Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
В. И. Щелкачев, А. К. Колосовская. Об опыте работы городских межвузовских научно-методических семинаров по теоретической механике 3
Д. Л. Яблонский. О работе студенческих научно-технических кружков при кафедрах теоретической механики 7
П. А. Кузьмин. О преподавании курса «Теория устойчивости движения» в технических 宙 узах1°
Ю. В. Беляев. Развитие теории удара и некоторые вопросы методики изложения этой темы в курсах теоретической механики13
И. Оселедько. Об изложении в курсе теоретической механики раздела о колебательных движениях21
С. М. Тарг. Несколько замечаний о методах изучения относительного движения в динамике 23
Л. Л. Акопян. Центробежный момент-вектор и его некоторые применения .... 26
М. Брагинский. К вопросу об автоколебаниях виброударной системы с двумя степенями свободы35
В. Астафьев. О переставимости конечных поворотов твердого тела с неподвижной точкой 39
В. Добронравов. Векторный вывод формулы Эйлера для сферического движения твердого тела без применения теоремы Даламбера (по заданным скоростям двух точек тела)41
С А. Вольфсон. К динамике плоского движения твердого тела44
О. Титкова. К вопросу о качении шара 47
Редакционная коллегия:
К М. Воронков (главный редактор), В. М. Осецкий (зам. главного редактора),Т. Б. Айзенберг, И. Н. Веселовский, В. В. Добронравов, И. Ф. Ливурдов,Г. Н. Свешников, Г. С. Погосов
Сборник научно-методических статей по теоретической механике
Выпуск 2
Редактор О. Г. Подобедова Технический редактор Е И. Герасимова Корректор Л. 3. Черникова
Т-04224 Сдановнабор 21/Х 1970 г. Подп.кпечати 15/1II 1971 г.
Формат 7ОХ1О8%6Объем 3,5 печ. л. 4,9 ус л.п.л. Уч.-изд. л. 3,99
Пзл. № УМО/5300Тираж3000 экз.Цена 11 коп.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, 、Хохловский пер., 7. Зак. 1993.
A H. ЩЕЛКА “ЕВ, А. К. КОЛОСОВСКАЯ
ОБ ОПЫТЕ РАБОТЫ ГОРОДСКИХ МЕЖВУЗОВСКИХНАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СЕМИНАРОВ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙМЕХАНИКЕ
Опыт работы постоянно действующих городских межвузовских научно-методических семинаров по теоретической механике более чем в пятидесяти вузовских центрах страны, заслуживает внимания и обобщения.
Организацию городских межвузовских семинаров осуществляла секция повышения квалификации преподавателей Научно-методического Совета по теоретической механике при Учебно-методическом управлении по высшему образованию Министерства высшего и среднего специального образования СССР. Эти семинары призваны способствовать объединению преподавателей теоретической механики в каждом городе и обмену опытом их работы; кроме того, при установлении соответствующей связи между семинарами, все преподаватели теоретической механики нашей стра-ны будут постепенно знакомиться с различными научными и методическими школами и достижениями каждого вуза.
Первый такой семинар был создан при Московском высшем техническом училище им. Баумана в 1965 г. Принятый на организационном собрании план работы семинара на текущий год секция Научно-методического совета направила в порядке обмена опытом семинарам, создававшимся в других городах.
При организации городских семинаров возник существенный вопрос об их тематике, поскольку она должна представлять интерес для всех преподавателей теоретической механики. К темам, представляющим такой общий интерес, относятся, несомненно, все вопросы методики преподавания (построение курса или его разделов для разных специальностей, изложение отдельных тем и т. п.), вопросы методологии, ознакомление с опытом работы кафедр разных вузов, обсуждение программ и учебников, работа факультетов повышения квалификации преподавателей и др.
Все преподаватели кафедр теоретической механики должны быть одновременно и педагогами и научным-и работниками. Научно-исследо* вательскую работу эти преподаватели ведут, как известно, в самых различных областях. В городах, где много вузов, расхождение в тематике научных исследований будет особенно заметным и здесь для работающих в той или иной области обычно организуются специальные семинары, посвященные узким темам (теория колебаний, гироскопия, гидродинамика и т. п.). Естественно, что в таких городах на заседаниях межвузовских семинаров следует ставить лишь обзорные доклады,.освещающие состояние и развитие отдельных разделов механики или ее приложений к технике или естествознанию. Такие научные доклады должны представлять интерес для всех преподавателей теоретической механики, так как каждый из них стремится иметь хотя бы общие представления о новейших постижениях механики во всех ее разделах. При чередовании соответствующих методических и обзорных научных докладов общегородской семинар будет представлять интерес для всех преподавателей теоретической механики и они все должны принимать в нем
участие независимо от их работы в том или ином специальном семинаре. Эти семинары (общегородской межвузовский и специальные) никак не могут заменить друг друга, так как у них разные цели и разная тематика.
Однако в городах с небольшим числом вузов 'или в тех, где в научной тематике большинства преподавателей теоретической механики явно доминируют одно-два направления, вполне допустимо совместить цели городского научно-методического и специального научного семинаров, создав один городской семинар. При этом на его заседаниях будут обсуждаться не только методические и обзорные научные доклады, но и узко специальные доклады, связанные с научными интересами большинства участников семинара.
Высказанные соображения основываются на опыте уже работающих семинаров. Содержания докладов на разных семинарах частично совпадают, но большинство их отражает особенности научных и методических школ данного города L
Помимо методических, на заседаниях городских семинаров (в частности в Москве) были заслушаны обзорные научные доклады, посвященные вопросам теории устойчивости, теории колебаний, гироскопии, управления движением и др. На заседаниях семинаров обсуждаются также вопросы истории развития механики, заслушиваются в связи с юбилейными датами доклады о жизни и деятельности классиков механики (Герца, Даламбера, Ляпунова, Фурье и др.).
Следует отметить, что семинары успешно работают не только в крупных вузовских центрах,(но и в городах, где имеются по 1——2 вуза с кафедрами теоретической механики (Грозный, Запорожье, Семипалатинск и др.).
Естественно, что при наличии в городе только одной или двух научных школ Tio механике, тематика научных докладов в городском семинаре отражает, в основном, интересы этих школ, причем доклады носят не только обзорный, но и узко специальный характер. Таковы, например, доклады по подземной гидродинамике на заседаниях 'семинара в Грозном, по теории колебаний в Куйбышеве, по гидродинамике неньютоновской жидкости ——в Минске, по нелинейным колебаниям ——в Пензе, по неголоном1ной механике и аналитической механике ——в Ташкенте и т. п.
Отметим группы вопросов, которые наиболее часто обсуждались на заседаниях общегородских науч(но-методических семинаров.
Современное состояние и развитие различных разделов механики; связь механики с современными 'проблемами техники и естествознания (почти во всех семинарах).
Вопросы философии, методологии и истории механики (Алма-Ата, Запорожье, Волгоград, Воронеж, Казань, Киев, Кострома, Москва, Одес* са, Пенза, Тюмень).
Технические средства и методы программированного обучения (Алма-Ата, Воронеж, Запорожье, Калининград, Красноярск, Новосибирск. Одесса, Уфа, Хабаровск, Челябинск).
Согласование программ по смежным с теоретической механикой учебным дисциплинам и установление научных и методических связей с родственными или профилирующими кафедрами (Ашхабад, Запорожье, Иваново, Калининград, Каунас, Минск, Чебоксары). «
Рецензирование и обсуждение новых учебников и учебных пособий (Воронеж, Ереван, Одесса, Пенза, Ташкент, Тюмень, Челябинск).
1 Списки городских межвузовских семинаров по теоретической механике по состоянию на конец 1969 г. и перечень докладов, заслушанных на семинарах Киева, Ленинграда, Минска, Москвы, Харькова даны в выпуске Реферативной информации МВ и ССО СССР, разосланном руководителям всех городских семинаров.
Построение и содержание курса 《Механика» или раздела «Теоретическая механика» в этом курсе применительно к различным специальностям (Ашхабад, Иваново, Калининград, Каунас, Киев, Кострома, Москва, Уфа, Чебоксары). Чтение этого курса порождает особые трудности и его введение в учебные планы вызывает обоснованные протесты преподавателей теоретической механики.
Программы и содержание дополнительных глав курса теоретической механики и факультативных курсов (Москва, Одесса, Таллин, Ташкент).
Исследовательская работа студентов и работа студенческих научных кружков по механике (Волгоград, Горький, Иваново, Калининград, Красноярск, Одесса, Рига, Свердловск, Чебоксары).
Отчеты участников семинаров о прохождении ими факультетов повышения квалификации преподавателей теоретической механики (Воронеж, Казань, Красноярск, Пенза, Рига, Ташкент, Уфа, Челябинск). В«э всех отчетах отмечается ценность и большое значение факультетов повышения квалификации, но одновременно высказывается ряд критических замечаний и предложений по вопросам организации этих факультетов и их деятельности. Очень важно, чтобы этот вопрос был обсужден на всех семинарах и чтобы руководители семинаров сообщили об итогах обсуждений в секцию повышения квалификации преподавателей Научно-методического -совета.
Доклады (в целях обмена опытом) или информации о деятельности кафедр теоретической механики (Грозный, Волгоград, Ереван, Пенза, Рига, Свердловск, Тюмень, Уфа).
Информационные сообщения о научных совещаниях, конференциях или съездах. (В казанском семинаре был заслушан доклад о IV Всесоюзном совещании по автоматическому управлению, прошедшем в Тбилиси, в таллинском семинаре ——информация об итогах международного съезда механиков в США в 1969 г. и об итогах конференции по механическим колебаниям в Киеве и др.).
Информационные сообщения об итогах специальных【методическнх совещаний (в киевском и одесском семинарах обсуждались итоги Всеукраинского методического совещания в Житомире, в пензенском 'Семинаре была заслушана информация о работе московского методического семинара по вопросу о силах инерции, в хабаровском семинаре обсуждались итоги совещания кафедр теоретической механики железнодорожных вузов и т. д.).
Более чем в 40 семинарах была сделана информация о работе III Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, проходившего в январе-феврале 1968 г. в Москве.
На съезде работала специальная подсекция по проблемам преподавания теоретической механики, учитывая это, на съезд были приглашены руководители городских научно-методических семинаров, которые приняли также участие в деятельности многих научных секций съезда.
Был проведен пленум Научно-методического совета по теоретической механике, посвященный, в частности, вопросам организации и деятельности городских научно-методических семинаров.
Наконец, присутствие на съезде дало возможность руководителям семинаров дать подробную информацию о работе съезда всем участникам семинаров, т. е. большинству преподавателей теоретической механики нашей страны.
В (Некоторых городах с помощью актива межвузовских семинаров были проведены региональные совещания преподавателей теоретической механики вузов многих ближайших городов.
Например, в 1966 и в 1968 гг. в Грозном были проведены два региональных научно-методических совещания преподавателей кафедр теоретической механики вузов Северного Кавказа. Совещания прошли на-
столько удачно, что было решено сделать их в дальнейшем регулярными.
Региональные совещания преподавателей теоретической механики были также проведены в Казани (для вузов Татарской, Марийской, Чувашской АССР, для многих городов Поволжья, а также Ижевска и Пензы), в Новосибирске (для вузов многих городов Сибири), в Минске (для вузов Белоруссии).
Такие региональные совещания целесообразно систематически проводить во всех районах страны.
Секция повышения квалификации преподавателей Научно-методического совета, получая планы работы каждого городского семинара, продолжает взаимное ознакомление всех семинаров с этими планами, что помогает обмену опытом работы и содействует ознакомлению преподавателей данного города с научными и методическими школами по механике в других городах СССР.
Взаимное изучение планов дает возможность обмена докладчиками. На заседания семинаров часто приглашались иногородние докладчики. Ознакомление с планами работы семинаров в ряде случаев помогло молодым преподавателям более обоснованно выбрать места для стажировки и прохождения аспирантуры. .
Во многих городах семинары установили контакты с академическими институтами механики и с крупными отраслевыми институтами. Е большинстве университетских городов в научно-методические семинары вошли преподаватели механики не только втузов, но и университетов (например, в Алма-Ате, Воронеже, Днепропетровске, Душанбе, Казани, Киеве, Ленинграде, Минске, Ташкенте, Тбилиси, Томске).
На заседаниях городских семинаров нередко выступают члены Научно-методического совета с сообщениями о деятельности совета, а также с методическими и обзорными докладами. В частности это делается при проведении пленумов совета в разных городах Союза и выездных заседаний Президиума совета; так было в Киеве, Минске, Куйбышеве, Баку и других городах.
Городские семинары важны не только тем, что они объединяют преподавателей и ведут большую работу. Активно действующие семинары являются одновременно организациями, на которые могут опираться в своей деятельности и Научно-методический совет, и управления Министерства высшего и среднего специального образования СССР. Семинарам можно поручать предварительное обсуждение подготовляемых новых программ курса теоретической механики, планов работы факультетов повышения квалификации преподавателей, обсуждение новых учебников и учебных пособий и т. п. Научно-методический совет уже обращался с подобными вопросами к городским семинарам и будет это делать и в дальнейшем. Однако в деятельности городских семинаров еще есть ряд недостатков и, конечно, не все семинары работают в равной степени активно.
Во многих городах преподаватели далеко не всех вузов посещают семинары и -не все заведующие кафедрами проявляют к семинарам должный интерес. Не все руководители семинаров присылают планы их работы в Научно-методический совет, а это очень важно для обмена опытом и активизации работы семинаров. Было бы также хорошо, помимо обмена планами работы, организовать 'и обмен тезисами докладов, что при помощи бюро семинаров несомненно удастся сделать.
К сожалению, бюро 1сем'инаров 'присылают в Научно-методический совет мало докладов для публикации их в данном сборнике. Научно-методический совет обратился к руководителям 'семинаров с просьбой активнее участвовать в Научно-методичеоко'м сборнике и шире использовать его для публикации докладов и статей. Желательно более активное участие городских семинаров и в журнале «Вестник высшей школы»,
который охотно публикует статьи и информационные материалы о работе н а учно - м етод ич еских семинаров.
Пока еше не практиковалось проведение совместных заседаний городских семинаров 'по теоретичеакой {механике и дисциплинам физико-математического или общетехнического цикла, которые тоже организованы в ряде городов и сеть которых следует расширять. На таких совместных заседаниях можно плодотворно обсуждать многие научные и методические доклады.
Городские научно-методические семинары по теоретической механике способствуют обмену опытом научно-методической, воспитательной и организационной работы сотрудников кафедр теоретической механики, расширению кругозора и повышению квалификации молодых преподавателей. Повышается интерес к методологии и 'истории механики, к вопросам философии. Улучшать и развивать деятельность этих семинаров, пропагандировать опыт их работы ——долг всех 'препода'вателей теоретической механики.
Л. 4 ЯБЛОНСКИЙ
О РАБОТЕ СТУДЕНЧЕСКИХ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ КРУЖКОВПРИ КАФЕДРАХ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Одной из важных форм воспитательной работы (преподавателя в высшем учебном заведении является его участие в работе студенчески1'о научно-технического кружка при кафедре.
Эта работа преподавателя кафедры «Теоретическая механика》 позволяет ему уже на 'первых двух курсах привлечь 〔своих лучших учеников к углубленному изучению курса и отобрать наиболее способных студентов, которые на старших курсах могли бы принять участие в исследовательских работах кафедры или самостоятельно выполнять некоторые исследования.
В работе студенческого кружка при кафедре должны участвовать все преподаватели кафедры и каждый из них должен ежегодно осуществлять руководство работой в кружке 2——3 студентов как младших, так и старших курсов или прочесть для членов кружка какой-либо факультативный курс.
На руководство работой каждого студента в кружке следует выделять 10——15 часов в год за счет второй ；поло1вины рабочего дня -преподавателя, а лекции по факультативным курсам должны включаться в учебную нагрузку преподавателя.
Для повышения интереса студентов к курсу теоретической механики на ряде кафедр и, в частности, на кафедре теоретической механики МВТУ им. Баумана ежегодно проводится олимпиада под девизом «Знаете ли вы механику?》
Олимпиада проводится в апреле для студентов I курса по статике и для II курса по динамике. Студенты, занявшие первые и вторые места, премируются ценными подарками.
Студенческие кружки следует организовывать с учетом подготовленности студентов к пониманию обсуждаемых докладов. С этой целью обычно создают отдельно кружки для первокурсников и для второкурсников.
Кроме того, в ряде институтов функционируют студенческие кружки по различным разделам механики: «Теория малых колебаний механических систем»,《Гироскопы》，«Основы космонавтики» и др.
В этих кружках обычно занимаются студенты старших курсов и для членов кружков читаются факультативные курсы.
