ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящее издание подверглось значительной переработке с целью, с одной стороны, приблизить его содержание к задачам учебника, а с другой — обновить изложение некоторыми новыми современными вопросами.

Не имея возможности увеличивать и без того уже значительный объем книги, пришлось поступиться некоторыми специальными разделами механики жидкости и газа, не отвечающими задачам настоящего общего курса. Так, в динамике неоднородной жидкости опущен вопрос о движении многофазных сред и сохранен только вывод уравнений многокомпонентных потоков газа, тесно связанный с описанием явлений диссоциации и ионизации молекул при сверхзвуковых течениях газа. Не включен также раздел, посвященный макроскопическому подходу к расчету потоков запыленного газа, уступающему место методам кинетической теории молекулярных движений. По той же причине исключен параграф об исследовании скачка уплотнения с точки зрения динамики сплошных сред и некоторые другие вопросы, затрагивавшиеся в предыдущем издании.

В отличие от предыдущих изданий, где лишь приведены формулы векторного и тензорного исчислений, в настоящем издании помещено краткое систематическое изложение основ этой области математики. В дополнение к элементам теории подобия дано представление о теории размерности и доказательство основной теоремы этой теории.

Вновь написаны три параграфа, содержащие изложение некоторых общих методов численного интегрирования дифференциальных уравнений и иллюстрации их применений к уравнениям Навье——Стокса динамики вязкой жидкости. Значительная переработка содержания главы о турбулентности привела к появлению новой главы, специально посвященной методам расчета турбулентных пограничных слоев. Во многих местах учебника устранены замеченные методические просчеты.

Доктор физ.-мат. наук, профессор Г. Ю. Степанов с исключительным вниманием прочитал рукопись и сделал большое число важных для качества книги научных и методических замечаний.

Доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. В. Лапин прочел в рукописи главу XIV и сделал по ней ряд полезных замечаний. В работе над рукописью и корректурами неоценимую помощь оказал доцент кафедры гидроаэродинамики Ленинградского политехнического института канд. физ.-мат. наук С. Б. Колешко, который не только осуществил научное редактирование рукописи и сделал много полезных замечаний, но и составил три новых параграфа (§ 103—105), посвященных численному решению задач динамики вязкой жидкости. Считаю своим долгом нрнне- 「ти названным.лицам гвою сердечную благодарность.

От редактора

В подготовке настоящего издания большая помощь была оказана коллегами Льва Герасимовича—сотрудниками кафедры гидроаэродинамики СПбГПУ, в особенности С.Б.Колешко, и дочерью автора И.Л.Лойцянской.

ВВЕДЕНИЕ

Предмет механики жидкости и газа.

Математическая модель жидкости и гааа — сплошная текучая среда

Все материальные тела, независимо от их агрегатного состояния: твердого (кристаллического или аморфного), жидкого или газообразного, обладают внутренней молекулярной (атомной) структурой с характерным внутренним тепловым, микроскопическим движением молекул, являющимся причиной наблюдаемых на практике макроскопических процессов. В отличие от кинетической теории вещества, механика жидкости и газа занимается только этой макроскопической моделью, представляющей жидкости и газы как некоторую сплошную текучую^ среду с непрерывным (строго говоря, кусочно-непрерывным) распределением физических величин, определяющих ее движение и состояние.

Подобно тому, как предметом теоретической механики принято считать модели материальных точек и частного случая сплошной среды — абсолютно твердого тела, предметом механики жидкости и газа служит модель сплошной деформируемой среды, обладающей, в отличие от уп「 ругого тела, неограниченной деформируемостью ——текучестью. Это свойство выражается прямой зависимостью в такой среде касательных напряжений от скорости деформации сдвига (подчеркнем: скорости деформации, а не самой деформации). Равенство нулю скорости деформации сдвига, например, при покое среды, означает и отсутствие в ней ка， сательных напряжений, но пропорциональность этих двух величин имеет место только в частном случае так называемых ньютоновских жнд： костей. Как будет показано далее в § 85 и 90, существуют жидкости с аномальной текучестью, у которых одновременное равенство нулю ско ростей сдвига и касательных напряжений может не осуществляться. Этими и другими неньютоновскими жидкостями занимается общая наука о текучести сред — реология.

Используемой в настоящем курсе модели сплошной среды приписываются феноменологические свойства: плотность, силовая напряженность, деформируемость, вязкость, тепло- и электропроводность, намаг- ничиваемость и др., сущность которых на молекулярном уровне не рассматривается; эти вопросы ——предмет специальных разделов физики.

Применительно к среде в целом и к отдельным ее частям постулируется возможность применения общих законов механики дискретной системы материальных точек: сохранения массы, количества движения, момента количества движения, механической и общей термодинамической энергии. Из этих общих механических законов выводятся основные дифференциальные уравнения механики жидкости и газа и следующие из них общие интегралы или теоремы. Полная определенность в применениях этих уравнений требует учета дополнительных феноменологических законов-, уравнения состояния, закона Ньютона — для вязкости, Фурье —— для теплопроводности, Фика — для диффузии^ и других.

Краткие сведения о молекулярной структуре вещества

В зависимости от количественного соотношения между кинетической энергией движения молекул и потенциальной энергией межмолекулярного силового взаимодействия возникают различные молекулярные структуры и разновидности внутреннего движения молекул.

В твердых телах основное значение приобретает молекулярная энергия взаимодействия молекул, вследствие чего молекулы располагаются в правильные кристаллические решетки с положениями устойчивого равновесия в узлах этой решетки. Тепловые движения в твердом теле представляют собой малые колебания молекул относительно узлов решетки с высокой частотой (порядка 1012 Гц) и амплитудой, пропорциональной расстояниям между узлами решетки. В молекулярной структуре твердого тела обеспечиваются как 《ближний》, так и «дальний» порядки. К твердым телам относятся также вещества в аморфном состоянии, не имеющие кристаллической структуры, но обладающие «ближним» порядком, во многом схожим с таковым в жидкостях (см. далее). Аморфные состояния мало устойчивы и легко переходят в кристаллические.

В противоположность твердому телу, в газах отсутствуют как ближний, так и дальний порядки. Молекулы газа совершают беспорядочное движение, причем взаимодействие их сводится только к столкновениям. В промежутках между столкновениями взаимодействием между молекулами пренебрегают, что соответствует малости потенциальной энергии силового взаимодействия молекул по сравнению с кинетической энергией их хаотического движения. Среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями молекул определяет «длину свободного пробега». Скорость «пробега» молекул сравнима со скоростью распространения малых возмущений (скоростью звука) в данном состоянии газа.

Жидкие тела по своей молекулярной структуре и тепловому движению занимают промежуточное положение между твердыми и газообразными телами. По существующим воззрениям вокруг некоторой, приобретающей роль центральной, молекулы группируются соседние молекулы, совершающие малые колебания с частотой, близкой к указанной ранее для колебаний молекул твердого тела в решетке, и амплитудой порядка среднего расстояния между молекулами. Центральная молекула либо (при -покое жидкости) остается неподвижной, либо мигрирует со скоростью, по величине и направлению совпадающей с местной средней скоростью макроскопического движения жидкости. В молекулярной структуре жидкости потенциальная энергия взаимодействия молекул сравнима по порядку с кинетической энергией их теплового движения; при этом обнаруживается ближний порядок, но отсутствует дальний. Доказательством наличия колебаний молекул в жидкостях служит известное «броуновское движение» мельчайших твердых частиц, внесенных в жидкость. Колебания этих частиц легко наблюдаются в поле микроскопа и могут рассматриваться как результат соударения твердых частиц с молекулами жидкости.

Различие в молекулярной структуре и тепловых движениях твердых, жидких и газообразных тел наглядно обнаруживается в явлении диффузии, заключающейся в распространении одного вещества (включения) в другое (носитель). Диффузия одного газа в другом (например, распространение запаха в воздухе) благодаря интенсивному молекулярному движению приводит к быстрому проникновению запаха в самые удаленные уголки помещения. Наоборот, диффузия жидкости в жидкости из-за слабой миграции центральных молекул, связывающих группы молекул, происходит значительно медленнее. Ярким примером

1111КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЕ ВЕЩЕСТВА

11

11

может служить исторический опыт Рейнольдса, вводившего в спокойно движущийся (ламинарный) поток воды сквозь цилиндрическую грубу тонкую струйку красящего вещества. Струйка вдоль почти всего рабочего участка трубы не меняла заметно свою толщину, что говорит о медленной молекулярной диффузии, присущей ламинарному движению воды. При переходе к турбулентному режиму течения, когда молекулярный механизм диффузии заменяется турбулентным перемешиванием конечных макрообъемов жидкости, возникает интенсивная турбулентная диффузия, и красящее вещество быстро заполняет весь поток.

Заметим, что явление диффузии, хотя значительно более слабое, чем в жидкостях, имеет место и в твердых телах. Два плотно притертых друг к другу образца из разных металлов спустя длительное время обнаруживают взаимное проникновение молекул.

Задачи астрофизики, связанные с изучением ионосферы, «звездных облаков» и других астрономических объектов, и особенно разнообразные физико-технические проблемы создания термоядерных реакторов, магнитогидродинамических генераторов для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую заметно повысили интерес к вопросам динамики ионизованных газов (плазмы).

В отличие от обычных электронейтральных газов, в которых силовое взаимодействие хаотически движущихся молекул проявляется лишь при их взаимных соударениях, в плазме благодаря высокой концентрации заряженных частиц возникают гораздо более существенные кулоновские взаимодействия. Это придает плазме особые свойства, в частности повышенную электропроводность, наиболее заметно проявляющиеся при воздействии на плазменные потоки внешних электрических и магнитных полей.

Исключительные по своему физическому значению и прикладным возможностям и вместе с тем весьма специфические свойства, которыми обладает плазма, привели к представлению о ней как о четвертом (после твердого, жидкого и газообразного) агрегатном состоянии вещества ').

Подробный очерк о свойствах плазмы и явлениях в ней можно найти в статье Б. Б. Кадомцева «Плазма» (Физ. энцикл. слов. Т. 4.——М.: Сов. энциклопедия, 1965, с. 15—24). См. также разделы 1.3 и 1.4 в монографии: Лукьянов Г. А. Сверхзвуковые струи плазмы.——Л.: Машиностроение, 1985, с. 13^—21 и приведенный в ней список литературы.

ГЛАВА I

ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОБЪЕКТИВНОСТИ ВЕЛИЧИН,ЗАДАННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПОЛЯ

Скалярные и векторные поля. Условия физической объективностизаданных аналитически скалярных и векторных величин

Полем физической величины (скорости, ускорения, давления, плотности, температуры и т. д.) называют совокупность значений этой величины, однозначно определенных в каждой точке некоторой части пространства. Могут существовать скалярные, векторные и, как мы далее увидим, тензорные поля в зависимости от рода той величины, распределение которой задается полем.

Если во всех точках поля скалярные, векторные или тензорные величины имеют одно и то же значение, то поле называется однородным, в противном случае ——неоднородным. Поля физических величин могут не изменяться с течением времени — быть стационарными, а могут изменяться —быть нестационарными.

Поле скалярной величины 屮(например, температуры, давления, плотности) аналитически задается в виде функции координат точек поля и времени (г — текущий вектор-радиус точки М лространства)

屮=屮(匕 у, n; 0=ф(м； 0=<р(п 0-(1)

Время здесь рассматривается как параметр, отмечающий отдельные моменты, к которым относятся поля, если они нестационарны, и может быть опущено, если поля стационарны.

Поле векторной величины а (скорости, ускорения, силы и т. п.) задается векторной функцией координат точек 而 и времени

а = а(х, у, z; /) = q (М; f) = 0 (尸；0(2)

или тремя проекциями вектора а

Пх = йа(X,协 2； /), CLy = Cly(X, У, N； /), UZ = UZ(X, у、N； /).(3)

Для сокращения объема записи будем часто пользоваться, взамен буквенной, числовой индексацией координат и проекций векторов, полагая

%—%i, У—尤2, n —•尤з；“工一％, a” “2, ^z—“3,

и писать вместо (3)

3=а»(%1,尤2,尤3； 0(^==: 1, 2, 3).

Кроме того, следуя приему, указанному Эйнштейном, будем опускать знак суммы 2 перед суммируемыми одночленами, если индекс, по которому производится «суммирование, повторяется в одночлене два раза. Так, например, 3

Ch = 2 (^ibik 二1 а,Ь/ 但二21,2, 3),

33

fpq2 QplbqmCim =^ apibqmClm (", q ^^ 1, 2, 3).

/=1 m=i

Повторяющиеся два раза индексы, по которым производится суммиро-

ванне, называют «немыми»; их обозначения можно в процессе вычисления менять:

с*=^ (libhl = Clmbhm(k= 1,2, 3).

Остальные индексы (как, например, k в предыдущей формуле) сохраняются в каждом данном процессе вычисления неизменными — их называют «свободными».

Напомним необходимые для дальнейшего формулы аналитической геометрии, выражая их в принятых только что обозначениях.

'Рассмотрим две системы прямоугольных декартовых координат: Ох{х2х3 и О%/%2‘汇з‘ (рис. 1), имеющих общее начало в точке О, но

厶*2*3«11«12«13а21«22а2з(I)а«1а82а33厶*2*3«11«12«13а21«22а2з(I)а«1а82а33как угодно повернутых друг по отношению к другу. Обозначим косинусы углов между «новыми» (штрихованными) и «старыми» осями через а魁 согласно таблице

厶

*2*3

«11

«12«13

а21

«22а2з(I)

а«1

а82а33

厶

*2*3

«11

«12«13

а21

«22а2з(I)

а«1

а82а33

Каждой системе координат сопоставим свою совокупность единичных векторов, направленных по осям коор

динат и называемых базисом координатной системы. Таких базисов в дан

ном случае два:八,4, % и ij,为‘,&'• Вектор-радиус г точки М можно разложить по этим базисам, положив

尸==%1»1 + %2»2 + 力3”3 ==*1»1 + 力2»2 + 尤3»3・

. Умножая скалярно обе части этого равенства последовательно на in %, i$ или на ij,二，丫，вспоминая, что

Ik* ii = ik* i^ — ^ki ~ I(5)

и замечая еще, что, согласно таблице (I),

Z也• ii= а&,(6)

получим следующие формулы преобразования «старых» координат хп 力2, % в «новые» х/,尤2‘，％з‘：

尤々—a^i%i + а^?%?十 а也з%з ■— а^/%?(力—1, 2, 3)(7)

или, наоборот, «новых» х/, х2\ 汇з‘ в «старые» хь х2, х3:

%々==a1也x1 + %々%2 + a3々%3 = a/々方/ 但=1, 2, 3).(8)

Учитывая, что проекции вектора а на оси координат а】,а&, а§ или а/,。2‘, а/ определяются разностями координат конца и начала отрезка, изображающего вектор, заключим, что формулы для проекций вектора при переходе от одной системы координат к другой будут иметь аналогичный вид

О)О)〃々==а^/а?, а饱—а法〃/ (左—-1, 2, 3).

О)

О)

Заметим, что формулы (9) справедливы только в ортогональных системах координат, которы-е за редким исключением и используются ниже.

Условимся называть физически объективными величины, в силу своей физической сущности не зависящие от выбора системы координат, в которой они аналитически представляются. Так, например, физический скаляр (температура, давление, плотность и др.), заданный своим полем> т. е. функцией координат 屮(修，х2, х3), должен быть инвариантом, удовлетворяющим равенству

屮(％, %，％з) = Ф (%： К, %；) = inv.

в котором подразумевается, что наборы «старых» и «новых» координат соответствуют одной и той же точке пространства.

Аналогично, вектор, заданный тремя своими проекциями ак(х1,х2,х3) (左=1, 2, 3) или в другой системе координат проекциями а/(х/, %2‘，％з‘) (々=1, 2, 3), чтобы представлять физическую величину, должен не зависеть от выбора осей координат.

Чтобы найти условия физической объективности векторной функции а, докажем сначала, что скалярное произведение а*Ь = аф^ где ah и bh удовлетворяют формулам перехода (9), не зависит от выбора направления осей координат, в которых эти сомножители определены, т. е. является инвариантом.

Согласно (9) имеем (力一немой индекс)

"々辰 =电^й7am血m=a/々am或力(1°)

Стоящее справа сомножителем выражение щ^тк представляет собой, согласно известной теореме аналитической геометрии, выражение косинуса угла между осями Ох/ и Ох^ через косинусы углов этих осей с

осями системы координат будетосями системы координат будетОх^2х3. По свойству взаимной ортогональности осей

осями системы координат будет

осями системы координат будет

coscos、(1, если m = t,

cos

cos

Аналогично,Аналогично,выражая косинус угла между осями Oxz и Охт черезвыражая косинус угла между осями Oxz и Охт через(И)(И)(12)(12))="宀={(), если

Аналогично,

Аналогично,

выражая косинус угла между осями Oxz и Охт через

выражая косинус угла между осями Oxz и Охт через

(И)

(И)

(12)

(12)

косинусы углов С ОСЯМИ системы 0x^X2 х^9 получим

если m = t9

COS(X/, %加)==^kl^km 八

(О, если

Учитывая (И), получим доказывающее инвариантность скалярного произведения а・Ь равенство

a^bk = аД = inv.(13)

Полагая в нем Ь=а, убедимся в инвариантности суммы квадратов проекций

а^а也—a Q/ — inv,(14)

т. е. квадрата длины (модуля) вектора, а следовательно, и самой длины (модуля) вектора. Имея в виду, что

cikbk = Q -Ь = ab cos (^^Ь), где а и & — инварианты, и задаваясь различными векторами &, убедимся также в инвариантности расположения вектора а относительно точек пространства.

Роль формул (9) как условий физической объективности аналитического определения вектора очевидна. Что касается формул (7) и (8) перехода от одной системы координат к другой, то они представляют собой частный случай формул (9) применительно к вектор-радиусу г тснт- ки М и, следовательно, устанавливают физическую объективность ана-

ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА. ДИАДА И ТЕНЗОР ПОВОРОТА 15 литического определения вектор-радиуса точки при помощи ее координат.

Обратив внимание на идентичность формул перехода от одной системы координат к другой для самих декартовых координат (7), (8) и для проекций векторов (9), можем сформулировать условия физической объективности аналитического представления векторов: проекции физического вектора при переходе ст одной прямоугольной декартовой системы координат к другой должны преобразовываться так же, как координаты.

§ 4. Тензор второго ранга. Условия физической объективностиего аналитического задания. Диада и тензор поворота

Наряду со скалярными величинами, поле которых определяется одной числовой функцией, и векторными величинами с полем, задаваемым тремя числовыми функциями ——проекциями вектора на оси координат, в механике сплошных сред используются и более сложные по математической структуре физические величины — тензоры второго ранга.

Определение тензора второго ранга можно ввести двумя независимыми друг от друга, приводящими к идентичным результатам способами.

Обобщая понятия скаляра и вектора и условий физической их объективности, определим тензор второго ранга Т в каждой точке трехмерного пространства как совокупность девяти величин Tpq (р, q=l,2,3)—— компонент тензора, заданных в некоторой прямоугольной декартовой системе координат и преобразующихся при переходе к другой системе координат по формулам (г, s — немые индексы)

Tpg = a“ags7\s, ТPq = ccrpccSqTrs (р, ^ = 1, 2, 3). (15)

Эти равенства можно трактовать как формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой произведения двух координат. Действительно,

ХрХд ■— a“％，aqs%s ^1 aprCLqsXrXs,

XpXq — BrpXrBsqXs == arpdsqXrXs、

что совпадает с (15).

Таким образом, согласно первому определению, тензор второго ранга представляет совокупность девяти величин ——компонент тензора — преобразующихся при переходе от одной системы координат к другой как произведение двух координат.

瓦= 7\м(k= 1, 2, 3),瓦= 7\м(k= 1, 2, 3),(16)(16)Второе определение тензора исходит из понятии линейной вектор- функции или линейного преобразования вектора. Аналитическим выражением того и другого являются равенства (/ ——немой индекс, k — свободный)

瓦= 7\м(k= 1, 2, 3),

瓦= 7\м(k= 1, 2, 3),

(16)

(16)

где 内 и bi ——координаты векторов а и b; Thi — коэффициенты линейной вектор-функции или линейного преобразования.

Второе определение тензора второго ранга гласит: если в линейном преобразовании (линейной вектор-функции) (16) физическому вектору о сопоставляется также физический вектор &, то совокупность коэффициентов преобразования Tht (財 /= 1, 2, 3) представляет в свою очередь физически объективную величину — тензор второго ранга.

В дальнейшем опустим упоминания о ранге тензора, так как тензоры выше второго ранга, как правило, встречаться не будут. Единствен-

ным исключением будет тензор третьего ранга Леви-Чивита (34). Тензоры обозначаются заглавными курсивными буквами (Р, Q, S и т. д.), а их компоненты теми же, а иногда и строчными буквами с двумя индексами. Так, тензор, представляющий совокупность коэффициентов линейного преобразования (16), может быть обозначен заглавной буквой Г, а для его компонент принимается обозначение Thh

Тензору Г соответствует его матрица (таблица) 3 в которой первым индексом принято обозначать номер строки таблицы, вторым—столбца. Тензор, матрица которого образована транспонированием — изменением порядка индексов на противоположный — матрицы исходного тензора Т, называют сопряженным, или транспонированным, по отношению к тензору Т и обозначают Т*. Приведем эти две м-атрицы:

Условия физической объективности аналитического задания тензора входят в оба его определения. Согласно первому определению требуется, чтобы компоненты тензора при переходе от одной системы координат к другой преобразовывались как произведения координат. Согласно второму определению (16) компоненты тензора должны быть коэффициентами линейного преобразования физического вектора в физический. Покажем, что эти требования вытекают одно из другого.

Согласно (9) и (16) имеем

bs== ^skbk '== а$^Тki^i== а$^Т*ki^pi^p === а^ВрТki^pr

но по тому же равенству (16), примененному теперь в системе со штрихами, будет

сравнивая с предыдущим выражением, получим

t sp =11a尤a川T尼/,

т. е. соотношение (15). Таким образом, исходя из второго определения тензора Т (16) и условий физической объективности векторов а и & (9), мы пришли к первому определению тензора (15), что и доказывает эквивалентность обоих определений.

Принятое определение тензора является физическим, чему и соответствуют условия его физической объективности. Существует также определение тензора как математического объекта с заданными свойствами относительно либо преобразования координат, либо выражения линейной вектор-функции. В настоящем курсе тензоры рассматриваются только в прямоугольных декартовой или криволинейной системах координат, что позволяет пользоваться лишь одними нижними индексами в обозначении компонент тензора.

Рассмотрим два характерных примера для каждого из указанных только что определений.

Составим из проекций ah (&= 1, 2, 3) и 瓦(Z= 1, 2, 3) двух физических векторов а и & совокупность девяти величин dhi=akblt Пользуясь формулами (7), легко показать физическую объективность этих произведений попарно взятых проекций векторов. Действительно, согласно этим формулам

dfd = Clkbi = ^km^m^lnbn = ^ktn^ln^mbn == ^km^lndmn*

Полученные равенства совпадают с условиями физической объективности тензора D, аналитически заданного своими компонентами dmn—

=/%«• Тензор D носит наименование диады, или мультипликативного тензора, образованного из двух физических векторов, а и &; образование диады обозначают следующим образом:

D=ab.(18)

Таблицы (матрицы) тензора D и сопряженного с ним тензора D* будут

。I 为瓦饱% @2ь3 I * d( "1% &b2 ^3^2 I •(19)

Выражение, стоящее в правой части (18), называют еще иногда диадным произведением двух векторов; напомним, что скалярное произведение а・Ь=Ь・а является скаляром, векторное произведение aXb= =—ЬХа — вектором, диадное произведение ab — тензором, причем

D*=(ab)*=ba.(20)

Простейшими примерами диады могут служить координатные диады, представляющие диадные произведения единичных координатных векторов — ортов 4, &. Подобно тому」как вектор а может быть представлен разложением a=ahihi так же и тензор Т разлагается по координатным диадам Т=Тмь в чем легко убедиться, выписывая компоненты обеих частей этого равенства и замечая, например, что

/0 1 0\

/也0 0 0 ,

\о о о/

Ti2= (Thiihii) i2=Т'п и т. п.

Таково, например, разложение диады общего вида по координатным диадам.

В качестве другого примера, иллюстрирующего второй способ опре* деления тензора, рассмотрим тензор 必 с матрицей, составленной из косинусов углов между двумя различными системами координат

Нет необходимости доказывать физическую объективность аналитического задания тензора ?1 его компонентами а^, так как они являются коэффициентами преобразований (7) и (8) физического вектора г в другой также физический вектор /, или же преобразований (9) любого физического вектора а в физический вектор а'.

Систему координат О%%%' можно рассматривать как результат такого поворота системы Ох^х^ при котором одноименные «старые» и «новые» оси совпадают. При этом любой вектор, закрепленный в системе OXiX2x3t совершит вместе с нею поворот в пространстве. Покажем, что произведение тензора Я (21) на произвольный вектор а, жестко связанный с 0%1%2%з, выражает поворот этого вектора в пространстве вместе с системой 0%i%2%3・ Имеем по (21) (определение произведения тензора на вектор см. далее в § 5)

您0)]=%的=%问；

или, согласно первому равенству (9),

Полученное равенство, содержащее в левой части i-ю проекцию преобразованного умножением на ?1 вектора а в системе。打“對 а в пра-

вой — одноименную проекцию а/ исходного вектора а в системе координат 0x^X2 х^, говорит о том, что результат умножения вектора а справа на тензор Я представляет собой тот же вектор а, но повернутый в пространстве как одно целое с системой координат Ox^x^. Такая ин терпретация вектора 91а позволяет дать физическому тензору 91 наименование тензора поворота.

В дальнейшем мы встретимся с различными тензорами, причем в большинстве случаев определение их будет связано с понятием линейной вектор-функции (или линейного преобразования) двух физических векторов друг в друга, иными словами, соответствовать второму способу определения физического тензора.

Основные операции тензорной алгебры

Простейшими операциями над тензорами являются: сложение (вычитание), умножение на скаляр и умножение на вектор.

Сложение (вычитание) и умножение на скаляр определяются равенствами

(尸土Q±R土・•・)mn = Pmn±Qmn士Rmn土

(22) 0P) = (PA)mn =九Лпп・

Несколько сложнее вводится операция умножения тензора на вектор и отличная от нее в случае произвольного тензора операция умножения вектора на тензор. Операции эти определяют соответственно векторы Ра и аР с проекциями (几一немой индекс)

(Ра) m =。771«%, (йР) m = ^пРпт{ш= 1, 2, 3).(23)

Вспоминая введенное в предыдущем параграфе определение линейной векторной функции (линейного преобразования) (16) и сравнивая правые части равенства (16) с первой системой равенств (23), убедимся е эквивалентности операции умножения тензора на вектор Ра линейному преобразованию физического вектора а в другой физический вектор. Очевидно, что умножение вектора на тензор аР эквивалентно линейному преобразованию физического вектора а по формуле (16) посредством тензора Р*.

Операцию умножения тензора на вектор, определенную первым равенством (23), называют еще иначе умножением тензора на вектор справа, а второе равенство (23) — умножением тензора на вектор слева. Отметим, что при любом порядке расположения сомножителей немые индексы у тензора и вектора всегда являются смежными. Полезно еще отметить тождества

Ра=аР\ Р*а=аР.(24)

Тензор, компоненты которого не зависят от порядка индексов, так что

Smn = Snm(ди, м = 1, 2, 3),(25)

называется симметричным. В его таблице [см. далее (29) ] компоненты, зеркально расположенные относительно главной диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, одинаковы. Симметричный тензор имеет только шесть отличных друг от друга компонент.

Простейшим примером симметричного тензора может служить так называемая «тензорная единица» £ с компонентами, представляющими собой уже встречавшиеся [см. равенства (5)] символы Кронекера

九 и имеющая одну и ту же таблицу

(26)(26)0 °\

(26)

(26)

£ о 1 о

\о о 1/

во всех системах координат.

В самом деле, из определения тензора по первому способу (15) следует, что если считать таблицу (26) выраженной в старых координатах, то в новых компоненты £ примут вид

5々？ = ^ktn^ln^5々？ = ^ktn^ln^mnmn^3 ahmBlm,^3 ahmBlm,

5々？ = ^ktn^ln^

5々？ = ^ktn^ln^

mn

mn

^3 ahmBlm,

^3 ahmBlm,

или, вспоминая (12)или, вспоминая (12)(m — немой индекс),(m — немой индекс),

или, вспоминая (12)

или, вспоминая (12)

(m — немой индекс),

(m — немой индекс),

1, если / = ^,О, если I 十 h、

что совпадаеt е (5) (3&=5版).

Название тензорной единицы связано с очевидным соотношением

(27)(27)Еа=а.

(27)

(27)

Тензор Л, компоненты которого при изменении порядка индексов изменяют свой знак на противоположный, называют антисимметричным, или кососимметричным. Имеем

Л*=—Л, Атп=—Апт, Атт=0 (ап, п=1, 2, 3).(28)

У антисимметричного тензора различных по абсолютной величине компонент только три.

Приводим таблицы симметричного и антисимметричного тензоров:

/ Su S12 = S21 S13 =

S ( S21 = S12S22S23 = S321 ,(29)

= S]3 S32 = S23S33/

/ о^12 = — Л1 4з=—41、

4 [ 41 =—力 120力23 =—力32 ) •(3°)

\/31= -43 /32 =一/230/

По определению операций умножения тензора на вектор для симметричного тензора S и антисимметричного тензора Л имеем

Sa = qS = S*q = aS*,

(31)

Аа = a4* = — a4

Рассмотрим детальнее операцию умножения антисимметричного тензора Л на вектор а справа. Докажем, что из совокупности трех компонент антисимметричного тензора, если их взять в определенном порядке, можно составить так называемый сопутствующий тензору Л вектор с с компонентами

7 =儿3, С2 = 4з1, Сз = А12； (32)

заметим, что в принятом определении сопутствующего вектора значения индексов в левой и правой частях каждого из этих равенств подчиняются правилу круговой перестановки (If 2f 3fl и т. д.).

Название «сопутствующий» подчеркивает, что хотя компоненты вектора с совпадают с тремя из девяти компонент тензора Л (включая и нулевые значения Л„), но, конечно, ни о каком равенстве вектора с и тензора Л не может быть и речи: это величины разного рода.

Равенства (32) можно заменить одним

Cr^^^rst^st (33)

(rfSft по правилу круговой перестановки; г, s, /=1, 2, 3; по индексам s н f не суммировать!), если ввести в рассмотрение символы Л е в и - Ч и- в и т а, составляющие в совокупности тензор третьего ранга,

£i = ir・dXi)(34)

где J, L, it — орты прямоугольных координатных осей. Согласно определению (34) £гн равны нулю, если в числе индексов имеются хоть два одинаковых, +1, если индексы образуют круговую перестановку, и —1, если круговая перестановка нарушена. Примером применения символов Леви-Чивита может служить общая формула для компонент векторного произведения двух векторов

(Q X 匕)厂=£rsf〃sb/,(35)

предполагающая суммирование по повторяющимся «немым» индексам. Имеем

(。х &)1 = £15凡加=:£123"2b3 + £132a3b2 === &b3"3ь2 h T. Д.

Докажем, что три величины ck (力=1, 2, 3), выраженные через компоненты физического антисимметричного тензора Д по формулам (32) или (33), образуют физический вектор с. Иными словами, докажем, что если компоненты Ain (/, п= 1, 2, 3) удовлетворяют условиям физической объективности тензора, то величины ch (々=1,2,3) удовлетворяют условиям физической объективности вектора (9).

Согласно (15) в системе со штрихами имеет место равенство

4?3 == С] == &2箝％24rs(36)

или, в развернутом виде,

4 = 43 = (&2"33 - a23a32)43 + (a23®31 — a2ia33)41 + (出1a32 一 "22"31) 4 2=

=(a22a33 - a23a32)G + (a23a31 - "21%3)% + (a21a32 — «22a31) %，(37)

Возводя определитель таблицы косинусов (I) по правилам умножения определителей4) в квадрат и пользуясь соотношениями (12), убедимся в том, что квадрат определителя (det — символ определителя) равен единице:

1 о о

[det (а^)]2 = det (6тл) = 0 1 0=1,

0 0 1

а, следовательно, сам определитель равен

det (aw) = ±l,(38)

где плюс соответствует случаю сонаправленных систем координат (обе системы правые или обе левые), а минус — разнонаправленным системам (одна — правая, другая — левая).

Полагая в (11) последовательно /= 1, 2, 3 при т=1, получим систему равенств (условия ортогональности систем координат):

aiiaii + ^г^г + а1за1з = 1,

а21а11 + а22а12 + а23а13 = °，(39)

а31а11 + а32а12 + а33а13 = °，

которую можно рассматривать как линейную неоднородную систему уравнений относительно неизвестных аи, а12, а13. Замечая, что определитель этой системы, согласно (38), равен единице (знак минус опускаем, так как в дальнейшем будем пользоваться только сонаправлен-

')det(6Zij) •det(bfj) =det(Cmn), Cmn =^mA^An.

ными^ а именно правыми системами), найдем ее решение:

%] = a22/3 一a23备2，

%2 = a23a31 - a21m3,(4Q)

%3 = a2]&2 一 a22a31 •

Справа стоят алгебраические дополнения элементов определителя таблицы косинусов аи, а⑵ а13. Аналогично можно было бы показать, что любой из элементов определителя таблицы косинусов det(aw) углов между двумя осями координат равен своему алгебраическому дополнению. Определители, обладающие этим свойством, называют взаимными.

Возвращаясь к равенству (37), перепишем его, согласно (40), в виде cj=%g+a12c2 + %3&.(41)

Аналогично, пользуясь доказанным свойством взаимности определителя таблицы косинусов, выразим остальные проекции с?' и Сз'

6 = a21cl + а22c2 + 仪23。3，

(4У)

Сз =。3伍1 + «32c2 + ОС33С3.

Совокупность равенств (41) и (4Г), очевидно, и доказывает физически объективный характер сопутствующего антисимметричному тензору А вектора с.

Чтобы показать основное применение сопутствующего тензору А вектора с, составим произведение тензора А на какой-нибудь вектор а, например, справа. Будем иметь по (32)

(4а)1 == ^11^1 + /12“2 + 4з@3 == &С3 —。3。2 ==(Q X С)1,

(4Q)2 = 41°1 十』22仅2 + 4з°3 = “3‘1 — °1Q =(Q X C)2，

(4Q)3 == ^31^1 + 4з2“2 十厶33@3 = °停202cl =(Q X С)з

или, переходя к векторному представлению,

Аа=ахс.(42)

Это означает, что при умножении антисимметричного тензора А на вектор а справа совокупность его компонент (32) ведет себя как сопутствующий вектор с в том смысле, что в результате получается векторное произведение вектора а на сопутствующий вектор с. Такая эквивалентность антисимметричного тензора сопутствующему вектору при проведении операции умножения, конечно, как уже упоминалось, не означает равенства тензора А вектору с.

К формуле (42) можно присоединить аналогичную формулу для произведения антисимметричного тензора на вектор слева

аА = сХа.(42х)

Если ввести в рассмотрение сопряженный, т. е. сопутствующий сопряженному тензору 4*=—А вектор с*=—с, то формулы (32) перейдут в следующие:

G = 4з = 一 厶23， ‘2 = 41 == 一 41, Сз = /12 = 一 /12

с сохранением круговой перестановки индексов, но с переменой знака при тензоре А.,

Справедливы формулы

А*а = сха, а4*=ахс.(43)

Принятая операция умножения вектора на тензор аТ или тензора на вектор Та не исчерпывает многообразия возможных операций такого рода. В несколько других обозначениях, чем принятые у нас, рассматривают следующие операции:

внешнее произведение аТ, приводящее к тензору третьего ранга, представляемому разложением по координатным «триадам» wm (далее сохраняется правило суммирования по дважды повторяющимся в одночленах индексам от 1 до 3):

aT=ikilimakTlm; (44)

(45)(45)внутреннее произведение а・Т, дающее вектор, разложение которого по единичным векторам im имеет вид

(45)

(45)

а • Т ^ а"ftm^m,

совпадающий с принятым у нас ранее аТ;

(46)(46)векторное произведение ахТ, приводящее к тензору второго ранга со следующим разложением по координатным диадам:

(46)

(46)

。X Т = (^Х J/) in^hTlm = ^п^т^Мп^кГ!m・

§ 6. Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части.Инварианты. Разложение тензора на сферическую и девиаторную части

Пользуясь приведенными в предыдущем параграфе простейшими операциями над тензорами, покажем, что тензор Р второго ранга общего вида может быть разложен на симметричную и антисимметричную части. Это непосредственно вытекает из тождества

Р 三 ^(P + P)+^(P — P) = S + 4(47)

где

S = ^ (Р + F) = ^ (F + Р) = S*(48)

представляет симметричную, а

4 = ^ (Р — F) = — ^ (F — Р) = — А .(49)

—антисимметричную части тензора Р.

Запишем матрицы симметричной и антсимметричной частей тензора Р:

Ри

У (Р12 +「21)

5(Р】з + Рз1)

S

у(Р21 + Л2)

Р22

^(Р^з + РТ

у(Рз1 + Лз)

^(Р32+Р23)

Рзз

0

^(Р12-Р21)

^(Р】з-Рз1)

л

у(^1-л2)

0

片(Раз — Рза)

^(Рз1 — Р】з)

^(Рз—аз〉

0

Сопутствующие антисимметричной части тензора Р векторы с и с* будут иметь компоненты

= y ^rst (R/ — 2s), С； = ^" Kt Rs — Pst)

или, в развернутом виде,

G =万(p23 一Р32)，q =万(Al -p13)，a = 5 (匕2 一尸21)；

e:=5(尸 32 一p23), Q=W(尸 13 -Р31),。3=5(p21 一匕2).

Если тензор Р представляет диаду ab (а этот случай в дальнейшем встретится), то проекции сопутствующего вектора с для антисимметричной части в разложении диады ab будут равны

Cr = Ersi^sb t(Г=1, 2, 3),

G = ^ (a2ь3 - &瓦)，& = £ (&瓦-"也3)， % = ^ (&星-&%), откуда следует, что

ск^(ахЬ),(50)

т. е. сопутствующий вектор антисимметричной части диады равен половине векторного произведения векторов, образующих диаду.

Из компонент любого тензора Р можно составить три скалярных выражения, инвариантных к преобразованию координат. Их называют инвариантами тензора.

Первый инвариант，(《след》) представляет сумму диагональных элементов матрицы тензора

Ji^^PII 4"-Р22 4~^33 = jPfnm.(51)

Доказательство инвариантности не составляет труда. Имеем в новой системе координат

」1 == Рkk ^2 ^kl^kmPIm == 5/mPim = P〃；

здесь применено известное по предыдущему равенство

{

1, если m =

0, если т^1.

Вторым инвариантом /2 тензора Р называют скалярное произведение тензора на самого себя, обозначаемое условно как квадрат тензора, и равное сумме квадратов всех компонент тензора、

J2 = PmnPmn = P2.(52)

Третьим инвариантом /3 тензора является определитель его матрицы

尸11 p12 а3

」3 =「21「22 Вгз =det(Pm〃).

Р31 Р32 P33

Пользуясь первым инвариантом, можно составить тождество

Р三 J，E+(P—LE)=P(s)+ P(d),(53)

представляющее разложение тензора Р на сферическую P(8)=J[f

и девиаторную М = р—丿疋 части. Матрицы этих частей имеют вид

X о 厶 о ,(54)

\о о jJ

—厶 Р12Р13 、

р { P21Р22— 厶 Р?з •(55)

\ Р31Р32Р33 —J 丿

Тензор Р⑷，обладающий сферической симметрией (изотропией), назьнвают сферическим, или шаровым, тензором.

Из изложенных двух способов разложения тензора на составляющие наибольший интерес для последующего представляет разложение тензора на симметричную и антисимметричную части, причем [вспомнить (42) и (42х) ] произведение вектора на антисимметричную часть тензора справа или слева выражается векторным произведением этого тензора на сопутствующий антисимметричному тензору вектор с, так что

Pq = Sa + Ad =Sa + q х %

(56)

aP = aS+ a A = Sa + с ^a.

Главные оси и главные значения симметричного тензора

Среди всевозможных осей систем координат существуют такие — их называют главными осями симметричного тензора, — что после линейного преобразования, соответствующего данному тензору, векторы, расположенные по этим главным осям, сохранят свои направления в пространстве.

Обозначим через в единичный вектор какой-нибудь главной оси заданного симметричного тензора S и подчиним его условию сохранения направления после преобразования (九一скаляр, £ — тензорная единица). Это условие можно записать в виде любого из двух эквивалентных равенств

Se=九％(S—АЕ)е=0,(57)

что в раскрытом виде приводит к системе уравнений относительно е「

(Su —入)G + S12e2 + S13e3 = 0,

^12^1 + (S22 —入)^2 + *^23^3 =。，(58)

^13el + $23^2 + (S33 - 九)％ = °・

Система эта с неизвестными еь е?, е3 однородна и имеет тривиальное нулевое решение, не согласующееся с очевидным условием

е；+ W 十 е； = 1 •(59)

Для существования нетривиальных решений системы уравнений (58) должно, как известно, выполняться условие равенства нулю определителя этой системы

Su —九 S】2 Si3

S]_2S22 —九 S?3 0.(60)

S]3S?3S33 —九

Кубическсе уравнение (60) называется характеристическим, а его корни — собственными числами матрицы S. В общем случае оно имеет тр? не равных между собой корня 九⑴，九⑵，九⑶，и каждому из этих корней соответствуют свои значения единичных векторов: е(‘)，^⑵，©⑴.

Докажем сначала, что эти векторы взаимно ортогональны. Воспользовавшись （57）, будем иметь равенства

（S-九⑴Е）е⑴=0, （S-M2）E）e（2）= o,（S-九⑶七）出з）= 0.（61）

Умножив скалярно обе части первых двух из этих равенств соответственно на е（2）и е“），найдем

e（2）.（Se⑴）=九⑴e⑴.е（2）, e⑴•（Se（2））=入⑵0⑴.絞2）.（62）

Замечая, что в силу симметрии тензора S

е（2）•（s〃】）） =或）Sm〃* = “SweL= е⑴•（See%

и вычитая почленно друг из друга левые и правые части равенств （62）, получим

0=（^）-А（2））е“）・е（2）.

Отсюда, в силу принятого условия неравенства корней характеристического уравнения 心"и 九⑵，следует ортогональность векторов е⑴ и е⑵. Аналогично показывается ортогональность е⑶ и。⑶，а тем самым и взаимная ортогональность всех трех векторов е（‘），е~）, е（з）.

Докажем теперь, что все не равные корни вещественны. Пусть, например, 九"）и 九（2）— комплексные и при этом сопряженные числа. Тогда и соответствующие им проекции е^⑴ и Ст⑶，где m= 1, 2, 3, должны были бы иметь вид сопряженных комплексных чисел

Ст ==卩小 十 ^т^9 Ст == Мт 7"т，， а сумма их произведений （суммирование по т）

^tn ^tn ^: l^m^m + V戸m，

как сумма квадратов, была бы больше нуля; однако эта сумма представляет собой не что иное, как скалярное произведение е^} -е{2\ которое, по только что доказанному, равно нулю. Таким образом, доказана вещественность всех трех корней 九⑴，九⑵，工⑶.

Покажем, наконец, что если принять за оси координат три главные оси, соответствующие ортам е（'）, е“）, е（з）, то недиагональные компоненты симметричного тензора S будут равны нулю, а диагональные — корням характеристического уравнения 九⑴，Х（2）, Х（3）, которые называются главными значениями симметричного тензора S.

Из равенств （57） следует （по m не суммировать!）

Se（m）=A（m）e（m）,

（S4m））• 0“）=九的"（m）.4"）=九（向5加，

где, напоминаем, 6mn — компоненты тензорной единицы. Если штрихом обозначить компоненты симметричного тензора S в главных осях, то на основании последнего равенства будет

Sm“ =严）6加=n^m^（63）

（0, если п^ /п,

что и доказывает высказанное положение о равенстве нулю недиагональных членов, а главным значениям — диагональных членов.

Матрица симметричного тензора в главных осях имеет вид

/入⑴0 0 、

S' о 九⑶ °.（64）

\ 0 0九（з丿

В случае кратности корней характеристического уравнения, например *')=九⑶，только третья главная ось, соответствующая единичному вектору е(", будет иметь определенное направление в пространстве, остальные две будут расположены в плоскости, перпендикулярной к третьей оси, и положение нх будет определено в пространстве с точностью до произвольного поворота вокруг третьей оси.

В случае равенства между собой всех трех корней (Х(1) = Х(2) = =九(3)=九)симметричный тензор1 S будет обладать свойством изотропии диагональных компонент, т. е. независимостью их от направлений осей координат. Такой тензор, как уже упоминалось, называют шаровым, или сферическим. Он определяется как произведение А на тензорную единицу, а его матрица имеет вид

X о 0\/1 о 0\

о X о=^|о 1(65)

о о V\о о 1/

Выражение первого инварианта симметричного тензора S в главных осях будет

八=九⑴+九(2)+九(3),(66)

второго —

厶=(2))2+(*))2+仇⑶)2,(67)

третьего —

厶耽耿(3).(68)

Наряду с широко распространенными операциями сложения (вычитания) тензоров, умножения их на скалярную величину или на вектор* справа или слева, нам придется, хотя и реже, встречаться с операциями умножения друг на друга двух тензоров; последние операции мы отделили от предыдущих и поместили в конец настоящего, заключающее го тензорную алгебру, параграфа. Эти операции — их три — в соответствии с родом получаемого результата (скаляра, вектора или тензора} определяются и именуются так:.

скалярное произведение (свертка) двух тензоров:

P-Q = PijQn(i, / — «немые» индексы);(69)

векторное произведение двух тензоров:

(PXQ)i=EimnPm8Qsn = PjsQM—P/urQ 仃；(70)

здесь m, n, s — «немые» индексы; / и ^ следуют за i в порядке круговой, перестановки i->/f…;

тензорное произведение двух тензоров:

(PQ)ij=P isQsj

(s — «немой» индекс, i, /= 1, 2, 3).(71)

Отметим некоторые частные случаи и, прежде всего, формулу

Р・Е = Е・Р = Рц=Рц+Р22+Р^(72)

Правая часть является первым инвариантом тензора Р. При скалярном умножении тензора Р на самого себя получим

Р.Р = 4 尸产Р=1?2,(73)

т. е. квадрат тензора Р. Это — второй инвариант тензора Р.

Из второй операции следует (ifjfhf …;суммирование по индексу s):

(Py^E)i—Pj8E8k—Р hs^aj=Pjk—Phi-(74)

Из последнего равенства заключаем, что условие симметричности тем вора P=S можно записать в следующей не зависящей от координат форме

РХЕ = О. (75)

Производная по заданному направлению.

Пространственные производныев скалярном, векторном и тензорном полях

Поскольку подробное изложение основ векторного анализа предусмотрено рядом общих курсов, приведем здесь лишь некоторые наиболее необходимые для дальнейшего сведения. В первую очередь дадим определение производной по заданному направлению, а затем и общей пространственной производной.

Зададим в пространстве некоторую ось I и введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть ориентация оси и одновременно положительное направление на ней определяются единичным вектором /(/ь /2,厶)，где 厶，" /3 — направляющие косинусы оси в данной системе координат (рис. 2).,

В дальнейшем часто придется иметь дело /^ 1 с понятием производной от скалярной, векторной или тензорной функций. Этому понятиюРис-2

можно придать легко запоминаемый вид, если ввести в рассмотрение символический вектор-оператор V (《набла»)

Операция производной от величины Т по направлению вдоль оси / в данной точке М будет определяться, как обычная производная, пределом

dl MAT △/—о Д/

где 4r — любая скалярная, векторная или тензорная функция, для которой этот предел существует. Производная dW/dl может быть вычислена по формуле производной от сложной функции:

空_ =dT dx2 . dу dx3dl дхг dl 0>2 dl dx3 dl '

или, если учесть, что

= cos (/, %。=厶，= cos (/, x2) = /2,= cos (/, x3)=厶，

dlaldl

no формуле

dl дх、 дх2 Агз

Так как для самого способа вычисления производной вид функции 屮 несуществен, 'получим, опуская 屮,следующую символическую формулу:

Применение операции производной по направлению к скаляру ф, вектору а, тензору Г дает следующие выражения:

包匕=(Z • V) ср = / • grad 屮=l( ,dlдх{

(77)

—=(Z - V) a=/z—, 巫=(Z •「)7 =厶子•

dlдx^ 出0八

(78)(78)Примером может служить часто встречающаяся в дальнейшем производная вектора Ь по направлению вектора а:

(78)

(78)

(а • V) & == — (а • V) &,

где а=а/а — единичный вектор, направленный по вектору а.

Среди всевозможных направлений в поле скалярной величины 屮

отметимотметимодно характерноеодно характерное屮(％i,工2, X3)=C=const屮(％i,工2, X3)=C=constнаправление — нормали к поверхности уровня функции ср (рис. 3)

отметим

отметим

одно характерное

одно характерное

屮(％i,工2, X3)=C=const

屮(％i,工2, X3)=C=const

и зададим его единичным вектором 〃, направив в сторону возрастания ср, так что d^/dn>0. Как видно из рис. 3, для одного и того же приращения АС функции 屮 при переходе от одной поверхности уровня ((р=С) к другой (屮=С+АС> ДОО) разным направлениям I соответ

ствуют разные приращения А/ = An/cos а, так что А/》Ап и

dl dn dl dn[dn *

Градиент скалярной функции ср определяется как вектор

grad ①三 V(p =〃，

dn

равный no величине производной от скалярной функции 屮 几。нормали 及 поверхности уровня и направленный в сторону наибольшего изменения ф 8 данной точке.

Общая пространственная производная от скалярной, векторной или тензорной функций определяется как предельная интегральная опера- 4〃兄(существование предела постулируется)

lim 丄/〃 ... bo = V ... ,(79)

о

где т — объем, заключающий внутри себя данную точку поля, о — ограничивающая объем поверхность, лба — ориентированный элемент поверхности о( я — орт внешней нормали к поверхности о), а многоточие в формуле (79) указывает место интегрируемого скаляра, вектора или тензора с соответствующими символами произведений л на интегрируемые величины.

Такими пространственными производными являются

lim 丄 J〃屮 Зо = grad ф,

1 im丄 I 〃 • а 6а = div а, т-0 т J

(80)(80)lim — С л x а ба = rot а,

(80)

(80)

Т>0 Т J

lim— f 〃а 6а = Grad а, т—>о Т J

lim丄 f пТ6a = DivT,

TfO T J

lim— С %xT6o = RotT.

Т-»0 工 J

Используя в качестве о поверхность координатного прямоугольного параллелепипеда и применяя указанный предельный переход, получим аналитические выражения перечисленных операций пространственного дифференцирования (суммирование по дважды повторяющимся индексам):

(grad(p)i=~|^~ (4 = 1, 2, 3); diva ;дХ[дх；

дагдада

(「ot а)р = Spqr —— = — (、P + q f r f P

Gxqdxqdxr

da；

(Grad叫=力，(81)

(Div 7),==#,

'(Rot T)nm = е^м[сравнить с (46)].

К тем же результатам можно прийти, пользуясь символическими выражениями операций с вектором V:

g「ad(p = У(р =粤 ％,

dakdiv а = V • а =.,

?12223

rot О = V X О = @/。心 d/d% @/Н*з ，(82)

%a2a3

Grad Q = Va = ikh,

DivT = VT = ^^,

Rot T = V x Г = inim^kin -^L [сравнить c (46)].

Аналогичные выражения в системе ортогональных криволинейных координат выглядят более сложно. Введем так называемые коэффициенты Ляме (仇一криволинейные координаты):

(83)(83)

(83)

(83)

где конкретный вид системы криволинейных координат 内，外，9з определяется равенствами

%=%k(41, &, 9з)(a=1, 2, 3).

Заметим, что каждая из величин Hi имеет смысл коэффициента пропорциональности в равенстве, выражающем связь между элементарным приращением ds» длины отрезка вдоль i-й координатной линии и приращением соответствующей криволинейной координаты d%:

抬="#% (по i не суммировать).

Тогда аналитические выражения пространственных производных в криволинейных координатах будут иметь следующий вид (по повторяющимся индексам не суммировать!):.

(grad 屮)%== —(i = 1, 2, 3),

=赢隐…+3也）+3 闻'

fot^ Q —

〃2〃з

-d(%*) 函2

@(%/2)] d«3 Г

rot^2 а =

d(%№)

d （喑叫

"з"1 —

[d (%2"2)_ d(%户1)]

〃i〃2 -°%°% J

V2$ = div grad 屮=

「1「d /ад 匹).d /H3Ht dtp \

(84)

(Div 7% = 7^ [訂(也"3м@) + 总(%"/何)+ 言(%也72)]+

HE dq2

1

Тд2〃2 дН^Т«д °"з

"用2 函1%"3 d%

"#3弥

•[訂("2%*G +号("3%北3)+託 W^^ +

1'«24sd〃2

"2"3d03

h 工h 2dg2"2,30g2

〃2〃3

（也"3爲3）一

+号("財2*%)] +

十口

T0i0i 0H17仇很0"2

”2〃3 此

H1H3 @03"2% @勺3

Приведем для справки формулы в наиболее употребительных системах криволинейных координат: цилиндрической и сферической.

Цилиндрическая (в том числе и полярная) система г, е, z:x = rcos8, y = rsine, z=z,厂二傾+丸 tg£ = p/x(0^r<oo, 0^е^2л, —оо<г<оо),

"г = 1, Не = Г, 〃z = 1,

ds2 = dr2 + 产 de?+dd,

da = rd£ dz, dae = dr dz, d(5z=r dr de, di=r dr de dz,

grad” = * , grads 9 =丄粤，g「adz 屮=?，drr O£OZ

div a

dazdz

(85)

—1 d(“) J 1 0% r dr r de

(Div7)「=

ОТ"

+丄

dT8r

37#T rr Tgg

dr

r

决

dzr

(DivT)a =

Ke

r

de +

°「za 1「「£ + 78r

dr

dzr

(DivT)z = ?+ 丄*+ 学+n1 or гdz r

Сферическая система R, 0, e：

x—R sin 0 cos £, y = R sin 0 sin e, z=R cos 0

(OWRVoo, O^0^n, 00£02n)，

儿=1, % = R, % = Rsine,ds2=dR2-{-R2dQ2-[-R2sin2Q d^,doR = R2 sin 0 d0 de, doe = R sin Bdrde, dGe = R dR dB,

dt=R2sin 0 dR dQ de,

g「adR(p =票，g「ad9屮=4•粤，gra& 屮=

R2 dR Rsine 08

J d(p

RsinB

RsinB de

1 г d (a sin 9) ro" a = —-— —^

RsinB L 说

R [ sin 0 de

d(R%)dR

(86)

e丄[也噎1+丄上乳+丄曲

* R2 [ dR 丁 sine Э0sin2e de2 '

(DivT)『里叽+丄色*也+ ' 丿 dR R 说 RsinB de 1

+ ~ (2TAR + 7欣 ctg 8 — T00 — Tее),

(Div》=色近+丄处+」一也+ ' 丿 dR R de Rsine de

+ 3【27^e +— T&8)ctg 0],

(DivT)e= —H—+ '' OR R de 丁 RsinB de

+ ； Rs + T&R + (「ее + Tее) ctg 0J.

Символический оператор V был задан в прямолинейной ортогональной системе координат своими проекциями д/дх{ (/=1, 2, 3). Заметим, что этот оператор может быть обобщен и на любую ортогональную криволинейную систему. Общие выражения различных пространственных производных (80) от скалярных, векторных и тензорных функций через символический оператор V были приведены выше и раскрыты для случая прямолинейной ортогональной системы координат. Целесообразность применения оператора V не ограничивается очевидными удобствами запоминания соответствующих формул; он может быть использован и для вывода выражений пространственных производных от сложных скалярных, векторных и тензорных функций. Вспоминая обычное правило дифференцирования произведения двух функций

(9巾)‘=屮w‘+也中；(87)

обобщим его на скалярные, векторные и тензорные операции с символическим вектором V. Для этого будем составлять по правилам векторной алгебры различные комбинации V и дифференцируемых величин, включая лишь те комбинации, которые имеют оператор V слева от этих величин или могут быть к такому виду сведены, а затем сложим эти комбинации.

Пользуясь этим приемом, найдем

grad (屮2) =▽(加屮)=q)Vt|)+i|)V(p=(p grad 屮+巾 grad 屮，div(qpa) = V • (<pa) =q>(V«a)+a*V(p=(p div a+a・grad qp,rot (q)a) =VX (<pfl) =(p(VXa) + (V(p) XQ=(p rot a+grad qpXa,div(aXb)=y • (axb)=b・(VXa)—a・(VXb)=b・rota—a・rotb,rot (a x&) = Vx(ax&) = (& • V)q — (q • V)b + a (V・b) —b(V・Q)=

=(& • V) a — (a • V)& + q divb —bdivQ, grad(a-fr) = (a-V)fr+(6-V)a+aX (VXfr)+6(VXa) =(88)

=(a・V)b+ (&V)a+aXrot&+&Xrota,grad (d) = 2 (a • V) a+2a X rot a,div grad(p=V2(p (лапласиан <p),rot grad 屮三0, div rot asO,

grad div a=V (V • a) = V X (V Xa) +V2a=rot rot a+V2a.

Аналитические координатные выражения формул (88) приводить нецелесообразно, так как они слишком громоздки и далее не потребуются.

§ 9. Мера неоднородности векторного поля ——дифференциальная диада и ее составляющие： деформация и ротация векторного поля

Дифференциальная диада O=Va, которая была введена в преды-

дущем параграфе, с компош

0

антами Dij^iUj 0。1d%da3 、

dxiдх、О/

。勺д%даз

d>2^2d*2

0的此0的

,0*зdx3d*3

=da}/dXi и таблицей

(89)

может служить мерой неоднородности векторного поля. Только

равен-

ство ее нулю во всех точках

указывает на

однородность векторного

поля.

Сопряженная диада D*

с компонентами 0〃 =0# имеет таблицу

此0010勺]

дх*。厶дх3

0% 羽 д%

。々 0/ дх3

•(90)

.0Дз0а§。的

0*1О/0*3 ,

Простым, но полезным для дальнейшего примером может служить дифференциальная диада вектор-радиусов r(x4, х2, х3) точек поля Vr с таблицей

8/ ^J d*i dxi

О/ @*з 如 如

0& @小,

выражающей справедливость равенства

”=Е.(91)

Условие симметричности (75) тензора Р приводится теперь к виду

PXVr«0.(92)

Тензору О, в столбцах которого располагаются элементы градиентов проекций вектора а, приписывают обозначение [см. (80)]

(93)(93)D=Va=Grad а

(93)

(93)

[см. формулу (89) ], где оператор «градиент вектора», в отличие от градиента скалярной функции, отмечают заглавной буквой.

Выражение полного дифференциала вектора а можно представить равенствами

(dQ)f=== —~ dXf== D *dx j == D【jdxj 二：1 (O*d/*)«dxi

(94)(94)или, в не зависящей от координат форме, равенством da=D*dr.

(94)

(94)

(95)(95)Введем операцию «производная вектора а по вектору &》и обозначим ее символом da/db; тогда будем иметь

(95)

(95)

Меру неоднородности векторного поля общего вида — тензор D — можно разложить на две составляющие: деформацию и ротацию поля. Для этого воспользуемся ранее установленным разложением тензора на симметричную и антисимметричную части:

D 制(D + D*) + ^(D —D*) = S + Л,

(96)

£Г 三 ^(Zr + O) + ^(Zy — D) = S + 4*.

Симметричную часть S, равную

S = y (Grado + ^-^=def а,(97)

назовем мерой деформации, или, короче, деформацией векторного поля. Ее компоненты в прямолинейной ортогональной декартовой системе координат будут

（^叽制言⑺八2,3）.（^叽制言⑺八2,3）.(98)(98)

（^叽制言⑺八2,3）.

（^叽制言⑺八2,3）.

(98)

(98)

Компоненты тензора def а в ортогональных криволинейных координатах имеют вид (def Q)g& =

丄至士 也при

2〈％ dqr 丁 Hs dqs HrHs dqs "丸 dqr 丿产

1 °%s% 8H§ \^ dH8(% dHs ,%, dH5 .

i‘ •—* T-11 I

's弧 ":机 片&为1"也%"3%弥

（def。）何尸左台（def。）何尸左台

（def。）何尸左台

（def。）何尸左台

0Hl

%2 办

（阻0）何，一2

如

斤也

d%

〃也

@仇丿‘

(def叫w尸(8

% +丄

网，

OHi

°9з

нм

函3

必丛

妬卜

(def 0%з =

Я, 0% 十

%”2

皿 拉h

ад

也

西3，

(def叫等T

2 \ л,

"3因3

%, 0%%,汕—

"/3西8"2品0依/

京瓦"弦Г十н』3后

(def а)ге = |-2 \з(def а)ге = |-2 \з(^=1, 2, 3; ifjfhf..),(^=1, 2, 3; ifjfhf..),(100)(101)(102)(ЮЗ)(104)(105)(Ю6)(100)(101)(102)(ЮЗ)(104)(105)(Ю6)

(def а)ге = |-

2 \з

(def а)ге = |-

2 \з

(^=1, 2, 3; ifjfhf..),

(^=1, 2, 3; ifjfhf..),

(100)

(101)

(102)

(ЮЗ)

(104)

(105)

(Ю6)

(100)

(101)

(102)

(ЮЗ)

(104)

(105)

(Ю6)

(def a)q《「(def а%&, (def а)伽尸(def @储曲，

(def a)%g=(def а)^・口

Так, в цилиндрической системе координат г, е, z (Яг=1,儿=г, пг=

имеем

(def a)rr = ~ , (def а)8а = —t (def q)n =萼，

drг де г友

(def 々к(def 々к1呪г 0£1呪г 0£+ *), (defQ)rzW佟+芻,dz /2 \ аг 力丿

(def 々к

(def 々к

1呪

г 0£

1呪

г 0£

В сферической системе R, 0, е (%=1, %=R, Ht^R sinO)

(def o)rr =, (def a%® =春*，

OKAA

(def a)86 = —ctg0 4-,

₽sin 0 08 RR

(def “)ea = (def “储=轰(鲁 一 aa ctg 6)+ •^次替,

(defa)Re = (def⑴改祟一^ +专警).

(def a)^ = (def a)^8 = ~ f ~*

2 \ R sin 808 OR R /

Антисимметричная часть

с компонентами в прямоугольной декартовой системе

имеющая в качестве «сопутствующего» вектора

е. вектор

c = Lot Q,

2 •

называется ротацией векторного поля ')•

Согласно (56) будет

bD = D*b — ft def a + у rot а х ft.

§ 10. Основные интегральные формулы поля.Теоремы Гаусса — Остроградского и Стокса

Используя определение (79) пространственной производной, можно вывести имеющие фундаментальное значение в механике жидкости и газа интегральные формулы поля.

Перепишем предельные определения пространственных производных (80) в приближенной форме, верной с точностью до малых четвертого порядка относительно характерного линейного размера Л элементарной области. Рассмотрим далее вывод на примере первой из формул (80). Введем для малого объема 6т

§ п(р 6а ^ grad србт -f- О (Л4). (107)

Просуммируем обе части этого равенства по всем элементарным объемам 6т, составляющим конечный объем т. Заметим, что на общей границе 6о двух любых смежных элементарных объемов единичные векторы л будут иметь противоположные для каждого из объемов направления, что при непрерывности скалярной функции 屮 приведет к взаимному попарному уничтожению элементов поверхностного интеграла, стоящего в левой части равенства (107). Такое взаимное уничтожение не затронет, очевидно, только поверхности элементарных объемов, находящихся на внешней границе поверхности о, ограничивающей объем т.

Сумма таких нескомпенсированных элементов приводит к интегралу J 〃屮6。для поверхности конечного объема.

Суммирование первых членов в правой части дает интеграл J gradqpfir. Таким образом, придем к точной формуле

(Ю8)(Ю8)§ 〃(р би = § grad Ф St, от

(Ю8)

(Ю8)

так как при суммировании по объему малых величин четвертого порядка накопится ошибка первого порядка, в пределе при Л->0 обращающаяся в нуль.

Аналогично, в соответствии с (80) получим систему интегральных формул

• а 6а = J div а 6т,

$ /г X а 6а = 5 rot а 6т,(109)

，仃 би ==:, Div 7 6т, совокупность которых можно представить в удобной для запоминания символической форме

$д 6u = ,V 阮，(ПО)

Формула (ПО) дает возможность перехода от поверхностного интеграла к объемному с заменой нормали 〃 в первом интеграле на V во втором. Многоточием в обеих частях обозначается интегрируемая величина с соответствующим для нее знаком умножения.

Первая из формул системы (109), которую перепишем в развернутом виде еще так (суммирование по /):

(111)

выражает теорему Г аусса — Остроградского.

(И2)(И2)Введем понятие потока вектора а через поверхность а:尸о'(а)=== У Un^^=== ^ а * и 5и,

(И2)

(И2)

где ап=а п — проекция вектора а на нормаль я к поверхности и в данной ее точке. Само по себе определение (112) имеет смысл как для замкнутых, так и для разомкнутых поверхностей, причем знак 尸°(а),

очевидно, зависит от выбора направления нормали п в одну или в другую сторону. В формуле (111) фигурируют замкнутая поверхность и внешняя нормаль. Таким образом, теорему Г аусса — Остроградского можно сформулировать так: поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен интегралу по этому объему от дивергенции вектора.

Для доказательства другой, также очень важной теоремы Стокса понадобится понятие циркуляции вектора а по произвольному контуру С (рис. 4), которая определяется криволинейным интегралом вдоль контура С:

(ИЗ)(ИЗ)Гс(о) = § а -6г = § п/6х/.

(ИЗ)

(ИЗ)

В случае замкнутого (В->Д), самого себя не пересекающего контура С циркуляция обозначается символом

ге(а) = ^a.3尸=§ "必小(114)

©(С)

Направление обхода контура С выбирается таким, чтобы ограниченная контуром поверхность и оставалась при обходе слева.

Теорема Стокса утверждает, что циркуляция вектора по замкнутому контуру С, на который опирается разомкнутая поверхность о (рис. 5), равна потоку вектора rot а через поверхность а:

Fc(a)=&(rota),(115)

а соответствующая этой теореме формула Стокса имеет вид

§ а . 8г — ^ rotna 6а.(116)

Направление нормали должно соответствовать направлению обхода контура С, т. е. со стороны нормали обход должен представляться в

положительном (против часовой стрелки) направлении. Докажем сначала теорему Стокса для элементарного прямоугольника ABCD (рис. 6), расположенного в плоскости x3=const (ось Ох3 направлена перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя), со сторонами, параллельными осям О%! и О%2, в центре которого помещена точка М с координатами хь %2, х3 и с заданным в ней вектором а (хь %2, %з)・ Значения вектора а на серединах сторон выразим с точностью до О (6х2) равенствами

на АВ: Q Я—— 6xj, 肌 1

на ВС: а +В%,

d*2

на CD: а— 5/, М 1

на D4: а ———В/. дх2

Циркуляцию по обводуЦиркуляцию по обводупрямоугольника получим как сумму цир

Циркуляцию по обводу

Циркуляцию по обводу

куляций по отдельным отрезкам АВ, ВС, CD и DA, равных по отдельности, с учетом направления обхода,

Гав = (% + 許呵 I АВ I =小 + 務

Гвс = — (“1 + ~- 5%, I ВС I = — (〃i + ^^ В%?) 26х1э

含呵|241 =小含呵|241 =小О/О/.窘 5%, 25/, M)23%i・

含呵|241 =小

含呵|241 =小

О/

О/

Суммируя, получим

5。=(許-計)М”ЕМ(117)

где Во обозначает площадь прямоугольника ABCD 6а=26х1-26х2= =46х16х2. Равенство (117) показывает, что циркуляция вектора а по обводу прямоугольника равна потоку вектора rot а сквозь площадь прямоугольника. Эту формулу можно применить к любому элементу би поверхности и в форме

6r=rotn абп. (118)

Суммируя обе части формулы (118) по всем элементам поверхности о, заметим, что циркуляции по общим сторонам смежных ячеек взаимно уничтожатся, а останутся лишь циркуляции по тем сторонам ячеек, которые как раз составляют контур С. В пределе получим

2^Г = f 3F = g Q • 5尸.с с

Сумма правых частей в уравнении (118) приведется к полному потоку вектора rot а сквозь поверхность а, что и доказывает справедливость теоремы Стокса.

Изложенных в этой главе основных понятий и формул векторного и тензорного анализа достаточно для усвоения содержания настоящего курса. Для более подробного ознакомления с основами векторного и

тензорного исчислений рекомендуем следующие специальные учебные пособия:

Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М.: Наука, 1965;

Седов Л. И. Механика сплошной среды, Ч. 1.—М・：Наука, 1983;

Лурье А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970. Приложения I, II, III (с. 799-870);

Meйз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.—М.: Мир, 1974.

В предыдущем (пятом) издании (М.: Наука, 1978) настоящего учебника на с. 14—30 приведена сводка наиболее употребительных формул векторного и тензорного исчислений.

ГЛАВА II

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ И. Задание положения и движения сплошной среды.

Линии тока и траектории. Трубки тока и струи

Для задания положения и движения сплошной среды, в частности жидкости или газа, существуют два способа.

Первый, связанный с именем Лагранжа, заключается в задании текущих значений координат частиц среды х4, х2, х3 как функций времени, т. е. совпадает с применяемым в кинематике системы материальных точек. Необходимость индивидуализации этих частиц требует дополнительного задания значений координат каждой из них аь а2, а3 в некоторый начальный момент времени /=/0, причем эти координаты могут быть не только прямоугольными декартовыми, но и любыми криволинейными. Поскольку частиц сплошной среды бесконечно много, то сами величины ah составляют непрерывное поле. Величины ак и t называют лагранжевыми переменными.

Кинематические уравнения движения запишутся при этом в векторной или координатной форме так:

占=修(％, % %; О»

%2 = %2(a1,a2,a3； 0 >(1)

Х3 = %3 (“1, 〃2, @3； %),

ИЛИ

爲=爲(。1, “2, &； 0(i=l, 2, 3),

или

，=«%, а2, &； f)=，(a, О-

Другой способ, принадлежащий Эйлеру и значительно шире распространенный, чем способ Лагранжа, заключается в аналитическом или векторном задании поля скоростей вектора скорости У с проекциями V2, Рз：

匕=匕(修，X2, %3； 0,

%=1/2(%1, %2, %3； %),⑵

匕=匕(%1, %2, %； /),

ИЛИ

V( = Vi (%b x2, %； f)(^= 1, 2, 3),

или

У = У (%, x2, xs; t)^v(r, /).

Переменные хь x2, %з, f в этом случае называют эйлеровыми переменными.

Подчеркнем, что в лагранжевом задании координаты хь 厶,х$ относятся к движущимся частицам среды, а в эйлеровом — к точкам пространства, с которыми в данный момент времени совпадают эти частицы, что позволяет переписать систему уравнений (2) в виде одного векторного или системы трех обыкновенных дифференциальных урав-

нений первого порядка

匕==匕(%1，%2,力3； О»

匕=% (%1，%2, %3； f),(3)

"з = ^^"=%(%1，%2,匕;0>

ИЛИ

Vi = dXildt=Vi(Xh 七，％； 0(i=l, 2, 3),

или

V=dr〕dt=V〈Xh x2, %з； f)

относительно неизвестных，(f) или 修(f), &(/), %«)•

Три постоянных интегрирования Сь С2, С3, которые при этом появятся и войдут в интегралы системы (3)

%1=%1(e1,e2, &；/)，

%2=%2(&,，2, Сз； /) ,(4)

%з=%з(&, Сз； f)

могут быть исключены при помощи начальных условий при /=/0

a1=%](&, e& &；幻，

a2=%2(a, e2, ез； /。),(5)

a3 = %3(&,e2, &；幻。

Это приведет в конечном счете к лагранжеву заданию (1). В дальнейшем будет удобнее пользоваться эйлеровыми переменными и задавать движение в форме (2).

Поле скоростей является однородным, если векторы скорости во всех точках поля одинаковы. Поле скоростей называют стационарным, если оно не меняется с течением времени (OV70f=0), в противном слу- нае — нестационарным. В разделе кинематики

сплошной среды поле скоростей считается заданным.

Поля физических величин трудно обозримы непосредственно. Для упорядочения представления о них разработаны специальные приемы. Скалярное поле разбивается поверхностями уровня скалярной функции. Таковы, например, изотермы — поверхности одинаковой температуры и изопотенциальные поверхности в динамике,

на которых сохраняются постоянными значения

потенциала силового поля.

В векторных полях рассматривают векторные линии, в каждой точке которых вектор направлен по касательной к этой линии. В дальнейшем прежде всего встретятся линии тока (рис. 7), т. е. линии, в каждой точке которых вектор скорости среды направлен по касательной к ним. В определении линий тока время играет роль фиксированного параметра. В дальнейшем будем отличать линии тока от других векторных линий, нанося на них стрелки, показывающие, в какую сторону

происходит движение.

Через каждую точку поля скоростей в данный момент времени можно, вообще говоря, провести линию тока и притом только одну. Существуют, однако, и такие — их называют особыми — точки поля скоростей, через которые проходят две или бесчисленное множество линий

тока, а иногда и такие, через которые не проходит ни одна линия тока. Примеры таких особых точек будут даны в § 50 гл. VII.

Течение жидкости можно визуализировать, т. е. сделать видимым, если, например, ввести в жидкость мелкие твердые частицы (порошки ликоподия, алюминия или полистироловые шарики) или мелкие пузырьки газа (обычно водорода), а затем сфотографировать в отраженном свете с малой выдержкой или снять на киноленту. При этом линии тока наглядно показывают общий характер движения. Такие образы движения жидкости называются спектрами потока. Аналогичные, например, дымовые спектры осуществляют и в воздушных потоках. Проф. М. В а н - Д а й к (Стэнфордский университет, США) составил замечательный по содержанию и оформлению атлас спектров водяных и воздушных потоков, а также оптических картин до- и сверхзвуковых течений, представляющий ценное учебное пособие по курсу механики жидкости и газа ')•

Записав условие, что вектор скорости V в данной точке, направленный по касательной к линии тока, и дифференциал 6г (рис. 7) вектор- радиуса г этой точки имеют общее направление, получим векторное равенство, выражающее условие параллельности этих двух векторов：

УХ"=0,(6)

или, в проекциях,

6不1б/ 6*3(7)

У1(*1，/，¥з； f) 匕(*1，*2, *3； 2) 匕(占，*2,為；/)•

Подчеркнем, что использование греческой буквы 6 в обозначениях дифференциалов указывает на бесконечно малое приращение величины в пространстве, когда поле данной величины зафиксировано в данный момент времени. Латинская буква d сохранена для обозначения дифференциалов величин как бесконечно малых приращений во времени при движении среды.

В равенствах (7) Vb У2, V3 — заданные функции координат и времени. Считая t параметром, принимающим любые фиксированные значения, можем рассматривать совокупность равенств (7) как систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (третье — следствие остальных). Интегралы этих уравнений представят конечные связи между координатами, являющиеся уравнениями двух поверхностей； в пересечении их получится искомая линия тока. Таким непосредственным, но излишне трудоемким методом получения линий тока в дальнейшем пользоваться не будем.

От линий тока следует отличать траектории движения частиц сплошной среды, определяемые как геометрическое место точек последовательных положений отдельных частиц в пространстве в следующие друг за другом моменты времени.

В каждый данный момент времени t дифференциал dr вектор-ра- диуса г движущейся частицы будет совпадать по направлению с вектором скорости, так что дифференциальные уравнения траекторий будут аналогичны уравнениям (7) линий тока, но с тем принципиальным отличием, что теперь уже время / будет таким же независимым переменным, как хь х2, х3, и уравнение траектории должно быть записано в виде

包i=空=些=力. (8)

У1 (*1，*2，為；0 У2 (*1，*2, *3； 0%(*1，*3； 0

I) Van-Dyke M. An album of fluid motion.— Stanford, California, USA: The Parabolic Press, 1982. Имеется и русский перевод: Альбом течений жидкости и газа/Под ред. М. Ван-Дайка.— М.: Мир, 1986.

промежутка времени А/ точка М совершит перемещение MM^VAt ипромежутка времени А/ точка М совершит перемещение MM^VAt иРис. 8Рис. 8

промежутка времени А/ точка М совершит перемещение MM^VAt и

промежутка времени А/ точка М совершит перемещение MM^VAt и

Рис. 8

Рис. 8

Если поле скоростей стационарно, то время f не будет входить в проекции скоростей, исчезнет оно и из уравнений (8), и они совпадут с (7). Отсюда следует, что в стационарных полях скоростей траектории и линии тока в любой момент времени совпадают.

К тому же результату можно прийти и из следующих простых геометрических соображений. Для построения линии тока, проходящей через точку М (рис. 8), отложим вдоль вектора скорости произвольный малый отрезок ММ{. В тот же момент времени f (f — фиксированный параметр) в точке Mi скорость в силу неоднородности поля скоростей будет уже иной, скажем, V{. Откладывая вдоль направления V\ отрезок MiM2i получим следующую точку М2 и т. д. На рисунке показан полигон MMiM2M3... При бесконечной малости отрезков этот полигон

превратится в непрерывную кривую — линию тока.

