ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных механике развития магистральных трещин (механике разрушения) в сплошной среде. Среди них есть и отечественные, и переводные книги. И тем не менее нельзя пока назвать книгу, способную дать начальное представление о современном состоянии предмета механики разрушения с попытками закрепления изложенных положений в виде продуманного набора простых задач, помогающих вникнуть в суть излагаемых вопросов и приобрести некоторые навыки. Именно эту цель преследует настоящая книга.

На протяжении всех девяти глав автор излагает с максимально возможной для «введения» глубиной основные положения и критерии механики разрушения, а также сопутствующие вопросы, отодвигая математические подробности в приложения (помещенные в конце книги) и сопровождая общие положения решенными примерами и набором (в конце глав) соответствующих задач с указаниями к решению и ответами. Автор периодически обращается к одной и той же задаче (поставленной и даже отчасти решенной сразу же в гл. 1), которая и решается почти в каждой главе разными способами, делая наглядными обсуждаемые методы. Таким образом, книга оказывается прекрасным дополнением к существующей специальной монографической литературе.

Вместе с тем нельзя не отметить несколько фрагментарное изложение методов экспериментального определения характеристик трещиностойкости, что пришлось компенсировать ссылками (в подстрочных примечаниях) на соответствующие нормативные документы. Кроме того, авторская библиография дополнена списком переводных и оригинальных работ на русском языке.

Можно надеяться, что данная книга окажется полезной при самостоятельном изучении механики разрушения, а также даст пищу для размышлений специалистам в области динамики и прочности машин, механики твердого деформируемого тела, физики и механики прочности и разрушения материалов и конструкций.

Е. М. Морозов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Две скромные цели и одна особенность структуры книги определили ее облик. Цели книги содержатся в двоякой интерпретации слова «введение» в ее названии. Особенность структуры книги состоит в том, что изложение частного раздела прикладной механики, предназначенное для читателя, не имеющего предварительной подготовки в данной области (которому, однако, некоторые знания по теории упругости и пластичности не помешали бы), сочетается с кратким обзором публикаций. Это находится в некотором противоречии с мнением автора о том, что любой учебник должен представлять собой логически замкнутую единицу, а не каталог ссылок на другие источники. Была избрана форма изложения, при которой вводный материал и обзор имеющихся публикаций размещены на разумном удалении друг от друга — путем вынесения библиографического материала в приложения. Были приложены также определенные усилия к тому, чтобы ограничиться минимумом математических преобразований и обсуждений результатов.

Разрушение металлов составляет физическую основу содержания этой книги, в значительной мере отражающую современное состояние экономики и техники. Отметим, что характерные особенности обычного разрушения металлов относительно легко поддаются систематизации. Совершенно иная ситуация возникает при исследовании таких материалов, как композиты, зачастую содержащие полимерные компоненты, свойства которых зависят от времени. Поведение отдельных компонентов композиции и всей их совокупности не подчиняется, как правило,, обычным закономерностям. Очень небольшое количество работ по исследованию композитов и таких важных для практики материалов, как керамика, горные породы и бетон, цитируется в приложениях к гл. 3 и 8.

Следует отметить также, что макромеханический подход, в основном используемый в данной книге, может быть одним и тем же даже в тех случаях, когда микромеханизмы разрушения совершенно различны. Например, линейная механика разрушения находит непосредственные приложения к керамике в широком диапазоне температур, в то время как концепция, подобная концепции пластической зоны у кончика трещины в металлах, может иметь (хотя и грубые) аналоги при течении или растрескивании полимеров и исследовании зон микроповреждений в горных породах и бетоне. Таким образом, имея в виду даже самые экзотические области применения, полезно

изучить проблему разрушения металлов как вводную к решению других проблем, рассматриваемых в цитируемых публикациях.

Излагаемый материал упорядочен не по уровню сложности, а по характеру задач. Для быстрейшего освоения проблематики книги с минимальными затратами времени на теорию и специальные подготовительные вопросы рекомендуется следующий краткий путь: гл. 1, разд. 2.1—2.6, гл. 3 (исключая разд. 3.3.4 и 3.3.5), разд. 4.1, 4.3—4.6, гл. 6—8 (исключая разд. 8.3.2) и разд. 9.1.

Часть материала данной книги была опубликована автором в Норвегии в 1979 г. Обобщения, пересмотр и модернизация книги были начаты автором весной 1981 г. во время его пребывания в колледже техники и технологии Университета шт. Огайо. Я очень признателен за поддержку, оказанную мне университетом и фондом С. Пауля и В. К. Стокера; я благодарю моих весьма компетентных помощников в подготовке рукописи по обе стороны океана — Линде Стро и Гри-Тови Нильсен. Я весьма обязан также д-ру Е. Фольмо и профессору Н. Райаму, любезно предоставившим мне электромикрофотографии, использованные в гл. 8.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

Реакция твердого тела на очень большую нагрузку проявляется в виде большой его деформации и (или) разрушения. Явление разрушения, т. е. потеря сцепления между частями данного тела,— главный предмет исследований в механике разрушения, который частично связан с изучением микромеханизмов процесса разрушения, частично — с обоснованием критериев разрушения и другими предсказаниями на макроуровне. В последнем случае наибольший интерес возникает к такому параметру, как разрушающая нагрузка.

Сказанное выше подразумевает, что разрушение может происходить внезапно, без «предостережения» в виде больших деформаций. Такая реакция возможна даже в материалах, обладающих высокой пластичностью. Очевидно, что такое поведение нежелательно и иногда может вызывать катастрофические последствия — это обстоятельство послужило движущим мотивом большого количества исследований, проведенных за последние пять десятилетий в механике разрушения. Следовательно, полный анализ с учетом несущей способности должен включать исследование возможности разрушения как без больших деформаций, так и с их учетом. В последнем случае критическая нагрузка может быть предельной по теории пластичности или же нагрузкой, вызывающей потерю устойчивости, определяемых исследованием деформированного состояния неразрушенного тела. И даже в случае, когда в результате такого критического состояния следует разделение тела на части, явное исследование собственно акта разрушения пластичных тел такого типа не является необходимым.

В настоящей книге внимание сосредоточено на исследовании собственно разрушения, которое может достигаться ранее любого состояния глобального коллапса (потери устойчивости или исчерпания несущей способности). Исходная гипотеза заключается в том, что в теле могут существовать места инициирования трещины — надрезы, случайные повреждения, например неровности, возникшие при обработке. Цель исследователя — установить, может ли приложенная нагрузка вызвать рост трещины

в данном месте, и предсказать закономерности ее дальнейшего продвижения.

Основные концепции, используемые при таком подходе, формулируются следующим образом. Зона разрушения представляет собой малую область в окрестности трещины, в которой развивается разрушение в виде неоднородной сдвиговой деформации, роста и слияния пор и разрыва межатомных связей. Очевидно, макроскопическая теория (классическая механика сплошных сред) не способна описать то, что происходит в этой зоне. Альтернативный подход может быть использован для определения формы и размеров зоны разрушения; в последующих рассуждениях поверхность, отделяющую зону разрушения от неразрушенного материала, будем считать поверхностью трещины. Высказанные соображения наталкивают на предположение, являющееся основным в исследованиях, ограниченных рамками механики сплошных сред: толщина зоны разрушения пренебрежимо мала по сравнению с макроскопическими размерами тела и длиной трещины (некоторых аспектов этого допущения мы коснемся ниже). С учетом сказанного формулируемые ниже концепции являются, очевидно, макроскопическими.

Фронт трещины представляет собой линию, соединяющую противоположные берега трещины, взаимное отделение которых может происходить впоследствии. При постепенном разделении тела на части эта линия, перемещаясь, будет описывать геометрическую поверхность, называемую поверхностью разрушения (излома). Очевидно, площадь этой поверхности (накопленная площадь трещины) с ростом трещины будет расти. Возможное ее уменьшение («залечивание» трещины) здесь не рассматривается.

Тип (вид) разрушения представляет собой геометрическую характеристику разрушения. По Ирвину, тип I характеризует симметричное раскрытие, при котором относительные перемещения противоположных берегов перпендикулярны поверхности трещины, в то время как типы II и III характеризуют антисимметричное разделение (тела на части) путем относительных сдвиговых перемещений, соответственно перпендикулярных и параллельных фронту трещины. Типы разрушения показаны на рис. 1.1. В общем случае роста трещины в однородном теле разделение может быть описано при помощи комбинации указанных типов разрушения. Важность различения трех типов разрушения станет ясной из дальнейшего; сейчас можно только заметить, что обычно рост трещины происходит по типу I или близкому к нему. Вероятно, именно этот тип разрушения наиболее соответствует интуитивным представлениям.

Менее строгими характеристиками развивающегося разрушения служат такие широко используемые понятия, как

«вязкое» разрушение, с одной стороны, и «хрупкое» разрушение— с другой. Эти термины можно относить к событиям на микро- или макроуровне — соответствующие концепции в обоих случаях однозначной связи между собой не имеют. В зоне разрушения кристаллического материала под хрупким разрушением обычно подразумевают скол зерен (транскристаллитное разрушение) и (или) разделение вдоль границ зерен (межкристаллитное разрушение), так что зернистая структура на микроуровне проявляется как структура поверхности излома. Поэтому более выразительным в данном случае мог бы быть термин «зеренное разрушение». Локально вязкое разрушение

Рис. 1.1. Три типа деформации трещины: а — тип I; б — тип II; в — тип III. обычно подразумевает рост и слияние пор, возникающих около включений; признаком его может быть волокнистая структура поверхности излома 1}. Вообще говоря, локально вязкое разрушение с образованием обычной волокнистой поверхности требует больших затрат энергии, нежели локально хрупкое разрушение с нормальной зернистой структурой. Глобально под вязким разрушением понимается разрушение, сопровождаемое непрерывным пластическим деформированием (так что части тела после полного разрушения совместить без промежутков друг с другом нельзя), в то время как хрупкое разрушение имеет элемент внезапности, о котором упоминалось выше. Когда глобальный процесс разрушения вязкий, то ясно, что он определяется локальными вязкими процессами, однако полной аналогии здесь нет, поскольку глобально хрупкое разрушение может развиваться даже на фоне локально вязкого процесса, если только геометрия (глубокие трещиновидные надрезы) позволяет накопить энергию, достаточную для разделения тела на части.

1} Термин поверхность разрушения предполагает, что сам излом представляет собой объем (слой) наклепанного (в процессе реализации механизма разрушения) материала, ограниченного с одной стороны вновь образовавшейся свободной поверхностью тела (поверхностью излома). Толщина этого слоя определяется затратами энергии на работу разрушения и локального пласти- ческЬго деформирования. — Прим. ред.

Для правильного понимания опубликованных результатов необходимо всегда помнить об этой двойственности используемых терминов (табл. 1.1). Следует также помнить о том, что существуют промежуточные и нетипичные виды разрушения. Позже мы поговорим также об особых типах трещин, сопровождающих разрушение при усталости.

Далее мы прежде всего исследуем напряженно-деформированное состояние вблизи края трещиновидного разреза или дефекта, называемого также стационарной трещиной, с тем чтобы

Таблица 1.1. Терминология

Уровень разрушения

Вязкое разрушение

Хрупкое разрушение

Локальный

Высокоэнергетическое

Волокнистая поверхность

Низкоэнергетическое

Зернистая поверхность

Глобальный

Большие деформации

Малые деформации

разобраться, какие же параметры существенным образом влияют на достижение критического состояния. Далее мы будем предполагать, что внешние воздействия являются квази- статическими и монотонно возрастающими; после этого будут упомянуты некоторые эффекты динамического нагружения. Под критическим подразумевается состояние, при котором начинается или продолжается рост трещины. Критерий того, является ли данное состояние критическим или нет, может иметь различные формы, зависящие от конкретных условий (материала, вида внешних воздействий, стадии роста трещины, окружающей среды и т. д.) и основных предположений.

Разрушение может развиваться статически (устойчиво, медленно, контролируемо) или динамически; в последнем случае фронт трещины может достигать высоких скоростей, сравнимых со скоростью звука, вследствие чего разрушение может стать полным. В соответствии с этим мы вначале обсудим возможность медленного разрушения при монотонном изменении внешних воздействий; далее будут изучены трещины, возникающие при циклическом нагружении. Отметим, что явление разрушения при усталости не так просто понять, исходя из основных закономерностей механики разрушения, однако следует иметь в виду, что существует большое количество экспериментальных данных, на основе которых могут быть получены полуэмпириче- ские теории.

Последующее обсуждение будет касаться некоторых особенностей экспериментальной механики разрушения как на макро-,

так и на микроуровне. Такие эксперименты представляют собой, разумеется, необходимую основу любых исследований, и к ним следует обращаться всякий раз, когда бы это ни потребовалось. Должное внимание необходимо также уделить аппарату, который дает нам теория упругости и пластичности; нужные нам основные сведения из теории упругости и пластичности отнесены в приложения, с тем чтобы не прерывать основного изложения. Естественным продолжением является обзор

Рис. 1.2. Растяжение полосы с трещиной в результате перемещения опоры, некоторых основных направлений развития и опыта использования прикладной механики разрушения. В приложении 3 дан подробный комментарий, позволяющий продолжить изучение проблемы.

Для иллюстрации возможностей элементарной теории и формулировки некоторых проблем, с которыми придется столкнуться в дальнейшем, мы завершим это введение простым примером, в котором будут рассмотрены основные концепции механики разрушения.

Пример 1.1. Рассмотрим пластинку единичной толщины, верхний и нижний края которой скреплены с жесткими горизонтальными подвижными плоскостями (рис. 1.2). От одного из свободных краев внутрь пластины распространяется горизонтальная трещина. Используем обозначения, приведенные на рис. 1.2, и предположим, что / ^ Н и а ^> Н. Требуется определить, насколько далеко следует сместить горизонтальные плоскости одну от другой (т. е. найти выражение для критического перемещения и), с тем чтобы трещина оказалась распространяющейся. В нашем грубом исследовании мы будем предполагать, что материал над трещиной и под ней свободен от напряжений, в то время как справа от трещины пластина находится под действием постоянного поля напряжений, определяемого деформацией е = и/Н в вертикальном направлении. (Близкие

к такому типу условия вблизи конца трещины подробно будут изучены ниже.) Напряжение, найденное по закону Гука, равно

а = т) Ег = х\Еи[Н.(1.1)

Здесь Е— модуль Юнга; коэффициент т] можно определить через коэффициент Пуассона v и геометрические параметры по одной из формул

Л = 12 ИЛИ П =:гут—.(1.2)

11—v21 (l + v)(l—2v)х 7

Выбор конкретного выражения для ц зависит от того, что именно обращается в нуль — напряжение или деформация в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 1.2. Это соответствует двум предельным случаям — плоскому напряженному состоянию или плоской деформации. В первом случае тело — очень тонкая пластина, во втором — цилиндрическое тело большой протяженности в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа ^ При перемещении опоры пластина с трещиной приобретает следующую энергию упругой деформации:

Ф = -^- (Сила X Перемещение) = у (оа) и = a^u="^^ ■О-3)

Предположим теперь, что трещина с начальной длиной /о начинает расти вплоть до разрушения. Если этот процесс происходит без возникновения кинетической энергии, т. е. квазистатически, то потенциальная энергия постепенно уменьшится до нуля, поскольку части разрушившегося тела, очевидно, свободны от напряжений. На каждой стадии процесса (в случае, когда а0 > а >> Н) величина Ф определяется выражением (1.3). Возникает вопрос: во что превратилась имевшаяся вначале потенциальная энергия Ф? Ответ может быть только один — эта энергия затрачена на образование трещины. Более того, это означает, что работа, выполненная в зоне разрушения, привела к образованию новых поверхностей трещины. В 1920 г. Гриффитс [2] рассмотрел эту работу на микроуровне, предполагая, что она расходуется на преодоление взаимного притяжения атомов. С позиций Гриффитса работа разделения тела на части, отнесенная к единице площади новой поверхности трещины, должна быть константой материала. Обозначив ее через у, мы дополним наши основные концепции следующим положением, высказанным Гриффитсом.

1} Ограничения, при которых найдена постоянная ч, состоят в пренебрежении всеми продольными деформациями, что предопределено условиями сцепления со стенками; вывод этих формул предоставляется читателю.

Анализируя выражение (1.3) для ф, можно видеть (деля Ф на а), что на образование единицы поверхности расходуется потенциальная энергия

(1.4) зачастую называемая трещинодвижущей (расклинивающей) силой. Символ ^ введен Гриффитсом, который утверждал, что эта величина должна быть также равна работе 2у, необходимой для продвижения фронта трещины на единичную длину в критическом состоянии. Множитель 2 здесь возникает из-за того, что поверхность трещины равна удвоенной поверхности разрушения. Из равенства

получаем критическое значение перемещения

“=2V¥- (1-5)

являющееся решением поставленной задачи.

Детально этот вопрос обсуждается ниже; при этом показано, что результат (1.5) носит скорее частный характер в том отношении, что критическое перемещение оказалось не зависящим от длины трещины. Заметим, однако, что далеко не все проблемы, возникающие при исследовании поведения реальных материалов, могут быть решены столь простым способом, как это было сделано выше. Может, например, случиться так, что увеличение перемещения и до значений, превышающих критическое, не вызывает роста трещины, поскольку для страгивания трещины и должно быть больше, чем для увеличения длины движущейся трещины (т. е. существует некоторый начальный барьер). Хорошо известно также, что разрушение большинства материалов происходит не путем хрупкого расклинивания по Гриффитсу: большая часть энергии расходуется на пластическое деформирование вне зоны разрушения. Указанные обстоятельства могут потребовать некоторой модификации предположений Гриффитса или же использования совершенно других критериев в тех случаях, когда требуются приемлемые для практики надежные предсказания возможности разрушения. Приведенный в данном разделе простой пример и соответствующие комментарии предназначались для демонстрации стоящих перед нами задач и вопросов, подлежащих дальнейшему обсуждению.

Глава 2

РАВНОВЕСНЫЕ ТРЕЩИНЫПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Изучим, прежде всего, локальные поля вблизи острого края трещиноподобного надреза или дефекта в теле. Предположим, что внешнее воздействие, определяемое некоторым характерным монотонно растущим усилием или перемещением, является ква- зистатическим, так что динамическими эффектами и разгрузкой (если речь идет о пластическом состоянии) можно пренебречь. После краткого обзора имеющихся решений типичных упругих задач мы сосредоточим внимание на исследовании пластических зон, которые непременно должны возникать в областях интенсивного деформирования. Это исследование основано на применении обычной теории первого порядка, в которой перемещения и их градиенты формально считаются малыми. Будем также предполагать, что исследуемые материалы в рассматриваемой области являются однородными и изотропными, а температура всюду постоянна.

2.1. Решение двумерных задач теории упругости методом разложения в степенные ряды

Обратимся сначала к следующей задаче. Пластина, находящаяся в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, ограничена двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая область представляет собой бесконечный двугранный угол величиной 2а (рис. 2.1). Если внешние объемные силы отсутствуют, уравнения равновесия тождественно удовлетворяются при использовании соотношений

ar = V2X-ore, Tre = --^-(74i)’ <2Л>

где по, Or, Tre—компоненты тензора напряжений в полярной системе координат, х—функция напряжений Эри (см. приложение А). Для пластины из линейноупругого материала функция напряжений Эри должна удовлетворять бигармоническому уравнению

(2.2)(2.2)v2(v2x) = o,

(2.2)

(2.2)

в котором оператор V2 в полярных координатах имеет вид

V ~ dr2 ' г dr ^ г2 d№ 1V ~ dr2 ' г dr ^ г2 d№ 1(2.3)(2.3)

V ~ dr2 ' г dr ^ г2 d№ 1

V ~ dr2 ' г dr ^ г2 d№ 1

(2.3)

(2.3)

В случае приведенных на рис. 2.1 граничных условий

СГд = Тг6 0, 0 = + а.СГд = Тг6 0, 0 = + а.(2.4)(2.4)

СГд = Тг6 0, 0 = + а.

СГд = Тг6 0, 0 = + а.

(2.4)

(2.4)

Следуя Уильямсу [9], предположим, что решение имеет форму произведения

X = ^+if(9).(2.5)

Подстановки выражения (2.5) в уравнение (2.2) и граничные условия (2.4) приводят к уравнениям, позволяющим опреде-

Рис. 2.1. Напряжения в полярной системе координат в окрестности клиновидного надреза.Рис. 2.1. Напряжения в полярной системе координат в окрестности клиновидного надреза.

Рис. 2.1. Напряжения в полярной системе координат в окрестности клиновидного надреза.

Рис. 2.1. Напряжения в полярной системе координат в окрестности клиновидного надреза.

(2.6)(2.7)(2.6)(2.7)+ С4 sin [(Л + 1)9].+ С4 sin [(Л + 1)9].(2.8)(2.8)

(2.6)

(2.7)

(2.6)

(2.7)

+ С4 sin [(Л + 1)9].

+ С4 sin [(Л + 1)9].

(2.8)

(2.8)

лить постоянную X и функцию f:

5г + 2(Л2 + 1)^ + (V - I)2 f = 0;

Общее решение уравнения (2.6), которое необходимо подставить в условия (2.7), имеет вид

f = Cx cos [(Л- 1)9] + С2 sin [(Л — 1)9] + C3cos [(Л + 1)9] +

Подстановка этого выражения в условия (2.7) приводит к однородной системе уравнений для коэффициентов Сь ..., С4. Выражение (2.8) содержит, очевидно, симметричную часть (первое и третье слагаемые) и антисимметричную часть (второе и четвертое слагаемые); этим частям соответствуют следующие

системы уравнений:[cos [(Л — 1) а](Л — 1) sin [(Л — 1) а]Г sin [(Л — 1) а]L (Л - 1) cos [(Z — 1) а]системы уравнений:[cos [(Л — 1) а](Л — 1) sin [(Л — 1) а]Г sin [(Л — 1) а]L (Л - 1) cos [(Z — 1) а]cos [(Л+1) а] "|Г Ci1Г01

системы уравнений:

[cos [(Л — 1) а]

(Л — 1) sin [(Л — 1) а]

Г sin [(Л — 1) а]

L (Л - 1) cos [(Z — 1) а]

системы уравнений:

[cos [(Л — 1) а]

(Л — 1) sin [(Л — 1) а]

Г sin [(Л — 1) а]

L (Л - 1) cos [(Z — 1) а]

(Л+ 1) sin [(Л+ 1)а] jL С3J =L ОJ;

sin [(Л + 1) а] 1Г С21Г0"

(Л+ 1) cos [(Л + 1)а] JL С4JI0_'

(2.9)

Нетривиальное решение этих уравнений существует лишь при условии равенства нулю детерминантов, что приводит к характеристическим уравнениям для собственного значения X:

X sin 2а + sin 2Za = 0; — X sin 2а + sin 2Ла = 0. (2.10)

Для того чтобы двугранный угол моделировал трещину, устремим величину а к л; тогда оба уравнения (2.10) совпадают и имеют вид

(2.11)(2.11)sin 2лЛ = 0.

(2.11)

(2.11)

Действительные корни уравнения (2.11) равны а=4п’

(2.12)(2.12)где п— целое число. Ниже показано, что для п^0 решение имеет недопустимую особенность. Для всех остальных собственных значений Х = -~пэ п = 1, 2, 3, ..., из (2.9) получается некоторое соотношение между постоянными СХп и С^п или С2п и С,п.

(2.12)

(2.12)

—n=V 3, 5, .

С3„ = -С1Й, С4й = --^|С2„, п = 2, 4, 6 (2.13)

и для решения имеем следующее выражение:

Х =£rl+«/2|cin(C0S2L^6__^C0S2L^^^

п-1, 3 ...

+ С2п (sin ^-0 - sin -^е)] +

+£ ri+n/2[Cin(cosJ^2_e_cos2L±2.e^ +

п = 2, 4, ...

+ М5|п2^6~ттг5‘"т-0)]- <2-14>

в котором слагаемые, содержащие коэффициенты Си, соответствуют симметричной деформации трещины (тип I), С^п соот-

ветствуют антисимметричной деформации (тип II) по отношению к лучу 0 = 0.

Напряжения получаем подстановкой выражения (2.14) в формулы (2.1). Ниже приведены напряжения, соответствующие значению n= 1, которые имеют особенность вида г-1/2 в точке

Рис. 2.2. Перемещения в полярной системе координат в окрестности клиновидного надреза.

г = 0 и, следовательно, становятся преобладающими в окрестности вершины трещины

тип I:

Си 1Z9 Г К 030 \ |

Or = — Г"*72 (5 cos — C0S — J + • • •,

a0=%r-1/2(3cos-|- + coS^-)+ ....(2.15)

Си по / • 9 । • зе \ .

Tre = —r~1/2(sm у + sin — ) +

тип II:

ff^-^r-1/2^—5sin-| + 3sin-у-) + .

ae = -^-r-1/2(-3sin|-3sin -^-)+(2.16)

С211/9 / О I Q 30 \ |

Tr6 = —^(cOS^ + ScOS—) + .

Зависимость от угла 0, соответствующая решению (2.15)^ показана на рис. 2.26, а.

После нахождения напряжений радиальное перемещение иг (рис. 2.2) и окружное перемещение ив определяются путем интегрирования кинематических зависимостей (см. приложение А):

Мл-у-. (2.17)Мл-у-. (2.17)дигur t 1 ди^1 диг ( ди^

Мл

-у-. (2.17)

Мл

-у-. (2.17)

ев = ~ + 7 77Г' Yre = 7 59 + "77

деформации в которых вычисляются через напряжения по закону Гука:

&r = or — vo-6, 5е6 = о6 — ™п GVre = y(y:yyj- Yre = ^е, 2Ger = (1 —^ar — vo0, 2Gee = (1 — v) о6 — vo,, (2.18)

^Yre = Tre*

Первая группа формул соответствует плоскому напряженному состоянию, вторая — плоской деформации. Указанные преобразования приводят к следующим выражениям:

тип I:

«г = -т5-г1/2Г(2х— 1)cos-| — cos^"1 +

Г ГА ЧА 1(2*19)

“e = ^5-r1/2[—(2x + l)siny+ sin^-J + .

тип II:

Ur = ^- r^2 [— (2x — 1) sin -|- + 3 sin ^-] + ..., с го30 i(2'2°)

ue = ^-r'/2[—(2x + l)cosy + 3cos y~] + .

в которых

z 3 —v

I -утуу Для плоского напряженного состояния,

I 3 — 4v для плоской деформации.

На найденное решение можно наложить добавочное перемещение тела как целого.

Структура выражений для перемещений иг и ио указывает на то, что любому корню X < 0 будет соответствовать бесконечное перемещение в точке г = 0, поскольку для таких корней множитель г1/2 в выражениях (2.19), (2.20) будет заменен на г\ Следовательно, данный вариант мы отбрасываем; рассмотрим случай X = 0. Для этого корня напряжения и деформации имеют вид

ац = г-1 X (функция 0), ez/ = г-1 X (функция 0), и, следовательно, плотность энергии деформации ф (см. приложение А) равна

Ф = г-2 X (функция 6).

Таким образом, полная энергия в любом круге r<R, содержащем фронт трещины, будет неограниченной, т. е.

2Л R

Ф=^^rdrdQ—> оо при г0—>0,

0 Го

что физически невозможно. По этим соображениям все корни X ^ 0 должны быть исключены из рассмотрения.

Далее мы исследуем следующую ситуацию. Пусть тело ограничено двумя пересекающимися плоскостями и представляет собой бесконечный двугранный угол величиной 2а. Предполагается, что напряженно-деформированное состояние не зависит от координаты х3 = 2, отсчитываемой вдоль линии пересечения

Рис. 2.3. Компоненты напряжений в антиплоской задаче.

плоскостей, и является антиплоским; последнее по определению означает, что их = и^ = ом = о22 =о33 = 0*12 = 0. Ненулевые компоненты oi3 = o3i и о23 = о32 тензора напряжений можно заменить компонентами хГ2 и то2 в цилиндрической системе координат (рис. 2.3). Ненулевая компонента перемещений равна ^3 = и2. Описываемое состояние может приближенно реализоваться, например, при кручении вблизи мелких круговых надрезов или концентратора типа приведенного на рис. 2.4 Ч

Закон Гука и кинематические соотношения приводят к выражениям

Trz = GY^ = G^-, re2 = GYe2 = 4^’<2-21>

подстановка которых в уравнение равновесия (см. приложение А)

приводит к уравнению Лапласа для перемещения и2 (см. формулу (2.3))

V4 = 0.(2.23)

!) Как вытекает, в частности, из гипотезы Сен-Венана, в случае, представленном на рис. 2.4, б, существуют перемещения и в плоскости поперечного сечения. Нетрудно показать, что влияние этих перемещений на исследуемое здесь решение пренебрежимо мало

Это уравнение необходимо в соответствии с рис. 2.3 дополнить краевыми условиями

т0г = 0 = ^~ при 0 = ±а.(2.24)

Предполагается, что решение имеет форму произведения ^ = ^(8),(2.25)

подстановка которого в уравнение (2.23) и граничное условие

приводит к следующим уравнениям для параметра о>

Рис. 2 4. Тип III деформации трещины в образце при кручении.Рис. 2 4. Тип III деформации трещины в образце при кручении.

Рис. 2 4. Тип III деформации трещины в образце при кручении.

Рис. 2 4. Тип III деформации трещины в образце при кручении.

и функции g:

5г + ®2£ = 0,(2.26)

-^ = 0, е = ±а.(2.27)

Так как нас интересует только антисимметричное (по отношению к лучу 0 = 0) перемещение, то ясно, что решение уравнения (2.26) имеет вид

g = D sin (соО),(2.28)

где D — постоянная. Подстановка данного решения в уравнение (2.27) приводит к характеристическому уравнению для параметра со:

cos(aco) = 0.(2.29)

Устремляя угол а к значению л, с тем чтобы смоделировать трещину, получим следующий набор собственных значений:

^ = хкп> п=\, 3, 5, ...,(2.30)

соответствующих рассматриваемому виду деформации, который мы назовем деформацией трещины типа III. Каждому собственному значению отвечает своя постоянная Dn в выражении (2.28), и с учетом выражений (2.25) и (2.21) получаем окончательные формулы для перемещений и напряжений

«z = Z)ir1/2sin-| + .... rr2 = -|-Z)1r-1/2sin-|-+ • ••,Gе(2.51)

Т6г = -^-£>^-*/2 008 4+ •

где выписаны лишь слагаемые, преобладающие в окрестности вершины трещины.

Рис. 2.5. Напряжения и перемещения в декартовой системе координат в окрестности вершины трещины.

Особый интерес представляют напряжения, раскрывающие трещину, и перемещения на поверхности трещины. Введем прежде всего замену постоянных по формулам

Сн^^, С21 = -^. DV^J1 (2.32)

и выпишем доминирующие (в окрестности вершины трещины) слагаемые в решениях (рис. 2.5) 1}:

!) Эти сингулярности получены в рамках теории малых деформаций первого порядка и не имеют под собой физической основы; они представляют собой лишь следствие используемого математического аппарата, и их существование указывает, в сущности, только на то, что градиенты перемещений вбли-

тип I, *2 = 0:

сг22 = <т6 (6 = 0) = —^= = аг(е = 0) = а11 при х^О, V2nxi

и* = — U6 (6 = ± л) = ± кхпри ^1<0, (2.33)

тип II, х2 = 0:

"21 = ^0(6 = 0) = —^=- при Х^О,Л/^КХх

и^ = — иДй=±^ = ^^^-Кил]^- при х^О;

тип III, х2 = 0:

^23 = Тег (6 = 0)~^-' при Х,>0,

У2ЛХ1

и3± = «г(б=±л) = + -^^ л]^- при *i<°;

jдля плоского напряженного состояния,

I 3 — 4v для плоской деформации.

Три скалярных коэффициента Кь /Си, /Сш представляют собой количественную меру особенностей и называются коэффициентами интенсивности напряжений. Эти коэффициенты исчерпывающим образом характеризуют упругие поля вблизи вершины трещины, поскольку в остальной области распределение напряжений и деформаций полностью определено. Действительно, можно показать, что даже при наличии объемных силовых воздействий и при нагружении поверхности трещины поверхностными нагрузками конечной интенсивности решение, вблизи вершины трещины будет иметь ту же структуру.

Двумерные «и трехмерные задачи теории упругости: аналитические и численные решения

Типичная особенность поля напряжений на любом участке произвольно искривленного фронта трещины состоит в том, что

зи вершины трещины следует считать большими. Включив последнее положение в теорию, можно получить более точное описание полей вблизи вершины трещины, при котором значения напряжений конечны, хотя и велики. В действительности вблизи вершины трещины развивается пластическое течение, наличие которого обесценивает результаты уточняемой таким способом теории: (ограниченной гипотезами об упругости материала).

существует три возможных типа сингулярностей: первый тип соответствует перемещениям, перпендикулярным поверхности трещины; второй — касательным; третий тип — в направлении, перпендикулярном первым двум1}. Локально эти особенности отвечают трем типам, о которых говорилось выше. Структура их оказывается такой же, как и ранее; это означает, что кривизна фронта трещины влияет лишь на коэффициенты интенсивности, так же как и геометрия тела и нагружение бесконечно удаленных границ.

Следовательно, выводы разд. 2.1 относительно поведения решения, доминирующего в окрестности вершины трещины,— как в плоской задаче, так и в пространственной — имеют общий характер. Естественно теперь предположить (об этом мы будем говорить позже), что построенные выражения представляют собой как раз ту часть поля напряжений, зная которую можно сказать, является ли данное состояние тела (включающего в основном упругий материал) критическим. Таким образом, если задана конкретная геометрия и заданы конкретные внешние воздействия, остается решить задачу об определении коэффициентов интенсивности Кь Кт Кт-

Один из возможных способов ее решения основан на прямом разложении решений в степенные ряды, как это сделано в разд. 2.1. Отметим, что граничные условия на поверхности трещины при этом удовлетворяются; остается, следовательно, учесть условия на бесконечно удаленных границах. Оставляя в разложениях требуемое количество слагаемых и фиксируя подходящий способ аппроксимации (с использованием коллокации, минимизации невязки и т. п.), получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов С\п, С^п, Dn (n = 1, 2, 3, ...), куда входят в соответствии с выражениями (2.32) коэффициенты интенсивности К;— Кт. Результаты такого исследования (в прямом и модифицированном вариантах) представлены в задачах 5, 6, 9 и 10 приложения В.

Точных решений в аналитической форме существует немного, и относятся они к трещинам в телах бесконечной протяженности (на практике—к малым трещинам в телах конечных размеров). Эти решения построены методами теории функций комплексного переменного, развитыми в работах Н. И. Мусхели- швили [17] и Вестергарда [18] (см. приложение Б). В более поздних работах Исиды [22—24] и других авторов использованы конформные отображения, что позволило рассмотреть тела конечных размеров. Отметим, что в этих исследованиях коэф-

!) Это можно показать, полагая, что поверхность трещины локально совпадает с плоскостями, касающимися фронта трещины, и что материал в основном изотропен.

фициенты интенсивности явно не фигурируют, однако их нетрудно получить; некоторые типичные результаты таких вычислений воспроизведены в задачах 11, 14—19 приложения В.

Определить коэффициенты интенсивности Ki— Km вдоль всей длины произвольной искривленной трещины практически невозможно, однако некоторые результаты для типичных точек и простейших геометрий все же имеются. В частности, в задачах 1, 2 приложения В мы приводим классические решения Ирвина [10], основанные на более ранних работах Грина и Снеддона [11, 12] и относящиеся к исследованию внутренней и краевой эллиптических трещин.

Отметим, что результаты приложения В остаются в силе и в тех случаях, когда параллельно плоскости трещины прикладываются равномерно распределенные сжимающие или растягивающие усилия. Никакое другое ограниченное поле напряжений, накладываемое на данное, не оказывает влияния на коэффициенты интенсивности. В частности, в качестве такого поля можно выбрать равномерно распределенное давление Ооо, перпендикулярное поверхности трещины. Это обстоятельство объясняет, почему решения, подобные решениям (В.1) — (В.5), (В.7), (В.7), сохраняются для соответствующих геометрических конфигураций и тогда, когда нагрузка Ооо в удаленных точках заменяется сжимающими усилиями на поверхности трещины.

Среди численных методов определения коэффициентов интенсивности напряжений кроме методов, основанных на использовании степенных рядов, особо следует отметить метод конечных элементов. В этом методе тело представляется объединением так называемых конечных элементов, а решение получают интерполяцией значений основных неизвестных в узлах, таких, как перемещения узловых точек, общих для смежных элементов.

При исследовании данной проблемы заслуживают внимания две группы методов: 1) методы с использованием сингулярных элементов, в которые преднамеренно включены типичные особенности решения; 2) энергетические методы, где применяются соотношения (которые еще следует установить) между уменьшением потенциальной энергии — типа величины 9, о которой шла речь во вводном примере, — и коэффициентами интенсивности напряжений. Методы второй группы можно назвать также методами податливости; их использование даже позволяет иногда построить простые проверяемые в экспериментах аналитические решения — об этом будет сказано позже.

Существует группа методов, в которых для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений через известные их значения для других нагрузок на то же тело используется теорема взаимности Бетти. И наконец, следует отметить, что в по-

следнее время все шире применяются методы граничных интегральных уравнений.

Таким образом, существует большое количество подходов к проблеме и большое количество методов ее решения. Тем из читателей, кто пожелает изучить все это более подробно, целесообразно начинать с ознакомления с комментариями литературы. Такая информация потребуется в случае, когда стоящая перед читателем задача не имеет опубликованного решения.

И в заключение следует отметить, что формулы (В.З), (В.4), (В.7) и (В.8) могут быть получены путем интерполяции решений для мелкого и очень глубокого надрезов; различие решений для этих двух случаев не превышает +2 %.

Качественная характеристика пластического течения вблизи вершины трещины

В природе не существует материалов, которые выдерживали бы любые большие напряжения, получающиеся на основании гипотез теории упругости. Поэтому вблизи вершины трещины материал непременно должен переходить в пластическое состояние. В оставшейся части данной главы мы рассмотрим различные аспекты этого явления как с позиций его внутренней структуры, так и протяженности в пространстве. Вначале, конечно, необходимо будет основательно разобраться в качественной картине пластического течения в окрестности трещин первого типа. Схематическое изображение формы пластической зоны для случаев, когда толщина пластины мала или же, наоборот, велика, приведено на рис. 2.6.

Если толщина пластины t велика, то можно выделить внутреннюю подобласть пластической зоны, в которой приближенно реализуется состояние плоской деформации (е33 ^ 0), а развитие пластического течения будет частично сдерживаться кинематическими ограничениями — окружающим упругим материалом. Во внешней подобласти сказывается близость свободной поверхности (о33 « 0), и поэтому существует большая свобода для развития пластического течения. С увеличением t относительное влияние внешней подобласти будет уменьшаться (если иметь в виду, например, сопротивляемость разрушению). Из общих соображений ясно, что пластическая деформация должна быть связана с относительным движением вдоль криволинейных поверхностей, параллельных фронту трещины. Эта ситуация и соответствующая приближенная форма зоны пластического течения изображены на рис. 2.6, а (пластический шарнир). В целом такое движение соответствует указанному на рисунке раскрытию трещины.

В противном случае, когда толщина t очень мала, условие азз ^ 0 приближенно реализуется по всей толщине пластины. Поскольку следует ожидать, что О22^оги>0, то отсюда вытекает (при использовании критерия текучести Треска формулируемый ниже результат является точным!), что пластическое течение будет происходить в основном путем накопления сдвиговых деформаций в плоскостях, параллельных оси %i и образующих угол 45° с плоскостью пластины. По этой причине

а5

Рис. 2.6. Зоны пластического течения вблизи фронта сквозной трещины в пластине: а — толстая пластина; б — тонкая пластина.

высота пластической зоны приближенно равна толщине пластины. Если трещина раскрывается, то результатом такого движения будет образование шейки вблизи фронта трещины.

Аппроксимация по Ирвину размеров зоны пластического течения

Обзор данного подхода естественно начать с введенных Ирвином [93] аппроксимаций и элементарного вывода формул для длины зоны пластического течения в направлении трещины. Прежде всего следует заметить, что пластическое течение должно привести к срезанию особенности распределения напряжений упругости вблизи кончика трещины. Для деформации типа I трещины в пластине из упругопластического материала это означает, что более близкие к действительности распределения напряжений должны изображаться кривыми 2 и 3 (рис. 2.7), а не кривой 7, соответствующей упругому случаю. Величина от на этом рисунке — предел текучести при одноосном растяжении^ к — множитель, о котором будет сказано ниже.

Из условия равновесия в направлении оси х2 следует, что кривая 2 должна располагаться правее кривой 1. Предположим, что кривая 2 получается из кривой 1 путем чистого переноса

Г1 г2Г1 г2Рис. 2.7 Упругое (кривая /) и гипотетическое упругопластическое распределение напряжений (кривые 2 и 3) вблизи фронта трещины.Рис. 2.7 Упругое (кривая /) и гипотетическое упругопластическое распределение напряжений (кривые 2 и 3) вблизи фронта трещины.

Г1 г2

Г1 г2

Рис. 2.7 Упругое (кривая /) и гипотетическое упругопластическое распределение напряжений (кривые 2 и 3) вблизи фронта трещины.

Рис. 2.7 Упругое (кривая /) и гипотетическое упругопластическое распределение напряжений (кривые 2 и 3) вблизи фронта трещины.

на расстояние г2 и что кривую 1 можно аппроксимировать первым сингулярным членом разложения решения в степенной ряд. Сохранение равновесия выражается следующим равенством:

\^2тсхх\^2тсххкст ) dxx = 6aTr2,кст ) dxx = 6aTr2,(2.34)(2.34)

\^2тсхх

\^2тсхх

кст ) dxx = 6aTr2,

кст ) dxx = 6aTr2,

(2.34)

(2.34)

в котором rx — расстояние от кончика трещины до точки пересечения кривых / и 2, определяемое по формуле

(2.35)(2.35)Ki ,1 / Ki у

(2.35)

(2.35)

Ь -• = коТ1 или г, =—II

У2лГ12л \кат/

Подставляя это выражение в равенство (2.34), получаем окончательно

г2 = гь(2.36)

Из неравенств о^^оц^О вытекает, что условие текучести Треска для плоского напряженного состояния (озз = 0) имеет вид

^22 = ^т, (2.37)

так что 6=1, что характерно для очень тонкой пластины. Если же речь идет о плоской деформации, то в аналогичной ситуации должно возникать напряжение озз > 0, и из условия

текучести следует, что о22 > от. Ирвин предположил, что в данном случае_

k = V3,(2.38)

и обосновал это предположение экспериментальными измерениями длины зоны пластического течения, которая в толстых пластинах значительно меньше. Таким образом, полную длину

Рис. 2.8. Упругое и упругопластическое распределения напряжений для трещины типа III.

с = П + г2 пластической зоны предполагается вычислять по формуле

—для тонких пластин,(2.39)

Л \ От /

для толстых пластин.(2.40)

ОЛ \ От /

Точно такие же рассуждения можно применить и к анализу трещин типа III, заменив при этом напряжение 022 касательным напряжением о23, а величину кот пределом текучести материала на сдвиг тт (рис. 2.8). В результате мы придем к следующей оценке длины пластической зоны в направлении трещины:

с = 2г1 = 2г2=АГ-^Ш-у.(2.41)

Эти результаты, как уже отмечалось, мы сравним впоследствии с точными решениями 1). Следует подчеркнуть, что цель подхода Ирвина состояла только в том, чтобы учесть пластиче-

!) Точными мы называем решения, полученные с использованием асимптотических состояний и некоторых феноменологических допущений. В этой связи укажем здесь, что в таком смысле формула (2.41) оказывается точной.

ское течение, локализованное в очень малой зоне вблизи вершины трещины. Как уже отмечалось, причина данного ограничения состоит в том, что рассуждения Ирвина справедливы лишь в области, в которой особенность упругого решения является преобладающей. Пластическое течение такого типа можно назвать маломасштабным.

Модель Дагдейла

Используя так называемую модель Дагдейла [94], рассмотрим пластическое течение для деформации типа I трещины в тонкой пластине из упруго-идеальнопластического материала. Таким образом, часть результатов Ирвина, о которых речь шла выше, мы получим заново, и тем самым будет дано подтверждение их достоверности, поскольку для критерия текучести Треска найденные здесь результаты будут точными. Предположим прежде всего, что нагрузки симметричны относительно оси, нормальной линии трещины в ее середине, а также относительно самой трещины; в остальном нагрузки произвольны.

Как уже указывалось (со ссылкой на рис. 2.6,6), высота пластической зоны не превосходит толщины пластины, если только пластина тонкая и используется условие текучести Треска. Для того чтобы извлечь все следствия из гипотезы о том, что напряженное состояние в точности плоское (озз = 0), необходимо мысленно перейти к бесконечно тонкой пластине и рассматривать пластическую зону как полоску нулевой толщины, исходящую из вершины трещины. Таким образом, необходимо изучить напряженно-деформированное состояние чисто упругой полуплоскости х2 > 0, нагруженной усилием о22 = сгт вдоль полоски, отвечающей зоне пластического течения.

Длину этой полоски можно определить следующим образом (рис. 2.9, а). Пусть напряжение о22 = 0 вдоль всего отрезка |xj < / + с, х2 = 0; тогда внешние воздействия на пластинку будут порождать положительную особенность Кп в точке |^i| = = 1^-с (предполагается, что внешние воздействия раскрывают трещину). Если теперь к нагрузке добавить давление о22 = от, равномерно распределенное на отрезке I < | Xi | < I + с, а к имеющейся особенности интенсивностью Ки одновременно добавить появившуюся отрицательную особенность /<12, то тем самым описание рис. 2.9,6 будет закончено. Манипулируя величинами нагрузок, распределенных по линии трещины, как показано на рис. 2.9,6, и используя решение задачи 17 приложения В, приходим к формуле

^12 = — ат VM/ + c) + 2от д/-^-^ arcsin 7^7-- (2.42)

5

Рис. 2.9. Модель Дагдейла; наборами стрелок схематически представлены внешние силовые воздействия.

(2.43)(2.43)Заметим, однако, что на краю зоны пластического течения не может существовать особенность напряженного состояния, отличного от шарового. Следовательно, должно иметь место условие

(2.43)

(2.43)

Кп + ЛЪ == О,

в которое входит длина зоны пластического течения с. Таким образом, получается одно уравнение относительно единственной

Рис. 2.10. Зона пластическоготечения при условии текучестиТреска и раскрытие 6 в тонкойпластине.

неизвестной с, что решает поставленную задачу. В частном случае, когда, скажем, Кн = o^-Vn^l + с) (что вытекает из решения задачи 3 приложения В при l/b-^О), явное решение полученного уравнения имеет вид

При уменьшении отношения с/1 величина Ки приближается к значению 7<i, соответствующему трещине полудлиной / при заданной нагрузке. Используя одновременно соотношения (2.42) и (2.43), записанные для общего случая, или более част-

Рис. 2.11. Длина зоны пластического течения с и раскрытие 6 (а) в тонкой пластине с небольшой внутренней трещинойРис. 2.11. Длина зоны пластического течения с и раскрытие 6 (а) в тонкой пластине с небольшой внутренней трещиной

Рис. 2.11. Длина зоны пластического течения с и раскрытие 6 (а) в тонкой пластине с небольшой внутренней трещиной

Рис. 2.11. Длина зоны пластического течения с и раскрытие 6 (а) в тонкой пластине с небольшой внутренней трещиной

ное соотношение (2.44), можно получить предельное значение

То обстоятельство, что длина трещины не входит явно в полученное выражение, свидетельствует о настолько сильной локализации пластического течения, что оно, как и в теории Ирвина, управляется только коэффициентом интенсивности /Сь т. е. сингулярностью упругого решения. Таким образом^ мы имеем асимптотически точный результат, который можно сравнивать с решением (2.39): получающиеся значения на 20 % превышают оценку Ирвина.

Обращаясь к исследованию модельной задачи — упругой полуплоскости (рис. 2.9,а), устанавливаем, что в точках Xi =+/, ^2 = 0 может возникать ненулевое перемещение и^ > 0. Физически этот результат можно интерпретировать как образование шейки впереди трещины (рис. 2.6,6). Удвоенное значение 6 на рис. 2.10 представляет собой скачок смещений вблизи вершины трещины вследствие ее раскрытия.

Из результатов, установленных в приложении Б, следует формула

d=-^ln('cos-^V, (2.46)л£ \ 2ат / v

справедливая при тех же ограничениях, что и решение (2.44) (рис. 2.11,6). При уменьшении величины Ооо/от (и, следовательно, уменьшении с//) выражение (2.46) будет стремиться к отношению

Ь = Ку(Еоту (2.47) откуда снова следует общий вывод о том, что пластическое течение в столь малом масштабе определяется единственным внешним параметром Kv Графическая иллюстрация решений (2.44) — (2.47) приведена на рис. 2.11.

/-интеграл и его связь с раскрытием трещины 6

Обратимся снова к рассмотрению двумерных состояний (6/дх3 = 0). Определим в соответствии с формулировками, введенными в работах [99—102], /-интеграл как интеграл вдоль кривой Г, идущей от одного берега трещины к другому:

J = (w dx2 — Pi -^- ds),(2.48)

Г1

е

где w=^oijdeih ц /=1, 2, 3,о

обозначает работу деформирования единицы объема, s— длина дуги, pt — усилия, действующие на тело, ограниченное кривой Г и поверхностью трещины ^ Как показано в приложении Г, интеграл от выражения в скобках в определении (2.48) по границе любой односвязной области будет равен нулю, если w зависит

IIРис. 2 12. Путь интегрирования при вычислении /-интеграла.Рис. 2 12. Путь интегрирования при вычислении /-интеграла.только от ец, а внутри области нет никаких особенно-

I

I

Рис. 2 12. Путь интегрирования при вычислении /-интеграла.

Рис. 2 12. Путь интегрирования при вычислении /-интеграла.

стей решения. Здесь не рассматриваются массовые силы, а также динамические эффекты, связанные с учетом ускорения и возникновением кинетической энергии.

Рассмотрим теперь замкнутый контур (рис. 2.12), состоящий из кривых Г и Г', окружающих кончик трещины, и двух прямолинейных отрезков х2 = const, со

чточтовпадающих с границей трещины. Если предположить, что трещина между кривыми Г и Г' не нагружена, то интеграл по прямолинейным отрезкам будет равен нулю, поскольку здесь pi = 0 и dx2 = 0. Отсюда вытекает,

что

что

/(Г)-/(Г) = 0

при условии, что w = w(e-i3^ во всей области между кривыми Г и Г'. Это равенство приводит к важному выводу о том, что /-интеграл не зависит от выбора пути интегрирования при условии, что все сформулированные выше ограничения выполнены.

В простейшем случае чисто упругого (гиперупругого) поведения, когда w совпадает с плотностью энергии деформации ф (см. приложение А), данное утверждение выполняется. Оно может выполняться даже для упругопластического материала при условии, что процессы деформирования во всех точках внутри выделенной области являются простыми. Последнее означает, что компоненты тензора деформаций (и напряжений) монотонно растут, причем их отношение в каждой точке материала остается неизменным, что в точности, конечно, нереально, однако иногда такая ситуация реализуется приближенно в теле с трещиной до ее страгивания. Независимость от пути (хотя бы приближенная) представляет собой наиболее важное свойство /-интеграла; ее можно связать также с некоторыми физиче-

1} Повторяющиеся индексы означают суммирование по соответствующему множеству значений

скими особенностями исследуемых процессов. Из инвариантности следует, что: 1) /-интеграл может служить типичной скалярной мерой степени деформации вблизи кончика трещины, поскольку его значение сохраняется для произвольно близкого к кончику трещины контура Г; 2) /-интеграл можно вычислять по контуру, выбранному таким образом, чтобы вычисления при этом свелись к минимуму.

Пример, иллюстрирующий свойства 1 и 2, может быть построен с использованием модели Дагдейла. Для этого 6, показанное на рис. 2.10, выразим через /-интеграл. Поскольку в упругом режиме путь интегрирования можно выбирать произвольно, возьмем в качестве кривой Г границу полоски пластического течения — на нижней стороне от точки Xi = / до точки xi = / + с и вдоль верхней стороны до точки Xi = /. Поскольку здесь d%2 = 0, 022 = От И 021 = 0, то

1+с д

°т"^;(и2 -U2^dXV=\aTd(.U2 -Ч)> (2-49) а О

где и^ ^и~^ — перемещения точек верхней (нижней) стороны трещины. Из найденного выражения следует равенство

/ = от6, (2.50)

которое показывает, что значения /-интеграла и раскрытия 6 для тонкой пластины из идеальнопластического материала, подчиняющегося условию текучести Треска, связаны одной материальной константой.

Для маломасштабного пластического течения имеет место формула (2.47), подставляя которую в выражение (2.50), найдем зависимость

1 = КХ]Е, (2.51)

реализующуюся для трещины типа I при плоском напряженном состоянии и представляющую собой важный частный случай общего утверждения о том, что значения /-интеграла выражаются через коэффициенты интенсивности напряжений (этот результат установлен ниже). Для непосредственного вывода формулы (2.51) можно было бы подставить упругие решения (2.15), (2.19) и (2.32) в определение (2.48), после чего для исключения несингулярных составляющих решения стянуть контур Г к кончику трещины.

В разд. 2.8 будет установлена оценка 6 « 0,6/<^^^ которая имеет место для плоской деформации (толстой пластины) в предположении, что материал является идеальнопластическим, а пластическое течение—маломасштабным. Полагая

J ^Кл/Е (ср. с выражением (2.51) для плоского напряженного состояния), в рассматриваемом случае имеем оценку

I ~ 1,6атд.(2.52)

Отметим, что существуют аргументы в пользу утверждения о том, что оценка (2.52) сохраняется и для более часто встречающегося случая плоской деформации, — об этом мы поговорим позже.

Дальнейшее исследование упругопластического состояния для деформации трещины типа III

Анализ антиплоских состояний, соответствующих деформации трещины типа III, имеет важное значение и как самостоятельная задача, и для предсказания тех результатов, которые можно будет получить при исследовании более сложного разрушения типа I.

Применив простой метод Ирвина к задаче, показанной на рис. 2.8, устанавливаем, что длина зоны пластического течения вблизи кончика трещины определяется по формуле (ср. с выражением (2.41))

с = ^КшЬрГ

аналогичной формулам (2.39) и (2.40). Решение (2.41) представляет особый интерес по той причине, что оно является точным, если пластическое течение локализовано настолько, что оно определяется только особенностью упругого решения.

Отметим, что наше изложение не соответствует хронологическому порядку построения представленных выше решений. Так, формула (2.41) была выведена в работе Хульта и МакКлинтока [103], в которой впервые было проведено строгое исследование упругопластического распределения напряжений в теле с трещиной. Далее Ирвин заметил, что в решении Хульта и Макклинтока происходит просто параллельный перенос упругого распределения напряжений, и применил это соображение к исследованию разрушения типа I, получив неплохие (хотя и приближенные) результаты.

Резюмируем сейчас результаты точного исследования, имея в виду сразу частный случай маломасштабного пластического течения для первого типа деформации трещины. Для сокращения записи примем следующие обозначения:

а31 = тх, о32 = т^ — напряжения;

2e31 = Y%, 2е32 = уу —- деформации сдвига;

и3 = и — перемещения,

ние равновесияние равновесияпредполагая при этом, что фронт трещины параллелен оси хз. В соответствии с принятыми допущениями остальные декартовы компоненты тензоров и векторов равны нулю (см. разд. 2.1). Разрешающая система уравнений содержит уравне

ние равновесия

ние равновесия

(2.53)(2.53)дтгдтп

(2.53)

(2.53)

—- = 0

дхду ’

условие текучестиусловие текучестиТ2+Т2=Т2(2.54)Т2+Т2=Т2(2.54)

условие текучести

условие текучести

Т2+Т2=Т2(2.54)

Т2+Т2=Т2(2.54)

и закон пластического течения

(2.55)(2.55)ух = Лтл:, ^у = Хтд, Z (ее)>0,

(2.55)

(2.55)

к которому добавляется закон Гука для упругих деформаций

Yx = txjG, Yy = Ty/G-(2.56)

Деформации и скорости деформаций выражаются соответственно через перемещения и скорости перемещений (см. приложение А):

дидит

^х ~~дх’ Nu — ду ’(2.57)

дй . дй

Соотношения (2.54) и (2.55) означают, что пластическое течение является изотропным и изохорическим (как и при использовании условий текучести Треска и Мизеса); предполагается

Рис. 2.13. Характеристическое на-правление а для пластического тече-ния в условиях деформированиятипа III.

также, что тт = const, т. е. что материал является идеальнопластическим.

Для удобства мы переформулируем задачу, введя длину Дуги sa вдоль характеристической линии а, перпендикулярной результирующему касательному напряжению в плоскости xi=x, ^2 = у, и угол <р между касательной к линии а и осью х (рис. 2.13). С использованием формул

(2.59)(2.59)тх = — тт sin ф, ту = тт cos ф

(2.59)

(2.59)

и соотношения (2.59) преобразуем уравнение (2.53) к виду

лдф .. дфО = cos ф-~- + sin ф -—L дх 1дулдф .. дфО = cos ф-~- + sin ф -—L дх 1дудхдзадхдзадф дхдф дхду дф дф dsa дуdsa ’ду дф дф dsa дуdsa ’

лдф .. дф

О = cos ф-~- + sin ф -—L дх 1ду

лдф .. дф

О = cos ф-~- + sin ф -—L дх 1ду

дхдза

дхдза

дф дх

дф дх

ду дф дф dsa дуdsa ’

ду дф дф dsa дуdsa ’

в котором искомые функции зависят только от одной переменной sa. Аналогично, используя зависимости (2.58), (2.55) и (2.59), устанавливаем, что

"д^ = С08Ф-дГ + sin ф -^ = z (тх cos Ф + ^ sin<p) = 0.

Из полученных уравнений следует, что a-линии являются прямыми и что скорость пластического течения й постоянна вдоль

Рис. 2.14. Структура поля вблизи вершины трещины при пластическом течении для трещины типа III.

каждой a-линии. Из таких же соображений и соотношений (2.57), (2.56) и (2.59) вытекает, что упругое перемещение и постоянно вдоль каждой a-линии. Таким образом, полное суммарное перемещение и вдоль каждой a-линии должно быть постоянным.

Поскольку результирующее касательное напряжение должно быть направлено вдоль касательной к свободной поверхности тела, то угол между a-линией и ненагруженными границами тела должен быть прямым. Следовательно, структура поля вблизи кончика незагруженной трещины должна быть такой, как показано на рис. 2.14,— «веер» с центром в кончике трещины, где сходятся a-линии, перпендикулярные берегам трещины. Так как перемещения на каждой линии веера постоянны, то картину течения можно представить себе в виде набора слоев, если только каждую «лопасть» физического веера предполагать шарнирно прикрепленной к кончику трещины.

Получим теперь более точную оценку интенсивности пластического течения и длины пластической зоны. Кроме этого, наша цель состоит в том, чтобы связать поле упругопластического течения вблизи кончика трещины с полем напряжений в окружающей упругой области, примыкающей к граничной кривой r = R^ (рис. 2.15).

В полярных координатах внутри веера должны выполняться следующие соотношения:

^r (™ ^rz) = 0, Tg (= Tzg) = Тт, U (= U^ = U (6)

и, следовательно (ср. с формулами (2.21)),

Y6 = ^ Ye^(0)] = -^)^- = -^-(2.60)

Эти формулы справедливы для деформаций сдвига во всей области и, в частности, вблизи границы, где соблюдается закон

Граница, раздела зон упругости и пластичностиГраница, раздела зон упругости и пластичностиРис. 2.15. ГеометрияРис. 2.15. Геометриязоны пластического течения вблизи вершины трещины.зоны пластического течения вблизи вершины трещины.

Граница, раздела зон упругости и пластичности

Граница, раздела зон упругости и пластичности

Рис. 2.15. Геометрия

Рис. 2.15. Геометрия

зоны пластического течения вблизи вершины трещины.

зоны пластического течения вблизи вершины трещины.

Гука. Производную du/d^ в соотношении (2.60) можно исключить, что приводит к выражению

(2.61)(2.61)— ^(9) Тт

(2.61)

(2.61)

^е г G '

подстановка которого в формулу (2.60) позволяет вычислить перемещение

н = ^l ^ (0) de.(2.62)

о

При этом предполагается, что в точке 0 = 0! перемещение и^О) равно нулю.

Из соотношения (2.61) следует, что при наличии пластического течения сдвиговые деформации в точке г = 0 имеют особенность, которая даже сильнее упругой (определяемой зависимостью г-1/2). Такой же результат был установлен и для модели Дагдейла с использованием раскрытия трещины 6, характеризующего скачок полного перемещения и^ и, следовательно, особенность компоненты е22 тензора деформаций. По аналогии Можно ожидать, что в рассматриваемом случае также имеется скачок перемещений; этот скачок должен равняться раскрытию

трещины в направлении, перпендикулярном плоскости ху (расстоянию между верхним и нижним слоями), и определяется выражением

Л/2

6 = m(t)~“ (“D^^ $ R^db, (2.63)

-л/2

вытекающим из соотношения (2.62) 1).

Теперь, очевидно, остается определить граничную кривую /?(0); к этой кривой мы будем подходить из упругой области, используя простой прием из теории функций комплексного переменного. Пусть функция и вне зоны пластического течения удовлетворяет уравнению Лапласа (2.23); тогда она должна быть гармонической функцией переменной г = х + 1у\ и ее можно представить как мнимую часть некоторой аналитической функции

и = -^-Im[Q(z)].(2.64)

Из соотношений (2.56) и (2.57) имеем

Ту + ZTX = (-^- + i -57) Im [Й (z)] = Й' (z),(2.65)

откуда следует, что комбинация ту + 1тх также является аналитической функцией переменной 2. Обратное утверждение состоит в том, что 2 должна быть аналитической функцией переменной g, определяемой формулой

6 = (Ту + iOht,(2.66)

т. е. z = F®.(2.67)

Данный прием удобен для учета граничного условия на линии раздела r = R(^). На этой линии должно выполняться граничное условие (2.59), и, следовательно, имеет место равенство

1^1=1,(2.68)

из которого вытекает, что кривая, описываемая соотношением (2.54), будет отображаться на единичную окружность в плоскости g.

Плоскости 2 и ^ изображены на рис. 2.16. Точке 2 = х + + iy = R (6) exp (Ю) будут соответствовать напряжения тх = = — TTsin0 и ту = тт = соз0, так что, учитывая соотношение

!) Более подходящим в данной ситуации был бы термин «перемещение^ искривляющее трещину».

(2.66), получаем £ = ехр(— /8). Выражение для радиус-вектора граничной точки следует из определения (2.67):

R^ = e-t^F (е-М),R^ = e-t^F (е-М),(2.69)(2.69)

R^ = e-t^F (е-М),

R^ = e-t^F (е-М),

(2.69)

(2.69)

где функция F пока не определена и ее необходимо найти.

Заметим, что в плоскости переменной | берегам трещины х < О, у = 0 соответствуют отрезки мнимой оси, поскольку

Рис. 2.16. Физическая 2-плоскость (а) и ^-плоскость, на которой состоянию пластического течения соответствуют точки единичной окружности (б).Рис. 2.16. Физическая 2-плоскость (а) и ^-плоскость, на которой состоянию пластического течения соответствуют точки единичной окружности (б).

Рис. 2.16. Физическая 2-плоскость (а) и ^-плоскость, на которой состоянию пластического течения соответствуют точки единичной окружности (б).

Рис. 2.16. Физическая 2-плоскость (а) и ^-плоскость, на которой состоянию пластического течения соответствуют точки единичной окружности (б).

здесь Тг/ = О. И наоборот, функция z = F^ должна быть вещественной и отрицательной, когда Тг//тт = Ке^ = 0 (условие 1). Далее, величина 7? (8) должна быть вещественной; следовательно, учитывая равенство (2.69), получаем условие Im[(exp(—f8)F(exp(—/8)))] =0 (условие 2). Учитывая предположение о том, что пластическое течение определяется сингулярностью упругого решения, заключаем, что напряженное состояние вдали от кончика трещины должно асимптотически приближаться к упругому. С учетом соотношений (2.31) и (2.32) отсюда следует, что

А• А^Ш •

Тх = Tr COS 6 — т6 Sin 8 ->sin — ,у2лг 2

= xr sin 8 + те cos 8 -> + cos —

при г-^оо, или иначе

ту= £тт->-^УУ- при |z |->OO.(2.70)

*V2Л2

Для обратного отображения имеем (условие 3)

z = F®^z = F®^2ЛТ^22ЛТ^2при Щ-»0.при Щ-»0.

z = F®^

z = F®^

2ЛТ^2

2ЛТ^2

при Щ-»0.

при Щ-»0.

Это последнее из трех граничных условий, которым следует подчинить аналитическую функцию F^.

Рис. 2.17. Зона типа III при маломасштабном пластическом течении идеальнопластического материалаРис. 2.17. Зона типа III при маломасштабном пластическом течении идеальнопластического материала

Рис. 2.17. Зона типа III при маломасштабном пластическом течении идеальнопластического материала

Рис. 2.17. Зона типа III при маломасштабном пластическом течении идеальнопластического материала

Нетрудно проверить, что решение

(2.71)(2.71)

(2.71)

(2.71)

удовлетворяет всем трем граничным условиям; подстановка этого выражения в формулу (2.69) дает

Я (6)= —^cose,(2.72)

ЛТт

и с учетом соотношения (2.66) получаем выражения для напряжений вне найденной граничной кривой:

Т^ -р ^ хТ^ -р ^ х(2.73)(2.73)

Т^ -р ^ х

Т^ -р ^ х

(2.73)

(2.73)

Из формулы (2.72) следует, что пластическая зона представляет собой круг (рис. 2.17), касающийся кончика трещины, диаметром

C = /?(O) = ^JL(2.74)

лт^

Этот результат подтверждает формулу (2.41). Если бы пове дение материала было чисто упругим, формула %д-^-1тх =

= /Ciii/V2^2 была бы пригодна во всей области (ср. с соотношением (2.70)); следовательно, выражение (2.73) указывает на то, что поле напряжений вне пластической зоны совпадает с упругим, за исключением того, что оно сдвинуто относительно упругого распределения на расстояние Лш/(2лТт) = е/2 в направлении оси х. Именно этот факт был установлен Ирвином по отношению к деформации трещины типа I. Мы закончим наши выводы формулами для полей деформаций и перемещений в пластической зоне, которые получаются подстановкой зависимости (2.72) в выражения (2.61) — (2.63):

« =<2-75>« =<2-75>1= Мп coseлСтт г

« =<2-75>

« =<2-75>

и для раскрытия имеем

Л ОТ-гЛ ОТ-г6 =

Л ОТ-г

Л ОТ-г

Как оказалось, существует поразительное сходство выражений (2.47) и (2.76), определяющих раскрытие трещин двух различных типов.

Отметим, что при схематическом (данном выше) изложении неполного решения Хульта — Макклинтока мы следовали в основном работе Райса [21], который также внес существенный вклад в развитие механики разрушения. Его результаты, используемые в нашей книге, относятся прежде всего к исследованию края трещины в упруго-идеальнопластическом теле. В частности, когда пластическая зона возрастает настолько, что ее длина становится соизмеримой с длиной / трещины (оставаясь малой по сравнению с другими характерными размерами), методика Райса приводит к следующим выражениям для длины с пластической зоны и 6:

(2.77)(2.78)(2.77)(2.78)с 2 1 + s2 р ( 2s \.

(2.77)

(2.78)

(2.77)

(2.78)

Iл 1 — s2 2 V 1 + s2 )

где s = Too/tt; Ei и £2— полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода °. Кривые, иллюстрирующие полученные результаты, приведены на рис. 2.18; они аналогичны кривым на рис. 2.11. Отметим, в частности, что выражения (2.77) и (2.78) асимптотически приближаются соответственно

Л/2

1} Еп (q) =(1 - ?2 sin2 6f“3/2 dti, п = \, 2.

о

Рис. 2.18. Длина с пластической зоны и раскрытие трещины б (а) для краевой трещины (6) [104, 21].Рис. 2.18. Длина с пластической зоны и раскрытие трещины б (а) для краевой трещины (6) [104, 21].

Рис. 2.18. Длина с пластической зоны и раскрытие трещины б (а) для краевой трещины (6) [104, 21].

Рис. 2.18. Длина с пластической зоны и раскрытие трещины б (а) для краевой трещины (6) [104, 21].

к выражениям (2.74) и (2.76), когда пластическое течение локализуется, т. е. Тоо/тт-^0.

Далее мы обсуждаем результаты, полученные для материала с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций вида

T=v-(^)'T=v-(^)'т ^ тт;т ^ тт;(2.79а)(2.79а)V = Ут (т/тт)т, т > тт;V = Ут (т/тт)т, т > тт;(2.796)(2.796)

T=v-(^)'

T=v-(^)'

т ^ тт;

т ^ тт;

(2.79а)

(2.79а)

V = Ут (т/тт)т, т > тт;

V = Ут (т/тт)т, т > тт;

(2.796)

(2.796)

которая может описывать упругое поведение до значения Y = Yt = tt/G и упругопластическое течение с упрочнением при у > ?т*, значения т = 1 и т = оо — предельные: первое соответствует чисто упругому материалу, второе — упруго-идеальнопластическому. Для маломасштабного пластического течения, сопровождающегося сдвиговой деформацией вдоль линии трещины, было найдено решение

Yy (х > 0, у = 0) = Ут

^ш

m/(m + l)

(m + 1) лт^х

(2.80)

описывающее переход от упругого решения (2.33) с особенностью порядка г-1/2 (или %-1/2) к упругопластическому решению (2.75) с особенностью порядка г-1. Порядок сингулярности сказывается на структуре перемещений берегов трещины вблизи ее кончика. Для идеальнопластического материала раскрытие трещины имеет некоторые особенности по сравнению с упругим или упругопластическим упрочняющимся материалом,

Рис. 2.19. Изменение контура трещины при изменении свойств материала.

поскольку в последних двух случаях перемещения при переходе с одного берега трещины на другой изменяются непрерывно; это обстоятельство обсуждается в последующей дискуссии (рис. 2.19).

Дальнейшее исследование упругопластического состояния для деформации трещины типа I

Идеальная пластичность при плоской деформации

В модели Дагдейла изучается идеальная пластичность (типа Треска) при плоском напряженном состоянии. Рассмотрим теперь ту же проблему в условиях деформации, приближенно реализующихся в толстых плитах. К сожалению, для этого случая нет простых аналитических решений, однако некоторые типичные особенности напряженно-деформированного состояния вблизи кончика трещины выявить можно; впоследствии наличие этих особенностей подтверждается численно или с использованием грубых моделей.

Предполагается, что в состоянии плоской деформации вблизи кончика трещины преобладает изотропное и изохорическое пластическое течение, подчиняющееся условиям типа Треска или Мизеса; для исследования можно применить теорию линий скольжения. Поле линий скольжения по одну сторону трещины показано на рис. 2.20. Плоскость симметрии является плоскостью главных направлений; следовательно, линии скольжения должны пересекать ее под углом 45°. Далее можно предполагать, что на берегах трещины максимальное напряжение

будет параллельным оси хь а на продолжении трещины — перпендикулярным этой оси. Этим требованиям удовлетворяют поля А и С, a-линии которых сплошные, (3-линии — штриховые. Поле напряжений, соединяющее указанные два поля, представляет собой круговой веер с центром в кончике трещины

Рис. 2.20. Поле линий скольжения в окрестности вершины трещины типа I.Рис. 2.20. Поле линий скольжения в окрестности вершины трещины типа I.

Рис. 2.20. Поле линий скольжения в окрестности вершины трещины типа I.

Рис. 2.20. Поле линий скольжения в окрестности вершины трещины типа I.

(поле В). Хотя структура поля в целом вблизи кончика трещины и показана на рисунке, однако он не позволяет сказать что-либо относительно протяженности пластической зоны.

Напряжения, действующие вдоль а- и (3-линий, — это среднее напряжение о = (он + О22)/2 и касательное напряжение,

Рис. 2.21. Ориентация а- и |3-линий.

равное пределу текучести на сдвиг тт (рис. 2.21). Следовательно, в области А

о22 = ^мин = 5 — тт = 0, аи = 0^ = а + тт = 2тт, (2.81) причем условие о22 = 0 является граничным (условие на свободном берегу трещины). Поскольку вдоль произвольной (3-линии должно иметь место равенство

о + 2тт9 = const(2.82)

(см. формулу (А.66)) и так как угол 9 в области А больше соответствующего угла в области С на величину л/2, то в области С должно выполняться равенство

б = (1+л)тт,(2.83)

так что здесьтак что здесьОц — О'МИН 5 Тт ЛТт,O22 == ОМакс ==: О "4“ Тт = (2 -j- ^) Тт.

так что здесь

так что здесь

(2.84)(2.84)Если в области С выполняется условие Мизеса, то тт = oT/V3> а33 = 6 и, следовательно,

(2.84)

(2.84)

ап = 1,81ат, о22 = 2,97ат, о33 = 2,39от,(2.85)

в то время как при выполнении условия Треска тт = <ут/2, и, следовательно 1},

ои=1,57от, а22 = 2,57от, ои ^ Оз3 ^ о^-(2.86)

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что в обоих случаях среднее напряжение на линии трещины в толстой пластине очень велико. Это результат кинематического ограничения е33 ^ 0 вследствие намного меньшей деформации окружающего материала. Данное ограничение препятствует уменьшению напряжений из-за пластического течения по сравнению с тем, что имеет место при плоском напряженном состоянии, и в целом благоприятствует более хрупкому состоянию в глобальном смысле.

В веерообразной области В поле скоростей должно иметь вид

йг = Щб\ й6 = —f(6) + g(r),

с тем чтобы обеспечить нулевую скорость деформации на а-ли- ниях (радиальных) и (3-линиях (окружных) [см. формулы (А.22)]:

fer = ^L = 0, ёв = —+ —-^- = 0;г ^г ’ и Г Г 56’

при этом

_ 1 дйг дм9 йв Г (6), , х , f (6) g (г)

++И)+—■

На границе г = 0 области С можно положить £/г = ^е = 0; в этом случае g(0) = f(л/4). Используя свойство непрерывности нормальной составляющей скорости и конечность скорости деформации в области С, заключаем, что значение ^(О) конечно. После интегрирования по времени сохранится следующая особенность деформации сдвига [21]:

(2.87)(2.87)^ = F».

(2.87)

(2.87)

^ Отметим, что использование множителя Ирвина к = ^3 в формуле ^22 = /гат приводит, очевидно, к заниженной оценке теоретического значения напряжения

Рис. 2.22. Раскрытие 6 в случае развитого пластического течения (при наличии пластических шарниров).Рис. 2.22. Раскрытие 6 в случае развитого пластического течения (при наличии пластических шарниров).рис. 2.23. Каждую из них некоторой воображаемойрис. 2.23. Каждую из них некоторой воображаемойприпри0 = 80 = arccos-^- =70,6°.0 = 80 = arccos-^- =70,6°.(2.9J)(2.9J)

Рис. 2.22. Раскрытие 6 в случае развитого пластического течения (при наличии пластических шарниров).

Рис. 2.22. Раскрытие 6 в случае развитого пластического течения (при наличии пластических шарниров).

рис. 2.23. Каждую из них некоторой воображаемой

рис. 2.23. Каждую из них некоторой воображаемой

при

при

0 = 80 = arccos-^- =70,6°.

0 = 80 = arccos-^- =70,6°.

(2.9J)

(2.9J)

Подобная интенсивная деформация сдвига должна соответствовать такому движению частиц в вершине трещины (рис. 2.22), которое в целом подтверждает наличие пластического шарнира (см. рис. 2.6). Следовательно, можно ожидать, что из выражения (2.87) вытекает формула для раскрытия 6 трещины типа I (аналогичная формуле для типа III).

Отметим, однако, что дать точную оценку перемещения при раскрытии трещины совсем непросто. Численное исследование

методом конечных элементов с применением сингулярных элементов, моделирующих особенность вида у ~ 1Д в вершине трещины, было проведено в работах Трэси [108] и Соренсена [109]. Такой метод в принципе позволяет найти функцию ЛО) , после чего раскрытие трещины вычисляется по формуле

ЗЛ/4

4 = $ f(e)sin0de. (2.88) Л/4

Прежде чем анализировать эти результаты, остановимся на оценке, предложенной в работе Райса [106], в предположении о том, что пла-

стическое течение происходит только вдоль двух прямых линий, исходящих из вершины трещины. Линии пластического течения в двух различных масштабах изображены на мы рассматриваем как продолжение эквивалентной трещины, отвечающей

деформации трещины типа II и в упругой зоне, характеризуе

мой следующим коэффициентом интенсивности напряжений:

max [тг0 (0, 6)] Ку ( .6.36 \2

К т = Кт"~ = -г- Sin — + Sin -7— != —

111 а0 (0, 0)4 у 22 ) макс Зд/з

(2.89) где Ki — коэффициент интенсивности для действительной трещины, Тго и ое вычисляются по формулам (2.15). Естественно предположить, что пластическое течение будет развиваться по направлениям, соответствующим максимуму напряжения тге; несложная выкладка показывает, что максимум достигается

Рис. 2.23. Механизм симметричного скольжения, аппроксимирующий пластическое течение в условиях плоской деформации.Рис. 2.23. Механизм симметричного скольжения, аппроксимирующий пластическое течение в условиях плоской деформации.С этого момента процедура решения аналогична той, которая использовалась в модели Дагдейла. Из условия обращения в нуль коэффициента интенсивности напряжений Кц вследствие

Рис. 2.23. Механизм симметричного скольжения, аппроксимирующий пластическое течение в условиях плоской деформации.

Рис. 2.23. Механизм симметричного скольжения, аппроксимирующий пластическое течение в условиях плоской деформации.

сильно локализованного вдоль некоторой полоски пластического течения при тге=тт находим длину этой полоски (ср. с формулой (2.45))

с^Ш^К'^т^, (2.91) а затем тангенциальное раскрытие трещины (ср. с формулой (2.47))

У = (1 -^(Я),)2/^). (2.92) Наличие в этой формуле множителя 1 —v2 отражает то обстоятельство, что рассматривается состояние плоской деформации. Полагая v — 0,3, тт = от/д/3 и используя выражения (2.89) и (2.90), находим

c' = 0,17(Ki/oT)2 (2.93) б = 26х sin Оо = 0,44^/(£от). (2.94) Последняя формула определяет нужное нам раскрытие трещины (рис. 2.23).

Рис. 2.24. Форма зоны типа I маломасштабного пластического течения идеальнопластического материала в условиях плоской деформации.Рис. 2.24. Форма зоны типа I маломасштабного пластического течения идеальнопластического материала в условиях плоской деформации.Конечно-элементное исследование показало, что маломас-

Рис. 2.24. Форма зоны типа I маломасштабного пластического течения идеальнопластического материала в условиях плоской деформации.

Рис. 2.24. Форма зоны типа I маломасштабного пластического течения идеальнопластического материала в условиях плоской деформации.

штабное пластическое течение будет развиваться примерно так, как изображено на рис. 2.24; наибольшее расстояние от вершины трещины до границы пластической зоны приблизительно равно 0,15(/Ci/oT)2 и соответствует направлению оси, наклоненной к оси х под углом около 71°. Что касается раскрытия трещины, то здесь различные авторы дают разные оценки — от 0,4 до 0,7 величины ^/(faj0- Таким образом, прием, использующий замену пластической зоны двумя прямыми, дает приемлемые результаты. Отметим, что определить длину с зоны пластического течения в направлении трещины намного труднее: эта длина сильно зависит от коэффициента Пуассона v, уменьшается с увеличением v и, возможно, обращается в нуль при v = 0,5. Для частного случая v = 0,3 найдено, что с ^ 0,03(/Ci/oT)2; это несколько меньше оценки по Ирвину, равной с ^ 0,1 (ki/oT)2.

Применение теории пластичности с учетом упрочнения

Изучим сначала напряженно-деформированное состояние вблизи вершины трещины в материале, в котором деформации и напряжения связаны следующим нелинейным соотношением:

еи = ет (oe/crT)m (3sz//2<re),(2.95а)

в котором т, ет и От — постоянные, тензор

8ц = О И — х1^ц<5кк(2.956)

есть девиатор напряжений,

Ов = Ск8ц8ИУ12(2.95в)

является интенсивностью напряжений, используемой при формулировке условия текучести Мизеса (см. приложение А). Полученные здесь результаты мы ниже сравним с поведением реальных материалов в упругопластической зоне. Уравнение (2.95а) описывает поведение несжимаемого изотропного материала и представляет собой обобщение следующего одномерного соотношения:

е = ет(а/от)т(2.96)

^ В более поздних публикациях можно обнаружить, что коэффициент при Aj/(BoT) приблизительно равен 0,6.

или соотношения типа (2.796) для сдвиговой деформации. Случай m = 1 соответствует, очевидно, линейной упругости (v = = 0,5); при m = оо мы приходим к идеальной пластичности.

Излагаемые ниже результаты были получены в работе Хатчинсона [111] и полностью аналогичны решению Вильямса (см. разд. 2.1), построенному методом степенных рядов. Прежде всего была введена функция напряжений Эри по формулам (2.1), с тем чтобы удовлетворить уравнениям равновесия. Выражения (2.1) были внесены в соотношения (2.95), после чего получившиеся деформации были подставлены в условие совместности (А.23), и тем самым было построено разрешающее уравнение для функции напряжений %. Это уравнение играет ту же роль, что и уравнение (2.2), справедливое и для плоской деформации, и для плоского напряженного состояния. Для иллюстрации сложности возникающей задачи приведем окончательный вид разрешающего уравнения для случая плоского напряженного состояния:

dr2 Le I dr2 dr г дб2 Л

г dQdr|_е r dr к гсЮ Л 'dr Le Vrdr

2 94। d2x\] , 1d2 Г, /32x .2

г2 дв2dr2 Л rde2 R I dr2 Trdr‘

+^S)]-°- <2-97>

Нечто столь же необозримое ожидает нас и в случае плоской деформации. Метод решения основан на использовании предположения о том, что для % имеет место представление (2.5), подстановка которого в формулы (2.1) приводит к следующим выражениям для напряжений:

Or =[(л + 1) f + -^J = гх~хдг,

а6 = гх-ЦХ+ V)Xf = гх-хд6,(2.98)

тг6 = —r^^f^r^-^e.

Подстановка выражения (2.5) в формулу (2.95в) дает интенсивность напряжений для плоского напряженного состояния:

°е = rX-1 (dr + "е — °гбе + Зтге)1/2 — rX-'de (2-99) и для плоской деформации:

ое = гх"х [74 (аг - пе)2 + Зт2е]'/2 = гх-^е.(2.100)

Таким образом, представление (2.5) дает одну и ту же зависимость от переменной г во всех членах уравнения совместности,

что в свою очередь позволяет привести уравнение (2.97) к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

Ь - 1) - ^] {^' '^+1)(^-2)/-2-^]} +

+ [т(Л_1)+1]т(Х-1)а^-*[(Л+1)(2Л-1)/--^] +

+ 6[/п(Л-1)+1]Л-^(ает-*-^-)==0,(2.101)

где де определяется по формулам (2.98) или (2.99).

Интересующее нас собственное значение X, которое нужно подставлять в уравнение (2.101) (или аналогичное уравнение для плоской деформации), определяется из граничного условия (2.7):

Х = хх = тКт+ 1).(2.102)

При т = 1 получаем К = 1/2, что подтверждает найденный ранее результат (2.12). Меньшие значения X приводят к бесконечной энергии деформации любой конечной подобласти, содержащей вершину трещины, и по этой причине их следует отбросить; большим значениям соответствуют напряжения и деформации без особенностей. Используя формулы (2.98), приходим к выражениям для напряжений, отвечающим корню

{<jr, ае> ^ге^ОтКг-^^Чог, 56, тгв}. (2.103)

Здесь введена постоянная отК, где К имеет размерность (дли- на)1/(т+1), с тем чтобы отношение dq = dt^G^K)> оказалось безразмерным. Выражения (2.103), в которых функция / и напряжения ди для любого значения m определяются из уравнения (2.101) и формул (2.104) (с использованием граничного условия ( 2.7)), представляют собой аналог решения (2.15). Подстановка формул (2.103) в (2.95) дает следующие выражения для деформаций:

{ег, е6, Тге} = еЛтг-"1/<т+1>{ёг, ее, уге}, (2.104) в которых ег-/— безразмерные функции переменной 0, соответствующие указанному выше значению т. Типичные кривые для значения параметра т = 3 приведены на рис. 2.25. Из анализа этих кривых видно, что существует непрерывный переход от упругопластического решения (т = 1) к решению для идеальнопластического материала (т->+°°) (рис. 2.26)!). Очевидно,

° Именно это решение для плоской деформации выше было построено по методу линий скольжения — см. формулы (2.81) — (2.85). В случае плоского напряженного состояния решение при m -> оо будет стремиться к выражениям, определяемым условием текучести Мизеса — см. формулу (А.67). Напомним еще раз, что в модели Дагдейла используется условие текучести Треска.