Опыт показывает, что лучше всего посещаются факультативные курсы объемом 8——12 часов, так как они обычно читаются в первой половине семестра, когда студенты еще не перегружены домашними заданиями и курсовыми работами и вполне могут 4——6 недель посещать лекции по интересующему их факультативному курсу.
Само собой разумеется, что посещаемость лекций по факультативному курсу в значительной степени зависит от качества лекций по этому курсу и от умения лектора показать студентам применение излагаемых в курсе теоретических положений к решению конкретных технических задач, с которыми они встретятся в своей производственной деятельности.
Студенты первого и второго курсов, участвуя в работе кружка, обычно подготавливают реферативные доклады по вопросам, дополняющим обязательную программу курса или имеющим самостоятельное значение.
К подготовке отдельных докладов целесообразно привлекать нескольких студентов, которые изучают материал всей темы доклада, а выступают с сообщениями по отдельным ее частям.
Так, .например, один из студентов изучает теорию вопроса, а другой демонстрирует ее применение на конкретных примерах.
Совместная разработка какого-либо круга вопросов коллективом из двух——четырех студентов приучает их к коллективному творчеству. Это особенно важно потому, что процесс усвоения знаний по обязательной институтской программе хотя и 'Протекает в коллективе, но остается сугубо индивидуальным. Роль коллективности в науке и техническом прогрессе стремительно возрастает. Поэтому использовать работу студентов в кружке при кафедре для того, чтобы приучить их к коллективному творчеству, очень важно.
Реферативные доклады студентов могут заслушиваться в академических группах, в лекционных потоках -и на заседании кружка. Постановка этих докладов в группах оказалась очень целесообразной. Преподавателю легко договориться о времени проведения такого доклада с группой и обеспечить присутствие на докладе всех студентов группы.
Ряд студентов группы, после заслушивания и обсуждения доклада, выражает желание включиться в работу кружка и становится его активом. Следует отметить, что вовлечение студентов в кружок ——один из важных этапов организации работы кружка при кафедре. Студенты охотно принимают участие в работе кружка после индивидуальной разъяснительной беседы преподавателя группы, лектора или заведующего кафедрой. Многие студенты, начав работу в кружке на первом курсе, в период изучения ими теоретической механики, и показав свою склонность к исследовательской работе, обучаясь на старших курсах, продолжают работать в кружке при кафедре теоретической механики. Они подготавливают последовательно ряд докладов по вопросам своей 'специальности, базирующихся на курсе теоретической механики. Некоторые из этих докладов обсуждаются в кружках при специальных кафедрах, ставятся на обсуждение институтских студенческих научно-технических конференций и могут войти элементом в дипломный проект студента.
На некоторых кафедрах студенты старших курсов привлекаются к выполнению хоздоговорных работ кафедр. Ряд работ студентов старших курсов, представляющих теоретический и практический интерес, помещается в сборниках трудов института. Студенты, показавшие способности к проведению исследовательской работы и опубликовавшие ряд своих работ в журналах и в сборниках трудов института, могут быть рекомендованы в аспирантуру как при кафедре теоретической механики, так и при специальных кафедрах.
Вовлечение наиболее способных студентов в работу студенческих кружков при кафедрах — одна из важных задач кафедр по улучшению подготовки специалистов.
Ниже приводится тематика студенческих докладов, заслушанных в кружке при кафедре «Теоретическая механика» в Ленинградском ордена Ленина институте инженеров железнодорожного транспорта им. акад. В. Н. Образцова за последние годы.
Статика
История и доказательства параллелограмма сил.
Графические способы определения усилий в стержнях плоских ферм.
Особые случаи определения усилий в стержнях плоских ферм.
Анализ геометрической неизменяемости и статической определимости различных конструкций.
История веревочного многоугольника.
Свойства веревочного многоугольника.
Графический анализ произвольной плоской системы сил.
Статика гибких нерастяжимых нитей.
Природа и законы сухого трения.
Леммы о нулевых стержнях пространственных ферм.
Различные формы уравнений равновесия произвольной пространственной снсте~ мы сил.。
История и доказательства принципа возможных перемещений.
Кинематика
Кинематика точки в криволинейных координатах.
Сложение гармонических колебательных движений.
Теорема Шаля и ее применения.
Построение центроид некоторых сложных плоских механизмов.
Применения центроид.
Теорема Савари, формула Савари и их применения.
Обращение движения.
Некоторые свойства мгновенных центров 'скоростей и ускорений.
Круг Лагира и круг Бресса.
Аналитический способ определения углового ускорения звеньев плоских механизмов.
Различные способы определения углового ускорения тел при плоском движении.
Кинематический анализ сооружений.
Применение теоремы о трех мгновенных центрах.
Различные доказательства теоремы Кориолиса.
Кинематический -смысл ускорения Кориолиса.
Механизм мальтийского креста.
Исследование движения кривошипно-кулисных механизмов с качающейся кулисой.
Определение скоростей и ускорений точек некоторых плоских фигур разложением их движения на два вращения.
Графическое определение скоростей и ускорений точек некоторых сложных механизмов с ползунами на подвижных направляющих.
Исследование движения кривошипно-шатунного механизма с качающимся цилиндром.
Исследование движения некоторых механизмов (муфты Ольдгема, конхоидо- графа и др.).
Аксоиды.
Определение ускорений точек некоторых тел при сферическом движении по теореме Ривальса и по теореме Кориолиса.
Кинематика шарнира Гука.
Кинематика гидропередач тепловозов.
Динамика
О моментах инерции однородных твердых тел Рычаг Жуковского.
Теорема Эйлера и ее применения.
Циклоидальный маятник.
Сферический маятник.
Точная теория математического маятника.
Маятник Фуко.
Маятники в технических приложениях.
Некоторые вопросы динамики относительного движения.
Уравнения Лагранжа I рода и их применение.
Вывод уравнений Лагранжа II рода методом вариационного исчисления.
Уравнения Аппеля.
Дифференциальные вариационные принципы механики.
Интегральные вариационные принципы механики.
Некоторые вопросы динамики плоского движения.
Технические применения гироскопов.
Движение двух тел под действием сил взаимного притяжения и отталкивания.
Исследование баллистической задачи.
Законы Кеплера.
Теорема площадей и ее применение.
Задачи Циолковского и их дальнейшее развитие.
Движение искусственных спутников Земли и искусственных планет:
определение первой и второй космических скоростей,
определение траекторий искусственных спутников Земли и искусственных планет.
■ Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты.
Энергетический метод исследования колебаний.
Теория конструирования приборов для исследования вибраций.
Применение аналоговых машин к решению некоторых задач динамики.
Вынужденные колебания системы при пуске в ход и при прохождении через резонанс.
Параметрические колебания.
Автоколебания.
Продольные колебания стержней.
Динамика гибких нерастяжимых нитей.
Определение усилий, возникающих в упряжных приборах ж.-д. состава.
Квазигармоническпе колебания.
Некоторые способы решения задач о действии периодических мгновенных импульсов.
Отыскание периодического решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний осциллятора.
Различные способы решения задач о колебаниях осциллятора с сухим трением.
Некоторые приемы сложения воздействий в линейных механических системах.
Матричный метод приближенного определения основной частоты свободных колебаний некоторых механических систем.
Различные методы приближенного определения основной частоты свободных колебаний механических систем.
Определение частот свободных колебаний двухшарнирной балки с различным числом сосредоточенных грузов.
Определение частот свободных колебаний шарнирно-стержневых систем.
Динамическое воздействие подвижной нагрузки на балочные системы.
Динамическое воздействие на балочные системы движущихся импульсов мгновенных сил.
Некоторые вопросы колебаний балочных мостов.
Некоторые вопросы колебаний кузова ж.-д. вагона.
Устойчивость движения консервативной системы с конечным числом степеней свободы.
Составление дифференциальных уравнений колебаний симметричных механических систем.
Некоторые примеры применения графов для анализа механических колебаний.
Теория гасителей колебаний.
Теория антивибраторов ДВС тепловозов.
Крутильные колебания валов.
Кинематика и динамика кривошипно-шарнирных механизмов двигателей внутреннего сгорания тепловозов.
Некоторые вопросы кинематики и динамики универсальных шарниров Кардана-Гука тепловозов с гидромеханической передачей.
Методы определения удельного ходового сопротивления вагона на сортировочной горке.
П. Л. КУЗЬМИН
О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА «ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИДВИЖЕНИЯ» В ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗАХ
Настоящая статья имеет целью привлечь внимание к важному разделу общей механики — теории устойчивости движения, преподавание которого в технических вузах нашей страны по мнению автора становится необходимым.
Известно, что многие теоретические решения уравнений движения или равновесия классической механики в действительности не всегда реализуются, так как при их шрактическом осуществлении неизбежны некоторые возмущения в начальных данных и силовом поле. Возникающие при это)м возмущенные движения, ,даже при незначительных изменениях начальных данных, обусловленных 1воз1мущения)ми, могут с течением времени значительно отклониться от невозмущенных (или ведущих) теоретических движений.
Другие движения обладают противоположным качеством: малые их возмущения приводят в дальнейшем к несущественным отклонениям возмущенных движений от ведущих, так что классические теоретические решения для таких движений при подходящем опыте практически реализуются.
Теоретические движения, обладающ'ие /вторым и 'первым свойствами, называются соответственно устойчивыми и неустойчивыми Мы не приводим здесь строгих ляпуновских определбний этих основные понятий, открывающих путь к созданию математической теории устойчивости движения.
Очевидно, что развитие методов выделения устойчивых и неустойчивых движений из совокупности теоретических движений, описываемых дифференциальными уравнениями, имеет исключительно важное практическое значение. И дело здесь не только в том, что классифицируя движения по признаку устойчивых и неустойчивых, мы видим причины несовпадения результатов опыта и клаюсической теории, которая при проектировании каких-либо движений или равновесия систем требует их «расчета на устойчивость».
Конечной целью прикладной теории устойчивости движения является создание и развитие таких практических расчетных методов.
Теория устойчивости движения .начала формироваться трудами классиков естествознания Лагранжа, Томсона и Тэта, Пуанкаре, Рауса, Жуковского и других в применении к отдельным проблемам небесной механики и динамики твердого тела. В наиболее общем виде эта теория была создана в конце XIX века ведиким русским ученым А. М. Ляпуновым [1]. Дальнейшее серьезное развитие она получила уже в СССР и в первую очередь в трудах Н. Г. Четаева и его школы [2]. Значительно позднее теория Ляпунова привлекает внимание и получает признание за рубежом.
Выше говорилось об уравнениях и задачах устойчивости в механике. Конечно, механика является наукой, в которой впервые была создана и успешно ра’звквается теория устойчивости дв1ижения ，и на основе которой следует приступать к изучению этой теории. Однако действ'и- тельное значение .проблемы устойчивости м^ного шире, и сейчас столь же важное место она занимает не только в механике, но и в любой другой науке, в которой о<сновные процессы описываются дифференциалыными уравненияга. Таковы электродина1м'И1ка, радиотехника, теория автоматического управления и регулирования и .многие другие. Пока дифференциальные уравнения, понимаемые в современном широком * смысле являются основным 'математическим аппаратом естествоз!нания, актуаль- но'сть задач 'проверки на устойчивость бесспорна, а |Соответствующая ей теория должна стать предметом высшего технического образования.
В настоящее время так называемый《прямей метод Ляпунова» ('или «метод функций «Ляпунова»), являвшейся у Ляпунова и Четаева основным в задачах устойчивости, получил весьма широкое распространение как один из самых мощных качественных методов исследования дифференциальных уравнений самого общего вида, включая, например, уравнения функционального анализа в линейном банаховом 'Пространстве. Кроме «старых задач》устойчивости движения механических систем, эти методы позволяют рассматривать новые задачи теории автоматического
регулирования и программного управления, а также многочисленные механические задачи для разрывных систем, систем с запаздыванием и г. II.
Достаточно краткий курс теории устойчивости движения по Ляпунову, о постановке которого здесь идет речь, необходим как тот минимум, который, будучи важным в технических задачах сам по себе, еще более нужен как вводная глава в перечисленные выше (далеко не в полном объеме) новые дисциплины. Последние настолько быстро проникают в современную технику, что отсутствие краткого курса устойчивости движения во втузах может через несколько лет вызвать серьез(ное отставание (если считать, что его еще нет) в таких прикладных вопросах, где оно совершенно недопустимо. Такие тонкие приборы, как гироскопические -системы всякого рода, космические корабли, ракеты и вся сопутствующая им сложная техника ——непосредственные потребители теории и методов, о которых здесь идет речь.
Вряд ли надо здесь более подробно аргументировать целесообразность введения в учебные планы втузов указанного курса. Если считать теоретическую механику наукой, формирующей научно-техническое мировоззрение инженера, а в этом видимо нет разных мнений, то теория устойчивости движения ——наиболее яркая глава, демонстрирующая методологическую высоту этой науки.
Другая сторона вопроса.
Изучение классического (Наследия Ляпунова во втузах даже в предполагаемых скромных размерах, имеет большое значение и с точки зрения широкого проникновения современных методов м а тем атического естествознания в среду специал-истов, работающих в области техники, которые в творческом 'плане становятся в'се ближе к кадрам ученых.
Известно, что Пуанкаре, внесший большой вклад в постановку и решение математических 〔проблем физических наук, допускал снижение строгости методов в механике по сравнению с методами «чистого анализа». Ляпунов же придерживался почти противоположной точки зрения. Эти старые вопросы ib разнообразных новых аспектах и оттенках продолжают волновать ученых и〔инженеров, ©видетельством чему может служить третий Всесоюзный -съезд п>о теоретической и 'прикладной механике.
Наконец отметим, что преподавание во втузах элементов теории устойчивости движения, основанной на идеях Ляпунова, имеет большое воспитательное значение: бескомпромиссная научная строгость методов теории Ляпунова в настоящее время, когда математическими методами овладевают люди, создающие технику и управляющие ей, должна быть в центре внимания при обучении молодежи этим методам. Неоправданные дополнительные гипотезы по ходу решения .и ради «решения» проблемы, приближенная постановка задачи без оговорок и без попыток оценить ее конечные результаты, отсутствие доказательств сходимости последовательных приближений и других бесконечных процессов, коль скоро ими 'пользуются,——вот против чего возражал Ляпунов ,и что долж+ но подвергаться критике в преподавании теории устойчивости движения.
В заключение остановимся кратко на возможности 'изучать теорию устойчивости движения на базе курса математики технических вузов.
Кроме обычных, более или менее стандартных курсов высшей математики, для этого потребуются лишь небольшие дополнения из л'иней- ной алгебры (сведения по теории матриц и квадратичных форм), дифференциальных уравнений, а также аналитической динамики (уравнения Лагранжа и Гамильтона). Впрочем, в ряде втузов эти «дополнения» входят в обязательные программы по математике. Программа же по устойчивости движения предполагает всего 30—40 часов.
В таком объеме этот курс, например, читается уже в течение ряда лет для одной из специально'стей в Казанском авиационном институте. Опыт показывает, что особых математических затруднений слушатели при этом не испытывают. По курсу подготовлено учебное пособие.
Литература
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. ГИТТЛ. 1950.
Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. Изд. АН СССР, 1962.
Ю. В. БЕЛЯЕВ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ УДАРА И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫМЕТОДИКИ ИЗЛОЖЕНИЯ ЭТОЙ ТЕМЫ В КУРСАХТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Постановка и методы решения задач, ‘связанных с изучением соударения тел, а также анализ полученных результатов, достаточно полно изложены в ряде монографий, например [1]—•(5].
Ниже будут кратко изложены основные этапы развития теории удара и некоторые соображения от|носительно коэффициента восстановления.
Начало развития теории удара связано с общеизвестными работами Гюйгенса и Ньютона.
Следующим этапом в развитии теории удара является работа Герца, продолженная затем Динником. В задаче Герца соударяющиеся тела (шары) предполагаются абсолютно твердыми, за исключением небольших участков вблизи контактной площадки. Масса этих участков не учитывается, а зависимо!сть между действующей силой и «местной деформацией 心 принимается на основе решения статической контактной задачи: р = kb3/2 (月 ——постоянная, зависящая от свойств материалов и геометрии поверхностей тел). После интегрирования дифференциальных уравнений движения тел определяются их перемещения во время удара, действующая сила и время ее действия.
Эта задача ничем не отличается от обычных задач о движении твердого тела под действием заданной силы.
Эксперименты Динника со стальными шарами подтвердили теорию удара Герца.
Дальнейшие работы по изучению соударения массивных тел состояли в решении задачи с учетом пластических деформаций и массы деформирующегося участка (работы Н. А. Кильчевского).
