ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮ

МЕХАНИКУ

Допущено Министерством

высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО 《НАУКА》

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1971

631 Б 93

УДК 531.01(

Введение в аналитическую механику. Б утенин Н. В., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971, 264 стр.

В книге дано систематическое и достаточно доступное изложение основ аналитической механики. В нее включены разделы: уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, теория Якоби, него л ономные системы, вариационные принципы и теория возмущений. Приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов.

Книга предназначена для студентов втузов, аспирантов и инженеров различных отраслей промышленности. Она является дополнением к «Курсу теоретической механики» (авт.; Бутенин Н. В. и др.)-

Илл. 61. Библ. 12 назв.

Николай Васильевич БутенинВведение в аналитическую механикуМ., 1971 г. 264 стр. с илл.

Редактор Л. Г. Наумова

Техн, редактор 4 П. Колесникова Корректоры Г. С. Плетнева, Л. Л. Ипатова

Сдано в набор 23/VHI 1971 г.Подписано к печати 16/XI 1971 г<

Бумага 84Х 1081/«2. Физ. печ. л. 8,25. Условн. печ. л. 13,86. Уч.-изд. л. 13,11. Тираж 25 000 экз. Т-16862. Цена книги 56 коп. Заказ № 1231.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловсватй проспект, 29,

2-4-2

TowT

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .»•••«<*»****« *•«•* 6

Глава 1. Основные понятия аналитической механики ... 7

Свободные и несвободные материальные системы.

Связи и их классификация . . 7

Виртуальные скорости. Виртуальные перемещения . . 12

Виртуальная работа. Признак идеальности связей ♦・ 18

Обобщенные координаты. Обобщенные силы .... 22

Глава 2. Принцип виртуальных перемещений29

Принцип виртуальных перемещений 29

Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах 35

Случай консервативных сил . .38

Устойчивость состоянияравновесия41

Глава 3・ Уравнения движения48

Уравнения Лагранжа первого рода . 48

Общее уравнение динамики .51

Уравнения движения в обобщенных координатах (уравнения Лагранжавторогорода)56

Примеры на составление уравнений Лагранжа второго рода60

Учет дополнительныхсвязей66

Обобщенные реакцииотброшенных связей ・70

Выражение кинетической энергии через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Гироскопические и диссипативные силы74

Уравнения Лагранжа в квазикоординатах80

Глава 4. Уравнения движения в потенциальном поле ... 94

Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил94

Обобщенный интеграл энергии 100

Метод Уиттекера103

Циклические координаты. Уравнения Рауса . . . . ПО

Обобщенный потенциал115

Глава 5. Канонические уравнения Гамильтона119

Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона . . . 119

Канонические уравнения Гамильтона122

Канонические уравнения при наличии циклических ко

ординат 128

Скобки Пуассона. Теорема Якоби — Пуассона . . . 132

Канонические преобразования137

53^^^^^11 11 41» 11 1153^^^^^11 11 41» 11 11Глава 6. Теория Якоби

53^^^^^

11 11 41» 11 11

53^^^^^

11 11 41» 11 11

Уравнение Гамильтона — Якоби

Метод разделения переменных

Примеры

Теорема Лиувилля

Переменные действие — угол .

Глава 7. Неголономные системы177

Число степеней свободы неголономной системы. Примеры неголономных систем . . . .177

Уравнения движения для неголономных системс

множителями Лагранжа180

Уравнения движения в квазикоординатах184

Уравнения Аппеля188

Вывод уравнений движения неголономной системы

из общего уравнения динамики. Уравнения С. А. Чаплыгина 196

Глава 8. Вариационные принципы механики . ...... 213

Пути прямой и окольный. Действие по Гамильтону

2 2 2 22 2 2 2Принцип Гамильтона — Остроградского . . • • •

2 2 2 2

2 2 2 2

Неизохронное варьирование

Принцип стационарного действия Лагранжа ...

Принцип стационарного действия в форме Якоби .

Глава 9. Некоторые методы теории возмущений237

Явный вид уравнений Лагранжа второго рода • . . 237

Метод вариации постоянных238

Метод вариации постоянных при использовании уравнений Гамильтона. Канонические уравнения возмущенного движения250

Уравнения в вариациях . 259

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга входит в серию учебных пособий, дополняющую курс теоретической механики Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина (М., 1970— 1971 г.). Издание этих дополнений связано с тем, что учащиеся некоторых втузов нуждаются в более подробном ознакомлении с рядом важнейших разделов, кроме изложенных в основном курсе. Книги, входящие в названную серию, посвящены аналитической механике, теории устойчивости, теории механических колебаний, теории гироскопов. В дальнейшем серию предполагается продолжить.

Эта книга предназначена для ознакомления учащихся с рядом разделов аналитической механики и ее методов, которые находят или могут найти приложение при решении инженерно-технических задач.

Цель настоящей книги — изложение методов аналитической механики и иллюстрация применения их к решению конкретных задач. Поэтому некоторые теоретические положения приводятся без доказательств, со ссылкой на источники, где эти доказательства приведены.

Автор благодарен профессорам Ю. И. Неймарку, Н. Н. Полякову, Н. А. Фуфаеву и доценту Л. Г. Наумовой за ценные советы, которые позволили значительно улучшить содержание книги.

Автор

Ленинград, апрель 1971 г.

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Свободные и несвободные материальные системы. Связи и их классификация

Совокупность материальных точек называется систем мой материальных точек или материальной системой, если движение каждой из них в отдельности зависит от движения и положения остальных точек. Это значит, что между точками материальной системы существуют' силы взаимодействия ).

Материальная система, для которой расстояния меж* ду двумя любыми ее точками не изменяются, называется твердым телом.

В данном курсе будет рассмотрено движение материальной системы в инерциальной системе отсчета.

Если каждая точка материальной системы может занять любое положение в пространстве и иметь любую скорость, то такую материальную систему называют свободной. Классическим примером свободной матери* альной системы может служить солнечная планетная си* стема. Между всеми планетами и Солнцем существуют силы ньютоновского тяготения, положения же и скоро* сти самих планет и Солнца ничем не ограничены.

Если вследствие каких-либо ограничений (условий) точки и тела, составляющие материальную систему, не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости, то такая материальная система называется несвободной.

Ограничения (условия), которые не позволяют точкам материальной системы занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, называются связями. Связь налагает ограничения на изменение координат и скоростей точек. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений или неравенств.

Пусть материальная система состоит из п точек, а декартовыми координатами f-й точки будут %厶 yt, / (i = 1, 2,..., п). Если на материальную систему будет наложена одна связь, то в общем случае аналитически это можно записать в виде )

f (光 1, У1，2】，％2，^2，^2» • • • » &, %, 2九，北I，*1，^1, • • *

• • • > 北九，Упу 之九，')& °， (1 • 1)

где Хг, Уг, Zi (i = 1,2,...,拉)一проекции скорости ьй точки на оси декартовой системы координат, a t — время. В случае знака равенства в выражении (1.1) связь называется удерживающей; если стоит знак неравенства, то связь называется неудерживающей.

Пусть две материальные точки, положение которых определяется соответственно координатами xb yi, z】и хз, ^2,之2, связаны между собой жестким стержнем длиной /. В этом случае связь является удерживающей и ее уравнение имеет вид

(%2 - /)2 + 勿2 — У1)2 + (& 一 /)2 — 卩=О,

т・ е. расстояние между этими точками все время остается неизменным.

Если же стержень заменить гибкой нерастяжимой нитью, то точки получат возможность сближаться, но, как и прежде, удалиться друг от друга на расстояние, большее /, не смогут. В этом случае связь будет неудерживающей и ограничения на координаты запишутся в виде неравенства

(%2 一 修)2 + 52 -物)2 + (22 - /)2 一 22 & 0.

В дальнейшем будут рассматриваться только удерживающие связи ).

Если уравнение удерживающей связи

f (力i，У it 2j,北厶 У li 之/, f) =。(L2)

содержит явно время t, то связь называется реономной или нестационарной.

Примером такой связи может служить негибкий стер* жень, соединяющий две материальные точки и изменяющий свою длину / заданным образом, например, / = =/1 + /о sin Л Уравнение связи в этом случае содержит время t и имеет вид

(尤2 -% 1)2 + ①2 - g1)2 + (22 - 21)2 一(乙 + ^0 se /)2 = 0,

где x4, yi, 2i и 无2,乡2, ?2 — координаты точек.

Если же уравнение связи не содержит времени /,т. е. уравнение связи имеет вид

f (/，Уf,勿，尤，贝，备)=0,

то связь называется склерономной или стационарной.

Связь, накладывающая ограничения только на координаты точек системы, т. е. связь, уравнение которой не содержит производных от координат:

f (^» Уh 2厶方)=0,(1♦3)

называется геометрической или голономной. Связь же, уравнение которой имеет вид (1.2), называется кинематической.

Если уравнение (1.2) кинематической связи путем интегрирования нельзя привести к виду {1.3), не содержащему производных, то эта связь называется неголоном- ной или неинтегрируемой. Если же уравнение кинематической связи (1.2) может быть путем интегрирования приведено к виду (1.3), то связь, по существу, будет го* лономной.

Пусть, например, уравнением связи, наложенной на материальную систему, будет

2 (/& + У1У1 + 勿当)=0.

После его интегрирования получим

N[(娉+號+畛)п。

(с — произвольная постоянная интегрирования). Следовательно, данная связь является геометрической.

Если на материальную систему наложено 论 связей, то будет 论 уравнений связи следующего вида:

力 3, Уь 勿，也，力，备，/) = 0(/ = 1, 2, 初

Если эта система уравнений интегрируема, то связи будут голономными, в < Упротивном случае — не-

голономными.

Материальная си/стема, на которую на/\\2 ложены голономные

J>связи, называется зо

1 Г лономной, а материаль- /ная система с неголо-

уНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ — 4c.

?голономной,

Рн& i.i.В настоящей книге

основное внимание уделено голономньш системам, т. е. рассматриваются материальные системы, на которые наложены связи, уравнения которых могут быть записаны в форме

力(勺，Уь 勺，f) = 0(/= 1, 2,...,尼)，(1.4)

где k — число связей.

Рассмотрим несколько примеров голономных связей.

Пример 1. Точка Mi, к которой присоединена на нерастяжимом стержне длиной I точка М2, движется по дуге окружности радиуса R (рис. 1.1), расположенной в вертикальной плоскости. Обозначим координаты точки М через хь % гь а координаты точки 私 через

*2,夕2,之2, тогда уравнениями связей будут

(尤2 - *1)2 + ("2 - 执产+ (@ 一 力)2 一 /2=0.

Пример 2. Для точек М】и М2 кривошипио-шатунного механизма, изображенного на рис. i.2, уравнения связей нмеют вид

肖=0,之2 = °，У2 = 0,

%； + 或 + z；—产=0,

(%2 - *1)2 + ①2 -勿)2 + (n2 -之1)2 - /2 = 0,

где Xi, у】,zi и 尤2,乡2, г2 — соответственно координаты точек Mi и М2.

Пример 3. Стержень вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (о. На стержне могут свободно двигаться две материальные точки Mi и М^ соединенные между собой пружиной (рис. 1.3).

В этом случае для системы точек ЛЬ и М? связь уже будет реонамной (нестационарной), так как в уравнения связей

修 sin со/ —弘 cos of = 0,%2 sin ①力—〃2 cos со/ = 0,а】=0, & = 0

входит время f.

Числом степеней свободы голономной материальной системы называется число независимых параметров, полностью определяющих ее положение (конфигурацию), т. е. определяющих положение каждой точки системы.

Пусть на материальную систему, состоящую из п то・ чек, наложено k связей вида (1.4). Это значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. В самом деле, на 3〃 координат наложено А независимых уравнений связей. Решая эти уравнения связей относительно k каких-либо координат, мы выразим эти k координат через остальные Зи——九 Эти Зм — А

координат, которые могут принимать произвольные значения, и определяют положение точек системы. Таким образом, число степеней свободы будет равно

s = 3n —々. (1.5)

Заметим, что решить систему (1.4) можно лишь относительно тех координат, для которых функциональный определитель

曲,2dfk丽曲行2dfk@2dfkж丽一曲,2dfk丽曲行2dfk@2dfkж丽一(L6)(L6)

曲

,2

dfk

丽

曲

行2

dfk

@2

dfk

ж

丽一

曲

,2

dfk

丽

曲

行2

dfk

@2

dfk

ж

丽一

(L6)

(L6)

не равен нулю. В определителе (1.6) через Pi, 02,.・・, Ph обозначены те декартовы координаты, для которых этот определитель не равен нулю.

Виртуальные скорости. Виртуальные перемещения

Понятия о виртуальных скоростях и виртуальных перемещениях точек материальной системы являются одним из фундаментальных понятий аналитической механики. Введем сначала эти понятия на примере одной материальной точки.

Предположим, что материальная точка подчинена связи, уравнение которой имеет вид

/(х, у, 2, /) = 0.(1.7)

Пусть закон движения точки, обусловленный действующими на точку силами, будет

X = X (О, У^У (0» 2 = z(f)・(1.8)

Подставляя закон (1.8) в уравнение связи (1.7), получим тождество

Их (/), у ⑴，z(f), g0・(1.9)

После дифференцирования этого тождества по времени будем иметь

国夕十事=0，(110)

дх 1 ду и'

Предположим, что в какой-либо фиксированный момент времени t = tQ материальная точка имеет координаты Хо, у。, 2。. Для зтого момента времени условие (1.10) примет вид

醫"+ (紛。"偿)/ +傷)「。，

где индекс 0 означает, что все четыре производные вычислены для значений %о, Уо, 2о и %. Производные 企，у и z, входящие в условие (1.11), также соответствуют моменту времени / = /()• Выражение (1.11) представляет собой условие, которому должны удовлетворять в данный момент времени / = /о проекции х = vx, » = ?力 z = vz скорости точки

v = Jci + yj + zfe.

Эту скорость называют действительной скоростью.

Если связь стационарная, то ее уравнение имеет вид

Их,协 2) = 0(М2)

и условие (1.11) упрощается:

闺产+闺。g+闺。(I•⑶

Наряду с действительной скоростью точки введем в рассмотрение скорости

e = ^i+y^ + ek,(1.14)

проекции которых в данный фиксированный момент времени удовлетворяют условию (1.13), т. е. тому же условию, которому удовлетворяют проекции действительной скорости при стационарной связи. Следовательно, если связь нестационарная, то введенные нами скорости R* представляют собой в данный момент времени кинематически возможные скорости точки при мгновенно остановленной связи, т. е. R* ——это скорости, совместимые со связью, но не имеющие составляющих, обусловленных деформацией связи.

Такие скорости v* будем называть виртуальными скоростями.

Поясним сказанное на простом примере.

Пусть материальная точка движется по тсакой-либо поверхности, которая в свою очередь перемещается в пространстве. Действительная скорость точки будет суммой двух составляющих: составляющей и, расположенной в касательной плоскости, проведенной к точке поверхности, где находится в данный момент времени материальная точка, и определяемой уравнением (1.14), и составляющей, обусловленной перемещением поверхности. Виртуальные же скорости будут расположены только в касательной плоскости.

Из сравнений условий (1.11) и (1.13) вытекает, что в случае нестационарной связи действительная скорость не совпадает с виртуальными скоростями. В случае же стационарной связи действительная скорость совпадает с одной из виртуальных скоростей.

Рассмотрим систему материальных точек, подчиненную k голономным нестационарным связям, описывающимся уравнениями

力(%1，物，%1，%2，^2» ?2，。。。，%，%，2九，f)=。

(/ = 1, 2,期. (1.15)

Виртуальными скоростями такой системы называют скорости, проекции которых в данный момент времени удовлетворяют системе уравнений *)

沁什鬻勿 + 岩君)=0 (/=1, 2,....刼.(1.16)

Проекции же действительных скоростей точек системы удовлетворяют следующей системе уравнений:

，儔自+器力+器备)+票(/ = 1,2,…，就

Это значит, что в случае нестационарных связей действительные скорости в общем случае не совпадают с виртуальными скоростями.

В случае стационарной связи уравнения (1.17) при* нимают вид

，传角+登力+謂力° (/ = 1, 2,…，田，(1.18)

совпадающий с уравнениями (1.16), т. е. в этом случае действительные скорости совпадают с одной из систем виртуальных скоростей.

Для материальной системы, состоящей из двух точек, соединенных между собой жестким стержнем длины 厶 уравнением связи будет

(%2 一 打)2 + 匂2 一 У1)2 + (22 - 21)2 一 戶=0.

Условие (1.16) при этом запишется в виде

(电 一 看)(芯一司 + (% - %) @；一圻)+ (4 - 4)(勾 T；) = 。

или в векторной форме：

("一什国-亦a(S9)

где fi и Г2 — радиусы-векторы, определяющие положения точек. Равенство (1.19) выражает условие того, что разность виртуальных скоростей двух точек твердого тела всегда перпендикулярна к прямой, соединяющей эти точки. Для действительных скоростей этот факт известен из кинематики.

Действительным перемещением материальной точки называется вектор

dr = п dt・(1.20)

Проекции этого вектора dx = £dt, dy — у dt и dz = 2 dt удовлетворяют уравнению

某dK*露⑪+粤奴+*m=脑(121)

которое получается из уравнения (1.10) путем умножения его на df.

Действительными перемещениями точек материальной системы называются векторы

d^^=v^ dt — Xidti + yidtj + zidtk (/ = 1,2..., n). (1.22)

Очевидно, что проекции этих векторов должны удовлетворять системе k уравнений

，儔也+需動+ * %)+需由Н0

(/= 1, 2, .... А).(1.23)

Перейдем к определению понятия виртуального перемещения. Предположим, что точка находится на поверхности f (х, у, г, /) = 0. Радиус-вектор г = xi + yj + zk в фиксированный момент времени / определяет положение точки. Рассмотрим теперь множество бесконечно близких положений точки, допускаемых связью в этот фиксированный момент времени. Пусть эти бесконечно близкие положения определяются радиусом-вектором

产(/) = г (/) + Sr = (х + Sx) i + (y + бу) j + (z + 6z) k,

где 5%, by, 3之—проекции вектора бг. Вектор

S = 6% i + бу j + М 左

представляет собой бесконечно малое приращение радиуса-вектора r(t) при мысленном перемещении точки из положения, определяемого радиусом-вектором г(/), в положение, определяемое радиусом-вектором /(/). Этот вектор называется вектором виртуального перемещения. Таким образом, вектор виртуального перемещения представляет собой бесконечно малый вектор, который позволяет мысленно, не нарущая связи, перевести точку из одного ее положения в бесконечно близкое, относящееся к тому же моменту времени. Вектор 6г иначе называют вариацией вектора г, а его проекции 5%, 5协 6z — вариациями координат.

Проекции % + 5%, у + М, 2 + 6? векторов *(/) должны удовлетворять уравнению связи (1.7), т. е.

f (х + бх, у + бу, z + 6z, 0 = 0.

Разлагая это выражение в ряд по степеням 5%, бу, 6г, учитывая, что f (%, у, 2, /) = 0, и пренебрегая членами порядка малости выше первого, получаем условие, накладывающее ограничение на вариации координат;

票б" +岩М +曇品=0・(1・24)

Поскольку при получении выражения (1.24) время считается фиксированным, то вариации 6%, бу, 6г называются изохронными. Пусть т ——коэффициент, имеющий размерность времени; тогда, умножая почленно уравнение (1.13) на этот коэффициент т и вводя обозначения

8% =北*т, Sy = »*t, 6г =之*%

получим

Следовательно, проекции вектора

8广=8% t + Sy j + 8之左=v*x

удовлетворяют условию (L24). Если теперь выбрать коэффициент т таким, чтобы перемещения Sr были совместимы со связью (т должно иметь порядок малости не меньше порядка малости величин 6%, бу, 6z), то, поскольку величины 8%, Sy, Sz удовлетворяют условию (1.24), векторы Sr будут представлять собой виртуальные перемещения, т. е.

№ = 6г. Из соотношения

Sr = v*r следует, что векторы виртуальных перемещений имеют направления виртуальных скоростей.

Если связь, которой подчинено движение материальной точки, стационарная, то проекции (d%, dy, dz) действительного перемещения dr удовлетворяют, в соответствии с (1.21), уравнению

条 ++樂 dz = 0,

т. e. в этом случае вектор действительного перемещения совпадает с одним из виртуальных перемещений.

Условию (1.24) можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение связи f у, z, /) == 0 в фиксированный момент времени можно рассматривать как уравнение поверхности. Тогда из условия (1.24) вытекает, что

виртуальные перемещения точки 6г представляют собой векторы, расположенные в касательной плоскости, проведенной в той точке поверхности, в которой в данный (фиксированный) момент времени находится материальная точка (рис. 1.4).

Виртуальными перемещениями точек материальной системы, подчиненной А связям вида (1.15), называют совокупность бесконечно малых векторов

6% = bXii + 6协 j + 6q 居(1.25)

проекции которых удовлетворяют системе уравнений ，(誥+ 崇"') = 0 °=L2粉.(1.26)

Отметим, что при стационарных связях в соответствии с условием (1.23), проекции действительных перемещений удовлетворяют следующей системе уравнений: 雪備也+豈姒+普%)=。

(/=1, 2,…，舟.(1.27)

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с однмм из виртуальных перемещений. Материальная система, состоящая из п точек, имеет Зи вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.26) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.26) относительно А вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные Зп — k. Следовательно* независимых вариаций координат будет Зп —財 т. е. число независимых вариаций координат равно числу степеней свободы материальной системы.

Виртуальная работа. Признак идеальности связей

Если на точки материальной системы в данном положении и в фиксированный момент времени действует система сил 尸<,尸& F% • •・,Fn, а виртуальные перемещения точек системы равны би, бгг, *. > > бг% то виртуальной ра・

ботой называется работа этих сил на виртуальных перемещениях системы, т. е.

64= 士巴・3,(1.28)

или

п

64 = £(Х 力勺 + Yfiyt + Z,6*・(1.29)

/= 1

Определим понятие идеальных связей； Идеальными связями называются такие связи, для которых виртуальная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю, т. е.

£/?「М = 0,(1.30)

где Ri — реакция связи, приложенная к i-й точке.

Определение идеальной связи, известное из курса теоретической механики, как связи, реакция которой не содержит составляющей обусловленной трением, является частным случаем приведенного выше определения.

Воспользуемся условием (1.30) для выражения реакций связей, используя неопределенные множители Лагранжа.

Записав условие (1.30) в виде

月(Q%6打 + Riy&yi + RiZ 6zj) = 0,(1-31)

вспомним, что вариации координат 6%厶 by厶 62彳(в соответствии с (1.26)) подчинены уравнениям

2 ("^" °修 +"5^ 物 + "5^6") = ° (j= L 2,k). (1.32)

Каждое из этих 力 уравнений умножим соответственно на неопределенные множители Лагранжа 厶外厶2； •・・,九在,которые могут быть функциями координат и времени:

£%•(誥g+需物 +需")=0"1, 2,...,现

Полученные выражения сложим:

ij g 2大，晋+ 6玖平/ + 6当工修岩卜0. (1.33)

Вычтя теперь из соотношения (1.31) выражение (1.33), получим

ппkk工g・®-£九/U工g・®-£九/U/=1/=1/=|/=|=0. (1.34)=0. (1.34)

п

п

k

k

工g・®-£九/U

工g・®-£九/U

/=1

/=1

/=|

/=|

=0. (1.34)

=0. (1.34)

Так как в силу уравнений (1.32) независимых вариаций координат будет Зп — fe, то выберем множители Лагранжа 储,九2,九з, • • •，入在 таким образом, чтобы коэффициенты при & вариациях координат обращались в нуль. Оставшиеся в выражении (1.34) Зп ——k вариации координат будут независимы, и поэтому множители при них также должны быть равны нулю*). Таким образом,

(1.35)(1.35)丽='嗡'/=1

(1.35)

(1.35)

融 =，为 粤./=1”

Приведем примеры идеальных связей.

Пример 4. Связь между двумя материальными точками М н М^ осуществлена в виде абсолютно жесткого стержня (рис. 1.5).

Пусть Ri и 灭2 — соответственно реакции связей, приложенных к точкам Mi и М2. Если % и % — виртуальные скорости соответ-

етвенно точек М и 私，то виртуальные перемещения этих точек будут равны

drz = v*r и dr2 = u；t.

Работа реакций на виртуальных перемещениях точек

% • ”i + R2.6夕2 = %•(*]— °%) = &1. В； — v；) с = О,

так как R2 = —Ri； реакция Ri направлена вдоль стержня, а разность

Рис. 1.5.Рис. 1.5.©1 — и? перпендикулярна к направлению стержня [см. формулу (1.13)].

Рис. 1.5.

Рис. 1.5.

Пример 5. Точка движется по внутренней стороне абсолютно гладкой поверхности параболоида вращения

/ (х, g, z) = х2 + у2 — az=^ 0.

По условию поверхность абсолютно гладкая, следовательно, реакция направлена по нормали к поверхности,

но виртуальные перемещения расположены в касательной плоскости. Значит, реакция R перпендикулярна к бг и 丸• 6? = 0. Приведем другое доказательство, с использованием множителя Лагранжа. Так как реакция направлена по нор

мали к поверхности, то можно записать

Rx _ RyRz

илиилиRx Ry Rz 2% — 2y — — aRx Ry Rz 2% — 2y — — aдх дуdz

или

или

Rx Ry Rz 2% — 2y — — a

Rx Ry Rz 2% — 2y — — a

Отсюда имеем R% =入2x, Ry =入2y, Rz =—九a Тогда

R 0 = Rx bx + Ry &y + Rz W =卜(2% дх + 2y 6y — a 6n) = 0,

так как на основании уравнения связи вариации координат 6%, бу и 6z удовлетворяют уравнению

爲飯十器m +祭包=0,

которое в рассматриваемом случае имеет вид

2х дх + 2у бу — adz = 0.

В дальнейшем будут рассматриваться только идеальные связи.

Обобщенные координаты. Обобщенные силы

В § 1.1 было установлено, что положение материальной системы, подчиненной k голономным связям, определяется s = 3〃 ——k независимыми декартовыми координатами. Однако во многих случаях использование декартовых координат приводит к громоздким выкладкам. Поэтому для определения положения материальной системы можно использовать другие независимые друг от друга параметры 小，依，…，qs・ Эти параметры могут иметь различную размерность — это могут быть углы, длины дуг, площади и т. п. Все Зл декартовых координат можно выразить через введенные параметры 硝，^2» • • • , 9s：

^(71(^ 修у备 二= "协召^(71(^ 修у备 二= "协召，%，• • • > Qs> О»，%，• • • > Qs> О»(/ == 1, 2,…，n). (1.36)(/ == 1, 2,…，n). (1.36)

^(71(^ 修у备 二= "协召

^(71(^ 修у备 二= "协召

，%，• • • > Qs> О»

，%，• • • > Qs> О»

(/ == 1, 2,…，n). (1.36)

(/ == 1, 2,…，n). (1.36)

Эти функции обращают в тождество уравнения связей

fi (修，％, /, f) =。(/= 1, 2, ...» k).

Будем предполагать, что любое положение материальной системы, совместимое со связями, однозначно определяется при помощи функций (1.36) некоторыми значениями параметров 内,g% • • •, «s・ Эти независимые между собой параметры д^, ^2, ..., «$ (s ——число степеней свободы) называются обобщенными координатами.

Уравнения (1.36) могут быть записаны в векторной форме:

/*/ = %# + у〃 + z* =「》(д» ^2» • • • > 9s，0*(1 ・37)

При наличии стационарных связей функции (1.36) можно выбрать так, чтобы они не содержали явно времени 厶 т. е. имели вид

%%%,№ /^^ ^ ^r 一一 一一=%%%,№ /^^ ^ ^r 一一 一一=2,2,力力

%%%

,№ /^

^ ^ ^r 一一 一一=

%%%

,№ /^

^ ^ ^r 一一 一一=

2,

2,

力

力

При этом радиусы-векторы точек системы также будут функциями только обобщенных координат;

乙=乙(%，%，…，%)" = L 2,...，力.(1.39)

Пример 6. Положение сферического маятника длины / можно определить двумя углами 矶=6, 02 =屮(рис. 1.6).

Уравнения (1.38) в этом случае имеют вид

х = / sin 0cos ф «/ sin 力 cos %, ^/ = / sin 0 sin ф = / sin g1 sin %, z = / cos 8 = Zcos 力.

Дифференциалы от функций (1.36), вычисленные в

предположении, что время фиксировано, имеют вид

/п= 1

褐=t餘2qgm= i褐=t餘2qgm= izn = 1

褐=t餘2qgm= i

褐=t餘2qgm= i

Найдем дифференциалы при фиксированном / от тождеств, которые получаются из уравнений связей после подстановки в них функций (1.36):

力(修，协，m, f) = 0(/= 1, 2,….，力)，

£(黑石i +黑"〃 + 黑词=。()=1,2,...,也).

/ = 1

Полученные уравнения совпадают с уравнениями (1.26). Следовательно, дифференциалы Sxit %, Szi совпадают с вариациями координат 5%厶 5^厶 bz».

Таким образом, мы установили《рецептуру》вычисления вариаций координат. Как для стационарной связи,

так и для нестационарной вариации координат будем вычислять по формулам

(1.40)(1.40)物=£謂6%m = 1

(1.40)

(1.40)

6/ =工器-Mm

Здесь

M/% = 2夕加 (团=1,2, ..., s)

называются вариациями обобщенных координат.

В соответствии с выражениями (1.37) и (1.40) для виртуальных перемещений будем иметь

Подставляя соотношение (1.41) в выражение для виртуальной работы

получим

64 = 2下厂£嘉6qm.

i = 1m=I

Внося 尸i под знак второй суммы и меняя порядок суммирования, будем иметь

ХСХСcoscosФ» % =£ sin 屮,Ф» % =£ sin 屮,

ХС

ХС

cos

cos

Ф» % =£ sin 屮,

Ф» % =£ sin 屮,

Суммы

Qm=2马•診= i= 1

=2d矗+ % 器+ Zi詔)S=1'2S)(1.42)

называются обобщенными силами. Каждой обобщенной координате qm соответствует своя обобщенная сила Qm)・ Итак

S

64 =》Qm 6qm = Qi 6力 +

m= I

+ Q2 М2 + • • • + Qm M付(L43)

Выражение (1.43) позволяет дать следующее определение обобщенных сил: обобщенными силами называются коэффициенты при вариациях обобщенных координат 6 выражении для вир- туалъной работы.

Пример 7. Однородный стержень 04, вес

вращаться вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси Ог без трения (рис. 1.7). К концу А стержня прикреплена пружина OiA = I. Точка 01 крепления пружины находится от точки О по вертикали вверх на расстоянии, причем 010 士 ОА = г. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна /о. Найти обобщенную силу.

За обобщенную координату примем угол ср. Тогда будем иметь хд = г cos ф,Уд~г sin Ф，

где %с, Ус ——координаты центра тяжести стержня. Сила, действующая на конец стержня Л со стороны пружины, равна

尸1 = с I / — /о I，

гдегде

где

где

/ = 2r cos

Проекциями этой силы на оси координат будут

& = - с(2г cos -~ — /о) cos -—- +& = - с(2г cos -~ — /о) cos -—- +У【=-с(2г cos等-/, sin号.У【=-с(2г cos等-/, sin号.

& = - с(2г cos -~ — /о) cos -—- +

& = - с(2г cos -~ — /о) cos -—- +

У【=-с(2г cos等-/, sin号.

У【=-с(2г cos等-/, sin号.

Проекциями силы Р, приложенной в центре тяжести С стержня, будут

/ = Р, %=Q・

В нашем случае

Q = /當+%* + *2務+厶祭.

В силу того, что

дхА . дуАдхс г .

帀=一 ср, 再=г cos ср, 前—彳 sm <р, получим

Q = ”⑵ CGSQ = ”⑵ CGSsin- —sin- —Pr・

Q = ”⑵ CGS

Q = ”⑵ CGS

sin- —

sin- —

sin<p.

Пример 8. Найтц обобщенные силы для сферического маятника (рис. 1.6). В данном случае n =« 1, s = 2. Обобщенные координаты; ^1 ® 0, ^2 s <р. Обобщенные силы определяются формулами (1.42):

QLX"g + y 器+ Z 案’

Qi黑+ '器+ Z器.

Так как Х==У=»0, Z = P, а

х ^ / sin 0 cos ф, у = / sin 6 sin <р, ^ » / cos 9 и

—/sin 0= 0

то

Qi = — PZsin 0, Q2 = 0・

Определим теперь обобщенные силы через виртуальную работу

64 =尸• * = X дх + У бу +Z 6z = Р 6n.

Так как

6z = — / sin 9 66,

то

дЯ= -P/sinQd0

и, следовательно,

Qi в — Р/ sin О, Q2=0・

Пример 9. Найти обобщенные силы для материальной системы, схема которой представлена на рис. 1.8. Веса грузов Л, В и С соответственно равны Рь Р? и Рз. Грузы Л, В перемещаются по гладкой горизонтальной поверхности. Стержни невесомы и соединены с грузами Л, В и между собой идеальными цилиндрическими шарнирами. Жесткости пружин 门 и С2・

Выберем начало координат О в положений равновесия груза 4.

Для определения числа степеней свободы рассматриваемой механической системы применим формулу s = 3几一也.Пусть коорди* наты точек А, В и С соответственно будут %i, ^刀 в】,％2, У2,乞2, %з, Уз, 2з. Напишем уравнения связей:

%]=0, 尤 2 = °，之1=0,n2=°， 23П0，

[(#3 一 ") - /]2 + (% - y1)2 + (备一厶)2 - (2 = 0,

[a3 - p)- 力产 + 匂3 - 力)2 + (窃 一 &)2 - /2 = 0.

Число точек в системе 九=3, число связей А = 7, следовательно, число степеней свободы s = 2. За обобщенные координаты примем 01 ■ s,仇=<р (см. рис. 1.8). Координатами грузов Л, В и С будут 修=0,4i = s,

х2 = 0,勿=s + 2/ sin qp,

%з = / cos $ + р, % = s + / sin ф.

Проекции активных сил Pi, Р2, Рз,尸厶尸2, действующих на груз* равны

X] = Р], У[ = — % (s + М),

*2 =「2，丫2 = & ® + 九2)= &(Q — S ••厶[—2/ COS ф),

Хз = Рз, Уз = 0,

где Aq и 入2 — статические удлинения пружин*

Найдем виртуальную работу

64 = X] дХ] + Y] Ьу\ + X? 6%2 + 丫2 6^2 + Хз 6%з + У 6北.

Так как

6%]=0, бу】=6s, дх2 = 0, бу2 = ds + 2Z cos ф дф,

6%з = — / sin 中 6(р, буз = 6s + / cos ф d(p,

то

64 = — % (s + 九 1) ds + с2 (а — s — %i — 21 sin 屮)(6s + 2/ cos ф дф)—

—Рз/'sin ф дф =1 — Ci (s + Xj) + с2 (а — s — Aj — 2/ sin <p)] 6s +

+【。2(Q — s — % — 2/ sin ф) 2/ cos ф — Р3/ sin qp] 6(p・ Следовательно,

Qi =* 一C[ (s + 九i) + с?(Q — s —九 1 — 2/ sin ф),

Q2 =。2 (@ — s — % — 2/ sin <p) 2/ cos <p — Р3/ sin ф.

ГЛАВА 2

ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Принцип виртуальных перемещений

Принцип виртуальных перемещений является принципом механики, устанавливающим необходимые и достаточные условия равновесия (покоя) материальной системы.

Пусть материальная система подчинена 右 голоном- ным стационарным связям

ff = (%i, У и 々，％2, ％,电，…•，今，Уп,喝)=О

(/ = 1, 2, ...» %).

Дифференциальные уравнения движения этой несвободной системы имеют вид

miWi^Fi+Ri (/= 1, 2, ..., 〃)，(2.1)

где / — номер точки, 叫一ее ускорение, g — масса, " и Ri — соответственно равнодействующие всех активных сил и реакций связей, приложенных к 厶й точке.

Под равновесием (покоем) материальной системы будем понимать такое ее положение, в котором система будет находиться все время, если она в начальный момент времени, имея скорости, равные нулю, находилась в этом положении. Отсюда следует, что в положении равновесия материальной системы скорости и ускорения всех ее точек равны нулю, т. е.

办=О, W/ = 0 (z = 1, 2, . • • 9 п)

или, в соответствии с уравнениями (2.1),

V/ = 0, 尸力 + R《=0 (i = 1, 2, • •.,忆)・(2.2)

Сформулируем теперь принцип виртуальных перемещений.

Необходимым и достаточным условием равновесия го- лономной материальной системы, подчиненной только идеальным связям, является равенство нулю работы всех активных сил на любом виртуальном перемещении точек материальной системы, т. е.

工尸广必=0.(2.3)

л

Кроме того, в соответствии с определением разновеса я 叫«())=0 〃 = 1, 2,.. •, 〃)，где 力一начальный момент времени.

Докажем необходимость этого условия. Пусть система находится в положении равновесия. Это значит, что выполняются условия (2.2). Умножйм скалярно второе выражение этого условия на вектор виртуального перемещения “й точки:

6гг (Л+ /?,)= 0.

Это выражение справедливо для любой точки материальной системы. Складывая все эти выражения, получим

£(巴+r)・》,=o,

или

工Е • g +工Ri•"i = 0 •

Так как по предположению связи, наложенные на систе- му, идеальные, то工k •S = 0 и, следовательно,

п

5尸厂= о ♦

Скорости же всех точек равны нулю по предположению* Докажем, что условие (2.3) будет и достаточным условием равновесия системы.

Очевидно, для этого достаточно показать, что уравнения (2.2) являются следствием условия (2.3), Запишем

условие (2.3) в виде

2 (% 6修 + 匕斫 + Z, 6勿)=0,(2.4)

где X办 Уй Zf — проекции силы 尸匕 на оси координат. Вариации координат 6修，6〃з 6方 подчинены k уравнениям (1.26):

?(*6勺+黑物+粤党=。(/= 1，2,粉.

Умножая эти уравнения соответственно на неопределенные множители Лагранжа 九厶 ％, • • •,九在 н складывая затем полученные выражения, будем иметь

，修£儔М +需物+ *6z) = 0,

или

e3金檎+噂鳴+6哈用"

I "I (2.5)

Складывая соотношения (2.4) и (2.5), получим

e [卜;+ 2 м欝卜" + (匕+ > %明+ + (z, + ^^ X /62/"! = 0.

Выбираем теперь 九)так, чтобы коэффициенты при 女 вариациях координат обратились в нуль; тогда обратятся в нуль и коэффициенты при остальных 3" — й вариациях в силу независимости этих последних. Следователь* но, мы получим уравнения

及+

匕+ 2为需

Zi + a/壽二。’7=11

или, с учетом формул (1.35),

^i + Rix = 0,匕+ R 切=0, Zi+Rfz = O (z = 1,2, ..n)

Умножая каждое из этих уравнений соответственно на единичные векторы /, / и й координатных осей х, у и z и складывая полученные выражения между собой, будем иметь

Fi + Rt —0(f=l,2, ..., п),

т. е. уравнения (2.2). Начальные же скорости равны нулю по условию (2.3)).

Принцип виртуальных перемещений позволяет определить положение равновесия несвободной материальной системы, не вводя в рассмотрение неизвестных реакций идеальных связей, так как в формулировку этого принципа эти реакции не входят.

Однако принцип виртуальных перемещений может быть применен и для нахождения реакций идеальных связей. Для этого, в соответствии с принципом освобождаемое™, следует отбросить связь и заменить ее действие реакцией, а затем включить эту реакцию в число активных сил. При этом следует помнить, что при отбрасывании связи увеличивается число степеней свободы системы.

Если наложенные на систему связи не идеальные, то непосредственно принцип виртуальных перемещений к таким системам неприменим. Однако в этом случае, например при движении точек по негладким поверхностям, следует реакции разложить на нормальные составляющие и силы трения. Далее принять, что связи идеальные, а силы трения отнести к активным силам. Конечно, при этом сле-

дует учитывать условия равновесия при наличии трения *).

Пример 10. Тяжелый однородный стержень длины 2/ опирается промежуточной точкой на выступ В. Другой конец стержня удерживается невесомой нитью длины /, прикрепленной к точкё О (рис. 2.1). Дано: ОА = OB = I. Найти угол ф, образуемый стержнем с горизонтальной линией при равновесии. Стержень считать гладким, точки О и В находятся на

одной горизонтали.

Активная сила здесь одна — вес стержня Р, приложенный в центре тяжести стержня С. Согласно формуле (2.3) условием равновесия стержня будет

Р・"с = Р6%сП° или 6% = 0・ Так как

%С = / sin 2(р — / sin ф,

тоРис. 2L

6% = / (2 cos 2 ф — cos ф) дф = 0.

Поскольку дф выбирается произвольно, можно считать 6(р * 0, и, следовательно,

2 cos 2ф ~ cos ф == 0, или

4 cos ф — cos ф — 2 = 0, откуда

cos ф = •十- 忆 0,842.

Пример Н. Определить реакцию опоры С трехпролетной разрезной балки (рис. 2.2, а).

Заменим действие опоры С реакцией Кс. На рис. 2.2, б показано одно из виртуальных перемещений системы. Согласно принципу виртуальных перемещений

Р「"]+Кс"% + Р2・»2 + Рз・"з =

= PJg| —处巾с| +/|”2| -Рз|»з| =0,(2.6)

где би, 6?2, 6?з, 3/*с ——виртуальные перемещения точек балки, к которым приложены силы Pi, Р2, Рз и реакция Rc. Поскольку мы отбросили опору С, балка получила одну степень свободы. Положение балки теперь можно определить углом ср поворота левой части балки вокруг точки А (в положении равновесия ср = 0). При сообщении балке, находящейся в равновесии, выбранного виртуального

*) Н. В. Б у т е н и н, Я. Л. Л у н ц, Д. Р. Me р к ин, Курс теоретической механики, т. 1, «Наука», 1970, стр. 82—90.

перемещения величины 16п |, |6白1, ldr3| и |6?cl можно заменить через вариацию 6q> угла 屮 по следующим соотношениям (см. рис. 2.2,6)：

1%1 = 万6ф, [6гe1 = ，6(p, [%| =彳/频，也1 =彳6%==/6中, так как в соответствии с рисунком q / 6屮=万 6<Pi и, следовательно, 6屮]=3 дф.

Подставляя полученные соотношения в уравнение (2.6), имеем gp[一&+*2 -^p3)/频=0■

Так как 6ф выбирается произвольна, то можно принять 6ф=/=0・ Тогда

2P「4先 +5P2-ЗР30О

п

А = 2Pl + 5P2 — ЗРз

Пример 12. При каком соотношении между весами Р^ Рг, Рз и Р《грузов At Bt С и D система, изображенная на рис. 2.3, будет находиться в равновесии? Нить невесома и нерастяжима. Трением пренебречь.

Пусть величины si, %2, %з, S4 определяют положение грузов Д, 3, С, D. На основании принципа виртуальных перемещений можно написать условие равновесия

Pi sin a 6sl + Р2 бх2 + Рз 6%з + Р《sin 0 6s4 = 0.

Из условия нерастяжимости нити получаем

S] + 2& + 2%з + s《=const.

Отсюда

6sl + 26%2 + 26%з + б/ = °,

т. е. четыре величины 6si, 6也,6%з, 6s4 связаны между собой одним уравнением, следовательно, три из них могут принимать независимые

друг от друга значения, а четвертая определится из полученного соотношения. Пусть это будет

6s4 = —(6$1 + 26*2 + 2dx3).

Подставляя это выражение в условие равновесия, получим (Pi sin а — Р4 sin ₽) 6sl + (Р2 — 2P《sin P) 6厶 + (Рз — 2P4 sin 0) 6為=0.

Так как 6s】，6x2, 6x3 независимы между собой и могут принимать различные значения, то полученное равенство может быть выполнено лишь при условии

Pi sin а — Р4 sin Р = G, 尸2 — 2P4 sin p ~ 0, P3 — 2P4 sin p = 0, откуда

P2 =尸3, Pi sin a = P4 sin §.

Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах

Как было установлено в § 2.1, необходимым и достаточным условием равновесия голономной стационарной материальной системы при наличии только идеальных

связей является условие (2.3):

力(幻=。G = 1, 2, ..., п), 64 =工戶/ ； 6% = О,

，=1

где Fi — активные силы.

В обобщенных координатах второе выражение условия (2.3), в соответствии с равенством (1.43), имеет вид

Qi 6% + Q2 М2 + …+ Qs 6gs =。・

Так как bqi, 6夕2, •・•, 6夕8 могут принимать любые значения независимо друг от друга, то полученное соотношение может быть выполнено, если все обобщенные силы одновременно будут равны нулю, т. е.

Qi = О, Q2 =。，・・・，Q$ = О, или

Qm = 0 (m = 1, 2,…，s)・(2.7)

Следовательно, необходимым и достаточным условием существования положения равновесия голономной стационарной системы, подчиненной идеальным связям, является равенство нулю скоростей всех точек системы и равенство нулю всех обобщенных сил.

Пример 13. В рассмотренном в § 1.4 примере 7 (рис. 1.7) обобщенная сила имела выражение

Q сг(2г cos 长一/ j sin 号一-^ sin <p

ИЛИ

Q =厂[° 色 cos 专一?o) — P cos -~ j sin •—.

Приравнивая это выражение нулю, найдем значение угла <р, при котором система может находиться в равновесии:

г [с(2r cos 学一/0) — Р cos ~j sin у = 0.

Отсюда

sin 货 н。， т. е. ф{» 0,

или, если sin 毋耍 0,

e(2r cos 等一")_Р cos 等=。，

и окончательно

中2 cosv

2гс — Р *

Однако это состояние равновесия cIq

будет существовать, если

12гс — РI

VL

印2 = 2 arccos印2 = 2 arccos2гс — Р •2гс — Р •будет еще состояние рав-будет еще состояние рав-! 7〃! 7〃ъъ?0?0tg泞tg泞Рис. 2.4.Рис. 2.4.Отсюда следует, что % =Отсюда следует, что % =。2 (a — 2/ cos qpo)-^:а tак какe\ +02。2 (a — 2/ cos qpo)-^:а tак какe\ +02

印2 = 2 arccos

印2 = 2 arccos

2гс — Р •

2гс — Р •

будет еще состояние рав-

будет еще состояние рав-

! 7〃

! 7〃

ъ

ъ

?0

?0

tg泞

tg泞

Рис. 2.4.