Рис. 2 25. Распределения напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины в упрочняющемся материале при пг = 3; вверху — плоское напряженное состояние, внизу — плоская деформация [ИЗ]. (Публикуется с любезного разрешения Дж. У. Хатчинсона и издательства «Пергамон пресс».)

что деформированное состояние идеальнопластического материала нельзя определить без учета условий на границах тела, удаленных от трещины (см. формулу (2.87)), в то же время полученные выше значения деформаций ец в пределе т-^оо дают вполне однозначное распределение. Отсюда следует вывод о том, что методика, используемая в настоящем разделе, не позволяет, вообще говоря, описать точно все детали напряженно-деформированного состояния идеальнопластического материала, обусловленные гиперболичностью соответствующей системы уравнений, и, следовательно, ее нельзя без надежных оговорок использовать в рассматриваемой задаче при т-^оо.

Если переход к идеальной пластичности не рассматривать, то нам остается только определить скалярный параметр К, который по аналогии с линейноупругой задачей также называют коэффициентом интенсивности напряжений, но с добавлением

Рис. 2.26. Распределение напряжений в окрестности вершины трещины для предельных случаев: а — линейноупругий материал (m = 1), кривые построены по формуле (2.15) при г = const; б — идеальнопластический материал (ш-^оо), плоское напряженное сотояние; в — идеальнопластический материал (ш-^оо), плоская деформация. (Рисунки бив публикуются с любезного разрешения Дж. У. Хатчинсона и издательства «Пергамон пресс».)

слов «в пластической области» !). Прежде чем переходить к этой задаче, следует обсудить вопрос о достоверности полученных нами выше результатов в плане их соответствия поведению

п Теория и приложения коэффициентов интенсивности напряжений (и деформаций) в пластической области развиты в книге: Махутов Н. А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность.— М.: Машиностроение, 1981. — 272 с. — Прим. ред.

реальных упругопластических материалов. Отметим прежде всего, что в окрестности вершины трещины, где преобладает сингулярная составляющая решения, компоненты тензоров напряжений и деформаций на самом деле во всех рассматриваемых точках пропорциональны одному параметру. Следовательно, найденные результаты согласуются с обобщением (2.95а) закона пластичности (2.96) (теорией течения с изотропным деформационным упрочнением). Теорема Ильюшина ^ которая утверждает, что при изменении внешних силовых воздействий

Рис. 2.27. Зависимость деформации от напряжения при одноосном растяжении (идеализация).Рис. 2.27. Зависимость деформации от напряжения при одноосном растяжении (идеализация).

Рис. 2.27. Зависимость деформации от напряжения при одноосном растяжении (идеализация).

Рис. 2.27. Зависимость деформации от напряжения при одноосном растяжении (идеализация).

пропорционально одному параметру напряжения и деформации во всех точках тела также будут меняться пропорционально этому параметру (если во всем диапазоне деформирования применимы зависимости (2.95а)), позволяет расширить область достоверности найденного решения. К сожалению, гипотеза о применимости закона (2.95) во всем диапазоне неприемлема, поскольку при небольших уровнях деформации реакция материала должна быть линейноупругой, и следует учитывать сжимаемость (v <2 1/2); в одномерном случае это утверждение можно записать следующим образом (см. формулу (2.79) и рис. 2.27):

8 =8 =8Т (о/от), О' ^^ От;8Т (о/от), О' ^^ От;8Т (О/ОТ)П\ О ^ От.8Т (О/ОТ)П\ О ^ От.(2.105>(2.105>

8 =

8 =

8Т (о/от), О' ^^ От;

8Т (о/от), О' ^^ От;

8Т (О/ОТ)П\ О ^ От.

8Т (О/ОТ)П\ О ^ От.

(2.105>

(2.105>

Состоянию вблизи вершины трещины отвечают точки, расположенные на диаграмме деформирования далеко справа; следовательно, принятая нами локальная зависимость, изображенная штриховой линией, столь же хороша, как и модель, соответ-

!) Речь идет о теореме о простом нагружении. — Прим, перев.

ствующая сплошной кривой; в то же время в точках, удаленных от вершины трещин, преобладающим оказывается упругий режим. Скачок касательной к кривой одноосного поведения (на диаграмме деформирования) и переменная сжимаемость приводят к отклонению от пропорционального нагружения . Эти причины приводят, вообще говоря, к нарушению условий независимости /-интеграла от пути. Опираясь на предположение о малости полного отклонения путей деформирования от простых (которое для ряда задач подтверждено путем анализа численных решений), ниже будет использован все же именно этот частный критерий.

Плотность работы деформаций, приведенная в определении (2.48), равна

8

w = $ Ondei^OAK^'r^g!^.(2.106)

о

Здесь использованы выражения (2.103) и (2.104); через gi обозначена сумма произведений, содержащих известные функции Gij и гц. Аналогичную форму имеет и второе слагаемое в определении (2.48) (с заменой g\ на некоторую новую функцию ^2(9)). Далее производится интегрирование по окружности малого радиуса г, что приводит к выражению для /-интеграла вида oTET^m+1 (являющемуся функцией параметра т), умноженному на функцию от интегралов по переменной 9. Окончательный результат имеет вид

7 = /1 = атеЛт+,/(т).(2.107)

Некоторые численные значения множителя /(т) приведены в табл. 2.1.

Если /-интеграл — инвариант во всем теле, то должно выполняться равенство

/1=/2 = /,(2.108)

в котором /2— интеграл, вычисленный по контуру, максимально удаленному от вершины трещины и расположенному по воз-

Таблица 2.1. Величины / (т)

Состояние

пг

1

3

5

9

13

ОО

Плоское напряженное

2л

3,86

3,41

3,03

2,87

« 2,8

Плоское деформированное

2л (1 — v2)

5,51

5,01

4,60

4,40

« 4,3

можности в упругой области. Из выражения (2.107) и равенства (2.108) в данном случае получаем следующую формулу для коэффициента интенсивности напряжений в пластической области (пластический коэффициент интенсивности):

К = \ЕЦсу (m)]l/(m+1), Е = ат/ет, (2.109> которая завершает решение задачи об определении сингулярной части напряженно-деформированного состояния (для заданной геометрии и заданных внешних воздействий). Итоговая формула в совокупности с выражениями (2.103) и (2.104) уточняет ранее высказанное утверждение о том, что /-интеграл должен быть скалярной мерой деформаций вблизи вершины трещины. Если пластическое течение локализовано (или же является маломасштабным) вблизи вершины трещины, применима, в частности, формула (3.35) (с р = 1 для плоского напряженного состояния и Р=1—v2 для плоской деформации), из которой при учете выражения (2.109) следует, что

К = (KdaTfKm+u [0// HJ1/(m+l). (2.110>

Таким образом, приняв ряд допущений и предположений, мы построили решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния тела с трещиной из упругопластического материала со степенным законом упрочнения. Одновременно мы изучили переход особенности в деформациях (ср. формулы (2.104) и (2.81)) от г-1/2, характерной для линейной теории упругости, к г-1 для идеальной пластичности. В последнем случае предельные значения напряжений оказываются в соответствии с выражением (2.103) конечными и совпадающими со значениями, полученными методом характеристик (по теории линий скольжения для случая плоской деформации).

В заключение мы кратко обсудим результаты, полученные в работе [111] для линейного упрочнения, когда кривая на рис. 2.27 для напряжений о > от заменяется прямой линнеит с тангенсом угла наклона, равным Et. Оказалось, что вблизи

вершины трещины радиальные и окружные напряжения и деформации совпали с линейноупругими (имеют особенность г~1/2), и уменьшалась лишь величина коэффициента интенсивности напряжений в пластической области (соответствующий коэффициент равен ^Et/Ey^ для плоского напряженного состояния и 1,15(1—v2)1/2 (£^)1/2 Для плоской деформации), связанного с маломасштабным пластическим течением при той же геометрии и тех же внешних воздействиях. Этот вывод получен в предположении о том, что Et мало по сравнению с Е. То обстоятельство, что функция w (включая плотность энергии деформации ф) имеет особенность г-1 во всех рассмотренных случаях, определяется только локальной независимостью /-интеграла от пути.

Пластическая неустойчивость, бифуркации и предельная нагрузка

Очевидно, что даже в случае, когда в теле нет трещин (гипотетически) или же трещины не распространяются, существует предельное значение внешних воздействий, выдерживаемых рассматриваемой конструкцией. При предположении, что задаваемые внешние воздействия силовые, такой предел можно связать с «пластической неустойчивостью», т. е. с максимальной нагрузкой, отвечающей резкому изменению геометрии наиболее напряженных мест конструкции, если материал упрочняющийся, и с предельной нагрузкой, если материал можно считать идеальнопластическим. Оба случая встречаются на практике, и они являются предельными при изучении совместного трещинообразо- вания и развитого пластического течения. Проведем их краткий анализ (в том порядке, в котором они упомянуты); первый вариант при этом обсудим лишь качественно. В этом варианте выход конструкции из строя может моделироваться бифуркацией состояний вследствие локализации пластического течения в районе шейки, по которой происходит окончательное разрушение. Кроме того, существует, разумеется, важный класс механизмов выхода конструкции из строя путем потери устойчивости, о которых мы здесь говорить нс будем.

Рассмотрим сначала однородное растяжение цилиндрического стержня длиной L (в исходном состоянии равной Lo) и площадью поперечного сечения S (в исходном состоянии равной So), нагруженного силой Р, равной P=oS. Здесь о— «истинное» напряжение (в смысле Коши), отнесенное к площади деформированного сечения. Максимальная нагрузка, или пластическая неустойчивость, соответствующая монотонному нагружению, определяется равенством (рис. 2.28)

dP = S do + о dS = 0. (2.111)

Если вязкость велика, так что упругие деформации пренебрежимо малы, то деформацию можно считать изохорической, т. е.

d (LS) = S dL + L dS = 0.(2.112)

Если это так, то из соотношений (2.111) и (2.112) имеем

— = -^ = ds, т. е. о = 4т-(2.113)

о Lагх

Таким образом, несущая способность исчерпывается тогда, когда истинное напряжение оказывается равным тангенсу угла

Рис. 2.28. Пластическая неустойчивостьрастянутого стержня.

наклона d^ds касательной к кривой связи напряжения о с истинной или логарифмической деформацией е = de = In (L/Lo)> Обобщение этого вывода применимо и к другим элементам конструкций, находящимся в состоянии растяжения, например к сосудам высокого давления определенных конфигураций. Полученный результат относится в основном к однородным материалам и приближенно справедлив тогда, когда нетто-сечение незначительно уменьшилось вследствие растрескивания. Данное ограничение можно, как отмечалось выше, рассматривать как гипотетическое, однако оно позволяет оценить верхнюю границу разрушающей нагрузки.

Опыт показывает, что существует определенная связь между неустойчивым состоянием при равномерно распределенной или медленно меняющейся деформации и бифуркацией к альтернативной модели критического состояния. Так, в рассмотренном выше частном примере вблизи максимума нагрузки (теоретическое значение которого в дальнейшем нс играет роли) обычно наблюдается локальное сужение или образование шейки (рис. 2.29, а). В этом же месте происходит и окончательный разрыв образца. Абсолютно вязкое разрушение в металлах при нормальных условиях реализуется только для чистого свинца или золота и происходит путем уменьшения поперечного сечения до нуля (рис. 2.29,6); для других металлов обычно реализуется схема, показанная на рис. 2.29, в. Образование шейки неблагоприятно вдвойне — частично вследствие локального»

увеличения осевых напряжений о, частично из-за появления в этом месте радиальных напряжений, способствующих возникновению

а 56Рис. 2.29. Образование шейки иформы разделения в предель-ном состоянии при растяже-нии кругового цилиндрическогостержня.а 56Рис. 2.29. Образование шейки иформы разделения в предель-ном состоянии при растяже-нии кругового цилиндрическогостержня.состояния всестороннего растяжения вблизи оси, Последнее в свою очередь может способствовать появлению трещин внутри шейки вследствие роста и слияния пор до такого уровня, при котором происходит разделение тела на части и образование новой поверхности, состоящей из косых площадок среза. В малом масштабе разрушение перемычек между порами также может быть пластически неустойчивым. Из этих соображений вытекает, что исследование окончательного разрушения, как правило, сопровождается анализом роста тресостояния всестороннего растяжения вблизи оси, Последнее в свою очередь может способствовать появлению трещин внутри шейки вследствие роста и слияния пор до такого уровня, при котором происходит разделение тела на части и образование новой поверхности, состоящей из косых площадок среза. В малом масштабе разрушение перемычек между порами также может быть пластически неустойчивым. Из этих соображений вытекает, что исследование окончательного разрушения, как правило, сопровождается анализом роста трещины даже в том случае, когда уровень разрушающей нагрузки можно определить, не рассматрищины даже в том случае, когда уровень разрушающей нагрузки можно определить, не рассматривая отдельно этап возникновения трещины.Дальнейшие примеры определения критических нагрузок дают исследования предельных состояний. Здесь принимаетсявая отдельно этап возникновения трещины.Дальнейшие примеры определения критических нагрузок дают исследования предельных состояний. Здесь принимаетсяимеет место идеальная пластичностьимеет место идеальная пластичностьРис. 2.30. Выход на предельную нагрузкуРо (горизонтальное плато) в идеальнопла-стическом материале.Рис. 2.30. Выход на предельную нагрузкуРо (горизонтальное плато) в идеальнопла-стическом материале.

а 56

Рис. 2.29. Образование шейки иформы разделения в предель-ном состоянии при растяже-нии кругового цилиндрическогостержня.

а 56

Рис. 2.29. Образование шейки иформы разделения в предель-ном состоянии при растяже-нии кругового цилиндрическогостержня.

состояния всестороннего растяжения вблизи оси, Последнее в свою очередь может способствовать появлению трещин внутри шейки вследствие роста и слияния пор до такого уровня, при котором происходит разделение тела на части и образование новой поверхности, состоящей из косых площадок среза. В малом масштабе разрушение перемычек между порами также может быть пластически неустойчивым. Из этих соображений вытекает, что исследование окончательного разрушения, как правило, сопровождается анализом роста тре

состояния всестороннего растяжения вблизи оси, Последнее в свою очередь может способствовать появлению трещин внутри шейки вследствие роста и слияния пор до такого уровня, при котором происходит разделение тела на части и образование новой поверхности, состоящей из косых площадок среза. В малом масштабе разрушение перемычек между порами также может быть пластически неустойчивым. Из этих соображений вытекает, что исследование окончательного разрушения, как правило, сопровождается анализом роста тре

щины даже в том случае, когда уровень разрушающей нагрузки можно определить, не рассматри

щины даже в том случае, когда уровень разрушающей нагрузки можно определить, не рассматри

вая отдельно этап возникновения трещины.

Дальнейшие примеры определения критических нагрузок дают исследования предельных состояний. Здесь принимается

вая отдельно этап возникновения трещины.

Дальнейшие примеры определения критических нагрузок дают исследования предельных состояний. Здесь принимается

имеет место идеальная пластичность

имеет место идеальная пластичность

Рис. 2.30. Выход на предельную нагрузкуРо (горизонтальное плато) в идеальнопла-стическом материале.

Рис. 2.30. Выход на предельную нагрузкуРо (горизонтальное плато) в идеальнопла-стическом материале.

и что изменения геометрии тела малы; тогда под предельной нагрузкой по определению понимается такое значение стационарной нагрузки Ро, которую может выдержать тело в момент возникновения неограниченных перемещений (рис. 2.30).

Приведем обзор некоторых результатов (с отдельными комментариями по каждой задаче), имеющих особое значение для механики разрушения. Во всех случаях речь будет идти о пластине толщиной /; используем обозначения:

От — предел текучести из опыта на одноосное растяжение.

( 2oT/V3 при использовании критерия Мизеса, ( €гт при использовании критерия Треска,

и символы на рис. 2.31 для указания типа локализованного или распределенного пластического течения в табл. 2.2.

Задача 1, по существу, совпадает с задачей из примера А.З приложения А, поскольку рассматриваемое в данной конструкции отверстие может иметь произвольную форму. В задаче 2 мы имеем поле линий скольжения Прандтля для растягивающей нагрузки, которое представляет собой набор центрированных вееров и прямолинейных отрезков. Вне поля линий скольжения области материала движутся как жесткие (упругие) тела в направлениях, указанных стрелками; пластическая же

Линия скачка касательныхнапряжении

a^wwwwwsa ОтрыВ (шейка)

wv—ww— Смешанное разрушение

Пластически деформированная зона

Рис. 2.31. Условные обозначения в задачах об определении предельной на-грузки (к табл. 2.2).

деформация сосредоточена на линиях скольжения в веерообразных областях. Распределение напряжений на линиях скольжения определяется точно так же, как и в разд. 2.8.1; при этом задаче 1 соответствует рис. 2.20. Следовательно, нормальные напряжения в центральной части сечения (определяемые по решению в зоне С) равны

а22 = (2 + л) тт = (1 + л/2) от

и приводят к выражению для силы

Р = 2а/а22 = (1 + л/2) • ^atoV

Для того чтобы найденное значение нагрузки можно было интерпретировать как предельное (а нс просто как верхнюю границу предельных нагрузок), дополнительно требуется, чтобы соответствующее допустимое поле напряжений всюду совпадало с истинным полем напряжений. Это совпадение имеет место при L/a ^8,6; при L/a <8,6 полученное здесь простое решение следует заменить решением, построенным Эвином и Хиллом [135].

В случае 26 происходит образование только одной шейки; сравнение с решением задачи из примера А.1 при фиксированной ширине перемычки показывает, что для достоверности полученного решения глубина трещины должна быть достаточно большой — приблизительно L/a ^4/3 [123].

2а. Плоская деформация;2а. Плоская деформация;(1 +л/2).2а^,(1 +л/2).2а^,

2а. Плоская деформация;

2а. Плоская деформация;

(1 +л/2).2а^,

(1 +л/2).2а^,

Таблица 2.2. Предельные нагрузки и механизмы пластического течения' для некоторых типичных задач Задача 1: пластина со сквозной внутренней трещиной

1а. Плоская деформация;

Ро = 2atcT;

линии пластического течения (скольжения) наклонены под углом 45°

Плоское напряженное состояние;

Ро = 2ataT;

линии пластического течения (шейкообразования) наклонены: под углом ф = 54,7° при условии текучести Мизеса; для условия Треска 45° ^ ф ^ 90°

Задача 2: пластина с краевыми трещинами

L/a > 8,6»

1 + L/a \ о , /) *2ataT,

L/a < 8,6>

Плоское напряженное состояние;

PQ = 2аtaT1 L/a^ 4/3

Задача 3: двухконсольная балка

За. Плоская деформация;

Ро = MOV.

параметр р определяется из уравнения

1,26 д/р + ^ р _ р = 1

при Lja-^oo, PL-^M, что приводит к предельным значениям моментов Л40 для задачи 4

Плоское напряженное состояние;

ро = ₽z^;

параметр р определяется из уравнения

Р2 + 2Р [(1+ат/а;)-^--1] =

= »тХ:

угол ф задан, как и в задаче 16

Задача 4: изгиб четырьмя сосредоточенными силами при наличии краевой трещины

4а. Плоская деформация;

Л40 = Pos = 0,31 о'Л

Плоское напряженное состояние;

1 </Ta2t

M0 = P0S =—

2 1 + ат/ат

Кинематика поля вблизи вершины трещины та же, что и в задаче 3

Задача 5: изгиб тремя сосредоточенными силами при наличии краевой трещины

Плоская деформация (см. рисунок) ;

Мо = ^os ~ 0,31о^а2^

Для плоского напряженного состояния справедлива формула, аналогичная формуле 46

Задачи изгиба 3—5 были изучены в работах Эвина и Ричардса [136], Грина [137] и Грина и Ханди [138]. Как и в случае 2а, существуют протяженные зоны пластического течения; тонкими линиями в этих зонах показаны линии с нулевым удлинением (поля характеристик). Области вне этих зон вращаются как целое в направлениях, указанных стрелками. В частности, в случае За вращение происходит благодаря скольжению вдоль круговых характеристик. Отметим, что различие предельных значений изгибающего момента Af0 при изгибе с тремя или четырьмя точками опирания очень мало при плоской деформации и, вероятно, будет малым и при плоском напряженном состоянии, если только принять меры, предотвращающие потерю устойчивости.

Закончим наше обсуждение проблемы стационарных трещин кратким перечислением изложенных результатов. В разд. 2.1 и 2.2 рассмотрены чисто упругие задачи, из анализа решений которых сделан вывод о существовании сингулярностей поля напряжений в вершине трещины, что в свою очередь послужило указанием на возникновение в реальных трещинах пластического течения. На этой основе в разд. 2.3—2.8 было проведено исследование пластического течения, в большей своей части ограниченное предположением о его сильной локализации вблизи вершины трещины. Результаты исследования тех случаев, когда зоны пластичности являются более протяженными, частично упоминались в разд. 2.5—2.7; их формальное объединение дано в разд. 2.8.2. После этого было рассмотрено дальнейшее увеличение пластических зон, которое должно приводить к увеличению прочности или вязкого сопротивления разделению тела на части на фронте трещины. Для того чтобы пластическое течение могло развиться до уровня, при котором оно захватывало бы все тело целиком, что соответствует его предельному состоянию (о чем шла речь в данном разделе), необходима весьма большая (в пределе бесконечная) вязкость.

Задачи

Обратив процедуру разд. 2.1, показать, что функция

X = Cl,r3/2 (cos 4 + V cos -?) является статически и кинематически допустимым решением задачи об упру* гой плите. Вывести формулы для напряжений а и тг в полярной системе координат и показать, что эти напряжения соответствуют граничным условиям на ненагруженных поверхностях трещины, где 0 = ±л. Сравнить с формулами (2.15).

Плита достаточно больших размеров в плане ослаблена малой сквозной (по толщине) внутренней трещиной. Трещина перпендикулярна растягивающему напряжению на удаленной границе, интенсивность которого (Joo =

интенсивности равенинтенсивности равен= 1000 МПа (ср. с задачей 2.4 при а = 0). Полагая длину трещины 2/ = = 10 мм и используя результаты приложения В, показать, что коэффициент

интенсивности равен

интенсивности равен

Ki = (Joo V^ = ^ МПа • м1/2.

Трещиновидный разрез в плите больших размеров нагружается расклинивающей силой интенсивностью Р на единицу толщины плиты. Используя

результаты приложения В, показать, что коэффициент интенсивности равен

Кх-р№.

Обобщим постановку задачи 2.3, полагая, что трещина повернута на угол а вокруг оси, перпендикулярной плоскости плиты. Получить следующие

выражения для коэффициентов интенсивности напряжений:

Кх = Goo V^ cos2 «> 7<ц = doo Vn^ sin a cos а,

разложив нагрузку на удаленной границе по направлениям, параллельному и перпендикулярному трещине.

Плита больших размеров содержит трещиновидный разрез, нагруженный расклинивающей силой (см. задачу 2.3). Материал плиты упруго-идеальнопластический с пределом текучести от. Плита настолько тонкая, что выполняются условия возникновения в чей плоского напряженного состояния. Боковым выпучиванием можно пренебречь.

Написать формулы для вычисления длины с зоны пластического течения, распространяющейся от конца разреза, в предположении о том, что пластическое течение сильно локализовано и определяется только коэффициентом интенсивности Кц найденным из решения упругой задачи. Применить: 1) аппроксимацию Ирвина; 2) решение Дагдейла.

Используя модель Дагдейла, получить формулу, пригодную для опре^ деления длины сив том случае, когда протяженность пластической зоны превосходит по размерам зону маломасштабного пластического течения, рассмотренную в п. а.

Полагая Р = 20 МН/м, / = 10 мм и ат = 1000 МПа, проверить, что с = 4 мм и с = 5 мм соответственно для вариантов 1 и 2 п. а и что с =

= 3,5 мм для п. б. Ясно, что последнее решение следует считать приемлемым только в тех случаях, когда отношение с// достаточно велико.

Исторически модели Дагдейла предшествовало следующее правило для определения раскрытия трещины б. Рассматривалась «эквивалентная трещина» Ирвина, длина которой увеличивалась на с/2 (с вычисляется по формулам (2.39)) от кончика истинной трещины в некотором фиктивном упругом материале. Для этой воображаемой трещины вычислялось расхождение ее берегов в точке, совпадающей с вершиной истинной трещины. Вычисленное таким образом расхождение берегов б полагалось приближенно равным истинному раскрытию трещины б.

Предполагая, что пластическое течение является маломасштабным, и используя формулы (2.33), показать, что

б = 4A'i/(n;£orT) = 4б/л,

если только напряженное состояние плоское и реализуется разрушение типа I.

Пусть образец подвергается локальному растяжению так, как показано на рисунке. Используя результаты приложения В и разд. 2.9, показать,

что коэффициент интенсивности напряжений равен ^=6,82-^

и что предельная нагрузка определяется формулой Ро = 0,257^/ат.

Глава 3

БАЛАНС ЭНЕРГИИ И РОСТ ТРЕЩИНЫ

Локальная и глобальная формы удельной работы разрушения

Здесь рассматриваются существующие в теле трещины или трещиноподобные надрезы, которые могут выходить на границу или полностью располагаются в теле (рис. 3.1). Предполагается,

Рис. 3.1. Образец с трещиной, нагруженный массовыми силами и поверхностными силовыми воздействиями, закрепленный по части границы. Структура области, обведенной малым кругом, показана на рис. 3.2.

что тело нагружено поверхностными силами р = {pj и объемными нагрузками интенсивностью 6 = ^bi^ t = 1, 2, 3 (на единицу объема). Предполагается также, что перемещения и = {иг} и их градиенты малы как до начала роста трещины, так и в ходе этого процесса.

Рост трещины иллюстрируется рис. 3.2. Заштрихованная зона соответствует области, в которой развиваются процессы разрушения; по предположению (см. гл. 1), толщина ее пренебрежимо мала. Границу между этой зоной и окружающей се сплошной средой можно, таким образом, считать поверхностью трещины. Площадь поверхности трещины увеличивается от значения А в состоянии а до А + АД в состоянии б. На данном переходе возникает новая поверхность трещины S^ которая в совокупности с существующей поверхностью трещины Sc и внешней границей тела Se образует границу деформируемого континуума в переходном режиме от состояния а к состоянию б. В дополнение к уже упомянутым выше нагрузкам на имеющихся поверхностях (pz =0 на 8С, если трещина не нагружена) возникнут дополнительные силовые воздействия интенсивностью

pi на поверхности S^> которые в процессе перехода сложным образом изменяются от значения р^ в состоянии а до значения р. (равного нулю, если вновь возникающая поверхность свободна от нагрузок) в состоянии б.

Поскольку теперь, как следует из определения, окружающий континуум оказывает через поверхность S* силовое воздействие интенсивностью —р на зону разрушения, над этой зо-

Рис. 3.2. Увеличение площади трещины АД.Рис. 3.2. Увеличение площади трещины АД.

Рис. 3.2. Увеличение площади трещины АД.

Рис. 3.2. Увеличение площади трещины АД.

равнаяравнаяной в процессе упомянутого перехода будет выполнена работа.

равная

равная

(по повторяющимся индексам производится суммирование в соответствующих пределах), где dS— элемент площади поверхности, dui — бесконечно малое приращение перемещений на этом элементе1}. Следовательно, работа, затрачиваемая на образование единицы площади новой поверхности трещины, определяется формулой

/(б)\

С=—Hm^^j Ц Pi duA dS.(3.1)

Эту величину назовем удельной работой разрушения.

Альтернативный способ получить глобальное выражение для удельной работы разрушения заключается в использовании принципа виртуальных работ для поля перемещений du^x^, соответствующего бесконечно малому движению трещины в промежутке времени ta <Z t <Z t6. Имеем, таким образом, тождество

pt dUi dS + ^ kbi — рй^ du{ dV = ^ Оц de^ dV, (3.2) s+s+ V V

в котором введено объединение S поверхностей Se и Sc. Интеграл справа равен работе при деформациях d&ij, вычисленных по полю перемещений dm. Проинтегрировав равенство (3.2) от состояния а до состояния б, найдем

/ (б)\Г (а)

Ц ^PiduAdS + U 5 (bi — pu^dUi

S Ча)'УЧб)

В первом интеграле, не содержащем вновь образовавшейся части поверхности трещины, изменением величины pi при переходе к пределу при АЛ-^0 можно пренебречь; при том же предельном переходе bi также можно считать постоянными. Под знаком интеграла по объему содержится полный дифференциал

(3.4)(3.5)(3.4)(3.5)й dui = 72 d кйрцУа также= б/ф,

(3.4)

(3.5)

(3.4)

(3.5)

(3.6)(3.6)где ф — плотность энергии деформации, если предположить, что приращение деформации распадается на сумму упругой и пластической составляющих, т. е.

(3.6)

(3.6)

dea = d^j + de?r

Вводя обозначение f6 — fa = kf (под f будем подразумевать иь Т или Ф), левую часть равенства (3.3) можно переписать с целью последующего перехода к пределу при АЛ —> 0 в виде

/(б)\

Pi кщ dS + bt kut dV — АГ — АФ — U оц dee. j dV,SVV 4a)'

rj^ полная кинетическая энергия

(3.7)(3.7)T=xb ^piiiiitdV,V

(3.7)

(3.7)

полная энергия упругих деформаций

ф = ^ф6/У.(3.8)

v

И наконец, предположим, что процесс увеличения поверхности трещины достаточно хорошо описывается заданием единственного параметра А— площади поверхности; тогда в пределе из (3.2) получаем соотношение

в котором работа, совершаемая внешними воздействиями pi и bi, равна

S

du, , с du, p^ds + \bi-dTdv-<3J0a)

SV

Заметим, что, если работа внешних воздействий сводится к работе лишь конечного числа сосредоточенных сил интенсивности' Pk (к = 1, 2, 3, ..., п) при соответствующих им перемещениях: ик, формула (3.10а) упрощается и записывается в виде

(3-106)

Плотность диссипации (рассчитываемая, как и работа внешних воздействий, на единицу площади вновь образовавшейся поверхности трещины) имеет вид

Предельное равенство d^dA г Иш(А//АД) при АЛ-^-0 понимается так, как об этом мы условились выше.

Таким образом, мы получили для удельной работы разрушения два способа ее вычисления: по формуле (3.1), содержащей физические величины, локализованные на фронте трещины, и по соотношению (3.9), имеющему смысл уравнения баланса полной энергии. Второй способ наводит на мысль о том, что удельная работа разрушения представляет собой остаток полной работы над системой после ее расхода на диссипацию, увеличение кинетической энергии и энергии упругих деформаций.

Заметим, что в процессе роста трещины силы и перемещения могут изменяться. Некоторые из этих изменений задаются, остальные определяются задаваемыми изменениями как зависимые переменные (реакции). Такой способ управления системой считается возможным (при некоторых допущениях о пове-

дении материала), если при этом возможен квазистатический рост трещины, т. е. ее продвижение путем смены следующих друг за другом состояний равновесия, когда dT/dA = 0. Под виртуальным подрастанием трещины мы будем понимать любое бесконечно малое ее продвижение, происходящее квазистатически, когда внешние воздействия (силовые или компоненты перемещения по всем направлениям во всех точках границы) остаются неизменными.

Соотношение (3.9) можно переписать в виде уравнения

(3.12)(3.12)S^C-VD,

(3.12)

(3.12)

отражающего равенство затрат чисто механической энергии

dT йФ dA dAdT йФ dA dA(3.13)(3.13)

dT йФ dA dA

dT йФ dA dA

(3.13)

(3.13)

и полной диссипации С + D в теле с трещиной. Ниже мы обсудим смысл обеих частей равенства (3.12); начнем с выражения S' для упругого материала.

Квазистатический рост трещины в упругом теле

§dA = W dA-dФ,§dA = W dA-dФ,(3.14)(3.15a)(3.156)(3.14)(3.15a)(3.156)Для упругого материала величину ^, определенную по формуле (3.13), обычно называют трещинодвижущей силой; в противоположность этому правая часть равенства (3.12) представляет собой сопротивление продвижению трещины, если трещина на самом деле растет. В рассматриваемом здесь квазистатическом случае трещинодвижущая сила определяется по формуле

§dA = W dA-dФ,

§dA = W dA-dФ,

(3.14)

(3.15a)

(3.156)

(3.14)

(3.15a)

(3.156)

где W dA = (pz du^ dS + (6Z du^dV,sv

или W dA = Pk duk,

причем энергия деформации Ф зависит только от площади трещины А и текущих значений усилий pi, bi, Рк 1}. С другой стороны, энергию деформаций Ф можно считать зависящей от А и перемещений щ, ик в точках приложения усилий. Наличие этих зависимостей подразумевает настолько большие упрощения, что развиваемая теория разрушения оказывается применимой в широких масштабах лишь для упругих материалов.

!) Напомним, что указанная однозначность данной зависимости предполагает выполнение условий адиабатичности или изотермии.

Вычисление трещинодвижущей силы через скорость изменения энергии

Приведем одну полезную интерпретацию определения (3.14). Начнем с изучения эффекта воздействия двойной сосредоточенной силы, изображенной на рис. 3.3,6. Выражение (3.14) с учетом формулы (3.156) принимает вид

SdA = Pdu — dФ.(3.16)

В частном случае линейноупругого материала имеем выражение ф = 1/2р^(3.17)

которое можно вывести из равенства (3.16), предполагая, что величина А остается неизменной. Иллюстрация всех величин.

Рис. 3.3. Возможный путь изменения нагрузки для растущей трещины. Определение силы ^, продвигающей трещину.Рис. 3.3. Возможный путь изменения нагрузки для растущей трещины. Определение силы ^, продвигающей трещину.

Рис. 3.3. Возможный путь изменения нагрузки для растущей трещины. Определение силы ^, продвигающей трещину.

Рис. 3.3. Возможный путь изменения нагрузки для растущей трещины. Определение силы ^, продвигающей трещину.

входящих в (3.16), приведена на рис. 3.3, а. Отрезками OF и OF' изображены нагружение и разгрузка тела с трещиной, площадь которой равна соответственно А и А + dA; кривая Р^и, Д) представляет собой график функции, которая может связывать нагрузку Р и перемещение и при движении трещины. Произведение Pdu равно, очевидно, площади фигуры EE'F'F, dФ— разности площадей под отрезками OF' и OF; таким образом, имеем

dФ = ф (Л + dA) — Ф (Д) = OE'F' - OEF.

Следовательно, в формуле (3.16) фигурирует сумма

^ dА = EE'F'F + OEF - OE'F' = OF'F,

равная площади фигуры, ограниченной кривыми нагружения в состояниях А и А + dA и траекторией Р^и, А). Имея кривую Р(и.А) и кривые нагружения, соответствующие близким значениям площади трещины, можно, таким образом, следить за изменениями трещинодвижущей силы в процессе роста трещины. Полученную геометрическую картину можно описать аналитически двумя способами в соответствии с рис. 3.4, а и б.

Рис. 3.4. Альтернативные способы определения силы, продвигающей трещину.

Во-первых, величину ^dA можно рассматривать как уменьшение потенциальной энергии деформации Ф, соответствующее увеличению площади поверхности трещины при неизменном и. Следовательно,

<3-18>

поскольку площадью треугольника справа от прямой и = const при бесконечно малом увеличении А можно пренебречь. С другой стороны, SdA можно отождествить с увеличением дополнительной энергии

Q = Pu — Ф,(3.19)

если усилие Р в процессе роста трещины остается постоянным. Таким образом,

^=(44) ИЛИ ® = Р(-^Л -(4т) •(3.20)

к о А ) рк ЭА )р к дА ) рх ’

телом делится пополам, т. е. половина ее расходуется на продвижение трещины, половина — на изменение энергии деформации.

Обобщения-соотношений (3.17), (3.19) типа (3.18) и (3.20), выполняющиеся для любых распределенных или сосредоточенных нагрузок, можно выразить через функции

Q = J р.и. dS 4- J b^ dV — Ф,(3.22а)

sv

Q = ркик — ф,(3.226)

причем в случае линейной упругости Q = Ф.

Соотношения (3.18), (3.20) и (3.22) устанавливаются без труда с использованием только условия однозначности функции энергии деформации (см. приложение Д); при этом для доказательства формулы (3.18) необходимо предположить, что bi = = 0. Данная формула справедлива тогда, когда перемещения считаются заданными, в то время как для выполнения равенств (3.20) необходимо предполагать задаваемыми фиктивные нагрузки. Можно также придумать некоторый смешанный способ управления рассматриваемой системой, когда одновременно задаются и перемещения, и усилия. Этот обобщенный способ можно формализовать с использованием потенциальной энергии П, получая при неизменных воздействиях

^=--^. где П = Ф — ^p^dS — ^biUtdV. (3.23) spv

Здесь Sp — часть поверхности, где задаются усилия pi. Формула (3.23) содержит в себе ранее найденные результаты; в самом деле, П = Ф, если заданными считаются перемещения (в предположении, что 6/ = 0), и П = —Q при задаваемых нагрузках. Следовательно, мы можем сформулировать общее утверждение о том, что трещинодвижущая сила в упругом материале равна скорости уменьшения потенциальной энергии, соответствующей виртуальному приращению трещины.

Обсудим следствия формулы (3.17), вводя линейную зависимость u = Z(A)P, где 2(A) — так называемая функция податливости, предполагаемая здесь однозначной функцией параметра А. Соответственно

ф=1/2р2/ = „2/2/е(3.24>

Следовательно, из формул (3.21) и (3.18) получаем

з=х№2^ = -(3-25>

Методы податливости (использующие понятие «функция податливости»), упомянутые в разд. 2.2, основаны на идеях настоящего раздела. В частности, нетрудно видеть, что вывод формул для трещинодвижущей силы равносилен определению функции податливости 7(Д). Ее можно найти аналитически (как в рассмотренных ниже простых примерах 3.1 и 3.2), а также численно или из эксперимента.

Пример 3.1. В экспериментах по разрушению широко используются образцы в виде двухконсольной балки (ДКБ). Предполагая, что каждая из балок тонкая (/ 3> h, см. рисунок), и

вспоминая элементарную теорию изгиба, имеем для плоского напряженного состояния

z/ = 2P/3/(3E/), I = ^1X^2.

Если речь идет о плоской деформации, когда ширина балки много больше ее высоты, то в этом выражении вместо Е появится коэффициент £/(1 —v2). Таким образом, Z = 2/3/(3£/), л, следовательно, формула (3.25) дает

_ Р2 dZ _ Р2 2/2 _ и2 9EI — 2/ dA — 2t EI ~ 2t 2Z4 *

Пример 3.2. В решении задачи, рассмотренной в примере 1.1, содержится такой результат:

7 _ Н _ Нх\Еа т)^ (Л* — Д)

(куда входит полная площадь At = А + а* 1) — это видно из •формулы (1.1) при о = Р/а. Следовательно,

и2 d^Z"^ _ т\Е .

2 dA 2Н U ’

что согласуется с соотношением (1.4).

Вычисление трещинодвижущей силы

через коэффициент интенсивности напряжений

Для чисто упругого материала имеет место равенство ^ = С; поэтому в соотношении (3.12) величина D = 0. Следовательно, при попытке установить связь величины S' с параметрами поля вблизи вершины трещины можно обратиться к формуле (3.1).

Величина

/ (б)\

-^АД = Ц $ PiduAdS, АД—>0,(3.26)

s+

теперь равна работе над упругой средой при переходе от состояния а, в котором на траектории будущей трещины имеются поверхностные усилия р^ к состоянию б, когда после прохождения трещины р? = 0. Здесь мы рассматриваем ненагруженную трещину; позже к этому допущению мы еще вернемся. Таким образом, история напряжений представляет собой процесс постепенной разгрузки за фронтом трещины после его прохождения с одновременным изменением напряженного состояния материала перед трещиной. В то же время из формулы (3.18) видно, что эта работа равна изменению величины АФ при переходе системы из одного состояния в другое; ее можно вычислять по любому пути перехода от а к б. Следовательно, вместо того чтобы рассматривать истинную сложную историю изменения напряжений, мы имеем возможность перейти к состоянию б более простым путем, уменьшая в одинаковой пропорции компоненты усилия pi до нуля (р^ = 0) на всей поверхности S+. Отсюда следует способ вычисления элементарной работы: часть поверхности трещины S^ нагружается дополнительными силами, изменяющимися от 0 до — раИ так что трещина постепенно раскрывается вдоль АД, переходя в конечное состояние, характеризуемое полем перемещений и^.

Принципиальным моментом является то, что мы рассматриваем двумерные задачи, когда поля не зависят от координаты х3 в декартовой системе Xi, х2, х3. Следовательно, площадь поверхности трещины можно заменить ее длиной /, считая толщину по направлению Хз равной единице и отсчитывая координату х\ по направлению, параллельному траектории движения вершины трещины (рис. 3.5). Используя в выражении (3.26) значение pi=—аг/ (+<*2/) на верхней (нижней) стороне трещины и полагая ut = ut наверху и щ = и” внизу, можно получить еле-

дующую формулу:дующую формулу:м г (б)м г (б)^ = Hm^\AZ"*0 о Ц^ = Hm^\AZ"*0 о ЦUt — UT^ ^xvUt — UT^ ^xv(3.27)(3.27)

дующую формулу:

дующую формулу:

м г (б)

м г (б)

^ = Hm^\

AZ"*0 о Ц

^ = Hm^\

AZ"*0 о Ц

Ut — UT^ ^xv

Ut — UT^ ^xv

(3.27)

(3.27)

Для указанного выше пути пропорционального уменьшения нагрузок и линейноупругого материала полученное выражение преобразуется к виду м

= 2™ 2^Г $ а« ^ -и?^6 dX'■(3,28)

здесь учтено, что дополнительные нагрузки пропорциональны перемещениям во всех точках поверхности разрушения.

Рис. 3.5. Стадии роста трещины.Рис. 3.5. Стадии роста трещины.

Рис. 3.5. Стадии роста трещины.

Рис. 3.5. Стадии роста трещины.

Далее будем предполагать, что начало системы координат совпадает с вершиной трещины, как показано на рис. 3.5, а. В случае симметрии (деформации трещины типа I, рис. 2.5, а) или антисимметрии (дефирмаш-н типов II и III) по отношению к плоскости х2 = 0 напряжен я и перемещения совпадают с определяемыми по формулам (2.33), в которых К\—Кш— коэффициенты интенсивности напряжений. Эти функции вносят основной вклад и в поля вблизи вершины, и в пределе при А/-^0 только от них и зависит штеграл (3.28) 1}.

п Имея это в виду, заметим, что рассматриваемый интеграл не изменился бы, если бы вместо нулевых напряжений o^i рассматривались некоторые ненулевые, но конечные напряжения. Последнее означает, что на трещину действуют заданные нагрузки, т. е. трещина не свободна, как вначале и предполагалось. Следовательно, найденная формула будет справедливой даже в том случае, когда вновь образовавшаяся поверхность трещины нагружена. Аналогичные рассуждения показывают, что полученный результат остается в силе и для трещины с произвольным криволинейным фронтом, если под Ki->Km понимать локальные коэффициенты интенсивности напряжений (напомним, что по предположению имеет место плоская деформация; справедливость данного вывода обосновывается тем, что в пределе при Д/->0 кривизна трещины в найденной формуле исчезает).

Итак, пусть дана трещина, состояние а которой показано на рис. 3.5, а (ср. с рис. 3.2); тогда напряжения о2ь определяемые по формулам (2.33), следует положить равными о“.. С другой стороны, пусть перемещения и^ задают геометрию трещины после непрерывного перехода в состояние б (рис. 3.5,6). В пределе, когда М = 0, эта геометрия получается трансляцией поля на фронте трещины, так что перемещения u6t будут определяться по формулам (2.33), в которых Xi следует заменить на А/ — Хь Указанные преобразования приводят к равенству

м

$ »Ь[^№ + ^ + №„]х О

м

о

последний интеграл в котором оказывается равным лА//2. И наконец, вводя обозначение р = (х + 1)Е/(8С), из формулы (3.28) получаем выражение

1 для плоского напряженного состояния, когда

Озз= 0>

1 — v2 для плоской деформации, когда е3з = 0,

(3.29)

если только трещина движется в одной плоскости. При деформации чистого раскрытия (отрыв, когда /Сп = /<ш = 0)

(3.30)(3.30)^ = (Р/Е)^;

(3.30)

(3.30)

если же реализуются деформации трещины типов II или III, то в выражении (3.29) останется соответственно только второе или третье слагаемое.

Пример 3.3. Пусть требуется найти коэффициент интенсивности напряжений для образца, рассмотренного в примере 3.1. Формула (3.30) нам дает

„ Pl /ЛГ pi

Этот результат другим способом найден в приложении В (см. формулу (В.12)).

Аналогичным образом для пластины, рассмотренной в примере 3.2 (рис. 1.2), получаем

Kt=Eu№H»f.

Данный результат без труда можно преобразовать к виду (В.13).

Связь трещинодвижущей силы с /-интегралом

Обозначим через 2 область на рис. 2.12, ограниченную замкнутой кривой Г, и предположим, что эта кривая стягивается к концу трещины (2-^0). Внутри рассматриваемой области градиенты настолько велики (при подходе к вершине трещины они стремятся к бесконечности), что превосходят все локальные производные по длине трещины. Следовательно, все поля в области 2->0 будут «стационарными» в том смысле, что они при малом продвижении трещины испытывают в основном поступательный перенос. (Это свойство мы предвидели и использовали при иллюстрации перехода на рис. 3.5.) Придавая внешним воздействиям приращение, продвигающее трещину на небольшое расстояние вперед, и проводя наблюдения из фиксированной точки поверхности 2, мы бы имели такую же картину изменений состояния трещины, как если бы продвинулись на расстояние, равное приращению длины трещины в сторону, противоположную движению трещины. Короче говоря, имеет место следующая формула замены операции дифференцирования:

применимая к любой функции переменных Xi и Z, где лч отсчитывается от неподвижного начала координат. Следовательно, правая часть соотношения (2.48) равна

С ди. С ди.

— \ Pi~dx^ ds=\ р1~дГ ds’ <3'32)

г 1 г

и ее можно отождествить со скоростью работы (рассчитываемой на единицу толщины) окружающей среды над материалом внутри кривой Г при движении трещины. Аналогично величину ^ wdx2- 1 можно рассматривать как полную энергию деформа- г

ции, вносимую частицами среды внутрь 2 (на единицу толщины) при росте трещины, когда рассматриваемая область движется вместе с вершиной трещины. Таким образом, суммарная величина (т. е. 7-интеграл) равна полному расходу механической энергии на образование единицы площади новой поверх-

ности трещины, а также равна трещинодвижущей силе !). Итак, предполагая, что материал тела упругий и что массовые силы пренебрежимо малы, приходим к простой формуле

1 = 3,(3.33)

которая дает очень важную физическую интерпретацию такого понятия, как 7-интеграл.

И наконец, используя формулы (3.29) или (3.30), замечаем, что в случае линейноупругого материала Z-интеграл выражается через коэффициенты интенсивности напряжений следующим образом:

7 = ^+ -^ + 1+2^(3.34)

при наличии всех трех типов деформации трещины; для типа I J = ^-KV(3.35)

Для плоского напряженного состояния (Р = 1) последняя формула другим путем была выведена ранее — см. формулу (2.51). Подчеркнем, что более прямой (и, разумеется, более общий) способ нахождения связи 7-интеграла с коэффициентами интенсивности напряжений заключается в подстановке упругого решения для окрестности вершины трещины в определение (2.48).

Пример 3.4. Обратимся вновь к примеру 3.2 (рис. 1.2), пытаясь теперь найти S' с использованием 7-интеграла. Удобный

для вычислений путь интегрирования можно выбрать так, как показано на рисунке: по горизонтали вдоль краев трещины и вдоль вертикальных отрезков, удаленных от вершины трещины. На горизонтальных участках мы имеем dx^ = 0, U\ = 0 = р3,

1} Уравнение баланса

w dx2 = —^ ^ w d^ = — -^ (Ф внутри 5) Г2

является следствием теоремы Гаусса и формулы (3.31). Следовательно, для установления полученного ниже равенства (3.33) можно применить соотношения (3.20) и (3.22а).

и2 = const; напряжения на вертикальных отрезках слева можно считать равными нулю, так что ср = pt = 0. Следовательно, вклад в выражение (2.48) дает только интеграл по вертикальному отрезку справа; можно, очевидно, предположить, что перемещения здесь не зависят от переменной лц и направлены по вертикали, следовательно, ненулевая компонента тензора деформаций г^ = и]Н. Таким образом, имеем выражение для плотности энергии деформаций

w = ф = '/2^22822 = ‘/гП^ = у’

из которого вытекает уже известный нам результат

^ = 7 = Яф = ^и2.

Рост трещины в упругопластическом теле

Имеются весомые аргументы в пользу того, что чисто упругая модель совершенно непригодна в качестве основы для детального описания тех процессов, которые происходят в наиболее интересной для механики разрушения области — на фронте трещины. Тем не менее предположение об упругости позволило нам ввести качественные характеристики, а также получить некоторые количественные результаты, оказавшиеся очень полезными при исследовании значительно более сложного упругопластического состояния. В частности, в гл. 2 мы рассмотрели количественные характеристики очага пластического течения, такие, например, как длина пластической зоны или раскрытие трещины, выражающиеся через коэффициенты интенсивности напряжений в тех случаях, когда пластическое течение сильно локализовано или же является маломасштабным, так что оно полностью определяется полем напряжений в окружающей упругой области. Аналогичные замечания можно сделать и в отношении параметров ^ и /, имеющих энергетическую природу (об этом мы поговорим позже). Однако в случаях, когда пластическая зона велика, возникает ряд проблем, в которых следует более тщательно разобраться.

О значении сингулярных напряжений

В разд. 3.2.2 было показано, что для объяснения, почему при разделении на части чисто упругого тела затрачивается положительная работа (С=^>0), необходимы напряжения с особенностью вида г-1/2, характеризуемой коэффициентами интенсивности напряжений Ki—/Сш. Формально напряжения с особенностью оказались следствием линейности определяющих

уравнений и геометрических соотношений. Если бы вместо предположения о линейности были привлечены более строгие гипотезы, позволяющие учесть влияние больших значений градиентов перемещений, то предположение о конечности удельной работы разрушения могло бы быть отброшено- в пользу более детального описания полей вблизи вершины трещины. Заметим, однако, что концепция используемых при этом альтернативных полевых характеристик в единой скалярной характеристике С (которую к тому же, как подсказывает интуиция, можно отождествить со столь привлекательным понятием, как «идеальная микроработа») оказывается весьма удачной, поскольку данный путь дает нам в руки теорию, пригодную для решения практически важных задач. С другой стороны, выявилось, что для достаточно произвольного типа поведения материала подобного рода оценки первого приближения не приводят, вообще говоря, к плодотворным результатам. В работе [141] были указаны те обобщения использованных выше гипотез, при которых для отличия от нуля удельной работы разрушения всегда необходима сингулярность напряжений. Наличие особенности напряжений в вершине стационарной (разд. 2.8.2) и устойчиво- растущей трещин формальным путем установлено для упругопластических материалов с упрочнением, а также для материалов, поведение которых зависит от времени (вязкоупругих и вязкопластических), что может иметь место при соответствующих температурных условиях. Отметим, что для обеспечения условия С > О иногда высказывалась даже гипотеза о том, что порядок особенности должен быть таким, каким он оказался в случае упругого материала [144, 145]; тогда в развиваемой обычным способом теории формально исключается понятие удельной работы разрушения как внутренней характеристики любых материалов, поведение которых не зависит от времени (кроме линейноупругих). На этом пути были высказаны и сформулированы самые различные и иногда противоречивые точки зрения вплоть до предположения о том, что для сохранения критерия С (или ему подобных) порядок особенности следует увеличить. Ясно только одно, что без такого рода гипотез условие С = О будет выполняться лишь в случае ограниченности напряжений в вершине трещины; иллюстрация этого положения будет дана ниже.

Соотношения квазистатики для маломасштабного пластического течения

Очевидно, что из определения силы, продвигающей трещину (см. формулу (3.13) при условии dT = 0), как положительной разности работы внешних воздействий и накопленной энергии

упругих деформаций следует, что при прогрессирующей локализации пластического течения эта сила будет стремиться к ее значению в чисто упругом материале. Имеем, таким образом

+(3.36)

Последнее равенство было найдено для чисто упругого материала. Кроме того, разность значений /-интеграла для случаев наличия зоны маломасштабного пластического течения и без таковой также будет стремиться к нулю, поскольку 7-интеграл можно вычислять для контура, удаленного от вершины трещины настолько, что влиянием небольшой пластической зоны вблизи вершины можно пренебречь1). Следовательно, J-+Jei, и, учитывая формулы (3.12) и (3.36), при предельной локализации пластического течения получаем

^ = /4 ^1+4^11 Ч^^^С + А (3.37)

что можно было предвидеть на основании равенства (3.33). В частных случаях каждый из членов этого равенства может сказаться равным либо только удельной работе разрушения С, если материал чисто упругий, либо плотности (на единицу объема) объемной энергии диссипации D в неупрочняющемся материале, напряжения в котором ограничены сверху некоторой постоянной.

Для проверки последнего утверждения (подтверждающего выводы разд. 3.3.1) обратимся к найденной ранее формуле (2.49), определяющей 7-интеграл в случае модели Дагдейла. Заметим, что формула (3.31) будет законной и в рассматриваемой ситуации, если только зона пластического течения в достаточной степени локализована; в результате такой замены получаем

Z+c

7= от^- (и+ — и~^ dxv(3.38)

1

Поскольку найденное выражение можно интерпретировать как работу пластического деформирования (в зоне пластического течения) при продвижении трещины на единицу длины в пластине единичной толщины, то его можно отождествить с диссипацией D. В частности, для модели Дагдейла из формул (2.50) и (3.37) видно, что

j = a^ = Ds С = 0.(3.39)

п Для проверки полной независимости от пути потребовалась бы оценка 7-интеграла вне произвольной пластической зоны.

В тех случаях, когда не вся подведенная энергия 9 переходит в объемную диссипацию D, иногда говорят, что процессы в зоне разрушения экранированы окружающим упругим материалом. Напомним, кроме того, что использование понятия 7-интеграла в равенствах (3.37) предполагает двумерность постановки задачи; появление выражения, содержащего кг«- )фнциенты интенсивности напряжений Кл—Кш, предполагав пинейную упругость материала, а вся совокупность выписанных равенсть имеет смысл только тогда, когда дальнейший рост трещины происходит в той же плоскости, в которой располагается начальная трещина. Анализируя самое правое из равенств в цепочке (3.37), можно прийти к выводу о том, что три скалярных параметра Xi— Хш, введенные первоначально для напряжений упругости вблизи вершины трещины, определяют 1акже и диссипативные механизмы, если только последние в достаточной степени локализованы.

И в заключение этого раздела попытаемся дать количественное определение того, что мы до сих пор весьма туманно называли маломасштабным или локализованным пластическим течением Для решения этой задачи можно сравнить два таких характерных размера, как протяженность пластической зоны и дл .На трещины /. Первый из указанных параметров для типа I деформации трещины имеет порядок 0,l(Xi/oT)2, где от — начал! ный предел текучести; следовательно, любой параметр, пропорциональный отношению

^ = К\]1^ (3.40)

(для других типов деформации трещины следует ввести соответствующий аналог безразмерной длины трещины) будет служить мерой протяженности зоны пластического течения. Эмпирическим путем установлено, что говорить о локализации с уверенностью можно тогда, когда соотношение (3.37) с нужной степенью точности выполняется при значениях а ^0,1. Заметим, что упругопластическое состояние при предельном значении а = 0 не следует смешивать, как это иногда случается, с состоянием чистой упругости. Очевидно, что для данного предельного упругопластического состояния распределение напряжений с особенностью меняется (и это — следствие локального пластического течения) на некоторое другое распределение всюду ограниченных напряжений.

Экспериментально-графическая интерпретация 1-интеграла

Отметим, что в общем случае (например, при развитом пластическом течении) инвариантному 7-интегралу не может соответ-

ствовать непрерывно растущая трещина !); объясняется это тем, что используемое при проверке инвариантности условие w = = w(&ii) наверняка не выполняется в разгруженном материале за фронтом трещины. Ясно, и об этом мы говорили в разд. 2.6, что Z-интеграл может характеризовать состояние в вершине стационарной трещины и, следовательно, служить мерой близости:

Рис. 3.6. Интерпретация 7-интеграла с использованием результатов опытов на двух образцах.

состояния к критическому при решении вопроса о страгивании трещины. Если предположить, что процессы деформирования в заданном упругопластическом материале простые, то значение 7-интеграла здесь совпадает с его значением в некотором фиктивном нелинейноупругом материале, связь напряжений с деформациями в котором совпадает с соотношениями для упругопластического материала при активном нагружении. В последнем случае нам известно соотношение 7 = ^, где S — величина^ которую можно связать, как это показано на рис. 3.3, с процессом роста трещины (подчеркнем, что линейность здесь не обязательна). Изложенные соображения окольным путем вновь привели нас к прежней графической интерпретации 7-интеграла: 7 АЛ — площадь между кривыми активного нагружения, соответствующими площадям Л и Л + АЛ трещины при АЛ->0 (рис. 3.6). Полученная графическая интерпретация является основой экспериментальных методов определения 7-интеграла при наличии развитого пластического течения. Основное

1} Такого рода соответствие, установленное в разд. 3.3.2, оказалось возможным благодаря предположению о сильной локализации. Отметим вместе с тем, что эта связь может существовать для очень небольших продвижений трещины (см. гл. 4).

(3.41)(3.42)(3.41)(3.42)соотношение может быть представлено в форме

(3.41)

(3.42)

(3.41)

(3.42)

их

где U = Р du

5

равно работе внешних воздействий, играющей роль Ф в соотношении (3.18); индекс 1 фиксирует уровень действующей нагрузки Р и соответствующего ей перемещения и.

Применим соотношение (3.41) для описания опытов с пластинчатыми образцами, толщина которых /, ширина несущей (неразрушенной) части а; конфигурация образцов показана в табл. 2.2, позиции 1—5. Если зоны пластического течения достаточно велики и материал упрочняющийся, то значения нагрузки Р близки к предельным Р ^ С^а в случае, когда в неразрушенной части образца преобладает растяжение; для преобладающего изгиба

Р ~ С#.

( Сх_ Рииt U atat2С2а2Ри2U—-— и = —— = —- /atat( Сх_ Рииt U atat2С2а2Ри2U—-— и = —— = —- /atatЗдесь Сь С2— некоторые постоянные 1). Замечая, что дР/дА = = — (1//) ^дР/да^, из второго из представлений (3.41) получим

( Сх_ Рии

t U atat

2С2а2Ри2U

—-— и = —— = —- /atat

( Сх_ Рии

t U atat

2С2а2Ри2U

—-— и = —— = —- /atat

(3.43)(3-44)(3.43)(3-44)при растяжении,

(3.43)

(3-44)

(3.43)

(3-44)

при изгибе,

причем равенство U = Ри соответствует случаю идеально-жесткопластического материала.

Интересно отметить, что формула (3.43) пригодна и для образца толщиной t с глубоким надрезом, показанного на рис. 1.2, безотносительно к структуре определяющего уравнения. Это утверждение доказывается повторением рассуждений примера 3.4 и заменой в итоговой формуле величины ср на U/(aHt) (вместо использованного ранее линейного представления). Аналогичное утверждение о применимости формулы (3.44) в случае глубокого надреза безотносительно к типу упругопластического поведения было впервые установлено Пэрисом [149]. Значение этих результатов для эксперимента мы обсудим позже.

1} Заметим, что в третьей задаче параметр р будет асимптотически пропорциональным а (при увеличении Lia).

Рост трещины и удельная работа разрушения

В чисто упругом материале удельная работа разрушения равна силе, продвигающей трещину; ее значения доступны в разных формах, в том числе в виде таблиц коэффициентов интенсивности напряжений при квазистатическом нагружении. В общем случае исследование процессов вблизи кончика движущейся трещины в неупругом теле является намного более трудным, что объясняется неизученностью многих аспектов проблемы.

Отметим, что построить аналитические модели процессов разгрузки на траектории кончика трещины трудно, поэтому в настоящее время мы располагаем немногими решениями лишь для идеальнопластического и линейноупрочняющегося материалов. Из этих решений видно, что для трещины, движущейся с постоянной скоростью в линейноупрочняющемся материале, порядок особенности напряжений в вершине уменьшается от г-1/2 для стационарной трещины до rs, где — l/2<S<0 [119]. Данный результат может сильно повлиять на решение вопроса об определении удельной работы разрушения (об этом говорилось в разд. 3.3.1). Упомянем также обнаруженный в работе [21] эффект выглаживания кончика трещины, движущейся с постоянной скоростью в идеальнопластическом материале, который является следствием логарифмической особенности и приходит на смену найденному ранее режиму скачкообразного раскрытия стационарной трещины.

Указать численные методы моделирования процесса роста трещины в принципе труда не составляет; так, в частности, для определения удельной работы разрушения можно непосредственно использовать ее определение (3.1). Ниже мы приведем описание реализации данного подхода и укажем на некоторые возникающие при этом сложности.

Предлагаемый метод решения заключается в разбиении тела на конечные элементы (разд. 2.2) и моделировании роста трещины путем последовательного удаления связей между смежными элементами вдоль предполагаемой траектории движения; данная процедура для плоской задачи и первого типа деформации трещины схематически представлена на рис. 3.7. Начальную трещину длиной / можно задать путем освобождения поверхностей разреза вдоль линии х2 = +0 и %i < 0. Снимая после этого узловую нагрузку Q, мы тем самым будем моделировать процесс продвижения трещины на расстояние А/. Штриховка на рисунке символизирует наличие зон, где идут собственно процессы разрушения; эти зоны бесконечно тонкие, однако их наличие имеет принципиальное значение, поскольку именно здесь проявляется физическая сущность явления. После удаления силы Q узлы расходятся на расстояние и; при этом работа>

Рис. 3.7. Определение удельнойРис. 3.7. Определение удельной

Рис. 3.7. Определение удельной

Рис. 3.7. Определение удельной

б

работы разрушения методом конечных элементов.

совершаемая над окружающей сплошной средой, будет отрицательной, а над зонами разрушения — положительной (рис. 3.7, б). Последнюю можно считать удельной работой разрушения С, умноженной на величину М и толщину t. Следовательно, в первом приближении интеграл (3.1) аппроксимируется выражением (рис. 3.8)

u(Q=0)

c = ^ 5 Qdu = Cw;(3.45)

О

более точная оценка может быть найдена путем осреднения интеграла по последовательно расположенным узлам £ = 1» 2, ... ..., п, т. е. п

<3-46>

в предположении о том, что при пМ-^О существует конечный предел.

Вместо использования приведенной здесь процедуры построения локальных оценок можно ввести в игру все нагрузки и перемещения, а также вариации энергий деформации и диссипации

\(\”iid^)dVe,

вызванные снятием силы в каждом элементе объемом Ve. Сумма этих вариаций по всей сетке конечных элементов будет некоторой аппроксимацией выражения в левой части равенства

Рис. 3.8. Численный аналог удельной ра-боты разрушения.

если только исследуемый процесс предполагать квазиста- тическим, т. е. dT = 0. Данная методика представляет собой оценку величины С на основе соотношений баланса полной энергии. Как можно видеть, величина С имеет смысл энергии диссипации, которая может быть локализована в вершине трещины, т. е. на границе сплошного тела, в то время как параметр D связан с пластической деформацией внутри тела.

Прямая оценка (3.45) имеет некоторые приложения в упру- гостатике. В частности, используя теорему Бетти, можно показать, что она может быть связана с методом податливости и использована для определения трещинодвижущей силы. Более перспективным представляется применение данной оценки для определения траектории трещины. С этой целью перебираются возможные направления ее распространения и среди них отыскивается критическое направление, например, из условия максимума величины С.

Еще одной областью применения данного метода является динамика трещины. Отметим, что в статике кривая разгрузки, показанная на рис. 3.8, определяется единственным образом, в то время как используемые до настоящего времени предположения о форме этой кривой в динамике носят достаточно произвольный характер. Возможно, они и могут послужить путеводной нитью на пути от базовых принципов к более

удовлетворительным и более правильным гипотезам, однако уверенности в этом пока нет. В этой связи укажем, что к настоящему моменту уже проведена определенная работа, основанная на релаксационной технике; результаты ее позволяют рассчитывать на успех.

С еще большими трудностями столкнулись в статике и динамике трещин в случае, когда зоны пластического течения развиты настолько, что их требуется учитывать явным образом. Возникающая здесь проблема связана с вопросом о стремлении правых частей выражений (3.45) или (3.46) к конечному пределу при М-^0 при численном моделировании и даже (если иметь в виду результаты разд. 3.3.1) с вопросом о существовании величины С. Практически реализуемый подход, который может приводить к хорошим результатам как для развитой трещины, так и на этапе ее зарождения, заключается в сравнении близких значений С, отношение которых может стабилизироваться задолго до достижения величиной С ее критических значений. Каннинен и др. [167] предложили модификацию метода, позволяющую обеспечить существование ненулевой удельной работы разрушения и улучшить сходимость; указанная модификация состоит во введении в явном виде в модель процесса зоны конечных размеров, в которой происходят собственно процессы разрушения. Этот подход привлекателен с физической точки зрения и согласуется с предсказаниями макроскопической теории, однако требует большой вычислительной работы. Позже мы еще вернемся к возможностям развитого метода применительно к исследованию процесса устойчивого распространения трещины, который мы будем изучать также методами, не использующими энергетических характеристик.

Зоны сцепления

Под зоной сцепления подразумевается узкий тонкий слой, расположенный вблизи фронта трещины, через который передаются усилия взаимного притяжения близких берегов трещины, зависящие от некоторого параметра (или параметров), определяемого процессом разрушения. Будем рассматривать частный случай деформации типа I в так называемой модели продолжения трещины, в которой зона сцепления представляет собой гипотетическое продолжение раскрытой трещины, причем в области продолжения материал отсутствует (рис. 3.9)-.

Применительно к проблеме хрупкого разрушения концепцию зоны сцепления отстаивал Баренблатт [95], который предполагал (неявно) существование связи между напряжением 022 вблизи кончика трещины (Z < х < I + с) и раскрытием й2 (Z < х < I + с) = и* — и™ ее продолженных берегов. Длина с

зоны сцепления вводится с тем, чтобы ликвидировать особенность в острой вершине трещины при х = I + с и обеспечить гладкое смыкание берегов трещины, как показано на рисунке. С формальной стороны данный подход представляет собой разновидность модели Дагдейла, в которой перед трещиной действует напряжение о22 = от. Однако физической предпосылкой

Раскрытая трещинаРаскрытая трещинаПродолжение трещины сПродолжение трещины с

Раскрытая трещина

Раскрытая трещина

Продолжение трещины с

Продолжение трещины с

= I

Рис. 3.9. Гипотетическая зона сцепления длиной с, примыкающая к раскрытойтрещине.

модели Баренблатта было представление о расхождении атомов решетки, при котором в небольшой зоне продолжают действовать большие, но все же конечные напряжения. В противоположность этому в модели Дагдейла длина пластической зоны представляет собой макроскопическую величину, и, следовательно, определяющим физическим механизмом здесь является пластическое течение без разрушения.

Работа, требуемая по предположению для разрушения материальной частицы, лежащей на траектории трещины, отнесенная к единице площади вновь образовавшейся поверхности, равна

д

О'22 ^^2 = iz* (3-47) о

Здесь 6 — раскрытие кончика трещины у зоны разрушения. Выписанное выражение для работы уже известно нам как 7-интеграл, соответствующий охватывающему зону сцепления контуру

(см. формулу (2.49) и рис. 3.10). Аналогичная, однако не идентичная /-интегралу мера энергозатрат равна работе над зоной сцепления, передаваемой через ее границы и отнесенная к единице длины зоны сцепления при заданном гипотетическом продвижении кончика трещины:

/+с_

j ^^ахх = С=.(3.48)

В обоих случаях предполагается, что напряжение о22 не имеет особенности при I ^ Xi ^ / + с. Если зона сцепления мала на-

Рис. ЗЛО. Зависимость о^^), постулируемая в теории зон сцепления; в соответствии с этим постулатом удельная работа разрушения отождествляется с 7-интегралом, вычисленным по контуру, охватывающему зону сцепления.

столько, что ее характеристики почти стационарны, можно использовать замену (3.31) и получить следующую формулу:

Z + c_

cz=- \ O22^dxx = jz.(3.49)

Теперь можно без особого труда составить уравнение баланса полной энергии типа (3.9), оперируя при этом с энергией С2 переноса кончика трещины вместо используемой ранее потери энергии С.

Таким образом, имеем

Высказанные здесь соображения во всех деталях согласуются

с теми, о которых шла речь в разд. 3.1, если временно силы сцепления (когезии) считать внешними воздействиями, приложенными к части поверхности Sc тела, и полагать С = 0. Последнее означает, что, как и предполагалось ранее, особенности напряжений, которые могли бы обеспечить выполнение условия 4 > 0, ликвидированы.

Рассматривая тело под нагрузкой и принимая гипотезу об упругости материала, когда D = 0, нетрудно убедиться в том, что при с—>0 левая часть равенства (3.50) совпадает с левой частью равенства (3.9). Применяя формулу (3.49) для случая статической двумерной задачи и используя независимость /-интеграла от пути, можно получить некоторую дополнительную информацию. В частности, можно показать, что в пределе выполняются равенства С = Cz и S' = С2; это означает, что с точки зрения баланса энергии построения Гриффитса и Баренблатта эквивалентны.

Гаким образом, в модели сил сцепления плотность работы разрушения равна площади Jz под когезионной кривой (см. формулу (3.47) и рис. 3.10), а локальная работа, отвечающая переносу кончика трещины, в соответствии с определением (3.48) равна величине Сг. Равенство указанных двух мер достигается при С = 0, причем, как вытекает из формул (3.23) или (3.10), это общее предельное значение применительно к некоторому другому упругому телу будет равно трещинодвижущей силе

Обобщенное понятие удельной работы разрушения 1г или Сг может оказаться ключевым в использовании энергетического подхода вне рамок простейших теорий сплошной среды. Подтверждением сказанному могут послужить те многообещающие шаги, которые уже сделаны применительно к изучению бетона и волокнистых композитов [180—183]. В этих работах зона сцепления введена в модель частичного растрескивания или выдергивания волокна впереди раскрытой трещины с той целью, чтобы при наличии достаточных экспериментальных данных оценить когезионные свойства материала. Дальнейшее развитие данного подхода может пойти по пути введения параметров разрушения, управляющих эффективным напряжением сцепления, что предложено в работах [184, 185].

Наш опыт пока ограничен исследованием неразрушенного упругого материала, однако существует неиспользованная возможность применить энергетический метод для того, чтобы разобраться в эффектах, обусловленных и наличием конечной зоны сцепления, и неупругим поведением окружающего материала. Этот метод может привести к более строгой теории реальных процессов разрушения и дополнить модель, о которой шла речь в конце разд. 3.3.4. Метод можно считать достаточно физически

обоснованным, однако трудности, возникающие при его численной реализации, несколько расхолаживают, поскольку для получения подробной информации требуется очень мелкая сетка. Необходимость провести систематическое исследование таких приложений метода пока не привлекла внимания специалистов.

О зонах сцепления в настоящей книге мы более упоминать не будем; детальные сведения можно найти в цитированных публикациях.

Задачи

Длинная упругая балка прямоугольного поперечного сечения имеет продольный сквозной разрез, как показано на рисунке. В средней его части приложены две силы Р, стремящиеся раскрыть разрез. Предполагая, что»

А <С Z, применить метод податливости для вывода следующей формулы для трещинодвижущей силы:

ЗР2/2

используя результаты, установленные для одиночной трещины в условиях плоского напряженного состояния; определить далее коэффициент интенсивности напряжений

К -1 А Pl^ih th'

Указание. Для сохранения симметрии предполагать, что оба кончика трещины движутся одновременно, причем с каждым из этих процессов связана энергия своей половины балки.

Упругая стойка прямоугольного поперечного сечения толщиной / имеет продольный разрез длиной /, начинающийся вверху. Предполагая, что h <С к

^1

t ’

соответствующих двум указанным на рисунке нагрузкам.

Рис. к задаче 3.3.

Значение J-интеграла приближенно можно найти по формулам

1 А[// А/1 А[// А/т ™

1 А[/

/ А/

1 А[/

/ А/

ИЛИ J = —;,

ta

Вторая формула относится к случаю изгиба образцов с глубоким надрезом. Для показанного на рисунке нагружения образца тремя силами с использованием (воображаемых) кривых нагружения для трех близких значений длины трещины вычислить обоими способами /-интеграл, равный 0,1 МН/м, при следующих исходных данных: ЦЬ = 0,6, и = 1 мм.

Глава 4

СТРАГИВАНИЕ И РОСТ ТРЕЩИНЫ:КРИТЕРИЙ И СТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Как уже отмечалось в гл. 1, существует много гипотез, позволяющих судить о том, является ли данное состояние вблизи вершины трещины критическим. С формальной стороны ситуация здесь аналогична той, которая возникает в проблеме перехода материала в данной точке из упругого состояния в упруго- пластическое. Для суждения о критичности некоторого состояния должна выбираться определенная мера (или меры); применительно к проблеме упругопластического перехода таковой может служить заданная инвариантная функция компонентов напряжений — «эффективное» напряжение. При описании процесса роста трещины мерой может быть удельная работа разрушения, коэффициент интенсивности напряжений, раскрытие трещины и т. п. В обоих случаях мы полагаем, что один или несколько параметров, претендующих на роль меры, можно сравнивать с одной или несколькими постоянными — характеристиками данного материала. Равенство меры .константе (или равенство функций от них) и определяет критическое состояние. Обычно в задачах о трещине характерные постоянные материала связываются с потерей сплошности во многом подобно тому, как предел текучести связывается с переходом от состояния упругости к состоянию пластического течения.

Теория Гриффитса

Для того чтобы отдать дань истории и одновременно реализовать возможности, заложенные в соотношениях энергетического баланса (о которых шла речь в гл. 3), естественно начать наше систематическое исследование критических состояний с еще одного обращения к идеям Гриффитса. Гриффитс, как известно, вначале изучал материалы, которые можно считать чисто упругими (в частности, стекла); для таких материалов соотношения (3.12) и (3.13) дают равенства

поскольку по предположению D = 0. Применительно к полученному равенству гипотеза Гриффитса состояла в том, что для

трещины, движущейся в материале заданным образом при заданных внешних воздействиях, удельная работа разрушения С равна характерной для данного материала постоянной 2у. Отсюда следует, в частности, что

^ = 2у = const, (4.2)

где у — величина, которую следует интерпретировать как поверхностную энергию одной из поверхностей вновь образовавшейся трещины. Ясно, что условие (4.2) применимо для описания процесса передачи энергии тогда, когда трещина движется. Для того чтобы данное условие можно было использовать как достаточное при решении вопроса о страгивании трещины, ему необходимо придать более тонкий смысл. Обычно полагают, что трещина начинает двигаться, если равенство (4.2) выполняется для значений ^, соответствующих малым ква- зистатическим движениям, или с использованием ранее введенной терминологии, виртуальным приращениям трещины. Тогда из формулы (3.23) следует, что

причем может использоваться любая из форм (3.18), (3.20) или (3.33), каждая из которых соответствует своим (указанным ранее) ограничениям.

Следствия, вытекающие из данного предположения, можно рассмотреть на следующем примере. Пусть образец в форме кубика лежит на столе, к нему прикладывается горизонтальная сила Р и, следовательно, возникает противоположно направленная реакция сил трения f. Работа, затраченная на перемещение ds кубика, равна, очевидно, приращению кинетической энергии

(Р-Н ds = dT, или в другой форме

где f— работа сил трения на единичном перемещении. Полученная формула имеет тот же смысл, что и выражение (4.1). Предполагая, что при скольжении кубика работа сил трения равна постоянному критическому значению, т. е. f = F = const (ср. с равенством С = 2у), мы тем самым определяем критическое значение нагрузки Р, при которой начинается движение.

Из приведенных соображений ясно, что рассматриваемая задача в ее первоначальной постановке не имеет решения, однако если в качестве дополнительной гипотезы выдвинуть предположение о том, что на виртуальном перемещении f — F при dT = 0, то из формулы (а) найдем Р = F.

Это тривиальный ответ, который можно было предвидеть заранее в том случае, когда сила трения покоя не превышает силы трения движения. Однако если силы трения покоя и движения различны, то, как известно, для страгивания блока требуется силу увеличить, т. е. Ро > F. Уравнением (а) можно воспользоваться и в этом случае, с тем чтобы описать ситуацию в момент начала движения:

^=P0-F>Q. (б)

Ясно, что для определения силы страгивания требуется дополнительная информация.

По аналогии с рассмотренным примером можно ожидать, что уравнения (4.2) и (4.3) приведут к реалистической оценке силы страгивания трещины или по крайней мере к оценке этой силы снизу тогда, когда существует дополнительный начальный барьер (превышение силы страгивания над силой, продвигающей трещину, — см. гл. 1). В последнем случае в игру могут вовлекаться динамические эффекты. Существование дополнительного барьера может быть обусловлено геометрическими причинами, например затуплением (каким-либо способом) кончика трещины или же свойствами материала и взаимодействием с окружающей средой. Как только разрушение началось, поверхностную энергию у можно физически интерпретировать как работу, затрачиваемую на преодоление сил притяжения атомов в решетке. Если это так, то при небольшом продвижении фронта трещины выражение для 3 совпадает с найденным в разд. 3.2. Следовательно, соотношения (4.2) и (4.3) отражают закономерность, которая имеет место как при постепенном страгивании трещины, так и для продолжающегося медленного ее движения !).

Предположим теперь, что процесс медленного роста трещины управляется одним и тем же параметром ц(Л) силового или кинематического типа, причем dy^dA > 0. Последнее неравенство означает, что интенсивность внешних воздействий растет от некоторого начального уровня ц = ро, соответствующего площади трещины Ло до начала ее движения (рис. 4.1). В процессе роста трещины величина 3 = 3 (ц, А) удовлетворяет соотношению (4.2); следовательно,

dA \ dyi )а dA V дА К

1}. Формально соотношения (4.2) и (4.3) можно использовать для описания «барьерного» зарождения трещины путем простой замены определенного значения у более высоким. Ясно, однако, что наиболее важная информация должна извлекаться каким-либо другим способом. Данный подход мы применим еще раз в гл. 5.

Окончание периода роста ц, т. е. момент, для которого

5г = 0.<4-5)

определяет переход в режим квазистатического продолжения, когда d\xJdA < 0, или же в динамический режим. Отсюда заключаем, что первая возможность представляет неустойчивую

Рис. 4.1. Параметр р, определяющий изменение нагрузки или перемещения.

ветвь процесса (пунктирная линия на рис. 4.1), на которой практически невозможно избежать малых скачкообразных продвижений трещины путем уменьшения внешних воздействий вследствие того, что ускорением частиц мы пренебрегаем. Трещина по определению устойчива, если выполняется условие d^[dA > > 0, равносильное определению управляемого квазистатического роста, и неустойчива при d^ldA ^ 0. Равенство в последнем условии соответствует критической точке на рис. 4.1, а также пунктирной линии на этом же рисунке. В последнем случае величина ^(ц, Л) не зависит, как это следует из соотношений (4.4) — (4.5), от А, и, следовательно, отсутствие устойчивости сопровождается скачкообразным квазистатическим подрастанием трещины на неопределенную величину при постоянной нагрузке. К такого рода трещине применяют также «понятие ме- тастабильная»; иллюстрацией данной ситуации служит пример 1.1. Для неустойчивой трещины из соотношения (4.4) следует неравенство

(^/5Д)и>0,(4.6)

если только приемлемо предположение о том, что (д^/дц)д > > 0. Как можно усмотреть из рис. 4.1, данный вывод может оказаться верным и для момента страгивания трещины; тогда неравенство (4.6) будет соответствовать полностью динамическому режиму движения трещины.

Процедура вычисления S' обсуждалась в разд. 3.2 в предположении о том, что рост трещины происходит в направлении.

совпадающем с исходным. Если же имеет место асимметрия по отношению к плоскости трещины, т. е. Кн^О, то прежнее направление продвижения трещины нельзя считать правдоподобным как при планировании экспериментов, так и в теоретических рассуждениях. По теории Гриффитса критическим является направление, для которого сила, продвигающая трещину, максимальна (внешние воздействия при варьировании направления не меняются). Краткое обсуждение данной проблемы будет проведено .в гл. 7.

Пример 4.1. Для ДКБ-образца, рассмотренного в примере 3.1, мы нашли следующее выражение для трещинодвижущей силы:

РЧ2 _ 9 u2EItEI — 4 tP ’

где заданной предполагается либо сила Р, либо перемещение и. Требуется определить то значение внешнего воздействия, при котором трещина страгивается, а также изучить процесс ее дальнейшего продвижения.

Пусть начальная длина трещины равна I = /0; тогда критическое значение нагрузки или перемещения вычисляется по соотношению (4.2):

n n ^^tEl2 ,2м \ п

Р — Рq^и л и и — Uq 2 ^0£ /^ (^о) Ро •

Дальнейший процесс зависит от того, что является управлением— нагрузка Р или перемещение и, которые можно отождествить с параметром ц. В первом случае соотношение (4.2) дает

Р = ^/2ytElll, dP/dl < 0,

и, следовательно, трещина неустойчива; во втором случае

2/2 /2уГ du п“ = —"dT>0>

и, следовательно, система устойчива. Подтверждением найденного вывода служит неравенство

к м ^ t к д1 ’

вытекающее из неравенства (4.6).

Важно подчеркнуть, что в рассмотренном случае (как и во многих других) перемещение в качестве управляющего параметра оказывает менее разрушающее действие, нежели.

Критическое значение jjlКритическое значение jjlРис. 4.2. Экранирующий эффект диссипации D. Увеличение Р(н) повышает критическое значение параметра р, (нагрузки или перемещения) при фиксированном значении у.Рис. 4.2. Экранирующий эффект диссипации D. Увеличение Р(н) повышает критическое значение параметра р, (нагрузки или перемещения) при фиксированном значении у.трещины (как и ранее), тивный член D зависит,трещины (как и ранее), тивный член D зависит,

Критическое значение jjl

Критическое значение jjl

Рис. 4.2. Экранирующий эффект диссипации D. Увеличение Р(н) повышает критическое значение параметра р, (нагрузки или перемещения) при фиксированном значении у.

Рис. 4.2. Экранирующий эффект диссипации D. Увеличение Р(н) повышает критическое значение параметра р, (нагрузки или перемещения) при фиксированном значении у.

трещины (как и ранее), тивный член D зависит,

трещины (как и ранее), тивный член D зависит,

нагрузка ^ Любая попытка фронта трещины «убежать вперед» нейтрализуется ростом податливости сдвоенной балки, так что задание перемещения и приводит в итоге к уменьшению деформаций вблизи кончика трещины.

Обобщенный подход с использованием понятия «удельная работа разрушения»

В этом разделе мы сохраним основное предположение о том, что в процессе роста трещины C = 2y=const (для заданного

материала и фиксированной окружающей среды). Ниже мы

приведем обсуждение данной гипотезы, опираясь на известные факты о поведении реальных материалов. Для этого необходимо, прежде всего, принять во внимание пластические деформации, возникающие вне областей, в которых идут процессы собственно разрушения, вследствие концентрации деформаций. Отсюда вытекает, что в уравнения баланса энергии (3.12), (3.13) необходимо ввести диссипативный член D:

S-D=W= (4.7)

Эта форма уравнения энергетического баланса соответствует случаю, когда dT/dA =0. Данное уравнение можно применять и для момента страгивания однако следует отметить, что диссипа- вообще говоря, от истории процессов

разрушения и деформирования; таким образом, при одинаковых конфигурациях D принимает различные значения для покоящейся трещины (на виртуальных ее перемещениях) и трещины распространяющейся. •

Иллюстрация условия (4.7) дана на рис. 4.2. Кривыми показаны аналитические зависимости величин 3 и D от параметра р (заданной нагрузки или перемещения) и предшествующей истории. Для того чтобы движение трещины продолжалось (или начиналось), параметр р должен достичь критического значения, при котором разность текущих значений 3 (р) и £>(р) становится равной 2у.

