условиях, при которых вращение не вызывает добавочных давлений на ось, т. е. об условиях, при которых динамические реакции делаются равными статическим.

При произвольных условиях вращения твердого тела динамические реакции могут весьма сильно отличаться от статических. Это видно хотя бы из того, что если бы в случае равновесия все внешние активные силы равнялись нулю, то и реакции также были бы равны нулю; однако при вращении твердого тела около неподвижной оси динамические реакции при отсутствии внешних активных сил уже не будут равняться нулю, так как левые части четырех из уравнений (8) не равны нулю. Отсюда, между прочим, ясно, что для получения давления на ось, вызываемого вращением тела, нужно внешние .активные силы в этих уравнениях приравнять нулю.

Найдем условия, при которых вращение твердого тела не вызывает добавочных реакций, т. е. условия, при которых динамические реакции равны статическим; для этого необходимо и достаточно, чтобы левые части уравнений (8), за исключением, конечно, последнего, не содержащего реакций, равнялись пулю, т. е.

хс(о2 + ус<о = 0, хсю — усю2 = 0Так как определителиto2 toго —го2хс(о2 + ус<о = 0, хсю — усю2 = 0Так как определителиto2 toго —го2Jугю2 — Jzxto = 0, и .^® + V = o.Jугю2 — Jzxto = 0, и .^® + V = o.to2 —toto to2to2 —toto to2(9)(9)

хс(о2 + ус<о = 0, хсю — усю2 = 0

Так как определители

to2 to

го —го2

хс(о2 + ус<о = 0, хсю — усю2 = 0

Так как определители

to2 to

го —го2

Jугю2 — Jzxto = 0, и .

^® + V = o.

Jугю2 — Jzxto = 0, и .

^® + V = o.

to2 —to

to to2

to2 —to

to to2

(9)

(9)

то равенства (9) могут иметьто равенства (9) могут иметьпри вращении тела не равны нулю,

то равенства (9) могут иметь

то равенства (9) могут иметь

место тогда и только тогда, когда

хс— Ус — 9, Jyz— Jzx— 0,

т. е. если центр тяжести тела лежит на оси вращения и ось вращения будет главной осью инерции для одной из своих точек. Соединяя

оба результата, можем сказать, что при вращении абсолютно твердого тела не возникает добавочных давлений на ось вращения, т. е. динамические давления равны статическим тогда и только тогда, когда осью вращения будет одна из главных центральных осей инерции.

Все изложенное относилось к вращению несвободного твердого тела, у которого закреплены две точки. Рассмотрим, при каких условиях может происходить вращательное движение свободного твердого тела. Допустим, что никакие заданные внешние силы на тело не действуют. Поскольку тело является свободным, все реакции связей будут также равны нулю. Тогда из уравнений (8) следует, что и в данном случае должны выполняться условия (9), т. е. свобод

ное тело может совершать чисто вращательное движение только вокруг одной из своих главных центральных осей инерции. По этой причине указанные оси называют еще свободными осями вращения.

В поле тяжести твердое тело может также совершать чисто вращательное движение вокруг одной из своих главных центральных осей инерции, если закрепить какую-нибудь одну из точек этой оси и если равнодействующая сил тяжести будет проходить через эту точку; примером служит вращение вертикального волчка.

Физический маятник. Физическим маятником называется абсолютно твердое тело,

Рис. 50.Рис. 50.которое может вращаться вокруг неподвижной

Рис. 50.

Рис. 50.

оси под действием силы тяжести. Ось вращения будем считать горизонтальной и примем ее за ось z. Примем за плоскость ху верти

кальную плоскость, перпендикулярную к оси Z и проходящую через центр тяжести С маятника (рис. 50). Составляя для маятника уравнение движения (2) и вводя обозначение ОС = а, получим

Jo 5" = — ^asincp,(10)

at2 ‘at2 ‘Mga sin фJoMga sin фJo(10'}(10'}где Jo есть момент инерции тела относительно оси z. Уравнение (30) можно представить в виде

at2 ‘

at2 ‘

Mga sin фJo

Mga sin фJo

(10'}

(10'}

Сравнивая уравнение (10') с уравнением движения плоского (кругового) математического маятника, которое имеет вид (см. ч. I, § 38)

й2Ф । g •А

_^+^_S[ncp=:o,

152 ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. IV находим, что физический маятник будет колебаться по такому же закону, как плоский математический маятник длиною

Ма ’

где а есть расстояние от центра тяжести до оси вращения; такой математический маятник называют синхронным данному физическому, л величину I — приведенной длиной физического маятника.

Для малых колебаний физического маятника полагаем sin ср я^ (р; тогда уравнение (10') примет вид

Jo ф

откуда

<р = a sin ^j/^ MJa t + e),

где а и е — постоянные, определяемые из начальных условий движения.

Период малых колебаний физического маятника будет, очевидно.

Полагая JO = MPO, где 1О есть радиус инерции тела относительно оси z, получим из равенства (11) для приведенной длины физического маятника выражение

io

(13>

"Так как по теореме Гюйгенса

J0 = Jc4-Ma2, Po = Pc-V-a\(14)

где Jc есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести С параллельно оси z, a 1С— радиус инерции относительно той же оси, то, подставляя значения (14) в выражение (13), получим

'с

2 = » + ^-.(15)

Из равенства (15) видно, что всегда I > а, т. е. приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния от центра ic

тяжести до оси вращения. Полагая — = £, имеем

al = ?с.

т. е. длина £ является третьей пропорциональной величин а и 1С и может быть получена простым геометрическим построением (рис. 50).

Докажем, что если за ось вращения физического маятника взять прямую, параллельную первоначальной оси вращения z и проходящую через точку О', которая лежит в плоскости ху на расстоянии /==а4~£ от 0Си г> то период колебания физического маятника не изменится. Действительно, возьмем за ось вращения ось О'(см. рис. 50), параллельную оси г; тогда для этой оси, на основании равенства (15), приведенная длина маятника будет

подставляя во второй член правой части этого равенства значение £, получим

Z' = ^ + а = Z,

т. е. для оси О' приведенная длина будет та же, что для оси О, откуда и следует доказываемое. Таким образом, оси О и О' являются взаимными. На этом основано свойство оборотного физического маятника, используемое в известном из курса физики оборотном маятнике Катера, применяемом для экспериментального определения ускорения силы тяжести. Заметим, что точку О называют центром качаний физического маятника.

Давление маятника на ось. Для определения давления физического маятника на ось вращения воспользуемся уравнениями (8) п. 2, причем предположим, что тело однородно и симметрично относительно плоскости Оху, проходящей через центр тяжести С (см. рис. 50). Тогда ось z будет главной осью инерции тела для точки О (§ 11, п. 12); следовательно, Jxz = Jyz = 0. Так как в данном случае на тело действует только одна сила Mg, приложенная в точке С(хс, ус) в плоскости Оху и параллельная оси х, то уравнения (8), если считать точку А совпадающей с О, примут вид

(16)(16)— а?Мхс — <оЛ4 ус = Лх + Вх -[- Mg, — <о2А1ус + иЛ1хс = Лу 4- Ву, 0 = Az^-Bz, 0 = — АВ . Ву, 0 = АВ ■ Вх,

(16)

(16)

где В—какая-нибудь точка оси z. Принимая во внимание, что на основании уравнений (16) Вх = Ву = 0 и считая закрепление в точке В таким, что Bz = 0, получим

(17)(17)Ах = — а?Мхс — соА1ус — Mg, Ay — — оЛИус 4- юА1хс.

(17)

(17)

Уравнения (17) показывают, что в случае симметрии реакция оси сводится только к одной силе А, приложенной к точке О в плоскости Оху; проекции этой силы на оси х и у определяются уравнениями (17).

§ 13. Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела

При плоскопараллельном движении точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной (основной) плоскости (см. ч. I, § 9, п. 1). Всякое движение твердого тела кинематически

и динамически можно рассматривать состоящим из движения центра масс и движения тела относительно центра масс. При плоскопарал-

Проведем через центр массПроведем через центр массдельном движении центр масс движется параллельно неподвижной плоскости, а движение относительно центра масс есть вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к неподвижной плоскости.

Проведем через центр масс

Проведем через центр масс

Проведем через центр масс С тела плоскость, параллельную неподвижной, и возьмем в этой плоскости неподвижные оси Оху (рис. 51). Плоскость Оху пересечет тело по некоторому сечению, положением которого относительно осей Оху определяется положение тела. С оси Сх'у', параллельные осям Оху,

и подвижные оси Сх"У', скрепленные с телом. Тогда положение тела будет определяться положением центра масс С, т. е. радиусом-вектором гс (хс, ус) и углом ф между осями Сх' и Сх".

По теореме о движении центра масс имеем

=(1)

тде 2 Fi есть главный вектор внешних сил, действующих на тело, М — масса тела. Проектируя обе части равенства (1) на оси основной системы, получим

м^-^Р».<=>

Теорема моментов относительно центра масс дает уравнение ^=^ттсР1’(3)

тде Jc есть момент инерции тела относительно оси Cz', проходящей через центр масс.

Интегрируя систему трех уравнений (2) и (3), определим хс. Ус и <р как Функции времени t.

Уравнения движения центра масс можно составить также в проекциях на касательную и главную нормаль к траектории, т. е. в виде-

«^-^ 4=-^f- w

где ч)с есть скорость центра масс, а рс — радиус кривизны его траектории, Тогда определение движения тела сведется к интегрированию системы уравнений (3), (4).

При интегрировании системы уравнений (2) и (3) или (4), (3), можно эти уравнения заменять другими, получающимися в результате их взаимных комбинаций.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия твердого тела относительно неподвижной системы Оху по теореме Кёнига равна

т - 4 W+^)=4 к^с+у2с)+/2сН-<>

где -ос есть скорость центра масс, а 1С = у есть радиус инерции тела, относительно оси Cz', проходящей через центр масс.

По теореме об изменении кинетической энергии имеем

йТ^Е^йг^(6)

Подставляя выражение кинетической энергии в это равенство, получим уравнение

d 4 К4 + Ус) + ЭД = S (Flx d^ + ^у d4<>

которым можно заменить любое из трех уравнений (2) и (3) или (4), (3).

Уравнение, выражающее теорему, можно составлять и в конечной (интегральной) форме

Т — Тй = ^Аеь(8)

осей х'С^'. проходящих через центр масс и перемещающихся поступательно, т. е.

G0 = ^cXA1-^) + Gc,(9)

-то [dy- dx-1 dm

xc~dt ^c"dFVrJc-di-(10)

В результате теорема моментов дает

d Г / dy _dx г \ .dm 1

drl^V^-d/Ус ”5Г/+ УС "dF J = 2 ^‘"^У ^iFi^' 00

Уравнение (11) также может заменить любое из трех уравнений (2), (3) или (4), (3).

Свободное твердое тело, как следует из результатов п. 3 § 12,

может совершать плоскопараллельное движение только по отношению к плоскости Оху, перпендикулярной к одной из главных центральных осей инерции тела; при этом необходимо, чтобы для действующих на тело внешних сил выполнялись условия 2 Fu = О, 2 momX'Fj = 0, 2 momy-F/ = 0 (см. рис. 51), а начальные скорости всех точек тела должны быть равны нулю или параллельны плоскости Оху.

При несвободном движении уравнения (2), (3), (4), (6), (11) сохраняют свой вид, но в их правые части войдут еще реакции связей. Поэтому для определения закона движения, т. е. xcXt\ ^!c(t), <p(0> и реакций связей к любым трем уравнениям движения необходимо еще добавить уравнения, выражающие условия, налагаемые на движение связями. Если связи идеальные и явно от времени не зависят.

то реакции этих связей в уравнение (7), выражающее теорему об изменении кинетической энергии, входить не будут.

В случае нескольких твердых тел для каждого из них можно составить какие-нибудь три уравнения движения, а затем исключить взаимные реакции или составлять уравнения движения сразу для системы этих тел.

с- 0 •2. Примеры. 1) Скольжение ци

линдра вдоль наклонной плоскости. Пусть тяжелый круглый цилиндр движется, касаясь абсолютно гладкой наклонной плоскости, образующей с горизонтальной плоскостью угол а, так, что ось цилиндра остается все время горизонтальной. Движение происходит параллельно вертикальной плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра -(рис. 52). Найдем уравнения движения цилиндра.

Внешние силы, действующие на цилиндр: сила тяжести Mg и реакции наклонной плоскости N. Направим оси основной системы следующим образом: Ох — вдоль наклонной плоскости и Оу— перпендикулярно к ней. Если координаты центра тяжести обозначим через хс, ус, то уравнения движения ■будут:

Мхс = Mg sin а, Мус = — Mg cos а -[- У, Jc q> = 0.

(а)(а)Здесь мы имеем случай несвободного движения. Условие, налагаемое на движение связью, состоит в том, что ус = R, ус = 0. Тогда второе из уравнений принимает вид

(а)

(а)

О = — Mg cos a-\-N,

откуда определяется реакция

N = Mg cos а.

Из третьего уравнения системы (а) имеем <р = ю = const, т. е. угловая скорость вращения цилиндра будет оставаться постоянной во все время движения.

Итак, цилиндр будет вращаться с той угловой скоростью, которая ему была сообщена в начальный момент, а центр тяжести его (ось) будет двигаться вдоль наклонной плоскости с ускорением %с = ^31п«.

Качение цилиндра. Условия те же, что в предыдущем примере, но плоскость шероховатая и цилиндр катится по плоскости без скольжения.

К внешним силам Mg и N добавится в этом случае сила трения скольжения F, направленная вдоль наклонной плоскости в сторону, противопо- “ ложную движению (рис. 53). Уравнения / движения будут,

Mx. = Mg sin а — F, Myc =— Mg cos а 4-TV, (6)V

J^ = PR.

В последнем уравнении справа знак плюс, так как для момента следует брать то же положительное направле-В последнем уравнении справа знак плюс, так как для момента следует брать то же положительное направле-*9Рис. 53.*9Рис. 53.ние, что н для отсчета угла <р. Движе

В последнем уравнении справа знак плюс, так как для момента следует брать то же положительное направле-

В последнем уравнении справа знак плюс, так как для момента следует брать то же положительное направле-

*9

Рис. 53.

*9

Рис. 53.

ние по-прежнему несвободное и у = 0; следовательно, и в этом случае N = Mg cos а. Из последнего уравнения имеем

В данном случае связь налагает на движение еще одно ограничение: поскольку при качении цилиндра мгновенная ось вращения направлена вдоль образующей, соприкасающейся с плоскостью, то в любой момент времени хс = R^ и, следовательно, хс = R<$. Обозначим радиус инерции цилиндра

относительно оси С через ic; тогда JC = M?C, и выражение для F примет ВИД

М?схс

Подставляя это выражение в первое из уравнений (б), получим

^С ^^2 ^ ^ Sin а>

ИЛИ

i2c \.

^ = gsma,

откуда

•■ g sin a

Сравнивая полученное выражение с результатом предыдущего примера, мы видим, что в случае чистого качения ускорение будет меньше, чем в случае чистого скольжения. Такой же результат можно получить и из теоремы об изменении кинетической энергии.

Для случая однородного цилиндра

/с = —2~ , 1с = -у и хс = "з 8 sln ».

Ускорение, следовательно, меньше на одну треть по сравнению с тем, которое будет при чистом скольжении. Сила трения равна F — -g- Mg sin a.

Найдем дополнительно, при каких значениях коэффициента трения / цилиндра о плоскость возможно рассматриваемое движение (т. е. качение без скольжения). Заметим, что когда цилиндр ие скользит вдоль плоскости, сила трения может не достигать предельного значения; поэтому F и N здесь связаны неравенством F^fN. Подставляя сюда найденные значения F и N, имеем

откудаоткудаi Mg sin a< fMg cos a,

откуда

откуда

1^

3

Если коэффициент трения будет меньше этой величины, то цилиндр будет катиться вдоль плоскости с проскальзыванием. Уравнения движения при этом сохранят вид (б), но одно из условий, налагаемых связями, изменится, а именно равенство хс = /?<р не будет иметь места. Однако вместо этого появится другое соотношение: поскольку точка касания скользит вдоль плоскости, то сила трения имеет предельное значение и, следовательно, F=fN.

ММR4-rR4-rMg cos 0 — N.Mg cos 0 — N.(г)(г)

М

М

R4-r

R4-r

Mg cos 0 — N.

Mg cos 0 — N.

(г)

(г)

§ 13]ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА159

В результате 1-е и 3-е уравнения в системе (б) примут вид

= Mg (sin а — / cos а); —— <р = fMgR cos а, откуда

^c = ^(sina— /cos a); <p = ^^cosa.(в)

Следовательно, центр цилиндра в этом случае движется с постоянным уско

рением хс, а сам цилиндр вращается с постоянным угловым ускорением <р, значения которых определяются равенствами (в). Для вычисления этих величин дожен быть дополнительно задан

коэффициент трения /.

Качение цилиндра по цилиндрической поверхности. Пусть однородный круглый цилиндр радиусом г катится без скольжения по цилиндрической же поверхности радиусом R (рис. 54), начиная движение из наивысшего положения без начальной скорости (точнее с пренебрежимо малой начальной скоростью). Найдем, в каком положении, определяемым углом 6 = 6Ь цилиндр оторвется от поверхности.

Изобразим действующие на ци

линдр силу тяжести Mg, нормальную Р с 54 реакцию плоскости N и силу трения F. ис’ ' Цилиндр будет оставаться иа поверх

ности до тех пор, пока реакция N имеет направление, показанное на рисунке. Следовательно, для определения места отрыва, если оно существует, надо найти зависимость N (0). Эту зависимость проще всего получить из

уравнения движения центра масс в проекции на главную нормаль п к его траектории [2-е уравнение в системе (4)], которое дает

Входящую сюда величину v^ найдем из теоремы об изменении кинетической энергии

7-Г0=24(д)

Так как движение начинается из состояния покоя, то Го = 0. Для Т по теореме Кёнига имеем

т = ^ Ми2с 4- 1 /сю2 = 1 Aft»?; +1 MrV = -| Mv2c,

поскольку, как н в предыдущем примере, здесь имеет место соотношение ис = ®г.

Силы N и F в данном случае работы не совершают, так как они все время приложены в точке, элементарное перемещение которой равно нулю. Работа же силы тяжести на перемещении, определяемом углом 0, будет Д = Mgh = Mg (R + г) О — cos 6). В результате уравнение (д) принимает вид

^ Mv(.= Mg^R-^-r) (1 — cos 6).

Определяя отсюда значение Mvc и подставляя его в равенство (г), найдем окончательно

N = -^ (7 cos 0 — 4).(е)

Отсюда видно, что если 7 cos 6 < 4, то N > 0, т. е. реакция имеет направление, показанное на чертеже, и цилиндр остается на поверхности; если же 7 cos 6 > 4, то N < 0 и направление реакции меняется на прямо противоположное. Но реакцию, имеющую такое направление, поверхность развить не может. Следовательно, место отрыва определяется равенством

4

cos 01 = у (0( и 54°)

и от величин радиусов не зависит.

получимполучимНайдем, каким должен быть коэффициент трения, чтобы цилиндр мог катиться без скольжения до точки отрыва. Для этого надо вычислить вели- ri.. чину Г. Составим 1-е из уравнений (4) и уравнение (3). Замечая, что = $с.

получим

получим

A4sc = Mg sin 0 — F, /сф = Fr.

Эти уравнения такие же, как 1-е и 3-е уравнения системы (б) в предыдущем примере. Поэтому, учитывая, что и здесь $с = гф, и исключая из двух составленных уравнений ускорение, найдем аналогично предыдущему примеру, что F = у Mg sin 0. Далее имеем F <.yN, откуда />у. Но при 6 = 9] F + 0, a N = 0. Следовательно, чтобы качение без скольжения происходило до места отрыва, должно быть / = со. Практически это возможно, если между катящимся цилиндром и цилиндрической поверхностью будет зубчатое зацепление. Если же величина / будет конечна, то, не доходя до места отрыва, цилиндр начнет скользить; при этом зависимость ус (6) изменится и место отрыва станет другим.

§ 14. Движение абсолютно твердого тела, имеющего однунеподвижную точку. Основные кинематические соотношения

ным образом при интегрировании второй системы; поэтому задача о движении твердого тела около неподвижной точки имеет основное

значение в механике твердого тела.

Твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы. Следовательно, положение твердого тела можно определить заданием трех независимых обобщенных координат, что может быть сделано разными способами (углы Эйлера, параметры Олинда Родрига и др.). Классическими параметрами являются три эйлеровых угла: ср, ф, 9. Если они заданы для данного момента, то задано и положение тела. Если же <р, ф, 9 известны в функции времени t, то известно будет положение тела в каждый момент времени, а следовательно» будет известно движение твердого тела.

Регулярная прецессия. Из теоремы Даламбера вытекает, что

движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как последовательность бесконечно малых вращений около мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку (см. ч. 1, § 10, п. 2). Геометрическое место последовательных положений мгновенной оси вращения в пространстве, связанном с телом, образует коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, называемую подвижным аксоидом. Геометрическое место мгновенных осей вращения относительно основной системы ориентировки

есть другой конус с вершиной в неподвижной точке и называется неподвижным аксоидом. Геометрически движение твердого тела около неподвижной точки сводится к качению без скольжения подвижного аксоида по неподвижному.

Рассмотрим с кинематической точки зрения одно из движений твердого тела с неподвижной точкой О, важное для дальней

шего,— так называемую регулярную прецессию, т. е. такое сложное движение тела, когда тело вращается с постоянной по численной величине угловой скоростью о, вокруг оси z, связанной с телом (обычно оси симметрии), а эта ось поворачивается с постоянной угловой скоростью <й2 вокруг другой неподвижной оси £, составляя с неподвижной осью $ один и тот же угол (рис. 55).

Подвижной и неподвижный аксоиды (на рисунке конусы / и //) будут в этом случае круглыми конусами; их оси образуют с мгновенной угловой скоростью результирующего движения 2 постоянные углы аир. Подвижной аксоид (конус /) называют конусом собственного вращения, а его ось z— осью собственного вращения', неподвижный аксоид (конус //) называют конусом прецессии, а его ось

$—осью прецессии. Эти названия астрономического происхождения. Земная ось (если отвлечься от движения центра масс Земли), являясь осью собственного вращения, медленно поворачивается (прецессирует) в пространстве и в период около 26 000 лет (годовая прецессия « 50") описывает конус (конус прецессии), ось которого (ось прецессии) перпендикулярна к плоскости эклиптики и составляет с земной осью угол, равный 23° 28' (в настоящую эпоху).

Прецессия называется прямой, если угол между угловой скоростью собственного вращения (В, и угловой скоростью прецессии <в2 острый (касание конусов I и II при этом внешнее), и обратной (рис. 56), если угол между <0, и <в2 тупой (касание аксоидов внутреннее). Прецессия земной оси есть пример обратной прецессии.

Между угловыми скоростями <в,, <в2 и У существуют соотношения, вытекающие из параллелограмма угловых скоростей, а именно:

Q = (Bj -f- ю2;

©2

sina sin рsin(a + P)

и

22 = ю2 -|- ю2 -J- 2a>1a>2 cos (a + P).

Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим (рис. 57) основную систему ориентировки через ОЕ,Т]£, а подвижную систему, неизменно связанную с твердым телом, — через Oxyz. Начала обеих систем координат совпадают с неподвижной точкой О твердого тела. Положение тела в данный момент времени определяется положением подвижной системы отсчета относительно неподвижной, которое будем

задавать тремя эйлеровыми углами <р, ф, 0 (см. ч. I, стр. 93). Прямая пересечения плоскостей О!,т] и Оху называется линией узлов; обозначим ее через ОК Положительное направление на ней выбирается так, чтобы наблюдатель, расположенный вдоль ОК, видел поворот от оси О£ к Oz совершающимся против хода часовой стрелки. Напомним, что эйлеровыми углами будут:

<р — угол между линией узлов ОК и осью Ох, ф — угол между осью Ос, и линией узлов ОК

и

6 — угол между осями О^ и Oz.

Ось Oz называется осью собственного вращения, и в соответствии с этим угол <р и угловая скорость ф называются углом и угловой скоростью собственного вращения. Ось 0$ называется осью прецессии, а угол ф и угловая скорость if будут соответственно углом и угловой скоростью прецессии. Линия узлов ОК называется осью нутации, а угол 6 и угловая скорость 0 — углом и угловой скоростью нутации.

Когда изменяется только один из эйлеровых углов, например ср (ф и 6 остаются постоянными), то движение твердого тела есть вращение около соответствующей оси, в данном случае оси z, с угловой скоростью ф = ф2°, направленной по оси z. Если же изменяются все три угла ф, ф, 6, то угловая скорость <й твердого тела по теореме о сложении угловых скоростей, пересекающихся в одной точке (ч I, §11, п. 3), будет суммой угловых скоростей ф, if и 0, направленных соответственно по осям Oz, ОЕ и ОК", при этом

Ф = ф2°, if = ф£° и 0 = 0К°,

где К° есть единичный вектор линии узлов. Таким образом, имеем

<о=ф + Ф + 6.(1)

Обозначим проекции угловой скорости ® на оси подвижной системы координат через р, q, г, а на оси неподвижной системы через р', q', г'. Выведем кинематические уравнения Эйлера, дающие р, q, г в функции эйлеровых углов и их производных. Проведем вспомогательную прямую От, перпендикулярную к плоскости OKz, и разложим угловую скорость прецессии ф по направлениям Oz и От. Это разложение возможно, ибо От по построению перпендикулярно к OK, a Oz и О^ также перпендикулярны к ОК и, следовательно, все три прямые Oz, Ot, и От лежат в одной плоскости. Так как От перпендикулярно к Oz, то в параллелограмме ОАСВ угол при

вершине О прямой, следовательно, параллелограмм является прямоугольником и

ОД = ОС • cos6 = фcos6, ОВ = фзт9.

Отсюда следует, что

ф = 2°ф cos 0 4~т°Ф sin 9.(2)

Проектируем обе части равенства (1) на подвижные оси, принимая во внимание соотношение (2) и замечая, что / КОх = / тОу = ф; получим

р = Ф cos у + (ф cos 9) cos у 4~ (Ф sin 9) cos ^у — ф) + 0 cos ф,

q = ф cos у 4~ (Ф cos 0) cos ^ + (ф sin 0) cos ф + 9 cos (у + ф) •

г = ф 4- ф cos 9 -|- 9 cos у, После упрощения имеем

р = ф sin 9 sin ф 4~ 9 cos ф,

(3)(3)Ф = фз!п0созф —0 8Шф, г — ф COS 0 4~ ф-

(3)

(3)

Для получения кинематических уравнений Эйлера в неподвижной системе ориентировки проведем другую вспомогательную прямую On, перпендикулярную к плоскости OKt, и разложим угловую скорость собственного вращения ф = фг° по направлениям On и Ot.; будем иметь

ф = (— »®)ф sin9 + С°ф cos 9.

Тогда, проектируя обе части равенства (1) на неподвижные оси и принимая во внимание найденное выражение для ф, а также то, что / -qOn = / с. О К = ф, получим

р' = (ф sin 9) cos ^у — Ф^+(ф cos 0) cos у + Ф cos у + 9 cos ф, q' = (<р sin 9) cos (л— Ф)4*(Ф cos 6) cos у+ фсозу4-9 cos (у — ф^ , г' = ф cos 9 + Ф 4- 9 cos у,

Окончательно будем иметь

(4)(4)у' = ф sin 9 sin ф 4- ® cos ф, q' = — ф sin 0 cos ф 4” 9 81пф, г' = ф cos 9 4* Ф-

(4)

(4)

Приведем другой вывод уравнений (3). Представим равенство (1), введя единичные векторы, в виде

<1) = ф20 + 4^ + ёК6.(Г)

Выразим единичные векторы £° и № через единичные векторы подвижных осей х?, у0, 2°; имеем

К° = СО5ф • Л^— эшф ■ у^ и

£° = cos 0 • zfl + sin6 • т°.

Но так как / тОу = ф, то

т° = 51Пф ■ Л^4-СО5ф -у6 и

go — cos 9.2°-]-sin 0 (sin ф • jc° + cos ф • у0).

При найденных значениях ^ и ^° равенство (Г) примет вид

<й = ф2° + ф (cos 0 • г° + sin 0 з1пф • лг° + sin 0 cos ф ■ у0) -}-

+ 0 (cos ф •— sin ф • У)

или

<й = У> (ф siп 0 siп ф + 0 cos ф) +У (ф sin 0 cos ф — 0 si п ф) +

+ ге(ф -ф-ф cos ф).

Отсюда получаем систему (3).

Уравнения (3) или соответственно (4) позволяют вычислить мгновенную угловую скорость тела <й через ее проекции р, q, г (или р', q', г'), когда закон движения тела, т. е. зависимости ф(/), ф(/), 0(/) известны.

При решении основной задачи динамики уравнения (3) дают три соотношения между шестью неизвестными функциями времени ф, ф, 0, р, q, г. Присоединяя эти три уравнения к трем динамическим уравнениям Эйлера, которые устанавливают зависимость между р, q, г и действующими силами (эти динамические уравнения будут получены в § 16, п. 1), будем иметь систему шести дифференциальных уравнений первого порядка, из которых могут быть найдены шесть величин р, q, г, ф, ф, 0 как функции времени.

§ 15. Выражения основных динамических величиндля твердого тела, имеющего неподвижную точку

Кинетический момент. Так как скорость точки твердого тела есть ® = й X f, то кинетический момент Оо твердого тела относительно неподвижной точки О будет (в дальнейшем для кратности

индекс О при векторе Go опускаем)

G = 2 (rz X т.-о^ = S [rz X mt (® X г,)] =

= ® 2 т^ — 2 mtrt^г. • со).

Проектируем обе части этого равенства на подвижные оси. Проекция на ось х будет

Gx = Р 2 mt (x2i + у2 + z^ — 2 mtxt (pxt + qyt + rz,) =

= P 2 «/(уЦ-^) —g 2 "Wi-r2 mtxtzt.

Вводя компоненты симметрического тензора инерции относительно неподвижной точки и повторяя вывод для осей у и z, получим окончательно

(1)(1)d')d') Р^ХХ Я^хУ ^XZ*g^ = — pJyx+qjyy — г/уг,g2 = — pJ2x — qJzy + rJ2z,

(1)

(1)

d')

d')

или, в других обозначениях,

Gx= Ар — Fq—Er, ' Gy = — Fp-\-Bq — Dr, Gz = —Ep — Dq A-Cr. .

[Последние две из формул (1) или (1') получаются из первой посредством циклической перестановки индексов х, у, z и соответственно р. q. г.]

Формулы (I) показывают, что проекции О являются линейными функциями проекций <й, коэффициентами которых являются компоненты тензора инерции.

Обозначая тензор инерции символом (У), можно представить равенство (1) в виде

0=®(Д (2)

е. представить вектор G как произведение вектора <й на тензор (У) (см. § 11, п. 9).

Формула (2) показывает, что вектор кинетического момента G есть линейная вектор-функция угловой скорости <й; при этом вектор G получается аффинным преобразованием вектора а посредством тензора инерции (J).

Если за подвижные оси взять главные оси инерции тела для неподвижной точки, то произведения инерции обратятся в нуль, т. е.

uyz uzx а именно:uyz uzx а именно:ВЫРАЖЕНИЯ = ^y = 0.ВЫРАЖЕНИЯ = ^y = 0.и формулы (2) перейдут в более простые,и формулы (2) перейдут в более простые,Ox = Jxxp = Ар, Оу = Jyyq = Bq, Oz=Jzzr = Cr.Ox = Jxxp = Ар, Оу = Jyyq = Bq, Oz=Jzzr = Cr.(3)(3)2. Кинетическая2. Кинетическаяэнергия. Выразим кинетическую энергию твер-энергия. Выразим кинетическую энергию твер-дого тела в фукции вектора to. Согласно определению имеем

uyz uzx а именно:

uyz uzx а именно:

ВЫРАЖЕНИЯ = ^y = 0.

ВЫРАЖЕНИЯ = ^y = 0.

и формулы (2) перейдут в более простые,

и формулы (2) перейдут в более простые,

Ox = Jxxp = Ар, Оу = Jyyq = Bq, Oz=Jzzr = Cr.

Ox = Jxxp = Ар, Оу = Jyyq = Bq, Oz=Jzzr = Cr.

(3)

(3)

2. Кинетическая

2. Кинетическая

энергия. Выразим кинетическую энергию твер-

энергия. Выразим кинетическую энергию твер-

2T = 2 mt°\ = 2 mt°t • v; = S miTi • (to X r^ =

= 2 <» • (г, X М;Ог) = to • 2 (И X m -D^ = to • G. Итак,

2T = G • ю.(4)

т. e. удвоенная кинетическая энергия твердого тела, имеющего неподвижную точку, равняется скалярному произведению кинетического момента относительно этой точки на угловую скорость тела.

Выражая скалярное произведение (4) через проекции сомножителей на оси и заменяя проекции G их выражениями (1), получим

2Г = JxxP^ + Ay-?2 + ЛХ2 — Ч^ — ^JzxrP — ^хуРЧ> (5) или в других обозначениях

2Т = А р^ + Bq2 + С г2 — 2Dqr — 2Erp — 2F pq,(5')

что можно записать короче

2Г = 2Ф(р, q, г).(6)

Из формулы (5) мы заключаем, что кинетическая энергия твердого тела есть однородная квадратичная функция проекций угловой скорости.

Если за подвижные оси взяты главные оси инерции тела, то JyZ = Jzx = Jxy = 0, и формула (5) примет вид

2T = Jxxp^j,#A-azA(7)

или в других обозначениях

2Г = Л^-^Й^ + Сг2.(7')

Для вычисления кинетической энергии тела с неподвижной точкой можно указать еще другую формулу. Если обозначить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения через Jto, то, поскольку мгновенное распределение скоростей точек тела при элементарном повороте вокруг мгновенной оси является таким же, как при вращении вокруг неподвижной оси, для вычисления кинетической

энергии тела с неподвижной точкой должна быть справедлива формула

T = ^J^.(8)

Покажем, что эта формула вытекает и из равенства (5). В самом деле, если обозначить направляющие косинусы мгновенной оси вращения через а, 0, у, то

р=<йа, y = G>p, г = ыу.

Подставляя эти значения в равенство (5), получим

27 = Uxx^ + Лу₽2 + j^ — 2-My — 2/zxya — 2V^yap)a?, т. e. придем к равенству (8), так как, согласно формуле (5) из п. 8, § 11, выражение в скобках равно Ja. По формуле (8) можно также вычислить Ja, если величины Т и со в данный момент времени известны.

Отметим в заключение, что если взять частные производные от выражения (5) по р, д, г и принять во внимание формулы (1), то получим следующую зависимость между величинами О и Т:

г дТдТдТп

х др У dq г drv '

что можно записать короче:

G = gradp. ГТ,(9')

где индексы р, q, г указывают переменные, по которым берется (формально) операция grad.

Эллипсоид энергии. Выясним энергетический смысл эллипсоида инерции Пуансо (см. § 11, п. 10). Будем откладывать от неподвижной точки О на векторах угловой скорости о» отрезки ОМ = Rb пропорциональные модулю соответствующей угловой скорости; получим векторы

/?! = &!<»,(Ю)

где А1 = const — коэффициент пропорциональности. Обозначим проекции Rt на подвижные оси временно через Хр ур Zp Тогда

xx = kxP> У1 = ^1<7. 2х = кхГ.(И)

Определяя из равенств (11) р, q, г и подставляя их в выражение (6) для кинетической энергии, получим

2Т№1 = 2Ф(хг Ур г,).(12)

Если потребовать, чтобы было 2Г = const, то равенство (12) обратится в следующее:

2Ф(хр ур z^ = 27^ = const,(13)

или в развернутом виде:

^1 + Vi + W “ 2А^121-27^1х1-Чух1У1= 2^1 = const.

Это уравнение поверхности второго порядка (эллипсоида), подобной эллипсоиду инерции и подобно с ним расположенной.Для всех точек эллипсоида получаемые из формулы (10) угловые скорости <о = -т— соответствуют одному и тому же числен- «1Это уравнение поверхности второго порядка (эллипсоида), подобной эллипсоиду инерции и подобно с ним расположенной.Для всех точек эллипсоида получаемые из формулы (10) угловые скорости <о = -т— соответствуют одному и тому же числен- «1(13')

Это уравнение поверхности второго порядка (эллипсоида), подобной эллипсоиду инерции и подобно с ним расположенной.

Для всех точек эллипсоида получаемые из формулы (10) угловые скорости <о = -т— соответствуют одному и тому же числен- «1

Это уравнение поверхности второго порядка (эллипсоида), подобной эллипсоиду инерции и подобно с ним расположенной.

Для всех точек эллипсоида получаемые из формулы (10) угловые скорости <о = -т— соответствуют одному и тому же числен- «1

ному значению кинетической энергии твердого тела; поэтому поверхность (13') носит название эллипсоида энергии. Меняя значения константы /г в формуле (9) из п. 10 § 11 или константы кг в формуле (13'), можно построить для данной точки твердого тела семейство эллипсоидов инерции (или энергии). Каждому из них будет соответствовать свое значение кинетической энергии твердого тела. В ‘этом и заключается энергетический смысл эллипсоида инерции Пуансо.

Каждый из семейства эллипсоидов инерции (построенного для данной точки) является в то же время и эллипсоидом энергии. Легко заметить зависимость между константами А и ^ в формулах (9) из § И и (13'), соответствующими одному и тому же отдельному эллипсоиду семейства.

Согласно формулам (8') § 11 и (10)

ь

R = Y=. ^ = ^

Если это один и тот же эллипсоид, то необходимо, чтобы было R = Rv Отсюда

к и

VI

Далее, согласно формуле (8), имеем

2Г - /и2;

вычисляя отсюда величину со и подставляя ее в предыдущее равенство, получим к . V^T V7 VJ'

или к = кгУ2Т.(14)

Связь между направлением вектора кинетического момента и эллипсоидом инерции. Из формул (1) и (11) следует, что проекции на подвижные оси кинетического момента твердого тела

относительно неподвижной точки можно представить в виде

^х— Uxxx\ ^хуУ\ ^xz^O’(15)

для Gy и Gz получаются две аналогичные формулы. Но из выражений (13), (13') для функции Ф(хр ур 2г) следует, что

5Xv^яхХх ^хуУ\ ^хг2!'(16)

дФ „^г- СРав"дФ „^г- СРав"дФ

дФ „

^г- СРав"

дФ „

^г- СРав"

и два аналогичных выражения получаются для -^- и

нивая между собой равенства (15), (16) и им аналогичные, заключаем.

что

; 1 ^Ф Г 1 5Ф г 1 6>Ф

х кх дхх ’ у кх дух ' г кх дгх *'

в виде одного век-в виде одного век-Три скалярных равенства (17) можно записать торного:

в виде одного век-

в виде одного век-

(17')(17')G = -^-grad(T1,y„z^(xp Ур zxY

(17')

(17')

Заметим, что соотношения (17), (17') можно получить непосредственно из равенств (5) или (9'), если учесть обозначение (12) и зависимости (11).

Итак, кинетический момент твердого тела относительно неподвижной точки есть (с точностью до постоянного множителя) градиент скалярной функции Ф (хр ур z-^. Но градиент скалярного поля Ф нормален к поверхностям уровня поля Ф = const (см. ч. I, § 33, п. 5). Следовательно, кинетический момент G, будучи приложен в неподвижной точке О, параллелен нормали v° к эллипсоиду инерции (энергии) в точке М (хр ур z^, в которой эллипсоид пересекается мгновенной осью вращения (рис. 58). Соединяя доказанную теорему с предшествующими выводами, можно сказать, что кинетический момент G твер

дого тела относительно неподвижной точки тела есть вектор, получаемый аффинным преобразованием вектора угловой скорости е> при посредстве тензора инерции. Этот вектор, являясь градиентом скалярной функции Ф(хр yt, z^) (с точностью до постоянного множителя), параллелен нормали к эллипсоиду инерции в той точке, в которой ось мгновенного вращения пересекает эллипсоид инерции.

Динамический смысл главных осей инерции. Возьмем в качестве подвижных координатных осей главные оси эллипсоида инерции. Тогда проекции кинетического момента будут определяться формулами (3) из п. 1:

Gv — Jxxp = Ар, а

Оу = УууУ = Sy, I(18)

Gz==Jzzr — Cr. )

Из этих формул следует, что кинетический момент и угловая скорость могут быть направлены одинаково в трех и только в трех различных случаях, а именно в тех случаях, когда направления этих векторов совпадают с направлениями главных осей инерции (если только эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения или сфера).

Для доказательства положим в формулах (18) две из проекций угловой скорости (В равными нулю. Например, пусть д = 0, г = 0, т. е. предположим, что вектор ® направлен по оси х; тогда получим

Ох = Ар, 0^ = 0, Gz = 0.

Следовательно, и кинетический момент направлен по той же оси х. Аналогичный результат получим и для двух других осей.

Покажем теперь, что в случае неравенства между собой моментов инерции А, В и С главные оси будут единственными направлениями, для которых угловая скорость <в коллинеарна с кинетическим моментом О. В самом деле, если G и ы коллинеарны и не равняются порознь нулю, то имеет место уравнение

СХй = 0, или

Отсюда

(19)(19)(В — С) дг = О,(С — Л) гр = О,(A-B)pq = 0.

(19)

(19)

В зависимости от значений А, В и С могут иметь место три случая:

А, В, С не равны между собой; тогда уравнениям (19) можно удовлетворить, только положив две из проекций угловой скорости <о равными нулю, а это и дает три главных направления эллипсоида инерции.

Два из моментов инерции А, В, С равны между собой, например В — С =j= А, т. е. эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. В этом случае первое из уравнений (19) тождественно удовлетворяется. Чтобы удовлетворить двум остальным уравнениям, достаточно положить либо q—О и г —0, что дает одно из главных направлений, именно ось х, либо р = 0, что дает <в бесконечное множество направлений, расположенных в экваторной плоскости уд эллипсоида инерции.

А = В = С; тогда эллипсоид инерции превращается в сферу. В этом случае уравнения (19) удовлетворяются всегда при любых р, q, г; тогда щ и G коллинеарны при вращении вокруг любой из осей, проходящих через неподвижную точку, т. е. в любом направлении.

Итак, кинетический момент О и угловая скорость <в могут быть коллинеарны только по главным осям эллипсоида инерции. В этом и заключается динамический смысл главных направлений эллипсоида инерции.

Заметим, что геометрически полученные здесь результаты непосредственно вытекают из теоремы, доказанной в п. 4. Согласно этой теореме вектор G параллелен нормали v° к поверхности эллипсоида инерции, проведенной в точке М(хг, ут, д^, где эта поверхность пересекается с мгновенной осью вращения тела, т. е. с направлением вектора ®. Отсюда следует, что коллинеарность векторов 6 и и имеет место лишь тогда, когда нормаль v° в точке Мх поверхности эллипсоида направлена вдоль радиуса-вектора г этой точки. Но если А + В =^С, то условие v°||r имеет место только для главных осей эллипсоида; при В = С Ф Д это имеет место для оси х и для всех осей, лежащих в плоскости уд; наконец, при А = В = С указанное условие имеет место для любого направления. Отсюда и следуют все сделанные выше выводы.

§ 16. Динамические уравнения Эйлера. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой

Динамические уравнения Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки. Пусть твердое тело движется около неподвижной точки О. Как и в § 14, кроме основной системы осей ОЕ,ц£ (неподвижной), возьмем систему подвижных осей Охуд, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним относительно неподвижной системы O^q£.

Теорема об изменении кинетического момента относительно основной (неподвижной) системы ориентировки О£,т]$ дает уравнение

вектору G, получимвектору G, получимdG dG . nи уравнение (1) примет вид #+»хс=м„.Спроектируем обе части равенства (2) на оси Ox^z, причем при проектировании -^ опустимdG dG . nи уравнение (1) примет вид #+»хс=м„.Спроектируем обе части равенства (2) на оси Ox^z, причем при проектировании -^ опустим(2)(2)подвижной системыподвижной системызнак локальной прознак локальной производной, ибо локальная производная берется именно относительноизводной, ибо локальная производная берется именно относительноподвижной системы; получимdG4—^^rQ^—pG^M^^--VPG-qGx = M„подвижной системы; получимdG4—^^rQ^—pG^M^^--VPG-qGx = M„(3)(3)

вектору G, получим

вектору G, получим

dG dG . n

и уравнение (1) примет вид #+»хс=м„.