Иначе будет строиться траектория точки. По прошествии малого

Рис. 9

Очевидно, что полигон MMfMffMfff... в общем случае нестационарного поля скоростей будет отличен от полигона MMiM2 • •. Предельное положение точек полигона ММ'М"…при Aff 0 определит траекторию движущейся точки М среды, которая в случае нестационарного поля скоростей не совпадет с линией тока. У линии тока и траектории, проходящих через данную точку М, в этой точке будет общей касательная, направленная по вектору скорости V.

В случае стационарного потока, выбирая произвольные точки Mi, М2, ... совпадающими с М', М〃, ... и замечая, что векторы скоростей К, У?, • • • в любой момент времени по условию стационарности совпадут с Vх, У〃，. •. убедимся, что совпадут и линия тока с траекторией.

Проводя в данный момент времени через точки замкнутого контура С (рис. 9) линии тока, получим поверхность тока, заключающую внутри себя часть жидкости, называемую трубкой тока. Если далее рассмотреть контур С как жидкий, т. е. состоящий 6 любой момент времени из одних и тех же частиц жидкости, то совокупность траекторий точек этого контура ограничит струю. В случае стационарного поля скоростей струя совпадает с трубкой тока. В любой точке поверхности тока вектор скорости V направлен по касательной к линии тока, так что среда не проникает сквозь поверхность тока. Поэтому, если

среда несжимаемая (плотность ее повсюду одинакова) и, кроме того, внутри трубки тока нет источников или стоков, то секундный объемный расход ее Q, т. е. поток вектора скорости через поперечное сечение трубки, одинаков в данный момент для любого сечения трубки:

Q = \ (bo = const,(9)

где л — нормаль к сечению трубки о в данной точке.

Элементарные (построенные на бесконечно малом контуре) трубки тока, каково бы ни было поле скоростей, допускают проведение нормальных к ним сечений, причем с точностью до малых высших порядков эти сечения могут рассматриваться как плоские. Иначе обстоит дело с трубками тока конечного размера. Для того, чтобы такие трубки имели сечения, нормальные к линиям тока внутри трубок и на их поверхности, необходимо выполнение условия существования поверхностей, нормальных & линиям тока.

Рассмотрим семейство поверхностей ф(х4, х,, x3)==const, пересекающих линии тока. Условием ортогональности линий тока этим поверхностям будет (X — скалярная функция)

grad(p=XV.

Взяв от обеих частей этого векторного равенства операцию rot, слева получим нуль, а справа, согласно третьему равенству системы (88) гл. I, соотношение

rot(XV) =Х rot V+grad АХУ・

Умножая обе части таким образом полученного равенства

0=Х rot V+grad XX V

скалярно на V и учитывая, что второе слагаемое справа перпендикулярно к вектору У, убедимся, что условием существования ортогональных к линиям тока поверхностей будет

V・rot У=0.(10)

Таково ограничение, накладываемое на поле скоростей, без выполнения которого невозможно существование сечений трубок тока, нормальных к линиям тока.

Распределение скоростей в элементарном объеме среды.

Первая теорема Гельмгольца

В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример сплошной среды, излагается теорема Эйлера о разложении вектора скорости V любой точки тела произвольных размеров на составляющую Vo поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом О и вращательную составляющую согласно вектору угловой скорости о. Аналогичная по содержанию теорема, расширенная учетом возможных деформаций среды, но по необходимости ограниченная применением к бесконечно малому объему, устанавливается для любой сплошной среды, в частности для жидкости или газа.

Напомним, что в общем случае движения абсолютно твердого тела распределение скорости задавалось формулой

V=V0+(dX (，一%),(11)

где V — вектор скорости любой точки М тела; Vo — скорость точки М), выбранной за полюсу о — вектор угловой скорости вращения тела, оди-

лаковый для любой точки тела; ，н % — вектор-радиусы точек М и MQ. В проекциях на оси координат равенство (И) примет вид

К=У1о+со2(Хз-Хзо)-(о3(х,-х20),

匕=%1)+5 (%L%io) - S (%3-%зо) ,(12)

V3= V30+(0i (力一％2o) —g (修一修 0) •

Имея в виду, что величины х10, х20, Хзо； V10, V2o, V30;①力 co2, Ss одинаковы в данный момент времени t для всех точек тела, заключим, что равенство (И) и его развернутая форма (12) представляют линейную вектор-функцию вектор-радиуса г точки М или, что все равно, координат ХЬ %2, %3・

В кинематике абсолютно твердого тела уравнения (11) или (12) выражают вектор скорости Vлюбой точки тела как заданную функцию координат. Поставим обратную задачу, обычно не рассматриваемую в курсах теоретической механики, об отыскании выражения вектора угловой скорости вращения тела через заданное равенствами (11) или (12) поле вектора скорости V. С этой целью, пользуясь равенствами (12), найдем следующие разности производных от проекций скорости Vb 捲 匕 по координатам хь х2, х3:

醬—~ = «1 —(―① J = 2со1#

дх2

=S2 —(-吗)=2%,(13)

дх3 дх、

= g —(—① з) n 2 g.

Разности, стоящие в левых частях этих равенств, представляют проекции пространственной производной вектора V, именуемой ротором, или вихрем, вектора скорости и обозначаемой символом rot V [см. формулы (80), (81) гл. I].

Из равенств (13) следует

G)= yrotr,(14)

что и служит решением поставленной обратной задачи кинематики абсолютно твердого тела.

В рассмотренном случае общего движения абсолютно твердого тела уравнения (12) представляли проекции вектора скорости V линейными функциями координат, в силу чего величина и направление векторов вихря скорости rot V и угловой скорости (о были одинаковыми во всем пространстве.

В случае деформируемой среды, в частности жидкости или газа, поле скоростей не будет линейным относительно координат, но если удовольствоваться рассмотрением в данный момент времени бесконечно малого объема, то внутри него с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости поле скоростей можно считать линейным, а формулу (13) справедливой. Представив мысленно элементарный объем среды мгновенно затвердевшим, заключим, что угловая скорость его вращения в данный момент будет равна половине вихря вектора скорости, который может быть вычислен в малой области этой мгновенно затвердевшей, недеформируемой жидкости.

Формула (14) в случае абсолютно твердого тела справедлива глобально, т. е. для всего тела в целом, а в случае деформируемой среды — лишь локально в бесконечной близости к данной точке среды.

Далее вектору угловой скорости элементарного объема жидкости

будет дана более прямая трактовка, не опирающаяся на образ мысленного затвердевания объема.

Рассмотрим движение элементарного объема жидкости, выделив в нем две произвольные точки М и М{ (рис. 10) со скоростями V и М). Относительное расположение точек Mt и М определяется вектор-радиусом бг=л—r0, где rt и

/г0 — соответственно вектор-радиусы точек М /иМ

%// VПользуясь непрерывностью поля скоростей и

/厶 нпостулируя существование первых производных

от проекций скорости V по координатам, сравним скорости У(‘)и V. Применяя для этой цели Рис. 10символические представления полного диффе

ренциала вектора V в пространстве и полной про

изводной вектора V по вектор-радиусу г, получим, согласно формулам (94) —(96) гл. I,

(15)(15)30 = 0® — p = (^ 打)=力*" = S 6尸 + 才6 尸,

(15)

(15)

где выражение, помещенное в круглых скобках, обозначает произведение тензора ЗУ/б，=力* на вектор 6,《справа》'). Используя теперь равенство (106) гл. I при a=V, b=R, получим

Н)= K+yrotKx6r + (def F)6r. (16>

Сравним это выражение, приведенное, согласно (14), к виду

V^=V+(dX6r+(dei V)6r,(17)

с равенством (11) при г—г0=6г. Первое слагаемое в правой части можно рассматривать как скорость полюса М, второе — как вращательную скорость точек элементарного объема с относительными вектор-радиу- сами 6，при угловой скорости s, а сумму этих двух слагаемых — как скорость %т в квазитвердом движении элементарного объема. Последнее слагаемое назовем деформационной скоростью и обозначим через Удеф. Тогда равенство (17), переписанное в виде

М)=匕т+Уде®,(18)

где

Кет = V + (о х 6г = К + — rot V х 6г,

2(19)

ИДеф= (def F) 6r = S 6г,

будет выражать первую теорему Гельмгольца, представляющую прямое обобщение теоремы Эйлера о распределении скоростей в движении абсолютно твердого тела. Первая теорема Гельмгольца гласит: скорости точек элементарного объема сплошной среды складываются из скоростей квазитвердого и деформационного ее движений.

Квазитвердое движение, точнее, общий случай движения абсолютно твердого тела, рассматривается подробно в курсе теоретической механики). Обратимся к описанию деформационной составляющей скорости.

Точки в обозначениях Dt S н Л*, обычно применяемые для сокращенного обозначения производных по времени, поставлены для того, чтобы не смешивать эти тензоры поля скоростей с тензорами D, S, Л* для поля перемещений,

§ 13. Деформационное движение жидкости. Тензор скоростейдеформаций и кинематический смысл его компонент.Главные оси тензора скоростей деформаций

Введем (рис. 11) в некоторый момент в выбранной точке произ-

Рис. 11Рис. 11応2応2вольно ориентированную систему прямоугольных декартовых координат М%1%2%з・ Рассмотрим далее совокупность трех элементарных жидких отрезков б，】, 6,2, 6,з с проекциями на эти

Рис. 11

Рис. 11

応2

応2

оси:

6Г1(6хь 0, 0), 5& (0, бх2, 0), М(0, 0, 6х3).(20)

По прошествии бесконечно малого промежутка времени dt жидкие координатные от-

резки (20) переместятся в смежное положение М，х；%； совершив, кроме квазитвердого,

еще деформационное перемещение [второе равенство системы (19)].

Новые значения координатных отрезков (20) и их проекций будут равны (сохраним краткое обозначение S для def У)

5尸;=g 十 € dridt;

5%； = 5* + (S brijidt = 5先 + &/• (5片)/ dt = 6xt-十 S{fixidt,(21)

так как по (20) (6厶)尸0, если j*i (，=L 2, 3; в формулах (21) —(23) по i не суммировать).

Относительные удлинения величин этих отрезков, согласно (21), будут

也(22)

и, следовательно, диагональные компоненты тензора скоростей деформации Sti равны скоростям относительных удлинений & координатных отрезков 6G

&/ = — = s • (23) dt

За время dt координатные векторы бгь 6%, 6г3 переместятся в положения b，2‘, 6，J, причем деформируются (растянутся или укоротятся), а первоначально прямые углы между ними перестанут быть таковыми («скосятся»).

Новые значения углов между 6г/, 6%' и 6г/ обозначим так:

причем «скошения» прямых углов 丫^, 7гз, Т】з условимся считать положительными, если углы уменьшаются.

Для определения этих скошений выпишем равенства (« — знак приближенного равенства)

COS(”；, 6%)=空'

6尤1

— = c°s 不—%2 =sm%2弋%2，

COS （3尸公5尸;）=上

6*2

•祭=COS (^ _ Y23)= sin 也3 - y23，

(24)

C0S(§Gq)= * ・

6斤？

'与=8S (^ — %3)= Sin Y13 — 713-

Используя (21) и вспоминая, что в первоначальном положении 6Г1-6г2 = /\

=0, получим выражение скошения координатного угла 6^, 6,2

6尸;6尸；бг! + (S 6гх) di 6r2 + (5 dr2) dt

Y12 ・ =； ；=

6g &Г；6X1 + Su6*idf6*2 + 臨飢力

—(* 6尸 1) • 6r& + (*6 尸2)• "1 力 + • • •—(* 6尸 1) • 6r& + (*6 尸2)• "1 力 + • • •&\6¥2十.…&\6¥2十.…U 2*]2U 2*]26/6/由6/6/由Мб/Мб/

—(* 6尸 1) • 6r& + (*6 尸2)• "1 力 + • • •

—(* 6尸 1) • 6r& + (*6 尸2)• "1 力 + • • •

&\6¥2十.…

&\6¥2十.…

U 2*]2

U 2*]2

6/6/由

6/6/由

Мб/

Мб/

Аналогично найдем скошения других координатных углов: ¥^3=2X23 df,*у j3=2*S 13 dtf

а скорости скошения координатных углов будут равны

Y12=2Х§ ⑵Y23=2623,71з = 2513.(25)

Отсюда следует, что недиагональные компоненты тензора скоростей деформаций равны половинам скоростей скошений координатных углов.

Для дальнейшего имеет значение еще одна характеристика деформационного движения — скорость относительного объемного расширения среды в данной точке 0, определенная равенством

'WYE'WYE(26)(26)

'WYE

'WYE

(26)

(26)

как отношение приращения элементарного жидкого объема 6т к первоначальной величине этого объема и к времени деформации df.

Полагая

6т = М&^Ьуз,

ВТ = 8x18x26x3 = (1 + ；1成)В%] • (1 + ^必)б/ • (1 + %з 由)3%з， найдем, опуская в окончательном варианте бесконечно малые, что соответствует предельному переходу,

6 = %+%+ £3 =等 + *■ + 攀= di、M(27)

d*2@不3

Таким образом, из определения 0 (26) и равенства (27) следует, что дивергенция вектора скорости У имеет смысл скорости относительного изменения элементарного объема жидкости в данной точке поля скоростей.

В модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем придется неоднократно встречаться, скорость относительного объемного расширения при отсутствии распределенных источников по самому ее определению равна нулю. При этом, независимо от всех прочих свойств жидкости (плотности, вязкости и др.), проекции скорости ее движения оказываются связанными чисто кинематическим равенством — уравнением несжимаемости, называемым также менее определенно уравнением неразрывности:

div展也 + ^- + ^-=0.(28)

d*i d/ дх3

Напомним (§ 7), что для любого симметричного тензора можно указать такую прямоугольную систему координат — ее оси носят наименование главных,— в которой все недиагональные компоненты равны нулю, а таблица тензора сводится к главным значениям тензора, расположенным на главной диагонали.

В приложении к тензору скоростей деформаций S это означает, что в главных его осях скорости сношения координатных углов равны нулю, а скорости относительных удлинений бесконечно малых координатных отрезков равны главным значениям 勿外，兀⑵，又⑶ тензора скоростей деформаций. Отмечая штрихами главные координаты и компоненты тензора в главных осях, будем иметь

(29)(29)S；i = ^⑴，Su = 0, &з = 0,Sa = 0,S22 =儿⑶，€；з = О,

(29)

(29)

S31 = 0,*S32 = О, S33 =又⑶.

То обстоятельство, что главные оси координат в каждый данный момент в данной точке среды не скашиваются, позволяет придать вектору со смысл мгновенной угловой

скорости трехгранника главных осей, который представляет собой мгновенный жесткий, если судить только по направлениям осей, 《скелет》элементарного жидкого объема. Не следует конечно забывать, что в следующий момент времени трехгранник главных осей уже будет проходить через

другие частицы среды.

В качестве простейшего при-Рис- 12

мера рассмотрим движение чистого сдвига, в котором распределение скоростей имеет вид (рис. 12, б)

V 1==сх«V 1==сх«匕=0,匕=0,匕=0.匕=0.(30)(30)

V 1==сх«

V 1==сх«

匕=0,

匕=0,

匕=0.

匕=0.

(30)

(30)

Среди компонент тензора скоростей деформации в координатах хь %2 отличными от нуля будут только <12=工21=丄 ^^= £ • Характеры- 22

стическое уравнение (60) гл. I примет вид

(31)(31)

(31)

(31)

и будет иметь корни — главные значения тензора скоростей деформаций —

(32)(32)

(32)

(32)

Если выделить в начальный момент времени жидкий контур в виде бесконечно малого квадрата с центром М, то спустя время dt он перейдет в другое положение и превратится в ромб (с точностью до малых второго порядка). Из физических соображений ясно, что скорость относительного удлинения оси Мх/ (рис. 12, а) положительна, а оси М%2‘ отрицательна, т. е. со временем отрезки оси Мх/ удлиняются, а оси Мх/ укорачиваются. Прямой угол между диагоналями квадрата M%J и 府％2‘ остается прямым после малой деформации, став углом между диагоналями ромба. Это указывает, что оси Мх/ и Мх^ главные. Придем к тому же выводу аналитическим путем.

Уравнения (58) и (59) гл. I приводятся к двум независимым уравнениям относительно проекций е「，4П орта е(п одной из главных осей:

-W + W^o,妙 + 型=1,

откуда, согласно (32), следует

成)=湯)=号.(33)

Аналогично, для е^ и е^ получим значения

缘)=一除， 瓚)=啄，(34)

а для 空)и е^) — нулевые значения, что отвечает двумерному характеру течения.

В то же время проекции ортов главных осей е⑴，е⑶，е⑶ на оси координатной системы Ох^х^ равны соответствующим косинусам углов между главными и обычными осями. Из (33) и (34) следует, что углы между первой главной осью и осями Охъ Ох2 равны 45°, а между второй главной осью и теми же осями соответственно 135° и 45°. Отсюда следует, что первые две главные оси тензора скоростей деформаций в точке М расположены по диагоналям квадрата (рис. 12), т. е. как раз являются осями M%J и Мх^. Третья главная ось образует с плоскостью рисунка угол 90°, что было заранее очевидно, так как рассматриваемое движение происходит параллельно плоскости 。打力.

Перемещение MMf (рис. 12) характеризует поступательное перемещение V dt элементарного объема среды за промежуток времени dt. Можно заметить, что за то же время система главных осей, служащая, как ранее было указано, «скелетом» жидкого объема, повернулась по часовой стрелке на угол со3 df= у (^^ — ^~) df = — -|-df. Знак минус связан с тем, что ось Ох3 направлена перпендикулярно к плоскости рисунка так, что со стороны этой оси поворот виден совершающимся от оси 0x2 к оси Ох；、т. е. в отрицательном направлении.

Деформационная составляющая движения не имеет в механике жидкости и газа того значения, как в теории твердого тела (упругого, пластического и др.). Компоненты тензора скоростей деформаций встретятся только в динамике вязких жидкостей и газов, где они окажутся связанными с компонентами тензора напряжений (обобщенный закон Ньютона).

В ближайших главах основное значение будет иметь квазитвердая составляющая движения, но, конечно, при этом нельзя забывать о присутствии деформационной составляющей.

§ 14. Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка.

Вторая теорема Гельмгольца

Как следует из предыдущего параграфа, квазитвердое движение элементарного объема складывается из поступательного движения со скоростью V, определяемой какой-либо точкой этого объема, принимаемой за полюс, и вращательного движения вокруг мгновенной оси с век- тором угловой скорости s= - rot V. Движение жидкости, сопровождаемое вращением отдельных ее элементарных объемов, называют вихревым, а сам вращающийся объем (иногда его угловую скорость)— вихрем. Если движение элементарных объемов среды сводится только

Рис. 15Рис. 15Рис. 13Рис. 13

Рис. 15

Рис. 15

Рис. 13

Рис. 13

к поступательному и деформационному, то такое движение именуют безвихревым.。.

В общем случае каждой точке М поля скоростей движущейся среды сопоставляются два вектора: скорость V и угловая скорость о (рис.

. Каждому из этих двух векторов соответствуют свои векторные линии: вектору V — линии тока, векторам & = ^2 rot V или Q=rot V —

вихревые линии, т. е. линии, в каждой точке которых касательная совпадает по направлению с вектором Q или о. Вихревые линии будут в дальнейшем часто отмечаться закругленной стрелкой, выражающей вращение элементарных объемов вокруг касательных к вихревым линиям.

Подобно тому, как раньше строились поверхности тока, получим вихревую поверхность о, проведя через точки некоторого

замкнутого контура С вихревые линии (рис. 14), а ограниченную ею часть жидкости, участвующую во вращении, назовем вихревой трубкой.

Аналогично секундному объемному расходу жидкости, равному потоку вектора скорости сквозь любое поперечное сечение трубки тока и одинаковому для несжимаемой жидкости вдоль всей трубки тока, будет равен в данный момент времени вдоль вихревой трубки и поток вектора о или вихря Q = rot V.

Докажем следующую вторую теорему Гельмгольца: поток вихря скорости 尸o(Q) (так же, как и поток вектора угловой скорости Fa(&)) сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков 6 данный момент времени вдоль всей трубки.

Выделим в вихревой трубке объем т, заключенный (рис. 15) между боковой поверхностью Обок трубки и двумя ее произвольными поперечными сечениями о⑴ и о⑵.Применим к этому объему формулу Гаусса — Остроградского в форме (111) гл. I при а=(о. Будем иметь

(35)

где поверхность о, ограничивающая объем вихревой трубки т, состоит из трех поверхностей： 0(川，о") и ,абок# По определению вихревой линии на боковой поверхности будет соп=6, а подынтегральное выражение в правой части (35) тождественно равно нулю (div rot V三0). Равенство (35) приведется к виду , SnSa + ,(ort6a = 0. Изменяя направление орта

№№0（2）

№

№

九1 на противоположное я/ так, чтобы косинус угла между(0(‘)и п/ был положительным, получим

Поскольку поперечные сечения。⑴ и о выбирались произвольно, то равенство (36) и доказывает вторую теорему Гельмгольца.

Из второй теоремы Гельмгольца следует, что поток вектора С (или s), одинаковый в данный момент для любых сечений вихревой трубки, может служить мерой интенсивности вихревой трубки i в целом.

Из второй теоремы Гельмгольца также можно заключить, что вихревые трубки не могут заканчиваться внутри среды, так как при этом да/』。)& или Q должны были бы становиться бесконечными. Опыт подтверждает этот факт. В природе наблюдаются либо замкнутые вихревые кольца (рис. 16), как, например, при выходе дыма из трубы, либо вихревые трубки, начинающиеся и оканчивающиеся на поверхностях раздела твердой поверхности и жидкости или жидкости и газообразной среды. Таковы часто наблюдаемые в реках водовороты, которые представляют собой вихревые трубки, опирающиеся одной своей стороной на дно реки, а другой — на свободную ее поверхность, отделяющую воду от атмосферы, или только на дно или только на свободную поверхность. В стакане молока

или кофе можно наблюдать невооруженным глазом вихревые трубки, если быстро вынуть из стакана ложку. Водовороты гигантских размеров наблюдаются в океане за островами (например, за островом Ямайка), находящимися в быстрых течениях. Вероятно, самыми «грозными» вихревыми трубками являются смерчи. Они опираются нижним концом на поверхность океана, а верхним уходят в слой нависших облаков. Причины возникновения их пока точно не известны, но, по-видимому, связаны с тепловыми явлениями на границе океана и атмосферы. Слабее проявляют себя циклоны и антициклоны в атмосфере.

Обращает на себя особое внимание вихревая трубка, образующаяся при истечении воды из резервуара с малым отверстием в дне. Резервуар с водой, вращаясь вместе с Землей, уже обладает малой угловой скоростью, которая резко увеличивается при прохождении воды сквозь узкое отверстие. При этом в область разрежения, которая образуется при быстром вращении жидкости, индуцируемом резко возросшим вихрем (см. § 27), врывается воздух, создающий воздушную полость (так называемый «полый вихрь》). Такое же явление имеет место и в смерчах, внизу которых собирается вода из океана, а вверху —водяной пар из облаков. Смерчи, образующиеся в пустынях, увлекают песок. Эти явления требуют для своего описания привлечения динамики жидкости или газа. Результаты современных исследований, относящихся к разнообразным вихревым течениям в природе и в технических устройствах, можно' найти в исключительной по наглядности иллюстраций монографии В. Альбринга 】).

§ 15. Теорема Стокса о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией скорости по опоясывающему ее контуру

Непосредственное наблюдение вихревой трубки в прозрачной жидкости, не несущей примеси или специально не нагреваемой для визуализации потока, практически невозможно. Не существует также и

приборов для измерения интенсивности вихревых трубок. Однако эту интенсивность можно вычислить, если найти на соответствующем контуре распределение скорости при помощи одного из предназначенных для этого приборов. Такими приборами являются, например, крыльчатые анемометры, скоростные трубки, термо- и лазерные анемометры. Для указанного вычисления достаточно воспользоваться следующей теоремой Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающем у.

Для доказательства теоремы Стокса применим формулу С т о к- са [(116) предыдущей главы], положив а=У и определив интенсивность вихревой трубки /, например, как поток вектора вихря скорости fi=rot У.

Будем иметь (и — произвольное сечение трубки, опирающееся на контур С)

i = § Q〃5o = $ Р • 3尸. (37)

По этой теореме определение интенсивности вихревой трубки сводится к интегрированию элементов циркуляции V-бг вдоль контура, опоясывающего трубку.

Вихревая трубка, заключающая внутри себя завихренные части жидкости, может быть окружена жидкостью, частицы которой не вращаются вокруг своих осей, а движутся поступательно по замкнутым, в том числе круговым траекториям. Такая безвихревая «оболочка» вызывается (индуцируется) вихревой трубкой. В этом случае для определения интенсивности вихревой трубки нет необходимости вычислять циркуляцию по контуру, один раз опоясывающему трубку, а достаточно брать циркуляцию скорости по любому контуру, один раз охватывающему трубку. При наличии нескольких разделенных безвихревыми потоками вихревых трубок интенсивности 厶,，2, ••• (рис. 17) общая их интенсивность, равная алгебраиче

ской сумме интенсивностей отдельных трубок, будет определяться циркуляцией скорости по контуру С, один раз охватывающему всю совокупность таких вихревых трубок.

По измеренной циркуляции по замкнутому контуру в поле скоро

стей можно судить не о наличии или отсутствии внутри его вихревых трубок, а лишь о суммарной их интенсивности. Равенство нулю цир

куляции скорости по замкнутому контуру еще не позволяет сделать заключение об отсутствии вихревых трубок, так как внутри этого контура могут быть вихревые трубки с различными направлениями вращения, которым соответствуют разные по знаку интенсивности.

§ 16. Ускорение частицы среды.Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение

Ускорение частицы жидкости, так же как и вообще ускорение материальной точки, определяется производной вектора скорости этой ча-

стицы по времени

(38)(38)т

(38)

(38)

В лагранжевом представлении движения (1) вектор скорости У определится как

(39) at

а вектор ускорения V — как

V=^r(a9 Ь, с; 0(40)

(а, Ь, с — параметры, выделяющие данную частицу из множества других и равные координатам частицы в начальный момент).

В эйлеровом представлении вектор скорости задается равенствами (2), а для вычисления ускорения, т. е. векторной производной по времени от V надо принять во внимание следующие два обстоятельства, обусловливающие изменение вектора скорости V с течением времени: 1) локальное (местное) изменение скорости во времени из-за нестацио- нарности поля, 2) конвективное изменение скорости за счет перемещения частицы жидкости 8 неоднородном поле скорости.

Первое, локальное, ускорение определится как

亿юк = %・(41)

01

Для вычисления второго, конвективного, ускорения надо найти приращение вектора скорости жидкой частицы, обусловленное лишь ее перемещением (конвекцией) в соседнюю точку пространства в «замороженном» поле скорости, и отнести его к соответствующему интервалу времени. При использовании метода Эйлера это требует дифференцирования V(xb х2, %з； /) по времени как сложной функции, когда четвертый аргумент t фиксирован, a %i(f), х2(0, %з«) являются переменными координатами жидкой частицы. В результате производная от V по направлению траектории умножается на производную от пути s по времени, т. е. на величину скорости. Согласно формуле (78) гл. I получим (會=У/У)

叭。нв* v)^=* V1 VV^(V^)V.(42)

ds dt\ V J

Суммируя локальную и конвективную составляющие ускорения, получим выражение полного ускорения

V = — + {У ^)V9(43)

или, в проекциях на оси координат,

t好聆v^ ^ v^+ 卜 卜t好聆v^ ^ v^+ 卜 卜4444/ 也 如 迎

t好聆v^ ^ v^+ 卜 卜

t好聆v^ ^ v^+ 卜 卜

44

44

匕醬+ %譬dtО/d*，

*3=祟+匕等+ %醬 dt此О/

ИЛИ

匕=寸+力五「(i=l

Локальное ускорение равно нулю, если поле скоростей стационарно. Конвективное ускорение отсутствует, если поле скоростей однородно. Например, в случае удара тела о поверхность воды вначале возникает локальное ускорение жидкости, а конвективное ускорение мож-

но считать в начальный момент равным нулю； неоднородность поля скорости и конвективное ускорение появляются лишь затем. Аналогичное положение имеет место и при начале движения тела, погруженного в неподвижную жидкость.

Оператор V-V называют конвективной производной, производную d/dt — локальной производной, а полную производную d/df, равную

亲= * + (3),(45)

учитывающую полное изменение некоторой физической величины, связанной с движением индивидуальной частицы среды в поле этой величины —или, в более общем случае, в поле любой субстанции,— называют индивидуальной {лагранжевой) или субстанциональной производной.

Полное ускорение частицы в эйлеровом представлении ее движения, равное сумме локального и конвективного ускорений, определяется как индивидуальная (субстанциональная) производная от вектора скорости по времени. Сохраним для индивидуальной производной обозначение d/dt.

Символическую формулу (42) конвективного ускорения можно заменить другой, не содержащей символического оператора V. Приведем сначала вывод одной важной формулы векторного анализа, выражающей конвективное ускорение через пространственные производные grad и rot.

Вспомним формулу двойного векторного произведения

@Х (&X с) =& (а • с) —с (а • &) ==& (а • с) — (а • &) с.(46)

Положив в ней &=V, будем иметь

V(a・c) = (a・V)c + aX(VXc) и, поменяв местами а и с, V(c-a) = (с-V)a + cX (Vxa).

В первом из этих равенств операция дифференцирования V относится только к с при постоянном а, во втором, наоборот, к а при постоянном с. По правилу символического составления пространственных производных от сложных векторных выражений (см. конец § 8 гл. I) объединим эти два выражения для одной и той же величины V(a-c) и получим

V(a・c) = (a・V)c+ (c-V)a+aX (VXc) +cX(VXa)・

Переходя частично от символических обозначений к операциям grad и rot, получим формулу векторного анализа

grad (а.с) = (а. V) с4- (с • V)а+аX rot c+^Xrot а,(47)

ранее [(88) гл. I] приведенную без вывода.

Положим в этом равенстве а=с, а-с=а2. Тогда из векторного соотношения (47) будет непосредственно следовать

grad (а2) =2 (а • V) a+2aXrot а.(48)

Отсюда вытекает равенство

(а • V) a = grad—+ rot а ха,(49)

которое при а=У приведет к не содержащему символических операторов выражению конвективной составляющей ускорения через операции

grad и rotgrad и rot

grad и rot

grad и rot

(50)(50)Кконв =(7.V)r =grad-y + rotFxK.

(50)

(50)

Последнее выражение VK0HB будет полезным в динамике при выводе уравнения Громека — Ламба. Большую помощь может оказать это равенство и для вывода проекций ускорения в ортогональной криволинейной системе координат. Прямой подход к этому выводу заключался бы в использовании разложения вектора скорости по ортам (единичным векторам) ir осей координат в криволинейной системе

И =匕& 十 ％& + 匕丿з = Vqrir (51)

с последующим его дифференцированием по времени, которое потребовало бы вычисления индивидуальных производных dVQr/dt и dijdf, что само по себе достаточно трудоемко.

Удовольствуемся приведением выражений проекций ускорения на оси наиболее употребительных систем криволинейных координат: цилиндрической (в том числе полярной) и сферической:

цилиндрическая система (г, е, z):

%=誉+匕* +勺冬+匕^一?%=誉+匕* +勺冬+匕^一?dVz * dVz dV2 〃。匕 匕=-^+乙-+上-^ + 叭一dtг 丁 dzdVz * dVz dV2 〃。匕 匕=-^+乙-+上-^ + 叭一dtг 丁 dz(52)(52)

%=誉+匕* +勺冬+匕^一?

%=誉+匕* +勺冬+匕^一?

dVz * dVz dV2 〃。匕 匕=-^+乙-+上-^ + 叭一

dtг 丁 dz

dVz * dVz dV2 〃。匕 匕=-^+乙-+上-^ + 叭一

dtг 丁 dz

(52)

(52)

сферическая система (R, 0, е):

Лd險丄！/ "r %必 %必 吟+嗯

У p =р у 0

с dt dR R d0 RsinB de R

R8=吐 bdt

&dt

+ &需+ 2箒+占*+第一^愚"(53)

+ 5+上"般+磐+生:dge.

dRRde Rsine 决R 1目

§ 17. Кинематическая теорема Кельвина

До сих пор изучались свойства вихревых трубок или эквивалентных им по теореме Стокса циркуляций скорости по опоясывающим вихревые трубки контурам в данный момент времени. Излагаемая ниже теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени 0- Формулировка теоремы такова: индивидуальная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому (т. е. состоящему во все время движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Рассмотрим сначала несколько более общий случай — изменение во времени циркуляции скорости по разомкнутому жидкому контуру С (рис. 18).

】) В связи с чисто кинематическим характером этой теоремы, не связанной с физическими свойствами жидкости или какими бы то ни было силовыми воздействиями, ее называют кинематической теоремой Кельвина, отличая от динамической теоремы Кельвина, которая будет рассмотрена далее в динамике жидкости.

Вычислим индивидуальную производную по времени от циркуляции вектора скорости V по разомкнутому контуру С между точками А и В. Согласно определению интеграла как предела суммы имеем

ВВ88

方丿仲).

ЛЛАА

(С)(С)(С)(С)

В силу независимости операций d/dt и 6 их можно поменять местами, придав последнему интегралу в предыдущем равенстве вид вввв

"融=".3借尸" 门(勺. АААА

(С)(С)(С)С)

Интеграл от дифференциала равен разности значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах. Таким образом, будем иметь

(55)(55)V^r= f 0.* + ^(嚥—г第.(54)

(55)

(55)

Соединяя точки В и Л, замкнем кривую С и получим

или, в ранее введенных обозначениях для циркуляции,

专&»)=「")•(56)

Формула Кельвина (55) или (56) выражает общий закон изменения со временем циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру и тем самым по теореме Стокса (§15), интенсивности вихревой трубки, причем связывает это изменение с циркуляцией ускорения, т. е. с циркуляцией объемной силы, которая, очевидно, равна работе силы по замкнутому контуру. В этом заключается особое значение теоремы Кельвин а для динамики жидкости и газа, о чем будет речь в последующем (см. гл. VII).

ГЛАВА III

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ.РАВЕНСТВА КОШИ.

ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯ

Плотность распределения массы в сплошной среде.

Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

В динамике дискретной системы материальных точек динамические характеристики, в том числе и инерционные, приписывались отдельным точкам системы (массы материальных точек системы, приложенные к ним силы). В случае абсолютно твердого тела рассматривались как суммарные, но относящиеся к резко очерченным областям твердого тела характеристики (моменты инерции, зависящие от размеров, внешней формы тела и распределения в нем масс, векторы количества движения и момента количества движения), так и сосредоточенные в конкретных точках твердого тела силы (нагрузки), моменты сил.

В динамике сплошных сред (жидкостей, газов, упругих и других «твердых» деформируемых тел) такой подход заменяется заданием непрерывных распределений динамических и, вообще, физических величин по сплошной среде, характеризуемых плотностью распределения этих величин.

Первым примером такого задания может служить плотность распределения массы в виде предела отношения массы Дт малого объема А* заключающего в себе данную точку Mf к объему А* когда последний стремится к нулю, стягиваясь к точке М. Отношение Am/Ар называют средней плотностью в объеме А* а предел этого отношения при Дт->0 — плотностью среды в данной точке М и обозначают буквой р, так что

p = lim竺=如. (1) дт->о Ат 6т

Отсюда непосредственно следуют выражения массы элементарного объема 6m через плотность р

бт=р 6т (2)

и массы m выделенного в среде конечного объема т

m = У р 6т. (3)

Плотность характеризует инерционные свойства среды и образует скалярное поле р=р(%「х2, х3; /), которое может быть как стационарным, так и нестационарным. Поверхности уровня в поле плотности называют изостерами.

Плотность выражают в Международной системе единиц (СИ) в кг/м3. Числовые значения плотности жидкостей и газов приведены в таблицах физических величин.

В дальнейшем по-прежнему используем обозначение 6 для бесконечно малого приращения в пространстве, а букву d сохраним как символ приращения во времени.

В ньютоновской механике масса жидкого, т. е. состоящего во все время движения из одних и тех же частиц, объема, сохраняет постоянную величину, так что, согласно формуле (2) (d/dt — символ индиви-

дуальной производной по времени),

告(3加)=吃9配)=票配+ Р吃(阮)=。.⑷

atatatat

Вспоминая данное в конце § 13 определение скорости объемного расширения О, по формулам (26) и (27) гл. II будем иметь

—6T = divK6r,

и, следовательно, равенство (4) приведется к такому

传+ pdivP传+ pdivP6т = О,6т = О,

传+ pdivP

传+ pdivP

6т = О,

6т = О,

откуда, в силу произвольности величины 6т, следует

也+ pdivU=0.(5)

dt

Закон сохранения массы в ньютоновской механике привел, таким образом, к дифференциальному уравнению связи между плотностью и скоростью (5). Подчеркнем, что эта связь имеет место независимо от приложенных к среде сил.

Уравнение (5) обычно называют уравнением сплошности или уравнением неразрывности, хотя, быть может, ему более соответствовало бы наименование уравнения сохранения массы.

Разлагая, согласно изложенному в § 16, индивидуальную производную, входящую в уравнение (5), на локальную и конвективную составляющие, получим

粤+ ”・V)p + pdivP = 0,(6)

or

млн, внося скалярную величину р внутрь круглой скобки, 曳+ P・g「adp + pdiv0 = O.

dt

Вспоминая соответствующую формулу (88) гл. I (ср=р, а=У), получим

div(pV) = V-grad р + р div V

и перепишем равенство (6) в виде

-^ + div(pK) = 0.⑺

Это другая форма того же уравнения сплошности (5), в которой отсутствует индивидуальная производная плотности по времени.

Если поле плотности стационарно (dp/df=O), уравнение сплошности примет вид

div(pU)=0(8)

или в проекциях скорости Vh (々=1, 2, 3) (суммирование по 々)

°(Р〃)=d(P%) I 0(р%) [ @(Р%)=о.⑼

dxk О*] 此 d& •

Наконец, в случае постоянной плотности (несжимаемая однородная среда) получим уравнение несжимаемости жидкости

div V=0(10)

ИЛИ

吆=也+也+也=0.

dxkд厶дх2 дх3

В дальнейшем встретятся случаи движения сплошной среды с непрерывным по ходу движения возникновением (исчезновением) вещества определенного сорта за счет, например, химической реакции превращения одного из составляющих ее веществ в другое или вследствие изменения фазового состояния вещества (испарение движущейся жидкости, сопровождающееся возникновением в ней пузырьков пара или, наоборот, конденсация пара и появление в нем жидких капель, цепенение жидкого металла, таяние льдинок в потоке воды и т. п.). В этих случаях естественно говорить о применении в сплошных средах методов механики переменной массы 9- Теоретической моделью такого рода явлений может служить заданное наперед, определяемое химической или физической кинетикой происходящих в движущейся среде процессов, непрерывное распределение источников притока (стока) массы, с интенсивностью, характеризуемой секундным, отнесенным к единице объема приростом массы вещества в данной точке потока. Эту величину, имеющую размерность [М^/{UT) ]=плотность/время, было бы естественно обозначить символом р, но, чтобы не смешивать ее с индивидуальной производной по времени dp/df, примем для нее самостоятельное обозначение /. Связь между величинами dp/dt и J определится из очевидного соотношения

二 =(П)

atat

приходящего на смену равенству (4), и следующих из него, но обобщенных на случай динамики переменной массы уравнений неразрывности

吟+ pdiU = J,(12)

at

亜+ div(pP) = J・(13)

Распределение сил в сплошной среде.

Объемные и поверхностные силы. Равенства Коши. Тензор напряжений

В динамике сплошных сред выделяют два класса действующих на частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми^) и поверхностные. Под объемными силами понимают силы, действующие на элементы объема, как, например, силы веса, тяготения, инерции, электростатического притяжения или отталкивания, силы действия магнитного или электрического поля на частицы среды. К поверхностным относят силы, которые при принятом в механике сплошных сред макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, ограничивающей объем, как, например, силы давления, или, более общо, силы, действующие со стороны потока на поверхность погруженного в него тела или реакции тела на поток, силы внутреннего трения (вязкости) в среде.

Следует оговориться, что эта классификация сил условна, так как механика Ньютона знает лишь силы, приложенные к массам, т. е. только объемные силы. Но в тех случаях, когда частицы, на которых сосредоточено действие сил, расположены в столь тонком слое, что можно без большой погрешности свести этот слой к некоторой «материальной

】)См. Лойцянский Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической механики. Т. II.— М.: Наука. 1983, с. 110—114.

поверхности», считают, что силы действуют на элементы этой поверхности.

В отличие от динамики системы дискретных точек в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностями 〃％ распределения 8 пространстве. Так, под плотностью распределения объемных сил (коротко — объемной силой) F в данной точке М среды понимают предел отношения главного вектора AR сил, приложенных к точкам малого объема Дт, заключающего в себе точку М к массе Дт=р Дт, где р—некоторое среднее значение плотности 6 объеме Дт, когда объем Дт стремится к нулю, сохраняя внутри себя точку М, т. е.

尸=lim — = -lim 丄".(14)

Am—о Д/пp Ajo At p

Измеряется 尸 в Международной системе единиц (СИ) в Н/кг или м/с2.

Отсюда следует, что обычная, ньютоновская сила 6R, приложенная к элементарному объему 6т в точке М, определяется через объемную силу F как

6R = pF 6т.

В качестве примера можно указать, что в случае силы тяжести F=g, где g——вектор ускорения свободного падения; случаю центробежной силы инерции во вращающейся с угловой скоростью <о системе соответствует объемная сила F = co2r, где г — вектор, равный кратчайшему расстоянию между точкой приложения силы и осью вращения и направленный 8 сторону от оси.

Аналогично, поверхностные силы задаются вектором напряжения p = lim 更=(15) △о田 Ao6a

где Ар'——главный вектор сил, приложенных со стороны среды к выделенной в ней малой площадке Ао, а 6р н 6。一 предельные их значения. Измеряют р в Н/м2.

Вектор 6р поверхностной силы, приложенной к площадке ба в данной точке пространства, равен, согласно (15),

6р=р 6а,

т. е. произведению вектора напряжения р на величину элементарной площадки Во.

Отметим основное различие (кроме, конечно, несовпадения размерностей) между векторами F и р： в то время как вектор 尸 является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор р принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжение, и, таким образом, векторного поля не образует.

Возьмем в точке М сплошной среды площадку 6а, ориентацию которой в пространстве определим ортом 〃 нормали к площадке (рис. 19). Назовем одну из сторон площадки ба лицевой, а другую — тыльной. Проведем с лицевой стороны единичный вектор нормали п. Откинем мысленно с лицевой стороны площадки часть среды, заменив ее действие на площадку силой рп5о. Индекс п у вектора напряжения рп указывает на то, что сила приложена к лицевой стороне площадки с ортом нормали л. Если бы, наоборот, была откинута часть среды с тыльной стороны, то сила, эквивалентная действию откинутой среды, приложенная к тыльной стороне площадки, была 6н, согласно закону действия и противодействия, равна — рп6о. Конечно, выбор одной из сторон площадки в качестве лицевой, а другой — в качестве тыльной совершенно

произволен, но должен быть заранее указан и в процессе рассуждения зафиксирован.

Докажем, что вектор напряжения рп можно представить как произведение орта п, характеризующего ориентацию площадки Во в пространстве, на тензор второго ранга Р, являющийся функцией вектор-ра- диуса г точки и времени, т. е. образующий тензорное поле.

С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр МАВС (рис. 20) с вершиной в данной точке М, с основанием в форме треугольника АВС, образованного пересечением наклонной плос

Рис. 20Рис. 20кости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях. Обозначим площадь треугольника АВС через боп, а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ, пред-

Рис. 20

Рис. 20

ставляющих собой проекции треугольника АВС на координатные плоскости, соответственно 6аь 6а2, боз, причем индексы 1, 2, 3 при этих площадках, так же как и при напряжениях ръ р2, р3, приложенных к этим площадкам, обозначают оси, перпендикулярные к площадкам.

Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как «жидкий», т. е. состоящий из частиц движущейся среды, напишем уравнение движения центра инерции этой системы частиц, общая масса которых пусть равна 5加；будем иметь

V сбт = Fbm + ря6пя —内&^ —勿^% — "з^%,

где Vc—вектор ускорения центра инерции тетраэдра; 尸一плотность распределения объемных си儿,а рп, рь р2, р3—векторы напряжений, расположенные со стороны лицевых граней тетраэдра. Лицевыми, очевидно, являются те, со стороны которых расположен орт 〃 и, чтобы не вводить новых, орты А, /2, i$ (рис. 20). При последних трех членах в правой части последнего уравнения стоят знаки минус, так как к внешним — тыльным — сторонам боковых граней приложены напряжения —рь —Рг, —Рз-

В рассматриваемом уравнении член слева и первое слагаемое справа как величины третьего порядка малости — они содержат элементы массы, пропорциональные объему 5т — можно откинуть по сравнению с остальными членами, содержащими элементы поверхностей 5оп, 6仇， bo?, 6оз, являющиеся малыми второго порядка. Тогда, оставляя лишь малые второго порядка, будем иметь

Рпбпп = 〃6б + р2ба2 + Рз6(ъ・ (1 б)

Замечая, чтоЗамечая, что60rl = 6an cos (n, Xi) = n©n,

Замечая, что

Замечая, что

&^2 ^~ ^^n COS (%, ”2)~~ 九^bo”，

6u§，「6gfi cos (〃，无з)1 * 九360^1,

где пь п2, п3 обозначают косинусы углов орта я с осями координат, получим после сокращения обеих частей уравнения (16) на 6ап и стягивания тетраэдра к его вершине в точке М точное выражение

рп = п1р1+п2р2+п3рз =九审%,(17)

или, в проекциях на оси декартовых координат,

Pni =几 1Р11+九 2P21 +几 зРз1, Рп2 = %Р12 +九 2P22+九3032,

(18) рnз =九 1p13 + 孔 2P23 + %p83・

Вспоминая определение напряжений р,, р2, р3) отметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжениях Р” Р12, ... обозначает ось, перпендикулярно к которой ориентирована площадка Во, второй — ось, на которую спроектировано это напряжение; так, например, р” обозначает проекцию на ось х3 напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси хь Очевидно, что р^=ргд# (г=1, 2, 3; суммирование по s от 1 до 3).

Величины с одинаковыми индексами р”，р22, р33, представляющие проекции векторов напряжений рь р2, р3 на нормали к соответствующим площадкам, называют нормальными напряжениями, а проекции р12, р^ р〃, ... на оси, лежащие в плоскости площадок,— касательными напряжениями.

Система равенств (17) или (18) показывает, что проекции физически объективного вектора рп на оси координат являются линейными функциями проекций на те же оси физически объективного вектора п. Коэффициенты в этой линейной связи представляют совокупность девяти величин

(

Рп Рп Рл\

Р12 Рм Р» •(19)

Р18 Раз Рм /

Как было отмечено в § 4, наличие линейной связи между проекциями двух физических векторов рп и л говорит о физической объективности совокупности величин (19) ры (^, /=1, 2, 3) и тем самым о физической объективности определенного таблицей (19) тензора второго ранга с этими компонентами.

Таблица (19) не удовлетворяет принятому порядку индексов： первый—номер строки, второй — столбца. Поэтому за тензор напряжений примем тензор Р с таблицей

/Ри Рп

Р I Р21 Р22 Раз I > (2°) \Р81 % Рзз/

а тензору с таблицей (19) сопоставим тензор Р*, сопряженный с тензором напряжений Р. Как будет вскоре показано, различие между тензорами Р и Р* отсутствует.

зорной форме так:зорной форме так:рп=пР — Р*п.рп=пР — Р*п.(21)(21)Вспоминая определение операции умножения вектора на тензор справа (или тензора на вектор слева), можем переписать (18) в тен-

зорной форме так:

зорной форме так:

рп=пР — Р*п.

рп=пР — Р*п.

(21)

(21)

Равенство (17) и эквивалентные ему равенства (18), устанавливающие линейную зависимость между проекциями напряжения, приложенного к любой площадке в данной точке, и косинусами углов нормали к этой площадке с осями координат, имеют основное значение для механики сплошных сред. Они носят наименование равенств Коши, впервые их опубликовавшего в 1827 г. Формула (21) эквивалентна аналитическим формулам (17) или (18), но имеет перед ними то преимущество, что лишена зависимости от выбора той или другой декартовой системы координат, чем подчеркивает свою физическую объективность.

§ 20. Теорема о взаимности касательных напряжений

Условия равновесия тетраэдра АВСМ, согласно известной теореме статики, должны, кроме равенства нулю главного вектора (16), содержать еще условия равенства нулю главного момента приложенных сил.

Необходимо с этой целью отметить, что принятое в § 19 определение объемных и поверхностных сил нуждается в дополнении еще 小&определениями объемных и поверх-

ностных пар сил, которые, напри- мер, могут образовываться в ферро- магнитных жидкостях. Первые из / \них, как малые третьего порядка, в

/\уравнения моментов не войдут, а

/\вторые должны быть учтены.

\Отвлечемся от этого особогослу-

/\ чая и примем, что в движущейся

/ / м\среде поверхностных пар сил нет.

/При составлении условия равно-

/весия (16) положение точек прило-

жения поверхностных сил не имело значения. Для определения момен- 乙тов поверхностных сил необходимо

рис 21знать координаты точек приложе

ния сил. Поскольку грани тетраэдра бесконечно малы, можно принять, что поверхностные силы по ним распределены равномерно и, следовательно, точки приложения равнодействующих находятся на пересечении медиан в треугольниках АВС, АМВ, ВМС и АМС в точках G, Gb G2, G3 (рис. 21). Чтобы не загромождать чертеж, на рисунке показано положение только точек G и Gs на грани АВС и ее проекции АМВ. Обозначим через г, г(1), г{2\ т^} вектор-радиу- сы точек пересечения медиан G, 6Ь G2, G3- Тогда искомым вторым условием равновесия тетраэдра будет уравнение моментов

，X pnbdn = N X p^Ci + 2)х р2ба2+г(3)Х рз6о3.

Заменяя в этом равенстве рп его разложением (17), получим после сокращения на бок

(г—丿⑷)xpi%+ (у—「⑶)х〃％+ (г—г(3)) ХрзП, = 0.(22)

Направленный отрезок G$G равен разности вектор-радиусов г и rw G^= MG —М6з = г —Н3\

а так как точка Gs является проекцией точки G на плоскость Мх^ то направленный отрезок G3G параллелен вектору %.

Аналогично, векторы г—г(1) и г—г(2) параллельны векторам 乙 и 4, так что можно положить (九")一скаляры)

y⑷=九("，r—r^ = ^i2i ，一尸3)=入(3%.(23)

Подставляя значения этих разностей в (22), составим соотношение

九⑴％(i，X〃)+ 九⑶％(勾乂〃)+^3)n3(i3xp3) =0.(24)

Остается определить скаляры 入“),Х(2), Х(3). Для этого продлим от

резки MGi, MG2 и MG§ до их пересечений с плоскостью АВС в точках G/, G2I G； (на рисунке это построение показано только для Сз5・ По известной теореме о пересечении медиан в треугольнике будем иметь

MGi = -^- MGi = ^ r^\ MG2 = ^ г^2\ MG； = ^/*(з).

Учтем, что концы векторов MG； MG；, MG；, так же как и MG, лежат в наклонной плоскости АВС. Следовательно, обозначая через 九 длину перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС, найдем (л 一 орт нормали к АВС)

у [尸⑴・〃]=у卜⑵闾 =1卜⑶.〃】=h.(25)

Умножая обе части каждого из равенств (23) скалярно на п, будем иметь согласно (25)

[(r -尸传))•〃] =尸•〃 —尸依)•// = h 一 ^h = "^■九=九优血

(々=1, 2, 3; no k не суммировать!).

Отсюда следует, что ^k}nk=hl3. Подставляя полученные значения X(ft) в равенство (24) и сокращая обе части на h, придем к следующему векторному соотношению:

^Хр1 + 4Хр2 + /3Хрз = 0.(26)

Принимая во внимание равенство Рт=ртЗ (суммирование по s), будем иметь

»i Х"1 = "1X Pi«G = Pi8 (А X L), причем

0, s = 1,

»i х 厶—-»з, s -— 2,

—»2，s = 3, так что

八 X 〃 = Р12»3—Р13^2.

Аналогично будет

»2 X。2 = —P2J3 + Ргз^ь 力3 义"з = Рз#2—Рз2»1・

Подставляя эти результаты в равенство (26), получим

G X Р1 + ^2 X Рг + ^3 X Рз =(P23—Рз2)力1 +(Рз1 ―Р13)力2 +(Р12—「21) ?3 = 0, откуда прямо следует, что

卩23 =卩32, Рз1 =Р13, Р12 = Р21； Р = Р*・(27)

Равенства эти выражают теорему о взаимности касательных напряжений: если через какую-нибудь точку среды провести три взаимно перпендикулярные бесконечно малые площадки, то для каждых двух из них проекции вектора напряжения, приложенного к одной из площадок, на нормаль 及 другой равны между собой.

Равенства (27) устанавливают, что при принятом условии отсутствия в среде непрерывного распределения поверхностных пар сил, компоненты тензора напряжений не зависят от порядка индексов, иным» словами, тензор напряжений симметричен.

Механику сплошных сред (жидкостей, газов, упругих тел), для которой справедлива теорема о взаимности касательных напряжений и^ следовательно, симметричен тензор напряжений, называют «симметричной», в противном случае — «несимметричной». Последняя получила развитие только в недавнем прошлом, представляет предмет пока еще небольшого числа исследований и не может занять место в настоящем учебнике. Дальнейшее изложение посвящается только симметричной механике жидкости и газа.

Отметим существенные для последующего выводы из теоремы о взаимности касательных напряжений: 1) из девяти неизвестных компонент тензора напряжений различными являются только шесть; 2) в равенствах Коши (18) порядок индексов при компонентах тензора напряжений можно менять; 3) равенство (21) приобретает вид

рп=пР=Рп. (28>

Подчеркнем, что присутствие объемных или поверхностных пар сил не ограничивает справедливости равенств Коши, так как при составлении главного вектора сил пары вклада не дают.

ГЛАВА IV

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Теорема количеств движения. Уравнение динамики«в напряжениях»

Обратимся к общей теореме об изменении главного вектора количеств движения системы, гласящей: производная по времени от главного вектора количеств движения системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Применительно к механике сплошных текучих сред эта формулировка претерпевает небольшие изменения и становится следующей: индивидуальная производная от главного вектора количеств движения ^жидкого» объема равна главному вектору внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным соответственно в объеме и на •ограничивающей его поверхности. Выделим в жидкости произвольный конеч- 〃 ный жидкий объем т (рис. 22). Если 6т—эле-希

мент объема, содержащий точку М со ско- 呀 ростью V, то вектор его количества движения равен

5К=рУ 6т,

а главный вектор количеств движения во всем объеме т равен сумме или интегралу элементарных количеств движения

⑴

По тем же соображениям главные векторы внешних объемных и поверхностных сил будут соответственно равны

У pF 6т и J 〃6о・

Таким образом, только что сформулированная в терминах динамики сплошных сред теорема об изменении количеств движения приводит

к равенству

(3)(3)备 j pV 6т = у pF 5т + j Pnbo.ТТа

(3)

(3)

В левой части выполним преобразование

击”阮=^碎阮)="部计『勺(р阮).

Последний интеграл по условию сохранения массы (4) гл. III равен

нулю; следовательно,нулю; следовательно,⑷⑷

нулю; следовательно,

нулю; следовательно,

⑷

⑷

В последнем члене правой части (3) произведем замену рп его выражениями (17) или (28) гл. III. Будем иметь, согласно теореме Гаусса—Остроградского, эквивалентные друг другу результаты

дх2дх2St, (5)St, (5)『〃6и =卜“ 1 + 九2% + 九з"з) би =『(翁 4 аат

дх2

дх2

St, (5)

St, (5)

У р“3о = ^ пР 6а — j VP St = j Div P 6т. аат%

Возвращаясь к равенству (3), подставим в него приведенные к объемным интегралам члены и объединим их, перенеся в левую часть ура炉 нения. Получим

/(pJ 尸 т/(pJ 尸 тdpi d*idpi d*i

/(pJ 尸 т

/(pJ 尸 т

dpi d*i

dpi d*i

откуда, в силу произвольности объема интегрирования т, придем к следующим двум возможным выражениям уравнения динамики сплошной среды в напряжениях：

р^ = р£ +礬 + 譬+警，

dtдх2дХ[

⑹

р ^ = pF + DivP.

Векторы

也=也+也+処_ = d加e

дх{ О/ О/ дх3

стоящие в правых частях уравнений (6), согласно равенствам (5), можно рассматривать как пределы

j* пР 6аАОj* пР 6аАО(7)(7)lim — С prt6a = lim —

j* пР 6а

АО

j* пР 6а

АО

(7)

(7)

Дт->о Ат JАт->о Ат

да

отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к поверхности Да, которая ограничивает объем Дт, заключающий внутри себя данную точку М, к этому объему, т. е. как объемную плотность распределения главного вектора поверхностных сил. Эту плотность будем называть объемным действием поверхностных сил.

рЬг + 匕рЬг + 匕В декартовой системе прямоугольных координат уравнения (6) приобретут вид

рЬг + 匕

рЬг + 匕

= pR -|(i= 1, 2, 3; суммирование no 粉

dxk

или, в развернутом виде,

符警嚮+ + +^ ^ ^^ ^ v^+ + +叫此也此理此+ + |%匕匕! + +符警嚮+ + +^ ^ ^^ ^ v^+ + +叫此也此理此+ + |%匕匕! + +d>2d*3 '十电经+电丝, (8)дх2О* '0*2d*3 'd>2d*3 '十电经+电丝, (8)дх2О* '0*2d*3 '

符警嚮+ + +^ ^ ^^ ^ v^+ + +叫此也此理此+ + |%匕匕! + +

符警嚮+ + +^ ^ ^^ ^ v^+ + +叫此也此理此+ + |%匕匕! + +

d>2d*3 '

十电经+电丝, (8)дх2О* '

0*2d*3 '

d>2d*3 '

十电经+电丝, (8)дх2О* '

0*2d*3 '

К этой системе уравнений присоединяется уравнение неразрывности (7) гл. III, имеющее в указанных координатах вид

+(Р匕)+ ~ (Р%) + 戸(pV3) = о.(9)

at О/дх，дх3

Как будет показано далее, уравнения (8) вместе с уравнением (9) являются основой динамики сплошных сред. В них содержатся как частные случаи различные виды уравнений, отвечающие тем или иным дополнительным допущениям относительно физических свойств определенных моделей сплошных сред (идеальная, вязкая жидкости и др.).

Предыдущий вывод уравнения в напряжениях относился к случаю отсутствия внутренних источников притока массы, т. е. (согласно концу § 18) соответствовал условию / = 0. При наличии такого рода источников (JR0) и в условиях их неподвижности в левой части уравнений (6) появится дополнительный член /V, учитывающий изменение количества движения со временем за счет наличия этих источников; будем иметь, например, вместо второго уравнения (6)

р也 + W = pF + DivP dt

или, перенося член JV в правую часть,

р —=pF + DivP —(10) dt

Это уравнение можно рассматривать как уравнение динамики сплошной среды переменной массы 9, а последний член справа трактовать как реактивную силу, отнесенную к единице объема, или плотность распределения реактивных сил.

Теорема моментов и вывод из нее теорем о взаимностикасательных напряжений

Закон изменения главного момента количеств движения системы материальных точек гласит: производная по времени от главного момента количеств движения системы материальных точек равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе.

В динамике сплошной среды этот закон формулируется так: индивидуальная производная от главного момента количеств движения конечного жидкого объема равна главному моменту внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к этому объему 〃 ограничивающей его поверхности.

Пользуясь тем же рис. 22, найдем моменты указанных там векторов относительно произвольного центра О, на рис. 22 не показанного. Обозначая через г текущий вектор-радиус точек объема т и ограничивающей его поверхности о, выразим только что сформулированную

Лойцянский Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической механики. Т. II. — М.: Наука, 1983, с. ПО —114.

теорему следующим равенством:

(Н)(Н)-~-JrxpF6т = j rxpFб^ + J г хрл8а.

(Н)

(Н)

Стоящий в левой части интеграл преобразуется так:

崇Т><р^ =『醬 ХР0М+ pxpfs^+ рхиА(рбт). тттт

Первый из интегралов в правой части равен нулю, так как ^XpF = VxpK = 0,

третий также равен нулю, так как по закону сохранения массы -^•(рбт) =0, и мы приходим к равенству

Обратимся к преобразованию поверхностного интеграла правой части (11) в объемный. Перепишем его, согласно формуле Коши (17) гл. III, в виде

J 尸 Хря6а = J ГХ(勺5 + %02 + 九з"з) 6。=

=，电(尸 ХЕ) + % (尸 X02)+ % (尸 хРз)】 Sa

или, используя интегральное соотношение Гаусса—Остроградского, ］尸><"消(7 = j ［含(尸х"' + 专(尸x"2)+言(尸x"3)阮= We套+爵+器)+(許+(*X%)+(託X叫阮 (12)

Подставляя полученные выражения в (11) и группируя члены, придем к выражению

竺_p戶一迫一也一也)—

J L V dt Y 0*1 dx2 dx3 丿

а7" X"i — К% —5т = 0. (13)

Отсюда, имея в виду первое равенство (6) и произвольность объема интегрирования т, получим соотношение между векторами напряжений Р1, Р2, Рз

ХА +Х02 + ~~ХРз = 0,

дхгдх2дх3

которое, замечая, что

(%/1 + %2”2 + %3»3)= Ч> ~^~ = »2，"Т^ = »3,

можно записать в виде

^1X Pi 4~ ^2 X Рг + ^з X Рз= 0. (14)

Последнее равенство совпадает с равенством (26) гл. III, которое, как было показано, приводит к теореме о взаимности касательных напряжений и симметричности тензора напряжений (формула (27) той же главы).-

Отметим, что соотношение (14) справедливо для любой сплошной среды независимо от характера приложенных к ней сил и наличия или отсутствия притока массы извне, если только в этой среде нет распределенных пар сил. Иными словами, существование распределенных источников (стоков) массы не нарушило бы симметричности тензора напряжений.

Очевидно, что если считать свойство взаимности касательных напряжений уже известным на основании геометрического вывода гл. III, подставить соответствующую формулу (27) гл. III в равенство (11) и учесть уравнение количеств движения (6), то уравнение моментов (11) просто обратится в тождество и не даст никакой новой информации. Если же не основываться на геометрическом выводе теоремы о взаимности касательных напряжений, а независимо проделать преобразования, приводящие уравнение баланса моментов к виду (14), то это будет второе доказательство той же теоремы. Наконец, опираясь на определение операции векторного умножения двух тензоров [(70) гл. I], можно было бы осуществить еще третье, тензорное доказательство симметричности тензора напряжений в форме равенства (75) гл. I: РхЕ=0, которое полностью не зависит от выбора координатной системы.

Однако поскольку подобные тензорные операции в дальнейшем не понадобятся, опустим этот вариант доказательства и перейдем к следующему по порядку закону изменения кинетической энергии.

§ 23. Теорема об изменении кинетической энергиии общий закон сохранения энергии

Напомним общую формулировку закона изменения кинетической энергии системы материальных точек: производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей как внешних сил, приложенных к системе, та& и сил внутренних взаимодействий между точками системы. Подчеркнем разницу в формулировках теоремы об изменении кинетической энергии и теорем количеств и момента количеств движения： в только что приведенной формулировке, наряду с внешними силами, учитываются и внутренние.

Интегральное выражение теоремы об изменении кинетической энергии движущегося индивидуального объема сплошной среды составим, пользуясь только что приведенной формулировкой для динамики материальных систем, в форме

AJP}16T= jpF.K6T +Jprt.F6a +J AW% (15) т т

где под Nm подразумевается отнесенная к единице объема мощность внутренних сил, называемая иначе плотностью распределения мощности внутренних сил.

Переходя от поверхностного интеграла к объемному при помощи преобразования

$ря.К6а= У(пР).76а= Jn.(P7)6a= Jdiv(P7)6T,

в котором использованы легко проверяемое тождество (nP).V^n^PV)

и формула Гаусса — Остроградского [(111) гл. I) ], и освобождаясь тем же путем, что и в предыдущих параграфах, от интегралов, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

= pFV + div(PQ+ Мп・(16)

Сравним это уравнение с равенством

составленным из второго уравнения (6) путем скалярного умножения обеих его частей на вектор скорости V. Почленное вычитание последних двух уравнений дает выражение для плотности распределения мощности внутренних сил

Nin = V・DivP-div(Py).(17)

Это выражение можно еще упростить, если использовать следующий ряд дифференциальных преобразований с оператором V:

div(PU) =▽• (РУ) = (VP) - V+P. (VV) = V-DivP + P. (VV).(18)

Здесь последнее выражение справа представляет собой скалярное произведение тензора напряжений на диаду поля скоростей [см. формулы (18), (19) и (69) гл. I]. Используя предыдущее равенство, найдем, согласно (17),

Мп = —Р・(▽吩

или, разлагая диаду поля скоростей VV на симметричную S и антисимметричную Л части и замечая, что в силу симметричности тензора Р будет Р•幺三0, перейдем к следующему выражению мощности внутренних сил как взятого с противоположным знаком скалярного произведения тензора напряжений на тензор скоростей деформаций:

(19)мощ- мощ- мощ-(19)мощ- мощ- мощ-Мп=—P'S.

(19)

мощ- мощ- мощ-

(19)

мощ- мощ- мощ-

Правая часть (19), выражающая плотность распределения ности внутренних сил, по своей структуре напоминает формулу ности силы. Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы

ность определяется как скалярное произведение векторов силы и скорости, а в сплошной среде плотность распределения мощности внутренних сил равна скалярному произведению тензоров напряжений 〃 скоростей деформаций.

При движениях сплошных сред происходят преобразования одних видов энергии в другие и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии (первого закона термодинамики), который для данного индивидуального объема движущейся среды формулируется так: индивидуальная производная по времени от полной энергии данного движущегося объема среды равна сумме мощностей приложенных 及 выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного 及 единице времени количества энергии, подведенной извне к объему. Этот закон выражается интегральным равенством

где U — удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия среды, включающая в себя все возможные виды энергии внутренних движений материи (в задачах механики жидкости и газа — это в первую очередь тепловая энергия), a q — удельное количество энергии, подведенное извне в единицу времени к данной частице среды и заключающее в себе отличные от работы макроскопических механических сил тепловые и нетепловые виды энергии. Сумма внутренней и внешней (кинетической) энергии носит наименование полной энергии.

Левую часть уравнения (20), используя закон сохранения массы (4) гл. III, преобразуем так:

+ /(" +匀击8舐)="普("+勺阮，

а поверхностный интеграл в правой части равенства (20), как и при выводе формулы (16), может быть превращен в объемный:

Jpn.K6a = $div(Pr)6т. от

Подставляя написанные выражения в уравнение (20) и учитывая, как и выше, произвольность объема т, получим уравнение баланса полной энергии в дифференциальной форме

Р 专("+ 勺=PF W + 杀(")+ PG(21)

Сопоставляя уравнение баланса полной энергии (21) с ранее выведенным уравнением изменения кинетической энергии (16), можем, произведя почленное вычитание этих уравнений одно из другого, получить следующее уравнение баланса внутренней энергии*.

p#=pq —Мп = р? + Рб(22)

at

не заключающее в явной форме ни внешних объемных сил, ни скоростей и выражающее связь между индивидуальным изменением во времени отнесенной к единице массы внутренней энергии среды, притоком внутренней энергии извне и мощностью внутренних сил.

Пользуясь полученным выражением плотности распределения мощности внутренних сил Мп (19), можем привести уравнение (16) к одному из следующих эквивалентных видов:

р<_ =pFW+P・DivP,

dt \ 2 J

(23)

р 专(? = pF у + div (РИ) —P・S.

Одно из уравнений баланса энергии (полной или внутренней) в том или другом виде может быть присоединено к общей системе уравнений динамики жидкости, которая и после этого останется незамкнутой. Для замыкания системы необходимо либо ввести дополнительные связи между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций (например, закон вязких напряжений Ньютона), либо наложить упрощающие предположения на компоненты тензора напряже- ни§ (модель идеальной, т. е. лишенной внутреннего трения жидкости).

При наличии притока массы от непрерывно распределенных источников в предыдущих формулах появятся дополнительные члены. Так, дифференциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии вместо (16) будет служить уравнение

Р 毋(W + m (”) + Mn — ？ ；(24)

at \ 22

уравнения баланса энергии в дифференциальной форме (21) и (22) перейдут в следующие:

+++.(25)

Р = Р7 — N®— JU9(26)

и, наконец, выражение мощности внутренних сил приобретет вид

Мп =— P'S — Jg .(27)

Вывод формул (24) — (27) основан на использовании равенства (11) гл. III вместо равенства (4) той же главы и не представляет труда.

При выводе формул (10) и (24) — (27) предполагалось, что непрерывно распределенные источник也 масс неподвижны. В случае источников, движущихся со скоростями V, изменение плотности количества движения, вызываемое притоком__массы от этих движущихся источников, определится разностью J(V—V), а соответствующая реактивная сила — разностью J(V—V). Изменение кинетической энергии равно 丿(夕/2— —02/2), а изменение полной энергии E=U+ —Р соответственно равно

J(E—月),где E=U-\——У2. Такого рода выражения будут использованы в § 149 при выводе уравнений движения неоднородных многокомпонентных газовых смесей, в которых за счет физико-химических превращений возникают и соответственно исчезают массы некоторых компонент смеси.

В практических расчетах непосредственное применение общих законов динамики жидкостей и газов бывает затруднительным. В связи с этим предпочитают, как это имеет место, например, в гидравлике, пользоваться интегральными их выражениями, часто сопровождаемыми явными или неявными осреднениями полей скоростей или других физических величин. Этому вопросу посвящено содержание следующего параграфа.

Перенос физической величины потоком средысквозь поверхность. Теорема Эйлера

Интегральные формы рассмотренных выше законов динамики и баланса энергии сплошных сред [количеств и моментов количеств движения (3) и (11), баланса кинетической и полной энергии (15) и (20)] содержат в левых частях индивидуальные производные по времени от выражений типа J Ф 6т, называемых значениями физической величины Ф в объеме т. Сама величина Ф в зависимости от вида уравнения может быть скалярной, векторной или тензорной. В перечисленных случаях юна соответственно равна рУ, rXpV, рН/2, р(С/+М/2).

на локаль-на локаль-Индивидуальную производную d/dt от ]*Ф 6т разобьем ную d/dt и конвективную (d/d/)K0HB:

на локаль-

на локаль-

訂①6叶倩)质阮

ххконв т

введем понятие переносвведем понятие переносДля придания наглядности конвективной части производной, а также ради определенных вычислительь “ са физической величины потоком среды через так называемую контрольную поверхность.

введем понятие перенос

введем понятие перенос

Условимся называть контрольной поверхностью движущегося жидкого объема среды неподвижную 6 пространстве поверхность, 8 данный момент ограничивающую рассматриваемый движущийся объем. Перемещаясь в пространстве, жидкий объем протекает сквозь контрольную поверхность.

Возьмем в пространстве, заполненном движущейся средой, элементарную площадку 6о с ортом нормали п, определяющим лицевую сторону площадки. Произведение ФКбп физической величины Ф на

секундный объемный расход Уп6о среды сквозь площадку 6а представляет собой перенос величины Ф сквозь эту площадку, а интеграл [фУп6(5 —перенос той же величины сквозь поверхность о конечной про- тяженности.

Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема вектору количества движения pV, получим вектор переноса количества движения сквозь поверхность о, равный интегралу J pWn6a. Вектор J ргХ XVVnSo представляет собой перенос момента количеств движения. Протекающую сквозь поверхность о секундную массу среды J р匕6。мож-

но рассматривать как перенос плотности р через поверхность о, скалярную величину J Р ^ ^п®а — как перенос кинетической энергии и т. п.

о

Докажем, что конвективная производная по времени от интеграла некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равна переносу той 宛е величины сквозь контрольную поверхность объема.

Для доказательства разобьем объем т (рис. 23, а) на элементарные трубки тока ABCD и для каждой из них составим выражение бесконечно малого конвективного изменения интеграла от величины Ф по объему элементарной трубки, происшедшего за время dt в результате перемещения этого объема из положения ABCD в положение A!WCDf (рис. 23, 6). Конвективное приращение величины J Фбр за время df, по определению, обусловлено только изменением положения объема интегрирования в неоднородном поле Ф(хь х2, х3; /), «замороженном» в начальный момент t. Следовательно, интеграл по общей части AfBCDf нового и старого объемов на это приращение не повлияет и может быть

откинут. Тогда

dicoHB § ① 5T=，①(%1，%2，%3； ‘) 6T ，①(%1，*2, *3； /) 3t==

тABCDA BCD

= § Ф (хь х2, х3; 0 6т — § Ф (хь х2, х3; 0 6т.

ВВССAAfDfD

В силу элементарности объемов справедливы равенства

объем AA,D,D -—%/0抠力 объем BB'C'C —V2n8(j2dt.

Здесь индекс п означает, что проекции берутся на направление внешней нормали 〃 к поверхности, ограничивающей объем ABCD, заключенный между сечениями 6^ и 6а2. Искомое конвективное изменение интеграла от Ф в объеме элементарной трубки равно

Ф i VinbGidt+Ф2 V2n6G2dt.

Произведя суммирование этих величин по всем элементарным трубкам, на которые разбит объем т, получим выражение бесконечно малого конвективного изменения рассматриваемого интеграла за время df:

〃нв j Ф 6т = У ФУпба 或. то

Деля на dt, перейдем к конвективной производной

(詛」^T叫®(28)

что и доказывает ранее высказанное утверждение.

В левой части равенства (28) находится производная, вычисление которой требует наблюдения за движением объема. Это — конвективная производная в лагранжевом представлении движения среды [(1),гл. II].

В правой части равенства (28) та же конвективная производная для своего вычисления требует знания поля скоростей, т. е. основного элемента при использовании эйлеровых переменных [ (2), гл. II]. Можно сказать, что выражение, стоящее в правой части (28), является конвективной производной в эйлеровом представлении.

Индивидуальная производная по времени от интеграла по движущемуся жидкому объему т физической величины Ф заключает еще локальную часть, так что развернутое выражение для индивидуальной производной имеет вид

養『©В』*『①阮+ j①乙6о.(29)

тто

Если поле величины Ф стационарно, то локальная часть отпадает и в этом случае будет

Фбт = J®Krt6a.(30)

Пользуясь (29) и полагая Ф=р, получим уравнение сохранения массы в интегральной форме

^~『р6т+ “乙 би = 0,(31)

имеющее особо простой смысл в случае стационарного потока, когда первое слагаемое слева равно нулю. В этом случае равенство

УрИл6а = 0 (32)

утверждает, что секундный массовый расход среды сквозь неподвижную замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя источников массы, равен нулю.

Если применить это равенство к объему конечной трубки тока, заключенному между сечениями о】и а2, где скорости и плотности обозначены соответственно Vb V2, Pi, Р2, то будем иметь

,pVln6a = \ р%淌о. (33)

Последнее равенство выражает закон сохранения секундного массового расхода вдоль трубки тока, или, пользуясь терминологией § 10, закон сохранения потока вектора количества движения pV вдоль трубки тока.

Интегральной формой теоремы об изменении количества движения среды в объеме т, ограниченном замкнутой поверхностью о, согласно изложенному выше, будет

J pF 6т 4- J 〃5о — М j рР 阮一j pW淌о = 0. (34) 工 о т о

Последнее слагаемое, включая знак минус, можно трактовать как перенос количества движения через контрольную поверхность внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали направлен наружу объема, так что если в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен также наружу объема (Рп>0), то элемент интеграла 《—pVnV6о» направлен внутрь объема; если же вектор V направлен внутрь объема, то 匕V0 и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор V, т. е. опять внутрь объема.

Полезно отметить, что из интегральных форм выражения законов сохранения массы (31) и количества движения (34-) легко получить, используя формулу Гаусса — Остроградского, соответствующие дифференциальные формы.

Равенство (34) в случае стационарного потока можно трактовать следующим образом: главные векторы внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к выделенному жидкому объему, вместе со взятым с противоположным знаком вектором переноса количества движения сквозь контрольную поверхность, соответствующую этому жидкому объему, образуют замкнутый треугольник, т, е. сумма этих трех векторов равна нулю. Такова теорема Эйлера количеств движения s сплошной среде.

Эта теорема, так же как и аналогичные формулировки для момента количеств движения и механической энергии, широко используются в курсах гидравлики и прикладной гидродинамики. Среди этих применений отметим расчеты давления струи на плоскую или криволинейную стенку, определение момента количеств движения жидкости, движущейся сквозь рабочее колесо турбины, применение теоремы Бернулли (см. далее), теоремы Борда к расчету внезапно расширяющегося потока я др.1)-

')Кроме учебников гидравлики, см. еще Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. II. — 6-е изд. перераб. и доп.— М.. Наука, 1983, с. 143— 347, 191, 192, 245-251.