]) Читатель может самостоятельно убедиться в том, что если бы в примере 1.1 управлением была нагрузка Р = оа, то трещина оказалась бы абсолютно неустойчивой.

При локальном пластическом течении величина 9 примерно равна силе, продвигающей трещину, в полностью упругом теле. Кроме того, было показано, что диссипативный член О(ц) может быть таким же по величине, как и сила ^ (и даже в точности равным ^, если в вершине трещины на самом деле возникает сингулярность). Отсюда следует, что критическое значение внешнего воздействия, полученное на основе обобщенной модели Гриффитса для чисто упругого материала, может оказаться недопустимо малым. В действительности необходимо учитывать, что зона пластического течения оказывает экранирующий эффект на кончик трещины: здесь диссипируется значительное количество энергии, которая при отсутствии пластического течения расходовалась бы на чистое разрушение.

Физический смысл параметра разрушения у оказывается более расплывчатым по сравнению с тем, что понимал под у Гриффитс, который связывал параметр у только с разделением регулярных кристаллических решеток, что в действительности имеет место лишь в монокристаллах. Однако в реальных процессах квазихрупкого разрушения поликристаллов величина у должна также включать в себя энергию диссипации, обусловленную неоднородным внутризеренным и межзеренным скольжением, ростом пор и, быть может, механизмами вязкости типа диффузии и ползучести. Эта общая картина (с включением в нее возможного влияния скорости движения трещины) может быть привлечена для описания связи параметра у с типами деформации трещины. Поскольку в большинстве случаев преобладающим является тип I, то существуют дополнительные аргументы в пользу того, чтобы для медленного продвижения трещины в заданном материале при неизменных внешних воздействиях считать у постоянным. Данная гипотеза годится при исследовании продолжающегося движения трещины, хотя она не обязательно распространяется на параметры, определяющие страгивание трещины.

Однако даже при обеспечении условий постоянства параметра у, определяющего процесс разрушения, остается открытым вопрос о нахождении фактических численных значений данного параметра. Исследование микропроцессов в зоне разрушения дает только порядок величины и не более того. На практике к решению можно прийти путем косвенной тарировки: зная критическую нагрузку для некоторого образца в эксперименте, использовать ее как ориентир в аналитическом подходе, т. е. подбирать у из условия совпадения с уже имеющимся результатом.

Первоначально зона, в которой идут процессы разрушения (сокращенно — зона разрушения), была определена как область, прилегающая к неразрушенному материалу, после чего толщина ее полагалась пренебрежимо малой. Однако не учитывать

толщину зоны разрушения можно не всегда, как, например, в некоторых случаях вязкого разрушения. Ниже будет показано, что далеко не все явления в зоне разрушения однозначно предсказуемы только на основе понятия удельной работы разрушения. Так как при вязком разрушении доминирующим является механизм роста микропор и этот механизм с приемлемой точностью можно считать определяющим для больших локальных деформаций ниже некоторого критического уровня, то его можно отождествить с параметром энергии, управляющим процессом разрушения. При аналитическом подходе (в континуальной теории или при прямом моделировании зоны разрушения) могут потребоваться некоторые специальные ограничения, например ограничения на удельную работу разрушения, вытекающие из физических ограничений и удобные в конкретных расчетах. Выше мы столкнулись с двумя (не бесспорными) подходами к этому вопросу, использующими либо параметр 2у, либо параметр С, для которых на основе дополнительных гипотез или с применением косвенной тарировки (см. выше) можно вывести уравнения, позволяющие сделать дальнейшие выводы. Определенные шаги в данном направлении уже сделаны (см. разд. 9.6). Значительное внимание уделяется также проблеме описания устойчивого продолжающегося роста трещины; некоторые имеющиеся здесь и полученные в рамках упрощенных концепций успехи можно только приветствовать. Однако любые самые изощренные оценки величины С все же менее важны, нежели итоговый результат. С этой точки зрения следует признать, что подход Гриффитса к описанию хрупкого разрушения упругих тел также уязвим. Очевидно, что ни один из двух способов линеаризации, упомянутых впервые в разд. 3.3.1, нельзя, строго говоря, использовать в области, примыкающей к кончику трещины; в то же время бесспорно, что принятый формализм оказался весьма плодотворным. Введенное Гриффитсом понятие «критическая скалярная мера процесса» является, несомненно, наилучшим из всех, на которые можно было бы опереться при исследовании процессов растрескивания, в том числе сопровождающихся развитым пластическим течением. Однако если учесть сложную природу явления разрушения в целом, то следует признать, что вряд ли столь простое однопараметрическое описание может охватить все процессы в зоне разрушения.

Линейная механика разрушения

В настоящем разделе мы обсудим сначала энергетический подход, используя предложенные выше методы. Заметим прежде всего, что уравнение (4.3), отражающее баланс энергии в процессе разрушения, получается из соотношений (3.12) и (3.13)

с использованием принятых условий квазистатики. В предельном случае, когда пренебрегают объемной диссипацией D, получается трактовка, развитая в разд. 4.1. Для конкретных заданных значений параметра у такой подход может приводить к систематической ошибке, предсказывая нереально малые критические нагрузки (см. рис. 4.2).

При более точном описании необходимо вводить в рассмотрение параметр D, однако делать это надо так, чтобы сохранить основные результаты исследования для чисто упругого материала. Здесь можно рассуждать следующим образом. Если пластическое течение сильно локализовано вблизи фронта исследуемой трещины и если этот фронт располагается достаточно далеко от внешней поверхности тела и других трещин, то диссипация D для данного материала и фиксированных внешних условий должна зависеть только от протяженности пластической зоны и типа деформации трещины. В частности, если доминирует какой-либо один тип (обычно I или III), то существуют аргументы в пользу того, чтобы при страгивании трещины считать D заданной константой, а для продолжающегося медленного движения трещины — функцией площади вновь образовавшейся поверхности трещины (или пути, пройденного трещиной), причем вид этой функции определяется только материалом. Указанные константу или функцию можно считать характеристиками материала для рассматриваемого типа деформации трещины, определяемыми (в принципе) из экспериментов, планируемых в соответствии с найденными теоретическими оценками.

Таковы основные предпосылки (не исключающие, разумеется, всевозможных других подходов, нацеленных на достижение тех же конечных результатов) приводимого ниже обзора так называемой линейной (упругой) механики разрушения (ЛМР). Введенный термин указывает на то, что все нужные нам результаты формально можно отнести к линейноупругому материалу, что, очевидно, обеспечивается достаточно сильной локализацией пластического течения. Мы начнем с рассмотрения первой стадии трещинообразования — случая наиболее простого, поскольку здесь величина D — известная константа. Далее мы изучим медленное движение трещины, предполагая, что D можно задать как функцию длины пути, пройденного трещиной.

Страгивание трещины

Предположим, что пластическое течение вблизи фронта трещины очень сильно локализовано (или же является маломасштабным). Принимая теперь во внимание то обстоятельство, что при страгивании трещины D можно считать константой Dc материала.

заключаем, что величина S’ в соотношении (4.7) приближенно равна силе, продвигающей трещину в чисто упругом теле, выражение для которой найдено в разд. 3.2. Таким образом, имеем следующее условие страгивания трещины:

S = SC,(4.8)

где Sc = 2у + Dc — полная диссипация, или сила сопротивления страгиванию трещины !). Это означает, что мы снова обращаемся к формализму, развитому в разд. 4.1, т. е. к простой замене плотности поверхностной энергии 2у величиной Sc. Данная модификация теории, развитой сначала для линейноупругого материала, была предложена независимо Ирвином [5] и Орованом [188]. Очевидно, в данном случае S будет функцией параметра ц, задающего нагрузку или перемещение, критические значения которых определяются из уравнения (4.8).

Главную роль в правой части равенства (4.8) играет, вообще говоря, диссипация D. Что же касается плотности поверхностной энергии 2у, то се присутствие обусловлено скорее традицией. Сумма Sc этих двух величин является основным параметром, с которым на практике имеет дело ЛМР; ее относительно просто определить экспериментально. Такой эксперимент следует согласовать с основными допущениями ЛМР, с тем чтобы величина D не зависела от малых изменений в геометрии испытываемого образца. Данное условие равносильно требованию, что типичные размеры образца должны превосходить характерный размер пластической зоны. Для пластического образца, нагружаемого усилиями, стремящимися раскрыть предварительный надрез по всей его толщине, такой подход будет налагать минимум ограничений как на длину трещины, так и на толщину пластины. Последнее из перечисленных выше условий необходимо вводить для того, чтобы исключить эффекты, обусловленные геометрией образца; очевидно, что состояние вблизи свободных поверхностей трещины (где ог3з ~ 0, ось х3 перпендикулярна поверхности пластины) весьма сильно отличается от состояния во внутренних точках вблизи фронта трещины (где езз ~ 0, т. е. состояние близко к плоской деформации).

Предположим, что в эксперименте реализуется деформация трещины типа I, для которой из формулы (3.30) имеем

(4.9)

и что зафиксирована нагрузка, соответствующая страгиванию трещины. Используя результаты, полученные ранее с приме-

1} В литературе для величины ^с иногда встречается обозначение Rc.

нением теории упругости, или выражения, аналогичные выведенным в приложении В, определим соответствующий коэффициент интенсивности напряжений, обозначаемый теперь через К\с (поскольку сейчас речь идет о критическом значении). Так как должно быть выполнено уравнение (4.9), т. е.

-^KL = $c (4.10)

(где Р = 1 —v2, как и в случае плоского деформированного состояния), то тем самым определяется величина ^с. С другой стороны, по предположению, Sc — константа материала, так что соотношение (4.10) определяет критический коэффициент интенсивности напряжений Kic. Приведенные соображения позволяют найти уравнение, эквивалентное (4.9). Исключение величины ^с из соотношений (4.9) и (4.10) приводит к условию

7<i = 7<ic, (4.П)

определяющему критическое состояние. Величина К\с представляет собой так называемую вязкость разрушения (характеристика трещиностойкости материала). Она очень важна для проектирования, а также для классификации материалов при заданных значениях параметров окружающей среды (чаще всего температуре), поскольку увеличение К\с при прочих равных условиях уменьшает вероятность страгивания трещины. Отметим, что имеются опубликованные таблицы значенй К\с (см. разд. 7.4.5). Следовательно, при удачном стечении обстоятельств нужные нам значения К\с можно извлечь из уже выполненных экспериментов.

Вернемся теперь немного назад и заметим, что трактовка Dc как константы материала зависит от того, какой тип деформации является преобладающим. К тому же оказывается, что включение в какой бы то ни было форме деформации типа II вызывает отклонение траектории трещины от начальной прямолинейной, так что нарушаются предположения (о прямолинейности движения фронта трещины), при которых выведено соотношение (3.29). Тем не менее при смешанных воздействиях и преобладании деформации типа I соотношение (3.29) следует рассматривать как основу для экстраполяции на смешанный тип деформации:

iz 2

+ + = (4.12)

Аналогично в случае преобладания деформации трещины типа III следует опираться на эксперименты по определению критического состояния именно для этого типа деформации, что позволяет заменить правую часть равенства (4.12) некоторой

новой постоянной материала KmcRl — v). В разд. 7.5 мы вернемся к этой проблеме и приведем более полное обсуждение нерешенных пока вопросов о взаимодействии различных типов деформации трещины.

Как уже отмечалось, для применимости ЛМР, например соотношений (4.9), (4.11) или (4.12), необходимо удовлетворить определенным ограничениям на толщину образца t и начальную длину трещины /. Эти ограничения можно записать в виде следующих неравенств1^:

/>2,5(j^J, />2,5^^J , (4.13а), (4.136) смысл которых состоит в том, что размеры образца должны значительно перевосходить размеры пластической зоны. В соответствии с оценками (2.40) толщина образца должна быть примерно в 25 раз больше. Для материала, обладающего высокой пластичностью (что часто сопровождается низким упрочнением), толщина образца, удовлетворяющего этим требованиям, может оказаться недопустимо большой, что в свою очередь может потребовать пересмотра ЛМР, с тем чтобы иметь реализуемые в обычных экспериментах размеры.

Пример 4.2, Пусть растягиваемый плоский образец имеет начальную трещину длиной 2/, перпендикулярную направлению растяжения и проходящую насквозь через образец; длина / мала по сравнению с шириной пластины, однако по сравнению с толщиной настолько велика, что применима ЛМР. Заданная тре- щиностойкость равна К\с Требуется определить напряжение Оэо

на удаленной от трещины границе, при котором трещина заданной длины I страгивается. Определить также наибольший размер дефекта, соответствующего заданному значению бои.

]) Для упрочняющегося материала под от подразумевается условный предел текучести Оо, 2.

В задаче 3 приложения В установлена формула К\ —в^ nl, подстановка которой в уравнение (4.11) даст

а / = -К&¥

Например, при Kic = 40 МПа • mv = 40 МН • м~3/2, Ооо = 200 МПа допустима длина трещины до 0,012 м. Обратим внимание на сильную зависимость максимально допустимых длин трещины от величины трещиностойкости Кю. Сравнивая полученный результат с ограничением (4.136) на размеры, убеждаемся в том, что для применимости ЛМР в рассматриваемой задаче Ооо не должно превосходить величины ат/д/2,5л = 0,36от.

Пример 4.3. На рис. а показан в двух проекциях растягиваемый длинный образец прямоугольного поперечного сечения, содержащий наклоненный под некоторым углом трещиноподобный

а5

надрез. Длина надреза 2/ мала по сравнению с шириной b и толщиной t образца. Используя ЛМР, требуется определить значение растягивающего напряжения на удаленной границе, при котором трещина начинает расти. Положим /G с = 50 МПа-м1/2; v = 0,3; / = 0,02 м; 0=20°.

Приведем напряженное состояние вдали от трещины к плоскости, параллельной плоскости надреза (предполагая, что трещина начнет развиваться в некоторой точке внутри образца); нормальные и касательные напряжения при этом (см. рис. 6) будут равны

оС = ооо cos2 9, Too = Ooo sin 9 cos 9.

Используя теперь результаты решения задач 3 и 19 приложения В, найдем следующие выражения для коэффициентов

интенсивности напряжений:

/Ci = o'со д/л^ = ^оо V^ со§2 9,

Кш = Too Vя/ = o'оо л/тд sin 0 cos 0.

В случае, когда 0 таково, что наибольшую роль играет Kv из уравнения (4.12) можно получить условие перехода в критическое состояние

из которого имеем

°° cos 0 л/tiI {1 + [v/(l — v)] sin2 6}

Для указанных выше численных значений параметров получаем ’«=«ЕГИГ МПа =208 МПа,

что очень близко к тому, которое получается для трещины, перпендикулярной направлению растяжения (200 МПа).

Продолжающееся квазистатическое движение трещины

С использованием тех же предположений, что и в разд. 4.3.1, запишем условие продолжающегося медленного продвижения трещины в виде

^(р, A) = R(A-A.\(4.14)

Трещинодвижущая сила будет зависеть теперь от площади трещины (явно, а также косвенным путем — через соотношение, связывающее параметры внешнего воздействия и движения трещины); по предположению сопротивление R трещины зависит только от площади вновь образовавшейся трещины:

R = 2N + D(<A-A0) = R(<A-A0Y

Здесь D^A— До) — непрерывная функция диссипации.

Таким образом, здесь мы приняли формулировку, о которой говорили выше и в которой в качестве основного параметра используется площадь трещины. Эта однопараметрическая модель предусматривает, разумеется, определенные ограничения на движение трещины, т. е. автомодельность, вращательную симметрию или сохранение плоскости распространения. Однако лишь в последнем случае, когда эквивалентным параметром является длина трещины, функцию R(A—Ло) или R(l — lo) можно считать характеристикой материала.

Следует также отметить, что затупление трещины вследствие локального пластического течения может сопровождаться неко-

торым продвижением трещины вперед, однако очевидно, что этот процесс не является собственно разрушением. Можно ожидать, что упомянутый эффект, иллюстрируемый рис. 4.6, проявится тогда, когда площадь Ло представляется в виде суммы площади начальной трещины и площади проекции затупления; это может оказаться важным при исследовании более хрупких типов разрушения.

Заметим теперь, что предельные (при А — Л0->0) значения параметров естественно связать с теми, о которых мы говорили в разд. 4.3.1: D(O) = DC, /?о = ^с(= PKiV^)* В то же время понятие «трещиностойкость» обычно связывается с традиционными экспериментальными методиками, возможности которых не всегда позволяют зарегистрировать момент страгивания трещины. В таких случаях и при монотонном возрастании R оценка величины /?(0) через Sc будет завышенной. Это обстоятельство мы учтем, когда в гл. 7 вернемся к проблемам эксперимента.

Так как с ростом А уравнение (4.14) должно оставаться в силе, то имеет место равенство

/ д$ \ dp. . / д$ X dR А /л 1 с\ (^г)а Ча + ЫЛ - Ча = °’ (4J5)

из которого вытекает, что

dp. dRIdA - ^дА^ dA(д^/др)Д

Следовательно, трещина должна быть устойчивой, т. е. должно выполняться неравенство dpi/dA >> 0, до тех пор пока

(4.16)

тогда как переход к динамическому разрушению происходит при достижении равенства

Мы, таким образом, повторили проведенные выше рассуждения с использованием рис. 4.1 и соотношений (4.1) — (4.6); единственное отличие состоит в том, что теперь сила сопротивления R, играющая роль параметра 2у, также зависит от А.

Графически полученные результаты можно изобразить так, как показано на рис. 4.3. Из поведения кривых, соответствующих функциям R(^A— Ло) и ^(ц, Л), видно, что значение ц_ параметра (определяющего изменение заданной нагрузки или перемещения) является докритическим — трещина покоится, р0 соответствует страгиванию трещины, pi — монотонному ее росту, сопровождаемому увеличением текущего значения площади Ль

В последнем случае выполняется только соотношение (4.14), в то время как пара значений ц2, Л2 удовлетворяет одновременно соотношениям (4.14) и (4.17), что означает приближение к не-

Рис. 4.3. 7?-кривые и семейство растущих ^-кривых (а); уменьшение длины начальной трещины приводит к динамическому режиму страгивания трещины (б).

устойчивому режиму. Ясно также, что область Л2— Ло устойчивого роста зависит как от функции R(A— Ло), так и от геометрии тела и внешних воздействий (посредством ^). Сдвиг влево точки касания кривых R и S' приводит к уменьшению области

Рис. 4.4. Стабилизирующий эффект внешнего воздействия. С понижением ^-кривых эти линии либо вообще не соприкасаются с 7?-кривыми, либо соприкосновение происходит позже.

устойчивого роста трещины. Возможны также случаи, иллюстрируемые рис. 4.3, б, когда сразу после страгивания трещина уходит на «бесконечность»; объясняется это тем, что уже в момент страгивания величина (б^/дЛ)ц превышает dR/dA.

Рисунки 4.3, а и б различаются лишь начальной площадью трещины. Отметим, что тенденция к исчезновению стадии устой-

чивого роста, обусловленная здесь уменьшением площади Ло, подтверждена некоторыми экспериментами.

Приведенное на рис. 4.3 семейство восходящих кривых 8 типично для тех случаев, когда управляющим параметром является нагрузка. Если же мы задаем перемещение (по этому поводу см. пример 4.1), тенденция в поведении кривых обычно противоположная (рис. 4.4). Таким образом, установлено, что в случае, когда величина R монотонно возрастает, трещина будет устойчивой при любых ее длинах. Эксперименты, в которых обеспечивается выполнение данного условия, могут быть исполь- зованны для построения /^-кривых материала. Для этого в процессе устойчивого роста трещины измеряются соответствующие друг другу значения внешнего воздействия и площади трещины, т. е. строится зависимость ц(Л), зная которую, можно, применив методику разд. 3.2, выразить 8 через А и далее по соотношению (4.14) найти функцию R(A —Ло).

Заключительные замечания

Линейная механика разрушения как аппарат для предсказания начала разрушения представляет собой наиболее развитый и наиболее полезный раздел теории разрушения. Здесь имеются хорошо обоснованные экспериментальные методики (см. гл. 7) и многочисленные данные о свойствах конкретных материалов, позволяющие проводить их классификацию и давать прямые оценки их пригодности в той или иной ситуации. Однако ЛМР налагает очень жесткие ограничения на минимальный набор тех условий, которые необходимы для ее применимости. В оставшейся части данной главы рассмотрены возможности, которыми мы располагаем для выхода за пределы ЛМР и которые можно рассматривать как введение или как часть нелинейной механики разрушения.

В представленной трактовке процесса продолжающегося роста трещины мы обсудили метод /^-кривых в предположении о маломасштабности пластического течения и ограниченности пути продвижения трещины. Бесспорно, что использование величины 8 в качестве характеристики материала привело бы к затруднениям. Представляет интерес в этой связи применить в качестве независимого параметра длину смещения вершины трещины, соответствующего переходной или восходящей части /^-кривой. В случае рассмотренных выше толстых плит существует только один параметр типа длины, с которым можно сравнивать указанное смещение — протяженность с ^ 0,1 X Х(К\с/отУ зоны пластического течения. Обычно теория предсказывает устойчивый режим роста трещины до величины

порядка V^c/отУ, когда (д^/дД) ц > 0, как показано на рис. 4.3. При предельной локализации пластического течения этот подход полностью исключает устойчивый режим роста трещины, что, по-видимому, согласуется с экспериментальными наблюдениями; данный вывод мы распространили также на чисто упругие материалы (см. условие (4.6) и следующий за ним комментарий).

Квазилинейная механика разрушения

В разд. 2.3 мы обсудили качественное различие в характере пластического течения вблизи фронта трещины для толстых и тонких пластин. Было установлено, что для сравнительно больших значений толщины t полная диссипация должна определяться в основном условиями внутри пластины, т. е. ограничением езз ~ 0, которое подавляет тенденцию к увеличению пластической зоны. Термин «сравнительно большие» здесь может означать только то, что отношение t к длине пластической зоны с ^ 0,1(/<1С/от)2 должно удовлетворять неравенству (4.13а). Следовательно, постоянную ^с можно считать нижней границей для диссипации С + D (осредненной по толщине) с ростом отношения t/c.

Если, наоборот, / мало, то высота пластической зоны (порядок ее величины) может быть ограничена толщиной плиты. Если предположить, что интенсивность пластического течения (измеряемая значением компоненты 822 тензора деформаций) не зависит от толщины / до момента разделения тела на части, то зависимость диссипации D от толщины при ее стремлении к нулю будет приближаться к линейной. При таком предельном переходе неясно также, можно ли разделение тела на части считать разрушением, — по той причине, что понятие «разрушение» подразумевает диссипацию энергии в особых зонах разрушения. Кроме того, наличие поля пластического течения может привести к разделению тела на части вследствие локального шейкообразования (см. рис. 2.6,6), так что поверхностная энергия при этом никак себя не проявит.

Рис 4.5, а суммирует все высказанные соображения и известные эмпирические данные. Сплошная кривая дает коэффициент интенсивности напряжений К\, измеренный обычным путем в момент страгивания трещины, преимущественно для тех случаев, когда выполняется предположение о локализации пластического течения в плоскости пластины. Кривые / и 2 иллю* стрируют упомянутые выше предельные ситуации: кривая /, очевидно, представляет зависимость, найденную в рамках линейной механики разрушения; кривая 2, как следует из приведенных выше соображений, проходит через начало координат.

(4.18)(4.18)Экстраполяция эмпирического условия перехода в критическое состояние $ = SC, или

(4.18)

(4.18)

Кг = Кс

будет содержать параметр К^ равный осредненной по толщине диссипации С + D. Индекс I справа в равенстве (4.18) опущен с той целью, чтобы подчеркнуть известный экспериментальный факт: деформация трещины никогда не является деформацией

Разрушение поРазрушение посостояниесостояниеббРис. 4.5. Переход от доминирующего плоского напряженного состояния и разрушения по наклонным площадкам к состоянию плоской деформации и нормальному отрыву. Задержка разрушения срезом на боковых косых изломах отражается наличием пика величины Кс и эффектом «скачка» (внезапного прорастания трещины во внутренней области образца).Рис. 4.5. Переход от доминирующего плоского напряженного состояния и разрушения по наклонным площадкам к состоянию плоской деформации и нормальному отрыву. Задержка разрушения срезом на боковых косых изломах отражается наличием пика величины Кс и эффектом «скачка» (внезапного прорастания трещины во внутренней области образца).

Разрушение по

Разрушение по

состояние

состояние

б

б

Рис. 4.5. Переход от доминирующего плоского напряженного состояния и разрушения по наклонным площадкам к состоянию плоской деформации и нормальному отрыву. Задержка разрушения срезом на боковых косых изломах отражается наличием пика величины Кс и эффектом «скачка» (внезапного прорастания трещины во внутренней области образца).

Рис. 4.5. Переход от доминирующего плоского напряженного состояния и разрушения по наклонным площадкам к состоянию плоской деформации и нормальному отрыву. Задержка разрушения срезом на боковых косых изломах отражается наличием пика величины Кс и эффектом «скачка» (внезапного прорастания трещины во внутренней области образца).

только типа I — обычно мы имеем смешанный тип деформации типов I и III. Наличие смешанного типа деформации трещины проявляется в том, что на поверхностях разрушения всегда имеются более или менее ярко выраженные следы разрушения по наклонным площадкам (косой излом или губы среза). Эти, по существу, сдвиговые эффекты могут возникать даже в очень тонких пластинах (см. рис. 2.6,6), однако в более толстых пластинах их можно наблюдать в виде рифленой поверхности разрушения. Указанные типичные формы разрушения приведены на рис. 4.5, б. С различием поведения трещины внутри тела и вблизи его поверхности связан так называемый эффект «скачка» Этот эффект возникает тогда, когда сначала трещина инициируется внутри и в процессе ее дальнейшего движения внутри материала происходит «ногтевидное» или «туннелеобразное» растрескивание (одно- или многошаговое), в то время как близкий

к поверхности материал остается неповрежденным ^ Ситуация будет иной в том случае, когда результатом выполнения условия Xi = Ко будет возникновение трещины, пронизывающей пластину насквозь. В соответствии с этим значение Ко следует определять как критическое для страгивания трещины по всей толщине пластины. Формально данный параметр здесь играет роль параметра разрушения, однако теперь он будет зависеть по меньшей мере от толщины пластины — в дополнение к зависимости от свойств материала. Отметим, что получить экспериментально зависимость Кс от толщины пластины довольно трудно.

Напомним, что для применимости ЛМР потребовались условия (4.13). Первое из этих ограничений служило для устранения относительно большого влияния свободных поверхностей пластины, так чтобы обеспечить состояние плоской деформации вблизи вершины трещины по всей толщине пластины. Второе ограничение — это часть мер, предпринимаемых для обеспечения достаточно сильной локализации пластического течения в плоскости пластины и, как следствие, для применимости аппарата линейной теории упругости. Теперь нам ясно, как наиболее простым способом исправить допущенное небольшое нарушение второго из обсуждаемых условий. Для этого привлечем результаты исследований Ирвина (как и в разд. 2.4), в соответствии с которыми длина пластической зоны в плоских образцах примерно равна

1 / f 1 для тонких пластин, с — — ( —~ ) где к —: 1 /—

л \hoTr ’ ( для толстых пластин.

По Ирвину, величина с/2 равна также расстоянию, на которое смещается локальное распределение напряжений упругости вследствие пластического течения. Это смещенное упругое поле можно считать вызванным фиктивной «эквивалентной» трещиной длиной I + с/2 в некотором фиктивном полностью упругом теле. Ирвин предположил (не приводя, впрочем, убедительных аргументов), что в действительности рост трещины должен начинаться тогда, когда величина коэффициента интенсивности напряжений Кд в вершине эквивалентной трещины достигает своего

критического значения. Это означает, что коэффициент Аь который надо подставлять в соотношения (4.11) или (4.18), должен соответствовать трещине длиной

которую следует использовать вместо /. Например, в плоской задаче (типа рассмотренной в примере 4.2) методика Ирвина приводит к следующим критическим значениям:

Гдля толстой пластины, (4.19а)

I Vn[Z + (l/6n) (К1с/ат)2]v

^°° IК

I - -■-=- для тонкой пластины, (4.196)

I У^4Д1/2л)(/<с/^v

которые несколько меньше Ооо, полученного без коррекции длины трещины. Эффект уменьшения критических значений подтвержден экспериментально, а также достаточно хорошо согласуется с выводами более точной теории.

Напомним, что условие (4.18) предназначалось для определения момента страгивания трещины. Аналог условия Кг = К\с вида Ai = Кс оказывается более общим, хотя и остающимся пока в рамках гипотезы о маломасштабности пластического течения; Кс здесь зависит от свойств материала и от толщины пластины. Подобную модификацию можно применить и для исследования продолжающегося (медленного) разрушения, когда функция сопротивления материала R^A— Ао) заменяется функцией R^A—Ло, О- Зависимость R(A— Ло, /) от толщины должна быть такой, чтобы предел R(A — Ло, оо) совпадал с исходной функцией R (Л—Ло). Далее для описания поведения трещин в пластинах заданной толщины используются кривые, приведенные на рис. 4.3 и 4.4, подтвержденные некоторыми экспериментами. На самом деле это именно тот тип задач, в которых большей частью речь идет об устойчивом росте трещины, наблюдаемом зачастую в тонких пластинах. Эти факты мы можем согласовать с аргументацией разд. 4.3.3, заметив, что теперь толщина входит в качестве дополнительного характерного параметра типа длины. Вполне возможно, что относительно протяженная стадия устойчивого роста, которая наблюдается в тонких пластинах, связана с вариациями локальных форм разрушения (рис. 4.5,6, верхняя часть, где показано развитие разрушения по наклонным площадкам). И наконец, можно отметить, что поправка Ирвина к длине трещины может быть использована даже при исследовании продолжающегося разрушения (медленного роста трещины) при учете пластической зоны несколько большей длины, чем это допускается условием (4.136).

Результаты, установленные в разд. 4.3 и 4.4, можно резюмировать приблизительно в такой форме: достижение условий

К\ = Кхс или КХ = КС(4.20)

определяет момент страгивания трещины; условие

$ = ^!E^kX = R(4.21)

относится ко всей истории медленного роста трещины в случае деформации типа I . Несмотря на то что приведенные критерии основывались большей частью на энергетических соображениях (начиная с теории Гриффитса), в итоге оказалось, что это — эмпирические соотношения, если не считать лишь одного теоретического положения, а именно: процессы пластического течения и разрушения должны быть локализованы настолько, что они управляются только одним параметром К\. Такой подход оставляет открытыми возможности для использования альтернативных предпосылок (типа выделенной выше курсивом), позволяющих прийти к тем же конечным результатам, которые, таким образом, можно считать не зависящими от физической трактовки особенностей процесса разрушения. В частности, для результатов неважно, используем ли мы линейную или нелинейную механику разрушения в тех случаях, когда речь идет об исследовании хрупких (в большей или меньшей степени) разрушений.

Пример 4.4. Обратимся снова к вводному примеру (рис. 1.2) при прежних предположениях относительно геометрии и кинематики. Постоянная заданная толщина I образца мала настолько, что всюду в образце возникает плоское напряженное состояние, т. е. в соотношении (1.2) г] = 1 /(1—v2). Следствием принятых гипотез является нарушение ограничения (4.13а) на толщину, однако ограничение (4.136) предполагается выполненным (с «запасом») для любого текущего значения характеристики трещиностойкости; следовательно, можно применить аппарат квазилинейной механики разрушения. Наша цель состоит в исследовании начальной стадии и продолжающегося разрушения вдоль заданной прямой, когда задается разрушающее усилие Р = <за1 (см. рис. ау Функция сопротивления R^A—До, 0 в соответствии с кривой на рис. б записывается в виде

^="-^о[1+/ (^)} / (0) = 0, f'W = 9d,(а)

где 0 и d— соответственно угол наклона в начальной точке кри-

вой и текущая длина 1}. Эту силу сопротивления надо сравнить с интенсивностью разрушающего воздействия.

Подстановка выражения (1.1) к\Еи/Н = о = Р/ (at) в формулу (1.4) приводит к выражению для трещинодвижущей силы через нагрузку Р

(б)(б)$ = wQH (P/e^atf,

(б)

(б)

где оо — некоторое базисное напряжение, а величина Wo равна

(в)(в)w0 = a2J(2x\E).

(в)

(в)

° В дальнейших вычислениях будет использован частный вид функции f = Qd [1 — exp (—M]d) ].

Режим устойчивого роста трещины описывается теперь уравне-

ниями (а) — (в) и (4.14), т. е.

^otf(W^(д)

в предположении о том, что выполнены неравенство (4.16) и уравнение (г); таким образом, получаем

или (2/а)(1 + fXf/d.(е)

Значение нагрузки Р = Ро и дополнительное условие, определяющее начало данного устойчивого режима движения, получаются путем подстановки AZ = 0 или а = а0 в соотношения (д) и (е):

Ро = (RtMHp, 2 < 0ао.(ж)

Если Р является функцией AZ или а (в соответствии с выражением (д)), то последующий режим устойчивого роста заканчивается в тот момент, когда Р и AZ становятся такими, что одновременно выполняются соотношения (д) и (е). Таким образом, расстояние AZ = а0 — а, на котором реализуется устойчивый режим роста трещины, и нагрузка Р = Рмакс, соответствующая началу неустойчивости, определяются формулами

1 + f = afKW Рмакс/Р0 = (а/а0) VT+7-

На рис. в показано семейство кривых зависимости 3 от AZ, упорядоченных по возрастанию нагрузки Р. Выбранная /?-кри- вая соответствует значению М = 2; комбинация размеров и сопротивления такова, что ao/d = 5, откуда следует, что 0ао=Ю. Результирующая кривая зависимости нагрузки от длины трещины (рис. г) может быть построена графически с использованием семейства кривых, представленных на рис. в. Т. е. точка касания ^-кривой и /^-кривой определяет окончание устойчивого режима роста трещины; при этом AZ = 0,74d, Рмакс = 1,22Р0-

Критерий раскрытия трещины

Раскрытие 6 трещины рассматривалось нами в разд. 2.5, 2.6 и 2.8 в связи с обсуждением типов нагрузки, раскрывающих трещину. Оно представляет собой более или менее однозначно определенное взаимное смещение берегов трещины вблизи ее фронта (рис. 4.6). Причиной раскрытия является течение типа пластического шарнира в толстых плитах и образование шейки перед трещиной в тонких пластинах (см. рис. 2.6). Было установлено, что для идеальнопластического материала значения 6 таковы:

(4.22)(4.22)6 = Ki/(EaT) для плоского напряженного состояния, б « 0,6/Ci/(£oT) для плоской деформации.

(4.22)

(4.22)

При этом предполагалось, что пластическое течение локализовано настолько, что однозначно определяется параметром К\.

Если же зона пластического течения велика, то в случае плоского напряженного состояния для 6 получены некоторые аналитические оценки, основанные на использовании модели Дагдейла — см., например, выражение (2.46), в котором длина трещины и длина пластической зоны имеют один и тот же порядок величины, хотя они и малы по сравнению с размерами тела в целом. Для плоской деформации раскрытие можно найти численно методом конечных элементов. Поскольку раскрытие трещины определено только в рамках геометрически линейной теории для идеальнопластического материала, то естественно, что

Рис. 4.6. Затупление кончика трещины в исходном состоянии, вызывающее раскрытие 6 и продвижение трещины вперед примерно на такое же расстояние; / — длина начальной трещины, b— длина деформированной начальной трещины, с — длина проросшей трещины в направлении ее последующего движения.

численно имеет смысл определять его по той же геометрически линейной теории с использованием специальных элементов, моделирующих особенность в вершине трещины (см. разд. 2.8.3). Однако в теории второго порядка и (или) при учете упрочнения вблизи вершины трещины будет иметь место плавное ее скругление, поэтому определить раскрытие как некоторый характерный параметр здесь сложнее. Эта проблема, разумеется, лишь отражает реальную картину, наблюдаемую в эксперименте; для правильной интерпретации результатов в обоих случаях требуется определенный опыт.

Котреллом [200] и Уэлсом [201] одновременно и независимо было выдвинуто предположение о том, что критерий продвижения трещины может быть связан с ее раскрытием, а именно: в критическом состоянии

6 = 6„(4.23)

где 6с — характерная постоянная материала при заданных внешних условиях и для заданной толщины, если только пластина достаточно тонкая. Как об этом кратко уже упоминалось в гл. 1, локально-вязкое разрушение металлов обычно сопровождается большими пластическими деформациями вблизи фронта трещины, активирующими рост микропор 1). Критерий слияния тре-

° Высота и ширина области, в которой начинается рост микропор, в плоских задачах имеет порядок 6; это пример зоны процесса разрушения при вязком разрушении.

щины и микропор (т. е. условие продвижения трещины) может быть построен с привлечением параметра 6, как это было сделано для однородного тела. Таким образом, условие (4.23) можно считать критерием локально-вязкого разрушения или растрескивания материала, содержащего включения в вязкой матрице, при высокой температуре. Данный результат служит дополнением к ранее найденным энергетическим критериям и позволяет обойти все проблемы, связанные с требованием локализации пластического течения в вершине трещины. Однако сейчас следует подчеркнуть, что критерий (4.23) предназначен только для определения момента страгивания трещины (и его использование сопряжено с уже упомянутыми проблемами регистрации страгивания), что частично обусловлено изменением геометрии в момент страгивания. Обсуждение данного эффекта приведено ниже.

При локальном пластическом течении может быть использована также линейная или квазилинейная механика разрушения, результаты которой позволяют уточнить значения 6С. В самом деле, внося критерий (4.20) в соотношение (4.22) и подставляя после этого формулу (4.22) в (4.23), получим следующие выражения:

( КскЕоЛ для тонких пластин, 6c=i 9/ (4-24)

I ат) = 61с для толстых плит,

определяющие 6С через известные значения К\с или Кс или наоборот. Основное предположение заключается в том, что критерии (4.20) и (4.23) должны приводить к одному и тому же вы

воду в случае локализованного пластического течения, когда момент страгивания трещины регистрируется достаточно хорошо.

При большей протяженности зоны пластического течения параметр 6с будет оставаться характеристикой материала (при заданной толщине пластины) до тех пор, пока выражение (4.22) для левой части равенства (4.23) не потребуется заменить некоторым другим. Для иллюстрации высказанного утверждения рассмотрим тонкую пластину, изображенную на рис. 2.11,6, для которой формула (2.46) приводит к следующему условию страги

вания трещины:

8ат/кЕ8ат/кЕ/ла VIn I COS-7—^ )\2ат 7/ла VIn I COS-7—^ )\2ат 7Е(5ТЕ(5Т(4.25)(4.25)

8ат/кЕ

8ат/кЕ

/ла V

In I COS-7—^ )

\2ат 7

/ла V

In I COS-7—^ )

\2ат 7

Е(5Т

Е(5Т

(4.25)

(4.25)

Это уравнение можно решить и найти критическое значение Ооо. Результаты решения приведены в табл. 4.1 и на рис. 4.7, где Опп — решение, найденное формальным применением аппарата ЛМР:

(4.26)(4.26)О\\п = KJaM-

(4.26)

(4.26)

Таблица 4.1. Сравнение результатов, найденных по модели Дагдейла и с помощью поправки Ирвина

аПп/ат

^оо/^т

аИп/ат

^оо/^т

по формуле (4.25)

по формуле (4.196)

по формуле (4.25)

по формуле (4.196)

0,1

0.100

0,100

0,7

0,632

0,627

0,2

0.198

0,198

0,8

0,700

0,696

0,3

0,295

0,294

0,9

0,760

0,759

0,4

0,387

0,385

1,0

0,812

0,816

0,5

0,475

0,471

ОО

1

V5

0,6

0,557

0,552

Почему найденное значение при развитом пластическом течении не может служить в качестве критического, станет очевидным,

Рис. 4.7. Определение момента разрушения по критерию б = бс (соотношение (4.25)), или J = Jc, представляющему собой интерполяцию между асимптотическими состояниями К\ = Кс (хрупкое разрушение) и Ооо — от (исчерпание сопротивления пластической деформации).

если мы выйдем в диапазон очень высоких значений Кс, т. е. очень вязких материалов, трещинообразование в которых затруднено. Несмотря на высокую вязкость, значения Ию > от должны быть отброшены как недопустимые вследствие исчерпания материалом способности сопротивляться пластическим деформациям. Это ограничение показано на рис. 4.7, где переход в критическое состояние по традиции интерпретируется как разрушение.

Главным образом из чистого любопытства результаты вычислений по формуле (4.196), найденной с использованием поправки Ирвина, мы внесли в таблицу и показали на рисунке. Согласование с более точной теорией оказалось настолько хорошим всюду (исключая некоторую окрестность предельного значения огоо = ат), что в это трудно поверить. С погрешностью данного приближения в окрестности предельного значения

Рис. 4.8. Схема продолжающегося роста трещины (а) и экспериментальная кривая (б).Рис. 4.8. Схема продолжающегося роста трещины (а) и экспериментальная кривая (б).

Рис. 4.8. Схема продолжающегося роста трещины (а) и экспериментальная кривая (б).

Рис. 4.8. Схема продолжающегося роста трещины (а) и экспериментальная кривая (б).

вполне можно мириться, поскольку она вполне окупается абсолютной нечувствительностью поправки Ирвина к структуре дальнего поля напряжений, определяющего потерю несущей способности вследствие пластического коллапса.

Обратимся вновь к краткому рассмотрению проблемы медленного роста трещины при развитом пластическом течении в связи с определением величины 6. Картина разрушения в данном случае схематически изображена на рис. 4.8, а (в действительности, однако, траектория трещины является извилистой, а ее края — рваными). В момент страгивания, когда 6 = 6С, из закругленного конца начального надреза прорастает стреловидная трещина. Эмпирически найденное изменение величины 6 на начальном надрезе в процессе прорастания новой трещины показано на рис. 4.8,6; видно, что 6 монотонно возрастает вследствие образования новой трещины и, очевидно, после переходного периода приближается к некоторой линейной зависимости от величины А/ продвижения трещины. Последнее означает, что угол раскрытия за фронтом трещины (рис. 4.8, а) при ее движении быстро уменьшается, стремясь к некоторому постоянному значению. Еще одним важным параметром является подвижный угол раскрытия трещины, образованный двумя отрезками прямых, проходящих через движущуюся вершину трещины и две

точки на противоположных краях трещины, отстоящие от вершины на некотором характерном расстоянии!). Именно этот угол в процессе роста трещины стремится к постоянной величине, и, таким образом, имеются две в равной степени привлекательные кандидатуры для формулировки критерия роста трещины. Первую из этих величин проще измерять в опыте и вычислять, однако вторая — угол раскрытия трещины в вершине (УРТ)—может, по-видимому, играть более фундаментальную роль. Однако здесь мы вторгаемся в ту область механики разрушения, где пока еще многое остается невыясненным как в теоретическом, так и в экспериментальном аспектах; некоторые сведения по этому вопросу приведены в разд. 4.6 и 9.6.

И наконец, следует отметить, что с помощью понятия «раскрытие» можно построить критерий страгивания трещины для деформации типа III, аналогичный критерию для типа I. Для этого можно исходить из условия (4.23), т. е. 6 — 6С, в которое подставляется решение (2.76) для маломасштабного пластического течения. Если потребовать, чтобы получающиеся таким способом выводы приводили к тем же результатам, что и ЛМР, т. е. /Сш = Кшс то тем самым устанавливается нужная нам зависимость

Ьс = 2КтС№тУ (4.27)

В случае развитого пластического течения, например когда 6 определяется формулой (2.78), зависимость, получающаяся из условия равенства данного перемещения критическому значению 6С, будет изображаться кривыми, очень похожими на кривые на рис. 4.7, с заменой 6, Ал и Кс соответственно на т, Кш и Кшс- В рассматриваемом случае результаты, найденные с использованием поправки Ирвина:

00 ’

в целом также будут хорошо согласовываться с результатами более точной теории (см. формулу (4.196)), исключая некоторую окрестность предельной нагрузки.

Таковы основные направления развития теории и данные опыта, относящиеся к использованию раскрытия трещины как критерия разрушения. К некоторым аспектам практического его применения мы обратимся в гл. 7.

1} Эквивалентным характерным параметром является, очевидно, раскрытие трещины, равное расстоянию между этими двумя точками.

Критерий /-интеграла

Выше были отмечены следующие общие свойства /-интеграла.

До страгивания трещины /-интеграл приблизительно можно считать инвариантным, т. е. не зависящим от пути интегрирования, соединяющего противоположные берега трещины (см. разд. 2.6 и 3.3.3).

В соответствии с п. 1 /-интеграл можно использовать в качестве скалярной характеристики состояния на фронте трещины, поскольку контур интегрирования может быть сколь угодно близким к фронту.

Экспериментально значения /-интеграла могут быть найдены по кривым нагрузка — перемещение для образца с трещиной.

Были рассмотрены также соотношения, связывающие /-интеграл с другими физическими параметрами частного вида, такими, как раскрытие трещины в идеальнопластическом материале (разд. 2.6), особенности напряжений в упругом (разд. 3.2.3) и упругопластическом материалах с упрочнением (разд. 2.8.2), соотношения типа равенства /-интеграла трещинодвижущей силе в упругом материале (разд. 3.2.3) и полной диссипации при маломасштабном пластическом течении в упругопластическом материале (разд. 3.3.2). Экспериментальные данные указывают на то, что /-интеграл связан с раскрытием трещины даже в случаях более развитого пластического течения (большей протяженности пластической зоны).

Поскольку эта величина оказывает, очевидно, очень большое влияние на процессы, происходящие в вершине трещины, было выдвинуто предположение о том, что /-интеграл сам по себе может быть использован для формулировки критериев разрушения [207]. Ограничиваясь обсуждением деформации трещины типа I, имеем отсюда следующий критерий страгивания трещины:

/ = /с, (4.28)

в котором /с — постоянная, определяемая свойствами материала, окружающей средой и толщиной пластины. Преимущества такой формулировки состоят в том, что /-интеграл сравнительно несложно подсчитывать теоретически или измерять в эксперименте (речь идет, разумеется, вовсе не о простой задаче с маломасштабным пластическим течением, когда выдвинутый критерий совпадает с критериями, основанными на применении параметров ^i Кх или 6). Столь же важными являются всевозможные подтверждения достоверности данного подхода, полученные в различных критических экспериментах. Недостаток метода заключается в том, что в общем случае невозможно обеспечить

полную независимость от пути интегрирования 1), а также дать однозначную физическую интерпретацию. Ниже мы обсудим также некоторые весьма жесткие ограничения, возникающие при описании продолжающегося медленного роста трещины, а также обусловленные геометрическими эффектами.

Из выражений

' K\(E = oT6для плоского напряженного

J = <состояния,

(1 -v2)/d/f~ 1,6атд для плоской деформации,

справедливых для маломасштабного пластического течения в идеальнопластическом материале, и формул (3.37), (2.50) исправедливых для маломасштабного пластического течения в идеальнопластическом материале, и формул (3.37), (2.50) иРис 4 9. Поведение перед разрушением образца, изображенного на рис. 1.2, в случае упруго-идеальнопластического материала.Рис 4 9. Поведение перед разрушением образца, изображенного на рис. 1.2, в случае упруго-идеальнопластического материала.

справедливых для маломасштабного пластического течения в идеальнопластическом материале, и формул (3.37), (2.50) и

справедливых для маломасштабного пластического течения в идеальнопластическом материале, и формул (3.37), (2.50) и

Рис 4 9. Поведение перед разрушением образца, изображенного на рис. 1.2, в случае упруго-идеальнопластического материала.

Рис 4 9. Поведение перед разрушением образца, изображенного на рис. 1.2, в случае упруго-идеальнопластического материала.

вытекает следующее соотношение между введенными ха* рактеристиками материала:

Кс/Е = отЬКс/Е = отЬдля плоского напряженнодля плоского напряженно

Кс/Е = отЬ

Кс/Е = отЬ

для плоского напряженно

для плоского напряженно

го состояния,

< (1 — v2) Клс)Е= 1,6отд1с = /1с для плоской деформации,

° В этом нетрудно убедиться, вычисляя J-интеграл в модели Дагдейла по контуру, пересекающему зону пластического течения.

если только потребовать, чтобы предсказания различных теорий при корректном определении страгивания трещины для данного глобального хрупкого разрушения совпадали. Следствием равенства J = ат6, имеющего место даже при развитом пластическом течении в рамках модели Дагдейла, оказывается совпадение результатов, приведенных на рис. 4.7, с результатами, найденными из условия J = JC (заменяющего критерий 6 = 6С).

Дальнейшее проникновение в природу 7-интеграла при переменных внешних воздействиях может быть дано на основании соотношений (3.41) — (3.44), в которых U — работа внешних воздействий над телом до страгивания трещины. Вспоминая для начала формулу (3.43): J = U / (at), справедливую в случае, представленном на рис. 1.2, безотносительно к свойствам материала, получим связь J ~ Р ~ и, изображенную на рис. 4.9 (материал предполагается идеальнопластическим, длина трещины — постоянной). Здесь существует два различных режима: упругий режим и режим, следующий за пластическим течением. Если трещиностойкость материала мала настолько, что величина 7С, найденная по формуле (4.29), не превосходит значения в угловой точке

/о = Ро«о/(2й/)>

реакция материала будет в основном упругой до момента разрушения, определяемого следующим вариантом критерия (4.28): К1 = КС» справедливым для маломасштабного пластического течения. Этот случай соответствует глобально хрупкой форме разрушения вследствие роста трещины при нагрузке Рцп, определяемой линейной механикой разрушения. Однако при Jc > /о разрушение произошло бы вследствие исчерпания несущей способности (из-за потери сопротивления пластической деформации) при нагрузке Р = Ро без учета трещинообразования (рис. 4.10).

Отметим, что на практике отделить явление трещинообразования от потери несущей способности (о чем выше шла речь) очень трудно. Вместо этого принимается достаточно близкая к действительности схема взаимодействия упомянутых механизмов, определяемая процессом сглаживания (реакция которого дана на рис. 4.7), что вновь приводит к необходимости рассматривать неоднородные поля напряжений и (или) нелинейные определяющие уравнения. При таких условиях кривая нагрузка— перемещение будет непрерывной; упрочнением на заключительной стадии мы здесь для упрощения пренебрегаем.

Используя следующий вариант общей зависимости (3.41):

мы имеем переход от зависимости I ~ и2 на начальном упругом участке (левая часть заштрихованной области на рис. 4.11, я) к линейной функции

ПРИ и->о°

для развитого пластического течения. Очевидно, что 7-интеграл, выраженный через Р, при подходе к предельной нагрузке Ро

Рис. 4.10. Определение момента разрушения в опыте, представленном на рис. 4.9, в случаях хрупкого разрушения или исчерпания несущей способности (ср. с рис. 4.7).

должен стремиться к бесконечности. Эти выводы, иллюстрируемые рис. 4.11,6 и в, без труда прослеживаются на диаграмме разрушения типа представленной на рис. 4.12.

Найденные нами ранее для случая степенного упрочнения формулы (2.103), (2.104), (2.109) позволяют сделать вывод о существовании так называемой /-доминантной зоны, но не о ее размерах. Под /-доминантной зоной мы подразумеваем область, в которой все учитываемые нами параметры фиксированы, за исключением единственного параметра сопротивляемости разрушению, выражаемого через /. Аналогично этому в линейной теории упругости мы имеем /С-доминантную зону, которая может также совпадать с областью, окружающей зону пластического течения в случае сильной локализации течения. В свою очередь, зона пластического течения может иметь, как это часто и бывает, /-доминантную часть. В самом кончике трещины имеется зона процессов разрушения, в которой такие понятия континуальной теории, как коэффициент К интенсивности напряжений и /-интеграл, полностью теряют смысл. Тем не менее введенная иерархия зон имеет важное значение в том плане, что все, что бы ни происходило внутри области выделенной однопараметрической зависимости, должно полностью опре-

делиться одним указанным параметром. Так, например, в линейной теории упругости мы установили, что и длина пластической зоны, и сам процесс разрушения управляются только коэффициентом интенсивности напряжений при условии, что пластическое течение (и по предположению процесс разрушения) локализованы настолько, что окружающая их область

Рис. 4.11. Упругопластическое поведение материала при отсутствии упрочнения в заключительной стадии.

является ^доминантной. При развитой пластичности зона /(-доминантности исчезает1), однако можно все еще рассчитывать на сохранение /-доминантности в любом упругом режиме и за пределами зоны процессов разрушения. Однако могут встретиться случаи, когда возможная /-доминантность превращается в фикцию вследствие того, что соответствующая зона оказывается недостаточно протяженной по сравнению с размерами зоны процессов разрушения. Так наверняка произойдет, если к зоне процессов разрушения добавляется область разгрузки за фронтом трещины, возникающая вследствие роста

1} При этом в окружающем поле напряжений не существует области с преобладающей сингулярностью.

трещины. Из-за этого эффекта может пострадать даже точность предсказания момента страгивания трещины, поскольку для регистрации страгивания в эксперименте требуется некоторое малое продвижение трещины. Отметим, что в некоторых «J-фобных» конфигурациях имеется тенденция к возникновению подобных малых /-доминантных зон. Обычно это происходит тогда, когда в изолированной полоске работает механизм пластического скольжения, подчиняющийся условию идеальной

Рис. 4.12. Определение момента разрушения в случае, представленном на рис. 4.11: хрупкое разрушение, исчерпание несущей способности или переходный режим (ср. с кривыми на рис. 4.7).

пластичности (как, например, в задаче 1 табл. 2.1). Напомним также, что однопараметрическое описание деформаций при переходе к предельному случаю идеальной пластичности становится невозможным; это означает, что при вырождении степенного закона упрочнения 7-интеграл нельзя применять для формулировки критерия разрушения.

Вопрос об использовании 7-интеграла в качестве параметра, управляющего процессом устойчивого роста трещины, рассматривался в некоторых теориях. Как уже указывалось, для положительного решения этого вопроса необходимо прежде всего предположить, что продвижение трещины мало по сравнению с размерами начальной 7-зоны 1), т. е.

М « гь(4.30)

где ri — некоторый характерный размер начальной 7-зоны. Однако с ростом трещины распределение деформаций в окружающем материале также будет изменяться; частично это будет происходить из-за нарушения гипотезы о простом деформировании, обеспечивающей независимость 7-интеграла от пути.

!) В оригинале «J-zone^ фактически речь идет о зоне /-доминантности, определение которой дано ранее. — Прим, перев.

Так наверняка будет обстоять дело в области, примыкающей к вершине трещины; с другой стороны, при переменных внешних воздействиях и меняющейся длине трещины процессы пропорционального деформирования приближенно реализуются на расстояниях г > гр от вершины трещины, больших по сравнению с отношением J/^dJ/dl). Этот результат установлен Хатчинсоном и Парисом [219] сначала для нелинейноупругого материала, однако он переносится и на упругопластические задачи. Отсюда следует важный для нас вывод (с использованием введенной выше иерархии зон) о том, что круг радиусом гр должен целиком содержаться внутри начальной /-зоны, что в свою очередь обеспечивает пропорциональность процессов деформирования и определяющую роль параметра I для разрушения. Это требование равносильно неравенствам

rj > JKdJIdl) или dljJ > dl!rb (4.31)

которые означают, что пренебрежимо малы отклонения от пропорциональности в процессах деформирования при пропорциональном увеличении внешних воздействий, обусловленные увеличением длины трещины при устойчивом ее росте.

При сильной локализации пластического течения, исключающей возможность существования зоны /-доминантности, можно дать следующие оценки:

О (г^ = с, О (/) = отд ~ от-^ с,

где с — длина зоны пластического течения, 6 — раскрытие трещины, определяемое формулами (2.39) или (2.40), (4.22). Внося эти оценки в неравенство (4.31), получаем

Г»1, (4.32а) где

(4-32б>

Найденное условие представляет собой ограничение на /-интеграл в рассматриваемом случае. Для обозначения комбинации в правой части тождества (4.326) в работе [218] был предложен «модуль разрыва».

Аналогично в случае развитого пластического течения диаметр /-зоны можно сравнивать с длиной а неразрушенного сечения, что приводит к неравенству, заменяющему (4.32):

a^dlldl^L (4.33)

Для конкретизации неравенств (4.32) и (4.33) в тех случаях, когда /-интеграл является управляющим параметром процесса устойчивого роста трещины, следует обратиться к экспе-

рименту. Можно надеяться, что найденные в корректно поставленном эксперименте значения /-интеграла для заданного продвижения трещины будут однозначной характеристикой материала и что эта характеристика будет относиться к достаточно широкому диапазону движений трещины. Если это так, то диаграммы, основанные на применении /-интеграла (типа /?-кри- вых на рис. 4.3), можно использовать для описания разрушения различных материалов при наличии развитого пластического течения с заменой параметра 9 на /; сопротивление R будет, таким образом, определять текущее значение / в процессе устойчивого роста трещины. Следовательно, из соотношений (4.14) и (4.16) мы имеем условия

'-R- (тг)„<тг. (4.34), (4.35) управляющие процессом устойчивого роста трещины.

Заметим, что приведенная выше кривая R(J— /0) должна совпадать с кривой, о которой говорилось в разд. 4.3.2 (для одного и того же материала, разумеется), поскольку данный параметр по предположению не должен зависеть от того, является ли пластическое течение мало- или крупномасштабным !),

Опыт проведения таких экспериментов пока невелик, причем эксперименты не всегда являются целенаправленными, В различного рода исследованиях установлено, что независимость /-интеграла от пути и геометрии имеет место для очень малых значений продвижения трещины (около 5 % или чуть больше), в то время как наблюдаемая небольшая зависимость от геометрии даже при близких к нулю продвижениях трещины может быть объяснена /-фобным эффектом, о котором говорилось выше. В общем случае использование /-интеграла позволяет, по-видимому, прогнозировать рост трещины на очень небольшие расстояния; в частности, этот прогноз может включать важную для практики оценку устойчивости начального растрескивания путем проверки условий (4.34) и (4.35). И наоборот, неустойчивость будет определяться неравенством, противоположным неравенству (4.35).

По определению формула (2.48) для /-интеграла при заданном пути интегрирования остается в силе и при росте трещины,

1} Так как условие (4.31) было выведено в предположении о том, что* имеет место или плоская деформация, или плоское напряженное состояние, то в теории /-интеграла не существует приемлемой параллели с зависимостью /?-кривых от толщины для очень тонких пластин. Данная эмпирическая зависимость включает в себя и переход от плоской деформации и разрушения по нормальным площадкам к плоскому напряженному состоянию и разрушению по косым площадкам при движении трещины, в то время как основная масса представленных здесь приложений с определенной степенью достоверности может быть отнесена лишь к случаю плоской деформации.

и, следовательно, ее можно использовать как основу для вычислений этого интеграла. Отметим, что поиск других способов оценки 7-интеграла (типа формул (3.42) — (3.44)) является отнюдь не тривиальной задачей. Проиллюстрируем это утверждение, рассмотрев зависимость нагрузки от перемещений и ширины неразрушенного сечения образца (или длины трещины), предполагая при этом справедливость формул (3.43) и (3.44) для начальной трещины:

их

J = -^—\ Pdu, Т)= 1, 2.(4.36)

о

Почти пропорциональное деформирование обеспечивается условиями (4.30) и (4.31), откуда следует, что формально рассмат-

Рис. 4.13. Путь нагружения в случае, когда ширина нетто-сечения образца равна а0) и при последующем росте трещины (сплошная кривая), а также в случае, когда ширина нетто-сечения образца равна а^ (пунктирная кривая). Перемещения щ соответствуют началу роста трещины.

риваемую задачу можно отнести к нелинейноупругому материалу. Для этого гипотетического материала функция w в формуле (2.48) будет энергией деформации, не зависящей от пути перехода в текущее состояние Pi, щ, ар Следовательно, простой способ определить текущее значение 7-интеграла состоит в использовании в качестве истории процесса кривой нагружения образца с начальной трещиной при ширине ai неразрушенного его сечения без продвижения трещины; в результате получим формулу

их

J =^Р(и, а = а^ du.(4.37)

о

Этот интеграл равен площади под пунктирной кривой на рис. 4.13, которую не следует смешивать с площадью под

сплошной кривой, соответствующей действительной траектории при одновременном нагружении и росте трещины.

Пример 4.5. В примере 3.4 рассматривался образец в виде полосы, представленной на рис. 1.2 (он послужил также иллюстрацией формулы (3.43)). Предположим, что для данного образца в эксперименте зарегистрированы процессы изменения нагрузки, перемещения и длины трещины при устойчивом ее росте, как, например, показано на рис. 4.13. Задача состоит в том, чтобы из этих данных извлечь информацию о поведении величины J = R, соответствующей наблюдаемому набору длин трещины или размеров неразрушенного сечения образца.

Использовать формулу (4.37) в рассматриваемом случае неудобно, поскольку при этом потребовалось бы иметь дополнительные образцы с начальными надрезами различной длины, с тем чтобы получить кривые нагружения без разрушения. Вместо этого мы заменим выражение для энергии Ф упругих деформаций, использованное в примере 3.4, следующим:

что приводит к формуле

U1

t J а ’о

содержащей соответствующие друг другу значения Р и а. Значения последнего интеграла нетрудно вычислить по имеющимся экспериментальным данным.

Аналогичные методики подсчета /-интеграла для тех же целей были разработаны и для других типов испытаний образцов, например изгиба. Соответствующие работы обсуждаются в приложении 3.

Пример 4.6. Оценки, полученные в примере 4.4, относились к таким уровням напряжений, при которых пластическое течение тела в целом не возникало. Если там значение оо отождествить с начальным пределом текучести от, то необходимо потребовать, чтобы величина R = Ро(Д + f) была мала по сравнению с w^H. Данное ограничение, выполненное в начале процесса, впоследствии может нарушиться, если, например, размеры образца в плане сильно уменьшаются. Здесь будет предпринята попытка оценить продвижение трещины в том же образце при наличии крупномасштабного пластического течения указанного типа. Требуется построить описание процесса роста трещины для случая, когда локально разрушение пред-

ставляет собой нормальный отрыв в условиях плоской деформации, даже если в целом состояние образца близко к плоскому напряженному. Инструментом, выбранным для этой цели, будет служить /-интеграл. В отличие от процедуры, реализованной в примере 4.5, целью которой было экспериментальное построение /^-кривой по имеющимся экспериментальным данным о зависимости нагрузки от перемещения и длины трещины, здесь мы начнем с введения гипотезы о том, что дана линеаризованная /^-кривая вида

^ = ^0(1 +9AZ), 9 = const, RO = JC1(а)

которая служит основой для прогноза поведения трещины при возрастающей нагрузке. Грубая аппроксимация определяющего уравнения для растягиваемого стержня в случае, когда деформация значительно превышает предел упругости ет, выбирается в такой форме (см. для сравнения формулу (2.96) и рис. 2.27):

ет \ от )Е

Используя соотношение (2.95), мы применим данное уравнение для описания состояния полосы в целом: деформация равна нулю вдоль полосы, напряжение равно нулю на площадках, перпендикулярных полосе; для вертикальных компонент деформации е и напряжения о получим

e/8T = (V3/2)m+1 (a/aT)m.

Используя соотношение (2.48) и проводя те же рассуждения, что и в примере 3.4, найдем, что

J = w0H (PjaTat)m+\(б)

где_

да0 = ( 73/2)m+1 [ma?/(m+1)£],(в)

а также, что

Очевидно, найденные формулы вполне аналогичны тем, которые были получены в примере 4.4.

При устойчивом по предположению режиме роста трещины работают формулы (а) — (в) и (4.34), т. е.

J = wQH(PKatr+' = R^+^n(д)

при добавочном ограничении (4.35)

Ri^Ro^ или [(m+1)/<z](1+6AZ)^O.(е)

Отметим, однако, что теория, основанная на применении /-интеграла (или, что точнее, на предположении о нелинейной упругости материала), применима к описанию процесса роста трещины без оговорок только тогда, когда выполнены ограничения (4.30) и (4.31). Из этих ограничений и условия (4.33) следует неравенство

0а » 1 + 0 AZ, (ж) частным случаем которого при устойчивом росте трещины может быть условие (е).

Для страгивания трещины необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие

Р = сАОД>0Я)'№"+1)е< m+KOoo. (з)

Потеря устойчивости возможна в случае, когда одновременно выполняются условия (г) и (д); следовательно, соотношения

1+6A/ = ea/(m+1), Р = Р0(а/а0)(1 + 6 Д/)1/(т+1) дают

М = а0 — а= —L (1(и)

um + 2 \6д0/v 7

/ 1+6^0\^+2)/(т+1)

еао2 )

Вывод о том, что найденная нагрузка соответствует полной потере устойчивости или же скачкообразному продвижению трещины, будет зависеть также от толщины образца через сопротивление неразрушенной его части.

Для иллюстрации положим т = 6, 0ао = 2О; тогда из формул (и)—(к) имеем в конце процесса приращение длины трещины А/ = О,О8ао и нагрузку Р=1,О6Ро. Отметим, что вследствие принятых допущений, в частности из-за линеаризации /^-кривой, данная методика может, разумеется, приводить к весьма далеким от реальности результатам.

Задачи

Предполагая, что в процессе роста трещины материал подчиняется критерию Гриффитса

<? = 2у = const

и что заданным параметром является нагрузка, изучить устойчивость процесса роста трещины в задачах 2.2, 2.3 и 3.1, 3.2.

Ответ-, в задачах 2.2 и 3 1 имеет место неустойчивость, в задаче 2.3 — устойчивость, в 3 2 — метастабильность.

Пусть деформируемость некоторой испытательной машины моделируется двумя линейноупругими пружинами (как показано на рисунке); податливость каждой пружины равна Zt,^ Предполагается, что в некоторой точке, достаточно удаленной от испытываемого образца, задается перемещение. Испытывается двухконсольная балка, подчиняющаяся критерию Гриффитса;

требуется определить максимальное значение податливности Zt машины, при которой трещина будет устойчивой.

Ответ: Zt = 4//(3^7), / = t№,\2.

Указание: используйте формулы (3.25), (4.6) и пример 3.1.

Плоский растягиваемый образец может иметь сквозную трещину в центре. Напряжение вдали от трещины равно Ооо = 300 МПа, ширина пла

стины 26 = 300 мм, вязкость разрушения К\с = 100 МПа-м1/2. Используя линейную механику разрушения, показать, что критическая длина трещины равна 2Z = 67 мм

Стержень в виде прямого кругового цилиндра нагружается одновременно осевой растягивающей силой S и крутящим моментом Т. В плоскости поперечного сечения образовалась приповерхностная трещина глубиной /, которая мала по сравнению с диаметром цилиндра D и длиной трещины. Используя линейную механику разрушения, показать, что усилие S = 4 МН будет вызывать дальнейший рост трещины при условии, что T/S = D/8t D = = 100 мм, / = 2 мм, Kic = 50 МПа-м1/2, v = 0,2.

Указание: применить формулы (В.7) и (В.8) при d!D ж 1.

Тонкая пластина имеет небольшую сквозную трещину в центре и на удаленных от трещины границах нагружается растягивающим напряжением Ооо, направление которого перпендикулярно трещине (как и в задаче 4 3 при b-^ооу В этой задаче критическое значение напряжения Goo было найдено* для следующих трех случаев: а) в рамках квазилинейной механики разрушения без учета поправки Ирвина; б) с учетом поправки Ирвина; в) в рамках модели Дагдейла с использованием критерия критического раскрытия трещины. Полагая / = 10 мм, Кс = 100 МПа-м1/2, gt = 1000 МПа, проверить полученные результаты: a) Goo = 565 МПа; б) Goo = 524 МПа; в) Goo = = 528 МПа. Проверить также, что / не превосходит величины 2,5(/fc/GT)2, — это и будет доказательством непригодности решения (а).

Эта задача является продолжением задачи 2.7. Требуется найти разрушающую нагрузку Р для произвольных значений Kic и ат. На рисунке

штриховыми линиями показаны два асимптотических решения; первое соответствует хрупкому разрушению по теории ЛМР:

Р ==VT/6.82

для малых значений Kic\ второе — теории предельного состояния при полном пластическом течении:

Р = Р0 = 0,257//ат

для больших значений Kic Предлагается определить координаты следующих точек:

точки 1 — предельной для прогноза хрупкого разрушения по формуле (4.136);

точки 2 — точки пересечения приведенных выше асимптотических решений;

точки 3 — найденной с учетом поправки Ирвина, определяемой (с некоторым произволом) абсциссой точки 2. Построенная по асимптотическим решениям сплошная кривая, переходной участок которой (от одной асимптотики к другой) начинается в точке 1 и проходит через точку 3, представляет собой, как установлено, хорошую аппроксимацию диаграммы разрушения (для сравнения см. диаграмму на рис. 4.12).

Проверить, что критическое значение /-интеграла в задаче 3.3, вычисленное в предположении о том, что страгивание трещины начинается при перемещении w=l,25 мм, равно /ic = 0,125 МН-м-1. (Ясно, что реальная ситуация может оказаться намного более сложной, чем данная простая схема.) Показать, что получаемая отсюда вязкость разрушения равна Ки = = 170 МПа-м1^ при Е = 210 ГПа, v = 0,3.

Глава 5

ДИНАМИЧЕСКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ

При росте трещины происходит быстрая разгрузка (отрицательное нагружение) материала на поверхности за фронтом трещины, сопровождающаяся излучением волн напряжений, которые после отражения могут возвращаться обратно (по характеристическим поверхностям) и воздействовать на рост трещины. В предыдущих главах изучался квазистатический рост трещины в предположении о том, что данный процесс является настолько медленным, что влиянием динамических эффектов можно пренебречь. Следовательно, можно было пренебречь и ускорением всех частиц тела. Ситуация меняется, когда скорость трещины велика — сравнима со скоростью распространения волн (о чем говорилось в гл. 1).

Баланс энергии в динамике

Очевидно, что уравнение (3.9) баланса полной энергии должно выполняться и в динамических процессах. Большинство исследований в динамике проведено при тех же ограничивающих предположениях, что и в статической ЛМР: пластическое течение в вершине трещины настолько локализовано, что диссипацию D внутри сплошного тела можно непосредственно добавлять к удельной работе разрушения С и сумму приравнивать сопротивлению R, являющемуся характеристикой материала. Формально это равносильно переходу к исследованию упругого материала, для которого выполняется следующее соотношение:

<5J)

Было выдвинуто предположение (частично подтвержденное в экспериментах) о том, что в первом приближении величину R для данного материала можно считать зависящей только от скорости I вершины трещины. На практике данная функция зачастую оказывается монотонно возрастающей (рис. 5.1). Однако при страгивании трещины возможна аномалия в том смысле, что допускается существование начального барьера, когда сопротивление R = R^ страгиванию трещины превосходит пре-

дельное значение /?(0), определяемое путем стремления скорости I к нулю. Выражение в левой части равенства (5.1) мы за-

Рис. 5.1. Форма кривой динамического сопро-тивления: постоянное сопротивление (штрихо-вая линия) и монотонно растущее с ростом /сопротивление с учетом начального барьераRofRW > 1 (сплошная линия).

меним одним параметром — трещинодвижущей силой—и обозначим так же, как и в статической ЛМР.

Одномерная модель

л^ол^оIIОтметим, что исследование динамического роста трещины в общем случае представляет собой очень сложную задачу. В этой

л^о

л^о

I

I

ОсВо5одаВш.ий.ся участокОсВо5одаВш.ий.ся участок—►[

ОсВо5одаВш.ий.ся участок

ОсВо5одаВш.ий.ся участок

Участок, скрепленный, с основанием

Рис. 5.2. Схема динамического разрушения под воздействием осевой силы.

главе немногие имеющиеся результаты решения типичных двумерных задач будут только цитироваться; некоторые относящиеся к делу аспекты проблемы будут разъяснены на примере простой одномерной модели. Эту модель зрительно можно представить себе в виде прямого однородного стержня, нагружен ного слева в центре сечения некоторым заданным воздействием и реакцией длинной жесткой опоры, с которой стержень полностью сцеплен (рис. 5.2). Предполагается, что соединение стержня с опорой может разрушаться, так что вдоль стержня будет двигаться трещиновидная поверхность разрушенных

связей. Наша цель — найти скорость I фронта трещины и соответствующие напряжения и скорости частиц.

Приведем прежде всего известное решение уравнения движения стержня (см. уравнения (А.7)). Используя обозначения: йх = й = du/dt— скорость частиц; Оц = о — напряжения на площадках, перпендикулярных оси Xi = х; 61 — пренебрежимо малая плотность объемных сил, запишем это уравнение в виде до ^

<Эх — Р д/2 ‘(512)

Учитывая закон Гука

о = Ее = Е^,(5.3)

преобразуем уравнение (5.2) к такой форме:

2 д2и д2и

^0 ^2^2 >^0 V ^/р*(5*4)

Если вследствие наложенных ограничений боковые перемещения частиц стержня равны нулю, то модуль упругости Е следует заменить выражением Е(1—v)/(l—v — 2v2), а постоянную с0 — на С! (об этих постоянных мы поговорим позже). Уравнение (5.4) имеет решения вида

« = /® = /(хТсоО,(5.5)

поскольку

д2и _ дЧ д2и _ 2 ЭЧ

Эх2 — av ’ at2 — с° аь2 *

Это решение можно следующим образом интерпретировать с позиций наблюдателя, движущегося со скоростью с0 в положительном (знак минус в решении (5.5)) или отрицательном (знак плюс) направлении оси х. Наблюдатель, располагающийся в подвижной точке х = ±с0/ + const, всегда будет видеть одну и ту же картину распределения перемещений и = = f(const). Это означает, что решение (5.5) соответствует импульсам или волнам, бегущим в положительном или отрицательном направлении оси х с постоянной скоростью с0 без изменения профиля. Решению (5.5) отвечают волна продольного напряжения

а = Е^ = ЕН^ = ЕШ^сй1\(5.6)

также движущаяся со скоростью с0, и скорость частиц, равная й = ± с0 ^ = + cQh (х =Ь СоЙ = 4= -^ о.(5.7)

Верхний (нижний) знак в выписанных выражениях относится к распространению волны в положительном (отрицательном) направлении оси х.

Для скорости частиц в окрестности фронта трещины получится другое выражение, если рассмотреть само явление разрушения более подробно. Пометим буквой Q (рис. 5.3) некоторую фиксированную частицу стержня. Когда подвижной фронт трещины пройдет через точку Q, переместившись на расстояние dl = Idt, эта точка переместится влево на расстояние du = = —sdl вследствие деформации е освободившейся части стержня. Соответствующая скорость частицы будет равна

u = —d =—^oh(5.8)

2'-" -^>77777777777777t J tilI CL 122'-" -^>77777777777777t J tilI CL 12где Gt — полное напряжение слева от фронта трещины. Если рассматривается страгивание трещины, то Gt будет равняться сумме начального (до страгивания) напряжения о0 (оо = Р/S для случая нагрузки, показанной на рис. 5.2, где S — площадь поперечного сечения) и излученного в момент разрушения волнового напряжения ое, т. е.

2

'-" -^>77777777777777

t J til

I CL 1

2

2

'-" -^>77777777777777

t J til

I CL 1

2

О/ = а0 + ое.(5.9)

du=-sd.l5Рис. 5.3. Положение мате-риальной точки Q до разде-ления (а) и после разделе-ния (б).du=-sd.l5Рис. 5.3. Положение мате-риальной точки Q до разде-ления (а) и после разделе-ния (б).Второе слагаемое в правой части этого выражения связано со скоростью частицы формулой (5.7)

du=-sd.l

5

Рис. 5.3. Положение мате-риальной точки Q до разде-ления (а) и после разделе-ния (б).

du=-sd.l

5

Рис. 5.3. Положение мате-риальной точки Q до разде-ления (а) и после разделе-ния (б).

й = -^Ое,(5.10)

Выбор знака здесь соответствует волне, бегущей влево (напомним, что на фронте волны стержень считается прикрепленным к опоре).

Систему уравнений (5.8) — (5.10) можно решить относительно неизвестных ое, ot и й. В результате получим

„®1•&О'о1 1 \

°е =ГП°0,а^ = ТПO'O,^ = — ТПГ" ,(5.1 1)

е1 + а и’ r 1 + а и’1 +а Еv ’

где а — относительная скорость продвижения трещины:

а = 1(с0.(5.12)

Однако скорость трещины I (или а) в формулах (5.11) пока неизвестна. Для определения этой основной для нас величины воспользуемся уравнением баланса энергии (5.1):

(5.13)

где В — ширина зоны контакта. Далее мы будем использовать выражение для функции сопротивления R, представленное на рис. 5.1, хотя в рассматриваемом случае разрушение может развиваться по границе раздела различных материалов.

Сигнал о том, что трещина растет, приходит вместе с излученной волной напряжения. Следовательно, если рассматривается ситуация, близкая к моменту страгивания трещины, то работу W внешних воздействий на образование единицы поверхности трещины следует устремить к нулю. Приращение dT

dtdtICO

dt

dt

Фронт Волны, излученной В момент Времени t+dt

cdt ( Ut ]

г^г Н Фронт трещины

У/9В момент t+dt

и = Осг= сг0и = Осг= сг0

и = О

сг= сг0

и = О

сг= сг0

Рис. 5.4. Локальное взаимодействие волновых фронтов, генерируемых приразделении.

кинетической энергии при начальном продвижении трещины будет определяться участком стержня длиной (а-1 + l)dZ, расположенным между фронтом излученной волны и фронтом трещины, частицы которого имеют скорость й, вычисляемую по формуле (5.11) (рис. 5.4). Следовательно, имеем

t/r = -g-pS(— + 1) (1 +а)2 -^- dl = j +а "2£-pSdl,

где S—площадь поперечного сечения. Приращение dФ упругой энергии целиком определяется ее приращением на участке длиной (a^+ljd/, напряжение в котором равно Gt; вначале отрезок длиной c^dt^dl/a этого участка слева от фронта был нагружен напряжением по, отрезок длиной ldt = dl справа от фронта был свободным от напряжений. Из сказанного вытекает, что

= "2"S ("o' + 1) (1 + а)2—

о а0 dl _1^0 о

£ аНа 2£

откуда с учетом уравнения (5.13) получаем соотношение

S = Sog^ = R^,(5.14)

в котором величина а? с =<5J5>

представляет собой «статическое» значение трещинодвижущей силы, а динамическая поправка

gtf)=TS=ATT(5J6)

+ а Со + / является, по существу, интерполяцией от 1 при 1 = 0 до нулевого значения при I = Со. То обстоятельство, что в последнем

Рис. 5.5. Динамические функции скорости движения вершины трещины I (пояснения см. в тексте и приложении 3).

случае трещинодвижущая сила обращается в нуль, означает, что в рассматриваемой здесь задаче скорость волны с0 представляет собой верхнюю границу скорости I распространения трещины. График функции g(Z), определяемой формулой (5.16), приведен на рис. 5.5 (кривая /).

Для страгивания трещины необходимо преодолеть начальный барьер — каким бы ни было его значение, превосходящее 7?(0). Следовательно, имеем условие страгивания (см. для сравнения рис. 5.1):

^ = R„ (5.17)

и, следовательно, возникающая сразу после страгивания скорость движения вершины трещины будет определяться форму-

лой (5.14), т. е. из уравнения

S = Rog^ = R^.(5.18)

Графическая интерпретация этого соотношения приведена на рис. 5.6; нужное нам решение — это скорость I, определяемая соответствующими друг другу значениями трещинодвижущей

Рис 5.6 Графическое определение скорости I в момент страгивания и скоро-сти Г в момент прихода отраженных волн.

силы и сопротивления росту трещины: S' = R(l). В частном случае, когда R(l) =R = const (штриховая линия на рис. 5.1), из соотношения (5.18) следует, что

= а = 4-=^4,(5Л9>

1 ас0 Ло л

и мы, таким образом, имеем явное выражение для скорости роста трещины.

Если постепенно освобождающаяся от опоры часть стержня после разрыва связей не подвергается никаким внешним воздействиям, полученное выше решение будет пригодным на всем промежутке времени от момента страгивания трещины до первого прихода и столкновения с фронтом трещины отраженной от левого края стержня волны!). На этом временном интер-

0 Более подробное исследование продолжающегося движения вершины трещины можно найти в работах [275] (где рассматривается аналогичная задача) и [276].

вале М трещина продвигается на расстояние А/, причем

А/ = M[l = (2/0 + М^с^(5.20>

и это значение равно времени первого «скачка» трещины вперед, а также времени пробега фронта волны до края стержня и обратно. Пусть /0— начальная длина свободной части стержня, тогда из (5.20) следует, что

М ==(5.21У

Параметры отраженной волны играют основную роль в дальнейшем процессе. В частности, если на левом конце стержня задана постоянная нагрузка Р (см. рис. 5.2), то можно показать, что скорость трещины будет скачкообразно возрастать и в этот момент будет излучаться новая волна напряжений. Воздействие отраженной волны в рассматриваемом случае будет продолжаться до выхода на установившийся режим, при котором скорость трещины постоянна, а сумма напряжений в излучаемой и отраженной волнах будет равна нулю. Очевидно, что в таком случае имеет место равенство

й = -U^E,(5.22)

вытекающее из (5.8) при замене Gt на а0. Кроме того, формулы

dT-EpS^S-dl, dФ = 4гS-^-dl, Wdl = P-^dl2 r Е ’2Е

будут определять соответственно кинетическую энергию, энергию упругих деформаций освобожденного от связей участка длиной dl и работу внешних воздействий, затраченную на удлинение этого же участка. Следовательно, уравнение энергетического баланса (5.13) приводит к соотношению

% (1-а2) = /?(/),(5.23>

из которого можно определить скорость установившегося движения трещины.

Однако наиболее интересная ситуация может возникнуть тогда, когда после страгивания трещины поддерживается постоянной не нагрузка Р, а перемещение 6. В этом случае волна напряжений, отраженная от левого конца, будет накладываться на движущуюся вперед волну, источником которой является фронт трещины, и в результате скорость частиц станет равной нулю. Из формул (5.7) и (5.10) следует, что напряжения в отраженной волне должны иметь ту же величину се и тот же знак, что и в излученной волне. Когда отраженная волна напря-

жений сталкивается с фронтом трещины, полное напряжение оказывается равным

Qt = а0 + 2ое + Ов,(5.24)

а не выражению (5.9); при этом порождается новый импульс напряжений о', связанный со скоростью частиц соотношением

и=сйое1Е.(5.25)

Следовательно, формулы (5.14) — (5.16) могут быть использованы и в этом случае, если только о0 и / заменить соответственно на Оо + 2ое = Оо( 1 — а)/(1+а) (что соответствует первой из формул (5.11)) и на новую скорость / = а'с0. Отсюда следуют новые выражения для трещинодвижущей силы и сопротивления продвижению:

(5.26)

где

причем формула (5.26) дает нам новое значение скорости (рис. 5.6). Напомним, что величина R^l) была введена по формуле (5.14); условие для существования решения Г > 0 состоит, очевидно, в следующем:

Кроме того, если зависимость сопротивления от скорости продвижения трещины такова, что

RllX^RW,(5.27)

то в рассматриваемой задаче трещина при столкновении с отраженной волной должна остановиться. Следовательно, величина А/, вычисленная по формуле (5.21), определяет полный «скачок» фронта трещины. Эффект остановки трещины интересен сам по себе, и, как мы показали, он определяется только граничными условиями. Интуитивно представляется вполне ясным, что условие типа 6=const оказывает более замедленное воздействие, чем условие Р = const. Кроме того, было указано, что поведение фронта трещины в этих случаях неразличимо до тех пор, пока в игру не вступит отраженная волна.

Двумерные задачи

Отметим, что некоторые из указанных выше особенностей решения одномерной задачи имеют более широкое значение. В частности, это касается уравнения баланса энергии и выво-

дов об эффекте воздействия отраженных волн. Так, например, в двумерных задачах о пластине или антиплоских задачах в работах Фрейнда [238] и Эшелби [237] было показано, что формула (5.14) остается в силе до момента прихода отраженных волн. Кроме того, величину ^0 следует заменить трещинодвижущей силой ^(/), найденной из решения статической задачи; вообще говоря, это выражение совпадает с известным нам значением трещинодвижущей силы при заданных граничных условиях только на первой стадии продвижения трещины. Генерируемые в процессе продвижения трещины волны будут намного более сложными, чем в одномерной задаче. Отметим, что в условиях плоской деформации задачу можно расщепить на две — о распространении продольных волн, скорость которых равна

ci = А/— .(5-28)’

1 V р 1 — v — 2v2v 7

(см. приложение Е), и поперечных, распространяющихся со скоростью

^-Vt-VvtS^' (Ы9)

О волнах первого типа мы упоминали в связи с формулой (5.4). Вблизи свободной поверхности могут возникать также так называемые волны Рэлея, траектории частиц при прохождении которых эллипсы, а скорость распространения cR несколько меньше скорости с2:

( 0,88с2( 0,88с2с^ = ^ 0,92с2с^ = ^ 0,92с2I 0,95с2I 0,95с2при v = О, при v = 0,3, при v = 0,5.при v = О, при v = 0,3, при v = 0,5.