Спроектируем обе части равенства (2) на оси Ox^z, причем при проектировании -^ опустим

dG dG . n

и уравнение (1) примет вид #+»хс=м„.

Спроектируем обе части равенства (2) на оси Ox^z, причем при проектировании -^ опустим

(2)

(2)

подвижной системы

подвижной системы

знак локальной про

знак локальной про

изводной, ибо локальная производная берется именно относительно

изводной, ибо локальная производная берется именно относительно

подвижной системы; получим

dG4

—^^rQ^—pG^M^

^--VPG-qGx = M„

подвижной системы; получим

dG4

—^^rQ^—pG^M^

^--VPG-qGx = M„

(3)

(3)

где Мо есть главный момент всех внешних сил, действующих на твердое тело, относительно неподвижной точки О.

Проектировать уравнение (1) на неподвижные оси О£т]£ весьма невыгодно, ибо, хотя формула (2) § 15 0 = <b(J) и дает выражения проекций G^, G^, Gt, [аналогичные формулам (1) § 15, но написанные для осей О^], однако коэффициенты в них, т. е. компоненты тензора инерции движущегося тела относительно неподвижных осей, меняются со временем, и уравнения движения в проекциях будут иметь сложный вид.

При выводе динамических уравнений движения твердого тела Эйлер сделал два упрощения. Первое из них состоит в проектировании обеих частей уравнения (1) па оси подвижной системы.

Если -^- есть производная какого-либо вектора а относительно „da,

основной системы, -^так называемая локальная производная (из

менение а относительно подвижной системы), то, как известно,

da da .. ,

dt dt х

(см. ч. I, § 13, п. 2). Применяя эту формулу к

где Gx, Gy и Gz определяются формулами (1) или (Г) из п. 1 § 15, а именно:

Gx = Ар — Fq — Er, Gy = — Fp-\- Bq — Dr, Gz = — Ep — Dq-V Or,

Здесь компоненты тензора инерции Л, В, С, D, Е, В суть постоянные числа.

Второе упрощение Эйлера — выбор за оси подвижной системы ориентировки главных осей инерции тела относительно неподвижной точки. При этом выборе формулы (4) упростятся и запишутся так:

(5)(5)(6)(6)О, = Ар, G,, = Bq, Gz = Or.

(5)

(5)

(6)

(6)

В результате уравнения (3) примут вид A^^(C-B^qr=Mx, В^-КА-С)гР=Му, C^-HB-A^pq^M,.

Система (6) представляет дифференциальные уравнения движения твердого тела около неподвижной точки, впервые выведенные Эйлером (1765 г.); эти уравнения называют динамическими уравнениями Эйлера

Присоединяя к уравнениям (6) три кинематических уравнения Эйлера

(7)(7)р = ф51П Э sin ф + 0 СОЭф, q = ф sin 0 cos ф — 0 sin ф, г = ф cos 0 —|—ф,

(7)

(7)

получим систему шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно шести неизвестных функций времени р, q, г, ф, ф, 0. Общие интегралы должны содержать шесть произвольных постоянных, которые определятся, если задать начальное положение и начальною угловую скорость тела, т. е. ф0, ф0. Оо, рй, q0, г0.

Исключая из уравнений (6) и (7) р, q и г, можно получить три дифференциальных уравнения второго порядка относительно трех эйлеровых углов ф, ф, 0.

Если принять во внимание, что в общем случае проекции главного момента внешних сил Мх, Му, Мг являются сами функциями t, ф, ф, 0, р, q, г, то становятся понятными трудности, возникающие при интегрировании системы шести уравнений (6) и (7); даже частный случай, именно случай движения твердого тела около неподвижной точки под действием одной лишь силы тяжести, не может быть решен в общем виде (см. § 19, п. 2).

Определение реакции неподвижной точки. Реакция /? неподвижной точки О не входит в уравнения Эйлера, так как R проходит через О и, следовательно, momo R = 0. Для определения R достаточно применить другую теорему динамики—теорему о движении центра масс, т. е.

(8)(8)тчвс = R-VF,

(8)

(8)

где т. есть масса тела, юс — ускорение центра масс, a F — главный вектор активных внешних сил.

Ускорение юс, входящее в равенство (8), может быть выражено по теореме Ривальса (см. ч 1, § 10, п 5), т. е.

wc = <в X гс + (В X (® X гс),

илиилиwc = <в X гс + (В ((В • гс) — «?гс.wc = <в X гс + (В ((В • гс) — «?гс.(9)(9)

или

или

wc = <в X гс + (В ((В • гс) — «?гс.

wc = <в X гс + (В ((В • гс) — «?гс.

(9)

(9)

Проектируя обе части равенств (8) и (9) на подвижные оси, по

лучим

mwCx = Rx-\- Fx, '

(10)(10)(H)(H)m.'WC;) = R^-VF^ ■ mwc, = Rz^-Fzl . где

(10)

(10)

(H)

(H)

^Cx = he — he + P (Pxc + q^c ■+ rze) — “2xc, wCy = rxc — pzc + q (pxc + qyc 4- rzc) — co2yc, ®Cz = p^c -qxc-Vr (pxc 4-qyc -+-rzc) — a?zc.

при этом to2 = p2 4* q2 4 r2.

Если уравнения Эйлера (6) и (7) проинтегрированы, то <р, ф, 0, р, q, г известны в функции t, а следовательно, известен закон движения тела. Подставляя р, q, г в уравнение (11), найдем 1ЮСх1 ч»С1> ^cz в функции /, а тогда, после подстановки их в уравнения (10), найдутся искомые проекции реакции неподвижной точки.

В частном случае, если центр масс совпадает с неподвижной точкой, реакция R точки О может быть определена независимо от интегрирования уравнений Эйлера В самом деле, в этом случае гс — 0, следовательно, и 1йс = 0. Поэтому уравнение (8) примет вид

откудаоткуда0 = # + F,

откуда

откуда

R= F.

Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Рассмотрим движение твердого тела около неподвижной точки под действием одной только силы тяжести Р. Направим ось О£ основной системы ориентировки О£т£,

связанной с Землей, вертикально вверх (рис. 59) ^. Обозначим: через Oxyz— подвижную систему ориентировки; через гс(хс, ус, zc)— радиус-вектор центра тяжести С относительно начала О; через у,, у2, Уз— косинусы углов вертикальной неподвижной оси О£ с под

вижными осями. Так как угловая лена по оси О£, то направляющиевижными осями. Так как угловая лена по оси О£, то направляющиескорость ф (§ 14, п. 3) направ- косинусы О£ будут равны множителям при ф в кинематических уравнениях Эйлера (7). Следовательно,скорость ф (§ 14, п. 3) направ- косинусы О£ будут равны множителям при ф в кинематических уравнениях Эйлера (7). Следовательно,cos(£, x)=y1=sin 9 sin ср, cos(£, y)=y2=sin 6 cos cp, cos(£, z)—y3=cos9.cos(£, x)=y1=sin 9 sin ср, cos(£, y)=y2=sin 6 cos cp, cos(£, z)—y3=cos9.(12)(12)Очевидно, ур у2> Уз СУТЬ проекции единичного вектора $° на подвижные оси. Поэтому^° = у^ + У2У + Уз*>где I, j, k суть единичные векторы подвижных осей, связанных с телом.Очевидно, ур у2> Уз СУТЬ проекции единичного вектора $° на подвижные оси. Поэтому^° = у^ + У2У + Уз*>где I, j, k суть единичные векторы подвижных осей, связанных с телом.

вижными осями. Так как угловая лена по оси О£, то направляющие

вижными осями. Так как угловая лена по оси О£, то направляющие

скорость ф (§ 14, п. 3) направ- косинусы О£ будут равны мно

жителям при ф в кинематических уравнениях Эйлера (7). Следовательно,

скорость ф (§ 14, п. 3) направ- косинусы О£ будут равны мно

жителям при ф в кинематических уравнениях Эйлера (7). Следовательно,

cos(£, x)=y1=sin 9 sin ср, cos(£, y)=y2=sin 6 cos cp, cos(£, z)—y3=cos9.

cos(£, x)=y1=sin 9 sin ср, cos(£, y)=y2=sin 6 cos cp, cos(£, z)—y3=cos9.

(12)

(12)

Очевидно, ур у2> Уз СУТЬ проекции единичного вектора $° на подвижные оси. Поэтому

^° = у^ + У2У + Уз*>

где I, j, k суть единичные векторы подвижных осей, связанных с телом.

Очевидно, ур у2> Уз СУТЬ проекции единичного вектора $° на подвижные оси. Поэтому

^° = у^ + У2У + Уз*>

где I, j, k суть единичные векторы подвижных осей, связанных с телом.

Так как ние оси <Х,Так как ние оси <Х,направлениенеподвижнонаправлениенеподвижносилы тяжести, или, что то же, направле- относительно Земли, тосилы тяжести, или, что то же, направле- относительно Земли, то^1 = 0dt '^1 = 0dt 'или, употребляя символ локальной производной.или, употребляя символ локальной производной.

Так как ние оси <Х,

Так как ние оси <Х,

направлениенеподвижно

направлениенеподвижно

силы тяжести, или, что то же, направле- относительно Земли, то

силы тяжести, или, что то же, направле- относительно Земли, то

^1 = 0dt '

^1 = 0dt '

или, употребляя символ локальной производной.

или, употребляя символ локальной производной.

dj° _ d^dt dtdj° _ d^dt dt+ ® X?° = 0.+ ® X?° = 0.

dj° _ d^dt dt

dj° _ d^dt dt

+ ® X?° = 0.

+ ® X?° = 0.

Следовательно,

^1_ dt^1_ dt— e> X5°= —— e> X5°= —i j 1г p q rYi У2 Узi j 1г p q rYi У2 Уз(13)(13)

^1_ dt

^1_ dt

— e> X5°= —

— e> X5°= —

i j 1г p q r

Yi У2 Уз

i j 1г p q r

Yi У2 Уз

(13)

(13)

Проектируя обе части этого равенства на подвижные оси, мы получим уравнения, выведенные Пуассоном:

dYl -#-=n2-qN3, d^2

-A = 9Yl-pV2.

•(14)

Напишем динамические уравнения Эйлера. Сила тяжести Р направлена противоположно оси £; следовательно,

Р = — ^о.

Главный момент внешних сил равен

M0 = rcXP = — PrGX^ = PM0 = rcXP = — PrGX^ = Pi j kYi Y2 Y3*c Ус zci j kYi Y2 Y3*c Ус zc

M0 = rcXP = — PrGX^ = P

M0 = rcXP = — PrGX^ = P

i j k

Yi Y2 Y3

*c Ус zc

i j k

Yi Y2 Y3

*c Ус zc

Таким образом, для рассматриваемого случая уравнения Эйлера при

мут вид

(15)(15)^4 ■§"+ (С — S) ?r = Р ^zc — у3ус), 5 5" + G4 — С) гр = Р (у3хс — у^с), С^ + (В—Л) РЧ = р^с — Уг-^с)-

(15)

(15)

Система уравнений (14) и (15) есть система шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями времени у,, у2, у3, р, q, г', величины А, В, С, хс, ус, zG суть постоянные. Если уь у2, у3, р, q, г найдены в функции t интегрированием системы (14) и (15), то для полного решения задачи, т. е. для определения эйлеровых углов в функции t, необходимо лишь из любого уравнения системы (7) найти ф(/) одной квадратурой, так как 6(£) и <р(£), поскольку у^), у2(0> Уз(О из* вестны, непосредственно даются равенствами (12).

Итак, основная часть решения задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки состоит в отыскании шести интегралов системы (14) и (15). Однако легко доказать, что задача сводится всего лишь к отысканию одного интеграла. В самом деле, представим уравнения системы в каноническом виде:

dXi _ <Л’зГ2 r3dXi _ <Л’зГ2 r3dp __ dq _ dr d^xЧТ о"-ЧТ ~

dXi _ <Л’з

Г2 r3

dXi _ <Л’з

Г2 r3

12 H. H. Бухгольц

где

П = 4 l73^с — УзУс) — (С — В) qr\, Г, = гу2 — <уу3;

(17)(17)Q = 4 [р(Уз^с — Yi^c) — (Л — С) гр\, Г2 = ру3 — гу,;

(17)

(17)

R = 4 [Р (у,Ус — У2^с) — (В — Л) pqV Г3 = дух — ру2.

Так как время t не входит явно ни в одну из функций (17), то вместо системы шести уравнений (16) можно интегрировать отдельно систему первых пяти уравнений, именно систему

(16')(16')dp _ dq _ dr dyx dy2 dy$

(16')

(16')

~n~~Q"R” ТГ^ТГ’

Если систему (16') удастся проинтегрировать, то время / найдется простой квадратурой. Система (16') имеет уже только пять интегралов.

Согласно теории последнего множителя Якоби для канонической системы дифференциальных уравнений *), этот множитель М для системы (16') имеет значение М=1, так как

дП dQ , dR t дГ, . дГ2 . дГ3_л dp dq dr ' dyx ‘ dy2 буз

Ко если последний множитель системы известен, то для приведения задачи к квадратурам достаточно знать не пять, а только четыре интеграла системы (16').

Один из этих четырех интегралов получается непосредственно из пр сгого геометрического соображения. Действительно, ур у2, у3 суть I а 1равляющие косинусы оси О£, или, что то же, проекции единичного Виктора этой оси. Следовательно,

Yi + Y2-hX^=l- (18)

Stot тривиальный интеграл можно получить и из уравнений (14). Умножая их соответственно на ур у2, у3 и складывая почленно, получим

У1 dt । У2 dt ^3 dt ’ или

что и дает интеграл (18).

■) См., например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика, М. — Л„ 1946, гл. XL.

Итак, остается найти три интеграла. Первый из них получим, применяя теорему об изменении кинетического момента относительно оси О^. Так как момент силы тяжести Р относительно оси OS равен нулю, то

dGr

_^- = Л1^ = 0, и потому Gj = const.

Но

G; = G . S° = (A pi + Bqj + Crfe) • ^г1 + у2у + У3Л) =

— Лру3 + Bqy2 + Сгу3, следовательно,

Лру14-В<7у2 + Сгу3 = const.(19)

И этот интеграл (19) можно получить непосредственно из уравнений движения. В самом деле, умножая уравнения (15) соответственно на у„ у2, Уз и складывая их почленно, получим

= (В — С) у^г + (С — Л) у2гр + (Л — В) y3pq

Это равенство можно преобразовать к виду

-^ (ApVi + в№ + Сгуз) = (В — С) у^г + (С — Л) у2гр -|-

+ (Л-В)уз^ + Л/>^- + В^ + Сг-^.

Если теперь заменить в правой части производные функций уь у2, у3 их выражениями из уравнений (14), то легко убедиться, что правая часть равенства тождественно равна нулю, и мы получим

•^- ИРУ1 + Bq^ + С гу^ = 0.

Интегрируя, найдем интеграл (19).

Для получения второго из оставшихся трех интегралов применим теорему об изменении кинетической энергии, которая дает

ат = — р а^с,

где Sc обозначает координату центра тяжести тела относительно основной системы отсчета. Интегрируя, получим

Т = — Р^,с + const.

Используя формулу (7') § 15, дающую выражение для кинетической энергии, и учитывая, что

5с = гс ‘ 5° = С^с1 + Yd + z^ • (у,/ + Yd + Уз*) =

= *cYi + YcYi + ^сУз.

ные, придем к равенству (20).ные, придем к равенству (20).Рис. 60.Рис. 60.

ные, придем к равенству (20).

ные, придем к равенству (20).

Рис. 60.

Рис. 60.

получим интеграл энергии в виде

2-(Л/72 + S^ + Cr2) = — Р (хсУ1 + усу2 + zcy3) + const. (20)

Интеграл (20) также непосредственно находится из уравнений (15), если каждое из них умножить соответственно на pdt, qdt, г dt и получившиеся равенства сложить почленно. Тогда будем иметь ^(Ap^Bq^Cr^

= —Р\хс (r^ — qy^ + ус (ру3 — ГУ1) + zc (q^i — PY2)] dt или на основании уравнений Пуассона (14)

у d(Ар2 -\-Bq2 Эг ^ г2) = — Р(хс dyx + ус dy2 + zc dy3\ Отсюда, интегрируя и учитывая, что хс, ус, zc — величины постоян-

Остается найти еще только один интеграл; в этом и состоит главная трудность задачи. Найти этот третий общий интеграл удалось только для трех частных предположений относительно движущегося тела и условий движения. Эти три частных случая движения суть следующие:

(^Случай Эйлера — Пуансо. Это случай движения по инерции, когда равнодействующая внешних сил проходит через неподвижную точку О (рис. 60). В частном случае тяжелого твердого тела, исследованном Эйлером и Пуансо, неподвижная точка О совпадает с центром тяжести С. Других внешних сил, кроме силы тяжести, нет, а последняя уравновешивается реакцией опоры О. Само твердое тело может быть любой формы.

Случай Лагранжа—Пуассона (рис. 61). В этом случае эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки О, представляет

собой эллипсоид вращения, т. е. А — В + С, а центр тяжести С лежит на оси динамической симметрии (оси вращения эллипсоида инерции).

Рис. 63.Рис. 63.

Рис. 63.

Рис. 63.

Такое тело, приведенное в быстрое вращение около оси симметрии.

называется симметричным гироскопом.

Случай С. В. Ковалевской (рис. 62) В этом случае эллипсоид инерции для неподвижной точки есть вытянутый эллипсоид вра

щения, причем между главными моментами инерции существует соотношение

А = В = 2С, а центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.

Первый и второй случаи движения можно демонстрировать на волчке колоколообразной формы, вдоль оси динамической симметрии которого передвигается винт, благодаря чему можно привести точку опоры О (острие винта) в совпадение с центром тяжести или же поместить С вне точки опоры на оси винта (волчок Максвелла, рис. 63).

Случай С. В. Ковалевской можно иллюстрировать на очень простой модели — открытой коробочке в форме прямоугольного параллелепипеда с соответственно подобранными размерами (рис. 64) Направим ось Oz вдоль продольной оси сим

метрии внутренней стороны дна коробочки, а ось Ох — вдоль поперечной. За неподвижную точку опоры О возьмем центр симметрии дна. Тогда, подобрав размеры коробочки так, чтобы моменты,

яы получим иллюстрацию случая С. В. Ковалевской.

Некоторые сведения из теории эллиптических функций. Интеграл

/(1— №)(1 — №х2)/(1— №)(1 — №х2)(21)(21)

/(1— №)(1 — №х2)

/(1— №)(1 — №х2)

(21)

(21)

■называется эллиптическим интегралом 1-го рода (в обозначении Якоби). Если сделать подстановку х — з!пф, то интеграл примет вид

г/фг/фУ1 — к1 sin2 фУ1 — к1 sin2 ф= Ffa, А)= Ffa, А)(22)(22)

г/ф

г/ф

У1 — к1 sin2 ф

У1 — к1 sin2 ф

= Ffa, А)

= Ffa, А)

(22)

(22)

(в обозначении Лежандра).

Интеграл и есть функция верхнего предела ф. Обратная функция ф от и носит название «амплитуда» и обозначается

Ф = am и = am F (ф, А).Ф = am и = am F (ф, А).(23)(23)

Ф = am и = am F (ф, А).

Ф = am и = am F (ф, А).

(23)

(23)

По определению Якоби эллиптическими функциями аргумента и называются тригонометрические функции от функции ат я, именно;

(24)(24)sin ф = sin ат и = sn и,cos ф = cos ат и = сп и

(24)

(24)

]/" 1 — A2 sin2 ф = Аф = А ат и ^ dn и

(средний столбец — обозначения Якоби, последний — Гудерманна; А обозначает оператор: Аф=]Л1—/t2 sin2 ф).

Очевидно также, что

(25)(25)sn2n-|-cn2H= 1.

(25)

(25)

Если модуль к = 0, то эллиптические функции sn и и спи вырождаются в sin и и cos и. Из равенств (22) и (24) следует, что snO = O, спО=1, dnO = l.

Из этих же равенств следует, что эллиптические функции Якоби являются функциями периодическими с действительным периодом, равным 4К, где К есть эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

dtp

/1 —*281П2ф ‘

§ 17. Случай Эйлера — Пуансо

1. Интегрирование уравнений движения. В случае Эйлера — Пуансо главный момент внешних сил, действующих на твердое телоотносительно неподвижной точки равен нулю, т. е. Л1о = 0, и динамические уравнения Эйлера примут вид

(1>(1>Д^+(С-в) qr = o.в-^-у-(А-С) гр = 0.С %-HB-A)pq = 0.

(1>

(1>

Найдем первые интегралы уравнений (1), полагая, что А^В^С. Для этого умножаем уравнения (1) соответственно на р, q, г и складываем их почленно; получаем

Интегрируя, находим

Ap2-y-Bq2-y-Cr2 = h,(2)

где h есть произвольная постоянная. Это есть интеграл энергии, так как левая часть равенства (2) есть удвоенная кинетическая энергия 27'. [Интеграл (2) можно получить непосредственно из теоремы об изменении кинетической энергии, так как линия действия равнодействующей проходит все время через неподвижную точку и работа внешних сил равна нулю.]

Для нахождения второго интеграла умножим уравнения движения (2) соответственно на Ар, Bq, С г и сложим их почленно; получим

интегрируя, будем иметь

А2?2-у-6^4-^^ = О2,(3)

где О есть произвольная постоянная, очевидно, равная квадрату кинетического момента. [Интеграл (3) можно непосредственно получить из теоремы об изменении кинетического момента. В самом деле, так как Мо = 0, следовательно, "^"==0, а потому G = const и G2 = const.]

Для нахождения р, q, г в функции от / необходим еще третий интеграл, который можно получить следующим образом. Выразим.

величины г и р через q, используя интегралы (2), (3), и предположим одновременно для определенности, что Л > В > С. Тогда получим

'’=™^^-o.-^^zwi-474e§e:-<). (4)

где вместо G и h введены новые постоянные ^ и Х2 согласно равенствам

АЧ — G2 = B{A — В)Уц G2 — Ch = D(B — C)kl. (5) При этом поскольку p2i>0, г2>0 и А > В > С, то Х2^-^2. X2^?2-, подстановка начальных данных в равенства (4) дает для Xt и Х2 значения

.22 | С (Л — С) 2 .22 . А (Л — С) 2

^1 Уо+ в^А — вУ0’ ^2 Уо+ 5(В —С)^0"^)

Теперь, подставляя во второе из уравнений (1) найденные значения Г и р, получим

А, ± /ЙЕЗ^ЕЗ:

Сохраняя справа знак плюс (выбор знака для окончательного вида решения не существен), разделяя переменные и интегрируя, найдем

У^-?2)^-?2) ’

где а — постоянная интегрирования; при этом обозначено „=/ИЕ^ЕЁ>.(8)

Из правой части равенства (7) следует, что зависимость q^ может быть представлена с помощью эллиптических функций Якоби. Вид этой зависимости окончательно определяется значениями постоянных Xt и Х2, т. е. начальными условиями.

Если Xi > Х2, то, полагая q — X2sin<p, что всегда возможно, поскольку q1 <^ X2, получим из (7)

<р

1 Г

Х( о

</<р

У1 — ^ sin2 <р

где кг = -у- .Сравнивая интеграл, стоящий справа, с формулой(22) §16 и учитывая равенства (24) §16, заключаем, что sin<p = sn^o^-j-aj^ где «1 — новая постоянная; следовательно,

q = Х2 sn (^oZ -J- aj.

Если считать при t = 0 q = q0> то постоянная dj определяется равенством

Подставляя найденное значение q в правые части равенств (4) иПодставляя найденное значение q в правые части равенств (4) иучитывая соотношения (24), (25) § 16, и также,учитывая соотношения (24), (25) § 16, и также,Х2ЧТ0 ^Х2ЧТ0 ^— ^1>— ^1>легколегкоопределить величины риг. Окончательно будем иметьопределить величины риг. Окончательно будем иметь

Подставляя найденное значение q в правые части равенств (4) и

Подставляя найденное значение q в правые части равенств (4) и

учитывая соотношения (24), (25) § 16, и также,

учитывая соотношения (24), (25) § 16, и также,

Х2

ЧТ0 ^

Х2

ЧТ0 ^

— ^1>

— ^1>

легко

легко

определить величины риг. Окончательно будем иметь

определить величины риг. Окончательно будем иметь

, В (В—С),.

(9)(9)Р = ^У Л(Л—С) cn (^1°^ + ai)>q = Х2 sn (X^ot -]- dj),

(9)

(9)

. ,/В(Л — В) .„

^Му е"(л-С) dn(Mo^4-«i)-

Если Xt < Х2, то, полагая ^^X^mtp и вводя обозначение ^ = кг, найдем таким же путем, что

РРС)_ ^ dn (X2of 4” аг)>С)_ ^ dn (X2of 4” аг)>

Р

Р

С)

_ ^ dn (X2of 4” аг)>

С)

_ ^ dn (X2of 4” аг)>

(9'>(9'>г —г —q cn (X2ot -|- а2),q cn (X2ot -|- а2),

(9'>

(9'>

г —

г —

q cn (X2ot -|- а2),

q cn (X2ot -|- а2),

q = %! sn (Х2о/ -|- а2),

где 02 находится из равенства

sn 02 = -г2-.

2 Z!

Кроме рассмотренных основных двух случаев, возможны еще следующие:

Xj = O; при этом, как видно из равенств (4), должно быть все время г = 0, ^ = 0 (так как Л > В > С, а г2>0) и р = const = р0; тело в этом случае совершает равномерное вращение вокруг оси л:;

Х2 = 0; в этом случае все время p~Q, q = 0 и г = const = г0 — тело вращается равномерно вокруг оси z;

Л1 = %2 = %; в этом особом случае интеграл (7) вырождается в обыкновенный и р, q, г будут гиперболическими функциями аргумента Q-ot -4- a)-

Так как эллиптические функции суть функции периодические, то из равенств (9) следует, что р, q, г, а также « суть функции 4К

периодические с действительным периодом Т[ = уу (при Xj > Z2) 4К

или т2—(при %i < А^), где К есть эллиптический интеграл

Лежандра 1-го рода, определяемый равенством (26) § 16.

Следовательно, по истечении периода т мгновенная угловая ско

рость примет прежнее положение в теле (но не относительно основной системы ориентировки, что возможно, как показывает исследование, лишь в очень частном случае).

Чтобы довести задачу до конца, нужно еще выразить эйлеровы

углы в функции времени, т. е проинтегрировать кинематические уравнения Эйлера (7) § 16 Так как в данном случае Мо = 0, то из теоремы об изменении кинетического момента

dO м

ОО—гг = А!di

О

О

вытекает, что G = const, т. е. кинетический момент G постоянен по модулю и по направлению. Если за неподвижную ось 0^ взять направление кинетического момента G, то исследование упрощается.

- Поскольку вектор ф направлен вдоль оси £, то при выбранном направлении этой оси проекции Gx — Ap, Cy — Bq, и Cz = Cr вектора G на оси х, у, z будут вычисляться так же, как проекции вектора ф, входящие в формулы (7) § 16; следовательно.

(10)(10)Ар = G sin 9 sin ф,Bq — Osin 9 cos ф,Cr = G cos 9.

(10)

(10)

Из равенств (19) можно сразу найти формулы, определяющие ф(0 и 9(0, если подставить в них вместо р, q, г их значения (9). Тогда, ограничиваясь случаем Xf > Х2 (ПРИ ^1 < ^2 подсчеты аналогичны), получим

_ АР _ т / Л (В —С) сп (А^Ч-Д!)Bq — V В(А—С) sntA^ + tt!) ’й Crв (А —В) ..

cos 9— q — q ^/ с^Д — С") ^^ (AqO^ Qi),

где постоянная О определяется равенством (3).

Для нахождения угла ф берем первые две из формул (7) § 16. Умножая первую на 81пф, вторую на созф и складывая, получим

р sin ф 4- q cos ф = ф sin 9, откуда

.:. в^пф + ^созф

sin 0•

Теперь умножим сначала первые два из равенств (10) соответственно на р и q и сложим, затем возведем обе части их в квадрат и опять сложим; получим

Ар2 4- Bq2 — О sin 9 (р sin ф-j- geos ф), А2р2 Н~ B2q2 = G2 sin2 0.

Пользуясь этими равенствами, найдем, что

• _ р sin g>-H cosy _ г Ар2 + Вд2 sin 9A2p24-B2q2

Подставляя сюда значения р и q из равенств (9) и учитывая соотношение (25) § 16, будем окончательно иметь

: — П (В-С) + (А-В) sn2 (Z,g< + a,)

v — А (В— С) + С (Л — В) sn2(Xia< + «0 1

Отсюда ф найдется квадратурой от эллиптических функций:

f (B-Q + M-Bls^^ + aD

V J Л(В-С)+С(Л-В) sn2 (Х^ + щ) й w-

4K

Так как функция sn (^oi + aj) имеет периодT0

ф(/ + т) —ф(/) = 0.

Интегрируя no t, получим

ф (/ + т) — ф (0 = с,

где с есть постоянная интегрирования. Функция ф уже не будет периодической; по истечении промежутка времени т она получает приращение, равное с. В этом и заключается причина, что <о займет

4К -

по истечении периода т = у^, вообще говоря, другое положение в пространстве, если только случайно не окажется, что приращение с = 2л.

Интегрирование уравнений движения в частном случае, когда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. В частном случае, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, интегрирование уравнений движения для случая Эйлера — Пуансо доводится до конца в элементарных функциях. Действительно, в этом случае В = А, кроме

того, А!о = 0, и уравнения Эйлера принимают вид

Л^- + (С-Л) qr = 0,А^-КА-С)гр = 0,с^=0.

at

Умножая обе части этих уравнений соответственно на р, q, г, а затем на Ар, Bq, Or, складывая полученные выражения и интегрируя, найдем два первых интеграла уравнений движения

А (рг + 92) + Сг2 = й,АЧр^^-^с^^о^.

Кроме того, третье из уравнений Эйлера дает интеграл

г = г0 = const.

Второй из найденных интегралов выражает, что модуль кинетического момента О постоянен; но вектор G постоянен и по направлению (относительно основной системы). Для доведения интегрирования до конца, т. е. для получения углов ф, ф, 0 в функции времени t, примем во внимание неизменность направления кинетического момента G.

Для простоты вычислений направим ось 01, основной системы по направлению вектора G; тогда проекции кинетического момента на подвижные оси будут определяться равенствами (10), т. е.

(Ю")(Ю")Ар = G sin 0 sing?, Aq = Gsin0 созф, С г = G cos 6.

(Ю")

(Ю")

Из последнего уравнения в системе (10') следует, что

cos 0 =cos 0 =Сг Сгй ______Сг Сгй ______

cos 0 =

cos 0 =

Сг Сгй ______

Сг Сгй ______

Так как С, г0 и G суть постоянные, то угол 6 = const = 0О. Кинематические уравнения Эйлера (7) § 16 дают при 0 = 0О

р = фзшОо 51пф.

Подставляя это значение р в первое из уравнений (10'), получим _ Лф sin 0q sin ф = Озт0оз(пф или

Лф = G, откуда

ф = -Я- = const = п.

Интегрируя, получим

ф = «^+^0,

где ф0 есть начальное значение ф. Наконец, подставляя г = г0 (третий интеграл) и 0 = 0о в третье из уравнений (7) § 16, получим

г0 = фсоз 60+ф,

или, учитывая, что ф = const = п,

ro = «cos0o + <p, откуда

Ф = г0 — n cos 0О;

следовательно, ф тоже постоянно; полагая

получимполучимф = №1,

получим

получим

ф = И^ + фо,

где ф0 есть значение ф при ^ = 0. Итак, мы нашли, что

0 = 0О,

(И)(И)•ф = ^ + ф0,Ф = «^-+-Ф0.

(И)

(И)

Движение, определяемое уравнениями (11), есть регулярная прецессия, рассмотренная кинематически в § 14, п. 2. Здесь (о1=п1, а о2 —и, причем постоянные 0О, и, nv связаны между собой соотношением

г0 —и cos 0О = nP

Геометрическая интерпретация Пуансо для движения твердого тела около неподвижной точки по инерции. В историческом развитии механики методы аналитический и геометрический имели самостоятельное значение. Нередко оба метода проникали друг в друга, и замечательным примером этого является геометрическая интерпретация движения твердого тела с одной неподвижной точкой для случая Эйлера, данная Пуансо.

Возьмем, как и раньше, за подвижную систему ориентировки систему с началом в неподвижной точке О и с осями, направленными по главным осям эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки О. Уравнение этого эллипсоида инерции пусть будет

Дх24-Ву2-4-Сг2=1. (12)

Будем, согласно Пуансо, называть полюсом Р точку пересечения мгновенной оси вращения (т. е. мгновенной угловой скорости ©)

с эллипсоидом инерции. Обозначим через р радиус-вектор полюса Р относительно неподвижной точки; тогда

ОР=р = рй° = р-^-.(13)

Докажем три теоремы, положенные Пуансо в основу его интерпретации.

1) Проекция мгновенной угловой скорости ю на направление кинетического момента есть величина постоянная.

В самом деле, проекция <в на неподвижный в пространстве вектор О есть

го • G27Н

toQ = 6) • G°- —= -7г = const,(14)

иGGG

что вытекает из формулы (4) § 15 и интегралов уравнений движения (2) и (3). Следует обратить внимание на то, что формула

отG

справедлива и для общего случая движения твердого тела около неподвижной точки.

Введем обозначения

Q2д

~h=D и -д=р.(15)

причем D и р будут, очевидно, постоянны; тогда

G = Dy, h — Dp2,(15')

причем, согласно равенству (14),

Р = й0-

т. е. равно проекции мгновенной угловой скорости на направление кинетического момента. Размерность D такая же, как размерность момента инерции. В самом деле, в системе CGS

[О] = -15- = Г -^11 = VmPV

Длина радиуса-вектора полюса р пропорциональна величине угловой скорости <в.

Действительно, из равенства (13) имеем для координат полюса Р выражения

^=pf- ^pf- z = ^‘(16>

■§ 17]СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА — ПУАНСО191

Подставляя эти координаты в уравнение (12) эллипсоида инерции, которому они должны удовлетворять, получим

^^-VBq^Cr^=\,

а потому, согласно равенству (2),

откуда следует

й = рУИ",(17)

Другими словами, отношение модуля угловой скорости к радиусу- вектору полюса Р равно Vh .

Касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе Р перпендикулярна к кинетическому моменту G и находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки, т. е. эта плоскость неподвижна относительно основной системы, ориентировки.

Первая часть теоремы (перпендикулярность G касательной плоскости к эллипсоиду инерции в точке пересечения мгновенной оси вращения, т. е. в полюсе) имеет место для общего случая движения твердого тела около неподвижной точки и уже доказана в § 15, п. 4 настоящей главы. Докажем вторую часть, т. е. постоянство расстояния касательной плоскости к эллипсоиду инерции в полюсе от точки О.

Уравнение плоскости, касающейся эллипсоида инерции (12) в полюсе Р(х, у, z) имеет вид

АхХ PrByYPrCzZ^Y,(18)

где X, Y, Z суть текущие координаты этой касательной плоскости, ах, у, z — координаты полюса. Известно, что расстояние какой- либо точки (а/, у', z') от плоскости (18) дается формулой

л Ахх' -|- Вуу' -}- Czz' — 1“ —ВУ + С2^-

В нашем случае точка (У, у', z') есть начало координат О, следовательно, х* = О, у' = 0, г* = 0, и поэтому

Я1

О = ■ : .

/д2х24-ву + С2?2

В выражении под знаком корня заменим координаты полюса Р значениями (16), затем преобразуем полученное выражение, пользуясь

равенствами (3), (17) и (15); получим

Л2х2 + В^ + СЧ2 = -g- (Л2р2 + В2?2 + С2г2) = ^ G2 =

===(187)

р2й h

Следовательно,

6 =

Формулу (19) можно получить из следующих простых соображений. Расстояние б от неподвижной точки до касательной плоскости равно проекции радиуса-вектора р на направление вектора кинетического момента (рис. 65), т. е.

6 = pcos(p, G°) = pcos(to, G°) = p--^^ = p«

<оОру й и

Доказанные положения являются основанием для построения геометрической картины движения твердого тела в случае Эйлера, данной Пуансо.

в полюсе Р. Так какв полюсе Р. Так какТак как плоскость, касающаяся эллипсоида инерции в полюсе Р, не только сохраняет постоянное направление в пространстве (перпендикулярна к кинетическому моменту G, неподвижному для рассматриваемого случая Эйлера), но и отстоит от неподвижной точки О на постоянном расстоянии [согласно теореме 3, формула (19)], то она неподвижна относительно основной системы; эта плоскость называется неподвижной плоскостью или плоскостью Пуансо. Обозначим ее буквой П.

в полюсе Р. Так как

в полюсе Р. Так как

Эллипсоид инерции, связанный с телом, все время касается плоскости П с Р по определению есть точка тела,

представляющая пересечение эллипсоида инерции (центр которого находится в неподвижной точке О) с мгновенной осью вращения, го скорость точки касания Р равна нулю. Следовательно движение твердого тела около неподвижной точки по инерции можно геометрически представить как качение без скольжения (и верчение) эллипсоида инерции с неподвижным центром О по неподвижной плоскости П (рис. 65). Вместе с эллипсоидом инерции движется и связанное с ним твердое тело. Угловая скорость с» направлена по радиусу-вектору ОР = р точки прикосновения и по теореме 2 изменяется пропорционально длине ОР, т. е.

й = У А • ОР.

Мгновенная ось вращения ОР, меняя свое положение в теле, опишет коническую поверхность (подвижной аксоид), которая будет пересекаться с эллипсоидом инерции по кривой, описываемой полюсом Р и называемой полодией. Подвижной аксоид называется также конусом полодий. На плоскости Пуансо полюс Р также опишет некоторую кривую, называемую герполодией. Неподвижный аксоид имеет вершину в точке О, и направляющей ему служит герполодия; у подвижного аксоида вершина находится также в О, а направляющей является полодия. Поэтому движение тела можно еще представить как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному с мгновенной угловой скоростью со= ОР • ~\f h .

Полодии. Так как полодия лежит на эллипсоиде инерции, то текущие координаты точек полодии должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции (12):

Лх24-Ву2 + Сг2= 1. (12)

С другой стороны, расстояние неподвижной точки О до плоскости Пуансо постоянно и дается формулой (18'), которую можно записать в виде

A2x2 + B2y2-VC2z2 = D = -^ . (20)

Уравнения (12) и (20) определяют аналитически полодию как геометрическое место точек, лежащих на эллипсоиде (12), причем касательная плоскость к эллипсоиду в этих точках находится на постоянном расстоянии д от точки О. Так как уравнение (20) есть также уравнение некоторого эллипсоида, то полодия есть кривая пересечения двух эллипсоидов и, следовательно, замкнутая алгебраическая кривая четвертого порядка.

Для удобства исследования уравнения (12) и (20) можно преобразовать. Умножим обе части уравнения (12) на D и вычтем из уравнения (20); получим

А (А — D)x24-B(B — D) у2 4-0 (С — D)z2 = 0. (21)

Уравнение (21) есть уравнение конуса с вершиной в начале координат О — неподвижной точке; ему удовлетворяют координаты точек подвижного аксоида. Следовательно, (21) есть уравнение конуса полодий, или подвижного аксоида. В пересечении с эллипсоидом инерции (12) конус полодий дает полодию.

Чтобы иметь возможность сравнивать получаемые ниже результаты с тем, что было найдено в п. 1 аналитическим путем, заметим, что, согласно равенствам (5) и (15), постоянные А.ь Я,2 связаны с D зависимостями

В (А — В)Х1 = (Д — D)h, BlB-C^^tD-C^h. (22)

Исследуем изменение вида полодии в зависимости от различных значений D, т. е. при различных расстояниях плоскости П от неподвижной точки [см. формулу (19)], или, иными словами, при различных начальных условиях движения. Для определенности предположим, как раньше, что А > В > С, т. е. что эллипсоид инерции трехосный, причем наибольшая ось направлена по оси z, наименьшая— по оси х и средняя — по оси у. Наибольшей оси будет соответствовать наименьший момент инерции, т. е. С, а наименьшей оси — наибольший момент инерции, т. е. А. В самом деле, величины полуосей эллипсоида инерции будут определяться равенствами

1

а = —таг , О —,— , С — —т=г ,

•У Ау В Ус

следовательно, а < Ь < с.

Чтобы конус полодий был действительным, коэффициенты уравнения (21) должны иметь разные знаки, т. е. необходимо, чтобы

или по (19)или по (19)A>D>C,A>D>C,a<^b<^c.a<^b<^c.

или по (19)

или по (19)

A>D>C,

A>D>C,

a<^b<^c.

a<^b<^c.

В противном случае, если, например, было бы D"> А, то конус был бы мнимым и в пересечении с эллипсоидом инерции не давал бы ни одной действительной точки; движение было бы невозможно, что ясно и геометрически, так как в этом случае "у^ < "У5* а’ т. е. расстояние неподвижной плоскости от неподвижной точки было бы меньше наименьшей полуоси а эллипсоида инерции. Также ясно, что невозможен и случай D < С, 6> с, так как тогда плоскость П совсем не может касаться эллипсоида. Заметим, что соотношение A>D.>C следует и из равенств (22).

Рассмотрим сначала три частных случая:

D = A. Уравнение конуса полодий (21) примет вид

В(В—Л)у24-С(С—Л)г2 = 0;

в этом случае конус вырождается в пару мнимых плоскостей

у "У В (Л — В)

пересекающихся по оси Ох, так как это уравнение удовлетворяется при у = 0, z = 0 и, следовательно, конус полодий сводится к одной действительной прямой Ох—малой оси эллипсоида инерции. Это ясно и геометрически, так как в этом случае расстояние плоскости П от неподвижной точки равно 6 — 1_ =— а, т. е. малой оси

У DУ А

эллипсоида, а полодия и герполодия сводятся к одной точке каса-

ния О'—концу малой оси. Твердое тело будет все время вращаться вокруг малой оси эллипсоида инерции с постоянной угловой скоростью.

Действительно, если тело начало вращаться около малой оси эллипсоида инерции, то векторы и и G коллинеарны и, следовательно, проекция й на G будет иметь в начальный момент наибольшую величину. Но по теореме 1) [формула (14)] проекция «в на G есть величина постоянная, а поэтому тело будет продолжать вращаться около оси Ох с постоянной начальной угловой скоростью, ибо при нарушении этого движения проекция ю на G уменьшится.

Итак, движение твердого тела будег перманентным

вращением вокруг малой полуоси эллипсоида инерции (рис. 66). Поскольку, как видно из (22), при D = А Хт = 0, этот вывод совпадает с полученным в п. 1 [см. п. 1, случай 3)].

XXВ (В-С) „А (А —С)В (В-С) „А (А —С)D — C. В этом случае в уравнении (21) пропадет последний член, и конус опять распадается на пару мнимых плоскостей

X

X

В (В-С) „

А (А —С)

В (В-С) „

А (А —С)

пересекающихся по большой оси эллипсоида инерции Oz. Полодия и герполодия вырождаются в точку касания, лежащую на конце оси z. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, убедимся, что движение твердого тела будет перманентным вращением вокруг большой оси эллипсоида инерции (рис. 67). При аналитическом решении этот

случай, как видно из (22), соответствует Х2 = 0 и дает тот же результат [п. 1, случай 4)].

D — B. В этом случае конус распадается также на две, но уже действительные плоскости, уравнения которых будут

-./Л(Л-В)V сф— с)-./Л(Л-В)V сф— с)X.X.

-./Л(Л-В)

V сф— с)

-./Л(Л-В)

V сф— с)

X.

X.

Эти плоскости пересекаются по средней оси Оу эллипсоида инерции и в пересечении с эллипсоидом инерции дают два действительных

эллипса, которые и представляют полодию для данного случая (ЛХ и MN на рис. 68, дающем вид со стороны оси у). Для средней оси эллипсоида инерции кинетический момент G также коллинеарен с св; поэтому ось у также является свободной осью вращения, но вращение вокруг нее не будет устойчивым (см. ниже, п. 6).

