Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Эта монография написана известным специалистом, вице-президентом Польской Академии Наук Витольдом Новацким. Она представляет собой расширенный университетский курс теории упругости. Несмотря на достаточно высокий математический уровень, книга является весьма доступной, ибо автор всякий раз подробно разъясняет используемые понятия, которые выходят за рамки втузовской программы. Поэтому книгу можно рекомендовать для первого ознакомления с предметом. Вместе с тем основные разделы классической теории упругости освещены в ней настолько полно, что она может служить и справочным пособием для специалистов-механиков и инженеров-прочнистов.
От известных книг монографию Новацкого отличает прежде всего то, что автор положил в основу связанную задачу термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию температурных напряжений изложил как ее частные случаи. Характерно также, что автор уделил очень большое внимание динамическим задачам теории упругости; впервые в книге такого рода приводится математическое описание континуума Коссера. Монография содержит и ряд оригинальных результатов, полученных автором (кручение бруса, имеющего трещины, распространение термоупругих волн, несимметричная упругость и др.).
Следует отметить, что в книге отсутствуют некоторые разделы, традиционно читающиеся в университетском курсе теории упругости (например, методы решения задач, основанные на вариационных принципах Лагранжа и Кастильяно, контактные задачи теории упругости, теория конечных деформаций). Однако на русском языке имеются монографии, в которых эти вопросы хорошо освещены ).
При переводе была использована наиболее употребительная в отечественной литературе терминология. Исключение состав-
ляют часто используемые автором термины «эластостатика» и «эластокинетика», под которыми понимается соответственно статическая и динамическая задачи теории упругости.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности. Работа по переводу велась в постоянном контакте с автором, который специально для русского издания переработал главу 5 и внес несколько изменений в другие главы, а также прислал список опечаток и исправлений. За все это я приношу автору свою глубокую благодарность.
Б. Победря
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория упругости занимается деформацией и движением упругого тела. Основы этой теории заложили математики и механики XIX века (Коши, Лагранж, Навье, Пуассон, Сен-Венан, Кирхгоф, Бетти). Развиваемая главным образом математиками как раздел математической физики, она приобрела в 20—30-е годы нашего столетия неизменную, почти классическую форму. В эти годы появились новые разделы механики деформируемых тел: теория пластичности и реология. Этим разделам уделялось наибольшее внимание.
Однако в последнее двадцатилетие наблюдается возрождение теории упругости, бурное развитие ряда ее разделов. Причину этого явления следует искать в значительном прогрессе, достигнутом во многих областях техники, и прежде всего в химической промышленности, ядерной физике и конструировании летательных аппаратов.
Поскольку разного рода конструкции работают при все более высоких температурах, усиленное внимание исследователей привлекла теория температурных напряжений. В связи с этим узкий дотоле раздел теории упругости получил существенное развитие. Более того, возникла новая область, называемая термоупругостью, которая представляет собой синтез классической теории упругости и теории теплопроводности.
В последнем двадцатилетии развивалась также нелинейная теория упругости — так называемая теория конечных деформаций. В то же время мы являемся свидетелями возрождения теории несимметричной упругости: первые работы по этой теории опубликованы братьями Коссера в 1910 г., но только сейчас она нашла приложения к некоторым упругим средам.
В настоящей монографии автор хотел отразить указанные тенденции развития теории упругости. Поэтому изложение предмета несколько необычно. Исходным пунктом стала термоупругость, опирающаяся на термодинамику необратимых процессов. Только на этой основе излагаются классические разделы теории упругости, такие, как эластостатика, эластокинетика, и новые разделы — теория температурных напряжений и связанная термоупругость.
Монография состоит из трех частей. В первой, содержащей три главы, даются общие основы теории упругости, обсуждаются деформированное и напряженное состояния и связь между этими состояниями и температурой. Излагаются термодинамические основы деформаций и выводятся общие дифференциальные уравнения термоупругости для анизотропной среды.
Вторая часть касается эластостатики изотропных тел и охватывает пять глав. Материал, содержащийся в этой части, стал уже классическим. Однако ввиду его большого практического значения он излагается широко и подробно.
В этой части обсуждаются основные принципы и теоремы Зластостатики, методы решения ряда двумерных и трехмерных задач и, наконец, приводится теория установившихся температурных напряжений и дисторсии.
Третья часть посвящена динамическим задачам теории упругости. В настоящей монографии эта часть занимает необычно много места. Это объясняется стремительным развитием указанного раздела в последние годы, главным образом в области распространения упругих волн. В этой части представлены основные теоремы и методы классической эластокинетики, теории неустановившихся температурных напряжений и связанной термоупругости. В последней главе как бы синтезируется все изложенное в третьей части: она заключает в себе основы теории несимметричной термоупругости. Отсюда как частные случаи получаются остальные теории, рассмотренные в третьей части.
Основу этой монографии составили лекции для студентов отделения механики физико-математического факультета Варшавского университета.
Я полагаю, что эта книга, возникшая в результате разработки и расширения указанных лекций, может заинтересовать широкий круг читателей, прежде всего научных работников и инженеров-конструкторов, занимающихся проблемами механики деформируемого тела и теоретическими проблемами сопротивления материалов.
В. Новицкий
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Это издание лишь незначительно отличается от польского: в нем переработана пятая глава и устранены некоторые недочеты.
Книга содержит существенно расширенный материал факультативных лекций, которые в течение ряда лет читались студентам отделения механики факультета математики и механики Варшавского университета. Я стремился в ней обратить особое внимание читателей на термодинамический подход к теории упругости, при котором температурные поля и поля деформаций рассматриваются как единое целое. При таком подходе эласто- статика и эластокинетика появляются как частные случаи общей теории.
Я очень рад, что моя книга издается в Советском Союзе, и надеюсь, что она найдет новых читателей.
Варшава, 16 мая 1974 г.Варшава, 16 мая 1974 г.Витольд НовицкийВитольд Новицкий
Варшава, 16 мая 1974 г.
Варшава, 16 мая 1974 г.
Витольд Новицкий
Витольд Новицкий
Часть 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Глава 1
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
Упругость. Сплошная среда
Опыт показывает, что твердое тело под влиянием внешних воздействий изменяет свою форму. К внешним воздействиям относятся поверхностные нагрузки, массовые силы, нагревание или охлаждение тела. Если деформация тела не превышает некоторых пределов, то при достаточно медленном снятии внешних воздействий оно возвращается к своему первоначальному состоянию. Если снять внешние воздействия мгновенно, то тело совершает свободные колебания. Однако вследствие внешнего и внутреннего сопротивления тело по истечении некоторого времени возвращается в состояние равновесия, принимая свою первоначальную форму.
Такое свойство твердого тела называется упругостью.
При значительных деформациях снятие внешних воздействий не приводит к полному исчезновению деформации. Сохраняется некоторая остаточная деформация тела. Эти остаточные деформации называются пластическими.
Математическая теория упругости старается выяснить изменения геометрического и механического состояния тела в процессе его деформации. Речь идет об определении и оценке геометрических величин, характеризующих деформации тела, а также об оценке внутренних сил, называемых напряжениями, которые возникают в процессе деформации.
Для анализа деформированного и напряженного состояний применяются методы математической физики. Для этого определяется понятие сплошной среды, ее плотности, рассматриваются геометрические величины, описывающие изменения тела, внутренние силы, их связь с внешними воздействиями. Соотношения между внутренними силами и деформациями берутся из эксперимента. Поэтому теория упругости является феноменологической теорией.
В теории упругости пользуются теоретической, идеализированной и упрощенной, „моделью твердого тела в виде «материального континуума» или «материальной сплошной среды». Пренебрегая молекулярной структурой тела, а стало быть, опуская ряд реальных свойств твердого тела, мы принимаем модель непрерывного размещения материи в пространстве. «Размазывая» атомную и молекулярную структуру тела, мы рассматриваем его как трехмерное евклидово пространство, точки которого совпадают с частицами тела.
Материальный континуум трактуется как непрерывная среда в математическом смысле. Поэтому предполагается, что близкие точки переходят после деформации также в близкие точки. Возможность появления во время деформации трещин и пустот в теле исключается.
Непрерывное распределение материи в некоторой области тела можно охарактеризовать с помощью одной скалярной величины, а именно плотности. Эту величину мы определим следующим образом. Рассмотрим точку Р, окруженную замкнутой поверхностью, охватывающей область с объемом ДГ. Содержащуюся в этой области массу обозначим через ДМ. В силу предположения о непрерывности среды, определим плотность р в точке Р как предел отношения ДМ/ДР при стремлении к нулю объема ДР:
.. АЛ! (Р) dM...
р(Р)= hm др = -^--1)
ду-*о
Этот предел определяет р как функцию непрерывную и дифференцируемую в области, занятой телом.
Полная масса тела определяется формулой
М = J р dV.(2)
v
Если плотность постоянна в каждой точке тела, то М = рР. Твердое тело, характеризующееся постоянной плотностью, называется однородным телом.
В настоящей монографии мы будем заниматься исключительно упругими телами. Под этим мы будем понимать такое идеализированное твердое тело, которое после снятия внешних воздействий возвращается к своему первоначальному положению и форме. При этом мы предполагаем, что существует только одно состояние, характеризующееся отсутствием внутренних сил и деформаций, к которому возвращается тело после снятия внешних воздействий. Это состояние называется естественным состоянием тела.
Главным предметом нашего изучения будет линейная теория упругости. В этой теории предполагается, что деформации тела
являются достаточно малыми, а феноменологические соотношения, связывающие деформированное и напряженное состояния тела, являются линейными.
Деформация тела. Вектор перемещения
Рассмотрим упругое тело, которое в некоторый момент времени t = t0 занимало в евклидовом пространстве область В и находилось в естественном состоянии.
Положение каждой точки этой области определяет радиус- вектор г = (xi, х2, х3) в декартовой системе координат хь х2, х3. Вследствие приложенных к телу внешних воздействий (нагрузка, нагревание и т. п.) оно в некоторый момент времени t займет
в евклидовом пространстве область В'. Точка Р области В переместится в точку Р' области В'. Положение точки Р' описывается в той же самой системе координат хь х2, х3 радиусом-вектором г' = (£ь £2, £3). Во время перемещения материальных точек тело, вообще говоря, изменяет свою форму и объем (рис. 1.1). Соответствие между положением Р(хьх2, х3) материальной точки в момент t = t0 и положением Р' (^, g2, f3) той же материальной точки в момент t должно быть взаимно однозначным и гомеоморфным. Это вытекает из предположения о непрерывности материальной среды. Соответствие между точками Р и Р' описывается соотношениями
(1)(1)^/ — ^/ C^i> х2, х3, /), I — 1,2, 3.
(1)
(1)
Предположим, что функции ^ принадлежат классу С1 (т. е. непрерывны и имеют непрерывные первые производные) и что преобразование (1) является неособенным. Тогда якобиан
(2)(2)D = det >dXj
(2)
(2)
должен быть отличным от нуля, что позволяет получить соотношения, обратные к (1):
х^х^ЛаЛ^ / = 1,2,3. (3)
Из соотношений (1) — (3) можно извлечь несколько следствий. Материальные точки, лежавшие до деформации на кривой или поверхности, переходят после деформации в точки, лежащие на некоторой кривой или поверхности. Материальные точки, лежавшие до деформации внутри замкнутой поверхности, после деформации также лежат внутри некоторой замкнутой поверхности. Материальные элементы, составлявшие до деформации границу тела, образуют ее и после деформации. Из рис. 1.1 видно, что
РР' = г' — r = u. (4) Вектор и назовем перемещением точки Р, вызванным деформацией тела. Соотношение (4) можно записать также в виде
щ = ^-хь /=1,2,3. (5) Отсюда
^l = Xi + Щ (Хр х2, х3, /). (6) Формула (6) выражает зависимость (в каждый момент /) между параметрами хь х2, х3 и ^i, £2, ^з- Каждой точке до деформации соответствует только одна точка после деформации.
Формулы (6) можно также рассматривать как преобразование координат. Параметры Хг, введенные как декартовы координаты до деформации, можно использовать как криволинейные координаты для описания положения точек после деформации.
Предположим, что х,=х^, х2 = х® имеют постоянные значения. В этом случае система уравнений (6) будет определять кривую, на которой лежат точки Р', до деформации лежавшие на прямой, параллельной оси х3. Вообще мы утверждаем, что координатные линии xt, х2, х3 в деформированной среде являются линиями, на которых находятся точки, лежавшие до деформации на прямых, параллельных осям декартовой системы координат.
Представленное здесь описание поля перемещений связано с именем Лагранжа. Для описания деформации тела мы будем пользоваться координатами х, материальной частицы (точки) тела (в момент / = /0) как независимыми переменными.
Поле перемещений иДхр х2, х3,/) в момент / выражаем через положение (хьх2, х3), занимаемое частицей в момент / = /0. Наряду с описанием Лагранжа применяется другой способ, в котором в качестве независимых переменных принимаются координаты ^, относящиеся к положению материальной точки в момент t. Это описание, связанное с именем Эйлера, имеет вид
х^—Щ^Л^ ёз, t\ /=1,2,3. (7)
Если в эти соотношения мы подставим ^ = 5?» g2 = g°, то получим из системы (7) систему трех уравнений, описывающую кривую, на которой до деформации лежали точки Р, оказавшиеся после деформации на прямой, параллельной оси х3.
Рассмотрим для примера двумерное движение
Е, =х, ch / + х2 sh /,
^2 = х, sh / + х2 ch /.х '
Перемещение иа (а = 1,2) можно выразить либо в координатах ха, либо в координатах £а. Подставляя выражения (8) в уравнения
ua = L —^а> « = 1-2,(9)
получим вектор перемещения в координатах Лагранжа
M1=x1(ch/ — 1) + х2 sh/,ы2 = Х[ sh / + x2(ch /—1).
Если разрешить уравнения (8) относительно хь х2 и подставить в (9), получим тот же самый вектор перемещения в координатах Эйлера
«i = ^i(l — ch/) + g2sh/,
«2 = ^sh/ + ^(l-ch/).
Тензор деформаций
Рассмотрим две бесконечно близкие точки недеформирован- ного тела: точку Р с декартовыми координатами xf и точку Q с координатами хг- + dxt. В результате деформации точка Р перейдет в положение Р' с координатами х,- + и, = ^, а точка Q переместится в точку Q' с координатами х, + dxt + щ + duv Здесь и — вектор перемещения, т. е. вектор с началом в точке Р и концом в точке Р'.
Квадрат расстояния между точками Р и Q равен
| PQ Р = ds* = dx^ + dx2 + dx] = dxt dx{.(1)
Квадрат расстояния между этими точками после деформации выражается формулой
\P7Q4 = ds2 = d^ + d^ + d^ = d^tdb-(2)
Примем описание деформации тела по Лагранжу, вводя в качестве независимых переменных координаты х^ материальной точки
до деформации. Так как
It = It (Хр х2, х3, /), / = const, то ’)
d^ = ^dxi-(3)
Отсюда, согласно формуле (2), имеем
ds2 = d^ d^ = ^-^ Ах, dxk.(4)
Образуя разность квадратов расстояний, находим, что
ds2 — ds^ = ^ ^- — dM) dx, dxk = 2е/6 dx, dxk.(5)
Величины
^м-^^-6-<6)
описывают деформацию тела в первоначальных координатах. Здесь 6,а — символ Кронекера, определенный следующим образом:
( 1 для / = А,
$/4 — I 0 для / =#= k.
Используя соотношение
WZ 6/^1
и подставляя в (5)и подставляя в (5)dlt dXjdlt dXjди( дх jди( дх j
и подставляя в (5)
и подставляя в (5)
dlt dXj
dlt dXj
ди( дх j
ди( дх j
выразим величины e№ через производные вектора перемещения:
(7)(7)1 / duj дикdut диД
(7)
(7)
е!к 2dXgdXj дх^Д
Формула (5) описывает изменение длины линейного элемента ds0 после деформации. Величины^ характеризуют это изменение; назовем их составляющими деформированного состояния. Величины 6jh образуют тензор второго ранга, что вытекает
*) Здесь мы используем соглашение о суммировании. Формула (3) означает, что
=4%гdx*+^kdx2+^dx3> 1=2’3t
из их определения (5) и закона преобразования при переходе к другой системе координат.
Исследуем, как преобразуются е^ при переходе к другой системе координат. Обозначим через е^ составляющие деформированного состояния в прямоугольной системе xz. Предположим, что система x'i повернута относительно системы х,, но обе системы координат имеют одно и то же начало. Оси системы координат xi составляют с осями системы х, углы, направляющие косинусы которых представлены в следующей таблице:
Х\
Х2
хэ
а11
«12
“13
*2
а21
«22
а23
ХЗ
«31
«32
азз
Между координатами Xi и х\ точки Р имеют место следующие зависимости:
х^а^.х^ xz = a/zx;,
_ дх\ _ дх,(g)
11 дх. дх^
Направляющие косинусы удовлетворяют условиям ортогональности
az/a6j =5i6, a/zavt = di6.(9)
Для определения соотношений, связывающих составляющие е^ и вар, используем факт независимости величины ds-— ds^ от выбора системы координат:
ds- — ds^ = Че^ dx( dxk = 2^ dx'a dx^.(10)
Так как по формулам (8)
dXj = dxao.ap dxk = dx^a^k)
то, подставляя написанные выше выражения в (10), получим следующие формулы преобразования:
еа₽ = “а/^А^/А"(11)
Справедливы также и обратные соотношения
6йр = “/(Лр^/А1(12)
Величины еа^ зависящие от декартовых координат х,, преобразуются при переходе к другой декартовой системе координат по правилу преобразования тензоров второго ранга. Поэтому величины е^ образуют тензор деформаций, причем этот тензор симметричен:
ejk — ekp(13)
что вытекает из его определения формулой (6).
Тензор е)к, заданный формулой (6), был введен Грином и Сен-Венаном. Назовем его тензором деформаций Грина. Выполняя свертывание тензора еау, имеем из формулы (12)
ваа == Pkk>
откуда видно, что сумма диагональных элементов тензора деформаций является инвариантом.
Изменение длины и направления линейного элемента
Составляющим е^ тензора деформаций можно приписать некоторый механический смысл. Введем понятие относительного удлинения (или сокращения) линейного элемента ds0 = PQ:
XP'Q' \ — \PQ\ _ ds — ds0 _ лds"„| PQ |0
Если Xpq — величина положительная, то мы имеем дело с относительным удлинением, если отрицательная — то с относительным сокращением линейного элемента.
Обозначим через vt направляющие косинусы линейного элемента;
Подставляя полученные выше величины в выражение ds2 — ds^ = 2eik dx; dxb
приходим к уравнению
^PQ^l "Ь "2^PQ^ = £/<:v7v<:-(3)
Предположим, что линейный элемент ds0 лежал до деформации на прямой, параллельной оси Xv Тогда ds0 = dxx, Vj = 6ij. Из формулы (3) получим
^-н(1 + 2"^н) = ец> ^п = К1 + 2ец — 1,(4)
Из формулы (4) видно, что относительное удлинение линейного элемента dsQ = dxx зависит от составляющей вц тензора деформаций. Располагая линейный элемент ds0 сначала на прямой, параллельной оси х2, а затем на прямой, параллельной оси х3, получим
^22 = 1^ 1 + 2е22 — 1, Л 33 = V 1 + 2е33 1.
Вектор ds0, переходя в результате деформации в новое положение ds, изменяет свои направляющие косинусы. Обозначим направляющие косинусы вектора ds через w (t = I, 2, 3). Принимая во внимание, что
dx-tполучимdx-tполучимV,V,d^t ds ’d^t ds ’(ди, \~д^ + ^ц j dXj(ди, \~д^ + ^ц j dXjdXj / ди{V< ds \ dXjdXj / ди{V< ds \ dXjV dsQ / dut \И/ ds \ dx, +^<//V/'V dsQ / dut \И/ ds \ dx, +^<//V/'
dx-t
получим
dx-t
получим
V,
V,
d^t ds ’
d^t ds ’
(ди, \
~д^ + ^ц j dXj
(ди, \
~д^ + ^ц j dXj
dXj / ди{
V< ds \ dXj
dXj / ди{
V< ds \ dXj
V dsQ / dut \
И/ ds \ dx, +^<//V/'
V dsQ / dut \
И/ ds \ dx, +^<//V/'
Учитывая определение (1), окончательно получим
(5)(5)V, / ди, \
(5)
(5)
V* =- б -4-
Если элемент dso находился до деформации на прямой, параллельной оси хь то Vj = бц. Согласно формуле (5), единичный вектор, касательный к элементу ds, полученному из элемента dslt, может быть записан в виде
vv1О , дих ди2 диэ
v
v
1 + Xi 1 \ дхх ’ дхх ’ дхх /'
Если в точке Р известны производные перемещения ди^дхх и величины Vp то система уравнений (5) может быть разрешена относительно величин V,. Однако при этом должно выполняться условие однозначной разрешимости, которое требует, чтобы определитель системы
ди,D = б,, + —И 1 дх(
был отличен от нуля. При описании изменения объема в резуль- ди.
тате деформации тела мы покажем, что определитель 5р-+6,-;
в самом деле отличен от нуля.
Рассмотрим линейный элемент PQ=dsx0 в недеформирован- ном состоянии. Его положение определяется координатами
точек Р и Q. Направляющие косинусы этого элемента обозначим )►
через vj. Другой элемент ds1^ = PR, выходящий из точки Р, определяется направляющими косинусами vj1. Угол между линейными элементами ds^ и dsj1 обозначим через ф(1 П). Косинус этого угла выражается по известной формуле
cos Ф(1. п, = vj v”.
Вследствие деформации тела изменяется как длина, так и направление линейных элементов. Обозначая через vj1, v*11 направляющие косинусы линейных элементов, а через ф^ П) угол между ними после деформации, имеем
с°8Фи, и,-W1-
Преобразуем правую часть этого соотношения, используя формулу (5):
V4v*n =
' '0 + м(* + м Vй + dxi/ viA +’
откуда
0 + M0 + W00^, И) = со8ф(1 П| + 2у'^.(6)
Предположим, что элемент dSg лежит на прямой, параллельной оси Xi, а элемент ds^1 на прямой, параллельной оси х2. Тогда
Vj = d1/, 'VV=^2k’ C0S Ф(1, 2) = ^1/^26 =
Лрр=Л11, Лрр=Лг2>
и из формулы (6) получим
* 2е12 2в]9
COS фм „ = ' , --.
"'2)(1+%H)(1+W/(1 +2е„)(1 + 2е22)
Косинус угла ф(* 2) пропорционален компоненте £12 тензора деформаций. Если относительные удлинения Ли, Л22 малы по сравнению с единицей, то изменение угла характеризуется исключительно компонентой ei2.
Итак, шесть составляющих тензора деформаций ejh вполне характеризуют деформацию тела. Зная составляющие е^ в каждой точке тела, можно определить в нем все измененные элементы. ^pQ, Vp ф(1> цр
Приравнивание нулю всех составляющих тензора е№ в каждой точке тела означает, что
^pq = 0, v, = 0, ф(1 П) = 0;
это легко устанавливается из формул (3) — (6),
Выполнение условий
611 = 622 = 633 = е32 = 621 = 613 = 0•
свидетельствует об отсутствии деформации. В таком случае тело может только перемещаться как недеформированное твердое целое.
Из теоретической механики известно, что линейные соотношения
u = u° + rX®, г = (хр х2х3),(7)
описывают движение тела как твердого целого, если величины u°t и го, постоянны. В этих соотношениях и° являются составляющими вектора перемещения, аю, — составляющими вектора вращения. Через г X ® обозначено векторное произведение величин Г И 6». Вычисляя
1 / ди, ■ диь ди, ди,р , _ L _| L L L1к 2 \ dxfe ~ dxj ~ dxj дхк
для вектора и, заданного формулой (7), убеждаемся, что е^= 0.
Рассмотрим две близкие материальные точки, которые до деформации находились одна от другой на расстоянии ds0, а после деформации на расстоянии ds. Связь между соответствующими им векторами выражается формулой
Так как и, = ^— х,, тоТак как и, = ^— х,, то
Так как и, = ^— х,, то
Так как и, = ^— х,, то
или'1 / ди,4i = [6i7или'1 / ди,4i = [6i7du, \"Чгх‘du, \"Чгх‘dXj.dXj.(8)(8)
или
'1 / ди,
4i = [6i7
или
'1 / ди,
4i = [6i7
du, \
"Чгх‘
du, \
"Чгх‘
dXj.
dXj.
(8)
(8)
ди, ди, du,\
—L _1‘
dx( 1 dxt dxj j
1 1 dutdugdut du A
2 dxjdxtdxt dxj )
Эту формулу можно записать короче:.
d^t = ^tl + eti + XnWp где
1 / dutди{dut dut
^И 2 у dxjdxtdx. dxj
Величины ха образуют тензор вращения Лагранжа. Это название связано с тем, что при отсутствии деформации (ei7 = 0) тело может двигаться, совершая вращения. Величины хн описывают
только вращение тела, в то время как влияние смещения (трансляции) тела как твердого целого было снято дифференцированием перемещений.
В случае когда е^ = 0, величину у^ можно трактовать как оператор, который следует применить к элементу dx,, чтобы повернуть его вокруг первоначального положения.
Деформированное состояние в координатах Эйлера
Рассмотрим две бесконечно близкие материальные точки Р и Q недеформированного тела, которые после деформации переместятся в точки Р' и Q'. Квадраты расстояний между точками Р и Q, а также Р' и Q' даются формулами
\PQV- = ds^ = dxidxt, \P7Q'? = ds^- = dlidli. (1)
В качестве независимых переменных возьмем координаты g,- точки Р', применяя описание деформации по Эйлеру. Так как
Xi = Xt ^, g2, g3, /), t = const,
TO
dx.
dx, = g^ d^.(2)
Отсюда
dx, dx,dsQ = dxt dx( = d^ -^— d^. dck.
Разность квадратов расстояний равна „„ /dx, dx, \
dS-dSg =g^ -g^ ) d^ j dif, = 2^ d^j d^k. (3)
Величины
/ dx dx, \
описывают деформацию тела в эйлеровых координатах £,. Здесь т)№ является симметричным тензором второго ранга. Тензор можно выразить через перемещения:
Ut^, ^2, U t) = h-Xi^, ^2, g3. t\
Введенный здесь вектор перемещения иг(|) соответствует вектору u,(x), заданному формулой (5) § 1.2. Составляющие этих векторов связаны зависимостью Ui^= Ui(x). Так как
dxt dxi —к9иЛ
d^j d^h — Гг/ д^ ) Гг6 d^fe / ’ то
1 / d“i , ^69и1 9и1Zкх
^Ь— 2+ д%!dV d^rW
Тензор г^д был введен Коши для малых деформаций и Альманси для конечных деформаций. Подставим в формулу (3) величины
(6)(6)* ds dSg , d^,
(6)
(6)
‘PQ d^ '"dT*
Здесь Xpq является относительным удлинением линейного элемента, a v' — направляющими косинусами элемента ds. Из формул (3) и (6) имеем
1~« » / ds1~« » / dsMs \ ds + ds3 /Ms \ ds + ds3 /(7)(7)
1~« » / ds
1~« » / ds
Ms \ ds + ds3 /
Ms \ ds + ds3 /
(7)
(7)
Для элемента, который после деформации параллелен оси Х], имеем
Х|| —^’("S?Х|| —^’("S?Ms \ ds + ds0 / ’Ms \ ds + ds0 / ’
Х|| —^’("S?
Х|| —^’("S?
Ms \ ds + ds0 / ’
Ms \ ds + ds0 / ’
Для малых деформаций выражение в скобках близко к единице. Тогда т)ц можно интерпретировать как удлинение линейного элемента, который после деформации параллелен оси Х\.
Подобные рассуждения приводят к интерпретации величин т)22 и т)зз. Можно установить механический смысл величин r)jft (/#=&) аналогично тому, как было сделано в §1.4. Достаточно рассмотреть. косинус угла <P(i, п) между двумя линейными элементами, которые после деформации образуют прямой угол.
Рассмотрим окрестность двух материальных точек, первоначально разделенных расстоянием dsQ, а после деформации отстоящих друг от друга на расстоянии ds. Подставим в выражение
dx.
dx,=^d^ (8) соотношение
uL = — хь
Тогда выражение (8) приводится к виду
dx, = (дг/ -
du, '
/du,du, ди, ЗиЛ
d^t .
1 dh d^i d^J
1
/du, du, du, диг\1
или
2
\dli dh 1 d^ di/ll^b
(9)
Здесь
dx, = (Ьч —
Пц—Хц) d^,.
(Ю)
xv 2 ( de, '
du, du, du A dli + d^ dl, /
(11)
является тензором вращения в описании Эйлера, ибо при т),5 = О U, j = 1,2,3) мы имеем dsQ = ds и тело может двигаться как твердое целое. Из сравнения тензора деформаций Альманси г)^ и тензора Грина е^, где
1 ( дикdUjdut ди{
е1к 2 у дхддхкdXj dxk
вытекает, что разница между этими тензорами исчезнет,.если деформации будут достаточно малыми. В этом случае можно в выражениях для T)jh и е^ пренебречь нелинейными членами по сравнению с линейными и затем считать, что
ди, dUj
дхк ~ d^h 1
Производные вектора перемещения по переменным х, и ^ отличаются только на величины высшего порядка малости.
Главные оси тензора деформаций
Каждый симметричный тензор может быть приведен в каждой точке тела к главным осям. В каждой точке тела можно выбрать такие оси, в которых отличными от нуля останутся только диагональные компоненты тензора е^. Обозначая через еь е2, е3 главные значения тензора деформаций, получим из формулы
ds2 — ds2 = 2ejkdxjdxk(1)
следующее выражение:
</82 = (1 + 2е1)^ + (1 +2e2)dx22 + (l + 2e3)dx3.(2)
Обозначая через X, (i = 1, 2, 3) относительное сокращение в направлении оси Xi, получим из формулы (2)
^ = /1 + 2et - 1.(3)
Из выражения (2) мы получили три независимые между собой соотношения (3). Это означает, что деформацию тела можно рассматривать как совокупность трех независимых относительных удлинений в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Длина dxt элемента, лежащего до деформации на главной оси xt, переходит после деформации в величину dxi = У1 + 2et dxb а относительное удлинение в направлении оси xt принимает значение Кг по формуле (3).
Главные значения et тензора ejh, а также направляющие косинусы главных осей определяются из следующих соображений,
Выберем систему координат х,, не совпадающую с главными осями. В этой системе координат рассмотрим выражение (3) § 1.4:
^pq(1 + у ^pq) = ejk^i^k- (4)
Здесь Xpq — относительное удлинение линейного элемента ds0 = = PQ, a v, — направляющие косинусы этого элемента. Добавим к уравнению (4) соотношение
(5)(5)(6)(6)VjVi = 1.
(5)
(5)
(6)
(6)
Будем искать экстремальные значения функции
F = е/^уМб — evzVb
где е является множителем Лагранжа. Из условий существования экстремума
4^-0, 1-1, 2,3,(7)
получим систему уравнений
(8)(8)кем — Ьцё^ v;=0.
(8)
(8)
Поскольку величины v, не могут, согласно выражению (5), одновременно равняться нулю, определитель системы должен быть равен нулю;
I е#/— dZ/e | = 0. (9)
Решение этого векового уравнения сводится к решению алгебраического уравнения
гдегде63-1^ + 1,6-13 = 0.Л = е11 + е22 + е33>63-1^ + 1,6-13 = 0.Л = е11 + е22 + е33>72 —72 —6ц 512e2i 5226ц 512e2i 522е22 е23^32 в33е22 е23^32 в33е11 е13е31 еззе11 е13е31 еззе11 ^12 е13е11 ^12 е13Аз — е21 е22 е23 •Аз — е21 е22 е23 •(10)(11)(10)(11)ез1 ез2 е33ез1 ез2 е33
где
где
63-1^ + 1,6-13 = 0.
Л = е11 + е22 + е33>
63-1^ + 1,6-13 = 0.
Л = е11 + е22 + е33>
72 —
72 —
6ц 512
e2i 522
6ц 512
e2i 522
е22 е23
^32 в33
е22 е23
^32 в33
е11 е13
е31 езз
е11 е13
е31 езз
е11 ^12 е13
е11 ^12 е13
Аз — е21 е22 е23 •
Аз — е21 е22 е23 •
(10)
(11)
(10)
(11)
ез1 ез2 е33
ез1 ез2 е33
Обозначим через еь е2, е3 три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы 5[ > е2 > е3. В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (10) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат xt. Коэффициенты Ц являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (10) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни
Подставляя е,, е2, е3 поочередно в уравнения (8), получим, пользуясь соотношением (5), три набора направляющих косинусов vt1^ \>'Д v^1. Эти направляющие косинусы определяют три оси, называемые главными осями.
Покажем, что направляющие косинусы v^', соответствующие разным корням е^, относятся ко взаимно перпендикулярным прямым. Если V*/1 связан с корнем еь a v)2)— с корнем е2, то из уравнения (8) имеем
(1)(2)(2)
вц^ =e\Ni, euNj = e2vt.
Умножим первое соотношение на v)21, а второе на v*/1:
(1) (2)(1) (2)(2) (1)(2) (1)
SijVi Vz =eiV; Vi ,e^-v/V/ ' = e2vt Vi .
Левые части этих уравнений идентичны ввиду симметрии тензора е^. Вычитая одно уравнение из другого, имеем
(б! — е2) v^v^^O.
Поскольку ех =й е2, то v'/V21 = О, откуда и следует ортогональность главных осей.
Вернемся к алгебраическому уравнению (10), которое можно представить в эквивалентном виде
(е —е,)(е —е2)(е —е3) = 0,(12)
или
е3 — (е1 + е2 + ₽з) е2 + (е^г + е2е3 + е3е,)е + e,^ = 0. (12а)
Итак, имеем второй набор инвариантов
Л = ех + е2 + е3 = еи,
^2 = е1е2 4~ ^2^3 4" ^3^1 = "2f ^ijk^imnCjm^knt(13)
.1
'3— S|626331 ^ijh^lmn^ il^ jm^hn-
Здесь 6ljh — тензор Леви-Чивиты, т. е. антисимметричный тензор со следующими свойствами. Если два индекса равны, то ei№ = 0. Если ijk является четной перестановкой чисел 1, 2, 3, то еуй = 1. Если ijk является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3, то еуй = = —1. Например,
412€331 = ^2220,
€ 1234з1 ~ 412 = 1 ’€213 ~ € 132 = €321 =1 •
Правые части соотношений (13), выраженные через составляющие тензора ejh, соответствуют соотношениям (П).
Изменение объема тела
Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами, параллельными осям xt прямоугольной системы координат. Проекции его ребер на оси координат х, выражаются формулами
на
ось
\dxt )1
-^-dx дх2
ди, .
~d^dX3’
на
ось
х2:
dxt 1
(1 | ди2 ' \1 дх2 ,
^dx2.
дх3
(О
на
ось
х3:
дх2 QX1’
Л । ди3' \1 дх3 ,
^dx3.
Применяя известную из аналитической геометрии формулу, по которой объем параллелепипеда выражается через его ребра,
получимАР* = ДАР, АР = dX; dx2 dx3.получимАР* = ДАР, АР = dX; dx2 dx3.гдегдеD= dvD= dvdut дХ]dut дХ]= 1 + А0 ^= О= 1 + А0 ^= О(2)(3)(2)(3)
получим
АР* = ДАР, АР = dX; dx2 dx3.
получим
АР* = ДАР, АР = dX; dx2 dx3.
где
где
D= dv
D= dv
dut дХ]
dut дХ]
= 1 + А0 ^= О
= 1 + А0 ^= О
(2)
(3)
(2)
(3)
И
AO=AK1^ = D_LЛИ
Рассмотрим квадрат определителя D:
Д2 = (1 + А0)2 = |^ + ^-|2-(4)
выразитьвыразить(5)(5)После простых преобразований величину Д2 удается через компоненты тензора деформаций е^:
выразить
выразить
(5)
(5)
^ =1 6ц + 2etj |.
Вычисляя последний определитель, получим
Д2=1+271+4/2 + 8/3,
где /г — инварианты, определяемые формулами (11) из § 1.6. Выражая инварианты It через главные значения тензора деформаций, получим
1У = I + 2 (е, + е2 + е3) + 4 (е,е2 + е2е3 + е3е,) + 8ete2e3 =
= (1+2е1)(1 + 2е2)(1 + 2е3).
Далее,
(6)(6)А0 = /(1 + 2е^ (1 + 2ег) (1 + 2е3) - 1.