( 0,88с2

( 0,88с2

с^ = ^ 0,92с2

с^ = ^ 0,92с2

I 0,95с2

I 0,95с2

при v = О, при v = 0,3, при v = 0,5.

при v = О, при v = 0,3, при v = 0,5.

Здесь идет речь о плоской деформации, однако при плоском напряженном состоянии волновая картина аналогична. Наибольшее значение имеет скорость сх продольных (дилатационных) волн, стремящаяся к бесконечности при коэффициенте Пуассона х->-1/2. С тем чтобы дать представление о порядках величин, приведем характерные значения для стали: сх~

6000 м/с, с0 ~ 500 м/с, с2 = 3200 м/с, cR ^ 3000 м/с.

Волна Рэлея имеет особое значение в задачах о трещинах, для которых типично образование свободных поверхностей. Установлено, что величина cR представляет собой теоретическую верхнюю границу для скорости движения вершины изолированной трещины в упругом материале и деформации типа I—■ аналогично величине с0 в предыдущей задаче. В обоих случаях вывод о существовании соответствующего предельного значения является следствием того, что при сверхкритической скорости

движения вершины трещины, когда I > с0 или I > cR) в вершину не может передаваться положительная энергия разрушения. Следовательно, в рассматриваемой двумерной задаче динамическая поправка g(Z) должна представлять собой интерполяцию от единицы при Z = 0 до нуля при I = cR. Для плоской деформации эта функция была определена в работах [238,247]

Рис. 5.7. Графическое определение скорости I в момент страгивания; /0 — начальный барьер для функции страгивания /(/).Рис. 5.7. Графическое определение скорости I в момент страгивания; /0 — начальный барьер для функции страгивания /(/).

Рис. 5.7. Графическое определение скорости I в момент страгивания; /0 — начальный барьер для функции страгивания /(/).

Рис. 5.7. Графическое определение скорости I в момент страгивания; /0 — начальный барьер для функции страгивания /(/).

и представлена кривой 2 на рис. 5.5. Хорошей аппроксимацией данной функции является линейная зависимость

gW-i-l,cR)(5.30)

которую следует подставлять в соотношение (5.31):

^S^g W = №(5.31)

вытекающее из уравнения энергетического баланса, справедливого до момента прихода отраженных волн. Из приведенного уравнения можно найти скорость страгивания трещины I точно так же, как это было сделано с использованием соотношений (5.17) и (5.18) или рис. 5.6. Две типичные ситуации изображены на рис. 5.7. На рис. 5.7, а показан эффект мгновенного достижения скорости /0 сразу после преодоления начального барьера; рис 5.7,6 иллюстрирует процесс постепенного увеличения скорости, который может идти вслед за процессом устойчивого роста трещины, происходившим до выполнения условия / = /о.

Отметим, что скорость продвижения трещины влияет на поле напряжений в окрестности ее вершины. По радиальной координате, отсчитываемой от вершины, имеет место особенность того же порядка (г~1/2), что и в статике, а влияние скорости сказы-

вается на зависимости от окружной координаты. Для типа I

•КЛн Си Ю

<т„(/,е, г^0) = —(5.32) Л/г

аналогичные соотношения справедливы и для типов II, III. Таким образом, процесс нахождения динамического коэффициента интенсивности напряжений сводится к вычислению трещинодвижущей силы по формуле типа (4.9), т. е.

S = №)KU(l\(5.33)

Для плоской деформации (когда Р=1—v2) функция Л(/) определяется формулами (см. рис. 5.5 °)

Л(/)^77тШ=4^-'Ц11’д2 = УГ^/^

(1+62)-4б,д20

(5.34)

Используя теперь статическую зависимость

(5.35)

в которой KiW—коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий ^(/), и сравнивая это выражение с первой из формул (5.31) и (5.33), имеем также зависимость

Ki/Kdn = ^g^A^ = h(h.(5.36)

Поведение функции A(Z) показано на рис. 5.5; к сожалению, данная взаимно однозначная связь динамического и статического коэффициентов интенсивности напряжений справедлива при том же ограничительном предположении, что и соотношение (5.31), т. е. она имеет место до тех пор, пока никакая из отраженных волн не соприкоснулась с фронтом трещины. Обращение величины к в нуль при I = cR еще раз указывает на то, что скорость волны Рэлея представляет собой верхнюю границу для скорости I.

Свойства функций распределения f/Ди^ показаны на рис. 5.8 и 5.9. На рис. 5.8 приведены значения окружного напряжения ае, отнесенные к их значениям на линии распространения трещины; видно, что при достаточно большой скорости роста трещины максимум окружных напряжений перемещается в точку 0т > 0. Этот результат интересен указанием на то, что

^ Для плоского напряженного состояния 0=1, а величина сх заменяется на скорость распространения волны в пластине, равную ср = V^/[(l — v2) р]. Приравнивание знаменателя в выражении для Л (/) нулю дает (неявно) скорость волны Рэлея, что соответствует l = cR на рис. 5.5.

в хрупком материале трещина будет распространяться примерно в направлении 0т. Данный вывод (с надлежащими оговорками, обеспечивающими получение в рамках линейной теории

Рис. 5.8. Распределение окружных напряжений у вершины трещины, отнесенное к его значению на линии распространения трещины [227, 235].Рис. 5.8. Распределение окружных напряжений у вершины трещины, отнесенное к его значению на линии распространения трещины [227, 235].

Рис. 5.8. Распределение окружных напряжений у вершины трещины, отнесенное к его значению на линии распространения трещины [227, 235].

Рис. 5.8. Распределение окружных напряжений у вершины трещины, отнесенное к его значению на линии распространения трещины [227, 235].

упругости столь подробных сведений о локальных параметрах процесса) также имеет определенную эмпирическую основу,

Рис. 5.9. Поперечные напряжения у вершины трещины, отнесенные к продольному напряжению (см. соотношение (Е.15)).Рис. 5.9. Поперечные напряжения у вершины трещины, отнесенные к продольному напряжению (см. соотношение (Е.15)).

Рис. 5.9. Поперечные напряжения у вершины трещины, отнесенные к продольному напряжению (см. соотношение (Е.15)).

Рис. 5.9. Поперечные напряжения у вершины трещины, отнесенные к продольному напряжению (см. соотношение (Е.15)).

ибо явление ветвления первоначально плоской трещины типично для больших скоростей ее движения. Ветви могут быть очень короткими, что приводит к образованию рваных трещин типа представленной на рис. 5.10, а, или же к интенсивному образо-

ванию новых макротрещин, как это, например, наблюдается иногда в стеклах (рис. 5.10,6).

Интересный эффект, обусловленный высокой скоростью роста трещины, можно извлечь также из анализа поведения кривой на рис. 5.9, отвечающей отношению /22(Л 0)//п (Z, 0) функций распределения напряжений, перпендикулярных и параллельных линии движения трещины. Поскольку по предположению Озз = v(on + 022), то можно видеть, что соответствующее'

Рис. 5.10. Микро- и макроветвление трещины при быстром разрушении (часть а рисунка построена по фотографии из работы [299]).

нулевой скорости I = 0 почти шаровое напряженное состояние- (высокое гидростатическое давление) с ростом скорости меняется на напряженное состояние с преобладанием девиаторных компонент. Последнее благоприятствует интенсификации пластического течения и, следовательно, может служить признаком того, что с ростом скорости пластическая диссипация в области, примыкающей к вершине трещины, возрастает. Можно ожидать,, что аналогичный эффект будет иметь место также при наличии тенденции к ветвлению, когда время от времени активизируется несколько трещин, а за движущимся фронтом трещины остаются островки неразрушенного материала. Все это в совокупности может отчасти объяснить тенденцию к росту функции сопротивления, представленную на рис. 5.1. Смущает здесь, только то, что наблюдаемый в опытах заметный рост функции сопротивления происходит при скоростях намного меньших, чем те, при которых влияние указанных выше эффектов становится ощутимым. Вероятно, для правильного описания потребуется учесть дополнительные механизмы типа вязкости и некоторые формы трещинообразования на микроуровне. Важно, по-види* мому, учитывать и то обстоятельство, что на практике скорость I лишь в редких случаях превышает значение Cr/^. Свойства функции сопротивления, обусловленные высокой скоростью роста трещины, продемонстрируем на конкретном примере.

Прежде чем переходить к рассмотрению примера, укажем новую форму уравнения баланса энергии при динамическом трещинообразовании. По аналогии со статическим определе-

нием (4.10) можно ввести динамическую вязкость разрушения (трещиностойкость) Ki о по формуле

R^^^KidA^,(5.37)

где Ki d теперь зависит от скорости роста трещины. Из равенств (5.37) и (5.33) следует, что уравнение S=R^ баланса энергии можно записать в форме

/Ci - KiDl(5.38)

вполне аналогичной уравнению (4.11). Соотношение (4.11) использовалось нами для определения момента страгивания трещины, в то время как равенство (5.38) управляет дальнейшим динамическим ростом трещины. Ясно, что связь (5.38) никакой новой информации не содержит, однако такая форма соотношения энергетического баланса может оказаться полезной. В частности, появление скачка параметров S' или Ki, требуемого для удовлетворения уравнениям (5.1) или (5.38) в случае, когда значения этих параметров падают ниже области возможных значений функций в правой части данных уравнений, может означать остановку трещины.

Отметим, что с некоторыми принципиальными моментами, касающимися разд. 5.2, можно ознакомиться в приложении Е. Проблемы эксперимента рассматриваются в разд. 7.3. Обширный обзор публикаций приведен в приложении 3.

Пример 5.1. Пусть образец достаточно больших размеров содержит трещину, начальная длина которой /0. По предположению геометрия образца обеспечивает пропорциональность трещинодвижущей силы ^(/) длине трещины:

SW = SOW = RO(IM(а)

где ^о = ^?о — начальное значение силы. Сопротивление росту трещины дается формулой

Ш = Я(0)[1+(^Л,(б)

где и — некоторое характерное значение скорости, п > 1 — безразмерный показатель степени (и и п— константы материала). Отношение

т = Н^^(в)

характеризует величину возможного начального барьера. Требуется найти соотношение между длиной трещины I и скоростью «ее движения I, используя формулы (5.30) и (5.31):

SmX-M = R(i>(г)

к уравнениюк уравнению(д)(д)Подстановка выражений (а) — (в) в соотношение (г) приводит

к уравнению

к уравнению

(д)

(д)

которое легко решается и дает выражение ///0 через m, п, u/cR и l/cR. Типичные результаты решения для случая u/cR = 0£ приведены на рисунке. Видно, что при отсутствии начального

барьера (при т=1) скорость непрерывным образом увеличивается, начиная от нуля; если же m> 1, то трещина страгивается мгновенно (рывком). Ясно также, что величина I ^ и может служить эффективной оценкой сверху для скорости трещины в тех случаях, когда градиент функции сопротивления R^ в этой точке имеет очень большое значение, что, очевидно, реализуется при больших п. Отметим, что строить кривые дальше, чем это показано на рисунке, нет никакого смысла, поскольку приход отраженных волн может совершенно изменить всю картину. И наконец, укажем, что предположение о зависимости R только от I (в частности, при т=1) исключает использование /^-кривых со свойствами, о которых говорилось в разд. 4.3.2.

Торможение трещины или полное разрушение?

Оказывается, что на практике трещина действительно может распространяться с очень большой скоростью, поэтому естественной является постановка вопроса о том, какие же имеются возможности для предотвращения данного явления. Ответ на этот вопрос имеет очевидные практические приложения, например в проблеме обеспечения безопасности. Влияние геометрических параметров и внешних условий было изучено в разд. 5.2; оказалось, что даже при самой широкой постановке вопроса

справедливо утверждение о том, что продвижение трещины может затормозиться, когда благоприятные для этого условия (типа достаточно большого количества внешних связей) создают нужную ситуацию в окрестности вершины трещины. Более прямой путь состоит в том, чтобы предупредить растрескивание путем приложения упрочняющих материал усилий, перпендикулярных предполагаемой траектории трещины, — таким образом,, чтобы эффективное сопротивление R^ локально увеличилось. В данном случае правая часть уравнения (5.21) должна быть настолько большой, чтобы она превзошла величину ^(/), что повлечет за собой остановку трещины (разумеется, когда указанное уравнение в рассматриваемой ситуации применимо).

И в заключение мы коснемся проблемы разрушения сосудов высокого давления в том случае, когда вследствие разгерметизации из-за развития трещины возможно падение давления. Определяющим фактором в рассматриваемой задаче является то, что изменяется связь механических параметров с давлением. Поскольку такая жидкость, как вода, почти несжимаема, то присутствие ее в трубе дает эффект, аналогичный смягчающему влиянию поперечной деформации в стержне из упругого материала (см. комментарий к разд. 5.4), если коэффициент Пуассона v устремить к 1/2 для моделирования несжимаемости. И даже в том случае, когда скорость звука в воде предполагается конечной (что, разумеется, противоречит формуле (5.28) для скорости Ci при предельном переходе к несжимаемости), эта скорость может все же оказаться достаточно большой для того, чтобы волна падения давления в трубе опередила вершину трещины. Следствием будет немедленное уменьшение трещинодвижущей силы, так что пройденное трещиной расстояние будет очень невелико. Однако в том случае, когда в сосуде содержится газ, наличие начальных трещин может привести к совершенно другим последствиям. Поскольку здесь скорость звука может оказаться меньше скорости движения трещины, то это означает, что давление у вершины трещины будет поддерживаться постоянным. Вследствие этого разрушение будет быстрым или даже катастрофическим.

Задачи

Предположим, что в основной для рассматриваемого раздела задаче об отслоении, схематически изображенной на рис. 5.2, перемещение б конца стержня медленно увеличивается до критического значения до, с тем чтобы трещина стронулась. Пусть при данном значении д длина трещины скачком увеличивается на величину отслоившейся части А/, после чего трещина останавливается. Величины д0 и AZ считаем измеренными; кроме того, известны все необходимые нам данные о геометрии и свойствах материала. Предположим, что торможение трещины производится первой пришедшей отраженной волной, причем поведение материала в рассматриваемом процессе является

упругим. Имея все эти данные, найти скорость движения трещины I и соответствующее динамическое сопротивление R, действующее на протяжении скачка трещины.

Ответ*, уравнения (5.15) и (5.17) дают начальное сопротивление

R° 2 \ Zo / В ‘

Обозначая а = Цс01 из соотношений (5.21) и (5.17) получаем искомые величины

„ =Ro

2 + Д///о ’1 + AZ/Z0 ’

совпадающие с правыми частями указанных уравнений.

Комментарий. Хотя найденные формулы и не имеют непосредственных приложений, они все же дают некоторую информацию качественного характера о процессе торможения трещины в двухконсольной балке (см. рис. 7.8). Меняя величину Ro (например, путем искусственного затупления кончика трещины) или /0, будем получать различные значения скачка А/ и соответствующую совокупность значений (l,RVY Каждая точка этого множества представляет собой одну экспериментальную точку на кривой R— 2 и может быть использована для построения функции сопротивления ROY При надлежащих ограничениях (в предположении о маломасштабности пластического течения) экспериментальным данным будет соответствовать только одна кривая, как и предполагалось при построении кривых на рис. 5.1, 5.6 и 5.7.

Упругий стержень нагружен осевой силой на одном конце, а к другому его концу примыкает зона адгезионных связей с абсолютно жестким основанием. Сопротивление, при котором начинается разрушение адгезионных связей (отслоение стержня), равно R3, а дальнейшее динамическое сопротивление определяется по формуле

Rlb = R (O)[1 + (2Z7co)"1, в которой Со — скорость распространения продольной волны растягивающих напряжений в стержне, п — константа материала. Отслоение производится медленным увеличением нагрузки.

Полагая начальный барьер R0/R(G) = 6, определить начальную скорость I фронта разрушения адгезионных связей.

Пусть после страгивания трещины (см. выше) активная нагрузка на конце стержня поддерживается постоянной. Произойдет ли остановка трещины первой пришедшей отраженной волной?

Пусть свободный до начала нагружения участок балки имеет длину /о; определить полный скачок трещины А/.

Ответ: а) I = с0/2; б) да; в) А/ = 2/0.

Для иллюстрации процесса передачи энергии в динамике при упругом (в целом) трещинообразовании можно воспользоваться результатами решения задачи 5.2, в которой скорость трещины 1 = с0/2. На рисунке даны зависимости энергии от пути AZ, пройденного трещиной; Ф — полная энергия деформации, начальное значение которой Фо =(^/2^) S/o; Г ■—полная кинетическая энергия; RBAI—работа, затраченная на разрушение адгезионных связей. Показать, что производные (при W = 0) удовлетворяют уравнению энергетического баланса (5.13). Проверить также указанные на рисунке координаты выделенных точек, используя при этом то обстоятельство, что разрыв

В опытах на двухконсольной балке эти значения определенным образом осредняются.

Ы = /0/2 соответствует времени пробега первой излученной волной свободного участка стержня.

Комментарий. Особенностью рассматриваемой задачи является то, что кинетическая энергия в момент остановки трещины обращается в нуль. Вообще говоря, это не так, поскольку после остановки трещины можно заметить продолжающиеся колебания — этот эффект показан на рис. 7.8.

Глава 6

УСТАЛОСТЬ

Как было отмечено в гл. 1, медленный рост трещины может происходить и при периодически изменяющейся нагрузке (которую обычно противопоставляют процессу монотонного ее увеличения). Возникающее при этом разрушение от усталости может развиваться при нагрузке, максимальное значение которой намного меньше критических величин при монотонном нагружении, что объясняется эффектом накопления повреждений в материале при следующих друг за другом циклах нагружения.

Разрушение от усталости может развиваться из начальных микротрещин подобно тому, как это было описано выше, однако оно может иметь место и для тел без начальных трещин. Микроскопические исследования показывают, что разрушение часто начинается в зонах скольжения, примыкающих к внешней поверхности тела или внутренним неоднородностям (порам или включениям) в материале. Следовательно, механизм разрушения можно представить в виде накопления относительных перемещений слоев между плоскостями скольжения (подобно сдвигу карточной колоды) до тех пор, пока в направлении скольжения не появится трещиноподобное включение. Возникновение трещин может также происходить на границах зерен (в частности, в тройных точках, в которых сходится более двух зерен). Одна или несколько микротрещин могут развиваться дальше, чему способствует концентрация напряжений (часто сопровождаемая активирующим влиянием внешней среды) в вершине трещины. Направление распространения трещины может меняться— от направления по плоскостям скольжения (I стадия), о чем мы говорили выше, к некоторому среднему направлению, перпендикулярному максимальному растягивающему напряжению (II стадия). Рост трещины может происходить на транскристаллическом уровне путем либо прогрессирующего микро- пластического деформирования, при котором на поверхностях трещины образуются характерные борозды (полосы), либо же путем скола кристаллической структуры. Возникновению последней формы разрушения благоприятствуют низкие температуры, а также наличие хрупких включений. Рост трещины может происходить и за счет интеркристаллических механизмов в тех случаях, когда мало внутреннее сцепление, сильно влияние

агрессивной внешней среды, либо происходит слияние пор внутри зерен или на их границе, чему способствуют высокая температура и высокий уровень напряжений. И наконец, полное разрушение может заканчиваться динамическим прорастанием трещины.

Вообще говоря, продолжительность процесса, измеряемая числом N циклов нагружения, когда происходит зарождение трещин и реализуется I стадия их роста, сравнима с продолжительностью процессов на II стадии (роста макротрещин). К сожалению, в настоящее время методами механики разрушения детально можно исследовать, по-видимому, только вторую из упомянутых стадий. В этой связи следует отметить, что в таком важном для практики процессе, как образование трещин из дефектов в сварных швах, все (или почти все) время тратится на II стадию. Именно такого рода процессы трещино- образования мы и будем рассматривать ниже.

Эмпирические зависимости, описывающие рост трещины

Действуя в духе ЛМР, будем вначале предполагать уровень действующих напряжений настолько малым, что процесс разрушения определяется лишь сингулярной составляющей поля напряжений. Таким образом, мы снова обращаемся к понятию «коэффициент интенсивности напряжений», с тем чтобы однозначно определить локальные процессы. Предполагается, что циклическому изменению дальнего поля напряжений соответствует изменение коэффициента интенсивности на величину

ЬК = /<макс -К™ (6.1) т. е. в пределах от Амин до Кмакс- В дальнейшем подразумевается, что рост трещины сопровождается только одним типом ее деформации, преимущественно первым, поскольку имеющиеся практические приложения и экспериментальные данные относятся именно к этому типу. Поскольку тип деформации трещины фиксируется, соответствующий индекс у К можно для упрощения записи опускать. Для частного случая типа I будем временно Предполагать, ЧТО Дмин ^ 0.

Геометрия трещины по предположению определяется только одним параметром — ее длиной /, так что текущая интенсивность роста трещины определяется приращением длины за цикл или (при сглаживании) скоростью роста dl/dN. Именно эта зависимая переменная и подлежит исследованию.

При высказанных предположениях естественно ввести функциональную зависимость вида

-^- = f(kK, Кмзкс, Кс, A/Cth, Е, V, <гт, <тв, 8d, т, kt\ (6.2) куда входят следующие независимые переменные:

параметры, определяющие локальные процессы, — Д/С и /Смаке (ИЛИ Кмин) ;

макроскопические характеристики — модуль Юнга £, коэффициент Пуассона v, предел текучести от (или условный предел текучести 00,2), Другие характеристики пластических свойств, такие, как номинальное временное сопротивление огв, пластичность е^ и показатель упрочнения т, вязкость разрушения Кс и пороговое значение AKth, о котором мы будем говорить ниже;

возможно, набор микроскопических параметров kt (I = = 1,2,...).

Смысл порогового значения AKth заключается в том, что не каждая начальная трещина будет расти и, следовательно, для существования ненулевой скорости dl/dN должно быть сформулировано некоторое критическое условие. Ясно также, что верхней границей для /(макс должно быть статическое значение Кс.

Из соображений размерности вытекает, что зависимость

(6.2) может быть приведена к виду

dl / А/С \2 Г Кс AKth о- о-z х

Т=(—)Ф'лС «Г- Т’ Т■ <63>

где Л = Кчакс/ДХ;(6.4)

F— некоторая функция перечисленных безразмерных параметров; Р/—величина, на которую нужно умножать параметр ki, равная, например, ^Е/\КУ в том случае, когда ki имеет размерность длины. Из физических соображений можно установить некоторые свойства функции F. В частности, из того факта, что при стремлении /(макс к значению Кс функция F должна быть неограниченной ^ следует, что зависимость Е от Кмакс при значениях Кмакс, далеко отстоящих от критического уровня, по- видимому, будет слабой. Данное утверждение справедливо потому, что гистерезис, т. е. циклическая диссипация энергии, должен быть прежде всего связан с накоплением повреждений, и, следовательно, можно ожидать, что гистерезис зависит только от размаха АК цикла коэффициента интенсивности напряжений. В соответствии с этим пороговое значение AKth можно прямо интерпретировать как минимальный размах цикла АК, требуемый для прорастания трещины.

Приведенные рассуждения иллюстрируются кривыми на рис. 6.1. Нагружение, естественно, может быть знакопеременным, когда Л’мин < 0; последнее означает, что на части цикла трещина закрывается. Следовательно, мы можем предполагать, что трещина раскрывается при значениях АК, отвечающих

1} Этот случай, наверняка, соответствует быстрому разрушению.

верхней части рабочего цикла. Отсюда вытекает, что величину АК нужно полагать равной Кмакс > 0 в тех случаях, когда Кмин < < 0, как показано на рис. 6.1 ^

Получить какие-либо дополнительные результаты на уровне столь общих рассуждений затруднительно. Для конкретизации свойств функции F необходимо теперь использовать добавочные

ККВремяВремяУчасток сжатая, которым В случае трещины типа I пренебрегаемУчасток сжатая, которым В случае трещины типа I пренебрегаемЛ = Кткс/ДК‘Л = Кткс/ДК‘Рис. 6.1. Оценка скорости роста трещины dl/dN, зависящей от размаха АК и интенсивности напряжений.Рис. 6.1. Оценка скорости роста трещины dl/dN, зависящей от размаха АК и интенсивности напряжений.

К

К

Время

Время

Участок сжатая, которым В случае трещины типа I пренебрегаем

Участок сжатая, которым В случае трещины типа I пренебрегаем

Л = Кткс/ДК‘

Л = Кткс/ДК‘

Рис. 6.1. Оценка скорости роста трещины dl/dN, зависящей от размаха АК и интенсивности напряжений.

Рис. 6.1. Оценка скорости роста трещины dl/dN, зависящей от размаха АК и интенсивности напряжений.

ограничивающие предположения и (прежде всего) экспериментальные данные. Особенно простые гипотезы вытекают из приводимого ниже краткого обзора эмпирических зависимостей.

Рассмотрим сначала случай повторяющейся растягивающей нагрузки, когда Х= 1 (пульсирующий цикл); гипотеза состоит в том, что рост трещины линейно зависит от ее раскрытия 6. Если 6 в процессе нагружения превышает некоторое пороговое значение бь то по предположению постоянное приращение А/ длины трещины при разгрузке не меняется; согласно работе (312],

А/ - дмакс - д,. (6.5)

Коэффициент пропорциональности в этой зависимости должен быть небольшим — по данным эксперимента около 1 %. Из соотношения (4.22) следует также, что в случае идеальной пластичности

6 - К2/(^т), (6.6)

° Возможная модификация данного положения указана ниже, в примечании со ссылкой на работу Эльбера [322].

и, следовательно, из (6.5) и (6.6) можно найти, что

(6.7)

где AKth — пороговый размах коэффициента интенсивности напряжений, соответствующий пороговому значению раскрытия 6s А— константа материала.

Установлено, что для малых и умеренных скоростей роста длины трещины (до значений dl/dN « 1 мкм/цикл) зависимость (6.7) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для некоторых металлов, если А положить равным keT/E, где к меняется в диапазоне от 1 до 4. Это дает очень простую зависимость:

РЦ, ..?) = к^ -(AKth/АЮ2],(6.8)

фигурирующую в соотношении (6.3). Видно, что в рассматриваемом случае в исследуемую зависимость явно не входят ни вязкость разрушения, ни параметры макропластичности, ни микроскопические параметры. Исключая случаи, когда АТС очень мало, мы можем в выражении (6.8) пренебречь последним слагаемым !), так что закон, определяющий процесс распространения трещины при пульсирующем растяжении, приводится к следующей простой форме:

dl , ( \К \2,~ m

■dN=kV~)-(6‘9)

Однако многие из имеющихся экспериментальных данных не удовлетворяют сформулированным выше гипотезам. Известно [307] предложение описывать исследуемый процесс зависимостью вида

dl/dN = схм?(6.Ю)

(так называемый закон Париса) или ее обобщением

dl/dN = Сх VM? - (A/Gh)1>(6.11)

где n— числовой параметр, изменяющийся обычно в пределах от 2 до 4 (и даже до более высоких значений), Ci — зависящая от п размерная константа материала. Некоторые численные данные приведены в табл. 7.3.

Увеличение амплитуды цикла, когда X > I (рис. 6.1), или, что то же самое, когда

R = KMttjKMaKC^ I - IM > 0,(6.12)

Укажем в этой связи, что для сталей AKth ^ 5 МПа-м1/2, для алюминия AKth » 2 МПа • м1/2.

обычно приводит к увеличению скорости роста трещины. Для умеренных значений А7(, когда применима аппроксимация (6.10), этот эффект эмпирически можно учесть, считая п и Ci слабо зависящими от X (см. табл. 7.3). Вблизи порогового уровня этот же эффект можно учесть путем введения гипотезы о зависимости самого порогового значения A7<th от X. В качестве примера укажем, что для некоторых мягких сталей АКщ ^ ~ 4 МПа • м1/2 для X = 2 (или R = 1/2), АЛль = 6 МПа • м1^ для X = 1 (или R = 0) °.

Для больших значений А7< возрастание X может привести к тому, что величина Дмакс = X^K окажется близкой к критическому значению Кс, что вызовет увеличение скорости роста трещины. Была предложена модификация соотношения (6.10), позволяющая учесть это обстоятельство, в виде

(6.13)(6.13)dL=c f W

(6.13)

(6.13)

dN 2 [1 - (ХДК/КаРр ’

где, например, f = X, p = q=\ или же /=1, р = 2, q = n!A: [315]. Соотношение (6.13) позволяет учесть асимптотику dl[dN->OO ПрИ /Смаке

Некоторые из характеристик материала, перечисленных в зависимостях (6.2) и (6.3), входят в размерные постоянные Ci и С2. Ясно, что наличие множества альтернативных формулировок (6.7) — (6.11), (6.13) свидетельствует о большой степени неопределенности, содержащейся в настоящее время в описаниях процесса роста трещины при циклическом нагружении. Разумеется, некоторые различия в формулировках объясняются различием в физических условиях. Если, скажем, внешние воздействия ограничены настолько, что dl/dN <Z 1 мкм/цикл, то во многих металлах будут срабатывать механизмы, определяющие бороздчатую структуру на изломе (см. выше), а характерным будет диапазон 2 ^ п < 3. Однако увеличение уровня действующих

^ Экстраполируя эти выводы на случай знакопеременного режима, мы видим, что указанный рецепт преобразования знакопеременного процесса изменения К в процессе с односторонним повторяющимся растяжением (Х=1) может оказаться упрощенным. Реальная история нагружения проявляется в ее воздействии на пороговое значение AKth. Однако не исключено, что это влия^ ние на AXth является в большей или меньшей степени Фиктивным — скорее оно связано с эффектом, впервые отмеченным в работе Эльбера [322]. Эль- бер установил, что при знакопеременной нагрузке трещина может закрываться до момента перехода значения К через нуль и снова раскрывается с соответствующим запаздыванием. Такое поведение должно быть связано с пластической деформацией в вершине трещины. По этой причине можно с уверенностью предполагать, что размах цикла А/С при знакопеременном нагружении должен быть несколько меньше значения Кмакс. Последнее эквивалентно эффекту увеличения ДЛТь и, следовательно, может служить объяснением зависимости от параметра X, которая была приписана величине AKth.

напряжений и температуры в тех же металлах активирует механизм роста пор, для которого характерны большие значения показателя п (если используется зависимость (6.10)). Указанные причины не позволяют, естественно, рассчитывать на то, что существует единая для всех диапазонов непрерывная функция, определяющая скорость роста трещин dl/dN 1).

Возвращаясь к формуле (6.3), найденной методами теории размерностей, мы видим, что только присутствием параметров kt можно объяснить неквадратичную зависимость скоростей от амплитуды цикла А/( (в случае, когда влияние параметров /(макс, Кс и A/Gh несущественно). По-видимому, верно также утверждение, что соотношения, описывающие «новое» явление типа разрушения при усталости, не могут быть основаны на использовании только макропараметров, о которых здесь идет речь. Однако при больших скоростях может оказаться достаточным предвидение эффектов, возникающих при приближении к асимптотическому значению /(макс = Кс или же обусловленных нарушением предположения о маломасштабности пластического течения, когда, по всей видимости, оправданным будет использование неквадратичной зависимости от амплитуды цикла.

Определение числа циклов до разрушения при заданной амплитуде нагрузки

Найдем соотношение, связывающее длину трещины I и число циклов N при заданном размахе цикла нагрузки, например равном Аооо. Имея такую зависимость, можно будет вычислить число циклов N до разрушения через Аооо. Предполагается, что существует начальная трещина, длина /0 которой достаточна для усталостного роста. Процесс роста трещины подчиняется зависимости (6.10) в предположении о том, что влияние параметра A/(th мало, а для улучшения оценки скорости на заключительной стадии жизни конструкции может быть использована, например, зависимость (6.13).

В принципе процедура является очень простой. Интегрирование уравнения (6.10) приводит к формуле

dldl(6.14)(6.14)i

dl

dl

(6.14)

(6.14)

N-N. = \io

° Описание всех диапазонов зависимости dl/dN от АК единой функцией, а также более современная запись формулы (6 10) содержатся, например, в нормативном документе: Методические указания Расчеты и испытания на прочность. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости вязкости разрушения при циклическом нагружении. РД50-345-82. — М.: Изд-во стандартов, 1983. — 96 с. — Прим. ред.

которая и дает искомую зависимость N(l); здесь ^o— число циклов, которые могут быть реализованы до создания трещины длиной /0. Полное разрушение происходит в тот момент, когда длина трещины такова, что выполнено соотношение

АманеАмане= Kt= Kt(6.15)(6.15)

Амане

Амане

= Kt

= Kt

(6.15)

(6.15)

Используя найденную из этого уравнения критическую длину 1 = 1С трещины в формуле (6.14) в качестве верхнего предела интегрирования, приходим к искомому числу Nc = N(1С) циклов до разрушения. Обычно эти операции можно реализовать численно. Используются, разумеется, и соотношения (6.14) и (6.15) в тех случаях, когда задается амплитуда цикла перемещений или же АА—некоторая другая гладкая функция длины трещины I,

Для того чтобы в конкретном примере произвести аналитические преобразования до конца, будем предполагать теперь, что дальнее поле напряжений Ооо, имеющее размах цикла АсУоо, определяет текущее значение и размах коэффициента интенсивности напряжений по формулам

K = Qoo^H^, bK^te^nlfll), (6.16)

где /(/) — некоторая функция, зависящая от геометрических параметров (см. приложение В). При интегрировании примем в качестве аппроксимации (которая на практике приводит лишь к незначительной ошибке) функции /(/) ее значение в начале f(lo), что приводит к выражению

\К = \Кйл/1Щ, где А/<0 = Аа^ V^/o f (М.

которое в свою очередь необходимо подставлять в формулу (6.14). В результате подстановки получаем

N-No =N-No =С, (А/<0)п (га - 2)С, (А/<0)п (га - 2)п = 2.п = 2.^Г|п"Г’ с, (А^)л1°^Г|п"Г’ с, (А^)л1°п>2; (6.17)(6.18)п>2; (6.17)(6.18)

N-No =

N-No =

С, (А/<0)п (га - 2)

С, (А/<0)п (га - 2)

п = 2.

п = 2.

^Г|п"Г’ с, (А^)л1°

^Г|п"Г’ с, (А^)л1°

п>2; (6.17)

(6.18)

п>2; (6.17)

(6.18)

(6.19)(6.19)Полное разрушение реализуется, когда

(6.19)

(6.19)

Амане ^оо максд/лИ^ = Кс.

Решение 1 = 1С уравнения (6.19) можно теперь внести в формулы (6.17) или (6.18) и получить число циклов до разрушения Nc. В частном случае, когда k 3> /о, формула (6.17) приводит к следующей связи между Nc и А<Тоо (рис. 6.2):

(Aaj” (Nc - ЛГ0) = /ДС, [аМ f (/о)]" (п/2 - 1 )}•(6.20)

Интерес может представить исследование возможных связей между только что найденными результатами и эмпирическими

данными по усталости, такими, например, как обычно используемые 3— М-диаграммы (кривые Велера). Прежде всего следует отметить, что предположение о маломасштабном пластическом течении было исключено для большинства изученных нами случаев разрушения, относящихся только к небольшому числу циклов, примерно ^<103, т. е. к так называемой малоцикловой усталости. Однако имеются опубликованные работы, свидетельствующие о хорошем качественном согласовании представленных здесь выводов с данными экспериментальных измерений

Рис. 6.2. Определение числа циклов Nc — No до разрушения для II стадии роста трещины.

при числе циклов ^ >> 105, т. е. для «многоцикловой» усталости. В частности, с экспериментом удовлетворительно согласуется предсказываемый теорией угол наклона кривой на рис. 6.2. Однако особое внимание следует уделить тому, что в приведенных нами соотношениях фигурирует неизвестная пока величина No числа циклов до страгивания трещины, что ограничивает как область применимости данных соотношений, так и возможности их проверки для малых значений No. Такая ситуация будет иметь место при наличии начальных дефектов, о чем шла речь в начале главы.

Известно, что 3— М-диаграмма может иметь горизонтальную асимптотику Апоо >0 при N-^oo— так называемый предел усталости. Данное минимальное значение амплитуды цикла АОоо/2, необходимое для усталостного разрушения, тесно связано с понятием порогового значения амплитуды цикла нагрузки, о которой мы говорили выше. В самом деле, если для интегрирования вместо (6.10) используется зависимость (6.11), то предел усталости окажется равным следующему значению размаха напряжений (см. рис. 6.2):

Aaoo = AW[V^f(/0)]-

Пример 6.1. Внутри образца возникла небольшая трещина приблизительно круговой формы в плане; образец растягивается усилиями, перпендикулярными плоскости трещины. Растягивающие усилия (Уоо, приложенные вдали от трещины, меняются циклически, причем для одного цикла нагрузки

0 < сг^ ^ Аа^ = const.

Материал образца — высокопрочная сталь, вязкость разрушения которой К\с = 60 МПа-м1/2; пороговое значение A/Gh = = 5 МПа • м1/2; параметры п = 4; Ci = 10"12 МН-4 • м7 (в соотношениях (6.10) и (6.11)). Начальный радиус трещины /0 = 2 мм; предполагается, что пластическое течение локализовано достаточно сильно, с тем чтобы можно было использовать приведенные выше результаты линейной теории 1).

Определим прежде всего диапазон амплитуд цикла напряжений, выдерживаемых образцом до страгивания трещины. Нужная нам оценка вытекает из неравенства

A^(/oXA/Gh,

подстановка которого в формулу (В.1):

^ ^^ л/л10 < AXth

приводит к неравенству

Аст^-у^ МПа = 99 МПа.

V4 • 0,002/л

Зададимся теперь вопросом: каким может быть наибольшее значение размаха цикла АсУоо, при котором до числа циклов 7V= Ю4 не происходит полного разрушения? Будем при этом предполагать, что после страгивания трещины процесс приближенно описывается уравнением (6.10), и это уравнение может быть применено на заключительном этапе вычислений.

Полное разрушение происходит тогда, когда

(2/л) Aff^ Ул/ = Х[С,

т. е. при значении радиуса трещины, равном

/ = /с = (л/4)(МАаоо)2-

Следовательно, уравнение (6.10) в рассматриваемом случае имеет вид

Интегрирование дает

=CXN

/о

Можно доказать, что длина пластической зоны, соответствующая амплитуде цикла ДК, при циклическом нагружении будет меньше, чем при монотонном нагружении до того же значения коэффициента интенсивности Д/С (см. рис. 6.5). Отмеченное обстоятельство подтверждает гипотезу, в соответствии с которой скорость роста трещины определяется размахом цикла \К даже в тех случаях, когда нарушаются ограничения вида (4 13) (в которых К\с играет роль ДД).

или (измеряя / в метрах, До — в мегапаскалях)

/о lc U/о lc U(АОоо)22827(АОоо)22827(4)2Xio-2Xio4(Aaj4,(4)2Xio-2Xio4(Aaj4,

/о lc U

/о lc U

(АОоо)2

2827

(АОоо)2

2827

(4)2Xio-2Xio4(Aaj4,

(4)2Xio-2Xio4(Aaj4,

откуда следует, что

(A<tJ4 + 2,18X IOXActJ2 —3,08- 1010 = 0 и Аа^ = 406 МПа.

Данная величина соответствует радиусу / = 17 мм ^ 8а0; заметим, что результаты почти не изменятся, если в приведенных выше выкладках положим 1//с = 0. Поскольку ^Kth/^K)n^ ^ (99/406)4 = 0,003, то для вычислений можно в качестве основы вместо (6.11) использовать зависимость (6.10).

Эффекты изменения спектра нагрузки

Отметим, что условия нагружения реальных конструкций не имеют, как правило, столь простой формы, как это предполагалось на рис. 6.2; чаще приходится иметь дело с нагрузкой со

Рис. 6.3. Нагрузка с переменным спектром.Рис. 6.3. Нагрузка с переменным спектром.сложным спектром (рис. 6.3) Идя формальным путем, можно, используя, например, соотношение (6.14) для определения приращения AZ(O длины трещины, соответствующего заданному числу N(i^ циклов каждого i = 1, 2, .. . из совокупности следующих друг за другом процессов циклического нагружения с фиксированным размахом цикла AP(t) (или аналогично — при заданных

Рис. 6.3. Нагрузка с переменным спектром.

Рис. 6.3. Нагрузка с переменным спектром.

перемещениях — с фиксированным размахом цикла перемещений Ам(/)), сложить вклады от всех таких процессов. Если количество различных процессов нагружения мало по сравнению с полным числом циклов, а сами процессы различаются не слишком сильно, то подобная стратегия может оказаться приемлемой. Однако в общем случае каждый процесс нагружения может сам по себе настолько сильно изменить состояние в вершине трещины, что совокупный эффект методом простой суперпозиции объяснить нельзя. Например, большая амплитуда растягивающих напряжений будет приводить к появлению остаточных сжимающих напряжений в окрестности вершины трещины, которые в свою очередь могут уменьшить скорость роста трещины в случае, когда амплитуда последующих циклов нагружения будет мала (рис. 6.4). Указанное явление

может привести даже к полной остановке трещины. С другой стороны, замена цикла с малой амплитудой циклом с большой амплитудой приводит к скорости роста трещины, которая значительно превосходит ту, которую можно было бы ожидать в статических условиях (случай 2 на рис. 6.4). Возмущения ско

рости роста трещины имеют характер переходного процесса — каждое из этих возмущений со временем исчезает (хотя для

Рис. 6.4. Эффект изменения амплитуды нагрузки от больших значений до малых (кривые /) и от малых до больших (кривые 2).Рис. 6.4. Эффект изменения амплитуды нагрузки от больших значений до малых (кривые /) и от малых до больших (кривые 2).этого может потребоваться несколько тысяч циклов). Приложенные в середине процесса нагружения, эти возмущения могут влиять на разрушение в целом; кроме того, частые или резко выраженные переходы от одного режима к другому приводят к усилению последствий. В целом влияние неоднородности условий нагружения является очень сложным и не может быть учтено простой

Рис. 6.4. Эффект изменения амплитуды нагрузки от больших значений до малых (кривые /) и от малых до больших (кривые 2).

Рис. 6.4. Эффект изменения амплитуды нагрузки от больших значений до малых (кривые /) и от малых до больших (кривые 2).

суперпозицией.

Причиной задержки перехода (от одного ре

жима к другому) в случае типа I служат остаточные напряжения вблизи вершины тре

щины, возникающие на предшествующей серии циклов. На рис. 6.5 показано распределение напряжений в тонкой пластине:

после первого нагружения, раскрывающего трещину (рис. 6.5, я): дополнительные напряжения, обусловленные снятием нагрузки (рис. 6.5,6); остаточные напряжения после нагружения и разгрузки (рис. 6.5, в). Видно, что перед трещиной сформировалась

зона сжатия, куда кончику трещины продвинуться нелегко, особенно если амплитуда последующего цикла нагружения мала. Анализируя этап разгрузки (рис. 6.5,6), можно заметить, что разгрузка равносильна наложению нагрузки обратного знака в исходном материале после предварительного удвоения предела текучести. На рис. 6.5, г показана зависимость напряжений от деформаций за один цикл в некоторой характерной точке Q.

Эффекты окружающей среды

Известно, что с течением времени окружающая среда сильно влияет на состояние материала в вершине трещины. Возможен такой случай, когда трещина будет расти и при постоянной на-

Рис. 6 5. Растягивающая нагрузка (а) и последующая разгрузка, проводящая к возникновению остаточных напряжений (в). Для определения остаточных напряжений к исходному распределению ^а) добавляем распределение от нагрузки противоположного знака (б). (Зона сжатия может препятствовать дальнейшему росту трещины.) Процесс изменения напряжений и деформаций в точке Q (г).Рис. 6 5. Растягивающая нагрузка (а) и последующая разгрузка, проводящая к возникновению остаточных напряжений (в). Для определения остаточных напряжений к исходному распределению ^а) добавляем распределение от нагрузки противоположного знака (б). (Зона сжатия может препятствовать дальнейшему росту трещины.) Процесс изменения напряжений и деформаций в точке Q (г).

Рис. 6 5. Растягивающая нагрузка (а) и последующая разгрузка, проводящая к возникновению остаточных напряжений (в). Для определения остаточных напряжений к исходному распределению ^а) добавляем распределение от нагрузки противоположного знака (б). (Зона сжатия может препятствовать дальнейшему росту трещины.) Процесс изменения напряжений и деформаций в точке Q (г).

Рис. 6 5. Растягивающая нагрузка (а) и последующая разгрузка, проводящая к возникновению остаточных напряжений (в). Для определения остаточных напряжений к исходному распределению ^а) добавляем распределение от нагрузки противоположного знака (б). (Зона сжатия может препятствовать дальнейшему росту трещины.) Процесс изменения напряжений и деформаций в точке Q (г).

грузке, если только химическая агрессивность среды достаточно высока (имеет место так называемое коррозионное растрескивание). Если к тому же нагружение является циклическим, то комбинация двух факторов (коррозионная усталость) может приводить к более высокой скорости роста, чем та, которая получается простой суперпозицией.

Результаты предыдущих глав и данные, которые будут приведены в гл. 7, соответствуют нормальной влажности воздуха. Увеличение влажности будет приводить к уменьшению

прочности при усталости. Еще менее благоприятными являются условия эксплуатации в морской воде — здесь наблюдаются уменьшение периода зарождения усталостных трещин, увеличение скорости роста трещин и малое (возможно, даже нулевое) значение предела выносливости.

Поиск путей увеличения сопротивления коррозии можно вести по-разному, например подбором надлежащей термообработки при изготовлении или с применением катодной защиты в процессе эксплуатации. Однако не исключено, что в первом случае термообработка неблагоприятно повлияет на нормальные значения характеристик роста трещины, а во втором случае выделяющийся водород может увеличить хрупкость. Все это сводит к нулю эффективность предпринимаемых защитных мер. Из сказанного ясно, что проблемы, связанные с коррозионной усталостью, решить не так легко.

Еще одним важным для усталости фактором внешней среды является ее температура (см. также разд. 7.4). Умеренное увеличение температуры (от 0 до 100°C) может до некоторой степени улучшить усталостные характеристики; однако ясно, что очень высокие температуры оказывают неблагоприятное воздействие. При высоких температурах трещины также могут расти при постоянных нагрузках (когда возникает разрушение при ползучести, связанное с явлением ползучести в материале); наложение добавочной циклической нагрузки приводит к усилению суммарного эффекта. Трещинообразование при высоких температурах может происходить также вследствие роста и слияния микропор на границах зерен и связанных с этим механизмов диффузии и пластической деформации.

Обращаясь снова к явлению коррозионного растрескивания материала под напряжением, укажем, что оно обусловлено электрохимическими реакциями, взаимодействующими с пластическим скольжением, что приводит к разрушению поверхностных пленок, защищающих поверхность трещины. В этот процесс свой вклад может вносить и водородное охрупчивание. Усилению подобных вредных для конструкции эффектов способствуют и некоторые частные сочетания материала и окружающей среды, как, например, алюминиевые сплавы — морская вода, сплавы меди — аммиак. Если речь идет о маломасштабном пластическом течении, то условие начала роста трещины можно выразить через некоторое минимальное значение коэффициента интенсивности напряжений.

Рис. 6.6 иллюстрирует процесс развития трещины при коррозии материала под напряжением; с течением времени длина трещины, а следовательно, и коэффициент интенсивности напряжений растут до тех пор, пока не происходит полное разрушение при выполнении условия Ki = Kr. Минимальное значение коэф-

фициента интенсивности напряжений, требуемое для страги- вания трещины, обозначено через K\scc (трещинообразование в условиях коррозий под напряжением). Этот параметр, представляющий собой характеристику материала и окружающей

Рис. 6.6. Рост трещины, обусловленный коррозией под напряжением, при Ki > Kisco Полное разрушение при К; = Ки.

среды, определяет пороговое значение, которое много раз встречалось раньше и обозначалось A/Gh.

В металловедении (когда речь не идет о керамике) понятие «усталость» обычно связывается только с циклическим нагружением. Очевидно, что в данном разделе интерпретация усталости была несколько более широкой. Читатели, желающие продолжить знакомство с этой темой, могут найти необходимую им информацию в библиографии к гл. 6 и 8.

Задачи

Широкая пластина имеет небольшую внутреннюю сквозную трещину.

Начальная длина трещины равна 2/0, а сама трещина перпендикулярна направлению заданного на удаленной границе напряжения а^, которое пульсирует от значения амин до амакс Используя уравнения (6 3) и (6 8), определяющие процесс распостранения трещины

показать, что число циклов до разрушения равно

Nс =о In,

^л (Да)2л/0 — (Д^ь/Да)2

А°* = Омаке Омин*

Двухконсольная балка (рассмотренная в примерах 3.1 и 3.3) нагружена силой Р, пульсирующей в пределах от 3 до 5 кН. Начальная длина трещины равна /о=ЮО мм, и, кроме того, задается / = 10 мм, h = 20 мм. Предполагается, что рост трещины управляется уравнением (6 10), в

котором п = 3, Cj = 10 10 МН 3 • м11^2. Полная вязкость разрушения Клс = = 75 МПа • м1^2. Показать, что критическая длина трещины 1С = 122,5 мм, а число циклов до разрушения Nc = 11 300.

Дана круглая труба, толщина стенок которой равна /, имеющая продольную трещину длиной L и глубиной I—как показано на рисунке. Внутреннее давление р, пульсирующее в пределах от р0(2 до р0, может вызывать рост

трещины. Предполагается, что выполнено условие L ^ 1у так что (относительно неподвижные) края у = ±L/2 трещины не тормозят существенно рост трещины в окрестности значения у = 0. Начальная глубина трещины равна / = /0 = 5 мм; кроме того, положим t = 25 мм, R = 500 мм.

Определить максимальное значение ро, при котором трещина остается в покое, если пороговый размах коэффициента интенсивности напряжений равен AKth = 4 МПа-м1/2.

Пусть рост трещины при значениях амплитуды цикла нагрузки, намного превышающих найденную в п. а) величину, подчиняется уравнению (6.10). Используя это уравнение, найти число N циклов, при котором трещина станет сквозной, если м = 3, Сх = 10“12 МН-3*м11/2, 7<1с = 49 МПа, р0 = Ю МПа. Положить для упрощения Ki ~ 1,4сГф Vл/ (ср. с формулой (В. 5); аоо = сгф — невозмущенное окружное напряжение).

Ответ, а) ро = 2,3 МПа; б) Zc = 6,5 мм; Мс = 2,3-105.

Глава 7

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Очевидно, что для определения путей развития теории, подтверждения ее выводов, а также для того, чтобы обеспечить числовыми данными практические приложения механики разрушения, необходимы экспериментальные исследования. Эксперименты должны быть легко воспроизводимыми, т. е. должны быть простыми и приводить к надежно измеряемым результатам с возможно более широкой областью применимости. В совокупности эти элементарные требования механики разрушения приводят к очень трудным проблемам, которые к настоящему времени решены лишь частично. Эти проблемы связаны с решением таких вопросов, как 1) изготовление образцов, имеющих трещину заданных размеров; 2) создание в образце напряженного состояния с надежно измеряемыми параметрами; 3) обеспечение малости возмущающего влияния трещины на напряженное состояние в окружающем материале вдали от трещины; 4) регистрация момента страгивания трещины и измерение ее длины; 5) регистрация критической нагрузки (перемещения), продвигающей трещину; 6) преобразование измеренных величин в константы материала; 7) создание экспериментальных методик, применимых в случае динамического (импульсного) нагружения и (или) быстрого роста трещины (в предположении о том, что вопросы 4—6 для квазистатики решены).

Так как способы реализации каждого эксперимента не всегда очевидны, а их выбор неоднозначен, то важно, чтобы основой экспериментов в механике разрушения были, насколько это возможно, общепринятые методики — стандарты. К числу таких стандартов относится, в частности, хорошо известный стандарт ASTM Е399 Американского общества по испытанию материалов, регламентирующий опыты по страгиванию трещины в рамках линейной механики разрушения. Некоторые основные особенности данного стандарта рассмотрены ниже. Будут приведены также ссылки на работы по созданию методик, применимых к исследованию нелинейного режима роста трещины. Краткое упоминание о методах, касающихся динамического нагружения и динамического роста трещины, и некоторые относящиеся сюда численные результаты будут рассмотрены отдельно.

И в заключение будут приведены некоторые экспериментальные результаты (с надлежащим теоретическим обоснованием) для случаев несимметричного роста трещины. Более подробную информацию можно найти в цитируемых работах.

Определение статической вязкости разрушения

Задача состоит в том, чтобы определить вязкость разрушения Кас конкретного материала (см. разд. 4.3). Напомним, что для обеспечения независимости результатов от геометрии испытываемого образца выше были предложены следующие (минимальные) ограничения на толщину и начальную длину трещины:

/>2,5f-^Y, />2,5(— Ь (4.13) V От / к От ) х

Здесь коэффициент 2,5 эмпирический, и его использование может приводить к недопустимо большим размерам образца (об этом см. далее). Практическое неудобство состоит в томт что до проведения эксперимента порядок величины Кас неизвестен; следовательно, в первом же эксперименте необходимо получить оценку К\с, с тем чтобы указать, какие размеры образца могут удовлетворять сформулированным выше неравенствам. Если найденное экспериментально значение не удовлетворяет этим неравенствам, то опыт по определению Кас следует признать некорректным, и необходимо провести новый опыт, увеличив размеры образца. Типы образцов, которые предпочитают для проведения опытов по определению характеристики трещи- ностойкости Кас, показаны на рис. 7.1,— это балка, нагружаемая тремя сосредоточенными силами на изгиб, и компактный образец на внецентренное растяжение. Характерная особенность таких образцов (особенно второго) заключается в том, что объем их сравнительно невелик. После определения нагрузки соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений можно найти по формулам (В.9) и (В.10). Если требуется исследовать трещинообразование в листовых образцах, то на практике здесь можно столкнуться с проблемой выпучивания; в таких случаях следует предпочесть образцы, напряжения во всех точках которых растягивающие, как, например, в задачах 3—5 приложения В.

Для создания начальной трещины требуется специальная методика. Желательно иметь трещину, фронт которой перпендикулярен поверхности образца; трещина должна быть острой (не такой, как это получается путем пропиливания), а прилегающий к ней материал должен иметь минимальные остаточную деформацию и поврежденность. Достигается это обычно путем развития усталостной трещины, берущей свое начало от надреза в

Рис. 7.1. Два основных типа образцов для определения характеристик тре- щиностойкости: а — образец на трехточечный изгиб; б — компактный образец на внецентренное растяжение.

Рис. 7.2. Способы образования трещиноподобного надреза.Рис. 7.2. Способы образования трещиноподобного надреза.материале; ограничения на тол-материале; ограничения на тол-

Рис. 7.2. Способы образования трещиноподобного надреза.

Рис. 7.2. Способы образования трещиноподобного надреза.

материале; ограничения на тол-

материале; ограничения на тол-

форме «шеврона» (рис. 7.2); развитие трещины управляется циклическим нагружением, при котором коэффициент интенсивности Xi макс достаточно мал по сравнению с величиной К1с- Такой выбор формы начального надреза способствует развитию симметричной усталостной трещины и предупреждает тенденцию к образованию ногтевидной трещины (см. разд. 4.4). На начальную трещину могут быть наложены также некоторые особые ограничения, вытекающие из требований к ее геометрии в конце процесса. Сюда относятся меры по обеспечению страгивания трещины заданной формы в минимально возмущенном

щину образца позволяют поддерживать состояние плоской деформации вблизи фронта трещины (исключая зоны, примыкающие к поверхности образца).

Таким образом, можно считать, что сформулированные выше проблемы 1—3 по постановке эксперимента имеют удовлетворительное решение, однако вопрос о регистрации критической нагрузки представляется более сложным. Задача состоит в томг чтобы четко зарегистрировать момент страгивания трещины. В рекомендациях стандарта ASTM,o которых сейчас идет речь1), предполагается, что значение нагрузки и раскрытие трещины V

Упругая скоба— датчик деформации.

Рис. 7.3. Измерение раскрытия трещины на поверхности образца.

регистрируются одновременно; раскрытие V при этом измеряется при помощи так называемой зажимной упругой скобы, снабженной тензодатчиками (рис. 7.3). Три возможных результата таких измерений показаны на рис. 7.4. Самый простой из них показан на рис. 7.4, а; здесь почти линейная зависимость означает, что до точки излома имеет место преимущественно линейно упругое поведение материала при постоянной площади трещины, после чего происходит динамический рост трещины вплоть до момента полного разрушения. Критической для страгивания трещины является нагрузка Рс, в рассматриваемом случае совпадающая с максимальной. Опытное значение вязкости разрушения равно коэффициенту интенсивности напряжений Ki, соответствующему нагрузке Рс. Кривая на рис. 7.4,6 отражает эффект «скачка» (см. разд. 4.4), или внутреннего роста трещины; здесь также пиковая нагрузка Рс (на скачке) считается

о Регламентированные методы экспериментального определения характеристик трещиностойкости (в том числе и вязкости разрушения) образцов представлены в ГОСТ 25 506-85. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении —М/ Изд-во стандартов, 1985. — 61 с., а также: Методические указания. Расчеты и испытания на прочность в машиностроении Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) при статическом нагружении. РД 50-260-81.— М.. Изд-во стандартов, 1982. — 56 с.'—Прим. ред.

критической. Более неопределенной является ситуация для кривой, представленной на рис. 7.4,в, поскольку ее нелинейность может быть обусловлена либо пластической деформацией при фиксированной площади трещины, либо уменьшением жесткости системы при устойчивом росте трещины, либо (что обычно и происходит) некоторой комбинацией этих двух схем. Номинальная критическая нагрузка Рс в данном случае определяется так,

Рис. 7.4. Типичные результаты опытаРис. 7.4. Типичные результаты опытапо статическому разрушению.по статическому разрушению.

Рис. 7.4. Типичные результаты опыта

Рис. 7.4. Типичные результаты опыта

по статическому разрушению.

по статическому разрушению.

как показано на рис. 7.4, в,— при помощи секущей, при добавочном предположении (используемом и в случае б) о том, что любой опыт, в котором максимум нагрузки превосходит величину Рс более чем на 10%, должен быть забракован. Последнее ограничение вводится с той целью, чтобы обеспечить преобладающий вклад разрушения в нелинейность опытной кривой. С другой стороны, выделяемый при помощи секущей отрезок кривой может соответствовать процессу устойчивого подрастания трещины (до 2 % начальной длины в тех случаях, когда доминирующим механизмом нелинейности является трещинообразо- вание) даже при нагрузках, не превосходящих величины Рс. Последнее замечание может означать, что имеет место определенная зависимость вязкости разрушения К\с от размеров образца; тем не менее данный метод простой и широко опробован на практике.

Данные по вязкости разрушения Kic, приведенные в разд. 7.4, свидетельствуют, что вязкость разрушения нередко проявляет сильную зависимость от температуры, возрастая вместе с ее увеличением. Видно также, что применение ЛМР на практике (во всяком случае для металлов) должно быть ограничено диапазоном высоких значений прочности и (или) низких температур.

В этом случае отношение К\с/от будет сравнительно мало, так что реальные размеры трещин и толщины пластин будут удовлетворять условию (4.13а). В то же время низкопрочные стали и некоторые сплавы алюминия могут оказаться слишком вязкими и не удовлетворять обсуждаемому сейчас ограничению.

Цель ограничений (4.13) на размеры — поддерживать состояние локально плоской деформации и состояние пластического течения строго внутри области с плоской деформацией, а также ограничить фигурирующее в условии (4.13а) продвижение трещины размерами упомянутой пластической зоны. Из приведенного замечания вытекает простой способ обеспечения близости регистрируемого момента страгивания трещины к истинному. Если ограничение (4.13а) на толщину не выполнено, то полученный в опыте результат все же имеет смысл — это характеристика трещиностойкости Кс, соответствующая данному частному значению толщины (см. разд. 4.4). Кроме того, если бы можно было зарегистрировать истинный момент страгивания трещины, то толщину пластины можно было бы значительно уменьшить, а найденный в опыте результат был бы все-таки близок к Ki с. Улучшенная таким способом теоретическая кривая показана на рис. 4.5, а пунктиром; связана она с внутренним трещи- нообразованием, предшествующим явлению «скачка». Более тонкие методы регистрации момента страгивания трещины будут упомянуты в разд. 7.2.

В библиографии к гл. 7 указаны также работы по методикам проведения эксперимента по построению 7?-кривых (с экспериментальными данными). Напомним, что (и это было показано в подстрочном примечании к формуле (4.21)) описание процесса движения трещины может быть дано с использованием понятия как 7?-кривых, так и Л^-кривых.

Определение критического раскрытия трещины и критических значений /-интеграла

Диаграммы нагрузка — перемещение с ярко выраженной кривизной (как, например, на приведенном выше рис. 7.4, в) могут, разумеется, приводить к таким значениям вязкости разрушения, которые не согласуются с ограничениями (4.13), что, в свою очередь, указывает на принадлежность рассматриваемой проблемы к сфере нелинейной механики разрушения. Такие значения условной вязкости разрушения (в частности, при / < 2,5 (АТс/огт)2) не могут служить характеристикой свойств материала, и поэтому необходимо обратиться к другим понятиям, играющим более фундаментальную роль. К таковым относятся раскрытие трещины 6 и /-интеграл. Физический смысл раскрытия трещины вполне ясен, однако точное определение его

в эксперименте может оказаться затруднительным ^ При использовании 7-интеграла ситуация может оказаться противоположной даже при наличии специальной экспериментальной техники и высококвалифицированных экспериментаторов. В настоя

щее время нет единого мнения о том, какой из двух концепций, несмотря на их тесную связь, следует отдать предпочтение. Напомним, что для очень тонких пластин в теории Дагдейла было найдено соотношение J = от6; для более толстых пластин справедлива, по-видимому, аналогичного вида связь J = Мот6, где,

Рис. 7.5. Шарнирный механизм, используемый для преобразования регистрируемого в опыте раскрытия на поверхности образца V в раскрытие вершины трещины 6.Рис. 7.5. Шарнирный механизм, используемый для преобразования регистрируемого в опыте раскрытия на поверхности образца V в раскрытие вершины трещины 6.как правило, 1 < М < 2. При наличии неопределенности в идентификации величины 6 можно даже предложить способ количественного определения раскрытия через Z-интеграл, полагая (при умеренном упрочнении) от равным (у0,2. Таким образом, в качестве альтернативного способа вычисления или измерения простейшей характеристики 6 можно было бы использо-

Рис. 7.5. Шарнирный механизм, используемый для преобразования регистрируемого в опыте раскрытия на поверхности образца V в раскрытие вершины трещины 6.

Рис. 7.5. Шарнирный механизм, используемый для преобразования регистрируемого в опыте раскрытия на поверхности образца V в раскрытие вершины трещины 6.

вать 7-интеграл, особенно

в тех случаях, когда (как и сейчас) результатом должен быть

момент страгивания трещины, а не описание ее роста.

Раскрытие трещины проще можно зафиксировать при развитом пластическом течении с образованием пластического шарнира, о котором упоминалось в разд. 2.3 (рис. 7.5). Если перемещение берегов трещины можно объяснить преимущественно вращением частей испытываемого образца относительно оси, смещенной по ходу трещины вперед на расстояние а/п от ее вершины, то отсюда следует, что

6 = 17-. "М -. .(7.1)

I + а[пv 7

Эта формула, вытекающая из кинематики абсолютно твердого тела, применима непосредственно при нагружении в окрестности предельной пластичности; а — ширина неразрушенного сечения образца, п— число, близкое к 2 (или несколько большее) для обычно используемых конфигураций образца. В других случаях

п Частично это обусловлено плавным искривлением фронта трещины (см. разд. 4 5). Кроме того, некоторый произвол содержится и в самой концепции: раскрытия трещины, даже если это раскрытие удается однозначно определить в рамках теории первого приближения.

соотношение (7.1) может иметь реальный смысл только тогда, когда п в процессе нагружения переменно; следовательно, ситуация здесь не намного лучше той, что и при прямом измерении раскрытия 6. Прямые измерения можно осуществить путем осмотра охлажденных образцов (охлаждение вызывает расхождение берегов трещины) или же с помощью более современной методики — с применением силиконовых резин для копирования трещины. При проведении таких измерений также требуются определенные предположения относительно вида эмпирической зависимости от параметра п.

Традиционно во многих работах критическое раскрытие 6 связывалось с начальным положением вершины трещины и с максимумом нагрузки. До достижения критического значения обычно имело место устойчивое- подрастание трещины (геометрия данного процесса показана на рис. 4.8), сопровождаемое эффектами, иллюстрируемыми кривой на рис. 7.4, в. Очевидно, что при движении трещины условия опыта меняются, и это изменение зависит от формы и размеров испытываемого образца; следовательно, фиксируемая таким способом величина не может служить характеристикой материала. Однако в опытах, когда можно было наблюдать процесс разделения тела на части, выявлены убедительные аргументы в пользу того, что значение 6 в момент страгивания трещины является постоянной материала и окружающей среды. Для надлежащего обеспечения условий плоской деформации требуется некоторый минимум толщины образца — этот вопрос мы обсудим ниже. Очевидно, что критическое раскрытие 6ic можно связать с вязкостью разрушения К\с по формуле (4.246), если только сама вязкость разрушения соответствует истинному моменту страгивания трещины.

Некоторые дополнительные подробности, касающиеся условий проведения опытов, можно найти в Британских стандартах BS5762: 1979 [382]; дальнейшая информация по этим вопросам содержится в приложении 3.

В разд. 4.6 были рассмотрены аргументы в пользу того, чтобы критическим параметром для страгивания трещины считать 7-интеграл; были также указаны некоторые аспекты поведения данного параметра с ростом внешних воздействий или увеличением длины трещины. Определяющее уравнение (2.48) в сочетании с методом конечных элементов остается мощным инструментом для оценки значений 7-интеграла при определенных условиях эксперимента, однако на практике предполагают использовать методы, указанные в разд. 3.3.3 (если только эти методы применимы), в которых связь регистрируемых величин с нужным нам параметром более проста. Привлекательным может показаться использование соотношения (3.41а), из которого (см. рис. 3.6) следует, что 7 « —(АС7АД)М, однако отметим, что

U1 atU1 atпроцедура определения работы внешних воздействий U для близких значений размеров трещины часто приводит к ошибкам. Следует также, если это возможно, попытаться использовать частные зависимости типа (3.43) или (3.44) ввиду их простоты. В общем случае такие зависимости можно объединить, считая их «вариациями на следующую тему»:

U

1 at

U

1 at

(7.2)

где т] — численный параметр, меняющийся в пределах от 1 до числа, несколько большего 2. Однако применимость даже этой

Рис. 7.6. Итоговые результаты, относящиеся к наиболее важному способу 'определения значений /-интеграла до страгивания трещины по результатам опыта с одним образцом.Рис. 7.6. Итоговые результаты, относящиеся к наиболее важному способу 'определения значений /-интеграла до страгивания трещины по результатам опыта с одним образцом.

Рис. 7.6. Итоговые результаты, относящиеся к наиболее важному способу 'определения значений /-интеграла до страгивания трещины по результатам опыта с одним образцом.

Рис. 7.6. Итоговые результаты, относящиеся к наиболее важному способу 'определения значений /-интеграла до страгивания трещины по результатам опыта с одним образцом.

формулы ограничивается случаем глубоких начальных трещин (рис. 7.6) и (или) развитым пластическим течением, хотя эту формулу можно исправлять, добавляя справа слагаемые для приближенного учета разного рода эффектов, например эффекта упругости материала. Соответствующие указания по подготовке и проведению эксперимента были разработаны в стандарте ASTM Е813-81 [387] (информацию по данному вопросу можно найти также в цитируемой литературе).

Для того чтобы измерения момента страгивания можно было считать пригодными для вычисления характеристик материала Sic или /ic, было предложено выбирать толщину образцов из условия (ср. с формулой (4.29))

тб1с ^

mJ ус

Мот 1

1 <

М <2,

(7.3а)-

(7.36)(7.36)где т— число, меняющееся в пределах от 25 до 100. Для сравнения данного условия с ограничением (4.13а) положим J\c KaJE\ тогда условие (7.3а) примет вид

(7.36)

(7.36)

1 М ЕоТ

Для обычно встречающихся отношений Е/от, близких, скажем, к 103 для стали, введенное ограничение намного слабее ограничения (4.13а). Последнее требует, чтобы толщина t была большей по сравнению с длиной пластической зоны, в то время как из неравенств (7.3а) и (7.36) следует только, что I велико по сравнению с раскрытием трещины. Данное расхождение может показаться неожиданным, так как оценка минимума толщины 1, необходимого для исключения зависимости результатов от толщины, не должна быть связана с основными концепциями теории. Объяснение может быть найдено в том, что непосредственно в опыте мы наблюдаем различные явления; очевидная цель ограничения (7.3) — обеспечить возможно более точное определение момента страгивания, в то время как ограничение (4.13а) предназначено для устранения противоречий, вызванных подрастанием трещины. .. Ясно, что при одних и тех же условиях и при регистрации в обоих случаях истинного момента страгивания трещин требуются одни и те же ограничения безотносительно к характеру измеряемой величины. Отметим, что значения толщины, выбираемые по соотношениям (7.3), могут все еще быть источником некоторой неуверенности в результатах.

Сложная природа явления страгивания трещины при вязком разрушении препятствует прямой его регистрации. Из-за того что трещина распространяется внутри материала, невозможно использовать простые оптические методы (исключая случай прозрачного материала), а также на микроуровне может оказаться трудным даже определить сам факт разрушения, поскольку по- врежденность на фронте трещины растет постепенно (происходит рост и слияние микропор и т. п.). Наиболее перспективными из существующих и ожидаемых в будущем представляются экспериментальные методы, основанные на измерениях электрической проводимости, акустической эмиссии и измерениях с помощью ультразвуковой дефектоскопии. Насколько велики трудности, связанные с регистрацией момента страгивания трещины, можно усмотреть и из ряда опубликованных экспериментальных данных.

Не исключено, что более объективной является методика (также непрямая и весьма трудоемкая), основанная на принципе использования мультиобразца (множества идентичных образцов) и предложенная в работе Ландиса и Биглея [388].

Основная идея здесь заключается в том, что величина, предполагаемая критической, должна быть измерена на разных стадиях роста трещины, причем состояние на каждой стадии регистрируется путем раскрытия трещины в образце. Экстраполяция назад — к нулю реального, процесса роста трещины — приводит к начальному значению исследуемого параметра. Очевидно, что такой способ предъявляет весьма высокие требования к идентичности начального состояния испытываемых образцов. Ясно также, что техника использования силикон-резиновых копий может исключить необходимость испытания более чем одного образца. Слабость этого метода в том, что температура испытания должна быть выше точки замерзания резины, для того чтобы раствор резины затвердел. Еще один способ использования в опыте только одного образца основан на следующей идее, предложенной в работе [418]. Если на различных стадиях роста трещины производить малые разгрузки и повторные нагружения (так, чтобы интервал деформаций находился в основном в упругой области), то может оказаться возможным определить текущее значение эффективной длины трещины по тангенсу угла наклона касательной к кривой разгрузки и повторного нагружения 1}. Для реализации данной процедуры нужна весьма изощренная техника, в то же время имеющиеся в литературе отзывы об эффективности методики в целом весьма противоречивы.

Определение динамической трещиностойкости

Выражение, использованное в заголовке, подразумевает не только рассмотрение сингулярных полей напряжений — речь идет о любого рода параметрах, способных характеризовать сопротивление началу разрушения при быстром нагружении или сопротивление продолжающемуся росту трещины также при быстром нагружении. Данной области приложений и исследований было уделено очень большое внимание, однако проблема оказалась настолько сложной, что анализ, измеряемые параметры и даже терминология могут либо просто отсутствовать, либо быть чисто интуитивными. Если разрушение сопровождается маломасштабным пластическим течением, так что управляющим параметром является коэффициент интенсивности напряжений, то мы должны различать два критических значения: Kid (которое с тем же успехом можно было бы обозначить через Kic),

° Рассмотренная здесь методика в применении к регистрации момента старта трещины (и к другим сопутствующим вопросам) была предложена также в работе: Маркочев В. М, Морозов Е. М. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения. — Физ.-хим. механика материалов, 1978,. № 1, с. 12—22. — Прим. ред.

представляющее собой начальное значение коэффициента интенсивности, когда этот коэффициент растет настолько быстро (со скоростью Ki), что скорость его роста влияет на сопротивление материала разрушению (таким образом, параметр К\а зависит от скорости К\п и относится к пока еще стационарной трещине), и К\п — коэффициент интенсивности напряжений, требуемый для сохранения продолжающегося роста трещины (в первом приближении величину Kid можно считать функцией только скорости роста трещины Z).

При более вязком разрушении, для описания которого нельзя обойтись только коэффициентом интенсивности Кь были применены менее строго определенные параметры энергетической природы. В частности, ниже встречается отношение ХЕ/А— средняя (в некотором смысле) потеря механической энергии на единицу площади поверхности трещины А при полном динамическом разрушении. Кроме того, для характеристики явления разрушения может быть, по-видимому, и в динамическом случае использован такой параметр, как раскрытие трещины.

В настоящее время для определения критических значений используются различные экспериментальные методы; упомянем метод Шарли, опыты с падающим грузом, исследования процесса распространения трещины на основе аналитических решений и использование теневых оптических методов (каустик). Первый из этих методов хорошо известен и широко используется на практике. Испытываемый образец с надрезом подвергается удару молотом на копре, после чего полная потеря энергии АЕ/ может быть измерена по разности высоты подъема молота до и после удара. Однако измеренная таким способом потеря энергии без надлежащей коррекции не пригодна для характеристики истинного процесса разрушения, поскольку она включает в себя демпфированную кинетическую энергию, а также диссипацию вследствие пластического течения в зоне перед кончиком трещины. Для вычитания из АЕ^ основных из этих видов потерь могут быть применены специально разработанные для этой цели методы; после вычитания может быть дана оценка удельной работы разрушения ХЕ]А. Однако проблема связи данной работы

!) При практической реализации опытов на ударное нагружение образец обычно подвергается изгибу силами, приложенными в трех точках так, как показано на рис. 7.1, а. Надрезы должны быть трещиноподобными, созданными, например, путем контролируемого усталостного разрушения (по этому поводу см. разд. 7.1).

со скоростью разрушения остается; неясно даже, как эта скорость может быть определена 1}.

При хрупком разрушении постановка задачи упрощается, поскольку основная характеристика здесь — коэффициент интенсивности напряжений. При практической реализации опытов на ударное нагружение датчики размещаются на ударнике и (или) на испытываемом образце, с тем чтобы передавать информацию о мгновенных значениях локальных деформаций, в то время как зажимная скоба может регистрировать раскрытие устья трещины. Используя простой квазистатический подход, приходим к некоторой зависимости коэффициента интенсивности напряжений Ki = Кы, требуемого для страгивания трещины, от скорости Кь Имеющиеся результаты указывают на то, что величина Kid может зависеть от скорости (см. разд. 7.4), однако для различных сталей формы этой зависимости различны. Для мягких сталей и сталей средней прочности обычно наблюдается уменьшение Кы с ростом Кх (при нормальных скоростях), однако для многих высокопрочных металлов значение Kid может, наоборот, расти. Эта тенденция к росту, имеющая место, по-ви- димому, для всех металлов при очень высоких скоростях, была объяснена адиабатическим разогревом в вершине трещины.

Источник возможных ошибок при определении значения Kid коренится в том, что очень сложно зафиксировать истинный момент страгивания трещины, а также в том, что соотношения, найденные в квазистатике, например между силой или раскрытием трещины и коэффициентом интенсивности напряжений, используются и в динамике. Поскольку выявить в опыте, как именно головная волна напряжений и колебания могут повлиять на страгивание, нелегко, то к результатам, полученным указанным выше способом, следует относиться с осторожностью. Отметим, что использование более совершенных методик измерений, предложенных, например, в работах [425, 441], позволяет повысить достоверность полученных результатов.

Типичные регистрируемые в опытах с ударным нагружением кривые приведены на рис. 7.7.

Определение величины Kid может производиться путем точных измерений скоростей роста трещины, которые используются

> Вопросы расчетно-экспериментального определения скорости роста трещины в связи с динамическим нагружением рассмотрены в работе: Жите- нев В. В., Маркочев В. М. Моделирование процесса ударного изгиба образцов во время испытаний на маятниковых копрах. — Заводская лаборатория, 1980, № 10, с. 956—959.

Методы оценки динамической трещиностойкости содержатся в нормативном документе: Методические указания. Расчеты и испытания на прочность. Методы химических испытаний металлов. Определение характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) при динамическом нагружении. РД 50- 344-82.— М: Изд-во стандартов, 1983 — 52 с.— Прим. ред.

Рис. 7.7. Опыт по определению нагрузки Р и раскрытия V устья трещины при ударном нагружении молотом с использованием обработки данных измерителя деформаций [428]. Обычно возникают колебания нагрузки, обусловленные инерционными эффектами, и может даже происходить ее увеличение после страгивания трещины в тех опытах, когда заметную роль играет вязкость. В последнем случае момент страгивания трещины нельзя обнаружить по результатам измерений только одной нагрузки.

далее как входные данные в программах для ЭВМ, предназначенных для построения соответствующей функции Кт- В реализованных экспериментах чаще всего использовалось нагружение двухконсольной балки или компактного образца (см. выше) клином; при этом иногда одновременно применялся и оптический метод. В этих случаях трещинообразование начинает развиваться из трещины с затупленным краем; затупление позволяет создавать регулируемый начальный барьер, высвобождаю-

Рис. 7.8. Динамическое разрушение двухконсольной балки (схема), начинающееся из затупленного кончика трещин (по данным работы Калтоффа и др. [440] ). Скорость движения трещины / и динамический коэффициент интенсивности зависят от длины трещины /. Величины / и Ку могут быть измерены, например, при помощи высокоскоростной фотографии и метода каустик. При остановке клина при длине трещины 1а будут происходить осцилляции коэффициента интенсивности напряжений вблизи значения Куа, соответствующего статическому раскрытию трещины.

щий энергию, расходуемую на динамическое продвижение трещины, только после страгивания. Раскрытие устья трещины в процессе движения фиксируется из-за посадки ее поверхностей на клин, что замедляет рост трещины и в принципе может привести к ее остановке [267, 431].

Разобранный только что случай близок, очевидно, к изученному в разд. 5.2, где фиксировалось перемещение 6 на краю, а значение 60 данного перемещения, необходимое для страгивания трещины, скорость I = ас0 и скачок А/ связывались с начальным барьером Ro/R соотношениями (5.18) и (5.21). В результате соответствующих преобразований можно получить скорость и действующее здесь сопротивление через скачок длины трещины и (с использованием величины 60) начальное сопротивление, как в задаче 5.1. В самом деле, анализ опытов с ДКБ-образцом привел к эталонным диаграммам, прямо связанным с указанными выводами, что позволило приближенно оценить сопротивление R^ или коэффициент интенсивности напряжений Kid(D (см- комментарий к задаче 5.1) [432, 433].

Методы теневой оптики очень удобны для исследования прозрачных материалов, например плексигласа. При деформации трещины типа I возникающая концентрация напряжений будет приводить к уменьшению толщины образца и изменению коэффициента преломления материала. Если теперь пластину осветить с одной стороны источником света, то на экране с противоположной стороны будет наблюдаться тень почти круговой формы; источник этой тени — вершина трещины, а ее диаметр несложным образом связан с коэффициентом интенсивности напряжений при измерении как Kia, так и Kid. Используя только эффект изменения толщины и отраженный свет, данный метод можно применить также и для исследования непрозрачных материалов [438, 439].

Отметим, что для определения величин Kid и Kid для материалов с хорошими оптическими характеристиками были использованы также методы фотоупругости.

Типичные кривые, полученные в опытах с быстрым разрушением и с остановкой трещины в двухконсольном образце, показаны на рис. 7.8.

Некоторые константы, характеризующие трещины типа 1

Отметим, что данные, приведенные в этом разделе, предназначены не для справочных целей, а лишь для иллюстрации порядка величин и характера исследуемых зависимостей. Некоторая разнородность собранных сведений объясняется, во-первых, гем, что выбирались они из доступных автору источников, и, во- вторых, стремлением возможно более полно продемонстрировать

характер зависимости от температуры и скорости нагружения. На практике объем исследуемого материала, как правило, ограничен, так что получение исчерпывающего набора данных по разрушению может оказаться нелегким делом. Решить эту задачу стало проще после публикации обзорной статьи [464], в которой содержится перечень опубликованных работ, систематизированный по типам материалов. С появлением данного указателя оказались доступными конкретные данные о свойствах реальных материалов. Важно подчеркнуть, что полную информацию можно извлечь из первоисточников, особенно в тех случаях, когда помимо химического состава важную роль играет технология.

Некоторые результаты для сталей и сплавов, описание которых дано в табл. 7.1, показаны на рис. 7.9 и 7.10; массовый состав сталей (в процентах) приведен в табл. 7.2.

Из кривых на рис. 7.9 и 7.10 видно, что зависимость трещи- ностойкости /G с от температуры 0 намного более сильная, чем та же зависимость для предела текучести от. Трещиностойкость с ростом 0 растет, в то время как прочность уменьшается; на микроуровне можно при этом наблюдать переход от зернистой структуры поверхностей разрушения к волокнистой, что в свою очередь на макроуровне соответствует увеличению размеров пластической зоны пропорционально величине (/Ge/oT)2. Отсюда, в частности, следует вывод о том, что линейная механика разрушения для многих материалов применима лишь при достаточно* низких температурах (см. формулы (4.13)).

Опубликованные данные о значениях Kic для материала № 8 весьма разноречивы, что объясняется сильной зависимостью этого параметра от режима термообработки; значения, приведенные на рис. 7.9, наименьшие из опубликованных.

Зависимости вязкости разрушения Kid от скорости коэффициента интенсивности напряжений К для различных уровней абсолютной температуры приведены на рис. 7.11, а—г. Как уже отмечалось, характер этой зависимости для различных металлов весьма различен. Очевидно, что материалы № 10 и 11 в динамике будут вести себя лучше, нежели материалы № 9 и 12. Видно также, что влияние скорости коэффициента интенсивности напряжений для материала № 4 несущественно, т. е. в соответствующем (небольшом) диапазоне изменения К\ можно положить равным Kid ~ Kic Аналогично для материала № 10 имеет место лишь слабая зависимость предела текучести от скорости, однако в других случаях, рассмотренных, например, в работе [456], предел текучести с ростом К растет.

Данные, имеющие больший разброс, приведены (для одного значения температуры) в табл. 7.3. Большая часть этих резуль-

Рис. 7.9. Зависимость вязкости разрушения от температуры для некоторых материалов, указанных в табл. 7.1.

