ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ

Глава XVIL Динамика де巾ормнруемых систем

§ i7.L Вводные замечания

Некоторые элементы аналитической механики

Использование принципа Даламбера

Некоторые основные понятия теории колебаний

Дифференциальные уравненияколебаний системы

Линейныеколебаниясистемыс одной степенью свободы .. •

Линейныеколебаниясистемыс несколькими степенями свободы

Линейныеколебаниясистемыс бесконечно большим числомстепеней свободы

Понятие о нелинейных колебаниях

Приближенные методы исследования колебаний систем ....

Удар

Глава XVIII. Устойчивость форм равновесия

Вводные понятия

Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия упругой системы в смысле Эйлера (классический тип потери устойчивости). Статический критерий

Энергетический критерий

Неклассические типы статической неустойчивости

Динамическая неустойчивость. Динамический критерий .....

Еще о динамической неустойчивости. Понятие об устойчивости при воздействии на систему периодической нагрузки

Заключение

Именной указатель

Предметный указатель

4

7 7 9475979913477203851

1 12 2 2

277勿

293376394430

59657376

4 4 4 4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге.

Фундаментом для проблем как динамики, так и устойчивости является аналитическая механика. Вот почему первым параграфом (если не считать краткого вводного параграфа) книги (§ 17.2), включенным в главу о динамике, является параграф, посвященный краткому изложению некоторых элементов аналитической механики, используемых при изложении матери* ала книги.

При составлении содержания книги преследовалась цель обсудить основные явления, критерии, методы,

Обращено внимание на получение уравнений малых колебаний путем внесения упрощений в нелинейный аппарат. Далее основное содержание главы посвящено линейным колебаниям. Теория этих колебаний проиллюстрирована достаточно большим количеством примеров. Однако один из параграфов содержит очень краткую, чисто описательную информацию о нелинейных колебаниях. Это поможет читателю понять соотношение линейной и нелинейной теорий колебаний.

Ограниченность объема книги не позволила коснуться некоторых важных явлений. К числу их относятся волновые процессы, колебания и потеря устойчивости при ударе, удар при работе материала в упруго-пластической области, неустановив- шиеся процессы. Не затронуты в книге и некоторые важные методы. Здесь в первую очередь следует отметить качественные методы и методы, в которых используется аппарат интегральных уравнений.

Книга преследует цель не только помочь читателю познать новую для него информацию, но и способствовать приобретению навыков применения ее к решению практических задач. Поэтому книга содержит довольно большое количество примеров. Нельзя не отметить при этом и преднамеренное невключение в книгу таких примеров, в которых рассматривались бы конструкции более сложные, чем балка. Делалось .это с целью сосредоточения внимания читателя на принципиальных вопросах основного предмета книги, общих для всех систем, и избежания вместе с тем трудностей, связанных со сложностью самой конструкции. Аналогично, желая отделить принципиальные вопросы от вопросов не первостепенного значения, хотя и важных в практическом отношении, автор поместил рассмотрение этих последних вопросов в примеры. Поэтому примеры носят не только иллюстративный характер, они содержат и некоторую информацию, имеющую самостоятельное значение. Так обстоит дело с учетом сдвигов и инерции поворота сечений в балке при определении собственных частот, с учетом вязкости материала самой балки или опоры, рассмотренных в примерах, где дается и вывод соответствующих уравнений, и их решение, и, наконец, анализ Нолу・ ченных числовых результатов.

В книге обращено внимание на проведение границы, за пределами которой динамическое по своей природе явление может рассматриваться как статическое с поддающейся оценке погрешностью.

Достаточно широко используются в книге простейшие модели (системы с одной или с двумя степенями свободы) для выявления некоторых особенностей поведения систем или для упрощения доказательства тех или иных положений и построения методов исследования. ,

В главе, посвященной динамике, основная структура подчинена признаку степени детализации расчетной схемы (степени дискретизации инерционных свойств — числу степеней свободы). Глава, посвященная теории устойчивости, построена по принципу типа явления или критерия, используемого для его исследования.

Как и в предыдущих томах, предусмотрено такое изложение материала, которое позволяет читателю использовать книгу как при первом его ознакомлении с предметом (см. приведенную ниже таблицу), в процессе изучения курса сопротивления материалов, так и для более углубленной проработки.

Отличительной особенностью настоящего тома является то, что он может быть использован и полностью (без пропусков) при изучении одноименного курса (динамика и устойчивость как раздел строительной механики) имеющегося в вузовских учебных планах некоторых специальностей.

В работе над всем курсом автор постоянно ощущал очень ценную для него поддержку В. В. Новожилова; И. И. Блехман и В. С. Калинин ознакомились с рукописью настоящей книги, а Л. И. Балабух ——с первой ее редакцией, и сделали ряд важных замечаний и рекомендаций, учет которых способствовал улучшению книги. Некоторые вопросы, связанные с содержанием книги, были обсуждены с Я. Г. Пановко. Важным явилось участие Ю. Б. Шулькина в работе над книгой ——написание им параграфов 18.3—18.5 и обсуждение структуры главы XVIII, в результате которого, в основном, был принят предложенный им вариант. Большинство примеров в § 17.2 принадлежат М. Д. Никольскому. По отдельным параграфам книги полезные советы дали автору Ю. Г. Минкин и В. И. Сливкер. Помощь в некоторых вычислениях на ЭВМ оказана автору Н. Поповой. Трудно переоценить неизменную и разнообразную помощь в работе над курсом, которую оказывала автору его друг и жена Л. И. Филина. Всем этим лицам автор очень благодарен.

Автор

Материал 1П тома, рекомендуемый в качестве обязательного при 70 часах лекций, отводимых на весь курс

Главы

Параграфы

Разделы

XVII

17.3

17.4

1+4

17.6

1+7

17.11

4.1

XVIII

18.2

6.1+6.4, 8

Отдел шестой

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ

Глава XVII

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Вводные замечания

Во всех предыдущих главах рассматривалось статическое воздействие на деформируемую систему. При этом все пара-* метры, характеризующие состояние системы, оставались неизменными во времени. Этот факт и определял так называемое статическое поведение системы!).

Динамические явления и процессы, происходящие в деформируемых системах, весьма разнообразны. К числу основных их типов относятся колебания и удар.

Для колебаний характерно попеременное возрастание и убывание параметров системы, в частности периодическое их изменение (один из простейших случаев — изменение по закону синуса или косинуса — гармонические колебания). Колебания в зависимости от типа и характера изменения воздействия во времени и от других факторов имеют различную природу и различные характерные особенности.

Особенностью удара является наличие огромных ускорений и, как следствие, — сил инерции, во много раз превышающих все остальные силы. Такие ускорения возникают вследствие изменения скорости на конечную величину в чрезвычайно короткие промежутки времени, например, при встрече движущегося тела с неподвижной жесткой преградой. Поведение системы при ударе также весьма разнообразно и зависит от ряда факторов.

При колебаниях и вследствие удара в системе возникают волны (волны перемещений, волны напряжений), отличающиеся большим разнообразием, определяемым многими обстоятельствами.

】)К статическому относилось и такое поведение системы, которое соответствует медленно меняющемуся воздействию. Разумеется, понятия медленно и быстро нуждаются в количественной оценке. Она может быть осуществлена лишь при рассмотрении динамического процесса в системе. В настоящей главе дается оценка, позволяющая провести условную границу между статическим и динамическим нагружениями системы.

Некоторые динамические явления представляют серьезную опасность для конструкций, например, резонанс, возникающий в колеблющейся системе и состоящий в значительном нарастании, при определенных условиях, перемещений, а следовательно, и напряжений. Серьезную опасность для конструкций могут представить высокочастотные колебания с малой амплитудой. Так, вибрация отрицательно влияет на работу приборов, снижая точность их показаний, на работу станков, понижая точность обработки на них деталей. Вибрация ускоряет износ деталей машин, например, зубьев колес зубчатой передачи. Вибрация может явиться одной из причин исчерпания выносливости (проявления усталости) металла. Весьма сложное и многообразное отрицательное воздействие оказывает вибрация на организм человека.

Вместе с тем динамические явления широко используются в технике, так как они являются в ряде случаев полезными (ударная и вибрационная технология, работа систем, в частности, приборов, основанная на динамических явлениях и т. п.).

Вследствие сказанного очевидно, что проблемы динамики деформируемых систем являются очень важными для техники. Этим определяется и исключительно большая роль теории динамических процессов, в одних случаях позволяющая избегать нежелательных явлений или смягчать их, а в других случаях ——использовать динамические процессы наивыгоднейшим образом. Для их изучения создан большой и разнообразный аппарат (уравнения, описывающие явления и процессы, методы решения уравнений, численные алгоритмы, в том числе предназначенные для использования ЭВМ).

Наряду с динамическими и статическими имеются и так называемые квазистатические процессы. Это процессы, применительно к которым можно считать силы инерции такими, что внутренние усилия успевают «следить» за внешними силами,— в любой момент времени имеет место равновесие. В таком случае время выступает как параметр состояния.

Существуют и такие состояния системы, при которых силы инерции неизменны во времени и поэтому оказывают чисто статическое воздействие на конструкцию.

Обсуждение характера и условий возникновения динамических явлений, математическое их описание, решение соответствующих математических проблем и выработка практических рекомендаций по борьбе с нежелательными явлениями составляют предмет настоящей главы. Итак, центральными объектами рассмотрения в этой главе являются динамические явления в деформируемых системах и методы их исследования. Соответствующий раздел механики называется динамикой деформируе-

мых систем. Фундаментом его является аналитическая механика !)« В следующем параграфе главы читатель ознакомится с некоторыми элементами этой дисциплины.

Некоторые элементы аналитической механики

Основные понятия.

Механическая система. Связи. Механической системой называют совокупность материальных точек (или тел), взаимодействующих в соответствии с третьим законом Ньютона,

Аналитической механике посвящена большая литература. Основополагающим является классический труд Ж- Л. Лагранжа: Lagrange J. L., Mecanique Analytique. — Paris, 1788 (Лагранж Ж. Аналитическая меха* ника/Пер. с франц. — М.: Гостехиздат, 1950. Т. 1, 2).

Ряд результатов был получен еще до Лагранжа в трудах И. Ньютона, Ж- Даламбера, Л. Эйлера, библиографическое описание которых можно найти в списке литературы, приведенном в упомянутой ниже книге Л. Парса. После Лагранжа существенный вклад в аналитическую механику внесен К. Гауссом, У. Р. Гамильтоном, К. Якоби, А. Пуанкаре, У. Гиббсом, Э. Раусом, П. Аппелем, А. М. Ляпуновым; библиографическое описание их трудов также имеется в книге Л. Парса.

Ниже отметим систематические курсы аналитической механики на русском языке (в том числе переводные), изданные в последние четыре десятилетия.

Л а м б Г. Теоретическая механика/Пер. с англ. — М.: ОНТИ, 1936 (Lamb Н. Higher Mechanics. — Cambridge, 1920; 2-е изд., 1929); Суслов Г. К・ Теоретическая механика. — 3-е изд., посмертное, под ред. Н. Н. Бухгольца и В. К・ Гольцмана. — М.: Л.: ОНТИ, 1946. (В первых двух изданиях книга называлась «Основы аналитической механики»; 2-е изд., Киев, 1911); Леви-Чивита Т. и Ам а льд и У. Курс теоретической меха- ники/Пер. с итал. — М.: ИЛ, 1951—1952, Т. 1, ч. 1, 2, Т. 2, ч. 1, 2. (Levi- С i V i t а Т., A m а 1 d i U. Lezioni di Meccanica Razionale. — Bologna, 1922; Гольдстейн Г. Классическая механика/Пер. с англ.——М.: Наука, 1975 (Goldstein Н. Classical Mechanics. — Cambridge, Mass, 1951); Аппель П. Теоретическая механика/Пер. с франц, первых двух томов оригинала (соответственно с пятого и шестого французских изданий) под ред. И. Г. Мам- сина. — М.: Физматгиз, 1960, т. 1, 2. (Appell Р. Е. TraiU de mecanique га- tionnelle. — Paris. Gauthier-Villars, t. 1 (1-е изд., 1902; 5-е изд., 1926), t. 2 (1-е изд., 1896; 4-е изд., 1931; 6-е изд. 1953), t. 3 (1-е изд., 1903 [1902], 3-e изд., 1928), t. 4 (2-е изд., 1932), t. 5 (2-е изд., 1933)); Гантмахер Ф. P. Лекции по аналитической механике.——М.: Физматгиз, 1960; Лич Дж. У. Классическая механика/Пер. с англ. Секерж-Зеньковича Я. И. под ред. Л. Н. Сретенского. — М., 1961 (J. W. Leech. Classical Mechanics. — London: Methnen and Co. Ltd; New York: Wiley and Sons Inc., 1958); Лурье А. И. Аналитическая механика. — M.: Физматгиз, 1961; Л а н ц о ш К. Вариационные принципы механики/Пер. с англ. Гантмахера В. Ф. под ред. Полака Л. С.— М・： Мир, 1965. (L а п с z о s Cornelius. The variational principles of mecha- nics/2nd ed. — Toronto: University of Toronto Press, 1962); Парс Л. А. Аналитическая динамика/Пер. с англ. К. А. Лурье. — М.: Наука, 1971. (Р а г s L. А., A Treatise on Analytical dinamics, — London: Heinemann, 1964); Б у т e - нин H. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971; Д. тер X а а р. Основы гамильтоновой механики/Пер. с англ. В. А. Угарова.——М.: Наука, 1974. (D. ter Haar. Elements of Hamiltonian mechanics. Pergamon press, 1961; 2nd ed., 1964; 3-d ed., 1971).

Она называется свободной, если все ее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости, и несвободной —при невыполнении этого условия.

Связи, наложенные на систему и не препятствующие ей свободно перемещаться после внезапного отвердения, называются внутренними, в отличие от внешних, не удовлетворяющих этому требованию. Твердое тело — пример системы с внутренними связями. Механическая система, содержащая лишь внутренние связи, называется свободной, а содержащая хотя бы одну внешнюю связь — несвободной. Отбрасывая внешние связи и заменяя их действие силами (реакциями связей), несвободную систему можно превратить в свободную.

Связью называется условие, ограничивающее положение и (или) скорость точки механической системы. Физически связью является то или иное материальное тело (стержень, нить, шарнир и т.п.).

Аналитически связь может быть представлена так】)：

f ('；力1, У1,之1；力2厂 ^2,之2； • • • ； 乂№ У%，Nn； *1，*1,之1； • • • > 比N、UN> 之N)^^。，

(17.1) или, в более компактной записи,

/ С； М, Уь /；自，Уь 引)>0,

где / — время, %/, у», 2» ——координаты Z-й точки (Mi) системы, 必，勿，由——составляющие скорости этой точки, N — число точек системы.

Если в (17.1) используется знак равенства, связь называется удерживающей (двусторонней), если же знак неравенства, то — неудерживающей (односторонней).

На рис. 17.1 показаны примеры односторонней и двусторонней связей. В первом случае это — нерастяжимая нить, удерживающая шарик на расстоянии, не большем, чем ее длина, от точки О подвеса нити, во втором — шарнирно закрепленный в точке О (при помощи шарового шарнира) стержень, удерживающий шарик на расстоянии / от точки О. В дальнейшем рассматриваются лишь удерживающие связи.

Если в (17.1) / не содержится явно, связь называется стационарной или склерономной (в противном случае — нестационарной или реономной). Термины склерономная или реономная применяются и к системам, содержащим соответствующие связи. Если в (17.1)角，»〃 zi не содержатся, связь называется геометрической (конечной), в противном случае — кинематической (дифференциальной).

1) Точка над буквой обозначает дифференцирование соответствующей ве・ личины по %

Если конечную связь

f(f； Xh yh 20 = 0(17.2)

продифференцировать no 力 то получим

務+ £(熹右+崙贝+) = °・("J)

Связь (17.3) эквивалентна (17.2), так как, совершив обратную операцию — интегрирование, получим из (17.3) зависимость

Рис. 17.1. Связи: а) неудерживающая (односторонняя) связь, х2 + ^2 + z2—/г < 0; б) удерживающая (двусторонняя) связь, х2 + у2 ± Z2 — l2^Q.

I — нить (ненатянутая), 2—точка закрепления нити, 3 — шарик, прикрепленный к нити» 4—одно из положений шарика в случае, если нить натянута, 5—стержень, 6—прикрепление стержня при помощи шарового шарнира, 7—одно из положений шарика, удерживаемого стержнем.

7.2). Если уравнение некоторой дифференциальной связи может быть приведено к виду (17.3), то такое уравнение связи ин・ тегрируется и сводится к виду (17.2). Интегрируемые дифференциальные связи эквивалентны конечным и вместе с ними образуют класс так называемых голономных связей, в отличие от неголономных, т. е. таких дифференциальных связей, которые не могут быть представлены в форме (17.3) и, следовательно, не могут быть проинтегрированы и сведены к конечным.

Механические системы, содержащие только голономные связи, называются голономными, содержащие только неголономные связи ——совершенно (собственно) неголономными. При наличии среди связей лишь некоторого числа неголономных связей — неголономными.

Обобщены bie координаты. Обобщенные скорости и ускорения. Число степеней свободы. Обобщенными координатами gi, ..., qk называют независимые параметры, однозначно определяющие конфигурацию системы в

любой момент времени. Если система голономна, то число k определяет собой число степеней свободы системы (п)

n = h = 3N-т;(17.4)

здесь /и ——число голономных связей.

寓(修，勿，々) = 0 (v = 1, 2, ..., /и).

■ Для данной системы можно выбрать бесконечное множество совокупностей (наборов) обобщенных координат. Стараются выбрать такие 夕1,...,夕々,при которых решение задачи оказывается наиболее простым.

Обобщенные координаты могут иметь различные размерности (длины, угла, площади и т. п.).

Декартовы координаты каждой f-й из N точек системы могут быть выражены через обобщенные координаты

*=修&G，...,柒),打=山也 外,・・・,^),勺=引(厶%,・・・,qR

(』1,2,・・・，N). (17.5)

Величины 9/ являются функциями времени g, = <7/(f).

Отыскание вида функций 力 путем интегрирования уравнений движения составляет одну из задач аналитической механики.

Величины

, 仇=等，^=4^ (/== i,..

называются соответственно обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями.

Учитывая (17.5), получаем формулы для величин х/, »，，名； 戈八班，名：

ААZ72/-1Z72/-1дх.

А

А

Z72/-1

Z72/-1

д严乙з ・d2Xi "7・б)

% + 2 2 @旬。外 〃v%+2£ di dq.仇+寻• v-1 /-1/-17

Из (17.6) следует, что

dxt дх, д^, дх.

dqj dq｝，吗吗.W

Параметры q^ (/ = 1, ..., k) определяют конфигурацию, а совокупность параметров 勿， ф (/ = 1, ..., k)—состояние механической системы.

В случае, если связи, наложенные на точки системы, стационарны, в формулах (17.6) отсутствуют члены, содержащие производные по /, так как при этом х/, у, & в (17.5) не зависят от /.

Рис. 17.2. К примеру 17.1. <7[ = %с，^2 —=%，Lc‘ rtf’ 百「Рис. 17.2. К примеру 17.1. <7[ = %с，^2 —=%，Lc‘ rtf’ 百「«5«5arctgarctg¥2 -勿 方2 -力¥2 -勿 方2 -力

Рис. 17.2. К примеру 17.1. <7[ = %с，^2 —

=%，Lc‘ rtf’ 百「

Рис. 17.2. К примеру 17.1. <7[ = %с，^2 —

=%，Lc‘ rtf’ 百「

«5

«5

arctg

arctg

¥2 -勿 方2 -力

¥2 -勿 方2 -力

Особенностью аналитических методов механики является то, что н а природу обобщенных координат не накладывается никаких условий. Это позволяет достигнуть высокой степени общности теории и единообразия перехода от физических явлений к абстрактным математическим схемам и обратно от получаемых аналитическим путем результа то в к исследуемым физическим объектам.

Пример 17.1. Выбрать обобщенные координаты, описывающие конфигурацию системы, состоящей из двух материальных частиц, расстояние между ко

торыми остается неизменным.

Решение. Описать конфигурацию такой системы можно, например, декартовыми координатами частиц, т. е. величинами

打,勿,N1；力2,乡2, 22,(17.8)

а также условием, накладываемым на них, т. е. уравнением связи .

(XI — х2)2 +(У1 —乡2)2 + ⑵一22)2 = *

(17.9)

учитывая которое, заключаем, что независимых должно быть пять координат. Независимые координаты получаются, например, путем исключения одной из координат (17.8) при помощи зависимости (17.9), но можно поступить и иначе ——сразу принять в качестве неза-

висимых пяти координат (обобщенных

координат) следующие величины: три прямоугольные координаты центра масс системы (эта точка лежит на линии, соединяющей центры масс частиц) и два угла, определяющих положение в пространстве указанной линии. Пять обобщенных координат «/ (/ = 1, 2, ..., 5) (рис. 17.2) выражаются через координаты (17.8) материальных частиц при помощи следующих формул:

Xg + %2 他 2— Jimi + y 2m2— 21m1 + 22 恤

他1 + 他2 ' '2 一 m1 + m2 ' '3 一 m1 +/n2

Иногда целесообразно использовать переменные, характеризующие конфигурацию механической системы, в количестве 店, превышающим число степеней свободы п = ^, т. е. вместо п = ^ обобщенных координат (формула (17.4)) принять 財=3N ——mi переменных (团1 V 加)и налагать на них т2 = т ——т\ связей. Число степеней свободы при этом, разумеется, остается прежним:

〃= 々=①-m2 = 3N - 加.

Пример 17.2. Выбрать обобщенные координаты, описывающие конфигурацию системы, состоящей из пяти материальных точек, расположенных на плоской невесомой раме (рис. 17.3).

Решение. Так как перемещения точек рамы, параллельные оси z (ось, пер-

пендикулярная к плоскости рамы), по предположению, равны нулю, на ко- вида «г» = 0 (i = 1, 2, ..., 5). Введем еще

ординаты точек наложены связи два ограничения. Будем считатьординаты точек наложены связи два ограничения. Будем считатьщенные координаты д〔, «2, «$, сц, определяющие конфигурацию системы; 6) определение конфигурации системы при помощи шести параметров, Si ..., $и, число которых превышает число степеней свободы системы и на которые налагаются связи S4—$5=0 и $4—$6=0.щенные координаты д〔, «2, «$, сц, определяющие конфигурацию системы; 6) определение конфигурации системы при помощи шести параметров, Si ..., $и, число которых превышает число степеней свободы системы и на которые налагаются связи S4—$5=0 и $4—$6=0.осевые деформации стержней пренебрежимо малыми. Наконец, считаем, что при изгибе стержней рамы пренебрежимо мала со・ бтавляютая смещения точки в направлении, параллельном оси недеформированного стержня. Тогда на координаты системы следует наложить дополнительно еще шесть независимых связей:

ординаты точек наложены связи два ограничения. Будем считать

ординаты точек наложены связи два ограничения. Будем считать

щенные координаты д〔, «2, «$, сц, определяющие конфигурацию системы; 6) определение конфигурации системы при помощи шести параметров, Si ..., $и, число которых превышает число степеней свободы системы и на которые налагаются связи S4—$5=0 и $4—$6=0.

щенные координаты д〔, «2, «$, сц, определяющие конфигурацию системы; 6) определение конфигурации системы при помощи шести параметров, Si ..., $и, число которых превышает число степеней свободы системы и на которые налагаются связи S4—$5=0 и $4—$6=0.

*1 = А/2, %2 = А, %4 = А, 力5 =力/2,乡3 -乡2 = "2,%一% = "2.

Таким образом, общее число связей системы m = 11 и система обладает четырьмя степенями свободы

九=3^ — /и = 3 • 5 — 11=4.

Обобщенные координаты, однозначно характеризующие конфигурацию системы в пространстве, отмечены на рис. 17.3 (内, 夕2, 0з, «4)• Их удобно отсчитывать от оси рамы в (исходном) положении равновесия.

Может оказаться удобнее использовать шесть координат §«= 1, 2,...,岛= =6), из которых первые четыре совпадают

с координатами % а смещения точек 9 и у (рис. 17.3). На них (加2 = 2):

S4 — $6 = 0・S4 — $6 = 0・S4 — S5 = 0,

S4 — $6 = 0・

S4 — $6 = 0・

две последние — суть 4, параллельные оси налагаются две связидве последние — суть 4, параллельные оси налагаются две связи' Число степеней свободы при этом остается прежним:

две последние — суть 4, параллельные оси налагаются две связи

две последние — суть 4, параллельные оси налагаются две связи

п = k\ — /Иг = 6 — 2 = 4.

dq\dqi瓦困2歯2dq2дЧOR・Жdq\dqi瓦困2歯2dq2дЧOR・Ж(17.10)(17.10)Не обязательно устанавливать геометрический смысл обобщенных координат 夕1,夕2, • ••,夕居 они могут быть получены и чисто формально путем перехода от некоторой другой системы обобщенных координат 况,彳2,...,彳月.Преобразование одной системы обобщенных координат к другой должно удовлетворять условию необращения в нуль якобиана

dq\

dqi

瓦

困2

歯2

dq2

дЧ

OR

・Ж

dq\

dqi

瓦

困2

歯2

dq2

дЧ

OR

・Ж

(17.10)

(17.10)

Обязательными условиями также являются: ограниченность, однозначность, Непрерывность и дифференцируемость всех 办 В некоторых особых точках эти условия могут нарушаться.

Пример 17.3. Механическая система, представленная на рис. 17.4, а при

тех же предположениях, которые были использованы в предыдущем примере, имеет две степени свободы (невесомая гибкая балка с двумя сосредоточенными массами). Удостовериться в возможности преобразования обобщенных координат 随 и & (рис. 17.4,6,6)в обобщенные координаты 力 и 伙 (рнс. 17.4, а,0).

Обобщенные координаты 况 и 花 изображены на отдельных рисунках, чтобы подчеркнуть, что каждой из них определяется как параметром своя конфигурация (форма) системы.

Решение. Обобщенные координаты 内，仇 (рис. 17・4, a, d) связаны с исходными преобразованием

Рис. 17.4. К примеру 17.3: а) система с двумя степенями свободы; 6 в) .обобщенные координаты «I н «2； г, 0)。6。6・ щенные координаты q、и д?・Рис. 17.4. К примеру 17.3: а) система с двумя степенями свободы; 6 в) .обобщенные координаты «I н «2； г, 0)。6。6・ щенные координаты q、и д?・dqi也_/20e2=1==—2*0;丽丽.dqi也_/20e2=1==—2*0;丽丽.Якобиан этого преобразования (формула (17.10)) отличен от нуля,Якобиан этого преобразования (формула (17.10)) отличен от нуля,«1 = 41 + 彳2, «2 = ?1 — «2・

Рис. 17.4. К примеру 17.3: а) система с двумя степенями свободы; 6 в) .обобщенные координаты «I н «2； г, 0)。6。6・ щенные координаты q、и д?・

Рис. 17.4. К примеру 17.3: а) система с двумя степенями свободы; 6 в) .обобщенные координаты «I н «2； г, 0)。6。6・ щенные координаты q、и д?・

dqi也_

/20e2

=1

==—2*0;

丽丽.

dqi也_

/20e2

=1

==—2*0;

丽丽.

Якобиан этого преобразования (формула (17.10)) отличен от нуля,

Якобиан этого преобразования (формула (17.10)) отличен от нуля,

при этом существует обратное преобразование

^1 = («1 + *)/2,饭=(91 —依)/2,

й обобщенные координаты ⑺,夕2 можно исполь-

зовать вместо исходных координат.

Пример 17.4. Доказать допустимость перехода от декартовых координат точки (%, у) на плоскости к полярным 亿 ф) и обратно.

Решение. Якобиан преобразования

г = (х2 + у2)%, ф = arctg (力历) отличен от нуля,

力 力

J _

дх * ду

"炉+疗

"%2 + 外_-%2 — У2 _]

dqp d(p дх ду

У

*2十“

一产(炉 + 员)%Vx2 + у2 ,

x2 + У2 1

Обратное преобразование существует и имеет вид х = г sin ф, у = г cos ф на всей плоскости xyf за исключением точки х = у = 0.

Следовательно, преобразование декартовых координат в полярные и обратно допустимо с учетом сделанной оговорки.

Вариация обобщенной координаты. У системы, положение которой характеризуется k обобщенными координатами, существует множество бесконечно близких возможных (не противоречащих связям) положений? из которых одно

является реализуемым (действительным). Если рассмотреть два синхронных возможных положения системы, одно из которых— действительное (истинное)——определяется обобщенными координатами 9/(0 (/ = 1,...,左),а другое — координатами ^/(/) (/ = 1, ..., k) и при этом

•«/(，)=分 С)+ £"/(/),

где 巾(f) —некоторая дифференцируемая функция параметра /, а 8 — произвольная малая величина, то разность

6分c)=%(0 - q曲 =咁/⑺

представляет собой вариацию обобщенной координаты ，/. Такая вариация называется синхронной (б-вариация).

Если изменение значения обобщенной координаты происходит как за счет изменения вида функции (вместо кривой / имеем кривую 2 на рис. 17.5), так и за счет изменения аргумента / на величину Д/ = =б/, то такое изменение называют полной или асинхронной вариацией и обозначают символом 6*夕(б*-вариация); при этом

6*9 = d^ + ^ W.

Для синхронной и асинхронной вариаций

/—имеем:

"5 方(М)= 6(醬)，6*(矍)关糸(對)•

Рис. 17.5. Вариации обобшен-

隠 9瓶°眦:端N謂鋼：Давая обобщенным координатам qj

(/ = 1, 2, ..., k) бесконечно малые приращения (вариации) 6勿 при неизменном /, вместо конфигурации М(9/) системы получаем близкую к ней конфигурацию 方(0/),

совместимую с наложенными на нее связями. С вариациями б^/ (/ = 1, 2, •・.,％) связаны вариации и величин х/,屮、z», т. е. 6x/, 6勿，呢，

修+ 6修(％, f) (/=1, 2, ..., й; /=1, 2, ..., N). (17.11)

Раскладывая (17.11) в ряд Тейлора, получаемk

(17.12)(17.12)бХ/ =бХ/ =М/ (/= 1, ..., й; /= 1, ..., N) (xyz).М/ (/= 1, ..., й; /= 1, ..., N) (xyz).修+ 6修=修(分，/)+ £病6%,

(17.12)

(17.12)

бХ/ =

бХ/ =

М/ (/= 1, ..., й; /= 1, ..., N) (xyz).

М/ (/= 1, ..., й; /= 1, ..., N) (xyz).

Вариации бх/, 6^力 627 называются возможными вариациями н@・ ординат^

Возможные перемещения. Еш е о числе степеней свободы Возможными называют бесконечно малые перемещения 6rz (бхь byt, 62J, позволяющие перевести систему из одной конфигурации в другую, близкую к ней, относящуюся к тому же моменту времени, без нарушения наложенных связей.

Возможные перемещения ——абстракция, используемая в выводах уравнений, в рассуждениях. Символ б (варьирование) подчеркивает возможный характер величины, в отличие от символа d (дифференцирования), относящегося к действительному изменению величины.

В отличие от истинных, возможные перемещения 6х，，бу% 6г/ для голономных систем, если учесть, что t считается постоянным параметром, подчиняются зависимостям (17.12)2 и при стационарных и при нестационарных связях. Действительные перемещения при нестационарных связях описываются формулой

k __

「 дх,дх,

d修X画■對/ + 丁成，

получаемой из формулы (17.6) i умножением обеих частей равенства на df, а при стационарных связях ——формулой

k

Итак, при стационарных связях dxif dy〃 dz,, представляющие собой бесконечно малое перемещение точки М/ в истинном движении системы, принадлежат, а при нестационарных связях не принадлежат множеству возможных перемещений

, Для голономных систем возможные перемещения удовлетворяют следующему условию: если вариации б^/ заменить на —6д/, возможные перемещения 6%?, бу/, 6z? также, сохранив величину, изменят лишь знак.

Если на систему наложено, кроме /и голономных связей, г неголономных, то независимых вариаций обобщенных координат, а следовательно, и возможных перемещений, в этом случае получается п = k — г. Число п, равное числу независимых возможных перемещений, называется числом степеней свободы системы..

Для неголономных систем число степеней свободы п отлично от числа обобщенных координат 比 необходимых для определения конфигурации системы,——всегда п < Л (山一n = г); в слу、 чае неголономных связей оперировать лишь независимыми переменными, исключив из рассмотрения все переменные сверх числа степеней свободы за стет использования уравнений связей, не

удается, и приходится оперировать количеством переменных, превышающим число степеней свободы.

Пример 17.5. Установить, какой механической системой, голономной или неголономной, является конек, скользящий по ледяной плоской поверхности (рис. 17.6). Определить число степеней свободы этой системы.

Решение. Конек представляет собой систему, положение которой определяется тремя обобщенными координатами д〔,夕2, ,з・

Непосредственно эти координаты между собой не связаны. Однако лезвие конька не может проворачиваться на месте относительно оси, перпендикулярной к плоской поверхности льда и проходящей через конек. Математически это ограничение описывается дифференциальным уравнением

tg 03 =仇/%，или 仇一& tg * = 0, которое отражает тот факт, что мгновенная скорость системы всегда направлена вдоль лезвия конька. Уравнение связи можно записать в виде

對1 一對2 tg дз = 0；

Рис. 17.6. К примеру 7.5. л ы обобщенных координат, а не сами обобщенные координаты. Поскольку свести эту зависимость к конечной не представляется возможным, связь является не- голономной.Число степеней свободы рассмотренной механической системы равно двум: л = А?—厂=3—1 = 2. Исключить неголономную связь и ввести, две независимые обобщенные координаты невозможно.Рис. 17.6. К примеру 7.5. л ы обобщенных координат, а не сами обобщенные координаты. Поскольку свести эту зависимость к конечной не представляется возможным, связь является не- голономной.Число степеней свободы рассмотренной механической системы равно двум: л = А?—厂=3—1 = 2. Исключить неголономную связь и ввести, две независимые обобщенные координаты невозможно.здесь между собой срязаны дифференциа-

Рис. 17.6. К примеру 7.5. л ы обобщенных координат, а не сами обобщенные координаты. Поскольку свести эту зависимость к конечной не представляется возможным, связь является не- голономной.

Число степеней свободы рассмотренной механической системы равно двум: л = А?—厂=3—1 = 2. Исключить неголономную связь и ввести, две независимые обобщенные координаты невозможно.

Рис. 17.6. К примеру 7.5. л ы обобщенных координат, а не сами обобщенные координаты. Поскольку свести эту зависимость к конечной не представляется возможным, связь является не- голономной.

Число степеней свободы рассмотренной механической системы равно двум: л = А?—厂=3—1 = 2. Исключить неголономную связь и ввести, две независимые обобщенные координаты невозможно.

Признак голономности связей. Вернемся к признаку голономности связи, уравнение которой может быть выражено через обобщенные координаты.

Если связь представлена в форме

4 對1 + ... +4 dq% + 3 力==0,

где Д/ (/ = 1, ..., k) и В — заданные функции величин 幻 и времени 力 то она голономна (или интегрируема), т.е. переводима в вид

f(91,・・・，仇)=。

(здесь функция f связывает не дифференциалы обобщенных координат, а сами обобщенные координаты) лишь в случае, если выполняются условия интегрируемости

dAh дАь dAj _ дВdAh дАь dAj _ дВ(17.13)(17.13)

dAh дАь dAj _ дВ

dAh дАь dAj _ дВ

(17.13)

(17.13)

В (17J3)i используются все комбинации индексов /1 и /2 из числа 1,2,.・・,財 дающие не повторяющиеся по виду равен， СТВа.В (17.13)2/ = 1, 2一，・？削

Идеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций, возникающих в них, равна нулю при любом возможном перемещении.

2. Дифференциальные принципы механики.

Принцип возможных перемещений. Обобщенные силн. Принцип возможных перемещений !) формулируется так: меха ническая система, на точки к о - торой наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, находится в ра вновесии тогда и только тогда, когда сумма возможных р а - бот всех активных сил, приложенных к точка м системы, при любом возможном перемещении системы равна нулю. Аналитически этот принцип записывается так:.'

N

£Р/бг/ = 0,(17.14)

где Р/ ——результирующая всех активных сил, приложенных к /-й точке системы, бг： — вектор возможного перемещения /-й точки, N — число точек..

Принцип возможных перемещений предусматривает рассмотрение не одной конфигурации системы в состоянии равновесия, а бесконечного множества конфигураций в окрестности последнего, полученных путем варьирования перемещений без нарушения наложенных связей.

Уравнение (17.14) выражает все условия равновесия системы.

При помощи принципа возможных перемещений легко могут быть найдены реакции связей. Для этого, отбросив связь с искомой реакцией, заменяют действие связи указанной реакцией, переводя ее как бы в число активных сил. Сообщая системе с отброшенной связью, имеющей на одну степень свободы больше, чем исходная, возможное перемещение, составляют уравнение (17.14), включив в Р： и искомую реакцию. Из полученного таким образом одного уравнения с одним неизвестным находят реакцию связи.

Число уравнений равновесия равно числу независимых возможных перемещений, т. е. числу степеней свободы системы.

Уравнение (17.14) в проекциях на оси имеет вид

£ (% 6修 + 匕 М, + Zt 6&) = 0.(17.15)

л

Яяесь X/, У：, Zi суть проекции вектора Р/ и 6爲，6夕，6%・一проекции вектора Sr： на оси координат.

, В Сравните с формулировкой принципа для деформируемой системы S・ II, § 15.11).

Подставляя (17.12)2 в (17.15), получим

£色墙+九能+吨沙i

или

£ Q/ М/ = 0， Q，= £ (% 爲 + 匕欝 + Z,崙)•(17•⑹

Величина Q/ представляет собой так называемую обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате «/. Равенство (17.16) 1, если учесть независимость вариаций б^/ (в силу независимости обобщенных координат qj в голономной системе), мыслимо лишь при условии

Q/ = 0(/= 1, 2, ..., k\

Голономн ая система, подчиненная стационарным, удерживающим и идеальным связям, находится в состоянии равновесия тогда и только тогда, когда равны нулю все обобщенные силы Q/, соответствующие обобщенным координатам qj.

Пример 17.6. Абсолютно жесткий диск закреплен неподвижно при помощи трех связей а, Ь, с. Найти усилие Ra в связи а, возникающее от воздействия внешних сил, приложенных к диску (рис. 17.7), используя принцип возможных перемещений.

Рис. 17.7. К примеру 17.6: а) заданная система; б) система, полученная из заданной заменой связи (а) искомым в этой связи усилием R@.

Решение. Отбросим связь а, заменив ее искомой реакцией R* не нарушая при этом, разумеется, равновесия. Неизменяемая система превратилась в механизм — диск получил возможность поворачиваться относительно точки О — мгновенного центра вращения. Пусть угол этого поворота равен 6(р (воз-

можное перемещение). Составим уравнение работ всех сил, включая реакцию 乩，на этом возможном перемещении.

Р/1 д(р —与广 2 ° 屮 + RJrJ①°*

Отсюда

Ra = (P2r2-РС)/”а・

Пример 17.7. В условиях плоской задачи найти обобщенные силы Qi и Q2, соответствующие обобщенным координатам 九=г и 彰=у (полярные координаты), если известны обобщенные силы Qi = X н Q?=匕 соответствующие обобщенным координатам 力=% и q? = у (декартовы координаты). .

Решение. При переходе от декартовых координат точки на плоскости х, у к полярным координатам г и ср возможная работа силы, проекции которой на оси %, у суть X н У, преобразуется следующим образом:

+= 岩驚 6<Р)+ У (氣匕+黑6<р).

где % == r sin 中，у == r cos ф.

Тогда

X 6% + У 6р = (X sin 屮 + У cos ф) dr + (JV cos qp — У sin qp)厂 dqp, откуда Qi = X sin 中 + У cos qp есть проекция внешней силы на г, Q2 = =(X cos ср——У sin(p)r есть момент силы относительно начала отсчета.

В ряде случаев систему с бесконечным числом степеней свободы с достаточной точностью можно представить как систему с конечным числом степеней свободы. С таким подходом встречаемся в приводимом ниже примере.

Пример 17.8. Система с бесконечным числом степеней свободы, изображенная на рис. 17.8, заменена расчетной схемой с одной степенью свободы — конфигурация ее представлена с точностью до одного параметра (亨)：u(z, f)== =q(t) sin (jtz/Z).

Найти обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате q.

влешш изогнутой оси.влешш изогнутой оси.линейными же комбинациямилинейными же комбинациямиРешение. Возможная работа внешних сил для такой системы опреде* ляется выражением

влешш изогнутой оси.

влешш изогнутой оси.

линейными же комбинациями

линейными же комбинациями

)р 3) 60 dz = 6«卜(z) sin 手"dz. оо

Отсюда обобщенная сила, соответствующая обощенному перемещению ?, есть

Q = ) р ⑶ sinо

Пример 17.9. Показать, что если новые обобщенные координаты q суть линейные комбинации старых обобщенных координат q, то

старых обобщенных сил Q оказываются новые обобщенные силы & Решение. Обобщенные силы, соответствующие координатам ?i и @$ на

рис. 17.4, 6, 8, суть

Qi = (Qi + Qz)/2. Q2 = (Qi — Qa)/2,

где Qi — сила, приложенная к массе / (j = 1, 2) в направлении оси у.

Перемещения связаны соотношениями

6"器"I +翳"2 = © +如，6”券协+鵠如=g 一 m&

откуда

Qi Mi + Q2 6^2 = (Qi + Q2) (6g】+ 6仇)/2 + (Qi — Qz) (6gi — 6敦)/2 =

e Qi 6gl + Q2 6^2*

Легко убедиться, что матрицы коэффициентов линейных преобразований qt(qj) и QMQ/) взаимно обратны.

Представление движения механической системы как движения TQ4 ки в пространстве конфигураций. Плодотворными для описания движения систем и решения задач механики оказываются геометрические интерпретации. Известно несколько вариантов описания движущихся механических систем посредством рассмотрения движения точки в многомерном пространстве. На двух таких трактовках остановимся здесь, а две другие обсудим позднее.

Пространство конфигураций (предложено Г. Герцем)— ^-мерное пространство, точка в котором задается обобщенными координатами gi, 92, •一，qk как прямоугольными. Движение системы описывается движением точки в этом пространстве：

Путем использования пространства конфигураций удается анализ движения любой системы свести к анализу движения свободной частицы, помещенной в пространстве соответствующего числа измерений и с соответствующей геометрией.

Вместо кинетической энергии системы можно рассматривать кинетическую энергию одной частицы с массой, равной единице.

Расширенное пространство конфигураций отличается от пространства конфигураций большей на единицу размерностью. Кроме обобщенных координат, в базис введено время /. Последовательные фазы движения изображаются последовательными точками кривой (изображающими точками), называемой ^мировой линией》или траекторией механической системы. Эта линия содержит всю историю механической системы.

Отметим иозбражающие точки Afi и М2 на траектории системы, соответствующие моментам времени Л и 勾・ Отрезок М]ММ2 траектории между точками Mi и М2 называют прямым путем.

Наряду с действительным движением системы мысленно рассмотрим и другие кинематически возможные (т. е. не противоречащие наложенным связям) движения, при которых участок линии между точками М\ и М2 M}NM7 не совпадет с действительной траекторией М\ММ2. Такие движения могут быть получены за счет вариации обобщенных координат между моментами времени 6 и /% т. е. путем замены qj величиной ?/ =

Рис. 17.9. К примеру 17.10: а) мировая линия, соответствующая движению системы, изображенной на рис. 17.4, в расширенном пространстве конфигураций Wi，守2， f； 6) то же в расширенном пространстве конфигураций 4” 禽，f・Рис. 17.9. К примеру 17.10: а) мировая линия, соответствующая движению системы, изображенной на рис. 17.4, в расширенном пространстве конфигураций Wi，守2， f； 6) то же в расширенном пространстве конфигураций 4” 禽，f・

Рис. 17.9. К примеру 17.10: а) мировая линия, соответствующая движению системы, изображенной на рис. 17.4, в расширенном пространстве конфигураций Wi，守2， f； 6) то же в расширенном пространстве конфигураций 4” 禽，f・

Рис. 17.9. К примеру 17.10: а) мировая линия, соответствующая движению системы, изображенной на рис. 17.4, в расширенном пространстве конфигураций Wi，守2， f； 6) то же в расширенном пространстве конфигураций 4” 禽，f・

=9/ + 3,/・ В моменты времени 介 и /2 величина 6«/ равна нулю. Движение системы, характеризуемое любой линией М^М2, не совпадающей с MiMM2, называется варьированным. Отрезок M1NM2 траектории называют кривой сравнения или окольным путем. Положение системы, соответствующее изображающей точке Mi, будем называть положением %(介，行))，а соответствующее точке М2 ——положением М2 (/2,夕貝).

Пример 17.10. Показать мировую линию, соответствующую движению системы, изображенной на рис. 17.4, для случая, когда система совершает про

стые гармонические колебания с частотой(о,

«1 =亨2 = / sin st,' или, при выборе обобщенных координат «1 и 仇(см. пример 17.3),

«I = 24 sin со/,«2 = 0.

Решение. Искомая мировая линия при выборе обобщенных координат @1 и ?2 показана на рис. 17.9, а, а при выборе % и 仇一на рис. 17.9, б.

Пользуясь понятием Пространства конфигураций, можно дать следующую трактовку обобщенных сил и принципа воз-

можных перемещений.

Если механическая система состоит из N частиц и к каждой

из них приложена сила, то, изменив координаты частиц на бесконечно малую величину, можем легко получить работу всех

сил, совершаемую на указанном перемещении

dA = £ (Xi dxi + Yi dyt + Z, d/)・

Имеется в виду, что использована система осей %pz, в которой составляющие силы, приложенной к i-й точке механической системы, суть X/, 7/, Z% а составляющие перемещения этой точки суть d%/, dyi, dzi. Если выразить dxit dyt и dzi через dqj (/ =

... k) и учесть (17.16) 2, то выражение для работы будет иметь вид

d4 = Qi dgi + Q?對2 + • • • + Q左對月.(17.17)

Обобщенные силы Qi, Q2, ...» Qk, соответствующие обобщенным координатам 勿，夕2, •••,夕电 можно трактовать как составляющие некоторого 々-мерного вектора в пространству кон* фигураций.

Можно под термином «обобщенная сила» понимать не каждую отдельную составляющую Qi, ..., Q* указанного ^-мерного вектора, а сам этот вектор; будем обозначать обобщенную силу в такой трактовке символом〔){Q】Q2 ... QJ

Если вариации обобщенных координат 6勿 рассматривать как составляющие возможного перемещения в том же 々-мерном пространстве конфигураций, то левую часть уравнения принципа возможных перемещений (17.16)1

Qi 6% + Q2 M2 + • • • + Q& Me

можно трактовать как . скалярное произведение обобщенной силы (матрица-строка || Qi ... Qk II—транспонированная матрица-столбец) и возможного перемещения (матрица-столбец {6g1 ... 6g々}).

Возможная работа внешних сил, действующих на свободную материальную точку на плоскости %у, может быть представлена как скалярное произведение векторов

dA = \\XY\\{dxdy}. -

Возможная работа внешних сил, приложенных к массам 1 и 2, изображенным на рис. 17.4, а (пример 17.7), представляется в виде

64 = ||Q]Q2|| {师“2}=他应2『{6?16«2}.

Равенство нулю скалярного произведения свидетельствует об ортогональности обобщенной силы {Qi Q2 Qa：} всем мыслимым возможным перемещениям {Bgi ... 6g走}.

Силы, имеющие потенциал. Напомним некоторые понятия из векторного исчисления. Полем скалярным (векторным) называется пространство или часть его, если с каждой его точкой связано значение некоторого скаляра (вектора). Примером скалярного поля может служить температурное поле тела, а примером векторного поля ——поле скоростей частиц воды в реке.

Если имеется скалярное поле, определяемое непрерывной скалярной функцией ф =(р(х, у, г), то с каждой точкой такого поля можно связать некоторый вектор, называемый градиентом скаляра ср (grad <р). Этот вектор имеет направление быстрейшего увеличения <р и по величине равен производной <р по этому направлению.

• будем изо”UI• будем изо”UIВектор, являющийся градиентом некоторого скаляра ф, называется потенциальным вектором, а поле такого вектора назы-

• будем изо”

UI

• будем изо”

UI

Для сокращения записи матрицу-столбец (вектор)

бра жать так: {«|... а 〃卜

Рис. 17.10. К понятию линейного интеграла вектора вдоль кривой в векторном поле.Рис. 17.10. К понятию линейного интеграла вектора вдоль кривой в векторном поле.вается потенциальным полем. Величина же ф называется потенциалом.

Рис. 17.10. К понятию линейного интеграла вектора вдоль кривой в векторном поле.

Рис. 17.10. К понятию линейного интеграла вектора вдоль кривой в векторном поле.

Если имеется векторное поле вектора а, то линейным интегралом этого вектора вдоль кривой L между точками Мо(го) и Mi (ri) пространства называется интеграл (рис. 17.10)

,(a, dij = , asds. LL

Здесь as ——проекция вектора а на касательную к кривой L, a ds — элемент длины кривой L, при этом \dr\ = ds.

С таким интегралом мы уже встречались при рассмотрении кручения призмы произвольного поперечного сечения. Там рассматривался линейный интеграл вектора полного касательного напряжения в по

перечном сечении призмы по замкнутой кривой (циркуляция касательного напряжения; т. II, § 11.12, раздел 11).

ср, dr)=①(г) — ф (г0).ср, dr)=①(г) — ф (г0).В общем случае значение линейного интеграла вектора зависит от того пути L, который соединяет точки Мо и Afp Если же вектор является потенциальным, т. е. представляет собой градиент некоторого скаляра <р, то значение линейного интеграла равняется разности значений функции <р в точках М\ и Afo

ср, dr)=①(г) — ф (г0).

ср, dr)=①(г) — ф (г0).

Отсюда вытекает следствие — если функция ф однозначна, то линейный интеграл потенциального вектора не зависит от пути L.

Примером потенциального вектора, итересующим нас в настоящей главе, является потенциальная или, иначе, консервативная сила, которая характеризуется тем, что работа, совершаемая ею при действии на материальную частицу, переходящую из одного положения r другое, зависит только от начальной и ко* вечной точек пути перехода. Поэтому потенциальная сила F яв・ ляется градиентом некоторой функции П (F = grad П), называемой силовой функцией, а равная ей с точностью до аддитивной постоянной и обратного знака величина П =——П ——потенциальной энергией или потенциалом. Работа, совершаемая потенциальной силой, определяется формулой

4="F,曲=118) 一 立(喻

она равна увеличению силовой функции или, иначе, уменьшению потенциала.

В общем случае дифференциальная форма (17.17) не является полным дифференциалом.

Если же система находится в потенциальном поле, и, следовательно, соответствующие ему силы Р, имеют силовую функцию П = П(х/,弘引)，то

% =講("Z)(% 必)，(17.18)

и сумма работ сил Р» на всяком перемещении системы является полным дифференциалом функции П

N

dft= £ (XidXi + Yt dy^Zi dz^.(17.19)

i-l

Сопоставляя (17.19) и (17.16)2, имеем

Q/=^・(17.20)

' Постоянная по пространственным координатам внешняя сила с проекциями X, У, Z на оси системы координат xyzt имеет ли、 нейную силовую функцию

fit = X% + “ + Zz・

Внешняя сила, линейно зависящая то координат, имеет квадратичную силовую функцию. Если для проекций силы и осей координат ввести обозначения X», %» (/ = 1, 2, 3), то

з з

7223・//，；

Z-1 /-1 при ЭТОМс一

勺/尤/ = с〃％1 + С/2%2 + С/3%3,

где с〃 一 постоянные коэффициенты.

Примером таких сил могут служить реакции упругой среды, в которую помещена материальная точка. При этом коэффициенты с〃 суть коэффициенты жесткости упругой среды.

Потенциальными являются силы всемирного тяготения. Если движение материальной точки описывается координатами г, ф, 屮，то потенциал сил тяготения имеет вид

П = ymM/r,

где у — постоянная тяготения, т — масса движущейся точки, М — масса тела, находящегося в начале координат и вызывающего тяготение.

Тогда

<?「=碧=一^1^，Q(p = QlO・

Выше уже отмечалось, что потенциальная энергия П системы с точностью до аддитивной постоянной равна взятой с обратным знаком силовой функции

П(х0 %，nJ = -ft (修，%，々).(17.21)

Потенциальная энергия П системы — это работа, которую должны совершить силы для того, чтобы перевести систему из рассматриваемого положения (X/, yh Zj) в нулевое (尤回,у，о, 2沁)；последнее может быть выбрано произвольно:

"(勺0, %02fо)

П (х；,协，々)= 2\(%/ dxi + Y； dtji + Zi dz^ =

(冲力，勺)

(/0,%0,%0)

=\ dTT = П (x；o,玖о, N/o) — П(X/,勿，N/.)

(冲yr分)

Принцип возможных перемещений (17.15), если учесть (17.18), может быть записан так:

^(患以+患物+患6内)=6行=0,

или, учитывая (17.21),

6П = 0.(17.22)

Необходимое и достаточное условие равновесия системы совпадает с условием (17.22) стационарности функции П.

В общем случае потенциальная энергия деформируемой системы П складывается из U — потенциальной энергии деформации системы и V — потенциальной энергии внешних сил

п = и +匕

Пример 17.11. Найти выражение для потенциальной энергии системы, изображенной в деформированном состоянии на рис. 17.11. Считать силы Qi и Q2 не зависящими от qi и q?.

Решение. В настоящем примере балка рассматривается как невесомая система с двумя степенями свободы, т. е. произвольными могут быть лишь ко* ординаты 51 и «2，тогда как положение всех остальных точек балки однозначно определяется через gi и q*

Потенциал внешних сил определяется по формуле ，=—Z Q/% = — Q/1 — ^2^2-

Потенциальная энергия деформации находится так:

22

U = ^ 2 2 Q/%9/ = 4" (%1* + 々2^92 + 02192% + С22电,

31 / —1

с〃 一 реактивное усилие в связи, исключающей перемещение, энергетически соответствующее обобщенной 八с〃 一 реактивное усилие в связи, исключающей перемещение, энергетически соответствующее обобщенной 八силе Qi,силе Qi,вызванное единичным перемещением,вызванное единичным перемещением,энергетически соответствующим обобщенной силе Q/.Коэффициенты жесткости системы обычно удобно определять через коэффициенты податливости 6"； такое определение применительно к настоящему примеру выглядит следующим образом: “энергетически соответствующим обобщенной силе Q/.Коэффициенты жесткости системы обычно удобно определять через коэффициенты податливости 6"； такое определение применительно к настоящему примеру выглядит следующим образом: “:::i16 55 2:::i16 55 2|— 1|— 1Г1 48Е/=7/厂Г1 48Е/=7/厂U:計U:計

с〃 一 реактивное усилие в связи, исключающей перемещение, энергетически соответствующее обобщенной 八

с〃 一 реактивное усилие в связи, исключающей перемещение, энергетически соответствующее обобщенной 八

силе Qi,

силе Qi,

вызванное единичным перемещением,

вызванное единичным перемещением,

энергетически соответствующим обобщенной силе Q/.

Коэффициенты жесткости системы обычно удобно определять через коэффициенты податливости 6"； такое определение применительно к настоящему примеру выглядит следующим образом: “

энергетически соответствующим обобщенной силе Q/.

Коэффициенты жесткости системы обычно удобно определять через коэффициенты податливости 6"； такое определение применительно к настоящему примеру выглядит следующим образом: “

:::i

16 5

5 2

:::i

16 5

5 2

|— 1

|— 1

Г1 48Е/

=7/厂

Г1 48Е/

=7/厂

U:計

U:計

Здесь 6〃一 перемещение, энергетически соответствующее силе Q», вызванное единичной силой Q/. Величины 6“ определяются известными методами, например, по Мору.

(17.23)(17.23)Принцип Даламбера. Силой инерции называют силу

(17.23)

(17.23)

I/ = ~ Ш/Г/.

Принцип Даламбера может быть условно !) сформулирован так: если к активным силам Р(, действующим н а точ - к и несвободной системы, присоединить далам- бе ро в ы силы инерции I/, то результирующая этих сил уравновесится реакциями связей R/, т. е.

P/ + Rf + L = O (/=1, 2,...,")・ (17.24)

Из принципа Даламбера могут быть получены уравнения движения любой механической системы. Из принципа Даламбера вьь текают и все остальные принципы механики, являющиеся лишь иными формулировками его.

Общее уравнение динамики. На основании принципа Даламбера система, подчиненная стационарным, удерживающим и идеальным связям, под воздействием сил Р, R и I находится в равновесии (см. (17.24)). С другой стороны, на

】)Условность состоит в том, что при движении системы уравновешивания нет, так как силы I/ к точкам системы не приложены.

основании принципа возможных перемещений имеем

E(Pj + R, + L)g = 0・(17.25)

Так как связи идеальные,

N

Е RE = 0・(17.26)

Учитывая (17.26) и (17.23), уравнение (17.25) в проекциях на оси декартовой системы координат представим в виде

£М i闯 g + (匕 i必)物 + (Z「叫)62,] = 0. (17.27)

Уравнение (17.27) является общим уравнением динамики. Оно известно в механике как принцип Даламбера ——Лагранжа для голономных и неголономных систем (с линейными относительно скоростей связями). В выражении, стационарность которого утверждается принципом Даламбера — Лагранжа, варьируются

лишь координаты, а скорости, ускорения и время остаются неизменными (6Х/ =# 0, 6х/ = 0, 6尤=0 (沙z); б/ = 0). Если связи не идеальные,

то принцип остается в силе, но то

гда в активные силы нужно включать и реакции неидеальных связей.

Если перенести из левой части

в правую все вторые члены_

в круглых скобках и учесть, что в 丿⑦ левой части останется выражение,

которое в случае потенциальности сил Р/ удовлетворяет равенству

g (Xg g + у*% + z / 6W = 6П,

то получим

疝=£（S元6勺+伪贝^i+tniZi &w）・盘

У」〉"спо/ьзуя уравнение Рнс. 17.12. К примеру 17.12. Даламбера — Лагранжа, составить уравне- ние движения тела массы т, заключенного

в жесткие направляющие и связанного с упругой рамкой, которую, вследствие малости ее массы по сравнению с т, считать невесомой 而ис. 17.12). Перемещения считать малыми.

Решение. Рассматриваемая система обладает одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты можно принять q (см. рис. 17.12). Од- нако Удобнее конфигурацию системы характеризовать двумя параметрами,少

и у (координаты центра массы т), но учесть, что жесткие направляющие представляют собой для материальной точки идеальную связь; аналитически она выражается уравнением

х - ^ = 0.(17.28)

Гибкая упругая рама, соединенная с материальной точкой, является для нее неидеальной связью. В уравнениях Даламбера ——Лагранжа эта связь заменяется упругой восстанавливающей силой с компонентами

X = — с%%% — Схуу, У = — Су%% — Сдуу.(17.29)

Коэффициенты жесткости схх, cxyt cyXi суу определяем через коэффициенты податливости д// (см. рис. 17.12)

1m：Н匿:灯=(番厂圖厂。需匸寸 Возможные перемещения 6% и бу должны удовлетворять условиям связи (17.28) или уравнению

дхду'

Тогда, согласно принципу Даламбера — Лагранжа, (X — тх) дх + (У — ту) бу = (X + У —团尤一ту) 6% = 0.

Отсюда

X + Y-m(x + y)=0.(17.30)

Исключая из этого уравнения переменную у с помощью условия (17.28) и учитывая выражения (17.29), после преобразований получаем уравнение движения для координаты %

£ + 磴% = 0, W = 4^.(17.31)

Уравнения Лагранжа пер в о го рода. Если система свободна, то все 6х/, 6% 6z независимы и, исходя из (17.27), получаем

%-色 帚=0(，=1, 2, m) (xyz) (XYZ). (17.32)

В случае несвободной системы со стационарными, идеальными, голономными связями

力(修，Уь 勿)=0(/= 1, ...» N; /= 1,...,加)，(17.33)

вариации 6%i, byi и 6z/ должны удовлетворять т условиям 二(器 g + ^~6勿+ *&) = 0(j=l, 2, .... m),

вытекающим из (17.33).

Применение метода неопределенных множителей Эйлера — Лагранжа приводит к следующей записи общего уравнения динамики:

匕嘗+

/0勺+ Z/-Sr/0勺+ Z/-Sr- + 對同=。・(17.34)- + 對同=。・(17.34)

/0勺

+ Z/-Sr

/0勺

+ Z/-Sr

- + 對同=。・(17.34)

- + 對同=。・(17.34)

Из (17.34) получаем 3^ уравнений:

Xi备+ 苫唸(―，…，M(exrz)，(17.35) которые вместе с (17.33) позволяют найти 3^ координат х/, уц Zi (i=l, 2,・・・,N) и т неизвестных множителей Лагранжа £/ (/ = 1, 2, ..., т). Уравнения (17.35) для несвободных систем со стационарными, идеальными, голономными связями называются уравнениями Лагранжа первого рода. Если в этих уравнениях вторые производные координат по времени равны нулю, т. е. равны нулю ускорения, то уравнения Лагранжа первого рода превращаются в уравнения равновесия системы; в случае отсутствия связей эти уравнения переходят в уравнения движения (17.32) для свободных систем. Иной, нежели (17.35), вариант записи уравнений для несвободной системы имеет вид М-s帚+ ®% = 0 (Z=l, 2, ..., л^) М (XYZ). (17.36)

Сопоставление (17.36) с (17.35) показывает, что

G==l, 2, N) {xyz},

т. е. последние слагаемые в уравнениях (17.35) — проекции реакций связей.

Пример 17.13. Составить уравнение движения системы, описанной в условии примера 17.12, используя уравнение Лагранжа первого рода.

Решение. Уравнения Лагранжа первого рода (17.35) применительно к настоящему примеру приобретают вид

Х-тх + к, “°二"=X —团兄 + % 1 = О,

(17.37)

у ту + %i а (:一处=® y 一 〃也一储=0.

Исключая из этих уравнений множитель Лагранжа %ь приходим к уравнению (17.30) и, после преобразований, — к уравнению (17.31).

Уравнения Лагранжа первого рода (17.37) дают возможность определить реакцию направляющей, обеспечивающей связь (17.28). Составляющие реакции определяются через множитель Лагранжа

R% == Rg — % == tnx X == tnx ~~ ~■7/3 х,

и могут быть найдены после решения уравнения (17.31).

Пример !) 17.14. Используя уравнения Лагранжа первого рода, составить уравнения движения системы, состоящей из двух одинаковых материальных точек, находящихся на концах гибких консольных стержней и соединенных между собой жестким невесомым стержнем /——2, опирающимся на колесо, которое катится без скольжения по плоскости ху (рис. 17.13).

Решение. Внешние силы Qi и Q2, действующие на массы, имеют следующие составляющие:

Рис. 17.13. К примеру 17.14.Рис. 17.13. К примеру 17.14.—С1%%1,—С2хХ2,—С1%%1,—С2хХ2,здесь Q*, С\учжесткости. Еслиздесь Q*, С\учжесткости. ЕслиQig = - Gy (a+ 勿)，

Рис. 17.13. К примеру 17.14.

Рис. 17.13. К примеру 17.14.

—С1%%1,

—С2хХ2,

—С1%%1,

—С2хХ2,

здесь Q*, С\учжесткости. Если

здесь Q*, С\учжесткости. Если

Qzy = — Czy (а —•乡2), 3, c2g — коэффициенты оба стержня одинако

вы и имеют равные главные моменты инерции, то

ЗЕ/

С1х = Cig = С2Х = С2y s~р-в С・*

На координаты хь уь х2, '2 материальных точек накладывается одна го- лономная связь

(Х2 一 打)2 + 匂2 — 勿)2 — 4«2 = 0, (17.38) и одна неголономная связь

(%2 -%i)(% + 贝)-

一(右 + £i)(禽一勿)=0.(17.39)

Последнее уравнение аналитически выражает тот факт, что скорость точки О всегда направлена вдоль связи /——2 (перпендикулярно к оси колеса). Уравнения Лагранжа первого рода с неопределенными множителями % и %2 имеют вид

tnx\ + cxi + 储(%2 - %i) + A2 g2 -勿)=0,

fny\ + e (a + 91) + 储(柒一勿)一入2 (%2 -%1) = 0,

mХ2 + C%2 一 入1 (%2 -%1) + 入2(У2 -勿)==0,

/W^2 + C (a一92)一九1g2 -勿)—入2 (%2 一打)=0.

Вместе с условиями связей (17.38) и (17.39) эти уравнения дают систему из шести уравнений для определения координат точек и множителей 九】и 几象

Принцип наименьшего принуждения (принцип Г а у с с а). Рассмотрим систему материальных

Настоящий пример заимствован из книги Ф Р. Гантмахера «Лекции по аналитической механике》 (Физматгиз, I960), но несколько усложнен и иначе интерпретирован.

точек, связанных между собой теми или иными связями и подвергнутых любому влиянию. Пусть при этом материальная точка с номером / находится в точке G пространства. Если бы все точки были свободны, т. е. не были бы никак между собою связаны, то та же самая материальная точка с номером i занимала бы положение точки В/ пространства.

Введем понятие принуждения, под которым будем q£^h мать произведение массы т/ точки i на квадрат отрезка 8£ : 佗（8，&）2.

Принцип Гаусса формулируется так: движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных л ю - б ы м влияниям, в каждое мгновение происходит с наименьшим принуждением.

Аналитически этот принцип может быть представлен так: _ N

2色（丽）2 V 2色（瓦瓦）2.

Здесь Di ——положение i-й точки, сравниваемое с действительным, при наличии связей между точками системы.

Можно показать, что в дифференциальной форме принцип Гаусса записывается так:

X ［（xi 一色同g + （九一“贝）6贝+ 0 一侬D 6葡п0.

В функции, стационарность которой утверждается в принципе Гаусса, варьируются лишь ускорения, а координаты, скорости и время не варьируются （6爲=0, 6角=0, 5尤幺 0 （ху^; б/ = 0）.

Принцип Гаусса справедлив как для голономных, так и для неголономных и при этом как для линейных, так и нелинейных систем.

Принцип Даламбера не связан с понятием минимальности. Гаусс предложил интерпретацию, вводящую в этот принцип понятие минимальности.

Принцип Гаусса представляет собой физическую аналогию ^метода наименьших квадратов^ теории ошибок, предложенного самим Гауссом. .

Наряду с принципами Даламбера — Лагранжа и Гаусса известен принцип Журдена; в функции, стационарность которой утверждается в этом принципе, варьированию подвергаются лишь скорости （6芻 п 0, 5疝 * 0, 6Xi = 0 （xyz）; 6f = 0）. Аналитически этот принцип выражается так:

Е ［（X» — mxz） 6文z + （匕一加贝）6贝 + （Z/ —欣/） 6匐=0.

Интегральный принцип механики.

Кинетическая энергия с исте.м ы. Кинетическая энергия системы выражается формулой

N

7=42铀(就+步什考).

Имея в виду формулы (17.6) для 北,(尤4之)，можно представить Т в следующем виде:

左 月左

«1 /2—1/—1

где Л/!/2,力 и Л ——функции / и 力(/ = 1, 2,・・」,左).Если связи стационарны, то в формуле (17.6) для X/ (xyz) последний член обращается в нуль и тогда Т выражается формулой

用 k

Г = т2 Z Ah^h4h^

/1в1『2—1

где Л/^г — функция qj (/ = 1, 2,...,力).Таким образом, в этом случае d/ = 0 и Л = 0.

Принцип Гамильтона. Рассмотрим истинное движение, вообще говоря, неконсервативной системы 9, происходящее в течение промежутка времени (介，为).

Наряду с истинным движением, удовлетворяющим и уравнениям движения и уравнениям связей, рассмотрим множество близких к нему смежных движений, для которых уравнения связей удовлетворены, а уравнения движения ——нет. Разности изохронных обобщенных координат в смежном и истинном движениях представляют собой изохронные вариации обобщенных координат: бi?i, ..., ^q^ Будем считать, что в моменты времени /1 и /2 смежные движения не отличаются от истинного, т. е.

6g儿f = 0，6%忆力=°0=1, ・・・，左).

Теперь сформулируем принцип Гамильтона: истинное движение системы при переходе ее из положения М (/р 外 D)в положение М2 (/2, q^ происходит таким образом, что при любых изохронных в а -

Напомним, что система, в которой при ее движении полная механическая энергия (£ = Г + П) остается постоянной во времени, называется консервативной; в противном случае ——неконсервативной.

р.п а пнях обобщенных координат, обращающихся при Л и /2 в нуль, справедливо условие

，(67+ 6/)或=0, или 6,7山+，6‘力力=0.(17.40) fi力力

Соотношение (17.40) выражает собой принцип Гамильтона в случае достаточно общих предположений о характере действующих на систему сил. Здесь 5T ——вариация кинетической энергии ——разность ее значений в смежном и истинном движениях как функция времени; второй член в (17.40)—сумма работ всех внешних и внутренних сил на вариациях б^/ (/ == 1,・・・ .・.,々),выраженная через обобщенные силы, так же как функ* ция времени. Величина бМ не является, вообще говоря, вариацией некоторой функции Л, что подчеркнуто верхним штрихом при б. Величины Т и б^А должны выражаться через обобщенные координаты и скорости. В частности

k

*4 =?]Q2 分.

В представленном виде, как уже отмечалось, принцип Гамильтона справедлив для произвольной механической неконсервативной системы с нестационарными голономными связями.

Поскольку движение, рассматриваемое в принципе Гамильтона, изучается на конечном промежутке времени, принцип является интегральным.

Принцип Гамильтона может быть получен из основного уравнения динамики (17.25).

Если система консервативна, то из (17.40) получаем частный случай, который, в отличие от общего принципа Гамильтона, будем называть вариационным принципом стационарности действия по Гамильтону. Происхождение этого названия станет ясным из приводимой ниже информации.

尼

Поскольку для консервативной системы £ Q/ 6夕/ =——SII, условие (17.40) приобретает вид

6,TM — 6,nd/ = 0, или 6,(7 —И)山=0.

Выражение под интегралом называется функцией Лагранжа и обозначается символом L:

l = 7 一 口.(17.41)

Эта функция полностью характеризует динамику системы.

Учитывая (17.41), получаем

S Jl^/ = O.(17.42)

Если ввести понятие действия по Гамильтону,

S = \ L dt,力

то (17.42) можно представить так:

6s = 0,

т. е. получили вариационный принцип стационарности действия по Гамильтону: истинное движение системы при пер еходе ее из положения 的仏，«?))в положение 乂2色，价2)) происходит таким образом, что действие S, вычисленное по прямому пути, имеет стационарное значение п о сравнению со значениями, приобретаемыми S при движении по окольным путям, близким к прямому и п р 0X0 ' д я щ и м через М1 (/р 价D) и М2 (/2, q^. Вторая вариация 62s больше нуля и, следовательно, действительному движению соответствует минимум S. Поэтому, если система консервативна, принцип Гамильтона называют принципом наименьшего действия.

Принцип Гамильтона справедлив не при всяких пределах интегрирования /1 и %2, а лишь в случае, если рассматриваемые начальное и конечное положения системы достаточно близки друг к другу. На траектории механической системы в расширенном пространстве конфигураций могут иметься точки, называемые кинетическими фокусами ^, выходит^ за предёлы которых изо-

】)На рис. 17.14 изображен кинетический фокус (М*) —точка на траектории, содержащей дугу М[М2, лежащая на дискриминантной кривой (огибаю-

Рис. 17.14. К понятию кинетического фокуса; а) случай, когда кинетический фокус расположен вне дуги М1М2； 6) случай, когда ^кинетический фокус лежит на дуге Mi М2.

щая пучка траекторий механической системы, проходящего через точку М\ расширенного пространства конфигураций). Более подробную информацию о кинетических фокусах см. в книгах: Лурье А. И. Аналитическая механика. —М.: Физматгиз, 1961, с. 649—665 и Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Вариационное исчисление. — М.: Гостехиздат, 1952, гл. II, § 1 (с. 61—68).

бражающим точкам Afi и М2 не разрешается, чтобы не перестал иметь силу принцип Гамильтона.

Пример 17.15. Составить уравнение движения балки (рис. 17.15), имеющей постоянную вдоль оси изгибную жесткость и равномерно распределенную по длине массу интенсивности т, рассматривая балку как систему с одной степенью свободы и используя принцип Гамильтона.

^-oonst

夕

Рис. 17.16. К примеру 17.15.

Решение. Перемещение любой материальной точки балки определяем одной общей для всех точек обобщенной координатой д:

。⑵ f) = g(f)sin^,

отсюда

du . . яг „ d2u л2 . лг

—=q sin -у, и

Кинетическая энергия и потенциальная энергия системы, равная в нашем случае потенциальной энергии деформации *) балки, выражаются соответственно следующими формулами:

II

Т = } \ mb2 dz =-^ mq2 \ sin2 -^ dz =-^ т^ ^2tоо」

II

тт ГТ 1 £丿 1 Е/冗4 2 ( • 2 几2 丿 1 WEI

11==u=万)e/ (u〃)2 血=豆一^一矿)sm2 Tdz =万方一广

оо

В соответствии с принципом Гамильтона, в действительных состояниях системы действие по Гамильтону

S=«、Ldf=卜T - H)df=^ \ (等炉一 3謬g2)/

имеет стационарное значение.

i) За уровень отсчета потенциальной энергии системы принято значение втой энергии при деформированном равновесном состоянии.

Условие стационарности (6S »=. 0) имеет вид

6s =万)所丁 2q bq)山=0,

илиилиq bq dt = 0.q bq dt = 0.2 6s2 6s(17.43)(17.43)

или

или

q bq dt = 0.

q bq dt = 0.

2 6s

2 6s

(17.43)

(17.43)

力q bq dt = 0.力q bq dt = 0.Беря первый интеграл в (17.43) по частям, получаем

力

q bq dt = 0.

力

q bq dt = 0.

tnl^bq — ml \ q bq dtI力 ?

Учитывая, что

S Iff = M If 2 = °

приходим к равенству

+ '詐 0)6g df = о.+ '詐 0)6g df = о.

+ '詐 0)6g df = о.

+ '詐 0)6g df = о.

которое удовлетворяется при условии

илиилиmlq +mlq +9 = 0,9 = 0,g +哪=0,磅g +哪=0,磅НЕ/НЕ/

или

или

mlq +

mlq +

9 = 0,

9 = 0,

g +哪=0,磅

g +哪=0,磅

НЕ/

НЕ/

Это и есть искомое уравнение движения, являющееся уравнением Эйлера для функционала S в условиях рассматриваемой задачи.

Ниже рассматривается вывод уравнений движения из вариационного принципа Гамильтона в общем виде.

Вывод уравнений движения из вариационного принципа Гамильтона. z

Уравнения Лагранжа второго рода. Имея в виду изохронность варьирования, можем представить уравнение принципа Гамильтона (17.42) в следующем виде:

bS=\$L dt = 0.

Тогда, учитывая, что L•= L(tf 力，力)и что 6/ = 0, получим-

= J(不 器6分 + 2 崙家%)或=6(17.44)

Беря интеграл от второго слагаемого в скобках в (17.44) по частям, учитывая, что 6力(介)=6夕/«2)= 0, и вынося знак суммы за скобки, получим.

6S=j £(卷一殆卷)=

Вследствие независимости вариаций 6д/ получаем уравнения, называемые уравнениями Лагранжа второго рода,

4(<)-^ = ° (/=1，2, 粉， (17.45)

число которых равно числу независимых обобщенных координат. Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа второго рода являются уравнениями Эйлера вариационной задачи для У.

Учитывая, что

L仏分，％) = Т(/, q】,%) —口仏qQ (j=l, ・・・，舟， получаем

dL _ ОТ 0L _ дТ ОН z. 1 方

西"=瓦，西"=所一瓦 U=l，…，切，

вследствие чего уравнение (17.45) приобретает видвследствие чего уравнение (17.45) приобретает вид

вследствие чего уравнение (17.45) приобретает вид

вследствие чего уравнение (17.45) приобретает вид

Здесь —dll/dqj представляет собой потенциальную обобщенную силу.

Поскольку уравнение (17.42), из которого получено уравнение (17.45), справедливо для консервативных систем, для этих систем справедливо и (17.45).

Если система неконсервативна, то для вывода уравнений Лагранжа воспользуемся (17.40), представляя это уравнение в виде

"m/+2器成+]?Q/M/成=0 0=1,...，々). / /-1 z J 力 /т

При раскрытии выражения 6Т учтено, что Т = T{tf q^（//）. Беря интеграл от второго слагаемого в первом члене, аналогично тому, как это было сделано выше с интегралом

比器М/成，0=1，初

получим

\t^—3t^+^dt-Q о・=1，・・.，視

一崙=Q/0=L 2,舟. （17.46）一崙=Q/0=L 2,舟. （17.46）dHidHiОтсюда, вследствие независимости вариаций б^/, получаем уравнения Лагранжа второго рода для неконсервативных систем:

一崙=Q/0=L 2,舟. （17.46）

一崙=Q/0=L 2,舟. （17.46）

d

Hi

d

Hi

Здесь Q/ — непотенциальная сила （сила, не имеющая потенциала）.

Если на механическую систему действуют как потенциаль^ ные, так и непотенциальные силы, то уравнениям Лагранжа второго рода можно придать вид

dd。，甫"=Q‘ 0=L--.，也）,。，甫"=Q‘ 0=L--.，也）,

d

d

。，甫"=Q‘ 0=L--.，也）,

。，甫"=Q‘ 0=L--.，也）,

и влияние потенциальных сил учитывать через их потенциальную энергию в П, а непотенциальных — через обобщенные силы Q/・ .

Если, например, внутренние силы являются потенциальными, в частности, имеется упругий потенциал U, а внешние силы непотенциальны, то уравнение Лагранжа второго рода можно представить так:

dd"多= Q/ （/=1， ・・・，也）・"多= Q/ （/=1， ・・・，也）・

d

d

"多= Q/ （/=1， ・・・，也）・

"多= Q/ （/=1， ・・・，也）・

При этом через U выражается . вклад внутренних сил [равных dU/dqj （/ = 1, ..., ^）], а вклад внешних сил — через обобщенные силы Q/, представленные правыми частями уравнений.

Система （17.40） уравнений второго порядка имеет решением функции

，分= 9/（/, С], С?, ・・・，。2尼）0= 1, 2,...,山），

в которых 2山 постоянных интегрирования находятся из 2A на^ чальных условий

%（右）=g/（）,力 с0） Н 力。0 = 1, 2,...,也）.

Достоинство уравнений Лагранжа второго рода состоит в независимости их от выбора системы координат, т.е. в возможности использования любой системы координат, в том числе и криволинейных.

Пример 17.16. Написать уравнение движения центрального кривошипноползунного механизма, состоящего из недеформируемых и невесомых звеньев О—/, /—2, 2—3 и подвижной массы т (рис. 17.16), если к ведущему звену 0—1 приложен момент M(f).

Рис. 17.16. К примеру 17.16. Центральный кривошипно-ползунный механизм.Рис. 17.16. К примеру 17.16. Центральный кривошипно-ползунный механизм.

Рис. 17.16. К примеру 17.16. Центральный кривошипно-ползунный механизм.

Рис. 17.16. К примеру 17.16. Центральный кривошипно-ползунный механизм.

Решение. Рассматриваемый механизм является системой с одной степенью свободы. В качестве обобщенной координаты примем 2 — угол поворота кривошипа. При этом соответствующая обобщенная сила есть заданный момент Q^ = M.

Положение массы т определяется через *ф:

% =广 cos 屮 + / cos % + 匕 и поскольку

cos % = “ 1 — siM % =—扎2 slfp 屮，％ = 〃/,

то*

X = r COS 屮 + Zs + 匕，S = «1 —九2 sil}2

Отсюда скорость движения массы, кинетическая энергия системы и уравнение Лагранжа второго рода соответственно приобретают такой вид:

# =岩轡=(一m sine鲁)6

..,/ [ , Л cos \ ：

% =一 广sm 屮(1 4丁工 I屮，

тх2 = ^ 加产 sjn2 屮(1 +тх2 = ^ 加产 sjn2 屮(1 +% * 业 J ф2 = уа (屮)$2,% * 业 J ф2 = уа (屮)$2,

тх2 = ^ 加产 sjn2 屮(1 +

тх2 = ^ 加产 sjn2 屮(1 +

% * 业 J ф2 = уа (屮)$2,

% * 业 J ф2 = уа (屮)$2,

а (-ф) = /nr2 sin2 屮(1 + 丄* 电 J；

击(^) 一詣=备(。⑹而一 ^旬步

а<ф + dtp — А а^ф2 = М, а « — ^ = афф, 旬 8s 器,恥# + 向一^ %@2 = %

Уравнение движения системы(

aФ+ У 勺+2 и м

оказывается нелинейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, в котором Оф в развернутом виде выражается следующей формулой:

с 2 •] /1 1 % COS 屮、「 I 1 丄％ COS 屮、丄・ 2 I % (%2 COS?屮一$2”

Оф = 2mr2 sin -ф I 1 Hxj I cos W (1 H+ sin2 屮^з Ч.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему дифференциальных уравнений, которую можно разрешить относительно ^/：

书=W (g[,...,仇，仇，...，？也，/)(/== 1 > 2, • •.,々).

Это k уравнений второго порядка. Таким образом, общее решение содержит 2尼 констант

分=外(4,・・・，4也；8ьВ左；f).

Постоянные 4i, ..., 4电 Bi, ..., Bk находят из 2左 условий. Обычно задают начальные условия для д/ и ф при t = Л.

Метод интегрирования уравнений Лагранжа в общем случае не найден. Иногда удается произвести полное или частичное интегрирование их. Применяются и численные методы.

Малые колебания около положения устойчивого равновесия—один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы.

Подробно малые (линейные) колебания рассмотрены ниже, в § 17,5..

4・2・ Теорема об изменении кинетической энергии. Исходя из (17.40), можно показать, что

k

齐=gQ加(17.47)

или, после интегрирования,(乂)

Г (购)一Г (М) = J Q；對/・(17.48)

/・1(点)

Здесь Mi и 乂2 — положения системы, соответствующие моментам времени 6 и /2, Q/ — внешние и внутренние силы. Формулы

или (17.48) выражают так называемую теорему об изменении кинетической энергии-, изменение кинетической энергии з а некоторый промежуток времени равно сумме работ, совершенных обобщенными силами Q/.

Если система движется в потенциальном поле, то, выражая Q/ через П на основании (17.20) и (17.21) и подставляя это выражение в (17.47), получим•

，k

dT ° dU ・ dn瓦 l

/-1 /

ИЛИ

d(r+H) —

Следовательно,

£ — const,

т. е. полная механическая энергия системы Е сохраняет при движении постоянное значение. Напоминаем, что такие системы называются консервативными. К числу консервативных систем относятся все голономные системы со стационарными связями, движущиеся в потенциальном поле.

• Если, кроме сил, обладающих потенциалом, имеются силы Q； не обладающие потенциалом, то

器+Q；，

и теорема об изменении кинетической энергии принимает вид k

学= £Q；d 办(17.49)

/-1

В некоторых случаях и силы, не обладающие потенциалом, тако* вы, что сумма в правой части (17.49) обращается в нуль. К числу таких сил относятся гироскопические силы Q； = —, возможная мощность которых равна нулю. Примером гироскопической силы является кориолисова сила инерции. Если гироскопические силы являются линейными функциями скоростей ^/

Г/п^^В”仇(/ = 1, 2,・・・，А),

то матрица коэффициентов 0〃 кососимметрична (Р〃 = 0, Р〃 = 0s ~ ₽/0 •-

'4.3. Фазовое пространство. Пространство с о - стояний. Пространство 2尼 измерений, в котором состояние , системы с 尼 степенями свободы описывается k обобщенными

координатами ,/ и ^ импульсами р； = dL/dq^ называется фазовым пространством (название предложено Д. У. Гиббсом).

Движение изображающей точки в фазовом пространстве отображает движение механической системы. Траектория этой точки называется фазовой траекторией.

Для всей фазовой картины существенным является положение точек, соответствующих равновесию системы, и характер равновесия в этих точках (устойчивое или неустойчивое равновесие) .В связи с этим обсудим вопрос о равновесии системы.

Положением равновесия системы называется такое, в котором она находилась в начальный момент при равенстве нулю скоростей всех точек и в котором продолжает находиться все время. При этом указанное положение голономной системы является положением равновесия в том и только в том случае, когда в этом положении равны нулю все обобщенные силы. Итак, в положении равновесия 仇=0 и Q/ = 0 (/ = 1,...,力).

В случае системы с одной степенью свободы фазовое пространство двумерно (фазовая плоскость).

Если Движение системы с одной степенью свободы описывается уравнением

то его можно представить так:

dq 少、

Из сказанного выше ясно, что в положении равновесия равны нулю обобщенная скорость и равнодействующая всех сил:

9 = 0 и /(^,0) = 0,.(17.51)

вследствие чего равновесию отвечает неопределенность значения величины dq/dq типа 0/0.

Корни уравнения (17.51) 2 определяют собой значения обобщенной координаты q = qs, при которых система находится в состоянии равновесия. Точки (д$, 0) фазового пространства называются особыми точками уравнения (17.50).

Все остальные точки фазовой плрскости называются регулярными} через каждую из них проходит одна фазовая траектория. Периодическим режимам соответствуют замкнутые фазовые траектории. Разновидностями особых точек на плоскости являются: центру седло, фокус, узел; они изображены вместе с примыкающими к ним областями фазовой плоскости на рис. 17.17, а, 6, в, a, d, е.