Рис. 2.4.

Отсюда следует, что % =

Отсюда следует, что % =

。2 (a — 2/ cos qpo)

-^:а tак как

e\ +02

。2 (a — 2/ cos qpo)

-^:а tак как

e\ +02

т. е. при Р < с(2г — /о) или Р > с(2г + /о) новесия (кроме q)i = 0)

Пример 14. В примере 9 для рассмотренной материальной системы обобщенные силы равны

Q1 二—/ (s + 储)+

+ q (a — s —九 1 一 2/ sin <p),

Q2 == & (a — s —九 1 —

—• 2/ sin ф) 2/ cos ф — P3Z sin qp.

При равновесии s = 0, <p =屮。 и, следовательно,

一C]Aq +e2(0一仙 一 2/ sin 90)= 0, 02 (a —九1 — 2/ sin фо) 2/ cos 中。一

—Рз / sin фо = 0.

тотоа — %】+ 九2 + 2/ sin фо,

то

то

a Ci (a-21 sin <po)

42 ：

С1 + Q

Уравнение для определения cp0 имеет вид

2cle2 cos фо (a — 2/ sin(p0) — (% + 修)Рз sin ,qp0 = 0.

Представив это выражение в виде

a — 2/ sin фо = Рз g；±? tg 屮о.

построим иа плоскости ^у две кривые (рис. 2.4):

^/ = п — 2/ sin qpo и> у = Рз

/ +e2

2门“

tg Фо-

Точки пересечения этих кривых и дают искомые значения 屮&. Очевидно, при 0 < фо < 冗/2 будет только одна точка пересечения, соответствующая единственному положению равновесия системы. Если Рз = 0, то уравнением для определения фо будет

cos ф0(а — 2/ sin(р0) = 0.

Отсюда cos фо = 0, т. е.的=-^. Это значит, что существует положение равновесия, когда стержни горизонтальны. Но если а < 2/* то может быть

а —21 sin ф0 — О,

sin Фо = ^-.

Следовательно, при а > 2/ возможно (при Рз = 0) одно положение равновесия <Ра =歹・ При* а V 2,——два: <Ро =豆 и фа= arcsm 犷.

Случай консервативных сил

Если силы, действующие на точки голодом ной стационарной системы, консервативные, то выполняются соотношения

%=一器，匕=一翡，/=-岩，（28）

где П = П(xu 协,/, x2,纟2, &，•…，为炉勿，^)- потенциальная энергия.

Подставляя (2.8) в формулу для обобщенной силы (1.42) и приняв во внимание (1.36), получим

八 v / ап dxt t ап dytiel八 v / ап dxt t ап dytielОК dz, \瓦顼)ОК dz, \瓦顼)(^д ^ 1 * 2, • • •» s)・(^д ^ 1 * 2, • • •» s)・on(2.9)on(2.9)

八 v / ап dxt t ап dyt

iel

八 v / ап dxt t ап dyt

iel

ОК dz, \瓦顼)

ОК dz, \瓦顼)

(^д ^ 1 * 2, • • •» s)・

(^д ^ 1 * 2, • • •» s)・

on

(2.9)

on

(2.9)

Таким образом, если силы консервативны, то обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ^т, равна взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по обобщенной координате.

Условие (2.7) в этом случае запишется в виде

龈。。（吁 1,2,s）.

(2.10)

Отсюда следует, что в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет экстремальное значение.

Пример 15, Найти обобщенную силу и положение равновесия

рис. 2.5. однород*рис. 2.5. однород*материальной системы, схема которой представлена на

рис. 2.5. однород*

рис. 2.5. однород*

ммимеетимеетОО夕夕В точках О, Л и В имеются шарниры. Стержни ОА и 43

м

м

имеет

имеет

О

О

夕

夕

ные и имеют одинаковую длину а и массу т. Поршень массу /Пр Середины стержйей ОА и АВ соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии /о V а. Трением и массой пружи-

Лы пренебречь. Механизм расположен в вертикаль- ной плоскости.

Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем g = ср.

Потенциальная энергия будет

П = -tngxCi - mgx* 一 加 ig%B + 万必％

где

a3c

力С】=у cos ф, %q и 万 a cos ф, xs = 2a cos q>,

а % = CG—/о—удлинение пружины (& и С2 — точки крепления гц)ужины). Так как CiC2 H a cos 屮， то % = a cos ф — /о- Следовательно,

И = —2 (zn + т^ ga cos 屮 + 于 с (a cos <р — /0)2.

Дифференцируя по <р, получим

-^* =* 2 (/nj + 加)ga sin ф — ac (a cos ф — /0) sin ф

и обобщенная сила будет

Q = — -^ = — 2 (团 + 加1)弘 sin 屮 + ас (■ cos ф — /0) sin <р.

При равновесии системы Q = 0, т. е.

[—2 (т + т^ ga + ас (a cos ф — /。升 sin 屮=0.

Отсюда следует, что в положении равновесия

sin ф = 0・

Значит, ср】=0 является одним из равновесных состояний системы. Но может быть и

—2 (т + mi) g + с (a cos <р — /0) ~ 0,

откуда

cos q)2

2 (m+m])g +叫

Согтвшше равновесия, определяемое этим выражением, может существовать» если

2(m^ml)g<c (a-lQ).

Таким образом, если

2(m + mi)^>c (а-/о),

то существует одно состояние равновесия

Ф1 =0-

При 2(m + mi)g < с(а — Zo) существуют два состояния равновесия: л2(/п +mi) g+cIq

Ф1 =0, 屮2 = arccos ―或亠-.

Пример 16. Две материальные точки Afi и М^ сощщенные

тяготения.тяготения.между собой жестким стержнем длины /, притягиваются к неподвижной точке О по закону всемирного тяготения. Пренебрегая массой стержня, найти обобщенные силы, при-

тяготения.

тяготения.

нимая, что движение происходит в одной

в одной плоско- них определяется условию расстоя- изменяется, сле- координат будетв одной плоско- них определяется условию расстоя- изменяется, сле- координат будетплоскости.

в одной плоско- них определяется условию расстоя- изменяется, сле- координат будет

в одной плоско- них определяется условию расстоя- изменяется, сле- координат будет

При движении точек сти положение каждой из двумя координатами. По ние между точками не довательно, независимых

три, т. е. рассматриваемая материальная система имеет три степени свободы. За обобщенные координаты примем qi = г, ^2 = ф, ^з = Ф (рис. 2.6).

Потенциальная энергия системы равна

П

где а н 0 — постоянные величины. Но так как к = М「2 + /2 + 2〃 cos (<р —屮),

то

И = аВ

Г Р「2 + /2 + 2〃 COS (屮一屮)* Отсюда

с ОН а Р [г + / cos (<р — ф)] dr г2 [r2 + С + 2〃 cos (ф — ф)]

О = _ 0П иВ" sin (屮一⑪)

2 即 [г2 + К + 2г/ cos (<p — 2)]% '

八 ОНBrZ sin (ф —1|))

Q? = _ =— ‘・-g厂.

02 T2 + /2 + 2" 8s (①-屮)]&

Устойчивость состояния равновесия

Принцип виртуальных перемещений, рассмотренный в предыдущих параграфах, устанавливает необходимые и достаточные условия равновесия материальной системы. Но не каждое состояние равновесия можно реализовать практически. В самом деле, для сферического маятника, рассмотренного в примере 8 (§ 1.4, рис. 1.6), обоб* щенные силы равны

Qi и — р/ sin 0, Q2 = 0.

Условием равновесия будет

PZ sin 0 = 0,

откуда 0 = пл (п = 0, ±1, ±2,...).

Практически этому условию соответствуют два положения равновесия: нижнее при 0 = 0 и верхнее при 0 = л. Для положения равновесия при 0 = 0 характерно то, что при сообщении маятнику достаточно малого отклонения от этого положения равновесия и достаточно малой Скорости он будет совершать движения вблизи состояния равновесия. Для состояния же равновесия при 8=冗 при сколь угодно малых отклонениях маятника от него и при сколь угодно малой начальной скорости маятник будет удаляться от этого положения равновесия.

Положения равновесия материальной системы, для которых небольшие отклонения от этих положений равновесия и небольшие начальные скорости точек системы не приводят к выходу материальной системы из достаточно малой окрестаости положения равновесия, называются устойчивыми.

Если же сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия и сколь угодно малые начальные скорости приводят к возрастающему отклонению материальной системы от положения равновесия, то это положение равновесия называется неустойчивым.

Может существовать еще и так называемое безразличное положение равновесия, характерное тем, что при выводе системы из этого положения она окажется в новом положении равновесия и не будет стремиться приблизиться к прежнему положению равновесия или удалиться от него. Примером такого положения равновесия

может служить положение равновесия тяжелого шара на горизонтальной плоскости.

А. М. Ляпунов дал строгое определение устойчивости состояния положения равновесия:

Устойчивым положением равновесия системы называется такое ее положение, когда при достаточно малом начальном отклонении от него и при достаточно малых начальных скоростях все точки системы, имея сколь угодно малые скорости, будут двигаться так, что все они не уйдут от своеео равновесного положения далее наперед заданного расстояния, как бы оно мало ни было.

Приведем теперь достаточный признак устойчивости положения равновесия материальной системы в консервативном силовом поле, даваемый теоремой Лагранжа — Дирихле.

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое доказательство того, что для любой материальной системы (в консервативном силовом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа-Дирихле: если для материальной системы, находящейся 6 консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ).

Отметим, что минимум потенциальной энергии обеспечивает выполнение условий равновесия (2.10), так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение.

Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует: если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли).

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то исследование устойчивости

состояния равновесия становится очень сложной за* дачей.

Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова: если отсутствие минимума потенциальной энергии П 6 исследуемом положении равновесия об нар уживается уже по членам второго порядка (или вообще по членам наименьшего порядка) в разложении функции П(^1, 92, • • •, %) 6 ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво.

Пример 17. Для механической системы, рассмотренной в примере 7, потенциальная энергия может быть выражена формулой 口 =p(%0-%) + "，

где Хсо — значение координаты Хс при недеформированной пружине, X = ]/——/oj ——растяжение пружины. В соответствии с приведенными в примере 7 расчетами

хс = у cos Ф， %о = у cos фо,九=12厂 cos-|- ~2rcos-y-|.

Следовательно,

П = g Pr (cos фо — cos ф) + 2cN (cos 伴一cos号),

гдегдеТак какТак какcos*=每 (/о < 2г).cos*=每 (/о < 2г).

где

где

Так как

Так как

cos*=每 (/о < 2г).

cos*=每 (/о < 2г).

•^ = } Pr sin 屮-2b2 (cosу — cos号)sin y, то отсюда получаем условие равновесия

[(2” - Р) cos у —叫]sin ~- = 0,

а приа причто, естественно, совпадает с условием равновесия для данной системы, полученным в примере 13 из условия Q = 0. Там же было установлено, что всегда существует состояние равновесия при(pi = 0,

а при

а при

илиилиР V с (2г — /о)

или

или

P>c(2r + l0)существует еще одно состояние равновесия：屮=屮2 = 2 arccos -г

小口 d(p2小口 d(p2Выясним характер этих состояний равновесия. Вторая производная от П по ф равна

小口 d(p2

小口 d(p2

f [(Р - 2cr) cos ф + 叫 cos 俳}

При(р = 0

//2ТТ г

•才评 *= 3 (Р — 2сг + с/0).

d2口

Значит, при Р > с(2г — /0) ^2 >0 и это состояние равновесия устойчиво, а при Р < с(2г + /о) — неустойчиво. Для состояния равновесия

屮2 = 2arc cos о

寸2cr — P

"^^-=与[(P — 2cr)(2 cos? ^— 1) + 叫 cos ^*]=

r (2cr + c/o — P) (P — 2cr + 儿)

P-2"

г/2Ц

Если P V 2cr — c/o, то 7T■>(),工 e. состояние равновесия устой-

6/2口

чиво. Если Р > 2cr + с/0> то ?而纟 V 0 и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво. Итак, при Р V 2сг ——cZ0 существуют два состояния равновесия: q)i = 0 — неустойчивое и(р2 = 2 arccos %；? р - устойчивое. При Р > 2сг 十 clQ существуют также два состояния равновесия: ф1 = 0 — устойчивое и <р 二 屮2 ——неустойчивое. При с(2厂一/0) V 户 V с(2г + /0) существует одно устойчивое состояние равновесия q)i = 0.

Прнмер 18. Определить устойчивость положений равновесия в примере, схема которого изображена на рис. 2.5 (§ 2.2).

Дифференцируя

= 2 (俏 + 加 1) ga sin (p — ас (a cos <p — /0) sin ф

по <p, получим

d2n

-^5- ^2(m + mJ ga cos 屮 + cq? sin2 <p — ac (a cos <p — Zo) cos qp =

=a [2 (俏十 mJ g + с/。] cos ср + с"(1 — 2 cos2 <p).

При 屮=0 будет

d2H

2(m + m^ g> c(a — l^}2(m + m^ g> c(a — l^}будетбудет•^Г = a【2 (тх + m) g — с (a — Zo)].

2(m + m^ g> c(a — l^}

2(m + m^ g> c(a — l^}

будет

будет

魯。，

d(p2 ，

т. е. потенциальная энергия имеет минимум и состояние равновесия

<р = 0 устойчиво. При

2(m + m1)^<c(a-/0)

祭。

и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво. При

屮=仇=arccos屮=仇=arccos2(m + mi)g + c%2(m + mi)g + c%

屮=仇=arccos

屮=仇=arccos

2(m + mi)g + c%

2(m + mi)g + c%

讲口 一 [2(zn + mi)g + c(a + /o)] [c(a-/u)-2(zn + mi)g] d^с

Если

2 (tn + mi) g <с (а - lQ\

то -y~2~>0 и состояние равновесия <р = ф2 устойчиво. Значит, при

2(tn + tnl)g>c(a-lQ) существует одно устойчивое состояние равновесия <р = 0. При

2(ni + m^ g<c(a — l^ существуют два состояния равновесия: неустойчивое ф = 0 и устойчивое ф =(р2.

Пример 19. Невесомый стержень ОА длины а может свободно вращаться вокруг точки О. К концу Л стержня шарнирно прикреплен невесомый стержень АВ

длины а, на другом конце которого

закреплен груз В массы /и. Точка О иРнс. 2.7.

точка В соединены между собой пружиной

жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапряженном состоянии равна а. Найти положения равновесия (рис. 2.7), считая, что система расположена в плоскости ху.

Пусть обобщенными координатами будут

力=恥 02 =w•

Выражение для потенциальной энергии имеет вид

ЗдесьЗдесь

Здесь

Здесь

хв~а (cos ф + cos 屮)，

九=2q cos * 2 - • — q;

значит, потенциальная энергия

И = — mga (cos <р + cos ф) + -i- с"(2cos " ^山—1

Далее вычисляем

-^- = mga sin <р + с" (2 cos ”》山— 1) sin ^^-,

-^- = mga sin ф — ca2(2 cos 亞^里—1) sin

Углы ср и -ф в положении равновесия определяются из уравнений

mg sin(p + cacossin = О,

,J 2(2.11)

mg sin 巾-ca(2 cos &万平—1) sin 曳^，・=0.

Очевидно, что в положении равновесия

屮 1 = 0, Ф1 == 0 и $2 = %*2 =九

Складывая между собой оба уравнения (2.11), получим положение равновесия, для котррого

sin ф + sin ф = 0, т. е. когда = — <р. Вычислим теперь вторые производные от П:

Л = 金 tnga cos 屮 + ca2 sin2 —

-明28 s中正宁,

ВВ/П^Ф д^>/П^Ф д^>-微2 sin2(2 cos中 - 1) cos 中,-微2 sin2(2 cos中 - 1) cos 中,CC02口 03202口 032mga cos -ф + cq2 s;nmga cos -ф + cq2 s;n統±（2双安£.］）侬中.統±（2双安£.］）侬中.

В

В

/П

^Ф д^>

/П

^Ф д^>

-微2 sin2(2 cos中 - 1) cos 中,

-微2 sin2(2 cos中 - 1) cos 中,

C

C

02口 032

02口 032

mga cos -ф + cq2 s;n

mga cos -ф + cq2 s;n

統±（2双安£.］）侬中.

統±（2双安£.］）侬中.

ВВположении равновесия ф! =0,屮】=0,

В

В

Cq2Л = mgag-, ВCq2Л = mgag-, ВcdcdC = mga声C = mga声

Cq2

Л = mgag-, В

Cq2

Л = mgag-, В

cd

cd

C = mga声

C = mga声

ииА = АС — В2 = I mga —А = АС — В2 = I mga —

и

и

А = АС — В2 = I mga —

А = АС — В2 = I mga —

c 2a4

—j— = mga (mga — ca2).

При mg > ca Д > 0, а так как при этом А > 0, то потенциальнаяэнергия имеет минимум и положение равновесия устойчиво. При

А < 0, т. е. при mg < са, потенциальная энергия экстремума не имеет.

В положении равновесия(р2 =冗,屮2 =冗,

4 = — mgag— <0, В = —^-4 = — mgag— <0, В = —^-С = — mga2~，С = — mga2~，

4 = — mgag— <0, В = —^-

4 = — mgag— <0, В = —^-

С = — mga2~，

С = — mga2~，

屮2 =冗 неустой-屮2 =冗 неустой-Уравнения дляУравнения дляРис. 2.8»Рис. 2.8»

屮2 =冗 неустой-

屮2 =冗 неустой-

Уравнения для

Уравнения для

Рис. 2.8»

Рис. 2.8»

/£«2 \ 2С2a4

А ^ ДС — В2 = Imga +厂=mga (mga + c2a2)>0.

Поскольку Д < 0, то состояние равновесия 物=л, чиво.

Рассмотрим теперь случай, когда фз = —(Рз * 0. определения ^з и фз получим из уравнений

(2.П)：

[mg — са (2 cos(р3 — 1)] sin(р3 = 0, [т^ — са (2 cos -ф3 — 1)] sin 业=0.

Считая, что sin(рз 耍 0 н sin 屮з * 0, имеем mg — са (2 cos 屮з — D = 0,

откуда

. mg + cq cos фз = cos 业=―而一.

Это положение равновесия существует, еслиmg + са< 2са,

mg < cq.

Далее находим

А ^ (/nga + -~-j cos % + са2 (1—2 cos2 ф3).

0а2

В ^ — са2 (1—2 cos2 фз)g— cos фз»

С =(他ga + -^-j cos фз + са2 (1 — 2 cos2 ф3), A = AC — 52 ss 2tngca3 cos(p3 (1 — cos2(p3).

Так как решение ф ^(p3 существует при са > mg, то Д > 0, но так как при этом

4 ='繼丄 cos б + cd (1 — cos2 фз) > 0,

то положение равновесия ф = т фз,屮=士屮з при са > mg устой* чиво. На рис. 2.8 показаны эти состояния равновесия»

ГЛАВА 3

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения Лагранжа первого рода

Рассмотрим систему п материальных точек, подчиненную k голономным идеальным связям. Дифференциальные уравнения движения точек материальной системы в координатной форме, в проекциях на оси декартовой системы координат имеют вид

mtXi^Xi + R^

mWt = Yt + R亦(/= 1, 2, ..n),(3.1)

/n总=Zj +网

где rrii ——масса i-й точки, Х〃，Уг, Zg — проекции равнодействующей активных сил, приложенных к ьй точке,

Ryt, RZi — проекции равнодействующей реакций связей, действующих на i-ю точку.

Если активные силы заданы, то система уравнений (3.1) представляет собой систему Зп уравнений с би неизвестными: Зп координат (修，у», Zj) и Зи проекций реакций связей (Rxi, Ryi, Rzi). Присоединяя к этим уравнениям k уравнений связи

力(修，Уь &，力)=0(j= 1,2,・・・，期， (3.2)

будем иметь уже Зи + ^ уравнений. Для получения остальных Зи — k уравнений следует учесть характер связей.

Так как связи идеальные, то проекции реакций связей, в соответствии с формулами (1.35), запишутся в

виде/=1”виде/=1”(/ = 1, 2, ..., и).(3.3)(/ = 1, 2, ..., и).(3.3)Подставляя эти выражения в"打=% + 2 %苏, m/贝=匕+号"趴 加向=4+工为舞Подставляя эти выражения в"打=% + 2 %苏, m/贝=匕+号"趴 加向=4+工为舞уравнения (3.1),уравнения (3.1),получимполучим(/=1,2, ...,/г).(3.4)(/=1,2, ...,/г).(3.4)Рис. 3.1.Рис. 3.1.Присоединяя к этим Зп уравнениям k уравнений связей (3.2), будем иметь 3〃 + 汽 уравнений относительно Зп + А неизвестных координат (%г, у^ 之力 и множителей Лагранжа (^卜入2,.・. ...,九Q. После решения этой системы уравнений проекции реакций могут быть найдены по формулам (3.3).

виде

/=1”

виде

/=1”

(/ = 1, 2, ..., и).(3.3)

(/ = 1, 2, ..., и).(3.3)

Подставляя эти выражения в

"打=% + 2 %苏, m/贝=匕+号"趴 加向=4+工为舞

Подставляя эти выражения в

"打=% + 2 %苏, m/贝=匕+号"趴 加向=4+工为舞

уравнения (3.1),

уравнения (3.1),

получим

получим

(/=1,2, ...,/г).(3.4)

(/=1,2, ...,/г).(3.4)

Рис. 3.1.

Рис. 3.1.

Уравнения (3.4) называются уравнениями Лагранжа первого ро~ да. Следует отметить, что практическое использование уравнений (3.4) в системах с большим количеством точек весьма затруднительно из-за большого числа уравнений.

Покажем применение этих уравнений на примере системы с одной степенью свободы. Пусть математический маятник совершает движение в вертикальной плоскости ху (рис. 3.1). Уравнения связей имеют

в этом случае вид

fl (& 弘 N)= R2 + g2 + z2-/2 = 0,[

%(居 У，2)= 2 = 0・J()

На основании (3.4) уравнениями движения будут

mx = mg + 入 12%,]

ту =九网， }(3.6)

О =厶 2，

так как z = 0. Следовательно,

九 2 == 0,儿1 = -^, .(3.7)

После умножения первого уравнения системы (3.6) на у н вычитания из него второго уравнения, умноженного на 力,получим

т (ху - ух) н mgy,(3.8)

Введем замену

х ® / cos ф, у =! sin ф.(3.9)

Отсюда

兑=—/ sin ф • ф, 步=/ cos <р • ф,1

х « — / cos <р • ф2 — / sin ф • ф,I(3.10)

у = — / sin ф • ф2 + / cos ф • ф,J

и уравнение (3.8) примет известную форму дифференциального уравнения колебания математического маятника:

ф + у sin (р = 0.

Проинтегрируем это уравнение при начальных условиях: f = 0* Ф = 0, ф = фо. Тогда первый интеграл будет равен

ф2 = Фо — 2 у- (1 — cos ф).(3.11)

Найдем теперь реакцию нити. В соответствии с формулами (3.3)

Rx =九【2% = ту —,

Ry =脑 2y = my, Rl。

н, следовательно,

илиТак какилиТак какR=4-請^@卜@ =^~ Sin QR=4-請^@卜@ =^~ Sin Q

или

Так как

или

Так как

R=4-請^@卜

@ =^~ Sin Q

R=4-請^@卜

@ =^~ Sin Q

а ф2 определяется формулой (3.11), то

/?« т/ J фо — 2 у- (1 — cos ф) + у-cos ф J «/и/1 фо — у- (2 — 3 cos ф) je

Из этого уравнения следует, что связь в виде нити будет удержи* вающей, если при ф = л R > 0・ Это будет, если начальная угловая скорость фо удовлетворит неравенству

例>学.

§ 32 Общее уравнение динамики

В курсе теоретической механики при рассмотрении несвободного движения материальной точки иногда применяется принцип Даламбера (метод кинетостатики).

Если в дифференциальном уравнении движения материальной точки

mw = F + R,(3.12)

где w — ускорение точки, т — ее масса, a F и R — соответственно активная сила и реакция связи, ввести обозначение

J = — mw,(3.13)

то уравнение (3.12) можно записать в форме

F + R + J^O,(3.14)

которое и выражает принцип Даламбера. Вектор / = =—mw называется силой инерции.

Уравнение (3.14) представляет собой уравнение движения, записанное в форме уравнения статики. Принцип Даламбера можно сформулировать следующим образом: в любой момент движения сумма активной силы, реакции связи и силы инерции равна нулю.

Рассмотрим теперь систему материальных точек, подчиненную идеальным связям. Для каждой точки системы согласно (3.14) можно написать

Fi + Ri + Ji = 0 (z = 1,2, . -., n),(3.15)

где Fi и Ri — равнодействующие активных сил и реакций связей, действующих на Лю точку, a Jf =—加乞⑪乞一сила инерции, со отв етствующа я f-й точке. Умножая каждое из выражений (3.15) на соответствующее рассматриваемой перемещение Sn и складывая затем полученные соотношения между собой, получим

£ 們+ R + J>g = 0.(3.16)

Так как связи, наложенные на материальную систему, идеальные, то

2 g = о

и, следовательно,

工(耳 +人)• 5 =

=X (Fi —俏熙)• g = 0. (3.17)

Полученный результат можно сформулировать так: е каждый момент движения материальной системы, подчиненной идеальным связям, виртуальная работа всех активных сил и сил инерции на виртуальных перемещениях точек материальной системы равна нулю.

Уравнение (3.17) и представляет собой общее уравне* ние динамики, или уравнение Даламбера — Лагранжа. Если Х^, Уг, Zw — проекции силы f\ на оси декартовой системы координат, а £厶 歹厶厶——проекции ускорения t-й точки на эти же оси, то уравнение (3.17) можно записать в виде

工［(Х^ 团百)6修 + (Уj — m»负)6勿 + (Zi- m禽)dzj = 0.

(3.18)

Пример 20. Неоднородный блок массы m и радиуса R может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его геометрический центр. Центр тяжести С блока находится на расстоянии а от оси вращения. Через блок перекинута нерастяжимая нить, массой которой можно пренебречь. Нить по блоку не про*

скальзывает. Массы грузов 4 HB. подвешенных к концам нити, равны т\ и тг (m2 > mi)/Определить ускорение груза В.

Предположим, что груз В имеет ускорение 叫 направленное вниз (рис. 3.2). В соответствии с условием (3.18) имеем

п

(mig + /и】®) g + (m2g - m2ay)dx2+ 2 [(加咨 + 4%) % 十 Jiy^yi]e &

где последняя сумма относится к точкам диска, а

4 ="/ + 4/=一叫3，+吗①

——сила инерции 1>й точки диска. Так как ускорение i-й точки диска равно )

Wj = £ X 万一®2勺，

ix W.iy где е =ix W.iy где е =一8也一（d2X.=叫一炉马,一8也一（d2X.=叫一炉马,a/j - «)2% = - exa/j - «)2% = - exI e21, и, следовательно,I e21, и, следовательно,где в — угловое ускорение, о — угловая скорость диска, г, — радиус- вектор i-й точки диска, то

ix W.

iy где е =

ix W.

iy где е =

一8也一（d2X.=叫一炉马,

一8也一（d2X.=叫一炉马,

a/j - «)2% = - ex

a/j - «)2% = - ex

I e21, и, следовательно,

I e21, и, следовательно,

Jix = 一 miwix =—团盘卢 + т^хе

Iiy = - 6j吗у = /И产产 + /п严2%.

Таким образом, имеем

(mig + miw) 6修 + (/n2g — m2w) 6厶 + n

+ W [(qg 一 m出* + 加津2%) 6q + /== 1

+ (团产卢+团出i82) 6%]=0.

Координаты i-й точки диска равны (рис. 3.3) 々=q cos (屮 + %), у,=々 sin (ф + а。，где а, — постоянный угол между ради усам-вектором i-宓 точки и направлением отрезка ОС. Значит,

6马--г. sin (<р + %) дф ^ - ^ дф, 6% = ri cos (<р + %) 6(р =打 бф.

Тогда

(mig + mxw) dxj 十(/n2g - m2w) 6心 + п

+X [-加血g十加卢(赘+嘲频=0,

ИЛИ

(俏衣 + 加严)6马 + (/n2g - fn2w) dx2 + (- mycg 4- e%) 6屮=0, где /о — момент инерции блока относительно центра О. Так как нить нерастяжима и не проскальзывает, то

dXj = - 6文2， дф = 一 'W

и, следовательно,

6%2 = 0.6%2 = 0.туг

6%2 = 0.

6%2 = 0.

-他陪 一 mIw + ni2g 一加25 4—/"g 一

Принимая дх2 #： 0, получим

(加2 一他1 + 加餐)g 一(m1 + m2) w - ^> = 0.

Учитывая, что

"耳，％ = QSin(p,

найдем

他2 一 团1 + 次 方 sin (p

g・g・W -J

g・

g・

s+g+/

Движение грузов будет колебательным, если

/и? — m I —加页 V 0,

так как при выполнении этого условия и при sin <р > 0 ускорение ⑪ V 0, при sin ф < 0 ускорение 侬 > 0, ибо по условию задачи т2 > гл：. Если блок будет однородным, то а = 0 и

2(①2 一他1)

2(加1 +加2)十九

так как —一，В этом случае ш > 0.

Пример 21. Через блок А массы /и и радиуса R перекинута невесомая нерастяжимая нить. На одном конце этой нити привязан груз массы т\, к другому концу прикреплен блок 5 радиуса г и массы /и* Через блок 5 также перекинута невесомая и нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены грузы массой /Из и 加4 (рис. 3.4). Ось блока 4 неподвижна. Нити по блокам не проскальзывают. Определить ускорение грузов, считая блоки 4HB однородными.

и制+无2 = 0, 爲+爲一2戈2 = 0,и制+无2 = 0, 爲+爲一2戈2 = 0,6修6修m2Г,m2Г,

и

制+无2 = 0, 爲+爲一2戈2 = 0,

и

制+无2 = 0, 爲+爲一2戈2 = 0,

6修

6修

m2Г,

m2Г,

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В соответствии с выражением (3.18) можно записать

(mig - n^W^ 6打 + (团2g - Si®")舐2 +

+ (吗8 _加3叫/ 6%3 + (加4g -m4叫%) 6%4 - /0% S 一 /0f22 如 1 = 0，

ускорения. Составим уравне-ускорения. Составим уравне-где Iq и /01 — моменты инерции блоков Л и В относительно их

ускорения. Составим уравне-

ускорения. Составим уравне-

осей вращения, a ez и e2z их угловые ния связей:

/+尤2 +加？=厶， %3 + 尤1-2y2 + 冗Г= /2，

где /1 и 厶一длины нитей. Из этих, уравнений следует, что

6修 + М = 0»

дх3 + 6%4 — 2 6%2 = 0

叫4 +咏=0, 明丄 + @4# — 2w2x n 0.

Из этих выражений можно найти

6尤2 ^ — dxb

6*4 = — 6%з — 2dxb

—О»IX, g# = — @3x - 2@1*・

Кроме того, имеем

ez = “ 灭一,S = ——> 6屮=-

/。=-T~，/0l

Следовательно,

卜恤-m2 - 2他 J g 一 (g + m2 + 4m4 + -^~)叫# 一 2加4 叫*] 6/ + + [(m3 一 加4)g 一 2m4切1%-(加3 + /n4 +贤卜3*]m=0,

откуда

加1 十加2 + 4m4 + 专)® 1% + 2т @з汇=(/и】—/и? — 2m ) g,

2g叫* + (/и? + пц + -^-j 出3* =(团3 — m-) g、

Решая эти уравнения, получим

（m1 一m2 - 2m J （m3 +仅4 +一 2团4 （m3 -加4）

（吗+別2 + 4m4 +号）（m3 +他4 + 号"

叫Lg叫Lgяи + /^ + 4/n1+ 号）（m3 - /nJ - 2m1 （用1 一 加2 - 2微4）

叫Lg

叫Lg

（m1 +加2 + 4m4 +号）（/+ ^4 +*

Так как w2xТак как w2x—wix и 吗* н — w3x — 2wixf то окончательно

Так как w2x

Так как w2x

%#= 一 g%#= 一 g叫# u 一 g叫# u 一 g-2m4 （仅3 - mJ-2m4 （仅3 - mJ（mi — /и» — 2m4）（团3 + 加4 +

%#= 一 g

%#= 一 g

叫# u 一 g

叫# u 一 g

-2m4 （仅3 - mJ

-2m4 （仅3 - mJ

圖圖（% + 吗 + 4m4 + 号）（％ + 々 + 号

圖

圖

（他3 -m4）（加1 +m2 + 号）+ 2 （仅1 一小2 一 2m J

（叫+加2 + 4他4 +与）（吗+①4 + ^"

Если числитель в выражении wix равен нулю, т. е.

（/П1 - /и2 — 2他4）（m3 + 他4 + "^"） - 2团4 （m3 -他4） = 0,

то это значит, что масса mi или движется с постоянной скоростью, или находится в покое. Величина 加i при этом равна

g + 恤 +

Уравнения движения в обобщенных координатах （уравнения Лагранжа второго рода）

Уравнения движения несвободной голономной системы в обобщенных координатах мы получим из общего уравнения динамики （3.17）. Приступая к выводу, следует прежде всего определить число степеней свободы, затем выбрать обобщенные координаты. Они должны удовлетворять условиям — однозначно определять положение системы и быть между собой независимыми. В остальном выбор обобщенных координат вообще произволен. Однако весьма важен «удачный» выбор этих координат. Термин «удачный» нужно понимать в том смысле, что

уравнения движения при таком выборе получают наиболее компактный вид. Например, для математического маятника (рис. 3.1) наиболее удачной обобщенной координатой является угол ср. Для сферического маятника (рис. 1.6) такими координатами будут 0 и ф.

Выбрав обобщенные координаты 〃公 〃2, ..., q8 (s — число степеней свободы), следует далее выразить декартовы координаты точек системы через эти обобщенные координаты, т. е. получить функций

g(91m修勿/严_L =川玖4g(91m修勿/严_L =川玖4,^2» • • • > 4s，0>

g(91m修勿/严_L =川玖4

g(91m修勿/严_L =川玖4

,%，• • •» %，办， (Z = 1, 2, ...» м).(3.19)

,q?，…> qs, t)'

Отсюда получается эквивалентная им зависимость

片=门(％，％,・・・，％, О G= Ь 2, •・•，и) (3.20)

(г< — радиус-вектор i-й точки).

В соответствии с (1.41) можно записать

2 器Mm "=L 2,・・・,п). т=1

Подставляя это выражение для 6п в общее уравнение динамики (3.17), получим

ns 〃

S旧一~叫)• £就64m=0, Лm=l

или, меняя порядок суммирования,

工 mд» • £ (尸，-恤叫)•謚=0. m« 1/ = 1

Так как вариации обобщенных координат могут выбираться независимо друг от друга, то полученное равенство будет выполняться только тогда, когда коэффициенты при bq^ i〃2,・・・，6夕6 будут равны нулю, т. е,

£(马一恤叫)•謐 =0(m= 1, 2,・・・,s)・(3.21)

Вспомнив, что обобщенные силы выражаются формулой (L42);

Qm—^Pi' ^^(削=L 2,・・•, S),

перепишем выражения (3.21) в виде

п

£ 恤切「^~ = Qwf (/n = 1, 2,…，s)・(3.22)

Выражение, стоящее под знаком суммы, преобразуем следующим образом:

恤"%恤k.“n

=4 (团何•器)-4(3.23)

На основании (3.20) имеем

dr, drtdr；

5=胃=丽仇+丽%++丽〃 +

+ 塞柒+ *•(3・24)

0〃 6乙0〃 6乙Так как частные производные

0〃 6乙

0〃 6乙

6%，四2，•…丽 являются функциями обобщенных координат и времени, то, дифференцируя (3.24) по gm, найдем, что

羽上就(他=1，2,s).(3.25)

Продифференцировав выражение (3.24) по qm, получим 0乙 02万02%д2г. .d2n

Oqm Mm Mi 仇 + Oqm 歯2 仇 + * ' ° °夕加 dq$ 柒 + ^^m dt

С другой стороны,

dt \ dqm / dqx dqm dq2 dqm 力 尹乙. d2乙

+ Ms Mm柒+京际？

Следовательно, 备(器"盜？(3.26)

Подставляя соотношения (3.25) и (3.26) в выражение (3.23), будем иметь ) dr. d / dvt \dv,

T［謚(峭］-总峭•(3.27)

Используя полученное выражение (3.27), перепишем соотношения (3.22) в виде

но так как

Т = £ 安(3.28)

есть кинетическая энергия материальной системы, то

备(說)-訪=Q»1 (团=L 2, ..s). (3.29) Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат ?ь ?2, ..., qs называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется s уравнениями Лагранжа второго рода (3.29),

Для составления левых частей этих уравнений следует выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы, стоящие в правых частях этих уравнений, могут быть найдены или непосредственно по формулам (1.42), или как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении Для возможной работы (1.43).

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные координаты «1,仇，…，qs как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени / и 2s произвольных постоянных интегрирования.

Если бы рассматриваемая материальная система была свободной, решение дифференциальных уравнений ее движения содержало бы 2 • Зм = 6% произвольных постоянных. Следовательно, решение уравнений несвободной сйстемы не досчитывает 6% ——2sM =2(3九—s) == 2G постоянных интегрирования. Это произошло потому, что задача решалась при наперед заданных 2力 интегральных формулах, именно k уравнениях связей и k тех соотношениях, которые можно получить путем однократного дифференцирования этих уравнений связи; соответственно с этим и понизилось число необходимых актов интегрирования на 2k, Поэтому для задачи о движении несвободной системы полученное решение, содержащее 0s произ вольных постоянных, является окончательным, исчерпывающим все варианты в задании начальных условий.

Замечание. При применении уравнений Лагранжа второго рода к задачам на относительное движение, а также к задачам с нестационарными связями кинетическую энергию материальной системы следует вычислять в ее абсолютном движении; при нахождении обобщенных сил нужно исходить из того, что связи считаются мгновенно остановленными.

Примеры на составление уравнений Лагранжа второго рода

Пример 22. Составить уравнение движения физического маят- ннк®, представляющего собой однородный диск массы М и радиуса г, жестко прикрепленный к концу Л стержня длины 厶 Другой конец О стержня является точкой подвеса (рис. 3.5). Массой стержня пренебречь

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За об общенную координату примем угол g = <р.

Координатами центра тяжести диска %с н ус будут

хс = (/ + г) cos ф, % =(' + ')$汕 屮・

Кинетическая энергия равна

T^^I^ где I0^Ic^M(l + rY

(/с—момент инерции диска относительно его центра). Так как/「若то /0 = ^ [г2 + 2(/ + г)2].

Согласно формуле (1.42) обобщенная сила

Имея в виду, чтоИмея в виду, чтодТ _ . дТ Лk/。屮再=°，дТ _ . дТ Лk/。屮再=°，Q 0 * 而^…н — Mg (/ +『)sin ф.

Имея в виду, что

Имея в виду, что

дТ _ . дТ Лk/。屮再=°，

дТ _ . дТ Лk/。屮再=°，

получим

J© = - Mg (/ + г) sin ф, или ф + 八翌沫^|уг sin ф«0.

Приведенная длина такого маятника равна

产+ 2(/ + г)2

2(/ + г) *

Пример 23. Составить уравнение движения математического маятника, точка 5 подвеса которого совершает гармоническое движение в вертикальной плоскости вдоль прямо% наклоненной под углом а к горизонту (рис. 3.6).

Пусть 001 = a sin 3f. За обобщенную координату возьмем угол g r ф. Координаты точки М зависят от <р следующим образом:

х =! cos ф — OOj sin а = Z cos ф — a sin of sin а, g = / sin 中 + ОО】 cos а «/ sin ф + a sin of cos a. Так как

戈==—Z sin qp • ф — ao cos со/ sin a,

^ = Z cos <p * ф + a© cos of cos a, то скорость точки M определяется из условия

М = ±2 + 步2 H /2ф2 + 2/@a<d cos оо/ cos (<p — a) + a2©2 cos2 ①/.

Следовательно, кинетическая энергия будет равна

T = — m [/2©2 + 2/@a<d cos co/ cos (q> — a) + a2©2 cos2 ®f]・ Отсюда

■^ =团/2@ + tnlacd cos sf cos (<p — a),

= 一 cos of sin (<p — a).

Виртуальная работа равна

6A — mgdx^ — mgl sin <p 6(p・

Следовательно, обобщенная сила

Q = — mgl sin <p.

Составим теперь уравнение Лагранжа второго рода:

—-[т/2ф + mlao cos со/ cos (<р - a)]=

откудаоткуда=ml^ata cos of sin (<p — a)』一mgl sin <p,

откуда

откуда

т/2ф — mla^ sin ①/ cos (<p — a) + mgl sin <p = 0,

или

ф — Аю2 sin sf cos(Ф — a) 4--y-sin (p = 0.

Для малых ф это уравнение имеет вцд

Ф + (号—~ ®2 sin a sin ①，①=品 ①2 cos a sin sf.

Пример 24. Составить уравнения движения центробежного регулятора, схема которого представлена на рис. 3.7. Точечные грузы

М и М2 имеют массы, равные т. Масса муфты А равна М. Массой стержней, длина которых 厶 пренебречь. Угловая скорость вращения регулятора постоянна и равна s. Трением пренебречь.

Рассматриваемая система состоит из трех тел: точек Л11 и М2 и муфты Л. Число степеней свободы равно единице. За обобщенную координату при* мем угол ф.

В неподвижной системе коорди* нат Oxyz координатами точек Afi и М и муфты % будут соответственно

Xj = / cos qp,

勿=/ sin ф cos (of + a),

之1 = / sin <p sin (M + a),

*2 = /cos(p,多玄

扱=—/ sin <p cos (of + a),

г2 = — / sin ф sin (©/ + a).

*3 == 2Z cos ф,

% = 0» 窃=0,

где a — угол, который образует плоскость регулятора с неподвижной плоскостью ху в начальный момент времени. Скорости точек М】 н М2 M муфты А соответственно определяются соотношениями

и：=舒 + 曲 + 齿=/%2 + 户① 2 sin2 ф,

磋=戈；+状+處=^2ф2 +产①2 sin2 ф,

这Н4(%2 sin2 ф.

Кинетическая энергия системы будет равна

7 = П w + 2М sin2 <р)屯z + 皿产炉 sIW ф.

Отсюда

дТОфдТОф•^^ = 2/2 (m + 2Af sin2(p) ф,

дТ

Оф

дТ

Оф

4M/2@2 sin ф cos ф + 2mPa)2 sin <р cos ф.

Виртуальная работа равна

64 = mg 6修 + mg 6工2 + Mg6%3 = =(—mgl sin ф — mgl sin ①一2Mgt sin ф) dtp.

и, следовательно,

Q = — 2g/ (m + М) sin ф.Q = — 2g/ (m + М) sin ф.Составим уравнение Лагранжа:Составим уравнение Лагранжа:(m+2M siM ф) ф4-2Мф2 sin qpcosqp—zn(o2sin(pcos(p==(m+2M siM ф) ф4-2Мф2 sin qpcosqp—zn(o2sin(pcos(p==—} (m+M) sin(p.—} (m+M) sin(p.Регулятор будет в положении равновесия, если 小=0, @= 0. Это будет при *)Регулятор будет в положении равновесия, если 小=0, @= 0. Это будет при *)cos фоcos фо(加 + Л4) g(加 + Л4) gml^ml^Введем в рассмотрение новую координату ф, определяемую равенствомФ — Фо + ф-Введем в рассмотрение новую координату ф, определяемую равенствомФ — Фо + ф-Тогдаsin (ф0 + *ф) = sin фо cos -ф + cos(p0 sin ф, cos (фо + 2) = cos 2q cos ф — sin(p0 sin 屮.Для малых 屮sin (фо + 屮)弋 sin фо + Ф cos(р0>cos (фо + 屮)弋 cos фо *~ Ф sin ф0.Тогдаsin (ф0 + *ф) = sin фо cos -ф + cos(p0 sin ф, cos (фо + 2) = cos 2q cos ф — sin(p0 sin 屮.Для малых 屮sin (фо + 屮)弋 sin фо + Ф cos(р0>cos (фо + 屮)弋 cos фо *~ Ф sin ф0.Подставляя этитолько линейныеПодставляя этитолько линейныевыражения в уравнения движения и сохраняя члены относительно 屮，也 будем иметьвыражения в уравнения движения и сохраняя члены относительно 屮，也 будем иметь§ +§ +т&2 sir?(роm + 2M sin2 фот&2 sir?(роm + 2M sin2 фо屮=0,屮=0,гдегдеsin2 <po =sin2 <po =Г (m + M) g уL一嗣—」■Г (m + M) g уL一嗣—」■

Q = — 2g/ (m + М) sin ф.

Q = — 2g/ (m + М) sin ф.

Составим уравнение Лагранжа:

Составим уравнение Лагранжа:

(m+2M siM ф) ф4-2Мф2 sin qpcosqp—zn(o2sin(pcos(p==

(m+2M siM ф) ф4-2Мф2 sin qpcosqp—zn(o2sin(pcos(p==

—} (m+M) sin(p.

—} (m+M) sin(p.

Регулятор будет в положении равновесия, если 小=0, @= 0. Это будет при *)

Регулятор будет в положении равновесия, если 小=0, @= 0. Это будет при *)

cos фо

cos фо

(加 + Л4) g

(加 + Л4) g

ml^

ml^

Введем в рассмотрение новую координату ф, определяемую равенством

Ф — Фо + ф-

Введем в рассмотрение новую координату ф, определяемую равенством

Ф — Фо + ф-

Тогда

sin (ф0 + *ф) = sin фо cos -ф + cos(p0 sin ф, cos (фо + 2) = cos 2q cos ф — sin(p0 sin 屮.

Для малых 屮

sin (фо + 屮)弋 sin фо + Ф cos(р0>

cos (фо + 屮)弋 cos фо *~ Ф sin ф0.

Тогда

sin (ф0 + *ф) = sin фо cos -ф + cos(p0 sin ф, cos (фо + 2) = cos 2q cos ф — sin(p0 sin 屮.

Для малых 屮

sin (фо + 屮)弋 sin фо + Ф cos(р0>

cos (фо + 屮)弋 cos фо *~ Ф sin ф0.