(6)
(6)
Обозначая через Kt (i = I, 2, 3) относительные удлинения вдоль главных осей, где
X; = V" 1 4~ 2в; — 1,
получим из формулы (6)
A° = (1+M(1+M(1+M~L(7)
Окончательно изменение объема параллелепипеда характеризуется формулой
^Р = £>=1+до = (1+Х])(1 + М(1+А,з).(8)
Относительное изменение объема получим из формулы
^^ = D- 1 = А0 = (1 + М (1 + Х2) (1 + М - 1.
Эту величину назовем дилатацией. Если относительные удлинения малы по сравнению с единицей, то дилатация является суммой главных удлинений:
Бесконечно малая деформация
Упругие тела, все размеры которых соизмеримы между собой, работают, как правило, в области малых деформаций. Исключением является мягкая резина, а также некоторые полимеры. Поэтому классическая теория упругости основывается на предположении, что деформации настолько малы, что их можно трактовать как бесконечно малые. Это предположение считают справедливым и при проектировании конструкций, в которых один из размеров значительно меньше остальных. В инженерных конструкциях и машинах делают ограничения не только на деформации, но и на прогибы, считая их очень малыми.
В настоящей монографии мы ограничимся изучением малых деформаций. Будем заниматься линейной теорией упругости.
Будем предполагать, что составляющие вектора перемещения малы по сравнению с каждым размером деформируемого тела, а первые производные перемещений по координатам малы по сравнению с единицей. Произведениями и квадратами первых производных перемещений будем пренебрегать по сравнению с первыми производными.
Используя высказанные выше предположения, характерные для линейной теории упругости, опустим в выражении
/ ди, дик , ди, ди, \
еР =Т\ <5*7 "^ дх, "*~ дх} dx6"j(О
нелинейный член. Принимая для тензора малых деформаций обозначение е^, получим
Ь Л =1,2, 3,(2)Ь Л =1,2, 3,(2)1 / duj ди^ ®^ = 7 I дх. ■*" дх, откуда
Ь Л =1,2, 3,(2)
Ь Л =1,2, 3,(2)
„ dui ди2 ди3
. dxt ’22 дх2 '33 дх3 ’
1 ( дщ।ди2 1_ ( ди2। ди3 \ 1 ( ди3 , dut \ 6,22 \ дх2*дх! ) ’®232 \ дх3 дх2 / '®31 ' 2 \ dxi дх3 / "
В § 1.4 мы рассматривали выражение
Apq(i + 2"^pq) = ejkViVk,(3)
описывающее относительное удлинение Xpq = (ds — ds^/ds^ линейного элемента ds0. Относительное удлинение элемента dso, который перед деформацией лежал на прямой, параллельной оси Xi, мы подсчитывали по формуле
^ = /1 + 2^ -1.(4)
В случае 'малых деформаций заменим Рп на ец. А так как ец является малой величиной по сравнению с единицей, то первый член в правой части уравнения (4) можно разложить в ряд Тейлора. Сохраняя только линейные члены,получим
Хи « еи.
Аналогично Х2г « е22, Хзз ~ е3з. Диагональные компоненты тензора деформаций ец совпадают с относительными удлинениями линейного элемента.
Рассмотрим теперь соотношение (6) § 1.4:
(1 + М0 +Wcos<p*i n) = cos<p(Ii U) + 2eMv‘vV. (5)
Для малых деформаций можно пренебречь членами XPQ и Xpr по сравнению с единицей. Заменяя, далее, е^ на е# в уравнении (5), получим
cosV(*Ln) = cosV(I| U) + 2e/ftv'v”.(6)
Допустим, что направление I совпадает с осью хь направление П — с осью х2. Тогда фц, 2> = л/2, а ф* 2) является углом между элементами P'Q' и P'R' (рис. 1.2) после деформации. Из
формулы (6) имеем
cos <р*1, 2) = sin ^—фи. 2>) = 2е12.(7)
Так как -^—ф*1,2)— малый угол, то его синус можно заменить углом в радианах, а именно
"2ф(*1, 2) = 0(1, 2) = 2в12.
Величину е12 можно трактовать как половину угла скашивания Р(1, 2) "2ф(1, 2) .
В § 1.6 были указаны главные значения тензора деформаций и инварианты деформированного состояния. Во всех встречавшихся там уравнениях в случае малых деформаций следует заменить вц на e,j.
В § 1.7 мы обсуждали изменение объема тела при деформировании. Для малых деформаций дилатация тела принимает вид
ду= еи + е22 + е33,(8) или
АГ* _ АТ диь
= divu. АТ дхк
Дилатация равна дивергенции вектора перемещения.
Разложение вектора перемещения
Покажем, что общее перемещение деформируемого тела удается в достаточно малой окрестности каждой его точки выразить через смещение и поворот тела как твердого целого и через удлинение (либо сокращение) в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Доказательство этой теоремы, данное Гельмгольцем1), мы приводим ниже.
Представим себе достаточно малую окрестность (объема АГ) начала координат О и лежащую в этой окрестности точку Р с координатами х,. В результате деформации тела точка Р переходит в точку Р' с координатами ^, а начало координат О в точку О' с координатами |9 (рис. 1.3).
Разложим функцию ^ = £,(Xi, х2, х3) в ряд Тейлора в рассматриваемой области, содержащей точку Р';
\/ / и\и
’) Helmholtz Н„ Uber Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen, Crelles L, 55, № 25 (1858),
Ограничиваясь малой окрестностью начала координат О, допустим, что х, являются бесконечно малыми при конечных значениях величин ^, (д^/дх,-^В выражении (1) можно исключить члены высших порядков малости, так что останется
(2)
\ /о
В бесконечно малой трехмерной окрестности точки Р' ее координаты g, являются линейными функциями переменных х,. Соответствие между множествами (^) и (х;), определяемое фор-
РИС. 1.3.
мулой (2), называется аффинным преобразованием, В случае малых деформаций, которые мы рассматриваем, величины g® и (dgz/dx/)0 являются также очень малыми. Заметим, что величины g? выражают для всех точек рассматриваемой области (объема АУ) одинаковое параллельное смещение —трансляцию. В дальнейшем мы будем рассматривать выражение
/\
^=^+^+Ьг ХР(3)
которое получим из формулы (2), принимая во внимание соотношение
ut = li — xt.(4)
Уравнению (3) можно еще придать вид
„/ ди, \
“? = ^.(5)
Из рисунка 1.3 видно, что вектор перемещения и можно составить из трех частей: из перемещения и0, перемещения и, связанного с поворотом, и перемещения и, связанного с чистой деформацией. Имеем, далее,
2/ ди.\
“< + Ut =X]..(6)
\ /о
Характерной чертой перемещения и, связанного с поворотом тела как твердого целого, является неизменность длины вектора ОР = А при деформировании тела. Квадрат длины вектора А выражается формулой
А2 = | A ¥ = AtAt.
Подставляя в эту формулу квадрат длины вектора А' = А + 6А, пренебрегая квадратичными членами в 6А по сравнению с линейными, получим
ASA = AZ6AZ.(7)
Выразим соотношение (3) через составляющие вектора А. Так как
Ai = Xi, Ai = Ai 4- SA, = ^ — TO
Ai + 6Аг = A( 4* atjAj, =(8)
\/0
Отсюда вытекает, что
SA; ^= a^Ap
Уравнение (7) принимает вид
ASA ^ Q-ijА(А}.(9)
Распишем правую часть этого уравнения:
ASA = А^ап 4* А2О22 4" ^АзОзз 4- A, Av (012 4* 021) 4
4* А2А3 (а2з 4* °зг) 4* А^ (а13 4* а31).(10)
Поскольку при повороте тела как твердого целого приращение 6А вектора А = ОР должно равняться нулю, то для At =# 0 получим из формулы (10) следующие зависимости:
аИ = — ап-(Н)
Таким образом, 111 / ^ui ^U, \МАХ
Ui=-^аX] = ад. (12)
Здесь мы ввели кососимметричный тензор вращения юц. Из сравнения с (6) видно, что остается
U dutдиА
и, =-Чi х, = г1,х1.(13)
‘ 2\dxjdxi)o1
2о
Покажем, что вектор и связан с чистой деформацией тела. Для анализа этого типа деформации воспользуемся тензорной поверхностью
U • Г = f (Xi) = &ЦХ1Х1 = 8цХ? + 822X2 + 833X3 +
4* 2812XiX2 4" 282>х2х3 4" 2е31ХзХ1,(14)
называемой поверхностью чистой деформации. Отнесем эту поверхность к ее главным осям X;. Тогда
f (*<) = «1Х( 4- «^ 4- 8з*з2,(15)
где «г, eg, вз являются главными деформациями, т. е. главными 2 удлинениями в направлении осей х{. Векторную функцию ut можно представить как
(16)(16)21 df (Xj
(16)
(16)
а в главных осях
21
ui= — —a— 8w (не суммировать по 1\
2 oxi
Составляющие u'i являются проекциями вектора и на направления главных осей. Таким образом доказано, что последняя часть перемещения состоит из трех удлинений (либо сокращений) в направлении взаимно перпендикулярных главных осей поверхности деформации.
Суммируя, получаем
О 12 о
U( — Ui 4"4"= “i 4" toijXj 4" ®iiXj =
n 1 / ди,ди,\ \ ( ди,ди,\
2\dXjdxi)0 12 \ дх]dxi /о '
где и° — трансляция, ut — поворот элемента как твердого целого. Величины Ui определяют перемещение, связанное с чистой Деформацией.
Соотношение (17) можно представить в векторном виде
u = u° + ®Xr + u, г = (Xi, х2, х3),(18)
где о — вектор с компонентами
<01 ” — <о2з = tt>3j=-g- (5jU3 — d3u2),
СО2 @ — со31 = <о13 = у (d3tti — д^з),(19)
<0з = — <012 = «*21 = "2" (^ 1М2^2W1)
(здесь dtsd!dxi\
Однородная деформация
Вернемся к рассмотренному в предыдущем параграфе соот* ношению
о - Г ( ди, \"
£< = £< +/ х1-(I)
\ /oj
Если величины ^”, (duz/dX;)0 не зависят от выбора начала системы координат Х{ при неизменных направлениях этих осей, то соотношения (1) справедливы для всего пространства. В таком случае мы имеем дело с линейным перемещением и однородной деформацией. Если определитель системы (1) отличен от нуля, то эти уравнения можно разрешить относительно координат первоначального состояния:
Xi = а? + bife, i, /= 1, 2, 3.(2)
Из уравнений (1) и (2) можно вывести несколько интересных следствий, касающихся однородной деформации.
Точки, лежащие до деформации на плоскости
до + дА = О, /=1,2,3,(3)
после деформации также лежат на некоторой плоскости. Это вытекает из подстановки формулы (2) в (3), что приводит к уравнению плоскости
В& + Во = О, /=1,2,3.(4)
Прямые, как пересечение двух плоскостей, переходят при деформации также в прямые.
Параллельные плоскости переходят в параллельные плоскости, ибо каждая не бесконечно удаленная точка переходит в не бесконечно удаленную точку, а деформация является взаимно однозначным преобразованием. Параллельные прямые переходят в параллельные прямые, параллелограммы в параллелограммы.'
Если точки перед деформацией лежат на поверхности второго порядка
До + AijXiXj = 0,(5)
то после деформации они также будут находиться на поверхности второго порядка. Это вытекает из подстановки формулы (2) в (5), что приводит к уравнению
До + Bij^j = 0.(6)
Эллипсоид преобразуется в эллипсоид и не может преобразоваться в одно- либо двуполостный гиперболоид. Это вытекает из того, что перемещения и деформации должны быть конечными, ибо бесконечные перемещения и деформации не имеют физического смысла.
Рассмотрим сложение линейных перемещений и деформаций (не обязательно однородных) Представим связь между координатами xt и & в виде
5* — (^о + йц^ tp ац — Га^-) •(7)
\ и 1 /0
Здесь в целях исключения трансляции система координат смещена на величину g® из соотношения (1).
Сообщим сплошной среде перемещение, определяемое значениями a'tj< Для перемещения I получим тогда соотношение
& = (6ц + aij)xj.(8)
Совершим теперь перемещение II, характеризуемое зависимостями
(9)
Подставляя формулу (8) в (9), получим
^t = ^ц + a-'i^j ^!к + а/й) хк = (б,6 + а^ + а'^ + а; ^"^ хк. (10)
Совершая составную деформацию в обратном порядке, получим
£" — (6z й + аи + a'ik + аца'^ хк.(11)
Перемещения I и II можно реализовать одним перемещением
^i — (бы + «м) х^.(12)
Из сравнения выражений (10) и (12) имеем
°1к = a'ik "Ь аи + аца"к.0 $)
Для малых деформаций можно исключить члены а',,а" и а7,а',ь так что
«ft=°n-Vak (14)
Только в этом случае очередность составляющих деформаций не влияет на результирующую. Вообще же можно сказать, что очень малые линейные перемещения и вызванные ими деформации перестановочны. Из этого свойства вытекает, что перемещение можно разложить на поворот и чистую деформацию.
Закон суперпозиции, определенный формулой (14), справедлив в рамках теории бесконечно малых деформаций для произвольных, не обязательно однородных, деформаций.
Уравнения совместности
ди, D= 6Z/ +^- 1 дх,ди, D= 6Z/ +^- 1 дх,Тензор деформаций е,, определяет деформированное состояние в каждой точке х, тела. До сих пор мы требовали (§ 1.2 и 1.7), чтобы составляющие uj удовлетворяли условию
ди, D= 6Z/ +^- 1 дх,
ди, D= 6Z/ +^- 1 дх,
¥=0, (1)
а перемещения и, были класса С1.
Возникает вопрос: могут ли функции stj быть выбраны произвольно, если выполняются условия (1)? -
На этот вопрос следует ответить отрицательно, и вот почему. Для вычисления составляющих вектора перемещения ц мы пользуемся соотношениями
/ dut dUj \8</ 2 \ дх] dxt / '
В нашем распоряжении имеется шесть уравнений (2), из которых нужно найти три составляющие вектора и. Совершенно очевидно, что из уравнений (2) мы не получим однозначного определения Uj для произвольно выбранных функций е^-. Следует ожидать, что функции е^- обязаны удовлетворять дополнительным условиям.
В общем случае деформации изменяются по координатам и времени. Поэтому различные элементы тела деформируются по-разному. Если бы эти деформации происходили независимо, то продеформированные элементы объема не могли бы прилегать друг к другу и образовывать после деформации сплошную среду.
Дополнительные ограничения, так называемые условия сплошности или совместности, наложенные на деформации, были сформулированы Сен-Венаном.
Рассмотрим односвязную область В, в которой деформации являются непрерывными функциями вместе со своими первыми и вторыми производными. Поэтому перемещения должны быть непрерывными функциями класса С3. Обозначим через и^х^), /,/=1,2,3, перемещения, а через юОДх?)— вращения в точке Р°(х°) области В. Предположим, что и® и со^ известны. Определим перемещения «Дх'О в точке Р'(х;)> также принадлежащей области В. Для однозначного определения перемещений применим способ, предложенный Чезаро ').
Выразим перемещение U/(x<) с помощью следующего интеграла:
р'р' ди
“/(4) = “/(4) + J dui = uo^-v f S;dXk. (3)рере
Разобьем выражение Uj, д на две части
ди, 1 ,х 1
~a^ = ^Vui, к + ик, 1) + 2"(ы/, к — ик, ^ = е1кА- tolk.
Тогда
Р/р/
и1 (4) = и° (4) + / 6ikdxk-V J tojkdXk. (4)
Интегрирование по частям последнего интеграла дает р'
и1 (4) = “/ (4) + (4 ~ 4) ®% + J [e/z + (х'к - *й) ®}к, z] dxt. (5)ро
Принимая во внимание легко проверяемое тождество
®/й, z = 8z/, к — Bkl, I,
получим из формулы (5)
р'
u/(4)“w/(4) + (4-4)£0m+ f Ulrdxr, (6) ро
где
^ir = 8/г + кхк — Хк) (8г/, к 6kr, j) — 6jr + ejkieism (Хк ~ Хк) 6rs, m- (?)
Перемещение иДх^ будет однозначным, если интеграл в уравнении (6) не будет зависеть от пути интегрирования. Интегрирование можно вести по разным путям. Выберем в качестве пути интегрирования замкнутую кривую с, идущую от точки Р° к точке Р' и возвращающуюся изР' в Р°. Если тело занимает односвязную область, то кривую с можно трактовать как границу поверхности 2, расположенной внутри тела. К интегралу в уравнении (6) можно применить теорему Стокса
J U]r dxr = J ^pnrUjr, п^р 52,(8)
сS
где пр — составляющая нормали к поверхности 2. Так как криволинейный интеграл по контуру с, согласно постулированной однозначности перемещений, равен нулю, то из формулы (8) вытекает, что в рассматриваемом объеме должны выполняться условия
tpnrUjr, п = 0-(9)
Выполняя записанную уравнением (9) операцию, имеем
€рпг[8]Г, п — 6[ni€tsm6rs> m 4* e/fcZ£Zsm (Xft Xft) 8rs, mn] = 0.(9а)
Принимая во внимание тождество
fc]nlfclsm = kjs&nfn ^jm^ns»
выражение (9а) можно записать в виде
^рпг [8/г, п — (Sr/, п — ®гп, /)] 4" 6/М (Хй Xft) ^pnr^Zsm8rs, mn = 0.(10)
Первый член тождественно равен нулю. Достаточным условием равенства нулю второго члена для каждого (х^—х^) является
^pnr^lsm^rs, mn = 0.(11)
В этом уравнении имеются только два свободных индекса: р и I. Ввиду симметричности тензора деформаций в системе (11) имеется только шесть независимых уравнений. Эти уравнения называются условиями совместности.
Расписывая уравнения (11), получим следующие зависимости:
528ц 4" 51822 = 2д1дг812,
<Э18зз 4" 5звц = 2д1дз81з,.
5г8зз 4* 51822 = 2дг5зе2з,. .
525з8ц = д[ ( 5^23 4* 53812 4* 52813), -5i53822 = д2 (— д2е31 4* 53е21 4* 5^),
5152833 = 53 (— д3е12 4- d^g^ 4" 52831),.
гдегдел 8 di=——,ох,л 8 di=——,ох,д2_ 83 di=T"2 дх.д2_ 83 di=T"2 дх.
где
где
л 8 di=——,
ох,
л 8 di=——,
ох,
д2_ 83 di=T"2 дх.
д2_ 83 di=T"2 дх.
Легко проверить, подставляя г1; = у (ut, ( + иь z) в (12), что эти уравнения будут удовлетворяться тождественно. Подчеркнем еще раз, что наше рассмотрение годится только для односвязного тела.
Случай многосвязного тела будет рассмотрен в гл. 8.
Глава 2НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Внешние воздействия. Внутренние силы.Напряженное состояние
В недеформированном теле распределение частиц соответствует его состоянию теплового равновесия. Каждый мысленно выделенный объем тела находится в состоянии механического равновесия. Главный вектор и главный момент всех сил, действующих на выделенный объем, равны нулю.
Продеформируем теперь рассматриваемое тело, вводя внешние воздействия. К этим воздействиям отнесем прежде всего массовые силы, действующие на элемент объема тела, а также поверхностные силы, действующие на ограничивающую тело поверхность.
Обозначим через XdV массовую силу, которая действует на элементарный объем dV. Здесь X — массовая сила, отнесенная к единице объема; это вектор, точкой приложения которого является произвольная точка элемента dV. Вообще говоря, массовая сила зависит от координат и времени: X^X^J)1), Поверхностную силу, действующую на бесконечно малый элемент dA0 поверхности До, ограничивающей тело (рис. 2.1), определим как qdA0. Здесь q— вектор, являющийся функцией переменных и времени /:
q = q (s, t\
Заметим, что деформацию тела могут вызвать и другие причины, такие, как неравномерное нагревание тела, процессы затвердевания и т. п.
Каждый элемент тела в процессе деформации не только совершает собственное движение как твердое целое, но и подвергается изменению объема и формы. Распределение частиц ме-
*) Все величины, связанные с деформацией тела, будем рассматривать в координатах точки после деформации, т. е. в описании Эйлера.
няется, и в теле возникают внутренние силы, противодействующие деформированию. Эти силы называются напряжениями. Они представляют собой взаимодействия между частицами, силы близкодействия. Радиус их действия очень мал, порядка меж-
молекулярного расстояния.
Теория упругости является макроскопической теорией. Рассматриваемые в ней расстояния велики по сравнению с межмолекулярными. Поэтому можно считать, что радиус действия межмолекулярных сил равен нулю. Следовательно, если мысленно выделить в деформированном теле область V, ограниченную no-
верхностью А (рис. 2.1), то действие внутренних сил находящиеся вне области V, проявляется непосредственно через поверхность А. Рассмотрим поверхностный элемент dA, касающийся поверхности А в точке |еД. Обозначим через п нормаль к поверхности А в этой точке. На рассматриваемый элемент действует сила dP, равнодействующая внутренних сил, распределенных по элементу dA. Величина
р<")= lim ~ = ^(1)
на частицы,на частицы,называется напряжением в точке |. Индекс п означает, что напряжение относится к элементу dA с нормалью п. На поверхности А получим непрерывное поле напряжений р(л), изменяющееся в зависимости от положения точки |е А. Напряжения р<") являются результатом действия части I упругого тела на часть II (рис, 2,1). Очевидно, что часть II воздействует на часть I упругого тела такими же напряжениями р(л)
на частицы,
на частицы,
противоположного направления.
Вектор р(л) можно разложить на две составляющие: составляющую по направлению нормали и составляющую, лежащую в плоскости элемента dA. Первую из них обозначим через о, вторую через т. Величину нормального напряжения о = |о| определяет формула
a = pWnz, (2) Величина касательного напряжения определяется формулой
т = (|р("> Р-а2)* (3) Будем считать нормальное напряжение положительным, если его направление совпадает с положительным направлением внешней нормали элемента dA,
Напряженным состоянием в точке | назовем систему напряжений, возникающих на всех элементах dA, содержащих точку §. При этом если элемент поверхности меняется так, что лежащая на нем точка | не изменяется, то вектор р изменится, т. е. из
менится его длина, направление в пространстве, а также угол
между ним и вектором нормали п этого элемента.
Введем прямоугольную декартову систему координат 51,5г. Вз и рассмотрим элемент dAy = d^dis, ортогональный к оси 51 (рис. 2.2). Обозначим через р(1) относящееся к этому элементу напряжение, а через оц, 012, <Т1з его составляющие. Напряже
ние он является нормальнымние он является нормальнымнапряжением, параллельным оси Bi, напряжение 012 — касательным напряжением, действующим в плоскости dAx и направленным по оси 5г, напряжение 013— касательным напряжением, действующим в плоскости элемента dA\ и направленным по оси 5з. Условимся, что в обозначениях первый индекс относится к направлению нормали к элементу dAx, а второй — к направлению, в котором действует напряжение. Таким образом, р(1) = (оц, 012, спз) является вектором с тремя состав
ние он является нормальным
ние он является нормальным
ляющими. Вектор р<*> и его три составляющие показаны на рис. 2.2. Рассмотрим теперь элемент dA2 = d5id53, проходящий через точку 5 и направленный ортогонально к оси 5г. На этот элемент действует вектор р<2> с составляющими 021, СГ22, СГ23. Аналогично на элемент dA3 = d^d^ действует напряжение р<3> с составляющими 031, 032, 033.
Покажем, далее, что напряженное состояние в точке 5 характеризуется девятью компонентами, образующими тензор напряжений;
Оц 012 ст13
O21 ^22 ^23 • ст31 ^32 ст33
(4)(4)Рассмотрим равнодействующую сил, действующих на мысленно выделенную область V (рис. 2.1). Обозначим эту силу через
(4)
(4)
(5)(5)Jw.
(5)
(5)
V
Здесь F обозначает силу, отнесенную к единице объема тела. Выражение (5) следует трактовать также как сумму сил, действующих на область V со стороны окружающей ее части тела, что вытекает из принципа равенства действия и противодействия. Из последних уравнений вытекает, что эти силы действуют на выделенную часть V по ограничивающей ее поверхности А. Равнодействующую J FdV следует выразить через ин- v
теграл по поверхности А. Однако [ FtdV (Z = 1, 2, 3) можно выразить через поверхностный интеграл только в том случае, когда вектор Ft является дивергенцией некоторой функции — тензора второго ранга, т. е. когда
да,,F‘=^'
Равнодействующую внутренних сил запишем как
SF‘dV=S^-dV- (?) кv
Воспользовавшись теоремой Гауоеа — Остроградского, приведем формулу (7) к виду
/ FidV = J ^dV = J Gpii/dA = ^afidAp (8) VVAA
Здесь rij — компоненты единичного вектора нормали п к поверхности А, т. е. направляющие косинусы этого вектора. Предположим, что вектор п направлен вовне области V, ограниченной поверхностью А. Через dA, обозначены компоненты вектора элемента поверхности dA.
Заметим еще, что дифференцирование в формуле (6) должно производиться по координатам ^ деформированного тела. То же самое относится к интегрированию в формулах (7) и (8).
Так как Ft являются компонентами вектора, то и подинтегральные выражения в поверхностных интегралах являются компонентами вектора. Запишем это с помощью вектора p<n> следующим образом:
J ofinfdA = J ofidAf = J p^dA.(9)
AAA
Тензор Gj< называется тензором напряжений. Величина o^dAj является i-й компонентой силы, действующей на поверхностный
элемент dA. Из формулы (9) получаем, в силу произвольности выбранной области, основное соотношение.
рТЧ^-о^п,^ ^А.(10)
Вектор р<") по данному выше определению (1) является вектором напряжения, действующим на элемент dA с нормалью п. Если в какой-либо точке | тела известны компоненты напряженного состояния Ojt, то из (10) можно вычислить вектор напряжения ptn). Если в точке | мы будем по-разному направлять элемент dA, то при тех же компонентах оц получим различные значения р^ и различные направления этого вектора.
Выведем соотношение (10) еще раз более наглядным способом, рассматривая деформацию тетраэдра, показанного на рис. 2.3. Через п обозначим нормаль элемента АВС с площадью dA, через ni, п2, п2 — направляющие косинусы нормали п и, наконец, через р(")— разыскиваемый вектор напряжения на элементе АВС. Векторы напряжений
pt1), р<2), р<3), действующие на грани ОС В (с площадью dAi'), О АС (с площадью dA^, ОАВ (с площадью dAa^, считаем известными.
Спроектируем теперь все действующие на тетраэдр силы на ось ^ь Проекция массовой силы равна (Xi + ei)dV, где dV = = -^hdA— объем тетраэдра, h — расстояние элемента dA от точки О. Здесь Х\ — массовая сила, действующая в точке О, а 61 — бесконечно малая величина, появляющаяся ввиду непрерывности массовой силы1). К этой проекции массовых сил следует добавить проекцию силы, действующей на элемент dA. Она имеет величину (pi + r]i)dA, где через рх обозначена проекция вектора р<л> на направление ^, а через -qi — бесконечно малая величина. В отрицательном направлении оси 51 действуют силы (<*11 + 411)^1, (У21 + 421)^2, (О31 + T]31)dA3, Где Оц, 021, <Т31 —
. *) Если бы тело находилось в движении, следовало бы добавить силы Даламбера рй<. Эти силы, умноженные на ^zhdA, не дают при к-►О, так же как и массовые силы, дополнительных членов в уравнении (а).
напряжения в точке О, а т)ц, т]21, т)з1 — бесконечно малые величины, характеризующие возрастание напряжений и возникающие ввиду непрерывности этих напряжений. Сумма проекций сил, действующих на элемент в направлении оси £ь дает
№ + ej -yd А -|- (р] -|- т]]) dA — (<Тц + щ,) dAx —
— (^21 + ЛгО dA2 — (а31 + Т1з1) dA3 = 0.
Выполняя предельный переход й—*0 и используя зависимость dA; = n^dA, получим из последнего уравнения окончательный результат
Pl = °11п1 + °21п2 + °31п3 = Оцпр(а)
Проектируя действующие на тетраэдр силы на ось §2, а затем на ось §3, получим два других аналогичных (а) выражения:
Рг = о^п,, р3 = ОрПр(б)
Формулы (а) и (б) можно записать одной формулой (10).
Вернемся к силам F и вычислим их моменты относительно координатных осей. Момент, действующий на элемент объема, имеет вид ецк^к^У. Мысленно суммируя по выделенному объему V, получим
Mt = ^tjkVhdV, i,bk=X,M.(И)
v
Выражая компоненты Fk через напряжения согласно формуле (6), получим
Mi= J tl?k^jalk, г dV.v
Преобразуя этот интеграл в сумму поверхностного и объемного, приходим к следующему результату:
Mi= J tei/&(6/y/&),z — еМ&Ь i°ih\dV = v
= J 6iji^jGikni dA — J tl?k6?lGikdV = AV
= \ei}kP&}dA ^eljkalkdV, Pk~°iknb °ife,i = ~A^~- (12) av1
Момент Mt можно трактовать как сумму моментов, действующих на область V со стороны окружающей ее среды. Эти моменты действуют на V через поверхность А, Так же как и в случае сил Ft, результирующий момент Mt следует выразить
поверхностным интегралом. Это условие будет выполнено, если объемный интеграл в формуле (12) будет равен нулю:
^ukolkdV = Q.(13)
v
Это уравнение должно выполняться для произвольной области V. Отсюда условие
е1}к°}к = 0(14)
должно выполняться локально, т. е. в каждой точке тела. Умножим уравнение (14) на etrs и воспользуемся тождеством
^Irs^ijk = ^r/^sk ^rk^sp
В результате получим соотношения
Ors = °sr» S, Г=1,2, 3,(15)
на основании которых утверждается, что тензор напряжений является симметричным тензором. Возвращаясь к интегралу (12) и принимая во внимание (13), убеждаемся, что
Mz = J ^ij^,jFk dV = J 4tkPkfei dA.(16)
vA
Установим еще связь тензора напряжений с нагрузками q, заданными на границе тела До- Нагрузка, действующая на элемент dA0, равна qdA0. В состоянии равновесия эта сила должна уравновешиваться силой с компонентами OjiHjdAo, действующей на тот же элемент изнутри области. Поэтому
qt (x) = a/z(x)nz(x), хеД0.(17)
Если на поверхности тела заданы нагрузки q, то уравнения (17) играют роль граничных условий задачи.
Преобразование компонент тензора напряжений
Пусть в одной прямоугольной системе координат х,- тензор напряжений имеет компоненты ац, а в другой системе xY— компоненты oYp. Пусть система координат х( повернута относительно системы xY, но обе системы имеют одно начало. Оси системы xY образуют с осями системы х, углы, косинусы которых обозначим через aYj и будем брать из таблицы, помещенной в § 1.3.
Между координатами xz и xY точки Р существует следующая связь:
xY = aY/x/, xt = ahxr(1)
Направляющие косинусы удовлетворяют следующим условиям ортогональности:
®<y®y/ ^ij> ^i^^i ^^ ^у(2)
Выразим компоненты oYp через ац. Поместим в начале координат поверхностный элемент dX так, чтобы его нормаль п совпадала с осью xY.
Вектор напряжения p<v), действующий на этот элемент, разложим на составляющие р1^. Согласно формуле (10) предыдущего параграфа, имеем
P'^ = ajin^ = aji%-(3)
С другой стороны, проектируя вектор рМ на ось хр, получим напряжения oYp, причем
°^=pYSi-W
Подставляя выражение (3) в (4), получим
a^ = aчjaвla/l==a■tlafcjaИ•* (3)
Легко проверить, что справедливы обратные соотношения
®Ч = aiYaZpCTYp.(6)
Выполняя свертывание тензора oYp, получим
G^^ = a^ia.sgOlg=blgOlg = Ogj,(7)
или
Он + 022 + Озз = Он + 022 + ОЗЗ-
Сумма нормальных напряжений является инвариантом, не зависящим от поворота системы координат.
Поместим в точке Р тела поверхностный элемент dX. Пусть на этот элемент с нормалью п действует вектор напряжения р<”). Поместим в той же точке элемент dX' с нормалью п'. На этот элемент действует вектор напряжения ри\
В системе координат xt, к которой отнесены компоненты ац тензора напряжений и направляющие косинусы нормалей п и п', имеем
р^-п = р^П1 = о/1п'1Прри\. ^^pU^ =Ojtn?n't
В силу симметрии тензора правые части этих уравнений совпадают, Отсюда вытекает соотношение
р(п') . и = р*"* • п\(8)
Проекция вектора р1'1'* на нормаль п равна проекции вектора р<"> на нормаль п'. Из этой формулы можно получить формулу преобразования (5).
Главные нормальные напряжения. Инварианты напряженного состояния
Рассмотрим поверхностный элемент dA в точке Р упругого тела. Через гц обозначим компоненты нормали к dA, через р<") — вектор напряжения, действующий на этот элемент. Нормальное напряжение а — проекция вектора pt”) на направление нормали — выражается формулой
a = p(”f ■ n = pinz = CT/in/ni.(1)
Разыщем такие площадки, содержащие точку Р, на которых нормальное напряжение, действующее на элемент dA, принимает экстремальные значения. Так как направляющие косинусы нормали связаны зависимостью
nznz = l,(2)
то будем искать экстремум функции
F = о — Xnznz(3)
с дополнительным условием (2) (здесь X — множитель Лагранжа). Составляя уравнения
^- = 0, < = 1,2,3,(4)
получим однородную систему уравнений
(,Oji—XdZ/)n^ = 0.(5)
Умножая это уравнение на п( и используя условие (2), получим X = Оцп^, т. е. X = ст.
Далее следует рассмотреть систему уравнений
(ct/z —CTdz/)n; = 0.(6)
Так как, согласно (2), величины Пг не могут одновременно обращаться в нуль, то определитель системы должен быть равен нулю:
|ct/z-ct6z/| = 0.(7)
Решение этого векового уравнения приводит к алгебраическому уравнению
(8)(8)СТ3 — /[СТ2 ф- /2ст — /з = 0,
(8)
(8)
где
Л—СТ11 + °22 + а33, Л =Л—СТ11 + °22 + а33, Л =<711<712+<721О22<7ц012«13O2iа22<723<7з1а32<733<711<712+<721О22<7ц012«13O2iа22<723<7з1а32<733°22 °23°32°33°22 °23°32°33/3—/3—<7.1<731<7.1<731<7l3«33 ’<7l3«33 ’
Л—СТ11 + °22 + а33, Л =
Л—СТ11 + °22 + а33, Л =
<711
<712
+
<721
О22
<7ц
012
«13
O2i
а22
<723
<7з1
а32
<733
<711
<712
+
<721
О22
<7ц
012
«13
O2i
а22
<723
<7з1
а32
<733
°22 °23
°32°33
°22 °23
°32°33
/3—
/3—
<7.1
<731
<7.1
<731
<7l3
«33 ’
<7l3
«33 ’
Обозначим через at (i = 1,2, 3) три корня уравнения (8) и упорядочим их так, чтобы Oi > ог > Оз. Эти корни являются действительными и не зависят от системы координат. Точно так же величины Л являются инвариантами, ибо, будучи элементарными симметрическими функциями корней о, как коэффициенты уравнения (8), они однозначно выражаются через эти корни. Поочередно подставляя щ, ог, оз в уравнения (6), приходим, пользуясь соотношением (2), к трем системам направляющих косинусов п^, п^, п'?1. Эти направляющие косинусы определяют три оси, называемые главными осями напряжений, или три главные площадки.
Точно так же, как в § 1.6, доказывается, что направления п^к1, соответствующие различным корням оь, взаимно ортогональны.
Определим напряжения, действующие на главных площадках. Так как р, = оцп^ то из уравнения (6) вытекает
ОцПд — ont = {оц — б^о) n{ = pi— ant = 0.(9)
Поэтому
Pi = anl.(10)
На каждой главной площадке действует только нормальное напряжение, равное соответствующему главному нормальному на* пряжению О{.
Так как напряжения изменяются в зависимости от точки (а в случае движения еще и от времени), то в каждой точке тела существуют три взаимно ортогональные главные площадки, на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения, а касательные напряжения равны нулю. Напряженное состояние полностью определяется главными напряжениями и ориентацией главных площадок. Вместо шести составляющих тензора ац здесь мы имеем дело с тремя главными напряжениями 01, 02, 0з и тремя единичными нормальными векторами п''\ П&\ п^.
Вернемся к алгебраическому уравнению (8), которое можно представить в эквивалентной форме
(Н)(Н)(о — о,) (о — о2) (о — о3) = О,
(Н)
(Н)
или
ст3 — ст2 (ст, + у2 + у3) — у (у,у2 + У2У3 + У3У1) — У1У2У3 = 0. (12) Отсюда получаем другую запись инвариантов:
Л = У1 + сг2 + Уз, /2 = ст,ст2 + ст2ст3 + ст3ст,, /з = ст,ст2ст3.