Рис. 7.10. Зависимость предела текучести от температуры для материалов, указанных в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Описание состава и технологии некоторых сплавов и сталей

№

Марка

Описание материала

Источник

1

HY 130

Конструкционный, с высокой вязкостью

[455]

2

A 517F

Конструкционный, для высококачественных сосудов давления

[455]

3

18Ni(250)

Конструкционный, мартенситно стареющий, высокопрочный

[455]

4

BS 4360/43А

Конструкционный низкопрочный

[456]

5

0,4С, 9Ni, 4Со

Специального назначения

[456]

6

SIS 140727

Литой чугун

[38]

7

Ферритный литой чугун

»

[38]

8

AISI 4340

Конструкционный высокопрочный

[38]

9

QT 35

Специального назначения

[456]

10

0,4 % С Ni Сг Мп Si

»

[456]

11

IMI 680

Титановый сплав

[456]

(2,25А1; 0,30Fe;

4,ЗМо; 0,26Si; 10,8Sn)

12

DTD 502А

| Алюминиевый сплав

[456]

(4,15Cu; 0,75Мп; 0,4Mg; 0,2Fe; 0,7Si; 0,lZn; 0,03Ti)

Таблица 7.2. Массовый состав сталей (в процентах)

№

с

Мп

р

S

Si

Ni

Cr

Mo

Co

V

Ti

Cu

1

0,12

0,79

0,004

0,005

0,35

4,96

0,57

0,41

0,056

2

0,17

0,89

0,015

0,015

0,19

0,84

0,52

0,42

—

0,04

—

0,30

3

0,003

0,002

0,001

0,004

0,003

17,1

—

4,65

7,60

—

0,50

4

0,17

0,83

—

—

0,08

5

0,40

0,14

—

—

0,15

8,80

0,13

0,15

3,80

6

3,7

0,45

—

—

2,4

7

3,8

0,48

—

—

2,4

8

0,40

0,70

—

—

0,30

1,75

0,80

0,25

9

0,18

1,20

—

—

0,20

1,Ю

0,90

0,45

—

0,07

10

0,40

0,50

—

—

0,25

1,50

1,00

татов получена в испытаниях на усталость алюминиевых сплавов и обработана по формуле

(6.10)(6.10)-^ = сх№Г-

(6.10)

(6.10)

Материал

Массовый состав, %

ат, МПа

^“^1 макс/Л^1

n

^1, MH ^.м(Зм+2)/2

Источник

№ 221' 3)

См. табл. 7.2

—

—

—

2,26

5,1 • 10“"

[38]

№ 64)

То же

—

70

—

6,7

8,5 - IO"18

[38]

№ 7

620

45

—

3,0

1,5-Ю"11

[38]

№ 85)

—

—

—

3,17

7,2-10-11

[38]

7075-Т66*

5,5Zn, 2,5Mg, l,5Cu,

620

36

—

3,89

1,1 • 10-H

[38]

2,5Cr

7075-Т6516*

5,5Zn, 2,5Mg, l,5Cu,

525

27

—

4,0

3,5-Ю-12

[38]

0,3Cr

7079-Т66)

3,8Zn, 0,3Mg, 0,4Cu

450

—

2,9

1,0 - Ю-10

[457]

DTD687A6*’7)

5,5Zn

495

—

1,2-1,8

3,7

1,3- io-10

[458]

2—4,5

4,2

8,8- 10-H

[458]

5,5-17

4,8

1,6-io-10

[458]

HS30W6’’ 7>

l,0Mg, l,0Si, 0,7Mn

245-280

—

1,3-1,8

3,9

2,4 - 10-11

[458]

2-4,5

4,1

4,3- 10-H

[458]

L716), 7)

4,5Cu

415

—

1,2-1,8

3,7

3,9 -10-11

[458]

Таблица 7.3. Данные, характеризующие рост трещин в некоторых металлических материалах ]>

Глава 7

L736)’ 7)

4,5Си

370

—

2-8,3

4,4

3,8- 10“"

[458]

Алюминий7)’ 8)

95-125

—

1,2-7,7

2,9

1,3- ю-19

[458]

Титан7)’ 8)

440

—

1,1-17

4,4

6,8- 10-12

[458]

Аустенитная

195—255

—

1,5-1,8

3,1

3,2- 10“12

[458]

сталь 18/88)

ZW19)

l,45Zn, 0,6Сг

165

—

1

3,35

1,2 • КГ9

[459]

АМ5039)

1,6Мп

107

—

2

3,35

3,5 ■ 10-9

[459]

2014-T6516’

—

—

23

—

—

—

[460]

2024-Т8516*

—

—

23

—

—

—

[460]

2219-Т8516’

—

—

33

—

—

—

[460]

2618-Т6516)

—

—

32

—

—

—

[460]

7001-1756*

—

—

25

—

—

—

[460]

7079-Т651б)

—

—

29

—

—

—

[460]

7178-76516’

—

—

24

—

—

—

[460]

Экспериментальные методы и результаты

') При температуре 20 °C (если нет других указаний) 2) AKj<30. 3) —50 °C. 4) 0 °C.

5) 0,100 °C. в) Алюминиевый сплав. 7) oT = aQ г 8) Чистый металл. *) Магниевый сплав.

со

К, МН/ (м3А с)6К, МН/ (м3А с)6J1i1III»10° 10110г103104"105106К, МН/См 3А с)J1i1III»10° 10110г103104"105106К, МН/См 3А с)Глава 7Глава 7

К, МН/ (м3А с)

6

К, МН/ (м3А с)

6

J1i1III»

10° 10110г103104"105106

К, МН/См 3А с)

J1i1III»

10° 10110г103104"105106

К, МН/См 3А с)

Глава 7

Глава 7

9,К о-293 0-153 д-77

69,К

о-293 х-203 п-ВЗ Д-77

J11IIII,

10°101Ю2103104105106

К, МН/ (м3Ас) г

Рис. 7.11. Зависимость динамической вязкости разрушения от температуры и скорости коэффициента интенсивности напряжений для материалов, перечисленных в табл. 7.1 [456]. (Публикуется с любезного разрешения А. X. Приста и Института сварки.)

Зависимость значений Ci и п от отношения X отражает влияние среднего уровня напряжений за цикл. На рис. 7.12 показано, каким образом из регистрируемых в эксперименте данных можно извлечь величину п (используя формулу (2.30)) и Сь Методика регистрации процесса роста трещины при этом

коэффициент интенсивности напряжении, МН-m-Vz

Рис. 7.12. Типичные данные по определению скорости роста трещины в зависимости от размаха коэффициента интенсивности напряжений [461]. Сплошная линия соответствует зависимости dl[dN = 3,48- 10-9 Д^2’3.

может меняться от обычного осмотра поверхностей трещины до измерений электрического сопротивления или же раскрытия устья трещины. Важно отметить, что параметры С\ и п намного слабее зависят от температуры, чем вязкость разрушения. Укажем также, что формула (6.10) определяет линейную зависимость между \§\dl/dN^ и lg(A^) (рис. 7.12).

На рис. 7.13 показаны зависимости критического коэффициента интенсивности К\с и работы, найденной по методике

Рис. 7.13. Переходная область вязкости разрушения и работы разрушения по Шарли J для двух сталей средней прочности [462].

Шарли (в разд. 7.3 обозначенной через А^), от температуры для двух сталей средней прочности. Ясно, что переход от низких значений энергии к высоким и соответственно от зернистой структуры поверхностей разрушения к волокнистой грубо регистрируется тем же способом и с использованием тех же двух параметров, однако при этом произойдет сдвиг кривых вдоль горизонтальной оси. Вверхнее плато на кривой К\с в эксперименте обычно получить не удается, поскольку вязкость разрушения становится настолько большой (а прочность настолько малой), что никакие реализуемые на практике размеры образцов условиям (4.13) удовлетворять не будут; исключением яв-

ляется кривая, приведенная на рис. 7.13,а. Отметим, что попытка установить эмпирическое соотношение между зависимостями работы по Шарли и вязкости разрушения Kic от температуры была предпринята в работе [462].

Укажем еще раз, что данные, приведенные в этом разделе, являются иллюстративными и не претендуют на полноту или использование на практике. Говоря о факторах, которые могут

Рис. 7.14. Полосы разброса пределов прочности и вязкости разрушения для трех высококачественных сталей; А — дисперсионно упрочненная нержавеющая «сталь; В — закаленная и отпущенная сталь; С — мартенситно стареющая сталь [463].

оказывать влияние на сопротивление разрушению, вновь подчеркнем важность, в частности, предшествующей термической или механической обработки. Нагрев может влиять на размеры зерен и включений в структуре металла, определяющие сопротивление разрушению, а механическая обработка может вызвать анизотропию, при которой материал будет прочным по одним направлениям и слабым по другим. Кроме того, некоторые виды химических соединений, выпадающих на границах зерен кристаллической структуры, вызывают ослабление межзеренных связей.

Для иллюстрации сильного влияния термообработки на рис. 7.14 показаны зависимости предела прочности от вязкости разрушения, соответствующие различным режимам термообработки нескольких сталей. Видно, что для всех материалов улучшение одного показателя приводит к ухудшению другого.

Значения некоторых переводных коэффициентов от одной системы единиц измерения к другой приведены в приложении ж.

Страгивание трещин смешанного типа

Обратимся теперь к случаю комбинированного нагружения, в частности к исследованию процесса симметричного трещино- образования (см. разд. 4.3.1), имеющего место в случае, когда коэффициент интенсивности напряжений 7<ц в плоскости начальной трещины отличен от нуля. Мы сохраним предположение о маломасштабности пластического течения (как и в ЛМР),

Рис. 7.15. Излом траектории трещины типа II при ее стра- гивании.Рис. 7.15. Излом траектории трещины типа II при ее стра- гивании.так что управляющим параметром процесса будет коэффициент интенсивности напряжений. Изучение поставленной здесь проблемы стало* возможным благодаря успехам, достигнутым в аналитических и экспериментальных исследованиях; заданная проблема включает две ос

Рис. 7.15. Излом траектории трещины типа II при ее стра- гивании.

Рис. 7.15. Излом траектории трещины типа II при ее стра- гивании.

новные постановки вопроса.

В теории Гриффитса, относящейся к чисто упругим материалам (характеристика прочности в которой (2у) одна и та же по всем на

правлениям и для всех типов деформации трещины), отклонения трещины от начальной плоскости следует ожидать при /(и^О. Комбинация типов I и II трещинообразования показана на рис. 7.15. Направлением продвижения трещины является такое направление 0 = —8С, для которого трещинодвижущая сила имеет максимальное значение при заданных внешних воздействиях. Критическое значение внешних воздействий должно быть

таким, при котором трещинодвижущая сила равна сопротивлению растрескивания.

В реальном упругопластическом материале диссипация энергии происходит не только на идеальной поверхности разрушения, поэтому полное сопротивление (см. разд. 4.3.1) не может не зависеть от комбинации различных типов трещинообразования. Учитывая это обстоятельство, заключаем, что решение в первой постановке может оказаться ограниченным, даже если пластическое течение локализовано настолько, что всюду допустима линейная теория упругости.

В настоящее время результаты исследований в постановке проблемы 1 доступны для анализа (особенно после появления работы [465]). Отметим прежде всего, что эксперименты с реальными материалами дали неплохое подтверждение получен-

ных на этом пути результатов. Типичная картина приведена на рис. 7.15; трещина, по всей видимости, при всех обстоятельствах будет выбирать направление распространения, способствующее ее раскрытию, так что доминирующим будет тип I, но по отношению к вновь образовавшейся поверхности трещины. (В самом деле, можно показать, что имеет место эффект неограниченно продолжающегося трещинообразования, который будет происходить полностью по образцу уже осуществившегося типа I; см. по этому поводу работу [473].) Указанное обстоятельство может также развеять определенный скептицизм по

Рис. 7.16. Коэффициенты интенсивности напряжений в момент страгивания трещины; экспериментальные данные приведены в работах [468, 469] (светлые кружки), теоретические оценки — в работах [466, 467, 472] (сплошные и пунктирные кривые).

отношению к результатам исследований в постановке проблемы 2.

Ранее было отмечено, что при использовании соотношения (4.12) предполагается, что страгивание трещины будет происходить в плоскости начальной трещины, касающейся вершины в каждой ее точке. Однако, как указывалось выше, при Ап=#0 эта гипотеза нереалистична, тем не менее ее можно выбрать в качестве исходной при построении более точного критического условия. Ограничиваясь изучением комбинации типов I и II, рассмотрим квадратичную форму

а1 (KllKlcf + а2 ^KlfKlc) + ^3 №l/^Ie)2 + а4 (Kn/Klc) = ^1 + #2,

обобщающую выражение (4.12), где аь ..., сц— некоторые постоянные. Замечательное согласие теоретических и экспериментальных результатов, представленных на рис. 7.16, было получено в работе [466], в которой предполагалось, что ai = а^ = 0^ я3 = Зя2/2, и, следовательно,

№К^ + UWucf = 1, Кпс = V2/3 Kv(7.4}

Рис. 7.17. Образец для исследования эффектов ориентации начальной трещины.Рис. 7.17. Образец для исследования эффектов ориентации начальной трещины.Видно, что в пределах точности графических построений кривая, соответствующая выражению (7.4), полностью совпадает с экспериментальной. (Комментарий результатов, изображаемых пунктирной кривой, приведен ниже.) Заметим, что номинальным (паспортным) значением Кис, которое следует подставлять в условие (7.4), является значение, характеризующее интенсивность напряжений в вершине трещины до начала ее роста. Оно может не совпадать с истинным сопротивлением сдвиговому разрушению в тех случаях^ когда данный тип разрушения навязан извне путем наложения некоторых ограничений на процесс роста трещины.

Рис. 7.17. Образец для исследования эффектов ориентации начальной трещины.

Рис. 7.17. Образец для исследования эффектов ориентации начальной трещины.

Частный случай нагружения образца, представляющего собой широкую пластину со сквозной трещиной, наклоненной под углом а к направлению- действия растягивающих усилий на удаленных от трещины границах образца, показан на рис. 7.17. Несложное

преобразование приводит к следующим выражениям для компонентов тензора напряжений в системе координат, связанной с ориентацией трещины:

аХо= = о= sin2 а, аноо = а^ = cos2 а, тхуоо = ою sin а cos а.

Последние две из выписанных компонент дают вклад в особенность напряжений в вершине трещины:

Ki = Ядоо ^/^1 = 0^ cos2 а Vл/;

Подстановка выражений (7.5) критическому напряжению:Подстановка выражений (7.5) критическому напряжению:^оо^ ооС^оо^ ооСв равенство (7.4) приводит кУ1 + 6 tg2 a — 1g)3 sin2 aв равенство (7.4) приводит кУ1 + 6 tg2 a — 1g)3 sin2 a^11 = ^00 Ул^ — а= sin acosa V^-(7.5)

Подстановка выражений (7.5) критическому напряжению:

Подстановка выражений (7.5) критическому напряжению:

^оо^ ооС

^оо^ ооС

в равенство (7.4) приводит к

У1 + 6 tg2 a — 1g)

3 sin2 a

в равенство (7.4) приводит к

У1 + 6 tg2 a — 1g)

3 sin2 a

Результаты вычислений по этой формуле показаны на рис. 7.18 сплошной линией; здесь же для сравнения приведены данные эксперимента (не совпадающие с результатами на рис. 7.16). Видно, что для умеренных углов поворота трещины а разрушающая нагрузка почти не меняется. На рис. 7.19 приведены

Рис. 7.18. Критические напряжения на бесконечности в опыте, представленном на рис. 7.17; экспериментальные данные заимствованы из работы [466] (точки), теоретические оценки — из работ [466, 467, 472] (сплошная и пунктирная кривые).

теоретические и экспериментальные результаты для случая поворота траектории трещины на угол 0с, как показано на рис. 7.17. В отличие от критической нагрузки угол излома 0С сильно зависит от угла наклона а и для малых значений этого угла — на самом деле даже сильнее, чем это предсказывается «правилом большого пальца руки», в соответствии с которым трещина должна развиваться перпендикулярно направлению растягивающих усилий, приложенных на удаленных от трещины границах образца (штриховая прямая на рис. 7.19).

В наиболее ранних исследованиях Эрдогана и Си [467] сделаны предположения о том, что: 1) трещина будет расти в направлении, по которому величина л/го^, определяемая сингулярной составляющей напряжений не, максимальна; 2) трещина будет страгиваться тогда, когда указанная величина совпадает

с критическим коэффициентом интенсивности для типа I. При этом установлено, что (Vro6)o=o = ^iVV2n-

Обратимся теперь к решениям (2.15) и (2.16), используя обозначения (2.32). Из формулы (А. Юб) следует, что направление, удовлетворяющее предположению 1), совпадает с направлением.

Рис. 7.19. Угол излома траектории трещины в опыте, представленном на рис. 7.17; экспериментальные данные приведены в работе [466] (точки), теоретические оценки — в работах [467, 462] (сплошная и пунктирная кривые).Рис. 7.19. Угол излома траектории трещины в опыте, представленном на рис. 7.17; экспериментальные данные приведены в работе [466] (точки), теоретические оценки — в работах [467, 462] (сплошная и пунктирная кривые).

Рис. 7.19. Угол излома траектории трещины в опыте, представленном на рис. 7.17; экспериментальные данные приведены в работе [466] (точки), теоретические оценки — в работах [467, 462] (сплошная и пунктирная кривые).

Рис. 7.19. Угол излома траектории трещины в опыте, представленном на рис. 7.17; экспериментальные данные приведены в работе [466] (точки), теоретические оценки — в работах [467, 462] (сплошная и пунктирная кривые).

)=°.(7.7) ) = 4Kic,)=°.(7.7) ) = 4Kic,для которого VrTre = 0- Итак, имеем уравнения

)=°.

(7.7) ) = 4Kic,

)=°.

(7.7) ) = 4Kic,

^I^Sin-^ + Sin— ) 4-7<ЦсО8-2- + ЗсО8-2-

„0 .36 X „. 0 I о . 30

Ki cos -^ + cos —) — Кп sin - + 3 sin -^-

очевидные решения которых: 9 = 9С = 0, К\ = К\С при /Си = 0; - 9 = 6С = arccos >/3 = 70,6°, Кп = Кис = ^Кю при Ki = 0. Ис- ключение угла 0 из уравнений (7.7) приводит к общей зависимости между К\ и Ки (изображенной на рис. 7.16 пунктиром), из которой могут быть также получены результаты, представленные на рис. 7.18 и 7.19 и соответствующие рассмотренной выше частной задаче, определяемой зависимостями (7.5). Развитую теорию трудно связать с деталями упругого решения вблизи кончика трещины, тем не менее она приводит к поразительно хорошим результатам.

Экспериментальные данные, относящиеся к вязкости разрушения Кт Для деформации трещины типа III, весьма скудны;

известно лишь, что эти значения могут несколько превышать величину Ki с для типа I. Если имеет место взаимодействие типов I и III, то достаточно осторожные оценки можно получить из соотношения (4.12), полагая Кц = 0. Кроме того, как уже отмечалось, при наличии всех трех типов и доминирующей роли типа I соотношение (4.12) по-прежнему будет давать важные для оценки процесса разрушения результаты.

Несмотря на то что главные успехи достигнуты в основном в развитии теории, содержание представленных здесь результатов основано прежде всего на эксперименте. Результаты, приведенные на рис. 7.19, получены только для полиуретана, однако качественно они характерны и для различных металлов, включая сталь [465, 470, 471]. Дальнейшую информацию по теоретическим исследованиям, использующим критерий Гриффитса (и другие гипотезы), можно найти в списке литературы.

Задачи

Для определения вязкости разрушения Кю заданного материала был приведен эксперимент по методике, рекомендованной стандартом ASTM — на

V

растяжение компактного образца, изображенного на рисунке задачи (В.10); / = / = Z?/2 = 40 мм. Имея зависимость нагрузки от раскрытия трещины, приведенную на рисунке, и условный (по допуску 0,2 %) предел текучести а02 = = 700 МПа, определить вязкость разрушения К\с с обеспечением корректности опыта.

Ответ: Предполагаемая величина Кю оказалась равной Kq « 95 МПа X X м1/2, однако опыт некорректен как вследствие несоблюдения ограничений на размеры, так и по характеру поведения нагрузки.

Требуется в опыте определить вязкость разрушения Кю и Кпс заданного материала, используя первое из уравнений (7.4) без обращения ко второму. Эксперимент реализуется путем регистрации начала роста трещины в

опыте с двумя пластинами, имеющими начальную внутреннюю трещину. Пластины полностью идентичны, за исключением ориентации начальных трещин (см. рисунок). Измеренные значения критической нагрузки Ооо оказались равными соответственно 120 и 130 МПа, а / = 10 мм. Полагая t = 10 мм, от = = 500 МПа, найти значения Кю и Кпс

Ответ: ^с = 30,1 МПа • м1^; ^пc = 24>l МПа-м,/2.

Глава 8

МИКРОМЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ

В этой главе явление разрушения рассматривается в масштабе характерных длин, меняющихся от межатомного расстояния до размера зерна. Приведен обзор простейших теорий сопротивления отрыву (сколу) и теорий роста микропор; другие стороны явления изложены чисто описательно, с постоянным обращением к анализу топографии поверхностей трещины. Такой анализ должен осуществляться путем систематических наблюдений— так называемого фрактографического изучения фрагментов разрушившихся тел. Важнейшим микрофрактографическим инструментом является электронный микроскоп.

Фрактография — основная дисциплина, изучающая причины разрушения и связанные с явлением разрушения физические свойства материалов. Многие важные аспекты этой стороны вопроса читатель может найти в весьма квалифицированном труде Броека [7], сильно повлиявшем и на изложение отдельных разделов данной главы. Перечень работ по неметаллическим материалам, например по разрушению керамики, имеется в обсуждении приведенного списка публикаций. Ниже акцент будет сделан на металлы; влияние окружающей среды (см. разд. 6.4) не рассматривается.

Разрушение путем отрыва

В этом разделе рассматривается такой тип разрушения, при котором доминирующую роль играет отрыв (скол) в отдельных зернах1). Затраты энергии при этом, вообще говоря, невелики и деформации в целом малы, так что разрушение является хрупким во всех отношениях (определение см. в гл. 1). Оно может

1} Скол — хрупкое разрушение от действия касательных напряжений. Вместе с тем этот термин часто используется в микромеханике кристаллов и поликристаллических материалов при описании хрупкого разрушения вне зависимости от напряжения, действовавшего на площадке излома. В механике материалов отрыв — хрупкое разрушение из-за нормальных напряжений при взаимном расхождении площадок излома вдоль их общей нормали (см., например: Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. — М.: Машиностроение, 1979). — Прим. ред.

реализоваться в материалах, состоящих из центрированных кубических кристаллов, например в железе или низкоуглеродистой стали, а также в некоторых гексагональных плотно упакованных структурах типа магния. Реализации данного типа разрушения в сильной степени способствует также наличие низких температур. Приведем для начала простую схему процесса отрыва.

Сопротивление идеальному отрыву

В первых работах, посвященных исследованию сопротивления разрушению, рассматривался процесс идеального отрыва, при котором смежные плоскости атомной решетки должны были по

Рис. 8.1. Схема разрушения путем чистого отрыва.

предположению отходить друг от друга. Получающиеся при этом максимальные напряжения намного Превосходили измеряемые в обычных условиях (даже по порядку величины). Мы приведем здесь краткую характеристику данного подхода, являющегося, конечно, скорее иллюстративным и пригодным лишь при некоторых частных ограничениях; в заключение будут рассмотрены причины обычно наблюдаемых расхождений результатов теории и эксперимента.

На рис. 8.1 показаны две смежные плоскости, в которых располагаются атомы решетки, удаленные на расстояние х друг от друга; локальное напряжение (сила на единицу площади, по определению положительная при удалении плоскостей друг от друга) равно oz. Связь между oz и х обычно имеет вид, представленный на рис. 8.1,6 сплошной линией; х0— расстояние между плоскостями в ненагруженной решетке, e$t — теоретическая прочность при отрыве, т. е. пороговое напряжение, необхо-

димое для неограниченного увеличения расстояний между плоскостями.

Неплохой аппроксимацией теоретической кривой оДя) является штриховая кривая — синусоида с полупериодом X, так что

{

ot sin (лг//Х), 0 ^ и ^ X;

О,и>Х.(8J)

Здесь и = х — х^. Для малых перемещений и синус можно аппроксимировать его аргументом:

Gt Gtuu[%,(8.2)

одновременно предполагая выполненным закон Гука, т. е.

Gt ~ Еи(х0.(8.3)

Сравнивая зависимости (8.2) и (8.3), можно, таким образом, получить выражение для теоретического сопротивления отрыву в виде

Gt = ХЕ1(лХо\(8.4)

Работа, затрачиваемая на полное разделение плоскостей решетки, определяется формулой

Gt du = 2у, о

где поверхностная энергия у равна потенциальной энергии, которую можно приписать одной из вновь образовавшихся свободных поверхностей. Используя принятую аппроксимацию, легко видеть, что интеграл равен площади под кривой — полуволной синусоиды, т. е.

^а^ = ^-(8.5)

Исключая параметр X из соотношений (8.4) и (8.5), устанавливаем, что

а, = V Е\]хй.(8.6)

Для многих материалов удельная поверхностная энергия имеет порядок величины £%о/ЮО, откуда следует, что

Gt ^£/10.(8.7)

Данное значение Gt может быть достигнуто только при очень частных условиях, например при испытаниях предельно тонких нитей или нитевидных кристаллов, поперечное сечение которых деформируется почти равномерно. Однако в общем случае разрушающее напряжение меньше приведенного в 10 ... 30 раз.

В настоящее время общепризнанным является мнение о том^ что причина столь большого расхождения теории и эксперимента— влияние дефектов, объясняемое теорией Гриффитса !). При наличии таких неоднородностей в поперечном сечении образца возникает концентрация напряжений, вследствие которой фактическое значение напряжения о = ос, определяющее начало разрушения, будет намного меньшим критического максимума (Si = (St.

С другой стороны, из соотношения энергетического баланса в формулировке Гриффитса S = 2у можно получить критические напряжения, которые, наоборот, слишком малы (см. рис. 4.2). Для получения результатов, более близких к реальным, необходимо учесть также дефекты и нерегулярности атомной решетки, вызывающие рассредоточение разрушения посредством механизмов диссипации вблизи вершины трещины. Эти эффекты могут приводить к такому упрочнению материала в целом, которое будет перевешивать возможное уменьшение сопротивления разрушению, обусловленное наличием примесей.

Описание реального разрушения отрывом

Разрушение путем скола происходит вдоль характеристических плоскостей атомной решетки, так что в поликристаллическом материале ориентация трещины на границах зерен меняется

Рис. 8.2. Изменение направления движения трещины при пересечении границы зерен.

(рис. 8.2). Локальные плоскости разрушения обладают высокой отражающей способностью, которая определяет наблюдаемый блеск многогранной поверхности излома. Процесс изменения ориентации на границах зерен в действительности отличается от процесса переориентации трещины в двумерном ее изображении— происходит поворот нормали к поверхности трещины, причем может поворачиваться даже сама плоскость наблюдения. Типичная ситуация изображена на рис. 8.3: трещина сначала продвигалась в направлении, указанном стрелкой, по зерну а.

° Расхождение между теоретической и экспериментально наблюдаемой прочностями объясняется не столько наличием трещин Гриффитса, сколько (и в существенной мере) дефектами кристаллической решетки. — Прим ред.

после чего пересекла границу ab между зернами; далее произошло ее согласование с повернутыми (на угол 0) плоскостями

Рис. 8.3. Искривление трещины вследствие изменения направления движения^ вызывающее образование ступенек на поверхности излома [7, 493].

скола в зерне Ь. Переход из зерна в зерно сопровождался ступенчатым раскалыванием; после слияния ступенек может происходить непрерывное движение трещины. Результатом данного процесса будет наблюдаемая в опытах структура поверхности

Рис 8.4. Разрушение мягких сталей путем отрыва, распространяющееся из левого нижнего угла в правый верхний. (Публикуется с любезного разрешения Е. Фольмо и Н. Риума.)

излома типа течения реки, представленная на микрофотографии (рис. 8.4), полученной при помощи электронного микроскопа 1). Направление движения трещины меняется подобно направлению течения реки при впадении в нее притоков. Ступенчатое-

1} Так называемый ручьистый узор. — Прим, ред

раскалывание может реализоваться и в тех случаях, когда трещина продвигалась по двум параллельным плоскостям, соединившимся друг с другом нормальной трещиной от разрушения путем среза или вторичного скола. Такие ступеньки обычно параллельны направлению движения трещины. Скол можно классифицировать как внутризеренное разрушение, при котором оно происходит внутри отдельных зерен.

Межзеренное разрушение

Если говорить о металлах при монотонном нагружении, то для них межзеренное разрушение можно, как правило, считать ано-

Рис. 8.5. Межсеренпое разрушение алюминиевого сплава, чередующееся с зонами волокнистого разрушения. (Публикуется с любезного разрешения Е. Фольмо и Н. Риума.)

мальным. Причиной межзеренного разрушения может оказаться слабость связей по границам зерен, обусловленная, например, осаждением различных оксидов, карбидов и сульфидов. Содействуют этому и очень большие размеры зерен. Таким образом, в качестве пути с наименьшим сопротивлением трещина может выбирать границы зерен; в результате поверхность разрушения будет представлять собой некоторую совокупность границ неразрушенных зерен, как показано на рис. 8.5 (размеры зерен на данном рисунке исключительно велики). Подобная структура называется «альпийской». Рассматриваемый тип разрушения с еще большим основанием, чем внутризеренное раз-

рушение, может быть отнесен к хрупкому (низкоэнергетическому). И тот и другой тип разрушения часто называют зернистым (кристаллическим)—в противоположность волокнистому, о котором мы будем говорить ниже.

Особые условия окружающей среды (агрессивность, наличие высоких температур) способствуют развитию межзеренного разрушения, поскольку наиболее уязвимые компоненты структуры находятся, как правило, на границах зерен, где они доступны также воздействию атмосферы.

Вязкое разрушение

Разрушение путем отрыва обычно реализуется при низких температурах, и характер его распознается по малым значениям трещиностойкости и энергии по Шарли (см. рис. 7.9 и 7.13). При нагреве (за пределами низкоэнергетического барьера, если таковой определен) будет происходить постепенный переход к такому типу разрушения, которое на микроуровне является вязким. Объяснить этот эффект можно увеличением подвижности дислокаций, вследствие которого материал приобретает способность воспринимать большие локальные деформации. Кроме того, до разделения тела на части начинает работать механизм скольжения вдоль характеристических направлений. Это может приводить к накоплению заметных деформаций на больших расстояниях, так что окончательное разрушение будет происходить на макроуровне и относится к вязкому типу.

Описание волокнистого разрушения

Обычно кристаллические материалы после изготовления всегда содержат частицы второй фазы, вкрапленные в матрицу, образующую атомную решетку основной фазы. Включения могут размещаться либо внутри зерна, либо на межзеренной границе; они могут быть как малыми, так и большими (типичный диапазон характерных размеров 10~8 ... 10~5 м) и могут добавляться преднамеренно с целью формирования нужных свойств материала, например для увеличения предела текучести. Частицы, не несущие такого рода положительных функций (экзогенные включения, например шлаки), имеют, как правило, относительно большие размеры и являются хрупкими.

При монотонном увеличении нагрузки включения больших размеров будут разрушаться или отслаиваться на ранних стадиях нагружения, что будет приводить к увеличению нагрузки на прилегающий к включению материал. Эта концентрация будет добавляться к уже существующей и обусловленной наличием возможных начальных макро- или микроповреждений. Если

температура достаточно высока, то этот эффект может сглаживаться путем локального пластического течения. Однако постепенно будет достигаться такая стадия, на которой сцепление матрицы с основной массой меньших частиц теряется и возникает большое количество пор или пустот. Эти поры и пустоты при дальнейшем нагружении могут быстро расти до их слияния

Рис. 8.6. Вязкое разрушение медной проволоки; отчетливо видны ямки и частицы, инициирующие разрушение. (Публикуется с любезного разрешения Е. Фольмо и Н. Риума.)

(коагуляция) внутри материала или на пути движения уже существующей макротрещины. Таким путем формируется поверхность излома, на вид обычно матовая или волокнистая, что обусловлено наличием большого количества желобков и ямок на месте образовавшихся пустот, с рваными поперечными складками, на которых имело место интенсивное пластическое течение. На дне ямок можно часто наблюдать частицы, являвшиеся центрами кристаллизации (рис. 8.6).

Ямочная структура поверхности излома может дать много информации о процессе макроскопического разрушения. Если элементарные акты разрушения распределяются по объему в основном случайным образом, как, например, при образовании шейки, то ямки в среднем являются приблизительно круговыми (рис. 8.7, а). Если же процесс разрушения развивается в каком-либо одном месте, например на фронте трещины в случае типа I, то следы разрушения будут вытягиваться, превращаясь в кривые, напоминающие параболы (рис. 8.7,6). Рост пор мо-

жет способствовать также разрушению срезом (рис. 8.7, в), следы которого примерно такие же, как и в предыдущем случае, однако ориентированы они на различных поверхностях трещины в противоположных направлениях !).

Затраты энергии при волокнистом разрушении могут значительно превышать затраты при зернистом разрушении, что на рис. 7.13 отражается наличием верхнего и нижнего уровней. Переходный режим характерен для низкопрочных металлов и

Рис. 8.7. Типичная картина ямок, связанных с макрорастрескиванием [7, 493].Рис. 8.7. Типичная картина ямок, связанных с макрорастрескиванием [7, 493].

Рис. 8.7. Типичная картина ямок, связанных с макрорастрескиванием [7, 493].

Рис. 8.7. Типичная картина ямок, связанных с макрорастрескиванием [7, 493].

металлов средней прочности, металлов с объемно-центрированными кристаллическими решетками (включая низкоуглеродистые стали) и соответствующих аналогов в керамике. Высокопрочные металлы являются, как правило, хрупкими, т. е. имеют низкие уровни энергии разрушения), в то время как некоторые металлы (низкопрочные и средней прочности, а гранецентрированной или гексагональной плотно упакованной кристаллическими структурами) могут оставаться вязкими даже при очень низких температурах.

Теория роста пор

Как указано выше, основным механизмом волокнистого разрушения является интенсивный рост пор. Следовательно, очень важно знать, какие факторы определяют рост пор и что препятствует развитию данного процесса. Рассмотрим сначала подробно

° Подробное описание фрактографических признаков на изломе можно найти в книге1 Гордеева Т. А., Жегина И. П. Анализ изломов при оценке надежности материалов.—М.: Машиностроение, 1978.— 200 с. — Прим. ред.

предельно простую плоскую модель, предложенную МакКлинтоком [496], а затем приведем краткий обзор результатов, полученных в более сложных теориях. Главная цель нашего обсуждения — описание некоторых качественных эффектов.

В качестве примера, иллюстрирующего рассматриваемую проблему, на рис. 8.8, а показаны поры в шейке растягиваемого образца. Для получения простого аналитического решения МакКлинток предположил, что задача обладает цилиндрической

Рис. 8.8. Двумерная модель роста поры и ее физическая интерпретация.

симметрией, причем зависимость от координаты 2 отсутствует, т. е. рассматривается только одна пора. Вид той же поры сверху показан на рис. 8.8,6; расстояние от поверхности и до других пор считается (временно) настолько большим, что выделенную пору можно исследовать отдельно, принимая гипотезу об осевой симметрии. Материал образца предполагается жестко-идеальнопластическим и подчиняется критерию текучести Мизеса и следующему закону пластического течения:

(8-8)

где в соответствии с формулами (А.42), (А.50) — (А.52)

ё = д/уё./б/у.(8.9)

Уравнение равновесия и кинематическое соотношение, т. е.

^=1(о6_оЛ. =(8J°)> (8J1)

следуют соответственно из уравнений (А. 10а) и (А.23) (с заменой е на е) с использованием предположения об осевой симметрии, когда 5/59=0. Граничные условия имеют вид

сгг = О, г = а;(8.12)

= Г = а’ (8ЛЗ>

где по определению га — скорость радиального расширения поры, являющаяся искомой величиной. Скорость ё2 осевой деформации считается заданной и не зависит от переменных г и 6; кроме того, известны напряжения в плоскости гб вдали от поры

ог-> о6 —> б^ при г->оо.(8.14)

Из связи (8.8) скоростей деформаций с напряжениями получаем выражение

s6 — sr = a9 — ar = —т==2^= (ёе — ёг), (8.15)

3 Д/Т (®r + 4 + *г)

которое следует подставить в уравнение (8.10), а также условие несжимаемости

ё9 = —ёг —ёг.(8.16)

Комбинируя соотношения (8.16) и (8.11), приходим к уравнению

8г = — -^7 (Г8г) — ёг,

интегрируя которое, получаем

®г = ^-^г. ^ = -^-^iz.(8.17)

Здесь С — постоянная интегрирования, определяемая из граничного условия (8.13):

Г 1л2

-^-^82 = ео, С=-^-ёг-аЧа. (8.18)

Подставляя формулы (8.18) в (8.17), (8.17) в (8.15) и, наконец, (8.15) в (8.10), приходим к дифференциальному уравнению

(8.19>(8.19>do гТт du

(8.19>

(8.19>

drл/\ + и2 dr '

в котором введена новая искомая функция

2а2 еа + у ё2

и =

V3r2 | ё2 I

и предел текучести материала при сдвиге тт = <зт/^ 3. Интегрирование полученного уравнения дает

ог = — тт arcsh и + а^.(8.20)

Здесь для определения константы интегрирования было привлечено условие (8.14). Наконец, выражение (8.20) подставляется в граничное условие (8.12), с тем чтобы получить искомую скорость расширения поры

ea=^-UJsh^-(8.21)

6“ = v°dt=^0а06“ = v°dt=^0а0Если напряжение Ооо во времени поддерживается постоянным, то выражение (8.21) можно еще раз проинтегрировать и получить полное относительное расширение поры

6“ = v°dt=^0а0

6“ = v°dt=^0а0

ln^- = ^l^|sh^-4ez, (8.22) UQZZ

где а0— радиус поры до начала ее роста.

Будучи аргументом гиперболического синуса, напряжения <5Г = 69 = ^00 вдали от поры (в плоскости гб) очень сильно влияют на ее рост. Например, при ez = 1 найденная формула дает

12 3 4а/а0 1,7 14 « 3500 « 1010

Высокие значения напряжения йоо могут реализоваться только в том случае, когда одновременно большим и положительным будет осевое напряжение oz (что следует из условия текучести) — в этом может проявляться негативный эффект всестороннего растяжения. Такое состояние может реализоваться в некоторой области внутри узкой шейки, а также (и даже более строго) на фронте трещины при ее деформации типа I в условиях плоской деформации (см. разд. 2.8.1).

Райс и Трэйси [497] обобщили приведенное выше исследование, построив формулу для скорости расширения изолированной сферической поры:

ё£а - 2eZoo + 0,56e_ sh (^- ^). (8.23) где d^ — среднее напряжение вдали от поры; ёеоо — интенсивность скорости деформации вдали от поры; е?оо — скорость деформации в направлении главного напряжения п/оо вдали от поры; е-ш — скорость расширения сц[а поры в направлении главного напряжения azoo вдали от поры.

Сходство данного решения с решением (8.21) является поразительным, однако из формулы (8.23) более ясно видна роль

сдвиговых и объемных эффектов. В соответствии с этой формулой скорость дилатации поры ею + ^га + ^за определяется средним растягивающим напряжением на бесконечности даже в общем случае (поскольку ёюо + ё2оо + ё3оо = 0); из нее следует также, что деформация поры, находящейся в поле девиатора напряжений, будет примерно вдвое больше деформации соответствующего элемента объема вдали от поры. Наличие дисторсии такого типа подтверждается обычно характерными картинами поверхностей разрушения, аналогичными приведенным на рис. 2.29,в и 4.5 (когда окончательное разрушение происходит по косым площадкам), а также при полном разрушении при наличии только типа III (или II) !).

Для того чтобы связать параметры макроразрушения со свойствами пор (или включений), были проведены специальные исследования количественного характера. В первом приближении предполагалось, что до начала процесса слияния пор их рост описывают уравнения (8.21) — (8.23), так что взаимным влиянием пор пренебрегают. В работе Райса и Джонсона [206] сферические поры считались расположенными на фронте затупленной трещины (при типе I, рис. 4.6), что позволило установить связь между раскрытием трещины 6С в момент ее страги- вания, характерным расстоянием Хо между порами и характерным радиусом пор а0. Эти результаты схематически изображены на рис. 8.9. Альтернативная модель была предложена в работах Томасона [503, 504], в которых дан анализ предельного состояния пластического материала при наличии на фронте трещины правильной (квадратной) сетки отверстий. Хотя не все полученные таким образом порядки величин подтвердились в эксперименте, проведенный анализ все же позволил прояснить роль таких основных параметров, как среднее напряжение о и расстояние между порами Хо. Аналитическими и экспериментальными исследованиями было доказано, что разрушение волокон локально может быть отнесено к вязкому типу, даже если процесс разрушения на макроуровне имеет хрупкий характер (при малых деформациях). Причина состоит в том, что из-за

1} Отметим, что полученные недавно Будянским и др. [536] результаты указывают на то, что наличие первого слагаемого в правой части формулы (8.23) приводит, вообще говоря, к неверным выводам. В самом деле, это слагаемое всегда предсказывает удлинение поры по направлению действующего на бесконечности напряжения, в то время как в действительности иногда может происходить сжатие поры и превращение ее в сплющенный эллипсоид. Следовательно, правильнее было бы применять формулу (8.23) для описания только дилатационных эффектов, опуская в ней первое слагаемое. Однако более ранние результаты автора настоящей книги, опубликованные в работе [499], очень хорошо подтвердились излагаемой теорией, так что автор все же решается рекомендовать результаты работы [499] для описания процесса расширения поры также и в жесткопластическом упрочняющемся материале.

концентрации напряжений в точке разрушения сосредоточивается достаточно большое количество энергии.

Возвращаясь к исследованию процесса разрушения шейки (рис. 8.8) и к однородному (в целом) деформированному состоянию объемов материала, отметим, что здесь анализ роста

Рис. 8.9. Зависимость теоретической полосы разброса раскрытия трещины от расстояния Хо между частицами и их диаметра а0 [206].

поры мог бы дать оценку объемного содержания пор (или отношения а0/Х0), являющегося критическим для макродеформации в момент разрушения. Этот вывод, как нам кажется, также нашел подтверждение в эксперименте.

Разрушение при усталости

Краткое описание типичных фаз обычного разрушения при усталости было дано в гл. 6; начало процесса определяется некоторым подрастанием трещины в направлении скольжения (I стадия), после чего происходит дальнейшее продвижение трещины в направлении, примерно перпендикулярном направлению растягивающего напряжения (II стадия). Если существуют начальные концентраторы с острым краем, как это бывает в сварных швах, то начальная стадия может целиком: исчезнуть, так что во всем процессе накопления усталостных повреждений доминирующей будет II стадия. Именно для такого характера роста трещин пригодны соотношения, приведенные в гл. 6.

Разрушение при усталости выделяется их всех видов разрушения тем, что здесь решающую роль для процесса роста трещины могут играть некоторые явления на микроуровне. Так, в частности, предпосылкой одного из важных механизмов разрушения является такое изменение локальных плоскостей сдви-

га (из-за перекрестного сдвига), в результате которого трещина получает возможность распространяться непрерывно. В ионных кристаллах, характерных для многих видов керамики, такого рода приспособляемость не реализуется, и потому здесь усталость не создает особых проблем. Однако усталость в металлах— это серьезная задача, поскольку, как можно проследить, главной причиной примерно 90 % всевозможных разрушений

в металлах является именно усталость.

Несмотря на важность рассматриваемого явления, не существует, по-ви- димому, исчерпывающей информации о лежащих в его основе микромеханизмах. На микроуровневом масштабе наблюдения лучше всего может быть понят механизм зарождения трещин. Зарождение всегда локализуется на поверхности или переходной фазе (главным образом к неметаллам), где существует дополнительная степень свободы для накопления деформаций сдвига. Данный процесс иллюстрирует рис. 8.10,

Рис. 8.10. Образование экструзий и интрузий на гладкой поверхности; одна из интрузи- онных плоскостей развилась в трещину, соответствующую стадии I, продолжением которой являетя трещина, перпендикулярная растягивающему напряжению (стадия II).Рис. 8.10. Образование экструзий и интрузий на гладкой поверхности; одна из интрузи- онных плоскостей развилась в трещину, соответствующую стадии I, продолжением которой являетя трещина, перпендикулярная растягивающему напряжению (стадия II).на котором видны характерные экструзионные и интрузионные изломы гладкой поверхности, образованные путем повторяющихся сдвигов, что наблюдается, например, в монокристаллах. Для того чтобы объяснить, почему по некоторым плоскостям относительное движение не происходит и в то же время соседние параллельные плоскости становятся активными, были предложены различные гипотезы, например гипотеза о деформационном упрочнении, окислении возникающих свободных поверхностей [7, 512, 513], а также о взаимодействии с начинающимся движением при скольжении по другим плоскостям [514]. Во всяком случае ясно, что некоторые интрузионные нарушения могут служить инициаторами движения, концентрируя напряжения в своей вершине, а также вследствие того, что в область интрузионного излома могут проникать агрессивные вещества извне. Следовательно, мы должны ожидать, что по одной из плоскостей первичного скольжения будет происходить начальный рост трещины, и это будет соответствовать упомянутой

Рис. 8.10. Образование экструзий и интрузий на гладкой поверхности; одна из интрузи- онных плоскостей развилась в трещину, соответствующую стадии I, продолжением которой являетя трещина, перпендикулярная растягивающему напряжению (стадия II).

Рис. 8.10. Образование экструзий и интрузий на гладкой поверхности; одна из интрузи- онных плоскостей развилась в трещину, соответствующую стадии I, продолжением которой являетя трещина, перпендикулярная растягивающему напряжению (стадия II).

выше I стадии усталостного разрушения. Однако очевидно, что провести резкую грань между стадией зарождения трещины и I стадией дальнейшего се роста почти невозможно.

При дальнейшем развитии процесса (на II стадии) локальной формой разрушения может оказаться любая из перечисленных выше форм. В частности, может происходить скол, особенно при пониженной температуре; при низких напряжениях и при наличии агрессивной среды возможно также межкристаллическое разрушение, а при больших деформациях и высокой

Рис. 8.11. Разрушение при усталости алюминиевого сплава с образованием характерной бороздчатой структуры. (Публикуется с любезного разрешения Е. Фольмо и Н. Риума.)

температуре может активизироваться механизм роста пор. Однако для вязких металлов типичным является внутризеренный излом, который легко обнаруживается по характерной бороздчатой структуре и наличию волнистых (или кольцевой формы) образований на поверхности излома, указывающих на изменение положения фронта разрушения на каждом новом цикле нагружения. Отчетливая бороздчатая структура может проявляться для алюминиевых сплавов (но не для чистого алюминия), как показано на рис. 8.11. Для сталей, как правило, доминирует механизм скола.

Грубо механизм возникновения бороздчатого излома можно представить себе следующим образом. В течение фазы раскрытия материал на дуге, образующей фронт трещины (рис. 4.6), будет пластически вытягиваться. Вытянутая таким образом

дуга будет слишком «большой» для смыкания с прилегающим

к ней материалом при очередном закрытии трещины и, следо

вательно, будет вынуждена проникать дальше в материал, так

что процесс продвижения фронта трещины будет непрерывным. Более подробные модели, развитые, например, в работах [7,

518—520], можно объединить так, как это сделано на рис. 8.12. Этапы 1—3 раскрытия трещины здесь примерно такие же, как и на рис. 2.23; различен лишь порядок перемещений. Путем сдвига образуется сначала одна, а затем другая плоскость, по которым происходит раскрытие трещины, как это схематически изображено на этапе 3. Действительное скругление трещины (этап 4) представляет собой результат упрочнения, а также сдвига по параллельным плоскостям. При частичном обратном сдвиге трещина будет закрываться (больше или меньше в зависимости от величины разгрузки); естественным итогом данной полной предыстории оказываются некоторое постоянное перемещение и искривление образовавшихся плоскостей (этап 5). При повторяющихся нагружениях н разгрузках старые волнистые образования будут сохраняться и в то же время к ним будут добавляться новые, так что все они постепенно будут накапливаться в «кильватере» движущегося фронта трещины.

Поскольку заключительный этап разрушения, сменяющий режим цикли-

вания бороздчатой структуры [7]. (1, ..., 7 — номера этапов).вания бороздчатой структуры [7]. (1, ..., 7 — номера этапов).ческого развития процесса, опреде

вания бороздчатой структуры [7]. (1, ..., 7 — номера этапов).

вания бороздчатой структуры [7]. (1, ..., 7 — номера этапов).

ляется тем же набором параметров, что и монотонное нагружение, часть поверхности разрушения может быть на вид зернистой или волокнистой (блестящей или матовой), однако ее всегда можно отличить от поверхности с бороздчатой структурой. По форме бороздок (полос) можно также определить место зарождения трещины, т. е. «центр волнистости». Таким образом, ти

пичная поверхность разрушения может иметь вид, представленный на рис. 8.13.

Разрушение при усталости по своей природе является дискретным процессом, при котором происходит скачкообразное

Окончательное разрушениеОкончательное разрушениеУсталостный рост Зарождение треищныРис. 8.13. Характерные этапы разоушения:зарождение трещины, ее усталостный рост,окончательное разрушение.Усталостный рост Зарождение треищныРис. 8.13. Характерные этапы разоушения:зарождение трещины, ее усталостный рост,окончательное разрушение.продвижение трещины вследствие перехода одного состояния атомной решетки в другое и от одного цикла нагружения к другому. Следовательно, наинизшая возможная скорость должна соответствовать продвижению на один период решетки за цикл, а пороговое значение ЛК/, о котором шла речь в гл. 6, должно быть каким-то образом связано с этим минимумом. Если бы такие предельно малые значения можно было зарегистрировать, то их следовало бы рассматривать как средние вдоль фронта трещины. Сам фронт при этом должен оставаться в покое, в то время как другие участки трещины находятся в движении.

Окончательное разрушение

Окончательное разрушение

Усталостный рост Зарождение треищны

Рис. 8.13. Характерные этапы разоушения:зарождение трещины, ее усталостный рост,окончательное разрушение.

Усталостный рост Зарождение треищны

Рис. 8.13. Характерные этапы разоушения:зарождение трещины, ее усталостный рост,окончательное разрушение.

Дополнительные замечания

Возможные типы разрушения в этой главе были

рассмотрены отдельно, хотя на практике они могут оказаться смешанными. В частности, это будет имет место в интервале между верхним и нижним пологими участками на графике зависимости работы разрушения от температуры (см. рис. 7.13), когда на поверхности разрушения рядом друг с другом будут образовываться зерна и ямки. В качестве примера можно указать также на рис. 8.5, где ясно видны области волокнистого разрушения.

В связи с разрушением особый интерес представляет так называемая зона вытягивания. Микроскопически ее можно наблюдать с поверхности как дугообразную область на фронте затупленной трещины (см. рис. 4.6 и этапы 4 и 6 на рис. 8.12). Пластификация материала в этом месте является очень сильной, и поэтому при достаточном увеличении все стадии сдвига можно видеть непосредственно. Поверхность имеет бороздчатую структуру, однако она менее регулярная (волнистая). В зоне вытягивания разрушение может начинаться и при монотонном нагружении. Размер данной зоны по направлению нормали к фронту трещины равен по порядку величины раскрытию трещины Клс1е<зт при разрушении; определив этот размер, можно тем самым получить экспериментальную оценку раскрытия щ.

Мы обсудили вопрос об образовании макротрещин вследствие усталости в начально «бездефектном» материале; в других случаях предполагалось, что в теле с самого начала существуют острые макронадрезы. При циклическом воздействии

первичное растрескивание должно, очевидно, происходить на микроуровне, например начинаться на границе зерна или включения. Однако ясно, что вероятность начала разрушения выше в том месте, где уже имеется концентрация напряжений,— вблизи острого края макронадреза. Обычно такая концентрация напряжений необходима для растрескивания при монотонном нагружении и вводится с той целью, чтобы задача приобрела практический смысл. С другой стороны, в случае разрушения при усталости существенную роль играет время, так что отсутствие концентраторов напряжения может компенсироваться наличием периода зарождения трещины.

Задачи

Задана регулярная решетка начальных малых сферических пор, представленная на рисунке а. Поры находятся в поле равномерно распределенных

напряжений виданапряжений вида<*1оо^2эо 2(Тт, О3оо Зот.

напряжений вида

напряжений вида

Такое напряженное состояние может возникать в глубине шейки растягиваемого стержня и является трехосным растяжением. Соответствующее поле скоростей пластических деформаций таково:

^1оо = ^2оо = 2~ ^Зоо < 0.

Предлагается получить грубую оценку осевой деформации езоо, необходимую для начала трещинообразования вследствие слияния пор. Будем предполагать, что поры сохраняют сферическую форму, и использовать соотношение (8.23), пренебрегая первым слагаемым в правой части; будем также пренебрегать усилением эффекта взаимного влияния пор и (только в этом контексте) законом сохранения масс. Используя введенные гипотезы, проверить, что критическое значение осевой деформации равно 83оо = 0,24. Критическая стадия изучаемого процесса изображена на рисунке б.

Комментарий. Учитывая результаты работы [536], а также то, что в рассматриваемом случае преобладает эффект дилатации, можно заключить, что предположение о сохранении сферической формы пор на самом деле приемлемо, однако распространение его на стадию соприкосновения пор может, очевидно, дать не более чем очень грубую оценку.

Экспериментальные результаты свидетельствуют о том, что макродеформации при вязком разрушении в равномерно растянутой части образца могут быть непосредственно связаны с эффективным объемным содержанием пор. Убедиться самостоятельно, что это утверждение находится в согласии с моделью, о которой шла речь в задаче 8.1.

Глава 9

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИРАЗРУШЕНИЯ

Общие замечания

Выводы и оценки механики разрушения представляют собой важный инструмент для обеспечения надежности и работоспособности конструкций при их проектировании. Для количественной оценки риска трещинообразования мы имеем в своем распоряжении совокупность формул и критических значений некоторых параметров (таких, как коэффициенты интенсивности напряжений, раскрытие трещины, скорость ее роста и т. п.), с помощью которых можно рассчитывать на получение соответствующего набора необходимых в данном конкретном случае материальных констант. Для определения такого рода характеристик прочности материала может оказаться необходимым изучить литературу и (или) реализовать дополнительные эксперименты. Какие именно из локальных характеристик вносить в эти формулы, определяется глобальным поведением всей конструкции, и предложение конкретных рекомендаций здесь может оказаться более трудным, чем выявление характеристик материала. Кроме того, очень большие трудности возникают при идентификации начальных трещин и их геометрических параметров, характеризующих данное изделие или конструкцию. Если к тому же мы уяснили, что даже в рамках самой идеализированной механики разрушения имеются нерешенные проблемы, касающиеся, например, эффектов развитого пластического течения, то мы тем самым осознали, что применять данный аппарат следует с осторожностью, уделяя должное внимание соображениям экономики, безопасности и учитывая всегда имеющуюся неопределенность.

Анализируя результаты, получаемые на основе механики разрушения, можно отметить следующие ее достижения, связанные с решением проблемы выбора материала, проектированием и эксплуатацией.

Введение норм приемки, основанных на применении, например, минимума коэффициента интенсивности Ki с или максимума размеров зоны дефекта для оценки пригодности материалов или изделий для тех или иных целей.

Развитие методик расчета, в которых могут использоваться критические нагрузки, время эксплуатации или

критические размеры дефекта для некоторого элемента конструкции в процессе его функционирования.

Предложения качественного характера по оценке качества данного проекта и его безопасности.

Обоснование режимов дефектоскопического контроля —

как в отношении методов, так и по определению места и вре

мени проведения контроля.

Эти перспективы, открывшиеся с постепенным развитием механики разрушения, повлияли на методы обеспечения безопасности и экономичности проектов. Так, например, заранее

Рис. 9.1. Типичные места расположения трещин в сварных швах.Рис. 9.1. Типичные места расположения трещин в сварных швах.было неясно, что прочность может быть повышена за счет вязкости (см. рис. 7.14) и что при этом сильно меняются допуски на размеры дефектов и требования к контролю. В частности, если в задаче примера 4.2 рабочее напряжение Ооо удвоить путем удвоения предела текучести и если это может привести к уменьшению в два раза коэффициента Ki с, то допустимый размер трещины станет равным 1/16 начальной величины (проще всего это можно показать при помощи ЛМР). Данный, в сущности, очень простой пример вобрал в себя формулировки всех приведенных выше четы

Рис. 9.1. Типичные места расположения трещин в сварных швах.

Рис. 9.1. Типичные места расположения трещин в сварных швах.

рех пунктов.

Отметим, что трещины критических размеров — это не те трещины, которые обычно можно обнаружить в исходном материале; они появляются в результате обработки, сборки, а также вследствие эксплуатации. Местом возможного их появления могут быть области, примыкающие к отверстиям, надрезам и (не в последнюю очередь) сварные швы. В сварных швах дефекты могут возникать из-за наличия шлаков или недостаточно качественной сварки (рис. 9.1); одновременно благоприятствовать росту трещины могут условия, возникающие вблизи именно этой трещины. Так, в областях, где выпадает больше всего шлаков (на кромке сварного шва), происходит концентрация напряжений; вследствие фазовых превращений и при охлаждении могут возникать также большие остаточные напряжения. Кроме того, материал, примыкающий к сварному шву, может испытывать неблагоприятные воздействия, следствием которых будет его охрупчивание.

Основной причиной трещинообразования в процессе эксплу

атации является усталость материала, зачастую сопровождаемая коррозионными эффектами. Центры зарождения трещин в областях, о которых говорилось выше, могут постепенно развиваться до трещин критических размеров, так что произойдет полное разрушение. Для более вязких материалов критический

размер больше и, следовательно, выше вероятность обнаружить трещину до разрушения. К сожалению, усталостные трещины обычно быстрее всего растут на последней стадии своего развития, так что нельзя, как правило, получить выигрыш во времени до разрушения путем увеличения только вязкости разрушения. (Одно редкое исключение из этого правила упомянуто в разд. 9.4.) Таким образом, если предполагаемый режим нагружения циклический, то целесообразно поставить целью улучшение характеристик, влияющих на скорость роста трещины, типа параметров Ci и п в формуле (6.10).

Поскольку трещины могут встретиться при любых режимах эксплуатации, важно, чтобы они вовремя- были обнаружены и проконтролированы. После этого для предупреждения значительных повреждений можно предпринять небольшой ремонт или замену деталей либо дать оценку периода безопасной эксплуатации, на котором не требуется проводить никаких профилактических мероприятий.

Текущий контроль включает в себя следующее.

Контроль путем обычного осмотра.

Применение проникающих жидкостей. После смачивания жидкость смывается и наносится проявитель. Попавший в трещину проявитель будет взаимодействовать с проникающей жидкостью, производя окрашивание.

Применение магнитных частиц. Жидкость, содержащая частицы железа, наносится на поверхность и подвергается воздействию сильного магнитного поля. Наличие трещины будет приводить к искажению картины магнитных силовых линий, вдоль которых располагаются частицы железа. Очевидно, что основной материал должен быть намагничивающимся.

Ультразвуковые измерения. Возбуждаемые в материале высокочастотные волны отражаются трещиной. Время от момента излучения до момента отражения связывается с расстоянием до дефекта.

Измерения вихревых токов. Вихревые токи индуцируются в металле при помощи катушки; соответствующие токи, индуцируемые в катушке, будут связаны с наличием трещины.

Фотографирование в рентгеновских лучах. Поскольку трещина поглощает меньше радиации, чем окружающий ее материал, то она видна на пленке в виде темной линии. Данный метод считается надежным для обнаружения трещин и часто используется для обследования ответственных сварных изделий, однако пока подробную информацию о трещине этим способом получить не удается.

Кроме перечисленных способов обнаружения трещины можно использовать передвижную или стационарную установку для регистрации механических колебаний, излучаемых из вершины

трещины вследствие пластического течения и разрыва связей. Данный метод акустической эмиссии в свое время рассматривался как весьма многообещающий, и можно сказать, что эти ожидания в определенной мере оправдались. Однако до сих пор проблема разделения излученных сигналов остается не до конца решенной. Привлекательная особенность метода заключается в том, что он дает возможность непрерывно наблюдать за поведением критических параметров.

Косвенная оценка надежности может быть произведена также путем приемочных испытаний, когда конструкция, например сосуд высокого давления, нагружается до уровня, превышающего эксплуатационные нагрузки. Если эта пробная нагрузка выдерживается, то можно быть уверенным в том, что в процессе эксплуатации, по крайней мере на некотором начальном промежутке времени, опасности разрушения не будет. Однако более полную информацию можно извлечь из испытаний, связанных с оценкой возможности роста трещины при циклическом нагружении °. То обстоятельство, что пробная нагрузка выдерживается, означает, что размеры всех трещин меньше критического, величина которого может быть определена методами механики разрушения, например, с использованием равенства К\ = КС1 где Ал зависит от пробной нагрузки и размеров трещины. Осторожности ради можно предположить, что на самом деле существует трещина, размеры которой приближаются к критическим, и после этого определить, насколько трещина должна подрасти, чтобы стать критической при заданных условиях нагружения. Исчерпав часть найденного таким путем периода эксплуатации без разрушения, можно произвести новое испытание и т. д. Данный метод пригоден в тех случаях, когда при* испытаниях используется жидкость под давлением (но не газ).

Прочностные оценки можно проводить как для реально существующих трещин, положение которых в поле напряжений известно, так и на основе применения понятия номинальных дефектов в местах предполагаемого разрушения с оценкой формы и размеров этих дефектов. Их можно рассматривать как пороговые при чисто вероятностных исследованиях, исходя из формы предполагаемых распределений (частотных функций) 1) начальных размеров трещин, их плотности, ориентации, распределения по пространству и т. п.; 2) амплитуды, частоты, среднего уровня и др. характеристик спектра нагрузки; 3) характеристик процесса роста трещин и 4) механических свойств материала. Такая отправная точка должна основательно подкреп-

]) Благоприятный эффект при всех видах нагрузки можно получить путем устранения высоких остаточных напряжений.

ляться контролем, измерениями и определенным опытом. Достоверность вероятностного прогноза разрушения (в пределах заданного промежутка времени, если речь идет об усталости) сильно зависит от количества и качества входных данных. В настоящее время в этой области усилия направлены главным образом на внедрение в статистический анализ тщательно разработанных концепций механики разрушения, в то время как в наиболее ранних работах, например Вейбулла [546—548], давалась только грубая оценка ресурса с параметрами, которые нужно находить из опыта. Вероятностный подход привел к успехам лишь в описании хрупкого разрушения (в последнее время прекрасные результаты были получены для керамики), когда первое страгивание трещины можно отождествить с полным разрушением. Более подробную информацию см. в приложении 3.

Выше было отмечено, что трещины часто возникают в областях, в которых геометрические причины концентрации напряжений иные и оценка эффектов трещинообразования является даже более сложной проблемой, чем это рассматривалось до сих пор. Так, например, формулы для коэффициентов интенсивности напряжений часто содержат напряжение Ооо на «удаленной» границе, равное напряжению, которое было бы равномерно распределенным, если бы трещина отсутствовала. Однако в действительности напряжения в области, о которой сейчас идет речь, распределены неравномерно, и поэтому необходимо либо оценить, чем следовало бы заменить величину Goo, либо провести отдельное полное исследование. Такого рода примеры обсуждаются ниже. Будут приведены ссылки на численные исследования процесса роста трещины при циклическом нагружении. а также изложена концепция «течи до поломки». Далее в связи с проблемой зарождения трещины и исследованием процесса ее устойчивого роста будут рассмотрены некоторые установившиеся воззрения на область применения нелинейной механики разрушения; будут обсуждены также некоторые вопросы, связанные с изменением толщины. И наконец, будут рассмотрены причины неустойчивости и эффекты, сопровождающие неустойчивость, применительно к некоторым прикладным задачам.

Распространение трещин от надрезов

Примем в качестве отправной точки приводимую ниже интерпретацию решения Бови [25] о трещине, распространяющейся от круглого отверстия в пластине перпендикулярно растягивающему напряжению на удаленной границе (см. формулу (В.11)).

Если трещина достаточно мала по сравнению с радиусом г отверстия (рис. 9.2, а), то ее можно рассматривать как острый

надрез в широкой пластине, нагруженной на удаленной границе растягивающими напряжениями

Goo = CtG0, (9.1) где Ct — коэффициент концентрации напряжений на границе отверстия при отсутствии трещины. Известно, что при одноосном растяжении

Рис. 9.2. Прорастание трещины из кругового отверстия; показаны трещины малой и большой длин.Рис. 9.2. Прорастание трещины из кругового отверстия; показаны трещины малой и большой длин.Ct = ^,(9.2а)

Рис. 9.2. Прорастание трещины из кругового отверстия; показаны трещины малой и большой длин.

Рис. 9.2. Прорастание трещины из кругового отверстия; показаны трещины малой и большой длин.

а если такое же по величине напряжение на бесконечности прикладывается по направлению трещины, то

Ct = 2.(9.26)

Эти соображения приводят к следующему выражению для коэффициента интенсивности напряжений:

/Ci = 1, ^a^V ^l = L^Cta^ кЬ

(9.3)

вытекающему из формулы (В.5) при 1/Ь-^О. Полученный результат согласуется с первым рядом чисел в таблице значений функции F^ljr^ соответствующих выражению (В.11). Если же длина трещины становится сравнимой с величиной г или превосходит ее, то можно ожидать, что напряженно-деформированное состояние в окрестности кончика трещины будет незначительно отличаться от состояния, возникающего при замене отверстия трещиной, расположенной вдоль диаметра отверстия (рис. 9.2,6). Для бесконечной пластины при этом получим следующий коэффициент интенсивности напряжений:

Kt = сг00 Vл/' = о0 ^лГ1 (9.4)

что следует из формулы (В.З) при 1/Ь = 0. Поскольку величина Ооо совпадает здесь с ао, то полная длина эквивалентной трещины оказывается равной

(9.5а)(9.5а)2/' = 2г + /.

(9.5а)

(9.5а)

При наличии двух симметрично расположенных трещин эквивалентная длина была бы равной

2/z = 2r + 2Z.(9.56)

Если же ширина пластины ненамного превышает величину 2Г и если эквивалентная трещина располагается в середине, то

Рис. 9.3. Результаты, соответствующие задаче, представленной на рис. 9.2, и иллюстрирующие погрешность замены отверстия разрезом, проходящим вдоль диаметра отверстия; нагрузка перпендикулярна разрезу [25].

коэффициент интенсивности напряжений будет определяться по общей формуле (В.З); следовательно, в этом случае

7<, = ff0V.^f(W(9.6)

Таким образом, функция f в формуле (В.З) равна отношению ^I к G^^Jrd при замене / на /'.

Обоснованность выражений (9.4) и (9.5) легко проверить путем сопоставления с результатами Бови [25]. На рис. 9.3 дано сравнение с результатами вычислений по формуле

gWr\(9.7)

соответствующей решению Бови для случая одноосного растяжения. Видно, что при таком нагружении поправочный множитель ^(//г) к решению (9.4) даже для очень малых трещин весьма близок к единице.

К этой задаче примыкает задача о трещине, исходящей из вершины острого V-образного надреза (рис. 9.4). Если растягивающее напряжение оо на бесконечности перпендикулярно биссектрисе угла, то по аналогии с решением (9.7) можно предложить следующее решение:

Ki = 1,12<ТО Ул (Z+ 6) h U/b\(9.8)

в котором функция h(l/b) для малых углов у или малых значений отношения Ь/1 должна, по всей вероятности, быть близкой к единице. Правильность такой оценки может быть прове-

^о^оРис. 9.4. Прорастание трещиныиз V-образного надреза.Рис. 9.4. Прорастание трещиныиз V-образного надреза.

^о

^о

Рис. 9.4. Прорастание трещиныиз V-образного надреза.

Рис. 9.4. Прорастание трещиныиз V-образного надреза.

рена путем сравнения с точным решением [560] (рис. 9.5). Необходимо отметить, что предельный переход 1/Ь-^0 сам по себе представляет особую теоретическую проблему. Дело в том, что выражение типа (9.3) должно было бы содержать равный бесконечности коэффициент концентрации Ct и, кроме того, решения вида (9.3) и (9.8) потеряли бы смысл, поскольку особенность напряжений в вершине V-образного надреза не характеризуется, вообще говоря, функцией г-1/2. Указанное противоречие

Рис. 9.5. Результаты, соответствующие задаче, представленной на рис. 9.4, и иллюстрирующие погрешность замены надреза трещиной [560].Рис. 9.5. Результаты, соответствующие задаче, представленной на рис. 9.4, и иллюстрирующие погрешность замены надреза трещиной [560].

Рис. 9.5. Результаты, соответствующие задаче, представленной на рис. 9.4, и иллюстрирующие погрешность замены надреза трещиной [560].

Рис. 9.5. Результаты, соответствующие задаче, представленной на рис. 9.4, и иллюстрирующие погрешность замены надреза трещиной [560].

становится незаметным для надрезов с небольшими углами — приблизительно при у << 45° [561], и, следовательно, можно использовать решение (9.8), полагая h « 1, для конфигураций, сколь угодно близких к случаю 1/Ь = 0.

Если ширина пластины ограничена, то следует использовать выражения типа (В.4) — (В.6) или (В.9) с заменой I на I + b (рис. 9.4).

В тех случаях, когда необходимые сведения в справочниках отсутствуют и нет достаточно обоснованных аналитических оценок, для определения коэффициента интенсивности напряжений

может быть применен численный метод конечных элементов. Если речь о типе I, то в качестве основы практической реализации данного подхода мы предлагаем следующее энергетическое соотношение:

нндФ\МЛдФ\МЛЛдФ\\ дА )р ’ЛдФ\\ дА )р ’(9.9)(9.9)

н

н

дФ\

МЛ

дФ\

МЛ

ЛдФ\

\ дА )р ’

ЛдФ\

\ дА )р ’

(9.9)

(9.9)

вытекающее из уравнений (3.18), (3.21) и (3.30). Энергия деформации Ф подсчитывается для нескольких близких размеров трещины, после чего, сохраняя постоянным либо перемещение точки приложения нагрузки, либо саму нагрузку, определяем производную функции Ф(Л) при помощи подходящей процедуры численного дифференцирования.

Если трещина мала и располагается внутри пластины, то в качестве альтернативного может быть взято соотношение (Б.37): ,

g^x^^dx, (9.10)

в котором функция §2^ равна напряжению, которое было бы перпендикулярным плоскости трещины, если бы она была закрыта; следовательно, напряжение можно найти аналитически или численно для тела без трещины. Аналогичным способом могут быть изучены типы II и III. Отметим, что эти задачи принадлежат к тому виду задач, при решении которых соотношение (9.9) может оказаться неэффективным.

Известны также методы, основанные на применении суперпозиции, включая процедуру построения полных решений из набора элементарных (функций Грина, весовых функций), экстраполяцию или интерполяцию по известным точным решениям 1}. Дальнейшую информацию по этому вопросу см. в работе [562].

Примеры исследования роста трещины при циклическом нагружении

Расследование повторяющихся аварий с самолетами привело к заключению о том, что причиной аварий могут служить неудачно спроектированные детали, например схематически изображенные на рис. 9.6. В процессе конструирования была поставлена задача — выяснить, нельзя ли теоретически или экспериментально предсказать возможность разрушения от усталости.

° Подобного вида решения можно найти в книге: Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трешин.— Киев: Паукова думка, 1982 — 345 с — Прим реО.

напряжений /Ci определялся какнапряжений /Ci определялся какРис. 9.7. Результаты экспериментального и теоретического исследования задачи, представленной на рис. 9.6; сплошные кривые — теоретическое положение фронта трещины штриховые — опытное положение фронта; О — начальная трещина; кривая 1 — 239 ч наработки; 2 — 557 ч; 3 - 1073 ч; 4 - 1550 ч;5 - 2067 ч [563].Рис. 9.7. Результаты экспериментального и теоретического исследования задачи, представленной на рис. 9.6; сплошные кривые — теоретическое положение фронта трещины штриховые — опытное положение фронта; О — начальная трещина; кривая 1 — 239 ч наработки; 2 — 557 ч; 3 - 1073 ч; 4 - 1550 ч;5 - 2067 ч [563].

напряжений /Ci определялся как

напряжений /Ci определялся как

Рис. 9.7. Результаты экспериментального и теоретического исследования задачи, представленной на рис. 9.6; сплошные кривые — теоретическое положение фронта трещины штриховые — опытное положение фронта; О — начальная трещина; кривая 1 — 239 ч наработки; 2 — 557 ч; 3 - 1073 ч; 4 - 1550 ч;

5 - 2067 ч [563].

Рис. 9.7. Результаты экспериментального и теоретического исследования задачи, представленной на рис. 9.6; сплошные кривые — теоретическое положение фронта трещины штриховые — опытное положение фронта; О — начальная трещина; кривая 1 — 239 ч наработки; 2 — 557 ч; 3 - 1073 ч; 4 - 1550 ч;

5 - 2067 ч [563].

Исследование, результаты которого опубликованы в работе [563], было основано на использовании варианта соотношения

(6.13), предложенного Форменом. Коэффициент интенсивности(6.13), предложенного Форменом. Коэффициент интенсивности

(6.13), предложенного Форменом. Коэффициент интенсивности

(6.13), предложенного Форменом. Коэффициент интенсивности

среднее вдоль искривленного фронта трещины по соотношению (9.9) с применением численной аппроксимации производных дФ/дД на основе метода конечных элементов.

Результаты эксперимента и теоретических исследований приведены на рис. 9.7. Фронт трещины аппроксимировался окружностью. Измерения начинали с момента обнаружения уже существующей трещины (У), тогда как вычисления основывались на использовании состояния 1 уже развившейся начальной трещины. Видно, что результаты вычислений давали оценку «с запасом» (т. е. предсказывали слишком быстрый рост трещины), однако различие во времени для почти одинаковых тре-

щин (вычисленного (5) и измеренного (4) состояний) является тем не менее вполне допустимым. Вообще говоря, естественно, что в рассматриваемом случае теоретический анализ привел к слишком большим трещинам, поскольку спектр реальной нагрузки ближе к тому, который показан на рис. 6.3, а в процессе

вычислений не был учтен эффект торможения, обусловленный влиянием остаточных напряжений при уменьшении амплитуды нагрузки.

2а?

2а,

Рис. 9.8. Численное исследование процесса циклического роста внутренней эллиптической трещины [564]. Между каждым контуром заключено 40 000 циклов.

Приведенный пример подтверждает, что механика разрушения может давать великолепные результаты. Он также иллюстрирует тот факт, что некоторые конструкции удается спроек-

Рис. 9.9. Прорастание трещины сквозь стенку сосуда.

тировать почти с математической точностью так, чтобы они разрушались при определенной нагрузке.

Опасные дефекты зачастую можно моделировать эллиптическими трещинами внутри пластины или полуэллиптическими — на ее поверхности (см. варианты 1 и 2 в табл. В.1). Средние

(в некотором смысле) значения коэффициента интенсивности напряжений Ki можно связать с направлениями полуосей эллипса в тех случаях, когда функция Ф в выражении (9.9) приближенно вычисляется в предположении о том, что эллиптическая трещина в процессе роста по-прежнему остается эллиптической. Процесс роста внутренней трещины при изменении ее формы, положения и при изменении параметров циклической нагрузки исследован в работе [564]. На рис. 9.8 приведены результаты расчета одного из вариантов, относящихся к исследованию процесса роста трещины, находящейся в центре плиты, под воздействием нормальной центральной нагрузки. Если трещина достаточно близка к поверхности, то она будет выходить

Рис. 9.10. Геометрия и нагружение сосуда высокого давления или трубы.Рис. 9.10. Геометрия и нагружение сосуда высокого давления или трубы.на поверхность так, как показано на рисунке штриховой линией. Тот же вывод справедлив и для трещин, начинающихся на поверхности пластины (рис. 9.9).

Рис. 9.10. Геометрия и нагружение сосуда высокого давления или трубы.

Рис. 9.10. Геометрия и нагружение сосуда высокого давления или трубы.

Течь до поломки

Отметим, что пластину на рис. 9.8 или 9.9 можно считать

частью стенки сосуда высокого давления. Используя оценки параметров трещины при ее росте, аналогичные указанным выше, можно судить о возможности образования сквозных трещин (типа приведенных на рисунках).

На рис. 9.10 изображена сквозная осевая трещина длиной 2/ в стенке цилиндра. Задавая максимум давления р, которому соответствует окружное напряжение с^ = pR/t, можно определить !) критическую длину трещины 2/с. Если I > /с, то естественным результатом постоянства давления, поддерживаемого равным р, будет неустойчивый рост трещины вдоль стенки.

Следовательно, если длина образовавшейся трещины /1 > 1С (см. рис. 9.8 и 9.9), то можно ожидать, что после прохождения стенки насквозь процесс последующего роста трещины будет неустойчивым. Это явление будет иметь тяжелые последствия, если внутри сосуда находится газ. Однако в тех случаях, когда

^ Величина 1С = 1/л (Кс/о^ в случае сильной локализации пластического течения и при достаточно малой кривизне цилиндра. При больших значениях кривизны условие Ki = Кс следует использовать одновременно с формулой Фолиаса (см. [73], формула (44))

Kt = <т,р 7(i + 1,6/w) л/

(или аналогичными ей), которая содержит поправку, учитывающую тенденцию к повороту берегов трещины.

величина /2 (на рис. 9.8 и 9.9) меньше /с, может оказаться возможным предотвратить глобальное разрушение. Такая благоприятная возможность связана, конечно, с обнаружением трещины вследствие утечки (газа или жидкости). Не исключено, что для того, чтобы выявить наличие трещины, потребуется дальнейшее увеличение ее длины до некоторого значения /з>/г, и мы имеем основания рассчитывать на то, что /с Д> /3.

«Течь до поломки» — это ключевые слова, относящиеся к процессу роста усталостной трещины в сосудах высокого давления. Так как данное выражение определяет желательный ход событий, то оно же является и критерием при проектировании и выборе материала. Так, например, выше мы подразумевали, что вязкость разрушения Кс (для больших значений толщины стремящаяся к Кю) материала должна быть достаточно высокой, а напряжения — достаточно низкими, с тем чтобы критическая длина сквозной трещины была не меньше длины, необходимой для обнаружения трещины вследствие течи. Определение минимального значения этой длины составляет сложную проблему со многими неизвестными, которую следует решать экспериментально; отметим, что первые шаги по обоснованию такого рода критериев (весьма полезных) уже сделаны.

Если продольный размер начальной трещины вдоль сварного шва, появившейся, например, внутри материала, сравним по величине с толщиной стенки, то следует использовать упрощенную модель, построенную на основе приведенных выше оценок. В соответствии с этой моделью на первой стадии трещпно- образования фронт трещины будет продвигаться преимущественно в радиальном направлении примерно с постоянной скоростью, так что время до начала утечки (газа или жидкости) можно определить путем приравнивания коэффициента интенсивности напряжений Ki в развивающейся трещине (найденного. например, по решению задачи 5 в таблице В.2) вязкости разрушения материала Ky ct в поперечном направлении. После прохождения стенки насквозь образуется продольная трещина, длина которой представляет собой аналог длины начальной трещины. Далее для этой трещины определяется коэффициент интенсивности напряжений, который сравнивается со значением вязкости разрушения Кс в плоскости пластины.

Оказывается, что в любом случае для устойчивости образовавшейся таким путем сквозной трещины обычно требуется наличие прочностной анизотропии, когда Kc/K\ct> 1. Если толщина стенки достаточно мала, то данное условие «течи до поломки» может с хорошей степенью точности удовлетворено даже для изотропного в целом материала (см. рис. 4.5, а).

Возникновение трещин при крупномасштабном пластическом течении

В наших первых опытах по оценке возможности трещинообра- зования в рамках нелинейной механики разрушения анализировались кривые, приведенные на рис. 4.7, 4.10 и 4.12. В частности, кривая на рис. 4.7 получалась путем комбинации критерия критического раскрытия трещины

6 = 6С = КсКЕОг)(9.11)

со следующим выражением для раскрытия вершины сквозной трещины в широкой пластине, нагруженной на бесконечности растягивающим напряжением Ооо, перпендикулярным трещине:

6 = ^-lnfcos^)"1.(9.12)

кЕ \ 2ат )х ’

В результате была получена формула (4.25), определяющая момент страгивания трещины, а также формула

возникающая после подстановки в выражение (4.25) критического напряжения, которое может быть получено путем формального использования аппарата квазилинейной механики разрушения:

aim = Кс!\^1' (9.14)

При выводе формулы (9.12) предполагалось, что плита тонкая и изготовлена из идеальнопластического материала, подчиняющегося условию Треска. В данном случае имеет место также простая формула / = (гД из которой следует, что при сформулированных только что частных предположениях основой для построения кривой на рис. 4.7 можно было бы с тем же успехом использовать Z-интеграл (об этом уже говорилось выше).

Можно провести анализ кривых более общего вида, представленных на рис. 4.12 и 9.11. Здесь по оси ординат отложено отношение критической нагрузки (или коэффициента при нагрузке) Р к величине Ро, где Ро— несущая способность, найденная в предположении о том, что трещиностойкость тела бесконечна (распространение трещин в теле невозможно). По оси абсцисс отложено отношение величины Рит которая может быть найдена формально методами линейной механики разрушения, к Ро. Из результатов, представленных на рис. 9.11, вытекает вполне естественное заключение о том, что для хрупких материалов (когда Лт <С Ро) следует использовать уравнение Р = = РИп, в то время как для более вязких материалов равенство

Р = Pq определяет предельное состояние. Между этими двумя пределами получим некоторую интерполяционную кривую, определяемую совместным действием механизмов пластического течения и трещинообразования. Форма данной кривой зависит от особенностей структуры исследуемого материала, однако установить достаточно точно положение крайних ее участков на практике не представляется возможным.

Отметим, что кривая на рис. 9.11 является точной копией кривой на рис. 4.7 с заменой на Р, Р^п и Ро величин Goo, oim и От соответственно. В работах [567—569] группы британских

Рис 9 11 Разрушение, обусловленное одновременно и пластическим течением, и трещинообразованием: экспериментальные данные — кружки; эталонная кривая используется для осредненных оценок [568].Рис 9 11 Разрушение, обусловленное одновременно и пластическим течением, и трещинообразованием: экспериментальные данные — кружки; эталонная кривая используется для осредненных оценок [568].

Рис 9 11 Разрушение, обусловленное одновременно и пластическим течением, и трещинообразованием: экспериментальные данные — кружки; эталонная кривая используется для осредненных оценок [568].

Рис 9 11 Разрушение, обусловленное одновременно и пластическим течением, и трещинообразованием: экспериментальные данные — кружки; эталонная кривая используется для осредненных оценок [568].

исследователей было высказано предложение о том, что соот

ношениеношение/ лР \-1 ln(C0S2pJ/ лР \-1 ln(C0S2pJ^ (PbnV8 I Ро 7^ (PbnV8 I Ро 7(9.15)(9.15)

ношение

ношение

/ лР \-1 ln(C0S2pJ

/ лР \-1 ln(C0S2pJ

^ (PbnV

8 I Ро 7

^ (PbnV

8 I Ро 7

(9.15)

(9.15)

(соответствующее рассматриваемой сейчас кривой) следует считать некоторым осредненным или эталонным и применять (с определенным приближением) к обработке различных частных результатов. К сожалению, не существует никаких обоснованных доводов в пользу такого выбора, если не считать получающихся при этом правильных асимптотик, простоты и связи с установленным ранее соотношением (9.13). Кроме того, в подтверждение этого предложения можно привести ряд имеющихся экспериментальных данных. Эти данные нанесены на рис. 9.11 точками; относятся они к различным опытам: на растяжение компактных или цилиндрических образцов, к испытаниям маховиков и сосудов высокого давления. Мы оставим высказанное

Рис. 9.12. Диаграмма для оценки опасности разрушения, определяемая зависимостью (9.11).Рис. 9.12. Диаграмма для оценки опасности разрушения, определяемая зависимостью (9.11).стояние нагрузки, можно считать ности 1}.стояние нагрузки, можно считать ности 1}.

Рис. 9.12. Диаграмма для оценки опасности разрушения, определяемая зависимостью (9.11).

Рис. 9.12. Диаграмма для оценки опасности разрушения, определяемая зависимостью (9.11).

стояние нагрузки, можно считать ности 1}.

стояние нагрузки, можно считать ности 1}.

предложение без дальнейших комментариев. Отметим только еще раз простоту использования этой (или аналогичных) кривой при определении таких величин, как Ро и Лш, для данного

материала или конструкции, содержащей (номинально или на самом деле) трещину,— достаточно из точки на осн ординат, отвечающей разрушающей нагрузке Р, провести прямую до пересечения с кривой.

Другой путь представления той же информации вытекает из понятия «кривая разрушения» (рис. 9.12). Зная отношение Рип

к Ро, необходимо реализовать монотонное нагружение вдоль пунктирной прямой. Точка пересечения этой прямой с эталонной (паспортной для данного материала) кривой соответствует моменту разрушения, а значения Р, определяемые расстояниями от точки пересечения до координатных осей, будут равны нагрузкам, которые может выдержать конструкция. Отношение длины от-

резка прямой между началом координат и точкой пересечения к длине отрезка, изображающего текущее со- коэффициентом запаса проч-

И в заключение отметим, что в опубликованных работах высказывается предложение о том, чтобы величину Ро формально считать равной нагрузке, определяемой методами анализа предельных состояний, даже при умеренном деформационном упрочнении. Для этого параметр от выбирается равным некото

рому среднему между условным пределом текучести о0 2 и пределом прочности ов.