Статика текучей среды. Уравнения Эйлера равновесия среды

Уравнения неразрывности, динамики 《в напряжениях», взаимности касательных напряжений, баланса кинетической и полной энергии составляют основную систему уравнений механики сплошных сред. Эта система не является замкнутой, так как число неизвестных в ней значительно превосходит число уравнений. Без дополнительных допущений о физических свойствах среды обойтись, как правило, нельзя. С главными из этих допущений мы познакомимся в дальнейшем.

Вместе с тем существует распространенный и практически важный класс задач, когда основная система уравнений сплошной среды замыкается без привлечения новых физических представлений. Это ——статика, т. е. относительный покой, равновесие среды.

Как уже указывалось во введении, в основу механики сплошных сред положены два допущения*, первое — о сплошности, т. е. непрерывности распределения в пространстве всех свойств, второе — о текучести, или легкой подвижности. Для построения всех разделов кинематики достаточно первого допущения, в то время как для динамики очень важно и второе.

Напомним, что, за исключением некоторых специальных жидкостей^ у текучих сплошных сред при отсутствии недиагональных компонент тензора скоростей деформаций — скоростей сдвига — отпадают и касательные компоненты тензора напряжений. Таким образом, в покоящейся (V=0) текучей среде касательные напряжения отсутствуют:

Р12 = Р21 = Р23=Р32 = Р13 = Р31 =。， (35> а выражения нормальных напряжений имеют вид

Рп = PM, Pi= Puhi Р2= P22G, Рз — РззЧ* (36)

Используя (35), (36) и равенства Коши (18) гл. III, найдем

Рн = Р22 = РзЗ = Рп, (37)

т. е. три нормальных напряжения, приложенные 及 трем взаимно перпендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве, равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в середине XVII в. Паскалем.

Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со знаком минус, назовем давлением в этой точке и обозначим буквой р, так что

Ри = Р22 = Рзз = —Р・ (38)

Чтобы подчеркнуть, что принятое определение соответствует лишь случаю равновесия среды, это давление называют гидростатическим давлением.

Знак минус, взятый в определении давления, подчеркивает, что нормальное напряжение

Рп = —рп, (39〉

приложенное в точках поверхности мысленно выделенного объема, направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к этой поверхности, т. е. внутрь объема.

Давление р представляет собой физический скаляр, так же как плотность, температура, концентрация и другие скалярные характеристики. Измеряется оно в Н/м2 (Па), кгс/м2, барах.

Давление в газе, где не может быть растяжений, всегда положительно; оно обращается в нуль только в условиях абсолютного вакуума; в жидкости возможно существование растяжений.

При равновесии среды тензор напряжений в ней, согласно (36), имеет таблицу

—Р00\/1о0\

—ро= —Ро16,

о— р/\оо1/

т. е. обладает сферической симметрией, что соответствует свойству изотропии нормальных напряжений в покоящейся среде.

Можно положить (А — тензорная единица)

Р=—рЕ.(40)

Уравнения равновесия среды легко получить, если в уравнениях динамики в напряжениях (8) положить р\ = У2=Уз = 0 и, кроме того, принять во внимание (35) и (38).

Найдем следующие уравнения Эйлера статики среды:

=р尸2 == ? ,(41)

дх2дх9

или эквивалентное векторное уравнение

pF=grad р.(42)

Этот же результат можно было бы получить из второго уравнения (6) непосредственно, если заметить, что в рассматриваемом случае

DivP=—grad р.(43)

Из уравнения равновесия (42) можно исключить плотность и давление. Для этого возьмем сначала от обеих его частей операцию вихря rot; тогда р исключится, так как rot grad р=0; будем иметь

rot (pF) =0.

Отсюда, раскрывая скобки по известному правилу (третье равенство системы (88) гл. I), получим

р rotF+grad pXF=0.(44)

Умножим обе части этого равенства скалярно на F; тогда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно к своему сомножителю 尸,найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа:

尸・rotF = 0,(45)

совпадающее по виду с условием (10) гл. II и выражающее существование поверхностей, нормальных к силовым линиям поля.

К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (45), относятся, прежде всего, силы, имеющие потенциал П, так как для них

尸=—grad П, rotF = 0.

В этом случае

grad pXF = —grad рХ grad П = 0,(46)

откуда следует, что при равновесии среды силовые линии поля потенциальных объемных сил ортогональны изостеран (поверхностям одинаковой плотности), а также что изостеры совпадают с изо по тенциал ъны- ми поверхностями силового поля.

Из (42) следует, что при равновесии среды силовые линии ортогональны изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким образом, вообще при равновесии жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами.

Можно доказать и обратное положение: если изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под действием потенциального поля объемных сил. Действительно, из условия

grad pXgrad р = 0

или по (42)

FXgrad р = 0 на основании (44) следует

rotF = 0, F = —grad П.

Если в движущемся или покоящемся газе плотность является функцией только давления, то движение или равновесие называют баротропным, Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии р= = р(р) изобары и изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое поле должно быть потенциальным.

Уравнения Эйлера (41) представляют собой так называемую систему в полных дифференциалах и имеют общее решение вида

W(47)

или при наличии потенциала П(М)

4- = П(М0)-П(М),(48)

р(р)

где р0=р(М0). Чтобы сделать задачу определенной, надо использовать дополнительные допущения о форме зависимости плотности от давления.

§ 26. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда

Уравнение равновесия несжимаемой жидкости в потенциальном поле внешних объемных сил будет

—р grad П = grad р,(49)

откуда при р = const прямо следует

р+рП=const.(50)

Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности р【и р^ находятся во взаимном равновесии; при этом на поверхности раздела этих жидкостей давление р и потенциал непрерывны. Производная от левой части равенства (50) по любому направлению s, лежащему в касательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно следующим двум равенствам:

?+ 仇？ = 0, F + 学=。，ds dsds ds

откуда вычитанием получим

(Pi-~P2)^ = O；ds

последнее равенство при принятом условии pi=/=p2 приводит к постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По (50) при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела, которую в этом случае называют свободной поверх-

ностью. Таким образом, при равновесии двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой,

При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести (ось z направим по вертикали вниз) равенство (50) дает р — pgz = const, или,, если заменить произведение pg на удельный вес 匕 р——YZ=const.

Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обычно атмосферное) через ра; тогда, помещая начало координат в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем p = pa+pgz = pa+^z.

Давление в данной точке на глубине z, за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление

p』z, (51)

будем называть давлением жидкости, понимая под // превышение дав- ления в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверхности.

Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости — служит горизонтальная плоскость z = 0; на всей этой плоскости р' = 0.

Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую поверхность о определяются интегралами (п — орт внешней нормали к поверхности о, направленный внутрь жидкости)

К = — , np'do,丄=—,尸义〃p'do,(52)

причем поверхность о, вообще говоря, не замкнута. В частном случае тяжелой жидкости, полагая p' = yz, получим

К = — 丫,〃zdo, L = — у j rxnzdo.(53)

Если поверхность о (рис. 24) представляет как угодно наклоненную плоскую площадку, то л = const и первая из формул (53) дает

R = —Y〃Zc5 R = TZcd

где 备(рис. 24) обозначает вертикальную координату центра инерции С площадки о. Равенства (54) показывают, что главный вектор сил дав

ления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно наклоненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой глубину центра тяжести площадки под свободной поверхностью жидкости.

Этот закон, примененный к сосуду, заполненному жидкостью, приводит к заключению о независимости давления жидкости на

стенку сосуда от формы сосуда, сделанному Паскалем и получившему наименование гидростатического парадокса.

Если поверхность о замкнута и ограничивает некоторый конечный объем * то по (52), замечая, что grad “=grad р, получим

(55)(55)R = — J 〃//do = — j grad p dx.

(55)

(55)

В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера,

(56)(56)grad р = pg,

(56)

(56)

где g — вектор ускорения силы тяжести.

Подставляя это значение градиента в (55), найдем

К = — , pgdt = — G,(57)

где G — вектор силы тяжести жидкости в объеме погруженного в нее тела.

Равенство (57) показывает, что главный вектор сил давления тяжелой жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса. Это — закон Архимеда. Вектор R называют архимедовой с〃・ лой или гидростатической подъемной силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть. Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.

Архимедова сила может наблюдаться не только в тяжелой, т. е. находящейся под действием сил веса жидкости, но и в любом случае, когда тело находится в переменном поле давлений. Такова, например, «индукция» закрытого рабочего участка аэродинамической трубы с твердыми стенками на помещенное в трубу удлиненное тело, обусловленная падением давления в направлении потока из-за наличия сопротивления самого рабочего участка.

Главный момент сил давления жидкости на погруженное тело равен

L =—，尸 x〃pdo= ,〃хр尸 do = , rot("尸)dp.

OCT

Раскрывая выражение rot(p，) согласно третьей формуле системы (88) гл. I и учитывая, что rot г=0, получим

тт工工

т

т

工

工

или,согласно (56),

(58)

Замечая еще, что вектор-радиус к центра инерции вытесненного объема равен

и что, очевидно,

g =3，

найдем по (58)

丄=—^ j rpgdx xG= — rfxG — r'xR.(59)

Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести вытесненного телом объема жидкости.

§ 27. Равновесие равномерно вращающейся несжимаемой жидкости.Центрифугирование твердых частиц

Если несжимаемая жидкость находится в относительном покое по отношению к некоторой равномерно вращающейся с угловой скоростьк> о системе координат, то, чтобы написать условие относительного равновесия вращающейся жидкости, необходимо к непосредственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще отнесенную к единице массы инерционную центробежную силу 尸(ц), равную

и имеющую потенциали имеющую потенциал(60)(61)(60)(61)尸(口)=炉，

и имеющую потенциал

и имеющую потенциал

(60)

(61)

(60)

(61)

П(ц)=—丄炉产,2

где г—вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому

расстоянию. Уравнение относительного равновесия вращающейся жидкости будет

р + рП — у роз?产 __ COnst, (62) а уравнение свободной поверхности жидкости (р=const)—

П —~ 炉户=const. (63)

Найдем фигуру равновесия вращающегося объема однородной жидкости, притягивающейся к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до

центра.

Примем (рис. 25) ось z за ось вращения и начало координат О за центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости, будет равен —C/R, где С — некоторая константа, R = =]^ТрТ?—расстояние частицы жидкости М от центра тяготения — начала координат О. Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жидкости (61), равен (—^炉产),где о — угловая скорость вращения жидкого объема,厂=丫炉+^2—расстояние жидкой частицы от оси вращения Oz. Условие равновесия вращающейся жидкости, если отвлечься от сил взаимного тяготения между частицами, будет по (62)

(64)(64)С1

(64)

(64)

р — рpco2r2 _ const,

R2

а уравнение свободной поверхности, ограничивающей вращающийся объем жидкости,

c . 0)2戸

—Н= const.(65)

R 2

Это уравнение описывает искомую форму поверхности фигуры равновесия вращающейся массы жидкости. Чтобы дать некоторое, хотя бы качественное представление о приложении только что полученной формулы к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим

ускорение g° тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии R© от центра Земли; тогда будем иметь

弋

и уравнение поверхности фигуры равновесия примет вид

goY ,(о2г2.

+ —= const,

причем постоянная определяется из условия, что на полюсе R = Ro, г=0, откуда следует goRo = const. Окончательное уравнение свободной поверхности будет

(1)2产2(1)2产2= goRo,= goRo,

(1)2产

2

(1)2产

2

= goRo,

= goRo,

•или, вводя полярный угол 9 и полагая r = R sin 9, получим

g風Ig風I0)2R2 sjn2 0―-——= g°Ro・0)2R2 sjn2 0―-——= g°Ro・(66)(66)

g風I

g風I

0)2R2 sjn2 0

―-——= g°Ro・

0)2R2 sjn2 0

―-——= g°Ro・

(66)

(66)

Если бы Земля не вращалась ((о = 0), уравнение свободной поверхности свелось бы к равенству R=Rq, и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма медленного вращения, совершаемого Землей (conKo。ст) , фигурой равновесия служит тело вращения, представ

ляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфероид, уравнение поверхности которого может быть в силу малости безразмерной вели

чины

醬=（前/• 6,37 •呼壶；。，。。34。就

-приближенно представлено так:

R = R°(1 + ^ 誉 si叫.

Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли：

Е = Rmax — "min _ 丄炉& 〜 1

Rmin 2 g。 600

Геодезические измерения приводят к величине, в два раза большей. Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого предположения об однородности Земли и неучетом взаимного притяжения частиц, изменяющего самый закон притяжения к центру. На самом деле закон притяжения зависит от формы жидкого тела, равновесие которого рассматривается, что делает строгое решение поставленной задачи весьма сложным.

Баротропное равновесие газа

Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа может быть рассматриваема как функция только давления (р = р(р)). В противном случае (р = р(р, Т)) равновесие называют бароклинным.

Отметим основные частные случаи баротропного равновесия:

газ несжимаем, т. е. имеет повсюду одинаковую плотность (р = =const=р0)； этот случай уже был разобран;

процесс изотермичен} при этом температура повсюду одна и та Же (T=const = T0) и из уравнения состояния Клапейрона следует

款=c°nst・p = ^p;款=c°nst・p = ^p;(67)(67)

款=c°nst・p = ^p;

款=c°nst・p = ^p;

(67)

(67)

процесс адиабатичен (нет притока тепла извне); тогда имеет ме

р = const • р* = %р = const • р* = %сто адиабата

р = const • р* = %

р = const • р* = %

(68)

где Л —показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при постоянном давлении ср и постоянном объеме с^; для воздуха 々Q 1,4. Значения величин р0, Ро, То относятся к какой-нибудь характерной точке покоящегося газа.

В случае равновесия газа в потенциальном силовом поле уравнение равновесия имеет вид (49).

Безотносительно к тому, будет ли равновесие или движение, лишь бы только процесс был баротропным, введем функцию давления

个(Р)=(69) J р(р)

градиент ее равен grad 个=竺 grad p = — grad p.(70)

dpP

Величина (——-gradp^ по соображениям, изложенным в § 21, 25. может рассматриваться как отнесенный к единице массы главный вектор сил давлений в данной точке, или вектор объемного действия этих сил. Таким образом, функция давления 俨,удовлетворяющая равенству (70), представляет потенциал объемного действия сил давления.

Уравнение равновесия (49) может быть теперь переписано в форме grad(H+乡)=0, откуда следует, что при баротропном равновесии среды во всех ее точках выполняется равенство

П+俨= const.(71)

Простые вычисления интегралов в (69) приводят к следующим значениям функции давления в отмеченных выше частных случаях баротропных процессов:

несжимаемая жидкость (р = const)

.驴(р)=匕二&；(72)

Р

изотермический процесс [р = — р)

\ Ро /

部6=如m旦；(73)

Ро Ро

адиабатический процесс [р = Ро(丄)]

个(74) 々一1 Ро L \ Ро /.

Удовольствуемся этими краткими представлениями из области статики жидкости и газа. Отошлем интересующихся к курсам гидравлики, где разделы гидростатики и аэростатики занимают заметную часть.

Г Л А В A V

ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ.ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

Уравнения Эйлера, Громека ——Л амба и Гельмгольца — Фридмана. Теорема Гельмгольца

Простейшей моделью сплошной текучей среды является идеальная среда, обладающая мр〃 движении свойством идеальной текучести, которое присуще, как это было выяснено в § 25, большинству сплошных сред при их покое. Это свойство заключалось в отсутствии касательных компонент тензора напряжений при нулевых касательных компонентах—скоростях сдвига — тензора скоростей деформаций. Для идеальной среды постулируется отсутствие касательных напряжений безотносительно к тому, покоится или движется среда. Принятое допущение равносильно условию отсутствия в идеальной среде внутреннего трения.

В движущейся идеальной среде выполняется закон Паскаля (равенства (35) — (40),гл. IV)

Р12 = 021 = 023 =卩32 =「31 ="13 = 0,

Ра = Р22 — Рзз~ —Р， Рп = —М， (1)

Р = -рЕ,

вывод которого ничем не отличается от ранее приведенного в § 25.

Скалярную величину р, в отличие от введенного в предыдущей главе гидростатического давления, будем называть гидродинамическим давлением или просто давлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равновесия, подчеркивает противоположность направления вектора нормального напряжения рп направлению орта нормали 〃 к лицевой стороне площадки.

Отвлекаясь в модели идеальной среды от количественного влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющегося в реальных жидкостях в виде трения и теплопроводности, сохраним качественное следствие этого обмена — непрерывность распределения скоростей и других физических величин. Это объясняет пригодность теории идеальной жидкости в установлении, например, общей картины плавного обтекания тел, распределения давлений по поверхности таких тел, образования подъемной силы и во многих других практически важных задачах.

От принципа непрерывности приходится отказываться лишь в отдельных случаях: на поверхности раздела двух идеальных сред, на твердой границе обтекаемых тел, а также на некоторых специальных поверхностях разрыва непрерывности.

В первых двух из указанных случаев допускается свободное скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится только условие отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жидкости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).

Реальная среда не допускает наличия разрывов непрерывности ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут скользить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой, равны нулю, среда как бы прилипает к поверхности тела. Од-

нако эта скорость, как правило, резко возрастает при удалении от поверхности и на внешней границе весьма тонкого по сравнению с размерами тела пограничного слоя достигает значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной среды. В этом другая причина возможности применения схемы идеальной среды для расчета обтекания тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбомашины и др). В случае плохо обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину непрерывного обтекания тела идеальной средой.

Основные дифференциальные уравнения динамики идеальной среды непосредственно вытекают из общих уравнений движения, выведенных в гл. IV, путем упрощения их на основании (1) или очевидного в этом случае равенства

DivP = —gradp.(2)

Уравнение неразрывности [ (5), (7) гл. III], как не содержащее напряжений, сохранит тот же вид, что и в общем случае.

Уравнение динамики в напряжениях [ (6), (8) предыдущей главы] значительно упростится и примет форму уравнения Эйлера

+ W.V)P =尸一丄grad p,⑶

dt dtp

пли в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат

亜+匕必+ %理+匕也=储—丄也, 泣1m1" d不2^31 P d*i

^^V^ + V^± + V^ = pL^(4)

dt1 дхх1 Jr?d>32Pd心，

祟+匕醬+ %争+%警=危一丄票, dt0*10*2P d*3

寸+%林=R -不言("1,2,3).

Используя выражения проекций ускорения на оси цилиндрических и сферических координат [формулы (52), (53) гл. II], запишем уравнения Эйлера в этих двух системах:

цилиндрические координаты:

生十吟吆+三也+匕吆吊一丄变，df dr г d&dz гр дг

匕学+厶替+匕赞+也=几一丄* (4а) dr/•况dz rpr de

Г У гr Vz = г 2；dtdr r dsdzp dz

吸+咤._丄曳吸+咤._丄曳сферические координаты:

吸+咤._丄曳

吸+咤._丄曳

0/丄I/ 0險丄/丄几0險 dtdR RdQ RsinB de'

h+立諒 + 元百 + 菰/_1?+-^- _ -ctg0 = F0---,(46)

恥丄0%丄/叱丄匕叫丄險%丄/А"1 8P

Уравнение Эйлера (3) можно освободить от символической комбинации (V-V)V и вместе с тем выделить в левой части градиентное слагаемое.

Вспомним для этого установленное ранее выражение конвективной составляющей ускорения (50) гл. II. Подставляя его в левую часть уравнения (3), получим следующую модификацию уравнения Эйлера, предложенную Г р о м е к а и Л ам бом

空 + grad (与)+ rotРхР =尸一丄gradр.⑸

\ 2 Jp

Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал П, т. е.

尸=—grad П,(6)

и существует функция давления (движение баротропно)

个(p)=⑺

j р(р)

Ро

введенная ранее в § 28. При этом уравнение Громека——Ламба (5) перейдет в следующее:

^ + g「ad(^ +个+ 口) +rotUxP = 0.(8)

Введем обозначения:

*> + П = В,(9)

rotF = Q.(10)

Тогда уравнение (8) может быть представлено в форме

^ + gradB + QXV = 0,(11)

ot

или, в проекциях на декартовы оси,

醬+—Q3% =。，

dtдХ]

誓+ F + % 匕一2% = 0,(12)

dtО/

粤+票+ %% 一%%=0. dt дх3

Трехчлен Бернулли (9) можно трактовать как полную механическую энергию в данной точке, отнесенную к единице массы, т. е. по обычной терминологии как полную удельную механическую энергию. Действительно, первое слагаемое в левой части представляет удельную кинетическую энергию, третье слагаемое ——удельную потенциальную энергию объемных сил.

Как уже разъяснялось в § 28, функция давления 夕 имеет смысл потенциала (потенциальной энергии) объемного действия сил давления (точнее, массовой плотности действия этих сил). Следует избегать встречающегося иногда определения функции давления 乡(в случае р = const равной р/р) как потенциала давлений. Давления образуют скалярное поле, для которого понятия потенциала или потенциальной энергии не существует.

Уравнение (11) или уравнения (12) связывают чисто кинематические величины У и £} = rot V с динамическими характеристиками П и 乡.

(13)(13)Переписывая уравнение (11) в форме

(13)

(13)

~—Р Q X Р = — grad В, dt

видим, что при баротропном движении идеальной сплошной среды под действием потенциального поля объемных сил левая, кинематическая часть этого равенства представляет собой потенциальный вектор. Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в идеальной жидкости, баротропно движущейся под действием потенциального поля объемных сил, а только такое, которое удовлетворяет равенству

rot 借+ QxP)=0,

или» что то же самое,или» что то же самое,^ + rot(QxV) = 0. at^ + rot(QxV) = 0. at(14)(14)

или» что то же самое,

или» что то же самое,

^ + rot(QxV) = 0. at

^ + rot(QxV) = 0. at

(14)

(14)

(15)(15)полем, второеполем, второе詈= (Q・V)匕詈= (Q・V)匕(16)(16)

(15)

(15)

полем, второе

полем, второе

詈= (Q・V)匕

詈= (Q・V)匕

(16)

(16)

Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произведения по правилу векторного анализа (см. пятое равенство системы (88) гл. I)

rot (Q义 V) = (У • V) Q— (Q • V) V+Q div V—V div £2

и откидывая последний член в правой части этого равенства как тождественно равный нулю, перепишем предыдущее равенство в форме

唯 +(P・V)Q =(Q・V)p_Qdiv 匕

или, вспоминая определение индивидуальной производной, 普= (Q・V)U —Qdivk

Первое слагаемое в правой части, равное, согласно (106) гл. I, (Q・V)P = Q(W) = QS —Q X ^Q = Q氏

выражает эффект деформации вектора О скоростным (—й div V) определяет влияние сжимаемости.

Уравнение (15) называют уравнением динамической возможности движения идеальной сжимаемой среды или уравнением Гельмгольца—Фридмана. Оно было получено А. А. Фридманом ') путем обобщения уравнения Гельмгольца

относящегося к случаю несжимаемой жидкости (div У=0).

Введем понятие сохраняемости вихревых линий. Пусть в некоторый момент времени в жидкости существует вихревая линия (/, /)

(рис. 26), являющаяся векторной линией вектора Q = rot V; рассмотрим жидкую линию (//, 〃)，образованную в момент t + dt теми же жидкими частицами, что и линия (/, /) в момент £. Если жидкая линия (//, //), представляющая новое положение линии (/, /) к моменту времени t + dt9

9 Фридман А А Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости.— М : ОНТИ, 1934 (гл. I, в частности, с. 34); см также Кочин Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. I—М. Гостехиздат, 1948, с. 150—160.

является также вихревой, то будем говорить, что вихревая линия (厶 /) при движении среды сохраняется, в противном случае — разрушается.

Докажем следующую теорему Гельмгольца: в движущейся под действием консервативного поля объемных сил идеальной несжимаемой жидкости вихревые линии сохраняются.

Сравним между собой бесконечно малый жидкий вектор ММ^ и его смежное положение M'MJ (при бесконечно малых перемещениях жидкости прямолинейные отрезки остаются с точностью до малых высших порядков прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника МММ缈

или, замечая, что по условию (X — произвольный бесконечно малый скаляр)

Ж^=АС, ЖР =丿成，Mi/M； = M + (AQ・V)M]df, получим

M^ = W + y^ + %(Q.V)KdZ —Kd/ = X[Q + (Q.V) Vdt]. (17)

Последнее равенство, с учетом уравнения (16), приводит к соотношению

7^ =入@ +普必)=皿(18)

доказывающему теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии (//, //) оказывается направленным по вектору Q', в который перейдет за время dt вектор Q.

Приведенное доказательство справедливо только для идеальной несжимаемой жидкости. Как показал А. А. ФридманА), теорема верна и в случае любого баротропного движения идеального газа.

Теорема Бернулли

Предположим, что идеальная жидкость под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давления 乡.Тогда первый член в уравнении (11) равен нулю, и, умножая обе части (11) скалярно на вектор скорости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору 匕

V-grad В 三 У (£ • gradВ)= 0,или, вспоминая определение производной по направлению,

千・gradB =芻； отсюда заключаем, что

у- = 0,(19)

ds

где символ d/ds означает производную, взятую вдоль траектории или линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (19) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока трехчлен

9 См. предыдущую сноску.

Бернулли В сохраняет одно и то же значение

(20)(20)В = ^~ +个+ 口 = const (вдоль линии тока).

(20)

(20)

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнения Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давления, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения (11) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл механической энергии уравнения движения центра инерции элементарного объема жидкости {интеграл Бернулли).

Равенство (20) выражает следующую теорему Бернулли: при стационарном баротропном движении идеальной жидкости под действием потенциальных объемных сил сумма кинетической энергии единицы массы9 функции давления и приведенного к единице массы потенциала объемных сил сохраняет вдоль линии тока (траектории) постоянное значение.

Интеграл Бернулли мог быть выведен и непосредственно из уравнения Эйлера (3) без преобразования его к форме Громека — Ламба (8). Действительно, переписывая в условиях теоремы уравнение (3) в виде 也= 一 gmd (口 +部)

и умножая скалярно на вектор V, получим

=—V • grad (П + 部);=—V • grad (П + 部);

=—V • grad (П + 部);

=—V • grad (П + 部);

но, по определению индивидуальной производной по времени от скаляр ной функции, в случае стационарного движения будем иметь

так что

V .grad(^ +个+ 口)=0,

что, по предыдущему, и приводит к равенству (20).

Из уравнения (11) в случае стационарного движения сразу следует постоянство величины В также и вдоль любой вихревой линии. В самом деле, откидывая в случае стационарного движения первый член, умножая обе части (11) скалярно на £2 и рассуждая так же, как и при выводе равенства (19), получим

Q • grad В = QQ • grad В = Q

Q • grad В = Q

Q • grad В = Q

где d/dl определяет дифференцирование вдоль дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует, что и вдоль вихревой линии величина В имеет одно и то же значение

В = ~^ +个 + П= constВ = ~^ +个 + П= const(вдоль вихревой линии).(вдоль вихревой линии).(21)(21)

В = ~^ +个 + П= const

В = ~^ +个 + П= const

(вдоль вихревой линии).

(вдоль вихревой линии).

(21)

(21)

При стационарном движении вектор QXV образует [см. (И)] потенциальное векторное поле с потенциалом В. При этом через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии поля вектора QX V, проходящей через эту точку. Эти ортогональные поверхности будут поверхностями уровня трехчлена Бернулли и вместе с тем полной удельной механической энергии. Касательные плос-

кости к этим поверхностям содержат векторы Q и У. Поверхности уровня можно получить, взяв (рис. 27) какую-нибудь линию тока и проведя через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую поверхность ——поверхность уровня, проходящую через данную линию тока. Можно поступить и иначе: взяв некоторую вихревую линию, через все ее точки провести линии тока;

— а 上тогда эти линии тока образуют поверхность

тока、проведенную через данную вихревую

—』ннию.

6Значения констант в равенствах (20),

определяются значением трехчлена Бернулли в какой-нибудь одной почему- ~либо характерной или заданной наперед л /точке линии тока или вихревой линии. В об-

Хфщем случае константы эти различны для

/линий тока или вихревых линий, не лежа-

ис,щих на одной и той же поверхности уров

ня полной механической энергии.

Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство QXV=O,(22)

то поверхностей уровня нет, но в этом случае по (11) в стационарном потоке

grad 8 = 0,(23)

т. е. трехчлен Бернулли сохраняет одно и то же значение во всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа.

Равенство (22) выполняется в следующих двух случаях:

Q = 0 — движение безвихревое； подробному рассмотрению этого важнейшего случая будут посвящены специальные главы курса;

Q||V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым. С винтовым движением приходится иметь дело, например, при рассмотрении так называемых «свободных» вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха.

Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным простейшим баротропным процессам.

В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем 个=匕& = '+const.

Р Р

Ограничиваясь среди объемных сил только силами тяжести и направляя вертикальную ось z вверх, получим

П=я^+const.

Тогда формулы (20) и (21) примут вид (символ const обозначает сохранение величины В как вдоль линии тока, так и вдоль вихревой линии)

В= — + ^ + gz — const,(24)

2 Р

или, если перейти от плотности р к удельному весу T=pg,

-^ = Н= ^ + ^ + z = const.(25)

Отдельные члены равенства (25) имеют размерность длины и называются соответственно: V2/ (2g)—скоростной, p/丫 ——пьезометрической и

z—нивелирной высотами. Сумма этих высот Н называется гидравлической высотой.

Формула (25) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота^ равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высотсохраняет постоянное значение вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии.

Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике и называется уравнением Бернулли.

Предположим в дальнейшем, что объемными силами по сравнение с поверхностными (давлением) можно пренебречь； тогда уравнение Бернулли (24) примет более простой вид

р + 誓=const = р0.(26)

Первый член левой части этого равенства называют пьезометрическим, напором, второй — скоростным или динамическим напором, сумму их — полным напором р0. Теорему Бернулли формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие- объемных сил полный напор, равный сумме пьезометрического и скоростного напора, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии.

Припоминая выражения функций давления 乡(73) и (74), помещенные в § 28 гл. IV, получим следующие формы теоремы Бернулли:

для изотермического движения (Т=const, р/р = ро/ро, Р/Ро=р/р。) u +也 1rle =上 +电 in-2-= const = -^-;(27)

2 Pq Pq 2 po Po2

для адиабатического движения [p/p0= (p/Po)\ p/po=(Р/d)'勺

(28)

丄—_ J 电[1 _ Cconst = A ・(29)

2 k — 1 Po L \ Po / J2

Здесь индекс нуль, относящийся к произвольно выбранной на линии тока (траектории) или вихревой линии точке в дальнейшем будет применен для параметров покоящегося газа. Если на данной линии тока (траектории) или вихревой линии нет точки, где V=0, то всегда можна себе мысленно представить некоторое непрерывное адиабатическое движение идеального газа (далее будет показано, что оно также и изэнтропическое), переводящее его из данного положения в 《котел》 (ресивер) бесконечно большого объема, в котором газ становится неподвижным, или, как принято говорить, адиабатически и изэнтропически заторможенным. Параметры газа в этом его состоянии называют адиабатически и изэнтропически заторможенными, или параметрами торможения, и соответственно обозначают р0, р0, Го. Уравнения Бернулли (28) и (29) примут при этом один из следующих видов (первое равенство носит имена Сен-Венана и В а нтце л я):

Л-1

В приложениях, в частности, при расчетах турбомашин, приходится иметь дело с относительным движением жидкости в некоторой равно-

мерно вращающейся вокруг неподвижной оси системе координат. Так, при обтекании вращающегося с постоянной угловой скоростью рабочего колеса абсолютный поток, т. е. поток по отношению к фундаменту турбины, будет, очевидно, нестационарным, и теорему Бернулли к нему применять нельзя. В относительной системе координат, связанной с вращающимся колесом, поток стационарен, и теорема Бернулли в относительном движении справедлива.

Обозначая через У「относительную скорость и присоединяя к приложенным объемным силам центробежную силу инерции с плотностью распределения 尸(ц)= с)2, и потенциалом П(ц)=—‘厶尸о* где г — расстояние от оси вращения, и кориолисову силу с плотностью распределения 尸")= 匸一2(о xVr (исчезающую при скалярном умножении на Vr), получим 等 + 争 + И —詈=const(31)

(const только вдоль относительных линий тока или траекторий).

Замечая, что ш = К представляет собой переносную (окружную) скорость, будем иметь окончательную форму теоремы Бернулли в относительном, движении

Н — у2

、+ 部 + И = const.(32)

Теорема Бернулли обычно широко иллюстрируется примерами в курсах гидравлики и прикладной гидромеханики. Для ознакомления с совместным применением теорем количеств движения и кинетической энергии в форме теоремы Бернулли полезно рассмотреть вывод теоремы Борда об ударе при внезапном расширении потока4). Теорема Бернулли широко используется в следующих главах настоящего курса. Интересной иллюстрацией применения теоремы Бернулли к движению идеальной несжимаемой жидкости может служить общепринятый в аэродинамических лабораториях метод измерения скоростей при помощи так называемой скоростной трубки, или трубки Прандтля.

Рассмотрим схематический чертеж трубки Прандтля (рис. 28), применяемой для измерения скоростей газа (воздуха) в условиях, допуска-

1) См.“ранее цитированный «Курс теоретической механики». Т. II, с. 249—251. Там же описаны некоторые приложения теоремы Бернулли.

ющих пренебрежение эффектом сжимаемости; аналогичного рода трубки применяют и для измерения скоростей в потоках жидкости. Поток набегает вдоль оси трубки на ее носик, где имеется так называемое дина- 'мическое отверстие D (рис. 28, а), и омывает боковую поверхность трубки с расположенным на ней статическим отверстием (щелью) S. При достаточном удалении ножки трубки 尸 и носика D от статического отверстия (обычно принятые размеры показаны на рис. 28, 6) можно считать, что вблизи отверстия D давление равно (рис. 28, а) давлению заторможенного газа Ро, а вблизи статической щели — давлению р проходящего мимо трубки газа. Вероятно, поэтому давление р необоснованно называют статическим, хотя подобный термин в гидродинамике отсутствует.

При изложении теории вязкого движения жидкости в пограничном :слое на поверхности обтекаемого тела (гл. XII) будет показано, что дав- :ление в любой точке сечения пограничного слоя, в том числе и на поверх- 'ности, совпадает с давлением среды на внешней границе пограничного :слоя, т. е. в потоке, проносящемся мимо статического отверстия трубки. ；Таким образом, если трубка вблизи щели S имеет цилиндрическую фор- i му, а сама щель S располагается заподлицо к стенкам трубки так, что ；жидкость проходит мимо щели, не подвергаясь подпору со стороны вы- ；ступающих стенок этой щели, то давление в щели будет равно давлению ；в невозмущенной трубкой жидкости вдали от трубки.

:Обозначим через р^ и V» давление и скорость набегающего одно

родного потока и будем иметь в виду, что возмущающее влияние носика ；на поле параметров потока идеальной среды заканчивается до статического отверстия. Таким образом, Pg является измеряемой трубкой вели- :чиной.

По теореме Бернулли, выражаемой в случае несжимаемой жидкости равенством (26), будет

Роо+ у pVt = const = %,

' где р0 —полный напор (полное давление), замеряемое отверстием D трубки, Роо — давление в отверстии S.

• Отсюда следует формула для выражения искомой скорости

Если теперь рассмотреть трубку Прандтля в неоднородном потоке» ：однако считать, что размер носика гораздо меньше характерного размера неоднородности, то можно повторить прежние рассуждения и прийти к подобной формуле

у=1/Ж=2>(зз)

7 Р

где р и V имеют смысл местных параметров невозмущенного трубкой потока.

Измеряя разность давлений р0—Р при помощи дифференциального манометра и зная плотность движущейся среды, найдем ее скорость в данном месте потока.

На самом деле, в результате неточностей изготовления трубки измеренные величины разности давлений могут несколько отличаться от действительных; для учета необходимых поправок в формулу (33) вводят близкий к единице коэффициент, который определяют калибровкой трубки, сравнивая в потоке данную трубку с некоторой образцовой.

Теоремы Гельмгольца и Бернулли — два существенных результата, выводимых из уравнения Эйлера, т. е. из закона количеств движения идеальной сплошной среды. Закон моментов количеств движения при отсутствии в идеальной среде касательных напряжений выполняется автоматически в силу условия Р = —рЕ. Следуя принятой последовательности изложения, обратимся к рассмотрению дальнейших по порядку законов механики и термодинамики сплошных сред.

Мощность внутренних сил. Уравнение баланса энергии

Уравнение баланса кинетической энергии (16) гл. IV в случае идеальной среды несколько упростится, поскольку напряжения сведутся к давлению. Однако и в этом виде уравнение не имеет самостоятельного значения, так как его с успехом заменяет интеграл Бернулли, выражающий закон сохранения полной механической энергии.

Обратимся к рассмотрению выражения мощности внутренних сил 6 движущейся идеальной среде. В случае идеального газа эта мощность соответствует работе сил давления, затрачиваемой на сжатие газа. Замечая, что в рассматриваемом случае (суммирование по повторяющимся индексам)

Р = —рЕ; Р • S = —pEijSij= —pSu= —p div V,

получим, согласно (19) гл. IV, следующее выражение искомой мощности:

%皿=—P・M=pdivV.(34)

Заметим, что по уравнению неразрывности (5) гл. III будет

где и — удельный объем, равный 1/р, так что равенство (34) эквивалентно следующему:

m『哈(35)

Если обе части этого равенства разделить на р и умножить на df, то получится известное из термодинамики выражение pdv удельной элементарной работы внутренних сил давления в идеальном газе.

Внутреннее трение (вязкость) в газе и теплопроводность представляют собой две стороны одного и того же процесса молекулярного переноса. Трение обусловлено переносом количества движения, теплопроводность—переносом кинетической энергии молекул. Приняв в настоящей главе схему идеального, т. е. лишенного внутреннего трения, газа, естественно отвлечься и от теплопроводности. Пренебрегая также лучеиспусканием, примем, что движущийся газ изолирован от притока тепла извне. Такое движение называется адиабатическим4). Кроме того, заметим, что удельная внутренняя энергия термодинамически совершенного газа пропорциональна его абсолютной температуре и равна U = cvT9 где cv — коэффициент теплоемкости газа при постоянном объеме.

Перейдем к рассмотрению уравнения баланса полной энергии (21) гл. IV в предположениях: адиабатичности движения (9 = 0), идеальности

В § 28 уже употреблялось понятие адиабатического состояния для обозначе* лия такого состояния газа, когда р/р^= const Как будет показано далее, для рассматриваемого случая идеального совершенного газа эти два определения эквивалентны друг другу.

(P= -PE) и совершенности газа (p/p = RT, U = qT). Будем иметь

+ ^-j = pF . К —div (")・(36)

удельную энтальпиюудельную энтальпиюВведем наряду с внутренней энергией еще одну тепловую функцию —

удельную энтальпию

удельную энтальпию

h=CpT.h=CpT.(37)

h=CpT.

h=CpT.

(38)(38)Напомним вывод основной термодинамической формулы Ср—cv = R,

(38)

(38)

связывающей коэффициенты теплоемкости газа при постоянном давлении ср и при постоянном объеме cv с газовой постоянной R. Определяя коэффициенты теплоемкости как величины, характеризующие быстроту изменения количества тепла с ростом температуры, соответственно в условиях сохранения давления или объема:

р

из первого начала термодинамики, написанного в форме (и=1/р) dQ = CpdT+pdv,

получим

(39)(39)(訊,

(39)

(39)

а по формуле Кл а п e й po н a

区Р区Рdv \

区

Р

区

Р

Равенство (39) при этом приводится к (38).

Из формулы (38) найдем связь между внутренней энергией и энтальпией

(40)(40)U = с^Г = qT — RT = /г—.

(40)

(40)

Р

Р ^" (' + W = pF . У 一Р ^" (' + W = pF . У 一(41)(41)Подставляя это выражение внутренней энергии в уравнение баланса (36), получим

Р ^" (' + W = pF . У 一

Р ^" (' + W = pF . У 一

(41)

(41)

Последнее слагаемое в правой части, если вычислить индивидуальную производную и воспользоваться уравнением неразрывности в форме (5) гл. III, преобразуется так:

—丄曲=pdivU=@+pdivkdt { р J dt p dt df p у df

Подставляя это выражение в (41) и производя простые преобразования, получим уравнение баланса энергии в одном из следующих видов 修若+ "ad力

Р 二(八 + 二)=pF • V - V • grad P + 乎,ar \2 /at

Исключим из уравнения баланса энергии объемные силы и вектор скорости V. С этой целью умножим обе части уравнения Эйлера (3) ска- лярно на V и полученное таким образом равенство

вычтем почленно из обеих частей первого из уравнений (42). Тогда найдем следующую дифференциальную связь между плотностью, давлением и энтальпией (т. е. температурой):

dhdp

(43)(43)р= — .

(43)

(43)

r dtdt

Покажем, что из этого соотношения следует баротропность адиабатического движения идеального совершенного газа, и найдем соответствующую связь между плотностью и давлением. Из равенства (43) и закона Клапейрона вытекает, что при дифференцировании вдоль траектории

Но по (38)Но по (38)~^~ = dh = CpdT = -^- d (R「)=~^~ = dh = CpdT = -^- d (R「)=(44)(44)

Но по (38)

Но по (38)

~^~ = dh = CpdT = -^- d (R「)=

~^~ = dh = CpdT = -^- d (R「)=

(44)

(44)

(45)(45)или, после введения отношения cPlcv = k, Ср = к

(45)

(45)

Равенство (44) может быть теперь переписано в виде

л=рл=р告"圈告"圈

л=р

л=р

告"圈

告"圈

или

р р

Интегрирование дает известную адиабату Пуассона

(46)(46)

(46)

(46)

причем индекс нуль соответствует состоянию газа в какой-нибудь фиксированной точке на траектории частицы. Итак, движение действительно баротропно; соотношение между плотностью и давлением определяется адиабатой (46).

Из (43), в силу только что доказанной баротропности движения, вытекает, что*

dh — 1 dp — d・*

т. е. вдоль траектории движения значения энтальпии и функции давлений различаются лишь на постоянную

(47)(47)九=口+const.

(47)

(47)

Выражение функции давлений 乡(р) для адиабатического движения было уже выведено в § 28. Подставляя значение 乡 из равенства (74) этого параграфа в (47), получим адиабатическое соотношение между

абсолютной температурой Т и давлением р

+亦о>+亦о>

+亦о>

+亦о>

или по (46)или по (46)

или по (46)

или по (46)

(48)(48)

(48)

(48)

Заменяя здесь р на р по (46), получим адиабатические соотношения между температурой и плотностью

Простая связь между термодинамическими элементами газа р, р, Г и величиной скорости его движения V может быть выведена из уравнения баланса энергии при условии стационарности движения и консервативности объемных сил. В этом случае будет

•grad (九 + 身'•grad (九 + 身'曲=0, FV = —y.gradn； dt曲=0, FV = —y.gradn； dt

•grad (九 + 身'

•grad (九 + 身'

曲=0, FV = —y.gradn； dt

曲=0, FV = —y.gradn； dt

и второе из равенств (42) приводится к виду

P.grad (九+普 + 11)=0.

:Замечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент ска- ；лярной функции пропорционально производной от этой функции по на- ；правлению траектории или линии тока, получим равенство

IV2/2+/i+n = const (вдоль траектории или линии тока). (50)

彳 Комбинируя равенство (50) с (47), вновь получим уравнение Бернул- j ли (20), ранее выведенное из допущения о баротропности движения. (Только что приведенный вывод отличается тем, что в нем баротропность процесса заранее не предполагалась, а вытекала из условия адиабатич- i ности движения газа.

В дальнейшем при изучении движений газа будем пренебрегать влиянием объемных сил (в частности, весом). Это влияние существенно 'сказывается лишь при движениях газа в пределах больших разниц высот над поверхностью Земли, например в динамической метеорологии. При отсутствии объемных сил (П = 0) равенство (50) приводится к более простому

•九 + ^•三 грТ + -у- = const,(51)

утверждающему, что при адиабатическом движении идеального газа его абсолютная температура и скорость движения находятся вдоль траектории в определенном соотношении: с возрастанием скорости газ охлаждается, с убыванием скорости, наоборот, разогревается.

Определим постоянную в равенстве (51) через параметры адиабатически заторможенного газа (R=0,九=儿，7=7°); тогда будем иметь основную для дальнейшего формулу

Стоящая слева сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии, сохраняющаяся при адиабатическом движении частиц газа вдоль их траекторий (линий тока), носит наименование полной энтальпии, или энтальпии торможения.

Не будем сейчас выписывать соотношения между скоростью и давлением или скоростью и плотностью, так как далее, в § 33, те же формулы получат более симметричную и удобную для запоминания форму.

Введем наряду с функциями состояния — энтальпией h и функцией давления 乡——еще одну функцию состояния, а именно удельную энтропию s, определяемую дифференциальным соотношением

ds = dQ/T, (53)

где dQ — элементарный приток тепла, отнесенный к единице массы газа и удовлетворяющий, согласно первому началу термодинамики, соотношению

dQ = c。dT + pdv = cvdT ———dp.

P2

Подставляя это выражение в (53), получим

ds = cv^-—-^也=备^ —=m-dlnpl,

т pT P P/P P L R \ P / J

или, замечая еще, что по (45)

найдем

+ const.+ const.Отсюда интегрированием получим следующее выражение удельной энтропии в конечной форме:

+ const.

+ const.

(54)

Значение константы несущественно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.

Если вдоль траектории движения выполняется равенство ds = 0, т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется изэнтропическим.

Из уравнения (54) вытекает, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (46), является изэнтропическим. Соотношение (46) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой или, короче, изэнтропой. Ранее выведенные формулы (51), (52) также носят наименование изэнтропических.

Согласно второму началу термодинамики в замкнутой (адиабатической) материальной системе энтропия является неубывающей функцией времени. Возрастание энтропии в адиабатической системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями механической энергии. Примером образования таких механических потерь могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах. В следующей главе мы встретимся с явлением потери механической энергии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения — поверхность разрыва непрерывности кинематических и термодинамических величин. В этом случае движение, будучи адиабатическим, окажется неизэнтропическим.

§ 32. Скорость распространения малых возмущенийв идеальном газе. Скорость звука

Для выяснения особенностей движения газа очень важно сравнить скорость его движения с характерной для данного газа и зависящей от его термодинамического состояния величиной — скоростью распространения малых возмущений (например, малых сжатий) по газу или, что все равно, скоростью распространения звука.

С этой целью рассмотрим для простоты баротропный поток идеального совершенного газа, все линии тока которого параллельны оси х, а составляющая скорости и, так же как давление р, плотность р и температура Т, являются функциями только % и /; при этом будем пренебрегать действием объемных сил.

Уравнения Эйлера (4) и уравнение неразрывности (7) гл. III сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных (используем буквенное обозначение проекции скорости 〃=%)

ди . ди1 др

(55)(55)Н U —=,dt дхр дх

(55)

(55)

曳 + 包(р〃) = 0dt dxw丿

с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо в случае баротропного движения добавить еще уравнение связи между р и р или, в более общем случае, уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии. Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны, конечно, еще удовлетворять заданным начальным и граничным условиям.

Обратимся к решению простейшей задачи о распространении в газе малых возмущений, которая может быть сформулирована так: в покоящемся идеальном и совершенном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлений или плотности, причем возникающее вследствие этого движение является одномерным параллельным оси % баротропным движением, зависящим лишь от координаты х и времени /; требуется разыскать элементы возмущенного движения. Обозначим через 4PHp скорость, давление и плотность возмущенного движения, через Ро и р0 — давление и плотность в покоящемся газе, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя обозначения 〃‘, р[ р‘ для малых возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь

〃 = 〃'，Р = Ро + Р‘，р = ро + р,.

Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравнений (55) и откинем в них произведения малых величин и их производных по координатам как малые высших порядков. Тогда, замечая, что с точностью до малых величин первого порядка малости при баротропном движении будет

др _ dp др — / dp \ dp， дх dp дх 〈 dp 丿 о dx '

получим вместо нелинейной системы (55) следующую линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными 〃‘ и р‘：

空+丄空. = 0

及 Ро \ ^Р / 0 дх *

@Р' I d〃' c

前+卄=°・

Система (56) может быть названа линеаризованной по сравнению с нелинейной системой (55), так как она получена из нее путем линеаризации, заключающейся в откидывании малых второго и высших порядков.

Замечая, что величина dpi dp существенно положительна, так как плотность совершенного газа растет с давлением, введем обозначение

偌)lи перепишем систему (56) в форме偌)lи перепишем систему (56) в форме0〃'% 丁0〃'% 丁2 0р'ди'"о , Ро дхдх2 0р'ди'"о , Ро дхдх空dt空dt(57)(58)(57)(58)

偌)l

и перепишем систему (56) в форме

偌)l

и перепишем систему (56) в форме

0〃'

% 丁

0〃'

% 丁

2 0р'ди'

"о , Ро дхдх

2 0р'ди'

"о , Ро дхдх

空dt

空dt

(57)

(58)

(57)

(58)

Система уравнений (58) может быть сведена к одному уравнению. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (58) по времени t, а второго— по х, умножая обе части второго уравнения на а： и вычитая его почленно из первого, получим линейное уравнение гиперболического типа

势=(59)

Аналогичное уравнение найдем для определения р‘： 也一心=0,

а замечая,что

Р，=р — ро= ( ^)о(Р — Ро) = аор\ и для р‘：

=0.dt%0*2

Общее решение любого из этих уравнений можно представить в виде суммы, в частности,

〃‘=%(%+%£) +%(%—〃of)；(60)

вид функций & и f2 зависит от начальных условий задачи.

Введем новые координаты 占】и 自2, связанные со старыми при помощи равенств

& = %+%/, ^2=x—aQt.(61)

Такое преобразование координат имеет простой кинематический смысл. Ось координат Oj^ расположена вдоль оси Ох и движется поступательно в сторону отрицательного направления оси Ох со скоростью а。, точно так же ось О^2 движется поступательно в сторону положительного направления оси Ох с той же скоростью а0.

Решение (60) принимает при этом вид

加=厶(&)+%(£)•(62)

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, т. е. следующие два частных решения уравнения (59):

〃' = fi (Ei) =/\ (%+a()f), ^ ^fii^z) =fz(^—a°f) •(63)

Функция 九(瓦)представляет в подвижной системе 。止】не зависящее от времени распределение возмущений скорости. Эта фиксированная форма одномерного возмущения, заданная начальным его распределением, перемещается, согласно первому из равенств (63), как одно це- лое вдоль отрицательного направления неподвижной оси Ох со скоро-

стью а。. Аналогично этому функция /2(^2), характеризующая распределение возмущений в подвижной системе 0^ представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в положительную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью а。.

Полагая в этих решениях ^ = const или ^2=const, получим две системы плоских волн:

%+。。/ = const, х—а0/ = const, (64) представляющих две движущиеся в противоположные стороны со скоростью а。перпендикулярные оси Ох плоскости, каждая из которых несет постоянные, заданные начальными условиями значения возмущений скорости, давления, плотности или температуры; такие волны называют простыми.

Общее решение уравнения (59), а следовательно, и аналогичных уравнений для возмущений давления и плотности складывается, таким образом, из решений, соответствующих двум распространяющимся 8 противоположные стороны простым волнам; само уравнение (59), так же как и однотипные уравнения для плотности и давления, являются одномерными волновыми уравнениями. С геометрической стороны полученное решение можно интерпретировать как наличие в плоскости (х, /) двух семейств прямых (64) с угловыми коэффициентами ±а0, обладающих тем свойством, что вдоль каждой из этих прямых сохраняются постоянные значения заданных начальными условиями возмущений скорости или других параметров газа. Эти два семейства прямых представляют в рассматриваемом случае два семейства характеристик волнового уравнения (59).

Физически две такие простые волны можно создать перемещениями с малой амплитудой поршня около некоторого первоначального положения.

Общая для обеих волн скорость а° называется скоростью распространения малых возмущений в газе и определяется, согласно (57), формулой

В последней формуле подстрочный индекс нуль, характеризующий рассматриваемое невозмущенное состояние газа, опущен, так как формула (65) верна и в случае как угодно движущегося газа, если только под величиной а понимать местную скорость распространения малых возмущений относительно движущегося газа в данной точке потока. К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений в жидкостях и газах относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величину а называют скоростью звука.

Скорость звука, согласно формуле (65), зависит от характера баротропности, процесса распространения малых возмущений.

Если предположить, что жидкость несжимаема (р = const), то по (65) а=8. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости возмущения распространяются с бесконечной скоростью, т. е. всякое изменение давления в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев такое предположение может с достаточным для практики приближением приниматься для расчетов, в других, как далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться схемой сжимаемой среды, имеющей конечную скорость распространения звука.

Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспоминая, что при изотермическом процессе (С — постоянная)

dpр

получим изотермическую скорость звука

Если предположить, что процесс распространения звука происходит настолько быстро, что можно пренебречь влиянием сравнительно медленного процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатическим, то будем иметь

p = еp\包■=鼠卄1=£

dpР

адиабатическая скорость звука будет равна

а=|/Т^・(66)

Формула изотермического распространения звука была предложена Ньютоном, а формула (66) — Лапласом; эксперименты подтвердили правильность формулы Лапласа (66). Под скоростью звука в дальнейшем будет всегда подразумеваться адиабатическая скорость звука (66).

Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (66) в виде

а-УШ.(67)

Отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зависит лишь от абсолютной температуры 〃 физических свойств газа. Замечая, что газовая постоянная R может быть выражена через молекулярный вес газа 卩 и ускорение силы тяжести g по формуле

п — 848g м?

一 N с? • к г получим

а = j/1^ 门м/с.

Для воздуха 々=1,4,卩= 29; принимая g = 9,81 м/с2, получим, что скорость распространения звука в воздухе равна

а = 20」УТ м/с;

в частности, при Т=273 К (0℃) скорость звука достигает величины 332 м/с. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой над уровнем моря. Применяя стандартную атмосферу, получим табл. 1 стандартных скоростей звука в зависимости от высоты над уровнем моря.

Таблица 1

Н. км

т, К

а, м/с

Н, км

Т, К

а, м/с

"，км

т, К

а, м/с

—1,0

294,5

345

3,0

268,5

329

7,0

242., 5

313

0,0

288,0

341

4,0

262,0

326

8,0

236,0

309

1,0

281,5

337

5,0

255,5

322

9,0

229,5

306

2,0

275,0

333

6,0

249,0

317

ю,о

223,0

300

В кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа Us = V^? которая также пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры и определяется формулой

Сравнивая с (67), получим

где, напоминаем, k = cp/cv.

Для воздуха (^= 1,4) скорость звука составляет примерно 70% от средней квадратичной скорости свободного пробега молекул.

Скорость звука существенно зависит от молекулярного веса; так, скорость звука в аргоне при нормальных условиях меньше, чем в воздухе, она равна 308 м/с, еще меньше эта скорость в двуокиси углерода — 258 м/с, в газообразном фреоне-12 скорость звука при 15℃ снижается до 120 м/с.

Гораздо сложнее описание явления распространения малых возмущений в неоднородных средах, таких как, например, газожидкостные смеси). Остановимся на распространении звуковых волн в воде, насыщенной пузырьками воздуха. Процесс образования такой смеси носит наименование барботажа. Введем обозначения а и (1——а) соответственно для объемных концентраций газа и жидкости; плотности газожидкостной смеси, газа и жидкости по отдельности обозначим через р, рг и рж, а соответствующие им скорости звука — через а, а「и а^. Тогда для плотности смеси получим

p = apr+ (1—а)рж.(68)

Считая, что соотношение масс газа и жидкости в элементарном объеме смеси сохраняется, будем иметь

Рг = const • 1 рж.(69)

а

Примем для простоты, что пузырьки газа полностью увлекаются жидкостью и что при этом давление в пузырьке р「совпадает с давлением жидкости, а следовательно, и смеси в соответствующей точке. Кроме того, будем считать, что температура в газовом пузырьке постоянна, а следовательно, давление р пропорционально плотности рг; тогда по (69) будет

р = const ・ рг = const •…一■% рж.(70)

а

Предполагая, что распространение малых возмущений в газожидкостной смеси происходит баротропно, возьмем от обеих частей (68) производную по р и в полученном результате

f = а 乎 + (1 — а)学 + (рг — Рж)筝

dp dpdpdp

произведем замену

dp = 1 处=丄 Нрж = 1 .

dp 出'dp 碎’dp 嗑’

вместе с тем заметим, что из (70) следуетвместе с тем заметим, что из (70) следуетda dpda dpа (1 —а) I а (1 一 а)а (1 —а) I а (1 一 а)ppРж%Рж%Тогда будем иметь1 а * 1 — а——="d 吸Тогда будем иметь1 а * 1 — а——="d 吸а(1 — а) рг а(1 — а) рг а (I — а) рж11а(1 — а) рг а(1 — а) рг а (I — а) рж11ppРжажРжажpp

вместе с тем заметим, что из (70) следует

вместе с тем заметим, что из (70) следует

da dp

da dp

а (1 —а) I а (1 一 а)

а (1 —а) I а (1 一 а)

p

p

Рж%

Рж%

Тогда будем иметь

1 а * 1 — а

——=

"d 吸

Тогда будем иметь

1 а * 1 — а

——=

"d 吸

а(1 — а) рг а(1 — а) рг а (I — а) рж

11

а(1 — а) рг а(1 — а) рг а (I — а) рж

11

p

p

Ржаж

Ржаж

p

p

В третьем слагаемом справа используем изотермичность сжатия газового пузырька и заменим р на ргаг. Тогда предыдущее равенство можно переписать в форме

a a (1 — a) / ]a a (1 — a) / ]получимполучим.1 — a — a (1 — a) . a (1 — a) рж

a a (1 — a) / ]

a a (1 — a) / ]

получим

получим

а(1 — а) ржа(1 — а) ржРРили, замечая, что рг《Рж, аг<С^ж и рг^^Рж^, окончательно формулу Вуда')

а(1 — а) рж

а(1 — а) рж

Р

Р

1a2 . (1—а)?

=

炉а； аж

Первые два слагаемых в правой части сравнительно малы и могут быть опущены; на практике можно пользоваться следующей приближенной формулой для скорости распространения малых возмущений (скорости звука) в газожидкостной смеси

а(1 - а) Рж •

Минимум скорости звука соответствует объемной концентрации газа а= 1/2. Для воды с пузырьками воздуха при обычных условиях давления (р=10 кПа) этот минимум равен 20 м/с, т. е. в 17 раз меньше скорости звука в воздухе (340 м/с) и в 75 раз меньше скорости звука в воде (1500 м/с). Существенное отличие (а = 50 м/с) сохраняется и при 4% объемной концентрации воздуха. В цитированном обзоре Вийнгардена можно найти обобщения вышеуказанных формул скорости звука в газожидкостных средах, учитывающие разность скоростей жидкости и пузырьков газа, влияние неизотермичности процесса сжатия пузырька, наличия вязкости жидкости, частоты звуковых колебаний и других физических деталей процесса2).

§ 33. Числа М н 儿.Изэнтропические формулы

Скорость распространения малых возмущений или скорость звука является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут ли скорости движения частиц меньше или больше скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующем простом и наглядном примере. Предположим, что из баллона большой емкости через сужающийся патрубок происходит истечение газа в некоторую камеру. Пусть вначале разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость истечения сквозь патрубок не превосхо-

дила скорости звука. Будем теперь медленно понижать давление в камере； тогда скорость истечения начнет повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшения) давления будут распространяться против течения из камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в выходном сечении патрубка не достигнет скорости звука. После этого возмущения давления не смогут уже проникнуть в баллон, так как они будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления в камере не отразится на явлении истечения, скорость которого будет оставаться постоянной и равной скорости звука в выходном сечении патрубка. Это явление носит наименование запирания потока, В дальнейшем мы встретимся и с другими, столь же своеобразными явлениями в потоках сжимаемой среды — газа.

Если где-нибудь в потоке газа скорость V станет равна местной скорости звука а, то такая скорость газа V=a* называется критической; критическими будут называться и соответствующие значения р*, р*, Г* давления, плотности и температуры.

Если скорость истечения в рассматриваемом только что случае достигнет в выходном сечении патрубка своего критического значения, то в этом, также называемом критическим, сечении патрубка давление, плотность и температура газа примут соответствующие критические значения.

В адиабатическом движении газа критические значения параметров состояния одинаковы для всех частиц газа и зависят только от полной его энтальпии (§31) и могут быть определены, например, по «заторможенным» значениям параметров в баллоне, где газ предполагается неподвижным. Наличие критических явлений представляет характерную особенность газовых течений.

Приведенный пример показывает, что характер развивающихся в потоке явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной точке потока к скорости звука или критической скорости потока.

Отношение скорости V движения газа в данной точке потока к соответствующей этой точке местной скорости звука

характеризующее, будет ли поток в данной точке дозвуковым (М<1), звуковым (М= 1) или сверхзвуковым (М>1), представляет основной параметр движения газа и называется числом М {числом Маха). Отношение скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической скорости У/а* = Х будем называть скоростным коэффициентом. В зарубежной литературе его обозначают символом М*.

В конце предыдущего параграфа уже указывалось, что скорость звука пропорциональна средней квадратичной скорости свободного пробега молекул. Это позволяет рассматривать квадрат числа М как величину, характеризующую отношение кинетических энергий направленного (внешнего, изучаемого в механике жидкости и газа) и хаотического, молекулярного (внутреннего) движений газа. Действительно, это отношение энергий равно

代 (3间a2 3

При дозвуковом движении (М<1) кинетическая энергия направленного движения меньше кинетической энергии хаотического. Это сохраняется и при сверхзвуковом движении до М=]^/£ (для воздуха 1,46): при больших значениях числа М кинетическая энергия направленного движе-

ния превосходит по величине кинетическую энергию молекулярного движения. С точки зрения динамики газа, рассматриваемого как сплошная среда, характерным, критическим для процессов движения газа является не значение числа М, при котором выравниваются энергии направленного и хаотического движений, а значение М=1, соответствующее равенству скорости частиц газа скорости распространения малых возмущений в той же точке газа. Из дальнейшего станет ясно, что и сами уравнения движения газа имеют принципиально друг от друга отличный характер: эллиптический — в дозвуковом (М<1) и гиперболический в сверхзвуковом потоках (М> 1). Это математическое различие отражает физические особенности двух основных режимов течения газа.

Пользуясь числами М и X, можно составить простые, удобные для запоминания формулы связи между скоростью, давлением, плотностью и температурой в изэнтропическом адиабатическом движении.

Заменив в равенстве (51) энтальпию h ее выражением через температуру, будем иметь

-у- + срТ =亦 °,

где, как всегда, индекс нуль обозначает, что величина взята при У=0, т. е. в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Деля обе части последнего равенства на 叁7, получим

鱼=1+

Т 丁 2срТ

Замечая, что

перепишем предыдущую формулу в виде

* = 1+"^,尹(1 + 合(7!2厂.(71)

Вспоминая, что скорость звука пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, получим

(72)(72)

(72)

(72)

Пользуясь формулами (48) и (49), легко по (71) получить изэнтропические формулы: для отношения плотностей

1%(1 +怨m2广1%(1 +怨m2广1TM广1TM广отношения давленииотношения давленииkk(73)(74)(73)(74)

1

%(1 +怨m2广

1

%(1 +怨m2广

1TM广

1TM广

отношения давлении

отношения давлении

k

k

(73)

(74)

(73)

(74)

и отношения скорости потока к скорости звука в покоящемся газе

ю+j广ю+j广(75)(75)

ю+j广

ю+j广

(75)

(75)

Изэнтропические формулы (71) —(75) осуществляют параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью при помощи параметра М.

Аналогичные по типу параметрические формулы можно установить, имея в качестве параметра скоростной коэффициент 九.С этой целью заметим, что энтальпия связана со скоростью звука соотношением

(76)(76)

(76)

(76)

перепишем (51) в виде

-у- + / у = const,

где константу можно определить как из условия а = а0 при У=0, так и из условия 〃 = 〃* при V=a*. Будем иметь одно из следующих двух равенств:

上+上=上，上+ 上 =上工产. (77) 2 万一！ 力一1 2 万一1 2伙—1) \

Деля обе части последнего равенства на V, получим связь между числом Маха М и скоростным коэффициентом X

(78)(78)1 々一1 .21

(78)

(78)

々+ 1十论+ 1而'

легко разрешимую относительно X или М. Таким образом, получим

X =

М

Н+ 宁 М2

(79)

и обратное соотношение

左一1左一1(80)

左一1

左一1

々+1

Если М = 0, то и Х = 0; если же М+8, то 九f%max=

двучлендвучлен(Lax=2,449 для воздуха при 々=1,4).

двучлен

двучлен

Заметим, что входящий в изэнтропические формулы

(81)(81)1 + 3 L М2 может быть выражен через 九 по формуле

(81)

(81)

(82)

Эти формулы, так же как и формулы (71) — (75), полезно запомнить, потому что они постоянно встречаются при расчетах газовых потоков.

Покажем, что в изэнтропических формулах (73) и (74) содержатся как частный случай при М = 0 формулы несжимаемой жидкости

Р = Ро， Р +Р = Ро， Р +pHpH22Ро・Ро・(83)(83)

Р = Ро， Р +

Р = Ро， Р +

pH

pH

2

2

Ро・

Ро・

(83)

(83)

Подчеркнем, что условие М = 0 следует в этом случае, конечно, понимать как наличие бесконечного значения скорости звука а, вытекающее из формулы a = ydp/dp при р = const, т. е. результат обращения в бесконечность знаменателя q в выражении М, а не числителя V в нуль, что означало бы отсутствие течения. Разложим правые части (73) и (74) в степенные ряды при малых М; тогда будем иметь

k+ ^1м2『一1%РН %рМ2 丿(гk ( kk+ ^1м2『一1%РН %рМ2 丿(гk ( k2加/р£ F2加/р£ F

k

+ ^1м2『一1

%РН %рМ2 丿

(гk ( k

k

+ ^1м2『一1

%РН %рМ2 丿

(гk ( k

2加/р£ F

2加/р£ F

^0+^+...) = 1+>2+..., (84)

(85)

Полагая М = 0, найдем формулы (83) несжимаемой жидкости. Кроме того, учитывая в полученных разложениях еще вторые члены, определим порядок погрешности, которую делают, рассматривая при малых М движущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая р = const = р0, пренебрегают по сравнению с единицей членами, старший из которых равен 72М2. Если, например, допустить относительную погрешность за счет неучета сжимаемости газа, равную 1%, то это равносильно требованию

72М2^0,01, MW0J4,

что для воздуха при нормальных условиях [7=(273+ 15) К, 〃 = 340 м/с] приводит к ограничению скорости 1/<50 м/с. При скорости, близкой к 100 м/с, относительная ошибка доходит до 4%. Как видно из формулы (84), при этом относительная ошибка для давлений в два раза меньше, чем для плотностей.

Пользуясь изэнтропическими формулами, найдем выражение критических параметров газа Т*, а*, р*, р* через параметры Т。，а。，р0, ро заторможенного газа. Для этого достаточно вспомнить, что при критиче-

звука а, т. е. в этомзвука а, т. е. в этомk2 尸也+ 1丿k2 尸也+ 1丿Po U+ 1 7Po U+ 1 7ском течении скорость V равна местной скорости случае М= 1. Тогда по (71) — (75) будем иметь

звука а, т. е. в этом

звука а, т. е. в этом

k

2 尸

也+ 1丿

k

2 尸

也+ 1丿

Po U+ 1 7

Po U+ 1 7

(86)

Составив изэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек с числами М[ и М2 или 九【и 九？ одного и того же потока или двух потоков, но с одинаковыми параметрами заторможенного потока и поделив соответствующие соотношения друг на друга, получим

k— 1

Л _ 1 + 2

'2

々一1

k—\

ч

Л—1 也+1 也一1

(87)

ГЛ ABA VI

ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

§ 34. Одномерное стационарное движение газапо трубе переменного сечения

Если все динамические и термодинамические величины газового потока являются функциями только одной, в общем случае криволинейной, координаты и времени, то такой поток называется одномерным.

Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам во многих случаях можно довольствоваться следующей упрощенной одномерной стационарной схемой. Принимая вектор скорости в данном сечении трубы или канала направленным вдоль оси, а величины скорости V, давления р, плотности р и температуры Т постоянными по сечению, будем рассматривать их как величины, изменяющиеся от сечения к сечению канала, причем закон изменения площади сечения А вдоль оси будем считать заданным.

Отвлекаясь от влияния кривизны оси канала, примем за основной аргумент прямолинейную декартову координату %, отсчитываемую вдоль оси канала вниз по потоку от некоторого начального сечения.

Поток будем считать адиабатическим, а газ совершенным и идеальным. При этих условиях, как уже было ранее (§ 31) доказано, движение газа можно считать изэнтропическим.

Пользуясь уравнением Эйлера

и уравнением неразрывностиi

риЛ = const,(2) I

легко установить дифференциальное соотношение между изменениями ； скорости и площади сечения трубы. С этой целью преобразуем (1) к виду

"血=一曲=一空曲=一废空！

Р ФРР；

и возьмем от обеих частей (2) логарифмический дифференциал; тогда ! получим

dpdudA,

—=.

pиAI

предыдущемпредыдущем(3)(3)Исключая при помощи этого равенства плотность в уравнении, найдем

предыдущем

предыдущем

(3)

(3)

("2_出)也=出也，и Л

или, деля обе части на 废，

(М2—1)—=—.

и А

Из полученного уравнения, носящего имя Гюгон ио), вытекают следствия:

Если М< 1, знак d〃 противоположен знаку dA, т. е. при дозвуковом движении газа, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием площади сечения трубы скорость движения уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения скорость увеличивается.

Если М> 1, знак d〃 одинаков со знаком dAt т. е. при сверхзвуковом движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе ——ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА в равенстве (2), несмотря на увеличение площади 4, все же уменьшается, что и приводит к возрастанию скорости и.

Если М= 1, то %4 = 0； соответствующее сечение трубы будет критическим. Условие d4 = 0 совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Легко сообразить, что критическое сечение будет минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.

Если d4 = 0 и сечение экстремально (максимально или минимально), то либо М= 1 и, следовательно, это сечение критическое, либо М=^1 и%〃=0. В последнем случае, каково бы ни было движение ——дозвуковое или сверхзвуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозвуковом течении газа — минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном минимальна.

Пользуясь уравнением (2) и выведенными в конце гл. V изэнтропическими формулами, найдем связь между параметрами одномерного потока и площадью сечения, заданной в функции от координаты %. Действительно, согласно (2) настоящей главы и (87) гл. V, имеем (индекс《1» отмечает какое-нибудь фиксированное сечение трубы)

или окончательно

Л

(4)

Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами

На рис. 29 приведен график этой зависимости для воздуха (々=1,4).На рис. 29 приведен график этой зависимости для воздуха (々=1,4).Рис 29Рис 29

На рис. 29 приведен график этой зависимости для воздуха (々=1,4).

На рис. 29 приведен график этой зависимости для воздуха (々=1,4).

Рис 29

Рис 29

дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в трубе переменного сечения, причем роль параметра играет число М. Задаваясь функцией Л(х), определим по (4) М(х), а затем уже по (5) и искомые р(%), р(х), Т(х) н 〃(%)•

Формула (4) упрощается, если принять Mi= 1; тогда сечение с площадью 4 будет критическим (4=/*), а (4) преобразуется к виду

左+1尼+1

График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке //'(MV1) для увеличения числа М сечение А следует уменьшать, в сверхзвуковом потоке (М>1), наоборот, % увеличивать. Так, например, из рис. 29 следует, что для повышения &6 числа М от 0,2 до 0,8 газ должен ' пройти через участок суживающейся трубы — конфузора — с сечением, @4 уменьшающимся в три раза; чтобы увеличить число М от значения 1 в критическом сечении до 3,2 необхо- димо построить расширяющуюся трубу—сверхзвуковой диффузор—с С площадью на выходе, в пять раз превышающей площадь критического сечения.

Присоединяя к равенству (6) очевидную группу формул

А[*(Тм2r

⑺

—=М

найдем параметрическое решение, заключающее критические значения 才*, Р*, р*, Т*, а не Ль pi, pi, Ть относящиеся к произвольному сечению.

Пользуясь равенствами (80) и (81) гл. V, нетрудно написать соответствующие формулы, выраженные через параметр X:

论k

券广г库旷

1

1 —Л

々+1丿

一2二1版)JL = x.

Таблица 2

м

入

户

Р/Р®

Р/Ро

Т/То

е

0

0

0

1,894

1,0000

1,0000

1,0000

0,0000

0,2

0,218

0,089

1,842

0,9725

0,9803

0,9921

0,3374

0,4

0,431

0,176

1,696

0,8956

0,9243

0,9690

0,6288

0,6

0,635

0,259

1,485

0,7840

0,8405

0,9328

0,8416

0,8

0,825

0,337

1,345

0,6560

0,7400

0,8865

0,9632

1,0

1,000

0,408

1,000

0,5283

0,6339

0,8333

1,0000

1,2

1,159

0,474

0,781

0,4124

0,5311

0,7764

0,9705

1,4

1,300

0,531

0,595

0,3142

0,4374

0,7184

0,8969

1,6

1,426

0,582

0,446

0,2353

0,3557

0,6614

0,7999

1,8

1,536

0,627

0,329

0,1740

0,2868

0,6068

0,6949

2,0

1,633

0,667

0,242

0,1278

0,2301

0,5556

0,5926

2,2

1,718

0,701

0,177

0,0935

0,1841

0,5081

0,4988

2,4

1,793

0,732

0,129

0,0684

0,1472

0,4647

0,4161

2,6

1,858

0,758

0,095

0,0501

0,1179

0,4252

0,3453

2,8

1,914

0,781

0,070

0,0368

0,0946

0,3894

0,2857

3,0

1,964

0,802

0,0515

0,0272

0,0762

0,3571

0,2362

3,2

2,008

0,820

0,0383

0,0202

0,0616

0,3281

0,1953

3,4

2,047

0,835

0,0296

0,0151

0,0500

0,3019

0,1617

3,6

2,081

0,849

0,0216

0,0114

0,0409

0,2784

0,1342

3,8

2,112

0,862

0,0163

0,0086

0,0335

0,2572

0,1113

4,0

2,138

0,873

0,0125

0,0066

0,0276

0,2381

0,0933

ОО

2,437

1,000

0

0

0

0

0

Из уравнения неразрывности (2), переписанного в форме

вытекает соотношениевытекает соотношениериЛ = р*и*Л* = р*а*Л*,риЛ = р*и*Л* = р*а*Л*,⑼(10)⑼(10)

вытекает соотношение

вытекает соотношение

риЛ = р*и*Л* = р*а*Л*,

риЛ = р*и*Л* = р*а*Л*,

⑼

(10)

⑼

(10)

где величина 0, согласно (6) и первому из равенств (8), при заданном k является функцией только М или %:

На рис. 29 приведен график @(М) для воздуха (々=1,4). Для любого сечения А трубы с заданным критическим (минимальным) сечением 4* находим по (10) величину 0; по (11) —М или 九；по (7) или (8) определим р, р, Т и непосредственно скорость 〃. При проведении расчетов удобно пользоваться имеющимися таблицами для воздуха (табл. 2) !); смысл величины 论，приведенной в третьем столбце таблицы, поясняется в следующем параграфе.

Истечение газа сквозь сопло

В качестве первого примера приложения выведенных формул рассмотрим задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень большой вместимости.

Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающейся вниз по пото-

Подробные таблицы можно найти, например, в книгах: Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений- Пер. с англ — М ♦ Гостехиздат, 1953; Абрамович Г Н. Прикладная газовая динамика.— М.. Наука, 1976.

ку площадью сечения. Обозначим через р0, Ро, То термодинамические параметры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может рассматриваться как покоящийся (〃 = 0, М=0), через р, р, Т, М — соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого пусть будет Л, и через р‘ — давление в камере, куда происходит истечение; это давление р‘ в теории истечения называют противодавлением.

Обозначим через m массу газа, протекающую за одну секунду через любое сечение сопла:

/л = риД = риД,

а через т* — критическое значение этой массы, соответствующее числу М в выходном сечении, равному единице; имеем т* = р*а*Л, и, следовательно, по (10) безразмерный секундный массовый расход будет равен

(12)

Исключая из (12) М при помощи изэнтропического соотношения

k

^ = (1+号■抻广，(13)

получим выражение безразмерного расхода через отношение давления на выходе к давлению в котле

На рис. 30 представлен график зависимости безразмерного секундного массового расхода m/m* в функции от отношения противодавления

р‘ в камере к давлению в котле р0. До тех пор пока давление на выходе из сопла р не станет равным критическому р*, противодавление 夕 будет совпадать с р, и кривая определится соотношением (14) (правая сплошная ветвь кривой). При дальнейшем уменьшении противодавления, т. е. при p'Vp*, наступит описанное в начале § 33 явление запирания выходного сечения. Возмущения давления не смогут проникнуть сквозь выходное сечение, и истечение будет происходить с постоянной критической скоростью, несмотря на то, что противодавление продолжает уменьшаться. Часть графика на рис. 30, соответствующая интервалу P‘/PoVP*/Po (для воздуха р*/р0= = 0,528), представится сплошной

горизонтальной прямой, а не пунктирной спадающей кривой, как это следовало бы по формуле (14).