Б>8Б>8Рис. 68.Рис. 68.Рассмотрим теперь основные случаи. Если A>D>B, то а<б<5. Полодия в этом случае состоит из двух замкнутых ветвей, окружающих концы малой оси Ох (рис. 68), являющейся осью конуса полодий; это следует из уравнения (21), в котором первый коэффициент положителен, а остальные два отрицательные. Замкнутость полодий следует геометрически из того, что касание эллипсоида инерции z с плоскостью П должно после полного оборота произойти в той же точке.

Б>8

Б>8

Рис. 68.

Рис. 68.

ции, которая является осьюции, которая является осьюЕсли В > D > С, то b < б < с. Обе ветви полодии суть замкнутые кривые, окружающие концы большой оси Oz эллипсоида инер- для конуса (21). Примерный вид поло

ции, которая является осью

ции, которая является осью

дий при различных значениях D изображен на рис. 68.

Различным начальным условиям движения соответствуют разные значения D, а следовательно, и различные полодии. Полодии делятся на два класса: один окружает вершину малой оси эллипсоида, а другой— вершину большой оси. Обе группы разделены особенной переходной полодией—парой эллипсов, соответствующих значению D=B.

Условие D <_ В, при котором полодии окружают конец большой оси эллипсоида, как видно из равенств (22), соответствует рассмотренному в п 1 случаю, когда X] > Х2; движение в этом случае определяется уравнениями (9).

При условии же D> В, когда полодии окружают конец малой оси, будет Aj < А2, и движение определяется уравнениями (9').

В промежуточном случае, когда D = В (полодии распадаются на два эллипса) будет, как видно из (22), Ai = A2; это соответствует рассмотренному в п. 1 случаю 5), когда решение упрощается и эллиптические функции переходят в гиперболические,

б. Герполодия. Не входя в аналитическое исследование, которое требует применения эллиптических функций, сделаем лишь замечание о виде герполодии. Обозначим по-прежнему через О' основание перпендикуляра, опущенного из неподвижной точки О на плоскость П (см. рис. 65). Тогда ОР = р, О'Р = р', и из прямоугольного треугольника О'ОР следует

О'Р = VOP2 — ОО'2, или р' = /р2 —б2.

Так как полодия есть замкнутая кривая, окружающая конец одной из крайних полуосей эллипсоида инерции, и притом симметрично расположенная относительно этого конца, то радиус-вектор полодии ОР = р имеет некоторый минимум р1 и максимум р2; тогда из записанного выше равенства следует, что

VpT^^'cv'pF^2-

т. е. герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями с центром в О' и с радиусами pi= = /Р2—62 И Р' = /р2 —62.

В противоположность полодии, которая есть кривая замкнутая, герполодия, вообще говоря, будет уже незамкнутой кривой, вид которой показан на рис. 69; при этом, как можно доказать, герполодия поочередно касается окружностей р' = const, р2 = const и не имеет точек перегиба. Дуга герполодии АВ есть четверть дуги полодии; после того как полюс Р придет снова в то же положение на эллипсоиде инерции и, следо

вательно, опишем полную полодию, радиус-

вектор герполодии повернется на угол, равный 4 АО'В. Если угол АО'В несоизмерим с л, то герполодия никогда не замкнется; в противном случае герполодия будет замкнутой кривой.

Устойчивость вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции. Рассмотрение геометрической картины Пуансо позволяет сделать заключение об устойчивости вращения вокруг каждой из трех осей эллипсоида инерции.

Понятие об устойчивости движения по отношению к тем или

иным его характеристикам аналогично понятию устойчивости равновесия (§ 10). Закон движения механической системы определяется действующими силами и начальными условиями. Происходящее при заданных силах и начальных условиях движение называют невозмущенным. Если в какой-либо момент времени точкам системы сообщить малые возмущения (т. е. малые дополнительные смешения или скорости) и если после этого значение какой-нибудь из характеристик движения будет все время оставаться близким к ее значениям в не

возмущенном движении, то невозмущенное движение по отношению к указанной характеристике называют устойчивым, а в противном случае— неустойчивым.

Рассмотрим вопрос об устойчивости вращательного движения тела с неподвижной точкой вокруг его главных осей инерции; при этом нас будет интересовать вопрос об устойчивости по отношению к сохранению модуля и направления вектора угловой скорости б>.

Движение будем считать устойчивым, если при малом возмущении численная величина и направление вектора <а во все последующее время будут мало отклоняться от его начальной постоянной величины соо и начального направления, совпадающего с направлением главной оси инерции; в противном случае это движение неустойчиво.

Заключение об устойчивости (или неустойчивости) для рассматриваемого движения можно сделать по расположению полодий на эллипсоиде инерции.

Если твердое тело вращается вокруг большой оси эллипсоида инерции (оси z, совпадающей с осью С), то при весьма малом возмущении, которое вызовет изменение начального направления мгновенной угловой скорости со, эллипсоид инерции перестанет касаться плоскости Пуансо в одной точке (конце большой полуоси), а станет катиться, касаясь плоскости Пуансо вдоль точек одной из полодий, окружающих конец большой полуоси и очень близких к вершине Е (см. рис. 68). При этом угол отклонения вектора <в от первоначального направления будет мал и численно w будет мало отличаться от (оо, что следует из равенства (14). Следовательно, согласно ска"- занному выше, вращение вокруг большой оси эллипсоида инерции будет устойчивым. То же рассуждение можно повторить и для малой оси эллипсоида, и, следовательно, вращение твердого тела вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции является устойчивым.

Напротив, вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции оказывается неустойчивым. В самом деле, при весьма малом возмущении вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции Оу новое движение будет осуществляться качением эллипсоида по плоскости П, причем геометрическим местом точек прикосновения будет служить одна из полодий, весьма близкая с кривой, составленной из каких- либо половин двух эллипсов KL и ALV (см. рис. 68). Эта полодия будет конечных размеров; тогда в последующем движении и модуль и направление вектора 6) будут значительно отличаться от их начальных значений, и следовательно, движение будет неустойчивым. То обстоятельство, что движение при этом одинаково вероятно по любой из достаточно близких полодий, лежащих в четырех областях, на которые разделяется двумя эллипсами KL и MN поверхность эллипсоида инерции, характерно для неустойчивого вращения вокруг оси Оу и существенно отличает этот случай от вращения вокруг большой и малой осей, когда возмущенное движение осуществляется качением эллипсоида инерции вдоль весьма близкой полодии, лежащей в той же области эллипсоида, что и конец соответствующей полуоси, которую полодия окружает.

В § 12 (п. 3) было доказано, что главные оси эллипсоида инерции являются свободными осями вращения твердого тела. Докажем обратное, т. е. что если ось вращения твердого тела с неподвижной точкой, на которое не действуют никакие внешние силы, перманентна

(т. е. сохраняет неизменное направление относительно тела), то эта ось есть одна из главных осей эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки. Так как ось перманентная, то проекции угловой скорости б> на подвижные оси будут

р = а<й, у = род, г = ум, (23)

где а, 0, у суть постоянные направляющие косинусы угловой скорости <в, которая по условию имеет постоянное направление относительно тела. Докажем, что <в постоянна не только по направлению относительно подвижной системы, но и по модулю. В самом деле, подставляя значения (23) в интеграл энергии (2), получим уравнение

2Т = о)2(Ла2 + 5024- Су2) = й,

из которого следует, что ]<*>[ = const, а следовательно, постоянны и вектор б> и его проекции р, q, г. Уравнения Эйлера (1) для случая постоянных р, q, г примут вид

(С— B)qr = 0, (A—C)rp = Q, (B — A)pq = 0. (24) Отсюда следует, что если эллипсоид инерции трехосный (А > В > С), то, чтобы удовлетворить уравнениям (24), надо принять две из проекций угловой скорости равными нулю; это и доказывает, что единственные перманентные оси тела суть главные оси эллипсоида инерции. Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, например, если А = В, то, чтобы удовлетворить уравнениям (24), надо положить или г — О, или p=q = 0; но равенство г = 0 показывает, что любое направление в плоскости экватора Оху есть перманентная ось, а из равенства p = q—0 следует, чго ось Oz также является перманентной осью. Если эллипсоид инерции есть сфера, т. е. если А = В = С, то уравнениям (24) удовлетворяют любые значения р, q, г, т. е. любая ось будет перманентной.

Герполодограф. Недостаток геометрической интерпретации Пуансо заключается в том, что в ней движение вполне задано геометрически качением эллипсоида инерции по плоскости Пуансо, но кинематические обстоятельства движения приходится осуществлять дополнительно. Если осуществить материально аксоиды с вершинами в неподвижной точке О (и ограниченные: неподвижный — герполодией, а подвижный — полодией), то для полного воспроизведения движения недостаточно просто катить подвижный конус по неподвижному, а необходимо катить так, чтобы угловая скорость, направленная вдоль общей образующей ОР, равнялась to— OP - Уh [формула (17)]. Реально осуществить такой закон изменения угловой скорости на основании геометрической интерпретации Пуансо невозможно.

Дарбу и Кениге восполнили указанный пробел следующим образом Разложим угловую скорость w на две составляющие: о,^ вдоль вектора G и с»2— параллельно плоскости П (рис. 70), так что

6) = 6»!-4- 6)2.

Согласно доказанному в п. 3 [формула (14)] первая составляющая

6), = (оо постоянна; изменяется, следовательно, только ю2.

Проведем через точку О плоскость П', параллельную плоскости П, и заставим плоскость П' вращаться равномерно с угловой скоро

стью 6>t вокруг вектора G. Тогда угловая скорость эллипсоида инерции относительно плоскости ГТ будет равна б> — ®, = б>2. Во время движения вектор б>2 будет занимать различные положения относительно тела и опишет в теле некоторый конус К (второго порядка, как это можно доказать). Если этот конус К осуществить материально, то движение можно представить как качение конуса К по подвижной плоскости IF с угловой скоростью 6)2- Осуществим материально плоскость П, эллипсоид инерции, конус К и плоскость IF, могущую равномерно вращаться

с заданной угловой скоростью вокруг вектора G; при этом предположим, что либо все эти поверхности шероховатые, либо связаны одна с другой соответствующими зубчатыми зацеплениями. Если теперь эллипсоид инерции будет катиться

с надлежащей угловой скоростью со = ОР • Уh по неподвижной плоскости П, воспроизводя действительное движение, то конус К заставит соприкасающуюся с ним плоскость IF вращаться равномерно С угловой скоростью Юр Если, напротив, заставить вращаться только плоскость IF с постоянной угловой скоростью 6)р

Рис. 71.то плоскость IF, соприкасаясь

с конусом К, передаст движение эллипсоиду инерции, который, катясь по плоскости П, осуществит действительное движение. Кениге и Дарбу построили соответствующий прибор, названный герполодографом (рис 71) потому, что материально осуществленный эллипсоид, катясь по плоскости П, вычерчивает на этой плоскости герполодию.

ии§ 18. Случай Лагранжа — Пуассона§ 18. Случай Лагранжа — Пуассона1. Уравнения движения симметричного тяжелого гироскопакачественное исследование. В случае Лагранжа — Пуассона1. Уравнения движения симметричного тяжелого гироскопакачественное исследование. В случае Лагранжа — Пуассонаэллипсоид инерции твердого тела относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. А = В, и центр тяжести тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, т. е. на оси динамической симметрии. Такое тело, имеющее неподвижную точку, часто называютэллипсоид инерции твердого тела относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. А = В, и центр тяжести тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, т. е. на оси динамической симметрии. Такое тело, имеющее неподвижную точку, часто называютсимметричным гироскопом. Заметим, что еслисимметричным гироскопом. Заметим, что еслиоднородное твердоеоднородное твердоетело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической симметрии, но не наоборот.По-прежнему свяжем с телом подвижную систему ориентировки Oxyz (рис 72) и направим ось Oz по оси динамической симметрии с положительным направлением от О к центру тяжести С. Ось О£ основной системы отсчета направим вертикально вверх. Обозначим радиус-вектор центра тяжести С относительно О через а (0, 0, а), а направляющие косинусы вертикальной оси О£ относительно под-тело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической симметрии, но не наоборот.По-прежнему свяжем с телом подвижную систему ориентировки Oxyz (рис 72) и направим ось Oz по оси динамической симметрии с положительным направлением от О к центру тяжести С. Ось О£ основной системы отсчета направим вертикально вверх. Обозначим радиус-вектор центра тяжести С относительно О через а (0, 0, а), а направляющие косинусы вертикальной оси О£ относительно под-ССРис. 72.Рис. 72.вижных осей — через у^ у2, у3; их выражения через углы Эйлера определяются формулами (12) § 16. Проекции силы тяжести на подвижные оси имеют значения Р(—Р^г, —Р^2, —Ру3). Составим динамические уравнения Эйлера. Момент внешней силы относительно неподвижной точки О будетвижных осей — через у^ у2, у3; их выражения через углы Эйлера определяются формулами (12) § 16. Проекции силы тяжести на подвижные оси имеют значения Р(—Р^г, —Р^2, —Ру3). Составим динамические уравнения Эйлера. Момент внешней силы относительно неподвижной точки О будетIIЛ10 = momoР = аХ Р = РЛ10 = momoР = аХ Р = РследовательноследовательноМх = Рау^ 7Иу = — Ра^^Мх = Рау^ 7Иу = — Ра^^М2 = 0.М2 = 0.00j *Уз Ya0 аj *Уз Ya0 аТогда динамические уравнения Эйлера примут видТогда динамические уравнения Эйлера примут видл^-нс-з) Чг = Ра^.л^-нс-з) Чг = Ра^.B^--^A-C)rp = -PaNvB^--^A-C)rp = -PaNv(1)(1)

и

и

§ 18. Случай Лагранжа — Пуассона

§ 18. Случай Лагранжа — Пуассона

1. Уравнения движения симметричного тяжелого гироскопакачественное исследование. В случае Лагранжа — Пуассона

1. Уравнения движения симметричного тяжелого гироскопакачественное исследование. В случае Лагранжа — Пуассона

эллипсоид инерции твердого тела относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. А = В, и центр тяжести тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, т. е. на оси динамической симметрии. Такое тело, имеющее неподвижную точку, часто называют

эллипсоид инерции твердого тела относительно неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. А = В, и центр тяжести тела лежит на оси вращения эллипсоида инерции, т. е. на оси динамической симметрии. Такое тело, имеющее неподвижную точку, часто называют

симметричным гироскопом. Заметим, что если

симметричным гироскопом. Заметим, что если

однородное твердое

однородное твердое

тело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической симметрии, но не наоборот.

По-прежнему свяжем с телом подвижную систему ориентировки Oxyz (рис 72) и направим ось Oz по оси динамической симметрии с положительным направлением от О к центру тяжести С. Ось О£ основной системы отсчета направим вертикально вверх. Обозначим радиус-вектор центра тяжести С относительно О через а (0, 0, а), а направляющие косинусы вертикальной оси О£ относительно под-

тело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической симметрии, но не наоборот.

По-прежнему свяжем с телом подвижную систему ориентировки Oxyz (рис 72) и направим ось Oz по оси динамической симметрии с положительным направлением от О к центру тяжести С. Ось О£ основной системы отсчета направим вертикально вверх. Обозначим радиус-вектор центра тяжести С относительно О через а (0, 0, а), а направляющие косинусы вертикальной оси О£ относительно под-

С

С

Рис. 72.

Рис. 72.

вижных осей — через у^ у2, у3; их выражения через углы Эйлера определяются формулами (12) § 16. Проекции силы тяжести на подвижные оси имеют значения Р(—Р^г, —Р^2, —Ру3). Составим динамические уравнения Эйлера. Момент внешней силы относительно неподвижной точки О будет

вижных осей — через у^ у2, у3; их выражения через углы Эйлера определяются формулами (12) § 16. Проекции силы тяжести на подвижные оси имеют значения Р(—Р^г, —Р^2, —Ру3). Составим динамические уравнения Эйлера. Момент внешней силы относительно неподвижной точки О будет

I

I

Л10 = momoР = аХ Р = Р

Л10 = momoР = аХ Р = Р

следовательно

следовательно

Мх = Рау^ 7Иу = — Ра^^

Мх = Рау^ 7Иу = — Ра^^

М2 = 0.

М2 = 0.

0

0

j *

Уз Ya0 а

j *

Уз Ya0 а

Тогда динамические уравнения Эйлера примут вид

Тогда динамические уравнения Эйлера примут вид

л^-нс-з) Чг = Ра^.

л^-нс-з) Чг = Ра^.

B^--^A-C)rp = -PaNv

B^--^A-C)rp = -PaNv

(1)

(1)

at

К этим уравнениям необходимо еще присоединить кинематические уравнения Эйлера:

р = -ф sin 0 sin <p + 0cos <р,

(2)(2)q = ф sin 0 cos <р — 0 sin ф,

(2)

(2)

г = ф—j—фсоз 0.

При общей постановке задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки (§ 16, п. 3) было выяснено, что кроме тривиального интеграла y2 + V2 + V3 ~ 1 необходимо для решения задачи отыскать еще три интеграла. Применим теорему об изменении кинетической энергии

dT = — Р<с, где £с есть координата центра тяжести относительно основной системы отсчета. Очевидно, что £с = (а); = ауз- Интегрируя и заменяя кинетическую энергию Т ее выражением (7') § 15, получим интеграл еьергии

Л(р2 + <?2) + Сг2 = -2Рауз + А;(3)

при этом учтено, что А = В.

Для получения второго из интегралов применим теорему об изменении кинетического момента в проекции на ось О^. Получим

поскольку уИ^ = 0; следовательно,

G; = const.

Но так как

G; = G ■ £° = (A pi + Aqj + С rk). (у^ + yj + у3й) =

= ^(Р¥1 + №)+с^з.

то окончательно будем иметь

И(ру1 + <7у2) + Сгу3 = соп81.(4)

Третий интеграл получаем из третьего уравнения системы (1)[ г = const.(б)

Заметим, что интегралы (3) и (4) можно получить и недосредственно из уравнений (1), как это было показано в § 16, п. 6.

Введем в полученные интегралы эйлеровы углы. Возводя обе части первых двух уравнений системы (2) в квадрат и складывая их почленно, получим

Р2 + Ч2 = Ф2 sin2 0 + 6»,

Кроме того, Уз — cos 0. Если, наконец, постоянную величину Сг2 объединить с h, то интеграл (3) примет вид

Л(ф25!п20 + 02) + 2Рп cos 9 — hx,(6)

где hx = h —Cr2.

Далее, умножая два первых из уравнений (2) соответственно на у1( Уз и принимая во внимание равенства (12) § 16, получим

PYj = ф sin2 0 sin2 ф+ 0 cos ф sin 0 sin ф,^у2 = ф sin2 0 cos2 ф — 0 sin ф sin 0 cos ф.

Отсюда после почленного сложения находим

рУ1 + № = ф5т20.

В результате интеграл (4) преобразуется к виду

Лф sin2 0 + Сг cos 0 ~b.(7)

Наконец, интеграл (5) после замены г его значением из кинематических уравнений Эйлера (2) примет вид

ф cos в —}—ф = г = const.(8)

Входящие в интегралы (6), (7), (8) постоянные hx, b и г определяются по начальным условиям.

Для отыскания закона изменения в зависимости от времени эйлеровых углов ф, ф и 0 необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (6), (7) и (8). Неизвестное ф в уравнения (6) и (7) не входит, поэтому уравнения (6) и (7) можно интегрировать отдельно от уравнения (8).

Определяя из уравнения (7) ф (скорость прецессии), получим ;6 — Cr cos 0

* = л^е•<9)

Затем, разрешая уравнение (6) относительно 02, будем иметь

02 - —1,ф2 sin2 0;

Лт

подставляя сюда вместо ф его значение (9), найдем д2 ht — 2Ра cos 6(6 — Cr cos ti)2

°ЛЛ2 sin2 9■

Уравнение (10) дает выражение для квадрата скорости нутации. Интегрирование этого уравнения можно довести до конца; 0 выразится в виде эллиптической функции времени. Затем, подставляя найденное значение 0 в уравнения (9) и (8), можно найти ф и ф в виде квадратур от эллиптических функций. Не проводя до конца

этого интегрирования, проведем на основании вида дифференциального уравнения (10) качественное исследование характера движения, дающее достаточно ясное представление о всех его особенностях.

Преобразуем уравнение (10) к виду

A2 sin2 0 ■ 02 = A (hr — ЧРа cos 0)sin2 0 — (5 — Сr cos О)2 (10')

и введем новое переменное s, полагая

• ds

cos9 = s, —sinO-O=-jT-.(11)

atx '

Тогда уравнение (10') примет вид

л2(5)2^/^-(12>

где обозначено

/(s) = А^ — SPas)^ — s^ — ^ — Crs)2.(13)

Исследуем корни уравнения /(s) = 0, т. е. найдем те значения s, при которых ^ обращается в нуль. Легко видеть, что уравнение /(s) = 0 будет иметь три действительных корня. В самом деле, из равенства (13) следует, что

/(—1) = —(6 —Crs)2< 0, /(+l)--(5-Crs)2<0, /(+ со)= + оо.

Последнее соотношение имеет место потому, что член /(s) со старшей степенью s имеет вид + 2PaAs3.

Так как s = cos6 и —1^ cos 0-^1, то для действительного движения должно иметь место —l^s-^1. А ввиду того, что и ds

— должно быть действительным, а не мнимым, выражение /(s) должно быть положительным в некотором интервале, лежащем между — 1 и -|-1 соответствующем действительному движению. Но так как при s = — 1 и» = -ф-1 /(s) < 0, а в упомянутом интервале /(s)>0, то между s = — 1 и s — 4” * существуют два действительных корня f(s), которые обозначим через St и s2. Кроме того, так как /(-]-оо)=-]-оо, то за значением s = —|— 1 функция /(s) имеет еще один действительный корень s3 [примерный график функции / (s) изображен на рис. 73].

Воспользуемся проведенным исследованием для общей характеристики движения симметричного гироскопа и применим для этой цели сферическое изображение. Опишем сферу единичного радиуса с центром в неподвижной точке О и отложим от точки О вдоль положительного направления оси динамической симметрии гироскопа Oz единичный вектор АО = а°; конец его А, называемый апексом.

будет все время двигаться по построенной сфере. Движение апекса А по сфере полностью изобразит движение оси Oz, т. е. прецессию й нутацию гироскопа.

Исследуем сначала, как изменяется при движении гироскопа угол нутации 0. Так как s = cos0, то из заключения, что для действительного движения s находится в границах Si^s-^S2> вытекает,

что cos 0, ^ cos 0 <^cos 02, где 0j и 02— углы, корням Sj и s2; следовательно,что cos 0, ^ cos 0 <^cos 02, где 0j и 02— углы, корням Sj и s2; следовательно,соответствующиесоответствующие

что cos 0, ^ cos 0 <^cos 02, где 0j и 02— углы, корням Sj и s2; следовательно,

что cos 0, ^ cos 0 <^cos 02, где 0j и 02— углы, корням Sj и s2; следовательно,

соответствующие

соответствующие

01 >01 >0002.02.

01 >

01 >

0

0

02.

02.

ds d cos 6"dt— dids d cos 6"dt— disin 0sin 0d9dt ’d9dt ’Рис. 74.Рис. 74.

ds d cos 6

"dt— di

ds d cos 6

"dt— di

sin 0

sin 0

d9

dt ’

d9

dt ’

Рис. 74.

Рис. 74.

Это двойное неравенство означает, что сферическая кривая, которую

описывает апекс, заключена между двумя параллелями AiAi и А2А2,

плоскости которых перпендикулярны к вертикальной оси О£ и от

стоят от О на расстояниях ^ = 008 0! и £2 = cos02. Ось Oz во все время движения будет находиться между двумя конусами с общей вершиной О и направляющими Л^! и Л2Л2 (рис. 74). Так как из равенства (11) следует, что

и так как 0 + 0, ибо этот угол заключен между 0j и 02, то ^- обращается в нуль одновременно с ^-. Тогда из уравнения (12) следует, что = 0 только

для корней уравнения /(s) —0, т. е. когда траектория апекса достигает граничных параллелей Л^, и А,^.

Следовательно, изменять направление нутационного движения (от движения вниз на движение вверх и наоборот) ось гироскопа может только на параллелях AiA^, Л2Л2.

Таким образом, траектория апекса будет иметь вообще вид волнистой сферической кривой, заключенной между параллелями Л1Л1

и А>4> и идущей от одной параллели к другой. При этом время движения ^12 от параллели AiAi до А2А2 остается постоянным и равным времени £21 движения от параллели А2А2 до ЛМь т. е. нутационное движение является колебательным с периодом Т = 2^12. В самом деле, из уравнения (12) следует, что Xs = ±ф^/($), где знак плюс берется, когда s > О, т. е. когда s растет от $! до s2, и знак минус — при убывании s от s2 до Sp Тогда

Sg St «?2

, Л Г dS . i Л Г dS Л f dSj 2 j ^/(s)

Таким образом, величины ^12 и Z21 определяются одним и тем же интегралом, причем нетрудно показать, что этот интеграл имеет конечное значение; следовательно, tn = Г21 — const.

Если корни $! и s2 очень близки друг к другу, то параллели AiAi и А2А2 очень сближены, траектория апекса извивается в узкой полосе между ними, мало отличаясь от окружности, а ось гироскопа вращается (прецессирует) вокруг оси О£, испытывая очень малые колебания; имеет место так называемая псевдорегулярная прецессия.

Рассмотрим теперь, какой вид может иметь траектория апекса между ограничивающими ее параллелями. Это зависит от характера прецессионного движения, т. е. от условий скорости прецессии ф, определяемой формулой (9)

xskpe"- <9>

Поскольку в знаменателе здесь стоит величина существенно положительная, то направление прецессии будет зависеть от значения постоянной Ь, т. е. от начальных условий. Возможны следующие случаи:

b >Crcos02 (или b<_Cr cos 0t). Поскольку во все время движения cos0^cos02 (и cos0>cos01), то в этом случае ф имеет все время один и тот же знак и никогда не обращается в нуль, т. е. гироскоп прецессирует все время в одном и том же направлении. При этом на параллелях XMi и А2А2 скорость 0 обращается в нуль и ось гироскопа имеет только скорость ф; следовательно, траектория апекса касается граничных параллелей. В итоге заключаем, что траектория апекса будет в данном случае иметь вид кривой, показанной на рис. 74.

b — Crcos02. В этом случае ф также имеет все время один и тот же знак, но на верхней параллели А2А2 обращается в нуль. Так как на этой параллели и 0 = 0, то у траектории апекса на па-

раллели Л2Л2 будут точки возврата. Таким образом, траектория апекса имеет в этом случае вид сферической циклоиды, изображенной на рис. 75.

Заметим, что случай b —Cr cos 0, физически невозможен, так как тогда на параллели ЛМ1 было бы одновременно ф = 0, 0 = 0, а потенциальная энергия гироскопа при 0 = 0t имеет минимум (центр тяжести гироскопа занимает наинизшее положение); следовательно, в последующем дви-|£,

жении от параллели AtAi к А2А2, когдаг

будет ф ф 0, 0 ф 0, должны одновременно возрастать и кинетическая и потенциальная /\

энергии гироскопа, что противоречит закону I у!|

сохранения энергии. Таким образом, траекто-IТ/

рия апекса с точками возврата на нижней\I/

параллели невозможна.\/

С г cos 0j < b < С г cos 02. В этом случае, пока cos 0!^ cos 0 < b, угловая скорость прецессии ф> 0, а при ^< cos 0<^ cos 02Рис. 75.

будет ф < 0. Следовательно, при угле 0 = 0*, определяемом равенством cos 0* = b, направление прецессии изменяется. Траектория апекса будет петлеобразной кривой, напоминающей по виду трохоиду (рис. 76). При этом из соображений, аналогичных вы

Рис. 76.равенство (13) принимаетРис. 76.равенство (13) принимаетсказанным при рассмотрении предыдущего случая 2), следует, что петли траектории могут располагаться только вблизи верхней параллели А2А2.

Рис. 76.

равенство (13) принимает

Рис. 76.

равенство (13) принимает

Рассмотрим частный пример. Пусть в начальный момент I = 0, ф = ф0, ф = 0, 0 = 0 и 0 = 0О, т. е. гироскопу сообщают собственное вращение с угловой скоростью Фо и отпускают ось без толчка, наклонив ее под углом 0О к вертикали. Подставляя эти начальные данные в уравнения (6) и (7), находим, что в данном случае h1 = 2Pacos%, b = Cr0cosQ0, и вид

/ (s) = 2Ра A (s0 - s) (1 - s2) - С г (s0 - s?, где s0 = cos 0О. Отсюда следует, что одним из корней уравнения у($) = 0 будет s = s0 (или 0 = 0О). Но, как было установлено выше при рассмотрении случая 2), возможно только равенство b = Cr cos02. Следовательно, в данном случае 02 = 0О, т. е. параллель А2А2,

ограничивающая траекторию апекса сверху, определяется начальным

положением оси гироскопа. Траектория апекса имеет вид, изображенный на рис. 75, где О2 = Оо.

В заключение отметим, что при особых начальных условиях может иметь место случай, когда оба корня Sj и s2 уравнения / (s) = 0 будут равны друг другу (st = $2); тогда 01 = 92 и апекс описывает окружность параллели, а ось гироскопа — круглый конус вокруг вертикали О£, т. е. движение будет представлять собой регулярную прецессию.

. Приближенное интегрирование уравнений движения симметричного тяжелого гироскопа. В большинстве случаев для практических целей бывает достаточно иметь приближенное решение уравнений движения гироскопа. Найдем такое приближенное решение для симметричного тяжелого гироскопа при следующих начальных условиях:

^о = О. Фо = ю- Фо = 0. % = 0; ф = Фо, Ф = Фо. 9 = 0О, т. е. рассмотрим случай, когда гироскоп в начальный момент получает угловую скорость со вращения вокруг своей оси динамической симметрии Oz, которая в этот момент образует угол 0О с вертикалью.

Подставляя эти начальные данные в равенства (6), (7) и (8), найдем, что в этом случае r = ro, hv = 2Ра cos 90, Ь = Сю cos %. Тогда уравнение (10) примет вид

92 = ^- <cos 6о — cos 6) ~ д^ 6'(cos 00 ~ C0S 0)2

или, вынося первый член правой части за скобку,

= (cos 90 — cos 0) Г1 — _р 5 ю, 2 д" (cos 90 — cos 9)1. (14) Л v и ' L 2РаА sin2 9 4 иJ

Из результатов, полученных в п. 1, следует, что во все время движения cos 9 ^ cos 90 ’) и, следовательно, 9 2>9О. Левая часть уравнения (14) существенно положительна; один из множителей правой части, именно cos90 — cos 9, по доказанному больше нуля, следовательно, второй множитель, т. е. выражение в квадратных скобках, должен быть существенно положителен, а для этого необходимо, чтобы второй член в квадратных скобках был меньше единицы.

Будем в дальнейшем рассматривать случай, обычно имеющий место на практике, когда начальная угловая скорость со гироскопа, а с нею произведение Сю, называемое собственным моментом гиро-

*) Это ясно и из того, что если бы было cos 9 > cos 90, то выражение в квадратных скобках уравнения (14) было бы положительным, а следовательно, вся правая часть этого уравнения была бы отрицательной, что невозможно, так как левая часть 92 существенно положительна.

скопа (начальный кинетический момент гироскопа), настолько велики, что выполняется неравенство

С2®2^>2РаЛ.

Но в таком случае, чтобы второй член в квадратных скобках был меньше единицы, необходимо, чтобы множитель при нем (г. е. величина cos 90— cos 9) был достаточно мал. Это в свою очередь будет иметь место тогда, когда очень мала разность 9 — 90, а потому можно положить

9 = 9q —j— и,(15)

где и есть весьма малая положительная величина (угол, на который изменяется начальное значение угла нутации). В дальнейшем будем ограничиваться в выражениях тригонометрических функций членами первого порядка малости относительно и и полагать cos и « 1, sin и ~ и.

Тогда

} (16)} (16)cos 9 = cos(90 -}- и) — cos 90cosm — sin 90 sin и «cos 90—a sin90, sin9 = sin(904~m) — sin90cos M4-cos90sin« « sin00+«cos90;

} (16)

} (16)

отсюдаотсюдаcos 90 — cos 9 « и sin 90cos 90 — cos 9 « и sin 90(17)(17)

отсюда

отсюда

cos 90 — cos 9 « и sin 90

cos 90 — cos 9 « и sin 90

(17)

(17)

Поскольку мы считали С2®2 ^> 2РаА, то для удержания в квадратной скобке правой части уравнения (14) членов одинакового порядка, ,С2®2о

необходимо в множителе при ^р^А С0ХРанить член с “• Вычисляя этот множитель с учетом равенств (16), (17), получим

cos 60 — cos 0 и sin дри

sin2 9~ sin2 9в 4- 2а sin 0В cos 0О sin 0О (1 4- 2а ctg 0О)

-Л-(1—2«ctg904- ...)*-А.(18)

sin 0о 4& и ।/ sin 0v 7

Кроме того, из соотношения (15) следует, что 6=-^-. В результате уравнение (14) заменится следующим приближенным уравнением:

/ da \2 2Paa sin 0О Г. С2ю2а 1

\ dZ ) Л [ 2РаА sin 0О J1 или

( du\? С2®? Г 2РаЛ sin 0О 1

Ы = т “ I w - “] •<19>

Введем обозначения

(20)(20)С® 2РаА sin 0О „

(20)

(20)

—= а.

АС2®21

14 Н. Н. Бухгольц

Тогда уравнение (19) примет вид/ du \2„ .\откуда^- = а /«(р —м).Тогда уравнение (19) примет вид/ du \2„ .\откуда^- = а /«(р —м).Разделяя переменные, будем иметьРазделяя переменные, будем иметьduУи^—и)'duУи^—и)'= adt.= adt.(21)(22)(21)(22)Таким образом, задача свелась к квадратуре. Для окончательногоТаким образом, задача свелась к квадратуре. Для окончательногоинтегрирования сделаем подстановкуинтегрирования сделаем подстановкуw = psin2e;(23)w = psin2e;(23)тогдатогдаdu = 2р sin е cos е de.du = 2р sin е cos е de.

Тогда уравнение (19) примет вид

/ du \2„ .\

откуда

^- = а /«(р —м).

Тогда уравнение (19) примет вид

/ du \2„ .\

откуда

^- = а /«(р —м).

Разделяя переменные, будем иметь

Разделяя переменные, будем иметь

du

Уи^—и)'

du

Уи^—и)'

= adt.

= adt.

(21)

(22)

(21)

(22)

Таким образом, задача свелась к квадратуре. Для окончательного

Таким образом, задача свелась к квадратуре. Для окончательного

интегрирования сделаем подстановку

интегрирования сделаем подстановку

w = psin2e;(23)

w = psin2e;(23)

тогда

тогда

du = 2р sin е cos е de.

du = 2р sin е cos е de.

Уравнение (22) после подстановки (23) примет вид

2Р sin е cos е de..

.—„, — — а dt,

УР sin2 е (р — р sin2 е)

или, после сокращения,

de = ~ dt.

Интегрируя, получима / ।е — -д ^ + Ci-

Подставляя это значение е в равенство (23), находим

« = psin2(~^+d).

Для определения постоянной интегрирования сг учтем начальные условия: и = 0 при t — 0. Тогда

0=psin2cb откуда С! = 0 и

И = psin2 .

Заменяя здесь константы а и р их значениями (20), будем иметь 2Pa4sin0o 9 / Сю ,\

“ =—c^sm2№T<24>

Наконец, подставляя этот результат в равенство (15), получим окончательно следующее выражение для угла нутации:

n Q . 2РдА sin 609 / Сю ,\

е = еон(25)

Из равенства (25) видно, что угол нутации периодически изменяется от значения 60 до значения

й й , ЗРдЛзтОо

Следовательно, если вокруг вертикальной оси описать два конуса с углами раствора при вершине 290 и 29ь то ось гироскопа будет все время находиться в пространстве между этими конусами (рис. 77). Период изменения угла нута-I

ции будет, согласно уравнению (25), равен

•(2б) МW

Формулы (26) и (25) показывают, что чем \ \/

больше собственный кинетический момент гиро- \ \ / / скопа, тем меньше период нутации (больше частота) \\ / и теснее границы 90 и 6Ь между которыми ко-'At'

леблется (нутирует) ось гироскопа. Сказаннымд

объясняется явление, состоящее в том, что вол- рис 77 чок, приведенный в быстрое вращение, издает'"

звук (жужжание) тем более высокого тона, чем больше скорость вращения.

Найдем выражение скорости прецессии. Для этого воспользуемся интегралом (7). При принятых начальных условиях г = со, Z> = Ccocos90 и этот интеграл дает

откудаоткудаЛ^ sin2 6 — Си (cos 90 — cos 6),

откуда

откуда

Cm cos 60 — cos 0

A sin2 60

Заменяя здесь последний множитель в правой части его приближенным значением (18), будем иметь

:Саи

— Л sin 0О ’

Наконец, заменяя и его значением (24), найдем окончательно следующее приближенное выражение для скорости прецессии:

:2Ра ,/ Сю ,\

Таким образом, мы приближенно определили законы прецессии и нутации быстро вращающегося тяжелого гироскопа при принятых начальных условиях.

Осью нутации является линия узлов, а осью прецессии — неподвижная вертикальная ось 0^. Закон изменения угла нутации дается

формулой (25). Из этой формулы следует, что ось собственного вращения Oz колеблется в плоскости Ot,z (вокруг линии узлов) около некоторого среднего своего положения. Величина ф есть скорость вращения линии узлов или плоскости O^z (перпендикулярной к линии узлов) вокруг оси О£. Ось собственного вращения совершает, следовательно, сложное движение. Из равенства (27) следует, что скорость прецессии ф сохраняет в нашем случае все время один и тот же знак, одинаковый со знаком со; следовательно, ось собственного вращения прецессирует (вращается вокруг оси 0£) все время в одном и том же направлении, причем, если гироскоп вращается вокруг оси в каком-либо направлении, то и его ось поворачивается вокруг вертикали в том же направлении. Из фбрмулы (27) также заключаем, что период для изменения скорости прецессии тот же, что и для угла нутации. Одновременно из формул (25) и (27) вытекает, что

Отсюда видно, что при минимуме угла нутации, т. е. при 9 = 90, скорость прецессии равна нулю, т. е. тоже минимальная, а при максимуме угла нутации, т. е. при наибольшем отклонении оси собственного вращения от вертикали, имеется и максимум скорости прецессии.

равный ^ ^ . Следовательно, траекторией апекса будет сферическая

циклоида, касающаяся нижней параллели (9 = 9,) и имеющая точки заострения на верхней параллели (6 — 92= 90), т. е. как и было установлено в п. 1 [при принятых начальных условиях имеет место второй из рассмотренных в п. 1 случаев (см. рис. 75)]. При этом опускание оси собственного вращения сопровождается возрастанием скорости ее вращения вокруг оси О? и наоборот.

Когда скорость собственного вращения гироскопа очень велика, изменение угла нутации настолько мало и незаметно (границы 90 и 9t очень близки друг к другу), что прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало отличающаяся от регулярной, называется, как было уже сказано в п. 1, псевдорегулярной прецессией. Для псевдорегулярной прецессии вводится понятие средней скорости прецессии, которая определяется как среднее значение скорости прецессии ф за промежуток времени, равный периоду прецессии.

<,+т<,+тСогласно определению среднего значения функции в некотором интервале изменения ее аргумента средняя скорость прецессии будет равна

<,+т

<,+т

где ^ есть произвольно взятый момент времени. Легко показать, что ф не зависит от момента ^. В самом деле, заменяя величину ф под знаком интеграла ее выражением (27), получим

at.at.2Ра . 9

at.

at.

-7г- Sin2

Сю

Делая подстановку 1 = ^-|-т, найдемт

■• Ра Г о • о Сю (/14- -г) , = J2s,n2 24=

оРа Г ~ тс® 1т' Ра Гг “ ТС® LоРа Г ~ тс® 1т' Ра Гг “ ТС® LАС®АС®АС®АС®ог

о

Ра Г ~ тс® 1т' Ра Гг “ ТС® L

о

Ра Г ~ тс® 1т' Ра Гг “ ТС® L

А

С®А

С®

А

С®А

С®

sinsin,г = Г

sin

sin

лА=о

. Сю ., ,. А . C®tY

sm^-^+D+^sin-^

Последние два члена внутри квадратной скобки взаимно уничтожаются, что обнаруживается, если представить в них значение Т из равенства (26). Итак,

(28)(28)7 Ра ф = -77—. т Сю

(28)

(28)

Среднюю скорость псевдорегулярной прецессии можно определить также как постоянную скорость некоторой воображаемой регулярной прецессии, при которой воображаемый апекс, двигаясь равномерно, описывает дугу параллели между двумя точками прикосновения концов ветви траектории настоящего апекса в то же самое время (период Т), в которое настоящий апекс описывает ветвь своей траектории (двигаясь неравномерно). Поскольку мы в ходе расчетов считали величину Си большой, то из формул (28) или (27) следует, что при принятых начальных условиях угловая скорость прецессии будет величиной малой, т. е. имеет место медленная прецессия.

Найдем, наконец, зависимость угла прецессии от времени. Интегрируя равенство (27), получим

t<t

. га С® \ Ра Г Г. Сю<1 ,,

ф ф0 = lbdt=-7— 2sin2 И at1 — COS—т-\at=-

т J т С® J \ 24 / Сю J L 4 J

00о

Ра Г,4 . Сю/Щ Ра Г,4 . C®t 1

— -»—\t77—ЗШ—т- =-77— г77—sin т- ;

Сю L Сю 4 Jo Сю L Сю 4 J ’

окончательно

^ = ^o+ ^

А . Cast 1

-7т— Sin —г- • Сю А I

(29)

Из равенства (29) следует, что угол прецессии будет постоянно возрастать, что, впрочем, следует и из равенства (27), так как производная ф положительна. Итак, ось собственного вращения будет вращаться вокруг вертикали все время в одном и том же направлении. Изменение угла прецессии может быть представлено графически, если вычертить графики двух функций

. .Ра

Ф1 = Фо+с^

,. РаА . Cast

т. е. прямую и синусоиду,

а затем сложить их ординаты; тогда ф = ф1 + ф2.

Если собственный кинетический момент гироскопа Си очень велик, то можно, раскрыв скобки, пренебречь третьим членом в формуле (29); тогда для угла прецессии получим приближенную формулу

Рис. 78.

.. . РА ,

'1> = 'ФоЧ-с55-^.

(30)

Из этой формулы можно было бы также получить найденную выше среднюю скорость прецессии (28).

Последняя из величин, характеризующих движение гироскопа, т. е. ф, определяется из интеграла (8) и равна

ф = со — ф cos 0.

(31)

дать флй®, т. е. что «с постоянной угловой

Поскольку, как видно из формул (27) или (28), ф<^и, то практически можно счи- собственное вращение гироскопа происходит скоростью.

3. Элементарная теория гироскопа. Гироскопом (или волчком) обычно называют быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять свое направле-

ние в пространстве, массивного цилиндра его оси остается все ствляется, например, .(рис. 78).

Гироскоп большей частью выполняется в виде или тора, закрепленного так, что одна из точек время неподвижной. Такое закрепление осуще- с помощью так называемого карданова подвеса

У гироскопа обнаруживается целый ряд на первый взгляд парадоксальных явлений, обусловленных его быстрым вращением. Эти

явления называют гироскопическими. Они возникают всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось вращения которых может изменять свое направление, и потому имеют большое техническое

значение.

Выше мы видели (см. пп. 1 и 2), что точное исследование движения гироскопа под действием даже одной только силы тяжести является довольно сложной задачей и что решение этой задачи можно упростить, когда угловая скорость собственного вращения гироскопа.

достаточно велика.

Дальнейшее упрощение проблемы дается в элементарной теории

гироскопа, основанной на непосредственном применении к изучению.

его движения теоремы об изменении кинетического момента.