Пример 9.1. Требуется найти такое давление р в цилиндрическом сосуде высокого давления, при котором сквозная трещина длиной 2/ перейдет в критическое состояние (рис. 9 10). Положим / = / = 50 мм, R = 500 мм, Кс = 120 МПа • м1/2, от = = 300 МПа; материал будем приближенно считать идеально-

о Изложенные здесь построения аналогичны отечественной концепции предела трещиностойкости; см , например: Морозов Е. М. Двухкритериальные подходы в механике разрушения. — Проблемы прочности, 1985, № 10, с. ЮЗ- 108.— Прим. ред.

пластическим. Условие (4.13), очевидно, не выполняется, и поэтому следует применить методы нелинейной механики разрушения.

Давление р в рассматриваемой задаче играет роль параметра нагружения Р; определим прежде всего предельную нагрузку р0. Используя, например, условие текучести Треска, получаем

Ро = e/R) с^ = (t/R) ат = 30 МПа.

При этом мы, разумеется, пренебрегаем влиянием трещины на предельную нагрузку. Заметим, что линейная механика разрушения привела бы нас к неправильному значению критической нагрузки рнп, определяемому (в соответствии с замечанием в разд. 9.4) из уравнения аф V(1 + 0,16) л • 0,05 = Кс. Таким образом, рип = (1/^0^ = {t/R)-234 МПа = 28,1 МПа. Это означает, что рнп/ро — 28,1/30 = 0,94 и (как видно из рис. 9.11) отношение р/ро = О,8. Следовательно, получившаяся оценка критического давления такова: р = 0,8-30 МПа = 24 МПа. Можно добавить, что модель Дагдейла некоторое время широко использовалась для анализа работоспособности сосудов высокого давления, пока доводы в пользу применимости данной методики согласовывались с общепринятыми концепциями.

Задавая величины р и р0, мы могли бы также использовать другой (графический) способ нахождения pjin; при этом нам пришлось бы определять критический размер трещины.

Устойчивый рост трещины

Мы уже не раз имели дело с исследованием процесса устойчивого роста трещины при монотонном нагружении. В частности, в разд. 4.3.2 были приняты ограничения линейной механики разрушения и постулировано, что сопротивление продвижению трещины, или 7?-кривая, однозначно определяется перемещением кончика трещины. В разд. 4.4 теория была модифицирована на случай малых толщин путем учета возможного влияния толщины на сопротивление R. В гл. 3 мы обсудили вопрос о выполнении закона сохранения энергии в процессе роста трещины; в частности, в разд. 3.3.4 проведено численное моделирование данного процесса с использованием приема освобождения узлов. В разд. 4.5 был дан краткий комментарий известного факта о сохранении постоянным (после некоторого начального не- установившегося режима) угла раскрытия трещины. И наконец, последняя часть разд. 4.6 была посвящена вопросу об использовании J-интеграла в качестве параметра, который можно было бы связать с ограниченным по величине продвижением кончика трещины.

Мы отметили также те сомнения, которые возникают по отношению к результатам стандартных испытаний, представленных, например, кривой на рис. 7.4, в и обусловленных подрастанием трещины. То, к чему следует стремиться в идеале, — это несложные характеристики материала, определяющие момент страгивания трещины. Использование такого параметра, как подрастание трещины (до 2%), подразумевает, что он может быть суммарной характеристикой всех эффектов, обусловленных геометрией. Однако такая идеальная характеристика момента страгивания трещины может привести к чрезмерно осторожным рекомендациям, если попытаться ее применить для предсказания возможности полного разрушения. Ясно, однако, что если иметь в виду исчерпывающую характеристику прочностных свойств материала или листов из него, то следует отказаться от использования простейших параметров и попытаться построить функцию полного сопротивления, зависящую главным образом от пути, пройденного трещиной.

Методика проведения опытов по определению /^-кривых регламентирована ASTM [488]. Приравнивание /^-сопротивления трещинодвижущей силе, определяемой в рамках ЛМР, дает нам в руки полезный инструмент для оценки процесса устойчивости роста трещины в тех случаях, когда пластическое течение сильно локализовано в окрестности вершины трещины. Однако если пластическая зона велика, то остается трудной и пока не до конца решенной задача идентификации критических параметров, а также описания самого процесса устойчивого роста трещины. Отметим, что такие процессы вязкого разрушения требуют к себе первоочередного внимания со стороны исследователей и с точки зрения запросов практики.

Как уже отмечалось, устойчивый рост трещины часто наблюдается в тонких пластинах; пример для листового материала из сплава 2024-ТЗ показан на рис. 9.13. Видно, что после страгивания трещины как нагрузка, так и длина трещины до момента потери устойчивости могут возрастать примерно на 50%. Попытка смоделировать такой процесс численно приведена в работе [166]. Основой для вычислений послужила опытная зависимость нагрузки от длины трещины Ооо(/) (рис. 9.14); цель исследования состояла в определении удельной работы разрушения по методу освобождения узлов, изложенному в разд. 3.3.4. Как видно из рисунка, найденное решение оказалось близким к константе. Обратно, предполагая, что величина С является параметром, не зависящим от длины трещины, была построена кривая изменения нагрузки, очень похожая на использованную в исходных вычислениях опытную кривую (ненамного отличаясь от нее только крутизной). Уязвимым для критики в проведенном исследовании является, очевидно, то,

что не была изучена сходимость значений удельной работы разрушения при измельчении сетки. В этом отношении результаты, приведенные на рис. 9.15, являются более показательными. Указана работа, найденная на различных сетках; видно, что рассмотренная задача относится как раз к тому типу задач, для которых напряжения в кончике трещины ограничены, и, следовательно, величина С в пределе должна стремиться к нулю. Несмотря на это, примечательно, что во всех случаях найденное

Р

г

600 мм

6010021, мм6010021, мм|р|р

6010021, мм

6010021, мм

|р

|р

Рис. 9.13. Результаты измерения процесса устойчивого роста трещины в металлическом листе [573].

значение С почти постоянно, исключая, быть может, некоторый переходный участок в начале процесса. Если бы, наоборот, в качестве входных данных использовалось постоянное значение удельной работы разрушения, каждое из которых соответствует своему разбиению, то в результате получились бы зависимости нагрузки от длины трещины, почти совпадающие с исходной. Этот факт в свое время был отмечен в работе [167], где предполагалось, что для приведения в действие механизмов страги- вания трещины может быть использован любой подходящий для этих целей параметр, например J-интеграл, после чего удельная работа разрушения должна была бы оставаться постоянной и равной ее значению в момент страгивания, управляя дальнейшим процессом продвижения трещины.

Часть результатов на рис. 9.15 показана светлыми значками— эти результаты получены с использованием отдельного моделирования зоны разрушения (см. разд. 3.3.4 и 4.2). Такая методика приводит, очевидно, к однозначно определяемой величине С, а ее возможности (в плане предсказания результатов) по крайней мере не уступают возможностям модели, о которой говорилось выше. Слова «по крайней мере» подразумевают, что выявившаяся в усовершенствованной модели инвариантность результата при изменении сетки делает возможным использование нерегулярных сеток, и могут даже означать, что

CL

600 мм

36,039,042,045,0 L,mm

6

Рис. 9.14. Результаты опытов по измерению роста трещины [478] (а^ и численная оценка удельной работы разрушения при измельчении сетки [166] (б).

критическое значение С для данного материала и толщины не зависит от геометрии образца^ Разумеется, следует отдавать себе отчет в том, что величина С связана с выбором модели зоны разрушения.

Еще одним параметром, который, по-видимому, имеет все основания для того, чтобы претендовать на роль характеристической постоянной материала, является УРТ — угол раскрытия

120

110

20 -

10 -

02 35 6 7 6 9 :о м 12 И 15 16

Приращение длины трещины L ~ 10, -нм

Рис. 9.15. Зависимость удельной работы разрушения, полученная численно по результатам измерения нагрузки, от размеров сетки. Квадраты соответствуют шагу сетки 3 мм, кружки — 1,5 мм, треугольники — 0,75 мм [167].

трещины (см. разд. 4.5). Для реализации такой возможности необходимо, чтобы толщина пластины была достаточно большой, а трещина — развившейся. Данное предложение при правильной его интерпретации хорошо согласуется с экспериментальными наблюдениями. Типичные результаты показаны на рис. 9.16. Следует также напомнить, что на начальной стадии роста трещины, т. е. как раз тогда, когда УРТ проходит через фазу установления, управляющим параметром может служить /-интеграл. Этот факт привел Каннинена и др. [220] к формулировке следующей двухпараметрической характеристике процесса распространения трещины. На первом этапе вычисляются /-интегралы и сравниваются с сопротивлением R, для того чтобы выявить момент страгивания трещины; одновременно определяется УРТ. Далее с того момента, когда УРТ становится постоянным, а /-интеграл (приблизительно на этой же стадии) перестает быть инвариантным (по предположению или в результате численной проверки на независимость от пути интегрирования),

продолжающийся процесс трещинообразования описывается путем сохранения УРТ постоянным и равным найденному в конце I этапа. Замечательное согласование полученных таким способом результатов с экспериментом иллюстрируется на рис. 9.17; для сравнения там же приведены результаты, полученные в предположении о том, что функции, определяемые длиной трещины из опытов с другими типами образцов, связаны только с одним параметром — с J-интегралом, раскрытием трещины или с УРТ.

Приращение длины трещины, мм

Рис. 9.16. Угол УРТ, полученный в опыте с устойчивым ростом трещины [220].

Отметим, в частности, высокую точность двухпараметрической модели при определении момента полного разрушения, т. е. точки потери устойчивости, завершающей режим устойчивого роста.

Замечательно также то, что обсуждаемая методика не требует никаких предварительных сведений относительно критического значения УРТ. Поэтому с точки зрения реализации этот метод и изложенный выше метод, основанный на применении величины С (в котором на этапе установления также необходимо использовать /-интеграл), являются родственными. При использовании каждого из них производится тарировка определяющего параметра путем, например, оценки значений /-интеграла при первом продвижении трещины; начиная с этого момента, найденное значение параметра сохраняется постоянным, для того чтобы предсказывать дальнейший рост трещины ^ В действительности может показаться, что выбираемый при помощи указанных выше рассуждений параметр физического

о Именно о такого рода тарировке и сравнении говорилось в разд. 4.2 и 3.3.4.

Рис. 9.17. Теоретические кривые устойчивого роста трещины, полученные путем задания раскрытия трещины (/), /-интеграла (2), угла УРТ (3) или комбинации двух последних (4) [220]. Светлые кружки — данные эксперимента; темный кружок — найденная в опыте точка потери устойчивости; квадраты — точки потери устойчивости, полученные при численном решении задачи.

смысла не имеет с той лишь важной оговоркой, что его постоянство должно отражать наличие стационарного самоуправляемого состояния, устанавливающегося локально по отношению к подвижной вершине трещины. Последнее соображение согласуется с фундаментальными положениями теории устойчивых процессов разрушения (см., например, работу [121]) и может служить ключом к описанию широкого класса задач об устойчивости роста трещин. Конечно, до настоящего времени сохраняет свою актуальность фокусировка внимания на теориях, использующих только один локальный параметр; если некоторая константа материала (определяемая, возможно, толщиной пластины и численной моделью), достижение которой характеризует разрушение, известна, то это, бесспорно, будет способствовать установлению прямых оценок прочности.

Обсуждение устойчивых процессов разрушения на этом еще не заканчивается — мы советуем читателю критически осмыслить высказываемые далее предложения в этой области.

Трещина как параметр проектирования

Проектирование элементов конструкций должно производиться с учетом экономических ограничений и предупреждать возможность выхода конструкции из строя вследствие выпучивания, исчерпания несущей способности или разрушения. Хотя в общем случае все эти механизмы могут срабатывать совместно, в конкретных задачах чаще всего доминирует какой-либо один из них. Так или иначе, любая рациональная методология проектирования должна включать анализ перечисленных явлений по отдельности, а на заключительной стадии — некоторый способ оценки эффекта их взаимного влияния. Некоторые аспекты такой оценки были рассмотрены в разд. 9.5 применительно к комбинированному воздействию механизмов потери несущей способности и разрушения.

Для простоты мы рассмотрим здесь плоские образцы при одноосном (в целом) нагружении. Предметом исследования будет эффект изменения толщины. Тривиальное замечание, которое сразу же можно высказать, заключается в том, что уменьшение толщины сжатых элементов конструкции неблагоприятно влияет на их работоспособность, приводя к уменьшению критической нагрузки. Для растягиваемых элементов конструкции проблема является несколько более сложной, поскольку в общем тенденция здесь прямо противоположная [574]. Если дефекты малы и (или) трещиностойкость высока, то несущая способность будет ограничена переходом в состояние пластического течения всей конструкции и предельная прочность при этом, безусловно, не должна зависеть от толщины. Однако в случае, когда в игру вступает механизм трещинообразования, может возникнуть сильная зависимость прочности от толщины. Как мы уже видели (анализируя рис. 4.5), эффективная трещиностойкость Кс для сквозных трещин может сильно увеличиться, если толщина уменьшается настолько, что мы оказываемся левее плато (см. кривую на рис. 4.5). Это связано со смягчением локальных условий трехосного нагружения и переходом к механизму пластического течения, при котором диссипируется большее количество энергии, а трещина проходит насквозь и движется параллельно поверхности пластинки. Аналогичного увеличения несущей способности с уменьшением толщины следует ожидать и тогда, когда зона пластического течения больше, чем это подразумевалось до сих пор.

Последнее утверждение было проверено в эксперименте. Оказалось, что даже в тех случаях, когда трещина движется перпендикулярно поверхности пластины (от наружного дефекта), риск разрушения может увеличиваться с ростом толщины при неизменных размерах начальной трещины и напряжения на

5

Рис. 9.18. Характерная картина растрескивания вблизи наружной поверхности углового сварного шва (а) и стыкового соединения (б).

бесконечности. Приведем иллюстрацию данного положения для очень важного практического случая, когда концентрация напряжений определяется наличием сварного узла (рис. 9.18). Растрескивание чаще всего наблюдается на кромке выдающегося наружу сварного шва или же при сварке встык с образованием валика. Можно показать, что коэффициент интенсивности напряжений для текущего положения вершины трещины имеет вид

K1 = MHU9 = O) = 0^4(6, Pit, МО, (9.16)

где Mk— множитель, учитывающий эффект концентрации напряжений, обусловленный наличием угла (максимального) наклона 0 валика к основанию. Обычно величина Мк меняется так, как показано на рис. 9.19; радиус кривизны р сопряжения валика с основанием играет заметную роль только для самых малых трещин. Очевидно, что при сохранении длины начального надреза и уменьшении толщины пластины относительное

расстояние от кончика трещины до края пластины увеличивается. Последнее означает, что интенсивность напряжений вблизи трещины в более толстой пластине будет, как правило, выше, а вероятность прорастания трещины — больше. Этот эффект очень важен также и при рассмотрении разрушения при усталости. Так, во многих численных и экспериментальных исследованиях установлено, что время до разрушения для более толстых пластин может оказаться меньше, чем для тонких. Данный эффект

Рис. 9.19. Коэффициент концентрации М^ в зависимости (9.16), соответствующий конструкции, представленной на рис. 9.18, б; подробности см. в работе [575].

показан на рис. 9.20, где собраны экспериментальные результаты для образцов, изображенных на рис. 9.18, а. Здесь N.— число циклов до разрушения при ненулевом растяжении (Х=1), размах АсГоо напряжений в цикле поддерживается постоянным, а начальные параметры соединения и трещины такие, какие они получаются в результате сварки, чем частично и объясняется наличие полосы разброса результатов на рисунке. Отметим, кроме того, что результаты численного моделирования, при котором в качестве исходных данных использовались точные измерения начальных геометрических параметров, также подтвердили эту выявленную в экспериментах тенденцию.

Таким образом, мы рассмотрели (с использованием положений детерминистической теории разрушения) аргументы, подтверждающие целесообразность уменьшения толщины элементов конструкций типа пластин. В качестве альтернативы можно предложить увеличивать другие их размеры; этого можно достичь путем расчленения целостного элемента на параллельные

более тонкие подэлементы. Это замечание проектировщик может считать заслуживающим внимания по следующим соображениям качественного характера: 1) вероятность того, что некоторый дефект может перейти в критическое состояние, для компактных элементов выше (чем для расчлененных); 2) риск

Рис. 9.20. Полоса разброса экспериментальных результатов, соответствующих задаче на рис. 9.18, а, по зависимости числа циклов N до разрушения от толщины t. Нагрузка — пульсирующее растяжение с размахом цикла Ло^ = 150 МПа, материал — углеродомарганцевая сталь (марки 42) [578].

пропустить при контроле серьезный дефект с увеличением толщины, как правило, должен возрастать; 3) уровень остаточных напряжений, возникающих в результате сборки, в компактном элементе, вообще говоря, выше.

8. Неустойчивость трещины в поле температурных или остаточных напряжений

В разд. 9.7 анализировались случаи, когда более толстые элементы конструкции трещины проходят насквозь быстрее, нежели тонкие. В настоящем разделе мы будем иметь дело с парадоксом другого рода, связанным с разрушением хрупких элементов при жестких температурных воздействиях. Далее в связи с этим будут рассмотрены также эффекты, обусловленные наличием остаточных напряжений в сварных узлах.

Проведем, прежде всего, анализ уравнения баланса энергии в динамике трещин

(9-17)

Рис. 9.21. Баланс энергии при динамическом нагружении.

ограничившись случаем равенства нулю работы внешних воздействий, т. е. полагая в формуле (5.1) W = 0. Если действующее сопротивление R и толщина пластины /— заданные константы, то кинетическую энергию Т формально можно определить путем интегрирования соотношения (9.17). В результате имеем

Т^=\^-<КУ1=Ф^-фw-tRv-1^ (9-18) /о

где l=A/t— текущая длина трещины. Характер полученной зависимости иллюстрируется кривыми на рис. 9.21, где /0— начальная длина трещины (до ее страгивания); точка 7(/ > /о) = = 0 определяет длину трещины /1, при которой площади двух заштрихованных на рисунке фигур совпадают.

Для предсказания динамического скачка в процессе роста трещины приведенных соображений недостаточно — необходимо провести полный динамический анализ, определив помимо кинетической энергии Т энергию деформации Ф, с тем чтобы мо-

мент останова трещины можно было отождествить с моментом, когда сопротивление R начинает превышать значение выражения в левой части равенства (9.17). Однако можно, вводя две упрощающие гипотезы, оценить длину упомянутого выше скачка только на основании соотношения (9.18). Для этого, во-первых, длина трещины U в момент останова выбирается из условия обращения в нуль кинетической энергии, т. е. 7(/а) = 0, или с использованием ранее введенных обозначений 1а = /ь Во-вторых, величина Ф полагается равной ее значению Ф* в статике при тех же граничных условиях, и далее вычисляется сопротивление —dQ)*/dA = S*. Как видно из поведения кривых на рис. 7.8, первое предположение, вообще говоря, недопустимо, а из рисунка к задаче 5.3 можно сделать вывод о том, что и вторая гипотеза также может быть далека от истины. (В самом деле, из нее следует, что Ф* = Фо/оД и это выражение никак не может совпасть с правильным выражением для функции Ф, представляющим собой билинейную форму.)

По-видимому, можно ожидать, что данная «полустатическая» оценка будет более приемлемой в тех случаях, когда быстрые (импульсивные) движения исключаются из рассмотрения. Примечательно, однако, что в задачах 5.1—5.3 такие же рассуждения, опирающиеся на «неправильное» выражение для функции Ф*, приводят к верной оценке скачка М = U — to- Ясно, конечно, что действующее в данный момент сопротивление R надо было бы знать a priori, однако даже такая возможность в рассматриваемом сейчас подходе остается пока неизученной.

Трещинообразование при тепловом воздействии

В материалах, подвергающихся жестким тепловым воздействиям, например огнеупорной футеровке в доменных печах, бессемеровских конвертерах и циклически действующих обжиговых печах, возникают такие условия температурного нагружения, при которых избежать термического растрескивания, вообще говоря, невозможно. Следовательно, используемые в таких устройствах материалы, в частности различного рода керамики, должны выбираться из тех требований, чтобы они имели достаточно высокую и не зависящую от времени прочность, а толщина футеровки была минимальной. Для обоснования соответствующей проектной методики Хассельман [579] провел исследование, опирающееся на данную выше полустатическую оценку. Эффект охлаждения с поверхности грубо был смоделирован на плоском образце, верхний и нижний края которого до начала охлаждения закреплялись (рис. 9.22). Закрепление представляет собой кинематическое ограничение, воздействие которого отличается, разумеется, от воздействия опорных стенок в

реальной конструкции. На образец были нанесены регулярно расположенные трещины и предполагалось, что перепад температур равен А0. Дальнейшее исследование проводилось следующим образом.

При возникновении перепада температур появляются вертикальные напряжения, среднее значение которых равно

(9.19)(9.19)а^ = аЕе№.

(9.19)

(9.19)

(см.,(9.20)(см.,(9.20)Здесь а — коэффициент линейного температурного расширения,

(см.,

(9.20)

(см.,

(9.20)

Ее — эффективный модуль Юнга материала с трещинами например, работу [225]):

Е =-

е 1 + ^Elhb *

трещи-ячейки,трещи-ячейки,При выводе этой формулы предполагалось, что длина I ны мала по сравнению с размерами h и b расчетной ь

трещи-ячейки,

трещи-ячейки,

ШШШШ:1 । 21ШШШШ:1 । 21

ШШШШ:

1 । 21

ШШШШ:

1 । 21

77777/77777777777777777777^^

Рис. 9.22. Плоская прямоугольная модель образца со многими трещинами?верхний и нижний края защемлены (верхний не показан) [579].

с тем чтобы обеспечить одноосность в целом средних напряжений. При тех же ограничениях статический коэффициент интенсивности напряжений и трещинодвижущая сила равны соответственно К\ = Ооол/к1 и

(9.21)(9.21)К*,2£а2(ДО)2л/

(9.21)

(9.21)

Е — Kl^rt/5^

Перепад температур, необходимый для страгивания трещины, определяется из условия 9* = R и оказывается равным

V

R(2л/п А

-р^г(1 + -iar L

Еа?тс1й \ kb /

Рис. 9.23. Зависимость статической трещинодвижущей силы ^* от длины трещины (а) и перепад температуры А®, необходимый для страгивания трещины (сплошная кривая) (б). Штриховая кривая соответствует длине трещины после скачкообразного динамического подрастания для различных перепадов температур А®.

где /о — начальная длина трещины, R— известное (по предположению) сопротивление продвижению трещины, являющееся управляющим параметром для страгивания (начальный барьер отсутствует). В частности, максимум 8* или минимум Д0 по переменной / соответствует следующей длине:

lm = VW6n). (9.23)

Зависимость (9.22) с использованием выражения (9.23) показана на рис. 9.23, б сплошной линией.

Если Zo не превосходит значения 1m, то наличие начального участка, на котором величина 8* растет вместе с длиной трещины, означает, что здесь процесс начального трещинообразо- вания неустойчив. Результатом этого будет внезапный скачок длины трещины от начального значения /0 до 1а в момент

остановки, причем величина 1а определяется следующим соотношением:

^S*dl-R(la-loy=O,(9.24)

/о

вытекающим из выражения (9.18) и последующих предположений, с учетом равенства t$* = —d^/dl. Прямое интегрирование с учетом выражений (9.21) и (9.23) приводит к уравнению

3(1 +р2/3)Ч(1 +р73)-1-(1 -VqWXA = ^Pkq-p\ (9.25)

в которое не входят константы материала и где р = UJlm, q = = tall™. Решение уравнения (9.25) изображено сплошной ли-

Рис. 9.24. Связь длин трещины до (/0) и после (/^) ее динамического скачкообразного подрастания.Рис. 9.24. Связь длин трещины до (/0) и после (/^) ее динамического скачкообразного подрастания.предпочтительными на первый взпредпочтительными на первый взнией на рис. 9.24 и штриховой на рис. 9.23.

Рис. 9.24. Связь длин трещины до (/0) и после (/^) ее динамического скачкообразного подрастания.

Рис. 9.24. Связь длин трещины до (/0) и после (/^) ее динамического скачкообразного подрастания.

предпочтительными на первый вз

предпочтительными на первый вз

Ясно, что гипотеза об относительной малости длины трещины перестает быть справедливой в состоянии, для которого длина трещины равна 1а. В таком состоянии ошибка максимальна, поэтому к количественным эффектам, найденным при численном решении, следует относиться с осторожностью. Впрочем, качественный анализ результатов сохраняет смысл и интересен как для теории, так и приложений.

При продолжающейся эксплуатации изделий более яд являются детали с мень

шими размерами трещин, поскольку при прочих равных условиях их механическая прочность выше. Однако при реализации этой концепции в тех случаях, когда речь идет о жестких условиях температурного нагружения, может оказаться неразумным ставить перед собой цель получить материал с возможно меньшей длиной начальных трещин. В самом деле, рассмотрим две трещины, начальные длины которых удовлетворяют условию /0 < <С /т, и предположим, что ожидаемый перепад температур превосходит уровень А01, необходимый для страгивания меньшей из двух трещин. Тогда после нагружения конечная длина первоначально меньшей трещины превзойдет конечную длину большей трещины. Это хорошо видно на рис. 9.23: трещина большей

длины приходит в движение при меньшем значении Д02 перепада температур. Следовательно, первоначально более слабый материал в итоге оказывается более прочным, если только для него характерна указанная выше последовательность операций. Простейшее объяснение указанного парадокса состоит в том, что высвобождающая при страгивании меньшей трещины большая энергия деформации будет иметь больший динамический эффект.

Существуют многочисленные экспериментальные и практические подтверждения приведенного вывода. Типичные кривые

Рис. 9.25. Типичная зависимость предела прочности на растяжение от разности температур при закалке.

зависимости предела прочности на растяжение от разности температур при закаливании в воде с различной температурой приведены на рис. 9.25. В образце А имелись начальные трещины, длины которых малы (по сравнению с величиной /т); начально высокая прочность данного образца резко упала при критическом значении А0 = 300 К. В. образце В трещины были несколько большими, а в образце С (химический состав образцов различен) размер начальных трещин превосходил величину lm. В последнем случае процесс роста трещины происходил устойчивым образом на всей восходящей части сплошной кривой на рис. 9.23, причем разрывы прочности, связанные со скачкообразным подрастанием трещины, отсутствуют. В соответствии с рекомендациями Хассельмана [579] при жестких условиях температурного нагружения следует использовать материалы, для которых разрывы в зависимости прочности от

температуры (закаливания) наименьшие либо вообще отсутствуют, как на кривой С, или же материалы, длина /о начальных трещин в которых лишь ненамного превосходит величину /т.

Возникновение трещины от остаточных напряжений Известно, что в областях, примыкающих к сварным швам, зачастую возникают трещины хрупкого разрушения. Данный процесс обусловлен не только охрупчиванием материала в таких областях вследствие сварки — обычно более критичным является вклад остаточных напряжений, возникающих в результате локального нагрева до высокой температуры и усадки при последующем охлаждении. Здесь мы коротко рассмотрим одну типичную модель данного вида разрушения, следуя в основном работе [539].

Доминирующее вблизи сварного соединения поле остаточных напряжений имеет, как правило, вид, представленный на рис. 9.26. Здесь возникают значительные (почти равные пределу текучести) растягивающие напряжения, направление которых в ближайшей окрестности сварного шва совпадает с направлением шва, а на некотором удалении состояние растяжения меняется на состояние сжатия. Предполагая, что трещина небольшой длины возникает в середине перпендикулярно шву, можно, попытаться предсказать процесс дальнейшего развития трещины, определив прежде всего зависимость соответствующего статического значения трещинодвижущей силы от длины трещины. Эта оценка дается кривой / на рис. 9.26, определяемой только остаточными напряжениями. Аналогично кривая II дает зависимость величины 3* от длины трещины при наличии только внешней нагрузки, параллельной сварному шву; кривая /// характеризует эффект взаимного влияния остаточных напряжений и внешней нагрузки.

Если бы остаточные напряжения в расчет не принимались,, критическая длина трещины получилась бы равной величине /02, что соответствует начальному значению сопротивления ^с. Такая оценка может оказаться далеко за пределами зоны безопасности. Если же учесть только остаточные напряжения, то критической оказывается трещина, длина которой намного меньше. Такая трещина может скачком динамически подрастать до длины порядка 1а\ даже при небольших ее возмущениях? (если предположить, что R « Зс и что верна указанная выше динамическая оценка). По отношению к последующему нагружению она может оказаться закритической, что означает возникновение полностью неустойчивого процесса разрушения, вызванного наличием остаточных напряжений. Эффект одновременного воздействия остаточных напряжений и внешней нагрузки может оказаться еще более сильным; величина ^*, опреде-

г

Рис. 9.26. Оценка опасности трещинообразования вследствие остаточных напряжений (а) и нагружения усилиями, параллельными сварному стыку (б); геометрия трещины — в. Разъяснения по поводу кривых I—III (г) см. в тексте [539].

ляемая по кривой ///, такова, что в критическом состоянии оказываются уже трещины с длиной порядка /03, и если в конструкции имеются трещины большей длины, то результатом может быть полное разрушение.

Очевидно, что для реализации такого рода полного разрушения нужна достаточная хрупкость материала; должны присутствовать трещины, длина и ориентация которых делают их критическими; необходимы остаточные напряжения для инициирования процесса и достаточно интенсивные внешние воздействия для его продолжения. Такая неблагоприятная комбинация условий встречается, к сожалению, довольно часто, и поэтому для предотвращения аварий в ответственных конструкциях обычно применяются различные способы уменьшения остаточных напряжений. Однако эти способы очень дорогие, а на больших конструкциях они могут оказаться вообще нереализуемыми; поэтому альтернативной возможностью обнаружить

трещины и начальные напряжения и оценить (методами механики разрушения), к чему это может привести, пренебрегать не следует.

Задачи

В пластине, нагруженной изгибающим моментом в ее плоскости, имеется сквозное отверстие в центре. При контроле обнаружена сквозная трещина, начинающаяся на границе отверстия и направленная к растягиваемой стороне пластины; отношение длины трещины к радиусу отверстия 1]г = 2.

t

5

Предполагая материал хрупким, а его вязкость разрушения Кю заданной, определить наибольший изгибающий момент М, который может выдержать пластина без увеличения длины трещины.

12М (х + г) _. ч^у щз§2 (х),12М (х + г) _. ч^у щз§2 (х),Указание. Замените сначала отверстие трещиной, вытянутой вдоль диаметра, как показано на рис. 9.2, б. Для поддержания такой трещины в закрытом состоянии потребуется следующее распределение продольных напряжений:

12М (х + г) _. ч

^у щз§2 (х),

12М (х + г) _. ч

^у щз§2 (х),

вытекающее из теории изгиба балок и рис.б. Используя это выражение и формулу (9.10), определите коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины х = / = 2г; эта величина не должна превзойти Кю.

Ответ;

М =Ku-12/ д/л/

Возвращаясь к задаче 6.3, предположим, что контур трещины в момент, предшествующий ее прорастанию насквозь, может быть аппроксимирован прямоугольником, длина стороны которого вдоль стенки L = 100 мм. Полагая, как и ранее, максимум давления равным р0 = Ю МПа, оценить процесс дальнейшего продвижения трещины в случае, когда вязкость разрушения при движении трещины вдоль стенки равна Кс = 60 МПа-м1/2.

Ответ: Кт макс — 80 МПа • м1/2 в точках х = + L/2, что превосходит критическое значение Кс- Если бы, скажем, Кс было равно 100 МПа • м1/2, то протечка трубы могла привести к обнаружению трещины раньше, чем ее длина (вследствие усталостного роста) подошла бы к критическому значению.

Приложение А

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГОТВЕРДОГО ТЕЛА

Приведенный ниже краткий обзор содержит основы механики деформируемого твердого тела. Сначала рассматриваются общие определения и соотношения, используемые в механике сплошных сред, далее излагаются относящиеся к проблематике книги сведения из теорий упругости и пластичности.

А. 1. Геометрия напряжений и деформаций

Через любую воображаемую поверхность внутри тела передаются силы воздействия одной части разделенного этой поверхностью тела на другую. Тензор напряжений, равный локальной интенсивности (на единицу площади поверхности) этих сил, можно задать его составляющими по нормали и по касательной к поверхности. Декартовы компоненты тензора напряжений в данной точке объединяются в матрицу

а11а12 а13

^х X Ху ТХ2

а =

°21°22 Т23

=

ХуХ ^у Ху 2

,/,/=!. 2,3, (АЛ)

_ °31°32 ^ЗЗ-

_ Хгх Т2у Оz _

i-я строка которой содержит проекции вектора напряжений на площадке, перпендикулярной оси Xi, соответственно на оси Xi, х2, х3. Форма записи с латинскими индексами соответствует обозначению (х, у, 2) системы координат вместо (xi, х2, ха) и замене ап = (Ух, (У12 = тху, ... . Диагональные элементы матрицы равны нормальным напряжениям, т. е. компонентам, перпендикулярным координатным плоскостям, а остальные элементы введенной матрицы определяют касательные напряжения, направления которых параллельны координатным плоскостям. Известные свойства симметрии выражаются равенствами тху = тух, ... или, короче, оц = ац. Формула преобразования совокупности компонент напряжений в точке при повороте системы координат совпадают с формулами преобразования компонент тензора 2-го ранга. Меняя ориентацию системы координат, с тем чтобы получить экстремумы нормальных напряжений, устанавливаем, что в каждой точке существует три главных напряжения; им

соответствуют три взаимно ортогональные плоскости, касательные напряжения на которых равны нулю, а сами главные напряжения являются корнями кубического уравнения

or3 - Ivo2 — Г2о - /3 = О, (А.2)*

коэффициенты которого выражаются через элементы матрицы (А.1) по формулам

Л = $и — ^п + а22 + °зз>

'2 = т(-№-'а-т№ + ^ + ^ +

+ 2^ + 2^3 +2^-/2), /3=deta. (А.3>

которымкоторымпо повторяющемусяпо повторяющемусяЗдесь принято соглашение о суммировании, в соответствии с

которым

которым

по повторяющемуся

по повторяющемуся

индексу производится суммиро

вание по всему множеству значений данного индекса. Поскольку главные напряжения являются физическими характеристиками напряженного состояния в рассматриваемой точке, то коэффициенты /1 — /3 не должны зависеть от ориентации осей координатной системы,, по отношению к которым вычисляются компоненты напряжений. По этой причине величины /1 — /3 получили

название «инвариантов».

На рис. А.1 показана плоскость, наклоненная под углом 45° к направлениям экстремальных нормальных напряжений ^макс = тах (^ь °2> Оз)> ^ин = min (оь °'2, Оз) и параллельная направлению промежуточного главного направления очпь Можно показать, что действующее на этой плоскости касательное на

пряжение Тмакс является максимальным по сравнению с касательным напряжением на любой другой площадке, проходящей через ту же точку; нормальное напряжение на этой площадке обозначено через or. Величины этих напряжений равны соответственно

^макс 7Г (^макс ^мин)> ^ ту (^макс 4" ^мин) (А.4}

и могут быть вычислены с использованием кругов Мора для напряжений. Каждый круг Мора представляет собой геометрическое место точек, отвечающих значениям нормального и касательного напряжений на плоскостях, параллельных одному,

из главных направлений, причем угол, образуемый некоторой прямой на плоскости Мора с горизонтальной осью (рис. А.2), равен удвоенному значению соответствующего угла на физической плоскости (рис. А.1). Координаты точек в области, содержащейся между большим и двумя малыми кругами Мора, соот

ветствуют значениям напряжений на плоскостях, не параллельных ни одному из главных направлений.

Вычитая из нормальных напряжений их среднее значение /1/3, определяем девиатор напряжений:

1( V i = h

=где 6О = |0 z _^(А.5)

Девиатору напряжений соответствуют инварианты J;—/3, вполне аналогичные введенным выше инвариантам /1—/3. Первый .инвариант, очевидно, равняется нулю: Jy = Sa = с а — Л = 0. Особое значение имеет второй инвариант:

*^2= ~2 ^sijsa ZD = “2 sastr^’^

Элемент объема можно представить себе в виде параллелепипеда, ограниченного бесконечно близкими плоскостями, параллельными координатным (система координат декартова). Градиенты величин оц пропорциональны силе, действующей на выделенный элемент объема dV, с компонентами (doij/dx^dV. Полагая плотность материала в рассматриваемой точке равной

р, компоненты плотности объемных сил равными 6/, ускорения равными iit, придем к уравнениям движения

-^--Vbi-pu^dV^,

ИЛИ

-^- + ^ = рй,., Z=l, 2, 3.(А.7>

Если правая часть здесь равна нулю, получаем уравнения равновесия. Отметим, что уравнение (А.7) выведено в декартовой.

системе координат, однако оно с помощью известной формальной процедуры может быть преобразовано к любой системе отсчета. Ниже получены уравнения равновесия в цилиндрической системе с помощью условия равновесия элемента объема, естественным образом связанного с данной системой отсчета; объемными силами при этом будем пренебрегать.

При плоском деформированном или плоском напряженном состоянии, когда за независимые переменные выбираются, например, х\ и х2, имеем д/дх^ = 0, ai3 = сг23 = О, и в случае, когда bi = Hi = 0, из уравнений (А.7) получаем следующую пару нетождественных уравнений равновесия:

^J- + ^L = O, ^- + ^- = 0. (А.8) ОХу и%2 их у UX2

В полярной системе координат на координатных плоскостях (рис. А.З) действуют нормальные (огг, оо) и касательные (тге =

= тег) напряжения. Используя операторы

£г=1+^, Le=l+d9^,(А.9)

можно условия равновесия в радиальном и окружном направлениях записать в форме

Lr (orr) d^ — orr dQ + Л0 (т0г) dr — т0г dr — а0 dr dQ = О,

А6 (а6) dr — o^dr + Lr (тг6г) dr — тг0г dB + т6г dr dQ = О,

откуда следует, что

М + ^ - ". - 0. -5 + ^'«г' + ’»' = °-

(А.10 а), (АЛО б)

Так называемое антиплоское состояние

условиями ан = 022 = ^зз = <^12 = 0; отличны

компоненты напряжения ai3 = a3i и О2з = о32, которые в соответствии с первыми двумя из трех уравнений равновесия (А.7) не зависят от переменной х3. Из третьего уравнения (/ = 3) имеем

^13 . да23 qдхх дх2^13 . да23 qдхх дх2(АЛ 1)(АЛ 1)В полярной системе координат отлич

^13 . да23 q

дхх дх2

^13 . да23 q

дхх дх2

(АЛ 1)

(АЛ 1)

характеризуется от нуля лишьхарактеризуется от нуля лишьны от нуля касательные напряжения

характеризуется от нуля лишь

характеризуется от нуля лишь

Тг2=Тгт и Te2=Tze (рис. А.4), подчиняющиеся условию равно

весия

Lr ^Г2г) t/б — тггг de + L6 (т6г) dr — тб2 dr = О,

dr ^ТггГ^ + д^ — °*dr ^ТггГ^ + д^ — °*(А.12)(А.12)из которого следует, что

dr ^ТггГ^ + д^ — °*

dr ^ТггГ^ + д^ — °*

(А.12)

(А.12)

Уравнения (А.7) — (А.12) описывают изменение напряжений внутри тела. Граничные значения определяются на поверхности, на которой напряжения должны совпадать с заданными или выведенными (из некоторых других условий) поверхностными усилиями pi (/= 1, 2, 3). Пусть на рис. А.5 плоский треугольный элемент поверхности АВС представляет собой часть границы малого объема тела (оставшаяся часть границы определяется гранями Xi = const); n={n^— единичный вектор нормали к элементу АВС, направленный извне выделенного объема. Условие равновесия данного тела, нагруженного усилиями pi и

напряжениями, можно привести к следующему силовому граничному условию:

р^п^р, /=1, 2, 3.(А. 13)

Имея в виду обычные приложения (когда упругие деформации малы, а пластические велики), введенные выше напряжения мы будем считать «истинными» или компонентами тензора напряжений Коши, т. е. совпадающими с плотностями усилий в деформированном теле и отнесенными к осям, фиксированным в пространстве. Если деформации и повороты малы,

т. е. используется теория первого порядка, то «истинные» значения напряжений будут мало отличаться от номинальных (отнесенных к недеформированной конфигурации).

Пусть й,(х/)—поле скоростей частиц тела в момент времени t; градиенты этого поля позволяют определить текущую деформацию в точках и для моментов времени, близких соответственно к Xi и I. В декартовой системе координат имеем следующие выражения для скоростей деформаций:

е 1 / дй( дй^ XкЧ = Т VdxT + "дхТJ ’

совокупность которых также представляет собой некоторый тензор второго ранга — аналогично тензору напряжений а,/. В матричной форме имеем (используются две системы обозначений)

8 =8 =8ц$218ц$21^31^31&12 8ьз822 82з832 833 _,&12 8ьз822 82з832 833 _,8х ЧъУху V2Y хх ^l^yx Sy Ч^угV2YZX Ч^Чху Sz _8х ЧъУху V2Y хх ^l^yx Sy Ч^угV2YZX Ч^Чху Sz _(А. 15)(А. 15)

8 =

8 =

8ц

$21

8ц

$21

^31

^31

&12 8ьз

822 82з

832 833 _,

&12 8ьз

822 82з

832 833 _,

8х ЧъУху V2Y хх ^l^yx Sy Ч^уг

V2YZX Ч^Чху Sz _

8х ЧъУху V2Y хх ^l^yx Sy Ч^уг

V2YZX Ч^Чху Sz _

(А. 15)

(А. 15)

Рис. А. 7

Диагональные элементы ец = ех, .. . определяют относительное удлинение волокон, параллельных координатным осям, недиагональные элементы — скорости 2е12 = у^, • • • — определяют относительную угловую скорость вращения (относительно друг друга) двух волокон, параллельных двум различным координатным осям (рис. А.6). Используя свойства данного тензора, можно (аналогично тому, как это было сделано выше) определить круги Мора для деформаций (рис. А.7) и найти с их помощью максимальную скорость сдвига (рис. А.8):

^MCLKC

Рис. А. 8

Элемент тела, ограниченный плоскостями, перпендикулярными координатным осям хх, %2, х3, за время от момента t до / + dt меняет свой объем от dxxdx2dx3 до значения

dxx (1 + deH)dx2(l + ^22)^з(1 + d^ = dxx dx^dx^X + d£u\

В этой формуле сохранены только первые степени дифференциалов. Таким образом, относительное изменение объема за время dt определяется инвариантом

dsu = е^ dt = (sj + е2 + 83) dt,(А. 17)

причем последнее выражение справедливо в главных осях тензора е.

Если мы следим за движением отдельной материальной частицы, то равенство (А.14) формально можно проинтегрировать и получить «полные деформации»:

еt

6И=\ de^ = ^ еИ dt.(N. 18)

Оо

Далее, если перемещения на рассматриваемом временном интервале малы, то можно заменить текущие координаты любой частицы xi^ их начальными значениями xt = ^/(0) и получить следующие выражения для полных деформаций:

в которых Ui — компоненты перемещения частицы. В теории упругости именно полные деформации являются основным инструментом исследования процессов малых деформаций. Поня-

тие «полные деформации», вычисляемые по формуле (А. 18), имеет важное значение и при исследовании конечных деформаций, если только отношение компонент 8// (и, следовательно, компонент 8//) в процессе деформации сохраняется постоянным. При этом будет меняться лишь скалярная мера деформации — такой процесс получил название «пропорциональное деформирование». В данном частном случае преобразование компонент полной деформации будет таким же, как и компонент скоростей деформации.

Формула (А. 19) связывает шесть компонент малой деформации с тремя компонентами вектора перемещений. Отсюда вытекает, что должно существовать некоторое соотношение между самими компонентами деформации. В частности, для компонент, лежащих в плоскости хух2 (рис. А.6), имеем выражения

еи = ^-, е22 = ^-, 2е12 = ^+^-, (А.20)

из которых следует, что должно быть выполнено равенство

^_2_2^ + ^lL = 0, (А.21) д%1 dxx dx^ дх^

представляющее собой одно из так называемых условий совместности; именно оно будет использовано в дальнейшем. Разумеется, аналогичные условия справедливы и для скоростей деформации, определяемых по формуле (А. 14).

В приведенных выше рассуждениях подразумевалось, что текущая скорость деформации может быть выражена через скорости относительного удлинения и изменение угла между двумя материальными волокнами, угол между которыми в данный момент времени прямой. Соответствующая пара материальных волокон в цилиндрической системе координат показана на рис. А.9, иллюстрирующем переход от состояния в момент t (сплошные линии) к состоянию в момент t + dt (штриховая линия). Перемещения за время перехода вычисляются путем умножения на dt соответственно радиальной йг и окружной й^ скоростей.

Из рисунка видно, что скорости удлинений и сдвигов в плоскости гб определяются выражениями

. (dur/dr) dr дйг

£rdrdr *

. (г + йг) dQ — г d^ + d^ (дй^/д^) йг ■ 1 du^,

^dur,d^) dQ . (du^jdr) dr uq 1 ddr . du^ й^

"Vre— 750 I 577* — r д0 T dr r .

которые в совокупности с формулами для скоростей деформации на других координатных поверхностях

. дйг . дйг^гг^2•dr ’. дйг . дйг^гг^2•dr ’. _ дй0 . 1 дйгУб2 дг “г г д9 >. _ дй0 . 1 дйгУб2 дг “г г д9 >^ = ^ (А.226)^ = ^ (А.226)

. дйг . дйг

^гг^2•dr ’

. дйг . дйг

^гг^2•dr ’

. _ дй0 . 1 дйгУб2 дг “г г д9 >

. _ дй0 . 1 дйгУб2 дг “г г д9 >

^ = ^ (А.226)

^ = ^ (А.226)

дают весь набор компонент скоростей деформации, определяемых формулой (А. 14).

Аналогичные соотношения связывают полные малые деформации с компонентами вектора перемещений и получаются формально снятием точки в приведенных выше выражениях; вели

чины г, 0, г при этом считаются координатами точки недефор-

компонент тензора выражаются через три компоненты вектора перемещений, и, следовательно, должны существовать определенные условия совместности. В плоскости гб условие совместности имеет вид

д2е0 . 2 де61 д2уг61 дуг6 . 1 дЧгL^L=n (X

дг2 * г дг г дг д^ г2 дЬ * г2 д02 г дг >\ • л

что можно проверить непосредственной подстановкой.

(А.24)(А.24)При деформации тела напряжения в любом материальном элементе совершают работу, мощность которой (на единицу объема) равна

(А.24)

(А.24)

W = Оцвц.

Если деформации малы, то интегрированием по времени можно прийти к выражению

(А.25)(А.25)tt8

(А.25)

(А.25)

w = \ w dt = \ ОцЬц dt=\ (УdslbiI Ч Ч1Ч 7

00о

определяющему плотность (на единицу объема) работы на полных деформациях. Интегрируя соотношение (А.24) по объему V, занятому телом, можно получить соотношение

а^вц dV piiti dS + j (Ь^ — p^z) fit dV,(A.26)

VSV

при выводе которого применяется формальное преобразование объемного интеграла в интеграл по поверхности 3 и используются уравнения движения (А.7), граничное условие (А. 13) и кинематические соотношения (А.14). Уравнение (А.26) выражает принцип виртуальных работ, и его можно интерпретировать как условие равенства работ внутренних и внешних усилий.

А. 2. Упругое деформирование

В упругом (гиперупругом) материале работа деформаций является однозначной функцией накопленных деформаций !), т. е.

8

w = aij deM = ф (е0),(А.27)

о

где ф — так называемая плотность энергии деформаций. Отсюда вытекает, что <5^^ = dtp для любых приращений deZy, так что

о И = дф(дец.(А.28)

В линейной теории упругости изотропного материала плотность энергии деформаций определяется формулой

Ф = G,(А.29)

в которую входят две материальные константы — модуль сдвига О и коэффициент Пуассона v (0^v^0,5), связанные с модулем Юнга Е соотношением

£ = 2(1 + v)G.(А.ЗО)

1} Эта функция зависит от того, является процесс деформирования адиабатическим или изотермическим; в зависимости от этого функция ф равна либо внутренней энергии, либо свободной энергии в единице объема тела.

Из выражений (А.28), (А.29) имеем связь между напряжениями

и деформациями:

(А.31)(А.31)QH = 2G (ez/ + yzr^ $u8^) ’

(А.31)

(А.31)

еЧ 2G1 + v ^ИаЬЬ) *

Второе из выписанных соотношений получается обращением первого. Из закона Гука (А.31) можно получить частные зависимости для плоской задачи (в плоскости ^1^2) соответственно для плоского напряженного (а33 = 0) и плоского деформированного (е33 = 0) состояний

£*811 = 0'11VO22,^22 = а22 Wjb 2G812 = Gy ху = Тху = 012,

(А.32) 2Сец = (1 — v) Оц — vo22,

2Ge22 = (1 — v)о22 — van, 2Gei2 = Oi2.' '

В этой плоскости используем уравнения равновесия (А.8) в декартовых координатах (массовые силы полагаются равными нулю). Легко видеть, что уравнения равновесия удовлетворяются, если напряжения выразить через функцию напряжений Эри % по формулам

(А.34> дх2дх{дх{дх2

Подставляя выражения (А.34) в зависимости (А.32) или (А.33), а результат этой подстановки — в условие совместности (А.21), придем к следующему бигармоническому уравнению для функ

ции %:где по определениюции %:где по определениюv2(v2x) = o,дх2х дх2v2(v2x) = o,дх2х дх2(А.35)(А.36)(А.35)(А.36)

ции %:

где по определению

ции %:

где по определению

v2(v2x) = o,

дх2х дх2

v2(v2x) = o,

дх2х дх2

(А.35)

(А.36)

(А.35)

(А.36)

Следовательно, это уравнение заменяет уравнения равновесия, кинематические соотношения и закон Гука. Таким образом, задача свелась к решению уравнения (А.35) при заданных граничных условиях.

В полярных координатах вместо выражений (А.34) используются соотношения

° г — г дг + г2 ^02 ’°6 — дг2 ,dr \ г дВ ) vA.o/)

что позволяет тождественно удовлетворить уравнения равновесия. Заменив далее в формулах (А.32) —(А.33) индексы 11, 22 и ху соответственно на г, 6 и гб, можно использовать условие

совместности (А.23), для того чтобы получить уравнение (А.35), в котором выражение для лапласиана в полярных координатах имеет вид

дг2 * г дг ' г2 дО2 '( •)

Последнее выражение можно получить также непосредственным преобразованием (А.36).

Метод функций комплексного переменного для решения би- гармонического уравнения описан в приложении Б.

А. 3. Пластическое и упругопластическое деформирование

Как упругие, так и пластические деформации от времени не зависят в том смысле, что соответствующие этим деформациям напряжения не зависят явно от скоростей деформаций. Если это не так, то отклонения от установленных закономерностей будут значительными. Накопленные в процессе пластического течения деформации могут оказаться очень большими; здесь нет никакой естественной конфигурации, которую можно было бы использовать в качестве отсчетной (как это делается в упругом теле, когда за состояние отсчета выбирается начальное ненапряженное состояние). Кроме того, пластическое течение очень часто с высокой степенью точности приближается к изохорическому (когда материал несжимаем). Перечисленные свойства свидетельствуют о возможности уподобить пластическое деформирование твердого тела течению вязкой жидкости. И наконец, укажем, что пластические деформации возникают только тогда, когда некоторая мера интенсивности напряженного состояния удовлетворяет заданному условию перехода в критическое состояние, называемому условием текучести.

В этом разделе мы сформулируем основные положения теории пластичности, учитывающей перечисленные выше свойства в сочетании с принципом максимума пластической работы и предположением об изотропном упрочнении.

Условие текучести будем записывать в форме

f (»</) = сте — <ГТ = о,(А.39)

где От — предел текучести при одноосном растяжении, а функция f зависит от эффективного напряжения о^, являющегося выбранной нами мерой интенсивности напряжений. Данная мера должна быть инвариантной по отношению к выбору системы координат и нормироваться так, чтобы в опыте на одноосное растяжение при напряжении or выполнялось равенство or = огт. Для возникновения пластического течения необходимо, чтобы выполнялось условие (А.39); все другие возможные состояния.

для которых / < О, будут упругими. По предположению, мощность, развиваемая при деформировании, должна быть неотрицательной:

w = очгч = о • е > О,w = очгч = о • е > О,(АЛО)(АЛО)

w = очгч = о • е > О,

w = очгч = о • е > О,

(АЛО)

(АЛО)

и это неравенство определяет свойство диссипативности материала, означающее, что при любых пластических деформациях необходимо затрачивать работу. В приведенной только что формуле для диссипации наряду с тензорной использована вектор

ная символика — тензоры заменены девятикомпонентными векторами о = {а//} и е = {£/;}. Геометрически условие текучести

можно представить с помощью поверхности (рис. А.10) в пространстве напряжений а//, совмещенном с пространством деформаций 8//; при выполнении условия (А.39) конец вектора а будет касаться поверхности f = 0.

Закон пластического течения определяет направление и (возможно) интенсивность течения. Используя ограничение (АЛО), этот закон можно сформулировать на основе принципа максимума пластической работы, в ко

тором постулируется, что в поликристаллическом материале заданным скоростям деформаций е,/ соответствует такое напряженное состояние, при котором диссипация максимальна 1). Геометрически (рис. А.10) принцип максимума означает, что текущее напряженное состояние должно изображаться точкой на поверхности текучести, причем вектор 8 ортогонален этой поверхности (поверхность текучести предполагается выпуклой). Отсюда следует закон пластического течения, который в векторной форме записывается следующим образом:

(А.41)(А.41)8 = 8eVf = 8eVoe.

(А.41)

(А.41)

В декартовых координатах

(АЛ2)

где 8^ — некоторая положительная скалярная величина. Для выяснения ее физического смысла внесем выражение (А.42) в

о По поводу важности высказанного положения в частных задачах и для обоснования теории пластичности см. работу: Bishop J. F. W., Hill R., Phil. Mag., 42, 414 (1951), а также: Хилл P. Математическая теория пластичности.— М.: ИЛ, 1956.

формулу (А.40); в результате получим

да = Оцёе -^7 == 0^8-(А.43>

| ё |ГVVa.lI (дое1до.Л(| ё |ГVVa.lI (дое1до.Л(В процессе преобразований использовано то, что величина аа представляет собой однородную (линейную) функцию от переменных оц (теорема Эйлера об однородных функциях). Поскольку, таким образом, скаляр ге входит множителем в выражение для диссипативной функции, то его естественно считать эффективной скоростью удлинения. Из соотношений (А.41) и (А.42) можно вывести формулу

| ё |ГV

Va.lI (дое1до.Л(

| ё |ГV

Va.lI (дое1до.Л(

(А.44)(А.44)а дое1д°к^

(А.44)

(А.44)

которую следует использовать для обработки опытов на одноосное растяжение, когда эффективная скорость удлинения в соответствии с выражением (А.43) равна величине 8. Поскольку объем материального элемента не должен изменяться, то из соотношений (А. 17) и (А.42) будем иметь

(А.45)(А.45)р —О— д°еи — о — д

(А.45)

(А.45)

Следовательно, гипотеза о несжимаемости налагает дополнительные ограничения на вид функции ое.

ее ^ О, ае = ат= const;ее ^ О, ае = ат= const;(А.46)(А.46)Идеальнопластический материал характеризуется тем, что деформации в нем могут достигать сколь угодно больших значений (они ограничены лишь кинематическими условиями) при постоянном значении эффективного напряжения, т. е.

ее ^ О, ае = ат= const;

ее ^ О, ае = ат= const;

(А.46)

(А.46)

8е О, О'е < 0>т.

Теория пластичности упрочняющегося материала может быть построена путем обобщения известных соотношений, описывающих одноосное растяжение (рис. А.11):

e = g(a), 4- =4г" = g' (o') = ’ (А. 47)

и если о = От1 > о'то, то б > 0, где oTi = шах о. Поскольку в случае сложного напряженного состояния роль параметров or и 8, фигурирующих в соотношении (А.47), играют соответственно эффективное напряжение и эффективная деформация, то естественным обобщением зависимостей (А.47) будет предположение о том, что

= ёе = -^, (А.48>

если ое = ат1 > ат0, то ае > 0, где ат1=шах ое. Соглашения (А.42)> (А.46), (А.48) полностью определяют поведение материала в пластической области при дополнительном предположении о том, что функции OeVnf) и h (or) должны быть известными как в случае идеальной пластичности, так и при изотропном упрочнении. Термин «изотропное упрочнение» отражает тот факт, что выбранная нами мера (оге) является скаляром; иными словами, с помощью

этой меры невозможно различить положение двух несовпадающих напряженных состояний во времени. Это соответствует случаю равномерного расширения поверхности текучести / = 0 при упрочнении материала, причем такие особенности поведения, как эффект Баушингера, в данной теории учесть невозможно.

Если в процессе деформирования отношение компонент напряжения поддерживается постоянным, то постоянными будут коэффициенты дое/доц и в соответствии с формулой (А.42) отношение компонент тензора скоростей деформаций в//. Следовательно, при монотонном нагружении соотношение (А.42) можно проинтегрировать и получить выражение для полных деформаций:

t

6 dt = 6e-^- = g^4r^- (А.49) до^ е до.. х до.. v

Подобные процессы изменения напряжений и деформаций называются пропорциональными; пропорциональное нагружение можно рассматривать как процесс увеличения длины вектора or Ба рис. АЛО без изменения его ориентации. Существуют аргументы в пользу того, что зависимости (А.49) следует использовать в качестве определяющих соотношений даже при отклонении от прямолинейных путей деформирования; соответствующая теория получила название «деформационная теория пластичности» !).

Предположения относительно функции текучести, о которых здесь пойдет речь, известны как гипотезы Мизеса и Треска. Мизес предполагал, что (см. формулу (А.6))

Ое = V3A aJ ^SqSq = <Тт. (А. 50)

Следовательно, выражение, которое нужно подставить в соотношения (А.42), (А.49) и (А.44), здесь таково:

(А.51)(А.51)дбе 3

(А.51)

(А.51)

до..2оо Sil"*

i]е

Подстановка в формулу (А.44) дает

(А.52)

Треска в своих работах полагал, что критическим параметром должно быть наибольшее касательное напряжение, т. е.

^е 2тмакс Омаке ^мин О^.(А.53^

Следовательно, если направления осей хь х2, *з координатной системы совпадают с направлениями амакс, crint, аМИн, то из соотношений (А.42) и (А.44) будем иметь

(бц, е22, ёзз} = {ёь ё2) ё3} = ёе{1, 0, —1),(А.54>

и, следовательно,

ёе = ё, = — ё3 = ^/^^tflij •(А.55}

В приведенных рассуждениях предполагалось, что значения главных напряжений различаются; в случае их равенства поверхность текучести оказывается нерегулярной, а градиент функции текучести в точках нерегулярности — неопределенным. Например, при растяжении стержня, образующие которого параллельны оси Xi (так что оы = о^ин = 0), определяющее уравнение допускает любые скорости деформаций сжатия е22 и ё33, удовлетворяющие условию е22 + ^зз = —ёи-

При одновременном учете и упругих, и пластических деформаций скорости деформаций (а в рассматриваемой сейчас теории— и полные деформации) можно считать аддитивными. Это уравнение верно асимптотически, если малы полные деформации или же малы только упругие деформации, так что их можно определять в базисе текущего состояния.

А. 4. Предельный анализ

Типичная расчетная кривая поведения конструкции из идеальнопластического материала, найденная по теории первого порядка, имеет вид, представленный на рис. А. 12. Видно, что зависимость нагрузки от характерного перемещения вначале является

ЦЦНоНоЦ .Ц .(А.56)(А.56)

Ц

Ц

Но

Но

Ц .

Ц .

(А.56)

(А.56)

линейноупругой, однако по мере возникновения и развития пластических деформаций кривая будет постепенно выходить на горизонтальный участок, соответствующий так называемой предельной нагрузке. На этой предельной стадии конструкция полностью

теряет свою жесткость, поскольку зоны пластического течения

развиваются настолько, что они пронизывают конструкцию насквозь. Соответствующий параметр нагружения ц0 (величина,

на которую умножается некоторая базовая нагрузка) указывает пределы несущей способности, существующие даже в тех случаях, когда приняты меры для предотвращения разрушения с потерей целостности конструкций; следовательно, данный параметр является очень важной характеристикой конструкции. Как правило, в рабочем диапазоне нагрузки упругие деформации малы, так что в исследованиях, имеющих целью прямую оценку предельной нагрузки, определяющую

роль будут играть скорости пластических деформаций.

Поскольку задачи предельного анализа в общей постановке

очень сложны, для их решения были развиты приближенные ме

тоды, позволяющие дать оценку верхней и нижней границ предельной нагрузки, т. е. установить неравенства вида

Определение и свойства нижней (ц~) и верхней (ц+) границ параметра нагружения ниже приводятся без доказательства.

Свойство L Величина р™ представляет собой такое значение параметра нагружения, для которого соответствующее поле напряжений статически допустимо (условия равновесия для него удовлетворены почти всюду) и, кроме того, ое ^ От, ц” ^ Цо-

Свойство 2. Величина ц+ представляет собой значение параметра нагружения, которое соответствует кинематически допустимому полю скоростей й^ определяющему скорости деформаций £//. Такое поле скоростей должно удовлетворять имеющимся кинематическим ограничениям, а определяемая им мощность внешних воздействий должна быть положительной. Соответствующее поле напряжений Оц удовлетворяет соотношениям (А.39) и (А.42). Величина ц+ определяется из уравнения

оИгИ dV = р^ dS + ^ b^i dV, (А.57) V s V

выражающего принцип виртуальных работ; величина ц + входит в уравнение (А.57) неявным образом: предполагается, что нагружение пропорциональное, так что Р^^Рр b^^b^; штрихованные величины здесь определяют некоторое базовое распределение. И наконец,

всегда выполняется неравенство ц+ цо-

Левая часть равенства (А.57) равна полной мощности диссипации, однозначно определяемой рассматриваемым полем скоростей.

Так как точное решение является статически и кинематически допустимым, то два множества предельных значений ц“ и ц+ должны совместно ограничивать одно значе

ние цо-

Решения, определяющие верхнюю границу, зачастую строятся с использованием разрывных полей скоростей. Предположим, что такой разрыв (в пределе при б->0) построен для пластины

так, как показано на рис. А.13, когда и напряжения, и деформации не зависят от координаты, отсчитываемой по нормали

к срединной плоскости пластины. Пусть ит^ = иь —- иа — разность скоростей частиц в зонах 6 и а; каждая из этих зон считается жесткой (относительно жесткой) границей деформированного материала в зоне с. Скорости сдвига и удлинения по нормали к узкой полоске течения определяются формулами

(А.58)(А.58)^ху = Mrel COS ф/6, 8% = йТе\ Sin ф/6

(А.58)

(А.58)

для осей х и у, направленных соответственно по нормали и вдоль полоски. Величина гу пренебрежимо мала вследствие того, что

имеется связь с жесткими зонами а и Ь. Эти скорости изображены на круге Мора на рис. А. 14, из которого видно, что главные значения тензора скоростей деформаций в полоске таковы:

81 = (Йге1/25) (sin ф + 1),

е2 = (i2rei/2d) (sin ф — 1),

8з= — 8j — е2.(А.59)

Последнее из выписанных соотношений обеспечивает несжимаемость материала, а из первых двух можно найти угол наклона ф линии разрыва

sin Ф = (8! + 82)/(8! — 82). (А.60)

Направление 1 показано на рис. А.15: оно образует угол л/4 + ф/2 с осью у и угол а — с направлением, скорость удлинения по которому равна нулю. Очевидно, что это направление должно быть также перпендикулярно вектору нГеь Используя формулы (А.59) и (А.40), устанавливаем, что диссипация на единицу толщины и на единицу длины вдоль полоски с равна

w6 = (0'1ё1 + О282 + сг282) 6 =

= — ^UreV [o'! — о2 + sin ф (^i + о2 — 2oJ].(А.61)

В частном случае, когда материал подчиняется условию текучести Мизеса, получаем с помощью формул (А.43) и (А.52)

wd = от8ед = от д/2/з (ё? + е2 + 82) = aTwrel VVs + sin2 Ф •(А.62)

Если бы вместо условия Мизеса было использовано условие Треска (при несовпадающих значениях главных напряжений ai, о»2, о2), то получилось бы такое же выражение для диссипации, но с дополнительным множителем V3A (Для доказательства используется формула (А.55)).

сдвиг, равный тт =сдвиг, равный тт =тт = ат/2 при услотт = ат/2 при усло

сдвиг, равный тт =

сдвиг, равный тт =

тт = ат/2 при усло

тт = ат/2 при усло

При плоской деформации, когда е2 = 0, и, следовательно, с2 = —^ из формулы (А.60) следует равенство

ф = 0,ф = 0,(А.63)

ф = 0,

ф = 0,

которое означает, что разрыв скорости в данном случае может происходить только в направлении, параллельном линии разрыва. Вдоль этой линии, называемой линией сдвига с большой величиной скорости сдвиговой деформации ^ху, диссипация вычисляется по формуле

^6 = ТтЙгеЬ (А.64)

в которую входит предел текучести на

= от/д/3 при условии текучести Мизеса и

вии текучести Треска.

При оценке верхней границы предельной нагрузки значение угла ф следует изменять, одновременно изменяя ориентацию линии сдвига с, с тем чтобы минимизировать параметр нагружения р+. В отдельных случаях можно даже получить такое поле напряжений (отвечающее по построению кинематически допустимому полю деформаций), которое будет статически допустимым; последнее означает, что предельная нагрузка определена точно. Приведем примеры.

Пример А.1. Тонкая пластина постоянной толщиной t подвергается

растяжению при неизменной ширине 6, так что вектор нге1 оказывается параллельным направляющим (краям). Данный процесс можно адекватно смоделировать, полагая ф = л/2, что

приводит к рассмотрению поперечной полосы течения с, скорости удлинений в которой равны соответственно

81 = 8х — Ure\/^f 82 = fey — 0.

Этим удлинениям отвечают главные напряжения, равные

(Т1 = (Тх = (2/V3)<гт, ^ = (1/73)^, стг = О

при условии текучести Мизеса (что следует из формул (А.42), (А.51) и (А.50)) или же равные

Qi = ах = от, 0 < ау < от, а2 = 0

при условии текучести Треска, что следует из формул (А.54) и (А.55). Указанные значения напряжений могут быть продол-

жены на жесткие зоны и будут статически допустимыми при предельной нагрузке Р = PQ = oxbt. Такое же значение предельной нагрузки может быть получено также при использовании соотношения (А.57), которое в рассматриваемой задаче принимает

вид wbbt = Рйте\. На основании полученных результатов заключаем, что введенное нами пробное поле напряжений с локализованным по линии пластическим течением может оказаться решением, — этот вывод подтверждается и экспериментальными данными. Условие ё2 < 0 означает, что толщина пластины в зоне течения (полосе) локально уменьшается, так что происходит образование шейки, а при дальнейшей вытяжке — разделение тела.

В следующих примерах координатные оси х и у не совпадают с главными направлениями, т. е. перпендикуляр

ным и параллельным линии скольжения.

Пример А.2. Пластина подвергается вытяжке, причем, как показано на рисунке, два ее края остаются свободными. Исходное предположение состоит в том, что

Si = 8Х 2> 0, 82 = fey = fez ^ &х,

откуда и из формулы (А.60) следует, что

sin ф= 1/3, или ф=19,5°, л/4 + ф/2 = 54,7°.

Соответствующее данным скоростям поле напряжений и пррг условии текучести Мизеса, и при условии Треска определяется одними и теми же формулами: Oi=Ox = cft и зу = ог = 0. Этополе напряжений будет статически допустимым для всей пластины в предположении, что параллельные плоскости чертежа поверхности также свободны от нагрузки (как и в примере А.1). Таким образом, приходим к следующему значению предельной нагрузки:

Р = Р0 = axbt = oTbt

для обоих условий текучести. Данный результат можно получить также из уравнения (А.57) в форме

w 66// s in 54,7° = Рйге\ sin 54,7°.

Образовавшаяся конфигурация представляет собой шейку, в которой и развивается сдвиговая деформация, наличие которой указывает на то, что в таких листах вслед за предельным состоянием будет происходить срез по наклонным площадкам. Данный вывод находит также экспериментальное подтверждение. При использовании аппроксимации Треска существует бесконечное число возможных решений (по этому поводу см. заме

чание, высказанное после формулы (А.55)), для каждого из которых

^х ^z ^у ^ 0>

О ^ ф ^ л/2,

а предельная нагрузка Ро будет одна и та же и будет совпадать с указанной выше.

Полагая 81 = гх = — гу D> О, мы будем иметь модель плоского деформированного состояния, когда применимы формулы (А.63) и (0.64), и, следовательно, ф = 0, так что линия сдвига с будет наклонена под углом 45° к линии действия на

грузки; выражения для напряжений можно взять из примера А.1, переставив местами ау и о2. Следовательно, значение предельной нагрузки такое же, как и в примере А.1.

Пример А.З. Пластина толщиной / со сквозным отверстием, боковые края которой свободны от напряжений, вытягивается так, как показано на рисунке. Предельная нагрузка определяется из решения задачи, рассмотренной в примере А.2, и равна Ро = ox(by + b^ 1. Данный вывод справедлив по той причине, что напряжения, найденные в примере А.2, можно перенести на каждую из параллельных полос по обе стороны отверстия, так что полученные таким способом поля скоростей и напряжений будут допустимыми. Далее нужно определить соответствующие главные направления и (если длина пластины невелика) распределение внешней нагрузки Р. Можно предложить более симметричную картину пластического течения, при которой материал внутри треугольных подобластей (указанных пока приблизительно) будет перемещаться по направлению к отверстию, а в зонах, расположенных выше и ниже отверстия, движение будет происходить вдоль оси (в противоположных направлениях).

В рассмотренных примерах мы предполагаем, что области вне полосы течения с в пластине являются жесткими, так что равенство гу=0 (у отсчитывается вдоль полосы) является заданным. Сейчас мы покажем, что условие ё^ = О на самом деле представляет собой такое ограничение на деформацию, которое обеспечивает существование разрывов на границе раздела двух смежных зон, например зон а и с, если только в обеих областях применима теория пластического течения и зазоров между зонами не образуется. Последнее условие означает, что иа = ис на всей поверхности раздела а — си, в частности, что гуа = ъус. Закон пластического течения можно представить в форме (см. формулу (А.42))

^Х Nxy йудЦдбх — dfldXxy — dfldGy ’

куда входит одна и та же для обеих зон функция текучести. Следовательно, величины df/da и df/dx в смежных зонах попарно равны и скорости деформаций гх и ^у также должны быть непрерывными, исключая возможный указанный выше случай, когда еу = 0 = df/day.

Характеристики — это кривые на плоскости Х1Х2, определяемые таким образом, что заданная система уравнений в частных производных по переменным Xi, х2 может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, если только вместо Xi и х2 в качестве независимых переменных выбираются длины дуг вдоль характеристик. Это означает, что в случае, когда характеристики известны, искомая зависимая переменная F может быть найдена путем интегрирования вдоль кривой, если в одной какой-либо точке этой кривой задано достаточное число начальных условий. В направлении, ортогональном характеристике, функция F и (или) ее производные могут оказаться разрывными, поскольку заданные начальные значения на соседних характеристиках могут не совпадать. И наоборот, если некоторое волокно свободно от деформации растяжения, то это означает, что данное волокно может оказаться характеристикой, поскольку оно может быть носителем разрыва. Два направления, о которых сейчас идет речь, показаны на рис. А.14 и А.15; одно из них мы назвали a-направлением, а второе (вдоль полоски с) будет в дальнейшем обозначаться через р. Примем соглашение о том, что при движении вдоль некоторого замкнутого контура в положительном (против часовой стрелки) направлении мы будем после перехода a-линии пересекать кривую, касающуюся главного направления 1 (соответствующего большим значениям напряжения и удлинения) раньше, чем попадем на р-линию.

Резюмируем полученные выше результаты следующим образом.

да ~ сЮ да ~ сЮ О,О,да । а, 59 п х— ^и + °22 —f- 2тт —— = и, a =dsp 1 т dsp ’2да । а, 59 п х— ^и + °22 —f- 2тт —— = и, a =dsp 1 т dsp ’2(А.65)(А.65)

да ~ сЮ

да ~ сЮ

О,

О,

да । а, 59 п х— ^и + °22 —f- 2тт —— = и, a =

dsp 1 т dsp ’2

да । а, 59 п х— ^и + °22 —f- 2тт —— = и, a =

dsp 1 т dsp ’2

(А.65)

(А.65)

Разрыв скорости деформации может возникать на линии, скорость удлинения которой равна нулю, а направление совпадает с а- или (3-направлением.

Разрыв поля скоростей может возникать на полосе скольжения, направление которой совпадает с одним из направлений с нулевой скоростью удлинения — с (3- или a-направлением, так что относительная скорость будет перпендикулярна второму из этих направлений — соответственно а или (3. Если некоторый процесс деформации соответствует расширению полосы скольжения (что часто случается в тонких пластинах), то результатом будет немедленное полное разрушение, если только нет

никаких кинематических ограничений.

Как было указано, уравнения, из которых определяется поле скоростей, будут обыкновенными дифференциальными, если в качестве независимых переменных выбираются длины дуг sa и s^ вдоль кривых с нулевыми скоростями удлинения. Можно показать, что эти а- и (3-линии являются также характеристиками поля напряжений. В частном

случае плоской деформации, когда а- и p-линии взаимно ортогональны (<р = 0), их обычно называют линиями скольжения. Про

цесс изменения напряжений несложным образом определяется из уравнений Хенки

где 9 — локальный угол ориентации линии скольжения; а—среднее напряжение в плоскости; тт — предел текучести на сдвиг (см. рис. А.1, А.2, А. 16). Если линии скольжения известны, то из уравнений (А.65) имеем следующие выражения для величин 9 и о:

а — 2тт9 = const вдоль а-линии,

~ i о А .а(А.66)

ст + 2тт9 = const вдоль р-линии.

Соотношения (А.66) были использованы при исследовании плоского деформированного состояния в разд. 2.8 и 2.9. Для полноты картины на рис. А. 17 приведено поле характеристик, соответствующих локальному пластическому течению вблизи вершины трещины в материале при плоском напряженном состоянии и с использованием условия текучести Мизеса. Эти результаты сопоставимы с результатами, представленными на

рис. 2.20, относящимися к случаю плоской деформации при условиях текучести Треска и Мизеса, а также с решением Дагдейла о пластическом течении в плоскости при плоском напряженном состоянии и с условием текучести Треска. Поскольку, кроме того, на а- и p-линиях деформация растяжения отсутствует, так что главные направления делят углы между этими линиями пополам, то они (а- и p-линии) на рис. А. 17 обладают еще одним свойством: нормальное напряжение на площадках, касающихся

Рис. А. 17

данной линии, вдвое превышает аналогичное напряжение, действующее вдоль линии. Этот вывод представляет собой несложное следствие из закона пластического течения при условии текучести Мизеса.

Получившееся поле напряжений имеет три характерных подобласти

DOC : ох = тт cos3 0, ад = тт cos 0 (2 + sin2 0), тху = — тт sin3 0;

СОВ : ох = 0,0057тт, оу = 0,5307тт, тху = —0,9524тт;

ВО А : ох = — От = — ^3 тт, оу = тху = 0.

Эти подобласти соединяются друг с другом вдоль луча 0 = = ф1 ==79,7° с сохранением непрерывности всех компонентов напряжения, и вдоль луча 0 = <pi + Ф2 = 151,4° с разрывом нормального (параллельного лучу) напряжения. Данное решение в отличие от решения Дагдейла представляет собой модель диффундирующего пластического течения. Отметим, что приведенные выше характерные значения (не отражающие, разумеется, всех деталей распределения напряжений) заимствованы из работы Хатчинсона [113], в которой, в свою очередь, использованы более ранние результаты Хилла [123].

Приложение Б

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ ТРЕЩИН

В настоящем разделе показано, каким образом в рамках линейной теории упругости можно построить замкнутые решения задач об определении напряжений и перемещений в окрестности изолированной внутренней трещины. Вначале будет изложен метод функции комплексной переменной в его общей форме.

Б. 1. Плоские задачи: общая формулировка

Мы начнем с того, что кратко напомним некоторые элементы комплексного анализа, с тем чтобы ввести основные определения. Итак, пусть координаты точки на плоскости задаются числами х = Xi и у = Х2; комплексная переменная 2 имеет по определению следующий смысл:

z = x-Viy» 2 = х — 1у» 1=^—1.(Б.1)

Функция переменной 2, например

F (2) = Re [F (2)] + i Im \F (2)] = а (х, у) + ф (х, у), (Б.2) имеет однозначно определенную производную, если эта функция аналитична; последнее означает, что

v ’ dz дх 1 дх ду дуv 1

Из этого равенства следует, что функции аир являются сопряженными, т. е. удовлетворяют условиям Коши — Римана

да др да др дхду ’ дудх *\ • /

Если эти функции дифференцируемы дважды, то из условий (Б.4) следует, что обе они гармонические, т. е.

7=„ = ^ = 0,+(Б.5)

В этом случае функция F'(z) также будет гармонической.

Плоская задача теории упругости, о которой сейчас идет речь, состоит в решении бигармонического уравнения (см.

формулы (А.35) и (А.36))

V2(V2x) = 0,(Б.6)

где %— функция напряжений Эри. Введем теперь в качестве искомой переменной среднее нормальное напряжение в плоскости (см. для сравнения формулу (А.65))

25 = on + а22 = V2X,(Б.7)

являющееся гармонической функцией, что следует из соотношений (А.34) и (Б.6). Далее можно образовать новую аналитическую функцию

S(z) = 6 +z Im S(z),(Б.8)

где функция Im S сопряжена к о (определяется по соотношениям (Б.4)). Согласно Мусхелишвилн [17], интегрированием строится некоторая другая аналитическая функция

Ф (г) = ^ S (г) dz = P (х, у) + IQ (%, у\(Б.9)

для которой в соответствии с формулами (Б.З) имеем

// х№ . . 6QdQ. дР_ . . т о

Ф w—г I -з— = I = п + I Im S

х 'дх ' дхдуду 1

и, следовательно,= °-(Б. 10)

Используя полученные результаты, можно образовать вещественную функцию

R = 2x-xP-yQ,(Б.11)

которая оказывается гармонической:

^Р = 4д — V2(xP) — V2(yQ) = 0,(Б. 12)

поскольку V2 ^хР) = х\}2Р + 2 ^- = 25,

V2(yQ) = z/V2Q + 2-^ = 25.

Здесь \2Р — V2Q = 0 и используется соотношение (Б.10). Таким образом, для функции напряжений Эри должно быть справедливым следующее представление:

2х = хР + yQ + 7? = Re [г<р (2) + ф(2)],(Б. 13)

в котором функция R полагается равной вещественной части некоторой аналитической функции ф(г). Выражение (Б. 13) представляет собой общее решение бигармонического уравнения, данное Гурса (см. работу [17]), в котором функции Р, Q, R гармонические.

Дифференцируя выражение (Б.13) с учетом равенств dRe( )/dx = Re[d( )/дх] и т. д., находим непосредственно, что

2-|у = Re (ф + гф'+ ^Т 2-^-=1т(ф —гф' —фТ (Б. 14)

5 = Re (ф' + у 5Ф" + 4 ^) = °22’

J^L — Re ^ф'— 1 гф" — у ф") = ап, (Б.15)

—Аз- = 4- 1т (2ф" + Ф") = <^19,дх ду 2\ т । т 7

поскольку по определению формулы (А.34) дают напряжения. Для ввода формул для перемещений используем кинематические зависимости (А.20) и закон Гука в виде (А.32) или (А.33). Зависимости (А.33) для частного случая плоской деформации записываются следующим образом:

2Ge„ = (l -v)(aH + a22)-a22 = 2G4y=2(l -v)d-5- (Б-16)

2Ge92 = 2G-^ = 2(l -v)d-^4, 22 ду v 7 dyz

откуда после интегрирования с учетом формулы (Б.10) имеем

2G«1 = 2(l-v)P--g-+f1(y),

2G«2 = 2(l-v)Q--^- + f2U).(Б. 17)

Подстановка выражений (Б.17) в формулы (А.20), (А.33) и (А.34), т. е. в формулу

2е,2 = ^1 +‘* -Д-,(Б. 18)

12 ду 1 дх G 12 G дхдух 7

приводит к условию

удовлетворить которому можно лишь тогда, когда обе части равенства полагаются равными одной и той же вещественной постоянной А. Следовательно,

/1 = Ау + В„ f,= -Ax + В^ (Б.20) где В\ и В2— некоторые новые вещественные постоянные. Из соотношений (Б. 17) видно, что эти постоянные соответствуют переносу тела как целого, а постоянная А — его повороту. Поскольку перенос и жесткий поворот не влияют на интересующие нас здесь результаты, то функции /1 и /2 мы положим равными

нулю. Последующая подстановка выражений (Б.9) и (Б.14) в формулу (Б.17) приводит к перемещениям

4Guv = Re (хф — 2ф' — гр'), 4Gu2 = Im (хф + 2ф' + гр'), (Б.21) где х = 3— 4v. Построение представления (Б.21) имело целью охватить также случай плоского напряженного состояния, полагая х=(3 — v)/(l+v). Последнее утверждение выводится в точности тем же путем, что и выше, с заменой соотношения (А.ЗЗ) соотношением (А.32) в виде

^ 11^22

2GeH =—г-:ст22 и т. п.

Выбор единственного решения из бесконечного множества допустимых функций ф и гр производится граничными условиями. В качестве первого из возможных граничных условий мы примем предположение о том, что плоскость у = 0 является плоскостью симметрии, так что

о12 = О при у = 0.(Б.22)

Для удовлетворения этому условию можно, следуя Вестергарду [18], положить

^ = -2ф",(Б.23)

откуда следует, что

гр' = — 2ф' + Ф + const,(Б.24)

и в соответствии с формулами (Б. 15) приходим к выражениям для напряжений:

au = Re ф' — у Im ф", а22 = Re ф' + у Im ф",

п //(Б • 2 о)

^12 = —^/Кеф ,

а также по формулам (Б.21) — для перемещений (опуская слагаемые, соответствующие смещению тела как целого):

2Guv = —5— Re ф — у Im ф ,

Х+1,(Б-26)

^Gu^ = —~— Im ф — у Re ф .

Аналогично можно выделить класс решений, обладающих антисимметрией относительно плоскости у = 0:

о22 = 0 при у = 0,(Б.27)

полагая гр" = — 2ф' — 2ф"(Б.28)

или гр'=— ф — 2ф'+ const,(Б.29)

что приводит к напряжениям

Он = 2 Re ф' — у Im ф", о22 = у Im ф", о12 = Im ф' — у Re ф" (Б.30)

и перемещениям

^Quy = ^ 1 -Reqp — у Imqp', ^Gu^ = х ~— Im qp — у Reqp'. (Б.31)

Заметим, что приведенные решения, начиная с выражения (Б.23), обладают той спецификой, что в правых частях формул (Б.23) или (Б.28) может присутствовать произвольная постоянная (вещественная или чисто мнимая соответственно). Однако для наших целей приведенных выражений вполне достаточно.

Б. 2. Плоские задачи: решения для внутренней трещины

Используя приведенные выше результаты как основу, мы по

строим сейчас полные решения, пригодные в окрестности некоторой изолированной внутренней трещины, перпендикулярной

срединной плоскости, в пла-Ум

стине достаточно большойр2

протяженности. Алгоритм реализуется в два этапа.

Этап 1. При заданных-* х

внешних условиях произво-р1

дим вычисление напряженийи р2

и перемещений в пластине без трещины. Особый интерес для нас представляютL I напряжения O22U) и ^12(1),1*

действующие на линии буду-Рис. Б. 1

щей трещины у = 0, |х|</ и соответствующие локальной геометрии, представленной на рис. Б.1.

Этап 2. Для моделирования трещины отрезок у = 0, |х|</ нагружаем распределенными усилиями, противоположными по направлению усилиям, найденным на этапе 1; одновременно учитываем любые заданные нагрузки р^ которые известны и могут воздействовать на берега трещины (эти нагрузки, как показано на рис. Б.1, по предположению также попарно уравновешиваются). Производим оценку влияния заданных таким способом на отрезке у = 0, [х) < / воздействий

»22 (2) = — СТ22 (1) ~ Р2 = — §2 W >

(Б. 32)(Б. 32)*12 (2) = — СТ12(1) — Р1 = — gl (х)

(Б. 32)

(Б. 32)

на пластину, которая не имеет других дефектов и считается бесконечной. Полное решение равно сумме решений, найденных на этапах 1 и 2.