В некоторых случаях (автоколебательные системы с одной степенью свободы, о которых говорится ниже) на фазовой плоскости имеют место так называемые изолированные циклы —

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости; а) центр, 6) седло; в) фокус (устойчивый).

、а) фокус (неустойчивый); d) узел (устойчивый); е) узел (неустойчивый); ж» з) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

замкнутые линии, в окрестности которых других замкнутых линий не имеется и к которым, начиная с некоторого малого от

них расстояния, неограниченно приближаются снаружи и изнутри другие фазовые траектории (см. рис. 17.17,宛，з).

ние, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространствоние, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространствоПространство состояний (название предложено Э. Ж. Карта- ном) по отношению к фазовому пространству занимает положе

ние, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространство

ние, аналогичное тому, которое имеет расширенное пространство

базиса приняты qt ибазиса приняты qt иконфигураций по отношению к пространству конфигураций. К 2左 измерениям фазового пространства, в котором в качестве

базиса приняты qt и

базиса приняты qt и

pi (i = 1, 2,...,力)， присоединяется (2^+1)・е измерение — в базис вводится время Л

В этом пространстве общее решение уравнений движения системы изображается при помощи бесконечного -множества нигде не са- мопересекающихся траекторий, полностью заполняющих пространство.

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2^-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жид

кости—это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся.

Пример 17.17. Описать в фазовом пространстве и в пространстве состояний малые свободные незатухающие колебания груза на пружине.

Решение. Уравнение движения такой системы (линейный осциллятор) имеет вид

G + 喙г = О；

здесь ©2 я-向3 с == Q/q.

Решение уравнения выражается так:

g = 4 sin (sf + фо),(17.52)

где А и фо ——произвольные постоянные. Импульс определяется выражением

(17.53)(17.53)р = "^> =» mQ = Лапо cos (sf + фо), поскольку функция Лагранжа выражается следующей формулой:

(17.53)

(17.53)

厶 п ? — П = (%)階 一(％) cq\

В фазовом пространстве р, q уравнения (17.52), (17.53) суть уравнения эллипса в параметрической форме, а в пространстве состояний р, q, f эти уравнения определяют винтовую линию, проекция которой на фазовую плоскость р, q (рис. 17.18) представляет собой эллипс.

Если при описании линейного осциллятора учитываются непотенциальные силы — силы сопротивления, то и в этом случае фазовое пространство и пространство состояний можно ввести, если ио прежнему определять импульс как р = mq. При этом траектория движения линейного осциллятора в пространстве состояний представляет собой спираль, на этот раз приближающуюся к оси f.

Использование принципа Даламбера

Предварительные замечания. При рассмотрении некоторых динамических задач не представляет сложности определение сил инерций. В этих случаях может оказаться удобным непосредственное использование принципа Даламбера. Ниже приводятся примеры такого его применения.

Рис. 17.19. к примеру 17.18.Рис. 17.19. к примеру 17.18.Примеры. Пример 17.18. Груз Р, подвешенный на тросе, равноускоренно поднимается. Определить напряжения в тро* се, если ускорение равно з, объемный вес и площадь поперечного сечения троса равны соответственно y и F.

Рис. 17.19. к примеру 17.18.

Рис. 17.19. к примеру 17.18.

Решение. Рассечем трос в некотором сечении, удаленном от точки подвеса груза на расстоянии z (рис. 17.19). Согласно принципу Даламбера, эффективные силы, представляющие собой сумму активных действующих сил и сил инерции, уравновешиваются реакциями связей. Соответствующее уравнение имеет вид

Р +、Fz + (Pig + yFz/g) w — Njj^ — Q. (17.54)

Первые два члена в (17.54)——это активные действующие силы ——силы тяжести груза и примыкающего к нему отсеченного участка троса. Третий член представляет собой силу инерции; при этом выражение в скобках это — масса (первый член в скобках ——масса груза и второй ——масса отсеченной части троса); сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. Ускорение, ввиду ускоренности движения при подъеме, направлено вверх, а сила инерции — вниз,

т. е. в ту же сторону, в которую действует сила тяжести. Последний член в левой части уравнения ^д ——это сила реакции в связи〔) (продольная сила, возникающая в поперечном сечении троса).

Из (17.54) находим

^Д^(P + Y&) (1 + 3g) = "с坛.(17.55)

Здесь Nc = Р + Y尸2 — продольная сила в поперечном сечении троса, которая возникла бы при отсутствии ускорения (5 = 6), т. е. при статическом дей- .ствии сил;

坛=l + 3/g(17.56)

—коэффициент динамичности, т. е. коэффициент, на который нужно умножить статическую, продольную силу для получения динамической. Из (17.56) видно, что 左д >1 и тем больше, чем больше величина ускорения w. Если рассматривать замедленный подъем или укоренный спуск, то в формуле (17.55)

」)Индекс д подчеркивает динамическую природу индексируемой величины.

внутри вторых скобок перед вторым членом должен быть знак минус, так как при этом сила инерции направлена в сторону, противоположную направлению силы тяжести. Практический интерес, однако, представляет случай, когда в формуле (17.55) сохраняется знак плюс, так как именно этот случай является наиболее опасным для работы троса с точки зрения его прочности. Именно этот случай является расчетным и к нему относится коэффициент динамичности.

Пассажир в поднимающемся с ускорением или опускающемся с замедлением лифте прижимается к полу силой, превышающей силу его тяжести в (L+oz/g) раз. Наоборот, при подъеме с замедлением или опускании с ускорением пассажир оказывает на пол давление меньше силы его тяжести и если бы ускорение w по величине достигло ускорения силы тяжести g, то пасса^ жир не оказал бы на пол никакого воздействия и пребывал бы в состоянии невесомости.

,Условие прочности имеет вид

Од, шах = °口 lzx=2max и "к, щах/尸 &【。]・

Пример 17.19. Определить напряжение в поперечном сечении обода маховика, вращающегося с постоянной угловой скоростью со (влиянием спиц и влиянием веса пренебречь). Диаметр осевой линии, площадь поперечного сечения, объемный вес материала обода D, F ^ у соответственно.

Решение. На обод, при условии, что собственный вес и влияние спиц не учитывается, действуют лишь силы инерции (центробежные силы), возникающие вследствие наличия центростремительного ускорения (тангенциальное ускорение благодаря равномерности вращения равно нулю). Центробежные

а)

Рис. 17.20. К примеру 17.19; а) вращающийся обод маховика и действующие на негоцентробежные силы; б) элемент обода маховика.

(17.67)(17.67)силы всюду направлены по радиусу от центра и равномерно распределены по осевой линии обода (рис. 17.20, а). Интенсивность центробежных сил р определяется по формуле 尸у (o2D2力

(17.67)

(17.67)

р =扌-у-, р = m^R.

В формуле (17.67)1 первый множитель представляет собой 加一погонную массу обода (масса элемента, длина осевой линии которого равна единице). Второй множитель ——центростремительное ускорение. Ввиду центральной симметрии как конструкции» так и силового воздействия, продольное усилн© во

всех поперечных сечениях одинаково. Для определения этого усилия рассмотрим элемент обода (рис. 17.20,6) и, применяя принцип Даламбера, составим уравнение равновесия эффективных сил и сил реакций. В эффективную силу в рассматриваемом случае входит лишь сила инерции — центробежная сила, так как действующими активными силами (вес обода) пренебрегаем. Из числа реактивных сил учтем силы ^д взаимодействия рассматриваемого элемента обода с остальной его частью, реактивные же силы, действующие на обод со стороны спиц, как уже отмечалось, не учитываем.”всех поперечных сечениях одинаково. Для определения этого усилия рассмотрим элемент обода (рис. 17.20,6) и, применяя принцип Даламбера, составим уравнение равновесия эффективных сил и сил реакций. В эффективную силу в рассматриваемом случае входит лишь сила инерции — центробежная сила, так как действующими активными силами (вес обода) пренебрегаем. Из числа реактивных сил учтем силы ^д взаимодействия рассматриваемого элемента обода с остальной его частью, реактивные же силы, действующие на обод со стороны спиц, как уже отмечалось, не учитываем.”Уравнение равновесия элемента обода, находящегося под воздействием эффективных и реактивных сил, имеет вид

всех поперечных сечениях одинаково. Для определения этого усилия рассмотрим элемент обода (рис. 17.20,6) и, применяя принцип Даламбера, составим уравнение равновесия эффективных сил и сил реакций. В эффективную силу в рассматриваемом случае входит лишь сила инерции — центробежная сила, так как действующими активными силами (вес обода) пренебрегаем. Из числа реактивных сил учтем силы ^д взаимодействия рассматриваемого элемента обода с остальной его частью, реактивные же силы, действующие на обод со стороны спиц, как уже отмечалось, не учитываем.”

всех поперечных сечениях одинаково. Для определения этого усилия рассмотрим элемент обода (рис. 17.20,6) и, применяя принцип Даламбера, составим уравнение равновесия эффективных сил и сил реакций. В эффективную силу в рассматриваемом случае входит лишь сила инерции — центробежная сила, так как действующими активными силами (вес обода) пренебрегаем. Из числа реактивных сил учтем силы ^д взаимодействия рассматриваемого элемента обода с остальной его частью, реактивные же силы, действующие на обод со стороны спиц, как уже отмечалось, не учитываем.”

22口粤"—tn®2R • R dtp = О,Nr = m®2R.

Нормальное напряжение в поперечном сечении

—"д _ YQ)2R2 _ Y*

Здесь V = coR — окружная скорость точек оси обода. Таким образом, напряжения в ободе зависят лишь от линейной скорости точек его оси и от объемного веса материала.

Приведем численный пример.

Пусть число оборотов маховика в минуту п = 540, D = 4 м, Y = 7,85 Г/см3. Найдем угловую и линейную скорости 2лп1 ° I^nD

8 = ' с 人—н 18 冗，U = —^— u=

60 сек2

=3600冗巴-.Напряжение, возникающее в ободе маховика при его вращении, Од=：-^— = 1020 ^萨

Рис. 17,21. К примеру 17.20. а) вращающийся стержень; 6) эпюра распределенной осевой нагрузки на вращающийся стержень; в) эпюра продольных сил в сечениях стержня.Рис. 17,21. К примеру 17.20. а) вращающийся стержень; 6) эпюра распределенной осевой нагрузки на вращающийся стержень; в) эпюра продольных сил в сечениях стержня.Пример 17.20. Определить максимальные напряжения в призматическом стержне, вращающемся равномерно с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к оси стержня, и проходящей на расстоянии а от ближайшего к ней его торца (рис. 17.21,а). Площадь поперечного сечения, длина и объемный вес материала стержня суть 尸，/ и у соответственно.

Рис. 17,21. К примеру 17.20. а) вращающийся стержень; 6) эпюра распределенной осевой нагрузки на вращающийся стержень; в) эпюра продольных сил в сечениях стержня.

Рис. 17,21. К примеру 17.20. а) вращающийся стержень; 6) эпюра распределенной осевой нагрузки на вращающийся стержень; в) эпюра продольных сил в сечениях стержня.

Решение. Выделим двумя поперечными сечениями с координатами 2 и 2 + dz бесконечно малый элемент стержня массой yFdz/g. Центробежная сила, соответствующая этому элементу, равна (yFdz/g) co2z. Интенсивность распределенной вдоль оси стержня нагрузки, создаваемой центробежными силами, равна qx = yF^z/g. Эпюра этой нагрузки изображена на рис. 17.21,5» Продольная сила в сечении с координатой z определяется по формуле

N=\我d2 = \^^Gdg=^^ 导 I =1^(b2一22),

На рис. 17.21,8 изображена эпюра “, при этом приняты следующие значения Ь, а н /: b = 200 см, а = 10 см, / = 190 см. Максимальное значение продольной силы находится по формуле

Искомое максимальное напряжение находим по формуле

Отах = Мпах/尸==» Y®2 (> — a2)/(2g).

/ Значение силы ^ при г = а равняется реакции в связи (между концом стержня, ближайшим к оси вращения, и осью вращения), удерживающей стер- жень на постоянном расстоянии от оси вращения.

.Пример 17.21. Построить эпюры продольных сил и изгибающих моментов в ободе и спицах махового колеса (рис. 17.22, а). Размеры показаны на рисунке.

Решение. При построении эпюр учтем только силы инерции — центробежные силы. Рассматриваемая система статически неопределима. Вследствие циклической симметрии как конструкции, так и нагрузки (см. рис. 17.22,6), для решения задачи нужно найти два лишних неизвестных. На рис. 17.22, в изображена основная система и действующие на нее внешние силы (при этом использованы результаты решения примеров 17.19 и 17.20) и лишние неизвестные. Канонические уравнения метода сил имеют вид

6Mi + 6]2X2 + Aip = 0,

+ 622/ + A2P =。。

Для определения коэффициентов и свободных членов в этих уравнениях рассмотрим основную систему в грузовом и двух единичных (вспомогатель* ных) состояниях.

В грузовом состоянии в спицах возникнут лишь продольные силы, а в ободе — изгибающие моменты и продольные силы.

Циклическая симметрия конструкции и нагрузки (ось симметрии шестого порядка) позволяет при определении 6“ и А»р рассматривать % часть конструкции.—

Изгибающий момент в ободе найдем по следующей формуле, происхожде* ние которой поясняется рис. 17.22, а:

л/6

М” == \ ・‘，а 七 8% • -^ sin (ф — ф) -у- d@. ф

После элементарно выполняемого интегрирования получаем

W4 Jcos (р — sin qpj.

Продольная сила в ободе определяется по формуле, получение которой пояснено рис. 17.22,6, л/6

那r今叫2 sm @ _①)晦ф •

В результате интегрирования получаем -.

Рис. 17.22. К примеру 17.21; а) рисунок осей элементов махового колеса; б) распределенные силы инерции» действующие на элементы махового колеса; в) основная система, лишние неизвестные и нагрузка; е) сектор основной системы в грузовом состоянии (к определению изгибающего момента в ободе); о) сектор основной системы в грузовом состоянии (к определению продольной силы в ободе); е) сектор основной системы в грузовом состоянии (к определению продольной силы- в спице); ж) сектор основной системы в первом единичном состоянии; з) сектор основной системы во втором единичном состоянии

Изгибающий момент в спице, как уже указывалось, равен нулю2

確m=0.

Продольная сила в спице определяется по легко уясняемой (см. рис. 17.22, е) формуле

л/6

"伊g)2Dcos^^-d^ + -^~^-(-^- - 22^, о

в которой второй член, обусловленный центробежной силой, соответствующий массе спицы, был найден в примере 17.20 (при этом учтено, что в рассматриваемом здесь случае Ь = D/2).

После интегрирования получаем

吃=上穿+与衿(半Т).

Усилия в единичных состояниях определяются легко (см. рис. 17.22, ж и 17.22, з); выражения для этих усилий приведены в таблице 17.1. В нее помещены и определенные ъыше усилия в грузовом состоянии.

Таблица 17.1

Состояния

Грузовое

Первое вспомогательное

Второе вспомогательное

усилия

усилия

усилия

Мр

斫

瓦

м2

Обод

戶(。6)Y8203 [[

Уз

2 cos(p 一 ^ sin ①]

尸(06)ys2°2[[

Уз —COS ф — 一^* sin ①]

1

0

—COS 偉—(р)]

cos 管-<₽)

Спица

0

尸(哪①202 , 4g 1

F(c叫①2 十X

X”)

0

0

0

-1

Определяем коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, пользуясь формулой Мора:.

л/6

к J D&p D 生

”一 J 2E/9S = ЕМ，6 ' 0

ji/6

612 = 52，= _4 照一

n/6冗/6

"ij叫*舒r+2『 cos?居一屮)裁^Г +

0/2

)e尸(5)£7(。6 I 16432 )e必。6)I 128 )

+ 謁隰 i) = ：ё^ ["000476 + 0,4783 ^^ +

+ T 尸(5力2 一 戶(5)03」=0,0006415 E/96)'

я/6

А о с 戶(。6)Y Г 源1 .! Dd^

Д. n = 2 \ co2D3 I 1cos ф — — sin ф I

IP У 8g L 22 J 2E/96)

呉。SL%①卜g一屮）鎧）呉。SL%①卜g一屮）鎧）=N券军住一也切e+丄,os也-丄П）。.。。295鼻汇 8gE/（°6 <626262 丿gE/（°6

呉。SL%①卜g一屮）鎧）

呉。SL%①卜g一屮）鎧）

Л/6

Dd① C F{o6\g)2D2 Г

。/20/2

( 戶(。6为炉02 厶 _f 尸9叫①2 /兰^ _ \ 厶

J 4^E戶(cm 一 J ~^~ (丁 -"丿 E戶(5)

V(o2D3「尸(。6)02戶(о6)

味卜 ^^1^ + °,°°542 - 0，125品 4

+ °，25 翥^- °，°41 (6)+ 0,125 ^ 一 0,1 (6) 3].

С целью доведения решения примера до построения эпюр усилий прида^ дим безразмерным величинам, входящим в формулы для дц, 6壮=даь 622, △ip, &р, численные значения: .

а万f(。6)02/(об)а万f(。6)02/(об)30,05, 方= 0,000125,30,05, 方= 0,000125,19200.19200.戶(06)q2乐^ = 6,尸 16。。,戶(06)q2乐^ = 6,尸 16。。,(17.68)(17.68)

а

万

f(。6)02/(об)

а

万

f(。6)02/(об)

3

0,05, 方= 0,000125,

3

0,05, 方= 0,000125,

19200.

19200.

戶(06)q2

乐^ = 6,尸 16。。,

戶(06)q2

乐^ = 6,尸 16。。,

(17.68)

(17.68)

Здесь h ——высота прямоугольного поперечного сечения обода. Формулы для 61/ и А* приобретают вид

Dлз

б” = 0,62360 而畸，仇2 = %i = — 0,011799 应而冇,М = 0,0005244-^у^у-;

△ip в 66,64 丫；戸、A2P = — 2,9898 丫盤宀

При таких коэффициентах и свободных членах решение системы канони・ ческих уравнений получается следующим:

уY®2DZ(o6) 丫 7 V®2Z(o6).

Ai = 41,219-, 心 = 6631,7-.

После отыскания лишних неизвестных усилия находятся по формулам М=^МР + М^ + M2X2i N = Np + 瓦占 + ад.

Подстановка в них усилий из таблицы 17.1 и найденных неизвестных дает

小：G 一哆 8sL 貝n (₽) + I •(41.219 1^)一

-- COS 传—叫• 6631,7 W, I

N(o6) = ■^等辺士 (1 _ 萼 cos <p - i sin q))+cos 偿-cp) 6631,7 咛2;

2)П止籌丝+当或.@_?) + (-1) 6631,7吟7

M(cn)N 0.

На рис. 17.23 изображены графики этих функций.

Приведем значения М(°6) и %(°б) в поперечном сечении обода, расположенном посредине расстояния между спицами, т. е. при ср = л/6, и соответствующее им нормальное напряжение:

М(°6)| 几=41,219 宣旦竺二^(oб) I 几=6631,7 卫叱竺；

(p・ggФ-~g

m。叫я м(。6)1 св,h

。小匸卡干-。。,3454胃中。,5侬嘗,

Si я «-о,1698-5^-, ан| я =0,8606^^»・0■万g①■万g

Разумеется, структура формулы для о получена такой же, как и в примере 17.19. При этом первое слагаемое показывает влияние растяжения обода; оно оказалось меньше, чем в ободе без спиц, а второе слагаемое — влияние

0,005208^ '(卜哂)0,005208^ '(卜哂)侬9340呻)侬9340呻)/勿方勿 07您)G,000208^ 伊4陶/勿方勿 07您)G,000208^ 伊4陶pirn 侪М@砌pirn 侪М@砌Рис. 17.23. К примеру 17.21.Рис. 17.23. К примеру 17.21.Эпюры усилий: а) эпюра изгибающих моментов;① эпюра продольных сил.Эпюры усилий: а) эпюра изгибающих моментов;① эпюра продольных сил.

0,005208^ '(卜哂)

0,005208^ '(卜哂)

侬934

0呻)

侬934

0呻)

/勿方勿 07您)

G,000208^ 伊4陶

/勿方勿 07您)

G,000208^ 伊4陶

pirn 侪М@砌

pirn 侪М@砌

Рис. 17.23. К примеру 17.21.

Рис. 17.23. К примеру 17.21.

Эпюры усилий: а) эпюра изгибающих моментов;① эпюра продольных сил.

Эпюры усилий: а) эпюра изгибающих моментов;① эпюра продольных сил.

изгиба, возникшего вследствие наличия спиц. В сумме напряжения в крайних волокнах поперечного сечения обода получились выше, чем при неучете влияния спиц.

Рис. 17.24. К примеру 17.22. Кривошипно-ползунный механизм; а) конструкция; 6) схема; в).силы, действующие на шатун; г) силы, действующие на ползун; 0) усилия в поперечном сечении шатуна.

Пример 17.22. Определить усилия, возникающие в шатуне одноцилиндрового двигателя внутреннего сгорания (рис. 17.24, а), при условии, что заданы следующие величины: о)— постоянная угловая скорость вращения кривошипа, Y — объемный вес материала шатуна, G ——вес поршня, поршневого штока и крейцкопфа, условно вместе называемых ползуном, а — расстояние от С —

центра тяжести ползуна — до точки В шатуна,戶=戶（乳）—площадь поперечного сечения шатуна, /г = Л（т]）——момент инерции площади поперечного сечения шатуна относительно оси z, проходящей через центр тяжести текущего сечения шатуна с координатой т] （рис. 17.24,6） нормально к плоскости механизма, г и / — длины кривошипа и шатуна соответственно.

Решение. Свяжем с исследуемым механизмом систему координатных осей %, у （см. рис. 17.24,6）. Введем обозначение 九=〃厶 Положение механизма в любой момент времени определяется углом г|）, составляемым осью кривошипа с осью х. Этому углу соответствует угол %, составляемый с осью % осью шатуна. Между углами 屮 и % существует зависимость

АА^ = г sin -ф = / sin %.

Представим шатун как балку на двух опорах, загруженную инерционными распределенными силовой и моментной нагрузками. Составляющие интенсивности силовой распределенной нагрузки в системе осей х, у и интенсивность моментной распределенной нагрузки находятся по следующим формулам:

% = - А^ 4 件），% = - ^^ yk 纣），々=一 ^ 厶⑺又件）， （17.59） 力（屮）и 勿传）一координаты текущего сечения.

Силой тяжести шатуна пренебрежем вследствие ее малости по сравнению с силами инерции.

Составляющие реакций, действующих на шатун со стороны кривошипа и ползуна, обозначим символами 4（屮），瓦（屮），儿（屮），瓦（屮）.Уравнения Даламбера, которые выражают равновесие сил реакций и эффективных сил, включающих в свой состав в нашем случае лишь силы инерции, действующие на шатун, имеют вид

—千 \ 尸⑺海（屮）df] + Ах （W） + вх （2） = 0;о'一 i■、尸⑺勿"）"" + & ⑹ + bУ "）=°；（1760）gо—千 \ 尸⑺海（屮）df] + Ах （W） + вх （2） = 0;о'一 i■、尸⑺勿"）"" + & ⑹ + bУ "）=°；（1760）gо£ Пр. у = о,£ Пр. у = о,> Пр. % == О,

—千 \ 尸⑺海（屮）df] + Ах （W） + вх （2） = 0;

о'

一 i■、尸⑺勿"）"" + & ⑹ + bУ "）=°；（1760）

gо

—千 \ 尸⑺海（屮）df] + Ах （W） + вх （2） = 0;

о'

一 i■、尸⑺勿"）"" + & ⑹ + bУ "）=°；（1760）

gо

£ Пр. у = о,

£ Пр. у = о,

2 Мом. В = 0,— у sin -ф J 尸卜（叫标（*ф） ^d^ —

о

——“1 — %?嵬紋屮、尸⑺ g （-ф） ^d^ —о

-у j /2（П）Х 纣）dt] + Axr sin 屮 + Ayl V1 — Л2 sin2-ф «0.

" о、

Здесь учтено, что

（17.61）（17.61）cos % = “1 — sir?弘=“1 一（〃/）2 sin2 ip *= V1 一入2 sin2 屮, §in % = / sin 屮=A sin ф.

（17.61）

（17.61）

В три уравнения (17.60) входят четыре неизвестные величины 4%(屮), 4(屮)，瓦($), By (ф). Недостающее уравнение получим, составив уравнение Даламбера для ползуна (см. рис. 17.24, а)

g с хg с х0.0.(17.62)(17.62)

g с х

g с х

0.

0.

(17.62)

(17.62)

Система уравнений (17.60), (17.62) относится к произвольному положению кривошипного механизма, определяемому углом ”. После решения этой системы относительно 4%(*ф), %у(@), B^(^), 8卜(屮)найдем обычным способом усилия М = M(W), Q = Q(2),力=^(,ф).

Представим уравнения (17.60), (17.62) в развернутой форме. С этой целью найдем выражения для 无務 ykt X и хс как функций угла 屮，продифференцируем их дважды по / и подставим эти производные в (17.60):

/ = %В — П cos % =广 cos 2 + / cos % — n cos %,

% = T] sin %,(17.63)

xc = хв + a = r cos -ф + / cos % + a,

или, учитывая формулы (17.61), деля (17.63)2,з на г и присоединяя к (17.63)

формулу для %

:,получим

-^- = cos *Ф + (}》一九2 sin2 屮)%,

(17.64)

% == arcsin (л sin -ф),

-~- = cos *ф + } (1 — A2 sin2 *ф)% + -2.,

Продифференцируем (17.64) дважды по 力

■—- == — sin * •《+ ^― —^ 豆(1 —九2 sin2 ф) " (— 2A2 sin 屮 cos 屮• ф),

步后 н П 九 cos *ф • -ф,

% = (1 — АЛ sin2 -ф) 2 九 cos 屮•屯

・1

=s — sin -ф • *ф + ^- • у (1 — X2 sin2 屮) (一2M sin 巾 cos 屮•卡);

—~- N — COS *Ф • .2 — sin -ф. -ф —

—'2 (} — ?) (— ^") a 一 "2 si"2 W) (— 2%2) (sin *ф cos *ф • Q)2 — (17.65)

—A2 (冗一(1 —九2 sin2 -ф) 2 (cot2 屮•卡—Sin2 ф • -ф2 + sin ф cos 屮•卡),

勿R - M Sin屮. M + 通COS"•帀

2 =(—吞)(1 —炉 sin2 *ф) 2 (— 2АЛ sin *ф cos *ф •小)％ cos *ф • ij)—

-(1 - %2 sln2 -ф)" X Sin ф • ф2 + (1 - л2 sin2 屮)一豆入 cos 屮・ J

-^" ■ — СО8：*Ф •步—-sin *ф • @ — % (— ^") (1 — %2 sin2 *ф) 2 X

X (— 2Ла sin 屮 cos 屮• 4) (sin -ф cos ф • ф) — Л (1 — Л2 sin2 -ф) X

X (cos2 也• @2 — sin2 -ф • -ф2 + sin -ф cos 屮• ®)・

Подставляя (17.65) в (17.60) и (17.62) и учитывая, что ,ф^ ®, @=0, получаем следующую систему уравнений:

■^М (也儿①)у(п) ^~-^Л2В (ф, Л, ®) j F (П) r\dn + Ax (^) + Вх (ф)«О, оо

—Л sin -ф • ®2 \ F(Т)) g dr) + Ау (屮)+ By (屮)=О,

(17.66)(17.66)8о

(17.66)

(17.66)

—гЛ sin фД (叭 ％, о) \ 尸(п) П ^П —7* я3 sin “В (也儿 о) \ 戶(叫 t)2 di) + оо

+ — A sin -ф • ®2 “1 — M sin涧 j ^(П)Л2 ^Л — •— ^ (W,九，®)，厶(叫 dx\ +

+ Axr sin -ф + Ayl “1 — Л/2 sin?屮=О,

—"^- D (电 A, s) — Вх (*ф) = О,

Здесь

Л (也 Л, ®)« cos -ф • ®2 ( 1Л (也 Л, ®)« cos -ф • ®2 ( 1%8加2"cos屮"(1 - A? siM 屮)3%8加2"cos屮"(1 - A? siM 屮)3Ico2 (cos2 \|)— sin2 \p)"1 -九2S也2小

Л (也 Л, ®)« cos -ф • ®2 ( 1

Л (也 Л, ®)« cos -ф • ®2 ( 1

%8加2"cos屮"(1 - A? siM 屮)3

%8加2"cos屮"(1 - A? siM 屮)3

5 仲，X, о)=5 仲，X, о)=АЛ (sin <ф COS 屮• S)2A/(l -AЛ 8也2 屮)3АЛ (sin <ф COS 屮• S)2A/(l -AЛ 8也2 屮)3++G)a(CO32 ^ — sin2 ф)“1 — A? sin* 屮 'G)a(CO32 ^ — sin2 ф)“1 — A? sin* 屮 '

5 仲，X, о)=

5 仲，X, о)=

АЛ (sin <ф COS 屮• S)2A/(l -AЛ 8也2 屮)3

АЛ (sin <ф COS 屮• S)2A/(l -AЛ 8也2 屮)3

+

+

G)a(CO32 ^ — sin2 ф)

“1 — A? sin* 屮 '

G)a(CO32 ^ — sin2 ф)

“1 — A? sin* 屮 '

C (屮，％, co)s=C (屮，％, co)s=X3G)2 sin 1|) cos2 ф“(i —炉 Si!pn[pX3G)2 sin 1|) cos2 ф“(i —炉 Si!pn[pЛ sin ф *(oa V1 — Л2 sin2 -фЛ sin ф *(oa V1 — Л2 sin2 -ф

C (屮，％, co)s=

C (屮，％, co)s=

X3G)2 sin 1|) cos2 ф“(i —炉 Si!pn[p

X3G)2 sin 1|) cos2 ф“(i —炉 Si!pn[p

Л sin ф *(oa V1 — Л2 sin2 -ф

Л sin ф *(oa V1 — Л2 sin2 -ф

D 纣，儿 co) = — cos 屮• co2D 纣，儿 co) = — cos 屮• co2Л3 sin2 屮 COS2 屮• 0)2 — Xco2 (cos2 •ф — sin2 -ф)

D 纣，儿 co) = — cos 屮• co2

D 纣，儿 co) = — cos 屮• co2

“(11 %2 出紋屮戸尸 “1 — %2 sid «ф

Неизвестные из (17.66) находим в такой последовательности: находим & из (17.66)4, далее А* —из (17.66)1, ( — из (17.66)э и 8“一из (17.66)2. После

отыскания реакций, по нижеприводимым формулам находим усилия в сечении шатуна с координатой центра т] (рис. 17.24,0):

М =，加^ d» —，％% sin 屮・(n —行)dfj — § g“ “1 —雜 m2 屮 s —叫幅一 ооо

—BxX sin *ф • n — By “1 —— АЛ sin 屮 n，

Q = —，％ (fj) % sin t|)dfj — § q^ (fj) “1 一 A2 sin2 屮 dfj — оо

-—Bxk sin 屮一By “1 — АЛ sin?屮,

N == § % (fj) “1 — АЛ siM 2 dx\ — ^ qy (fj) % sin 屮 dfj + оо

+ Bx “1 —九2 siM «ф 一 ％% sin *ф.

Здесь «X, ?g и /Hz берутся согласно (17.69), а входящие в формулы для них величины 尤左，ykt х и хс——согласно формулам (17.65).

Некоторые основные понятия теории колебаний 】)

Число степеней свободы системы. Как уже указывалось в § 17.2, для однозначного описания конфигурации механической системы ——определения координат любой точки в любой момент времени ——используется система параметров q、, ..., q^ называемых обобщенными координатами.

Более углубленное обсуждение вопроса проведено в § 17.2.

Все реальные деформируемые тела представляют собой системы с бесконечным числом степеней свободы ——масса и жесткость распределены непрерывно по объему тела. В ряде случаев допустимо принимать упрощенную расчетную схему: распределенные массы заменять конечным числом сосредоточенных масс, упругие свойства системы — жесткости — сохранять непрерывными, в стержнях вдоль их оси, в пластинах и оболочках — соответственно в срединной плоскости или поверхности, т. е. такими же, как это принято в технической теории стержней, пластин и оболочек при решении статической проблемы.

Рис. 17.25. Системы с конечным числом степеней свободы: а) невесомая консольная балка» могущая деформироваться в пространстве, с абсолютно жестким весомым телом на конце; 6) то же в случае плоской деформации консоли; 8)то же, что на рис а, но с сосредоточенной массой на конце; а) то же, что на рис. в, но при плоской деформации консоли.

Наряду с такой схемой используются и схемы с непрерывно распределенными массами — в стержневых системах вдоль оси, в пластинах и оболочках — в срединной плоскости или поверхности.

Рассмотрим схему — невесомую деформируемую консольную балку с прикрепленным к ней абсолютно жестким весомым телом (рис, 17.25) конечных размеров. Этим последним указанием подчеркиваем, что тело обладает конечным моментом инерции масс. Упругие свойства балки ——сопротивляемость ее деформациям — остаются обычными. Конфигурация всей системы определяется шестью параметрами — тремя координатами

М.: Наука, 1976; Г а н и е в Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел.——М.: Наука, 1976; П а н о в к о Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — М.: Машиностроение, 1976; Вибрации в технике. Справочник в 6 томах (Главный редактор издания Челомей В. Н.) Колебания линейных систем. Том 1/Под ред. Болотина В. В.— М.： Машиностроение, 1978; Вибрации в технике. Справочник в 6 томах (Главный редактор издания Челомей В. Н.) Колебания нелинейных механических систем. Т. 2/Под ред. Б л е х - мана И. И. — М.: Машиностроение, 1979; Клаф Р. и П е н н з е н Дж. Динамика сооружений/Пер. с англ. Л. Ш. Килимник и А. В. Швецовой. — М.: Стройиздат, 1979.

§ 17,4] НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 61 центра тяжести тела А и тремя углами, составляемыми осями, жестко связанными с телом А, с неподвижной системой отсчета. Таким образом, рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы. Если иметь в виду аналогичную систему в условиях плоской задачи (рис. 17.25,6), то система имеет три степени свободы соответственно трем независимым параметрам уд, Za и а, определяющим ее конфигурацию.

Если поперечные перемещения точек оси балки малы, и балка обладает столь большой жесткостью в отношении осевых деформаций, что ими можно пренебречь, то допустимо считать систему, изображенную на рис. 17.25, а, имеющей пять степеней свободы, а показанную на рис. 17.25,6 — две степени свободы.

Если размеры тела Л очень малы по сравнению с длиной балки, можно схематично представить его точкой, обладающей сосредоточенной массой; момент инерции масс при этом равен нулю. Будем изображать этот случай так, как показано на рис. 17.25, в, а. Для определения положения точки нужно знать лишь ее координаты (задавать углы не приходится). В таком случае при учете перемещений вдоль оси z система на рис. 17.25,6 (пространственная задача) -обладает тремя, а на рис. 17.25, г (плоская задача)—двумя степенями свободы, а при неучете перемещений вдоль оси 之一соответственно двумя и одной степенью свободы.

Если тело Л (рис. 17.25, а) вследствие наличия специальных устройств может совершать лишь перемещения вдоль оси г за счет осевой деформации консоли или лишь поворачиваться относительно оси г за счет кручения консоли, то система в каждом из этих случаев обладает одной степенью свободы.

Аналогично определяется число степеней свободы при наличии нескольких весомых тел, связанных с невесомой конструкцией——балкой, пластиной, оболочкой, трехмерной системой.

Операция сведения системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным их числом называется дискрета- зацией; она выполняется для упрощения решения проблемы. Наряду с дискретизацией, имеющей механическую природу, возможен и другой подход, в котором рассматривается система с бесконечным числом степеней свободы, но при анализе ее принимаются упрощения математического характера (математическая дискретизация — см. пример 17.8). Возможна дискретизация и упругих свойств, например, упруго-деформируемый стержень можно заменить системой конечного числа бесконечно жестких призм, соединенных между собой упругими связями (рис. 17.26).

Понятие о колебаниях. Свободные и вынужденные колебания. Вынуждающая сила. Колебательный процесс в механической системе характеризуется тем, что параметры конфигурации и (или) состояния системы, например, обобщенные коорди-

Рис. 17.26. Пример дискретизации упругих свойств балки; а) балка; б) упруго-жесткая схема в недеформированном и деформированном состояниях (упругие свойства изображены при помощи упругих пружин; в) схема с упругими шарнирамиРис. 17.26. Пример дискретизации упругих свойств балки; а) балка; б) упруго-жесткая схема в недеформированном и деформированном состояниях (упругие свойства изображены при помощи упругих пружин; в) схема с упругими шарнираминаты, обобщенные скорости, изменяются во времени не моно* тонно, а претерпевают попеременное увеличение и уменьшение. Таким образом, точки системы совершают прямые и обратные движения. На рис. 17.27 показан характер изменения обобщенной координаты при колебательном процессе в механической системе. При этом на рис. 17.27, а, б показаны непериодические колебания, на рис. 17.27,6, а — периодические, в последнем случае гармонические (синусоидальные), колебания.

Рис. 17.26. Пример дискретизации упругих свойств балки; а) балка; б) упруго-жесткая схема в недеформированном и деформированном состояниях (упругие свойства изображены при помощи упругих пружин; в) схема с упругими шарнирами

Рис. 17.26. Пример дискретизации упругих свойств балки; а) балка; б) упруго-жесткая схема в недеформированном и деформированном состояниях (упругие свойства изображены при помощи упругих пружин; в) схема с упругими шарнирами

Различают свободные и вынужденные колебания. Свободные колебания возникают в системе, если какой-то причиной, в частности, посредством удара, она выводится из состояния покоя, а затем, по устранении этой причины, предоставляется самой себе. Одним из условий существования свободных колебаний является накопление системой (телом) энергии при выведении ее из состояния равновесия. Вынужденными называются колебания, вызываемые переменным внешним воздействием, которое не зависит от колебаний.

Покажем пример, поясняющий происхождение гармонической вынуждающей силы. Рассмотрим расположенный на балке двигатель, на валу которого

имеется неуравновешенная масса (рис. 17.28) m на расстоянии R от оси вала, вращающаяся с угловой скоростью(о (о = 2п〃Х X 60 1/сек, где п ——число оборотов в минуту). Возникающая при вращения центробежная сила, равная по величине 尸о = тсо2/?, направлена по радиусу от оси вращения. Проекция этой силы на вертикальную ось равна Р =瓦 sin со/; при со = const она изменяется во времени по гармоническому закону; сила Р является вынуждающей; величина со представляет собой круговую частоту вынуждающей силы. Вынуждающая сила не обязательно является гармонической. Изменение во времени вынуждающей силы может подчиняться различным негармоническим (рис. 17.29,а,6,8) или гармоническому (рис. 17.29, г) законам.

Восстанавливающая сила. Если на тело при его отклонении от положения равновесия действует сила, стремящаяся вернуть тело в первоначальное положение, то такая сила называется восстанавливающей.

На рис. 17.30 представлена схема действия восстанавливающей силы на колеблющееся тело (массу). На рис. 17.30,а изображена система в положении, когда восстанавливающая сила

Рис. 17.27. Примеры графиков колебательных движений; а, б) непериодические колебания； б) периодические (негармонические) колебания; а) гармонические колебания.Рис. 17.27. Примеры графиков колебательных движений; а, б) непериодические колебания； б) периодические (негармонические) колебания; а) гармонические колебания.Рис. 17.28. Пример возникновения гармонической вынуждающей силы.Рис. 17.28. Пример возникновения гармонической вынуждающей силы.

Рис. 17.27. Примеры графиков колебательных движений; а, б) непериодические колебания； б) периодические (негармонические) колебания; а) гармонические колебания.

Рис. 17.27. Примеры графиков колебательных движений; а, б) непериодические колебания； б) периодические (негармонические) колебания; а) гармонические колебания.

Рис. 17.28. Пример возникновения гармонической вынуждающей силы.

Рис. 17.28. Пример возникновения гармонической вынуждающей силы.

Рнс. 17.29. Примеры графиков, характеризующих закономерности изменения во временивынуждающей силы: а) периодические импульсы; 6) периодический негармонический закон；8)непериодическое изменение силы; е) гармоническое изменение силы.

чае со стороны пружины начае со стороны пружины наРис. 17.30. Механизм действия восстанавливающей силы: а) система в статически деформированном силой тяжести состоянии; б) тело смещено вниз —восстанавливающая сила направлена вверх; в) тело смещено вверх-восстанавливаю- щая сила направлена вниз.Рис. 17.30. Механизм действия восстанавливающей силы: а) система в статически деформированном силой тяжести состоянии; б) тело смещено вниз —восстанавливающая сила направлена вверх; в) тело смещено вверх-восстанавливаю- щая сила направлена вниз.равна нулю — пружина имеет длину, соответствующую воздействию на нее силы тяжести покоящегося тела. На рис. 17.30, б показано смещение тела, сопровождавшееся сжатием пружины; при этом на тело действует восстанавливающая сила, направленная вверх, т. е. в направлении, противоположном смещению. Наконец, на рис. 17.30, в представлено состояние системы, в котором тело смещено так, что пружина растянута; в данном слу- зло действует восстанавливающая сила, направленная вниз, т. е. и на этот раз в сторону, противоположную смещению.

чае со стороны пружины на

чае со стороны пружины на

Рис. 17.30. Механизм действия восстанавливающей силы: а) система в статически деформированном силой тяжести состоянии; б) тело смещено вниз —восстанавливающая сила направлена вверх; в) тело смещено вверх-восстанавливаю- щая сила направлена вниз.

Рис. 17.30. Механизм действия восстанавливающей силы: а) система в статически деформированном силой тяжести состоянии; б) тело смещено вниз —восстанавливающая сила направлена вверх; в) тело смещено вверх-восстанавливаю- щая сила направлена вниз.

Если упругий элемент (пружину) заменить телом, обла* дающим идеальной пластично* стью (например, пластилиновым столбиком), то после первого же опускания массы и устранения внешней силы движение массы прекратится, поскольку восстанавливающей силы нет. Заметим, однако, что в телах не идеально пластичных, а в упруго-пластичных механические колебания происходят 9. С такими ко- связана проблема малоцикловой

лебаниями, в частности, теснолебаниями, в частности, тесноусталости. Колебания происходят благодаря наличию у системы упругих свойств и, как следствие, наличию упругих восстанавливающих сил. Величина восстанавливающей силы зависит, при прочих равных условиях, от жесткости упругой системы (пружины): чем жестче пружина, тем при том же смещении массы больше значение восстанавливающей упругой силы. Пример с пружиной, разумеется, был приведен лишь для пояснения сущности явления. Роль пружины в разных случаях играют различные упругие системы.

лебаниями, в частности, тесно

лебаниями, в частности, тесно

Восстанавливающая сила может иметь и другую природу, например, гравитационную. На рис. 17.31 показаны соответствующие примеры — колебания маятника и колебания жидкости в сообщающихся сосудах, происходящие в обоих случаях под воздействием силы тяжести.

В большинстве случаев восстанавливающие силы зависят лишь от обобщенных координат 力；в этих случаях они принадлежат к классу так называемых позиционных сил. С другой сто

1) Укажем монографию, специально посвященную этой проблеме, в кото* рой имеется большая библиография: Пальмов В. А. Колебания упругопластических тел. — М.: Наука, 19/6.

роны, для того чтобы позиционная сила являлась восстанавливающей, если иметь в виду систему с одной степенью свободы, необходимо, чтобы направления приращения силы и отклонения системы от положения равновесия были противоположны; в противном случае позиционная сила является отталки* вающей.

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию 尸о (д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу,亠 называют силовой характеристикой. При этом 尸o(g)g>O・ На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях диф

Рис. 17.32. Графики силовых характеристик: а) линейная характеристика; б) нелинейная жесткая; в) нелинейная мягкая.Рис. 17.32. Графики силовых характеристик: а) линейная характеристика; б) нелинейная жесткая; в) нелинейная мягкая.ференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной d尸()(夕)/壮仇 называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением q

Рис. 17.32. Графики силовых характеристик: а) линейная характеристика; б) нелинейная жесткая; в) нелинейная мягкая.

Рис. 17.32. Графики силовых характеристик: а) линейная характеристика; б) нелинейная жесткая; в) нелинейная мягкая.

(см. рис. 17.32,6), то характеристика называется жесткой, в противном случае — мягкой (рис. 17.32,6).

Если 尸о(/=—尸о(—g), то характеристика называется симметричной. На рис. 17.33 показаны три системы и нелинейные графики соответствующих им силовых характеристик.

В зависимости от вида характеристики, в одних случаях не” линейность существенно проявляется лишь при достаточно больших отклонениях (рис. 17.33, а, 6, если значение 么 соответствующее точке излома графика, не является малым) и такие системы

3 А. П. Филин, т. III

при малых отклонениях можно считать линейными; в других —- нелинейность характеристики является существенной уже при малых отклонениях (рис. 17.33,8, а, @, е).

Сопротивление при колебаниях. Колебания системы ветре* чают сопротивление. Различают силы внешнего сопротивления (трение в опорах, аэро- и гидродинамическое сопротивление, оказываемое колеблющейся системе внешней средой) и силы

Рис. 17.33. Примеры механических систем (6, а, е) и соответствующие им графики силовой характеристики (а, в, d). В системе, изображенной на рис. е, имеется натяг—пружины предварительно сжаты.Рис. 17.33. Примеры механических систем (6, а, е) и соответствующие им графики силовой характеристики (а, в, d). В системе, изображенной на рис. е, имеется натяг—пружины предварительно сжаты.

Рис. 17.33. Примеры механических систем (6, а, е) и соответствующие им графики силовой характеристики (а, в, d). В системе, изображенной на рис. е, имеется натяг—пружины предварительно сжаты.

Рис. 17.33. Примеры механических систем (6, а, е) и соответствующие им графики силовой характеристики (а, в, d). В системе, изображенной на рис. е, имеется натяг—пружины предварительно сжаты.

внутреннего сопротивления (внутреннее трение) в материале, а также силы трения в сочленениях элементов, из которых состоит система).

К числу внешних сопротивлений нужно отнести и специально создаваемые для гашения колебаний демпфирующие устройства.

Удельные веса внешнего и внутреннего сопротивлений в различных конкретных случаях различны. Очевидно, что если в систему вводятся специальные демпферы — гасители колебаний, то влияние внешнего сопротивления оказывается наибольшим. В ряде других распространенных случаев превалирует внутреннее сопротивление, главным образом, сопротивление в соединениях (колебания (вибрация) корпусов судовых и авиационных конструкций, пролетных строений мостов и т. п.).

В случае внешнего сопротивления происходит переход энергии колебаний из колеблющейся системы в окружающую среду,

1) Термин внутреннее трение является собирательным. Он объединяет различные процессы, происходящие в теле при колебаниях и приводящие к противодействию им, в том числе и такие, которые на самом деле не связаны с трением.

если же сопротивление внутреннее, то энергия колебаний рассеивается как внутри самой колеблющейся системы (переход энергии колебаний в энергию необратимых деформаций), так и отчасти в виде тепловой энергии, за пределы колеблющейся системы. Результатом наличия того или иного сопротивления является затухание со временем свободных колебаний. Если же колебания не затухают, то, поскольку сопротивление имеет место всегда, это связано с поступлением в колеблющуюся систему извне новых порций энергии (действие вынуждаю* щих сил при вынужденных колебаниях, нали* чие внешнего источника энергии при автоколебаниях).

Рис. 17.34. Графики характеристик сил сопротивления: d) линейное сопротивление, б) кулонов о трение, е) сухое трение.Рис. 17.34. Графики характеристик сил сопротивления: d) линейное сопротивление, б) кулонов о трение, е) сухое трение.Силы сопротивления зависят от обобщенных скоростей. Направление силы сопротивления и обобщенной скорости противоположи ны. Иногда термин сопротивление применяют и в том случае, когда направления силы и скорости совпадают, но при этом снабжают его определением отрицательное. Если рассматривается система с одной степенью свободы, то сила, равная силе сопротивления, но взятая с противоположным ей знаком, называется характеристикой силы сопротивления (尸1(0)). На рис. 17.34 представлены графики трех различных характеристик сил сопротивления.

Рис. 17.34. Графики характеристик сил сопротивления: d) линейное сопротивление, б) кулонов о трение, е) сухое трение.

Рис. 17.34. Графики характеристик сил сопротивления: d) линейное сопротивление, б) кулонов о трение, е) сухое трение.

Характеристика, изображенная на рис. 17.34,6 рассматривается ниже при обсуждении автоколебательной системы — тормозного устройства на валу.

Если Fi(q)q > 0, то сила сопротивления совершает отрицательную работу — происходит рассеивание или, иначе, диссипация механической энергии, вследствие чего и сама сила называется диссипативной. Если же 尸i(q)^V0, то сила совершает положительную работу — происходит приток механической энергии и сила называется силой отрицательного сопротивления.

В случае нелинейности функции 尸i =尸i (q) дифференциальное уравнение колебаний системы нелинейно.

Часто производят линеаризацию функций 尸1 =尸i (@) и при этом не столько потому, что нелинейность реальных зависимостей слаба, сколько вследствие малости влияния сил сопротивления на некоторые свойства колеблющейся системы. К числу параметров, слабо зависящих от сил сопротивления, относятся частоты свободных колебаний, амплитуды обобщенных координат вне зон резонансов. К числу параметров и характеристик.

на которые силы сопротивления оказывают значительное влияние, относятся виброграммы свободных затухающих колебаний, амплитуды обобщенных координат в зонах резонансов, конечные амплитуды при параметрическом резонансе, предельные циклы в автоколебательных системах. О параметрических колебаниях и автоколебаниях говорится ниже.

Аэро- и гидродинамическое сопротивления среды (внешние сопротивления) имеют в достаточно большом диапазоне скоростей вязкий характер ——они пропорциональны скорости перемещения при колебаниях. Только такие сопротивления, т. е. сопротивления, линейно зависящие от скорости, не вызывают нелинейностей в дифференциальных уравнениях колебаний. Однако это справедливо лишь при сравнительно небольших скоростях. При больших скоростях сила сопротивления внешней среды зависит от скорости в степени выше первой, и дифференциальные уравнения колебаний получаются нелинейными.

Физическая природа внутренних сопротивлений сложна. Известно, что некоторые сплавы металлов обладают особенно большим внутренним сопротивлением — это так называемые демпфирующие сплавы (сплав марганца с 15——20% меди, подвергнутый определенной тепловой обработке, многие алюминиевые и магниевые сплавы, чугун, некоторые технически чистые металлы——свинец, медь, алюминий, *магний). К числу демпфирующих материалов относятся также резина, волокнистые полимерные материалы.

Демпфирующая способность материала определяется посредством опытов, выполняемых на основе тех или иных методов 9- Одним из них является метод затухающих колебаний. В частности, посредством его выполняет опыты с проволочными образцами, подвергаемыми крутильным колебаниям. При этой мерой демпфирующей способности служит характеристика

1) Демпфирующим свойствам материалов посвящена большая литература. Отметим литературные источники, в которых приводится библиография по этому вопросу: П а н о в к о Я- Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. — М.: Физматгиз, 1960; Писаренко Г. С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. — Киев: Наукова думка, 1962; Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов (справочник). Киев: Наукова думка, 1971. Помимо основных понятий о демпфирующих свойствах материалов обсуждены основные методы определения характеристик рассеяния энергии при продольных, крутильных и изгибных колебаниях (энергетический, термический, статической петли гистерезиса, динамической петли гистерезиса, кривой резонанса, фазовый, резонансной частоты, затухающих колебаний, нарастающих резонансных колебаний) и приведена информация о демпфирующих свойствах многих ма・ гериалов.

где Отах —максимальный (начальный) угол закручивания образца, 625 — угол закручивания образца после 25 циклов колебаний.

Физическая теория демпфирующих свойств материала пока не разработана.

Изучение внутренних сопротивлений и описание их находятся на феноменологическом уровне, впрочем, вполне достаточном для построения соответствующей теории колебаний, в которой учитываются эти сопротивления.

Опыт показывает, что силы внутреннего неупругого сопротивления в определенном диапазоне скоростей от скорости деформации (частоты колебаний) не зависят〔).

Существуют различные способы (иногда их называют прямыми) решения задач о колебаниях систем с учетом внутреннего трения.

В моделях, используемых в этих способах, обычно рассматриваются такие петли гистерезиса в системе осей as или Qq, которые не зависят от частоты колебаний.

Описание колебаний при сопротивлении типа внутреннего трения, если демпфирование слабое,, может быть осуществлено и при помощи аппарата теории линейных колебаний систем с вязким сопротивлением путем соответствующего перехода от реальных систем к эквивалентным системам с вязким сопротивлением.

Пожалуй, большее значение, чем внутреннее сопротивление в материале, имеют внутренние сопротивления в неподвижных соединениях.

Учет трения в, соединениях элементов конструкций требует одновременного учета и деформации сочлененных элементов, в отличие от учета трения между элементами меха низ- м а. В последнем случае элементы могут приниматься неде- формируемыми. Несмотря на значительное отличие природы трения в соединениях от природы внутреннего трения в материале, аппарат, феноменологически описывающий оба явления, оказывается одинаковым. Специфика состоит лишь в способе получения петли гистерезиса.

Демпфирование, связанное с потерями на трение в неподвижных соединениях, называют конструкционным.

Силы смешанной природы. Имея в виду нелинейные дифференциальные уравнения колебаний систем, отметим, что, кроме обсужденных ситуаций, в которых силы, зависящие от 么 могут быть представлены в уравнениях отдельно от сил, зависящих

1) Заметим, что, согласно часто используемой гипотезе Кулона, сухое трение не зависит от скорости движения. На самом деле сухое трение (см. рис. 17.34, в) все же зависит в какой-то мере от скорости, и эта зависимость может порождать так называемые автоколебания.

от 9, встречаются и такие случаи, когда нелинейные силы имеют смешанный характер ——зависят и от 夕,и от 厶 и их нельзя пред* ставить в виде слагаемых, зависящих либо только от д, либо только от q. В случае системы с одной степенью свободы можно ввести 尸(么 q)—характеристику смешанной силы, взятую с обратным знаком смешанную силу (рис. 17.35). В некоторых случаях удается смешанную силу (характеристику смешанной силы) представить в виде произведения

F®力П戶0(9)尸1(办

Рис. 17.35. Поверхность характеристики смешанной силы.Рис. 17.35. Поверхность характеристики смешанной силы.Такую силу можно назвать силой сопротивления с коэффициентом, зависящим от положения системы (позиционное тре- м〃е)・ Пример такой системы изображен на рис. 17.36. Сила

Рис. 17.35. Поверхность характеристики смешанной силы.

Рис. 17.35. Поверхность характеристики смешанной силы.

Рис. 17 36. Система с пози-ционным трением.

прижатия одной пластины к другой зависит от перемещений (прогибов), а от силы прижатия зависит сила трения.

Понятие об устойчивости движения. Для дальнейшего изложения (настоящая глава и гл. XVIII) существенным является понятие об устойчивости движения. На нем позднее остановимся более подробно, сейчас же поясним основные идеи, сведя к минимуму математическое описание.

Устойчивость является одним из свойств движения. Этим свойством обладает не всякое движение. Вместе с тем выяснение наличия устойчивости у движущейся системы имеет огром* ное практическое значение. Вследствие этого возникла специальная теория устойчивости^ одним из создателей которой явился А. М. Ляпунов, он же дал и первое строгое определение самого понятия устойчивости движения.

Пусть движение системы с 九=儿 степенями свободы описывается системой дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат «/ = 〃/(f) (/ = 1, 2, ..., k). Частное ре・ шение этой системы, соответствующее некоторым начальным условиям, назовем невозмущенным движением.

Пусть соседнее с ним решение

Qi (0 (/ = 1, 2, • • •, k),которое назовем возмущенным, соответствует начальным уело-

виям, мало отличающимся от начальных условий, коим отвечает решение g/(f)・ Близость невозмущенного и возмущенного решений может быть оценена взятыми по модулю отклонениями

刃(/) — % (О-

Приведем определение устойчивости по Ляпунову.

Невозмущенное движение называется устойчивым, если для каждого наперед заданного положительного числа е найдется положительное число 6, зависящее от е, такое, что при любых начальных возмущениях, удовлетворяющих условию

|力(公一力仇)1《6(/ = 1, 就 (17.67)

при всех / > /о выполняется неравенство

1% ⑴—分(/)1<а0=1, ・・・»)・(17.68)

Рис. 17.37. К понятию об устойчивости по Ляпунову.Рис. 17.37. К понятию об устойчивости по Ляпунову.Невозмущенное состояние называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, все возмущения при f > /о удовлетворяют условию lim|%(/) —%(/)| = 0

Рис. 17.37. К понятию об устойчивости по Ляпунову.

Рис. 17.37. К понятию об устойчивости по Ляпунову.

(/ = 1,・・・，k),

В некоторых случаях нас

может интересовать устойчивость не самих решений 勿⑴, а некоторых непрерывных функций ОТ НИХ Qb Q2, . . . , Qm・ Чтобы охватить и эти случаи, вводится определение устойчивости по отношению к этим

функциям, которые, в частно

сти, могут совпадать с самими функциями 力(/)・ Устойчивость по Ляпунову невозмущенного решения по отношению к величинам Qi, Q2, ..., Qm сводится к условию, аналогичному приведенному выше, но с заменой (17.68) на

I Q$(91, • • •,夕也)一Q$ (%, • • •,夕尼)IV %

Графически для случая, когда Qs совпадают с самими 勿，это можно представить так, как показано на рис. 17.37. Если хотя бы при одном из / условие (17.68) не выполняется, решение называется неустойчивым.

Исследование устойчивости равновесия системы можно выполнить как исследование устойчивости движения (в частности, свободных колебаний) около этого положения равновесия, возникающего после некоторого достаточно малого начального возмущения. Если таким движением являются уста-

повившиеся незатухающие колебания, то проверяемое положение равновесия системы устойчиво; если колебания оказываются затухающими или если колебания вовсе не возникают и система возвращается в исходное положение, то последнее является асимптотически устойчивым. Равновесие системы неустойчиво, если хотя бы одно какое-то достаточно малое возмущение вызывает движение, уводящее систему от невозмущенного состояния.

Исследования А. М. Ляпунова (в частности, его классическая работа «Общая задача об устойчивости движения» (1892)) и французского ученого А. Пуанкаре по устойчивости движения вышли за первоначальные рамки и стали основой вообще исследования устойчивости решения дифференциальных уравнений в качественной теории дифференциальных уравнений.

Исследование устойчивости движения и, в частности, равновесия имеет принципиальное значение для оценки работоспособности конструкций. Особенно это существенно для нелинейных систем, поскольку для них возможно несколько решеннК но не все они устойчивы, и важно провести границу между устойчивыми и неустойчивыми.

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова.

Движение механической системы с п =左 степенями свободы, как уже отмечалось, определяется s = 2左 переменными ——обобщенными координатами и обобщенными скоростями, для обозначения которых применим однотипную символику: у、, у?,・・. ...,场,имея в виду, что все yi (/ = 1, 2, ..., 2炒 являются фазовыми координатами, подчиняющимися, в общем случае нелинейных систем, следующим уравнениям:

~ dj ^2 匕(乙 У1, • • •, %) (»== 1, 2, •. •, s).

Учитывая сказанное выше о возмущенном и невозмущенном решениях (движениях), а также о разностях между ними, называемых возмущениями 注=电一屮 (f = 1, 2* ..., s), запишем уравнения относительно возмущений:

祟%) (X尸九一匕)(z'=l, 2, s)・

Разлагая правую часть в ряд по степеням %? в области

Е 意《"("=•= const > 0),

получим dx,

df = “〃*i + •・・ + ^is^s + % Q = 1,s).(17.69)

Здесь X； содержит 芻 в степени не ниже второй.

Уравнения первого к (17.69) приближения имеют вид dx, d/ == “〃无 1 + • • • H~ ^ts^s (i u11, 2,・・.，s) •(17.70)

Остановимся на исследовании устойчивости автономных систем (т. е. систем, в которых отсутствует возбуждение, заданное в виде функции времени).

Точка фазового пространства, т. е. совокупность значений 爲 ：(i『1, ..., s), в которой все правые части в (17.70) обращаются в нуль, называется точкой покоя (особой точкой). Такой является точка, в которой все %/ = 0 и %/ = 0. Поведение траекторий в окрестности точки покоя (их вид и направление движения по ним) показывает характер устойчивости или неустойчивости решения. Вместе с тем каждому такому характерному поведению траектории в окрестности точки покоя соответствуют знаки действительной и мнимой частей корней характеристического уравнения. Вот почему по этим знакам и можно судить о неустойчивости или характере устойчивости решения системы (17.70).

Характеристическое уравнение системы (17.70) имеет вид

или

PoV + 仍九$7 + ... + Ps-口 + Р$ = 0・(17.71)

Нам понадобится матрица s-ro порядка, составленная из коэффициентов полинома левой части уравнения (17.71), с соблюдением следующей закономерности. На главной диагонали располагаем коэффициенты рь р?，・・、・,Ps； далее, продвигаясь вправо на одну позицию по любой строке от диагонального элемен* та, увеличиваем индекс на два (при этом учитываем, что 网+i = =ps+2 =…=p2s-i = 0; продвигаясь вниз на одну позицию по любому столбцу от диагонального элемента, уменьшаем индекс на единицу (при этом рт =/м = ••• = P-s+2 = 0). Так, например, учитывая, что нас интересуют лишь четные s, поскольку число степеней свободы равно n = s/2,

при s = 2

при s = 4при s = 4при s = 6при s = 6”4 =”4 =Р1 РзР5 j?“00-Ро Р2Р4 Рв000| PiРз Рб00。［严Ра Р4Ре00 0Р1 РзР50Ро р2Р4РбР1 РзР5 j?“00-Ро Р2Р4 Рв000| PiРз Рб00。［严Ра Р4Ре00 0Р1 РзР50Ро р2Р4РбPi Рз I О ОРо Р2「4 О о I Pi Рз . оО 5 Ро Р2 Р4Pi Рз I О ОРо Р2「4 О о I Pi Рз . оО 5 Ро Р2 Р4

при s = 4

при s = 4

при s = 6

при s = 6

”4 =

”4 =

Р1 Рз

Р5 j?“

0

0

-Ро Р2

Р4 Рв

0

0

0| Pi

Рз Рб

0

0

。［严

Ра Р4

Ре

0

0 0

Р1 Рз

Р5

0

Ро р2

Р4

Рб

Р1 Рз

Р5 j?“

0

0

-Ро Р2

Р4 Рв

0

0

0| Pi

Рз Рб

0

0

。［严

Ра Р4

Ре

0

0 0

Р1 Рз

Р5

0

Ро р2

Р4

Рб

Pi Рз I О О

Ро Р2「4 О о I Pi Рз . о

О 5 Ро Р2 Р4

Pi Рз I О О

Ро Р2「4 О о I Pi Рз . о

О 5 Ро Р2 Р4

Признаки устойчивости или неустойчивости движения, в зависимости от знаков корней характеристического уравнения нормальной системы первого приближения, составляют содержание теорем Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению.

Первая теорема. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов выше первого порядка малости (членов, составляющих X； (£ = 1, ..., s))・

Вторая теорема. Если среди корней характеристического уравнения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво, независимо от членов выше первого порядка малости.

Если же среди корней характеристического уравнения вещественная часть по меньшей мере одного из них равна нулю, при отрицательных остальных, то исследование устойчивости по уравнениям первого приближения невозможно и необходимо в исследовании учитывать и члены высшего порядка малости, т. е. учитывать Х；・

Судить о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения можно, не находя сами корни, т. е. не решая характеристического уравнения. Такое суждение можно производить, пользуясь критерием Рауса — Гурвица, который формулируется так.

Для того чтобы все корни полинома в (17.71) имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными ро и все главные диагональные мино ры 1) его матрицы 儿・

Например для системы с двумя степенями свободы (s = 4) матрица приведена выше и условие положительности ро и всех ее главных диагональных миноров имеет вид

0;(17.72)>0.0;(17.72)>0.Ро> 0; pi > 0, р2> 0, Рз>°, Р4 > 0；匕上:|>。， |::">。，匕：?j>川 06 РЗ °°

0;

(17.72)

>0.

0;

(17.72)

>0.

Положительность миноров второго и третьего порядка, записанных последними в соответствующих строках (17.72), а также

минора четвертого порядка вытекает из положительности остальных миноров, поэтому условия устойчивости Рауса —— Гурвица записываются компактнее, чем это показано в (17.72).

Исследование устойчивости по первому приближению для неавтономных систем значительно сложнее, чем для автономных,

и на нем не останавливаемся.

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме) линейной однородной систа мы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы

文 1 =a11修 +a12 先2,

%2 == a21 左1 + a22 兆2,

для выяснения вопроса об устойчивости решения этой системы, а следовательно, и устойчивости соответствующей механической системы. '

Коэффициенты а〃 (i, / = 1, 2) —постоянные и

. 内21*0.

I @21 022 丨尸

В таблице 17.2 помещена информация, относящаяся ко всем возможным случаям знаков вещественной и мнимой частей корней

九1 =a1 + BW，九 2 =a2 + 02i

характеристического уравнения.

Как уже отмечалось в § 17.2, особым точкам фазовой плоскости соответствуют равновесные состояния, при этом центру — устойчивое, а седлу — неустойчивое равновесия. Что касается фокуса и узла, то они могут соответствовать либо устойчивому (если движение изображающей точки по фазовой траектории направлено к особой точке ——см. рисунки в строках 1, 4 и 6 табл. 17.2), либо неустойчивому (если движение — от особой точки — см. рисунки в строках 2, 5 и 7 табл. 17.2) состоянию равновесия. Аналогично устойчивым (рисунок 17.17, ж) или неустойчивым (рисунок 17.17, з) может быть предельный цикл. Толкам неустойчивого предельного цикла соответствуют нереализуемые движения.

Если на фазовой плоскости имеется особая точка «седло», то через нее проходят изолированные фазовые траектории (сепаратрисы) ,точкам которых соответствуют неустойчивые (нереализуемые) движения механической системы. Сепаратрисы делят фазовую плоскость на области, в каждой из которых движение имеет свой в принципиальном отношении тип; при этом, если изображающая точка, соответствующая начальным условиям, находится в одной из этих областей, то и последующее движение произойдет так, что вся соответствующая ему фазовая траектория останется в этой области.

Часть фазовой плоскости, в которой располагаются фазовые траектории, стремящиеся к устойчивой особой точке или к устойчивому предельному циклу, называется областью притяжения этой особой точки или этого предельного цикла.

Если устойчивость движения имеет место при начальных отклонениях, лежащих в конечной области фазового пространства, то имеем так называемую устойчивость 8 большом.

Если областью притяжения асимптотически устойчивого движения является все фазовое пространство, то это движение устойчиво 6 целом.

Значения параметра силовой характеристики нелинейной системы, при которых происходят изменения типа особых точек и (или) другие принципиальные изменения в фазовой диаграмме (совокупность фазовых траекторий), называются бифуркационными.

Таблица 17.2

1

Случаи корней характеристического уравнения

Тип точки покоя

Характер устойчивости

Картина траекторий на фазовой плоскости

ai<0; ₽i =0; а? < 0; Рг = 0

устойчивый узел

асимптотическая устойчивость

1

1

2

«1 >0; ₽1 == 0; a2.>0； 02 = 0

неустойчивый узел

неустойчивость

3

at >0; pi =0; С(2 V 0； 02 == 0

седло

неустойчивость

4

ai =ct2 V0； М = 62 = о

устойчивый узел

асимптотическая устойчивость

Таблица 17.2 (продолжение}

5

Случаи корней характеристического уравнения

Тип точки покоя

Характер устойчивости

Картина траекторий на фазовой плоскости

«1 ==«2>0； ₽1 =₽2 = 0

неустойчивый узел

неустойчивость

麥

6

«1 < 0； Р1У=0； «2 = аи р2= —Pl

устойчивый фокус

асимптотическая устойчивость

7

Щ>о； 61 *0; аг = ai； 02 = 一仇

неустойчивый фокус

неустойчивость

3^7石

8

сц = ct2 = 0;

02，0；

P2 = —01

центр

устойчивость

72,

Дифференциальные уравнения колебаний системы

Предварительные замечания. В настоящем параграфе излагаются способы получения дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем (эти же уравнения справедливы и применительно к немеханическим колебаниям). Сначала, в разделе 2, обсуждается классический путь получения уравнений колебаний систем из уравнений Лагранжа второго рода. Далее показываются два способа вывода дифференциальных уравнений колебаний систем, называемые иногда прямым и обратным способами.

Классический путь получения дифференциальных уравнений колебаний системы из уравнений Лагранжа второго рода. Линеаризация уравнений. Будем исходить из уравнений Лагранжа второго рода, описывающих движение материальной системы (17.46):

方("^_裔Нq/2-')•(17.73)

Обобщенную силу Q； можно представить состоящей из трех слагаемых

Qi^Q^ + Q^ + Qp(17.74)

где Q；——обобщенная вынуждающая сила, являющаяся явной функцией времени Q； = Q；(/) и не зависящая от состояния си* стемы (от обобщенных координат и обобщенных скоростей). Именно эта сила является причиной возникновения вынужденных колебаний. Величина Q)")— потенциальная сила, играющая роль восстанавливающей силы, т. е. силы, стремящейся вернуть систему в исходное положение. Такими силами являются силы упругости. Восстанавливающая сила является функцией обобщенных координат

Q,")= Q，s(%,％)•

Эта сила выражается через упругий потенциал

Q产一器•' QB

Величина Q^ — сила сопротивления, или диссипативная сила. Поясним некоторые обстоятельства, связанные с силой Q^. Пусть каждая 厶я точка системы (всего N точек в системе) испытывает силу сопротивления, проекции которой на оси х, у и г суть 1)

= —丫禽，Yi — — ylyh Z/ = —丫自.

!) В общем случае коэффициенты сопротивления, соответствующие раз・ Личным направлениям, могут быть разцымц.

Знак минус указывает на противоположность направлений скорости и силы сопротивления.

По общей формуле для обобщенной силы (17.16) 2, с учетом приведенных выражений для X/, У〃 Z/, а также с учетом равенства (17.7)1,

Q产Н一£»(方需+贝爵+2”烏)"=12,就

Легко видеть, что Q产 можно найти по формуле*

=-詳 (j=l, 2,風 (17.75, a)

если иметь в виду, что функция Ф, называемая функцией рассеяния или диссипативной функцией Релея, выражается следующей формулой:'

①=2今(若+於+缈

Учитывая (17.74) — (17.75, а), можем придать уравнению (17.73) следующий вид:

等(崙)-崙 + 器 + 需=Q；(/ = 1. 2,k). (17.76)

Рассмотрим теперь квадратичные формы Т и ①： ^N

т=£?#+幻+书，①=2±®+呢+仔)・

Если вместо xz, yi и 力 подставить соответствующие выражения через обобщенные координаты (17.6) i и считать х/, у» и z? не зависящими явно от /, т. е. в формуле (17.6) i для 丸，R,由 опустить последний член dxi/dt, то в результате такой подстановки получим

J ， • 在? == 12Г Г 一一二J ， • 在? == 12Г Г 一一二7.7.k k

J ， • 在? == 12Г Г 一一二

J ， • 在? == 12Г Г 一一二

7.

7.

T2Z^hifllfll^ /i-i /2=1

练〃 =8/小(%，

Коэффициенты 4/力 и В//； а также U, представим в виде разложений 1） по степеням д:

/川尸（&）+2（要）m+^2 £（4^）。+

П—1П1»»1 П2"1

+ gZ 2 Z （ aq”、dg：%“, ）（л必必」+ …（忆审）

（/b，2 = 1, 2,・・.，k）,

8川尸®众+ ? （要I % +露 £ （諾旣）0孫%? + n-1九1 - 1 九2-1

k k k'

+ V £ £ £ （Ms因:詬%）（Л必2% + …（17.79） tl\^\ «2™1 %・1

（/ь /2=1, 2,・・・，归），

и=（So + £（記）。qn-v^ f+

+ V 2 Z E Qq>Jbqn\q"9® + …（17.80） rti-1 «2-1 По«=1

（厶，/2=1, 2,・・.，k）.

Чем большее число членов удерживается в рядах （17.78） — （17.80）, тем точнее получаются уравнения колебаний механической системы..

Если в выражениях Tt Ф и U удерживать члены до второго порядка относительно 夕 и 少 включительно, дифференциальные уравнения получаются линейными с постоянными' коэффициентами. Это эквивалентно тому, что в （17.78） и （17.79） удерживать лишь первые члены

（Ahi^Q п °/т =。閔丿（В川2）0 = bhh =勺办，

а в ряду （17.80） лишь член с кратностью суммы не выше второй.

1） В формулах （17.78） — （17.80） величины, снабженные индексом 0, относятся к нулевым значениям всех обобщенных координат, т. е. например,

\d^nJQ 0Яп1дЯп2 g^q^Qyj

Если положение, относительно которого происходят колебания, равновесно, то, поскольку в нем обобщенные силы равны нулю, учитывая (17.75)； имеем

(衆)о = °2,々)，

а если за «уровень» отсчета принять потенциальную энергию системы в положении равновесия, то и ((/)о = 0.

Учитывая пренебрежения, сделанные в определении представлений 4/1加 В/也 и U, получаем, переходя к одноэтажным индексам, -следующие выражения для Г, Ф и (/, которым соответствуют линейные дифференциальные уравнения колебания системы:

Л nk kk k

?П扌2 X %仇%，①=扌е 2ь^^ u =4 2 2 。岬分・

(17.81) Здесь

С"=(篇

Сами колебания, описываемые линейными дифференциала ными уравнениями, называются линейными или малыми. Функции Т, ® и U (последняя при устойчивости' равновесия) знакоопределенные положительные ｛).

1) Знакоопределенной называется функция, сохраняющая знак при любых

значениях аргументов и равная нулю лишь при одновременном равенстве нулю всех аргументов. Функции (17.81), являющиеся так называемыми квадратичными формами, в общем виде могут быть представлены матричной фор

мулой следующего вида:

01920192С12 • • • Cln 022 •• • ^2n

01

92

01

92

%2 …Cnn

В случае функций Т н ① вместо вектора ｛外・・• g尼｝ имеет место вектор ｛4i・・・@尼｝• Кроме того, в случае Г(Ф) вместо с“ имеем соответственно Q“(b〃). Критерием положительной знакоопределенности такой функции является критерий Сильвестра: ,

Последний определитель называется дискриминантом квадратичной формы, Все остальное определители — главные диагональные миноры дискриминанта.

Вернемся теперь к уравнению движения (17.76), имея в виду, что Т,① и U, входящие в него, выражаются формулами (17.81). На основании этих формул

■^У = 0> ^- =a"% + %2?2+ • • • + ^ik4k «=1, 2,.・・，風

' ' (17.82) 誤■ = %丈+ c掰2+ • • • + cikqk (Z = 1,...,左), (17.83) ^■ = М1 + Ы2+ ... +bikqk (Z=l, 2,...,粉. (17.84)

Подставляя (17.82)——(17.84) в (17.76), получаем систему уравнений линейных колебаний

?1 (" 〃% + %幻 + Q/分)=Q；?1 (" 〃% + %幻 + Q/分)=Q；0=1, 2,...,左)・(17.85)0=1, 2,...,左)・(17.85)

?1 (" 〃% + %幻 + Q/分)=Q；

?1 (" 〃% + %幻 + Q/分)=Q；

0=1, 2,...,左)・(17.85)

0=1, 2,...,左)・(17.85)

Порядок системы — 2力.Решение ляется функцией / и содержит 2力 начальных условийПорядок системы — 2力.Решение ляется функцией / и содержит 2力 начальных условийэтой системы ⑦,...,qk яв- постоянных, определяемых изэтой системы ⑦,...,qk яв- постоянных, определяемых из

Порядок системы — 2力.Решение ляется функцией / и содержит 2力 начальных условий

Порядок системы — 2力.Решение ляется функцией / и содержит 2力 начальных условий

этой системы ⑦,...,qk яв- постоянных, определяемых из

этой системы ⑦,...,qk яв- постоянных, определяемых из

Aq + Bq + Cq = Q*,Aq + Bq + Cq = Q*,

Aq + Bq + Cq = Q*,

Aq + Bq + Cq = Q*,

%忆0 =内右L)= 书 0=1, 2,...，后).

В матричной форме системы уравнений (17.85) может быть

представлена так

(17.86)

Уравнения (17.85), как это будет показано ниже, при определенных комбинациях коэффициентов могут описывать не колебательное, а апериодическое движение.

Величины ац называются коэффициентами инерции!) , Ьц — коэффициентами сопротивления и сц — коэффициентами жесткости.

Если все Ьц > 0, то имеем систему с сопротивлением. Отрицательным коэффициентам Ьц соответствуют системы, в которые происходит поступление энергии пропорционально скорости, а не рассеяние ее.

Решение системы (17.85) описывает физическое явление достаточно надежно лишь при малых перемещениях. Как только перемещения перестают быть малыми, результат, получаемый на основании решения системы (17.85), оказывается существенно отличным от реальной картины явления. В таких случаях для описания движения системы требуется в выражениях 力厶厶,3厶力, а следовательно, и Г и Ф, а также в выражении U удерживать большее число членов. Разумеется, уравнения при этом перестают быть линейными.

В некоторых случаях в принципе недостаточно линейного приближения для обнаружения явления, а тем более для его описания с необходимой точностью. *

Примерами случаев, когда линеаризация невозможна в принципе, могут служить системы, изображенные на рис. 17.33, а, е, которым соответствуют характеристики, показанные на рис. 17.33,в, д.

Приведенный в настоящем разделе способ получения уравнений линейных колебаний имеет ряд достоинств. Во-первых, он обладает большой общностью — уравнения при различных частных сочетаниях значений, входящих в них параметров, описывают различные процессы. Во-вторых, этот способ позволяет подчеркнуть, что линейные колебания — это лишь частный случай класса колебательных движений, а линейные дифференциальные уравнения, их описывающие, имеют ограниченную точность и соответственно ограниченную область применения. В дальнейшем уравнения линейных колебаний выводятся и иначе, например, из принципа Даламбера. Однако всякий раз производится сопоставление получаемых уравнений с их общей формой.

При линейных колебаниях вблизи состояний равновесия перемещения считаются столь малыми, что сохраняется линейная зависимость их от действующих на систему и (или) возникающих в ней сил. Вследствие линейности дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, сами системы, пребывающие в состоянии таких колебаний, называют линейными.

1) Коэффициент Q” при рассмотрении колебаний механических систем представляет собой массу или момент инерции массы тела, или, наконец, некоторую комбинацию таких физических параметров.

Теория линейных (малых) колебаний замечательна тем, что устанавливаемые в ней факты в одинаковой мере справедливы для объектов, пребывающих в соответствующем состоянии, независимо от их природы. Так, например, колебания в электрических сетях, упругие колебания систем, в частности, колебания, совершаемые с частотами 16—20 000 гц и передаваемые уху какой-то средой, например, воздухом, и воспринимаемые им в виде звука, подчинены одним общим законам. Эти законы составляют предмет теории колебаний.

Другие способы получения дифференциальных уравнений

движения системы.

Предварительные замечания. Кроме классического подхода к выводу дифференциальных уравнений движения (в частности, колебательного

движения) тела, в котором исполь- G |•— ••

зуются уравнения Лагранжа второ- “

го рода, можно отметить еще два, -|7 f 7

обладающих также достаточной 力 I£

общностью. Ниже поясним эти под

ходы, предварительно отметив некоторые обстоятельства.Известно, что расчетная схема динамической системы в ряде случаев представляется в виде упругой • невесомой конструкции, несущей сосредоточенные массы.Такие расчетные схемы можно представить состоящими из невеходы, предварительно отметив некоторые обстоятельства.Известно, что расчетная схема динамической системы в ряде случаев представляется в виде упругой • невесомой конструкции, несущей сосредоточенные массы.Такие расчетные схемы можно представить состоящими из неве勿身勿身ККРис. 17.38. Разделение Инерционных и упругих свойств системы между двумя группами ее элементов: а) система; 6) элементы с инерционными свойствами, в) элемент с упругими свойствами.Рис. 17.38. Разделение Инерционных и упругих свойств системы между двумя группами ее элементов: а) система; 6) элементы с инерционными свойствами, в) элемент с упругими свойствами.

ходы, предварительно отметив некоторые обстоятельства.

Известно, что расчетная схема динамической системы в ряде случаев представляется в виде упругой • невесомой конструкции, несущей сосредоточенные массы.

Такие расчетные схемы можно представить состоящими из неве

ходы, предварительно отметив некоторые обстоятельства.

Известно, что расчетная схема динамической системы в ряде случаев представляется в виде упругой • невесомой конструкции, несущей сосредоточенные массы.

Такие расчетные схемы можно представить состоящими из неве

勿身

勿身

К

К

Рис. 17.38. Разделение Инерционных и упругих свойств системы между двумя группами ее элементов: а) система; 6) элементы с инерционными свойствами, в) элемент с упругими свойствами.

Рис. 17.38. Разделение Инерционных и упругих свойств системы между двумя группами ее элементов: а) система; 6) элементы с инерционными свойствами, в) элемент с упругими свойствами.

сомых (безынерционных) _ _ м ы х элементов и обладающих массами (обладающих и нерционностью) недеформируемых (абсолютно жестких) элементов. Таким образом, упругие и инерционные свойства, присущие любому элементу реальной конструкции в расчетной схеме этой конструкции, распределены между двумя группами элементов, из которых одна группа обладает лишь упругими свойствами, а другая — лишь инерционными (рис. 17.38, а).

Уравнения движения можно составлять, отделяя мысленно элементы одного типа от элементов другого и рассматривая состояние элементов лишь одного из типов. Соответственно сказанному мыслимы два пути получения уравнений движения (колебаний) системы. В первом из них рассматриваются элементы, обладающие инерционными свойствами (массы), а действие на них упругих элементов заменяется упругими или, иначе, восстанавливающими силами (рис. 17.38,6). Во втором пути рассматриваются упругие элементы, а действие на них со стороны

инерционных элементов заменяется силами инерции и силами сопротивления (см. рис. 17.38,6).

Прямой способ. Покажем, как выглядит вывод уравнений движения по первой из этих схем, которая может быть названа прямой. Для конкретности рассмотрим балку, изображенную на рис. 17.38,6, и опишем равновесие i-й массы, пользуясь принципом Даламбера, согласно которому эффективные силы (суммы активных действующих сил и сил инерции) уравновешиваются реакциями связей. Реакция связи между /-й массой и упругой системой (восстанавливающая сила) выражается формулой

q = c〃S + q2b2 + ・・・ + cikvk.

Смысл приведенного здесь равенства и входящих в него величин подробно поясняется ниже. На i-ю массу действуют эффективные силы, включающие в свой состав силу инерции — miVi и активные действующие силы, к числу которых относятся: сила сопротивления — biVi (если полагать ее пропорциональной скорости) и вынуждающая сила Q^ sin (со/ + <р) = Q*. Предполагаем, что все вынуждающие силы, приложенные к массам, имеют одинаковую частоту (круговую частоту ①)и одинаковую начальную фазу ф. Совокупность таких вынуждающих сил можно назвать моногармоническим возмущением.

Итак, уравнения движения имеют вид

—mfit — bivi + Q? sin (со/ +(p) = %[% + c^2 + ... + cikvk

(i u 1, 2,・・・，々)， или

tnivi + bivi + cn^! + ci2v2 + ... +%% = Q?sin(W+(P)

(Z= 1, 2,…，舟.

Совокупность величин Ci \i = 1,...,左)、представляет собой систему сил, которую нужно приложить к упругой системе, чтобы получить в ней перемещения s, ..., 0左.Поскольку в поставленной выше динамической задаче вектор v = {s ・・・。论} неизвестен, мы не можем непосредственно найти и силы, вызывающие его. Поэтому подходим к вопросу так. Сначала определяем силы с”, С21, ..., с为 1, необходимые для получения

吧=1, 吸=0,.・・， и£) = о,(17.87)!

силы С12, 022,・• •, с为2, необходимые для получения

叫2) = 0,磅)=1,瓚) = 0, ・・・，増) = 0,(17.87)2

и, наконец, силы с^, C2Z ・・•， Ckk, необходимые для получения 哗)= 0, 吸) = 0, ・・・， 吸匕=0, 喈)=1.(17.87)饱

Тогда силы, необходимые для получения в упругой системе перемещения и】 при отсутствии остальных перемещений, суть

3R1, 0216, •…，/16；

силы, необходимые для получения ^2 при отсутствии остальных перемещений, суть*

02^2,。22。2, • • •»/2^2；

силы, необходимые для получения Vk при отсутствии остальных перемещений, суть

01月力，02尼力，c尼也%■

Совокупность же всех сил eg создает систему перемещений

S, ^2, • • •,力.

Среди всех приведенных выше сил (используется закон равенства действия и противодействия) силы c“s, ©2^2,...,臼左^尼 приложены к массе т\ со стороны упругой системы в направлении, противоположном перемещению этой массы при ее колебаниях, и вызваны соответственно перемещениями и^ v2, • •・,и月. Следовательно, сумма этих сил и есть восстанавливающая сила с】：

3 = 01例 + 012砲+ ... +"%; по аналогии,

02 = 0216 + 022^2 + • • • + C2kPh,

Ch == “1^1 + %2^2 + • • • + ^kk^kfCh == “1^1 + %2^2 + • • • + ^kk^kf(17.88)(17.88)

Ch == “1^1 + %2^2 + • • • + ^kk^kf

Ch == “1^1 + %2^2 + • • • + ^kk^kf

(17.88)

(17.88)

Здесь имеется в виду, что vi — перемещение, происходящее по касательной к траектории движения массы /л». В рассмотренной системе перемещения s представляют собой обобщенные координаты qi (s =，D, вследствие чего для этой системы можно написать:

叫% + "4 + 01% + @%+ …+ 県联= Q?sin®f + qp) (17.89)

(/ = 1, ..., k).