Максимально возможный при заданных параметрах в котле секунд

ный массовый расход пг^^ газа сквозь выходное сечение сужающегося

сопла равен ^тах=т* = р*а*Л и, согласно (86) гл. V, представится так:

(15)

Как указал Прандтль'), для воздуха можно пользоваться следующими простыми приближенными формулами истечения:

6 = 0,76//^，^ при 万>3，(16)

Gmax = 0,38 万鳥У /оGmax = 0,38 万鳥У /опри р< уРо»при р< уРо»(17)(17)

Gmax = 0,38 万鳥

У /о

Gmax = 0,38 万鳥

У /о

при р< уРо»

при р< уРо»

(17)

(17)

где G и Gmax представляют собой секундные весовые расходы, выраженные в Н/с, а давления 〃 н 歹 должны быть выражены соответственно в Па (Н/м2) или 10-кПа (Н/см2), в зависимости от того, задается ли площадь j отверстия истечения в м2 или см2; То — абсолютная температура в баке.

Формула (16) получается в результате приближенной замены правой ветви кривой на рис. 30 четвертью эллипса, а числа 0,528, выражающего

Рис 31Рис 31

Рис 31

Рис 31

отношение критического давления к давлению в баке, числом 0,5. Почленным делением (16) на (17) получим легко запоминаемую формулу

丄・(18)

Gmax Р ' Ро / Ро

Явление истечения газа в камеру с заданным противодавлением происходит иначе, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфузорную) ,так и выходную расширяющуюся (диффузорную) части. В этом

1) Прандтль Л. Гидроаэромеханика- Пер. с нем.— М.: ИЛ, 1949, с. 327, 328.

случае скорость газа, достигнув своего критического значения в сечении, отделяющем конфузорную часть от диффузорной, при дальнейшем расширении газа в диффузорной части сопла может стать сверхзвуковой. Такого рода сопла называют соплами Лаваля по имени шведского инженера Лаваля, впервые применившего их в качестве сопел для паровых турбин.

Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла задан кривой на рис. 31, а； соответствующее изменение числа М ——на кривых рис. 31, б и, наконец, кривые давления, отнесенного к критическому его значению, приведены на рис. 31, 6.

Кривые М и р/р* построены по ранее выведенным формулам изэнтропического течения.

Из вида кривых можно сделать выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее узком сечении сопла 4=4* число М достигло значения М= 1, то дальнейшее развитие потока может идти по кривым, соответствующим как М> 1, так и М<1, т. е. поток может стать сверхзвуковым или остаться дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления на выходе из сопла.

По заданному отношению А/Л* на выходе из сопла Лаваля, найдем пользуясь (6) или правой восходящей ветвью кривой на рис. 31, выходное значение Мх>1 и, подставив его в правую часть первого равенства (7), определим расчетное значение отношения давления на выходе рг к критическому давлению р*. Если противодавление в камере подобрать равным этому расчетному давлению р‘, то сопло Лаваля будет работать на расчетном сверхзвуковом режиме, скорость на выходе будет превышать скорость звука и равна и = М,а.

При том же значении Л/Д*, но пользуясь левой нисходящей ветвью кривой на рис. 31, определим значение M〃V1 на выходе из сопла и соответствующее ему по первому равенству (7) отношение 歹〃/р*. Выбирая противодавление большим или равным 力〃，получим различные дозвуковые режимы истечения из выходного сечения сопла.

Подчеркнем, что дозвуковых режимов истечений из сопла Лаваля заданной формы существует бесчисленное множество, в то время как сверхзвуковое истечение единственно и может осуществляться только при одном значении противодавления, равном 尸.

Если противодавление окажется лежащим между расчетными значениями pf и 万〃，то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при наличии которых движение газа в сопле уже не будет непрерывным одномерным и изэнтропическим. Если противодавление в камере окажется меньшим 尸，то газ по выходе из сопла будет продолжать непрерывно и изэнтропически расширяться, пока не достигнет давления в камере, но движение его вне сопла уже нельзя будет рассматривать как одномерное.

Секундный массовый расход через сопло Лаваля, так же как и в случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего максимального значения, равного тому расходу, который пройдет сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении будет достигнута местная скорость звука. Но, в отличие от конфузорного сопла, скорость на выходе из сопла Лаваля при сверхзвуковом режиме превосходит скорость звука и может быть подбором формы и длины сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление. Можно представить себе мысленно такое идеальное сопло Лаваля, которое будет работать на расчетном режиме 尸=0. Это означает, что в камере будет достигнут абсолютный вакуум, причем наряду с 尸 обращаются в нуль р‘ и 7‘.

Как об этом легко заключить из формулы Сен-Венана и Вантце- ля (30) гл. V, скорость такого истечения является максимальной при

данных параметрах газа в котле и равна

К J 吉% = ]/ 客 &* •(19)

Вводя энтальпию адиабатически заторможенного газа (полную энтальпию) h0 = cpTQ, можно еще написать

^тах = /2厶о,(20)

что непосредственно следует из равенства (52) гл. V при Л = 0.

Отметим, что для воздуха при абсолютной температуре Т° = 273+ + 15=288 К максимальная скорость будет 757 м/с. Подсчитаем еще числа М и X при максимальной скорости истечения. Замечая, что скорость звука в вакууме равна нулю, а максимальная скорость истечения конечна, найдем Мтах = 8. Скоростной коэффициент X достигает при этом своего максимального значения

入 тах=]/^{・(21)

Наряду с числами М н 九 в газодинамических исследованиях используют еще параметр Чаплыгина т, равный квадрату отношения скорости течения к максимальной скорости и выражающийся, согласно (19), через % по формуле

(_Л_Г = А=±х2.(22)

Из самого определения т следует, что tmax=l・ В табл. 2 дано сравнение чисел М,九 н 仮для воздуха (左=1,4).

Все сказанное о движении газа в соплах справедливо для идеального газа, лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности процесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.

Рассчитанное по приближенной теории сопло может не дать желаемого увеличения числа М на выходе, и только опытной проверкой можно добиться практически полезного результата; применяются и более точные расчеты.

При проведении расчетов одномерных газовых потоков часто бывает полезно сравнивать термодинамические «текущие» характеристики газа в любой точке потока с некоторыми стандартными. За такие состояния в большинстве случаев выбирают два: покой газа и его критическое со・ стояние, т. е. движение с местной скоростью звука. Эти состояния можно всегда себе мысленно представить осуществленными при помощи одномерного адиабатического и изэнтропического движения газа через некоторый воображаемый канал.

Если движение дозвуковое, то газ приводится к покою при помощи расширяющегося канала — дозвукового диффузора, служащего для превращения кинетической энергии потока в давление. Такой процесс носит наименование восстановления давления. Чем больше степень восстановления давления, тем выше к. п. д. диффузора. В идеальном адиабатическом движении может произойти полное восстановление давления до значения Ро, определяемого уже известной адиабатической и изэнтропической формулой.

Сверхзвуковой поток также может быть подторможен при помощи специального сверхзвукового диффузора, аналогичного по внешней форме соплу Лаваля, причем, в отличие от него, в сужающейся части сопла поток будет замедляться до некоторой меньшей, чем во входном сечении, но все же сверхзвуковой скорости, чтобы затем, перейдя скачкооб-

разно в дозвуковой поток, продолжать далее тормозиться в расширяющейся части. Элементарный расчет такого сверхзвукового диффузора будет приведен в §41 настоящей главы.

§ 36. Пример неадиабатического движения газа

Предположим, что адиабатичность одномерного стационарного потока идеального газа нарушается тем, что на некотором весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это вызывает изменение температуры газа 窘 и температуры изэнтропически заторможенного газа Ло до участка подогрева на величину 厶丁=丁2—?\ и соответственно на ДТ0 = =丁20—Ло, причем за участком подогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами 厶 и Т20.

Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на коротком участке подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего уже нетрудно будет найти и изменения всех остальных величин. Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если учесть, что приток тепла не нарушает баланса массы и количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следующие два равенства:

p〃 = const, p + p〃2 = const. (23)

Первое из этих равенств в принятых условиях стационарного одномерного потока по цилиндрической трубе (Vn=V=u) непосредственно вытекает из (33) гл. IV. Второе следует из равенства (34) той же главы, если спроектировать обе его части на ось трубы, пренебречь действием объемных сил, учесть стационарность потока, заметить, что при идеальности среды рпп=Рхх= —Р, и применить таким образом упрощенное равенство (34) к объему трубы, заключенному между двумя произвольными плоскими сечениями.

Припоминая известные уже формулы связи скорости звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также определение числа М, будем иметь

(24)(24)pu = k ^-=々彳=kpM -р== = рМ J^^7 = const,р + pi? = р (1 + -^-j =р (1 + 尼§) —р(1 + Ш2) = const.

(24)

(24)

Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь числа М с абсолютной температурой Т или температурой адиабатически изэнтропически заторможенного газа То

土济生尸=const, -注*二";=const. (25)

MMj/i + ^M?

Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева; тогда будем иметьПрименим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева; тогда будем иметь

Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева; тогда будем иметь

Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева; тогда будем иметь

Задаваясь отношением

7\ 丁 А

и числом Mi до прохождения участка подогрева, по первой формуле (26) найдем М2, а уже затем по второй из формул (24)——и отношение давлений

(27)(27)〃 =1+叫

(27)

(27)

77一 ]+砒

а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная число М2 и температуру Т2, легко найдем и скорость газа за участком подогрева.

Введем в рассмотрение функцию

〃м)=———,(28)

входящую во вторую формулу (26). Вычислив производную

Г（м）=Г（м）=1 — М2

Г（м）=

Г（м）=

/ k— 1(1+邮2)2(1 + —m2)

убедимся, что функция f(M) имеет максимум при М = 1, и этот максимум равен

' ，2(々+1)

На рис. 32 приведен график функции f(M) для воздуха (й=1,4). Как видно из графика и второй из формул (26), подогрев газа при 从<1 вызывает возрастание функции f(M2) и при этом числа М2, а при Mj> 1, наоборот, убывание числа М2. Следовательно, приток тепла к дозвуково

му потоку ускоряет его, отвод

тепла — замедляет. В случае сверхзвукового потока приток тепла замедляет его, отвод ускоряет. Так, например, при Ло = 54О К и Mi = 0,5

увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию числа М до значения М2=0,6. При той же начальной температуре и числе Mi=l,4

подогрев на 7% приведет к уменьшению числа М до М2=1; при этом давление увеличится более чем на 50%.

§ 37. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличиисопротивления

Рассмотрим адиабатическое^ но не изэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления трения, причем для простоты ограничимся случаем трубы постоянного сечения.

Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в трубе постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим некоторый участок длины /, приложить движущий перепад давлений

Ар, который смог бы уравновесить сопротивление трения, препятствующее движению жидкости по трубе. Этот перепад давления называют сопротивлением участка трубы и представляют формулой

△p =九善 ^^，(29)

где D ——диаметр трубы, р ——плотность жидкости, принимаемая постоянной, 〃ср — средняя по сечению трубы скорость движения жидкости, определяемая отношением секундного объемного расхода жидкости сквозь сечение к площади сечения. Коэффициент сопротивления 九 представляет собой безразмерное число, зависящее от физических свойств среды: плотности р и коэффициента вязкости 卩，а также от средней скорости 〃⑪ и диаметра D трубы. Более точно,入 является функцией некоторого комплекса этих величин ——рейнольдсова числа Re = pucpD/|A).

При принятом в настоящем параграфе приближенном одномерном представлении движения будем считать среднюю скорость 〃ср совпадающей со скоростью и одномерного движения, а коэффициент сопротивления 九一постоянной величиной. Последнее допущение можно оправдать тем, что 九 слабо зависит от Re, а само число Re на данном участке трубы обычно меняется сравнительно незначительно и может быть заменено своим средним значением. Применяя формулу сопротивления (29) к сжимаемому газу на участке длины dx, будем иметь

dp = h^除.(30)

Составим уравнение Эйлера (1) для одномерного стационарного движения идеального газа, учитывая влияние трения дополнительным перепадом давления (30); тогда будем иметь уравнение движения

"包=_丄曲一九色，(31)

dx р 厶 20

из которого найдем

业=一人Е也也_Eudu.

pp 2 0P

Воспользовавшись формулой Клапейрона и определением скорости звука а=У^р/р, получим, вводя число М,

生=—丄 /М2 — — Ш2— .(32)

р2 Dи' '

Уравнение неразрывности (2), переписанное (Д = const) при помощи формулы Клапейрона в виде

у-= const,

дает после логарифмического дифференцирования

@=察一生.(33)

р Т и

Сравнение (32) и (33) приводит к соотношению

—^々М2^ + (1 — Ш2)与=竽.(34)

Но по определению числа М

u = Ma = const • М |47\

(35)(35)так что после логарифмического дифференцирования du — dM . 1 dT 二7 =下十

(35)

(35)

Ввиду адиабатичности движения, т. е. тепловой изоляции трубы, напишем условие сохранения полной энтальпии 八。или, что все равно, температуры заторможенного газа

Т0 = Т^1+ Az±M2)= const;

тогда будем иметь, вновь логарифмически дифференцируя,

dTVdTV(f —鹄—1+ —M2(f —鹄—1+ —M2(36)(36)Выражая при помощи (35) и (36) dulu и dT/T через число М и его диф-Выражая при помощи (35) и (36) dulu и dT/T через число М и его диф-ференциал dM и подставляя эти значения ле простых преобразований следующее основное соотношение:ференциал dM и подставляя эти значения ле простых преобразований следующее основное соотношение:■^ dx = d^ = 2D■^ dx = d^ = 2D1 一 MP1 一 MP/ k— 1М[1+—^―М2/ k— 1М[1+—^―М2dM.dM.Положим dg>0, т. e. будем рассматривать развитие движения вниз по потоку. Тогда сразу видно, что dM>0, если М<1 и dMVO, если М> >1. Это приводит к следующему выводу: 〃р〃 адиабатическом движении газа по трубе постоянного сечения наличие трения вызывает ускорение дозвукового потока и замедление сверхзвукового потока.Пользуясь равенством (37), можно определить длину /* участка трубы, на котором дозвуковой поток, начав с заданного значения Мо<1, достигнет благодаря наличию ускоренияПоложим dg>0, т. e. будем рассматривать развитие движения вниз по потоку. Тогда сразу видно, что dM>0, если М<1 и dMVO, если М> >1. Это приводит к следующему выводу: 〃р〃 адиабатическом движении газа по трубе постоянного сечения наличие трения вызывает ускорение дозвукового потока и замедление сверхзвукового потока.Пользуясь равенством (37), можно определить длину /* участка трубы, на котором дозвуковой поток, начав с заданного значения Мо<1, достигнет благодаря наличию ускоренияв равенство (34), получим пос-в равенство (34), получим пос-значения Mt=1; аналогичнозначения Mt=1; аналогичноможно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от заданного Мо> 1 замедлится до М〔 = 1.Интегрируя (37), будем иметь, полагая 占=0 в сечении, где М = М0,можно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от заданного Мо> 1 замедлится до М〔 = 1.Интегрируя (37), будем иметь, полагая 占=0 в сечении, где М = М0,fi 1 々 1" 2 м；fi 1 々 1" 2 м；(38)(38)

dTV

dTV

(f —鹄—

1+ —M2

(f —鹄—

1+ —M2

(36)

(36)

Выражая при помощи (35) и (36) dulu и dT/T через число М и его диф-

Выражая при помощи (35) и (36) dulu и dT/T через число М и его диф-

ференциал dM и подставляя эти значения ле простых преобразований следующее основное соотношение:

ференциал dM и подставляя эти значения ле простых преобразований следующее основное соотношение:

■^ dx = d^ = 2D

■^ dx = d^ = 2D

1 一 MP

1 一 MP

/ k— 1

М[1+—^―М2

/ k— 1

М[1+—^―М2

dM.

dM.

Положим dg>0, т. e. будем рассматривать развитие движения вниз по потоку. Тогда сразу видно, что dM>0, если М<1 и dMVO, если М> >1. Это приводит к следующему выводу: 〃р〃 адиабатическом движении газа по трубе постоянного сечения наличие трения вызывает ускорение дозвукового потока и замедление сверхзвукового потока.

Пользуясь равенством (37), можно определить длину /* участка трубы, на котором дозвуковой поток, начав с заданного значения Мо<1, достигнет благодаря наличию ускорения

Положим dg>0, т. e. будем рассматривать развитие движения вниз по потоку. Тогда сразу видно, что dM>0, если М<1 и dMVO, если М> >1. Это приводит к следующему выводу: 〃р〃 адиабатическом движении газа по трубе постоянного сечения наличие трения вызывает ускорение дозвукового потока и замедление сверхзвукового потока.

Пользуясь равенством (37), можно определить длину /* участка трубы, на котором дозвуковой поток, начав с заданного значения Мо<1, достигнет благодаря наличию ускорения

в равенство (34), получим пос-

в равенство (34), получим пос-

значения Mt=1; аналогично

значения Mt=1; аналогично

можно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от заданного Мо> 1 замедлится до М〔 = 1.

Интегрируя (37), будем иметь, полагая 占=0 в сечении, где М = М0,

можно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от заданного Мо> 1 замедлится до М〔 = 1.

Интегрируя (37), будем иметь, полагая 占=0 в сечении, где М = М0,

fi 1 々 1" 2 м；

fi 1 々 1" 2 м；

(38)

(38)

Так, например, для воздуха (々=1,4) при Мо = О,4 будем иметь, принимая %=0,01 (это соответствует Re = 2,5- 10е),

/•9

丄=—-——1,62^230;

D1,4-0,01

в тех же условиях при М0=1,4 получим

—=0,07^ 10.

D 1,4-0,01

Общий ход зависимости безразмерного параметра Е* от Мо представлен на рис. 33. Можно заметить, что при возрастании числа М« до

бесконечности V стремится к конечной величине

Г

丄5

В частности, для воздуха (々=1,4) кривая на рис. 33 имеет горизонтальную асимптоту ^* = 0,5751.

§ 38. Плоская ударная волна и скачок уплотнения

В отличие от задачи о распространении малых возмущений изучение явления распространения конечных по интенсивности возмущений представляет математические трудности, так как требует интегрирования не-

линеаризованных уравнений (55) гл. V. Рассмотрению этого случая будет посвящен § 44; там же при-

о

V

6

"=0

'///〃//〃〃///〉/,〃/7'//，：/，/ 7 ； ' ，'，/，

Рис. 34

водится принадлежащее Риману строгое объяснение явлений возникновения в идеальном газе ударных волн, представляющих собой поверхности разрыва параметров состояния газа и скорости его движения. Остановимся сначала на элементарной теории ударных волн и удовольствуемся простым качественным объяснением причины их возникновения.

Представим себе (рис. 34) теплоизолированную от внешней среды цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой перемещается поршень. Пусть вначале поршень и газ неподвижны, а затем поршень мгновенно приобретает некоторую скорость и перемещается с этой скоростью влево, сжимая находящийся перед ним газ. Возникающее при этом возмущение (сжатие газа) будет распространяться по трубе.

Разобьем мысленно область возмущенного газа на большое число объемов близкими друг к другу, перпендикулярными к оси трубы плоскими сечениями, каждому из которых соответствуют свои значения возмущенных параметров газа и скорости распространения по отношению к газу. Можно предположить, что распределение возмущений вдоль оси в каждый момент непрерывно, т. е. в двух достаточно близких друг к другу сечениях параметры газа мало разнятся между собой. Тогда, представляя движение газа в данном сечении как относительное в системе координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, можем в такой галилеевой системе применять теорию распространения малых возмущений. Это позволит утверждать, что скорость распространения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука.

Таким образом, распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Но в рассматриваемом адиабатическом и изэнтропическом движении сжатие газа сопровождается его подогреванием, а скорость распространения возмущений возрастает с температурой. Отсюда заключим, что каждая последующая волна будет перемещаться относительно невозмущенного газа быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия, называемую ударной волной.

Заметим, что при движении поршня влево за ним образуется разрежение, которое будет распространяться вправо от поршня также волно-

вым образом. Но в этом случае волны уже не будут нагонять друг друга, так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей волной, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости предыдущей. Из этого простого рассуждения следует, что волны разрежения не могут образовывать ударные волны. В следующем параграфе будет дано и другое, термодинамическое доказательство невозможности такого рода образований.

Из описанного только что процесса развития ударной волны сжатия следует, что после того, как ударная волна образовалась (в дальнейшем будет доказано, что это произойдет через конечный промежуток времени), по обе стороны от ее фронта параметры состояния газа и его скорость (абсолютная или по отношению к движущемуся фронту) будут иметь значения, различающиеся между собой на конечные велииины. фронт ударной волны представляет собой поверхность (в рассматриваемом частном случае ——плоскость) разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом ударной волны имеет меньшие давление, плотность и температуру, чем после прохождения фронта.

Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа — в действительности очень резкого их изменения на участке длины, равной по порядку пути свободного пробега молекулы,— показывает, что здесь имеет место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинетической энергии упорядоченного течения газа 6 кинетическую энергию беспорядочного теплового движения молекул. Этим объясняется разогрев газа при прохождении его из невозмущенной области перед фронтом ударной волны в область возмущенного движения за фронтом ударной волны. Повышение средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает также возрастание давления и плотности газа при прохождении его сквозь фронт ударной волны.

Явление одномерного распространения плоской ударной волны допускает элементарный количественный расчет.

Обозначим через V постоянную скорость движения поршня (рис. 34), а через 0 — скорость распространения относительно невозмущенного газа ударной волны, показанной на рис. 34 штрихами. Предполагая, что процесс возникновения ударной волны уже закончился, примем скорость газа во всей области между ударной волной и поршнем одинаковой и равной постоянной скорости движения поршня V; точно так же будем считать постоянными в этой области и параметры газа. Таким образом, как слева от ударной волны (в области невозмущенного газа), так и справа от нее параметры движения и состояния газа сохраняют неизменные значения при всех положениях ударной волны. Отсюда следует, что и скорость распространения ударной волны 0 также постоянна, причем из приведенного рассуждения ясно, что ударная волна обгоняет газ, приводимый в движение поршнем, т. е. всегда будет 0> V.

Движение газа в системе координат, связанной с трубой, будет неста- ционарным^ так как ударная волна, перемещаясь вдоль трубы, изменяет поле скоростей во времени. Обратим движение, сообщив мысленно всей трубе вместе с движущимся газом поступательное движение вправо со скоростью 0. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с фронтом ударной волны. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа ——стационарным.

Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна к направлению потока, будем называть прямым скачком уплотнения. Невозмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит

к скачку уплотнения слева направо (рис. 35) со скоростью 匕=6, а за скачком движется со скоростью 匕=0—匕 при этом, очевидно,匕＞匕; давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения. Условимся в дальнейшем обозначать индексом 1 величины перед скачком, индексом 2 — после скачка.

Чтобы найти связь между К, рь рь 7\ и 丿2, р2, р2, Л, воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теорему сохранения массы,

6/

“ =8

1 P=Pz，р=》2

1

Рис 35Рис 35количества движения и энергии в форме Эйлера. Как следует из самих выводов, приведенные в § 24 эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы и при наличии в потоке поверхностей разрыва (например, скачка уплотнения).

Рис 35

Рис 35

Следует только выбрать контрольную поверхность так, чтобы те ее ча

сти, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.

(39)(39)Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собой по площади нормальных сечений 5 и а2 (рис. 35). Поверхность разрыва пересекает только ту часть контрольной поверхности, где Vn = 0. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях о^ и а2 поля скорости и других величин однородны. В этих условиях закон сохранения массы при。尸仇 н 吸=匕 или % сразу дает

(39)

(39)

Р1К = Р2yz.

Теорема об изменении количеств движения в форме (34) гл. IV, если принять, что движение стационарно, объемные силы отсутствуют (尸=0) и газ идеален (рп=—лр), в условиях однородности поля скоростей и давлений в сечениях сч и а2 после проектирования обеих частей (34) той же главы на направление оси трубы даст второе искомое равенство —сохранение полного импульса p + pl"——

〃 + pi 匕 2 = %+р2 匕 2. (40)

Аналогично уравнение баланса энергии (20) гл. IV в условиях идеального и совершенного газа рп= —пр, U = gT, если отвлечься от объемных сил и перейти к форме Эйлера, сведется к такому:

ии0Произведя замену0Произведя замену+ ^)味do =-

и

и

0

Произведя замену

0

Произведя замену

найдем

jp^ + g 喙而=0.

Применяя эту формулу к выбранной контрольной поверхности, получим

Pi%% 卜 1 Н—^-^ = р2^2а2 卜2 + W)

или, в силу (39) и равенства сечений о】и а2, у2у2

月+寸i +寸；(41)

это равенство представляет собой закон сохранения полной энтальпии 儿=归+ 丿2/2 Газа при его прохождении через скачок уплотнения.

К системе уравнений (39), (40) и (41) можно присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого будет

и аналогично

после чего равенство (41) заменяется следующим:

々 Pi I 匕—也 02 I JS_^-lpi2—Л —12*'

Таким образом, составлена система трех уравнений (39), (40) и (42) с тремя неизвестными величинами V2t Р2, Р2・

Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости и V2. Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде

Pi-P2 = Р2^- р1H = рМ (厶一匕)

и умножим обе части этого равенства: справа на выражение %+匕

а слева на равную ему величину

反+丄=旦+丄=丄+丄；

Pl% PlP2 匕Pl Pl P2

тогда получим

(Pi — "J (j + ~J =吟一*.

С другой стороны, из уравнения баланса энергии (42) следует так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем

Группируя в этом равенстве члены с р4 и р2, получим уравнение Гюгонио р2 _ (尼 + 1) Pz —伐 一 1) Pl (也 + 1) Pg/Pl — (也 一 1)

Pi (^ + 1) Pi - (^ - 1) p2也+1-(k—l)p"pi

Вспоминая связь между давлением и плотностью в адиабатическом движении идеального газа, определяемую изэнтропической адиабатой

видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную от изэнтропической; эту адиабату называют ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44).

Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтро- пичности адиабатического движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение с конечным скачком параметров газа в некотором сечении трубы. Отсюда следует только сделать заключение, что прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является изэнтропическим процессом, а сопровождается необратимым переходом механической энергии в тепловую.

Как известно, при наличии необратимых процессов преобразования механической энергии в тепловую в замкнутой (адиабатической) системе энтропия

этой системы должна возрастать. Легко убедиться, что в рассматриваемом сейчас случае прохождения газа сквозь скачок уплотнения отнесенная к единице массы энтропия газа будет возрастать. Составим с этой целью выражение энтропии по (54) гл. V. Получим

На рис. 36 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэнтропической и неизэнтропической ударных адиабат. Как видно из этого графика, при p2/pi>l ударная адиабата располагается выше изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше единицы, логарифм положителен, так что действительно s2>slt

Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же самые формулы и при Pt>p2, pi>p2. Но при р2/рА< 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты [на рис. 36 эта ветвь показана штрихами; она пересекает ось ординат в точке(0,—々二так что в этом случае s2Vs八 это означает, что при прохождении газа сквозь воображаемый скачок разрежения отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы уменьшаться, а это приводит к противоречию со вторым началом термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических соображений следует, что скачок разрежения невозможен.

Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту

Р2 ____ 尼 + 1

Pl 左一1 '

так как при этом отношение давлений, согласно (43), обращается в бес-

конечность. Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа, например в теплоизолированном цилиндре с поршнем, как бы ни было велико сжатие p2/Pi газа в ударной волне, созданное ею уплотнение газа p2/pi не может превзойти величины ^-!- • Так, например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не мо- k- 1

жет повысить свою плотность более чем в шесть раз.

§ 39. Изменение скорости и термодинамических параметров газапри прохождении его через прямой скачок уплотнения

По теореме Бернулли, справедливой порознь в областях до и после скачка уплотнения, имеем

九 1 Н ~ =九 10 =以丁10，八2 Н~ =也0 = ^Р^20*

Сравнивая эти равенства с (41), заключим, что при прохождении газа сквозь скачок уплотнения сохраняются полная энтальпия h0 и температура адиабатически заторможенного газа То, а следовательно, и а。, о*, Т*. Таким образом будет:

月10 =也 20 =后0，T10 = 720 = T0，T1 = T2 = T* ,

..(46)

a10 = "20 = "0,"】 =2 ^2 ^1 а*.

Согласно формуле Клапейрона можно написать также, что

上生=血,乌=空.(47)

Рю Р20 Pl Р?

Разыщем связь между скоростями V\ и V2 до и за скачком уплотнения. Перепишем с этой целью уравнение количеств движения (40) с учетом (39) в виде

吟-V =上.(48)

Уравнение Бернулли в форме второго из равенств (77) гл. V, примененное до и после скачка, дает

k — 1k — 1 pi 2 候—1)2

W 三尼里=左+1办2 _三左-1 =々一12 信一1)2 ,

Определяя из этих двух уравнений отношения pjpi9 р2/рг и подставляя их значения в уравнение (48), получим после простых преобразований равенство

Но по доказанному выше в скачке уплотнения p2>pi и, следовательно, по (39)丿1>^2； при этом предыдущее равенство приводится к следующему выведенному Прандтлем соотношению:

匕匕=a*2,(49)

которое при переходе к скоростным коэффициентам 儿，入2 преобразуется

5-9487

К ВИДУ

九1九2=1・(50)

Из формулы Прандтля (49) при наличии неравенства Vi> V2 следует

Vi>a^>V2 или 儿>1〉入 2, т. е. перед скачком движение газа сверхкритическое, за скачком — до- кпитическое.

Воспользовавшись формулой (80) гл. V, убедимся, что М,> 1 при А1>1 и М2<1 при 入2Vl. Таким образом, заключим, что движение газа до прохождения им скачка уплотнения является сверхзвуковым, за скачком —дозвуковым.

Перейдем в формуле Прандтля (50) от скоростных коэффициентов к числам М. Согласно соотношению (79) гл. V будем иметь

尼 + 1 MiMg]

Разрешив это уравнение относительно М?, получим связь между числами М] и М2 до и после скачка

(51)(51)

(51)

(51)

Составляя для упрощения вычислений производную d(M22)/d(M12) вместо одинаковой с ней по знаку производной dM2/rfMb будем иметь

d(M；) _ d(M；)=d(M；) _ d(M；)=伊+1)24伊+1)24也—1б‘丁丿也—1б‘丁丿

d(M；) _ d(M；)=

d(M；) _ d(M；)=

伊+1)2

4

伊+1)2

4

也—1б

‘丁丿

也—1б

‘丁丿

откуда следует, что с возрастанием числа М【потока до скачка число М2 за скачком монотонно убывает. Приводим табл. 3 связи между М】и М2

Таблица 3

Ml

М,

о"】

Mi

М,

Р2/Р1

II м，

Mt

内/以

1,0

1,000

1,000

1,6

0,6F8

2,820

2,1

0,561

4,970

1,1

0,912

1,246

1,7

0,640

3,200

2,2

0,546

5,480

1,2

0,842

1,520

1,8

0,616

3,604

2,3

0,534

6,000

1,3

0,779

1,824

1,9

0,595

4,043

2,4

0,522

6,550

1,4

1,5

0,739

0,701

2,120

2,455

2,0

0,577

4,500

2,5

0,512

7,400

в диапазоне 1^М^2,5 для воздуха (々=1;4); в этой же таблице приводятся и числовые значения отношения Р2/Р1, характеризующего сжатие газа при прохождении его через скачок уплотнения. Формула связи p2/Pi и Mi будет выведена далее.

Как показывает формула (51), при беспредельном росте Mi величина М2 стремится к своему предельному значению

(М2)М】=8 =

для воздуха (々=1,4) равному 0,378.

Определим относительные изменения давления

Ар =内一Pi

Pi Pi '

ПЛОТНОСТИ

Ар Р2 — Pi

Pl Pl

и температуры

AT т2 —тг

при прохождении газа через скачок уплотнения. Для этого используем

основные соотношения (39), (40) и формулу Прандтля (49), написав

PiPiб 〈 匕丿 ^Pi/Pi \ 吟 /

Остается применить формулы (79), (80) гл. V перехода от Xi к Mi или от Mi к Xi, чтобы получить искомые соотношения

,"=1+金——£—；(52)

Pl 々+1 ［尼-1 42 P1 也4-1也-1 2

：3-(M；-l), &>=1+*ТМ；-1) = *-М；— 上L (53)

也+i'〃 Pi 丁也+「> 々+1k+1 ' '

Аналогичные преобразования дают

А _ i =

Pi%Pi%(54)(55)(54)(55)

Pi%

Pi%

(54)

(55)

(54)

(55)

Чтобы определить относительное изменение температуры, используем равенство (41), из которого следует

АT =…_吟一*—咚_

A Л12瓦2名/(也一1) I 吟丿

Заменяя здесь, как и ранее, М^ через Xi или Xi через Мь получим

АТАТ也一1 斗一1也一1 斗一1

АТ

АТ

也一1 斗一1

也一1 斗一1

* = ^^Г(М；Г(1+^).(57)

Чтобы оценить потерю механической энергии движущегося газа при прохождении им прямого скачка уплотнения, условимся характеризо-

5*

вать механическую энергию полным давлением р0, т. е. давлением в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. При этом за количественную характеристику необратимости процесса прохождения

газа сквозь прямой скачок примем величину 乂 отношения полного давления р2о за скачком к р^ до скачка

" =生.(58)

Pio

Выражая р2о и р10 по изэнтропическим формулам через давления р? и Pi газа за скачком и перед скачком, получим

Заменяя здесь отношение p2/Pi по (52) на одно из следующих:

и используя выражения (51) и (50) М2 и %2 через МА и Хь получим искомое отношение в одном из следующих двух видов:

Напомним, что, согласно (47), эти же выражения определяют и отношение плотностей заторможенного газа за скачком и до скачка.

На рис. 37 представлен график второго соотношения (59) для воздуха (6=1,4); там же приведен график сжатия p2/Pi воздуха в скачке. График, выражающий первое соотношение (59), имеет тот же характер, но рао/р，。обращается в нуль не при М「8, а при конечном значении скоростного коэффициента ^ — Д/ •'+ 】.Как видно из графика, чем больше величины Mi или р21Pb характеризующие интенсивность скачка, тем относительно меньшее давление "20 можно получить за счет последующего адиабатического и изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше: в скачке уплотнения имеет место необратимое превращение механической энергии в тепловую, вследствие чего механическая энергия становится меньше.

Более точно, чем на рис. 37, можно судить о значениях отношения %J%o при больших числах М, по графику рис. 38, где это отношение построено в логарифмическом масштабе; здесь же дана зависимость 0(Mi) [формулы (10), (И)], которая потребуется в § 41.

При больших Mt вторая из формул (59) может быть заменена приближенной, асимптотической

(―)мГ^^Г1

=Г.(计 1)二『 м：е,(60)

I 2尼信一接_

что дает простую количественную оценку поведения величин p2Jp^ при больших М4. Например, для воздуха (&=1,4) при больших М〔 рассматриваемое отношение обратно пропорционально числу М4 в пятой степени, что говорит о весьма значительных потерях механической энергии при прохождении газа через скачки большой интенсивности. Укажем, что соответствующая этому случаю простая асимптотическая (верная только при больших значениях MJ формула для 乂 будет 乂〜 ~360М；5

Исследуем поведение кривой на рис. 37 при малых значениях разности М,—1. Преобразуем второе равенство (59) к виду

「 2/?k—\ ,к =F[k+ 1 %丄 1「 2/?k—\ ,к =F[k+ 1 %丄 1kГТkГТ

「 2/?k—\ ,

к =F

[k+ 1 %丄 1

「 2/?k—\ ,

к =F

[k+ 1 %丄 1

k

ГТ

k

ГТ

1+俏1+俏左一1左一1

1+俏

1+俏

左一1

左一1

разложение величины х = р2о/Рю будет иметь вид

(61)(61)24(М；-1)з

(61)

(61)

(々+1)з ~'3

Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности не приводят к заметной потере полного напора, так как при М1} близком к единице, рхо совпадает с р10 с точностью до малой величины

2 也(М； — 1)з

(々+1)23~ .

Так, для воздуха (^= 1,4) эта величина имеет порядок 0,16(М：—I)3 и, например при превышении скорости звука на 10% (Mi= 1,1) будет равна 0,0015.

При наличии необратимых потерь в адиабатической системе возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания применим равенство (45) к параметрам адиабатически и изэнтропически заторможенного газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не может влиять на приращение энтропии. Получим

1々一11々一1In「理(皿『1・L Рю \ Р20 /」In「理(皿『1・L Рю \ Р20 /」

1々一1

1々一1

In「理(皿『1・

L Рю \ Р20 /」

In「理(皿『1・

L Рю \ Р20 /」

Но, по предыдущему, -^- =, следовательно,

Р20Р20

=(62)

Подставляя сюда отношение р2()/р，о по приближенной формуле (60), найдем при больших Mt соотношение

(63) выражающее асимптотический закон роста энтропии при прохождении газа сквозь скачки большой интенсивности.

При сравнительно малой интенсивности, т. е. при разности (М；—1), близкой к нулю, будем иметь, согласно (61),

s? —S]2々(М； —1)3

лА у.(64)

R (々+1)23' '

Отсюда следует, что скачки малой интенсивности приводят к слабым изменениям энтропии, т. е. околозвуковые явления можно с достаточной степенью приближения рассматривать как изэнтропические.

§ 40. Скорости распространения ударной волныи спутного потока за нею

Составив основные соотношения для скачка уплотнения, вернемся теперь к рассмотрению явления распространения ударной волны в пространстве. Определим скорость 0 распространения ударной волны по отношению к невозмущенному (покоящемуся) газу и скорость V движения возмущенного газа за ударной волной; последнее движение можно было бы назвать спутным потоком газа за ударной волной. Согласно изложенному в § 38 эти скорости связаны со скоростями 匕 и V2 по отношению к ударной волне равенствами

8=%，V=9 一%=匕一匕.(65)

За меру интенсивности скачка, а следовательно, и ударной волны можно принять число Мь равное, по предыдущему,

М] == — ,(66)

или сжатие газа в скачке pjpb равное по (53)

Pi 々+1々+1Pi 々+1々+1(67)(67)

Pi 々+1々+1

Pi 々+1々+1

(67)

(67)

Тогда скорость 0 распространения ударной волны по отношению к невозмущенному газу будет

е=м『1/^+*『・(68)

Из этой формулы вытекают два важных следствия.

Скорость распространения ударной волны по отношению к не- возмущенному газу всегда больше скорости звука s невозмущенном газе.

При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее распространения стремится к скорости звука в невозмущенном газе

9 — а】 при М]=s 1 или р*== "]•

Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как ударную волну очень малой интенсивности.

Чтобы определить скорость V спутного потока за волной, используем второе из соотношений (65) и формулу Прандтля (49); тогда получим

1%

Производя здесь замену

будем иметь после простых преобразований

(69)(69)При больших Mi можно указать формулуПри больших Mi можно указать формулуприближенную асимптотическуюприближенную асимптотическую

(69)

(69)

При больших Mi можно указать формулу

При больших Mi можно указать формулу

приближенную асимптотическую

приближенную асимптотическую

V =V =(70)(70)

V =

V =

(70)

(70)

из которой видно, что спутный поток за ударной волной при очень больших интенсивностях имеет скорость меньшую, чем скорость распространения самой ударной волны, но довольно близкую к ней.

Выражение (69) по (53) легко преобразовать к виду

包一1

论一1 + 3+ 1)里Pl

или при очень больших p2/Pi

(71)

Как легко заключить из (70), в звуковой волне {pjp^ 1) скорость спутного потока близка к нулю. С ростом интенсивности ударной волны скорость спутного потока возрастает; при очень больших интенсивностях эта скорость пропорциональна корню квадратному из сжатия p2/Pi.

Приведем табл. 4 численных значений относительных сжатий и уплотнений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном

Таблица 4

Mi

Ар/Е

Ap'Pi

АТ, ℃

9, м/с

V, м/с

Mi

”/Р1

Др/Pi

АТ, ℃

0, м/с

V, м/с

1

0

0

0

340

0

5,90

40,3

4,20

1925

2000

1611

1,18

0,47

0,30

33

400

93

8,80

92,3

4,58

5 940

3000

2880

1,47

1,39

0,81

87

500

224

11,80

165

4,72

7 750

4000

3300

2,94

4,40

9,20

22,20

2,77

3,74

465

1075

1000

1500

734

1181

14,70

258

4,78

12 100

5000

4135

воздухе (й= 1,4) при 15℃ (Т=288 К) и нормальном атмосферном давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям значения Мь 0, V и перепада температуры АТ.

Заметим, что даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха ударной волной возникает сильный спутный поток. Так, например, легко подсчитать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая относительное сжатие воздуха Ap/Pi = 0,22, распространяясь со скоростью 370 м/с, могла бы вызвать спутный поток со скоростью 50 м/с. Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не смещающие частицы воздуха.

Приведем следующие данные4): для звука в сто тысяч раз более интенсивного, чем самая громкая игра оркестра, амплитуда изменения плотности воздуха в звуковой волне составляет всего лишь 0,4% от нормальной плотности воздуха; амплитуда изменения давления равна 0,56% от атмосферного давления; амплитуда скорости воздуха не превышает 0,4% от скорости звука, т. е. имеет порядок 1,3 м/с. Амплитуда смещения частиц воздуха при частоте в 500 Гц достигает 0,036 см. Звук, создаваемый сильной сиреной, может вызвать спутный поток — «звуковой ветер», способный потушить свечу.

Приведенные в табл. 4 числовые данные относятся к идеальному газу. Они рассчитаны в предположении об отсутствии вязкости и теплопроводности, причем в силу адиабатичности предполагается и отсутствие лучистого отвода энергии, очень существенного при высоких температурах. На самом деле энергия ударной волны частично поглощается реальным газом и интенсивность волны при этом ослабевает; вместе с тем действительные процессы распространения ударных волн не являются адиабатическими, т. е. энергия их отводится в окружающее пространство.

Следует еще отметить то, что табл. 4 относится к распространению плоской ударной волны, для которой все характерные величины сохраняются постоянными независимо от расстояния от источника образования возмущения.

На практике приходится иметь дело со сферическими ударными волнами, процесс распространения которых существенно нестационарен и даже в простейших случаях требует для своего изучения применения сложного математического аппарата.

】)Зельдович Я- Б , Райзер Ю. П. Физика ударных волн н высокотемпературных гидродинамических явлений.——М.: Физматгиз, 1963, с. 18, 19.

Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение системы (55) гл. V), если только в нем заменить х на расстояние г точки относительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа,

и уравнения неразрывности, которое в сферических координатах приведется к такому:

曳

获十В

0(г2p〃)—0

В полной аналогии с § 32, пользуясь малостью возмущений, линеаризируем эти уравнения и, довольствуясь предположением об адиабатичности движения, придем к следующей системе уравнений малых возмущений:

диг

吟

瞅

而 I PoW 〃‘)=0

dt2 力一

(72)

где, как и в § 32, а02е= (dp/dp)°.

Решение этой системы в виде расходящейся от центра волны имеет

вид

/ (，一 ％£)

(73)

что соответствует убыванию интенсивности возмущения по закону 1/г. Сферические звуковые волны по сравнению с плоскими обладают и другими особенностями, на которых мы не будем останавливаться 4).

§ 41. Элементарная теория сверхзвукового диффузора

Простым примером одномерного потока с прямым скачком уплотнения служит проточная часть прямоточного реактивного двигателя, упрощенная схема которого по

казана на рис. 39. Все устройство может быть расчленено на следу

ющие части: входную часть /— Mg 義

/〃 一 сверхзвуковой диффузор, f сберхзбумбои |б камера среднюю часть III—IV — камеру Н '"(Рпрения горения и выходную частью IV—

V-сопло Лаваля.

Назначение сверхзвукового

диффузора заключается в пре-Рис 39

вращении кинетической энергии

набегающего на двигатель сверхзвукового потока в энергию сжатия, необходимую для повышения интенсивности горения топлива, подводимого в камеру горения через форсунки.

1) См. цитированную только что книгу, с. 21, 22.

Камера горения служит для сообщения потоку тепловой энергии, которая является основным источником расширения газа и превращается в ускоряющем поток сопле Лаваля IV—V в кинетическую энергию струи на выходе из сопла V. Количество движения этой струи служит источником реактивной силы двигателя, которая определяется как произведение секундного массового расхода газа сквозь выходное сечение двигателя на относительную скорость выхлопа. Простейший расчет проточной части двигателя по одномерной теории элементарен и заключается в использовании, с одной стороны, изэнтропических формул, а с другой—основных формул теории прямою скачка. Приток тепла при этом может учитываться приближенно по теории, аналогичной изложенной в § 36.

В основе расчета лежит выбор режима работы двигателя. От выбора режима зависит расположение прямого скачка уплотнения, неизбежного при сверхзвуковом полете, внутри или вне проточной части двигателя. Оптимальным является расположение скачка в горле II сверхзвукового диффузора или в непосредственной близости за ним. Действительно, в этом случае набегающий на двигатель сверхзвуковой поток с числом Mi> 1 станет [вспомнить следствия из уравнения Гюгонио (3)] замедляться в сужающемся канале на участке /——II до некоторого М2> >1, но меньшего М[, затем посредством сравнительно малого по интенсивности скачка перейдет в дозвуковой поток и, оказавшись после этого в расширяющемся канале //——///, будет продолжать замедляться, восстанавливая давление. При этом весь канал /—III работает на полезное для двигателя восстановление давления перед камерой горения.

При некоторых режимах работы двигателя скачок уплотнения может возникнуть перед входом в двигатель в виде так называемой отсое- диненной ударной волны (см. § 62). Наличие такого рода ударной волны на входе резко уменьшало бы к. п. д. двигателя, как об этом можно заключить из следующей оценки. Обозначим через Vi>a^ (а】—скорость звука на данной высоте Н полета) скорость летательного аппарата. Давление в набегающем потоке пусть будет 〃； давление в камере горения — р；・ Предполагая сначала головную волну отсутствующей, а процесс поступления воздуха в камеру горения изэнтропическим, будем пренебрегать малой по сравнению со скоростью набегающего потока скоростью движения воздуха в камере. Тогда получим

k

P； = P2o = %o = Pi 0+ 与丄 М；),

в частности, для воздуха (々=1,4)

"； = Pi(l+0,2M；严.

Так, например, при М[=2 получим сжатие воздуха в камере

pJPi = 1,83,6 а 8.

На высоте //=10 км давление р、(по международной стандартной атмосфере) равно примерно 26 кПа, в камере горения при М^=2 (это на высоте 10 км соответствует скорости самолета, равной 600 м/с, или 2160 км/ч) при изэнтропичности торможения давление р； = 200 кПа. Такое повышение давления весьма благоприятно отразилось бы на ра・ боте двигателя. Однако из-за наличия головной ударной волны, участок которой вблизи входа в двигатель можно рассматривать как прямой скачок, такое изэнтропическое движение не осуществляется. За счет потерь механической энергии, согласно рис. 38, давление в камере будет

равноравноР2 = р2о = °,75%о = 0,75 • 200 = 150 кПа,

равно

равно

т. е. 75% давления при изэнтропическом торможении. Разница эта была бы значительнее при больших М「Так, при М^=3 давление в камере составило бы лишь 35% давления изэнтропически заторможенного воздуха, при Mi = 4 ——только 15%, при М】 = 5 ——всего 5%. Для сохранения эффекта повышения давления в камере горения двигателя необходимо приближать процесс восстановления давления к изэнтропическому, т. е. бороться с образующейся перед входом в двигатель головной волной.

Одним из способов такой борьбы является использование сверхзвукового диффузора, благодаря которому скачок во время запуска двигателя сначала «садится» на входное сечение, а затем перемещается в глубь входного сопла двигателя, теряя при этом свою интенсивность. Другой путь борьбы с головной ударной волной заключается в ее разрушении при помощи иглы, выдвигаемой навстречу сверхзвуковому потоку на входе в двигатель. Объяснение эффек

та применения иглы выходит за рамки теории одномерного потока; изложение соответствующей двумерной теории будет дано в § 62.

Для количественной оценки возможности восстановления давления в потоке при помощи сверхзвукового диффузора сделаем следующие близкие к практике допущения: 1) поток в проточной части диффузора адиабатичен, 2) стенки диффузора непроницаемы. Эти два основных допущения сводятся к требованию отсутствия тепломассопереноса в диффузор извне. Используем условия сохранения вдоль потока секундной массы и полной энтальпии или температуры торможения, а следовательно, и критической температуры. Сохраним в качестве индексов, отмечающих принадлежность величины к тому или другому сечению диффузора, римские цифры А) (рис. 40) и обычные обозначения звездочкой и нуликом для критических и «заторможенных» значений характерных для потока величин.

Чтобы не вдаваться во второстепенные для одномерного подхода детали условий входа внешнего потока в сверхзвуковой диффузор, примем, что поток на Входе в диффузор образован некоторым воображаемым, показанным на рис. 40 штрихами, идеальным соплом Лаваля с площадью узкого сечения (горла) Д* и критическими характеристиками р*, р*, а*. Выходное сечение этого сопла будем считать совпадающим с входным сечением диффузора.

Если бы поток в сверхзвуковом диффузоре можно было рассматривать как изэнтропический, пренебрегая наличием в нем необратимых процессов: скачков уплотнения, трения и др., то этот диффузор представил бы в свою очередь идеальное сопло Лаваля, только с обратным по направлению потоком. Такое сопло часто называют обратным соплом Лаваля, иногда сохраняя это наименование и для реального сверхзвукового диффузора, восстановление давления в котором всегда связано с необратимыми неизэнтропическими процессами и прежде всего с наличием скачков уплотнения, неизбежных при переходе сверхзвуковых потоков в дозвуковые.

Арабские цифры 1, 2 были использованы уже для обозначения величин до и за скачком.

Среди всевозможных течений в сверхзвуковом диффузоре выделим два основных предельных случая. В первом из них набегающий сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой еще до входа в диффузор, пройдя сквозь отсоединенную ударную волну (см. далее § 62) или через скачок уплотнения, сидящий во входном сечении диффузора. Поскольку поток за прямым скачком всегда дозвуковой, то в этом случае диффузор работает как дозвуковой. Положение скачка при этом не является устойчивым по отношению к малым возмущениям потока и рассматривается лишь как удобный образ для противопоставления его второму, оптимальному с точки зрения решения задачи о восстановлении давления случаю, когда скачок уплотнения, пройдя сквозь сужающийся участок /—//, займет положение в сечении II или в непосредственной близости за этим сечением.

Для приближенной, сравительно грубой оценки выигрыша в степени восстановления давления, осуществляемого сверхзвуковым диффузором, сосредоточим все внимание лишь на изменениях полного давления при прохождении потока через скачки уплотнения, считая течения до и за скачком по отдельности изэнтропическими. Количественной оценкой этого восстановления явится введенный ранее равенством (58) коэффициент х, зависящий от числа М в потоке перед скачком по формулам (59), (60) или (61).

Назовем коэффициентом восстановления полного давления в сверхзвуковом диффузоре п отношение величин х(М) для второго (скачок в горле диффузора) и первого (скачок во входном сечении диффузора) случаев, т. е. положим

(74)(74)『31 х (М/)

(74)

(74)

где Mi — одно и то же в ет число Маха в сечениигде Mi — одно и то же в ет число Маха в сеченииобоих сравниваемых случаях, а М/) обознача- (//) во втором случае, причем в этом случае за

где Mi — одно и то же в ет число Маха в сечении

где Mi — одно и то же в ет число Маха в сечении

счет замедления сверхзвукового потока в сужающемся участке /—II будет М】＞М用＞ 1.

В первом случае (скачок на входе), нисколько не нарушая общности, будем считать горло диффузора критическим {Ап= Д*/) и полагать М//= 1. Для определения “ остается лишь найти Му/ при заданном М/} так как сама функция х(М) уже известна и, например, для воздуха за- табулирована.

С этой целью составим отношения площадей критического сечения в воображаемом сопле Лаваля и горле диффузора А*/Ап для двух рассматриваемых случаев движения и приравняем их между собой, так как и в том и другом случае геометрические размеры проточной части одни и те же. Имеем в первом случае (закон сохранения массы; сечение II критическое)

(75)(75)Р а*4* = Р；/%%〃,

(75)

(75)

или, по закону сохранения полной энтальпии, а следовательно, критической температуры и критической скорости газа,

不=Р；/

Используя еще формулу Клапейрона (газ совершенен)

= RT* = RT： I(76)

Р*Р//

Таблица 5

М/

1

2

3

4

5

7

10

ОО

М肋М/

1,000

0,876

0,884

0,891

0,895

0,898

0,901

0,903

Таблица 6

М/

1

1,5

2

3

4

6

8

10

8

4

1,000

1,049

1,157

1,341

1,452

1,558

1,602

1,624

1,666

и переходя от критических давлений к полным, будем иметь в первом случае работы сверхзвукового диффузора

4*4*=---=乂(m/).=---=乂(m/).РоРо(77)(77)

4*

4*

=---=乂(m/).

=---=乂(m/).

Ро

Ро

(77)

(77)

Обращаясь к рассмотрению второго случая, когда скачок расположен в горле II сверхзвукового диффузора, вспомним, что в этом режиме работы диффузора сечение II уже не является критическим. Число М弘 став меньшим, чем Мъ все же сохранит значение М// >1, соответствующее сверхзвуковому течению в этом сечении.

Введем по (10) функцию 0(М), которая, в силу изэнтропичности движения на участке от горла воображаемого сопла Лаваля до сечения //, будет определяться равенствами (11). По закону сохранения массы получим

也" = £- = ®(М 汾.(78)

Сравнивая между собой (77) и (78), найдем искомую зависимость М// ОТ Mi：

®(м冷= х(М/)・(79)

Это уравнение допускает простое графическое решение. Пользуясь графиками функций 0(М) и х(М), помещенными на рис. 38, можем, задаваясь числом М/ на входе, найти х(М0 и, снеся эту ординату на кривую в(М), определить соответствующую абсциссу М/). По виду кривых на рис. 38 заключим, что отношение Мп /М7 будет близким к единице. Приводим табл. 5 для воздуха (论=1,4), подтверждающую это во всем диапазоне значений М「

Можно приближенно положить

М(3 = 0,89М/ при 1,2^М/<оо.

При М/>2,5 ошибка не превысит 1 %.

Коэффициент восстановления полного давления в сверхзвуковом диффузоре г] определим как функцию числа М〕на входе, исключая Мп из (74) и (79).

Приводим табл 6 зависимости rj от М【для воздуха.

При рассмотрении табл. 5 и 6 можно заметить, что, несмотря на малую разницу в числах М на входе и в горле сверхзвукового диффузора, выигрыш в восстановлении полного давления довольно значителен и возрастает с ростом числа М【в набегающем потоке. Этот факт находит

свое объяснение в отмеченной ранее высокой степени зависимости (обратная пропорциональность пятой степени для воздуха) коэффициента восстановления 乂 от числа Маха.

Описание разнообразных случаев работы сверхзвуковых диффузоров и приближенную трактовку их с точки зрения как одномерной, так и двумерной теорий можно найти в специальных руководствах по этому вопросу >

Изложенные в настоящем параграфе элементы одномерной теории сверхзвукового диффузора весьма приближенно отражают сущность происходящих в нем в действительности явлений. Прежде всего отметим, что наряду с прямыми скачками уплотнения в проточной части диф* фузора и на его входе образуются системы косых скачков, наклоненных к оси диффузора под различными углами, отличными от прямого угла. Эти скачки нарушают одномерность потока, делают его двумерным (плоским или осесимметричным).

Кроме того, допущение об идеальности газа, т. е. отсутствии в нем внутреннего трения, также слишком упрощает действительный поток в диффузоре. На самом деле торможение потока силами трения создает неоднородность профиля скоростей, не учитываемую одномерной теорией. Существенную роль в работе сверхзвукового диффузора может сыграть явление отрыва потока (пограничного слоя) от стенок диффузора, тесно связанное с наличием в диффузоре косых скачков, падающих и отражающихся от стенок диффузора; об этом будет идти речь в заключительных главах курса.

Измерение до- и сверхзвуковых скоростей пневматическимиметодами

В отличие от трубок Прандтля (рис. 28), применяемых для потоков малых скоростей (М«1), трубки для измерения больших сверхзвуковых скоростей представляют собой тонкие, с передней частью конической формы зонды со статическими отверстиями для измерения давления Pi в набегающем потоке газа плотности р「Полный напор р10 измеряется отдельной, присоединенной к прибору трубкой.

Предположим, что газ движется с большими, но дозвуковыми скоростями (MiVl). В этом случае можно применить формулу изэнтропического движения

k

Рю = % (1 + ^ 2 М；).(80)

Регистрируя микроманометром отдельно давление р10 в динамическом и давление р〔 в статическом отверстиях обычной трубки Прандтля, определим число М【движущегося газа, а зная температуру газа, найдем скорость звука а^ в движущемся газе, а следовательно, и скорость 匕.Измерение температуры можно производить, например, термопарой или другим термометрическим прибором, помещенным в такую точку скоростной трубки, где скорость равна нулю, и можно быть уверенным, что измеряется температура изэнтропически заторможенного газа То. Таким местом является лобовая точка на скоростной трубке, где поток разветвляется. Измеряя непосредственно То, найдем Т^ по формуле

(1+'

См. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры/Пер. с англ.— М.: Физматгиз, 1960

затем скорость звука

"1=例/?7\V1 == АЛ］。］."1=例/?7\V1 == АЛ］。］.Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших, хотя и меньших единицы, значениях числа М^ на сферической поверхности носика могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей.Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших, хотя и меньших единицы, значениях числа М^ на сферической поверхности носика могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей.случае перед динамическим отверстием возникает головная волна и давление 〃 не будет совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на участок поверхности трубки DS、искажают поле давлений вслучае перед динамическим отверстием возникает головная волна и давление 〃 не будет совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на участок поверхности трубки DS、искажают поле давлений ви искомую скорость

"1=例/?7\

V1 == АЛ］。］.

"1=例/?7\

V1 == АЛ］。］.

Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших, хотя и меньших единицы, значениях числа М^ на сферической поверхности носика могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей.

Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших, хотя и меньших единицы, значениях числа М^ на сферической поверхности носика могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей.

случае перед динамическим отверстием возникает головная волна и давление 〃 не будет совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на участок поверхности трубки DS、искажают поле давлений в

случае перед динамическим отверстием возникает головная волна и давление 〃 не будет совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на участок поверхности трубки DS、искажают поле давлений в

газе.

Используя показание р?。динамического отверстия за головной волной и измеряя каким-нибудь другим путем рь найдем их отношение Рм/Рт Это отношение связано с искомым числом М】набегающего потока формулой Рэлея

(81)(81)

(81)

(81)

следующей из формулы (59).

На рис. 41 приводится зависимость между р2о/р< и Mt для воздуха (14).

При сверхкритических дозвуковых и сверхзвуковых скоростях носику трубки придают форму острой иглы (конуса с малым углом раствора), разбивающей головную ударную волну. Это позволяет улучшить работу статического отверстия, служающего для определения давления.

Об этом подробно будет сказано в § 67 гл. VIII.

Параллельно этой игле на некотором от нее расстоянии помещают заборник полного давления. Число Маха определяют, помещая в поток термометр сопротивления 4).

§ 43. Нестационарное одномерное течение идеального газа.Распространение возмущений конечной интенсивности

Вернемся к рассмотрению нелинеаризованной системы дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения (55) гл. V, которые при адиабатичности движения могут быть путем замены (夕一

функция давления) 也一2, dp

1 dp _竺 曳—dfp dp_ _q竺 p dx d* ' dt dp dta dt '

dp _ dp 电__p_ 竺

dx dpd* a? дх

переписаны в виде

ди , ди . д 沙 с h a=0,

dt тд» дх

(82)

10sol ди . и д^ 八 Н a1= U.

a dtdx a dx

Введем вместо функции давления 夕 новую функцию 俨，положив

d@ =，d^ =，dp,孚=С—^—・(83)

а Р。J Р (") а(Р)

При этом

诊_丄竺 妳_ dt a dt * dx

丄竺 а дх

и система

(82) перейдет в следующую:

d〃 I ди , d•费

h〃 ——Иа dtдхдх

=0,

Ha——\-u - dtдхдх

=0.

Почленным сложением и вычитанием преобразуем эту систему уравнений к виду

+ 〃) + ® +。)^(矛+ 〃) = о,

由0х

〜(84)

~~ (师一〃)+ (〃 一 а) 设一а) = 0.

或dx

В левых частях этих уравнений стоят одномерные индивндуальнме производные: в нервом уравнении от величины 俨+“， связанной с точкой, движущей^ вдоль оси Ох со скоростью 〃 + 〃，а во втором уравнении от величины ^~и, связанной с точкой, движущейся вдоль оси Ох со ско- ростью "—и. Равенство нулю этих индивидуальных производных гово-

рит о сохранении величины 俨+〃 в точке, движущейся со скоростью 〃 + +а, и величины^-u в точке, движущейся со скоростью и——а. Величины

广=* + "， s = ^ — u(85)

носят наименование инвариантов Римана).

Замечая, что в одномерном движении вдоль оси Ох точке с абсциссой % соответствует на самом деле плоскость, перпендикулярная к оси Ох и проходящая через эту точку, например плоское сечение трубы, можем интерпретировать полученный результат как наличие двух семейств плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох.

Абсолютная скорость распространения волн первого семейства (CJ равна

鸟= 〃 + &(86)

at

а второго семейства (С2)

£ =(87)

Направляя ось Ох вниз по потоку, т. е. считая 〃>0, можем сказать, что волны первого семейства в своем относительном движении по газу распространяются в ту же сторону, что и газ, волны второго семейства—в противоположную сторону. Относительная скорость распространения волн по газу равна ±а, где。——местная скорость звука; верхний знак относится к первому семейству, нижний — ко второму. Волны первого семейства несут постоянное значение инварианта г, волны второго семейства — инварианта s.

В случае линеаризованного движения газа (§ 32) имела место аналогичная картина распространения возмущений, с той лишь разницей, что волны в этом случае распространялись с постоянной скоростью, равной скорости звука в невозмущенном газе, и несли постоянные значения параметров газа.

Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению вопроса о распространении конечных возмущений, заметим, что волновой характер уравнений (84) позволяет указать графоаналитический метод их интегрирования. Изложим основную идею этого метода.

С геометрической точки зрения уравнения (84) могут быть интерпретированы так. В каждой точке плоскости (/, х) существуют два направления (на рис. 42 они показаны штриховыми линиями) с угловыми коэффициентами

tg&=(贵)=〃 + % 'g‘2=(警)=〃一о, (88)

обладающих тем свойством, чго при бесконечно малом перемещении вдоль этих направлений соответствующие значения инвариантов Римана сохраняются.

Уравнения (86) и (87) можно рассматривать как дифференциальные уравнения семейств кривых С> и С2, угловые коэффициенты касательных к которым определяются равенствами (88). Разыскание уравнений этих семейств кривых в конечной форме невозможно до интегрирования уравнений (84) и нахождения 〃(居 /) и а (%, /); однако, как мьг сейчас увидим, наличие равенств (88) существенно как для представке-

ния общего характера процессов, описываемых уравнениями (84), так и для интегрирования этих уравнений.

Кривые Cj и С2 представляют собой так называемые характеристики системы (84), а направления касательных к ним (88)—характеристические направления. Напомним, что в случае линеаризованной

Рис. 43Рис. 43

Рис. 43

Рис. 43

задачи (§ 32) уравнения характеристик были известны в конечной форме; это были семейства прямых

%+а/=const, х—〃/=const.

Математическому понятию характеристик в плоскости (х, t) как раз и соответствуют введенные ранее понятия волн как плоскостей, движущихся со скоростями 〃 + а и и—а и несущих значения инвариантов Римана г и s.

Предположим, что нам задано некоторое начальное распределение скорости 〃(s) и параметров газа p(s), p(s), a(s), а следовательно, и 乡(s) вдоль некоторой кривой S (рис. 43), направление касательных к которой не совпадает с характеристическими направлениями. В частном случае это может быть заданием начальных условий при /=0, т. е. на оси Ох, или граничных условий на прямых, параллельных оси Of.

Определив по (88) угловые коэффициенты кривой & в точке Л и кривой С2 в близкой точке В по формулам

tg4/=(=ил + ад, tg 02в = (饱，

проведем через эти точки соответствующие характеристические направления и построим малый треугольник AAiB.

На отрезке 441 характеристики С4 сохраняется первый инвариант г, т. е.

咏1 + 〃4 =^Л + 〃4

а на отрезке А^В характеристики С2 — второй инвариант s, так что , 务 4 — 〃4 = ®в— 〃в・

Из полученной системы равенств находим

部4 - y (^4 + "力•+•孕8 -

〃4 = у (^Л + ^Д — ^В + %),

а следовательно, и р^, р^,。厶・

Повторяя такое же рассуждение относительно треугольника ВВС построенного по значениям угловых коэффициентов характеристики С】 в точке В и характеристики & в точке С, найдем значения иВ1 и ^Bl в точке Вь а следовательно, и рВ1, рВ1 и аВ1. Это позволит наметить направления характеристик в точках Ai и Вь построить треугольник ЛИ1 Bi и, по предыдущему, определить значения 〃 и 0 в точке А19 а затем в точках Л2» В2 и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой S в точках A, Bt С и т. д., найдем значения неизвестных функций 〃，р, р, а в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, /).

Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений также может происходить при помощи простых волн (§ 32), т. е. волн, бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (при /=0, вдоль оси Ох). Возможность такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована примером.

Пусть для определенности постоянен второй инвариант s=^——и.

Полагая р=р() при и —0 и вспоминая определение 夕,данное последней из формул (83), будем иметь во всей области течения и в любой момент времени ‘

家=〃・(89)

При этом второе уравнение системы (84) выполнится тождественно, а первое, переписанное в виде

粤+ (〃+а)^ = 0,(90)

dtдх

показывает, что волны семейства С、несут постоянные значения скорости и. Согласно (89) постоянными будут также значения функции 0, а следовательно, и параметров газа р, р и а. Отсюда следует, что абсолютная скорость распространения волны и + а и скорость ее по отношению к газу а сохраняют постоянные значения в данной волне, т. е. волна простая.

Из принятого условия 〃>0 и равенства (89) заключим, что 孕>0, а по (83) р>Ро, т. е. возмущения, переносимые волнами первого семейства, соответствуют сжатию газа, а сами волны можно назвать волнами сжатия.

Точно так же, сделав предположение о сохранении во всей области течения и во времени инварианта 厂=夕+〃，т. е. положив

矛+ 〃 = const = 0,(91)

где константа выбрана равной нулю из тех же соображений, что и в предыдущем случае, убедимся, что при этом второе уравнение системы (84) перейдет в следующее:

粤+ ("一 喏=0,(92)

dtдх

т. е. в волнах второго семейства С2, так же как и в волнах первого семейства, скорость 〃 сохраняет свое значение, а по (91) сохраняются 克 р, р и а. Итак, при выполнении условия (91) второе семейство С2 также представляет собой совокупность простых волн с абсолютной скоростью распространения и—а и со скоростью а по отношению к газу, направленной в сторону, противоположную движению газа. Согласно (91) и условию 〃>0 заключим, что волны второго семейства представляют собой волны разрежения.

В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в § 32, где все простые волны имели одну и ту же по величине скорость распространения, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом сейчас случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возмущения, скорости распространения по отношению к газу, равные по абсолютной величине местной скорости звука, не одинаковы для различных волн данного семейства.

Легко убедиться в том, что в случае возмущений конечной интенсивности абсолютная и относительная скорости распространения простых волн первого семейства С\ тем больше, чем интенсивнее переносимые ими возмущения. Для этого выразим 勿 через а, предполагая для определенности движение изэнтропическим. Имеем в этом случае

d须=丄а驴=丄如=丄也电=aк；(93)

а ра а dp р р

с другой стороны,

d =々且=const •

P

и, вычисляя логарифмический дифференциал, найдем

dp — 2 da

' р k— a，

так что

d^ =占而，伊=白(a一旬)，(94)

где значок нуль, как и ранее, относится к параметрам покоящегося газа (〃=0), а постоянная интегрирования выбрана в согласии с определением 0 (83). Подставляя полученное значение 俨 в (89), найдем

" = "。+^-% 〃 + " = % + 空人. (95)

Из этих равенств непосредственно следует, что для волн первого семейства С, чем больше скорость 〃 возмущенного движения газа, тем больше скорости 〃 + а абсолютного и а относительного распространения волны. Но, согласно (89), большей скорости движения соответствуют и большие значения 乡,а вместе с тем давления р и плотности р возмущенного газа, так как по определению функции 0

@ = ра>0,巫=2>о・

Таким образом, абсолютная и относительная скорости распространения волн первого семейства (волн сжатия) тем больше, чем больше переносимые ими интенсивности возмущений.

Для волн второго семейства С2 — волн разрежения — будем иметь, согласно (91) и (94),

々一1, ^4- 1

(96)(96)―—〃，〃 一a = — 〃o 4—-〃

(96)

(96)

С увеличением разрежения, т. е. абсолютной величины разности р——Ро, будет, согласно (83), увеличиваться и абсолютное значение функции ” так что по (91) увеличится и скорость движения газа и. Из первого равенства системы (96) заключим, что при этом скорость а распространения волн разрежения относительно газа будет уменьшаться, а абсолютная скорость увеличиваться.

Отсюда следует основное отличие явления распространения конечных возмущений от распространения малых возмущений: начальная форма распределения возмущений не сохраняется.

Чтобы составить общее представление о характере деформации кривой распределения начальных возмущений, рассмотрим опять движение поршня в трубе (рис. 44). Пусть скорость поршня равна 〃()，направлена слева направо вдоль положительного направления оси Ох; справа от поршня образуется сжатие газа. В момент времени 2 =厶 перед поршнем образовалось возмущение скоростей, которое можно себе представить в виде некоторой непрерывной спадающей кривой " = 〃i(%). В последующий момент времени t=t2'>tl кривая распределения скоростей 〃=〃2(х) будет иметь более крутой уклон, так как за промежуток времени 勾——乙 точки кривой Ui (х) сместятся в горизонтальном направлении на отрезки, согласно теории распространения волн первого семейства (волн сжатия) равные

& + а) (% —幻=(& + ~~ 〃i) (% —幻 (97)

и, следовательно, тем большие, чем больше ординаты 〃】кривой гл (%). С течением времени уклон кривой будет продолжать возрастать, пока в некоторый момент времени t—t^ в одной из точек кривой касательная не станет перпендикулярной к оси Ох, а производная 〃[(%) бесконечной. В дальнейшем при t>ta верхние точки кривой распределения скоростей должны были бы обогнать нижние, а кривая ——приобрести форму, показанную на рис. 44 крайней справа. Но такая форма физически невозможна, так как при этом одному и тому же сечению трубы в данный момент соответствовало бы несколько различных скоростей. На самом деле изменение формы продолжается только до тех пор, пока касательные не станут перпендикулярными к оси Ох. Предельной формой распределения возмущений будет служить скачкообразное изменение скорости, показанное на рис. 44 штрихами и соответствующее, очевидно, ударной волне.

Таким образом, из теории распространения волн сжатия конечной интенсивности вытекает неизбежность возникновения в трубе ударных волн.

Оценим промежуток времени /«—九，необходимый для того, чтобы из начального распределения скоростей образовалось распределение 〃=

= 〃8(х) с бесконечно большим уклоном в какой-нибудь одной точке. Этот промежуток времени можно принять за меру времени, по истечении которого из заданного начального распределения возмущения образуется распределение, характерное для ударной волны.

Обозначим через 〃=〃(％) некоторое промежуточное распределение скорости, имеющее место в момент /• Кривая и(х) получается из кривой 〃式尤)параллельным оси Ох переносом ординат кривой 〃式％) на расстояние (97), так что можно написать

〃(&)=%(%),(98)

где положено

三=% +m。+ (q(/ -幻.(99)

Поясним, что такой перенос ординат кривой 〃i(x) соответствует перемещению в плоскости (х, t) вдоль прямолинейных характеристик первого семейства с постоянными на характеристике скоростями иДх).

Для вычисления производной в точке 自 возьмем производную по х от обеих частей равенства (98); будем иметь, используя (99),

"'⑶穿="'⑶[1 + Т % ⑴& —幻]=〃；(%)， откуда

•(i°°) i+ -<⑴"厶)

Пусть x=xm——абсцисса точки, в которой кривая 〃/%) имеет максимальный по абсолютной величине уклон “;(今).Тогда, полагая, что в момент времени / = /« левая часть равенства (100) при ^=^т обратится в бесконечность, получим из условия конечности величины 〃；(％т) следующее равенство:

+号"式N冷外一幻=0. Отсюда следует

°°1 仅+1)〃；(％) 仅+i)i4(r〃j I •

Полученное выражение может служить ^оценкой промежутка времени, по истечении которого распределение скоростей с максимальным по

абсолютной величине уклоном |〃；(％т)| перейдет в скачкообразное распределение скоростей, соответствующее образованию ударной волны. Этот промежуток времени конечен и имеет тем меньшую величину, чем больше максимальный уклон кривой начального возмущения скоростей.

При рассмотренном только что движении поршня слева от него образуется разрежение, которое будет распространяться при помощи волн второго семейства (волн разрежения) и также приведет к некоторому непрерывному распределению скоростей возмущений, направленных в сторону положительных х. Но в этом случае распределение скоростей представится не спадающей, как на рис. 44, а восходящей кривой (рис. 45), так как точки, ближние к левой стороне поршня, будут иметь большие скорости, чем удаленные от нее. Выведенное из равенств (96) заключение о возрастании абсолютной скорости распространения волн второго семейства показывает, что в этом случае уклон кривых уменьшается и тенденция к образованию разрывов отсутствует.

§ 44. Волны разрежения за движущимся поршнем.Центрированные волны. Автомодельная и общая задачи

Рассмотрим детальнее 1) вопрос о волнах разрежения, образующихся в одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с простейшего случая так называемых центрированных волн разрежения.

Прежде всего заметим, что из условия сохраняемости скорости движения газа и и скорости звука а вдоль характеристик данного семейства, согласно (86) или (87), следует их прямолинейность в плоскости (х, /). Действительно, если, например, принять постоянство инварианта 4 T. е. в изэнтропическом случае положить

〃十= const = 〃i + -^- ,(Ю1)

то вдоль характеристик С2 второго семейства — волн разрежения —— должны сохраняться 〃 и а, так что из равенства

~~ = 〃 一 а = const = % — а1

будет вытекать

где (х「&) — какая-то точка плоскости (х, /), находящаяся на характеристике С2, а % н о】一соответствующие скорость газа и скорость звука в этой точке. Из этого равенства следует уравнение семейства характеристик Са в плоскости (х, f)

х—%i= (〃[—aj (/—fj.(102)

Это ——прямые линии, на каждой из которых величины ut и 〃〔 сохраняют свое постоянное значение.

Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной и той же точке, то соответствующие им волны носят наименование центрированных.

Рассмотрим в качестве примера центрированных волн задачу о потоке газа за движущимся поршнем (рис. 46) и определим, каков должен быть закон движения поршня, для того чтобы вызываемые им волны, разрежения были центрированными.

Обозначая через (х, F) координаты общей точки (полюса) пересечения характеристик второго семейства (волн разрежения), положим,

См. цитированную уже ранее монографию: Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.—— М.: Физматгиз, 1963, с. 25—43, и Патерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.——М.: Физматгиз, 1960, с. 63—72.

что в начальный момент (/=0) поршень (скорость его обозначим через ш), а вместе с ним и газ находились в покое 侬=0, 〃=〃q=0, а=а°), а с момента t = h поршень, достигнув скорости 叫，стал двигаться равномерно с этой скоростью. Тогда, согласно (101) и (102), будем иметь уравнения характеристик в плоскостях (х, /) и (“，а) в конечной форме

(ЮЗ)

Отметим, что, в то время как характеристики семейства С2 в плоскости (х, /) представляют собой семейство прямых, зависящее от значе

/-物夕^ пути поршня

2- график пути частицы

J- начальная характеристика области 〃

ния разности и—а, в плоскости (“, а) все характеристики сливаются в прямую.

Из уравнений (103) найдем

1 也+lf_f

одну

(Ю4)

(Ю5)

Как видно из рис. 46, начальная характеристика 3 сектора центрированных волн II имеет уравнение

4 - замыкающая харомтеристика области 〃

Рис. 46

х=—а。/,непосредственно следующее из урав-нения (87) при u0=0, a=a0=const иусловия прохождения этой характери-стики через начало координат (на-чальное положение поршня в началь-ный момент времени). Область /, рас-положенная слева от этой характери-

стики, соответствует покоящемуся газу, и характеристиками в ней будут служить прямые, параллельные начальной характеристике. Область II замыкается характеристикой 4, проходящей через ту точку графика пути поршня /, начиная с которой этот график становится прямолинейным, а скорость поршня постоянной и равной 侬］.Замыкающая характеристика будет иметь уравнение

х—х = (%——aj (，——0,

где 〃1 =侬1, а а】一скорость звука слева от поршня, движущегося уже равномерно со скоростью 叫.Справа от замыкающей характеристики 4 в области III характеристики будут являться прямыми, параллельными этой характеристике.