Отметим, что до реализации этапа 1 целесообразно разбить внешние воздействия на сумму воздействий, соответствующих симметричному (I) и антисимметричному (II) по отношению к плоскости у = 0 типам. Кроме того, можно ограничиться рассмотрением одной полуплоскости у ^ 0, складывая полученные результаты.

Этап 1 дополнительных комментариев не требует. Для реализации этапа 2, о котором сейчас пойдет речь, используются общие решения, приведенные в книге Седова [19]:

= -/4^тип I,(Б.ЗЗ)

л д/г2 — /2 J г — £

=тип и,(Б.34)

л д/г2 — /2 J г —

каждое из которых обладает требуемым свойством — обращением в нуль соответствующих перемещений при бесконечном удалении от трещины. Данное свойство должно быть следствием самоуравновешенности системы нагрузок, действующих на трещину.

Для изучения поведения решения в непосредственной близости к вершине трещины производим замену 2 + /^2/ на 2— g^/—g, что позволяет получить асимптотику решения на правом конце отрезка при 2-^/:

Ф^ = -7 ^ ... -, 1^ = —^=, (Б.35), (Б.36) д/2л(г —/)д/2л(г —/)

где Ъ =$g2© ^у^d^(Б.37)

Кп=^ \gv® Vy^f^-(Б'38)

Наконец, полагая 2—/ = гехр(/0) и подставляя выражение (Б.35) в формулы (Б.25) и (Б.26), а (Б.36) в (Б.30) и (Б.31), приходим к локальным значениям напряжений и перемещений

для типа I:для типа I:'Оц "а22" а12 -'Оц "а22" а12 -д/2лгд/2лг6 cos —26 cos —2.6.зе— sin — Sin -у,..9.391 + sin у sin -у.939Sin уCOS-у-.6.зе— sin — Sin -у,..9.391 + sin у sin -у.939Sin уCOS-у-«j-5rV^-(x-cos6)«j-5rV^-(x-cos6)9 cosT. 9 slnT9 cosT. 9 slnT(Б.39)(Б.39)(Б.40)(Б.40)и для типа II:и для типа II:'<>н "<>22' а 12 -'<>н "<>22' а 12 -V2nrV2nr. 9 ',939 \— sin у ^2 + cos у cos -у-j9.939COS у Sin у cos -y-0Л . 9 . 39 \cos -0-sin-sin^-J. 9 ',939 \— sin у ^2 + cos у cos -у-j9.939COS у Sin у cos -y-0Л . 9 . 39 \cos -0-sin-sin^-J(Б.41)(Б.41)Г “* 1 _ Ail A / r lu2J 2G v 2лГ “* 1 _ Ail A / r lu2J 2G v 2лsin у (2 + x + cosO)cos -| (2 — x — cos 0)sin у (2 + x + cosO)cos -| (2 — x — cos 0)(Б.42)(Б.42)

для типа I:

для типа I:

'Оц "а22" а12 -

'Оц "а22" а12 -

д/2лг

д/2лг

6 cos —

2

6 cos —

2

.6.зе

— sin — Sin -у

,..9.39

1 + sin у sin -у

.939

Sin уCOS-у-

.6.зе

— sin — Sin -у

,..9.39

1 + sin у sin -у

.939

Sin уCOS-у-

«j-5rV^-(x-cos6)

«j-5rV^-(x-cos6)

9 cosT

. 9 slnT

9 cosT

. 9 slnT

(Б.39)

(Б.39)

(Б.40)

(Б.40)

и для типа II:

и для типа II:

'<>н "

<>22

' а 12 -

'<>н "

<>22

' а 12 -

V2nr

V2nr

. 9 ',939 \

— sin у ^2 + cos у cos -у-j

9.939

COS у Sin у cos -y-0Л . 9 . 39 \cos -0-sin-sin^-J

. 9 ',939 \

— sin у ^2 + cos у cos -у-j

9.939

COS у Sin у cos -y-0Л . 9 . 39 \cos -0-sin-sin^-J

(Б.41)

(Б.41)

Г “* 1 _ Ail A / r lu2J 2G v 2л

Г “* 1 _ Ail A / r lu2J 2G v 2л

sin у (2 + x + cosO)cos -| (2 — x — cos 0)

sin у (2 + x + cosO)cos -| (2 — x — cos 0)

(Б.42)

(Б.42)

Если приведенные выражения преобразованы к полярной системе отсчета с компонентами ог, ае, тго, иг, и^ то они совпадут

с сингулярными решениями (для п = 1), построенными в разд. 2.1. Это означает, что величины Ki и Ки представляют собой коэффициенты интенсивности напряжений, определение которых приведено выше, а формулы (Б.37) и (Б.38) — общие решения задач об определении этих коэффициентов для малой трещины в пластине достаточно больших размеров. Заметим, что, несмотря на отсутствие особенностей в выражениях, полученных на этапе I, результаты этого этапа все же дают свой

вклад в окончательное сингулярное решение посредством функций распределения g2(x) и gi(x).

На рис. Б.2 дана геометрическая интерпретация поля перемещений (Б.40), откуда видно также, что иг = и\, и^ =—и^ что дает более точное по сравнению с формулой (2.19) решение.

Некоторые примеры функций g’(x) рассматриваются ниже.

Пример Б.1. Пластина при одноосном или двухосном растяжении; направление одного из растягивающих усилий перпен

дикулярно трещине. Из рисункадикулярно трещине. Из рисункаясно, что решением задачи этапа I будут значения о22 = = Ооо, Оц=т]Ооо, так что g2(-X) = Ooo для любых Т). Проводя интегрирование в формуле (Б.33), можно получить выражение

дикулярно трещине. Из рисунка

дикулярно трещине. Из рисунка

а повторно интегрируя, имеем формулу

— O^Z + const.

Нормальное напряжение на линии у = 0 (или z = x) оказывается равным

<J22 <Л, 0) = Re~ о^ + а^.

У X2 — /2

л]х2 — /2 ’О,л]х2 — /2 ’О,/;/./;/.Здесь два первых слагаемых в правой части определяются формулой (Б.25), последнее слагаемое — результат реализации этапа 1. Таким образом,

л]х2 — /2 ’

О,

л]х2 — /2 ’

О,

/;

/.

/;

/.

Переходя к пределу при г = х—/-^0, видим:

22'

Kv = Oo=a/^1,

что сопоставимо с решением (В.З) в табл. В.2 при 1/Ь-^О; этот результат можно было бы получить также непосредственно из решения (Б.37). Перемещения берегов трещины определяются

формулой (Б.26); при этом имеем

«2 (х, 0) = (Too Im Vх? — /2,

или для обоих берегов у = +0 трещины

Uf = ± от л/l2- X2, I х к I.

Аналогичным путем устанавливаем, что на этапе 2 и* = 0, |х|^а.

Полученное решение означает, что трещина в результате деформации принимает эллиптическую форму (в рамках принятой здесь геометрически линейной теории и для указанных внешних воздействий).

Пример Б.2. Симметричное частичное нагружение берегов трещины. Если трещина нагружена так, как показано в части а

рисунка, то из формулы (Б.33) следует, что

ь ,qp =7==- \ ——1 л V^2 ~ ^2 | 2 ~ 1,ь ,qp =7==- \ ——1 л V^2 ~ ^2 | 2 ~ 1,а из (Б.37) имеем [ср. с формулой (В.17)]а из (Б.37) имеем [ср. с формулой (В.17)]Формула (Б.26) даетФормула (Б.26) дает^2 ^^2 ^X + 1 р4G лX + 1 р4G лг х b ,с сУ/2 - s2_) _| Vz2 — 1Цг— Уг х b ,с сУ/2 - s2_) _| Vz2 — 1Цг— Уd^ dzd^ dz(а)(б)(в)(а)(б)(в)

ь ,

qp =7==- \ ——

1 л V^2 ~ ^2 | 2 ~ 1,

ь ,

qp =7==- \ ——

1 л V^2 ~ ^2 | 2 ~ 1,

а из (Б.37) имеем [ср. с формулой (В.17)]

а из (Б.37) имеем [ср. с формулой (В.17)]

Формула (Б.26) дает

Формула (Б.26) дает

^2 ^

^2 ^

X + 1 р

4G л

X + 1 р

4G л

г х b ,

с сУ/2 - s2

_) _| Vz2 — 1Цг— У

г х b ,

с сУ/2 - s2

_) _| Vz2 — 1Цг— У

d^ dz

d^ dz

(а)

(б)

(в)

(а)

(б)

(в)

Здесь предел интегрирования z = / позволяет удовлетворить условию U2 = 0 в точке z = х = I.

Если мы теперь в формуле (в) положим р = оу и к получившемуся выражению добавим перемещения, вызванные нагрузкой g2(x) = Ооо —оу (ср. с примером Б.1):

и2 (х, 0) = -^Д (ох — crT) Im Дх2 — /2,

то получим распределение перемещений и^ вдоль трещины для геометрии, представленной в части б рисунка. И наконец, вводя величину

I — b = c = Ffcos-^^) — 11bL\ 2от / J

(в соответствии с обозначениями в формуле (2.44) ^), равную длине пластической полосы в модели Дагдейла, приходим к выражению для перемещений

m д 4отЬ . / лОоо \-1

Здесь мы положили х = (3— v)/(l+v), что соответствует случаю плоского напряженного состояния). Именно этот результат цитировался выше (см. формулу (2.46)). Отметим, что подробности вычисления интеграла в выражении (в) мы опустили.

Б. 3. Антиплоские задачи

В случае антиплоского состояния, определение которого было дано в разд. 2.1, ненулевой является одна компонента вектора

]) Заметим, что величина, имеющая размерность длины и обозначенная ранее через I, имеет тот же смысл, что и фигурирующая сейчас у нас величина Ь.

перемещений, ортогональная плоскости Xi, х2 и удовлетворяющая уравнению Лапласа

V4 = 0.

Эту компоненту можно положить равной мнимой части некоторой аналитической функции Q

Gu3=Im[Q(z)],(Б.43)

так что с учетом формул (А.31), (А.19) и (Б.З) имеем

== a^ = G^ = \W.(Б.44)

При исследовании малой трещины, расположенной вдоль отрезка // = 0, |х|^/, будем поступать так же, как это было сделано в случае плоской задачи.

Этап 1. Решаем задачу в предположении о том, что никакой трещины нет, и в результате определяем компоненту напряжений а32 (1) на отрезке у = 0, | х | ^ /.

Этап 2. Для моделирования трещины к решению, построенному на этапе 1, добавляем решение, определяемое нагрузкой

—032(1) и заданным силовым воздействием р^ на берегах трещины (рис. Б.З).

(Б.45)(Б.45)Таким образом, имеем заданное напряжение

(Б.45)

(Б.45)

^32 (2) = — сг32 (1) — Рз = §3 (*)

на части границы у = 0, |х|^/. Общее решение для этапа 2 определяется формулой

Q' =1_^d^,(БЛ6)

л д/г2 — /2 J г — £

(Б.47)(Б.48)(Б.47)(Б.48)V2jtzV2jtzмз= —V^_SinV’ <Б-5°)мз= —V^_SinV’ <Б-5°)

(Б.47)

(Б.48)

(Б.47)

(Б.48)

V2jtz

V2jtz

мз= —V^_SinV’ <Б-5°)

мз= —V^_SinV’ <Б-5°)

аналогичной (Б.33). В частности, решение для области, примыкающей к вершине трещины z = /, таково:

0/ = -; 7<ш

V2JI (2 — /)

где Кш = -^=- J g3 (В) aJ1±1

(Б.35) — (Б.38)). Замена г—/ = = г exp (Z0) дает следующие асимптотики при г-^0:

. Оsm т

О ’

cos^

(Б.49)

совпадающие с сингулярной частью (м=1) решения, построенного в разд. 2.1.

Пример Б.З. Нагружение трещины сосредоточенными силами. «Концентрируя» функции нагрузки g(x) в точке % = х0 таким образом, чтобы результирующая сила была такой, как показано на рисунке, предельным переходом из выражений (Б.33), (Б.34), (Б.46), (Б.37), (Б.38) и (Б.48) получим следующее общее решение:

Это решение может быть использовано в качестве элементарных «кирпичиков» (функций Грина) при исследовании воздействия на трещину нагрузок произвольного вида; оно вполне эквивалентно всем использованным до настоящего момента уравнениям. Из него, в частности, без труда получаются решения (В.18) и (В.19), однако проще эти же решения можно построить, используя аналогию с задачей из примера Б.1.

Приложение В

КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ

Таблица В.1. Эллиптическая трещина (задачи 1 и 2)

Рассматривается эллиптическая или полуэллиптическая (краевая) трещина при заданном на бесконечности равномерном распределении напряжения; коэффициент интенсивности напряжения Ki соответствует той точке трещины, в которой его значение максимально. Для эллипса (и для полуэллипса при 1/а < 0,8) максимум достигается в точке симметрии на меньшей полуоси. Формула (В.2) представляет собой приближенную экстраполяцию из предельного значения 1]а = 0. Приведенные здесь выражения получены при условии 1<^Ь, однако они могут быть использованы с погрешностью, не превышающей 10 %, для всех I ^ 0,36. Дальнейшую информацию о применимости этих формул можно найти, в частности, в работах [35, 65, 66].

В работах [5, 10—12] показано, что ^ « о^лЛИ^ для эллиптической трещины])(ВЛ)

^«1,12^ V№2

для полуэллиптической трещины (В.2)

Ег

1

1,016

1,051 | 1,097

1,151 | 1,277 | 1,345 | 1,418 | 1,493 | л/2

1/а

0

0,1

0,2| 0,3

0,4| 0,6| 0,70,8| 0,9| 1

0 £2—полный эллиптический интеграл 2-го рода от аргумента ^Х — Р^а2. В работе [65] использовано другое обозначение: £2 = VQ •

Таблица В 2. Сквозные трещины в пластине при заданном на бесконечности нормальном напряжении (задачи 3—6)

0" ОО J

и и И i t

Решение из работы [30], пригодное для любых X = Mb в случае симметрии

„/—!—% + 0,326%2

К\ = <з„о\п1 (В.З)

V1 -- х

Осо '

' 1 Г 1 1 1

L2b.

Решение из работ [28, 30], пригодное для любых X = Mb

1 12 — 0,61Х + 0,13Х3 ,D ..

Ку-о^лЫ-т== (В-4)

Решение из работы [13], пригодное для

Х = МЬ < 0,7

^1=000 VirT" (1,12 — 0,23% +

+ 10,6%2 — 21,7%3 + 30,4Л4)(В.5)

, 0,73d3^ О3, 0,73d3^ О3(В.7)(В.7)

, 0,73d3

^ О3

, 0,73d3

^ О3

(В.7)

(В.7)

Решение из работы [14], пригодное для Х—ШХ 0,7

К\ = Ооо ^ (1,12 - 1,39% +

+ 7,ЗЛ2 - 13Л.3 + 14V)(В.6)

Таблица В.З. Кольцевая трещина в цилиндрах (задачи 7—8)

Решение из работы [30], пригодное для любых ЦВ

„.— / D , 1 , 3d 0,3 ,

^1 °00 ^Л ( d + 2 + 8D О2 +

. / D2 , D , 3 , 5d ,

Km = V6T-Vnl (^+23"+^+-^ +

(В.8)(В.8)35^221б/3\3 /D

(В.8)

(В.8)

+ 128Р2 + D3 ) 8л/)3 Л/ d

Таблица В.4. Трещина в различных плоских конструкциях (задачи 9—19)

1

г

Одна трещина

Две трещины

и

В

и

в

0,00

3,36

2,24

3,36

2,24

0,10

2,73

1,98

2 73

1,98

0,20

2,30

1,82

2,41

1,83

0,30

2,04

1,67

2,15

1,70

0,40

1,86

1,58

1,96

1,61

0,50

1,73

1,49

1,83

1,57

0,60

1,64

1,42

1,71

1,52

0,80

1,47

1,32

1,58

1,43

1,0

1,37

1,22

1,45

1,38

1,5

1,18

1,06

1,29

1,26

2,0

1,06

1,01

1,21

1,20

’) U — одноосное растяжение при напряжении По, В — двухосное растяжение пои напряжении бо.

Продолжение табл. В.4

1 г

Одна трещина

Две трещины

и

В

и

В

3,0 5,0 10,0

ОО

0,94

0,81

0,75

0,707

0,93

0,81

0,75

0,707

1.14

1,07

1,03

1,00

1,13

1,06

1,03

1,00

pi

Pl

1

Ki = 2 V3 Pl^h^h /), h^l, a(B.12)

Cxi

К\ = Еи^^аИ, Н <Са, I (В.13)

'1 — V2 для плоского

напряженного состояния

1 — 3v2 — 2v3

„ для плоской деформации

КиКиМалая внутренняя трещина

Ки

Ки

(ВЛ4)

У л/ V I — Хо

л/яЛ V / — х0л/яЛ V / — х0(В.15)(В.15)Лп1Лп1Р3 . I "У Xq^Tll V / —Хо

л/яЛ V / — х0

л/яЛ V / — х0

(В.15)

(В.15)

Лп1

Лп1

(В.16)

I уР

’ I 4 f I I7' ■ Н Н jL—

Решение, получамое, например, из формулы (В.14)

Ki

2pbl . b

-р=—arc sin —

Jul b I

(В.17)

/Ci п — Too *V ^^/Ci п — Too *V ^^(В.19)(В.19)

/Ci п — Too *V ^^

/Ci п — Too *V ^^

(В.19)

(В.19)

Решение, получаемое, например, из формулы (В. 15)

Кп = Too УйГ (В.18)

Решение, получаемое, например, из формулы (В.16)

®©©© “Д

Приложение Г

ИНВАРИАНТНОСТЬ / ИНТЕГРАЛА

Здесь будет доказано, что

^(todx2 —Pi«,-.ids) = 0, 1Ч = ^-, Д3 = 0,(Г.1)

Г

Г — кривая (длина дуги которой s) в плоскости %ix2, ограничивающая односвязную область 2, плотность работы деформации су в каждой точке которой является однозначной функцией деформаций, т. е.

8

ау= az/dez/ = v(8z/).(Г.2)

О

По предположению напряженно-деформированное состояние не зависит от переменной х3 и не имеет особенностей внутри области S. Массовыми силами и силами инерции пренебрегаем.

Ниже будет использована формула Остроградского — Гаусса для плоского случая

ф МуУу rfs = ^ У/, у rfS, d^ = dxx dx^(Г.З)

гz

где и/ — компоненты некоторого векторного поля; вектор единичной внешней нормали равен

^ = hi} = {^o ^2, 0}.(Г.4)

Будет также использована формула

ф ф dx2 = ( ф, ] dH,(Г.5)

ГZ

где ф — некоторая скалярная функция от переменных Xi и х2.

Кривую Г можно считать контурной кривой цилиндрического тела единичной длины в направлении оси х3. Далее, второе слагаемое в формуле (Г.1) можно преобразовать с учетом граничного условия (А.13) к виду

Pi = «tOiM(Г.6)

и с использованием формулы (Г.З) получим

ф ptub! ds = J (аниь х\ , dS.^ГЛ>

Г2

Применяя формулу (Г.5), преобразуем левую часть равенства (Г.1) к следующей форме:

1^» 1 к°пии 1)» /] ^2,(Г.8)

2

где w,, = ^dwlde^ еи>1 = омец, i = V2 киь $А-иь1\х =

= ^2^1! («1. / + ы/. i + иЬ j ы/. Д 1 — ОцИь f.\'(Г-9)

В формуле (Г.9) второе преобразование производится с применением формул (Г.2) и (А.28), третье — на основании соотношения (А.19), четвертое и пятое — с использованием свойства симметрии тензора напряжений ац. Применяя частный случай уравнений (А.7) в виде g^ / = 0 (поскольку 6, = 0, рй/ = О), находим окончательно выражение

^ 1= вциь /1 + ®циь 1 = ^°аиь i). /,(Г. 10)

подстановка которого в формулу (Г.8) приводит к равенству (Г.1).

Отметим, что инвариантность имеет место и для неоднородного материала со слоистой неоднородностью, когда слои параллельны трещине (или оси Xi). Инвариантность сохранится даже тогда, когда переход от слоя к слою осуществляется не непрерывно, а, например, скачком — как это имеет место для биметаллических пластин, поверхность раздела различных металлов в которых параллельна оси Хь

Приложение Д

АНАЛИТИЧЕСКИЙ АППАРАТ РАЗД. 3.2.1.

В данном приложении приводится краткий обзор соотношений энергетического баланса для процесса роста трещины в упругом теле. Энергия деформации в этом процессе считается функцией площади трещины и заданных перемещений:

(Д.1)(Д.1)Ф = Ф[Д, «;(%/)],

(Д.1)

(Д.1)

причем существует ее полный дифференциал

dO = f4^A <М + бФ.\дА 1dO = f4^A <М + бФ.\дА 1(Д.2)(Д.2)

dO = f4^A <М + бФ.

\дА 1

dO = f4^A <М + бФ.

\дА 1

(Д.2)

(Д.2)

t/Ф = *t/Ф = *— ^ dA+^Pi du{ dS-3dA-\-Pkduk— ^ dA+^Pi du{ dS-3dA-\-PkdukПервое и последнее слагаемые в правой части этого выражения представляют собой приращения функции Ф соответственно при фиксированном значении А и при фиксированном значении Ui(Xj). Очевидно, что задать перемещения можно только на поверхности тела, но не на внутренних его точках, на которые могут воздействовать заданные массовые силы bi. Следовательно, при написании формулы (Д.2) мы молчаливо предполагали, что bi = 0. Альтернативная форма приращения энергии деформации может быть получена из соотношений (3.14) и (3.15):

t/Ф = *

t/Ф = *

— ^ dA+^Pi du{ dS

-3dA-\-Pkduk

— ^ dA+^Pi du{ dS

-3dA-\-Pkduk

для распределенных (Д.За) силовых воздействий,

для сосредоточенных (Д.Зб) силовых воздействий.

Приравнивая выражения (Д.2) и (Д.З) и учитывая произвол в выборе приращений dA и du, приходим к равенству

(Д.4)(Д.4)Г—)к дА )и

(Д.4)

(Д.4)

которое означает, что трещинодвижущая сила может быть получена как частная производная энергии деформации по площади трещины при фиксированных перемещениях точек нагру-

жаемой поверхности. Далее должны выполняться равенства

WA=\pidutdS,(Д.5а)

s

(6Ф)л = Г4?-) duk = Pkduk,(Д.56)

отражающие известные классические теоремы (теорему Клапейрона, теорему Кастильяно о дополнительной энергии) для упругого тела без трещины.

С другой стороны, если задаваемыми переменными считать нагрузки, то можно включить в рассмотрение и массовые силы. Дальнейшие преобразования осуществляются с использованием понятия дополнительной энергии деформации

Q = ^ piui dS + Ь^ dV — Ф = Q (Л, рь Ь{) (Д.ба) SV

или Q = Ркик — Ф = Q (Л, Рк\(д.бб)

дифференциал которой равен

dQ = ^ pf dut dS + ^ Ui dpi dS + ^ bt dut dV + ^ dbt dV — dФ = SSVV

= SdA+ ^UidpidS-V \uidbtdV (Д.7а>

SV

или dQ = SdA + ukdPk.(Д.76)

Здесь t/Ф вычисляется по соотношениям (3.14) и (3.15). Приравнивая полученные выражения полному дифференциалу:

^Ф = (-|т)Р^Л + (6Й)л(Д.8)

при произвольных значениях приращений dA, (dpi, db^ или dPky приходим к соотношению

в котором индекс Р означает, что при дифференцировании усилия считаются постоянными. Кроме того, должны выполняться равенства

(6Й)Л= UidpidS-V UidbidV,(Д.Юа)

sv

^A = Q^-^dPk = ukdPk,(Д.Юб)

отражающие также известные классические теоремы (теорему Клапейрона о дополнительной энергии, теорему Кастильяно) для тела без трещины.

Можно представить также ситуацию смешанного типа, когда заданными переменными являются и силы, и перемещения. В результате при фиксированных значениях задаваемых параметров получалась бы формула

(Д-11)

где П = Ф — ^ р^ dS — biui dV, (Д.12) spv

a pi считаются заданными на части поверхности SP. Данная формула обобщает две предыдущие, когда при заданных перемещениях П = Ф, и П =—Q при заданных значениях всех силовых параметров. Вывод формулы (Д.11) производится точно так же, как и вывод формулы (Д.9).

Отметим, что в рамках линейной теории упругости получить выражения для энергий Ф, Q и П несложно, поскольку, как это неявно подразумевалось, перечисленные скалярные параметры зависят от текущих значений полей и геометрии и не зависят от того, какова история изменения данных полей. Следовательно, в вычислениях мы можем выбрать самый простой путь перехода в рассматриваемое состояние, а именно считать, что все усилия, а следовательно, и перемещения изменяются пропорционально одному параметру. Из формул (Д.10) и (Д.6) получим выражения для Q

Q = 1A piUidS+ J Ь^УХ — Ф (Д.13а) \SV/

или Q = У Ркик = Ф,(ДЛЗб)

которые следует подставить в соотношение (Д.4), когда bi = 0, .а также в соотношения (Д.9), (Д.11) и (Д.12).

Приложение Е

ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

В настоящем приложении кратко рассмотрены динамические поля и динамические параметры в связи с проблемой движения трещины. Отправной точкой являются уравнения движения (А.7), кинематические соотношения (А. 19) и закон Гука в форме первой группы соотношений (А.31). Материал излагается в основном по работам [21, 227, 243, 248].

Рассматривается случай плоской деформации, когда и3 — = и2 = 0. Легко видеть, что поле перемещений вида их = дф^дх,, иу = д^х!ду является безвихревым, т. е.

I rot и I =I rot и I =дих диудудхдих диудудх= 0,= 0,

I rot и I =

I rot и I =

дих диудудх

дих диудудх

= 0,

= 0,

а поле перемещений вида их = д^ду, иу = — д^дх — изохорным, т. с.

диv дип

div“ = -5r + ^ = o.

Известно, что любое поле перемещений можно разложить на* сумму слагаемых, содержащих потенциалы ф1 и ф2:

х дх ду ’ у ду дх 1х дх ду ’ у ду дх 1(Е.1>(Е.1>

х дх ду ’ у ду дх 1

х дх ду ’ у ду дх 1

(Е.1>

(Е.1>

что в соответствии с формулами (А.31) приводит к следующим выражениям для напряжений:

(Е.2>

az = N (ax 4- ау),

_г(» дЧ' । д^2д2ф2\

Ъу—U^Z gxdy -Г ду2 дх2 )•

Подстановка этих выражений в уравнения (А.7) приводит к уравнениям движения

^2^! = ^, с272/Ф2 = Ф2,

/ 2G 1-<М/2/ Е 1 — VМ/2_

C1 \ р 1 — 2v 7\ р 1 — v — 2v2 ) ’( • )

Отсюда можно сделать вывод о том (см. также обсуждение уравнения (5.4)), что любое безвихревое возмущение будет распространяться со скоростью продольных волн сь а изохорное возмущение — со скоростью поперечных волн с2- Примером безвихревого возмущения является обычное одноосное растяжение: ^х= РДх\ хр2 = 0, ux = F^x\ иу = 0; примером изохорного — чисто сдвиговая деформация, когда ф1 = 0, -^2 = Г2(<х\ их = 0 иу =—F'^xY оба эти возмущения распространяются вдоль юси х.

Предполагается, что оси х и у (о которых выше шла речь) фиксированы в пространстве, так что в рамках геометрически линейной теории ускорения и и гр представляют собой обычные вторые производные по времени при фиксированных значениях х и у. Если исследуемая трещина движется параллельно оси х, то, как будет видно, целесообразно ввести локальную систему координат g и т)/ (Z = 1 или 2) с началом в вершине движущейся трещины. По определению

£ = х —/, 41 = М> 7=1, 2,М‘-(4УГ

В этих формулах фигурируют положение х = 1 и скорость I вершины трещины. Полные производные по времени в точке х = const от некоторой физической величины р [g (Z), y|z, Z] будут, таким образом, вычисляться по формулам

А _ дРdP dl _ dPу др

р dt "г" dg dtdt1 dt’

(E.5)

X _ др; дР _д2р/2 д2Р9/д2Р у дР

р dt1 d^dt2d^1d^dtdV

где d[dt — локальная скорость изменения в точке £ = const. В -случае необходимости можно использовать также полярные координаты г. = z^/g2-|- 7)2, 0. = arctg (T)z/g); в следующих ниже формулах (Е.6)-—(Е.9) суммирование по повторяющемуся ин-

дексу отсутствует:

_5P_—rn«A ^sin 9f дрdg

COSH,^ г, д6,9к ,

(Е.6)(Е.6)дР _. - л др , cos 6» др 1д₽_ дц. 1 дг. "т" г. d6z 6. ду ‘

(Е.6)

(Е.6)

Полагая р = ф,, подставим выражения (Е.5) в уравнение (Е.З), с тем чтобы получить следующую локальную формулировку:

+(ЕЛ

в которой производная d-^i/d^ может быть преобразована к полярной системе отсчета с использованием формул (Е.6); оператор

2 = д2д2д21 дJ д^_

1 д^^н?дАГ; drt дО^

Решение уравнения (Е.7) ищем в форме, близкой к форме метода степенных рядов, использованного в разд. 2.1. Нилссон [243] полагал, что

^'ЖОШЛО-(Е.8>

т. е. наименьшее допустимое значение показателя степени (соответствующее выражению 1 + ^ в разд. 2.1) заранее предполагалось равным 3/2. Эта догадка была навеяна результатами решения статических задач, и впоследствии ее можно была подвергать проверке. Предполагалось, что функции fi^i, t) и gi^fi, 0/, f) не имеют особенностей, так же как и их производные до второго порядка; следовательно, функция вида (Е.8) является наиболее общей формой решения, приводящего к особенности порядка г~1/2 в напряжениях. Постановка выражения (Е.8) в уравнение (Е.7), записанное в полярной системе координат, приводит к уравнению

9 d2L7^ + "d6f9 d2L7^ + "d6f^ I 1^ I 1d2fz di2d2fz di2— 3/ cos 0Z— 3/ cos 0Z^kdt^kdt2l sin 0Z2l sin 0ZdVzdez dtdVzdez dt

9 d2L7^ + "d6f

9 d2L7^ + "d6f

^ I 1

^ I 1

d2fz di2

d2fz di2

— 3/ cos 0Z

— 3/ cos 0Z

^kdt

^kdt

2l sin 0Z

2l sin 0Z

dVzdez dt

dVzdez dt

-|Zcos0zfz + bin0z-gi] + r^^0Z, t),(E.9)

в котором функция hi выражается через производные от gi.

В наиболее интересной для нас задаче может возникать состояние установившегося (стационарного) роста, при котором скорость движения трещины постоянная, а поля напряжений и деформаций в достаточно малой окрестности вершины трещины от времени не зависят (dfi/dt = 0). Из этого определение

следует, что при установившемся движении выражение в скобках справа в последнем уравнении обращается в нуль. Анализируя поведение решения в области, в которой доминирует главное слагаемое в правой части выражения (Е.8) (при rz-^0), приходим к выводу о том, что вся правая часть уравнения (Е.9) при всех обстоятельствах пренебрежимо мала. Если это так, то функция ^должна содержать члены вида sin (30z/2) hcos(36z/2), а зависимость от времени войдет в нее в общем случае только через соответствующие масштабные множители.

При ограничениях симметрии, отвечающих типу I, приходим к следующему решению:

^ = 5/3/2 008-^-, ф2 = 5/3/2 sin-^2-,(Е.10)

в котором множители В\^ и В2(0 отражают условие ненагру- женности берегов трещины:

ау(6 = 61. = л) = 0, т^(6 = 6; = л) = 0. (ЕЛ 1)

После некоторых преобразований устанавливаем, что оба условия (Е.11) приводят к одному и тому же выражению (вследствие того что собственное значение было заранее принято равным 3/2)

в2 = --^^.(Е.12)

1 + 62''

По формулам (Е.2) получим выражения для напряжений вблизи вершины трещины:

О = -1GB. [( 1 + 262 _ 62\ ££1(0^2)46id^_ _cos_(9^/2)_-|

"4127 V'l1+62 J

g = - GBi Г - (1 + 62)cos № ] ,(E-13)

4 Iх1+62 N4 J

^xy =-|-GB1[sin (6,/2)/Vri — sin(e2/2)/Vr2J-

И наконец, переобозначая величину By в соответствии с формулой

В,-, 4('+/®(Е.14)

ЗО[4б1д2-(1 + д2)2] V2rt

снова приходим к выводу (известному из решения статических задач) о том, что в непосредственной близости перед трещиной напряжение ау = kJa^^ однако теперь коэффициент /Q представляет собой динамический, зависящий от времени коэффициент интенсивности напряжений.

Поскольку tg 6Z = 6Z tg 6, rz = r [ 1 — (1 — 6?) sin2 б]1^2, то полученные формулы (E. 13) согласуются, очевидно, с принятой ранее структурой решения (5.32). Найденные выражения при /->0 будут аппроксимировать также решение (Б.39), что становится очевидным, если вспомнить правила предельного перехода. Отношение напряжений, представленное кривой на рис. 5.9, равно ^(6 = 0) =4д,й2-(1+д2)2

ах(9 = 0)(1 + 62) (1 + 6, — д2) — 461д2’* '

и это выражение будет стремиться к нулю при стремлении скорости I к скорости волн Рэлея, определяемой из условия равенства нулю числителя. Напряжения (Е.13) можно также преобразовать к компонентам ог, тго, ае в полярной системе отсчета, и поведение этих компонент, как видно из кривых на рис. 5.8, представляет определенный интерес. Скорости частиц вычисляются как полные производные по формуле (Е.1)

. 3 Вх j Г cos (01/2)26162 cos (Ог/2) 1

Х4 Vr [ Vrii+62 Vr2 J

• — _ 2 Bi ,4 Г sin (0i/2)2 sin (02/2) 7 m 1

y 4 Vr L Vrl!+62 Vr2 J

И в заключение обратимся к проблеме передачи энергии, сопровождающей движение кончика трещины. Зададим контур Г, соединяющий берега трещины так, как показано на рис. 2.12, и вычислим контурный интеграл

^ = y/lim HpiZizds + Z (ф +-ypMi) ^у] L (Е.17) I 1 Г-»0 J L\2) J С

в котором величины pt определяются по формулам (Г.4) и (Г.6). Интеграл от первого слагаемого в квадратных скобках представляет собой мощность, передаваемую через сечение единичной толщины из окружающего материала внутрь кривой Г. Интеграл от второго слагаемого можно интерпретировать как суммарную полную упругую и кинетическую энергию, переносимую частицами через контур Г за единицу времени через сечение единичной толщины, если положение этого контура относительно движущегося кончика трещины неизменно. Если Г стягивается к вершине трещины, то упомянутая сумма будет стремиться к величине энергии, потребляемой в единицу времени из окружающего материала для поддержания трещины в движении. С другой стороны, эта же величина равна мощности ^ (или С), затрачиваемой на продвижение трещины на единицу длины. Очевидно, что в пределе при Z->0 выписанный интеграл должен переходить в /-интеграл (см. также разд. 2.6 и 3.2.3);

заметим, однако, что в динамике мы не имеем возможности расширить контур интегрирования произвольно, с тем чтобы охватить произвольную подобласть, оставляя при этом интеграл неизменным. Причина этого состоит в том, что волновые возмущения распространяться мгновенно на все тело не могут. И только в том (гипотетическом) случае, когда поля напряжений и деформаций внутри эквивалентных путей интегрирования стационарны по отношению к вершине трещины, претензии на инвариантность могут оказаться обоснованными.

Отметим, что формулы (5.33) и (5.34) получаются подстановкой выражений (Е.13) и (Е.16) в интеграл (Е.17). Анализ плоского напряженного состояния будет несколько отличаться от проведенного здесь исследования плоской деформации, но ненамного; основное различие будет состоять в том, что скорость распространения волн Ci будет заменена скоростью волн в пластинах ср.

Приложение Ж

НЕКОТОРЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА

Дадим коэффициенты перехода от отдельных устаревших, но встречающихся пока еще в литературе единиц измерения к общепринятым

Таблица ЖЛ. Напряжения

Единица измерения

Содержится единиц

МПа

ksi 0

Н«мм 2

КГС’ММ 2

1 МПа

1

0,1450

1

0,1019

1 kci*)

6,895

1

6,895

0,7031

1 Н•мм-2

1

0,1450

1

0,1019

1 кгс-мм~2

9,807

1,4223

9,807

1

О Килофунт • дюйм 2.

Таблица Ж.2. Коэффициенты интенсивности напряжений

Единица измерения

Содержится единиц

МН-м 3/2

ksbin1^ 1)

Н-мм~3/2

кгс-мм 3/2

1 МН • м~3^2

1

0,910

31,62

3,224

1 ksi • in1/2 ])

1,099

1

34,75

3,542

1 Н • мм"3^2

0,03162

0,02878

1

0,1019

1 кгс • мм-3/2

0,3102

0,2823

9,807

1

О Килофунт • дюйм 3/2.

Приложение 3

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Отметим, что в данном обзоре некоторые относящиеся к рассматриваемым проблемам работы только упоминаются и комментарий к ним очень краток. Ссылки даны на основополагающие и непосредственно использованные работы, а также на некоторые примыкающие к проблеме публикации, из которых можно извлечь данные и указания по дальнейшему изучению или консультациям. Мы не пытались создать исчерпывающий обзор, а основа для цитирования была, конечно, субъективной и во многом произвольной. Типичной была ситуация, когда первичные фактические данные были рассеяны по многочисленным узкоспециальным публикациям, а обзорных статей и книг очень немного. Разумной была бы попытка отдать приоритет пионерским исследованиям в различных направлениях, однако это занимает много времени и усложняет работу желающего быть летописцем данной отрасли науки. В обзор почти не вошли работы, опубликованные после 1981 г.

Работа [1] является первой по исследованию напряжений в упругих пластинах с надрезами!). Она послужила основой для двух последующих статей Гриффитса [2,3], явившихся выдающимся событием в истории развития сопротивления материалов— как по излагаемым в этих работах передовым идеям, так и в качестве образца методики исследования и представления материала. Частичное объяснение последовавшего за этой вспышкой полного молчания дано в библиографической заметке [4]. Причина состоит в том, что Гриффитс в своих работах ушел настолько далеко вперед, что дальнейшего продвижения в механике разрушения пришлось ждать до 1940 г. Выдающимися в этой новой волне исследований были работы Ирвина, статья [5] которого — частично обзор и классификация работ,

u Можно указать на еще более раннюю работу, содержащую асимптотическое решение для вершины тонкого разреза и с формулировкой критерия разрушения: Weihardt К., Uber das Spalten und Zerressen elastischer Korner, Zeitschr. fur Math, und, Phys., Bd. 55, № V2, S. 60—103 (1907). Комментарий к этой работе содержится в статье: Ярема С. Я., Иваницкая Г. С. Предельное равновесие и развитие косых трещин. Обзор критериев — Физ.-хим. механика материалов, 1986, № 1, с. 45—57. — Прим. ред.

частично введение в новые рабочие концепции. Книги [6, 7] широко известны; обе имеют глубокие корни в материаловедении и экспериментальной механике, однако сильно различаются по акцентам.

Пример 1.1, в котором речь идет о трещине в тонкой плите с защемленными краями, — это, по-видимому, простейший известный в литературе пример исследования методами механики разрушения. Данный нами частный вывод описан впервые в работе [8] с несколько более подробным обсуждением явления высвобождения энергии Ч Альтернативное исследование, которым мы обязаны Райсу [101], изложено в примере 3.4.

В работе [9] методом степенных рядов построено поле напряжений упругости в окрестности вершины трещины. Эти результаты воспроизведены в разд. 2.1 с использованием работы [32]. Понятие «коэффициенты интенсивности напряжений, соответствующие отдельным типам деформации трещины», было введено Ирвином в работе [5] 2). Конкретные значения коэффициентов интенсивности были получены для эллиптической и по- луэллиптической трещин в работе [10], основанной на результатах работ [11,12], в которых речь шла об эллиптической трещине в бесконечном упругом теле.

В работах [13—16] были построены решения о сквозных трещинах в пластине с использованием метода степенных рядов Вильямса [9] и точечного удовлетворения краевым условиям на удаленной границе (метода коллокаций). Метод функций комплексного переменного, введенный в работах [17—22], был использован впоследствии для получения большого количества тонких оценок во многих плоских задачах. Некоторые новые результаты приведены в работе [30], но основное содержание этой работы — построение глобальных решений путем использования известных частных решений и методов интерполяции. Формулы (В.1) — (В. 11)—это набор результатов и оценок из работ [10—16, 25—30]. Отметим, что в работах [33—38] со-

]) Заметим, что вблизи правого края плиты возникают локальные возмущения однородного поля деформаций; еще более сильные возмущения появляются в переходной зоне, содержащей вершину трещины. Формально их можно учесть путем добавления справа в соотношение (1.3) такого слагаемого АФ, для которого АФ/Ф->0 при а/Н-*-оо. Поскольку второе из указанных здесь возмущений поля в процессе движения трещины испытывает в основном перенос, то добавка АФ будет играть роль константы, а соотношение (1.5) будет согласовываться с более тонкими оценками. В действительности установлено, что ограничения на геометрические параметры, ненамного более сильные, нежели неравенства I > Н и а"> Н, обеспечивают применимость формулы (1.5) в случае, когда трещина движется по центру плиты.

В оригинальной работе и последующих публикациях были введены коэффициенты интенсивности напряжений, отличающиеся от использованных нами множителем W^

браны выражения для коэффициентов интенсивности напряжений (особенно в работах [34—35]), количество которых намного превышает количество приведенных нами в настоящем кратком обзоре.

Приближенное выражение (В.З) из работы [30] хорошо согласуется с точными решениями Исида [22—24]. Очень точной и даже более простой по сравнению с имеющимися является формула секанса, предложенная в работе [31], однако эта формула нуждается в обосновании °.

Работы [39—49] дают представление о возможностях метода конечных элементов применительно к проблеме трещино- юбразования в упругих телах. В работе [39] используется предельный переход г-^0, в [40] предложен метод податливости, основанный на вычислении потенциальной энергии. Прямые [41] и усовершенствованные [42—44] приложения метода податливости оказались мощным инструментом для определения коэффициентов интенсивности напряжений. В работах [45—49, 77] пропагандируется идея использования различных сингулярных элементов, и это привлекло внимание многих специалистов по численным методам.

Отдельную группу энергетических методов [44, 50—58] составили методы, основанные на теореме взаимности Бетти и введении так называемых весовых функций. Связанными по своему содержанию с этими методами являются методы граничных интегральных уравнений [59, 6L 66, 67, 79, 80], в которых путем дискретизации по границе производится переход к системе алгебраических уравнений.

Отметим, что к настоящему времени построено немало решений частных упругих задач — об эллиптической и полуэллип- тической трещине [34, 35, 62—67], об изгибе пластины со сквозными трещинами) [33—35, 68—71], о трещинах в оболочках [34, 35, 72—77], о трещинах в анизотропных плитах [20, 34, 78—80], о трещинах на границе раздела упругих сред с различными свойствами [23, 34, 81—89] и в пластинах с ребрами жесткости [23, 24, 34, 35, 90—92].

° Обсуждение этой формулы с оценкой погрешности проведено в статье: Гольдштейн Р. В., Рысков П. Н., Салганик Р. Л. Центральная поперечная трещина в упругой полосе. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1969, №4, с. 97—104. — Прим. ред.

Оценка длины пластической зоны дана в работе Ирвина [93]; более строгая модель для случая плоского напряженного состояния построена в работе Дагдейла [94]. Работа [96] содержит всесторонний анализ модели Дагдейла и обсуждение формальной связи данной модели с подходом Баренблатта [95], в котором на концах трещины вводятся зоны сцепления. В работах [97, 98] найдены выражения для раскрытия трещины (формулы (2.46) и (2.47)) в модели Дагдейла. Другие решения'в рамках модели Дагдейла построены в работах [57, 58].

Работы [99—102] являются основополагающими по созданию концепции /-интеграла; работа Эшелби [99] была первой; Райс [101] высказал различные соображения по использованию данной концепции и для неупругих материалов.

В первой работе [103] по исследованию упругопластического состояния вблизи трещины в строгой постановке был изучен тип III деформации трещины. После этого Райсом в обзоре [21] была рассмотрена несколько более простая задача, изложенная в разд. 2.7. Более общий подход им был развит в последующих работах: в статье [104] было учтено влияние границы (формулы (2.77) и (2.78)), в работе [105]—деформационное упрочнение (формула (2.80)).

Исследование типа I в упругопластической постановке для плоской деформации было проведено в работе [21], где также впервые была дана оценка раскрытия трещины, позже дополненная более простым выводом формулы (2.94) (в работе [106]). В работах [107—109, 117] были опубликованы различные данные, найденные методом конечных элементов, однако приведенные в этих работах численные значения множителя (при особенности) не доведены до стабилизации и потому ненадежны °.

тельности такого рода гипотезы могут не оправдываться; нормальные волокна вблизи вершины трещины могут испытывать значительные деформации, сопровождающиеся возникновением больших мембранных усилий, обусловленных силовым взаимодействием при смыкании берегов трещины по толщине (противодействием взаимному прониканию берегов). Работа [71] представляет собой первый шаг в решении проблемы учета такого взаимодействия. Автору, однако, не известны работы, в которых был бы проведен анализ этой задачи на основе строгой трехмерной постановки.

В серии работ Ноулза, Вэнга, Хартранфта, Си и др. (перечисленных в статье [71]) используется более точная теория изгиба пластин Рейсснера или Миндлина. Поскольку здесь смыканием берегов трещины пренебрегают, то эти решения можно получить уточнением результатов, найденных в рамках теории Кирхгофа, только в том случае, если в плоскости пластины будут добавлены усилия, достаточные для предотвращения взаимного проникания берегов.

Указанные здесь вопросы нашли отражение в книге- Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. — Киев: Наукова думка, 1979. — 331 с. — Прим, ред

ч В недавней работе [222] получено значение, близкое к 0,64, которое, по-видимому, достоверно.

Развитие теории путем учета деформационного упрочнения (разд. 2.8.2) было дано одновременно в работах [НО, 111], в первой из которых вид особенности задавался заранее, был рассмотрен только случай плоской деформации. Дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в работе [112].

Продолжением работы [111] является работа [113], к этому же направлению примыкают статьи [114—116]; в работе [116] анализируется тип III. В работе [117] дано подробное исследование полей напряжений и деформаций вблизи вершины трещины по теории второго порядка (конечных деформаций).

Проблемы, связанные с потерей устойчивости и бифуркациями, широко обсуждаются в работах [122—133]; в последних работах данного направления [123, 124, 129—133] главное внимание уделено локализации деформаций в узких зонах. Решения задач об определении предельной нагрузки, о которых идет речь в разд. 2.9, можно найти в следующих работах: задачу 1 — в работе [134] (см. также пример А.З), задачу 2а — в работе [135], задачу 26 — в работе [123] (см. также пример А. 1), задачу 3— в работе [ 136], задачу 4 — в работе [137], задачу 5 — в работе [138].

Классическим введением в метод энергетического баланса является работа Гриффитса [2], значительно дополненная работами [50, 139, 140]; все эти работы относятся в основном к упругим материалам. Выражение для трещинодвижущей силы через коэффициенты интенсивности напряжений было дано в работах [139, 140] и найдено по методу податливости в работе [140]. Анализ граничных условий дан в работе Бюкнера [50], в которой рассмотрены также возможности построения решений по методу суперпозиции с применением соотношений взаимности. Последующая работа [20], относящаяся в основном к упругим материалам, содержит энергетический анализ анизотропных сред, а также исчерпывающее обсуждение аналитических и геометрических аспектов процесса роста трещины для изотропных, нелинейных сред [142, 143] (по этому вопросу см. разд. 3.2.1 и приложение Д).

Метод энергетического баланса послужил основой исследования поведения упругопластических материалов в работе [141], результаты которой повлияли на изложение разд. 3.1 и 3.3. На основе анализа напряженно-деформированного состояния в- окрестности вершины трещины в рамках геометрически линейной теории в работе [96] установлено, что в модели Дагдейла полная потеря потенциальной энергии обусловлена диссипацией вследствие пластической деформации сплошных сред (разд. 3.3.2). В работах [96, 141] показано, что для отличия от нуля удельной работы разрушения необходимо наличие сингулярности напряжений в вершине трещины. В последующих публикациях:

[144, 145, 178] было высказано предположение о том, что при локально-упругом поведении особенность должна быть наиболее сильной — типа rs при s = —1/2.

При медленном движении трещины в упругопластическом твердом теле в «кильватере» вершины будет происходить разгрузка, при этом поля напряжений и деформаций будут иметь особенность, тип которой будет другим, нежели в стационарном случае. Данная весьма сложная задача была изучена в работе [118] для типа III, частично исследована в работе [21] для типа I, а исчерпывающее ее решение для типов I и III дано в работе [119]. Численное исследование данной задачи было предпринято также в работе [109]; в последующих работах [120, 121] была обсуждена структура полей при движении трещины в идеальнопластическом материале. Исследование типов особенностей, о которых шла речь, дано в работе [119].

В работе [21] дано строгое доказательство равенства /-интеграла трещинодвижущей силе для нелинейноупругого материала; эти результаты были перенесены на случай покоящейся трещины в упругопластическом материале в работах [146, 147] (разд. 3.3.3). Построение большого количества простых единообразных аппроксимаций /-интеграла (типа (3.43) и (3.44)) реализовано в работах [147—157]. Вклад работ [162—172] заключается в расширении класса интегралов, не зависящих ют пути; в соответствии с данным обобщением /-интеграл можно рассматривать как «ведущую» компоненту некоторого вектора, определяющего потери потенциальной энергии вследствие трансляции трещины в произвольном направлении.

В работах [32, 158, 159] предложены численные оценки удельной работы разрушения (определение см. в разд. 3.3.4); далее в работе [60] изучено медленное установившееся движение трещины, в работе [161]—процесс зарождения трещины в материале с линейным упрочнением. Та же методика в работах [162, 163] применена для моделирования процесса роста трещин при конечных значениях градиентов перемещений. В работе [165] анализируется та же задача, что и в [162], но для геометрически линейного случая. Оценки удельной работы разрушения с использованием постепенно измельчающейся сетки конечных элементов приведены в работах [160, 164]; здесь же установлено, что поведение величины С > 0 в задачах о плоской деформации и о плоском напряженном состоянии сходно. Результаты работы [161] основываются на сходимости отношений величины С, и, как и в работах [161, 164], используется предположение о том, что для зарождения виртуальной трещины нужна особенность напряжений и деформаций вида г-1/2. Тот же метод релаксации в работе [166] использован для исследования процесса устойчивого роста трещины; в работе [167]

предложена модель прямого учета конечной зоны процессов, разрушения с применением специальных конечных элементов^ движущихся вместе с трещиной. Метод освобождения от связей в узлах был использован также в работах [256, 261, 264^ 265] для моделирования процесса динамического трещинообра- зования, подчиняющегося критерию удельной работы разрушения. Косвенный метод с применением модифицированного /-интеграла предложен в работе [265].

В серии работ [173—179] обсуждается термодинамика процесса разрушения; в частности, в работах [173, 174] рассмотрено температурное поле в окрестности кончика трещины. Кроме того, в работах [145, 178, 179] в рассмотрение введены зоны сцепления. Более детальные теории таких зон [95, 180—185] применяются для исследования бетона и композиционных материалов [180—183] и для развития идеи непрерывного (континуального) разрушения. В более частной форме понятие о зонах сцепления было также с успехом применено в динамических задачах [267—269, 278]. Выделим почти энциклопедические по ширине и объему охвата материала работы [177, 178].

Постулаты Гриффитса, относящиеся к энергии, сформулированы в работах [2, 3]. В этих же работах обсуждается вопрос об искривлении трещин при растяжении или сжатии, а также вопрос об увеличении прочности при уменьшении площади поперечного сечения, например, в волокнах и нитевидных кристаллах. Более простое изложение постулатов Гриффитса можно найти в работах [21, 96, 141, 159], а их термодинамическое обоснование — в работах [186, 187]. Идея о том, чтобы для исследования разрушения при наличии сильной локализации пластического течения использовать ЛМР, была выдвинута в работах [5, 188]; обобщение идей Гриффитса на задачи о трещинах, сопровождаемых развитым пластическим течением, дано в работе [141] (разд. 4.2).

Большое количество статей [7, 102, 120, 121, 141, 189—196] посвящено исследованию методами механики разрушения процесса устойчивого роста трещины. Важным достижением было введение понятия ^-кривой, впервые сформулированного в работе [189] и обоснованного во многих последующих публикациях, например в работе [193]. Различные следствия, вытекающие из постулирования /^-кривой, обсуждаются в работе [194]; хороший обзор связанных с данным понятием проблем приведен в гл. 8 работы [7]. Отмечено, в частности, что поскольку используется гипотеза о локализации пластического течения, то для решения задач может быть привлечена линейная теория (в которой сопротивление R выражается через коэффициент интенсивности напряжений), в которой не требуется подробно анализировать поведение материала в окрестности вершины трещины»

Кроме того, для исследования развитого пластического течения применяются более точные теории [102, 120, 121, 195, 196]; цель этих работ — расширить область приложений теории на задачи, имеющие большой интерес для практики.

В работах [193, 194, 196] и в гл. 5 работы [6] рассмотрены вопросы о влиянии толщины образца, трещиностойкости и предела текучести на процесс трещинообразования. Ограничения (4.13) на размеры сформулированы в работе [199]; в работе [93] предложена «коррекция» длины пластической зоны — замена длины трещины / величиной / + с/2.

В работах [200, 201] предложено в качестве критической величины в критериях страгивания трещины использовать раскрытие трещины; в связи с этим критерием была изучена конфигурация трещины в ее деформированном состоянии (это было сделано, в частности, в работах [202—205]). Связь критического значения раскрытия трещины с обычно используемыми характеристиками микропор установлена в работе [206] (см. также гл. 8). Различные аспекты критерия раскрытия трещины на макро- и микроуровне рассмотрены также в гл. 6 работы [6].

Броберг [207] высказал предположение о том, что критическим параметром в критериях страгивания трещины может служить Z-интеграл; в последовавших сразу же за работой Бро- берга статьях [146, 208] было дано экспериментальное подтверждение данной гипотезы. Отметим, что в обе эти статьи вкрались ошибки (и в измерения, и в теоретические оценки), однако случилось так, что вклад различных ошибок взаимно компенсировался [209]. Это необычное совпадение возбудило всеобщий интерес к проблеме, и в последующих работах [205, 210—213] было дано подтверждение гипотезы Броберга. Способы построения приближенных оценок /-интеграла были изучены в работах [147—157]. Заслуживает упоминания критическая дискуссия, развернувшаяся в работах [214, 215] вокруг вопроса об использовании /-интеграла как единственного параметра, позволяющего предсказать момент страгивания трещины. Отметим, что энергетический метод Витта [216, 217] иногда оказывается эквивалентным критерию, основанному на использовании /-интеграла.

Методики и результаты опытов [199, 378, 379, 401] по определению величины Кх с описаны нами в гл. 7, в которой опыты, связанные с определением значений раскрытия и /-интеграла, прокомментированы с использованием работ [151, 380—382,387, 388, 393]. Построение /^-кривых при условии локализации пластического течения опубликовано (с соответствующим обсуждением) в работах [478, 488].

Попытки связать модель устойчивого роста трещины с понятием /-интеграла подробно описаны в работах [157, 167, 205,

218, 219]. В частности, в работах [219, 157] дается оценка /-интеграла для растущих (нестационарных) трещин. В работах [205, 167] также дана сравнительная оценка достоинств таких параметров, как УРТ при описании процесса устойчивого роста трещины. Отметим прекрасный обзор [220] достигнутых успехов в такого рода подходах к решению проблемы. Обзор различных методик применения /-интеграла для интерпретации опытных данных приведен в работе [221]. Исчерпывающее обсуждение соотношений, существующих между раскрытием трещины и /-интегралом, для стационарных и растущих трещин в материалах со степенным законом упрочнения опубликовано в работе [222].

Поскольку материал гл. 5 относится лишь к немногим простейшим или относительно очевидным (хотя и важным) аспектам динамики разрушения, то здесь мы рассмотрим проблему более широко — как развитие общей теории, так и ее приложений к частным задачам.

Первыми публикациями, в которых соотношение энергетического баланса Гриффитса было дополнено слагаемыми, учитывающими кинетическую энергию, являются, по-видимому, статьи [223—225]. Эти исследования не были, строго говоря, динамическими, поскольку в них вместо изучения соответствующих полей построены упрощенные грубые оценки.

Начало современной динамике разрушения было положено в статье [226], предшествующей работе Иоффе [227] по исследованию установившегося движения трещины; эта работа очень, важна для теории, хотя она и является академической в том отношении, что модель трещины здесь представляет собой движущийся разрез постоянной длины. Более близкой к действительности была модель Броберга [228, 229], в которой рассматривался процесс роста трещины из дефекта нулевой длины в двух противоположных направлениях с постоянной скоростью. Несмотря на то что в модели Броберга было введено достаточно существенное предположение о пропорциональности сопротивления движению трещины ее длине, с тем чтобы согласовать процесс движения с сопротивлением, построенное решение дало ощутимый импульс последующим исследованиям а данной области. Так, в работах Крэггса [230] и Бейкера [232] были изучены полубесконечные трещины (проникающие в тело из надреза на бесконечности) при внешних воздействиях, во многом нереальных; тем не менее отметим, что работа [232] была первой по исследованию переходного режима движения, возникающего вслед за страгиванием трещины. Данный подход, послужил образцом для последующих исследований, которые мы сейчас перечислим. В работах [227, 230, 232] были выведены основные соотношения типа (5.32); в работе [227],

рассмотрено также явление ветвления трещины, определяемое найденной зависимостью величины 6 с ориентацией площадок, на которых значения ое максимальны. Работа [233] представляет собой экспериментальное исследование процесса ветвления трещины.

В работе [234] рассматривается поток энергии в вершину трещины с использованием динамического варианта /-интеграла; полученные результаты согласуются с решением Броберга и находятся в противоречии с решением, построенным в работе [231]. Аналогичные исследования можно найти в статьях [102, 236], в которых выражение для трещинодвижущей силы связывается с динамическим коэффициентом интенсивности напряжений в предположении о том, что состояние движения является установившимся. Впоследствии в работах [239, 243] было показано, что такого рода соотношения (типа (5.33) и (5.34)) применимы и в общем случае.

Исследование неустановившихся или переходных режимов, начатое в статье Бейкера [232], было продолжено в серии последующих публикаций, в частности в работах [237—239, 243— 245]. В этих исследованиях, ограниченных рамками линейной теории упругости, обычно используется такой математический аппарат, как интегральные преобразования (Лапласа или Фурье), метод Винера — Хопфа (если это позволяют граничные условия), основанный на соображениях здравого смысла метод суперпозиции и построение (в отдельных случаях) автомодельных решений. В последнем случае никаких характерных параметров, имеющих размерность длины, не существует; пример, представляющий собой решение задачи Броберга о возникновении трещины из дефекта нулевой длины, с использованием данного альтернативного подхода построен в работе [231]. Методы теории подобия были использованы и в некоторых других работах, например в [241, 242].

В работе [246] и (частично) в [242] рассматривается задача о движении трещины по границе раздела двух сред с различными упругими свойствами. Растрескивание слоистых плит изучено в работе [240]; отметим, что к настоящему времени опубликовано большое количество очень хороших обзоров по данной проблеме [21, 235, 241, 247, 248, 266, 300].

Вдобавок к аналитическим исследованиям, основные направления которых были рассмотрены выше, все более широкое применение находят численные методы. Наиболее широко используются метод конечных разностей [249—253] и метод конечных элементов [254—265]. Для описания движения симметричной трещины в двухконсольной балке были созданы специальные одномерные модели (описание соответствующей экспериментальной методики см. в разд. 7.3). В работах [267—271]

был изучен процесс быстрого движения (до момента остановки) трещины в такого рода образцах; в окончательном варианте решения [269], в котором учтены критические замечания, высказанные в статье [268], а также в работах [270, 271], выкладки и результаты несколько упрощены. Медленные управляемые движения трещины рассмотрены также в работах [272—274].

Примечательным является то обстоятельство, что в динамике разрушения очень поздно обратились к одномерным моделям. Первой была рассмотрена задача о двухконсольной балке, подробно изученная впоследствии в работах [275—278]. В работе [275] учтены только волны сдвига, что позволило получить очень простые (но, возможно, и очень неточные) оценки. В работе [276] речь идет о задаче об освобождении упругой полосы от связей с жестким основанием; в случае центрального расположения внешних воздействий математический аппарат здесь такой же, как и в работе [275]. Отметим, что материал разд. 5.2 основан на результатах работы [276]. С использованием этого же математического аппарата в работе [277] изучена задача о так называемом скрученном сдвоенном стержне. В работе [278] также рассматривается задача о симметричном отслоении; здесь учтена упругость контакта стержня с основанием по аналогии с балочной моделью Каннинена.

Отметим, что в подавляющем большинстве работ по исследованию динамического роста трещины использован формальный аппарат линейной теории упругости. Пластичность материала учтена в работах [97, 279—281], однако исследование здесь ограничено моделью Дагдейла для тонких пластин, порождающей узкие полоски пластического течения перед трещиной. Исследование полей в ближайшей окрестности трещины для материала с линейным упрочнением было предпринято в работах [282—284]. Здесь построено обобщение решения Амази- го — Хатчинсона [119] для медленных движений на динамические задачи. В работе [282] изучен тип III, в работе [283] — тип I. В статье [284] материал считается идеально-жесткопластическим; в работе [285] в зонах активного нагружения принимается деформационная теория (теория нелинейной упругости) в отличие от теории пластического течения, о которой речь шла до сих пор.

В работе [255] при исследовании разрушения трубопровода также учтена пластичность материала; дальнейшие результаты по динамическому разрушению трубопровода можно найтгг в работах [254, 286—292].

Отметим, что в перечисленных выше работах основное внимание было уделено исследованию движущихся трещин. Один из результатов работы [232] при надлежащей его интерпретации:

имеет также отношение к задаче о динамическом нагружении стационарной трещины (по этому поводу см. работу [293]); в ряде работ для решения этой же задачи применены аналитические методы (см., например, работы [248, 294]). Однако большинство исследований в этой области в последнее время нацелено на использование численных методов (см., например, работы [295—298]).

Общие работы вводного характера [197, 301, 302, 305], относящиеся к гл. 6, содержат грубые эмпирические оценки типа S ~ N диаграмм (диаграмм Велера). Эмпирические зависимости для малоцикловой усталости (при развитой пластичности, когда размах Д^ коэффициента интенсивности не может служить управляющим параметром) приведены в работах [197, 301, 302] со ссылкой на первоисточники [303, 304]. Исчерпывающее обсуждение явления усталости можно найти в гл. 12, 13 работы [305] и гл. 10 работы [7]; явление коррозионной усталости подробно рассмотрено в гл. 11 работы [305].

Среди первых публикаций по макроскопическому исследованию скорости роста трещины можно отметить статьи [308, 309], в которых с использованием теории подобия и энергетических соотношений обоснована квадратичная зависимость скорости от размаха ^K. Эта теория впоследствии была усовершенствована [311], что привело к построению зависимости (6.3); одновременно проверялась пригодность всевозможных других теоретических и эмпирических соотношений. В частности, в одной из первых работ была дана оценка размеров зоны локального пластического течения при циклической нагрузке; оказалось, что при циклической нагрузке размеры пластической зоны меньше, чем при монотонном пластическом течении (о чем говорилось в этой книге). В работах [310, 312] среди прочих была выдвинута гипотеза о линейной зависимости скорости роста трещины от раскрытия, что вновь привело к квадратичной зависимости от параметра Д/С. Заметим, что работа [312] была нами использована при обсуждении соотношения (6.7). С другой стороны, в работах [306, 307] были рассмотрены теоретические положения и экспериментальные данные, подтверждающие правомерность использования соотношений типа (6.10), показатель п в котором, вообще говоря, больше 2.

Понятие порогового значения Д^th в соотношении (6.7) было рассмотрено в работе [312], в соотношении (6.11)— в [313]. В работе [314] приведены аргументы в пользу второго параметрического варианта соотношения (6.13) и предложено объяснение связи, существующей между физическими механиз- нами и макроскопическими закономерностями. Первая и чаще всего используемая на практике форма соотношения (6.13) была предложена в работе [315]; большое количество соответ-

-ствующих экспериментальных данных опубликовано в серии работ [312—315]. Обзор некоторых эмпирических соотношений, предложенных для определения скорости роста трещины, приведен в работе [316].

Попытка получить уточненные оценки скорости роста трещины была предпринята в работах [317—321], в которых было использовано предположение о влиянии (частично гипотетическом) на процесс развития трещины внутренних (скрытых) переменных. Возможность закрытия трещины при положительных значениях коэффициента интенсивности напряжений, обусловленная пластической деформацией в «кильватере» вершины трещины, впервые была отмечена в работах [322, 323] ; этот важный аспект проблемы сыграл большую роль в последующих исследованиях, например в работах [321, 324—329, 338]. В работах [330—333] был рассмотрен вопрос о влиянии уровня среднего напряжения, пороговый эффект, а также вопрос о влиянии внешней среды [330]. В работах [327, 334—338] изложен опыт, накопленный к настоящему времени по решению задач для нагрузок с переменным спектром, включая такие эффекты, как задержка прорастания трещины при перегрузке. Рассмотрены возможные причины запаздывания; это сделано, в частности, в работах [327, 338, 339]. По результатам изучения данного вопроса был сделан вывод о том, что простейшая линейная теория накопления повреждений имеет хотя и ограниченную, но очень важную область применения [340, 341]. Очень хороший обзор возможностей теории, включая учет переменности амплитуды и эффект закрытия трещин, приведен в работе [342]. Эффекты толщины образца изучены в работах [343—345].

В работах [149, 346—348] обсуждается возможность использования /-интеграла в качестве управляющего параметра процесса усталостного роста трещины в случае развитого пластического течения.

Влияние внешней среды изучено в работах [347—373], в том числе: коррозионная усталость — в работах [349—354], усталость при высоких температурах — в работах [347, 355— 360], взаимное влияние напряжений и коррозии — в работах [361—364], разрушение при ползучести — в работах [365—376]. Последние две проблемы не связаны прямо с накоплением усталостных повреждений при циклической нагрузке, однако соответствующие работы включены в обзор для полноты.

Работа [199] —это стандартная методика определения вязкости разрушения Ki с, выработанная в результате обширных теоретических исследований и практических приложений [378, 379, 401]. Методика определения раскрытия трещины была развита и описана в работах [151, 380—382]. В работах [210, 211, 222, 383, 384] обсуждается связь раскрытия трещины

с /-интегралом (разд. 7.2) на основе (в первых четырех работах) экспериментальных данных или теоретических соображений. Опубликовано немало работ, посвященных экспериментальному определению критических значений /-интеграла, соответствующих моменту страгивания трещины или продолжающемуся ее движению; это сделано, например, в работах [167, 205, 212, 213, 385, 386, 389, 417—421]. Установлено также, что при надежной регистрации момента страгивания трещины для большинства случаев выполняется соотношение: 1\с = (1 — v2) Кдс]Е (см., например, работы [212, 385]). Однако могут быть и отклонения; это имеет место, в частности, для некоторых переходных режимов, когда существует зависимость типов разрушения на микроуровне от длины макротрещины [392, 393]. Другие определяющие параметры (типа угла раскрытия трещины) для устойчивого процесса роста трещины рассмотрены в работах [167, 205]. Способы определения значений /-интеграла по результатам измерения зависимости нагрузка — перемещение (типа соотношения (7.2)), обсуждаются в работах [147—157]. В частности, в работах [154, 156] главное внимание уделено некоторым вопросам практического использования этих способов. Подробные сведения по проведению опытов и вычислению значений /-интегралов опубликованы также в работах [387,388]. Существует обзор [393] методов экспериментального определения раскрытия трещины и значений /-интеграла.

Методы экспериментального определения 7?-кривых в условиях локализованного пластического течения опубликованы и классифицированы в работах [478—488].

В работах [149, 378, 379, 388—392] обсуждается вопрос о выборе толщины или длины образца в его плоскости, обеспечивающих корректность определения параметров ^, / и раскрытия трещины. Существуют определенные сомнения в достаточности ограничения (7.36) на размеры образца, обусловленные замеченными аномалиями [392, 393]. Другие геометрические эффекты, возникающие, в частности, при использовании боковых надрезов, обсуждаются в работах [386, 394—397].

Описание двух вариантов метода электрического сопротивления для измерения длины трещины приведено в работах [398—404] соответственно для переменного [398, 403, 404] или постоянного тока. В недавних работах [405—407] дана усовершенствованная методика, основанная на применении импульсов тока высокой частоты, результаты которой являются весьма многообещающими. Для измерений используются также электромагнитные эффекты [408, 409], метод акустической эмиссии [401, 403, 410, 411] и ультразвуковая дефектоскопия [401, 403, 412, 413]. Хорошая иллюстрация проблемы интерпретации сигналов дана в работе [213]. Исчерпывающий обзор различных

методов измерения длины трещины приведен в работе [414].

Техника мультиобразца для определения момента страги- вания трещины путем реализации последовательности обратных нагружений описана в работе [389] в связи с использованием J-интеграла. Альтернативным для решения данной проблемы является метод силикон-резиновых копий (отпечатков) [415, 416], который может быть адаптирован для низких температур; в этом методе требуется только один образец. В принципе та же цель может быть достигнута по методу малых разгрузок [418]. В литературе опубликованы результаты как удачных [419, 420], так и неудачных [421] опытов.

Проблема страгивания трещины при динамическом нагружении рассматривается в работах [422—428, 441, 456]. В некоторых работах [422—425, 456] для оценки величины Kid используется методика Шарли. Путь решения проблемы для случая развитого пластического течения предлагается в работах [426—428] (в последних двух работах настоятельно рекомендуется использовать раскрытие трещины). Величина Kid измерена также оптическими методами [441] (с использованием каустик — см. ниже). Различные экспериментальные данные опубликованы в работе [456].

Динамическая трещиностойкость ^I а, соответствующая установившемуся движению трещины, изучалась во многих работах [251, 265, 273, 296, 429—433, 439, 440, 442—451]. Методы, развитые в работах [252, 267], были впоследствии скомбинированы с экспериментальными методиками [429—431]; соответствующая процедура была систематизирована [432], а ее критическая оценка была дана в работе [433]. Основы метода каустик (при прохождении или отражении света) были заложены в работах [434—438]; в работах [439, 440, 442, 443] этот метод был использован для исследования установившегося движения трещины. Высокоскоростное фотографирование производится в основном так, как это описано в работе [445], а также в опубликованных работах по методу фотоупругости [251, 296, 446— 449]. Для аккумуляции энергии, обеспечивающей последующее скачкообразное увеличение длины трещины, используется искусственное затупление кончика вершины в ее исходном состоянии [429—433]; в то же время трещинодвижущая сила у вершины клина может обеспечивать более плавное управляемое движение трещины [273, 450]. Имеется ряд других публикаций, относящихся к экспериментам по динамическому росту трещины, например работы [265, 451, 452].

Известны также разнообразные применения экспериментального и теоретического методов каустик в квазистатических задачах [453, 454]. В книге использованы экспериментальные

данные из работ [38, 455—463]. Значительное количество данных по разрушению металлов собрано в работе [464]. Работа [305] содержит, в частности, некоторые данные по пороговым коэффициентам интенсивности.

Значительный вклад в решение проблемы трещинообразова- ния при несимметричных воздействиях сделан в работах [465— 471] как в теорию [465—467], так и в эксперимент. Некоторые вспомогательные вопросы решены в работах [472—474]. В частности, в работе [474] дано обоснование аналога соотношения (4.12) применительно к трещинам с неровными концами; работа [472] представляет собой исчерпывающий обзор результатов. Формула (7.4) заимствована из работы [466], дальнейшее обсуждение этой формулы имеется в работе [472]. В работе [473] изучены трещины с непрерывно меняющейся кривизной и решены вопросы о предсказании траекторий роста таких трещин и об их устойчивости. Предположение, известное под названием «гипотеза о плотности энергии деформации» и применяемое при исследовании процесса образования наклонных трещин, введено в работе [475] и использовано впоследствии в работах [476, 477].

Обзор методов фрактографии и соответствующие результаты можно найти в работах [489—491]; введение в теорию микромеханизмов разрушения имеется в работах [7, 197,302,305,391]. В частности, следует отметить, что в гл. 2 и 11 книги [7] приведен исчерпывающий обзор, частично использованный нами в этой книге. Дальнейшее обсуждение проблемы микроразрушения можно найти в работах [492—495].

Задача о росте поры в идеальнопластической матрице рассмотрена в работах [206, 496, 497, 500, 502, 504]. Далее в этой задаче были учтены деформационное упрочнение [498, 499, 501, 506] и ползучесть [499]. В последующих исследованиях явления образования пустот при ползучести [509—511] предполагалось, что, как это обычно и бывает, поры образуются на границах зерен, а основным механизмом при этом выступает диффузия. Влияние взаимодействия пор на механизм трещинообразования или разрушения обсуждается также в работах [206, 500—506]. В некоторых из этих работ приведены экспериментальные данные по исследованию процесса возникновения и роста пор; данной проблеме посвящены в основном работы [7, 203, 507, 508]. В частности, в работе [508] изучен высокопрочный алюминиевый сплав, обладающий низкой удельной работой разрушения (локально хрупкий материал), несмотря на то что главным механизмом разрушения является рост пор.

В работах [512—514] рассмотрено зарождение усталостных трещин, в статьях [518—521] речь идет о механизмах образования зон вытяжки и поверхностей разрушения бороздчатой

структуры. Дальнейшее обсуждение микромеханизмов усталостного разрушения можно найти в работах [7, 314, 515—517, 522—524]; в частности, в работе [524] построена диаграмма механизмов разрушения, по которой можно определить, какой из механизмов является доминирующим при заданных условиях внешнего нагружения (напряжениях и температуре).

Опубликовано немало работ по микроразрушению неметаллических материалов. Определенные успехи имеются в исследовании относящихся сюда таких гетерогенных материалов, как керамика [525—527], полимеры [527—529], композиты [527, 530, 531], бетон [532] и горные породы [533]. Результаты по разрушению керамики и композиционных материалов можно найти также в работе [553]. Усталость как отдельная проблема изучена, в частности, в работах [534, 535].

Роль механики разрушения в проблеме проектирования конструкций и обеспечении их надежности показана в ч. II книги [7], гл. 2 книги [38], а также в работах [537, 538]. Некоторые практические задачи, связанные со сваркой, обсуждаются в работах [538—542]; особое внимание здесь уделено проблеме остаточных напряжений [539]. Основные принципы определения допустимого уровня дефектов при приемке изделий предложены в работе [543]. Проблема проектирования сосудов высокого давления и трубопроводов [544], в том числе новейших конструкций, рассмотрена в последних выпусках журналов «Journal of Pressure Vessel Technology», «International Journal of Pressure Vessel and Piping». Обзор неразрушающих методов контроля приведен в работах [7, 414, 545, 581—584].

В работах [546—548] опубликованы результаты систематических исследований разрушения статистическими методами; впоследствии здесь были рассмотрены обобщения на случай сложного напряженного состояния, многопараметрического тре- щинообразования и неоднородные поля напряжений и деформаций [549—556]. Статьи [556—558] представляют собой обзоры; в работах [556, 557] обсуждается теория Вейбулла, а статья [553] представляет собой обычное введение в предмет с реализацией некоторых концепций механики разрушения. Большой вклад в решение проблемы внесен в отчете [559], в котором речь идет об определении вероятности разрушения при переменном нагружении.

Решения приведенных в разд. 9.2 задач о прорастании трещины из кругового отверстия и V-образного надреза построены соответственно в работах [25, 560]. Задача о V-образном надрезе без трещины решена в работе [561]. Исчерпывающий обзор методов определения коэффициентов интенсивности напряжений можно найти в работе [562]. Численное исследование процесса роста трещины при циклическом нагружении, резуль-

таты которого изложены в разд. 9.3, проведено в работах [563, 564].

Критерий «течи до поломки» обсуждается во многих работах, например в гл. 15 книги [7], гл. 12 книги [38], в работах [140, 544, 565, 566]. Эффекты, описываемые соотношением, приведенным в примечании к разд. 9.4, рассмотрены в работах [72—76].

Диаграммы, позволяющие оценить опасность разрушения (рассмотренные в разд. 9.5), введены в работе [567] и обсуждаются в статьях [568, 569]. Предложены обобщения данного подхода, учитывающие влияние температурных и остаточных напряжений [570], а также рассмотрен процесс устойчивого роста трещины [571]. Все это — полуэмпирические методы, в которых широко используется критерий раскрытия трещины (как и развитый в первой в данном направлении статье [572] подход, в котором понятие раскрытия трещины использовано в качестве критерия проектирования).

Опубликованы экспериментальные данные [478, 573] и теоретические оценки [573] процесса устойчивого роста трещины в тонких листах; численное моделирование такого процесса произведено по методу освобождения от связей в узлах [166, 573]. Аргументы в пользу того, что при описании движения трещины параметр УРТ может быть использован как постоянная материала, приведены в работах [121, 167, 205]. В работе [220] предложена двухпараметрическая модель, представляющая собой объединение предыдущего подхода с понятием 7-интеграла.

Материал разд. 9.7 мы почерпнули из статьи [574], в которой дано всестороннее обсуждение эффектов толщины образцов. Другим способом этот же материал изложен, например, в работах [575—578]. Вопросам разрушения при усталости отдельно посвящены работы [576—578]. В работах [575, 577] упор сделан на численные методы, экспериментальные основы изложены в [576]; и то и другое использовано в работе [578].

В работах [579, 580] анализируется проблема трещинообра- зования при жестких условиях температурного нагружения, при этом используются оценки, предложенные ранее в работе [225]. Обсуждение вопросов, связанных с проблемой трещинообразо- вания, причиной которого являются остаточные напряжения, можно найти в гл. 10 книги [539]. Отметим, что эта работа содержит богатый материал по исследованию полей температуры, напряжений и перемещений в сварных узлах.

И наконец, в работе [585] собраны результаты изучения конструкций после их разрушения; здесь, в частности, представлены материалы металлографических исследований и обсуждаются причины полного разрушения.

Литература1’

L Inglis, С. E.: Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners, Trans. Inst. Nav. Archit., 55^219-241 (1913).

Griffith, A. A.: The Phenomena of Rupture and Flow in Solids, Phil. Trans. R. Soc. London, A221:163-198 (1921).

Griffith, A. A.: The Theory of Rupture, pp. 55-63 in Proc. 1st Int. Cong. Appl. Meeh., Delft, 1925

Gordon, J. E.. “The New Science of Strong Materials,” Penguin Books, Harmonsworth, England, 1968. (1*)

Irwin, G. R.: Fracture, pp. 551-590 in S. Fliigge (ed.), “Encyclopedia of Physics,” vol. 6, Springer, Berlin, 1958.

Knott, J. F.: “Fundamentals of Fracture Mechanics,” Butterworths, London, 1973. (2*)

Broek, D.; “Elementary Engineering Fracture Mechanics,” 3. ed., Nijhoff, The Hague, 1982.(3*)

Rivlin, R. S., and A. G. Thomas: J. Polym. Sci., 10:291-318 (1953).

Williams, M. L.: J. Appl. Meeh., 24:109-114 (1957).

Irwin, G. R., J. Appl. Meeh., 29:651-654 (1962).

Sneddon, J. N.: Proc. Phys. Soc. London, 187:229-260 (1946).

Green, A. E., and J. N. Sneddon: Cambridge Phil: Soc., 46:159-163 (1950).

Gross, B., J. E. Srawley, and W. F. Brown, Jr.: NASA Tech. Note D-2395, 1964.

Gross, B., and J. E. Srawley: NASA Tech. Note D-2603, 1965.

Brown, W. F., Jr., and J. E. Srawley: Plane Strain Toughness Testing of High Strength Metallic Materials, ASTM STP 410, 1967. (4*)

Gross, B., and J. E. Srawley: Eng. Tract. Meeh., 4:587-589 (1972).

Muskhelishvili, N. I.: “Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity,” Noordhoff, Groningen, 1963. (5*)

Westergaard, H. M.: J. Appl. Meeh., 61-.A-49 (1939).

Sedov, L. I.. “A Course in Continuum Mechanics,” vol. 4, Volters-Noordhoff, Groningen, 1972.

Sih, G. C., and H. Liebowitz: pp. 67-190 in [20а]. (6*)

20a. Liebowitz, H. (ed.): “Mathematical Fundamentals,” vol. 2 of “Fracture,” Academic, New York, 1968.

Rice, J. R.. pp. 191-311 in [20а]. (7*)

Isida, M.: J. Appl. Meeh., 33:674-675 (1966),

Isida, M.: Eng. Fract. Meeh., ТТЛ-19 (1970).

Isida, M.: Eng. Fract. Meeh., 5:647-665 (1973).

Bowie, O. L.: J. Math. Phys., 35:60-71 (1956).

Bowie, O. L., and D. M. Neal: Eng. Fract. Meeh., 2:181-182 (1979).

Bowie, O. L.: J. Appl. Meeh., 31:208-212 (1964).

Keer, L. M., and J. M. Freedman: Int. J. Eng. Sci, 11:1265-1275 (1973).

Bueckner, H.: pp. 82-83 in Fracture Toughness Testing and Its Application, ASTM STP 381, 1965.

*' Имеющиеся переводы и работы отечественных авторов приведены в списке дополнительной литературы под номерами, указанными цифрами со звездочкой в скобках в конце ссылок.

Koiter, W, T.5 and J. P. Benthem: pp. 131-178, in G. C. Sih (ed.), “Mechanics of Fracture/’ Noordhoff, Leyden, vol. 1, 1973.

Feddersen, C: Discussion, p. 77, Plane Strain Crack Toughness Testing, ASTMSTP 410,1967.

Hellan, K.: Elementer av Analysen i Statisk Bruddmekanikk, Rep. Inst. Мек.» NTH, Trondheim, 1973.

Paris, P. C., and G. C. Sih: pp. 31-81 in Fracture Toughness Testing and Its Application, ASTM STP 381, 1965. (8*)

Sih, G. C: “Handbook of Stress Intensity Factors,” Lehigh University, Bethlehem, Pa., 1973.

Rooke, D. P., and D. J. Cartwright: “Compendium of Stress Intensity Factors,” H.M. Stationery Office, London, 1976.

Tada, H., P. C. Paris, and G. R. Irwin: “The Stress Analysis of Cracks Handbook,” Del Research, Hellertown, Pa., 1973.

Formelsamling i Hallfasthetslara, Inst. Haallfasthetslaera, KTH, Stockholm Publ. 104, 1978.

Carlsson, J.: “Brottmekanik,” Ingenjorsforlaget, Stockholm, 1976.

Chan, S. К., I. S. Tuba, and W. K. Wilson: Eng. Fract. Meeh., 2:1-17 (1970).

Mowbray, D. F.: Eng. Fract. Meeh., 2:173-176'(1970).

Aamodt, В., P. G. Bergan, and H. F. Klem: pp, 911-921 in Proc. 2d Int. Conf. Pressure Vessel Technol., San Antonio, 1973.

Parks, D. M.: Int. J. Fract., 10:487-502 (1974).

Hellen, T. K.: Int. J. Numer. Methods Eng., 9:187-207 (1975).

Hayes, D. J.: Int. J. Fract. Meeh., 8:157-165 (1972).

Tracey, D. M.: Eng. Fract. Meeh., 3:255-265 (1971).

Benzley, S. E.: Int. J. Numer. Methods Eng., 8:537-545 (1974).

Henshell, R. D., and K. G. Shaw: Int. J. Numer. Methods Eng., 9:495-507 (1975).

Barsoum, R. S.: Int. J. Numer. Methods Eng., 10:551-564 (1976).

Backlund, J., F. Nilsson, and K. Markstrom: Int. J. Fract., 13:250-252 (1977).

Bueckner, H. F.: Trans. ASME, 80:1225-1229 (1958).

Bueckner, H. F.: Z. Angew. Math. Meeh., 50:529-540 (1970).

Rice, J. R.: Int. J. Solids Struct., 8:751-758 (1972).

Carlsson, A. J.: Use of the Reciprocity Relation for Determination of Crack Parameters, pts.

I and II, Inst. Haallfasthetslaera, KTH, Stockholm Rep. 2, 3, 1975.