Подставляя этитолько линейные

Подставляя этитолько линейные

выражения в уравнения движения и сохраняя члены относительно 屮，也 будем иметь

выражения в уравнения движения и сохраняя члены относительно 屮，也 будем иметь

§ +

§ +

т&2 sir?(роm + 2M sin2 фо

т&2 sir?(роm + 2M sin2 фо

屮=0,

屮=0,

где

где

sin2 <po =

sin2 <po =

Г (m + M) g у

L一嗣—」■

Г (m + M) g у

L一嗣—」■

Пример 25. Составить уравнения движения для системы, состоя* щей из груза Д массы М, движущегося без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, и прикрепленного к нему математического маятника. Масса груза маятника равна т, нить невесома и имеет длину /. К грузу А прикреплена пружина (рис. 3.8) жесткостью с, другой конец которой закреплен в неподвижной точке.

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты выберем расстояние g вдоль плоскости от груза Л до точкй статического равновесия пружины и угол 屮,образуемый маятником с вертикалью.

*) Это значит,

что

равновесное

положение возможно, если

ml

Координатами центра масс груза л и координатами точки В соответственно будут (начало координат помещено в точку статического равновесия)

*i = &sina, gi = Wcosa,

工2 =尤1 + / cos ф = ^ sin a + Z cos ф,

% =勿 + / sin <p = & cos a + / sin <p.

Кинетическая энергия системы равна

7 =；m阳+/)+^•加骐+礎)=

=-у М&2 + ｝加隹2 + /2ф2 + 2白/@ COS (ф + a )

Отсюда

也Mdr前打狗也Mdr前打狗=(М 十 /и)百 + 欣@ cos (ф + a),

也Mdr前打狗

也Mdr前打狗

=0, "|^~ =欣2亩 + 加& cos (ф + a), =— m^ sin (<p + a).

Найдем обобщенные силы. Сила, действующая на груз А со стороны пружины, равна F = с |^ + А, |г где А ——статическое удлинение пружины, равное

A (M + /n)gsinct

Следовательно,

64 = - 0 隽 + 九)sin a 6/一e 售 + 九)cos a 6yl + M? 6打 + tng 6&

=［一 с (自 + a) + (M + 加)g sin a］奘—mgl sin <p дф. Отсюда

Qi = — c (自 + 九)+ (M + m) g sin a =—喝

<?2 = — mgl sin qp.

Уравнениями Лагранжа будут

条［("+ m) j + m/ф cos (<p + a)］ = - c& d

"^» ［欣2亩 + 加g/ cos (ф + a)］ + mg/ф sin (<p + a) = — mgl sin <p или

(M + /и) £ + m蟀 cos (ф + a) — m/@2 stn (<p + a)=—時，т/2ф + mgz соэ (屮 + a) = — tngl sin(p・

3 н. в. Вутеннн

Учет дополнительных связей

Рассмотрим теперь вопрос об учете дополнительных связей, которые могут быть наложены на точки материальной системы.

Пусть на систему, подчиненную k связям, дополниг тельно налагается еще г связей. В этом случае число ранее выбранных обобщенных координат Зи ——论 будет превосходить число степеней свободы Зи — k — г, которые теперь имеет рассматриваемая система. Дополнительные связи мы будем учитывать путем введения реакций этих связей в число активных сил. Обозначим эти реакции через R：. Виртуальная работа при этом вычисляется по формуле

пS

64 = 2 (4 +/Q + Q^^

где Qm — обобщенные силы, обусловленные реакциями Ri・ Следовательно, обобщенные силы в уравнениях Лагранжа будут состоять из двух частей, соответствующих активным силам и реакциям новых связей, т. е.

К詣)-备= QJQJ (团=1，2,...,s).(3.30)

Если новые связи идеальные, то в соответствии с формулами (1.35)

R；i = £% 警， "L 2,…，n),(3.31)

p=i '

где Хр — множители Лагранжа, а

fp(М，Уь 勺，f) =。 (Р = 1，2, ...» г) (3.32)

—уравнения дополнительных связей»

Согласно формуле (1.42) имеем

или, учитывая выражения (3.31), получим

一+ 7 g % 0乙丄 ％ dyi 丄如 % )_

=£ 九。"匕 恤=1, 2, . *., s).(3.33)

” oqm

p= 1

Таким образом, уравнения (3.30) могут быть записаны в виде

訳黑「黑「Qi、黑+ m黑

(3.34)

Для фактического решения этой задачи к уравнениям (3.34) (их число Зп — k) следует присоединить еще г

уравнений новых связей (3.32). Тогда мы получим систему Зп —々 + г уравнений с тем же числом неизвестных: 3〃 ——Л обобщенных координат и г лагранжевых множителей.

Пример 26. Найти реакции, обусловленные введением дополнительной связи, для двойного математического маятника. Массы грузов Мх и М равны соответственно 恤 и 他2, а длины ― /1 и /г.

Составим сначала уравнения движения двойного маятника без дополни

тельных связей (рис. 3.9). Число степе-Рис. 3.9.

ней свободы равно двум. Пусть gi = ф,

02 =屮・ Координаты грузов М】и М2 выражаются через 屮 н 屮 фор・

муттагми

Х[=厶 COS ф,

У1 = / sin 屮,

%2 = Л COS 屮 + % COS Ф， У2 = /1 sin ф + /2 sin ф.

Кинетическая энергия системы равна

7 =m他1（君+ *；）+ ｝色（必+藉）=

H g （m1 + 吗）/得 + ^"团2 卜帥2 + 2帛2研 COS（Ф - W）］,

и, следовательно,

亚即打一t打诃亚即打一t打诃=（加［+ m2） 6© + tn^^lc^ cos （ф —屮），

亚即打一t打诃

亚即打一t打诃

=—m2厶/2g电 sin （ф - Ф）,

=加2%电+加2厶'2@ cos（Ф 一屮），

*=加2厶/2@0 Sill （ф —山）.

Виртуальная работа

6A = tnig 6打 + 团2g 6%2 =

=（—m\gl\ sin ф — m2g厶 sin <p） 6屮 一 m212g sin 中 6屮, откуда

Qi = —（mi + 他2）gA sin <p,

Q2 =* - tn2g% sin 屮.

Уравнениями движения системы будут

（m 1 + 用2）啮 + 次2M2 COS （9一屮）® + 妆人乙@2 sin （<P -中）=

= -（"" +团2）g/1 sin（P，（335）

m2/|ljj + 叫単2 COS （<P —屮）© —团2年2©2 sin （ф — ф）=

=—tn2g% sin 3.

Рассмотрим два случая введения дополнительной связи.

） Пусть /（XI,勿，з,尤2, "2, 22）= //1 « 0 （рис. 3.10）. Для этого случая уравнения （3.34） имеют вид

（Ш| + 俏2）4© + 俏2厶‘2 cos （<p — ф） ф + 他2厶‘2@2 sin （① 一 2）=

=-（m1 + 加2）g/l sin ф + 九% COS ф,

加2百卡 + 加2厶％ COS （ф —Ф）ф — m2/1/2（P2sin （ф — Ф） = — /И2g‘2 sin 3・

Присоединим к этим двум дифференциальным уравнениям движения уравнение связи

У1 =厶 sin <р = 0・

Из этого уравнения связи следует, что ср « 0, и, следовательно ф = 0, ©= 0 （т. е. точка М〔 неподвижна）. Второе дифференциальное

уравнение вырождается в уравнение колебаний простого математического маятника

@ + 县 sin 2 = 0.

Из первого дифференциального уравнения находим X: % =加2‘2 COS 屮由—团2?2ф2 SIH 小

Так как

-ф = —sin г|), а

02n喘一2手(1 - cos ф) *),

TO

九=—sin 屮[团2%喘—加2g (2—3 cos ф)].

В соответствии с (3.31) имеем

К = 0,

R，=九=—sin 2 [倘2%啮一加2g (2—3 cos ф)], т. е. дополнительная сила реакции равна проекции реакции, действующей на точку М2, на направление оси у (см. стр. 51).

) Пусть теперь дополнительная связь принуждает, груз М2 дви« гаться только вдоль оси х (рис. 3.11). Уравнением этой связи будет

f (%1, W，引，#2,沙2,窈)=92 = /1 Sin 屮 + % $in 2 = 0・

Для того чтобы получить уравнения (3.34), следует к правой частипервого дифференциального уравнения движения прибавить член九書" =cos qp,

а к правой части второго дифференциального уравнения ——член九招=九厶cosw，

Для упрощения выкладок в дальнейшем положим 厶=为=厶 В этом случае из уравнения связи следует:

sin 屮==—sin ф» откуда

«ф = — ф.

Подставив этот результат в уравнения движения, получим (m1 + 团2)/2小 -m2鼻 COS 2фф + m2/2炉 SID 2屮=

=-(/П! + m2) gl Sin(P + Л/ cos ф,

—m2l2^ + 加2〃 cos 2(p © — щ212^2 Sin 2qp =

=m2gl sin <p + X/ cos <p.

Вычитая из первого уравнения второе, будем иметь

(团1 + 4m2 sin2 <р) ф + 2m2@2 sin 2<р =—(俏i + 2m2)-у sin ф.

Это уравнение служит для определения закона движения полученной системы.

Складывая теперь между собой уравнения (3.36), найдем уравнение для определения 入：

九九2 cos (p十2g屮.2 cos (p十2g屮.

九

九

2 cos (p十2g屮.

2 cos (p十2g屮.

Дальнейшее решение задачи заключается в определении из уравнения движения угла ф； после этого по формулам

《2 =九言=。'% Н九患—находится реакция дополнительной связи.

3.6. Обобщенные реакции отброшенных связей)

Рассмотрим голономную систему с s степенями свободы. Пусть q^ ,2, •・・，Qs — обобщенные координаты, определяющие положение системы. Отбросим г связей. Тогда

число степеней свободы увеличится до s + г. К старым обобщенным координатам gi, «2， 9з，・• • ， 4§ прибавим г новых q8^ «s+2，・•・,g$+「 и будем иметь в виду, что при 4s+u = 0 (ц = 1, 2,..・，г) новая материальная система совпадает с исходной системой. Мы можем представить переход от новой системы к исходной как наложение на новую систему г новых связей вида

%+卩=%+r=。 (n=1, 2, ..., Г).

Тогда, в соответствии с уравнениями (3.34), имеем

но так как<%+卩/ 0, s + n娱 АПно так как<%+卩/ 0, s + n娱 АП明加 (1, S +卩=АП明加 (1, S +卩=АП(/п = 1, 2, ..., s + г), (ц = 1, 2,・.•，г),(/п = 1, 2, ..., s + г), (ц = 1, 2,・.•，г),

но так как

<%+卩/ 0, s + n娱 АП

но так как

<%+卩/ 0, s + n娱 АП

明加 (1, S +卩=АП

明加 (1, S +卩=АП

(/п = 1, 2, ..., s + г), (ц = 1, 2,・.•，г),

(/п = 1, 2, ..., s + г), (ц = 1, 2,・.•，г),

糸 ^S^~M = Qm(吁 L 2,・・・,s),

备(許)亠新= Qm + Am(/n-s+1, s + r).

Эти уравнения следует рассматривать совместно а уравнениями связей

fs+ц = ^s+h == 0 (ц = 1,2, ..., г).

Следовательно, после составления полученных уравнений в них. следует положить

柒+卩=°，柒+卩=°, Gs+以=。(n=1，2,r).

Итак, для получения обобщенных реакций отброшенных связей служат уравнения

厶办=备（謠）一黑-Qm g = s+l，s + 力‘ （3・37）

в которых после их составления следует положить

勿+卩=0， Gs+u = 0,柒+卩=。 (卩=1, 2, ...» г).

Пример 27. Тело А массы т^ подвешенное на пружине жест* костью с, может совершать движение по вертикали. С помощью шарнира к телу А прикреплен невесомый стержень длиной /, на

другом конце которого прикреплено тело В массы 恤.Тело В движется по горизонтальной направляющей (рис 3.12). Пренебрегая трением, определить реакцию направляющей.

Начало координат возьмем в положении тела А при ненапряженной пружине. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем отклонение тела Л от его положения при ненапряженной пружине (gi = xi). Рассмотрим теперь новую систему, когда отсутствует направляющая. Эта система

имеет уже две степени свободы. За обобщенные координаты примем ,1 = %i, q<± = * (рис. 3.13). Координатами тела 4 и В соответственно будут

打=修，У1=0，%2=a + W，i/2 = M/2-(Q+E-%l)2；

где а — расстояние от начала координат до направляющей.Кинетическая энергия системы выразится формулой

Т ^Lm^ +}吗(務 + 喲=}[(勺 + 鹏)总-2/n2K土忐 + /и2g2],

гдеНайдем теперьгдеНайдем теперьК (q + W _%1)2久=0_(q +三一修)2・К (q + W _%1)2久=0_(q +三一修)2・~|- = - m2K爲 + m2*，~|- = - m2K爲 + m2*，

где

Найдем теперь

где

Найдем теперь

К (q + W _%1)2

久=0_(q +三一修)2・

К (q + W _%1)2

久=0_(q +三一修)2・

~|- = - m2K爲 + m2*，

~|- = - m2K爲 + m2*，

дТ 1 дК .2 ОК г

^-(^-)= 一 m2K元 1 一加2"^"土 1 +

где

дК 2/2(q + E-%]) dK =2/2(q + &-%]).・

ЗГ=卩2-(Q + ii)2]2'万[/2-(q+W —修用2 "一尤丿・

В соответствии с выражением (3.37) получаем реакцию направляющей, полагая 陰=0, | = 0, g = 0：

儿2 —_加2*一 (q 一 % J xi + m2口2一(a一修)2产勺一必，

но так как

64 = ( - с/ + %g) dxj + m2g 奘,

Qi = — cXi + mig, Q2 = m2g

и, следовательно,

(a-/)2/23-%])2

*2 = _ 吗 /2 一(QT])2 X1 + m2 [/2-(a-修)2卩 xl _吗g・

Уравнение для определения Xi имеет вид (см. стр. 71)

m\ +恤m\ +恤(a-"/2 — ® - /К(a-"/2 — ® - /К..m/(a-x^^"『(f月2..m/(a-x^^"『(f月2一 cxi +mig.一 cxi +mig.

m\ +恤

m\ +恤

(a-"

/2 — ® - /К

(a-"

/2 — ® - /К

..m/(a-x^^"『(f月2

..m/(a-x^^"『(f月2

一 cxi +mig.

一 cxi +mig.

Это ромЭто ромжетжетa)a)6)6)勿，а точки В —%2, %； тогда勿，а точки В —%2, %； тогда

Это ром

Это ром

жет

жет

a)

a)

6)

6)

勿，а точки В —%2, %； тогда

勿，а точки В —%2, %； тогда

уравнение Лагранжа, составленное для координаты 丸 в котоположено § = j = I = 0.

Пример 28. Тело А массы М мо- двигаться по гладкой горизон-

тальной направляющей. К нему на невесомом стержне длины / шарнирно прикреплено тело В массы /и (рис. 3,14, а). Найти реакцию направляющей, принимая тела Л и В за материальные точки.

Примем за обобщенные координаты расстояние у\ точки 4 от начала координат и угол 屮 отклонения стержня от вертикали:

q— Ук «2 = <Р・

Отбросим теперь связь, наложенную на тело Д, т. е. освободим тело Л от направляющей. Новая система имеет три степени свободы, и новая обобщенная координата 9з = %】 (рис. 3.14,6). При Xi 0 новая система совпадает с исходной. Пусть координаты точки 4 ——Xi и

尤2 = /+'COS S 〃2 = "l + / Slfl <₽・

Кинетическая энергия определяется выражением

=} （М + /п）（計 + 曲）+} /п （/2ф2 - 2£］漳 sin ф + 2»］师 cos <р）.

Отсюда имеем

дТдх\дТдх\=（М + 俏）自一m/ф sin ф,=（М + 俏）自一m/ф sin ф,黑иa黑иa

дТдх\

дТдх\

=（М + 俏）自一m/ф sin ф,

=（М + 俏）自一m/ф sin ф,

黑иa

黑иa

={М + m）制一m/ф sin ф — m/ф2 cos ф.

В соответствии с выражением （3.37） получим

九з = — m/ф sin qp — m/ф2 cos <р 一 Q3.

Найдем обобщенные силы. Так как

64 = Mg 6%i 十 mg “2 = （М + 俏）g "i — m2gl sin ф dqp, To

Qi =0, Q2 =-倘g/sin <p, Q3 = （M + m）g

и, следовательно, 九3 =—俏/巾 sin qp 一 俏/@2 cos q, _ （м + 团）g.

Значения ф, ф и ф, которые следует подставить в это выражение, находятся из уравнений Лагранжа второго рода, составленных для координат yi н ср, в которых учтено, что Xi = Xi = х^ = 0:

自［（m + 他）贝 + 加2@ cos ф］ = 0,

ф + -у- cos ф + -—• sin <р = 0.

3.7. Выражение кинетической энергии через обобщенные координаты и обобщенные скорости.

Гироскопические и диссипативные силы

При составлении уравнений Лагранжа второго рода кинетическая энергия системы должна быть выражена через обобщенные координаты и обобщенные скорости. В рассмотренных примерах предыдущего параграфа было показано, как это сделать в частных случаях.

Выразим кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости в общем случае. Для этого сначала нужно радиусы-векторы % точек матери*

альной системы определить как функции обобщенных координат, т. е. получить зависимости (3.20):

%=门(%, %, •一，依，0(i= 1, 2,・・.，n).

Затем скорости точек материальной системы определяются по формулам

"尸 ~5Г = £ "5^Г °п + "W"« = 1' 2,・・・，и). (3.38)

т — \

Подставляя эти скорости (3.38) в выражение для кинетической энергии, получим

/ = 1i = l\m= 1/

s ss

^mpQtnQp + ^| 8懒@懒 + Г о, (3.39)

/п=1 р = 1m=l

где

%p = £m 爲•割=

4~(枭鳴+器•象+爵•器)(3.40)

(очевидно, что Атр = Дрт),

子加儒•学+豁芻+盜•等)，(3川)

?。= 4" Sg(等У = ^£恤吟У + (喲2 + (祭丹•

(3.42)

Таким образом, кинетическая энергия нестационарной (реономнай) голономной материальной системы может

быть представлена как сумма трех частей: Тг, А и То, т. е. Т«Т2 + Т1 + Т0>(3.43)

где S S

НЕ£^трЯтЯр(3・44)

т—1 р=1 является однородным многочленом второй степени от обобщенных скоростей.

Т^ 2 Bmqm(3.45)

m=l1—Многочлен первой степени от обобщенных скоростей;

g = =纟恤傍•)

от обобщенных скоростей не зависит. Для стационарных (склерономных) связей, т. е. связей, для которых

%=门(%,柒)

и, следовательно,

кинетическая энергия будет однородной функцией второй степени относительно обобщенных скоростей, т. е.

丁 = 丁2 = ^ £ ХАтр^р.(3.46)

т=1р=1

Пример 29. Определить кинетическую энергию сферического маятника (рис. 1.6). Груз имеет массу, равную т, длина маятника /.

Рассматриваемая система стационарная. За обобщенные координаты примем 01 = 9, 02 = <р. Тогда декартовыми координатами, определяющими положение маятника, будут

% = / cos 9, g = / sin 8 cos ф, г = / sin 0 sin ф.

Для определения кинетической энергии по формуле (3.46) следует сначала найти коэффициенты Атр, В соответствии с формулой

(3.40) имеем

аП=т ［備У+(黑)‘+僚)1=。窗

42 = 6 傷，彩+需黑+器，器)=a ［偌у + (署)‘+ 備小向 2 Si"2 в-

Следовательно»

Г =-^. (/202 +/2 sin2 Оф2).

Выяснив, что кинетическая энергия нестационарной материальной системы выражается формулой (3.43), определим, как связано изменение кинетической энергии с характером сил, действующих на систему.

Так как кинетическая энергия является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е. Т = 7 (g?n, ?т, 0, то

dT 《ОТ ・ I А " d / •—" 万=2 丽0。+•石品)+万=

m = lm — l

v Г dT d I dT W .. d дТ ., дТ

=2 ［丽_万［丽2丽^ +杯， m^ <m=l

но так как согласно формуле (3.43) Т =「2 + П + То, тодТ = дТ2 . дТх

По теореме Эйлера об однородных функциях им^ем

m=lm=l

следовательно,

Ъ^-2Т^Т-

Если теперь учесть выражения (3.29), то для 丁 получим

齐=一 S QmO/n + ^(2Ti + Ti)+罂， m=l

где Qm — обобщенные силы. На основании формулы (3.43) можем записать

272 + Т1 = 2Т — (Т1 + 2То);

тогда

嘗£ Q%+方(2Т)-鳥(Ti +2Tо) +系’ m = l

ИЛИ

嘗=£ Qmqm + 笈б + 2То) т = 1

Полученная формула определяет изменение кинетической энергии материальной системы при любом ее движении.

Рассмотрим случай стационарных связей. Для них Т =「2 н

т=1

Рассмотрим частные случаи сил, являющихся линейными и однородными функциями обобщенных координат, т. е.

Qm= X

ЕСЛИ Bmu ^1 Ymp,> ГДС

Y叫=一Y" И y卩l0 (m, y -1, 2, ..., s), TO

Qm = 2j

называются гироскопическими силами. Покажем, что эти силы не вызывают изменения кинетической энергии ). Так как

m = lт=\ ц=1

то можно записать

SS-1$

万=2Y加小旗+ £工 (YГпц + Y|j.m) ЦтЦ^

m = lm=l n=m + l

и, следовательно, в силу условий, наложенных на коэффициенты Утц, (угптп = 0, Уту, — Y^m)»

Это значит, что работа гироскопических сил равна нулю. Пусть теперь

5 叫г = — Pf где

Р/пц = Рц-W

Тогда Qm = - 2 隘如 н

/и=1 卩=1

S S

Если квадратичная форма 2 2 ^т^т^ > 0, то ?И= 1 |А= 1

т. е. кинетическая энергия убывает. Силы

U=1

называются диссипативными.

Уравнения Лагранжа в квазикоординатах

Введем в рассмотрение величины dn入(九=1,2, ..., s), которыми обозначим линейные комбинации дифференциалов обобщенных координат:

d畋=耿1 dqi + 网2 dq2 + ・・・ + 耿s dqs =》aXm dq^ (3.47) m=i

где 以m могут быть функциями обобщенных координат.

Для того чтобы йлхв выражении (3.47) были полными дифференциалами достаточно выполнения условий

= 0( ш, ”=1, 2,・・・，s), (3.48)

В этом случае 冗九 могут быть приняты за обычные обобщенные координаты.

Мы будем рассматривать случаи, когда

疋-宾(3.49)

т. е. когда выражения (3.47) не являются полными дифференциалами. Если бы обобщенные координаты 力, 7г, •. ♦, qs нам были известны как функции времени, го величины 冗入 можно было бы определить по формулам

0 m=l

Эти величины уже не являются функциями положения материальной системы и не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поясним это на примере. Как известно ), проекции угловой скорости твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, на оси, жестко связанные с телом, выражаются формулами Эйлера:

о% = j sin 0sin(p + 0 cos ф,

Sg = $ sin 0 cos q> —0sin <p, 5=0 cos 0 + tj).

Введем величины

djt] = d^ sin 0sin(p + d0 cos Ф = s“ dt, dn2 = dt|)sin 0 cos <p — dB sin <p = 9y dt, 出T3 = d屮 cos 0 4- d(p =(ог dt.

Предположим, что углы Эйлера 6,屮 н 屮 нам известны как функции времени. Тогда величины ль яг,冗з можно было бы определить по формулам

т. е. величины jti,冗2,冗з представляли бы собой углы поворота тела соответственно относительно осей х, у и г. Однако эти углы не определяют однозначно положения тела, так как, поворачивая тело на эти углы в разной последовательности, мы придем к различным положениям тела ). Несмотря на это, мы примем 几入 за обобщенные координаты и будем их называть квазикоординатами (псевдокоординатами). Величины

号^ =标=2%?m(3.50)

m=l

называются квазискоростями.

В соответствии с выражением (3.50) определим вариации квазикоординат с помощью выражений

S

6冗九=工 a%mbqm・(3.51)

m=\

Предполагая, что определитель

а“ а12 * • ♦ ®is

а21。22 * • • a2s * О

°si %2 • • • а$$

из соотношений (3.50) можем получить

4т = X P/и九畝(俏=1, 2,・・・，s)(3.52)

и

6?m = X Рзб畋(m= 1, 2,s)・(3.53)

Подставляя 亢储 определяемое формулой (3.50), в выражение (3.52), имеем S S

仇m = 2 2 %声如仇(团=1, 2, ..., s). 九=i卩=i

Отсюда следует, что

(3.54)

Перейдем к выводу уравнений Лагранжа в квазикоординатах. Каждое из уравнений Лагранжа

記黯一黑=Qm (m=1，*S)

умножим на соответствующий коэффициент 0從九 и просуммируем по т:

2脇/糸(黑)一詛=2隘。(九=L 2,・・・,s). m=1m=l

(3.55) Виртуальная работа равна

64 = X Qtn Mm

В соответствии с выражением (3.53)

“m = X Р/nA, 6耿(^ = U 2, ...» S)；

入=1

следовательно,

64 = X £ Qm^tnk 5队=N Ph 6耿'

A= 1л= 1

где

/\ = X Вт入Qm(九=1, 2,・・・，S)・(3.56)

Величины 尸入 называются квазиобобщенными силами. Итак,

t勿入[备(誹)一^Т]=尸入仇=1, 2, ..., s)・(3.57)

/п=1

Заменяя в выражении для кинетической энергии обобщенные скорости qm с помощью формулы (3.52) на 丸入, получим

「^т» 夕加 w ?『т入元九丿=Т‘(9/n, Ат)(加=1, 2, ..., s). (3.58)

Далее имеем

(m = 1, 2, ..., s),(3.59)(m = 1, 2, ..., s),(3.59)丽=2丽.丽=2瓦*

(m = 1, 2, ..., s),

(3.59)

(m = 1, 2, ..., s),

(3.59)

Ц=1ц=1

дtdг年dт 0九卩

・ k c：^ "-1- I i 卜 y 一 :- . ■. ХХ5

^Qm0gm4^ d办 °qtn

!1 0 1

d7V dT，＜?ctiiv、、

П丽 +2际工 -^T°v (加=1，2s)，(3・6°)

H=1 v=l

так как в силу (3.50)

0血出_、 da卩v .v=iПодставим выражения (3.55):0血出_、 da卩v .v=iПодставим выражения (3.55):(卩,/п = 1, 2, ..., s).(3.59) и (3.60) в уравнения(卩,/п = 1, 2, ..., s).(3.59) и (3.60) в уравнения

0血出_、 da卩v .

v=i

Подставим выражения (3.55):

0血出_、 da卩v .

v=i

Подставим выражения (3.55):

(卩,/п = 1, 2, ..., s).

(3.59) и (3.60) в уравнения

(卩,/п = 1, 2, ..., s).

(3.59) и (3.60) в уравнения

m= 1 L \ ц= 1/ J т=I

- е 6м£ 薪 2 ^^。产Р入伍=1，2,s). (3.61) zn=l H = 1V=1

Имея в виду, что

dt S际dt I沂J 十。如 dt

=限£备）+說£*Gv（h.咁1, 2,…，s）,

перепишем （3.61） в виде

м=1 ц.в 1/п=1 卩=1v= I

m=l 出=1v=lmT

или, в соответствии с условием （3.54） и формулой （3.52） 7

dt [ д\ / 与dqm十

+ £ i £ 2歸风露L -需）嘉% = Pa т—\ ц=1 v==l /=1

（入=1, 2,・・•，s）.

Обозначая

丫山=2ix& （需-器）（3.62） m== I v« 1

（%, j = 1, 2,・・.• s）,

получим

等駕）~ S ₽^-£+S S 訪好Ym*尸 Pa （3.63） （X = 1, 2, ..., s）*

Вводя чисто условное обозначение

說，（3.64）

найдем, что

方(設)-設■ + S S YM 說句=厶(3.65)

、人/ A 以=1 /=1

(Л = 1, 2,・..，s).

Эти уравнения носят название уравнений Эйлера — Лагранжа. Отметим, что коэффициенты 、入山)не зависят ог структуры и движения механической системы, а их значение зависит только от определения величин 元入 через обобщенные скорости @ь @2, •・•, ?s・

Из формулы (3.62) следует, что

. = У V 6 6 /—gag )=

丫必Z Pm/PvA, ( @gv ^m 丿

m = \ v=l

=S2脇风(務-零)(3・66) v= 1 m=1

(/,卩，九=1, 2, . . ., S)・

Сравнив формулы (3.62) и (3.66), получим, что

丫九卩/ = — Y/цХ 仇，М, j = 1，2, ...» s)・(3.67)

Отсюда

УхцА =。(九，卩=1, 2,・・・，s)・(3.68)

Рассмотрим способ нахождения трехивдексных коэффициентов Y*|!j при помощи перестановочных соотношений. Для этого используем зависимости (3.47) и (3.51“

d几入 н ^2 ^кт &7/и (А = 1, 2, ..., s),(3.69)

Л1=1

6冗九=X %/пМ/п (九=1, 2, . . ., S).(3.70)

zn=l

Из формулы (3.69) следует, что

s

dqm= Е Pmv^v (加=1, 2, ..., s) (3・71)

V = 1

И

^?m = X Pmv 6网 (加=I) 2,・・・，S)♦(3.72)

v= 1

Применим операцию нахождения дифференциала к соотношению (3.70):

$s s да

d (6畋)=£叫洞(m加)+ 工2-^- dqi 64m

(九=1, 2,・..，s).

Используя равенства (3.71) и (3.72), получим

s

d (D = £ aKmd (MR +

m=l

s s ss

+，£ F^ 工 ₽/v dnv 工 ％ 6nli =

m= 1 /=1' v= 1ц= 1

S5sss

и Sa^d^) +£”』B/、Pmp,d冗v 6冗卩(3・73)

m=»lm=I /= 1 v= 1 |x==l'

(X = 1, 2, . •・，s).

Применим теперь операцию варьирования к соотношению (3.71):

6 (何)=， aKrffi (dq^ + 工 2-^'6分/т=

ss sss

=2 aAm6 (dq^ + £，""5^ £ ₽/v^v 工 Bm^d冗炉

m== 1/n=l /=1' v=l|x=l

6 (d秋)=£(歯m)+ s s s s

+ £』££P/vPmp, " ^" 6nv dn^ (X = 1, 2, ...» s).

m=l /=»! №1 |i=l/

Меняя во второй сумме этого выражения индексы v и ц, j и т местами, получим

S

6 (d畋)=1a入加6 (對加)+

m=i

s s • s sd

+，2， E P呻Н卩(3.74) m=lj=lv=lц=1

(九=1, 2,・.・，s)・

Найдем разность выражений (3.73) и (3.74):

d (6以)-6 (d砍)=工 ％ [d @q“ 6 (dq^] +

m= 1

+£ £ S £%"配(^"-4^)"以6% m=l /=! V=1 卩=1' '力 /

(X = 1, 2, . •・，s).

Согласно выражению (3.62)

Yw = £ 2 %“配(鬻-肥■)，m=l j=l'

и, следовательно,

s

d 画力 一 6 3埶)=2 [d (Mm) - 6 (歯m)] +

/п = 1

s s

+6冗dn、 (九=1, 2, .. •, s)・

v= i 世=1

Полученное соотношения называются перестановочными. Так как 以6初)—6(dqm) = 0*), то

d（6⑴-6（d吗）=巨卦以呵也（-，2,…，s）.

卩（3.75）

Применим уравнения Эйлера ——Лагранжа (3.65) к выводу уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. По.чожение тела будем определять углами Эйлера *). Примем

g1 = 8,g2 =屮，93 = 2.

Кинетическая энергия твердого тела при условии, что оси х, у и х жестко связаны с телом и являются главными осями инерции для неподвижной точки тела, равна

Т =}(/ + 〃時+厶磅),(3.76)

где /*, /?, /г — осевые моменты инерции тела, а сох, з? и(о2 — проекции угловой скорости тела соответственно на оси х, у и z. Проекции угловой скорости связаны с углами Эйлера н их производными кинематическими формулами Эйлера:

з* = *ф sin 0 sin <р + 0 cos ф,

s〃 = ® sin Э cos ф — Э sin ф,

恥尸 ф cos 0 + ф.

Примем за квазискоростй проекции угловой скорости, т. е.

Л!=负 cos 02 + 4з sin «1 sin 夕2,

亢2= — 仇 sing2 + @3 singi cou%,(3.77

元3 = @2 + @3 cos 91.

где

6力・=% (f)-0了")

—вариации координат.

Аналогично вариации обобщенных скоростей можно представить в виде

6% = % (/)-%•«), но

寸")-?⑺=糸例")+ m了]-方Wj (用=16勺.

Следовательно,

М/ = ^6%・， или

6 dq j = d 6d，

Доказательство этого свойства в случае неголономных связей подробно рассмотрено в книге Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева, Динамика неголономных систем, «Наука», 1967.

*) Н. В. Б у т е н и н, Я. Л. Л у нц, Д. Р, М е р к и н, Курс тео< ретической механики, т. i,《Наука», 1969.

Отсюда следует, что

«и = cos 02，

®12 = &

®13 =

=sin q、sin 仇,

a2i = — sin q备

a22 = 0,

a23 =

=sin qi cos %,

a3i = 0,

«32= L

a33 =

=COS 01・

Из соотношений (3.77) получим 仇 =COS效晶 一Sin 02亢2,

cos qi sin ^2 • cos(71 cos «2 . , A

倣而/— . sin% . . cosqz .

俏二一."几+ 一;*冗2, sm 力'sin 9i

откуда

Ри = cos цъР12 = - Sin цъВ13 = О，

А 一 cos <7! sin q2cos 勿 cos 依i

%而，% = L

8з] =把巫,032=£?结,0зз = О・

尸 Sin 01L Sin 01 'L

Очевидно, что

Формулы для подсчета у^^у имеют вид

丫久財=(Pix₽2/~Mi/)(靄•-寫■) +

+ FT"(03%Plj — ₽1ХрЗ/) + ” 8g『(03九02/ ~ 6*6岁工 Отсюда

%23=-1, y132= L Y231 == - L ¥213 ~ 1, Y312 = 一 L y321 = L Все остальные у равны нулю.

Уравнения Эйлера ——Лагранжа будут иметь вид

■^ Ux«l) 一 //2元3 + 厶九3九2 = P1.

"^ (/g元2)一 аг亢3晶+ Av衣m3 =p2，笈(厶亢3)一厶晶丸2 + //2济=A,

иЛиЛ轡瞽-成轡瞽-成

и

Л

и

Л

轡瞽-成

轡瞽-成

где М“，Му, Мх — моменты сил соответственно относительно осей М У, %.

Пример 30. Вывод уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе с учетом массы кардановых колец.

Схема гироскопа представлена на рис. 3.15. Начало координат выберем в точке пересечения осей карданова подвеса. Подвижную систему координат свяжем с внутренним кольцом, направив ось 0%

по оси вращения ротора, ось Оу — по оси вращения внутреннего кольца. Ось Ozi неподвижной системы координат направлена по оси вращения наружного кольца. Тогда положение подвижной системы координат Oxyz по отношению к неподвижной Ox\y\Z\ определится двумя углами 屮 н 仆.Угол вращения ротора вокруг оси Ок обозначим через ф (рис. 3.16). Проекции угловой скорости наружного кольца равны

°>н修=°，3^1 = °，Shni =啦

Проекции угловой скорости внутреннего кольца и ротора соответственно равны

Ов.Г =—屮 Sin 仇 9вд = 6, Овг =少 cos 8

со* = © —少 sin 6, соу = ®,(о2 = -ф cos О'.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна

'=歹 /厘少2 + ~2 (^вл®вх 十 1 ву魄? + /bzWz) + ~2+ /"崎 + 厶w)，

(3.73)(3.73)(3.79)(3.79)гдегдеЛ = /вх + Аг,Л = /вх + Аг,/з (g2)=/з (g2)=，HN[ + G + Аг + 0ВХ - /bn — Аг) SiM 倣，HN[ + G + Аг + 0ВХ - /bn — Аг) SiM 倣II(3.80)(3.80)cos2 q?cos2 q?

(3.73)

(3.73)

(3.79)

(3.79)

где

где

Л = /вх + Аг,

Л = /вх + Аг,

/з (g2)=

/з (g2)=

，HN[ + G + Аг + 0ВХ - /bn — Аг) SiM 倣

，HN[ + G + Аг + 0ВХ - /bn — Аг) SiM 倣

I

I

(3.80)

(3.80)

cos2 q?

cos2 q?

где /晔—момент инерции наружного кольца относительно оси Огь /в*, /в?,，bz — моменты инерции внутреннего кольца, %, /?, Iz — моменты инерции ротора. В силу симметрии имеем /вх = /в? и /^ = Л. За обобщенные координаты примем

91 =也戢=今，93 = <Р，

а за квазискорости

亢】=Qr = © —屮 sin 今=—仇 sing 2 + ^3,

血2 = 3' = ® = %，

亢з = s? = ® cos 今=仇 cos 92・

Из соотношений (3.78) получаем

.1, sin q2 .

Таким образом, имеем

广=}[%就 +，2抬+?3(%)司

Так как для рассматриваемой системы

dit] = — sin «2 d,[ + 4夕3,6冗1 = — sin 以 6% + 6«з,

du? = d«2, dig = cos % 對卜du? = d«2, dig = cos % 對卜歯1歯1dg? = djt?.dg? = djt?.cos 92 'cos 92 '</дз = d冗]+ rfn31COS q2</дз = d冗]+ rfn31COS q26Л2 = "2，6冗3 = COS 92 Ml，“I = -^―,” COS 926^2 = 6冗2，бд3 = 6冗I + 胆型 6冗3, ” cos%6Л2 = "2，6冗3 = COS 92 Ml，“I = -^―,” COS 926^2 = 6冗2，бд3 = 6冗I + 胆型 6冗3, ” cos%

du? = d«2, dig = cos % 對卜

du? = d«2, dig = cos % 對卜

歯1

歯1

dg? = djt?.

dg? = djt?.

cos 92 '

cos 92 '

</дз = d冗]+ rfn31

COS q2

</дз = d冗]+ rfn31

COS q2

6Л2 = "2，

6冗3 = COS 92 Ml，

“I = -^―,

” COS 92

6^2 = 6冗2，

бд3 = 6冗I + 胆型 6冗3, ” cos%

6Л2 = "2，

6冗3 = COS 92 Ml，

“I = -^―,

” COS 92

6^2 = 6冗2，

бд3 = 6冗I + 胆型 6冗3, ” cos%

то в соответствии с формулой (3.75) з з

d (6几1) — d (dnj =22 Yu.iv 6兀卩 dn、= — дл3 dn? + 6冗2 d冗з, v=l Ц=1

33

d (6冗2)— 6 (^л2) =22 Y卩2V 6冗卩 djt” = 0,v=i Ц=1

33

d (6几3)- d (dn；3)=££Y(j,3v 6 冗卩 die、=

v=1ц=1

«= — S’ES dn3 d冗2 + ■犯'?- 6冗2 ^3-

COS%COS ^2

Отсюда

Y213= 一 Y312= L

Y233

sin % COS 02

Остальные у равны нулю. Найдем теперь производные от Т по 元],亢2，亢3：

不五一 =gj； = /2^2» 「d元;=‘3（02）丸3・

Далее находим

з

打‘ v о d『 ar 1 .2 @厶丽=2В加2丽=丽=万%丽

tn= 1

Уравнениями движения в квазикоординатах будут

★ (/*晶)=Р1 =%，

4" 02*2)- 4■岩一罷 + /小 1% + 黑^ 4他)Л3=?2= Mg，

[Л (^2)а3] 一 /*品元2 ^3(02)元2元3 =p3 = м2.

。土cos q2

Переходя к обобщенным координатам, получим

% 鳥(@ 7 sin 9) = "а

厶吞一｝ *2 cos2 й -^- +/*(© — *ф sin 今)*ф cos О +

+ sin 0/3(»)屮2 cos 今=Му.

*^~ 口3 (窃)* cos 窃]— /#(© —屮 sin О) 8 — sin W3 (6) ®& =脈・

Так как

需=2仏修Ю鑄臬

то окончательно будем иметь ^[/x(<p-^sina)] = Afx,

«в# + Аг) 8 + /* (© —*Ф Sin О) ® cos ® + (/bn + /z-/bx)炉 Sin В cos B = Mg 卩吃 + * + 4 + «вх — 2 —厶)siM 可® — 厶付 _ @ Sin 8) 6 cos 3 _

—2 (/bz +，z —，вх)屮6 sin 3 cos 6 = M2 cos й.

Так как 64 = М% 6屮 + М。6В + М^ 6也где MZi — момент всех

сил относительно неподвижной оси Огъ а

6兀3, cos v

66 = 6夕2 = 6冗2， дф = 6^71 = -J^-^ длз, то

64 =+ Af, —6%・

*1 У 2\ X cos V Zi COS V /3

С другой стороны,

64 = М* 6nl + Му 6冗2 + Mz 6冗3, следов ательно,.

z cos V % COS V

ИЛН

Mz cos 0 ^ %[ + Mx sin 仇

В гироскопических приборах обычно М* = 0. Тогда

© — * sin В = R = const и уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе будут иметь вид

(/ВХ +，z) 5 + /*Q® COS 今 + (，BZ + 厶一/в*) О? Sin 今 COS 6 = Mg, 口吟 + /bz + 厶 + (4% _ /bz _ 厶)siM T ® _ /%Q畲 COS ®_

一 2 (，bz + 'z - G) @® sin C cos 6 = M2i，

В современных гироскопических приборах угловая скорость собственного вращения ротора © много больше угловых скоростей О и ". Принимая это во внимание и считая угол 存 малым, получим (厶丄 + 厶)5 + W = Mg, (/H2< + /bn + /J ® 一 厶QB = М/

Эти уравнения называются «техническими» уравнениями движения гироскопа в кардановом подвесе.

ГЛАВА 4

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Уравнения Лагранжа второго рода

в случае потенциальных сил

Обобщенные силы называются потенциальными, если существует функция

11 = 11(%, 02, 柒，f)，(4.1)

частными производными от которой по обобщенным координатам, взятыми с обратным знаком, являются эти силы, т. е.

Q^ =(/и = 1, 2,s).(4.2)

Функция (4.1) называется потенциальной энергией. В § 2.3 нами был рассмотрен частный случай потенциальных сил — консервативные силы — и была установлена формула (2.9), аналогичная формуле (4.2).

Используя формулу (4.2), перепишем уравнения (3.29) в виде

d / дТ \ — 07 一 ОН'dt \ dqm )~ dqtn *

Введем в рассмотрение функцию

L = T — H,(4.3)

которая называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Так как потенциальная энергия от обобщенных скоростей не зависит, то

и, следовательно, уравнения Лагранжа могут быть записаны в виде

糸儀г)-誅=°(6=1, 2s).(4.4)

Из структуры уравнений (4.4) видно, что если вместо функции L выбрать другую функцию 3 = L + f(f), где f(0—любая функция времени, то функция L〕тоже будет удовлетворять уравнениям (4.4). То же самое будет, если вместо 厶 взять L】=с£, где с — любое постоянное число, кроме нуля. Существуют и другие преобразования, относительно которых уравнения Лагранжа инвариантны ).

Пример 31. Составить уравнения (4.4) для материальной системы, схема которой представлена на рис. 4.1. Прямая, по которой

движутся грузы Mi, М2 и Мз, абсолютно гладкая. Массы грузов соответственно равны 加卜 /Иг и 收，а жесткости пружин ci,方 и ® За обобщенные координаты примем расстояния грузов от положения, при котором все пружины находятся в ненапряженном состоянии. Пусть gi н %i, 92 = %2, дз = %з・ Кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны

^=4, 他/+4* 师1+4 % 務，

口 = g Сm： + 4" С2 (%2 _ /)2 + 4*С3 (%3 - %2)2,

Составим функцию Лагранжа L = Г ——П и найдем

u -01%1 +02 (%2 - %1)，u -01%1 +02 (%2 - %1)，. dL . dL .m1修，"^"=倘2文2，*^"=m3%3,

u -01%1 +02 (%2 - %1)，

u -01%1 +02 (%2 - %1)，

==一02 (%2 — %1) + G (%3 - %2),

^ 一 為（%3-%2）・

Следовательно, уравнения (4.4) для рассматриваемого случая будут иметь вид

W1X1 + %修—& (%2 — /) = о,

mx2 + 02 (%2 - %1) — Сз (%з -打)=о,

別元3 +e3 a3 - %2)= 0・

Пример 32. Составить уравнения движения материальной системы, состоящей из двух тяжелых однородных стержней равной Длины /, шарнирно соединенных между собой в точке А (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Конец одного стержня шарнирно укреплен в неподвижной точке О; конец другого стержня шарнирно укреплен в центре однородного диска радиуса г и массы 府.Диск катится без скольжения. Центр диска соединен с неподвижной точкой D пружиной жесткости с. Пружцна находится в ненапряженном состоянии при вертикальном положении стержней. Масса каждого из стержней ——т.

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол <р (угол между осью % и стержнем 04), т. е. g = ср. Запишем координаты центра масс стержня О А:

/I .

修=彳 cos ф, ^i =y sin ф, стержня AB:

%2 =彳 cos <p,檢=/ sin 中 + 万 sm 屮=万 / sin ф, диска (точки В):

%з = 0, % = 2/ sin ф

(так как ОА = АВ = /).

Кинетическая энергия системы равна )

Т = J ^о^ + у 加^ + / /©2 + у М吟十^厶吃

где /о — момент инерции стержня ОА относительно точки О, 7 — мо・ мент инерции стержня АВ относительно его центра масс, /в — момент инерции диска отнрсительно его центра, з — угловая скорость диска. Найдем теперь и^, и^ и угловую скорость о)диска. Очевидно, что

£ =君 + 貯=g(1 + 8 cos2 ф) ф2,

= 42 0 cos <p и (»=== -у-фcosф.

Таким образом,

T=^(K + "cos2q))炉，

где

к=/^ + / 4- т2_ «А 血2,

^ = 2加2 + 6М/2 = 2/2 (勿 + ЗМ),

Потенциальная энергия равна

И = — mg%] — tngx2 + } с欣=—tngl cos ф 十 2諸 sin2 屮・ Составим функцию Лагранжа:

L = 7—П=~^(К + 2 cos2 ф) ф2 + mgl cos 屮一2c庐 sin2 <p.