Уравнение движения частиц газа при рассматриваемом движении поршня определяется путем интегрирования уравнения

〃=宇(106) 由 k+1//

и имеет вид

х^х = (1-7)^а(1-^^ + ^^у /〉7・(Ю7)

Различные значения постоянной интегрирования а соответствуют выбору частиц, движения которых рассматриваются. Полагая %=三&0

при t=——尤/〃0, найдем значение a(W) и, подставляя его в уравнение (107), получим уравнение движения частицы, имевшей в начальный момент (при начале движения поршня) абсциссу 自.В частности, таким образом можно найти и интересующий нас закон движения поршня, приводящий к центрированным волнам разрежения. Для этого достаточно составить уравнение движения частицы (107), выбрав константу а из условия, чтобы 自=0 при / = 0. Тогда получим

а=(Т)『二а=(Т)『二々一1々一1

а=(Т)『二

а=(Т)『二

々一1

々一1

Местное число Маха М = 〃/а будет, согласно (104) и (105), равно

х — х]+

М =%«二")_ ；

k — 1 * — X

——

2%(f 一方

оно сохраняет постоянное значение вдоль каждой характеристики С2 и поэтому служит естественной «отметкой» характеристик семейства (рис. 46).

Пользуясь вторым из равенств (103), можно получить соотношение % = а (1 +，

а вслед за ним и группу равенств 2

" = Г0 + ^^М), Ро = р(1 + ^^М), Ро = Р (1 +^^М), существенно отличных от выведенных в предыдущей главе изэнтропических формул для стационарного движения газа. Прежде всего, в скобках, в отличие от стационарного движения, стоит число М в первой, а не второй степени; кроме того, показатели степени у круглых скобок справа в два раза превосходят соответствующие значения в стационарном случае. Для оценки этой разницы предположим, например, что поршень движется с возрастающей скоростью так, что М->оо, а~>0 и, согласно второму равенству (103),

2“ г 〃тах = у “о •« - I

Если скорость поршня будет больше этой скорости, то между поршнем и газом образуется вакуум, причем скорость истечения в вакуум Umax в этом нестационарном случае отличается от стационарной максимальной скорости (19) тем, что у последней перед величиной а0 вместо 2/(/—1) стоит множитель 例(论一1). Таким образом, например, для воздуха скорость истечения в вакуум при рассматриваемом нестационарном движении оказывается в 伤 раз больше, чем в случае стационарного движения. При стационарном движении газа удельная кинетическая энергия истечения в вакуум, согласно (20), точно равна полной энтальпии в резервуаре, из которого происходит истечение; в случае же нестационарного истечения кинетическая энергия в 2/(力——1) раз превосходит полную энтальпию.

Простота приведенного выше решения для центрированных волн была обусловлена тем, что решение представляется функцией отношения (х—х)/(/—Е), а не отдельно каждого переменного х и t. Переходя к полярным координатам, можно было бы сказать, что решение зави-

сит только от полярного угла 0 = arctg -~j и не зависит от расстояния г=У(%—元¥十 “一£)2 текущей точки пространственно-временной плоскости до точки пересечения характеристик (^, Z). Именно поэтому решение свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, кроме того, оказалось достаточно простым и позволило представить интеграл в замкнутом виде.

В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этих случаях решение представляется в функции от одного аргумента, который является некоторым сочетанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные между собой. По этой причине вообще решение дифференциального уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного аргумента, предст авляющего одночленную совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наименование автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама задача называется автомодельной.

Примером такого автомодельного решения является только что полученное решение задачи о центрированных волнах разрежения, где_ в качестве сложного аргумента фигурировало сочетание (х—无)/(f——f). В полной аналогии с этой одномерной нестационарной задачей в дальнейшем будет разобрана плоская стационарная задача о центрированных волнах разрежения в сверхзвуковом газовом потоке вокруг внешности тупого ута. Большое число автомодельных задач будет рассмотрено также в последующих главах, посвященных теории движения вязкой жидкости в пограничном слое').

Автомодельные，решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить —в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,—что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях, граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов: времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн.

Рассмотрим теперь общую постановку задачи о волнах разрежения за движущимся по произвольному закону поршнем.

Будем, как и ранее, предполагать, что первый инвариант Римана г сохраняет постоянную величину во всей области течения, т. е. выполняется равенство (101). Тогда, замечая, что вдоль прямолинейных, но в общем случае не центрированных характеристик второго семейства С2 (волн разрежения) сохраняют свои значения и и а, будем иметь,

Разнообразные примеры автомодельных задач можно найти в книге: Седов Л. И. Метода! подобия и размерности в механике.——М Физматгиз, 1981

выполняя интегрирование дифференциального уравнния (87), х— (и—a)t+(p(u),(108)

где ф(и) является постоянной интегрирования, различной на разных характеристиках. Для определения функции <р(и) зададимся законом движения поршня хп=Х(/п) и тем самым скорости поршня w=X/(/n). Тогда совокупность равенств

屮侬)=X(J)-[g一0(侬)儿，w=Xz(4)(109)

после исключения /п определит вид функции (р(з); функция a(w) находится по (101). Решение задачи представляется уравнением

х=[и—а(и) ]t+X(tn)—[w—a{w)]tT11

которое надо рассматривать как уравнение для определения и в функции от х и /. В отличие от задачи о центрированных волнах в общем случае и является функцией от х и /, взятых по отдельности, а не от какой-то их совокупности.

В частном случае центрированных волн с полюсом в точке (х0, А») будем по (108) иметь

Ф(и)=хв—(и—а)/0,

а для определения и(х, /) получим по (108) равенство

и — а(и) = у^- f

т. е. вновь удостоверимся, что в центрированных волнах скорости час

тиц, так же как скорость звука и другие термодинамические параметры газа, будут функциями отношения (х—х0)/(/——2о), а не л и / по отдель

ности. За иллюстративным примером и некоторыми деталями рассматриваемой задачи отсылаем интересующихся к цитированным выше страницам монографии Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера.

Элементарная теорияударной трубы

Схема ударной трубы, служащей для создания в лабораторных условиях кратковременных сверхзвуковых потоков, не требующих для своего осуществления затраты больших количеств энергии, показана на рис. 47, а.

Цилиндрическая труба с за

крытыми входом и выходом

разделена на два отсека диаф-Рис- 47

рагмой, по обе стороны от ко

торой находятся газы различных физических свойств. Газ, находящийся в левом отсеке, сжат до значительно большего давления, чем другой. В некоторый момент времени диафрагма разрушается и газ из левого отсека устремляется в правый. Разрыв давлений, имевший место до разрушения диафрагмы, распространяется в виде ударной волны вправо, увлекая за собой спутный поток газа. Этот поток встречает на своем

пути исследуемую модель, размещенную в правом отделении трубы. Специальная оптическая установка позволяет произвести при этом мгновенное фотографирование спектра обтекания модели, а также и другие интересующие исследователя измерения.

Элементарный расчет ударной трубы заключается в следующем. Охарактеризуем физические свойства газов двумя константами: молекулярным весом 卩 и показателем адиабаты k. Пусть газу, вначале находившемуся в правом отделении, соответствуют константы 出 и 拓，а газу в левом отделении ——ц4 и /&. Начальные давления назовем соответственно Pi и р4, причем 〃》Р1. Трубу будем считать теплоизолированной, а движение газа адиабатическим.

На диаграмме рис. 47, 6 приведены графики распространения ударной волны, поверхности контакта газов') и волн разрежения. Как видно из графика, наибольшую скорость, выражаемую производной dxldt, имеет ударная волна, затем поверхность контакта газов и, наконец, волны разрежения, распространяющиеся по газу справа налево, но сносимые вправо спутным потоком. Область трубы, занятая волнами разрежения (с возрастанием времени эта область расширяется), представляет собой область непрерывного изэнтропического движения, так что на границах этой области, используя формулы (48) гл. V, получим

2儿

Рассматривая волны разрежения как простые волны конечной интенсивности, применим к ним теорию, изложенную в § 43. Согласно этой теории во всей области, заполненной волнами разрежения, движущимися с абсолютной скоростью 〃——〃，сумма 夕+〃，равная по (94)

^ + и = ^-у а + 〃 + const, сохраняет одно и то же значение, так что можно написать (на левой границе области 3 газ неподвижен)

99

47包(HD

Замечая, что вблизи поверхности контакта газов давление и скорость непрерывны, будем иметь (рис. 47, 8)

Рз = Рг» Щ = Uz—V,

где V — скорость спутного потока. Таким образом, вместо (НО) получим, используя (111),

Вспоминая формулу (53) сжатия газа при прохождении его сквозь ударную волну (Mi = 6/ai ——число Маха ударной волны)

虻」(113)

и выражение (69) скорости спутного потока за ударной волной, которое

Предполагается, что за малый промежуток времени работы ударной трубы газы не успеют сколько-нибудь заметно перемешаться.

в настоящем случае будет иметь вид

(Ml办】，(114)

подставим эти выражения в равенство (112). Тогда получим

%(+м；—^)["^(М「訂第(U5)

Здесь pJPi — заданное начальное отношение давлений в отсеках трубы, а отношение aja^ при одинаковоеги начальных температур газов может быть, согласно § 32 гл. V вычислено как

竺=(116)

4 y自出1

Подставляя это отношение в (115), найдем Мь а следовательно, по (114) и скорость спутного потока V в трубе.

На рис. 48) приводятся графики зависимости числа М】от lg(p4/Pi) при различных значениях параметра aja{ для ^! = 5/з и k^—^.

Рис. 48Рис. 48

Рис. 48

Рис. 48

Определим приближенно максимальное значение Мь соответствующее бесконечному значению отношения р4/рР Для этого положим равным нулю выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части (115), и пренебрежем членом, содержащим Mt в знаменателе. Будем иметь

(MJ%/〃=8 = * ・ (117)

Отсюда видно, что отношение aja^ следует выбирать по возможности большим, для чего выгодно в качестве газа, находящегося в левом отделении трубы под большим давлением, выбирать газ с малым молекулярным весом, например водород (ц4 = 2,016), и, наоборот, в правое отделение помещать тяжелые газы, например аргон (山=39,94).

Элементарная теория ударной трубы в ее простейшем виде дает удовлетворительное совпадение с экспериментом, как об этом можно судить по графику (рис. 49), заимствованному из цитированной выше работы и соответствующему применению газов водород—аргон.

ГЛАВА VII

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ.

ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия существованиябезвихревых течений

Изучение неодномерных течений идеальной жидкости или газа: плоских, осесимметричных и более общих, пространственных движений представляет математические трудности. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости и газа в предыдущей главе были использованы для вывода двух основных уравнений: Бернулли и Гельмгольц а — Фридмана с вытекающей из последнего уравнения теоремой о сохранении вихревых линий. Непосредственное интегрирование уравнений Эйлера в общем случае вихревых движений не получило освещения в нашем курсе, хотя появление ЭВМ во многом облегчило решение такого рода задач. Имея в виду в настоящей главе обратиться к более доступному для решения случаю безвихревых движений, отошлем интересующихся вопросами вихревых движений к специальной монографии, написанной М. А. Гольдштиком1）. Основным допущением, сыгравшим историческую роль в деле приближения теоретической гидродинамики к конкретным приложениям, явилось предположение об отсутствии в движущейся идеальной жидкости завихренности. Возможность существования такого безвихревого движения обосновывается следующими двумя теоремами.

Теорема Кельвина: при баротропном движении идеальной жидкости под действием поля объемных сил с однозначным потенциалом циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.

Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в § 17 кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции скорости. Согласно этой теореме

*§Р.5尸=,忆3尸.

Подставим в правую часть этого равенства выражение ускорения по основному уравнению Эйлера （3） гл. V, которое в случае потенциальных объемных сил и баротропности движения может быть переписано в виде

И = — grad （П + 阴）;

тогда получим

亲g…尸=_§g「ad（n +争）& = _§5（口+个）,

так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное, как дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.

9 Гольд шт и к М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское отд ние, 1981.

При однозначности функции П (однозначность 乡 очевидна) контурный интеграл по замкнутому контуру от дифференциала равен нулю, так что

旦尸=0dt J

и, следовательно,

§Р& = const,

что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и наличии однозначного потенциала объемных сил сохраняются также интенсивности вихревых трубок

j (rot И)п do = const.(1)

о

Предположим теперь, что в некоторый начальный момент времени во всех точках области, заполненной жидкостью, отсутствует завихренность (rot V=0), т. е. элементарные жидкие объемы движутся без вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда постоянная, стоящая в правой части (1), будет равна нулю, и в любой другой момент времени сохранится равенство

J (rot V)ndo=0.(2)

о

Произвольность выбора поверхности о в равенстве (2) позволит заключить, что в любой момент времени и в любой точке области будет

(rot У)п=0.

Наконец, в силу произвольности выбора направления нормали, найдем rot У=0.(3)

Отсюда следует теорема Лагранжа: если во всех точках баротропно движущейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом, идеальной жидкости вихрь скорости в некоторый начальный момент времени был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой последующий момент времени.

Из аналогичного рассуждения следует также, что если вначале движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.

Предположим, что твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, начинает двигаться. При покое жидкости завихренности не было, следовательно, в условиях справедливости теоремы Лагранжа вихри образоваться не могли, и движение останется во все дальнейшее время безвихревым. Если в некоторый момент времени благодаря нарушению условий теоремы Лагранжа завихренность в идеальной жидкости была создана, то в дальнейшем, при сохранении этих условий, движение будет вихревым. В действительности приходится наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной такого нарушения справедливости теорем Кельвина и Лагранжа служит наличие в реальной жидкости внутреннего трения {вязкости}, особенно существенного в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в аэродинамическом следе за телом.

Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в свободной атмосфере причиной вихреобразований служат отклонения от баротропности при движении воздуха: плотность воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, от количества водяных паров и других причин.

Модель идеальной жидкости допускает еще одну возможность нарушения справедливости теорем Кельвина и Лагранжа. Это — образование поверхностей разрыва сплошной жидкости, неустойчивых и сворачивающихся в дискретные вихри. Таковы, например, наблюдаемые в следе за обтекаемым телом вихревые дорожки Кармана (см. спектры в ранее цитированном атласе М. В а н - Д а й к а).

Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существование безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих практических случаях дает близкую к действительности картину. Итак, примем допущение об отсутствии завихренности и обратимся к рассмотрению основных свойств такого безвихревого потока.

§ 47. Потенциал скоростей и его определениепо заданному полю скоростей

Если движение жидкости безвихревое, то из условия равенства нулю вихря скорости rot V следует существование функции <р от координат и времени, связанной со скоростью V равенством

展 grad 屮， (4)

или, в проекциях на оси прямоугольных декартовых координат,

〃=生，u =型，ш = ^,дхдуdz〃=生，u =型，ш = ^,дхдуdz(5)(5)

〃=生，u =型，ш = ^,дхдуdz

〃=生，u =型，ш = ^,дхдуdz

(5)

(5)

Рис 50Рис 50

Рис 50

Рис 50

называемой потенциалом поля скоростей (или потенциалом скоростей).

Потенциал скоростей, согласно равенствам (4) или (5), определяется с точностью до постоянной.

Уравнением поверхности уровня потенциала скоростей будет служить

<р(х,弘 2； f)=const, причем в случае стационарного поля скоростей время / как аргумент <р отсутствует.

По заданному полю скоростей из уравнения (4) можно найти потенциал <р. Для этого достаточно умножить обе части (4) скалярно на направленный элемент 6г какой-нибудь кривой С, выходящей из точки Мо (рис. 50), и проинтегри

ровать полученное выражение вдоль участка этой кривой iW0Af. Тогда для определения потенциала скоростей 屮(М) в точке М получим равенство

м

м

И-6г

=『grad屮.6尸=,

6ф = Ф(М) —(p(M0)t

(6)

откуда будет следовать

(р(М) =(р(И0) + j K-6r =(p(Af0)+ J (идх + vby + w8z).(7)

(С)(С)

Если течение в односвязной области *) безвихревое, то, замкнув (на рисунке штриховой кривой) кривую С при помощи кривой Сг так, чтобы точка М совпала с А10, и заметив, что при этом циркуляция скорости по замкнутому контуру (С+С), равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоростном ноле, где нет вихрей, обращается в нуль, получим, согласно (7),

(р(Л4) =ф(Л10) при Л4fAi°,(8)

т. е. потенциал скоростей представляет собой однозначную функцию координат. Отсюда следует также, что интеграл в выражении (7) не зависит от формы контура интегрирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкнутому контуру, состоящему из участка М0СМ9 представленного на рисунке сплошной кривой, и участка М^Мо, представленного штриховой кривой, можно заключить, что

мм°мм

f+ / = 0 или , = § ・

мм9 &0

(G(С 9©(О)

Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная вихревая трубка (рис. 50). Производя в этом случае интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (7); но другой результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур 以 охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру {С^С^) (замыкание показано на рисунке штрихами), как это следует из теоремы Стокса (§ 15), будет равен интенсивности вихревой трубки

步 Г-6г =Г,(&+с?

и, согласно (7), потенциал в точке Мо после обхода вихревой трубки окажется равным <р(Л10) +Г. Выйдя из точки Мо и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), k раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку Мо со значением потенциала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Г

<р(Л4о) 士 々Г*・

Таким образом, если в односвязной области безвихревого движения жидкости имеется вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), будет многозначной функцией точек поля. Значение потенциала скоростей в точке окажется в этом случае зависящим от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование.

Имея в виду дальнейшие гидродинамические приложения, подойдем к вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении еще иначе. Выделим из области течения жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая поверхности тока, ограничивающие вихревые трубки, как твердые стенки. Поясним, что вблизи вихревых линий всегда

Односвязной называется область, в которой любой замкнутый контур может быть непрерывно стянут в точку.

6 - 9487

имеются замкнутые линии тока, расположенные на поверхностях тока, отделяющих вихревые линии от окружающей их жидкости.

В идеальной среде благодаря отсутствию трения можно мысленно, нисколько не нарушая происходящего движения, заменять поверхности тока твердыми, непроницаемыми для движущейся среды поверхностями.

(твердые(твердыеповерхностиповерхностиПри таком рассмотрении движения в жидкости уже нет вихревых трубок, но зато сама область течения становится многосвязной). Действительно, по второй теореме Гельмгольца вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные

(твердые

(твердые

поверхности

поверхности

стенки, свободные хю・ верхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием сведен в точку (рис. 51); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения при наличии указанного выделения вихревых трубок, вообще говоря, не односвязна. Значения циркуляций скорости Г по контурам, однократно охватывающим трубчатую поверхность, нарушающую односвязность пространства, заключающего жидкость, в общих случаях любых физических полей называют циклическими постоянными многосвязных областей.

При наличии в многосвязной области течения вихревых трубок теорема Стокса должна быть сформулирована так: циркуляция скорости

Рис. 52Рис. 52по замкнутому контуру, проведенному произвольно 8 многосвязной области, отличается от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на сумму целых кратных циклических постоянных многосвязной области.

Рис. 52

Рис. 52

Проводя в многосвязной области дополнительные поверхности, можно уменьшить степень ее связности и при же

лании превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 52), двухсвязную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополнительно провести поверхность о, закрывающую отверстие кольца. При наличии поверхности о проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения о двухсвязной обла-

сти отлична от нуля, то значение потенциала скорости ср+(М) на одной, скажем передней, стороне поверхности о будет отличаться от значения ф-(М) на задней стороне поверхности о на величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М (рис. 52, 6). В этом случае потенциал скоростей <р(Л1) при прохождении через поверхность о претерпевает конечный скачок 屮+——屮一,а поверхность о представляет собой поверхность разрыва потенциала. Рассматривая поверхность о вместе с поверхностью S как границу области, можно считать потенциал ф непрерывным во всей области.

§ 48. Интеграл Лагранжа— Коши. Некоторые общие свойствабезвихревого движения

В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать первый интеграл уравнений движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека — Ламба [ (8) гл. V]

^ + g「ad (g +个 + Ц)+「ot0xP = O(9)

и положим в нем, согласно (4),

V=grad(p, rot V—0.(10)

Тогда, замечая, что вследствие независимости операций частного, или локального, дифференцирования по времени d/dt и пространственного дифференцирования, выражаемого операцией grad, можно менять порядок дифференцирования:

—=—g^d(р = grad

dt dt

будем иметь вместо (9) равенство

g^傍+ ^ +驴+口l。，(11)

интегрирование которого приводит к выражению первого интеграла уравнений движения

号 + ^ +驴+ □=/(/),(12)

называемого интегралом Лагранжа — Коши； здесь /(/)—одинаковая для всей области течения произвольная функция времени, определяемая из граничных условий.

Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как интеграл Бернулли при стационарном движении. В последнем случае

粤=0, f(t) = const,

ot

и равенство (12) превращается в обычный интеграл Бернулли

Y + П = const,(13)

причем при безвихревом движении константа, стоящая в правой части, имеет одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока.

Интеграл Лагранжа ——Коши, так же как и интеграл Бернулли, в случае безвихревого движения служит для выражения давления р через кинематические элементы <р, V и координаты, от которых зависит П. Выражая V2 через проекции grad ф на оси декартовых координат, будем

иметь

”尤闺+用+ (期+驴+ П7() 俐

В случае движения несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил (乡=р/р, 11=0) найдем

粤+ ^ + 2=〃f).(15)

2 P

В частном случае нестационарного движения твердого тела сквозь покоящуюся на бесконечном удалении от него несжимаемую жидкость^ полагая на бесконечности

Р = Роо» Р = 0, ~- = 0, получим

f(/) = const^= —.(16)

р

При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные ве・ личины — проекции скорости 〃, и, w — выражаются через одну неизвестную функцию ——потенциал скоростей(р(х, у, 2, /). Принятое допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропности движения р=р(р) сводит решение задачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин <р и р. Для этой цели могут служить уравнение (14) и уравнение сохранения массы

粤+ div(pQ = 0・

Останавливаясь подробнее на случае несжимаемой жидкости, но пользуем два основных условия: несжимаемости

div V=0

и наличия потенциала скоростей (4). Тогда для определения неизвестной ф получим уравнение Лапласа

V2(p=0,(17)

в частности в декартовой системе координат

。炉 оул dza

Уравнение это должно интегрироваться при заданных граничных условиях, зависящих от типа поставленной задачи. Так, в задаче о движении тела сквозь покоящуюся на бесконечности жидкость должны выполняться следующие граничные условия'):

на поверхности тела — условие непроницаемости, т. е. равенства нормальных составляющих скоростей Vn=d(p/dn частиц жидкости на поверхности твердого тела нормальным составляющим скоростей У； соприкасающихся с ними точек твердого тела

"吸；(18)

на бесконечном удалении от тела — равенство нулю скоростей частиц жидкости

grad(p=O,(19)

Решение этой задачи, носящей имя Кирхгофа, будет дано в § 79 гл. IX.

в декартовой системе

d(p 一 ^(р — d(p

дх ду dz

В задаче об обтекании неподвижного твердого тела жидкостью, имеющей на бесконечности заданную скорость будем иметь граничные условия:

на поверхности тела

* =(20)

дп

на бесконечности

坐=几 cos (£х),粤=乙 COS (П/),粤=% cos ”])• (21) oxoydz

Как известно, задача интегрирования уравнения Лапласа (17), или, что все равно, разыскания гармонической функции, удовлетворяющей условиям (18), (19) или (20), (21), представляет собой пример внешней задачи теории потенциала. В дальнейшем будут разобраны различные примеры решения задач такого типа, как для обтекания тел жидкостью (внешняя задача), так и для внутреннего протекания жидкости сквозь каналы (внутренняя задача).

Определив потенциал скоростей qp(x, у, z, /), найдем давление р при помощи интеграла Лагранжа — Коши (15); будем иметь

р=р{〃/)-号р=р{〃/)-号訊薊+制+閏口 3訊薊+制+閏口 3

р=р{〃/)-号

р=р{〃/)-号

訊薊+制+閏口 3

訊薊+制+閏口 3

Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина: если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения 6 рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом А разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для разности кинетических энергий:

Первый интеграл справа равен

У V ・АР dt = \ grad(p-AK dt

и по известной формуле

div((pa) =(р div a + grad 屮・а

может быть преобразован так:

J У ・АР dt = f grad ср • АР dr= div (фА^) dp — § 屮 div (AP) dp =

=\ 屮(ДИ)п da — У фД (div И) de,

где о — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а диверген* ция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций. По условию теоремы безвихревое и вихревое движения на поверхности о совпадают, т. е. АУ=0 на о; кроме того, по условию несжимаемости div У=0. Таким образом, первый интеграл в равенстве (23) оказывается равным нулю и остается

△T=^J|AP |2dT>0,

из которого и следует теорема Кельвина. Теорему Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении по сравнению с любым другим, вихревым, движением, если только эти движения совпадают на границе области.

Из теоремы Кельвина следует, что если на границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри такой области является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревое!), сколь угодно медленное движение, при котором скорости на границе области равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области.

К тому же результату можно прийти и непосредственно, не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем полезную для дальнейшего общую формулу кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом. Имеем

7Tт7TтV2dx=^ 2V2dx=^ 2J grad ф-grad (pdx.J grad ф-grad (pdx.

7Tт

7Tт

V2dx=^ 2

V2dx=^ 2

J grad ф-grad (pdx.

J grad ф-grad (pdx.

Применим вновь формулу дивергенции произведения скаляра на вектор, полагая в ней а= grad (р; тогда получим

ТТ=-~ J div (<р grad ф) %—^ j=-~ J div (<р grad ф) %—^ jФ div grad ср dt =Ф div grad ср dt =

Т

Т

=-~ J div (<р grad ф) %—^ j

=-~ J div (<р grad ф) %—^ j

Ф div grad ср dt =

Ф div grad ср dt =

В поверхностном интеграле, полученном из объемного по формуле Гаусса—Остроградского, под 〃 понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус. Замечая, что по (17) второй интеграл равен нулю, будем окончательно иметь

(24)(24)т=Т嘰з

(24)

(24)

Если на ограничивающей односвязный объем жидкости поверхности о скорость равна нулю, то и

%=案=°，

откуда по (24) сразу будет следовать, что и 7=0. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.

§ 49. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.Применение функций комплексного переменного

Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости.

Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения для твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу, причем во всех параллельных плоскостях движения тождественны. Будем рассматривать поэтому лишь движение в плоскости хОу. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цилиндрического тела. Все значения расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и т. д. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси Oz, которая на рисунках в дальнейшем опускается.

Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится к решению задачи об интегрировании при тех или иных граничных условиях уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид ”

▼屮=烈 +空=0. (25) дх2 ду2

В случае плоского движения задача эта может быть с успехом разрешена при помощи метода комплексной переменной, применение которого составляет основное содержание гидродинамики плоского безвихревого движения несжимаемой жидкости.

Из уравнения неразрывности (несжимаемости)

div0 = ^ +史=0ду

(26)(26)следует, что всегда можно найти функцию 屮(匕 у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скорости 〃 и и равенствами

(26)

(26)

дудх

Функция 2(%, у) имеет простой гидродинамический смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока (7) гл. II, в случае плоского движения имеющее вид dr —dy и v '

и подставим б него значения проекций скорости по (26); тогда будем

иметь

dx _ dy д^/ду — д^/дх '

или

—dx + — dy^d^f — 0.дх ду

Из последнего равенства следует, что функция * сохраняет постоянные значения вдоль линий тока; иными словами, семейство линий

уровня функцииуровня функции2(%, У)= С,2(%, У)= С,(27)(27)

уровня функции

уровня функции

2(%, У)= С,

2(%, У)= С,

(27)

(27)

соответствующих различным значениям С, представляет собой совокупность линий тока. Функция р(х, у) в связи с этим называется функцией тока. Для выяснения кинематического смысла функции тока рассмотрим в плоскости течения две бесконечно близкие линии тока: одну — проходящую через точку Мо, с соответ- 〃〃夕=%+呦 ствующим значением функции тока

八5，вторую — через точку М со значе

нием функции тока 屮=业 + &屮(рис. 53).

J<i~ 0Часть жидкости, находящаяся между

/—-»〃цилиндрическими поверхностями, перпен-

/^=0дикулярными к плоскости рисунка и име-

/尸 ‘°ющими линии тока в качестве направля-

/ющих9 образует элементарную трубку

тока, которую будем ограничивать плоскостью рисунка и параллельной ей плос- 尸 костью, находящейся на расстоянии еди- 〃忆 ницы длины от плоскости рисунка. В слу

чае плоского движения указанный толь-

Рис- 53ко что образ трубки тока представляется

областью, заключенной между двумя линиями тока в плоскости движения жидкости. Это пояснение надо иметь в виду в дальнейшем.

Замечая (рис. 53), что элементарный секундный объемный расход жидкости dQ через любое сечение трубки тока не зависит от формы этого сечения, выберем его в виде совокупности двух параллельных осям координат отрезков MQM^ = dy и М；М = —d%. Тогда, как это непосредственно следует из рисунка, выражение для dQ примет вид

dQ = udy — vdx = — dy + —dx —外, ду дх

мQ = J dQ = W(M) — W(M°). MoмQ = J dQ = W(M) — W(M°). Mo(28)(28)откуда следует выражение расхода сквозь конечную по поперечным размерам трубку (М0Л1)

м

Q = J dQ = W(M) — W(M°). Mo

м

Q = J dQ = W(M) — W(M°). Mo

(28)

(28)

Условимся в дальнейшем одну какую-нибудь линию тока произвольно рассматривать как нулевую, полагая, что вдоль нее

2(*, У)=0.

Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то значение константы в (27) на некоторой линии тока будет равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.

(29)(29)Сопоставим выражения (5) проекций скорости через потенциал скоростей, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств

(29)

(29)

а* ду

и выражения (26) тех же проекций через функцию тока 屮；будем иметь

следующую систему соотношений:

(30)(30)^ф _ d 屮 d(p __生_дх ду ' ду дх

(30)

(30)

Эти уравнения выражают известные условия Коши — Римана, при выполнении которых комплексная величина

(31)(31)Х=$ + 2=(р(х, у)+й|)(х, д)=%(2)

(31)

(31)

будет не просто функцией двух переменных (координат %, у), а функции ей одной комплексной переменной z=x-viy J). Действительно, если величина % есть функция только положения точки М с координатой 2, то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т. е. координаты z, а не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, производные djdz и производные по направлениям действительной и мнимой осей должны быть равны между собой:

吼=爱=(32)

dz дх d (iy)

Замечая, что

дх дх дх дх

” _ —( d (屮+ 2) ^Ф,亚д (初дуду ду

и учитывая условия Коши сти соотношений (32).Для дальнейшего полезно вспомнить, что функция комплексного переменного %(z) однозначно отображает точки плоскости комплексного переменного z=%+ip на плоскость комплексного переменного %=屮+*• При этом происходит отображение фигур: замкну-и учитывая условия Коши сти соотношений (32).Для дальнейшего полезно вспомнить, что функция комплексного переменного %(z) однозначно отображает точки плоскости комплексного переменного z=%+ip на плоскость комплексного переменного %=屮+*• При этом происходит отображение фигур: замкну-—Римана (30), убеждаемся—Римана (30), убеждаемсяУУоо©©ххв справедливо-в справедливо-ОО夕夕Рис. 54Рис. 54тых кривых и ограничиваемых ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости %. Такое отображение называют конформным. Далее будут приведены многие примеры таких конформных отображений.Основное свойство конформного преобразования (отображения), с которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно малых фигура данной и преобразованной. Покажем это на примере бесконечно малого треугольника (рис. 54). Зададим в точке М плоскости комплексного переменного z два бесконечно малых приращения 七 и dzit образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке N плоскости комплексного переменного х появятся приращения dy” d^t образующие между собой некоторый угол §.Переход из плоскости z в плоскость % происходит согласно преобразованию (31)тых кривых и ограничиваемых ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости %. Такое отображение называют конформным. Далее будут приведены многие примеры таких конформных отображений.Основное свойство конформного преобразования (отображения), с которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно малых фигура данной и преобразованной. Покажем это на примере бесконечно малого треугольника (рис. 54). Зададим в точке М плоскости комплексного переменного z два бесконечно малых приращения 七 и dzit образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке N плоскости комплексного переменного х появятся приращения dy” d^t образующие между собой некоторый угол §.Переход из плоскости z в плоскость % происходит согласно преобразованию (31)

и учитывая условия Коши сти соотношений (32).

Для дальнейшего полезно вспомнить, что функция комплексного переменного %(z) однозначно отображает точки плоскости комплексного переменного z=%+ip на плоскость комплексного переменного %=屮+*• При этом происходит отображение фигур: замкну-

и учитывая условия Коши сти соотношений (32).

Для дальнейшего полезно вспомнить, что функция комплексного переменного %(z) однозначно отображает точки плоскости комплексного переменного z=%+ip на плоскость комплексного переменного %=屮+*• При этом происходит отображение фигур: замкну-

—Римана (30), убеждаемся

—Римана (30), убеждаемся

У

У

о

о

©

©

х

х

в справедливо-

в справедливо-

О

О

夕

夕

Рис. 54

Рис. 54

тых кривых и ограничиваемых ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости %. Такое отображение называют конформным. Далее будут приведены многие примеры таких конформных отображений.

Основное свойство конформного преобразования (отображения), с которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно малых фигура данной и преобразованной. Покажем это на примере бесконечно малого треугольника (рис. 54). Зададим в точке М плоскости комплексного переменного z два бесконечно малых приращения 七 и dzit образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке N плоскости комплексного переменного х появятся приращения dy” d^t образующие между собой некоторый угол §.

Переход из плоскости z в плоскость % происходит согласно преобразованию (31)

тых кривых и ограничиваемых ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости %. Такое отображение называют конформным. Далее будут приведены многие примеры таких конформных отображений.

Основное свойство конформного преобразования (отображения), с которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно малых фигура данной и преобразованной. Покажем это на примере бесконечно малого треугольника (рис. 54). Зададим в точке М плоскости комплексного переменного z два бесконечно малых приращения 七 и dzit образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке N плоскости комплексного переменного х появятся приращения dy” d^t образующие между собой некоторый угол §.

Переход из плоскости z в плоскость % происходит согласно преобразованию (31)

1) Координата z, соответствующая перпендикулярной к плоскости Оху оси Oz, в плоском движении не встречается; это позволяет использовать букву z для обозначения комплексной величины x-\-iy.

Отсюда следует, что приращения d% с приращениями dz связаны соотношениями (предполагается, что производная %’(z) существует и в точке М не обращается ни в нуль, ни в бесконечность)

〃Х【=Х‘(z)厶匕 女2=%‘(z) d&, так что

〃i = dzi

% dz? •

Положим

dZ] = dSiC’ai, d22 = ds2eia\

d& = do^, d%= d%e 通.

Тогда из предыдущего равенства следует

一"。1 g也仇一氏)=-81. ^f(ai-a,)do2cfs? '

Сравнивая модули и аргументы, получим

妙=粤，自一仇= %_&, T.е. в=a,

что и доказывает подобие указанных на рис. 54 бесконечно малых фигур (треугольников).

Для дальнейшего важно подчеркнуть, что при конформном преобразовании фигур соответствующие углы сохраняются, за исключением, быть может, одной или нескольких точек, которые называются особыми.

Отделяя в произвольной функции комплексного переменного %(z) действительную Re и мнимую Im части, получим потенциал скоростей (р(х, у) и функцию тока 屮(％, у) некоторого плоского безвихревого движения

Ф(^, f/) = Re%(z),屮(招 f/) = Imx(z).(33)

Приравнивая функцию(р(х, у) различным постоянным

<Р(%, У) = С(34)

получим семейство изопотенциальных линий; аналогично совокупность равенств

屮(％, U)= U,(35)

согласно (27), представит семейство линий тока.

^Ф。屮 + d(p d屮—d(pдх дх ду ду дх^Ф。屮 + d(p d屮—d(pдх дх ду ду дх+ ^三。，+ ^三。，Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для этого достаточно показать, что взаимно перпендикулярны векторы — градиенты функций ф и гр. Имеем

^Ф。屮 + d(p d屮—d(p

дх дх ду ду дх

^Ф。屮 + d(p d屮—d(p

дх дх ду ду дх

+ ^三。，

+ ^三。，

grad ф-grad хр =

а это и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока.

Если вместо функции % (г) рассмотреть 巾 ункиню i%(z), то в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий.Отсюда следует, что функция тока гр(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией(р(х, у)—— потенциалом скоростей; каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости. Функцию X(z)=<p + i屮 называют комплексным потенциалом.

Покажем, как, зная комплексный потенциал %(z), определить вектор скорости V или его проекции 〃 и и. Каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Условимся при изучении плоского движения обозначать светлой буквой У комплексную скорость V=u + ivt а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля комплексного числа

Наряду с комплексной скоростью V введем в рассмотрение сопряженную скорость 7, равную —

Р=〃一iv.(36)

Если 0 — угол между V и осью Ох, то

У = и + ш = IVI (cos 9 + I sin 9) = IУI 叫

—(37)

丿=〃一iv = \V\ (cos 9 — i sin 8) = I UI 夕色

Можно заметить, что сопряженная скорость V является зеркальным изображением V относительно оси Ои.

Плоскость Оху значений комплексной координаты z называют физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости V образует плоскость годографа скорости, или просто плоскость годографа 〃Ои; в этой плоскости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места концов проведенных из начала О векторов скорости частиц жидкости.

Рассмотрим производную d%/dz комплексного потенциала по комплексному аргументу. По ранее отмеченному свойству функций комплексной переменной

"=吼=d (①+师)=加 J『屮.

dz дх дх дх дх отсюда следует

吼=〃一办=f=w户吗(38)

т. е. производная от комплексного потенциала по комплексной координате равна сопряженной скорости. Проекции скорости и и у определятся как

(39)(39)

(39)

(39)

Полезно еще рассмотреть контурный интеграл от сопряженной скорости V по замкнутому контуру С в плоскости течения, равный

(40)(40)§kdz = §*dz = §dx = § (d(p + i d“).

(40)

(40)

Вычисляя действительную и .мнимую части этого интеграла, найдем, что действительная часть определяет циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая ——секундный объемный расход жидкости Q через замкнутый контур; действительно,

Re ,丿 dz = $ (〃 dx + и dy) = $ d(p = Г,

(41)(41)

(41)

(41)

lm(£Vdz

Рис. 55Рис. 55тельной в случае источника и отрицательной в случае стока:X (z) = ~- In г,<р = -^- In г, г|)= — е (г, е — полярные координаты).2л2л2лтельной в случае источника и отрицательной в случае стока:X (z) = ~- In г,<р = -^- In г, г|)= — е (г, е — полярные координаты).2л2л2л2nz2лг2nz2лг

Рис. 55

Рис. 55

тельной в случае источника и отрицательной в случае стока:

X (z) = ~- In г,<р = -^- In г, г|)= — е (г, е — полярные координаты).

2л2л2л

тельной в случае источника и отрицательной в случае стока:

X (z) = ~- In г,<р = -^- In г, г|)= — е (г, е — полярные координаты).

2л2л2л

2nz2лг

2nz2лг

§ 50. Комплексные потенциалы простейших потоков

Пользуясь приемом (33) отделения действительной и мнимой частей в выражении комплексного потенциала, можем определить потенциалы скоростей и функции тока, а по (39) —и распределение скорости для нескольких простейших плоских

потоков идеальной несжимаемой жидкости.

Однородный поток с вектором скорости Ug(〃8, ^8), направленный

оси。工 под углом 0ТО (рис. 55):

X(Z)=丿8Z, Voo ^^ 〃8 —" i%> ==

=卜81 广。8 = 1% I (cos 0OO - j sin0w); 屮="3%十3，, = -%%+ "8协

V =丿8 = 〃8 + 28・

Источник (сток) в начале координат (рис. 56) с секундным объемным расходом (дебитом) Q — действительной величиной, положи

Вихрь, изолированный в начале координат (рис. 57), с циркуляцией Г (действительная величина):

X(Z)=RlnZ；屮=一二111厂，Г= -, |^i = —.

2м2л2n2niz2nr

Диполь в начале координат с моментом m (рис. 58) (действительная величина) и осью, направленной вдоль оси Ох:

mx = _rnx_ .my — _.

2江(产 + g2)— 2hа2，屮——2n (*2 + “)一 一 ^，

2 rlz21 I 2"2

Прием наложения потоков, оправдываемый линейностью уравнений для 屮 и гр, позволяет получать новые потоки. Так, например, поток диполя (п. 4) может быть получен сложением потоков источника и стока

одинаковой мощности, размещенных по оси Ох симметрично относительно начала координат О в точках с абсциссами ±九,при предельном переходе: ft->0, |Q|f8, Q*2h стремится к конечной величине т — моменту диполя:

%(z)= lim/l->0,|Q|-*oo Q・2hfn%(z)= lim/l->0,|Q|-*oo Q・2hfnQ • 2九 In (z + 力)一In (z --九)_旦 d In 2 _ m

%(z)= lim

/l->0,|Q|-*oo Q・2hfn

%(z)= lim

/l->0,|Q|-*oo Q・2hfn

2л2九2л dz2яг *

стока с положительнойстока с положительнойЗначение m>0 соответствует расположению

стока с положительной

стока с положительной

стороны оси Ох, /п<0 — противоположному случаю.

Путем такого наложения можно получить следующие потоки.

Рис 59Рис 59

Рис 59

Рис 59

Вихреисточник (вихресток) (рис. 59)—сложением комплексных потенциалов вихря и источника (стока):

2я2яInz.Inz.

2я

2я

Inz.

Inz.

6. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса q потоком вдоль оси 0% (рис. 60) —наложением однородного потока (п. 1) на поток диполя (п. 4) при m=2na2Voo (V^ — действительная положительная величина):6. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса q потоком вдоль оси 0% (рис. 60) —наложением однородного потока (п. 1) на поток диполя (п. 4) при m=2na2Voo (V^ — действительная положительная величина):2ла2Упо 1/\2ла2Упо 1/\(42)(42)Нулевая линия тока (^=0) ь рассматриваемом случае распадается окружность (工2+〃2 =废)радиуса а и ось Ох (у = 0).Нулевая линия тока (^=0) ь рассматриваемом случае распадается окружность (工2+〃2 =废)радиуса а и ось Ох (у = 0).на две кривые:на две кривые:То же обтекание в случае Voo = I Voo I eie°° определяется комплексным потенциалом%(2)=%2 + 1/оо 色，(43)То же обтекание в случае Voo = I Voo I eie°° определяется комплексным потенциалом%(2)=%2 + 1/оо 色，(43)—выражение которого легко 0 выводится из формулы (42), если ее применить в плоскости комплексного переменного 2’ с осью О/, направленной по вектору скорости Уоо, так что по (42)—выражение которого легко 0 выводится из формулы (42), если ее применить в плоскости комплексного переменного 2’ с осью О/, направленной по вектору скорости Уоо, так что по (42)плоскости z заменой z‘ на ге~^°°плоскости z заменой z‘ на ге~^°°возвращаясь кСкорость Р в произвольной точке потока (42) равнавозвращаясь кСкорость Р в произвольной точке потока (42) равнаполучим (43).получим (43).(44)(44)

6. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса q потоком вдоль оси 0% (рис. 60) —наложением однородного потока (п. 1) на поток диполя (п. 4) при m=2na2Voo (V^ — действительная положительная величина):

6. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса q потоком вдоль оси 0% (рис. 60) —наложением однородного потока (п. 1) на поток диполя (п. 4) при m=2na2Voo (V^ — действительная положительная величина):

2ла2Упо 1/\

2ла2Упо 1/\

(42)

(42)

Нулевая линия тока (^=0) ь рассматриваемом случае распадается окружность (工2+〃2 =废)радиуса а и ось Ох (у = 0).

Нулевая линия тока (^=0) ь рассматриваемом случае распадается окружность (工2+〃2 =废)радиуса а и ось Ох (у = 0).

на две кривые:

на две кривые:

То же обтекание в случае Voo = I Voo I eie°° определяется комплексным потенциалом

%(2)=%2 + 1/оо 色，(43)

То же обтекание в случае Voo = I Voo I eie°° определяется комплексным потенциалом

%(2)=%2 + 1/оо 色，(43)

—выражение которого легко 0 выводится из формулы (42), если ее применить в плоскости комплексного переменного 2’ с осью О/, направленной по вектору скорости Уоо, так что по (42)

—выражение которого легко 0 выводится из формулы (42), если ее применить в плоскости комплексного переменного 2’ с осью О/, направленной по вектору скорости Уоо, так что по (42)

плоскости z заменой z‘ на ге~^°°

плоскости z заменой z‘ на ге~^°°

возвращаясь к

Скорость Р в произвольной точке потока (42) равна

возвращаясь к

Скорость Р в произвольной точке потока (42) равна

получим (43).

получим (43).

(44)

(44)

Распределение скоростей по контуру окружности z—aeiz определяется формулой

1h=2八回11£1,(45)

где £ — полярный угол между радиусом окружности и осью Ох. Если вместо полярного угла е перейти к дополняющему его до л/2 местному углу атаки 0 — углу между вектором скорости в точке на контуре окружности и направлением набегающего на тело потока, то (45) примет вид

171=27^ cos 9,

выражающий пропорциональность модуля скорости в точках контура окружности косинусу местного угла атаки в этих точках. Эта закономерность оказывается справедливой для обтекания эллипса и ряда других течений (см. далее § 52). В точках Л (е = л) и В(е = 0) скорости равны нулю; эти точки называются критическими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 60, точка Л называется передней критической точкой, точка В — задней.

Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значение при е = ±л/2 в точках С и D миделевого сечения цилиндра; это максимальное значение скорости равно

1几息=2丿8,

т. е. удвоенной скорости набегающего потока или удвоенной скорости на бесконечности.

Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилиндра может быть представлено в форме коэффициента давления с,=

=(Р—"8)/('/2「卜28)・ Применяя теорему Бернулли в форме (26) гл. V и определяя константу как Рв + 'АрУ^в, найдем в рассматриваемом случае

Ср == 1 — •=1—4 sin2 £.(46)

%Р%嗫

Полученное распределение давления по контуру окружности, как это прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям Ох и Од, результирующей силы не дает. Это является частным случаем парадокса Даламбера, который будет в дальнейшем (см. гл. IX) установлен для тела любой формы при поступательном, прямолинейном и равномерном его движении сквозь покоящуюся вдали от него идеальную несжимаемую жидкость.

Циркуляционное обтекание круглого цилиндра можно получить наложением вихря с циркуляцией Г (п. 3) на бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра (п. 6). Комплексный потенциал составного движения будет, согласно (42) и п. 3,

Х(2)= |1М (47)

что при Г>0 соответствует направлению циркуляционного движения против часовой стрелки. Останавливаясь на этом случае, определим сопряженную скорость

5 = £亲(48)

dz\ z2 J 2血

и найдем положение критических точек, решая уравнение

忆|(1一匀+矗=。，

или, что то же, квадратное уравнение

(49)(49)Корни его будут 2 —± 1 / a2

(49)

(49)

4л] % I И 16^1^ |2

В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания.

а) Циркуляция велика: Г>4ла| VTO|. В этом случае в выражении (49) под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно написать

(4几1а|16方%|2 丿

Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного больше радиуса цилиндра, другого — меньше. В самом деле, корень

21=QI厶16小，

имеет модуль (Г>0)

141 =——Н 1 / r：出 > ——Г——> a；

второй корень

2И 16n21%卩丿

имеет модуль

4R|%| 十 16n"%]2

Заменим в знаменателе последнего выражения Г/(4л| Voo|) на меньшую величину а; тогда получим

I г2 I <色-=以а

Первый корень дает критическую точку Л (рис. 61, а), лежащую вне круга на положительной стороне мнимой оси, второй — критическую точку В на той же оси, но внутри круга.

Рис. 61Рис. 61

Рис. 61

Рис. 61

мни-мни-Промежуточный случай: Г=4ла|VTO|. Корни / и 马 равны меж-

мни-

мни-

ду собой; критические точки совпадают (рис. 61, б) и находятся на мой оси в точке

ком-ком-Zi = z2 = di.

ком-

ком-

Циркуляция мала: Г<4ла| V^}. Корни (49) в этом случае плексные,

z = 士 ] / а2z = 士 ] / а2FF16n2 |%|：16n2 |%|：

z = 士 ] / а2

z = 士 ] / а2

F

F

16n2 |%|：

16n2 |%|：

абс- т. е.абс- т. е.имеют общую ординату Г/(4л| Voo|) и отличаются лишь знаками цисс, по модулю меньших а. Модуль каждого из корней равен а,

абс- т. е.

абс- т. е.

они расположены на окружности радиуса а. Положение критических точек показано на рис. 61, 8. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещаться, стремясь занять положение на пересечении окружности с осью Ох, как это и должно быть при Г=0.

Как видно, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси Оу, но нарушается симметрия относительно оси Ох. В связи с ^тим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Оу. Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а над цилиндром вычитаются. При этом под цилиндром скорости больше, а давления, согласно уравнению Бернулли, меньше. Над цилиндром, наоборот, скорости меньше, а давления больше. Это приводит к тому, что в указанном обтекании главный вектор сил

давления R жидкости на цилиндр будет направлен по оси Оу в отрицательную сторону (вниз)•

При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г<0) картина обтекания при том же расположении осей координат изменится на перевернутую вокруг оси Ох на 180°, и главный вектор окажется направленным по оси Оу в положительную сторону, т. е. вверх. Можно дать простое правило определения направления главного вектора сил давления жидкости на поверхность цилиндра: поместив начало вектора скорости К» в центр цилиндра О, повернем его на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения; это и даст направление главного вектора R.

Остается вычислить величину Ry. Имеем

2Л

(50)(50)§ рп ds, 凡=—勺 pny ds = — о『psine de. о

(50)

(50)

На контуре круга по (48) будет

7 = 1几|(1—「的)+金/俯=

так чтотак что= 21^1/^-^= 21^1/^-^in 8in 8ieris = »俯 27@ieris = »俯 27@2na 丿，2na 丿，w1 = 1人。| 2sin8——J—w1 = 1人。| 2sin8——J—sin £V。(2nlp001a丿sin £V。(2nlp001a丿(51)(51)

так что

так что

= 21^1/^-^

= 21^1/^-^

in 8

in 8

ieris = »俯 27@

ieris = »俯 27@

2na 丿，

2na 丿，

w1 = 1人。| 2sin8——J—

w1 = 1人。| 2sin8——J—

sin £V

。(2nlp001a丿

sin £V

。(2nlp001a丿

(51)

(51)

В отличие от бесциркуляционного обтекания цилиндра в рассматриваемом сейчас случае циркуляционного обтекания коэффициент давления зависит от параметра Г/( | VTO |а), содержащего произвольную величину наложенной циркуляции. Как это следует из (51), для подобия циркуляционных обтеканий необходимо ставить условие одинаковости в сравниваемых течениях параметра Г/( | V^a) — безразмерной циркуляции.

Подставляя в выражение Ry (50) значение р по уравнению Бернулли и принимая во внимание (51), получим

Rg=^j (^IV^sinE-—^ sinsdE = -p\Voo\r. (52)

Проделав аналогичные выкладки, можно было бы показать, что 几=0, но это очевидно и из соображений симметрии.

Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления нет, но возникает поперечная сила, равная произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Полученное выражение (52) для Ry является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано ниже.

При вращательном движении тел в реальной жидкости, обладающей внутренним трением (вязкостью), можно наблюдать возникновение циркуляционных движений, качественно похожих на только что изученные. Эффект образования при этом поперечной силы (эффект Магнуса) помогает объяснить многие интересные явления. Таково, например, возникновение аэродинамического момента действия воздушного потока на вращающийся артиллерийский снаряд, приводящего в совокупности

с гироскопическим моментом к повороту снаряда в плоскости стрельбы и приближению его оси к касательной к траектории. К тому же роду вопросов принадлежит историческая попытка, вновь привлекающая внимание кораблестроителей, создания судового движителя в виде вертикальных вращающихся цилиндрических башен (так называемых роторов Фл етнер а), помещенных на палубе корабля и создающих движущую силу, перпендикулярную к направлению ветра. Аналогичный эффект наблюдается при полете закрученных футбольных и теннисных мячей. Та или иная интенсивность закрутки и направление закрутки создают совершенно неожиданные для партнера траектории мячей.

Отметим, что комплексный потенциал (47) является частным случаем более общего потенциала

—Г

х (Z) =J In z,(53)

соответствующего, как это следует из (43), наличию между вектором VTO и осью 0% некоторого угла 08； комплексный потенциал (53) может быть положен в основу метода разыскания комплексных потенциалов плоского обтекания тел иной формы.

Решение задачи обтекания по методу конформных отображений.Постулат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции

Обратимся теперь к рассмотрению приложения метода конформных отображений к решению прямой задачи определения обтекания крыловых профилей. Под крыловым профилем понимают плавный, вытянутый в направлении набегающего на него потока, замкнутый и самонепересе- кающийся геометрический контур с закругленной передней кромкой (《лоб》 профиля) и заостренной задней кромкой («хвост» профиля;. Отрезок прямой, соединяющей некоторую точку передней кромки с вершиной угла на задней кромке, называют хордой крылового профиля (выбор хорды может быть весьма разнообразен), а длину хорды ——длиной профиля; максимальную толщину профиля в направлении,

перпендикулярном к хорде, называют толщиной профиля, а отношение толщины к длине — относительной толщиной крылового профиля. Угол, образованный вектором скорости набегающего потока вдалеке от профиля (вектором скорости《на бесконечности») и направлением хорды, носит наименование угла атаки. Условясь в этой обычной терминологии, перейдем к постановке основной задачи обтекания крылового профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости 匕。, образующим с осью Ох угол 0ТО. Физическая плоскость z имеет заштрихованный на рис. 62 вырез, что делает ее двухсвязной} для определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию скорости Г по произвольному, охватывающему профиль контуру &.

Будем считать первую, чисто геометрическую и самую трудную по существу задачу об отображении внешней по отношению к заштрихо-

ванной на рис. 62 области С в физической плоскости на внешнюю по отношению к заштрихованному кругу С* область вспомогательной плоскости, уже разрешенной.

Пусть функция комплексного переменного

КС)(54)

представляет собой искомую преобразующую, или отображающую, функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отношению к ограниченной контуром С (на рис. 62 заштрихованной) области плоскости комплексного переменного z=x+iy на внешнюю по отношению к заштрихованному на том же рисунке кругу С* с радиусом а и центром в начале координат системы О* ^п часть вспомогательной плоскости комплексного переменного 匕=占 +『斗 Наложим на преобразующую функцию (54) дополнительные условия: 1) чтобы бесконечно удаленная точка z=8 переходила при отображении в бесконечно удаленную той- ку；=8, н2) чтобы направление скорости на бесконечности VTO при переходе из плоскости z в плоскость 匕 сохранялось. Как доказывается в теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при выполнении этих условий преобразование (54) является единственным.

Пусть x(z)—искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости, а %* (匕)一комплексный потенциал течения во вспомогательной плоскости, т. е. определенный в .предыдущем параграфе комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра. Согласно (53) в настоящем случае будет

+ М + 從，(55)

где У： и Г* — скорость на бесконечности и циркуляция скорости по про- иэвольному контуру С*, охватывающему С* во вспомогательной плоскости 扌・ Пользуясь связью (54) между z и 匕，заключим, что (%=屮+绅— инвариант)

%(z)=%[f&) ]=%*&)・

Взяв производную по Z от обеих частей этого равенства, получим W =d% dz =故 盟—dz d^~ dz

или по (38)

F*=7f(0,(56)

а в бесконечно удаленных точках /Иоо = /'(8).(57)

По принятому ранее условию направление вектора скорости на бесконечности Voo при конформном отображении сохраняется, т. е. векторы Voo и Уз параллельны. Отсюда следует (параллельность сопряженных векторов Р： и 7оо, а из (57) заключим о действительности величины 加8, так что

Vоо * 团8卩8；

будем считать для определенности т^ положительной величиной.

Преобразующая функция (54) может быть выражена рядом Лорана z = f © = /и8c + 2 十 >(58)

сходящимся во всей внешней по отношению к кругу С* области |С|>а.

Коэффициенты главной части этого ряда, представленной суммой членов с отрицательными степенями J, могут быть определены при помощи контурных интегралов (п=0, 1,2,...)

= 或， (59)

вычисленных по окружности С* или по любой другой окружности, содержащей внутри себя С*.

f ©)%f ©)%Преобразующая функция может быть также выражена при помощи интеграла Коши

f ©)%

f ©)%

(60)

где 占‘ —комплексная переменная интегрирования.

Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Представив ее, согласно первой из формул (41), как действительную часть интегралов

r* = Re(J)r4 = Re^r —^ = Re^7d2=r,

заключим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профильt при конформном отображении сохраняет свое значение.

Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные величины и Г* через заданные величины К», Г и коэффициент тто, определяемый, согласно (57), по известной преобразующей функции f(C). Следовательно, будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала % в плоскости течения в виде параметрической зависимости от параметра 匕

7^) = T^ = ^ ь乩 + 个 從，z=f@ (61)

Таким образом, если известно решение геометрической задачи о конформном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру С области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу С* произвольного радиуса q область вспомогательной плоскости & то решение гидродинамической задачи об определении комплексного потенциала %(z) уже не составит труда.

Из системы равенств (61) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от произвольного выбора величины циркуляции Г. С точки зрения теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности, налагая ту или дру-

гую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических

точек..

Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой

точкой на задней кромке и при той же по величине и направлению скорости на бесконечности теоретически возможны три указанных на рис. 63 типа обтекания. Буквами Л и В отмечены критические точки обтекания. В случае а), так же как и в случае в), жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в случае в) и с нижней на верхнюю в случае а). При этом на острой кром

задней кромки крыла с конечнойзадней кромки крыла с конечнойке либо должны образовываться бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо должны происходить срывы потока с поверхности профиля и вихреобразование. Среди трех указанных возможных форм обтекания только одна форма 6) с задней критической точкой В, совпадающей с угловой точкой на задней кромке профиля, приводит к плавному стеканию струй жидкости с

задней кромки крыла с конечной

задней кромки крыла с конечной

скоростью.

По свидетельству современников в конце 1909 г. С. А. Чаплыгин в дискуссии ЛО докладу Н. Е. Жуковского выдвинул в качестве обобщения известного опытного факта следующий постулат: среди бесконечного числа теоретически возможных обтеканий профиля с угловой точкой на задней кромке в действительности осуществляется плавное обтекание с конечной скоростью s этой точке.

Приоритет С. А. Чаплыгина, давшего общую трактовку этого постулата, оспаривается в связи с использованием подобного постулата в более ранних работах Н. Е. Жуковского по крыловым профилям частной формы. Сохраним общепринятое в отечественной и зарубежной литературе наименование «постулат Жуковского — Чаплыгина».

Опыт показывает, что для каждого крылового профиля существует диапазон углов атаки, в котором профиль обтекается без отрыва жидкости от его поверхности с плавным сходом с задней кромки. Крыловые профили, отвечающие постулату Жуковского — Чаплыгина, обычно называют хорошо обтекаемыми^ остальные ——плохо обтекаемыми. Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что обтекаемость зависит не только от формы профиля, но и от скорости потока, от угла атаки, от физических свойств жидкости, присутствия вблизи профиля других тел и Др.

Постулат Жуковского — Чаплыгина позволяет однозначно определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к безотрывной форме обтекания крылового профиля с конечной скоростью на задней его кромке.

Пусть угловой точке В (рис. 64) на профиле С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С*. Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них нарушается основное свойство конформного преобразования — сохранение углов между касательными к преобразуемым контурам. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней кромке, равный 2л—В, где 6 — внутренний острый угол на задней кромке, переходит в плоскости С в не равный ему угол л с вершиной в точке В*.

Рассмотрим конформное отображение внешней по отношению к профилю С малой области вблизи вершины угла В на малую, внешнюю по отношению к кругу С* область вблизи точки В* в плоскости 扌.Это конформное отображение можно представить формулой

2 - 25 =М鱼一迄.)k， (62)

где 2в и а* — комплексные координаты соответствующих друг другу точек В и В* в плоскостях z и С, а М — некоторое действительное число. В самом деле, положив вблизи точек В и В*

Z—Zb = к', С—餐• = Г*е?"

и подставив эти выражения в (62), найдем

2门一6 / 2JT-6ге^^Мг^е —.

Приравнивая аргументы, получим

0 =空二e庠±2^

и убедимся, что изменению §* на л соответствует изменение § на 2л——б.

Пользуясь преобразующей функцией (54), можем установить связь между скоростями в точках В и В*; получим

или, вычисляя производную по (62),

л-б

= Кв 红二立 М (С — Сз*)；6*・

По постулату Жуковского — Чаплыгина скорость VB должна быть конечна, последний же сомножитель, поскольку Svn, равен нулю; следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда следует, что соответствующая задней кромке профиля точка круга во вспомогательной плоскости должна быть критической.

Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (61), напишем, что скорость в точке В* равна нулю

Полагая здесьПолагая здесь

Полагая здесь

Полагая здесь

隔* = О叫Uoo = I，8 I /%

где Ео ——полярный угол точки В* на окружности С*, 8s — угол, образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или 0*三，получим

гИсо Voo I е — m^ Voo е+ т—宀=0,

2

откуда найдем

*88-8。)一“98-80)

Г = —4ла/Поо I Voo I 二^,

или, переходя от показательных функций к тригонометрическим, Г=~4яатоо I V» | sin (0«—е0) •(63)

Г=-4冗"加8 I kж I sin a.Г=-4冗"加8 I kж I sin a.(64)(64)

Г=-4冗"加8 I kж I sin a.

Г=-4冗"加8 I kж I sin a.

(64)

(64)

Введем обозначение 0«>—е0=а и перепишем формулу (63) в виде

бесциркуляционное обтеканиебесциркуляционное обтеканиеЦирку力視ионное обтеканиеЦирку力視ионное обтекание

бесциркуляционное обтекание

бесциркуляционное обтекание

Цирку力視ионное обтекание

Цирку力視ионное обтекание

Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы без наложения циркуляции (Г=0) задняя кромка совпадала с критической точкой В. Отметим на профиле прямую КК (рис. 65, а), определяющую направление скорости на бесконечности, соответствующее этому бесциркуляционному обтеканию. Жестко связанную с профилем прямую КК будем называть направлением, бесциркуляционного обтекания, а соответствующее значение угла 0оо = 8о — углом бесциркуляционного обтекания профиля.

Рис. 65

Повернув профиль на угол а (рис. 65, б), получим циркуляционное обтекание с критической точкой в задней кромке В, причем необходимая для этого циркуляция определится равенством (64).

Острый угол а между направлением скорости набегающего потока и направлением бесциркуляционного обтекания назовем теоретическим углом атаки в отличие от практических углов атаки, определяемых как углы между направлением скорости на бесконечности и хордами крыла, задаваемыми разнообразными способами.

Формула (64) определяет так называемую теоретическую циркуляцию. Как показывают опыты, теоретическая циркуляция несколько превышает действительную; объяснение этого факта связано с наличием в реальных жидкостях внутреннего трения.

Исключая из параметрической системы (61) циркуляцию при помощи формулы (64), получим однозначное решение задачи о внешнем обтекании крылового профиля.

Вывод формулы (64) основывался на наличии у крылового профиля острой задней кромки. В случае обтекания профиля плавной формы без угловой точки на задней кромке постулат Жуковского — Чаплыгина не имеет места и циркуляция остается неопределенной. Теоретический расчет обтекания такого рода профилей требует или специальных допущений, или задания положения задней критической точки.

Примеры применения метода конформных отображений.Обтекание эллипса и пластинки

Рассмотрим некоторые простые конформные преобразования внешности круга во вспомогательной плоскости на внешность замкнутого профиля в плоскости течения.

Первое такого рода преобразование, указанное Н. Е. Жуковским и использованное С. А. Чаплыгиным в 1910 г., имело вид

(65)

или, в более симметричной форме,

Преобразование Жуковского (65) является простейшим частным случаем общего преобразования (58), соответствующим значениям ко

эффициентов

Q" с?, /и。— и?2*— О;

оно удовлетворяет всем поставленным в § 51 условиям.

Окружность С* радиуса с в плоскости 扌一будем ее называть основной окружностью — преобразуется в плоскости z в отрезок F'F (рис. 66) на оси Ох с концами в точках (—с, 0) и ( + с, 0). В самом деле, полагая С = се* найдем

(67)(67)z = £®£+ е^1'8) = с cos 8,

(67)

(67)

так что полному обходу окружности (0《е《2л) соответствует двойной

Рис. 66Рис. 66

Рис. 66

Рис. 66

обход отрезка FF', справа налево по верхней части разреза FF' и слева направо по нижней части разреза.

Окружности Ci , С2 , • • •, концентрические с основной окружностью С*, преобразуются в софокусные эллипсы Сь С2, ... с фокусами 尸,尸'. Действительно, обозначая через г радиус какой-нибудь из окружностей и полагая в (65)

C = d (г>с), получим

z = — f ге^

2 I откуда следует

х= у + —^ cose,х= у + —^ cose,

х= у + —^ cose,

х= у + —^ cose,

Обозначим полуоси эллипсов через а и ft. Из равенств

а = Х' + 9(68)

найдем

а2—b2=c2;

все рассматриваемые эллипсы имеют общее фокусное расстояние 2c и фокусы в точках F и F'. Из (68) следует

(69)(69)г=а + Ь.

(69)

(69)

Комплексный потенциал %(z) обтекания любого из эллипсов Св С2, в том числе в пределе и отрезка FF\ со скоростью на бесконечности V», образующей с осью Ох угол 8s, и циркуляцией Г можно по-прежнему составить в параметрической форме (61)

Х = - И^ + ——+大山& 2 = - k + — ；(70)

2 Lg 」 2ш2 I “

надо положить 6 = 0, с = а.надо положить 6 = 0, с = а.в случае обтекания отрезка FF Комплексный параметр 匕 может быть из системы (70) легко исключен. Разрешая второе равенство относительно & получим

надо положить 6 = 0, с = а.

надо положить 6 = 0, с = а.

С = 2(±У^Р,(71)

z + У Z2 ——с2z + У Z2 ——с2причем перед корнем взят верхний знак, что соответствует отображению внешности эллипса на внешность кругам в самом деле, принимая нижний знак, мы бы имели

z + У Z2 ——с2

z + У Z2 ——с2

и ；=0 при z=8, т. е. внешности эллипса соответствовала бы внутренность круга.

Таким образом, вместо параметрического представления (70) комплексного потенциала обтекания эллипса получим явное выражение этого потенциала

Mz) = !艮 Q + + "咚？] + g(z + f?^), 2 [ Z + 匕2~2」 2m

которое легко упрощается, если обычным приемом уничтожить иррациональность в знаменателе второго слагаемого в квадратных скобках. Будем иметь

%(z) = ^応 к + /^=^) + у ~^^^% (z - /F^?) +

+ ^ln{z+^Z^y(72)

Бесциркуляционное (Г=0) обтекание эллипса показано на рис. 67 Нулевая линия тока, проходящая через критические точки Л и В, состоит из самого обтекаемого эллипса и двух отрезков софокусной с ним гиперболы, параметры которой зависят от угла атаки 0ТО.

Имея выражение комплексного потенциала скоростей (72) и взяв от него производную по z, найдем сопряженную скорость, а следовательно, и распределение скоростей и давлений по контуру обтекаемого эллипса.

А. Л. Гонор') придал этим распределениям изящную форму, доказав теорему: при безвихревом, бесциркуляционном обтекании эллипса несжимаемой жидкостью в направлении его осей скорость 8 точках контура пропорциональна косинусу местного угла атаки в этих точках.

9 Гонор А. Л. Определение поля течения на поверхности некоторых тел в потоке несжимаемой жидкости.— Механика жидкости и газа, 1976, № 2, с. 187—190.

Приведем доказательство этой теоремы для случая набегающего по- тока, параллельного большей оси эллипса. Аналогично проводится доказательство в случае потока, параллельного малой оси, а путем наложения этих потоков — для обтекания под любым углом атаки.

— Выражение потенциала скоростей 屮 найдем, положив в (72) Г=0, 08 = ^8 = 08 и отделив в ней действительную часть. Для этого перейдем от декартовых координат %, у к эллиптическим 占，п：

%=с ch 自 cos 質， ^ = c ch gsin n・

Координатными линиями будут служить семейства софокусных эллип* сов и гипербол (с — расстояние от начала координат до фокусов):

с2 ch2 gс2 sh2 g' с2 cos2 nc2 sin2 г)

Рассматривая обтекаемый эллипс с полуосями а и & как один из эллипсов первого семейства (自=const), получим следующие соотношения, справедливые на контуре эллипса:

ch Е = а/с, sh Е = b/с, с = *|/ М —庐,cost)= x/o, sin r)=y/b.

Переходу от декартовых координат к эллиптическим соответствует преобразование z=c ch g, где z=%+，〃，工=盲 + 川.

Комплексный потенциал скоростей % при этом приобретет вид

% = к» V (а + Ь)1(а — Ь) (а ch С — sh ?,а его действительная часть и производные от нее по & и п будут равны

屮=Us + b)/(Q — b)(Q ch 己一&sh 占)cos %

@屮/死=Us Via + b)/(a — b) (a sh E — b ch & cos %

d(p@l = — Ug V (^ + b)/(a ——b) (a ch J — bsh 自)sin 巾

Для определения производных d^jdx и д^/ду используем систему равенств

^Ф —дф дх. d(p ду д(р— d(p d*丄 已屮 己9

比дх 比 ду 兔'Зт) дх dq ду dq '

которая, согласно только что полученным соотношениям, приведется на контуре эллипса к следующей:

a Ox 丁 b ” дудх а дуd

Решения этой системы уравнений выразятся в форме

亲=-几需冲传+台;

а квадрат модуля скорости окажется равным

"=（*『+傷）；^甯疗信+勺二

Квадрат косинуса местного угла атаки 0 на контуре эллипса будет равен

"(凯"偿)丁，

или, согласно уравнению эллипса в декартовых координатах, cos29=(r/2/b4) (х2/а^ + у2/Ь^)-\

Сравнивая между собой полученные выражения | V|2 и cos20, убедимся в наличии на контуре эллипса соотношения

|P| =(l + b/a)U8 cos0,

которое доказывает теорему Гонора. Коэффициент давления Ср= = (p——P8)/('/2pU*) определится равенством

%= 1— (1 + Ь/а)2 cos2 0.

При Ь=а вновь найдем указанные в § 50 формулы бесциркуляционного обтекания круглого цилиндра.

Теорема Гонора справедлива не только для плоского бесциркуляционного безвихревого обтекания эллиптического цилиндра, но и в случае пространственного обтекания вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения, а также и трехосного эллипсоида. Доказательство этих результатов можно найти в ранее цитированной статье А. Л. Г о- нора.

Полагая в (72) с=0, b = Q, получим комплексный потенциал циркуляционного обтекания круга. Для этого достаточно лишь вычислить предельное выражение

z — У г2 ——с2 — 1

с? ю 2z

входящее во второе слагаемое. Будем иметь

— V а2 г

%(Z)= %+ 3~+上山2

в полном соответствии с ранее указанным выражением (53).

Полагая в той же формуле (72) Ь = 0, а=с, найдем комплексный потенциал циркуляционного обтекания пластинки длины 2c (отрезка FF' на рис. 66)

0С= ^^8(z十"/?一尚 + у Voo(z — /г? —с?) + ~^In(2 + 代2一c,=

=丄(，+08)z —丄(厶一Pg) /?一”+ 工E(2+ yd -尚=

222ni

=UgZ — Шоо 1/^2 —d + -L-. in (г + У г2 — с2), (73)

где %, % — проекции К» на оси координат.

На рнс. 68 показана картина линий тока обтекания пластинки при Г=0. Нулевая линия тока состоит из поверхности пластинки и двух отрезков софокусной гиперболы, параметры которой, так же как и в случае обтекания эллипса, зависят от угла атаки 0«.

Не останавливаясь на анализе течения, определенного формулой (72) в общем случае, рассмотрим несколько подробнее выражение (73) комплексного потенциала обтекания пластинки.

Вычисляя скорость, получим

При произвольной величине циркуляции Г и z=±c скорость имеет бесконечные значения, что соответствует обтеканию острых передней и задней кромок.

Подчиним теперь величину Г условию конечности скорости на задней кромке (z=c), как того требует постулат Жуковского — Чаплыгина. Для этого должно быть

.Г с

w8c= О,

2亩 т. е.

В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направление совпадает с направлением самой пластинки, так что уголВ рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направление совпадает с направлением самой пластинки, так что уголРис. 69Рис. 69Г=—2лс08・(75)

В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направление совпадает с направлением самой пластинки, так что угол

В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направление совпадает с направлением самой пластинки, так что угол

Рис. 69

Рис. 69

Рис. 68

£о, входящий в формулу циркуляции (63), равен нулю. Определяя циркуляцию по этой формуле и заменяя по (65) moe = i/2, получим

Г = — 4л у с I Voo I sin 0оо = — 2лс || sin 0»(76)

в полном соответствии с только что непосредственно выведенной формулой (75).

Подставляя выражение циркуляции (75) в (74), получим следующую формулу распределения скоростей:

F = к — i%= иоо —山8・(77)

Уг2 — са" г + с

На задней кромке (z=c) скорость конечна и равна 〃8, на передней кромке(2=—с) скорость остается равной бесконечности. Выбором циркуляции нельзя сделать скорость конечной на обеих острых кромках. Расположение линий тока в случае плавного обтекания задней кромки показано на рис. 69.

В формулы (72) и (73) в качестве последнего слагаемого входи г комплексный потенциал чисто циркуляционного обтекания эллипса или пластинки

Хо (z) = ~^-1п (z+ V? —с2).(78)

Соответствующие этому течению линии тока — эллипсы — показаны на рис. 70. Сопряженная скорость будет

у =—姒0 Г_ 1 ― dz 2 л У с* — z® *

На верхней поверхности корню соответствует знак

пластинки (у=0, —с<х<с) квадратномуплюс, так что сопряженная скорость действи-

тельна и равна

Г 1 '

2П了週-х2

(〃+ < 0 при Г > 0).

На нижней поверхности у корня следует брать знак минус, так что

г 1

〃一 =ЪГ7^(-->0приГ>0).

Отвлечемся от того, что отрезок F'F представляет собой твердую

Рис. 70

стенку, и представим себе всю плоскость хОу занятой жидкостью. Тогда линия 戸'尸 явится линией разрыва скоростей в потоке. В самом деле, по только что доказанному, при

О-

By*——^

-1

Рис. 71

переходе через линию F'F (рис. 70) скорость и претерпевает конечный скачок

г

и —и.=…一.

-+ Л 九2一*2

Построим на бесконечно малом отрезке ds линии PF (рис. 71) прямоугольный контур, охватывающий точку М. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру

(u_ - "+) ds =

Fds

л V С2 — X2

отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции. Обозначим через 7 плотность распределения вихрей, т. е. интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка 尸尸；тогда получим

^ds= (〃一一u+)ds и, следовательно.

(79)(79)

(79)

(79)

Непрерывное распределение вихрей на поверхности (при плоском движении вдоль некоторой линии) образует вихревой слой.

Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (78) вокруг эллиптического цилиндра (в частности, пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется формулой (79).

§ 53. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина

Разобранные в предыдущем параграфе примеры обтекания эллиптического контура и, в частном случае, пластинки не дают полного представления об обтекании крыловых профилей.

Составляя выражение производной от преобразующей функции (65)

(80)(80)dz1 八с2 \

(80)

(80)

=—I ]I

典2 ID丿

видим, что точки 尸 и 尸* (рис. 66) плоскости С с координатами С=±с являются особыми точками конформного отображения (65), так как в

Рис. 72Рис. 72

Рис. 72

Рис. 72

этих точках производная равна нулю. В точках 尸* и 尸'* нарушается конформность отображения: углам я в этих точках соответствуют углы 2л в точках 尸 н 尸 плоскости 2.

Окружность С*, проведенная через обе особые точки, преобразовалась в прямолинейный отрезок FF' или, точнее, в разрез плоскости z с двумя угловыми точками, окружности же С； и С；, не проходящие через особые точки, перешли в эллипсы — плавные кривые, не имеющие угловых точек. Проводя в плоскости g окружности или другие какие-нибудь замкнутые кривые так, чтобы они проходили только через одну особую точку, образуем в плоскости z профили с одной угловой точкой, из которых можно выбрать подходящие для крыловых профилей.

Примерами такого рода теоретических крыловых профилей могут служить профили Жуковского — Чаплыгина, образованные конформным отображением (65) окружностей К*, проведенных во вспомогательной плоскости (рис. 72) через особую точку 尸* и содержащих внутри себя вторую особую точку 尸*. Особенностью этих профилей является нулевой угол на задней кромке.

Если центр круга К； находится в точке М оси 0*三，то в плоскости z получим симметричный профиль К^ называемый рулем Жуковского (показан на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок 尸尸，служащий скелетом руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его Ki будет стягиваться к отрезку FfF. Чтобы получить руль небольшой (по сравнению с его длиной) толщины, дадим точке ^1 малое смещение влево от точки О*, равное по абсолютной величине 九с, где 九《1. Тогда уравнение окружности К； можно представить в виде

5=—Хс+(1+Х)се<в,

где 0 — полярный угол точек окружности К； (на рисунке не показанный). Подставляя это выражение в преобразование (65), получим уравнение руля Жуковского

2 = ；「一 аe + (1 + 九)宾用 +——-二

2 L-九 + (1+九)/8」

Не составляет труда, используя малость параметра 九，представить правую часть в виде разложения в ряд по степеням 九.Довольствуясь членами с первой степенью X, получим

z = c cos® + ^■九с (cos29 — 1) + 认с (sin 9 — у sin 28), или

x = c cos 9 +£ Ac (cos 28— 1), y = kc(l — cos 0) sin 9.