G-Jia,G-Jia,Рассмотрим гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О оси гироскопа (рис. 79). Назовем такой гироскоп уравновешенным. Пусть этот гироскоп вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью top Так как угловая скорость направлена в данном случае по главной центральной оси инерции, то кинетический момент G гироскопа относительно точки О будет направлен по той же оси, и при этом 0 = ./top где J—момент инерции гироскопа относительно его оси. Если никакие внешние силы (кроме силы тяжести)

G-Jia,

G-Jia,

на гироскоп не действуют, то главный момент всех рис 7д внешних сил относительно центра О равен нулю"

и по теореме об изменении кинетического момента —— =0, откуда

О = const. Так как вектор О при этом все время направлен вдоль

оси симметрии гироскопа, то, следовательно, ось в данном случае будет сохранять свое начальное направление относительно инерциальной системы отсчета, а угловая скорость toj будет постоянной.

Допустим теперь, что на гироскоп действуют какие-нибудь внешние силы; тогда, как известно, гироскоп, кроме собственного вращения, будет совершать еще прецессионное и нутационное

движения.

Исследования, проведенные в п. 2 для случая движения гироскопа под действием силы тяжести, показывают, что у быстро вращающегося гироскопа направление оси вследствие нутационных колебаний изменяется в очень малых пределах 6t— 90 и угловая скорость нутации 6 при этом также очень мала [см. формулу (25)]. По этой причине нутационным движением оси в элементарной теории гироскопа вообще пренебрегают.

Угловая скорость прецессии, которую мы здесь будем обозначать to2, также мала, но при ее наличии ось гироскопа со временем.

значительно изменяет свое направление; поэтому угловая скорость е»2 в элементарной теории гироскопа учитывается. Тогда мгновенная угловая скорость гироскопа будет о — ® j-|-<i)2 (рис. 80). Но так как у быстро вращающегося гироскопа численно c^^^®), °*/то приближенно можно считать, что ® = ®b т. е. пола

гать, что и при наличии прецессии угловая скорость /11 гироскопа в каждый момент времени равна угловой //7 ^ скорости его собственного вращения и направлена вдоль оси симметрии гироскопа. При этом допущении / вектор кинетического момента будет также в любой и момент времени равен Jg>x и направлен по оси гироскопа, т. е. будет G = MV

/—Напомним, что вообще когда тело, имеющее непо- 7движную точку, не вращается вокруг своей главной оси

инерции, то эта ось, вектор и и вектор О имеют разные направления (см. § 15, п. 4).

к/Основное допущение элементарной теории гироскопа

'состоит в том, что у быстро вращающегося гироскопа

Рис. 80. эти три направления приближенно считаются совпадающими, т. е. принимается, что в любой момент времени вектор мгновенной угловой скорости и вектор кинетического момента О направлены по оси гироскопа и при этом

О = J^.(32)

Сделанное допущение позволяет судить о перемещении оси гиро- •скопа по изменению направления вектора G, используя для этого теорему об изменении кинетического момента в истолковании Резаля. Согласно этой теореме

^ = М,(33)

где М есть главный момент относительно неподвижной точки О всех действующих на гироскоп внешних сил. Если конец вектора G обозначить буквой В (рис. 81), то величину, стоящую в левой части равенства (33), можно (считая масштабный коэффициент равным единице) рассматривать как скорость *ов точки В, и тогда это равенство лримет вид

VB=M.(34)

Таким образом, скорость конца вектора кинетического момента равна численно и по направлению главному моменту внешних сил (теорема Резаля). В элементарной теории вектор G считается все время направленным по оси гироскопа. Следовательно, точка В всегда совпадает с точкой оси гироскопа, отстоящей от неподвижной точки О на расстоянии OB = G. Поэтому, Объединяя теорему Резаля с основным допущением элементарной теории гироскопа, будем в даль-

нейшем равенство (34) истолковывать следующим образом: скорость точки В оси гироскопа, отстоящей от неподвижной точки О на расстоянии ОВ = Q =J«>X, имеет в любой момент скорость, равную численно и по направлению главному моменту М внешних сил относительно центра О.

Рассмотрим теперь, что произойдет с уравновешенным гироскопом, если на его ось начнет действовать сила F (рис. 81), момент которой относительно неподвижной точки О равен М (или пара с моментом М, направленным перпендикулярно к оси гироскопа). Согласно

равенству (34) точка В оси получит при отклонится за малый промежуток времени Д^ на угол Дф, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к вектору F. Следовательно, под действием силы F ось гироскопа начнет отклоняться не в сторону действия силы, а в ту сторону, куда направлен вектор момента ML этой силы относительно неподвижной точки О (т. е. перпендикулярно к силе). В этом проявляется одно из интересных свойств быстро вращающегося гироскопа.

Пусть теперь в некоторый момент времени действие силы F прекращается. В обычных условиях точка (или тело) с прекращением действия силы продолжает двигаться по инерции. Для оси же гиро-

этом скорость ив— М иэтом скорость ив— М ископа при F=0 мы получим (И = 0, а следовательно, и VB — О, т. е. с прекращением действия силы отклонение оси гироскопа прекращается. В этом состоит второе интересное свойство гиро

этом скорость ив— М и

этом скорость ив— М и

скопа (безынерционность движения его оси).

ДфДфВВ' ОВВВ' ОВhFx Jai ‘hFx Jai ‘(35)(35)Пользуясь этими результатами, рассмотрим сначала, какое действие на гироскоп оказывает мгновенная сила (или удар), т. е. большая по численной величине сила F, действующая в течение столь малого промежутка времени т, что ее импульс Ft есть величина конечная (см. гл. VII). Пусть на гироскоп подействовала мгновенная сила F (см. рис. 81), момент которой относительно неподвижной точки равен М, причем численно М= hF. Тогда, согласно уравнению (34), vB = hF и точка В за время т переместится на расстояние ВВ' = hFv, а так как OB = G = Jo>1, то ось гироскопа за время т повернется на угол Дф, определяемый равенством

Дф

Дф

ВВ' ОВ

ВВ' ОВ

hFx Jai ‘

hFx Jai ‘

(35)

(35)

Поскольку произведение hFx, как было указано,—величина конечная, а собственный момент гироскопа Усо1 является величиной очень

большой, то угол Аф будет очень мал (тем меньше, чем больше J®]).

По истечении же промежутка времени т действие силы F прекращается, а следовательно, как было установлено, прекратится и отклонение оси.

В результате приходим к выводу, что действие мгновенной силы практически не изменяет направления оси бысто вращающегося уравновешенного гироскопа (примером может служить кубарь). Следовательно, быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к сохранению направления его оси. Это — одно из важных свойств гироскопа, широко используемое в технике.

Перейдем теперь к рассмотрению движения гироскопа под действием сил. Пусть главный момент этих сил относительно неподвижной точки О изображается вектором М, перпендикулярным к оси собственного вращения г гироскопа ). Тогда точка В оси z (рис. 82) будет двигаться со скоростью vB = At, а сама ось поворачиваться вокруг неподвижной точки О. Поскольку нутацией в элементарной теории пренебрегают, то движение оси около точки О

Рис. 82.представляет собой прецессию, т. е.

вращение вокруг некоторой неподвижной оси £ с угловой скоростью ®2. Очевидно, что скорость тв связана с <о2 соотношением ®а = йгХОВ или, поскольку OB=G = J<»V 'Ю »8 = #2X'fei- В результате приходим к следующему основному равенству, связывающему величины М и б)2:

J(e>2 X ®i) = А*-(36)

Собственный кинетический момент J®x считается величиной заданной. Поэтому уравнение (36) позволяет, зная Af (/), определить <о2. т. е. прецессию, вызываемую этим моментом, и наоборот, зная ®2, •определить, каков момент М, под действием которого эта прецессия происходит.

Рассмотрим сначала решение первой из названных задач. Из уравнения (36) видно, что вектор М в любой момент времени направлен перпендикулярно к плоскости zO^, т. е. по линии узлов ОК (см.

(37)(37)рис. 57 на стр. 162). Следовательно, при выполнении условия Mj_Oz вектор Л1 при движении гироскопа будет перемещаться по отношению к основной системе отсчета ^ в плоскости ^От}. А так как вектор «2 направлен по оси £, то отсюда следует, что вектор угловой скорости прецессии направлен перпендикулярно к неподвижной плоскости, в которой перемещается вектор М; сторона, в которую направлен вектор to2, определяется равенством (36). Наконец, численное значение со2 также определяется из равенств (36), которое дает

(37)

(37)

Ю2 J®v sin 6

i2, т. е. угол нутации, причем ), что в элементарной теории.i2, т. е. угол нутации, причем ), что в элементарной теории.Рис. 83.Рис. 83.где 9—угол между векторами ®i и й О = const. Последнее следует из топ нутацией пренебрегают (или непосредственно из того, что "ов = М, а так как вектор М перпендикулярен к плоскости zOt,, то точка В оси Oz в этой плоскости не перемещается).

i2, т. е. угол нутации, причем ), что в элементарной теории.

i2, т. е. угол нутации, причем ), что в элементарной теории.

Рис. 83.

Рис. 83.

В качестве конкретного частного примера рассмотрим прецессию тяжелого гироскопа (волчка), поставленного под углом 0 к вертикали. В этом случае на гироскоп действует сила тяжести Р (рис. 83). Момент Л1 этой силы относительно точки опоры О при любом направлении оси Oz гироскопа лежит

в горизонтальной плоскости, проходящей через точку О; следовательно, ось прецессии ОС вертикальна и при указанном направлении tot вектор to2 направлен вертикально вверх. Численно А1 = Ра sin О, где а= ОС — расстояние центра тяжести от точки опоры. Подставляя это значение АГ в равенство (37), найдем, что гироскоп в этом случае прецессирует с угловой скоростью

(38)(38)Ра

(38)

(38)

(Do •— -у—— ,

2 /to,

не зависящей от значения угла 9. Сравнивая этот результат с равенством (28) из п. 2, находим, что даваемая элементарной теорией величина угловой скорости прецессии, совпадает со средней величиной этой скорости, найденной путем интегрирования соответствующих приближенных уравнений движения.

Обратимся теперь ко второй из названных выше задач. Если угловая скорость прецессии to2 известна (и величина Jtov по условию также задана), то из равенства (36) сразу определяются численная величина и направление момента М, под действием которого такая прецессия может происходить.

Если гироскоп совершает вынужденную прецессию, т. е, прецессирует потому, что устройство, с которым скреплена ось гироскопа, вращается с угловой скоростью е>2, т0 момент М будет вызываться силами давления на гироскоп подшипников, в которых закреплена его ось. В свою очередь, по закону равенства действия и противодействия, ось гироскопа будет давить на подшипники с такими же по численной величине, но противоположно направленными силами. Эти силы образуют пару с моментом Л1гир, называемым гироскопическим моментом, которая будет действовать на устройство, сообщающее гироскопу вынужденную прецессию. Поскольку Мгир = =— М, то из равенства (36) находим

и численнои численноМгир = JcOjiOj sin 9.Мгир = JcOjiOj sin 9.(39)(40)(39)(40)

и численно

и численно

Мгир = JcOjiOj sin 9.

Мгир = JcOjiOj sin 9.

(39)

(40)

(39)

(40)

собственного вращения гироскопасобственного вращения гироскопа

собственного вращения гироскопа

собственного вращения гироскопа

Из равенства (39) видно, что момент Л1гир направлен так, что он стремится совместить кратчайшим путем вектор 6)t с «2. Указанное явление носит название гироскопического эффекта и определяется следующим правилом Жуковского: если какое-нибудь устройство сообщает быстро вращающемуся гироскопу вынужденную пре

цессию, то при этом на данное устройство со стороны гироскопа будет действовать пара с гироскопическим моментом Л1гир, стремящаяся кратчайшим путем установить ось

параллельно оси прецессии

так, чтобы векторы угловых скоростей собственного вращения и прецессии при этом совпали по направлению. Это правило объясняет значительное число гироскопических явлений.

В технике гироскопический эффект часто имеет место в тех случаях, когда происходит поворот быстро вращающегося массивного

тела, например пароходной турбины, ветряного двигателя и т. д. Допустим, что таким телом является пароходная турбина, вращаю

щаяся на горизонтальном валу с угловой скоростью с^ (рис. 84). Если пароход будет делать разворот с угловой скоростью о^, то с ним повернется и вал турбины. Тогда вследствие гироскопического эффекта на подшипники А и В будет действовать пара сил Q, Q', направленная, согласно правилу Жуковского, так, как показано на рисунке, т. е. стремящаяся установить вал вертикально. Момент этой

$ 19] СЛУЧАИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ 221 пары определяется формулой (40); поскольку в данном случае 0 = 90°, то Л4гир = Jto^. С другой стороны, момент пары Qb Q' равен QAB. Отсюда находим силу добавочного давления на каждый подшипник, обусловленного гироскопическим эффектом:

АВ "

При больших значениях Jmx эта сила достаточно велика и должна учитываться в соответствующих инженерных расчетах. Если же поворот будет сделан очень резко (с большой величиной о>2), то сила Q может вызвать разрушение подшипника.

В настоящее время область технических приложений гироскопов громадна. Гироскопы используются в качестве стабилизаторов как прямого действия, в которых используются массивные гироскопы (например, гироскопические успокоители качки судов, гироскопические стабилизированные платформы и т. п.), так и не прямого действия, в которых гироскоп играет роль чувствительного элемента, передающего сигналы моторам, приводящим в движение соответствующие рули (например, прибор, стабилизирующий движение торпеды, всевозможные автопилоты и др.).

Большое применение находят различные гироскопические навигационные приборы: гироскопические компасы, гирогоризонты, указатели поворотов и т. д.

В технике используют также гироскопические тахометры, гироскопические интеграторы ускорений (прибор, позволяющий в любой момент времени определить скорость неравномерно движущегося объекта) и многие другие устройства, основанные на использовании рассмотренных выше свойств гироскопа.

Случай С. В. Ковалевской

Интеграл Ковалевской. Новый интегрируемый случай движения тяжелого тела около неподвижной точки, полученный в 1889 г. С. В. Ковалевской, определяется двумя условиями: 1) Л = 5 = 2С и 2) центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, который, как показывает первое условие А = В = 2С, есть вытянутый эллипсоид вращения вокруг оси Oz.

Основные оси О£л£> связанные с Землей1), выбираем, как и ранее, так, чтобы ось О£ была направлена по вертикали. Оси подвижной системы Ox^z направляем по главным осям инерции тела. Ось Oz по условию совпадает с осью динамической симметрии (в данном случае с большой осью эллипсоида инерции) Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то любая ось в его экваториальной

*) См. сноску на стр. 176.

плоскости есть главная ось инерции; поэтому, не ограничивая общности рассуждения, можно ось Ох провести через центр тяжести Cv тогда направление оси Оу определится само собой. Обозначим, как и раньше, радиус-вектор центра тяжести С относительно неподвижной точки О через ОС — а (а, 0, 0), а направляющие косинусы вертикали О£ относительно подвижных осей — через уь у2, у3. Момент силы тяжести Р относительно точки О будет

М0 = аХР =М0 = аХР =JоJоА0А0— ^Yi — РЪ —РЪ— ^Yi — РЪ —РЪ= р= рY1 УгY1 УгУз 0Уз 0

М0 = аХР =

М0 = аХР =

J

о

J

о

А

0

А

0

— ^Yi — РЪ —РЪ

— ^Yi — РЪ —РЪ

= р

= р

Y1 Уг

Y1 Уг

Уз 0

Уз 0

Динамические уравнения Эйлера при наличии условия Л = В = 2С

и при найденном значении Мо примут вид

2C^ — Cqr = 0.at

2C^^-Crp=PaN3,

С^—Ра^ di

или, деля обе части каждого из уравнений системы на С и обоРа

значая постоянную -^- = п,

dp "dtdp "dtqr — 0,qr — 0,dq dtdq dt-н гр = «Уз,-н гр = «Уз,(1)(1)

dp "dt

dp "dt

qr — 0,

qr — 0,

dq dt

dq dt

-н гр = «Уз,

-н гр = «Уз,

(1)

(1)

К системе (1) необходимо еще присоединить уравнения (14) § 16:

dN\dtdN\dtdNidtdNidt№ —ГУ1,№ —ГУ1,(2)(2)

dN\dt

dN\dt

dNidt

dNidt

№ —ГУ1,

№ —ГУ1,

(2)

(2)

dx,

-^• = q^-P^.

Уравнения (1) и (2) представляют систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями времени р, д, г, уь у2, у3. Для данной системы, как и в двух рассмотренных выше случаях, можно легко получить

три известных алгебраических интеграла, именно: интеграл энергии, интеграл площадей, получающийся проектированием кинетического момента на вертикаль ОС, и тривиальное соотношение между косинусами "У 1 Н~ Yz —Н Уз == 1 - К этим трем интегралам С. В. Ковалевская добавила четвертый. Для получения его умножим второе из уравнений (1) на мнимую единицу / = )/^—1 и сложим с первым; таким же образом умножим на I второе из уравнений (2) и сложим с первым. Получим

2 -^ (р + ^) = — ir (р Н- 4) 4- *»¥з.

■J^ ад 4- ад)=—ir (yi 4~ ад) 4- ад (р 4-ад-

Исключаем Уз из Двух полученных уравнений, умножая первое из них на р4*4 и вычитая из него второе, умноженное на п; получим

2 (р 4- ад -^ (р 4- ад—^п ад+ад)=^ i« ад4- ад)— (р 4- ад21. или

j- [(р 4- IqY — п (¥14- ад)] = — /г [(р 4- Iq^ — я (¥14* ZY2)L что можно записать в виде

■^- 1п [(р 4- iq^ — n (Yi 4* iYs)] = ~1г.(3)

Проделаем те же операции, но умножая не на I, а на отрицательную мнимую единицу —1 =— У—1. Тогда после выкладок совершенно таких же, как и предшествующие, мы придем к выражению, очевидно, получающемуся из равенства (3), если произвести в нем замену I на —I, т. е.

-^ 1П 1(Р — ад2 — »(Yi — ад)] =ir.(4)

Складывая равенства (3) и (4) почленно, получим

-^- In {[(р 4- lq)2 — п (Y14- ад)] ](р — ад2 — n (¥1 — ад)]} = О. (5) Интегрируя уравнение (5), найдем четвертый алгебраический интеграл: кр 4- иу—«ад 4-адл ](р—ад2—«ад—адм=const. (6)

Преобразуя выражение (6), будем иметь'

{(Р2 — q2 — «Yi) 4- i (^Pq — «¥з)1 X

X Кр2 — q2 — «Yi) — I (.^pq — «Y2)I = const, или

(p2 — q2 — «Yi)2 4"(2py — пуз)2 = const = A.(7)

Это и есть интеграл Ковалевской. Окончательно задача сводится к квадратурам гиперэллиптического типа.

Заключительные замечания. В рассмотренных выше трех случаях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, т. е. в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, кроме трех первых интегралов (тривиального, интеграла энергии и интеграла площадей), существует еще четвертый алгебраический интеграл, благодаря которому задача приводится к квадратурам. Возникает вопрос о том, могут ли быть, кроме этих трех, другие случаи движения твердого тела около неподвижной точки, для которых также имеет место четвертый алгебраический интеграл. Исследования Хуссона (Husson) (1905 г.), Бургатти (Burgatti) (1910 г.) и др. показали, что для других случаев, кроме трех рассмотренных, не существует других алгебраических интегралов, кроме тривиального, интеграла энергии и интеграла площадей.

Это заключение относится к общим интегралам, имеющим место при любых начальных условиях. Тем не менее различными авторами найдены случаи, для которых существуют частные алгебраические интегралы, т. е. интегралы, имеющие место только при некоторых, специфически выбранных начальных условиях. К таким случаям относятся случаи Гесса (Hess), С. А. Чаплыгина, Бобылева — Стеклова, Д. Н. Горячева и других авторов (см. Г. К. Суслов, Теоретическая механика, 1946, гл. L1).

§ 20. Движение свободного твердого тела

(1)(1)Уравнения движения свободного тела. Если обозначить через О^л^ основную систему отсчета, то уравнения движения центра масс свободного твердого тела получатся из теоремы о движении центра масс в виде

(1)

(1)

«Пс = R^-mtc = R^

где т — масса тела, £с, Лс> ^с — координаты его центра масс С относительно осей основной системы, a R^, R^, R^ — проекции на те же оси главного вектора внешних сил.

Если провести через центр массы С оси V> ТЛ V• соответственно параллельные осям основной системы, и обозначить через Cxyz подвижные оси, связанные с телом и направленные по главным осям инерции тела в точке С, то движение твердого тела около центра масс, как около неподвижной точки, определится движением осей Cxyz относительно системы С^'л'^, которое будет известно, если известны соответствующие углы Эйлера в функции времени.

Так как теорема моментов применима и к относительному движению около центра масс, то для движения твердого тела отно-

§ 20] ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 225 сительно центра масс будем иметь те же самые динамические уравнения Эйлера, что и для тела с неподвижной точкой, т. е.

Л

dp dt

HC-B)qr = Mx,

в

dq dt

\-(A — C)rp~My,

■(2)

с

dr dt

RS A) pq — Mz.

Система уравнений (1) и (2) представляет собой систему шести дифференциальных уравнений движения для свободного твердого тела. Так как неизвестными являются три абсолютные координаты центра масс £с, т]с, £с и три угла Эйлера <р, ф, 9, то к системе (1), (2) необходимо еще присоединить кинематические уравнения Эйлера [уравнения (7) § 16].

Обычно в простых случаях движения, например в случае движения твердого тела в безвоздушном пространстве, проекции главного вектора внешних сил R^, R^, R^ не зависят от углов Эйлера, а проекции главного момента Мх, Му, Мг не зависят от координат центра масс. В таком случае уравнения (1) и (2) можно интегрировать независимо друг от друга; £с, т|с, tc выразятся в функции времени и шести произвольных постоянных, а <р, ф, 0 — в функции t и шести других (независимых от первых) произвольных постоянных. Однако в некоторых более сложных случаях, например в случае движения тела в сопротивляющейся среде, главный момент М внешних сил относительно центра масс будет зависеть от координат |с, Т1С, ^с, а действующая на тело сила сопротивления будет зависеть от ориентировки тела, т. е. углов ср, ф, 0 и уравнения (1) и (2) образуют совместную систему. В этом общем случае интегрирования интегралы системы (1), (2) будут содержать 12 произвольных постоянных интегрирования.

Примеры. 1) Допустим, что свободное твердое тело движется вне поля сил (Л = О, Мс = 0). Тогда, как видно из уравнений (1) и (2), его центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно, а движение тела около центра масс будет таким же, как в случае Эйлера — Пуансо. Это движение можно назвать движением твердого тела по инерции в общем случае.

Допустим, что твердое тело движется в однородном поле тяжести при отсутствии сил сопротивления. Тогда на тело действует только сила тяжести, равная mg, приложенная в центре масс и направленная по вертикали вниз. Если ось g направить вертикально вверх, то уравнения (1) примут вид

^С ~ ^’ 11с = ^’ ^С =

Отсюда (см. ч. I, § 36) найдем, что при произвольных начальных условиях центр масс тела будет двигаться по параболе. Движение около центра масс, поскольку и здесь М^ = 0, будет таким, как в случае Эйлера — Пуансо.

Рассмотрим движение планеты в поле тяготения Солнца, пренебрегая притяжениями других небесных тел. Если планету считать состоящей из однородных сферических слоев, то, как доказывается в теории потенциала, планета будет притягиваться к Солнцу как материальная точка, масса которой равна массе т планеты и сосредоточена в центре масс (силы притяжения имеют при этом равнодействующую, проходящую через центр масс). Тогда уравнения (1) можно преобразовать так же, как в случае движения материальной точки под действием центральной силы (см. ч. I, § 37); в результате найдем, что траекторией центра масс будет коническое сечение, в частности, при соответствующих начальных условиях, эллипс с фокусом в притягивающем центре.

Момент Мс равнодействующей сил тяготения относительно центра масс здесь опять равен нулю. Но, поскольку при сделанном допущении о форме планеты центральный эллипсоид инерции является сферой, то движение планеты около центра масс будет равномерным вращением вокруг оси, сохраняющей неизменное направление в пространстве (направление этой оси и величина угловой скорости вращения определяются начальными условиями).

Если же не считать планету состоящей из однородных сферических слоев и учесть ее реальную форму, например для Земли форму геоида, то окажется, что равнодействующая сил притяжения уже не будет проходить через центр масс планеты и будет Мс Ф 0. Тогда движение планеты около центра масс будет аналогично движению гироскопа, т. е. помимо собственного вращения планета будет совершать еще прецессию вокруг оси, перпендикулярной к плоскости эклиптики, а также нутационные колебания. В частности, прецессию под действием сил притяжения Солнца и Луны совершает и земная ось; период этой прецессии равен приблизительно 26 000 лет.

ГЛАВА ПЯТАЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

§ 21. Вывод уравнений и первые интегралы

Канонические переменные. Лагранжева система уравнений представляет собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат q и в случае, когда действующие силы потенциальны, имеет вид

J£ = o (/=1.2п).(1)

dt у dqt ) dqt

где

L = L(qt, q2qn; qv q2‘q^ t)

есть функция Лагранжа (или кинетический потенциал), зависящая от координат q, скоростей q и, в общем случае от времени t. Координаты, от которых функция L явно не зависит и которые входят в L только своими производными, носят название циклических. Если L есть функция второй степени от скоростей, то система (1) называется динамической; в этом случае (см. § 8, п. 4)

L = L2-V L\-\- Lo.

Систему (1) можно легко привести к системе 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, считая скорости q за неизвестные функции. Такая система будет иметь вид

d / dL\ dL . dq, — —= 0; ?, = —(/=1, 2n\ (2)

dt \dqt у dqtdt

Система (2) определяет неизвестные функции qx, q2, .... qn; qv q2, ■ • • • Qn* которые называются лагранжевыми переменными, и, как видно, является системой 2 л обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Для приведения системы (1) к каноническому виду вместо лагранжевых переменных qt и qt (координат и скоростей) введем новые переменные, а именно обобщенные координаты qt и обобщенные импульсы pt> где

pt=~ (Z=l, 2n).(3)

дд4

Эти переменные будем называть каноническими переменными.

Такое преобразование (принадлежащее Пуассону и Гамильтону) будет возможно, если система п уравнений (3) может быть разрешена относительно qt, а это в свою очередь возможно тогда, когда функциональный определитель (якобиан) системы тождественно не равен нулю, т. е.

q( dL дкдкуд/ дд^’ " " dgnH<iv ?„)q( dL дкдкуд/ дд^’ " " dgnH<iv ?„)d4dqt dqjd4dqt dqj^0.^0.Лагранжева система, для которой определитель ГессаЛагранжева система, для которой определитель Гесса64dqt дд}64dqt дд}ненеравен нулю, называется нормальной системой. Если система динамиравен нулю, называется нормальной системой. Если система динамическая, точеская, тоL = L2 -4- Lt 4- Lo,L = L2 -4- Lt 4- Lo,

q( dL дкдк

уд/ дд^’ " " dgn

H<iv ?„)

q( dL дкдк

уд/ дд^’ " " dgn

H<iv ?„)

d4dqt dqj

d4dqt dqj

^0.

^0.

Лагранжева система, для которой определитель Гесса

Лагранжева система, для которой определитель Гесса

64dqt дд}

64dqt дд}

не

не

равен нулю, называется нормальной системой. Если система динами

равен нулю, называется нормальной системой. Если система динами

ческая, то

ческая, то

L = L2 -4- Lt 4- Lo,

L = L2 -4- Lt 4- Lo,

причем пп

ц= ^^j^qp£i = 2 <w.

ллпоэтому для динамической системы обобщенные импульсы равны

л

л

(3')

т. е. являются линейными функциями скоростей, и определитель Гесса будет

т. е. равен дискриминанту квадратичной формы Ц, который не может быть тождественно равен нулю. В самом деле, функция Г2 = Т^ всегда положительна и обращается в нуль только в том случае, если все q( равны нулю, а если бы дискриминант ||«;/|| этой положительной квадратичной формы был тождественно равен нулю, то система однородных линейных уравнений

п

^“ Ы=|)</=1.2«)

удовлетворялась бы при значениях д, отличных от нуля, и следовательно, согласно теореме Эйлера, было бы

У _^2У _^2^ = 2^ = 0,^ = 2^ = 0,

У _^2

У _^2

^ = 2^ = 0,

^ = 2^ = 0,

е. функция Л2 обращалась бы в нуль при значениях q, отличных от нуля, что невозможно. Итак, динамическая система будет всегда нормальной, и преобразование Пуассона — Гамильтона для нее всегда возможно.

Разрешая систему уравнений (3) относительно q, получим

Qi = /<Ч1» 42Чп". Pi’ Pi- • ■-> Pn- 0 (7=1.2n).(4)

Подставляя выражения (4) в функцию L, мы получим

L(q, q\ t)-^L(q, p; f).

т. e. функция L выразится подставляя выражения (3) и иметьdp^ = дТ dt — ^т. e. функция L выразится подставляя выражения (3) и иметьdp^ = дТ dt — ^в канонических переменных. Тогда, (4) в лагранжеву систему (1), будем

т. e. функция L выразится подставляя выражения (3) и иметь

dp^ = дТ dt — ^

т. e. функция L выразится подставляя выражения (3) и иметь

dp^ = дТ dt — ^

(i = 1, 2, . ,., п).(5)

Уравнения (4) и (5) образуют систему 2п обыкновенных диффе

ренциальных уравнений первого dq.р; Пdp( _ dL^q, р; Оdtdq.ренциальных уравнений первого dq.р; Пdp( _ dL^q, р; Оdtdq.порядка(7=1, 2, . . ., п).(4')(7=1,2п),(5')порядка(7=1, 2, . . ., п).(4')(7=1,2п),(5')

ренциальных уравнений первого dq.

р; П

dp( _ dL^q, р; Оdtdq.

ренциальных уравнений первого dq.

р; П

dp( _ dL^q, р; Оdtdq.

порядка

(7=1, 2, . . ., п).(4')

(7=1,2п),(5')

порядка

(7=1, 2, . . ., п).(4')

(7=1,2п),(5')

которые и будут уравнениями движения в канонической форме.

Уравнения Гамильтона. Гамильтон в 1834 г. дал иной вид каноническим уравнениям движения, выразив правые части уравнений (4') и (5') через одну функцию, которая носит название функции Гамильтона. Для вывода этих уравнений возьмем вариацию функции L{q,q~,t), выраженной в лагранжевых переменных; получим

(6)(6)Преобразуем второй член правой части уравнения (6); имеемПреобразуем второй член правой части уравнения (6); имеемbL =

(6)

(6)

Преобразуем второй член правой части уравнения (6); имеем

Преобразуем второй член правой части уравнения (6); имеем

230КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. V

Внося выражение (7) в уравнение (6) и изменяя группировку членов, получим

(8)

\i dq‘ )i dqti 'dql'

В левой части уравнения (8) под знаком 6 стоит функция, которая встречалась уже в § 8, п. 5 и была обозначена через Н*. Введем в уравнение (8) вместо лагранжевых переменных канонические, заменив q их выражениями (4). Тогда функция

i dql

после этого преобразования перейдет в функцию

(9)(9)н<д. р; f) =

(9)

(9)

ч-»р

Функция H(q, р; ty взаимная по отношению к функции L, но выраженная в канонических переменных, называется функцией Гамильтона. Поскольку -^- = р. функцию Н можно еще представить dqt

в виде

H<q, р, П-С^Р^-Ьу .H<q, р, П-С^Р^-Ьу .(Ю)(Ю)

H<q, р, П-С^Р^-Ьу .

H<q, р, П-С^Р^-Ьу .

(Ю)

(Ю)

Отсюда сразу определяются выражения qt через функцию Н, аналогичные выражениям (3) импульсов pi через функцию L. Действительно, вычисляя из выражения (10) производную от Н по pt и учитывая, что в этом выражении Н зависит от pt как явно, так и через переменные qb получим

дН • . V ^ V dL d4i

—— — qi +pj zj —•

dpiJ dpi dq, dPl

„6L

РрРр(П)(П)Входящие в правую часть суммы сокращаются, поскольку —г- dqj

Рр

Рр

(П)

(П)

и окончательно будем иметь

• дН

qt-^Pi'

Найдем теперь вторую группу уравнений, которые собственно и являются уравнениями движения. Для этого перейдем в правой части равенства (8) к каноническим переменным. Тогда функция L(q, q; f)

перейдет в L(q, р; t), а -^- заменится через р,, и уравнение (8) dqt

примет вид

р; t^ — ^^bq^V^qM

или, принимая во внимание равенство (5), №(д, р; t') = — ^lp^qt-A-’2iqibp{.(12>

Развертывая в левой части ваоиацию Н, получим

Ж^ + №р. — ^рАН

Отсюда, учитывая равенства (11), находим

а)а)6^ = 0.6^ = 0.

а)

а)

6^ = 0.

6^ = 0.

Это соотношение, поскольку все bqt между собою независимы, дает

ПрисоединяяПрисоединяяуравнений:уравнений:сюда равенства (11), приходим к следующей системесюда равенства (11), приходим к следующей системе

Присоединяя

Присоединяя

уравнений:

уравнений:

сюда равенства (11), приходим к следующей системе

сюда равенства (11), приходим к следующей системе

(t = 1, 2, . .., n).(t = 1, 2, . .., n).(13)(13)dqx дН dpt дНdtdpi ’ dtdtp

(t = 1, 2, . .., n).

(t = 1, 2, . .., n).

(13)

(13)

Уравнения (13) носят название канонической системы уравнений движения в форме Гамильтона или просто уравнений Гамильтона. Они представляют собой систему обыкновенных уравнений первого порядка, определяющих qx, q2, . . ., qn и рх, р2рп как функций времени, т. е. q, p\t.

В случае динамической системы уравнения (1) применимы только тогда, когда система консервативна, т. е. когда силы, действующие на систему, имеют потенциал, ибо L = T-(-U; следовательно, и уравнения (13) тоже имеют место только для этого случая. Но весьма легко получить уравнения Гамильтона и для неконсервативной динамической системы.

Предположим для общности, что на динамическую систему действуют силы как консервативные, имеющие потенциал U, так и неконсервативные; тогда уравнения движения такой системы будут иметь.

вид

—dt ( dqi /—dt ( dqi /дТ dU dqi dqiдТ dU dqi dqi(1=1, 2п).(1=1, 2п).

—

dt ( dqi /

—

dt ( dqi /

дТ dU dqi dqi

дТ dU dqi dqi

(1=1, 2п).

(1=1, 2п).

ИЛИ

(/=1, 2n),(/=1, 2n),d / dL \ dLdt \dqt) dqt

(/=1, 2n),

(/=1, 2n),

где L = T ~VU, причем L\q, q, t. Полагая по-прежнему

PtPtdL

Pt

Pt

Mi

и вводя канонические переменные, получим уравнения (4') и (5') в виде

^r=fM< р; Q (z = i, 2пу

а равенство (12) в виде

ьн = — 2 (Pt — Qt) М, + 2 qz ^Pt.

откуда тем же путем, что и при выводе уравнений (13), получим

—(Z=l, 2п). (14)

dt dp; dt dq^ 'v\ /

Уравнения (14) представляют собой уравнения Гамильтона для неконсервативной системы.

Необходимо заметить, что уравнения Гамильтона, как полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голо- номным системам.

Функция Гамильтона. Функция Гамильтона, как было уже сказано в предыдущем пункте, есть функция, взаимная по отношению к функции L и выраженная в канонических переменных, т, е.

H(q, р\ —.

\i ) q-*P

Координаты q, не входящие явно в функцию Н, называются циклическими. В случае динамической системы имеем

L = ^2^1 + М>

поэтому по теореме Эйлера

— L Ч~ ^J -г- У, — — /-2 ^1А) + 2^2 + ^-1^2 М.

dqL

а следовательно,а следовательно,H(q, р; Ci = L^ — £в,H(q, р; Ci = L^ — £в,(16)(16)

а следовательно,

а следовательно,

H(q, р; Ci = L^ — £в,

H(q, р; Ci = L^ — £в,

(16)

(16)

где Ц есть функция L^, в которой скорости q выражены через импульсы р. Так как в случае динамической системы скоррсти q, согласно формуле (3'), суть линейные функции импульсов р, то из равенства (15) следует, что Н есть функция второй степени от импульсов р.

Если

L = T4-U=T^T^WU,

ТО

L» = T£, Ло = Го + U

и, следовательно,

H{q, р; f)=T2-T0-U.(15')

Если, как это бывает в большинстве конкретных случаев, кинетическая энергия Т есть однородная функция второй степени от скоростей (а следовательно, и от импульсов), т. е, если

Т = Т2 = у 2 а^#;, То = О,

то

Н = Т2 — и = Ё,(16)

т. е. функция Н есть сумма кинетической и потенциальной энергии или полная энергия системы, в которой скорости q выражены через импульсы р.

Пример. Составим уравнения Гамильтона для свободной материальной точки с массой т, движущейся в потенциальном поле сил. В этом случае положение точки определяется тремя независимыми координатами х, у, г. Кинетическая энергия точки будет

Т = 1 щ(х2 + ? + ^),

а потенциальная равна — U (л-, у, г), где U есть потенциал силового поля. Полная энергия равна

£ = "^ m (^2 + У2 + s’2) — U (л-, у, г).

Чтобы получить функцию Н, нужно в выражении Е вместо скоростей ввести импульсы. Имеем, согласно (3),

дТ .

р, = —— = тх,

дх

дТ•

Ру = -у"= тУ-

дТ•

pz=—= mz;dz

отсюдаотсюда(а)(а)

отсюда

отсюда

(а)

(а)

Подставляя выражения (а) в Е, получим

^ = 2^(^ + ^ + ^)-^и У. z\

Уравнения Гамильтона (13) будут иметь вид

dx _ dt

дН

= -5 И Т. Д. И

ОРх

dPx _ dt

dH

дх и т* д-

или

dx рх

dpx

dU

dt т *

dt

dx ’

dy р^

йР^

dU

dt т ’

dt

- dy ’

dz _ Pz

dPz

dU

dt m ’

dt

° dz "

Подставляя выражения рх, р^, р, из первых трех уравнений в остальные, получим уравнения Ньютона

„ d2x д(1„ d2y _dU ~ d2z dU

т dt2 — dx ’ т dt2 ~ ду ' т dt2 ~ dz '

Первые интегралы. Первым интегралом канонической системы уравнений (13), т. е. уравнений

(Z=l, 2n).(Z=l, 2n).(13)(13)dqtдН dpt дН

(Z=l, 2n).

(Z=l, 2n).

(13)

(13)

dtdpt ’ dt ~ dqt

называется функция J(q, p; t), которая остается постоянной при всех значениях q и р, удовлетворяющих уравнениям (13); иначе говоря, если /(у, р; t) есть первый интеграл системы (13), то

/(у. р; О=const

во все время движения при любых начальных условиях. Ясно, что если /= const есть первый интеграл, то любая функция F(J) = const будет тоже первым интегралом.

Задача интегрирования системы (13) заключается в определении переменных р и q в функции времени и 2га произвольных постоянных, т. е. в определении - '

Р. ?|^ Cv Чс^.

Если для системы (13) найдены 2га независимых между собою первых интегралов

/1 —cb fl~c2fln = C2n’(17)

т. е. таких, что ни одна из этих функций / не может быть выражена как функция остальных, то система (13) проинтегрирована, так как из 2га уравнений (17) можно найти р и q как функции t и 2га произвольных постоянных. Это возможно, так как определитель Якоби

д (/о /а» • • • > /гл) . у5(91qn\ PiРл)

вследствие независимости между собой функций /.

В некоторых частных случаях система (13) непосредственно дает первые интегралы, а именно:

Если функция Н явно не зависит от времени, т. е. -^ = 0. Для доказательства возьмем производную от функции Н по времени; получим

»Н Уд, р; Q _дН.ул / №■ .дН_ •

dtdt'Р-4 ( dq. 'др.

Подставляя во второй член правой части выражения qt и р( через функцию Н из уравнений (13), мы видим, что этот член равен нулю, следовательно,

dH дНdt — dt *

„дН „dH

Поэтому если -^- = 0, то и -^- = 0, а следовательно,

НУД, р) = к,(19)

где й есть постоянная, т. е. имеем первый интеграл. Принимая во внимание выражение (9) для Н, мы видим, что интеграл (19) есть обобщенный интеграл энергии. Для динамической системы этот интеграл обобщается на основании равенства (15') в интеграл Якоби

T2 — T0 — U = h,

а в случае, если Т=Т2, в интеграл энергии в физическом смысле

Т — U=h-

постоянная к в этом случае есть постоянная энергии (ср. § 8, п. 5).

Если некоторые из координат явно не входят в функцию Н, т. е. будут циклическими. Пусть циклическими будут первые к координат qx, q2qk (к < ri); тогда

Н = НуЧк+х, qfe+2qn; рх, р^р„; t).

233КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. V

В этом случае

^=00=1.2

и уравнения Гамильтона (13) дают к первых интегралов

Pi = «i. Р2 = а2, .... рк = а„,(20)

где а, суть постоянные. Эти интегралы носят название циклических и выражают собой тот факт, что циклические импульсы постоянны. Поэтому очень важно найти такое преобразование канонических переменных q и р, при котором уравнения (13) сохранили бы свою гамильтонову форму и возможно большее число координат стало бы циклическим. Такие преобразования канонических переменных, при которых уравнения (13) переходят в уравнения того же вида, называются каноническими-, о них будет сказано ниже (см. § 27).

Предположим, что координаты все циклические, т. е. что функция Н зависит только от одних импульсов и времени, т, е.

Н = Н<рг, р2, .... рп; ();

тогда из уравнений (13) имеем

Р{ = а1 (1 = 1, 2п).

где а, суть постоянные.

Если предположить еще, что ^- = 0, т. е. что функция Н не зависит явно от времени, то тогда функция H = H(av a2un) = = const, и первая группа уравнений (13) приводит к остальным п интегралам. В самом деле, в этом случае

dq, / дН \

== Тц ^=V+C/ (i = L 2”),

т. е. координаты q суп, линейные функции времени.

Таким образом, если все координаты циклические, то каноническая система уравнений движения легко интегрируется. Возникает вопрос о возможности отыскать такие преобразования переменных q и р в переменные q и р, при которых система уравнений движения осталась бы по-прежнему канонической, но все координаты q были бы уже циклические. Такие преобразования несомненно существуют, хотя и не найдены до сих пор.

Пример. Составим уравнения движения материальной точки с массой т под действием центральной силы. Поскольку движение является плоским, выберем в качестве независимых координат полярные координаты точки г и q>, беря начало отсчета г в центре силы. Тогда кинетическая энергия точки будет

т= y(A2+^2),

а потенциальная импульсы

равна — U (г). Введем в выражение Т вместо скоростей

дТ•дТ

Рг — -т- — mr, р„ = -т-= mr1^.

orдф

Получаем

.Рт./’ф

Г =,ф=—

мтмг2

ТIТ “ 2m Г ^ТIТ “ 2m Г ^г2 /■г2 /■и

ТI

Т “ 2m Г ^

ТI

Т “ 2m Г ^

г2 /■

г2 /■

Следовательно, функция Гамильтона имеет вид

Н 2м ^Н 2м ^'ф7Т'ф7Т-U (г).-U (г).

Н 2м ^

Н 2м ^

'ф

7Т

'ф

7Т

-U (г).

-U (г).

Координата ф оказалась циклической; следовательно, имеем первый интеграл

(а)(а)Рф = а;

(а)

(а)

это интеграл площадей.

Кроме того, поскольку Н не зависит явно от 1, имеет еще место интеграл энергии

2м И^2м И^2 \£ф)_Ц-(г) = Л2 \£ф)_Ц-(г) = Л(6)(6)

2м И^

2м И^

2 \

£ф)_Ц-(г) = Л

2 \

£ф)_Ц-(г) = Л

(6)

(6)

или

(б')(б')+— U{r) = h.

(б')

(б')

2m \ r 1 г2 /

Следовательно, здесь рф = const, а рг есть функция только г. Поскольку найдено два первых интеграла, решение задачи сводится к интегрированию только двух дифференциальных уравнений первого порядка (вместо четырех), например

^£=^L d^ = дН

dt дрг и dt др^ ’

т. е., учитывая, что р^ = а,

^г = £г_ dt? _ а

dt m ’ dt мг2"v '

Из первого уравнения, поскольку зависимость рг (г) дается равенством (б'), найдем г (0; после этого из второго уравнения определяется зависимость ф (i).