Далее находим

-^- = (К + " cos2 ср) ф,

~^- = — ^ cos <р sin ф • ф2 — mgl sin <р — 4c产 sin 屮 cos <p.

Напишем теперь уравнение движения:

纟[(К + “ cos2 ф) ф] + ^ф2 cos ф sin ф + mgl sin 屮 + 4с/2 sin ① cos <р = О, или

(К + N cos2 ф) ф — ^ф2 cos qp sin ф + 4с/2 sin <р cos <р + mgl sin <р = 0.

Если угол ср мал, т. е. если можно пренебречь членами, содержа* щимя ф и ф в степени выше первой, то

(K + N)® + (4c/2 + mg/)q)= Q

т. е. система будет совершать гармонические колебания, период которых равен

Т = 2冗K + N+

Пример 33. Составим уравнения движения материальной точки относительно Земли, происходящего под действием ньютоновской силы притяжения. Землю будем считать однородным шаром.

Введем в рассмотрение систему координат Оху% имеющую начало в центре Земли, причем ось z направим йо оеи вращения Земли. Считаем, что эта система не участвует во вращательном движении Земли. Движение по отношению к этой системе координат будем называть абсолютным.

За обобщенные координаты примем qi = г, 吸=а, дз =自 где г — расстояние точки М от центра Земли, а — долгота в аб-

Рнс. 4.3.солютном движении, р — геоцен

трическая широта (рис. 4.3). Декартовы координаты материальной точки связаны со сферическими при помощи формул

% =厂 cos В cos а, у = f cos 0 sin а, n =，sin 卩・

Кинетическая энергия выражается формулой

Г = }• /и (£2 + 步2 + 之2)и }(产 + 产便 +「2&2 cos2 §) (tn — масса точки).

Потенциальная энергия равна )

П = — ?-, где М = gR2.

Таким образом, функция Лагранжа

厶=}团(产+产* + /&2 cos2 8)十号士.

Вычислим производные от L:

= /ИГ, ~~ =別吊2 + W&2 cos2 В —,

祭1 = tn产& cos2 0, 崇" =0,

«=加产8， 奇.= -加产&2 cos B sin 0,

действием центральной силы,действием центральной силы,количества движенияколичества движениясительно оси Oz. Модуль моментасительно оси Oz. Модуль моментаравенравен

действием центральной силы,

действием центральной силы,

количества движения

количества движения

сительно оси Oz. Модуль момента

сительно оси Oz. Модуль момента

равен

равен

и составим уравнения (4.4):

产一/•(伊 + a? cos2 b)= 一 岁，(4.5)

mr2 a cos2 p = cb(4.6)

^(r^) + ~r^sin 2₽ = 0(4.7)

(ci — постоянная интегрирования).

Так как движение происходит под

то момент количества движения точки является постоянной величиной. Найдем проекции момента количества движения на оси , у, z:

Кх^т (必 一 zy)=

=mr2 (P sin a — a cos a sin В cos 0),

Ky = tn (z戈—xi)=

u — mr2 (B cos a + a sin a sin § cos 0), Kz =俏(xy — yx) = mr2 6 cos2 良

Отсюда видно, что уравнение (4.6) выражает постоянство момента количества двйжения точки отно

К =，代 + /^ + 抬=mr2 ]/俨 + &2 cos2 В = % = const. (4.8)

Как известно *), движение точки под действием центральной силы происходит в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества движения. Это движение происходит в плоскости, проходящей через центр шара. Линию ОК пересечения этой плоскости с экваториальной плоскостью называют линией узлов (рис. 4.4). Обозначим через Q угол между линией узлов и осью %, через i — угол между экваториальной плоскостью и плоскостью движения точки. В плоскости движения положение точки определяется радиусом г и углом ф. В полярныхкоординатах г и ф момент количества движения точки выражается формулой

К =俏丁2@ = &•(4.9)

Следовательно, в соответствии с формулой (4.8)

胪+&2 cos2 В = 02.(4.10)

Уравнение (4.5) движения точки при этом будет

г^г^^-^-.(4.11)

С помощью замены

(4.12)

и соотношения

г2ф ~ с

(4」3)

(интеграл площадей)

это уравнение преобразуется к виду

бР〃1

(4・14)

где

糸(с=-^)-

(4.15)

Решая это уравнение,

получим

〃 =Q COS (<р + е)十

(4.16)

где а и е — постоянные интегрирования. Так как 〃 = ；, то

р

(4.17)

1 + е cos (ф 4- е)

тде

е — ар.

(4.18)

Полученная зависимость представляет собой уравнение

кониче-

ского сечения *).

Обобщенный интеграл энергии

Предположим, что функция Лагранжа (кинетический потенциал) голономной системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е.

L = L^qm, %, 0 (团=1, 2, ...» s)・(4.19)

Дифференцируя по времени функцию (4.19), будем иметь 券=£(器"% +器0+第(4。2。)

Из уравнений (4.4) следует, что

* =(例=1, 2,・・・，s).

Тогда

dL . . dL .. d f dL \ . , ^L - d ( dL . \ 矶 丽 qLz^^q"丽 qm=F\^qm)

(zn = 1, 2, ..., s).

Значит, выражение (4.20) можно переписать в виде

dL d dL . , d£

m=l

ИЛИ

分(E命яП 一0+祭=0.(4.21)

Если -|у =0, т. е. если функция Лагранжа явно от времени не зависит, то

分(£諾%-丄卜

И

£許^一L=瓦(4.22)

m= 1

Это выражение называется обобщенным интегралом энергии (интегралом Якоби). Вспоминая, что-^- qm ="^~^仅， можем записать

纟誅％一L=£訪九一Г + 1Ь (4・23) m=lm=l

Для реономной системы кинетическая энергия выражается формулой (3.43), т. е.

Т=72 + Т] + 7о・

Подставляя это в формулу (4.23), получим £許0m一l=£爲器q1nm m = 1m = 1

По теореме Эйлера об однородных функциях имеем

m=lm=I

Следовательно,

工晋小-Lf - To + R・(4.24)

m=l

Заметим, что это выражение не совпадает с полной энергией системы

Е = Т + II = Т? + Т1 + Tq + 】【•

Используя формулу (4.24), перепишем обобщенный ин- %теграл энергии (4.22) в виде

「Г2~Т0 + П = й. (4.25)

Итак, обобщенный интеграл энергии существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени f не зависит.

Для склерономных консервативных систем, когда L явно

не зависит от времени, Т = Т? и обобщенный интеграл будет обычным интегралом

энергии:

Г + П == Г2 + П = /г.Г + П == Г2 + П = /г.(4.26)(4.26)

Г + П == Г2 + П = /г.

Г + П == Г2 + П = /г.

(4.26)

(4.26)

Пример 34. Шарик массы m находится внутри прямолинейной горизонтальной трубки АВ (рис. 4,5), которая равномерно вращается с угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси, проходящей через точку Л. Шарик соединен с неподвижной точкой А пружиной жесткости с. Пренебрегая трением, составить обобщенный интеграл энергии.

Примем за обобщенную координату расстояние х шарика от точки 4, т. е. g = х. Так как %】=х cos ш/, у\ = х sin ©/, то ско-

рость шарика равна

и?=君 + 近=必 + х2©2.

Следовательно, если пренебречь массой пружины, кинетическая энер* гия шарика будет равна

7 = }加（北2 +产02）

Если хо — длина пружины в ненапряженном состоянии, то потенциальная энергия

口0^（%-*。）2

（%о ——длина пружины в ненапряженном состоянии）.

Составим функцию Лагранжа

£« ^т（х2 + х2®2）-专（％ - х0）2,

найдем = тх, и обобщенный интеграл энергии будет равен

Напишем теперь уравнение движения. Учитывая, что получим уравнение движения:

^^^^^^т^т^х + с{х^х^^^

Перепишем это уравнение в виде

/их — tngx + °（% — %。） = о.

После его интегрирования получим

у 团产 - ；加炉工2 + * （% 一 Х0）2 =%， т. е. вычисленный выше обобщенный интеграл энергии.

Метод Уиттекера

Метод Уиттекера позволяет с помощью обобщенного интеграла энергии понизить порядок системы （4.4） на две единицы. Пусть рассматриваемая голономная система будет консервативной. Это значит, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е.

厶=L（9冲 jm） （tn =1, 2, ..., s）.（4.27）

Идея метода Уиттекера заключается в использовании интеграла энергии для замены аргумента f в уравнениях Лагранжа (4.4) новым аргументом ——какой-либо обобщенной координатой, например 夕卜 Пусть q\ будет новым аргументом, тогда

办=丁0 丽 Н = *・％S=L2,…，s), (4.28)

где

Заменяя в функции Лагранжа (4.27) @р на д； , получим

L (0即厅m)=Lgm,仇，0。三 九，gz).

Введем обозначение

厶(9加，仇& 曰呢4)= Q(0m，%，心) (P = 2, 3,・・・,s). (4.30) В соответствии с выражениями (4. 30) и (4. 29) имеем

dL "dQ OQ d(fp dQdQ qp

dL@Q dqI亚

—=—у ,, = 丁―(P = 2, 3, ,.., s),(4.32)

%dqp d^p% dqp

笋(4.33)

Из выражения (4.31) следует, что

Принимая во внимание соотношение (4.32), получим

0Q dL . dL qp dL 〃巾 d仇。《 i +dqm ^j *

p=2m = l

откуда

三謊仇券性34)

Следовательно, обобщенный интеграл энергии (4.22) можно записать в виде

цли» в силу (4/3Q),цли» в силу (4/3Q),仇需г"仇需г"(4.35)(4.35)

цли» в силу (4/3Q),

цли» в силу (4/3Q),

仇需г"

仇需г"

(4.35)

(4.35)

Решая соотношение (4.35), найдем 仇 как функцию дт9 ^，(勿^ е1, 2, ..♦, s; р==2, 3, •・・,s). Подставив затем найденное выра・

жение для gi в производную , получим функцию

7%标器,7%标器,(4.36)(4.36)

7%标器,

7%标器,

(4.36)

(4.36)

которую будем называть функцией Уиттекера. Найдя @i из соотношения. (4.35) и подставив это 羽 в то же соотношение, получим тождество. После дифференцирования этого тождества по д，и qm будем иметь соответственно

歌器+"謂T器就не+器訪卜询

_ 二1- -1 = 0._ 二1- -1 = 0.(4.38)(4.38)

_ 二1- -1 = 0.

_ 二1- -1 = 0.

(4.38)

(4.38)

Из выражения (4.37) следует:

^； L^i4 0宕0学了

Из соотношения (4.36) получим

0厶‘@2Q[ 02Q @ 仇

函，d仇0% + d貯0%.

Следовательно,

(4.39)(4.39)=(P = 2, 3,…，s).

(4.39)

(4.39)

/"對"

В соответствии с (4.38) имеем

дЯт[°仇 °% 此 WnJ'

так как

OU 口 02q[ »Q о仇

^m ^l^m 増 W；

ТО

= q\ -~— (т = 1, 2,・• s).(4.40)

Сравнивая теперь соотношения (4.32) и (4.33) с соотношениями (4.39) и (4.40), получим

矗匸靑舞 (加=1, 2,(4.42)

Используя соотношения (4.40) и (4.41), перепишем уравнения (4.4) в виде

Так как 0* =将^] то

含（詣卜岩=。（Р = 2,3,s）.（4.43）

Уравнения (4.43) называются уравнениями Уиттекера.

(4.44)(4.44)На основании соотношения (4.34) функцию Уиттекера (4.36) можно определить по формуле

(4.44)

(4.44)

3Qm仇

7П=1

где в правой части ^ выражено с помощью формулы (4.35) через 9加и q'p・

Таким образом, метод Уиттекера дает возможность использовать обобщенный интеграл энергии для исключения времени / из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s——1 уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которых роль аргумента играет переменная 内(вместо времени f) и в которые вместо производных qP по аргументу t входят производные д， по аргументу gi. Для построения уравнений Уиттекера (4.43) следует предварительно построить функцию Уиттекера L\ Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо @1 под* ставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35).

Заметим, что описанная операция выполнима только при условии, что число степеней свободы материальной системы больше одной, так как иначе задача решается самим обобщенным интегралом энергии. Следует также иметь в виду, что если координата 01 не будет входить явно в выражение функции L\ то метод Уиттекера можно было бы применить вторично, взяв в качестве но-

вого аргумента обобщенную координату % вместо прежнего аргумента q\.

Пример 35. Движение материальной точки под действием центральной силы.

За обобщенные координаты примем полярные координаты 矶= =屮，仇=匚 Так как в этом случае

* =，cos 屮，y^r sin ф, то

Т — ^ т(х2 +у2) ^^m(f2 + 产@2).

В случае центральных сил потенциальная энергия является функцией г, т. е. П = П(г), и функция Лагранжа имеет вид

L = y г^(г2 +「2@2)— п (г).

За новый аргумент примем координату ф, тогда

. dr dr .,.

В соответствии с обозначением (4.30) имеем

Q = ^m^2(r^ + r2)-n(r).

Следовательно, выражение (4.35) в рассматриваемом случае примет вид

扌m讲g启+丹+ 口⑺^九).

Отсюда получим

ФФ—"2%-Г1(г)]— У 7 G3)—"2%-Г1(г)]— У 7 G3)

Ф

Ф

—"2%-Г1(г)]— У 7 G3)

—"2%-Г1(г)]— У 7 G3)

Найдем теперь функцию Уиттекера. Согласно формуле (4.44) и соотя ношению г ^ ©产

"'=器+糸^=加屯‘尸+d）。

Подставляя в это выражение полученное выше 巾,найдем функцию Уиттекера

，2/nm一11(叫(产+й2)・

Составим теперь уравнение Уиттекера

Так как

dU8 + d)+ (" 口)2r

дг2#伍-口)(Г2 + 円

击侍）Пg击侍）Пg2 G2 + d)J伍一n) g2 + /)2 G2 + d)J伍一n) g2 + /)2 优 一 口）（产产-r/）-嘗 /2 （了2 + /2）

击侍）Пg

击侍）Пg

2 G2 + d)J伍一n) g2 + /)

2 G2 + d)J伍一n) g2 + /)

то уравнением Уиттекера будет

請产(产 + у2)+ 2了(左 一 II) ("" 一 2/ - Г2) = 0.(4.45)

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением траектории точки при ее движении в центральном поле. Общее решение этого уравнения зависит от постоянной h и постоянных интегрирования ci и С2, т. е.

f = T(Ф，瓦01，02)，

При изучении движения точки под действием центральной силы часто пользуются заменой г = — . Тогда

—и" и + 2〃'

Подставляя полученные соотношения в уравнения (4.45), получим 需(〃2 + Т) + 2 伍一 И) (〃"+〃)= О.

Мы не будем заниматься интегрированием этого уравнения, а найдем уравнение траектории путем составления «нового» обобщенного интеграла энергии, используя то обстоятельство, что координата <р в функцию Уиттекера не входит. В соответствии с выраже< нием (4.22) имеем

Так как

维=宀I/= J 2m (a一口mn + 尸),

ТО

产+尸

или

-г^2т (Л-П) = " %2 + 戸.(4・46)

Выясним смысл нового обобщенного интеграла энергии. В силу того, что h 一 И = Т, а

7 Н /加(产 + "©2)0 ^ m^ (/2 + 产).

выражение (4.46) примет вид

—тг2ф =", т. е. выражение (4.46) представляет собой интеграл площадей. Вводя обозначение с=—力 н возводя выражение (4.46) в квадрат» получим

2c2 (f2 + №)s=mr4 [Л-П(г)].

Если ввести замену「=百，то

2c2 (/ + 〃2)=团[厶—口 (!)]).

Дифференцируя это уравнение по <р, имеем

Это уравнение называется уравнением Бинэ.

Пусть действующая на точку сила будет ньютоновской силой притяжения, тогда

后2

П =—厂=—月也(^2 _ постоянная)

и, следовательно,

4c2 (〃“ + 〃) = mk\

*) Это уравнение первого порядка сводится к квадратурам.

Вводя обозначение р = "^F，получим uff + и —丄.

Р

Решение этого уравнения рассмотрено в § 4.1.

Циклические координаты. Уравнения Рауса

Те обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называются циклическими координатами. Те же, которые входят в функцию Лагранжа, называются позиционными координатами.

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени 么 т. е.

L = L(%, ・・.，％，仇，…，qs.力； (4.47) в этом случае мы будем иметь s уравнений Лагранжа (4.4):

方(器)~券=°(m= 1, 2,s). (4.48)

Для производных от L по первым r(r^s) обобщенным скоростям gi,个2，・• •， qr введем обозначение

幾=Pm (m= 1, 2,г),(4.49)

где рт называются обобщенными импульсами. Тогда на основании уравнений (4.48) имеем

"^^ = Rm (加=1, 2, ..., г).(4.50)

Найдем полный дифференциал от функции (4.47):

m-=lm=l

Принимая во внимание формулы (4.49) и (4.50), по* лучим ГSг

dL= ^рт dqm + £ 誅對懒+ S Рт d^m + /п=1m= r+1m=I

m«r+l

Так как ггг

£ Pm djm = d 工 РтЧт —工 Gm dpm， m«-lmel№1

то будет

d ( £ P/n^n-厶)=_ 工户/n 對悔- £ "^對m + \m=l/ m=lm=r+I

rs

+ E^d%— E 誅對悔成.(4.51) mTm—r+t

Введенную Раусом функцию

Г

R = X Рт4т — L(4.52)

m=l

называют функцией Рауса,

Полный дифференциал от функции Рауса имеет вид

dR=^4 際對m + ££ 説Мт +

m=lm=r+lm=l

+ ij ^對悔+ 2説如〃 +醬山.(4.53) m=r+lm=l

Сравнивая между собой выражения (4.51) и (4.53) с учетом обозначения (4.52), получим

許=一小，談=°'瞪=^ (加=1, 2Г) (4.54)

И

券=一新，■^■=-器 ^-r^\.r+^ ...,s). (4.55)

Кроме того, dR — dL

Из условия

醤=0(m= 1, 2,・・・, г)

вытекает, что функция Рауса от первых г обобщенных скоростей не зависит. Подставляя теперь результаты (4.54) и (4.55) в уравнения Лагранжа (4.48), будем иметь

4(^)-^ = 0 (吁 г+1S)(4.56)

И

qz* Pm — 丽.(4.57)

Пусть теперь первые г обобщенных координат («1, ^2,... …，处)будут циклическими, тогда

»^ =0(/и= 1, 2, ..., г),

следовательно, в соответствии с (4.50) рт—0 (加=1, 2, г) и

Рт=^ (т=1, 2,・・・，г)

будут постоянными величинами. Из уравнений (4.57) в связи с этим получим

% =談，紀=。・ 《岡

Это значит, что циклические координаты не входят в состав функции Рауса. Уравнения же (4.56), которые называются уравнениями Рауса, своего вида не изменят. Итак, нами установлено, что функция Рауса не содержит циклических координат и их производных по времени.

Для отыскания позиционных координат служат s—г уравнений Рауса (4.56). Циклические же координаты, в соответствии с (4.58), определяются по формулам

%» = J ;^ 出 (加=1, 2,・・・，г).(4.59)

Пример 36. Рассмотрим движение материальной точки, притягиваемой к неподвижному центру по закону всемирного тяготения.

Воспользуемся полярными координатами. Пусть q\ =屮,g? =「・ Так как

Т « /и (г2 +「2©2)н П = —у-

信2 — постоянная величина), то

厶=^m(产+?2@2)+今.

Координата <р является циклической. Значит, 務* = m「2@ = р = const

Это выражение является интегралом площадей.

Составим функцию Рауса:

R = р0 —i- m (г2 + 产巾2)

Поскольку

© 5"#

mr2

тотоRR左2左22тг22тг2ОтсюдаОтсюдаOR ・ dR—=—mr, нdrdrOR ・ dR—=—mr, нdrdrСоставим уравнение Рауса:詛一叫+爲Y=o,Составим уравнение Рауса:詛一叫+爲Y=o,илиили~ 0.~ 0.(4.60)(4.60)Это уравнение служит для определения г как функции времени *). Так какdRр_mr2 •Это уравнение служит для определения г как функции времени *). Так какdRр_mr2 •*) Введя замену г = — и учитывая, что @ = /2，уравнение (4.60) можно привести к дифференциальном у уравнению траектории*) Введя замену г = — и учитывая, что @ = /2，уравнение (4.60) можно привести к дифференциальном у уравнению траекторииd^>2d^>2(с — const).(с — const).

то

то

R

R

左2

左2

2тг2

2тг2

Отсюда

Отсюда

OR ・ dR

—=—mr, нdrdr

OR ・ dR

—=—mr, нdrdr

Составим уравнение Рауса:

詛一叫+爲Y=o,

Составим уравнение Рауса:

詛一叫+爲Y=o,

или

или

~ 0.

~ 0.

(4.60)

(4.60)

Это уравнение служит для определения г как функции времени *). Так как

dRр_

mr2 •

Это уравнение служит для определения г как функции времени *). Так как

dRр_

mr2 •

*) Введя замену г = — и учитывая, что @ = /2，уравнение (4.60) можно привести к дифференциальном у уравнению траектории

*) Введя замену г = — и учитывая, что @ = /2，уравнение (4.60) можно привести к дифференциальном у уравнению траектории

d^>2

d^>2

(с — const).

(с — const).

ТОТО

ТО

ТО

(4.61)(4.61)忏J/山,

(4.61)

(4.61)

куда вместо г нужно вставить решение уравнения (4.60). Используя „ dr .dr

то, что ^ = Z» = г 石, перепишем уравнение (4.60) в виде

而赤=(编一卦Г

или, после интегрирования,

{mp — ^^^h'(4・62)

Это выражение представляет собой интеграл энергии *).

Рассмотрим движения, не уходящие в бесконечность. Для таких движений, в соответствии с формулой (4.62),九 V 0・ Введем обозначение

也 =一俨.

Из выражения (4.62) теперь следует, что

получим

J _(Q _「)2

Заменяя

a — r = У b cos £,

будем иметь

世(f 一 力)=j (1 — e cos E) dE,

где e = ——. Пусть E = £0 при f —力,тогда

卩(/ —力)=E — E° — e (sin E — sin E°),(4.63)

где £ = arccos・

ae

Уравнение (4.63) называется уравнением Кетера.

§ 4・5・ Обобщенный потенциал )

До сих пор мы рассматривали только такие силы, для которых потенциальная энергия была функцией обобщенных координат и времени (§ 4.1), т. е.

口 = 口(力，%，•一，仇，力)。(4.64)

Введем в рассмотрение функцию

V = V (办，%，…，%，仇，仇，•…，仇，0(4.65)

и потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

為(器A^ = Qm⑺=1, 2, S)

имели вид

方(■£)■■號"=°(/n=l, 2,s), (4.66)

где

L = T-V.(4.67)

Очевидно, что если функция V такова, что

Qm =方(誤)-誤Т(加=I 2,s), (4.68)

то уравнения Лагранжа будут иметь вид уравнений (4.66). Функция (4.65), с помощью которой можно получить обобщенные силы по формуле (4.68), называется обобщенным потенциалом.

Выясним структуру зависимости функции V от обобщенных скоростей. На основании формулы (4.68) имеем

Ц=1Ц=1

(m = 1, 2, ..., s).

Так как обобщенные силы явно от обобщенных ускорений не зависят, то

＞崛、姒@产°W= 1, 2,・・・，s),

т. e. обобщенный потенциал V может быть только линейной функцией от обобщенных скоростей:

и = П(砧 /)+£/%, f)^(m=l, 2, ..., s). (4.69)

Используя формулу (4.69), определим вид обобщенных сил с помощью соотношения (4.68):

*-|4=1-

厶dq^倣十df4dqm夕世 dqm

卩=1卩=1

=一黑十g(矗一需*+等=1,2,…,s).

Введем обозначения

Ye = -^^"(m,1, 2,s)・(4.70)

Очевидно, что

Vmn = — Yw

Следовательно,

q一^ + eY呻% + 甞 (m=l,2,…，s). (4.71)

Если функции Пт не зависят от времени, то —於=0 и

S

Q；n = —器+，Yw%(m=l, 2,・・・，s). (4.72)

u=i

Таким образом, если функции Пт не зависят явно от времени, то обобщенные силы складываются из по- / on \

тенциальных сил I —不—) и гироскопических сил

Пример 37. Примером силы, имеющей обобщенный потенциал, является сила Лоренца, действующая на точечный заряд в электро- магнитном поле *):

尸= “Е + ?Х〃](4.73)

где е — заряд, 0 — скорость точки, £ и Я — напряженности электри： ческого и магнитного полей соответственно, с — скорость света. Если координаты заряда х, у и z, то проекциями силы F на оси х, у и х будут

Fx^eEx-Y^(yHz-zHy),Fy^eEy^^(zHx-xHzY

Fz = eEz+；(戈时-必.

Так как

Е = —grad Ф — ~, ^ = rot Д,

где ф ——скалярный _потенциаЛ, А ——векторный потенциал, то в силу того, что

(dAz дАу\ . / дЛх dAz \ . / дЛу дАх、

имеем

^Ф 1 дАх 1 [(дАу дАх\ /дАх

〃 = 一 ё 后-工丁 +工因-^¥Jt(B_X〃 =

0屮 с / дАх дАх . dAz \ е / дАу dAz \ё段一工(丁十丁"6之户力寸》+『之)=

дАхдхдАхдх"+端" +整9 +"+端" +整9 +ОАдОАддхдх»+~^ 之丿.(4.74)»+~^ 之丿.(4.74)

дАхдх

дАхдх

"+端" +整9 +

"+端" +整9 +

ОАд

ОАд

дх

дх

»+~^ 之丿.(4.74)

»+~^ 之丿.(4.74)

Введем функцию

p=绅吟/，4 =绅一^ (元4 + уау + zA^(4.75)

и составим выражение

乐驚一需一啮+从晋+嗚^端卄唸乎

е / дАх дАу дАг \

十工(476)

Сравнивая между собой равенства (4.74) и (4.76), получаем

閏一要；

аналогично можно доказать, что

в ddV

尸2 =齐(雾)一黑，

Следовательно, обобщенный потенциал для силы Лоренца определяется формулой (4.75).

ГЛABA 5

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

§ 5.1. Переменные Гамильтона, Функция Гамильтона

Дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах q^ ^2,・• •， 9$ для голономной системы в случае потенциального силового поля имеют вид

=。⑺=1,2, ・・・，s),(5.1)

где L = T — П, представляют собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Вводя s новых переменных zb z2, ..., 2$ как функ* ЦИИ % 依，02, • • •,仇 Н 羽，@2,…，qSi т. e.

2m = Ntn(t，%，02，仇，仇，42，柒)

(/n= 1, 2, ...» s),(5.2)

и предполагая, что эти зависимости могут быть разрешены относительно 0“ ..., qm, мы можем привести систему уравнений (5.1) к системе 2s уравнений первого порядка.

Особый интерес представляют предложенные Гамильтоном переменные

Рт = @0加=Рт (% %, «2，• • • , 0s，仇，％,•••,柒)

(加=1, 2, ..., s),(5.3)

так как они дают возможность получить систему уравнений движения в симметричной форме, обладающую рядом свойств, позволяющих плодотворно применять эти уравнения к решению задач на определение движения

(5.4)(5.4)материальной системы. В дальнейшем переменные 0з 02, •. •, q$, pi,小,• •.，ps будем называть переменными Гамильтона в отличие от переменных Лагранжа ?i,仇，...,柒，仇，仇，•••，Gs・ Система (5.3) может быть разрешена относительно qm. В самом деле, как было установлено в § 3.6, кинетическую энергию можно представить в виде

(5.4)

(5.4)

гдегдег = т2 + г1 + г0,y£i^mp^m4p>m= 1 р= 1

где

где

m=l/ = 1

В соответствии с выражением (5.3) имеем

Pm = X "/и j" + BgP = 1Pm = X "/и j" + BgP = 1(5.5)(5.5)

Pm = X "/и j" + Bg

P = 1

Pm = X "/и j" + Bg

P = 1

(5.5)

(5.5)

Так как определитель этой системы *)Так как определитель этой системы *)41 %12 • • • 4m41#22•・《厶2俏若/и1 ”/и2 • • • ^mm41 %12 • • • 4m41#22•・《厶2俏若/и1 ”/и2 • • • ^mm=m”口|鬻IT諾抬=m”口|鬻IT諾抬#=0,#=0,то она разрешима относительно 疗卜 ^2» •••, 4s・ Гамильто она разрешима относительно 疗卜 ^2» •••, 4s・ Гамильтон ввел в рассмотрение функциютон ввел в рассмотрение функцию

Так как определитель этой системы *)

Так как определитель этой системы *)

41 %12 • • • 4m

41#22•・《厶2俏

若/и1 ”/и2 • • • ^mm

41 %12 • • • 4m

41#22•・《厶2俏

若/и1 ”/и2 • • • ^mm

=m”口|鬻IT諾抬

=m”口|鬻IT諾抬

#=0,

#=0,

то она разрешима относительно 疗卜 ^2» •••, 4s・ Гамиль

то она разрешима относительно 疗卜 ^2» •••, 4s・ Гамиль

тон ввел в рассмотрение функцию

тон ввел в рассмотрение функцию

” R』Рт^т — L，” R』Рт^т — L，(5.6)(5.6)

” R』Рт^т — L，

” R』Рт^т — L，

(5.6)

(5.6)

которая называется функцией Гамильтона, Сумму

S

2 РтЯт на основании (5.3) и (5.4) можно записать ш« 1

следующим образом:

£/Wm= £諾％=2粉小£器夕 w?«lm=lm=lm=l

По теореме Эйлера об однородных функциях

£器〃 =2厶，2論。mf m—1/п=1

и, следовательно, s 工 Рт4тК 2T? + Ту т= 1

Таким образом,

Если рассматриваемая материальная система стациоЕсли рассматриваемая материальная система стациоЯ = 2Т2 + Г1-(Г2 + Г1 + Го~П)= 72-Г0 + П. (5.7)

Если рассматриваемая материальная система стацио

Если рассматриваемая материальная система стацио

нарная, то Т—Тг и

// = Г2 + П = Г + П, (5.8)

т. е. функция Гамильтона равна полной механической энергии системы.

Переменные Гамильтона рш называются обобщенными импульсами *).

ности радиуса г с постоянной скоростьюРис. 5.1.〃о (рис. 5.1).За обобщенную координату примем q = (р. Так какности радиуса г с постоянной скоростьюРис. 5.1.〃о (рис. 5.1).За обобщенную координату примем q = (р. Так какПример 38. Найти функцию Гамиль- тона для математического маятника длины /, точка подвеса которого совершает движение по вертикальной окруж

ности радиуса г с постоянной скоростьюРис. 5.1.

〃о (рис. 5.1).

За обобщенную координату примем q = (р. Так как

ности радиуса г с постоянной скоростьюРис. 5.1.

〃о (рис. 5.1).

За обобщенную координату примем q = (р. Так как

хл «= г cos-y- / + / cos ф, ^力=厂 sin-у- / + / sin ф,

ТОТТОТ扌①因+次”貝[/2Ф2 + 2%/@ cos (屮——• , +叫

ТО

Т

ТО

Т

При нахождении обобщенных сил связи считаются мгновенно оста новленными (§ 3.3), поэтому за потенциальную энергию мы можем принять *)

Пн — mgl cos <р.

Функцией Лагранжа будет

L = T 一口L = T 一口+ 2о0/ф cos (①—-~- ' + 時]+ fngl cos ф,

L = T 一口

L = T 一口

н, следовательно,

откудаоткудар = -^-=欣20 + COS (屮—力),

откуда

откуда

Ф =談亍一号 cos (<р — * f)・(5.9)

Составим функцию Гамильтона

(5.10)(5.10)Н = -^ @ — £ = ｝ /и产@2 _ * _ mgl cos ф.

(5.10)

(5.10)

Если Uo = O, то

〃 =｝制2@2 — mgl cos 屮=7 + П ^ A,

т. е. ” является интегралом энергии, так как в этом случае связи будут стационарными и L не зависит от t явно. Подставляя выражение (5.9) в функцию (5.10), получим

\jnP ~у" cos(Ф ~ ~ ^] - Oq - mgl cos ф. (5.11)\jnP ~у" cos(Ф ~ ~ ^] - Oq - mgl cos ф. (5.11)〃 =｝倘/2

\jnP ~у" cos(Ф ~ ~ ^] - Oq - mgl cos ф. (5.11)

\jnP ~у" cos(Ф ~ ~ ^] - Oq - mgl cos ф. (5.11)

§ 52 Канонические уравнения Гамильтона

Функция

Н = £ РтЯт — Lm = l

является функцией /, %,仇,•…,仆,仇,夕方・・•, *, 〃,小, •…,Ps,几ока в ней не произведена замена всех @i, g2, 一・ ,•., @s через pi,夕2，.…，Р$・ Следовательно,

sss

6H =工(6p/m + Pm Mm)

加=1m=\m = l

Так как в силу (5.3)

^^ PmMm = S糸M" m=lm=l

TO

6H=，jnibpm—工裁 M" (5」2)

Определив из выражений (5.3) обобщение скорости qm через рт и подставив их затем в функцию (5.6), получим, что Н будет уже функцией только % q^ «2,...,夕北

Р」，Р2, • • •, Ps, т. e。

H = H 也夕[,02，• • •, 9s» Pl, P2> • • • > P$)・(5.13)

Тогда можно записать, что

6" = £ 諾 Mm + £ 忌 Me (5」4) m=lm=l

Сравнивая выражения (5.12) и (5.14), имеем

m = 1m^Xm= 1m= 1

ИЛИ

2依一誤s端+黑)5qm=Q m=lm=l

В силу независимости вариаций Sqm и бр^ получим

дН°РтдН°Рт=0,=0,dLdLдНMoдНMoоо(团=1, 2,・・.，s).(团=1, 2,・・.，s).

дН°Рт

дН°Рт

=0,

=0,

dL

dL

дНMo

дНMo

о

о

(团=1, 2,・・.，s).

(团=1, 2,・・.，s).

Поскольку рт = -^-, то из уравнений (5.1) следует, что

0厶_dpm _.

高— F=Pm，

Таким образом, имеем. дН ^ дН%=一丽，3祐Таким образом, имеем. дН ^ дН%=一丽，3祐(zn = 1, 2,・・・，s) • (5.15)(zn = 1, 2,・・・，s) • (5.15)

Таким образом, имеем

. дН ^ дН

%=一丽，3祐

Таким образом, имеем

. дН ^ дН

%=一丽，3祐

(zn = 1, 2,・・・，s) • (5.15)

(zn = 1, 2,・・・，s) • (5.15)

Если вативны,Если вативны,консер-консер-d石d石"ЧТ—~ = Qm(m = 1, 2, . • • , s)."ЧТ—~ = Qm(m = 1, 2, . • • , s).

Если вативны,

Если вативны,

консер-

консер-

d

石

d

石

"ЧТ—~ = Qm(m = 1, 2, . • • , s).

"ЧТ—~ = Qm(m = 1, 2, . • • , s).

Полученная система 2s уравнений первого порядка называется системой канонических уравнений Гамильтона.

действующие на материальную систему силы не то уравнения Лагранжа имеют вид

Так как

дТ5丽'T。дТ5丽'T。2部QHZ…f2部QHZ…f

дТ

5丽'T。

дТ

5丽'T。

2部QHZ…f

2部QHZ…f

Составив функцию

К = £ PmQm 一 Тm=l

и проиаведя выкладки, аналогичные уравнений (5.15), получим канонические°к 丄 с л °к5^^^；и проиаведя выкладки, аналогичные уравнений (5.15), получим канонические°к 丄 с л °к5^^^；проведенным при уравнения в видепроведенным при уравнения в виде(m = 1, 2 …，s)・(m = 1, 2 …，s)・Если силы консервативны, то Q^«^ иЕсли силы консервативны, то Q^«^ иО(К + П)О(К + П)QmQm0(K+H)0(K+H)apmapmибоибоw 0.w 0.выводевыводе(5.16)(5.16)Однако так какОднако так как

и проиаведя выкладки, аналогичные уравнений (5.15), получим канонические

°к 丄 с л °к

5^^^；

и проиаведя выкладки, аналогичные уравнений (5.15), получим канонические

°к 丄 с л °к

5^^^；

проведенным при уравнения в виде

проведенным при уравнения в виде

(m = 1, 2 …，s)・

(m = 1, 2 …，s)・

Если силы консервативны, то Q^«^ и

Если силы консервативны, то Q^«^ и

О(К + П)

О(К + П)

Qm

Qm

0(K+H)

0(K+H)

apm

apm

ибо

ибо

w 0.

w 0.

выводе

выводе

(5.16)

(5.16)

Однако так как

Однако так как

m=lm=lK + H=工 pmqm — T + П = 2 Pm4m — L = H,

m=l

m=l

m=l

то

м дН А дН、

仆-丽3而7g=l,2,…，s)・

Дифференцируя функцию （5.13） по времени 厶 получим

d〃 дН . Vd〃 дН . V寸加+ZXmm==l寸加+ZXmm==l

d〃 дН . V

d〃 дН . V

寸加+ZXmm==l

寸加+ZXmm==l

Учитывая, что• дН小箱，Учитывая, что• дН小箱，дНдН（們=1, 2,…，s）,（們=1, 2,…，s）,найдемнайдем

Учитывая, что

• дН

小箱，

Учитывая, что

• дН

小箱，

дН

дН

（們=1, 2,…，s）,

（們=1, 2,…，s）,

найдем

найдем

dH ая r vm=ldH ая r vm=lдНдНдНдН°9/п dpm°9/п dpm2m = l2m = lдН дН = дН bqm dptn- Ot °дН дН = дН bqm dptn- Ot °

dH ая r v

m=l

dH ая r v

m=l

дН

дН

дН

дН

°9/п dpm

°9/п dpm

2

m = l

2

m = l

дН дН = дН bqm dptn- Ot °

дН дН = дН bqm dptn- Ot °

Если

dH п дН п_^0, то—=0

Н = const.

Для стационарных связей Т = Т2, следовательно,

（5」7）（5」7）" =T + 口 =九,

（5」7）

（5」7）

т. e. функция Гамильтона для стационарных связей и консервативных сил является постоянной величиной, равной полной механической энергии системы.

Пример 39. Составить канонические уравнения Гамильтона для примера, рассмотренного в предыдущем, параграфе.

Так как функция Гамильтона имеет вид （5.11）, то

дНдНmlvo ["^r — -у- cos （屮一 — f）] sin （＜p —子 "—mgl sin ф,др加 2I cosy 「

дН

дН

и, следовательно,

р = —m/Uo [^! —у- cos（9 一 ? "] sin （屮 一-~ f） — mgl sin ф,

@ =恚一学3卜-»，

Пример 40. Точка М массы 切 притягивается к двум неподвижным центрам М】и М? силами, пропорциональными расстоянию

точки от этих центров (рис. 5.2). Найти траекторию точки для начальных условий: при / = 0 % = 0, £ = о。， у = b > а,步=0, z = h,之=0. Расстояние между центрами М1М2 = 2a.

Начало координат поместим в середине отрезка М1М2, ось у направим по направлению отрезка М〃2 от М к 私・ За обобщенные

координаты примем декартовы координаты точки, т. е. qi = %, 92 *= =弘 9з =尸・ Выражения для кинетической и потенциальной энергии соответственно имеют вид

T= ｝加(兑2十户+方)，口=经2 +号p2,

где % и с2 —коэффициенты пропорциональности,

Г2 = Х2 +(У + fl)2 4- 22, р? = %2 + (у — «)2 + 济

Так как р、= tn文,р? = т$, р3 = mzf то

^ = 2w (р 1 + Рг + Рз) + ^ 卜2 + (у + @)2 + z] + £ [х2 + (г/ - а)2 + г2].

Следовательно,Следовательно,01=一雾=_0諸_02/01=一雾=_0諸_02/02=-02=-03= 一03= 一дН备дНдН备дН-Ci (у + а)-с2 (у-а),-Ci (у + а)-с2 (у-а),-C\Z -02%,-C\Z -02%,

Следовательно,

Следовательно,

01=一雾=_0諸_02/

01=一雾=_0諸_02/

02=-

02=-

03= 一

03= 一

дН备дН

дН备дН

-Ci (у + а)-с2 (у-а),

-Ci (у + а)-с2 (у-а),

-C\Z -02%,

-C\Z -02%,

文吟吗…T•

Отсюда имеем

尤 + k2x = 0, 歹 + k2y = M 芝 + k2z = 0,

гдегде£2= J + C2(0-°1)a£2= J + C2(0-°1)a

где

где

£2= J + C2(0-°1)a

£2= J + C2(0-°1)a

Общими решениями этих уравнений будут

х^ А\ cos kt + В] sin ht> N

у =力2 £os kt + B? sin kt + 42r z = {3 cos kt + 83 sin kt.

Используя начальные условия, получим

4 = 0, 5尸^~, /2=Ь—^, 82 = 0, Л3 = Л, Вз=0

и, следовательно,

х «-—-sin kt, У = (b — 备)cos 论/ + 普,2 = A cos kt.

Если Л = 0, то г = 0 и движение будет происходить в плоскости ху. Траекторией движения будет кривая второго порядка — эллипс

Пример 41. Составить канонические уравнения Гамильтона для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Mi и М2 *).

Начало координат возьмем в середине отрезка ММ2 и направим ось х по отрезку М[М2 от Mi к М2 (рис. 5.3). Длина отрезка М1М2 = 2a. Выражения для кинетической и потенциальной энергии соответственно имеют вид

7 =扌俏(产 + 合)， n = — ^^ — ^^-,

где Ci н & — коэффициенты пропорциональности, p =匕% + "尸 + 必 Г = V {к- a)2 + у2.

За обобщенные координаты примем

九= *(г + р),卩= *(「-Р)・

Так как г + р》2a и | г — р | & 2а, то координаты X и ц, которые называются эллиптическими координатами, могут принимать только те значения, которые удовлетворяют неравенствам

1《九《8, —1V卩VL

Из выражений для р, г, Л и g следует, что

х ==—風卩，g = а Р (X2 一 1)(1 — М).

Находя теперь

*=一a (i|i + 口九)，

получим выражения для кинетической и потенциальной энергий:

Т = } та2 |^(ig + 口九)2 + ^ЛЛ j/" ：2 若卩口 У^ [~ц2,)]=

…寻Y一謊%L 加％Г[…)% +(…闻・ Вычислив

"1 =当=m炉(m一m) -'vA一 1

и подставив полученные значения в выражение для кинетической энергия, получим

7 = 2加口2*2)@2 [冠(严т) + 党(1 + И2)]- Следовательно,

Н = 2〃2 口 2 丄而Г М 优 _ 1) + 忌(1 一 №)]—

-£而_卩2) k/ +02)% + 3 - %) m]. Каноническими уравнения будут

九-卩 2) (p：+ 喲 tn

%=加Q2(户二严—-不干戸[。1伍+n)2 +。2伍一卩)%

j"1 (九2— 1)P2(l

~ tna2 (Л2 — ц2)* " та2 (X2 — ц2)*

Канонические уравнения при наличии циклических координат

В общем случае функция Гамильтона Н является функцией времени, s обобщенных координат и s обобщенных импульсов, т. е.

Н = Н Q, %,例，・・•，Qs，Р1> Р2，♦ •・,Р$)・

Циклическими координатами мы ранее назвали обобщенные координаты, не входящие в явном виде в функцию Лагранжа. В § 5.2 было установлено, что

dL дН /1 с、

ГГs),

т: е., если частная производная от L по qm равна нулю, то будет равна нулю и частная производная от 〃 по qm. Следовательно, циклические координаты не входят и в функцию Гамильтона.

Предположим, что первые k обобщенных координат являются циклическими, тогда, согласно уравнениям (5.15), будем иметь

崙=°，%=器 (j = L 2,..后).(5.18)

Отсюда следует, что

P/ = S и 仇=芻 (/= 1, 2, ..., fe), (5.19)

где q ——постоянные интегрирования.

Функция Гамильтона теперь будет зависеть от времени /, s—h обобщенных координат, s—h обобщенных импульсов и 力 постоянных интегрирования с,:

h = h 也 %十1, 9在+2, •一，q§; РЙ+1> Р*+2，•…，Ps，q,e2, • • • , c内).

(5.20)

Используя (5.15), получим

Рх == 一 -^» 电="^^ (九='+ 1,'十 2, •・・，s).

(5.21)

Это система 2s——2归 дифференциальных уравнений первого порядка относительно рх и q^. Решения этих уравнений будут содержать 2九=2 (s——汽)произвольных постоянных интегрирования с九 и cj, а также постоянные интегрирования с；, т. е.

р厶 = р厶 е，以，以，4），р厶 = р厶 е，以，以，4），%L = %,（'，以，以，％）%L = %,（'，以，以，％）(九=友 + 1,一./).(5.22)(九=友 + 1,一./).(5.22)

р厶 = р厶 е，以，以，4），

р厶 = р厶 е，以，以，4），

%L = %,（'，以，以，％）

%L = %,（'，以，以，％）

(九=友 + 1,一./).(5.22)

(九=友 + 1,一./).(5.22)

5 Н. В. Бутепин

Подставляя эти решения в функцию " (5.20) и затем пользуясь выражениями (5.19):

仇=瑞" ° = 1, 2,・・fe), найдем

力=『瑞威+ %(/ = 1, 2,田，(5.23)

где с； — новые постоянные интегрирования.

Следовательно, при наличии k циклических координат решение задачи сводится к решению системы уравнений (5.21), порядок которой уменьшен по сравнению с первоначальной на 2汽 единиц.

Пример 42. Составить канонические уравнения Гамильтона для

Рис. 5.5.Рис. 5.5.

Рис. 5.5.

Рис. 5.5.

расположен ог неподвижной точки О на расстоянии /2. Ротор имеет массу /и】，а его центр тяжести находится на расстоянии 厶 от неподвижной точки О. Массой стержня и кольца пренебречь.