Поверхность напряжений
Рассмотрим поверхностный элемент dA с нормалью п. Пусть на этот элемент действует вектор напряжения р. Поместим начало координат в точке Р s d\ поверхностного элемента и рассмотрим нормальное напряжение а
1П(рис. 2.4):
а = р • n = a/in/ni. (1)
■ ЬЛ/'лСвяжем это нормальное напряжение
//п \с квадратичной формой
/)2Й ^ ’ Х2’ хз) = GliX-iXb (2)
/ РIn ( X
//I Пусть г = (хь х2, х3)~ вектор, нормаль-
//ны® к РассматРиваемому поверхност-
I)ному элементу, т. е. направленный по
\/ нормали п. Обозначая через х,- коорди-
Чпаты конца вектора г, получим
РИС. 2.4.И< ~'^
Здесь г = |г| — длина вектора г. Подставляя выражение (3) в (2) и сравнивая с уравнением (1), получим
2Q(xb х2, х3) = стг2.(4)
Так как ни длина вектора г, ни величина напряжения ст не зависят от выбора системы координат, то и функция (4) не должна изменяться при замене координат. Если координаты конца вектора г в системе координат х, обозначить х(, х2, Хз, то в силу инвариантности этого вектора и величины ст имеем
Q (х,, х2, хз) = Q (х,, х2, хз).(5)
Принимая во внимание (2), убеждаемся, что
GjiXjXt~ ^ji^j^V(®)
Свойство инвариантности (5) квадратичной формы Q показывает, что напряжения а^ образуют симметричный тензор второго ранга. Длину вектора г можно считать произвольной. Выберем ее так, чтобы аг2 = ± к2, где к2 — произвольная постоянная, от-
личная от нуля. Знак при &2 выберем в зависимости от знака а. Если напряжения сжимающие, то при А2 берем знак минус.
При таких условиях поверхность, описываемая концом вектора г, задается уравнением
2Q (хь х2, х3) = ± &2,(7)
или
OjjXjXt = ± &2.(8)
Поверхность, задаваемая уравнением (8), является центральной поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Ее называют поверхностью напряжений или поверхностью Коши (квадрикой).
С помощью этой поверхности, построенной в точке Р для заданного тензора ац и постоянной й, можно найти вектор напряжения р.
Из формул (2) и (3) имеем
-^• = aiiXi=aitnir = rp1.(9)
Производные по х, функции Q пропорциональны компонентам вектора р. Из формулы (9) видно, что вектор р параллелен нормали п' в точке Н поверхности напряжений (рис. 2.4). Вектор р ортогонален плоскости, касательной к поверхности Коши в точке Н. Для определения вектора р вычислим нормальное напряжение а = ± &2/г2. Эту величину, отмеренную на прямой РН, спроектируем на прямую PS, перпендикулярную к касательной плоскости поверхности Коши. Вектор г = РН ортогонален касательной плоскости только в том случае, когда нормаль п коллинеарна одной из главных осей поверхности Коши. В этом частном случае векторы р и о совпадают, так что
pt = oni = Qbt!ni.(10)
Поскольку Pi = ацП], уравнения (10) переходят в
(a/z —odz/)n/=0,(11)
т. е. в систему уравнений, с которой мы имели дело в предыдущем параграфе при вычислении главных напряжений.
Предположим, что система координат совпадает с главными осями поверхности Коши. Так как в этом случае ац = 8г Ая, где через а^ Ц = 1,2,3) обозначены главные нормальные напря жения, то из (8) получим
altXjXi = ay)8tjXjXi— ± й2, или
о.х? + о,х£ + о,х? = ± &2.(12)
I 11* *1 О О''
РИС. 2.5.РИС. 2.5.а^ + a2x2 + а3х2 = 0.а^ + a2x2 + а3х2 = 0.(17)(17)
РИС. 2.5.
РИС. 2.5.
а^ + a2x2 + а3х2 = 0.
а^ + a2x2 + а3х2 = 0.
(17)
(17)
Если главные напряжения положительны (растяжение), то уравнение
«т^ + ^ + ^з — ^2(13)
описывает трехосный эллипсоид. Для отрицательных нормальных напряжений (си < 0, ог < 0, о3 < 0) поверхность Коши яв
ляется также эллипсоидом, уравнение которого
0,^2 + а2%2 + а3х^ = — &2.(14)
Если одно из главных напряжений отрицательно (например, си > 0, ог > О, аз < 0), то уравнение поверхности Коши принимает один из двух видов а^ + ^х2 —|о3[х2 = £2(15)
либо
а,х2 + о2х2 —[о3|х2=№ (16)
в зависимости от ориентации поверхностного элемента в точке Р.
Уравнение (15) определяет одно- полостный, (16)—двуполостный ги-
перболоид, разделенные асимптотическим конусом (рис. 2.5)
Если нормаль п к элементу dA в точке Р пересекает однополост- ный гиперболоид, то нормальное напряжение a = А2/г2 положительно. Если конец вектора г находится на поверхности двуполостного гиперболоида, то нормальное напряжение a = —k^r2 является отрицательным. Если же конец вектора г находится на поверхности асимптотического конуса (17), то нормальное напряжение равно нулю.
Экстремальные значения касательных напряжений
Рассмотрим в точке Р тела поверхностный элемент dA. Обозначим через п нормаль к этому элементу, через р — вектор напряжения, действующий на dA.
Разложим вектор напряжения на составляющую в нормальном направлении и касательную составляющую, лежащую в плоскости dA. Величины нормального напряжения а и касательного т выражают формулы
a = ptnt = ailninb (1)
т = (|рр-а2)'/.. (2)
Примем за начало координат точку Р, а координатные оси выберем совпадающими с главными осями напряжений. Предположим, что нормаль п поверхностного элемента не совпадает ни с одной из главных осей. Так как напряженное состояние описывается формулами
ffll=al> а22 = а2>°33 = Оз> О]2 = О2з = O31 = О,
где оь о2, аз — главные напряжения, то
Pi = ffiM1, р1 = а1п1, Рз = Сз^з и
I Р F =+ ФХ + Фу
Из формул (1) и (2) имеем
а = 0^2 + а^ + а,^(3)
т2 + о2 = фХ + ф^ + о^г2.(4)
К этим соотношениям следует добавить зависимость
п? + ^ + п|=1.(5)
Из формул (3) и (4) немедленно следует, что касательные напряжения равны нулю в следующих случаях:
^ = ±1, п2 = п3 = 0; п,=0, п2=±1> ^3 = 0",
/г, = /г2 = О, «з = ± 1;^
это подтверждает предыдущие рассуждения относительно отсутствия касательных напряжений на главных площадках.
Отыщем площадки, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Исключим из уравнений (3) и (4) величины а и Пу Тогда касательное напряжение выразится формулой
т2 = № —^)и? + (^-^)и22 +
+ о2 — }(О| — Стз) Я? + (о2 — Оз) ^2 + Оз]2.(7)
Приравнивая нулю производные по п.\ и пг функции (7), имеем П\ (о2 — О2 — 2 [(oi — Оз) П1 + (02 — оз) пХ + Оз] (oi — оз)} = 0,(8)
«2 (ог — Оз — 2 [(О1 — Оз) пХ + (о2 — о3) п2 + о3] (о2 — Оз)} = 0.(9)
Предположим, что oi > 02 > о3. Тогда уравнение (8) можно сократить на Oi — Оз, а уравнение (9) на 02 — о3. Останется система уравнений
П\ (oi + оз — 2 [(oi — оз) п2 + (о2 — оз) п2 + о3]} =0,«2 (о2 + 03 — 2 [(oi — Оз) П\ + (о2 — О3) пХ + О3] ) = О
и уравнение (5). Указанной системе уравнений удовлетворяют шесть наборов значений п^. три первые соответствуют наборам (6), остальные три имеют вид
(На)(Пб)(Нв)(На)(Пб)(Нв)«1=0,пг=+-^- = па,
(На)
(Пб)
(Нв)
(На)
(Пб)
(Нв)
«1 = ±—2~,«2 = 0, «3=±—2~ ,
«1 = ±-2~,«2 =±-"2—, «з = 0.
Для первого набора значений (На) получим из формулы (7)
(12)(13)(12)(13)р!+р|(с2 + сзУ (Сз-азУ
(12)
(13)
(12)
(13)
Ч = —2—)•
Р1 — P2j2Р1 — P2j2Аналогично, взяв значения (116) и (Нв), получим
Р1 — P2j2
Р1 — P2j2
Для определения касательных напряжений следует так подобрать величины Т{, чтобы главные касательные напряжения удовлетворяли условию -
Ti + т2 + т3 = 0. (14)
Это условие вытекает из (ti + тг + т3)2= 0. Оно будет выведено в § 2.6.
Из соотношений (12), (13) и (14) получим
Р2 — СТ3 _ СТ3 Р1 _ Pl Р2/1
2' Т2 —2' Тз2•(151
Итак, существуют три площадки, наклоненные под углом 45° к главным площадкам, на которых касательные напряжения принимают максимальные значения, данные формулами (15).
Полученные результаты хорошо иллюстрирует придуманная Мором геометрическая интерпретация (рис. 2.6).
Разрешая уравнения (3), (4) и (5) относительно п^ п^, п^, получим следующие зависимости:
9 _ т2 + (р — р2) (р — Pg)
1(Р1 — Р2) (Р1 — Рз) ’
2 Т2 + (Р —Р8)(Р —Р1)
= (р2 — Рз) (Р2 — Р1) ’
2 _ Т2 + (Р —Р1)(Р—Р2)
(р» —Р1)(Рз—Р8) *
Из этих соотношений при си > о2 > <Тз вытекают следующие неравенства:
т2 + (а — с2) (с — а3) > О,(17а)
т2 + (о —оз)(о —О1Х0,(176)
т2 + (о — о,) (о — о2)>0.(17в)
В плоскости от неравенство (17а) определяет внешность окружности Ai с центром на оси о. Эта окружность пересекает ось о в точках о2 и оз- Неравенство (17в) определяет внешность окружности ^з с центром на оси о; эта окружность пересекает ось о в точках Oi и о2. Наконец, неравенство (176) представляет внутренность окружности ^2, которая пересекает ось а в точках си
и а3. Поскольку требуется одновременное выполнение неравенств (17), то значения касательных т и нормальных а напряжений обязаны лежать в области, заштрихованной на рис. 2.6. Наибольшее касательное напряжение дается ординатой АО':
(18)(18)- gi — стз
(18)
(18)
Lmax —2
Соответствующее этому значению нормальное напряжение а выражает отрезок 00', причем
(19)(19)gl +
(19)
(19)
°-—Г-
Подставляя (18) и (19) в соотношения (16), получим
у 2~
nt = n3 = ±Лд-,«2 = 0.
Разложение тензора напряжений на шаровой тензори девиатор
Представим напряжения а^ в виде
OZ/=tZ/+y<jA/, Со~акк-(1)
В этом выражении т^ является девиатором напряжений, а yo06z/— шаровым тензором. Компоненты этих тензоров записаны ниже в виде матриц
1 yffo
00
1
Оц уао
012
013
а =
0
1а0 0
, т =
О21
1
°623 Оо
О 23
0
0 Тао
О31
а32
1
Оззз" Оо
Напряжение ydj/O0 представляет собой среднее нормальное напряжение, или гидростатическое напряжение. Поверхностью Коши напряжений уа0$о является шар. Каждая проходящая через точку Р ось поверхности Коши, совпадающая с диаметром шара, является главной осью. Произведем свертывание тензора оц в уравнении (1). Получим
Л = тп ~Н т22 + тзз = 0-(2)
Первый инвариант 1\ девиатора %ц равен нулю. Вычислим главные значения тензора rZj, поступая аналогично тому, как это делалось в § 1.6. Главные значения т# подсчитываем из уравнения
I tz/ —dZ/T | = 0.(3)
Из алгебраического уравнения
т3 — /2т — Л = 0(4)
вычислим корни, являющиеся главными касательными напряжениями tz (i = 1,2, 3). В уравнении (4) мы ввели следующие обозначения:
•^2 = ^кк — ^2>
А = Л—у 0/^2 + 2^у Qkkj = /3 + -^Okkh у у Окк) .
Инварианты /2, /3 даются выражениями, аналогичными выражениям (11) § 1.6. Представим уравнение (2) в главных осях:
Тч+т2 +т3 = 0.(5)
Это уравнение означает, что общее напряженное состояние можно составить из всестороннего растяжения и второго напряженного состояния ti, т2, тз, для которого справедливо соотношение (5). Если обозначить п = а, т3 = 6, то т2 = — (а+ 6). Главные напряжения Т], т2, тз можно разложить на следующие два напряженных состояния:
т' = а, т2= — а, т3 = 0,т" = 0, Т2 = — Ь, Тз = Ь.
Каждое из этих состояний на площадках, повернутых относительно главных на угол 45°, является чистым сдвигом без нормальных напряжений.
Плоское напряженное состояние
Рассмотрим частный случай общего напряженного состояния, а именно так называемое плоское напряженное состояние. Если тонкая пластинка нагружена силами, приложенными на ее границе, параллельными плоскости пластинки (в качестве которой выбираем плоскость Х]Х2) и равномерно распределенными по ее толщине, то напряжения о33, a3i, а32 равны нулю на обеих поверхностях пластинки. Считая, что эти напряжения равны нулю по всей толщине пластинки, получим напряженное состояние, характеризующееся величинами аа^, а, р = 1, 2. Такое состояние называется плоским напряженным состоянием. Подробно это состояние мы обсудим в гл. 4. Предположим, что напряжение оар и нагрузки в виде вектора р =(рх,р2, 0) не изменяются по толщине пластинки и являются только функциями хь х2. Составляющие вектора р даются формулами
Pi = аи cos (n, X]) + а21 cos (п, х2), р2 = а12 cos (n, х,) + ам cos (n, х2),(1)
р3 = 0.
Поверхностные элементы, на которых действуют напряжения ап, 022, о\2, ортогональны плоскости х,х2, а их нормали и = (п\, п^, 0) лежат в плоскости XiX2.
В дальнейших выкладках понадобятся формулы преобразования для напряжений при переходе от напряжений оц, а22, си2 в системе координат хь х2, х3 к напряжениям а'ь 022. сг'г в системе хь Хг, х3, повернутой вокруг оси Хз-
Из формул преобразования
<» = ntannPir "за = «з0 = °- «, Р = 1.2,3,(2)
получим
ап = аи cos2 6 + о22 sin2 9 + 2<Ti2 sin 6 cos 6,
агг = an sin2 6 + 022 cos2 6 — 2ai2 sin 6 cos 6,(3)
ai2 = (022 — an) sin 6 cos 6 + 012 (cos2 6 — sin2 6).
Здесь через 6 обозначаем угол между осями Xi и х(. Формулам (3) можно придать несколько иной вид:
a'u = ан + а22 + 2H--L522. cos 20 + Gj2 sin 2Qi
а'2= aii2^_.?nj^cos2e_ai2S^^^(4)
а(г = -°--™ a"- sin 26 + a12cos 26.
Из этих формул легко получить свойство инвариантности суммы напряжений
all + ай = ап + 022-(5)
Используя соотношение е2,е = cos 26 + i sin 26, получим из (4) 022 —Он + 21012 = (022 — Оц + 2lOi2) 62,е.(6)
Пусть оси xf, х2 являются главными осями. Тогда оп=оь 022 = 02, 012 = 0. Из третьей формулы (4) получим
tg 26 =(?)
6Оц — 022V
Уравнение (7) имеет бесконечное число корней. Нас интересует только первый положительный корень 60, а также следующий 60 + л/2. Подставляя 6о в первую из формул (4), получим главное напряжение Оь подставляя 6о + л/2 во вторую формулу (4), найдем 02- Значения аь ог являются также корнями уравнения (8) § 2.3. Это уравнение в рассматриваемом случае плоского напряженного состояния примет вид
О3 — (а11 + °2^ а2 + (а11а22 — <4) ° = °-(8)
откуда
^} = y(oii + o22)±-/(^^)2 + o22 , а3 = 0.(9)
Предположим теперь, что главными осями являются оси Х], х2. Так как для этих осей оц = ai, 022 = аг, ai2 = 0, то из формул (4) вытекает, что
ап ="2’(а1 + а2) + у (91 —а2) cos 26,
агг = у (о 1 + а2)—^(^i—a2)cos26,(10)
ai2 = j(oi — Ог) sin 26.
Из последней формулы видим, что максимальным абсолютным значением касательного напряжения является
I 012 lmax = yl »1 ~ »2 I-(И)
Рассмотрим три частных случая.
Пусть О] = — о2- Тогда из формул (10) получим
an = ai cos 20, 022 = — oi cos 20, Oi2 = oisin20. (12)
Максимальное значение касательного напряжения дается формулой
I 012 1 = 1 О1 |.
Это значение получается для 0 = л/4. Из двух первых формул (12) видно, что для 0 = л/4 мы имеем оп =0, 022 = 0.
В плоскости, в которой возникают максимальные касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.
Пусть оц = O22 = oi, 012 = 0. Тогда из формулы (4) получим
011 = 022 = 01,012 = 0.
Здесь мы имеем дело с всесторонним растяжением (сжатием).
Наконец, пусть оц = оь 022 = 0, 012 = 0. Формула (4) значительно упрощается. Получаем соотношения
oil =4г(1 + cos 20), 022 =-^(1 — cos 20), 0(2 = -^-sin 20.
Такое состояние называется одноосным напряженным состоянием. Наибольшее значение касательного напряжения получим при 0 = л/4, а именно аи = о\1^. Нормальное напряжение в этом сечении равно он = ai/2.
Уравнения неразрывности
Рассмотрим материальную частицу, которая в момент / = О находилась в точке с координатами (xi, Х2, Хз) в прямоугольной декартовой системе координат. По прошествии времени / эта частица переместится в другую точку с координатами (^,^2,^3) относительно той же самой системы координат. Зависимость
£1 = £1 (^ь ^2, ^з. 0> 1 = 1,2,3,(1)
описывает конфигурацию тела в разные моменты времени t. Функции ^ должны быть непрерывными однозначными функциями с отличным от нуля якобианом,
Рассмотрим скорость и ускорение материальной частицы, траектория которой задана соотношениями (1). В описании Лагранжа имеем
yi (х, 0 = -^ £< (х, 0,(2)
«I (х. 0 = -^^ (х, 0 = -^- v< (х, 0-(3)
В этих выражениях дифференцирование по времени производится при постоянных значениях х = (хь хг, х3).
В описании Эйлера в качестве независимых переменных принимаются координаты § и время t. В этом описании движение тела представляется векторным полем «г^ЛгЛзЛ^, связанным с мгновенным положением материальной частицы. Для вычисления ускорения материальной частицы рассмотрим эту частицу в двух близких положениях. Частица, в момент / занимающая положение ^, перемещается так, что в следующий момент t -\- dt она занимает положение ^i + Uidt.
Ускорение йД^Л) можно представить как разность скоростей
у1^П:.(4)
Разлагая первый член правой части этого уравнения в ряд ТейРазлагая первый член правой части этого уравнения в ряд Тейлора и ограничиваясь величинами первого порядка малости полора и ограничиваясь величинами первого порядка малости поdt, имеемМИdt, имеемМИ_ Dot (i, 0Dt_ Dot (i, 0Dtд= -dFvi^’ tW^jд= -dFvi^’ tW^jdot (6, 0dot (6, 0(5)(5)
Разлагая первый член правой части этого уравнения в ряд Тей
Разлагая первый член правой части этого уравнения в ряд Тей
лора и ограничиваясь величинами первого порядка малости по
лора и ограничиваясь величинами первого порядка малости по
dt, имеем
МИ
dt, имеем
МИ
_ Dot (i, 0
Dt
_ Dot (i, 0
Dt
д
= -dFvi^’ tW^j
д
= -dFvi^’ tW^j
dot (6, 0
dot (6, 0
(5)
(5)
частицы, нужно в течение некоторого времени проследить за ее до, (6> 0 Iдвижением. К величине — требуется добавить член't=constчастицы, нужно в течение некоторого времени проследить за ее до, (6> 0 Iдвижением. К величине — требуется добавить член't=constПервый член правой части уравнения (5) описывает изменение во времени функции о,- при постоянном §, т. е. при неизменном положении в пространстве, а не для одной и той же материальной частицы. Чтобы подсчитать изменение скорости о5 данной
частицы, нужно в течение некоторого времени проследить за ее до, (6> 0 I
движением. К величине — требуется добавить член
't=const
частицы, нужно в течение некоторого времени проследить за ее до, (6> 0 I
движением. К величине — требуется добавить член
't=const
до,
yi~d^~ как вклад Движения частицы в мгновенное поле скоростей. Производная оД^, /) называется местной производной или до,
материальной производной. Член Vj -^- называется конвектив
ной производной.
Подобное рассуждение можно повторить для любой другой характеристики материальной среды, например для ее плотности или температуры. Вообще имеем
a DG^.O
Dt
dG&, t)dt
+ yj
I ;= const
dG (S. 0 _ 9G (x, t)
56/= di
'x—const
К местной производной относятся все обычные правила дифференцирования, обычные формулы производной от суммы, разности, произведения. Имеем
DDy. . Dw,
"dF (у' ±= ~dT ± ИГ '
(7)(7)DDw. Do,
(7)
(7)
-Dr^iW^ = x)i-6r+wk-6r,
В дальнейших выкладках, касающихся уравнений неразрывности и уравнений движения, будут встречаться материальные производные интеграла
ВW=$F£, IW(I).(8)
v
Функция F(^,/) означает здесь функцию некоторого свойства среды в точке j в момент t в односвязной области V. Если область интегрирования V не изменяется при движении, то для функций F^t') и dF^.t^dt, непрерывных в V при всех значениях I, имеем
^F^tW^^^-dY.(9)
УУ
Однако если область интегрирования изменяется со временем t, то в правой части уравнения должен появиться дополнительный член.
Рассмотрим поверхность А, ограничивающую тело в некоторый момент t. Проследим за поверхностным элементом ДЛ с внешней нормалью п. Рассмотрим точку £< во временном интервале (/, /+Д/) на элементе ДЛ. Перемещение точки £,• в этом временном интервале равно у,Д/, а его проекция на п равна х^гцЫ. Приращение объема рассматриваемой области выражается поэтому формулой
ДV = vtnt At ДЛ.(10)
Умножая выражение (10) на F^,, /) и суммируя по поверхности А, получим
.Д/= Д/ ^F (с, /) utnt ДЛ.
А
Переходя к пределу, имеем
^=(н)
л
Поэтому для области, находящейся в движении, получим следующее выражение местной производной:
^-J F(MW=f ^0.^^)+ $ F^^n^dA^, (12)
VVА
ИЛИ
тт f F О dV ® = J (-S а') +^^+F 6. O^dV (6),
(13) или, наконец,
£ f F Й, 0 dV © - f (5^М + , © t^dV®. (14) VV'
Обозначим через р(§, /) плотность тела в момент t в точке §, через ро(х) плотность в точке х в момент / = 0. Соотношение между этими функциями устанавливается из принципа сохранения массы, который гласит, что масса тела не изменяется во время движения. Поэтому справедливо соотношение
М = J р (I, /) d^ d^2 d^ = J Ро (x) dxt dx2 dx3. (15)
Переходя от координат ^ к координатам xt, имеем
J ра,0^1^2^3 = / ра,/)|-^рх^х2йх3,(16)
гдегдеэй dXjэй dXj— якобиан преобразования (1). Из сравнения соот-— якобиан преобразования (1). Из сравнения соот-ношенийношенийние (15)ние (15)(15) и (16), а также из утверждения, что соотноше-справедливо для произвольной области, выделенной(15) и (16), а также из утверждения, что соотноше-справедливо для произвольной области, выделеннойв теле, получим локальную зависимостьв теле, получим локальную зависимостьPo(x) = P&t)|^-|.Po(x) = P&t)|^-|.(17)(17)
где
где
эй dXj
эй dXj
— якобиан преобразования (1). Из сравнения соот-
— якобиан преобразования (1). Из сравнения соот-
ношений
ношений
ние (15)
ние (15)
(15) и (16), а также из утверждения, что соотноше-справедливо для произвольной области, выделенной
(15) и (16), а также из утверждения, что соотноше-справедливо для произвольной области, выделенной
в теле, получим локальную зависимость
в теле, получим локальную зависимость
Po(x) = P&t)|^-|.
Po(x) = P&t)|^-|.
(17)
(17)
Поскольку преобразование (1) взаимно однозначно,
i
dx, "dlf *<18)
Рассмотрим первое из уравнений (15)
M=Jp(§,0^(§).
(19)
Принцип сохранения массы требует, чтобы DM]Dt = 0. Используя формулу (14), имеем
Соотношение (20) справедливо для произвольной области тела. Если подинтегральное выражение непрерывно, то из соотношения (20) получим локальное соотношение
Dp да,
4 + рж=0’(21)
или
17 + 1^/) = °-<22>
Уравнение (21) или (22) называется уравнением неразрывности. В статических задачах это уравнение удовлетворяется тождественно, и тогда у, = 0 и dp/dt = 0.
Заметим, что уравнения (17) и (18), а также (21) и (22) выражают одно и то же — принцип сохранения массы. Уравнения (17) и (18) называются материальными уравнениями неразрывности, а уравнения (21) и (22) —местными уравнениями неразрывности. Первые из этих уравнений чаще применяются в механике твердого тела, вторые — в механике жидкости и газа.
Уравиеиия движения
Уравнения движения мы получим из двух основных законов механики: закона изменения количества движения и закона изменения момента количества движения. Составляющие количества движения тела в момент / выражаются формулой
= f Р ® «I & 0 dV (£), Z = 1, 2, 3.(1)
v'
Закон изменения количества движения в описании Эйлера, т. е. в координатах ^, имеет вид
5gl_^ x,dV+ $ p*dA.(2)
VА
Изменение количества движения во времени равно главному вектору сил, действующих на область V. Этот главный вектор равен интегралу массовых сил X, по объему тела, а также интегралу поверхностных сил по поверхности тела. Выражая
вектор напряжения р^ через компоненты тензора напряжений а^ и применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
^ = J xt dV + J" ЭД dA = ^Xt^^ dV. (3)
VАV1
Дифференцируя формулу (1), имеем
VV
Здесь мы использовали формулу (13) предыдущего параграфа. Закон изменения количества движения (2) был применен к произвольной области V тела. Если подинтегральное выражение непрерывно, то, в силу произвольности выбранной области, уравнение (4) приводит к локальному соотношению
~Tt ^ 717 (PW^/) = ^ + -д^~ •(5)
Уравнение (5) допускает значительное упрощение благодаря уравнению неразрывности
# + ^7 (Р"/)=°-№)
Учитывая формулу (6), приводим (5) к виду
(7)(7)DuiY, дан
(7)
(7)
Эта формула представляет собой локальную запись закона изменения количества движения.
Закон изменения момента количества движения имеет вид
^ = Мр(8)
где
-^1 = J P^ijk^j^fcdV(9)
v и
Mt = J ttj^jXkdV + J tiji&jPkdA.(10)
VА
Уравнение (8) гласит, что изменение во времени момента количества движения равно моменту массовых сил, действующих в области V, а также поверхностных сил, действующих на поверхности А, ограничивающей область V. Подставляя уравне-
ния (9) и (10) в (8) и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, представим уравнение (8) в виде
-^- j P6ijkljvkdV = J «//fe[?/^ + (?/CTzfe),HdV, (11)
или
J ^Д^Д^нД;^^(12)
v
Так как это уравнение справедливо для произвольной области V, то справедливо локальное соотношение
€Z/fe [^/ "^"(Pyfe) + "д^ (£/Pyfcyz)— ^jX-k (£/<Tzfe), z] =0-(13)
Учитывая, что дда,.
"д^ ^^И^ = h ~g^ + Gjb
преобразуем уравнение (13) к виду
Г ддда,к I
€t^[af(p»fe) + -д^ (Руйу1) — Хкеиба/6 = 0. (14)
Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения движения (5). В уравнении (14) остается
^е/й<Туд = 0,(15)
откуда вытекает, что тензор а,к является симметричным тензором: Ojk = ан,. Это подтверждает результат, полученный в § 2.1 другим путем.
При выводе уравнений движения мы использовали описание Эйлера, принимая в качестве независимых переменных координаты ^j и время t.
Структура полученных уравнений достаточно проста (уравнения (7) и (15)), несравненно проще, чем в описании Лагранжа. Однако описание Эйлера в некоторых отношениях неудобно. В задачах нелинейной теории упругости, как правило, известны первоначальные положения точек и разыскиваются поля перемещений, вызванные деформацией тела. Граничные условия в виде заданных нагрузок или перемещений также просто выражаются в координатах х,. Неудобством является и то, что дифференцирование в уравнениях (7) производится относительно переменных ^, содержащих разыскиваемые величины — перемещения.
Из уравнений движения в описании Эйлера легко перейти к уравнениям движения линейной теории упругости, в которой
3 В: Новацкий
рассматриваются малые деформации и малые скорости перемещений. Линеаризуем прежде всего выражение для тензора деформаций. Пренебрежем в тензоре Альманси
1 / dut duj дик дик1 / dut duj дик дик(16)(16)
1 / dut duj дик дик
1 / dut duj дик дик
(16)
(16)
нелинейным членом. Так как при малых деформациях производные по переменным х, и ^ будут различаться на величины высшего порядка малости, для тензора деформаций примем выражение
1 / ди. ди,\
‘<1=Д-^+-^)-<17>
Переходя к уравнениям движения (7), заметим, что при малых деформациях и малых скоростях перемещений нелинейные члены в местных производных пренебрежимы по сравнению с материальными производными. Таким образом, д , д
~Df = "at yi^’^ = "dt уА^ t\(18)
Уравнения движения (7) запишем в рамках линейной теории упругости в виде
дХ] +AZ(X, п р №дХ] +AZ(X, п р №(19)(19)
дХ] +AZ(X, п р №
дХ] +AZ(X, п р №
(19)
(19)
В случае независимости внешних воздействий от времени уравнения (19) переходят в уравнения равновесия
(20)(20)^- + Xz(x) = 0.
(20)
(20)
дх, 1
Глава 3
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Основные понятия и законы термодинамики
Законы, связывающие напряженное состояние с деформированным, можно искать на основе термодинамических уравнений и, в частности, на основе законов термодинамики необратимых процессов. Для этого следует вспомнить основные понятия и законы феноменологической термодинамики ).
При исследованиях физического явления в качестве объекта исследования выделяется материальное тело, состоящее из большого числа частиц, которые образуют физическую систему. Остальную часть, не принадлежащую системе, называют окружающей средой. Система воздействует на окружающую среду, и обратно, окружающая среда воздействует на систему. Если воздействие окружающей среды на систему является очень слабым, то мы имеем дело с обособленной, изолированной системой. Если нет обмена массы с окружающей средой, то мы имеем дело с замкнутой системой. В дальнейшем будем рассматривать только замкнутые системы. '
Состояние термодинамической системы характеризуется макроскопическими величинами, называемыми параметрами или переменными состояния. Эти величины разделяются на внешние и внутренние параметры. Внешними параметрами называются величины, описывающие свойства окружающей среды, влияющие на состояние системы. Это будут внешние силы, действующие на систему, напряженности полей, источники которых находятся в окружающей среде. Внутренними параметрами, описывающими состояние в каждой точке в каждый момент времени внутри системы, являются такие величины, как плотность, давление, химический состав, температура.
Система называется однородной, если все внутренние параметры состояния не зависят от положения точки.
Если некоторый параметр состояния удается выразить как однозначную функцию остальных параметров, то такая функциональная зависимость называется уравнением состояния, а переменная, описанная этим уравнением, — функцией состояния. Если параметры состояния не зависят от времени, то система находится в состоянии термодинамического равновесия. Доказывается, что система, находящаяся в термодинамическом равновесии, находится одновременно и в равновесии механическом, химическом и тепловом. Механическое равновесие означает, что между системой и окружающей средой нет неуравновешенных сил. Химическое равновесие характеризует постоянство массы и химического состава. Тепловое равновесие объясняется введением новой переменной состояния — температуры.
Характер теплового равновесия связан со свойствами стенок, отделяющих систему от окружающей среды и разграничивающих отдельные части системы. Адиабатические стенки не допускают изменения состояния за счет притока тепла. Изменение равновесного состояния может быть вызвано только макроскопической работой внешних сил дальнодействия (например, сил тяжести), а также перемещением стенок. Диатермические стенки допускают теплообмен между частями системы.
Понятие температуры можно ввести на основе следующего экспериментального факта. Соединим два теплоизолированных тела / и 2 с помощью диатермической стенки с телом 3. После установления равновесия отделим тело 3 от тел / и 2, которые соединим между собой диатермической стенкой. Говорят, что тела 1 и 2 находятся в тепловом равновесии, если значения параметров при соприкосновении тел / и 2 остаются постоянными. Этот результат формулируется в виде принципа транзитивности (называемого также нулевым законом термодинамики), который гласит, что если два тела находятся в тепловом равновесии с третьим телом, то они находятся в равновесии между собой. Из принципа транзитивности вытекает, что для каждого тела существует взаимно однозначная функция Т независимых параметров состояния, называемая эмпирической температурой. Равные значения этой функции характеризуют тела, находящиеся во взаимном тепловом равновесии.
Переход от одного состояния к другому называется термодинамическим процессом. В этом процессе все параметры состояния являются функциями времени.
Если скорость изменения состояния системы во времени очень мала, так что система непрерывным образом переходит через последовательные равновесные состояния, то такое изменение состояния называется квазистатическим процессом.
Быстрое изменение состояния приводит к неустановившимся процессам.
Термодинамический процесс может быть обратимым или необратимым. Обратимый процесс происходит тогда, когда возможно возвращение к начальному состоянию системы и окружающей среды. Процесс, который не удовлетворяет этим условиям, является необратимым процессом. В принципе мы имеем дело с необратимыми процессами; обратимый процесс является идеализацией реального процесса.
Если система с адиабатическими стенками переводится из начального состояния I в некоторое конечное состояние П, причем меняется способ перехода от одного состояния к другому, то утверждается, что внешняя работа, необходимая для перевода из состояния I в состояние II, не зависит от способа перехода. Этот важный результат формулируется в виде первого закона термодинамики, который гласит, что для перевода адиабатически изолированной системы из состояния I в состояние II требуется одно и то же количество внешней работы, не зависящее от способа перехода. Поэтому существует взаимно однозначная функция состояния ^, называемая внутренней энергией системы; приращение которой равно работе, производимой над системой:
п
J <ZL = ^(II) —^(1) = Д^.(1)
I
Напомним, что формула (I) справедлива для адиабатического процесса. В общем случае произвольных процессов работа будет зависеть от способа перехода от состояния I к состоянию II. Это связано с обменом тепла между системой и окружающей средой, так называемым теплообменом. Обозначая через Q тепло, отобранное от окружающей среды, представим пер^ вый закон термодинамики в виде
Q = ^(II) — °U (I)— [ йЪ = \°Ы — L.(2)
Г
Здесь °И является внутренней энергией для неадиабатическогр процесса. Для адиабатического процесса Q = 0 и уравнение .(2) переходит в (1).
Из уравнения (2), которое представим в виде
.A^ = L+Q,(2а)
вытекает, что внутренняя энергия может измениться как за счет производимой работы L, так и за счет подвода тепла Q.
Второй закон термодинамики для однородной системы формулируется следующим способом. Вводятся две Дгов-ые
однозначные функции состояния, абсолютная температура и энтропия 9. Абсолютная температура Т является неотрицательной функцией эмпирической температуры 9". Предположим, что энтропия системы равна сумме энтропий частей этой системы.
Приращение энтропии можно представить как
й9 = (1е9 ^dt9. (3)
В необратимом процессе изменение энтропии складывается из обмена энтропии с окружающей средой 9е9 и дополнительного приращения энтропии d^. Если через Q обозначить тепло, отобранное от окружающей среды, то
Приращение энтропии dd? должно удовлетворять неравенству d^ > 0. (5)
Неравенство относится к необратимому процессу, равенство — к обратимому. Дополнительное приращение d^ может быть истолковано как производство энтропии в системе.