Если уравнения (в) поделить почленно и заменить одновременно рт его выражением рг (г) из равенства (б'), то получим дифференциальное уравнение траектории

dr _ г2рДг^ dtpdr _ г2рДг^ dtpаа

dr _ г2рДг^ dtp

dr _ г2рДг^ dtp

а

а

Метод Якоби

Некоторые сведения из теории уравнений в частных производных первого порядка. Общий вид уравнения в частных производных первого порядка есть

^Олхп; z; pvр„) = 0,(1)

где р1 = ^-_ Функция z = z(xxх„; аР .а„), удовлетворяющая уравнению (1) и зависящая от стольких неаддитивных произвольных постоянных, сколько уравнение содержит независимых переменных, называется полным интегралом уравнения (1).

Если функция F не содержит явно z, т. е. уравнение в частных производных имеет вид

F(xvхп; pv .... рп) = 0,(2)

то одна из произвольных постоянных будет аддитивной, т. е. будет входить в общий интеграл в качестве слагаемого; следовательно, полный интеграл уравнений (2) будет иметь вид

z = z(xv хп; ах«я-1) + «я.

Если уравнение в частных производных будет вида

F(xfe+V .... хп; pv ..., ркР„) = 0.(3)

е. часть независимых переменных, в данном случае первые к из них: xY, х2, . . ., хк (k<L п), будут входить в функцию F не явно, а только посредством частных производных рх, р2, .. ., рк, то число независимых переменных уравнения (3) можно сделать равным (а — Л), т. е. понизить па к единиц. В самом деле, полагая

= а1х1++ акхк 4~Цха + 1х„),

дифференцированием находим

Рх = а1=Рп = "дГп'

и, следовательно, уравнение (3) примет вид

4Xinхп’ а ^+1 - •••• 1^) = 0> (4)

Очевидно, уравнение (4) имеет п—к независимых переменных. Полный интеграл этого уравнения напишется в виде

^"^(•^A + l-хп> а1°*’ аА + 1’ ••■• ^«-^“Ь^л

и, следовательно,

г = 0^,4- .4-a&xft4-

Н-^С-^ачрхп- а1’ай! °а+1on_i) + ап.

Наконец, напомним, что уравнения характеристик для уравнения ?(хххп; рхРп^О

представляется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

dxxdxn dpidpn/г-\

Р, — • • • — Рп — Хх — " 1 1 — Х„ •W

где

р __ дР

— др/дх/

Уравнение Якоби. Каноническую систему уравнений движения [(13) § 21]

dq,дНdp.дН

= Чт- = — -т—(/=1,2п) (6)

dtдр(dtdqt хv ’

можно представить в виде

dpn dt дН — 1 1Мп dpn dt дН — 1 1Мп(6')(6')</91 ___ Мп _ dPi

dpn dt дН — 1 1

Мп

dpn dt дН — 1 1

Мп

(6')

(6')

дН ■ • • — дН дн дрхдрп dqx

Сравнивая эту систему уравнений с уравнениями характеристик (5), легко убедиться, что каноническую систему уравнений можно рассматривать как уравнения характеристик следующего уравнения в частных производных первого порядка:

где неизвестная функция обозначена через S. Это уравнение называется уравнением Якоби. Во многих случаях оказывается проще найти полный интеграл этого уравнения, а затем, опираясь на теорему Якоби, и самые интегралы канонической системы (6), чем непосредственно интегрировать эту систему уравнений. Вообще же интегрирование уравнения Якоби не представляет упрощения задачи, так как эта задача, как известно, сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5), которые для уравнения Якоби (7) представляют собой ту же систему (6).

Неизвестная функция S называется главной, функцией Гамилъ- пона'.^с ней мы встретимся еще в главе о вариационных принципах. Очевидно, qx, Чг, .... qn; / будут независимыми переменными для функции S и, следовательно, полный интеграл уравнения (7) будет

содержать п+1 произвольных постоянных, из которых одна, поскольку функция 5 явно не входит в уравнение Якоби, будет аддитивной. Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби будет иметь вид

5 = S(Z; qxqn; ах+) + ++!•(8)

Теорема Якоби. Предположим, что полный интеграл (8) уравнения Якоби найден. Возьмем уравнения

== р (1=1, 2, .... n),(9)

да( dq[K\ z

где bt суть произвольные постоянные. Теорема Якоби состоит в том, что если известен полный интеграл уравнения Якоби'

т- е. найдена функция

S(qv q^q„; t; ax, a2a^a^,

тождественно удовлетворяющая уравнению (7), то уравнения (9) будут интегралами канонической системы уравнений (6). Таким образом, согласно теореме Якоби, переменные q(, pt, определенные из уравнений (9) в функции времени t, и 2п произвольных постоянных ах, .. ., ал; Ъх, .... Ьп будут тождественно удовлетворять каноническим уравнениям движения (6). В этом можно убедиться непосредственной подстановкой найденных из уравнений (9) значений переменных q, р в канонические уравнения движения (6); проще, однако, сделать обратное, т. е. показать, что функции q, р, определенные из канонических уравнений движения, тождественно удовлетворяют уравнениям (9).

Дифференцируя первые п уравнений (9) по времени t, получим п уравнений вида

л—з—Qi=0G=l, 2n).

Заменяя в левой части полученных канонических уравнений, т. е. черезЗаменяя в левой части полученных канонических уравнений, т. е. черезравенств q. их выражениями из дН-^- , получимравенств q. их выражениями из дН-^- , получимда, dt 1 да. да,4'

Заменяя в левой части полученных канонических уравнений, т. е. через

Заменяя в левой части полученных канонических уравнений, т. е. через

равенств q. их выражениями из дН

-^- , получим

равенств q. их выражениями из дН

-^- , получим

дг8 у д28 дН __datdt ' da.dq, др,/=1 z/

Докажем, что полученное уравнение есть тождество, если переменные, входящие в функцию Н, заменить их значениями из уравнений (9).

Выполняя эту замену, получим

д23да^ diд23да^ diV дН д=3 _ п£idUL\ daidqi *V дН д=3 _ п£idUL\ daidqi *(Ю)(Ю)

д23да^ di

д23да^ di

V дН д=3 _ п£idUL\ daidqi *

V дН д=3 _ п£idUL\ daidqi *

(Ю)

(Ю)

Но левая часть этого равенства есть частная производная по at от левой части уравнения Якоби (7), в котором функция 3 заменена через полный интеграл 3, т. е. равна

д г dS . „9i- •••• q";д г dS . „9i- •••• q";dSdS Ч^iNn Л 'dSdS Ч^iNn Л '

д г dS . „

9i- •••• q";

д г dS . „

9i- •••• q";

dSdS Ч

^iNn Л '

dSdS Ч

^iNn Л '

а потому тождественно равна нулю; следовательно, равенство (10) есть тождество, что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения применим для доказательства того же положения относительно второй группы уравнений (9). Дифференцируя по t уравнения второй группы (9), будем иметь

(Z — 1, 2, .. ., «).(Z — 1, 2, .. ., «).d2S , у d2S • _ • _ dqi dt ‘ j™ dq. dq ^ ^i ^‘

(Z — 1, 2, .. ., «).

(Z — 1, 2, .. ., «).

Заменяя q и p их выражениями из канонических уравнений, получим

d2S , у дН d2S дН

dqt dt "А"5р~ dq dq dq '

Покажем, что полученное равенство обращается в тождество, если переменные, входящие в функцию Н, заменить их значениями из уравнений (9). Выполняя эту замену, получим

~п~

d2S , dH , у dH d2S _ n

dqt dt ' dq. *^ / d§ \ ^ ^у 'O1)

Левая часть равенства (11) есть частная производная по qt от левой части уравнения Якоби (7), в котором функция 3 заменена через полный интеграл 3, т. е, эта левая часть равна

d. dS dS\l

dqt [ j( 'dqx^^n/J'

а потому тождественно равна нулю; следовательно, равенство (11) есть тождество.

Таким образом, если полный интеграл (8) уравнения Якоби известен, то по теореме Якоби канонические переменные qt, pt

определяются как функции времени f и 2я произвольных постоянных ах, ...,ап; ЪхЬп из уравнений (9), представляющих собой по отношению к qt и рх систему алгебраических уравнений.

Случай, когда Н явно от времени не зависят. Этот случай встречается в большинстве практических вопросов. Пусть

Н = Н <qx, ..., qn; pv ..., р„).

Уравнение Якоби будет иметь вид

dS , ,, (dSdS \ п

+ Н .... дл -5—, ....—1 = 0.(12)

di 1dqvdqn /v 7

Поскольку t в уравнение явно не входит, то число независимых переменных можно уменьшить на единицу. Для этого, согласно п. 1, положим

S^-ht^-W(.qxqn\

где k есть постоянная. Функция W, с которой мы еще встретимся в главе о вариационных принципах, называется характеристической функцией.

Так как

(i = 1, 2n),(i = 1, 2n),9S _ ь dS _ <1UZdt — И dq, — dqt

(i = 1, 2n),

(i = 1, 2n),

то, подставляя в уравнение Якоби вместо S и ее производных эти вначения, получаем для определения функции W уравнение

Н^ЧхЧ^Н^ЧхЧ^dW dqvdW dqvdW\ .s— = A. dqndW\ .s— = A. dqn(13)(13)

Н^ЧхЧ^

Н^ЧхЧ^

dW dqv

dW dqv

dW\ .

s— = A. dqn

dW\ .

s— = A. dqn

(13)

(13)

не содержащее переменной t. Предположим, что полный интеграл уравнения (13), имеющий вид

1У = 1У(?1qn\ аха„_х; й) + «„,

найден. Тогда полный интеграл уравнения (12) будет

S = — ht-\-W<qxqn; ахan_x\ h) + an.

Отсюда легко получить систему (9) интегралов канонических урав-

„6S

нений; принимая во внимание, что

dW daL

dS 1 dqt

dUZ K

= -5^-, будем иметь

dW к1

2, . ..

, и—

1).(И)

dqt

2, ..

.. n).

(15)

dS . , dUZ

или ■

dW _ dh

^ + ^o-(16)

где /0 есть произвольная постоянная. Первые п,— 1 интегралов, т. е. интегралы (14), называются геометрическими. Они не содержат времени и в многомерном пространстве определяют кривую, которая является траекторией изображающей точки. Последний интеграл (16), содержащий время, называется кинематическим; он дает закон движения изображающей точки по траектории. Интегралы (15) называются промежуточными интегралами и служат для определения импульсов р, а также постоянных интегрирования.

Пример. Найдем траекторию и закон движения тяжелой материальной точки массы т в однородном поле тяжести. Направим ось Oz вертикально вверх; тогда

U = — mgz; Т = ^ (х2 + у2 + ^2).

Дифференцируя Т по "х, у, z, получаем выражения для импульсов

Рх = m'x, ру = my, pz = mz;

отсюда находим

Рх . Ру Pzх =—; у ——; z = —.mmm

Следовательно, функция Гамильтона Н=Т— U будет иметь вид

Н = i ^ + ^ + Р^ + mg2 ■

Заменяя в функции Н импульсы частными производными от характеристической функции W по соответствующим координатам и приравнивая полученное выражение постоянной Я, получим следующее уравнение Якоби для определения функции W-.

/617X2/ 617\2 . /617\2

+—I + 2т2^ = 2тА.(а)

Здесь две координаты х и у циклические, а потому, полагая

17 = ах + ₽у+/(^)

и подставляя в уравнение (а), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

а2 + Р2 + ^-^^ + 2т2^ = 2тА.(б)

Из уравнения (б) имеем

^15.= ± у 2тА — а2 — р2 — 2m2gz,

откуда, интегрируя, определяем /(/У, таким образом, задача свелась к одной квадратуре. Обозначая выражение / (г), полученное после интегрирования, Перез / (z; а, р, Я), будем иметь (с точностью до аддитивной постоянной)

/ (z; а, Р, Я) = т "з^г СК 2mA — а2 — Р2 — 2m1 g г )3.(в)

Тогда

17 = ах -f- ру 4- / (z; а, р, Я) -ф- с.(г)

Отсюда получаем интегралы движения (14) и (16)Отсюда получаем интегралы движения (14) и (16)df даdf даdp ~Й2’dp ~Й2’д/ t , dhд/ t , dhили в явном виде . аХ~^" m?gили в явном виде . аХ~^" m?gF (z; а, р, й) = 6Ь у 4F (z; а, р, й) = 6Ь у 4Рт2^Рт2^F (z; а, р, й) = 62,F (z; а, р, й) = 62,-^F^-, а, р, й) = (-/„,-^F^-, а, р, й) = (-/„,где обозначеноF (z; а, р, й) = ± У2тй — а2 — р2 — ‘2 т1 gz.где обозначеноF (z; а, р, й) = ± У2тй — а2 — р2 — ‘2 т1 gz.(д)(д')(д)(д')

Отсюда получаем интегралы движения (14) и (16)

Отсюда получаем интегралы движения (14) и (16)

df да

df да

dp ~Й2’

dp ~Й2’

д/ t , dh

д/ t , dh

или в явном виде . а

Х~^" m?g

или в явном виде . а

Х~^" m?g

F (z; а, р, й) = 6Ь у 4

F (z; а, р, й) = 6Ь у 4

Рт2^

Рт2^

F (z; а, р, й) = 62,

F (z; а, р, й) = 62,

-^F^-, а, р, й) = (-/„,

-^F^-, а, р, й) = (-/„,

где обозначено

F (z; а, р, й) = ± У2тй — а2 — р2 — ‘2 т1 gz.

где обозначено

F (z; а, р, й) = ± У2тй — а2 — р2 — ‘2 т1 gz.

(д)

(д')

(д)

(д')

Первые два интеграла в системе (д) геометрические; они являются уравнениями цилиндрических поверхностей, пересечение которых дает траекторию точки. Из этих интегралов сразу следует, что

х— 61 у — 62а = р ’

т. е. что траектория лежит в плоскости, параллельной оси z. Если совместить плоскость Oxz с этой плоскостью, то будет ysO; тогда в равенствах (г) и (д) следует положить р = 0. В этом случае первое из уравнений (д), которое можно представить в виде

(х — 6,)2 = —^- {^mh — а2 — 2m2£z),

дает уравнение траектории точки в плоскости Oxz; нетрудно видеть, что это парабола с осью, параллельной оси z.

2тй — а2 — Р2 — 2m2^z2тй — а2 — Р2 — 2m2^zm^g1m^g1= (<-W= (<-WТретий интеграл в системе (д) кинематический; он дает закон движения точки в виде

2тй — а2 — Р2 — 2m2^z

2тй — а2 — Р2 — 2m2^z

m^g1

m^g1

= (<-W

= (<-W

следовательно, координата z при движении возрастает (или убывает) пропорционально (/ — 4)2-

Задача решена при шести произвольных постоянных а, р, 6ц 62, й, 4> которые определяются заданием начальных условий, т. е. начального положения точки (три координаты) и начальной скорости (три ее проекции). Для определения этих постоянных надо еще составить три промежуточных интеграла (15), имеющих вид

Рх = «. Ду = Р. Pz = Fz (z; а, р, й) ... (е) Подстановкой начальных данных в равенства (д) и (е) определяются все шесть постоянных интегрирования.

Таким образом, задача решена в самом общем случае и геометрические интегралы сразу охватывают все возможные траектории, чего не дают уравнения движения в форме Лагранжа. В этой большей общности получаемых результатов и заключается преимущество канонических уравнений.

Метод Пуассона

Скобки Пуассона. В задачах механики часто случается, что по самому характеру данной задачи несколько интегралов канонической системы уравнений, определяющей движение, уже известно. Метод Пуассона дает возможность, зная два интеграла, найти третий

и таким образом получить в некоторых благоприятных случаях полную систему независимых между собой интегралов, а следовательно, и определить движение системы. Прежде чем приступить к изложению самого метода, введем несколько предварительных понятий, которые понадобятся в дальнейшем.

Пусть ф и ф будут функции канонических переменных q, р и времени t, т. е.

ф. Ф|^ь УаЧп- Pv Р-1Рп-

Выражение, составленное из этих функций, вида п

носит название скобки Пуассона.

Из этого определения весьма просто вытекают основные свойства скобок Пуассона; отметим некоторые из этих свойств, которыми придется пользоваться.

Очевидны равенства

(ф. Ф) = —(Ф, ф); (ф. — Ф) = —(ф. Ф) — (Ф. Ф).

Далее, если с есть постоянная величина, то

(Ф, с) = 0.

3) Найдем частную производную от (ф, ф) по t; меняя порядок дифференцирования по t и q и по t и р, получим

j dq др др.dq. ]\ dt ’dt } ‘'

1=1*111

Тождество Пуассона. Возьмем три функции /, ф, ф, причем /- ф- Ф^Ь ?2Чп- Р1- Р1« •••■ Рп- t-

Тогда между скобками, составленными из этих функций, имеет место соотношение, которое называется тождеством Пуассона; это тождество имеет вид

(/. (Ф. Ф)) + (Ф. (Ф. /)) + (Ф. (/, Ф)) = 0.(3)

Доказать это тождество можно непосредственным вычислением входящих в него двойных скобок Пуассона, но это вычисление.

несмотря на свою простоту, довольно громоздко. Для сокращения вычислений можно исходить из того соображения, что каждый член тождества должен обязательно содержать производную второго порядка от функций /, <р или ф; поэтому, если мы докажем, что левая часть равенства (3) не будет содержать ни одной производной второго порядка, то это покажет, что она равна нулю, и тождество будет доказано. Так как левая часть равенства (3) симметрична относительно функций /, ф и ф, то доказательство можно провести только для одной функции, например для /, что значительно сократит вычисления. Для этого возьмем сумму двух членов, в которые могут входить вторые производные функции /, т. е.

(ф, (Ф- /)) + (Ф- (/- ф)) = (ф, (Ф. /)) —(Ф. (ф, /)).

и, вычисляя правую часть этого равенства, легко убедимся, что она вторых производных / содержать не будет.

Теорема Пуассона. Прежде чем доказать теорему Пуассона, найдем условие, которому должна удовлетворять функция /(q, р; ^) для того, чтобы _f (q, р; t) = с было интегралом канонической системы уравнений

dq, дН dp, дН

=L — _(Z=l, 2, .... я).(4)

Пусть J^qv q^, ..., qn; ръ p2, ..., pn; f) = c есть интеграл системы (4). Так как функция / постоянна для всех значений q и р, определяемых системой (4), то

сП— dt + и dgt dpi Pl)—01^

= 1

Подставляя в тождество (5) значения qt и pt из системы (4), получим

df xy(dfdHdf дН\

Stdptdpt dqj ’

или, пользуясь скобками Пуассона,

#~НЛ Н) = 0.(6)

Условие (6), следовательно, необходимо и, как легко показать, составляя уравнения характеристик для (6), достаточно для того, чтобы / = с было интегралом системы (4).

Теперь докажем теорему Пуассона, которая состоит в следующем Если функции ф(</, р; t)~a и ф(^, р; t) = b будут первыми интегралами канонической системы (4), то функция

(ф, ф) = с будет тоже интегралом этой системы. Действительно, так как ф = а и ф = 6 суть первые интегралы системы (4), то на основании тождества (6) будет

А + (ф, ^ = 0, ^_+(ф, 77)^0.(7)

Но по тождеству Пуассона

(Я. (ф. Ф)) + (ф. (Ф. ^))+(Ф. (Н, ф)) = 0;(8)

а так как из равенства (7) следует, что

(Ф. Н) = —^, (ф, w) = -4f’

то, принимая во внимание соотношение

(Н, ф) = -(ф, Щ=^-

и подставляя эти значения (Н, ф) и (ф, Н) в равенство (8) позучим

(н, (ф, ф))+(ф. —+=

или

*). Н)+(<,.-^) + (^. t)=0.

Так как

то окончательно имеем

^^ + ((Ф. Ф). Щ = О.(9)

Тождество (9) показывает, что (ф, ф) — с есть интеграл системы (4), что и требовалось доказать.

Рассмотрим частный случай, когда функция Н не зависит явно от времени. В этом случае, как сказано в § 21, п. 4, каноническая система уравнений (4) допускает обобщенный интеграл энергии H — h. Предположим, что известен еще один интеграл системы (4)

ф(9> Р'. t) = a.

где а есть постоянная. Тогда на основании теоремы Пуассона функция (ф, Н) = с будет также интегралом системы (4). Но так как ф = а есть интеграл системы, то на основании тождества (6) имеем

d<patd<pat(ф, Н) = О,(ф, Н) = О,

d<p

at

d<p

at

(ф, Н) = О,

(ф, Н) = О,

откуда= (ф, //), и мы получаем интеграл

dt

Таким образом, если ф = й есть интеграл канонической системы с функцией Н, явно от времени не зависящей, то ^- = с будет также интегралом этой системы, а следовательно, интегралами будут и фун./ши ~5р" — с1- ~^~сч и т- Д- Если же функция ф явно от времени не зависит, то "^”=0- и следовательно, (ф, Н) = 0; поэтому (ф, Н) уже не будет интегралом системы (4).

Итак, метод Пуассона дает способ, посредством которого можно по двум известным интегралам канонической системы найти третий и т. д. Казалось бы, что этим процессом можно получить все 2/г интегралов системы, но это, к сожалению, не всегда удается. Часто случается, что скобка Пуассона от двух интегралов или является функцией уже найденных интегралов или же тождественно обращается в нуль и, следовательно, не дает интеграла.

Если мы возьмем систему интегралов fv /2/т,причем

/ь Л/ткь ?29П;Pl РчРп^

и если

(Л- Л) = 0(/, к=\, 2т),

то такая система носит название инволюционной системы интегралов следовательно, если мы имеем два интеграла, принадлежащих к инволюционной системе, например /, и /й, то скобка Пуассона (/г, /й) нового интеграла не даст.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Введение. Подразделение принципов

Введение. Под термином «принцип» мы будем подразумевать такое аксиоматическое положение, которое, обладая достаточной общностью, является для данной области науки основным, так что все остальные положения вытекают из него как логическое следствие. В развитии наук всегда существовало и существует стремление свести систему данной науки к наименьшему числу исходных положений и в идеальном случае к одному основному принципу, который потенциально заключал бы в себе все содержание этой науки и объединял бы все ее положения. Это стремление, вызываемое, с одной стороны, требованием научной эстетики, имеет, с другой стороны, целью найти наиболее общие законы природы. Создание основных объединяющих принципов преследует цель не только исключительно компактной систематизации фактов, но и ставит более высокие задачи познания законов окружающего нас мира, к которому мы с прогрессом науки можем неограниченно приближаться путем наблюдения, опыта и логической обработки результатов. Очень важно, чтобы принцип удовлетворял не только присущим ему по существу логическим требованиям, но и обладал еще эвристической ценностью, т. е. чтобы из него, как следствие, вытекали не только те факты, синтезом которых он является, но и те, которые во время создания этого принципа не были известны; тогда мы можем сказать, что этот принцип действительно представляет собой найденный нами объективный закон природы (например, периодический закон Менделеева, уравнения Максвелла и Др.).

Принципы механики. В истории развития механики принципы играли очень большую роль. Созданные на базе гениальных исследований Галилея законы Ньютона, являющиеся по существу принципами, легли в основу этой науки и в значительной степени послужили ее развитию; принцип Даламбера дал могущественный метод для решения разнообразных задач, а принцип виртуальных

Н. Н. Бухгольц

250 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ [ГЛ. VI перемещений Лагранж считал основным для всей механики. В настоящее время учение о принципах механики, в особенности вариационных, находится в достаточном развитии; мы имеем различные принципы механики, и все они обладают общим свойством: из них логически вытекают уравнения движения, а следовательно, и остальные положения механики, ибо, как известно, последние мы всегда можем получить из этих уравнений. Разница между различными принципами заключается в большей или меньшей общности их применения по отношению к различным механическим системам. Отсюда ясно, что из какого-либо одного принципа можно получить, как следствие, все остальные, причем область применимости этих остальных будет та же, что и исходного принципа.

Принципы механики могут быть невариационные и вариационные; как те, так и другие разделяются также на дифференциальные и интегральные.

Невариационный принцип представляет собой некоторое общее для всех движений свойство, которое имеет место или для данного момента времени (дифференциальный принцип), или для конечного интервала времени (интегральный принцип); например, принцип сохранения энергии есть невариационный интегральный принцип, а принцип Даламбера — дифференциальный.

Вариационный принцип дает признак, отличающий истинное, реальное движение от класса других движений, кинематически возможных при тех же условиях, и состоящий в том, что для истинного движения определенная функция, зависящая от координат и их производных, дает экстремум по сравнению с другими движениями, принадлежащими к определенному классу. Таким образом, для каждого вариационного принципа нужно установить: 1) функцию, которая для истинного движения обладает экстремальными свойствами, и 2) класс движений, по сравнению с которыми эта функция дает экстремум для истинного движения; отсюда следует, что получение уравнений движения из вариационного принципа сводится к вариационной задаче при тех или иных дополнительных условиях. Вариационные принципы, так же как и невариационные, разделяются на дифференциальные и интегральные; первые дают критерий истинного движения, отнесенный к моменту, а вторые — к конечному интервалу времени.

В настоящей главе мы будем рассматривать только вариационные принципы, причем сначала дифференциальные, а затем интегральные.

Дифференциальные принципы

Принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера— Лагранжа. Принцип виртуальных перемещений можно формулировать так: положение равновесия системы отличается от

смежных положений, совместимых со связями, тем, что только для положения равновесия сумма элементарных работ активных сил, действующих на систему, для всяких виртуальных перемещений системы равна нулю, т. е. для положения равновесия мы имеем

N

2 Ft . brt = О,

i = i

или, выражая все величины через их проекции и пользуясь обозначениями, оговоренными в § 7, п. 1,

ЗЛГ

2*^ = о.(1)

I =1

Хотя в выражение этого принципа и не входит вариация какой- либо функции, но он имеет характер дифференциального вариационного принципа, потому что в левой части его аналитического выражения мы имеем линейную функцию вариаций координат, что, по существу, является вариационным выражением.

Если предположить, что активные силы системы имеют потенциал, т. е. если то

ii

и, следовательно, выражение принципа приобретает вид

bU = 0.(2)

В этом частном случае, т. е. когда система сил потенциальна, мы получаем, что для положения равновесия системы вариация от потенциальной функции должна равняться нулю, т. е. принцип имеет уже явно вариационный характер.

Соединяя принцип виртуальных перемещений с принципом Даламбера, мы получаем принцип Даламбера — Лагранжа, дающий критерий, по которому истинное движение в каждый момент отличается от кинематически возможного, т. е. совместимого со связями, что более полно формулируется следующим образом: во всякий момент времени истинное движение отличается от кинематически возможного тем, что только для истинного движения сумма элементарных работ сил активных и сил инерции при всяких

виртуальных перемещениях системы равна нулю, т. е. для истинного движения имеем

или, в проекциях,

S(x.-mi^)»».=o. (3>

Здесь, так же как и в предыдущем случае, в выражение принципа входит не варьируемая функция, а линейная функция вариаций координат, которую можно рассматривать как результат вариационного процесса; поэтому принцип Даламбера — Лагранжа благодаря вариационному характеру принципа виртуальных перемещений (называемого часто принципом Лагранжа) является вариационным, и притом дифференциальным, так как движения сравниваются в каждый момент времени.

Из принципа Даламбера — Лагранжа можно вывести уравнения движения системы, когда на нее наложены связи голономные или неголономные линейные, в чем мы имели возможность убедиться при их выводе (гл. II).

Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Принцип Даламбера — Лагранжа не единственный принцип дифференциального типа. Принцип Гаусса, или принцип наименьшего принуждения, также является дифференциальным принципом; его преимущество по сравнению с принципом Даламбера — Лагранжа состоит в том, что он дает возможность получить уравнения движения системы при каких угодно неголономных связях, в то время как из- принципа Даламбера — Лагранжа эти уравнения получаются лишь в случае линейных неголономных связей. Таким образом, принцип Гаусса является наиболее общим принципом механики и обладает большой эвристической ценностью, благодаря которой он послужил основанием для дальнейшего развития механики. Достаточно указать на механику Г. Герца, которая возникла главным образом на основании идей, заключающихся в этом принципе

Принуждением в данный момент Гаусс называет меру отклонения системы, движущейся под действием активных сил при наложенных на неё произвольных голономных и неголономных связях, от свободного движения, которое она имела бы, начиная с рассматриваемого момента, двигаясь под действием тех же активных сил, если бы с этого момента были устранены наложенные на нее связи.

Пусть точка системы с массой mt находится в момент времени t в положении ML (рис. 85). За весьма малый промежуток времени т точка по инерции совершит перемещение MtAt — TtT, где фг есть

скорость, которую она имеет в момент L Если на точку будет действовать активная сила Ft, то под действием этой силы свободная точка за тот же промежуток времени т совершит перемещение М^, которое, с точностью до малых третьего порядка, будет равно ад^Т-Ц^.

Если же на рассматриваемую точку наложить еще связи, то ее перемещение под действием силы Ft и при галичии связей будет с точностью до малых третьего порядка.

ад, = т,т+g-w.T2,/

где ,ti)l=rl есть ускорение точки./

Отклонение точки от свободного движе

ния представится вектором Врр, ясно, что УТХ ад-ад-ад-Ат^-^-)

1 ХРис. 85.

с точностью до малых третьего порядка.

За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принимает величину, пропорциональную квадрату отклонения Вр^ которую называет «принуждением» (по-немецки Zwang); принуждение выражается так:

Суммируя принуждения для всех точек системы, найдем принуждение для всей системы:

(4>

или, выражая все величины через их проекции,

SN

(4'>

Идея меры отклонения системы от свободного движения в форме суммы величин, пропорциональных квадратам отклонений частиц системы, —заимствована Гауссом в им же построенной теории ошибок.

Принцип Гаусса состоит в том, что в каждый момент времени, истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных (т. е. согласных с теми же связями')

движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, т. е. принуждение, есть минимум. Математически это означает, что для истинного движения

63®” = О,

причем вариация берется при т. е. варьируются толькопричем вариация берется при т. е. варьируются тольконеизменяемых координатах и скоростях, ускорения-, такого рода вариацию некоторые авторы называют гауссовой вариацией.

причем вариация берется при т. е. варьируются только

причем вариация берется при т. е. варьируются только

Выполняя варьирование функции 3®' и приравнивая найденную вариацию нулю, будем иметь

ЬЗрвг^СХ t— m-jX^bXt = 0. (5)

с горизонтом угол а, причем без начальной скорости (рис.с горизонтом угол а, причем без начальной скорости (рис.Принцип Гаусса можно проиллюстрировать следующим простым примером. Пусть материальная точка движется в поле сил тяжести вдоль гладкой наклонной плоскости, образующей движение начинается из положения М 86). Кинематически возможны переме

с горизонтом угол а, причем без начальной скорости (рис.

с горизонтом угол а, причем без начальной скорости (рис.

щения точки с разными ускорениями чи{, если вектор 1И£ лежит в этой плоскости; при этом, так как по Гауссу координата, скорость и время не варьируются, то все рассматриваемые перемещения должны начинаться из положения М без начальной скорости и совершаться за один и тот же промежуток времени т. Тогда эти перемещения будут равны

МСг = -у wb мс2 = -^-ia2, ...

Действующей на точку активной силой является сила тяжести mg; свободное перемещение точки под действием этой силы за то же время т при и0 — 0 будет направлено по вертикали вниз и равно т2

МВ = -^- g. Тогда принуждение при каждом из рассматриваемых кинематически возможных движений будет пропорционально квадрату векторов BCV ВСг, . . . Легко видеть, что наименьшим из всех векторов BCt является вектор BCV направленный по перпендикуляру, опущенному из точки В на наклонную плоскость; при этом численно ВСХ = МВ sin а, откуда W[ = ^sina. Таким образом, с помощью принципа Гаусса приходим к известному результату: движение точки вдоль наклонной плоскости при ®0— 0 происходит по линии наименьшего ската с ускорением ®’i = g’sina.

Вывод уравнений движения системы из принципа Гаусса. Прежде всего заметим, что если на систему не наложено никаких связей, то вариации ускорений бхг будут независимыми, и следовательно.

XL— /п^, —0(/=1,23;V).

В этом случае все точки системы будут свободными, и мы для них получаем обычные уравнения движения. Это, между прочим, следует и из принципа Даламбера — Лагранжа (3), так как если система свободная, то все вариации координат независимы и мы приходим к тем же уравнениям.

Пусть теперь на систему наложено к голономных связей

А(^ц х3„;0 = 0(и= 1, 2, .... к")

и г неголономных связей какого угодно вида

Фр(яь Х2х3„; хь х2х3п; 0 = 0(р = 1, 2г).

Дифференцируя дважды функции J^x\ /) по времени, получим

2-Йг^ + Ф>«(х; ^: /) = 0 (x=L 2,А),

i=i

где символом Фи обозначено выражение, не содержащее ускорений. Варьируя затем полученное выражение и имея в виду, что варьируются только ускорения, будем иметь

3.V

S-^^^0<и=1. 2ку (6)

i=i

Дифференцируя теперь функции <pp(x; х; t) по времени один раз, получим

ЗА .

V Ф£^ + ^р(х; х; 0 = 0 (р = 1, 2г),

dxi

где символом ^ обозначено выражение, не содержащее ускорений. Варьируя затем полученное выражение, будем иметь

in а

У = 0(р=1, 2г).(7)

Соотношения (6) и (7) показывают, что из 3^ вариаций ускорений дх зависимых будет к-\-г, а остальные 3^ — (к-\-г) будут независимы. В соответствии с этим введем к-\-г неопределенных

множителей Лагранжа; с этой целью умножаем равенства (6) и (7) соответственно на Хи и цр, суммируем первые по и от 1 до к, а вторые по р от 1 до г; получим

к злг

И=11=1

И

Р=11=11

Меняя теперь в обеих двойных суммах порядок суммирования, будем иметь 3N / к\

2 б^ = °.(8)

г=1 \и=1/

Складывая найденные выражения (8) и (9) с основным уравнением (5), получим

3N ГкгI

1=1 Lи=1‘ p=i 1 -I

Так как число зависимых вариаций равно к-^-г, то к-\-г неопределенных множителей Лагранжа выберем так, чтобы выражения в квадратных скобках при зависимых вариациях равнялись нулю; тогда остальные квадратные скобки вследствие независимости оставшихся вариаций будут также равны нулю, и таким образом мы получаем ЗА/ уравнений движения системы

++= 02,з^. (Ю)

и=1 dxt £ р dxt

Присоединяя уравнения связей, будем иметь 3N-\-k-\-r уравнений с 3ZV + к+ г неизвестными.

Вывод принципа наименьшего принуждения из принципа Даламбера— Лагранжа. Рассмотрим точку системы с массой ть занимающую в момент времени t положение Mt. Пусть, как и в п. 2, элементарные перемещения этой точки за малый промежуток времени т по инерции и свободное под действием активной силы Ft изображаются соответственно векторами MtAt и МД, и пусть вектор МД

связей и начиная дви- же скоростью *оь носвязей и начиная дви- же скоростью *оь ноF: \F: \nil "2"nil "2"

связей и начиная дви- же скоростью *оь но

связей и начиная дви- же скоростью *оь но

F: \

F: \

nil "2"

nil "2"

изображает истинное перемещение точки за время т под действием той же активной силы и при наличии связей (рис. 87). Рассмотрим какое-нибудь другое кинематически допустимое элементарное перемещение М{Сь которое точка могла бы совершить за тот же про

межуток времени т, не нарушая наложенных жение из того же положения Mt и с той двигаясь с другим ускорением Wf, отличным от ускорения л^ = rt в истинном движении (напоминаем, что в принципе Гаусса варьируется только ускорение).

Покажем, что для истинного движения принуждение будет меньше, чем для любого другого указанного выше кинематически допустимого движения.

Прежде всего, ясно, что

возведя в квадрат обе части составленного равенства, получим

^В^ ^В^ + (С;С^ ^ZBiCt • С^.(11)

В п. 2 мы имели равенства

отсюда для истинного движения

пВ^г^^т-ьЧВ^^ и З^^-^г ^тг • (BtC^.i = l

Для сравниваемого кинематически возможного движения имеем N

i = l

или, подставляя вместо (ВС;) выражение (11),

в^'=2 mi • №)2+^- 2 • (с^<)2+ Z=1Z=1

N

■ (B^C?) • (c.c!). (12)

z = i

Рассмотрим третий член правой части равенства (12); он равен нулю. Действительно, кинематически возможное перемещение MtCt совершается при сохранении наложенных связей и за тот же промежуток времени т, что и истинное перемещение MtClt следовательно, вектор CtCt, соединяющий истинное положение точки в момент ^ + т и какое-то другое положение, которое она может занимать в тот же момент при сохранении наложенных связей, представляет собой виртуальное перемещение точки в момент ^ + т, т. е. CtC't—br. Тогда, принимая во внимание выражение для вектора BZCZ, будем иметь

N N

^ mi • УД • CtCt = —■ ^ (m/z — F{) • drt. i=ii=i

Но, в силу принципа Даламбера — Лагранжа [формула (3)], N

5 (Fi — m^i) • drz = О, i=i

а следовательно, и третий член правой части (12) равен нулю.

Итак, имеем

N

CtCt,

-откуда ясно, что

3^' > 3®'.

т. е для истинного движения принуждение имеет минимум.

Принцип прямейшего пути Г. Герца. Из принципа Гаусса непосредственно вытекает принцип прямейшего пути Г. Герца, который является обобщением ньютонова закона инерции. Этот принцип состоит в том, что всякая «свободная» система движется по прямейшему пути (т. е. по пути с наименьшей кривизной). Сам Герц формулировал свой принцип, перефразируя первый закон Ньютона, так: «Systema omne liberum perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directissimam» (т. e. всякая «свободная» система стремится пребывать в состоянии покоя или равномерного движения по прямейшему пути). Нужно заметить, что Герц в своей механике устраняет понятие о силе в том виде, как оно фигурирует в механике Ньютона, и рассматривает силы как эффект явных или скрытых связей; поэтому понятие «свободная система» в смысле Герца означает, что точки системы находятся только под действием наложенных на систему связей.

Пусть имеем систему N материальных точек, координаты которых обозначим через ^ |2^здг- Герц вводит понятие о траектории

§ 25] системы, определяя ее как кривую в пространстве 3N измерений^ элемент дуги которой равен N3N3N

V=11 = 11 = 1

где 3NN 1=1 v=l

M называется массой системы, а величина — = Zj x7—скоростыо системы.

Известно, что кривизна к кривой в трехмерном пространстве определяется равенством

’р2 ~\ Л2 J ’

1=1

обобщая эту формулу на 3;V-мерное пространство, получим 3N

У=2(^Г-<14>

= 1

Возьмем выражение гауссова принуждения (4') при отсутствии активных сил; имеем

8^ =42^ или ^^tS^1^(15)1

то, возводя х, в квадрат, получим

v2 _о4 № V 7'2 | 2 ^ ^L с2 ё

Xi—\ ds } SJ + ds ds1 S S1

Подставляя полученное выражение в равенство (15), находим

2з«=2 ^"*+^ О "=+г 2 ^ ^ й. <1б> 111

Но из равенства (13) следует, что

откуда, дифференцируя по $, имеем

V dxt d^xt _ 0ds dse ’i

Принимая это во внимание, получим из равенства (16)

23 w = k^s4 + 8х.

Так как активные силы отсутствуют, то при склерономных связях Т = ^^т^2 = ^M^x'2l = ^-Ms2 = const; (17) ii

следовательно, s — const, и

s = 0; поэтому

23 w = k^s4.

По принципу Гаусса для истинного движения 3W есть минимум, но так как на основании равенства (17) s = const, то к должно иметь минимум. Отсюда вытекает принцип, прямейшего пути: для механической системы, подчиненной склерономним связям и свободной от действия сил, истинное движение происходит с постоянной скоростью, причем траектория системы имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими траекториями, допускаемыми связями.

§ 26. Интегральные принципы

Замечания о варьировании. Пусть точка имеет одну степень свободы и положение ее определяется координатой

q = m

Дифференцируя это равенство по времени, получим dq = f (f)dt.

Здесь мы имеем изменение функции q вследствие изменения самого аргумента, т. е. времени; дифференциал координаты соответствует поэтому ее изменению вследствие действительного движения (рис. 88).

Изменим теперь вид самой функции q = f(t) и положим

где е есть произвольно малое постоянное число, а т](^)— произвольная дифференцируемая функция времени. В этом случае изменение координаты q вследствие изменения вида самой функции обозначается

^ 26]ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ261

через bq и называется простой или изохронной вариацией (рис. 89); следовательно, будем иметь

bq = q — ? = er](O-(1)

Докажем, что изохронная вариация и дифференцирование по времени обладают свойством коммутативности, т. е. что

В самом деле, дифференцируя равенство (1) по t, получим 'dt^ =ч — q = bq.

так как, согласно определению изохронной вариации,

таким образом, требуемое доказано. Заметим еще, что в случае изохронной вариации bt — 0.

Введем теперь понятие о полной вариации. Полной вариацией будем называть изменение функции как вследствие изменения вида функции, так и вследствие изменения аргумента; полную вариацию q будем обозначать через kq. Изменение аргумента можно ввести следующим образом. Положим

где через 7 обозначен измененный аргумент, а через £(Z)— произвольная дифференцируемая функция. Обозначая изменение аргумента через А^, т. е. полагая

/—t = M, или M—6^,(t),будем иметь следующее выражение для полной вариации функции q.

M = bq-\- q М, (3)

е. изменение функции Ду состоит из двух частей; первая bq есть изохронная вариация, вторая qM есть изменение функции q вследствие изменения аргумента t на величину ДЛ Эта формула наглядно показана на рис. 89.

Докажем, что полная вариация и дифференцирование по t свойством коммутативности не обладают. Действительно, дифференцируя равенство (3) по времени, получим

M^q-VqMVq^-.

Но для полной вариации функции q будем иметь, согласно равенству (3):

Ду = bq -f- q М.

Подставляя отсюда выражение уД^ в предыдущее равенство, получим d М к • , • d М

=(4)

Из равенства (4) ясно, что -^- + Д -^- и что эти выражения будут d М п

равны только в том случае, если • ^ = 0, т. е. если вариация изохронная.

Но для случая q~t между операциями полного варьирования и дифференцирования по времени имеет место свойство коммутативности. Действительно, из равенств

Д^ — t— £ = e£(Z) и Д—dt — е^ (/) dt = Д dt очевидно, что / fix b dt о

откуда имеем

d М = hdt.

Принцип стационарного действия Гамильтона1)- Принцип стационарного действия Гамильтона исторически является более поздним принципом, чем принцип Лагранжа — Мопертюи (см. п. 7). Однако логически целесообразнее изложить сначала принцип Гамильтона, как более общий.

*) Принцип был изложен Гамильтоном в работах 1834—1835 гг. для случая стационарных связей. Независимо от него и в более общей форме, охватывающей случай нестационарных связей, принцип был сформулирован в 1848 г. М. В. Остроградским (см. сборник «Вариационные принципы механики», М., 1959). По указанной причине многие авторы называют этот принцип принципом Гамильтона — Остроградекого.

Чтобы выяснить смысл принципа Гамильтона, обратимся опять к интерпретации движения в многомерном пространстве. Пусть в момент t=-t0 система характеризуется точкой А многомерного пространства, а в момент t = tx— точкой В. Следовательно, за промежуток времени tx— /0 система под действием сил перейдет из конфигурации А в конфигурацию В. Пусть траекторией движения системы будет кривая АВ (рис. 90). Кинематически возможны и другие траектории, например АпВ и т. п., по которым/

система за тот же промежуток времени tx—t0 может перейти из положения А в положение В. // Траектории АпВ называются траекториями // сравнения (или окольными путями), а траекто- v рию АВ называют еще прямым путем. Все траектории сравнения должны допускаться свя- / зями и проходить через фиксированные точки А ' и В. Движения по траекториям сравнения, со-Рис. 90.

вершающиеся за тот же промежуток времени tx — t0, называются возможными или кинематически допустимыми движениями.

Сущность принципа Гамильтона состоит в том, что он дает критерий, на основании которого мы в состоянии среди всех кинематически допустимых движений указать истинное движение или среди всех траекторий сравнения определить ту, по которой действительно будет происходить движение системы между конфигурациями А и В.