Ось д' подвижной системы координат Oxfyfzf направим по стер» жню, а ось %' — горизонтально, перпендикулярно к стержню. Си-

стема координат Axyz имеет оси, параллельные осям системы координат Ох、％ (рис. 5.5). За обобщенные координаты примем

91 = 2, 92 = 8, ^з = ср,

где ср ——угол вращения pojopa вокруг оси у. Координаты центра тяжести ротора и груза соответственно определяются формулами

//= — % sin6 sin 屮，у[А = Zj sin 0 cos ф, ^1Л = /j sin 0;

x[B = Z2 sin 0 sin 屮，％в = —/2 sin 0 cos 屮，z[B = —/2 cos 0.

Проекциями угловой скорости ротора на оси системы координат Axyz будут

①х = °, Sy = $ cos 0 + ф, 5 = 0 sin 0.

Составим выражение для кинетической энергии

7 = } т/ + у (/%磋+ 〃崎+厶嘲+ у倘2嚓

Так как

^А =必力+尤+百4 = 4 (呼+产Sil? e),

嗡=比В + 尤 + Ав = Z2(02 + 炉 Sir)2 e)

и /# = /z, TO

r = $ [加君 + 俏2总 + /х) (о2 + 而2 sin2 е) + Iy (j COS 0 + Ф)2].

Выражение для потенциальной энергии имеет вид П =勺g/力 + m2^iB =(倘 14 一 加2%) g cos °-

Найдем теперь обобщенные импульсы:

PlPl"2"2dT而дТ前dT而дТ前4$ sin2 8 + /g (而 cos 0 + Ф) cos 0,4$ sin2 8 + /g (而 cos 0 + Ф) cos 0,40,40,

Pl

Pl

"2

"2

dT而дТ前

dT而дТ前

4$ sin2 8 + /g (而 cos 0 + Ф) cos 0,

4$ sin2 8 + /g (而 cos 0 + Ф) cos 0,

40,

40,

Рз == & (而 cos 8 + ф),

где / = АП]，+ 加2学 +'%• Решая эти уравнения относительно 也 6 и ф, получим

二一 Pi — "з cos® а _ "2

屮= -7W-，е-才,

"1 一"3 cos8"1 一"3 cos8A sin2 0A sin2 0cos 0.cos 0.

"1 一"3 cos8

"1 一"3 cos8

A sin2 0

A sin2 0

cos 0.

cos 0.

Функция Гамильтона будет выражаться формулойФункция Гамильтона будет выражаться формулой〃 = Т + П$〃 = Т + П$(Р1 -Рз cos 0)2 1 pW丽"§] +-^" +(m1 厶-W2^2)^ COS 0.(Р1 -Рз cos 0)2 1 pW丽"§] +-^" +(m1 厶-W2^2)^ COS 0.Обобщенные координаты -ф и <р являются циклическими. Значит,Обобщенные координаты -ф и <р являются циклическими. Значит,机一石T ="/3 =-前=0.То есть"1 = %% = Сз，и, следовательно,机一石T ="/3 =-前=0.То есть"1 = %% = Сз，и, следовательно,(q — Сз cos 0)2 siM® .(q — Сз cos 0)2 siM® .+++ (团1 厶—加2?2)g COS 9.+ (团1 厶—加2?2)g COS 9.

Функция Гамильтона будет выражаться формулой

Функция Гамильтона будет выражаться формулой

〃 = Т + П$

〃 = Т + П$

(Р1 -Рз cos 0)2 1 pW

丽"§] +-^" +(m1 厶-W2^2)^ COS 0.

(Р1 -Рз cos 0)2 1 pW

丽"§] +-^" +(m1 厶-W2^2)^ COS 0.

Обобщенные координаты -ф и <р являются циклическими. Значит,

Обобщенные координаты -ф и <р являются циклическими. Значит,

机一石T ="/3 =-前=0.

То есть

"1 = %% = Сз，

и, следовательно,

机一石T ="/3 =-前=0.

То есть

"1 = %% = Сз，

и, следовательно,

(q — Сз cos 0)2 siM® .

(q — Сз cos 0)2 siM® .

+

+

+ (团1 厶—加2?2)g COS 9.

+ (团1 厶—加2?2)g COS 9.

Составляем теперь канонические уравнения:

дН_ (m/一 倘2厶)(％-c3 cos 9) (сз-ci cos 9)

Ci — Сз cos 94 sin2 9Ci — Сз cos 94 sin2 9cos仇cos仇6=曲1]二"2 др2 А " A sin2 8

Ci — Сз cos 9

4 sin2 9

Ci — Сз cos 9

4 sin2 9

cos仇

cos仇

Отметим, что данная(интеграл энергии).Отметим, что данная(интеграл энергии).система имеет интеграл"=Т + П = /гсистема имеет интеграл"=Т + П = /г

Отметим, что данная

(интеграл энергии).

Отметим, что данная

(интеграл энергии).

система имеет интеграл"=Т + П = /г

система имеет интеграл"=Т + П = /г

Скобки Пуассона, Теорема Якоби — Пуассона

Если для всех значений qm и 仍期 являющихся решением канонических уравнений Гамильтона

小=-旣，什L記 (^=1.2,..., s)，(5-24) какая-либо функция /(/, %,依,.…,q$, "i,小,•••, Ps) сох- раннет постоянное значение, то

f(/，01, %，•…，仇，Pl，p2，• • •，Ps) = c

называется интегралом канонических уравнений Гамильтона.

Например, при стационарных связях и консервативных силах функция Гамильтона является постоянной величиной, следовательно,

"(4【，％,・・・，柒，Pi, Р2, Ps)=厶 есть интеграл канонических уравнений.

Если обобщенная координата qk является циклической, то

pk = const

——интеграл уравнений (5.24).

Предположим, что нам известны 2s интегралов уравнений (5.24), т. е.

〃伉⑦，％，• • •, %, Pi，Р2, • ••，%) = % 他=1,2,.・，2s),

(5.25)

^m = Я tn (%01，c2，^m = Я tn (%01，c2，где с»—постоянные величины ). Разрешая систему уравнений (5.25) относительно qm и рт, получим

^m = Я tn (%01，c2，

^m = Я tn (%01，c2，

—*吋 I (〃z=l,2, ・・・，s), (5.26)

Pm — Pm С], С?, •…，02s)丿

т. e. решение уравнений (5.24). Если же число интегралов меньше 2s, то с их помощью можно судить лишь о некоторых свойствах движения. Отсюда вытекает естественное желание получить возможно большее число независимых интегралов.

Прежде чем перейдем к доказательству теоремы Якоби — Пуассона, которая в некоторых случаях позволяет по двум имеющимся интегралам получить третий, рассмотрим некоторые свойства так называемых скобок Пуассона. Пусть функции 屮 н 屮 являются функциями t и 夕叫 Pm (m = 1, 2, ..., s). Для операций над этими функциями вида

ssw I

宁 ( aе 03 __0屮 93、一《 ^Qm 0 Pm；

\ ^m Gpm Gpm Мт /^ф3加 1

{

Пуассон ввел обозначение (屮,屮)，т. е.

зе)=£ (誹諸•務誥)•(5.27)

Это специальное преобразование называется скобками Пуассона. Из рассмотрения выражения (5.27) следует:

(Ф，")= Т也 9),

(叫，^) = c (ф,屮)，

备(ф,")=(患，0 + (5 票)

(с — постоянная величина).

Если кроме функций 屮 и 屮 рассмотреть еще какую・ либо функцию %(/, ,m, pm) 9 то в соответствии с выражением (5.27) можно записать:

(ф + ",%) = 3, %) + 帥，％)•

Кроме того, можно получить путем непосредственных вычислений тождество Пуассона:

((Ф，2), %) + (仲，X), Ф)+ ((%, 9), 2)= 0, (5.28)

которое, однако, можно доказать и несколько проще. Каждый из членов этого тождества в силу (5.27) должен содержать вторые производные от функций, входящих во внутренние скобки Пуассона, причем каждая вторая производная какой-либо функции будет умножаться на первые производные от двух других функций. Значит, если доказать, что рассматриваемое выражение (5.28) не содержит вторых производных от функций <р, •ф и %, то тождество будет доказано. Рассмотрим сумму ((也 ％), Ф)+ ((%，9), 2)=((也 ％), Ф)-((ф, %), 2)=

=(屮,3, %))-($, (2, X))

и докажем, что она не содержит членов с вторыми производными от функции %. На основании (5.27) можно записать

3, (ф, %)) — 3, (2, X))=

一£［紀謚(叭力-瑞謚仲,心］

ИЛИ

仲,3, х))-(ф> (Ф, х)) =

—厶［歯々"^7 dpk dqk J 厶_^T^T丿

k= 1m= 1

У f d① d^Ф_ 0 \《 / ^i|) Oy — di|) Oy ］厶〈^T Oph 一 0p2 dqk 丿乙 \ dqm dpm 一 Bpm "^Г/

k=lm-\

$ S「( °屮 西 _。① 0 屮)02y.

厶厶［Д 困片 Oqm — dqk dqm) др^ дрт *

k= 1 m= 1

十［西7 丽Г — dqk Gpm 丿 Opa Oqtn 十

十［др/г dqm дри dqm) dqk дрт "^ \ dp^ dpm dpk ^T 丿"

X + члены, не содержащие вторых производных

0訣09加」

от %.

Если в полученном выражении заменить /п на 电 а 々 на т, то выражение под знаком двойной суммы изменит знак на обратный. Следовательно, двойная сумма равна нулю и исходное выражение

(仲,X), Ф)+ ((%, 9), 2)

не содержит членов со вторыми производными от %. Аналогично можно показать, что выражения

(3, W), %) + (件,％), ф) и (3, 2), %) + ((% 喻 吻

не содержат соответственно членов со вторыми производными от гр и ф. Тем самым доказывается тождество Пуассона.

Предположим теперь, что функция

f (f, qh 例，♦ • •・，柒，〃，夕2, & ♦ • , Ps)

такова, что для ‘储夕2, ..., «s, являющихся решениями канонических уравнений (5.24), справедливо равенство

/ (/, 91，?2> • • • > 9s，Pl，夕2，。Ps) = %

выполняющееся для заданного с при определенных начальных условиях ). Отсюда получаем

咅+2() = 0 zn= 1

или, используя уравнения (5.24),

df 十 4 \ dqm dpm dpm dq^ /，

m==l

t. e.

爲+ (/,//) = 0・(5.29)

При помощи этого тождества можно доказать, что (ftp) будет интегралом канонических уравнений, если f н “ являются интегралами этих уравнений (теорема Якоби——Пуассона). Действительно, так как f и 屮 ——интегралы уравнений (5.24), то в соответствии с тождеством (5.29) имеем

4 + 亿")=。，#+ (也 ”)=0・(5・30)

С другой стороны, на основании свойства скобок Пуассона

号亿屮)=(*")+ (力器卜

Значит, выражение

3(力叨+ (亿")，")

с учетом (5.30) может быть переписано в виде 一((力 Я),w)一亿(电 я)) + ((Л 巾)，Н),

или

(色屮)，") + ((也")") + ((",力吻，

а это тождественно равно нулю в силу (5.28).

Таким образом, доказано, что星 (力w)+(色屮)，")=°，

т. е.(厶 “)является интегралом канонических уравнений (5.24). При нахождении нового интеграла при помощи теоремы Якоби — Пуассона следует иметь в виду, что он может оказаться тождественно равным нулю или быть функцией от ранее известных интегралов (т. е. не будет независимым).

Пример 43. Для свободной изолированной материальной точки выполняются интегралы количества движения

= m北=5, "g =加， =e2， Pz =從=е3

и момента количества движения

Кх = УРг - zpy =内，Ку = zpx - xpz = Q, Kz = xpy 一 ypx = % Покажем, что

(К*，Kg) = Kz = %

В самом деле,

& 宀 ОКх О% 8Кх дКу ОК* 0Ку GKx

ОКх дКу дКх %/、/、

Канонические преобразования

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был произволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат 4з 92, • • •, q$ перейти к новым обобщенным координатам gj 质,國 по формулам

q'm — Qm 匂1, «2, • • •,柒，0 (加=1,2, ...» s), (5.31)

то вид уравнений Лагранжа и Гамильтона останется прежним. Преобразование кородинат (5.31) называется точечным.

Если же в канонических уравнениях (5.15), содержащих 2s+l переменных 仇,仇,・.・,夕§, %,小,...,pSi 左

перейти к новым переменным^, %,...,抬,川,质,...,p f по формулам *)

(5.32)(5.32)qm = Qm (Л 夕1, ^2> • • •» qs、Pl,夕2, •…，Ps),Pm = Рт (Л 夕1,仇，•…，0 s, Pl, P2, • • • > Ps)

(5.32)

(5.32)

(m= 1, 2, ..., s),

то в общем случае канонические уравнения своей формы (5.15) не сохранят. Однако существуют такие преобразования переменных, при которых канонические уравнения сохраняют свою форму. Такие преобразования называются каноническими.

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция 屮 от п= =2s+l переменных 修,х2, ..., хп:

屮=屮（修,%2,・・・，今），屮=屮（修,%2,・・・，今），(5.33)(5.33)

屮=屮（修,%2,・・・，今），

屮=屮（修,%2,・・・，今），

(5.33)

(5.33)

которую будем называть производящей по отношению к переменным %i, %2, • • •,尤九.Введем новые переменные, определяемые из соотношений

次=誥 «=1,2,3，.…〃一 1).(5.34)

Тогда дифференциал от функции 2 будет иметь вид

42 = 2 仍 d%i + 誥 dxn.42 = 2 仍 d%i + 誥 dxn.(5.35)(5.35)

42 = 2 仍 d%i + 誥 dxn.

42 = 2 仍 d%i + 誥 dxn.

(5.35)

(5.35)

Разрешая уравнения (5.34) относительно старых пере^ менных %i, %2，.・• • ， Хп-ь получим )

修=修(组，%, •…，уn-Ь 今) (/=1, 2, n- 1).

Эти формулы обратного преобразования от новых переменных к старым можно записать в форме (5.34). Для

этого выберем функцию Т от переменных 九 ％ … • • •» Уп-л, %п：

w=bg1，%，一。，焱一1，%n), так, чтобы

勺=雰 (/= 1, 2, ...» n- 1).(5.36)

Полный дифференциал от функции Т равен

"=2修働+券也. (5.37) i=i

Функцию 屮 называют производящей по отношению к переменным 九 ％ ..., Уп-1. Переход от переменных 修,尤2, ..., %n-i к переменным yi,力,...,упт и от функ* ции 屮 к функции 4f называется преобразованием Ле、 жандра.

Это преобразование можно осуществить с помощью преобразования

(5.38)(5.38)屮=』x^i -叭

(5.38)

(5.38)

i = 1

В самом деле, так как

п-1п—1

d^ = 2 ^ dyi + 工 9i 壮修一dp, /=1i=l

a d^ выражается формулой (5.35), то

и при-и при-"=， Xi吻一誰仆

и при-

и при-

Сравнивая это выражение с выражением (5.37) няв во внимание соотношения (5.36), получим

”' = "^7〃= 1，2, • • и - 1)

и

Таким образом, соотношения (5.34), (5.36) и (5.39) определяют прямое и обратное преобразования (преобразования Лежандра).

Пусть теперь требуется перейти от старых переменных %1, &, ..., xn-i, хп к новым переменным 修,％备.… ...,爲,弘+i,勿+2, •.・, Ут Хп и от функции 巾(％1, Ха, ... •%九)к функции ^(Xi, %2, •…,％s, %+£,•・•, Упт, Хп).

В этом случае преобразование можно осуществить с помощью формулы

中=e尤小一取(5.40)

i=s+i

Так как

п—\п—\

dB= £ х^ dyi + X %d修一外，

i =s+1i = s+1

a

^^^^ dxi+ S 勿d/ +許小，/=1i=s+l

TO

£==s+li = l

С другой стороны, sn-1

"=£岩也+工券姒+誤也.

i = 1i=s -1-1

Сравнивая правые части этих выражений, получим фор- мулы преобразования

禦=一翼(i=l,2,…，s),

dXidxi''"

(5.41)(5.41)修=万运 〃 =S + I,.・・，〃一1),

(5.41)

(5.41)

施几一 дхn.

В качестве примера преобразования Лежандра рассмотрим переход от переменных Лагранжа /, ^m, qm к переменным Гамильтона /, 7m, Pm・ Напомним, что

pm=dL/dqm [ см. равенство (5.3)]. Из уравнений Лагранжа

方(隸)-盜=°(加=1,2,・・・，s)

следует, что dLследует, что dL(m = 1, 2, ..., s).(m = 1, 2, ..., s).

следует, что dL

следует, что dL

(m = 1, 2, ..., s).

(m = 1, 2, ..., s).

В качестве производящей функции от переменных Лагранжа возьмем функцию Лагранжа

L = L (^, qmf /)•

В соответствии с формулой (5.40) производящей функцией 屮 будет

В = £ Gmpm — L、

т. е. функция 4r совпадает с функцией Гамильтона (5.6):

"=2 UmPm — L./п«= 1

На основании формул (5.41) теперь имеем

._ дН dL _ дН дН _ dL

— Зрт， dqm 一 ~ dqm *— дГ

(/Л = 1, 2, . . ., S)・

Однако = % и> следовательно,

• дН . дН дН dL

0『КPm一际，丁 =-亓

представляют собой уравне-представляют собой уравне-(/n = 1, 2,s)・

представляют собой уравне-

представляют собой уравне-

Эти последние уравнения ния Гамильтона.

Перейдем к рассмотрению канонических преобразований. В общем случае канонических преобразований при переходе от переменных %п, рт, / к переменным 4糸 Рт^ ' канонические уравнения

.дН . дН /1 п、

pm=一丽，…瓦?(他=1,2,・・・，S)

переходят в уравнения вида

Рт = -~^т = —7^(/П= 1, 2,・・•，S),

дЯт8Рт

где функция Hf уже не является прежней функцией Гамильтона ", преобразованной к новым переменным 厶 必，...,必,pi,质,...,ps-Если функция Гамильтона при каноническом преобразовании не меняется, т. е. Н'=Н, то такое преобразование называется вполне каноническим.

Рассмотрим это преобразование несколько подробнее. Пусть Н (依，夕2, • • •, qs, Pi,夕2, • • •, ps)——старая функция Гамильтона, а н‘(必 成 成,加, 必, ..., ps) — новая функция Гамильтона. Рассмотрим выражение

工 Pmdqm — Н dt= £ /4 dq'm —环出 + d®, (5・42) m = lm = \

где 屮—произвольная функция от старых и новых обобщенных координат («1, •・・,备，外，•・•， %)・ Это выражение можно переписать в виде

SS

£ pmqm - " = £ %% - 环 + 翼(5.43) m=lm=1

ИЛИ

s

£ Pr^m —"=

=£ p；X-〃'+ £ 黑％ + £ 萨厶 m=lm — 1m=l

Отсюда следует:

**+£(%+器)……。.

Это выражение будет тождественно выполняться, если 迎=°，粤=°，Н — Н' = 0

(т = 1, 2, ..., s).

Отсюда и получаем формулы нужных преобразований

風=~ 号，"="(m=l,2,s).

Докажем, что рассмотренное преобразование является вполне каноническим. Так как Н，= ", то на основании выражения (5.43) можно записать

£ 6Pm@m + £ Рт ^Ят =

m= 1т = \

=£ 6%〃 +纟成吒+ 6 (需卜 т=\m= 1

Так как

SSS

Е Рт^т=工 Р/〈勺^=?Рт 备(Mm)=

m = 1т = \т = \

ss

=/工Pm ^?m —Pm ^4tn^

m= 1m=l

s’ss

m=lm = lm=l

6(耨=等(№,

TO

2 〃2 Pm S^m = 它%6%- £ 僚 6唠 +

m=lm= 1zn = lm = l

「 ss-

十券一 £ % M/n + 2 % 6臨+ 6屮・

Соотношение (5.42) при Н‘ = Н может быть записано в виде

2 Pm 5q尸 Ер，т 6唠 + W' m=lm=l

и, следовательно,

SS6s

S Gm3Pm 一，乙 Чн = 2 落 6% - 2 %M3

加=1m = lm= 1m = l

(5.43，)

Для переменных qm и рт канонические уравнения имеют вид

PL 一(/n==l,2,s).

Значит, левую часть полученного выражения (5.43‘) можно записать в виде

£ 旣 Мт + £ 黑 6qm = 6H. т = \m = l

Таким образом,

6"=斗唠6%- S外矶 (5・44) m=lm = l

В силу того, что "' = Н,

и, следовательно, выражение (5.44) утверждает, что

6"= S外项一之修唠. (5.45) т—1m= 1

С другой стороны,

5gs 訝叫+£ 訪^ (5.46)

Значит,

工体一謝6项+ （一成一粉岷1"

В силу независимости 6弘 и 6% получим

爆一訪，禱=粉 2,

Следовательно, рассмотренное преобразование является вполне каноническим.

Таким образом, если задаться какой-либо производящей функцией 《(%,…,/，济，•…，國)，то, в соответствии с соотношениями (5.41), из уравнений

Рт = "^(^=1,2, . . S)

определим все

唠=龍(%，%，…，Qs、凸，%，…，P^ (5・47) Из уравнений

" =一备^ (他=1, 2,s)

после подстановки в них всех д) «$ ..., «；, определенных по (5.47), найдем все

/4 = /4(%，％，Pv 必，…，％)•

Новая же функция Гамильтона равна

"'(9% %，•••,必 Рр Р^ • • •» Ps) ~

===Н (%, ^2» • • • » %, Р1，。2，• • • » Ps)・

В более общем случае, когда функция Гамильтона будет зависеть от времени, т. е. если 左(еь 夕2，«$， pi, 「2? ..., ps、f), можно доказать *), что обратимое преобразование (5.32) будет каноническим, если дифференциальной формой будет

2 ^ dqm = 2 Р；弱；+ % 刃 + 叱(6.48)

+ ("一"一謂)=。■Это условие будет тождественно удовлетворено, если+ ("一"一謂)=。■Это условие будет тождественно удовлетворено, если(т = 1, 2, ..., s).(т = 1, 2, ..., s).

+ ("一"一謂)=。■

Это условие будет тождественно удовлетворено, если

+ ("一"一謂)=。■

Это условие будет тождественно удовлетворено, если

(т = 1, 2, ..., s).

(т = 1, 2, ..., s).

где "о и V — произвольные функции от /, старых и новых переменных, удовлетворяются тождественно. Если ввести обозначение

Н' = Н°-Н,

где Н — старая функция Гамильтона, то выражение (5.48) можно переписать в виде

S ^勿一"=纟 ％必-"' + %・(5・49)

т= 1т=\

Рассмотрим некоторые типы канонических преобразований.

1- Пусть 卩=2(%, %, •…，9$, % %,・••，弘，％)・ Тогда соотношение (5.49) будет иметь вид

т = \

=2成％ 一环+甞+ 2識％ + £器加

m=lm= 1m = {

ИЛИ

2

m=l

Теперь из формул (5.50) можно получить искомое преобразование (5.32) и новую функцию Гамильтона HL 2. Пусть производящая функция 2 будет функцией f, %, %,・・・，J, Рр 「；，•・・，弘 т. е. 2 = 2(%, %，•・• ，・•，夕$，%,网，…，% %)； тогда, выбирая

u="(%，%,・・・，qs.A，弘…，% %)- 5项箱，

перепишем выражение (5.49) в виде

? "=2成落一环+需+£誹%+

т=\т= 1m= 1

m= 1 "°т= 1m=l

Отсюда

+需) = 0.

Полученное условие будет удовлетворено, если

p唠=粤，牙="+ 型(5.51)

(m = 1, 2,s),

откуда и находится искомое преобразование.

Пусть производящая функция 屮 будет функцией <,或，•…弘，РР % •••，％ н /， т・е・2 = г|)(《，％,・・・ •・•，《，РР %' •••，%’ /)• 口рнмем，что

S

Ун"(%，%，•…，g；，op ^2» • • •» р$，，) + X qщРт， m=l

и подставим это V в соотношение (5.49):

工 РтСт _ Н = У %j _ "' + 普 + 工著嚣 + m=lm= 1m= 1

+2識薪+£QmPm + £ ЯтРт ・ т—1т— 1т—1

Отсюда полунаем

金体+證）唠+e3+詁）"

Это соотношение удовлетворяется, если

%=一-^,0 =一区，/〃 = " + 变 (5.52)

(m= 1,2, ..., s)・

Из уравнений (5.52) определяется искомое преобразование.

Пусть производящая функция 屮 есть функция t, старых и новцх импульсов, т. е. 3=屮(幺，冉‘・• •‘ Р$‘ 儲‘ 底，• •・，М，) Выберем

丿=2(P"「2’ Ps'「J「2' •…，P；，')—

ss

—Pm^m + 2 РтЯт。

Соотношение (5.49) будет иметь вид

m = lm=lm=l "加

+ £寻项一，弘限一2ал+

m= 1 "例m=lm= 1

ss

+ PmQm + ^j PmQm, m= 1m=l

ИЛИ

£(%+設)％+£(-%+割％+

+ (" — 〃z + 号")=0.

Это соотношение будет удовлетворено, если

設，3訪，+鬻(5.53) (m = 1, 2, ..., s).

Очевидно, что, задавшись какой-либо функцией 2s团，%，) из уравнений

qm = —(加=1, 2,..・，S)

орт

можно найти р： как функции /, g卅 pm. Далее, в уравнения

唠=(m = 1, 2, ..s) дРт

подставляются найденные pj как функции /, qm, рт, и, таким образом, находится искомое преобразование (5.32).

Пример 44. Пусть производящая функция имеет вид

屮=2 Sm 脸，0= 2 % (%，％，…，％，0 Pm + ^Gp q2,…，qs，> m= 1

На основании зависимостей (5.51) имеем

m=l

Qm = f/n(91，％一，•，qs’ t) (加 н L 2, ..., s),

т. e. при таком каноническом преобразовании обобщенные координаты др 92, 9$ и q； g$ •・•,《 преобразуются только между собой. Такие преобразования называются точечными.

Пример 45. Для цилиндрических координат г, <р и г введем обозначения 91 = г, 92 =屮,0з = г. Рассмотрим свободную материальную точку, находящуюся в поле силы тяжести. Для такой точки

7 = J 团团 + 幽:+0訪 口 — mgq3 и

Pl =他 ％， "2 = mg 需 2， "з=т%・

ПоэтомуПоэтому

Поэтому

Поэтому

Рассмотрим каноническое преобразование, получающееся при производящей функции вида

•ф = R% cos 敢 + P，9i sin % + P；毋

На основанииНа основании（5.51） имеем

На основании

На основании

=Pl COS 92 + Р2 sin 92，

=_ р；9] sin 的 + P，91 cos 敢,

=Рз

箫需裁= = 一一箫需裁= = 一一= 一一 11取加加磁--м一一 一一 == 一一 11取加加磁--м一一 一一 =91 COS %，

箫需裁= = 一一

箫需裁= = 一一

= 一一 11取加加磁--м一一 一一 =

= 一一 11取加加磁--м一一 一一 =

91 sin %，

9з・

Из первых трех уравнений находим

К = /и （% cos 敢 一 91% sin 倣）=加《，

P，=m（貿sin % +9色cos %）=加%，

Рз=加％=7nqi

Новая функция Hf будет иметь вид

=募（К? + 皮2 + 爲В + mgq&

Очевидно, что новые координаты q；, g，, g； являются декартовыми координатами точки.

Пример 46. Рассмотрим прямолинейное движение точки под действием восстанавливающей силы F =^ с \x\t где х ——расстояние точки от притягивающего центра.

Приняв жив q — х, энергий:Приняв жив q — х, энергий:за обобщенную координату координату х, т. е. поло- найдем выражения для кинетической и потенциальной

Приняв жив q — х, энергий:

Приняв жив q — х, энергий:

T =g mq2,П =号-・T =g mq2,П =号-・Tак как L = r 一 口 =万(他产-0衿，то

T =g mq2,П =号-・

T =g mq2,П =号-・

dL

Напишем выражение для функции Гамильтона:

где ^2 = —. Составим канонические уравнения: . ОН 2.0〃 р

Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гамильтона равна полной энергии системы, т. е. // = h. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона не содержала новой координаты д', а новый импульс входил бы в первой степени, т. е.

Н』kp\

Воспользуемся вторым типом канонических преобразований, когда 屮=屮(9, ")• В соответствии с формулами (5.51) Я = Я\ т. е.

扌借+胪初》.

Отсюда

(5.54)(5.54)р = "^" = V 2mkpf — h2 m2q

(5.54)

(5.54)

Так какТак кактh對тh對J V2tnhp' — h21n2q，J V2tnhp' — h21n2q，•ф = J Р2mkp' — k2m2q dq.о

Так как

Так как

тh對

тh對

J V2tnhp' — h21n2q，

J V2tnhp' — h21n2q，

тотоии

то

то

и

и

g'= arcsing'= arcsinЯЯ

g'= arcsin

g'= arcsin

Я

Я

L]/ 黑sin%

Из формулы (5.54) получаем

р = U21nhp' — k2m2q2 = Уhnkp' cos д'.

Новая координата д' является циклической, так как она не входит в функцию Гамильтона. Следовательно, новый импульс является постоянной величиной

/九

Координату д' определим из канонического уравнения

дНдН也也

дН

дН

也

也

Следовательно, д'=尼f + е, н, значит,

p — V2mh cos (旣 + 8),

L/鲁* $in (衽+叫

ГЛABA 6

ТЕОРИЯ ЯКОБИ

Уравнение Гамильтона — Якоби

Пусть движение голономной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона

0m = *^~，М= -^^(^= 1» 2, . . S). (6.1)

В § 5.3 было выяснено, что наличие k цикличевких обобщенных координат у рассматриваемой системы позволяет получить для этих координат решение (5.23). В связи с этим естественно поставить вопрос о возможности нахождения такого канонического преобразования, при котором в преобразованных уравнениях Гамильтона функция Hf не будет содержать обобщенных координат, т. е. все новые обобщенные координаты будут циклическими. Предположим, что, пользуясь вторым типом (см. стр. 146) канонических преобразований, где

2 = 2(%, %, •…，％ Рр「；，•♦♦，Р；，')，(6・2)

Рт唠=- (加=1, 2,…，s),(6.3)

дРт

мы найдем новую функцию Гамильтона вида

环= f(K，底，・・・，％)，(6・4)

где f — любая функция. Тогда для новых переменных будет

鳳=-新=0(m=h 2,s),(6.5)

% =尹(m=L2, ・・・，s)(6.6)

И

Н，= Н+ 露(6.7)

Из уравнений (6.5) следует:

/4 = °^5=1, 2,s),(6.8)

где aw — постоянные интегрирования. Подставляя теперь выражения (6.8) в уравнения (6.6), получим

唠= s/ + b (团=1, 2,s),(6.9)

где S/и =)— постоянные величины, а 0。—по-

стоянные интегрирования. Выражения (6.8) и (6.9) представляют собой систему интегралов уравнений (6.5) и (6.6). Используя теперь преобразование (6.3), мы могли бы получить старые переменные qm и 〃т, т. е. решить задачу о движении системы *). Однако мы не можем этого сделать, так как нам неизвестна функция •ф. Рассмотрим соотношение (6.7) с учетом выражения (6.4):

"(%，％，•••，0S，Ру "2，…，％) + ""^ = f (К，「；，•••，"；)• Заменяя в этом соотношении в соответствии с формулами (6.3) и (6.8) переменные р^ на -^电 и рт на а^, будем иметь

=f (%,。2，…，％)•(6.Ю)

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона ——Якоби. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция гр(91,伙，...,q$, ai, а2, •••, as, t) с основными перемен

*) Мы предполагаем, что функции f н 屮 обладают свойствами, необходимыми для такого преобразования.

ными ‘1, «2,%, t. Так как в выражении (6.4) функ

ция f произвольная, то мы можем принять

f(W,％) = 0・(6.11)

Тогда уравнение (6.10) примет вид

片®%，…，叁,翳,誥，…,盡,什需=。・(6」2)

Решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция 屮 в уравнение (6.12) входит только через свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е полный интеграл уравнения Гамильтона ——Якоби имеет вид

S = W(gi，%，•・•，柒，W，。2, •…，％，0 + «о, (6.13) где ао — произвольная постоянная. В самом деле, если 2(，з 仇，•••，柒，ai, аг, as, 0 является решением уравнения (6.12), то в силу того, что

隸=諾 0« = 1，2,…，s),券，(6.14)

функция S является решением уравнения (6.12), содержащим s+1 произвольных постоянных, т. е. является его полным интегралом.

Итак, если известен полный интеграл (6 13) уравнения Гамильтона ——Якоби, то для получения решения исходной системы уравнений (6.1) следует за производящую функцию взять функцию

*Ф = ^ («1,仇，• • •，％, 。1，。2，• ♦ •，a$, 0»

затем в формулах канонического преобразования (6.3) заменить 项 на а^ и 唠，в соответствии с выражением (6.9), на рт. Тогда будем иметь

"加=^-W=l, 2, ..., s),(6.15)

% =認f(俏=1, 2,…，s*(6.16)

так как при f=0

财=誅曰0 (m=l, 2,・・・,s)・(6.17)

Уравнения (6.16) дают возможность выразить обобщенные координаты 91, ^2, . • •, д$ через время / и 2s произвольных постоянных ат и pm (m= 1, 2, ..., s).

Таким образом, мы показали, что если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла уравнения (6.12).

Пример 47. Составим уравнение Гамильтона — Якоби для точки, движущейся в однородном поле силы тяжести.

За обобщенные координаты примем q、= х н q? = у ——декартовы координаты точки.

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий:

T = g力(宕+渝 п =

Так как р】=勿仇 и р2 == тАъ // — ^ + П, то функция Гамильтона

» = ■£+亲+ "2(6.18)

и, следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид

i■嗡T+i■(統y+吟+器^但呦

Предположим, что рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям. В этом случае функция Гамильтона от времени явно не зависит и уравнение (6.12) имеет вид

"(%, %器翳卄嗡"М。)

Вместо этого уравнения можно рассматривать более простое, приняв

*Ф (力‘ • • •' 4s? W,…•，а$, /)=

=一加 + / (%,…，柒，九。2, •…%),(6.21)

1*де ft = ai, аг, как при этом1*де ft = ai, аг, как при этом02 _ 9 旷8q тOq т02 _ 9 旷8q тOq т(m = 1, 2,…，s), (6.22)(m = 1, 2,…，s), (6.22)

1*де ft = ai, аг, как при этом

1*де ft = ai, аг, как при этом

02 _ 9 旷

8q тOq т

02 _ 9 旷

8q тOq т

(m = 1, 2,…，s), (6.22)

(m = 1, 2,…，s), (6.22)

..,as — произвольные постоянные. Так

то вместо уравнения (6.20) будем иметь

h®，q5，器，器貶)=m(&23)

где й ——полная механическая энергия [см. равенство (5.8)]. Это уравнение называется укороченным уравнением Гамильтона ——Якоби. Проинтегрировав его, найдем

步=步(外，仇，叁，九，02,a3, •…，as)

и, следовательно,

^ = - ht+W (力，…，%，儿a2,…，%)，

Отсюда имеем

0屮~dh0屮~dh/ +/ +dW丽，dW丽，部=0听Оащ — %部=0听Оащ — %(аи = 2, 3, •.., s).(аи = 2, 3, •.., s).(6.24)(6.25)(6.24)(6.25)

0屮~dh

0屮~dh

/ +

/ +

dW

丽，

dW

丽，

部=0听Оащ — %

部=0听Оащ — %

(аи = 2, 3, •.., s).

(аи = 2, 3, •.., s).

(6.24)

(6.25)

(6.24)

(6.25)

(/72 = 2y Зу • ♦ • , S)・(/72 = 2y Зу • ♦ • , S)・На основании (6.16)

(/72 = 2y Зу • ♦ • , S)・

(/72 = 2y Зу • ♦ • , S)・

d = -/+而，%=丽

Положив 0i =—/о, окончательно получим

'^" = / То,(6.26)

黑=% (m = 2, 3,・・・，s),(6.27)

а также

^^ = Pm (俏=1, 2,・•s)・

Из формул (6.26) и (6.27) теперь можно найти обоб* щенные координаты 令厶夕2,・••， ^s. Заметим, что время t входит только в уравнение (6.26), уравнения же (6.27)

времени не содержат и представляют собо访 уравнения связи между обобщенными координатами.

Итак, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтона можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гамильтона ——Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, однако имеются динамические задачи, для которых нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона——Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона.

В следующем параграфе мы рассмотрим метод разделения переменных, позволяющий в ряде важных случаев получить полный интеграл уравнения Гамильтона ―< Якоби.

§ 6・2・ Метод разделения переменных

Предположим, что часть обобщенных координат, например 71, 72, ..., qh (々Vs), и соответствующие им обобщенные импульсы 〃,也,...,Ph входят в функцию Гамильтона в виде функций (pi(^i, pi),屮2(仇，p2), ...,屮女(夕岳 口九)，причем каждая из этих функций не зависит от времени / и обобщенных координат и обобщенных импульсов, не имеющих индекса функции.

Функция Гамильтона будет при этом иметь вид "="[91(力，pl(р2(^2, #),•・•，5©，">，

q女+1, • • *, qs, Pk+\i • • * > Ps, ']♦

Напишем соответствующее этой функции уравнение Гамильтона —Якоби:

器)侬(% 蒜｝

仇，，+甞=°, (6.28)

Будем искать решение этого уравнения в виде

"=5(01) + 屮2 (%) + …+ 包 @) + 2* (仇+1，•一，柒，2)• (6.29)

После подстановки этого выражения в уравнение (6.28) получим

薪+1, 柒，-5^у，4^~，，+^- = 0・ (6.30)

Предположим теперь, что выражение (6.29) является решением уравнения (6.28), тогда уравнение (6.30) представляет собой тождество. Это тождество должно сохраняться при любых значениях gi, <72, ..., 4互・ Так как эти координаты между собой независимы, то это может быть только в том случае, если функции (pi, ф2» • • •,屮互 при изменении координат ‘1, 92, ..., qh останутся постоянными. Это значит, что уравнение (6.30) распадается на 々+1 уравнений

叫他，需)=。2，(6.31)

订/0炉 0屮* A丄0仪_С

门a2，• •，，ae，0尼 + 1，0s，^, • •I 十

E+I s (6.32)

где ai, аг, ♦・•, а互—произвольные постоянные. Первые Л уравнений (6.31) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнение (6.32) остается уравнением в частных производных, но переменных в этом уравнении меньше, чем в исходном.

Рассмотрим случай наличия циклических координат. Если обобщенные координаты 次,夕2, ..., qh (々Vs) будут циклическими, то соответствующие им обобщенные импульсы pi, р2, ..., ph будут постоянными величинами, т. е.

% = 0^ =。世 (卩=1, 2,..力).

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якобц в этом случае имеет вид

"(%+" …，%，аь a2, •一,a也，^^，一，，誹，')+絹=°.

'(6.33)

Так какфункцию 屮 запишем в виде

2 = £ a/卩 + f (伙+ i，・• •，％，О-

Тогда получим

rr /^ф*di|)* А I。2‘ с

Н I ^ЙЧ-1 , • • • > %，。1，。2, • • •，%，^, • • • , dg , * ) И 衣"=U・

s (6.34)

В этом уравнении Гамильтона — Якоби функция гр* является уже функцией s——尼 неизвестных.

Для консервативной динамической системы в случае, если функция Гамильтона имеет структуру вида

H = H[^(qlt 卩)，%(%, 〃)，•…，%(%，%)L

где функции q)m(^?n, Рт) не зависят от времени, обоб* щенных координат и обобщенных импульсов, имеющих индекс, отличный от индекса функции, уравнение (6.23) принимает вид

”[б(%，"^0，％(柒，^^")] =瓦 (6.35)

Если искать решение этого уравнения в виде

w = w.(力)+ 取2(%) + ・呼s(gJ-Ъ^теп, (6.36) m = l

то получим

" m麻醬)，…，恥(%，*)]=①(6а

Если выражение (6.36) будет решением этого уравнения, то в силу независимости обобщенных координат каждая

из функций(pw(^m, pm) (m= 1, 2, ..., s) будет постоянна, т. е.

屮7nsm ”扌静)=а^ (m=l, 2,・・・，s), (6.38)

где aw — произвольные постоянные.

Следовательно, решение задачи сводится к интегрированию обыкновенных уравнений (6.38). Постоянная 八 в силу зависимостей (6.37) и (6.38) будет функцией ai> аг,…，* т. е.

h = Н (аь а2,%),

Для функции гр имеем

^--ht+ 2 Wtn (恤，а/(6・39)

В соответствии с преобразованием (6.16) окончательное решение задачи получим из формул

陪=% +券/ 的=1, 2,…，立(6.40)

где Pi, Рг, …，Ps — произвольные постоянные.

Рассмотрим случай, когда консервативная система имеет циклические координаты. Пусть циклическими координатами будут qi,夕2,.…，g冗(EVs), тогда укороченное уравнение Гамильтона ——Якоби (6.23) примет вид

"[0e+ 1，•一，柒，a1，a2，•…，%,歯归，"^-~]=瓦

Решение этого уравнения можно искать в виде

dW*dW*k

dW*

dW*

步=£ a卩%1 + 呼* (0Е + 1, 。…，0s， 卩=1

Тогда уравнение Гамильтона — Якоби

口 /dW*dW^\ _ /

служит для определения функции 取* от s—k переменных 夕左+1, ..., qs・ Предположим, что мы нашли полный

6 н. В. Бутен ин

интеграл этого уравнения (с точностью до аддитивной постоянной)

IF* = W* (^+1, 4尼+2,・・•，％, %+1, а右+2,％)•

Тогда, приняв 九=仪月+1 на лучимТогда, приняв 九=仪月+1 на лучим瓦к= -д世+生瓦к= -д世+生(Ж* dav(Ж* davосновании (6.26) и (6.27), по-(И=1, 2, ..., fe), (6.41)(V =々+ 2,・・・，s)・основании (6.26) и (6.27), по-(И=1, 2, ..., fe), (6.41)(V =々+ 2,・・・，s)・

Тогда, приняв 九=仪月+1 на лучим

Тогда, приняв 九=仪月+1 на лучим

瓦к= -д世+生

瓦к= -д世+生

(Ж* dav

(Ж* dav

основании (6.26) и (6.27), по-

(И=1, 2, ..., fe), (6.41)

(V =々+ 2,・・・，s)・

основании (6.26) и (6.27), по-

(И=1, 2, ..., fe), (6.41)

(V =々+ 2,・・・，s)・

(6.42)(6.42)(6.43)(6.43)

(6.42)

(6.42)

(6.43)

(6.43)

Из рассмотрения метода разделения переменных следует, что для его применения существен удачный выбор обобщенных координат, так как при одной системе обобщенных координат переменные могут быть разделены, а при другой нет.

§ 6.3. Примеры

Пример 48. Применить метод разделения переменных для уравнения (6.19). Координата gi является циклической, поэтому примем

■ф =—加 + %夕1 + W2 (^2)，

и тогда

W 1 / dW2

Отсюда следует:

2а2

+ mg% = a2 и 力=a2+詁.

Так как

切 / ,а1 У .о

丽 =一丽/ +丈=_^/ +力=仇，

0屮dh 4 , dW2 一 吵 a

-^— =T— r h—T：= - f n—j = p2J

da? da? da?<Za2

то

9i = *' + В【‘醬…餌

Найдем теперь решение уравнения (6.42). Для этого перепишем его в следующем виде：

ОтсюдаОтсюда党=危团3 -/ngg)党=危团3 -/ngg)

Отсюда

Отсюда

党=危团3 -/ngg)

党=危团3 -/ngg)

步2 = J 歯2 М2倘(。2 -Mg92)+ C

И

/ "戸・；®=Y=Lp2m (a2 r 從g«2)・

da2 丿 У 2m (a2 — mgq^) mg

Таким образом, имеем

% = * f + Pi, 一 ~r V2m («2 —倘g^2)=力 + 也， или

〃 al / . A 〃g(f+02)2 . «2

Кроме того,

京7 = cq = pi =加力，

丽=+")= "2 =他'2.

Пусть начальными условиями будут： при / = 0 力=0, q? = h, 仇=^o> % = 0・ Тогда

a! = my0, «2 = mg 儿 ₽i = 0,阮=0

и, следовательно,

,7 gt2

9i = ?V, 92 =力一号・

Пример 49. Рассмотрим плоское движение материальной точки, притягиваемой к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоянию точки от притягивающего центра. Начало системы координат поместим в притягивающем центре.

Примем за обобщенные координаты декартовы координаты q\ = = х, 92 = У- Кинетическая и потенциальная энергии выразятся при помощи формул

7 = £储+曲口 =4(，"喲，

где т — масса точки, с — коэффициент пропорциональности. Так как pi = /и“1, Р2 =加“2, то функция Гамильтона будет

〃=而+而+万%+万效

и уравнение Гамильтона — Якоби примет вид уравнения (6.35): 费(貶 y+£ g" i■(器 y+"J儿

Приняв для 刃 выражение (6.36)

呼=步](9)+呼2匂2)

в соответствии с условиями (6.38), получим для определения 取】и 呼2 обыкновенные дифференциальные уравнения:

причем 九=а】+ а2. Отсюда

吃=J ]/m(2cti-cg：)對i，

呼2 = j V^(2a2 — c^2)dq2*

В соответствии с выражениями (6.40) имеем

dW2石7=圆+'dW2石7=圆+'Ноda【Ноda【•91arcsin -•91arcsin -普(f+M),普(f+M),"7=自+厶"7=自+厶d吃 dgd吃 dgи, следовательно,и, следовательно,arcsin -arcsin -•91•91arcsin終:.：」/晉arcsin終:.：」/晉(/ + 02)(/ + 02)

dW2

石7=圆+'

dW2

石7=圆+'

Но

da【

Но

da【

•91

arcsin -

•91

arcsin -

普(f+M),

普(f+M),

"7=自+厶

"7=自+厶

d吃 dg

d吃 dg

и, следовательно,

и, следовательно,

arcsin -

arcsin -

•91

•91

arcsin終:.：」

/晉

arcsin終:.：」

/晉

(/ + 02)

(/ + 02)

Отсюда91 = ]//-^ sinТак какОтсюда91 = ]//-^ sinТак как/%М)，/%М)，02 = |/^^^ sin J/^•—•(/ + b2).02 = |/^^^ sin J/^•—•(/ + b2).

Отсюда

91 = ]//-^ sin

Так как

Отсюда

91 = ]//-^ sin

Так как

/%М)，

/%М)，

02 = |/^^^ sin J/^•—•(/ + b2).