Из второго равенства следует, что крайним абсциссам руля соответствуют значения 0 = 0 и 0=л, так что длина, или хорда, b профиля равна

b=%(0)-%(几)=2e,

т. е. в принятом приближении не отличается от длины скелета — отрезка FF'. Найдем максимальную толщину профиля. Максимальному значению ординаты профиля отвечает корень уравнения

=九с (cos 9 — cos 20) = 0,

равный 0m= 120°. Следовательно, максимальная ордината будет 加亚=九с sin 60° (1 + cos 60°) = -^-^ 九с,

4 а толщина

i = 2z/max =且产入&

Круг К* с центром в любой точке ^ плоскости & проходящий через особую точку 尸*, преобразуется в изогнутый профиль Жуковского — Чаплыгина К. Дужка Ко служит скелетом для этого профиля, так же как отрезок FF/ — для руля Вогнутость дужки Ко представляет вместе с тем и вогнутость профиля К. Если, сохраняя вогнутость профиля К,

уменьшать его толщину, то профиль будет стягиваться к своему скелету —дужке К。.

Для решения задачи об обтекании профиля К потоком со скоростью Veo, направленной под углом 9« к оси Ох, проще всего поступить так. Проведем во вспомогательной плоскости * оси ^V и Nrf с началом в центре смещенного круга М Плоскость комплексного переменного У=

= g + irf повернута относительно плоскости 匕 на угол (—В),

так что, положив

приходим к соответствию между плоскостями 扌 и J с параллельными осями координат (а — радиус окружности К*) С = с—ае-" + и〃.

Тогда, принимая плоскость

С〃 за вспомогательную, перейдем от преобразования (65) к преобразованию более общему

2 = ^(° + ^~) = ^" (с 一 W + ? +

которое может быть переписано в виде ряда Лорана

г = ^+1(с_а^)+1^-±^^^

Комплексный потенциал в плоскости g〃 сохранит прежнюю форму

Г (Г)=加8 (底г+号)+ 费山г.

Совокупность последних двух равенств представляет собой искомое решение задачи обтекания теоретических профилей Жуковского — Чаплыгина.

Обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, соответствующие преобразованию

三о = 2Ч

z + oc Н + с丿Л

приводят к крыловым профилям с острым углом т на задней кромке (рис. 73).

Приближенные методы расчета обтекания крылового профиля произвольной формы изложены в четвертом и предыдущих изданиях настоящего курса, а также в § 55. При современных возможностях машинного счета такие приближенные методы практически становятся излишними.

§ 54. Главный вектор и главный момент сил давления потокана замкнутый контур. Формулы Чаплыгина. Теорема Жуковского.

Коэффициенты подъемной силы и момента пластинки

Определим динамическое воздействие потока на находящийся в нем профиль.

Составим выражения главного вектора R и главного момента & сил давления потока на профиль С (рис. 74) относительно начала координат О. Используя уравнение Бернулли

р = const —

— ynx)\V\2dst— ynx)\V\2dst

— ynx)\V\2dst

— ynx)\V\2dst

получим выражения главного вектора

R = — фр^ =^ф\У 产〃 ds

и главного момента Lo =—

с

Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что 九=—ieq ds = dze"3 xny — ynx = Re (izn), U = 土卜 | d。.

Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду

R = Rx + iR“ =

=-f фm「也 С

3-/e §"什2收dz. с

Заменим в этих формулах

I 叫=±Ует・е=士р*;

найдем

R = Rx —iRy =

等01『应=与籽dz, сс

(81)

Lq= — ~- Re $ ”2 dz.

Вспоминая, что по предыдущему F=d%/dz, перепишем эти выражения еще в таком виде:

RT中(含)%，厶一戸唄然dz. (82)

Приведенные формулы главного вектора и главного момента сил давления потока на профиль были даны в 1910 г. С. А. Чаплыгиным 4).

Покажем, что для вычисления контурных интегралов, входящих в формулы Чаплыгина (81) или (82), нет необходимости полностью знать комплексный потенциал, а достаточно иметь лишь первые три коэффициента в разложении производной от комплексного потенциала или, что все равно, сопряженной комплексной скорости V в ряд Лорана.

Предполагая, что во всей внешней к обтекаемому профилю области физической плоскости, включая и саку<онтур С, особых точек нет, можем представить сопряженную скорость V ее разложением в ряд Лорана в физической плоскости

、Е = а° +旦+ *+・・・(83)

Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (К теории аэроплана).— Мат. сб., 1910, т. XXVIII.

7-9487

Легко убедиться, что первые два коэффициента выражаются через скорость набегающего потока 人 и циркуляцию Г, а именно

& =小)2=8 =入，^i ==& Vdz =.(84)

2ш У2nt

с

Подставим в полученные только что формулы (81) разложение со* пряженной скорости в ряд Лорана (83), причем сохраним под знаком интеграла только те слагаемые, которые дадут результаты интегрирования, отличные от нуля; будем иметь (С‘一 произвольный круговой контур в физической плоскости, охватывающий профиль С)

с，с，+ …)dz = - 2np旬"1,

с，

с，

Lo = — у Re ф ^... + •+ J竺2 + ・..)dz = — лр Re 口 (а； + 2а0а2)].

Используя выражения (84) первых двух коэффициентов а0 и а” получим_

R=—ip V«>r, Lo — —2冗p Re (，吸о。?)•(85)

Первая из формул (85) выражает известную теорему Жуковского о подъемной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости. Эта теорема была опубликована в 1906 г. в классическом мемуаре《О присоединенных вихрях»), в котором Н. Е. Жуковский впервые установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой зависимости между этой силой и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему обтекаемое крыло.

Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого потока, определить величину воздействия потока на помещенное в него тело, Жуковский заменяет крыло некоторым воображаемым жидким крылом, ограниченным замкнутой линией тока, и предполагает, что внутри этого жидкого крыла происходит движение с особенностью—вихрем ).

Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным. Интенсивность присоединенного вихря можно вычислить только при помощи некоторого дополнительного допущения. Таким допущением, как мы уже знаем, является постулат Жуковского— Чаплыгина о конечности скоро。 сти на задней острой кромке крылового профиля. Пользуясь этим постулатом, оказалось, как мы видим, возможным теоретически определить величину наложенной циркуляции, или, что то же, интенсивность присоединенного вихря. Эта величина задается формулами (63) или (64) настоящей главы.

Идея присоединенного вихря и постулат конечности скорости на задней острой кромке крылового профиля представляют собой основу всей теории крыла в плоскопараллельном потоке. Эти представления нашли свое дальнейшее развитие и применение и в более общей, пространственной теории крыла конечного размаха, системы крыльев, а также в теории лопаточных аппаратов турбин, компрессоров и насосов.

Возвращаясь к первой формуле (85) и принимая во внимание ее векторный характер, заключим, что величина главного вектора К равна

произведению плотности жидкости на величину скорости набегающего потока и величину наложенной циркуляции (Г—алгебраическая величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной)

l^l=p|Voo||r|, (86)

а его направление определяется (рис. 75, а, б) поворотом на 90° вектора скорости набегающего потока VTO по часовой стрелке, если Г>0, и против часовой стрелки, если Г<0. Таким образом, как уже отмечалось в § 50, главный вектор R является силой, поперечной к направлению набегающего потока или к направлению поступательного движения тела в обращенном движении. По формулировке Жуковского для получения

Рис 75Рис 75направления главного вектора сил давления R надо повернуть вектор скорости набегающего потока Voo на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции.

Рис 75

Рис 75

Заметим, что направление циркуляции в общем случае крылового

не поддается непосредстне поддается непосредстпрофиля произвольной

не поддается непосредст

не поддается непосредст

формы и любого направления натекания

венному восприятию, как это имело, например, место в случае циркуляционного обтекания круглого цилиндра, допускающем простую физическую интерпретацию (§ 50). Для определения «направления циркуляции» необходимо в каждом отдельном случае находить знак Г, пользуясь для этого формулой (63).

Весьма существен тот факт, что единственной силой, действующей на профиль в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости, является перпендикулярная к направлению набегающего потока или, в обращенном движении, поперечная направлению движения профиля сила, которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем са

молета в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете. Подчеркнем отсутствие составляющей силы, направленной вдоль дви

жения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости,——силы сопротивления. Это представляет собой частный случай общего парадокса Даламбера.

Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости как при наличии присоединенных вихрей, так и при отсутствии их. Общее доказательство парадокса для пространственного течения будет дано в § 73 гл. IX.

Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского-Чаплыгина, можно по формуле (86) и по формулам (63) и (64) получить выражение величины подъемной силы в виде

\R\ =4namxp I 乙 ГI sin(80—九)| =4ла,тоор| 7«, |2|sin а|,(87)

впервые указанном Чаплыгиным. Входящее в эту формулу произведение а/Поо зависит от формы обтекаемого контура.

Для иллюстрации применения формул (85) остановимся сначала на простейшем примере, изложенном в конце § 52,— на обтекании пластинки с плавным сходом струй с задней кромки. В этом случае amoo = l/2c, а подъемная сила оказывается равной

|R|=2npc|V8|2sina.(88)

Введем коэффициент подъемной силы как отношение величины подъемной силы \R\ к скоростному напору набегающего потока 7гр| Vo, |2 и длине хорды Ь. Обычно ось Ох направляют по скорости тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через У или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литературе принято обозначать через &, а коэффициент сопротивления —через с*.

При этом обозначении будем иметь

(89)(89)

(89)

(89)

а в рассматриваемом сейчас частном случае пластинки (Ь=2с)

су=2л sin а.(90)

Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых действительно выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (90), переписанная в виде (sina^a)

су«2ла^ 6,28a, (91)

удовлетворительно отражает установленную в опытах закономерность: при малых углах атаки коэффициент подъемной силы пластинки прямо

пропорционален углу атаки. Однако теоретическая величина коэффициента пропорциональности 2л= = 6,28 несколько завышена. На рис. 76 представлены для сравнения

теоретическая прямая и экспериментальная кривая ^(а) для симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным 9%. Как видно из рисунка, в интервале углов атаки ——13°之aW13° (область отрицательных а на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля только знаком отличается от области положительных а) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля невелико.

Возможность рассмотрения пластинки как предельного случая тонкого симметричного профиля при стремлении относительной его толщины к нулю позволяет обосновать справедливость формулы (91). Физически можно себе представить, что, как бы ни была тонка пластинка, передняя ее кромка все же имеет некоторую закругленность, на которой благодаря очень большой (для пластинки теоретически бесконечной)

скорости образуется значительное разрежение, создающее подсасывающую силу, направленную навстречу потоку вдоль поверхности пластинки. Эта подсасывающая сила вместе с силами давления, перпендикулярными к пластинке, и дает подъемную силу, поперечную к направлению набегающего на пластинку потока.

Чтобы вычислить главный момент Lo сил давления потока на пластинку, разложим сопряженную скорость V обтекания пластинки, определяемую в рассматриваемом сейчас случае плавного стекания жидкости с задней кромки пластинки формулой (77), в ряд по отрицательным степеням z:

V (z) = "8 - ivg ^^^ = ^ 一切8 + ^——- + ...

Сравнивая это разложение с рядом (83), получим

〃о = 〃8—打8 = 08, al = civoo = ci\ Vоо I sin а,

& = - у 炉切8 = -一 у di I 卜8 I sin a.

По первой из формул (85) находим

R = R*+ 力凡=—ip (〃8 + iVoo)r=pyoor—ip〃8「，

или, пользуясь формулой циркуляции (75),

Rx = — 2лрсу^, Ry = 2лрШооУсо.

Момент С。по второй из формул (85) будет равен

厶о = — 2лр Re [ — ^" cHv^i(Uoo —切8)] = — JipAooRe (и» —山 8)=

=—npC2UooVoo.

Переходя от проекций скорости 〃8, у» к их выражениям через модуль скорости и угол атаки а=0то, получим

&=—2лрс| К» Г sin2a. Ry=2npc\ И^ |2 sin a cos a,

Lo = —npc2 1y812 sin a cos a.

Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей. Обозначим через хну текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии получим в виде

или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокращения,

xcosa+ysin a= — § c cos a.

Точка Ц (рис. 77) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы давления потока на пластинку к одной силе R, то эта сила будет приложена в центре давления Ц, Полагая в последнем уравнении у=0, найдем абсциссу положения центра давления Ц на пластинке

Х~ 2

Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее дли- ны от передней кромки, причем, как показывает последняя формула, положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего 几。• тока, ни от угла атаки.

Вводя в рассмотрение коэффициент момента

%PI% 12 b2

будем иметь при малых углах атаки (sina«a, cos a。1)

^m = —2

Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы Су==2л% видим, что

&п : &= 1 ： 4.

Отметим, что это соотношение, обычно выражаемое через коэффи? циенты dcjda и dcjda в виде

*m=dCm . d% =丄

dcy da da 4

удовлетворительно соответствует опытным данным не только для обтекания пластинки, но и для тонких симметричных профилей.

Если принять точку Ц (—с/2, 0) за точку, относительно которой берется главный момент сил давлений, то момент Дц будет равен нулю. Это свойство пластинки, а также и тонких симметричных профилей используется при конструировании креплений рулей. За ось вращения руля берут линию, проходящую через центры давления нормальных к оси вращения сечений руля; это сводит к минимуму момент, необходимый для поворота руля, и облегчает управление.

§ 55. Теория тонкого профиля (дужки)

Тонкий крыловой профиль малой вогнутости можно рассматривать как дужку, уравнение которой в системе координат, показанной на рис. 78, представляется в виде

y = h(x) = ^[h1(x) + hM (92)

где iA=九К%) и у,=Л2(х)—уравнения верхней и нижней поверхностей

тонкого профиля, приближенно заменяе

мого дужкой.

Поместим дужку в плоскопараллельный безвихревой поток идеальной несжимаемой жидкости, имеющий скорость на бесконечности V», образующую с хордой профиля АВ—2с угол атаки 0<». Для расчета обтекания тонкого профиля

применим метод малых возмущений, при- Рис, 78няв, что возмущение скорости У*, произ

водимое дужкой в набегающем потоке, мало по величине. Таким образом, вектор скорости V в любой точке потока может быть представлен суммой

(93)(93)PBg + V*.

(93)

(93)

Условие непроницаемости дужки запишем в форме равенства нулю «а контуре дужки проекции скорости V на нормаль к контуру:

Vn = 1«п + 丿；=〃8 COS (£) + 忆 cos (£) + У； = 0・

Отсюда вытекает граничное условие (0 — угол касательной к дужке с осью Ох, 〃8 и % — проекции скорости VTO на оси Ох и Оу)

匕=—К»% =—【〃8 cos (%, %) + % cos (〃，у)] = 〃8 sin 3 — % cos 0, (94)

которое должно выполняться на обеих сторонах дужки. Из условия малой вогнутости следует, что угол 0 мал, и можно положить

sin B^tg 9 = //(х), cos 0^1.

Пользуясь малостью отклонений дужки от хорды АВ, заменим в* граничном условии (94) нормальную компоненту скорости возмущения % на равную ей с точностью до малых высших порядков проекцию и* 9той скорости на ось Оу. Кроме того, граничное условие (94) выполним， не на дужке К, а на хорде АВ. Такой перенос граничных условий с одной кривой на мало от нее отклоняющуюся другую вводит ошибку второго порядка малости. Итак, имеем граничное условие

и*(%, у) = uoo/i,(x)—Vo, при —с&%&с и у=±0. (95)

Двойной знак при нуле выражает применимость граничного условия (95) как на верхней, так и на нижней границе разреза АВ по оси Ох в плоскости течения, т. е. непрерывность изменения функции и* (х, у), представляющей взятую с обратным знаком мнимую часть 卩*, при переходе с одной стороны разреза АВ на другую.

На бесконечном удалении от дужки скорость возмущения обращается в нуль; кроме того, еще должно быть выполнено условие Жуковского —Чаплыгина конечности скорости в точке В.

Задача сводится, таким образом, к разысканию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции P*(z), мнимая часть которой на отрезке действительной оси (——cW%W(：) удовлетворяет условию

Im 7* (z) =Uoo—u^h^x), (96)

непосредственно вытекающему из (95), причем функция Р*(2)должна быть конечна при z=c.Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 52). Из полученного там распределения скоростей (77) найдем сопряженнуюнепосредственно вытекающему из (95), причем функция Р*(2)должна быть конечна при z=c.Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 52). Из полученного там распределения скоростей (77) найдем сопряженнуюскорость возмущения? = Р-几= 〃8 —Еоскорость возмущения? = Р-几= 〃8 —Ео哼-哼-〃8 +，忆=i%〃8 +，忆=i%В этом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на пластинкеВ этом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на пластинке

непосредственно вытекающему из (95), причем функция Р*(2)должна быть конечна при z=c.

Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 52). Из полученного там распределения скоростей (77) найдем сопряженную

непосредственно вытекающему из (95), причем функция Р*(2)должна быть конечна при z=c.

Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 52). Из полученного там распределения скоростей (77) найдем сопряженную

скорость возмущения

? = Р-几= 〃8 —Ео

скорость возмущения

? = Р-几= 〃8 —Ео

哼-

哼-

〃8 +，忆=i%

〃8 +，忆=i%

В этом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на пластинке

В этом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на пластинке

аМ(х)=0； кроме того, 7*->0 при 2f 8 и 〃*=0, и*=—% при z=c, т. е. 7* конечно. На верхней стороне разреза. (—с^х^с, у= + 0) корню приписывается положительное значение, а на нижней (—с&х《с, у=—0) — отрицательное, так что, приравнивая в предыдущей формуле действительные и мнимые части, получим

""(%,+ 0) — V» j/ ；工：，"* (修一。)=-% J/^^jT^，

u*(%, +0)=u*(x, —0) =—%, откуда следует

〃*(%, +0)=—〃*(%, —0), и*(%, +0)=v*(x, —0).

Конечный скачок в величине составляющей “* скорости возмущения при переходе через разрез от положительных у к отрицательным равен и* (х, + 0) — и* (х, — 0) = 2^81/"—p•

Как уже было разъяснено в конце § 52, этот разрыв в составляющей и* при непрерывности составляющей и* может быть интерпретирован как наличие вихревого слоя с общей интенсивностью, равной наложенной на пластинку циркуляции.

Возвращаясь к вопросу об обтекании дужки, представим') искомую сопряженную скорость возмущенного движения как' произведение (радикал играет ту же роль, что и в формуле (77) для пластинки) 卩年冃⑵，(98)

где f (z)—ограниченная, голоморфная и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции F* (z) будут выполняться условия у*(с)=0, Р(с)=〃8 безотрывного обтекания задней кромки (z=c). На передней кромке (z=—с) скорость в общем случае обращается в бесконечность).

По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции f (z) через ее значения на контуре:

『⑵化(99)

где 厶一контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми окружностями, выделяющими точки разветвления А и В подынтегральной функции

причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс и считать

〃Е)=—

= ]/|^К 怎 + 0)-汕怎 + 0)] = - i ]Д±| M 怎 + 0) — 汕區 + 0)1, а на нижней — знак минус, так что

/©=__

=一联"；二:【"* 图 一 °)一 近* 低，一 °)】=，J^:}; ["* (E, —0)—加 * (三, _ 0)].

Составляя интеграл (99), убедимся, что интегралы по малым окружностям с центрами в точках Д и В при стремлении радиусов этих окружностей к нулю также стремятся .к нулю, а интеграл Коши (99) сводится к разности определенных интегралов в пределах (—с, с), вычисляемых в положительном направлении оси Ох по верхней и нижней сторонам разреза АВ. По основному свойству вихревого слоя, расположенного в этом общем случае вдоль пужкм, или, с ошибкой второго порядка малости, по разрезу 48, будут выполняться условия (97), так что в разности интегралов слагаемые, содержащие 〃飞，+0) и 〃*也，一0),

сократятся, а слагаемые с и*(Е, +0)=и*(Е, —0) =u*(g, 0) сложатся; получим

0 ⑵=一丄 J|/KJ^

2m z + c JJ

и, согласно граничному условию (95),

俨(z)=一春咋方&^署生四 (100)

Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что при малом 0«> можно положить

〃8 J V ОО J ,。8 I I 0оО>

окончательно получим

/)=%+%)=乙—*昨!f若么］/^喝(101)

Вычислим главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку. Для этого разложим в ряд по отрицательным степеням z выражения

1 =11 = _丄_m_Е — Z Z 1 — gz z z21 =11 = _丄_m_Е — Z Z 1 — gz z z2

1 =11 = _丄_m_

Е — Z Z 1 — gz z z2

1 =11 = _丄_m_

Е — Z Z 1 — gz z z2

и подставим их в (101); сравнив результат подстановки с разложением сопряженной скорости (83), найдем значения коэффициентов разложения

旬=u8,

—с

nini+с口"阳一虱］G^pdE,+с口"阳一虱］G^pdE,

ni

ni

+с

口"阳一虱］G^pdE,

+с

口"阳一虱］G^pdE,

а следовательно, согласно (85), и общие выражения главного вектора и главного момента

+с

& = - 2冲с I 厶 |2 貶 + 2р I Voo |2 о^ J 勿⑸ Л翼吨,

凡=2лрс|九|20оо-2р|Уоо |2 J 勿阳)/JS處， (102)

Lo = - *卜812阻+ 2p心!2 f/用俏『4.

В принятом приближении /?*=0, так как оба слагаемых в правой части первой формулы системы (102) представляют малые величины второго порядка, пренебрежение которыми в теории тонкого крыла обя-

зательно; этот результат соответствует парадоксу Даламбера об отсутствии сопротивления.

В случае пластинки hf{D =0 и равенства (102) приводят к известным уже формулам (с точностью до 0« в первой степени)

Ry=2、pc| У о)『к，& = -лре1 人 1笛8.

При произвольной форме дужки y=h(x) величины Rv и Lo могут быть по (102) без труда вычислены, причем, подчеркнем это, все слагаемые, стоящие в правых частях второго и третьего равенств системы

Рис. 79

(102), имеют первый порядок малости. Интегральные члены в правых частях выражений (102) для Rv и Lo являются дополнительными к соответствующим выражениям для пластинки; эти члены определяют влияние вогнутости дужки. Так, например, для дужки параболы .

/1(х) = 5(1 —^), (ЮЗ)

где 6 — стрелка прогиба, будем иметь

Ry = 2npe I % I2 & + 七，丄。=一 * I 厶 |2 您. (104)

Как видно из этих формул, в принятом приближении относительная вогнутость 5/(2с) увеличивает подъемную силу, но не влияет на момент относительно начала координат О, расположенного на середине отрезка АВ.

Согласно первой из формул (104) направление нулевой подъемной силы (08 = —6/с), или, что то же, бесциркуляционное направление совпадает с направлением прямой, проведенной через вершину С дужки и заднюю кромку В (рис. 79).

Вычисление скорости на поверхности дужки по формуле (101) представляет некоторые затруднения, связанные с тем, что интеграл, стоящий в правой части, является несобственным и должен вычисляться в смысле своего главного значения ').

Приводим, опуская вычислительные детали, формулу распределения скоростей по поверхности параболической дужки, заданной уравнением (103)

й = |^|(1-^/|Ц)+^^. (Ю5)

Первое слагаемое выражает распределение скорости по пластинке (для малых 08), второе дает влияние вогнутости 6/(2с) дужки.

При 000=0 предыдущая формула приводится к виду

(1+击鼻力

полагая здесь z= ±с, получим

Р(土с) = |%|(1 土勻.(Юб)

Замечая, что тангенс или синус малого угла наклона касательной к дужке в точках (% = 士厶 у = 0) равен 干26/с, а косинус —единице, заключим, что в рассматриваемом случае векторы скорости на кромках направлены по касательным к дужке в этих точках. Иными словами, при 0^=0 передняя кромка является точкой плавного, или, как говорят, безударного входа жидкости на дужку, а задняя — плавного схода (рис. 79).

Подъемная сила, в этом случае равная

(%)%=q = 2лр 卜 8 У 6 = 4лрс 心产击，(107)

пропорциональна относительной вогнутости дужки.

На рис. 79 совмещены картины обтекания параболической дужки при трех различных, наиболее характерных направлениях набегающего потока, причем, чтобы избежать излишнего загромождения рисунка, показаны лишь нулевые линии токов для каждого из трех потоков. Штрихами показаны направления касательных к дужке в передней и задней кромках. Направления набегающих потоков вдалеке от дужки представ- лены векторами скоростей на бесконечности:咤,映 и К^\

Согласно принятому при выводе равенства (105) условию для всех трех потоков наложенные циркуляции подобраны так, чтобы задняя кромка В была точкой конечной скорости и плавного схода потока. В этой точке В, как это видно из рисунка, все три нулевые линии тока (/), (2) и (3) имеют общую точку схода В и общую касательную, показанную штрихами и совпадающую с касательной к дужке в задней кромке В.

Положения точек разветвления потока вблизи передней кромки Л, наоборот, резко различаются. Плавный, безударный вход потока на переднюю кромку с конечной скоростью, определяемой по (106), образуется лишь при направлении набегающего потока по вектору скорости на бесконечности У^‘, т. е. параллельному хорде дужки АВ по оси Ох, Это направление естественно назвать направлением безударного натекания.

При бесциркуляционном натекании, соответствующем вектору скорости на бесконечности V兽,так же как и при натекании в направлении касательной к дужке в передней кромке со скоростью на бесконечности 宵,скорость в точке А будет бесконечно большой, вход на дужку в передней кромке не будет безударным.

Изложенные обстоятельства, имеющие, строго говоря, отношение лишь к рассмотренным симметричным относительно оси Оу параболическим дужкам, в той или другой степени приближения оправдываются и для дужек другой формы. Более того, как показывают точные расчеты и опытные материалы, указанные свойства обтекания дужки оказываются качественно справедливыми и для профилей малых конечных толщин и кривизн. В этом случае под безударным обтеканием следует условно понимать такое, при котором вблизи носка профиля не образуется резких пиков разрежения, соответствующих большим местным скоростям на лобовой поверхности профиля. Для определения направления набегающего потока, соответствующего этому условному безударному

обтеканию, необходимо в каждом отдельном случае провести ряд аналитических расчетов обтекания рассматриваемого профиля. Углы атаки при этих расчетах можно выбирать изг соображений малого их отличия от угла атаки, отвечающего безударному обтеканию 《скелета》 профиля.

Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке

Под плоской решеткой профилей (рис. 80) понимают бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом длину f в направлении, определяющем ось решетки. Угол В между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол В' — углом установки профиля. Вектор /, равный по

длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом,

В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток.

Обозначим (рис. 81) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через V4, давление — через р4, соответственно вектор скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой — через V2 и р2； плотность повсюду одинакова и равна р.

Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.

Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки а1? а2, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через R главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь

(〃一〃)f+р (f ・匕)V-P «•匕)匕一R=0・ (108)

Величины t Vi=t V2 представляют собой равные между собой секунд-

ные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а —R есть главный вектор сил давления профиля на поток.

Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли, получим

Pi— Рг = — Р (^2 — %),

или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,

Pl-P2=-P(V1 + 匕)・(几一匕).

Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость

^=}(匕+匕)

и скорость девиации потока

%=%一%，

характеризующую отклонение потока решеткой.

Тогда будем иметь

Pi—Pz=pVm-Vdl

九匕=f・％=f・Vm； t-V^t^V^V,)^(109)

и равенство (108) перепишется в форме

R=p(吸•匕)f+p«・K)(匕一y2)=p(Vm・Vd)f-p(f・Kn)Vd・ Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим

R=pVrnX(txVd).(ИО)

Замечая, что по (109) вектор-шаг f перпендикулярен к скорости девиации потока Vd, а вектор /X Vd перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и Vm, найдем величину главного вектора в виде

R = p/匕 М.(Ill)

Векторное равенство (НО) дает в явной форме зависимость главного вектора R от плотности жидкости, шага f решетки и двух характерных скоростей — средней Vm и скорости девиации Vd потока. Скалярное равенство (111) определяет величину главного вектора сил давления потока на профиль в решетке как произведение плотности жидкости, шага решетки, средней скорости 〃 скорости девиации. Из векторного равенства (110) следует, что главный вектор R лежит в плоскости течения и направлен по перпендикуляру к средней скорости Vm в сторону, определяемую векторным произведением (110).

Введем единичные векторы оси решетки а и нормали к плоскости рисунка в сторону читателя 瓦 направив их так, чтобы совокупность векторов f, Q и 左 образовывала триэдр, сонаправленный с принятой правой системой координат (вектор f не единичный, его величина равна шагу). Замечая, что, согласно (109), вектор Vd=V2—V4 направлен параллельно оси решетки, получим

Q=(JKa)a и, следовательно,

/X Vd=/Xa(V2a—к.) =f(V2a—Via)k.

Определим циркуляцию скорости Г по контуру, составленному из направляющих сечений an a2 и двух линий тока, смещенных на шаг.

Составляя интеграл ，Vsds по положительному направлению обвода контура, показанному на рис. 81, получим (。尸仇斗⑴

f=(九一匕山，

так как интегралы по смещенным на шаг линиям тока равны по величине и противоположны по знаку. Итак, txVd=kr, а следовательно, по (НО)

R = pVmX 左 Г; (112} формула эта сооответствует формуле для единичного профиля, причем средняя векторная скорость Vm заменяет скорость на бесконечности Vw.

Устремим величину шага f к бесконечности, сохраняя в то же время величину циркуляции. При этом разность М2a—V^ должна стремиться к нулю, что при наличии равенства (109) приводит к установлению- общей скорости 弘f У2f Vs вместо Vm, и формула (112) переходит в формулу Жуковского для единичного профиля

R = pV8 Х&Г*・

Правило определения направления вектора R по (112) остается тем же, что и для единичного профиля. Вектор R имеет направление вектора Vm, повернутого в плоскости течения на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции, т. е. тому направлению обхода контура интегрирования, при котором циркуляция окажется положительной ).

Применение метода конформных отображенийв теории струйных течений

Изложенный ранее (§ 51) метод конформных отображений получил уже давно широкое применение не только при решении задач плоского обтекания замкнутых контуров, в частности, крыловых профилей. Одной из наиболее важных областей применения этого метода явилась теория течений идеальной несжимаемой жидкости с разрывным потенциалом, известных под названием струйных течений. Благодаря отсутствию внутреннего трения в потоках идеальной жидкости становится возможным возникновение нарушений сплошности течения, образования в потоке «мертвых» зон покоящейся жидкости.

Примерами течений с нарушением сплошности могут служить кавитационные «каверны» (полости), заполненные парами жидкости и воздухом, срывные зоны за плохо обтекаемыми телами, струи плотной среды в окружении жидкости (газа) малой плотности, водосливы через преграду и из-под щита, течения, относящиеся к задачам транспорта на «воздушных подушках». Некоторые из перечисленных задач и в первую очередь — гидротехнические, связанные с движением воды в поле тяжести и имеющие часто существенно пространственный характер, представляют значительные математические трудности и не могут быть изложены на страницах настоящего учебника ).

Прямым методом решения задач плоских разрывных течений служит метод конформных отображений 9- «Свободные» линии тока (рис. 82), сорвавшиеся с обтекаемого тела, представляют неизвестные по форме границы потока; в то же время в плоскости годографа сопряженной -скорости V или обратной величины — функции Кирхгофа 5=1/7, так же как и в плоскости комплексного потенциала %, границы представляются отрезками простейших линий: прямых и окружностей если обтекаются тела, состоящие из прямолинейных отрезков (пластины, клин), расположенные в каналах с прямолинейными границами,

Рис. 82Рис. 82Рис. 83Рис. 83

Рис. 82

Рис. 82

Рис. 83

Рис. 83

и т. п. При этом установление взаимно однозначного соответствия между областями в плоскостях комплексных переменных V (или g) и % не составляет труд% и метод конформных отображений дает преобразующую функцию Р(х) или，(％)• Задача сводится к разысканию связи между этими функциями и основным комплексным аргументом 2 в физической плоскости, что может быть осуществлено при помощи очевидного соотношения

Jy(x) J

Продемонстрируем метод на примере удара струи, вытекающей из канала конечной ширины, на перпендикулярно по отношению к ней расположенную пластину (рис. 83). Рассмотрим правую половину физической плоскости z. Обозначим полуширину подводящего канала через L, полуширину пластины через I, расстояние пластины от выходного сечения канала через й. Скорость, одинаковую по величине вдоль границ свободных линий тока ВС и DC, назовем и。，скорость в канале вдалеке от выходного отверстия %； тогда

У А == ^ooG Ио = 0, Ив= ^0» 卩口 =勿厶 I V^C I == ^0«

Введем в рассмотрение комплексную переменную (функцию Кирхгофа)

С = —= —е^

V

и установим соответствие между точками физической плоскости z и плоскости годографа вектора обратной сопряженной скорости g.

Рис. 85Рис. 85Z]=Z]=(0-1 解)2 a2+ 1//)2(0-1 解)2 a2+ 1//)2

Рис. 85

Рис. 85

Z]=

Z]=

(0-1 解)2 a2+ 1//)2

(0-1 解)2 a2+ 1//)2

Границам потока АОВС и ADC в плоскости z сопоставляются границы в плоскости g, показанные на рис. 84 теми же буквами; область течения отмечена штриховкой.

Наметим еще область течения (рис. 85) в плоскости комплексного потенциала %. Это будет полоса между двумя параллельными действительной оси прямыми, соответствующими постоянству функции тока 中 вдоль линий тока. Линию тока АОВС примем за нулевую, линии тока ADC припишем значение 屮=冗,тогда ширина полосы будет равна п.

Взаимно однозначное соответствие между заштрихованными обла* стями плоскостей и % можно установить, отображая конформно обе области на ту или иную полуплоскость, а затем по известной теореме теории функций комплексного переменного, связывая отображающие

Рис. 84

функции дробно-линейной подстановкой. Так, заштрихованная область плоскости g преобразуется в нижнюю полуплоскость при помощи соотношения

а полоса плоскости % в верхнюю полуплоскость при помощи преобразования

полуплоскостямиполуплоскостямиZ2=e±

полуплоскостями

полуплоскостями

Для взаимно однозначного соответствия между Z[ и Z2 должно быть

Z]=Z]=必2 +匕Z2十С必2 +匕Z2十С

Z]=

Z]=

必2 +匕

Z2十С

必2 +匕

Z2十С

или

"1/吟y =小+Ьb+l/喏丿 e“ + c

Постоянные а, b, с определим из условий соответствия

Х = 0 при С = 8 (в точке О),

X = In а при С = 1/% (в точке В),

% = ш + In р при С = — »勿0 (в точке D),

где In а и 1п§ — неизвестные пока постоянные, равные абсциссам точек В н D в плоскости %. Подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим

так что

F -［解］2 — b + 1 a 一/

?+1/吟丿/ + В

или, после простых преобразований,

(ИЗ)(ИЗ)1 <^1)(/ + 0 + 1/(B+1)3一/)

(ИЗ)

(ИЗ)

"(a + BS — l)

К этому равенству присоединим очевидное соотношение

(114)

где постоянная определена из условия соответствия в точке О. Совокупность равенств (113) и (114) дает искомое решение задачи; необходимо лишь сопоставить неизвестные постоянные а, § с геометрическими параметрами задачи I, L, h н заданной скоростью %, учтя, что расход принят равным л.

Для этого определим прежде всего полуширину пластины /. Имеем

In аIn аооР+1 а + ВР+1 а + В

In а

In а

о

о

Р+1 а + В

Р+1 а + В

Интегрирование может быть выполнено при помощи подстановок е“ + § — 1 / —J —F

для первого интеграла и а — e" — 1

для второго. Будем иметь

/ = — 2M§arctg+

班 ， а + ра + р /

+ /^山^7^ + "/^u£一1) • (115)

Полуширину канала L выразим через расход л и скорость Ug：

=.

Отношение

/T^rtg/T^rtg++a - 1а + Вa - 1а + В

/T^rtg

/T^rtg

+

+

a - 1

а + В

a - 1

а + В

можно выразить только через а и 0, если заметить, что в точке А I V| = Uoo, ? =— , Х= — ОО.

Согласно (113) этому соответствует равенство

t = 1 |/В@-1) + Уа(В+1)

откуда

Hz(B+l)"B(a —DHz(B+l)"B(a —D(116)(116)

Hz(B+l)"B(a —D

Hz(B+l)"B(a —D

(116)

(116)

Итак, имеем

2 У В (a-l)arctg (]/₽2 У В (a-l)arctg (]/₽a - 1а + Вa - 1а + В

2 У В (a-l)arctg (]/₽

2 У В (a-l)arctg (]/₽

a - 1

а + В

a - 1

а + В

冗 Wa (В+1) + ”(а — 1)]

У а — 1 In + У а — 1 In + •二際三縉+nEk-D•二際三縉+nEk-DnWa(B+l)+%(a-anWa(B+l)+%(a-a(117)(117)

У а — 1 In +

У а — 1 In +

•二際三縉+nEk-D

•二際三縉+nEk-D

nWa(B+l)+%(a-a

nWa(B+l)+%(a-a

(117)

(117)

Силу давления струи на всю пластину найдем по теореме Бернулли

Р = 2 J(p —%)d» = p J [圖一|叩丸 оо

где Ро ——давление в мертвой зоне за пластиной. Произведя на поверхности пластины замену

d% = dz, \V\ =~^» dz = ^dx, получим In aIn a

P = P j (w —? 4*p% N咏一白 d% о0

Для вычисления интеграла следует заметить, что, согласно (113),

1 = VT^lMej+B)一也а+1)3一户) 嚙瞋(a + B)(eX— 1)1 = VT^lMej+B)一也а+1)3一户) 嚙瞋(a + B)(eX— 1)Р = 2р%Р = 2р%%С 二 优似 一 1)(” + В) +d[В + 1) (a — ”)

1 = VT^lMej+B)一也а+1)3一户) 嚙瞋(a + B)(eX— 1)

1 = VT^lMej+B)一也а+1)3一户) 嚙瞋(a + B)(eX— 1)

Р = 2р%

Р = 2р%

так что

n/!^（尺1）=n/!^（尺1）=Введем сюда явно длину пластины 2/; с этой целью из предыдущей формулы найдем порознь

n/!^（尺1）=

n/!^（尺1）=

Р 1 二Р

2р% ' Jd + В 2ру0^ 八 + 1 (>^ — 1)

и подставим в выражение (115) полудлины пластины; тогда после простых преобразований получим

(118)(118)

(118)

(118)

Для определения постоянных а и ^ в нашем распоряжении пока только одно уравнение (117). Составление второго уравнения требует введения в расчет константы h, определяющей расстояние пластины от выходного сечения канала. Это нетрудно сделать, написав, что по (114)

^ОлГ+ln В

h —Im zD = Im j ^ dx= Im \ gd%.оо

Составив затем отношение h к / или L, получим искомое второе уравнение для определения а и 0. Опуская эти вычисления, аналогичные тем, которые были сделаны при составлении выражения (115) для /, удовольствуемся рассмотрением нескольких частных случаев, не требующих задания h.

Струйное обтекание пластины безграничным потоком. В этом предельном случае (А->оо) из равенства (117) сразу следует, что величина а близка к единице, а из физических соображений ясно, что для вычисления силы Р совершенно несущественна величина h, а следовательно, и значение параметра 卩.Подтвердим это вычислением. Перейдем в выражении (118) силы Р к пределу при а=1 и произвольном 0. Проще всего это сделать, разложив входящие в знаменатель функции arctg и In в

т а 1

ряды по степеням малых аргументов I/ р и I/ и сохранив

，а + Р а + В

только первые члены этих разложений; будем иметь

|3—(P+l)(/a -1)|3—(P+l)(/a -1)+|/丽為w+|/丽為w=—■ p 啥 2/=—■ p 啥 2/2Л中阡7+2而2Л中阡7+2而2Л几十42Л几十4

|3—

(P+l)(/a -1)

|3—

(P+l)(/a -1)

+|/丽為w

+|/丽為w

=—■ p 啥 2/

=—■ p 啥 2/

2Л

中阡7+2而

2Л

中阡7+2而

2Л

几十4

2Л

几十4

что представляет собой известную формулу Рэлея; из (116) следует, что при а=1 % = %•

Струйное обтекание пластины потоком конечной ширины^ ограниченной свободными поверхностями (рис. 86). Удалим выход из канала на бесконечность в положительном направлении оси Оу (Л = оо). Вспоминая, что In 卩 представляет собой абсциссу точки D на прямой г|)= л (рис. 86), т. е. значение потенциала скорости ф, изменяющегося от ——оо вдалеке вверх по течению, до +оо вниз по течению, положим In 卩=—оо, и, следовательно, 0 = 0. Тогда формула (118) дает выражение для силы

давления потока на пластину

Р = 1р^.2/ л +

2冗2冗1 — У (а —• 1 )/а1 — У (а —• 1 )/а(119)(119)L л I/ аL л I/ а；三^^+」方,（⑵）；三^^+」方,（⑵）определяет Р при заданных р,определяет Р при заданных р,%, I и отношении Z/L ширины пластины к ширине свободной струи.%, I и отношении Z/L ширины пластины к ширине свободной струи.При Lf 8 и фиксированном 厶 т. е., согласно (120), при afl, из (119) вновь получим формулу Рэлея,3. Струйное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины (рис. 87). Этот случай можно рассматривать как предельный при 卩f оо. Будем иметь из равенства (116)При Lf 8 и фиксированном 厶 т. е., согласно (120), при afl, из (119) вновь получим формулу Рэлея,3. Струйное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины (рис. 87). Этот случай можно рассматривать как предельный при 卩f оо. Будем иметь из равенства (116)причем, согласно (116), % = %. Равенство (119) вместе с равенством (117), переписанным в виде

2冗

2冗

1 — У (а —• 1 )/а

1 — У (а —• 1 )/а

(119)

(119)

L л I/ а

L л I/ а

；三^^+」方,（⑵）

；三^^+」方,（⑵）

определяет Р при заданных р,

определяет Р при заданных р,

%, I и отношении Z/L ширины пластины к ширине свободной струи.

%, I и отношении Z/L ширины пластины к ширине свободной струи.

При Lf 8 и фиксированном 厶 т. е., согласно (120), при afl, из (119) вновь получим формулу Рэлея,

3. Струйное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины (рис. 87). Этот случай можно рассматривать как предельный при 卩f оо. Будем иметь из равенства (116)

При Lf 8 и фиксированном 厶 т. е., согласно (120), при afl, из (119) вновь получим формулу Рэлея,

3. Струйное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины (рис. 87). Этот случай можно рассматривать как предельный при 卩f оо. Будем иметь из равенства (116)

% =忆(介 + ]/«— 1)；

сила определится по формуле (118) параметрическим выражением

р = ^р吸・2Zр = ^р吸・2Z2л(|/^+На — 1)22л(|/^+На — 1)2л+ 2л+ 2]/ У^ + [V 昨一「]/ У^ + [V 昨一「arctg J/а ——1arctg J/а ——1(⑵)(⑵)

р = ^р吸・2Z

р = ^р吸・2Z

2л(|/^+На — 1)2

2л(|/^+На — 1)2

л+ 2

л+ 2

]/ У^ + [

V 昨一「

]/ У^ + [

V 昨一「

arctg J/а ——1

arctg J/а ——1

(⑵)

(⑵)

которое надо рассматривать совместно с выражением отношения ширины пластины к ширине канала

丄 _ 2 м a —Iarctg /а — [ + r (|<^— 1) (〔汲) L л (h^ + 卜 a — 1) -

Легко проверить по (121), что при L-*8 и фиксированном 厶 т. е., согласно (122), при а->1, вновь получится формула Рэлея для случая поперечного обтекания пластины.

Рассмотренные только что случаи 2 и 3 дают общее представление о необходимости поправок на ограниченность потока, которые надо делать при продувках пластин в аэродинамических трубах с открытыми (свободная струя) и закрытыми рабочими участками.

Изложенный только что пример достаточно ясно иллюстрирует простой классический метод Кирхгофа, до сих пор встречающийся в практических приложениях, но уже не характеризующий современное состояние теории струйных течений. Последняя обязана своим расцветом трудам многих крупных ученых конца XIX и первой половины нашего века. Литература по теории струйных течений идеальной жидкости чрезвычайно обширна, поэтому ограничимся перечислением лишь наиболее заметных научных источников. Прежде всего сошлемся на основополагающие работы в этой области наших выдающихся ученых:

Н. Е. Жуковского О, С. А. Чаплыгина), А. И. Некрасова), М. А. Лаврентьева), Л. И. Седова). Укажем также исторически важные исследования задачи о плоском струйном обтекании клина, относящиеся к последней четверти XIX века и принадлежащие Д. К. Бобылеву) и И. В. Мещерскому)-

Не имея возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на указании многочисленных зарубежных трудов по теории струйных течений (отсылаем к цитированной далее монографии М. И. Гуревича и помещенному в ней списку литературы), укажем лишь два капитальных труда, сыгравших значительную роль в современном развитии теории струй. Это замечательные по общности постановки задач струйного обтекания работа Т. Леви-Чивитта) и монография Г. Билля).

В советской литературе выделяется богатая по содержанию монография М. И. Гуревича), в которой с большой строгостью и ясностью изложены теоретические предпосылки методов расчета струйных течений и приведены решения многих соответствующих задач, включая не только плоские, но и осесимметричные, а также имеющие большое практическое значение задачи о струях «тяжелой» жидкости.

Значительный интерес представляет монография Л. В. Г о г и ш а и Г, Ю. Степанова) и работа второго из этих авторов ).

Новый подход к струйным задачам, основанный на решении уравнений Эйлера в общем случае вихревых течений, указан в монографии М. А. Гольдштика).

ГЛАВА VIII

ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

§ 58. Основные уравнения движения и их линеаризация

Уравнение неразрывности (9) гл. IV в случае плоского стационарного движения газа примет вид

⑴⑴包四+包也三Q电1 +"曳+ 0包=0.

⑴

⑴

力\дх 1 ду J дх ду

При условии адиабатичности движения газа

曳_业曳—丄曳 曳—曲业—1 d"дх dp дх а2 дх ' ду dp ду а2 ду *

используя уравнения Эйлера (4) гл. V, которые при плоском стационарном движении в случае отсутствия объемных сил могут быть переписаны в форме

г \ дх^ ду) дх Г \ дх ду) ду

получим ардхполучим ардх奴噥+唱奴噥+唱曳=p曳=pdv . ди uни -дх дуdv . ди uни -дх ду

получим ар

дх

получим ар

дх

奴噥+唱

奴噥+唱

曳=p

曳=p

dv . ди uни -

дх ду

dv . ди uни -

дх ду

Подставляя эти значения др/дх и др/ду в (1), найдем уравнение

(а2 — 〃2)祭一uv(а2 — 〃2)祭一uvA劉+ di吟=0,A劉+ di吟=0,⑵⑵

(а2 — 〃2)祭一uv

(а2 — 〃2)祭一uv

A劉+ di吟=0,

A劉+ di吟=0,

⑵

⑵

справедливое как для безвихревого, так и вихревого движения. В случае безвихревого движения к этому уравнению присоединяется еще условие отсутствия вихря

⑶⑶更_包_Qду дх °

⑶

⑶

⑷⑷При безвихревом стационарном адиабатическом движении идеального газа во всей области (плоскости) движения справедливо уравнение Бернулли

⑷

⑷

при помощи которого можно выразить скорость звука через скорость движения газа.

Условие (3) отсутствия в потоке завихренности позволяет ввести потенциал скоростей ф(х, у), связанный с проекциями скорости формулами

(5)

Что касается функции тока, то ее существование вытекает из левой части равенства (1), согласно которому можно положить, вводя в правые части формул постоянный множитель р«,,

Р〃 = Р8 答'Р°=-Р8*Р〃 = Р8 答'Р°=-Р8*(6)(6)

Р〃 = Р8 答'Р°=-Р8*

Р〃 = Р8 答'Р°=-Р8*

(6)

(6)

Уравнение (2) после подстановки в него выражений проекций скорости (5) приобретает окончательный вид

+=0(7)

. \дх J」О/ дх ду дх ду 1\ ду J ] ду^' '

входящий в это уравнение квадрат скорости звука а2 должен быть исключен при помощи вытекающего из (4) равенства

』个* + 城一^[(*『+寄h.』个* + 城一^[(*『+寄h.(8)(8)

』个* + 城一^[(*『+寄h.

』个* + 城一^[(*『+寄h.

(8)

(8)

Интегрирование уравнения (7) с исключенным по (8) квадратом скорости звука при обычных условиях непроницаемости твердых стенок обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности представляет значительные математические трудности, связанные с нелинейностью уравнения. Обратимся к рассмотрению простейшего случая плоского обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под малым углом атаки. В этом случае возмущения, создаваемые телом в однородном потоке, будут малыми, и уравнения (7) и (8) могут быть подвергнуты линеаризации.

Выберем направление однородного потока совпадающим с направлением оси 0% и обозначим иж1 р«,, р8, % и т. д. соответственно скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однородном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, условимся обозначать тильдой (〜)，так что будем иметь

〃二几 + 〃，и = 〃 p = pg + р, р = рсо + р, а = а0о + а. (9)

Остановимся сначала на тех двух основных случаях, когда однородный поток является дозвуковым или сверхзвуковым, т. е. когда число Маха однородного потока l^oo = Uoo/aoo меньше или больше единицы (Ме*1)・ Случай звукового потока (М«, = 1) обладает некоторыми особенностями и будет рассмотрен в дальнейшем отдельно.

Подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и скорости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем произведениями возмущений и их производных по координатам, как малыми второго и высших порядков. В этом приближении будем иметь

俄一=0,=0,ох дуду дх

или, деля обе части первого равенства на а/,

(1 -Mi) —+ —= 0, —- —-=0.(10)

дх дуду дх

Представим потенциал скоростей <р и функцию тока р возмущенного движения в виде сумм потенциала скоростей ф», и функции тока 屮8。* нородного движения и соответствующих потенциала ф и функции тока $ малых возмущений, произведенных тонким телом в однородном потоке

ф = фоо + ф,屮=屮8 + 3・ф = фоо + ф,屮=屮8 + 3・(II)(II)

ф = фоо + ф,屮=屮8 + 3・

ф = фоо + ф,屮=屮8 + 3・

(II)

(II)

Подставляя эти выражения в равенства (5) и (6), произведем в них линеаризацию, отбрасывая малые высших порядков. Будем иметь

厶+ 〃 =h+聿，g亏+燃，

(Р8 +Р)(^оо+ G=p8 (晋居)，

(р8 + Р)+

98 = u8%, ^)oo=Uooyt98 = u8%, ^)oo=Uooyt(12)(12)Сравнение конечных (малых нулевого порядка) величин сразу дает

98 = u8%, ^)oo=Uooyt

98 = u8%, ^)oo=Uooyt

(12)

(12)

а сравнение малых величин первого порядка приводит к системе ра венств

〜0д①

(13)(14)(13)(14)〃 =и= ,°* ду 〜

(13)

(14)

(13)

(14)

pUs + po^npco-^, 0=—-^ • дудх

В левой части первого из равенств (14) выразим возмущение плотности р через возмущение скорости й, воспользовавшись для этого уравнением (29) гл. V, переписанным в форме (р0=рто, р0 = роо,力「8餌=碌，const= №/2) °°

H Г/ Р %

Произведем в этом равенстве принятую ранее линеаризацию. Перепишем его сначала в виде

(Uqo+ 办 2 +鉀 2(Uqo+ 办 2 +鉀 2空空

(Uqo+ 办 2 +鉀 2

(Uqo+ 办 2 +鉀 2

空

空

а затем, после простых шего порядка, получима затем, после простых шего порядка, получимпреобразований и пренебрежения малыми выс-

а затем, после простых шего порядка, получим

а затем, после простых шего порядка, получим

~ 唸~小+』=0.Poo

(15)(15)Возвращаясь к (14), найдем, исключая р,

(15)

(15)

1 — M^ дудх

Подставляя значения u, v из (13) в первое из уравнений (10), получим основное линеаризованное уравнение для определения потенциала скоростей возмущений ф

(1一10案 + 要=0. (16) ох2 ду2

Взяв значения u, v из (15) и подставляя их во второе уравнение системы (10), найдем аналогичное линеаризованное уравнение для определения функции тока возмущений *

(1亠)谷+誓=a (17)

Для решения задач обтекания тонкого крыла можно в одинаковой степени пользоваться как уравнением (16), так и (17). Разница будет в граничных условиях на контуре обтекаемого газом профиля.

Условие непроницаемости контура можно задать в двух различных формах: либо равенством нулю нормальной к поверхности составляющей скорости потока, либо равенством нулю функции тока, если поверхность профиля рассматривается как нулевая линия тока.

Зададим контур профиля, расположенного в окрестности отрезка ab оси Ох, уравнением (а и b — абсциссы передней и задней кромок профиля)

y = h ⑺,awxgb,

так что угол 0 касательной с осью х определяется равенствами tggg 似 %).

Условие непроницаемости контура профиля в первой из упомянутых только что форм будет

Vn = t/oon + rn = 0 при y=h(x)t a《％Wb, или, с той же степенью приближения,

v =^ Uji' (%) при y — h (х), 〃 W % & b・

ду

Вторая форма условия непроницаемости, согласно (11) и (12), будет 屮=屮8+g=u8^ +布=0 при y = h (х), aWx《瓦 или〜

屮=—Ugh(x) при y — h (x), a W» Wb.

Так же, как это уже было сделано в § 55, в принятой степени приближения будем требовать выполнения только что выведенных условий непроницаемости не на самом контуре, а на отрезке оси Ох между х=а и х=“ причем будем различать верхнюю и нижнюю стороны этого отрезка, полагая для этого условно у= ±0.

Таким образом, для уравнения (16) будем иметь граничное условие

业=UghR) при у=±0, а《х&“(18)

а для уравнения (17)

屮=—U ^h (%) при у=±0, а《％&Ь.(19)

Что касается граничного условия на бесконечном удалении от профиля, то оно очень просто формулируется для дозвукового движения (Моо<1) и сводится к убыванию возмущений до нуля при удалении от контура профиля:

(Р->0,中一>0 при )/炉 + 锅->8.

Для сверхзвукового обтекания (Моо>1) это условие, как вскоре будет выяснено, не удовлетворяется.

В заключение параграфа составим необходимое для вычисления давления потока на поверхности тела выражение коэффициента давления с?, сохранив для него то же определение (46) гл. VII, что и в случае несжимаемой жидкости, но подчеркнув выбор в качестве характерного значения величины плотности на бесконечности р = роо, так что

万Poo吃

Пользуясь той из изэнтропических формул (87) гл. V, которая относится к давлениям, и полагая в ней р、=р, °2=卩8, М】 = М, М2=М«,

преобразуем выражение (20) коэффициента давления ср к виду

или, производя замену k(poo/poo) на а^ и V^/a^ на М»,

Это выражение коэффициента давления является общим, не связанным с допущением о малости возмущений.

В случае малых возмущений совершим над уравнением (28) гл. V линеаризацию, аналогичную только что проведенной над уравнением (29) той же главы. Тогда найдем

р= —pcoU^u, после чего для коэффициента давления ср получим искомое приближенное выражение, справедливое лишь в случае малых возмущений:

Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют собой линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (М8 V1) или сверхзвуковым (Моо>1), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом случае (Mg VI) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (М«»>1) переписать в виде

(M-D 需-需=。，(m1 噜-需"(23)

Наличие отрицательного знака в гиперболических уравнениях соответствует особому, как уже было показано в §32 гл. V, волновому характеру процессов сверхзвукового течения газа.

Дозвуковое обтекание тонкого профиля.Правило Прандтля — Глауэрта

Контур профиля, помещенного в поток, зададим уравнениями верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) частей контура

弘=儿(%),力=力2(*), a^x^b,

которые для краткости будем обозначать так:

У = ^,2(%), а《％《Ь・

Будем пользоваться уравнением функции тока (17) и соответственно граничными условиями (19). Введя обозначение(о2=1—М«, придем

к следующей краевой задаче:

五+丄巫=0・

ЭХ2 炉 ду2 '

$ = — U^. (х) при у = ± 0, a^x^bt (24)

#т 0 на бесконечности.

Перейдем от координат % н у к новым координатам Е н п，произведя аффинное преобразование (деформацию ординат)')

自=%, n = s从(25)

Тогда краевая задача (24), поскольку в граничных условиях используются лишь нулевые и бесконечно большие значения у, сведется к такой:

更+迹=0,

(26)(26)羽2 丁 an2

(26)

(26)

# = —UoA,3(E) при n = ±0, aW&W 瓦 屮一> 0 на бесконечности.

Сопоставим эту задачу с задачей (24), в которой предварительно положим Моо = 0,(о=1, что будет соответствовать обтеканию того же самого тонкого профиля несжимаемой жидкостью (отметим это индексом 0 при $). Будем иметь

帀)=—ал,?(х) при у = ±0, aW%Wb, (27) $0-> 0 на бесконечности.

Сравнивая (26) и (27), сделаем заключение о тождественности решений этих уравнений, выраженных соответственно в переменных ^, г] и х, у, так что

2)三$№)f^>> f^t- 供)

Пользуясь этими тождествами, равенствами (15) и преобразованиями (25), получим

~]舟 對_1 加0 _ Uq

w dy — /1 _м^ 。9 — К1 二м『'

(29)

7=一/=一也=一 力 羽дх 0

(30)(30)после чего на основании формулы (22) получим следующую связь между коэффициентами давления ср в линеаризованном дозвуковом потоке газа (Ма><1) и ср0 в несжимаемой жидкости (Моо = 0):

(30)

(30)

1А-М^

Полученное соотношение выражает следующее правило Прандтля—Гл ауэрта: распределение коэффициента давления в плоском безви-

')Prandtl L Uber Stromungen deren Geschwindigkeiten mit der Schallgeschwindi- gkeit vergleichbar sind.—Journ. Aeron. Res. Inst., Tokyo, 1930, v. 65, p. 14; Glauert H. The effect of compressibility on the lift on airfoil.— Proceed. Roy. Soc. A., 1928, v. 118; Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики.— М.: Наука, 1980.

хревом линеаризованном дозвуковом потоке газа при данном значении Моо<1 может быть получено из соответствующего распределения в пото- &е несжимаемой жидкости, если все ординаты этого распределения увеличить в 1/У 1 — М2 раз.

Вспоминая (§54 гл. VII), что подъемная сила профиля Rv и коэффициент подъемной силы су определяются по формулам

凡=—§ PMs = у pgU^ ф Cpdx,

Q = —————=(£ cpdx, x = x/b,

где b ——хорда профиля, заключим, что для профиля с одним и тем же контуром в потоках газа и несжимаемой жидкости для коэффициентов подъемной силы су и су0 справедливо соотношение

^ = ^=-,(31)

аналогичное (30).

Результаты экспериментов показывают, что интегральная формула (31) справедлива в несколько более широком интервале чисел Моо<1, чем локальная формула (30). На рис. 88 приводятся для сравнения результаты опытного определения су тонкого (относительная толщина

Рис. 88

6,5%), мало изогнутого винтового профиля при двух углах атаки 2° и 4°. Можно заметить, что при угле атаки 4° экспериментальная кривая (штрихи с кружками) уклоняется от теоретической (сплошная линия) кривой (31) ранее, чем при угле атаки 2° (штрихи с крестиками).

Представляет интерес тот факт, что чем больше возмущение потока, в данном случае чем больше угол атаки, тем меньше интервал чисел М», в котором сохраняет свою силу линеаризованная теория. Изложенная в настоящем параграфе теория не дает количественного объяснения этого важного факта. В дальнейшем будут приведены более общие соображения о связи между линеаризованными обтеканиями тел в дозвуковом течении газа и потоке несжимаемой жидкости, которые теоретически подтвердят только что отмеченный факт.

Правило Прандтля ——Глауэрта служит только для пересчета уже заранее определенных ср0 и су0 в несжимаемой жидкости (например, по методу теории тонкого крыла, изложенному в §55) на их значения при заданном числе М«,<1 в дозвуковом газовом потоке.

Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета

При сверхзвуковом течении газа (Мз>1) второе из линеаризованных уравнений (23) приобретает форму

где, в отличие от предыдущего параграфа, положено

to2 = ML-l.(33)

Волновое уравнение (32) нам уже знакомо по § 32 гл. V. Отличие математической структуры отражает физические особенности явлений, описываемых уравнением (32), по сравнению с явлениями дозвукового течения.

Легко убедиться простой подстановкой, что общее решение уравнения (32) может быть выражено формулой

布(尤, 4)=%(% -①价 + %(% + 纯)，

где Qi и й2 — произвольные функции аргументов x——sy и х+(оу; вид этих функций определяется с помощью граничных условий задачи.

Рассмотрим частное решение

也= %(% —①力(34)

Оно имеет следующий смысл: в плоскости течения (х, у) существует семейство прямых линий

x—(of/ = const,

вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно, и вообще возмущения параметров движения и состояния газа будут сохранять постоянные значения. Эти прямые представляют собой первое семейство (С\) характеристик волнового уравнения (32) и играют роль линий возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Их именуют линиями или волнами Маха.

Точно так же частному решению

也=% (% + 纳)(35)

соответствует второе семейство (С2) характеристик, или линий возмущения,

х+(оу = const,

вдоль которых также сохраняют постоянное значение возмущения параметров движения и состояния газа.

Рассматривая угловые коэффициенты этих семейств прямых

tg а = ± 丄=± L： - ,(36)

& МММ-1

заключим, что углы а, образованные линиями возмущения с направлением невозмущенного движения (осью Ох), равны

а = 土 arcsin .(37)

Mg

На рис. 89 показаны две линии возмущения от точечного источника возмущений S, находящегося на оси Ох. Только вдоль этих двух лучей, выходящих из точки S, можно наблюдать возмущения однородного набегающего на точку S потока; во всех остальных точках плоскости течения поток не возмущен и сохраняет свою однородность. Напомним, что «то-

чечным» источником в плоском потоке служит на самом деле источник возмущений в виде прямой, перпендикулярной к плоскости рисунка (например, расположенная поперек потока тонкая проволока). От действи- гельно точечного источника в пространстве линии возмущения расположатся на конической поверхности с вершиной в точке S и углом полураствора а, определяемым по (37). Этот конус возмущений называют еще конусом Маха. По наклону линий возмущения можно судить о значении числа М«» однородного потока.

Рис. 90Рис. 90

Рис. 90

Рис. 90

Так в аэродинамических сверхзвуковых трубах, внося в поток малые возмущения при помощи тонких игл или зондов, наблюдают линии возмущения и по углам наклона их к направлению невозмущенного потока определяют число М« в трубе. Видимость линий возмущения обеспечивается тем, что вдоль них плотность газа (воздуха), а следовательно, и показатель преломления отличны от соответствующих значений в невозмущенном потоке.

Обратимся к вопросу об обтекании тонкого профиля сверхзвуковым потоком. Контур его, как и в дозвуковом потоке, будем задавать ординатами верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) поверхностей: y=hl2(x).

Граничное условие представим, как и прежде, в форме

布=—U^h^ (x) при у = 士 0, %4 W % W %8・(38)

Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля (рис. 90) соответственно характеристиками первого (&) и второго (С2) семейств. Только что изложенные свойства характеристик [формула (34) для первого семейства и формула (35) для второго семейства] позволяют сразу заключить, что решение уравнения (32) при граничном условии (38) может быть представлено в форме

® =—厶九1」(％ 干 sy),(39)

где, напоминаем, индексу 1 при Л соответствует верхний знак в круглой •скобке, а индексу 2 — нижний.

В отличие от дозвукового обтекания функция тока возмущений $(%, у) при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура профиля не обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней полос, ограниченных крайними характеристиками ЛДЬ ВВ4 и ЛЛ2, ВВ2, при yf ± оо то же распределение по х, как и на верхней и нижней поверхностях профиля *). Вне указанных полос поток остается однородным

Асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что на больших расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже

и скорость его равна UM. Как это непосредственно видно из решения (39) и показано на рис. 90, линии тока возмущенного движения (屮= =[7^+ф=const) представляют собой кривые, которые могут быть получены параллельным переносом верхнего и нижнего контуров профиля соответственно вдоль характеристик первого и второго семейств.

Располагая решением (39), найдем по (15) распределение возмущений составляющих скорости (штрих означает производную по всему аргументу, стоящему в круглой скобке)

и =и =тт; :~ —=干—у--；"—瓦,2 (% 干 gy).

и =

и =

7=一鲁=u8公,2（X干继）,7=一鲁=u8公,2（X干继）,(40)(40)

7=一鲁=u8公,2（X干继）,

7=一鲁=u8公,2（X干继）,

(40)

(40)

справедливое во всей области возмущенного движения. Из второго равенства системы (40) можно найти угол отклонения 01>2 касательной к линии тока в возмущенной области от линии тока невозмущенного потока. Будем иметь по определению линии тока и в силу малости отклонения 01,2

01,2 弋 tg &,2 = 十—— hi，(x 干 纳)，(Us + и) Ug

а тогда из равенств (40) следует

"=干"=干1/|<一11/|<一1и = UgBwи = UgBw(41)(41)

"=干

"=干

1/|<一1

1/|<一1

и = UgBw

и = UgBw

(41)

(41)

Эти равенства выражают основное свойство линеаризованного сверхзвукового потока: продольная и поперечная составляющие скорости 803Mу・ щения при заданных скорости и числе Маха невозмущенного потока пропорциональны местному углу наклона линии тока возмущенного движения по отношению к направлению невозмущенного потока и имеют местный (локальный) характер. Тем же свойством обладают давление.

плотность и другие характерные для потока величины, что принципиально отличает сверхзвуковой линеаризованный поток от дозвукового, в котором значения параметров потока в данной точке зависят от распределения этих параметров во всем потоке в целом.

Припоминая одинаковую как для дозвукового, так и сверхзвукового линеаризованных потоков формулу (22) коэффициента давления, найдем, согласно (41), выражения коэффициента давления в любой точке

возмущенного потока

.2.. а%.?“干 сод)

Q = ± —====-力 1,2(X 干 ®д) = 士r -~

а затем и на поверхности (контуре) профиля, где приближенно можно положить(/= ±0,

(42)(42)

(42)

(42)

Последнее равенство, выражающее пропорциональность коэффициента давления в линеаризованном сверхзвуковом потоке местному зна*

в первом приближении и искажает картину течения на рис. 90. Характеристики искривляются и перестают быть параллельными между собой. См. В а н- Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости.-— М.: Мир, 1967, с. 147—161.

чению угла между касательной к контуру тонкого профиля и направлением невозмущенного потока — этот угол принято обычно называть местным углом атаки — напоминает известную «ударную» теорию Ньютона, против применения которой в теории обтекания тел несжимаемой жидкостью боролся Эйлер. Как вскоре будет выяснено, «ударная» теория Ньютона найдет свое применение как вполне удовлетворительный, хотя и только приближенный, метод расчета обтеканий тел при очень больших значениях чисел Маха набегающего на тело сверхзвукового потока.

(с。？ — Qi) dx,(с。？ — Qi) dx,Коэффициент подъемной силы су найдем, выполняя интегрирование (Ь=АВ — хорда профиля, в принятом приближении равная разности Хв——％а абсцисс точек В и А)

(с。？ — Qi) dx,

(с。？ — Qi) dx,

(43)

Подставляя сюда значения ср1 и Ср? из (42), получим

2ь/Й—12ь/Й—1[疋(%) + 欣(%)] dx = —[疋(%) + 欣(%)] dx = —222 仇一g/)ХВ^ХА2 仇一g/)ХВ^ХА

2ь/Й—1

2ь/Й—1

[疋(%) + 欣(%)] dx = —

[疋(%) + 欣(%)] dx = —

2

2

2 仇一g/)

ХВ^ХА

2 仇一g/)

ХВ^ХА

Введем угол атаки профиля е как острый угол между направлением хорды АВ и набегающим потоком

jУа —Ув

tg е。е р;

тогда предыдущая формула примет окончательный вид

(44)

Это — формула Аккерета1).

В линеаризованной теории сверхзвукового обтекания тонкого профиля коэффициент подъемной силы не зависит от формы профиля, а только от угла атаки и числа М«»>1 набегающего потока.

В отличие от линеаризованного дозвукового течения, в котором, как это непосредственно следует из правила Прандтля ——Глауэрта (§59), сопротивление профиля отсутствует, при сверхзвуковом обтекании сопротивление профиля отлично от нуля; оно носит наименование волнового. Возникновение этого сопротивления может быть физически объяснено той продольной несимметрией потока, которая отличает сверхзвуковой поток от дозвукового. Если в дозвуковом потоке давление в задней кормовой части профиля восстанавливается и создает силу, противодействующую главному вектору сил давлений в передней (лобовой) части профиля, то при сверхзвуковом обтекании такого уравновешивания не происходит. В кормовой расширяющейся области течения имеет место явление, подобное наблюдаемому в сопле Лаваля: сверхзвуковой поток при расширении ускоряется, давление в кормовой части не восстанавливается, а продолжает уменьшаться, что приводит к дополнительной отсасывающей силе, направленной вниз по потоку. Таким образом, в отличие от дозвукового потока, главные векторы сил давления по лобовой и кормовой части поверхности профиля друг друга не уничтожают, а, наоборот, складываются, образуя суммарную силу волнового сопротивления.

】)А с к е г е t J. Uber Luftkrafte auf Fliigel, die mit grosserer als Schallgeschwin- digkeit bewegt werden.— Zeischr. f. Fliigtechn., 1925, Bd. 16.

Коэффициент волнового сопротивления сх найдем, составляя выражение для силы сопротивления

&=_ 0 pnxds = —(^pdy^ — ~ pgUZ ФСр^^х~

П济"打G号f?警）&

Согласно (42) будем иметь следующую формулу Аккерета для коэффициента волнового сопротивления:

ХВ

уроо^уроо^(45)(45)-_у>Х^ f {從(х)]2 + [Л： (х)]2} dx. ьКм—i iA

уроо^

уроо^

(45)

(45)

Как видно из этой формулы, коэффициент волнового сопротивления представляет собой малую величину второго порядка; в отличие от

коэффициента подъемной силы он зависит от формы обтекаемого профиля. Так, для пластины

А； (%)=后；(%)= 一 ————=—tge^ — E,ХВ — А

и по (45) получим

4е2

Для вычисления сх в случае более сложных форм профилей полезно в выражении (45) положить

九；(х) ^ 91 = Ф1 — е,九；(х) у % =屮2 + %

где е — угол атаки (рис. 91), а <р【н(р2 — углы между касательными в точках Mt и М2 верхней и нижней поверхностей и хордой профиля. Тогда, согласно (45), сх выразится в виде

хв

以=6而? К/ 2； + 嗎 + 2炉 + 2е他—Ф1)1 dx.

В случае симметричного крыла (q)1==q)2 =(p) получим

касательной к контуру крыла относительно его хорды. Из формулы (47) следует, что по линеаризованной теории из всех профилей, расположенных к потоку под малым углом атаки, пластина обладает наименьшим волновым сопротивлением.

Для ромбовидного профиля с максимальной толщиной (малой диагональю) / и хордой (большой диагональю) b имеем(р = 〃仇 так что

cХ = 一7f6 +.(48)

В случае чечевицеобразного профиля (рис. 92), составленного нз двух одинаковых дуг окружностей, в принятом приближении можно написать

(49)(49)Рис. 92Рис. 92

(49)

(49)

Рис. 92

Рис. 92

и заметить, что

匕= 2Rsin(Pou2R(Po, ； = R —Rcoscpo^^R%,% =

Окончательно найдем по (47) 4

Теория Аккерета, как теория первого приближения, дает результаты, удовлетворительно совпадающие с экспериментом, если профиль до*

статочно тонок, углы атаки малы, а число Моо не слишком близко к единице. Для примера приводим (рис. 93)

сравнение теоретических кривых %(е) и с*(е), рассчитанных по формулам Аккерета (44) и (47), с экспериментальными кривыми Хилтона и Прудена ') для ромбовидного профиля относительной толщины 8,7% со скругленными углами посредине при Mg =1,45. Экспериментальная кривая нанесена сплошной линией, теоретическая ——штриховой. Ординаты теоретической кривой q увеличены на число 0,008, соответствующее коэффициенту сопротивления трения, теорией Аккерета не учиты-

ваемому. Более подробное изложение вопроса о границах применимости формул Аккерета, а также дополнительные экспериментальные материалы можно найти в специальной литературе '）・

§ 61. Законы подобия плоских до- и сверхзвуковых обтеканийтонкого профиля. Случай околозвукового обтекания

В предыдущих двух параграфах, трактовавших задачи плоского, дои сверхзвукового обтекания тонкого профиля, были получены формулы, позволявшие пересчитывать коэффициенты давлений и подъемной силы, а также коэффициент волнового сопротивления для сверхзвукового обтекания данного профиля с одного значения числа Маха набегающего потока на другое.

В случае дозвукового потока была установлена связь между Ср или J тонкого профиля заданной формы и расположения в однородном потоке при произвольном, меньшем единицы числе Маха Моо, и соответствующими значениями этих коэффициентов для того же и так же расположенного профиля в однородном потоке несжимаемой жидкости （Моо=0）. Из формул （30） и （31） непосредственно следуют несколько более общие формулы пересчета

（Cp）Mg=M, _（%）M8=Mi _М；©О,

（Cp）M8=S （%）Mg=M2 V 1 - М；

коэффициентов ср и су с одного значения Моо=М4<1 на другое Моо= «М2<1, конечно, подчеркнем это еще раз, для одного и того же по форме и расположению тонкого профиля.

Судя по формулам （42）, （44） и （45）, для двух одинаковых по форме тонких профилей, одинаково расположенных в двух однородных сверхзвуковых потоках с числами Mg, равными М4>1 и М2> 1, будут иметь место формулы пересчета

（Cp）Moo=Mi （%）Mg=Mi （%）Moo=Ml г — 1 ===1 / , （Cp）Mg=M2 （%）M8=M2（%）Mg=M, V M； — 1

которые можно переписать в виде, тождественном с （50）, если поменять местами члены в числителе и знаменателе под знаком корня.

Указанные формулы являются частным случаем более общих соотношений динамического подобия, которые можно установить для разных по форме, но аффинноподобных между собой тонких профилей, расположенных под малыми углами атаки в двух однородных потоках с различными числами Маха, но, конечно, такими, чтобы сравниваемые потоки были оба дозвуковыми или оба сверхзвуковыми.

Выясним условия динамического подобия двух линеаризованных потоков газа и определим соотношения между коэффициентами ср）сУ9 а в случае сверхзвукового потока также и сх для таких подобных друг другу потоков.

Рассмотрим два линеаризованных потока со скоростями на бесконечности Ui и числами Маха М：, заданные своими функциями тока малых возмущений ^i в физических плоскостях движения （%力 协）.Здесь и дальше индекс i принимает значения i=l, 2 соответственно двум сравниваемым между собой потокам.

J） См., например, Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей.— М.: ИЛ, 1955, с. 165-231.

琏’I- 1°吨1 办琏’I- 1°吨1 办(52)(52)Дифференциальные уравнения движения, согласно (17), можно написать в форме

琏’I- 1°吨1 办

琏’I- 1°吨1 办

(52)

(52)

где верхний знак относится к дозвуковому, а нижний — к сверхзвуковому потоку. Без нарушения общности принимается, что хорды обоих профилей одинаковы и равны 6=%»—%а, а уравнения

协=儿(%0(i=l, 2)

соответствуют всему контуру профиля, который, в отличие от предыдущего (§§ 59, 60), не разделяется на верхнюю и нижнюю части.

Граничные условия на поверхностях расположенных в потоках тонких профилей будут по (19)

^i = —Uihi(xi) при й= ±0, Ха^х{^хв (t = 1, 2).(53)

Совершим в уравнениях (52) и граничных условиях (53) переход к безразмерным переменным, положив

*=b&, yi =一行=印，

(54) 3f = bUi 1ф -М； I 呼仇 &,叫，ht =历也 &)・

В этих формулах перехода ^ — некоторые благодаря однородности уравнений (52) произвольные постоянные, что отражает произвольность масштабов $〃 За масштабы ординат профилей приняты произведения длины хорды b на малую относительную толщину под которой в настоящем изложении принимается не только обычное отношение максимальной толщины профиля hi к длине хорды Ь, но и, более общо, относительная вогнутость профиля, равная отношению стрелы прогиба «скелета» профиля к длине хорды, или просто угол атаки; &, тр, &, 〃彳—безразмерные координаты и функции от них.

Выражая в уравнениях (52) и граничных условиях (53) все переменные через безразмерные их значения, получим после простых со кращений (/=1, 2)

喝 加:

呼Vb-Mj I仇= -s4 пр" 用=±0,(56)

В случае дозвукового потока к условиям (56) добавляется еще условие:при 叭;+8・

Если в сходственных точках сравниваемых двух потоков, определяемых равенствами безразмерных координат этих точек

£=短=e,口=小=11，

в условиях геометрического аффинного подобия обтекаемых профилей "/费)="2隽2)="(0

выполняются равенства

仇隽” %)=仇(圣，tl2)=e(E, %),

то такие потоки кинематически подобны друг другу.