Вместе с этим еще в прошлом веке ставились и решались задачи о соударении упругих тел, например, задача о продольном ударе стержня. Широко известно решение этой задачи, полученное Сен-Венаном.
Если 〃 ——перемещение поперечного сечения однородного стержня, х ——его координата, / — время, то уравнение движения 'Стержня будет:
202" _02""一及 2-'
где a~^f ———скорость распространения упругих волн в стержне, зависящая от модуля упругости материала Е и плотности р.
Общее решение волнового уравнения u = ^)(at——x) ^^(at-Vx) представляет собой сумму прямой и обратной волн. Функции 屮 и 屮 определяются начальными и граничными условиями задачи.
Например, при рассмотрении продольного удара двух однородных упругих стержней с плоскими торцами граничные условия следующие: деформации -^- на свободных концах каждого из стержней равны ,ну- дх
лю; на концах стержней, находящихся в контакте, во время удара равны скорости, а также действующие силы.
Начальные условия определяются скоростями стержней и их деформациями непосредственно перед ударом.
Наиболее просто физическую картину процесса удара можно представить в случае, когда материалы стержней и их поперечные сечения одинаковы. Пусть, кроме того, длина первого 'стержня 厶 меньше длины второго 厶 который неподвижен перед ударом.
С момента соприкосновения стержней вдоль каждого из них от контактной площадки распространяется со скоростью а возмущение е виде волны напряжения и скорости. После отражения от свободных концов это возмущение распространяется в обратном направлении. Если отсчи- “72^1
тывать время от момента соприкосновения стрежней, то inp-n силовое взаимодействие между стержнями прекращается. При этом первый стержень оказывается неподвижным, а второй будет совершать колебания. При % = —~ второй стержень отделяется от первого и движет
ся так, что скорость центра масс его и 3 =Ui —— ,где и】——скорость первого стержня 'перед ударом.
Теория Сен-Венана не подтверждалась экспериментами со стальными стержнями, что вначале поставило под сомнение одномерную теорию.
В работе Сирса (1912 г.) дано решение задачи о соударении упругих стержней с закругленными концами. В этой задаче движение материала стержней описывается (как и в задаче Сен-Венана) волновым уравнением, а условие на границе стержней (зависимость между силой и относительным смещением концов стержней) соответствует теории Герца. В данном случае касание стержней в начальный момент удара происходит в точке.
Результаты решения задачи Сирса были подтверждены экспериментами. Вместе с тем выяснилась причина несовпадения с экспериментальными данными результатов решения задачи Сен-Венана: в экспериментах стержни касал'ись не плоскими торцевыми поверхностями, как это предполагается при постановке задачи, а небольшими участками этих поверхностей, расположенными у края.
Общеизвестная работа Файнинга и Бассета (1940 г.) окончательно подтвердила одномерную теорию удара упругого стержня. Кривая напряжения в точке стержня в зависимости от времени совпадает с соответствующей кривой, полученной расчетом, выполненным на основе решения задачи Сирса.
Благодаря развитию измерительной техники подобные эксперименты неоднократно повторялись.
Таким образом, одномерная волновая задача достаточно точно описывает процесс удара стержня.
Процесс удара деформируемых тел связан с распространением волн в сплошной среде.
Еще в прошлом веке Похгаммером и Кри было получено более точное решение задачи о распространении волн в упругом стержне, поперечное сечение которого есть круг конечного радиуса. Первое приближение решения этой осесимметричной задачи является более точным,, чем решение Сен-Венана.
Полученная скорость распространения волн зависит от отношения диаметра стержня к длине волны, что показывает наличие дисперсии
волн. Если диаметр стержня равен нулю, то скорость распространения продольных волн равна р/^三 .
Большой класс задач, имеющих прикладное значение, составляют задачи о соударении тел с балками и плитами.
Обычно эти задачи ставятся так: зависимость между силой взаимодействия тел Р и местной деформацией их 6 принимается по теории Герца: P = kd 3/г. Это соотношение является граничным условием, причем сила Р«) не известна до решения задачи. После составления и решения уравнений движения для каждого из тел получается интегральное уравнение относительно P(Q. Как пример, можно указать на уравнение Тимошенко, описывающее процесс соударения шара с балкой.
Если обоз>начить 6 — местное сжатие, S — перемещение шара, имеющего массу т, у——прогиб балки в направлении удара, то для решения задачи составляются следующие уравнения:
уравнение движения шара
ттa2sa2s一尸⑺,一尸⑺,
т
т
a2s
a2s
一尸⑺,
一尸⑺,
где P(t)——сила, действующая во время удара на площадке соприкоо новения шара с балкой;
и уравнение поперечных колебаний балки
О%* 0/2О%* 0/2［戸 °% = q (х J)0方4?尸［戸 °% = q (х J)0方4?尸
О%* 0/2
О%* 0/2
［戸 °% = q (х J)
0方4?尸
［戸 °% = q (х J)
0方4?尸
где % ——координата (ось х расположена вдоль балки);
——；
EJ — жесткость балки при изгибе;
р ——плотность материала;
F ——площадь поперечного сечения;
q(x,t) —вагрузка, распределенная по длине балки.
Граничные условия при решении уравнения колебаний балки определяются способом закрепления ее концов.
После решения записанных выше уравнений при использовании статической зависимости между действующей силой и местным сжатием 「= 々38/2 получается интегральное уравнение относительно P(t).
В последующих работах постановка этой задачи уточнялась тем, что при составлении уравнения движения балки принимались во внимание инерция вращения, искривление 'по1перечного сечения и поперечный сдвиг.
Из работ, связанных с изучением распространения возмущений в средах, обладающих различными свойствами, следует отметить работы X. А. Рахматулина. Им решен ряд задач о распространении волн в стержнях и некоторых других телах, обладающих упруго-пластическими свойствами. При этом им была открыта волна разгрузки и даны методы ее определения.
Экспериментальные работы показывают, что модуль упругости и коэффициент Пуассона не изменяются при увеличении скорости деформации, но у многих материалов наблюдается значительное увеличение предела текучести (в 2+3 раза).
В последние 20——30 лет развитие теории удара происходит в следу* ющих направлениях:
Постановка и решение более общих задач о соударении деформируемых тел различной формы.
Постановка и решение задач о соударении тел с различными физико-механическими свойствами.
Изучение распространения возмущений в различных средах.
Изучение физико-механических свойств тел при различных условиях приложения динамической нагрузки.
Эти работы являются основой решения практических вопросов, связанных с соударением тел.
В соответствии с основной задачей курса теоретической механики учебники по этому курсу содержат изложение общих законов -и теорем механики, а также ——примеры приложения общей теории к решению ряда задач. Из большого многообразия задач механики, выдвигаемых практикой, учебники могут включить лишь те, которые наиболее часто встречаются в приложениях и решение которых соответствует математической подготовке студентов I и II курсов. В число этих задач входит задача о соударении двух свободных абсолютно твердых тел. Задачи об ударе деформируемых тел рассматриваются обычно в теории упругости и пластичности, которая стала большим самостоятельным разделом классической механики.
В последнее время в некоторых журналах * появились критические выступления по поводу содержания раздела «Теория удара» учебников по теоретической механике. Например, в статье «Ошибка Ньютона и отбойный молоток» （«Знание——сила», 1968, № 4） приводится следующее высказывание Е. В. Александрова: «...тогда я усумнился в правильности кла'ссической теории удара. А когда разобрался, то сам поразился, насколько элементарную ошибку допустил в свое время создатель этой теории и почему эту ошибку до сих пор никто не исправил. Кстати, с нею вы можете встретиться и сегодня в большинстве учебников по теоретической механике...».
Подобной концепции придерживаются авторы монографии «Прикладная теория и расчеты ударных систем» （《Наука》，1969） Е. В. Александров и В. Б. Соколииский.
В связи с этим возникает необходимость обсуждения задачи о соударении двух твердых тел, рассматриваемой в учебниках по теоретической механике, и в частности ——понятия о коэффициенте восстановления л ри ударе.
Для того чтобы выяснить физический смысл коэффициента восстановления, рассмотрим вначале более общую задачу ——задачу об ударе материальной системы с идеальными удерживающими связями о неудерживающую >связь. Эта задача состоит в определении скоростей точек системы после удара, если заданы скорости их перед ударом.
При решении задачи время удара разбивается на два периода （方1一％） и «2―^i）, где /о и 友一моменты времени, соответствующие началу и окончанию удара, i\ ——момент времени, когда скорости точек системы удовлетворяют условию неудерживающей связи.
Уравнения, необходимые для решения задачи, записываются в [6] в таком виде:
для первого периода удара
у = 1, 2, 3,..., 3〃.у = 1, 2, 3,..., 3〃.⑴⑴
у = 1, 2, 3,..., 3〃.
у = 1, 2, 3,..., 3〃.
⑴
⑴
k •— 1, 2, 3, .. .,。•k •— 1, 2, 3, .. .,。•⑵⑵
k •— 1, 2, 3, .. .,。•
k •— 1, 2, 3, .. .,。•
⑵
⑵
Здесь обозначено: п ——число точек системы, а ——число удерживающих связей, уравнения которых 底(&,自2,…，力)=0； f(Ei, &,…，方)=0 ——уравнение неудерживающей связи, о которую происходит удар,自丫——декартовы ко ординаты точек системы, умноженные на l^mz, где trii ——масса z-той точки (v=l, 2, 3, ...,3〃； z= 1, 2, 3,...,〃),入九°]——импульсивные множители удерживающих связей за первый шериод удара, Zoi ——импульсивный множитель неудерживающей связи за тот же период. Так как перемещения точек системы за время удара равны нулю, то частные производные, входящие в уравнения, берутся в момент /0- Кроме того, в уравнениях (1), (2) и (3) индексами 0 и 1 обозначены проекции скоростей в моменты % и 介.
Для второго периода удара записываются аналогичные уравнения за исключением (3), так как при t = t2 неудерживающая связь «не дей' ствует».
% (診h%條)。 :(1，)
у = 1, 2, 3, ..., 3〃.
Таким образом, для определения 3 п неизвестных проекций скоростей и (〃+1) импульсивных множителей связей в первом периоде удара мы располагаем (3〃Т-а+1) уравнениями. Т. е. для первого периода задача решается. В уравнениях для второго периода удара число неизвестных на единицу больше числа уравнений. Для решения задачи вводится коэффициент восстановления е= — , как недостающее соотно- 人01
шение между неизвестными. При этом необходимо заметить, что используя уравнения (1), (2), (1‘) и (2‘), можно получить следующие соотношения:
Будем далее считать все связи, наложенные на систему, включая и неудерживающую связь, стационарными.
Для того чтобы связать понятие коэффициента восстановления с фи^ зическими условиями задачи, введем коэффициент § = -&•二 宜 (Т°, 7} и 丁2 — кинетическая энергия системы соответственно перед ударом, в конце первого периода и после удара). Этот коэффициент, равный отношению работы реакции неудерживающей связи за все время удара к работе этой реакции за первый период, определяет степень несовер-
шенства связи /, о которую происходит удар. Выражение коэффициента В через кинетическую энергию системы может быть использовано вместо коэффициента восстановления е при решении вышеизложенной задачи. Заметим, что р определяет диссипативные свойства только ,неудержива- ющей связи. Если задаться потерей энергии и на других связях системы, то задача станет неопределенной, так как при этом из числа уравнений исключаются условия (2) и (2，).
Если в выражении р приращения кинетической энергии заменить значениями, которые следуют из обобщенной теоремы Карио для случая стационарных связей, то легко получается простое соотношение 0 = =1一 е2, в которое не входят какие-либо величины, зависящие от свойств системы.
Таким образом, задание коэффициента восстановления в задаче об ударе системы с идеальными стационарными удерживающими связями о неудерживающую связь эквивалентно заданию определенной степени несовершенства связи, о которую происходит удар. Коэффициент восстановления определяется только относительным поглощением энергии р на неудерживающеп связи и не зависит от состава системы и уравнений связей.
Эти выводы полностью справедливы для случая соударения абсолютно твердого тела с гладкой неподв'ижной или движущейся поверхностью. Только в последнем случае выражение р должно быть записано через кинетическую энергию в относительном движении по отношению к осям, движущ.имся поступательно с постоянной скоростью, равной -нормальной составляющей скорости той точки движущейся поверхности, о которую происходит удар.
Соударение двух свободных абсолютно твердых тел может рассматриваться как удар каждого из них о движущуюся определенным образом поверхность, так что изложенные выше свойства коэффициента восстановления остаются в силе и в данном случае.
При решении практических задач, очевидно, удобнее пользоваться коэффициентом восстановления е, который легко может быть определен экспериментально.
Таким образом, коэффициент восстановления, введенный Ньютоном, определяется относительной потерей энергии в пренебрежимо малой области тел, расположенной вблизи контактной площадки, и не зависит от формы или размеров соударяющихся тел, предполагаемых абсолютно твердыми.
Этот коэффициент должен определяться свойствами материалов и геометрическими данными весьма малых деформирующихся участков, которые условно исключаются из состава тел и относятся к связи.
а1ож1ю было бы указать модель связи, для которой коэффициент восстановления не будет зависеть от скорости удара. Но для реальных тел потери энергии связаны с местными пластическими деформациями и действием диссипативных сил вязкого трения. Поэтому коэффициент восстановления зависит от скорости удара, но в небольшом диапазоне изменения скорости его можно принимать постоянным.
Реальные деформируемые тела можно приближенно считать абсолютно твердыми, если их форма, физико-механические свойства и условия касания таковы, что во время удара заметные деформации сосредоточены в небольших областях вблизи контактной площадки, так что деформациями остальной части тел и массой этих деформируемых участков можно пренебречь.
Если, кроме того, можно пренебречь перемещениями тел во время удара и действием неударных сил, то задача о соударении двух абсолютно твердых тел даст достаточно точные результаты при определении их скоростей после удара и ударного импульса.
Изложенные выше условия выполняются, например, во многих случаях соударения массивных тел, в частности ——шаров. Эти условия могут выполняться даже при соударении стержней, если между ними расположен амортизатор достаточно малой жесткости и веса. В этом случае коэффициент восстановления будет определяться только свойствами амортизатора.
При решении задачи о соударении деформируемых тел и вообще при изучении взаимодействия систем, в которых связи между материальными точками обусловлены силами (например, упругими и демпфирующими), мы не в праве задаваться какими-либо коэффициентами, связанными с потерей энергии или со скоростями точек.
В этом случае кинематическое и энергетическое состояние механической системы (в частном случае ——деформируемого тела) в любой момент времени полностью определяется решением системы дифференциальных уравнений движения и зависит от состава системы, действующих сил н начальных условий.
Если в задаче о соударении абсолютно твердых тел коэффициен! восстановления является экоп ер имента льной 1величиной, 'необходимой для решения задачи, то для дефор мируемых тел этот козффнииент не имеет смысла.
Для систем с силовыми связями экспериментальными физическими соотношениями являются уравнения, определяющие действующие силы. Примеры таких уравнений ——закон Гука для сплошных упругих тел и закон вязкого трения.
Иногда в случае прямого центрального удара деформируемых тел (тел, деформациями которых во время удара пренебречь нельзя) отношение модулей скоростей центров масс после и до удара называют также коэффициентом восстановления.
Как правильно отмечено Н. А. Кильчевским |[1], этот коэффициент отличается от ньютоновского. Следует добавить, что при решении вопросов, связанных с изучением соударения деформируемых тел, вводить коэффициент восстановления не имеет смысла, так как в каждом случае все величины, интересующие исследователя, определяются без применения этого коэффициента.
Пусть, например, необходимо определить скорость центра масс свободной стальной балки прямоугольного сечения после прямого цент* рального удара стального шара по одной из боковых сторон. Ответ на поставленный вопрос может быть дан после эксперимента или после решения задачи об изгибающем ударе шара о деформируемую балку (например, задачи С. П. Тимошенко). Затем можно вычислить значение коэффициента восстановления.
Если после этого потребуется определить скорость центра масс той же балки после прямого центрального удара того же шара, но по другой стороне боковой поверхности, то необходимо снова поставить эксперимент, или решить аналогичную задачу. При этом полученное ра* нее значение коэффициента восстановления не может быть использовано, так как в данном случае он будет иным.
Вообще для двух данных деформируемых тел величина коэффициента восстановления при ударе может быть определена только после решения задачи, и число значений этого коэффициента равно количеству возможных вариантов осуществления соударения тел. Поэтому распространять понятие коэффициента восстановления .на случай удара деформируемых тел даже в прикладных задачах нецелесообразно.
Таким образом, понятие о коэффициенте восстановления связано только с задачей о соударении тел, которые можно считать абсолютно твердыми.