Labbens, R. C., J. Heliot, and A. Pellissier-Tanon, pp. 448-470 in Cracks and Fracture, ASTM STP^X, 1976.

Paris, P. C, R. M. McMeeking, and H. Tada: pp. 471^189 in Cracks and Fracture, ASTM STP 601, 1976.'

Petroski, H. J., and J. D. Achenbach: Eng. Fract. Meeh., 10:257-266 (1978).

Bowie, O. L, and P. G. Tracy: Eng. Fract. Meeh., 10:249-256 (1978).

Petroski, H. I: Int. J. Fract., 15:217-230 (1979).

Cruse, T. A.: Int. J. Solids Struct., 5:1259-1274 (1969).

Cruse, T. A., and W. Van Buren: Int. J. Fract. Meeh., 7:1-15 (1971).

Brebbia, C. A.: “The Boundary Element Method for Engineers,” Pentch, London, 1980.

Shah, R. C, and A. S. Kobayashi: Int. J. Fract. 9:133-146 (1973).

Hartranft, R. J., and G. C. Sih: pp. 179-238, in G. C. Sih (ed.), “Mechanics of Fracture, Noordhoff, Leyden, vol. 1, 1973.

Smith. F. W., and D. R. Sorensen: Int. J. Fract., 12:47-57 (1976).

Raju, I. S., and J. C. Newman, Jr.: Eng. Fract. Meeh., 11:817-829 (1979).

Hayashi, K., and H. Abe: Int. J. Fract., 16:275-285 (1980).

Tan, C. L., and R. T. Fenner: Int. J. Fract., 16:233-245 (1980).

8. Williams, ML: J. Appl. Meeh., 28:78-82 (1961).

Sih, G С, P. C. Paris, and F. Erdogan: J. Appl. AfecA., 29:306-312 (1962).

Isida, М.: pp. 143, in G. С. Sih (ed.), “Mechanics of Fracture,” Noordhoff, Leyden, vol. 3, 1977.

Heming, F. S., Jr.: Int. J. Fract., 16:289-304 (1980).

Folias,E.S.:Int.J.Fract.Meeh.,1:20-46 (1965).

Folias,E.S.:Int.J.Fract.Meeh.,1:104-113 (1965).

Folias,E.S.:Int.J.Fract.Meeh.,3:1-11 (1967).

Erdogan,F.,andJ.J. Kibler: Int.J. Fract. Meeh.,5:229-237 (1969).

Erdogan, F.: pp. 161-199, in G. C. Sih (ed.), “Mechanics of Fracture,” Noordhoff, Leyden, vol.

1977.

Barsoum, R. S., R. W. Loomis, and B. D. Stewart: Int. J. Fract., 15:259-280 (1979).

Bowie, O. L., and С. E. Freese: Int. J. Fract. Meeh., 8:49-58 (1972).

Snyder, M. D., and T. A. Cruse: Int. J. Fract., 11:315-328 (1975).

Konish, H. J., Jr.: pp. 99-116, in Fracture Mechanics of Composites, ASTM STP 593, 1975.

Williams, M. L.: Bull. Seismolog. Soc. Am., 49:199-204 (1959).

Rice, J. R., and G. C. Sih: J. Appl. Meeh., 32:418-423 (1965).

Malyshev, В. M., and R. L. Salagnik: Int. J. Fract. Meeh., 1:119-127 (1965).

Erdogan, F.: Eng. Fract. Meeh., 4:811-840 (1972).

Ashbaugh, N.: Int. J. Fract., 11:205-219 (1975).

Bogy. D. B.: J. Appl. Meeh., 38:377-386 (1971).

Theocaris, P. S., and E. E. Gdoutos: Int. J. Fract., 13:763-773 (1977).

Atkinson, C.: Int. J. Fract., 13:807-820 (1977).

Cominou, M.: J. Appl. Meeh., 4:631-636, 780-781 (1977).

Sanders, J. L.: NASA Tech. Rep. R13, 1959.

Рое, С. C.: pp. 79-97 in Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM STP 486, 1971.

Vlieger, H.: Eng. Fract. Meeh., 5:447-477 (1973).

Irwin, G. R.: pp. 63-78 in Proc. 7th Sagamore Ordnance Mater. Res. Conf., vol. 4, Syracuse University Press, Syracuse, N.Y., 1961.

Dugdale, D. S.: J. Meeh. Phys. Solids, 8:100-104 (1960).

Barenblatt,G. I.: pp. 56-131, in H. L. Dryden and T. von Karman (eds.), “Advances in Applied Mechanics,” Academic. New York, vol. 7, 1962.

Goodier, J. N.: Mathematical Theory of Equilibrium Cracks, pp. 1-66 in [20а]. (9*)

Goodier, J. N. and F. A. Field: pp. 103-118 in D. C. Drucker and J. J. Gilman (eds.), “Fracture of Solids,” Gordon and Breach, New York, 1963.

Bilby, В. A., A. H. Cottrell, and К. H. Swindon: Proc. R. Soc. A272:304-314 (1963).

Eshelby, J. D.: Solid State Phys., 3:79-144 (1956).

Sanders, J. L: J. Appl. Meeh., 27: 352-353 (1960).

Rice, J. R.: J. Appl. Meeh., 35:379-386 (1968).

Cherepanov, G. P.: Int. J. Solids Struct., 4:811-831 (1968).

Hull, J., and F. A. McClintock: pp. 51-58 in Proc. 9th Int. Cong. Appl. Meeh., Brussels, 1956.

Rice, J. R.: Int. J. Fract. Meeh., 2:426-447 (1966).

Rice, J. R.: J. Appl. Meeh., 34:287-298 (1967).

Rice, J. R.: J. Meeh. Phys. Solids, 22:17-26 (1974).

Levy, N., P. V. Marcal, W. J. Ostergren, and J. R. Rice: Int. J. Fract. Meeh., 7:143-156 (1971).

Tracey, D. M.: J. Eng. Mat. Technol., 98:146-151 (1976).

Sorensen, E. P.: pp. 151-174 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Rice, J. R., and G. F. Rosengren: J. Meeh. Phys. Solids, 16:1-12 (1968),

Hutchinson, J. W.: J. Meeh. Phys. Solids, 16:13-31 (1968).

McClintock, F.A.: pp. 48-227 in [112а]. (10*)

112a. Liebowitz, H. (ed.): “Engineering Fundamentals and Environmental Effects,” vol. 3 of “Fracture,” Academic, New York, 1969.

Hutchinson, J. W.: J. Meeh. Phys. Solids, 16:337-347 (1968).

Hilton, P. D., and J. W. Hutchinson: Eng. Fract. Meeh., 3:435-451 (1971).

Goldman, N. L, and J. W. Hutchinson: Int. J. Solids Struct., 11:575-591 (1975),

Amazigo, J. C.: Int. J. Solids Struct., 10:1003-1015 (1974).

McMeeking, R. M.: J. Meeh. Phys. Solids, 25:357-381 (1977).

Chitaley, A. D., and F. A. McClintock: J. Meeh. Phys. Solids, 19:147-163 (1971).

Amazigo, J. C., and J. W. Hutchinson: J. Meeh. Phys. Solids, 25:81-97 (1977).

Rice, J. R., and E. P. Sorensen: J. Meeh. Phys. Solids, 26:163-186 (1978).

Rice, J. R., W. J. Drugan, and T-L. Sham: pp. 189-221 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980..

Johnson, W., and P. B. Mellor: “Engineering Plasticity,’’ Van Nostrand Reinhold, London, 1973.

Hill, R.: J. Meeh. Phys. Solids, 1:19-30 (1952).

Hill, R., and J. W. Hutchinson: J. Meeh. Phys. Solids, 23:239-264 (1975).

Needleman, A.: J. Meeh. Phys. Solids, 20:111—127 (1972).

Storakers, B.: Arch. Meeh., 27:821-839 (1975).

Hill, R/, pp. 1-75, in С. C. Yih (ed.), “Advances in Applied Mechanics,’’ Academic, New York,, vol. 18, 1978.

Miles, J. P.: Arch. Meeh., 32:909-931 (1980).

Marciniak, Z., and K. Kuczynski: Int. J. Meeh. Sci., 9:609-620 (1967).

Storen, S., and J. R. Rice: J. Meeh. Phys. Solids, 23:421-441 (1975).

Rice, J. R.: pp. 207-220 in Proc. 14th Int. Cong. Theoret. Appl. Meeh., North-Holland, Delft,.

1976.

Hutchinson, J. W., and V. Tvergaard: Int. J. Solids Struct., 17:451-470 (1980).

Tvergaard, V., A. Needleman, and К. K. Lo: J. Meeh. Phys. Solids, 29:115-142 (1981).

McClintock, F. A., and G. R. Irwin: pp. 84-113 in Fracture Toughness Testing and Its. Applications, ASTM STP 381, 1965.(11*)

Ewing, D. J. F., and R. Hill: J. Meeh. Phys. Solids, 15:115-124 (1967).

Ewing, D. J. F., and С. E. Richards: J. Meeh. Phys. Solids, 22:27-36 (1974).

Green, A. P.: Q. J Meeh. Appl. Math., 6:223-239 (1953).

Green, A. P., and В. B. Hundy: J. Meeh. Phys. Solids, 4:128-145 (1956).

9. Irwin, G. R.: J. Appl. Meeh., 24:361-364 (19 57).

Irwin, G. R.: pp. 557-592 in Fracture Mechanics, Proc. 1st Symp. Nav. Struct. Meeh., Stanford University, 1958, Pergamon, New York, 1960.

Rice, J. R.: pp. 309-340 in T. Yokobori et al. (eds.), Proc. 1st Int. Conf. Fract.. Sendai. 1965. vol. 1.

Gurney, C, and J. Hunt: Proc. R. Soc. London, A299:508-524 (1967).

Gurney, C, and К. M. Ngan: Proc. R. Soc. London, A325:207-222 (1971).

Strifors, H.: pp. 63-66 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 197 7, Proc. 4th Int. Conj. Fract., Waterloo, Ontario, 1977, vol. 3.

Nguyen, Q. S.: pp. 315-330 in S. Nemat-Nasser (ed.), Three-Dimensional Constitutive Relations and Ductile Fracture, Proc. IUTAM Symp. Dourdan. France, 1980, North-Holland, Amsterdam, 1981.

Begley, J. A., and J. D. Landes: pp. 1-20 in Fracture Toughness, ASTM STP 514, 1972.

Bucci, R. J., P. C. Paris, J. D. Landes, and J. R. Rice. pp. 40-69 in Fracture Toughness, ASTM STP 514, 1972.

Rice, J. R., P. Paris, and J. Merkle: pp. 231-245 in Progress in Flaw Growth and Fracture Toughness Testing, ASTM STP 536, 1973.

Paris, P. C.: pp. 3-27 in Flaw Growth and Fracture, ASTM STP 631, 1977.

Sumpter, J. D. G., and С. E, Turner: pp. 312-329 in Cracks and Fracture. ASTM STP 601, 1976.

Turner^ С. Е.: рр. 23-210 in D. G. Н. Latzko (ed.), “Post-Yield Fracture Mechanics,” Applied Science, London, 1979.

Hickerson, J. P.:pp. 62^71 in Flaw Growth and Fracture, ASTM STP 631, 1977.

Merkle, J. G., and H. T. Corten: J. Pressure Vessel Technol., 96:286-292 (1974).

Landes. J. D., H. Walker, and G. A. Clarke: pp. 266-287 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP

668, 1979.

Srawley, IE.: Int. J. Tract., 12:470-474 (1976).

6. Paris, P. С., H, Ernst, and С. E. Turner: pp. 3 38-3 51 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

Ernst, H., P. C. Paris, M. Rossow, and J. W. Hutchinson: pp. 581-589 in Fracture Mechanics, ASTM STP 677, 1979.

Andersson, H.: J. Meeh. Phys. Solids, 21:337-356 (1973).

Hellan, K.: Energy Considerations in Static Fracture Mechanics, Inst. Mek. N.T.H. Trondheim, Publ. 73:6, 1973.

Andersson, H.: 7. Meeh. Phys. Solids, 22:285-308 1974.

Hellan, K.: Eng. Tract. Meeh., 8:501-506 (1976).

Miller, К. I, and A. P. Kfouri: Proc. Inst. Meeh. Eng., 190:48/76, 571-584 (1976).

Kfouri, A. P., and J. R. Rice: pp. 43-59 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 1977, Proc. 4th Int.

Conf. Tract., Waterloo, Ontario, 1977, vol. 1.

Hellan, K., and I. Lotsberg: Int. J. Tract., 13:539-543 (1977).

Atluri, S. N., et al.: pp. 56-66 in A. R. Luxmoore and D. R. I. Owen (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf., Swansea, 1978.

Lotsberg, L: pp. 496-507 in A. R. Luxmoore and D. R. I. Owen (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf., Swansea, 1978.

Kanninen, M. F., et al.: pp. 121-150 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Knowles, J. K., and E. Sternberg: Arch. Rational Meeh. Anal., 44:187-211 (1972).

Budiansky, B., and J. R. Rice: J. Appl. Meeh., 40:201-203 (1973).

Bui, H. D.7 Eng. Tract. Meeh., 6:287-296 (1974).

Strifors. H.: Int. J. Solids Struct., 10:1389-1404 (1974).

Carlsson, J.: pp. 139-160 in G. C. Sih et al. (eds.), “Prospects of Fracture Mechanics,” Noordhoff, Leyden, 1974.

Rice, J. R., and N. Levy: pp. 277-293 in A. S. Argon (ed.), “Physics of Strength and Plasticity,” MIT Press, Cambridge, Mass., 1969.

Bui, H. D., A. Ehrlacher, and Q. S. Nguyen: J. Mec., 19:697-723 (1980).

Cherepanov, G. P.. J. Appl. Math. Meeh., 31:503-512 (1967). (12*)

Gurtin, M. E.: Int. J. Solids Struct., 15:553-560 (1979).

Strifors, H.: Thermomechanical Theory of Fracture, Inst. Haallfasthetslaera, KTH, Stockholm, Rep. 27, 1980.

Strifors, H.: Thermomechanical Theory of Fracture Based upon the Linear Strain Tensor, Inst. Haallfasthetslaera, KTH, Stockholm, Rep. 28, 1980.

Gurtin, M. E.: Z. Angew. Math. Phys., 30:991-1003 (1979).

Hillerborg, A., M. Modeer, and P. E. Petersson: Cem. Concr. Res., 6:773-781 (1976).

Modeer, M.: A Fracture Mechanics Approach to Failure Analyses of Concrete Materials, Univ. Lund, Div. Build. Mater. Rep. TVBM-1001, 1979.’

Hillerborg, A.: Int. J. Cem. Compos. 4:177-184 (1980).

Backlund, J.: Comput. Struct., 13:145-154 (1981).

Janson, J.: Eng. Tract. Meeh., 9:891-899 1977.

Janson, J., and J. Hull: J. Mec. Appl., 1:69-84 (1977).

Esterlmg, D. M.: J. Appl. Phys., 47:486-493 (197.6).

Rice, J. R.: J. Meeh. Phys. Solids, 26:61-78 (1978).

Orowan, Е.: Weld. J. Res. SuppL, 34:157-160 (1955).

Irwin, G. R., and J. A. Kies: Weld. J. Res. SuppL, 19:193-198 (1954).

McClintock, F. A.: J. Appl. Meeh., 25:581-588 (1958).

Gurney, C., and Y. W. Mai: Eng. Fract. Meeh., 4:853-863 (1972); see also [142] and [143].

Clausing, D. P.: Int. J. Fract. Meeh., 5:211-227 (1969).

Krafft, J. M., A. M. Sullivan, and R. W. Boyle: pp. 8-28 in Proc. Crack Propag. Symp., Cranfield,. England, 1961, vol. 1.

Srawley, J. E., and W. F. Brown, Jr.: pp. 133-198 in Fracture Toughness Testing and Its Application, ASTM STP 381, 1965.(13*)

Wnuk, M. P.: J. Appl. Meeh., 41:234-242 (1974).

McCartney, L. N.: Int. J Fract., 14:429-438 (1978).

Tetelman, A. S., and A. J. McEvily: “Fracture of Structural Materials,” Wiley, New York, 1967.

8. Bluhm, J. I.: ASTM Proc., 61:1324-13 31 1961.

ASTM Standard E 399-81, Standard Test Methods for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic Materials, 1981.

Cottrell, A. H.: Iron Steel Inst. Spec. Rep. 69, 1961, p. 281.

Wells, A. A.: pp. 210-230 in Proc. Crack Propag. Symp., Cranfield, England, 1961, vol. 1.

Hahn, G. T., A. R. Rosenfield, and M. Sarrate: pp. 673-690 in M. F. Kanninen et al. (eds.), “Inelastic Behavior of Solids,” McGraw-Hill, New York, 1970.

Otsuka, A., T. Miyata, S. Nishimura, and Y. Kashiwagi: Eng. Fract. Meeh., 7:419-428 (1975).

Berry, G., and R. Brook: Int. J. Fract., .11:933—938 (1975).

Shih, C. F., H. G. deLorenzi, and W. R. Andrews: pp. 65-120 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Rice, J. R., and M. A. Johnson: pp. 641-672 in M. F. Kanninen et al. (eds.), “Inelastic Behavior of Solids,” McGraw-Hill, New York, 1970.

Broberg, К. B.: J. Meeh. Phys. Solids, 19:407-418 (1971).

Landes, J. D., and J. A. Begley: pp. 24-39 in Fracture Toughness, ASTM STP 514, 1972»

Begley, J. A., and J. D. Landes: Int. J. Fract., 12:764-766 (1976).

Robinson, J.N.: Int. J. Fract., 12:723-737 (1976).

Chipperfield, C. G.: Int. J. Fract., 12:873-886 (1976).

Underwood, J. H.: pp. 312-329 in Cracks and Fracture, ASTM STP 601, 1976.

Markstrom, K.: Eng. Fract. Meeh., 9:637-647 (1977).

McMeeking, R. M., and D. M. Parks: pp. 175-194 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Shih, G. F., and M. D. German: Int. J. Fract., 17:27-44 (1981).

Witt, F. J.: Eng. Fract. Meeh., 14:171-178 (1981).

Begley, J. A., and J. D. Landes: pp. 246-263 in Progress in Flaw Growth and Fracture Toughness Testing, ASTM STP 536, 1973.

Paris, P. С., H. Tada, A. Zahoor, and H. Ernst: pp. 5-36 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP

668, 1979.

Hutchinson, J. W., and P. C. Paris: pp. 37-64 in Elastic-Plastic Fracture. ASTM STP 668, 1979.

Kanninen, M. F., С. H. Popelar, and D. Broek: NucL Eng. Design, 67:Tl-55 (1981).

HeUan, K.: SINTEF Rep. STF16 A79094, Trondheim, 1979.

Shih, C. F.: J. Meeh. Phys. Solids, 29:305-326 (1981).

Mott, N. F.: Engineering, 165:16-18 (1948).

Roberts, D. K., and. A. A. Wells: Engineering, 178:820-821 (1954).

Berry, J. P.: J. Meeh. Phys. Solids, 8:194-216 (1960).

Eshelby, J. D.: Proc. Phys. Soc., A62:307-314 (1949).

Yoffe, E. H.. Phil. Mag., 12:739-750 (1951).

Broberg, К. B.: Arkiv Fys., 18:159-192 (1960).

Broberg, К. В.: J. Appl. Meeh., £1:546-547 (1964).

Craggs, J. W.: J. Meeh. Phys. Solids, 8:66-7 5 (1960).

Craggs, J. W.: pp. 51-63 in D. C. Drucker and J. J. Gilman (eds.), “Fracture in Solids,” .Wiley, New York, 1963.’

Baker, B. R.: J. Appl. Meeh., 29:449-458 (1962).

Carlsson, A. J.: Trans. R. Inst. TechnoL, Stockholm, 205, 1963.

Atkinson, C., and J. D. Eshelby: Int. J. Fract: Meeh., 4:3-8 (1968).

Erdogan, F.: pp 498-586 in [20а]. (14*)

Sih, G. C.: pp. 607-639 in M. F. Kanninen et al. (eds.), “Inelastic Behavior of Solids,” McGraw-Hill, New York, 1970.

Eshelby, J. D.: J. Meeh. Phys. Solids, 17:177-199 (1969).

Freund, L. B.: J. Meeh. Phys. Solids, 20:129-152 (1972).

Freund, L. B.: J. Elasticity, 2:341-349 (1972).

Nilsson, F.: Int. J. Fract. Meeh., 8:403-411 (1972).

Achenbach, J. D.: pp. 1-57 in S. Nemat-Nasser (ed.), “Mechanics Today,” Pergamon, New York, vol. 1, 1972.

Willis, J. R.: Phil. Trans. R. Soc., 274:435-491 (1973).

Nilsson, F.: J. Elasticity, 4:73-75 (1974).

Kostrov, В. V.: Int. J. Fract., 11: 47-56 (1975).

Nilsson, F.: Int. J. Solids Struct., 13:542-548, 113 3-1139 (1977).

Atkinson, C: Int. J. Eng. Sci., 12:491-506 (1974).

Rose, L.R.F.. Int. J. Fract., 12:799-813 (1976).

Freund, L. B.: pp. 55-91 in S. Nemat-Nassei (ed.), “Mechanics Today,” Pergamon, New York, vol. 3, 1976.

Shmuely, M., and Z. S. Alterman: J. Appl. Meeh., 40:902-908 (1973).

Shmuely, M., and D. Peretz: Int. J. Solids Struct., 12:67-79 (1976).

Shmuely, M., Int. J. Fract., 13:443^454 (1977).

Popelar, С. H., and P. C. Gehlen: Int. J. Fract., 15:159-177 (1979).

Perl. M.: pp. 509-523 in D. R. J. Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Int. Conf. Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Owen, D. R. J., and D. Shantaram; Int. J. Fract., 13:821-837 (1977).

Caldis, E. S., and D. R. J. Owen: pp. 553-568 in D. R. J. Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Int. Conf. Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Keegstra, P. N. R., J. L. Head, and С. E. Turner: pp. 634-647 in A. R. Luxmoore and D. R. J. Owen (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf. Swansea, 1978.

Malluck, J. F., and W. W. King: pp. 648-659 in A. R. Luxmoore and D. R. J. Owen (eds.). Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf., Swansea, 1978.

Rydholm, G., B. Fredriksson, and F. Nilsson: pp. 660-672 in A. R. Luxmoore and D. R. J. Owen (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf, Swansea, 1978.

Kobayashi, A. S., S. Mall, Y. Urabe, and A. F. Emery: pp. 673-684 in A. R. Luxmoore and D. R. J, Owen (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf., Swansea, 1978.

Brickstad, B., and F. Nilsson: Int. J. Fract., 16:71-84 (1980).

Brickstad, B., and F. Nilsson: pp. 478-487 in D. R. J. Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Int. Conf, Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Nishioka, T., and S. N. Atluri: J. Appl. Meeh., 47:570-585 (1980).

Nishioka, T., R. B. Stonesifer, and S. N. Atluri: pp. 489-507 in Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d. Int. Conf., Swansea, 1980.

Dahlberg, L., F. Nilsson, and B. Brickstad: pp. 89-108 in Crack Arrest Methodology and Application, ASTM STP 711, 1980.

Kishimoto, K., S. Aoki, and M. Sakata: Eng. Fract. Meeh., 13:387-394 (1980).

Kanninen, M. F.: pp. 612-633 in D. R. J.-Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Int. Conf., Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Kanninen, M. F.: Int. J. Fract., 10:415-430 (1974).

Malluck, J. F., and W. W. King: Int. J. Fract., 13:655-665 (1977).

Gehlen, P. С, С. H. Popelar, and M. F. Kanninen: Int. J. Fract., 15:281-294 (1979).

Hellan, K.: Int. J. Fract., 17:311-320 (1981).

Hellan, K.: pp. 457-471 in D. R. J. Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Ini. Conf., Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Bilek, Z. J., and S. J. Burns: J. Meeh. Phys. Solids^ 22: 85-95 (1974).

Burns, S. J., and Z. J. Bilek: Metall. Trans., 4:975-984 (1973).

Bilek, Z. J., and S. J. Burns: pp. 371-386 in G. C. Sih (ed.), “Dynamic Crack Propagation,’’ Noordhoff, Leyden, 1973.

Freund, L. B.: J. Meeh. Phys. Solids, 25:69-79 (1977).

Hellan, K.: Int. J. Fract., 14:91-100, 173-184 (1978).

Popelar, С. H.: pp. 24-37 in Crack Arrest Methodology and Application, ASTM STP 711, 1980.

Sokolowski, M.: Polska Akad. Nauk, Eng. Trans., 25:369-393 (1977).

Atkinson, C.: Arkiv Fys., 35:469-476 (1968).

Kanninen, M. F.: J. Meeh. Phys. Solids, 16:215-228 (1968).

Glennie, E. B.: J. Meeh, and Phys. Solids, 19:255-272, 329-338 (1971).

Achenbach, J. D., and M. F. Kanninen: pp. 649-670 in N. Perrone et al. (eds.), Fracture Mechanics, Proc. 10th Symp. Nav. Struct. Meeh., Washington, 1978, University Press of Virginia, Charlottesville, Va., 1978.

Achenbach, J. D., M. F. Kanninen, and С. H. Popelar: J. Meeh. Phys. Solids, 29:211-225 (1981)_

Achenbach, J. D., and V. Dunayevsky: J. Meeh. Phys. Solids, 29:283-303 (1981).

Slepyan, L. J.: Izv. Akad. Nauk. SSSR, Mekh. Tverd. Tela, 9:57-67 (1974). (15*)

Hahn, G. T., M. Sarrate, and A. R. Rosenfield: Int. J. Fract. Meeh.., 5:187-210 (1969).

Hahn, G. T., M. Sarrate, M. F. Kanninen, and A. R. Rosenfield: Ipt. J. Fract., 9:209-222 (1973).

Erdogan, F., F. Delale, and J. A. Owzarek, J. Pressure Vessel Technol., 99:90-99 (1977).

Emery, A. F., W. J. Love, and A. S. Kobayashi: J. Pressure Vessel Technol., 99:122-136 (1977).

Parks, D. M. and L. B. Freund: J. Pressure Vessel Technol., 100:13-17 (1978).

Parks, D. M., and L. B. Freund: pp. 3 59-378 in Crack Arrest Methodology and Application, ASTM STP 711, 1980.

McGuire, P. A., S. G. Sampath, С. H. Popelar, and M. F. Kanninen: pp. 341-358 in Crack Arrest Methodology and Application, ASTM STP 711, 1980.

Achenbach, J. D., and R. Nuismer: Int. J. Fracture Meeh., 7:77-88 (1971).

Nilsson, F.: Int. J. Solids Struct., 9:1107-1115 (1973).

Kelley, J. W., and С. T. Sun: Eng. Fract. Meeh., 12:13-22 (1979).

Mall, S., A. S. Kobayashi, and Y. Urabe: pp. 498-510 in Fracture Mechanics, ASTM STP 677, 1979.

Mall, S., A. S. Kobayashi, and F. J. Loss: pp. 70-85 in Crack Arrest Methodology and. Applications, ASTM STP 711, 1980.

Mall, S.: pp. 539-551 in D. R. J. Owen and A. R. Luxmoore (eds.), Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. 2d Int. Conf., Swansea, 1980, Pineridge, Swansea, 1980.

Hahn, G. T., R. G. Hoagland, and A. R. Rosenfield: pp. 1333-1338 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 1977, vol. 2, Proc. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, Ontario, 1977.

Atkinson, C.: Appl. Meeh. Rev., 32:123-135 (1979).

McClintock, F. A., and A. S. Argon: “Mechanical Behavior of Materials,” Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966. (16*)

Dieter, G. E.: “Mechanical Metallurgy,” 2d ed., McGraw-Hill, New York, 1976.

Coffin, L. F., Jr., Metall. Eng. Q., 3:15-24 (1963).

Manson, S. S.: “Thermal Stress and Low-Cycle Fatigue,” McGraw-Hill, New York, 1965.

Hertzberg, R. W.: “Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials,” Wiley, New York, 1976.

Paris, P. С., M. P. Gomez, and W. E. Anderson: The Trend in Eng., 13:9-14 (1961).

Paris, P. C., and F. Erdogan: J. Basic Eng., 85:528-534 (1963).

Liu, H. W.: J. Basic Eng., 83:23-31 (1961).

Liu. H. W.: J. Basic Eng., 85:116-122 (1963).

McClintock, F. A.: pp. 170-174 in Fatigue Crack Propagation, ASTM STP 415, 1967.

31L Rice, J. R.: pp. 247-309 in Fatigue Crack Propagation, ASTM STP 415, 1967.

Donahue, R. J., H. Mcl. Clark, P. Atamo, R. Kumble, and A. J. McEvily: Int. J. Fract. Mech.^ 8:209-219 (1972).

Klesnil, M., and P. Lukas: Eng. Fract. Meeh., 4:77-92 (1972).

Richards, С. E., and T. C. Lindley: Eng. Fract. Meeh., 4:951-978 (1972).

Forman, R. G., V. E. Kearney, and R. M. Engle: J. Basic Eng., 89:459-464 (1967).

Hoeppner, D. W., and W. E. Krupp: Eng. Fract. Meeh., 6:47-70 (1974).

Hult, J.: J. Meeh. Phys. Solids, 6:47-52 (1957).

McClintock, F. A.: pp. 65-102 in D. C. Drucker and J. J. Gilman, (eds.), “Fracture of Solids,” Wiley, New York, 1963.

Wnuk, M. P.: J. Appl. Meeh., 41:234-242 (1974).

Janson* J.: Eng. Fract. Meeh., 10:651-657 (1978).

Fiihring, H., and T. Seeger: Eng. Fract. Meeh., 11:99-122 (1979).

Elber, W.: Eng. Fract. Meeh., 2:37-45 (1970).

Elber, W.: pp. 230-242 in Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM STP 486, 1971.

Newman, J. C., Jr.: pp. 281-301 in Mechanics of Crack Growth, ASTM STP 590, 1976.

Nakagaki, M., and S. Atluri: Fatigue Eng. Mater. Struct., 1:421-429 (1979).

Williams, J. F., and D. C. Stouffer: Eng. Fract. Meeh., 11:547-557 (1979).

Matsuoka, S., and K. Tanaka: Eng. Fract. Meeh., 11:703-715 (1979).

Marci, G., and P. F. Packman: Int. J. Fract., 16:133-153 (1980).

Pelloux, R* M»> M. Faral, and W. M. McGee: pp. 35-48 in Fracture Mechanics, ASTM STP

700, 1980,

Weiss, V., and J. Mautz: pp. 154-168 in Cracks and Fracture, ASTM STP 601, 1976.

Chu, H. P.: pp. 245-263 in Fracture Toughness and Slow-Stable Cracking, ASTM STP 559, 1973.

Vosikovsky, O.: Eng. Fract. Meeh., 11:595-602 (1979).

Wastberg, S.: Inst. Haallfasthetslaera, KTH, Stockholm PubL 209, 1980.

Schijve, J.: Aeronaut. J., 75:517-532 (1970).

Schijve, J.: AGARD Conf. Proc. no. 118, Symp. Random Load Fatigue, 1972, pp. 3-3 to 3-119.

Gardner, F. H., and R. I. Stephens: pp. 225-244 in Fracture Toughness and Slow-Stable Cracking, ASTM STP 559, 1973.

Haibach, E., Darmstadt Lab. Betriebfestigk. T.M. 50/70, 1970.

338 Schijve, J.: pp. 3-34 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

McCartney, L. N.: Int. J. Fract., 14:213-232 (1978).

Palmgren, A.: Z. Vereines deutscher Ing., 68:339-341 (1924)

Miner, M. A.: J. Appl. Meeh., A12:159-164 (1945).

Schijve, J.: Eng. Fract. Meeh., 11:167-221 (1979).

Donaldsen, D. R., and W. E. Anderson: pp. 375-441 in Proc. Crack Propag. Symp., Cranfield, England, 1960, vol. 2.

Broek, D., and J. Schijve: Aircr. Eng., 38(ll):31-33 (1966).

Griffiths, J. R., and С. E. Richards: Mater. Sei. Eng., 11:305-310 (1973).

Dowling, N. E., and J. A. Begley: pp. 82-103 in Mechanics of Crack Growth, ASTM STP 590,. 1976.

Leis, N. E., and A. Zahoor: pp. 65-96 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

Sadananda, K., and P. Shahinian: pp. 152-163 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980*

McEvily, A. J. and R. W. Staehle (eds.): “Corrosion Fatigue,” National Association of Corrosion Engineering, Houston, 1972.

Gasc, C., J. Petit, P. Bouchet, and J. DeFouquet: pp. 867-872 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture

1977, Proc. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, 1977, vol. 2.

Haagensen, P, J.: pp. 905-910 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 1977, Proc. 4th Int. Corf. Tract., Waterloo, Ontario, 1977, vol. 2.

Craig, H. L., T. W. Crooker, and D. W. Hoeppner, (eds.), Corrosion-Fatigue Technology, ASTM STP 642, 1978.

Salivar, G. C., D. L. Creighton, and D. W. Hoeppner: Eng. Fract. Meeh., 14:337-352 (1981).

Wei, R. P., and G. W. Simmons: Int. J. Fract., 17:235-247 (1981).

Coffin, L. F., Jr.: Metall. Trans., 2:3105-3113 (1971).

Schaefer, A. O., and R. M. Curran (eds.): Symposium on Creep-Fatigue Interaction, ASME MPC-3, 1976.

Radon, J. С., С. M. Branco, and L. E. Culver: Int. J. Fract., 13: 595-610 (1977).

Plumtree, A., and N. G. Persson: pp. 821-830 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 1977, Proc.

4th Int. Conf. Fract., Waterloo, 1977, vol. 2.

Scarlin, R. B.: Metall. Trans., 8A:1941-1948 (1977).

Scarlin, R. B.: pp. 849-857 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture 1977, Proc. 4th Int. Conf. Fract.,. Waterloo, Ontario, 1977, vol. 2.

Logan, H. L.: “The Stress Corrosion of Metals,” Wiley, New York, 1966.

Brown, F. B.: Metall. Rev., 13:171-183 (1968).

Clark, W. G., Jr.: pp. 138-153 in Cracks and Fracture, ASTM STP 601, 1976.

Clark, W. G., Jr.: pp. 9 7-110 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

Broberg, H.: Creep Damage and Rupture, dissertation, Chalmers Tekniska Hogskola, Goteborg, 1975.

Nikbin, К. M., G. A. Webster, and С. E. Turner: pp. 627-634 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture

1977, Proc. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, Ontario, 1977, vol. 2.

Coleman, M. С., A. T. Price, and J. A. Williams: pp. 649-662 in D. M. R. Taplin (ed.), Fracture

1977, Proc. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, Ontario, 1977, vol. 2.

Dimelfi, R. J. and W. D. Nix: Int. J. Fract., 13:341-348 (1977).

Ewing, D, J. F.: Int. J. Fract., 13:101-117 (1978).

Janson, 3.: Eng. Fract., Meeh., 10:795-806 (1978).

Landes, J. D., and J. A. Begley: pp. 128-148 in Mechanics of Crack Growth, ASTM STP 590, 1976.

Yokobori, T., and H. Sakata: Eng. Fract. Meeh., 13:509-522 (1979).

Yokobori, T., H. Sakata, and T. Yokobori, Jr.: Eng. Fract. Meeh., 13:522-532 (1979).

Fu, L. S.: Eng. Fract. Meeh., 13:307-330 (1980).

Riedel, H., and J. R. Rice: pp. 112-130 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

Sadananda, K., and P. Shahinian: Eng. Fract. Meeh., 15:327-342 (1981).

Dahlberg, L.: Exempelsamling i Brottmekanik, Institutionen for Hallfasthetslara, KTH, Stockholm, 1976.

Brown, W. F., Jr., and J. E. Srawley: Plane Strain Crack Toughness Testing of High Strength Metallic Materials, ASTM STP 410, 1967,

Brown, W. F., Jr. (ed.): Review of Developments in Plane Strain Fracture Toughness Testing, ASTM STP 463, 1970.

Burdekin, F. M., and D. E. W. Stone: J. Strain Anal., 1:145-153 (1966).,

Ingham, T, G. R. Egan, and D. Elliot: pp. 200-216 in Inst. Meeh. Eng,, Conf. Pract, Appl. Fract. Meeh, to Pressure Vessel Technol., London, 1971.

British Standards Institution: Methods for Crack Opening Displacement Testing, BS 5762-1979, 1979.

Paranjpe^ S. A. and S. B. Banerjee: Eng. Fract. Meeh., 11:43-53 (1979).

de Castro, P. M. S. T., J. Spurrier, and P. Hancock: Int. J. Fract., 17:83-95 (1981).

Hickerson, J. P.: Eng. Fract. Meeh., 9:75-85 (1977).

Vassilaros, M. G., J. A. Joyce, and J. P. Gudas: pp. 251-270 in Fracture Mechanics, ASTM STP 700, 1980.

ASTM Standard E813-81: Standard Test for Jh, A Measure of Fracture Toughness, 1981.

Landes, J. D., and J. A. Begley: pp. 57-81 in Developments in Fracture Mechanics Test Method Standardization, ASTM STP 632, 1977.

Landes, J. D., and J. A. Begley: pp. 170-186 in- Fracture Analaysis, ASTM STP 560, 1974.

Keller, H. P., and D. Munz: pp. 217-231 in Flaw Growth and Fracture, ASTM STP 631, 1977.

Munz, D.: pp. 406-425 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Pisarski, H. G.. Int. J. Fract., 17:427-440 (1981).

Dawes, M. G.: pp. 307-333 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Shih, C. F., H. G. de Lorenzi, and W. R. Andrews: Int. J. Fract., 13:544-548 (1977).

Ritchie, R. O., W. L. Server, and R. A. Wullaert: Int. J. Fract., 14:329-334 (1978).

Willoughby, A. A.: Int. J. Fract., 15:R125-126 (1979).

Ritchie, R. O., W. L. Server, and R. A. Wullaert: Int. J. Fract., 15:R 139-141 (1979).

Carlsson, A. J.: Trans. R. Inst. Technol. Stockholm, 189, 1962.

Anctil, A. A., E. B. Kula, and E. diCesare: ASTM Proc., 63:799-810 (1963).

Gilbey. D. M., and S. Pearson: R. Aircr. Establ., Farnborough Tech. Rep. 66402, 1966.

Srawley, J. E., and W. F. Brown, Jr.: pp. 133-198 in Fracture Toughness Testing and Its Application, ASTM STP 381, 1965.

Davies, J., D. F. Cannon, and R. J. Allen: Nature, 225: 1240-1242 (19 70).

Pisarski, H. G., and S. J. Garwood: Weld. Inst. Res. Bull, 19:97-101 (1978).

Okumura, N., T. V. Venkatasubramanian, B. A. Unvala, and T. J. Baker: Eng. Fract, Me'ch.^ 14:617-625 (1981).

McCartney, L. N., P. E. Irvin, G. T. Symm, P, M. Cooper, and A. Kurzfeld: Nat. Phys. Lab. Tech. Rep. DMA(B)3, 1977.

Baudin, G., and H. Policella: pp. 1957-1964 in D. Francois (ed.), Advances in Fracture Research, Proc. Sth Int. Conf. Fract. Cannes, 1981.

Bardal, E., T. Berge, M. Grovlen, P. J. Haagensen, and В. M. Forre: SINTEF Rep. STF16 A81057, Trondheim, 1981.

Jilken, L.: Dissertation, Linkopings Tekniska Hogskola, Linkoping, 1978.

Jilken, L., and J. Backlund: Stiftelsen Svensk Skeppsforskning (SSF) Rap. 5610:9, Goteborg, 1977.

Gerberich, W. W., M. Stout, K. Jatavallabhula, and D. Atteridge: Int. J. Fract., 15:491—514 (1979).

Thaulow, C.: Mater. Sei. Eng., 40:133-135 (1980).

Kerkhof, F.: pp. 498-552 in K. Vollzath and G. Thomer (eds.), “Kurtzzeitphysik,” Springer, Vienna and New York, 1967.

Greenwood, J. H.: Int. J. Fract., 8:183-193 (1972).

Beevers, C. J. (ed.): “The Measurement of Crack Length and Shape during .Fracture and Fatigue,” Engineering Materials Advisory Services Ltd., Warley, U.K., 1980.

Robinson, J. N., and A. S. Tetelman: pp. 139-158 in Fracture Toughness and Slow-Stable Cracking, ASTM STP 559, 1974.

Fields, В. A., and К. J. Miller: Eng. Fract. Meeh., 9:137-146 (1977).

Lereim, J., and P. W. Lohne: Int. J. Fract.6,46:R.223-R.228'(1980).

Clarke, G. A., W. R. Andrews, P. C. Paris, and D. W. Schmidt: pp. 27-42 in Mechanics of Crack Growth, A^TM STP 590, 1976.

Joyce, J/A., and J. P. Gudas: pp. 451-468 in Elastic7Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Wilson, A. D.: pp. 469-492 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Bamford, W. H., and W. H. Bush: pp. 553-580 in Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 66%, 1979.

Turner, С. E., pp. 93-114 in Impact Testing of Materials, ASTM STP 466, 1970. (17*)

Instrumented Impact Testing, ASTM STP 563, 1974.

Ireland, D. R.: Dynamic Fracture Toughness, Weld. Inst.-ASTM Int. Conf., Cambridge, 1976, pap. 5.

IIW Commission X, UK Briefing Group on Dynamic Testing, Dynamic Fracture Toughness, Weld. Inst.-ASTM Int. Conf., Cambridge, 1976, pap. 11.

Fearnehough, G. D.: Dynamic Fracture Toughness, Weld. Inst.-ASTM Int. Conf., Cambridge, 1976, pap. 29.

Chioclov, D. D.: Dynamic Fracture Toughness, Weld. Inst.-ASTM Int. Conf. Cambridge, 1976, pap. 14.

Gunleiksrud, A., J. Troset, and C. Thaulow: SINTEF Rep. STF16 A80089, Trondheim, 1980.

Hahn. G. T., R. G. Hoagland, and A. R. Rosenfield: pp. 267-280 in G. C. Sih et al. (eds.), “Prospects of Fracture Mechanics,” Noordhoff, Leyden, 1974.

Hahn, G. T., R. G. Hoagland, M. F. Kanninen, and A. R. Rosenfield: Eng. Fract. Meeh., 7:58 3-591 (1975).

Hoagland, R. C., A. R. Rosenfield, P. C. Gehlen, and G. T. Hahn: pp. 177-202 in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627, 1977.

Gehlen, P. C, R. G. Hoagland, and С. H. Popelar: Int. J. Fract., 15:69-84 (1979).

Hahn, G. T., et al.: Battelle-Columbus Lab. Rep. NUREG/CR-0825, BMI-2025, 1978, pp.

2.49-2.54.

Manogg, P.: Dissertation 4/64, University of Freiburg, 1964.

Theocaris, P. S.: J. Meeh. Phys. Solids, 20:265-279 (1972).

Theocaris, P. S., and N. I. loakimidis: Eng. Fract. Meeh., 12:613-615 (1979).

43 7. Rosakis, A. J.: Eng. Fract. .Meeh., 13:3 31-347 (1980).

Theocaris, P. S., and G. A. Papadoupoulos: Eng. Fract. Meeh., 13:683-698 (1980).

Kalthoff, J. F., J. Beinert, and S. Winkler: pp, 161—176 in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627, 1977.

Kalthoff, J. F., J. Beinert, S. Winkler, and W. Klemm: pp. 109-127 in Crack Arrest Methodology and Applications, ASTM STP 711, 1980.

Kalthoff, J. F., S. Winkler, and J. Beinert: Int. J. Fract., 13:528-5 31 (1977).

Theocaris, P. S., and F. Katsamanis: Eng. Fract. Meeh., 10:197-210 (1978).

Theocaris, P. S., and J. Milios: Int. J. Fract., 16:31-51 (1980).

Theocaris, P. S., and J. Milios: Int. J. Solids Struct., 17:217-230 (1981).

Riley, W. F., and J. W. Dally: Expert. Meeh., 9:27N-33N (1969).

Kobayashi, A. S., B. G. Wade, W. B. Bradley, and S. T. Chiu: Eng. Fract. Meeh., 6:81-92 (1974).

Kobayashi, T., and J. W. Dally: pp. 257-273 in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP

627, 1977.

Kobayashi, A. S., and S. Mall: Expert. Meeh., 18:11-18 (1978).

Kobayashi, T, and J. W. Dally: pp. 189-210 in Crack Arrest Methodology and Applications, ASTM STP 711, 1980.

Burns, S. J., and C. L. Chow: pp. 228-240 in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627, 1977.

Carlsson, J., L. Dahlberg, and F. Nilsson: pp. 165-182 in G. C. Sih (ed.), Dynamic Crack Propagation, Proc. Int. Conf. Lehigh University, 1972, Noordhoff, Leyden, 1973.

Crosley, P. B., and E. J. Kipling: pp. 203-227, 372-391 in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627, 1977.

Theocaris, P. S., and E. Gdoutos: J. Appl. Meeh., 39:91-97 (1972).

Theocaris, P. S., and A. Stassinakis: Eng. Fract. Meeh., 14:363-372 (1981).

Barsom, J. M., and J. V. Pellegrino: Eng. Fract. Meeh., 5:209-221 (1973).

Priest, A. H.: Dynamic Fracture Toughness, Weld. Inst.-ASTM Int. Conf., Cambridge, 1976, paper 10" Carlsson [38].

Carlsson, J., S. G. Larsson, and K. Markstrom: “Kompendium i brottmekanik,” Institutionen for Hallfasthetslara, KTH, Stockholm, 1971.

Frost, N. E., L. P. Pook, and K. Denton: Eng. Fract. Meeh., 3:109-126 (1971).

Pook, L. P., and A. F. Greenan: Eng. Fract. Meeh., 5: 93 5-946 (1973).

Kaufman, J. G., R. L. Moore, and P. E. Schilling: Eng. Fract. Meeh., 2:197-210 (1971).

Sullivan, A. M., and T. W. Crooker: Eng. Fract. Meeh., 9:159-166 (1977).

Marandet, B., and G. Sanz: pp. 72-95 in Flaw Growth and Fracture, ASTM STP 631, 1977.

Pellini, W. S. et al.: Naval Res. Lab. Rep. 6300, Washington, 1965.

Hudson, С. M., and S. K. Seward: Int. J. Ffact., 14:R151-R184 (1978).

Hussain, M. A., S. L. Pu, and J. Underwood: pp. 2-28 in Fracture Analysis, ASTM STP 560, 1974.

Palaniswamy, K., and W. G. Knauss: pp. 87-148 in S. Nemat-Nasser (ed.), “Mechanics Today,” Pergamon, New York, vol. 4, 1978.

Erdogan, F., and G. C. Sih: J. Basic Eng., 85:519-527 (1963).

Shah, R. C.: pp. 29-52 in Fracture Analysis, ASTM STP 560, 1974.

Pook, L. R.: Eng. Fract. Meeh., 3:205-218 (1971).

. Williams, J. G., and P. D. Ewing: Int. J. Fract. Meeh., 8:441-446 (1972).

Finnic, L, and H. D. Weiss: Int. J. Fract., 10:136-137 (1974).

Wu, С. H.: J. Appl. Meeh., 45:553-558 (1978).

Cotterell, B., and J. R. Rice: Int. J. Fract., 16:155-159 (1980).

Hayashi, K., and S. Nemath-Nasser: J. Appl. Meeh., 48:521-524 (1981).

Sih, G. C.: Int. J. Fract., 10:305-321 (1974).

Sih, G. C. (ed.): “Mechanics of Fracture,” Noordhoff, Leyden, vol. 3, 1977.

Badaliance, R.: Eng. Fract. Meeh., 13:657-666 (1980).

Broek, D.: Nat. Lucht- Ruimtevaartlab. Amsterdam, NLR-TR М2152, 1965.

Brown, W. F., Jr. and H. M. Jones: pp. 63-101 in Review of Developments in Plane Strain Fracture Toughness Testing, ASTM STP 463, 1970.

Heyer, R. H., and D. E. McCabe: Eng. Fract. Meeh., 4:393-412 (1972).

Heyer, R. H.. and D. E. McCabe: Eng. Fract. Meeh., 4:413-430 (1972).

Heyer, R. H.: pp. 3-16 in Fracture Toughness Testing by R-Curve Methods, ASTM STP 527, 1973.

Ripling, E. J., and E. Falkenstein: pp. 36-47 in Fracture Toughness Testing by R-Curve Methods, ASTM STP 527, 1973.

Gurney, C, Y. W. Mai, and R. C. Owen: Proc. R. Soc. London, A340:213-231 (1974).

Owen, R. C., Y. W. Mai, and C. L. Chow: Int. J. Fract., 12:3-17 (1976).

Mai, Y. W., A. G. Atkins, and R. M. Caddell: Int. J. Fract., 12:391-407 (1976).

Novak, S. R.: Resistance to Plane-Stress Fracture, ASTM STP 591, 1974.

ASTM Standard E561-81: Standard Practice for R-Curve Determination, 1981.

Beachem, C. D., and R. M. N. Pelloux: pp. 210-244 in Fracture Toughness Testing and Its Applications, ASTM STP 381, 1965. (18*)

Electron Fractography, ASTM STP 436, 1967.

Strauss, В. M., and W. H. Cullen (eds.): Fractography in Failure Analysis, ASTM STP 645, 1978.

Beachem, C. D.: pp. 243-349 in [492а]. (19*)

492a. Liebowitz, H. (ed.): “Microscopic and Macroscopic Fundamentals,” vol. 1 of “Fracture,” Academic, New York, 1968.

American Society for Metals: “Metals Handbook,” vol. 9, Metals Park, Ohio, 1974.

Curry, D. A.: Cleavage Mechanisms of Crack Extension in Steels, in Micromechanisms of Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Knott, F.: Micromechanisms of Fibrous Crack Extension in Engineering Alloys, in Micromechanisms of Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

McClintock, F. A.: J. Appl. Meeh., 35:363-371 (1968).

Rice, J. R., and D. M. Tracey: J. Meeh. Phys. Solids, 17:201-217 (1969).

Tracey, D. M.: Eng. Tract. Meeh., 3:301-315 (1971).

Hellan, K.: Int. J. Meeh. Sci., 17:369-374 (1974).

McClintock, F.: pp. 307-326 in A. S. Argon (ed.), “Physics of Strength and Plasticity,” The M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1969.

Needleman, A.: J. Appl. Meeh., 39:964-970 (1972).

Nagpal, V., and F. A. McClintock: pp. 365-3 8 5 in A. Sawczuk (ed.), “Foundations of Plasticity,” Noordhoff, Leyden, 1973.

Thomason, P. F.: J. Inst. Met., 36:360-365 (1968).

Thomason, P. F.: Int. J. Tract. Meeh., 7:409-419 (1971).

Willoughby, A. A., T. J. Baker, and P. L. Pratt: The Influence of Void Shape and Orientation on Ductile Fracture, in Micromechanisms of Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Tvergaard, V.: Int. J. Tract., 17:389-407 (1981).

Eriksson, K.: Scand. J. Metall., 4:131-139 (1975).

Tanaka, J. P., C. A. Pampillo, and J. R. Low, Jr.: pp. 191-215 in Review of Developments in Plane Strain Fracture Toughness Testing, ASTM STP 463, 1970.

Cocks, A. C. F., and M. F. Ashby: Intergranular Fracture during Power-Law Creep under Multiaxial Stresses, Camb. Univ. Eng. Dept., CUED/C/MATS/TR 58, 1979.

Argon, A. S., I. W. Chen, and C. W. Lau: Mechanics and Mechanisms of Intergranular Cavitation in Creeping Alloys, in Three-Dimensional Constitutive Relations and Ductile Fracture, Proc. IUTAM Symp., Dourdan, June 1980.

Rice, J. R.: Creep Cavitation at Grain Interfaces, in Three-Dimensional Constitutive Relations and Ductile Fracture, Proc. IUTAM Symp., Dourdan, June 1980.

Wood, W. A.: Some Basic Studies of Fatigue in Metals, in B. L. Averbach et al. (eds.), “Fracture,” Wiley, New York, 1959.

Wood, W. A.: Bull. Inst. Met., 3:5-6 (1955).

Cottrell, A. H., and D. Hull: Proc. R. Soc. London, 242A:211-217 (1957).

Avery, D. H., and W. A. Backofen: Nucleation and Growth of Fatigue Cracks, pp. 339-389 in D. C. Drucker and J. J. Gilman, (eds.), “Fracture of Solids,” Wiley, New York, 1963.

Grosskreutz, J. C.: A Critical Review of Micromechanisms in Fatigue, in J. D. Burke, N. L. Reed, and V. Weiss (eds.), “Fatigue: An Interdisciplinary Approach,” Syracuse University Press, Syracuse, N.Y., 1964.

Plumbridge, W. J., and D. A. Ryder: Metall. Rev., 14(136): 119-142 (1969).

Laird, C.: pp. 131-168 in Fatigue Crack Propagation, ASTM STP 415, 1967.

Schijve, J., pp. 533-534 in Fatigue Crack Propagation, ASTM STP 415, 1967.

Pelloux, R. M. N.: ASM Trans., 62:281-285 (1969).

Bowles, C. Q., and D. Broek: Inst. J. Tract. Meeh., 8:75-85 (1972).

American Society for Metals: “Fatigue and Microstructure,’’ Metals Park, Ohio, 1979,

Tomkins, B.: Micromechanisms of Fatigue Growth at High Stress, in Micromechanisms of Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Ashby. M. F.: Micromechanisms of Fracture in Static and Cyclic Failure. Camb. Univ. Eng. Dept. CUED/C/MATS/TR.51, 1979.

Bradt, R. C., D. P. H. Hasselman, and F. F. Lange (eds.): “Fracture Mechanics of Ceramics,” 2 vols., Plenum, New York, 1974.

Pratt, P. L.: Micromcchanisms of Crack Extension in Ceramics, in Micromechanisms and Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Gilbertson, L. N., and R. D. Zipp (eds.): Fractography and Materials Science, ASTM STP 733, 1981.

Kinloch, A. J.: Micromechanisms of Crack Extension in Polymers, in Micromechanisms and Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Henning Kausch, H., J. A. Hassel, and R. I. Jaffee (eds.): “Deformation and Fracture of High Polymers,’’ Plenum, New York, 1973.

Composite Materials: Testing and Design, ASTM STP 674, 1979.

Harris, B.: Micromechanisms of Crack Extension in Composites, in Micromechanisms and Crack Extension, Met. Soc.-Inst. Phys. Symp., Cambridge, March-April 1980.

Derucher, K. N., pp. 664-679 in [530].

Ouchterlony, F.: Review of Fracture Testing of Rock, Solid Meeh. Arch., 7:131-211 (1982).

Fatigue of Composite Materials, ASTM STP 569, 1975.

Liu, H. W. (ed.): The Fatigue of Non-Metals, Int. J. Tract., vol. 16 no. 6 (1980).

Budiansky, B., J. W. Hutchinson, and B. Slutsky: pp. 13-45 in H. G. Hopkins and M. J. Sewell (eds.). .“The Mechanics of Solids,’’ The Rodney Hill 60th Anniversary Volume, Pergamon, London, 1982.

Rolfe, S. T., and J. M. Barsom: “Fracture Control in Structures,” Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1977.

Gurney, T. R.: “Fatigue of Welded Structures,” 2d ed., Cambridge University Press, London, 1979.'

Masubuchi, K.: “Analysis of Welded Structures,” Pergamon, London, 1980.

Munse, W. H.: pp. 3 71448 in [540а]. (2 0*)

540a. Liebowitz, H. (ed.): “Engineering Fracture Design,” vol. 4 of “Fracture,” Academic, New York, 1969.

Maddox, S. J.: Int. J. Tract., 11:221-243 (1975).

Berge, S., and H. Myhre: Norwegian Marit. Res. 1, 1977.

British Standard Institute: Guidance on Some Methods for the Derivation of Acceptance Levels for Defects in Fusion Welded Joints, BSI Publ. Doc., 6493:80, 1980.

Duffy, A. R., G. M. McClure, R. J. Eiber, and W. A. Maxey: pp. 159-232 in [544а]. (21*)

544а. Liebowitz, H. (ed.): “Fracture Design of Structures,” vol. 5 of “Fracture,” Academic, New York, 1970.

McGonnagle, W. J.: pp. 371-430 in [112а].

Weibull, W.: Ingenioersvetenskapakad. Handl. 151, 1939.

Weibull, W.: Ingenioersvetenskapakad. Handl. 153, 1939.

Weibull, W.: J. Appl. Meeh., 1^:293-291 (1951).

Batsdorf, S. B., and J. G. Crose: J. Appl. Meeh., 41:459-464 (1974).

Stanley, P., A. D. Sivill, and H. Fessler: Proc. Sth Int. Conf. Expert. Stress Anal.., Udinev 1974, pap. 22.

Matsuo, Т.: Eng. Fract. Meeh., 14:527-538 (1981).

Jayatilaka, A. de S., and K. Trustrum: J. Mater. Sei., 12:1426-1430 (1977).

jayatilaka, A. de S.: “Fracture of Engineering Brittle Materials,” Applied Science Publishers, London, 1979.

Hunt, R. A., and L. N. McCartney: Int. J. Fract., 15:365-375 (1979).

McCartney, L. N.: Int. J. Fract., 15:477—487 (1979).

Freudenthal, A. M.: pp. 592-619 in [20а].

Shih, T. T.: Eng. Fract. Meeh., 13:257-271 (1980).

Carlsson, J.: pp. 417-428 in L. H. Larsson (ed.), “Advances in Ehsto-Plastic Fracture Mechanics,” Applied Science Publishers, London, 1980.

Nilsson, F.: Inst. Haallfasthetslaera, KTH Stockholm Rapp. 19, 1975.

Hasebe, N., and J. Iida: Eng. Fract. Meeh., 10:773-782 (1978).

Gross, B., and A. Mendelsohn: Int. J. Fract. Meeh., 8:267-276 (1972).

Rooke, D. P., F. J. Baratta, and D. J. Cartwright: Eng. Fract. Meeh., 14:397-426 (1981).

Backlund, J., and S. Sjostrom: pp. 787-797 in A. R. Luxmoore and D. R. J. Owen (eds.)„ Numerical Methods in Fracture Mechanics, Proc. Int. Conf., Swansea, 1978.

Lotsberg, I., and P. Bergan: Eng. Fract. Meeh., YIVWAI (1979).

Irwin, G. R.: pp. 204-229 in E. R. Parker (ed.), “Materials for Missiles and Spacecraft/* McGraw-Hill, New York, 1963.

Darlaston, J. L., and R. P. Harrison: pp. 165-172 in P. Stanley (ed.), “Fracture Mechanics ill Engineering Practice,” Applied Sciences Publishers, London, 1976.

Dowling, A. R., and С. H. A. Townley: Int. J. Pressure Vessels Pip., 3:77-108 (1975).

Harrison, R. P., and I. Milne: pp. 69-82 in P. Stanley (ed.), “Fracture Mechanics in Engineering Practice,” Applied Sciences Publishers, London, 1976.

Harrison, R. P., K. Loosemore, 1. Milne, and A. R. Dowling: Cent. Elec. Generating Board Rep* R/H/R6-Rev. 2, 1980.

Chelh G. G.: pp. 581-605 in .Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, 1979.

Milne, L: Mater. Sei. Eng., 39:65-79 (1979).

Burdekin, F. M., and M. G. Dawes: pp. 28-37 in Proc. Inst. Meeh. Eng. Conf. Pract, Apph Fract* Meeh. Pressure Vessel Technol. London, 1971.

de Koning, A. U.: Nat. Lucht- Ruimtevaartlab. Amsterdam NLR MP 75035 U, 1975.

Lereim, J.: Eng. Fract. Meeh., 18:703-715 (1983).

Gurney, T. R.: Weld. Inst. Res. Rep. 88/1979, Cambridge,1979.

Gurney, T. R.: The Influence of Thickness on the FatigueStrengthof WeldedJoints,2d Int*

Conf. Behaviour Off-Shore Struct., London, 1979:

Pook, L. P.: Nat. Eng. Lab. Rep. 561, Glasgow, 1974.

Berge, S., and K. Engesvik: Proc. Int. Conf. Steel MarineStruct.Paris,1981,pap.2.5.

Hasselman, D. P. H.. pp. 89-103 in W. W. Kriegel and H. Palmour (eds,), “Ceramics in Severe Environments,” vol. 5 of “Materials Science Research,” Plenum, New York, 1971,

Hasselman, D. P. H.: J. American Ceramic Society, 11:600-604, (1969).

Rockley, D. P.: “An Introduction to Industrial Radiology,” Butterworths, London, 1964.

Krautkramer, J., and H. Krautkramer: “Werkstoffpriifung mitt Ultraschall,” Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.

Birnbaum, G., and G. Free (eds.): Eddy-current Characterization of Materials and Structures^ ASTM STP 722, 1981.

Williams, R. W.: “Acoustic Emission,” Adam Hilger Ltd., Bristol, 1980.

American Society for Metals: “Case Histories in Failure Analysis,” Metals Park, Ohio, 1979»

1*. Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол. — М.: Мир, 1971. •— 272 с.

2*. Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения. — М.: Металлургия, 1978. — 256 с.

3*. Броек Д. Основы механики разрушения. — М.: Высшая школа, 1980.— 367 с.

. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации. — М.: Мир, 1972.— 246 с.

. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.

. Си Дж. К-, Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Р. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 2, с. 83— 203.

. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1974, т. 2, с. 204—335.

. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин. — В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 64—142.

. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 2, с. 13—82.

*. А!акклинток Ф. А. Пластические аспекты разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 3, с. 67—262.

Iх. Макклинток Ф. А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разрушения. — В кн.: Прикладные вопросы механики разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 143—212.

*. Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде. — Прикл. матем. и мех., 1967, т. 31, № 3, с. 476—488.

*. Сроули Дж. Е., Браун В. Ф. Методы испытаний на вязкость разрушения.— В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 213—297.

*. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 2, с. 521—615.

*. Слепян Л. И. Растущая трещина при плоской деформации упруго-пластического тела. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1974, № 1, с. 57—67.

*. Макклинок Ф. А., Аргон А. С. Деформация и разрушение материалов.— М.: Мир, 1970. — 444 с.

*. Тернер К. Измерение вязкости разрушения при ударном испытании с ос- циллографированием —В кн.: Ударные испытания металлов. — М.: Мир, 1973, с. 100—122.

*. Бичем К. Д., Пеллу Р. М. Электронная фрактография — средство изучения микромеханизма процесса разрушения. — В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 311—348.

*. Бичем К. Д. Микропроцессы разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1973, т. 1, с. 265—373.

. Мюнзе У. X. Хрупкое разрушение в сварных конструкциях. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Машиностроение, 1974, с. 333— 385.

. Даффи А. Р., Макклур Дж. М. Практические примеры расчета на сопротивление хрупкому разрушению трубопроводв под давлением. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Машиностроение, 1977, с. 146— 209. '

Прикладные вопросы вязкости разрушения: Пер. с англ./Под ред. Б. А. Дроздовского. — М.: Мир, 1964. — 552 с

Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. — ЖПМТФ, 1967, № 6, с. 88—128.

J) Составлено редактором перевода.

Седов Л. И. Механика сплошной среды. — Т. 2, гл. XI. — М.: Наука^ 1984. —560 с.

Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.— 640 с.

Качанов Л. М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974.— 311 с.

Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения.— М.: Наука, 1-е изд., 1974. — 416 с.; 2-е изд., 1985. — 503 с.

Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1968. — 246 с.

Махутов Н. А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению — М/ Машиностроение, 1972.— 201 с.

Васильченко Г. С., Кошелев П. Ф. Практическое применение механики разрушения для оценки прочности конструкций. — М.: Наука, 1974.— 147 с.

Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных материалов.— Т. 2. — М/. Машиностроение, 1974. — 320 с.

Разрушение: Пер. с англ./Под ред. Г. Либовица.

Т. 1. — М.: Мир, 1973. —616 с.

Т. 2. — М.: Мир, 1975. — 764 с.

Т. 3 — М.: Мир, 1976. —797 с.

Т. 4. — М.: Машиностроение, 1977. — 400 с.

Т. 5. — М/ Машиностроение, 1977. — 464 с.

Т. 6. — М.: Металлургия, 1976. — 496 с.

Т. 7. — М.: Металлургия, 1976. — Ч. I. — 434 с. Ч. П. — 470 с.

Леонов М. Я. Механика деформаций и разрушения. — Фрунзе: Илим, 1981. —237 с.

Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука.— 744 с.

Андрейкив А. Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при слож ном напряженном состоянии. — Киев: Наукова думка, 1979.— 144 с.

Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел: Пер. с англ.'—М.: Металлургия, 1971.'—264 с.

Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов: Пер. с англ — Киев1 Наукова думка, 1978. — 358 с.

Каминский А. А. Механика разрушения вязкоупругих тел. — Киев: Наукова думка, 1980.— 160 с.

Каминский А. А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий. — Киев: Наукова думка, 1982.— 158 с.

Красовский А. Я. Хрупкость металлов при низких температурах. — Киев: Наукова думка, 1980. — 337 с.

Махутов Н. А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. — М.: Машиностроение, 1981. — 272 с.

Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука, 1980. — 254 с.

Морозов Е. М. Расчет на прочность конструкционных элементов с трещинами* Учебн. пособие для слушателей заочных курсов повышения квалификации инженеров-конструкторов в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1982. — 48 с

Морозов Н. Ф. Математические вопросы механики трещин. — М.: Наука, 1984.-256 с.

Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещино- стойкости конструкционных материалов. — Киев: Наукова думка, 1977. — 278 с.

Партон В. 3., Черепанов Г. П. Механика разрушения. — В кн.: Механика в СССР за 50 лет. — М.: Наука, 1972, с. 365—467.

Саврук М П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1981. — 324 с.

Слепян Л. И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1981. — 295 с.

Солнцев С. С., Морозов Е. М. Разрушение стекла. — М.: Машиностроение, 1978. — 152 с.

Финкель В. М. Физика разрушения. — М.: Металлургия, 1970. — 376 с.

Финкель В. М. Физические основы торможения разрушения. — М.: Машиностроение, 1977. — 366 с.

Финкель В. М. Портрет трещины. — М.: Металлургия, 1981. — 160 с.

Колинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях: Пер. с англ./Под ред. Э. И. Григолюка. — М.: Мир, 1984. — 624 с.

Потак Я. М. Хрупкие разрушения стали и стальных деталей. — М.: Обо- ронгиз, 1955. — 390 с.

Фридман Я. Б., Механические свойства металлов. — М.: Машиностроение^ 1974,— т. 1. — 472 с.; т. 2. — 368 с.

Дроздовский Б. А., Фридман Я. Б. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей. — М.: Металлургиздат, 1960. — 260 с.

Серенсен С. В. Сопротивление материалов усталостному и хрупкому раз рушению. — М.: Атомиздат, 1975.— 192 с.

Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. — М.: Наука, 1983.—296 с.

Партон В. 3., Борисовский В. Г. Динамическая механика разрушения. — М/ Машиностроение, 1985. — 264 с.

Владимиров В. И. Физическая природа разрушения металлов. — М.- Металлургия, 1984.'— 280 с.

Витвицкий П М., Полина С. Ю. Прочность и критерии хрупкого разрушения стохастически дефектных тел. — Киев: Паукова думка, 1980.— 187 с.

Мирсалимов В. М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами.— Баку: Элм, 1984.— 123 с.

Дмитриев Ф. Д. Крушения инженерных сооружений. — М.: Стройиздат, 1953. — 188 с.

Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. — Киев: Паукова думка, 1983. — 296 с.

Гузь А. Н., Дышель М. Ш., Кулиев Г. Г., Милованова О. Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. — Киев: Паукова думка, 1981.— 184 с.

Сиратори М, Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения; Пер. с англ./Под ред. Е. М. Морозова. — М.: Мир, 1986. — 336 с.

Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. — Киев: Паукова думка, 1976.— 444 с.

Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. — М.: Машиностроение, 1984. — 312 с.

Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных усло- виях/Под ред. Г. С. Писаренко. — Киев: Паукова думка, 1981. — Т. 1.— 531 с.; т. 2.- 766 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Акустическая эмиссия 186, 231, 334

Амазиго решение 87

Амплитуда нагрузки 167

— цикла 165

Анализ предельный 281

Анизотропный материал 323

Антиплоские задачи 300

Антиплоское состояние

— динамики 151

— определение 20

— упругая задача 20

— упругопластическая задача 36 Атомная решетка 210—211

Балка двухконсольная (ДКБ-обра- зец) 75, 101, 175, 192

Баренблатта зоны сцепления 90

Бетон 93

Бетти взаимности теорема 25, 323

Бигли метод мультиобразца 186

Бифуркации 58, 59

Бови решение задачи о трещине 233

Британский стандарт BS5762 184

Броберга гипотезы 127

Белера диаграммы 332

Ветвление трещины 154, 155

Волна поперечная 315

— продольная 315

Вязкость разрушения 107, 180, 193, 201, 333

— статическая 178

Гриффитса теория 97

Дагдейла модель 30, 35, 122, 124, 245, 324

Движение безвихревое 315

— изохорное 315

Дефектоскопия ультразвуковая 188, 231, 334

Деформация плоская 115, 273

динамическая 314

пластическая 62, 63

Деформация плоская упругая 15, 291

упругодинамическая 150, 314—

319

упругопластическая 28, 29, 50, 51, 62, 63

— — упругопластическая динамическая 331

— трещины 10

Деформирование пластическое 272

упругое 275

— — упругопластическое 277

— пропорциональное 59

■— типа I упругопластическое 45

— типа III упругопластическое 36

Жидкости проникающие 231

Защита катодная 174

Зона J-доминантная 130

Зона сцепления 90

— пластическая 26

антиплоское состояние 38, 42

плоская деформация 26—33, 45—50, 62—63

при усталости 172

размеры 27—33, 44—45, 49

Изгиб пластин 323

Излом 115

Интеграл (J-интеграл) 33, 84, 91, 127, 182, 308, 328, 329

— графическая интерпретация 84

— инвариантность 308

Интегралы эллиптические 43

Интрузия 223

Ирвина аппроксимация 27

— поправка 116, 124

Испытания неразрушающие 186, 231

Кастильяно теорема 312

Керамика 217

Клапейрона теорема 312

Композиты волокнистые 93

Контроль текущий 231

Коэффициенты интенсивности напряжений 23, 48, 76, 78, 162

динамический 317

Коэффициенты интенсивности напряжений для бесконечной пластины 235

критический 107

пластический 54, 57

таблицы 303—308

Коэффициенты перехода 320

Критерий J-интеграла 127

— раскрытия трещины 121, 126

Линейная механика разрушения (ЛМР)

— введение 104, 327

— квазилинейная формулировка 114

— ограничения на размеры образца 108, 178

— при устойчивом росте трещины НО, 118, 245

Линии скольжения 38, 46

Методы граничных уравнений 26, 323 — конечных элементов 88, 25, 49, 122, 246, 251

— R-кривых ПО, 117, 137, 156, 329

— степенных рядов 15

— функций комплексного переменного 40, 291

— экспериментальные 177

— энергетический 25, 325

Мизеса критерий 281•

Модуль разрыва 133

— сдвига 275

Нагрузка предельная 58

Надрез боковой 233

— в виде «шеврона» 179

Напряжения

— волна 146

— девиатор 50, 267

— инварианты 266

— интенсивность 50

— остаточные 173, 230, 255

— сингулярные 81

— тензор 264

Неустойчивость пластическая 58

Неустойчивый рост трещины 100, 255

Нормы приемки 229, 337

Образование шейки 27, 60, 218

Ограничения на J-интеграл 133 ■толщину образца 108, 178, 185, 186

Орована гипотеза 106

Париса закон 165

Пластичность идеальная 45

— с упрочнением 50

Плоское напряженное состояние

— пластическая задача 63, 285—290

— упругое решение 15, 291

— упругое динамическое решение 153, 319

— упругопластическая динамическая задача 331

— упругопластическая задача 29

Плотность диссипации 70

Поверхность волокнистая 11, 215

— раздела биметаллов 310

Податливость

— определение в опыте 139

— функция 25, 74

Поры

— рост 60, 104, 217

— слияние 60, 122, 159, 216, 221

Потеря устойчивости 138

Прандтля поле линий скольжения 46, 47, 61

Принцип виртуальных работ 69

— максимума пластической работы 277

Проектирование с учетом трещин 252

Пуассона коэффициент 275

Пульсирующая нагрузка 161 —176

Размах коэффициента интенсивности' 168, 199

Разрушение волокнистое 215

— вязкое 215

— межзеренное 214

— полосы с трещиной 12

— при усталости 222

— путем отрыва 209

— смешанное 61, 115

Разрушение

— вязкость 107

— зона 8, 67

механика квазилинейная 114

нелинейная 121—138, 242—251

линейная 104

прикладная 229

— микромеханика 209

— поверхность рифленая 115

— удельная работа 67—70, 82, 87,.

102, 246

Райса оценка 48

Раскрытие трещины

— антиплоское состояние 40, 43

— использование при проектировании 338

— критическое значение 122, 123, 128'

— маломасштабное пластическое течение 33, 43, 48, 121

— оценка 300

—• плоская деформация 35, 48, 49, 122

— плоское напряженное состояние 33, 123

— связь с J-интегралом 33, 128, 185

— циклическое нагружение 164

— экспериментальные методы определения 180

Растрескивание ногтевидное 115

— туннелеобразное 115

Рекомендации ASTM 177

— Британского института стандартов 184

Решения аналитические для внутренней трещины 291—302

Решетка атомная 210

Рост микропор 122

— трещины 67, 96, 142

внезапный 115

метастабильный 100

неустойчивый 112

устойчивый 100

Рэлея волна 151

Сила трещинодвижущая 14, ПО, 150

в динамике 143

вычисление 72, 76

определение 71

связь с J-интегралом 79

Система координат декартова 268

— полярная 269, 273

Скоба зажимная 180

Скол 209, 210

Скорость трещины 142—160

— зависимость от температуры 199

Сопротивление отрыву 210

Состояние плоское напряженное 51,

Спектр нагрузки 171

Стандарт ASTM 177, 185, 246

Структура поверхности разрушения бороздчатая 224

— ямочная 216

Ступеньки скола 213

Таблица предельных нагрузок 62, 63

Тензор деформаций 272

— скоростей 270

Теорема о простом нагружении 55

Теория упругости динамическая 314

Течение пластическое

— крупномасштабное 242

-— мелкомасштабное 82

Течь до поломки 240

Токи вихревые 231

Трещина в упругопластическом теле 81

Трещинообразование от остаточных напряжений 262

— от температуры 257

Трещиностойкость

— определение 180

— динамическая 187

— зависимость от температуры 193

Трещины

— закрытие 166

— метастабильные 100

— неустойчивость 190

— останов 150

— равновесные 15

— раскрытие 33

критерий 121

— рост 67, 81, 87

динамический 143

• квазистатический 71, 82, НО

при циклическом нагружении

237

скорость 162

устойчивый 245

— смешанный тип деформации 202

— страгивание 97, 105, 138, 202

типы деформации 10

типы деформации I, II, III 36, 45, 115, 192

торможение 157

усталостные 179

установившееся движение 149

устойчивость 190

Упрочнение изотропное 55, 279, 324

— линейное 57, 324

— со степенным законом 50, 137, 324

Управление нагрузкой 101, 113

Усталость

— введение в теорию 11, 161

— в неметаллических материалах 336

— вызванная влиянием окружающей среды 172

— законы накопления повреждений 162—165

— коррозионная 173

— малоцикловая 169

— на макроуровне 161

микроуровне 161, 222

— предел 169, 173

— при большом числе циклов 169

при высоких температурах 172

Условия совместности 51, 273, 274

— текучести 277

Мизеса 281

Треска 30, 52, 281

Уравнение бигармоническое 15

— движения стержня 15

Фолиаса формула 240

Формена закон 166, 238

Фотографирование в рентгеновских лучах 231

Фотография высокоскоростная 191

Фотоупругость 192, 336

Фрактография 229, 336

Фрейнда задача 151

Фронт трещины искривленный 23

Функции аналитические 291—296

Характеристики 37, 288, 290

Хатчинсона задача о движении пластической зоны 87

стационарной пластической

зоне 51, 290

росте поры 221

— характеристика J-интеграла 133

Культа и Макклинтока формула 36

Цикл пульсирующий 164

Цикла размах 168

Число циклов до разрушения 167

Частицы магнитные 231

Шарпи опыты 188

— энергия 188, 200

Швы сварные 253, 262

Шейка 60, 61, 216

Шлаки 215

Экранирование процесса разрушения 116

Экструзия 223

Элементы сингулярные 25, 48

Энергия деформации 275, 311

— диссипации 102, 105, 106, 114, 142

— дополнительная 73, 312

— кинетическая 69, 146, 159, 256^

257

— поверхностная 98, 211

Эри функция напряжений 15, 51„

276

Эффект скачка 115

— изменения амплитуды 171, 172

Эшелби формула 33, 34

— решение задачи о динамике трещины 151, 324

Юнга модуль 275

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ют редактора перевода 5

Предисловие 6

Глава 1. Введение 8

Глава 2. Равновесные трещины при статическом нагружении .. . 15

Решение двумерных задач теории упругости методом разложения в степенные ряды 15

Двумерные и трехмерные задачи теории упругости: аналитические и численные решения23

Качественная характеристика пластического течения вблизи вершины трещины26

Аппроксимация по Ирвину размеров зоны пластического течения . 27

Модель Дагдейла30

J-интеграл и его связь с раскрытием трещины 633

Дальнейшее исследование упругопластического состояния для деформации трещины типа III36

8. Дальнейшее исследование упругопластического состояния для деформации трещины типа I45

Пластическая неустойчивость, бифуркации и предельная нагрузка 58

Задачи64

Глава 3. Баланс энергии и рост трещины 67

Локальная и глобальная формы удельной работы разрушения . 67

Квазистатический рост трещины в упругом теле71

Рост трещины в упругопластическом теле81

Задачи94

Глава 4. Страгивание и рост трещины: критерий и статическое исследование .... 97

Теория Гриффитса97

Обобщенный подход с использованием понятия «удельная работа разрушения» . . . . 102

Линейная механика разрушения104

Квазилинейная механика разрушения114

Критерий раскрытия трещины121

Критерий /-интеграла127

Задачи138

Глава 5. Динамический росттрещины 142

Баланс энергии в динамике142

Одномерная модель143

Двумерные задачи150

Торможение трещины или полное разрушение?* * 157

Задачи

Глава 6. Усталость .161

Эмпирические зависимости, описывающие рост трещины . . . . 162

Определение числа циклов до разрушения при заданной амплитуде нагрузки167

Эффекты изменения спектра нагрузки .171

Эффекты окружающей среды172

Задачи175

Глава 7. Экспериментальные методы и результаты . . 177

Определение статической вязкости разрушения178

Определение критического раскрытия трещины и критических значений /-интеграла . . 182

Определение динамической трещиностойкости187

Некоторые константы, характеризующие трещины типа I . . . 192

Страгивание трещин смешанного типа202

Задачи208

Глава 8. Микромеханика разрушения . . . 209

Разрушение путем отрыва209

Межзеренное разрушение 214

3. Вязкое разрушение215

Разрушение при усталости222

Дополнительные замечания226

Задачи227

Глава 9. Элементы прикладноймеханикиразрушения . 229

Общие замечания 229

Распространение трещинотнадрезов233

Примеры исследования роста трещины при циклическом нагружении237

Течь до поломки .. . . 240

Возникновение трещин при крупномасштабном пластическом течении 242

Устойчивый рост трещины245

Толщина как параметр проектирования252

Неустойчивость трещины вполетемпературных или остаточных -

напряжений 255

Задачи264

Приложение А. Элементы механики деформируемого твердого тела . 265

АЛ. Геометрия напряжений идеформаций265

А.2. Упругое деформирование275

А 3. Пластическое и упругопластическое деформирование . • - 277

А.4. Предельный анализ 281

Приложение Б. Аналитические решения для внутренних трещин . . . 291

Б.1. Плоскиезадачи: общая формулировка291

Б.2. Плоскиезадачи: решения для внутреннейтрещины295

Б.З. Антиплоские задачи 300

Приложение В. Коэффициенты интенсивности напряжений303

Таблица ВЛ. Эллиптические трещины 303

Таблица В.2. Сквозные трещины в пластинах, нагруженных нормальным давлением вдали от трещины304

Таблица В.З.Круговые трещины в круглыхцилиндрах305

Таблица В.4.Различные плоские трещины305

Приложение Г. Инвариантность /-интеграла 309

Приложение Д. Аналитический аппарат разд. 3.2.1 . . 311

Приложение Е. Элементы динамической теории упругости314

Приложение Ж. Некоторые коэффициенты перехода . . . 320

Таблица ЖЛ. Напряжения 320

Таблица Ж.2. Коэффициенты интенсивности напряжений320

Приложение 3. Обзор литературы 321

Литература339

Предметный указатель 358

МОНОГРАФИЯ

Коре Хеллан

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ РАЗРУШЕНИЯ

Заведующий редакцией акад. В С. АвдуевскийЗам. заведующего редакцией В И. ПропойСтарший научный редактор А. Ю. КирийМладший научный редактор Л. А ЦветковаХудожник Л. В. Кулагин

Художественный редактор Н. М. Иванов

Технические редакторы Н. И. Манохина, Т. А. МаксимоваКорректор М. А. Смирнов

ИВ № 6005

Сдано в набор 24.02.87. Подписано к печати 08.10.87. Формат60X90V16- Бумага книжно-журнальная. Печать высокая. Гарни-тура литературная. Объем 11,50 бум. л. Усл. печ. л. 23. Уел-кр.-отт. 23. Уч.-изд. л. 21,49. Изд. № 7/5277. Тираж 5000 экз-Зак. 490. Цена 4 р. 40 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110,1-й Рижский пер , 2

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Соколовой Союзпо- лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

Отпечатано с набора в Ленинградской типографии № 8 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз- полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6. Зак 596

В линейной теории упругости имеет место равенство Q = ф

(ср. формулы (3.17) и (3.19)), используя которое вместо фор

мул (3.20) получим

М4т)„ или ^‘Ит),'(3.21)

Полученное равенство означает, что в случае, когда при про

движении трещины нагрузка на тело неизменна, работа над

!> Такое поведение материала может быть связано с сильным экранированием процесса разделения тела диссипативными процессами (что, кстати, и подразумевалось) или же непосредственно с тем обстоятельством, что в состоянии плоской деформации напряжения имеют более высокие значения.

Решение из работы [16], пригодное для 0,4 ^ ЦЬ ^ 0,6

РЬ

K^3'751W^ (в-9)

К. Хеллой

ВВЕДЕНИЕВ МЕХАНИКУРДЗ^ЕНИЯ

Издательство

<Мир>

Introduction to Fracture Mechanics

Kare Hellan

UNIVERSITY OF TRONDHEIMNORWAY

McGraw-Hill Book Company

New York St. Loins San Francisco Auckland Bogota HamburgJohannesburg London Madrid Mexico Montreal New DelhiPanama Paris Sao Paulo Singapore Sydney Tokyo Toronto

К.Хеллш

ВВЕДЕНИЕВ МЕХАНИКУРАЗРУШЕНИЯ

Перевод с английскогод-ра физ.-мат. наук А. С. КРАВЧУКАпод редакциейд-ра техн, наук профессора Е. М. МОРОЗОВА

Москва«Мир»1988

ББК 30.121

Х36

УДК 539.4

Хеллан К.

Х36 Введение в механику разрушения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 364 с., ил.

ISBN 5-03-000157-3

Монография норвежского ученого, в которой систематически изложены основные положения, методы и критерии линейной и нелинейной механики разрушения с уклоном в область практического применения. Книгу отличает сочетание простоты и доступности изложения с достаточной строгостью Приведено большое количество задач с подробными решениями и комментариями

Для научных, инженерно-технических работников, а также студентов и аспирантов, специализирующихся в области механики разрушения и прочности материалов и конструкций.

ББК 30.121ББК 30.121v 2108000000-482

ББК 30.121

ББК 30.121

Х 041(01)-88159-88,4.1

Редакция литературы по новой технике и космическим исследованиям

ISBN 5-03-000157-3 (русск.)ISBN 0-07-028048-7 (англ.)ISBN 5-03-000157-3 (русск.)ISBN 0-07-028048-7 (англ.)© 1984 by McGraw-Hill, Inc.

ISBN 5-03-000157-3 (русск.)

ISBN 0-07-028048-7 (англ.)

ISBN 5-03-000157-3 (русск.)

ISBN 0-07-028048-7 (англ.)

© перевод на русский язык, «Мир», 1988