Закон сохранения энергии для деформированного тела
Предположим, что тело в момент t = 0 находится в естественном состоянии, т. е. в состоянии, в котором перемещения, деформации и напряжения равны нулю, а температура равна некоторому постоянному значению 70. Если это тело нагрузить внешними силами, т. е. массовыми и поверхностными силами, то в нем возникнет не только поле перемещений и, но также температурное поле, отличное от 70. Эти поля будут функциями положения х, а также времени t. Аналогично, нагревание поверхности тела и возникновение источников тепла вызовут два вышеуказанных поля. В каждом случае деформация тела связана с изменением содержащегося в теле тепла, с возмущением температурного поля.
Поле перемещений и температурное поле взаимодействуют между собой; они взаимосвязаны. Эта связанность исчезает, как мы увидим позднее, только для стационарных тепловых потоков и для статических нагрузок.
Тепловой поток, возникающий в процессе деформации, реализуется путем теплопроводности. Это самопроизвольный, необратимый процесс, который невозможно повернуть вспять. Всякие попытки провести этот процесс в обратном направлении требуют изменений в окружающей среде. В результате необратимости термодинамического процесса в теле возникает диссипация энергии.
При выводе соотношений между напряжениями, деформациями и температурой ограничимся рамками линейной теории упругости, т. е. будем рассматривать только малые деформации. Эти соотношения, называемые также определяющими уравнениями, мы найдем при помощи законов термодинамики необратимых процессов *).
Прежде чем перейти к составлению полного баланса энергии, рассмотрим его частный вид: закон сохранения механической энергии. Предположим сначала, что тело не отбирает тепла от окружающей среды, т. е. рассматривается адиабатический процесс.
Умножим уравнение движения (уравнения (19) § 2.9) на и, = й, и проинтегрируем по области V тела:
^aiiii + Xi-pyl)yidV = 0.(1)
v
Через Vj обозначим компоненты вектора скорости материальной частицы. Уравнение (1) можно переписать в виде
J [(о/М / — o^i. / — UiXi — puzuz] dV = 0.(2)
v
Применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
J (o/i^z). / dV = J вцп^ dA = J p^t dA,(3)
VAA
где Pt = Ojifij — вектор напряжения на поверхности А. Принимая во внимание формулу (3), приведем уравнение (2) к виду
J XtVi dV + J PiVt dA = J сцЩ, z dV + p J vzvz dV. (4) VAVV
Преобразуем первый интеграл в правой части уравнения (4):
J OjiUi, , dV = J osl ^ьц + coz/) dV = J Cjietj dV. (5) VVV
Здесь мы использовали тот факт, что тензор напряжений о^ и тензор деформаций eZj симметричны, в то время как тензор вращения кососимметричен. Выражение орш^ равно нулю.
’) Де Гроот С., Мазур П., Неравновесная термодинамика, «Мир», М„ 1964.
Guminski К., Termodynamika procesow nieodwracalnych, PWN, Warszawa,
Принимая во внимание (5), уравнение (4) запишем в виде
J Х^, dV + J ptVi dA = g J uzuz dV + J a/zez/ dV. (6) VAVV
Левая часть этого уравнения выражает механическую мощность $ = J XiOtdV 4- J p^dA,(7)
VА
равную сумме мощности массовых сил, действующих внутри области V, и мощности поверхностных сил на А.
Первый член правой части уравнения (6) выражает изменение кинетической энергии. Обозначая через X кинетическую энергию
р I у1у1^, имеем -^- = р j yp^dV. (8) vv
Последний член правой части уравнения (6) запишем в виде
-^=Ь/<М^(9)
Закон сохранения механической энергии запишем так:
^=-£.(^4-^),(Ю)
Уравнение (10), будучи следствием уравнения (1) предыдущего пункта, справедливо для адиабатического процесса. Правая часть уравнения (10) представляет собой изменение полной энергии системы, состоящей из кинетической энергии X и внутренней энергии °П.
Для произвольного термодинамического процесса уравнение (10) следует расширить путем включения в первый закон термодинамики тепла Q, отбираемого от окружающей среды:
-f-(^4-r)=^^4-Q.(И)
Немеханическая мощность Q, означающая приращение количества тепла во времени, вызвана тепловым потоком q через поверхность А. Через элемент поверхности dA с нормалью п протекает количество тепла —qintdA. Приток через поверхность тела равен
Q= — J qintdA = - J ql)tdV.(12)
AV
В уравнении (11) величина $ выражается формулой (7), X — формулой (8), a Q — формулой (12).
Вводя внутреннюю энергию U, отнесенную к единице объема:
01 = J UdV,(13)
представим закон сохранения энергии (11) в виде
J (ру.щ + (7) dV = J Xtyt dV + J ptVi dA — J д{,, dV, (14)
vvav
откуда
j U dV = j (Xz —pyz) yz dV + J p^i dA — J q,. z dV. (15) vvAV
Заменяя поверхностный интеграл на объемный с помощью соотношения (3), получим, принимая во внимание уравнения движения
°/Ц/ + Xi = РУ;,
следующее уравнение:
j'((7-ajie/i + <7i,i)dV = O,(16)
v
Уравнение (16) можно вывести для каждой произвольной области V тела. Поэтому справедливо локальное соотношение
й = а1Чё.н — Я1Л.(17)
Баланс энтропии
Принцип сохранения энергии для реальных материалов ограничен вторым законом термодинамики, в котором в качестве функций состояния выступают энтропия 5s и абсолютная температура Т.
Энтропия, так же как и внутренняя энергия, является однозначной функцией внутреннего состояния термодинамической системы. Энтропия не зависит от пути, по которому происходит термодинамическое изменение, ее производная является абсолютной производной. Энтропия связана с приращением количества тепла следующей зависимостью:
Т^ = - div q = “ qi-11^
Здесь через S обозначена энтропия, отнесенная к единице объема.
Рассмотрим тело V, ограниченное поверхностью А. Тогда интеграл
4У г dSr q, ,
"5Г = f *dT d^ = — f dV(2)
v
означает скорость изменения энтропии в области V, вызванного притоком тепла.
Приведем формулу (2) к такому виду, чтобы в правой части выделить поверхностный и объемный интегралы. Поскольку
имеем
dg” Г dS ,г q,n, , г q.T ,
~ЗГ = \ ~dF d^= —^ т dA—^ Т2 dV. (4) vAV
В уравнении
$SdV =- ^^dA- ^^-dV(5)
VАV
первый член правойчастивыражает увеличение(либо умень
шение) энтропии во времени, вызванное притоком тепла через поверхность А. Этот интеграл выражает поэтому скорость обмена энтропии с окружающей средой. Второй из интегралов правой части уравнения (5) имеет характер источника энтропии; он описывает скорость производства энтропии. Аналогично уравне- нению (3) § 3,1 имеем
d9> de9> , d^
где
dt J T d^ at J T2 dV. (7) av
В силу постулата термодинамики необратимых процессов должны выполняться условия
d^~dTd^~dT(8)(8)
d^~dT
d^~dT
(8)
(8)
что справедливо также для неоднородной системы.
Обмен энтропии с окружающей средой может быть либо положительным, либо отрицательным в зависимости от направления притока тепла. Поэтому первый интеграл в формулах (7) не может быть принят в качестве критерия необратимости состояния. Это свойство состояния определяется неравенством (8).
Уравнение (1), принимая во внимание (3), можно представить в виде
3 =0>О-(9)
Исключим из закона сохранения энергии
й = оИгм — qM(10)
и из баланса энтропии
8=-^(И)
величину q,, , = div q. В результате получим следующее выражение для внутренней энергии:
U = afieif4-TS.(12)
Из четырех параметров состояния ец, ац, Т и S независимыми являются только два. Пусть внутренняя энергия U будет функцией деформаций е,, и энтропии S, т. е. U = (/(е^-, S). В дальнейших выкладках удобнее будет трактовать U как функцию девяти компонент тензора деформаций е,, и энтропии S. Так определенная U должна удовлетворять тождеству
dU _ dUдец ~ дем
ввиду симметрии тензора е^.
С другой стороны, имеем
г’т dU .. dU Q
U = "d^&4-V^-S-(13)
Сравнивая выражения (12) и (13) и принимая во внимание, что функции о^, Т не зависят явно от величин ё^у, S, получим следующие зависимости:
dUdUq,T ,
О4)
Соотношения (14) позволят нам установить определяющие уравнения, выражающие зависимости между тензором напряжен ний, тензором деформаций и энтропией.
Условие (9)
© =^->0(15)
будет использовано для вывода закона теплопроводности Фурье.
Закон теплопроводности Фурье
В твердом теле передача тепла реализуется путем теплопроводности, понимаемой как приток энергии от части тела с более высокой температурой к части с температурой более низкой. Для передачи тепла необходима разность температур, а точнее, как мы убедимся ниже, термодинамической силой в этом случае является градиент температуры. Процесс теплопроводности является самопроизвольным и необратимым, а потому связанным с производством энтропии.
Уравнения теплопроводности выводятся из локальной формулы притока энтропии. Его определяет уравнение (1) предыдущего параграфа
'7S = -9z,z = -divq.(1)
К этому закону следует добавить неравенство
© = -^>0,(2)
утверждающее, что в необратимом процессе интенсивность источника энтропии является величиной строго положительной. Уравнение (2) можно представить в виде
^ = qiFb i = l, 2,3.(3)
Источник энтропии связан с причинами необратимого процесса, с интенсивными величинами *) Ft, которые называются термодинамическими силами.
Из сравнения выражений (2) и (3) вытекает, что
72 ’
,(4)
F = — уу grad Т — grad ^7-].
Это означает, что термодинамической силой, вызывающей приток тепла и производство энтропии, является градиент температуры. С другой стороны, между составляющими qt вектора теплового потока и термодинамическими силами существует функциональная зависимость
qi = qt{Pi> F2, Fa1).(5)
Анализ механизма необратимого процесса показывает, что характер зависимости (5) чрезвычайно сложен и в общем случае,
’) Параметры состояния делятся на экстенсивные, т. е. пропорциональные массе системы, и интенсивные— не зависящие от массы.
как правило, нелинеен. Для медленного термодинамического процесса зависимость (5) можно приблизить линейной зависимостью qi=LMFp 1а=\Л,^.(6)
В этих соотношениях отсутствуют постоянные члены. Эти члены должны равняться нулю, так как в состоянии равновесия нулевым значениям сил Ft должны соответствовать нулевые значения потоков qt. Уравнения (6) носят название феноменологических уравнений. В силу постулата Онзагера, величины L^ образуют симметричную матрицу. Подставляя выражение (6) в (3), получим
(7)
Так как силы независимы, а источник энтропии — величина положительная, то из формулы (7) вытекают следующие ограничения *) на коэффициенты L^:
Lu>0,(8)
Uk^n^^^L^-V LklV, j, 6 = 1, 2, 3 (не суммировать).
Подставляя выражения (4) в (7) и вводя обозначения Ьц/Т2 = Мь получим неравенство
б^^-ТаТ^О.(9)
Наконец, сравнивая выражения (9) и (2), убеждаемся, что компоненты вектора теплового потока должны удовлетворять зависимости
<7/= — ^/Л/•(1°)
Это закон теплопроводности Фурье для анизотропного упругого тела. Компоненты тензора X,j можно при небольших изменениях температуры (относительно естественного состояния) трактовать как величины постоянные, не зависящие от температуры. В силу постулата Онзагера, величины Хц также образуют симметричный тензор. Так как Хц = Ь^Т2, на величины Хц следует наложить такие же ограничения, как и на коэффициенты L^ (соотношения (8)).
Подставляя выражение (10) в (1), получим зависимость приращения энтропии от температуры
TS = X4T.M.(11)
Это соотношение Мы используем в § 3.8 при выводе дифференциального уравнения притока тепла.
■) Де Гроот С., Мазур П., loc. cit., стр. 71.
Свободная энергия.
Первая форма записи определяющих уравнений
В исследовании термодинамических процессов важное значение имеет новая термодинамическая функция — свободная энергия, определяемая соотношением
F = U — ST.(1)
Свободная энергия, так же как и внутренняя энергия, является функцией состояния. При бесконечно малом изменении состояния упругого тела dF является полным дифференциалом. В качестве независимых параметров состояния выберем е^ и S, т. е. положим I/ = 1Цяц, S). Тогда из
dU = 0jid8tl -\- Т dS(2)
получаем
dF = a!tdel!—SdT,(3)
Отсюда видно, что свободная энергия является функцией переменных etj и Т, т. е. F = Р^ец, Т). Так как dF — полный дифференциал, то справедливы соотношения
дР дР Q
dei( °ib дТ 51W
Знание свободной энергии позволяет связать тензор напряжений с тензором деформаций и температурой.
Разложим выражение свободной энергии в ряд Тейлора по отношению к естественному состоянию, т. е. состоянию, в котором ед, = 0 и Т = То (через Т = То обозначим абсолютную температуру состояния, в котором как деформации, так и напряжения равны нулю):
F(e£h T) = F(0, То) + -Fj®’^1 41 + — ^ Го) (Т - То) +
. 1 Г^Г(0,То) _ „, о д=Рф,Т0)
+ 2 [ дйцдЧ1 еИе« + 2 dst) дТ+
+ ^^(Т-Т0)2] + ... . (5)
Постоянная величина Т(0, То) представляет собой свободную энергию естественного состояния; будем считать ее равной нулю.
Величина dF(0, Тй)(дТ =—5(0, То) равна нулю как энтропия естественного состояния. Используя соотношение (4), имеем
л= 1 др \ - др^’ Го) -к ^t0' ^ р агр^ Т^ „
оц ^м, Т) =д— + д д - 4t + —д6 аТ е,
X И « 1IfIJЦ
0 = т — То.
Величина 6 является приращением температуры по сравнению с температурой естественного состояния То. В дальнейшем в соответствии с принятым предположением о малости деформаций будем считать, что |6/70|<С 1.
Мы получили линейное соотношение для малых деформаций. В этом уравнении следует положить ^(О, Го)/^^ = 0, так как для естественного состояния напряжения и деформации равны нулю. В написанное выше соотношение не может входить постоянный член.
Введем обозначения
^27(0, 7р) т d*F(0, То) _деиде» iikP деЦдТ
В соотношении (5) пренебрежем всеми степенями деформаций выше второй. Все члены, зависящие только от температуры, соберем в один член ^(б). Таким образом, рассмотрим соотно* шение
f^p n=Tc?/W^-W +W (6)
Используем теперь соотношение (4), принимая во внимание выражение для свободной энергии (6). Получим
(7)
S = —(8)
Соотношения (7) и (8) являются искомыми определяющими уравнениями. Первое из них называется соотношением Дюгамеля — Неймана. Нам остается определить второй член в соотношении (8).
Так как S s 5(е,д Т), то
dS = (^4 ^/ + (#) dT‘ (Q) 1т
Величинапредставляет собой меру количества тепла,
образованного в единице объема тела при изменении температуры и при постоянной деформации. Эту величину обозначим через се. Она называется также теплоемкостью при постоянной деформации. С другой стороны, принимая во внимание (8), имеем dS = ₽,/deJ/—^Д^Т,(10)
откуда
с т () —т ^2Тр (6),
й \дТ — дР ‘' '
Интегрируя дважды это уравнение и учитывая, что постоянные интегрирования равны нулю, так как для естественного состояния S = 0, F = 0, найдем
т т
F0^ = -\dT\^-,(12)
т0 г„
откуда
дТ — celn Tq •(12а)
Таким образом, формула для энтропии принимает вид
S = ₽f/ef/ + celn(l +^), 9 = Т — Т0.(13)
Мы ввели некоторое ограничение на возрастание температуры, предположив, что Т не сильно превышает То, так что изменение температуры 6 удовлетворяет неравенству |0/То|<С 1. Разлагая далее 1п(1 + в ряд и сохраняя в нем только первый член, получим следующие формулы для свободной энергии и энтропии:
= "2Сцыеиеы Ptjei/® 2Т0 ®2’(14)
S = ₽^/ + ce^.(15)
В выражении свободной энергии первый член правой части носит чисто деформационный характер, третий член — характер чисто тепловой. Второй же член носит смешанный характер. Он выражает взаимодействие поля деформаций и поля температур.
В уравнениях Дюгамеля — Неймана (7) величины cTilkl играют роль механических материальных констант, а величины pj;, как мы увидим позже, связаны и с механическими, и с температурными константами тела. Если в уравнении (7) положить etj = 0, то остается щ-, = р^-0. Величины р^ играют роль температурных напряжений и образуют, как и щ-д симметричный тензор. Индекс Т при величинах cTtjkl означает, что механические материальные константы, называемые упругими постоянными1), относятся к изотермическому состоянию.
Покажем теперь, что величины cTl)kl образуют тензор четвертого ранга. Для доказательства достаточно приравнять выраже-
') В оригинале «коэффициентами податливости». Однако в отечественной литературе коэффициентами податливости обычно называют величины, обратные к Сцу. — Прим, перев
ния свободной энергии (скалярной величины) в двух системах координат. В декартовой системе координат хг имеем
<16>
В системе координат хь имеющей то же начало, что и система хъ но повернутой относительно Х{, имеем
(17)
Используем известные формулы преобразования для тензора деформаций (формулы (12) § 1.3)
еаР = aiaa№eiP еув = аАуа«е W^^
Подставляя эти выражения в уравнение (16) и приравнивая (16) и (17), получим следующие зависимости:
СИМ " ^la^i^k^to^aW Pi/ = “ia^pPaP1(1 $)
Как известно, формулы (19) описывают преобразования тензоров четвертого и второго рангов.
Тензор c^jkl имеет 81 компоненту, тензор р^-— 9 компонент. Число независимых компонент будет значительно меньше, если учесть, что тензор оц является симметричным. Меняя местами в уравнении (7) индексы i и/, получим
^■к1 = с№(2°)
С другой стороны, симметричность тензора ем = е^ приводит к зависимости
^ik^^flk1(21)
Таким образом, мы сократили число независимых компонент тензора ст кг до 36, а тензора р^- до 6. Дальнейшее сокращение числа компонент тензора сТ.к1 получим из термодинамических уравнений. Так как dF является полным дифференциалом, то
(22)(23)взаимно(22)(23)взаимноd2Fd2Fdotj дак1
(22)
(23)
взаимно
(22)
(23)
взаимно
3 3, «ЛИл.
дйч дЧ1 дем деадЧ1 дец
Это соотношение приводит к зависимости ст =ст Lijkl икЩ*
Благодаря соотношению (23) тензор с^.к1 сводится к 21 независимой компоненте.
Обратим внимание на уравнение (15) для энтропии. Второй член правой части этого уравнения носит чисто тепловой
характер, в то время как первый член характеризует связанность поля деформаций с полем температур. Так как энтропия является скалярной величиной, то член рг,ег, в уравнении (15) должен быть также инвариантом.
Рассмотрим еще частный случай термодинамического процесса, а именно так называемый изотермический процесс. Этот процесс возникает, когда обмен тепла с окружающей средой происходит в теле при постоянной температуре То (6=0). В этом случае получим
^ = "2 CIjMeiiekP alj = CUk^kl’ 3 = 0^6^.(24)
Правая часть первого из уравнений (24) представляет собой работу деформации, произведенную при изотермических условиях. Обозначим ее через WT.
Термодинамический потенциал Гиббса.Вторая форма записи определяющих уравнений
В термодинамике важную роль играет термодинамический потенциал Гиббса, который, будучи функцией состояния, выражается формулой
G = F — апе1Г(1)
Поэтому
dG = dF — гц datl —а^ de^,
откуда, принимая во внимание формулу (3) § 3.5, получим
dG^don—Sdl.(2)
Так как dG является полным дифференциалом, т. е. G = г 0(ац, Т), то
Отсюда о _ dG С —/оч
дом* 5 дТ •(3)
Разложим потенциал G^aij, Т) в окрестности естественного состояния в ряд Тейлора. Поступая аналогично тому, как в случае свободной энергии, получим
Мы ограничимся рассмотрением малых деформаций. Используя формулы (3), получим
6 и = 8нм°ы + а,А(5)
о। dG^ (6)
S — dijOij Н^.(о)
Рассмотрим сначала выражение (5). Коэффициенты sTtiH называются коэффициентами податливости изометрического состояния. Так как потенциал Гиббса является скаляром, то функция G инвариантна относительно изменения системы координат. Величины sTljhl образуют тензор четвертого ранга. Здесь справедливы свойства симметрии, аналогичные свойствам тензора cTl)hr Поэтому имеем
оГ __ «Л* »Т __ „Т оТ . рТ(ПХ
Величины а,, образуют симметричный тензор второго ранга, что легко проверить при помощи выражения (5), принимая во внимание симметрию тензора е,;. Если в выражении (5) считать напряжения ам равными нулю, то получим
еП = ац9.(8)
Последняя формула выражает деформацию, вызванную изменением температуры в элементарном объеме dV тела, свободном на поверхности от напряжений. Величины а^ образуют тензор теплового расширения тела.
Выражение (5) можно трактовать как решение уравнений Дюгамеля — Неймана
= CTfktefcI Pi/®(9)
относительно деформаций. Отсюда вытекает, что
Pi/~akiCUM* SGkZCkH/ = I’ ац"^Ц8ИкГ ' О^)
Очевидно, что величины рг;- зависят как от механических, так и тепловых свойств тела.
Придадим функции G другой вид, учитывая, что G = = F— агзец. Принимая во внимание формулу (6) § 3.5 и формулу (9) этого параграфа, получим
— G — у eiiali + у $ijeM®— ЗД).(И)
Выражая деформации через напряжения по формуле (5) и учитывая третью из формул (10), найдем, что
— G = у4-+ у pz/az/92 — Fo (0).(12)
Из сравнения формул (4) и (12) вытекает, что
Go(0) = -Fo(0) + yPi/ai/02.(13)
Подставляя выражение (13) в (6), получим следующее выражение для энтропии:
S = al}Qti + Pz/«z/6g^--(14)
Так как дР0 , Т дТ С® П То
в соответствии с формулой (12а) пункта 3.5, то
S = Щ^ц + Pt/aZ/9 + се In "j^ •(15)
С другой стороны, трактуя S как функцию напряжений и температуры, имеем
<16>
Величина T^y-j называется теплоемкостью с0 при постоянном напряжении. Из формулы (14) получим
С°*-^^дТ^а ^[^ЧаЧ дТгУ(*^
Так как
„т ^Ро (0)е “1 дТ2 ’
ТО
co — cB — T^tja(j.(18)
Для малых изменений температуры относительно То будем считать, что JO/Tojc 1. Разлагая 1п(7’/7’0) в ряд относительно приращения температуры 0 и сохраняя только один член разложения, получим для энтропии следующее приближение:
(19)(19)S « ацОц -V с0-^.
(19)
(19)
И здесь мы различаем чисто тепловой член и член, возникающий от взаимодействия поля деформаций и поля температур.
Рассмотрим частный случай изотермического процесса. Для 0 = 0 имеем
^ — 2 5Г/ыа//ан’ еа 8иыам’ $ ач°н- (20)
Обозначим правую часть первого из уравнений через Wh. Это так называемая дополнительная работа. Для изотермического процесса она равна потенциалу Гиббса с обратным знаком.
Внутренняя энергия.
Третья форма записи определяющих уравнений
Рассмотрим внутреннюю энергию U = U (е,,, S). Разлагая ее относительно естественного состояния в ряд Тейлора, получим следующее выражение:
U = у сцыеиеы ^цец^ + ^о ($)•(1)
В этом разложении мы сохранили только первую и вторую степени деформаций; Uq является функцией только энтропии S. Так как
« - (^L de,i+^.dS=°"de" -TdS'(2)
то.
В выражении (1) c?jH являются адиабатическими коэффициентами жесткости анизотропного тела, так что для S = 0 имеем U = ^-с^!ЫеИекГ На основе тех же самых рассуждений, которые мы применили к свободной энергии, убедимся, что справедливы следующие соотношения симметрии:
СИМ = С^1кР С11Ы=СЦ1к» СИЫ=СЫ1Р ^11~^Ц'(5)
Соотношение (3) дает зависимость между компонентами тензора напряжений, тензора деформаций и энтропией.
Найдем еще зависимости, связывающие величины с^н и с^ы, а также величины p,j и й^, предполагая, что IS/T^lC 1. Подставляя температуру 6, определяемую формулой (15) § 3.5:
0=Z-(S-MA(6)
в соотношения Дюгамеля — Неймана
аи= си«ем0//0,(^)
получим зависимости
а—(ст • ₽^«Мв/Го
° И— \W +^7мV S‘^
Из сравнения соотношений (3) и (8) находим, что
s , , Мит»СЦН ~ СЦМ + сеs , , Мит»СЦН ~ СЦМ + се(9)(9)
s , , Мит»
СЦН ~ СЦМ + се
s , , Мит»
СЦН ~ СЦМ + се
(9)
(9)
его на Т, получимего на Т, получим
его на Т, получим
его на Т, получим
Рассмотрим еще частный случай адиабатического состояния. Для S = О имеем
°ц = сцм6ы'cSjMetjekp(Ю)
Здесь внутренняя энергия равна работе деформации W8 с коэффициентами c8.ki, отнесенными к адиабатическому состоянию U = WS.(11)
Из формулы (6) при S = О получим формулу для температуры в адиабатическом состоянии
e = -^Pw(12)
При рассуждениях, проведенных в последних трех параграфах, мы получили следующую связь между напряжениями, деформациями и температурой (или энтропией):
°ц = сТцы6н Р/А(13)
е./^^/Л + ^А(К)
aij = СИМеН А А(13)
Соотношения Дюгамеля — Неймана (13) мы нашли, используя свободную энергию, соотношения (14)—путем использования потенциала Гиббса, наконец, соотношения (15) —путем использования в качестве функции состояния внутренней энергии.
К этим соотношениям следует добавить выражение для энтропии. В предположении, что | e/Fo | <С 1, имеем
S = $ц6ц + се ^г-,(16)
или
S ^= ЯцОц 4~ Cq j^ .( 1 7)
Уравнение притока тепла
Рассмотрим выражение для энтропии
S = ^lj6ij “Ь се 'п т^"1(1)
18 = 1^ A-cj.18 = 1^ A-cj.(2)(2)Дифференцируя последнее соотношение по времени и умножая
18 = 1^ A-cj.
18 = 1^ A-cj.
(2)
(2)
Это уравнение сравним с полученным ранее уравнением (11) § 3.4
TS = XMT,4.(3)
В результате получим нелинейное дифференциальное уравнение
ХмТ.м-сД-Т^.ч = 0.(4)
Здесь нелинейность проявляется в третьем члене уравнения: — Р^Гё,^. Если, однако, в выражении Т = То [1 +(6/7’0)] примем, как это мы делали ранее, допущение J6/7’O|<C 1, то после линеаризации получим линейное уравнение
^/6. г/ —се6 —7’оР;/ё,/=О.(5)
Если в теле действуют источники тепла, то в уравнении (3) следует учесть влияние этих источников:
Т8 =— Qt, t-\-w = ХцТ, tj-\-w.(6)
Здесь через w обозначено количество тепла, возникающее в единицу времени в единице объема1). Уравнение притока тепла, в которое входят источники тепла, имеет вид
^i/Q. 11 — Се9 Т^цЕц = ХВ.(7)
Здесь член —ГоР^е^ отражает влияние связанности поля деформаций и поля температур.
К уравнению притока тепла (7) следует добавить граничные и начальные условия. Граничные условия могут быть выбраны в нескольких видах. Так, граничные условия, выражающие действие окружающей среды на тело, могут быть представлены на поверхности А следующими альтернативами.
На А задана температура 9 как функция положения и времени
0 = h (х, t\ хе A, t > 0.(8)
На поверхности А задан градиент температуры dQ/dn как функция положения и времени
0,„ = £(х, 0, хе A, t>Q, 0]/z=^.2)(9)
’) Величина а' называется источником тепла. — Прим, перев.
Наряду с обозначением д9/дх, = 9, ( для производных по декартовым координатам будем использовать обозначения де/оп = 0, „ для производной
. „дО дв
по нормали к поверхности Д. Заметим, что -^- = nj ^^ .
Задана функция
^ + а) 0 (х, О = f (х, t), хе A, t > 0,(10)
где а — постоянная величина.
Условие 2 соответствует тепловому потоку через поверхность А. Случай 0,« = 0 соответствует тепловой изоляции на поверхности, ограничивающей тело. Наконец, условие 3 отвечает свободному теплообмену на поверхности А. Могут, наконец, встретиться случаи смешанных граничных тепловых условий, когда на разных частях поверхности А заданы разные граничные условия.
Начальные условия отражают распределение температуры в начальный момент t = 0 как функцию положения
0(х, 0) = /(х), хе У, t = 0.(П)
Уравнение (7) связано с уравнениями для перемещений, которые мы выведем в § 3.9. Там тоже будут даны граничные и начальные условия для перемещений, которые связаны с членом —e,jP,jTo в уравнении (7).
Заметим, наконец, что в случае установившегося притока тепла из уравнения (7) исчезают частные производные по времени. Температурное поле становится независимым от поля перемещений, а распределение температуры описывается эллиптическим дифференциальным уравнением, что гарантируется условиями (8) § 3.4
^ij^. ч=(12)
Граничное условие для этого уравнения может принимать один из трех упомянутых выше видов, разумеется не зависящих от времени.
Основные дифференциальные уравнения термоупругости
Знание определяющих уравнений, выведенных в § 3.5, позволяет выразить уравнения движения через перемещения и температуру. Если в уравнения движения
®/z./ + ^ = P^z> Оч=оИ’ *’ /"1’ 2, 3,(1)
подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
аЧ = сТЦМ6н Ро®(2)
и затем выразить деформации через перемещения, то в результате получим систему трех уравнений
"2 C^jM kUh, I + Ul, k). / + ^i = P^i "b Pz7®. /•(5)
В этих уравнениях фигурируют три составляющие вектора перемещения и температура. Замкнутую систему уравнений термоупругости получим, присоединяя к уравнениям (3) уравнение притока тепла
^-оА// се®—То^цё^ = w.(4)
Уравнения (3) и (4) являются связанными. Действие массовых сил и внешних нагрузок вызывает в теле как поле перемещении, так и температурное поле. Точно так же действие источников тепла и нагревание (либо охлаждение) поверхности тела связаны с возникновением температурного поля и поля перемещений.
К уравнениям (3) и (4) следует добавить начальные и граничные условия. В качестве начальных условий принимается распределение перемещений, их скоростей и распределение температуры в некоторый начальный момент, например в момент t = t0:
ut(x, to) = fiW, ut(x, t0) = g{(x), 0 (x, t0) = h(x), xgV. (5)
В качестве граничных условий принимаются заданные перемещения и, = Ui(x,t) на поверхности А, ограничивающей тело, либо нагрузки р, = а^(х,1)п^х), х е А. Могут также встретиться смешанные граничные условия — нагрузки на части поверхности Ао и перемещения на части Аи, причем А = Ао + Аи. Для уравнения (4) граничным условием будет либо заданная температура 0(х, t\ хе А, либо тепловой поток q(nt = — Л^п{0 { на поверхности А.
Основные уравнения термоупругости можно выразить также через перемещения и энтропию. Если в уравнения (1) подставим соотношения (3) § 3.7
CT>/ = cW€ftl—^А(6)
а деформации выразим через перемещения, то в результате получим уравнения
У соы (uk, i ”b ui, а), / 4" А ~ P“z 4* А)5, ]•^
Исключая температуру из уравнения притока тепла (4) и воспользовавшись выражением для энтропии
Мл + ?Ч(8)
получим четвертое уравнение
-^1]$.11 ceS ^tj^kl^kl. lj ” ' ту*‘(9)
К уравнениям (7) и (9) следует добавить граничные и начальные условия, выраженные через перемещения и энтропию.
Уравнения термоупругости (3) и (4), а также (7) и (9) относятся к динамическим задачам. Однако если причины, вызывающие движение тела, изменяются во времени очень медленно, то в уравнениях (3) и (7) можно пренебречь инерционными членами, трактуя задачу как квазистатическую. В этом частном случае получим следующую систему уравнений:
"2 с1/ы(иь. i + ui. *), / + = Р<А ^®)
^</0,1/ — св® ^оРоё//= ®- (11)
Последняя система уравнений является связанной. В случае квазистатической задачи отпадают начальные условия для перемещений. Остается только начальное условие 6(х, /0) = h (х).
Если величины, вызывающие деформацию и температуру, изменяются достаточно медленно от нуля до своих конечных значений и остаются в таком состоянии, то мы имеем дело при t —► оо с установившимся процессом, со статической задачей. Перемещение и температура становятся не зависящими от времени и являются функциями только положения. В уравнении (11) исчезают производные по времени. В этом случае имеем несвязанную систему уравнений
У сГ/ы (ua, i "Ь ui. 0. / + ^i~ Р//®. р 0^) ^i^.ii = —w- (13)
Решая уравнение (13), получаем распределение температуры в теле. Известную уже функцию 6 подставляем в правую часть уравнений (12). ■
Дифференциальные уравнения классической эластостатики и эластокинетики
Рассмотрим частный случай действия только внешних сил на рассматриваемое тело. Предположим, что нагрузки возрастают достаточно медленно до своих конечных значений и находятся в этом конечном состоянии достаточно долго. При возрастании нагрузок одновременно возникает температурное поле. Однако при постоянных нагрузках и по прошествии продолжительного времени можно принять, что тело находится в изотермическом состоянии, благодаря обмену тепла с окружающей средой. Допущение изотермического состояния для статических задач лежит в основе классической эластостатики. Это предположение позволяет значительно упростить дифференциальные уравнения,
Прежде всего в предположении 0 = 0 отпадает уравнение притока тепла, а также тепловые члены в правой части уравнений для перемещений. В результате остается система уравнений
"2 снм ^.ui. 4 + Uk, i), j + ^i= 0-(1)
Из выражения свободной энергии (формула (14) § 3.5) выпадают члены, содержащие температуру, и остается
(2)
Свободная энергия равна в этом случае собственной работе деформации №г, а ее дифференциал имеет вид
dF = dWT=-fl-—d8tj=Gtid8(i.(3)
где
aH = cTtiki4v(4)
Точно так же для термодинамического потенциала Гиббса получим■
^ = У S^iklai j°kl = ^(5)
И
-dG = dW'<=JL-doli, ^ = sTilklokl. (6)
Величина WK, называемая «дополнительной работой», равна потенциалу Гиббса с обратным знаком.
Перейдем теперь к динамическим задачам и введем некоторое ограничение. Предположим, что единственными причинами, вызывающими движение тела, являются внешние нагрузки. Положим далее, что внутри тела отсутствуют источники тепла. При быстро меняющихся во времени нагрузках обмен тепла за счет теплопроводности происходит очень медленно и термодинамический процесс близок к адиабатическому процессу.
Принятие в классической эластокинетике предположения, что термодинамический процесс является адиабатическим, приводит к значительному упрощению уравнений. Считая далее, что 5 = 0, S = const, получим из уравнения (15) § 3.5
9 = -^цеИ. .(7)
(8)(8)Интегрируя последнее уравнение в предположении, что eij = 0 для 0 = дополучим зависимость
(8)
(8)
Это уравнение заменяет уравнение притока тепла и связывает температуру с деформацией тела в адиабатическом процессе. Подставляя теперь температуру 6 из уравнения (8) в уравнения движения (3) § 3.9, получим уравнение
"2" СИЫ ^uh. I + UU *), / + ^i ~ ^Г^
Здесь
T T0^i^klCW = CW +
являются упругими постоянными для адиабатического состояния (ср. с формулой (9) § 3.7).
Решая уравнения (9), получим перемещения и,. С их помощью вычислим деформацию е.^ и подсчитаем температуру 6 по формуле (8).
Для адиабатического процесса при S = 0 выражение внутренней энергии принимает вид
U = WS =*2 cljfe[etjefel.(10)
Внутренняя энергия равна здесь работе деформации №s, причем
dU = -^- dea = "эГ" d64 = °н d64-(11)
Случай температурных напряжений
Во многих случаях мы разыскиваем решение для тел, подвергнутых только действию источника тепла и нагреванию по поверхности.
Уравнения, описывающие деформацию и температуру в теле, имеют вид
4 chki К i + ui. k\ / = Р«г + Р( Д г(1)
^ij6, ij се$ = — w + To^ijStj.(2)
Эксперимент показывает, что эффект связанности в уравнениях (1) и (2) незначителен *), поэтому мы не сделаем большой ошибки, если пренебрежем в уравнении (2) членом ТЙ^ёИ. Тогда получим упрощенную систему уравнений
у сТцы (Uk. I + Ul. k\ j~ V^t + Р//6, р(3)
Xli^,l — c^ = — w.(4)
Учет связанности мы обсудим подробнее в § 12.6.