Итак, с = {ci C2 ... Ck} — вектор восстанавливающих сил. Об" судим получение матрицы С.

Условия (17.87)1, поясненные выше словами аналитически вы-

ражаются так 9:

6"

л

幻

6尼2 • • • ^kk

“1

Условия (17.87) ь

杀

配I 九2 • • • ^kk

”2

El 612…E代 %[闻2 . • • ^2k

Рис. 17.39. К понятиям ^жесткости и по датливости： а) упругая система, 6) элементы матрицы податливости, 8)элементы матрицы жесткости.

务

Ml

1-

(17.90)!

(17.87) 2,..

(17.87)^ по аналогии представим:

О 1 О

О (17.90)2

лучим

“1 6[2 …％ |||| R1 °12 …％

21‘21 ‘22 •• • c2k

*** ckk

1 0 ... О 1| О 1 ... о

О 0 ... 1

или

DC = E, C = D? (17.91)

где С и D представляют собой матрицы жесткостей и податливостей, природа элементов которых, поясненная выше словами,

1) Здесь применено обычное обозначение: 6// ~ перемещение s, вызванное силой, равной единице и действующей по направлению 力.

иллюстрируется рисунком 17.39. В расчетной схеме конструкции отмечаются «адреса», в отношении которых желаем получить ее жесткости и податливости (рис. 17.39, а) (это — «адреса» всех обобщенных координат). Элементы С/ (i =1,2, ...., k) j-го столбца матрицы С — это силы, которые нужно приложить по адресам 1, 2,...,山,чтобы по адресу / перемещение равнялось единице, в то время как по остальным адресам перемещения равнялись бы нулю. Элементы 6〃 (i = 1, 2, ..., k) /-го столбца матрицы D — это перемещения, возникающие по адресам 1,2,...,山,если по адресу / приложена сила, равная единице.

Столбец восстанавливающих сил найден по нижеприводимой формуле, вытекающей из (17.88) и (17.91),

Q(s = c = Cv = D-iv・

Деля уравнение с номером / из системы (17.89) (/=1,2,...

...,左)на т；, получаем

统+瓦仇+瓦%=瓦5e(血+ 9)0=1，2,・・・，肋，

или, в матричной форме】％

(ED? + 豆。十 С) q = Q。sin (о/ + ф);(17.92)

旦饱或^-в _Q0旦饱或^-в _Q0

旦饱或^

-в _Q0

旦饱或^

-в _Q0

Q_d( )_d2()

dt ' и — dt2 '

Сопоставление (17.86) с (17.92) показывает наличие следующих зависимостей):

В^А^В, С = А1С, Qo = ATQ°; (17.93)

Q0 = {Q?Qh・・Q济

A一r ^总..言」.A一r ^总..言」.i) Напомним, что символом 「.. .J обозначается диагональная матрица.

A一r ^总..言」.

A一r ^总..言」.

При отсутствии сопротивления уравнение приобретает вид

(ED2+C)q = a) sin(G)/ +(p).

Если сопротивление не учитывается и рассматриваются свободные колебания, то (17.92) при учете (17.93) представится в форме

(ED2 + A~1C)q = 0.

Обратный способ. По второй схеме, которую иногда называют обратной, вывод уравнений движения представляется следующим образом. Для конкретности рассмотрим балку, изображенную на рис. 17.39, а. Перемещение Z-й точки (при поперечных колебаниях это и? — прогиб балки на рис. 17.39,6 в точке i) примем за обобщенную координату qt. Это перемещение можно представить так:

qi =仇咼+ М2P2 +・・・+ d%・

Здесь Р/ ——сила, действующая на точку / балки со стороны отброшенной массы. Эта сила складывается из силы инерции —т@, силы сопротивления ——b/仇 и вынуждающей силы Q? sin (sf + qp), т. е.产

Р； = — /П/勿一biqJ + Q； sin (co/ + <p).

Здесь, как и при рассмотрении предыдущего способа вывода уравнений, возмущение считается моногармоническим. В результате уравнения движения представляются в форме

力=—tniqfia —加2?2,2 —・・・一团疝曲卜—

—b\q^n — ^2^/2 —・・・一•瓦仇Да； +

+ (%Q? + %Q2+ ... +S.,Q0)sin ^t + cp) (/=1, 2,左), или

加也田 1 + 加 2,2个2 + • • • + fnlfiikQk +

+ bx^nqi + М/2^2 + …+ 员仇必 + 力=%, ст sin ®/+ ①)(17.94)

С = 1， 2,...,左)； здесь

*=4® + %Q卄…+4阀

представляет собой прогиб балки в точке / под воздействием статически приложенных к балке (в точках 1, 2, ..., ^) ампли-

тудных значений всех вынуждающих сил. В матричной форме уравнения (17.94) выглядят так:

(AD2 +BD + E)q = Q° sin (of + (р),(17.95)

Il \lml S12m2 *' • ^\kmk II II ^11^1 612% …“也

Д _ \\m1 %2加2 …%%，В = ^21^ %2% …%% ,%加1 %?2 …^kkmk II6尼 1 % %% …^kkbk

Q° == {^1, ст ^2, ст • • •夕尼,ст}・

Сопоставляя (17.95) с (17.86), убеждаемся в том, что

A = DA = C-1A, B = DB = C~1B, Q。= d(^=b七°.

Структура матриц А и В для рассматриваемой системы пояснена в сноске на стр. 89. Если сопротивление отсутствует, то В=0.

§ 17.6. Линейные колебания системыс одной степенью свободы

勿^0)勿^0)Рис. 17.40. Система с одной степенью свободы: а) масса на невесомой балке; б) масса и действующие на нее силы; в) масса на невесомом валу.Рис. 17.40. Система с одной степенью свободы: а) масса на невесомой балке; б) масса и действующие на нее силы; в) масса на невесомом валу.Свободные колебания при неучете сопротивления. Рас^ смотрим систему с одной степенью свободы, например, невесомую консоль с прикрепленной на ее конце массой (рис. 17.40,а). Дифференциальное уравнение, описывающее малые свободные колебания системы с одной

勿^0)

勿^0)

Рис. 17.40. Система с одной степенью свободы: а) масса на невесомой балке; б) масса и действующие на нее силы; в) масса на невесомом валу.

Рис. 17.40. Система с одной степенью свободы: а) масса на невесомой балке; б) масса и действующие на нее силы; в) масса на невесомом валу.

при отсутствии сопро-при отсутствии сопро-или mv + cv = О,или mv + cv = О,степенью свободы тивления,

при отсутствии сопро-

при отсутствии сопро-

или mv + cv = О,

или mv + cv = О,

@1田1 + ^n^i = 0,

получается как частный случай из (17.85) при k = 1 индексы при q, а н с можно опустить. Тогда получим

aq + cq — 0, или ^ + у^ = 0.

(17.96)(17.97)(17.96)(17.97)Введя обозначениее е оG = 7T = %

(17.96)

(17.97)

(17.96)

(17.97)

будем иметь!)

4 +喻=0・

Это — обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения имеет вид

q == А{е^ + Л2^.(17.98)

Здесь Si и S2 — корни характеристического уравнения

52 + ®с = ®» S[ = sj, s2 = — ocz. (17.99)

Подставляя (17.99)2, з в (17.98), получаем

q^A.e1^ + А2е^.

Используя формулы Эйлера 】)，получаем следующий вид общего решения:

g = 8[ sin sj + 32 coscо/(17.100)

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые могут быть заданы, например, в следующей форме:

q Ь-о = ?*> 0 ko = "

Используя эти начальные условия

52 = д： 31 ① с = ^\

получаем значения Bi = ^*/а)с и В2 = д*, вследствие чего

А*

g =sin ①J + 9* cos ①J・

Если «* = 0, то 7 обращается в нуль при sj = 0, л, 2л, Зя, .... Длина волны синусоиды определяется из уравнения

① J = 2л, / = Г =—・

Время Г, потребное для совершения одного полного колебания, называется периодом колебаний (в данном случае свободных) .

Величина, обратная периоду,

называется частотой колебаний (в данном случае свободных); она равна числу полных колебаний, совершаемых в единицу времени. ,

Помимо V, используется также ранее уже введенная величина о)с — круговая или циклическая частота свободных колебаний. Если(0с выражена в 1/се&, то v = 1/Т — в гц. Из (17.96) видно,

9 eix = cos х + / sin х, e~/x = cos x — i sin x.

Рис. 17.41. График обобщенной координаты при малых свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. К установлению понятий периода, круговой частоты и начальной фазыРис. 17.41. График обобщенной координаты при малых свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. К установлению понятий периода, круговой частоты и начальной фазычто круговая частота свободных колебаний, называемая собственной круговой частотой колебаний, прямо пропорциональна корню квадратному из жесткости упругой системы и обратно пропорциональна корню квадратному из величины колеблющейся массы

Рис. 17.41. График обобщенной координаты при малых свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. К установлению понятий периода, круговой частоты и начальной фазы

Рис. 17.41. График обобщенной координаты при малых свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. К установлению понятий периода, круговой частоты и начальной фазы

Если в качестве начала отсчета взят момент времени, отмеченный на оси / на рис. 17.41 точкой О2 (соответствует максимальной ординате на графике рис. 17.41), то

几一齊0с = 0，(17.101)

и тогда,' подставляя (17.101) в (17.100), получим

В\ = 0, q == В2 cos сос/.

Наконец, если за начало взят момент времени, отмеченный на оси / на рис. 17.41 произвольной точкой О, то, вводя в рассмотрение поясняемую ниже величину ср, называемую начальной фазой, получим

儿一叫"

Тогда

Bi sin (— qp) + & cos(р = 0, 鲁=tg ф.

При этом общее решение (17.100) может быть записано в одной из следующих форм:

q = B\ sin ①J + 81 tg ф cos g)c^(17.102)

q = c^~ (sin ①J cos (p + sin ф cos sj)，

a = B sin ®J + <p).(17.103)

Между Bi и B2, с одной стороны, и p и ср— с другой, существуют зависимости

Bi = В cos В, 82 = В sin В; р =VBi + В2, <р = arctg ~.

Наибольшего значения q (17.103) достигает (см. рис. 17.41) при о)с/+ 屮=冗/2, t =(л/2(ос)——(ф/о)с). Величина 'max = 0 называется амплитудой колебаний.

Имея функцию q (17.103), легко найти скорость q и ускорение q движения массы:

q = 68c cos (①J + ф)， @ = — В党 sin (①J + ф)；

= B①с，％ах = В%

Изменение ускорения происходит в одной фазе с изменением перемещения, изменение же скорости по фазе сдвинуто на четверть периода.

Формула (17.103) показывает, что свободные колебания системы с одной степенью свободы при неучете сопротивления являются гармоническими и незатухающими (продолжаются неограниченно долго).

Конфигурация системы с одной степенью свободы определяется в любой момент времени одним параметром — значением обобщенной координаты в этот момент времени. Если в покоящейся системе обобщенная координата имеет нулевое значение, то изменение координат любой 厶й точки системы при переходе из исходного положения системы (положения покоя: %沁,уд Z。) в текущее (х：, у】,2。， соответствующее данному моменту времени (в процессе обсуждаемых колебаний), пропорциональны значению обобщенной координаты

бх/ = Х/ — Х/о = L^qt ^yi — уi — уе = М(汩，Аг» = & — z^ = N«)q, где L«), M"), N&)— некоторые числа, свои собственные для каждой точки системы. Если учесть формулу (17.103), то получаем

6打=L{i^ sin (①J + ф), byi = M^ sin (sj + <P), 加j = N“)p sin (①J + Ф)；

打一z0 一勿亠%0 . z-Ro 一门一- M ⑴- 一 а；u)一d

Рассматривая эти зависимости, можно сделать следующие выводы о малых (линейных) свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. *

Все точки механической системы совершают гармонические колебания.

Каждая из точек механической системы перемещается по некоторой прямой.

Перемещения точек механической системы зависят от начальных условий, однако отношение амплитуд двух любых точек системы не зависят от начальных условий.

Все точки механической системы, совершая колебания, имеют одинаковую фазу.

Пример 17.23. Найти свободные колебания системы с одной степенью свободы (рис. 17.42, а), вызванные воздействием мгновенного импульса р (рис. 17.42,6).

Решение. Искомую величину q найдем из уравнения

g + 脸=0,磴=W，

при начальных условиях

叫=0 = 0， w<J )^=0 = p，

относящихся к моменту окончания действия импульса (см. рис. 17.42,6). Первое начальное условие отражает тот факт, что вследствие мгновенности действия импульса перемещения не успевают произойти. Второе начальное условие представляет собой известный закон изменения количества движения.

Общее решение уравнения и его первая производная по времени имеют вид

q = Bi sin со/ + & cos coj,q = BiG)c cos o)cf —历①c sin coj.

川川Рис. 17.42. К примеру 17.23: а) система с одной степенью свободы, б) начальный импульс бесконечно малой продолжительности, действующий на систему, 8)импульс конечной продолжите ль ности; г) представление импульса конечной продолжительности как интеграла от импульсов бесконечно малой продолжительности.Рис. 17.42. К примеру 17.23: а) система с одной степенью свободы, б) начальный импульс бесконечно малой продолжительности, действующий на систему, 8)импульс конечной продолжите ль ности; г) представление импульса конечной продолжительности как интеграла от импульсов бесконечно малой продолжительности.Учитывая начальные условия, получаем

川

川

Рис. 17.42. К примеру 17.23: а) система с одной степенью свободы, б) начальный импульс бесконечно малой продолжительности, действующий на систему, 8)импульс конечной продолжите ль ности; г) представление импульса конечной продолжительности как интеграла от импульсов бесконечно малой продолжительности.

Рис. 17.42. К примеру 17.23: а) система с одной степенью свободы, б) начальный импульс бесконечно малой продолжительности, действующий на систему, 8)импульс конечной продолжите ль ности; г) представление импульса конечной продолжительности как интеграла от импульсов бесконечно малой продолжительности.

& = 0, 51coe = plm.

Отсюда В\ == p/(mo)c) и ^ ■= (p/(cocw)) sin со』, gmax = =р/(СОс ⑺.

Пусть импульс р создан конечной по величине силой Q, действовавшей короткий, но конечный отрезок времени т (рис. 17.42,6). Разумеется, при этом q будет отличаться от полученного выше. Найдем это q и, определив «max, произведем оценку погрешности, допускаемой при замене импульса конечной продолжительности мгновенным импульсом. Для отыскания решения, соответствующего воздействию, изображенному на рис. 17.42,6, выделим из площади, ограниченной графиком Q = Q(/), участок, соответствующий продолжительности d6, на расстоянии О от начала координат (см. рис. 17.42,г). Тогда дифференциал искомого решения (dq) найдется на основе полученного выше в настоящем примере решения для мгновенного импульса, но при этом нужно учесть, что в нашем случае р == Q d®, а вместо f следует взять (/ — О)— промежуток времени между моментом действия элементарного импульса и текущим моментом t.

dq = sin (0c (/ — V), q \ dq^ \00dq = sin (0c (/ — V), q \ dq^ \00Qd0Qd0(ocm(ocmsin Sc (f —令).sin Sc (f —令).Итак,

dq = sin (0c (/ — V), q \ dq^ \

00

dq = sin (0c (/ — V), q \ dq^ \

00

Qd0

Qd0

(ocm

(ocm

sin Sc (f —令).

sin Sc (f —令).

Далее покажем преобразования без комментариев ввиду их очевидности:

QQй)с〃2й)с〃2sin(ос/sin(ос/sin со*sin со*+ cos сос/+ cos сос/)b)b(sin о/ cos а)с^ — cos g)J sin(ocO) dO о

Q

Q

й)с〃2

й)с〃2

sin(ос/

sin(ос/

sin со*

sin со*

+ cos сос/

+ cos сос/

)b

)b

=—COS ®cf — G)c^) Г = —【COS Sc « - t) - COS Sc* ®q^WIq (£)с〃2

Q (2 sin 3cf — Set + Scf s|n sd — 3ct — (Ос/ \ =

2222或I 22 丿一

2

2

2

2

2Q . Set .—rt Sin Sin G)c(о^ш 22Q . Set .—rt Sin Sin G)c(о^ш 2

2Q . Set .

—rt Sin Sin G)c

(о^ш 2

2Q . Set .

—rt Sin Sin G)c

(о^ш 2

Итак,

Введем в рассмотрение а ——относительную продолжительность действия силы Q

T T G)CTа = "Т = 0Г = М・

ОтсюдаОтсюдаа)с^2ал;丁"， ук7а)с^2ал;丁"， ук7

Отсюда

Отсюда

а)с^2ал;

丁"， ук7

а)с^2ал;

丁"， ук7

Кроме того, преобразуем нижеприводимое выражение

2Q _ 2Q _ 2Qt — 2Pse — 0久 _ P磴 1 P 1 c ct с • 2ал cam со)с ал /ж»)с а冗 *

Учитывая выражение для ост/2 и 2Q/(①^и), найдем.

с 一 р sin ал9 max =~•

Это выражение для ^max отличается от найденного при действии мгновенного импульса множителем sin ал/(ал).

Можно, задавшись погрешностью, например, 5% и приняв, таким образом, sin ап/(ал) =0,95, найти соответствующее а, что позволит установить предел отношения продолжительности действия силы к периоду свободных колебаний Т, ниже которого погрешность не превышает 5%.

Корень приведенного выше трансцендентного уравнения равен ал = =0,55191, а = 0,175679. Таким образом, продолжительность действия силы должна составлять не более 0,1757 Т, чтобы ее можно было считать кратковременной, мало отличающейся от действия мгновенной силы (не более, чем на 5%).

Пример 17.24. В условиях предыдущей задачи найти максимальные напряжения в балке, считая Поперечное сечение ее прямоугольным (ЬХ 九).Решение. Введем понятие силы (Qskb), эквивалентной действию импульса по признаку одинаковости возбуждаемых ими максимальных перемещений (рис. 17.43)Пример 17.24. В условиях предыдущей задачи найти максимальные напряжения в балке, считая Поперечное сечение ее прямоугольным (ЬХ 九).Решение. Введем понятие силы (Qskb), эквивалентной действию импульса по признаку одинаковости возбуждаемых ими максимальных перемещений (рис. 17.43)Промежуточные преобразования не комментируем ввиду их очевидности. Далее,'Промежуточные преобразования не комментируем ввиду их очевидности. Далее,'°тах°тах"max Q 3KBi"max Q 3KBi—6/ ph2

Пример 17.24. В условиях предыдущей задачи найти максимальные напряжения в балке, считая Поперечное сечение ее прямоугольным (ЬХ 九).

Решение. Введем понятие силы (Qskb), эквивалентной действию импульса по признаку одинаковости возбуждаемых ими максимальных перемещений (рис. 17.43)

Пример 17.24. В условиях предыдущей задачи найти максимальные напряжения в балке, считая Поперечное сечение ее прямоугольным (ЬХ 九).

Решение. Введем понятие силы (Qskb), эквивалентной действию импульса по признаку одинаковости возбуждаемых ими максимальных перемещений (рис. 17.43)

Промежуточные преобразования не комментируем ввиду их очевидности. Далее,'

Промежуточные преобразования не комментируем ввиду их очевидности. Далее,'

°тах

°тах

"max Q 3KBi

"max Q 3KBi

Здесь V ——объем балки.

Рис. 17.43. К примеру 17.24: а) система с одной степенью свободы и максимальное значение обобщенной координаты, вызванное импульсом; б) балка и действую* щая не нее эквивалентная сила.Рис. 17.43. К примеру 17.24: а) система с одной степенью свободы и максимальное значение обобщенной координаты, вызванное импульсом; б) балка и действую* щая не нее эквивалентная сила.Свободные колебания с учетом сопротивления

Рис. 17.43. К примеру 17.24: а) система с одной степенью свободы и максимальное значение обобщенной координаты, вызванное импульсом; б) балка и действую* щая не нее эквивалентная сила.

Рис. 17.43. К примеру 17.24: а) система с одной степенью свободы и максимальное значение обобщенной координаты, вызванное импульсом; б) балка и действую* щая не нее эквивалентная сила.

Уравнение. Как и в предыдущем разделе, для вывода дифференциального уравнения свободных коле-

баний воспользуемся принципом Даламбера, применив его к системе в виде консоли с массой на конце. При этом сразу введем общие обозначения § 17.5, а именно — и обозначим символом д, т — символом 。口 = а. Коэффициент сопротивления — символом Ь“ = Ь, жесткость системы с” = с. Силу сопротивления представим в виде —bq. Сила сопротивления входит наряду с даламберовой силой инерции в эффективную силу. Поэтому согласно принципу Даламбера имеем

cq — ^aq — bq, ^ + "^ 4 + 普夕=О；

g + 2" + 党g=0, (17.104) где b/a = 2r.

Величина 2r называется удельным коэффициентом сопротивления, так как представляет собой отношение коэффициента сопротивления к массе колеблющегося тела (сопротивление, приходящееся на единицу массы). •

Характеристическое уравнение для (17.104) — линейного обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — имеет вид

S? + 2 rs + 党=0;

4 А. П. Филин, т. Ш

корнями его являются

S2 =一г一 "产一磴.S2 =一г一 "产一磴.51 = — г + “一 ％

S2 =一г一 "产一磴.

S2 =一г一 "产一磴.

Общее решение уравнения (17.104) имеет вид

Рис. 17.44. Движение системы с одной степенью свободы при наличии большого сопротивления: а) система; б) обобщенная координата как функция времени; / — график «=» — g(f) при толчке вперед, 2—то же при отсутствии толчка или при слабом толчке назад; S—то же при сильном толчке назад.Рис. 17.44. Движение системы с одной степенью свободы при наличии большого сопротивления: а) система; б) обобщенная координата как функция времени; / — график «=» — g(f) при толчке вперед, 2—то же при отсутствии толчка или при слабом толчке назад; S—то же при сильном толчке назад.(17.105)

Рис. 17.44. Движение системы с одной степенью свободы при наличии большого сопротивления: а) система; б) обобщенная координата как функция времени; / — график «=» — g(f) при толчке вперед, 2—то же при отсутствии толчка или при слабом толчке назад; S—то же при сильном толчке назад.

Рис. 17.44. Движение системы с одной степенью свободы при наличии большого сопротивления: а) система; б) обобщенная координата как функция времени; / — график «=» — g(f) при толчке вперед, 2—то же при отсутствии толчка или при слабом толчке назад; S—то же при сильном толчке назад.

Случай 厂 >g)c・ Если сопротивление среды настолько большое, что

厂 >"，(17.106)

то корни si и S2 — вещественные отрицательные, вследствие чего q — убывающая функция, т. е. после отклонения системы из равновесного положения и устранения сил, вызвавших это отклонение, колебаний не возникает и система возвращается в исходное положение. Примером может служить относительно тонкая консоль с сосредоточенной массой на конце, помещенная в сосуд с очень вязкой жидкостью, оказывающей большое сопротивление движению (рис. 17.44). На этом же рисунке показаны и три мыслимых варианта графика функции (17.105) при условии (17.106) в виде кривых, асимптотически приближающихся к оси /.

Возможны три случая апериодического затухающего движения при г > сос. Каждый из них соответствует определенному типу начальных условий. Пусть одно из начальных условий во всех трех случаях одинаковое:

q b-о = д° > 0・

Второе начальное условие может быть задано в трех вариантах:

q Ь-о — ?° > 0 (толчок «вперед»),

%|『о = @°&О (слабый толчок «назад» или полное отсутствие толчка),

q ко = j° < 0 (сильный толчок《назад》).

Указанным трем случаям соответствуют кривые /, 2, 3, изображенные на рис. 17.44,6.

Учитывая формулы Эйлера, связывающие показательные и гиперболические функции!), получаем решение (17.105) в

I) е* = ch % + sh %, с-* = ch % — sh %.

Рис. 17.45. График q = q(f) в случае колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления.Рис. 17.45. График q = q(f) в случае колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления.происходит затухание,происходит затухание,

Рис. 17.45. График q = q(f) в случае колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления.

Рис. 17.45. График q = q(f) в случае колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления.

происходит затухание,

происходит затухание,

следующей форме:

q = e~rt (Cj sh 削 + C2 ch 仇)，*& = «产一党.

Если ввести в рассмотрение величину

tg<p=M，

то, по аналогии с преобразованием равенства (17.100) к виду (17.102), получим

q = Ce~rt sh (例 +(p)・

Случай rVsc・ Если сопротивление среды таково, что г V ©с, то корни s\ и $2 комплексные. Вводя обозначение

д/啜一厂2 = % придем к следующей форме общего решения уравнения (17.104)

q = e-t (А{е^ + А2е^^), или, переходя от показательной формы решения к тригонометрической (используя формулы Эйлера), получим

q = e~H ® sin 今d + 32 cos 齿/)・(17.107)

Пусть имеем начальное условие

q ко = о； тогда

Вг = 0,д =⑶归一“ sin 仇/・(17.108)

Формула (17.108) показывает, что движение системы имеет характер затухающих с течением времени колебаний (рис. 17.45). Чем больше г, тем быстрее

так как тем интенсивнее с течением времени уменьшается множитель Частота затухающих колебаний 今i отличается от частоты незатухающих колебаний о)с тем заметнее, чем больше г. При r->0 errt-> 1 и ^i ->©с； при этом (17.108) переходит в q = Bi sin sj.

При изменении аргумента 91f на 2л значения синуса в (17.108) повторяются. Следовательно, /, определенное из условия

*0*1/ = 2л,

представляет собой период

55(17.109)

5

5

Формулу ,(17.109) можно представить так: 7 —2л т0

Здесь То ——период незатухающих колебаний,扌=r/sd ——безразмерный коэффициент затухания.

Раскладывая 1/“1 —『по формуле бинома Ньютона и сохраняя два члена разложения, получим

Т = То(1 +у^2).

Сопротивление увеличивает период колебаний. Для того чтобы, имея амплитуду ^-гo колебания, получить амплитуду через период, необходимо амплитуду ^-гo колебания умножить на или, иначе,

2гл2лг

禺N)—，当 W+D

(17.110)Им ха-(17.111)(17.110)Им ха-(17.111)Натуральный логарифм этого выражения

(17.110)

Им ха-

(17.111)

(17.110)

Им ха-

(17.111)

nд/磽 -产 V1 - £2

называется логарифмическим декрементом колебаний. рактеризуется скорость затухания колебаний.

Из (17.110) получаем

Е — л 8“4冗2 + A2 .

Определяя из опытной кривой затухающего колебания величину А, по формуле (17.111) находим g и, далее, г =扌(0& Логарифмический декремент колебаний характеризует затухание з а один период колебаний, но н е з а единицу времени. Поэтому может случиться при сопоставлении двух затухающих колебаний, что в первом из них логарифмический декремент колебаний больше, чем во втором, но время для затухания до амплитуд, составляющих определенный процент от одинаковых начальных амплитуд в первом колебательном процессе получится большим, нежели во втором. На рис. 17.46 представлены два таких случая. Действительно, отношение двух со-

Рис. 17.47. График q=q (/) в случае колебания системы с одной степенью свободы при наличии отрицательного сопротивления; а) нарастающее апериодическое движейие при толчках вперед и назад; б) нарастающие колебания.Рис. 17.47. График q=q (/) в случае колебания системы с одной степенью свободы при наличии отрицательного сопротивления; а) нарастающее апериодическое движейие при толчках вперед и назад; б) нарастающие колебания.Рис. 17.46. К вопросу о сопоставлении логарифмических декрементов колебаний и скоростей затухания: / — процесс с бдльшим декрементом колебаний» но меньшей скоростью затухания, чем процесс 2.Рис. 17.46. К вопросу о сопоставлении логарифмических декрементов колебаний и скоростей затухания: / — процесс с бдльшим декрементом колебаний» но меньшей скоростью затухания, чем процесс 2.

Рис. 17.47. График q=q (/) в случае колебания системы с одной степенью свободы при наличии отрицательного сопротивления; а) нарастающее апериодическое движейие при толчках вперед и назад; б) нарастающие колебания.

Рис. 17.47. График q=q (/) в случае колебания системы с одной степенью свободы при наличии отрицательного сопротивления; а) нарастающее апериодическое движейие при толчках вперед и назад; б) нарастающие колебания.

Рис. 17.46. К вопросу о сопоставлении логарифмических декрементов колебаний и скоростей затухания: / — процесс с бдльшим декрементом колебаний» но меньшей скоростью затухания, чем процесс 2.

Рис. 17.46. К вопросу о сопоставлении логарифмических декрементов колебаний и скоростей затухания: / — процесс с бдльшим декрементом колебаний» но меньшей скоростью затухания, чем процесс 2.

седних амплитуд в процессе / больше, чем в процессе 2, т. е. больше и логарифмический декремент колебаний. Однако в связи с тем, что в первом процессе период колебаний намного больше, чем во втором, скорость затухания во времени у второго процесса большая.

Случай г =(ос. Если г =(ос, то корни характеристического уравнения получаются кратными si = s2 = г и общее ре

шение уравнения (17.104) приобретает форму

g = L (&+&/)•

Данный случай является предельным для случая г V (Ос； при этом 71f 8 H полуволны

синусоиды с множителем е-“ имеют бесконечную длину. Сопротивление, при котором г =(0с, можно назвать критическим.

Случай & < 0. Если рассмотреть формально случай, в котором & < 0, это уже не сопротивление среды, а «увлечение» средой, — то уравнение (17.104) приобретает внд

〃一2s + 啥=0,г=粤 (17.112) при Г > (0с

? = er/ (Bl sh Ы + В2 ch ^/) = ertB sh (^/ + ср), (17.113) при Г < (0с

q = е“(& sin 齿/ + С2 cos ^i/) = ertC sin (也/ + qp)・ (17.114)

Решение (17.113) описывает апериодическое нарастающее движение, а решение (17.114)—нарастающие колебания. На рис. 17.47, а, б изображены графики q(t) для указанных случаев, причем нарастающее апериодическое движение рассмотрено в

двух вариантах начального возмущения, аналогичных первому и третьему из числа показанных на рис. 17.44,6. Заметим, что графиками рис. 17.47 можно пользоваться лишь при ограниченных ординатах д; за пределами этого ограничения перестает быть правомочным само уравнение (17.112) — вместо него следовало бы воспользоваться соответствующим нелинейным дифференциальным уравнением.

По аналогии с логарифмическим декрементом колебаний можно ввести понятие логарифмического инкремента, характеризующего характер нарастания амплитуд во времени:

Ain

Вынужденные колебания с учетом сопротивления при гармоническом возбуждении. Рассмотрим систему с одной степенью свободы (пусть это будет ранее обсуждавшаяся консоль с сосредоточенной массой).

К условиям, имевшимся в предыдущем разделе, присоединим еще одно: на массу m действует вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

Q* = Q。sin ©/,

где Q* — действующая активная сила, которая при использовании принципа Даламбера включается в эффективную силу; Q° — максимальное значение, приобретаемое силой Q*; со — круговая частота изменения вынуждающей силы.

Уравнение Даламбера в рассматриваемом случае приобретает вид

Cq^^aq-bq + QP sin Ы; 0 + 4^ +普夕=岑 sin* (17.115)

или, наконец,

少+ 2冶+党g = s旣т sin皿・ (17.116)

Здесь ger = Q°/c — перемещение q (прогиб конца консоли) при ci этическом действии силы Q0. Обращаем внимание на то, что 9ст — это чисто расчетная величина, введенная для удобства построения теории, поскольку Q° в рассматриваемой постановке задачи на самом деле статически к балке никогда не прикладывается.

Общее решение уравнения (17.116) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения, которое было получено в предыдущем разделе, и частного решения данного уравнения (17.116). Таким образом, для отыскания общего

решения уравнения (17.116) остается получить частное решение этого уравнения. Будем искать его в форме

9%р = & cos со/ + С2 sin st.(17.117)

С целью отыскания Ci и С2 подставим (17.117) в (17.116), для чего предварительно найдем 仇.р и ?ч.р

?ч. р = — &со sin со/ + С2© cos со/,(17.118)

询 р = — Ci©2 cos со/ — С2со2 sin ©Л(17.119)

Подстановка (17.117), (17.118) и (17.119) в (17.116) дает (—С^2 + 2гС2со + C2g)2) cos со/ +

+ (— C2c°? ― йгС^ +。2党)sin со/ =嚟％т sin 血・(17.120)

Равенство (17.120) возможно при равенстве в левой и правой частях коэффициентов при sin(о/ и, отдельно, при cos ①厶 Эти равенства имеют вид

(17.121)(17.121)一 c^ 一 2ге^ + 磴С2=党%Т，

(17.121)

(17.121)

一 Cid + 2rC^ + ^С{ = 0.

Уравнения (17.121), легко приводимые к виду

—2гсоС1 + (吒一co2) C2 = co泣т，幌 一(02)a + 2Г呜=0,

позволяют найти Ci и С2:

G = -G = -2го 磯%T2го 磯%T4 Ao2+(磅_①2)2,4 Ao2+(磅_①2)2,e2 =e2 =确ст (磯-①2)4Ao2+ (碇—①2)2 ・确ст (磯-①2)4Ao2+ (碇—①2)2 ・(17.122)(17.122)

G = -

G = -

2го 磯%T

2го 磯%T

4 Ao2+(磅_①2)2,

4 Ao2+(磅_①2)2,

e2 =

e2 =

确ст (磯-①2)4Ao2+ (碇—①2)2 ・

确ст (磯-①2)4Ao2+ (碇—①2)2 ・

(17.122)

(17.122)

угла ср, (17.123)(17.124)угла ср, (17.123)(17.124)

угла ср, (17.123)

(17.124)

угла ср, (17.123)

(17.124)

Поскольку тангенс может принимать любое значение, отношение —Ci/C2 можно считать тангенсом некоторого

С】2гшш^ст2го 4 一

Тогда (17.117) перепишется так:'

% р = — С2 tg ср cos со/ + & sin ©Л

J. р = т^у (sin со/ cos Ф — sincp cos ©/).

Выразим cos qp через tg qp, учитывая (17.123), 11磯一

'V1 + tg2(p /1 .4/0)2“(崂-①2)2 + 4产①2

▽十3 "吩2

(17.125)

Подставляя в (17.124) С2 согласно (17.122), cos(p из (17.125) и учитывая, что выражение в скобках в формуле (17.124) представляет собой sin (со/ ——ф), получим

sin (co/ — qp),sin (co/ — qp),磋(峻—0)2) %т V(磴—®2)2 + 4r2co2 % p =(峻-川) + 炉^ ^Z^

sin (co/ — qp),

sin (co/ — qp),

или, производя сокращения и деля как числитель, так и знаменатель на 嗚 будем иметь окончательное выражение частного решения дифференциального уравнения (17.116):

p =-厅」二歌歹一广尸戸sin ("一 ф) = ?0 max Sin (山一中).

“("釣+寶。7.3)

Тогда общее решение уравнения (47.126), учитывая выражения для общего решения однородного дифференциального уравнения, например, при 厂 V (Ос (17.104) и частного решения уравнения (17.126), приобретает вид

? = е-“ (Bi sin 也/ + 殳 cos 也/) + q® max sin (啦一①)=仆(0 + q® (/)•

(17.127)

Здесь введено обозначение

max = ^^^^j^^^ =.

Итак, функция, описывающая колебания, имеет два слагаемых. Первое слагаемое в (17.127) характеризует колебания, происходящие с частотой свободных колебаний, а второе ——происходящие с частотой вынуждающей силы. После приближения к нулю первого слагаемого вследствие затухания остаются лишь колебания, описываемые функцией (17.126). Поэтому в установившихся процессах колебаний первое слагаемое в (17.127) обычно не учитывают. В неустановившихся процессах, в частности, в пусковой отрезок времени, колебания, соответствующие первому члену в (17.127), могут играть заметную роль (рис. 17.48).

Проанализируем функцию ,ч.р. Из (17.126) видно, что вынужденные колебания, происходящие с частотой вынуждающей силы, имеют смещение фазы на величину ф по отношению к последней. Амплитуда вынужденных колебаний, т. е. максимальное перемещение от положения системы в состоянии покоя,

Рис. 17.48. График функции (17.127): а) график g? (f) (колебания, происходящие с частотой свободных колебаний); 6) график % (/) (колебания, происходя- щие с частотой вынуждающей силы);8)суммарный график.Рис. 17.48. График функции (17.127): а) график g? (f) (колебания, происходящие с частотой свободных колебаний); 6) график % (/) (колебания, происходя- щие с частотой вынуждающей силы);8)суммарный график.деле на систему дей- силыделе на систему дей- силы

Рис. 17.48. График функции (17.127): а) график g? (f) (колебания, происходящие с частотой свободных колебаний); 6) график % (/) (колебания, происходя- щие с частотой вынуждающей силы);

8)суммарный график.

Рис. 17.48. График функции (17.127): а) график g? (f) (колебания, происходящие с частотой свободных колебаний); 6) график % (/) (колебания, происходя- щие с частотой вынуждающей силы);

8)суммарный график.

деле на систему дей- силы

деле на систему дей- силы

может быть представлено как произведение двух величин 0ст И |А,

08 шах = КтА，08 шах = КтА，(17.128)

08 шах = КтА，

08 шах = КтА，

из которых первый множитель, 〃仃，——перемещение из состояния покоя, которое возникло бы в условиях статического действия максимального значения (Q°) вынуждающей силы; второй множитель

(17.129)

называемый коэффициентом динамичности, показывает, во сколько раз величина 柒丁 увеличивается вследствие динамичности воздействия нагрузки. Величина 9 согласно формуле (17.127) представляет собой ту добавку в перемещении массы, которая возникает вследствие динамичности процесса. Поскольку слагаемое в (17.127), содержащее множитель е~" (это слагаемое обозначено символом ^^(/)), яв* ляется затухающим, то существенно оно лишь в период пуска машины, вызывающей колебания. Определяемое по формуле (17.127) перемещение q не есть полное перемещение. В последнее входит и та доля, которая

имеет место и при статическом характере работы системы (при неработающей машине) под воздействием силы mg. Другими словами, q согласно (17.127) отражает воздействие на систему

лишь силы Q°sin(o/, а на самом ствует сила mg + Q° sin(о/ (рис. 17.49). Под воздействием

mg система (балка) деформируется (изгибается), и обсужден

рне выше колебания происходят относительно

этого деформированного состояния, хотя раньше об »том не было сказано. Подход, в котором не делается различия

между колебаниями относительно деформированного, под воздействием силы mg состояния, и колебаниями относительно недеформированного состояния системы, правомочен, поскольку и перемещения «ст, вызванные силой mg, и перемещения q малы; задача линейная, и справедлив принцип независимости действия сил.

На рис. 17.49 показана и величина ，ст, являющаяся, как уже указывалось выше, чисто расчетной — это то значение обоб* щенной координаты q、которое было б ы, если бы сила Q°

Рис. 17.49. Перемещение при колебании системы с одной степенью свободы: / — позиция конца консольной балки при полном отсутствии воздействия на нее; 2 —то же при воздействии силы тяжести массы, приложенной статически; от точки 2 как от нейтрального положения массы измеряются перемещения при колебаниях; 3 —условная точка; в нее попал бы конец консоли, если к нему была бы статически приложена сила, равная амплитудному значению вынуждающей силы (прогиб считается отложенным от точки 2); 4 и 5—крайние положения центра колеблющейся массы; 5—текущее положение центра массы определяемое обобщенной координатой q—q (f).Рис. 17.49. Перемещение при колебании системы с одной степенью свободы: / — позиция конца консольной балки при полном отсутствии воздействия на нее; 2 —то же при воздействии силы тяжести массы, приложенной статически; от точки 2 как от нейтрального положения массы измеряются перемещения при колебаниях; 3 —условная точка; в нее попал бы конец консоли, если к нему была бы статически приложена сила, равная амплитудному значению вынуждающей силы (прогиб считается отложенным от точки 2); 4 и 5—крайние положения центра колеблющейся массы; 5—текущее положение центра массы определяемое обобщенной координатой q—q (f).

Рис. 17.49. Перемещение при колебании системы с одной степенью свободы: / — позиция конца консольной балки при полном отсутствии воздействия на нее; 2 —то же при воздействии силы тяжести массы, приложенной статически; от точки 2 как от нейтрального положения массы измеряются перемещения при колебаниях; 3 —условная точка; в нее попал бы конец консоли, если к нему была бы статически приложена сила, равная амплитудному значению вынуждающей силы (прогиб считается отложенным от точки 2); 4 и 5—крайние положения центра колеблющейся массы; 5—текущее положение центра массы определяемое обобщенной координатой q—q (f).

Рис. 17.49. Перемещение при колебании системы с одной степенью свободы: / — позиция конца консольной балки при полном отсутствии воздействия на нее; 2 —то же при воздействии силы тяжести массы, приложенной статически; от точки 2 как от нейтрального положения массы измеряются перемещения при колебаниях; 3 —условная точка; в нее попал бы конец консоли, если к нему была бы статически приложена сила, равная амплитудному значению вынуждающей силы (прогиб считается отложенным от точки 2); 4 и 5—крайние положения центра колеблющейся массы; 5—текущее положение центра массы определяемое обобщенной координатой q—q (f).

(амплитудное значение вынуждающей силы) прикладывалась статически. Отношение дтах/，ст и есть коэффициент дина* мичности.

Таким образом, полное перемещение, которое и должно вводиться в расчет для определения напряжений, находится по формуле

%acq и ?ст + ?шах>9тах = % max + ?о тах>

09 max = %tN・

Отмеченное здесь обстоятельство должно иметься в виду при рассмотрении всей приводимой ниже информации о малых .колебаниях систем с любым числом степеней свободы.

График коэффициента динамичности. Резонанс и меры борьбы с ним. Изменение коэффициента динамичности

“(1 - а2)2 + 4у2a2，“(1 - а2)2 + 4у2a2，(17.130)(17.130)

“(1 - а2)2 + 4у2a2，

“(1 - а2)2 + 4у2a2，

(17.130)

(17.130)

月 зависимости от 乡=①/①⑺ как аргумента, н от у = г/^

как параметра, характеризуется графиками, показанными на рис. 17.50.

Рис. 17.50. График коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы при вынуждающей силе вида Q* = Q° sin со/.

Найдем экстремальное значение коэффициента динамичности; для этого исследуем на экстремум подкоренное выражение у в (17.130):

у = (1 — а2)2 + 4у2а2; ^~ = — 2(1 — а2) 2а + 8у2a = 0,

a [4а2 — 4 + 8y?] = 0,

5 = 0, a2 = "1 一 2Y2, a3 = 一 "1 - 2w.

Так как по смыслу величина а вещественна и неотрицательна, во втором корне Y < 1/V2； равенство а нулю соответствует постоянству внешний силы, поэтому первый корень не представляет интереса, третий же корень не удовлетворяет условн” задачи:

爲• = 12a2 _ 4 + 8Y2.

При/

a =a2 = "1 - 2产

黑=12 (1 - 2Y2) - 4 + 8产=8 一 16Y2 > 0.

Следовательно, при а = а2 подкоренное выражение в формуле для ц имеет минимум, а сам коэффициент динамичности достигает максимума

^mln =[1 — (“1 — 2衿2了 + 4丫2 (д/1 — 2у2)2 —

=4Y4 + 4Y2 一 8Y4 = 4?2 (1 _ Y2),

1

На рис. 17.51 приведен график 屮

как функции от а при разных значениях параметра у.

Рассмотрение графика 卩 позволяет заключить следующее:

При (о/(ос = 0, т. е. при неизменяющейся нагрузке!) (со = 0), коэффициент динамичности при любом сопротивлении равен единице. Результат этот очевиден, так как при ①=0 действие нагрузки статическое.

При отсутствии сопротивления колебаниям (у = 0) и равенстве частот свободных и вынужденных колебаний (а = 1) происходит неограниченный рост перемещений. Это явление носит название резонанса. На самом деле неограниченного роста перемещений, получаемого из решения уравнения (17.116), не происходит вследствие того, что само линейное дифференциаль-

!) s/сое не может равняться нулю за счет бесконечности Зс, так как все реальные тела податливы (с =И= °°) (сос ^/с/т).

ное уравнение (17.116) правомочно лишь при малых перемещениях. При достаточно больших перемещениях необходимо было бы использовать нелинейное уравнение. Решение такого уравнения характеризовалось бы значительным увеличением q при у = 0 и а = 1, но не бесконечным ростом.

При у #= 0 ординаты кривой 卩 также не получаются бесконечными. Чем больше сопротивление среды (т. е. чем больше величина параметра у), тем меньше по величине максимальная ордината кривой ц. Максимум на кривой ц с увеличением у смещается от а = 1 (при у = 0) в сторону меньших значений а.

Используя коэффициент динамичности и определяя максимальные перемещения драм с учетом доли qCt, следует удо

стовериться, не превышает ли gpacq то значение, за пределами которого недопустимо применять теорию малых колебаний. Для этого можно использовать график Q(gpacq). Если точка, соответствующая ,расч = ^ст + gmax, оказывается на нелинейном участке графика, то следует переходить к динамическому расчету с учетом нелинейности зависимости Q(драен).

Например, если рассчитывается балка, то следует удостовериться, находятся ли максимальные прогибы драен = ирасч в о6・ ласти применимости приближенного дифференциального урав、 нения изгиба балки и не выходит ли максимальное напряжение за предел пропорциональности. Соответствующая оценка дана в главе XII (т. II, стр. 198—202).

С другой стороны, в другом множестве случаев, допустимы упрощения. При малых отношениях со/(ос величина 卩 мало отличается от единицы. Таким образом, допуская определенную погрешность при малых значениях со/①с, можно не учитывать динамический эффект и считать задачу статической.

Задавшись величиной р ——допустимым процентом отклонения от статического значения при определении максимального значения обобщенной координаты драсч,——установим соответствующее значение величины(о/сос.

Предварительно выясним, какое значение величины рц, входящей в выражение коэффициента динамичности

N = 1 + 加

соответствует принятому значению р при определении «рас% Поскольку В драсч ПОМИМО 'max ВХОДИТ вЩв И ?ст, ВСвГДЭ рц > р. Имеется очевидная зависимость'

1* ?ет

p 十(1+咽%Т '

ИЛИ

(!+ (1+7^7)^=^(17」32)

Второй член (дробь) внутри наружных скобок представляет собой отношение влияния силы Pi = mg (см. рис. 17.49) и максимальной динамической добавки. Учитывая, что ^Ст/^ст = =mg/Q。и исходя из (17.132), получаем

曲 + %(1 — Р) — " (1 +‘醫)=0，(17.133)

откуда

"л =—丄可 ° + j д/(1 + Р)?+ 4р-^.(17.134)

Второй корень уравнения (17.133) не удовлетворяет условию задачи. При ，ст/дст = 0, т. е. в случае пренебрежения влиянием силы Pi = mg, Рл = р, что и должно, разумеется, быть. В таблице 17.3 приведены значения рц при р = 0,05 и различных значениях отношения mg/Q°・

Таблица 17.3

mg/Q^

0

1/10

1/2

1

2

10

0,050

0,055

0,073

0,096

QJ38

0,406

Теперь выясним, какому значению аргумента а =(о/сос со ответствует ц = 1 + Рц. Для этого воспользуемся зависимостью (17.130)

]+ 母—“(I 一出产.

Отсюда,

(17.135)

В таблице 17.4 показаны значения а, соответствующие р = 0,05 и различным значениям mgl叉、обуславливающим величину рц (см. формулу (17.134)), при нескольких значениях коэффициента сопротивления у.

Таблица 17.4

0

1/10

1/2

1

2

10

Y

0

0,22

0,23

0,26

0,30

0,35

0>54

0,1

0,22

0,23

0,26

0,30

0,35

0,55

0,15

0,22

0,23

0,27

0,31

0,36

0,57

0,2

0,23

0,24

0,27

0,31

0,37

0,57

0,3

0,24

0,25

0,29

0,33

0,39

0,63

0,4

0,27

0,28

0,32

0,38

0,44

0,5

0,32

0,34

0,37

0,46

0,57

При значениях а, меньших, чем указанные в таблице 17.4, можно выполнять статический расчет, т. е. без учета динамического эффекта, допуская при этом погрешность в окончательных результатах (с учетом р = mg) не более 5%.

Заметим, что при mg/QQ = 10 уже для у = 0,4 (а тем более для у = 0,5) подкоренное выражение во внутреннем радикале в (17.135) оказывается отрицательным. Это свидетельствует о том, что 1 + Ри оказывается выше максимального значения 卩 (вся кривая коэффициента динамичности расположена в области, дающей погрешность меньше 5%), т. е. при указанных выше параметрах при любом а расчет можно производить как статический.

Если приравнять нулю подкоренное выражение во внутреннем радикале в (17.135), то получим уравнение, из которого можно определить предельное значение у, выше которого задача может решаться как статическая с погрешностью, не превышающей р. 2

(1-2們2方 = 0,

ИЛИИЛИ

ИЛИ

ИЛИ

ОтсюдаОтсюда2/ + Р ； [+叫+就.2/ + Р ； [+叫+就.

Отсюда

Отсюда

2/ + Р ； [+叫+就.

2/ + Р ； [+叫+就.

Придавая pu значения, соответствующие таблице 17.3, получим предельные значения у, выше которых при различных mg/QQ и р = 0,05 не следует учитывать динамичности задачи. Соответствующие значения упрел помещены в таблице 17.5.

Таблица 17.5

mg/Q。

0

1/10

1/2

1

2

10

Yupen

0,673

0,584

0,564

0,543

0,511

0,385

В зарезонансной зоне, т. е. справа от максимума кривой 卩, с увеличением а происходит уменьшение величины ц — кривые ц асимптотически приближаются к оси абсцисс. Таким образом, если вынужденные колебания происходят с частотой, превышающей частоту свободных колебаний на достаточно большую величину, то амплитуды оказываются меньше, чем при статическом действии амплитудного значения возмущающей силы; при достаточно большом отношении со/сос, т. е. при большой частоте вынуждающей силы и вынужденных колебаний, амплитуды оказываются очень малыми.

Такие колебания представляют собой большую опасность, поскольку, будучи внешне малозаметными, они тем не менее весьма отрицательно сказываются на человеческом организме (если он не защищен от них) (возникает так называемая 8〃・ брационная болезнь). .

Вместе с тем вибрация в ряде случаев создается специально и используется в технике (вибротранспорт 9, вибропогружение свай и т. п.).

Вне области резонанса кривые 卩,соответствующие различным у, располагаются достаточно близко одна от другой. В области же резонанса отличие ординат кривых 卩 при одном и том же значении а, но разных у, весьма существенно. Вследствие сказанного учитывать сопротивление среды необходимо в том случае, когда ожидается или представляется возможной близость к резонансу. Если имеется гарантия, что колебания будут

См. Б л е х м а н И. И.» Джанелидзе Г. КЗ. Вибрационное перемете- цце. — М.: Наука, 196^.

происходить при достаточной удаленности от области резонанса, сопротивлением среды можно пренебречь, допуская незначительную погрешность в сторону преувеличения коэффициента динамичности, т. е. в запас надежности.

Резонанс часто представляет собой грозное явление. Рассматривая формулу (17.128), обнаруживаем, что возникновение больших перемещений, а следовательно, и больших усилий и напряжений!), может происходить при резонансе не за счет величины сил (силы могут быть малыми), а за счет сближения частоты вынужденных колебаний (или, что то же самое, частоты вынуждающей силы) и собственной частоты системы. Малая сила способна вызвать разрушение мощной конструкции при неудачной для конструкции комбинации частот со и сос (при близости этих частот), влекущей за собой резонанс. Это явление обнаруживается тем отчетливее, чем меньше сопротивление среды.

Одной из мер борьбы с резонансом является обеспечение такого а, которое было бы достаточно меньше значения, соответствующего максимуму ц при данном сопротивлении среды.

Если частота вынуждающей силы, связанная, например, с числом оборотов машины, которая будет установлена на проектируемой конструкции, предопределена и не подлежит регулированию проектировщиком конструкции, то величину параметра а, гарантирующую невозникновение резонанса, можно обеспечить соответствующим значением сос. Величина сос зависит от жесткости конструкции и колеблющейся массы. Всегда можно за счет выбора надлежащей жесткости с добиться того, чтобы о)с было достаточно большим для обеспечения необходимого достаточно малого значения а. Однако в тех случаях, когда конструкция в целях обеспечения большого сос получается недопустимо тяжелой, может быть поставлен вопрос о выборе агрегата с меньшим, чем сос, значением со или о допустимости работы конструкции в условиях установившегося режима при величине а, превышающей ее значение, характерное для области резонанса. В таком случае в процессе пуска и выключения машины конструкция проходит через резонанс. Однако продолжительность пребывания конструкции в таком состоянии невелика, и могут быть приняты специальные меры для обеспечения надежности работы конструкции в эти периоды переходного режима машины.

Для смягчения или устранения колебаний применяются также разнообразные демпферы и гасители колебаний (см. пример 17.29 в разделе 5.2 § 17.7).

I) В рамках линейной теории усилия (напряжения) и перемещения про・ Порциональцы.

(17.136)(17.136)Если сопротивление настолько мало, что можно считать его отсутствующим (у == 0), то формула (17.130) для коэффициента динамичности приобретает вид

(17.136)

(17.136)

卩=1— S2/W -

Тогда график коэффициента динамичности имеет вид, показанный на рис. 17.52 штриховой линией. Если в (17.136) ввести

Рис. 17.53. График коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы при вынуждающей силе вида Q* = Qo®2 sin of.Рис. 17.53. График коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы при вынуждающей силе вида Q* = Qo®2 sin of.

Рис. 17.53. График коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы при вынуждающей силе вида Q* = Qo®2 sin of.

Рис. 17.53. График коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы при вынуждающей силе вида Q* = Qo®2 sin of.

то графиком со-то графиком со-ответствующей функцииответствующей функциисимвол абсолютного значения в знаменателе,

то графиком со-

то графиком со-

ответствующей функции

ответствующей функции

|1-S2/吧

будет сплошная линия, показанная на рис. 17.52.

В отличие от изображения на рис. 17.50 (где во внимание принималась лишь абсолютная величина ц), здесь учтен и знак. Действительно, при s/(0c V 1,卩 > 0; при со/сос > 1, ц < 0, при о)= о)с происходит разрыв непрерывности — переход от 土 8

к — оо. Знак минус у 卩 при со/сос > 1 свидетельствует о том, что изменение вынуждающей силы и перемещения при колебаниях происходит в фазах, отличающихся друг от друга на л, т. е., если сила направлена влево, то перемещение происходит вправо.

Вид формулы для коэффициента динамичности (а следовательно, и графика ц = р,(со/сос)), как видно из ее вывода, зависит от характера вынуждающей силы.

Особенно распространены два вида вынуждающей силы

Q* = Q° sin о/, Q* = Q0 о2 sin of;

при этом предполагается, что Q° не зависит от частоты.

Формула (17.130) соответствует первому из двух приведенных выражений для Q*, а второму отвечает коэффициент динамичности

®2/©с

График, соответствующий такому 卩，показан на рис. 17.53.

Биение. При сложении двух гармонических колебаний, происходящих с частотами, мало отличающимися друг от друга, возникает явление, носящее название биения. Рассмотрим сумму гармоник

fli sin а)1/ + & sin а)2<

при условии, что ом = а)2 + 2&, где 8 — малая величина по сравнению с coi и ①厶

Воспользуемся для анализа векторной интерпретацией колебаний 1).

1) Согласно векторной интерпретации колебаний, проекции вращающегося вектора на два ортогональных диаметра изменяются во времени по гармониче-

Рис. 17.54. Векторная ди а-Рис. 17.55. Векторная диаграмма сложения двух гармо-

грамма гармоническихник с разными амплитудами при наличии разности

колебаний.фаз.

скому закону (рис. 17.54). Сложение двух гармоник одинакового периода, но имеющих различные амплитуды и сдвиг фаз <р, производится так, как показано на рис. 17.55.

Начнем наблюдать за колебанием в момент, когда разность фаз равна нулю. В этом случае суммарная гармоника имеет амплитуду (рис. 17.56, а) 「

仇=〃[+ а2.

Вследствие малого различия частот с каждым полным оборотом будет образовываться небольшая разность фаз, но через какое-то, не обязательно целое, число оборотов разность фаз достигнет л. В этот момент амплитуда суммарной гармоники равна (рис. 17.56, б)

匕2 = 〃1——〃2・

Рис. 17.56. Векторная диаграмма сложения амплитудных значений двух гармоник: а) при отсутствии разности фаз (сумма максимальная); 6) при разности фаз равной Л (сумма минимальна).-Рис. 17.56. Векторная диаграмма сложения амплитудных значений двух гармоник: а) при отсутствии разности фаз (сумма максимальная); 6) при разности фаз равной Л (сумма минимальна).-Величины bi и 匕2 являются соответственно наибольшим и наи-Величины bi и 匕2 являются соответственно наибольшим и наи-свободы при биении.свободы при биении.

Рис. 17.56. Векторная диаграмма сложения амплитудных значений двух гармоник: а) при отсутствии разности фаз (сумма максимальная); 6) при разности фаз равной Л (сумма минимальна).-

Рис. 17.56. Векторная диаграмма сложения амплитудных значений двух гармоник: а) при отсутствии разности фаз (сумма максимальная); 6) при разности фаз равной Л (сумма минимальна).-

Величины bi и 匕2 являются соответственно наибольшим и наи-

Величины bi и 匕2 являются соответственно наибольшим и наи-

свободы при биении.

свободы при биении.

меньшим значениями амплитуд суммы гармоник, близких по частоте колебаний.

Общий вид графика q = q(t) при биении показан на рис. 17.57.

Вернемся к общему решению (17.127) и рассмотрим частный случай, относящийся к отсутствию сопротивления (厂= 0). При таком предположении получаем

q = B\ sin о/ + & cos со J 一q = B\ sin о/ + & cos со J 一TZ^sin*(p)・TZ^sin*(p)・(17.137)(17.137)

q = B\ sin о/ + & cos со J 一

q = B\ sin о/ + & cos со J 一

TZ^sin*(p)・

TZ^sin*(p)・

(17.137)

(17.137)

Пусть имеем начальные условия

(17.138)(17.138)?к=о = ?°,? Ь-о = ?°.

(17.138)

(17.138)

Определим из них постоянные интегрирования 3】и З?. Из (17.137) и (17.138) имеем

9° = 82-7：瑞* sin(Р, 0。= 3网 + 7:疏；os%

Отсюда

3

В1

cos ф, & = 9° +

鵠rsinqp. (17.139) 一磋

Подставляя (17.139) в (17.137), получим

co

cos фcos фsin sj + 仔 + -sin sj + 仔 + -sin 屮、cos о J +sin 屮、cos о J +

cos ф

cos ф

sin sj + 仔 + -

sin sj + 仔 + -

sin 屮、cos о J +

sin 屮、cos о J +

sin (of — qp),sin (of — qp),啜啜илиg = (3 ^口 sJ + g。cos oj)илиg = (3 ^口 sJ + g。cos oj)(券 cos ср sin ос/ —(券 cos ср sin ос/ —

sin (of — qp),

sin (of — qp),

啜

啜

или

g = (3 ^口 sJ + g。cos oj)

или

g = (3 ^口 sJ + g。cos oj)

(券 cos ср sin ос/ —

(券 cos ср sin ос/ —

—sin (p cos sj) 4—sin (p cos sj) 4%T(02%T(02sin (со/ — ф). (17.140)sin (со/ — ф). (17.140)

—sin (p cos sj) 4

—sin (p cos sj) 4

%T

(02

%T

(02

sin (со/ — ф). (17.140)

sin (со/ — ф). (17.140)

=2e, где e ——малая величина; тогда (о ==2e, где e ——малая величина; тогда (о =Пусть Sc —①Пусть Sc —①Первый член в (17.140) описывает свободные колебания, вызванные начальным возмущением (начальными условиями), второй ——свободные колебания, происходящие вследствие наличия вынуждающих сил】),и третий член — вынужденные коле： бания. Если частоты со и сос близки друг к другу, но не совпадают, возникает биение.

=2e, где e ——малая величина; тогда (о =

=2e, где e ——малая величина; тогда (о =

Пусть Sc —①

Пусть Sc —①

=coc — 2e, Sc + ①=coc — 2e, Sc + ①=2(coc — e), 党一 a)2 = 4“％ —в). Преобра-

=coc — 2e, Sc + ①

=coc — 2e, Sc + ①

зуем выражение внутри скобок во втором члене формулы (17.140), прибавив к нему выражение, равное нулю: sin со/ cos ф — sin ①J cos ф,

事 cos qp sin шс/ ——sin qp cos oj + sin coj cos 中 ——sin(oj cos qp =

=sin (sj — Ф)+ —=sin (sj — Ф)+ —sin oj cos ф =sin oj cos ф =

=sin (sj — Ф)+ —

=sin (sj — Ф)+ —

sin oj cos ф =

sin oj cos ф =

2g

=sin ®J — ср) —— sin ojeosep. (17.141)

Если подставить (17.141) в (17.140), то после очевидных элементарных преобразований получим

q = go cos о J + (备q = go cos о J + (备^^^ cos 中)sin(V-^^^ cos 中)sin(V-

q = go cos о J + (备

q = go cos о J + (备

^^^ cos 中)sin(V-

^^^ cos 中)sin(V-

(17.142)(17.142)-2謊餐 sin 及 cos [(%一ё)‘ 一 Ф].

(17.142)

(17.142)

Третий член в формуле (17.142) описывает биение.

График третьего члена в (17.142) имеет вид, показанный на рис. 17.57. Длину одной волны синусоиды sin е/ находим из условия обращения sin е/ в нуль; это происходит при

&/0, Л9 27t.

Одна волна синусоиды заключена между значениями е/ = 0 н ef = 2л. Период「2 находим следующим образом:

e/2 == 2冗

*=о

8 «2/1) == 2 Л

^2 介===Уз, еТ?== 2冗,7? == 2 冗/е.

Половина полного периода колебаний амплитуды называется периодом биения. Длину волны косинусоиды cos[(sc — £)f — ——ср] находим из условия обращения в нуль ее ординаты. Такое обращение в нуль происходит при

(шс —8)/ —ф=-у , ^п' ^П _(%-8)4-9=粤

(Шс — 8)彳—(р==*

(®с — е) (4 —彳)=2n

7=2几 = 4几

1Фс — 8(О。+ S •

Проанализируем изменение во времени последнего члена в формуле (17.142), определяющего биение, при е->0. Предел этого выражения при 8fo имеет вид

-^^ cos (сос/ - ф). (17,143) Здесь учтено, что

В (17.143) коэффициент при косинусе ——линейная функция t.

И таким образом, график (17.143) имеет вид, показанный на

рис. 17.58. Резонанс, наступающий в системе без сопротивления при е->0, можно трактовать как предельный случай биения, когда 72 f 8・

Рис. 17.58. Резонанс как предельный случай биения (е->0, Т2-> оо).Рис. 17.58. Резонанс как предельный случай биения (е->0, Т2-> оо).На основе анализа биений оказывается возможным выполнение весьма точных измерений малых разностей двух близких частот колебаний. Чем меньше разность двух частот, тем больше период биения. В частности, явление биения используется в сверхскоростной аппаратуре (стро боскопы)

Рис. 17.58. Резонанс как предельный случай биения (е->0, Т2-> оо).

Рис. 17.58. Резонанс как предельный случай биения (е->0, Т2-> оо).

Вынужденные колебания при произвольном законе вынуждающей силы

Использование схемы Лагранжа.

Случай г = 0. Указанные в заголовке колебания при отсут* ствии сопротивления описываются уравнением

G + a^ = Q*(/)/a. (17.144)

Величина а в знаменателе правой части в (17.144) (масса колеблю

щегося тела) появляется в процессе вывода уравнения согласно (17.115). Решение такого неоднородного дифференциального уравнения находим по известной схеме Лагранжа 】) (метод вариации постоянных Лагранжа). Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.144) имеет вид (17.100):

91 = sin о J， 02 = cos о J・

Общее решение уравнения (17.144) ищем в форме:

q = Bi sin шс/ + В2 cos sj + sin о J，厶(0 dt + cos о J，％ (0 力.

(17.147)

Результат использования этой схемы сводится к тому, что общее решение дифференциального уравнения

〃〃)+ pi 严 7)+ р2 严-* + ・・・ ++ pny^V(t) (17.145)

представляется в виде

п

у = Bipi + В2y2 + … + 丛^〃 + £ 勿，《 (f) df, (17.146)

где у I (/ в 1,・.・,n) — полная система решений однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному (фундаментальная система

Для получения функций 厶«) и %(/) имеем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений

fi (/) sin о J + % (0 cos шс/ = 0, fl (f) Sc cos oj — % (0 ®С sin оJ = Q* (f)/Q, откуда

f 1(0 = ± ^"^ cos оJ, %(/) = —" ^^ sin о J・(17.148)

Наконец, подставляя (17.148) в (17.147), найдем общее решение уравнения (17.144):

q — B\ sin sj + 82 cos о J + 亲，军 f)(cos ①尸'sin(ос/ — с о

—sin(ост ・ cos sj) d厶 или'

q — Bi sin sj + B2 cos oj + 亠〈sin & (' — т) dt・(17.149)

% J a

Произвольные постоянные Bi и 82 определяются из начальных условий (первые два члена в (17.149)——это общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (17.144), и от вынуждающей силы, естественно, не зависят).

Случай г < сос. При наличии малого сопротивления (г V (Ос) уравнение вынужденных колебаний имеет вид

q + 2rq + ^=^^.(17.150)

функций)； Bi — постоянные интегрирования;力(f) (i= 1,・.・,n) — функции, отыскиваемые из системы уравнений

У1

У2• • ‘

> Уп

厶⑴

0

у{

/

у2 …

Уп

为⑴

0

严-2)

庙2)・・・

IL

加7")

=

0

呼т

财％・，

4

厶⑺

ф(0

всегда имеющей решение, поскольку квадратная матрица, в приведенной матричной записи этой системы, не особенная ——определитель ее, называемый определителем Вронского, для фундаментальной системы функций отличен от нуля.*

Последний член в (17.146) является частным решением этого неоднород* НОго уравнения (17.145).

Следуем той же схеме, которая использована в предыдущем случае. Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.150), имеет вид (см. 17.107)

% = 0-“ sin 也/, % = 0一“ cos 齿九

Общее решение уравнения (17.150) ищем в форме

q = 8声一"sin bit + &е-" cos 也/ +

+ e-“ sin 加，Л (0 dt + e-“ cos W，％ (/) dt. (17.151)

Относительно функций 厶 и 加 имеем систему линейных алгебраических уравнений

Л (/) sin 也/ + % (0 е~“ cos 今才=0,

fi (/) (— re""" sin 也/ + 6一"也 cos 今“)+

+ h (0(—厂8一" cos #1/ — e~"今 1 sin 也 f) — Q* (t)/a.

Отсюда,

fi (0 =(*)/旦兴cos di/, %⑴=- (喜)e"里抖sin也f.

(17.152)

общее решение уравобщее решение уравРис. 17.59. К примеру 17.25: а) система с одной степенью свободы и вынуждающая сила; б) график вынуждающей силы Q*==Q* (f).Рис. 17.59. К примеру 17.25: а) система с одной степенью свободы и вынуждающая сила; б) график вынуждающей силы Q*==Q* (f).Подставляя (17.152) в (17.151), найдем нения (17.150):

общее решение урав

общее решение урав

Рис. 17.59. К примеру 17.25: а) система с одной степенью свободы и вынуждающая сила; б) график вынуждающей силы Q*==Q* (f).

Рис. 17.59. К примеру 17.25: а) система с одной степенью свободы и вынуждающая сила; б) график вынуждающей силы Q*==Q* (f).

g = е~" (В】 sin 今"+ 々 cos 分力 +

+ * M 2再 sin a(? - t) dt. о

Первый член выражает закон колебаний с собственной частотой; постоянные Bi и В2 в нем находятся из начальных условий..

Примеры. Пример 17.25. Найти перемещение g(f) конца невесомой консоли при расположении на этом конце сосредоточенной массы

а = т и приложении к нему внешней поперечной силы, изменяющейся во времени по линейному закону (Q* =也/) (рис. 17.59). Начальные условия имеют вид

川.0 = °，川.0==0•

Решение. Воспользуемся решением в форме (17.149); тогда

q = 5 sin со/ + & cos sj + "JJ^ \ 月"sin coc (f — т) dr (17.153)с о

при f a= 0 интеграл в (17.153) обращается в нуль, поэтому начальные условия дают

В? Ж« 0, В1СОс я» 0(В1 » 0).

Таким образом, (17.153) становится таким !)«

qqт (sin сос/ cos сост — cos coj sin сост) dr =т (sin сос/ cos сост — cos coj sin сост) dr =sin coj \ t cos g)ct dr — cos coj \ t sin 8# dt

q

q

т (sin сос/ cos сост — cos coj sin сост) dr =

т (sin сос/ cos сост — cos coj sin сост) dr =

sin шс/ \ x cos x dx — cos coj \ 力 sin % dx

оооо=―；—[sin С0с/ (sj sin sj + cos sj — 1) — COS sj (— sj cos CO J + sin C0c0-

о

о

о

о

Итак, искомое перемещение имеет вид

q = —— (со/ — sin co J) = ―оq—" sin %'•

На рис. 17.60 полученный результат изображен графически; при этом учтено,

что касательная к кривой g = g(f) посколькучто касательная к кривой g = g(f) посколькув начале координат горизонтальна,

что касательная к кривой g = g(f) поскольку

что касательная к кривой g = g(f) поскольку

Пример 17.26. Приняв силу Q*(f) изменяющейся согласно закону, изображенному на рис. 17.61 графически, и в остальном сохраняя условия предыдущего примера, найти функцию g(f).

1) Здесь произведена замена переменной интегрирования, исходя из зависимости (ОсТ = х, вследствие чего т = х/(ос н dt = ск/д, и использованы формулы:

§ х ZQ3 х dx = х sin х + cos х,

\ % sin % d% = — х cos % + sin к.

Решение. Найдем искомое решение как сумму двух решений, пользуясь записью, характерной для метода начальных параметров (см. главу XII, § 12, 13, раздел 3) 山.k

9⑥— 一 I3~ [Sc (/ —力)sin (f — f。)].

Напоминаем, что выражение, расположенное после символа Бубнова (||/0) используется лишь при f》4・ Рассмотрим q при t > 力：

g = —— [sin(oc (/ — /о) 一 sin coj】'琴-0

而仙（一丁）cos^—恤 +万• （17.154）

сколькуИтак,сколькуИтак,При / =力/2 + 几冗，где 拉=0, 1, 2, ..., первый член в (17.154) приобретает амплитудные значения в связи с тем, что cos [шс(2/ — /о)/2] оказывается попеременно равным +1 и —1. Последнему значению соответствует gmax, по

скольку

Итак,

скольку

Итак,

9max =争-sin 鬧+ 々J9max =争-sin 鬧+ 々J(-1) sin (— «^2») = sin »^~ > 0.

9max =争-sin 鬧+ 々J

9max =争-sin 鬧+ 々J

9ст I 1 +9ст I 1 +Если учесть, что kt0 = (Q*)° —сила Q* при f > /0,①^加=с ~ жесткость консоли в отношении прогиба ее конца, (Q*)°/c = д“ 一 статический прогиб под воздействием силы (Q*)0, то

9ст I 1 +

9ст I 1 +

(17.155)(17.155)с2%т » Sc% 丄

(17.155)

(17.155)

«max =飞石 Sin 丁 +«ст

Второй член в скобках характеризует динамическую добавку.

Пример 17.27. Произвести оценку динамической добавки в условиях предыдущего примера.

Решение. Очевидно, что чем меньше k (т. е. чем больше %), тем медленнее нарастает сила Q* с течением времени. Установим, чему равно время 力=%р, при котором динамическая добавка оказывается равной 0,05, т. е. пяти процентам от статического прогиба под воздействием силы (Q*)0. Сформулированное условие выражается следующим тригонометрическим уравнением:

I (sin 等):吟 | = 0,05.(17.156)

На рис. 17.62 показан график функции, находящейся в левой части уравнения (17.156). Все корни последнего, найденные численным методом, помещены в таблицу 17.6. Нас интересует наибольший корень уравнения, т. е.

号-5,6522 n;

отсюда, если учесть, что 2л/(ос = Г (Г ——период свободных колебаний), то

,呼=空型经=5,6522 T.

происходит рост силы, осуществляемый по линейному закону, равен или больше 5,6522 /, где Г ——период свободных колебаний той системы, к которой

1(*供)1

прикладывается сила, то с погрешностью, не превышающей 5%, можно пренебречь динамическим эффектом и считать приложение нагрузки происходящим статически. В противном случае, нагружение следует считать динамическим и в формуле (17.155) для gmax учитывать второй член в скобках, отражающий влияние динамики. Вопрос об оценке влияния этого второго члена рассматривался в работах И. Г. Бубнова, В. Л. Бидермана, Я. Г. Пановко.

Случай г > сос. Наконец, рассмотрим движение при большом сопротивлении (г>о)с)・ Уравнение движения при произвольном законе вынуждающей силы имеет по-прежнему вид (17.150).

Фундаментальная система однородного уравнения, соответствующего (17.150), имеет вид

ИЛИ

随=e一" sh 仅，我 = Ch 饭，

w=巫/，蚤=旦抖，8=“戸F.

Общее решение уравнения (17.150) имеет вид

q = 8修-“ sh 也 + B2e^rt ch 仇 + e~" sh 也、九(f) dt +

+ 0一"』続，/2(/)由，(17.157)

где fi(/) и，2(f) находятся из системы уравнений

Л (/) o'"" sh 也 + /2 (/) с-" ch 仇=0,

力(/) (—re~" sh 8, + c-'^ch^Q +*

+ % (/) (— re-“ sh 例 + 6一“8 ch 仇)==-Q", откуда

厶(/)=(5)e“*chM %(/) = -(書)小粤sh仇•(17.158)

Подставляя (17.158) в (17.157), найдем общее решение уравнения (17.150):/

q = е~" (Bi sh 仆/ + B2 ch 仇)+ 專 \ 广(D(p (т) sh ^ (/ — т) dt.

о

Первый член выражает закон колебаний с собственной частотой; постоянные Bi и В2 в нем находятся из начальных условий.

Использование ряда Фурье. Если вынуждающая сила изменяется во времени по произвольному закону, удовлетворяющему лишь условиям Дирихле!), то функцию /(/), изображающую этот закон, можно разложить в ряд Фурье:

¥ = f (?)匸粤 + ® (⑦ cos /ш/ + Ь, sin /ф/).(17.159)

Здесь коэффициенты Фурье находятся по обычным формулам гт

а； = -у /(/) cos До/ 山，В/ =今卜(/) sin /со/ dt (/= 1, 2,...). оо

I) Отсутствие у функции бесконечных разрывов, называемых разрывами второго рода, и возможность наличия у функции конечного числа (конечных) разрывов (разрывов первого рода).

Величину со = 2л/Т можно назвать основной частотой вынуждающей силы 1).

Если ввести обозначение (az/b) = tg 8/, то выражение, стоящее внутри круглых скобок в (17.159), можно представить так:

Ь/ (tg в； cos /со/ + sin /со/) = (b〃cos &/) (sin До/ cos е； + cos jst sin 8/)= =d/ sin (До/ + в», dj = b//cos e；=瓦/cos arctg (a〃b/)・

Тогда функция f(/) изобразится в следующем виде:

f ⑺=粤 + g 当 sin (/W + 8/)・(17.160)

Такое представление функции f(f) составляет сущность так называемого гармонического анализа. Совпадение частоты любой из гармоник в (17.160) с собственной частотой приводит к резонансу. Практически в ряду удерживается некоторое конечное число членов.

После произведенного представления вынуждающей силы дифференциальное уравнение движения (в частности, колебания) системы с одной степенью свободы приобретает вид

С + 2冶 + 吟д = %/2 + £ dj sin (/о/ + %(17.161)

Частное решение такого неоднородного дифференциального уравнения в силу его линейности представляет собой сумму частных решений, относящихся к каждому из слагаемых в правой части уравнения (т. е. сумму так называемых парциальных частных решений).

Частное решение, соответствующее первому слагаемому в правой части, имеет вид

^ч.Р(о)= ао/®с.

Частное же решение для каждого из остальных слагаемых в правой части, имеющих гармонический закон, было рассмотрено выше (17.126).

Таким образом, частное решение уравнения (17.150) имеет

вид

sin (jsf + 8/ — ф/).

(17.162)

Сдвиг фаз ф/ в каждом из1 слагаемых (17.162) играет роль сдвига фаз (р в (17.126), т. е. определяется по формуле, аналогичной (17.131),

tg W =-"产，》，Ф/ = arctg ”•

吒一(ко)”—

Из (17.162) видно, что если 广=0, то резонанс может наступить при /со =(0с, т. е. число резонансных частот бесконечно велико ——все они кратны основной круговой частоте со. Конкретная система, характеризуемая определенной величиной(ос, теоретически может оказаться в состоянии резонанса в связи с тем, что(0с окажется равным одному из /со, хотя практически обычно оказываются существенными лишь несколько первых резонансов. Если функция f(t) не периодическая, то резонансы условные.

Использование фазовой плоскости для анализа дивжения, в частности, колебаний, системы с одной степенью свободы.

Случай неучета сопротивления. Результаты, относящиеся к колебаниям системы с одной степенью свободы, могут быть интерпретированы на фазовой плоскости (см. раздел 4.3 § 17.2). Рассмотрим собственные колебания системы с одной степенью свободы при отсутствии сопротивления, уравнение которых имеет вид (17.97).

Перейдем от (17.97) к нормальной системе уравнений. Введем обозначение 尤=么 У = «. Тогда вместо уравнения (17.97) будем иметь систему

» 嗓〕(17.163)

Деля (17.163) 1 на (17.163)2, получаем

嘉=—吒小 У dy = — ©2% dx. (17.164)

Интегрируя (17.164), находим и2СО%?6

^-=一 年+ e,炉 + 卞=Q2(02 = 2c/就)，(17.165) или

Рис. 17.63. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы в несопротивляющейся среде (начало координат•— центр).Рис. 17.63. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы в несопротивляющейся среде (начало координат•— центр).уравнениемуравнениемq + 2r q + со 匆=0.q + 2r q + со 匆=0.(17.166)(17.166)

Рис. 17.63. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы в несопротивляющейся среде (начало координат•— центр).

Рис. 17.63. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы в несопротивляющейся среде (начало координат•— центр).

уравнением

уравнением

q + 2r q + со 匆=0.

q + 2r q + со 匆=0.

(17.166)

(17.166)

Полученное уравнение представляет континуум подобных фазовых траекторий, каждая из которых есть эллипс (рис. 17.63). Вытянутость эллипсов характеризуется величиной (Ос. Начало координат в данном случае называется, что уже отмечалось, центром.

Если начальные условия для механической системы таковы, что при / = О

9 = 9° = /,9 = ^° = у\

то движение системы характеризуется движением воображаемой материальной точки в фазовой плоскости по фазовой тра

ектории (эллипсу), проходящей через точку М (%о, %), со скоростью

dtdtU =型="(d%)2 + (也/)2 = dt一

dt

dt

=a/(491(%；“f・

Имея точку М (х0, у о),' можно установить, какая постоянная соответствует ей. Картина на фазовой плоскости позволяет судить и об устойчивости анализируемого движения (незатухающие гармонические колебания). Такое движение устойчиво, так как система,

получив из позиции д = 0,疗=0 возмущение, характеризуемое точкой внутри окружности радиуса 6 и лежащей на эллипсе, полностью расположенном в области с радиусом 8, будет оставаться сколь угодно долго в состоянии, характеризуемом точ-

кой, которая перемещается по этому эллипсу.

Рассмотрим описываемоеРассмотрим описываемое》：2・ Случай учета сопротивления, движение системы с одной степенью свободы,

Рассмотрим описываемое

Рассмотрим описываемое

При г < ©с имеем затухающие собственные колебания, при г > ®в — апериодическое движение. Переходим от (17.166) к нормальной системе уравнений

ОтсюдаОтсюдаf) = — 2ry —喰，

Отсюда

Отсюда

= 一 2r — 6)2 —,dxс у *

или, совершая подстановку

y~zxt

尤 dz + 2 d%

=一2Г一所叁，

приходим к уравнению dx —2 dzdx —z dz

x 公 + 2rz + 峻’ x У + 2rz + 户 + 磯一产 *

Вводя обозначение u = z + rt получаем dxи du .duiif

产+(峻一户j「"2+(峻一产厂(17. 167)

Пусть 厂 V Зс・ Тогда, беря интеграл от обеих частей равенства〔)， получим

ln%=-^ln(〃2 + 8；)+ ±arctg^ + 4"hi。， (17.168)

0；=党一产.

Рис. 17.64. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления (г V %) (начало координат—-устойчивый фокус).Рис. 17.64. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления (г V %) (начало координат—-устойчивый фокус).Постоянную интегрирования для удобства представляем в форме (%) Е С・

Рис. 17.64. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления (г V %) (начало координат—-устойчивый фокус).

Рис. 17.64. Фазовая диаграмма для свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления (г V %) (начало координат—-устойчивый фокус).

Равенство (17.168) представляем в виде

21п % + In (刍 + 2 § 广 + 户 + % —产)=

= ^arctg-^- + lnC. (17.169)

Потенцируя (17.169), получим 货 + 2гху + %2 党=c ехp(鲁 arctg 号子)•

(17.170)

Уравнению (17.170) соответствует спираль (рис. 17.64). Начало координат в данном случае является, как уже отмечалось, устойчивым фокусом. Дви

жение системы — затухающие колебания,——является асимптотически устойчивым. Система, получившая возмущение, вследствие которого и возникли собственные колебания, характеризуется точкой внутри окружности радиуса 6 и лежащей в фазовой плоскости на спирали, перемещаясь по которой она все время будет оставаться внутри окружности радиусом 8. Эта точка движется по спирали со скоростью

О = “,2 + «2

и с течением времени асимптотически приближается к началу координат, которое характеризует положение системы до возмущения.

См.: Рыжик И. М. Таблицы ин гегралов, сумм, рядов и произведений.—М.; Л.: Гостехиздат, 1948, с. 22, № 8 и № 3.

5 А. П. Филин, т. Ill

(17.171)(17.171)гдегдеЕсли г >(Ос, то интегрирование (17.167) даетlnx-~ jln(u2-~^2) + ^yln|-~=4| + 41nC,

(17.171)

(17.171)

где

где

<02 =产一吸.

Потенцируя (17.171), получаем

*+ 2广初+磴%2 = ± q ；聲?訝广.(17.172)

валось, устойчивого узла.валось, устойчивого узла.Уравнению (17.172) на фазовой плоскости соответствует семейство кривых, показанных на рис. 17.65. В начале координат в данном случае лежит точка, носящая название, как уже указы- В данном случае движение системы асимптотически устойчиво. Ход рас- суждений, подтверждающий сказанное, аналогичен предыдущему случаю.

валось, устойчивого узла.

валось, устойчивого узла.

Если во всех рассмотренных случаях нас интересует лишь исследование устойчивости, то достаточно перейти от дифференциального уравнения движения к соответствующей нормальной системе уравнений и по знакам элементов матрицы правых частей этих уравнений в соответствии с указаниями таб-

Рис. 17.65. Фазовая диаграмма для /叫耳 17.2 Сразу уСТЯНОВИТЬ фаКТ свободных колебаний системы с од- УСТОЙЧИВОСТИ ИЛИ НвуСТОЙЧИВОСТИ ной степенью свободы при наличии 丿丿

сопротивления (/• > 曳)(начало ко- ДВИЖвНИЯ СИСТбМЫ.

ординат—устойчивый узел).8. Прохождение системы через

резонанс. В ряде случаев отношение частот вынуждающей силы и свободных колебаний оказывается больше единицы. Такие случаи встречаются, например, если на конструкции установлена машина, имеющая не・ уравновешенную массу с очень большим числом оборотов в минуту. Может оказаться затруднительным добиться того, чтобы Ос значительно превосходило з и, таким образом, система работала бы в дорезонансной зоне при 卩，ненамного большем единицы. Для этого пришлось бы делать конструкцию очень жесткой, и следовательно, тяжелой. Приходится идти на то, чтобы удалиться от резонанса, т. е. от близости (о/зс к единице, за счет создания конструкции с (ос < о. В таких случаях в процессе пуска машины, когда(о увеличивается от нуля, или в процессе останова машины, когда(о уменьшается до нуля, система проходит через резонанс; это состояние оказывается самым тя-

желым в процессе работы системы и его следует изучить. Проход через резонанс не является эквивалентным работе в условиях резонанса, так как в последнем случае со остается величиной постоянной, а в первом ——переменной. Для сравнения представим дифференциальные уравнения колебаний при установившемся и при неустановившемся режимах:

ij + 2rq + 党g = Q° cos (о/ + tp); q + 2rq + 党g = Q° cos [f (/)].

(17.173)

Решение уравнения (17.173)2 связано с некоторыми математическими трудностями вследствие того, что приходится иметь дело с квадратурами, не выражающимися через известные функции. Применение же формул приближенных квадратур затруднено из-за осциллирующего вида подынтегральных функций, проходящих нуль многие десятки или даже сотни раз.