02 = |/^^^ sin J/^•—•(/ + b2).

d吃41力2d吃41力2% = / m(2% - 0就)=加%,% = / m(2% - 0就)=加%,.2 = / т(2а? — с*) = /п%..2 = / т(2а? — с*) = /п%.

d吃

41

力2

d吃

41

力2

% = / m(2% - 0就)=加%,

% = / m(2% - 0就)=加%,

.2 = / т(2а? — с*) = /п%.

.2 = / т(2а? — с*) = /п%.

то, введя начальные условия, можно определить постоянные аь а2, Bi и %。 Пусть, например, при /^0 力=。，q2 «О, ^1 = 0, % = %• Уравнениями для определения аь а2, Pi и р2 будут

а = у ^-z[nyf±.^tQ =/晉 sin/*®

Mm (2cti — cq2)= о, M2a2小="2%・

Отсюда имеем

с/团党л п Л т

а】=~^， а2 = -у, В1=Е? ~, ₽2 = 0,

и, значит,

力=a cosj/^*f,

*П。。//sin /*，

Таким образом, решение этой задачи свелось к операциям дифференцирования и вычисления квадратур.

Пример 50. Применим теорию Якоби к гироскопическому маятнику.

Для этой задачи функция Гамильтона имеет вид (см. пример 42)

1 Г оCOS1 pl

" =171p2 + ^；J + 箱 + (%4 - 々%) g C0S 的.

Напишем уравнение Гамильтона — Якоби:

10听 \21/ dW dW

+ ^- ("^^) + (俏1 厶一m2勾)g COS % =瓦

Координаты qi и 禽 циклические, поэтому； если решение искать в виде

IF = Wi + ”2(02)+。303,

то получим

U(若)+ " Т誅”")+ 窮 + ЗА f 2)gc°sqz i. (6.44)

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Приняв h = аг, на основании выражений (6.41) имеем

(6.46)(6.46)гдегдеD =D =24 (m2%-恤人)gcos^ + m 一24 (m2%-恤人)gcos^ + m 一(4 — (X3 cos 贯 sin2 02(4 — (X3 cos 贯 sin2 02

(6.46)

(6.46)

где

где

D =

D =

24 (m2%-恤人)gcos^ + m 一

24 (m2%-恤人)gcos^ + m 一

(4 — (X3 cos 贯 sin2 02

(4 — (X3 cos 贯 sin2 02

曲■=-禽 + Рз.

Перепишем уравнение (6.44) в виде

• dW2

Sin 02 —； =

42 dq2

Г/ аП 1

24 [(俏2/2-mJi)gsin2q2Cosg2+〈a2-赤丿siMgz -(а^азсоз^г)2

или

j/ 2Л \^П^~т^ C0S 42 + (a2-^；)] - ^-^^^" d^ = M J /) 對2,

В соответствии с формулами (6.45) и (6.46) получим

一 J [ 24аз 一 2 (а】-аз cos %) cos q?]對2 = _ 拆 十 网

Таким образом, задача свелась к квадратурам.

Теорема Лиувилля

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона ——Якоби. Однако этот метод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной Энергий) возможно применение метода разде-

ления переменных. Исследованию этого вопроса были посвящены работы Лиувилля, Штеккеля, Гурса и др.*). Остановимся лишь на рассмотрении практически важного случая Лиувилля. Если в голономной системе с s степенями свободы кинетическая и потенциальная энергии имеют вид

T=iftiAM^

Г1(6.47)

п = у 1nz„д/

加=1

где f = 2 Рт (^тп)> то интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби приводит к квадратурам (теорема Лиувилля).

Для доказательства этой теоремы составим функцию Гамильтона. В соответствии с выражениями (6.47) имеем

Рт =読=Mm (徧 qm (/n== 1, 2,s). (6.48)

Составим функцию Гамильтона: ss

m=lm = l

или, учитывая соотношение (6.48), 一寸就露+小小瓦 m = l

Вводя замену dW

♦) Изложение результатов этих работ можно найти в книгах? ф. Р. М у л ь т о н, Введение в небесную механику, ОНТИ, 1936; А. И. Лурье, Аналитическая механика, Физматгиз, 1961.

получим уравнение Гамильтона — .Якоби

^^Ш + П^ (MP т = 1

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде昕=【％(%) +步2 (%) + • — + 呼s(%)・

Уравнение (6.49) при этом примет вид

?底焉需)4… М(刷"(6.5。) mnl

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщенной координаты qm, поэтому можно применить метод разделения переменных. Уравнению (6.49) можно удовлетворить, если каждое из слагаемых приравнять постоянной величине, т. е.

(需丫+小峭-九%(侖=%，(6・5D

причем должно выполняться условие

S + % + •…+ % = 0・(6.52)

Каждое из уравнений (6.51) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре

^m = J V24m (?m) lam + 力尸m (?/n) ~ ^m(9m)］歯卅(6.53)

Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби

步=£ j V^M^^dq» (6・54)

m = l

Этот интеграл содержит s произвольных постоянных 瓦 ct|, с^> • • • > а$_1

и постоянную as, которая, в соответствии с формулой (6.52), равна

31 + %+ • • • +%-i)・(6.55)

Таким образом, теорема Лиувилля доказана.

Пример 51. Для обобщенных координат q\ = %, 92 =卩 в примере 41 (§ 5.2) кинетическая и потенциальная энергии имеют вид, соответствующий выражениям (6.47). Поэтому можно применить метод разделения переменных.

Функция Гамильтона в этом случае будет

"=砌詁圆М SD+啾I -砌-

。（加一喲。（加一喲【3 + 02)91-(%一Q)02]，

。（加一喲

。（加一喲

н, следовательно,

(需丫 SI) + 嚣y("喲一 2m2叫© + q)力一(з一办)%] 一

—2ma2h (g：—喲=0,

Принимая, что

诏=步1(成)+旷2(g2), получим

(~^")2 М Т)— 2m% (q + C2) q{ - ^mc?hq\ +

+ (-^-) (1 -喲 + 2m2q © - ©2)% + 2mJ碱 « 0.

Это уравнение будет удовлетворено, если

(^' )2(9； — О — 2加%(Q + %)分—2mc^hq\ = ap

(嘗У О —喲 + 2"%(G —。2)02 + 2ma%g； = - cq.

Отсюда имеем

Г / 山 + 2/n% (% + c2) % + 2mc?hq\

口 У番-i ‘"’

f2£z (q _ c2)敢 ~ 2咖2力^

у у 口^對方

Полный интеграл1 уравнения Гамильтона — Якоби W = Wi + W2

содержит две произвольные постоянные ai и А. Конечные интегралы уравнений движения найдем, применяя формулы (6.26) и (6.27): ftnc?q\ dq{+

，]/^i~ 1 V«i + 2/n% (q + c2) qx + 2mc%q；

+ … 2…?……-- = / - f0,

j U - ] ]/a[ + 2倘% (q - %) % + 2团02九成

，2 V^^ I — 1 ]/% + 2m% (% + 勺)％ + 2团/九壮

I Гdq 2— p

J 2 ]/* — 1 ]/a] + 2/〃％ (q — %) q2 + ^mcPhq^

т. e. задача сводится к вычислению квадратур.

Переменные действие ——угол *)

В этом параграфе рассматривается метод применения уравнения Гамильтона — Якоби к материальным си* стемам, совершающим периодические движения. Использование этого метода целесообразно в тех случаях, когда не требуется полного исследования поведения материальной системы, а требуется определить только частоты периодических движений.

Мы рассмотрим только такие материальные системы, для которых возможен выбор канонических переменных, допускающих полную разделимость переменных, т. е. такие системы, для которых функция W определяется из уравнений (6.35):

"辰(%，器")，耽(%，券)，…，恥(柒，貶)]=瓦(6.56) В этом случае W может быть представлена в виде

= 2 呼加勿加，ctj, a2, ..., %).(6.57)

т= 1

В соответствии с выражением (6.38) уравнение (6.56)

примет вид

Так какТак какН (аь а2,Н (аь а2,• • •> а5) — й.• • •> а5) — й.

Так как

Так как

Н (аь а2,

Н (аь а2,

• • •> а5) — й.

• • •> а5) — й.

_ dW _dWm Рт — dqm — dqtn_ dW _dWm Рт — dqm — dqtn(^= 1, 2, ..., s),(^= 1, 2, ..., s),(6.58)(6.58)

_ dW _dWm Рт — dqm — dqtn

_ dW _dWm Рт — dqm — dqtn

(^= 1, 2, ..., s),

(^= 1, 2, ..., s),

(6.58)

(6.58)

(6.52)(6.52)рm = рm(0加,

(6.52)

(6.52)

Пусть qm и pm — координатные оси прямоугольной декартовой системы координат. Плоскость этих переменных называют фазовой плоскостью. Точка на этой плоскости с координатами (^т, рт) называется «изображающей» точкой. При движении системы координаты qm и рт изменяются и изображающая точка на плоскости qmpm описывает кривую, которую называют фазовой кривой.

В дальнейшем мы будем предполагать, что на фазовых плоскостях qmpm фазовые кривые (6.59) будут или замкнуты, или рт будет периодической функцией относительно qm.

Введем в рассмотрение новые переменные /「 /2，.., ...,Js, которые называются действиями и определяются формулами

」т ^^ $ Рт dqm (Ш = 1, 2,・・.，S), (6.60) где символ $ означает, что интеграл берется за полный период изменения qm. В соответствии с выражением (6.58) имеем

"=$^^■對加 (他=1, 2,...，s).(6.61)

Переменные Jm являются функциями независимых величин ai, аг, • • • а$; так как изменение каждой пары qm, Pm (по предположению) независимо, то переменные Jm также независимы. Эти переменные /т примем за новые обобщенные импульсы.

Выразим теперь величины ai, аг, ...» as с помощью соотношений (6.61) через L, /2, •・・,/s и внесем

полученные значения в выражения для W и Н. В результате этого получим

W = W (t/j,'2，…•，柒，/" 厶，•一，/$)(6.62)

и

"Qi，厶，()=瓦(6.63)

За обобщенные координаты, соответствующие обобщенным импульсам, примем величины

^ = 7^⑺=1，2, ..., s)・(6.64)

Величины wm называются угловыми переменными. В соответствии с выражениями (6.6)

也т = ^^ = »т (俏=1, 2, . . ., S),(6.65)

где vm — постоянные величины, являющиеся функциями Ji,」2, ..., Л. Из соотношений (6.65) следует:

^т = vm/ + ₽m,(6.66)

где ^т ——постоянные интегрирования. Пусть tw — период изменения функции ⑵輯.Тогда

^т С + t”) = % (/ + ^m) + Вт(6.67)

Вычитая из выражения (6.67) выражение (6.66), получим изменение шт за период:

^wm = v„^m.(6.68)

С другой стороны, изменение Дшт можно получить следующим образом. Согласно выражению (6.64)

Пусть теперь координаты 内，^2, .• •, qi, gw+з ..., q9 сохраняют постоянные значения, а координата 夕纟 совершает полный цикл своего изменения. Тогда функция изменится на величину

Д^т = $ d出т,(6.69)

где

"叫°〃W・對'

—изменение wm вследствие изменения qi. Таким образом,

ИЛИ

в соответствии с формулами (6.58) и (6.60) имеем

Отсюда следует, что если i—m, то

А^т=1;(6.71)

если же i*m, то ^wm~Q. Сравнивая выражения (6.68) И (6.71), получим VmTm= 1 Й

= ；(削=1, 2, ..., S)・(6.72)

Следовательно, величины vw представляют собой ча* стоты периодических изменений qm.

Пример 52. Найти частоты главных колебаний механической системы, состоящей из двух физических маятников, представляющий собой однородные стержни одинаковых поперечных размеров и сделанных из одного и того же материала. Маятники подвешены на одной горизонтали при помощи шарниров О】，Оз и соединены между собой пружиной, жестквсть которой равна с. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна расстоянию между точками подвеса маятников. Остальные размеры указаны на рис. 6.1.

Положение маятников будем определять углами их от

клонения от вертикали, т. е. углами <р н 巾.Выражение для кинетической энергии в этом случае имеет вид:

= 4г Лф2 + 4г 厶祁，

где 71 и 7г — моменты инерции маятников относительно их осей вра^ щения. Потенциальная энергия выражается формулой

U = migg(l - cos 屮)+ 团2且停(1 - cos 2) + ^-,

где mi и 团2 ——массы маятников, % ——удлинение пружины. Для ма+ лых отклонений

cos q> « 1 —cos q> « 1 —cos 屮 ^cos 屮 ^ф2"2"ф2"2"九=а(р — ai|?,九=а(р — ai|?,

cos q> « 1 —

cos q> « 1 —

cos 屮 ^

cos 屮 ^

ф2

"2"

ф2

"2"

九=а(р — ai|?,

九=а(р — ai|?,

следовательно,

口 Н }[(加1g4+ cd) W - 2CQ2(pi!)+ (加2g 今 + CQ2)炉].

Для упрощения выкладок рассмотрим частный случай, когда

/] = ?2 =厶 加 1 =团2 =加， 厶=‘2 = '•

В этом случае

Т = ^/(ф2 + #),(6.73)

n = ^ [%(ф2 + (ф2) - 2殁2屮叨，(6.74)

где а{ = mg — + са2.

Если теперь составить уравнение Гамильтона — Якоби, то обнаружится, что переменные не разделяются. Поэтому мы перейдем к другим координатам qi и ^2, которые связаны с координатами <р и 屮 формулами )

<P = 9l+02， 2 = 91 - 02・

Кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны

7 = } /(°: + ^2)» 口 =做9: + (。2 + 2cZ)騷 где & = 4翼.Так как d = 2/仇，力2 = 2/%, то уравнение (6.56) примет вид

力(旣y + 。2若 + V (器У + (a2 + 2c J) * =九.(6.75)

Учитывая, что функция W имеет вид соотношения (6.57), получим

% (瑞■『+ °2*+% (醬 У+(°2 + 2cJ) q^=瓦

В соответствии с зависимостями (6.38)

分(需 у + 出咸=%， } (*y + @ + 2С/) = a2,

(6.76)(6.76)Я = «! + а2.

(6.76)

(6.76)

Теперь найдем

% =靄=需=2鹏/ ^一片,

配2 =需=需=2"（。2 + 2次2）/肃!^一确

Используя формулы (6.61), получим

厶=2 #/。2 $ k/"瑞一g：對「

4 = 2 %& + 2硝д/-^—^qldq2.

Введя в эти выражения замену

9L]/^sinY，外=]/而*|犷 sin%,

получим

2Л

J cos2 у dy = 2冗 о

Аналогично

厶=2冗/的+'2cq2a2・

Из выражений (6.78) н (6.79) следует：

(6.77)

(6.78)

(6.79)

(6.80)

Равенство (6.76) теперь ьринимает вид

Следовательно.

2 - dJ2 ~ 2л И / 2л У 2/

mgl z m/2

так как a2 == *~л—,，=工~・

ГЛАВА 7

НЕГОЛОИОМЦЫЕ СИСТЕМЫ

Число степеней свободы негомономмой системы. Примеры неголономных систем

Наиболее существенные успехи в развитии механики неголономных систем связаны с именами С. А. Чаплыгина, В. Вольтерра, П. В. Воронца и П. Аппеля. В этой главе будут рассмотрены лишь некоторые методы составления дифференциальных уравнений движения неголономных систем. Достаточно полное изложение механики неголономных систем содержится в монографиях А. И. Лурье ) и Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева ).

В этой главе будут рассмотрены системы с линейными неголономными связями, т. е. со связями, в уравнения которых проекции скоростей входят линейно. Уравнения таких связей имеют вид

2 (儿自 + B、Wt + с”禽)+ а = 0 (v== 1, 2, ..d) (7.1) или

S (』vi dx( + BVi dyi -|- Cvi dZj) + Dv dt = 0(7.2)

i = l

(v= 1, 2,・・・，d),

где d ——число неголономных связей, Avi, Bvil CVi, Dv —— функции координат, а в случае нестационарных связей и времени. Если 0^=0, то указанные связи называются однородными линейными неголономными.

Пусть на материальную систему наложено k голономных связей

力(修，Уh ^h /) = 0

(7.3)

и d неголономных связей вида (7.2). Тогда вариации ко-ординат должны удовлетворять следующим уравнениям:£(*g + ^物+ ^於)=。0=1, 2,…，田，(7.4)

》(Avi 6修 + Bv/ М/ + Cv/ 3之J = 0 (v = 1, 2,・・・，d)・(7.5) Следовательно, если эти 汽+d уравнений независимы,

то число независимых

ния и на скорости

вариаций координат равно 3〃一 ——k ——d. Это число независимых вариаций координат называется числом степеней свободы неголономной системы.

Остановимся на одном свойстве неголономных связей, не отмеченном нами ранее. Всякая геометрическая связь яв』 ляется также и кинематиче- свой связью, т. е. ограничения, накладываемые на координаты точек, накладывают ограниче-

точек. Но оказывается, что наличие

неинтегрируемых кинематических связей может не влиять на независимость координат. Это будет показано в приводимых ниже примерах.

Приведем примеры неголономных систем.

Пример 53. Пусть тело А перемещается по неподвижной плоскости, касаясь ее в трех точках (рис. 7.1). Предположим, что одна из точек касания М является точкой касания острого конька поверхности плоскости и может перемещаться только вдоль плоскости конька, движение же двух других точек по плоскости пусть будет свободным (так как расположение этих точек несущественно, то на рисунке они не показаны).

Поскольку тело Л совершает плоское движение, его положение может быть определено координатами хну точки М и углом tp, образуемым плоскостью конька с осью %. Условие отсутствия проскальзывания конька может быть записано в виде vy/vx == tg ф или, что то же,

I/ - х tg ф = 0.

(7.6)

Итак, из-за наличия связи (7.6) изменения координат х, ^ и <р не могут быть произвольными; однако в силу неинтегрируемости урав< нения связи (7.6) эти координаты остаются независимыми.

Пример 54. Рассмотрим качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости (рис. 7.2). Положение шара будет определено, если задать координаты %с и ус его центра и три угла Эйлера 屮，О и ф. Условием качения без скольжения будет равенство

少加=% + с)Хр = 0, (7.7)

где о—мгновенная угловая скорость шара, р—радиус-вектор, оп-

Рис. 7.2.Рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Рис. 7.2.

ределяющий положение точки касания М относительно центра шара. Следовательно, в соответствии с условием (7.7) имеем

(7.8)(7.8)戈 e - Qд g = О,步с + а① =。,

(7.8)

(7.8)

где а — радиус шара, 5 и з? — проекции угловой скорости соответственно на ось х и ось у. Так как *)

Од； = ф sin 9 sin ф + 0 cos 屮，

Оу = — ф sin 9 cos *ф + 0 sin ф,

то два выражения (7.8) перепишутся в виде

#「一 а (0 sin 2 — ф sin 0 cos = 0, 1

•(7.9)

步С + а (© cos 屮 + @ sin 0 sin 屮)=0. J

Эти уравнения неинтегрируемы, следовательно, связь неголономная*

Отметим, что в данном примере есть еще и голономная связь гс = а#

показывающая, что центр шара находится все время на расстоянии а от плоскости качения шара.

Таким образом, и в этом примере видно, что координаты xCt gc, 屮，2，0 независимы, но изменения их в силу условий (7.9) не могут быть произвольными.

Уравнения движения для неголономных систем с множителями Лагранжа

Пусть 夕1, «2, •,*，9$ будут обобщенными координатами механической системы. Пусть на систему наложено d неголономных связей вида

2 ^тЯт + «V = 0(V= 1, 2,…，d).(7.10)

zn=l

В § 3.5 был рассмотрен прием составления уравнений Лагранжа второго рода, если на материальную систему наложены дополнительные связи. Этот прием заключался во введении реакций дополнительных связей в число активных сил.

Воспользуемся этим приемом для учета вводимых неголономных связей (7.10). Так как вводимые связи идеальные, то

Qfm^m-^ (7.11)

где Ri — реакции неголономных связей, Q^ — обобщенные силы, соответствующие этим реакциям. Из уравнений связей (7.10) следует, что

X a、m6qm = 0 (V = 1, 2, ..., d).

』=i

Умножим каждое из этих соотношений на соответствующий множитель Лагранжа Xv и сложим полученные выражения между собой:

sd

2 5qm 2 Mvm = 0.(7.12)

т= 1v = l

Вычитая из выражения (7.11) соотношение (7.12), получим

т= 1\ у=1/

Независимых вариаций обобщенных координат s—d. Выберем Ль 九2,・• •,儿力 так, чтобы множители у остальных d вариаций обращались в нуль; тогда

d

QJ = Ej、a、m (俏=1, 2,…・，s),(7・ 13)

и, следовательно, уравнения движения при наличии d неголономных связей будут иметь вид

备(黑)一黑=Q^ + £爲狐" (7.14)

Уравнения (7.14) вместе с уравнениями связей (7.10) образуют систему s + d уравнений относительна ненз-

В€СТНЫХ («1, 〃2, ' • •,夕6,入 1,九2, • • •,九迎)*

Пример 55. Пусть в примере 53 проекция центра тяжести тела А совпадает с точкой касания конька. Рассмотрим движение этого тела по инерции.

Кинетическая энергия тела равна

Т = g М (弟 + 皖)+ В /сФГ

где М ——масса тела, /。一момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. Так как активные силы отсутствуют, то Qm = 0. В силу уравнения (7.6) имеем

«П= - ^Ф» “12=1，。13=0・

Следовательно, уравнения (7.14) примут вид

М% =—九]tg <р, MJ】=%, /^ф 0.(7.15)

Присоединяя к этим уравнениям уравнение связи (7.6):

岁 с-兑ctg3 = Q(7・1£)

получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Из третьего уравнения системы (7.15) следует, что

0 = со = const, и, следовательно,

<р « со/ + Фо(7.17)

(фо — начальное значение угла <р). Исключая Xi «лз первых двух уравнений системы (7.15), получим

хс + ус tg Ф = 0.(7.18)

Переписав уравнения (7J6) и (7.18) в виде

—ус cos <р + 土^ sin $ = 0,)

ус sin ф 4- хс cos ф = 0 j(7」9)

и сложив, получим

ус sin ф + хс cos ф - ус cos ф + х0 sin ф = О, или

齐(ус sin 屮 + 戈° cos ф) = 0.

Отсюда

Ус sin Q)+ 戈с cos (р = с(7.20)

(с — произвольная постоянная). Из уравнений (7.19) и (7.20) еле* дует, что

хс = с cos ф,步с = ° sin ф.

Отсюда имеем

%С =善 ®п Ф - $皿 Фо) + %， ％ = 一*(cos 屮—cos %) + %，

где x0 и y0 ——начальные значения координат Хс и ус, ф = о)/ +(р0.

Пример 56. Составим уравнения (7.14) для однородного шара, катящегося без скольжения по шероховатой горизонтальной плоскости по инерции (§ 7.1, пример 54).

За обобщенные координаты примем

% = %，% = %，% =你 % =也 05 = e， Уравнения неголономных связей имеют вид (7.9), т. е.

戈С + Q而 sin 8 cos 3 — Q@ sin 2 = 0, »C + Q而 sin 0 sin ф + a0 cos i|)= 0

или

仇 + aq3 sin q& cos q、— aq3 sin q& = 0,“2 + а?з sin 禽 sin q& + a% cos g« = 0.

Сравнивая эти выражения с формулами (7.10), получим Qii=l, @12 = 0, Qi3 = a sin 〃5 cos 04 = a sin 0 cos 2， @14 = 0, «is = — a sin ^4 = — a sin i|), &1 = °, @22=1, %з = Q sin 禽 sin 内=a sin 8 sin 屮，&1 = °, 。25 = Q cos % = Q cos *ф.

Кинетическая энергия выражается формулой

7 = } " (您+施)+ ^ (4磋+ /同+厶硝；

так как шар однородный, то 厶=/?=厶=/ и, следовательно, Т ^^ М^+У^Л-^1[^^^у + 磴)・

Подставляя сюда выражения

①х =亩 sin 0 sin i|)+ 0 cos 也

Sy = — ф sin 0 cos ф + 0 sin 屮, g)z = Q + 而 cos 0,

будем иметь

T = $ M (忍 + 亮)+ ^/ 他2 +02 + j2 + 2市市 cos 0).

Найдя производные

дТдхсдТдхс=Мх^=Мх^

дТдхс

дТдхс

=Мх^

=Мх^

•^ = / (ф + ⑥ cos 6), -^ = о,

дТ r① дТ

—г- = / (ф + ф cos 0), О,

外02

дТ 厶 дТ ,. ： . Q

7- = /0, = — /0屮 sin 0,

06加

составим уравнения (7.14), приняв во внимание соотношения (7.21):〃戈с = %， М% = %,

/ (© + гр cos Э - tj)0 sin 9)= Ль Q sin Э cos -ф + 九2a sin 0 sin 屮，

Z (ф + Ф cos Э ~ фЭ sin 0) = О,

/ (0 + @6 sin 0) ^ — %q sin 屮 + 九2a cos R

К этим уравнениям следует присоединить два уравнения неголоном* ных связей:

土С + 〃而 sin 0 cos i|)— а0 sin ip = 0,yc + аф sin 0 sin ф + 品 cos 巾=0.

Исключая из полученных уравнений Xi и Х2, найдем:

/ (ф + -ф — *ф0 sin 0) = Ma sin 0 (х^ cos *ф + 步匕 sin -ф),

/ (® + © cos 8 — @0 sin 0) = 0,

/ (0 + @而 sin 0) = Ma (ус cos 屮一％ $也屮)，

И

±С + @® sin 8 cos 屮一а0 sin 屮==Q,

yc + аф sifl S sin 屮 + аО cos 中=0.

Полученные уравнения являются достаточно сложными. В следующем параграфе эта же задала будет рассмотрена другим методом и будут найдены первые интегралы составленной системы дифференциальных уравнений.

Уравнения движения в квазикоординатах

В. случае голономных стационарных связей уравнения движения в квазикоординатах были получены в § 3.8 (уравнения (3.65)).

Пусть теперь на рассматриваемую систему будет наложено d неголойомных связей вида

s

2 ^vm?m + ttv — О (V= 1, 2a 办,(7.22) где avmt av зависят только от обобщенных координат. Как было показано в § 7.2, уравнения Лагранжа при учете новых связей имеют внд (7.14), т. е.

备(箫)一/= Qm + £з限 亿23)

Произведя с этими уравнениями те же операции, которые были проведены в § 3.8, получим

d / дГ\ ОТ' . V V ОТ'・s s

nP* + ЕЕ6皿。施九” (乂 = 1, 2, . ♦ •, s),(7.24)

где Т' определяется формулой (3.58), Рх ——формулой (3.56), 丫乂闻一формулой (3.62), а квазискорости выра・ Жаются через обобщенные скорости при помощи соотношений

S

Выберем теперь в последних d соотношениях (7.25) коэффициенты ахт следующим образом:

где x=s—d+v(v= 1, 2,.・.，d). Правые части уравнений (7.24) при этом примут вид

S S

m=1v= 1

ИЛИ

(х=1, 2,s)・(7.26)(х=1, 2,s)・(7.26)L к = %0, 乂* 国L к = %0, 乂* 国M S

(х=1, 2,s)・(7.26)

(х=1, 2,s)・(7.26)

L к = %

0, 乂* 国

L к = %

0, 乂* 国

v=r=l m=l

На основании свойства

m= 1I

делаем заключение о том, что

X Pmx^s—d+v> m = ° Д/勺 ％ = 1, 2, • • •, S — d・

Следовательно, уравнения Эйлера ——Лагранжа при наличии неголономных связей будут иметь вид

r=4 /гй 1

(х= 1, 2, ..., s — d)・

Присоединяя к этим уравнениям d уравнений связей (7.22), получаем систему s——d уравнений второго порядка и d уравнений первого порядка для определения неизвестных %, %, q& и fq, л2, • • •,血Оставшиеся последние d уравнений (7.24) могут служить для определения Ау, т. е. для определения реакций связей.

Пример 57. Составим уравнения Эйлера ——Лагранжа для свободного движения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости.

Как и в § 7.2, при рассмотрении этой задачи примем д】=хс, 02 = Ус, 0з =屮，94 =2，4ь = 0. Неголономные связи цмеют вид

ус + а% = 0.

Кинетическая энергия без учета этих связей

7 = 4" М (您+况)+ 4" / (①：+崎+硝.

За квазискорости примем )

(7.28)(7.28)立1 =①丄=@ sin 8 sin 屮 + 0 cos 2， зт2 = о^ = — ф sin 0 cos *ф + 0 sin -ф, Лз = со2 = ф cos 0 + гр,.

(7.28)

(7.28)

n4 = qO sin 3 — a© sin 9 cos 2 — x^,

立5 = qO cos ф + аф sin 0 sin -ф + ус，

Из этих уравнений найдем обобщенные скорости:

戈e = a九2 一 九4， У Q — 一 qR[ + R5，

..sin фCOS ф

中=n1 一：一A仪2 一：一,

(7.29)(7.29)sin 9sin Э

(7.29)

(7.29)

:.sin ib с . cos 屮 о ,.

屮=—冗1 . A COS 0 + я2 - .-ТГ COS 9 4- Лз,sin 8sin 9

台=由 COS2 +位2 sin2.

Запишем теперь выражение для Т‘：

Tf - ^ М [(aR2 -九)2 + (- a% + 自5)?] +万‘(自:+ 證 + 意).

疗0晶疗0晶Отсюда следует:

疗

0晶

疗

0晶

—Ma (— ал I + 饱)+ /Ai = (/ + Ма2)晶一Мал5,

= Ma (a也一爲)+ /元2 = (/ + Ma2)也-"a储.

Поскольку обобщенные координаты в выражение для кинетической энергии не входят, то в соответствии с формулой (3.64)

дГ0冗乂дГ0冗乂О (м= 1, 2, 3).О (м= 1, 2, 3).

дГ

0冗乂

дГ

0冗乂

О (м= 1, 2, 3).

О (м= 1, 2, 3).

Перейдем к нахождению трехиндексных коэффициентов 丫算卩/・ (см. стр. 87). Для этого воспользуемся формулой (3.75):

S S

d (6冗к) — 3 (ditQ = ^j ^j 丫卩乂v 6冗卩 d%v(乂 = 1, 2, ..., s). (7.30)

v=l卩=1

Пользуясь соотношениями (7.28) и (7.29), получим

de】^ d^ sin 8 sin 屮 + d8 cos 屮，

4冗2 = — d(p sin 8 cos 屮 + d8 sin 屮，

dit3 = d(p cos 0 + d^,

d% = — a d(p sin 8 cos 屮 + a d8 cos -ф — d%

d% — ad^ sin 0 sin -ф + a <Z0 cos -ф + dyc，

3冗]=d(p sin 9 sin -ф + 69 cos -ф, 6冗2 = — 6(p sin 0 cos -ф + 60 sin ф, 6л：з = d(p cos 0 + дф,

3% = — a d(p sin 0 cos *ф + a 60 sin 屮一6%,

3% = a b(p sin 0 sin ф + adG cos 屮 + by^

dxc = a d% — d%, dyc = — a dn{ + 4冗段

, sin ib , cos ib 」 西必^，

,, sin ф c, cos tb c

4屮=cos 04—cos 0 dn2 + 4冗3,

屮 sin 0sin 0

d8 = cos i|)d^ + sin 屮 4冗2,

6十g= a 6冗 一= - a 6冗[+ дл , a sin ф . cos ф 矣

61() =COS 0 3П1 +COS 0+ 6冗3，

* Sin 6Sin 0/“

60 = cos 3 6^! + sin -ф дл2.

В соответствии с формулой (7.30) получим

d (3冗1) - 6 (du])=-3冗2 dЛ3 + 6冗3 4冗2，

d (3冗2)- 6 (4冗2)= 3冗 1 4冗3 一 3冗3 djt],

d (5冗3)- 3 (4冗3)= 一 6эT] du2 + 6冗2 djt1,

d (дл i) — b (djtJ = a 6л 1 б/зТз — a длз d%, d 传冗5)- b (d冗5)= - a 3冗2 4冗3 + a ь两 6?Я2.

Отсюда следует, что

Y213 = —丫312 = — 1,Y123 = — ?321 = 1，

Vl32 ^ 一 Y231 = - 1,7143 = - Vзh = Q， y253 = 一 y352 = - ^

Остальные уцхц рапйы нулю.

Подсчитаем теперь суммы： 55

m=1/=1

=(/ + Ма2)血2九з — Mz元4也—Ма (аЛ2 —九)充з — 7зт3зт2 = О,

V V 0T'.

2 2Y2M丽;П广 "=1 /=1

=-(/ + ак?)元т3 + Ma亢5亢3 + /亢3指一M0(- a元]+ Я5)а3 = 0, 55

V V d厂•

2 2®两С广

=(/ + Ma2)晶元2 — Ma元5元2 — " + Afa2)衣2尤 + Man^i + + Ма (ал2 — л4) Я] + Ма (— апх + л5) л2 = 0.

Следовательно, уравнения Эйлера ^- Лагранжа (7.27) будут иметь вид

"Й■係?)=а 备(备尢。,%(Wr)=o• 0а)

Так как в силу неголономных связей л4 = 0,亢5 = 0, то из уравнений (7.31) получаем

5Tj =(i)x =01，九 2 =①，=c2，丸 3 =①2=c3, где ci, C2, Сз — постоянные интегрирования. Учитывая значения iq 丸2，元3, получим

© sin 0 sin -ф 4- 0 cos -ф = %,

—ф sin 0 cos ф 4- 0 sin 屮 ^ &，© cos 8 + “ = Сз・

Из уравнений неголономных связей следует, что хс = а%，Ус~ ^。。卜 Таким образом, первые интегралы уравнений движения известны.

Уравнения Аппеля )

Пусть на материальную систему, состоящую из п точек, наложено k голономных и d неголономных связей. Если 41, 02,...,柒，где s=3m —瓦一независимые

обобщенные координаты, т停 формулы

^i ~ ^i (力夕1，«2，• • •,柒) G ^ 1 > 2, • •.) и) (7.32) устанавливают связь между декартовыми и обобщенными координатами. Из формул (7.32) следует, что

$ дгдг

'=£ °加 + / G = 1，2,・・•，〃)(7・33)

m= 1

М = £ ^^Mm(Z = 1,2, ..лг).(7.34)

Пусть уравнения неголономных связей нмеют вид

2 仪叩％ + Qv =。(v = 1, 2, ..., d).(7.35)

n=1

Выберем за s—d независимых квазискоростей (по числу степеней свободы) s——d независимых линейных комбинаций обобщенных скоростей

亢乂 = 。叫0卩 (乂 = 1, 2, ..., s — d).(7.36)

a=i

Из уравнений (7.35) и (7.36) определим зависимость обобщенных скоростей от квазискоростей 亦“ Очевидно, что это можно сделать в том случае, если определитель системы уравнений (7.35) и (7.36) отличен от нуля:

a$~d, 1 а§—% 2 • • • а$—d, s

°dl %2• • • %s

Пусть найденная зависимость имеет вид

s—d

Qm = 士 匕加ц,П|1 + bт (m =1,2,..., s),(7*37)

где Ьщ卩 и Ьт — функции времени и обобщенных координат. Величины Лц могут принимать произвольные значения, так как по формулам (7.37) всегда можно подобрать соответствующие им значения qm. Подставляя теперь значения ^т, определяемые формулами (7.37), в формулу (7.33), получим

卩=1m = \m=l

Введя обозначения

%=£ 亳 Ьт+掾' m = lm=\

будем иметь .s—d

% =е,(13rtl1A + g (i = 1,2, ..., /2),(7.38)

从=1

откуда s—d

б% = N 阴卩6冗卩(Z = 1,2,..., 〃)・(7.39)

Вычислим производную по времени от выражения (7.38): s—ds—d

^i = £g卩元卩+ 化卩弘虫卩+ g. n=1卩=1

Отсюда видно, что частная производная от ускорения д=% 力й точки по Лц равна %口，т. е.

^ = е/ц (/=1,2, п;卩=1,2, ・・・，s —d). (7.40)

В общее уравнение динамики [см. § 3.2, (3.17)]

2 (团豳一耳)s н 0

подставим 6%, определяемое формулой (7.39):

£ (俏®/一兄)S %6冗卩=0. t=i卩==i

Отсюда имеем s—d / n\

^ fniWiC^ 一 U = 0,(7.41)

где обобщенные силы *), соответствующие квазикоординатами лц, равны

ПS fld

口卩=ef问ц=£工目号Jmn(卩=1,2, ...，s-d).

£ = 1m = l i = l

(7.42)

Так как величины 6冗以 взаимно независимы, то из выражения (7.41) следует:

2 т^^щ = Пи (н= 1,2,s-d).(7.43)

Используя зависимость (7.40), получим i = l

ИЛИ **)

謚(7.44)

Функция п 2

S = £争(7.45)

*) То есть возможная работа определяется формулой6—d

64 = N 口从6冗屮

**)так как 3黑=的器=备闱卜

называется энергией ускорений (по аналогии с кинетической энергией). Таким образом, получаем s——d уравнений

蠡=1% (卩=1,2, ・・・，s-d),(7.46)

которые называются уравнениями Аппеля.

Система уравнений (7.46) совместно с соотношениями (7.35) составляет полную систему уравнений для определения декартовых координат хь у】,zb %2, №, z^ ... ,..,хп, Уп, 2n и квазискоростей 晶，л2, •••,九§т как функций времени t.

Возьмем теперь в качестве квазискоростей s——d не* зависимых обобщенных скоростей ^i, ^2, ..., q8-d И вьЬ разим через них с помощью соотношений (7.35) остальные d обобщенных скоростей;

柒—d+v = 2，s-d + *, ц^ц(v=l,2,d)・

Отсюда

s~d

6%-d+*v = » 九s-d +v,卩(7・47)

以=1

Заменяя теперь в выражении для возможной работы

дЛ = 2 Qj М/

вариации 8qs-d-^v (v=l, 2,…，d) с помощью формулы (7.47), получим

s—d

где d

Qu = Q2 Q$-d十7入一d+* uv= 1

—обобщенные силы, соответствующие независимым вариациям 3gli(卩=1, 2, s—d)*

Уравнения Аппеля теперь примут вид)

•^==Qn (卩=1,2,…,s — d).

Для голономной системы уравнениями Аппеля будут

"^^ = Qm (/П = 1, 2, . . м S).

При вычислении функции S бывает целесообразно использовать теорему, аналогичную теореме Кёнига.

Пусть подвижная система координат имеет начало в центре масс материальной системы и движется поступательно. Тогда положение ьй точки системы в неподвижной системе координат определяется радиусом-вектором

%=女 + 6，(7.48)

где тс — радиус-вектор центра масс в неподвижной системе координат, а @力—радиус-вектор точки i в подвижной системе координат. Из выражения (7.48) следует, что

(7.49)(7.49)w^wc + wrh

(7.49)

(7.49)

где wri — относительное ускорение i-й точки. Подставим соотношение (7.49) в выражение для функции S:

Л2九Л2九/зе +叫炉/зе +叫炉

Л2九

Л2九

/зе +叫炉

/зе +叫炉

2

^jMwl + wi^tniwri+ £^^3

Л2 = 1

где М = X 恤一масса всей системы. Далее имеем

i= 1i= 1£ 恤6=薪 CWc)=о, i — l£ 恤6=薪 CWc)=о, i — l

i= 1

i= 1

£ 恤6=薪 CWc)=о, i — l

£ 恤6=薪 CWc)=о, i — l

так как рс « 0. Следовательно,

S=^S + S-(7.50)

где

及=£学

—ускорение системы в относительном движении.

Рис. 7.3.Рис. 7.3.Пример 58・ Составить уравнение Аппеля для тяжелого однородного шара, катящегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтальной плоскостью (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Рис. 7.3.

За независимые обобщенные

координаты примем ^i=xc, 92= —Ус,仇=屮，94=屮，,5 = 9,「Де %с, Ус ——координаты центра тяжести шара, ф, ф, 0 ——углы Эйлера.

Уравнение голономной связи: zc = Q (а ——радиус шара).

Уравнения неголономных связей:

『叫г。，］

Проекции угловой скорости шара на оси %, у, z:

(7.52)(7.52)①х = © sin 8 sin 屮 + 0 cos ф, ①у = —© sin 8 cos -ф + 6 sin -ф, Sz = @ cos 8 + ф.

(7.52)

(7.52)

Примем за независимые квазискорости следующие выражения:

(7.53)(7.53)九 1 =①* = © sin 9 sin 屮 + 6 cos -ф, 丸2 =①“ 0 —市 sin 0 cos i|)+ 0 sin i|), 元3 = S = © cos 8 + ф.

(7.53)

(7.53)

Из уравнений (7.51) и (7.53) определим обобщенные скорости через независимые квазискорости:

хс = а/, *с = — @占，

(7.54)(7.54). sin 2 . cos ф .g=丽百"］一三?百冗2,

(7.54)

(7.54)

«>=—晶 sin 中 ctg 8+元2 cos 屮 ctg'O'+^s, 6 =晶 COS 屮 + 亢2 sin ф.

Найдем теперь энергию ускорений. Используя формулу (7.50), получим

S = ~- Mwq + S〔

s = 4" m (%+泥)+ g / (磯 + 磁 + ®z)>

где Al — масса шара, I ——осевой момент инерции шара. Используя формулы (7.53) и (7.54), будем иметь

S = ~(Z + Mq?) it J + -~ (/ + Mq?)寇 + ^- /務 (7.55)

Вычислим возможную работу:

6А = X б% + У 6% + Z 6%・

Но X = 0, У = Mg sin a, Z = —Mg cos a, a согласно формулам (7.54)

6%e=Q 6冗2' 6уе = 一 Q 6冗「

откудаоткудаКроме того, bzc = 0 (так как zc = а). Следовательно, 64 = — MgQ sin а 6冗八

откуда

откуда

IIj = — Mga sin а, П2 = 0, П3 = 0.

Уравнения Аппеля

в рассматриваемом случае будут иметь вид

(/ + Ма2)元1 = — Mga sin a,

(/ + Mq2)元2 = 0,

ОтсюдаОтсюда(/ + Mq2)亢§ = о.(/ + Mq2)亢§ = о.

Отсюда

Отсюда

(/ + Mq2)亢§ = о.

(/ + Mq2)亢§ = о.

血 2 = °，

йз = °,

где с「eg, сз — постоянные интегрирования. Для обобщенных скоростей имеем

. Mga2 sin а yL / + Mq2. Mga2 sin а yL / + Mq2QC[,QC[,

. Mga2 sin а yL / + Mq2

. Mga2 sin а yL / + Mq2

QC[,

QC[,

, sin 加 Mga sin а . , sin 屮 cos 屮

0 = sin 屮 ctg 9 -^^工患 f — % sin 屮 ctg 0 + r2 cos 屮 ctg 0 + 内,

a, Mga sin а .,> ,.,

8 = — cos 屮 一 j 七祝戸-f + % cos 屮 + % sin ф.

Дальнейшее интегрирование первых из этих уравнений дает

飞=w+e4,

,—Mga2 sin a %= 2dMq2),—Mga2 sin a %= 2dMq2)於一QC"+方.於一QC"+方.

,—Mga2 sin a %= 2dMq2)

,—Mga2 sin a %= 2dMq2)

於一QC"+方.

於一QC"+方.

Это значит, что в общем случае центр масс шара движется по параболе, расположенной в плоскости, параллельной наклонной плоскости.

§ 7・5・ Вывод уравнений движения неголономной системы из общего уравнения динамики.

Уравнения С. А. Чаплыгина

В § 3.3 из общего уравнения динамики было получено соотношение

em/Пе（尸L色叫）詰=。，（7.56）

Там же показано, что

E低一恤叫)-^=Qm-[4 (茶)-許](m = 1,2, ..s)・

Введем в рассмотрение оператор

■闺一黑.

Тогда выражение (7.56) примет вид

S Mm(Qm — rqm) = 0・(7.57)

m=l

Пусть на систему наложено d неголономных связей

工 «vm^m + «V = °(v= 1,2, ..., d).(7.58)

m = l

Примем первые s—d обобщенных координат за независимые и выразим обобщенные скорости qs-d+u @$т+2,… .・.,qs с помощью уравнения неголономных связей через 01, 02, • • • , 0s—d*

s — d

^=2 h^q^ + hk (々 = s-d+1, ••・，s), (7.59)

откуда следует, что $ —d

6欤=2 hkm6qm R = s-d + 1, s-d + 2, ・・・，s)・ m=l

Подставляя эти выражения в соотношение (7.57), получим

s — dss — d

Zj (Tqm — Qm) S^m + X (T% —QQ £ Km 6^m = 0, wi=1★=$—d+l/n=l

ИЛИ

s—叫6T

工 Tqjn — Qm+ 工(^Qk ~ Qk) hkm 6qm = 0.

"2 = 1 L女=$—d+1J

В силу независимости 6g“ 6q2, ・•♦, ^qs-d «меем

7办1 一 Qm + 工(TqL QJ &m =。(7・60)

h=s—d+l

(m = 1, 2, ...» s —d).

Зто и есть искомые уравнения движения. Присоединяя к ним уравнения неголономных связей (7.58), получим полную систему уравнений для определения всех обоб- щенных координат.

Если коэффициенты 九左^, кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П не зависят от，s—d+i, ，8-d+2, ・♦・,夕晶 то уравнения (7.60) примут вид

°9т°9тдП

°9т

°9т

(/и = 1, 2, ..., s —d)・

Пусть T* будет кинетниеско访 энергией системы после исключения скоростей @s-d+i, qs-d+^ @s； тогда

дГ дТдГ дТ2也=s—d+1s论==$—d+12也=s—d+1s论==$—d+1dT dqkdT dqkdT dqkdT dqk

дГ дТ

дГ дТ

2

也=s—d+1

s

论==$—d+1

2

也=s—d+1

s

论==$—d+1

dT dqk

dT dqk

dT dqk

dT dqk

Из выражения (7.59) следует, что

dqk 厶 瓦•=浪;n，dqk 厶 瓦•=浪;n，叫Mtn叫Mtn玄要办r=l玄要办r=l

dqk 厶 瓦•=浪;n，

dqk 厶 瓦•=浪;n，

叫

Mtn

叫

Mtn

玄要办

r=l

玄要办

r=l

Следовательно,

дГdqm

"丄 2 厶07

w E=s-d+l”

dT* dqm

s—d

Теперь можно написать

S

d NT

+ 工 h^4i

用=$-d+l

方阖）,X

d「dhhm.