Покажем теперь, как из уравнений движения Лагранжа можно получить выражение принципа Гамильтона. Возьмем уравнения движения для голономной системы с п степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил; имеем

~(^=1. 2, .... л).(5)

dt dqt / dqt

Умножая левую часть каждого из уравнений (5) на bqt и складывая, получим п

V Г d ( dL \ X dI- X 1 A 6^—— б^ =0.(6)

L dt \ dqt ] dqt J

Учитывая соотношение (2), найдем, что d I dL\.dL .d f dL .\/ dL . • . dL.\

— H б^ —П—б^=— Н-б^X— l — bqt-^—bqt ;

dt (dqt /dqtdt \dqt/\ dqt dqt/

подставляя это выражениевравенство(6),будем иметь

пп

d\/ dL . • , dL . \

dt* tTAdqi dqi '

Так как L = L(q, q', t), то

поэтому равенство (7) принимает вид

п

a^^-bq^bbdt.(8)

Возьмем от обеих частей этого равенства определенные интегралы в пределах от t = tQ до t = tx, где t0 — момент времени, в который система находится в конфигурации Д, a tx— момент, когда она приходит в конфигурацию В; получим

Так как точки Д и В фиксированы (см. рис. 90), то [6^]^ = 0 и [6^^ =0. Следовательно, для истинного движения системы между двумя конфигурациями Д и В мы имеем

б

J bLdt — O,

или, так как вариация изохронная,

b^Ldt = O.(10)

Интеграл

j Ldt = S(11)

принято называть действием по Гамильтону; следовательно, равенство (10) можно представить в виде:

65=0.(10')

Равенства (10) или (10') являются математическим выражением принципа Гамильтона, который формулируется так: действительное движение системы между двумя заданными конфигурациями отличается от кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и в тот же самый промежуток времени, тем, что для действительного (истинного) движения вариация действия по Гамильтону равна нулю-, или.

§ 26]ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ265

иными словами, для действительного движения действие по Гамильтону имеет стационарное значение.

Для динамической системы

L^T+U,где T-^U есть разность между кинетической и потенциальной энер-гиями системы, и выражение принципа Гамильтона имеет вид

b^(T + U)dt^0,(12)

ИЛИ

It

J (67-4-667)^ = 0.(120

Равенству (10), выражающему принцип Гамильтона, можно придать другой вид, введя в него функцию Гамильтона Н*. Так как

то, определяя отсюда функцию Лагранжа L и подставляя в выражение принципа (10), получим

6 /лX

t \/

Это выражение принципа, как и (14), имеет место только для системы, находящейся под действием потенциальных сил.

Заметим, наконец, что действие по Гамильтону можно представить в виде

3= J Ldt = (tx — t^L*, где L* есть среднее значение функции Лагранжа в промежутке времени tx — /0. Размерность величины 3 есть работа X время (единицы измерения в системе СИ кгм^сек-, в технической системе единиц кГм сек\

Вывод уравнений движения из принципа Гамильтона. Постулируя принцип Гамильтона как основной, нетрудно получить из него уравнения движения. Имеем выражение принципа Гамильтона:

63 = 6 J Ldt = J bLdt = O.

Развертывая вариацию bL, получим

(15)(15)

(15)

(15)

Применяя к членам второй суммы в виду свойство коммутативности иметьПрименяя к членам второй суммы в виду свойство коммутативности иметьинтегрирование по частям и имея для изохронной вариации, будеминтегрирование по частям и имея для изохронной вариации, будем

Применяя к членам второй суммы в виду свойство коммутативности иметь

Применяя к членам второй суммы в виду свойство коммутативности иметь

интегрирование по частям и имея для изохронной вариации, будем

интегрирование по частям и имея для изохронной вариации, будем

ибо [6^(]^=0, что нам уже встречалось.Имея в виду полученное равенство и подставляя его в уравнение (15), найдемибо [6^(]^=0, что нам уже встречалось.Имея в виду полученное равенство и подставляя его в уравнение (15), найдемdL dqidL dqi= 0.dqilX 1= 0.dqilX 1(16)(16)

ибо [6^(]^=0, что нам уже встречалось.

Имея в виду полученное равенство и подставляя его в уравнение (15), найдем

ибо [6^(]^=0, что нам уже встречалось.

Имея в виду полученное равенство и подставляя его в уравнение (15), найдем

dL dqi

dL dqi

= 0.

dqilX 1

= 0.

dqilX 1

(16)

(16)

Равенство (16) также представляет собой математическое выражение принципа Гамильтона. Так как интервал интегрирования здесь произволен и вариации координат bqt независимы, то равенство нулю

интеграла возможно только при условии равенства нулю подынтегрального выражения; следовательно, для действительного движения

получимполучимd / dL \di I dqi /d / dL \di I dqi /— =0 dqi— =0 dqi(< = 1, 2n),(< = 1, 2n),

получим

получим

d / dL \di I dqi /

d / dL \di I dqi /

— =0 dqi

— =0 dqi

(< = 1, 2n),

(< = 1, 2n),

t. e. уравнения движения в форме Лагранжа.

С точки зрения вариационного исчисления уравнения Лагранжа являются уравнениями пучка экстремалей, причем та из них, которая б проходит через точки Л и В, дает экстремум интеграла J Ldt или, иными словами, дает экстремум действия по Гамильтону; эта экстремаль и будет истинной траекторией движения.

Обобщение принципа Гамильтона на случаи неконсервативной и иеголономной систем. Для динамической системы принцип Гамильтона можно представить равенством

J (бт+б^)^ = о.

Введем в него вместо члена bU, выражающего элементарную работу потенциальных сил, величину

УД =5 Q^q^(17)

z=i

т. е. элементарную работу сил непотенциальных, выраженную через обобщенные силы (здесь символ У уже не обозначает вариацию какой-либо функции). Тогда получим

z1

J (бТ Н-б^ Л) = О

ИЛИ

^ /п\

/ 67 + 2^ ^ = 0.(18)

z, \z=i/

В этой форме принцип имеет место и для системы, находящейся под действием непотепциальных сил. Равенству (18) можно еще придать другой вид, если интеграл от ЬТ преобразовать так же, как это было сделано в п. 3 с интегралом от bL, т. е. к виду, аналогичному (16). Тогда получим выражение принципа Гамильтона для неконсервативной системы в виде

L+<?z 6^ = 0 --(19)

zTi *-dqt dtJ

Отсюда сразу следует справедливость принципа в форме (18) для неконсервативной системы, так как его выражение (19) дает уравнения движения этой системы. В самом деле, поскольку интервал #1 —t0 произволен, a bq( между собой независимы, то из (19) получаются уравнения движения системы в форме Лагранжа

d ( дТ \ дТ ~х

— ——=Q;(i=l, 2nV

dt \ dqt / dqt

Можно убедиться, что принцип Гамильтона в форме (19) справедлив и для системы с линейными неголономными связями, так как из него можно получить и уравнения движения такой системы. Действительно, если на систему наложены г линейных неголономных связей, уравнения которых имеют вид (см. § 8, п. 9)

^2 ^pz dqi ~Ь Aydt = 0(р— 1> 2, . ...г).

то при этом вариации координат должны удовлетворять соотношениям

п

5 ^Р^ = °(р= !. 2")•

i = i

Умножим каждое из этих равенств на лагранжев множитель Хр и просуммируем по р. Полученное выражение, равное нулю, прибавим к сумме, стоящей под знаком интеграла (19). Тогда будем иметь

б « гг "

Г V ЙТ d I дТ \S

dq.^dt.

Теперь выбором множителей Xp обращаем в нуль р слагаемых в сумме, стоящей под знаком интеграла; тогда остальные слагаемые также должны быть равны нулю, поскольку оставшиеся под знаком интеграла п— г вариаций bqt между собой независимы. В результате получим известное нам уравнение движения неголономной системы с множителями Лагранжа [см. § 8, п. 9, уравнения (54)].

Отметим в заключение, что принцип Гамильтона, обобщенный на случай неконсервативной и неголономной систем, уже не является вариационным, так как выражения (18) или (19) не представляют собой вариацию какого-нибудь интеграла.

Принцип Гамильтона в вариационной форме (10) обладает тем важным преимуществом, что он не связан ни с какой системой координат; в его выражение входят лишь функция L и время. Поэтому данный принцип при соответствующем обобщении понятий находит широкие приложения в различных областях физики.

Действие по Гамильтону и главная функция S в уравнении Якоби. Докажем, что действие по Гамильтону совпадает с главной функцией 5 в уравнении Якоби. Для этого рассмотрим S как функцию времени t, полагая

tS = J Lett,

т. e. считая верхний предел у интеграла переменным. Дифференцируя теперь функцию S по времени, получим

^l—L.(20)

Обратимся к уравнению Якоби [см. § 22, формула (7)]

6S . и ( dS Д п

полный интеграл которого будет

5 = 5(9ь 92Чп- ^> «р «2

Дифференцируя функцию S, являющуюся полным интегралом уравнения Якоби, получим

п

dS dS , V ^5 Лdt — dt tiГдq;Чl•

Но из уравнения Якоби, принимая во внимание, что = Рь имеем

dSdL

кроме того, согласно определению импульса, = р, =——; поэ-

dqtdqt

тому п

— = —^ + У-^9].dt Й д^

п

а так как Н* = —” 9<> то получим

i=x d4t

dS гdt

т. е. то же, что и для производной по времени от действия по Гамильтону. Так как производные по времени от действия по Гамильтону и от главной функции 5 в уравнении Якоби равны, то эти функции совпадают с точностью до аддитивной постоянной.

Замечание о характере экстремума действия по Гамильтону. В принципе Гамильтона сравниваются движения за некоторый промежуток времени tx—t0 по прямому пути АВ и по окольным путям, проходящим через те же фиксированные точки А и В (см. п. 2, рис. 90); при этом для движения по прямому пути действие S имеет экстремум.

Остановимся иа двух связанных друг с другом вопросах: 1) будет ли при произвольном выборе точек А и В прямой путь единственным; 2) каким является характер экстремума действия (минимум, максимум) при движении по прямому пути. Наглядное представление о возможных ответах на эти вопросы дает следующий простои пример. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по гладкой сфере радиуса /?; пусть никакие активные силы иа точку не действуют. Тогда оиа будет двигаться по геодезической линии (см. ч. I, § 38, п. 9), т. е. по дуге большого круга, с численно постоянной

скоростью v0. При этом, очевидно, L = Т = —g— = const и 5 = So =

"^о2"^о2(< [ (g).(< [ (g).

"^о2

"^о2

(< [ (g).

(< [ (g).

дианы). Такие дведианы). Такие двеЕсли взять на сфере две произвольные точки Л и В (рис. 91), то через иих пройдет два прямых пути: АВ (АВ < л/?) и АВйВ (АВ6В > «R). Исключение представляет случай, когда точка В совпадает с Во, т. е. с точкой, диаметрально противоположной точке А; в этом случае через точки Л и Во проходит множество бесконечно близких друг к другу прямых путей (мери-

дианы). Такие две

дианы). Такие две

точки А и Во, через которые проходит множество бесконечно близких друг к другу прямых путей, называются сопряженными кинетическими фокусами.

Тогда на основании данного примера можно сделать следующие выводы о характере экстремума действия, справедливые и в общем случае:

если прямой путь не проходит через кинетический фокус, сопряженный начальной точке (в нашем примере путь Ай), то действие на нем имеет минимум (в нашем примере любой окольный путь будет больше дуги ^ХВ, и чтобы пройти его за тот же промежуток времени^—t61 точка должна двигаться со скоростью v > v0; поэтому на любом окольном пути S > So);

если прямой путь проходит через кинетический фокус, сопряженный начальной точке (в на

шем случае путь АВйВ\ то действие на этом пути не имеет минимума

(в нашем примере это следует из того, что при прямом пути АВ0В найдутся окольные пути, которые будут короче ЛВ0В; для этих путей будет v < и, и S < So).

Таким образом, точки Л и В можно всегда выбрать настолько близкими друг к другу, что действие на прямом пути будет наименьшим (отсюда и термин «принцип наименьшего действия»); для этого надо лишь, чтобы путь АВ не достигал кинетического фокуса, сопряженного точке А.

Принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа. В 1744 г. Мопертюи опубликовал принцип, согласно которому для действительного движения частицы, интеграл от yds, взятый по отрезку траектории между двумя какими-либо ее точками, есть минимум по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных между теми же точками. Интеграл J yds, где у — скорость частицы, Мопертюи назвал «действием», а самый принцип — принципом наименьшего действия. К этому принципу вначале отнеслись очень недоверчиво, так как автор не дал для него никакого доказательства, но Эйлер понял важность открытия Мопертюи и стремился дать его принципу строгое математическое обоснование, что удалось только впоследствии Лагранжу, вследствие чего этот принцип и носит название принципа Мопертюи — Лагранжа.

Принцип Мопертюи — Лагранжа по своей конструкции похож на принцип Гамильтона и состоит в том, что действительное движение голономной консервативной системы между двумя конфигурациями А и В отличается тем свойством, что для него некоторая функция,

выражаемая определенным интегралом и называемая действием по Лагранжу, имеет экстремум по сравнению со значением этой функции для других кинематически допустимых движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же энергией. Таким образом, разница между принципами Гамильтона и Мопертюи — Лагранжа состоит в том, что, во-первых, действие по Лагранжу имеет вообще иной вид, чем действие по Гамильтону, а во-вторых, в принципе Мопертюи—Лагранжа сравниваются движения с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона сравниваемые движения совершаются за один и тот же промежуток времени.

Возьмем выражение действия по Гамильтону для динамической консервативной системы между двумя конфигурациями А и В, причем положим, что начальная конфигурация А соответствует моменту ^ = 0, а конфигурация В — моменту t — tx, при этом момент tx здесь не является фиксированным, так как система, двигаясь по окольным путям с постоянной энергией, будет приходить в конфигурацию В в разные моменты времени (индекс 1 здесь указывает лишь то, что переменная величина tx означает момент прохода системы в конфигурацию В). Тогда будем иметь

txtx

8 = j Ldt = J (T4-U)df.о0

Кроме того, так как система по условию консервативна, имеет место интеграл энергии

T=U 4-й.

Подставляя выражение U из интеграла энергии в выражение 5, получим

S= j TTdt — ht^о

Функция

txtx N

W = J 2T^ = j ^ m^dt(21)

00 Z = 1

называется действием по Лагранжу и является всегда положительной и ограниченной только снизу. В результате находим

S = W — Мх или W = S-\-htv(22)

Поскольку верхний предел интеграла tb как было указано, является переменным, то, обозначая его через t, можем переписать равенство (22) в виде

W — S-^ht.(22')

272 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ [ГЛ. VI Полученная формула показывает, что функция W совпадает с характеристической функцией уравнения Якоби (см. § 22, п. 4).

Далее, на сравниваемые движения налагается условие, чтобы эти движения совершались с одной и той же энергией А. Но, как это вытекает из интеграла энергии, кинетическая энергия Т, а потому и скорости точек системы зависят от U, т. е. зависят от положения системы в данный момент. Поэтому время, в течение которого система переходит из Д в В, зависит от пути и им определяется. Следовательно, времена перехода системы из конфигурации А в В по различным путям различны и зависят от этих путей, т. е., как было указано, предел tx в интеграле (21) является переменным. Поэтому при переходе от одного пути к другому должны варьироваться не только координаты и скорости (как в случае принципа Гамильтона), но и время, т. е. в случае принципа Мопертюи— Лагранжа вариация должна быть полной. Если мы будем интерпретировать движение системы в виде движения изображающей точки в пространстве п измерений (где п есть число координат системы), то принцип Мопертюи — Лагранжа будет формулироваться следующим образом: действительное движение голономной консервативной системы, между двумя заданными конфигурациями А и В отличается от кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же полной энергией тем, что для действительного движения полная вариация действия по Лагранжу равна нулю; иными словами, для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение. Математически это означает, что для действительного движения

tv

A J 2Т dt=kW = t, (23) о

где, как уже было сказано, вариация берется полная.

Действие по Лагранжу, так же как и действие по Гамильтону, имеет на прямом пути минимум (по сравнению с его значениями на окольных путях), если прямой путь не достигает сопряженного начальной точке кинетического фокуса (см. п. 6).

Вывод принципа Мопертюи — Лагранжа из уравнений движения и уравнений движения из принципа Мопертюи — Лагранжа. Найдем сначала выражение \W, исходя из равенства (22). Получим, учитывая, что h = const,

Ar = AS + /zA^,

где tx— переменный момент прихода системы в конечную конфигурацию В.

Преобразуем правую часть, используя формулу (3) из п. 1; будем иметь AS = 6S-|-SA#. Но, согласно равенству (20), S = L. Следовательно,

AUZ = dS4-(Z, + A)Az?I.

Так как принцип Мопертюи— Лагранжа имеет место для консервативной системы, то L = T-\-U, a h = T—U, в результате находим

Ь№ = Ь5-\-2ТЫг(24)

Теперь вычислим 6S, учитывая опять равенство L — T-VU\ получим

6S = J bLdt — J (bT4-6U)dt =оо

Преобразуем второй член правой части, интегрируя по частям; учитывая равенство (2) из п. 1, будем иметь

б гаг гаТб б л

Г V дТ .• V ^Г « Г V d / дТ \ .,,

J ■ да.■ dq.J ■ dt \dq. J

о z = i 4iU=i Jo о z=i \ 4t J

В результате равенство (25) примет вид

пГ « T*

f V Г d / дТ \ . дТ . ди .V

О“X^J d(h dqt\^dq, JQ

Заметим, что в последнем члене полученного выражения [6^J/=0 = 0, так как все движения начинаются из конфигурации Л в один и тот же момент времени ^ = 0. Но [6<7j<=< =# 0, так в конфигурацию В система, двигаясь по разным окольным путям, будет приходить в разные моменты времени tv а в случае изохронного варьирования вариация берется при одном и том же фиксированном значении t} (если, например, этим фиксированным значением будет момент прихода системы в конфигурацию В при движении по окольному пути 1, то при движении по пути 2, система в тот же момент в положение В не придет, следовательно, для всех окольных путей [6yz]t 0). Перейдем поэтому в последнем члене правой части равенства (26) от 6^z к A^z. По формуле (3) из п. 1 имеем 6qi = \ql—q М; следовательно,

- Л1^1' Л*1^1

2^< = ^^. -[£< И".^

L( = lJoLz = l 4V -О L Ч1 Jo

Но [A9jz=Q = 0 и [А^]<=< =0; последний результат следует из того, что здесь время варьируется, а в моменты tv какими бы они ни были, система по условию приходит в одну и ту же конфигурацию В. Кроме того, для консервативной системы Т является однородной п

функцией второй степени от скоростей и ^ —г- qt = 27. В резуль; = 1 dqi

тате равенство (27) дает

= —27А^. о= —27А^. о

= —27А^. о

= —27А^. о

Тогда равенство (26) примет вид

dU "dq._dU "dq._dt — 27 AZpdt — 27 AZp

dU "dq._

dU "dq._

dt — 27 AZp

dt — 27 AZp

Подставляя это значение 6S в формулу (24), получим окончательно следующее выражение для полной вариации действия по Лагранжу:

оодТ дЦ" dq, dq. _дТ дЦ" dq, dq. _bqt dt.bqt dt.(28)(28)

о

о

дТ дЦ" dq, dq. _

дТ дЦ" dq, dq. _

bqt dt.

bqt dt.

(28)

(28)

Уравнения движения голономной консервативной системы имеют вид

=(/=1,2л).(29)

dt \ д9г /dqt dqt

Следовательно, при действительном движении такой системы будет

AU7 = 0 или A J 27 dt = 0,(30)

о

и мы приходим к принципу стационарного действия Мопертюи — Лагранжа.

Если теперь принцип Мопертюи — Лагранжа принять за исходный, то из него можно получить уравнения движения голономной консервативной системы. В самом деле, повторяя все проделанные выкладки, мы снова придем к соотношению (28). Но, согласно принципу Мопертюи— Лагранжа, для истинного движения должно быть А1Г = 0, а так как интервал времени tx —10 произволен и вариации между собой независимы, то из равенства нулю интеграла, стоящего в правой части соотношения (28), следуют уравнения движения системы (29).

Различные формы выражения принципа Мопертюи — Лагранжа. Принцип Мопертюи — Лагранжа, как мы видели, состоит

в том, что для действительного движения голономной консервативной системы между двумя данными конфигурациями действие по Лагранжу имеет экстремум по сравнению с кинематически допустимыми движениями между теми же конфигурациями при одной и той же энергии. В зависимости от выражения действия W этот принцип может быть выражен в различных формах.

Форма Мопертюи. Выше мы имели выражение действия в форме Лагранжа:

ltб N

W = j 27 dt = J ^ т^ dt,оо ( = 1

где N есть число точек системы. Так как vtdt = dsL, где dsl есть элемент дуги траектории точки системы с номером I, то

и, следовательно,и, следовательно,v^dt — vl dst

и, следовательно,

и, следовательно,

(31)(31)в N

(31)

(31)

A i = l

причем интегрирование совершается по дугам траекторий точек системы от конфигурации А до В. Формула (31) дает выражение действия в форме Мопертюи.

Форма Якоби. Выражение действия в форме Якоби отличается тем, что в нем при помощи интеграла энергии исключается время. Имеем

«^-f ^(^)2;

= 1 i = l

(32)(32)кроме того, интеграл энергии дает

(32)

(32)

2Т = 2(174-й).

Следовательно,

АГ 2 mt ds2

откудаоткуда(33)(33)

откуда

откуда

(33)

(33)

Подставляя значения 2Т и dt, даваемые равенствами (32) и (33), в выражение И7 в форме Лагранжа, получим

tvв

W = J <lTdt = j V^U-V-ky КЦ^^г (34) 0A

Здесь так же, как и в формуле (31), интегрирование совершается по дугам траекторий от конфигурации А до В. Формула (34) дает выражение действия в форме Якоби; это выражение имеет геометрический характер, так как время и скорости в нем исключены.

Если мы введем независимые координаты и выразим хг, х2хзг1 в функции от qv q2qn, то

NINn

и выражение действия в форме Якоби приобретает вид

ВГ п

w = j /2(t/ + ft) 1/ ^ ач d4t dq5.(34')

А' I, j = l

В частном случае, когда внешние силы на систему не действуют, U — const, и поэтому на основании формул (34) и (34') мы можем выразить действие W, отбрасывая постоянный множитель, в виде в / nв / п

^^IV ^jmtds,i = j У ’^i°ijd4idqj-

А '1 = 1А * i,j = l

Интерпретируя движение системы как движение точки в пространстве л измерений, для которого элемент дуги (фундаментальная метрическая форма) имеет выражение

пdo2— 2 atjdqtdqpi,j=iможем написатьв

W = ^ da.(35)

А

Таким образом, задача об определении движения голоном- ной системы по инерции сводится к нахождению минимума интеграла (35), т. е. к задаче геодезических линий. Принцип стационарного действия в этом случае может быть формулирован так: голономная система по инерции, движется так,, что точка, изображающая систему в соответствующем пространстве п измерений, движется по геодезической линии этого пространства.

К задаче геодезических линий можно свести определение движения голономной системы и в том случае, когда она движется в потенциальном силовом поле, определяемом силовой функцией U. Действительно, так как U зависит только от координат q, то

пп

2(^Ч-А) 2 a^dq^q^ 2 b^dq^q^

i,j = ii,j=i

где btj = 2 (U 4- h) а^\ поэтому

где в данном случае

do^ 2 budq,dq,.(36)

Таким образом, движение голономной системы под действием потенциальных сил всегда можно рассматривать как движение по инерции в пространстве Римана, метрика которого определяется фундаментальной метрической формой (36); согласно принципу стационарного действия движение происходит по геодезической линии этого пространства. Эта идея лежит в основе общей теории относительности А. Эйнштейна.

Пример. Для уяснения принципиальной разницы между принципом Гамильтона и принципом Мопертюи— Лагранжа рассмотрим применение обоих этих принципов к определению движения материальной точки вдоль гладкой поверхности по инерции. В этом случае U = const; интеграл энергии дает

— mv2 = const, следовательно, о = const.

Согласно принципу Гамильтона для действительного движения действие по Гамильтону имеет стационарное значение по сравнению с движениями между теми же положениями А и В, совершающимися в одно и то же время t, т. е..

» J <r-vu^dt = o.о

Так как для рассматриваемого движения действие по Гамильтону S будет

S = J ^ ту14- с) dt = -i- tnyH 4- Ct, о

то для действительного движения (так как 6Z = 0) имеем

6S = to f-^- mv2\ = 0,

откуда 6 (у2) = 0, следовательно, v = vmin- Таким образом, из всех кинематически возможных движений точки между положениями А и В, совершающихся в одно и то же время / (но с различными скоростями), действительным будет то, для которого и = vmln, а следовательно, и vt = s = vmln, т. е. движение по кратчайшему пути или, иначе говоря, по геодезической линии.

Согласно принципу стационарного действия М о п е р- тюи — Лагранжа для действительного движения действие по Лагранжу имеет наименьшее значение по сравнению с движениями между теми же положениями А и В, совершающимися с одной и той же энергией, т. е.

Д J 2Г^=0.

о

Для рассматриваемого движения действие по Лагранжу W будет

t

W = J mv2 dt = mv4tо

для действительного движения имеем

AW - ту2 Д^ = О

(ибо энергия Л = -^mv1, а следовательно, и скорости у для сравниваемых движений одни и те же, и поэтому Ду = oj, откуда М = 0. Таким образом, из всех возможных движений точки, совершающихся между положениями Л и В с одной и той же скоростью (но в различное время), действительным будет то, которое удовлетворяет условию Дг1 = 0, т. е. t = < (п следовательно, действительным движением будет то, которое совершается в кратчайшее время или, так как vt = з, по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линии.

§ 27о Канонические преобразования

Вывод канонических уравнений из принципа Гамильтона. Согласно принципу стационарного действия Гамильтона для действительного движения системы между двумя конфигурациями имеем

б

6 J Ldt = 0,

где L\q, q; t. Действие по Гамильтону можно представить через функцию Н* в виде [см. § 26, формула (14)]

$ 27}КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ279

или, выражая функцию Н* ^q, q, t) в канонических переменных и dL

учитывая, что —— = р^ dq.

t,

S = j (—Н+^рдДс?#.(1)

Так как для действительного движения

б(2)

<» \i )

то, развертывая вариацию в левой части, получим

/ = 1'

Преобразуя последний член левой части, будем иметь

/ Pi ^i dt = \pt bq^ — J pt bqt dt = — J pt bqt dt

t»^0U

вследствие того, что [^J/=o = O и [6^J; =0. В результате находим

S / [(-^-^-+(-^+,'-М','=0- (3) <=1 t.

Коэффициенты при bpt в левой части равенства (3) обращаются в нули в силу соотношений (11) из § 21. Тогда, поскольку интервал интегрирования ft—t0 произволен и вариации bqt независимы, то коэффициенты при них также должны равняться нулю; поэтому окончательно будет

=(Z=1’2(4)

В результате мы получили каноническую систему уравнений движения. Отсюда вытекает, что выражение принципа Гамильтона в виде (2) эквивалентно канонической системе уравнений (4).

Канонические преобразования. Каноническими преобразованиями называются такие преобразования переменных q и р, при которых канонические уравнения движения сохраняют свою форму, т. е. переходят тоже в канонические уравнения, но вообще с какой-то

другой функцией Гамильтона Н. Введем вместо переменных qt и pt новые независимые переменные Qt и Рь полагая

Qt = Qi<.qi* q^ ■ •., qn\ рь р^ • • •. р^ t), \ч _ п пУ (г= 1, 2я). (5)

р1 = рМ. qn- Pv PiPn. 0 J

При этом предполагается, что соотношения (5) разрешимы относительно q^ р^ т. е. что из них можно найти

(Z= 1, 2, ..., га). (5 )(Z= 1, 2, ..., га). (5 )qi — 4i (Qi. Qi* • • ■ • Qn- pv Р2’ • • • > Рп> О. | Pi= Pi (Qi- 9г> ■ • ■ • Qn* pv Р2р п* О J

(Z= 1, 2, ..., га). (5 )

(Z= 1, 2, ..., га). (5 )

Так как каноническая форма уравнений (4) непосредственно вытекает из выражения принципа Гамильтона (2), то для сохранения канонической формы уравнений после преобразования (5) необходимо, чтобы принцип Гамильтона в новых переменных Q и Р сохранил свое выражение, т. е. чтобы было

ц /п\

6J -я+^рД ^=0.(6)

I, \1=1/

где H(Q, Р; t) есть некоторая функция новых переменных Q и Р, являющаяся для них функцией Гамильтона. Время здесь при варьировании считается фиксированным, как и в выражении (2).

Нетрудно убедиться, что соотношение (6) будет выполняться, если подынтегральные выражения в равенствах (2) и (6) будут различаться на производную по времени от произвольной функции старых и новых переменных V(p, q, Р, Q; t\ т. е. если будет

пп

-H{q,p- tW^Piqi = -H<Q, Р; ty + ^P^-^.(7)

;=1t=i

В самом деле, б \^« = 1V

Поэтому, какова бы ни была функция V, вариация этого интеграла будет равна нулю, так как при t = t0 и t — t^ функция V имеет фиксированные значения и 6 [У"]#_#= б [V]/=/ = 0. Но поскольку для старых переменных имеет место соотношение (2), то при наличии равенства (7) будет выполняться и соотношение (6).

Покажем теперь, что, задавая функцию V произвольно, можно однозначно определить преобразования (5). Заметим предварительно, что поскольку старые и новые переменные связаны соотношениями (5), из которых, по сделанным предположениям, любые две

группы переменных могут быть выражены через две другие (например, р, Q через q, Р и т. д.), то функция V, являющаяся функцией старых и новых переменных, может иметь один из следующих видов:

V!^. Q; 0. V^p, Q; t), V3 (q, Р; t), V^p, P; t).

Рассмотрим сначала случай, когда V = V1(q, Q\ t). Умножая обе части равенства (7) на dt и определяя из него величину dV^, получим

ля

^PidQ£ — ^p^q^kH-^dt^dV^q, Q; t) =

1 = 1i=i

ПЛ

= 1W d^ +1 dqi + -дГ dt- <8> i=it=i

Поскольку все переменные считаются независимыми, то, сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в правой и левой частях равенства (8), получим

^==Ж (Z=L 2nY(9,)

Pi = ~^ (^1.2/г),(9")

Н = Н — ^-.(9")

Формулы (9) дают возможность найти выражения новых переменных Q и Р через старые q и р при каноническом преобразовании или, другими словами, найти такое точечное преобразование координат 2л-мерного фазового пространства (я, p)-+(Q, Р), при котором каноническая система уравнений

(1 = 1, 2n)(1 = 1, 2n)dqi dHdpi dH

(1 = 1, 2n)

(1 = 1, 2n)

dtdpt' dtdqi

переходит также в каноническую систему

(<= 1, 2it).(<= 1, 2it).dQt _ dH dPt _ dHdtdPi ’ dt — dQt

(<= 1, 2it).

(<= 1, 2it).

Это преобразование, как видно из формул (9), зависит от выбора произвольной функции VjC^, Q; f), которая называется производящей функцией.

Чтобы найти выражения переменных Q и Р через q и р, нужно сначала из уравнений (9"), т. е. уравнений

dVi (q, Q; i) ,.1 o ,

Pi =' ■(<=1.2nV

определить Qb Q2Qn в функции аргументов qv q^q^ рх, р2рп; t. После этого, подставив найденные выражения Q в уравнения (9'), т. е. в уравнения

Л=-^^^-(/=1,2,п),

определяем из них Рх, Р2, ..., Р„ в функции тех же аргументов qx, q2, .... qn; рх, р2, •••. Рп* *• Наконец, равенство (9'") позволяет найти новую функцию Гамильтона Н.

Другие формы канонических преобразований. Найдем теперь формулы, определяющие канонические преобразования при других видах производящей функции. Для этого воспользуемся равенством (8)

'2iPtdQl-'2iPldql-V^H-H^dt = dVx<q. Q; t).(8)

ii

Преобразуем член 2iPtdqt, учитывая, что

^Pidq^d^ptqt—^qidpt.(10)

Подставляя выражение (10) в равенство (8) и перенеся полный дифференциал в правую часть, получим

^lPidQi4-'2tq1dp1^-(H-H)dt = d^Vx<q, Q; 0 + 2 М,]-

В члене, заключенном справа в квадратные скобки, будем считать все qt выраженными через pt, Qt посредством соотношений (5), (5') и введем обозначение

ПЛ (у. Q; 0+2 jw/l= v2 (Р. Q; t),

L‘+(p, Q)

где V2 — новая производящая функция. Тогда будем иметь

2 Pi dQi + 2 q, dPi + (H-H)dt = dV2 (P, Q; 0,

откуда путем сравнения коэффициентов при одинаковых дифференциалах получаются формулы, определяющие каноническое преобразование, а именно

PiPi_ дУг— dQi ’_ дУг— dQi ’дУdpt 1дУdpt 1Н = Н —Н = Н —дУ2atдУ2at(1=1,2л).(11)(1=1,2л).(11)

Pi

Pi

_ дУг

— dQi ’

_ дУг

— dQi ’

дУ

dpt 1

дУ

dpt 1

Н = Н —

Н = Н —

дУ2at

дУ2at

(1=1,2л).(11)

(1=1,2л).(11)

Для определения новых координат Q и Р из второй группы уравнений (11) определяем Q|^, р, t и вставляем в уравнения первой группы, откуда определяем P\q, р, t. Преобразования (11) представляют собой иную форму канонических преобразований, отличную от преобразования (9).

Для получения третьей формы канонических преобразований преобразуем ^P^dQ^ представив ее в виде

^PidQi-d^PiQi-^QidPt.(12)

Подставляя выражение (12) в равенство (8), получим

-'21QidPl-'^pldqiA-<H-H)dt =

‘= d\Vx(q, Q; t^-^Q^A^dV^q, Р; Г).(13)

При этом опять предположено, что в правой части все Q, выражены через qt, Pt. Сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в равенстве (13), получим третью форму канонических преобразований

iН = Н — —дГiН = Н — —дГ(f=l, 2/г).(14)(f=l, 2/г).(14)

i

Н = Н — —дГ

i

Н = Н — —дГ

(f=l, 2/г).(14)

(f=l, 2/г).(14)

Эта форма может быть получена из формы (11) простой перестановкой старых и новых переменных и поэтому не является новой. Если сделать преобразование первого и второго членов левой части равенства (8), представив их в виде

2 Рi dQi = ^ 2 PiQt — 2 Qi dPp,"21 Pidqt = d'21 p^i — 2 Яi dPt>

illiii

то, подставляя. эти выражения в равенство (8), получим четвертую форму канонических преобразований. Подстановка дает

-2<№+2^,+(л-л)^=

(15)(16)(15)(16)= ^(<7, Q; 0- 2^ + 2 Piqt"\. откуда получим

(15)

(16)

(15)

(16)

где

V^p, Р; ^=Ух(р, Q; 0“2^А + 2 Р^с»iI

причем в правой части все qt и Qt считаются выраженными через pi5 Pt.

Итак, в зависимости от выбора производящей функции, мы получаем вышеуказанные четыре формы канонических преобразований.

Пример. Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы в плоскости Оху (точка О—центр силы). Беря в качестве обобщенных координат декартовы, т. е. полагая qx = х, Я2 = У, получим выражения для кинетической и потенциальной энергий

Т = ^ ^ + у2), V = F (У^+Г2).

Отсюда рх = тх, ру = ту и функция Гамильтона

^^^-^х + ^ + ^^^ + У2).(а)

Для осуществления перехода к новым (полярным) координатам рассмотрим производящую функцию

^з - - (^ Ух2 + у2 -f- Р2 arctg £) .

Тогда из первой группы уравнений (14) находим

Qi = —= У^+У2 = г; Q2 = —^_ = arctg^- = V, (б)

где г и <р — полярные координаты.

Из второй группы уравнений (14) получим

У +р2(в)

дх 1 Г z r21 Г *2 Г2 \ /

Отсюда, умножая обе части первого равенства на х, а второго на у и складывая полученные выражения почленно, найдем, заменив рх и р^ их значениями тх, ту:

•. р

т (xx-f-yy) = -^- (^-Ь У2) или тгг = Рхг

откуда

Рх = тг.(г)

Далее, умножая обе части первого из равенств (в) на —у, а второго на х и складывая, будем иметь

ж (ху — ух) = Рг,

а из выражения для Q2 в равенствах (б) находим

• ХУ — Ух ХУ — Ух

ф — х2-фу2 — г2

Следовательно,

Р2 = mr2<p.(д)

Равенства (б), (г), (д) и дают значения новых канонических переменных в полярных координатах (см. пример в § 21, п. 4).

Поскольку производящая функция V3 в данном случае явно от времени не зависит, то, согласно последнему из равенств (14), Н = Н. Поэтому, подставляя в формулу (а) значения рх, ps из равенств (в), найдем функцию Гамильтона для новых переменных в виде

1 /Р2 \"=2^+7^ Н^-1 /Р2 \"=2^+7^ Н^-(е)(е)

1 /Р2 \

"=2^+7^ Н^-

1 /Р2 \

"=2^+7^ Н^-

(е)

(е)

Вторая из новых координат, т. е. Q2 = Ф, оказалась циклической. Следовательно, имеем сразу первый интеграл

Рг = тг2ф = const.

Кроме того, поскольку Н явно от t ие зависит, здесь еще имеет место интеграл энергии (см. пример в § 21, п. 4).

Рассмотренный пример показывает, как путем канонического преобразования можно среди новых координат получить циклические [в старых координатах х, у, как видно из выражения (а), ни Одна из координат циклической не являлась].

20 Н. Н. Бухгольц

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ТЕОРИЯ УДАРА

Теория удара материальной точки

Основные понятия и определения. Теорема об изменении количества движения материальной точки имеет в дифференциальной форме вид

d(mT) —FdL(1)

Проинтегрируем обе части уравнения (1) в интервале от < = 0 до / = т, предполагая, что сила F может быть представлена как функция времени; получим т

иго — тт0 = J F dt.(2)

о

Левая часть равенства (2) представляет собой приращение количества движения, а правая — импульс силы F за промежуток времени т. Во всех предыдущих главах мы имели дело только с такими случаями, когда количество движения получало конечное приращение лишь за конечный промежуток времени; иными словами, количество движения всегда представлялось непрерывной функцией от времени. Сущность явления удара заключается в том, что при ударе происходит конечное изменение скорости ф, а следовательно, и количества движения шф за весьма малый промежуток времени, практически измеряемый тысячными и меньшими долями секунды.

Обозначая среднее значение ударной силы F в интервале очень малого промежутка времени т через F*, получим из равенства (2) (по теореме о среднем значении)

тФ — тт0 = F*x.(3)

Равенство (3) показывает, что при малом т приращение количества движения будет иметь конечную величину, только в том случае, если F* очень велико (порядка y) ■ чт0 действительно и наблюдается

во время удара. Измерять ударные силы непосредственно неудобно, ибо они достигают очень больших величин и к тому же во время удара не остаются постоянными. Поскольку приращение количества движения остается величиной конечной, постольку, как это следует из равенств (2) и (3), гораздо удобнее при всех измерениях и расчетах оперировать не с ударными силами, а с их импульсами. Будем в дальнейшем ударный импульс обозначать через S, так что

S=^Fdt.(4)

о

Следовательно, .равенство (2) перепишется в виде

ши — mo0 = S.(5)

В излагаемой ниже общей теории удара время удара г считается величиной бесконечно малой.

Силы F, которые, действуя в течение бесконечно малого промежутка времени т, сообщают точке конечное изменение скорости, будем называть ударными силами. В дальнейшем будем отличать ударные силы от конечных сил, действием которых за время удара т можно пренебрегать. В самом деле, из равенства (3) видно, что при конечной величине F* правая часть будет бесконечно малой величиной порядка т, а следовательно, и левая часть, т. е. приращение количества движения, вызываемое конечными силами F, будет также бесконечно мало.

Перемещения точки за время удара. Докажем, что перемещение точки за время удара будет бесконечно мало. Заметив, что

где г есть радиус-вектор, определяющий положение рассматриваемой точки относительно некоторой системы отсчета, умножим обе части равенства (5) на dt и проинтегрируем в интервале от нуля до т; получим

t

г = г0 + т0т + 4" J Sdt>о

откуда

Здесь S* есть среднее значение ударного импульса за время т. Учитывая, что о0 и У суть величины конечные, а т бесконечно мало, приходим к выводу, что за время удара перемещение Аг точки также бесконечно мало.

Основное уравнение теории удара (теорема об изменении количества движения точки при ударе). Обозначим приращение количества движения т/о— znu0, которое может быть названо «приобретенным количеством движения», через Aznu; тогда из равенства (5) найдем

Amu —S.(6)

Этот результат можно сформулировать так: количество движения, приобретенное точкой за время удара, равно ударному импульсу. Так как в теории удара мы отказались от рассмотрения ускорений, которые весьма велики, и поскольку мы можем пренебрегать перемещениями при ударе (см. п, 3), постольку уравнение (6), аналогичное уравнению Ньютона mtt) — F, является основным уравнением теории удара, с помощью которого можно сразу определить искомое изменение скорости точки по заданному ударному импульсу, или наоборот. Заметим, что это уравнение является конечным, а не дифференциальным уравнением; поэтому задачи теории удара точки и системы материальных точек в механике сводятся обычно к решению системы конечных уравнений.

Теорема об изменении момента количества движения точки при ударе. Умножив обе части равенства (6) векторно слева на радиус-вектор г, получим г X ^ (шт)—Г X S или

А(гХти) = гХ$,(7)

потому что

г X A (mu) = А (г X mu) — (Ar X mu) = A (г X mu),

ибо с точностью до членов первой степени малости Аг = 0 (см. п. 2). Следовательно, приращение за время удара момента количества движения точки относительно некоторого центра равно моменту ударного импульса относительно того же центра.

б. Принцип Даламбера. Перенося в уравнении (5) все члены в одну сторону, получим

S + (mu0 — mu) = 0,(8)

или

S + (— Amu) —0.(8')

Выражение в круглых скобках в двух последних формулах представляет собой «потерянное количество движения», которое можно также назвать «ударным импульсом силы инерции». Если, кроме того, на точку наложены связи, то необходимо учесть еще ударные импульсы реакций. Таким образом, получим

S“4-SAr + (_Amu) = 0,(9)

где Sa и S^— соответственно ударные импульсы активных ударных сил и ударных реакций связей. Таким образом, за время удара

активные и пассивные ударные импульсы, действующие на точку, могут быть уравновешены ударным импульсом силы инерции—^пто. Это есть формулировка принципа Даламбера в теории удара точки.

Упругий и неупругий удары точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления. Рассмотрим случай, когда

встречает на своем путивстречает на своем путиРис. 92.Рис. 92.точка массы т, движущаяся со скоростью у,

встречает на своем пути

встречает на своем пути

Рис. 92.

Рис. 92.

неподвижную поверхность (рис. 92). Благодаря мгновенному наложению связи, что создает ударный импульс реакции, точка испытывает удар и мгновенно изменяет свою скорость.

Обозначим скорость точки в конце удара через у'. На основании уравнения (6) получим

иго'— шф — SN. (10)

Разложим скорости у и т' по направ-

лениям нормали и касательной к поверхности в точке удара А (берем

ту касательную к поверхности, которая лежит в одной плоскости с вектором у и нормалью). Тогда

® = ®n + ®f у'^^+т'.

Будем предполагать связь идеальной, следовательно, ударный импульс реакции будет направлен по нормали, и поэтому составляющая скорости по направлению касательной к поверхности не изменится за время удара, так что

®t = <-(Н>

В самом деле, проектируя обе части равенства (10) на направление касательной т, получим

mv' — шф^ — 0,

откуда следует справедливость равенства (11).

Рассмотрим три возможных случая удара:

®^ = 0. Этот случай называют абсолютно неупругим ударом точки о связь, и саму связь называют абсолютно неупругой. Здесь происходит полная потеря нормальной составляющей скорости.

ф^ =— ®„. Этот случай называют абсолютно упругим ударом точки о связь и саму связь — абсолютно упругой. Здесь нормальная составляющая скорости не изменяется по численной величине, а только- меняет свое направление на противоположное.

я' =— А®„, где 0<&<1. Этот случай называют несовершенно упругим ударом и саму связь — несовершенно упругой. Здесь имеет место изменение (частичная потеря) нормальной составляющей скорости по численной величине.