Уравнение (4) не зависит от уравнения (3). Решаем сначала упрощенное уравнение притока тепла (4) при заданных начальном и граничном условиях. После этого известную функцию 6 подставляем в уравнение (3). Решение этих уравнений дает перемещения Ui. В квазистатических задачах после отбрасывания инерционных членов имеем систему уравнений
У сиы kuk. i + ui. Д i = 0»А р($)
Xtj9.tj — сЕ0 = — w.(6)
В уравнениях (5) время играет роль параметра.
Если тепловой процесс является установившимся, то в уравнениях (5) и (6) отбрасываем временные производные, получая систему уравнений
У ^kl^k, I + Ul, k\j = Р/у®. р(?)
М. ц = — w.(8)
Система уравнений (7) и (8) идентична системе уравнений, найденной для установившихся задач термоупругости (см. уравнения (12) и (13) §3.9 для Xt = 0).-
Материальные константы анизотропного упругого тела
Рассмотрим определяющие уравнения термоупругости
°ij=cHklekl Pr/®» r> /• ^’ ^=1> 2, 3.(1)
Как было установлено в § 3.5, cTllkl является тензором четвертого ранга, а р,, — тензором второго ранга. В дальнейших рассуждениях индекс Т при коэффициентах cTijkl будем опускать. Тензоры Cijki и р^ удовлетворяют следующим условиям симметрии:
^ijkl С цу, Cijki Ctjik, Cijk[ = Cknj, Pij = Ру/. (2)
С учетом этих условий имеем, например,
Sil ~ ciiiieii + Cij22e22 -ф С/уззбзз +
+ 2сlj 23^23 + 2c//3iS31 -ф 2с/у12е12 — pz/0. (3)
Предположим, что 0 = 0 и еп = е, в то время как остальные компоненты тензора деформаций равны нулю. Тогда
^п ~ с1111е-(4)
Полученные напряжения соответствуют одноосному растяжению тела в направлении оси х/.
Допустим теперь, что 6 = 0 и 822 = е, в то время как остальные компоненты тензора деформации равны нулю. Тогда из формулы (3) получим
(722 = ^2222®* (5)
Отсюда видно, что при одном и том же типе растяжения (сжатия) и при одном и том же значении деформации получаем различные значения напряжений, если Спи =/= Сгггг- Отсюда вытекает, что линейное соотношение (3) справедливо для анизотропного тела, характеризующегося тем, что его упругие свойства зависят от направления.
Преобразование коэффициентов с,^, Pij при замене системы координат приведено в § 3.5 (формулы (19)). Обозначая материальные константы в системе координат х, через cagY6, pag, а в системе координат х\ через c'tjfe[, $'tj, получим следующие формулы преобразований:
^«l^^WaN’ (6)
₽//= nian/pPa3- (7)
Здесь через ni(X, ... обозначены косинусы углов между осями x'i и осями ха, как указывает следующая таблица:
Х1
*2
Хз
<
"и
"12
"13
(8)
Х2
«21
"22
"23
х3
"з1
"32
"зз
с1111
С1122
с1133
с1123
с1131
С1112
С2222
^2233
^2223
^2231
С2212
СЗЗЗЗ
^3323
с3331
^3312
с2323
^2331
^2312
с3131
С3112
С1212
представим в виде матриц:представим в виде матриц:011 012 013022 023 •033011 012 013022 023 •033(9)(9)Коэффициенты Сцм, Р,, с учетом соотношений симметрии (2)
представим в виде матриц:
представим в виде матриц:
011 012 013
022 023 •
033
011 012 013
022 023 •
033
(9)
(9)
Здесь выписаны только верхние части матриц; нижние части симметричны верхним относительно главной диагонали.
Покажем сначала, что упругие постоянные обладают центральной симметрией. Преобразование относительно центра сим-
метрии (инверсия) заключается в переводе точки (Xj,x2, х3) в положение (—хь —х2, —х3). При преобразовании системы координат относительно центра симметрии коэффициенты н1а, п^, ... принимают значения —61а, —63р, ... . Из формулы (6) получим
СЦЫ = ^itfii^k^i&Ca^y6 ^ СЦЫ* (^)
Отсюда видно, что при инверсии упругие постоянные не изменяются. Аналогичный результат получим для коэффициентов
Pz/= ^а^Рар ~ Рц-(И)
Матрицы (9) содержат 21 независимый коэффициент Сцм и 6 независимых коэффициентов р,,. Это число констант соответствует триклинной кристаллической системе. Значительное уменьшение числа независимых материальных констант получим в кристаллах, имеющих двукратную ось симметрии. Говорят, что кристалл имеет ось симметрии n-го порядка, если свободная энергия и напряжения не изменяются после каждого поворота этой оси на угол Чл/п. В случае двукратной оси симметрии после каждого поворота системы координат на угол 180° относительно этой оси число отличных от нуля постоянных в повернутой системе координат должно оставаться тем же самым.
Допустим, что двукратной осью является ось х3. При повороте системы координат х' относительно двукратной оси х3 на 180° получим для х' = х3, х' = —х,, х' = —х2 следующую таблицу коэффициентов:
X]
Х2
Хз
x'i
-1
0
0
4
0
-1
0
Хз
0
0
1
Для вычисления коэффициентов c'tikl, р^ воспользуемся формулами (6) и (7); например
С1111 = П1аП1£П\уП16Са№ " С1111’
C1132 " П1<ЛрП37П2вСа07в =^1132*
011 П1сЛр0ар Р11’
Р13 = П1<ЛрРсф ” Р13*
Поступая так далее, получаем
С1Ш=С1111' С1122=*С1122' С1133_С1133’ С1123=‘-С1123’ ^iSl” с1131’ СЦ12 СЦ12'
СТт-СТт' с2233= С2233"C2223=2223'с2231“ С223Гс2212=с2212’
// _/ _ _/
С3333=С3333'С3323_с3323’с3331 СЗЗЗГС3312-С3312> 02)
/ / /
С2323С2323'С2331 С2331"С2312~ с2312>
С3131 = С313Гс3112=-с3112>
С1212=С1212>
0Ц"0Ц’ 012 = 012’^13=013»
022= 022»023™023»(13)
033 ~ 033'
Если анизотропное упругое тело обладает свойством симметрии относительно двукратной оси симметрии, то коэффициенты с'/Аг и Р^у в повернутой системе должны совпадать с коэффициентами с13Ы и ру в неподвижной системе координат. Опуская в соотношениях (12) и (13) штрихи, убеждаемся, что шесть коэффициентов должны равняться нулю:
С1123 ” С1131 = С 2223 — ^2231 = ^3323 = С3331 ~ С2312 ~ с3112 — О,
013 — 023 = 0.
В матрицах (9) остается 13 коэффициентов с^ы и 4 коэффициента ру. Матрицы (9) принимают вид
СШ1С1122С113300СШ2С2222с223300^2212с333300с3312с2323С23310с31310С1212СШ1С1122С113300СШ2С2222с223300^2212с333300с3312с2323С23310с31310С12120Н0Н012 О022 О033012 О022 О033(14)(14)
СШ1
С1122
С1133
0
0
СШ2
С2222
с2233
0
0
^2212
с3333
0
0
с3312
с2323
С2331
0
с3131
0
С1212
СШ1
С1122
С1133
0
0
СШ2
С2222
с2233
0
0
^2212
с3333
0
0
с3312
с2323
С2331
0
с3131
0
С1212
0Н
0Н
012 О
022 О
033
012 О
022 О
033
(14)
(14)
Тринадцать коэффициентов с^м и четыре коэффициента ру соответствуют кристаллам моноклинной системы.
Теперь предположим, что двукратной осью симметрии является ось xi (т. е. х' = хр х' = —х2, х^ = — х3). В этом случае на основании аналогичных выкладок получаем следующие ма-
трицы коэффициентов:
с1111 СЦ22 СПЗЗ ^112300
^2222^2233с222300
С3333^332300
Рп о 0
^232300
•
022 023
. (15)
033
с3131^3112
^1212
Если предположить, что анизотропное тело имеет две взаимно ортогональные двукратные оси симметрии, например ось Xi и ось х3, то постоянные с^м и р,, должны одновременно удовлетворять схемам (14) и (15). А это возможно только тогда, когда
ci 1 itС1122с1133000^2222С2233000с3333000с232300с31310С1212ci 1 itС1122с1133000^2222С2233000с3333000с232300с31310С1212С1112 = ^2212 = ^3312 = С2331 = 0>с1123 = с2223 = с3323 = с3112 = 0>Р12= 023 = О.С1112 = ^2212 = ^3312 = С2331 = 0>с1123 = с2223 = с3323 = с3112 = 0>Р12= 023 = О.Получаем следующие матрицы коэффициентов:Получаем следующие матрицы коэффициентов:0и О О022 О0зз0и О О022 О0зз(16)(16)
ci 1 it
С1122
с1133
0
0
0
^2222
С2233
0
0
0
с3333
0
0
0
с2323
0
0
с3131
0
С1212
ci 1 it
С1122
с1133
0
0
0
^2222
С2233
0
0
0
с3333
0
0
0
с2323
0
0
с3131
0
С1212
С1112 = ^2212 = ^3312 = С2331 = 0>
с1123 = с2223 = с3323 = с3112 = 0>Р12= 023 = О.
С1112 = ^2212 = ^3312 = С2331 = 0>
с1123 = с2223 = с3323 = с3112 = 0>Р12= 023 = О.
Получаем следующие матрицы коэффициентов:
Получаем следующие матрицы коэффициентов:
0и О О
022 О
0зз
0и О О
022 О
0зз
(16)
(16)
Такая система характеризуется 9 постоянными cijM и 3 постоянными Pi-; и называется ортотропной системой. Этот случай соответствует ромбическому типу кристаллов. Можно показать, что существование трех двукратных осей симметрии не приводит к дальнейшему сокращению числа постоянных с^м и р,;.
Рассмотрим далее случай, когда анизотропное тело характеризуется осью симметрии четвертого порядка. В таком теле упругие свойства повторяются при повороте системы координат относительно оси симметрии на 2л/4 = 90°. Если за ось симметрии четвертого порядка примем ось х3, то х3=х', х1 = —х2> х2 = х[, а коэффициенты nta даются следующей таблицей:
Xi
хг
хэ
4
*2
*3
0
-1
0
1
0
0
0
0
1
4 В$ Новацкий
Вычисляя коэффициенты c'ljfe[ и р'у в системе координат х\ по формулам (6) и (7), получим следующие соотношения:
С1111 = С2222' С1122=С2211 С1133=С2233’ С1123="С2213' С1131=С2232' С1112="С2221>
С2222=С111Г С2233=С1133’ С2223=-С1113' c223V=Cm2*с2212=-С112Р
С3333- с3333‘ С3323с3313* с33311332* С2312— С132Р
С2323~С1313‘ С2331 = -С1332’ С2312="С1321 •
С3131=С3232'с3112=-с3221>(^)
С1212=С1221>
011 = 022> 012 = 021’ 013 ~ 023’
022 = 0Ц’023 = 013’
033 ~ 033'
Свойство симметрии требует, чтобы в обеих системах координат xt и x't значения постоянных были одинаковыми. Поэтому можно опустить штрихи в соотношениях (17). Используя соотношения (2), приходим к выводу, что
С1111=С2222,С1133 = С2233>с2323 = с3113>С1112~с2212>
011 ^ 022- 013==023,
а остальные отличные от нуля составляющие суть
^3333’^1122’С1212,033-
Таким образом получаем следующие матрицы коэффициентов:
С1111С1122С113300С1112с1111с113300С1112с3333000с232300с23230С1212С1111С1122С113300С1112с1111с113300С1112с3333000с232300с23230С12120н 0 013011 013 •0330н 0 013011 013 •033(18)(18)
С1111
С1122
С1133
0
0
С1112
с1111
с1133
0
0
С1112
с3333
0
0
0
с2323
0
0
с2323
0
С1212
С1111
С1122
С1133
0
0
С1112
с1111
с1133
0
0
С1112
с3333
0
0
0
с2323
0
0
с2323
0
С1212
0н 0 013
011 013 •
033
0н 0 013
011 013 •
033
(18)
(18)
Здесь мы имеем 7 независимых коэффициентов с1зы и 3 коэффициента Pij. Если осью симметрии четвертого порядка является
осьх2 = х', то с1111с1122получаемматрицыС11310спзз0С2222с1122000^11110— СПЗ|0С121200С31310^1212осьх2 = х', то с1111с1122получаемматрицыС11310спзз0С2222с1122000^11110— СПЗ|0С121200С31310^1212Pll Р12 ОР22 Р12 •РззPll Р12 ОР22 Р12 •Рзз(19)(19)
ось
х2 = х', то с1111с1122
получаем
матрицы
С1131
0
спзз
0
С2222
с1122
0
0
0
^1111
0
— СПЗ|
0
С1212
0
0
С3131
0
^1212
ось
х2 = х', то с1111с1122
получаем
матрицы
С1131
0
спзз
0
С2222
с1122
0
0
0
^1111
0
— СПЗ|
0
С1212
0
0
С3131
0
^1212
Pll Р12 О
Р22 Р12 •
Рзз
Pll Р12 О
Р22 Р12 •
Рзз
(19)
(19)
Если тело характеризуется двумя взаимно ортогональными осями симметрии четвертого порядка и этими осями являются, например, оси х2 и х3, то между элементами матриц (18) и (19)
должны существовать следующие соотношения:
С1111 —^2222— С3333, Сц22— Сизз,
С1112 = ^1131 = 0, Рц=Р22 = РзЗ
^2323 С3131 ^1212»
Р
12 Р130.
Таким образом мы получаем матрицы
^1111 ^1122 С122 ООО
С1111^1122 ООО
£nn ООО
Ри 00
£121200
Р11 о , (20)
D
£12120
Ри
^1212
в которые входят три независимые составляющие тензора с^м и одна тензора p,j- Случай трех взаимно ортогональных осей симметрии четвертого порядка не приводит к дальнейшему сокращению числа постоянных.
Рассмотрим еще гексагональную систему анизотропного тела (кристалла). В этой системе потребуем, чтобы упругие свойства тела были неизменными при следующем преобразовании координат:
х' = х, cos ft + x2sin0’, х2 = — х, sinti+ х2 cos ft, x3 = x2, (21) т. e. чтобы они не зависели от поворота системы координат вокруг оси х3. Коэффициенты nia указаны в таблице
Х1
х2
х3
*1
cos А1
sin О
0
*2
— sin й
cos А1
0
0
0
1
Определение коэффициентов c’ijkl и p'z/ при помощи формул преобразования (6) и (7) затруднительно. Поэтому сокращение числа коэффициентов проведем другим путем. Будем исходить из преобразования деформаций
(22)
Из формул (22) найдем поочередно
е' = 8.. cos2» 4- 2е|9 sin О cos О -J- eMsin2O, е', = е,,,
в' = 8n sin2» — 2e12sin О cos» + е22 cos2»,
(23)
е'3 = — e13sinO + е23 cosO, в31 = е13cos» 4" е23 sin», v ’
ei2 = (е22 ~ ei i)sm ^ cos ^ + ei2 (cos2 ^ — ^п2 $)•
Компонеты тензора напряжений a'tj в системе координат х[, х2, х' преобразуются по тем же правилам, что и деформации е,,:
с'ц= nian№°a»-(24)
Для а'ц получим формулы, аналогичные формулам (23).
Рассмотрим соотношение сг33=ст33, которое, будучи выражено через деформации, примет вид
С331 Iе! 1 4" С3322622 4" сззззезз 4" ^С3323е23 4" ^C333\e3\ 4" ^С3312612^33® =
= сззц8ц 4* £3322^22 4" С3333833 + 2сзз23823 4-Зсззз^з! 4-2с3312е12—Р339. (25)
Если в левую часть уравнения (25) мы подставим ez/ по формуле (23), а затем опустим штрихи при cilkb то получим следующее уравнение:
ei 1 [(^3322 — Сзз11) sin2 » — 2с3312 sin » cos »] +
«22 К^зз 11 — ^3322) sin2 ^ 4- 2с3з12 siп » cos «1 +
+ 2е32 [(cos »-1) Сззгз 4" с3зз1 sin »] + 2е31 [(cos» — 1) Сзз31—Сзз23 sin »] +
4" 2е12 [(с3311 — c3322)sin»cos» —2сзз125Ш2»] = 0. (26)
Приравнивая нулю коэффициенты при ви, е22 и е12, получаем соотношения
(с3з11 — СзЭ22) sin2 6 ± 2с33|2 sin 6 cos 6 = 0,
(Сззп — Сззгг)sin ^ cos » — 2с3312 sin2» = 0,^
которые должны выполняться для произвольного угла ». По
этому
^3311 = Сз322>с3312 ” 0,(б)
Если приравняем нулю коэффициенты при е,з и егз, то получим £3323 = с3331 — 0-(в)
Произведем такие же вычисления для <т'3=<т13, принимая во внимание формулу (24), где <т{3 = <т13 cos О’+ а23 sinti. Приравнивая нулю коэффициенты при еп, получим
£1322 = £1311 — £1312 = £2311 — 0-(г)
Приравнивание нулю коэффициентов при егг приводит к соотношениям (г), а коэффициентов при егг — к соотношениям
£ц13 = £2213,£1213 = с1223 — 0.(д)
Наконец, приравнивание нулю коэффициентов при езз приводит к соотношениям (в), а при ei3 — к равенству
£гз13 = 0.(е)
Приравнивание напряжений ои и а^ приводит к дальнейшим соотношениям
£1112 = £з312 = 0,£ззп=£з322>£цц=£2222>, .
_ 1_(ж)
£1212 = у (£1111£2211),£1222 —0.
Наконец, из равенства 0^3 = о2з получаем
С2323 — £1313-
Матрица коэффициентов
£цц £1122 £цзз £цц £цзз £зззз
Сцк1 принимает следующий вид:
000
000
000
£13.300-(27)
ci3i30
2"(£1111 —с2211)
Упругое тело, обладающее гексагональной симметрией, определяется пятью независимыми коэффициентами.
Величины ^ для гексагональной симметрии найдем из формулы (7). Эта формула имеет такую же структуру, что и формула (24). Поэтому достаточно в этой формуле заменить a'(j
и oti на р'<у и р/л Аналогично формулам (23) имеем Р^ = рн cos2 $ + 2pi2 sin О cosO + P22sin2O = ри, Р22 = Pi 1 sin2 О — 2р12 sin О cos О + р22 cos2 О = Р22, Р12 = (Р22 — Ри) sin О cos О + р12 (cos2 О — sin2 О),
Так как эти формулы должны удовлетворяться независимо от значения О, то
Pll=P22> Pl2 = ₽23 = Рз1 = 0.
В случае гексагональной симметрии появляются только две независимые составляющие тензора Pij. Ниже представлена ма
трица тензора р,/
Ри 0 0
(28)(28)Рп 0
(28)
(28)
Рзз
Рассмотрим тело, которое характеризуется гексагональной симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей. Тогда имеет место схема (27), с той лишь разницей, что появляются дополнительные соотношения
с1313 = "2" (СИ11 — с112г)» СЗЗЗЗ = СШ1> с3311 = СИ22> РзЗ = Р11'
Вводя постоянные )
Н = “2'(с1111^1122).^ = С1122> Y = Р11 = Р22 = РзЗ|
материальных констант:материальных констант:получаем следующие матрицы
материальных констант:
материальных констант:
A -|- 2ц ААООО
у 0 0у 0Уу 0 0у 0У(29)(29)А + 2цАООО
у 0 0
у 0
У
у 0 0
у 0
У
(29)
(29)
А + 2ц0 0 0
ц 0 0ц 0
Требование, чтобы тело имело гексагональную симметрию относительно трех взаимно ортогональных осей, не приводит к дальнейшему сокращению числа коэффициентов.
Используя матрицы (29), представим выражение для свободной энергии в виде
F = -^cliklelieki — Pz/ez/9 —-^-92.
После простых вычислений получаем
F = У-ецВи + -у е^е№ — N^k — -^ 92.(30)
Дифференцируя частным образом свободную энергию по деформациям, получим уравнение Дюгамеля — Неймана
оц = 2p.ez/ -)- ^ekk — y9)dz/.(31)
Для энтропии получим следующую формулу:
S = ye6fe + ^-9.(32)
Заметим, что формулы (30) — (32) справедливы для изотропного тела, т. е. такого, в котором упругие свойства одинаковы во всех направлениях.
Потребуем, чтобы коэффициенты с^м и pZj принимали одни и те же значения в каждой системе координат. Этому требованию удовлетворим, взяв capY6 в виде общего изотропного тензора четвертого ранга, а коэффициенты рар в виде изотропного тензора ’) второго ранга. Поэтому, полагая
сару6 = ^ар^уб "Ь ^ау^рб + c6agdpv, Рар — убар, (33) где К, Ь, с, у являются постоянными величинами, получаем из формул преобразования (6) и (7) следующие зависимости:
снм = ^ы + b^ikbii + cMjk = cMkP ^ч = Yd.r (34)
Подставляя зависимость (34) в соотношения (1), найдем, что az/ = Кб^е^к + Ьец + се^ — ydZ;-9.
Учитывая симметрию тензора деформаций (e7J = ejZ), получим окончательно
Оц = 2peZ/ -|- (Хекк— y9)dZ/-, 2ц = 6 + с.(35)
Отсюда видно, что соотношения (35) и (31) идентичны.
В случае изотропии остаются только две механические материальные постоянные К, ц. Величина у, как мы увидим позже, связана с величинами К и р, а также с коэффициентом теплового расширения at.
Аналогичные рассуждения можно провести по отношению к коэффициентам c^lkl и 0^, входящим в выражение внутренней энергии
U=4 cHk№i -+ и о ^1(36)
и по отношению к коэффициентам sTtjkl и а//; входящим в выражение потенциала Гиббса
— G = 1 s ^lklauok[ + а;/а;/9 + Go (9).(37)
Коэффициенты c?jkl и s^jkl преобразуются таким же образом, как и коэффициенты cTijkl. Полная аналогия существует также между коэффициентами О,щ а,, и коэффициентами 0О-.
Займемся еще изотропным телом. Из выражения (37) получим
дОц = еИ = ^4kl®kl + аЦ^-(38)
Для изотропного тела соотношения (38) имеют структуру, аналогичную зависимостям (35):
elj = 2р/оц + ^'akk + а<9) &ij>(39)
где p', X' являются пока неопределенными величинами, а а,,- = = аД-;, где а< — коэффициент линейного расширения. Это последнее утверждение вытекает из следующих рассуждений. Если рассмотреть бесконечно малый элемент тела, свободный от напряжений на поверхности и подвергающийся температурному воздействию, то его деформация примет вид
^ = az9dz/.(40)
Соотношение (40) указывает на известное свойство изотропного тела, которое при нагревании может изменять только объем, но не форму.
Величины р', V можно определить, разрешая систему уравнений (35) относительно деформаций
1Xy^i/
гЧ = ~2р °Ч ~ 2ц(ЗЛ+ 2р) akk?>H + 2р + ЗХ 9(41
и сравнивая с системой уравнений (39). Из этого сравнения вытекает, что
,)X у
— 4р ’ Л “ 2р (ЗХ + 2ц) ’°' 2ц + ЗХ •
Таким образом мы определили величины р', X', а также, величину у = (2р + ЗХ)а(.
Часть II
ЭЛАСТОСТАТИКА
Глава 4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯИ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЛАСТОСТАТИКИ
Связь между напряженными деформированным состояниями ■
Во второй части монографии мы будем заниматься состоянием равновесия упругого деформированного тела :—эластоста- тикой. Мы предполагаем, что нагрузки, приложенные к телу, возрастают очень медленно от нулевых значений до своих окончательных значений и остаются в этом конечном состоянии без изменений. Допустим, что тепло, выделяемое в процессе этого медленного деформирования, отводится так, что термодинамический процесс можно считать изометрическим (Г = О, Т = То = = const). Мы исключаем возникновение в теле источников тепла и нагревание поверхности, тела. Предполагаем поэтому, что 6 = = Т — Го = 0 в каждой точке тела. Предполагаем, далее, что в теле отсутствуют начальные деформации, вызванные усадкой или набуханием материала, откладывая рассмотрение этих вопросов до дальнейших глав. Наконец, предполагаем, что во время деформации тела на его поверхности не возникает дополнительных связей, опорных реакций. Этим предположениям отвечает так называемое упругое тело Клапейрона.
Вернемся к термодинамическим соотношениям, упомянутым в § 3.5. Предположение изотермичности процесса деформации приводит к тому, что свободная энергия F не зависит от возрастания температуры 9.
Формула (24) § 3.5 определяет равенство свободной энергии F работе деформации W
F=^=^<Wu4i.(1)
Поскольку дифференциал свободной энергии является полным дифференциалом как для неустановившихся, так и для установившихся процессов, то из формулы (1) вытекает, что дифференциал работы деформации в рамках эластостатики также
является полным дифференциалом. А именно , „ дГ ,.w/ dW ,
dF~ деИ d6ii’ dW — дем deH
(2)
др _ dW
(3)
(4)
откуда
° it de^deM 1
° 4 " CIjklEkr
Для изотропного тела, согласно формуле (34) § 3.12, CHkl = ^T^ij^kl + I1,7 (.^ik^jl + ^il^jk)-
(5)
Подставляя изотропный тензор (5) в соотношения (1) и (4), получим
F = W=\x.reMeM-V-^6kkBtl,(6)
оц = ^Teii + ^ijBkk.(7)
В дальнейших выкладках мы будем опускать индекс Т при коэффициентах Ламе, помня о том, что в эластостатике мы имеем дело с коэффициентами X, ц при изотермическом состоянии. Свободная энергия и работа деформации являются положительно определенными квадратичными формами аргументов е;;. Свободная энергия и работа деформации являются скалярами, поэтому и правая часть уравнения (6) является скаляром. С другой стороны, известно, что с помощью тензора егц можно образовать два инварианта второго порядка, а именно инварианты е^е^ и еце,,. Так как свободная энергия является положительно определенной квадратичной формой, то ц > 0, X + 2/з ц > 0.
Уравнения (7) представляют собой линейные соотношения между напряжениями и деформациями; они называются обобщенными соотношениями Гука. Произведем свертывание в соотношениях (7):
^kk = (2ц + ЗХ) Bkk = ЗКв^^.(8)
Мы получили связь между двумя инвариантами: суммой нормальных напряжений и дилатацией. Коэффициентом пропорциональности является величина ЗК = ЗХ + 2ц *).
Подставляя ень из (8) в формулу (7) и разрешая соотношения Гука относительно деформаций, получаем формулу
е(/ = 2ц'а(-/ + ^ЬцОкь(9)
') Величина К называется модулем всестороннего растяжения или сжатия. — Прим, перев.
где
1X
И “ 4ц ’ Л 2ц (ЗХ + 2ц) ‘
Установим физический смысл величин К, ц, X.
Рассмотрим простейший частный случай, а именно односвязное тело V, в котором действуют только сжимающие нормальные напряжения оц = —рбц, р > 0, р = const. Такое напряженное состояние удовлетворяет уравнениям равновесия ац,; = 0, а на границе тела А приводит к нагрузкам
°Ип1 = — P^ini = — Pni
Отсюда видно, что рассматриваемое напряженное состояние соответствует всестороннему равномерному сжатию тела поверхностными силами — р. Подставляя зависимость о,, = —бцр в соотношение (9), убеждаемся, что ем = — pbM (2/ + ЗА') =
— — Р А2ц + ЗХ
Совершая в последнем соотношении операцию свертывания, получаем 9
Р=-Кекк, К = Х + ^- (Ю)
Мы получили простую связь между давлением и дилатацией. Величина К является положительной, так как А + 2/зр>0, и всестороннее сжатие упругого тела может вызвать только уменьшение его объема.
Рассмотрим далее элемент в виде параллелепипеда квадратного сечения. Пусть ось параллелепипеда направлена по оси х3 (рис. 4.1). Пусть этот элемент изменяет свою форму под действием касательной силы Р, равномерно распределенной по грани DC в направлении оси Хг. Изменение формы сечения ABCD характеризуется углом ф.
Назовем жесткостью сечения отношение
(Н)(Н)При описанном типе деформации единственной отличной от нуля деформацией является егз = ф/2. Так как отличным от нуля напряжением является только агз = Р (где Р относим к единице поверхности), то
(Н)
(Н)
Ф 2е2з
Из формулы (7) видим, что в рассматриваемом частном случае л = ц. Поэтому коэффициент Ламе ц можно отождествить с жесткостью. Величина ц называется модулем сдвига. Кроме постоянных Ламе ц и X вводятся коэффициенты Е и v, первый из которых называется модулем Юнга, а второй — коэффициентом Пуассона.
Рассмотрим одноосное напряженное состояние. Допустим, что тензор напряжений Ojj характеризуется только одной величиной, а именно нормальным напряжением оц. Из соотношений (7) вытекает, что
Оц = 2цеп-|-Хе^, 0 = 2ц.е22 + Хе^, 0 = 2це33 + Хе^,°23 = °31 — 012 = 0,е23 = е31 = е120> екк = ец + Вг2 4" 633.
Разрешая последние уравнения относительно деформаций, имеем
811 = ц (ЗА + 2,0е22 = е33 -2(А + ц) еи-
Коэффициенты пропорциональности в этих уравнениях обозначим через 1/Е и v. Тогда
8н=^£^>822 = 833= ven.(12)
Отсюда видно, что
ц(ЗХ + 2ц)А
A + u ’ V"2(A + u)-О3)
Модуль Юнга Е имеет размерность напряжения (кГ/см2), коэффициент Пуассона v является безразмерной величиной, что вытекает непосредственно из соотношений (12). Из уравнений (12) видим, что при одноосном напряженном состоянии оц пропорционально деформации ей, а коэффициентом пропорциональности является модуль упругости Е. Убедимся далее, что растяжение объемного элемента в направлении оси Х] сопровождается его сужением (сжатием) в направлении осей х2 и х3. Мерой этого сужения, зависящей от материала, является коэффициент Пуассона v. Из формул (13) и (10) получаем
= (1 + v) (1 - 2v)'2(1 +v) ’1 + 3 — 3(1-2v)' <14)
Так как X >- О, К > 0, то и 1 — 2v >! 0. Это означает, что
О < v < у.
Случай v = 1/2 соответствует несжимаемому телу. Учитывая соотношения (14), получаем из уравнений (7) следующие зависимости:
° И = 1 + v (е‘7 + 1 — 2v ^Z^)’0 $)
ef/=-^г[(1 + v) о,,-— vdz/eftft].(16)
В дальнейших выкладках мы будем пользоваться в основном соотношениями (7) и (9), однако не раз нам придется воспользоваться и соотношениями (15), (16).
Соотношениям, связывающим напряженное и деформированное состояния, можно придать и другой вид. К обеим частям соотношений (7) прибавим шаровой тензор —^dijOkh. Используя зависимость (8), получаем
®ц з" 6tlofcfc 2ц (^</3 ^ii^kk^ ■(17)
Вводя девиаторы
,„1 .
Sij —Оц з OijOkki^ijз Oij&kk’
формулу (17) можно записать в виде
5,у=2це,у, $^ = 0.(18)
Эта зависимость вместе с уравнением
окк = ЗКекк(19)
заменяет соотношения (7).
Шаровой тензор —g-d.ya^ представляет изотропное напряженное состояние, соответствующее равномерному сжатию (или растяжению). Величина -g-6Zyew является средней объемной деформацией. Девиаторы sZj, е^ характеризуют изменение формы. Об этом свидетельствует коэффициент пропорциональности 2 ц. Соотношение (19) характеризует изменение объема тела. Заметим, что 8^ = 0, 6^ = 0. Подставляя соотношения e'Zy=gz/ + +у d/уе^ в выражение свободной энергии, после простых преобразований получим формулу
F = H7 = neZyeZy + 4eL(20)
Таким образом свободная энергия разделяется на две части: часть
Fa=Wa = -ye2fefe.
характеризующую энергию чисто объемной деформации, и частьFb = Wb = ^е^вц,
которую мы определим как энергию чистого изменения формы. Вводя постоянные Е, v, получаем
1 — 2v 2Е 2mх
6Е °kk 6(1—2v)8^
и
= ^[("и - ^ + (о2г- Озз)2 + (Озз - Он)2 +
+ 6(°1з+^ + ^)], (22) или
^* “ 2(1 4- v) {"3 [(8н — 822^ + ^22 8з3^ + ^8з3 еи)21 +
+ 2(^ + е2,-Н22)}. (23)
Если напряженное и деформированное состояния выражаются через главные напряжения и деформации, то в формулах, выведенных в этом параграфе, следует отбросить члены а^ и ец, для которых г ^ j. Представленные тут линейные соотношения между напряженным и деформированным состояниями являются обобщением давно известного экспериментального закона. Закон упругости, определяющий зависимость между напряжением и деформацией в одноосном напряженном состоянии, установил Роберт Гук в 1676 г. Многочисленные опыты с удлинением пружин, стержней и с изгибом балок привели его к формулировке закона упругости в форме лапидарного утверждения: «ut tensio sic vis»1). Это означает, что деформация пропорциональна нагрузке, которая ее вызвала.
Мы видим, что закон Гука соответствует первому соотношению системы (12). Уравнения (7) являются обобщением закона Гука на трехмерное напряженное состояние. Интересно, что эти соотношения были получены из термодинамических уравнений без обращения к закону упругости, а только из постулата, что напряжения являются линейными функциями деформаций.
Дадим еще один, уже элементарный способ вывода соотношений Гука из соотношений (12).
Выделим элемент объема в виде параллелепипеда, такого, что его оси совпадают с главными осями напряжений. Как из-
') Каково удлинение, такова сила (лат.).— Прим, перев.
вестно, эти оси одновременно являются и главными осями удлинений. На выбранный таким образом элемент действуют главные напряжения щ, оц, ащ. Если на элемент действует только напряжение стг, то главные удлинения, вызванные этим состоянием, определяются формулами (12):
»iа,
ei = — , ец = ещ = — V6] = — v •
Если на элемент действуют главные напряжения ап, то апап
ei = еш = — v -g-, еп = -g-.
Наконец, если на элемент параллелепипеда действуют главные напряжения (Тщ, то
Суммируя одновременное действие напряжений сть Цц, <7пг, получим следующие главные деформации:
ei = -^[<7i —v(CTn + <7iii)L
еП = "g" [(<7ц — v (<Ц + Щп)].
еш = "g [<7щ v (<Ji + »п)]>
или, короче,
^^-^■"[ПаО + V) — v(<j, + an + (Тш)], a = I, II, III. (24)
Как мы уже показали, тензоры деформаций и напряжений связаны со своими главными значениями следующими формулами преобразования:
ez/ = eanian/a, au = 0aniania, a = I, II, III, /,/ = !, 2,3. (25)
Здесь мы переходим от главных осей хг, хц, хщ к осям хь х2, х3. Умножая (24) на nianja и учитывая соотношения (25) и то, что пгапза = Ь получаем следующие зависимости:
ez/ =-^г [(! + v)<7Z;- — vdiyff^J,
(26)
^кк — Щ + Щ] + ^Ш — ^П + СТ22 4" ^33-
Обобщенный закон Гука относится к абсолютно упругим телам, а именно к таким, в которых при разгрузке исчезают деформации. Однако реальные упругие материалы подчиняются закону Гука только в некоторой области.
При значительных напряжениях для ряда конструкционных материалов (сталь, алюминий) наблюдается существенное отклонение от этого закона. Некоторые материалы (бетон, камень, кожа) вообще не подчиняются закону Гука, и для них связи между напряжением и деформацией в одноосном напряженном состоянии являются нелинейными.
Проследим за экспериментом, который проводится при испытании на растяжение образца, имеющего круговое сечение. Этот образец помещается в захватах машины. Нижний захват во время эксперимента остается неподвижным, а верхний поднимается вверх с помощью поршня. Образец так помещен в захватах, что во время его растяжения на некотором отдалении от захватов наблюдается равномерное распределение напряжений по сечению образца. Тем са- dмым реализуется одноосное
6 1—1—напряженное состояние, опи-
дсанное формулами (12). Из-
/*1меняя нагрузку Р, замеряем
атодновременно приращение А/
/длины образца. При равно-
/мерном распределении на-
/пряжений оц = Р]А, где
/А — площадь сечения образца,
[>. а ен = А///, где /—первона-
0е чальная длина образца. На
рис. 4.2 представлена диаграм-
РИС' 4'2'ма <тц, ен для малоуглероди
стой стали.