Как и другие задачи механики, задача об ударе абсолютно твердых тел приближенно описывает реальный физический процесс и имеет практическое значение при определенных условиях. Эти условия, состоящие в возможности пренебречь деформациями тел во время удара, выполняются во многих случаях инженерной практики (например, кузнечные молоты).
Следовательно, задача об ударе абсолютно твердых тел, излагаемая в учебниках по теоретической механике, имеет практическое значение. Кроме того, эта задача поставлена правильно не только с математической стороны, но и с инженерно-физической точки зрения.
Упомянутые выше критические выступления в печати по-видимому связаны с тем, что их авторы ошибочно отнесли понятие о коэффициенте восстановления к числу общих законов механики. Кроме того, они неверно представляют область явлений, подчиненных законам классической механики. Об этом свидетельствует выдержка из монографии Е. В. Александрова и В. Б. Соколинского:《Одни авторы, а их большинство, базируются на принципах классической механики Ньютона. Другие—исходят из основных положений теории упругости и опираются на теорию Сен-Венана. Первые считают, что тела абсолютно твердые...^.
При этом следует напомнить, что Герц вместе с решением задачи об ударе абсолютно твердых шаров дал условие, при котором можно пренебречь их деформациями. Очень часто авторы учебников по теоретической механике, излагающие задачу об ударе абсолютно твердых тел, являются вместе с тем авторами работ по исследованию удара деформируемых тел (например, Н. А. Кильчевский, Е. Л. Николаи). Таким образом, по крайней мере с прошлого века задача о соударении абсолютно твердых тел рассматривалась как частный случай более общей задачи. Кроме того, решение задачи о соударении упругих стержней, которое 'предложено Сен-Венаном, как и решения других аналогичных задач о механическом движении /материальных тел и сред, основано на законах классической механики (законах Ньютона).
Неправильное представление о законах классической механики и пр1И1меняемых ею методах, было, вероятно, npmnHOH не только неоправданной критики учебников, но и ряда серьезных ошибок, 'содержащихся в монографии «Прикладная теория удара и расчеты ударных си- стем》.
Методика изложения каждой темы, в том числе и теории удара, должна беспрерывно совершенствоваться.
Представляется целесообразным при изложении теории удара в курсах теоретической механики вначале дать математическую постановку задачи о соударении абсолютно твердых тел. Так как тела абсолютно твердые, то время удара равно нулю, скорости точек и соответственно ―> количества движения мгновенно изменяются на конечные величины. Из этих свойств удара вытекают следующие: импульс ударной силы есть конечная величина, но сила в момент удара равна бесконечности (понятие импульсивной функции вводить не обязательно). Кроме того, перемещения тел, а также импульсы неударных сил за время удара, равны нулю.
Затем необходимо указать на связь этой отвлеченной задачи с явлением соударения реальных деформируемых тел, т. е. пояснить, что в действительных условиях ударная сила является конечной, но достигает очень большой величины, время удара отлично от нуля, но очень мало. Поставленная задача будет иметь 'Практический смысл в тех случаях» когда деформациями тел можно пренебречь, за исключением небольших участков пренебрежимо малой массы, расположенных вблизи контакт* ной площадки. Эти участки условно исключатся из состава тел и уподобляются невесомой пружине настолько большой жесткости, что действующая во время удара сила достигает очень большой величины за
короткий промежуток времени, так что перемещениями тел за это время и действием остальных (неударных) сил можно пренебречь.
Термины «упругое», «упруго-пластическое» и «пластическое тело», пожалуй, следует исключить, так как в теории упругости и пластичности они относятся к деформируемым телам. В данном случае тела рассматриваются как абсолютно твердые, а упругие или пластические свойства приписываются лишь пренебрежимо малым участкам этих тел.
Литература
Кильчевский Н. А. Теория соударений твердых тел. М. — Л. 1949, Киев. 1969.
Рахматулин X. А. и Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М., 1961.
Бидерман В. Л. Теория удара. Машгиз, 1952.
Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. ИЛ., М., 1965.
Гольдсмит В. Удар. Перевод с англ. М. — Л., 1965.
Суслов Г. К- Теоретическая механика. ОГИЗ, М. — Л., 1944.
А. И. ОСЕЛЕДЬКО
ОБ ИЗЛОЖЕНИИ В КУРСЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИРАЗДЕЛА О КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ
Во многих высших технических учебных заведениях учебные планы некоторых факультетов не содержат самостоятельной дисциплины, посвященной общим или специальным вопросам теории колебаний. Так, например, в строительных институтах динамика сооружений, являющаяся по существу прикладной теорией колебаний, читается только на факультетах промышленного и гражданского строительства. Студенты других специальностей, и в том числе механической, ,не 'изучают в стенах вуза теории колебаний как самостоятельной дисциплины.
Курс теоретической механики должен служить базой при изучении специальных дисциплин и, следовательно, в нем должны быть отражены вопросы теории колебаний, играющие важную роль в современной технике. Однако программы по теоретической механике построены так, что позволяют рассмотреть лишь простейшие вопросы колебаний материальной точки. Так как к моменту прохождения этого раздела механики в курсе математики уже проработаны дифференциальные уравнения с приложениями их к механике и физике, а по физике пройдены все разделы о колебательных процессах, то естественно возникает вопрос, что же существенно нового и полезного может быть сообщено студентам по теории колебаний.
Следует иметь в виду также, что пр’и существующем построении курса лектор, излагая ряд вопросов теории колебаний, вынужден пользе ваться понятиями, с которыми студенты знакомятся позже при изучении динамики системы. Особенно это относится к иллюстративному материалу и конкретным задачам, заимствованным из различных областей техники. Находясь на позициях динамики точки, мы лишаемся возможности с достаточной полнотой проанализировать те упрощающие предпосылки, которые были приняты при постановке той или иной конкретной задачи.
Таким образом приходится умалчивать о весьма существенном ——о процессе сведения задачи почти всегда с бесконечным числом степеней свободы к задаче с одной степенью свободы.
Практические занятия по теоретической механике существенно отличаются от практических занятий по математике. Необходимо так строить
эти занятия, чтобы формальная сторона решения отходила на задний план и каждая задача, решенная студентом по механике, способствовала не только сознательному закреплению лекционного материала, но и расширяла его теоретический и технический кругозор. Этому в значительной мере способствовал бы анализ вдумчиво подобранных или составленных самим преподавателем задач.
Познавательная роль раздела о колебаниях заметно возросла бы, если бы предоставилась возможность проводить более полный анализ ставящихся задач, раскрывать перед студентами процесс сведения сложного к простому, освобождения главного в рассматриваемом явлении от второстепенных факторов. Все это говорит о целесообразности перенесения раздела колебаний из динамики точки в динамику системы, излагая элементы теории колебаний в конце курса и придав этому разделу прикладной характер. Заметим, что одновременно с окончанием курса теоретической механики заканчивается также изучение не только физики и высшей математики, но и сопротивления материалов. Благодаря этому появляется возможность постановки технически интересных задач, рационального упрощения их и достаточно полного анализа не только условий, но и полученных решений. Здесь уместными могут оказаться отдельные замечания об актуальных проблемах теории колебаний и ее приложений.
Можно рекомендовать, например, следующее содержание лекций по колебаниям, что, конечно, является далеко не единственным вариантом построения этого раздела.
Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры: колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний.
Вторая лекция. Первую половину лекции рекомендуется посвятить решению, в качестве примера, задачи № 837 >из сборника И. В. Мещерского (изд. 4 965 г.). В условии этой задачи не сделано оговорки о том, что коэффициент трения принимается постоянным, не зависящим от относительной скорости. Если учесть в этой задаче хотя бы незначительное изменение коэффициента трения в зависимости от относительной скорости скольжения, то получим типичный пример самовозбуждающихся колебаний, физическую сторону которых легко описать с помощью баланса энергии. Целесообразно рассмотреть и некоторые другие примеры автоколебаний. Во всяком случае здесь вполне уместно дать определение автоколебаний, подчеркнув их особенности, и перейти к изложению вынужденных колебаний под действием сил, являющихся заданными функциями времени. Во второй части лекции следует дать решение дифференциального уравнения движения системы с одной степенью свободы под действием восстанавливающей и гармонической возмущающей сил. Полезно представить решение этого уравнения в виде суммы трех слагаемых, выражающих соответственно свободные колебания, свободные сопровождающие колебания и чисто вынужденные колебания.
Третья лекция. Биения. Резонанс. Технические приложения: вибратор, тахометр, приборы для исследования колебаний. Различные виды кинематических возмущений.
Четвертая лекция. Влияние сопротивления на свободные и вынужденные колебания. Исследование амплитуды вынужденных колебаний. Понятие о демпфировании. Условная оценка темпа затухания по логарифмическому декременту. Коэффициент поглощения.
При подготовке к чтению лекций и проведению практических занятий помимо литературы, указанной в программе, весьма полезными могут оказаться книги:
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Физматгиз, 1959.
П а н о в к о Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. «Машиностроение», 1967.
П а н о в к о Я. Г. и Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. «Наука», 1967.
, С. М. ТАРГ
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О МЕТОДАХ ИЗУЧЕНИЯОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ДИНАМИКЕ
Динамические задачи, связанные с изучением относительного движения, имеют важное значение для многих инженерных специальностей. Поэтому представляется целесообразным уделить в соответствующих курсах больше внимания рассмотрению возможных путей решения этих задач, не ограничиваясь только одним, обычно излагаемым путем, связанным с введением сил инерции, а также остановиться .несколько подробнее на разъяснении существа самой проблемы.
При изучении относительного движения материальной точки основная задача динамики ставится следующим образом. Пусть система отсчета 1 является инерциальной, а система отсчета 2 (неинерциальная) движется относительно нее произвольным образом. Требуется: зная сил ы, действующие на материальную точку и закон движения системы 2 по отношению к системе /, определить закон движения данной точки относительно системы 2.
Уже из самой постановки задачи видно, что искомое движение определяется не только действующими силами (динамика), но и характером движения системы 2 относительно системы /, которое задается кинематически.
Решить эту задачу можно, составив дифференциальные уравнения относительного движения точки, что сводится к определению выражения ускорения W2 точки в системе отсчета 2.
Переходя к решению, следует подчеркнуть, что заданные силы являются силами взаимодействия движущегося тела (в нашем случае точки) с другими материальными телами; значения этих сил определяются соответствующими физическими законами взаимодействия, которые при решении поставленной задачи считаются известными и не зависят от того, по отношению к какой системе отсчета рассматриваются положения или движения взаимодействующих тел. Например, сила тяготения зависит от масс взаимодействующих точек и расстояния между ними, а эти величины будут иметь одни и те же значения в любых системах отсчета (речь здесь всюду идет, конечно, о классической механике), сила упругости пружины будет зависеть от ее жесткости и величины деформации, сила сопротивления среды ——от формы тела и его скорости по отношению к среде, а не к системе отсчета, и т. д.
Ускорение же точки в разных системах отсчета имеет вообще разные значения и объясняется это следующим. Инерциальную систему отсчета 1 мы определяем как такую, по отношению к которой ускорбние точки при отсутствии действующих сил равно нулю. В этой системе отсчета справедлив основной закон динамики
7%石 i=戸， (1)
где т—масса точки, w\ — ее ускорение в системе отсчета 7, F — равнодействующая приложенных сил. Таким образом, в инерциальной системе отсчета точка может иметь ускорение только вследствие действия на нее силы.
В противоположность этому, в неинерциальной системе отсчета 2 (на что часто не обращают должного внимания) причин появления ускорения 法2 будет две: во-первых, действие силы (динамика) и, во-вторых, движение системы отсчета 2 по отношению к системе отсчета / (кинематика) .В частности, если никакие заданные силы .на точку не действуют, или когда эти силы взаимно уравновешены, точка будет иметь ускорение w^ только за счет движения системы отсчета 2. Например, 4* 23
висящий неподвижно в воздухе воздушный шарик по отношению к пароходу, движущемуся с ускорением G, будет иметь ускорение 法2 =——口 только вследствие ускоренного движения парохода, а не вследствие действия >на шарик каких-нибудь сил.
Найдем теперь требуемое для решения задачи выражение 诵2・ Из уравнения (1) wi = F/m. Тогда, используя кинематическую теорему Кориолиса, получаем
一 戸一 —
砌° = ®пер ®кор， (2)
一 m
Отсюда непосредственно видно, что ускорение 方2 слагается из трех: из ускорения J7〃z, обусловленного действием сил, и ускорений (——wnep), (——诵кор), появляющихся не в результате действия сил, а вследствие движения системы отсчета 2 по отношению к системе / .
Равенство (2) является одноврембнно дифференциальным уравнением относительного движения точки в векторной форме и может быть непосредственно использовано для решения задач. Такой путь составления уравнений движения по идее очень прост, вытекает из самого существа задачи и не требует введения никаких йовых понятий или представлений, кроме уже известных. Поясним это элементарными примерами.
Составим уравнения движения брошенного груза В (рис. 1) по отношению к кораблю, движущемуся поступательно_и прямолинейно с ускорением а (/), полагая, что на груз действует только сила тяжести Р. _ — —
В этом случае Зпер = а, ^коР = 0 и P=mg. Тогда уравнение _(2) дает_ w2 = g — а (здесь g—ускорение, которое груз получает под действием силы Р, а (—а)—ускорение, появляющееся за счет движения корабля). В проекциях на оси найдем искомые дифференциальные уравнения:
丄 2 = —М,
где %2, 42 — координаты груза в системе отсчета 2 (груз, конечно, рассматривается как материальная точка).
Если в задаче требуется еще учесть сопротивление среды (воздуха), то при этом надо иметь в виду, что в известные физические законы сопротивления будет входить скорость s груза по отношению к среде, т. е. к системе отсчета /, а_не к системе 2; в уравнения же требуется ввести скорость 口2, используя соотношения у^^г+^пер. Этот переход в подобных задачах потребуется проделать при любом методе составления дифференциальных уравнений относительного движения, на что в курсе тоже полезно обратить внимание.
Составим уравнения движения шарика в гладкой горизонтальной трубке, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 2).
Поскольку здесь сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей реакции трубки, учтем действие на шарик только горизонтальной составляющей реакции М Уравнение (2) дает
一 R _ 一^2 = ~ — ^пер — ^кор-
В данном случае численно ^пер =(о2%2, ^кор = 2со%2. Учитывая направления этих ускорений, а также то, что здесь ^2 = 0, получим в проекциях на оси х2, У2：
%2=现2%2,0 = - 2现%2.
т
Отсюда определяем х2(^) и N (t) =2mcox2-
Описанный путь составления уравнений относительного движения весьма прост и логичен. Однако по существу он является кинематическим и не позволяет непосредственно распространить на задачи относительного движения все, уже разработанные в динамике методы.
Поэтому для многих приложений оказывается более удобным придать уравнению (2) тот же вид, который имеет уравнение (1). Как известно, это делается умножением обеих частей равенства (2) на т и введением обозначений 戸пер =——^wnep, 戸кор =——俏诵кор. В результате получается известное векторное уравнение
加®=戸 + Fnep + 戸кор・(3)
Следует подчеркнуть, что с математической точки зрения уравнения (2) и (3) тождественны и дают, конечно, при решении задач одни и те же результаты. Различие здесь лишь в подходе к составлению уравнения и в его истолковании, а именно: составляя уравнение в виде (3), мы подвижную систему отсчета 2 рассматриваем как неподвижную, а ту часть ускорения 归2, которая фактически появляется вследствие движения системы 2 (т. е. ускорения ——wnep и —wKOp) получаем, присоединяя к действующей силе F так называемые силы инерции РПер и Мор. Такой путь практически удобен, так как позволяет использовать для решения задач все, разработанные в динамике методы, в том числе, например, общие теоремы, что особенно важно при изучении относительного движения механической системы, в частности, твердого тела.
По указанной причине в динамике обычно пользуются этим путем решения задач. Однако для уяснения существа проблемы и той вспомогательной роли, которую в ее решении играют силы инерции, полезно в соответствующих курсах освещать и первый путь, связанный с использованием уравнения (2).
Наконец, следует отметить, что при изучении относительного движения можно еще идти третьим путем, также не связанным с введением сил инерции, а именно: составить дифференциальные уравнения движения в системе отсчета /, исходя из закона (1) и, проинтегрировав их, найти Xi (/), pi(f), 21(f), а затем определить искомый закон относительного движения, т. е. х2(/), P2(f), 22(f) по формулам преобразования координат. Такой путь представляется на первый взгляд весьма громоздким, однако, можно указать ряд случаев, в которых он, наоборот, оказывается наиболее простым. Поясним это также элементарным примером.
Рассмотрим груз В, падающий из точки О без начальной скорости в однородном поле тяжести. Найдем закон движения груза в осях 0*2^2, вращающихся в вертикальной плоскости вокруг центра О с постоянной угловой скоростью со (рис. 3).