Все эти три случая можно объединить одним равенством

t< = — к-оп,

где для 1-го случая к = 0, для 2-го случая к = \ и для 3-го О < к < 1, так что вообще

^^-^(0<fe<l).(12)

Величина к, равная отношению модулей нормальных составляющих скорости точки в конце и в начале удара, носит название коэффициента восстановления (коэффициента удара) и характеризует природу (упругость, пластичность) ударяющих тел. Знание этого коэффициента, введенного Ньютоном, необходимо для исследования явлений удара.

Обозначая через аир углы, образованные нормалью с т и »', т. е. углы падения и отражения (см. рис. 92), получим

tg а =, tg р = lx..

Vnvn

Отсюда, согласно равенству (12), найдем

*ёи . <_ = к,(13)

tgP Vn

т. е. коэффициент восстановления есть отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. При абсолютно неупругом ударе получим р =-^-, при абсолютно упругом ударе tga = tgp, a = p и при несовершенно упругом ударе tg a < tg р, a < р.

Опытное определение коэффициента восстановления. Упругий шарик, падающий свободно на упругую горизонтальную неподвижную плоскость с высоты к, ударившись о плоскость, подскочит затем над ней на некоторую высоту к'. Имея эти данные (к и к'), легко найти значение к. соответствующее материалу ударяющихся тел. Согласно формулам Галилея имеем (оставляя для скоростей обозначения предыдущего пункта)

v = "^2gk, у' = У 2gk'; тогда

В идеальном случае абсолютно упругих тел получим к' — к, а для абсолютно неупругого тела к' = 0; для несовершенно упругих тел

тел 0< h' < h. Например, средниезначения коэффициента к при

у « 3м[сек таковы: длястали ипробки к — -^, дляслоновой

и 8.15,1_

кости»="<р для стеклак — -у^-,для дерева к = -^.Значение

скорости у, при которой происходил удар, необходимо указать, ибо вообще величина коэффициента к также зависит от у.

Изменение кинетической энергии точки при ударе (теорема Карно). Докажем теорему Карно, позволяющую определить изменение кинетической энергии в тех случаях, когда точка испытывает удар благодаря тому, что на нее мгновенно накладывается или с нее мгновенно снимается абсолютно неупругая идеальная связь. Это значит, что связь, наложенная во время удара, будет продолжать существовать и после удара, а связь, снятая во время удара, будет отсутствовать и после удара. Так, например, в задаче, рассмотренной в п. 6, мы имели, что при абсолютно неупругой связи нормальная составляющая скорости точки после удара была равна нулю, т. е. точка после удара продолжала свое движение согласно со связью. Иными словами, доказываемая теорема относится к случаю абсолютно неупругого удара.

Указанные два случая отличаются один от другого, но для обоих случаев будет справедлива формула (10):

тт’ — nvo = SN.(10)

1-й случай1, мгновенное наложение связей. Умножим обе части равенства (10) скалярно на скорость <о! точки в конце удара; получим

ту'2 — тч> ■ ч/ = SN • Ч)'.

Так как перемещение точки после удара согласно со связями, наложенными во время удара, и связи идеальны, то скалярное произведение SN -ч/ равно нулю. Поэтому по сокращении на т из предыдущей формулы найдем такое вспомогательное соотношение:

у/2— ч> • ч/ = 0.(15)

Определим теперь искомое изменение кинетической энергии при мгновенном наложении связей на движущуюся точку; оно равно

(16)

Разность квадратов, входящих в правую часть равенства (16), можно преобразовать, вычтя из нее удвоенную левую часть равенства (15), равную нулю; получим

у'2 — у2 = у'2 — у2 — 2у/2 -|- 2у • у' = — (у/2 — 2у • у' -|- у2) =

= — (у' — у)2.

292

Тогда

my nw т ,

-2(17)

Этот результат можно сформулировать так: кинетическая энергия, потерянная точкой при мгновенном наложении на нее абсолютно неупругой связи, равна кинетической энергии, которую имела бы точка, двигаясь с потерянной скоростью", при этом •под «потерянной скоростью» подразумевается разность D— т'.

2-й случай: мгновенное снятие связей. Умножим обе части равенства (10) скалярно на скорость у точки в начале удара; получим вместо равенства (15) такое вспомогательное соотношение

у' • У — у2 = о,(18)

так как теперь обращается в нуль скалярное произведение SN ■ у, потому что со связями согласно перемещение точки не после удара, когда связи оказываются снятыми, а перемещение до удара. Разность квадратов скоростей в формуле (16) преобразуется таким же •образом:

у'2 — у2 = у'2 — у2 — 2у' • у -|- 2у2 = у2 — 2у • у' -|- у'2 = (у' — у)2.

Поэтому ,29

—^.=^.(У'_У)2,(19)

что можно сформулировать так: кинетическая энергия, приобретенная точкой при мгновенном снятии связей, равна той кинетической энергии, которую имела бы точка, двигаясь с приобретенной скоростью.

Теория удара системы материальных точек

Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Разделим все ударные импульсы, действующие на систему, ■состоящую из N материальных точек, на внутренние и внешние по тем же соображениям, какие были приведены в случае подразделения обыкновенных сил; тогда, согласно равенству (6), для каждой -точки с массой mv будет справедливо равенство

A (mvyv) = Sv —|— Sv.(1)

тде Sv и St суть внешние и внутренние ударные импульсы, действующие на точку с массой mv. Составив подобные уравнения для ясех точек системы и сложив их, получим

§ 29]

ИЛИ

A Q = А 2 ^v^v = 2 Sv + 2 St,VVV

где через о=2mvvv мы обозначили количество движения системы.

V

Замечая, что 2 Sv —0 на основании третьего закона Ньютона, при- V

ходим к такому результату:

AQ = МАфс = 2 Sv,(2)-

V

е. количество движения, приобретенное системой за время удара,, равно сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе.

Если на систему внешние ударные импульсы не действуют, то количество движения системы Q и скорость центра масс »с при. ударе не изменяются.

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе. Умножим обе части равенства (1) векторно слева на радиус-вектор rv точки с массой mv, проведенный из некоторого центра О, и просуммируем это равенство по индексу v для всех точек системы; получим

2 [rv X A («v®v)l = 2 (rv X S0+2 (rv X S').(3>

VVV

На основании рассуждений, изложенных в § 28 п. 4, левую часть- равенства (3) можно преобразовать к виду

2 l^v X А (т^)] — А 2 (rv X VV

кроме того, вторая сумма в правой части равенства (3) равна нулю, ибо для каждого внутреннего ударного импульса найдется равный и противоположно направленный импульс; поэтому вместо равенства (3) будем иметь следующее:

а 2 (fv х wiv®v)== 2 (g х sv),VV

или

AGo — 2 momo ($v),(4>

V

где Go = 2 (rv X mv®v) есть кинетический момент системы относительно некоторого выбранного центра О, а 2 monio(St)=2 (г, X Sv)

VV

есть сумма моментов относительно того же центра всех внешних, ударных импульсов. Таким образом, уравнение (4) можно сформу-

лировать так: изменение за время удара кинетического момента системы, взятого относительно некоторого центра, равно сумме моментов, взятых относительно того же центра, всех внешних ударных импульсов.

Заметим, что поскольку перемещениями точек системы за время удара мы пренебрегаем, то доказанная теорема справедлива относительно любого центра О, связанного или не связанного с системой, и, в частности, относительно центра масс системы.

Изменение кинетической энергии системы при ударе (теорема Карно). Докажем теорему Карно для системы, предполагая, как и в § 28, п. 8, что удар происходит или от мгновенного наложения, или от мгновенного снятия абсолютно неупругих идеальных связей. В обоих случаях для каждой точки системы с массой ms будет справедлива формула (10) § 28, т. е.

т^^т^т,^ — Sy,(5)

где ®v и Ту суть скорости соответствующей точки в начале и в конце удара, a S^— ударный импульс реакций, приложенных к этой же точке.

Найдем изменение кинетической энергии в следующих двух случаях:

1-й случай; связи мгновенно налагаются. Умножая обе части равенства (5) на ©^ и произведя суммирование по индексу v для всех точек системы, получим

2тууу2—Smv'pv"®v = 0’<6)

VV

ибо 2®v-S? = 0 (см. § 28, п. 8). Изменение кинетической энер- V

гии Т' — Т за время удара будет

VV

Так как выражение, стоящее в левой части формулы (6), равно нулю, то его можно вычесть из правой части равенства (7); тогда, приведя подобные члены, найдем

Tr-T — ^tn^-^\(8)

V

Так как правая часть равенства (8) отрицательна, то отсюда следует, что кинетическая энергия Т' после удара меньше кинетической энергии Т до удара. В результате из равенства (8) находим

Т-Т^^т^—о'^.(9)

V

т. е. кинетическая энергия, потерянная системой при мгновенном наложении на нее абсолютно неупругих связей, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее точки двигались с потерянными скоростями.

2-й случай-, мгновенное снятие связей. В этом случае мы будем умножать обе части равенства (5) скалярно не на вектор ®^, а на вектор »v, ибо теперь 2®у'^ = 0 (см. § 28, п. 8); проведя v

затем такие же рассуждения, как и в предыдущем случае, получим следующее выражение для изменения кинетической энергии системы при ударе:

Т'-Т = ^т^;—о^.(10)

V

Правая часть формулы (10) положительна, следовательно, Т' > Т, и мы приходим к такому выводу: кинетическая энергия, приобретенная системой при внезапном снятии связей, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее точки двигались с потерянными скоростями.

В качестве иллюстрации для этого второго случая можно привести явление взрыва гранаты; можно утверждать, что явлению взрыва сопутствует увеличение кинетической энергии 1).

Принцип Даламбера. Разделяя ударные импульсы, действующие на каждую точку системы с массой mv на активные и пассивные, получим, согласно формуле (9), следующее:

Sv + Sv+(—AmvTv) = 0(v=l, 2,N),(11)

т. e. во время удара активные и пассивные ударные импульсы, действующие на систему материальных точек, могут быть уравновешены инерционными ударными импульсами. Это положение представляет собой принцип Даламбера для системы в теории удара.

Уравнение Даламбера — Лагранжа в теории удара. Умножим скалярно обе части равенства (И) на виртуальное перемещение 6r v и просуммируем по индексу v для всех точек системы, принимая во внимание, что для идеальных связей

Ss?.drv = 0.V

Получим

2($v — Amvt>v). 6rv —0.(12)

V

Итак, сумма элементарных работ активных ударных импульсов и ударных импульсов сил инерции равна нулю при всяком виртуальном перемещении системы.

*) См. также «Беседы о механике» В. Л. Кирпичёва.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для удара. Пользуясь символикой, оговоренной в § 1, п. 3, выразим уравнение Даламбера— Лагранжа (12) через проекции всех векторных величин на оси координат. Получим

2 (S,v-Amvxv)dxv = 0, (13) v=l

где ^ есть число точек системы. Пусть на систему наложены голо- номные связи вида

/и(х; £) = 0 (х = 1, 2Д),

и пусть эти связи имеют место как до, так и после удара; тогда число независимых координат системы будет 3^—А — п. Выразим координаты точек системы х в функциях п независимых переменных qv q2, ..., qn. которые будут обобщенными координатами системы; тогда

x\qv q-zq^ t-

Преобразуем уравнение (13) к этим координатам. Имеем

п

(v=l,2ЗМ);

z=i 1

подставляя эти выражения в уравнение (13), получим, меняя порядок суммирования:

п ( &NЗА\

2 5^ - А 2 т.х. ^-6^=0.(14)

( = 1 \v = l' v=l‘ /

Но

Ys„^- = Pi,(15)

^ dqt 14 '

V=1

где Pt есть обобщенный ударный импульс, отнесенный к коорди-

нате q,; далее, так как [см. § 8, п. 1, уравнение (6)]

дх^ dxN

dqidqt ’

го

mNxsmNxsдх^ dq.дх^ dq.дТdqt ’дТdqt ’(16)(16)

mNxs

mNxs

дх^ dq.

дх^ dq.

дТ

dqt ’

дТ

dqt ’

(16)

(16)

где T есть кинетическая энергия системы.

Подставляя выражения (15) и (16) в уравнение (14), получим п

Так как вариации bq независимы, то из уравнения (17) имеем

=(£=1-2/г).(18)

Уравнения (18) представляют собой уравнения Лагранжа 2-го рода для удара и выражают то обстоятельство, что за время удара конечные приращения обобщенных импульсов равны соответствующим обобщенным ударным импульсам.

Заметим, что уравнения (18), как и все полученные ранее уравнения рассматриваемой теории удара, являются алгебраическими, а не дифференциальными. Составляются они, как обычные уравнения Лагранжа; при этом обобщенные ударные импульсы Pt можно находить так же, как и обобщенные силы Qt, т. е. вычисляя элементарную «работу»-ударных импульсов на виртуальных перемещениях системы и определяя в полученном выражении коэффициенты при вариациях соответствующих обобщенных координат.

Простой пример такого расчета дан ниже в § 30, п. 2.

§ 30. Теория удара твердых тел

Изменение при ударе угловой скорости твердого тела, имеющего неподвижную точку. Пусть имеем твердое тело, одна точка О которого закреплена неподвижно. Примем точку О за начало осей координат, которые направим вдоль главных осей инерции тела и воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы в форме (4) § 29. Тогда, используя формулы для проекций кинетического момента Go на главные оси инерции тела относительно центра О [см. § 15, п. 1, формулы (3)], получим из равенства (4) § 29 следующие уравнения:

A (Pi — Ро) = 2 “х Sw

(1)(1)В (?1 — ^о) = 2 momy S",V

(1)

(1)

С 01 — 'о) = 2 П10Шг Sv,V

где А, В, С суть главные моменты инерции; рх, qx, гх и р0, q0, г0 — проекции мгновенной угловой скорости <в в конце и в начале удара; в правых частях уравнений (1) стоят моменты относительно осей координат ударных импульсов активных сил, действующих на

твердое тело. В эти уравнения не входят моменты импульсов ударных реакций, ибо эти ударные импульсы приложены к началу координат, а потому их моменты относительно осей обращаются в нули,

Измеиеиие при ударе угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Если твердое тело имеет неподвижную ось, которую примем, например, за ось z, и угловая скорость его вращения в начале удара есть ю0, а в конце удара ©р то из равенства (1) получим

Л (<° 1 — «о) = 2 mom2 S^,(2)

где Jz есть момент инерции твердого тела относительно оси вращения, а справа стоит сумма моментов ударных импульсов активных сил относительно той же оси. Моменты ударных импульсов реакций оси в равенство (2) не входят, так как эти моменты равны нулю. Покажем, как этот же результат можно получить с помощью уравнений Лагранжа (18) § 29. Связи, наложенные на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, при ударе сохраняются, следовательно, указанные уравнения здесь применимы. Тело имеет одну степень свободы и за обобщенную координату можно принять угол поворота ф. Тогда уравнение Лагранжа имеет вид

^ = PV ^>

Оф *

Вычисляя величину Т и ее производную, получим

-V- = Л<Р = ^ A®о)-

2ОфОф

Далее, вычисляя элементарную «работу» приложенных импульсов S", будем иметь

bAs = Г 2 momz S°1 бф, откуда Р^ = 2 mom2 S^.L vJV

Подставляя все найденные величины в равенство (3), придем к уравнению (2).

Действие удара на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара. Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси, которую примем за ось z прямоугольной системы Oxyz, связанной с телом. Положение начала и двух других осей оставим пока произвольным. Если на это твердое тело подействовал ударный импульс активных сил S, то он вызовет ударные импульсы реакций, проходящих через ось. Так как этот случай движения можно рассматривать как движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки А и В, то ударные импульсы реакций оси можно свести к двум импульсам SA и SB, приложенным в точках А и В, лежащих на оси (рис. 93). Воспользуемся теоре-

движения и кинетическогодвижения и кинетическогохс Ус ^с) — радиус-векторхс Ус ^с) — радиус-вектор(6)(6)

движения и кинетического

движения и кинетического

хс Ус ^с) — радиус-вектор

хс Ус ^с) — радиус-вектор

(6)

(6)

мами об изменении количества движения и кинетического момента, выведенными в § 29, nil. 1 и 2. Обозначим проекции ударных импульсов реакций SA и SB через SAx, SAy, SAz> SBx, SBy, SBz, а приращение угловой скорости тела за время удара обозначим через Асо.

Теоремы об изменении количества момента дадут уравнения

A<? = S + Sa + Sb,(4)

ДО = momo S + momo SA + momo SB.

(5)

Так как т = <вХ^. то

ДО = А 2 ^v®v = д 2 («Ч® X rv) = VV

= А X 2 т^гА \ v /

— А (со X Mrc) = Аю X Мгс =

t з &

=00До

Мхс Мус Mzc Здесь М есть масса тела, а гс ( центра масс С; равенство Д(о»Х А1гс) = Ас» X Мгс следует из того, что при ударе величина АЛ4гс бесконечно мала и ею можно пренебречь (см. § 28, п. 2).

Так как G = to(J), то конечное приращение кинетического момента равно AG = Аб>(/). Тогда из формул (1) § 15, п. 1, учитывая, что в данном случае р = д = 0, г = со, следует:

AG Р = &pJrr— ДоЛу — \rJ„ =— Асо

Ле■ Ле «АС Ле УЛе АЛ Д'

АОу = — ДрУух + kqJyy — ДгУуг = — Део Ууг,ДО = — ДpJzx — А^У v —|— ДгJz = —}- Д(о J,,.

Ал 6*• Ду •ДАIДА

Тогда, проектируя обе части уравнений (4) и (5) на оси координат,

получим:

^Qx = — А® ^Ус = ^х + $Ах + SBx. AQy =Н~ Асо Мхс = Sy -|- 5Лу -f-SBy, AQ^ 0 =S. + SAz + SBz,

AOZ = — AcoJJt.2==momxS + momx 5А + тот^.5в, АОу = — Асо Jvz = тоту S -|- тоту SA + тоту $в, k.Gz = + Асо Jzz = тотг S.

Из уравнений (6) и (7) можно определить Да, SAx, SBx, SAy, SBy и сумму SAz + SBz.

Найдем условия, при которых ударные импульсы реакций не возникают или, иначе говоря, удар не передается на ось. Для этого в уравнениях (6) и (7) надо положить

^ах — SAy — SAz — SBx — SBy — SBz — 0.

(8)(9)(8)(9)Тогда уравнения (6) и (7) перейдут в следующие: — До Мус =-Sx, Да Alxc = Sy, -

(8)

(9)

(8)

(9)

0 = Sz;

— Да/Хг== momxS,— До Jyz = monij S, ■^Jzz ~ mom^S.

Третье из уравнений (8) показывает, что приложенный ударный импульс S должен быть перпендикулярен к оси вращения Oz.

вижной системы, выберем начало в такой точке оси z, чтобы коорвижной системы, выберем начало в такой точке оси z, чтобы коорПользуясь произволом в выборе начала и остальных осей под

вижной системы, выберем начало в такой точке оси z, чтобы коор

вижной системы, выберем начало в такой точке оси z, чтобы коор

динатная плоскость Оху прошла через импульс S, а ось х направим

параллельно S (рис. 94). Тогда Sy = 0. Обозначим координату точки пересечения линии действия импульса S с осью у через г]; тогда уравнения (8) и (9) примут вид

— Да /Иус = Sx,Да Мхс = 0,

(Ю)(Ю)0 = S2,— Да Jxz = 0,— Да Jyz — 0,ktoJ2z = —t]S^.

(Ю)

(Ю)

(в последнем уравнении знак минус стоит потому, что при положительной проекции Sx импульс S вращает тело по ходу часовой стрелки, т. е. при принятом правом направлении вращения изменение Да в данном случае будет отрицательно).

Из второго уравнения системы (10) следует, что центр масс С тела должен находиться в выбранной плоскости O^z. Следовательно, приложенный ударный импульс S должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс те а. Условия Jxz = Jyz — 0 показывают, что ось вращения z должна быть главной осью инерции твердого тела для точки О.

Первое из уравнений (10) дает зависимость между проекцией ударного импульса активных сил 5 на ось х и приращением угловой скорости, а именно

Sx = — Д(оЛ1ус.

Подставляя выражение Sx в последнее из уравнений (10), получим т] Д®Л1ус = Д® Jzz.

Отсюда имеем расстояние линии действия ударного импульса от оси вращения:

(И)

1 Мус4 '

Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то для того, чтобы ударный импульс, подействовавший на тело, не передавался на ось вращения, необходимо выполнение следующих условий:

Ось вращения должна быть главной осью инерции тела для одной из своих точек О (главная точка).

Приложенный ударный импульс (произвольный по величине) должен лежать в плоскости, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через главную точку О.

Ударный импульс должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения.

Точка пересечения Р линии действия ударного импульса с этой (упомянутой в условии 3) плоскостью должна находиться с той же стороны от оси вращения, что и центр масс С, и отстоять от оси вращения на расстоянии ту, которое определяется формулой (11). Определенная таким образом точка Р называется центром удара относительно оси z.

Формула (11) имеет такой же вид, как и формула для приведенной длины физического маятника, который получится, если ось вращения z сделать горизонтальной. Отсюда следует, что центр удара может быть найден построением Гюйгенса для нахождения оси качания. В самом деле, обозначим через Jc момент инерции тела относительно оси, параллельной z и проходящей через центр масс С; тогда по теореме Гюйгенса

JZZ = JC+M^C=MPC+M^C,

где 1С есть радиус инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и мы получим

Jzz + МУс *С |.

Л — Мус — Мус “ Ус отсюда

(1 — Ус) Ус = 'с,

21 Н. Н. Бухгольц

и построение можно выполнить, основываясь на свойстве высоты в прямоугольном треугольнике (рис.'95). Определив для осн z главную точку О, проводим в плоскости, проходящей через центр масс С, ось у, перпендикулярную к оси z. Через С проводим ось Cz', параллельную z, и от точки D пересечения Cz' с осью у отклады

ваем отрезок DK = 1С,ваем отрезок DK = 1С,т. е. равный радиусу инерции тела относительно оси Cz'. Соединяем точку О с К и проводим в точке К прямую КР J_ ОК до пересечения с осью у в точке Р, которая и будет центром удара тела относительно оси z.

ваем отрезок DK = 1С,

ваем отрезок DK = 1С,

В частном случае, если центр масс находится на оси вращения, т. е. хс = = ус = 0, формула (11) дает т]—оо, т. е. центра удара нет на конечном расстоянии от оси; поэтому все удары, действующие на тело, будут передаваться на ось вращения. Так как в этом случае левые части уравнений (6) обращаются

в нуль, то ударный импульс S вызовет

равный и противоположный ему суммарный импульс реакций 5д-4-5в, т. е. удар полностью передается на ось. Это имеет место для уравновешенных вращающихся деталей машин. Все удары пере-

Рис. 96.Рис. 96.даются полностью на опоры и действуют на них разрушительно.

Рис. 96.

Рис. 96.

Прямой центральный удар двух тел (удар шаров). Рассмотрим удар двух движущихся поступательно твердых тел при следующих условиях (рис. 96): а) центры масс Сг и С^ тел лежат на общей нормали п к поверхностям тел в точке удара (такой удар называется

центральным; в частности, центральным всегда будет удар двух любых шаров); б) скорости центров масс тел в начале удара напра

влены параллельно общей нормали к поверхностям тел в точке удара (такой удар называется прямым).

Выберем на нормали Схп положительное направление от Сх к С2 и обозначим через ц1 и у2 проекции на нормаль п скоростей центров масс тел в начале удара, а через у', у'— проекции тех же скоростей в конце удара. Массы тел пусть будут Мх и Л12, а коэффициент восстановления Л. Зная Мр М2, Уц у2 и ^. найдем у', -и2 и действующий на тела при ударе ударный импульс S.

Если рассматривать оба тела как одну механическую систему, то поскольку внешние ударные импульсы на эту систему не действуют,

количество движения- в конце удара должно равняться количеству движения в начале удара. Отсюда имеем

Л4.у' + 2И9у9 = Л4.У. + ALv9.(12)

а а 1* *А аД Д* *

Второе уравнение дает выражение для коэффициента восстановления, который будет равен модулю отношения разностей скоростей тел в конце и в начале удара, т. е.

| yi — уа|I У1 — У2 || yi — уа|I У1 — У2 |у1 — у2V, — v2 •у1 — у2V, — v2 •(13)(13)

| yi — уа|I У1 — У2 |

| yi — уа|I У1 — У2 |

у1 — у2

V, — v2 •

у1 — у2

V, — v2 •

(13)

(13)

Последний результат следует из того, что до удара должно быть yi > ^2 (иначе удар не произойдет), а после удара будет у2 ^ ^ в силу непроницаемости тел.

Решая систему уравнений (12), (13), найдем искомые скорости в конце удара у, и у'.

Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, можно найти, составив для одного из тел, например для первого, уравнение (2) § 29 в проекции на нормаль п. Получим, учитывая закон равенства действия и противодействия,

Sj =(у^ — yj и S2 = — SP(14)

где Sj и S2— проекции импульсов на нормаль п.

Рассмотрим два частных случая:

Абсолютно неупругий удар (£ = 0). В этом случае из уравнений (12), (13), (14) находим

(15)(15)— ^ + ^*2м, 4- Л12о с ^2^i+X

(15)

(15)

Тела после удара движутся в этом случае с одной и той же скоростью у'.

Абсолютно упругий удар (6=1). В этом случае уравнения (12), (13), (14) дают

/wlVln /X

(16)(16),, 2ЛГ, ,.

(16)

(16)

^ = "2 + ^7^^ (^1-^2).

S2 = — 5 =(у1 —

21 Afi Af2 х 127

Интересно отметить, что при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

В частном случае, когда Л11 = Л12, из уравнений (16) находим у, = у2, у2 = ур т. е. тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

При решении этой задачи, как и предыдущих, мы не исследовали деформаций, возникающих в месте удара тел, а упругие свойства тел при ударе характеризовали одним эмпирическим коэффициентом А, что существенно упрощает все исследование.

Рассмотрение удара твердых тел с учетом их деформаций оказывается задачей гораздо более сложной. Решение ее для случая соударения двух упругих тел дано Г. Герцем.

Примеры. 1). Баллистический маятник. Для определения скорости пули или артиллерийского снаряда можно пользоваться баллистическим маятником (Robin, 1742 г.), который представляет собой подвешенный на горизонтальной оси ящик, наполненный мягким, но вязким веществом (например, песком или глиной), погло- щающим энергию попадающего в него снаряда ^(рис. 97). Пусть снаряд с массой т летит со

-'>хчскоростью v и попадает в точку Я, после чего

\ маятник вследствие удара отклоняется на угол а.

\ Если рассматривать снаряд и маятник как одну ^\</ механическую систему, то действующими на иее

Рис. 97.Рис. 97.внешними ударными импульсами будут только ударные реакции оси О, момент которых относительно этой оси равен нулю. Следовательно, кинетический момент системы относительно той же оси за время удара не изменяется, т. е.

Рис. 97.

Рис. 97.

тиа = (Jo -}- ma2) в,(а)

где с» есть угловая скорость маятника в конце удара, а 70 — момент инерции маятника относительно оси О. Из уравнения (а) имеем

<о.<о.(б)(б)Л 4- ma2

<о.

<о.

(б)

(б)

У _ —Ц_! та

Для определения а воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Обозначив массу маятника через М и расстояние его центра тяжести до оси О через /, получим

-^ Ue 4" z”02)0,2 = 8 ^1 + та) (1 — cos «); (в)

из уравнения (в) по углу отклонения маятника а определяем а, а затем из уравнения (б) находим скорость и.

2) Внезапное закрепление. Неизменяемая материальная плоская фигура движется в своей плоскости; скорость центра масс С равна т; угловая скорость вращения относительно центра масс равна в. Внезапно закрепляем точку Д плоской фигуры; найти угловую скорость фигуры и импульсивную реакцию в точке А (рис. 98).

Возьмем начало координат в точке А и оси координат направим так, что ось аг будет параллельна скорости г>. Пусть после удара (т. е. после

закрепления точки Д') угловая скорость фигуры будет ti>t; тогда

/с(№1-а)=тотс8д = -л8Ду+у8д^,(а)

где 8Д есть импульсивная реакция в точке А, а х, у — координаты точки С. Ударный импульс 8Д определим из того соображения, что sa = &q,

где Q есть количество движения фигуры, равное, как известно, количествудвижения центра масс, в котором сосредоточена масса всей системы, т. е.AQ = М д®с.

Так как после удара ®с = ш X Я^. а Д° удара тс = я, то

Д®с = o>t X АС — я; отсюда

5д,= М(-у<»1-У), 5Ду = Л1^г

Подставляя эти выражения в уравнение (а), получим J-, (е>1 — а) = — ЛГа^ (х2 + У2) — Миу, откуда

J л» — Миу— М у у

/с4-л1(^ + у=) ja

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ

§ 31. Измерение и размерность механических величин

Измерение. Результат сравнения какой-либо величины с другой, ей однородной и принятой за единицу сравнения, выраженный числом, называется измерением этой величины; величина, принятая за единицу сравнения, называется единицей меры, а число, получившееся от измерения, — численным значением измеренной величины. Обозначая измеряемую величину символом Q, единицу меры — через q и численное значение величины Q через х, имеем

Q — v.qQ — v.qQ или X = — q

Q — v.q

Q — v.q

Таким образом, численное значение какой-либо величины есть отвлеченное число, выражающее отношение этой величины к выбранной единице меры. Если за единицу меры взять другую величину q', причем q' — nq, то численное значение величины Q станет, очевидно, иным и равным

q' ‘

и х связаны соотношениеми х связаны соотношением(1)(1)При этом, как легко видеть, величины х'

и х связаны соотношением

и х связаны соотношением

(1)

(1)

, XX =.п

равно прежнему, разделен- единицы меры к прежней.равно прежнему, разделен- единицы меры к прежней.Следовательно, новое численное значение ному на число, равное отношению новой

равно прежнему, разделен- единицы меры к прежней.

равно прежнему, разделен- единицы меры к прежней.

Единицы меры. Для каждой физической величины за единицу меры может быть принята любая однородная ей величина, но ввиду того, что между различными физическими величинами существуют соотношения, устанавливаемые физическими законами или самим определением этих величин, достаточно установить единицы меры только для таких величин, которые являются между собой независимыми, т. е. не связаны между собой каким-либо соотношением; тогда

§ 311

единицы меры для остальных величин определятся через единицы меры этих независимых величин, которые называются основными единицами. Действительно, пусть какая-либо величина X зависит от других величин Q, R, S, ...; тогда она будет пропорциональна произведению различных степеней этих величин1), т. е.

X = kCfR^ ....(2)

где к — коэффициент пропорциональности. Но так как Q = nq, R = рг, S = os, где х, р, о, . . . суть численные значения, q, г, s, .. . — единицы меры для величин Q, R, S, . . ., то

X = (xapPoY . . .) kqur^sv . . .(3)

Полагая к— 1, получим, что численное значение величины X, т. е. £, будет с— xap@oY .. ., а единица меры для X, т. е. х, определится равенством

х = qar^sv . ..(4)

и будет, следовательно, выражаться через единицы меры для величин Q, R, SВ более общем случае зависимость X от Q, R, S, . .. может быть выражена в виде многочлена, представляющего собой сумму членов типа (2), причем, очевидно, единица меры каждого члена должна быть та же, что и для величины X, т. е. этот многочлен должен быть однородным относительно основных единиц.

Механические величины. В механике встречаются величины трех видов: геометрические, кинематические и динамические (или кинетические).

Геометрической величиной называется величина, пропорциональная произведению нескольких длин, т. е. величина вида

Qi kL^ . .. Ln.(5)

Если за единицу длины выбрать длину I, то будет

L^ = XjZ, L^ = X^l, .. ., Ln = Xnl;

тогда, полагая &=1, получим

Q^X^ Х„1\(6)

Отсюда видно, что единицей меры для величины Qj будет

41 = 1".(7)

Таким образом, для геометрических величин основной единицей является единица длины /, все же остальные выражаются через / и

>) Справедливость этого утверждения можно доказать, исходя из того физического условия, что отношение любых двух численных значений дайной производной величины не должно зависеть от выбора основных единиц меры.

имеют вид /", т. е. будут производными единицами; следовательно, установив единицу длины, мы тем самым устанавливаем единицы для всех геометрических величин. Тот факт, что единица меры для величины Qj определяется через единицу меры основной величины L (длины) формулой (7), выражается, согласно обозначению, введенному Максвеллом, символом

[Qil = £n.(8)

Выражение в правой части (8) называется размерностью величины Qb а самая формула (8) — формулой размерности1). Формулы размерности для геометрических величин будут иметь вид:

[площадь] = L\

[объем] = Z,3,

[статический момент длины] = L?,

[статический момент площади] = L3,

[статический момент объема] = L4,

[момент инерции длины] — /,3, [момент, инерции площади] = Z,4, [момент инерции объема]= L5.

Кинематической величиной называется величина, которая зависит, кроме геометрических величин, еще от времени, т. е. имеет вид

Q2 = kLaT%.(9)

где к есть коэффициент пропорциональности, L—длина, Т— время, а и р — действительные (в задачах механики обычно целые) числа; в частном случае а может равняться нулю. Полагая, по предыдущему, к—\, L = U, Т=т1, где / и / суть выбранные единицы длины и времени, и принимая во внимание, что в классической механике длина и время считаются между собой независимыми, мы можем принять единицы / и / за основные и получим для кинематической величины выражение

Q^VtW;(10)

следовательно, для кинематической величины единицей меры будет q^ = lat^, а формула размерности имеет вид

(11)

■) В формулах размерности принято символ производной (вторичной) величины заключать в квадратные скобки, а для основных величин скобок не ставить, полагая [Л] = L.

§ 31] в частности

[скорость] = LT~\[ускорение] — LT~2,[угловая скорость] = Т~\[угловое ускорение] = Т~2,[момент скорости или секторная скорость] = 1?Т~\[момент ускорения или секторное ускорение] = 1?Т~2.

Если механическая величина помимо геометрических и кинематических величин зависит от массы, то она носит название динамической (или кинетической) и имеет вид

Qa=kLaT^M\(12)

где k есть коэффициент пропорциональности, L— длина, Т — время, Л4— масса, а, 0, у — действительные числа, причем в частном случае а и 0 могут равняться нулю. Полагая, как и раньше, &=1, L = Xl, T — xt, M = pm, где Z, t, m суть выбранные единицы длины, времени и массы, и принимая во внимание, что в классической механике между длиной, временем и массой не существует никаких зависимостей (как, например, это имеет место в релятивной механике), мы можем принять единицы I, t, m за основные; тогда динамическая величина Q3 примет вид

(13)

Таким образом, для всех динамических величин единицы меры выразятся в основных единицах I, t, m в виде q^-fL^m2, а общая формула размерности для этих величин будет

[Q3] = LaT»MV(14)

Если, в частности, у = 0, то величина Q3 будет кинематической, а если у = 0 и 0—0, то геометрической; если же а = 0 —у = 0, то величина Q3 называется безразмерной или отвлеченной.

Формулы размерности для различных динамических (кинетических) величин выразятся следующим образом:

[сила] — MLT-2,

[момент силы] = Ml}"?-2,[работа, энергия] = МСт-2,[мощность] = М1?Т~\[количество движения, импульс] = Л4ТТ-1,[момент количества движения] = ML2! \[действие по Гамильтону и Лагранжу] = ML2T-1,[принуждение по Гауссу, 3®*! — Ml?T~i,[момент инерции] = ML2,[плотность] = ML-3.

Переход от одних единиц меры к другим для одной и той же системы. Из формулы (13) следует, что если за основные единицы меры принять какие-либо единицы длины, времени и массы I, t, т, то единица меры любой механической величины Q будет иметь вид

а сама величина представится в виде

(15)(15)Q = ^m\

(15)

(15)

где х будет численным значением величины Q.

Совокупность величин, единицы которых принимаются за основные, называется системой основных единиц; сами же единицы основных величин могут быть выбраны произвольно. Пусть какая-нибудь механическая величина Q выражается в некоторых единицах системы (Z, t, т) формулой (15); возьмем другие единицы той же системы:

Г = — ntГ = — nt,t t , тt = —, т = —;ntпт,t t , тt = —, т = —;ntпт(16)(16)

Г = — nt

Г = — nt

,t t , тt = —, т = —;

ntпт

,t t , тt = —, т = —;

ntпт

(16)

(16)

тогда, подставляя в формулу (15) выражения I, т, t в новых единицах из (16), получим выражение Q в единицах V, V, т', а именно

Q = х /г“ /гР rav Va t^m'\(17)

таким образом, численное значение величины Q в единицах (Z', t', т') будет

х' = х я“ «Р цт.

Число »“»f«^> на которое нужно умножить численное значение какой-либо величины, выраженной в некоторых основных единицах, для того чтобы получить численное значение той же величины, выраженной в других единицах той же системы, называется коэффициентом перехода.

Теорема однородности. Пусть какая-нибудь механическая величина Q зависит от ряда других величин Rv R2, Rv ..., которые выражены в единицах системы (Z, /, т1); тогда эта величина Q будет зависеть от некоторого числа длин Ц, Ц, L3времен Тр Г2, Т3, ... и масс Mv М2, М3причем

Lt = Xtl (Z=l, 2а);Гу = т/ (/=1,2р);

Al^p^m (А = 1, 2у),

где X,, Ту, p.ft суть численные значения этих величин. Численное значение х величины Q будет функцией Хр Х2, Х3, ..., ть т2, т3, . ... Нр Иг. Нзт. е.

х = /(Хь Х2, ...; Тр т2, ...; Цр ц2, • • •)•(18)

§ 31] измерение и размерность механических величин 311 Возьмем вместо единиц меры (I, t, т) другие единицы той же системы (/', t', т’), причем

I = —, t = —, nt = —;

тогда при новых единицах (/', t', т') будем иметь

Х; = »Л’ ^^r ^ = VA(19)

И

и^^п^п^я.(20)

Поскольку уравнение (18) должно иметь место при любых единицах меры (конечно, в пределах одной и той же системы) или, другими словами, уравнение (18) должно быть ковариантно при переходе от одних единиц меры к другим, то в единицах V, f, т'

X = У ^р ^2* * ' *’ ^р ^2* ■ • ■’ Ир 1^2* " ■ ■)•(21)

или, принимая во внимание (19) и (20), n^n^-t^K- п?-- • • -; Vp nt4- • • ••> «Л v2- • • -); (22>

Так как равенство (22) имеет место при каких угодно П;, п(, пт, то оно должно быть однородно относительно Хь Ту и цл, т. е. всякое уравнение механики должно обладать тройной однородностью относительно численных значений основных величин данной системы; в этом и состоит теорема об однородности.

Системы основных единиц. До сих пор мы принимали за основные единицы системы единицы длины, времени и массы; такую систему единиц называют абсолютной. Термин «абсолютный» в данном случае имеет историческое значение и отражает собой то обстоятельство, что в конце 18-го столетия (во время Конвента) французские физики стремились для этих величин установить такую систему мер, которая была бы независима от всякого рода случайных причин, влияющих на изменение эталонов. Но, как известно, такая попытка оказалась неудачной, и в настоящее время «абсолютными» единицами длины и массы называются те, которые определяются соответствующими эталонами этих мер, хранящимися в Международной Палате мер и весов в Севре (Франция).

Абсолютная система основных единиц впервые была предложена Гауссом; основными единицами меры для этой системы были приняты: для длины—1 см, для времени — 1 сек и для массы — 1 г (масса). Такая абсолютная система носит название CGS (т. е. сантиметр — грамм — секунда). В системе CGS единица силы будет производной единицей, а именно 1 дина= 1 см сек-2 г (см. ч. I, § 14, п. 3). В настоящее время принята другая аналогичная система основных

единиц — система СИ, в которой единицами являются для длины — 1 м, для времени — 1 сек и для массы — 1 кг (масса). Единицей силы в этой системе является сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение в 1 м/сек2-, такая единица называется 1 ньютон (1 «=1 кгм/сек2).

Кроме абсолютной можно построить различные другие системы основных единиц, выбирая в качестве основных единиц единицы меры для трех каких-либо независимых между собой механических величин. Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три механические величины Qp Q2, Q3 были между собой независимы. Пусть размерности этих величин в абсолютной системе будут

(23)(23)(QJ = [М^ЛГ'1,[Q2] = L^T^M'’1,[Q3] = /.а,ТРзЛГ3.

(23)

(23)

Тогда единицы меры qx, q^, qa для этих величин выразятся через I, t, tn

в виде

(24)(24)qx = n,x^m,x. ' q^ = n^t^nt11, qa = Пз^’т^,

(24)

(24)

где пх, п2, па— численные коэффициенты, которые соответствующим выбором qx, q^, qa можно всегда сделать равными единице. Если величины Qj, Q2, Qa, а следовательно, и единицы их измерения qx, q2, qa между собой независимы, то из уравнений системы (24) можно определить I, t, т как функции qx, q2, qa\ для этого нужно, чтобы соответствующий определитель Якоби был отличен от нуля, т. е. чтобы

д (91, Чъ Чз)д (I, t, m)д (91, Чъ Чз)д (I, t, m)«!/"'" VP'/nYl, а/2-1/1^2, a^'W,«!/"'" VP'/nYl, а/2-1/1^2, a^'W,YiZ"'^--1YiZ^m72-1YaZ^'W3-1YiZ"'^--1YiZ^m72-1YaZ^'W3-1¥= 0.¥= 0.

д (91, Чъ Чз)д (I, t, m)

д (91, Чъ Чз)д (I, t, m)

«!/"'" VP'/nYl, а/2-1/1^2, a^'W,

«!/"'" VP'/nYl, а/2-1/1^2, a^'W,

YiZ"'^--1

YiZ^m72-1

YaZ^'W3-1

YiZ"'^--1

YiZ^m72-1

YaZ^'W3-1

¥= 0.

¥= 0.

Умножая столбцы определителя последовательно на Z, t, т, т. е.Умножая столбцы определителя последовательно на Z, t, т, т. е.весь определитель на Um, и деля строки определителя последовательно на [“Ч^т21, Рч^т^2, ^Ч^т^3, т. е. весь определитель на ^а.+аз+аз^+Рз+р, ^i+v^+vs, П0ЛуЧИМ уСЛ0Вие независимости величин Qpвесь определитель на Um, и деля строки определителя последовательно на [“Ч^т21, Рч^т^2, ^Ч^т^3, т. е. весь определитель на ^а.+аз+аз^+Рз+р, ^i+v^+vs, П0ЛуЧИМ уСЛ0Вие независимости величин QpQ2, Qa в видеQ2, Qa в виде«1 Pi«2 Рз«3 Рз«1 Pi«2 Рз«3 Рз71727з71727з+ о.+ о.(25)(25)

Умножая столбцы определителя последовательно на Z, t, т, т. е.

Умножая столбцы определителя последовательно на Z, t, т, т. е.

весь определитель на Um, и деля строки определителя последовательно на [“Ч^т21, Рч^т^2, ^Ч^т^3, т. е. весь определитель на ^а.+аз+аз^+Рз+р, ^i+v^+vs, П0ЛуЧИМ уСЛ0Вие независимости величин Qp

весь определитель на Um, и деля строки определителя последовательно на [“Ч^т21, Рч^т^2, ^Ч^т^3, т. е. весь определитель на ^а.+аз+аз^+Рз+р, ^i+v^+vs, П0ЛуЧИМ уСЛ0Вие независимости величин Qp

Q2, Qa в виде

Q2, Qa в виде

«1 Pi

«2 Рз

«3 Рз

«1 Pi

«2 Рз

«3 Рз

71

72

7з

71

72

7з

+ о.

+ о.

(25)

(25)

Итак, для того чтобы три механические величины Qp Q2 и Qa были между собой независимы, необходимо и достаточно, чтобы

определитель, составленный из показателей размерности этих величин, был отличен от нуля (причем размерность может считаться относительно любой системы основных единиц).

7. Переход от одной системы основных единиц к другой. Пусть в системе основных единиц I, t, т единицей меры какой-либо величины R является

r = latbmc.

(26)

Чтобы найти единицу меры (или размерность) той же величины R в каких-то других основных единицах qv q^, qa, нужно из уравнений системы (24) выразить единицы I, t, т в новых основных единицах qv q2, q^ и подставить эти значения в равенство (26).

Допустим, что, разрешая систему (24), мы получаем

t^ ^W^X'-

t = v2 q^ q^ q^,

m = v3 q^q^ql*.