Обращаясь к уравнению (55) и граничным условиям (56), убедимся, что для выполнения указанных требований должны соблюдаться равенства (X — некоторая константа)

% “jl_M；|屮2 M|l—M；|% “jl_M；|屮2 M|l—M；|(57)(57)

% “jl_M；|屮2 M|l—M；|

% “jl_M；|屮2 M|l—M；|

(57)

(57)

Выполнение дополнительного условия на бесконечности в дозвуковом потоке не приведет к новому условию подобия.

При выполнении условий аффинности профилей и равенств (57) совокупность уравнений (55) и граничных условий (56) приведется к одному уравнению и соответствующим ему граничным условиям

а20 . д20 八

能 2^2*

е =—九Н(Е) ПРИ 口 = ± о,»

bь

0-> 0 при 诡2 十 哦一> 8 (дозвуковой поток).

При заданном значении 厶 полученное уравнение имеет единственное решение 0=6(g,刀)，что и говорит о наличии кинематического подобия между сравниваемыми потоками.

Как сейчас будет выяснено, различные значения постоянной X зависят от выбора выражения для 4r через заданные константы т и М«,. Этот выбор остается произвольным, причем каждому значению А соответствует свое условие (57) и вытекающее из него частное условие кинематического подобия. Некоторые из этих условий будут далее рассмотрены.

Для установления условий динамического подобия обратимся к рассмотрению коэффициента давления ср в двух кинематически подобных потоках. Согласно (22) будем иметь, переходя к безразмерным величинам в сходственных точках,

2%2 期叱

°4%(1 - Mj) d勿十‘如'

откуда следует, что условием динамического подобия служит

里=上=干2也=f 0)・(58)

匕屮2内

Применяя символ 《idem》 (по латыни — «то же») для обозначения одинаковых величин в сравниваемых двух динамически подобных потоках, можем условия (57) и (58) записать в следующей более краткой форме:

X ====== = idem, &__=idem.(59)

屮 Wl 1 — M^J屮[

Совокупность равенств (59) можно представить в форме следующей функциональной зависимости 4):

*/(77』)=®(60'

9 Липман Г. В., ИЛ, I960, с. 302—305.9 Липман Г. В., ИЛ, I960, с. 302—305.Р о ш к о А. Элементы газовой динамики: Пер. с англ.— М.:

9 Липман Г. В., ИЛ, I960, с. 302—305.

9 Липман Г. В., ИЛ, I960, с. 302—305.

выражающей тот факт, что при 工/(屮联| 1 — М^ |) =idem будет и

—=idem.

•Как это принято, в правых частях (58) — (60) опущены аргументы Е н Т，которые в сходственных точках сравниваемых потоков одинако» вы. Не следует, конечно, забывать, что Cp/W при р/(屮 V|1 — ML I)=旧 ««idem представляет собой функцию от 自 и 刀,зависящую от выбора X.

Задаваясь различными выражениями произвольной постоянной 屮 через постоянные т и М«, будем получать разные значения 入 и соответствующие им различные частные законы подобия. Так, полагая 屮= = |1—М^「％, будем иметь, согласно (57) и (58), формулу (入=т)

'Mil-мн '

в случае дозвукового потока совпадающую с ранее установленной формулой (30) и выражающую тот уже известный нам (правило Прандтля — Глауэрта) факт, что если сравниваемые профили имеют одинаковые относительные толщины (в том обобщенном смысле, как это ранее говорилось), то коэффициенты давления в сходственных точках обоих потоков будут обратно пропорциональны корням квадратным из значения разности 1—М2 или 1—М；・

Если положить Ч'=1, то соотношение подобия (60) примет вид

入= Т — , Cp=f( / Т =)

и будет выражать другой аспект того же правила Прандтля — Глауэрта, а именно: если в двух сравниваемых дозвуковых потоках относительные толщины тонких профилей будут между собой относиться как корни квадратные из разностей (1—М； ) и (1—М：), то коэффициенты давления в сходственных точках таких двух потоков будут одинаковы.

Только что высказанное правило поясняет ранее отмеченное свойство кривых cv(Moo), приведенных на рис. 88 (§ 59). Условие одинаковости отношения р/]/11 —М^о I приводит к тому, что чем больше угол атаки, тем при меньших Мз можно ожидать совпадения расчетного и экспериментального значений коэффициента подъемной силы.

Интересно еще положить Чг=т; тогда

入=”T〃U|1 — ICD・ /|1-М^|

Справедливость такого равенства, утверждающего, что при данном значении Mo, коэффициент давления пропорционален относительной толщине профиля, была неоднократно нами проверена для случая Мсо=0 в§ 55 [см. первую из формул (104), а также (107)].

Если, наоборот, относительную толщину профиля менять обратно пропорционально ]/| 1ML |, т- е. сохранять неизменной величину т V^j 1М» I， то коэффициент давления будет обратно пропорционален 11—Ml» I согласно формуле

丨 1 — I

которую получим из (60), если положим w=1/"一m銹入=T*1一m力

Положим, наконец, в равенстве (60)

тогда будем иметьтогда будем иметьу = к/У]1-М";у = к/У]1-М";

тогда будем иметь

тогда будем иметь

у = к/У]1-М";

у = к/У]1-М";

X = 1,X = 1,■/|1 — мн■/|1 — мн/(1),/(1),

X = 1,

X = 1,

■/|1 — мн

■/|1 — мн

/(1),

/(1),

где f(l) является, как уже отмечалось, функцией координат 占，刀，определить вид которой из соображений подобия, конечно, нельзя. Полученное выражение для ср находится в полном соответствии с формулами (30) и (42).

Отмеченное многообразие «правил подобия», позволяющее сравнивать обтекания при различных числах Маха набегающего потока профилей с различными законами связи между относительными толщинами и числами Маха, обусловлено линейностью и однородностью уравнений теории до- и сверхзвукового обтекания тонкого профиля.

Обратимся теперь к случаю околозвукового обтекания тонкого профиля, характеризуемого близостью числа М® набегающего потока к единице. В этом особом случае изложенный в § 58 простейший способ линеаризации уже неприменим и должен быть дополнен более тонкими соображениями о сравнительной малости членов основного уравнения (7) и выражения скорости звука (8), применяемых к задаче обтекания тонкого профиля. Для этого проще всего рассмотреть общее уравнение (2) и выражение скорости звука (4). Сделаем в них замену и, и и а по формулам (9), причем, в отличие от предыдущей линеаризации (§ 58), в множителях, стоящих перед производными скоростей возмущений du/dxt дй/ду, dv/dx, dv/dy, представляющими собой малые первого порядка, сохраним не только конечные величины, но и малые первого порядка. С этой целью воспользуемся для квадрата скорости звука приближенной формулой

М=虑 + 齡 U^ - ^!(案 + 2U/ + ◎ + 辟)у 点一优-1) u/・

В этом приближении получим

%—U^> —但+ 1)^ос«]UgU+

+ [虑一(力-1) U8"]= 0,

оу

или, выделяя в левой части малые первого порядка и деля обе части на в оо *

(1-MR雪+?=3+1)1e与半 +

'дх дуUg дх

+ 但一\)М^~+ 但一\)М^~ду ( \ ду 力ду ( \ ду 力

+ 但一\)М^~

+ 但一\)М^~

ду ( \ ду 力

ду ( \ ду 力

Линеаризация требует отбрасывания правой части, что для случаев до- и сверхзвуковых движений приводило к уравнению (10). В разбираемом сейчас случае околозвукового движения значение Моо=1 является особым, так как при этом, обращается в нуль коэффициент при производной дй/дх. Производную дй/дх при М«,, близком к единице, уже нельзя рассматривать как малую величину, а остальные производные дй/ду, dvldy. dv/dx сохраняют свою малость. Вот почему первое слагаемое в правой части должно быть сохранено, а остальные могут быть, как и ранее, опущены. Таким образом, в случае околозвукового обтекания тонкого профиля линеаризация нарушается, и мы будем

иметь следующую, уже нелинейную систему уравнений движения

a-m/）普+普=但+ ^击察

巫一亙=0.

ду дх

В рассматриваемом случае проще иметь дело с потенциалом ско« ростей возмущений 屮，чем с функцией тока возмущений -ф. Используя наличие потенциала скоростей малых возмущений <р(х, у), приведем полученную систему к одному уравнению

a-м(6i) d*2 dg2 Ug дх дх2

с соответствующим ему граничным условием (18)

@ = 〃8加(х) при у=± О, %4《X W Хв.

Для установления соотношений подобия двух плоских околозвуковых обтеканий тонких профилей с заданными относительными толщинами ть т2, скоростями набегающих однородных потоков Uu U& числами Маха Mi и М2 и показателями адиабат Л4 и k2 составим следующие уравнения и граничные условия:

для первого потока

(62)(62)1 d响=(瓦+DM: м济冠 十 1 — М：威'—U1(1-M：) d> 肃

(62)

(62)

^ = u也;3 при % = ±0, xa^x^xb

и для второго

雁_1廝2 一偽+DM：而2呜2

2 十 1-М；= %(1-М：) 而，

〜(63)

夔=u2 力;(%) при %=±°，加 W%W*8.

Подобно тому как это уже было сделано в начале параграфа, введем преобразования

Ф1 =① 1屮，Фг =①2屮，％ = &, #| 1 — М； I 弘=优I 1 —忌1 У% = %

(64)

h.M^b^H^ 也(%) = %"⑹，

причем по условию подобия функции 屮(g, п) и "(g) одинаковы в сравниваемых системах. При помощи этих функций уравнения и граничные условия (62) и (63) перепишутся в форме

д^ 士 02# =(自+1)М：® 而吟

毎 而=а(1—м;)~^r^F，

〜/(65)

粤=——y加1 干:开⑧ при т] = ±0, %д<?<Xb,

党±吟= 能2 —由2 一党±吟= 能2 —由2 一。屮 小）。屮 小）4阮2a Vi；二 M；i4阮2a Vi；二 M；i"'低)при Г) = ± О,"'低)при Г) = ± О,办W自W%历办W自W%历(65)(65)

党±吟= 能2 —由2 一

党±吟= 能2 —由2 一

。屮 小）

。屮 小）

4阮2

a Vi；二 M；i

4阮2

a Vi；二 M；i

"'低)при Г) = ± О,

"'低)при Г) = ± О,

办W自W%历

办W自W%历

(65)

(65)

他+ 1)m：а辩痂%(i - m；)- ~^Г *

Требование совпадения этих двух систем, состоящих из уравнений и граничных условий для первого и второго течений, приводится к двум равенствам

(瓦+1)м;® _(局+dm沙2 Ф1 /ГГ=х7 = Ф2/Н-М||

Ui(i-M；) 一 /(1—М；)， 蓝蓝 ・()

Выражения коэффициентов давления сР1 и сР2, согласно общей формуле

272 дф

Ср =~=~~ ,

UgUg дх

в сравниваемых потоках будут

Cp2 —

2Ф2

_2®沛

откуда следует

U2cp2

(67)

①1-

①2•

Исключая из системы равенств (66) и (67) отношения ①JU[ и ф2/[/2, получим искомые условия подобия двух плоских околозвуковых обтеканий тонких тел

% /|1-М；| 的+DM；g _ (Е+1)М打2

-，|1-M；M= |1-Мр '(8)

которые с той же условностью, что и раньше, могут быть выражены в виде общей функциональной зависимости

^/Н-М^|£一 /^/Н-М^|£一 /тт(々+1)М箱 ll-КС [% 丿•(々+1)М箱 ll-КС [% 丿•(69)(69)

^/Н-М^|£

一 /

^/Н-М^|£

一 /

т

т

(々+1)М箱 ll-КС [% 丿•

(々+1)М箱 ll-КС [% 丿•

(69)

(69)

Поскольку число Moo достаточно близко к единице (поток близок к звуковому), оно может быть в числителе аргумента в правой части (69) опущено, а соотношение (69) переписано в форме

с"1_М*|((々+1)丁、тММ 丿с"1_М*|((々+1)丁、тММ 丿(70)(70)

с"1_М*|((々+1)丁、

тММ 丿

с"1_М*|((々+1)丁、

тММ 丿

(70)

(70)

Если, кроме того, сравнение производится в потоках с одинаковыми физическими свойствами (одно и то же 力)；то соотношение подобия (70) еще более упрощается и приобретает форму

(71)(71)т

(71)

(71)

11-М"% 厂

В отличие от ранее рассмотренных условий подобия для до- и сверхзвуковых обтеканий тонких тел, в случае околозвукового обтека* ния тонкого тела имеется лишь одно соотношение подобия. Этот факт является следствием нелинейности уравнения (62) относительно потей-

циала ср: слева 屮 входит линейно, справа — нелинейно, в виде произведения двух производных.

Соотношению (69) можно придать и другие формы. Так, например, умножая обе его части на аргумент в правой части, можно освободиться в левой части от относительной толщины т. Сохраняя то же обозначение для функции 厶 будем иметь

(々+1)СрМ^ /他+1)М：л、

в правой части, возведенный в степень (—/з), т. е. положить *)

Если обозначить через % аргументЕсли обозначить через % аргумент—」-М>(73)

Если обозначить через % аргумент

Если обозначить через % аргумент

то соотношение (72) можно после умножения обеих его частей на % переписать в виде

〜【(々 + 1)М^% —

"（詣"，⑺"（詣"，⑺(74)

"（詣"，⑺

"（詣"，⑺

или в упрощенных формах, со-

равенствамравенствамответствующих(70) или (71).

равенствам

равенствам

Из равенства (74) следует, что, в отличие от до- и сверхзвуковых потоков, сравнивать околозвуковые потоки можно только в том случае, когда относительные толщины тонких профилей, числа Маха и показатели адиабаты этих потоков связаны условием одинаковости параметра подобия % в обоих потоках. Согласно формулам

丄 7丄 7для околозвукового потока будем иметь

丄 7

丄 7

(75)

"[(々+1)M*1 " m+1)雨口" 丿，

Убедительной иллюстрацией закона подобия околозвукового обтекания тонких тел могут служить кривые2), показанные на рис. 94 и

§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ поток 235 относящиеся к продольному обтеканию тонких клиньев с половичами углов раствора, равными 4,5°; 7,5° и 10°. На верхней половине рисунка показаны три экспериментальные кривые зависимости коэффициента сопротивления сх от числа Моо в околозвуковой области, найденные для указанных трех углов раствора. На нижней половине того же рисунка те же кривые нанесены в параметрах подобия (t=f/b)

二—с/但+DMU% IM—1|

” ’ ［优+】)ММ%

Совершенно отчетливо обнаруживается факт объединения трех кривых верхней половины рисунка в одну общую кривую на нижней его части, что и подтверждает правильность выведенного закона подобия околозвукового обтекания тонких тел.

§ 62. Сужающийся сверхзвуковой поток. Косой скачок уплотнения

Переходя к рассмотрению нелинеаризованных сверхзвуковых течений, соответствующих общему случаю конечных возмущений потока телами, или течений сквозь сопла, остановимся сначала на двух основ

ных явлениях: торможения, происходящего в условиях сужения сверх-

Рис. 95Рис. 95彳彳звукового потока, и наоборот, ускорения течения при его расширении.

Рис. 95

Рис. 95

彳

彳

Начнем с явления торможения сверхзвукового потока, возникающего, например, при набегании на помещенное в него твердое тело. Простейшим случаем, допускающим элементарное рассмотрение, может служить симметричное сверхзвуковое обтекание бесконечного клина с углом при вершине 20, имеющим некоторую конечную величину. По известному свойству идеальных потоков можно заменить нуле-

вую линию тока набегающего на

клин потока, направленную в вершину клина О (рис. 95), твердой стенкой и рассмотреть только верхнюю часть потока, которая будет представлять плоское течение внутри тупого угла, равного л—0.

Для выяснения общего характера потока обратим движение и рас

смотрим течение, вызываемое в неподвижном газе движущимся со сверхзвуковой скоростью вдоль своей линии симметрии бесконечным клином. Такое течение можно уподобить рассмотренному в § 38 тече

нию, вызываемому в газе толкающим его поршнем.

При движении клина его щеки также играют роль поршней, толкающих находящийся перед ними газ и вызывающих в нем образование волн уплотнения. Эти волны, догоняя друг друга, образуют фронт разрыва параметров движущегося газа, который, в отличие от рассмотренного в § 38 случая ударной волны, параллельной плоскости поршня и перпендикулярной к направлению его движения, будет как-то накло^ кен к направлению движения клина (линии его симметрии).

Выясним, в каких условиях возможно образование исходящей из вершины клина О (рис. 95) плоской головной ударной волны ОС, иначе именуемой косым скачком уплотнения.

С этой целью аналогично тому, как это делалось в § 38 при расчете прямого скачка уплотнения, применим к произвольной трубке тока, пересекающей косой скачок, три основных закона сохранения: массы, полного импульса и полной энтальпии.

Условимся обозначать в дальнейшем индексом 1 величины до скачка, индексом 2 — после скачка; кроме того, применим индекс f для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка ОС и индекс и — для нормальной составляющей скорости.

Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 95, будем иметь:

закон сохранения массы

Р1 匕 n = P2 V2п；

закон сохранения полного импульса в проекции на линию разрыва

Р1匕п匕尸Р2 v2n匕t；

то же в проекции на нормаль к линии разрыва

Pi + Pi 片九=02 + Рг^гл,

закон сохранения полной энтальпии

4 + ^ 岡 + Н〃) = Л2 + у 修 f + Н J

Из уравнений пп. а) и б) сразу вытекает основное для теории косого скачка равенство

匕尸『匕，

утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения касательная составляющая скорости сохраняется*, скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.

Переписывая, с учетом этого свойства косого скачка, уравнение полной энтальпии (п. г)) в виде

月+ ^片九=色+ %"

и сравнивая его, а также равенства пп. а) и в) с соответствующими уравнениями (39), (40) и (41) теории прямого скачка (§ 38), убедимся, что три основных равенства, служащих для расчета элементов косого скачка

Pl^lrt = Р2丿2〃， Pl + Р1^1Л = % + Р2^2Л,九1 + 万 Hn =九2 + ^" ^2Л»

полностью совпадают с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, если только под скоростью до и после скачка подразумевать нормальную ее составляющую. Это освобождает нас от повторения выводов § 38.

Отсюда следует, что соотношение между давлением и плотностью, получаемое из предыдущих равенств путем исключения скорости, т. е. ударная адиабата Гюгонио, выражаемая равенством (43) гл. VI и графиком на рис. 36, должна в случае косого скачка остаться той же, что и в случае прямого скачка.

Точно так же останутся теми же, что и в случае прямого скачка, основанные на законе сохранения полной энтальпии 九。равенства

九 10==九20==九0, У 10：=^，20=^，0»aю33a20=%,

а следовательно, и

Т； = Т； = 7*, а； = а； = а*.

Таким образом, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения сохраняются неизменными: энтальпия, температура и скорость звука в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе, а также критическое значение температуры газа и критическая и максимальная его скорости.

Наряду с уравнением ударной адиабаты Гюгонио [ (43), гл. VI] в теории скачка сохраняется для нормальных скоростей и формула Прандтля [(49), гл. VI], но с измененной правой частью. Нет необходимости полностью повторять вывод этой формулы. Разница в выводах заключена в том, что в теории косого скачка уравнение Бернулли, написанное в форме [второе равенство в системе (77) гл. V]

Р2a2 —々 + 12

=Q2 也一12(左一1)

заменой Н=，+吟 может быть переписано в виде

%.«2—1q*2 吟—1,

~ 十 々—1 一 2(々一1)- 2 伏—1)'

где появившаяся справа «приведенная» критическая скорость а*, равная

будет по условиям сохранения а* и Vt также сохраняться при прохождении газа сквозь косой скачок. Повторяя вывод, изложенный в теории прямого скачка (§ 38), но используя уравнение Бернулли, только что составленное для нормальной скорости Vn и заключающее в правой части «приведенную» критическую скорость а*, получим следующие два вида формулы Прандтля для косого скачка:

匕"匕" ="*2,九1"九2" == 1 ,(76)

где под 九п подразумевается отношение Уп/а*.

Обращаясь к скоростным треугольникам, показанным на рис. 95, сделаем заключение о справедливости следующей системы равенств (0 - угол отклонения потока скачком, р — угол, образованный линией скачка ОС с направлением набегающего потока):

Vщ== V1 sin р, U2n =% sin (р—0),

(77) 匕,=匕 cos ^=V2t=V2 cos(p—0) = Vf.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями для проекций скорости на оси прямоугольной декартовой системы координат Оху

匕 х=匕，匕 У=0，%久=% cos 0 = 〃2,匕?=匕 sin 8 = %,

можем переписать систему (77) еще так:

Ущ=У1 sin В， %n=〃2 sin В — s cos В，

(78)

Vt^Vi cos В=〃2 cos p + 厶 sin 0・

Из последнего равенства системы (78) легко выводятся выражения тригонометрических функций угла R скачка через декартовы проекции скоростей до и за скачком

sinB="^忆，cosB = ^, 2 = u(乙一〃2产 + 咚 (79)

Эти соотношения и равенства (78) позволяют найти выражения касательных и нормальных компонент скорости через ее декартовы

проекции

匕=号，匕〃 =^Т匕(匕 一〃2), %〃 = ^[〃2(匕一〃2)—嗯；

подставляя их в первое из равенств (76), получим после простых при* ведений

u2 =(%一〃2)2(%"2-a2.(80)

2宀畜"小

Деля обе части этого равенства на а*? или на а/, перепишем его в следующих двух формах:

"言）（吟一"言）（吟一(m]-^)」М際-管))(m]-^)」М際-管))打+告Mi倉(81)打+告Mi倉(81)

"言）（吟一

"言）（吟一

(m]-^)」М際-管))

(m]-^)」М際-管))

打+告Mi倉

(81)

打+告Mi倉

(81)

представляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (“2/。*, у2/^*) или (и』％, и』а) с параметрами А〔 или МРпредставляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (“2/。*, у2/^*) или (и』％, и』а) с параметрами А〔 или МРРис. 96Рис. 96

представляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (“2/。*, у2/^*) или (и』％, и』а) с параметрами А〔 или МР

представляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (“2/。*, у2/^*) или (и』％, и』а) с параметрами А〔 или МР

Рис. 96

Рис. 96

В последней формуле (81) предполагается, что входящая в правук> часть величина а*/% по известной изэнтропической формуле выражена через Mi. Полученные семейства представляют собой геометриче* ские места точек концов вектора скорости V2 за косым скачком, отнесенного в первом случае к а* и во втором — к аь причем в качестве параметров семейств используется величина скорости V4 до скачка, отнесенная к а* или а「

Кривые семейств (81) представляют собой строфоиды (их еще называют гипоциссоидами или декар* товыми листами), графическое построение которых не составляет

труда.

На рис. 96 в размерных координатах (“, и) показана одна из таких строфоид. Луч OF, проведенный из начала координат под углом 瓦 равным повороту потока или, например, углу полураствора клина, пересекает строфоиду в трех точках: D, Е и F н таким образом определяет три значения вектора скорости V2 за скачком уплотнения.

Как видно из уравнения (80), двойной точке В (через нее проходят две касательные, показанные штрихами) соответствует значение 〃=匕 скорости до скачка.

Поскольку О尸〉О民 а речь идет о торможении потока за скачком, точка F и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные вправо от точки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими и могут быть опущены.

Физический смысл имеют только два значения вектора скорости 匕 за скачком: OD и ОЕ. Как непосредственно следует из формул (77), отрезки OG и ОН выражают при этом два возможных значения общей касательной составляющей скоростей Vt и V2, a (BG, EG) и (B〃，DH、— нормальные составляющие этих скоростей для двух возможных на-

правлений скачка уплотнения, соответствующих двум значениям 0! и ₽»угла ₽.

По условию набегающий поток является сверхзвуковым, следовательно, (\=ОВ>а*. С другой стороны, из уравнения (80) легко заключить, что точка А пересечения строфоиды с осью Ои будет иметь абсциссу ОД=а*2/У1=а*Д1<а*, так как 九>1. Отсюда следует, что точка S на оси О〃，соответствующая критической скорости оМ=а*, должна располагаться между точками А и В, причем так, чтобы выполнялось условие инверсии OA-OB=OS2. Окружность радиуса OS=a* разграничивает области до- и сверхзвуковых течений. Скорости за скачком

Рис. 97

могут быть как до-, так и сверхзвуковыми. Подробнее этот вопрос будет разобран далее.

Заметим еще, что в каждом данном случае, т. е. при задании чисел % или Mi, существует такое значение ®=®тах, при котором точки D и £ сольются в одну и, следовательно, этим значениям 0, или М【будет отвечать лишь одно значение угла В и лишь одно расположение косого скачка. Если при данных 入【или Mi угол поворота потока задать большим 0тах, то решение станет невозможным. Это означает, что рассмотренная схема (рис. 95) прямолинейного скачка ОС, исходящего из вершины угла (вершины клина), не может быть в этом случае осуществлена, а должна быть заменена другой схемой, а именно «отошедшей» от вершины О головной ударной волны； об этом будет сказано далее.

На рис. 97 приведена диаграмма семейства ударных поляр—строфоид, построенная для значения 力=1,4 по первому уравнению (81). Бесконечные ветви, как нерабочие, опущены. Каждой строфоиде соответствуют свои значения параметров 脑 или Мь указанные в двойной точке кривой (3 - сверху, Mi - снизу).

Перейдем к более детальному, аналитическому рассмотрению явления прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Прежде всего воспользуемся указанным в начале параграфа приемом получения формул косого скачка из соответствующих формул прямого скачка путем замены 匕 и 匕 на Vin=V{ sin р, V2„=V2 sin (р—0), а следовательно, Mt и М2 на М]п=М1 sin р и M2n=M2 sin (р-0).

Наличие этого простого правила позволяет без труда составить отношения давлений, плотностей и давлений торможения после и до ко сого скачка и облегчает их запоминание.

Так, вместо формул (53) и (55) гл. VI будем в случае косого скачка иметь следующие выражения для отношений давлений и плотностей до- и за скачком:

空几汴也邛

=・(82)

Pi 也+1々+1 P11+宁 M：sin 叩

Как и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимптоКак и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимптоАналогичным путем преобразуется характеризующее потери механической энергии газа при прохождении его через косой скачок отно* шение давлений адиабатически и изэнтропически заторможенного газа за скачком р?。 и до скачка р10 (§ 39). Формула (59) гл. VI в случае косого скачка переходит в такую:

Как и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимпто

Как и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимпто

тические выражения для этого отношения:

при MiSinR》］(символ асимптотического равенства)

1

(84)(84)м =皿 〜『•住土2)"J『1 (Misin B)-E

(84)

(84)

Pio L 2k(k—\)k J

и для изменения энтропии

=_ In 如 〜一竺 In (M1 sinp).(85)

тактакAP10— 1

так

так

Заметим, что правая часть в этой формуле всегда положительна, как (р>а)

М^пВ = ^ =器 >1・

Согласно асимптотической формуле (84) в потоке воздуха (论=1,4) при MiSin0》l величина к обратно пропорциональна пятой степени произведения Mi sin В；

при числах Mi sin р, близких к единице,

Рю3 伏 + I)2

(86) 冷［Ms吁

Как только что указывалось, выражение в квадратной скобке всегда положительно. Формулы (86) представляют собой обобщение на случай косого скачка формул (61) и (64) гл. VI.

Определим связь между углами р и 6 при заданном значении числа Mi набегающего потока.

С этой целью, по-видимому, проще всего воспользоваться основным соотношением (76), которое, если принять во внимание соотношения

(77), может быть переписано в форме

%% =匕 sin₽ •匕 sin (P-0) =吸 sin ₽ cos ptg(P-0)= / =

=『一露*cos2₽;

[tgptg(B —8) + ^]с℃В=^[tgptg(B —8) + ^]с℃В=^(87)полу-(88)(87)полу-(88)отсюда непосредственно получается зависимость между углами р, 0 и скоростным коэффициентом 儿

[tgptg(B —8) + ^]с℃В=^

[tgptg(B —8) + ^]с℃В=^

(87)

полу-

(88)

(87)

полу-

(88)

Заменяя здесь Х4 через число Маха Mi по формуле (78) гл. V, чим

tg0 k+\(々+l)M；Sin2§_ i±JM2 s.n2p ・

Это равенство может быть разрешено относительно tgO и дает

sin2 В — ~—

М2

tg е=—— Ctg р.(89)

На рис. 98 приведен график зависимости в от р в виде семейства

кривых с параметром М「Как уже ранее было отмечено, каждому за

данному значению 0<0т<

tax

ответствуют два значения

со-

Если обозначить через % значение В, отвечающее максимуму 0 при данном Mi, то по кривым рис. 98 можно заключить, что одно из полученных значений 6 будет лежать в интервале (а, %), где а — угол Маха при заданном Мь другое — в интервале (§т, л/2). Для определения первого значения 卩 следует пользоваться сплошными кривыми, для определения второго —— штриховыми. Сплошные кривые отделены от штриховых линией, проведенной через точки максимальных значений 0 = 0тах.

Эта двузначность в опреде-лении 0 по заданному значению

Рис. 98

е

соответствует сущности

хождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Так же,

явления прокак в теории

сопла Лаваля, выбор режима течения за косым скачком зависит от давления за скачком. Как это следует из первой формулы системы (82), большему 0 отвечает и большее значение отношения p2/Pi давлений за скачком и перед скачком, а меньшему § — соответственно меньшее отношение этих давлений.

Припоминая, что рассматриваемое отношение давлений служит мерой интенсивности (мощности) скачка, будем называть косые скачки, определяемые верхней областью диаграммы (рис. 98) по значени*

ям л/2>р>рт, заданным штриховыми кривыми, сильными, а скачки, соответствующие диапазону углов а<р<рт, рассчитываемые по нижним сплошным кривым,— слабыми. Фронт сильного скачка служит поверхностью (в плоском движении — линией) сильного изменения кинематических, динамических и термодинамических характеристик потока газа, фронт слабого скачка — поверхностью (линией) слабого изменения этих величин. Оба типа изменений наблюдаются, например, в «отсоединенных» волнах (рис. 99).

Выясним условия, при которых поток за косым скачком уплотнения будет до- или сверхзвуковым. Найдем связь между числами Маха М4 и М2 до и за скачком. Для этого воспользуемся формулой (51) гл. VI для прямого скачка и, следуя общему уже неоднократно примененному приему, произведем в этой формуле замену М〔 на Mi sin р, а М2 на М? sin (8—8). Тогда получим искомую формулу связи

М； sin (р-0)=——-——-—・(90)

々М； sin2 Р — —■-—

Пользуясь этим выражением и соотношением (89), можно выразить число Маха за скачком М2 через число Маха до скачка Mi и угол р. При этом при одном и том же М】двум различным значениям В, соответствующим сильному и слабому скачкам, будут отвечать два отличных друг от друга значения М2, причем сильный скачок, подобно прямому скачку, переводит сверхзвуковой поток в дозвуковой, а слабый скачок почти всегда сохраняет поток сверхзвуковым. Исключением яв- б>дтах ляется незначительная по размерам об-

-ласть диаграммы на рис. 98, граничащая с

0 = 0тах. Кривой с крестиками на диаграмме Рис. 99отмечено геометрическое место точек, в ко

торых М2= 1. Выше этой кривой М2<1, ниже М2>1.

Из диаграммы следует, что при 0, близких к 0тах, и любых М4 оба значения р могут соответствовать переходу от сверхзвуковой скорости к дозвуковой, т. е. в этой области значений 0 как сильный, так и слабый косые скачки ведут себя как прямые, переводя сверхзвуковой поток в дозвуковой. Следует, однако, заметить, что в этом случае направление сильного скачка отличается от направления слабого скачка менее чем на 10°, так что и разница в интенсивности скачков становится малозаметной.

Пользование расчетными формулами затруднено, так как они достаточно громоздки. Существуют подробные таблицы для воздуха (&= = 1,41), связывающие величины Мь р, 0, М2, р2/рь pjp^ и приращение энтропии As=S2—sj), но они при интервале чисел Mi от 1,05 до 4,00 через 0,05 и сравнительно грубом делении углов 9 и соответствующих им § занимают 27 страниц только что цитированной книги.

В связи с этим можно рекомендовать при не требующих большой точности расчетах пользоваться составленной также для воздуха 伏= = 1,41) несложной номограммой2) на с. 244 и 245. В отличие от диаг-

раммы на рис. 98 в основу этой номограммы положено семейство кривых 0 (Mi； в) с параметром 0. Эти кривые показаны на номограмме сплошными куполообразными кривыми (если смотреть вдоль оси MJ, представляющими двузначную связь 0 и МР Заметим, что семейство кривых 0 (Mi； 6) построено по уравнению (89) при нескольких значениях 0, рассматриваемого как параметр, и это семейство не следует смешивать с семейством кривых на рис. 98, где аргументом является 0, а М4 — параметром.

Пользование номограммой заключается в следующем. По требуемому значению 0, находящемуся на вертикальной шкале справа, выделяем ту кривую семейства р(М^ 6), которая отвечает выбранному значению 0. После этого, задаваясь входящим в число известных величин числом Mi, находим два соответствующих ему значения р. Через каждую из этих двух точек пересечения выбранной кривой B(MJ с вертикалью Mi=const проходят по две кривые: одна (сплошная) выводит на правую крайнюю вертикальную шкалу чисел М2, вторая (штриховая) -на верхнюю горизонтальную шкалу мощности скачка p2/Pi. Большему значению р соответствует большая мощность скачка, меньшему -меньшее значение мощности р21Ph

В нижнем левом углу номограммы приведен ключ к номограмме. Вход показан стрелками, направленными от шкал 0 и М4 к точке пересечения кривых, выход — стрелками, направленными от этой точки к шкалам р, pjpi и М2, на которых можно прочесть ответы. Ключ указан для одного значения р； он остается тем же и для второго значения В.

Изложенное справедливо только до тех пор, пока угол поворота потока (угол полураствора клина) 0 не превосходит максимально допустимого при данном Mt значения 6тах. В интервале 1WM〔W4 величина flmax меняется от 0 до 38°47‘. При М^оо 0тах->45о22,. Как это непосредственно видно из диаграммы на рис. 98, при 9=6тах поток за скачком всегда дозвуковой (линия 0=8皿 лежит выше показанной крестиками линии М2= 1)・

Если 6>0тах, то, как уже ранее указывалось, наличие прямолинейного присоединенного к вершине угла (клина) О косого скачка уплотнения невозможно. Вверх по течению перед точкой О возникает криволинейная «головная» ударная волна или отсоединенный скачок уплотнения АС (рис. 99).

В непосредственной близости к точке 4 отсоединенный скачок АС ведет себя как прямой, а при удалении от точки А — сначала как сильный косой скачок, а затем с уменьшением местного угла р постепенно «ослабевает» и переходит в прямолинейный косой скачок. При этом вниз по потоку за отсоединенным скачком имеет место как до-, так и сверхзвуковое течение газа. За участком АВ скачка образуется дозвуковая зона течения газа, за участком ВС — сверхзвуковая зона. Эти две характерные зоны потока за скачком разделяются линией BD, вдоль которой скорость газа равна местной скорости звука. Течение за отсоединенной криволинейной волной является «смешанным», трансзвуковым. Аналитические методы исследования таких потоков представляют до сих пор большие математические трудности, преодолеваемые только при помощи электронных вычислительных машин').

В отличие от прямолинейного присоединенного скачка поток за отсоединенным криволинейным скачком будет вихревым, а поле энтропии станет неоднородным. Действительно, по определению, данному

Обтекание затупленных тел потоком реального газа/Под ред. О. М. Б е л о ц е р- ковского.—М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1966; Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред.— М.: Наука, 1980.

1,0

厶5

4

Начальное

Отношение678 9 10 11

w4竹“+

П 1 I I X \ LK ] П 1 I vni

70

ВО

50

仞

30

内

Р2/Р1

■■UDH7・〃UmNK・ZV1〃■力・H2・％q■岐■■■匕•■

■ Ж' IKI ■川・「Ш5・Г，■■■■•■〃■艷•■吸•■■z■■昆

■ЕЕ

ZHII11

%

屮

2,02,5 и 力〃

печальное

число М/

давление &^历

/2 件 7618 20 22 24 26 28 30 32 34

%5

偌

47 "8

ZE ousnh SOHhaHO工

число M,

еще в (62) гл. VI, изменение энтропии при прохождении газа сквозь скачок определяется равенством (R — газовая постоянная)

SlSl—R In(P20/P1J ；

согласно (83) изменение энтропии будет зависеть от местного значения р, которое меняется вдоль криволинейной волны АС.

Наличие в головной отсоединенной волне участков сильных волн (включая центральный участок, близкий к прямому скачку) естественно вызывает мысль о необходимости создания такого «волнолома», который разрушал бы отошедшую волну и заменял ее системой косых скачков, сопровождающихся, как мы уже знаем, меньшими потерями механической энергии.

Рис. 100Рис. 101

С этой целью тупой носок тела, или превосходящий допустимый угол раствора клина или конуса, заменяют заостренной, постепенно расширяющейся «иглой», на поверхности которой в сверхзвуковом потоке образуются слабые скачки со сравнительно малыми углами р. Как это видно из ранее выведенной формулы (83), потери механической энергии благодаря наличию у числа Маха Mt множителя sin р при этом будут снижаться.

На рис. 100 показан вход в камеру реактивного двигателя с «иглой», разбивающей головную волну на косые конические (см. далее § 82) скачки. Напомним, что той же цели служил сверхзвуковой диффузор, теория которого была изложена в § 41.

Такого рода «игла», имеющая целью уменьшить входные потери механической энергии, носит наименование иглы Осватича по имени немецкого ученого, впервые в 1944 г. опубликовавшего') подробное исследование зависимости отношения полных давлений в набегающем потоке и на входе в камеру реактивного двигателя после прохождения потоком системы косых скачков (на рис. 100 их два), замыкаемой прямым скачком. Им было найдено также возможное оптимальное значение этого отношения при заданном числе и скачков: и — 1 косых и одного прямого.

На рис. 101 приведены кривые зависимости этого оптимального отношения от числа М набегающего потока для п=1, 2, 3, 4. Нижняя кривая (п=1) соответствует расположению на входе обычной ударной волны. График на рис. 101 показывает, что применение «иглы» позво-

Теория К. Осватича подробно изложена в книге: Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры.——М.: Физматгиз, 1960, с. 161——180. См., также Петров Г. И., Ухов Е. П. Расчет восстановления давления при переходе от сверхзвукового потока к дозвуковому при различных системах плоских скачков уплотнения.— М., 1947 (цитируем по книге Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика.— М.: Наука, 1976, с. 457).

ляет и при больших числах Маха улучшить восстановление полного давления, в то время как сверхзвуковой диффузор, описанный в § 41, дает реальные результаты лишь при числах Маха полета, не превышающих 1,6—1,8. Сводку практических данных по воздухозаборникам на скоростных самолетах можно найти в руководствах по прикладной аэродинамике 9-

§ 63. Расширяющийся сверхзвуковой поток.Движение газа в секторе разрежения

Рассмотрим принципиально отливающуюся о^ пр^дъ:дущей задачу Прандтля ——Майера2) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла О (рис. 102). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой OCQ (ОС0 перпендикулярна к первоначальному пото-Рассмотрим принципиально отливающуюся о^ пр^дъ:дущей задачу Прандтля ——Майера2) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла О (рис. 102). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой OCQ (ОС0 перпендикулярна к первоначальному пото-ку) является звуковым (Х0=Л%=1). Потоку после полного поворота на 一ОС с без-ку) является звуковым (Х0=Л%=1). Потоку после полного поворота на 一ОС с без-угол 0 соответствует однородное размерной скоростью л и числом расширяется (будем предполагать, что давление р на линии ОС удовлетворяет условию перехода к сверхзвуковому течению). Поворот на конечный угол "б можно рассматривать как результат совокупности последовательных малых поворотов в области С0ОС\ а затем в области С'О С" и т. д. Нелинеа- ризованная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризованных. Отсюда сразу следует, что лучи О&, ОС,угол 0 соответствует однородное размерной скоростью л и числом расширяется (будем предполагать, что давление р на линии ОС удовлетворяет условию перехода к сверхзвуковому течению). Поворот на конечный угол "б можно рассматривать как результат совокупности последовательных малых поворотов в области С0ОС\ а затем в области С'О С" и т. д. Нелинеа- ризованная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризованных. Отсюда сразу следует, что лучи О&, ОС,течение справа от прямой М, большими единицы, тактечение справа от прямой М, большими единицы, таккак потоккак потокРис. 102Рис. 102ОС",…являются линиями возмущения и вместе с тем характеристиками. Вдоль них возмущения потока постоянны; переходя вниз по потоку от одной линии возмущения к следующей^ бесконечно близкой, заполним линиями возмущения весь сектор С0ОС, называемый сек- тором разрежения.В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была полученаОС",…являются линиями возмущения и вместе с тем характеристиками. Вдоль них возмущения потока постоянны; переходя вниз по потоку от одной линии возмущения к следующей^ бесконечно близкой, заполним линиями возмущения весь сектор С0ОС, называемый сек- тором разрежения.В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была полученаформулаформулаии干斗,2干斗,2l/М—1l/М—1(91)(91)

Рассмотрим принципиально отливающуюся о^ пр^дъ:дущей задачу Прандтля ——Майера2) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла О (рис. 102). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой OCQ (ОС0 перпендикулярна к первоначальному пото-

Рассмотрим принципиально отливающуюся о^ пр^дъ:дущей задачу Прандтля ——Майера2) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла О (рис. 102). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой OCQ (ОС0 перпендикулярна к первоначальному пото-

ку) является звуковым (Х0=Л%=1). Потоку после полного поворота на 一ОС с без-

ку) является звуковым (Х0=Л%=1). Потоку после полного поворота на 一ОС с без-

угол 0 соответствует однородное размерной скоростью л и числом расширяется (будем предполагать, что давление р на линии ОС удовлетворяет условию перехода к сверхзвуковому течению). Поворот на конечный угол "б можно рассматривать как результат совокупности последовательных малых поворотов в области С0ОС\ а затем в области С'О С" и т. д. Нелинеа- ризованная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризованных. Отсюда сразу следует, что лучи О&, ОС,

угол 0 соответствует однородное размерной скоростью л и числом расширяется (будем предполагать, что давление р на линии ОС удовлетворяет условию перехода к сверхзвуковому течению). Поворот на конечный угол "б можно рассматривать как результат совокупности последовательных малых поворотов в области С0ОС\ а затем в области С'О С" и т. д. Нелинеа- ризованная задача расчленяется, таким образом, на ряд линеаризованных. Отсюда сразу следует, что лучи О&, ОС,

течение справа от прямой М, большими единицы, так

течение справа от прямой М, большими единицы, так

как поток

как поток

Рис. 102

Рис. 102

ОС",…являются линиями возмущения и вместе с тем характеристиками. Вдоль них возмущения потока постоянны; переходя вниз по потоку от одной линии возмущения к следующей^ бесконечно близкой, заполним линиями возмущения весь сектор С0ОС, называемый сек- тором разрежения.

В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была получена

ОС",…являются линиями возмущения и вместе с тем характеристиками. Вдоль них возмущения потока постоянны; переходя вниз по потоку от одной линии возмущения к следующей^ бесконечно близкой, заполним линиями возмущения весь сектор С0ОС, называемый сек- тором разрежения.

В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была получена

формула

формула

и

и

干斗,2

干斗,2

l/М—1

l/М—1

(91)

(91)

выражающая величину малого приращения скорости газа 爲 при повороте потока на малый угол 0. Применяя здесь эту формулу к любому текущему элементарному сектору разрежения (поток в целом не линеаризуется) и считая d0>O, перепишем ее в виде

(92)(92)Прикладная аэродинамика.— M.: Машиностроение, 1972, Untersuchungen uber die stromende Bewegung der GaseПрикладная аэродинамика.— M.: Машиностроение, 1972, Untersuchungen uber die stromende Bewegung der GasedV = de V — км -1

(92)

(92)

Прикладная аэродинамика.— M.: Машиностроение, 1972, Untersuchungen uber die stromende Bewegung der Gase

Прикладная аэродинамика.— M.: Машиностроение, 1972, Untersuchungen uber die stromende Bewegung der Gase

Входящие сюда величины У, 0 н М представляют текущие значения, этих величин для некоторой промежуточной линии ОС сектора разрежения.

Чтобы проинтегрировать уравнение (92), перейдем от числа М к скоростному коэффициенту 入.Тогда по известной формуле перехода (80) гл. V будем иметь (в рассматриваемом движении %入>0; 0, d8> >0 при отсчете по часовой стрелке)

(93)(93)Переменные разделяются, и интегрирование дает 0 = 0 (1)=Переменные разделяются, и интегрирование дает 0 = 0 (1)=

(93)

(93)

Переменные разделяются, и интегрирование дает 0 = 0 (1)=

Переменные разделяются, и интегрирование дает 0 = 0 (1)=

причем здесь использовано ранее поставленное начальное условие 8= ==0 при Х=1.

По определению линии возмущения угол возмущения а, образованный ею с направлением потока в данной точке, равен

Зададим положение линии возмущения ОС углом е, образованным ею с начальной линией ОС0. Тогда из рис. 102 легко заключить, что 8 = ^ + 6

Замечая, что аргументами последних двух арктангенсов служат взаимно обратные величины и что сумма таких арктангенсов равна л/2, по

"Jmarctg"Jmarctg九2a+1九2a+1лучим

"Jmarctg

"Jmarctg

九2

a+1

九2

a+1

(96)

Совокупность формул (94) —(96) дает параметрическое решение поставленной задачи, причем роль параметра играет 工

Пользуясь установленным выше соотношением между А н М

заменим совокупность предыдущих формул, связывающих 0, а и е с X,

k太=0+ 宁 М2)к=("昂k太=0+ 宁 М2)к=("昂k\ л—1k\ л—1(98)(98)

k

太=0+ 宁 М2)к=("昂

k

太=0+ 宁 М2)к=("昂

k

\ л—1

k

\ л—1

(98)

(98)

соответствующей группой формул связи с числом М

0==j/T±I arctg (]/ 昂 fivF^T) 一 arctg /М^Л,

(97)

itg词占…,£ = ]/1耳「理"1三件E.

К этим соотношениям можно было прийти и непосредственным интегрированием уравнения (92), переписанного в форме

面=一厘三I也一,М0+宁 М2)

легко выводимой из изэнтропической формулы (72) гл. V и очевидного равенства V=Ma.

Давление и плотность в секторе разрежения определим по обычным изэнтропическим формулам

пользопользоописывающее плоское, двумерное дифференциальному уравнению,описывающее плоское, двумерное дифференциальному уравнению,

пользо

пользо

описывающее плоское, двумерное дифференциальному уравнению,

описывающее плоское, двумерное дифференциальному уравнению,

здесь, как обычно, индекс 0 обозначает условие адиабатически и изэн

тропически заторможенного газа.

Некоторая громоздкость полученных формул заставляет ваться таблицами и графикам!一

•ставлены для любых значений характерные величины 0, а, е, р/р0, М, Z, а также график (рис. 103), на котором пока-

заны кривые зависимости тех же величин, кроме е, от угла 0 для воздуха (々=1,41).

Проанализируем получен- яые результаты. Прежде всего следует отметить, что .все характеризующие поток величины не зависят от радиус-векторов г точек области течения относительно полюса О, т. е. от расстояния до вершины угла, а зависят лишь от полярного угла е. Мы здесь вновь встречаемся с особым случаем, ког

да уравнение в частных производных, движение, сводится к обыкновенному

е. уравнению с одной независимой переменной.

Подобно случаю центрированных волн разрежения за поршнем (§ 44), исследование которых привело к простой автомодельной задаче в плоскости (х, /), в случае плоского движения в секторе разрежения также имеем автомодельную задачу, но в плоскости (х, у) или (г, е). Прямолинейные характеристики, заполняющие сектор разрежения, яв-

Таблица 7

9°

8°

а°

М

А

Р/Ро

9°

э°

а0

м

2.

叽

0,00

90,00

1,000

1,000

0,527

28

89,02

28,98

2,062

1,657

о,не

23,72

67,28

1,084

1,068

0,477

29

90,58

28,42

2,098

1,673

0,110

30,04

61,96

1,133

1,107

0,449

30

92,12

27,88

2,135

1,688

0,104

34,82

58,18

1,178

1,141

0,424

31

93,66

27,34

2,174

1,704

0,097

38,88

55,12

1,220

1,173

0,401

32

95.18

26,82

2,214

1,720

0,092

42,34

52.66

1,258

1,201

0,381

33

96,68

26,32

2,251

1,735

0,086

45,42

50,58

1,295

1,227

0,3G3

34

98,20

25,8()

2,296

1,752

0,080

48,30

48,70

1,332

1,253

0,345

35

99,67

25,33

2,339

1,767

0,075

50,93

47,07

1,366

1,276

0,329

36

101,13

24,87

2,378

1,781

0,071

53,46

45,54

1,401

1,299

0,313

37

102,58

24,42

2,422

1,795

0,066

10

55,84

44,16

1,435

1,322

0,298

38

104,02

23,98

2,466

1,810

0,062

И

58,16

42,84

1,470

1,344

0,284

39

105,46

23,54

2,508

1,824

0,058

12

60,38

41,62

1,505

1,366

0,270

40

106,88

23,12

2,550

1,837

0,054

13

62,49

40,51

1,539

1,387

0,257

41

108,30

22,70

2,595

1,851

0,051

14

64,52

39,48

1,572

1,407

0,245

42

109,71

22,29

2,640

1,864

0,047

15

66,53

38,47

1,608

1,428

0,233

43

111,11

21,89

2,689

1,878

0,044

16

68,47

37,53

1,641

1,448

0,221

44

112,51

21,49

2,734

1,891

0,041

17

70,33

36,67

1,675

1,467

0,210

45

113,89

21,11

2,778

1,903

0,038

18

72,18

35,82

1,710

1,486

0,199

46

115,27

20,73

2,826

1,917

0,036

19

73,98

35,02

1,744

1,504

0,189

47

116,63

20,37

2,873

1,928

0,033

20

75,74

34,26

1,779

1,523

0,179

48

118,00

20,0()

2,920

1,939

0,031

21

77,49

33,51

1,815

1,541

0,170

49

119,36

19,64

2,968

1,951

0,029

22

79,20

32,80

1,850

1,559

0,161

50

120,71

19,29

3,021

1,963

0,027

23

80,90

32,10

1,884

1,576

0,153

51

122,07

18,93

3,074

1,975

0,025

24

82,55

31,45

1,918

1,592

0,145

52

123,41

18,59

3,131

1,987

0,023

25

84,20

30,80

1,954

1,609

0,137

53

124,74

18,26

3,188

1,999

0,021

26

85,81

30,19

1,989

1,625

0,130

54

126,03

17,97

3,250

2,012

0,019

27

87,42

29,58

2,025

1,641

0,123

219,32

219,32

0,000

ОО

2,437

0,000

ляются также центрированными, так как все проходят через вершину угла О. Независимость от радиус-вектора 厂,а тем самым и автомодельность задачи, конечно, связаны с наличием условия однородности потока слева от первой линии возмущения.

Далее, из полученного решения сразу следует, что при возрастании 厶 до максимально возможного значения

九max = J

/ k - 1

или числа М до М=оо, т. е. при истечении с максимальной скоростью Vmax в абсолютный вакуум, угол 9 возрастает до своего максимального значения

哈一1)^・

При этом, согласно (95) и (96), будет

а = 0, етах =千 + Отах = ~1/・

Таким образом, существует предельный угол поворота потока 0тах, для воздуха (々=1,41) равный 129,32°, который мог бы осуществиться только в идеальном случае расширения газа до абсолютного вакуума. На практике могут иметь место повороты потока только на углы, меньшие бтах.

Найдем уравнение линий тока в секторе разрежения в полярных координатах {r=ONt е). С этой целью заметим, что по известной

формуле дифференциальной геометрии у — =ctg а. С другой стороны, из формул (95) и (96) легко исключить параметр X и найти непосредственную связь между а и е; будем иметь

Интегрирование приводит к следующему уравнению семейства линий тока с параметром г0, равным начальному радиус-вектору линии тока на прямой ОС0 (е=0):

Линии тока образуют семейство подобных друг другу кривых с центром подобия в точке О.

Изложенное решение задачи об обтекании внешности угла является общим и не зависит от ранее поставленного ограничения Хо = Мо = 1 при 0=0. Это условие было выдвинуто лишь для упрощения формулы (94) и дальнейших с нею связанных соотношений. По известному свойству сверхзвуковых потоков полученное решение может быть использовано для начального потока с любыми значениями чисел Х> 1 или М>1. В этом случае следует только начинать с характеристики (линии возмущения), соответствующей заданному начальному значению 入 или М, и подводить к ней однородный прямолинейный поток.

Точно так же и конец поворота потока определяется заданием ® или X и М на выходе и построением выходного однородного прямолинейного потока со скоростью и углами, рассчитанными по изложенной теории.

Откажемся от условия Х0=М0=1 при 0=0 и примем за начальную любую характеристику О&, соответствующую значению M=Mi>l.

Обозначим индексом 1 параметры потока на входной характеристике О& и сохраним величины без индекса для текущих значений параметров внутри сектора разрежения. При этом условимся отсчитывать угол поворота потока 0 от направления потока на входе, а £ — от начальной характеристики; определение а останется прежним. Тогда равенства (97) примут вид

—arctg(]Д^/М；—1)] -arctgКГ=Й + arctg /м—, I "+1 (99)

8=/I5[arctg (匕^俐口) - arctg (]/^評M—l)].

К этим равенствам можно присоединить известные изэнтропические формулы для давления и плотности

Расчеты этих величин можно вести по ранее указанной табл. 7 или кривым на рис. 103.

Случай больших чисел Маха.Закон подобия гиперзвуковых потоков

Рассмотрим случай обтекания тонкого профиля с очень большими числами Маха (М》1); такое обтекание называют гиперзвуковым. Будем продолжать считать газ однородным, отвлекаясь от тех сложных процессов, которые на самом деле возникают в гиперзвуковых потоках за счет высоких температур, образующихся при торможении газа на поверхности тела и при прохождении сквозь поверхности сильных разрывов. Условимся в настоящем параграфе пренебрегать явлениями диссоциации и последующей возможной рекомбинации молекул газа, ионизации газа и другими физическими и химическими процессами, характерными для гиперзвуковых движений газа. К некоторым из этих существенных явлений мы впоследствии вернемся, чтобы изучить более близкую к действительности модель газа, обладающего внутренним трением (вязкостью) и теплопроводностью.

Строгая математическая постановка задач гиперзвукового обтекания тел представляет большие трудности, так как в этих условиях возникают сложные взаимодействия потока с сильными разрывами, вызывающими, как уже указывалось, неизэнтропичность потока в тонком слое вблизи поверхности тела. Наличие в этой области значительного влияния таких процессов, как вязкое трение, теплопроводность, диссипация механической энергии, излучение, и повторим еще раз, диссоциация —рекомбинация молекул и ионизация газа, делают этот вопрос очень сложным.

Остановимся на дополнительном рассмотрении изложенных в двух предыдущих параграфах простейших явлений торможения и ускорения однородного потока газа с точки зрения тех особенностей, которые возникают при больших значениях числа Маха набегающего потока (Mj》l) и малых углах поворота потока.

Обращаясь сначала к прохождению газа сквозь косой скачок, рас* смотрим формулы (88) и (82). По условию тонкости тела будем считать тело заостренным с малым углом 0 при вершине. Тогда в случае слабых скачков и достаточно больших Mt угол косого скачка с набегающим потоком В будет иметь тот же порядок малости, что и 0. Это позволит произвести в рассматриваемых формулах замену синусов углов на сами углы, а косинусов — на единицы. Откидывая малые ве， личины высших порядков, будем иметь, согласно (88), квадратнее уравнение относительно MQ=Kc：/

Q —空^ (МП)兄—1 = 0,(101)

решение которого при очевидном условии кс=м4р>о

может быть представлено так:

' Кс = М# = Т^К+/(空В“2+1,(102)

где введено обозначение

/< = М1е(103)

для величины, играющей, как будет видно из дальнейшего, роль критерия подобия обтекания газом тонких заостренных тел при больших, значениях числа М「

Формулы (82) перейдут в следующие:

1+^К?1+^К?(Ю4)(Ю4)&■ = 2* 也—1 Ра

1+^К?

1+^К?

(Ю4)

(Ю4)

7Г = ^ТТ ―不’7Г

При сохранении числа Кс будут сохраняться, очевидно, и отношения (104) давлений и плотностей за скачком и до скачка.

_ 4 (M# 尸一1规 一也+ 1 不 *(105)_ 4 (M# 尸一1规 一也+ 1 不 *(105)По первой из формул (104) найдем коэффициент давления в потоке за скачком

_ 4 (M# 尸一1规 一也+ 1 不 *

(105)

_ 4 (M# 尸一1规 一也+ 1 不 *

(105)

一包* =如一(里一1)= —-^-[(m^)2—1]

пропорциональный при постоянном ^ квадрату угла 9 поворота потока при его торможении, причем коэффициент пропорциональности представляет собой функцию числа К. Пользуясь непосредственно квадратным уравнением (101) и его решением (102), можем переписать (105) в форме явной зависимости от К

% =[号+ J(空^ +击]我a。①

Формула (106) выражает закон подобия гиперзвуковых слабо су・ жающихся потоков, в частности обтекания клинообразных профилей с малыми углами полураствора 0. Согласно этому закону, если в двух таких обтеканиях величины К одинаковы, то коэффициенты давления будут относиться как квадраты углов полураствора клиньев.

Убедимся теперь, что аналогичный закон подобия имеет место и в случае расширяющихся потоков, если угол расширения мал, а начальное число Маха велико. Применим к первому равенству системы (99) асимптотические, верные для достаточно больших х равенства (—знак асимптотического равенства)

arctg%,—]〜％.

2 х

Тогда получим

9〜占估一合)，

откуда следует

畜〜1-宁m]8=1 一訳乙(107)

Максимально возможный угол поворота 0тах будет соответствовать истечению в вакуум (Т=0, а=0, М=оо)

22(左-1) Mi(左-1) Mi(108)(108)

2

2

(左-1) Mi

(左-1) Mi

(108)

(108)

Коэффициент давления ср равен

Р — Pi _ 2家一価Р — Pi _ 2家一価

Р — Pi _ 2

家一価

Р — Pi _ 2

家一価

а согласно (100) и (107)а согласно (100) и (107)—1 .(109)—1 .(109)

а согласно (100) и (107)

а согласно (100) и (107)

—1 .(109)

—1 .(109)

Как и в случае торможения газа при прохождении сквозь косой скачок, в полной аналогии с равенством (106) можем предыдущую формулу переписать в виде

(НО)(НО)

(НО)

(НО)

что приводит к следующему общему закону подобия гиперзвуковых потоков около тонких тел: если в двух подобных плоских гиперзвуковых потоках значения К одинаковы, то коэффициенты давления относятся как квадраты углов отклонения.

Вводя, как и ранее, обобщенное понятие «относительной толщины» т, которая может быть равна либо относительной толщине профиля в собственном смысле этого слова, либо относительной вогнутости дужки, либо, наконец, углу атаки, будем считать величину К, равную произведению характерного числа Маха, например числа Маха Mg однородного набегающего потока, на относительную толщину т, критерием подобия двух гиперзвуковых потоков, слабо отклоняющихся от заданного однородного гиперзвукового потока, и записывать закон подобия в этом случае в общей форме

Ср=+(К). (Н1)

Переходя от коэффициента давления ср к коэффициентам подъемной силы су и волнового сопротивления с%, связанным с с, интегральными соотношениями

убедимся, что (среднее значение dy/dx пропорционально т) в потоках с одинаковыми значениями критерия К коэффициенты подъемной силы, так же как и коэффициенты давления, будут относиться как квадраты, а коэффициенты волнового сопротивления — как кубы относительной толщины. Указанный закон подобия содержится, очевидно, как частный случай в общем законе (60), где надо только положить Т=? и пренебречь под знаком корня единицей по сравнению с М^ .

Пользуясь формулами (106) и (НО), легко получить выражения коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивлени^для пластинки АВ (рис. 104), расположенной под малым углом атаки 0 (на рис. 104 этот угол атаки показан сильно преувеличенным) к набегающему на нее однородному потоку с числом Маха Моо, значительно превосходящим единицу. Обозначая, как и раньше, индексами 1 и 2 соответственно верхнюю и нижнюю поверхности пластинки, будем, очевидно, иметь

а подставляя сюда значения ср2 и Ср【， заданньте формулами (106) и (НО), окончательно получим') (угол атаки 0 соответствует углу

Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.——М.: Физматгиз, 1959, с. 47.

полного поворота потока)

В этой формуле приВ этой формуле приК》2К》2(П2>(П2>что согласно формуле (108) соот*что согласно формуле (108) соот*ветствует 0》6皿，квадратную скобку надо считать равной, единице. Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 0=Отах обветствует 0》6皿，квадратную скобку надо считать равной, единице. Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 0=Отах образовалось и при 用>®* сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).На рис. 105, заимствованном из только что цитированной монографии Г. Г. Черного, сплошными кривыми показаны зависимости cv(0) при различных М« в интервале (3<Мсо<оо), рассчитанные поразовалось и при 用>®* сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).На рис. 105, заимствованном из только что цитированной монографии Г. Г. Черного, сплошными кривыми показаны зависимости cv(0) при различных М« в интервале (3<Мсо<оо), рассчитанные поРис. 104Рис. 104Рис. 105Рис. 105формуле (112) для воздуха g=l,4), штриховыми прямыми нанесены соответствующие значения &(8) по формуле (44) линейной теории Ак- керета (§ 60). Наконец, верхняя прмая (М«, = 0), показанная штрих- пунктиром, отвечает известной формуле 仇=2冗8 для несжимаемой жидкости.Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при Mg》5 формула Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной СИЛЫ. —Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М« кривые %(8) все более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону. Так, в предельном случае М«=оо формула (112) приобретает чисто квадратичный видQ = 3+1)辞 (n3)и только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем.При значениях М», близких к бесконечности, косой скачок в точке 4 (рис. 104) пластинки становится очень близким к нижней поверхности, так что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки и давление на ней равным полной потере количества движения, со-формуле (112) для воздуха g=l,4), штриховыми прямыми нанесены соответствующие значения &(8) по формуле (44) линейной теории Ак- керета (§ 60). Наконец, верхняя прмая (М«, = 0), показанная штрих- пунктиром, отвечает известной формуле 仇=2冗8 для несжимаемой жидкости.Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при Mg》5 формула Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной СИЛЫ. —Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М« кривые %(8) все более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону. Так, в предельном случае М«=оо формула (112) приобретает чисто квадратичный видQ = 3+1)辞 (n3)и только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем.При значениях М», близких к бесконечности, косой скачок в точке 4 (рис. 104) пластинки становится очень близким к нижней поверхности, так что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки и давление на ней равным полной потере количества движения, со-

В этой формуле при

В этой формуле при

К》2

К》2

(П2>

(П2>

что согласно формуле (108) соот*

что согласно формуле (108) соот*

ветствует 0》6皿，квадратную скобку надо считать равной, единице. Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 0=Отах об

ветствует 0》6皿，квадратную скобку надо считать равной, единице. Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 0=Отах об

разовалось и при 用>®* сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).

На рис. 105, заимствованном из только что цитированной монографии Г. Г. Черного, сплошными кривыми показаны зависимости cv(0) при различных М« в интервале (3<Мсо<оо), рассчитанные по

разовалось и при 用>®* сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).

На рис. 105, заимствованном из только что цитированной монографии Г. Г. Черного, сплошными кривыми показаны зависимости cv(0) при различных М« в интервале (3<Мсо<оо), рассчитанные по

Рис. 104

Рис. 104

Рис. 105

Рис. 105

формуле (112) для воздуха g=l,4), штриховыми прямыми нанесены соответствующие значения &(8) по формуле (44) линейной теории Ак- керета (§ 60). Наконец, верхняя прмая (М«, = 0), показанная штрих- пунктиром, отвечает известной формуле 仇=2冗8 для несжимаемой жидкости.

Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при Mg》5 формула Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной СИЛЫ. —

Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М« кривые %(8) все более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону. Так, в предельном случае М«=оо формула (112) приобретает чисто квадратичный вид

Q = 3+1)辞 (n3)

и только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем.

При значениях М», близких к бесконечности, косой скачок в точке 4 (рис. 104) пластинки становится очень близким к нижней поверхности, так что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки и давление на ней равным полной потере количества движения, со-

формуле (112) для воздуха g=l,4), штриховыми прямыми нанесены соответствующие значения &(8) по формуле (44) линейной теории Ак- керета (§ 60). Наконец, верхняя прмая (М«, = 0), показанная штрих- пунктиром, отвечает известной формуле 仇=2冗8 для несжимаемой жидкости.

Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при Mg》5 формула Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной СИЛЫ. —

Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М« кривые %(8) все более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону. Так, в предельном случае М«=оо формула (112) приобретает чисто квадратичный вид

Q = 3+1)辞 (n3)

и только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем.

При значениях М», близких к бесконечности, косой скачок в точке 4 (рис. 104) пластинки становится очень близким к нижней поверхности, так что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки и давление на ней равным полной потере количества движения, со-

ответствующей абсолютно неупругому удару частиц газа о нижнюю поверхность пластинки со скоростью, равной нормальной компоненте скорости набегающего потока (касательная компонента скорости сохраняется) ,

р2 = р8 (〃8 sin 0) У pgU*吼

С другой стороны, на верхней поверхности пластинки при M・=8 достигается полный вакуум, т. е. в этом случае "i=0・ Таким образом, коэффициент подъемной силы будет равен “ — длина пластинки)

q = 3一汕=2辞,

что при 也=1 совпадает с формулой (113), а при 也=1,4 (воздух) дает результат, примерно на 17% меньший.

Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости

Фундаментальное значение для развития современной газовой дн・ намики имело установленное С. А. Чаплыгиным ') в его докторской диссертации, защищенной в 1904 г., преобразование общих уравнений к независимым переменным в плоскости годографа. Этот переход из физической плоскости в плоскость годографа скоростей приводит к замечательному результату: нелинейные уравнения газовой динамики становятся линейными.

Из условия отсутствия завихренности ди 而 入 -——=0 ду дх

и уравнения неразрывности

d(P〃)] d(pS=oдх ду

можно сделать заключение о наличии потенциала скоростей ср и функции тока 电 так что

"=姐，(114) дхду ро ду родх

где р0 — плотность в покоящемся газе. Отсюда следует udx + vdy — d(p, — vdx + udy = — d”.

Умножим второе из этих уравнений на i=V— 1 и сложим с первым; тогда получим

(и — iv) d (% + iy) = d(p + i 型 d^.

P

Производя замену (V — величина вектора скорости, 0 — угол его с осью Ох)

u—iv=Ve~i9f x+iy=z,найдем следующую, обобщенную на случай сжимаемого газа известнуюсвязь между сопряженной скоростью и производной от комплексного

потенциала по координате:

dz= (dcp + i^-d”) ^е®(115)

Совершим переход в плоскость годографа (V, 0). С этой целью примем в равенстве (115) переменные х, у (а следовательно, и z), а также ф и ф за функции новых переменных У и 0; тогда равенство (115) перейдет в следующее:

包W+电曲=［也Wi包W +丝成)］丄3。=

科 丁/ ［dV说p \dV说 丿"

=丄i里也］e^dV +丄i濟羽. и〈du p dv ； v \ae p ae；

Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при дифференциалах независимых переменных, получим

电=丄+i生迫)* 电=丄(116) dv pp w 丿у I ae p 说丿

Входящее сюда отношение р0/р является функцией скорости V или скоростного коэффициента 工 Действительно, по известной изэнтропической формуле

^=(］一^炉)一百⑴7)

Чтобы исключить из системы уравнений (116) независимую переменную z, продифференцируем первое уравнение системы по 6, второе -по V и результаты вычтем друг из друга; тогда в силу очевидного соотношения

@2z =学zdQdV~ dVdQ

получим равенство

V〈弟沖 p dQdVj * V dV p V dV

действительных идействительных имнимых чамнимых ча=丄f Po.^p_\碎_丄注蚣+ M旦 M _po_\ ^ у〈мое p dvdej H ae dv \v p / ao *

действительных и

действительных и

мнимых ча

мнимых ча

которое после сокращений и сравнения стей приведет к системе уравнений

1 э(р — _d_ /_1_ р0 \ а”/犷一而?т丿而，1 э(р — _d_ /_1_ р0 \ а”/犷一而?т丿而，1 д(р Ро 即1 д(р Ро 即(И8)(И8)

1 э(р — _d_ /_1_ р0 \ а”/犷一而?т丿而，

1 э(р — _d_ /_1_ р0 \ а”/犷一而?т丿而，

1 д(р Ро 即

1 д(р Ро 即

(И8)

(И8)

Перейдем от величины V к скоростному коэффициенту 九 производную в правой части первого уравнения системыПерейдем от величины V к скоростному коэффициенту 九 производную в правой части первого уравнения системыИ вычислим(118)И вычислим(118)

Перейдем от величины V к скоростному коэффициенту 九 производную в правой части первого уравнения системы

Перейдем от величины V к скоростному коэффициенту 九 производную в правой части первого уравнения системы

И вычислим

(118)

И вычислим

(118)

dZ〈九 p丿d入dZ〈九 p丿d入.1々+1丿.1々+1丿

dZ〈九 p丿d入

dZ〈九 p丿d入

.1

々+1丿

.1

々+1丿

тогда система (118) примет следующую форму:

д(раед(рае月一1月一1、々一I 乂、々一I 乂дфдф上деM】W广上деM】W广・(119)・(119)

д(рае

д(рае

月一1

月一1

、々一I 乂

、々一I 乂

дф

дф

上де

M】W广

上де

M】W广

・(119)

・(119)

9-9487

5頂М*5頂М*Вводя вместо 入 переменную т,2露炉=(士)： m

5頂М*

5頂М*

получим систему уравнений Чаплыгина

1々+1

1--T

^ф _1k ——1 0中

Gt2td8'

(1 一Т尸

生=一空一空.(120)

(1 一Т尸

Перекрестным дифференцированием и вычитанием можно получить раздельные уравнения для <р н р, причем эти уравнения будут линейными уравнениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение для функции тока 屮 будет иметь вид

k+ 1

1 ——一!-T

訊 2T(1+-^饗=。.(121)

2Т (1 —丁尸

Остановимся на случае дозвукового течения (入<1)・ Заменяя в уравнении (119)入 на новую переменную s, связанную в случае дозвукового течения с X дифференциальным соотношением

приведем систему (119) к форме

祭* = 瞽，(123)

Os

где величина К представляет следующую функцию X:

К=——Т 丁(124)

Выведенные Чаплыгиным уравнения (120) и (121) были приведены к различным, так называемым каноническим формам Л. С. Лейбензо- ном), Н. А. Слезкиным) и С. А. Христиановичем).

§ 66. Влияние сжимаемости на распределение скоростейи давлений в плоском дозвуковом потоке

Важное практическое значение задачи об учете влияния сжимаемо* сти или, иначе говоря, числа Ms набегающего дозвукового потока на распределение давления по поверхности крылового профиля и на его подъемную силу вызвало появление ряда приближенных приемов этого учета.

Лейбензон Л. С. О теории движения газов.— ДАН СССР, 1935, № 9.

Правило Прандтля — Глауэрта, как уже было указано ранее, пригодно лишь в случае тонких, слабо изогнутых профилей, расположенных под малым углом атаки в потоке со сравнительно малыми значениями числа Мое. Излагаемые в настоящем параграфе приемы позволяют вводить поправку на сжимаемость для более толстых и изогнутых профилей при больших углах атаки и диапазонах чисел М». Функция ｝而)，входящая в систему уравнений (123), при значениях 入,не слишком близко подходящих к единице, мало отличается от единицы, как об этом можно заключить из табл. 8, составленной для воздуха (Ы,41).

Таблица 8

м

М

/К

人

М

Гк

0

0

1,0000

0,35

0,3228

0,9965

0,70

0,6668

0,9224

0,05

0,10

0,0457

1,0000

0,40

0,3701

0,9940

0,75

0,7192

0,8925

0,0913

1,0000

0,45

0,4179

0,9899

0,80

0,7727

0,8416

0,15

0,1372

0,9999

0,50

0,4663

0,9840

0,85

0,8274

0,7740

0,20

0,1832

0,9996

0,55

0,5152

0,9754

0,90

0,8834

0,6788

0,25

0,2294

0,9991

0,60

0,5649

0,9632

0,95

0,9409

0,5092

0,30

0,2759

0,9982

0,65

0,6154

0,9461

1,00

1,0000

0

Там же для сравнения приводится зависимость 你 от М, аналитически выражаемая легко выводимой из (124) формулой

/^=(1 -М2)%0 + 宁M2)i ・(125)

Так, например, при 九=0,65 (М = 0,615) величина УК только на 5% отличается от единицы. Заменив в системе (123) приближенно 你 на единицу, получим в плоскости (s, 0) систему равенств

5ф —沖 d(p — — dx|)le ~~ds"—而

аналогичную точным условиям Коши — Римана (далее индекс 0 при величине означает, что она относится к потоку несжимаемой жидкости)

@90 ___ d”o °中0 ==即0/12J4

в плоскости (S,), 9о), причем, согласно определению (122), принятому при введении функции s, в случае очень малых Хо будет

=(128)

Совпадение приближенных равенств (126) в плоскости (s, в) с точными условиями (127) в плоскости (S。, 0о) еще ничего не говорит о связи между сжимаемым и несжимаемым потоками, так как граничные условия В ПЛОСКОСТЯХ So, 00 и s, 0 отличны друг от друга.

Ввиду этого становится невозможным непосредственное получение универсальных (т. е. пригодных для всевозможных типов дозвуковых течений) «пересчетных» формул. Для пояснения высказанного утверждения рассмотрим два простейших течения — от вихря и от источника,— для которых имеются точные решения.

Можно показать, что в случае вихря (при одинаковой циркуляции Г) распределения скоростей в потоках газа и несжимаемой жидкости ничем не различаются, и, следовательно, %овХ-

В случае источника (при одинаковом массовом расходе Q) в потоке газа Q=2jrrXa*p(%), а в несжимаемой жидкости Q^2nrk0a*p99 где р0 — постоянная плотность несжимаемой жидкости (ее можно принять, например, равной плотности в изэнтропически заторможенном газе р(0)). Таким образом, для этого потока имеем уже иную зависимость между % и Хо：

А0«1р (Х)/р0, которая, вероятно, соответствует наибольшей из возможных поправок на сжимаемость £). Обе зависимости приведены на рис. 106 (прямая 1 — для вихря, кривая 2 — для источника).

Рис. 106

Существуют различные приближенные методы учета сжимаемо сти, точность и границы применимости которых можно оценить только путем сравнения с экспериментом. Рассмотрим ниже некоторые из этих методов.

Отвлечемся от разницы между ds [формула (122)] и ds()[формула (128) ] и положим “

Проинтегрируем это обыкновенное уравнение первого порядка, связывающее 九 и[兀，а постоянную интегрирования найдем из условия совпадения скоростных полей при предельном переходе к несжимаемой жидкости

lim~ = l. (130)

1) Эти примеры, дающие верхнюю и нижнюю границы поправок на сжимаемость, были любезно указаны автору Г. Ю. Степановым.

Интегрирование приведет нас к некоторой, не зависящей ни от формы профилей, ни от характера их обтекания, приближенной связи между X и 入о, которую ввиду громоздкости аналитического выражения представим кривой 3 (рис. 106) и табл. 9.

Имея эту связь, нетрудно получить зависимость коэффициента давления с, в газе от коэффициента сро в несжимаемой жидкости.

найдем при наличии сжимаемостинайдем при наличии сжимаемостиР-Р8 ^РоХР-Р8 ^РоХ1 . (131)1 . (131)

найдем при наличии сжимаемости

найдем при наличии сжимаемости

Р-Р8 ^РоХ

Р-Р8 ^РоХ

1 . (131)

1 . (131)

Таблица 9

入

м

2.

М

入о

九

м

入。

0

0

0

0,35

0,3228

0,3410

0,70

0,6668

0,6251

0,05

0,0457

0,0500

0,40

0,3701

0,3862

0,75

0,7192

0,6568

0,10

0,0913

0,0998

0,45

0,4179

0,4307

0,80

0,7727

0,6857

0,15

0,1372

0,1493

0,50

0,4663

0,4734

0,85

0,8274

0,7110

0,20

0,1832

0,1983

0,55

0,5152

0,5144

0,90

0,8834

0,7324

0,25

0,2294

0,2467

0,60

0,5649

0,5535

0,95

0,9409

0,7483

0,30

0,2759

0,2943

0,65

0,6154

0,5904

1,00

1,0000

0,7577

По известным изэнтропическим соотношениям

22Присоединяя сюда равенство, соответствующее несжимаемой жидкости,

2

2

(132)

и соотношение между 入 и Хо, представленное табл. 9, будем рассматривать совокупность формул (131) и (132) как параметрическую связь между с и С/ через параметр X. В этом заключается приближенный способ учета сжимаемости по С. А. Христиановичу. При выбранном числе Мео находим Х«», а, следовательно, по табл. 9 и Хо«, после чего, задаваясь различными значениями %0 и определяя соответствующие X» получим по формулам (131) и (132) искомую связь между ср и с»。.