Решая задачу в инерциальной системе отсчета Ох^у^ получаем, что при указанных начальных условиях
= —У，勿=0・
После этого по формулам преобразования координат сразу находим искомый закон относительного движения
~— COS 3九 y2 = -~ Sin 3九
Если же составить дифференциальные уравнения относительного движения в осях О%2” исходя из векторных равенств (2) или (3), то получим
%2 —①2%2 — 2sg2 — g COS со/ ,
j2 — 32y2 + 2g)%2 = — g sin со/
ii для определения 尢2(%), //2(0 потребуется интегрировать эту совместную систему уравнений.
Не следует считать данный пример излишне абстрактным. С анало
гичными задачами мы встречаемся на практике при определении, на
пример, закона движения баллистической ракеты или спутника по от-
путем, мы вычисляемпутем, мы вычисляемношению к вращающейся Земле и др. Таким образом, и этот путь изучения относительного движения полезно освещать в ряде читаемых курсов.
путем, мы вычисляем
путем, мы вычисляем
В заключение отметим, что если в курсе излагаются уравнения Лагранжа, то также полезно указать, что выбрав в качестве обобщенных координат параметры, определяющие положение точки в подвижной системе отсчета 2, можно дифференциальные уравнения относительного движения составить двумя путями. Идя первым путем, мы вычисляем кинетическую энергию точки в инерциальной системе отсчета 丿 и никаких сил инерции при этом не вводим. Идя же вторым кинетическую энергию точки в системе отсчета 2,
но при этом присоединяем к действующим силам переносную и кориолисову силы инерции, которые войдут в выражения обобщенных сил.
Какой из этих путей будет проще, зависит от характера решаемой задачи. Например, в первой из рассмотренных выше задач будет несколько проще второй путь, а во второй задаче ——первый. Такими же двумя путями можно идти и при составлении уравнений относительного движения механической системы.
4 А. АКОПЯН
ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ-ВЕКТОРИ ЕГО НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Векторное уравнение вращательного движения применяется в динамике только в случае тел, имеющих динамическую симметрию. Уравнению вращения произвольного твердого тела также может быть придана векторная форма, если ввести в рассмотрение вектор, который целесообразно назвать центробежным моментом, так как его проекции на оси, перпендикулярные оси вращения, равны обычным скалярным центробежным моментам.
Ни центробежным моментом-вектором, ни получаемым с его помощью векторным уравнением вращательного движения в механике еще не пользуются.
Цель настоящей статьи ——обратить внимание на применение центробежного момента-вектора в динамике. Свойства центробежного момента-вектора, подробно рассмотренные в [1], здесь упоминаются лишь в
меру необходимости. Зависимости же между центробежным моментом- вектором и моментами инерции изложены полностью.
Определение и некоторые свойства центробежного момента-вектора.
1. Пусть D ——начало радиусов-векторов, ось DH параллельна единичному вектору А (《шапка》над буквой означает единичный вектор), а 亍s — радиус-вектор точки Bs тела (рис. 1). Разложим rs на две составляющие параллельно и перпендикулярно оси DH (рис. 1):
*=% +黑元II DH,⑴
По ⑴ и (2)По ⑴ и (2)% =金(方•二)，九=加工-(2)
По ⑴ и (2)
По ⑴ и (2)
冗 Х%=%Х7$ = (忘 乂乙)(九7$).(3)
Обозначим массу точки Bs через /и* и назовем центробежным моментом относительно оси DH в точке D вектор
2. Целесообразно ввести еще две оси DP и DQ, выбранные так, чтобы2. Целесообразно ввести еще две оси DP и DQ, выбранные так, чтобы2 = X m5瓦X ^ = em瓦X X=£m式方X *)(九二)・(4)
2. Целесообразно ввести еще две оси DP и DQ, выбранные так, чтобы
2. Целесообразно ввести еще две оси DP и DQ, выбранные так, чтобы
взаимно пер-взаимно пер-⑺⑺их единичные векторы р и q образовали вместе с h триаду
взаимно пер-
взаимно пер-
⑺
⑺
пендикулярных векторов правой руки, т. е.
Е = "Х2・(5)
Аналогично (2) составляющие rs параллельно DP и DQ
厶=£(方・А)，7s = d(/£)；
涼 ||0p，qs И DQ(2，)
и
樓= 〃s+夕 s +，s・(6)
Внеся (5) в (4), получим
4 = 一方工msQshs上2 士心"九.
В (7J суммы при р и q называются центробежными моментами; поэтому 方九 назван центробежным моментом-вектором. (Здесь D ——начало радиусов-векторов, й ——единичный вектор, параллельный оси DH.)
Некоторые свойства центробежного момента-вектора.
Аналогично (4) и (7) центробежные моменты тела относительно осей DP и DQ выразятся так:
(4)(7‘)(4)(7‘)а=± APs X rs=2饵(方＞＜点)(方e),Dq = Em/s X rs=^ms(q x &(5•力:
(4)
(7‘)
(4)
(7‘)
0,=-2 0 MsPs + 方工团5柒"S， I
2 =—方 2 rnspsqs-^p^ 团 A柒•〕
Из (4) или (7) заключаем, что
与丄加T. e.与丄。"；
и (4‘)или (7) и (7‘)дают
力〃+2+»д=0.(9)
А так как выбор точки D и расположение взаимно перпендикулярных осей DH, DP и DQ вполне произвольны, то (9) означает, что сумма центробежных моментов-векторов относительно трех взаимно перпендикулярных осей, общая точка пересечения которых служит началом радиусов- векторов, равна нулю [I]. Ось DH называется главной в точке D, если
2 ms柒么=0, e心区力5 = 0;(10)
но в этом случае, как видно из (7) и (7‘)，
4 = 0, Dp = h£m$qsps、Z5q =—方』m$qsPs・(П)
Та1ким_образом,
если 力九=0, то ось DH ——главная s точке D; центробежный момент-вектор относительно любой оси DL, перпендикулярной DH, параллелен DH, т. е Dj^DH] в плоскости oDf проходящей через D и перпендикулярной DH, существует по крайней мере одна пара взаимно перпендикулярных главных осей (DL, DN) [II].
В правильности последнего утверждения легко убедиться. Действительно, если вращать ось DL в плоскости о。，то при переходе DL из положения DP, в (положение DQ, центробежный _момен_т Д, непрерывно изменяясь, должен принимать все значения от Dp до Dq =——Dp и, значит, должен перейти через значение Д = 0. При этом ось DN, перпендикулярная осям DH и также должна быть главной.
Динамические величины, выражающиеся посредством центробежного момента-вектора.
Во всем последующем через со и е обозначены угловые скорость и ускорение твердого тела; D — неподвижная точка, DH ——мгновенная ось вращения. Следовательно, Dh ——центробежный момент относительно мгновенной оси.
Индекс h будет отбрасываться, т. е.
方〃三方.(12)
Итак,——
h II DH II co, t. e.方TT®, o)=勿co; поэтому
A A 1 —-I — — .——■
(/2 X 々)①•々)=—(9 X 厂，(3 •厂，
и по (4) и (12)—
。公=2>s(^xZ)G・三).(13)
С другой стороны скорость vs и ускорение ws точки Bs тела
% =叫= eXq + u)Xq(14)
произведение зХ万s ——нормальное ускорение точки, так как
而X М)丄"•
Таким образом, 一
ZX (з X 4)三 /瓦(15)
есть главный момент нормальных сил относительно точки D, В (15) rsA-vsn поэтому на основании (13) и (14)
Мп~ —^ms (со X 厂$)((')•々)=—。⑴乙(16)
Чаще рассматривают главный момент МГ нормальных сил инерции: т. е.—_
而г=，02.(17)
(18)(19)(20)(18)(19)(20)из (22)из (22)(22)(22)еще следует,еще следует,4. Обозначим главный через Ме (е — exterior). Теорема4. Обозначим главный через Ме (е — exterior). Теоремавместе <с (22) даетвместе <с (22) даетМ f = D©=Н X(о.момент внешних сил里=矶 dt '。(/(D + (0 X0) dt .М f = D©=Н X(о.момент внешних сил里=矶 dt '。(/(D + (0 X0) dt .(24) относительно точки D(23)(26)(24) относительно точки D(23)(26)
(18)
(19)
(20)
(18)
(19)
(20)
из (22)
из (22)
(22)
(22)
еще следует,
еще следует,
4. Обозначим главный через Ме (е — exterior). Теорема
4. Обозначим главный через Ме (е — exterior). Теорема
вместе <с (22) дает
вместе <с (22) дает
М f = D©=Н X(о.
момент внешних сил
里=矶 dt '
。(/(D + (0 X0) dt .
М f = D©=Н X(о.
момент внешних сил
里=矶 dt '
。(/(D + (0 X0) dt .
(24) относительно точки D
(23)
(26)
(24) относительно точки D
(23)
(26)
Кинетический момент тела относительно точки D
По (14) и (1)
= ш X ^S = ^ X Ps^ rs = hs XPs^ поэтому__
rs x ^= hs x (w X 厂J + Ps X 3 x p)
где
hs II 3, Ps丄也 Вследствие этого —_
九$Х (^ X 厂$)=3X(厶 X 厂5)，Ps X (w X %) =(*•
и (19) позволяют переписать (18) так:
h = ^msrs X q = З X艺能丸X'人+3三m后，②)
гдеX^sP； = /
есть момент 'инерции тела относительно оси DH.
Воспользовавшись (4), имеем
Н = /® + в 乂 D.
В (22)/^丄^Х 方
и поэтому (рис. 2)
р —острый, tg р =」° 丨.
То обстоятельство, что 0^р< ^, известно; но
что В вполне определяется положением мгновенной оси и совершенно не зависит от модуля угловой скорости.
Из (22) следует, так как 力丄з, что
(23)(23)hX 3=0吟
(23)
(23)
поэтому (17) принимает вид:
Зависимость (26) очень удобна в случае неподвижной оси вращения. _d 方— -
Тогда / = const, \D \ = const и поэтому =w X Dn из (26) следует dt
兀+ 7 X D-D^=Me>(27)
s —угловое ускорение；
здесь слагаемые левой части взаимно перпендикулярны.
В общем случае, когда тело вращается вокруг точки Q,
嘗+^Х^(28)
/ dH \~
где — локальная производная вектора Н.
Согласно (25) и (23)
(也)=砧 +方 Х^=7Й； + Л^.(29)
\ dt / г
Зависимости, связывающие центробежный момент-вектор с моментами инерции.
Выше было показано, что центробежный момент-вектор входит в выражения таких величин, как М .. Поэтому весьма важно
уметь определить этот вектор. Ниже показано, что центробежный момент-вектор может быть выражен посредством моментов инерции. Чтобы прийти к этому выражению наиболее простым путем, удобно воспользоваться зависимостью (24).
Пусть DI, DJ, DK ——взаимно перпендикулярные главные оси,力 /, Л ——единичные векторы этих осей. Разложим абсолютную угловую скорость на составляющие, параллельные осям,
(Л)=.⑴ j+ (0力.
Тогда, как известно,
Н = 4匕 + В ojy -4- Си%,
где Л, В, С ——моменты инерции относительно осей DI, DJ, DK.
Внеся эти выражения Я и w в (24), находим
О^ = (А — В)叫 X %• + (吕一С) и» X % + (С —厶)％ X(%(30)
Обозначим через а, 0, 丫 углы, образуемые осью DH соответственно с осями О/, DJ, DK、тогда, имея в виду, что
u)i X (Оу—力(D力(Dy, ⑴i(0y—— — cos a cOS J и T. Д.,
получаем из (30)
。=(用—C) qos ? cos у2 + (С —Д) cos 了 cos %/十(厶一纟)cos a cos “. (31)
Из (31) явствует, что если главные моменты инерции Л, В, С неодинаковы, а ось DH не совпадает ни с одной из осей 力/, DJ, DK, то D не может оказаться равным 0; т. е. при указанных условиях в каждой точке D существует только одна триада главных осей. (Сравните с последним пунктом [II].)
Предположим, ось DH расположена в плоскости IDJ; тогда cosy = 0 и (31) принимает вид
О —(А — 5) cos a cos 咸(32)
Если при этом Л =В, то независимо от значений cos а и cos р力=0, т. е. все осн. расположенные в плоскости IDJ и проходящие через точку D —— главные в этой точке.
Простая зависимость существует между центробежным моментом- вектором и моментом инерции относительно одной и той же оси.
Если / ——момент инерции относительно оси DH, то по (21) и (2) /=!＞」d—曲工)2](33)
(рис. 1). Представим произвольную неподвижную ось А, проходящую через точку D и параллельную единичному вектору д.
Предположим, что вокруг оси Л поворачивается только ось Q", тело же, моментом инерции которого является /, неподвижно. Отсюда следует, что при повороте оси DH вокруг оси А, радиус-вектор rs точки Bs тела вовсе не изменится, а изменения претерпят единичный вектор h и, по (33), момент инерции /.
Поворот оси DH на бесконечно малый угол d^ вокруг оси А вызывает изменения величин Л, [rs2 ——(h -rs)2] и / ма
dh = l X hd^,
d反一(庁.力2]= 一2而二)[6x公工]内=
=-2》[(卢XR)(方・工)]4 и, см. (33),
di = - 26・n恤(否X人)(〃・j) 2中
или на основании (4)
业=—而.a.(34)
Отметим только два следствия (34):
а) = 0 при любом 8, если Dh = 0,
т. е. момент инерции относительно главной оси имеет экстремальное значение [III]. 一人
б) ——=0, епли 4^0, но » DH.(35)
Любую ось, проходящую через D и перпендикулярную центробежному моменту 力八，назовем XD. Теперь (35) можно формулировать так:
Если рассматривать ось DH вместе с совокупностью осей, получаемых бесконечно малым поворотом DH вокруг любой, оси ДОл то момент инерции относительно оси DH имеет экстремальное значение [IV].
Конечно, результат [III] не нов. Однако, пользуясь определением (4), приведенными выше свойствами центробежного момента-вектора и [III], можно легко построить обычную теорию моментов инерции и, в частности, определить различные геометрические места, связанные с моментами инерции.
(36)(37)(36)(37)Обозначим через 屮外 и 屮“ углы поворота оси DH соответственно вокруг DP и DQ. Тогда по (7) и (34)
(36)
(37)
(36)
(37)
=£ m“s%=.
Отсюда согласно (7)
Некоторые применения полученных зависимостей.
Пусть тело, имеющее неподвижную точку Q, вращается в момент
f с угловой скоростью(о вокруг оси DH, а главный момент Ме внешних сил равен лулю.
Тогда (см. [II], (17) и (29)):
если ось DH ——главная, 7ИГ —0 и , т. е.(о~const;
\ dt / г
следовательно, ось DH неподвижна;
если D/7 — неглавьтая ось, то 5^^0, Л4г=^0, т. е. Мг1.^ поэтому вызываемое моментом Мг угловое ускорение, как непараллельное оси О", будет изменять направление со, т. е. направление DH; ось DH окажется мгновенной.
Рассмотрим общий случай, когда Ж^О, а ось вращения — неглавная.
При одной неподвижной точке (D) вращению тела вокруг неглавной оси всегда сопутствует отличный от 0 главный момент Мт нормальных сил инерции (24).
Мт эквивалентен паре сил, плоскость которой совпадает с плоскостью^ содержащей Н и ^, а момент прямо параллелен центробежному моменту D [V].
Это важное положение очень редко отмечают, но аналогичными правилами широко пользуются для объяснения поведения гироскопов.
Положение [V] становится более наглядным в применении к вращающемуся телу, имеющему ось DK динамической симметрии.
В этом случае при любом направлении мгновенной оси можно разложить абсолютную угловую скорость со на две составляющие з在 и ①返
©=(% +吗；и% II Z?K,(%•丄。К.
Обозначим экваториальную ось, параллельную зз через DI и пусть моменты инерции относительно главных осей DK и DI будут соответственно С и А. Тогда——
〃 = С(%十 (w— o)^-|-ojz)(38)
и no (24)Л/г~ X(o — (C —厶)3A X(‘)j.(39)
Отсюда ясно, что
/】*[[% X g, если С —А>0;
^Й「ТЕх6, если С —4<0;(40)'
в)此=0, если С —4 = 0.
и (40) показывают, что направления момента MY определяются произведением а%Хзз а смысл Мт — знаком разности (С — А).
Случай (40, 6) существенно отличается от (40, а и 6). Чтобы это лучше представить, предположим, что тело S вращается вокруг оси динамической симметрии DK с угловой скоростью_w^, причем центр масс S совпадает с неподвижной точкой О, а момент Ме внешних сил равен нулю. DK — как главная ось ——будет неподвижной.