Избежать затруднений удается применением функций комплексной переменной. Такой подход впервые был использован Ф. М. Льюисом 1). В последующих работах вносились некоторые усовершенствования в решение. Не касаясь деталей математических выкладок, поясним характер физических явлений.

Максимум амплитуды колебаний имеет место не в момент совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы, а позже.

Максимальная амплитуда меньше, чем резонансная амплитуда при установившихся колебаниях; при этом как смещение, так и снижение максимума амплитуды тем больше, чем быстрее изменяется частота вынуждающих сил.

Если прохождение через резонанс происходит достаточно быстро и силы сопротивления в системе невелики, то амплитуда колебаний после первого максимума не убывает монотонно, а имеет несколько максимумов меньшей величины.

В работах Ф. М. Льюиса 9 и А. М. Каца) анализируются колебания системы с одной степенью свободы с независимым возбуждением. Дифференциальное уравнение движения имеет вид (17.173)2； предполагается, что

y(/)=亚. (17.174)

Решение дифференциального уравнения (17.173) имеет вид

9 0=_备\ Q%" sin (“吒一产)C - 5 "色

Отыскание конкретного вида функции g(f) оказывается сложной задачей, так как оно, что уже отмечалось, не сводится к использованию табулированных функций (подынтегральное выражение является быстро осциллирующим).

В работе Е. Г. Голоскокова и А. П. Филиппова получено решение уравнения (17.173) при /(/), взятом согласно (17.174); оно выражено через интеграл вероятностей от комплексного аргумента, для которого имеются подробные таблицы. На рис. 17.66

Рис. 17.67. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении через резонанс: / -九=0,4; 11 —区= 0,2； Ill - /г == 0,1; h = 0 и/(2“ё~)— безразмерный параметр, ц,- коэффициент затухания, e—ds/dt—скорость изменения частоты вынуждающей силы q.hP(/)cos з (f);А,° = | А (О 1МСТ —динаРис. 17.67. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении через резонанс: / -九=0,4; 11 —区= 0,2； Ill - /г == 0,1; h = 0 и/(2“ё~)— безразмерный параметр, ц,- коэффициент затухания, e—ds/dt—скорость изменения частоты вынуждающей силы q.hP(/)cos з (f);А,° = | А (О 1МСТ —динаРис. 17.66. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении системы через резонанс: / — коэффициент динамичности при установившемся значении вынуждаю* щей силы, // — коэффициент динамичности при неустановившемся значении вынуждающей силы (f==% 々尸+ 0). Каждая абсцисса точек кривой II относится к своему моменту времени; Л/со^=0,00485; 2г/©с=0,025.Рис. 17.66. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении системы через резонанс: / — коэффициент динамичности при установившемся значении вынуждаю* щей силы, // — коэффициент динамичности при неустановившемся значении вынуждающей силы (f==% 々尸+ 0). Каждая абсцисса точек кривой II относится к своему моменту времени; Л/со^=0,00485; 2г/©с=0,025.мический коэффициент при нестационарных вынужденных колебаниях. 14(/)1 и Лст —динамическая и статическая амплитуды колебаний.

Рис. 17.67. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении через резонанс: / -九=0,4; 11 —区= 0,2； Ill - /г == 0,1; h = 0 и/(2“ё~)— безразмерный параметр, ц,- коэффициент затухания, e—ds/dt—скорость изменения частоты вынуждающей силы q.hP(/)cos з (f);А,° = | А (О 1МСТ —дина

Рис. 17.67. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении через резонанс: / -九=0,4; 11 —区= 0,2； Ill - /г == 0,1; h = 0 и/(2“ё~)— безразмерный параметр, ц,- коэффициент затухания, e—ds/dt—скорость изменения частоты вынуждающей силы q.hP(/)cos з (f);А,° = | А (О 1МСТ —дина

Рис. 17.66. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении системы через резонанс: / — коэффициент динамичности при установившемся значении вынуждаю* щей силы, // — коэффициент динамичности при неустановившемся значении вынуждающей силы (f==% 々尸+ 0). Каждая абсцисса точек кривой II относится к своему моменту времени; Л/со^=0,00485; 2г/©с=0,025.

Рис. 17.66. Графики динамического коэффициента для системы с одной степенью свободы при прохождении системы через резонанс: / — коэффициент динамичности при установившемся значении вынуждаю* щей силы, // — коэффициент динамичности при неустановившемся значении вынуждающей силы (f==% 々尸+ 0). Каждая абсцисса точек кривой II относится к своему моменту времени; Л/со^=0,00485; 2г/©с=0,025.

и 17.67 приведены графики значений динамического коэффициента 卩 при прохождении через резонанс, полученные в работах А. М. Каца, а также Е. Г. Голоскокова и А. П. Филиппова 】)・

На основании анализа графиков значений динамического коэффициента при прохождении через резонанс, А. М. Кац получил простые приближенные зависимости для определения частоты вынуждающей силы (о, при которой наблюдается максимум амплитуд 4тах, И ДЛЯ Определения Ктах：

(0 Q 晚 -2产 土 Л々，

" e(1 + 0,28广 V也)~ 2

Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механических систем. ~ Киев: Наукова думка, 1966.

где знак (+) относится к возрастанию частоты (разгон),(—) к убыванию (замедление);

где Л ——логарифмический декремент колебаний; функция f согласно В. Л. Бидерману 9 зависит от аргумента (1 : “1 + л/2gA2) и может быть определена с помощью таблицы 17.7.

Таблица 17.7

1: “l+n/2qA2

0

0,2

0.4

0,6

0.8

0.9

U0

1,46

1,26

1,13

1,05

1,01

1,00

1,00

Существенным в проблеме прохождения системы через резонанс является способ учета рассеяния энергии. Последний основывается на тех или иных гипотезах.

В работах Ф. М. Льюиса и А. М. Каца учет рассеяния энергии в конструкции основан на использовании гипотезы вязкого трения.

При линейной постановке задачи о прохождении через резонанс предполагается, что изменение частоты вынуждающей силы не зависит от характера колебаний системы.

При учете ограниченной мощности двигателя задача становится нелинейной.

В заключение раздела отметим, что прохождение системы через резонанс является частным случаем нестационарных колебаний деформируемых систем. Разумеется, этот класс задач сложнее задач, относящихся к установившимся динамическим процессам ).

Вынужденные колебания при полигармонической вынуждающей силе. На массу системы с одной степенью свободы могут действовать несколько (N) вынуждающих сил, являющихся следствием наличия независимых источников возбужде-

ния. При этом дифференциальное уравнение вынужденных колебаний приобретает вид

N

q + ^rq + ①蝕=党 4" 2 Q£ cos (s J +(p/・

Это уравнение отличается от уравнения (17.161), полученного путем применения процедуры Фурье, во-первых, тем, что здесь отсутствует в правой части постоянное слагаемое и, во-вторых, тем, что в рассматриваемом здесь случае в каждом из k слагаемых частота ①々 может быть совершенно независимой от остальных, а в (17.161) в каждом из слагаемых частоты разные, но они являются функцией номера:(о/ = /со. Кроме этого, отличие состоит в том, что в (17.161) имеет место ряд (ряд Фурье), а в рассматриваемом здесь случае — сумма стольких слагаемых, каково число независимых вынуждающих сил. Тем не менее с формальной точки зрения структура частного решения рассматриваемого здесь уравнения получается такою же, как и у (17.162) с внесением модификаций, обусловленных отмеченными отличиями сопоставляемых случаев. Итак,

§ 17.7 Линейные колебания системы с несколькимистепенями свободы

Уравнения движения. Уравнения движения систем, указанных в названии параграфа, были получены в § 17.5 ——это уравнения (17.85), или, в матричной форме, — (17.86). Если считать, что вынуждающие силы соответствуют каждой из А обобщенных координат и все они изменяются по гармоническому закону с одной и той же частотой ① и при одном и том же значении начальной фазы <р (моногармоническое вынуждение), т. е. если считать, что, ~

Q* = {Q，Q2 ・・・ Q£} Sin (со/ + ф) == Q° sin (W + qp),

(17.175)(17.175)то уравнение (17.86) приобретает вид

(17.175)

(17.175)

Aq + Bq + Cq = Q° sin (co/ + <p).

Решение уравнения (17.175).

Общее решение однородного уравнения. Вследствие линейности системы дифференциальных уравнений (17.175) общее решение ее складывается из общего решения соответствующей однородной системы

Aq + Bq + Cq==0,(17.176)

и частного решения системы (17.175). Порядок системы (17.175), а следовательно, и (17.176), равен 2也.Общее решение уравнения (17.176), применив подстановку Эйлера, представим в виде q = © …仇｝ = ｛爲…&｝产；q = de". (17.177)

Gu・・・Gi^ll•； G" — 〃“s2 + 九/S + Сц.Ghi …(kkGu・・・Gi^ll•； G" — 〃“s2 + 九/S + Сц.Ghi …(kkDiDiGd == 0; d= •Gd == 0; d= •Подставляя (17.177) в (17.176) и сокращая на е$/, получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Dj

Gu・・・Gi^ll

•； G" — 〃“s2 + 九/S + Сц.

Ghi …(kk

Gu・・・Gi^ll

•； G" — 〃“s2 + 九/S + Сц.

Ghi …(kk

Di

Di

Gd == 0; d= •

Gd == 0; d= •

(17.178)

Условие нетривиальности 1) решения системы (17.178)1 имеет вид

G“ …Gik

=0.=0.(17.179)

=0.

=0.

G/i ... Gkk

Это алгебраическое уравнение степени 2左 относительно s, no скольку Ga выражаются формулой (17.178)4. Поэтому получаем 2也 корней Sa ，九=1,2, ..., 2宜).Поскольку все коэффициенты уравнения (17.179) действительные, все корни этого уравнения, в общем случае, попарно комплексно сопряженные. Разобьем множество индексов 九 корней на два подмножества ——нечетные 九1 = 2/ — 1 и четные 九2 = 2/ (/ = 1,2,...,也).Тогда указанные корни представим так:

S2Z-1,2/ = —「(2/-1, 2/) 士 施⑵-1, 2/)・

В частности, некоторые из корней могут быть вещественными или, наконец, все вещественными. Выражение в скобках следует рассматривать как единый индекс при г или со.

1) Интерес представляет именно нетривиальное решение, поскольку в случае тривиального (D｛ == D2 = ... — Dk — 0) все 勿三 0 (/ == 1, 2,...,内), а это означает, что никаких колебаний не происходит.

После отыскания корней 〔) находим коэффициенты D\> …、Dr из (17.178)1，Для этого поочередно подставляем корни si,.・・,S2尼 в (17.178)ь Каждому корню s入 соответствует своя система коэффициентов О?, ・・・，D^}(九=1, …，2也). Покажем алгоритм

при подстановке корня s^ (九=1, ..., 2々).Уравнение (17.178)1 приобретает вид

G伊・•・@2

G^)d仇)= 0;G 仇)=::; d 仇)=:,(17.180)

Gn=aiisl + bnsK + cir

Поскольку система (17.180)1 однородна, представляется возможным найти не сами D^,・・.,吸\ а А — 1 их отношений:

0仇) —

理川=十；aw={dW...d也} c=i,.・.，々一i；九=1,...，2々).

(17.181)

Для этого преобразуем систему (17.180)1. Во-первых, делим все уравнения (17.180)1 на D^\ в результате чего получаем

G(绢伍)= о； F)= {d也伊・・・d也1}・(17.182)

0仇)= _®⑷)7 g("0仇)= _®⑷)7 g("Во-вторых, отбрасываем любое одно из уравнений системы (17.182) ь например, последнее, и переносим образовавшиеся свободные члены в правую часть уравнения; в результате этого преобразования имеем

0仇)= _®⑷)7 g("

0仇)= _®⑷)7 g("

Отсюда

и, таким образом, учитывая (17.181), получаем

恥=a伍）成）；評=仍竹）國）..・D^

1) Будем предполагать, что все корни уравнения (17.179), называемого характеристическим, простые, т. е. все они разные (нет кратных корней). В случае наличия кратных корней вопрос усложняется. Этот случай рассмотрен в книге Н. Г. Четаева «Устойчивость движения» (М.: Наука, 1965).

Матрица d(x) находится по формуле

Наконец, пользуясь (17.177) з, находим искомое решение:

q 奇收戸=£「(呷 g ⑷ |UV< (17.183)

в состав которого входят 2力 постоянных интегрирования D^ (九=1, ..., 2々),что соответствует порядку системы дифференциальных уравнений (17.176).

__ Множество столбцов d(*) разбивается на два подмножества &仇I)и &仇2). Элементы столбцов, соответствующих комплексно сопряженным корням s猫觞 с индексами 九】=2/—1 и 九2 = 2/ (/=1,2, ..., ft), в свою очередь комплексно сопряжены. Это легко проследить, рассматривая систему с двумя степенями свободы, для которой имеем четыре корня уравнения (17.179):

S] = —■ %, 2) + ‘吗1, 2)» $2 = —「(1, 2)—心(1, 2)，

S3 = - %, 4) + '①(3, 4)， S4 = — ％, 4) 一 心(3. 4)・

В нашем случае каждый из четырех столбцов, d(x), соответствующих корням $入,содержит по одному элементу. Значению / = 1 соответствуюt 成L"=小=dи #f=d尸尸 и значению / = 2 соответствуют (1{^2} — d{\a2} и d^^ = d^2}*. Покажем, что dfi""。и df'E* комплексно сопряжены,

d^ = d(l^ =d尸)=公"=d^ = d(l^ =d尸)=公"=a12s; + '1261 +С12 01科:+ ^llsl + " "12S: + %2s2 +01201区+，1科2 + %a12s; + '1261 +С12 01科:+ ^llsl + " "12S: + %2s2 +01201区+，1科2 + %

d^ = d(l^ =

d尸)=公"=

d^ = d(l^ =

d尸)=公"=

a12s; + '1261 +С12 01科:+ ^llsl + " "12S: + %2s2 +012

01区+，1科2 + %

a12s; + '1261 +С12 01科:+ ^llsl + " "12S: + %2s2 +012

01区+，1科2 + %

После подстановки сюда корней si н s? и выполнения элементарных преобразований получаем комплексно сопряженные величины:

瞄 2)+ "*(阻 2))2+ 3/)2,瞄 2)+ "*(阻 2))2+ 3/)2,dfT* =dfT* =限2)一稲2)WT+U^9限2)一稲2)WT+U^9

瞄 2)+ "*

(阻 2))2+ 3/)2,

瞄 2)+ "*

(阻 2))2+ 3/)2,

dfT* =

dfT* =

限2)一稲2)

WT+U^9

限2)一稲2)

WT+U^9

где

Pfl' 2)н % 1「；1, 2) 一 °11 嗚，2) 一 瓦 1「(1, 2) +

Y., 2) — — 2a［匕］2卅(1, 2) + "llQl, 2)>

P12 2)= a12гa, 2) 一 生2%，2)一42г(1, 2) +0⑵

Y(击 2) = - 2%2厂(1,分①",2) + "2①(1, 2),

Разбиению 九 на подмножества Ai и 九2 соответствует представление q в следующем, вытекающем из (17.183), виде

q= 2 卜研尸状］或)产"+

+2卜(G阿尸仪或炉也

储=2, 42々1

В случае системы с двумя степенями свободы

^1 = I，I £>К(т(1，2)+ 心(1，2))f II》з)е(т(з, 4)+ 必(3,4)) £ +

•+ I D0e(_ ‘"' 2)_ 必(1, 2)) f + I，［о窕(T(3, 4) - 心(3, 4)) f.

Постоянные Q^)(A= 1, 2, 3, 4) находятся из четырех начальных условий: % ко =史 外 |』。 =扑 %］『0 =吟 %仁0 = ^. b общем же случае постоянные D麼 находятся из 2左 начальных условий 力仁0 =伟%1"0 =#0=1，

Однородная система уравнений (17.176) и ее общее решение (17.183) описывают свободные колебания системы с k степенями свободы.

Качественная картина движения, описываемая решением (17.183), зависит от типа корней s2/-i, 2/ (/=1,...,左).

В таблице 17.8 показано, какой характер движения системы - соответствует каждому типу корня 9

Если от показательной формы решения, пользуясь формулами Эйлера, перейти к показательно-тригонометрической, а затем от комбинации синуса и косинуса одного и того же аргумента перейти к одной тригонометрической функции, но ввести при этом начальную фазу, то обнаружится, что каждая из 々 обобщенных координат имеет А слагаемых. Каждое из них представляет собой затухающие колебания, происходящие со своей

знак корня

компонент движения

качественная оценка компо

нента движения

график компонента

знак вещественной

сопряженные компоненты движения

качественная

оценка суммы сопряженных

КОМПО' нентов движения

график сопряженных компонентов движения

-「4> °

少」

движение апериодическое, компонент движения неустой

чив

卜

一Г2/一1,2/>°

成 j)+f) =

= 2e「2ZT；2/)x

X (£/Cos со/ +

+ F. sin co/)

сумма сопряженных компонентов неограни

ченно возрастает

12e-々2，乜2//-乙~X

勿夕2两、

—а = о

力)= zf)

движения нет (смещение постоянное во времени)

0t

—Г2/-1,2/ =。

尚J)+产)=

=2 (Ej cos cof + + F. sin co/)

сумма сопряженных компонентов ограни- чена

J

諸丿A 6

勿

—「* ＜。

沪=

=雪)13

движение апериодическое, компонент движения асимптотически

устойчив

ri]

一3-1.2Z <°

修一)+疗)=

= 2pT(2/-l;2N)乂

X (Е/ COS cof + 卡 F)sin co/)

сумма сопряженных компонентов движения стремится к нулю

⑵⑵)

cos 夕

Комплексные ^чисто мнимые) корни характеристического уравнения

Вещественные корни характеристического уравнения

9 一-7 一 СИСТЕМА С 二 ЕСКОЛЬКММ 二 СТЕПЕНЯМИ свобод-

88

8

8

собственной частотой (力 собственных частот, образующих спектр собственных частот ①(2/—i, 2/) (/ = 1, •••,力);при одноиндексном обозначении частот принимаем следующее условие их нумерации:

/ &吗4…& %)，

со своей начальной фазой и со своим коэффициентом затухания. В случае показательно-тригонометрической формы решения из 2力 начальных условий определяют k амплитудных коэффициентов и А начальных фаз.

Каждый компонент движения системы с А степенями свободы подчиняется зависимостям, аналогичным тем, которые имеют место в движении системы с одной степенью свободы.

Выделяя сопряженные компоненты движения

犷У价2/)(/=i,2, ・・・》),

получаем форму системы, колеблющейся с частотой (o(2z-i, 2/). Если сопротивление отсутствует, весь аппарат упрощается.

В (17.176) матрица В становится нулевой, и уравнение приобретает вид

Aq + Cq = 0.

Частное решение этого уравнения можно представить в виде

q = {2 ・・・ Dk} sin (sj + Фо).

Здесь (Ос — неизвестная еще круговая частота свободных колебаний, Dj ——постоянные интегрирования, имеющие смысл амплитуд колебаний. Выражение G»/ в (17.178)3 упрощается и становится таким:

G” =— 〃收 + Q/,(17.184)

вследствие чего упрощается и уравнение (17.179), приобретая вид

(一 a110C + Ji)…(一a1 成 + C\k)

:：=0.(17.185)

(-”1硅 + %i)…(一 /月域 + ckk)

Это уравнение называется уравнением частот.

Из него находятся k корней (①,口 (®2)2, ..., (°с)л- Можно доказать, что все они являются действительными и положительными.

В остальном все получается аналогичным случаю, когда Ьц 耍 0.

Частное решение неоднородного уравнения (17.175). Частное решение системы (17.175) можно представить в следующем виде (будем рассматривать нерезонансный случай, т. е. будем предполагать, что со2，(喲,)：

Чч. р={%】р …％,q. р} = {С； sin (м+屮一%)…禺 Sin (W+(p—%)},

или

q4. p = {M sin (co/ + qp) + M cos (co/ + 喇…

• • • [乂左 sin ®，+(p)+M cos (W + ср)]},(17.186)

где

M^ = C* cos фу, Nj = — C* sin у(/ — 1,2,...,尼).

Если Mi и Ni известны, то С； и tg фу находятся так:

С； = лИ+阴，tg% = -^・(17.187)

Для отыскания Mj, N/ (/ = 1,...,左) подставим (17.186) в (17.175), в результате чего получим:

（%「％①2）…（県一。1收）III M1（%「％①2）…（県一。1收）III M1sin ®/+qp)+sin ®/+qp)+

（%「％①2）…（県一。1收）III M1

（%「％①2）…（県一。1收）III M1

sin ®/+qp)+

sin ®/+qp)+

COS (со/+ф)=COS (со/+ф)=sin (co/+qp).sin (co/+qp).

COS (со/+ф)=

COS (со/+ф)=

sin (co/+qp).

sin (co/+qp).

卜］］一%卅2）（С^-。^炉）

+ ::

11（%1-%g2）…（0^一%也炉）

Ввиду линейной независимости функций sin (со/+ ср) и cos((o/ + ср) приравниваем выражения, стоящие в левой и правой частях равенств множителями при одинаковых тригономет-

рических функциях; При этом получим две группы по А уравнений, составляющих систему 2左 уравнений:

(41 —%1 ①2) "1 + (°12-"旌8?) "2 + • • • +(e1月一"l^S2) m论-b、曲NI 一

_&2 ①乂2 —…_%Ne = Q?，

(方1 — a21s2) Ml +(C22—^22®2) M2+ • • • +(。2月—a2k^) M^ —匕21sM 1 —

一匕22sV? — • • • 一 矶"论=Q2,

(/ 1 - 4月1 ①2) m1 + (/2 -耿2炉)m2 ++ (/月-"做①3 Mk -

-%M -…—兀% = Q^；

仇 1(дМ1 + 仇 2sM2 + ••• + 仇给此 + (c“ 一ПцСО2) N1 +

+(C12 — “12①2)从2 + • • • + (娱—〃[g2) M = 0, 力2i(dAf[ + 力22sM2 + ・• • + 历尼⑦”月 + (°21 — “218?) ^ 1 +

+(C22 一 "2282) 必 ++ (e2论-"2论S2) 2论=0,

bk}^M\ + b^M2 + … + bkk^Mk + (ck[ — ak^) N1 +

+ (/2 - "短炉)m + • • • + (%也一Clkk(i^) 2尼=0.

Расположим эти уравнения и члены внутри каждого уравнения в такой последовательности:

п + 1; 2, п + 2; 3, п + 3; ...; п, 2п.

Тогда в матричной форме система приобретет вид

гдеч=|\Г .:：;；!• -1^1' ^|：?||-

Определитель матрицы L не обращается в нуль ни при каких значениях s=#(sc)» и, следовательно, система (17.188) относительно Mi и Nj (/ = 1, ..., k) имеет единственное ненулевое решение.

После отыскания Mj, N, (/ = 1, ..., k) по формуле (17.187) находим С* (/ = 1,...,左)и, наконец, определяем динамические коэффициенты ц； (/ = 1,...,力)по формуле

卩/=c；/力,ст 0=1,…，粉，

где 9/, ст —значение обобщенной координаты 刀，которое она приобрела бы при статическом приложении Q? (i= L ・•・,4) амплитудных значений вынуждающих сил

Здесь 6〃一перемещение по адресу обобщенной координаты д, при статическом действии на систему силы, равной единице и энергетически соответствующей обобщенной координате 〃.

В результате деления С/ на 夕九 ст получается дробь. Может быть А вариантов ее представления:

尸 ① с，)

卩宀2工叭30, *1，2,・・・，就 (17.189)

Соответственно график функции 同 может быть отнесен к й шкалам на оси абсцисс (а/ =(о/о)с/, Z = 1, ..., А). В (17.189) Рщ и 尸2〃一некоторые функции от ①/①加 Ниже на примере системы с двумя степенями свободы этот вопрос подробно обсужден.

При равенстве частот со и сос/ в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает А резонансов. Каждый из 々 динамических коэффициентов имеет & областей возрастания значений ц/. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для ц/ и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории).

Если в нуль обращается числитель дроби (17.189), то в системе возникает антирезонанс — система колеблется при нулевом значении обобщенной координаты 力 в течение всего процесса колебаний.

Если сопротивление не учитывается (匕〃• = ()), частное решение можно представить в виде

qq.p = {%,q.p ・・・％,“}'孙宀 p = C；sin(W +(p)・(17.190)

Подставляя (17.190) в (17.175) при учете, что в G〃 (17.178)4 by = 0, и сокращая все члены каждого полученного уравнения

на sin(©Z + ф), получаем неоднородную систему браичсских уравнений относительно С；:

линейных алге*

II (с11 ~ «И®2) •••

* 一。1 浦)

(ckk — akk^)

С；

=

Q?

・(17.191)

Определитель квадратной

матрицы в

(17.191)

обращается в

нуль при совпадении величины со с любой из й собственных частот колебаний(о, (i= 1,2, •・.,k)——возникает резонанс. (При

наличии сопротивления имеют место максимумы в величине динамического коэффициента в окрестности значений (о/(о, близких к единице). Формулы динамических коэффициентов для системы с двумя степенями свободы показаны в разделе 5 настоящего параграфа в примере 17.29. В случае систем с большим числом степеней свободы структура формул аналогична.

Главные координаты. Выше говорилось (§ 17.2, раздел 1.2), что выбор k параметров ⑦,...,夕月，т. е. обобщенных координат, является операцией вариантной. От любой системы обобщенных координат %, ..., qk можно перейти к так называемым главным координатам qi, ..., q左，которым соответствует представление кинетической и потенциальной энергий системы в виде линейных комбинаций квадратов соответственно 小 и 卅：

kk

7= ^2 喻’U = i~2c№・i == 1/ — 1

Уравнения движения при использовании главных обобщенных координат существенно упрощаются и становятся такими:

k .

哈/+ X %% + qq尸Q? sin (со/+ ф) 〃=1, ・・•，期.(17.192) /ei

Если сопротивление не учитывается, т. е. В订=0 (i, / = 1,.. ...,力),то система дифференциальных уравнений (17.192) и, в частности, однородная система, соответствующая (17.192), распадается на независимые дифференциальные уравнения

%力 +с凡=0(Z= 1, ...» 々)，

или

q. + ®2qz = 0,7=“％/% (z = 1,...,尼).(17.193)

Уравнение (17.193) аналогично уравнению (17.97), справедливому для системы с одной степенью свободы.

В матричной форме система уравнений (17.193) дующий вид:В матричной форме система уравнений (17.193) дующий вид:G + Qq = О；G + Qq = О；имеет сле-0имеет сле-0

В матричной форме система уравнений (17.193) дующий вид:

В матричной форме система уравнений (17.193) дующий вид:

G + Qq = О；

G + Qq = О；

имеет сле-

0

имеет сле-

0

Заметим, что, как и должно быть, при переходе от произвольной системы обобщенных координат к главным спектр частот не изменяется.

Переход от q = ｛^i ・• • ”｝ к q = ｛俏 … 仇｝ выполняется в процессе одновременного приведения двух квадратичных форм Т и U к линейной комбинации квадратов соответственно обобщенных скоростей и обобщенных координат. Таким образом, все сводится к отысканию такой матрицы S, которая привела бы одновременно матрицы

Ai…%%

： и

ak\ ••• akk II气1 …ckk

квадратичных форм Т и U

2T=2 2&jZ =『Ad，2U=X E c.qiqi = qzCq (17.194)

к диагональному виду.

Требования, предъявляемые к матрице S, характеризуются следующими зависимостями:

Матрицу S получаем как произведение трех матриц, каждая из которых осуществляет последовательное преобразование одного вектора обобщенных координат в другой. Эти последовательные преобразования имеют вид

q = И/р, р = 91г, г = Л尸q； P = ｛Pi ••• %｝， ｛厂i •••厶｝・

Таким образом,

q = ttdatFq = S% q = S-q, S = U^Uf. (17.195)

Задача сводится к получению и обращению матрицы S. Итак, получение матрицы связано с тремя преобразованиями вектора обобщенных координат.

В первом преобразовании матрица Па является фундаментальной для матрицы А.

Приведем краткую справку, необходимую для понимания природы мат・ рицы На ——фундаментальной для матрицы А,

Вектор х, преобразуемый матрицей А в коллинеарный ему вектор Хх, называется собственным вектором матрицы А

Ах = Ах.

Число X называется собственным или характеристическим числом матрицы А, соответствующим собственному вектору х. Всякая квадратная матрица имеет хотя бы один собственный вектор. Характеристическое число является корнем характеристического уравнения

(17.196)(17.196)

(17.196)

(17.196)

Определитель, находящийся в левой части этого равенства, называется характеристическим. Не все корни уравнения (17.196) обязательно различны. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

/ Если матрица А ——九Е имеет дефект do, то собственному числу % соответствует do линейно независимых собственных векторов.

Если Xi,入2, ..., Хр ——различные между собой собственные числа и матрицы А —九 1Е, А — ^E, …，А —入рЕ имеют соответственно дефекты 山，心,... ...,dp, то всего имеется d【+ d? + ... + dp линейно независимых собственных векторов; такая система векторов называется полной.

Если число линейно независимых собственных векторов матрицы равно ее порядку k, то говорят, что матрица имеет простую структуру. В этом случае дефект матрицы А — Х/Е равен кратности т； соответствующего собственного числа %/, т. е. d] = т/.

Если матрица А ——простой структуры и имеет место приводимая ниже схема соответствия собственных векторов и1, ... ,#* полной системы соответствующим собственным числам ■

ТОТОа” —入а12•• • a\k021。22 一%,* * a2k県2• •• akk -'а” —入а12•• • a\k021。22 一%,* * a2k県2• •• akk -'=（% 一 九）（入2 一 入）• • •（% -九）=（% 一 九）（入2 一 入）• • •（% -九）и, представляя векторы Uz в формеи, представляя векторы Uz в формепипиuuuu

ТО

ТО

а” —入

а12•

• • a\k

021

。22 一%,

* * a2k

県2• •

• akk -'

а” —入

а12•

• • a\k

021

。22 一%,

* * a2k

県2• •

• akk -'

=（% 一 九）（入2 一 入）• • •（% -九）

=（% 一 九）（入2 一 入）• • •（% -九）

и, представляя векторы Uz в форме

и, представляя векторы Uz в форме

пи

пи

uu

uu

приходим к понятию фундаментальной матрицы II И11 ••• uu

линейно независимы,линейно независимы,матрицы А.

линейно независимы,

линейно независимы,

Так как в фундаментальной матрице столбцы

D (tt)耍 0.

Равенство

в координатной записи выглядит так:

2 ait^ni =九产订 亿 / = 1, 2, %=12 ait^ni =九产订 亿 / = 1, 2, %=1Всего имеется k2 таких равенств, которые в матричной форме представляются так:Всего имеется k2 таких равенств, которые в матричной форме представляются так:k

2 ait^ni =九产订 亿 / = 1, 2, %=1

2 ait^ni =九产订 亿 / = 1, 2, %=1

Всего имеется k2 таких равенств, которые в матричной форме представляются так:

Всего имеется k2 таких равенств, которые в матричной форме представляются так:

• • •,々).

или

All = НА

Отсюда

А = ПАПТ, ti7Alt = A,(17.197)

т. е. фундаментальная матрица It преобразует матрицу А простой структуры в диагональную матрицу А. Справедливо и обратное утверждение: если матрицу А можно представить в форме (17.197：」 или, если справедливо равенство (17.197)2, то матрица tt является фундаМнтальной матрицей матрицы А, а элементы диагональной матрицы А ——собственные числа матрицы А. Формула (17.197) I характеризует матрицу простой структуры.

Фундаментальная матрица является ортогональной, т. е.

tt U = E, П

Итак, в первом преобразовании (17.195)

q = %p, q = %P； q' = P'吗，q』p，吗•(17.198) Подставляя (17.198) в (17.194), получим

27 = р ^Аилр = pzAp; 2U = /ПдС^р, (17.199) т. е. в результате первого преобразования матрица квадратич* ной формы Т стала диагональной:

1 О

ч

Второе преобразование, осуществляемое при помощи матрн^ цы 91, имеет целью сделать матрицу квадратичной формы Т единичной, т. е.

^ЛЭТ = Е.

Для того чтобы это преобразование могло быть выполнено, мат* рица 貌 должна иметь вид

I(17.200)

Р = ^г,6 =猊¥；p^r^； У = У*;

подставляя p, p‘, p и p，согласно (17.200) в (17.199), получим 2T = г,91,Л9?г = lEr = У г = 2 г?»

2U = У 婚吗 С% 猊 г = гТг; F = 9rlЦСПа沮 (17.201)

В результате второго преобразования первую квадратичную форму (Т) привели к сумме квадратов. Остается выполнить третье преобразование, которое привело бы матрицу второй квадратичной формы (U) к диагональному виду, не нарушив вида матрицы первой квадратичной формы. С этой целью используем в качестве матрицы преобразования 11尸—фундаментальную матрицу матрицы F, т. е.

tt；FttF = N.

Матрица N — диагональная:

固一собственные числа матрицы F,

г = ttF<T， г = П 尸 С； r' = q'吗，r'=『吗.(17.202)

Подставляя (17.202) в (17.201), получим

27 =『％%« = 4“ = 2 命2U =彳吗F/q = «Nq.

Здесь учтено свойство ортогональности фундаментальной матрицы, вследствие чего

ufuf = e.

Итак, матрицы 11л,猊，It尸，входящие в формулу (17.195) 2 для S, получены и переход от q к q по формуле (17.195)1 совершен.

Переход от произвольной системы обобщенных координат 91, ..., qk к главным qi,・•・,q^ является операцией не менее трудоемкой, чем решение проблемы при помощи исходной системы обобщенных координат.

Вследствие сказанного, использовать главные координаты целесообразно лишь в тех случаях, когда их отыскание может быть выполнено не по общему алгоритму, приведенному выше, а упрощенно на основе тех или иных структурных особенностей исходных матриц.

Ортогональность собственных векторов. Кроме собственных амплитудных векторов смещении q; ， , введем в рассмотрение амплитудные «инерционный» и «упругий» собственные векторы

$/ = aQ/ и 〃 = с4〃

представляющие собой соответственно векторы амплитуд сил инерции и упругих сил при рассматриваемом колебании. Можно доказать существование двух следующих равенств:

(qi，Q/) = °， (Qj，X/) = 0・ (17.203)

Равенство нулю скалярных произведений свидетельствует об ортогональности векторов q» и《/, а также векторов q； и %/. С другой стороны, очевидна энергетическая природа этих равенств. Векторы《/ и х/ являются силами (соответственно инерционной и упругой), a q» — перемещение. Равенства (17.203) свидетельствуют о том, что работа каждой из сил ——инерционной или упругой, энергетически соответствующих /-й обобщенной координате на перемещениях, им соответствующих и обусловленных i-й обобщенной координатой (；=#/), равна нулю.

Частный случай. Система с двумя степенями свободы.

Предварительные замечания. Настоящий раздел имеет целью проиллюстрировать изложенную выше общую теорию колебаний систем с А степенями свободы на примерах, в которых рассматривается система с двумя степенями свободы. После ознакомления с этими примерами читателю нетрудно будет самостоятельно выполнить расчет системы и с большим числом степеней свободы. Поскольку неучет сопротивления при колебаниях практически не препятствует обнаружению всех основных особенностей явления, но вместе с тем упрощает вы

кладки, приводимые ниже, обсуждение выполнено в условиях пренебрежения сопротивлением. Все приводимые в настоящем разделе примеры относятся к одной и той же механической системе (рис. 17.68). Это позволяет производить сопоставительный анализ получаемых результатов.

7^77^7Рис. 17.68. к примерам 17.28-17 33. Система с двумя степенями свободы.Рис. 17.68. к примерам 17.28-17 33. Система с двумя степенями свободы.Для того чтобы читателю легче было представить, что ожидает его при ознакомлении с настоящим разделом, поясним содержание приводимых ниже примеров, отметив предварительно,

7^7

7^7

Рис. 17.68. к примерам 17.28-17 33. Система с двумя степенями свободы.

Рис. 17.68. к примерам 17.28-17 33. Система с двумя степенями свободы.

Рис. 17.69. К примеру 17.29. Вынуждаю-щие силы, действующие на системус двумя степенями свободы.

что применительно к исследуемой механической системе используется шесть вариантов обобщенных координат. Соответствующая информация приведена в таблице 17.9.

В примере 17.28 при использовании первого варианта обобщенных координат на основе уравнений Лагранжа второго рода составляются дифференциальные уравнения движения (колебаний) и находятся собственные частоты и формы свободных колебаний.

В примере 17.29 исследуются вынужденные колебания той же системы при моногармоническом возмущении (рис. 17.69) с построением графиков динамических коэффициентов. В этом же примере попутно обсуждаются антирезонанс и виброгасители.

В примере 17.30 (17.31) при использовании первого варианта обобщенных координат находятся дифференциальные уравнения колебаний прямым (обратным) способом и дается сопоставление их с уравнениями, полученными на основе уравнений Лагранжа второго рода. Здесь же показывается инвариантность частотного уравнения по отношению к способу вывода уравнений.

В примере 17.32 дается трактовка дифференциальных уравнений колебаний как уравнений для эквивалентной цепной системы.

В примере 17.33 в компактной форме обсуждаются варианты динамического расчета системы при использовании пяти остальных вариантов систем обобщенных координат.

В примерах содержатся положения, углубляющие информацию, относящуюся к общей теории колебаний систем с А степенями свободы.

В связи с тем, что основное содержание примеров здесь уже пояснено, ниже приводятся лишь номера примеров и задания их условий не даются.

Таблица 17.9

МеханическаясистемаМеханическаясистемаBlrodsdu xss ^^Bsrf.^oo« хпннотпдодо WZOHJZIHPUdBBBlrodsdu xss ^^Bsrf.^oo« хпннотпдодо WZOHJZIHPUdBBон 工JtDhsIEnoHHHон 工JtDhsIEnoHHHolqOQolrHoolqOQolrHoolqHHPrnCDwoolqHHPrnCDwoOZHqlfBHnOZHqlfBHn6666PMPM5P5PФ为Ф为ПримечанияПримечания屮г — угол поворота оси балки как жесткого целого (без деформации балки),県—доля прогиба, обусловленная деформацией балки屮г — угол поворота оси балки как жесткого целого (без деформации балки),県—доля прогиба, обусловленная деформацией балкиМ — изгибающий момент в балке в сечении расположения массы 能 1,Р — усилие в пружине (в упруго-просе- дающей опоре)М — изгибающий момент в балке в сечении расположения массы 能 1,Р — усилие в пружине (в упруго-просе- дающей опоре)ф — скорость изменения угла ф,5 — скорость изменения просадки опоры U2ф — скорость изменения угла ф,5 — скорость изменения просадки опоры U2

Механическаясистема

Механическаясистема

Blrodsdu xss ^^Bsrf.^oo« хпннотпдодо WZOHJZIHPUdBB

Blrodsdu xss ^^Bsrf.^oo« хпннотпдодо WZOHJZIHPUdBB

он 工JtDhsIEnoHHH

он 工JtDhsIEnoHHH

olqOQolrHo

olqOQolrHo

olqHHPrnCDwo

olqHHPrnCDwo

OZHqlfBHn

OZHqlfBHn

6

6

6

6

PM

PM

5P

5P

Ф为

Ф为

Примечания

Примечания

屮г — угол поворота оси балки как жесткого целого (без деформации балки),

県—доля прогиба, обусловленная деформацией балки

屮г — угол поворота оси балки как жесткого целого (без деформации балки),

県—доля прогиба, обусловленная деформацией балки

М — изгибающий момент в балке в сечении расположения массы 能 1,

Р — усилие в пружине (в упруго-просе- дающей опоре)

М — изгибающий момент в балке в сечении расположения массы 能 1,

Р — усилие в пружине (в упруго-просе- дающей опоре)

ф — скорость изменения угла ф,

5 — скорость изменения просадки опоры U2

ф — скорость изменения угла ф,

5 — скорость изменения просадки опоры U2

Приведем таблицу 17.10 с уравнениями колебаний в матричной форме при получении их различными способами и покажем в этой таблице индексацию матриц, используемую в приводимых ниже примерах. Уравнения Лагранжа второго рода, учитывая, что сопротивление колебаниям принимается равным нулю, прцт обретают вид

Таблица 17.10

Способ получения уравнений

Вид уравнений

из уравнений Лагранжа 2-го рода

прямой способ

обратный способ

Примечание. Bi зуется индекс — номер г в соответствии с таблице!

Aq + Cq = Q*

A-1Aq +A~1Cq = A*"JQ* или, иначе,—

Eq + Cq = Q*； C = A~!C； Q* = A-IQ*

C~1Aq + C~1Cq = C-IQ* или,_Р1наче,_ __

Aq + Eq == Q*-反二匸一认；Q* = C~1Q*

гексте в обозначениях матриц А и С исполь- гринятого варианта обобщенных координат 1 17.9.

Вынуждающие силы при помощи матрицы Q： выражаются следующим образом:

Q* =Q* =

Q* =

Q* =

Примеры. Пример 17.28* (условия см. в разделе 5.1 настоящего параграфа).

Решение. Составим формулы для кинетической (Т) и потенциальной (67) энергий, соответственно выразив их через обобщенные скорости 仇=5,仇=02 и через обобщенные координаты q、= s, q2 = v2 (см. таблицу 17.9, вариант 1)

7= -^优]6； + ^团2碌c£ + ^^^(s^).(17.204)

За уровень отсчета U принимается недеформированное равновесное состояние. Деформацию системы (рис. 17.70, а) представим состоящей из двух слагаемых. Первое слагаемое деформации состоит в следующем (рис. 17.70,6)— балка не деформируется и как жесткое целое поворачивается; правая упругая опора проседает на и?, и в ней как в пружине накапливается энергия, равная

(%)•0。2，02 =(%) e够

Здесь коэффициент V2 взят потому, что зависимость между силой и перемещением линейная (рассматриваются малые перемещения) и потенциальная энергия, численно равная работе силы, выражается площадью треугольника произведения силы и перемещения), с — жесткость опоры (т. е. сила, которую нужно приложить к опоре, чтобы она получила просадку, равную единице (см. рис. 17.70, б)).

Тогда CV2 ——это сила, необходимая для того, чтобы опора просела на 。2・ Сила cv2 производит работу на перемещении S, равную (/卜吁方.Именно Этой работе и равна потенциальная энергия, накопленная в системе и соответ*

ствующая первому слагаемому деформации (первое слагаемое в формуле (17.204)2).

Второе слагаемое деформации системы состоит в следующем (рис. 17.70, г)——правая опора не получает дополнительной просадки, но изги- • бается балка. Стрела прогиба посредине пролета, вызванная ее изгибом, равна S — Уг/2. Жесткость балки в отношении ее прогиба посредине пролета (по адресу обобщенной координаты s), т. е. та сила, которую нужно приложить к балке посре

дине пролета, чтобы прогиб равнялся единице, равна 6Е///3 (см. рис. 17.70, d). Предполагается, что просадки правой опоры при этом нет. Для того чтобы прогиб

посредине пролета оказался равным

Vi —後/2, нужно приложить силу посреди-не пролета, равную ^ (s一号)• Эта

сила на перемещении s — и2/2, ей соответствующем, производит работу, равную

Именно этой работе и равна потенциальная энергия, накопленная в системе (в балке) и соответствующая второму слагаемому деформации (второе слагаемое в формуле (17.204) г).

Возьмем производные от Т и U, входящие в дифференциальные уравнения Ла

гранжа, дТ дТдТ дТ .

d ( дТ \ d ( дТ \“

■(卷""母(設

дТ дТ _ дТ дТ

dU dU 6Е/ / 力、dU

丽丿；丽=

^告"通+粵e-登乂一以

Рис. 17.70. К примеру 17.28: а) система с двумя степенями свободы и обобщенные координаты; б) первое слагаемое деформации системы; в) к определению жесткости упруго проседающей опоры; 2)присоединение слагаемого деформации; О) к определению жесткости балки в отношении прогиба посредине пролета.

Уравнения Лагранжа с учетом найденных производных приобретают вид

色山 + 号'(6长^)=P] sin со/,

加2 力 2 +e02 +

^^(5 - "У") (-4) = " S山矶

н/п, в матричной форме, 6£7_ 3£7^ II

I* Ml图+ % 仆 Til 1：；Н2；М，’ ”2。5)

или (второй индекс у А и С — номер варианта обобщенных координат)А], 14 + С], n = Q],(А】炉 + С】1) Ч = Qr

Уравнение для определения собственных частот (17.185) имеет вид

22

С"一01网e12一 "12 稣

22

021一"21% С22一a22%

здесь Ci, — элементы матрицы С, а “〃 一 матрицы А. В развернутой форме это уравнение имеет вид

("11。22 - "12a21)8: - (。11022 +a22cli 一 "21%2 -旬2c21) 0c + q传22 一 S2c21 = 0，

или, учитывая выражения для а^ и с〃 согласно приведенным в (17.205) матрицам А и С, получим, после деления всех членов на mim2,

3 Е/ 优 1 + 4优2 ] 2 I 6Е/с2 /3 mim2 丿"с 十 gm?*3 Е/ 优 1 + 4优2 ] 2 I 6Е/с2 /3 mim2 丿"с 十 gm?*0.0.(17.206)(17.206)

3 Е/ 优 1 + 4优2 ] 2 I 6Е/с

2 /3 mim2 丿"с 十 gm?*

3 Е/ 优 1 + 4优2 ] 2 I 6Е/с

2 /3 mim2 丿"с 十 gm?*

0.

0.

(17.206)

(17.206)

Учитывая сложность выражений коэффициентов в полученном частотном уравнении, для того чтобы продолжать решение задачи, можно было бы величинам mb 能2,厶 & EI придать конкретные численные значения. Однако предпочтительнее свести эту конкретизацию к минимуму, задавшись, например, лишь таким отношением жесткостей (с——упруго проседающей правой опоры и 6£///3 — балки в отношение прогиба посредине пролета), при котором выражения коэффициентов в частотном уравнении и его корней упрощаются настолько, что дальнейшие выкладки окажется возможным выполнять в общем виде (разумеется, в рамках принятого отношения жесткостей).

Примем указанное выше отношение жесткостей равным следующему выражению (механическое объяснение этому выбору дается в примере 17.32)

謂7TL Т，Т・(17.207)

Подставляя в (17.206) вместо с и Ш] их выражения согласно (17.207)】 получим

4 ЗЕ/ 3 + B 29Е2/2 2 + В

Решая это уравнение относительно 唸 найдем

2、_且 e/ 3 + В = 3 旦 1 + B〈 с丿 1,2— 2 7r "^-干万 /3

При индексации корней (1,2) учтено обычно принимаемое условие, что номера собственных частот возрастают с увеличением значений самих частот,

/ 9ч 3£7/ 2\3£/ 2 + В

(17.208)(17.208)3)=e (喰

(17.208)

(17.208)

ОтсюдаОтсюда

Отсюда

Отсюда

/~ЗЕГ/ ЗЕ/ (2 + В)

①L V晒，Sc2= V —^-；

отрицательные корни не удовлетворяют условию задачи.

Переходим к определению форм свободных колебаний. Для этого полученные выражения для coci и соС2 поочередно подставим в уравнение (17.178)! с учетом того, что, поскольку сопротивлением пренебрежено, 0〃 в (17.178)1 берутся согласно (17.184). Итак, подставляя (®с)1 в (17.184), а затем —найденные G” в (17.178)ь получим (выражения для а“ и с〃 взяты из формулы (17.205), в которой они входят в состав матриц Ai, i и Ci, ： соответственно; первый индекс у Л и С ——номер способа получения уравнений)

GW。%)十 G眼吧=0, G§mf)+ 咽叫=0, где

/ 2、6£/3£/ ЗЕ/

-①т\ 而^ == 〃，

с12 = с% — “12 (磯)1 = 一=— 〃，

G2?C21 — “21 (°С)1 = 一=— 〃，

G22c22 — “22 (峻)1 = c+ у 界—ш2 ^^ =

Z3 4§ T 2 /з /зр /зр I 2 十 2 丿 /3 以

Аналогично, подставляя (s^)2 в (17.184), а затем найденные G；?——в (17.178)р получаем:

G散У)+ G後质2) = 0,G^D^4 啕呢=0;

где

С⑵/ 2\6Е/ ЗЕ/ (2 + Р) 3£7 а а

GH С11 — а11 (®с)2 = -рт\ 际=/Г~ В = — 呻，

С12 =012 - a12(оC)2 = 一 军"=一"，

閒)=Qi - «21 (®с)2 = — * = —〃，

Z2)/! ЗЕ/ 357(2+6)3£/〃

G% = с22 一 “22 (%)2 = с + -^ — m2 p^；= — -^"= 一 万，

Системы уравнений относительно постоянных интегрирования Z)^,。空)，D^\ 國)приобретают вид

"Qf)一 4國)=0, - upD^ - 〃或)《= 0,

一 "* + uD^ = 0; 一 "/)f£_ 成)н0.

%可+殄6)%可+殄6)Рис. 17.71. К примеру 17.28. Отношение значений обобщенных координат в первой и второй формах свободных колебаний.Рис. 17.71. К примеру 17.28. Отношение значений обобщенных координат в первой и второй формах свободных колебаний.Рис. 17.72. К примеру 17.29: а) определение 612 и 必；6) определение hi и “J 8)определение 6» ди «=•Рис. 17.72. К примеру 17.29: а) определение 612 и 必；6) определение hi и “J 8)определение 6» ди «=•;1図噸I;1図噸I(17.209)(17.209)

%可+殄

6)

%可+殄

6)

Рис. 17.71. К примеру 17.28. Отношение значений обобщенных координат в первой и второй формах свободных колебаний.

Рис. 17.71. К примеру 17.28. Отношение значений обобщенных координат в первой и второй формах свободных колебаний.

Рис. 17.72. К примеру 17.29: а) определение 612 и 必；6) определение hi и “J 8)определение 6» ди «=•

Рис. 17.72. К примеру 17.29: а) определение 612 и 必；6) определение hi и “J 8)определение 6» ди «=•

;1図噸I

;1図噸I

(17.209)

(17.209)

Поскольку системы уравнений однородны, решение находим не для самих коэффициентов О, а для их отношений. С этой целью делим уравнения первой системы на D^\ а второй — на £>g)и вводим обозначения

d^ = D^\ 42)=雪/國).

В результате указанного деления и после очевидных преобразований получаем 41)- 1 = 0, 阿俨 + 1 = 0,

-d? + 1=0;М『)+ 1= 0.

Разумеется, в каждой из систем оба чается в форме

亦)=叫増=1,df)=呢/磴=_善.

Найденные значения d£) и d『)показывают отношение значений обобщен-

ных координат соответственно в первой и во второй формах свободных колебаний. Этот результат изображен на рис. 17.71.

Пример 17.29 (условия смотрите в разделе 5.1 настоящего параграфа).

Решение. Для определения амплитудных значений обобщенных координат при вынужденных колебаниях, исходя из (17.191), имеем уравнение

9 Если бы рассматривалась механическая система с k степенями свободы, то в каждую из алгебраических систем уравнений для отыскания d，'> входили бы по k уравнений, при этом независимых было бы k ——1 уравне・ ний, и использовать следовало бы любые k ——1 уравнений из k.

Решая его, находим

С； в [匕(°22 — “22①2) —「2 ®2 — а12®2)] [(^11^22 — 32c21)—

(17.210)(17.210)一(a11С22 + "22cli 一 "21012 一 "12c21) ®2 + (a11"22 一 "12a21)®4]~ \

(17.210)

(17.210)

Q = [。2 Gil — all®2)—々(。21 — a21°2)] [(cllc22 — J2c21) —

-(011022 -022011 -a21cl2 -a12c21)①2 + ("11"22 - 012a21) tt^T.

Динамические коэффициенты соответственно выражаются формулами

&С2&С2(17.211)(17.211)

&С2

&С2

(17.211)

(17.211)

Здесь th, ст и и?, ст ——значения обобщенных координат при статическом действии на систему сил Pi и Р2- Эти величины находятся по следующим формулам:

S, ст = Р1611 + Р2612，^2, ст к ^ 1^21 + ^2^22*(17.212)

Величины дп, 612 = 621, 622 определяются по формулам

仇尸去 + 备^，612 = °21 = £, °22 = ；,(17.213)

происхождение которых становится очевидным при рассмотрении рис. 17.72. При использовании формул (17.210) учитываются формулы для Аь i и Ci, 1 в (17.205), а также формула для с, вытекающая из (17.207), и формулы (17.208) для (啕1 и 3,2・ Имея в виду все отмеченное, получаем

Д11 ==加卜“22 ==加2，。12 ==s “21 ―- 0，(17.214)

С" = *^ = 2 (®с)1 т1 = *^У (喲2，

С12 = С21 =—岑=—(磯)1 团1 =—(®с)2> 丁产(17.215)

.=(»c)1^(^+l) = (^)l22iVael^^

S(/3 4B /3、卜巳 1/34g=自(1 + 0)+尸20

“・6Е/ 2+B6Е/丿 2 2 6Е/ 2+p 能1(2+P)J

S T 2哪/340?0 + 2%В("・216)

2 • 6Е/ (2 + ₽)6Е/ (2 + B) % (磴％

При выводе формул для и】ст и о2, ст использованы формулы (17.212), (17.213) и (17.207).

Наконец, подставляя (17.210) (с учетом (17.214) и (17.215)) и (17.216) в (17.211), после выполнения элементарных выкладок получаем

1 •р®2

1P(2 + B)炉

"片(1 + b)一匕6 (磽)1.

—片(1 + B)+ &B (磯％

卩1

3 + Р0)21g4

2 + P (响 J 2 +В (廟

…+%);+』硝г

1(2 + 日)Р2 炉

片+2P2 (够)1_

一匕+2Р2 (W)2

"2 =

3 + P ®211&4

1 — (3 + Р)+ (2 + ₽)♦

(曬)2(®с)2

2 + B » 1 2 + P (啾

Аналогично для системы с k степенями свободы определяют k коэффициентов динамичности.

На рис. 17.73 показаны графики динамических коэффициентов при трех разных значениях р (2, 1, V2) и в рамках каждого из этих значений ——при трех отношениях P\R (2, 1, %). По оси абсцисс отложены две шкалы (0/((0с)1 И (0/(0)с)2・

На рис. 17.73, а, показана кривая, являющаяся одновременно графиком динамических коэффициентов 山 и |л2 как функций аь Такой график остается неизменным в случае, если 0 и Pi/P2 имеют одинаковые значения. В нашем случае 2, 1; 1 /2. Этот график показывает, что при наличии отмеченных равенств система имеет один резонанс, несмотря на то, что обладает двумя степенями свободы. Подробнее об этом говорится ниже. На рис. 17.73, б показаны графики функций 卩1 =山(出)，卩2 =卩231) при 0 = 1, 8/巳=2. Эти графики соответственно совпадают с графиками функций ц2 = R2(ai) и pi = pi(ai) при р = 1, 尸1/力2=1/2. На рис. 17.73, в, г, д, е представлены кривые (графики) динамических коэффициентов. Во всех случаях на оси абсцисс, кроме шкалы аргумента аь показана и шкала соответствующих 'значений аргумента а2. На рис. 17.73, ^,з показаны графики функций, входящих в формулы для динамических коэффициентов——в числители (сплошные линии) и знаменатели (штриховые линии). В общем случае формула для динамических коэффициентов для системы с k степенями свободы имеет вид (17.189). Упомянутые числители ——это частные случаи функции Fi/i((o/(Oc/), а знаменатели — частные случаи функции 尸2〃(s/sci) в формуле (17.189).

При тех значениях аь при которых знаменатели упомянутой формулы (в частности, см. таблицу 17.11) обращаются в' нули (если при этом одновременно не обращаются в нуль и числители), возникает резонанс. При тех значениях аь при которых обращаются в нуль числители формул таблицы 17.11, динамический коэффициент обращается в нуль (если при этом одновременно в нуль не обращается и знаменатель). Нулевому значению

51 ZHZd/w Н 7/1 ng Hdu W s _=•^ -^0 Zus/Jd H lug HdH rri)且 н Cml3 6«£I==zd7Id z=ug Mu&-工 fHq ^o«^< dug MHHSheHm хкнленн9n2 кай 5 н 5 :~с«оьн9нянффео 工 XHXQ9hHzBHH50)3 HHnxHAe юшфес!」.&ZI AdQWHdu у .es .OHd51 ZHZd/w Н 7/1 ng Hdu W s _=•^ -^0 Zus/Jd H lug HdH rri)且 н Cml3 6«£I==zd7Id z=ug Mu&-工 fHq ^o«^< dug MHHSheHm хкнленн9n2 кай 5 н 5 :~с«оьн9нянффео 工 XHXQ9hHzBHH50)3 HHnxHAe юшфес!」.&ZI AdQWHdu у .es .OHd

5

1 ZHZd/w Н 7/1 ng Hdu W s _=•^ -^0 Zus/Jd H lug HdH rri)且 н Cml3 6«£I==zd7Id z=ug Mu&-工 fHq ^o«^< dug MHHSheHm хкнленн9n2 кай 5 н 5 :~с«оьн9нянффео 工 XHXQ9hHzBHH50)3 HHnxHAe юшфес!」.&ZI AdQWHdu у .es .OHd

5

1 ZHZd/w Н 7/1 ng Hdu W s _=•^ -^0 Zus/Jd H lug HdH rri)且 н Cml3 6«£I==zd7Id z=ug Mu&-工 fHq ^o«^< dug MHHSheHm хкнленн9n2 кай 5 н 5 :~с«оьн9нянффео 工 XHXQ9hHzBHH50)3 HHnxHAe юшфес!」.&ZI AdQWHdu у .es .OHd

17.73・ Кнримеру 17.29・ граенкн функцнН Еояннамнческнх козффшшентов) z) F н F =PH BU2 к P1/P2H1;3F = Г2 прн 0Н2н Fl/T==lJ?e) F н F прн Bnl/2 s P1/P2UL

WdJOH。XiqW3AdHWdO03ir V^HWVHMtr

ПЛХ •IfJl

Рас. 17.73・ К примеру 17.29・графнкн еункцнн * (а)яннамннескнх козфенцненто 巴 ж. 3) графики функцн 尹 входящихв формулыяля F н Е (см・ Та6=・ 17・11)・

片〃

TQVoqogD ИШКНЯППХЭ HWHYqWOXOHH Э VWHIDHD

191

в b н『g вн

динамического коэффициента соответствует антирезонанс. Если в нуль обращаются одновременно и числитель и знаменатель в формуле для динамического коэффициента, то имеет место неопределенность, раскрываемая по правилу Лопиталя. Такие случаи возникли при равенстве значений р и Р/А：

一;臂一^2а]

Нт ——g—_г— = Нт —5j~-==~ 0, (3);

а+2 l-|«2 + laf ас2 -A2ai + |4a3

аналогично

~ у ai1 — ~ a?

Нт一 一j - 4 = 一 0,5; lim 一 一厂产 以 =-0, (6). sr"3 1一可5+可5 sr力 l — gai+^a]

Вследствие отмеченного, при равенстве значений 0 и Р/А (2, 1, 1/2), несмотря на наличие двух значений ai, при которых знаменатели формул для 卩 обращаются в нуль, резонанс наступает лишь один при ai = 1 (см. рис. 17.73, а).

В таблице 17.11 помещены выражения динамических коэффициентов при всех указанных выше комбинациях значений параметров р и 尸1/尸2・ При некоторых комбинациях значений этих параметров динамические коэффициенты 卩i и 四 совпадают. Этот вопрос обсуждается ниже в примере 17.32.

Динамический коэффициент 卩i при одном значении(o/((oc)i равен нулю. Это свидетельствует о том, что при таком соотношении частот в процессе колебания системы масса g не смещается. Такое явление, как уже говорилось, носит название антирезонанса. Описанный факт является одной из иллюстраций того общего положения, что поведение систем при динамических воздействиях качественно отличается от наблюдаемого в условиях статики. Остановимся на этом вопросе. Представим амплитуды С* и Cg согласно (17.209), в следующей форме:

c* p (方2 -a22炉)-尸2(02 -a]2炉)

I (e" -011炉)(С22 - "22叫 一 (e12 -"12峭2 '

e* = p2(G1 -a11叫一尸1 (方1 -a21叫

2(С11 — йцСО) (&2 —。22s2) —(C12 —。12s?)?

Если при выборе обобщенных координат добиться того, чтобы 。12 =。21=0 (в настоящем примере обобщенные координаты ,1 и ,2 отвечают этому условию), то для С； и Сг получаем следующие формулы:

e； =p1(e22 -a22炉)

(с11 — «П®2) (^22 — "22coВ —才2

Если поставить условие, чтобы выполнялось равенство

。22 — a22s2 = 0(17.217)

то

c； п 0，e；=訂

и в системе возникнет антирезонанс. Разумеется, такая картина имеет место лишь при строго определенной частоте вынуждающей силы, удовлетворяющей условию (17.217).

Теперь вернемся к данным рассматриваемого примера.

Установим, при каком значении частоты со возникает антирезонанс. Раскроем зависимость (17.217):

/ 3£/ 2 + р , 3 EJ\ 2 л

ЗЕ/「g (2 + В)他]2 л 〃、2、「2 + В $ ]2 л

(磯)1 (I + В) - 0 = 0， °2/(00)1 = 1 + 0； 8/但)1 = V1 + P .

Значения отношения co/(coc)i, соответствующие 6 = 2, 1, V2, суть: 1,732, 1,414 и 1,225, что и подтверждается графиками динамического коэффицента ⑷ при сответствующих значениях В・

Свойство механических систем находиться при определенных условиях в состояния антирезонанса используется в технике. Если имеется система с одной степенью свободы, находящаяся под воздействием вынуждающей силы, и возникает необходимость погасить колебания такой системы, то этого можно достигнуть, превратив ее в систему с двумя степенями свободы, испытывающую антирезонанс, путем присоединения к ней определенным образом некоторой массы при помощи соответствующим путем подобранных упругих элементов. Такая добавленная к исходной механической системе конструкция носит название динамического виброгасителя. Следует, однако, иметь в виду, что виброгаситель эффективен лишь при строго определенной частоте вынуждающей силы ——именно той, при которой возникает антирезонанс. При других частотах виброгаситель не дает необходимого эффекта. Существуют способы, позволяющие расширить полосу эффективной (в некотором осредненном смысле) работы виброгасителя !).

Применительно к механической системе, рассматриваемой в настоящем примере, можно привести такую иллюстрацию. Для системы с одной степенью свободы, изображенной на рис. 17.74, а, виброгасителем является конструкция, составленная из массы и упругого элемента (рис. 17.74,6), жесткость

ЗЕ/ 2 + 6

которого равна 厂•——при условии, что 加2 =加1/6，если эта кон/ Р

струкция присоединяется к основной так, как это показано на рис. 17.74,8. Действительно, в результате такого присоединения получилась система, отно” сительно который известно, что для массы т\ возникает антирезонанс. Конструктивно виброгаситель, изображенный на рис. 17.74,6, может быть осу” ществлен в виде балки на двух опорах с массой т2 посредине пролета (рис. 17.74, г), размеры которой подобраны из условия, чтобы жесткость балки в отношении прогиба посредине пролета равнялась (рис. 17.75,6) жесткости пружины- (рис. 17.75,6), т. е. из условия

48Е厶 =3£/ В + 2 Zb =丄丄 2 + P片 一32 У 2p .

Выше показан пример решения обратной задачи. Решение прямой задачи намного сложнее 】).

Для грубой односторонней оценки значений частот свободных колебаний систем с двумя степенями свободы (обобщенные кординаты 力=s и 依=力)

Рис. 17.74. К примеру 17.29: а) система с одной степенью свободы; б) система, присоединяемая к изображенной на рис. а, с целью создания антирезонанса для массы mi， в) система с двумя степенями свободы (система с одной степенью свободы с виброгасителем); а) трактовка системы, изображенной на рис. б; d) система с одной степенью свободы с виброгасителем (система с двумя степенями свободы).Рис. 17.74. К примеру 17.29: а) система с одной степенью свободы; б) система, присоединяемая к изображенной на рис. а, с целью создания антирезонанса для массы mi， в) система с двумя степенями свободы (система с одной степенью свободы с виброгасителем); а) трактовка системы, изображенной на рис. б; d) система с одной степенью свободы с виброгасителем (система с двумя степенями свободы).用用Рис. 17.75. К определению парциальных частот: а) исходная система с двумя степенями свободы; 6, б) системы для определения соответственно (%少)иРис. 17.75. К определению парциальных частот: а) исходная система с двумя степенями свободы; 6, б) системы для определения соответственно (%少)и(%)龄 е，0)системы для опре-деления соответственно (%),"и (啕伊；% ^)ем. ?, d.(%)龄 е，0)системы для опре-деления соответственно (%),"и (啕伊；% ^)ем. ?, d.можно применить определение так называемых парциальных 4acroTt т. е. частот колебаний систем, каждая из которых имеет одну степень свободы и некоторым способом получена из системы с двумя степенями свободы (сохранена только q、или только ^2). При этом может быть не единственный подход к выбору этих систем с одной степенью свободы. Один из возможных путейможно применить определение так называемых парциальных 4acroTt т. е. частот колебаний систем, каждая из которых имеет одну степень свободы и некоторым способом получена из системы с двумя степенями свободы (сохранена только q、или только ^2). При этом может быть не единственный подход к выбору этих систем с одной степенью свободы. Один из возможных путей1) См. литературный источник, упоминавшийся на 丿стр. 165 в сноске.1) См. литературный источник, упоминавшийся на 丿стр. 165 в сноске.

Рис. 17.74. К примеру 17.29: а) система с одной степенью свободы; б) система, присоединяемая к изображенной на рис. а, с целью создания антирезонанса для массы mi， в) система с двумя степенями свободы (система с одной степенью свободы с виброгасителем); а) трактовка системы, изображенной на рис. б; d) система с одной степенью свободы с виброгасителем (система с двумя степенями свободы).

Рис. 17.74. К примеру 17.29: а) система с одной степенью свободы; б) система, присоединяемая к изображенной на рис. а, с целью создания антирезонанса для массы mi， в) система с двумя степенями свободы (система с одной степенью свободы с виброгасителем); а) трактовка системы, изображенной на рис. б; d) система с одной степенью свободы с виброгасителем (система с двумя степенями свободы).

用

用

Рис. 17.75. К определению парциальных частот: а) исходная система с двумя степенями свободы; 6, б) системы для определения соответственно (%少)и

Рис. 17.75. К определению парциальных частот: а) исходная система с двумя степенями свободы; 6, б) системы для определения соответственно (%少)и

(%)龄 е，0)системы для опре-деления соответственно (%),"и (啕伊；% ^)ем. ?, d.

(%)龄 е，0)системы для опре-деления соответственно (%),"и (啕伊；% ^)ем. ?, d.

можно применить определение так называемых парциальных 4acroTt т. е. частот колебаний систем, каждая из которых имеет одну степень свободы и некоторым способом получена из системы с двумя степенями свободы (сохранена только q、или только ^2). При этом может быть не единственный подход к выбору этих систем с одной степенью свободы. Один из возможных путей

можно применить определение так называемых парциальных 4acroTt т. е. частот колебаний систем, каждая из которых имеет одну степень свободы и некоторым способом получена из системы с двумя степенями свободы (сохранена только q、или только ^2). При этом может быть не единственный подход к выбору этих систем с одной степенью свободы. Один из возможных путей

1) См. литературный источник, упоминавшийся на 丿стр. 165 в сноске.

1) См. литературный источник, упоминавшийся на 丿стр. 165 в сноске.

состоит в том, что схема упругих свойств сохраняется такою же, как и в системе с двумя степенями свободы, а схема инерционных свойств изменяется —— поочередно устраняется один из инерционных элементов. Такой вариант образования частных систем показана на рис. 17.75,6,8 （на рис. 17.75, а представлена система с двумя степенями свободы）. Другой подход заключается в том, что изменяется схема упругих свойств системы ——поочередно вводится связь, обращающая обобщенную координату 〃i или q2 в нуль. На рис. 17.75, а, 0 показан такой вариант образования частных систем. В этом случае можно считать, что схема инерционных свойств сохранена такою же, как и в системе с двумя степенями свободы, хотя проявляться инерционные свойства могут лишь у одного из двух инерционных элементов, вследствие чего схема, изображенная на рис. 17.75, а, эквивалентна схеме на рис. 17.75, е, а схема на рис. 17.75, д эквивалентна схеме на рис. 17.75, ж.

Квадрат коэффициента собственной частоты системы с одной степенью свободы определяется по формуле （17.96）

Для изображенной на рис. 17.75,6 системы жесткость в отношение прогиба посредине пролета находится по формуле как обратная величина податливости,

（1）—1\2EIc

% = 1 戸 =зе/ + 2с/з •

17 十 @7

Индекс е указывает на одинаковость упругих свойств у частной и исходной систем.

В представленной на рис. 17.75, в системе жесткость в отношении просадки пружины равна жесткости этой пружины, т. е.

虑）=с.

Таким образом, учитывая, что а（〔）=加i, а^ =加2, а также имея в виду формулу （17.207） для с, получаем-

（期П

\2EIc

（ЗЕ/ + 2с/з）加].

ЗЕ/ （2 + Р） /з（1+В） /И!'

Лл2\（2）=

ССр

ЗЕ/

1 2 + В

加2加1

/8

/П12•

Каждая из парциальных частот заключена между первой и второй частотами системы с двумя степенями свободы:

（啮| <№ < 3訪；（磽）] < 串（或）l <（2+В）（咖

（磷）l < «） < （噌2；（唠1 < 学（W）l <（2 + Р）（磷*

Для систем, показанных на рис. 17.75, г, д, или, соответственно, динамически эквивалентных им систем, представленных на рис. 17.75, е, ж, жесткости и частоты определяются по формулам

⑴6Е/⑵,ЗЕ/ ЗЕ/ 1 +р

力4 =с + н = ~?厂・

Нижний индекс / указывает на сохранение инерционных свойств в частной системе такими же, как и в системе с двумя степенями свободы. Соответственно частоты для этих частных систем определяются по формулам

3A箫3A箫（呦2）（呦2）=1 + В 3£7 1 + В

3A箫

3A箫

（呦2）

（呦2）

一/30 优2 一 /3 能 1

Легко показать, что и в этом случае

（磯）1 < （喲华 < （喲2；3務 < （喲伊 < （峻）2.

Наконец, отметим, что значения （①黑）и （峻序 или （磯）夕）и （磴）咒 в зави-симости от частного значения р, могут находиться в разных соотношениях:3巽』（哨貝（喲夕）2 （噺2）.

Разумеется, если получается знак >, то следует произвести перенумерацию верхних индексов, поскольку условлено считать, что нумеруются частоты в

порядке их возрастания.

Аналогично можно находить парциальные частоты, исходя и из систем с более, чем двумя степенями свободы. На детальном рассмотрении соотно

шений частот в этом случае не останавливаемся.

Пример 17.30 （условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа）.

Решение. Согласно формуле （17.89） имеем miVi + c”s + ^12^2 = Pi sin со/, m2v2 + QiS + &2U2 =夕2 sin со/, нли

山 + -^1- s + V2 = sin co/,mi加I加1

u2 + —U! + —d2 = — sin cot （17.218） 优2优2优2

一 Матрица С находится из уравнения （17.91）2:

II С21c22о21 022 ||

в^'едои^о^^стояние,： б） в?о-Элементы матрицы ||dt7|| были получены в

рое единичное состояние. предыдущем примере. Однако здесь найдем их еще раз, пользуясь, как обычно, способом Мора с учетом неинтегральных членов, поскольку в системе имеется упруго проседающая опора. С этой целью рассмотрим систему в двух единичных состояниях （рис. 17.76）:

丽"十4c '丽"十4c 'к 91/1 / 21111

丽"十4c '

丽"十4c '

6ц = 2.т./.т/.

622 := 1 • 1 • ~

Таким образом,

с +

Представляя уравнения (17.218) в матричной форме, получаем

I; :1図+將丁I; :1図+將丁6Е/ ЗЕ/ II или6Е/ ЗЕ/ II илир 加1 尸2 加2р 加1 尸2 加2sin о/.sin о/.

I; :1図+將丁

I; :1図+將丁

6Е/ ЗЕ/ II или

6Е/ ЗЕ/ II или

р 加1 尸2 加2

р 加1 尸2 加2

sin о/.

sin о/.

Легко видеть, что подтверждаются общие зависимости, отмеченные в таблице 17.10, отражающие тождественность во всех случаях обеих сравниваемых форм уравнений:

II里

ЗЕ/

C2,l ^

-鑑

/з加1

V 2 Z3 ) m2

=a[匕,1，Q?=彳；] = A[Jq?.

Пример 17.31. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.) Решение. Согласно формуле (17.94) имеем

mi6nVi + 加2仇2% + S =(仇1尸1 + 仇2尸2)sin cof,

加待21仇+团2622% +力=(%1p1 +022p2)Sin 3f.

Величины 6〃 были получены в двух предыдущих примерах. Представим уравнения в матричной форме

илиили

или

или

Легко лице 17.9, уравнений:Легко лице 17.9, уравнений:（击+亲）+巳击（击+亲）+巳击=Cg；.=Cg；.

Легко лице 17.9, уравнений:

Легко лице 17.9, уравнений:

（击+亲）+巳击

（击+亲）+巳击

=Cg；.

=Cg；.

видеть, что подтверждаются общие зависимости, отмеченные в таб- отражающие тождественность во всех случаях сравниваемых форм

Пример 17.32. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.)Решение, Придадим уравнению (17.205) следующую форму:Пример 17.32. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.)Решение, Придадим уравнению (17.205) следующую форму:ЗЕ/ , ЗЕ/ , вЗЕ/3EZЗЕ/ , ЗЕ/ . п2-厂—+吁峦+优2》ЗЕ/ , ЗЕ/ , вЗЕ/3EZЗЕ/ , ЗЕ/ . п2-厂—+吁峦+优2》:;Н22 ”.219):;Н22 ”.219)Здесь О2 — оператор двукратного дифференцирования по времени. Уравнение (17.219) можно трактовать как уравнение колебаний так называемой цепной системы (схемы) (рис. 17.77).В новых обозначениях жесткостей, показанных на рис. 17.77, уравнение колебаний записывается так:Здесь О2 — оператор двукратного дифференцирования по времени. Уравнение (17.219) можно трактовать как уравнение колебаний так называемой цепной системы (схемы) (рис. 17.77).В новых обозначениях жесткостей, показанных на рис. 17.77, уравнение колебаний записывается так:e\ + С12 + 加102-С12一012С12 + 02 + 能 2。2e\ + С12 + 加102-С12一012С12 + 02 + 能 2。211：；1НЙ1—11：；1НЙ1—Если бы жесткости пружин Ci и с2, а также массы 加i и m2, были одинаковыми, то система была бы симметричной. При отсутствии таких равенствЕсли бы жесткости пружин Ci и с2, а также массы 加i и m2, были одинаковыми, то система была бы симметричной. При отсутствии таких равенствРис. 17.77. К примеру 17.32. Цепная система, уравнения колебаний которой совпадают с уравнениями колебаний однопролетной балки (рис. 17.68) с упруго проседающей опорой.Рис. 17.77. К примеру 17.32. Цепная система, уравнения колебаний которой совпадают с уравнениями колебаний однопролетной балки (рис. 17.68) с упруго проседающей опорой.о)о)仞仞Рис. 17.78. Механическая симметрия двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы (симметрия в одинаковости частот свободных колебаний): а) первая система; б) вторая система.Рис. 17.78. Механическая симметрия двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы (симметрия в одинаковости частот свободных колебаний): а) первая система; б) вторая система.можно ввести понятие упругой симметрии с весом 0 (0 ——любое положительное число), поставив условиеможно ввести понятие упругой симметрии с весом 0 (0 ——любое положительное число), поставив условиеmimi=В,=В,QQ(17.220)(17.220)

Пример 17.32. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.)

Решение, Придадим уравнению (17.205) следующую форму:

Пример 17.32. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.)

Решение, Придадим уравнению (17.205) следующую форму:

ЗЕ/ , ЗЕ/ , вЗЕ/

3EZЗЕ/ , ЗЕ/ . п2

-厂—+吁峦+优2》

ЗЕ/ , ЗЕ/ , вЗЕ/

3EZЗЕ/ , ЗЕ/ . п2

-厂—+吁峦+优2》

:;Н22 ”.219)

:;Н22 ”.219)

Здесь О2 — оператор двукратного дифференцирования по времени. Уравнение (17.219) можно трактовать как уравнение колебаний так называемой цепной системы (схемы) (рис. 17.77).

В новых обозначениях жесткостей, показанных на рис. 17.77, уравнение колебаний записывается так:

Здесь О2 — оператор двукратного дифференцирования по времени. Уравнение (17.219) можно трактовать как уравнение колебаний так называемой цепной системы (схемы) (рис. 17.77).

В новых обозначениях жесткостей, показанных на рис. 17.77, уравнение колебаний записывается так:

e\ + С12 + 加102-С12

一012С12 + 02 + 能 2。2

e\ + С12 + 加102-С12

一012С12 + 02 + 能 2。2

11：；1НЙ1—

11：；1НЙ1—

Если бы жесткости пружин Ci и с2, а также массы 加i и m2, были одинаковыми, то система была бы симметричной. При отсутствии таких равенств

Если бы жесткости пружин Ci и с2, а также массы 加i и m2, были одинаковыми, то система была бы симметричной. При отсутствии таких равенств

Рис. 17.77. К примеру 17.32. Цепная система, уравнения колебаний которой совпадают с уравнениями колебаний однопролетной балки (рис. 17.68) с упруго проседающей опорой.

Рис. 17.77. К примеру 17.32. Цепная система, уравнения колебаний которой совпадают с уравнениями колебаний однопролетной балки (рис. 17.68) с упруго проседающей опорой.

о)

о)

仞

仞

Рис. 17.78. Механическая симметрия двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы (симметрия в одинаковости частот свободных колебаний): а) первая система; б) вторая система.

Рис. 17.78. Механическая симметрия двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы (симметрия в одинаковости частот свободных колебаний): а) первая система; б) вторая система.

можно ввести понятие упругой симметрии с весом 0 (0 ——любое положительное число), поставив условие

можно ввести понятие упругой симметрии с весом 0 (0 ——любое положительное число), поставив условие

mi

mi

=В,

=В,

Q

Q

(17.220)

(17.220)

Механически «симметрия» с весом 0 означает равенство собственных частот у систем, изображенных на рис. 17.78, а, б.

Теперь можно пояснить, из каких соображений в примере 17.28 было принято соотношение (17.207) жесткостей ——жесткости упруго проседающей опоры (с) и жесткости балки относительно прогиба посредине пролета (6E//W).

Если расшифровать зависимость (17.220)2, т. е. показать, что

то можно найтито можно найти^■ = （挚）：（"禁） = в，^■ = （挚）：（"禁） = в，откудаоткуда爵(2 + 0)Р爵(2 + 0)Р粵(2 + В)4Р粵(2 + В)4Р_с_2 + Р6Е〃/з =祁._с_2 + Р6Е〃/з =祁.

то можно найти

то можно найти

^■ = （挚）：（"禁） = в，

^■ = （挚）：（"禁） = в，

откуда

откуда

爵(2 + 0)

Р

爵(2 + 0)

Р

粵(2 + В)

4Р

粵(2 + В)

4Р

_с_2 + Р

6Е〃/з =祁.

_с_2 + Р

6Е〃/з =祁.

При таком именно отношении жесткостей упруго проседающей опоры и самой балки относительно прогиба посредине пролета обеспечивается упругая симметрия цепной схемы с весом ₽.

Таблица 17.12

№№ вариантов систем обобщ. коорд.

Обобщенные координаты

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия деформации

Дифференциальные уравнения колебаний

2

бе，фг

m勺(県+师J+

+ 1т2(2/фг)2

解而卜+ (勺/2 +组

ТР(2Ч)К2^Фг) +

+ "Н等圖%е

}Е1

/з %「0，

2俏2)6 + 4儿斗=■= 0

3

ф,。2

■!~ 铀亲色 + 4/g)2 + L m2()2

4••18 EI

勺加1/2屮 +§№2/ + y - Ф -

-9 «1/ф+(36 + «2) 023

4" [■^. 4(2 阿-°"] *

X -g" (2Z(p — s)

4 Е/ n

3 /2 办 нО,

/2 $+('+ 3 /3 )。2一°

4

Р, М

1 ，血2丄户丄 2gl 3£/ 丨 2c 丿 +

.1户2

；(學+ 他2)

1 miZ 5 , /nd府 4cl 6Е/

MAY* 翳

卜鵰麻+ P7

+ М=»о

5

S, Р

4■g才+ 4"恤(v)

加1。1 I /36

加2 п ЗЕ/. /

丸*ST)]x xg_±) + *^

需 P = 0，

^爲+ 4> Н。

АА"亦气呪T"亦气呪T

А

А

"亦气呪T

"亦气呪T

Таблица 17.12 (продолжение)

№№ вариантов систем

Обобщенные коор-

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия деформации

обобщ коорд.

ди- наты

Дифференциальные уравнения колебаний

6

1 Тт1

1击色+ 4库)2 +

+ ут2務

4 ［粤.У⑵中 —甸］X

Х$(2/ф-%)

g-加1/2① + 勺加102/ + W 7" <p

У 加而 + ( 36 + mJ。23

4 EI . n

EI . 1 / 工 2 E/、. c

/2 ф+^+ з /з 丿 a = 0

Примечания. 1. В квадратные скобки помещены выражения

для каждой из сил как произведение жест-

кости и перемещения

. При выводе формул для кинетической и потен

циальной энергий в третьем варианте использованы следующие выкладки, проиллюстриро-

ванные рисунком,

S = W/2 + бе, Ф = W + Фе, бе/фе =(用(6£7)):(力(4£7)) = 2Z/3, V\e = 2/(ре/3 = 2Z (ф — фг)/3 = =2/ ((р ~ a/(2/))/3 =⑵(р —02)/3, S =内/2 + ⑵ (р —02)/3 =(北 + 4Z(p)/6.

При выводе формул кинетической и потен

циальной энергий в четвертом варианте

использованы следующие выкладки, проиллюстрированные рисунком,

S =力/2 + бе, Pi = 2М〃， 6е/М = ［Р1/з/(бЕ/)］：(р“/2)； 6е = М/2/(зЕ/),

6 = Р/(2с) + М/2/(3£7)

Для соблюдения этой симметрии и было принято в примере 17.28 такое отношение.

В таблице 17.11 при некоторых комбинациях параметров В и Р{Р% обнаруживается равенство динамических коэффицентов. Такими комбинациями численных значений параметров являются В = Pi/P2. Совершенно очевидно, что если к динамически симметричной с весом р системе приложить вынуждаю* щие силы с тем же весом р, то динамическая симметрия не нарушается.

Пример 17.33. (Условие см. в разделе 5.1 настоящего параграфа.)

Решение. В таблице 17.12 приведены выражения для кинетической и потенциальной энергий для 2——5 вариантов систем обобщенных координат. Поскольку получение дифференциальных уравнений движения при наличии выражений для Т и U было показано в примере 17.28 и в принципе оно не представляет сложности; здесь опущены промежуточные преобразования и сразу приведены дифференциальные уравнения для случая свободных колебаний, которые также помещены в таблицу 17.12. Для большей наглядности в таблицу 17.13 помещены матрицы А и С всех вариантов (2—6).

Таблица 17.13

m" (mi/2 + 4恤/2)Иg他1(暴+ g)|1m" (mi/2 + 4恤/2)Иg他1(暴+ g)|155的 0的 0№№вариантов

m" (mi/2 + 4恤/2)И

g他1(暴+ g)|1

m" (mi/2 + 4恤/2)И

g他1(暴+ g)|1

5

5

的 0

的 0

Легко понять, что, поскольку собственные частоты колебаний рассматриваемой системы являются ее характеристикой, при всех вариантах выбора обобщенных координат соответствующие частоты должны получаться одинаковыми, а следовательно, должны быть одинаковыми и частотные уравнения. Предлагаем читателю убедиться в этом, используя формулу (17.185) для частотного уравнения и полагая в ней а)? и с)? взятыми соответственно из мат* риц Ai / и Ci, /. Во всех случаях получается частотное уравнение в форме (17.206).

Постоянство вида уравнения частот при любом выборе систем обобщенных координат свидетельствует о наличии инвариантных выражений (инвариантов), составленных из элементов матриц А и С (а при учете сопротивления и матрицы В).

Другим объективным свойством механической системы, неразрывно связанным с собственными ее частотами, являются формы свободных колебаний. Легко, например, показать, что в первой форме колебаний смещения обеих масс одинаковы во всех вариантах, а во второй форме относятся как 1/р (см. рис. 17.71). В таблице 17.14 приведены значения вмещений и их отношения.

Таблица 17.14

•Варианты

123456

也2/30

8Е/3EI (2 + Р)

3 。2

112户2/30

123£Z (2 + ₽)1

二 £k

111111

石

_ 112d2D1

ВВВЗЕ/(2 +В)ЗЕ/(2+ 6)В

2竺卿

ЗЕ/(2 + р)ЗЕ/(2 +В)

М jell

111111

«МВ i ■ОНО■■ ■МЯВ —ммММ1 1 1 .ММВ ч —

6Ppввв

Предлагаем читателю самостоятельно произвести выкладки для получения величин, помещенных в таблицу, выполняемые так, как это показано в примере 17.28 применительно к первому варианту.