Подставляя эти значения в (26), найдем.

чины R в новой системе основных единиц будет

что единицей меры вели

f ' у g^l+Ь^+С^е ^ЧТ)! +6Л2 + СВз ^Ч£| + 6£2 + т£зе

(27)

При этом надлежащим выбором единиц можно всегда сделать v=l.

В качестве примера возьмем за систему основных единиц единицы длины, времени и силы, т. е. I, t, /. Выражения этих новых основных единиц через единицы I, t, m будут

I = lt°m°.t = l?t:n\f = lt~2m

(28)

Такая система употребляется столь же часто, как и абсолютная, и называется технической или практической (см. ч. I, § 14, п. 3). Основные единицы этой системы независимы, так как

1

О

1

О О

1 о

2 1

= 10.

Разрешая уравнения (28) относительно I, t, т, получаем для перехода от абсолютной системы к технической соотношения

1 = 1, t = t. т = ft'l 1

(29)

Таким образом, например, если единицей меры энергии Е в абсолютной системе I, t, m является

e = lV2m,(30)

то в технической системе I, t, f этой единицей будет

е =12Г2/?ГХ = 1Ь(31)

Рассмотрим теперь другой пример. Возьмем за основные единицы единицы скорости, ускорения и силы -и, то, f. Выражения этих единиц через единицы I, t, т имеют вид

(32)(32)v = It V, то = lt~2m°, f = lt 2т.

(32)

(32)

Так как

1 — 10

=^0.=^0.1 — 20

=^0.

=^0.

1 — 21

в видеt——,т = — .(33)дада4значения в равенство (30), найдем, что в системе у, то, f будетв видеt——,т = — .(33)дада4значения в равенство (30), найдем, что в системе у, то, f будетто эти величины независимы, а следовательно, такая система основных единиц возможна. Формулы перехода от единиц измерения в абсолютной системе к единицам измерения в системе у, то, f найдутся из уравнений (32)

в виде

t——,т = — .(33)

дада4

значения в равенство (30), найдем, что в системе у, то, f будет

в виде

t——,т = — .(33)

дада4

значения в равенство (30), найдем, что в системе у, то, f будет

Подставляя, например, эти единицей измерения энергии

Метод нулевых размерностей. Метод нулевых размерностей основан на теореме однородности (п. 5) и может с большим успехом применяться для определения характера зависимости какой-лцбо физической величины от других величин, ее обусловливающих. Посредством этого метода можно частично, а в некоторых случаях и вполне, установить закон, дающий связь между величинами с точностью до безразмерного (отвлеченного) коэффициента, который может быть определен или теоретически, или экспериментальным путем.

Пусть некоторая величина Q зависит от ряда других величин Qb Q2, .... Q„ и некоторых безразмерных величин хь х2, ..., и пусть единицы меры для этих величин будут соответственно q и qb q^, ..., qn\ тогда единица меры q будет зависеть от qv q^qn и х^ х2 т. е.

q = f(qi. q^. q^ •q™. «р x2. ...).(34)

Выберем из величин qv q^, . .., qn три какие-либо независимые между собой величины, удовлетворяющие условию (25), напри-

мер qx, q^, qa, и примем их за основные единицы новой системы; тогда остальные величины q, q4, q5, . . ., qn будут производными в этой новой системе единиц и выразятся через основные единицы qv q2, q3. Пусть размерность величины Q в новой системе будет

{Q}=Q? Q^ Ql.

Принимая во внимание, что уравнение (34) должно обладать тройной однородностью относительно qv q2, q^ (п. 5) и заменяя в (34) qx, q2qn отношениями этих величин к их единицам меры в новой системе qx, q2, qa, будем иметь

q=qxq62qlF^. i. i. q3. qv q»- xP ^. • •■>(35)

где qx обозначает безразмерную величину, равную отношению q{ к ее единице меры, выраженной через qx, q2; q3, причем, очевидно, qi — q^ — qa — 1»

Таким путем, величина q (или Q) может быть представлена в виде произведения некоторых степеней величин qx, q2, qa (или Qp Q2, Q3) на безразмерный коэффициент F, зависящий от безразмерных аргументов, благодаря чему структура данной величины становится более определенной.

Этот метод точно так же применяется и в том случае, когда в ряде величин qx. q2, ..., qn имеются только две, между собой независимые, или даже одна, которые можно выбрать за основные и через них выразить все остальные.

Примеры. 1) Математический маятник. Период колебания математического маятника может зависеть только от его длины I, массы т, ускорения силы тяжести g и начального угла отклонения ф0, т. е.

Ttt = /(l, т, g, <р0).

Здесь <р0 — величина безразмерная, а размерности остальных величин в абсолютной системе L, Т, М будут

[/] = £,№ = М. [g]~LT~2.

Эти величины, как легко видеть, удовлетворяют условию (25) и, следовательно, между собой независимы. Возьмем за основные единицы новой системы /, т, g. Так как размерность ТИ в системе L, Т, М есть

1ТМ] = Т,

то в системе I, m, g размерность Тн будет

^=i2g

следовательно,

Тн = F<x' !> Фо) или Т'м = ^ (Фо) 1/-

где Д(ф0) есть безразмерный коэффициент, который зависит от ф0 и, как известно (см. ч. I, § 38, п. 5), равен ^К. Для малых колебаний, учитывая из соображений симметрии, что F (—ф0) = Д(ф0), т. е. что Д(ф0) — функция четная и считая ее при этом регулярной, можно положить

(ф0) — а + РФо + УФо 4*

Пренебрегая здесь членами с ср* и выше, получим F (ф0) » а = const; как известно, из решения соответствующей задачи а=2л.

Движение вязкой жидкости в трубе круглого сечения. При движении вязкой жидкости в ней возникают силы «внутреннего трения», т. е. силы, противодействующие относительному перемещению смежных слоев. Если взять в жидкости два соседних слоя, то эта сила, отнесенная к единице площади, будет, как показывает опыт, пропорциональна разности do скоростей частиц жидкости в соседних слоях, отнесенной к расстоянию da между слоями, т. е.

Коэффициент пропорциональности р., зависящий от природы и состояния жидкости, называется коэффициентом вязкости. Размерность р в абсолютной системе LTM определится из уравнения

£-1Т"2Л1 = [р]^р-( откуда

[р] = /.-,Г'1Л1.

Для жидкости, текущей по горизонтальной трубе круглого сечения, величина давления р в каком-нибудь сечении трубы зависит от диаметра трубы D, средней скорости V, плотности жидкости р и коэффициента вязкости р, т. е.

P = RD. V, р, р).

Размерности этих величин в абсолютной системе LTM будут

[О] = Д [У] = А7-’, [p] = Z.-3M, Yp^U^T^M.

Выберем за основные единицы величины D, V, р, которые, как легко видеть, между собой независимы, так как удовлетворяют условию (25). Размерности р и р в системе (D, V, р) будут (p}-W{p)=pV2,

поэтому

р=р^(1.1.1,^).

Г есть безразмерный коэффициент, зависящий от безразмерной (отвлеченной) величины

ц 1

~DVp—~R-

Отвлеченная величина R — D^— называется числом Рейнольдса. Это число играет большую роль при изучении динамики вязкой жидкости.

Сопротивление прямоугольной пластинки. Тонкая прямоугольная пластинка, двигаясь в жидкости поступательно, испытывает со стороны жидкости сопротивление. Сила сопротивления W зависит от размеров пластинки а и Ь, ее скорости V, угла 6 между плоскостью пластинки и направлением ее поступательной скорости, давления жидкости р, плотности р и коэффициента вязкости ц, т. е.

U7 = /(a, b, 0, -и, р, р, р).

Вместо размеров пластинки а и b введем новые величины

,, а

а = аЬ, к — —;

о

тогда

W = fx(o, v, р, р, р, к, 6).

Размерности всех этих величин в системе LTM будут

= А2,[y] = ZT-1, [р] = L~*M, {p} = L-'T~^M,

= А"17'“1Л11 [*] = 1,(0]=1,\WA = LT-1M.

Выберем за основные единицы величины о, р, у, которые удовлетворяют условию (25) и, следовательно, между собой независимы; тогда размерности предыдущих величин в новой системе о, р, у выразятся так:

2

{Ц7} = ОрУ2, (р}=ру2,{р]=о2ур; {fe] = (0] = l;

отсюда

1, 1,к, 0).

Р и /

Величина F есть безразмерный коэффициент, зависящий от безразмерных аргументов

2

Л =№ = "L , R = ^.

6(/f)"

22 Н. Н. Бухгольц

Величина к есть удлинение пластинки, М =—(так назы

ваемое число Маха) есть отношение поступательной скорости пластинки к величине "у/"^ , равной скорости распространения звука в той среде, в которой движется пластинка; R есть число Рейнольдса, встречавшееся в предыдущем примере.

Таким образом, сопротивление пластинки выражается формулой

W — F^M, R, к, 9) ору2.

Эта формула первоначально была дана Ньютоном, который предполагал коэффициент F постоянным.

Теория подобия механических систем

Теория подобия механических систем возникла из практического вопроса о сравнении условий работы двух геометрически подобных сооружений. Первоначальные исследования в этом направлении принадлежат Галилею, который в своих знаменитых «Discorsi»’} ставит вопрос о том, что весьма часто модель машины работает иначе, чем оригинал, и находит причину этого обстоятельства в различии возникающих во время движения сопротивлений. Основная теорема о механическом подобии дана Ньютоном, в его «Математических принципах натуральной философии» (книга II, отдел 1, предложение 22), где на основании этой теоремы выводится закон сопротивления жидкости движущимся в ней телам.

Понятие «механическое подобие» гораздо сложнее, чем понятие «геометрическое подобие», потому что здесь приходится учитывать не только отношение соответственных линейных размеров, но и других величин, кинематических и динамических, обусловливающих движение сравниваемых механических систем; поэтому для того, чтобы две геометрически подобные механические системы (например, оригинал и модель какого-либо сооружения) были подобны механически, необходимо ввести еще ряд дополнительных условий.

Геометрическое и материальное подобие. Две системы точек Ль Аг, .... Ап и Ль Аг, . ... Ап называются геометрически подобными, если между точками этих систем можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы соответственные отрезки находились в постоянном отношении, т. е. чтобы было

а, к = 1, 2п).

') Есть русский перевод: Г а л и л е о Г алилей, Беседы и математические доказательства. ГТТИ, М. — Л., 1934.

Из этого определения следует, что углы между соответственными отрезками равны, что какая-либо фигура, составленная из точек первой системы, подобна геометрически фигуре, составленной из соответственных точек второй системы, что отношение соответственных площадей есть X2, а соответственных объемов X3 и т. д.

Если точки Ль ЛаАп и Ль ЛаЛя двух геометрически подобных систем снабжены массами (т. е. будут материальными точками) и если массы соответственных точек mv m2тп и т', /п2т'п находятся в постоянном отношении, т. е.

-^- = р (/=1, 2я),

то такие системы материальных точек называются материально подобными. Простейшим примером материально подобных систем являются оригинал и модель какого-либо сооружения, в которых соответственные части сделаны из одного и того же материала (в этом случае р=1).

Кинематическое подобие. Геометрическое подобие двух систем точек (5) и (S') можно установить, сравнивая конфигурацию системы (5) в какой-либо момент t с конфигурацией системы (S') в другой момент t' (в частности, t = t'y эти моменты будем называть соответственными моментами. Если в частном случае системы (5) и (S') будут неизменяемыми, то геометрическое подобие этих систем, установленное для соответственных моментов t и t' (в частности, для одного момента), будет сохраняться все время, т. е. геометрическое подобие двух неизменяемых систем не нарушается. Но тем не менее две геометрически подобные неизменяемые системы могут двигаться относительно некоторой системы отсчета совершенно различно, с различными скоростями и ускорениями соответственных точек, которые могут описывать произвольные траектории; отсюда следует, что наличие геометрического подобия для последовательности соответственных моментов еще недостаточно для того, чтобы системы точек были подобны кинематически, т. е. чтобы одна система в увеличенном или уменьшенном виде копировала движение другой системы.

Для определения кинематического подобия двух точечных систем (5) и (S') будем рассматривать движение системы (5) относительно системы отсчета О и движение (S') относительно системы отсчета О', причем системы отсчета О и О' неподвижны относительно основной системы отсчета 2; тогда (5) вместе с О, так же как (5') с О', будут представлять собой фигуры, изменяющиеся с течением времени, которые можно считать новыми точечными системами (08) и (0'8').

Если можно установить непрерывную последовательность соответственных моментов t и V (считаемых от одного и того же

начального момента), для которых системы (OS) и (O'S') будут геометрически подобны с постоянным, не зависящим от времени отношением подобия X, причем соответственные моменты связаны между собой соотношением

/ —т^',(1)

где т постоянно, то движущиеся системы (S) и (S') называются кинематически подобными.

Примечание. Если соответственные моменты t и t' считаются от различных начальных моментов tQ и tg, то соотношение (1) имеет вид

/ — t0 = т (i <0).(1 )

Из определения кинематического подобия двух систем (S) и (S') вытекают следствия:

Траектории соответственных точек двух кинематически подобных систем геометрически подобны с отношением подобия X, равным отношению геометрического подобия движущихся систем в соответственные моменты времени.

Действительно, пусть координаты какой-либо точки At системы (S) относительно системы отсчета О в момент t будут хИ Ур zb а координаты соответственной точки Л1 кинематически подобной системы (S') относительно системы отсчета О' в соответственный момент f будут xt', у', z'p тогда, так как системы (OS) и (O'S') в соответственные моменты времени, согласно определению, геометрически подобны, будем иметь

х^ — Хх'^П. У,(0 = ^,' (^ г^^Кг'^(2)

(/= 1, 2я)

для двух любых соответственных моментов t и f. Следовательно, траектории соответственных точек Л и Л' будут геометрически подобны. Отсюда следует, что фигура, состоящая из совокупности траекторий точек системы (S), будет подобна геометрически фигуре, состоящей из траекторий соответственных точек системы (S').

В соответственные моменты времени модули скоростей соответственных точек двух кинематически подобных систем (S) и (S') находятся в постоянном отношении Хт-1, а модули ускорений — в постоянном отношении Хт"2, причем системы векторов скоростей и ускорений этих точек для различных моментов времени представляют собой геометрически подобные фигуры (конечно, при одинаковых масштабах построения).

В этом легко убедиться, дифференцируя равенства (2) один и два раза по t и принимая во внимание, что на основании (1)

dt — Tdt'.(3)

Имеем

ах. uXi ai

-dT^dr^F^или уц = А<%, и т. д. (4>

d^x,d2x'. dt'd2x'

= Xt-1т— Xt 2ИЛИ ЧУ. = ХЧ-2ЧУ.,,, И Т. Д. (5). dt2dt'2 dtdt2lxix?

(/ = 1, 2n).

Из равенств (4) и (5) видно, что проекции скорости и ускорения- соответственных точек на координатные оси систем О и О' в соответственные моменты находятся в постоянном отношении, а отсюда, непосредственно следует, что и модули скоростей и ускорений находятся в том же отношении, а векторы скоростей и ускорений^ одинаково ориентированы относительно соответственных траекторий.

Механическое (или динамическое) подобие. Если две системы (S) и (S') подобны кинематически и материально, то такие системы называются механически подобными. Для механически подобных систем, вследствие их кинематического подобия, имеем дл» соответственных частиц и моментов

чу — Хт-2®,(7=1, 2л),(6)'

а вследствие материального подобия

иг^цт' (7=1, 2п).(7>

Перемножая равенства (6) и (7) с одинаковыми индексами, получим

т1чу1 = Хт-2ц • m^4y't (/=1, 2, . ... п).(8)>

Принимая во внимание, что

m^^Fp тУш^Р^ (1=1, 2, ..., п\ (9)' где F. и Р'{ суть модули сил, действующих в соответственные моменты на соответственные частицы двух механически подобных систем, находим из (8)

Д^Ф/7;(1 = 1, 2,л),(10)

•где

Ф = Хт-2ц(И).

есть постоянное число. Итак, в механически подобных системах в соответственные моменты времени соответственные длины, модули соответственных скоростей, ускорений и сил находятся в постоянных отношениях, равных X, Хт-1, Хт-2, Хт-2ц; кроме того, векторы сил, так же как и ускорений, одинаково ориентированы.

Теорема Ньютона. Пусть система (S) и система (S') удовлетворяют следующим условиям: 1) в соответственные начальные моменты /0 и /д система (S) материально подобна системе (S'); 2) в эти начальные моменты скорости соответственных точек систем (S) и (S') имеют пропорциональные модули и подобно расположены, т. е. пусть для соответственных начальных моментов tQ и Z'

=^у^т-1^,. ^г = Хт"%,(12)

(/=1, 2л)

и

Л1( = рп, (/=1, 2л),(13)

и пусть, наконец, 3) силы, действующие на соответственные точки систем (S) и (S') в соответственные моменты движения этих систем t и f, имеют пропорциональные модули с постоянным отношением ф = Хт~2ц и подобно расположены, т. е. пусть

F^x-WuA F^x-^F'^, Fiz = Xx-Wiz (14)

(Z = 1, 2n).

причем

Z-Z0 = T(Z'-Z').(15)

При соблюдении указанных трех условий системы (S) и (S') механически подобны.

Действительно, из условия 3) имеем, деля равенства (14) почленно на равенство (13):

™и — ^-^ix' и т- д- (Z=l, 2л) (16) или

= Хт-2—т и т. д. (Z= 1, 2л).(16 ) at1 м'

Умножая равенство (16') на dt = xdF и интегрируя, получим

^- = Хт-1-^--4-а( и т. д. (Z=l, 2л).(17)

Принимая во внимание, что для начальных моментов Zo и V имеют место равенства (12), получим, что все постоянные интегрирования равны нулю. Далее, умножая равенства (17) на dt = xdtr и интегрируя еще раз, получим

хДО = Хх;(П, y((Z) = Xy'(Z'), .гг(г) = Х.г;((')(18)

(Z= 1, 2л).

причем постоянные интегрирования, в силу условия 1), обращаются в нуль. На основании равенств (18) заключаем, что системы (S) и (S') механически подобны (см. п. 4), что и требовалось доказать.

Ковариантность уравнений движения. Свойства механически подобных систем, которые дает теорема Ньютона, можно легко получить, исходя из соображений о размерности механических величин. Известно, что полная система уравнений, определяющих движение механической системы (S) под действием данной системы сил, может быть получена как следствие уравнения Даламбера — Лагранжа, которое иначе называется символическим уравнением динамики (см. § 5, п. 5 и §§ 7 и 8); это уравнение имеет вид

ЗА

2(^-щ.^)бх. = 0.(19)

v=l

Изменим линейные размеры системы (S) в X раз; время, в Течение которого система переходит из одного положения в другое — в т раз; массы точек системы — в ц раз и силы, действующие на точки системы,— в ф = Хт-2ц раз, т. е. сделаем преобразование

= t = xt', mv = iwn'v Х^Хх-^Х^ (20) (v = 1, 2SN).

После преобразования (20) из системы (S) получится новая система (S'), которая будет механически подобна системе (S).

Так как на основании (20)

., . , dx , dx' dt‘ ,. dx'

бх = Х0Х,7Г=ХХ

dt dt dtdt

d2x ,. d2x' dt' ., d2x'

dt2dt'2 dtdt'2

то уравнение (19) перейдет в уравнение

(19>

т. e. в уравнение Даламбера — Лагранжа, а следовательно, и все выводимые из него уравнения движения будут коварианшны относительно преобразования (20).

Отсюда вытекает весьма важное следствие: движения двух механически подобных систем описываются одними и теми же уравнениями, причем параметры этих уравнений преобразуются по формулам (20); кинематические и динамические величины, характеризующие движения механически подобных систем, при переходе от одной системы к другой, получаются тем же преобразованием (20), которое, как. мы видели в п. 4, можно считать определением механического подобия.

Преобразование механических величин. В § 31 было уста- шовлено, что характер зависимости какой-либо механической величины от основных единиц определяется размерностью этой величины. Пусть некоторая механическая величина для системы (S) имеет в абсолютной системе вид

Q = qla^m'i;(21)

размерность этой величины, очевидно, будет

[Q] = L"?^.(22)

Чтобы получить значение той же величины для системы (S'), механически подобной системе (S), нужно сделать преобразование (20), т. е. заменить

1->М, t-*xt, tn—>-рт;(23)

тогда для системы (S') величина Q будет иметь значение

■следовательно, численное значение величины Q для системы (S') -будет

q = ^XaTPpY.(24)

■Формула (24) по своему виду похожа на формулу (17) § 31, но, конечно, имеет совсем другой смысл, так как здесь единицы меры не изменяются; однако число XaT9pv, на которое нужно умножить ■численное значение q для перехода к системе (S'), совпадает с коэффициентом перехода, благодаря чему можно установить вытекающее .из этого обстоятельства очевидное правило.

Примеры. 1) Прямолинейный осциллятор. Пусть точка ’массы т движется прямолинейно под действием силы, притягивающей ее к неподвижному центру пропорционально расстоянию (прямолинейный осциллятор). Уравнение движения точки будет

d^x , т —= — кх, dt2

еде к есть квазиупругая постоянная. Общее решение этого уравнения имеет вид

х = a sin (at 4-е),

— есть круговая частота колебания точки.

Для механически подобной системы будем иметь

т/—г =и = a sin(to'^ + e)

$ 32]ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ32&

(а и е — произвольные постоянные). Так как

[Л] = _2!^_ =[Ю] = 7-1,

1длинаJ

то

к' = т-2рЛ; в/= т-1®.

Чтобы механически подобный осциллятор имел ту же частоту, нужно, чтобы было т=1, а следовательно,

к = цЛ.

) Центральное движение. Пусть точка массы т движется под действием центральной силы F = /тМг", притягивающей ее к неподвижной точке с массой Л1 пропорционально n-tt степени расстояния; / есть гравитационная постоянная. Для механически подобной системы будем иметь

Р' . fm'M'r'", откуда

лт~2ц = |i2V.

Из последнего уравнения имеем

(25)

Если массы притягивающего центра и притягиваемой точки в обеих системах одинаковы, то Ц=1 и

т2=Х1-".

В случае ньютонианского притяжения п = — 2 и

т2 = I3,

т. е. получаем 3-й закон Кеплера ]).

Для ньютонианского закона притяжения формула (25) приобретает вид

=(25')

поэтому, если бы плотности тел солнечной системы остались прежними, но их размеры, так же как и взаимные расстояния, изменились- в Л раз, то, гак как при этих условиях ц = I3, мы имели бы, что

т= 1,

т. е. времена обращения остались бы прежними.

Модели. Для изучения работы какого-либо проектируемого сооружения весьма часто пользуются изучением его модели, т. е. строят это сооружение в уменьшенном масштабе из тех же самых материалов, получая таким образом систему, материально подобную проектируемому сооружению, и экспериментально, путем измерения, определяют все требуемые величины, а из них, пользуясь методами теории подобия, находят соответствующие величины для этого сооружения в натуральных размерах.

При учете сил, действующих на различные части сооружения, нужно прежде всего принять во внимание веса его составных частей, которые в случае материального подобия изменяются пропорционально кубам линейных размеров; поэтому веса соответственных деталей двух материально подобных сооружений, так же как и их массы, имеют отношение X3. Следовательно, для осуществления механического подобия необходимо, чтобы и соответственные силы, действующие на детали, находились в том же отношении. Но это не всегда может быть достигнуто, так как некоторые силы (например, силы сопротивления, различные виды трения и пр.) изменяются при переходе от одной системы к другой, механически подобной, в ином отношении. В этом случае при построении модели для сохранения механического подобия приходится пожертвовать материальным подобием и подбирать соответствующим образом материалы деталей и условия их работы.

В дальнейшем будем предполагать простейший случай, когда все соответственные силы, так же как и веса, находятся в отношении X3. Тогда будем иметь

ц = X3, Хт-2р = X3, откуда т = X2.

При этом предположении, на основании формулы (24) п. 7 для •определения какой-либо величины Q проектируемого сооружения, нужно соответствующую величину q, найденную для модели, умножить на переходный коэффициент

xa<V = ^х2х3у = х 2 , следовательно,

Q = Xa+^+3V (26)

Формула (26) выражает собой так называемое «правило Ньютона».

Примеры. 1) Статические сооружения. В статических сооружениях (например, мосты, фермы, краны) действующими силами •обыкновенно являются силы тяжести, действующие на тела, которые эти сооружения поддерживают, следовательно, имеют место уело-

вия п. 9. Пусть напряжение в различных частях сооружения выражается величиной о, причем

а] = сила- = L"1?'^;

J площадь’

следовательно, а ——1, 0 =—2, у=1.

Подставляя эти значения в равенство (26), будем иметь соотношение между напряжениями в материально подобных сооружениях в виде

= Хо.

Отсюда вытекает положение довольно общего характера, что модель- прочнее своего оригинала (конечно, при наличии материального подобия и при условии, что модель меньше оригинала).

Двигатели. Для двух материально подобных и механически, подобных двигателей внутреннего сгорания (или паровых машин) скорости соответственных частей должны находиться в отношении Хт-1, но так как при наших условиях т=Х’\ то это отношение должно- быть равно УХ. Итак, соответственные скорости двух механически подобных двигателей пропорциональны квадратным корням из отношения их линейных размеров. При этом необходимо заметить, что для осуществления механического подобия давления в цилиндрах этих двигателей не могут быть произвольными. Так как давление р имеет размерность

[р] ==

площадь

т. е. такую же, как напряжение, то переходный коэффициент, на основании равенства (26), равен X, а следовательно,

Р = Хр,

т. е. давления в цилиндрах механически подобных двигателей должны быть пропорциональны их линейным размерам. Отношение мощностей двигателей получится, если, принимая во внимание размерность мощности

работа. = 1}Т-зМ1

1 время

подставим в равенство (26) а = 2, 0 = —3, у=1; получим

Е = к,2е.

Практически интересно сравнить работу двух материально подобных двигателей при различном отношении давлений в их цилиндрах. Для этого мы должны отказаться от условия, что соответственные силы в двигателях пропорциональны X3, так как в этом случае наиболее существенной силой будет сила давления на поршень, которая

328 РАЗМЕРНОСТЬ И ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ [ГЛ. VIII равна произведению давления на площадь поршня и будет пропорциональна лХ2, где л есть отношение давлений; остальными силами (силами тяжести и вредными сопротивлениями) будем пренебрегать, так как в неподвижных двигателях веса отдельных частей достаточно уравновешены и предполагается хорошая смазка. Для механического подобия необходимо (см. п. 4), чтобы соответственные силы находились в отношении Хт-2р, т. е. чтобы

лХ2 = Хт~2|1,

причем вследствие материального подобия р = X3. Остюда л = Х2т-2 = (Хт-1)2,

т. е. соответственные скорости (см. п. 3) будут пропорциональны квадратным корням из давлений. Если давления в цилиндрах обоих двигателей одинаковы, т. е. л= 1, то линейные скорости равны. При л=1 отношение угловых скоростей, или, что то же, чисел оборотов в минуту, равно т-1 = Х-1, ибо т = Х; отношение мощностей будет

xV3p = X2X~3X3 = X2.

Сопротивление движению судов. Суда при своем движении по воде испытывают сопротивление движению, которое при употребляемых скоростях можно считать пропорциональным квадрату скорости. Так как сопротивление движению судна пропорционально площади миделевого сечения и квадрату скорости, то сопротивления двух материально подобных судов пропорциональны

Х2(Хт-1)2 = Х3

(здесь приняты во внимание условия п. 9 и то, что т = Х'/а); следовательно, силы сопротивления также удовлетворяют условиям п. 9, а поэтому можно пользоваться формулой (26). Так как отношение скоростей двух механически подобных систем равно Хт-1, а при условиях п. 9 т = Х^2, то отношение скоростей двух материально подобных судов будет равно X1''1. Отсюда вытекает так называемое правило Фруда: если какое-либо судно при скорости у имеет сопротивление R, то судно, материально подобное, при скорости уj/X будет иметь сопротивление /?Х3, где X есть отношение линейных размеров.

ЛИТЕРАТУРА

Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, изд. 2, 1952.

К и р п и ч е в В. Л., Беседы о механике, изд. 4, 1950.

Крылов А. Н., Вибрация судов, 1936

Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика, 1965.

Лойцянский Л. Г. и Л у р ь е А. И., Курс теоретической механики, т. 2, изд. 5, 1955.

Лурье А. И„ Аналитическая механика, 1961.

Розе Н. В., Динамика твердого тела, 1932.

Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. Б, 1965.

Суслов Г. К., Теоретическая механика, изд. 3, 1946.

X а й к и н С. Э„ Физические основы механики, 1963.

Чаплыгин С. А., Механика системы, 1923—1924, а также в Собрании сочинений, т. IV, 1949.

Аппель П„ Теоретическая механика, т. II, перев. с франц., 1960.

Валле Пуссен Ш. Ж., Лекции по теоретической механике, т. II, перев. с франц., 1949.

Вебстер А., Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел, перев. с англ., 1933.

Голдстейи Г., Классическая механика, перев. с англ., 1957.

Л а м б Г., Теоретическая механика, т. 2 и т. 3, перев. с англ., 1936.

Леви-Чивита Т. и Ам а ль ди У., Курс теоретической механики, т. 11, ч. 1 и ч. 2, перев. с итал., 1952.

Планк М., Введение в теоретическую физику, ч. 1, Общая механика, перев. с нем., 1933.

Поль Р., Введение в механику и акустику, перев. с нем., 1933.

Уиттекер Е. Т„ Аналитическая динамика, перев. с англ., 1937.

По теории гироскопа

Булгаков Б. В., Прикладная теория гироскопов, изд. 2, 1956.

Ишлинский А. Ю., Механика гироскопических систем, 1963.

Крылов А. Н. и Крут ко в Ю. А., Общая теория гироскопов, 1932.

Гр а мм ель Р., Гироскоп, его теория и применение, т. I и II, перев. с нем., 1952.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксоид неподвижный 161

— подвижный 161

Апекс 204

Аппеля уравнения 99

Вариация гауссова 254

— изохронная 261

— полная 261

— простая 261

Вектор количества движения системы главный 13

Величина безразмерная 309

— геометрическая 307

— динамическая 309

— кинематическая 308

— кинетическая 309

Волчок 214

— Максвелла 181

Вращение тела вокруг неподвижной осн 147

Гамильтона преобразование 228

— принцип стационарного действия 262,

265, 266, 277

— уравнение 231

— функция 229, 232, 265

главная 239

Гаусса принцип 252, 253, 256

Геометрия масс 128

Герполодия 193, 196

Герполодограф 200

Герца принцип прямейшего пути 258

Гироскоп 214

—,его элементарная теория 214

— симметричный 201, 208

Гюйгенса теорема 24

Даламбера принцип в теория удара 295

для системы 59, 65

для точки 59

Даламбера — Лагранжа принцип 251, 256

уравнение 65

в теории удара 295

Движение неустойчивое 197

— относительно центра масс 34

— ракеты в однородном поле тяжести 51

вне поля сил 50

— свободного твердого телв 224

— тела, имеющего одну неподвижную точку 160

плоскопараллельное 154

Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки 175, 180, 181, 183, 187, 201, 221

— тяжелой нити вертикальное 54

— устойчивое 197

— центральное 325

Действие по Гамильтону 264, 268, 269

по Лагранжу 271

по Мопертюи 270

Единица меры 306

Единицы основные 307

— производные 308

Жуковского правило 220

Игнорирование (исключение) координат 93

Импульс обобщенный 228

— ударный 287

Интеграл геометрический 243

— кинематический 243

— промежуточный 243

— циклический 93

— энергии 72

обобщенный 83, 84

— Якоби 83

Интегралы движения первые 24, 27, 32, 33, 40

канонической системы уравнений пер вые 234

Карно теорема 291, 294

Кёнига теорема 20

Колебания главные 122

— системы малые 109

Количество движения системы 13

Конус прецессии 161

— собственного вращения 161

Координаты главные 120

— лагранжевы 74

— нормальные 120

— обобщенные 74, 228

— циклические 92, 227

Коэффициент восстановления 113, 290

— инерции 113

— квазнупругий ИЗ

— сопротивления ИЗ

— формы колебаний 124

Кристоффеля символ 91

второго ряда 92

Лагранжа принцип 251

— уравнения второго рода 77

для системы, находящейся под

действием потенциальных сил 81

для удара 297

первого рода 72

— функция 81

Лежеи Дирихле теорема 125

Ляпунова теоремы 127

Максвелла волчок 181

Маятник баллистический 304

— математический 315

— оборотный 153

— физический 151, 153

двойной 120

Метод нулевых размерностей 314

— Пуассона 244

— Якоби 238

Мешерского уравнение 48

Модели и их испытание 326

Момент второй степени 130

— геометрический я-й степени 129

— инерции геометрический 131. 132

осевой (относительно оси) 18, 22, 130, 131, 133, 135

относительно плоскости 130

— точки 130

полярный 130

центробежный 130

— кинетический 13, 14, 165, 170

— количества движения главный 13

— первой степени 129

— статический 129

Моменты инерции главные 142

Мопертюи — Лагранжа принцип стационар* иого действия 270, 272, 274, 275, 277, 278

Полодия 193

Потенциал кинетический 81

Правило Жуковского 220

— Ньютона 326

Преобразование Гамильтона 228

— каноническое 236, 279, 282

— Пуассона 228

Прецессия вынужденная 220

— обратная 162

— прямая 162

— псевдорегулярная 206

— регулярная 161

Принцип виртуальных перемещений 250

— Гаусса 252, 253, 256

— Даламбера в теории удара 288 295

для системы 59, 65

для точки 59

— Даламбера — Лагранжа 251, 256

— Лагранжа 252

— наименьшего принуждения 252, 253

— прямейшего пути Герца 258

—• стационарного действия Гамильтона 262. 265, 266, 277

— Мопертюи ■— Лагранжа 270, 272, 274, 275, 277, 278

Принципы механики 249, 250

вариационные 250

дифференциальные 250

интегральные 250 260

невариационные 250

Произведения инерции 130

Пуаисо геометрическая интерпретация движения тела около неподвижной точки 189

— плоскость 192

— теоремы 190, 191

— эллипсоид 145

Пуассона метод 244

— преобразование 228

— скобка 245

— теорема 246

— тождество 245

Путь окольный 263

— прямой 263

Ньютона правило 326

— теорема 322

Нутация (нутационное движение) 205, 206

Оси инерции главные 139, 143

, их динамический смысл 171

центральные 144

Осциллятор прямолинейный 324

Ось вращения свободная 151

— нутации 163

— прецессия 162, 163

— собственного вращения 161, 163

Переменные канонические 223 лагранжевы 227

Перемещение виртуальное 10, И

— истинное 1I

Плоскость Пуаисо неподвижная 192

Поверхность подерная 146

Подвес карданов 214

Подобие геометрическое 318

— динамическое 321

— кинематическое 320

материальное 319

механическое 318, 321

Равновесие неустойчивое 117, 124, 125

— устойчивое П7, 118. Н9, 124, 125

Радиус инерции 22. 133

Размерность величины 308

Рауса уравнение 97

— функция 93

Реакции динамические 150

Связь 7

— геометрическая 8

— дифференциальная 8

— кинематическая 8

— конечная 8

— неосвобождающая 7

— нестационарная 8

— освобождающая 7

— реономная 8

— склерономная 7. 8

— стационарная 7

Сила гироскопическая 84

— обобщенная 75, 80

— потерянная 59

— реактивная 49

— ударная 287

Символ Кристоффеля 91

второго рода 92

Система голономная 9

— динамическая 82, 227

— единиц основных 310, 311

—абсолютная 311

техническая 313

СИ 312’

CGS 311

— лагранжева 82

— механическая 7

консервативная 40

— неголономиая 9

— неизменяемая 128

— нормальная 228

— уравнений движения каноническая 279

Скобка Пуассона 245

Скорость нутации угловая 163

— прецессии угловая 163

— собственного вращения угловая 163

Тело абсолютно твердое 128

— переменной массы 47

Тензор ннерцин 137

Теорема Гюйгенса 24. 134

— Карно 291, 294

— Кёнига 20

— Лежен Дирихле 125

— Ньютона 322

— о движении центра масс 27

— о кинетическом моменте системы 16

— о количестве движения системы 14-

— об изменении кинетического момента системы 31, 68

— об изменении кинетического момента системы при ударе 293

— об изменении кинетической энергии системы 38, 41, 68

— об изменении количества движения системы 26, 66

— об изменении количества движения при ударе 287, 292

— об изменении момента количества движения при ударе 288

— однородности 310

— площадей 31

— Пуассона 246

— Якоби 240

Теоремы динамики системы общие 24, 65

— Ляпунова 127

— Пуансо 190

Тождество Пуассона 245

Точка изображающая 78

— переменной массы 47

— шаровая 143

Траектория сравнения 263

Углы Эйлера 163

Угол иутацин 163

— прецессии 163

— собственного вращения 163

Удар 286

— абсолютно неупругий 289

упругий 289

— двух тел прямой 302

— упругий 290

— твердых тел 297

— шаров 302

Уравнение вековое 140

— Даламбера — Лагранжа 65

•-—в теории удара 295

— динамики символическое 65

— Мещерского 48

— Рауса 97

— характеристическое 114, 140

— частот 114

— Якоби 239

Уравнения Аппеля 99

— Гамильтона 231

— движения системы в декартовых координатах 69

в обобщенных координатах 74

для точки переменной массы 47

— Лагранжа второго рода 77

— для системы, находящейся под действием потенциальных сил 81

—для удара 297

первого рода 72

— малых движений системы вблизи положения равновесия 113

— Чаплыгина 107

— Эйлера динамические 174, 225

кинематические 164, 174

Устойчивость вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции 197

Функция Гамильтона 229, 232, 265

главная 239

— главная в уравнении Якоби 263

— диссипативная 109

— Лагранжа 81

— производящая 281

— рассеяния 109

— Рауса 93

Центр качаний физического маятника 153

— удара 301

Циолковского формула 50

Чаплыгина уравнения 107

Частота собственная 122

Число степеней свободы 12

Члены гироскопические 83

Эйлера уравнения динамические 174, 225

кинематические 164, 174

Эллипсоид инерции 139

взаимный 145

гирациоиный 145

центральный 139

— Пуансо 145

— энергии 169

Энергия кинетическая 19, 20, 167

в обобщенных координатах 77

твердого тела 21

— система потенциальная 39, 40

— ускорений 99

Эффект гироскопический 220

Явления гироскопические 215

Якоби интеграл 83

— метод 238

— теорема 240

— уравнение 239

Для составления энергии ускорений воспользуемся формулой (63). Учитывая, что движение саней относительно центра масс является вращательным вокруг оси Сг и при этом ®^ = Av У^ф2-|-ф4, где Av — расстояние какой-либо точки саней от оси вращения, а 5 mv^v — с.» найдем

5 = ^ U2 + ?) + j ^ (ф2 + Ф4)-

Исключаем отсюда вторую производную от зависимой координаты у с помощью уравнения связи (а). Это уравнение дает для у выражение (ж); в результате получим

(неподвижной) системы. Так как, по доказанному ранее (см. § 2, п. 3),

кинетический момент относительно неподвижного центра О равен

масса тела, относительно центра О и кинетического момента тела

1. Предварительные замечания. Согласно теореме Шаля (см. ч. I, § 12, п. 1) всякое движение свободного твердого тела можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранной точки тела, и движения (вращения) около этой точки как неподвижной; в динамике часто выбирают за такую точку центр масс твердого тела. Тогда движение тела будет слагаться из поступательного движения, определяемого движением центра масс, и движения тела около центра масс как неподвижной точки.

Н. Н. БУХГОЛЬЦ

ОСНОВНОЙ КУРСТЕОРЕТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ДИНАМИКА СИСТЕМЫМАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,переработанное и дополненноеС. М. ТАРГОМ

Допущено Министерством

высшего и среднего специального образования РСФСРв качестве учебника для государственных университетов

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1966

531

Б 94

УДК 531/534

Николай Николаевич БухгольцОсновной курс теоретической механикиЧасть П

М„ 1966 г., 332 стр. с илл.Редактор И. А. Марку зонТехн, редактор К. Ф. БрудноКорректор О. А Сигал

Сдано в набор 22/11 1966 г. Подписало к печати 31/V 1966 г. Бумага 60x90Vi- Физ. печ. л. 20,75. Условн. печ, л. 20,75. Уч.-изд. л. 19,9 5. Тиране 25 000 вкз. Т-08230. Цена книги 66 коп. Заказ № 90. *

Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературыМосква. В-71, Ленинский проспект, 15

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой ГлавпочиграфпромаКомитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.

2-4-2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к четвертому изданию 5

Глава I. Общие теоремы динамики системы материальных точек 7

Основныепонятия. Связи 7

Основныединамические величины 13

Общие теоремы динамики системы 24

Динамикаточки переменной массы 46

Глава II. Уравнения движении системы материальных точек . . . 59

Принцип Даламбера 59

Общие теоремы динамики, выводимые из уравнения Даламбера — Лагранжа 65

Уравнения движения механической системы в декартовых координатах•. . .69

Уравнения движения системы в обобщенных координатах . .74

Глава III. Малые движения системы вблизи положения равновесия. Устойчивость равновесия 109

Малые колебания системы109

Устойчивость равновесия. Теорема Дирихле124

Глава IV. Динамика абсолютно твердого тела128

Геометрия масс128

Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси 147

Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела . . 154

Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Основные кинематические соотношения . . . 160

Выражения основных динамических величин для твердого тела, имеющего неподвижную точку165

Динамические уравнения Эйлера. Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой . 172

Случай Эйлера — Пуансо183

Случай Лагранжа — Пуассона201

Случай С. В. Ковалевской221

Движение свободного твердого юла224

Глава V. Канонические уравнения движения системы227

Вывод уравнений и первые интегралы227

Метод Якоби238

Метод Пуассона244

4ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава VI. Вариационные принципы механики249

Введение. Подразделение принципов249

Дифференциальные принципы250

Интегральные принципы260

Канонические преобразования . 278

Глава VII. Теория удара286

Теория удара материальной точки286

Теория удара системы материальных точек292

Теория удара твердых тел297

Глава VIII. Размерность и теория подобия . . 306

Измерение и размерность механических величин306

Теория подобия механических систем318

Литература329

Предметный указатель330

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

«Основной курс теоретической механики» профессора Н. Н. Бухгольца (1880—1944), выдержавший при жизни автора несколько изданий, зарекомендовал себя как хороший учебник для студентов университетов и ценное пособие, которым могут пользоваться студенты других вузов, а также инженеры, желающие пополнить и углубить свои знания в области механики.

Вторая часть этого курса, как и первая, построена на материале лекций, читанных автором в течение многих лет в Московском государственном университете, и содержит динамику системы материальных точек, динамику твердого тела и начала аналитической механики; подробнее содержание книги видно из оглавления. Несмотря на сравнительно небольшой объем книги, весь материал в ней изложен с достаточной полнотой и иллюстрируется целым рядом задач и примеров.

При подготовке к печати настоящего издания (предыдущее третье издание вышло в свет в 1945 г.) часть материала книги подверглась переработке и в нее внесен ряд дополнений, учитывающих, в частности, и изменения в программе университетского курса теоретической механики; одновременно устранены замеченные погрешности и опечатки.

Наиболее существенные изменения внесены в материал п. 1 § 17, пп. 1 и 3 § 18 и п. 8 § 26. Добавлены п. 8 в § 2, § 4, пп. 3 и 11 в § 8, п. 6 в § 9, пп. 4 и 6 в § 26 и п. 4 в § 30. Небольшие изменения и добавления сделаны и во многих других местах книги. Кроме того, в большую часть параграфов добавлены задачи и примеры.

Как и в первой части, нумерация параграфов для удобства ссылок сделана общей по всей книге. Термин «материальная частица» заменен на принятый в первых изданиях термин «материальная точка»; изменен также в целях единообразия ряд обозначений в гл. VIII. Все остальные термины и обозначения, принятые автором, в основном сохранены.

Внесенные при переработке материала изменения и дополнения в тексте книги специально не оговариваются; это лишь мешало бы пользоваться книгой как учебником.

При чтении книги следует иметь в виду, что все содержащиеся в ней ссылки на первую часть даются по шестому изданию *).

С. УИ. Тарг

>) Н. Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики, часть первая, изд. шестое, Изд-во «Наука», 1965.