На рис. 107 и 108 приводятся сетки кривых 9, выражающих эту связь при различных числах М«, отдельно для положительных и отри

нательных，＞ Штриховая линия Х=0,85 на рис. 108 показывает предел применимости метода; при больших X результаты получаются неудовлетворительными; отрезками кривых справа от этой линии пользоваться нельзя.

К числу недостатков изложенного приближенного приема относится отсутствие явной зависимости между ср и ср0 и вытекающая отсюда необходимость использования приведенных сеток кривых. Этот

недостаток можно устранить, если применить метод, предложенный впервые С. А. Чаплыгиным4). Обратимся вновь к уравнениям (118), приняв в них в качестве аргументов %= Y/a* и 0:

d九 dX \ Z p / de * de p d九.

Аналогичные уравнения для несжимаемой (р=р0) жидкости будут иметь в прежних обозначениях вид

Приближенный метод С. А. Чаплыгина заключается в сведенииПриближенный метод С. А. Чаплыгина заключается в сведении

Приближенный метод С. А. Чаплыгина заключается в сведении

Приближенный метод С. А. Чаплыгина заключается в сведении

. уравнений движения сжимаемого газа к уравнениям движения несжимаемой жидкости путем замены переменной 厶 некоторой ее функцией % (А). Как будет ясно из дальнейшего, такое преобразование эквивалентно

использованию вместо действительной зависимости р(Х)/р0 некоторой приближенной. Уравнение движения сжимаемого газа после этой замены приведется к виду

d(p我

/ 1 ро )帥 即—入 Ро dk dip

*) Чаплыгин С. А. О газовых струях.— Ученые записки Москоцакого универси* тста. Отд. физ. мат. наук, 1904, вып. 21.

Будем считать ф==ф0,屮=2。при одинаковых (Л=Л0, О=Оо) значениях аргументов, потребовав совпадения соответствующих дифференциальных уравнений. Для этого должны выполняться равенства

Данная система обыкновенных дифференциальных уравнений определяет зависимости Х(Х0) и р(Л0)/р. Принимая во внимание условие совпадения А и[九° при малых скоростях [lim(X/X0)=l], получим решения

Л = 儿 Р = 1 — с芯=]

1—с片'Ро l+纸 U 1 + КА ' где С — постоянная интегрирования.

Как видно, получившаяся для гипотетического «газа Чаплыгина» зависимость плотности от скоростного коэффициента

2 = (1 + 4c 炉)-% = 1 — 2ОЛ + o(v)

отличается от известной зависимости для адиабатического движения1

詔炉广=]-壬炉+。(冷・

Выбором постоянной С можно воспользоваться для наилучшего приближения к действительной зависимости р(%)/р0. Так, полагая 2С・ = 1/(Л+1), С=0,2083 [й=1,4; кривая 4 на рис. 106], имеем погрешность аппроксимации порядка V. Как показывают расчеты, для С=О,Й6 (кривая 5 на том же рисунке) максимальная относительная погрешность при 入V0,95 не превышает 2% *)•

Использование тех или иных зависимостей р(Х)/р0 соответствует замене действительной адиабаты Пуассона аппроксимирующими ее различными простыми кривыми или прямыми). Так, Карман и Чень), используя прямолинейную адиабату, предложили простую приближенную аналитическую формулу связи с9 и с〉。：

/i-m^+y(i- Vi-Mb %(133)/i-m^+y(i- Vi-Mb %(133)

/i-m^+y(i- Vi-Mb %

(133)

/i-m^+y(i- Vi-Mb %

(133)

не заключающую в своем составе показателя адиабаты k.

При малых Mg формула (133) переходит в формулу Прандтля - Глауэрта

"/1 二мм •

Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин.— М.: Физматгиз, 1962, с. 197.

В отличие от последней формула (133), содержащая в знаменателе %, не позволяет установить простое соотношение между q и Cg вычисление су приходится проводить интегрированием пересчитанного распределения давления в каждом отдельном случае.

Формула Кармана — Ченя удобна для вычислений и, как показы- вает сравнение с опытами, дает удовлетворительную оценку влияния сжимаемости (числа М«) на коэффициент давления сро при обтекании того же профиля несжимаемой жидкостью даже при достаточно боль* ших, но, конечно, меньших единицы значениях чисел Маха.

На рис. 109 приведено для иллюстрации сравнение с опытом ре* зультатов расчета коэффициента давления ср в точке, находящейся на расстоянии 30% хорды от носика, при угле атаки а=—2° и при различных значениях числа Ме для верхней поверхности крылового профиля NACA 4412.

Рис. 109Рис. 109

Рис. 109

Рис. 109

Если отнести верхнюю экспериментальную точку при Мво=0,6 к числу выпадающих, то можно заметить, что кривая, составленная по формуле Кармана — Ченя, хорошо соответствует опытным точкам.

Влияние сжимаемости при дозвуковом обтекании профилей проявляется в возрастании разрежений на верхней поверхности профиля — Sкоторый уже был отмечен при изложении теории малых возму- Прандтля — Глауэрта. На рис. 110 показаны полученные экспе* риментально распределения давления по верхней поверхности некоторого крылового профиля при различных числах Mg набегающего потока. Можно заметить, что с возрастанием числа Mg от значения 0,4 до 0г68 пик разрежения возрос почти вдвое.

'Формулу, близкую по структуре к формуле Кармана — Ченя, можно еще получить из простых, не связанных с. теорией Чаплыгина соображений, если, согласно Лэйтону 9, предположить, что коэффициент давления в данной точке сжимаемого дозвукового потока может быть выражен через соответствующий коэффициент давления в несжимаемом потоке по формуле Прандтля — Глауэрта, в которой только под числом Моо следует подразумевать местное, переменное от точки к точке число М.

h Laitone Е. V. New compressibility correction for two-dimensional subsonic flow.— Journ Aeron. Sci, 1951, v. 18, № 5, p. 350.

На самом деле в дозвуковом потоке, описываемом дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа, влияние сжимаемости не сводится к местному, характеризуемому числом М в данной точке, а требует учета влияния сжимаемости на поток в целом. В этом заключается приближенность допущения Лэйтона.

Согласно этому допущению коэффициенты давления в соответствующих точках связаны формулой

(134)

Исключим М, пользуясь изэнтропическим соотношением

Отсюда, находя М и разлагая полученное для него выражение в ряд по степеням малой величины —— ср, будем иметь

^=件+占)(1 + 哼力 一3=1С—(1+^1С)М^+・・・

Подставляя в (134), получим формулу Лэйтона

(136)

f+7斤代%

заключающую, так же как и формула Кармана — Ченя, поправочные слагаемые в знаменателе в формуле Прандтля — Глауэрта. Сравнение формул Лэйтона и Кармана — Ченя показывает, что при приближении Mg к единице поправка Лэйтона возрастает значительно быстрее, чем поправка в формуле Кармана — Ченя. При относительно небольших ср и не слишком близких к единице значениях М« формула Лэйтона дает лучшее совпадение с опытом, чем формула Прандтля — Глауэрта, и близка к формуле Кармана — Ченя.

Все изложенные только что упрощенные методы расчета не были связаны с определением .полного решения задачи о дозвуковом обтекании, в частности с влиянием сжимаемости на присоединенную циркуляцию, обеспечивающую плавный сход газового потока с задней острой кромки крылового профиля ')・

Заметим, что в настоящее время есть возможность точного численного расчета распределения скоростей и давлений при обтекании тел газом с любыми скоростями2).

Околокритическое обтекание крылового профиля

При возрастании числа М«, вблизи поверхности обтекаемого кры> лового профиля возникают сложные явления, трудно поддающиеся теоретическому анализу. Вернемся к кривым рис. НО. Прежде всего обращает на себя внимание явление смещения пика разрежения вниз по потоку, начиная примерно с М«=0,5.

Последняя кривая на рис. 110, относящаяся к числу Мво=0,835, реэ-* ко выпадает из общей закономерности развития кривых давления с ростом Мм. Прежде всего бросается в глаза значительное уменьшение по абсолютной величине и сглаживание по форме пика разрежения, за* тем ясно видно скачкообразное восстановление давления, показанное на рисунке штрихами. Эти явления можно объяснить образованием критического сечения в трубке тока, суживающейся к точке максимальной скорости в дозвуковом потоке. Дальнейшее расширение трубки тока создает движение, аналогичное движению в сопле Лаваля. Скорость становится сверхзвуковой и затем в скачке уплотнения возвращается к дозвуковому значению. Наличие скачков уплотнения приводит к возникновению значительных потерь механической энергии и вредно отражается на аэродинамических характеристиках крылового профиля. Одной из мер борьбы с этим явлением стало создание профилей с возможно поздним образованием критической скорости на их поверхности.

Назовем критическим числом Мкр такое значение числа М« набегающего на крыло потока, при котором где-то на поверхности крыла местное число М становится равным единице, т. е. возникает скорость、 равная местной скорости звука.

Легко связать величину Мкр с минимальным значением коэффициента давления срт. Для этого, пользуясь выражением ср (135), предположим, что где-нибудь на профиле скорость достигла местной скорости звука и местное число М стало равным единице; тогда ср достигает минимального по сравнению с другими точками потока значения Cf а число Мео становится равным Мкр. Следовательно, если в только что указанной формуле положить

Ср = Срт、 Моо = Мкр, М = 1,тотем самым определится искомая связь между Мнр и сртkk

где, подчеркнем это, величина срт обозначает коэффициент давления при заданном Моо=МКр, т. е. в действительном течении газа при наличии учета сжимаемости.

В практических расчетах полезнее располагать связью между М^ и коэффициентом давления срот при обтекании того же профиля несжимаемой жидкостью, так как последняя величина легко рассчитывается методами, изложенными в предыдущей главе, или определяется продувками в трубах малых скоростей. Пользоваться для пересчета 。加 в Gom изложенным выше правилом Прандтля — Глауэрта или прибли- женным способом Христиановича было бы мало оправданным, так как с^ относится к числу Моо=Мкр, при приближении к которому указанные приемы расчета становятся необоснованными.

Вспоминая чисто экспериментальный факт сравнительной удовлетворительности формулы Кармана — Ченя и при М«,, близких к Мкр, можем использовать эту формулу и определять Мкр как функцию or

Срот ИЗ совокупности равенств (133) и (137), переписанных в виде

Подставляя значение срт из второго равенства в первое, получим

искомую связь между сРОтискомую связь между сРОти Мкр; однако, ввиду громоздкости окончательного результата, не будем его выписывать.

искомую связь между сРОт

искомую связь между сРОт

Предложены различные приближенные формулы для определения М«р по рассчитанному срот. Приводим одну из них, составленную Темплем4) для воздуха (论= = 1,4),

практически эквивалентную совокупности равенств (138) и приводящую к хорошему совпадению с опытом. Соответствующая кривая показана на рис. 111.

Из определения понятия критического числа Мкр можно заключить, что в дозвуковых потоках следует отдать предпочтение таким профилям, которые при том же значении потребной величины подъемной силы (коэффициента %) имеют по возможности большее значение Мкр, а следовательно, меньшее срт. Иными словами, надо стремиться к тому, чтобы одна и та же площадь, заключенная между кривыми распределения давления по верхней и нижней поверхностям крыла, достигалась при полотих кривых распределения давления, а не за счет резких пиков разрежения. Такого рода профили с повышенными значениями Мкр были созданы у нас в стране и за рубежом и получили широкое распространение в авиации и турбостроении.

Плоский сверхзвуковой поток. Общие свойства характеристик.

Графический метод расчета сверхзвуковых течений

Переход в плоскость годографа привел к созданию аналитических методов интегрирования дифференциальных уравнений сверхзвукового течения идеального газа. Однако при практических расчетах предпочитают пользоваться численными методами или простыми графическими приемами интегрирования этих уравнений, основанными на применении метода характеристик.

Вернемся к основной системе уравнений плоского безвихревого дви- ,жения газа (2) и (3) настоящей главы

⑷一炉号一。偌+ § + di鳴=0,

(140)

=

ду дх

*) Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. — М.: ИЛ, 1955, с. 29.

Обобщая прием, изложенный в § 43 при решении задачи Римана о распространении конечных возмущений, составим линейную комбинацию уравнений (140); умножим соответственно первое из этих уравнений на неопределенный множитель А2, второе —на А】и сложим их. Тогда получим

Л2(а2 —и2)-^ + ® — А?。)祭一А + A?®+ A2 s2 — ”)孽=0,

Oxaydy

или, собирая по отдельности члены с производными от и и от и,

a俨一們Г匹+上二堂L_(A1 + ам) g 一d吁鸣包]=0. 八％(歩一〃2)' 1 厂 2 4dA. A1 + A2UV dy J

(141)

(142)(142)Попытаемся теперь, распоряжаясь величинами А, и Л2, определить в каждой точке плоскости (х, у) такое направление с угловым коэффициентом m=dyldx, чтобы выражения в квадратных скобках равенства (141) представили соответствующие этому направлению производные по х от w и и:

(142)

(142)

ди .

加一

Ai — А?"。

Л2 (а2 —吟

Л. (а2 —叫

да _ ду 加_

d〃 + du dy dx dy dx

= m=

d* dy

d〃

dx，

dv

dv

I dv

dy

dv

.dv —

дх

Ai + А?"。

d"

dx

dx

dy加

dx，

и, следовательно, уравнение (141) превратилось в дифференциальное уравнение в плоскости годографа (и, и)

血 Ag d — 〃2) du Ai + A?。

Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины Л4 и Л: пропорнин

土. a? d二"…=加，(143)

&(。2— 〃 2)— (Ах + Л2^)''

или, что все равно, системе однородных уравнений

А】一А?[加(出一〃 2)+〃и] =0, mAi+Azl^—v^muv] =0, которая будет иметь отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т. е. при

("2-a2)加 2—2〃0加+絞—a2 = 0.(144)

Составляя дискриминант этого квадратного уравнения "2*一(〃2一出)(絞—絞)=出("2+絞—a2) =a2(h-a2),

убедимся, что действительные решения будут иметь место при выполнении условия V^a или М^1.

Итак, в каждой точке сверхзвукового потока можно определить два характеристических направления с угловыми коэффициентами ш^ и /и2, равными корням квадратного уравнения (144)

(145)(145)

(145)

(145)

так, чтобы дифференциалам dx, dy, соответствующим этим направлениям в физической плоскости течения, сопоставлялись дифференциалы d〃, Jv в плоскости годографа, связанные уравнением (142).

Фундаментальное значение имеет тот факт, что дифференциальное уравнение (142) может быть проинтегрировано в конечном виде для про-

извольного сверхзвукового течения. Переписывая уравнение (142) в тождественном виде

dv _ а2 (a2 - 〃2) — a2 (a2 -标)a2 一 〃2

du А] + A2uv A】+ A2uv aa — о2

и сравнивая с (143) и (144), получим

(146)(146)血a2 — 〃2 〃и ± а У V2 ——а2

(146)

(146)

--=-т-= —==

dua2 — №«2 —严

Перейдем теперь от проекций скорости и, и к величине вектора скорости V и углу 9, образованному этим вектором с осью Ох физической плоскости, положив

и= V cos 0, v=V sin 9,

du = dV cos 0—V sin 0 d8, dv = dV sin 8+ V cos 0 d8.

Тогда уравнение (146) перейдет в следующее:

sinB W + У cos 6 d6 — H sin e cos 6 士 炉 Мм? — 1 cos OdV — Vsin 0 d8a2 — V2 sin2 0*

Соберем члены c dV и d6; тогда после простых преобразований и сокращений получим

d8 = ±/KXT?,(147)

т. е. известное уже нам по § 63 уравнение (92), интеграл которого представлен формулой (94), а в данном случае может быть записан в общей форме

8 = ±о(九)+const,

。的=ш产у学什

Семейства интегральных кривых уравнения (145), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в физической плоскости (х, у), а величины т{ и т2 представляют собой угловые коэффициенты касательных к характеристикам или характеристические направления в физической плоскости.

Будем называть для определенности интегральные кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (145) с положительным знаком перед радикалом, т. е.

dy — 〃и + a J>2 -《2

dx 〃2 一a2 '

характе ристиками первого семейства, а интегральные кривые уравнения dy — “о — a JS — J

dx〃2 一 a2

—характеристиками второго семейства.

Точно так же дифференциальные уравнения (146) или их интегралы (148) определяют в каждой точке плоскости годографа скоростей два семейства кривых — характеристик в плоскости годографа. Пусть знаку плюс соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус —

второго семейства. Обозначая через и угловой коэффициент характеристических направлений в плоскости годографа, будем иметь по (146)

uv±a V V2 — а2uv±a V V2 — а2(149)(149)

uv±a V V2 — а2

uv±a V V2 — а2

(149)

(149)

Рис. 112Рис. 112宅，宅，yi-j1) , катящейyi-j1) , катящей

Рис. 112

Рис. 112

宅，

宅，

yi-j1) , катящей

yi-j1) , катящей

Характеристические направления в физической плоскости и плоскости годографа, как это сразу следует из (145) и (149), связаны между собой очевидными соотношениями

%心+1 = 0,& 加—1 = 0.

Отсюда следует, что при выборе осей Ох и Оу параллельными осям Ofu и 0% характеристические направления первого семейства в физической плоскости будут перпендикуляр-

ны к характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости годографа и, наоборот, характеристические направления второго семейства в физической плоскости окажутся перпендикулярными к характеристическим направлениям первого семейства в плоскости годографа.

Таким образом, характеристические направления в физической плоскости жестко сопряжены с характеристическими направлениями в плоскости годографа. Но дифференциальные уравнения характеристик в плоскости годографа (147) были проинтегрированы и привели к конечным формулам (148) характеристик, представля-

ющих два совершенно определен

ных, одинаковых для всех плоских сверхзвуковых течений семейства

кривых.

Замечая, что в сверхзвуковых течениях безразмерная скорость 入 ме

няется в пределах 1 &九 Wняется в пределах 1 &九 Wпричем левая граница соответству

няется в пределах 1 &九 W

няется в пределах 1 &九 W

ет критической скорости У=а*, а правая ——предельной максимальной скорости V = Утах, проведем концентрические окружности Х= 1 и %=j/^^н заполним пространство между ними сеткой кривых (148).

Эти кривые представляют собой два семейства эпициклоид (рис. 112),

описываемых точками окружности радиуса

ся по окружности 九=1 •

Располагая такой раз навсегда для данного k (на рис. 112 для воздуха, fe=l,4) вычерченной сеткой эпициклоиду нетрудно при помощи простых графических приемов строить характеристические направления в точках физической плоскости, проводя через эти точки перпендикуляры к соответствующим, заданным семействам (148), характеристическим направлениям в плоскости годографа.

Прежде чем перейти к изложению этих графических приемов, остановимся предварительно на рассмотрении некоторых общих свойств характеристик в физической плоскости.

Характеристики уравнений плоского сверхзвукового течения образуют с вектором скорости газа в данной точке углы, равные углам возму- щений (углам Маха)

а = 士 arcsin —-»М

е. совпадают с линиями возмущений (линиями Маха).

uv±a У^2 — а2uv±a У^2 — а2Vu 一Vu 一0 tn 一 — tgS =-1 +m — и0 tn 一 — tgS =-1 +m — извукового только от газа.звукового только от газа.Для доказательства воспользуемся известной формулой аналитической геометрии для тангенса угла б между направлениями с заданными угловыми коэффициентами 加 и и/〃； будем иметь по (145)

uv±a У^2 — а2

uv±a У^2 — а2

V

u 一

V

u 一

0 tn 一 — tgS =-

1 +m — и

0 tn 一 — tgS =-

1 +m — и

звукового только от газа.

звукового только от газа.

и предыдущее равенство можно переписать в форме

〃2 + dV21 也 + 1 2

=Q

2々一12々一1

или, полагая Ки = и/а*,脑=и/а*,

(150)(150)•^■^簿+ 解=1,

(150)

(150)

что представляет в плоскости (入山 ％J эллипс с большой полуосью и малой полуосью, равной единице. Эллипс (150) —его называют эллипсом Буземана — расположен в области между окружностями ^=1 и Х= 1/ -^М , причем в соответствии со сказанным выше большая ，k — 1

его полуось направлена по касательной к характеристике в данной точке физической плоскости, а малая — по перпендикуляру к ней, т. е. по касательной к сопряженной характеристике в плоскости годографа скоростей.

Возможное расположение эллипса Буземана по отношению к сетке эпициклоид показано на рис. 112. Если эллипс, нанесенный на кусок прозрачного материала, совмещен своим центром О с центром окружностей, ограничивающих семейство эпициклоид, и так повернут, чтобы некоторая его точка А совпала с заданной точкой (Л, 0) плоскости годографа, то большая полуось эллипса, образующая с вектором скорости угол а, укажет направление одной из характеристик (линий возмущения) в физической плоскости. Направление другой характеристики получим, если совместим с концом вектора скорости, т. е. точкой (X, 0), точку А! эллипса, служащую зеркальным отражением точки 4 эллипса относи* тельно его большой оси.

Таким образом, пользуясь эллипсом Буземана, можем, зная величину и направление скорости в некоторой точке физической плоскости, без дополнительных вычислений чисто графическим путем провести через нее два характеристических направления в этой (физической) плоскости. При этом малая полуось эллипса укажет сопряженное характеристическое направление в плоскости годографа.

На использовании изложенных свойств семейств характеристик в физической плоскости течения и плоскости годографа скоростей основан графический метод расчета плоских сверхзвуковых потоковf).

По своей общей идее он аналогичен графическому методу расчета распространения волн конечной амплитуды, изложенному ранее в § 43. Некое его своеобразие заключается лишь в удобстве использования заранее раз навсегда вычерченных: 1) сетки характеристик в плоскости годографа —известных уже нам эпициклоид (148)—и 2) эллипса Буземана (150), изготовленного в виде прозрачного шаблона.

Перепишем уравнения характеристик в плоскости годографа (148) в форме двух отдельных уравнений

8 = &—q (X), 9 = п (X)—。2,

первое из которых представляет собой семейство эпициклоид, идущих снизу вверх, а второе —сверху вниз (знак угла 9 оговорен на с. 247).

Складывая и вычитая эти равенства почленно, получим

8 = ^ (& — С2),。仏)=^ (& + С2)„(151)

Prandtl L., Busemann A. Naherungsverfahren zur zeichnerischen Ermitt- lung von ebenen Stromungen mit Uberschallgeschwindigkeit.— Zurich: Stodola Festschrift, 1929. Детали метода и многочисленные иллюстрации его применения можно найти в- обзоре одного из создателей этого метода А. Буземана, помещенном в Handbuch der Experimental Physik.— Leipzig, 1931, Bd. 4, Teil 1, § 26, S. 421.

так что радиально расходящиеся из точки О (рис. 112) лучи (0=const) будут определяться условием Ci—С2 = const, а изотахи (九=const), а следовательно, и изобары (р/рп = const) —условием С\+С2 = const.

На рис. 114 приводим эскиз общепринятой разметки семейств эпициклоид.

Применяемая в графических операциях сетка эпициклоид имеет более густую разбивку, соответствующую обычно интервалу изменения Ct и С2, равному единице. На семействе эпициклоид & стоят цифры от 560 до 615, на семействе С2 — от 360 до 415. Вместо ранее указанной на

**Рис. 114Рис. 114

*

*

Рис. 114

Рис. 114

размечаютсяразмечаются(九=1(九=1рис. 112 разметки углов 0 здесь принята разметка радиусов разностями постоянных Ci ——С2 от 165 до 235 (например, метка 210 стоит на пересечении эпициклоид 605 и 395). Окружности, концентрические с основными

размечаются

размечаются

(九=1

(九=1

иисуммами констант N = &+G.

и

и

Согласно (151) эта сумма является характерным в принятой разметке числом, определяющим безразмерные значения: X или М, давления р/р。, температуры Т/Т。，плотности р/р0.

Существуют подробные таблицы этих величин, рассчитанные для воздуха в зависимости от числа N=C^C2. Приводим в качестве образца табл. 101). Остальные характерные величины можно при желании определить по известным изэнтропическим соотношениям или таблицам.

См. цитированный ранее обзор А. Буземана, а также книгу Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений.— М.: Гостехиздат, 1953, с. 424, табл. 2.

Задаваясь скоростями потока на некоторой начальной кривой, не совпадающей с характеристиками физической плоскости, например на входе в рассчитываемое сопло, и пользуясь эллипсом Буземана, нанесем в достаточно близких друг к другу точках начальной кривой характеристические направления в физической плоскости. Точки пересечения их определят новую кривую, разбитую на малые интервалы. Сетка характеристик в плоскости годографа позволит найти сопряженные с характеристиками в физической плоскости эпициклоиды и тем самым получить

Таблица 10

入

М

р/%

X

М

Р/Ро 1

1.

入

М

Р/Ро

1000

1,000

1,000

0,527

982

1,486

1,718

0,200

964

1,776

2,378

0,071

999

1,073

1,090

0,476

981

1,503

1,750

0,190

963

1,791

2,421

0,067

998

1,110

1,142

0,449

980

1,520

1,780

0,180

962

1,805

2,460

0,062

997

1,141

1,186

0,424

979

1,539

1,815

0,171

961

1,819

2,506

0,057

996

1,172

1,228

0,402

978

1,556

1,850

0,162

960

1,832

2,548

0,055

995

1,200

1,265

0,382

977

1,575

1,885

0,153

959

1,845

2,592

0,051

994

1,227

1,305

0,363

976

1,590

1,923

0,145

958

1,858

2,636

0,048

993

1,253

1,342

0,345

975

1,608

1,958

0,137

957

1,872

2,680

0,044

992

1,278

1,376

0,329

974

1,625

1,995

0,130

956

1,884

2,730

0,041

991

1,300

1,413

0,313

973

1,640

2,028

0,123

955

1,898

2,778

0,039

990

1,322

1,443

0,298

972

1,656

2,065

0,116

954

1,910

2,825

0,036

989

1,343

1,474

0,284

971

1,671

2,101

0,109

953

1,923

2,875

0,033

988

1,365

1,506

0,270

970

1,686

2,138

0,103

952

1,936

2,920

0,031

987

1,387

1,542

0,257

969

1,700

2,178

0,097

951

1,948

2,978

0,029

986

1,409

1,575

0,245

968

1,718

2,215

0,091

950

1,960

3,028

0,027

985

1,426

1,608

0,233

967

1,732

2,258

0,086

949

1,972

3,078

0,025

984

1,447

1,643

0,221

966

1,748

2,298

0,081

948

1,984

3,135

0,023

983

1,466

1,680

0,210

965

1,763

2,338

0,076

947

1,995

3,180

0,021

числа Ct, С2 и их сумму. По этим числам, пользуясь ранее указанной таблицей, найдем термодинамические величины в точках новой кривой, которая может быть опять принята за начальную и т. д.

Таким образом, часть физической плоскости, в которой происходит сверхзвуковое течение газа, окажется заполненной характеристиками.

Рис. 115

разбивающими ее на малые «ромбы», по диагоналям которых будут направлены искомые отрезки линий тока. Внутри каждого такого ромба помещают одно над другим значения отметок эпициклоид (характеристик в плоскости годографа), относящихся к данному ромбу физической плоскости. Верхнее число (большее) относится к характеристике, идущей снизу вверх, нижнее (меньшее) — к характеристике, идущей сверху вниз.

Наличие в потоке твердых границ или свободных поверхностей мало усложняет графическое построение. Процесс отражения сводится к переходу от одного семейства характеристик в физической плоскости к другому. Суммы индексов при помощи существующих таблиц легко переводятся в средние значения термодинамических параметров, относящиеся к малой области данного ромба. Пример графического построения сопла показан на рис. 115; поток представляет собой переход от радн・ ально расширяющегося с полным углом раствора в 20° к плоскопараллельному потоку. Шаг сетки по углам равен 2° (см. верхние и нижние цифры)・

При наличии сужений потока, вызывающих возникновение косых скачков, в графическом построении удобно пользоваться диаграммой ударных поляр (строфоид) (см. рис. 97).

Кроме только что изложенного графического метода, обладающего полной общностью, имеются еще различные приближенные аналитические методы, особенно для такого важного случая, как плоское безвихревое движение газа при очень больших значениях чисел Маха. Уже был ранее упомянут метод Ньютона, позволяющий в некоторых случаях, не* смотря на его приближенность, получать при определении суммарных динамических характеристик удовлетворительную точность.

К вопросу о приближенных методах расчета сверхзвуковых обтеканий тонких тел мы еще вернемся в конце следующей главы в связи с рассмотрением пространственных сверхзвуковых потоков.

ГЛАВА IX

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕЖИДКОСТИ И ГАЗА

§ 69. Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков

На основании общих соображений, приведенных в начале гл. VII, задачу о внешнем обтекании тела можно значительно упростить, сделав предположение о безвихревом характере движения. В этом предположении во всей области движения имеем

rot У=0, и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ф, определяемый равенством F=grad(f. В прямоугольной декартовой системе

дхду&

В проекциях на оси криволинейных координат [см. (84) гл. I]

% = (grad % =靑許 (i = 1, 2, 3).(О

В цилиндрической и сферической системах криволинейных координат, согласно (85) и (86) гл. I, имеем формулы: цилиндрические координаты:

吃=粤，几=丄迎，叭=型； ⑵ 力г д&dz

сферические координаты:

厶=崇，(3) oRRRsinB de

Предполагая еще, что жидкость несжимаема, составим равенство div V = div grad(p = V2(p = 0,(4)

представляющее собой известное уравнение Лапласа, Искомый потенциал скоростей ф является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании неподвижного твердого тела с поверхностью о и ортом внешней нормали п безграничной жидкостью, причем поток на бесконечности считаем однородным и имеющим скорость V». Тогда граничными условиями будут:

условие непроницаемости поверхности тела

Vn — gradn Ф = ^- -=0 на поверхности а;

условие на бесконечности

V = grad 0 = ^8 при г->оо,

где г—радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о и при только что указанных граничных

условиях, уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Ней- мана). Не останавливаясь на общей теории, перейдем к рассмотрению некоторых простейших частных гидродинамических задач, а затем и более общих пространственных течений.

Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов простых движений.

Безграничный однородный прямолинейный поток, имеющий за* данную скорость V» с проекциями 〃8, %,叫 удовлетворяет очевидной системе равенств

，2_ = 〃 8 s=； const, 包-=% = const, -^- = ®8 = const. дх dy dz

Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен

(5)(5)Ф = u^x+v^y^w^z^ Ко (% cos a+g cos 叶之 cos 丫),

(5)

(5)

где а, р, у — углы заданного направления потока с осями координат Ох, Оу и Oz.

Поток от источника (стока) мощности Q, помещенного в начало координат О в безграничной жидкости, симметричен и дает поле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода

W4kR2=q,

где R — расстояние точки потока от источника; отсюда получим

Замечая, что в сферической системе координат

Ur = -^- = VdRUr = -^- = VdR4成24成21 d(p1 d(p=0,=0,R sin 0 deR sin 0 de=0,=0,

Ur = -^- = VdR

Ur = -^- = VdR

4成2

4成2

1 d(p

1 d(p

=0,

=0,

R sin 0 de

R sin 0 de

=0,

=0,

найдем искомый потенциал скоростей

ФФQ4л/?Q4л/?(6)(6)

Ф

Ф

Q4л/?

Q4л/?

(6)

(6)

причем в случае источника Q>0, в случае стока QV0. В выражении (6) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающегося в теории притяжения, электростатике и др.

Поток диполя 6 безграничной жидкости получим, используя прием наложения потоков. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с равными по абсолютной величине мощностями 士Q.

Расположим сток (рис. 116) в точке 4 прямой линии AL, источник — в точке Л\ находящейся от точки Л на расстоянии 44'=As. Определим потенциал скоростей ф в некоторой точке М с вектором-радиусом AM=rt образующим угол 0 с направлением прямой Л£； найдем (厂'=力'乂)

Q * Q

(p =—卜」一.

4"'4”

Предположим теперь, что источник сближается со стоком, а мощ-ность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенствоlim Q • 44' = т,

А^А Q—8

Тогда, переписывая потенциал скоростей ф в виде

и переходя к пределу, получим

⑺

или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 116,

1 dr — cos 0г2 ds г2

получим

(8)

Полученный предельный поток с потенциалом скоростей <р, определенный формулами (7) или (8), называют потоком диполя в точке А с осью AL и моментом т. Иногда момент диполя рассматривают как вектор т, имеющий величину m и направленный по оси диполя AL\ при этом потенциал диполя можно представить при помощи скалярного произведения момента на вектор-радиус так:

Непрерывное распределение источников в безграничной жидкости. Пусть внутри некоторого объема т непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится мощность q. Величина д, представляющая собой функцию координат точек в объеме т, играет роль объемной плотности распределения источников (д>0) или стоков (q<0). Элементу объема dx, находящемуся в некоторой точке А объема т, соответствует источник мощности q dr, и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке М пространства, заполненного жидкостью, как внутри, так и вне объема т равен

即=一卫L

где г—длина вектора-радиуса АМ = г, соединяющего элементарный ио точник'в точке А с текущей гочкой пространства М. Пользуясь приемом наложения потоков, определим потенциал скоростей в точке М от непрерывно распределенных в объеме т источников в виде

(9)

Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам точки Я, в то время как точка М, в которой определяется потенциал скоростей, является фиксированной. Если обозначить через а, Ь, с декартовы координаты точки Л, а через х, у, z—координаты точки М, то

формулу (9) можно переписать явно так:

9(z)=——仆"c)dQdbdc — (Ю) 4冗 |<(x_a)2 + e — b)2 +(z-c)2 3丿

Если область течения жидкости безгранична^ то функция ф при удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через R среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т; тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что потенциал скоростей ф будет стремиться к нулю, как 1/R при Rf 8, или, иначе, что функция ф имеет порядок малой величины 1/R:

9=。(1伏).

Потенциал скоростей (9) совпадает по форме с общим выражением ньютонова потенциала. Если под q понимать плотность распределения массы в объеме т, то выражение (9) даст потенциал сил тяготения единичной массы в точке М к некоторой в общем случае неоднородной массе, заключенной в объеме т； если под q понимать плотность распределения электрических зарядов, то ф будет потенциалом электростатическое го поля.

Вспоминая определение дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников, можем, очевидно, для любой точки объема т написать

div У=д,

откуда, используя равенства V=grad <р, div V=V2(p, получим следующее уравнение Пуассона:

▽\>=9. (n)

Отсюда следует, что функция <р, определенная формулой (9) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона (11) внутри объема; в остальной области, где д = 0, функция <р представляет собой решение уравнения Лапласа

V2(p = 0, причем(p = O(l/R).

В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (9) дает единственное конечное, непрерывное и однозначное решение уравнения Пуассона (11), обращающееся на бесконечности в нуль.

Следует, конечно, иметь в виду, что указанное решение является лишь простейшим частным решением уравнения Пуассона, отвечающим безграничной области и не подчиненным граничным условиям, которые возникают в задачах определения потенциала в ограниченных областях.

Наряду с объемным распределением источников в гидродинамике, также как и в других отделах физики, рассматриваются еще поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностной и линейной плотности распределения источников то же обозначение % будем иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхностного и линейного интегралов

屮= 手. (12) 4л J г 4л J г

Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности о, дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения и электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя является решением уравнения Лапласа, причем, как дока

Рис. 117Рис. 117mcosO」do,戸 ，mcosO」do,戸 ，

Рис. 117

Рис. 117

mcosO」

do,

戸 ，

mcosO」

do,

戸 ，

зывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен и непрерывен во всей области, включая и поверхность а). Производная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности о претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность о разрыв непрерывности — конечный скачок.

Подобно тому как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные

понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся на одном, наиболее важном распределении диполей, образующем так называемый двойной слой. Возьмем некоторую поверхность о и покроем ее непрерывно распределенными диполями так, чтобы моменты их (или оси) совпали по направлению с внешними нормалями п к поверхности о. Обозначив плотность распределения диполей через т, по-

лучим вектор момента диполя, при-

холящегося на элементарную площадку do с ортом внешней нормали п, в виде mdcn, а элементарный потенциал скоростей d(p, согласно (7) или (8), будет равен

где 0 (рис. 117)——угол между внешней нормалью к поверхности о и вектором-радиусом г=АМ текущей точки М относительно точки 4, взятой на поверхности.

Полный потенциал скоростей от покрытой диполями поверхности о

4л4л/л cos 8」 аа/л cos 8」 аа(13)(13)

4л

4л

/л cos 8」 аа

/л cos 8」 аа

(13)

(13)

служит гидродинамической аналогией известного в теории электричества и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого слоя представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхности, то потенциал .двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка).

Упомянем, что потенциал двойного слоя (13) также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей точки М через поверхность о.

Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно решать различные задачи обтекания тел.

Поле скоростей, индуцируемое заданной системой вихрей в безграничной жидкости. Формула Био — Савара

Наряду с основными особенностями скоростного поля: источниками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.

Предположим, что в некотором объеме т (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности £2 и требуется разыскать рас-

(14)(14)(15)(15)(16)(16)(17)(17)Qd*r== ildo ds== Qdo df == Fd/*,Qd*r== ildo ds== Qdo df == Fd/*,получим вместо (18)получим вместо (18)

(14)

(14)

(15)

(15)

(16)

(16)

(17)

(17)

Qd*r== ildo ds== Qdo df == Fd/*,

Qd*r== ildo ds== Qdo df == Fd/*,

получим вместо (18)

получим вместо (18)

пределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно V уравнения

rotV=Q,

которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от области, занятой вихрями.

Введем в рассмотрение векторный потенциал Д, связанный с вектором скорости V соотношением

V=rot А,

причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию div А = 0.

Тогда уравнение (14), если вспомнить последнюю формулу (88) гл. I rot rot А = grad div А—V2A,

превратится в следующее:

V2A = —Й.

Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона (11), можем составить решение уравнения (16) в форме обобщения ньютонова потенциала (9)

1 f Qdt4jt J г

где г ——радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к элементу объема dr.

Согласно (15) получим искомое значение вектора скорости

(18)

Остановимся подробнее на случае окружающей в поле вектора rot V=fi вихревую нить L (рис. 118) элементарной вихревой трубки с конечной циркуляцией Г. Обозначим через dr элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и С; тогда, производя под знаком интеграла (18) по известной теореме Стокса о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру замену

К = —rot

Используя третье равенство (88) гл. I

и замечая, что dr является потенциальным вектором, так что rot (dr)三О, сможем предыдущее выражение V переписать в виде

(19)

Полученное решение задачи о поле скоростей вокруг заданной вихревой нити L с циркуляцией Г можно еще упростить, непосредственно

вычисляя градиент под знаком интеграла:

—grad 厂= 戸—grad 厂= 戸grad (—)=—

—grad 厂= 戸

—grad 厂= 戸

это приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электромагнетизма формулы Био — Савара

(20)(20)Г Г drxr

(20)

(20)

4n J г8£

Если рассмотреть элементарную скорость dV, образованную (〃尼0у・ цированную) в точке М элементом вихревой нити dr, то можно вместо (20) написать

^У — Г dry г4л г3

или, переходя к величине элементарной скорости,

(21)(21)I WI ldrxr| = Г ds sin 84л г3 4л га

(21)

(21)

По аналогичной формуле Био ——Савара определяют магнитное поле от элемента электрического тока.

Чтобы проиллюстрировать применение формулы (20), определим скорость, индуцированную в точках пространства прямолинейным от， резком АВ вихревой нити с циркуляцией Г (рис. 119).

Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке М давать одинаково направленные элементарные скорости dV (по перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок АВ и точку М, в сторону вращения, создаваемого вихрем), и пользуясь очевидными равенствами (й ——кратчайшее расстояние точки М от отрезка АВ)

Л = г sin 0, ds = — d (Л ctg 9) = Л - — ■-, sin20

найдем по (21) выражение для \dV\

IW =工sin"迎上九曲=工sin 8曲.

4n 胪 Sin2e 4лА

Интегрирование по 0 от 0 = а до 0 = л—§ дает искомую величину скорости V, индуцированной вихревым отрезком 4В:

J轰 f sinB曲= Tr3sa + cosB). (22) a

Формула (22) играет основную роль в расчетах поля скоростей вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха.

Полагая в формуле (22) а=р = 0, вновь получим известную из теории плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью,

2лЛ2лЛ

2лЛ

2лЛ

34)=34)=

34)=

34)=

Потенциал поля скоростей,индуцированного замкнутой вихревой нитью

В случае замкнутой вихревой нити легко получить простое выражение потенциала скоростей.

Рассмотрим замкнутую вихревую нить L интенсивности Г в поле вектора rota (рис. 120), ограничивающую некоторую разомкнутую поверхность а, и составим интеграл

j a Xdr.

Построим элементарный цилиндр с образующими, параллельными орту нормали п к поверхности а, и с направляющей L!、ограничивающей элементарную площадку do; тогда

J о 乂dr' = ~ ^ а х(пхпЭ^о\

где o' — полная поверхность эле*

ментарного цилиндра, состоящая из боковой поверхности и двух оснований do, а d» и Т(/ — соответственно элементы контура Lz и поверхности </ элементарного цилиндра (do' на рис. 120 представлено заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произведения, найдем \ a xdrf = — \ пап，加f п'апda' = п — div a — grad Jh Jh Jh

=〃 div a do — grad (an da).

Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным контурам 工'слева и по всем элементарным площадкам do справа, получим

a xdr = У n div a da — grad J an do.(23)

Положим в этой формуле a = grad(l/r)； тогда будем иметь вместо (19)

Но, как уже ранее упоминалось, функция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа

(%。，

так что окончательно найдем

吟一+訂叫^⑵而.(24)

о

Искомый потенциал поля скоростей замкнутой вихревой нити, следовательно, равен

而.(25)

Сравнивая (25) с выражением потенциала двойного слоя (13), заключим, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с циркуляцией Г совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенных по поверхности о, опирающейся на контур L, и имеющих одинаковую по всей поверхности плотность распределения момента, равную “〃р・ куляции вихревой нити.

Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет собой аналог известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электрического тока полю магнитного листка.

Функция тока в пространственных движениях

В пространственных движениях нельзя ввести функцию тока в общем случае движения, как это было сделано при изучении плоских движений; функция тока существует только в отдельных частных случаях; некоторые из них будут рассмотрены ниже.

Согласно второму равенству системы (84) гл. I уравнение несжимаемости (4) имеет вид

耳(也%%) + — (也"乂) + ~ ("也% J = 0.

Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например У*, повсюду равна нулю или сохраняет не зависящую от q3 величину, причем в последнем случае коэффициенты Ляме Н、и Н2 также не зависят от ^3. Тогда предыдущее уравнение сводится к более простому

戸(ад^) + ^(н3н^=о

и можно утверждать существование функции р, удовлетворяющей системе равенств

也"3%, = 士裟，也"m2 =干輕，(26)

откуда следует

厶 =±」-"生，4 = 4=」一空.(27)

Такого рода функцию 屮 будем по аналогии со случаем плоского движения называть функцией тока 8 криволинейных координатах. Выбор верхних или нижних знаков произволен и определяется из дополнительных соображений.

Подчеркнем, что наличие функции тока зависит не только от характера движения, но и от выбора криволинейной системы координат, при помощи которой движение описывается.

Рассмотрим, например, осесимметричное относительно оси Oz движение несжимаемой жидкости в меридианных плоскостях, проходящих через ось Oz. При таком движении существуют все три декартовы проекции скорости 〃，и, w, и все они зависят от трех координат %, у, z, так ди , dv . dw Л

что из уравнения несжимаемости -—= составленного в декартовых координатах, можно заключить об отсутствии функции тока. Вместе с тем при пользовании цилиндрической системой координат г, 8, г при меридианное™ движения (匕=0) уравнение несжимаемости имеет вид

d (叱) a (也)

drdz

и позволяет найти функцию тока ^(r, z), связанную с проекциями скорости на оси цилиндрических координат соотношениями (выбор знаков будет вскоре пояснен)

dzdr

откуда

匕=一丄要，叭=丄(29)

Аналогично в сферической системе координат (R, 0, е) при 匕=0 уравнение несжимаемости имеет вид

0俨仆砌 a(R%sine) dRde =0俨仆砌 a(R%sine) dRde =(30)(30)

0俨仆砌 a(R%sine) dRde =

0俨仆砌 a(R%sine) dRde =

(30)

(30)

и проекции скорости на оси сферической системы координат выражают через соответствующую функцию тока 屮 следующим образом:

Vr =Vr =1 外mine 丽1 外mine 丽几几1 外RsinB dR1 外RsinB dR(31)(31)

Vr =

Vr =

1 外

mine 丽

1 外

mine 丽

几

几

1 外

RsinB dR

1 外

RsinB dR

(31)

(31)

Введенная уравнениями (27) функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении. Замечая, что в ортогональных криволинейных координатах уравнение линии тока при d% = =0 имеет вид

卷=等，%1=% 号，兀,=%普，(『生号=0,

по (27) найдем

d十=d% += 0, dq3 = 0.

Следовательно, вдоль линии тока

г|)= const,行=const.

В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридианным плоскостям (е = const) равенства г|)= const представят поверхности, образованные вращением линий тока вокруг оси Oz. Поверхности 屮=const назовем поверхностями тока. В рассмотренном только что частном случае осесимметричного движения можно на оси Oz положить 屮=0; тогда значения 屮 будут пропорциональны секундным

объемным расходам жидкости через ортогональное к оси сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.

Действительно, секундный объемный расход сквозь ортогональное к оси Oz сечение, ограниченное окружностью данного радиуса г, будет, согласно (29) и условию 巾(0)=0, равен

Q = j Uz • 2nrdr =2n j — *• rdr= 2冗屮(r).

Теперь понятно, что выбор знаков в правых частях (27) произведен так, чтобы при Q>0 было и 屮>0.

「ОМ)L 0%「ОМ)L 0%d (儿&2)]d (儿&2)]”2%”2%11Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторного потенциала скоростей А, связанного с вектором скорости равенством (15). Действительно, согласно этому равенству и формулам (84) гл. I, имеем

「ОМ)

L 0%

「ОМ)

L 0%

d (儿&2)]

d (儿&2)]

”2%

”2%

1

1

У% = Г。％"

Выбирая вектор А ортогональным во всем пространстве координатным поверхностям ^,=const, найдем

1@("з&)・ад" ~~*1@("з&)・ад" ~~*

1@("з&)・

ад" ~~*

1@("з&)・

ад" ~~*

положив "Mqs=±2(gh 〃2), а коэффициенты Ляме и величину Aq — не зависящими от д* получим формулы (27). Так, например, в сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного е, и не зависеть от е.

Приведем несколько примеров функций тока для простейших дви

жений.

Однородный прямолинейный поток со скоростью V«,, параллельной оси Oz・

В цилиндрической системе координат имеем

следовательно,

w=-^^8产.w=-^^8产.

w=-^^8产.

w=-^^8产.

В сферической системе координат

力=u8 cosO力=u8 cosO/?2sin0 "de"/?2sin0 "de"1 外RsinB dR1 外RsinB dR

力=u8 cosO

力=u8 cosO

/?2sin0 "de"

/?2sin0 "de"

1 外

RsinB dR

1 外

RsinB dR

Интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах

дает

Ц)= 1^2 sin2 0.(33)

Источник (сток). Выражение функции тока в сферической системе координат найдем, интегрируя систему уравнений

Q4nR2

[ dtp

必 sin8 3

dtp

RsinB dR

Получим

屮=——Qf°s ', + const,4л

или, подбирая константу из условия 屮=0 при 0 = 0,

(34)(34)屮= -^-(1 — cos 0).

(34)

(34)

4n

Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (8), будем иметь в сферических координатах систему уравнений

—m cos 0—m cos 0дг|)дг|)2nR3 R2sE8 d02nR3 R2sE8 d0/nsin 0，Pg === ~~JD34л/?3/nsin 0，Pg === ~~JD34л/?31 伸RsinB dR1 伸RsinB dRоткуда следует ^L = 2^sin0cose, 空= de 2nR' dRЛегко найти интеграл этой системы m sin2 0 4nR обращающийся в нуль при 0 = 0.откуда следует ^L = 2^sin0cose, 空= de 2nR' dRЛегко найти интеграл этой системы m sin2 0 4nR обращающийся в нуль при 0 = 0.—sin20.—sin20.4jiR24jiR2(35)(35)

—m cos 0

—m cos 0

дг|)

дг|)

2nR3 R2sE8 d0

2nR3 R2sE8 d0

/nsin 0

，Pg === ~~JD3

4л/?3

/nsin 0

，Pg === ~~JD3

4л/?3

1 伸

RsinB dR

1 伸

RsinB dR

откуда следует ^L = 2^sin0cose, 空= de 2nR' dR

Легко найти интеграл этой системы m sin2 0 4nR обращающийся в нуль при 0 = 0.

откуда следует ^L = 2^sin0cose, 空= de 2nR' dR

Легко найти интеграл этой системы m sin2 0 4nR обращающийся в нуль при 0 = 0.

—sin20.

—sin20.

4jiR2

4jiR2

(35)

(35)

§ 73. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера

Точно так же, как и в случае плоского обтекания круглого цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со скоростью Уте на

Рис. 121Рис. 121

Рис. 121

Рис. 121

поток от диполя с моментом, ориентированным вдоль этой оси, но в сторону, противоположную набегающему потоку (рис. 121). Складывая функции тока (33) и (35), найдем функцию тока составного потока1)

屮=^%R2sin26—哉 siMe= (^厶个—盜卜 iM8.(36)

Уравнение нулевой поверхности тока

разбивается на уравнение поверхности сферы D 3 / т~ R == ] / ^2 〃，

где а - радиус сферы, и уравнение оси Oz 0 = 0, л.

Отсюда следует, что, желая найти функцию тока обтекания сферы радиуса а потоком со скоростью Уж на бесконечности, направленным вдоль оси Oz, надо положить в выражении функции тока (36) 加=2冗出丫8； тогда получим

w=^人叫1_传了卜也2&

Нетрудно найти и потенциал скоростей, проинтегрировав систему уравнений связи потенциала <р с функцией тока 屮 или, проще, непосредственно составляя сумму потенциалов слагаемых потоков (5) и (8), 忏%+ ^ =厶叶+玄君18s е.(38)

Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение

скоростей

Уя=^=у-[1~Ш]со^

(39)

Сразу видно, что на поверхности сферы (R=a) выполняется основное граничное условие непроницаемости твердой стенки

匕=%=0, а на бесконечности (/?->оо)

Vb= Voo cos 0, Ve= —V» sin0, t. e. скорость однородного потока на бесконечности равна по величине Уж и направлена по оси Oz в положительную сторону.

Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется ра

венством

% = -Msin&

Точки А и В (рис. 121) критические, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость имеет место в миделевой плоскости при 0=л/2; она равна по абсолютной величине

Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра (гл. VII), видим, что в случае пространственного обтекания сферы максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока, т. ё. цилиндр производит более значительное возмущение однородного потока, чем сфера. Это и естественно, так как сечение цилиндра, нормальное к потоку, бесконечно, а у сферы ограничено. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не достигает столь большого значения; сфера представляет собой плохо обтекаемое тело; поток реальной жидкости срывается с поверхности сферы, не доходя при одних

условиях даже до миделевой плоскости, при других — несколько заходя за нее.

Распределение давления по поверхности сферы получим по уравнению Бернулли

Р + р-у = Р«> + р-у~,

из которого следует выражение коэффициента давления

(+)』一国・(+)』一国・

(+)』一国・

(+)』一国・

Как видно непосредственно из последней формулы, главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы равен нулю. Сфера не оказывает сопротивления набегающему на нее однородному на бесконечности потоку, или, иначе, сфера при своем равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает сопротивления.

В этом заключается частный случай известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь ранее. В рассмотренном только что случае сферы этот па* р а доке следует из соображений симметрии распределения давле・ ния по поверхности сферы, однако парадокс Ьерен и в общем случае.

Докажем справедливость /ш・ радокса Даламбера для прост-

Рис. 122ранственного безвихревого обте

кания конечного по размерам тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью о телом (рис. 122) при удалении от этого тела.

Разобьем потенциал <р обтекания тела на потенциал однородного потока со скоростью V«, параллельной, например, оси Oz, и на потенциал скоростей возмущения <р\ вызванный возмущающим действием тела на однородный поток, в который оно помещено.

Покажем сначала, что при удалении на бесконечность (Rf 8)потенциал возмущений <р‘ убывает как I//?2. На примере обтекания сферы в этом легко убедиться, обратившись к формуле (38) и отделив в ней потенциал возмущения; найдем

6 =「8»^cos8=。(专)；“

Если, имея в виду общее свойство решений уравнения Лапласа — возмущения потока при удалении от источника этих возмущений убывают,—допустить, что на больших средних расстояниях от впзмущаю* щего поток тела детали его формы не могут влиять на закон убывания потенциала скоростей возмущений, то можно заключить, что и для лю* бого тела конечных размеров закон убывания д/ будет

0 =。

К тому же результату можно прийти из более строгих соображений, если заметить, что потенциал возмущений(р‘，вызываемый телом

произвольной формы, должен удовлетворять уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно записать в виде [ (86) гл. I]

亲（R僚）+焉备3署）+姦需=。■（4。）

Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим

q/(R, 0, g)=X(R)y(8, е)・q/(R, 0, g)=X(R)y(8, е)・(41)(41)

q/(R, 0, g)=X(R)y(8, е)・

q/(R, 0, g)=X(R)y(8, е)・

(41)

(41)

Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь

или, отделяя функцию R от остальных переменных,

Слева стоит функция только R, справа — только е и 0. Поскольку переменные R, 8 н е независимы друг от друга, из предыдущего равенства следует

= const

X dR I dR )

Легко видеть, что в число решений X(R) этого уравнения будут входить целые положительные или отрицательные степени переменного R, если только произвольную константу положить равной п (n+1). Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел п = —k (k> >0), так как потенциал возмущения 屮‘ должен убывать с ростом R, получим по (41) систему частных решений уравнения Лапласа (40) в виде

逐 伏一1, 2, 3, ..., 8).

Среди функций УА(0, е)—их называют сферическими функциями,— удовлетворяющих, согласно (42) и условию выбора const =々优一1), уравнению в частных производных

2 (sin 8出)_i_=0

sinO dO \ d0 丿 sin20 婚 丁，

будем выбирать только решения, ограниченные при всех значениях 0 и е.

При 办=1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях 0&8&冗，будет У1 = const, что соответствует простейшему частному решению const/及，представляющему известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При 々=2 уравнение имеет решением const-cos 0, что приводит к потенциалу скоростей диполя.

В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал 屮‘ можно представить как сумму частных решений:

(43) 左=1左=2

Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое тело сферой Со большого радиуса RQ и, замечая, что между поверхностью тела о и поверхностью сферы о。нет источников или стоков,

напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность о0

瑞曲。тут 俞屮… "瑞曲。тут 俞屮… "

瑞曲。тут 俞屮… "

瑞曲。тут 俞屮… "

получимполучим°0 k—4лС- у ±尼=2°°0 k—4лС- у ±尼=2°Итак, общий вид потенциала скоростей возмущений будетИтак, общий вид потенциала скоростей возмущений будет屮'=2&=2屮'=2&=2〃(е, е)〃(е, е)

получим

получим

°0 k

—4лС- у ±

尼=2°

°0 k

—4лС- у ±

尼=2°

Итак, общий вид потенциала скоростей возмущений будет

Итак, общий вид потенциала скоростей возмущений будет

屮'=2

&=2

屮'=2

&=2

〃(е, е)

〃(е, е)

Используя равенства

da0= Rq sin 0 d0 Je,fdOo = 4nR^

л

de j Yk (6, е) sin 0d0 = O, о

откуда при Ro->8 при ограниченности функций УА(0, е) следует, что С=0.

следовательно, потенциал(p\ а по (3) и величина скорости возмущения У', будут иметь при больших R соответственно порядки

8=。(专)，"(靑)•

После этого уже нетрудно доказать парадокс Даламбера. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера к объему жидкости, заключенному между контрольными поверхностями о и о。，предполагая, что между ними нет источников (стоков)(尸一главный вектор сил давления на тело):

—Р J У%。"о — j Р% do。一 F = О,

так как перенос количества движения через поверхность твердого тела о равен нулю.

При безвихревом характере движения в рассматриваемой области течения справедлива теорема Бернулли

р = const——.

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим

F = -p^Vnydo0+j^n0doQ9

так как поверхностный интеграл J л0^Оо равен нулю.

Разбивая, по предыдущему, скорость потока на основную скорость натекания У«, и скорость возмущения У, будем иметь

замечая, чтозамечая, чтоF = _pPi%dOo — p『WdOo +打|Pg + %P〃血;

замечая, что

замечая, что

，匕° du。= О, J % do。= О, 备备

найдем

施

也+ Р

卜Рос .片)%do°+^j

0000

*/阿.

Но, по только что доказанному, скорость возмущения У7 имеет при больших R。порядок l/Ro* тогда как элемент интегрирования do。一 порядок Ло. Устремляя А。к бесконечности, убедимся, что главный вектор f сил давления потока на тело стремится к нулю. Но 尸 не может зави

сеть от произвольного радиуса R。мысленно проведенной сферы； следовательно, главный вектор F равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом стационарном обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью и отсутствии вокруг те- ла источников либо стоков главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.

Парадокс Даламбера справедлив для тел конечных размеров, ограниченных замкнутой поверхностью. Главный вектор сил давле

ния потока на тело, распространяющееся до бесконечности, например на полутело (рис. 123), зависит от закона возрастания ширины d сечения этого полутела с увеличением расстояния n до бесконечности. Так, сопротивление полутела с поперечным размером сечения, стремящимся к конечной величине при удалении на бесконечность, например у полу те л а, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю.

Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления 9-

§ 74. Уравнение продольного осесимметричного движения.Течение сквозь каналы

Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений является движение, симметричное относительно некоторой оси (например, оси Ох), называемое осесимметричным. Сюда относятся

движения в соплах круглого сечения, в конфузорах и диффузорах, осевое обтекание тел вращения, дирижабельных и других форм.

будем иметь в каждой из меридианных плоскостейбудем иметь в каждой из меридианных плоскостейСоставим общее уравнение продольного осесимметричного движения, происходящего в меридианных плоскостях (рис. 124), образующих с плоскостью хОу угол е, и выберем в них некоторую, не зависящую от угла е систему ортогональных криволинейных координат 夕1,彳2・ Тогда

будем иметь в каждой из меридианных плоскостей

будем иметь в каждой из меридианных плоскостей

厂=厂(内，%), Х=х(^, %)

и вообще для любой точки М

У=Г®, %) COSE, 2 ="内，?2)Sine, x=x(qit 依)；

отсюда по формулам (83) гл. I легко найти коэффициенты Ляме

(器『+(記4(鼾訂F訂， 也=1/缁)4後У+ (誥户W訂4缁厂囤

儿=1/ (普)2+(豈)2+借)2 =Г(九 初

Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет, согласно шестому равенству (84) гл. I, иметь вид

匹件±=0,(45)

此 E dqj dq2 \H2 d% 丿

так как третий член этого равенства, содержащий производную по координате е, в силу принятой симметрии движения обращается в нуль.

Подчеркнем, что уравнение осесимметричного движения (45), составленное в координатах q^ и ^2, не совпадает с уравнением плоского движения в тех же координатах.

Выберем в меридианных плоскостях в качестве криволинейных координат прямоугольные координаты х, г; будем иметь 儿=1, Hr= 1 и, следовательно, уравнение движения приведется к виду

玄標)十^(爵) =。，"6)

соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от е.

Остановимся на решении задачи об осесимметричном протекании несжимаемой жидкости сквозь канал, поверхность которого представляет собой поверхность вращения, причем будем полагать, что вращательное движение жидкости вокруг оси канала отсутствует. Рассмотрим лишь сравнительно простую,《обратную》задачу об определении формы поверхности канала и поля скоростей в канале по заданному закону изменения скорости вдоль оси канала.

Задача эта представляет практический интерес для проектирования формы каналов по заданным их общим габаритам.

Такого рода задачи встают, например, при проектировании конфузоров и диффузоров аэродинамических труб, вентиляционных и других каналов, ограниченных по своим размерам объемом отведенных помещений. Аналогичный метод может быть с успехом применен также при расчете по возможности малых по длине патрубков, соединяющих две цилиндрические трубы разных диаметров, и в других вопросах.

Докажем сначала, что решение уравнения (46), обращающееся в заданную на оси симметрии функцию(р0(х), может быть представлено в виде определенного интеграла

ср (х, г)=丄 f ф0 (х + ir cos з) ds,(47)

где q)o(% + ircos s)—аналитическая функция комплексного переменного t=x + ir cos(о(48)

в некоторой области плоскости /, заключающей внутри себя начало координат /«О1) - Составляя производные лл

祭=上 J(Р； (2) cos со d(o, ^"=——-j 屮；(f) cos2 3 d(o о0

и применяя интегрирование по частям, найдем второе слагаемое в уравнении (46)

у (守)=гу7 + у- = 一 ~ J Фо (0 cos2(оdo)+丄 J 屮；(f) cos① ds = Оо

лл

=—二 J嗝⑴ COs23ds + ；［屮；(f) sin①措受—~ J%(o sin23dco = о0

Л

=—；J嗝⑴ds・ о

Первое слагаемое уравнения (46), равное л

о

отличается от второго только знаком. Таким образом, убеждаемся, что действительно выражение (47) дает интегральное представление решения уравнения (46). Исследуем это решение. Подставляя в правую часть (47) г=0, непосредственно убеждаемся, что функция(p0(^) представляет распределение потенциала скоростей <р(х, г) вдоль оси симметрии движения 0%. Перейдем к скоростям; найдем по формуле (47) л. л

"" = * =丄 J”；""”， "n * = ； j W°ss d①.(49)

о0

При r=0 будем иметь

叭=屮；(%)，% = ?%(» j cossds = 0.

о

Введем в рассмотрение вместо функции 屮o(f) функцию %(f) =<p；(f)・ Вид этой функции зависит от распределения скорости 匕 вдоль оси Ох, так как, по определению,

/0 (%)=40‘(%)=(%)Г。0.

Будем в дальнейшем считать это распределение заданным. Тогда формулы (49) представятся так:

лл

(50)(50)~ро (0 ds,匕=訂 fo ⑴ COs s ds・

(50)

(50)

оо

Введем еще функцию тока “(％, г). По (29) и (50) имеем, учитывая, что осевая координата z в формуле (29) теперь соответствует х, л

筝=Г叭=:门。⑴加

!) Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. IL—М.: физматгиз, 1963, с. 250, 251.

откуда интегрированием по г получим

ir cos о) rf(o;ir cos о) rf(o;(51)(51)г Л中=丄f г drnJ

ir cos о) rf(o;

ir cos о) rf(o;

(51)

(51)

о о

появляющаяся при этом частном интегрировании по г функция координаты х равна нулю, так как ось Ох(г=0) может быть принята в силу симметрии потока за нулевую линию тока (屮=0 при г=0 и любом х).

Полученные выражения (47), (50) и (51) можно рассматривать как решение задачи о безвихревом осесимметричном протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь канал, границей которого служат поверхности вращения

2(%, г) = const,(52)

а закон изменения продольной скорости Vx вдоль оси канала 0% задан функцией %(%). Такого типа решение не позволяет непосредственно находить течение жидкости в канале произвольного заданного наперед профиля 9； можно, однако, проектировать разнообразные каналы и отбирать среди них те, которые наилучшим образом удовлетворяют поставленным условиям, например требуемой степени однородности поля скоростей в данном сечении канала.

С этой целью составим разложение в ряд

fQ(x+ir cos о) =f0(x) +ir cos sf(/(%) +・.・

и подставим его в формулы (50) и (51). Замечая, что

丄 f cos2" co ds = —^^—, 丄 f cos?"】s ds = 0,

几 J22fl.(山)2 冗 J

о、0

получим

(-1)"(-1)"/1=0%(%,「)=£П—1/1=0%(%,「)=£П—122“ (〃!)2(—1 尸 2722“(〃!)222“ (〃!)2(—1 尸 2722“(〃!)2尸瞰(),尸瞰(),F尸(%),F尸(%),(53)(53)

(-1)"

(-1)"

/1=0

%(%,「)=£

П—1

/1=0

%(%,「)=£

П—1

22“ (〃!)2

(—1 尸 27

22“(〃!)2

22“ (〃!)2

(—1 尸 27

22“(〃!)2

尸瞰(),

尸瞰(),

F尸(%),

F尸(%),

(53)

(53)

屮(招Г)=一工肃Г咽е()・n=l / •丿

Пользуясь разложениями (53), можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим)

%(%) = 0,55 + 0,90 j ①(x)dx, Ф(х)=—e0

质(冷厶=押(病卜Erf(±8)= ±l, о

что дает изменение Vx вдоль оси Ох от 0,1 при %=——оо до 1 при х=оо, показанное на рис. 125. Последовательные производные функции f0(х)

определяются очевидным равенством

^+1)(х) = 0,90Ф(п) (х), причем

①⑺(х)=3 士()；*')・

Вспоминая определение полиномов Эрмита ')

儿(х) = (—1)” 々(е 2),

будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции f0 (х):

外з ⑴=(—А 0,90 ^Лх^Нп (х)・

Пользуясь таблицами полиномов Эрмита и производя указанные в системе (53) суммирования, найдем искомые значения продольной и радиальной скоростей, а приравнивая различным константам выражение функции тока, определим возможные формы каналов. На рис. 126 приводятся линии тока и распределения продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку в конфузоре.

Рис. 125Рис. 126

Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно поле скоростей в различных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 126 штриховкой, имеет достаточно хорошую форму; неизбежное повышение скорости у стенок конфузора не вредит делу, так как подтормаживание жидкости из-за вязкости вблизи стенок должно выправить поле.

Осесимметричное продольное обтекание тел вращения

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат: цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения пере-

9 Янке Е., Э м д е Ф., Лёш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы — М.: Наука, 1977, с. 149.

менных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости z=x + iy к вспомогательной плоскости S = 5+tq был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами 自,п вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как функции комплексных переменных, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия.

6)6)Рис. 127Рис. 127

6)

6)

Рис. 127

Рис. 127

Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рис. 127, а) возьмем в меридианных плоскостях г, х эллиптическую систему координат Е, п，связанную с г, х соотношениями

% = с ch & cos % О W & < 8,

г = с sh sin т],0 & т] W 冗,

где величина с представляет собой расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат.

Положим

ch g = X, cosn = N，10 入 V8, —1W 卩&1;

тогда связь между координатами л, х и Л, ц будет иметь вид

х =例屮I, г =с Н?— 1 У1 — |Л2.(54)

Определив производныенайдем коэффициенты Ляме [ (83) гл. 1] 从=1/合『+(卧 /=1/係『+(訂‘ Не = Г = С |/Х2 ——f ]/ 1 —После этого уже нетрудно составить и-c/f 二/，(55)основное дифференциальноеОпределив производныенайдем коэффициенты Ляме [ (83) гл. 1] 从=1/合『+(卧 /=1/係『+(訂‘ Не = Г = С |/Х2 ——f ]/ 1 —После этого уже нетрудно составить и-c/f 二/，(55)основное дифференциальное

Определив производные

найдем коэффициенты Ляме [ (83) гл. 1] 从=1/合『+(卧 /=1/係『+(訂‘ Не = Г = С |/Х2 ——f ]/ 1 —

После этого уже нетрудно составить и

-c/f 二/，(55)

основное дифференциальное

Определив производные

найдем коэффициенты Ляме [ (83) гл. 1] 从=1/合『+(卧 /=1/係『+(訂‘ Не = Г = С |/Х2 ——f ]/ 1 —

После этого уже нетрудно составить и

-c/f 二/，(55)

основное дифференциальное

уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По шестому равенству системы (84) гл I получим

部出一豊卜訊端]=6(56)

Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных А и ц в отдельности

<р=£(%)М(ц);(57)

тогда в уравнении (56) переменные разделятся и из равенства

l(九)以「‘以」 m(卩)dN「如」

в силу независимости А н 卩 будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной л(п+1), где п — целое положительное число, получим для определения L〃)и М(|х) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа

^[(li2)f"] + 〃S+l)L=a

(58)

—炉)+n(n+ 1)М = 0.

即L Ф J

Этим уравнениям удовлетворяют1) два класса независимых решений:

функции Лежандра 1-го рода — полиномы； Лежандра Рп(х), определяемые равенствами

%(*) = 】，匕(%)=招 A(x) = ^(3d—1), Рз(%) = ^(5а-3х),・・•

и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов (n+l)Pn+t(x) = (2n+l) хРп (х) — 〃Рпт (%);

функции Лежандра 2-го рода Qn(x), определяемые равенствами

Q2 (%)=十(3%2 — 1) 1П ^^j — ^" %

Q3(x)=^(5%3_3%)ln^|^2 + *.・・

и рекуррентным соотношением

(n+l)Q„+1 (х) = (2n+l)xQn (х) — n Qn-i (x),

совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.

Представим решение уравнения (56) как сумму двух потенциалов:

1) потенциала 屮8 однородного потока, набегающего на тело со скоростью Ug； этот потенциал по первой из формул (54) равен

фоо =。8% = U 8cA<|1

и 2) потенциала ср' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (57).

Уиттекер Э Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа,- Ч. II.— М.: физматгиз, 1963, с. 109 и след.

Функция РпМ, как полином п-й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(x) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х=±1. В случае внешнего обтекания тела координата A = chg может достигать бесконечных значений, а координата ц ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем по предыдущему (§ 73) должно быть

Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений

Qn(九)рП (а)(几=1, 2,…)； подчеркнем, что отсчет п при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях величины 入， а следовательно, согласно (54), и величины R = y尤2十产，имеющей тот же порядок, что и X:

Q。的=冲注〜…=0g)=。信)，

2九一1" 3入丿3大2 T

Таким образом, будем иметь необходимый порядок убывания(р‘ на бесконечности, если положим

^=^2 AQrt ^)РпМ9(59)

где Лп—постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.

Складывая потенциалы ф»» и ф\ получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной Uв,

9 = cU8 (£ 4Qn (入)P/i (卩)+ 入卩)・(60)

"一唔"一唔Для определения коэффициентов Ап найдем выражение функции тока г|). По формулам (1), (26) и (55) будем иметь или, после подстановки разложения (60),

"一唔

"一唔

~ = 一 с”》(1 — н2) V AnQn —^- +九(1 —附 (九2 - 1) 2 4-^" Pn + 出仇2 - 1). n=l

Переписывая второе равенство в виде

подставим под знак суммы выражение для Рп из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (58)

n (п + 1) dll [“n (п + 1) dll [“Тогда будем иметь生=-С2ao 仇2-1)Тогда будем иметь生=-С2ao 仇2-1)2Л=12Л=14 dQ〃 d n (n + 1) dA dpi4 dQ〃 d n (n + 1) dA dpi［（17）箒］一卩［（17）箒］一卩Рп =

n (п + 1) dll [“

n (п + 1) dll [“

Тогда будем иметь

生=-С2ao 仇2-1)

Тогда будем иметь

生=-С2ao 仇2-1)

2

Л=1

2

Л=1

4 dQ〃 d n (n + 1) dA dpi

4 dQ〃 d n (n + 1) dA dpi

［（17）箒］一卩

［（17）箒］一卩

Интегрируя по ц и добавляя необходимую функцию от X, получим окончательное выражение для функции тока

w=_#几(炉一1)(1一附后11.(61)

2拉(几+D A ^н

Уравнение нулевой поверхности тока будет

£xn(n+l) 4

Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить коэффициенты 43) • В только что цитированной статье определение коэффициентов Лп сведено к решению алгебраической системы уравнений первой степени, что при современном состоянии вычислительной техники представляет простую задачу.

Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по фоо- муле

=言卜住吟Р+j + a 一們位4Q.需+叫.

IJ(63)

Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсоида вращения, меридианное сечение которого имеет урав・ нение Х=Х0. Полагая в уравнении (62) /п = 0 при п>1 и 九=入。，получим

丄Е*一丄2入0 - 1哥一 1丄Е*一丄2入0 - 1哥一 1

丄Е*一丄

2入0 - 1哥一 1

丄Е*一丄

2入0 - 1哥一 1

1 — In -\ 2&0 — 12^—11 — In -\ 2&0 — 12^—1

1 — In -

\ 2&0 — 12^—1

1 — In -

\ 2&0 — 12^—1

Потенциал скоростей будет равен по (60)

(64)

Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида а и bV@, расположенные соответственно по

1) См. Kaplan С. Potential flow about elongated bodies of revolution.— NACA Rep, 1935, № 516

осям Ох и Or. Будем иметь, согласно (54), уравнение эллипса Х=Л0 в виде

С2&-1)С2&-1)=1,=1,*2

С2&-1)

С2&-1)

=1,

=1,

~г +

e2雷

откуда следует

сХ0 = о, с — 7 =匕 или, вводя эксцентриситет e = c/at

Х0 = у, #7^ — 1 = у ・

В этих обозначениях получим

(65)(65)叭儿卩)=一忆7(-j_—J叫卩.

(65)

(65)

' 2e I" 1 — e1 — с?‘

Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что, по определению эллиптических координат, в этом случае будет е->0, cXfR, |ifcos8 при стО, где R и 0 — сферические координаты. Производя разложения (Х>1, eVl)

I"汽 i—^=2(H±+ …)，I"宙=2“#+ ・・・) 九—1]1\ л 3л3/1 — е I 3/

и заменяя е на с/а, убедимся, что ф при с->0 стремится к

08R[1 + X訂]cose，

т. е. к известному уже выражению (38).Проекции скорости на оси эллиптических координат будутт. е. к известному уже выражению (38).Проекции скорости на оси эллиптических координат будут

т. е. к известному уже выражению (38).

Проекции скорости на оси эллиптических координат будут

т. е. к известному уже выражению (38).

Проекции скорости на оси эллиптических координат будут

Полагая здесь Х=%0, убедимся, что на поверхности эллипсоида К=- =0; это и естественно, так как координатные линии (X) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие К = 0 эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством

昨九=-e -- 2昨九=-e -- 2（1 一次）m户1- ё（1 一次）m户1- ё/^5/^5

昨九=-

e -- 2

昨九=-

e -- 2

（1 一次）m户

1- ё

（1 一次）m户

1- ё

/^5

/^5

Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом мож*

но исследовать случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридианного сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридианных плоскостях). В только что цитированных курсах приводится также решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны.

§ 76. Поперечное обтекание тел вращения

Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 127, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом атаки. Изложим решение задачи。по- перечном обтекании тела вращения.

В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, в ортогональной системе криволинейных координат, согласно шестому равенству системы (84) гл. I, имеет вид

上(色里亚］ д /язиi aФ \ d?也即I =0

Сохраняя ту же систему координат (儿 ц, е), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффициентов Ляме (55), перепишем предыдущее уравнение в форме

訂面+总曦］僚"(66)

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух

функций

<p=^(X, ц)£(е);

тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (66) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (々一 произвольное число, которое будем считать положительным и целым) 些+胪Е = 0, 1Г (V — 1) — 1 + — Г (1 — н)—必一—^^0.

厂母J (戸一1)(1一户)

Первое уравнение имеет решение

переменные, может厶=О,переменные, может厶=О,Е=4 cos ^е + В sin 矶

переменные, может

厶=О,

переменные, может

厶=О,

+ +пп(-L J+ +1* 11/(\ /Vг I r-Ld-认 d-ф+ +пп(-L J+ +1* 11/(\ /Vг I r-Ld-认 d-фвторое, если положить N = L(X)M(n) и разделить быть приведено к системе уравнений

+ +пп(-L J+ +1* 11/(\ /Vг I r-Ld-认 d-ф

+ +пп(-L J+ +1* 11/(\ /Vг I r-Ld-认 d-ф

имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра2)

Phm=0 -必产也¥, (^ (九)=(炉一 1产2d绊上.(67)

См., например, К и б е л ь И. А., Кочин Н. Е., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. L—М.: Физматгиз, 1963, с. 365, а также Л а м б Г. Гидродинами- ка_ Я- Гостехиздат, 1947, с. 175181.

Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при Х->оо, получим общее выражение потенциала скоростей)

(p & h)= 2 2 Q^(九)露也)(4/ cos 品 + 8必 sin Ле)十 Кy; n=i л==1

здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности Vs, направленной параллельно оси Оу (рис. 127, б).

Полагая в только что выведенной общей формуле потенциалаAn^cV^Cn, Лп2=Лпз==.. .=0, Вм=Вт=・・ ・=0,

т. е. довольствуясь решением, содержащим cose, н, кроме того, пре&・ ставляя у по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию 展卩 н £：

у = г cos е = с sh g sin т] cos е = с f/X2— 1 j/1 —|х2 cos е, получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V» вдоль оси Оу потока:

<p = cVoocose 2 &Q3仇)Р：(卩)+ 屮8 1/V— 1 Jl —山cose, n=l

или, используя определение присоединенных функций Лежандра (67), 吁也疗口卢千叵以禁祭+ 1卜ose.(68)

Для определения постоянных Сп, как и ранее, следует составить гра・ ничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn = д(р/дп и приравнивать ее нулю.

Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат (X, а) условие того, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):

竺=@

или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,

Отсюда вытекает искомое граничное условие

в котором 入 является заданной функцией 卩 согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридианной плоскости. Составляя частные

производные d(p/dX, d(p/m по (68) будем иметь