В момент /0 прилагают к S силу, момент Ме которой относительно* точки D перпендикулярен к DK. После очень малого промежутка времени тг = /‘ ——/0 удаляют силу и снова Me=Q.
Рассмотрим движение S с момента /о. В случае (40, 6) (С=А = В^ сферическая симметрия) момент Ме, не .изменяя модуля угловой скорости 3九，вызовет «дополнительное» вращение вокруг оси DL^Me. В течение промежутка т времени ось DK，изменяя направление, примет в момент %' положение В К'; в этот момент времени угловая скорость до-
гполнительного вращения
а абсолютная угловая скорость
^十？'•(416)
Так как при сферической симметрии все осп, проходящие через Q,—— главные (то 7Иг = 0 неизменно) и DK―также главная ось; поэтому с момента 厂 ось D^ станет неподвижной и S будет вращаться с угловой скоростью зь вокруг неподвижной оси DKL
В случае (40, а) (С^А=^В) главными осями являются DK и любая ось, перпендикулярная DK. С момента /0 о<ь DK не может остаться осью мгновенного вращения, а мгновенная ось, образуя острый угол с DK, не будет главной.
_ Следовательно, с момента /0 кроме момента Ме возникает момент Мт. Если предположить, что за время т момент Мг вызовет угловую скорость со?', то — ввиду малости промежутка т — предположение, что в момент /' абсолютная угловая скорость
0%=% + 中'+ 5(41 °)
'будет мало отклоняться от истины. _•
Приближенно в момент /' момент М/ параллелен плоскости, содержащей 3九 и q)z, а со/НМ/.
Как видим—_
^a市⑴b.
Другое отличие (40, 6)от (40, а) состоит в том, что в момент 片 ось DK'——главная в случае (40,6), не будет главной в случае (40, а). И поэтому, хотя с момента времени /' момент Ме 'становится равным нулю, момент Мг не обратится в нуль и ось абсолютного вращения в последующие моменты времени не будет неподвижной.
О гироскопических правилах. 1. Поведение гироскопов с тремя степенями свободы объясняется специальными правилами. Правило Н. Е. Жуковского.
Пусть тело вращается вокруг оси динамической симметрии DK с узловой скоростью(о/. Если ^повертывать» ось DK с угловой скоростью ⑪/ вокруг некоторой неподвижной оси DL, то возникает пара сил, стремящаяся уменьшить угол (со/, coz) [VI].
или (40, а, 6, б) также можно свести к словесным формулировкам. В самом деле, представив какой-нибудь постоянньгй вектор_рЛ ==/, расположенный в плоскости угловых скоростей з左.з? между 3々 и а)5 можно (40, а, 6, в) высказать так:
Пусть тело имеет неподвижную точку D и ось динамической симметрии. При вращении такого тела вокруг неглавной оси возникает пара сил, стремящаяся:
уменьшить угол (з也 Z), если С — 4>0;
увеличить угол (з任 з/, если С ——4 V0;
если С = А, то всякая ось, проходящая через D,——главная; пара с〃4 ме возникает [VII].
Из трех этих правил [VII] только а совпадает с [VI].
Это расхождение можно объяснить, обратившись к выведенной Н. Е. Жуковским зависимости：
Момент, упоминаемой в [VI] пары сил, равен
з/〃 sin 屮 £ mr2,(42)
словесное выражение которой и представляет правило Жуковского. В (42) 2〃庐 равна моменту инерции С； поэтому векторная форма (42> такова (индекс Ж — Жуковский)
」％ж = С①为X⑴广(43)
Чтобы сопоставить (43) с (39) или (40), разложим з/ на составляющие параллельно DK и Q/:、
叫=我 +(也 僚 U 。К (T. ё. % II ⑴为)，a 11 。/.
Теперь
加)k = e%X (中为+吗)=eза X(+(44У
(43) выведена Н. Е. Жуковским в предположении, что со/ очень велик. Это означает, что |(р|《з/, з?«з/, дает право заменить в (43) и (44) суммой (⑴鼠十屮厶)и, положив, со鼠十屮々мз左 представить (43) в виде
/仅ж = С(”Х(%.(45)
Итак, по сравнению с (39) в (45) не достает слагаемого Ло)л Хсо^ Следовательно, из общей зависимости (39) можно получить (45), или, что то же, (44), (43), только предположив, что
А《С;(46)
но это условие в гироскопах не имеет места.
Можно представить и другой путь, приводящий к (45), а не к (39). Действительно по (24) и (38)
Mr = H X °)， " = e(')为 + 厶0)储⑴=(')我 +(')?.
Допущение:(。彳《3九 позволяет, казалось бы, принять " = Сз左，а отсюда получается 耳Хз = Сз/гХз。. Но это рассуждение неправильно: при образовании произведения "Хз слагаемые Сз厶 и Лшг соответственно дают CcO/tX3〃 И ЛсОгХ'СО/i-—
Поэтому нельзя отбросить в Н слагаемое Ло^ до образования произведения 豆Хз, а в произведении 亙Хз можно пренебречь слагаемыми Ac^iX^h только при условии (46).—
Из сказанного следует, что произведение Сз/」Ха)/ не всегда прямо параллельно главному моменту Мт нормальных сил инерции и .поэтому правило [VI] не всегда должно было бы соблюдаться. Между тем автор не встречал в литературе указаний на случаи неприменимости [VI]. Зто обстоятельство может быть объяснено, если обратить внимание, что в примерах, разобранных в упомянутой статье Н. Е. Жуковского, правило [VI] применяется 'последовательно два раза. Нетрудно убедиться, имитируя рассуждения Н. Е. Жуковского, что в таких случаях (40, а, 6) и [VI] приводят к одинаковым результатам.
Пусть к телу, вращающемуся вокруг оси DK динамической симметрии с угловой скоростью з左，приложена пара сил, момент которой 卩丄0/(. Пара сил вызывает появление угловой скорости a)if f卩 и момента Мп нормальных сил инерции; по (39)
〃rl = (C—4) з为 X ⑴ 1・(47)
Под влиянием момента Мп возникает угловая скорость
следствием чего явится новый момент нормальных сил инерции Мг2 = =(С — Л ) CO/i X g)2-——
По (47) и (48) J/r2ff(C —Л)со^Х [(С—A) cd^Xcoi] , т. е. Mv2\f (С —Л) 2о)/г X
Х(⑴九 Х31), _ __
или, так как ⑴i丄⑴九 и поэтому ⑴九X ®aX3i) =—олео/*,应「2, Jon, ЛТ%}|卩・ Итак, вторичный главный момент Мг2 нормальных сил инерции анти- параллелен моменту 卩 приложенной пары, как и должно быть по [VI].
Л итература
Акопян А. А. О свойствах центробежного момента, рассматриваемого как вектор. «Прикладная математика и механика», 1934, т. II, № 1, стр. 61—73.
Жуковский Н. Е. Собр. соч., т. I, стр. 210——211 (Элементарная теория гироскопов).
М. БРАГИНСКИЙ
К ВОПРОСУ ОБ АВТОКОЛЕБАНИЯХ ВИБРОУДАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотрим виброударную систему, представленную на рис. 1. Кор
пус, вращающийся с постоянной угловой скоростью со。，соединен с ударником витой пружиной растяжения-сжатия-кручения. Ударник имеет массу т и момент инерции /. На ударник наложена освобождающая
связь в виде неподвижного ограничителя, который оказывает сопротивление вращению ударника.
При соприкосновении ударника с ограничителем с ненулевыми линейной и угловой скоростями происходит продольно-крутильный удар, в результате которого скачком изменяются и линейная и угловая скорости ударника.
Введены следующие предположения:
Рассеивание энергии происходит лишь при соударении и характеризуется коэффициентом восстановления скорости R.
Время соударения значительно меньше вре
мени движ-ения ударника «между ударами.Рис. 1
Между ударником и ограничителем имеет место сухое трение. Импульс ударного момента сухого трения пропорционален продольному ударному импульсу с коэффициентом пропорциональности q в случае, если послеударная скорость вращения ударника относительно ограничителя не обращается
в нуль.
Положение ударника характеризуется линейной координатой % и углом 屮 поворота ударника относительно корпуса. Начало отсчета соответствует положению ударника, при котором пружина недеформирована. Направления отсчета координат х и углов 屮 показаны на рис. 1. Координата ограничителя——х。.
Как известно, i[l], осевая сила и крутящий момент витой цилиндрической пружины растяжения-сжатия-кручения являются функциями двух переменных: продольного и углового относительных перемещений торцов пружины. Тогда уравнения движения ударника в промежутке между ударами имеют вид:
mх" — — кx +力9+尸
人〃一行+力；при у。，⑴
где Р ——постоянная сила, действующая на ударник;
К — продольная жесткость пружины;
G — крутильная жесткость пружины;
h ——коэффициент продольно-крутильной жесткости.
Для пружин правой навивки 〃>0. В дальнейшем, не нарушая общности, рассматривается пружина правой навивки. Изменение направления навивки эквивалентно изменению знака угловой скорости шо вращения корпуса.
В соответствии с принятыми предположениями, доударные (——) и послеударные ( + ) скорости связаны соотношениями:
при x=Xq, (2)при x=Xq, (2)х； = — /?х「；М = qN sign (屮二十 з。);
при x=Xq, (2)
при x=Xq, (2)
/(?； — ?—)=—加；？' +⑷о 抬 0;
т (л! — х二)=—TV；
где A/(M)——импульс силы продольного (момента крутильного) удара. После исключения N и М можно записать:
х； = — Ах 二；，，
,,, причем 屮一一IF%_〉一①о при х=%о，(3)
,+ =中一 - kx一,
где
呼="Т± "1sign (屮二 + co。).
Подстановка: % = 〃Ei + S； ф = ^+^2； т = W, гдеПодстановка: % = 〃Ei + S； ф = ^+^2； т = W, где〃=〃=55_PG~ KG—h^mJ_PG~ KG—h^mJ55PhPhKG-h^KG-h^
Подстановка: % = 〃Ei + S； ф = ^+^2； т = W, где
Подстановка: % = 〃Ei + S； ф = ^+^2； т = W, где
〃=
〃=
5
5
_PG
~ KG—h^
mJ
_PG
~ KG—h^
mJ
5
5
Ph
Ph
KG-h^
KG-h^
приводит (1) и (3) к безразмерным переменным & = &(!；); & = &(!；):
e1 +叫W1 一e2 =。一Ei +a2 +3丈2 — 0e1 +叫W1 一e2 =。一Ei +a2 +3丈2 — 0при El < ”；при El < ”；⑷⑷sign&-+ 百).sign&-+ 百).Qi(l+〃)Qi(l+〃)
e1 +叫W1 一e2 =。
一Ei +a2 +3丈2 — 0
e1 +叫W1 一e2 =。
一Ei +a2 +3丈2 — 0
при El < ”；
при El < ”；
⑷
⑷
sign&-+ 百).
sign&-+ 百).
Qi(l+〃)
Qi(l+〃)
Точка означает дифференцирование по т.
Пространство параметров системы: {®, со2, R, Q,自屮，£2°}, причем:
0<3[<8； 0 < ю2 << оо; 0《/?<1;
一 8 V Q V + 8 ； — 8 V а 1 < + 8 ； — 8 V ^2 < + 8 .
Фазовое пространство системы четырехмерно {&, &, Wi, Ь}- Движение возможно в области EiWEF. Фазовые траектории системы задают
точечное отображение Т поверхности Г (盲=盲°), на которой происходят удары, в себя. Отображение Т может быть построено следующим образом (рис. 2). Пусть в момент времени т = 0 представляющая точка попадает на поверхность Г в точку %i(Wi°; W20； W10； W20), причем Wio>O. Вслед за этим она мгновенно перемещается по поверхности Г в соответствии с (5) в точку /2(^1°； W20； ——REio； W20 —QWio). После этого представляющая точка уходит в полупространство Е/<&1°, где двигается по кривой, являющейся решением системы (4). В случае ударных движений представляющая точка в момент времени т вновь попадает на поверхность Г в точку Л3(^1°; Е21； Ей；占21). Тем самым каждая точка %i поверхности Т отображается в некоторую точку Л3. Продолжая, можно построить п — кратное отображение 小)поверхности Г в себя.
Периодическое движение системы характеризуется числом п попаданий представляющей точки на поверхность Г за период колебаний. Это движение называется n-ударным периодическим
движением. Ему соответствует•
неподвижная точка точечногоРнс. 2
отображения Т(п).
Точечное отображение Т^ в параметрическом виде может быть задано системой уравнений:
* = с「・ COS 々、+。2f sin аТ/4-^з/ COS ^^C^i $也卩口，
必=(& j cos 也 + C2Z sin arz) (0Л — a2) + (C3/ cos g + C4/ sin 卩q・)(<4 —俨).
£，•=( — & , sin a巧 + C2/ cos ат。々 + ( — C3/ sin 沁 + C4f cos 兀)R,
& = (— С” sin axz + C2/ cos ат j (з： — a2) a -[- (•— C^ sin。口 +
+ C4f COS pT j) 3；—俨)В，
Е； = Сн・ + Сз〃 а = 1, 2,..., 〃)，(6)
= 储一吟 +03?(宕-¥)，
-麻 1 =c2ia +e4也
玩 z-i —Q?i. /-i = C2Z (o)i —a2)a + C4/((i)i —82)^,
где р>а>0 корни уравнения:
%4 — 3； + о)|)义2 + 宕⑴!—] =0,(7)
Сн, C2i, C3曲。4厶 T{——параметры, причем параметр т^ характеризует время между (/——1) -ым и /-ым ударами и является наименьшим положительным корнем системы.
В дальнейшем рассматривается однократное точечное отображение Т поверхности 己=己。в себя.
При условии
Q = (l+R)3：—a2)(8)
отображение Т имеет бесчисленное множество неподвижных точек:
白=储一俨得一(L±怨吐叫C tg * g ；
(со； — s$) + R《32 —吟 叫 *(со； — s$) + R《32 —吟 叫 *2л:2л:2（俨一吟宵+卷 .2（俨一吟宵+卷 .02 —々202 —々2e2 =e2 =31 + A i*31 + A i*伊一a2伊一a22；—— любое число, удовлетворяющее
(со； — s$) + R《32 —吟 叫 *
(со； — s$) + R《32 —吟 叫 *
2л:
2л:
2
（俨一吟宵+卷 .
2
（俨一吟宵+卷 .
02 —々2
02 —々2
e2 =
e2 =
3
1 + A i*
3
1 + A i*
伊一a2
伊一a2
"1 — A产4= 23условию:"1 — A产4= 23условию:(10)(10)0<^<^
"1 — A产
4= 23
условию:
"1 — A产
4= 23
условию:
(10)
(10)
(?2 -a2) + A (①；-W)
Звездочкой отмечены координаты неподвижной точки и соответствующие ей значения параметров.
Характеристическое уравнение для исследования устойчивости непо-
движной
точки составляется обычным путем [2]. После ряда упрощений
оно имеет вид:
2c 説02CGRa(e:+e詆1
*
Z—l00居
=0.(11)
0Z ~ R上出e。2
0A(z—1)0Сз 俨
Откуда 2i= 1. Остальные два корня удовлетворяют уравнению
(1 + 〃2)窗 + 2〃偿 4-(1 + А"与 Тj z + g=o. (12)
Наличие корня %i=l в случае, когда |%2,з|У1, не дает возможности сделать заключение об асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения (6). В этом критическом случае не приводит к цели и исследование исходного точечного отображения вместо линеаризованного. Однако из физических соображений видно, что данная система подобна консервативной в случае периодического движения.
В данном случае 'сходство с консервативной системой распространяется даже дальше: можно показать, что исследуемое периодическое движение обладает орбитной устойчивостью. Область орбитной устойчивости в пространстве параметров имеет вид:
匕*〉—ctg 三 I■么3 ctg^ + 11. a+A)2p2/ 8 В W 8 (1+/?)3[伊 L(1+A)2 W b
(13)
Из (8) видно, что периодическое движение возможно лишь в области:
(14)(14)Q>0,
(14)
(14)
(ф_, + о)о>0), так как со/ — а2>0. Одноударное периодическое движение с неположительной доударной скоростью вращения ударника (QW。) невозможно.
Кроме того, область существования неподвижных точек ограничена условием:
^2>0.(15)
2Й
Действительно,国。，。，так как £i*>0.
А если положить g2°<0, то из (10)
(户-a2) -J- R (⑴;一。由 < 0, что невозможно.