Замечая, что

s—d

FT _ Z F 分，r=l

перепишем уравнения движения в виде s s—d

df(4«丿 ^m 十后叫0% 1ЧГ Мm “s—d+1 r=l

(m= 1,2, s — d)・

Эти уравнения получил С. А. Чаплыгин ), и они носят его имя. Исключая в полученных уравнениях с помощью зависимостей (7.59) скорости @s—d+i， ?6-d+2, ..., @$, входящие в выражения dT/dqk, получим систему s——2 уравнений с s——d неизвестными gi, ‘2, . •., 4s-d, которая интегрируется независимо от уравнений неголономных связей. Остальные координаты можно затем определить из уравнений (7.59).

Пример 59. Составить уравнения движения велосипеда, пренебрегая движением ног велосипедиста, движением педального механизма и считая колеса велосипеда абсолютно жесткими тонкими дисками ).

Будем считать велосипедиста твердым телом, жестко скрепленным с рамой. Исходя из условий задачи и рассмотрения рис. 7.4 и 7.5, велосипед можно считать системой, состоящей из четырех кинематически связанных между собой твердых тел: рамы с седоком, переднего и заднего колес и вилки переднего колеса.

На рис. 7.5 представлена схема велосипеда в вертикальном положении и при совпадении плоскости переднего колеса и рамы. Центры заднего и переднего колес соответственно обозначены буквами Mi и М2, точка Af0 ——точка пересечения рулевой оси с перпендикуляром, опущенным на эту ось из центра М2. Точками 心 и М4 обозначены соответственно положения центров масс задней части велосипеда (рама, велосипедист, заднее колесо) и передней части (вилка переднего колеса, переднее колесо). Величина s =々2^3 cos 九，где k2k3 называется выносом, величина с = a cos ф + & cos X называется базой велосипеда, угол X ——угол между вертикалью и рулевой осью,

отрезок ММ? = R sin X. В обычных конструкциях велосипеда точка М° лежит внутри отрезка МЛ^, поэтому с{ > 0； угол 九 обычно положительная величина.

Предполагая, что велосипед движется по горизонтальной пло« скости, примем за обобщенные координаты следующие переменные: gi = $ 一 угол поворота руля, ^2 = % — угол поворота рамы, отсчи* тываемый от вертикали, дз = %, q《=у — декартовы координаты точки 比 соприкосновения заднего колеса с дорогой, ^5 = 0 — угол между следом заднего колеса и осью у、% = Oi, q? = 62 — углы соб<

ственных поворотов соответственно заднего и переднего колес. Введем вспомогательные переменные х\，6‘，К определяющие положение переднего колеса, и найдем их связь с обобщенными координатами. В соответствии с рис. 7.6 координатами центра М【 заднего колеса будут

(7.61)(7.61)%】==% + R sin у cos 0, 勿=g + R sin % sin 0, 21 == R со$ %,

(7.61)

(7.61)

где R —радиус колес велосипеда.

Найдем координаты точки М°, являющейся точкой пересечения рулевой оси с перпендикуляром, опущенным на эту ось из центра М〔

переднего колеса (рис, 7.5). Пусть система координат MigiT]iti имеет начало в центре заднего колеса. Ось t]i направим от точки М\ к точке ЛЬ, ось & — ей перпендикулярно в плоскости рамы, ось & — перпендикулярно к плоскости рамы. Расположение этих осей по отношению к осям неподвижной системы координат Oxyz показано на рис. 7.7. Обозначим через », /, k единичные векторы осей системы Oxyz, через §ь %, gi — единичные векторы осей системы M1&E1S а через 力，九岛一единичные векторы вспомогательной системы координат М咼П圏.Очевидно, что

L в cosBi + sin 0/,)

，L - sin 9» + cos 0/,}(7.62)

ki в sin % cos 0/ + sin % sin 0/ + cos 常比.J

£ = cos% "-sin у 比% ^ cos ф /1 — sin qp^i,gi = sin(pji+8s(p^i,

то в соответствии с формулами (7.62) имеем

*1 = cos у cos 8 i + cos % sin 0 / — sin у 尼，

"i = (— cos (p sin 0 — sin qp sin у cos 0) i +

+ (cos ф cos 0 — sin ф sin % sin 6) / — sin 屮 cos % kt

自】=(cos ф sin x cos 0 — sin ф sin 8) i 十

+ (cos ф sin у sin 0 + sin ф cos 0) / + cos <p cos у 儿

(7.63)(7.63)оси т|2 наоси т|2 наРис. 7.7МРис. 7.7МВ системе координат М$ти& точка Mq расположена на

(7.63)

(7.63)

оси т|2 на

оси т|2 на

Рис. 7.7М

Рис. 7.7М

расстояния а от точки АГ】. Следовательно, ее координатами в системе Oxyz будут

%о = %i — a (cos <р sin 8 + sin ф sin у cos 0),)

Во =勿 + а (cos 屮 cos 9 — sin qp sin у sin 0), |(7.64)

Zq^Zi — a sin ф cos %,J

где %i,勿，Ni определяются формулами (7.61).

Для нахождения координат центра М2 переднего колеса введем систему координат Мо自2n2废.Ось 击 направим от точки М° к точ-

ке М2, ось “2 — по оси вращения вилки, ось 占纟——им перпендикулярно (рис. 7.8). Из рассмотрения рис. 7.8 следует, что единичные

Рис. 7.8.

векторы 自2, Лг,厶 системы АГгёгЛгЬ могут быть определены в вида ^2 ^ cos ф §1 + sin -ф cos а Л1 + sin -ф sin а gi, 4

% = sin о%-cos 呜，}(7.65)

g2 = — sin ф 5i + cos ф cos a t)i + cos -ф sin agp J

Косинусы углов между осями системы Oxyz и М0&П2& равны

COS(X, &) = i •自2 =

=cos 屮(ig[) + sin 屮 cos о (i • %) + sin 屮 sin о (i •&)=

=cos 屮 cos % cos G—sin 屮 cos о (cos ф sin Э + sin <p sin % cos 8) +

+ sin i|)sin о (— sin <p sin Э + cos ф sin % cos 0)=

=—sin -ф [cos (qp—a) sin 0+sin % cos 0 sin (ф—a)] +cos\|)cos%cos0,

cos (x,屯)=i • "2 = sin (ф — a) sin 0 — cos (<p — a) sin % cos 0,

cos (x,匕2) = i • G2 =

=—cosi|)[cos((p~a)sinO+sin%cos0sin((p~a)] — sin ф cos % cos 0,

(7.66)

cos (协 &) = j •三2 =

= sin 屮[cos (qp—a) cos 0—sin% sinB sin (ф —a)] + cos-ф cos % sin 0,

cos (弘 т)2)= j. ”2 = — sin (ф — a) cos 0 — cos (<p — a) sin у sin 0,

cos (p, $2) = / • £2

=cos i|)[cos (<p ~ a) cos 0—sin % sin 0 sin (<p — a)] — sin г|)cos % sin 0,

cos (г, &)=々•自2 = — sin -ф cos у sin (中一о) — cos гр sin %,

cos (z,加)=无• П2 = — cos (ф - a) cos %,

cos (z,自2)=尼•匕2 = — cos 屮 sin (qp — a) cos % + sin ф sin %.)

Точка 財2 в системе координат Mo^i仗2 имеет координаты 自2 = 0, r)2 = 0, & = Ь (рис. 7.8); следовательно, в соответствии с формулами (7.66) имеем

#2 = %о — b {cos ф [cos (ф — и) sin 8 + sin % cos 0 sin (<р — и)] +

+ sin 屮 cos % cos 0},

(7.67)(7.67)92 и 9。+ b {cos 屮[cos (ф — u) cos 0 —sin % sin 0 sin (<p — a)]—

(7.67)

(7.67)

—sin 屮 cos % sin 8},

& = No — b [cos 屮 cos % sin (ф — a) — sin 屮 sin %],

где %o, g。, z。определяются формулами (7.64). Определим теперь координаты точки М2 через вспомогательные переменные 9‘，у',力，у'・ Пусть система координат К2gAП’С' имеет начало в точке касания ^2 переднего колеса с плоскостью дороги, ось т/ направлена по следу переднего колеса, ось 『направлена к центру переднего колеса. Отметим, что ось & будет параллельной оси g2 (рис, 7.9). Единичные векторы осей системы Kzgn'F представим в виде

К = cos %’cos 04 + cos %' sin & j — sin 片瓦

П' = — sin 04 + cos 8' /,

? = sin %' cos 8’ i + sin y' sin & j + cos % 论，

и, следовательно,

(7.68)(7.68)乂2 = к' + R sin %' cos &, У2 ss / + R sin 公 sin &, 22е* Reos%'・

(7.68)

(7.68)

Для нахождения связи между обобщенными координатами и вспомогательными переменными %', “', В* у' приравняем х2, 92, 22, найденные по формулам (7.67) и (7.68), и, кроме того, учтем, что оси gz и g2 параллельны:

%' + R sin %' cos & n

==勺一b {cos 2 [cos (ф — и) sin 0Ч- sin % cos 0 sin (<p — о)] +

+ sin 屮 cos у cos 0},

〃 + R sin % sin & =>

(7.69)(7.69)f 如 + b {cos 2 [cos (qp — и) cos 8 — sin % sin 6 sin (<p — a)]—

(7.69)

(7.69)

—sin ф cos у sin 6},

К cos %' 0 % — b [cos 2 sin (屮一a) cos % — sin 屮 sin %], cos 父 sin & = sin 2 [cos (<p — u) cos 8 — sin % sin 0 sin (<p — a)] 4

+ cos 3 cos % sin 0, sin x = — sin 屮 cos % sin (q> — a) — cos 屮 sin %.

В дальнейшем будем рассматривать лишь малые отклонения от движения велосипеда вдоль оси у.

Линеаризуя ) выражения (7.69) относительно малых величин 9, В'，力 К Ф» получим

%’ = х — 8 [a cos 屮 + b cos (<р — <?)]—巾出 + R sin (ф — а)],

/ = ^ + a cos qp + 6 cos (ф — а),

а sin qp 4- 6 sin (qp — а) ^ 0, & = 8 + 屮 cos (屮一и),匕=% + 屮 sin (ф — сг)・

Отсюда вытекает, что 屮 = const с = a cos ф + & cos 九， а = «= R sin X ——b, окончательно получим

%' = % — cG + cj-ф,

O' = e + Wcos 九，('

%'=% —屮 sin%・

Рассмотрим рис. 7.5.

Запишем условия качения колес велосипеда без проскальзывания. По условию задачи колеса представляют со-凉' бой абсолютно жесткие тонкие диски; тогда для заднего колеса

北=—R仇 sin 9,

» = R$iCosO (7.71) и для переднего колеса

犬=一卩济 sin % 旷=+ r3 cos &•(7.72)

Если заднее колесо вращается с постоянной угловой скоростью 8 где V — скорость велосипеда, то

б — sf «= 0.

Используя выражения (7.70), перепишем зависимости (7.71) и (7.72) для малых 0 и 8‘：

R&1 = и, R&2 = и, » = и, 〃'= и(7.73)

и

北 + об = 0, с@ — о» — иф cos •儿=0.(7.74)

Уравнения (7.73) являются интегрируемыми связями, а уравнения (7.74)——уравнениями неголономных связей. Таким образом, рассматриваемая система имеет две степени свободы.

Составим уравнения движения велосипеда, воспользовавшись уравнениями （7.60）. Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии Ti рамы с седоком и заднего колеса и кинетической энергии Т2 вилки и переднего колеса. Кинетическая энергия рамы с седоком и заднего колеса равна

厶=Т? + т；р,

где 7； = ｝他［芋— кинетическая энергия поступательного движения задней части велосипеда, mi——масса задней части велосипеда,

V3 -— скорость центра масс М3 задней части велосипеда, TB₽ — кинетическая энергия вращательного движения задней части относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс велосипеда. В соответствии с рис. 7.5 и 7.10 координатами центра масс Мз будут

%з = % —厶 sin 8 + 九I sin % cos 8,

% = 9 + 厶 cos 0 + 九 1 sin % sin 0,

N3 =九 1 cos %.

После дифференцирования получим

尢з =尤一厶0 cos 0 + 九伙 cos % cos 8 — &S sin % sin 0,

»з=и — /10 sin 0 + 无也 cos % sin 8 + 九田 sin % cos 0,

之3 =—力也sin %.

Отбрасывая постоянный член и сохраняя члены не выше второго порядка малости, имеем

W =（立一人0 + 九也）2 — 2y （ZjO 一 々y） 0 + 2成］吃

Следовательно,

Пусть оси Mzx\y\Z\ жестко связаны с рамой велосипеда и при 8 = % = 0 параллельны осям х, у, z. Проекции мгновенной угловой скорости задней части велосипеда на эти оси равны соответственно —9 sin %, %, 9 cos %. Для заднего колеса з£ =—v/r — 4 sin %. Тогда с точностью до малых второго порядка и без постоянного члена

?1Р = 4 (々炉- 21 у^ +Q呼)+厶受%

где I,., Z_ , /〃夕一 соответственно момент инерции относительно оси 91, момент инерции относительно оси 厶，центробежный момент инерции задней части велосипеда,厶一момент инерции заднего колеса относительно собственной оси вращения. Таким образом,

+ T (々犷- 21ул^ +厶伊)+ 4 ^散，

Кинетическая энергия передней части велосипеда (рулевая вилка и переднее колесо) вычисляется по формуле

72 = "^他2w+7訳，

где т2 — масса передней части велосипеда, у4 — скорость центра масс передней части (точка Ah), Г|р— кинетическая энергия вращательного движения передней части. Координаты точки М4 в системе Mog2n2^2 равны §2 = 0, т)2 =—办，白2 = d (рис. 7.5). Используя формулы (7.66), получим

х^^ x^ — d sin 屮 cos % cos 8 + d cos 屮(sin % cos 0 sin X — sin 9 cos 九)4-

+ 右 sin 九 sin 8 + 右 cos 九 sin % cos 0,

九=9o + d cos 屮(cos 九 cos 8 + sin 九 sin % sin 0)—

—d sin 2 cos % sin 8 — d】sin 九 cos 8 + 必 cos 九 sin % sin G, * = % + "i cos A cos % + d sin 屮 sin % + d cos ф sin X cos %.

После дифференцирования и сохранения членов не выше второго порядка маяости получим

х4 = х + 九2戈 + %G - 0或

白4 = u + (色У - %8 - Ф^) 0 + 九2畋 - d (8 + 2 cos %)加

24 口 一 力2城 + d(X - Ф sin %) Ф + 文24

где

力2 = R — a $in 叩 + d sin 九 + 山 cos А,

% = 〃 cos 力 + d cos 入一山 sin 九.

Смысл величин 力2 и Z2 виден из рис. 7.5 ). Кроме того, из рассмотрения этого же рисунка видно, что между параметрами велосипеда существует зависимость

d =九2 sin А — с】一(с — /2) cos 九.

При сделанных ранее предположениях о малости переменных имеем

У m2w=g 他2 (* + &戈-1^ 一加)2 + m2V (M - %ё - 3d)0+

+恤?h2眼一m2ud (9 +屮cos九)欣

Мгновенная угловая скорость передней части велосипеда без учета собственного вращения переднего колеса складывается из угловой скорости вращения вместе с рамой и угловой скорости вращения вокруг рулевой оси. Пусть оси д? и 乞2 лежат в плоскости переднего колеса, причем ось у2 горизонтальна. Отметим, что угловая скорость вращения вокруг рулевой оси (ф) перпендикулярна к оси х2. Очевидно, что во введенной системе координат, имеющей начало в точке 肋皂 ось %2 параллельна оси 自2, а ось 乡2 повернута по отношению к оси 恥 на угол X. Следовательно, проекциями абсолютной мгновенной угловой скорости передней части велосипеда на оси системы2y2%2 будут

叫2方соZ2叫2方соZ2(7.75)(7.75)=8"

叫2

方

со

Z2

叫2

方

со

Z2

(7.75)

(7.75)

=(0n2 sin X +(0第 cos 九，

= 一 Smcos X +①备sin九.

Проекции мгновенной скорости задней части велосипеда (без учета вращения заднего колеса) на оси системы MiEiTjiCi равны (рис. 7.7).

吸i= — Osin%,

со% ^ — 0 cos % sin ф 4- X cos <р,

①装=0 cus % cos <p + % sin <p.

Переходя теперь к нахождению проекций мгновенной угловой скорости передней части велосипеда (без учета вращения переднего колеса) на оси системы Mog2T)2迄，воспользуемся формулами (7.65) и

учтем угловую скорость 0 （рис. 7.8）. Тогда

з& = — 0 sin % cos 巾 + （ — 0 cos % sin ф + % cos 屮）sin -ф cos % + + （6 cos % cos ф + % sin qp） sin -ф sin a.

Линеаризуя это выражение, получим

①标=戈屮cos九一（％ — *ф sin九）Э.

Аналогично найдем

①巾=-少一0 cos九+北sin九，

①第 =0 sin九+文cos九.

Используя теперь формулы （7.75）, окончательно будем иметь

со%2 =北屮 cos 九一（％ — 2 sin 九）0,

①以=文一小sin九，

coz? = 0 + 少 cos 九.

Для переднего колеса

°4 =-专+①由 %2 =①"°4 =①Nd

Обозначив через /與 и 厶 моменты инерции передней части велосипеда относительно осей у2 и %2, через /力別—центробежный момент инерции, через 厶一момент инерции переднего колеса относительно собственной оси вращения, можем записать

r|p =万卩鼓（文-少sin九）2 - 2々通（文-@sin九）（6 +少cos九）+

+ IZ2 （0 + i|）cos 九 У]-% 贯文屮 cos 九+ %£。（％— 屮 sin 九）.

Итак, кинетическая энергия системы равна

г = J Ш! [（х -厶6 + 力仪）2 + 2и （/田 一 ha） 0 + 2心 1眩]+

+营3黑2-2/^/+小2）+/]^敏+

+ 扌m2 （% + 力2文-厶0 -坤）2 + m2v （Л2% -乙0 - 3d） 0 +

+m2必29文一m2vd （8 +3cos九）屮+

+ 4 [/"（文一@ sin 九）2 — 2Iy2Z2（X - 4, sin 九）（0 + @ cos 九）+

+ g（° + 2 cos 九）2] 一 厶常文w cos 九 + 厶专 0 （% - W Sin 九）.（7.76）

Потенциальная энергия велосипеда

П 二 加国23 + 俏2gz4 H migh cos % + m2g [(R — a cos <p) cos % + + 山 cos X cos % + d sin 屮 sin % + d cos 屮 sin X cos %] #

0 一 万g [(加1力1 +m2每)%2 + d Sill九团2状 一2倘2 d2%].

Предположим, что рассеивание энергии происходит только из-за вязкого трения в рулевой колонке, и, следовательно, обобщенная сила, соответствующая этому трению, будет (см. § 3.7)

Q$p = 一%也

Найдем обобщенные силы:

Q『—Q『—an 。屮 onan 。屮 on—п-ф = + tn2gd sin Лф —加2gdy — п-ф,—п-ф = + tn2gd sin Лф —加2gdy — п-ф,+ (加1力1 + 加2力2)g% - m2gdl|),+ (加1力1 + 加2力2)g% - m2gdl|),舛r 一击=0,дП n=-前=°・舛r 一击=0,дП n=-前=°・(7.77)(7.77)

Q『—

Q『—

an 。屮 on

an 。屮 on

—п-ф = + tn2gd sin Лф —加2gdy — п-ф,

—п-ф = + tn2gd sin Лф —加2gdy — п-ф,

+ (加1力1 + 加2力2)g% - m2gdl|),

+ (加1力1 + 加2力2)g% - m2gdl|),

舛

r 一击=0,

дП n

=-前=°・

舛

r 一击=0,

дП n

=-前=°・

(7.77)

(7.77)

(7.78)(7.78)(7.79)(7.79)

(7.78)

(7.78)

(7.79)

(7.79)

Для рассматриваемого случая уравнения (7.60) принимают вид

% — Qp + (Т* ~ QQ 九《и + (Т® — Qo)九51 = о,% — Q% + (Т*- QQ 力42 + (几一 Qe)力 52 = 0・

На основании уравнений неголономных связей (7.74) имеем

дх « 0, 68 = ~ 6屮，

и уравнениями движения будут

с(% — QM + "б = °，I

Вычислим операторы Т^ Гх и Т&

7中Q总(器)一器=一加2我+几0一/以+ № +

+ 厶 cos 九文 + 厶 sin ЛЭ,

Т% hx — 1120 —^ (/j + /3) 9 + /пХ — /2天 cos Л*ф — /э*ф, Тб =—/尤+ /”° —八戒 + /亦+ ~^г (^1 + Л) % ~ Л sin Лф

где

/ = m1A+m2/2，九=m1% + m2力2，

/" =m陷+m2崎+ /山+ /" 3 =叫次+б2后+ G + Q，

(7.80)(7.80)уравне-уравне-/% =/公4 + I у [Zl + 62力2% + *Z2，

(7.80)

(7.80)

уравне-

уравне-

，3 = m2fl2d + Iyx sin 九 + /决22 COS 九

厶=加2%d + /力Z2 sin 九 + IZ2 cos 九，

/ = /и2d2 + Iyf sin2 九 + Iy2Z2 sin 2九 + 厶 cos2 九.

Используя выражения (7.77) и (7.79), составим теперь ния (7.78) движения велосипеда:

—(m2cd + с") х + (с/4 + С J22) 0 - (с/з + CJ12) X +

+ (с/ + 仃厶)Ф+ —- [с/2 cos% + /(/[ + 厶)]X +

+ 矶-~- sin Л0 — с / £ sin Лф — cm2gd sin 九屮 + cm2g d% + c兩=0, h^ — Zi2&(厶 +，2)0 + 厶吃一厶® —，2』cos 九小一九g% +gg dip = 0. К этим уравнениям следует присоединить уравнения неголономных связей (7.74):

戈+ и8 = 0, с0 = 5 j + игр cos 九.

После исключения х и 0 при помощи уравнений неголономных связей получим

(7.81)(7.81)нoХ -a1% -a2® - иа30 + (a4 - 0①5)w=0, 瓦卡+0瓦成+ (力2m一63)屮一b戒+ 065文+ ь6у = 0,

(7.81)

(7.81)

где

Ло ="11, 。1 = chg、@2 = cJ12 + с/з,

Q3 = Cl (力 + 专 + 专)+(/12 + C 左)COS 九，

@4 = cm^gd, 的=(力 + 专 + 专)cos 九,

b\ = /4 cos A + cb] + C\ (m2d 4—1~- cos 九)+史,

员=(m2d + 書 sin 九 + -^-) cos 九，b3 = cm2gd sin %,

64 = 0/3 + 01/4, ^5 = c~-cos Л Н4" (^i + ^2), b「cmzgd»

ии仇

и

и

Система уравнений (7.81) представляет собой линеаризованные уравнения движения неуправляемого велосипеда с жесткими колесами. Рассмотрим простейшую модель велосипеда, которая получается при условии, что ось руля вертикальна, проходит через центр переднего колеса и является главной осью инерции передней части велосипеда.

В этом случае

Ct — d — к —= 0.

Следовательно, в соответствии с формулами (7.80)

/3 = 0,厶=5/ = /” /12 =①也厶+〃优1 +倘2九2’2。

Уравнения (7.81) при этом примут вид

сЦх — chgx — V (厶2 + с专)0 - m卜+ % +专)屮п0,c，z冲 + (厶，+ №0 иг|)+ с 灭吸=0.

Пусть Zo и 九。——координаты центра масс всего велосипеда. Положим, что 1{ = mh^t /12 = mh^^ h = mh^ т— т{ + т^ и пренебрежем моментами инерции /1 и /2 колес по сравнению с величиной /и力oR; тогда первое уравнение

описывает движение велосипеда и соответствует элементарной теории велосипеда ). Из этого уравнения вытекает, что если велосипед начинает падать вправо, то для остановки падения нужно создать 义 V 0, а для этого нужно, чтобы @ V 0, т. е. руль следует повернуть в сторону падения. Так как @ V 0, то это приведет к возникновению 2 之 0, что увеличит абсолютное значение %,

Исследование устойчивости велосипеда в более общем случае изложено в работах Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева, указанных на стр. 199.

ГЛАВА 8

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Пути прямой и окольный.

Действие по Гамильтону

Предположим, что рассматриваемая консервативная материальная система подчинена голономным идеальным связям. Пусть действительное движение системы описывается обобщенными координатами

01(%)， %(/),••・,qs (О-(8.1)

Для наглядности введем в рассмотрение понятие «изображающей» точки. Пусть система имеет две степени свободы, a ,i(f) и ,2«) суть обобщенные координаты, описывающие ее движение. Очевидно, что каждому положению системы, определяемому координатами ,【и ‘2, на плоскости ,1,2 будет соответствовать точка с координатами ‘1, ,2・ При изменении ,i и ,2 точка на плоскости 夕1夕2 будет менять свое положение. Эту точку называют изображающей точкой. При рассмотрении системы с s степенями свободы под изображающей точкой будем понимать точку в s-мерном пространстве с координатами 91,夕2, ..., qs.

Под прямым путем изображающей точки понимается геометрическое место ее действительных положений в ее s-мерном пространстве. Окольным путем называется геометрическое место воображаемых смещенных положений прямого пути, причем смещения в начальный и конечный моменты должны равняться нулю. В соответствии с условиями (8.1) прямой путь параметрически изображается уравнениями

Чт = qm (0 (团=1, 2,・・・，s)・(8.2)

Окольные пути параметрически изображаются уравнениями

规优)=夕加⑺+ Ч«(m= 1, 2,s)，

где вариации обобщенных координат 5,т, вследствие независимости обобщенных координат 〃絞，представляют собой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие связей, подчиненные условиям:

(М» = 0，]

где 九 и 为——фиксированные, но произвольно выбираемые моменты времени. Условия (8.3) называются условиями закрепленности концов окольных путей. Из выражений

*(0 = %(0 + Мт (俏=L 2,…,s)

следует, что

fi^ = ^m(0 ~ ^m(0 (团=1，2,S)，

т. е. вариации обобщенных координат представляют собой изменения обобщенных координат при фиксированном времени Л Такие вариации называются «изохронными».

Действием по Гамильтону за промежуток времени (Л, %) называется величина S, определяемая выражением

S= J £出，(8.4)

力

где L = T—П — функция Лагранжа. Таким образом, действие по Гамильтону представляет собой функционал. Значение S определяется выбором s функций времени %,伙，9з,...,柒，так как L является функцией 内，伙，... •…,9s,仇,@2, •…,柒,/. На прямом пути, когда 办,仇,・.. …，柒，负，柒，...,qs соответствуют действительному движению, действие S имеет определенное числовое значение.

Принцип Гамильтона ——Остроградского )

Принцип Гамильтона — Остроградского утверждает, что вариация действия по Гамильтону

6s = 6 J Ldt

(конечного «импульса лагранжевой функции»), на прямом пути по сравнению с любым окольным путем равна нулю, т. е.

6s = 0.(8.5)

При этом действие S имеет стационарное значение на прямом пути ).

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго ррда. Пусть 夕1(/),夕2«), ..., qs{t) — обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями 'i+Sqi, ,2+6,2,... ...,gs+69s・ Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с 6qm и 5@团，будем иметь

6L п 厶(0m + 6，m, 0m + 60m，f) — L (夕加，@加，0 =

=£ 费 Mm + £ 記Mm(8.6)

Следовательно,

S + 6S = J (A + SA) dt = J Ldt+ J SL dt,匕匕片

где

s = J L 品,0m，о dt.

Отсюда следует:

6S= j =Md/=『£(誥4n +隸陶卜厶介匕 Lm= 1」

Используя свойство операторов 6 芻= *&q (стр. 87),

перепишем последнее выражение в виде

左 Lm=l」

ИЛИ

6s=f[i；(T 盡r+器 mJ 或+

/i m=l

В силу условия закрепленности концов (8.3) второй интеграл в последнем выражении равен нулю. В самом деле,

I 士分(謊■"“"/=£ J方(課*力=

/] m«lm=l /j

Таким образом,

6s= / e（誥-^誥）"洞九

Согласно принципу Гамильтона — Остроградского 6sH =0. Значит,

/ S （許 t 諸）"届， =。■（8.7）

厶 m= 1

Вследствие произвольности интервала интегрирования m=l

Так как вариации координат независимы, то получаем уравнения Лагранжа второго рода:

方（誥）一誥（加=1，s）.（8.8）

Покажем теперь, как исходя из уравнений Лагранжа второго рода, можно прийти к принципу Гамильтона — Остроградского. Умножая каждое из уравнений （8.8） на соответствующую вариацию 6qm и складывая между со бой полученные выражения, найдем, что

2係览■一黑mm = o，

ИЛИ

纟係詩Ml誥Мт） = 0・（8.9）

m=l

Так как

d （ dL、义 d （ dL 丈 \ dL d .

帀Mm=万（丽6砌一丽R^=

d （ dL . \ dL …

то выражение （8.9） можно переписать в виде

£ 4 （ЖГ М~ 纟（誹+ 誥 M = °' ?n=lm— 1

В соответствии с соотношением (8.6)

Следовательно,

м一2^"(器 m”) = 。・m = l

Умножая это выражение на dt и интегрируя в пределах от /1 до %2 (6, %2—фиксированные, но произвольные мо« менты времени), будем иметь

f 6厶力- £ J d唸■阿= 力/n = 1备

力S‘2

=6 J Ldt- £ 誥 m/；=6 J Ldf = o, так как (6?m)/=fj = 0 и (6?m)/=6 = 0, а время не варьируется. Таким образом,

6s = 0.

Итак, показано, что из принципа Гамильтона一 Остроградского можно получить уравнения движения, а из уравнений движения ——принцип Гамильтона — Остроградского. Из этого следует, что этот принцип может быть положен в основу механики голономных консервативных систем ).

Из принципа Гамильтона — Остроградского можно получить и канонические уравнения Гамильтона. Действительно, из выражения (5.6) для функции Гамильтона

"=2 pmqm 一 Lm = l

определяем S l=X Mm 一 "，

где Н=Н (^m, рт)・ Из условия (8.5) следует:

J d/sf^^-^V0-(8」°)

/1'/п=1/

Так как m= 1т»1

а sss

6 Ерт@т=，％Мп+ ?РтЬ0т =

ss

=^Чт^Рт+，PmR6qm = m=l/п== 1

sss

=^Ят^Рт + ” Pm 6?m - У An Mm， m=lm=lm=l

то соотношение (8.10) примет вид

/ dti [体-誤)》m - (% + 鶴)М/ =。’(8」1) 力 ms=l

ибо 质 / $\ s t

J 威 W ( £ Pm Mm 卜 £ Pm Mm 1=0

в силу закрепленности концов окольных путей. Несмотря на то, что qm и рт входят в функцию 〃 как независимые переменные, при вычислении интеграла (8.11) нельзя считать б^ш и 5Pm независимыми, так как они связаны временной зависимостью， Если взять частную

производную по рт от функции Гамильтона

" =X ртЯm 一l(0/n，Gm，0> m=-l

то получим

"^^ = 4т (加=1, 2, . .S)・

Следовательно, первая круглая скобка в выражении (8.11) тождественно равна нулю ). Вследствие произвольности интервала интегрирования и независимости 6%п имеем, что и

Qm +"^ = 0(6 = 1，2,・・・，S)・

Итак, получаем

. дН .дН /1、

qm =丽’pm=-屈 恤=1,2,s).

Принцип Гамильтона — Остроградского дает только необходимое условие стационарности действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 52s. Значение действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 62S>0. Если промежуток времени 为一介 выбрать достаточно малым, то условие 52s >0 будет выполнено и действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ).

Докажем теперь, что обратимое преобразование (5.32) будет каноническим, если выражение (5.49)

£ РтЧт — 〃 = 2 弘唠—〃'+ 罂

т=1

будет тождественно удовлетворяться. Перепишем выражение (8.10) в виде

J ( £ Pm dqm -Н dt\=- 0.

Из этого выражения, как только что было показано, получаются уравнения Гамильтона для переменных qm и рт. Для того чтобы обратимое преобразование (5.32) было каноническим, т. е. чтобы новые переменные 9；，Рт удовлетворяли уравнениям Гамильтона, должно выполняться условие

备'/п=1丿

Оба последних равенства должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, их подынтегральные выражения могут отличаться друг от друга не более чем на дифференциал от какой-либо функции V, так как

J川=6卜(幻一У(幻]"

Следовательно, должно выполняться условие £pmdqm-Hdt= ipfmdq^-Hf dt + dV. m=lm=l

Рассмотрим теперь неконсервативную голономную систему. Уравнения Лагранжа второго рода для такой системы имеют вид (см. § 3.3, (3.29))

方("^)一^^q"(他=1, 2,s).

Умножая каждое из этих уравнений на соответствующую вариацию обобщенной координаты 5qm и складывая между собой полученные соотношения, будем иметь

S [4 (爲"т -备Mm-Qm財小0・(8・12) 加==1

Проведя вычисление

4 （誑）Sm = ■（誤 需 Mm и принимая во внимание, что

т=1т=1

перепишем соотношение （8.12） в виде

2"^（諾 мm）-6Г- 三q悔4Й = 0. т—1m=1

Умножая это выражение на dt и интегрируя в пределах ОТ /1 до 为，получим

广（67+ £Qcjdf = 0,（8.13）

так как в силу закрепленности концов окольных путей

£ / "（需 Mj=o. m = l力

Результат （8.13） также называют принципом Гамильтона—Остроградского, однако следует иметь в виду, что это уже не вариационная формулировка, а лишь утверждение, что этот интеграл равен нулю. В самом деле, выделяя в обобщенных силах консервативные силы

Qm= - ~^" + QJ （俏=1，2,S）,

где П ——потенциальная энергия, a QJ — обобщенная сила, происходящая от неконсервативных сил, и вспоминая, что

можем выражение （8.13） переписать в виде SQ-^J^ = O,

где

/п= 1m= 1

Но так как L = T—□ и время не варьируется, то

/2S /2

6 J厶由+工J QZM/n必=0・

(8.14)

Вводя теперь величину 6S', можем записать

6坟= 6S+ 工 / Q^qmdt^o.

/л=1 匕

(8.15)

Результат (8.15) утверждает только то, что величина 6S' на прямом пути по сравнению с окольными равна

нулю. Самого же функционала S'не существует.

Пример 60. Рассмотрим

движение по инерции материальной точки по гладкой по

верхности.

Принимая П = 0, имеем . mv2, 门。

L =—厂=const. Действие по

Гамильтону имеет вид

/2

力九

Согласно принципу Гамильтона при движении точки по прямому пути между начальным и конечным положениями точки действие по Гамильтону имеет стационарное значение по сравнению с окольными путями при условии, что сравниваемые движения происходят за один и тот же промежуток времени /2 — 6. Следовательно, для действительного движения

6s = "2一公6(等)=0

И6(М) = 0・

Для выяснения характера экстремума рассмотрим частный случай——движение точки по гладкой сфере радиуса R (рис. 8.1). Приняв за обобщенные координаты q\ = 8,夕2 = ф, найдем

Ln7・2^zn(©2 + sin2e@2).

Для прямого пути выполняются уравнения Лагранжа

dt\dQ/ 08 dt\d^/

Отсюда 0 — sin 0 cos Эф2 = 0, 81п2Э-ф= с (с — постоянная).

Пусть в начальный момент 0 = 0О, ф = 0. Тогда <р ~ const и 6 — 0о» т. е. движение будет происходить по меридиану (например, по меридиану MqM；) (рис. 8.1). Скорость материальной точки равна о2 — &2©^・ Из этого следует, что движение по прямому пути представляет собой равномерное движение по дуге большего круга.

Если расстояние между начальной точкой Мо и конечной точ кой 財2 (рис. 8.1) будет меньше nR, то любой окольный путь между этими точками будет больше, чем дуга большого круга М0М2. А так как движение по окольному пути происходит за тот же промежуток времени, что и ло прямому, то скорость движения по прямому пути будет минимальной. Если же дуга MqM2 будет больше nR, то наименьшее значение действия по Гамильтону будет достигаться по дополнительной кратчайшей дуге MJ^；

Таким образом, скорость точки М2 будет минимальной до тех пор. пока она не достигнет точки М^ диаметрально противоположной точке Мо. Точка М； называется сопряженным кинематическим фокусом точки Мо *).

Неизохронное варьирование

При сравнении прямого пути и окольных мы сопо« ставляли функции qm(t) и ^^ (/) == q^ (/) + 6qm для одного и того же момента времени /. Геометрически это представлено на рис. 8.2. На этом рисунке изображены функции %п(/) и % (/). Точки М и М2, лежащие на одной вертикали, сопоставляются друг с другом в один и тот же момент времени.

A«m=Mm + %tAf,A«m=Mm + %tAf,(8.18)(8.18)

A«m=Mm + %tAf,

A«m=Mm + %tAf,

(8.18)

(8.18)

Рассмотрим теперь момент времени f+Af. Точка Мз получается из точки Mi благодаря действительному движению в промежутке времени от / до /+AL Соответствующее этой точке значение функции 4酬(力+厶方)сопоставляется со значением функции в точке М4 g；(f + Af) = =^ (/ + Л/) + 6^加(/ + Af). Сопоставление опять-таки происходит для одного момента времени /+Д/. Отметим, что с точностью до малых первого порядка ， малости

唠(f + M = «m(f + Af) +

+ Mm (f + A/)=

(8.16)

Приведем теперь в соответствие точки кри- 〃 вых qm(t) и *(/) не в момент времени /, а в моменты / и / + А/, т. е. приведем, в соответствие точки Mi и М4. В этом случае варьируется не только координата, но и время. Эту операцию называют неизохронной вариацией и обозначают символом А. Для точки 此 теперь можно написать

唠(f + Af) = ^(f)+A%・(8.17)

Сравнивая между собой выражения (8.16) и (8.17), имеем

где Д/ — бесконечно малая дифференцируемая по времени функция. Операция (8.18) может быть применена к любой функции времени. Например,

МтТт + атМ.(8.19)

Проднфференцируем выражение (8.18) по времени:

糸(А«т) = ^7(6侖 + @/п А/ + 需房(А/)=

и, приняв во внимание соотношение (8.19), получим 普岡J = А?т + ^(А/)・(8.20)

Отсюда следует, что перестановка операций А и дифференцирования по времени d/dt не имеет места. Для операции же б, как было ранее выяснено, аналогичная перестановка существует:

М = "^ М・

Принцип стационарного действия Лагранжа

Рассмотрим консервативную голономную систему, подчиненную стационарным связям. В такой системе справедлив закон сохранения энергии

Т + П = /г・(8.21)

Пусть 夕7»(/1) и qm{t^ (团=1, 2, ..., s) — фиксированные точки на прямом пути. Рассмотрим только такие окольные пути, на которых выполняется условие (8.21) и которые соединяются в фиксированных точках 9m(厶)и «т(%2) (m=l, 2, ..., s) на прямом пути. Условие (8.21) не дает возможности сопоставлять точки прямого пути с точками окольных путей в один и тот же момент времени, так как накладывает определенные ограничения на скорости точек на окольных путях (скорости должны быть такими, чтобы все время удовлетворялось соотношение (8.21)). Например, промежуток времени движения системы из фиксированного положения qm(ti) до фиксированного положения «т«2) (/и=1, 2, ..., s) по окольному пути может быть не равен промежутку времени 为一介 движения системы по прямому пути ). Таким образом, при условии (8.21) следует применять операцию асинхронного варьирова-

ния. Отметим, что в силу закрепленности концов околь

ных путей

(8.22)(8.22)А0m(幻=。，］

(8.22)

(8.22)

Д^т (^2)= 0. J

Для рассматриваемой механической системы справедливы уравнения Лагранжа

■Я誥)-誥=°⑺=1,2,・・・，s), (8.23)

где L = T—П・ Так как

?n= 1т—1

d dL & Р / OL d dL \& 乘、

m=lm=l

то в силу уравнений (8.23)

7£Pm$qg(8.24)

m= 1

где pm = -~~- (cm. § 5.1). Ho 6厶=6T — SII и, кроме того, в соответствии с условием (8.21) 6Т + 6П = 0・ Значит,

4SPm$qm = 26Т.(8.25)

т=1

Согласно формуле (8.18) S^m = A^m — qm Д/. Подставляя это в соотношение (8.25), получим

备 EPmAqm-备工 %@m Af = 2 6T・(8.26)

m=lm=l

Далее имеем

S

$・dL . v dT .

*) Здесь использовано*) Здесь использованоPmQm= 2 丽 9m= 2 丽加 m= 1m= 1m=l

*) Здесь использовано

*) Здесь использовано

так как 7^~ = "^~・ Рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям, следовательно (§ 3.7, формула (3.46)),

S S

Т=4■工 ^1 Amk4m4k

И

纟務32Т・(8*7)

m=l

Учитывая выражение (8.27), перепишем соотношение (8.26) в виде

宗工^ 糸(2Г4) = 26Т т=1

ИЛИ

s

4 工％А«т = 2(6Т +，М + 2Т^А/・ т^1

На основании формулы (8.18)

АГ = 67 +Та/,

и, следовательно,

备工 pm Nqm = A2T + 2Т 房 At "1=1

Умножая это выражение на df, интегрируя в пределах от 4 до /2 н используя условия (8.22), получим

h

J b(27) + 27告(竺|淑=0.(8.28)

Докажем, что

Д j 2Tdt= J [д(2Г) + 2Т-~-(Д/)]dt. (8.29)

Так как

А (27) = 6 (27) + * (2Т) А/ = 6(2Т) + 方(27 AZ) - 2Т 方(Af),

TO

J[A(2T)或+ 27房(Af)]df= Jb(2T)力+ 2TAf \(8.30)

h

Применим теперь операцию А к интегралу J 2Т А/:

A J 2TdT = 6 J 2T成+ 2TAf= J 6(27)力+ 2TAf・ оо0

Отсюда следует, что

A j 2Td/= J 6(2T)df + (2TA/)f=f,(8.31)

оо

и

A J 2Tdt= j 6 (2T) dt + (2T △%=%・(8.32)

оо

лучимлучимВычитая из выражения (8.31) выражениеВычитая из выражения (8.31) выражениеA J 2Tdf =A J 2Tdf =2也J 6(2Т)dt + 2TM |\2也J 6(2Т)dt + 2TM |\(8.32), no-(8,33)(8.32), no-(8,33)

лучим

лучим

Вычитая из выражения (8.31) выражение

Вычитая из выражения (8.31) выражение

A J 2Tdf =

A J 2Tdf =

2也

J 6(2Т)dt + 2TM |\

2也

J 6(2Т)dt + 2TM |\

(8.32), no-

(8,33)

(8.32), no-

(8,33)

Из равенства правых частей формул (8.30) и (8.33) следует равенство левых, т. е. справедливость соотношения (8.29). Таким образом, из (8.28) и (8.29) следует:

»2

(8.34)(8.34)A J 2Tdf = 0.

(8.34)

(8.34)

Величина

называется действием по Лагранжу. Формула (8.34) выражает принцип стационарного действия Лагранжа ): действие по Лагранжу между двумя фиксированными положениями системы имеет стационарное значение на прямом пути, если на окольных путях сохраняется одно 〃 то же постоянное значение полной механической энергии.

Если взять только одну материальную точку, то согласно формуле (8.35)

方fzS2

4 = J 加 M "' = J mu "^ "'nJ mV ds (8.36)

Отметим, что условие (8.34) является условием стационарности величины А. Вопрос о том, будет ли при этом 4 иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких /1 и 勾 действие по Лагранжу 4 будет минимумом. В этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьшего действия.

Формула (8.34) была получена на базе уравнений Лагранжа второго рода. Но можно сделать и наоборот — принять эту формулу за исходное положение механики консервативных голономных систем со стационарными связями и получить из нее уравнения движения материальной системы ).

Рассмотрим в качестве примера движение точки по инерции по гладкой поверхности.

Так как П = 0, то 7 = —-—« const. Действие по Лагранжу равно

方%

{ = j 2Т df = J mv2 dt = mv2 (/2 —厶)・

Для действительного движения

А4 = 0, т. е.

mv2 А/ = 0.

Так как ти2/2 =九，то о является постоянной величиной % следовательно, Д/ = 0.

По всем окольным путям движение точки происходит с постоянной скоростью, так как Л = const. Значит, при движении по прямому пути время движения будет минимальным.

Принцип стационарного действия в форме Якоби

Исключим теперь из выражения принципа стационарного действия (8.34) время 玄 используя интеграл энергии

Т + П =九.(8.37)

Поскольку кинетическая энергия

Г =扌工乃%Т££^mk (%, %» • • •，%)少加彰，/ = 1/п=1 fe=l

а 虫=dsildt, то можно записать, используя (8.37), что

九S S

2T (必)2 = X m (曲炉=2 ^Amk dqm d仇=2 (九 一 П)(成)2. f=11m e 1 尼==1

Отсюда

dt =dt =九5 勺(d”2 i=l一2 伍一h)九5 勺(d”2 i=l一2 伍一h)1 X 工 Amk dqmdqh/2(九一И)1 X 工 Amk dqmdqh/2(九一И)(8.38)(8.38)

dt =

dt =

九

5 勺(d”2 i=l

一2 伍一h)

九

5 勺(d”2 i=l

一2 伍一h)

1 X 工 Amk dqmdqh

/2(九一И)

1 X 工 Amk dqmdqh

/2(九一И)

(8.38)

(8.38)

Подставляя это значение dt в формулу (8.35), будем иметь

t;?) Гп

л = J 2Trf/= J 1/ 23 —11)工人(曲)2(8.39)

力 (Г) *j

или

；2(2) /S~s

5= J 27d/n J 1/ 2(A-II) s ^Amkdqmdqk. (8.40)

Формулы (8.39) и (8.40) представляют собой выражения для действия по Лагранжу. Пределы интегрирава- ния соответствуют начальному и конечному положению системы.