При возрастании нагрузки от нуля до некоторого значения а^' деформации возрастают пропорционально напряжениям. Напряжение в точке а называется пределом пропорциональности. До этого предела деформации являются полностью упругими, при уменьшении нагрузки до нуля деформации исчезают. До предела пропорциональности сохраняет свою силу закон Гука. При дальнейшем увеличении напряжений диаграмма <тц, еи отклоняется от прямой линии, после снятия нагрузки сохраняются остаточные деформации. Доходим до точки Ь, после прохождения которой деформации начинают быстро возрастать даже при незначительном увеличении напряжений. Точка b называется пределом текучести. Говорят, что после прохождения предела текучести материал течет. Это течение продолжается до точки с, после которой деформации возрастают с ростом напряжений. Это явление называется упрочнением материала. При дальнейшем увеличении нагрузки происходит разрыв материала (точка d на диаграмме ап, еп). Он вызывается сильным сужением образца, возникает так называемая шейка.
В линейной теории упругости рассматривается только та часть О-a диаграммы, где напряжения пропорциональны деформациям. Практическое значение теории упругости обусловлено тем, что в инженерных конструкциях, машинах, летательных аппаратах и т. д. допускается только напряжение ниже напряжения ^ф. Вообще говоря, в конструкциях исключается возникновение остаточных деформаций. В некоторых конструкциях (например, в стальных конструкциях мостов и сооружении) ограничиваются и упругие прогибы, так что допустимые напряжения лежат значительно ниже предела пропорциональности. Подробное обсуждение экспериментальной стороны рассмотренного здесь явления читатель найдет в учебниках по сопротивлению материалов, например в первом томе книги Губера (Huber М. Т., Stereomechanika techniczna, PZWS, Warszawa, 1951)1).
Уравнения эластостатики в перемещениях
Для установления основных уравнений эластостатики можно идти двумя путями. Либо за исходную точку выбрать уравнения равновесия, выражая их через перемещения, либо исходить из уравнений совместности, выражая их через напряжения.
Займемся сначала уравнениями в перемещениях. Если в дифференциальные уравнения равновесия
Oji, / + %i = 0, х е У,(1)
подставим соотношения, связывающие тензоры напряжений и деформаций
Cq = 2цег/ + X6Me, e = ukik, a/z = az/, хеУ, Л, (2) а деформации выразим через производные перемещений
«И = 4 («г. / + «/, i). X е V, А,(3)
то в результате получим уравнения в перемещениях. Так как
Oji. j = Н (ы/. i + ui. iY s + Хб^-е, i = ^иь is + ЦЩ. ц + Хе,
то уравнения (1) принимают вид
Щ.н + (X + ц) uhli + Xi =0,/,/ = 1,2,3.(4)
Это дифференциальные уравнения Навье. Они образуют систему трех уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа. Уравнения (4) должны выполняться в каждой точке х е V.
') См. также Ильюшин А. А., Ленский В. С., Сопротивление материалов. Физматгиз, М., 1959. — Прим, перед.
Уравнения (4) можно представить в векторном виде
pV2u + (Л + p)grad divu + Х = 0,(5)
где и— вектор перемещения, X — вектор массовых сил. Так какV2u = grad div u — rot rot u,
то уравнению (5) можно придать вид
(X + 2p)grad divu — р. rot rot u 4-X = 0.(6)
Для решения задачи следует добавить еще граничные условия на поверхности А, ограничивающей тело V. В эластостатике мы имеем дело с тремя основными краевыми задачами. Первая состоит в нахождении распределения перемещений и напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесии, если внутри тела известны массовые силы, а на границе заданы перемещения. Вторая основная краевая задача заключается в определении перемещений и напряжений внутри тела при заданных массовых силах внутри тела и заданных нагрузках на его поверхности. Наконец, третья основная краевая задача заключается в определении функций иг и оц внутри тела при заданных массовых силах и заданных перемещениях на части границы Аи и нагрузках на части границы Ао. Очевидно, Аи -f- + Аа = А.
Граничные условия для первой краевой задачи записываются в виде
Н;(х) = /Дх), хе А.(?)
Здесь функции /Дх) заданы, т. е. известно распределение перемещений на А.
Во второй основной краевой задаче имеем следующие граничные условия:
p<(x) = <r/z(x)n/(x), хе А.(8а)
Здесь ац — напряжения, ап, — направляющие косинусы внешней единичной нормали поверхности А. Краевые условия (8а) следует задать в функциях перемещений. Учитывая (2) и (3), получаем
Pi = ц (Uj, j + ujt J Пд + kukikni.(86)
Заметим, что правую часть уравнений (86) можно представить также через нормальные производные перемещений и через компоненты тензора «ij и дилатацию е. Преобразуем (86) к виду
Pi = 2ры(, ,п} + ц (nz, i — н/, /) Пд + Хеп^(8в)
или
ди.
pi = 2ii-^-+^jingA-^eni.(8г)
Вернемся к уравнениям в перемещениях (4). Применим к уравнению (6) операцию дивергенции. В результате получим уравнение
Если поле массовых сил является потенциальным, т. е. существует потенциал ф, так что Xt = ф й то уравнение (9) принимает вид
0°) Л ~г
Правая часть уравнения (10) равна нулю, если вектор X является постоянным либо если функция ф гармоническая. В этих случаях уравнение (10) переходит в уравнение
V2e = 0.(11)
Дилатация удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармонической функцией. Инвариант а^ также является гармонической функцией, ибо, свертывая соотношения (2), имеем ahh = (ЗА + 2р.)е. Допустим, что массовые силы равны нулю, и применим к уравнению (5) операцию rot. Учитывая, что rot grad е = 0, получим
V2(rot u) = 0, или
V2w = 0,(12)
так как
1 ,® = у rot U.
Отсюда видно, что составляющие вектора угла поворота иг = 1,
= -2"€е/4^,/ являются гармоническими функциями.
Предположим, что массовые силы обладают гармоническим потенциалом, а перемещения являются функциями класса С4. Применяя к уравнениям в перемещениях (4) оператор Лапласа, получаем
цУ4щ-}-('t + ц) У2^, г = 0.(13)
Учитывая соотношение (11), приводим уравнение (13) к виду
V4H/=0.(14)
При принятых предположениях перемещения удовлетворяют би- гармоническому уравнению.
Вернемся к граничным условиям. Первый тип граничных условий (7) аналогичен условиям в краевой задаче Дирихле
теории потенциала. В ней требуется, чтобы функция w удовлетворяла гармоническому уравнению
Vw = 0) х s у,(15)
в области V в предположении, что на границе А задана функция
w = f(x\ хе А.(16)
Эта аналогия становится более ясной, если предположить отсутствие массовых сил. В этом случае систему уравнений (4) можно привести к виду, аналогичному (15):
где е = Uh, h — гармоническая функция.
Во второй основной краевой задаче теории потенциала разыскивается функция w, удовлетворяющая уравнению (15) в области V в предположении, что на А задано граничное условие
^- = gW, хе А.(18)
Во второй краевой задаче эластостатики мы имеем дело с граничными условиями (8а). Это условие, учитывая (8г), можно представить в виде
ди, 1
= liT ^pi ~ Хеп‘— 2Н“0'«/)> хеД. (19)
Если каким-нибудь путем удастся определить дилатацию е и функции оц на границе, то условие (19) будет аналогичным условию Неймана (18). В задаче Неймана требуется, чтобы интеграл от функции dwjdn по поверхности А был равен нулю. В эластостатике требуется, чтобы нагрузки, действующие на тело, удовлетворяли общим уравнениям равновесия тела V как абсолютно твердого целого.
Уравнения в перемещениях (4) являются линейными дифференциальными уравнениями. Ввиду линейного характера уравнений (4) имеет место принцип суперпозиции. Поэтому, если массовые силы X*.11 вызывают перемещения и^\ а массовые силы Х(2)— перемещения и^\ то массовые силы Xt = XV’ + Х(2) вызывают перемещения и,= и^ + и^.
Дифференциальные уравнения совместности
В § 1.11 были введены условия совместности
ei/, kt + ^kl, ij — ^ik, jl — eit, Ik = 0.(1)
Из обсуждения этих условий вытекало, что из общего числа 81 уравнения только 6 являются независимыми; получим их, производя свертывание по индексам к и I;
V2ez/+ е ц — 6ik,jk — ejk, ik = 0, e = ekk.(2)
Систему этих уравнений можно значительно упростить, используя уравнения равновесия
Oki, к + Xz = 0.(3)
Подставляя в уравнения (3) напряжения а,к как функции деформаций
CTfti = 2p.e&i + Mwe,(4)
получим
+(5)
Точно так же заменой индексов находим
=+(6)
Дифференцируя уравнение (5) по х5 и (6) по xt, а затем подставляя в уравнение (2), получим систему шести дифференциальных уравнений простой структуры
+ ^, г/ = - 2- №. z + Xb J, к = А±Ь.(7)
Если массовые силы постоянны, то эти уравнения однородны. Выполняя свертывание в уравнениях (7), получим уравнение
(8)
Если массовые силы обладают гармоническим потенциалом, то дилатация е удовлетворяет уравнению Лапласа
V2e = 0,(9)
т. е. является гармонической функцией.
Так как дилатация е пропорциональна инварианту напряженного состояния Окк, то и Окк является гармонической функцией.
Применим теперь к уравнению (7) оператор Лапласа. Предполагая, что массовые силы постоянны, и учитывая уравнения (9), получим
(10)(10)?Ч=0,
(10)
(10)
В этом частном случае деформации etj являются бигармониче- скими функциями. Точно так же и напряжения at, являются би- гармоническими функциями, что вытекает из соотношений (4).
Уравнения Бельтрами — Мичелла в напряжениях
Уравнения эластостатики в перемещениях, выведенные в § 4.2, удобны в тех случаях, когда на границе А тела V заданы перемещения. В случае заданных на границе нагрузок граничные условия требуется выразить через перемещения. Мы видели, что в этом случае граничные условия выражаются линейными функциями от производных перемещений.
Поэтому в случае заданных на границе нагрузок удобнее применить другой способ, основанный на введении такой системы дифференциальных уравнений, в которой в качестве неизвестных функций выступают напряжения. Так как тензор напряжений определяется шестью составляющими, то мы должны получить систему шести дифференциальных уравнений. .
Эти уравнения, называемые уравнениями в напряжениях, были введены Бельтрами *) в 1892 г. для случая отсутствия массовых сил, а в 1899 г. другим путем были получены Мичеллом ) при учете действия массовых сил.
Решение системы уравнений
Oji.i + Хг = 0 (1)
с граничными условиями
Pt = оц*Ч (2)
не единственно. Так как в систему трех уравнений (1) входит шесть составляющих тензора ац, то можно найти бесконечное число решений, удовлетворяющих уравнениям (1) и условиям (2). Мы должны найти остальные уравнения. Мы получим их, если примем во внимание тот факт, что деформации ец, связанные с напряжениями ац линейным законом Гука, не могут быть произвольными функциями, а обязаны удовлетворять дополнительным условиям — уравнениям совместности. Таких уравнений шесть (формулы (2) § 4.3):
V2ez/ + e, 1] — eik,jk — 6tk,lk=O1 e=Ekk. (3) Если в эти уравнения подставим деформации ец как функции напряжений ац"
^ij = 2ц'стг/ + X 6Ms, 8 = 0^, (4)
то получим систему шести уравнений в напряжениях
V2ct,z + Ц^ s.ij + ^r f^s - ^Чам. и + оы, ^ =0.(5)
Подставляя в уравнения (5) зависимости
и 2ц *2ц (ЗА + 2ц)
и используя уравнения равновесия (1), получим систему уравнений
+ ТГТ^s- ч - ЯТ5- 6->№ + х‘-1 + хч - = 0 <6>
Используя уравнения равновесия (1), мы привели систему уравнений (1) и (5) к системе шести дифференциальных уравнений (6). Дальнейшее упрощение уравнений (6) получим следующим способом. Подвергнем уравнения (6) свертыванию. Оно приводит к соотношению
V2sЗгщ о2- Хк к.(7)
Исключая с помощью соотношения (7) величину V2s из уравнений (6), приходим к окончательному виду уравнений в напряжениях
^<$4 + 1 4- v S- Ч ^ — №. / + ^Ь i) 1 _ V 4/Xkl к>
_ Л(8)
V 2 (Л + ц) '
К этим уравнениям следует добавить уравнения равновесия (1) и граничные условия (2). Для определения шести составляющих напряженного состояния имеем систему девяти уравнений: шесть дифференциальных уравнений второго порядка (8) и три уравнения первого порядка (1).
Рассмотрим частные случаи. Если массовые силы обладают потенциалом
Xi=q>.i, V2qp=0,(9)
то уравнения (8) принимают вид
+ ТТ7 S'11 = “ 2ф Ч‘(10)
На основе уравнений (7) утверждаем, что
V2s = Q
Инвариант напряженного состояния s = <тц + <722 + <7зз является гармонической функцией. Если к уравнениям (10) применить оператор Лапласа, то
^ап=О. (12)
Напряжения о^ являются бигармоническими функциями. Аналогичный результат справедлив для постоянных массовых сил.
Уравнения Бельтрами — Мичелла можно вывести и другим путем, принимая за исходную позицию уравнения в перемещениях. Такой способ обоснован тем, что в этих уравнениях уравнения совместности удовлетворяются тождественно1). Продиф
ференцируем уравнения в перемещениях
p,V2u,- + (Л + ц) е, ( + Xt = 0(13)
по Ху Тогда получим уравнение
рХ2и, / + (^ + н) е, ij + Ху j =0.(14)
Поменяв местами индексы
^.г + ^+ц)^ ji + Xg.i^O(15)
и сложив уравнения (14) и (15), получим
v3ez/ + ^,z/ + -1-(xz,/ + x/,z)=o.(16)
Если в эти уравнения подставить соотношения (4), то после простых преобразований придем к системе уравнений
+ TFV -=•><- ttw 6« v’s + х‘- - + х<- -=°' <17> совпадающей с системой уравнений (6).
Принцип виртуальных работ.Теорема о минимуме потенциальной энергии
Пусть тело V находится в равновесии под действием массовых сил Х(, поверхностных сил р; и перемещений, заданных на поверхности тела. Пусть нагрузки pt заданы на поверхности Ао, а перемещения ut на поверхности Аи, причем А = Аа + Аи, где А — поверхность тела V. Под действием этих факторов в теле возникают перемещения иь деформации е1; и напряжения 0tj.
Дадим теперь перемещениям и( виртуальные приращения buy Предполагаем, что вариации but являются непрерывными функциями класса С3, величинами достаточно малыми, соизмеримыми с допустимыми перемещениями в линейной теории упругости.
*) Ignaczak J., Direct Determination of Stresses from the Stress Equations of Motiop in Elasticity, Arch.. Meeh. Stos., 11, № 5 (1959).
Величины би, являются произвольными, но согласованными с условиями, ограничивающими деформацию тела. Это означает, что на поверхности А„, на которой заданы перемещения ut, следует положить бщ = 0.
Работу массовых и поверхностных сил на виртуальных перемещениях назовем виртуальной работой внутренних сил и определим с помощью следующей суммы интегралов:
6L= J Xi?>utdV + J Pi?>utdA.(1)
VА
Заметив, что pt = а^п}, можем преобразовать второй из интегралов в объемный интеграл
■ 6L= {И^ + ^биД/ИУ,
V или
.6L= J (X( + Oji, /) but dV + J 6ц Ьщ, f dV.(2)
vv
Первый из интегралов исчезает, поскольку
°it.i + ^ = °
(это уравнение равновесия тела). С другой стороны, бм(, / = бе(/ + б<о(/ и
°ii ^ui, j = °Ц (6£</ + ^ij^ = Оц b6if.
Так как тензор otj симметричен, а тензор <0ij антисимметричен, выражение оцбюц равно нулю. Поэтому из уравнений (1) и (2) имеем
j Xt bUi dV + j pi but dA = J Qi, bEtf dV.(3)
vav
Правая часть этого уравнения представляет собой виртуальную работу внутренних сил, т. е. работу напряжений на виртуальны-х деформациях.
Уравнение (3) выражает следующий весьма общий факт: виртуальная работа внутренних сил тела, находящегося в равновесии, равна работе напряжений на соответствующих виртуальных деформациях. Уравнение (3), называемое «принципом виртуальных работ», справедливо как для упругих, так и для неупругих тел.
При проведении выкладок до сих пор не были использованы соотношения, связывающие напряженное состояние с деформированным..
Свяжем правую часть уравнения (3) с работой деформации WE, определенной в § 4.1, где
WE = НЕ</Е</ + "2" ЕЛбЕпп'(4)
Так как, согласно формуле (3) § 4.1,
то
У <^ бе^ dV = У ^ dez/ dV = д У Wt dV = 6ГЕ.(6)
Vv ifV
Уравнения виртуальной работы (3), учитывая (6), приводим к виду
бГЕ = У Х{ but dV + ^ Pi bUi dA.(7)
К■ A
Так как мы предположили, что на Аи заданы перемещения (т. е. Ьщ = 0 на Ли), то уравнение (7) упростится:
ЫЕ = J Х{ but dV + J Pi but dA.(8)
vAo
Массовые и поверхностные силы не варьируются. Поэтому справедливы соотношения
XibUi = b^XtUiY PibUi = b^PiUiY Следовательно, мы можем в правой части уравнения нести знак вариации за интеграл и получитьб Г ГЕ — J Xtut dV — У PiUt dA 1 = 0.XibUi = b^XtUiY PibUi = b^PiUiY Следовательно, мы можем в правой части уравнения нести знак вариации за интеграл и получитьб Г ГЕ — J Xtut dV — У PiUt dA 1 = 0.(9)(8) вы-(9)(8) вы-(Ю)(Ю)vvАаАа
XibUi = b^XtUiY PibUi = b^PiUiY Следовательно, мы можем в правой части уравнения нести знак вариации за интеграл и получить
б Г ГЕ — J Xtut dV — У PiUt dA 1 = 0.
XibUi = b^XtUiY PibUi = b^PiUiY Следовательно, мы можем в правой части уравнения нести знак вариации за интеграл и получить
б Г ГЕ — J Xtut dV — У PiUt dA 1 = 0.
(9)
(8) вы-
(9)
(8) вы-
(Ю)
(Ю)
v
v
Аа
Аа
Величину в квадратных скобках обозначим через
nE = rE-J XtutdV — \ptMA(П)
VАа
и назовем потенциальной энергией системы. Уравнению (10) можно придать вид
6ПЕ = О.(12)
Функционал Пе принимает экстремальное значение.
Покажем, что функционал ПЕ достигает минимума. С этой целью сравним потенциальную энергию ПЕ для поля переме-
щений щ и потенциальную энергию Пе для поля перемещений «i + &ut. Предполагаем, как и ранее, что but = 0 на поверхности Аи. Поэтому имеем
Ш - П6 = f [ We ^ч + de,,) - W6 (в,,)] dV - V
Разложим функцию ^(в,; + дв,;) в ряд Тейлора, обрывая этот ряд на величинах второго порядка:
W^e (ец + 6e(/) — We (e(/) + -^—^ de(/ + у . de,v дв6(,
11 RI
откуда, учитывая формулу (5), имеем
^Е (ЕО + 6е(/) — We ^ = Оц дв(/ +-1 ^"бе,/ de6Z. (14)
Подставляя формулу (14) в (13) и обозначая через R интеграл
представим уравнение (13) в виде
Ш — Пе= J о(/ 6ez/ dV — J Xtbui dV — J р^щ dA + R. (15) vva0
Это уравнение значительно упрощается, если учесть принцип виртуальных работ (3):
YTe-He = R = ^^^tibEHdV.(16)
Под интегральное выражение преобразуем следующим образом:
dat>1 S
у уе ^Eq de^; = -^ де^ (2цЕ<у -f- Лд(у8пп) де(у де^/ =
= у (^Цб^й/г + ^ц^м') ^i/ 6efe[ =
= У (2ц ЬеИ + ХЬц де) де(/ = ц де(/ де(/ + - defcfc де,(.
Это выражение представляет собой работу деформации при ее увеличении на де^-; в силу неравенств ц > О, X > 0 оно является
величиной положительной. Поэтому
,1 г да
Щ-Пе = /? = т{ ^-de(/deHdV^O,(17)
что гарантирует существование абсолютного минимума для функции ПЕ.
Можно сформулировать следующее утверждение. Из всех перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, только перемещения, отвечающие состоянию равновесия, дают минимальное значение потенциальной энергии.
В частном случае отсутствия массовых сил и при заданных перемещениях на всей поверхности А уравнение (10) переходит в
дГе = 0.(18)
Функционал ЖЕ достигает минимума.
С помощью теоремы о минимуме потенциальной энергии можно сформулировать ряд частных утверждений, касающихся вида дифференциальных уравнений в перемещениях и связанных с ними естественных граничных условий для задач об изгибе балок, мембран, плит, оболочек, для кручения бруса, плоского напряженного состояния в пластинках и т. д.
Остановимся еще на обратной теореме, гласящей, что если потенциальная энергия достигает абсолютного минимума для некоторого поля перемещений щ, удовлетворяющего граничным условиям щ = /{ на Аи, то это поле должно удовлетворять граничным условиям Pi = Oji«j на Аа и уравнениям равновесия внутри тела.
Доказательство этой теоремы дадим по Сокольникову (см. список литературы). Предположим, что функции щ + дм4 принадлежат классу С3 и таковы, что
Пе — Пе ^= J" оq ^ii dV — J* X tbUi dVJ Pi Ьщ dA -|- R ^ 0.
VVA
Преобразуя первый из этих интегралов, получим
Пе — Пе = — J (а/;, у + Х^ f>Uj dV + J ^Qijfi-j Pt) but dA + R 0.
VA
Заметим, что на Au выполняется условие б«{ = 0. В силу произвольности вариаций 6щ их можно выбрать равными нулю и на Ао. Тогда останется неравенство
- f (а1И1 + ^<) ^ui dV + R^ 0,(19)
v
Так как R — величина положительная, a бщ — произвольная, то должно быть
cjt.i + ^ = 0
в каждой точке тела. Предположим теперь, что какое-нибудь из уравнений (19), например первое, не удовлетворяется в некоторой точке Р е V, т. е.'
о/1,/ + ^1>0 в точке Р.(20)
Окружим точку Р сферой малого радиуса а и выберем 6ut следующим способом:
I А2 (а2— г2)4 при г2^й2, /г2 > 0,
U1 ~ | 0при г2^а2,(21)
дм2 = бм3 = 0.
Подставляя значения (21) в неравенство (19), получим
- J (o/,,/ + X,)fc2(ti2-r2)4^ + /?^0.(22)
v
Но, учитывая формулу (20), убеждаемся, что интеграл в неравенстве (22) можно представить как к2М, где М — положительная величина, не зависящая от к2. Поэтому
— к2М + R > 0.(23)
Величина
#=J Fe(6e(/)d/= J ^бе^бе^ + убе^бе^^Р vv
зависит от квадратов деформаций, а именно от квадратов производных виртуальных перемещений бщ. Учитывая формулы (21), убеждаемся, что R2 = kAN, где N > 0. Выбирая к достаточно малым, можно удовлетворить неравенству к2М > R, что противоречит неравенству (23), а поэтому противоречит предположению (20). Следовательно, в каждой точке тела должны выполняться условия равновесия cjt, 3 -ф Х< = 0.
Вторая форма теоремы о минимумепотенциальной энергии
Рассмотрим поле перемещений и^ и соответствующие ему деформации е,, и напряжения оц, возникающие в теле в процессе его деформирования. Напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия
(1)(1)°Р-1 + ^1 — ®>
(1)
(1)
а также граничным условиям
Р1=ОцП; на Ло,
Ui = fi на Аи, А = Аа4-Аи.
Обозначим через щ второе поле перемещений. От этого поля потребуем только, чтобы на Аи были выполнены кинематические граничные условия
ut = fi на Ац.(3)
Перемещениям и, соответствуют деформации г*ц и напряжения Qij, причем напряжения otj не обязаны удовлетворять уравнениям равновесия.
Умножим уравнение (1) на разность щ— m и проинтегрируем по области V:
J оц, / (и? — и») dV 4- J X, (и! — »i)dy = 0.(4)
vк
Проведем в уравнении (4) следующие преобразования:
У [ог/ («; — «<)], / dV — У оц (и( — Ut\ f dV + У Xt (ui — щ) dV = 0, vvv
откуда
J X, №-„, yv + ^ р.Щ-и^А-
VАVV 7
Pi=6нпг
Поскольку как поле перемещений щ, так и и* удовлетворяют кинематическим граничным условиям на Ли, разность щ— щ на Ли равна нулю.
Из уравнения (5) получаем
У xi k^i — uiW^PM—at)dA = \°n ^*ц ~ Ец) dV. (6)
VАоV
Обозначим через Ж6 работу деформации, связанную с полем перемещений «у:
Ге=У (це,/Е</ + |е66еп^У,(7)
v
а через Ж1 работу деформации, соответствующую полю al:
Ж1! = У ^НЕЬеЬ + уeifcen) dV.(8)
V
Как Же, так и Ж*е являются положительно определенными. Точно так же и функция
= j [н (е</ — ez/) (е?/ — ez/) + Ь ^ — г^ ^и — ед)] dV > 0 (9) v
является положительно определенной. Связывая между собой выражения (6), (7) и (8), найдем
ГЕ (е-/ - ez/) = г; - Ге - J (eZ/ - ez/) oMdV> 0.
V
Отсюда вытекает, что
Г;-Ге> {(^-e^-dP.(10)
к
Последнее неравенство сопоставим с уравнением (5). В результате получим
F* — J Xtu\dV — J p.u*dA> ГЕ — j XtutdV — j PiutdA. (11) гл0va0
В левой части имеем потенциальную энергию для поля перемещений at, в правой части — для поля щ. Поэтому неравенство (11) можно представить в виде
Ш>Пе.(12)
Из этого неравенства вытекает, что потенциальная энергия для поля перемещений и,, которая удовлетворяет условиям равновесия и заданным граничным условиям, меньше, чем потенциальная энергия поля щ, которая удовлетворяет только кинематическим граничным условиям на Аи. Неравенство (12) совместно с уравнением дПЕ = 0 приводит к следующему утверждению: из всех полей перемещений, удовлетворяющих заданным кинематическим условиям на Аи, только то поле, которое удовлетворяет одновременно и граничным условиям (2) и условиям равновесия, приводит потенциальную энергию к абсолютному минимуму.
Теорема Кастильяно о минимуме дополнительной энергии
Рассмотрим упругое тело, занимающее область объема V, ограниченную поверхностью А. Это тело деформируется под действием массовых сил Х<, поверхностных нагрузок р, на поверхности Ао и заданных перемещений ц4 на Аи. Разумеется, А = = Аа -|- Аи.■
Деформирование тела описывается полем перемещений ut п соответствующими ему деформациями е,; и напряжениями о<р В состоянии равновесия напряжения o<j должны удовлетворять уравнениям
0/м + 2Г( = 0, xeV, (1)
и граничным условиям
(2)(2)Pi = 0,^1- хсЛ0,Ui = fi, хе Ац.
(2)
(2)
Пусть теперь напряжения dj получают вариации бщ-д Величины дЩ; трактуем как непрерывные функции класса С2, бесконечно малые произвольные взаимно независимые величины.
От напряжений ot, + бо,; и нагрузок pt -|- др, потребуем, чтобы они были статически допустимыми. Это означает, что внутри области V должны удовлетворяться уравнения равновесия
Oji, j + &°Ц, j 4" ^i ~ ®> х е V,(3)
а на Аа граничные условия
Pz + Sp^Co^ + do/Jn/.(4)
Величины 6oi3- и др, на Аи являются произвольными.
Вычитая из (3) уравнение (1), получим уравнения равновесия
do/Z-/ = 0, xeV.(5)
Точно так же, вычитая из (4) граничные условия (2), имеем
bp^bOjiitj, хеА0, bOji произвольны на Аи. (6)
Величины бац не обязаны удовлетворять уравнениям совместности Бельтрами — Мичелла.
Уравнение (5) утверждает, что каждый элементарный объем должен находиться в состоянии равновесия под действием виртуальных напряжений 6o,j, если вариации дсг,; являются статически допустимыми величинами. Предположим дополнительно, что вариации др, принимают нулевые значения на той части поверхности, на которой заданы нагрузки р,. При таком предположении граничное условие (6) примет вид
(7)(7)d<rz^ = O, хеЛд.
(7)
(7)
В дальнейших выкладках будем опираться на вариацию работы деформации Wa при увеличении напряжений ot, на вариации бе,):
6Г„ = f [Га 1оИ + до,,) - Wa (o,z)] dV. (8) v
Разлагая W'o(Oij + до,,) в ряд Тейлора, получим
6Г0 = Wa (ач + do,,-) - Wa (ач) =
"337^4 + Т"33^337•
» /Ij RI
Ограничиваясь вторым членом разложения и учитывая, что
дГ0d2W дец
^ ~~Е</’"^^Чн ~ ^Чи
имеем, используя закон Гука,
^2Ц7\
55~55~6о,/доА, = у[ц (д^д/, + бцд/fe) + X д,/дЛ,]до,/ дои =
= n'doZ/do,v 4--^-doftftdoAA = IFa(do„). (10)
Принимая во внимание формулы (9) и (10), вариацию работы деформации (8) можно представить в виде
6ЖО= J ez/doz/dP +/?о, Яо = J ^(60;/) dV > 0. (Па) vv
Следует заметить, что №о(до,,) является положительно определенной квадратичной формой.
Так как
e(j ба^ ==^ut_ j — wif) do,,- = ut, i boi,,
то выражение (На) удается привести к виду
6Жа= j u^jbcti dV + /?0= J (м,до,Д j dV — J bOji.jUtdV + Ro. vvv
Второй интеграл в правой части равен нулю в силу условий равновесия (5). Выполняя в первом интеграле преобразование Гаусса — Остроградского, получим
6Уа= j bOjitijUtdA -ф Rq.
л
5 В. Новацкий
Использование граничного условия на Аа (уравнение (7)) приводит к уравнению
ЬЖа = J bpiut dA + /?0.ЬЖа = J bpiut dA + /?0.(Нб)(Нб)
ЬЖа = J bpiut dA + /?0.
ЬЖа = J bpiut dA + /?0.
(Нб)
(Нб)
Так как перемещения на Аи не изменяются, то и^р^ = б(р<щ) и уравнение (Нб) можно представить, отбрасывая величину высшего порядка /?о, в виде
б ГГа - J PiUi dXl =0.б ГГа - J PiUi dXl =0.(12)(12)АиАи
б ГГа - J PiUi dXl =0.
б ГГа - J PiUi dXl =0.
(12)
(12)
Аи
Аи
Функция в квадратных скобках называется дополнительной энергией и обозначается через По. Тогда
(13)(13)бПа = 0.
(13)
(13)
Дополнительная энергия в силу положительности второй вариации (7?0 > 0) достигает абсолютного минимума. Смысл уравнения (13) можно выразить следующим способом.
Дополнительная энергия достигает абсолютного минимума, если тензор щ; удовлетворяет уравнениям равновесия, а вариации 6Oij уравнениям (5), (6) и (7). Если нагрузки pt действуют на всей поверхности А, то в квадратных скобках (12) исчезает поверхностный интеграл и остается
(14)(14)бГа = 0.
(14)
(14)
Функционал Га принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен- Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла.
Вторая форма теоремы Кастильяноо минимуме дополнительной энергии
Пусть тело V деформируется под действием внешних сил и перемещений, заданных на его границе А. Напряжения ац должны удовлетворять уравнениям равновесия
o,M-\-Xt = 0, хе У,(1)
и граничным условиям
Р1 = оцп,;хеАа,
Ui = fi,xeAa.
Деформации ер удовлетворяют условиям совместности Сен-Ве- нана. Обозначим через Оц другое возникающее в теле напряженное состояние, не совпадающее с состоянием оц. Потребуем, чтобы тензорд;у удовлетворял уравнениям равновесия
6/i,/ + ^i = 0, хеУ,(3)
и граничным условиям на Аа
Pi = 6Ипь х е Аа.(4)
Обозначим работу деформации, связанную с состояниями o,j и щ-р соответственно через Та и Ж*а:
Га = /(иЧар + 4 оЦаУ,(5)
>а = J + 4 ^)dV-(6)
v
Построим положительно определенное выражение ^(6^-0,/)=,
= / 4 <СИ — ^ (Ьц — Oij) + 4 (^.4 — dV > °-(7)
V
Учитывая выражения (5) и (6), приходим к следующему неравенству:
Га (6р - О th = Га - Га - / ^м - 0^ 6ц dV > 0.
V
Отсюда
'Га - Fa > J <дм - atl) e„ dV > 0.(8)
V
Преобразуем правую часть неравенства (8) следующим образом:
/ ксц— Оij) eMdV = ^ ^n — s^Ut.jdV — vv
= / К^г/ — ^ «AjdV — ^ <6ij — ctj\ j Ui dV. (9) VV
В силу уравнений равновесия (1) и (3), второй интеграл в правой части уравнения (9) обращается в нуль. После преобразования оставшегося интеграла в поверхностный имеем
J (dz; — Oi^ijdV = j ^t— pi) щ dA.
уAtt
Учитывая формулу (8), окончательно получаем
Т„-То> ^-р^МА.(10)
Аи
Тут мы воспользовались тем фактом, что тензоры да и а, удовлетворяют граничным условиям на Аа: на Аа имеем р,— р, = 0.
Неравенство (10) можно представить в виде
Та- \^tutdA>Ta- \ptutdA.(11)
АиАи
Правая часть этого неравенства представляет собой дополнительную энергию Па в обозначениях, использованных в § 4.7. Энергия По относится к напряженному состоянию Oij, удовлетворяющему уравнению равновесия (1), граничным условиям (2) и условиям совместности. Вводя дополнительную энергию
У^ = >а- \ MdA,Аи
неравенству (11) можно придать следующий вид:
Па > Па + /&(«< — «<) dA-(12)
Аи
Если тело нагружается по всей поверхности, то в неравенстве (11) исчезают поверхностные интегралы и остается
Та>Т0.(13)
Это неравенство показывает, что дополнительная работа деформации "Уа для поля напряжений, удовлетворяющего уравнениям равновесия (1), граничным условиям (2) и уравнениям совместности, меньше дополнительной работы деформации Жа любого другого поля напряжений, которое удовлетворяет только уравнениям равновесия и граничным условиям^ напряжениях.
Вариационная теорема Рейсснера1)
Рассмотрим упругое тело, находящееся в равновесии под действием внешних нагрузок. Рассмотрим функционал 3, завися
*) Reissner Е., On a Variational Theorem in Elasticity. 1. Math. Phys., 28 (1950), 90—95.
См. также статью Рейсснера в сборнике: Problems of Continuum Mechanics, Philadelphia, 1961, стр. 370—381.
Reissner E., Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, v, 8, New York, 1958, pp. 1—6,
щий от ец, ut, оц, такой, что
У = J [И^е (е</) — Хги£] dV — J Qtj ^ег/ — ^^t, i + uj, <)] dV — vv
J ОцП.^ — u^dA — j p*iuidA. (1) AuAa
Здесь U^e = цег/е^ +-£■ е^бпп является работой деформации, отнесенной к единице объема. Проварьируем функционал 3, считая виртуальные приращения бе^, б«ь б%- взаимно независимыми. Внутри тела изменяются е^, т, оц. На поверхности Аа, на которой действуют нагрузки, варьируются перемещения, а на поверхности Аи — напряжения. Функции X., и*, р* являются заданными. Условие того, чтобы 3 принимало стационарное значение, состоит в равенстве нулю первой вариации функционала 3. Поэтому имеем
63 = 0 = / { ^ бег/ - Xt Ьщ - 8otJ [6</ -1 km, j + и,.,-)] -
— Cq [бе. — -^ (8u£, ] + 8иь a] | dV —
j бо.пДи,— u^dA— j p*i8uidA. (2)
AuAa■
Учитывая, что
^ j cti k8ut, j + 8uj, i^dV = j pi 8u£ dA — ^ Ojt, j 8ut dV, VAV
получаем
6 J = 0 = j { ^ - o^ 6eti - koiL j + X^ ^ui -
.—Sai] ^etj—(«г./ + «/,;)] j-^y —
- / (Pi~P^u^A— j bp^Ui —u^dA. (3)
AaAu
Принимая во внимание независимость вариаций 8etj, 8ut, 80^, из формулы (3) получаем уравнения Эйлера вариационной задачи:
<5ji,;A"Xi — 0,х G V,
ег/ = -^(«;./+ U/.а. хе У,(4)
Ui = Ui,Ui = Ui,хеА-, xgA,,
Ui = Ui,
Ui = Ui,
Они являются основными уравнениями и условиями эластостатики.