Этот результат, впрочем, следует из физических соображений. При 自£ =O(q)o = O) система диссипативна. При ^о<О((оо<О) (или, что то же, при ①о>О и левой пружине) энергия вращения, поступившая в систему в момент удара, уменьшает энергию поступательного движения ударника за время между ударами, т. к. при закручивании пружины по направлению навивки ее длина увеличивается.
Для полного выделения области существования следует найти еще область определения точечного отображения Г. Она характеризуется тем, что в промежутке между ударами фазовая траектория не должна пересекать плоскость ^ = ^°
&iS)=o(16)
0 < Т2 Vz.
Откуда, при
3 = 2a
Из условия (16) следует, что при Ei°<0, R = 0 периодическое движение с конечной скоростью &* невозможно. При 邑°>0 периодическое движение возможно и при R = Q.
Литер ату р а
. Пономарев С. Д. Расчет и конструкция витых пружин, ОНТИ, 1938.
Н е й м а р к Ю. И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний (1). Известия высших учебных заведений. «Радиофизика», 1958, т. I. № 1.
А В АСТАФЬЕВ
О ПЕРЕСТАВИМОСТИ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Если определить конечный поворот твердого тела с неподвижной точкой на угол ф вокруг оси, проходящей через неподвижную точку, вектором конечного поворота
6=23tg ^~ ,
где ё ——единичный вектор, направленный по оси поворота в сторону, откуда поворот на угол ф^ 180° виден происходящим 'против часовой стрелки для правой системы осей, то формулу, выражающую правило
сложения конечных поворотов, можно записать так:
0 =—I0 =—I11110j • 020j • 02
0 =—
I
0 =—
I
1
1
1
1
0j • 02
0j • 02
В этой формуле 01 и 02 ——первый и второй повороты вокруг осей,, фиксированных в неподвижной системе отсчета, 0 ——результирующий поворот [1, 2].
Наличие в последней формуле слагаемого с 'произведением 02X0： указывает на некоммутативность конечных поворотов. Заключение о некоммутативности поворотов верно в предположении, что оси слагаемых поворотов фиксированы в неподвижной системе отсчета. Если отказаться от этого предположения и считать одну из О'сей связанной с телом, а вторую ——фиксированной в неподвижной системе отсчета, то можно указать два случая коммутативности конечных поворотов.
Один из этих случаев разобран А. И. Лурье [1, 2]. Он сводится к теореме о том, что лоследовательность конечных поворотов 01, 02 эквивалентна последовательности 0/, В?', где 0/ = 02, 027 — вектор, в который переходит 01 при повороте 02. В этом случае оси первого поворота первой последовательности и второго поворота второй последовательности совпадают в системе отсчета, связанной с телом, а оси второго поворота первой последовательности и первого поворота второй последовательности совпадают в -неподвижной системе отсчета.
Второй случай коммутативности конечных поворотов сводится к теореме, разобранной ниже, которую можно сформулировать так: последовательность _конечньг^ поворотов 01, 02 эквивалентна последовательности^ 0/, бг^^де 02, = 61, 6/ ——вектор, в который переходит 02 при повороте一仇.
В рассматриваемом случае оси второго поворота первой последовательности и первого поворота второй последовательности совпадают в системе отсчета, связанной с телом, а оси первого поворота первой последовательности и второго поворота второй последовательности совпадают в неподвижной системе отсчета.
Теорема может быть доказана способом, аналогичным тому, с помощью которого доказывается теорема, разобранная А. И. Лурье [1, 2y и может быть получена как следствие последней.
Рассмотрим второй способ доказательства, т. е. будем при доказательстве исходить из теоремы, разобранной А. И. Лурье. Если_последовательность поворотов 0/, 02х представить как исходную, a 0b 02 как эквивалентную в соответствии с теоремой, ра-ссмотренной А. И. Лурье, то 01 = 02/ и 02 получается из 0/ поворотом последнего посредством вектора ——0ь Откуда 02，= 0i, 0/ получается из 02 поворотом последнего посредством вектора —仇，что и требовалось доказать.
% = 2 a resin% = 2 a resinТаким образом, учитывая два случая коммутативности конечных поворотов, можно наметить тр^£варианта эквивалентных последовательностей из двух поворотов (0Ь 02; О/, 02Z； 0],/, ®2〃)，переводящих тело из одного и того же исходного положения в одно и то же конечное положение. На рисунке показано расположение векторов переставимых конечных поворотов в неподвижной системе отсчета в соответствии с рассмотренными теоремами. Угол 屮 между осями первого и второго поворотов одинаков для всех вариантов. Углы между векторами поворотов аь а2, получаемые соответственно при повороту, определяемом вектором 02, для перевода 01 в положение ®2‘ (|02，| = |6i |) и при повороте, определяемом вектором ——01, для перевода 02 в положение О/7 (|0i，,| = 1021)^ можно, очевидно, определить по формулам:
% = 2 a resin
% = 2 a resin
• sin屮)，a2=2arcsin/sin-y--sintpj .
В качестве примера рассмотрим перемещение внутреннего кольца
карданова подвеса.
Пусть исходная последовательность поворотов сводится к повороту внутреннего кольца вместе с наружным на угол а вокруг оси наружного
кольца и повороту внутреннего кольца на угол р вокруг оси последнего. Такое же перемещение рнутреннего кольца может быть получено при двух других последовательностях поворотов, соответствующих двум рассмотренным случаям переставимости поворотов:
поворот внутреннего кольца вместе с наружным на угол р вокруг фиксированной в неподвижной системе отсчета оси вто
рого поворота исходной последовательности, на которую попадает ось внутреннего кольца в результате первого поворота исходной по
следовательности, и 'поворот внутреннего кольца на угол а вокруг оси наружного кольца в ее новом положении после поворота на угол р；
поворот внутреннего кольца на угол 0 вокруг своей оси при непо
движном наружном кольце и поворот внутреннего кольца вместе с наружным на угол а вокруг оси наружного кольца.
При неподвижной оси наружного кольца первая из двух по'следова- телъностей,' рассматриваемых взамен исходной последовательности, является неосуществимой.
Л итература
Лурье А. И. Аналитическая механика. Физматгиз, 1961.
Лурье А. И. О теории конечных поворотов твердого тела. «Прикладная математика и механика», 1957, 21, № 4.
В. А ДОБРОНРАВОВ
ВЕКТОРНЫЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАБЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ДАЛАМБЕРА
(ПО ЗАДАННЫМ СКОРОСТЯМ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА)
Излагаемый метод вывода классической формулы Эйлера, выражающей распределение скоростей точек твердого тела при его сферическом движении, т. е. при движении с одной неподвижной точкой, имеет эвристическую ценность.
Процесс вывода способствует развитию векторно-механического мышления у изучающих теоретическую механику. В практике преподавания данный вывод может быть использован даже при изложении кинематики слушателям с подготовкой по векторной алгебре в объеме обычного курса высшей математики во втузе, не говоря уже о вузах и факультетах полууниверситетского типа; в особенности данный материал
будет полезен студентам, занимающимся в кружках СНО по теоретической механике.
Доказывается следующая теорема, состоящая из двух частей:
При движении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, в теле существует в каждый момент времени такая прямая, проходящая
через неподвижную точку тела,через неподвижную точку тела,скорости всех точек которой в данный момент времени равны нулю; такую прямую можно назвать «мгновенной осью вращения» тела.
через неподвижную точку тела,
через неподвижную точку тела,
II. Можно найти такой вектор Q, через который скорость любой точки Q тела в данный момент времени может быть выражена в виде
0Q = Q 义「Q.
Доказательство теоремы опирается только на следующие данные: а) движущееся тело (S)——абсолютно твердое; б) оно имеет точку О, скорость которой в некоторой системе координат равна нулю в каждый момент времени.
Неподвижную точку тела О примем за начало неподвижной системы О 8唯 координат, связанной с неподвижным пространством.
Р адиусы-векторы некоторых двух точек В и D тела обозначим через гв,戸о； вве-
• дем в рассмотрение вектор p = DB. Имеем: р =『в —尸о, отсюда р2 = р2 = =const (на основании абсолютной неизменяемости тела);
отсюда
Гв + Гл — 2rBrD = const.
е. гвгр = const...(1/
Дифференцируем (1) по времени гвГр + гвГр^О, или
вг d = ^огв*(2}
Соотношение (2) выражает некоммутативную операцию над двумя любыми векторами гв и гр. Из (2) вытекает:
=(3?
что очевидно и из сферичности движения твердого тела.
Докажем теперь существование в теле множества (N) точек Р, для которых—
0P=0.(4》
Если такие точки существуют, то каждая из них, вместе с любой точкон Л тела, не принадлежащей множеству (N), будет удовлетворять условию (2), т. е. условию _ __ _
^аг р= — ^рГд =0.(5)
Таким образом, точка Р, удовлетворяющая (4), находится в плоскости 〃，проходящей через точку О, перпендикулярно к скорости точки А, Но на основании (3)万工戸厶=0, т. е. точка А находится в этой же плоскости П. Но, в силу трехмерности тела (S) (вернее, подвижного пространства, связанного с телом), существует точка £, для которой
石七抬 0 и Е W 0.(6)
В то же время, на основании (5) точка Е вместе с точкой Р должна удовлетворять и соотношению (2),
р^гр= =0 на основании (4),(7)
т. е. каждая точка Р множества N располагается также и в плоскости, проходящей через О, перпендикулярно к скорости точки Е.
Таким образом, искомая прямая ОР, у которой скорость каждой точки равна нулю, ортогональна к скоростям всех точек тела. Для окончательного доказательства всей теоремы рассмотрим вектор
旨=为(石鼻>< 以)，(8)
коллинеарный с прямой ОР, где 万——пока неопределенный скалярный множитель, и найдем такую величину этого множителя, при которой для любой точки Q тела будет выполняться соотношение
Dq= " X「Q・(9)
Сначала докажем это для точек А и Е, т. е. найдем 力，при котором будут справедливы соотношения:
②2x厂人=守人.(Ю)
Согласно известной формуле двойного векторного произведения имеем:———
。X (力 X c) = b(ac) — c (ab).(11)
Рассматриваем второе соотношение в (10), заменяя Q его выражением из (8):__
力(苏4XD石)X ra = ^a(12)
ИЛИ—__—
r'A X k (vA X 苏e)=一吃，(12，)
или на основании (11)
k 但厶(Га^^ — ^е (Г4石4)} = —Da.
Но на основании (3) будем иметь га^а=0, следовательно:
/A (ь3七)=-vA,(12")
откуда
k =.
То же самое .найдем и из первого равенства (10), которое переписываем сначала в виде___—
力万七X (вАx三上)}=-右上(13‘)
ИЛИ_
k{vA ^rEvE)—vE(rEvA^}=—vE.(]3〃)
откуда, принимая во внимание 了石万石=0、
rEVA
Но на основании (2) рега =——万а尸е, a Q примет вид
(14)(14)Q = - 一 (办 x 班•)—二 二一 3七 X 办).
(14)
(14)
Покажем, что соотношения (10) при найденном Q в (14) распространяются на любую точку Q тела. Справедливость данных соотношений доказана уже для трех точек тела: Л, Е, Я (точка Н лежит на ОР, коллинеарной с Q); возьмем произвольную точку Q. Ее радиус-вектор, как четвертый вектор, будет линейно зависим от трех остальных (по основной теореме линейной алгебры). Следовательно, будем иметь:
飞=人］以+ 、мгe +入3厂"，(15)
отсюда, дифференцируя:
刁q = X良4 Y^e + }^h-(16)
Выражая 方厶，万石，vh через Q из (8) и (14), найдем
%=Q X (入］厂▲+入2”+4厂")=Q X 厂q, что и требовалось доказать.
Теорема о нахождении мгновенной оси вращения тела, мгновенной угловой скорости тела и вывод формулы Эйлера по скоростям двух точек Л и Е доказаны.
Литература
D. Е. Christie. Vector — Mechanics. 1964. Sect. 13.6.
«Механика» (газета кафедры теоретической механики МВТУ им. Н. Э. Баумана), 1969, № 5.
С 4 ВОЛЬФСОН
К ДИНАМИКЕ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
При решении задач динамики плоского движения твердого тела применяют обычно систему трех дифференциальных уравнений. В ряде случаев, однако, решение задачи можно значительно упростить, если вос-
Рис. 1Рис. 1пользоваться некоторыми особенностями плоского движения.
Рис. 1
Рис. 1
На рис. 1 показана фигура, образованная сечением тела плоскостью его симметрии, в которой расположена траектория центра масс тела С. Р и Q — соответственно мгновенные центры скоростей и ускорений плоской фигуры.
vc и wc — скорость и ускорение центра масс.
Найдем линию действия вектора количества движения тела
K = nwc，
рассматривая его. как «равнодействующую» количеств движения всех точек тела. Для этого воспользуемся выражением кинетического мо-
мента (главного момента количества движения) тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей
L р ^^ J рО),
где Jp ——момент инерции тела относительно указанной оси; со ——угловая скорость тела.
С другой стороны
L р = К • АР = твс，厶 2
отсюда
J ^ = т^с- АР
т- СРт- СРили
т- СР
т- СР
(1)
Точку Л можно условно считать точкой приложения количества дви
жения тела.
Из (1) следует, что эта точка является центром качаний тела как
физического маятника, относительно точки Р.
Как известно, равнодействующая всех приложенных к телу сил R = mwc проходит через точку В, также являющуюся центром качаний относительно точки Q.
Это следует из того, что главный момент всех приложенных к телу сил относительно оси, проходящей через мгновенный центр ускорений и перпендикулярной плоскости движения
где JQ ——момент инерции относительно указанной оси;
8 ——угловое ускорение тела.
Имея в виду, что с другой стороны
получаемполучаемMq = R・BQ，sin〈R；BQ)=mwc • BQ.smgc、CQ),
получаем
получаем
BQ =一=—^—.mwc sin (wc CQ) m-CQ
Таким образом, в соответствии с теоремой Гюйгенса
AC・CP = BC・CQ = KAC・CP = BC・CQ = K(2)(2)
AC・CP = BC・CQ = K
AC・CP = BC・CQ = K
(2)
(2)
где ic ——радиус инерции тела относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости движения.
Заметим, что, как видно из (2), точки Р, Q, А и В всегда расположены на одной окружности.
В теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, точки Р и Q совпадают, следовательно, совпадают А и В, т. е. в центре качаний приложены как равнодействующая А, так и количество движения К (рис. 2).
Рассмотрим качение без скольжения колеса по плоскости (рис. 3).
Вектор количества движения колеса приложен в точке А. Так как кинетический момент колеса относительно любой точки О на линии действия этого вектора
£° = 0 = const,
сумма моментов всех сил, приложенных к колесу относительно этой точки,
2也。=0.
За центр момента удобно принять неподвижную точку, с которой в данный момент совпадает точка Л, тогда
2Mn =0.
Это условие остается справедливым и при качении колеса по произвольной поверхности. Как видно из рис. 4, кинетический момент колеса отно
сительно неподвижной точки, с которой совпадает точка А в данный момент времени, равен нулю и является экстремальным.
Следовательно,
Очевидно, что через точку А проходит равнодействующая всех приложенных к колесу сил.
Таким образом, в любом случае, сумма моментов всех сил, приложенных к катящемуся без скольжения колесу относительно《центра качаний» (точки Д), равна нулю.
Рассмотрим в качестве примера задачу № 1095 из сборника задач И. В. Мещерского.
Сплошной однородный цилиндр веса G опускается, разматывая нить (рис. 5). Требуется определить натяжение нити Т.
Положение точки А определяется из условия
Имея в виду, что находимИмея в виду, что находим2 Мм=。，一7•若"+(?・厶e=0,2 Мм=。，一7•若"+(?・厶e=0,T = G —T = G —GGАРАР
Имея в виду, что находим
Имея в виду, что находим
2 Мм=。，
一7•若"+(?・厶e=0,
2 Мм=。，
一7•若"+(?・厶e=0,
T = G —
T = G —
G
G
АР
АР
В качестве другого примера рассмотрим качение колеса под действием силы Q, приложенной к нити, намотанной на барабан, жестко связанный с колесом (рис. 6).
Направление силы сцепления (силы трения покоя) здесь заранее неизвестно. Однако положение точки А позволяет сразу определить направление силы сцепления.
Из условия
следует, что если точка Л находится выше нити (рис. 6). то сила сцеп-* ления направлена в сторону, обратную направлению силы Q. Если бы точка /4 оказалась ниже нити, то сила сцепления была бы направлена в сторону движения колеса.
Если точка А находится на линии действия силы Q (АС = г), то сила ■сцепления равна нулю. В этом случае сколь угодно большая сила Q вызовет качение колеса без скольжения даже по абсолютно гладкой поверхности.