Следуя Якоби, примем обобщенную координату 玖 за независимую переменную; тогда

£ £ 4 泌 dqm dqh=££ Amk 塞卷闽尸=

m = 1 力ь I/п・1 左=1

=/+鋸向籌+三4启十£ £"卷鬻=

т =2论=2т =2 fe»==2

"宀第向黑+££电籌塞. m =2m «2 论=2

Вводя обозначение

Н^-Щ(А11+2^Ат^^Ат^\ 'm-2m=2 九К2/

(8.41)

перепишем выражение (8.40) в виде

(㈠)_

Л= J VRdqb(8.42)

где 7； — значение координаты «【в начальном положении системы, ^ — ее значение в конечном положении системы. Формула (8.42) представляет собой действие по Лагранжу в форме Якоби. Заметим, что поскольку функция У/? не зависит от времени /, то в принципе стационарного действия в форме Якоби рассматривается уже не закон движения изображающей точки по траектории, а сама фазовая траектория. Это следует из того, что равенство (8.42) имеет вид формулы (8.4), только вместо функции 厶 стоит функция JR, а роль времени / играет координаты 〃з Поэтому аналогично тому, как из формулы (8.4) получаются уравнения Лагранжа второго

рода, так из формулы (8.42) получаются уравнения, определяющие траекторию изо6рах《ающе访 точки, так как их решение дает зависимость обобщенных координат qm (加=2, 3, ..., s) от обобщенной координаты 内：

就(甯卜齊=°伏=2,3，…,s). (8.43)

Используя формулы (8.38) и (8.41), получим время движения простой квадратурой:

G)

'一‘。=J 力整щ d%.(8.44)

®)

Общее решение задачи будет содержать 2s произ- вольных постоянных — /о, h и 2s——2 постоянных интегрирования, получаемых при решении уравнений (8.43) (число этих уравнений равно s—1).

Пример 61. Определение траектории материальной точки в однородном поле силы тяжести.

Рассматривая движение только в вертикальной плоскости, найдем траекторию, проходящую через две фиксированные точки с ко- ординатами (хо, у。) и (%i, у\). Направим ось у по вертикали вверх, а ось х — по горизонтали. За обобщенные координаты примем gi=x, 02 = у. Закон сохранения энергии имеет вид

m (х2 + »2) I厶

2+ 〃唔 У =九

Так как

2Т = m (х2 + 步2),

то в соответствии с выражением (8.41) имеем

R = 2 伍一 mgy) (т + ту/2\

и, следовательно,

VR ^У 2m(h- mgy)(l + /2).

Вычислим производные

V2m(h —mgy) ,w2^(l + /2)

8 H. В. Бутеннн

Используя уравнения (8.43), найдем дифференциальное уравнение траектории

d dV 页dV~R n

dx ду ду

Подставляя сюда производные от У^, получим

2 (九一mgy) у" + mg (1 +，)== 0.(8.45)

Продифференцировав это уравнение по х, имеем

2(九一优gg) 〃〃 = 0

или 旷〃 =0, так как h — mgy 抖 0. Следовательно,

у =^ ах2 + bx -^ с(8.46)

Для нахождения связи между постоянными а, b и с подставим найденное у в уравнение (8.45)

4a [Л — mg (а" + 匕％ + с)] + mg [1 + 62 + 4abx + 4а2х] — 0.

Отсюда

Семейство траекторий (8.46) представляет собой семейство парабол с вертикальной осью. Для нахождения искомой траектории следует определить а и 6 из уравнений

Уо = % + Ь%о + % у{ « ах^ + Ьх{ +с,

где с определяется формулой (8.47). Пусть хо = 0, у。= 0, тогда с = 0. Из формулы (8.47) следует

0=一.吗(；产)< 0.(8.48)

Уравнение для определения b имеет вид

62——色一b +•+1=0.(8.49)

fngx{ mgx\

Отметим, что выбор точки (xi,勿)не может быть произвольным при заданном h. Из уравнения (8.49) следует, что b будет иметь действительные значения при

4Л (А - mgy^ > 加2g2必，(8.50)

т. е. во всяком случае должно быть А > mgy\. При выполнении условия (8.50) а и 6 имеют по два значения, что соответствует факту

f — fo =f — fo =J灰ету d力J灰ету d力®)®)

f — fo =

f — fo =

J灰ету d力

J灰ету d力

®)

®)

пересечения в точках (0,0) и (Ni,gi) двух парабол (рис. 8.3).

Наименьшему действию соответствует парабола /, так как время движения по этой параболе от точки (0, 0) к точке gi) меньше, чем по другой параболе.

仅7，%)

Рис. 8.4.

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу: материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получила название, задачи о брахистохроне 1 j и положила начало вариационному | исчислению./

Пусть начальная точка будет началом координат, а вторая точка имеет координаты xi, у\ (рис. 8.4). Время движения по кривой (при по- сточниом h) определяется формулой л \и

=А следует,=А следует,

=А следует,

=А следует,

Пусть в рассматриваемой задаче q\ = х, 92 = У- Кинетическая и потенциальная энергии выражаются формулами

Т =万 дп (产 + &2), П = — mgy.

В силу начальных условий из интеграла энергии Т 扌 Л что А = 0 и функция

УТ= «2 哂(1+“

Принимая /о = 0, перепишем выражение (8.44) в виде

(8.51)(8.51)

(8.51)

(8.51)

Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению минимума интеграла (8.51), т. е. к нахождению функции у (%), при которой этот интеграл имеет наименьшее значение. Уравнение кривой у = у(х) определяется из уравнения (см. (8.43)):

d Г д /] а /Уi + J) с

dx L^/ \Vy /J ду \ Vy /

Производя необходимые вычисления, получим

2少 + (1+，) = 0.

Вводя замену 〃 =，'，имеем

2〃 d〃 _ dy 1 4- «2 у • Отсюда

In (1 + М) = m q — [n g и

где Ci — постоянная интегрирования. Так как

嘉= /=tg8,(8.52)

где 0 — угол наклона касательной к кривой у — у(х) (рис. 8.5), то

У ^ ] +；)2 才=” cos?'=登(I + cos 20).(8.53)

Из соотношения (8.52) находим d尤==ctg8dy, а из формулы (8.53)dg = — с】 sin 20 d8.

Значит,

dx = — 2ci cos2 8 d8 = — G (1 + cos 20) d8. Отсюда

尤 и - £ (28 + sin 20) + &,(8.54)

где 。2 — постоянная интегрирования. Кривая, определяемая уравнениями (8.53) и (8.54), представляет собой дугу циклоиды.

ГЛABA 9

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

L Явный вид уравнений Лагранжа второго рода

Пусть рассматриваемая материальная система подчинена голономным связям. Тогда кинетическая энергия системы выражается формулой (3.43):

S SS

ш ^mpQmQp + ^J Bpjp + Г。，(9.1)

где Го и коэффициенты Атр, Вр —функции обобщенных координат и времени. Находя

£ Ан京+ %, 1

дТ 1 V V a4M ・・ I S ОВр ・ dTo丽r = qZ 2毎7а/" + 2丽0。+丽

и подставляя полученные выражения в уравнения Лагранжа второго рода

年(黑)一訪=Qm (加=1，2,S),

получим

-^- f S Ampqp + Bmj 4-

'/Ц»1 Pel

2丽0厂丽=Qm•

Отсюда

£“；,+ £ 2(-^~4^)Мр+

Р= 1|А= 1 р = 1

咄一强j 0Amp дВт "о

(tn= 1, 2, •・・・ s),

или

23。+ £ 夜^?-^ 斃)仇％ T"» +

P=1卩=1 P=1

支^ dAfnp 0Вт дТq

+ ^^^^Яр + ^дГ^^^^ (俏=L 2,.・・，S), (9.2)

где (стр. 79) 「加=工 NmpQp называется обобщенной р=4

гироскопической силой, а

——8Вр дВт

Ymp= —Ypm = ~^ 茹7

(/n = 1, 2,…，s; p = 1, 2, ..., 5)

—гироскопическими коэффициентами.

Для стационарных связей получим

£(0+工2(寥р = 1Ц=1 Р=1£(0+工2(寥р = 1Ц=1 Р=17 諾)%,Р = Qm7 諾)%,Р = Qm

£(0+工2(寥

р = 1Ц=1 Р=1

£(0+工2(寥

р = 1Ц=1 Р=1

7 諾)%,Р = Qm

7 諾)%,Р = Qm

(m= 1, 2,…，s).

§ 9.2. Метод вариации постоянных

^^mp^^mpdidiПредположим, что рассматриваемая механическая система описывается дифференциальными уравнениями £“.+ ££(需 Т 需)%%+

^^mp

^^mp

di

di

. 8Вщ дТ^

"b一布=

= Qzn + Q；n・ (9・з)

Предположим, что система уравнений (9.3) при Q；=0 (加=1, 2, ..., s) имеет решение

Qm = Ят (力。1,。2, Qs) (^ = 1, 2, ..., s).(9.4)

Метод вариации постоянных, предложенный Лагран- жем ), заключается в следующем: пусть найдено решение системы (9.3) при Q丁 = 0 (/л = 1, 2,・・.，s), т. е. определено движение системы под действием основных сил Qm； предполагая теперь, что дополнительные силы Q展， которые называются «возмущающими», достаточно малы по сравнению с основными, решение системы уравнений (9.3) ищут в форме (9.4), причем величины ci, с?, ..., с2s считаются уже не постоянными, а медленно меняющимися функциями времени.

Итак, будем искать решение системы уравнений (9.3) в виде решений (9.4), считая величины сь с2> .…，с2s функциями времени. Дифференцируя решение (9.4) по времени, получим

等(9・5)

Так как обобщенных координат qm столько же, сколько степеней свободы, т. е. s, а число функций ck равно 2s, то % можно связать по собственному выбору. Выберем эти функции ch такими, чтобы первые производные от qm имели бы такой же вид, как при постоянных с^ т. е.

豹=芻(m=1, 2,s) (9.6)

и, следовательно,

2s

£體叁=° (加=1，2,s)・(9.7)

Далее находим

2s

^ =需+ 工熟i恤=1，2s).(9.8)

Подставляя теперь выражения (9.6) и (9.8) в урав* нения (9.3) и принимая во внимание, что при постоянных с儿 обобщенные координаты qm являются решениями уравнений (9.3) при Q^ = 0, имеем

£ Z "呻―扭 °； & = Qm (9・9)

или

* £'，+ "*»2 dtdck + ♦ • • + A^ dt Jcfe )魂=Q；・ (9.10)

Соотношения (9.7) и (9.10) представляют собой систему 2s уравнений относительно производных 闻.Ввадя обозначения

а栈=41次 £' + А«2 汶；；《 十…+ Атз dt J^ , (9.11) °团？ = ДМ (小=1，2, ..., s;力==1, 2, ..., 2s), (9.12)

перепишем соотношения (9.7) и (9.10) в виде

/(m = 1, 2,・•・,s)・(9.13)

工?mk^k = 0

Решая эти уравнения относительно с^ получим

虫(-1严+飞欣展

3^——г(々=1, 2,2s), (9.14)

где

А =А =(9.15)

А =

А =

а Дтл ——минор определителя (9.15), соответствующий т-й строке и 忘-му столбцу. Соотношения (9.14) являются уравнениями для определения функций с& и называются уравнениями возмущенного движения. Уравнения (9.14) представляют собой уравнения (9.3), преобразованные к новым

переменным с拓 и их решение, вообще говоря, не менее трудно, чем решение уравнений (9.3). Но если возмущающие силы Q】достаточно малы, то функции % мож< но считать медленно меняющимися функциями времени и применять к отысканию решений уравнений (9.14) различные приближенные методы.

Пример 63. Тело массы т, прикрепленное к неподвижной преграде пружиной жесткости с (рис. 9.1), может перемещаться по горизонтальным прямолинейным направляющим. Возмущающая сила, действующая на тело, имеет вид:尸=е/(х, х), где е — малый параметр.

Поместив начало координат в точке, соответствующей положению тела при ненапряженной пружине, примем за обобщенную координату g = % — отклонение тела от начала координат. Кинетическая энергия и основная обобщенная сила выражаются формулами

Г == ~- mx2t Q = — с%,

и, следовательно, Лц = т. Уравнение движения тела имеет вид 欣=—сх + ef (х, £).

При е = 0 решением уравнения будет

% = С[ COS kt + 02 Sin 牝

где h = Vc[m. Так как

дхдх . J д2х l • 一 /% 厶 ，

丽= c。s也右;= sm^,百寸-hsmht,而L也cos机

то

I —mk sin kt mkcos kt

J cos kt sin kt

и уравнения (9.14) примут вид

厶=-為"'("'盼 sin M

%=- f (/ x) cos 就， где

% = с】 cos kt + с? sin kt,

x= —Cj/г sin kt + c2k cos kt.

Вводя замену

cx^a cos 仇 с2 — a sin 0, получим

d cos ^ — q® sin 今=—^- f[a cos (々f —今)，一q左 sin (kt —今)]sin ktt

& sin 仆 + q8 cos 仆=-^- f [a cos (kt — 0), — ak sin (kt — 6)] cos 亚. Отсюда

d == — *^> f [q cos (kt — ”，—ah sin 侬—今)]sin (kt — 8),

a® * —77 f [a cos (kt — ®), —ak sin {kt —今)]cos {kt — 0).

Если 8 достаточно мало, то a и ^ будут медленно меняющимися функциями времени, т. е. такими, изменением которых за вре^я 7 = ~- можно пренебречь. Поэтому вместо полученных уравнений можно взять «укороченные», т. е. уравнения с осредненными правыми частями *): 2冗/々

乙=—2~~ j / [a cos (kt — 9), —ak sin (加一0)J sin (衽—窃)d/, о

2n/k

a8 = 2nm J "° cos (kt — й), —ak sin (瓦—й)] cos (kt 一 仆)dt. о

После замены g =配一© имеем

2л

аЬ ^аЬ ^00& = - JI f S cos &，一 磕 sin §) sin 占 d& 0

аЬ ^

аЬ ^

0

0

f (a cos 自，一q左 sin E) cos 自晦

Предположим теперь, что возмущающая сила складывается из малого сопротивления движению, пропорционального скорости, и малой подталкивающей силы, действующей только по направлению движения, т. е.

尸Н-b先+环sign х, где Ьн"' —— постоянные величины. Введем малый безразмерный параметр

тогдатогдаЬe =-匚;mk

тогда

тогда

尸=е ( — mkx + Я sign x) = ef (x, x),

гдегде口 Hrmkн = _—口 Hrmkн = _—f—— mkx + H sign x.f—— mkx + H sign x.

где

где

口 Hrmkн = _—

口 Hrmkн = _—

f—— mkx + H sign x.

f—— mkx + H sign x.

Укороченные уравнения теперь будут иметь вид

02лaO = -^ J [a左 sin 自 +02лaO = -^ J [a左 sin 自 +ЯtnkЯtnk& = 一 盘 J [。论 sin E + 鳥 sign (-a左 sin &)] sin ” d&

02лaO = -^ J [a左 sin 自 +

02лaO = -^ J [a左 sin 自 +

Яtnk

Яtnk

sign ( —а^ sin g)j cos & dg.

о

6 = 0.6 = 0.Отсюда после интегрирования получим ./ ak , 2Я \2/Г аЬ

6 = 0.

6 = 0.

Следовательно,

где ao и 仇)一начальные значения а н 祖 Таким образом, имеем * =[需-(薔_ё 2m]cos(就-e。).

Это знаинт, что при ff 8 при любых начальных условиях движение будет происходить по закону

*=^^" cos 出-备)，

т. ё. тело будет совершать незатухающие колебания с амплитудой, не зависящей от начальных условий. Такое движение называете^ автоколебательным ).

Пример 64. Рассмотрим влияние сопротивления атмосферы на движение свободной тяжелой точки в однородном гравитационном поле Земли, пренебрегая вращением Земли ). Движение точки происходит в вертикальной плоскости. Направим ось у вертикально вверх, ось х — горизонтально.

Если 91 = % и 92 = У — координаты точки, то выражение для кинетической энергии имеет вид

7 =扌m(产+疗) и, следовательно,

力 11ss 他，力 12 = 0，422 ss 加.

Основные обобщенные силы равны

Qi=0, Q2=—^g・

Будем считать, что сопротивление атмосферы мало и является функцией скорости точки. Сила сопротивления направлена по касательной к траектории в сторону, противоположную скорости, и выражается формулой

f=-8 ^" f (и)，

где 8 — малый параметр. Отсюда следует, что возмущающие силы будут

Q；= _g ^ f (и),Q；= _£ ^ /(°),

где и = М* + 死 Уравнения движения точки имеют вид тх^ —г -^ f (и),

ту r —mg — е-у / (о).

&х . дх .-т— = £,— == I,дС[ О%备="誤=a&х . дх .-т— = £,— == I,дС[ О%备="誤=a也=1де,/%dt 0cl62ydt дс《也=1де,/%dt 0cl62ydt дс《ААтОтОооО о 1 оО о 1 оО m ОО m ОО О ОО О ОДалее вычисляем Дн — —т, А21 = °，Далее вычисляем Дн — —т, А21 = °，Ai2 = —mf,△22 = О,Ai2 = —mf,△22 = О,А[з = 0, А[ [ = О, А?з = т, А? I =倂，А[з = 0, А[ [ = О, А?з = т, А? I =倂，

&х . дх .

-т— = £,— == I,

дС[ О%

备="誤=a

&х . дх .

-т— = £,— == I,

дС[ О%

备="誤=a

也=1де,

/%

dt 0cl

62y

dt дс《

也=1де,

/%

dt 0cl

62y

dt дс《

А

А

т

О

т

О

о

о

О о 1 о

О о 1 о

О m О

О m О

О О О

О О О

Далее вычисляем Дн — —т, А21 = °，

Далее вычисляем Дн — —т, А21 = °，

Ai2 = —mf,

△22 = О,

Ai2 = —mf,

△22 = О,

А[з = 0, А[ [ = О, А?з = т, А? I =倂，

А[з = 0, А[ [ = О, А?з = т, А? I =倂，

При 8 = 0 эта система уравнений нм%т решение

尤=с" + С2，

у = Сз, + с《—•

Составим теперь уравнения возмущенного движения (9.14). Так как

д2хд2х

j ■таг

''■・'・= ＜人 ・ "if

dt dci dt дс2

то определитель (9.15) равен

и в соответствии с уравнениями (9.14) находим

е (сз — gf)е (сз — gf)т от оf(u),3味%% (0北f(u),3味%% (0北

е (сз — gf)

е (сз — gf)

т о

т о

f(u),3味%% (0北

f(u),3味%% (0北

гдегде

где

где

и =匕?1 +(Сз 一 gf)2：

Интегрируя последние выражения, найдем

% = ClQ

о

+靑Jm""當"％о

Сз = Сзо +斎 J "三 g" 2)d&о

* С40 + 壽 J £弋史Z f(0)T 限О

где Сю, с?。，Сзо, С40 — постоянные.

Для достаточно малых в можно при интегрировании пренебречь изменениями Ci и с3 и считать их равными соответственно Сю и Г20. Тогда получим

с】с】/9■九 о/9■九 о

с】

с】

/9■九 о

/9■九 о

Рис. 9.2.Рис. 9.2.

Рис. 9.2.

Рис. 9.2.

0^0^^~^ ^ ~0~/(и) T"*

о

где u = Mcio + (C3o-gT)2.

Подставляя эти значения 门,с2, ^з и с4 в формулы для % н д, получим закон возмущенного движения точки.

Пример 65. Возмущенное движение спутника вблизи круговой орбиты.

Пусть инерциальная система координат Ox\y\Z\ имеет начало в центре планеты. Введем подвижную систему координат Cxyz (орбитальная система), начало которой движется по круговой орбите радиуса го； ось 工 направлена по радиусу Го, ось у — по касательной к круговой орбите в сторону движения (рис. 9.2).

Положение спутника М в возмущенном движении по отношению к круговой орбите будем определять радиусом-вектором

Q-xi + yj + z瓦

где %, g н z — координаты спутника в орбитальной системе координат.

Кинетическая энергия спутника (принимаемого нами за материальную точку) определяется формулой

7 = } гиу2 =扌m(戈:+/+之力，

где

修=Го cos ф + ^ cos ф ~ г/ sin ф,

Ух = r0 sin ф + х sin ф + г/ cos <р,

2] = 2, （Р = of.

Так как круговая скорость спутника 〃р = Н/"о ）, где ц,2 — постоянная лритяжения центрального поля планеты, то ①（угловая скорость орбитальной системы координат） равна

Окр

①

и, следовательно,

g2 = s%・

Вычислив

Xi = —г0® sin ф + （х — go） cos ф —（工① + у） sin <р,

况=r0（D0 cos 屮 + （北一ys） sin ф + （工① + у） cos Ф，

之 1 = 2,

найдем кинетическую энергию

Т^^т^ + у1^^ — 2*（о + 2 切① + ^2©2 + х2©2 +

+ 2%8岁 + 2統* + Г 孤 2）.

Отсюда следует, что

Л i J = mt x22 =m,а33 = т，/12 = 413 =/23 = 0.

Центральная сила, обеспечивающая движение по круговой орбите, равна

где г ^ Го + Р» а г = М（г。+ %）? + у? + ^2. Считая xt у и zt координаты спутника в орбитальной системе, малыми по сравнению с г。, можем приближенно принять

尸X 5 15- % = — ГПГоСО? + 2俏（ft?%,

Fy =—巴:у = — m^tfi

Ег ==—z = — т©2г.

Пусть дополнительная возмущающая сила будет

①'=吗' +①力+①#.

Составим теперь уравнения движения:

х - 2с0* - 3ю2% = Фх,

У + 2(й£= Фд,

身+ 02г=①之，

% 吗

где ①％ = ~^~，①？ = ~""7^Г，①z = 7T*・ При Ф* =(1>* = Ф2 = 0 эта система уравнений имеет решение:

2

х ^ -^ Ci + с2 cos 3 + Сз sin о/,

у= — 3c# — 2。2 sin ①力 + 2м cos со/ + 乙，

之=。5 cos of + c6 sin ①厶

u g cos sf,u g cos sf,生^也拓女一相生^也拓女一相Далее находим

u g cos sf,

u g cos sf,

生^也拓女一相

生^也拓女一相

а2х

dt дс3

▲ Г- = -3,— ^ — 2g)cos ①% 』一f— u - 2® sin ①厶

dt dc}dt dc2dt дс3

對。0却=02y

~^； W^ ~^ 也

— = — co sin ш/, dt dc^— = — co sin ш/, dt dc^d2Z d2z —_/2 — 0

— = — co sin ш/, dt dc^

— = — co sin ш/, dt dc^

dt dci — dt дс2 一 dt dc3 一 dt дс4 一，

d2zOZ *6d2zOZ *6и co cos sf・и co cos sf・

d2z

OZ *6

d2z

OZ *6

и co cos sf・

и co cos sf・

Следовательно,

ац =0, а〕2 = — 〃zs sin со/, сцд = /по cos со/, а^ = а)5 = а^ = 0,а21 = — 3〃2, а22 = — 2тш cos со/, а2з = — 2/п«> sin ®/, а24 = а25 = а2в = 0,аз1 = 0, аз2==°, азз = 0, 。34 = 0, а35 = — mo sin о/, азб = тсо cos о/,2.

Ml u-^", Bi2 * 8S G)f, Р13 ^ sill (д/, Рм = 015 = 616 = 0，

021 = — 3/, 022 = — 2 sin СО/, р23 = 2 COS ①厶 §24 = I，025 = 026 = °,Рз1 = Рэг = Рзз =卩34 = °, Рз5 п cos ш/, 0зб = sin ①厶

Вычисляя определитель (9.15), получим Д = — т3со2.

Тогда согласно выражениям (9.14) будем иметь

& = Ф^о,

厶=—①* sin of — 2% cos 叫

& =①* cos ①/ — 2Ф^ sin of,

C)~ — 2①* + 3(d/①g,

& = — Фа sin ①厶

C6 =①z COS (Of.

Отсюда

t

Cl =»rlo + CO J ①g df,

0

。2 = Qo — J (6* sin ©/ + 2(% cos ©/) dt,

0

i

Сз =。30 + J (①* cos(oZ 一 2①g sin co/) d/,

0 t

。4 = C40 + J (3<of①g — 2①*) df,

0

C5 =。50 - J Ф2 sin gf df,

0

06 =060 + j ①z cos sf df, 0

где Go, C20, Qo, C40, C50, a。一 постоянные величины. С помощью полученных формул при конкретно заданной силе можно определить возмущенное движение точки.

Метод вариации постоянных при использовании уравнений Гамильтона Канонические уравнения возмущенного движения

Предположим, что движение рассматриваемой динамической системы описывается каноническими уравнениями

(9.16)(9.16)0(/7 + 〃*)・ д (Н + Н*)

(9.16)

(9.16)

-^—，Рт= — —^—

(m= 1, 2,・・・，s),

где " — функция Гамильтона, составленная для системы при ее движении под действием основных сил, а функция "* учитывает дополнительные (возмущающие) силы. Считая, что решения

qm = Qm g，a1，a2，•…，aS，p1> Р2» • • • > Ps)> 1

} (9.17)

Pm = Pm (%。1，。2，• • •，。5，Pl, Р2» • • • > Ps) J

(/n= 1, 2,・・・，s),

где ai, «2, ..., as, Pi, P2, •・•,仇—независимые постоянные, системы уравнений Гамильтона

Qm = "^^-» С^н —^^" (т = 1, 2, ..., s) (9.18)

известны, будем искать решение системы уравнений (9.16) в форме (9.17), считая, что величины ab 侬，... ...,a$, pi, p2,・••, Ps — функции времени. Предполагая, что уравнения (9.17) можно разрешить относительно величин ai, аг, ..., as, Pi, рг, ..., ps, получим

^m = ^m(厶 9b %，• • • > %，Pl, P2> • • • > Ps)，1 } (9.19)

Pm = 0m (', %，,柒，Р1»「2，• • •，Ps) J

(/П = 1, 2,…，S)・

Найдем производные от ат и 环 по времени:

力 дат 丄 / дат .丄 дат . \

М =爵 +雪(課九 + 靄瓦)(/П = 1, 2, •. •, S).

Учитывая уравнения (9.16), перепишем эти выражения в виде

p辘一寸十白［/^^- ,^7 dqk J

(/n= 1, 2,・・・,s)・

Вспоминая определения и свойства скобок Пуассона (5.27), можем записать

^ =等+(am"+ 牙)=需+3m //) + (* "*),

m=鲁+(脇，"+"*)=*+(%,")+(脇，"*)

(m = 1, 2, ..s)・

Поскольку функции (9.19) при постоянных ат и % является интегралами системы уравнений (9.18), то в силу условий (5.29) имеем

踪у3m а) = 0(他=1,2,...,S),

* + (%") = 0(m=1,2,…，s),

и, следовательно,

&m = 3m "*)= £(&m = 3m "*)= £($ dafn дН* дат d//* \

&m = 3m "*)= £(

&m = 3m "*)= £(

s(9.20)

(m= 1, 2, • • - s)・

Уравнения (9.20) являются уравнениями возмущенного движения.

В § 6.1 было показано, что если можно найти рс・ шение

中=W (f, %, %, • • •，％，％, <^2, • • • ? а$)

(где ai, аз, ..., as — произвольные постоянные) уравнения Гамильтона — Якоби

叫,qi,q2,qs黑,翳舞卄察=。'(9.21) то решением системы (9.18) будет

Pm П萨，脇=(〃2=1, 2,...，S), (9.22) в которых fl, 02, ..., Bs — произвольные постоянные. Решая эти уравнения относительно qm и рт, мы и получим выражения (9.17).

Поскольку решение системы (9.16) ищется в форме (9.17), то, считая ai, аг, ..., &, pi,饱,・••，自 функциями времени, выражения (9.17) можно рассматривать как преобразование переменных qm и pw системы (9.16) к новым переменным рт и а” Покажем, что такое преобразование будет каноническим. Для этого нужно показать, что выражение (5.49), т. е.

工 PtWm — (" + 〃*)=』。加8摊 一 "'+ 黑,(9.23)

m=lm=lm=l

m=l

m=l

при выполнении условий (9.21) удовлетворяется тожде ственно. Выбрав функцию V в виде

S

У =屮(%, %, 02，• • •，％,。1, а?, •.., а$)—力。加卩加，

найдем

罂= (誥%+ 建叫十符-£ "心— jam%.

m=lm^\m=l

Подставляя эту производную в выражение (9.23) й учитывая условия (9.22), получим

_(" + ?)=_ 牙 + 絹

т. е. преобразование будет каноническим, если новая функция Гамильтона равна

环= "* + "+ 喘.

ar

Но в силу уравнения (9.21)

и, следовательно^ Н'=Н*.

Таким образом, новые рять каноническим уравнениям вида ・дН* а дТ

5 一丽?，九=丽

(/n = 1, 2, ..., s).(9.24)

Пример 66. Движение материальной точки относительно вращающейся Земли *).

будем считать Землю однородным шаром радиуса R. Пусть точка А на земной поверхности определяется полюсным углом 今о (рис. 9；3) и долготой 九о. Исследование движения точки проведем относительно системы координат Axyz, у которой ось % направлена по касательной к мери

переменные будут удовлетво-переменные будут удовлетво-Рис. 9.3.Рис. 9.3.диану на север, ось у ——по касательной к параллели на запад и ось г — по направлению радиуса Земли от центра Земли.

переменные будут удовлетво-

переменные будут удовлетво-

Рис. 9.3.

Рис. 9.3.

Скорость точки по отношению к инерциальной системе координат ОЕпС, имеющей начало в центре Земли, равна

V = »л + о X Р + vr,

где vA = ® X Ra —скорость точки 4, о — угловая скорость Земли, р ——радиус-вектор материальной точки, определяющий ее положение по отношению к точке A, v「——скорость материальной точки по отношению к системе координат Axyz, Если t, / и k — единичные векторы системы координат Axyz, то

о = is sin 今° + 々① cos 今°,

V/ = - j®R 5也备，^A R瓦

Q = xi + yj + zk, vr = xi + yj + zk

и, следовательно,

U* =戈一sg COS 今0,

Uy =步 + s (% cos ^q — z sin 今°) — ®R sin 3°,

Uz ==之 + ®9 sin ®0.

Принимая, что 俏=1, получим следующее выражение для кинетической энергии:

T-^x + ^^^-Yy4^ +

+ 2s [(z sin 备一尤 cos ^o) у+ y (x cos ^0 — z sin 备一R sin 今J] +

+ co2 伍2 +(% cos 仆о — z sin 仇一R sin 备尸]}.

Отсюда имеем

дТ ・&

Pi == * - sy cos 仇，

歹 + s (% cos ®o - z sin 今o) — sR sin 仇,

Рз ==之 + fi)9 cos 今°.

az

Составим выражение для функции Гамильтона

н= 2 Р^т-(Г-П),ш—\

где 01 = х, ,2 = У, 9з = z, П — потенциальная энергия силы тяготения Земли. В нашем случае это будет

Я = "^■(产 + 尸 + %)— }①2 [g2 + & COS 仇 一 2 sin，一 R sin 仇)2] + П,

или

Я = у {(pl + ®у COS 备)2 +

+ [р2 + sR sin 仇一СО (% COS 仇一N sin 仇)]2 + (p3 — sg sin 仇)2}—

—万炉【У? + (% cos 仇一z sin 仆о — R sin ^o)2] + П.

Если точка падает в пустоте без начальной скорости, то время ее падения измеряется несколькими секундами. Так, например, если высота Л = 1000 м, то 厶="J/^^- 14 сек. Поэтому примем за малый параметр безразмерную величину р,=①小，где со ——угловая скорость вращения Земли, равная со *《彳-苗…工八 ^ 丁沥存 *). Следовательно,

И= 13713 *14 Лобо*

Функцию Я теперь можно записать в виде

"=B{ ("I +*"。5"0)2 +

+ [卩2 + f R sin ^-—-(х cos 备一之 sin 仇)]2 +(Рз - } У sin 仇)？—

—~ % [g2 +(X Cos 仇一z sin % — R sin，用 + П.

Введем преобразование

х = х, у = у, 2 = z,

Р1 = 〃，"2 = Р； - SR COS 电，p3 = Рз*

Это преобразование является каноническим ). Произведя замену

переменных и пренебрегая членами, содержащими множители ц2, получим

〃=4* (d+储+р?)+

+ ❿[(p[ cos 办-pj sin 9。)у- P2(x cos % — z sin 闯]+ П.

Потенциальная энергия выражается формулой

П

ПосколькуПосколькуF 吸2上"+(2+©2F 吸2上"+(2+©2

Поскольку

Поскольку

F 吸2上"+(2+©2

F 吸2上"+(2+©2

(l+〃) 2 = 1 一彳〃+ -|" 〃2 — -~- u3 4-...,

то получим *)R 2z ,炉+外+N2「十 2Следовательно,то получим *)R 2z ,炉+外+N2「十 2Следовательно,*2 +疗一 2淳*2 +疗一 2淳2R22R2+ • • •+ • • •H= — gR + gz + g±2±^；2z'H= — gR + gz + g±2±^；2z'

то получим *)

R 2z ,炉+外+N2「十 2

Следовательно,

то получим *)

R 2z ,炉+外+N2「十 2

Следовательно,

*2 +疗一 2淳

*2 +疗一 2淳

2R2

2R2

+ • • •

+ • • •

H= — gR + gz + g±2±^；2z'

H= — gR + gz + g±2±^；2z'

то условие (5.49)

будет выполнено тождественно. Используя рассматриваемое преобразование, получим”

2 (脸+裁)%一"= £ 以％一"+署 + £ 寤%•

m = i加=1m=4

Это выражение выполняется тождественно, если

〃' = 〃 + *•・

Выбирая в рассматриваемой задаче за функцию

У = — sRy sin 仇，

дУ

имеем： =0 и /Г = 〃.

*) Мы ограничиваемся приведенными членами, считая, что точка движется вблизи поверхности Земли и, следовательно» г достаточно мало.

Итак, выражение для функции Гампльтона Н принимает вид

"=貝"+ / + 〃) +

Л：2 + у2_2/^=/ + 日,Л：2 + у2_2/^=/ + 日,+ gz+g+ gz+g+ ® [(讨 cos 询-Рз sin 备)у —p2 (“ cos % - 2 sin 询)]+

Л：2 + у2_2/

^=/ + 日,

Л：2 + у2_2/

^=/ + 日,

+ gz+g

+ gz+g

〃о = 4"("Г+ "： + % +2gz)‘

//* «(o [(pf cos ^0—pj sin 也”一 p； (x cos 仇)一г sin 拆)]+

0 %2 + 产一222

Решение уравнений Гамильтопа

"_ 汕。 . 0仇

имеет вид

р\ ~ а|>「2 = %,卩3 = % —gf,

力=at/ + 0i，У = a2f + 02，z = аз£ + Вз — ^-|

где а】,а2, аз, 0】,р2, ₽3 — постоянные интегрирования.

Подставим теперь это решение в выражение функции Я*：

Я*« ш < а! (а2/ + Рг) cos 仇—(а3 — gf) (c^f + ₽2) sin 备一

一a2 [(a1‘ + Pi) cos 备一(азf + в3 - ^-) sin 仇]} +

+ "^* [(aJ + Pt)2 + (a2f + Р2)2 — 2 卜3f + Вз — *^~)]・

Составим уравнения (9.24)：

Pi = 002 cos 仇)+ -~- (а】/ + Pi),

₽2 =邮3 Sin йо-oPt cos % + g ®g件 sin 备 + 導(a2f + p2),

8з = — ©P2 sin 备一^^- (a3f + % —»^―j,

&i 口 sa2cos 窃0 -普(«1/ + Pi),

&2 = — coaj cos。0 + G)a3 sin ^Q — ~ (a2f + 氏)-sgf sin 6°,

口3 = — й)а2 sin С。+ -^-卜3f + 03 —^ gf?) •

Решение этих уравнений проведем приближенным путем; заменяя в правых частях уравнений величины всех а н 0 их начальными значениями ао и Ро и интегрируя, получим

₽1 = Рю + ①/020 COS % + £ 卜10

§2 = 020 + 3津30 Sin 小一©Рю/ cos 今0 + g C0gf3 sin 今0 +

+■^(a2oт+₽2o4),

аз = азо —①a20f sinй0 + -^- I a30 万 + Взо —g~ g#J,

и, следовательно,

W / f3/2

% = Pi, + аю/ + co (₽20^ + a20f2)cos 仇—页(aio百 + M。万

у = 020 + a20f — G) (Mof + aio/2) cos 仇 + s (p3o^ + a30/2) sin / —

W //3拦 \1

—页(«20 -g- + ₽20 万)—у ① g/з sin %,

Z = в3о + азо/ -①(%of +a20产)sin 小 +

+ 簣卜3。4 + Рзоу-碧)-4 g'4

После дифференцирования по времени получим

^ = «ю + <о (Р20 + 2a2°f) cos 今0 一贵(sog + Pio",

卄=。2。一 ①(Bio + 2(ХюО cos M +(0 (Рзо + 2азо%) sin 仇—

一贯（a2。A/f）一贯（a2。A/f）-Sgf2 Sjn 今0,-Sgf2 Sjn 今0,

一贯（a2。A/f）

一贯（a2。A/f）

-Sgf2 Sjn 今0,

-Sgf2 Sjn 今0,

■^ (азо g + ₽зо^ -■^ (азо g + ₽зо^ -

■^ (азо g + ₽зо^ -

■^ (азо g + ₽зо^ -

^ = a30 — co (₽20 + 2a2°f) Sin 仇 +

Пусть начальными условиями движения материальной точки будут: при / = 0 % = %o, g = у。，z^z^ x^iOt y — y^z^ г0. Тогда величины

а10, а2о, азо, Pio, Ргэ，Взо определятся из уравнений

XQ ^ Рю» Уо = 020，% = Взо，

х0 = а10 + 呻20 cos ®о,

»о = а20 — с)р10 cos 9。+ соВзо sin й0,

i0 = аз。—①020 sin й0.

Если Хо = 0, % = 0, % =瓦 土 0 = 0, У ов 0,之о = О, то рю = 0, 020 = 0, Взо =九 аю = 0, а20 =—①份 sin ®°, а30 = 0 и, с точностью до g2, имеем

х « О, У =—皆 sg/з sin 窃*亭.

Формула для у дает восточное отклонение падающей без начальной скорости точки.

§ 9.4. Уравнения в вариациях

Рассматриваемый в этом параграфе метод позволяет изучать малые отклонения материальной системы от ее известного движения, которое называется невозмущенным движением. Эти отклонения (возмущения) могут быть вызваны, например, изменением начальных условий. Метод основан на составлении дифференциальных уравнений для возмущений, которые считаются малыми *).

Пусть рассматриваемая материальная система подчинена голономным стационарным связям, а 夕厶 g2,・・・ ...,qs — обобщенные координаты. Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид

F= Q1n(W= 1, 2, ..s). (9.25)

Пусть для невозмущенного движения решение известно:

0m = fm (0 (团=1, 2, . . ., S)；(9.26)

тогда для возмущенного движения

qm = %(/) + Хщ (%) (m = 1, 2, ...)s),(9.27)

где %m(0 一малые отклонения (возмущения) от невозмущенного движения. Так как кинетическая энергия

*) Этот метод развит Пуанкаре.

системы равна

7' =皆 t ЪА^^ （9.28） т= 1 々=1

ТО

s

/е = £ 4谓柒（/п = 1, 2・・・，s）・

左=* I

Подставляя в это выражение решение （9.27） и ограничиваясь в разложении по степеням хт и fm （加=匸 2,... ...,s） членами, содержащими xm и £m в степени не выше первой, получим

SS

=e （О 九 +』（4侬）0篇 +

也=1也=1

S S

+SS（°^电）'办 （俏=1，2,s）・（9.29）

Индекс 0 означает, что в 4m月 и производных от Amk вместо fm+%m （加=1， 2,・・・,s） подставлено fm. Далее имеем

方（器） = £（心S*年力+ k~l尼==1

+2（^）/+2 年我+£纟（需卜加+

+瑞阔（瑞汕（/n = 1, 2,…,s）.（9.30）

В соответствии с выражением （9.28）

詣=^纟*4^力报（加= 1,2s）.

/=1 尼=1

После замены @/ и ^ их выражениями (9.27) и разложения по степеням 打 и 尤々(/,力=1, 2一 ・・,s) будем иметь

忌＜t2(諾)m+心(需厶+ k= 1 /r 1fe=l /*= 1

+т+т^kfjfv (俏 н 1, 2,・• •，s)^kfjfv (俏 н 1, 2,・• •，s)(9.31)(9.31)

+т

+т

^kfjfv (俏 н 1, 2,・• •，s)

^kfjfv (俏 н 1, 2,・• •，s)

(9.31)

(9.31)

(с точностью до членов с х； и 尤电 в первой степени). Для обобщенных сил разложение по степеням хт и хт (т=1, 2,・・•, s) с точностью до членов с хт и хm в первой степени имеет вид

(9.32)(9.32)(〃2 = 1, 2,・・•，S).(〃2 = 1, 2,・・•，S).

(9.32)

(9.32)

(〃2 = 1, 2,・・•，S).

(〃2 = 1, 2,・・•，S).

Так как qm=fm(t) являются решениями уравнений (9.25), то справедливо равенство

论=1k=i

一万££(-^^)(/福= Qm。(m=L2,…，s)・(9.33) “i /= i

Подставляя теперь выражения (9.30), (9.31) и (9.32) в уравнения (9.25) и учитывая тождество (9.33), получим

8SSS

У Ощ点к + 士 bm/h + 工 С/и,々办 + 工 4巾尼& = 0,(9.34)

后=1々=1々=1比=1

где

…（ап）, ь"当必一（舞%

(9.35)(9.35)一l宁宁（，2少一（史吗

(9.35)

(9.35)

(т — 1, 2, •・•，s; k ^ 1, 2, •••, s).

Система из s линейных уравнений (9.34) называется уравнениями возмущенного движения или уравнениями в вариациях. Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты уравнений (9.34) постоянны, то это движение называется стационарам. Для стационарного движения справедливо

amk = akmt bmh =—amk = akmt bmh =—

amk = akmt bmh =—

amk = akmt bmh =—

备恤0=2 [(寄)。-(赛)J狂0

(ди == 19 2, • • •, s; k === 1, 2, • • •, s)・

Из последнего равенства следует:

(/tz === 1 > 2$ • • • > s;也3=2 1 九 2$ • • • I s)・

Слагаемые 工 dmkxk в уравнении (9.34) являются ги- Л= 1

роскопическими членами, так как коэффициенты dmk обладают следующими свойствами:

d/шд 0, dmh —点加(/П1) 2,・• •，S； k = 1 > 2, • • •, s).

Полученные нами уравнения возмущенного движения обычно используются для суждений об устойчивости не- вбзмущенного движения *).

Пример 67. В примере 30, § 3.8, было получено выражение для кинетической энергии свободного гироскопа в кардановом подвесе: 7 n 4■/ н2^2 + 4■(/ вхювх + / B "脸+ Q *)+ y (及磅 + 〃時 + 厶磅)， Учитывая, что

①вх = — ® sin 仇 бву =也 Gbz = *Ф cos 也

①x = @ — i sin 也 ®y = 6, G)z = ® cos 也

а также что I^x — ^y и /“ = G получим

Г = ~ (4加2 + 42^2 + Лззф2 + 24з0@), где

41 =，HZi + ‘BZ + 々 + ('в% — ‘BZ — /у) sin?仆 + /% siM 仇

%22 = /в* + /д = /2，4$ = Ar，4з = — /# Sin 仇

Уравнения движения в случае отсутствия внешних сил имеют вид ynZl +，BZ + 4 + (‘В% _，BZ _ /у) siM 今]$ _ /% (@ _ 而 sin 今)6 cos 今 _

—2 (，bz + /у — ZBx)而® sin 今 cos ^ = О,

/2^ + % (市一《sin 今)“ cos 令 + (，bz + /沙一/вх)*Ф2 sin 仆 cos 9 = 0,方[%(©-0sin6)] = O・

За частное решение этих уравнений (невозмущенное движение) может быть взято 屮=屮。，今=今。，<p = о/, где со = const. Таким образом,厶=屮о, % =今о, /з = со/. Согласно формулам (9.35) имеем

@11 = /ц2[ + ‘BZ + /у + ('в% — ‘BZ — /у) sin?今0 + /% SiM 6° = /], 仪22 =，2，@33 = /%, @13 = 一 /# Sil】 'О'о» 的2 =-①/* COS 仇，q21 =①% COS 仇.

*) Л. Г. Лойцянский, А. И. Л у р ь е, Теоретическая механика, ч. III, ГТТИ, 1934, стр. 550.

Остальные коэффициенты равны нулю. Так кяк 91 =必 + 修，q2 n =备 + х2, дз = 8/ + х3, то уравнения возмущенного движения (9.34) представятся в виде

Цх\ — /8尤2 COS 曾0 = О,

，2尤2 +厶①北1 COS也=О,

х3 — Xi sin 仇=с,

где с — постоянная. Решение этих уравнений имеет вид:

勺=Ci + 02 cos kt 4- Сз sin 配，

(c2 sin 厶f — % cos kt),(c2 sin 厶f — % cos kt),

(c2 sin 厶f — % cos kt),

(c2 sin 厶f — % cos kt),

%з = cf + (& cos kt + c3 sin kt) sin Oq 4- c', где с】, с?，Сз，。4，с'— постоянные интегрирования, а

О,О,л = 一7—• ， COS v0.К/1/2

О,

О,

При начальных условиях: при / = 0 х{ = 0, х2 = 0, хз = 0, Xi = 尤2 =尤20, 土з = 0, т. е. при ударе по внутренней рамке,- долучим,

=‘2 戈201 — /*tt) COS 齿=‘2 戈201 — /*tt) COS 齿(cos 々/ — 1),(cos 々/ — 1),

=‘2 戈20

1 — /*tt) COS 齿

=‘2 戈20

1 — /*tt) COS 齿

(cos 々/ — 1),

(cos 々/ — 1),

sin kt.sin kt.尤—戈20 М/“2

sin kt.

sin kt.

2 一 /*С0 COS 仇

上3 =，；*^'一 tg 今0COS kt.

Из этих выражений видно, что возмущенное движение по каждой координате представляет собой гармоническое колебание (нутационные колебания) *). Если со достаточно велико, то амплитуды этих колебаний малы.

Н.В. БУТЕ НИН

ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ

*) Доказательство этого утверждения можно найти, например» в книгах: Ф. Р. Г антмахер, Лекции по аналитической механике, Физматгиз, 1960; А. И. Лурье, Аналитическая механика, Физматгиз» 1961.

Н・ В. БУТЕНИН