Итак, при исследовании форм свободных колебаний удается показать лишь соотношения параметров (величины dg' (i = 1,...,论——1; / = 1,... ...,々；в нашем случае 论= 2)), т. е. формы свободных колебаний определяются с точностью до аффинного преобразования сжатия. Этой операции соответствует получение Dp (/ == 1,...,论；i == 1, ..., k——1) путем умноже* ния d^ на произвольную величину 0g). Размерность D^t т. е. тех множите* лей, на которые нужно умножать значения, показанные на рис. 17.70 в различных вариантах систем обобщенных координат, представлена в таб* лице 17.16.

Таблица 17.15

Варианты (/)

1

2

3

4

5

Размерность 國｝

L

Безразмерная величина

厶

FL

尸

Векторные колебания. Фигуры Лиссажу. Рассмотрим осциллятор (рис. 17.79, а), масса которого совершает свободные колебания, являющиеся векторной суммой колебаний в двух ортогональных плоскостях. Пусть при этом амплитуды, частоты и начальные фазы этих колебаний различны:

qx = Hi cos (ms/ ——qpi); qy = Л2 cos (по/ ——(р2).

Конец вектора полного перемещения g = V?^ ； % описывает некоторую траекторию, называемую фигурой Лиссажу по имени

Рис. 17.79. Векторные колебания: а) система с двумя степенями свободы; 6) составляющие векторных колебаний; в) геометрическое суммирование синхронных обобщенных координат.

ученого, впервые выполнившего соответствующий анализ. В зависимости от соотношений Д1 и Д2, /^ и п и epi и ср2 получается в каждом случае своя собственная фигура. Таким образом, имеется бесконечное множество фигур Лиссажу. На рис. 17.79, б представлен частный случай двух гармоник qx и q?, а на рис. 17.79,6 геометрическое суммирование qx и д^, относящихся к трем моментам времени; соответствующие точки лежат на фигуре Лиссажу. В табл. 17.16 представлены различные частные случаи фигур Лиссажу, соответствующие различным соотноше^ НИЯМ 41 И 厶2, Ф1 И ф2, ^ и п.

Известно, что фундаменты машин, в частности, генераторов, могут находиться в колебательном движении, вызванном теми или иными причинами. При помощи специальных приборов экспериментально получают фигуры Лиссажу, по виду которых удается судить о характере колебаний и, как следствие, о мерах борьбы с ними.

Таблица 17.16

т

4 Л

Ф1—<₽2

士走2门

(/г = 0, 1 2,...)

土 (2л + 1)左 (々 = 0, 1,2,

1/2

1

•^ ± 2走冗

(Z? = 0, 1,2,...)

--万士 2々冗

(/г = 0, 1,2,...)

- ± 2/m

(/г = 0, 1, 2, •. •)

1

^土 2々冗

伊= 0,1,2,…)

Фигура Лиссажу

Й

4

夕

6

т 4 тг а

Ф1 —ф2

ФигураЛиссажу

О

Лт

2f

2/3

з

4 百冗

5 -8Я

(5

Таблица составлена по данным книги Г. С, Горелика «Колебания и волны» (М.: Физматгиз, 1959).,

§ 17.8. Линейные колебания системы с бесконечнобольшим числом степеней свободы

Расчетная схема. Расчетная схема в виде невесомой упругой системы с сосредоточенными массами, рассмотренная в предыдущем параграфе, является не всегда приемлемой. В некоторых случаях эта схема либо недостаточно точна (если принятое число масс мало), либо приводит к очень трудоемкому решению.

В ряде, к сожалению, немногочисленных, случаев представляется возможным одновременно и уточнить схему и упростить получение решения. Так обстоит дело, например, в случае балок.

Представим уточненную схему балки, полагая и упругие и инерционные свойства ее непрерывно распределенными вдоль оси балки. Такая расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний балки. Будем исходить из дифференциального уравнения изгиба балки, записанного в одной из двух разновидностей:

爲% E]^=q.

Второе уравнение относится к призматической балке, у которой жесткость EI не зависит от z и ее можно вынести за оператор дифференцирования. Частная производная использована в связи с тем, что функция и зависит не только от z, но и от /, поскольку мы предполагаем рассматривать колебания. Интенсивность распределенной нагрузки q в условиях свободных колебаний балки представляет собой интенсивность сил инерции: — md2v/dt2. Здесь т = Fp — интенсивность распределенной вдоль оси балки массы.

Итак, дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки имеет вид

需+ ；备(e/裁)=6

В случае призматической балки уравнение становится таким

鍔+且禦=0・(17.221)

dt2 1 т

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний призматической балки. Общее решение уравнения (17.221) представляем как бесконечную линейную комбинацию частных решений, имеющих вид

"(2, /) = г(г).Г(/),(17.222)

и определяющих характер соответствующих им колебаний. Если колебания происходят в форме так называемых стоячих волщи определяющих характер соответствующих им колебаний. Если колебания происходят в форме так называемых стоячих волщ

и определяющих характер соответствующих им колебаний. Если колебания происходят в форме так называемых стоячих волщ

и определяющих характер соответствующих им колебаний. Если колебания происходят в форме так называемых стоячих волщ

при которых отношение прогибовпри которых отношение прогибовв любой точке оси балки в моменты времени 厶 и 勾 представляет собой постоянную величину, то все точки балки одновременно проходят через нулевое свое положение (прямолинейная форма оси балки) и одновременно достигают максимальных отклонений (рис. 17.80). Отмеченный выше характер ко- лебаний, вытекающий из решения (17.222), легко обнаружить, рассматривая отношение прогибов в точке оси балки с координатой z = z*, имеющих место в два момента времени 厶 и /2：

при которых отношение прогибов

при которых отношение прогибов

"，编 Z(*) 7(3

е. это отношение сохраняется при любом 2.

Представление решения в форме (17.222), приводящее, что показано ниже, к уравнению с разделяющи-

Рис. 17.80. Первые четыре формы колебания МИСЯ ПСреМСННЫМИ, ХараК- балки типа стоячйх волн-терно для так называемого

метода Фурье.

Заметим, что линейная комбинация стоячих волн может дать бегущую волну и наоборот!).

По формам свободных колебаний балки можно разлагать в обобщенный ряд Фурье любую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле.

Подставим (17.222) в (17.221),

zQ)*^t 屮=。,zQ)*^t 屮=。,(17.223)(17.223)

zQ)*^t 屮=。,

zQ)*^t 屮=。,

(17.223)

(17.223)

Бегущей называют распространяющуюся в пространстве волну. Например, изменение некоторой величины s по закону бегущей волны (рассматривается частный случай такой волны) описывается зависимостью

s = f (at + 6х),

или, деля все члены (17.223) на T(f)Z(z) и перенося один из членов результата такого деления в правую часть, получим

EI d4Z(z)d2T (/)

/n d炉 dt2'~~

Произошло разделение переменных — в левой части равенства имеем функцию, зависящую только от г, а в правой — только от /. Равенство таких функций при любых г и / мыслимо лишь в случае, если и левая и правая части равны одной и той же постоянной величине, которую обозначим символом со：・ Тогда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

響+ 8父0 = 0, ^•一暧昔Z⑶=0.

Поскольку решение обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений неоднократно комментировалось, приведем все формулы без пояснений:

Г (/) = Aest, As2est + ^Aest = 0, s2 + со^ = 0,

Si, 2 = ± 応с；т (0 = 4/吋 + 4厂吋； (17.224)

Т (f) = 3[ sin со J + В2 cos со/ ― 8 sin (®с/ +(р)・

Если Т 〃) I 『° = 0, то В2 = 0 и Г (/) = Bi sin sj・

где х ——пространственная координата, / — время, а и b — константы, a f — произвольная однозначная функция. На рис. 17.81 представлена поверхность,

Рис. 17.81. Бегущая волна.

соответствующая некоторому частному виду функции f, которым описывается недеформирующаяся (не меняющая своего очертания) волна. Сечения 力= =const этой поверхности называются осциллограммами величины s, а сечения t r const моментальными снимками волны.

Постоянную Bi можно было бы найти, используя второе начальное условие при / = 0, например, f(t) |/=0 = А Амплитуды нас могут интересовать, например, в случае колебаний, возникающих вследствие удара. Однако иногда достаточно ограничиться видом функции (17.224) с точностью до постоянного множителя и тогда определять эту постоянную нет необходимости.

Z Q) = Се% 05 $ — 吟备 Cerz = О,

tntn/

d —*万=0,产一〃4 = 0, ^4_o2 _?；(17.225)

г1 = "，г2 =一 ", r3 = 〃厶 г4 =一 '"，

z Q) = &严 + &e-〃z + c3eiuZ + &e-g, или

Z(2)= 2 sin uz + Z)2 cos uz + D3 sh uz + P4 ch 〃z.

Для отыскания постоянных Z)b D2t °з, D4 необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через 2?ь ..., Z)4, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно % ..., Р4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю 0卜...,D^) отвечает Z(2)曰 0, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно 力i, ..., D4 нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний.

Более подробно эти фундаментальные понятия ниже пояснены при рассмотрении примеров. Общий интеграл уравнения (17.221) представляет собой бесконечную комбинацию и = £ Z〃⑵&(/) =

=2 (Ou sin unz+ D2n cos unz+D3n sh unz+D4n ch unz) sin(5,3+①)•

1

Пример 17.34. Для призматической балки, шарнирно опертой по концам, найти частоты и формы свободных колебаний.'

Решение. Общее решение выше было получено. Сформулируем граничные условия для функции и:

。⑵叱『0； ^S^Ll；。（爲心尸，

d2v (г, Q I

sinsinnnznnz

sin

sin

nnz

nnz

Учитывая структуру функции。(之,f) == £ Zrt (г) Тп (/), отсюда получаем ус- 1

ловия на концах балки для функции Zn(z):

Z 九⑶ I=°；=°；2〃(之)|=0;=0.

12yo|z=o|г=/dz IzT

В развернутой форме эти условия при 2 = 0 выглядят так:

02" + ^4П =0， 一02П"2 + °4/l"2 = 0.

Отсюда

°2М == °4м == 0«(17.226)

С учетом (17.226) граничные условия при г = / представляются так:

5〃 sin unl + D^n sh 〃/ = 0,— Dg碎 sin unl + D3nu^ sh 〃幫=0.(17.227)

Условие ненулевого решения этой системы имеет вид

2 sin unl sh unl = 0.2 sin unl sh unl = 0.(17.228)(17.228)I sin unl sh 〃叫—°

2 sin unl sh unl = 0.

2 sin unl sh unl = 0.

(17.228)

(17.228)

I — sin unl sh unl I ，

Отсюда 】)sin unl = 0, un = пл//. При этом, так как sh шт # 0 (при 几 # 0), для выполнения (17.227) необходимо равенство D3n = 0. Таким образом,

единственной отличной от нуля постоянной интегрирования является Рщ.

Итак,

Zn (?) = Dln sin unz = Dln sin -y— z.

Собственные частоты колебаний нахо* дим по формуле

На рис. 17.82 изображены формы колебаний, соответствующие функциям

Решение уравнения (17.221) приобретает вид

o=Z D{n sin unz sin (①с" + Ф)- n—1

Балочные функции. Функции Z(z) в (17.222) называются балочными. Каждой комбинации закреплений концов балки соответствуют свои балочные функции и свое характеристическое

уравнение. В таблице 17.17 приведены шесть характерных случаев закреплений концов балки и соответствующие каждому из них характеристическое уравнение, его корни и собственные функции, которые в связи с механическим смыслом уравнения, их породившего, называют балочными.

Вынужденные колебания. Задача о вынужденных колебаниях весомой призматической балки сводится к решению уравнения

需 + 措费= «/)，(17.229)

где f (z, f) представляет собой вынуждающую распределенную силу, отнесенную к погонной массе т или, иначе, к погонной плотности. Поскольку уравнение (17.229) является линейным, его общее решение складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (17.221) и частного решения данного неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения (17.221) было получено выше в разделе 3 настоящего параграфа. Остановимся на отыскании уч. р — частного ре* шения уравнения (17.229). С этой целью представим его и функцию f (z, 0 в следующем виде:

九p=f：SJf)Z〃(2), f{zt /)=1 Hn(t)ZM (17.230)

Здесь Zn — те же балочные функции, через которые выражен общий интеграл однородного уравнения.

Далее рассмотрим частный случай, уже обсуждавшийся в примере 17.34, т. е. рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам.

Подставляя (17.230) в (17.229), получаем

f 回⑴ + ^ f S〃(“ sin 暇=纟 Hn sin 竿，

откуда, учитывая линейную независимость фундаментальных функций,

Sn + ^^Sn^Hn.(17.231)

Начальным условиям удовлетворяем общим решением однородного уравнения, вследствие чего начальные условия для частного решения, а следовательно, и для функции Snt получаются однородными:

S (0) = 0, S (0) = 0.

№№ п/л

Закрепление концов балки

Характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

Собственные (фундаментальные) функции

2 = 0

2=2

（叫

叫

(ul)n (П>2)

1

свободен

свободен

ch ul cos и/ = 1

4,7300

7,8532

2n + 1

2几

(ch ul — cos 〃/) (sh uz + sin uz)—

—(sh ul — sin 〃/) (ch uz + cos 〃z)

2

шарнирно оперт

шарнирно оперт

sin 〃/ == 0

л

2л

пл

sin 〃N

3

защемлен

защемлен

ch ul cos 山=1

4,7300

7,8532

2九+ 1

2几

(sh ul + sin ul) (ch uz + cos 〃z)—

-(ch ul - cos 〃/) (sh uz - sin "力

4

защемлен

шарнирно оперт

tg ul = th ul

3,9266

7,0685

4п + 1

4几

(sh ul + sin ul) (ch uz — cos 〃z)—

—(ch ul + cos 〃/) (sh uz — sin 〃z)

5

защемлен

свободен

ch ul cos 〃/ = — 1

1,8751

4,6941

2/i — 1

2几

(sh ul + sin 〃/) (ch uz — cos 〃z)—

—(ch ul + cos и I) (sh uz — sin 〃z)

6

свободен

шарнирно оперт

tg ul = th ul

3,9266

7,0685

2%+ 1

4几

(sh ul + sin ul) (ch uz — cos 〃z)—

—(ch ul + cos и I) (sh uz + sin 〃z)

Таблица 17.17

Нумерация корней дана по признаку возрастания их значений и без учета наличия нулевых корней.

Формулы для корней (ul)n (п > 2) являются приближенными. Точность их возрастает с увеличением п.

С ростом п формы, соответствующие собственным функциям, в средней части балки приближаются к синусоидальной.

9 17.8】 СИСТЕМА С ВЕСКОНЕЛНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ свободы 183

Таким образом, t

S〃 =鳥 V> \ 必⑴ 5出 V?嘗 & T)红(17.232) о

Функции НМ* находим по обычной формуле для коэффициентов ряда Фурье

^(0=7 J/(С，/)sin 喑臂.(17.233)

о

В результате подстановки (17.233) в (17.232) получим

Sn = "^г «W'dq'tk * sin 毕 sin у/ ^@_* 戏， 00(17.234)

и, подставляя (17.234) в (17.230), находим уч. р.

Примеры. Пример 17.35. Рассчитать призматическую консоль (I = =300 см) на действие вынуждающей силы Q* = Ро sin со/ (рис. 17.83) при

I 0*=%7 stlW 力I 0*=%7 stlW 力двух разных значениях квадратов круговой частоты вынуждающей силы 】)

I 0*=%7 stlW 力

I 0*=%7 stlW 力

若=旦(3.10-3)4亠

磁=营(23,562 ・ IO*為’

Рис, 17,83, К примеру 17.35. и проанализировать резонансные и ан- тирезонансные ситуации.

Решение. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид

(17.235)

Решение, описывающее вынужденные колебания, представим в виде )

V (z, £) = 0 (之)sin со/;(17.236)

подставляя (17.236) в уравнение (17.235), сокращая последнее после указанной подстановки на sin со/, получаем

EI 小* 一侬0w⑶=°， 翼f)-⑶=0； a4 =雾.(17.237)

Поскольку уравнение такого, в принципе, типа интегрировалось в предыдущих главах, напишем сразу общее решение:

V ⑶=Ci sin az + & cos az + C3 sh az + & ch az. (17.238) Граничными условиями для функции U(2)являются

V (0) = 0, Г (0) = 0, EW〃(/) = 0, EIVfff (/) = - Q (/) = 一 Ро・ Если учесть выражения для К (%), ^(г) и U〃'(z)

V’(％) = &a cos аг — С2а sin аг + С3а ch az + С4a sh az, "(2)= — Cd sin az — C2a2 cos az + C3a2 sh az + C4a2 ch az, 『〃⑶=—Cd cos аг + C2a3 sin аг + C3a3 ch az + C4a3 sh az,

то граничные условия представятся в виде

02+e4= 0.

&+ Сз= 0,

—&。2 sin а/ — С2a2 cos а/ + С3а2 sh а/ + С4а2 ch aZ = 0,

—&。3 cos а/ + С2а3 sin aZ + С3а3 ch aZ + C4a3 sh aZ =—卷*•

Решение этой системы относительно С】，Сг, Сз и С4 имеет вид

Ро (cos aZ + ch а/)广— Po (sin а/ + sh aZ)

J = 2a3EI (cos a/ cha/+ 1)，5- ^EI (cos aZ ch a/ + 1) 1

— Po (ch a/ + cos a/)Po (sin a/ + sh aZ)'

— 2аЗ£/ (cos a/ ch a/ + 1)，= 2a?EI (cos a/ch aZ + 1) *

Из (17.236) вытекают следующие формулы для угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы

今(2, /) = V'⑶ sin cof = 8 ⑶ sin st,0 ⑶=广⑶；

M (乙 f) = 一 EW〃⑶ sin ш/ = М ⑶ sin со/,М ⑶=一 EW"⑶；(17.240)

Q(2, f) = — EW〃⑶ sin co/ = Q(2)sin co/, Q ⑶=—EIVff/ (г).

Таким образом, U(z), 8(之),Af (г) и Q(z) являются амплитудными значениями соответствующих величин.

Учитывая (17.238), (17.239) и (17.240), получаем

V ⑶=2。3应(cos：；ch“戸[(cos W + Ch 砌®n az - sh az) -

—(sin aZ + sh aZ) (cos az — ch az)],

0 ⑶=今/——7 ] k [(cos aZ + ch a/) (cos az — ch aw) +

2a2F/ (cos aZ ch a/ + 1)

+ (sin a/ + sh aZ) (sin az + sh az)],

M(z) = 2a (cos a/ ch a/ + 1) ^C0S °’ + °"砌 ⑸"°" +°‘)

—(sin aZ + sh a/) (cos az + ch az)]'

Q ⑶ %os J；a中厂[(C0S aZ + Ch aZ) (C0S a” + Ch 叫-

—(sin aZ + sh a/) (— sin az + sh az)]. (17.241)

Резонанс наступает всякий раз, когда имеет место равенство cos а/ ch aZ + 1 = 0.

На рис. 17.84 представлена графическая трактовка решения этого трансцендентного уравнения. Его корнями, найденными численным методом, являются

(叫=1,8751(a/)2 == 4,6941(a/)3 = 7,8548(aZ)4 = 10,99554(叫=1,8751(a/)2 == 4,6941(a/)3 = 7,8548(aZ)4 = 10,99554(107。26‘36〃 = 90° + 17。26‘36〃), (268°57'6〃 =270°—1254〃)， (450。2‘49〃 = 450° + 0。2‘49")， (629。59‘53〃 = 630° - 0。07').

(叫=1,8751

(a/)2 == 4,6941

(a/)3 = 7,8548

(aZ)4 = 10,99554

(叫=1,8751

(a/)2 == 4,6941

(a/)3 = 7,8548

(aZ)4 = 10,99554

Рис. 17.84. К примеру 17.35. Графическая трактовка решения уравнения cos a/ ch aZ + 1 = 0Рис. 17.84. К примеру 17.35. Графическая трактовка решения уравнения cos a/ ch aZ + 1 = 0Можно считать, что начиная с п = 5 (а/)〃 = 90° + (п— 1) 180°. Чем больше 〃，тем более высока точность, даваемая формулой; при и = 5 имеем семь точных знаков. Таким образом, резонанс наступает при каждом из указанных

Рис. 17.84. К примеру 17.35. Графическая трактовка решения уравнения cos a/ ch aZ + 1 = 0

Рис. 17.84. К примеру 17.35. Графическая трактовка решения уравнения cos a/ ch aZ + 1 = 0

выше значений а/. Разумеется, в действительности бесконечного роста функций U(z),..・，Q(z) не происходит. При больших перемещениях уравнение (17.235) и вытекающее из него решение перестают быть справедливыми и следует пользоваться точным (нелинейным) дифференциальным уравнением изгиба балки, решение которого вблизи указанных выше значений aZ возрастает, но не беспредельно.

Сопротивление колебаниям при учете его даже в рамках линейной теории также исключает беспредельный рост функций. И при достаточно большом сопротивлении величина перемещений при резонансных значениях а/ оказывается в пределах правомочности линейной теории.Рассмотрим следующие характерные значения функцийСопротивление колебаниям при учете его даже в рамках линейной теории также исключает беспредельный рост функций. И при достаточно большом сопротивлении величина перемещений при резонансных значениях а/ оказывается в пределах правомочности линейной теории.Рассмотрим следующие характерные значения функцийР(/) =Р(/) =Ро (sin W ch а/ — cos а/ sh а/)2(?Е/ (cos а/ ch а/ + 1)Ро (sin W ch а/ — cos а/ sh а/)2(?Е/ (cos а/ ch а/ + 1)М (0)=—М (0)=—Ро (sin а/ + sh а/) а (cos а/ ch а/ + 1)Ро (sin а/ + sh а/) а (cos а/ ch а/ + 1)Эти выражения получены после несложных преобразований из общих формул для 7(2)и М(2) при соответствующих значениях аргумента 2. Произведем исследование V(Z) и М(0) на антирезонанс. С этой целью рассмотрим равенстваЭти выражения получены после несложных преобразований из общих формул для 7(2)и М(2) при соответствующих значениях аргумента 2. Произведем исследование V(Z) и М(0) на антирезонанс. С этой целью рассмотрим равенстваsin aZ ch aZ — cos a/ sh a/ =» 0, sin a/ + sh a/ = 0.sin aZ ch aZ — cos a/ sh a/ =» 0, sin a/ + sh a/ = 0.(17.242)(17.242)Первое из них преобразуется к видуtg а/ = th а/.Первое из них преобразуется к видуtg а/ = th а/.(17.243)(17.243)Корнями этого трансцендентного уравнения являются (aZ)i == 0, (aZ)2 = с и = 2 можно пользоваться прибли-Корнями этого трансцендентного уравнения являются (aZ)i == 0, (aZ)2 = с и = 2 можно пользоваться прибли-3,926602, (a/3)3,926602, (a/3)женной формулойженной формулой7,068581,7,068581,начинаяначиная(叫〃(叫〃[1 +4(” 1)]冗[1 +4(” 1)]冗44(17.244)(17.244)sin。/sin。/sha/sha/дающей тем ббльшую точность, чемдающей тем ббльшую точность, чембольше n;больше n;при п = 2; 3 эта формула дает соответственнопри п = 2; 3 эта формула дает соответственноtga/丿tga/丿^thaZ- 网2/^thaZ- 网2/tha/tha/33〃夕〃夕£z£z，丝2 «F，丝2 «FРис. 17.85. к примеру 17.35. Графическая трактовка реше-ния уравнения tga/ = tha/.Рис. 17.85. к примеру 17.35. Графическая трактовка реше-ния уравнения tga/ = tha/.slncr/slncr/Рис. 17.86. К примеру 17.35» Графическая трактовка решения уравнения sin а/ + + sh а/==0.Рис. 17.86. К примеру 17.35» Графическая трактовка решения уравнения sin а/ + + sh а/==0.

Сопротивление колебаниям при учете его даже в рамках линейной теории также исключает беспредельный рост функций. И при достаточно большом сопротивлении величина перемещений при резонансных значениях а/ оказывается в пределах правомочности линейной теории.

Рассмотрим следующие характерные значения функций

Сопротивление колебаниям при учете его даже в рамках линейной теории также исключает беспредельный рост функций. И при достаточно большом сопротивлении величина перемещений при резонансных значениях а/ оказывается в пределах правомочности линейной теории.

Рассмотрим следующие характерные значения функций

Р(/) =

Р(/) =

Ро (sin W ch а/ — cos а/ sh а/)2(?Е/ (cos а/ ch а/ + 1)

Ро (sin W ch а/ — cos а/ sh а/)2(?Е/ (cos а/ ch а/ + 1)

М (0)=—

М (0)=—

Ро (sin а/ + sh а/) а (cos а/ ch а/ + 1)

Ро (sin а/ + sh а/) а (cos а/ ch а/ + 1)

Эти выражения получены после несложных преобразований из общих формул для 7(2)и М(2) при соответствующих значениях аргумента 2. Произведем исследование V(Z) и М(0) на антирезонанс. С этой целью рассмотрим равенства

Эти выражения получены после несложных преобразований из общих формул для 7(2)и М(2) при соответствующих значениях аргумента 2. Произведем исследование V(Z) и М(0) на антирезонанс. С этой целью рассмотрим равенства

sin aZ ch aZ — cos a/ sh a/ =» 0, sin a/ + sh a/ = 0.

sin aZ ch aZ — cos a/ sh a/ =» 0, sin a/ + sh a/ = 0.

(17.242)

(17.242)

Первое из них преобразуется к виду

tg а/ = th а/.

Первое из них преобразуется к виду

tg а/ = th а/.

(17.243)

(17.243)

Корнями этого трансцендентного уравнения являются (aZ)i == 0, (aZ)2 = с и = 2 можно пользоваться прибли-

Корнями этого трансцендентного уравнения являются (aZ)i == 0, (aZ)2 = с и = 2 можно пользоваться прибли-

3,926602, (a/3)

3,926602, (a/3)

женной формулой

женной формулой

7,068581,

7,068581,

начиная

начиная

(叫〃

(叫〃

[1 +4(” 1)]冗

[1 +4(” 1)]冗

4

4

(17.244)

(17.244)

sin。/

sin。/

sha/

sha/

дающей тем ббльшую точность, чем

дающей тем ббльшую точность, чем

больше n;

больше n;

при п = 2; 3 эта формула дает соответственно

при п = 2; 3 эта формула дает соответственно

tga/丿

tga/丿

^thaZ

- 网2/

^thaZ

- 网2/

tha/

tha/

3

3

〃夕

〃夕

£z

£z

，丝2 «F

，丝2 «F

Рис. 17.85. к примеру 17.35. Графическая трактовка реше-ния уравнения tga/ = tha/.

Рис. 17.85. к примеру 17.35. Графическая трактовка реше-ния уравнения tga/ = tha/.

slncr/

slncr/

Рис. 17.86. К примеру 17.35» Графическая трактовка решения уравнения sin а/ + + sh а/==0.

Рис. 17.86. К примеру 17.35» Графическая трактовка решения уравнения sin а/ + + sh а/==0.

четыре, шесть верных знаков. Для наглядности на рис. 17.85 показана графическая интерпретация решения уравнения (17.243). Таким образом, при указанных выше значениях a/ (n > 1) наступает антирезонанс для прогиба на конце консоли. Корень (a/)i не рассматривается, так как частота вынуждающей силы не равна нулю.

Проверка на антирезонанс величины М(0), аналитически выражаемой зависимостью (17.242)2, показывает, что он не наступает, поскольку уравнение (17.242)2 не имеет вещественного решения, кроме (a/)i = 0. Графическая интерпретация этого утверждения показана на рис. 17.86. Действительно, при

а/= 0 касательная у графиков sin а/ и sh а/ общая, (sin а/)7 = cos а/, (sh а/)' = ch а/, но при а/ = 0, cos а/ = ch а/ = 1, т. е. касательные к графикам функций sin а/ и sh а/ при а/ = 0 совпадают; при а/ > 0 график функции sh aZ располагается выше указанной касательной, а график функции sin а/ ——ниже касательной. При указанных условиях графики функций sin а/ и sh а/ нигде не пересекаются. Таким образом, для М(0) антирезонанс не на・ ступает. Найдем теперь численное решение задачи при a = 3-10~3 см^. Этому значению а соответствует aZ = 3-10~3*3-102 = 0,9 радианов или 51,5662°. При этом sin а/ = 0,7833269, cos а/ = 0,6216100, sh а/ = 1,0265155, ch а/ = =1,4330855; cos aZ ch aZ + 1 = 1,8908203; cos aZ + ch a/ = 2,05469; sin a/ + + sh a/ = 1,8098424, и формулы для V(z)t 8(z), Ai(z) и Q(z) приобретают следующий вид:

V ⑶=J。?"弋匸崎-⑵0547 (sin az — sh az) — 1,8098 (cos az — ch az)],广⑶=0 (г) = -^ 035彳j—石 e[【2,0547 (cos az —ch аг)+1,8098 (sin az+shaz)],—EIVf, (z) = M (z) = [ j 讶：。16二5 [2,0547 (sin az + sh az)—1,8098 (cos az+ch az)]，-EM〃⑵=Q ⑵=^^ [2,0547 (cos az + ch az) + 1,8098 (sin az - sh аг)].

Численные значения функций, подсчитанные по этим формулам, приведены в таблице 17.18. Эпюры функций представлены на рис. 17.87.

Рассмотрим характер изменения функций в зависимости от z при а/, значительно большем рассмотренного выше. Заодно проиллюстрируем нагрузку, характерную для антирезонанса. С этой целью примем а/ по формуле (17.244) при п = 2, т. е. примем а/ = 9л/4 = 7,06858 радиан (405°, тригонометрические функции при этом такие же, как при 45°), a = 0,02356194 см-\

sin aZ = 0,70711,cos aZ = 0,70711;

sh a/ = 587,24,ch aZ = 587,24;

cos aZ ch a/ + 1 = 416,24;2 (cos a/ ch aZ + 1) = 832,48:

2a3 (cos a/ ch a/ + 1) = 1,0890 • 10~2 ^jw~3;

2a2 (cos aZ ch a/ + 1) = 0,46217 cm-2;

2a (cos a/ ch a/ + 1) = 19,615 cjw";

cos a/ + ch a/ = 587,95, sin a/ + sh a/ = 587,95.

Поскольку общий вид формул для У (г), ..., Q(z) выше был дан, формулу для этих функций при частном значении а/ не показываем и приводим результаты вычислений в таблице 17.19, а также графики на рис. 17.88. Чем больше а, тем большее число волн имеется в графиках всех функций V, 0,

Q.

Пример 17.36. Вывести дифференциальное уравнение колебаний балки с распределенной массой при условии, что материал балки представляет собой упруговязкое тело Кельвина — Фохта, реологическое уравнение которого имеет вид a = £е + 右瓦

Решение. Выразим деформацию через кривизну (см. формулу (12.5)) е = =Wp = —ди", тогда напряжение определится по формуле о = —Еди"— ——kybn. Теперь найдем выражение для изгибающего момента по формуле.

М% =〈 оу dF = — Ev,f \ # dF + ^^ f у2 d尸.

Т а блица 17.18

2

Pci3

8⑶Е/

Pel2

M(Z) ТУ

Q⑶

0

0

0

-1,0635

1,0867

0,1

0,0051367

0,10092

-0,95488

1,0866

0,2

0,019822

0,20213

—0,84623

1,0858

0,3

0,042969

0,27017

—0,73774

1,0838

0,4

0,073510

0,33853

-0,62954

1,0800

0,5

0,11020

0,39610

-0,52182

1,0740

0,6

0,15234

0,44292

—0,41483

1,0653

0,7

0,19855

0,47910

-0,30755

1,0539

0,8

0,24782

0,50485

-0,20415

1,0393

0,9

0,33634

0,51993

-0,10110

1,0213

1.0

0,35147

0,52024

0

1

Таблица 17.19

103 P ⑶ е/ РН

1026 ⑵ Е/ А〃

ЮМ

Q

0

0

0

-1,9967

1,41

0,033333

0,10222

0,58778

-1,5267

1,41

0,066667

0,37407

1,0189

-1,0600

1,39

0,1

0,76444

1,3000

—0,60333

1,34

0,13333

1,2222

1,4222

-0,16833

1,26

0,16667

1,6963

1,4Ш

0,23300

1,14

0,2

2,1481

1,2778

0,58667

0,980

0,23333

2,5407

1,0311

0,88667

0,787

0,26667

2,8222

0,69333

1,1067

0,561

0,3

2,9889

0,29667

1,2533

0,318

0,33333

3,0185

-0,13333

1,3167

0,067

0,36667

2,9000

-0,57222

1,3000

-0,180

0,4

2,6370

-0,99111

1,2000

-0,412

0,43333

2,2444

— 1,3667

1,0267

-0,616

0,46667

1,7370

— 1,6444

0,81333

—0,782

0,5

1,1407

-1,8889

0,51000

-0,902

0,53333

0,48889

—2,0111

0,19800

—0,970

0,56667

-0,18518

—2,0222

—0,12900

-0,983

0,6

—0,84444

-1,9222

—0,45000

-0,940

0,63333

— 1,4555

— 1,7222

-0,75000

-0,844

0,66667

-1,9815

— 1,4222

-1,0067

-0,700

0,7

-2,3963

-1,0544

-1,2133

-0,517

0,73333

-2,6778

-0,62555

-1,3500

—0,305

0,76667

-2,8111

-0,16333

-1,4133

-0,075

0,8

-2,7852

0,30718

-1,4000

0,159

0,83333

-2,6074

0,76111

-1,3067

0,384

0,86667

-2,2852

1,1722

-1,1467

0,589

0,9

-1,8333

1,5222

-0,92000

0,761

0,93333

-1,2815

1,7778

—0,64333

0,891

0,96667

-0,65926

1,9444

-0,33100

0,972

1

0

1,9889

0

1

190

空勿%仙У

而g〃

42 44 〃夕 〃8 Z"工〃

华华伊伊却我

а》，

Ро

Рис. 17.88. К примеру 17.35. График функций V (z), в (z), М (z) н Q (z).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Рис. 17.87. к примеру 17.35 Графики функ-ций V (Zb е (z). М (Z)н Q Q).

М% = - EIxvn -々 W・

Используя уравнение равновесия Мх = — ^, получим

Е х 而 + k х dz4 df %

В случае свободных колебаний балки qy представляет собой интенсивность сил инерции qy = —т d2v/dt2. Таким образом, окончательно искомое уравнение приобретает вид

3%@5。д2。

e~而+"后加 +б万声=°.(17245)

Пример 17.37. Найти функцию и, а также 令*, Мх и Qy, для призматической консольной балки, материал которой упруговязок (тело Кельвина —— Фохта), в случае, если балка испытывает воздействие гармонической сосредоточенной поперечной нагрузки Р = Ро sin со/, приложенной к свободному концу консоли. 、

Решение. Колебания балки описываются уравнением (17.245). В рассматриваемом случае граничные условия имеют вид

и (0, /) = / (0, /) = 0, £/%『'(/, f) + klxv^ (/, f) = - М (厶 /) =0,

(17.246)

EIM" & f) + 左％少〃(厶 f) = 一 Q (厶 f) = 一 Po sin o)t''

Поскольку в уравнение (17.245) входят и первая, и вторая производные по 厶 представить решение при помощи одной тригонометрической функции (sin со/) нельзя. Решение ищем в следующей форме:

и (z, t) = ух (%) sin о/ + 厂2 (%) cos o)f:(17.247)

тогда

dv/dz =心(az)=匕 sin со/ + U； cos со/ =出(az) sin of + 02 3) cos a)f;

乎u【d必=匕‘ sin of + V2 cos o/; 炉勿。/ =叫〃 sin о/ + У『cos cof;

。％/0丿=p；v 5汨①/ _|_ у IV cos ①奪(17.248)

О%/(оУ 况)=厂‘① cos з/ — 7^vo sin co/;

d^v/dt2 =—匕(z) co2 sin 0/ — V2 (z)①2 cos a)t

Подставляя (17.248) в (17.245), получаем (для упрощения записи индекс х у / опущен)

EW；V sin 8/ + Elvw cos 8/ + /々卩门① cos sf — /々吟V® sin (Of -

—mV^ sin о/ — znP282 cos cof = 0, или

[EW；V 一 /々卩肾①-加公卩 j sin a)f + [EIV^ + IkV^Q 一 ma?V^\ cos sf = 0.

Вследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/ это равенство выполняется при условии

£7U]V 一仅3丿肾一例①=0,

(17.249)

EIV^ + IkmV^ - mo2V2 = 0.

Получили систему однородных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно функции % и 吗

Граничные условия (17.246) после подстановки в них (17.248) приобретают вид

叭(0) sin со/ + %(°)cos cof = 0,

V[ (0) sin(of + P； (0) cos st — 0,

[Е/ 匕'(/) 一 klsV； (Z)]sin cof + [EW( (Z) + kl^Vi (Z)] cos ①f = 0, (17.250)

[EW；〃 (/) 一 々/co匕(/)]sin o)f + YEIV^ (0 + 々Ao匕〃 (/)] cos о/ =

=—Po sin cot

Равенства (17.250) вследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/ могут быть выполнены лишь при удовлетворении следующим условиям:

%(0)=0, % (0) = 0, £7%(/)i/coPf (/) = 0,

£7匕〃 (/) — kl^f (I) = - Po，(17.251)

%(0) = 0, U；(0) = 0, EIV2 (/) + Ai Wjz (/) = 0,

EW『⑴+々/①匕〃⑺=0. (17.252)

Структура уравнений (17.249) такова, что позволяет свести их к одному уравнению относительно одной комплексной функции. Для этого умножим уравнение (17.249) 2 на i (мнимая единица) и результат умножения сложим с уравнением (17.249)1； после указанных операций получаем

EI(V^ + 加貝)一加8(7IV - ,p:V) 一 m①2 (% + 泞2)= 0, или

(% + "2尸V (e/ + "々①)一 /nd (% + 汐2)= 0.(17.253)

Введем комплексную функцию

V = Ki +62,(17.254)

тогда (17.253) приобретет следующий вид:

(17.255)(17.256)(17.255)(17.256)Vw - а47 = 0;здесь〜4 zno2а = El + ilkm

(17.255)

(17.256)

(17.255)

(17.256)

Подвергнем аналогичному преобразованию и граничные условия — умножим обе части всех равенств (17.252) на i и результат умножения сложим с соответствующими равенствами (17.251); тогда, учитывая (17.254), получим

丿 (0) = 0, Г (0)==0,卩"(2) = 0,『〃(/)= 一寫^.

Поскольку уравнение (17.255) совпадает с уравнением (17.237) с точностью до вида коэффициента а4, интеграл уравнения (17.255) совпадает в (17.241)1 с точностью до вида коэффициента перед квадратными скобками. Учет отличия в виде коэффициента а4 состоит в замене формулы (17.237)3

на (17.256), а учет отличия коэффициента перед квадратными скобками — в замене MEI в (17.241) на 必八加炉).Итак, имеем

Р ⑶—2m(o2 (cos a/ ch aZ + 1) 义

X [(sin а/ + sh a/) (ch az — cos az) + (cos a/ + ch a/) (sin az — sh az)].

Представим V в явной комплексной форме. Начнем с рассмотрения а, учи* тывая (17.256). Ввиду очевидности выкладок пояснения опускаем,

V

/no)2— 4 / /по2 (£/ — 〃/го>)

EI + ilkm = 严川+八火炉 ，

El —"々co = p (cos ф + / sin <p),p = «£2/2 + 厶必炉 =£7,1 + (")) <p = arctg (-粤

粤升粤升EI — ilkay = EI 71 + ("^Dos arctg (—普)+ / sin arctg

粤升

粤升

EI — ilhs = a】+ 血,

Qi = EI = EI д/1 + ^-^У cos arctg (—^)，

瓦 0 - /As == EI 71 + ("^)2 sin arctg (— "^")，

a = Л Vp (cos ф + Z sin cp) == 4 Jp (cos 手 + i sin 子)：

л4/以

здесь 4 = V 公斤2+ 7/2炉-■ итак,

a *= a2 + /b2。

(17.257)(17.257)a? = 4 “Е/ д/1 + (碧 J cos [} arctg (-碧亦历=4 7EI "1 + (幣sin [； arctg (-警)}

(17.257)

(17.257)

Представим теперь в виде комплексных чисел выражения sin а/, cos а/, sh а/, ch а/, sin az, cos аг, sh az, ch az:

sin а/ = sin (a2 + 电)/ = sin а2/ ch 尻/ +，cos a2l sh b?l 二 @з + /63,

cos а/ = cos a2l ch b2l —，sin a21 sh b2l e a4 + ib^

sh a/ = sh a2l cos b?l + / ch a2/ sin b2l =他 + ib^

ch a/ = ch a2l cos b2l + / sh a2Z sin 尻/ = @6 + 电；(17.258)

sin az = sin a2z ch员2+i cos 做之 sh b?z == %i+ Api,

cos az = cos a2z chb2z—，sin a2z sh 历？ == %2+ /屮2,

sh az = sh 口2之 cosb^z+j ch а2г sin b^z = %з+ /фз,

ch az = ch a2z cosb2z+i sh &% sin b^z == %4+，屮4・

Формулы для а§,...,匕6, Хь • •.,屮4 не приводим вследствие их очевидности (см. формулы (17.258)).

Таким образом, функция V(2)приобретает вид

° ⑶=可版[1 + & +，^) ^6 斗力6)] "S + 仇)+ & + 电)]X

X I(X4 + 绅4)- (%2 + 绅2)]+ [(a4 + /方4)+ (a6 + 加6)][(%I + 叫 1) - (%3 + 州3)]},

или, после преобразований по разделению действительной и мнимой частей,

ют ® + м ⑶， где

% ⑶=酱【4〃⑶+ 4%⑶+ 4a⑶+ 4a⑵L

здесьздесь%⑶=罟[-42a⑶+ 4u2⑶一 44⑶+ 4"⑵I；

здесь

здесь

4 = b [08(a3 +a5)一b8 (b3 +b5)]，

(17.259)(17.259)А2 = В [一@8 (Ьз+ 匕5)— 厶8 (&3+ @5)】,

(17.259)

(17.259)

4 = b [a8(a4 +a6)-b8 (b4 +ь6)],

4 = b [一08 (b4+ b6)- b8 (04+ a6)]；

Е1 1

2/%0)2 n7 + *

@7=1+ a406 一 b4%6, ь7 = 力4a6 + 0466,q8 =a2@7 + b2b7, b8 =b2a7 —@2b7；

G (z) = %4 - %2 = ch 做2 cos b2z - cos 咏 ch 左爲 。2 (?) w 屮4 —屮2 = sh 曲2 sin b2z + sin 做之 sh b2zf Us (z)==力—Уз = sin a22 ch b2z — sh a2z cos b2zt u4 ⑶=电 一a = cos做2sh 历2 一ch а2г sin 厉N

Искомые функции u(z, f), ®(z, f), M(z, f) и Q(z, f) выражаются через 匕(2)и % (?) и производные этих функций следующими формулами (первая из них — это формула (17.247))

о (爲 f) = У\ ⑵ sin о/ + % ⑶ cos о/,

0 (爲 0 = J(2, 0 =匕(z) sin of + У；(N)COS 3f == 0J (z) sin of +

+ @2 (z) COS of,

M (爲 f) « E〃〃(2, f) + k!vH (г, 0 =(17.262)

=El(Vr((z) sin of + V2 ⑶ cos of) + Л/о (匕‘⑶ cos of — У? (z) sin of)=

=[E/0： (z)—々/①卩彳(2)] sin of + [E/Р? (z) + kIa)V^ (z)] cos sf =»

=Ml ⑶ sin 0/ + “2 (z) COS ©/,

Q (爲 /) = ”(z, f) = [Eiv^f (z) - kl^r (2)] sin of +

+ [£W『⑵ + 々/з匕〃 (z)] cos sf = Q] (z) sin co/ + Q2 (z) cos cot

В производные функций 匕(а) и %(z) входят производные функций U/(z) (/= 1, 4). Выражения для производных функций Ui(^ «» =1, ..., 4) приведены !) в табл. 17.20. После выполнения преобразований, отвечающих формулам (17.262) и таблице 17.20, получаем следующие выражения для 0!(г), 02(2), М](г), М2З), Qi(z), QzG)：

也(z)=誓[当力 + %% + JU； + B4"]，

02(2)=等[一甩u1 + 勺и2 一 反讨 + J"]；

Ml (z) = P。/ [CJ； + c2u* + qu； + C4U：],(17.263)

M2 (Z) = P。/ [一，2。； + cu； — CJ； + C3U；]，

Qi (z) ^ Po [叩3 +D2u4 + %U； + d同

Q2(2)= Po [- %% +。山4 一。4〃； + A。；]，

где

b] = - (402 + /也)，& = (4方2 - 402)/,

4 = (4a2 + 42b2)4& == - (462 -/202)厶

C]=[(4i +偿 %)(唠_從)+ (/2 一謂 4) 2。2无卜2，

C2 H [一(41 + "^ 4) 2@2% + ("2^, /1)(磺—^2)]产

e3 = [(& + "■"4)(状-嗡一("4 一 "後 4) 2。2%>2, e4 = [(& + "^ 44)2砧2 + (/4 - ~^ 43)(成一喲]尸；

D『[(4+筝/2)(3。2成一磅)-(42 -粤4)(3呦2 -成)卜*

02 =[("1 + " &)(3碌>2 -")+ (/2 -陪41)(3。2從-喲卜Г

"3 = [(4 + 普"J(3的姆一磅)-(44 -普 4)(3期2 -碣)卜г

04 = [(& + 粤44)(3Q孤一战)+ (/4 -粤 &)(3。2礎-q?卜*

Дальнейшее решение представим в численном виде при

/ = 300 см, / =« 105 CM4t E = 3 • 105 kF/c* s = 60л \[сек,k = 1600 кГ • сек/см, tn = 0,0016 кГ • сек^/см' Pq = 3000 кГ.

Таблица 17.20

1

2

3

4

〃〃

♦ Ui

(^2 一城)。:-

2a2b2ub

(3a2磁一a2)^3 + +(3Q机一咖4

U2

2a2b2U\ +

+ (磅-状)u； _(3a 盜 2T, % + +(За2&2 — W) 〃4

5

-a201 + ь2u2 侬-嗡u； +

+ 2a2b2u； (з026，一圖)u1 + +(3а凱一的)u:

〃4

一6201 - 02°2

一 202b2 % +

+ （城-电и：

-（3w力2一居）u；+ +（3喇一圖）。；

U； (z) = ch。2之 cos %2 + cos а/ ch b^ U； (z) == sh 旳之 sin b2z — sin a2z sh %z UJ (z) == sin a2z ch b2z + sh a2z cos 无^, U； 3) = cos a2z sh b^z + ch a2z sin %z・

Найдем & и b2 по формулам (17.257):

/по2Г 1, /也①

二中+⑺尸hEr)卜

0,0016.3600л2Г 11600.60л \1

而W+总萨)产七

= 0,0059292 см-\

瓦=〃еМ，：®1еу sin Н arctg(- Т-)] =010011835 '"f

После этого вычислим величины

а2/ = 0,0059292 • 300 = 1,7788,

尻/ ^ 0,0011835 • 300 = 0,35504.

sin 力2/ = 0,34763, cosp2/ = 0,93763, sh 尻/ = 0,36255, ch 力2/ = 1,0637.получим@5 = sh @2/ cos 尻！ = 2,6974, “ =ch a2l sin bd = 1,0588, 的=ch &/ cos 62/ = 2,8558, Z>6 = sh &/ sin 62% в 1,0001.sin 力2/ = 0,34763, cosp2/ = 0,93763, sh 尻/ = 0,36255, ch 力2/ = 1,0637.получим@5 = sh @2/ cos 尻！ = 2,6974, “ =ch a2l sin bd = 1,0588, 的=ch &/ cos 62/ = 2,8558, Z>6 = sh &/ sin 62% в 1,0001.Определим значения функций sin @2/ = 0,97845, cos ад/ ^ — 0,20648, sh @2/ = 2,8769, ch &/ = 3,0457, Воспользовавшись формулами (17.258) Аз = sin а2/ ch b?l = 1,0408, 6 3 = cos &/ sh 尻/ == — 0,074860, 。4 = cos а2/ ch 左/ = — 0,21963,

sin 力2/ = 0,34763, cosp2/ = 0,93763, sh 尻/ = 0,36255, ch 力2/ = 1,0637.

получим

@5 = sh @2/ cos 尻！ = 2,6974, “ =ch a2l sin bd = 1,0588, 的=ch &/ cos 62/ = 2,8558, Z>6 = sh &/ sin 62% в 1,0001.

sin 力2/ = 0,34763, cosp2/ = 0,93763, sh 尻/ = 0,36255, ch 力2/ = 1,0637.

получим

@5 = sh @2/ cos 尻！ = 2,6974, “ =ch a2l sin bd = 1,0588, 的=ch &/ cos 62/ = 2,8558, Z>6 = sh &/ sin 62% в 1,0001.

匕4 n — sin 做2 sh b& = — 0,35474,

Имея в виду формулы (17.260), найдем

@7 = 2,8535.10~7 см^3,力7 в — L3664 -Ю"7 слГ\4+6^=10,010-io-14 ”6.

На основании формул (17.259), (17.264)—(17.266) с учетом (17.260) и (17.258)

Аг = 0,012562, В】=0,020474, & = 一 0,66453, 5 = 1,3012, 力2 = —0,15907, 82 = 0,20217, С2 = - 0,33550, D2 == 0,36084, Л3 = 0,010748, & в - 0,034132, Сз = 0,46242, А = 0,90903, Л4 = -0,11151, 区4 = - 0,28741, С4 = 0,24358, D4 == 0,26909.

Наконец, имея в виду формулы (17.261) и формулы для функций U；, U；, помещенные в таблицу 17.20, а также найденные значения a2G и 卜2乙 находим функции Ui (z) и U； (z) (i = 1, 2, 3, 4).

Таблица 17.21

Z

（0川）

瓦声"（N）

1°2Е/ 〃，\

R %(2)

而包（名）

М⑵

m⑶

Qi(z)

Q2(n)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ПО 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

0 -0,02 -0,07 -0,15 —0,26 -0,40 -0,56 -0,75 —0,96 -1,18 -1,42 -1,67 -1,94 一2,20 一2,48 -2,77 -3,06 -3,34 一3,63 一3,92 -4,21 —4,49 —4,76 -5,04 -5,31 -5,57 -5,83 -6,08 -6,33 -6,58 -6,83

0,05 0,22 0,48 0,84 1,30 1,84 2,47 3,18 3,96 4,82 5,74 6,73 7,78 8,88 10,04 11,24 12,48 13,76 15,08 16,42 17,80 19,22 20,63 22,09 23,53 25,00 26,47 27,96 29,44 30,93

0 -0,105 一0,203 -0,294 一0,378 一0,454 —0,524 -0,587 —0,643 -0,693 -0,735 -0,772 一0,801 —0,826 -0,844 -0,857 —0,862 一0,868 -0,865 一0,862 -0,853 一0,842 —0,830 -0,814 -0,798 —0,783 -0,769 -0,755 -0,745 —0,738 -0,734

0 0,326 0,639 0,940 1,226 1,500

1,761 2,009 2,244 2,466 2,675 2,872 3,056 3,227 3,386 3,533 3,667 3,779 3,902 4,002 4,089 4,170 4,248 4,296 4,343 4,385 4,418 4,440 4,457 4,465 4,468

-1,329 -1,268

-1,208

-1,147 一 1,087 -1,027

-0,966

-0,907

-0,847

-0,788

-0,730

—0,673

-0,616

-0,561

-0,508

-0,455

-0,404

—0,356

-0,309

-0,265

-0,223

—0,184 —0,148

-0,116

-0,087

-0,061

-0,041

-0,023

-0,011

-0,003 0

0,671 0,653 0,635 0,617 0,599 0,581

0,563 0,545 0,527 0,508 0,489 0,470 0,451

0,432 0,412 0,391

0,371 0,349

0,327 0,304 0,281

0,257 0,232 0,207 0,180 0,153 0,125

0,095 0,064 0,033

0

1,818 1,818

1,817 1,816

1,812 1,807

1,799 1,788

1,774 1,755 1,733 1,706

1,674 1,637

1,594 1,546

1,492 1,431

1,364 J,291

1,209 1,122 1,028 0,926 0,817 0,701

0,576 0,445 0,306 0,159 0

-0,538 -0,538 -0,538 -0,539 -0,540 —0,542 —0,544 -0,548 -0,552 -0,558 -0,564 -0,573 -0,582 -0,593 一0,605 -0,619 —0,633 -0,650 —0,669 —0,688 -0,709 -0,732 -0,756 -0,784 —0,809 —0,838 -0,867 -0,899 -0,931 -0,965

-1,000

После отыскания 4, В», G, 0, Ui(z) и U；(2) по формулам (17.262) с учетом (17.263) находим искомые функции.

В таблице 17.21 и на рис. 17.89 приведены результаты вычислений.

Рис. 17 89. К примеру 17.87. Графики функций:飞”-匕(г) —линия I, ^/ % ⑶—линиям 10Е/ с0 10Е/ а ,、. Ml (z；и Ма а) С , Qi(z)

■^jp 01 (г) —линия 3, -р^ 0а 3) —лнння 4,линия 5,линия 6,- — ли-

ния 7» м 1 1 *~ линия 8・

Пример 17.38. Найти функцию и для призматической балки на двух шарнирных опорах (одна из них подвижная и в отношении вертикальных пере* мещений обладает свойством вязкости ——реакция в ней связана со скоростью просадки законом R = kv (рис. 17.90)). Балка испытывает вынужденные колебания —колебания под воздействием опорного момента, приложенного к жесткой опоре и изменяющегося по гармоническому закону.

Решение. Колебания рассматриваемой балки описываются дифференциаль^ ным уравнением

m需+弘野=0(17.267)

и граничными условиями

V (0) = 0, £7и〃(0) = - М (0)=-肌 sin 砧 и" (/) = 0, ЕЛ/〃 (/)=々0 (/).

(17.268)

Поскольку в граничном условии (17.268) 4 имеется как четная (нулевого порядка), так и нечетная (первого порядка) производные по f, примем решение в следующей форме:

и(2, f) == % ⑶ sin о/ + 卩2 (z) cos(of・(17.269)

Подставляя (17.269) в (17.267), получим

EIV\v sin о/ + EIV^ cos of — tnV^ sin ①/ — /пР?①2 cos ①/ = 0, или

(EW[V - 7n①2%)sin ①f +(E/%v -加炉％)cos Gif = 0.(17.270)

Вследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/, равенствоВследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/, равенство(17.270) выполняется EIVY -tn(^Vx^^(17.270) выполняется EIVY -tn(^Vx^^при условииEW：v - 7n①2/= 0,при условииEW：v - 7n①2/= 0,然si3/然si3/勿/勿/или叩一a忆=0,или叩一a忆=0,a4a4厅一a4P2 = 0；厅一a4P2 = 0；та)2~еГ-та)2~еГ-(17.271)(17.271)Рис. 17.90. К примеру 17.38.Рис. 17.90. К примеру 17.38.

Вследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/, равенство

Вследствие линейной независимости функций sin со/ и cos со/, равенство

(17.270) выполняется EIVY -tn(^Vx^^

(17.270) выполняется EIVY -tn(^Vx^^

при условии

EW：v - 7n①2/= 0,

при условии

EW：v - 7n①2/= 0,

然si3/

然si3/

勿

/

勿

/

или

叩一a忆=0,

или

叩一a忆=0,

a4

a4

厅一a4P2 = 0；

厅一a4P2 = 0；

та)2~еГ-

та)2~еГ-

(17.271)

(17.271)

Рис. 17.90. К примеру 17.38.

Рис. 17.90. К примеру 17.38.

подстановкиподстановкив них (17.269), приобретаютв них (17.269), приобретаютГраничные условия (17.268), после

подстановки

подстановки

в них (17.269), приобретают

в них (17.269), приобретают

вид

Vi (0) sin G)f + 卩2 (0) cos cof = 0,

У? (0) sin ®/ + V2 (0) cos a)f sin of,

(17.272)

У? (/) sin a)f + Pf (/) cos 0/ = 0,

ElV^f (/) sin of + EW；〃 (/) cos of — kVx (/) з cos sf == kV2 (/) ® sin s/ = 0.

Равенства (17.272), вследствие того, что функции sin со/ и cos со/ линейно независимы, могут быть выполнены лишь при удовлетворении следующим условиям:

匕(0) = 0, % (0)= — 脱/(£7),匕'(/) = о, EIV^ (/) + toV2 (/) = 0； (17.273)

% (0) = 0, 啖(0) = 0, 片⑺=0, E/匕〃⑺一々叫⑺ q 0. (17.274)

Введя обозначение у « ^со/(£/), граничные условия (17.273)4 и (17.274)4 представим в виде

匕〃 (0 + Y% ⑺=0，卩了 (0 一 "1 (0 и 0.(17.276)

В отличие от предыдущего примера, в настоящем примере уравнения относительно функций Vi (аг) и % (az) разделились, однако, не разделены граничные условия для этих функций.

Найдем решения уравнений (17.271):

% ⑵=Ci sin az + C2 cos az + & sh az + & ch az, (〔7 276) P2 (z) =» D] sin az + £>2 cos az + D3 sh az + D& ch az. *

Подставляя (17.276) в (17.273) и (17.274), получаем систему восьми уравнений относительно восьми неизвестных Ci, ..., С4, Di, ..., D4. При этом последовательность использования условий в системе принята следующая:

Рис. 17.91. К примеру 17.38. Графики амплитудный значений функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние балки: /—10% (z) Е〃(號〃)，2—10匕(z)E〃(觀，), 3-包(z) E"(號Z), 4-10* (N)e"(ШЮ, 5 -Mi(2)/號，6 - 10此 ⑵/就，7-Qi (z) 〃號，8-10Q, (z)〃肌.Рис. 17.91. К примеру 17.38. Графики амплитудный значений функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние балки: /—10% (z) Е〃(號〃)，2—10匕(z)E〃(觀，), 3-包(z) E"(號Z), 4-10* (N)e"(ШЮ, 5 -Mi(2)/號，6 - 10此 ⑵/就，7-Qi (z) 〃號，8-10Q, (z)〃肌.(17.273” 2,з, (17.274)1,2,3, (17.273)4 (в форме (17.275)】)(17.27%)】)；(17.273” 2,з, (17.274)1,2,3, (17.273)4 (в форме (17.275)】)(17.27%)】)；и (17.274)4 (в формеи (17.274)4 (в формео о о 1 о о о о 22c1 а а оо оа2о二о о «^ оо о о 1 о о о о 22c1 а а оо оа2о二о о «^ оо о о о оо о о о о0001^0^^^0001^0^^^用О (17.277)HI用О (17.277)HI12341234 CCCCODDD12341234 CCCCODDD

Рис. 17.91. К примеру 17.38. Графики амплитудный значений функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние балки: /—10% (z) Е〃(號〃)，2—10匕(z)E〃(觀，), 3-包(z) E"(號Z), 4-10* (N)e"(ШЮ, 5 -Mi(2)/號，6 - 10此 ⑵/就，7-Qi (z) 〃號，8-10Q, (z)〃肌.

Рис. 17.91. К примеру 17.38. Графики амплитудный значений функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние балки: /—10% (z) Е〃(號〃)，2—10匕(z)E〃(觀，), 3-包(z) E"(號Z), 4-10* (N)e"(ШЮ, 5 -Mi(2)/號，6 - 10此 ⑵/就，7-Qi (z) 〃號，8-10Q, (z)〃肌.

(17.273” 2,з, (17.274)1,2,3, (17.273)4 (в форме (17.275)】)

(17.27%)】)；

(17.273” 2,з, (17.274)1,2,3, (17.273)4 (в форме (17.275)】)

(17.27%)】)；

и (17.274)4 (в форме

и (17.274)4 (в форме

о о о 1 о о о о 22c

1 а а оо оа2о

二

о о «^ о

о о о 1 о о о о 22c

1 а а оо оа2о

二

о о «^ о

о о о о о

о о о о о

0001^0^^^

0001^0^^^

用

О (17.277)

HI

用

О (17.277)

HI

12341234 CCCCODDD

12341234 CCCCODDD

1)В приводимых ниже формулах символы s, с, S, С соответственно обозначают sin а/ cos а/, sh а/, ch а/.

Решая (17.277) относительно Сь С4, Di, ..., D4, получаем

— 肌 4Y2scS2 + a6 {SC [s (s - S) - с (с + C)] + sC3 + sc + cS3} 2£7a24y2s2s2 + a6 (cS - sC)2

5— 2£/a2，

— 就4丫2s2SC + a6 [SC (s2 + c2) 一 sc (S2 + C2) + (s2 + c2) (cS - sC)J

—2£/a24y2s2s2 +。6 (cS - sC)2

耽

^Ё7ё7,

就 2ya3s(s + S)

В = — 2£/a2 4y2s2s2 + a6 (cS - sC*， 02 == 0,

— ЭЛ2ya3s (s + S)

必=—2E/a2 4y2s2s2 + a6 (cS - sC)2，

04 == 0.

Формулы для 杼，Al и Q имеют вид

今(z, f) = 01(2)sin sf + 02(2)cos sf,

M (z, f) =s Mi ⑵ sin sf + М2 (z) cos sf, Q (z, t) = Qi ⑶ sin of + Q2 (z) cos sf, где

场(？)^ V； (z) = C^ cos az — C2a sin az + C3a ch az + C4a sh az,

M] (z) = 一 EIVf^ (z)=

= — £/(— Ci a2 sin az — C2a2 cos az + C3a2 sh az + C4a2 ch az), Q](z) = -E/匕〃(z) =

=—EI (— Cia3 cos az + C2a3 sin a? + C3a3 ch az + C4a3 sh az), ®2 (z) = V2 (z) = 5。cos az + D3a ch az,

M2 (г) = — EIV2 (г) »—£/(— Dja2 sin az + D3a2 sh az), Q2 (z) ^ — ETV；〃⑶= — £/(—。1£ cos аг + D3a3 cH аг).

Результаты вычислений при а » 0,06 см-1 н у = 1000 см^3 приведены в таблице 17.22 и на рис. 17.91.

Пример 17.39. Определить частоты и формы свободных поперечных колебаний призматической однопролетной балки, шарнирно опертой по концам, при условии, что к концу балки с шарнирно подвижной опорой приложена внешняя растягивающая балку сила Р (рис. 17.92).

Решение. Из статической теории сложного (продольно-поперечного) изгиба гибкой балки (см. т. II, гл. XIII, § 13.5, формула (13.23)) известно, что дифференциальное уравнение, соответствующее этому виду деформации балки, имеет вид

E/JV —乂“〃 = g(z)・

2

% (z)E/

匕(N) EI

0t (z) Е/

& (Z) Е/

M (z) I

M2(z)

Qi (z) Z

Qz(z)/

皿2

峻

統 1

0

0

0

0,35053

—0,054973

1

0

—0,75306

—0,089526

0,033333

0,011134

—0,0018319

0,31762

—0,054923

0,97488

—0,0029806

-0,75504

—0,089205

0,066667

0,021184

—0,0036604

0,28554

—0,054701

0,94962

—0,0059399

—0,76072

-0,088244

0,1

0.030179

—0,0054824

0,25431

—0,054455

0,92412

-—0,0088564

—0,76974

—0,086644

0,13333

0,038148

—0,0072946

0,22394

—0,054105

0,89827

—0,011709

—0,78172

—0,084408

0,16667

0,045118

—0,0090937

0,19443

—0,053677

0,87198

—0,014477

—0,79632

-0,081541

0,2

0,051120

—0,010877

0,16581

—0,053i51

0,84516

—0,017138

—0,81319

—0,078046

0,23333

0,056183.

—0,012641

0,13810

—0,052539

0,81775

—0,019673

—0,83199

-0,073931

0,26667

0,060337

—0,014383

0,11130

—0,051845

0,78968

—0,022060

—0,85240

—0,069202

0,3

0,063613

—0,016101

0,085460

—0,051075

0,76090

—0,024280

—0,87411

—0,063868

0,33333

0,066042

—0,017791

0,060590

-0,050233

0,73140

—0,026312

—0,89683

—0,057938

0,36667

0,067664

—0,019453

0,036709

—0,049328

0,70111

—0,028136

—0,92024

—0,051420

0,4

0,068503

—0,021083

0,013854

—0,048366

0,66004

—0,029733

—0,94408

—0,044327

0,43333

0,068599

—0,022680

—0,0079513

—0,047354

0,63817

-0,031084

—0,96809

—0,036669

0,46667

0,067985

—0,024243

—0,028681

—0,046302

0,60550

—0,032171

—0,99201

—0,028459

0,5

0,066699

—0,025770

—0,048309

—0,045219

0,57204

—0,032976

— 1,0156

—0,019707

0,53333

0,064777

-0,027261

—0,066809

—0,044114

0,53780

—0,033479

— 1,0386

—0,010428

0,56667

0,062258

—0,028714

—0,084154

—0,042998

0,50281

—0,033665

— 1,0609

—0,000633

0,6

0,059180

—0,030130

—0,10032

—0,041881

0,46709

—0,033516

— 1,0821

0,009663

0,63333

0,055583

—0,031508

—0,11529

—0,040775

0,43068

—0,033016

— 1,1022

0,020449

0,66667

0,051508

—0,032851

—0,12903

—0,039693

0,39362

—0,032148

— 1,1210

0,031710

0,7

0,046995

—0,034157

-0,14152

—0,038645

0,35596

—0,030896

-1,1382

0,043434

0,73333

0,042087

—0,035429

-0,15275

—0,037646

0,31776

—0,029247

— 1,1538

0,055610

0,76667

0,036826

—0,036668

—0,16270

—0,036708

0,27906

—0,027184

— 1,1676

0,068250

0,8

0,031336

—0,037882

—0,17149

—0,035847

0,23958

—0,024681

— 1,1791

0,081268

0,83333

0,025417

—0,039060

—0,17869

—0,034517

0,20045

—0,021762

-1,1895

0,094730

0,86667

0,019357

—0,040218

-0,18471

—0,034410

0,16066

—0,018374

-1,1973

0,10860

0,9

0,013118

—0,041355

—0,18940

—0,033861

0,12065

—0.014517

— 1,2030

0,12287

0,93333

0,0067454

—0,042477

—0,19275

—0,033566

0,080489

—0,010178

-1,2065

0,13754

0,96667

0,00028315

—0,043587 '

—0,19476

—0,033201

0,040246

—0,0053432

— 1,2077

0,15260

1

—0,0062239

—0.044691

—0,19543

—0,033115

0

0

-1,2067

0,16804

Таблица 17.22 g

nsHAMsKA пЕеормируЕМНХ CSCTEM

4b- XVII

Применительно к рассматриваемому в настоящем примере динамическому поведению балки это уравнение претерпевает следующую модификацию. Во- первых, прогибы V становятся функцией не только координаты 局 но и времени t, в связи с чем вместо 亦 и и〃 一 обыкновенных производных функции и — в уравнение должны войти частные производные d4v/dz4 и d2v/dz2 соответственно. Во-вторых, вместо g⑵，в рассматриваемой задаче о свободных колебаниях балки,

имеем распределенные силы инерции—

md2v/dt2. Таким образом, дифферен-Рис. 17.92. к примеру 17.89.

циальное уравнение свободных попе

речных колебаний призматической весомой балки, подверженной воздействию продольной силы, имеет вид

£/£/или, помещая, как обычно, все члены, содержащие искомую функцию или ее производные, в левую часть дифференциального уравнения, получаем

£/

£/

(17.278)

Дифференциальное уравнение (17.278)—линейное с постоянными коэффициентами, однородное.

Граничные условия для рассматриваемого случая закрепления концов балки имеют вид

и (0) = 0, 吗0) = 0, и(/) = 0,淤(/)==0,(17.279)

где / — пролет балки.

Общее решение уравнения (17.278) представим в форме

и (爲 0 = V (г) sin cot(17.280)

Тогда, подставляя (17.280) в (17.278) и сокращая все члены уравнения, полученного после такой подстановки, на sin о/, приходим к уравнению относительно функции V(z)

EIVW - NV"-他變卩 п о,

или, деля все члены этого уравнения на EI и вводя обозначения

^ 加峻

к уравнению piv — ay” — р展 о.(17.281).

Граничные условия (17.279), при принятой форме (17.280) представления и, приобретают вид

V (0) = ” (0) = 7 (0 = V) = 0・(17.282)

Частное решение уравнения (17.281) примем, как обычно, в следующем виде:

V « Aes\(17.283)!

Вторая и четвертая производные от (17.283) имеют вид

X = As2es\P【V 。 4 4 产(17.283)2,3

Подставляя (17.283)1,2,3 в (17.281) и учитывая приведенные выше формулы для а н В，после сокращения на 4е$2 получаем характеристическое уравнение

s’ 一 as? — р = 0;

корнями его являются

si=7+7*+в, $2=д/- 7子+в,

S3 = 一 “ J + “彳 + В， S4 == — д/у —,亍 + В •

Таким образом, общее решение уравнения (17.281) выражается так:

4

7=£ ЛдвХ(17.284)

Определим постоянные интегрирования из граничных условий (17.282); для этого найдем U"

Zb£ АпзУп\.

Условия (17282) приобретают вид

A\+ Да+ Дз+ 4= 0,

4[S；+ %s^+ 力3考 + ^4S4=&«7 28B)

4或"+ A2eSsl + A3eSil + A^1 =0,

41s亦"+ 42s 犷“ + /sg 卢"+ A^eSkl = 0.

Условие ненулевого решения этой системы представляется уравнением

1111

S； s； S； S；

(17.286)

Sies,z sjeS21 s|e5sZ ^eSkl

Раскрывая определитель и выполняя преобразования, получаем

S 微(eм+"" + e⑸+*)2 一 e(Si+si) Z _ 6(力+$2)Z) +

+ s儲(e⑶+"" + e($i+$2乂 — e®+“" — gGz+ss) Z)十 + s；s； (e⑶+”)z + е($2+$4)Z 一 е($з+$4)z — e($i+$2)Z)十 + s；W (№+*) z + e(si+ss" — e(廃+s山—e®+$2)Z)十 + s妃(№+s4)z + 6®+s2)z — е($2+$з) z — e(si+“)Z)十

+ 喉：(6(北+尋)z + e®+“" _ е®+“) / _ ©⑶+$3)/) = °.".287)

Учтем, что

S1 + S2

$2 + S3

$3 + S4

=д/-J + 7千 + P + д/-у - Ду/* + В，Si + $3 = о, si + $4 = д/ j +，子 + в - л/у — д/"^" + в，

=д/^ - М彳 + В - “ j + “* + В = - ® + s)$2 + $4 = &

:-д/+ д/ + + В - д/-^ - «* + В == - ® + $2),(17.288)

/=^■ + «* + 3 ^ = ^-"* + 3 5з = у + д/7" + Р = sps： = ^_ "牛 + 8 =珊 s微=早一手-0 = _0,sis3 =，v + 2, у д/ 1 + 6 + *+ 8 =子 + 8 +a，号 + 3

s司=—В,s端=—в,

(17.289)

s 猛= *- 2・^M 号+ р + * + В=¥-а/\/孚+ Р + В，s髓=一留

Подставляя (17.288) и (17.289) в (17.287) и выполняя некоторые преобразования, получаем

(40 + а?) (е( V哥 VV+P+VТ- Vf+。)'十 ,-(V1+，号+6+<iW%^) J

_ JA V?^) ) = 0,

или, имея в виду формулу

ех + 6一" = 2ch %,

после сокращения на 2 приходим к уравнению

(40 + as){сьКд/^ + д/^ + в + V у-д/'т + О z]~

_ ch [( д/■J+df+e-д/^-д/*+$)/]}=о.

Применяя формулы

ch (у ± d) == ch у ch б ± sh у sh б,

получим уравнение частот в следующем виде:

(4р + a2) sh(4р + a2) sh(V? + Vt + P /)sh(“^-^/^+B /) = 0・ (17.290)

(4р + a2) sh

(4р + a2) sh

Учитывая, чтоУчитывая, что专-д/半+ Р v&专-д/半+ Р v&

Учитывая, что

Учитывая, что

专-д/半+ Р v&

专-д/半+ Р v&

представим последний множитель в левой части (17.290) следующим образом:

sh ("£-“■?■ +0 / ) = 511e““* + 0-^/)=

=_ ； sin (« «* + Р )'=_ ； sin (« «* + Р )'(17.291)(17.291)

=_ ； sin (« «* + Р )'

=_ ； sin (« «* + Р )'

(17.291)

(17.291)

Если продольная сила отсутствует, то а = 0 и (17.290) приобретает вид 4р sh^K/sh (/ Vp /)=»0.

Учитывая, что —/ sh /z = sin z, получим

—坦 sh V? ^ sin V? / == 0,

или, наконец, sh / sin “6 / = 0.

Учитывая (17.291), из (17.290) получаем три уравнения для отыскания частот

40 + а2n0, sh|/VAV卄…

(17.292)

8也/“果 + § - "I" /)=0・

Корень уравнения (17.292) i отрицательный и не удовлетворяет условию задачи. Единственный корень уравнения (17.292)2 выражается формулой

лА+д/^+в / = 0・(17.293)

При отсутствии продольной силы а = 0 н, следовательно, р « 0. При а 県 0 уравнение (17.293) относительно В также имеет лишь нулевой корень. Удостоверимся в этом:

$ =°.

Освободимся от радикалов в уравнении и найдем 0:

у + "子+ p=e0；子=子 + 8，0 = 0.

Остается рассмотреть уравнение (17.292)3; корнями его являются значения р, получаемые из следующего равенства:

37为1公37为1公(п ^ 1, 2,...).(п ^ 1, 2,...).

37为1公

37为1公

(п ^ 1, 2,...).

(п ^ 1, 2,...).

Отсюда, учитывая формулу для 0, найдем

0 =

Формула для собственных частот приобретает вид

% =^ (爷 + °) *(17294)

Рассмотрим две балки пролетом 2 = 100 см прямоугольного поперечного сечения, выполненные из стали (Е = 2-106 кГ/cm2^ у = 7,85 al с 硝 со следующими параметрами:

/1 =必 з/12 = 1 См\/2 = ^3/12 = 144 см\/1 =必 з/12 = 1 См\/2 = ^3/12 = 144 см\Ai = 1 CMt 瓦=12 см,

/1 =必 з/12 = 1 См\

/2 = ^3/12 = 144 см\

/1 =必 з/12 = 1 См\

/2 = ^3/12 = 144 см\

2)力2 == 12 CMf %2 == 1 CM,

Рассмотрим для каждой из этих балок загружение внешней продольной силой при четырех разных значениях Р = 12 000 кГ, 1200 кГ, 120 кГ, 0 лГ; им соответствуют следующие значения а = N/EI (при этом N = Р):

«1 = 0,006 см~2\ 0,0006 см~2\ 0,00006 см~2 и 0 см~2,

№ = 0,0000416 см~2\ 0,00000416 см~2\ 0,000000416 см~2 и 0 см^2.

Для каждой из балок при каждом значении продольной силы найдены первые три собственные частоты по формуле (17.294). Эти значения частот сведены в таблицу 17.23.

Таблица 17.23

а»

Балка № 1 (*)%

Балка № 2 (礫)),

а2

1

1

2

3

1

2

3

0,006 0,0006 0,00006 0

378,98

180,62

146,70

142,44

904,42

611,51 574,06 569,75

1659,3

1324,5

1286,2

1281,9

1744,9

1712,8

1709,6

1709,2

6872,9

6840,5

6837,3

6836,9

15419

15 386

15 383

15 383

416 - 10~^

416 - 10~®

416.10"

0

Данные таблицы показывают увеличение жесткости конструкции под влиянием продольной силы. Вследствие этого увеличения жесткости первая, вторая и третья частоты в первой (гибкой) балке увеличились (при ^ = = 12 000 ", а = 0,006) соответственно в 2,66; 1,59 и 1,29 раза. Частоты с такими же номерами во второй (более жесткой) балке увеличились при том же N = 12 000 кГ соответственно в 1,02; 1,005 и 1,002 раза.

Жесткая балка менее чувствительна к увеличению частоты свободных колебаний, происходящему вследствие повышения ее жесткости за счет приложения продольной силы.

В обеих балках ужесточающее балку влияние продольной растягивающей силы на высшие частоты меньше, чем на низшие. (Сжимающая продольная сила оказывает противоположное — уменьшающее жесткость воздействие.)

Обсудим отыскание форм свободных колебаний. Сделаем это применительно к балке №1 при а = 0,006. В формулы для s【(i = 1, 2, 3, 4) подставим поочередно значения р/ (/ = 1, 2, 3, ...). Найденные таким образом S，) (f = 1, 2, 3, 4; / = 1, 2, 3 …)поочередно при каждом значении / подставим в (17.285) и от полученной системы однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов 硯)(方=1, 2, 3, 4) перейдем к системе уравне* ний относительно а^ = Л^/Д^ (论=1, 2, 3). Решив эту систему, т. е. найдя 〃У)(々=1, 2, 3), получим значения коэффицентов 4，) с точностью до мно* жителя Л^ ： Д^ = а^лу\ Совокупность коэффициентов 4,)(々=1, 2, 3), выраженных через 4，)，и коэффициент /?)определяют согласно формуле (17.284) форму свободных колебаний, соответствующую частоте ((Ос)/・

Далее приведем все выкладки без пояснений для первой формы свободных колебаний (остальные формы находятся аналогично):

(®c)i m-EI(®c)i m-EI378,98? • 7,85 • 122 - 106 - 1 • 1000-981378,98? • 7,85 • 122 - 106 - 1 • 1000-981=0,0000068958,=0,0000068958,

(®c)i m

-EI

(®c)i m

-EI

378,98? • 7,85 • 12

2 - 106 - 1 • 1000-981

378,98? • 7,85 • 12

2 - 106 - 1 • 1000-981

=0,0000068958,

=0,0000068958,

碎)=，^ + “今 + В ⑴=“号^ + «竺響£ + 0,0000068958 = = 0,083588,

41)= д/у — д/子 + В ⑴==i д/ 7* + В — =入 0,031416,

s$D= — 7 у + Д^ * +6”)= — 0,083588,

sf)== — ^^ ——|- p(D s= — i • 0,031416;

邓、明以明+閔、0，

小。(sfУ + 4° (s£)y + 4° (s£))2 + 4f)(sf))2 = 0,

4"屮/ +第)或屮Z +阁)/d " +闾)紹0 — 0,

川)(sf ))2 缜? 2 + 闘)(sf))2 紹?)4 留)(sg))2 話D』"I)(sf ))2 /)， = 0； 碎)+硬+穹+1 = 0,

(sf))2 碎)+ (£)2 砂+ (或))2 或 + (sf))2 = 0,

箇屮%f)+誡)/限+ d増)+或「」0,(17*295)

(S?)2 或0 %f)+ 侬))2 £)，或)+ 闆))2 易)ta^+ 闾))2 缜也=0.

Решая систему любых трех уравнений, взятых из числа четырех уравнений (17.295), например, первых трех уравнений, получим

4" = о,國)=—1,國)=0.

Таким образом

川)=0,阕D = -/D,第) = 0.

Первая форма свободных колебаний (первый собственный вектор) выражается аналитически так:

р⑴(2)= —• 4?) J・0,03⑷6Z + ли)е-/.0,0314162。

=—碎(J(W416Z_L・O,O31416Z)。一 2Mf)sin (0,031416г),

V■⑴=8⑴ sin -~ z.

Первая форма свободных колебаний балки на двух шарнирных опорах при наличии продольной силы такая же, как и у балки при отсутствии продольной силы.,

Примечание. Более сложной оказывается задача, если продольная сила в балке, совершающей поперечные колебания, статически неопределима. Такая ситуация имеет место, если торцы колеблющейся балки не имеют возможности свободно перемещаться в продольном направлении.

Обсудим сначала ситуацию в рамках статической задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение сложного изгиба

EIxv^ 一 N淤=q.

Выясним зависимость ^ от и. Полное удлинение оси балки выражается формулой

оо

тогда

"р =半=古 \ (需)2 dz， mp ==尸 Ucp = E 尸 %P = 4rJ (翼 y 厶，о0

и уравнение свободных колебаний балки приобретает вид

Пример 17.40. Определить частоты и формы свободных поперечных колебаний весомой призматической балки, шарнирно опертой по концам, с учетом влияния сдвигов на прогибы, а также с учетом инерции поворотов сечений.

Решение. Для того чтобы вывести уравнение, соответствующее поставленной задаче, нам придется использовать уравнения, которые были выведены в гл. XII (т. II).

Поскольку в рассматриваемом случае решается динамическая задача, все функции, характеризующие напряженно-деформированное состояние балки, зависят не только от пространственной координаты, но и от времени, в связи с чем все производные, входящие в уравнения, оказываются не обыкновенными, а частными. Итак, нами используются:

статические уравнения (дифференциальные уравнения равновесия элемента стержня; см. уравнения (12.114))

dQyдМх

-^- + ^ = 0, -^Qy —m* = 0,(17.296)

приобретающие после исключения из них Qy следующий вид:

д2Мх ,д2Мх ,需=。；02需=。；02(17.297)(17.297)

д2Мх ,

д2Мх ,

需=。；02

需=。；02

(17.297)

(17.297)

кинематические уравнения (уравнения совместности деформаций и перемещений; см. уравнения (12.116))

一网=标，"+ Y尸17；一网=标，"+ Y尸17；(17.298)(17.298)

一网=标，"+ Y尸17；

一网=标，"+ Y尸17；

(17.298)

(17.298)

физические уравнения (уравнения закона Гука; см. уравнения (12.118))

必 dQy 1Qg ・ р 〃 尸 f s?

% = Kb研Г'尸"=尸例' "l巧)7TL•

(17.299)

Величины q“ н m* в рассматриваемом случае представляют собой интенсивности распределенных силы инерции и инерционного момента, возникающих в процессе колебаний балки, поскольку при"ее изгибе элемент балки перемещается с ускорением вдоль оси у и поворачивается с угловым укореняем относительно оси %. Величины qy и ш* выражаются следующими формулами:

ЗдесьЗдесьd2vq广一 M中,m%d2vq广一 M中,m%02%力.02%力.(17.300)(17.301)(17.300)(17.301)

Здесь

Здесь

d2v

q广一 M中,m%

d2v

q广一 M中,m%

02%力.

02%力.

(17.300)

(17.301)

(17.300)

(17.301)

В приведенных формулах: m ——погонная масса балки, Jx ——погонный момент инерции массы балки, 1Х — момент инерции площади поперечного сечения балки относительно оси %, р — плотность материала балки.

Вывод уравнения свободных колебаний балки выполним следующим о6・ разом. Из (17.299) найдем учтя при этом (17.296)1 и (17.298)1； в результате получим'

=+ 誇 m 盜•(17.302)

Подставим (17.302) и (17.300) с учетом (17.301" и (17.298) в (17.297). После выполнения указанных операций получим

d^v …，Ek 0b弹^ , ,0% J 。3山 с

—+ m dz2dt2 77r+ %Р d/d/z _“Р @f2 g2 =°・

(17.303)

Остается исключить из (17.303) величину 丫卜,что легко выполняется путем последовательного использования (17.299)2, (17.296)1 и (17.300)1.

В результате исключения уу из (17.303) и изменения всех знаков на противоположные получаем искомое уравнение

d4v , d2v / EIX 、0%10%

m 7r — ("p + *67^ m) d?2 我2 + "p -Qpj 加"дуг = о.(17.304)

Граничные условия для и имеют вид

и (0) = и〃(0) = и (/)=淤(/)・(17.305)

Решение этого уравнения представим в следующем виде

(17.306)(17.306)〃 =I/(2)sin сос/.

(17.306)

(17.306)

V = Aesz.V = Aesz.Подставляя (17.309) в (17.307), получаем характеристическое уравнениеПодставляя (17.309) в (17.307), получаем характеристическое уравнение(17.310)(17.311)(17.312)(17.310)(17.311)(17.312)

V = Aesz.

V = Aesz.

Подставляя (17.309) в (17.307), получаем характеристическое уравнение

Подставляя (17.309) в (17.307), получаем характеристическое уравнение

(17.310)

(17.311)

(17.312)

(17.310)

(17.311)

(17.312)

Подставляя (17.306) в (17.304), получаем

£7J【V + 磽(/*р + «^^_ 加)у"—(团①：一/*Р "^7 破)0 = О・(17.307)

Граничные условия для V, учитывая (17.306) и (17.305), запишем в виде

(17.308)(17.308)V (0) = ” (0) f) = У" (/) = 0. Представим V в следующем виде:

(17.308)

(17.308)

(17.309)

Здесь 厂％ = “/%/尸—радиус инерции площади поперечного сечения балки; vy = F/Fy ——коэффициент приведения этой площади по сдвигу при поперечном изгибе. Отдельные слагаемые в а и р отражают влияние следующих факторов. Первое слагаемое в а——влияние инерции поворотов сечений, второе слагаемое в а и второе слагаемое в р — влияние сдвигов. Таким образом, сохранение в (17.311) лишь первого слагаемого в р дает уравнение колебаний балки без учета, как сдвигов, так и инерции поворотов сечений. Дальнейшее решение примера построим следующим образом. Выполним выкладки не конкретизируя структуру а и р, а после получения соответствующего решения рассмотрим четыре варианта результата: учет влияния обоих факторов, учет влияния каждого фактора самостоятельно, неучет влияния обоих факторов.