Рейсснер дал еще другую формулировку вариационной теоремы с использованием дополнительной работы U7a(o^), взяв функционал в виде
^i = / WM - ra - X<U J dV - / pX dA — ^p{ (u. - «;) dA. (5) AaAu
Вычисляя первую вариацию и приравнивая ее нулю, получаем
6^ = / U бе,-, + е</ ба,/ - -^ 6^1 - Xt бы,-) dV -
— j p^u^dA — j 6pt (ut — ы*) dA = 0.(6)
лаАи
Мы здесь положили, как и ранее, 6pJ = 0 на Аа и бы^ = 0 на Аи. Учитывая, что
j а„ бе,/ dV = j [(а,, бы,). , — ciU f 6«z] dV = vv
= j pi6utdA— ^ o1MSuidV, (7) лаV
приводим уравнение (6) к виду
б^, = 0 = / [(е,, - ^ 6см - <оИ,, + ^) бы J dV +
+ / (Pt — р’^и^А — j §pi(ul — u^dA. (8) лаЛи
Из этого уравнения вытекают следующие уравнения Эйлера вариационной задачи:
х
a/,., + ^^0, хе У,pt = p*,хеАа,
U[ = ut,х е Аа.
Вариационная теорема Рейсснера может найти применение при выводе дифференциальных уравнений теории мембран, плит и оболочек. Применение этой теоремы к выводу основных уравнений и условий для плит средней толщины читатель найдет в цитированных на стр. 132 работах Рейсснера.
Единственность решениядифференциальных уравнений эластостатики
Требуется доказать, что если уравнения эластостатики имеют решение, то это решение единственно.
Доказательство теоремы единственности было дано Кирхгофом при двух ограничительных предположениях, а именно для односвязного тела и при отсутствии начальных деформаций. При этих предположениях единственность решения доказывается достаточно просто.
Для доказательства предположим, что решение не единственно и что существуют такие два различные поля перемещений u't, и", которые удовлетворяют уравнениям в перемещениях и заданным граничным условиям.
Пусть поле перемещений и', удовлетворяет уравнениям
pV2u{ -ф- (Л + ц) е', i -ф- X.• = 0(1)
с граничными условиями
Pi = a'iinj на Аа- u'i = fi На Аи>(2)
а поле перемещений и" — системе уравнений
уХ2и[ -ф- (X -ф ц)е'i -ф- Xi = 0(3)
и граничным условиям
Pt = o"itni на Аа. ul = h на Л- <4>
Введем обозначения
' dt = u't-u'', dtj = o'tJ-o", ^-s^-s".
Вычитая почленно уравнение (3) из (1), а также (4) из (2), убеждаемся, что перемещения ui удовлетворяют однородной системе уравнений в перемещениях
pV^Ui -ф- (X -ф- ц) е, i = 0,(5)
а также граничным условиям
дИп,= ^ = 0 на Ао, fli = fi = 0 на Аи. (6)
Уравнения (5) относятся к телу V, внутри которого отсутствуют массовые силы (Xt = 0) и на поверхности А которого заданы однородные граничные условия (р; = 0 на Аа, йг = 0 на Ди). Следует показать, что внутри тела исчезают деформации и напряжения. С этой целью рассмотрим работу деформации
Ге = J Ге dV = J (це^е^ + ^ еЦ dV.(7)
vv
Принимая во внимание закон Гука, выражение (7) можно представить также в виде
re=|f o^/dV.vre=|f o^/dV.v(8)(8)
re=|f o^/dV.v
re=|f o^/dV.v
(8)
(8)
Преобразуем выражение (8). Учитывая, что
oijUi, / = °Ц к6Ц + ®1^ — Giftlp имеем
^8 = Т I °Hui.idV =1" J V^auiYj — CibjuAdV = VV
= 1 J PiUidA + lj XiUldV. (9) AV
Сравнение формул (7) и (9) дает
(10)(10)J ^tieM + у ^dV = y J piU; dA + \ X^ dV V[лV
(10)
(10)
Применим последнее соотношение для поля перемещений й{ и связанного с ним деформированного ец и напряженного dij состояний. Получим
J (pfye,, -V^Rkk^dV = 0,(11)
v
так как правая часть уравнения (10) равна нулю в силу однородности граничных условий (р = 0 на Аа, й, = 0 на Аи) и отсутствия массовых сил (Xt = 0).
Так как р > 0, X > 0, то уравнение (11) приводит к зависимости
8^ = 0 или е;/ = е"/.8^ = 0 или е;/ = е"/.(12)(12)
8^ = 0 или е;/ = е"/.
8^ = 0 или е;/ = е"/.
(12)
(12)
Отсюда следует единственность деформаций. Из закона Гука вытекает, что д^ = 0, а, следовательно, напряжения единственны. Так как все компоненты деформированного состояния равны нулю, перемещения u'i и и" могут различаться только на линейный член, описывающий движение тела как твердого целого:
u< = и" + линейный член.u< = и" + линейный член.(13)(13)
u< = и" + линейный член.
u< = и" + линейный член.
(13)
(13)
Последнее соотношение вытекает из интегрирования уравнений e^j — 0.
Если на А (либо на части этой поверхности) заданы перемещения, то u'i = u{; если на А заданы только нагрузки, то деформацию сопровождает движение тела как твердого целого, описываемое соотношениями (13).
Теорема взаимности
Пусть на упругое тело действуют две системы причин и следствий. К причинам первой системы отнесем действия массовых сил Х;, поверхностных нагрузок pt на Аа и перемещений ut на Аи. Эти причины в качестве следствий вызывают: поле перемещений иг и связанные с ним деформации е^- и напряжения о,,. Обозначим причины символом / = {X,-, pi, и^, а следствия — символом С = {«;}. В этой системе должны быть выполнены уравнения равновесия
Оу^ + Х^О, хеУ,(1)
и граничные условия
Pi = ojinj, хеАа.
ut = ft, хе Аи.1
Вторую систему причин и следствийотметим штрихами:
Г = {ХрРр и,}, С' = {иу}. И эта система должна удовлетворять уравнениям равновесия
^./ + ^ = 0, хе У,(3)
и граничным условиям
P'i = °ипрх е Аа,
u'i = ft,хеАи.
Умножим уравнение (1) на u'i уравнение (3) на Ut. Вычтем почленно результаты этого умножения и проинтегрируем по объему У:
J <Xiu't — X'tu^ dV + j (op, su'i — с/ц, jUt^ dV = 0.(5)
vv
Учитывая, что
Oji, lu'i = ^pu'iY / — OjiU'l, j,
°'ii. iui = ko'llulY t CjlUl, j,
после применения преобразования Остроградского — Гаусса приводим уравнение (5) к следующему виду:
j tXtu'i — X'iUt) dV + j tc^u'; — o'jiUi') n; dA =
vA
= j ^nu'i.i — opui. ^dV. (6) v
Используя соотношения
Pi = °Hni' P'i=a'jinP
Cjiu'i, i = оц <е'ц + cob) = вц&1ь • • •,
приводим уравнение (6) к виду
J ^X^-X'^dV + J ^ — р'д^ dA = J (o^-c^dV. (7) VAV
Правая часть этого уравнения равна нулю. Для проверки этого факта достаточно умножить соотношение
Сц = 2[16;y -|“ ^lj6kk
на е[/ и вычесть из соотношения
а</ = 2ре$/ + М>це'кк,
умноженного на е^. В результате получим локальное соотношение
oil'll— o'tjeij = 0.(8)
Из найденного таким образом уравнения
j X.u'jdVA- ^ PiU;dA = ^ X'^dV + J p'^dA (9) VAVA
видим, что работа, выполненная в упругом теле первой системой причин на следствиях второй системы, равна работе, выполненной второй системой причин на следствиях первой системы. Таково содержание теоремы взаимности Бетти.
Теореме взаимности можно придать еще другой вид. Умножим уравнение (1) на u't и проинтегрируем по объему V:
J Xiu't dV + j oiu ;Ut dV = 0. vv
Выполняя те же преобразования, что и раньше, имеем
J Х^ dV + / р^ dA = ^ сцг'ц dV.
VАV
Учитывая (8), получаем второй вариант теоремы взаимности:
j Х^ dV + j p^ dA = ^ ^i^n dV.(10)
VAV
Справедливо также уравнение
j X'^dV + J p'{u. dA = J е'ИоИ dV.(11)
VAV
Наконец, из соотношения (8), проинтегрированного по объему тела, получаем третий вариант теоремы взаимности:
j etjc'ijdV = j e'ijOtjdV.(12)
vv
Теорема о взаимности работ является одной из наиболее интересных теорем теории упругости. Эту теорему можно использовать для конструирования методов интегрирования уравнений эластостатики в перемещениях.
Ниже мы приводим несколько простых применений теоремы Бетти.
Предположим, что перемещения uj в ограниченном теле объема V даются линейными соотношениями
u't = ai + eijkXjbk, I, j, ^=1,2, 3,
где at, bi — произвольные постоянные. Легко проверить дифференцированием, что деформации e'tj равны нулю. Так как деформации связаны с напряжениями законом Гука, то o'ij = 0. Но поле перемещений и', обязано удовлетворять уравнениям равновесия (3). Из этих уравнений вытекает, что составляющие массовых сил X't должны быть равны нулю. Перемещения u'i описывают перемещение тела как твердого целого. Из уравнений (10) получаем для произвольного поля перемещений и^, вызванного системой причин / = {Хг, pt, и4у.
J Xi (а; -ф с^ьХ/Ь^ dV -|- J pi (а{ -ф ^iikXjbk) dA = 0.(13)
vA
В силу предположения о произвольности коэффициентов сц, Ь{ уравнение (13) приводится к системе уравнений
(14)(14)j Xt dV -ф j pt dA = 0, VA
(14)
(14)
J ^ijkXjXk dV + J 6ijkXjpkdA — 0.
Первое из этих уравнений связывает проекции массовых и поверхностных сил, действующих на тело в направлении оси Xt, второе является уравнением моментов относительно оси хц Эти уравнения выражают равновесие тела; главный вектор и главный момент внешних сил равны нулю.
Возьмем перемещения uf в виде
u'i^bijXj, Ь^ = Ьц,(15)
где величины bi3 являются постоянными. Дифференцируя формулы (15), получим
вг/ = ^ (и$, / + и), г) = Ьц и
а^ = 2р,Ьи + Xbtjbkk.(16)
Для того чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (3), следует положить Х{ = 0. Подставляя (15) и (16) в уравнения (10), имеем
J XtbijXj dV -ф J p^tjXj dA = J ^ubijeij A- Xbkkbkk^dV. (17) vav
Будем считать, что On= 1, а остальные напряжения о(/ равны нулю. Такое состояние соответствует одноосному растяжению тела. В этом случае, как легко получить из формулы (16),
Ь" = цО^+^ц) =Т’ b22=b»=--£. b12 = b23=b31 = 0.
Учитывая последние соотношения и формулу (17), получим
[ei 11= у J eu dV = -^- f J (^i^! vX2x2 v-^з^з) dV +
+ J (PA — vp2x2 — Np^dA I.(18)
AJ
Через [ем] здесь обозначено среднее значение деформации в упругом теле объема V.
Для определения среднего значения деформации е[2 будем считать, что о'2=1, а остальные напряжения о£/ равны нулю. Из закона Гука (16) сразу вытекает, что единственным отличным от нуля коэффициентом является biz = 1/(2ц). Подставляя это значение в уравнение (17), находим
[е12] = -у- J e12dV = v
= 2ц^ / J (-^Л + АгхО^У + J (Р1х2 -ф р^ dA 1.(19)
I ИAJ
Рассмотрим еще случай, когда 0,1 = 022 = 033=1 и 012 = = 023 = 031 = 0. Из соотношений Гука (16) находим
12
^11 = ^22 = ^33 => ^12 = ^23 = ^31 = 0> к = X + -д Ц.
Подставляя эти значения в уравнение (17), найдем среднее значение дилатации, выраженное формулой■
[е^] = у J &kkdV = -3^7 И Xp^dV + ^ piXidA\. (20) vIkа )
Интеграл J zkk dV = [efefe] У представляет собой приращение объема тела.
Доказанная теорема взаимности остается справедливой и для неограниченного тела. Предположим, что массовые.силы действуют в конечной области, так что интегралы J | Хг \dV, 'v
j | X'i IdV ограничены. В этом случае требуется, чтобы напряже- v
ния и деформации на бесконечности обращались в нуль. Граничные условия, строго говоря, перестают существовать, и уравнение (9) принимает вид
J XtuUV= J X'lUidV.(21)
Коо
Теорема о взаимности работ выведена здесь для общего трехмерного напряженного состояния. Однако отсюда нетрудно получить теорему взаимности, справедливую для плоского деформированного или напряженного состояний, а также для одноосного напряженного состояния.
Тензор перемещений Грина. Теорема Максвелла
Рассмотрим тело V, защемленное ) по поверхности Аи и свободное от нагрузок на поверхности Аа. Вся поверхность тела А состоит из Аа и А и.
Пусть в точке | е У действует единичная сосредоточенная сила, направленная параллельно оси хк. Эту силу трактуем как следующее распределение массовых сил:
Хг = 6(х-|)6г„(1)
6 (х — |) = d (X] — ^) д (х2 — У д (х3 — ^3).
Это выражение следует рассматривать в сочетании с интегралом
Х{ dV = J 6 (х — |) &и dV (х) = btfe. VV
Выражение (1) означает, что составляющая, направленная параллельно оси Xh, отлична от нуля. Об этом свидетельствует коэффициент 6^. Символ Дирака означает, что сосредоточенная сила равна нулю для х а в точке § принимает бесконечное значение. Однако интеграл от массовых сил по объему V равен единице (формула (2))1).
Определенная таким образом единичная сосредоточенная сила вызывает в теле V поле перемещений, которое обозначим через Ui11' (х, |). Индекс i обозначает составляющие вектора перемещения UW(x,|). Индекс к указывает причину перемещений, а именно сосредоточенную силу, направленную параллельно оси xh. Символ х обозначает текущую точку, символ | — место приложения силы.
Перемещения U^ получаем путем решения системы уравнений
p\W+ ++— = i, j, k = \, 2, 3,(3)
с граничными условиями
и^Чх, |) = 0 на Аи,
X Е Аа,
(4)
Р^Чх, |) = 0 на Аа,
X Е Аа.
(5)
Через р™ обозначим функцию на Ао
+ W/ni-
(6)
Решив уравнения (3) для к = 1, получим вектор
и<0 = (СУЛ [ДЧ ^О.
Для к = 2^получаем вектор U<2), для к = 3 — вектор U<3>. Составляющие этих векторов представим в виде матрицы
М0
и?
иЧ
U^
и?
и?
•(7)
lA"
Uy
*) Подробнее об определении дельта-функции см., например, в книге: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, М., 1958.—Прим, перев.
Функции U?’1 называются фундаментальными решениями уравнений эластостатики или функциями перемещений Грина. Покажем, что эти функции образуют симметричный тензор.
Рассмотрим две системы сил: силу Xt = 6(х — |)6iA, действующую в точке |, направленную параллельно оси хк и вызывающую поле перемещений ^’(х, |), и сосредоточенную силу Х; = д(х— V^ib приложенную в точке |', направленную параллельно оси Xj и вызывающую поле перемещений U^(х> £')• Применим к обеим силам теорему взаимности
J Хщ'{ dV -|- j ptu't dA = [ X'iui dV + J p'tut dA. (8) VAVA
Поверхностные интегралы в этом уравнении исчезают в силу граничных условий (4) и (5) для функций 1^ (х, |) и аналогичных условий для функций Ut4x, !')• Из уравнения (8) получаем
J Цх-^иУЧх, £W^ = J Цх-М^Чх. $dV(x). (9) VV
Используем известное свойство функции Дирака
J d(x-l)f(x)dV(x) = f® V
и приведем уравнение (9) к виду и^лч-и^а'л)-(ю)
Уравнение (10) выражает теорему Максвелла о взаимности работ для сосредоточенных сил. Очевидно, эта теорема является частным случаем общей теоремы Бетти. Единичная сосредоточенная сила, действующая в точке | параллельно оси Хк, вызывает в точке |' перемещение U^’d', |), проекцию которого на ось X; обозначим через U^ (V. !)• В то же время единичная сосредоточенная сила, действующая в точке |' и параллельная оси Xj, вызывает в точке § перемещение UO>(|, |'), проекцию которого на ось Хк обозначим через lAPt^, £')• Эти проекции представлены на рис. 4.3. Равенство этих проекций и составляет содержание уравнения (10). Если силы, действующие в точках § и I', параллельны (например, направлены по оси Хк), то
иТ^ ^=и\кЧ^ 14,
сА2’ (/^сА2’ (/^Симметричный тензор второго ранга мы привыкли обозначатьСимметричный тензор второго ранга мы привыкли обозначатьдвумя индексами внизу; таким образом, тензор перемещенийдвумя индексами внизу; таким образом, тензор перемещений
сА2’ (/^
сА2’ (/^
Симметричный тензор второго ранга мы привыкли обозначать
Симметричный тензор второго ранга мы привыкли обозначать
двумя индексами внизу; таким образом, тензор перемещений
двумя индексами внизу; таким образом, тензор перемещений
что свидетельствует о симметрии Из уравнения (10) вытекает, что вить в виде
и? и'?
Т/!3' (/<3>
тензора перемещений Грина, матрицу (7) можно предста-
(Н)
Однако удобнее в дальнейшем сохранить принятые обозначения U'f"’ и 1Д\ ибо эти обозначения более выразительны. Нижний индекс относится к составляющей перемещения, верхний характеризует причину, которая вызывает перемещение. Позже мы убедимся (в § 5.7), что тензор перемещений в точке приложения сосредоточенной силы имеет особенность. В § 5.7 мы дадим выражение для тензора перемещений в неограниченной области.
Формулы Сомильяны
В теории потенциала рассматривается такой вид решения, в котором искомая функция и в произвольной точке х выражается через поверхностные интегралы, куда входят заданные граничные условия.
Решим уравнение Пуассона
V2u(x) = X(x), xeV, (1) с заданными граничными условиями типа Дирихле или Неймана на поверхности А. Затем рассмотрим другое уравнение Пуассона
W(x) = r(x), xeV, (2) в той же самой области с условиями и' = f' или du'jdn = g' на А. Умножим уравнение (1) на и', а уравнение (2) на и. Вы-
чтем один результат из другого и проинтегрируем по объему V. Получим уравнение
J (Хи' — X'и) dV = J (u' V2u — uV2u') dV.(3)
VV
В правой части этого уравнения совершим преобразование Гаусса — Остроградского
/a»'-rB)№f(«'>-«^)^.<4)
VА
Это известная теорема из теории потенциала, аналогичная теореме Бетти для эластостатики.
Будем считать, что решение и' относится к неограниченной области Уоо и является решением уравнения
W(x, Ю = 6(х-Ю. . ^У, ХЕ^.(5)
Подставляя X' = 6(х — |) в уравнение (4), получаем «(Ю = J Х(х)и'(х, l)dV(x) + v
+ j [“ <х> ^Т^ - и' (х- ^ Т"] dA ^ если ^ е У ■ (6) А
и(|) = 0,если^еУ^ — V.
Решением уравнения (5) является функция
и' (х, I) = - -^, R = [(х, - £{) (%, - ^)]‘\(7)
где R— расстояние между точками х и |. Из формулы (6) — основной формулы теории потенциала — можно определить функцию и(х), если известны функция Х(х) и функции и(х) и ди\х\[дп на границе А.
Возникает вопрос: нет ли аналогичной теоремы в эластоста- тике? На этот вопрос ответил Сомильяна, построив при помощи тензора перемещений Грина U^} (х, |) решение системы уравнений
цУ2и£ -(- (л + ц) е, £ -J- ^t = 0, х е У,(8)
с заданными граничными условиями.
Отправной точкой наших рассуждений является теорема взаимности Бетти
J (х^ — х'и^ dv + J (p.«; — p;«.) dA=о. (9) КА
Пусть искомая функция и^ удовлетворяет системе уравнений (8) с заданными на А граничными условиями. Функцию и'г выбираем следующим способом. В точке § неограниченной области Ус помещаем сосредоточенную силу ^ = d(x — £) 6^, направленную параллельно оси хь. Пусть § принадлежит также и подобласти V. Сосредоточенная сила Х\ вызывает поле перемещений u'i = и'Ч"' (х, |), которое удовлетворяет уравнению
pVW4(^ + p)^+S(x-|)^^^ z, /, 6 = 1, 2, 3, (10)
с нулевыми значениями перемещений на бесконечности. Определим соответствующие перемещениям Ц^Чх, |) напряжения CTi/(x, |) и с их помощью образуем вектор напряжения '
^ (х, §) = и (Uto + Uto) п, + KntUtor(11)
Подставляя u'^U® и p\ = p^ в уравнение (9), получим после простых преобразований следующее соотношение:
Uk (I) = / [pt (х) Uto (х, g) — pto (х, |) и. (х)] dA (х) +
А
+ ^ Xi^U^U.^dVto.(12)
v
Эта формула, выведенная Сомильяной [), находится в полной аналогии с формулой (6) теории потенциала. Отсюда видно, что, зная распределение массовых сил Х{, а также перемещения ы»(х) и нагрузки рДх) на А, можно из формулы (12) определить перемещение uh в точке сеУ. Если точка | лежит вне области У, то ut^) = 0, | е У,» — У. Поменяв местами точки х и |, приводим формулу (12) к виду
ufe^=^\pAwlk4^ х)-Р^ хзд^дфн- А
+ J Xi (g) U^ a. x) dV (I), X, | e У. (13) v
Здесь мы воспользовались зависимостью Максвелла
и^Чх, S) = U^& х).(14)
Заметим, что при отсутствии массовых сил уравнение (13) можно дифференцировать произвольное число раз по х^. Отсюда вытекает, что решения ик являются в этом случае аналитическими функциями координат, поэтому в окрестности произвольной точки хе V их можно разложить в ряд по координатам.
Формулы Сомильяны (13) имеют только теоретическое значение, ибо на границе Д могут быть заданы либо перемещения и< = fj, либо нагрузки pt = оцп-з, но каждый из этих типов граничных условий отдельно.
Функции Грина )
Вернемся снова к теории потенциала и рассмотрим краевую задачу Дирихле. Решим уравнение Пуассона
V2u(x) = X(x), хе У,(1)
в области V при заданной на границе А функции и(х)
и (х) = f (х), х g Л.(2)
Для решения уравнения (1) воспользуемся функцией Грина G(x, g), имеющей особенность в точке | и удовлетворяющей уравнению
У^х, |) = д(х-|), х, |еУ,(3)
с однородным граничным условием
G (х, ^) = 0, хе А.(4)
Умножим уравнение (1) на G, а уравнение (3) на и. Результаты вычтем почленно и проинтегрируем по области V:
J [(X (х) G (х, |) - д (х -1) и (х)] dV (х) = J (GV2u - uV2G) dV. (5) VV
Из этого уравнения получим
J X(x)G(x, ^dV^-u^-■
~ J [° <х- 9" (X) ^Ь11] dA (х).(6)
А
Граничное условие (4) значительно упрощает уравнение (6). Функция u(j), | е V, дается формулой
м ® = j X (х) G (х, ю dV (х) + J и (х) ^^ dA (х).(7)
VА
Функция Х(х) в области V и функция и (х) = f(х) на поверхности А являются заданными функциями. Отсюда видно, что знание функции Грина G(x, |) позволяет вычислить функцию и^ по формуле (7). Функцию Грина G(x, |) можно представить в виде двух слагаемых
О(х. »=«(х,В-^.(8)
Здесь —1/(4л7?) является решением с особенностью для неограниченного пространства, и(х, |)—регулярным решением, выбранным так, чтобы на поверхности А было v(x, |)= 1/(4л7?), х е А.
Покажем, что решение первой краевой задачи эластостатики при использовании функции Грина приводит к формулам, аналогичным формуле (7).
Рассмотрим упругое тело V, находящееся в равновесии под действием массовых сил Хг при заданных на поверхности А перемещениях. Требуется определить перемещения иДх), xeV, которые должны удовлетворять уравнениям
• ^Ч + а + иК i + *i = 0, ХЕИ,(9)
с граничными условиями
Ui = fi(x), хе А.(10)
Введем вспомогательный тензор перемещений Gifc) (х, |), удовлетворяющий системе уравнений
^'^(НЛ + ^Ч^^ х, ^eV, (11)
с однородными граничными условиями
Uv?\x, g) = 0, хе А, ^еУ.(12)
Функция 0^' (х, |) означает здесь составляющую перемещения точки х е У, параллельную оси хг, вызванную силой Х\ = = д(х — |) д^, приложенной в точке § и направленной параллельно оси xh. Перемещение U^ (х, I) относится к упругому телу, жестко закрепленному на поверхности А, о чем свидетельствует граничное условие (12).
Теперь применим теорему взаимности Бетти
J (Х^ — X'tut^dV + J (ptu't— p^u^dA = 0.(13)
V. л
Подставляя в это уравнение ui=0'p и Х{ = 6(х— |)д;ь, получим следующую формулу:
uk %) = / X. (х) U^ (х, Ю dV (х) - / ^ (х, |) Ul (х) dA (х), (14а) VА
'6, i = 1, 2, 3.
Здесь ^kx> I) обозначает реакцию а^Цх, |)пу(х) на поверх, ности А, выраженную с помощью функции (/?’, а именно
^ (х, £) = ц(UW + U^) п. + XnpW.(15)
Формула (14а) дает решение поставленной задачи, выражая перемещение и,(х) при заданных в перемещениях граничных условиях. В формуле (14а) массовые силы и перемещения на А известны. Тензор перемещений О^^х, |) считается здесь также известным; это результат решения системы дифференциальных уравнений (11) с однородными граничными условиями. Функции и1^ являются функциями Грина для первой краевой задачи эластостатики.
Уравнения (14а) аналогичны уравнению (7) теории потенциала. Эта аналогия будет более ясной, если, учитывая формулу (8г) § 4.2, мы представим формулу (15) в виде
^' (х, |) = 2ц -^— + 2рй^п. + Хё^п.;.
Следует добавить, что функции иТ* можно представить в видеиТ=иТ + йТ,
где UT — решение с особенностью для неограниченного упругого пространства (тензор перемещений, рассмотренный в §4.13), а и^ (х, |) является регулярной функцией, выбранной так, чтобы на поверхности А выполнялось условие (12), т. е. чтобы U^ =— l/^ на А. Заменяя х на |, уравнению (14а) можно придать вид
мНх)= J X^U^x, ^dV^-^P^x, ^u^^dA^. (146) VА
Займемся второй основной краевой задачей эластостатики, в которой на поверхности А тела V заданы нагрузки р, = ацИ;.
Отыщем решение системы уравнений
M-V2u, + (А. + и) е., + ^, = 0, хеУ,(16)
с граничными условиями
р^о^Пр хе А.(17)
Так как тело под действием нагрузок pt в результате деформирования может вращаться как твердое целое, то дополнительно предположим, что тело закреплено в точке ц =(т)1, т)2, т]з), т] е У, другими словами, что в точке т] равны нулю перемещения и составляющие вектора поворота.
о
Для определения тензора премещений щ(х, |) допустим, что тело V свободно от нагрузок на А и закреплено в точке ц. Только в этом случае сосредоточенная сила Х{ = 6(х— £)6/* находится в равновесии с реакциями в точке тр
Решая систему уравнений
liV2^, + (A + |i)fcz + d(x-|)difc = 0,|, хеУ, (18)
с граничными условиями
о о
Р^ — о^Чх.^пДх^О,хе A, ^eV, (19)
и условиями закрепления в точке т]
№h. Ю = 0, ^/'(п, §) = о, л, ^у,(20)
находим функции Грина и^Дх, |). Эти функции в дальнейших рассуждениях будем считать известными.
Напишем уравнения взаимности Бетти для полей перемеще- нии ui и щ :
/ [*г (х) № (х, 6) - 6 (х - §) д^и,- (х)] dV (х) +
V
Г оо
+ J [p.(x)t/W(x, ^ — ^Чх, |) U. (х)] сМ (х) = 0.(21)
л
В поверхностном интеграле в силу граничных условий (19) сле- 0
дует исключить член р)6)(х, ^)мДх). В формуле (21) мы исключили работу сосредоточенных сил и моментов в точке q, ибо перемещения и повороты в обеих системах в уравнении Бетти
в точке ц равны нулю. Из уравнения (21) вытекает следующая формула:
гоо
ик (У = / X. (х) и^ (х, g) dV (х) + / Pt (X) и^ (х, g) dA (х),(22)
Vл
или
и^ = / Xt Ш U™ (х, Ю dV (5) + / Pi ® VI' (х, Ю dA ^.(23)
кл
Эта формула дает решение второй основной краевой задачи о..
эластостатики с помощью функций Грина U\ .
Остается рассмотреть еще третью краевую задачу, в которой на Аа заданы нагрузки р^ а на Аи — перемещения щ. Поле перемещений Ui должно удовлетворять дифференциальным уравнениям
yX2Ui + (Л + ц) е, i + Xt = 0(24)
с граничными условиями
Ui = fi на Аи, pl = ci!lnj на Аа, А = Аи + А5.(25)
Введем тензор перемещений Грина ^'(х, с) как решение системы уравнений
pVW4(A + ^Aji+d(x-6)dit^^ х, ^Г,(26)
с граничными условиями
Uik4x, с) = 0наАи,хеАа,g е V,(27)
^(х, Е)/г/(х) = 0наАа,хеЛ.,g е V.(28)
Применяя теорему взаимности Бетти к полям перемещений и^ и U^', имеем
/ (Х^ - x;«z) dV + / ^ - р^ dA + vа»
+ / кр^ — р^'и.1) dA = 0.(29)
Ла
Принимая во внимание равенство нулю перемещений й1^1 на Аи и р'^' на Аа (в силу принятых граничных условий (27) и
(28)) и полагая Xf = д(х— g) 5^, получим из уравнения (29) выражение
«ИЮ= J ^(x)^W(x, WlxH / рДх^Чх, ^dA(x)- V
— j pW (х, |) и, (х) dA (х).(30)
Аи
Меняя местами переменные х и g, имеем
и»(х)=/ ХД^Чх, 9W / рДЖЧх, ^)dA^-
VАа
- / рД^^иД^^А^.(31)
Решение представленных в этом параграфе краевых задач было получено при помощи построенных соответствующим образом функций перемещений Грина. Очевидно, центр тяжести решения лежит в определении функции Грина. Эти функции удается вычислить для некоторых простых систем, например для мембран и плит. Однако в трехмерном случае задача определения функции Грина для ограниченных областей наталкивается на большие трудности.
Приведение смешанной краевой задачик системе интегральных уравнений первого рода •)
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений эластостатики
pV2ui + (Л + ц) е, i + Xi = 0, хе V,(1)
со смешанными граничными условиями
Р1 = сцПр х^Аа,(2)
fi = uit хеА„, А - Аи + Аа.(3)
*) Nowacki W., On Certain Boundary Problems of the Theory of Elasticity, Bull. Acad. Polon. Set, Cl. IV, 3, № 4 (1955).
Nowacki W., Formulation of a Boundary Problem of the Theory of Elasticity with Mixed Boundary Condition, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn 10, № 2 (1962), 71—78.
В предыдущем параграфе было дано решение этой смешанной задачи при помощи функции Грина. Однако определение функций Грина, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям со смешанными граничными условиями (p’.fc) = 0 на Аа и Ulk' = 0 на Аи), может натолкнуться на значительные трудности математического характера.
Ниже мы приведем другой способ решения этой задачи, основанный на использовании простейшей системы, так называемой «основной системы», в которой функции Грина удовлетворяют однородным граничным условиям.
Заметим, что на Аа мы знаем нагрузки, в то время, как перемещения и,- являются неизвестными функциями. Аналогично на Аи мы знаем перемещения, а неизвестными функциями являются опорные реакции pt = с^пр Поэтому в качестве неизвестных функций задачи можно выбрать как перемещения Ui на Аа, так и реакции pt на Аи. Ниже мы представим второй вариант решения, принимая в качестве неизвестных функций опорные реакции р^ = Ri на Аи. '
В качестве основной системы выберем тело V, свободное от нагрузок на А и закрепленное в произвольной точке цеГ Пусть в точке | определенной таким образом основной системы действует сосредоточенная сила X{ = 6(x—^)dzt, направленная параллельно оси хд. Действие этой силы вызывает поле перемещений 77^* (х, 9, которое должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений
^№ + (Л + ц) ^И + б (х - §) d,t = 0 (4)
с граничными условиями о
Р^Чу, У = ^'(у. ^)»/(у) = 0, У^А, A = Aa + Aa. (5)
Для удобства будем обозначать точки внутри области V через х и |, а точки, лежащие на границе А области V, через у и q. Потребуем дополнительно, чтобы в точке т] было77^ = 0 и (0,^ = 0. В дальнейших выкладках будем считать, что тензор перемещений Ui (х, §) удалось вычислить в основной системе. Пусть теперь в основной системе на тело V действуют массовые силы Х{, нагрузки pt на поверхности Аа и неизвестные реакции Rt(у) на Аи. Реакции 7?г(у) выберем так, чтобы на Аи выполнялось условие щ
Применяя теорему Бетти к перемещениям tit и й^, получим следующие уравнения:
г0
/ [ХДХ)^(Х> g)-6(X-g)6M«(.(X)]^(x) + v
+ / \Pi (У) И;6' (У, s) — Р^ (у- ^ и> (у)] dA (у) +
, f 00
+ J [Pi (у) Ц^ (у- ^ — Р®^ Юи,(у)]<М(у) = 0.(6)
Аи
Интеграл, выражающий работу сил и моментов на перемещениях и поворотах точки т], равен нулю. Из уравнения (6), принимая во внимание граничные условия (5), получим
Ч (Ю = и^ (g) + / R, (У) № (у, §) dA (у).(7)
Аи
Здесь через и® обозначено выражение
4 ® = / ^ (х) и^ (х, g) dV (х) + j Pi (у) U^ (у, g) dA (у), (8) vАи
х, g е V, уеЛ.
Это выражение представляет собой искомое перемещение в предположении, что в системе действуют только массовые силы и поверхностные силы pt на Аа.
Заменяя в V независимые переменные х на g, представим выражение (7) в виде
И6 (х) = И^ (х) + J ТМуМ (X, у) <м (у), хеУ, уеДа. (9) Аи
В этом функциональном соотношении неизвестными функциями являются перемещения ид(х) и реакции Ri^"). Неизвестные функции Ri (у) найдем, используя граничные условия (3), согласно которым «; (у") = /; (у") на Аи.
Переходя поэтому от точки xg7k точке у'е/1„, получаем из формулы (9)
Му')= »£(уЛ) + / R^Wtf. ydA^, k=\, 2, 3. (10) Au
Мы получили систему трех интегральных уравнений первого рода, в которых неизвестными функциями являются реакции
/?г(у). Из системы уравнений (10) находим функции 7?Ду), а из функционального уравнения (9) — перемещения иДх).
Изложенный здесь способ можно обобщить на случаи, когда на нескольких частях поверхности А заданы перемещения, а на остальных — нагрузки. Указанный способ остается пригодным, если поверхность Аи в уравнениях ■ (9) и (10) вырождается в кривую или в точку.
В представленном здесь методе центр тяжести лежит на решении системы уравнений (10), т, е. интегральных уравнений первого рода, теория которых развита еще не так хорошо, как теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Теорема Клапейрона о работе деформации
Рассмотрим упругое тело, находящееся в состоянии равновесия под действием массовых сил и поверхностных нагрузок, а также заданных на границе перемещений. К нагрузкам отнесем также опорные реакции, а именно силы pt = ацп; на тех частях поверхности, на которых заданы перемещения. Предполагаем, что рассматриваемая система подчиняется закону Гука, что во время деформации не возникнут новые опорные реакции (новые точки подкрепления), а также, что при ец = 0, щ; = 0 тело находится в естественном состоянии. Такое тело называется телом Клапейрона.
Докажем справедливость следующей теоремы, известной как теорема Клапейрона.
Работа деформации Ж упругой системы, находящейся в равновесии, равна половине работы внутренних сил на перемещениях в точках их приложения. Эту теорему мы получим, преобразуя интеграл
Г = [ Я^У = J^^+^Sh)^.(1)
vv
Так как
j (рег/8г/ + j e^e^dV = у f (2це,7 + Х^е^ ем dV,
v 'к
то
Г = у f ^idV.(2)
v
Так как
o<f (si/ + ®i/)= aiiUi, i = аИеИ,
т. е. сг(7а(7 = 0, то
Г = у j^u^dV,
v
или
г = 1 / ^Mut\ } dV -1 / а/(, ,иг dV.(3)
vv
Преобразуя первый интеграл в поверхностный и используя уравнение равновесия
а!М + Х< = 0(4)
во втором интеграле выражения (3), получим
Г = 1 jp^X + lj XiUidV = H.(5)
АV
Таким образом, теорема Клапейрона доказана. Через Н мы обозначили действительную работу внешних сил.