Для случая АС>г, сила сцепления
/2Так как АС=—Rто/2Так как АС=—RтоQ (A C — г)十 R -Q (A C — г)十 R -Q (/% — rR)+ #2Q (/% — rR)+ #2
/2
Так как АС=—
R
то
/2
Так как АС=—
R
то
Q (A C — г)
十 R -
Q (A C — г)
十 R -
Q (/% — rR)
+ #2
Q (/% — rR)
+ #2
Дифференциальное уравнение движения центра колеса
%^C = Q-尸см
mic = Q 亭七"2 •(3)
左十
Уравнение (3) остается действительным и при АС<^г, когда
尸 一 Q(—/C)сц— AC + R ，
俏％ = Q +尸з・
С. О. ТИТКОВА
К ВОПРОСУ О КАЧЕНИИ ШАРА
Шар, катящийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге ![1]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, вапример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но *из этих уравнений получает только один интеграл ——постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянным,и две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным.
Кроме того, необходимо выяснить и такой вопрос ——чему равны касательные реакции плоскости, т. е. силы трения, в случае качения шара без скольжения.
Целью данной работы является довести задачу о качении без скольжения однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости до конца и получить все интегралы этого движения.
Применение к решению задачи о качении шара общих теорем динамики. Рассмотрим движение однородного твердого шара радиуса Ъ по шероховатой горизонтальной плоскости, которую мы примем за плоскость С=0 неподвижных осей g,刀，& с осью 白，направленной вертикально вверх (см. рисунок).
Точка ", в которой в любой момент шар соприкасается с опорной плоскостью, по отношению к неподвижным осям имеет координаты 自口, Пн, Сн=°, а ：по отношению к подвижным осям g, т/,百二 перемещающимся поступательно вместе с центром С ——0, 0,——b. Трением качения пренебрегаем. На шар во все время движения действуют две силы ——сила тяжести Р и некоторая сила реакции Я, с которой на шар действует плоскость С = ° в уточке соприкосновения Н. Последнюю разложим на три 'составляющие Яе А^ и Я：. Оси %, у, z жестко связаны с движущимся шаром. Положение шара, как известно, определяют шесть обобщенных координат — координаты центра &,加，金 и три угла Эйлера ср,屮 к 6. Из этих шести обобщенных координат независимы только три в силу уравнений связи.
При качении без скольжения шара по шероховатой поверхности условие, накладываемое связью, таково, что скорость точки касания шара с плоскостью Н должна быть равна нулю.
VH = Vc-\-^XClT.(И'
откуда
% =一加上，(3)
t,=0.(41
Уравнения (2) и (3) являются уравнениями неголономной -связи.
Из уравнения (4) следует, что
⑸⑸J=6 = const.
⑸
⑸
Проекции угловой скорости шара на неподвижные осп координат выражаются, как обычно, через углы Эйлера следующими соотношениями:
2 = ?sin Hsiirp + Ocos%
⑹⑹— ? sin Heos 少 + 6 sing), 伙=中cos 9 +少.
⑹
⑹
В качестве независимых переменных выберем три угла Эйлера 屮，屮 и 0.
Для составления уравнений движения шара воспользуемся общими теоремами динамики. Так как шар однородный и оси 匕 幫‘ и ? являются для него главными осями инерции, то по теореме об изменении кинетического момента имеем:
/彳0)刀=：Re 。 b、,(7)
人，伙=z().
Из третьего уравнения системы (7) немедленно следует, что
д = 0,(8)
•а поэтому
со： = со^о = const.(9)
Теперь воспользуемся теоремой о движении центра масс системы:
俏亢=&，(1。)
%=2一夕，
где т — масса шара.
Учитывая (5), из третьего уравнения системы (10) получаем
R『P・(И)
Продифференцируем по времени уравнения неголономной связи (2) и (3):
匕=%) I
Подставив уравнения (7), получим:
(12) в первые два уравнения (10) и учитывая 凡(团力2+(八=0,
откуда имеем:
2 =。. J0
А следовательно, из (10) имеем
■а из (7)
厶=0；%=0；
{= const,]
•(14)
% = const,丿
co： = Const, ) ⑴=const. J
Таким образом, если шару сообщить чистое качение без скольжения,, то он будет катиться с постоянной угловой скоростью, так как в этом случае проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат Е, П н С постоянны, причем со： =0 для чистого качения. Центр шара прч этом движется прямолинейно и равномерно согласно (14) и (15), что и изображено на рисунке.
так как касательные составляющие реакции связи, т. е. силы трения, равны иулю (13), то движение шара не изменится, если в процессе движения он перейдет на абсолютно гладкую плоскость.
Разумеется, речь идет только о таком движении, когда на шар, кроме его веса и реакции связи, никакие другие силы не действуют.
Рассмотрим теперь, как будет двигаться шар, если ему в начальный момент сообщили качение со скольжением.
Пока шар катится по плоскости со скольжением, уравнения (2) и (3) неголономной связи не выполняются. Следовательно, мы имеем систему с пятью степенями свободы. Как указывалось выше, скорость точки " равна__ 一 一
откуда
I/ = —j
VH =九十仅上，(16)
Но в силу законов динамического трения
飞=_fN , I
И, как мы показали ранее,
Здесь / ——коэффициент трения между плоскостью и шаром;
N ——давление шара на плоскость, но так как плоскость горизонтальна, то N = Р.
Воспользуемся теоремами о движении центра масс:
也=f产
dt J
и об изменении кинетического момента:
Получим:Получим:ОткудаОткудаdt欣=-fN ~,с * Унv н0=—夕 + N.%= 一/g.dt欣=-fN ~,с * Унv н0=—夕 + N.%= 一/g.(18)(18)
Получим:
Получим:
Откуда
Откуда
dt
欣=-fN ~,с * Ун
v н
0=—夕 + N.
%= 一/g.
dt
欣=-fN ~,с * Ун
v н
0=—夕 + N.
%= 一/g.
(18)
(18)
Далее, так как для шара всякий диаметр есть главная ось инерции и момент инерции шара относительно какого-нибудь диаметра равен
J = 3 mb?、
имеем
2
5
2
L-^ =丁" tnb^r^ 5
о
Lc = -7- mb%(
и
加& = — fmgb,
阻：=fmgb,
附 f' = 0,
то, проектируя уравнение моментов на неподвижные оси, придем к
трем уравнениям:
2 •/ %；
fg,
”尸/g VH '(19)
-3—力伙=0.
3
Дифференцируя (16) по времени и исключая 自仃 4с，со а и со Tj при помощи (18) и (19), имеем:
.7%
f cr
42J 总Vh
.7
V H =fg ——-.
%2」& Vh
Пусть р—-угол, составляемый в плоскости С=0 вектором Ун с осью 自,
тогда
V/ = 1/ cos 区 =lZsinS
и
~ -|~COS ?・/g,
廿勺=I~sin3・/g,
a
乙~步一；左（20）
Откуда: скорости тех точек шара, которые последовательно приходят в соприкосновение с плоскостью, имеют в соответствующие моменты
соприкосновения одинаковые направления и сторону, и, во-вторых, из (20)
(21)
Таким образом, по истечении конечного промежутка времени 4 = —скорость VH обращается в нуль» и, начиная с этого момента, постоянно равна нулю. Так как если бы Vh изменялась непрерывно и далее при 2>厶，то мы бы получили при />介，что Vh увеличивается по аосолютнои величине, то есть———> 0, а исходя из физического смысла dt
задачи, совершенно очевидно, что во все время движения шара со скольжением ——-< U, так как сила трения всегда препятствует движению. dt
Итак, мы получили, что всякая фаза движения шара со скольжением после некоторого конечного промежутка времени необходимо оканчивается состоянием чистого качения, то есть скорость VH при этом обращается в нуль, и дальнейшее движение шара может представлять собой только чистое качение.
Приведенное нами доказательство этого положения содержится в книге [3], ч. 2, гл. IX.
Применение к решению задачи о качении шара уравнений движения Аппеля для неголономных систем. Это решение приведено в книге [1], но оно не доведено до конца.
Уравнения движения Аппеля для систем с линейными неголономны- ми связями, как известно, имеют вид:
旦二Qa (々 = 1, 2,...,切，(22)
где р ——число степеней свободы системы;
Qa ——обобщенные силы Аппеля;
% — независимые обобщенные координаты;
S ——функция Аппеля, называемая энергией ускорений и равная половине суммы произведений масс точек системы на квадраты их ускорений:
S = /£ 恤(/(23)
N —- число точек системы.
Составим уравнения Аппеля для шара, катящегося без скольжения по шероховатой горизонтальной плоскости.
Для этого используем теорему, аналогичную теореме Кёнига для кинетической энергии, т. е. энергия ускорений системы материальных точек S в ее абсолютном движении равна сумме
S = S, + S‘，(24)
Sc=-~- та^ — энергия ускорений центра масс системы; (25) где
S'——энергия ускорений системы в ее относительном движении по отношению к подвижной системе координат, имеющей начало в центре масс системы и движущейся поступательно вместе с центром масс.
■Определяем:
Sc-^т^т^(26)
£0 ="气=力(-~？ sin 8 cos屮+百sin中——?6 cos 6 cos少+
+ yj sin 9 sin 屮 + 6, cos 屮)；(27)
%=-力倏=——少(+?sin 0 sin中十0 cos屮+ ?0cos 6 sin中+
+ ?屮 sin 0 cos 屮好 sin 屮).(28)
Подставив (27) -и (28) в (26) и сделав все вычисления, получим:
Sc=-^~ mb2[02-1-(р2sin2б -J-2 sin б (Qj@ —屮6 屮+ Q6 屮 cos 6)]-[-члены, не
содержащие вторых производных от независимых обобщенных координат.(29)
Как ясно из физического -смысла задачи, относительное движение шара по отношению к подвижной системе координат ?, т/, ? является сферическим, поэтому
S' = / [，*:.+ /у^ + 厶(4]+2 (厶一儿)(3*x +
+ 2 (J* -厶)⑴Х%也+2 (儿一J人.)(%⑴*⑴z •"
Так как для шара Ix = Iy = IZj то
S =子 m^2 (з* + d' + 硝，(30)
где k ——радиус инерции шара относительно любой оси, проходящей через его центр;
как известно, 出=£按,(31)
где ^ — радиус шара,
10r =巾 sin 8 sin 屮 + 0 cos 7 '
(%=屮 sin 6 cos 平一6 sin %(32)
(%=中 cosH + 屮.
Из (32) ；находим ⑴*,①沙 со2 и подставляем в (30).
Получаем
S/=丄〃滋2慨+中2 +乎+2丁中cos 0 4
2. (q不
十2sE0(?) 6——中6g——0中屮)]+ илены, не1丿
содержащие вторых производных от ?,屮 и 0.
И окончательно, подставив (33) и (29) в (24), получаем энергию ускорений для шара:
S =— т^2[^4- ^2 + Ф2 + 2^ cos 8 + 2 sin 8 (6g j —jg 6 —屮屮6)]+ 】
4~-i- mZ?2[62-|-^2sin2 6-p2 sin 8(6屮 j+ у屮 6 cos 6 ——屮。屮)]+■ (34)
4-члены, не содержащие вторых производных от обоб-щенных координат.
(35)一(35)一Обобщенные силы Аппеля выражаются таким образом: N —_
(35)一
(35)一
Qa=〉尸勿 4а'
k=l
где 4% —вектор Аппеля, равный
°«а°«аh=p+1h=p+1,36》,36》
°«а
°«а
h=p+1
h=p+1
,36》
,36》
где ，а — независимые обобщенные координаты;
qh ——зависимые обобщенные координаты;
(37)(37)历2a——коэффициенты в уравнениях негол оном ных связей:
(37)
(37)
Qh ~ 2 bhaqа ~\~ bh・a= 1
Так как на шар действует только одна активная сила——■сила тяжести, то обобщенные силы Аппеля равны:
Q产+生忆+警儿)(38>
где = M + V +(39>
Подставляя (39) в (38), имеем:
q,=戸.(0 + 牝/+ &/)= о.(40)
Аналогично:
Q尸》(粤屁"用％屮)=Р^^Ь^Ь^]} = ^ (41)
Q。= a。力=»(° + %/+ 力方)=0 • (42)、
\加出С0%/
Следовательно, уравнения Атгпеля для катящегося шара будут иметь вид:
(43)(44)(45}(46>(43)(44)(45}(46>^^ =团々2(Q + § cos 6 —巾6 sin 6)+ 俏匕2(^sin26 —叫 sin 9 + 屮6 sin 6 cos 6) = 0;
(43)
(44)
(45}
(46>
(43)
(44)
(45}
(46>
■^^ =团奴(屮 + 屮 COS 6 ——фб sin 6) = 0；
—^т(力2 + 力2)(6 + yj sin 8) = 0. 捅
Из (44) nOviynaeM первый интеграл:
少+ 勺 cos 9 = const,
то есть
伙=const.
Определив из (44)屮 и подставив в (43), после несложных преобразований получим:
? sin 8 + 屮0 cos 8 — 06 = 0.(48>
Умножив обе части полученного уравнения на sin гр?, прибавим и вычтем выражение 屮《sin 6 cos 屮，после чего заменим ——屮屮 sin 6 на 0 согласно уравнению (45).
Получим:
? sin Н sin ? + 屮6 cos 6 sin少 + 屮巾 sin G cos 屮 + 6 cos 屮一H少 sin 屮=О,
откуда следует, что зе = 0 [согласно (6)], то есть
佻=const.(49)
Аналогично, умножая обе части уравнения (48) на cos г|?； прибавляя и вычитая выражение 屮屮 sin 6 sin 屮 и делая ту же замену —屮屮 sin 6 = 0, получим:
—— 屮 sin® cos屮—— ？6 cos б cos 屮+ g)sin6 sin屮+ Gsin屮+。中 cos屮=0,
откуда, согласно (6), имеем: з「°， то есть,
0^ = const.(50)
Согласно (44) выражение 屮0 sin 6 =屮十屮 cos 0 подставим в (43). Получим:
优(々2 4■力2)(?+ 屮 cos 6 — ФО sin 8) = 0, то есть'
? + 屮 cos 9 —屮® sin 6 = 0, откуда, согласно (32)
吗=0 и 吗=const.(51)
Ш. Окончательное интегрирование уравнений движения шара. Итак, результаты, полученные для катящегося шара с помощью общих теорем динамики и уравнений Аппеля для неголономных систем, совпадают. А именно, мы получили, что в случае чистого качения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости проекции угловой скоро- стм шара на неподвижные оси координат постоянны и -сам вектор угловой скорости лежит в горизонтальной плоскоста (так как при качении без верчения со^О), а реакция 'направлена ;по .'но-рмали к шлоскости, то есть силы трения равны нулю.
Чтобы решить задачу до конца, определ.им углы Эйлера в функции времени.
Так как (必=0, то имеет место равенство:
0 +屮 cos 8 = 0.(52)
А из (51)
⑴2 = Т +0 cos А = const =(%•
Но согласно чертежу
(^ = 3% sin 90 sin 屮° —叫。sin 60 cos Фо.
Выберем начальные условия таким образом, чтобы
а。=。，
屮о = О,(53)
屮о = О,,
то есть в начальный момент совместим систему координат х, у, г с системой g‘，т/,В этом случае
(“о =^(“2 = °，
откуда
? +屮 cos 8 = 0.(54)：
Решая совместно (52) и (54), получим:
?―(Рcos20 —0； (^sin29 = 0.
Так как sin2 9 ^*0 во все время движения шара, то
▼=0(55>
и из(52)
Ф = 0.(56)
Из (45)9 + 屮屮 sin 8 = 0,
откуда
0 = 0 и 6 = const.(57)
Таким образом, если в начальный момент подвижную систему коор* динат х, у, г совместить с системой 『，т/, ?, движущейся поступательно вместе с центром масс системы, то углы ф и гр во все время движения остаются равными нулю, т. е. не изменяются, а 0 изменяется пропорционально времени.
Из (57)
6 = &% + &,(58)
где С】и С2 — постоянные интегрирования.
А это означает, что при чистом качении шара система координат х, р, г вращается вокруг некоторой горизонтальной оси, лежащей в плоскости ； = 0.
Литература
Л1 а к - М и л л а и. Динамика твердого тела. М, ИЛ, 1951. гл. X.
П. Аппель. Теоретическая механика. Т. I, II. А1, Фпзматгиз, i960.
Т. Л е в и - Ч и в и т а и У. А м а л ь д и . Курс теоретической механики..
Т. II, ч. 1 и 2.
11 кон.
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО :
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
Рекомендовано
Учебно-методическим управлениемпо высшему образованию
СБОРНИК
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СТАТЕЙПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ВЫПУСК 2
е
И ДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА>Москва 1971