Корнями уравнения (17.311) являются

si = Д/ — -^ + а/* + В , S3«= — у + а/* + В， 士(17.313)

$2 =- 7++в, “ - л/- - д/* + в.

Таким образом, общее решение уравнения (17.307) приобретает вид: 4

Определим постоянные интегрирования из граничных условий (17.308) । для этого найдем

тогда (17.308) приобретают вид (17.285) (см. пример 17.39). Условие ненулевого решения— (17.286), а это условие в раскрытом виде оказывается таким, как показано в (17.287).

Формулы для всех комбинаций сумм корней si (17.313), квадратов корней и всех комбинаций произведений квадратов корней получаются аналогичными формулам (17.288) и (17.289) в предыдущем примере, с той лишь разницей, что в рассматриваемом здесь случае перед членом а/2 под внешним радикалом имеется знак минус, тогда как в предыдущем примере — плюс. В связи с этой аналогией обсуждаемые формулы не приводим.

Подставляя эти формулы в (17.287) и выполняя некоторые преобразования, получим

(4р + а2) (еС-*++V-T-V4+₽ ) z +

一 e( V-T+/\/号+B斗内)"一

—) z) = 0,(17.314)

или, производя с (17.314) преобразования, аналогичные выполненным в примере 17.39,

(4р + a2) sh(« — ^ +，子+ 0 /) sin(，^ + Д^-у +В /) = °・

(17.315)

По причине, указанной в аналогичном случае в примере 17.39, для определения интересующих нас значений В используется вытекающее из (17.315) уравнение

корнями которого являются

“子+ В )/ = g S=®1, 2,・・.)•

Отсюда

*孚+ p = *陪+孚，

или, учитывая (17.312),

関2 m磯/ E 、 m磴， 力e2、歯4

~J一犷 8 J.(17・316)

Из уравнения (17.316) находится(ос ——частота свободных колебаний при учете влияния сдвигов на перемещения и инерции поворотов поперечных сечений.

Если учесть только влияние сдвигов на перемещения, то уравнение относительно * приобретает вид

/I%2加磅/I%2加磅需）孚需）孚(17.317)(17.317)

/I%2加磅

/I%2加磅

需）孚

需）孚

(17.317)

(17.317)

При учете лишь инерции поворотов сечений уравнение относительно(ос записывается так:

(17.318)(17.318)几％2 加со?加со?Md

(17.318)

(17.318)

/2 EF т EIX Z4

и, наконец, при неучете обоих факторов,

团磯 m戸

Решим уравнения (17.316) и (17.317), предварительно представив их соответственно так:.

Асо： — В](о： + С = 0,力①：一％峻 + С == 0.

Здесь п^г^九4冗4

EGFJJ C =

81H EIX + l2EF U + 万”，丿，& =+ /2尸G V/

Решения приведенных выше биквадратных уравнений имеют вид

/В】士 — 4ЛС /В2 ±— 4АС

3工2=…丄」4，(磯)1,2 =-，…"2；. (17.319)一

Первая из этих формул дает решение в случае учета и сдвигов и инерции поворотов сечений, а вторая ——решение в случае учета только сдвигов. Решение уравнения (17.318) и решение, соответствующее неучету как сдвигов, так и инерции поворотов сечений, имеют соответственно следующий вид:

"冗4

W=2 2——,8c = "^-/" 1". (17.319)з

CC出门2出门2(17.319)4(17.319)4

C

C

出门2

出门2

(17.319)4

(17.319)4

Если инерция поворотов сечений не учитывается, то второй член в знаменателе в формуле (17.319)з обращается в нуль и выражение для со^ получается таким же, как и в формуле для круговой частоты при неучете инерции поворота сечений.

Рассмотрим две балки пролетом Z = 100 см прямоугольного поперечного сечения, выполненные из стали (Е = 2 - 10б &Г/с儿2, G = 800 000 кГ/см2, у = =7,85 г/сл^) со следующими параметрами:

Л = 1 см,力=24 см, / =匕九з/12 = 2 см^\

2)九==24 см Ь = 1 см, / = 1 • 243/12 =1152 см^.

Определим для каждой из них первые три частоты свободных колебаний, пользуясь тремя формулами (17.319)1,2, з・ Для сравнения определим для обеих балок частоты и без учета инерции поворота сечений (формула (17.319)4). Все указанные данные приведены в таблице 17.24. Будем считать,

Таблица 17.24

Балка № 1

Балка № 2

1

2

3

1

2

3

Без учета сдвигов и инерции поворота сечений (формула (17.319)4)

142,44

569,75

1281,9

3418,5

13 674

30 770

С учетом инерции поворота сечений (формула (17.319)з)

142,43

569,65

1281,0

3340,3

12 537

25 764

Снижение в % % в значении частоты свободных колебаний при учете инерции поворота сечений

0,007

0,018

0,070

2,34

4,28

19,4

С учетом сдвигов (первый спектр частот) (формула (17.319)2)

142,43

569,54

1280,7

3205,6

11 131

21 444

Снижение в %% в значении частоты свободных колебаний при учете сдвигов

0,007

0,039

0,094

6,64

22,8

43,5

С учетом сдвигов и инерции поворота сечений (первый спектр частот) (формула (17.319)1)

142,43

569,5

1280,3

3140,6

10 471

19 360

Снижение в % % в значении частоты свободных колебаний при учете сдвигов и инерции поворота сечений

0,007

0,044

0,125

8,87

30,59

58,94

что против потери устойчивости плоской формы изгиба балки № 2 приняты меры. Использование каждой из формул (l/.319)i, 2 дает два спектра частот; первый из них соответствует знаку минус перед радикалом, а второй — знаку плюс. В таблицу 17.24 помещены лишь первые из двух спектров. Частоты

Таблица 17.25

Балка № 2

1

2

3

Собственные частоты (второй спектр) с учетом сдвигов

Собственные частоты (второй спектр) с учетом сдвигов и инерции поворота сечений

Изменение в % % в значениях частот вследствие учета инерции поворота сечений

48 667

49 675

2,03

56 062

59 597

5,93

65 475

72 527

9,72

второго спектра для балки № 2 помещены в таблицу 17.25, здесь же дается и их сопоставление.

Поучительно обратить внимание на следующий факт. Уравнения (17.316) и (17.317) были получены С. П. Тимошенко. Однако он предложил упростить их, исходя из того, что удельный вес члена, содержащего s& мал. Упрощение состояло в переходе от биквадратных уравнений к квадратным. Покажем эту оценку и упрощенное. решение, а далее обсудим последствия такого упрощения.

Составим уравнения (17.316) и (17.317) в численной форме; они соответственно для рассмотренной высокой балки имеют вид (при n = 1)

0,48024 • 10-22麼 -1,0047 -Ю"13^ + 0,97409 • 10~6 = 0, (17.320) 0,48024 • 10一22吗 —0,95201 • 10"13а)2 + 0,97409 • 10"6 = 0. (17.321)

Теперь для оценки относительного веса отдельных членов (так ее выполнял С. П. Тимошенко) подставим в каждый из членов (17.320) и (17.321) вместо(0с значение 3418,5 этой величины по первому приближению (без учета сдвигов и инерции поворотов сечений), взяв его из таблицы 17.24. В результате этой подстановки получим

0,65584 ・ 10-8； — 1,1741 . ю-6；0,97409 • 10~6;

0,65584 • ЮТ _ 1,1125 - 10"6:0,97409 • Ю-6.

Сопоставляя порядки величин приведенных здесь значений отдельных членов уравнений (17.320) и (17.321), С. П. Тимошенко пришел к выводу о допустимости пренебрежения в этих уравнениях членами, содержащими ①^. Если опустить этот член в уравнениях (17.316) и (17.317), то в результате получим приближенные уравнения

L /2 £尸 k 十 G ~丿十 с /4 > L /2 尸十 £7』с /4 •

Отсюда получаем приближенные формулы для определения частоты свободных колебаний с учетом влияния сдвигов и инерции поворотов сечений

°/ 紋冗2〃z /£、

и с учетом влияния лишь сдвигов

-九2打2 1

下"而""十亙7

По этим формулам для балки № 2 подсчитаны первые три частоты и сопоставлены с частотами, полученными по точным формулам, найденным из биквадратных уравнений. Результаты приведены в таблице 17.26.

Таблица 17.26

Балка № 2

1

2

3

d d н о①г а n与工口

Точная формула

Приближенная формула

% расхождения

3205,5

3199,1

0,20

11 131

10919

1,90

21 444

20 382

4.95

o' н" и S <У

5 工 口 J

\О h »s ST Ш 2 Ж

О л 3 о О 8

。h а о j н h

Точная формула

Приближенная формула

% расхождения

3140,6

3114,2

0,84

10 471

10 133

3,23

19 360

18 234

5,82

Данные таблицы 17.26 показывают сравнительно малое отличие значений частот первого спектра, найденных по приближенным формулам С. П. Тимошенко от точных значений. К тому же следует иметь в виду, что при определении этих частот по точным формулам возникают малые разности больших величин, в связи с чем приходится при вычислениях сохранять большое количество значащих цифр. Поэтому частоты первого спектра целесообразно находить по приближенным формулам. Что же касается частот второго спектра, то их можно находить, пользуясь лишь точными формулами. Практическая важность и этих частот (возникновение резонансов при совпадении с ними получившего практическую реализацию значения частоты вынуждающей силы) обнаружилась значительно позже работы С. П. Тимошенко, в которой дано приближенное решение, вовсе не позволяющее находить частоты второго спектра. Обсужденный факт свидетельствует о необходимости весьма осторожного подхода к упрощениям при исследовании динамического поведения систем.

Как учет сдвигов, так и учет инерции поворотов сечений приводит к снн- жению частот и при этом тем ббльшему, чем выше номер частоты и чем относительно выше балка. Сам факт снижения объясняется тем, что неучет сдвигов и (или) инерции поворотов сечений эквивалентен наложению дополнительных связей на расчетную схему балки, влекущему за собой увеличение ее жесткости, а следовательно, и соответствующих собственных частот. Кроме

того, увеличение учитываемой в расчете инерционности системы само по себе уменьшает собственные частоты. Влияние указанных факторов увеличивается с увеличением номера частоты, поскольку при этом увеличивается число полуволн на оси колеблющейся балки, а следовательно, уменьшается длина одной полуволны и увеличивается отношение высоты балки к длине полуволны, вследствие чего заметным оказывается как влияние сдвигов на перемещения, так и влияние инерции поворотов сечений.

Влияние сдвигов оказывается существеннее, чем поворотов сечений.

Покажем определение первой формы свободных колебаний (собственного вектора, соответствующего первой собственной частоте балки номер два). Это определение полностью аналогично приведенному в примере 17.39. Далее приведем все выкладки без пояснений:

m (сос)1尸Y(sc)；24 • 7,85 • 3340,328

° = —=gEF = 981 • 1000 - 24 - 2- 106 = 4464 ' ° '

R(1)_ 勿(％； —24 -7,85 • 3340,32___10

В 一 ~'£7981 . 1000-2- IO6 - 1152 一 9300 ' ° '

Подставим значения S?) в систему уравнений относительно постоянных интегрирования (см. (17.285) в примере 17.39). Деля все уравнения этой системы на /「，приходим к системе (17.295) (см. пример 17.39). Решая совместно любые три из четырех уравнений этой системы, например, первые три уравнения, получаем

碎)=0,码)=一 1, a$)= 0.

Таким образом,

41) П 0,週)=一题1),喝1)0 0.

Первая форма свободных колебаний (первый собственный вектор) выражается аналитически так:

у ⑴=—/1)/・о,оз ⑷ 6z + ли)е-ьо,оз141бг g

=—л(1)(^-0,03Шбг —厂・。,03⑷6Z)n — 2M(i)sin(0,031416г),

y(D s= В⑴ sin -j- 2.

Первая форма свободных колебаний балки на двух шарнирных опорах, найденная при учете инерции поворота сечений, такая же, как и в случае, если указанная инерция не учитывается.

В некоторых случаях и изложенное выше уточненное приближенное решение (теория С. П. Тимошенко) оказывается недостаточно точным. Так обстоит дело в случае некоторых многослойных стержнещ стержней из армированных материалов, клееной древесины и т. п. В этих случаях приходится применять либо расчет, основанный на методах теории упругости (см., например, работы В. В. Болотина 9 А. Н. Гузя ), в которых обсуждается родственная задача об определении критической силы) либо расчет, занимающий по степени точности и степени сложности промежуточное положение между решением с использованием теории упругости и решением на основе теории С. И. Тимошенко (см., например, статью Н. В. Ивановой).

Резюме о свободных и вынужденных колебаниях. Повторим ввиду их важности некоторые ранее полученные результаты, относящиеся как к системам с конечным, так и с бесконечным числом степеней свободы.

Существенную роль для исследования колебательных процессов в системах играет информация, характеризующая свободные колебания ——собственные частоты, формы свободных колебаний, скорости затухания этих колебаний. Указанные факторы являются динамическими характеристиками системы; они во многом характеризуют в целом динамическую индивидуальность системы, определяющую ее свойства не только при свободных колебаниях, но и при других колебательных процессах.

Число, собственных частот и соответствующих им форм свободных колебаний равно числу степеней свободы системы. Все собственные частоты системы образуют ее так называемый спектр собственных частот. Распределение в нем частот по их численным значениям в разных случаях различно. В общем 《густота》 распределения собственных частот увеличивается с ростом их номеров. Однако в ряде случаев наблюдаются и дру・ гие закономерности; в частности, бывают скопления собственных частот вблизи некоторых мест на числовой оси и даже полное совпадение двух или нескольких собственных частот. При сближении значений собственных частот, а тем более при их совпадении, возникают трудности в определении соответствующих соб* ственных форм.

Если система с й степенями свободы отклонена от положения равновесия произвольным образом и предоставлена после этого сама себе, то возбужденные при этом свободные колебания можно представить как сумму (суперпозицию) k слагаемых, каждое из которых оказывается колебаниями по одной из k собственных форм, происходящими с соответствующими этой форме собственной частотой и скоростью затухания.

Если в начальный момент форма системы совпадает с одной из собственных форм, то при последующих свободных колебаниях эта форма и соответствующая ей частота сохраняются, хотя колебания и затухают.

В некоторых системах наблюдается такая картина. В начальный момент отклонение системы имеет произвольную форму, но спустя некоторое время свободные колебания происходят почти точно по одной из собственных форм с соответствующей собственной частотой. Это объясняется тем, что в такой системе другие слагаемые колебаний, происходящие по другим собственным формам, быстро затухают.

Наиболее важными факторами, характеризующими систему и влияющими на значения частот свободных колебаний, являются массы и жесткости системы (их распределение и уровень значений). Все частоты свободных колебаний понижаются с увеличением инерционных свойств (в частности, масс) системы и увеличиваются с увеличением жесткости системы. При этом изменение различных собственных частот различное.

Введение интенсивного рассеяния энергии (искусственное демпфирование) оказывает незначительное влияние на частоту. Поэтому, желая определить лишь собственные частоты и собственные формы колебаний, сопротивление можно не учиты-. вать.

Свободные колебания вызываются не только начальным отклонением системы от положения равновесия, но и изменением режима возбуждения, приводящего к вынужденным колебаниям. Поэтому, в частности, в процессе пуска и останова машины возникают свободные колебания самой машины и конструкции, на которой она установлена, накладывающиеся на вынужденные колебания.

Для вынужденных колебаний характерно совпадение их час^ тоты с частотой изменения вынуждающего воздействия.

При совпадении частоты вынуждающей силы или кинематического возбуждения с одной из собственных частот системы возникает резонанс.

Интенсивность резонансных колебаний (значения амплитуд) зависит от взаимного расположения как места установки источника колебаний, так и места крепления демпфера по отношению к собственной форме колебаний. Наибольший Эффект как у ис-

точника, так и у демпфера возникает при их максимальном удалении от узлов собственной формы.

В случае сложного закона изменения во времени вынуждаю-* щего воздействия важным является гармонический анализ, поз、 воляющий разложить функцию, выражающую упомянутый закон на гармоники (разложение в ряд Фурье). Если частота одной из этих гармоник совпадает с собственной частотой, наступает резонанс; происходит как бы «сепарация» значительной части составляющих возбуждающего воздействия. Такое явление иногда называют избирательным резонансом.

Понятие о нелинейных колебаниях

Предварительные замечания. Линейные дифференциальные уравнения в состоянии описать процесс колебаний лишь с определенной точностью. Если последняя недостаточна, приходится переходить к более высоким приближениям и удерживать члены более высокой степени, нежели вторая, в разложе

Рис. 17.93. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной восстанавли* вающей силой).Рис. 17.93. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной восстанавли* вающей силой).нии по обобщенным координатам функции П (потенциальная энергия системы (17.80)), а также в разложениях по тем же координатам коэффициентов Я (17.78) в выражении для кинетической энергии и коэффициентов В (17.79) в функции рассеяния. При этом дифференциальные урав< нения, описывающие движение, получаются нелинейными. Причина нелинейности может быть и иного характера, что поясняется ниже.

Рис. 17.93. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной восстанавли* вающей силой).

Рис. 17.93. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной восстанавли* вающей силой).

Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы ——консервативные (ни из системы, ни в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходит уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя.

Ниже на некоторых характерных примерах поясняется либо только вывод, либо вывод и результат решения нелинейных уравнений свободных колебаний применительно как к консервативной, так и неконсервативной системам; качественная сторона нелинейных колебаний, составляю-

рассматривается.щих особый класс, называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденныерассматривается.щих особый класс, называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденныеколебания.

рассматривается.

щих особый класс, называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденные

рассматривается.

щих особый класс, называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденные

Нелинейные свободные колебания консервативной системы. Указанные в заголовке раздела колебания в случае системы с одной степенью свободы описываются уравнением следующего вида:

W + 尸о(9) = 0.

Здесь 尸о(д)——силовая характеристика (характеристика восстанавливающей силы), нелинейно зависящая от обобщенной координаты q.

В качестве примера рассмотрим колебания груза, который при помощи двух упругих проволок одинаковой длины прикреплен к неподвижным точкам Д и В, расположенным на одной вертикали (рис. 17.93). Проволоки в поло-

жении покоя груза имеют предварительное натяжение. Если, приложив некоторую силу, отклонить груз в горизонтальном направлении, а затем устранить указанную силу, то груз придет в колебательное движение, происходящее в плоскости, проходящей через оси проволок в направлении, перпендикулярном линии АВ (силой тяжести груза и проволок пренебрегаем). Восстанавливающая сила представит собой проекцию на горизонтальную ось усилий в прово^ локах, каждое из которых складывается из усилия предварительного натяжения и усилия, возникающего вследствие удлинения, которое происходит при горизонтальном смещении груза из его положения на прямой АВ. Примем в качестве обобщенной координаты величину q горизонтального смещения груза. Длина нити при отклонении груза на величину q равна “肆 + ,2. а относительное удлинение нити

а — д//2 + q2 一 / —

俨F + J俨)万"⑷2 + 2 (]2 j)0产"(e2)2 +...

~2疗 V d .

Напряжение в проволоке, усилие, вызванное ее удлинением, и полное усилие в проволоке с учетом предварительного натяжения сответственно внра・ жаются следующими формулами:

22cos a, cos аcos a, cos аХарактеристика восстанавливающей силы выражается формулой q

2

2

cos a, cos а

cos a, cos а

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

^ + 2® +爷儿』_=0,吟(好+学炉)=0；

в последней записи уравнения учтено, что 7? + 干 а/, поскольку q《I.

Если предварительное натяжение Nq очень велико, то вторым членом в скобках можно пренебречь по сравнению с первым и тогда задача становится линейной.

Для свободных колебаний нелинейных систем характерна зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий, т. е. от размахов колебаний. Так, например, если у системы с одной степенью свободы характеристика восстанавливающей силы симметрична (см. рис. 17.33), то

А

q

Здесь 4 — полуразмах. Это свойство нелинейных изохронностью свободных колебаний. Напомним,Здесь 4 — полуразмах. Это свойство нелинейных изохронностью свободных колебаний. Напомним,Рис. 17.94. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной силой сопротивления): а) механическая схема; б) график зависимости силы трения от обобщенной координаты (смещения); в) график колебательных изменений во времени обобщенной координаты; / — застойная зона; 2)фазовая траектория нелинейных колебаний системы.Рис. 17.94. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной силой сопротивления): а) механическая схема; б) график зависимости силы трения от обобщенной координаты (смещения); в) график колебательных изменений во времени обобщенной координаты; / — застойная зона; 2)фазовая траектория нелинейных колебаний системы.Уравнение движения тела приУравнение движения тела присилы имеет видqiii (―叫一ftng sign 少),—fmg <cq < fmg,силы имеет видqiii (―叫一ftng sign 少),—fmg <cq < fmg,

Здесь 4 — полуразмах. Это свойство нелинейных изохронностью свободных колебаний. Напомним,

Здесь 4 — полуразмах. Это свойство нелинейных изохронностью свободных колебаний. Напомним,

Рис. 17.94. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной силой сопротивления): а) механическая схема; б) график зависимости силы трения от обобщенной координаты (смещения); в) график колебательных изменений во времени обобщенной координаты; / — застойная зона; 2)фазовая траектория нелинейных колебаний системы.

Рис. 17.94. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейной силой сопротивления): а) механическая схема; б) график зависимости силы трения от обобщенной координаты (смещения); в) график колебательных изменений во времени обобщенной координаты; / — застойная зона; 2)фазовая траектория нелинейных колебаний системы.

Уравнение движения тела при

Уравнение движения тела при

силы имеет вид

qiii (―叫一ftng sign 少),

—fmg <cq < fmg,

силы имеет вид

qiii (―叫一ftng sign 少),

—fmg <cq < fmg,

систем называется нечто частота свободных колебаний линейных систем не зависит от начальных условий.

Нелинейные свободные колебания диссипативной системы. Уравнение, описывающее колебания, указанные в заголовке раздела, в случае системы с одной степенью свободы в общем случае имеет вид

* + 尸(0, 0) = 0 и, в частности,

aij + Fi &) +尸о (g) = 0・(17.322)

Функции 戶о и 吊一характеристики соответственно восстанавливающей силы и силы сопротивления (диссипативной силы). Для того чтобы система относилась к диссипативным, наличие члена, содержащего Fj(^), обязательно. Наличие функции Fo(g) придает движению системы колебательный характер. Для того чтобы колебания системы были нелинейными, должна иметь место нелинейность хотя бы одной из функций 尸0 И尸1.

Для диссипативных систем чаще всего строят огибающую кривую свободных затухающих колебаний.

В качестве примера свободных ко* лебаний диссипативной системы можно рассмотреть свободные колебания системы с сухим трением. Имеется тело массы /и, прикрепленное к неподвижной стене пружиной (рис. 17.94). Если в пружине нет усилия, центр тяжести тела находится на вертикали, отмеченной штриховой линией. Выведя тело из этого положения в горизонтальном направлении некоторой силой и, далее, устранив ее, возбудим движение тела в виде колебаний, которые вследствие наличия трения будут затухающими.

Если пружина имеет линейную характеристику, т. е. линейную зависимость между силой и удлинением, то восстанавливающая сила линейна, в противном случае ——нелинейна, условии линейности восстанавливающей

к" 07.323)

Условие (17.323" может быть представлено и так:

—г < <7 < + г, ^R。，

где г == fmg/c и открытый промежуток (—г, +厂)一это так называемая область застоя.

Согласно (17.323), обобщенная координата (смещение груза) равняется б”一смещению при силе (действующей на груз), равной единице, умноженному на величину силы. Последняя складывается из силы инерции и силы сопротивления (кулоново трение). Минус в выражении силы инерции имеется потому, что эта сила направлена противоположно ускорению 仇 а в выражении силы сопротивления — потому, что последняя направлена противоположно скорости. Символ sign обозначает функцию Кронекера (signum — знак). Запись sign q обозначает знак аргумента q в формуле (17.323), f — коэффициент трения, mg ——давление на плоскость, по которой перемещается груз, это дав- ление равно силе тяжести груза, так как плоскость горизонтальна, fmg — сила кулонова трения. Учитывая, что 1/6ц = с, где с — жесткость пружины, получим уравнение (17.323) в следующем виде:

mq + С7 = — fmg sign ^.(17.324)

Нелинейность уравнения (17.324) определяется наличием в выражении силы сопротивления функции sign д, которая при движении справа налево равна —1, а при движении слева направо +1.

На рис. 17.94 показаны: рассматриваемая система, график силы трения, график q = q(t) и фазовая диаграмма в системе осей и % = д и у = х = q.

Найдем решение уравнения (17.324). Пусть имеются следующие начальные условия:

1/=о = ^0» 川力-0=°， Будем предполагать, что

—fmg > “° > ftngt(17.325)

т. е. что усилие в пружине при начальном отклонении тела превышает силу трения】). При выполнении условия (17.325) возникает движение тела. Если 9о > 0, то движение начинается в сторону отрицательных значений на оси % т. е. sign ^ = —1 и уравнение (17.324) приобретает вид

mq +。夕=fmg.(17,326)

Общее решение этого уравнения имеет вид

Отсюда

«®= — Лос sin ①J + Во)с cos sj.

Начальные условия приобретают вид

г 2 + 力=00, В®с = °・

Отсюда

4 0 «о — • о 0 q° 一 г, В =® 0.

Окончательно получаем для д и 寸 следующие выражения:

д =厂 + («о — г) cos со& ^ ^ — g)c (<70 — г) sin sj・ (17.327)

Отметим, что в данном случае нелинейные колебания оказались изохрон* ными.

1) Для упрощения задачи будем считать, что коэффициент трения покоя fi равен коэффициенту трения движения 厶 хотя на самом деле 厶 > 厶

№№ участков (границы участков)

Начальные условия

sign 4

Уравнения для отыскания постоянных интегрирования А и В

Постоянные интегрирования

Общее решение уравнения на участке

Отклонение в конце участка

Проверка на окончание решения

1 (0, 1)

При f = 0 9 == 9о = 9,5г > 0 @ = 0

—1

А + Г = 9о 8](о = 0

4 = 9о — г

Bi = 0

д =

=Qt) COS Ы + г

伙1) = —(9о — 一厂)+ r =

=—Q — 2г)

1 д(1)| = д()—2г= =9,5г — 2г =

=7,5г > г

2

(1, 2)

При f =n/① q = qi < о ^ = 0

+ 1

-&-r = Wl)= =_(90一 2广) 82 s = 0

a2 =90 - 3Г & = 0

e = Q 一

—3r) cos 0/ — г

д ⑵=% — 4г

1 9 ⑵ | = 9о — 4г = =9,5г — 4г =

=5,5г > г

3 ⑵3)

При t — 2л/о) q = «2 > 6 q = 0

-1

左з + г = е⑵=

=до — 4厂

Вз(о = 0

1Д3 =90一 5 Г

& = 0

9 = (% 一

—5厂)cos со/ + г

伙3)=

=—3 — 6г)

1 е ⑶ 1 = до _ 6厂=

=9,5г — 6г = ==3,5г > г

4

<3, 4)

При f = Зл/о g = 4з V 6 g = 0

+ 1

一4一Г=伙3)=

=—Q — 6广)

&s = 0

4 = до — 7厂

& = 0

д = (до —

—7r) cos st — г

д ⑷=% — 8г

1 弘 1 = до — 8г = =1,5г > 厂

5 (4, 5)

При t = 4ji/g) 9=94 > 0 4 = 0

-1

”5 + Г =伙4)=

=до — 8r

В5(в = 0

45 = 9。— 9r

B5 = 0

q= Q —

—9r) cos of + г

伙5)=

=—(д© — Юг)

|е5| = |до—1О" = =]9,5г — Юг 1 = =0,5r V г (конец решения)

nsHAMHKA пЕеОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

7 .2 17 а ц и л 6 а т7 .2 17 а ц и л 6 а т

7 .2 17 а ц и л 6 а т

7 .2 17 а ц и л 6 а т

Величина q сохраняет отрицательное значение при sin sj > 0. Вместе с тем уравнение (17.326), а следовательно, и его решение (17.327) справедливы именно при 4 V 1, поскольку (17.326) получено при условии sign q = —1. Условие положительности sin сос/ сохраняет силу до Зс» =冗・ Этим определяется граница первого участка движения тела. Отклонение тела в конце первого участка находится по формуле (17.327)1：

% = q Is/.冗=г + («о — г) cos 冗=г — (до — г) = — (до 一 2r).

Если 01 V г, то движение прекращается. Если gi > г, то движение тела продолжится, но будет происходить в сторону, противоположную муся на первом участке. При этом sign ^ = +1 и уравнение движения (колебаний) тела приобретает вид ? +确=—fg・

Исследование дальнейшего движения тела производится аналогично показанному для первого участка.

Рис. 17.95. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейными восстанавливающей силой и силойРис. 17.95. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейными восстанавливающей силой и силойМожно определить ^ — число размахов до остановки. Все решение разбиваем на отдельные участки, границы которых находятся в точках 0, 1, 2, ... (рис. 17.94). В пределах каждого из этих участков функция sign ^ сохраняет свое значение, вследствие чего легко находятся постоянные Л и В соответств ующего участка; данные, полученные на конце участка, играют роль начальных данных для следующего участка. В таблице 17.27 приведена вся информация, относящаяся к получению решения для всего отрезка времени от начального отклонения тела (для случая qQ = 9,5 г) до его останова. Движение прекращается, как только впервые достигается выполнение условия qn V г； при этом ^ = и.

Рис. 17.95. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейными восстанавливающей силой и силой

Рис. 17.95. Нелинейно колеблющаяся система (система с нелинейными восстанавливающей силой и силой

сопсоплелеФазовая диаграмма представляет собой комбинацию сопрягаемых в точках, лежащих на оси х, половин эллипсов. Это сопряжение, выполняемое аналитически и обеспечивающее непрерывность фазовой траектории, называется методом припасовывания.

соп

соп

ле

ле

Можно представить систему, в которой нелинейной является не только сила сопротивления, но и восстанавливаю

щая сила (рис. 17.95)*. Учитывая два рассмотренных выше примера, представим сразу уравнение движения этой системы

mq + ftng sign q + ("^ 0 + 学 炉)=0.

Автоколебания.

Общие свойства. Особый тип колебаний составляют самовоз* буждающиеся колебания — автоколебания !), происходящие в так называемых автоколебательных системах.

Термин автоколебания введен А. А. Андроновым, впервые применив* шим его в работе «Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний», доложенной на IV съезде русских физиков в 1928 г. (см. также Андро- н о в А. А.——Сб. трудов.——М.: Изд-во АН СССР, 1956), хотя само явление очень широко распространено и было известным в проявлениях, без уяснения природы, с незапамятных времен (к автоколебательным системам относятся духовые и смычковые музыкальные инструменты, маятниковые часы, ламповые генераторы и др.)・

Для подробного ознакомления с автоколебаниями адресуем читателя к книге: Вибрации в технике, Т. 2, Колебания нелинейных механических си- стем/Под ред, И. И. Блехмана. — М.: Машиностроение, 1979, в которой имеется гл. VI «Автоколебательные системы» (Н. В. Бутенин, В. И. Горюнов, В. С. Метрикин) (список литературы содержит 19 источников).

Для того чтобы с самого начала стала ясна природа автоколебательных систем, опишем одну из них, изображенную на рис. 17.96.

Имеется бесконечная лента, на ней расположено некоторое тело, соединенное при помощи пружины с неподвижной точкой Л (см. рис. 17.96).

Рассмотрим сначала состояние покоя, когда лента не движется. Будем иметь в виду, что тело занимает такое положение (а) на ленте, при котором пружина не напряжена. Пусть теперь лента пришла в движение; тело вследствие наличия силы трения между ним и лентой (сухое трение; см. рис. 17.34) увлекается лентой (захватывается лентой). Происходит натяжение пружины и, когда усилие в пружине по величине достигает значения силы трения, происходит срыв ——проскальзывание тела относительно ленты (позиция, в которой происходит срыв, отмечена на рис. 17.96 точкой Ь). Под воздействием натяжения пружины тело перемещается в сторону неподвижной точки закрепления пружины, т. е. в сторону, противоположную движению ленты. Однако тело не достигает своего исходного положения а, поскольку до этого ——к моменту, когда тело окажется в положении с, вновь вследствие наличия трения происходит захват тела лентой. Далее ситуация повторяется и, таким образом, тело совершает колебания между позициями b и с. Колебания получаются периодическими незатухающими вследствие того, что в колеблющуюся систему (тело и пружина) поступает энергия извне ——со стороны движущейся ленты. Это поступление обусловлено наличием трения между телом и лентой. При отсутствии движения ленты не было бы никаких колебаний. В описанной системе нет внешней вынуждающей силы, не зависящей от колеблющейся системы.

Схема всякой автоколебательной системы может быть изображена рис. 17.97. Существенным элементом ее является так называемый клапан. Он,

。由ттна月 сбнзь。由ттна月 сбнзьРис. 17.97. Принципиальная схема автоколебательной системы.Рис. 17.97. Принципиальная схема автоколебательной системы.

。由ттна月 сбнзь

。由ттна月 сбнзь

Рис. 17.97. Принципиальная схема автоколебательной системы.

Рис. 17.97. Принципиальная схема автоколебательной системы.

с одной стороны, управляет работой системы, регулируя подачу в нее энергии, с другой стороны, через обратную связь колебательная система управляет работой клапана.

Автоколебательная система принадлежит классу автономных систем (см. § 17.2); напомним, что в последних отсутствуют воздействия (с и - л о в ые или кинематические возбуждения), заданные в виде функции времени. Автоколебательная система наряду с диссипативной системой неконсервативна ——находится под воздействием непотенциальных сил. Вместе с тем автоколебательная система незамкнута, поскольку имеется внешнее воздействие.

Основными отличительными особенностями автоколебаний являются:

Незатухающий характер колебаний при наличии сопротивления (трения и т. п.). (Ранее рассматривавшиеся незатухающие свободные колебания являлись идеализированным предельным случаем, соответствующим случаю полного отсутствия сопротивления.)

Возбуждаемость причинами, в свою очередь зависящими от колебаний. (В отличие от автоколебаний вынужденные колебания вызываются вынуждающими силами, не зависящими от колебаний.)

Наличие в системе нелинейного элемента.

Автоколебательная система может пребывать как в режиме установившихся автоколебаний, так и в условиях переходного процесса, который с течением времени приближается к установившемуся режиму：

В случае установившихся автоколебаний автоколебательная система характеризуется тем, что в ней происходят периодические колебания; при этом система может «выбрать» любую из своих собственных форм или комбинацию из этих форм. Такой факт является еще одним подтверждением важности роли свободных колебаний в общей теории колебаний.

Потери энергии восполняются поступлением энергии из источника, не обладающего собственными колебательными свойствами; поступление энергии из источника управляется самим движением системы; период и размах в определенных пределах не зависят от начальных условий.

Автоколебания описываются нелинейным дифференциальным уравнением (или уравнениями), вследствие чего автоколебания относятся к классу нелинейных колебаний. Так, например, в случае системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение имеет вид〔)

aq + F (<7, @)=0. (17.328)

Если F(g, ?) содержит часть, линейную относительно д, то (17.328) приобретает вид

aq + cq^ 尸* (g, ?),

где 尸*(g, 0) — нелинейная часть обобщенной силы (часть функции, оставшаяся после выделения из 尸(д, @) линейной относительно q части). Если 尸*(д, @) мала, то систему называют квазилинейной} при этом автоколебания приближенно описываются зависимостью

q — A sin (о。/ — %), ©о 内 Nc[a .

'Если нелинейность сильная, колебания значительно отличаются от гармонических.

Если на фазовой плоскости имеется несколько предельных циклов, то это означает, что в автоколебательной системе может иметь место соответствующее количество установившихся процессов, у каждого из которых своя амплитуда. Устанавливается тот процесс, в области тяготения которого находятся начальные условия.

Энергетика автоколебаний. Установившиеся колебания мыслимы, если поступающая в систему и теряемая ею энергии равны друг другу. На рис. 17.98 изображена энергетическая диаграмма. Показаны кривые зависимости поступающей в систему (3+) и теряемой ею (3—) энергий. В окрестности точки О, относящейся к состоянию покоя системы, превалирует энергия, поступающая в систему над теряемой ею и, следовательно, система, находящаяся в покое, пребывает в неустойчивом состоянии. Малейшее отклонение системы из положения покоя сопровождается увеличением амплитуды. Это увеличение происходит до величины Д*, соответствующей равенству ординат кривых 3+ и Э_. В положении, определяемом абсциссой (амплитудой) Д*, система находится в устойчивом состоянии. Действительно, если увеличить 4 по сравнению с Л*, то в системе потери энергии окажутся больше, чем поступления, и следствием этого явится уменьшение амплитуды до величины А*. Если

I) Уравнение этого вида относится вообще к автономным системам с одной степенью свободы.

же уменьшить А по сравнению с Л*, то поступление энергии в систему окажется больше, чем потери, вследствие чего амплитуда будет увеличиваться до величины Л*. Вместе с тем диаграмма рис. 17.98 примечательна и в другом смысле ——она показывает, что условие самовозбуждения автоколебательной системы, имеющей энергетическую диаграмму такого типа, как изображенная на рис. 17.98, есть не что иное, как условие неустойчивости ее в состоянии покоя. Системы, в которых малейшее отклонение из положения покоя приводит к возникновению автоколебаний (см., например, рис. 17.98), называются системами с мягким возбуждением. Энергетическая диаграмма, изображенная

Рис. 17.98. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с мягким возбуждением (Э —энергия. Л —амплитуда): /—точка состояния неустойчивого равновесия; 2—точка состояния устойчивого равновесия; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой .системой.Рис. 17.98. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с мягким возбуждением (Э —энергия. Л —амплитуда): /—точка состояния неустойчивого равновесия; 2—точка состояния устойчивого равновесия; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой .системой.Рис. 17.99. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с жестким возбуждением(Э—-энергия,Л —амплитуда):1—точка состояния устойчивого равновесия; 2—точка состояния неустойчивого равновесия; 3—кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой системой.Рис. 17.99. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с жестким возбуждением(Э—-энергия,Л —амплитуда):1—точка состояния устойчивого равновесия; 2—точка состояния неустойчивого равновесия; 3—кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой системой.

Рис. 17.98. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с мягким возбуждением (Э —энергия. Л —амплитуда): /—точка состояния неустойчивого равновесия; 2—точка состояния устойчивого равновесия; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой .системой.

Рис. 17.98. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с мягким возбуждением (Э —энергия. Л —амплитуда): /—точка состояния неустойчивого равновесия; 2—точка состояния устойчивого равновесия; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой .системой.

Рис. 17.99. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с жестким возбуждением(Э—-энергия,Л —амплитуда):

1—точка состояния устойчивого равновесия; 2—точка состояния неустойчивого равновесия; 3—кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой системой.

Рис. 17.99. Энергетическая диаграмма автоколебательной системы с жестким возбуждением(Э—-энергия,Л —амплитуда):

1—точка состояния устойчивого равновесия; 2—точка состояния неустойчивого равновесия; 3—кривая энергии, поступающей в систему; 4—кривая энергии, теряемой системой.

на рис. 17.99, соответствует случаю, при котором состояние покоя является устойчивым. Очевидно, что в такой системе для возбуждения автоколебаний, которому соответствует точка 2 диаграммы (амплитуда 4), необходимо первоначальное отклонение (амплитуду) иметь больше, чем Ль Точка 2 соответствует неустойчивому состоянию системы, точка / (Д = 0)——устойчивому в малом состоянии покоя, точка / (Д = А*)——устойчивым автоколебаниям. Такая автоколебательная система называется системой с жестким возбуждением.

Если на автоколебательную систему с частотой автоколебаний ①。действует внешнее возбуждение с частотой з, близкой к со。, то возможно установление колебаний с частотой з. Такое явление носит название захватывания автоколебательной системы. Необходимость наличия в автоколебательной сн~ стеме нелинейного элемента можно истолковать и при помощи энергетических диаграмм. Действительно, если система линейна, то и Э+ и Э- пропорциональны квадрату амплитуды и, таким образом, графики этих функций представляют собой квадратные параболы. Имея в виду, что

при 4 = 0 Э+ = 0, 3_ = 0,

при 4^0 Э+>0, 3_>0,

обнаруживаем, что квадратные параболы могут расположиться одним из трех способов (рис. 17.100, а, 6, а) (параболы Э = Ы2 при любых k не имеют пересечений). Случаю, изображенному на рис. 17.100, а, соответствует линейная легко самовозбуждающаяся система с неограниченно нарастающими ам* плитудами (точка О в этом случае отвечает неустойчивому состоянию системы). Случаю, показанному на рис. 17.100,6, отвечает состояние безразличного равновесия системы; наконец, случай, представленный на рис. 17.100,8,

относится к невозбуждающейся системе (точка О в этом случае отвечает устойчивому состоянию системы). При автоколебаниях необходимо наличие пересечения кривых Э- и 3+, что мыслимо лишь при условии, что хотя бы одна из кривых ——не квадратная парабола, а в таком случае система нелинейна.

Рис. 17.100. Энергетические графики систем (все графики — квадратные параболы; системы, которым они отвечают, — линейные): а) мягко самовозбуждающаяся система; б) система в состоянии безразличного равновесия； в) невозбуждающаяся система; / — точка неустойчивого состояния системы; 2—точка устойчивого состояния системы; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4 —кривая энергии, расходуемой системой.Рис. 17.100. Энергетические графики систем (все графики — квадратные параболы; системы, которым они отвечают, — линейные): а) мягко самовозбуждающаяся система; б) система в состоянии безразличного равновесия； в) невозбуждающаяся система; / — точка неустойчивого состояния системы; 2—точка устойчивого состояния системы; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4 —кривая энергии, расходуемой системой.

Рис. 17.100. Энергетические графики систем (все графики — квадратные параболы; системы, которым они отвечают, — линейные): а) мягко самовозбуждающаяся система; б) система в состоянии безразличного равновесия； в) невозбуждающаяся система; / — точка неустойчивого состояния системы; 2—точка устойчивого состояния системы; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4 —кривая энергии, расходуемой системой.

Рис. 17.100. Энергетические графики систем (все графики — квадратные параболы; системы, которым они отвечают, — линейные): а) мягко самовозбуждающаяся система; б) система в состоянии безразличного равновесия； в) невозбуждающаяся система; / — точка неустойчивого состояния системы; 2—точка устойчивого состояния системы; 3 —кривая энергии, поступающей в систему; 4 —кривая энергии, расходуемой системой.

Рис. 17.101. Автоколебательная система — тормозное устройство.Рис. 17.101. Автоколебательная система — тормозное устройство.

Рис. 17.101. Автоколебательная система — тормозное устройство.

Рис. 17.101. Автоколебательная система — тормозное устройство.

При исследовании автоколебательных систем характерны следующие задачи: определение частот и размахов установившихся автоколебаний, исследование устойчивости последних, установление характера приближения к уста

новившемуся режиму при рассмотрении переходных процессов.

В качестве еще одного примера автоколебательной системы приведем тормозное устройство, изображенное на рис. 17.101. Вращающийся с угловой скоростью Q вал силой трения захватывает тормозную колодку, но при этом возрастает усилие в пружине, создающее момент, имеющий направление, противоположное моменту трения. Когда момент, создаваемый усилием пружины, достигает величины момента сил трения, происходит преодоление сцепления вала с колодкой и колодка возвращается в направлении, противоположном вращению вала на угол (Мо — Mi)/c. После этого вновь происходит захватывание колодки валом и все повторяется. Торможение происходит за

счет наличия момента, создаваемого усилием в пружине, действующего в направлении, противоположном вращению вала. Величина этого момента пере* менная. Наибольшее его значение равно "о и наименьшее /. На рис. 17.102 изображены пространство состояний (<р, <р, /) и линия тока фазовой жидкости,

характеризующая движение системы.

Плоскость (ф, ср) представляет собой фазовую плоскость. Приведем пояснения к рис. 17.1021) : а) пространство состояний; / (линия 1 — 2 — 3 —..

1) Дифференциальное уравнение колебаний тормозной колодки имеет вид /ф = — с(р + М (Q — ф).

Рис. 17.102 соответствует случаю пренебрежимой малости момента инерции колодки. Если момент упругих сил пружины и момент сил трения не на-

2z勿[.2z勿[.乡乡节节Захбат 勿Захбат 勿Dpe龙〃ьнь近 Ц1/НЛ СDpe龙〃ьнь近 Ц1/НЛ С

2z勿[.

2z勿[.

乡

乡

节

节

Захбат 勿

Захбат 勿

Dpe龙〃ьнь近 Ц1/НЛ С

Dpe龙〃ьнь近 Ц1/НЛ С

Рис, 17.102. К описанию установившегося режима движения тормозного устройства какавтоколебательной системы.

...——//)——траектория механической системы (линия тока фазовой жидкости); 1-2 ——участок, соответствующий вращению вала и тормозной колодки, происходящему совместно (вследствие наличия сил трения между ними) со скоростью вращения вала (Q); в точке 2 угол отклонения колодки 屮=屮。н Мс = Сфс — момент сил трения ——достигают максимального значения; 2-3 — участок, соответствующий мгновенному (вследствие пренебрежимой малости 7 — момента инерции массы колодки) срыву колодки; в точке 3 — в конце срыва — угловая скорость колодки минимальна, со =(ос； 3-4 — участок, соответствующий возвращению колодки в позицию (точка 4), в которой угол отклонения колодки ф =(pD и момент сил трения MD = с(рд минимальны (на участке 3-4 угловая скорость колодки" изменяется от сое до сод); 4-5 ——участок, соответствующий мгновенному (вследствие пренебрежимой малости момента инерции массы колодки) захвату колодки валом (угловая скорость возрастает от Зс до Q); 6) плоскость (ф, 01, ф); II (линия V-2f-3f-... ...-1Г-...)——фазовая траектория ——проекция траектории механической системы на фазовую плоскость (ф, О, ф); эта же линия Г-2'-3‘-... в системе осей (Q ——со, О2, М/с)——характеристика момента силы трения; 8) плоскость (ср, О】，ф); замкнутая линия ABCDA ——предельный цикл, к которому приходит движение системы, с какой бы точки N фазовой диаграммы состояния ни началось движение системы; а) плоскость (屮，Оь f); III (линия

4〃...)一линия ф =(р(/)——проекция траектории механической системы на плоскость (ф, 01, 0; д) плоскость (ф, 01, f); IV (линия Г〃-2'〃-3〃'-4'〃) 一 линия со = со")——проекция траектории механической системы на плоскость (T,01, 0-

Из двух приведенных примеров видно, что автоколебания могут возникнуть вследствие наличия сухого трения и, разумеется, внешнего источника энергии. Вместе с тем вязкое трение подавляет автоколебания и одним из эффективных средств борьбы с ними в случае их нежелательности является демпфирование.

В общем же, автоколебания составляют класс в значительной мере своеобразных явлений, зачастую требующих индивидуальных способов изучения.

Действие вынуждающей силы на нелинейную систему. Будем считать, что из обобщенной силы, действующей на нелинейную систему, можно выделить часть, зависящую только от времени; ее, как уже говорилось выше, называют вынуждающей силой. Движение нелинейной системы с одной степенью свободы, находящейся под воздействием силы 尸(f), в общем случае описывается уравнением, имеющим следующий вид:

。g + 尸(% 〃)= P(f), или, в частности,

aq + 尸I (?) + 凡⑺=P (f)・ (17.329)

Смысл членов в левой части уравнения такой же, как и в уравнении (17.322),——функция в правой части изображает вынуждающую силу. Получе-

ходятся в равновесии, то при / -> 0 ф->- оо и срывы, возникающие в точках 2, 6, /0, ..., а также 4, 8, ..., происходят мгновенно и, таким образом, период установившегося цикла Т складывается из двух частей: 7\ и Т?; 7\ ——продолжительность движения на каждом из участков 1-2, 5-6, 9-10, ..., а Т? — продолжительность движения на каждом из участков 3-4, 7-8、...; Т определяется по формуле

т Мо — Mi

а 厶一по формуле

T2 =

Mifc

С ^ф

ние решения уравнения (1；329) представляет значительную сложность. Вопрос может так или иначе упроститься, если отсутствует сопротивление, т. е. 尸 1 = 0, или если одна из функций F】и F。оказывается линейной.

q + 2rq + 峻(夕 + 卩夕3) = Q。sin ©/, q + 2rq + 磁(夕 + 卩L) = q0q)2 sin ①力q + 2rq + 峻(夕 + 卩夕3) = Q。sin ©/, q + 2rq + 磁(夕 + 卩L) = q0q)2 sin ①力(17.330)(17.330)В качестве примера приведем два уравнения, описывающие нелинейные вынужденные колебания

q + 2rq + 峻(夕 + 卩夕3) = Q。sin ©/, q + 2rq + 磁(夕 + 卩L) = q0q)2 sin ①力

q + 2rq + 峻(夕 + 卩夕3) = Q。sin ©/, q + 2rq + 磁(夕 + 卩L) = q0q)2 sin ①力

(17.330)

(17.330)

Очевидно, что в рассматриваемом случае нелинейность определяется наличием члена с коэффициентом 卩 в выражении для восстанавливающей силы. Заметим, что график характеристики восстанавливающей силы имеет вид, по^ казанный на рис. 17.32.

При 卩 > 0 восстанавливающая сила жесткая, при 卩 V 0 ——мягкая и, наконец, при 卩=0 ——линейная. Символом А обозначим амплитуду вынужденных колебаний. Зависимость

1* = 1*®)

носит название амплитудно-частотной характеристики, а график этой зависимости называется амплитудно-частотной кривой, которая содержит, в частности, и резонансный участок и которую в связи с этим называют иногда резо~ нансной кривой.

Вид указанной кривой зависит от следующих факторов:

характеристики восстанавливающей силы, влияющей на вид зависимости полуразмаха от частоты свободных колебаний (график, соответствующий этой зависимости, представляет собой так называемую скелетную линию резонансной кривой);

характера вынуждающей силы (например, вынуждающие силы в урав^ нениях (17.330)); характер определяется правыми частями;

уровня сопротивления;

величины амплитуды вынуждающей силы.

Резонансные кривые при учете сопротивления и независимости амплитуды вынуждающей силы от частоты (17.330) i имеют вид, показанный на рис. 17.103, а, 6, с. Если амплитуда вынуждающей силы пропорциональна квадрату ее частоты, то при учете сопротивления (17.330)2 резонансные кривые имеют вид, представленный на рис. 17.103, г, д, е. На каждой из фигур рис. 17.103 все семейство линий относится к одному определенному сопротивлению, а отдельные линии семейства ——к определенному значению амплитуды вынуждающей силы.

Скелетная линия показана на рис. 17.103 жирной линией ——она соответствует зависимости между амплитудой и частотой, когда вынуждающая сила отсутствует, т. е. имеют место свободные колебания. При этом, если начальное значение обобщенной координаты равно |4|, то частота свободных колебаний определяется абсциссой точки скелетной линии, имеющей ординату \А |.

Если скелетная линия не является прямой, параллельной оси |/|, то проявляется отмеченное выше свойство неизохронности свободных колебаний. Вследствие наличия сопротивления ординаты резонансной кривой уменьшаются. При уменьшении амплитуды вынуждающей силы резонансная кривая стягивается к скелетной линии. '

Рис. 17.103,6 относится к случаю 卩=0 (линейные колебания); на нем изображено несколько кривых, соответствующих различным значениям \А I. Если рис. 17.103 перестроить, перейдя к изображению в осях ①勿①^, I Л |/| Л 1co.о, то получим одну кривую, общую для всех исходных, представленных на рис. 17.103, б. Это одна из кривых, изображенных на рис. 17.50, отвечающая некоторому уровню сопротивления (некоторому значению г в уравнениях (17.330)). Аналогично обстоит дело и в отношении графика, изображенного на рис. 17.103, д,

Левой ветви резонансной кривой соответствует Л > 0, т. е. обобщенная координата синфазна вынуждающей силе; правой ветви соответствует 4 V О, т. е. амплитудные значения обобщенной координаты сдвинуты по отношению к амплитудным значениям вынуждающей силы на л. Таким образом, в точках, лежащих на скелетной линии, амплитуда обобщенной координаты претерпевает разрыв (изменяется знак, хотя абсолютное значение сохраняет свою величину). На рис. 17.103 этого разрыва не видно, так как по оси ординат

Рис. 17.103. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций | Л | = ) Л | (со): а, а) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой (ц, > 0); 6, д) линейная система (卩=«6)； в, е) нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой " < 0); Л —амплитуда обобщенной координаты % со —частота вынуждающей силы; / — скелетная линия — кривая зависимости собственной частоты от амплитуды при свободных колебаниях (% ~ собственная частота). Фигуры а, б, в относятся к случаю действия вынуждающей силы Q*s=Qo sin oi, фигуры а, д, е—к действию вынуждающей силы Q*=Q«(о2 sin со^.

откладывается абсолютная величина амплитуды обобщенной координаты. На рис. 17.104 показана картина с учетом этого разрыва.

При неучете сопротивления резонансные кривые приобретают вид, показанный на рис. 17.105. Из графиков рис. 17.103, а, 8, а, е, 17.104, а, 8, 17.105, а, 8, а, е видно, что существуют области значений со, в которых одному из них соответствуют три амплитуды колебаний. Обсудим вопрос о том, все ли они реализуются практически.

Рассмотрим случай жесткой восстанавливающей силы (рис. 17.106, а). Пусть первоначальная частота вынуждающей силы равна cog ей соответствует точка / на резонансной кривой (амплитуда равна %〔)； пусть, далее, происходит увеличение частоты вынуждающей силы; при этом будет происходить рост амплитуды по закону резонансной кривой до точки 3, лежащей на пересечении со скелетной линией (в этой точке происходит разрыв ——амплитуда, сохраняя свое значение, отстает от вынуждающей силы по фазе на л). При дальнейшем росте со в точке 4 (крайняя правая точка верхней части резонансной кривой) происходит «срыв» амплитуды и она приобретает значение вместо Л4, имевшегося в точке 4, значение Л5; при дальнейшем росте w происходит асимптотическое уменьшение амплитуд. При уменьшении со, начиная от н啓етерого значения 例 (рис. 17.106,6), которому соответствует амплитуда

4б, происходит рост амплитуд по закону резонансной кривой до точки 7, ко- горой соответствует амплитуда А7. В точке 7 происходит внезапный скачок в значении амплитуды до Л8, соответствующего точке 8 резонансной кривой;

Рис. 17.104. Резонансные (амплитудные) кривые (графики функций А—А (со), со—частота вынуждающей силы): а) нелинейная система с жесткой восстанавливающей силой; 6) линейная система; в) нелинейная система с мягкой восстанавливающей силой; разрыв кривой происходит на скелетной линии—кривой зависимости собственной частоты(0。от амплитуды при свободных колебаниях.

Рис. 17.105. Резонансные кривые при неучете сопротивления: Q, б, а) резонансные кривые в случае действия вынуждающей силы Q*=Q sin со/; а, 0, е) резонансные кривые в случае действия вынуждающей силы Q*=Q°(o2 sin со^.

при этом, кроме того, ликвидируется имевшийся на участке 6・7 сдвиг фаз в обобщенной координате по сравнению с возмущающей силой на величину л; дальнейшее уменьшение со приводит к уменьшению амплитуды по закону резонансной кривой. Жирной линией резонансные кривые на рис. 17.106, а, 6 изображены на участках устойчивого колебательного процесса, тонкой ли-

нией ——на участках неустойчивого процесса. В силу этой неустойчивости практически режимы, соответствующие точкам участков кривой 4-5 (при увеличении со) и 7-8 (при уменьшении со), не реализуются и происходит переход от режима точки 4 к режиму точки 5 и от режима точки 7 к режиму точки 8. Аналогичная картина (см. рис. 17.106,8,?) наблюдается и в случае мягкой восстанавливающей силы.

Рис. 17.106. Устойчивая и неустойчивая области резонансной кривой: а) в системе с жесткой восстанавливающей силой при возрастании частоты вынуждающей силы; б) то же при уменьшении частоты вынуждающей силы; а) в системе с м я гк о й восстанавливающей силой при возрастании частоты вынуждающей силы; 2)то же при уменьшении частоты вынуждающей силы. Жирные части линий — области устойчивых состояний системы, тонкие части линий — областей неустойчивых состояний системы.

Если система имеет нелинейную восстанавливающую силу и вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, то кроме гармонических колебаний, происходящих с частотой вынуждающей силы (со), одновременно происходят колебания с частотами 加со (супергармонические колебания) и могут произойти колебания с частотами со/n (субгармонические колебания). Существует и более общий тип колебаний, происходящих с частотой т^/п (комбинационные колебания).

Параметрические колебания. Если из обобщенной силы не удается выделить часть, зависящую лишь от времени, но дифференциальное уравнение движения удается представить в виде

aq + Л (/)尸 1 (?) + % (0 尸о ⑷=0, (17.331) то системы, описываемые уравнениями такой структуры, называются системами с параметрическим возбуждением. Происхождение термина пояснено ниже.

Рис. 17.107. Пример параметрического резонанса. Перемещение центра тяжести человека, раскачивающегося на качелях и совершающего при этом приседания и выпрямления во весь рост. Вследствие такого изменения параметра (длины «маятника») амплитуды увеличиваются — возникает параметрический резонанс.Рис. 17.107. Пример параметрического резонанса. Перемещение центра тяжести человека, раскачивающегося на качелях и совершающего при этом приседания и выпрямления во весь рост. Вследствие такого изменения параметра (длины «маятника») амплитуды увеличиваются — возникает параметрический резонанс.В (17.331) fi (0 и fo(O — периодические функции.

Рис. 17.107. Пример параметрического резонанса. Перемещение центра тяжести человека, раскачивающегося на качелях и совершающего при этом приседания и выпрямления во весь рост. Вследствие такого изменения параметра (длины «маятника») амплитуды увеличиваются — возникает параметрический резонанс.

Рис. 17.107. Пример параметрического резонанса. Перемещение центра тяжести человека, раскачивающегося на качелях и совершающего при этом приседания и выпрямления во весь рост. Вследствие такого изменения параметра (длины «маятника») амплитуды увеличиваются — возникает параметрический резонанс.

Назовем уравнение

aq + дЛ (0 q + cfQ (f)夕=0(17.332)

линеаризованным, соответствующим уравнению (17.331).

Анализ уравнения (17.332) позволяет найти области комбинаций значений параметров, в которых тривиальное решение g 曰 0 неустойчиво. Иными словами, этот анализ позволяет найти ситуации, в которых сколь угодно малые возмущенные состояния равновесия вызывают процесс нарастания колебаний, называемый параметрическим резонансом.

С точки зрения механики приведенную информацию можно пояснить так. Существуют такие системы, в которых возникают колебания вследствие периодического изменения некоторых параметров системы; например, возникают поперечные колебания стержня при периодическом изменении ' сжимающей продольной силы. Такие системы называются системами с параметрическим возбуждением, а сами колебания — параметрическими.

Пример параметрических колебаний и анализ их устойчивости рассматриваются в гл. XVIII1). Здесь же приведем простейший наглядный пример параметрических колебаний ——колебания качелей. Для раскачивания качелей качающийся на них человек, когда качели отклонены на небольшой угол от положения равновесия, производит периодическое приседание. Когда качели проходят через среднее свое положение, человек стоит, а при расположении качелей в крайних позициях ——приседает. Вследствие таких движений расстоя- маятника (коим являются качели) от точки О

ние центоа тяжести массыние центоа тяжести массыизменяется, т. е. качели представляют собой маятник переменной длины. На рис. 17.107 показана траектория центра тяжести человека при раскачивании качелей, осуществляемом за счет поочередного приседания и вставания.

ние центоа тяжести массы

ние центоа тяжести массы

Нелинейность, обусловленная наличием пластических свойств у системы ). В случае, если материал при колебаниях работает в упруго-пластической области, обнаруживаются специфические явления. К наиболее важным из них относятся малоцикловая усталость и интенсивное демпфирование колебаний вследствие внутреннего трения. На какой бы теории пластичности ни основывалась теория упруго-пластических колебаний, последние вследствие физической нелинейности системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Для исследования обоих отмеченных выше явлений необходимо рассмотрение петли гистерезиса и, разумеется, учет эффекта Баушингера.

Резюме. Общим и определяющим признаком нелинейности механической системы является нелинейность уравнений, описывающих поведение системы, и отсюда, как следствие, неприменимость к ней принципа независимости действия сил.

Отличительными особенностями нелинейных колебаний являются:

неизохронность свободных колебаний;

неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы;

возможность существования автоколебательных режимов;

явление захватывания;

существование супергармонических и субгармонических колебаний.

При исследовании нелинейных колебаний обычно решаются следующие задачи：-

построение амплитудно-частотных характеристик (резонансных кривых) ;

определение резонансных амплитуд; .

определение условий срыва амплитуд;

выявление супер- и субгармонических колебаний.

Для систем с параметрическим возбуждением решают задачи, в которых

находятся границы областей устойчивости;

устанавливаются условия возникновения параметрического резонанса;

определяются амплитуды установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке).

В таблице 17.28 приведена сводка типов уравнений движения различных нелинейных систем 】).

Таблица 17.28

Автономные системы

Неавтономные системы

консервативные

диссипативные

автоколебательные

системы, находящиеся под действием вынуждающей силы

системы с параметри* ческим возбуждением

aq +

+ 尺 W) = o

aq + J (С) + + F0 (^7) = 0 или

aq + F, (^) = 0

aq +

丄尸(g") =

=0

а@ 4-

+尸 34)= = Р«)

aq + f, (0 Fi (g) + + f。⑺尺⑷=o

9 Укажем некоторые книги по нелинейным колебаниям:

Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М.: ИЛ, 1957; Малкин И. Г. Некоторые задачи в теории нелинейных колебаний.——М.: Гостехиздат, 1956; X а я с и Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах/Пер. с англ.——М.: ИЛ, 1957; Б у т е н и н Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний.——Л.: Судпромгиз, 1962; Minor- s к у N. Non-linear Oscillations. — New York: Van Nostrand Company, 1962; Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах/Пер. с англ.——М.: Мир, 1966; Коловский М. 3., Вульфсон И. И. Нелинейные задачи динамики машин.——М.: Машиностроение, 1968; X а я с и Т. Нелинейные колебания в физических системах. — М: Мир, 1968; Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.——М.: Наука, 1969; Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем.——М.: Наука, 1969; Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.——М.: Наука, 1971; Н е й м а р к Ю. И. Метод то-

§ 17.10. Приближенные методы исследования колебаний систем

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы.

Энергетический метод. Энергетический метод основан на том, что при свободных линейных колебаниях систем в условиях отсутствия сопротивления сумма потенциальной и кинетической энергий системы остается неизменной. Если колебания системы происходят в форме стоячих волн, то, рассматривая какую-то из собственных форм колебаний, замечаем, что в положении наибольшего отклонения кинетическая энергия равна нулю, так как скорости колеблющихся масс в этом случае равны нулю; при прохождении же системы через нулевое положение нулю равняется потенциальная энергия, так как система в этом положении недеформирована.

Учтем, что вся энергия колеблющейся системы разбивается на столько слагаемых, каково число степеней свободы, и постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий соблюдается при колебаниях по каждой из собственных форм коле« баний. Поэтому, рассматривая колебания по одной из собственных форм и приравнивая сумму энергий То + Uo при прохождении системы через нулевое положение сумме энергий Л + U\ при наибольшем отклонении, получим

7o + Uo = A + G・

чечных преобразований в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972; Б у т е н и н Н. В., Н е й м а р к Ю. И., Ф у ф а е в П. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.——М.: Наука, 1976; Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, — М,; Наука2 1977.

В силу сказанного выше % = 0, Ti = 0, так что Т° = [Д. Для однопролетной балки

У他⑵(1?)(о)血=芸石^ ооУ他⑵(1?)(о)血=芸石^ оо(17.333)(17.333)

У他⑵(1?)(о)血=芸石^ оо

У他⑵(1?)(о)血=芸石^ оо

(17.333)

(17.333)

Желая определить первую собственную частоту колебаний, представим и, а как следствие dv/dt, в форме

и(2, /) = Оо(2)sin 侬J，黑=%(2)Sc COS G)J，

dv I/ du、(17.334)

Изгибающие моменты и наибольшие их значения в наиболее отклоненном положении балки выражаются формулами

М = £/ ⑶ 翡=EI ⑶ 需 sin ®с/, М⑴=£/ ⑶ 您.(17.335)

Подставляя (17.334)3 и (17.335)2 в (17.333), получим

J 团⑵嚷％(2)dz = ^ EI(2)(需《У dz, оо

4/3)(零)704/3)(零)70(17.336)(17.336)\m(z) ^z)dz о\m(z) ^z)dz о

4/3)(零)70

4/3)(零)70

(17.336)

(17.336)

\m(z) ^z)dz о

\m(z) ^z)dz о

Обращаем внимание на то, что I и т могут быть непостоянны вдоль оси балки и являться функциями от Z. Если бы была известна функция Uo(z), описывающая с точностью до множителя, зависящего лишь от времени, вид оси балки в процессе колебаний по одной из собственных форм, то, подставляя ее в (17.336), получили бы точное значение квадрата соответствующей собственной частоты колебаний: но функция uo(z) нам неизвестна. Однако, если задаться видом функции u°(z) для аппроксимации одной из собственных форм колебаний, разумеется, удовлетворяя при этом граничным условиям и условиям ортогональности аппроксимации искомой собственной формы колебаний всем ранее принятым аппроксимациям собственных форм с меньшими номерами, то, подставляя принятый вид функции в (17.336), получаем приближенное значение соответствующей собственной частоты колебаний. Степень близости этого значения к точному

зависит от степени близости предполагаемой формы колебаний к действительной. При отыскании первой собственной частоты аппроксимация функции и。(2)не вызывает особых затруднений. Сложность возрастает с увеличением номера определяемой собственной частоты в связи с отмеченными выше требованиями,

предъявляемыми к аппроксимации соответствующей собственной формы колебаний.

Можно доказать, что при подстановке в (17.336) функции, приближенно изображающей ось колеблющейся балки, g)2 получается с избытком.

Рис. 17.108. К примеру 17.41.Пример 17.41. Определить первую

собственную частоту колебаний клинообразной консольной балки (рис. 17.108). Для данной задачи известно точное решение —

5 n 5,315 % 7是=3,072 餐"今

Решение. Найдем приближенное решение и сопоставим его с приведен

ным точным. Зададимся очертанием изогнутой оси

консоли в форме

。。⑶=佇_1))

(17.337)

удовлетворяющей граничным условиям

% I j = °* 才 kz = °，ем%)喲z=o=°， ь / 23 Имеется в виду, что / (z)=遊丿.

Найдем вторую производную d2u0/^2,

dv()dz

2佇-叶

(Е/⑶或)1а = °・

=4；(17.338)

m (г) = г Ьр. (17.339)

Подставляя (17.337), (17.338) и (17.339) г, з в (17.336), будем иметь

①e =3,16万7万.①e =3,16万7万.4^(号)С)7

①e =3,16万7万.

①e =3,16万7万.

$zT6p (f-1)4 dz 0

Превышение над точным решением составляет

К'京段竺・100 = 2,93%.

3・ Метод приведения масс. Метод приведения масс состоит в замене системы с некоторым числом степеней свободы (бесконечным или конечным) системой с оДНОй или несколькими (но м^ьшим по количеству, чем заданная) степенями свободы при соблюдении равенства кинетических энергий заданной и заме- няютен ее систем в момент времен, когда отклонения равны нулю, а скорости максимальны. Заметим, что потенциальная энергия деформации в этот момент времени в обеих сопостав- ляемих системах равна нулю. Метод отличается простотой, однако, в отличие от энергетического метода, нет возможности априорно судить о том, получаются ли искомые частоты с недостатком или с избытком. Все зависит от выбора точек приведения масс. Впервые этот метод был применен Рэлеем, который в заменяющей системе использовал одну массу и требовал ,то6н центр тяжести этой массы совершал такие же колебания (с теми же частотой и амплитудой), как и соответствующая тои・ ка заменяемой системы. Разумеется, такое совпадение не озна・ дает, что и все остальные точки заменяющей и заменяемой систем колеблются одинаково. В этом и состоит приближенность решения.

Пусть имеем систему с бесконечным числом степеней свободы-балку с распределенной массой. Кинетическая энергия ее и системы с одной степенью свободы при прохождении через нулевые положения выражается формулами

，咤係）沁 о，咤係）沁 о週）汇週）汇

，咤係）沁 о

，咤係）沁 о

週）汇

週）汇

где М —приведенная сосредоточенная масса, z = а — координата центра тяжести массы М.卜

в.『Равнение для отыскания приведенной массы приобретает

М (符)：|М (符)：|222，加⑶(患»0"J (紀:L2，加⑶(患»0"J (紀:L

М (符)：|

М (符)：|

2

2

2，加⑶(患»

0"J (紀:L

2，加⑶(患»

0"J (紀:L

(17.340) свободы, рас-(17.340) свободы, рас-

(17.340) свободы, рас-

(17.340) свободы, рас-

Выполняя расчет системы с одной степенью

решение для за-решение для за-сматриваем его результат как приближенное меняемой системы.

решение для за-

решение для за-

Пример 17.42. Условия примера такие же, как и в Поимеое 1741

Рвение. Представим .заменяющую систему как консоль длиной Z с одной сосредоточенной массой. Найдем величину приведенной массы по формуле

(17.340), полагая г = а = 0,1/, а приближенное выражение для и определяемым по формуле о = о。sin со/ (dv/dt = уоо)с cos сос/),

"1)2；(芻)，"…"1)2；(芻)，"…用一1)2 = 0,81%的；用一1)2 = 0,81%的；11" -0,8尸圖。" -0,8尸圖。bpzs 储bpzs 储0,812- 150,812- 15

"1)2；(芻)，"…

"1)2；(芻)，"…

用一1)2 = 0,81%的；

用一1)2 = 0,81%的；

1

1

" -0,8尸圖。

" -0,8尸圖。

bpzs 储

bpzs 储

0,812- 15

0,812- 15

Теперь определим частоту колебаний системы с одной степенью свободы

Величину бц, учитывая переменность высоты поперечных сечений, найдем по формуле

仇1仇1\當L。，9976.0,8产.15.2规呢_”р/• 0,9976 • 3/2 = 2,565\當L。，9976.0,8产.15.2规呢_”р/• 0,9976 • 3/2 = 2,5653/33/32 Ebh；2 Ebh；包 产.包 产.

仇1

仇1

\當L。，9976.

0,8产.15.2规呢_”р/• 0,9976 • 3/2 = 2,565

\當L。，9976.

0,8产.15.2规呢_”р/• 0,9976 • 3/2 = 2,565

3/3

3/3

2 Ebh；

2 Ebh；

包 产.

包 产.

Значение сос получено с недостатком по сравнению с точным решением. Процент погрешности получился равным

2,565 - 3,0725^2,565 - 3,0725^• Ю0 = - 16,5%.• Ю0 = - 16,5%.

2,565 - 3,0725^

2,565 - 3,0725^

• Ю0 = - 16,5%.

• Ю0 = - 16,5%.

Если положить z — а = 0,2/; 0,3/; 0,4/, то соответственно получили бы

ос = 2,893ос = 2,893/, ос = 3,045 7 — %, ©с = 3,084/, ос = 3,045 7 — %, ©с = 3,084

ос = 2,893

ос = 2,893

/, ос = 3,045 7 — %, ©с = 3,084

/, ос = 3,045 7 — %, ©с = 3,084

и погрешность соответственно составляла бы —5,82%,——0,88%, +0,39%.

(17.341)(17.341)Метод Бубнова — Галеркина. Если колебания системы описываются дифференциальным уравнением

(17.341)

(17.341)

L(S = f，

то решение представляется в следующей форме:

(17.342)

где vi (i = 1, ..., оо) — функции, принадлежащие полной системе и удовлетворяющие всем граничным условиям, а» — неизвестные коэффициенты. Подставляя (17.342) в (17.941), полунаем равенство

乙(X] а*) — f 三 0?

Поскольку функция, тождественно равная нулю, ортогональна к любой функции, существуют следующие равенства:

，［丄0g-小/z = 00=1, 2,…，8). (17.343)

Уравнения (17.343)——это уравнения метода Бубнова ——Галер- кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (几)этих членов; тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и решение методом Бубнова ——Галер кина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то f = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов 口力 однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) решения должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний !).

Пример 17.43. Условия такие же, как и в примере 17.41.

Решение. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки имеет 泰(e/需)+ 他患Пa(17.344)

Представим функцию у в следующей форме:

v = vQ sin сос/ = (^ — 1) (“1 + “2 *^ + “з 方 + …)sin ①乩 (17.345)

Уравнение (17.344) приобретает вид

^" k/ 4^) Sin ①J -他磯% sin ①J = 0， "^Г(e/ "^^) 一 他①渝0 = °-

В первом приближении сохраним в (17.345) один член

% = 4%1 = 4° (^― 1))

Уравнение метода Бубнова — Галеркина имеет вид

I

5同)=0, 51 4［各(Е/ (n)龄) -30包］s dz,о

тогда, учитывая выражения для /(n), т(2)и dvo/dz2 в примере 17.41, получим

，{嘉［e^G")。『总-2争师磅仔-1) }g一1) dz = 0, о

ИЛИ

Условие ненулевого решения для а£)— равенство нулю коэффициента при of), т. е. ап = 0; это и есть частотное уравнение, ап — определитель системы ——определитель первого порядка. Отсюда, опуская простые промежуточные выкладки,

о

Пришли к тому же ответу, который был получен энергетическим методом. Применим второе приближение. В таком случае

% == 4%1 + 磅%2 =。俨佇—1У + 唠"f■佇—1У ； (17.346)

嚮=2 佇 一1片，象= 2%;(17.347)

需=2仔一1)打十；仔一1)2,

禁=4专+‘备仔-1)十^佇 一)} =备(3〜2/).

Уравнения метода Бубнова — Галеркина имеют вид!)

(17.348)

all

a][0华 +a12"歌==0, 一a21"¥)+a22。贤==0；

=\ [名(e/ ⑶ ^-) - m⑶ wc0i] S 七 0

=$ [名(e/ ⑶"^)一"⑶磴％] s dz, о

(17.349)

的=\ [备©⑵需) —m (z) o^J o2 dz, о

…、爲(引⑶"^")-m⑶磯"a] 02吃 0

(17.350)

1) Верхний индекс при а указывает номер приближения, поскольку коэффициенты с одинаковыми нижними индексами в разных приближениях различны.

или, после подстановки (17.350) в (17.349) с учетом (17.347) 2, (17.348) и выражений для s и ^2 согласно (17.346) и выполнения простых операций и преобразований,

U 峻а) +硬(4■兽一备 展а)=0>

理信 粤-备嚥")+礎(容-礫击p")=。■

Условие ненулевого решения для “%)и а£)имеет вид

2 Е必1 24 Е而2

3"~Р ТУ&Р/ 市〒 105 °сР/

9°=0,

4 Е疋2 、2 , 4 Е届 * 1,

Тб而 ^сР/"с而 р/

или

鳥等一点唸/)(备争一磅』Р") 一 (善要一备喙")=°-

(17.351)

Это — частотное уравнение, из которого находим два корня:(磯)【川峻辰 Введем обозначение(2£必)：(3/Зр/) = 0, тогда (17.351) приобретает вид

8:一里評磅8 +嘗竺炉=0,

откуда

(磯％, 2 = 81,90 干 67,7明(蹴％ = 14,160,

8cl = 3,074 д/^ 等(°с)2 = 149,640.

Превышение над точным значением составляет

(17.352)(17.352)Метод Ритца. Согласно общей идее метода Ритца, вместо решения дифференциального уравнения линейных колебаний системы 」

(17.352)

(17.352)

L(v) = f

минимизируется функционал, для которого (17.352) является уравнением Эйлера. Таким функционалом является интеграл действия Гамильтона

S=\ (T 一口)山.

Минимизация функционала осуществляется прямым методом —функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений ——равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот; корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний.

Метод Ритца дает приближение к искомым значениям собственных частот сверху. Важно иметь и приближение снизу. С этой целью был предложен специальный метод, носящий имя его автора Вайнштейна J). Поясним сущность метода в терминах механики. Пусть необходимо найти собственные частоты балки, защемленной по концам. Ищется балка, называемая базовой, собственные частоты которой соответственно меньше собственных частот исследуемой балки ——балка с шарнирно опертыми концами. Далее рассматривается множество балок, концы которых защемлены упругоподатливо. Значения собственных частот у каждой балки этого множества больше, чем значения собственных частот с соответствующими номерами в базовой балке, и меньше, чем у исследуемой. Строится алгоритм отыскания этих промежуточных спектров частот, сводящихся к решению последовательности некоторых вариационных задач. Эта последовательность спектров частот и дает приближение к иско* мому спектру собственных частот балки, защемленной по концам, снизу.

А. Вайнштейн (A. Weinstein)——американский математик. Дальнейшее развитие и обоснование метода было выполнено в трудах его соотечественников Н. Ароншайна, Н. Безли и др. Позднее вышла книга С. Гулда, специально посвященная этому методу (Variational Methods for eigenvalue problems. An Introduction to the Weinstein Method of intermediate Problems by S. H. Gould.——2-nd ed. revised and enlarged.——University of Toronto Press, 1966), co второго издания которой был сделан и издан русский перевод: Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна/Пер. с англ. Б. В. Федосов а/Под ред. В. Б. Лидского. — М.: Мир, 1970.

Пример 17.44. Условие примера такое же, как в примере 17.41.

Решение. Составим интеграл действия по Гамильтону, используя те же координатные функции, что и в предыдущих примерах,

S = f (T 一 口)或，

力

7 = \ Jl^L (黑)dz=^ ^Lbpz^ 宕磴 cos2 co J dzt о0

Итак,

f T f 2勺1 2 2 2.

S = ) ) -p- bpN 万 侬：cos，(Oj dz —

Lo

-Т$£4(г 智3 (鲁 У S3 <M dz] dt.

Примем 6 = 0, /2 = 2л/ос. Величину у0 примем согласно (17.345), сохранив в первом приближении лишь af):

% = af%] = 4D 佇—1),宅^ =备% = af%] = 4D 佇—1),宅^ =备(17.353)(17.353)

% = af%] = 4D 佇—1),宅^ =备

% = af%] = 4D 佇—1),宅^ =备

(17.353)

(17.353)

Функционал S в развернутом виде после подстановки в него (17.353), замены переменной интегрирования (сос/ = т, dt = dr/coc； пределы интегрирования / == 0 ==> т = 0, / = 2л/сос 今 т = 2л), интегрирования и выполнения простых операций и преобразований записывается так:

S = *[S = *[8越1()1N Ebh^rc8越1()1N Ebh^rc30303/Зос3/Зос

S = *[

S = *[

8越1()1N Ebh^rc

8越1()1N Ebh^rc

30

30

3/Зос

3/Зос

Уравнение метода Ритца имеет вид

dSdSoc6Azp/ji30oc6Azp/ji30-=0.3/3 ① /-=0.3/3 ① /

dS

dS

oc6Azp/ji

30

oc6Azp/ji

30

-=0.

3/3 ① /

-=0.

3/3 ① /

Условие ненулевого решения для af)состоит в равенстве нулю коэффи* циента при нем, который следует рассматривать как определитель первого порядка. Итак, '

T-^ = °，磯=1。 才，乳=3,16 •/

Во втором приближении и。принимаем согласно (17.346), а производные от S и о? согласно (17.347)2 и (17.348). Интеграл действия по Гамильтону при этом приобретает вид

I

s . j产小…山%+ 2“ 仕4»^(AJ+ +承善G - J] dz — f 警 sin2 %, • / [а俨 +

+ 24 е礎)与•旨(3n - 2/) + 或尸^ (3之-2/)2] dz } df,

（事+备#噌+备）-（事+备#噌+备）-Ss== A^/jp/o^jcSs== A^/jp/o^jcили, после выполнения замены переменной интегрирования, такой же как и при отыскании первого приближения, и ряда простых операций и преобразований, *

（事+备#噌+备）-

（事+备#噌+备）-

Ss== A^/jp/o^jc

Ss== A^/jp/o^jc

Уравнения метода Ритца имеют вид

篇=°' (士 Р^с — ) аР + (鳥 Р/% 一 善"Э")磅)=°- 謐=а (备рge 一善盜)炉+ (欝一善餐)或‘=0,

ИЛИ

G學-嚥’)谓+信 學-靑嚥/)磅,。， (44^-w喙/)源)+(負居-击喙/)礎」。.

Как и в случае первого приближения, уравнения Ритца во втором приближении полностью совпадают с уравнениями Бубнова — Галеркина соответствующего приближения.

Формула Донкерлея. Формула Донкерлея, которая выводится в настоящем разделе, является приближенной формулой, позволяющей находить собственную частоту (первую, вторую) для систем с А степенями свободы, зная парциальные частоты. Будем исходить из уравнений (17.94), пренебрегая силами сопротивления, т. е. считая Ь\ = Ь?= ... = b自=0. В случае свободных колебаний правые части в (17.94) равны нулю. Принимая решение однородной системы, соответствующей системе (17,94), в форме

% =« 々sin (sj + ср),勿=—% & sin 但/ + Ф) (17.354)

и подставляя (17.354) в (17.94), получаем

(峭П]6[] — 1)+ 力2①沥 2»2 + ••• + Ak^l^\k = °，

4觴加也1 + 4 3汕％ — 1) + ・・・ + Ak^n^2k = 0,(17.355)

A^fi^ + 4崂％% + ・・・ + 4 (吟勺％ - 1，= О.

После деления всех уравнений системы (17.355) на о^ и введения обозначения Л = 1 /со^ условие ненулевого ее решения относительно 4 приобретает вид

勺6ц —九加2®••• тЛ^

叫Мт2^22 — ^ … 勺°2尼 =0.(17.356)

ml^l7n2%•*• mk^kk "~ ^

В развернутой форме уравнение (17.356) имеет вид

^ + В^Х +& 炉-+ ・・・ +& = 0;(17.357)

для обозначения корней этого уравнения введем условие

九1 > 九2 > 九з > • • • > 九左.(17.358)

В (17.357) имеется в виду

Bi =—(九 1 + %2 + • г • + 九)

82 =九1%2+九口3+ • • • +九1九尼+ 九2九3+九2九4+• • • +入2九左+ . • ■ +%fe_l%b 83=一(九口2九3 +入口2九4 + • . • +入尼-2相一1九)

以=（一1）'九也...九后.

Довольно часто встречаются системы, в которых собственные частоты отличаются одна от другой существенно, т. е. происходит быстрое уменьшение величин в последовательности (17.358), Поэтому представляется возможным, пренебрегая малыми членами, ввести упрощенные формулы для В,:

В】^ — Aq,

& Q 入口2,

B3 * -入口2%3,

Bh Q (一1)”也・・・猛

откуда вытекают формулы для 儿•：

九1 Q — Bi,九2 ^将=一晋，

△〜&ВзлBh

九不元=-田…，相= -^^t.

В развернутом виде коэффициенты Вь ..., Bk выражаются следующими формулами:

8 _ Im母11 团2仇22 — I m&i m2d228 _ Im母11 团2仇22 — I m&i m2d22++ebii m3di3 I , 他/31 ^3ь33 I十ebii m3di3 I , 他/31 ^3ь33 I十вв(17.359)(17.359)(17.357)(17.357)…+…+"々一色-1,右一14一色,J"々一色-1,右一14一色,J他科-1,々他科-1,々m母" m母21 加1631m母" m母21 加1631/П2д12 团2^22 团2^32/П2д12 团2^22 团2^32团3%3 侬加3 дбзз团3%3 侬加3 дбззmk-^k^2,k-2• • • + mk-^k-\tk^2mk-^k^2,k-2• • • + mk-^k-\tk^2+…+…%一色一2,々一1%一回八右mk-^k, 1%一色一2,々一1%一回八右mk-^k, 1ШЛ~2, k тА~1л 4%ШЛ~2, k тА~1л 4%(17.360)(17.360)5] = — (/б” + 加 2% + • • • + 俏自々)，

8 _ Im母11 团2仇2

2 — I m&i m2d22

8 _ Im母11 团2仇2

2 — I m&i m2d22

+

+

ebii m3di3 I , 他/31 ^3ь33 I十

ebii m3di3 I , 他/31 ^3ь33 I十

в

в

(17.359)

(17.359)

(17.357)

(17.357)

…+

…+

"々一色-1,右一1

4一色,J

"々一色-1,右一1

4一色,J

他科-1,々

他科-1,々

m母" m母21 加1631

m母" m母21 加1631

/П2д12 团2^22 团2^32

/П2д12 团2^22 团2^32

团3%3 侬加3 дбзз

团3%3 侬加3 дбзз

mk-^k^2,k-2

• • • + mk-^k-\tk^2

mk-^k^2,k-2

• • • + mk-^k-\tk^2

+…

+…

%一色一2,々一1

%一回八右

mk-^k, 1

%一色一2,々一1

%一回八右

mk-^k, 1

ШЛ~2, k тА~1л 4%

ШЛ~2, k тА~1л 4%

(17.360)

(17.360)

他自1^Ws

以 = (-1了••

Сопоставляя (17.360) с (17.359), обнаруживаем

(暧)i ^ "^ArH^^(暧)i ^ "^ArH^^(17.361)(17.361)^1 = -^-^ - В1=тЛ1 + т^22 + …+俏启尼,

(暧)i ^ "^ArH^^

(暧)i ^ "^ArH^^

(17.361)

(17.361)

k

2 1/[吧1

i = l

Здесь [s£)]^ —— квадрат собственной круговой частоты z-й парциальной системы.

九 2 = /Q 一 ~^ ,

(峻)2"

（党）2 2 二（党）2 2 二吗6"改6]2 /П[%1叫%2mk-\^k-\.k-\ 171 凤一卜卜仆-色，尼-14%吗6"改6]2 /П[%1叫%2mk-\^k-\.k-\ 171 凤一卜卜仆-色，尼-14%勺6u +他2%2 +…+他曾^勺6u +他2%2 +…+他曾^(17.362)(17.362)

（党）2 2 二

（党）2 2 二

吗6"改6]2 /П[%1叫%2

mk-\^k-\.k-\ 171 凤一卜卜

仆-色，尼-14%

吗6"改6]2 /П[%1叫%2

mk-\^k-\.k-\ 171 凤一卜卜

仆-色，尼-14%

勺6u +他2%2 +…+他曾^

勺6u +他2%2 +…+他曾^

(17.362)

(17.362)

Формулы (17.361) и (17.362) носят лея. Они дают нижнюю оценкуФормулы (17.361) и (17.362) носят лея. Они дают нижнюю оценкуназвание формул Донкер-название формул Донкер-前口" 4勿少—…#150 cM >JOOcm前口" 4勿少—…#150 cM >JOOcm严严11勿勿15см勿15см勿

Формулы (17.361) и (17.362) носят лея. Они дают нижнюю оценку

Формулы (17.361) и (17.362) носят лея. Они дают нижнюю оценку

название формул Донкер-

название формул Донкер-

前口" 4勿少

—…#

150 cM >

JOOcm

前口" 4勿少

—…#

150 cM >

JOOcm

严

严

1

1

勿

勿

15см

勿

15см

勿

Рис. 17.109. К примеру 17.45.

Пример 17.45. Определить приближенные значения собственных частот колебаний системы, изображенной на рис. 17.109 ( укажем для сопоставления,

что точные значения частот равны (礫％ = 122 —^2-, Е = 105 кГ/см2,

Решение. Находим парциальные частоты для частных систем, обладающих такими же упругими свойствами, как и рассчитываемая система,

閩;閩;.而0 %而亡=翥北工=130费, 丁. W.而0 %而亡=翥北工=130费, 丁. W［噌胃［噌胃/7?2^22300/7?2^223001503150312121385 R，1385 R，3.10526 • 1333.10526 • 133

閩;

閩;

.而0 %而亡=翥北工=130费, 丁. W

.而0 %而亡=翥北工=130费, 丁. W

［噌胃

［噌胃

/7?2^22300

/7?2^22300

1503

1503

12

12

1385 R，

1385 R，

3.10526 • 133

3.10526 • 133

(喻=-1…7……="9屈，

W+ Тз8Г

122 — 119

погрешность^ 100 = 2,46%;

6990k6990k小俗11 + /h2622

6990k

6990k

^6^2^22 — ^1^2П2

6990 - 695248nAOO/

погрешность g^100 = ~g^ • 100 = 0,69%.

Удар

Вводные замечания. Удар представляет собой процесс, в котором силы взаимодействия тел нарастают и убывают в очень короткие промежутки времени. Тела соударяются, обладая конечной относительной скоростью, которая в процессе

удара изменяется за очень короткий промежуток времени на значительную, конечную величину. Следствием этого является возникновение в процессе удара очень больших ускорений, связанных с ними сил инерции и сил взаимодействия тел при ударе. Расчетное понятие «удар》， как правило, предусматривает учет масс обоих соударяющихся тел. Если последние имеют такую форму, что первоначальный их контакт происходит в локальной области (точка, линия, небольшая площадка), то в окрестности этой области в телах возникают контактные напряжения.

В процессе удара сила взаимодействия соударяющихся тел изменяется по тому или иному закону между моментами /0 — начала и Л — конца ее действия (рис. 17.110). Промежуток времени Л — /0 очень мал. В теории удара широко используется понятие импульса, представляющего собой "следующий интеграл:

S= J p(/)山，

力 & ~方 или выражение

Рис. 17.110. Закон измене-ния силы взаимодействиямежду телами в процессеих соударения.Рис. 17.110. Закон измене-ния силы взаимодействиямежду телами в процессеих соударения.S =尸ср Ci — %).

Рис. 17.110. Закон измене-ния силы взаимодействиямежду телами в процессеих соударения.

Рис. 17.110. Закон измене-ния силы взаимодействиямежду телами в процессеих соударения.

Используется и такая идеализация, как мгновенный импульс, конечное значение

которого представляет собой произведение бесконечного значения силы и равной нулю продолжительности ее действия.

' В зависимости от конкретных условий материал соударяющихся тел может работать в различных стадиях — упругой, упруго-пластической, пластической. Указанные стадии работы

материала могут захватывать целиком соударяющиеся тела или части этих тел. Часто граница между областями упругой и неупругой работы лежит вблизи контакта тел. Может быть и такая ситуация, при которой происходит разрушение (локальное или общее) одного или обоих соударяющихся тел. В ряде случаев на характер удара существенное влияние оказывает вяз

кость материала, которая учитывается наряду с упругими и (или) пластическими свойствами материала. Итак, исследуя удар и принимая для этого расчетные модели, приходится учитывать силы инерции и реологические свойства материалов соударяющихся тел. '

Удар является одним из весьма распространенных явлений, возникающих при эксплуатации всевозможных конструкций, сооружений и машин. Примерами могут служить удары судов, подвижного состава железных и автомобильных дорог (как в эксплуатационных, так и в аварийных условиях), удары неко торых элементов строительно-дорожных машин о перемещаемые

тела. Удару подвергаются всевозможные конструкции, специально предназначенные для защиты от артиллерийских и иных снарядов; к числу таких конструкций относятся: бортовые и палубные броневые плиты военных кораблей и конструкции, на которые опираются или к которым прикреплены эти плиты; элементы танков и т. п. Удар используется в ряде технологических операций, например при забивке свай и шпунта, дроблении материалов, при ковке и штамповке изделий.

Несмотря на свою исключительную и очевидную важность, теория удара пока далека от завершения. Трудности имеют и математическую, и физическую природу. Последние состоят в большой неопределенности свойств материала при ударе, несмотря на довольно развитую методику динамических испытаний материалов. Математические трудности возникают при изучении соударения тел даже простой формы (две сферы, два призматических стержня), для которых в основном й создана теория. В случае же более сложной формы математические затруднения часто оказываются почти непреодолимыми. Следствием отмеченной сложности является возникновение разнообразных упрощенных теорий. Эти теории, разумеется, должны применяться с большой осторожностью, после необходимой их оценки и выявления границ правомочности 】).

Разновидности теории зависят от типов и постановок решаемых при их помощи задач и искомых в них величин и зависимостей. Наряду с этим решение задачи определенного типа может быть выполнено средствами теорий различных уровней точности.

1) Теории удара посвящена большая литература, главным образом журнальные статьи. Укажем некоторые из использованных нами монографий, содержащих большие списки литературных источников:

Рахматуллин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. — М.: Физматгиз, 1961; Harris С. М., С г е - d е Ch. Е. Shock and Vibration Handbook. — New York — London: Mc-Graw- Hill, 1961; Morrow Ch. T. Shock and Vibration Engineering. — New York — London:J. Willey and Sons, 1963; Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел/Пер. с англ. М. С. Лужиной и О. В. Лужина. —М.: Стройиздат, 1965 (библ. 442 источи.); Александров Е. В., С о - колинский В. Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем.——М.: Наука, 1969; Батуев Г. С., Голубков Ю. В., Ефремов А. К., Ф е - д о с о в А. А. Инженерные методы исследования ударных процессов. ― М.: Машиностроение, 1969; Кильчевский Н. А., Теория соударения твердых тел. — Киев: Наукова думка, 1969; Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В., Теренин В. М. Расчет сооружений на импульсные воздействия. —М.: Стройиздат, 1970; Кобринский А. Е., Кобринский А. А. Виброударные системы. — М.: Наука, 1973; Ионов В. Н., Огибалов П. М. Напряжения в телах при импульсном нагружении. — М.: Высшая школа, 1975; П а н о в к о Я. Г. Введение в теорию механического удара. — М.: Наука, 1977 (библ. 38 источи.).

Можно различать три класса задач и, следовательно, три в принципе отличающиеся один от другого аппарата теории удара.

Первый из классов образует задачи, решаемые средствами механики абсолютно твердого тела. Это задачи, в которых рассматривается движущееся твердое тело ——свободное или с наложенными на него связями, ликвидирующими часть степеней свободы. Ищутся изменения в параметрах движения (линейной и угловой скоростей центра массы тела) и возникающие в связях импульсные реакции под воздействием либо приложенного к телу внешнего •мгновенного импульса, либо мгновенно наложенной связи. В том и другом случаях ситуация ударная (идеальный удар). При этом импульсные реакции могут искаться как в связях, имевших место до удара, так и в связях, внезапное наложение которых и составляет сущность ударного явления. Могут быть и некоторые модификации в отмеченных постановках задач. Эти задачи решаются путем применения аппарата механики абсолютно твердого тела.

Второй класс составляют задачи, для решения которых одних уравнений механики абсолютно твердого тела недостаточно ——требуются дополнительные уравнения, которые при строгой постановке задачи должны были бы отражать деформа- тивные свойства твердых тел; однако вместо таких уравнений вводятся уравнения, математически выражающие некоторые специально формулируемые гипотезы, при помощи которых удается обойти необходимость учета деформируемости тел в явной форме.

Такую схему построения теории используют, несмотря на наличие аппарата, позволяющего учесть деформируемость соударяющихся тел в явной форме и строго. Это объясняется тем, что, во-первых, упоминавшиеся гипотезы все же позволяют получать в ряде случаев приемлемые, достаточно удовлетворительно согласующиеся с опытными данными результаты. Во-вторых, более строгий подход к решению таких задач, в котором учитывается деформируемость тел, оказывается чрезвычайно сложным.

Наконец, имеется третий класс задач, решение которых обя、 зательно требует учета деформируемости твердых тел. При этом, разумеется, существенными оказываются реологические свойства тел.

В теории удара, относящейся к этому классу задач, распре； деленные по объему инерционные свойства в расчетных моделях в ряде случаев подвергаются дискретизации. При этом обычно дискретизируют и реологические, в частности упругие, свойства — всю расчетную модель составляют из чередующихся элементов, одни из которых несут в себе инерционные свойства,

а)Рис. 17.111. Схематизация соударяющихсятел: а) жесткого и упругого; б) упругого иупруго-вязкого.а)Рис. 17.111. Схематизация соударяющихсятел: а) жесткого и упругого; б) упругого иупруго-вязкого.другие — реологические. На рис. 17.111 показана такая схематизация реальных свойств тела. Наряду с такими схемами используются и расчетные модели с непрерывно распределенными инерционными и реологическими свойствами. Можно отметить несколько ветвей теории удара, каждая из которых характеризуется теми или иными реологическими свойствами использованных в ней моделей материала тела. В рамках каждой такой ветви могут быть использованы как дискретные, так и континуальные модели. При этом, конечно, следует иметь в виду, что если выбор тех или иных реологических свойств расчетной модели определяется свойствами реального рассчитываемого объекта, то принятие дискретной или континуальной расчетной схемы производится из чисто аппаратных соображений.

а)

Рис. 17.111. Схематизация соударяющихсятел: а) жесткого и упругого; б) упругого иупруго-вязкого.

а)

Рис. 17.111. Схематизация соударяющихсятел: а) жесткого и упругого; б) упругого иупруго-вязкого.

Задачи третьего класса могут быть и такой разновидно

сти, в которой рассматривается местная деформация в зоне контакта соударяющихся тел. В этой зоне реологические свойства модели могут быть иными, чем в остальной части тела. В частности, в области контакта могут развиваться чисто пластические деформации или может происходить хрупкое разрушение, в то время как остальная часть соударяющихся тел линейно упруга.

Задачи первого класса. Как уже указывалось, к первому классу задач относятся такие, которые могут быть решены лишь средствами механики абсолютно твердого, т. е. недеформируе- мого, тела. В настоящей книге, посвященной механике твердого деформируемого тела, такие задачи не рассматриваются. Краткая информация, относящаяся к некоторым задачам идеального удара, приведена в таблице 17.29, составленной на основе книги Я. Г. Пановко, упоминавшейся выше.

Задачи второго класса.

Г ипотезы Ньютона и Рауса. Выше было сказано, что ко второму классу отнесены задачи, для решения которых одних уравнений механики абсолютно твердого тела недостаточно, однако вместо явного учета деформируемости тела применяются гипотезы.

Был предложен ряд гипотез; наиболее удачными и широко распространенными являются две дополняющие друг друга гипотезы —гипотезы Ньютона и Рауса.

До того как дать формулировку этих гипотез, приведем некоторую информацию.

Тип задачи

№№ п/п

Вид системы до ударного воздействия

Ударная ситуация

Искомые величины

1

m

Свободное тело

^С^ А%у' A°Cz； Асо%, Асо?, Дшг

2

Тело совершает сферическое движение

As%, Asy, Ag)z； ^4炉 Ra〃' ^Az

3

Тело совершает вращательное движение относительно оси

厶吗；Rg R/y，R^z； ^Bxf ^By

g 5

§

|8

4

Свободное тело

A®x, As?, Д®2;

R。%，欠0夕 &Oz

Таблица 17.29

Уравнения для отыскания искомых величин

Примечания

Три уравнения т А% = £ $俨 теоремы i«=l

/N

о движении центра масс [tn= 2 加/ 一。6- \/-1

щая масса точек системы, А% — конечное приращение скорости центра масс вследствие удара, S£)= \ 尸?)df —мгновенные импульсы (конечные по величине),尸？)— внешние силы, приложенные к точкам системы, i — порядковый номер материальной точки, N — число таких точек, /0 и /j — соответственно начало и конец действия кратковременных сил) и три Уравнения АК。= £ М。(5州теоремы об из- i—1

менении кинетического момента (К。一 кинетический момент системы относительно центра О, M°(Sf))-момент внешнего мгновенного импульса, приложенного к /-й точке, относительно центра 0.

Можно поставить задачу и так: установить, где должен быть приложен, и найти, каким должен быть, импульс S, чтобы в некоторой фиксированной точке не изменилась скорость

Можно поставить задачу и так: установить, где должен быть приложен, и найти, каким должен быть, импульс S, чтобы он не оказал никакого воздействия на имевшиеся связи в точке Л

Можно поставить задачу и так: найти точку приложения и направление импульса, при которых от него в связях в точках Л и В не возникает реакций (такая точка называется центром удара)

В точке 0 мгновенно наложены три связи

SMK3 ОНН0ЖО1ГВН QOHHBaoHJ^SMK3 ОНН0ЖО1ГВН QOHHBaoHJ^

SMK3 ОНН0ЖО1ГВН QOHHBaoHJ^

SMK3 ОНН0ЖО1ГВН QOHHBaoHJ^

Тип №№ Вид системы до ударного.

аа> ппвоздействияУдарная ситуация Искомые величины

дачи•

Тело совершает сферическое движение

Тело совершает вращательное относительно оси движение

Точка С — центр массы, Л — неподвижная до и после удара точка; S — жены связи （количество связей и их расположение указано в.графе прим в которой имеет место реакция, второй индекс ——ось, на которую спроек

Пусть скорости соударяющихся тел Д и jB в точке соударения направлены не по нормали к площадке контакта. Свяжем с соударяющимися телами систему ортогональных координатных осей 尤1,尤2,尤з, Направив ось х3 вдоль нормали к площадке контакта вовнутрь тела А, а оси х{ и х2 расположим в плоскости, содержащей площадку контакта. Свяжем с каждым из тел А и В свою собственную систему координатных осей 耳用，g£））и 己兇泸，酸％ 妒，расположив начала координат в центрах масс этих тел Са и Св. Пусть при этом оси удовлетворяют условиям параллельности

济倜叫看，m階）卜2,守間）卜3

и одинаковой ориентации. Проекции скоростей точек Са и Св на оси соответствующих систем суть.

“14，〃24, 〃34，〃1В，〃2В，辽ЗВ,

Таблица 17.29 (продолжение)

Уравнения для отыскания искомых величин

Примечания

Три уравнения теоремы о движении центра Macj три уравнения теоремы об изменении кинетического момента и два уравнения, выражающие условие прохождения вектора о через точки Л и О

В точке О мгновенно наложены две связи в плоскости, перпендикулярной линии ЛО, вдоль осей & и "

Три уравнения теоремы о движении центра масс и три уравнения теоремы об изменении кинетического момента

В точке О мгновенно наложена одна связь вдоль оси 自 перпендикулярно плоскости, проходящей через ось АВ и точку О

мгновенно приложенный импульс; 。一 точка, к которой мгновенно прило- ечаний); R ——импульсная реакция (первый индекс при R указывает точку, тирована реакция).

а точки контакта, которые обозначим символами Д* и В* (Д* принадлежит телу Д, а В* ——телу В), суть

W1A, "岂，U3Ak w*B, "基，"晶.

Условимся еще о следующем обозначении. Если скорость некоторой точки относится к моменту, предшествующему удару, то в обозначении этой скорости кроме уже указанных вводится нижний индекс《一》(минус), а в случае, ёсли скорость относится к моменту завершения удара,——нижний индекс 《+》・ Поскольку продолжительность удара принимаем равной нулю, скорости вследствие удара претерпевают разрывы.

Первая гипотеза, предложенная И. Ньютоном, формулируется так:*

〃34+ — 〃ЗВ+ = — R (〃34- 一辽ЗВ-),

т. е. разности проекций на нормаль к площадке контакта скоростей центров масс тел Л и В до и после удара пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности R называется коэффициентом восстановления (R>0)・ Этот коэффициент находится из опыта, например, с шариком, падающим на горизонтальную плоскость, ограничивающую массивное тело, изготовленное из того же материала, что и шарик. Поскольку | изл_ | = “2g%_ , то I ^зд+ I= V2^+ > 〃зв—= 〃зв+= 0,

здесь 九一一высота падения,九+ — высота отскока шарика.

Если R = l, то удар называют абсолютно упругим; если R = 0, то абсолютно неупругим; при 0 V R V 1 удар называют неупругим. Названия эти, разумеется, условны, поскольку отражение в R деформативных свойств вообще никак не оговорено, а тем более ничем не гарантировано.

Я. Г. Пановко показал, что зависимость, в которую входит коэффициент восстановления, можно представить и для относительных скоростей до и после удара, имеющих место в точке контакта, т. е.

〃久+ —谓в+ = — R (〃£一 一谓в—)・ (17.363)

Вторая гипотеза, предложенная Раусом, связывает нормальную (S3) и тангенциальную (Si или S2) к площадке контакта проекции импульса взаимодействия этих тел зависимостью, наподобие зависимости Кулона между нормальной и тангенциальной проекциями силы взаимодействия на поверхности двух тел 1):

Si^fS3t S2^fS3. (17.364)

Здесь f — динамический коэффициент трения между телами 4 и 8. Знак неравенства относится к случаю отсутствия проскальзывания между телами Д и В, а знак равенства ——к проскальзыванию.

В качестве иллюстрации применения гипотез (17.363) и (17.364) решим пример об общем пространственном случае со

1) Строго говоря, вместо (17.364) следовало бы воспользоваться условием + S^ & fS?. При этом задача намного усложняется. Однако, учиты*

вая нестрогость основных исходных положений всего используемого здесь расчетного аппарата, а также в большинстве случаев незначительность 吟 грешности, возникающей от перехода к упрощенному варианту решения, принимаем именно его. Возникающая погрешность в выполнении условия непро- скальзывания зависит от отношения 々1/S2. При значениях этого отношения, равных 0, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1, погрешность оценивается соответственно нижеприводимым количеством процентов 0; 3; 5; 12; 29; 41. Переход к упрощенной постановке задачи как бы расширяет область отсутствия проскальзывания. Погрешность же в окончательных искомых результатах получается меньшей.

ударения двух твердых тел, построенный аналогично примеру для плоского случая движения в книге Я. Г. Пановко.

Пример 17.46. Имеются два тела Л и В, совершающие до соударения произвольное пространственное движение. Для этих тел заданы массы Ша и тв> матрицы моментов инерции в осях 1д, 2д, Зд, 1в, 2& Зв：

1/

12/

13/

124

2/

13Д

зд

|/【В— '12В—'13В

—/12В‘28—‘23В

—'13В— ‘23В‘ЗВ

Оси 1д, 2а, Зл, 1в, 2в, Зв проходят через центры масс соответственно тел Л и В. Оси 1л и 1в, 2л и 2в, За и Зв соответственно параллельны и одинаково ориентированы. Оси За и Зв параллельны нормали к площадке контакта, возникающего при ударе, с которой совмещена ось 3* (направлена внутрь тела 4); оси 1л и 1В, 2л и 2в параллельны осям 1* и 2*, проходящим через точку контакта и расположенным в площадке контакта. Координаты контактной точки тела А в системе осей 1л, 2』，Зл суть х1л, х2д, хзл, а контактной точки тела 8 в системе осей 1в, 2в, Зв суть х*в, х^, х^в. Составляющие линейной скорости центра масс тела А и угловой скорости тела Л до удара суть u. ={〃di м9л л ①9/ со、力).Аналогично, для тела в：ив- = ^гв^в^звЛ^в- = {«^„(Озз^сОзд^^Лоэффициент восстановления и коэффициент трения между телами Л и В суть Ruf соответственно. Требуется найти составляющие линейных скоростей центров масс тел Л и В и угловых скоростей этих тел после их соударения; ил+ = {勺/+〃24+〃з/十}， ®4+= {① 1/+%/ + %/ + }； "в+= {〃1В + 〃2В + 〃ЗВ + }' ®В+= {吗8+823+838 + }' а также Si, §2 н S3 — составляющие импульса соударения.

Решение. Для отыскания искомых величин воспользуемся теоремами об изменении количества движения и изменения моментов количества движения

для каждого из тел, которые выражаются следующими двенадцатью

НИЯМИ

mа ("14+ 一 "1/一) = sI， mа ("2/+ - "2/-) = 52» mа ("3/+ - "3/一) = S3,

тв (^в+^^в-)^^8!^ mВ ("28+一"28-) = 7, "в (^в+^^в^^-8^

уравне-

(17.365)

71Л (叫4+ - %/一) 一 人24 (%/+ - ①2/-)-43/ (①3/+ -①34-) =* =*^3Х2Д 一 ^2ХЗА>

一/124 (叫4+ - ① 14-) + /24 (%4+ -①2/-) - /234 (①3/+ - ①3/一)= =S/氢 一 S3%；/,

‘134

(① 14+ - 01Л-) - /234 (①24+ -①2/一)+ /34 (①3/+ - °Зд-)=

Лв (① 1В+ 一 ① 1В-) 1 '12В @28+ — °2В-) — ‘138 (①ЗВ+ 一 ①ЗВ-)= =—^3Х2В + ^2ХЗВ»

—厶28 (① 1В+ — Ав—) + ‘28 @28+ —①2В-) — ‘23В (①33+ —①ЗВ-)=

=—S/晶 + $з%；в，

一厶38 (① 18+ 一①⑵一)一/238 (①28+ 一 ①28-) + /38 (①38+ - 0ЗB-)= ==一 $2%；в + S]%2B・

(17.366)

Недостающие три зависимости для отыскания пятнадцати искомых вели・ чин записываем, используя гипотезы Ньютона и Рауса,

Si《/S3, S?《fSs,иза+ — /в+ = _ R (〃氢-—吗в-)・(17.367)

В связи с приближенностью расчета, в котором используется гипотеза Рауса, здесь допущена возможность применения ее в форме (17.367)1,2.

В зависимостях (17.367)1,2 знак неравенства соответствует отсутствию проскальзывания между телами 4 н В в точке контакта, а знак равенства — проскальзыванию.

(17.368)(17.368)Поэтому поступаем так: сначала предполагаем, что проскользывания нет, и тогда имеем равенства

(17.368)

(17.368)

%+ —研в+ = °，％+ — и2В+ = °，

заменяющие собой (17.367)1,2- В уравнения (17.367) и (17.368) подставляем вместо скоростей точек контакта тел Л и В их выражения через линейные скорости центров масс тел Л и В и угловые скорости этих тел согласно следующим формулам, происхождение которых очевидно:

1唯-

И2А-=

勺4-0% -%(,吗4-|

=И2Д- + 一 ХЗА°Х1Л °2Л-卜

или, в компактной записи,

Аналогично имеемАналогично имеем叽 uj- + ХА®Л-*и^+«=ил+ + Хл®л+.

Аналогично имеем

Аналогично имеем

После указанной выше подстановки и объединения полученных в результате уравнений с уравнениями (17.365) и (17.366) приходим к системе пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными

Мл000- Е 1

0Мв00Е

оо1лох/

0001sf

Е —Е Хл f 0

同卡一

Здесь Ма ■«「та 加4 加4」,Мв =「тв mB m5 J, 0 и E — нулевая и единичная матрицы третьего порядка,

『”4-，40仆恥，dsf* dLU限， 亳 в {0 0 R [〃ЗА— + &1А-х2А — ^А-^А 一 〃ЗВ——① 1В-应8 + ^B-^ls]}*

Согласно (17.369)

以+0高5 + 口4一，.%+ = 一 ^5_%-.(17・370)

Учитывая (17.370), преобразуем систему (17.369) к виду

0

X/

4 +

d3

0

&в+

==

d4

.(17.371)

_ X月

МАВ

S

d6

8десь Мав = (т^ + €е；

d6S- {("14- 一 и1В-)(М2А- 一 〃2В-) [(ИЗА- - %_) +

+ R (〃:U- + °1Л-Х2Д —①2/-%П — 〃3B——① 18 — %；В + ①2B — %3)]} •

Решая систему (17.371), находим, в частности, s == {S】S2sз}. Если при этом удовлетворены условия

I Si I V fS3Hls21V 乃凱

то согласно (17.370) находим щ+ и Если же обнаружится, чтото согласно (17.370) находим щ+ и Если же обнаружится, чтоub+ и на этом решение заканчиваем.ub+ и на этом решение заканчиваем.

то согласно (17.370) находим щ+ и Если же обнаружится, что

то согласно (17.370) находим щ+ и Если же обнаружится, что

ub+ и на этом решение заканчиваем.

ub+ и на этом решение заканчиваем.

илиилиилиили2|>»з, |S】| VfS3, 印》乃3,2|>»з, |S】| VfS3, 印》乃3,I S2 1V f§3, |S2|>0, 2|》隔I S2 1V f§3, |S2|>0, 2|》隔

или

или

или

или

2|>»з, |S】| VfS3, 印》乃3,

2|>»з, |S】| VfS3, 印》乃3,

I S2 1V f§3, |S2|>0, 2|》隔

I S2 1V f§3, |S2|>0, 2|》隔

то соответственно предположение, об отсутствии проскальзывания в направлении оси 1* или оси 2* или обеих осей 1* и 2* не оправдано и вместо уравнения (17.368)ь или уравнения (17.368)2, или уравнений (17.368) следует использовать соответственно условие проскальзывания Si = fS3, или 《2 = fS^ или Si = /$з н S2 == /^з и тогда система уравнений (17.371) приобретает соответственно вид -

гдегдеU о о U Ai в】U о о U Ai в】也明端也明端00d3 d《 d9d3 d《 d9ооCg =Cg =d3d3ооо—ХЗАХ2А о+о—ХЗАХ2А о+ооА，/А，/++ооооо行А о£оо行А о£оBiBiо оХ1Во оХ1Вооооо оо оG^ +言)ХЗД — Х2ДG^ +言)ХЗД — Х2Дооо оо о,(I7 = 一 "24 - + "28一_ 〃3/一 + "3B_ _ RD,(I7 = 一 "24 - + "28一_ 〃3/一 + "3B_ _ RD0— ХЗВ Х2В000一%曰8 x1В 00— ХЗВ Х2В000一%曰8 x1В 0一".一".—〃з/- + 〃зв- 一 RD—〃з/- + 〃зв- 一 RD14- + %_о14- + %_о

где

где

U о о U Ai в】

U о о U Ai в】

也明端

也明端

0

0

d3 d《 d9

d3 d《 d9

о

о

Cg =

Cg =

d3

d3

о

о

о

—ХЗА

Х2А о

+

о

—ХЗА

Х2А о

+

о

о

А，/

А，/

+

+

оо

оо

о

行А о

£

о

о

行А о

£

о

Bi

Bi

о о

Х1В

о о

Х1В

о

о

о

о

о о

о о

G^ +言)

ХЗД — Х2Д

G^ +言)

ХЗД — Х2Д

о

о

о о

о о

,(I7 = 一 "24 - + "28一

_ 〃3/一 + "3B_ _ RD

,(I7 = 一 "24 - + "28一

_ 〃3/一 + "3B_ _ RD

0— ХЗВ Х2В

000

一%曰8 x1В 0

0— ХЗВ Х2В

000

一%曰8 x1В 0

一".

一".

—〃з/- + 〃зв- 一 RD

—〃з/- + 〃зв- 一 RD

14- + %_о

14- + %_о

1

00 О II о о о

О О О , Вз= О оо

Х2Л — Х1Д 0—行В %；В。

^^[^А- + °1Д-Х2А 一 ①2/-灯4 — 〃ЗВ- 一 ®1В-Х2В + ①2В-%；В卜^^[^А- + °1Д-Х2А 一 ①2/-灯4 — 〃ЗВ- 一 ®1В-Х2В + ①2В-%；В卜

^^[^А- + °1Д-Х2А 一 ①2/-灯4 — 〃ЗВ- 一 ®1В-Х2В + ①2В-%；В卜

^^[^А- + °1Д-Х2А 一 ①2/-灯4 — 〃ЗВ- 一 ®1В-Х2В + ①2В-%；В卜

Повторные удары в автономных системах. Пусть с некоторой высоты Ао падает твердое тело (шарик) на массивное тело, ограниченное горизонтальной плоскостью. Продолжительность этого падения равна /0- Она находится из известной зависимости для равноускоренного движения,

瓦=算

После первого удара шарик отскакивает на высоту йь после второго ——на 九2, после n-го ——на высоту 九〃；при этом

九九=必%0.

Здесь R ——коэффициент восстановления. Число подскакиваний шарика стремится к бесконечности, частота ударов неограниченно возрастает, продолжительность одного удара с уменьшением его номера уменьшается и находится по формуле

in = 2R%,

а т — общая продолжительность процесса ——ограничена значением

Меняется от удара к удару и ударный импульс, значение которого определяется формулой

S产 mvoRi (1 + R);

при этом среднее в процессе удара значение силы сохраняет свое значение, равное силе тяжести шарика

s〃2s〃2〃w()F = mg・〃w()F = mg・

s〃

2

s〃

2

〃w()

F = mg・

〃w()

F = mg・

Аналогичная в основном картина наблюдается и при ударе весомого тела по упругой системе с одной степенью свободы

(рис. 17.112). В этом случае также процесс конечен по общей продолжительности, число ударов бесконечно, а продолжительность каждого из них с возрастанием номера удара уменьшается. В конце процесса груз покоится на неподвижной изогнутой балке. При решении этой задачи также использовалась гипотеза Ньютона. После первого удара скорости масс соответственно равны

1 — Rtn1 + R—к"**’**""人

以1+ = т+^T 咏，081+ =

Рис. 17.112. Удар весомого

._стела о систему с одной сте-

где m = тв/тА> Если т < 1/R, то ударя- пенью свободы, ющее тело продолжает движение вниз.

Повторные удары в неавтономных с и с те - м а х. С указанными в заголовке раздела повторными ударами, вызываемыми внешними, специально для этого созданными приспособлениями или агрегатами, связан ряд технологических процессов ——забивка свай, работа электромеханического молотка, вибротранспортирование, также исследуемых при помощи использования гипотезы Ньютона. Этим вопросам посвящена специальная литература !)«

Теория удара, в которой учитывается свойство деформируемости тел (задачи третьего класса).

Удар абсолютно твердо го тела о б упругую систему

Предварительные соображения. В настоящем разделе решается задача о соударении абсолютно твердого и упругого тел в различных постановках, начиная от простейшей, при которой не учитываются ни масса ударяемого упругого тела, ни, следовательно, колебания, происходящие в нем, ни местная деформация в зоне контакта, и кончая значительно более общей постановкой, в которой отмеченные факторы учитываются.

Удар абсолютно твердого тела массы m о невесомую упругую систему. Рассмотрим удар, указанный в заголовке. Упругую систему представим в виде невесомой цилиндрической пружины с вертикальной осью (рис. 17.113, а). Будем предполагать, что верхний конец пружины снабжен невесомым оголовком с плоской верхней поверхностью и что соударяемые тела соприкасаются в момент удара по всей плоскости этого оголовка (рис. 17.113, б). Эта идеализация исключает возникновение контактных напряжений. Кроме того, будем считать, что пружина

Рагульский В. Л. Виброударные системы. — Рига: Минтис, 1974; Бабицкий В. И. Теория виброударных систем. — М.: Наука, 1978; Б л е х - м а н И. И., Джанелидзе Г. И. Вибрационное перемещение. — М.: Наука, 1964; Кобринский А. Е., Кобринский А. А. Виброударные системы. —М.: Наука, 1973.

идеально упруга и характеристика у нее линейная. Определим бдин — величину динамического перемещения оголовка пружины. Вследствие абсолютной упругости материала кинетическая энергия падающего груза к концу удара полностью переходит в потенциальную энергию деформации. Это условие выражается энергетическим уравнением

7 = U. (17.372)

Рис. 17.113. К определению динамического коэффициента при ударе: а, б) расчетная схема упругой системы при рассмотрении удара о нее падающего груза; а) начало падения; б) конец удара; в) к примеру 17.47.Рис. 17.113. К определению динамического коэффициента при ударе: а, б) расчетная схема упругой системы при рассмотрении удара о нее падающего груза; а) начало падения; б) конец удара; в) к примеру 17.47.Найдем аналитические выражения для Т и U и подставим их в (17.372). Кинетическая энергия падающего тела Т численно равна уменьшению потенциальной энергии этого тела с момента начала падения до завершения удара. В. качестве момента завершения удара примем момент возникновения максимальной деформации пружины. Таким образом, T = mg{h + \^. (17.373)

Рис. 17.113. К определению динамического коэффициента при ударе: а, б) расчетная схема упругой системы при рассмотрении удара о нее падающего груза; а) начало падения; б) конец удара; в) к примеру 17.47.

Рис. 17.113. К определению динамического коэффициента при ударе: а, б) расчетная схема упругой системы при рассмотрении удара о нее падающего груза; а) начало падения; б) конец удара; в) к примеру 17.47.

Здесь символом бдин, как уже отмечалось, обозначена максимальная просадка пружины при ударе, й — высота, с кото- .рой падает груз. Потенциальную энергию деформации пру

жины, учитывая линейность ее характеристики и полагая жесткость Сднн при динамическом воздействии такой же, как и при

статическом %:

Сднн = Сет = &

выразим следующей формулой:

U =工尸днн6днн・

Здесь Рднн — сила удара груза о пружину. Имея в виду, что

尸 днн = с6днн,(17.374)

получаем

и = ^с%н；(17.375)

подставляя (17.373) и (17.375) в (17.372), приходим к уравне^ нию

mg (九 + %н) = т 吗н，端н - 学 \ин — ? = о・(17.376)

Легко видеть, что

(17.377)

. Здесь 尸仃=mg ——сила тяжести груза; с такой силой груз воздействует на пружину при статическом его приложении к ней. Учитывая (17.377), представим уравнение (17.376) в следующем виде:

端н-2，％н-26" = 0・(17.378)

Решая квадратное уравнение (17.378), получаем

%Н = 6сТ + л/% + 26", %н = SCT (1 + д/1+誥)；(17.379)

второй корень не использован, он отрицателен и соответствует состоянию системы, достигаемому при обратном движении балки (прогибы вверх).

Выражение, находящееся внутри круглых скобок в (17.379), представляет собой так называемый коэффициент динамичности при ударе

矶 н = 1 + д/1+羔=讐，％нн = “ст・ (17.380)

Подставляя (17.380) 2 в (17.374), получаем

Рднн == С^днн6ст・(17.381)

Если подставить .(17.377) в (17.381), будем иметь

Рднн =々дннРСТ*

Так как напряжения в линейно упругих системах пропорциональны нагрузкам, приходим к еще одной зависимости

Ранн = ^динРст-

Из формулы (17.380) следует, что коэффициент динамичности при прочих равных условиях уменьшается с увеличением бСт. С увеличением высоты, с которой падает груз, при прочих равных условиях происходит увеличение и коэффициента динамичности. Это утверждение тоже хорошо согласуется с интуитивным представлением о явлении и повседневным опытом. Формулу (17.379) можно представить и еще в двух формах. Первая из них получается, если учесть известную формулу для скорости падающего тела

u2==2g 瓦2h = +lg.(17.382)

Подставляя (17.382) в (17.379), имеем

Лдин - 1 + д/] +詁•(17.383)

Для получения еще одной формы коэффициента динамичности умножим числитель и знаменатель в выражении второго

2А2Аслагаемого под корнем квадратным в формуле (17.379) на (1/2) mg:

2А

2А

ТоТо(%) mg6cr UcT(%) mg6cr UcTmgh

То

То

(%) mg6cr UcT

(%) mg6cr UcT

Здесь To = mgh — кинетическая энергия падающего груза в момент начала удара, численно равная изменению потенциальной энергии груза при опускании его на величину 九；[/Ст = =(l/2)/ng6cT — потенциальная энергия деформации пружины при статическом воздействии на нее силы тяжести груза; тогда *дин=1 +V1+^*(17.384)

Пользуясь формулой (17.379), можно решить ряд задач, понимая под пружиной ту или иную упругую систему.

Если Л = 0, т. е. груз не падает на упругую систему, а внезапно прикладывается к ней полной своей величиной, то, исходя из формулы (17.379), получаем &нн = 2. Формулы (17.383) и (17.384), в которых &днн выражается не через высоту падения, могут быть применены к удару, в котором ударяющее тело не падает вертикально, а действует иным образом.

Пользоваться приведенными выше результатами можно лишь в случае, если пренебреженная в расчете масса ударяемого тела намного меньше ударяющей массы.

Пример 17.47. Определить динамические напряжения в поперечном сечении вертикального стержня, испытывающего осевой удар по верхнему свободному торцу груза Р весом 200 кГ, падающего с высоты 5 см. Материал стержня——древесина; размеры стержня показаны на рис. 17.113,8. Собственным весом стержня пренебречь.

200 • 200625 • 100 000200 • 200625 • 100 000Решением р ОПП =亨=砥"в 0,32 кГ/см2,

200 • 200

625 • 100 000

200 • 200

625 • 100 000

0,00064 см.

+д/1+^5^^ 126,04,Один = %т^днн = °,32 • 126,04 = 40,3 кГ/см2.

При 10 < ^- < 100 в формуле (17.379) можно пренебречь под радикалом единицей и представить формулы для коэффи* циента динамичности в следующем виде:

^лин = 1 +^лин = 1 +，ИЛИ 々днн = 1 + д/矗^，или ^дин= 1 + д/^;'

^лин = 1 +

^лин = 1 +

При 2九/бет = ^2/(g6cT)= To/Uct > 100 в формуле (17.379) можно пренебречь единицей вне радикала, представляя ее так:

или & = 7歳、

ИЛЯ 々днн —

Ответим, однако, что уже при 2Л/6СТ ~ 100 пользоваться изложенной выше теорией удара часто не представляется возможным вследствие недостаточной точности положений, принятых в качестве основы для построения теории (в частности, упругая работа материала ударяемой системы, неучет волнового характера распространения напряжений вдоль стержня). При значениях

2%

Рис. 17.114. Сосуд с поперечной диафрагмой, имеющей отверстие (к аналогии явления распространения энергии удара в ударяемой в торец стойке и явления наполнения сосуда вливаемой в него жидкостью) / — диафрагма; 2 —от верстие.

=〜100

U ст

удельная потенциальная энергия деформации вблизи места ее поступления в систему оказывается намного выше среднего значения, определяемого при рассмотрении всего объема стержня. В результате такой концентрации энергии в районе контакта соударяющихся тел материал начинает работать в

пластической области. Ситуацию можно пояснить следующей аналогией. Представим себе цилиндрический сосуд с диафрагмой, расположенной на некотором расстоянии от кромки (рис. 17.114). Пусть в диафрагме имеется отверстие. Если в такой сосуд наливать в верхний отсек жидкость медленно, то вода будет успевать протекать через отверстие в диафрагме, не накапливаясь над нею. Так может быть

заполнен весь сосуд. Если представить себе, что жидкость поступает в верхний отсек сосуда с большой скоростью, то может случиться, что, не успев протечь через отверстие в диафрагме в нижний отсек, она начнет переливаться через края, хотя совершенно очевидно, что объем всего сосуда (обоих отсеков) намного больше того объема налитой воды,

Рис. 17.115. К примеру 17.48.

при котором началось переливание.

Пример 17.48. Сопоставить максимальные динамические напряжения в трех стержнях, изображенных на рис. 17.116, при воздействии на них одинакового груза mg, падающего с одинаковой во всех трех случаях высоты. Один из стержней имеет ослабление поперечного сечения в виде выточки,два других стержня ——призматические; при этом второй стержень имеет площадь поперечного сечения, такую же как %нетто сечения, а третий — как 尸брутто сечения в стержне с ослаблением.

Решение. Поскольку пст определяется по ослабленному сечению, а таковое в первом стержне равно любому поперечному сечению второго стержня,

吧=0卷(17.385)

С другой стороны, поскольку поперечное сечение в третьем стержне больше, чем во втором,

ag ＞(j^・(17.386)

Учитывая тот факт, что ослабление в первом стержне по длине занимает относительно небольшой участок, а в остальной части стержня площадь поперечного сечения такая же, как и у третьего, можно считать, что

^^^ 礎一碼н・ (17.387)

С другой стороны, так как площадь поперечного сечения у второго стержня меньше, чем у третьего,

喀〉魁 礁Н＜碼Н・(17.388)

Объединяя (17.385) и (17.386), а также (17.387) 2 и (17.388) 2, получим

吧У噌 ＞噸嶋＞囁e% = %・(17.389)

Так как динамическое напряжение находится по формуле*

Одни 5=1 后дннОст，(17.390)

сопоставляя (17.389) и (17.390), приходим к неравен-

по 67

ПО 4-0

а

£

Рис. 17.116. Конструк-тивная мера для сни-жения осевой жест-кости элемента, работающего на продоль-ный удар.

ствам

。黑 >。爲咄Н>^Н.

Итак, в наиболее невыгодных условиях оказывается первый ослабленный стержень. Этот результат имеет общий характер. При ударных нагрузках местные ослабления, повышающие статические напряжения и практически не уменьшающие коэффициент динамичности, приводят к увеличению динамического напряжения.

Сопоставляя 。器н и а^н:

噸 н =备(1 + д/[+券齐)стдин^"*(1 + д/]+^^)

(здесь 尸2,尸8 ——площади поперечных сечений второго и третьего стержней), замечаем, что влияние площади поперечного сечения стержня на величину статического напряжения большее, нежели на величину коэффициента днна・

мичности, так как в последнем случае величина площади входит под радикал, Таким образом, увеличение статического напряжения во втором стержне по

сравнению с третьим за счет уменьшения площади поперечного сечения происходит в большей мере, чем уменьшение коэффициента динамичности; поэтому

嚼Н ＞噸н.

Желая уменьшить динамическое напряжен ние в стержне с выточкой, можно применить

повсеместное (по всей длине) уменьшение в нем площади поперечного сечения (доводя его до нетто в сечении выточки) за счет образования внутрен-

них пустот (рис. 17.116). Такое конструктивное мероприятие, не увеличивая значения статического напряжения,уменьшает величину коэффициента динамичности (так как увеличивается ост), а следовательно, уменьшается динамическое напряжение.

Пример 17.49. Определить динамический прогиб бДИн = йдин балки на двух опорах при условии падения на нее груза массой m «■ ЛГд с высоты А в точку посредине пролета (рис. 17.117).

Решение:

*小 АГЛ^/3/2Ы85Г

賞ма.з //无瓦Q

Абсолютно пластичный удар) тела массы Ма о весомую призматическую балку н а двух опорах, представленную в расчете как система с одной степенью свободы. Учтем массу балки при поперечном о нее ударе, если она равномерно распределена при интенсивности тв.

Будем считать, что в остальном условия рассматриваемой задачи такие же, как и в примере 17.49.

Скорость груза до удара обозначим символом ”=и一 скорость любой точки балки до удара равна нулю. Поскольку, как указано выше, соударение принято идеально пластичным, отскока груза от балки не происходит, вследствие чего после удара скорости груза и соответствующей точки балки одинаковы: 啤)=哗)=%.

Систему (балку) с распределенной массой заменим системой с одной сосредоточенной массой с центром, расположенным в той точке оси балки, о которую происходит удар. Следуя Г. Коксу), значение этой массы, которую называют приведенной, определим из условия равенства кинетических энергий двух систем ——с распределенной и с сосредоточенной массами. Распределение V ——скоростей в балке ——примем с точностью до постоянного размерного множителя а таким же, как и распределение и ——статических прогибов (при воздействии сосредоточенной силы Р посредине пролета):

V ⑵=а〃 (г).(17.391)

Функция 〃(2)в (17.391) имеет вид

при 0忘2《〃2

_ P/8 3〃Z — 4炉

“ =48Е/ P

Таким образом,

Р/33/22 一 4炉

48Е/

или, принимаяa= 0+一^-,

Кинетические энергии балки с распределенной и балки с сосредоточенной (приведенной) массами выражаются формулами

〃2

,1 f / 302 — 4之3、2

%+ = 2.万.咚)(一p-) rnB dzо

—17 rnBv\l==*35 -2—

,(17.392)

Из условия Гв+ = Гв+, учитывая (17.392), получаем

17 у

Мв = -^тв1.

Если тело массы Ма к моменту удара о массу Мв обладало скоростью и_, то скорость «склеившихся» при ударе масс, после соударения, определится по формуле, вытекающей из условия сохранения количества движения,

v+= мА + мв °-

Далее рассматриваем возникающие после удара колебания системы с одной степенью свободы при значении сосредоточенной массы, равном МА + Мв. …

Согласно (17.97) и (17.96) уравнение свободных колебаний применительно к нашему случаю

qq48£77WW48£77WW

q

q

48£7

7WW

48£7

7WW

приобретает следующий вид:

)〃 = 0・)〃 = 0・“ ](48Е/

)〃 = 0・

)〃 = 0・

Общее решение этого уравнения и первая производная от него выражаются формулами

4 nBi sin со^ + В? cos со& й «= В^ cos со" — В2^ sin ①J・

Начальные условия суть:Начальные условия суть:ПрИ / = 0 〃 = 〃стПрИ / = 0 〃 = 〃ст(吟+ %)gW(吟+ %)gW48Е/48Е/% + % i% + % iИз этих условийDМА& = 〃СТ, МА + МВТаким образом,Из этих условийDМА& = 〃СТ, МА + МВТаким образом,忆=BiG)c，区1忆=BiG)c，区1MAJMAJ錫+%".錫+%".®c ^a+MB®c ^a+MBsin ①J + 〃CT COS G)J，〃max =sin ①J + 〃CT COS G)J，〃max =W (MA+MBfW (MA+MBf

Начальные условия суть:

Начальные условия суть:

ПрИ / = 0 〃 = 〃ст

ПрИ / = 0 〃 = 〃ст

(吟+ %)gW

(吟+ %)gW

48Е/

48Е/

% + % i

% + % i

Из этих условий

DМА

& = 〃СТ, МА + МВ

Таким образом,

Из этих условий

DМА

& = 〃СТ, МА + МВ

Таким образом,

忆=BiG)c，区1

忆=BiG)c，区1

MAJ

MAJ

錫+%".

錫+%".

®c ^a+MB

®c ^a+MB

sin ①J + 〃CT COS G)J，〃max =

sin ①J + 〃CT COS G)J，〃max =

W (MA+MBf

W (MA+MBf

〃аhh = 〃ст + "max = 〃ст + 〃ст〃аhh = 〃ст + "max = 〃ст + 〃стМаксимальный же динамический прогиб, отсчитываемый от недеформированной оси балки, выразится формулой

〃аhh = 〃ст + "max = 〃ст + 〃ст

〃аhh = 〃ст + "max = 〃ст + 〃ст

磴(此什/)2京 или

〃I(% + %)482?，]

〃днн — 〃ст L I 十、丄十 48Е/ (Ма + /)2 (М% + %)2 g2/6 J

= 〃ст[1 + “1+^^ (1+許)]，(17.393)

или, наконец,

〃ПНН === ^СТ^ДИН*

Здесь использованы формулы для ①с и 〃ст, приведенные выше, и учтено, что

吧 М“ = 27о；

Г。一кинетическая энергия ударяющего тела к моменту удара.

Сопоставляя выражение для коэффициента динамичности, помещенное в квадратные скобки в (17.393), с выражением для 论пнн, приведенным в примере 17.49, и учитывая, что имеет место равенство TJ(gMQ = h、вытекающее из приведенной в примере 17.47 зависимости

2 力 То / Tq〃ct . Т()〃ст То

убеждаемся в том, что влияние массы ударяемого тела на коэффициент динамичности учитывается множителем 1/(1 + МВ/МА)3 во втором члене подкоренного выражения в нижеприводимой

формуле для ^Дин：

% = 1 + /+*(1 +察广 (17.394)

В (17.394) Zct — статический прогиб при неучете массы балки.

В таблице 17.30 помещены значения 々днн при разных комбинациях значений 2h/uCT и 1/(1 + Мв/Ма)3,

Таблица 17.30

тв1

2h

0

0,01

0,1

1

10

100

2

2

2

2

2

2

0,01

2,0050

2,0048

2,0037

2,0006

2,0000

2,0000

0,1

2,0488

2,0474

2,0369

2,0062

2,0000

2,0000

2,4142

2,4038

2,3234

2,0607

2,0004

2,0000

10

4,3146

4,2720

3,9177

2,5000

2,0037

2,0000

100

11,0499

10,9025

8,7253

4,6742

2,0369

2,0000

Из данных этой таблицы видно, что учет массы ударяемого тела снижает значение коэффициента динамичности. Это снижение тем заметнее, чем выше относительное значение массы ударяемого тела и чем меньше отношение 2九/"ст.

Несмотря на внесенное уточнение, картина, полученная приведенным выше аппаратом, все же не позволяет с достаточной точностью судить о явлении, когда удар упруг. Существенными могут оказаться и местные пластические деформации, и местное разрушение, а также волновые процессы.

В некоторых литературных источниках по теории удара 】) встречается предложение использовать для определения приведенной массы уравнение количества движения. Такой подход является в принципе ошибочным), поскольку в используемом при этом уравнении.

此忆=MAv+ + 2mBv^ ^?[dz о

не учтены импульсные реакции связей.

В результате такого подхода выражение для коэффициента динамичности получается следующего вида:

++~17 тв12A 1+~17 тв12A 1+

+

+

~17 тв1

2A 1+

~17 тв1

2A 1+

В таблице 17.31 приведены значения kw, подсчитанные по этой формуле, здесь же в скобках показан процент погрешности (в сторону завышения значения 々днн) по сравнению с результатами, помещенными в таблице 17.30. Жирной чертой ограничена область, в которой этот процент превышает 5.

Таблица 17.31

тв"МА

0

0,01

0,1

1

10

100

竺 еет

0

0,01

0,1

1

10

100

2

(0) 2,0050

(0) 2,0488

(0)

2,4142

(0)

4,3146 (0)

11,0499

(0)

2

(0) 2,0049 (0,005)

2,0484 (0,049)

2,4115 (0,320)

4,3052 (0,777)

11,0122 (1,006)

2

(0) 2,0046 (0,045.)

2,0454 (0,417)

2,3888 (2,815)

2

(0) 2,0028 (0,110) 2,0277 (1,072)

2 (0) 2,0006 (0,030) 2,0056 (0,280)

2,0542 (2,689)

2

(0) 2,0001 (0,005) 2,0006 (0,030)

2,0061 (0,305)

2,0597 (2,985)

2,2501 (9,191)

3,5742 (42,97)

8,5672 (83,29)

4,2076 (7,323)

10,6894 (22,50)

2,4540 (22,47)

4,4845 (120,2)

2,4930 (24,65)

Об экспериментальном изучении удара. Целью экспериментального изучения удара являются проверка правомочности теории и- обнаружение специфических особенностей в поведении материалов при динамическом на них воздействии.

Нагружение с небольшой скоростью осуществляется при помощи падающего тела; удары с высокими скоростями создаются посредством стрельбы из тех или иных разновидностей оружия и орудий. Наряду с этим в установках для создания удара используются и другие принципы (реакция сжатых газов, внезапный останов вращающегося колеса, сила растянутых резиновых тяг — принцип пращи, взрыв).

В опытах с ударным воздействием измерению обычно подвергаются: характеристики движения и перемещения соударяю-

щихся тел, продолжительность удара, геометрия кратера в области контакта или отверстия в пробитом теле, параметры порождаемых ударом волн, распространяющихся в телах.

Наблюдение за волнами осуществляется при помощи электрических, оптических и механических методов. В первом случае используются пьезоэлектрические свойства кристаллов (кварца, поваренной соли и др.), во втором, в частности, метод фотоупругости в комбинации со сверхскоростной киносъемкой.

Характерными объектами испытаний на ударное воздействие являются: соударяемые сферы, соударяемые сфера и плита, призматический стержень, подвергаемый центральному продольному удару, балка, подвергаемая поперечному удару.

Существенным фактором, обнаруживаемым в эксперименте, о чем уже говорилось в гл. IV, является зависимость деформации от скорости деформации. Здесь подчеркнем одну существенную особенность.

Для материалов без ярко выраженной площадки текучести результаты теории, в которой не учитывается зависимость деформации от скорости деформации, находятся в хорошем согласии с опытом.

В случае же материалов с явно выраженным пределом текучести результаты теории, не учитывающей зависимость деформации от скорости деформации, существенно отличаются от обнаруживаемых в эксперименте.

В заключение заметим, что выявление характера поведения самих материалов в процессе динамического на них воздействия выполняется как для отбора материалов, хорошо сопротивляющихся этому воздействию, так и для получения информации, необходимой при построении теорий.

Глава XVIII

УСТОЙЧИВОСТЬ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ

Вводные понятия

Во всех тех предыдущих разделах настоящего курса, в ко- тбрых обсуждалось статическое внешнее воздействие на деформируемые системы и использовалась линейная постановка проблемы (линейные уравнения), мы обнаруживали единственное положение равновесия системы, испытавшей деформацию, и относящиеся к нему внутренние усилия. Этот факт находится в полном соответствии с теоремой о единственности решения задачи линейной теории упругости (см. т. I, § 9.5).

Не оговаривая этого специально, мы исходили из предположения, что обнаруживаемое в расчете единственное положение равновесия является реализуемым и близким к действительному в той мере, в какой принятые в основу расчета данные близки к натуре (свойства материала, размеры и форма конструкции, внешние воздействия и т. п.). Однако, строго говоря, в проводившихся теоретических построениях и расчетах обнаруживалось лишь существование положения равновесия системы и никакого обоснования реализуемости этого положения не давалось. Вместе с тем хорошо известно, что одной возможности положения равновесия далеко не достаточно для суждения о его реализуемости.

На рис. 18.1 изображен классический пример из курса физики, который показывает, что равновесие может быть устойчивым, безразличным (нейтральным) и неустойчивым. Представлены все (шесть) мыслимые ситуации равновесного положения шарика на телах, имеющих различные поверхности, и только в одном из этих случаев положение равновесия является реализуемым (устойчивым) и при том единственным — шарик в наи- низшей точке дна «чаши». К обсуждению рис. 18.1 мы еще вернемся. '

Применительно к деформируемым системам можно привести такой очевидный пример устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Если подвергать осевому сжатию тонкую

металлическую линейку, то при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия линейки становится не・ устойчивой и происходит выпучивание. Этот пример иллюстрирует и тот факт, что при определенных условиях возможно не единственное положение равновесия — в данном случае прямолинейное и искривленное. Линейной постановке проблемы равновесия отвечает единственность решения.

Рис. 18.1. К вопросу о различных формах равновесия: а) шарик в наинизшей точке дна «чаши>—положение равновесия устойчивое; б) шарик на горизонтальной «пластине»—положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; в) шарик на вер* шине «купола»—- положение равновесия неустойчивое; а) шарик на дне горизонтального «лотка» — пололсение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; д) шарик на «замковой линии свода> — положение равновесия неустойчивое; е) шарик в перевальной точке «седла>—положение равновесия неустойчивое.Рис. 18.1. К вопросу о различных формах равновесия: а) шарик в наинизшей точке дна «чаши>—положение равновесия устойчивое; б) шарик на горизонтальной «пластине»—положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; в) шарик на вер* шине «купола»—- положение равновесия неустойчивое; а) шарик на дне горизонтального «лотка» — пололсение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; д) шарик на «замковой линии свода> — положение равновесия неустойчивое; е) шарик в перевальной точке «седла>—положение равновесия неустойчивое.

Рис. 18.1. К вопросу о различных формах равновесия: а) шарик в наинизшей точке дна «чаши>—положение равновесия устойчивое; б) шарик на горизонтальной «пластине»—положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; в) шарик на вер* шине «купола»—- положение равновесия неустойчивое; а) шарик на дне горизонтального «лотка» — пололсение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; д) шарик на «замковой линии свода> — положение равновесия неустойчивое; е) шарик в перевальной точке «седла>—положение равновесия неустойчивое.

Рис. 18.1. К вопросу о различных формах равновесия: а) шарик в наинизшей точке дна «чаши>—положение равновесия устойчивое; б) шарик на горизонтальной «пластине»—положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; в) шарик на вер* шине «купола»—- положение равновесия неустойчивое; а) шарик на дне горизонтального «лотка» — пололсение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое — при начальном возмущении в виде импульса; д) шарик на «замковой линии свода> — положение равновесия неустойчивое; е) шарик в перевальной точке «седла>—положение равновесия неустойчивое.

Пример с линейкой наглядно показывает, как важно уметь судить, является ли полученное в расчете положение равновесия устойчивым или неустойчивым, поскольку в последнем случае система может не удовлетворять предъявляемым к ней требованиям.

Для этого и создана теория устойчивости деформируемых систем 1).

Истоки исследования устойчивости упругих систем находятся в экспериментальной работе П. Мусшенброка (1729) и в теоретических работах Л. Эйлера. Об этих работах более подробно говорится ниже. •

Общие вопросы устойчивости форм равновесия деформируемых систем освещаются в нижеперечисленных книгах, использованных при написании настоящей главы:(

Тимошенко С. П. Курс теории упругости. Часть II. Стержни и пластинки. —Сборник Института инженеров путей сообщения императора Александра I, Петроград, 1916, Вып. ХСП (На основе этой книги С. П. Тимошенко была написана и в 1936 г. издана книга: Theory of elastic stability.— New York, 1936, перевод которой на русский язык был издан дважды: Устойчивость упругих систем/Пер. с англ. И. К. Снитко/Под ред. с примечаниями и добавлением статьи В. 3. Власова. — М.——Л.: Гостехиздат, 1946; Устойчивость упругих систем/Пер. с англ. — Мл Гостехиздат, 1955. В 1961 г. книга вы-

Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия для большинства элементов конструкций является причиной исчерпания их работоспособности, а зто может привести к катастрофе всей конструкции. Такие случаи не единичны. При этом потеря устойчивости даже, казалось бы, второстепенным элементом конструкции может оказаться роковой для всей конструкции в целом. В истории техники известен, например, случай, в котором потеря устойчивости элемента соединительной решетки в одном из элементов мостовой фермы привела к катастрофе очень большого пролетного мостового строения, находившегося еще в процессе постройки (Квебек, Канада).

Наряду с этим для ряда элементов в процессе работы некоторых конструкций, например обшивки палуб, днища в корпусе судна, обшивки фюзеляжа и крыльев самолета, предусматривается возможность потери местной устойчивости в упругой области работы материала, которая не является опасной ни для элемента, ни для конструкции в целом. Однако и в этом случае необходимо уметь оценивать значение усилия, вызывающего потерю устойчивости элементом, так как после потери им устойчивости при дальнейшем повышении уровня нагрузки, действующей на всю конструкцию, работоспособность элемента не исчерпывается и сохраняется примерно такой (элемент может воспринимать некоторое приращение приходящейся на него нагрузки), как и при потере им устойчивости.

Равновесие системы (покой) является частным случаем движения. Вместе с тем, обсуждая движение, мы рассматривали одно из важнейших его свойств ——устойчивость. Поэтому вполне естественным является определение устойчивости движения системы соответствующим образом спроектировать на случай равновесия системы 9-

шла на английском языке в соавторстве с Д. М. Гере (J. Gere): Theory of elastic stability.——New York); Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Часть II. Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. — Л.: Госиздатсудпром, 1941; Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости (гл. V. Проблема упругой устойчивости). Серия Современные проблемы механики/Под общей ред. А. И. Лурье и Л. Г. Лой- цянского. — М. — Л.: Гостехиздат, • 1948; Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. — М.: Гостехиздат, 1955; Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961; В о л ь м и р А. С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963 (2-е изд. — Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967); Панов- ко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем.— М.: Физматгиз, 1964 (2-е изд., 1967; 3-е изд., 1969); Ф еод осьев В. И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов.——М.: Наука, 1969; Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций.——М.; Мир, 1971; А л ф у т о в Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — Библиотека расчетчика. — М.: Машиностроение, 1978.

Инициатором и активным поборником использования идей, лежащих в основе исследования устойчивости движения, при рассмотрении устойчиво-

В соответствии с таким подходом, вспоминая определение понятия устойчивости движения системы, данное в гл. XVII (§ 17.4, раздел 6), определим понятие устойчивости равновесия деформируемой системы.

Применим это определение к равновесному положению системы с п = й степенями свободы, определяемому обобщенными координатами 力，...,qk.

Рассмотрим любое близкое к равновесному положению состояние системы, определяемое следующими значениями обобщенных координат и обобщенных скоростей: ^i(O), .. *, ^(0), 41(0) ..., ^(0), которое будем называть возмущенным состоянием системы в начальный момент времени. Совокупность разностей •

随(0) 一 仇・，统(0) - 0 (i=l,.，田 (18.1) представляет собой возмущение. Нулевое значение вычитаемого во второй разности в (18.1) объясняется тем, что в равновесном положении скорости равны нулю. Нуль в скобках при символах qi и qt (/ = 1, ..•, k) указывает на то, что эти величины относятся к начальному моменту——к моменту возмущения, от которого начинается вызванное им движение системы и соответственно отсчет времени. Часть из разностей в (18.1) может равняться нулю. Исключается случай одновременного равенства нулю всех этих разностей, поскольку это означает отсутствие возмущения. Ыас же интересует характер движения системы в возмущенном состоянии. Разности 况(0) — qt будем называть начальным смещением, а 况(0)——0 ——начальной скоростью.

Отклонениями системы в любой момент времени от начального равновесного положения будем называть значения, приобретаемые величинами ..

随(0 -%，良e)

в любой момент времени f > 0.

Положение равновесия (покоя) системы называется устойчивым, если для каждого наперед заданного набора положительных чисел ^ в/ (/ = 1, ..., 2々)найдется набор чисел 6/, зависящих от в/, таких, что при любых начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям

丨仇(0) —力(0)1<М, I ^z (0) - 0 I < 6,+/ (i=l, ・・・，風(18.2)

сти форм равновесия деформируемых систем явился В. В. Болотин. В частности, весьма выпукло эти взгляды были изложены им в статье «О понятии устойчивости в строительной механике» (в кн.: Проблемы устойчивости в строительной механике (Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике, Москва, 1——5 октября 1963 г.)/Под ред. В. В. Во・ лотина, И. М. Рабиновича, А. Ф. Смирнова. — М.: Изд-во литер.』о строительству, 1965). “ -

В частности, все е и отдельно все 6 могут быть одинаковыми; в этом случае индексы при е и д опускаются.

при всех 力 N ° выполняются неравенства

(18.3)(18.3)I W С) — ％ I V 勿，I 存也+/ С) I < 〃+/•

(18.3)

(18.3)

Иными словами, если системе с п — k степенями свободы, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное воз^Иными словами, если системе с п — k степенями свободы, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное воз^выводящие систему из него, приводят к малым ее отклонениям от этого положения, и неустойчиво, если малым возмущениям отвечают большие отклонения.выводящие систему из него, приводят к малым ее отклонениям от этого положения, и неустойчиво, если малым возмущениям отвечают большие отклонения.

Иными словами, если системе с п — k степенями свободы, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное воз^

Иными словами, если системе с п — k степенями свободы, находящейся в положении равновесия, сообщить начальное воз^

выводящие систему из него, приводят к малым ее отклонениям от этого положения, и неустойчиво, если малым возмущениям отвечают большие отклонения.

выводящие систему из него, приводят к малым ее отклонениям от этого положения, и неустойчиво, если малым возмущениям отвечают большие отклонения.

мущение, не выводящее ее из б-окрестности начала 】)?/(0)= =0, 9/(0) = 0 (i = 1, ..., k) в 2й-мерном фазовом пространстве, т. е. если

I 统(O)IVM, "JO)|VM+/

(i = 1,・・・，k)

и при этом в течение всего последующего движения (/ > 0) система находится в 8-окрестности начала (в 2耳мерном параллелепипеде с ребрами 81,... ..., 咏)в том же фазовом пространстве (团⑴ I W % 1^(0 I < £々+，« = L …，А)), то положение равновесия системы устойчиво. Геометрическая интерпретация дана на рис. 18.2.

Данное здесь определение устойчивости системы можно проиллюстрировать рисунком (рис. 18.3), аналогичным рис. 17.37, но относящимся к понятию устойчивости равновесия, а не движения.

Коротко, хотя и нестрого, условие устойчивости положения равновесия можно сформулировать так:

Положение равновесия деформируемой системы устой^ чиво, если малые возмущения.

Рис. 18,2. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью сво> боды при использовании фазового пространства. «Параллелепипед» с ребрами 28【и 2仇(6-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение — совокупность ^ и при /=х0—отмечено крестиком). «Параллелепипед» с ребрами 2& и 2$2 (8-параллелепипед) — область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения: / — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория — замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда); 2—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит за пределы е-параллелепипеда); 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-п ар аллеле- пипеда, неограниченно приближается к началу координат).

】)Здесь имеется в виду случай, в котором значения всех обобщенных координат в положении равновесия равны нулю.

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства: а) проверяемое положение равновесия устойчиво; б) проверяемое положение равновесия неустойчиво; в) проверяемое положение равновесия асимптотически устойчиво.

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунрву устойчивости положения равновесия системы на примере системы4 с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства: а, е) проверяемое положение равновесия неустойчиво; 6) проверяемое положение равновесия асимптотически устойчиво.

Уточним и расширим понятие устойчивости равновесия системы.

Как правило, при исследовании устойчивости положения равновесия интересуются устойчивостью по отношению лишь к обобщенным координатам g, (i= 1, ..., А). Нас может интересовать соблюдение условия (18.3) при выполнении условия (18.2) не сколь угодно продолжительное время, а в течение какого-то конечного заранее установленного промежутка.

При определении понятия устойчивости равновесия необходимо указать:

положение равновесия, устойчивость' которого иссле- 7 дуется;

класс возмущающих воздействий, вызывающих отклонение от исследуемого положения равновесия;

интервал времени, в течение которого требуется близость возмущенного движения к положению равновесия.

Положение равновесия системы естественно считать устойчивым тогда, когда оно устойчиво по отношению ко всем возможным возмущениям, и неустойчивым, когда оно неустойчиво по отношению хотя бы к одному из них.

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,3). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, d) или затухающие колебания (рис. 18.2,6), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво.

Вернемся теперь к рассмотрению шарика на поверхностях (см. рис. 18.1), учитывая введенные понятия и определения.

Шарик после переведения его из наинизшей точки дна чаши в любое соседнее с ней положение совершает колебательное движение, практически затухающее вследствие наличия сопротивления (рис. 18.4, а). Аналогично ведет себя шарик и после возмущения в виде начального импульса. На рис. 18.4, б изображен график функции 夕= '«), где q ——отклонение шарика от

наинизшей точки дна чаши. Таким образом, положение шарика в этой точке является устойчивым.

Равновесие шарика, находящегося в состоянии покоя в некоторой точке на плоскости (рис. 18.1,6), при возмущении в виде начального смещения, является безразличным (нейтральным) ;если же возмущением является импульс, то ——неустойчивым, поскольку шарик будет неограниченно удаляться от пер

воначального положения; остановится шарик лишь при наличии трения, пройдя какое-то расстояние.

Малейшее возмущение (будь то смешение или импульс) положения равновесия шарика на вершине купола (рис. 18.1, в) вызывает его неограниченное движение (скатывание). Таким образом, положение равновесия шарика на вершине купола неустойчиво.

Перемещение шарика (или . воздействие на него импульса) от точки перевала на седле строго по штриховой (водораздельной) линии, изображенной на рис. 18.1, е, приводит, казалось бы, к колебательному движению шарика, в част^ ности к затухающему колебательному движению по указанной штриховой линии. Однако малейшее смещение от пе-

деления устойчивости по Ляпунову к анализу устойчиделения устойчивости по Ляпунову к анализу устойчивости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.вости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.ревальной точки в любом направлении от штриховой линии приводит к движению, монотонно удаляющему шарик от этой точки как от положения равновесия. Следовательно, положение равновесия шарика в перевальной точке седла является неустойчивым.

деления устойчивости по Ляпунову к анализу устойчи

деления устойчивости по Ляпунову к анализу устойчи

вости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

вости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Аналогично, в положении неустойчивого равновесия пребывает шарик, находясь в любой точке «замковой линии» свода (рис. 18.1,

Шарик, находящийся на дне желоба (рис. 18.1,г), по отношению к возбуждению начальным смещением пребывает в безразличном равновесии, а по отношению к возбуждению начальным импульсом — в неустойчивом.

Наконец, рассмотрим положение шарика в наинизшей точке дна одного из двух углублений сосуда, находящихся рядом (рис. 18.5, а). Поведение шарика при любом небольшом смещении (или воздействии импульса) из точки С (рис. 18.5, 6) свидетельствует от устойчивости этого положения шарика. Если же допустить большие возмущения, граница которых достигает перевальной точки В (рис. 18.5,8), то положение равновесия шарика в точке С следует считать неустойчивым. Система, харак-

теризуемая такой ситуацией, является устойчивой 8 малом и неустойчивой 8 большом,、

Из изложенного выше можно, казалось бы, заключить, что исследование устойчивости деформируемой системы требует, во-первых, нелинейной постановки проблемы, чтобы обнаружить все возможные формы равновесия, а во вторых, использования аппарата динамики. Однако, как это будет подробно объяснено в последующих параграфах главы, дело обстоит иначе. Для уяснения этого вопроса отметим три категории понятий: явление,

Рис. 18.5. К понятию устойчивости в малом и в большом: а) чаша с двумя углублениями; 6) возмущение, при котором система устойчива в малом; в) возмущение, при котором система неустойчива в большом.

критерий и метод, а также три типа информации, могущие интересовать исследователя устойчивости: опасный уровень воздействия на систему, состояние (в частности, форма с точностью до постоянного множителя), характеризующее систему непосредственно после потери устойчивости первоначальной формы равновесия, и, наконец, полное описание закритического поведения системы. Коснемся всех шести упомянутых понятий и объектов, в результате чего уточнится роль нелинейной постановки проблемы и аппарата динамики.

Потеря устойчивости первоначальной формы равновесия как явление природы отличается большим многообразием. Существует несколько характерных типов потери устойчивости, каждый из которых имеет свою область проявления, определяемую типом конструкции и характером внешнего на нее воздействия. Описание обнаруживаемого при наблюдении поведения систем, теряющих устойчивость первоначальной формы равновесия в соответствии с особенностями, присущими различным типам явления, приводится в конце настоящего параграфа. Аналитическое же исследование отдельных типов потери устойчивости дается ниже, в §§ 18.2, 18.4, 18.5. Только после этого, в конце главы, в § 18.6 приводится классификация, кстати сказать, не претендующая на полноту, разновидностей явления потери устойчивости.

Здесь же отметим, что само явление потери устойчивости и закритическое поведение в одних случаях могут иметь квази^ статическую, а в других ——явно динамическую природу.'

Анализ явления потери устойчивости, выполняемый средствами механики с использованием соответствующего математического аппарата, позволил сформулировать критерии устойчивости формы равновесия деформируемой системы. Следует отметить три таких критерия, носящих названия: статический, энергетический и динамический.

На основе критериев устойчивости разработаны методы исследования устойчивости.

Заметим, что обоснование даже статического критерия устойчивости и соответствующего ему метода, позволяющих обходиться, как это показано в § 18.2, аппаратом статики, строго говоря, нуждается в применении (правда, раз навсегда) аппарата динамики.

В других случаях, как уже отмечалось, сама природа (динамическая) некоторых типов потери устойчивости как явления такова, что приводит к динамическим критерию и методу.

В историческом плане первым подвергся исследованию тип потери устойчивости, ныне носящий название потери устойчивости в смысле Эйлера 】)или классического типа потери устойчивости. Это явление можно описать следующим образом.

Рассмотрим призматический стержень, шарнирно закрепленный по концам; при этом одна из опор имеет возможность перемещаться вдоль оси стержня (см. первую строку таблицы 18.1). При воздействии на такую систему сжимающей силы, линия действия которой совпадает с осью стержня, по мере роста силы от нулевого ее значения можно отметить три характерные ситуации в зависимости от значения силы Р: Р V А,户=Р* и Р > Р*. Значение Р* называется критическим. Если Р V Р*, то, отклоняя стержень какой-либо внешней силой и затем устраняя ее, возбуждаем затухающее колебательное движение стержня около его первоначального прямолинейного положения, если сопротивление (диссипативные силы) мало, или монотонное возвращение стержня в исходное прямолинейное положение, если сопротивление велико, т. е. стрежень ведет себя наподобие шарика в наинизшей точке дна чаши. Чем ближе Р к Р*(Р V Р*), тем легче отклонить стержень от его прямолинейного положения и тем менее стремительно он возвращается в исходное положение. Изгибная жесткость стержня, которую назовем эффективной, падает. Проводя аналогию с чашей и шариком, можно сказать,

1) Эйлер Леонард (Euler Leonard) (1707——1783)——ученый, математик, механик и физик, швейцарец по происхождению; работал в России (1727—— 1741, 1766—1783) в Петербургской Академии наук и в Германии (Пруссия) (1741—1766) в Берлинской Академии наук.

Т а б л и ц а 18.1

Тип потери устойчивости

Рисунки

Потеря устойчивости в смысле Эйлера

±

О f

*

/ /

Потеря устойчивости с перескоком

Потеря устойчивости при воздействии следящей нагрузки

1

Таблица 18.1 (продолжение)

что по мере роста силы чаша становится как бы положе. При значении силы Р = Р* эффективная жесткость падает до нуля, чаша превращается в плоскость, система (сжатый стержень) оказывается в состоянии безразличного равновесия ——наряду с прямолинейной формой равновесия возможной становится и бесконечно близкая к ней искривленная форма. Отклоняя стержень от первоначальной прямолинейной формы при Р = Р#, мы переводим его в бесконечно близкое соседнее искривленное состояние, в котором он и остается; если придать стержню снова прямолинейную форму, то он останется прямолинейным.

Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости первоначальной формы равновесия. Если увеличивать силу Р (Р > Р*), то постепенно возрастает искривленность стержня. Попытка отклонить стержень от искривленной формы, соответствующей уровню нагрузки Р (Р > Р*), приводит к тому, что стержень, после затухающих колебаний около этой искривленной формы, или монотонно, возвращается к ней ——эта искривленная форма при Р > Р* является устойчивой, т. е. при Р = Р* произошла смена устойчивых форм равновесия: при Р V Р* устойчивой была прямолинейная форма, при Р > Р* ——искривленная.

В качестве второго типа явления потери устойчивости первоначальной формы равновесия рассмотрим потерю устой、 чивости с возникновением новой, несмежной формы равновесия.

Пусть имеется пологая мембрана положительной гауссовой кривизны (вторая строка таблицы 18.1), находящаяся под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости.

В некотором диапазоне отношений размеров Dt f п h наблюдается следующая картина. По мере роста величины силы в областях значений Р: 0 W Р V Р*, Р = Р*, Р > Р* последовательно возникают характерные состояния мембраны. Пока 0 W Р V Р*， постепенно с ростом Р увеличивается прогиб мембраны w. Стрела ее уменьшается. Возмущения, вызываемые какими-либо причинами (не приводящими к нарушению условия 尸 V。*), исчезают по устранении этих причин. Иными словами, любое состояние мембраны при нагружении в области значений 0 & Р V 匕 устойчиво.

По достижении силой Р значения Р* происходит мгновенное прощелкивание мембраны ——выпуклость ее оказывается обра^ щенной в сторону, противоположную первоначальному направлению. Состояние мембраны до прощелкивания при Р = Р* является неустойчивым — малейшее увеличение прогиба под воздействием дополнительных .сил, приложенных и снятых, приводит не к возвращению, а к прощелкиванию, т. е. малое возмущение приводит к большому изменению формы равновесия. Положение мембраны после прощелкивания при Р = Р* является устойчивым (разумеется, если сила сохраняет свое значение Р*). В этом легко удостовериться, варьируя перемещения в окрестности указанного состояния за счет приложения дополнительных сил; по устранении этих сил система возвращается в состояние, соответствующее положению после прощелкивания.

В отличие от потери устойчивости в смысле Эйлера, в рассматриваемом типе потери устойчивости с самого начала и во всем процессе роста нагрузки имеет место форма равновесия, характеризуемая наличием прогибов у мембраны. Имеются от* личия еще и в том, что новая форма устойчивого равновесия не является смежной ——имеется конечная разница в прогибах, соответствующих им.

Если теперь производить дальнейшее увеличение силы Р, то будет происходить и дальнейшее увеличение прогиба. Если после того, как система попала в положение, имеющее место в конце прощелкивания, не увеличивать, а уменьшать силу, то, как только сила уменьшится до некоторой величины Р = Р^ система попадает в состояние неустойчивого равновесия — произойдет прощелкивание в обратном направлении и возникающее в результате его положение оказывается устойчивым. Силы Р*

и Р** называются соответственно верхней и нижней критическими силами.

В подобных описанным здесь условиям работы мембраны находится дно ручной масленки для машинного масла. Именно на свойстве прощелкивания мембраны под давлением пальца рукн человека основана порционная подача масла.

Обсужденное выше постепенное изменение состояния соответствовало такому способу нагружения, при котором монотонно изменялась нагрузка, перемещения же ничем не стеснялись.

В качестве третьего типа явления потери устойчивости первоначальной формы равновесия рассмотрим потерю устойчивости под воздействием следящих сил. Особенностью рассматривавшихся ранее внешних сил ) была неизменность расположения на конструкции точек приложения их и расположение силы, при любой деформации системы, параллельно какому-либо неиз- меняющемуся в пространстве направлению. Вместе с тем могут встретиться силы, подчиняющиеся более сложным условиям. Например, если на свободном конце консольного стержня (третья строка таблицы 18.1) поместить водометную установку, жестко связанную со стержнем и выбрасывающую струю в сторону, противоположную стержню, то на него будет действовать сжимающая сила, направленная в любом положении стержня вдоль касательной к его оси в точке выбрасывания струи. Такая сила может быть названа следящей).

Поведение системы при увеличении силы следующее. При Р V Р* прямолинейная форма стержня устойчива. При Р = Р* первоначальная форма равновесия перестает быть устойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает ——система из равновесного состояния переходит в состояние колебательного движения с неограниченно возрастающими амплитудами (колебательная неустойчивость).

В качестве четвертого типа явления потери устойчивости первоначальной формы равновесия рассмотрим потерю устойчивости в форме исчерпания несущей способности. Пусть имеется растягиваемый прямолинейный стержень (четвертая строка таблицы 18.1), выполненный из материала, подчиняющегося закону Гука во всем диапазоне возможных деформаций и обладающего бесконечной прочностью. Пусть испытательная машина имеет такую конструкцию, при которой достигается равномерное удлинение стержня Д. Можно отметить два характерных состояния стержня. Одно наблюдается в диапазоне О W А V А*, а второе при Д А А*・ При увеличении Д в пределах О W А V А* происходит постепенный рост силы Р, регистрируемой силоизмерительным прибором машины. В этом диапазоне система находится в устойчивом равновесии. При достижении перемещением величины А* система находится в неустойчивом равновесии ——силоизмерительный прибор регистрирует неограниченное снижение величины силы Р. Таким образом, несущая способность стержня исчерпывается.

В данном случае, когда внешнее воздействие на стержень выражается в его принудительном деформировании (а не нагружении), переход от устойчивости к неустойчивости состояния равновесия означает потерю устойчивости цилиндрической формы поверхности стержня. А именно, если при деформациях А V А* стержень сохранял первоначальную цилиндрическую форму своей поверхности, которая, таким образом, была устойчивой, то при деформациях А》А* в пределах небольшого участка длины стержня будет возникать сужение (шейка), т. е. цилиндрическая форма утрачивает устойчивость и не реализуется. Разумеется, в данном случае потеря устойчивости связана с возникновением и развитием пластических деформаций.

Наконец, рассмотрим явление потери устойчивости при воздействии пульсирующей нагрузки. Пусть стержень с шарнирно закрепленными концами, из коих один имеет подвижность вдоль оси стержня, загружен внешней продольной силой (см. пятую строку таблицы 18.1), изменяющейся во времени по закону

Р (/) = Pq + Pt cos 仇.

Будем считать, что система находится вдали от резонанса продольных колебаний. Тем не менее существуют области комбина-

ций значений параметров системы и возмущающей силы 9 Q^ и 2й^цл, при которых продольная форма колебаний системы динамически неустойчива, т. е. любое начальное отклонение возбуждает поперечные колебания, амплитуда которых быстро возрастает до очень большого значения — наступает так называемый параметрический резонанс.

Наряду с описанными выше существуют и другие типы потери устойчивости и другие ситуации, в которых приходится работать системам.

Итак потеря устойчивости может произойти не только при упругой работе материала, но и при упруго-пластической, упруго-вязкой, упруго-вязко-пластической. Внешние силы, вызывающие потерю устойчивости, могут быть консервативными и неконсервативными; в последнем случае квазистатическими и динамическими (периодическими, импульсивными, случайными).

Потеря устойчивости первоначальной формыравновесия упругой системы в смысле Эйлера(классический тип потери устойчивости).

Статический критерий

Предварительные замечания. В настоящем параграфе рассматривается один из типов потери устойчивости ——явление, носящее название потери устойчивости в смысле Эйлера. По-другому оно называется классическим типом статической неустойчивости.

В следующем разделе (раздел 2), на примере системы с одной степенью свободы вскрываются его основные особенности и вводятся понятия, играющие фундаментальную роль в теории устойчивости упругих систем. После этого (раздел 3) формулируется критерий потери устойчивости, носящий название статического, и обсуждается расчетный аппарат, обеспечивающий его реализацию. Однако на такой простой модели упругой системы, как система с одной степенью свободы, могут быть обнаружены не все важные свойства классического типа статической неустойчивости. С целью обнаружения и других свойств рассматривается (раздел 4) система с двумя степенями свободы. Лишь после выявления основных свойств классического типа потери устойчивости обсуждаются два мыслимых уровня схематизации

(см. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — AV Гос- техпздат, 1956).

упругих систем при анализе их устойчивости, аналогичные тем схематизациям конструкции, которые использовались при динамическом их анализе, — система с конечным (раздел 5) и система с бесконечным (раздел 6) числом степеней свободы.

Такой способ изложения (постепенное усложнение систем) позволил, с одной стороны, упростить аппарат, используемый для исследования, а с другой — отделить в этом исследовании обсуждение общих положений и понятий теории устойчивости от частных и разнообразных особенностей тех систем, к которым применяется теория. В разделах 5 и 6 показываются общие алгоритмы расчета упругих систем в случае классического типа потери устойчивости, здесь же (главным образом в разделе 6) исследуется устойчивость некоторых важных в практическом отношении систем, т. е. решаются задачи, имеющие самостоятельное значение. Однако и эти задачи подобраны таким образом, чтобы вскрыть некоторые важные специфические особенности соответствующих конструкций, связанные с потерей их устойчивости.

Далее рассматриваются закритическое поведение систем и практические аспекты расчета стержня как наиболее простой конструкции на устойчивость. Завершается параграф обсуждением критерия начальных несовершенств.

Система с одной степенью свободы.

Равновесные положения. Точка бифуркации. Рассмотрим упругую систему с одной степенью свободы, изображенную на рис. 18.6. Упругие ее свойства сосредоточены в промежуточном шарнире В, соединяющем абсолютно твердые недеформируемые прямолинейные брусья (звенья) АВ и ВС с равномерным по их длине распределением масс.

В недеформированном состоянии системы оси этих брусьев располагаются на одной прямой (рис. 18.6, а). Деформация системы может заключаться лишь во взаимном повороте звеньев АВ и ВС (рис. 18.6,6) при сохранении внешних связей (рис. 18.6,6). В качестве обобщенной координаты, характеризующей конфигурацию системы, примем угол <р (см. рис. 18.6, б). Взаимный угол поворота звеньев АВ и ВС равен 2(р. Будем считать, что между моментом, вызывающим поворот на этот угол, и самим углом существует линейная зависимость

М = с (2(р);

коэффициент пропорциональности с в этой зависимости представляет собой упругую жесткость шарнира В. На систему действуют силы, приложенные в шарнирах 4 (активная сила Р) и С (реактивная сила, равная по величине и противоположно на- ппавленная активной силе Р).

Условимся считать, что силы Р (активная и реактивная) сохраняют свое вертикальное направление при любой конфигурации системы.

Положение системы при ср = 0 является равновесным. Этот факт очевиден. Выясним, существуют ли положения равновесия при ср =И= 0. С этой целью отделим одно звено от другого и рассмотрим равновесие любого из них, учтя, что действие одной

Рис. 18.6. Система с одной степенью свободы: а) первоначальная форма равновесия; б) упругий шарнир; 8) система в отклоненном состоянии; а) к составлению уравнения равновесия в отклоненном от первоначального положения состоянии.Рис. 18.6. Система с одной степенью свободы: а) первоначальная форма равновесия; б) упругий шарнир; 8) система в отклоненном состоянии; а) к составлению уравнения равновесия в отклоненном от первоначального положения состоянии.

Рис. 18.6. Система с одной степенью свободы: а) первоначальная форма равновесия; б) упругий шарнир; 8) система в отклоненном состоянии; а) к составлению уравнения равновесия в отклоненном от первоначального положения состоянии.

Рис. 18.6. Система с одной степенью свободы: а) первоначальная форма равновесия; б) упругий шарнир; 8) система в отклоненном состоянии; а) к составлению уравнения равновесия в отклоненном от первоначального положения состоянии.

части на другую состоит из упругого момента М = 2c<р и вертикальной силы Р (рис. 18.6,2). Составим уравнение равновесия

£Мом.8 = 0; 2^ф — -у- sin qp — 0.(18.4)

Это уравнение удовлетворяется при

(18.5)(18.6)(18.5)(18.6)(р = 0 и любом Р;

(18.5)

(18.6)

(18.5)

(18.6)

屮и Р = ^ = ^?・

Известно, что

-Д--1 л > 1； отсюда р\ 广々>1・

Sin ф I①声ОL |(p^i0 4c

Этот факт подтверждается графиками функций, показанными на рис. 18.7.

Таким образом, вертикальное прямолинейное положение равновесия существует при любом Р или, что то же самое, при лю-

иPl

бом P = g

,а положения с

изломом оси в шарнире В суще-

Р1 ф ствуют при р = - =

Таких положений два, так

1.

как система может иметь две сим

метричные конфигурации с изломом в шарнире В (рис. 18.8).

Иным образом это можно изложить так:

1) при pVl существует единственное положение равновесия — вертикаль-

ное положение системы (屮=0)； 2) при р > 1 существуют три ния равновесия ——вертикальное

положе-и два с

изломами

оси в шарнире В.

Рис. 18.7.

К

неравенства

установлению ф > sin ф.

戶

Рис. 18.8. Две

симметричные, отклоненные

от первоначальной, формы равновесия.

Таким образом, равновесия ——кроме две с изломами в

при р = 1

происходит разветвление форм

одной вертикальной формы возникают еще

точке В оси.

Графически это представлено на рис. 18.9.

Точка В (на рис. 18.9), в которой происходит разветвление

勿4夕V

В

В

Р

О 10 20 30 40 夕

Рис. 18.9. График зависимости р —ф для системы с одной степенью свободы (рис. 18.6).

/外

Рис. 18.10. Возмущенная форма первоначального прямолинейного положения системы: а) общий вид системы; б) к составлению дифференциального уравнения движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в первоначальную прямолинейную форму равновесия

форм равновесия, называется точкой бифуркации (лат. bis> дважды, furca ——вилы, bifurcatio ——разветвление).

На этом заканчиваем анализ форм равновесия рассматриваемой системы.

Анализ устойчивости равновесных положений. Вопрос о том, являются ли равновесные положения системы, установленные в предыдущем разделе, устойчивыми или неустойчивыми, решим следующим образом.

Внесем малое возмущение в каждое из положений равновесия системы путем ее отклонения от этого положения или путем приложения к системе импульса. По характеру движения, вызванного возмущением, можно судить о характере устойчивости или неустойчивости исходного положения равновесия.

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (屮=0). Движение системы, выведенной из этого положения равновесия (рис. 18.10), описывается уравнением

р/

](Аф)- + 2c (Д(р) 一 等 sin (Д(р) = 0,

или(18.7)

(А(р)” + -у- [(А(р) — р sin (厶砌=0,、

составленным путем применения принципа Даламбера к любой из двух частей системы, образующихся при удалении связей в шарнире В между звеньями АВ и ВС. На рис. 18.10, б показано звено ВС. Уравнение (18.7) представляет собой равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на это звено, включая инерционный момент, относительно точки С. Поскольку по условию угол Д(р мал, sin(Acp)^ Д(р и уравнение (18.7) приобретает вид•• •

(Ар)•• +今(1—р)(△屮) = 0.(18.8)

Для наглядности и компактности решение этого уравнения и его анализ сведены в таблицу 18.2; не комментируем ее вследствие очевидности приведенной в ней информации. Таблица показывает, что отрезок ОВ (исключая точку В) прямой / на рис. 18.9 соответствует устойчивости прямолинейной формы равновесия, а участок прямой / выше точки В ——неустойчивости этой формы.

Теперь перейдем к исследованию устойчивости формы равновесия с изломом оси в шарнире В (ср =# 0) (рис. 18.11). Будем считать, что 0 V 屮 V п/2. Движение системы, выведенной из этого положения равновесия при малом отклонении от него (вследствие малости возмущения), определяемом углом Д(р, описывается уравнением一

/ (А(р)： + 2c [(Аф) + 屮]—冬 sin [屮 + (A(p)] = 0,

устойчивость еорм равновесия

чл・ XVIII

(A(P)" + g)2(д(р)=0； 峻=2c (尸上); дф == Aest. $2 + 峻=0,$2 = 一w

Если

”1

P = 1

P>1

то

党> 0

峻=0

磴V0

Si ^= iSs S2 == ~* f©c

S[ ^= 0, S2 ^= 0

S] = G)c, S2 = — G)c

△屮=4e e + 4e с ИЛИ

Aqp = Bi sin шс/ + & cos ®c/

Д(р = 4 + 42f

A(p = 4持‘ + (^一%"

(A(p)* = B[G)C cos a)cZ — B2®c sin ①cf

(A 中).=42

(Aqp)* =4sce%‘ 一 Азе。気‘

Если возмущение (начальные условия) имеет вид

A⑶1方=0 =0①)0, (△屮)l/uoH。

А屮 lf=o = °, (A(p)-|/e0 = (A(P)i

△中 lf=0 =。中)o， 。9)ko = o

△屮 k=o = °， 。叫4=0 = (A 叫

△ф|/=о=(АФ)о» (AflO, lf=o = 0

А® к=о == 0， (Afl5)' If=0 = (А屮)6

то постоянные интегрирования и отклонение (обобщенная координата) выражаются формулами

台2 = (А(р)о> &=0

& =0；

& = (Д(р)о /сос

4[ = (A(p)o； Л2 = 0

4 = 0;也=(Дф)д

4 + /2 = (Аф)； 4©с —』2©С == 0 4 = 4 = (Д(р)о/2

4 +/2 = 0；

4 cde —』2G)c = =(Дф)0

4 = — 4 = =(Дф)о /(2®с)

Дф =

=(Дф)о cos ®с^

Дф =

=[(А明 /®с] х

X sin ®с/

Д(р = (Дф)о

△ф = (А(Р)о /

Д(р = [(Д(р)о/2]Х x(川 +内) или Дф = (Дф)о ch о)с/

Лф =

=[(А叫 /(2%)]Х

X(М 一内) или

Д(р =

==[(Дф)о/0с]Х

X sh a)cf

гармонические незатухающие колебания (если учитывать сопротивление, то колебания затухающие)

отсутствие движения

монотонно нарастающее отклонение (начиная с некоторого момента £, перестает быть правомочным уравнение (18.1) и порождаемое им решение)

Возмущенная вертикальная форма равновесия

устойчива (если учитывать сопротивление, то асимптотически устойчива)

безразлична

неустойчива

Аналогия с шариком

шарик испытал отклонение без импульса

/，吋

к шарику приложен импульс

/

3

s 18.2】 ПОТЕР* устойчивости ПЕРВОНАЧАЛЬНОМ еормы 29g

гдегде(А(р「+ 歐(Д(р) = 0,(А(р「+ 歐(Д(р) = 0,①2 = 2c (1 — р cos 哨①2 = 2c (1 — р cos 哨Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле S: а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущение этой формы; б) к составлению дифференциального уравнения движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия.Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле S: а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущение этой формы; б) к составлению дифференциального уравнения движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия.

где

где

(А(р「+ 歐(Д(р) = 0,

(А(р「+ 歐(Д(р) = 0,

①2 = 2c (1 — р cos 哨

①2 = 2c (1 — р cos 哨

Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле S: а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущение этой формы; б) к составлению дифференциального уравнения движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия.

Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле S: а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущение этой формы; б) к составлению дифференциального уравнения движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия.

или

PlР1

J (А(р)" + 2c (А(р) + 2с(рw sin <р cos (A(p)^- cos ① sin (Аф) = 0.

Как и в предыдущем случае, вследствие малости Д(р имеем cos(A(p) 1, sin (Д(р) Д(р, и поэтому

J (Д(р),#+ 2c (1 — р cos ср) (Д(р) + 2с (屮一р sin ср) = 0.

Вследствие (18.5) выражение в круглых скобках в последнем члене равно нулю и уравнение приобретает вид

Исследуемая на устойчивость форма равновесия имеется лишь при р>1 (см. (18.6)2). Выражение 1 — р cos ф в принятом промежутке значений ср (0 V 屮 V V л/2) и при р > 1 положительно, так как используется (18.5)2, справедливое при р > 1.

Действительно,

1 — р cos = 1Д— cos ф = =1 —屮 ctg 屮=ctg 屮(tg 屮一屮)> 0, поскольку tg(p > ср. Из сказанного вытекает, что 党 > 0; поэтому на рассматриваемый здесь

случай распространяется результат, полученный при анализе устойчивости прямолинейной формы равновесия, когда 党 >0 (см. столбец таблицы 18.2, со

ответствующий р V 1).

Таким образом, заключаем, что кривой 2 на рис. 18.9 соответствуют устойчивые положения равновесия. Однако точку 8 (р=1) из рассмотрения следует исключить, поскольку ей соответствует форма равновесия с ср = 0, а здесь обсуждалась устойчивость форм равновесия при ф =# 0.

Подводя итог исследованию устойчивости форм равновесия, приходим к выводу, показанному на рис. 18.12, где крестиками отмечен неустойчивый участок линии / (случай прямолинейной формы равновесия), а жирными линиями отмечены устойчивый участок линии / и вся линия 2 (кроме точки р = 1), соответст-

；26一 77F；26一 77FРис. 18.12 Участки графика р — ф, соотвегствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы: жирные линии —участки устойчивой формы равновесия; линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия; / — линия первоначальной формы равновесия; 2—линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.Рис. 18.12 Участки графика р — ф, соотвегствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы: жирные линии —участки устойчивой формы равновесия; линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия; / — линия первоначальной формы равновесия; 2—линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.

；2

6

一 7

7F

；2

6

一 7

7F

Рис. 18.12 Участки графика р — ф, соотвегствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы: жирные линии —участки устойчивой формы равновесия; линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия; / — линия первоначальной формы равновесия; 2—линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.

Рис. 18.12 Участки графика р — ф, соотвегствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы: жирные линии —участки устойчивой формы равновесия; линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия; / — линия первоначальной формы равновесия; 2—линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.

вующие устойчивым положениям равновесия. Диаграмма, изображенная на рис. 18.12, является характерной для потери устойчивости в смысле Эйлера (классический случай потери устойчивости). На ее отличительных особенностях остановимся

позднее.

Критическая точка и критическая н а - грузка. Точка В на диаграмме р — ср (см. рис. 18.12), лежащая на границе между участками, соответствующими устойчивым и неустойчивым состояниям равновесия, носит название критической точки; соответствующее этой точке значение силы называется критической силой. Это значение будем отмечать индексом 洋.

Итак, в нашем случае

Величина с(1—p) = g (см. формулу (18.8)) называется эффективней жесткостью системы. По мере роста силы Р от нулевого значения до Р*, т. е. по мере роста р от 0 до 1, эффективная жесткость системы уменьшается и становится равной нулю при 〃 = р* = 1.

Неидеальная система. Выше рассматривалась идеализированная ситуация ——абсолютно точное расположение осей звеньев АВ и ВС системы на

общей прямой линии, абсолютно строгое совпадение линии действия сил с этой линией. В реальных же условиях имеются различные несовершенства ——неидеальность формы системы, не-

идеальность характера приложения нагрузки и т. п., влияющие на то, что поведение конструкции под нагрузкой становится в

принципе иным, чем в случае идеальности системы и нагрузки. Рассмотрим влияние указанных неидеальностей на вид диаграммы зависимости р — ср.

Сначала рассмотрим неидеальность системы, состоящую в наличии начального, до приложения нагрузки, излома в очертании оси в шарнире В (рис. 18.13, а). При наличии такой неиде- альности мыслимы лишь формы равновесия с изломом оси в шарнире. В. С самого начала приложения силы 尸 возникает угол ср и растет по мере роста силы.

Уравнение равновесия имеет вид (рис. 18.13,6)

2сср — Ру sin (фо Т- ф) = 0.

Рис. 18.13. Система с одной степенью свободы при наличии неидеальности в очертании оси: а) начальная неидеальность в очертании оси и отклоненное от первоначального очертание системы; б) к составлению уравнения равновесия системы в отклоненном от начального положении; / — пружина не напряжена; 2—пружина напряжена в связи со взаимным поворотом звеньев АВ и ВС на угол 2(р.

Рис. 18.14. Графики функции р — р^ при различных уровнях начальных несовер” шенств в очертании оси.

еоеоРис. 18.16. Графики функции pz=p (ф) при различных зна^ чениях эксцентриситета приложения нагрузки.Рис. 18.16. Графики функции pz=p (ф) при различных зна^ чениях эксцентриситета приложения нагрузки.

ео

ео

Рис. 18.16. Графики функции pz=p (ф) при различных зна^ чениях эксцентриситета приложения нагрузки.

Рис. 18.16. Графики функции pz=p (ф) при различных зна^ чениях эксцентриситета приложения нагрузки.

Рис. 18.15. Неидеальное (внецентренное) приложение нагрузки к системе: а) недеформированная система; б) сн、 стема в деформированном состоянии; в) к составлению уравнения равновесия системы.

ОтсюдаОтсюда(18.9)(18.9)Р1 = ф 77 — sin (фо + ф)

Отсюда

Отсюда

(18.9)

(18.9)

На рис. 18.14 изображены графики функции (18.9); при этом фо рассматривается как параметр.

Другой вид неидеальности может заключаться в эксцентрен- ном приложении силы Р (рис. 18.15,а). В этом случае также с самого момента приложения силы Р возникает угол ф и растет по мере роста силы (рис. 18.15,б).

Уравнение равновесия (рис. 18.15,6) имеет вид

ОтсюдаОтсюда2c屮—Р ^ sin(р + с。cos (р) = 0.

Отсюда

Отсюда

sin ф Нcos ф

(18.10)(18.10)На рис. 18.16 изображены графики функции (18.10); при этом е° рассматривается как параметр.

(18.10)

(18.10)

В заключение отметим, что при устремлении параметра, характеризующего неидеальность системы, к нулю кривые, описываемые функциями (18.9) и (18.10), стремятся слиться с линией ОВС, соответствующей идеальной системе,

sin (фо + ф) = е 争 cos Ф 丽= P =

Заканчивая рассмотрение влияния начальных несовершенств, заметим, что системы, которые при соблюдении идеальности формы и характера приложения нагрузки, теряют устойчивость по классической схеме (напомним, что в них закритическое, отклоненное от первоначального состояние, смежное с начальным, устойчиво), малочувствительны к несовершенствам. Напротив, системы, закритическое смежное состояние которых неустойчиво, проявляют заметную чувствительность к несовершенствам. Даже небольшие отличия реальной конструкции от идеализированной расчетной схемы могут привести к заметному снижению значения критической силы. Об этом подробно говорится в § 18.4.

Статическая неустойчивость. Статический критерий.

Отличительные особенности классического типа потери устойчивости упругой с и - с т е м ы. Как уже отмечалось, вышеприведенный пример является типичным для так называемой классической потери устойчивости (потери устойчивости в смысле Эйлера). Он позволил вскрыть почти все характерные особенности указанного типа

потери устойчивости. Эти особенности отражены в диаграмме Р — f (параметр силы ——характерный параметр перемещения; в рассматриваемом примере это р ——ср), принципиальный характер очертания которой сохраняется и в случае системы со многими, а также с бесконечно большим числом степеней свободы,

если нагрузка характеризуется одним параметром и направление ее не меняется (линия действия силы может перемещаться

параллельно первоначальному направлению). Характерные черты этой диаграммы, определяющие собой 口人тип потери устойчивости, сводятся к сле

Рис. 18.17. К установлению знака пронззодно” dP/df: а) в точке бифуркации кривой Р— f; б) в соседних с точкой бифуркации точках (случай потера устойчивости в смысле Эллера).Рис. 18.17. К установлению знака пронззодно” dP/df: а) в точке бифуркации кривой Р— f; б) в соседних с точкой бифуркации точках (случай потера устойчивости в смысле Эллера).дующему:

Рис. 18.17. К установлению знака пронззодно” dP/df: а) в точке бифуркации кривой Р— f; б) в соседних с точкой бифуркации точках (случай потера устойчивости в смысле Эллера).

Рис. 18.17. К установлению знака пронззодно” dP/df: а) в точке бифуркации кривой Р— f; б) в соседних с точкой бифуркации точках (случай потера устойчивости в смысле Эллера).

. 1. Наличие на диаграмме точки бифуркации 1).

Совпадение критической точки с точкой бифуркации ).

Наличие такого очертания у новых ветвей на диаграмме Р ——/, возникающих в (первой) точке бифуркации, при котором выполняются следующие условия: 醬」=。’瑞 ко > О' 4r|f<0<0- р=р*

(18.11)

кации, горизонтальнакации, горизонтальнаЗдесь f ——перемещение, характерное для новой формы равновесия, возникающей в точке бифуркации ). ,

кации, горизонтальна

кации, горизонтальна

Условие (18.11) свидетельствует о том, что касательная к новой ветви кривой Р ——f, возникающей в точке бифур- (рис. 18.17). Этим определяется наличие

форм равновесия, смежных с первоначальной формой. Критической является та нагрузка Р*, при которой первоначальная фор

ма равновесия становится нейтральной.

Условие (18.11)з свидетельствует о том, что при / > 0 Р > Р*, т. е. для развития новой формы равновесия требуется увеличение нагрузки (рис. 18.17,6); этим и определяется то, что новая форма закритического равновесия устойчива. Иными словами, в критической точке, совпадающей с точкой бифуркации,

происходит замена одной устойчивой формы равновесия (первоначальной)- другой, смежной с нею, устойчивой формой равновесия.

Отсутствие хотя бы одного из указанных свойств свидетельствует о том, что потеря устойчивости не принадлежит классическому типу.

Возможные упрощен ия аппарата, используемого при анализе устойчивости системы. В разделе 2 для установления формы равновесия, возникающей в точке бифуркации, использовалось нелинейное уравнение (18.4), позволившее находить равновесные положения нагрузки и при больших перемещениях. Однако не это составляет основную цель расчета на устойчивость классического типа, вследствие чего допустимо и целесообразно внести упрощения.

Основной целью расчета на устойчивость является определение критического уровня нагрузки и вида (с точностью до постоянного множителя) новой формы устойчивого равновесия, возникающей после потери устойчивости первоначальной формы.

Для отыскания и того и другого вместо нелинейного уравнения достаточно иметь линейное (линеаризованное), полученное путем упрощения нелинейного в связи с малостью перемещений (малостью возмущений исходной (первоначальной) формы равновесия). Действительно, если вместо всей закритической ветви, возникшей в точке бифуркации (рис. 18.18, а), рассмотреть лишь участок, соответствующий малым значениям f (в нашем случае ср) (рис. 18.18, б), то вследствие малости f нелинейное уравнение можно заменить соответствующим линейным 9- Так, например, нелинейное уравнение (18.4):

sin ф = 0

Заметим, однако, что наряду с классическим типом потери устойчивости существует и такой тип (разумеется, у других систем), при котором, как и в классическом типе: 1) критическая точка совпадает с точкой бифуркации;

соблюдается условие dP/df\f=-0 — 0. '

Однако имеется отличие, состоящее в гом, что новая форма равновесия, возникающая в точке бифуркации, не является смежной с первоначальной формой и от первоначальной формы равновесия к новой форме система приходит посредством скачка. Это так называемая потеря устойчивости с прощел- киванием. О ней кратко говорилось выше и говорится подробно в § 18.4. Здесь, однако, отметим, что зависимость между р и ф в закритическом состоянии характеризуется графиком, показанным на рис. 18.18, в.

Легко понять, что линеаризация уравнения как в случае потери устойчивости классического типа (рис. 18.18, а), так и в случае потери устойчивости с перескоком (рис. 18.18, в) приводит к одной и той же картине (рис. 18.18,6). Таким образом, линейное описание явления не обнаруживает различия между неустойчивостью типа непрерывного перехода к новой форме устойчивого равновесия и перехода с перескоком, для выявления характера поведения системы при достижении нагрузкой критического значения необходимо использовать нелинейное описание явления.

вследствие ограничения задачи рассмотрением малых 屮 можно заменить (учтя, что при малом 屮 sin 屮弋屮)линейным уравнением

2c屮—^-ф = 0, (2с —у-) Ф = 0.

Решения этого уравнения можно представить так:

ф = 0.

Р1

ср =# 0; 2c2~ = 0 (условие ненулевого (нетривиаль*

кого) решения для 屮；Р = 4с//).

Первому решению соответствует линия / на рис. 18.19; ей

отвечает первоначальнаяотвечает первоначальнаяРис. 18.18. Различные виды кривых Р — f: а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации; 6) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. айв; в) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.Рис. 18.18. Различные виды кривых Р — f: а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации; 6) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. айв; в) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.прямолинейная форма равновесия. Это решение не позволяет найти критическую точку.

отвечает первоначальная

отвечает первоначальная

Рис. 18.18. Различные виды кривых Р — f: а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации; 6) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. айв; в) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.

Рис. 18.18. Различные виды кривых Р — f: а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации; 6) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. айв; в) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.

Второму решению соответствует линия 2 на том же рисунке; ей отвечает смежная с первоначальной новая форма равновесия.

Рис. 18.19. К решению уравненияРис. 18.19. К решению уравненияХф=0:а) графики функций, являющихся решениями уравнения; / — график функции Ф = 0; 2—график функции「匸丁 ； ^—график решения соответствующего нелинейного уравнения; 6) линеаризация решения нелинейного уравнения в окрестности точки бифуркации (он же —участок графика решения линейного уравнения).

Рис. 18.19. К решению уравнения

Рис. 18.19. К решению уравнения

Нетрудно видеть что найденному значению Р соответствует Р/ - 4c

р = g = 1 = р*,т. е. критическое значение; поэтому Р = — = Р# и точка В является критической, а вместе с тем точкой бифуркации. Отличие решения лйнеаризованной задачи от решения

нелинейной состоит в том, что вместо ветви 0, соответствующей последней задаче, получили линию 2. Однако можно ограничиться небольшим участком линии 2 в окрестности точки В (см. рис. 18.19), соответствующим малым значениям 屮,т. е. ограничиться участком, которым только и можно пользоваться, по- скдльку линеаризация уравнения произведена в предположении малости ф.

Таким образом, линейное уравнение позволило найти критическую силу и конфигурацию системы, потерявшей устойчивость первоначальной формы равновесия, с точностью до некоторого неизвестного малого параметра (множителя).

Заметим, что линеаризация уравнения (или системы уравнений) предусматривает то, что механическая система, которой отвечает уравнение (система уравнений), геометрически неизменяема. При этом условии смещения, в частности, узлов и деформации (удлинения или укорочения) элементов системы имеют один порядок величины. При таком условии потенциальная энергия деформации, возникающая вследствие смещений, отлична от нуля. Если же деформации элементов имеют более высокий порядок малости, чем смещения, или вовсе равны нулю, то система является соответственно особой (мгновенно изменяемой или мгновенно жесткой) или изменяемой.

При использовании линеаризованного уравнения судить о за- критическом поведении системы, т. е. получить линию 0 на рис. 18.19, не представляется возможным; ценой именно этой потери и достигнуто упрощение, состоящее в линеаризации задачи.

Выше было исследовано поведение системы в закритической области (ветвь ВС на рис. 18.12). Рисунок показывает, что в за- критическом состоянии жесткость системы относительно поворота звеньев АВ и ВС очень мала ——достаточно приложить очень небольшую силу Ар = р — р*, чтобы возникли большие углы поворота. Аналогично обстоит дело в закритической области и для других систем, теряющих устойчивость по классической схеме. В большинстве конструкций отмеченная низкая жесткость недопустима и вследствие этого для них исследование закритической деформации не представляет интереса. Для таких конструкций опасной считается критическая нагрузка и коэффициент запаса вводится по отношению к ней.

Встречаются, однако, и такие элементы в некоторых конструкциях, о чем уже говорилось выше, которым разрешается терять устойчивость. Примером может служить обшивка в самолетных и судовых конструкциях. Однако и для таких элементов чаще всего из всей их закритической работы существенным является лишь то, какую по величине нагрузку они способны выдержать сразу же после потери устойчивости первоначальной

формы равновесия. Во многих случаях без анализа закритиче- ского состояния можно считать, отклоняясь от истины в запас надежности, что в закритическом состоянии несущая способность элемента равна значению критической нагрузки. Действительно, рассматривая рис. 18.9, убеждаемся, что даже при 屮=40° пре* вышение нагрузки, которую способна нести система, над критической составляет лишь 8,6%. Правда, иногда напряжения в закритическом состоянии пластины обшивки могут значительно превосходить их критическое значение. В таких случаях, разумеется, требуется изучать закритическое состояние на основе нелинейного аппарата.

3. Статический анализ устойчивости с и - с т е м ы. Выше, в разделе 2.2, устойчивость форм равновесия системы была оценена посредством аппарата, имеющего динамическую природу. Однако, что вытекает из приведенной в разделе 3.2 информации, в случае классического типа потери устойчивости для анализа может быть использован и статический аппарат.

Сформулируем резюме, относящееся к статическому методу определения значения критической нагрузки.

Рассматривается линеаризованное уравнение, составленное применительно к новой форме равновесия, отличной от первоначальной формы, приобретаемой системой при нагрузке, соответствующей точке бифуркации (она же критическая точка).

Из условия нетривиальности решения этого уравнения находим критическое значение параметра нагрузки.

Как будет показано в § 18.3, посвященном энергетическому критерию, для определенного класса систем, характеризуемого ниже, это значение совпадает с найденным на основе энергетического критерия.

Система с двумя степенями свободы.

Возможные формы равновесия системы. Точки бифуркации. Воспользуемся приведенной в предыдущем разделе схемой анализа устойчивости применительно к системе с двумя степенями свободы (рис. 18.20). Это позволит нам продолжить исследование классического типа потери устойчивости как явления.

Изображенная на рис. 18.20, а система с двумя степенями свободы представляет собой три прямолинейных абсолютно жестких (недеформируемых) звена АВ, ВС и CD, соединенные между собой упругими шарнирами в точках В и С. Пусть при этом оси звеньев располагаются на общей для всех них вертикальной прямой; как длины звеньев, так и жесткости упругих шарниров одинаковы и равны соответственно //3 и с. Система загружена по концам силами Р, линия действия которых совпадает с прямой, проходящей через точки 4 и О. Сила Р в процессе своего

роста и деформирования системы не изменяет своего направления.

Начнем, как и в случае системы с одной степенью свободы, с рассмотрения возможных форм равновесия. Возможность прямолинейной формы равновесия очевидна. Для установления вида

Рис. 18.20. Система с двумя степенями свободы: а) система в первоначальном положении равновесия; б) равновесие системы в отклоненном от первоначального положении; в) к составлению уравнений равновесия звеньев ДВ и CD в отклоненном от первоначального положении системы; г) к составлению уравнения равновесия звена ВС в том же положении системы.Рис. 18.20. Система с двумя степенями свободы: а) система в первоначальном положении равновесия; б) равновесие системы в отклоненном от первоначального положении; в) к составлению уравнений равновесия звеньев ДВ и CD в отклоненном от первоначального положении системы; г) к составлению уравнения равновесия звена ВС в том же положении системы.

Рис. 18.20. Система с двумя степенями свободы: а) система в первоначальном положении равновесия; б) равновесие системы в отклоненном от первоначального положении; в) к составлению уравнений равновесия звеньев ДВ и CD в отклоненном от первоначального положении системы; г) к составлению уравнения равновесия звена ВС в том же положении системы.

Рис. 18.20. Система с двумя степенями свободы: а) система в первоначальном положении равновесия; б) равновесие системы в отклоненном от первоначального положении; в) к составлению уравнений равновесия звеньев ДВ и CD в отклоненном от первоначального положении системы; г) к составлению уравнения равновесия звена ВС в том же положении системы.

иных форм равновесия рассмотрим систему в том ее положении, в котором в шарнирах В и С ось системы имеет изломы (рис. 18.20, б). ，

В качестве обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы, примем углы(pi и(р2. Как уже отмечалось, используем условие малости параметров деформации системы (малости величин (pi и(р2).

Угол ср, составляемый осью звена ВС с вертикалью, вслед^ ствие малости углов(pi и(р2 найдется из соотношения

•у Ф1 —

屮=；=(P1 _中2

Уравнения равновесия звеньев АВ и CD имеют вид

с (2<Р1 —屮 2)— Р ^ ©1 = 0,

/(18.12)

e (2屮2 一 Ф1) - p w q)2 u Q■

Нетрудно показать, что уравнение равновесия среднего звена ВС:

с (2ф1 — ф2)— с (2ф2 — Ф1) — pg(Ф1 —屮2)= 0(18.13)

является следствием (линейной комбинацией) уравнений равновесия звеньев АВ и CD. Действительно, сгруппировав соответствующим образом члены в (18.13), получаем

\с (2(Р1 —屮2)—普(Р1 ] — [с (2ф2 —(Р1)—普 Фг] = 0;

это свидетельствует о том, что уравнение равновесия звена ВС представляет собой разность уравнений равновесия звеньев АВ и CD. Систему (18.12) представим в следующем виде:

(18.14)(18.14)(2 ~ р) <Р1 — Ф2 = 0,

(18.14)

(18.14)

здесьздесь—91 + (2 —p)q)2 = 0；

здесь

здесь

Р1

Р=而

Нас интересует нетривиальное решение этой системы, по- скальку тривиальному решению q)i =0, <р2 = 0 отвечает система с вертикальным расположением звеньев ABt ВС и CD, мы же желаем исследовать равновесие системы с изломами оси в шарнирах В и С.

Условие нетривиальности решения системы (18.14) имеет вид

12M 2二;1 =。，(18.15)

или

(2-р)2—1=0,

откуда к = 3, рн = 1.

Таким образом, положение системы с изломами оси в шарнирах В и С может иметь место не при любых р, а лишь при

p — pi — З и р = Рп = 1.

Матрица системы (18,14), умноженная на ci

2二;I

§ 18.2] ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ФОРМЫ 311 представляет собой матрицу эффективной жесткости; ее элементами являются коэффициенты эффективной жесткости линеаризованной системы.

По мере приближения значения силы р к корням уравнения, являющегося условием нетривиальности решения относительно обобщенных координат в состояниях равновесия, отклоненных от первоначального положения равновесия, матрица приближается к особенной и становится такой при значениях р, равных указанным корням. Пронумеруем корни арабскими цифрами по признаку возрастания значений корней,

Р1 = 1, Рз = 3.

Найдем теперь конфигурации системы, соответствующие этим значениям р. Для этого поступим, как обычно поступают, когда известно собственное значение, а ищут собственный век< тор,

(2 — l)(p(i)~(p(i)= O, (2 —3)qf)-(p 貝=0,

一 <pf)+ (2 — 1)圖)=0, — 吋)+ (2 — 3)唠)=0.

Деля все члены обоих уравнений на ф^° (z = 1, 2) и вводя обозначение 咿=吧/吸(/ = 1, 2), получаем

af)— 1 = 0, I — 〃y)— 1=0, I一碎)+1=0, J 一 碎)_ 1 = 0. j

Решая любое одно из уравнений каждой системы относительно 叩 (/ == 1, 2), получаем

畔)=1, J 齊=一]； тогда

Ф^ = а^ф^ = qp^, (18.16)1 J 噌=噌吸=—吸・(18.16)2

Найденными значениями (р『)(/ = 1, 2; i = 1, 2) определяются возможные формы равновесия системы (рис. 18.21, а, б).

Штриховой линией показаны формы равновесия, симметричные изображенным сплошной линией. Как те, так и другие соответствуют формулам (18.16)1 и (18.16)2. На рис. 18.22 графически изображено полученное решение.

Точки 方 1 и В2 — это точки бифуркации.

Линии / и 2 — это ветви диаграммы, возникающие в точках бифуркации соответственно 3 и В2; им отвечают возможные формы равновесия системы с изломами в шарнирах В и С. Линия / ——равновесие формы, изображенной на рис. 18.21, а; линия 2 ——равновесие формы, изображенной на рис 18.21, б.

Рис. 18.21. Формы равновесия системы с двумя степенями свободы в отклоненном от прямолинейной формы положении: а) две симметричные формы; б) две кососимметричные формы.Рис. 18.21. Формы равновесия системы с двумя степенями свободы в отклоненном от прямолинейной формы положении: а) две симметричные формы; б) две кососимметричные формы.

Рис. 18.21. Формы равновесия системы с двумя степенями свободы в отклоненном от прямолинейной формы положении: а) две симметричные формы; б) две кососимметричные формы.

Рис. 18.21. Формы равновесия системы с двумя степенями свободы в отклоненном от прямолинейной формы положении: а) две симметричные формы; б) две кососимметричные формы.

В промежутке между точками。и Вь 当 и 殳 н выше точки В2 никаких форм равновесия, кроме прямолинейной формы, нет. Поскольку приведенное решение получено на основе линеаризованных уравнений, справедливых при малых 屮】и (р2, пользоваться прямыми / и 2 можно лишь на участках, примыкающих соответственно к точкам В\ и В2. Если бы были использованы нелинейные уравнения равновесия, справедливые не только при

Рис. 18.22. Графики равновесных положений системы с двумя степенями свободы в пространстве р — qpi—ф2.

малых epi и 屮2, то вместо отрезков линий / и 2 имелись бы соответственно плоские кривые Г и 2‘，расположенные в вертикальных бисекторных плоскостях. К кривым /' и 2’ в окрестности точек бифуркации х приближаются соответственно отрезки прямых / и 2. '

Критическая точка. Критическая сила. Для того чтобы установить расположение критической точки на диаграмме р —屮 и, следовательно, значение критической силы, необходимо исследовать, какие из форм равновесия являются устойчивыми и какие неустойчивыми.

Такой анализ произведем здесь, пользуясь аппаратом динамики (аппаратом теории малых свободных колебаний, возбужденных возмущениями формы равновесия (начальное отклонение, начальный импульс)). Заранее укажем, что производимый ниже анализ дает возможность получить такую информацию, которая позволит в дальнейшем при рассмотрении классической формы потери устойчивости в системе с любым числом степеней свободы пользоваться лишь статическим аппаратом.

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (屮】=0, ф2 = 0). Составим систему урав-

нений, которая описывает движение системы, выведенной из этого прямолинейного положения равновесия. В качестве обоб-

щенных координат приняты углы Дф1 заны звенья системы и действующие

том числе силы взаимодействия

Х1

и Дф2- На рис. 18.23 пока- на них силы и моменты, в и Х2. Моменты инерции

Р

4芬

1方"戸2、

戶

影（"丿

с（2А（рг-Л<рг）

/2/%-4 勿

Т）後4?Т物

、"夕=4例一/夕2

石笃）"2例嗔勿

Р

Рис. 18.23. К составлению дифференциальных уравнений движения системы при возмущении ее от прямолинейной формы равновесия.

массы звена относительно его концевой точки и относительно центра масс выпажаются соответственно формулами

1/3//6

Ji = \ mz1 dz = ~~ , /о = \ шг2 dz =.

О-〃6

Звенья АВ и CD при колебаниях испытывают движение поворота соответственно относительно точек А и D, а звено ВС совершает движение и поворотное, и поступательное. В соответствии с этим инерционные воздействия на звенья АВ и CD представляют собой одинаковые моменты, равные Ji （Дф1）**, а инерционное воздействие на звено ВС состоит из силы, приложенной к центру масс звена, т. е. к точке посредине его длины, и момента; эти сила и момент выражаются соответственно следующими формулами:

1/ I .（a%）” =*V [小词“ +0砧1

Jo（W =需侬犷一函2）门.

Уравнения движения звеньев АВ и СО, полученные как равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на звенья, относительно соответственно точек А и D, имеют вид

（Дф1У + с （2Aqpi — А（Р2）— Р % 厶屮1 + Xi g = 0,）

何 з}（18・17）

「（А92）+ e （2AT2 一А91）一Р可А92 + ，2可=0, J

а уравнения движения звена ВС, представляющие собой равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на звено, относительно его центра масс, и равенство нулю суммы проекций всех действующих сил на горизонтальную ось, записываются так:

•^"【（Ад）” —（А屮2）“] + с （2 Д<Р1 —厶屮2）— с （2 Дф2 一 △屮 1）—

一 p g （A<Pi -a屮2）- Xi 聲 + X2 V = 0,

[（a屮 1） t （a屮2）] - X1 - % = 0.

Решая эти уравнения относительно Х【и X?, получаем

Х[ = ~^- （Aqpi）** + ^- （Афг）" + 毕 А<Р1 —半厶屮2 — Р Aq）i + 夕 Дфг,

x2 - ^- （Дф1） + "^~ （A屮2）- 毕A屮1 + 半 Дф2 +尸A屮1 一尸A啦；

подставляя Х{ в （18.17）1 и X2 в （18.17）2, приходим к системе уравнений движения всей рассматриваемой трехзвенной системы с двумя степенями свободы

"^- （А<Р1）“ + ~^~ （厶屮2厂 +（5с — у “） Аф1 —（4с —у-） Дфг = 0,

（18.18）

閣（Аф1）” + 等（频2）” 一（4с - -у-）厶恥 +（5с-у ”） Аф2 = 0, решение которой будем искать в форме

Д（Р1 = Di sin （шс/ + 屮）, Д（р2 = A sin （шс/ + ”）・（18.19）

Нам понадобятся вторые производные

（ДФ1）=—。田 sin （sj + 屮），

（А屮2）“ = 一02吸 sin+ 屮）；（18.20）

подставляя (18.19) и (18.20) в (18.18), получим

5 [(5с ~ 4 Р/) ~ ^~ 党]+

(18.21)(18.21)+ 2[一(40—豹_儒词=0, 以一(4.豹_瑞礫h

(18.21)

(18.21)

+閣(5…洌_等喝=0.

Нас интересует ненулевое (нетривиальнее) решение относительно D\ и 02，поскольку тривиальному решению соответствует неотклоненная прямолинейная форма и система не совершает при этом никакого движения. Условие нетривиальное™ решения имеет вид

零词「［（4…粤）+需词=

_［（4С-号）+ 需党］［аС-■!p/）_ 需党］0,

ИЛИ

[(5…舞/) 一等甯 - [(4， - *)+ 體甯=0.(18.22)

Производя элементарные преобразования, получаем из (18.22) уравнение следующего вида:

吒一 "S' & 一 ")党 + 品(27。2 - 12"e + ь/2)= 0；

отсюдаилиотсюдаили吸=赢方（8…PZ） ±吸=赢方（8…PZ） ±54 ⑵ с —2P/)5m/354 ⑵ с —2P/)5m/3(喻=(喻=54 (24c — ЗР/ + 21c - 2PZ) — 54 (45c - 5PZ)54 (24c — ЗР/ + 21c - 2PZ) — 54 (45c - 5PZ)5/и/з5/и/з= 54・9c(l= 54・9c(lT)，T)，

отсюда

или

отсюда

или

吸=赢方（8…PZ） ±

吸=赢方（8…PZ） ±

54 ⑵ с —2P/)5m/3

54 ⑵ с —2P/)5m/3

(喻=

(喻=

54 (24c — ЗР/ + 21c - 2PZ) — 54 (45c - 5PZ)

54 (24c — ЗР/ + 21c - 2PZ) — 54 (45c - 5PZ)

5/и/з

5/и/з

= 54・9c(l

= 54・9c(l

T)，

T)，

54 (3c — Pl)5m/354 (3c — Pl)5m/3/ 2\ 54(24c-3P/-21c + 2PZ)

54 (3c — Pl)5m/3

54 (3c — Pl)5m/3

Произведем перенумерацию частот в соответствии с возрастанием их значений,

(党)1=縣(1 —寥)=縣(1 一Р),

丿25加3 a 9c丿 加3 I丄3丿.

Характер поведения решения (18.19) зависит от знаков корней (sQi и О0：%， которне в свою очередь определяются значе-

PV1

p= 1

Kp<3

p = 3

3Vp

>0

0

<0

<0

<0

（脸

>0

>0

>0

0

<0

нием параметра р. В таблице 18.3 показаны области значений р и соответствующие знаки корней （sj［ и （о^%，

Рассмотрим сначала случай, указанный в первом столбце, которому отвечают вещественные корни（Sc）i и （сос）2.

Первое главное колебание выражается формулами

Дфп = “° sin （шс1/ + 电），Дф21 =旦。sin （шс1/ + 电），

а второе — формулами

A<p12 = QR）Sin （оe2/ + 恥），А022 =0貝 Sin 3c2/ + 屯）■

В соответствии с этим общее решение представляется так: Д<Р1 = Афц + △屮％ =。『sin （%也 + 屯）+ Of' sin （шс2/ + 屯）， А% =厶恤 + А屮22 = 4° sin （%/ + 屯）+。0 sin （шс2/ + 我）・

Для отыскания отношений df）==Z）f）//>£）и di2） = D^/D^ подставим в （18.21） поочередно вместо 党 соответственно （吟％ и （噌2； тогда получим

川）［e （5 一 2Р） -川）［e （5 一 2Р） -2加户162с八 Л ,8T -5万产 " 一 ро +2加户162с八 Л ,8T -5万产 " 一 ро +с （4 — р）—с （4 — р）—ml3 162c毎一5加/3ml3 162c毎一5加/3（1 _ p）］ = 0,（1 _ p）］ = 0,D^ ［с （5 一 2р）-2m/3 з • 162eD^ ［с （5 一 2р）-2m/3 з • 162e81 ml3+ 硬［-0 （4 一 p）—81 ml3+ 硬［-0 （4 一 p）—++加/3 3，162e 破 m/з加/3 3，162e 破 m/з（1-专）］=q（1-专）］=q

川）［e （5 一 2Р） -

川）［e （5 一 2Р） -

2加户162с八 Л ,8T -5万产 " 一 ро +

2加户162с八 Л ,8T -5万产 " 一 ро +

с （4 — р）—

с （4 — р）—

ml3 162c毎一5加/3

ml3 162c毎一5加/3

（1 _ p）］ = 0,

（1 _ p）］ = 0,

D^ ［с （5 一 2р）-

2m/3 з • 162e

D^ ［с （5 一 2р）-

2m/3 з • 162e

81 ml3

+ 硬［-0 （4 一 p）—

81 ml3

+ 硬［-0 （4 一 p）—

+

+

加/3 3，162e 破 m/з

加/3 3，162e 破 m/з

（1-专）］=q

（1-专）］=q

D^ — с （4 一 р）—D^ — с （4 一 р）—c（4-p）-c（4-p）-

D^ — с （4 一 р）—

D^ — с （4 一 р）—

c（4-p）-

c（4-p）-

加/з 162c破l^F加/з 162c破l^F（1-P）］ +（1-P）］ ++ 國）［с （5 —2р） —+ 國）［с （5 —2р） —2加 з 162c2加 з 162c81 5m/381 5m/3（1 — р）］==0,（1 — р）］==0,/и/з з- 162c/и/з з- 162c162 加3162 加3（T）］+（T）］++ 成+（5 - 2p） 一2m/3 3，162e一81 加3+ 成+（5 - 2p） 一2m/3 3，162e一81 加30.0.

加/з 162c破l^F

加/з 162c破l^F

（1-P）］ +

（1-P）］ +

+ 國）［с （5 —2р） —

+ 國）［с （5 —2р） —

2加 з 162c

2加 з 162c

81 5m/3

81 5m/3

（1 — р）］==0,

（1 — р）］==0,

/и/з з- 162c

/и/з з- 162c

162 加3

162 加3

（T）］+

（T）］+

+ 成+（5 - 2p） 一

2m/3 3，162e

一81 加3

+ 成+（5 - 2p） 一

2m/3 3，162e

一81 加3

0.

0.

После сокращений и приведения подобных членов оба уравнения приобретают одинаковый вид, поскольку ранг системы на единицу ниже ее порядка,

以d(21-6p) —0空)(21—6p)=0, I。伊(一7+2p)+。贤(一7+2p)=0.

Отсюда, деля все члены на D「(/ = 1, 2), получаем

叩(21 一 6р) — (21 一 6р) = 0,电2)(- 7 + 2р) + (― 7 + 2р) = О,

4°=1,肝)=-1.

Таким образом, решение приобретает вид

Дф1 = 4。sin (шс1/ + 屯)一D^ sin (%2/ + 屯)，

Aqp2 = D2} sin (со» + 屯)+。0 sin (шс2/ + 屯).

Используя формулу для синуса суммы углов и вводя обозначения

然)=Z)g)cos 电，啰=第)sin 也，

3贤=D^} cos 弘，。贤=Z)贤 sin 屮2，

получаем следующие выражения для обобщенных координат: Aq)j =典)sin o)ci/ + С£)cos а)с1/ — 50 sin ®с2/ — С0 cos ос2/, Д(р2 =筑D sin ScW + W cos &【/ + 3馭 sin шс2/ + C0 cos шс2/ ”&23)

и для обобщенных скоростей:

(AqpJ =绯)％i cos 4/ — Cf% sin sf —

— 5^(oc2 cos * +。目％2 sin %2f，

(Aqp2)* =理％ cos %/ — C£4j sin %/ +

+ ^22)O)c2 C0S 叫、2/ — Cg心c2 Sih %2t.

Для отыскания коэффициентов В и С используем начальные условия, которые рассматриваем в четырех вариантах (начальные смещения и начальные импульсы). Вся информация, относящаяся к начальным условиям, к вытекающим из них уравнениям относительно коэффициентов В и С, и решение этих уравнений приведены в таблице 18.4.

Решение (18.23) позволяет заключить, что в результате возмущения прямолинейной формы равновесия при р V 1 возникают гармонические незатухающие колебания. Если бы было учтено сопротивление, то колебания оказались бы затухающими. Таким образом, вертикальная форма равновесия системы устойчива, а если учитывать сопротивление, то асимптотически устойчива.

A<P」f・o = A(pi,o

ДФ1 lf.0 = °

a@1 If.o =a屮1, Q

Аф1 /-о = °

(△ф1) ко =。

(△ф1У Ь-о=7

。①i). 1力.0 =。

(А<Р1)」『0 =

=(Дф1)о

=(Д<Р1)о

△ф2 If.O =厶屮2, 0

△б ко = °

А①2 |力.0 = 0

△ф2 ко = А@2,0

(As)，lt・o = O

(AS)，If.0 =

(Аф2)' к-о =

(△Ф2)' I/-0 =。

=(A$2)j

=(Дф2)о

Дф1, о = C21 —，22

0 == С?] — C22

△屮1, 0 = Qu — C22

0 = c*21 -e22

0 =以1①ci —

(Дф1)0 = ^21®cl —

0 = ^21®cl —

(△① 1)； = ^21®d —

—B22®c2

—В22®с2

-&2%2

-星2①e2

△$2, 0 = Qi + C22

.0 = С21 + С22

0 = C?1 + С?2

^Ф2, 0 = С21 + С22

0 = 82183 +

(Аф2)о = 82151 +

(A$2)j = &1 ① Cl +

0 = В?】％】+

+ 822/2

+ &2 ① С2

+ 822%2

+ 82252

С21 n

C21 = о

СДФ1,0

Аф2,0

Aф1, 0 + a$2, 0

-2

6*22 =

С22 = о

—А$2,0

Аф2,0 ——Дф1, 0

52—2

“222

2

В21 = о

821 ==

4。屯）；+。屮琢

吁2函

—2(0ci

З22 == о

822 =

R(А端

» (g)i

_。中2）: -（^T1）0

" 2е一

822=2%2

2g)c2

Для диапазона значений р: 1 V р V 3 произвести анализ устойчивости системы можно, воспользовавшись приведенным выше результатом для р V L С этой целью, учитывая, что при 1 < Р < 3 (磴)[< 0,(党)2 > °，представим (党％ в следующем виде:

(喻——1 •繇(I，

ИЛИх

(喻=-1 • (< )р где

(°с2)1=т5"^-1)>0-

Тогда

®с)1 = / (®с)ь(18.24)

При этом решение для диапазона 1 V р V 3 получается из (18.23) путем представления ((ос)ь согласно формуле (18.24),

《事1丈0誉涅戍Р+^^

』朮下由Yx ® w^^+匡3

g& DMMgR

КПНВОЕЗ。。o2offg”9OR9Da KnRsmhEgogailgE倉ugg OEaJmsDxnHeogc/qwgCJnQ Нуна首др кпн昌0空§s^^^§ м XOHZnd

;或04 к09

®&+冬+端

S尖

.30

.•右04

《寻或一

423心 2太 24Q号工9moHEO ORv£8Eg>a a/wgxouou

^)d0 dW60

qEaognhnoEg,ПН,4n£aada90du“含agongudd士aoa

s

e

Уравнения движения (пол учены путем исключения из уравнений для звеньев АВ и CD сил взаимодействия Х} и Х2 со звеном ВС, путем отыскания этих величин из уравнений движения звена 8С) ан (А①J" + аи (Л-р?)" + сн Лф! + с12 Дф2 —0, 61 (Дф1)，# + “22 (А，2尸 + С21 Д(Р1 + С02Atp?и0

(q「

(c21-

Частотное 一"11 峻) ~a21coc) 1

уравнение (012一勺2 峻)

(c22~a22(i^)

=0

«11 = ~gj- (1 + COS? @1)=出2, m/39 〜

“12 = “21 = 丁殴-COS2 6，

Si = с [1 + 2 cos ф1 + 2 cos2 а —

—p COS Ф1 (1 + COS Ф1)] = 3, C12 = C21 = с [― 2 COS Ф1 (1 +

+ COS $1)+ p COS2 $1] Равенства a” = “22,，u = <‘22 имеют места лишь в данном примере. В общем случае таких равенств нет

加2/6 ТбГ

{3； — ^j^ 8峻 + c2c =

2 (B 干 “82 — ЛС) с 必А

0,

т /з

«11 = ^" [4 + (3 + k) COS2 ф2] = «22, a12 =a21 =芻-(3 -盼 COS2 $2, С" = С [1 + 2右 COS $2 +

+ 2胪 COS2 @2 — " cos $2 —

—pk COS2 ф2] = C22,〜

C12 = Qi = — C [2k COS $ +

+ 2Z?2 COS2 $2 —"左 COS2 ф2]

3242

(

硼-需載+附=

2 (в 千 Vb2 - 4ДС)с

"L2*

324

0,

д/1 — 4 sin2 @2

с учетом того, что 9

cos (/©ci/) = ch(G)ci0, sin (施*) = / sh (&丿)・

I) Здесь учитываются формулы для тригонометрических и гиперболиче*

ских функций, представленных через е^х + e~ix

cos尤

ch %

2

e* + e~

2

показательные функции. eix + e~ixsm — ―2Z~，

shx = —

—e~x ~2

Формулы для Д, В, С

Таблицы значений А, В, С

Таблицы значений корней частотного уравнения

鶴 讓

4 = 4 + 8 cos2 $1 +3 cos4 фи 8 = 2 + 4 cos @1 +

+ 6 COS2 $! + 6 cos3 @i +

+ 6 cos4 ф1 ——2p cos$i —

—2P cos 2$i — 2P cos3 $i —

—3" cos4 @i,C=l +4 cos * + + 4 cos2 * — 2" cos * (1 4

+ 3 cos @i +2 cos2 $i) +

+ "2 COS2 ©i(l+2 COS $1)

@1 град

А

8

С

2 mZ3 1 %» КХ

1 1

1 2

0

10

20

30 40

50

15,00

14,70

13,86

12,62

11,16

9,65

15,00

14,45

12,69

10,72

8,31

6,07

0 0,0598

0,2268

0,4642

0,7232

0,9506

0 0,002.

0,008

0,022 0,045 0,084

2 1,96

1,82

1,68

1,44

1,17

Д= 16+ 8 cos2 @2(3 + + A)+ss4 @2[(3 + 力)2 一 -(3 一 炒2], в = [4 + cos2 @2 (3 + 盼】x X (2 + 4/г cos @2 + + 4力2 COS2 $2 — 2" COS $2 一

—2pk COS2 @2)+

* (3 — 0) (4/e cos3 @2 + + 4^2 COS4 @2 — 2% COS4 @2), 2=1 + 4史 COS @2 + + 4Z?2 COS2 $2 — 2p cos $2 一 —Qpk COS2 $2 一

—4pZ?2 cos3 ф2 + "2 cos2@2 + + 2p2k COS3 @2

Ф2 град

А

8

С

2 /nW %/ 162с"

О) в о н

в о

1

2

0

10

60 60,07

-12

—9,131

-18

—0,614

1,114

0,253

-1,314

-0,405

согласно которым

（喻）=5）#吧（喻）=5）#吧sin （心：仕）=-sin （心：仕）=-/ 0wcl0 _ e- i (心京t)0-咕，/ 0wcl0 _ e- i (心京t)0-咕，2—内2—内2/2/2/—r sh2/—r sh=ch «10 >6®clf — g-®clf2/=ch «10 >6®clf — g-®clf2/8：^ == } sh со：' = / sh CO：]A8：^ == } sh со：' = / sh CO：]A

（喻）=5）#吧

（喻）=5）#吧

sin （心：仕）=-

sin （心：仕）=-

/ 0wcl0 _ e- i (心京t)0-咕，

/ 0wcl0 _ e- i (心京t)0-咕，

2

—内

2

—内

2/

2/

2/

—r sh

2/

—r sh

=ch «10 >

6®clf — g-®clf

2/

=ch «10 >

6®clf — g-®clf

2/

8：^ == } sh со：' = / sh CO：]A

8：^ == } sh со：' = / sh CO：]A

Таким образом, случаю 1 V р V 3 соответствует решение, содержащее гиперболические функции, и, так как последние неограниченно возрастают с увеличением значения аргумента, заключаем, что в этом случае имеем движение в виде монотонно нарастающего отклонения; конечно, начиная с некоторого момента f, перестает быть правомочной линейная теория, но факт ухода от первоначального положения остается. Таким образом, при 1 < р < 3 вертикальная форма равновесия неустойчива.

В случае, если 3 V р, поскольку оба корня (s^)】и (s^)? отрицательны, переход от тригонометрических функций в (18.23), полученных для р < 1, к гиперболическим происходит согласно изменению аргументов:

G)cl == ZG)cl И G)c2 === Z0)c2・

Таким образом, и в этом случае (3 V р) вертикальное положение стержня неустойчиво.

Вопрос о характере равновесия вертикального положения системе при р = 1 и р = 3 рассмотрим, анализируя формы равновесия, возникающие в точках бифуркации Bi и В2. Однако уже сейчас ясно, что точка бифуркации 3】одновременно является и критической точкой, т. е. из двух точек бифуркации критической является точка, соответствующая наименьшему собственному числу.

Выше были показаны две формы равновесия рассматриваемой системы кроме вертикальной — симметричная относительно средней точки звена ВС и кососимметричная.

Анализ устойчивости этих отклоненных от прямолинейной форм равновесия, выполняемый аналогично тому, как это было показано выше для системы с одной степенью свободы, сведен в таблицы 18.5 и 18.6.

Для читателя, желающего проследить за получением информации, помещенной в таблицах !) 18.5 и 18.6, что может явиться упражнением к разделу динамики, приведем следующие сведения, расположив в левом столбце все, относящееся к симметричной форме равновесия, и в правом ——к кососнммет- ричной.

1) Для величины р в таблице 18.5 в случае кососимметричной формы рав«

новесия при @2f0 получается неопределенность р 二丁， раскрытие О U

которой производим, пользуясь правилом Лопиталя

I —®+arc sin (2 Nin 必)]'

={ I? + ТТ^Ж^ 2 с。，貪]:C°S 叽 J &

2 sin $2,2 sin $2,sin (ф2 + A(Pi)—sin (ф2 + A(Pi)—

2 sin $2,

2 sin $2,

sin (ф2 + A(Pi)—

sin (ф2 + A(Pi)—

Параметры Дф и Дх, определяющие отклоненное положение звена ВС

2 = / sin @i + ЛфО —

—у Sin(Ф1 + А$2)] ： у =

=sin (ф1 + Aqpi) — sin (ф1 + 厶屮2)=

=sin ф1 cos Дф1 + cos ф1 sin Дф1 —

—sin ф1 cos Лф2 — cos @1 sin 厶仇= =COS ф1 (Лф1 — А$2),

А% = ^ [^ sin (ф1 + Aqpi) +

+ "i" s'" ®i + А$2)]g* sin ф1 =

=~ [sin $i cos A(pi + cos $1 sin Aq)i +

+ sin $1 cos Aqp2 + cos @i sin A(p2]—

—у Sin Ф1 =

= Wcos@i[(A(pi)・・+(Aqp2)“]・

При получении формул для Д(р и А% вследствие малости Дф1 и Aq)2 принято COS Дф1 q 1, cos Аф2 ^ 1, sin Aqpi ^ Дфь sin Лф2 ^ Д(р2； обобщенные координаты для системы 91 = Афь «2 = А(Р2・

Уравнения движения: для звена АВ (одно уравнение) 警时广+

+ с [@i + Aqpi + cos ф1 (Дф1 — Л(р2)]—

--у- Sin (ф1 + Лф1) +

+ & 4* cos (ф1 + Дф1) = 0; для звена ВС (два уравнения) 瑞•cos 仇[(A*”一 (As)」+

+ с[^+ Аф! + cos Ф1 (Дф1 — Дф2)]— —С [01 + Дф2 — COS ф! (Дф1 — Дф2)]—

—Р -~ COS Ф1 (Дф1 — Дф2)一

一 ％ 差 + X? = о, о о

曙 со§ © J(A叫•• +(4s)I—

-X1 — X2 = 0;

Параметр ф, определяющий положение звена ВС в неотклоненном состоянии

2/ ..Sinsin @ =^

T

ф = arcsin (2 sin ф2),

@max = @ l(2sin$2)max-l 2

~ 几

©2 max =*"g"・

Параметры Дф и Дх, определяющие положение звена ВС в отклоненном состоянии. Дф находим из уравнения

sin (ф + Дф)=

=sin @2 + Дф1) + sin ®2 — Дф2)>

sin ф cos Дф + cos ф sin Лф =

=sin @2 cos A(pi + cos $2 sin Дф1 +

+ sin $2 cos Дфг — cos ф2 sin Дф2,

cos Д(р « 1, sin Дф 内 Д(р,

sin ф + cos ф • Дф =

==2 sin @2 + cos ф2 (Аф1 — Дф2)»

Учтя, что

sin ф = 2 sin ф2,

cos ф = “1 — siM @ =

=V1 —4 sin2 фг = -у,

получаем

Дф = ^ COS @2 (Дф1 — Дф2),

=g [sin @2 cos A(pi + cos ©2 sin Aq)i —

——sin фг cos Д(р2 + cos @2 sin Д(р2] ^

^ G COS @2 (厶中 1 + Дф2).

для звена CD (одно уравнение)

若。5广+

+ С [@1 + А©2 — COS Ф1 (Дф1 二 Дф2)]—

—等 sin (ф! + Дф2)+

+ As geos (ф1 + Дфг) = О,

Уравнения движения: для звена АВ (одно уравнение)

勿z/з

-gp (A(pi)e，+c [ф2+агс81п (2 sin ф2) +

+ Дф! 4- ^ cos ф2 (Аф| — Аф2)]—

Р1 .〜

3" sin(@2 + A中1) +

+ Xi cos ($2 + Aqpi) = 0;

для звена ВС (два уравнения)

瑞々cos @2【。5广-。5门+

+ г [$2 + A* + arcsin (2 sin ф2) +

+ k cos @2 (Дф1 — Дф2)1 +

+ с [@2 — Дф1 + arcsin (2 sin ф2) +

+ k COS (р2 (Дф1 — Дф2)]—

一 -у- sin (ф + Дф)—

—Х[ ^* cos (ф + Дф) +

+ ^2 cos (ф + Дф) = 0;

Х[ + X?—

-看 cos ф2 [(Д(Р1)- +。5)・・]=0, cos (ф + Дф) « cos ф —抬

ml3ТГml3ТГдля звена CD (одно уравнение)

ml3

ТГ

ml3

ТГ

(Aqp2)'* — с [@2 + arcsin (2 sin ф2)—

—Д(р2 + 々 cos @2 (Дф1 — Афг)] +

+ 尸彳 sin (ф2 — Дф2) +

+ ^2 -g" COS ($2 —■厶中2)= 0.

Уравнения движения для системы в целом получаются путем исключения Xi и Х2 из вышеприведенных уравнений.

Частное решение представляем в виде

Aq)i = A sin (со/ + 少)， a屮2 ^ 5 sin (① J + 3).

Поскольку нас интересуют лишь корни характеристического уравнения, позволяющие судить об устойчивости или неустойчивости формы равновесия, общего решения задачи не ищем.

Итак, прямолинейная форма равновесия устойчива при р V 1 и неустойчива при р > 1; при р= 1 система, имеющая

прямолинейную форму, находится в состоянии безразличного (нейтрального) равновесия. Возникающие в точке бифуркации Bi (при р = 1) новые формы равновесия устойчивы.

Формы равновесия, возникающие во второй точке бифуркации В2, неустойчивы, поскольку наличие неположительных корней характеристического уравнения приводит к тому, что общее решение дифференциальных уравнений (относительно Aq)i и Дф2) выражается через гиперболические функции (аналогично тому, как это показано в таблице 18.2) и с течением времени происходит неограниченный рост Аср】и Д(р2.

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно: критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива.

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении.

Из приведенного в данном и в предыдущих разделах анализа вытекает следующий вывод:

Проблема отыскания критической силы при потере устойчивости рассматриваемого типа (потеря устойчивости в смысле Эйлера) сводится к отысканию нетривиального решения линеаризованной задачи。равновесии системы s отклоненном от первоначальной формы возможном положении равновесия,

Система с конечным числом степеней свободы. Линеаризованная система уравнений равновесия для механической системы с n = k степенями свободы 9, находящейся под действием

1) Расчет на устойчивость сложных стержневых конструкций как систем со многими степенями свободы встречает серьезные затруднения. Это обстоятельство вызвало возникновение и развитие качественных методов определения критических сил (и родственной области ——качественных методов определения собственных частот). В связи с этим направлением теории отметим следующие книги:

Смирнов Д. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений.——М.: Трансжелдориздат, 1947; дальнейшее развитие содержания этой книги находим в книге этого же автора: Устойчивость и колебания сооружений.—М.: Трансжелдориздат, 1958; Нудельман Я. Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. — Серия: Современные проблемы механики/Под общей ред. А. И. Лурье и Л. Г. Лой- цянского. — М. — Л.: Гостехиздат, 1949; Матевосян Р. Р. Устойчивость

однопараметрической нагрузки (параметр Р) в отклоненном от первоначальной формы равновесия положении, если в качестве обобщенных координат последнего приняты gi, ..., qki может быть представлена так:

ап?1 + «12^2 + ・・・ + ^k4k — PuPgi — Pi2Pg2 —・・• — Pi 论 Pg 力=о, 。21% + a22g2 + ・• • +。2论仇一021Pgi 一 022Pg2 — •・• — ％P仇=О,

%也 + a^52g2 + • • • + ^kkQk — Рл1^?1 —瓦 2Pg2 —・• •一氏论尸次=о, или.

(all - ME) ?1 + (a12 - ₽12^P)伙 + .・・ + (a1 论 一 01户)%=0,

(a21 - 021p)% + (a22 - 022Р)伙 + .• • + (a2力 一 ^2kf) % =a(18 25)

(%1 -历1p)g1 + (a々2 -网2Р)g2 +.・.+ (%论一限P)%=0.

Условие нетривиального решения системы (18.25) имеет вид

%i — ВцР %2 — %Р …％在—А论Р

a21 一 621P a22 1622P …a2也一В2也p=0.

%1 - 31P %2 - 6々2p• akk ^kkP

Корнями этого уравнения являются значения параметра нагрузки Р, при которых имеется нетривиальное решение для обобщенных координат, характеризующих форму равновесия системы, отклоненную от первоначального положения равновесия. Таким образом, задача отыскания Pi (i = 1, ...» k) в математическом отношении — это задача об отыскании собственных чисел матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия в положении, отклоненном от первоначальной формы. Наименьший корень характеристического уравнения, со>

сложных стержневцх систем (качественная теория). — М.: Гос. изд-во лит. по строительству, 1961; Л я х о в и ч Л. С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем. — Томск： Изд. Томского университета, 1970.

Этот же вопрос отчасти освещен в книге П. Ф Папковича, упомянутой на стр. 279.

Расчету сложных стержневых систем на устойчивость посвящены и следующие книги:

Корноухов Н. В. Прочность и устойчивость стержневых систем. — М.: Стройиздат, 1949; Чудновский В. Г. Методы расчета колебаний и устойчивости упругих систем. — Киев: Изд-ва АН УССР, 1952; Снитко Н. К. Устойчивость упругих систем.——М.: Госстройиздат, 1952, и книга того же ав・ тора: Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем. — М.: Стройиздат, 1956; Пиковский А. А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами.——М.: Физматгиз, 1961. Этой книге предшествовала книга; Штаерман И. Я., П и к о в с к и й А. А. Основы теории устойчивости строительных конструкций. -- М.: Госстройиздат, 1939.

ответствующего этой системе, и представляет собой критическое значение параметра нагрузки.

Если корни характеристического уравнения не являются кратными, то ранг системы (18.25) равен k——1. В этом случае система (18.25) может быть решена относительно отношений qi/qk = =а/. Решая систему (18.25) относительно а» при Р, равном наименьшему корню характеристического уравнения, т. е. критическому значению параметра нагрузки, получаем форму потери устойчивости с точностью до постоянного множителя 夕々.

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то г — ранг системы (18.25) меньше, чем А— 1, и тогда г обобщенных координат, коэффициенты при которых образуют отличный от нуля минор порядка г, выражаются через остальные k — г обобщенных координат, которым можно придавать произвольные значения. Найти форму потери устойчивости не только в таком смысле, но получить и определенные значения параметров qi можно лишь на основе использования нелинейных уравнений равновесия. .

Уравнения (18.25) при выполнении условий нетривиальности их решения можно трактовать как необходимые условия минимума функции P(gi,…，饮)・

Итак: определение критической силы для системы с несколькими степенями свободы, сводится к математической задаче об определении наименьшего собственного числа матрицы, коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия механической системы 6 отклоненном от ее первоначальной формы положении. Сформулированное положение является статическим критерием устойчивости.

Устойчивость прямолинейного стержня.

Предварительные замечания. В настоящем разделе идеи анализа потери устойчивости в смысле Эйлера, изложенные в предыдущих разделах, используются применительно к прямолинейному стержню (система с бесконечным числом степеней свободы), сжатому осевой нагрузкой 9- Исходя из кон-

Первые систематические исследования по устойчивости равновесия гибких стержней при сжатии опытным путем проводил П. Мусшенброк из Лейдена; обнаруженные им количественные закономерности были опубликованы в 1729 г. (Musschenbroek Р. Van. Introductio ad cohaerentiam corpo- rum firmorum. ~ Lugduni, 1729). (См. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений/Пер. с англ. В. И. Контовта/Под ред. А. Н. Митинского.—М.: Гостехиздат, 1957.)

Первые теоретические работы принадлежат Л. Эйлеру (пять работ, опубликованных в течение 36 лет, с 1744 по 1780 гг.):

Euler L. Methodus invenienti lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimentrici latissimo sensu accepti. Addi- tamentum I: De curvis elasticis, Lausanna, Geneva. Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios, 1744, p. 267 (имеется русский перевод: Метод нахожде-

цепции Эйлера, можно дать такое определение критической силы: это наименьшая из сил, при которых наряду с исходной невозмущенной (первоначальной) формой системы возможна отклоненная возмущенная форма. Такое определение позволяет наметить следующий общий подход к отысканию эйлеровой критической силы.

Рассматривается система в состоянии безразличного равновесия, но в отклоненном от первоначальной формы равновесия ния кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение I. Об упругих кривых. — М. — Л.: Гостехиздат, 1934); Euler L. Sur la force des colonnes. — Mem. de「Acad. Berlin, 13, 1757 (pp. 251—282); Euler L. Determinatio onerum, quae columnae gestare valent. Partis I. 1778 (год написания). Acta Acad., Petropol., 1780 (год издания); Euler L. Examen insignis paradoxi in theoria columnarum occurentis. Partis I. 1778 (год написания). Acta Acad., Petropol., 1780 (год издания); Euler D. De altitu- dine columnarum sub proprio pondere corruentium. Partis I. 1778 (год написания). Acta Acad., Petropol., 1780 (год издания).

Родственные вопросы, рассмотренные в первой из упомянутых работ Л. Эйлера, освещены в книге: Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.——Серия: Современные проблемы механики/Под общей ред. А. И. Лурье и Л. Г. Лойцянского.——М.: Гостехиздат, 1948.

Анализ этих работ Эйлера содержится в статье: Николаи Е. Л. О работах Эйлера по теории продольного изгиба.——Уч. записки ЛГУ, 1939, № 44; см. также Николаи Е. Л. Труды по механике. — М.: Гостехиздат, 1955.

Несмотря на огромный авторитет Л. Эйлера, эти его исследования, посвященные устойчивости, долгое время не получали признания. По этому поводу большой знаток истории науки А. Н. Митинский (Митинский А. Н., Мов- н и н М. С. Техническая механика.——Судпромгиз, 1955) писал следующее:

«Решение «задачи Эйлера», лежащее в основе теории устойчивости упругих систем, в течение долгого времени не находило себе практического применения, чему в большой мере способствовали неудовлетворительно проведенные с целью проверки этого решения опыты, особенно опыты английских ученых в первой половине XIX в. Эти опыты, не подтвердившие теории Эйлера, почти совсем подорвали к ней доверие инженеров и вызвали появление ряда эмпирических, научно не обоснованных, формул для расчета сжатых стоек».

Своей реабилитацией теория Эйлера во многом обязана талантливому русскому профессору Ф. С. Ясинскому (1856—1899 гг.).

Заинтересовавшись имевшими место, главным образом за границей, во второй половине XIX в. частыми катастрофами строившихся в то время стальных мостов, Ф. С. Ясинский пришел к выводу, что причиной касастроф во многих случаях являлась недооценка при разработке проектов возможности продольного изгиба сжатых стержней. Это побудило его детально изучить этот вопрос, результатом чего явилось его замечательное исследование «Опыт развития теории продольного изгиба», опубликованное в 1892——1893 гг.

В своем исследовании Ф. С. Ясинский показал, что несовпадение результатов опытов с теорией Эйлера объясняется несовершенством опытов, а не теории: устройство опорных закреплений опытных образцов не соответствовало теоретическим предпосылкам, а в ряде случаев напряжения в опытных образцах превышали предел пропорциональности. Точно поставленные в конце Х1л в. в Швейцарии Тетмайером и во Франции Консидером опыты полностью подтвердили справедливость теории Эйлера в пределах пропорциональности.

положении, т. е. в возмущенном состоянии, при малых возмущениях. Составляется дифференциальное уравнение равновесия исследуемой системы в указанном положении; этому уравнению соответствуют, в зависимости от характера закрепления, некоторые граничные условия, которые обязательно однородны (иначе это не задача устойчивости). После интегрирования дифференциального уравнения или их системы, граничные условия приобретают вид системы линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования, число которых равно числу неизвестных постоянных интегрирования. Условием нетривиальности решения является характеристическое уравнение (приравненный нулю определитель упомянутой системы линейных однородных алгебраических уравнений),* из него ищется критическая сила или критический параметр как минимальный корень в соответствии с приведенным выше определением понятия критической силы.

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьшей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, .находящегося в отмеченном выше состоянии, т. е. уравнение относительно би-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 6у решение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня !).

Обращаем внимание на то, что, во-первых, поперечная распределенная нагрузка отсутствует (^ ^0); во-вторых, продольная распределенная нагрузка qz при повороте элемента остается параллельной оси z (такую нагрузку иногда называют «мертвой»). В-третьих, вследствие отсутствия поперечной нагрузки поперечные силы в сечениях стержня малы. Наконец, поскольку элемент стержня при составлении уравнения равновесия считается недеформируемым, поворот его представляется поворотом как жесткого целого.

Если попытаться для отыскания критической силы воспользоваться диффернциальным уравнением равновесия, составленным для недеформиро- ванного элемента, не испытавшего поворота (рис. 18.24, а), то оно приобретет вид

[£7(6и)〃]〃 = 0

Н у него единственным является не интересующее нас тривиальное решение

ди е 0.

Согласно рис. 18.24, 6 имеем (сжимающая сила принята положительной)_

£ Мом. л = о,

[Qy 一 N (6@)1 dz + Mx-Mx-dMx = 0; отсюда

-N(6vYdz-dMx = 0;

здесь пренебрежено силой Qy и не учтен момент, создаваемый нагрузкой qZi как малая величина второго порядка малости,

Рис. 18.24. К выводу уравнения (18.26): а—вид элемента стержня без учета его поворота; б—вид элемента стержня с учетом его поворота.Рис. 18.24. К выводу уравнения (18.26): а—вид элемента стержня без учета его поворота; б—вид элемента стержня с учетом его поворота.Учитывая, чтоMx = EI^v)f\ . получаем[EI(dvfY + N(dvY = O,Учитывая, чтоMx = EI^v)f\ . получаем[EI(dvfY + N(dvY = O,

Рис. 18.24. К выводу уравнения (18.26): а—вид элемента стержня без учета его поворота; б—вид элемента стержня с учетом его поворота.

Рис. 18.24. К выводу уравнения (18.26): а—вид элемента стержня без учета его поворота; б—вид элемента стержня с учетом его поворота.

Учитывая, что

Mx = EI^v)f\ . получаем

[EI(dvfY + N(dvY = O,

Учитывая, что

Mx = EI^v)f\ . получаем

[EI(dvfY + N(dvY = O,

или, окончательно,

[£/ (“)〃]〃 + W (6и)Т = 0.(18.26)

В случае постоянства по длине оси стержня / или ^ уравнение (18.26) становится соответственно одним из следующих:

£/(6и)" + [n(“)T = 0,(18.27)

[£/ (6旷]〃 + ^ (")〃 = 0,(18.28)

а при постоянстве вдоль оси как /, так и ^ —

EI (加严 + Р (")〃 = 0.(18.29)

Поскольку варьируется первоначальная прямолинейная форма оси стержня, вариация поперечных перемещений совпадает с полной их величиной, вследствие чего в каждом из приведенных выше уравнений вместо би можно иметь в виду и. В частности, для призматического равномерно вдоль оси сжатого стержня получаем

?/严十р『 = 0.?/严十р『 = 0.(18.29)'(18.29)'

?/严十р『 = 0.

?/严十р『 = 0.

(18.29)'

(18.29)'

Дифференциальное уравнение (18.26) и упрощенные, в связи с постоянством вдоль его оси / и (или) N> его варианты являются линейными, но составлены они по схеме, в которой учтены повороты, т. е. принято, что повороты больше деформаций (叫〜％/《1), тогда как обычно линейные дифференциальные уравнения равновесия составлялись нами в предположении и малости, и одинаковости порядков малости деформаций и поворотов (со» 〜&/《1). В линейной теории устойчивости всегда используются уравнения, составленные в тех же предположениях (s；~e〃《l), как и уравнение (18.26), иначе решение получается тривиальным и, таким образом, цель не достигается.

Итак, вопрос об устойчивости первоначальной формы равновесия системы, в частности равновесия первоначальной прямолинейной формы сжатого стержня, сведен к решению задачи об отыскании наименьшего собственного значения некоторого дифференциального оператора.

Вопрос об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня на основе статического критерия сведен к решению задачи отыскания наименьшего собственного значения некоторого дифференциального оператора (применительно к сжатому стержню — это задача для дифференциального уравнения (18.26)) при граничных условиях Lv = 0, которые всегда линейны и однородны.

Граничные условия для функции и в самом общем случае закрепления концов — упруго податливые, упруго защемленные концы — имеют следующий вид:

при 2 = 0

v = -A{(EIxv^-Pvf)f v^-^EI^ (18.30) при 2 = /

У = Л2 (Е/%и〃‘ + Ри\ и' = %2£/*и〃・

Если просадки опор нет, т. е. опоры жесткие, то Ai = А2 = 0; при абсолютном защемлении концов Й1 = §1г = 0. Если по концам стержня опоры шарнирные, то Й1 = §12 — °°； если конец стержня никак не закреплен, то A1=^i ^ со (или А2 = ^2 = =оо); в этих случаях граничные условия получаются из (18.29) цутем деления всех членов левой части на те входящие в них податливости, которые равны бесконечности. В получающихся после такого деления выражениях члены, содержащие в знаменателе бесконечные величины, опускаем как равные нулю.

Особенностью краевой задачи упругой устойчивости является возможность получения нетривиального решения лишь при некоторых определенных значениях величины нагрузки или параметра нагрузки, являющихся собственными значениями краевой задачи и имеющих смысл критических параметров, которые

соответствуют разветвлению форм равновесия. Спектр собственных значений и соответствующих ему собственных функций имеет ряд особенностей: все собственные значения положительны; собственным значениям соответствуют ортогональные, в пределах исследуемой области, собственные функции, каждая из которых представляет собой форму равновесия (устойчивую или неустойчивую).

Случай уравнения с постоянными коэффициентами.

Алгоритм анализа устойчивости системы. Поясним алгоритм отыскания критической силы при использовании статического критерия устойчивости, правомочный для любой системы (не обязательно для стержня).

Составляется линеаризованное уравнение равновесия системы, находящейся в положении, отклоненном от первоначальной формы равновесия.一

Таким уравнением для сжатого стержня является уравнение (18.26) или его частные случаи.

Находится общее решение уравнения с точностью до постоянных интегрирования.

В нашем случае ——это общее решение уравнения (18.29)', имеющее вид

и = & +。2昵 + Сз sin 盹 + С4cos阳，俨=斉.(18.31)

Составляются граничные условия

a11 (b) & + 02 (b)e2 + a13 (b)e3 +a14 偉)c4 = 0,

@21 (b) & +a22 (В)e2 +a23 (В) e3 +a24 (b)c4 = °, 询⑹ & +。32 (В) С2 + «33 (Р) Сз +。34 (В) & = о,()

。41 (В) & + @42 (В)。2 + @43 (В)。3 + @44 (В)。4 =。，

являющиеся линейными однородными алгебраическими уравнениями относительно постоянных интегрирования Сь ..., С4. Как уже указывалось, нас интересует нетривиальное решение.

Условием нетривиальности является уравнение

⑹位(р)⑹14243444а а а аw w w W3 3 3 3а1а2аза4^ w w Wа!а2аза4⑹位(р)⑹14243444а а а аw w w W3 3 3 3а1а2аза4^ w w Wа!а2аза4=0,(18.33)=0,(18.33)

⑹位(р)⑹14243444а а а аw w w W3 3 3 3а1а2аза4^ w w Wа!а2аза4

⑹位(р)⑹14243444а а а аw w w W3 3 3 3а1а2аза4^ w w Wа!а2аза4

=0,(18.33)

=0,(18.33)

называемое характеристическим уравнением или уравнением устойчивости. Наименьшему корню этого уравнения 0 = Р* соответствует критическое значение нагрузки

Пример 18.1. Найти критическое значение силы, сжимающей прямолинейный стер жен с шарнирно закрепленными концами (рис. 18.25, а).

Рис. 18.25. а) К определению эйлеровой силы для шарнирно опертой по концам сжатой стойки; 6) формы равновесия (неустойчивого), соответствующие %>1 (九=2, 3 и 4); а) кривая зависимости Р^Р(Д), подтверждающая, что при п = 2, 3, 4, ... единственной устойчивой является форма равновесия с одной полуволной синусоиды.Рис. 18.25. а) К определению эйлеровой силы для шарнирно опертой по концам сжатой стойки; 6) формы равновесия (неустойчивого), соответствующие %>1 (九=2, 3 и 4); а) кривая зависимости Р^Р(Д), подтверждающая, что при п = 2, 3, 4, ... единственной устойчивой является форма равновесия с одной полуволной синусоиды.

Рис. 18.25. а) К определению эйлеровой силы для шарнирно опертой по концам сжатой стойки; 6) формы равновесия (неустойчивого), соответствующие %>1 (九=2, 3 и 4); а) кривая зависимости Р^Р(Д), подтверждающая, что при п = 2, 3, 4, ... единственной устойчивой является форма равновесия с одной полуволной синусоиды.

Рис. 18.25. а) К определению эйлеровой силы для шарнирно опертой по концам сжатой стойки; 6) формы равновесия (неустойчивого), соответствующие %>1 (九=2, 3 и 4); а) кривая зависимости Р^Р(Д), подтверждающая, что при п = 2, 3, 4, ... единственной устойчивой является форма равновесия с одной полуволной синусоиды.

ВИД：ВИД：+俨君=。，俨П者，+俨君=。，俨П者，и〃(/) = 0.(18.34)с учетом (18.31), выра-e4 =。，и〃(/) = 0.(18.34)с учетом (18.31), выра-e4 =。，Условие ненулевого решения этойУсловие ненулевого решения этойсистемы уравнений имеет видсистемы уравнений имеет вид

ВИД：

ВИД：

+俨君=。，俨П者，

+俨君=。，俨П者，

и〃(/) = 0.(18.34)

с учетом (18.31), выра-

e4 =。，

и〃(/) = 0.(18.34)

с учетом (18.31), выра-

e4 =。，

Условие ненулевого решения этой

Условие ненулевого решения этой

системы уравнений имеет вид

системы уравнений имеет вид

Решение. Дифференциальному уравнению (18.29) придадим следующий

Граничные условия при шарнирном закреплении концов стержня записываются так:

и (0) = 0, и〃(0) = 0, и (/) = 0,

В развернутой форме граничные условия (18.34), жаются следующей системой уравнений:

& +

一俨04

Cl +。2削 + Сз sin р/ + С4 cos р/ = 0,

—Сз俨 sin р/ —。4俨 cos р/ = 0.

1 0

0

1

D 0

0

—俨

1 PZ

sin р/

COS В/

0 0

—俨 sin р/

—P2 COS р/

Это и есть уравнение устойчивости (характеристическое уравнение). В развернутой форме оно представляется так:

/р5 sin р/ = 0,/р5 力 0, sin р/ = 0.

р/ = "JT,р/ = "JT,Корни уравнения выражаются следующей формулой:

р/ = "JT,

р/ = "JT,

/ = %зт (% = 0, 1, 2,...);

отсюдаотсюдаРР^Е1^Е1(л = 0, 1,2,...).(л = 0, 1,2,...).

отсюда

отсюда

Р

Р

^Е1

^Е1

(л = 0, 1,2,...).

(л = 0, 1,2,...).

стержня представляет собой одну полу-Рп, где 九》2, также возможны смеж-стержня представляет собой одну полу-Рп, где 九》2, также возможны смеж-Согласно статическому критерию, критической является наименьшая из этих сил 】),т. е. та, которая получается при и = 1:

стержня представляет собой одну полу-

Рп, где 九》2, также возможны смеж-

стержня представляет собой одну полу-

Рп, где 九》2, также возможны смеж-

Соответствующая форма выпучивания

волну ные сволну ные ссинусоиды. При значениях Р

волну ные с

волну ные с

прямолинейной искривленные формы равновесия, описываемые уравнением (18.31) и краевыми условиями (18.34); n-я искривленная форма имеет вид синусоиды с п полуволнами. Как видно из рис. 18.25, б, в, при Р = Ря (п > 2) искривленная форма равновесия, как и прямолинейная, неустойчивы (см. раздел 4, в котором аналогичная ситуация рассмотрена детально и с доказательством указанного утверждения).

Коснемся очертания искривленной оси стержня в новом состоянии равновесия. Для этого вернемся к системе (18.35); из (18.35) 2 °4 = 0. После этого из (18.35)i Ci = 0. Учитывая найденные значения С《и Сь а также (18.35)击 из (18.35)3 находим С2 = 0. Следовательно, окончательно

0 n Сз sin 財・

Величина С3 остается неопределенной. Итак, полученная зависимость позволяет найти лишь критическую силу и новую устойчивую (искривленную) форму с точ

ностью до постоянного множителя, но поведения стержня после потери устойчивости не описывает.

Пример 18.2. Стержень шарнирно закреплен на одном из концов и жестко защемлен на другом (рис. 18.26) и сжимается силой Р. Требуется найти ее эйлерово критическое значение.

Решение. Вопрос сводится к решению краевой задачи