Теорема Клапейрона может быть использована при доказательстве теоремы взаимности Бетти; такой способ делает более ясным механический смысл выкладок.
Пусть на тело V действуют массовые силы Х4 и поверхностные силы pi, причем возрастание этих сил происходит медленно от нуля до их конечных значений. Под действием этих сил возрастают перемещения, принимая окончательные значения и^ Так как перемещения возрастают линейно по отношению к силам, то работа внешних сил равна
£ц = у ( Piui ДА + у j XtUi dV.(6)
av
Произведем суперпозицию перемещений и^, вызванных действием сил X'. и р'г В течение этой второй деформации силы Х^, Pi, которые уже достигли своих окончательных значений, производят работу
^12 = f Piu't ДА + / XlU'i ДУ"■ АV
Внешние силы X'., p't второй системы нагрузок производят работу
^22=т] pXdA^M xXdv.АV
Складывая работы, произведенные указанными двумя системами сил, имеем
L=Ln+L22-V S Piu'dA+X.u'dV.(7)
АV
Пусть сначала на упругое тело действуют внешние силы Х'р р^ а затем силы Х^ рг. Работа внешних сил принимает вид
= ^22 4" ^11 + j P\Ui ^4 + ] Х'^ dV.(8)
АV
Так как работа деформации не зависит от очередности приложения нагрузок, то справедливо соотношение
J рХ dA + J Xtu\ dV = J p'^ dA-V J X^. dV, (9) AVAV
вытекающее из сравнения уравнений (7) и (8). Уравнение (9) представляет собой теорему взаимности, установленную другим, более формальным путем в § 4.11.
В § 4.6 была сформулирована вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии:
Г; - j р^ dA—^ Х^ dV>1Te- / p.ut dA - J ^иг dV. (10) лаvAav
Здесь Же— работа деформации, связанная с таким полем перемещений иг, которое удовлетворяет уравнениям в перемещениях, а также граничным условиям р^ = с^п^ на Ао и и^ = ^ на Аи; работа же Ж* относится к полю перемещений и*, которое удовлетворяет только граничным условиям u*t = ft на Аи.
В § 4.8 было дано неравенство, связанное с теоремой о минимуме дополнительной работы:
Жа- J М^А>Жа- / ptu{dA.(11)
АиАи
Здесь Жа — работа деформации, относящаяся к полю напряжений Oij, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, уравнениям совместности и граничным условиям pt = ацп3 на Ао и условиям и; = fi на Д„. В то же время Жо — это работа деформации, относящаяся к напряженному состоянию дц, которое удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям Pi = 6ani на Аа.
Благодаря соотношению (5) можно эти неравенства связать между собой. Учитывая, что
Га = Ге=1{Р1и^А+^{ XlUidV, А = А„ + Ао, (12) АV
получаем следующие соотношения:
Г„ — j piUi dA— { XiUi dV =
Aov
= 47 f PiuidA— j piUidA — J XiUidVX, (13) 4Aav /
r0— j PtUldA = -^( j PiUidA— / PiutdA — ^ XiU{dV\.(\4)
AuYuAqV/
Сопоставляя соотношения (10) и (11), а также (13) и (14), получим следующее интересное неравенство:
г; - [ р£и^А- [ Xtu,dV >
АаV
> 47 J PiU‘ dA — / Piu‘ dA — j X{Ui dH > [ ptUi dA — Жа. (15) ^AuAav'Au
Теорема Кастильяно о частной производнойработы деформации
Пусть тело V находится в равновесии под действием внешних сил Q[, Q2, .. ., Qm и опорных реакций Rx, R2Rh. К реакциям мы относим только гиперстатические опорные реакции, а именно те, которые нельзя подсчитать из условий равновесия тела, трактуемого как твердое целое. Пусть указанные внешние силы и опорные реакции приложены к поверхности тела. Пусть это тело является телом Клапейрона: во время деформирования не возникают новые реакции.
В дальнейших выкладках не будем различать силы Qb ... ..., Qm и опорные реакции. Введем для них общие обозначения Рх, Р2Рт, где г = m + k. Обозначим через 6Ь 62, ..., б, проекции смещения точек приложения сил РхРт на направления линий их действия.
На основе принципа суперпозиции имеем
^ = РцРр Z, 7=1, 2г.(1)
Поэтому смещение точки i зависит от Рх, Р2Рт. Через ру обозначим смещение точки z в направлении силы Р{, вызванное действием сосредоточенной силы Pj = 1.
Если сила Рх возрастает от нуля до своего полного значения, то работа, выполненная ею, принимает значение у Pxbv Для со-
средоточенных сил получим
H = ^Pibi = ^MPiPl.(2)
Работа внешних сил, по теореме Кастильяно равная работе деформации, является квадратичной функцией сил РХ) Рг, ..., Рг. Трактуя силы как независимые переменные, имеем
(3)
В силу теоремы взаимности р13- = р;;. Поэтому
^. = Р„Р, = 6„(4)
Это и есть теорема Кастильяно о частной производной работы деформации. Она утверждает, что частная производная работы деформации по силе Pt равна смещению точки I в направлении действия этой силы.
Если предположить, что опоры сконструированы так, что не допускают смещения в направлении действия опорных реакций, то из формулы (4) вытекает, что
Ж = 0’ <='■ 26.(5)
Уравнений этого типа получим столько, сколько независимых опорных реакций. Из соотношения (2) видно, что уравнения (5) образуют систему k неоднородных линейных уравнений, в которых неизвестными являются опорные реакции PiRh. Уравнения (5), будучи следствием общего уравнения (4), составляют содержание теоремы Менабри о наименьшей работе деформации.
Уравнения (4) и (5) имеют важное значение в статической строительной механике, статике балок, рам, арок и ферм. Читателей, заинтересовавшихся этими теоремами, мы отсылаем к работе Новацкого1), в которой также дано краткое доказательство утверждения, что соотношения (5) приводят к минимуму работы деформации.
Теоремы существования решениядифференциальных уравнений эластостатики
До сих пор мы молчаливо предполагали, что решение задач эластостатики существует. Проблема существования решения является одной из труднейших задач каждой теории. Доказательство этой теоремы в эластостатике требует использования боль
’) Nowacki W„ Mechanika budowli, t. 1, wyd. 2, PWN, Warszawa, 1964.
шого числа вспомогательных математических средств, главным образом из области теории потенциала и теории линейных интегральных уравнений. Проблемой существования решения дифференциальных уравнений эластостатики занимались многие известные математики: Фредгольм), Лауричелла ), братья Коссера), Корн), Лихтенштейн) и Г. Вейль).
Общая идея доказательства теоремы существования решения состоит в преобразовании системы дифференциальных уравнений эластостатики в систему линейных интегральных уравнений второго рода и исследовании существования решения этих уравнений.
Иной дорогой пошли братья Коссера, используя метод разложения решения уравнений эластостатики в ряды по «собственным функциям». Этот путь является одновременно новым методом решения дифференциальных уравнений эластостатики.
Ниже мы подробно изложим доказательство Лихтенштейна теоремы о существовании решения. Это доказательство является достаточно компактным и, видимо, наиболее простым. Затем мы кратко обсудим теорему братьев Коссера.
Доказательство Лихтенштейна. Рассмотрим первую краевую задачу эластостатики. Требуется доказать, что существует решение системы уравнений
W{ + he<{ = 0, хе У, 6=1+£, (1)
с граничными условиями
Ui^Ui^, уе/1. (2)
Известно, что при отсутствии массовых сил дилатация е.является гармонической функцией и удовлетворяет уравнению
V2e = 0. (3)
В связи с этим систему уравнений (1) удается представить в виде гармонических уравнений
V2(u; +4 хге) = 0.(4)
к
Функции ut-V-^x{e являются гармоническими.
Предполагаем, что функции Uj имеют в области V непрерывные производные третьего порядка, а на поверхности А — непрерывные производные первого порядка.
Обозначим через С(х,|) функцию Грина для уравнения Лапласа замкнутой области. Функция G должна удовлетворять уравнению
V=G(x,E) = 4«6(x-y,(5)
с граничным условием
С(уЛ) = 0, уеД.(5а)
Введем обозначение vt = ut + у х,е и воспользуемся теоремой Гаусса — Остроградского
'|№0-0vw)'-J'(«1^-c5.)<m.(6)
Vл
Учитывая формулы (4), (5) и (5а), имеем
4л J д (х — £) [м, (х) + 4 xte (х)] dV (х) = v
= / («г (у)+ 4 Уге (у)] ^^-^ (У)> уеД, х, | е И, А
или после замены | на х и использования условия (2)
«,(х) + 4х,«.(х) = 1Г.|1/,(у)^Ц^(у) +
(7)
А -
В выражении dGjdn дифференцирование по нормали относится к переменным z/j. Первый член правой части уравнения (7)
(8а)
А* "
можно трактовать как решение уравнения Лапласа
Wi — О, хе У,
6 В, Новацкий
с граничным условием
^г = ^(у), У^А.(8в)
Применим теперь преобразование (6) к уравнениям (3) и (5), принимая во внимание граничное условие (5а):
4л J e(X)d(x_|)dy(x)= f e^9G^dA^ vл
Отсюда после замены § на х имеем
2" xie W = ^Г J е (У) "^^ dA (У)-(9)
Исключая из уравнений (7) и (9) величины ^-xte и учитывая (8а), имеем
«г(х) = ^(х)+ -^ ^ly^-x,)e^^5^1dAW.(Ю)
А
Функции Vi (х) имеют в V 4- А непрерывные частные производные первого порядка. Из уравнений (10) находим ^f-eW^AW+AjA^-^ty)^^^(у),
А 1(11)
А-Ум-
Преобразуем эти уравнения, принимая во внимание соотноше- нйе (У) I
е (х) = А (х) - ^ е (х) + .^L J (^ - ,,) е (у) .^х) dA ^. (12)
А1
Обозначим через р расстояние между точкой х s V и точкой у е А; р=1(х, — уЩх1 — УдТ*- Учитывая, что
dG дО—
cos at -5— = -ч— ,cos а, = —,
илиилиdxt др ’• Р
или
или
,. дО дО
(и, — хА -5— = — р -ч—,
преобразуем уравнение (12) к виду
с w° arg- AW - И№+5„) J f^SMr «to^to. 03) A
Перейдем теперь от точки хе V к точке уеД. Этот переход требует исследования поведения функции р ^ ^ . Лихтенштейн для этой цели использует рассуждения Леви ).
Поместим в точке у е Д вспомогательную систему координат Oi так, чтобы ось о3 была направлена по отрицательной нормали к Д, а оси oi, 02 были касательными к линиям кривизны в этой точке. Уравнение поверхности Д можно в окрестности точки у выразить в виде ряда
п3 = Т (aiCTf + аг°^ + 4 (М + 6iCTiCT2 + b№ + W + • • • • С14)
Величины «1 и аг обозначают главные значения кривизны в точке у. Согласно Леви,
д п,- х 2аз а1 + а2 ai-«2 »1-<4 ,„х
d/iG(a, х) рЭ 2р 2р (р + аз)2 +Q(or. х),
р = (of 4- аг + о!)’4.
Функция Q(o, х) имеет в окрестности точки у частные производные первого порядка. Эти производные при сближении точки х с точкой у стремятся к бесконечности как 1/р. Для
d2G _ дЧЦо, х) др дп Р др даэ получается выражение
^-^+»(^x)-4^)+<21(<«,x),(15)
где Qi —ограниченная функция.
Рассмотрим теперь выражение
А
при переходе от точки хе У к точке у' е Д. На основе известной теоремы теории потенциала найдем при таком переходе следующие уравнения:
Р (у') = 2ле (у') — J -^ (^г) е (у) dA (у), л(16)
Вернемся к уравнению (13) и совершим переход от точки xgF к точке у'еД. При этом мы получим следующее интегральное уравнение:
е(У') = Тй^Л<У')-4^^<17)
А
Ядро интегрального уравнения (17)—функция р д /д^— при у'-*у стремится к бесконечности как 1/р. Отсюда получаем, что уравнение (17) является интегральным уравнением Фредгольма
второго рода с ядром, имеющим слабую особенность. Поэтому к уравнению (17) можно применить общие методы теории ин
тегральных уравнений Фредгольма второго рода, а также теорему о существовании решения интегрального уравнения этого типа.
Требуется показать, что интегральное уравнение (17) имеет решение для каждой функции Л(х). Пусть е(у')— решение уравнения (17), а е(х) определяется формулой (13). Докажем сначала, что е(х) является потенциальной и регулярной функцией в V, т. е. что е(х) удовлетворяет уравнению (3). Так как
(18)(18)V2A (х) = 0
(18)
(18)
в силу уравнения (86) и соотношения (11), то остается показать, что функция
^M^fp-^^y)^^)(I9)
А
удовлетворяет в V уравнению Лапласа ^М = 0.
Обозначим через ЧДх) регулярную и потенциальную в V функцию, непрерывную в V + А. Предположим, что эта функция принимает на А значения е(у). Тогда
х^ (х) =-^-J-^-G (у, х) х,-е (у) б/Д (у).(20)
■А
Но
V2 [х^Р (х)] = 2-^-, поскольку V24;=0.(21)
Применяя к функциям х/Р и G преобразование (6), получим
^Т (х) = ^ j G^, x^^^-dV^H^ ■^G(y,x)yie(y)dA(y). V*A
Учитывая формулу (20), получим из (22)
- W ( ° «■ х> ^^ ® =^ / (»- - х") ^эН««dA (у)-
vА(23)
Напишем выражение
“Ч|И»™«),<24>
которое, принимая во внимание формулу (23), приведем к виду
"-^^Му)<М(У) + 3'1'<х).(25)
А
Применяя к выражению (24) оператор Лапласа, находим
V’"-i^V’jG(8.x)^dVa) =
= -2^ J 6^-x)-^-dV® =
= ^-^-^-4r(x) = 0.(26)
2л dxt dxt xv '
Из формул (25) и (26) вытекает, что тогда и VM = 0. Так как VW(x)=0 и V2Af(x)=0, то из уравнения (13) вытекает, что V2e = 0, что и требовалось доказать.
Пусть и,(х)—функции, описываемые уравнением (10). Из уравнений (10) и (И) вытекает, что е = и,, ь Так как уравнения (10) и (3), а также соотношение е = uta приводят к уравнениям (7), то ut являются решениями задачи.
Мы доказали, что интегральное уравнение (17) имеет решение. Если бы уравнение (17) не имело решения, то существовало бы решение однородного уравнения, которое получится, если в уравнении (17) положить Л = 0. Это означало бы, что существует нетривиальное решение уравнений эластостатики (1) при нулевых перемещениях на границе, а это невозможно.
Разыщем такие значения величины к, трактуемой как параметр, для которых уравнения (27) имеют решение, равное нулю на границе А. Можно найти бесконечно много таких значений к, составляющих последовательность ki, кг Каждому значению ка соответствует собственная функция и^ и е,а' = Ца>р а = 1, 2, 3, ... .’
Братья Коссера показали, что все собственные значения ка являются действительными и лежат в промежутке от —оо до 1 и поэтому соответствуют значениям 6 = 1 +~. меньшим единицы, что при X, р > О невозможно. Эти значения не соответствуют поэтому реальным упругим постоянным.
Покажем, что дилатации е^е<₽> удовлетворяют условиям ортогональности
j e<a’eWV = 0, а * 0.(28)
у
С этой целью рассмотрим два различных параметра ко и к^ и соответствующие им функции и'?', и^, Эти функции должны удовлетворять уравнениям
V2u^ + 6ae<“’ = 0,(29)
У2и(Р> + 6ре^* = 0.(30)
Умножая первое уравнение на и*^, второе на «*“', вычитая почленно результаты и интегрируя по области V, получим следующее соотношение:
J (u^W/1* — u^W^ dV + J VMM — MMAdv = °- <31) УУ
Замечание. В формуле (31) не следует суммировать ни по I, ни по а, ни по р!
Используя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
, /л„(а)Д„(Щ \
J И - дГ - ^а| dA +1 ^ [(^’<аА I - ^Ч^ -
АУ
— J к^ [(<4“^), , — e<«)ets>] dV = 0. (32) у
Поверхностный интеграл исчезает, так как собственные функции принимают нулевые значения на границе. Преобразуя далее (32), имеем
ка / u^e№nt dA — k^j и^е^п, dA = (6О - 6р) J e«*>eW dV, (33)
АЛV
И здесь поверхностные интегралы исчезают на основе тех же соображений. Так как предполагалось, что 6а =/= k$ для а =^ р, то получается соотношение ортогональности
J eW3)dV=0,а#=р.(34)
v
В дальнейших выкладках будем считать функции е<“!, е®> нормированными так, что
J e«*)eWdV=6ap.(35)
v
Приступая к решению уравнений в перемещениях
\2и1 + ке,1 = О(36)
с граничными условиями щ = t/Дх), хеЛ, будем искать решение ut в следующем виде:
Ыг = ^(х)-&2^^.(37)
а=1
Пусть функции УДх) удовлетворяют уравнениям Лапласа
V2yr(x) = 0,хе V,(38)
с граничными условиями
(39)(39)Vt (х') = Ut (х'), х' е Л.
(39)
(39)
Сразу видно, что уравнение (37) удовлетворяет граничным условиям на Л, ибо ы*га* = 0 на Л и УДх) принимает на Л значения U^xY
С целью определения коэффициентов аа разложения функции иДх) в ряд подставим выражение (37) в систему уравнений в перемещениях (36). Таким образом получаем систему уравнений
0=10=1V2ti<“> + k ■О,V2ti<“> + k ■О,(40)(40)
0=1
0=1
V2ti<“> + k ■О,
V2ti<“> + k ■О,
(40)
(40)
Ф = УМ, хе V.
Первый член этого уравнения исчезает в силу формулы (38). Далее, учитывая уравнения (29), после преобразований приходим к уравнению
Эти уравнения интегрируем по хр
^k^ = ^aaeVa4xY(42)
. а=1
Умножим уравнение (42) на е<Р!(х) и проинтегрируем по области V. Учитывая условия ортогональности, получим
J^(x)e^>(x)d^ = ^aadaf5 = a3.(43)
уa=l
Таким образом определены коэффициенты а^, входящие в уравнение (37).
Для полного доказательства существования решения следует показать, что ряд (42) сходится и действительно представляет функцию ■О'(х) = f ).
Уравнения эластостатики в ортогональныхкриволинейных системах координат
До сих пор мы использовали прямоугольную декартову систему координат. Однако оказывается, что во многих задачах теории упругости удобнее пользоваться ортогональными криволинейными системами. Так, в осесимметричных задачах удобнее пользоваться полярной или цилиндрическом системами координат. В задачах, связанных с деформированным состоянием шара, оказывается удобной сферическая система координат, и т. д.
Рассмотрим три функции at (i = 1,2, 3), связанные с декартовыми координатами зависимостями:
a, = a<(xI, х2, xj.(1)
Предположим, что а< являются произвольными линейно независимыми однозначными функциями координат х,, дифференци-
руемыми относительно этих переменных. Уравнение (1) опреде
д«г дх^д«г дх^тимым, если якобиантимым, если якобианотличен от нуля. Тогдаотличен от нуля. Тогдаляет преобразование координат. Это преобразование будет обра
д«г дх^
д«г дх^
тимым, если якобиан
тимым, если якобиан
отличен от нуля. Тогда
отличен от нуля. Тогда
(2)(2)xt = xt(a1, а2, «з).
(2)
(2)
Тройки чисел а, определяют точки в трехмерном евклидовом пространстве. Соотношение а, = const является уравнением поверхности. Для t=l, 2, 3 имеем три семейства поверхностей. Точка пересечения этих трех поверхностей однозначно определяет точку х в пространстве. На рис. 4.4 представлены поверх-
РИС. 4.4.РИС. 4.4.
РИС. 4.4.
РИС. 4.4.
ности а,- и координатные кривые at- Предположим, что система координат aj является ортогональной.'
В прямоугольной декартовой системе координат квадрат элемента длины ds выражается формулой
з
ds2 = 2 dx2.(3)
t=l
Исследуем, какое значение примет ds2 при переходе к ортогональной криволинейной системе. Так как *)
dxb=^-d5;dal’(4)
то
3.
S
ox, ох. dtttdah (5)
fe, 1,1=11
ИЛИгдеИЛИгдеuiy 11 =uiy 11 =§11§21§31§11§21§31
ИЛИ
где
ИЛИ
где
uiy 11 =
uiy 11 =
§11
§21
§31
§11
§21
§31
з
ds2 = ,S gi^Uida,,
_ v dxk dxk
^4 да да. *
6‘1
Это основная квадратичная форма в евклидовом пространстве. Симметричный тензор второго ранга g^, называемый метрическим тензором, характеризуется матрицей
§12§13
§22§23 •
§32§33
Можно показать, что определитель этой матрицы |g,j| положителен. Квадратичная форма (5) является положительно определенной независимо от того, какие действительные значения принимают дифференциалы dat. Для криволинейных ортогональных координат метрический тензор имеет только составляющие, лежащие на главной диагонали, а определитель матрицы принимает значение |§о|= §ц§22§зз-
Величины gu можно интерпретировать следующим образом.
Рассмотрим точку (аьаз.аз) и перейдем вдоль координатной кривой ai к точке (ai + da\, а2, аз)- Расстояние между этими точками обозначим через dsi. Из формулы (5) при da,2 = da^= О имеем
dsx = Vgxxdux = hxdax.(6)
Это расстояние между двумя точками, параметры которых отличаются на dax. Проекции элемента dsx на оси хх, х2, х3 выразим формулой
dxk = -^dax, 6 = 1, 2,3.
(яД(яДНаправляющие косинусы элемента dsi в системе координат
(яД
(яД
примут вид
6=1, 2, 3.6=1, 2, 3.dxb 1 дх. 1 дхь cos <хь a^ = —— = -т= -— = —- -— , dsx К Su 5di hx da]
6=1, 2, 3.
6=1, 2, 3.
Так как
dsx = /^„dap ds2 = V§22^«2» dsa=Vg^da.31 (7) то
ds2 = ds; + ds2 -f- ds2 = gu da2 + g^ da2 + §33 da2=
= ti\ dai -f- hl dal + hlday (8)
Рассмотрим две близкие' точки деформированного тела: точку Р с координатами а< и точку Q с координатами а, + da.,. В результате деформации тела эти точки переходят в Р' и Q'. Координаты точки Р' обозначим через а, + ^ точки Q' — через а< + dat + ^ + d^.
Если tip (р = 1, 2, 3) обозначают составляющие перемещения точки Р в направлениях ai, аг, аз, то, согласно формулам (7),
й1 = /г1^1, и2 = /г2£2>Из =/гз^з,hi = V gu-(9)
Рассмотрим линейный элемент PQ = ds, который после деформации переходит в ds' = P'Q'. В криволинейной системе координат
з
ds2 = /г2 da2 ф- Л| da^ + hl dal = 5 ^ da2i=i
и
3
W = 2 h2 (a, + ^, а2 + ^, а3 + ^ (da, + d^.(10)
Разложим A|(aj + ^, а2 + ^2, а3 + ^з) в ряд Тейлора в окрестности точки аь а2, а3:
'3 ( dh2\
/гИа1+^i> “а+^г-“з+У^^^р а2> аз)£/+••••
• /=1 \ 1^Гй
В этом разложении сохраним только линейные члены, считая приращения ^ бесконечно малыми величинами.
Имеем далее
3 <ЭЕ
(da, + d^ = da2 + 2 da, d^t + d^2 «da2 + 2 ^ -^- da, dau
Подставляя последние соотношения в (10) и пренебрегая членами, содержащими произведения ^ и д^да.,, окончательно получаем
(ds')2 ="2i ^Оц datdaj,(И)
где
G<,-bsl 4+2^5. +4^ + *;#.(12)
Рассмотрим линейный элемент ds! длиной ds\ = h^dai. После деформации его длина изменится и составит ds'\ = VGn dat.
Рассмотрим нормальную деформацию в направлении, касательном к координатной линии ар Имеем
ds\-dsx /ё^ + й,, ^i-^11 Gn-^
611 — _■—■— 1 '1 “у"2^ ^, 9•
dsxhxрhx2 hx
РИС. 4.5.РИС. 4.5.ецецИтак, нормальная деформация в направлении, касательном к координатной линии ар равна
РИС. 4.5.
РИС. 4.5.
ец
ец
1 °ч-^ ^' ।
А =Г
2 ht dat
Учитывая формулу (9), окончательно получаем
д ( “Л 1 V д!Ч ujда; \ h{ ) 2h2 * да; h,
(13а)
Перейдем к вычислению деформаций гц для i =7= /. Рассмотрим криволинейный треугольник PQR в недеформированном состоянии (рис. 4.5). После деформации этот треугольник переходит в P'Q'R', причем
P'Q'= I^Gp dax,P'R'=}f G^da2,
R'Q' = ^G,x da2-V G22da^— 2G12da1 da2.
Угол ф*) 2 между сторонами P'Q' и P'R' после деформации найдем из теоремы косинусов
R'Q'2 = P'Q'2 + P'R'2 — 2 P'Q' • P'R' cos q),*!. 2).
Отсюда для малых деформаций
cos ф^, 21 = cos - р12) = sin р12 « Р12 = -7-9=- \*/У (7Ц Сг22
Вводя обозначение е12 = -^-Р|2 и учитывая, что VGxxG^ ~ hxh2, получим
о
122 hxh2 •
Обобщая наши рассуждения на деформации eij, имеем, учитывая формулы (9) и (12),
илиили_ 1 гЧ =_ 1 гЧ =h2^ + h2^‘ da; 1 da{h2^ + h2^‘ da; 1 da{_ 1 Сц _ 1ЕО 2 h.h. 2h.h.i 1i1_ 1 Сц _ 1ЕО 2 h.h. 2h.h.i 1i1д / и. \ d I uAh2 hr- +A а—1 da. \ h. 1! da. \ h.. ixi/Ail.д / и. \ d I uAh2 hr- +A а—1 da. \ h. 1! da. \ h.. ixi/Ail.i Ф j.i Ф j.(И)(Ua)(И)(Ua)
или
или
_ 1 гЧ =
_ 1 гЧ =
h2^ + h2^‘ da; 1 da{
h2^ + h2^‘ da; 1 da{
_ 1 Сц _ 1
ЕО 2 h.h. 2h.h.
i 1i1
_ 1 Сц _ 1
ЕО 2 h.h. 2h.h.
i 1i1
д / и. \ d I uA
h2 hr- +A а—
1 da. \ h. 1! da. \ h.
. ixi/Ail.
д / и. \ d I uA
h2 hr- +A а—
1 da. \ h. 1! da. \ h.
. ixi/Ail.
i Ф j.
i Ф j.
(И)
(Ua)
(И)
(Ua)
Цилиндрическая система координат (г, 6, z). Декартова система координат и цилиндрическая система координат связаны следующими соотношениями:
X! = rcos6, x2 = rsin9, x3 = z,
О ^ г < оо,О ^ г < оо,0<90<97 2л,7 2л,— оо— оо< Z << Z <оо,оо,
О ^ г < оо,
О ^ г < оо,
0<9
0<9
7 2л,
7 2л,
— оо
— оо
< Z <
< Z <
оо,
оо,
из которых вытекает, что
ds2 = dx2 + dx22 + dx^ = dr2 + r2 d№ + dz2.
Согласно формуле (5), имеем
^3^331 •^3^331 •A^ = Sn = l, Al = ^22 = h
^3^331 •
^3^331 •
Вводим следующие обозначения:
Hl Нг»Е11 = Егг> е12 = Еге>Hl Нг»Е11 = Егг> е12 = Еге>ti2 tig, е22 = Еее> е23 = E0z>ti2 tig, е22 = Еее> е23 = E0z>«3 = «2,Е33 = Ezz>Е31 = Егг-«3 = «2,Е33 = Ezz>Е31 = Егг-
Hl Нг»
Е11 = Егг> е12 = Еге>
Hl Нг»
Е11 = Егг> е12 = Еге>
ti2 tig, е22 = Еее> е23 = E0z>
ti2 tig, е22 = Еее> е23 = E0z>
«3 = «2,Е33 = Ezz>Е31 = Егг-
«3 = «2,Е33 = Ezz>Е31 = Егг-
Из формул (13а) и (14а) получим следующие соотношения между деформациями и перемещениями:
с _ диг_ 1 dug . иг_ duz,
rr— dr ’ 6Р г d9 ~г" г ’22 dz '
(15)(15)1 /1 dur . dug ug\ 1 / duz , dur\
(15)
(15)
Ere — 2ДТ" ~dF "T" "Tr r) ’— 2 ( dr”37) ’
1 / dug , 1 du2 \
802 ~ 7 \~37' + 7 “35”)'
Напряженное состояние описываем в криволинейной системе координат таким же способом, что и в декартовой системе. Напряжения, действующие ортогонально к искривленным граням элемента, обозначим через птт, оде, огг, касательные напряжения -— через orz, огд, oez. Направления векторов этих напряжений показаны на рис. 4.6.
Связь между напряжениями и деформациями дается формулами
<ггг = 2цегг + А,е, ^ее = 2цевв 4-^е,а22 = 2це22 + Хе,
аге= 2ц«Г0> аег = 2цевг, Огг = 2це2Г,(16)
е = е„ + е9в 4- егг.
Если мы имеем дело с осесимметричным деформированным состоянием тела относительно оси г, то деформации не зависят от угла .0. В этом случае ие = 0 и Ere = gz9 = о. Если, кроме того, деформации не зависят от 2, то ие = Цг = о, Ezz = 0, 8г0 = О, Егг = 0, Е0г = 0.
Сферическая система координат (If О, ф). В этой системе (рис. 4.7)
Xi = I? sin $ cos ф,х2 = R sin О sin ф,x3 = lfcos0',
0<г<оо,0<ф^2л,0<О<л.
Так как
ds2 = dx2 + dx2 + dx2 = dR2 + R? sin2 ^ ^ + ^2 ^
to
Л! = Яц=1. A2 = gr22=/?2Sin2^ Д2 = g^ = R2<
Вводя обозначения ux = uR, иг = и^, и^ц^ и
eII— eRR. 8M — ew 833 —Egg, 823 = e^, 831 = 8to, 8^ = 8^,
получим из формул (13a) и (14a) следующие формулы для деформаций:
eRR— dR ’
8ФФ — R Sin » dq> + R + ct£ 0 —,
R д» R * e = 4(17) гф 2 \ fl sin & <9<p R "* ~gg~) >
e - 4 1 ^ "о I диЛ ^2\R д» R ~l~'dRj>
R sin О дф JR sin О дф J6ф0 = "2-55-^- ctg -0 4
R sin О дф J
R sin О дф J
РИС. 4.6.
РИС. 4,7.
Напряжения связаны с деформациями следующими зависимостями:
Орр === 2цедд Ч- Хе, Цфф ^^ 2р,Ефф Ч™ Хе, <з^ = 2це^ Ч- Хе, ^лф = 2це^ф, ОфО = 2p.eTfl, аад = 2р,е^д,(18)
е = брр Ч- ®фф Ч~ Ew-
В частном случае, когда деформированное состояние характеризуется центральной симметрией, деформации становятся функциями только переменной R. Поэтому
duR __ UR—_
eRR — у^ , Ефф $00^ > ®R<P Еф0 Е0Д
Из уравнений (18) вытекает, что в этом частном случае
^рр —- 2цЕрр 4“ Хе,ффф е^оо 2цЕфф Ч- Хе,
ди- и„ (19)
айф = афО = 0ол = 0> е — йрр Ч- 2$QQ = -^- 4-2
Остается дать уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах. Эти уравнения получим общим способом, применяя теорему о минимуме потенциальной энергии. Эта теорема, записанная в прямоугольной системе координат, имеет вид
зз
6Г = J ^ Х‘ buidV + J S Pi bUi dA •(20)
V i=lAc i=l
Предположим, что на всей поверхности тела заданы перемещения. В этом случае по предположению, что вариация би, равна нулю на поверхности А, на которой были заданы перемещения, исчезает поверхностный интеграл в уравнении (20). Так как
з з
6Г = J 5 ^ч^цйУ,
V 1=1 /=1
то из уравнения (20) имеем
(
ззз\
2=(21)
Z=1 /=1i=l/
Перейдем к криволинейной системе координат at. В этой системе массовые силы ХДа,) действуют в направлении координатных линий а, на вариациях перемещений
бМ( = hib^.
Для вариации деформаций имеем следующие выражения, которые выводятся из формул (13а) и (14а):
7=1, 2, 3,7=1, 2, 3,(22)(22)
7=1, 2, 3,
7=1, 2, 3,
(22)
(22)
Учитывая еще, что
где£ = (£и£22£зз)/г = hxh2h3,где£ = (£и£22£зз)/г = hxh2h3,dV = dxx dx2dx3 = gdax da2 da3, dxt = hida{,
где
£ = (£и£22£зз)/г = hxh2h3,
где
£ = (£и£22£зз)/г = hxh2h3,
уравнения (21) представим в ортогональной системе координат в следующем виде:
(
зззз\
^ §аа &а +22gaM 6еИ — ^ gXtht 6^ da3da2da3=O, (23)
1=11=1 /=1z=i/
i t^ /•
Подставляя формулы (22) в (23), получаем
зз^1 . у _££«Лdai d hh^1 . у _££«Лdai d hhd^j dakd^j dak- Xighi M,- Xighi M,dax da2 da3 = 0.(24)dax da2 da3 = 0.(24)
з
з
^1 . у _££«Л
dai d hh
^1 . у _££«Л
dai d hh
d^j dak
d^j dak
- Xighi M,
- Xighi M,
dax da2 da3 = 0.(24)
dax da2 da3 = 0.(24)
Члены, содержащие первые производные вариации 6^,-, проинтегрируем по частям по формуле
Г ^ъ/Г^^dv^f^VеАГ ^ъ/Г^^dv^f^VеА(n, aft)<M(a)—j -^-d^<ZI/(a)v k(n, aft)<M(a)—j -^-d^<ZI/(a)v k
Г ^ъ/Г
^^dv^f^
VеА
Г ^ъ/Г
^^dv^f^
VеА
(n, aft)<M(a)—j -^-d^<ZI/(a)v k
(n, aft)<M(a)—j -^-d^<ZI/(a)v k
и используем предположение, что д£,- = 0 на поверхности А. Таким способом преобразуем уравнение (24) к виду
зз^(^fg) _ JL у ^L ^L 4- да, 2 й| dat 1Л=1 к ‘^(^fg) _ JL у ^L ^L 4- да, 2 й| dat 1Л=1 к ‘Xight dat da2 da3 = 0.Xight dat da2 da3 = 0.(25)(25)
з
з
^(^fg) _ JL у ^L ^L 4- да, 2 й| dat 1Л=1 к ‘
^(^fg) _ JL у ^L ^L 4- да, 2 й| dat 1Л=1 к ‘
Xight dat da2 da3 = 0.
Xight dat da2 da3 = 0.
(25)
(25)
Так как вариация 6^- произвольна, выражение в квадратных скобках должно обращаться в нуль. Таким образом мы полу-
чили уравнения равновесия
5 с 11 V1а=15 с 11 V1а=1g^kk, ^4h\ datg^kk, ^4h\ datзз+ ^< = 0. (26)+ ^< = 0. (26)a=ia=i
5 с 11 V
1а=1
5 с 11 V
1а=1
g^kk, ^4h\ dat
g^kk, ^4h\ dat
з
з
+ ^< = 0. (26)
+ ^< = 0. (26)
a=i
a=i
В цилиндрической системе координат (г, 0, г) из уравнений (26) получим следующие уравнения равновесия:
даГгdrдаГгdr1 даг9 г d81 даг9 г d8д^гг I Orr — ^Я9дггд^гг I Orr — ^Я9дгг+ Хг = 0,+ Хг = 0,
даГгdr
даГгdr
1 даг9 г d8
1 даг9 г d8
д^гг I Orr — ^Я9дгг
д^гг I Orr — ^Я9дгг
+ Хг = 0,
+ Хг = 0,
да гр । 1 dagg । да9г . 2. „ дг + г 56 + дг + г аго + ^о — 0,да гр । 1 dagg । да9г . 2. „ дг + г 56 + дг + г аго + ^о — 0,darz । 1 daQz дг г dddarz । 1 daQz дг г dddRdR1R sin О1R sin О£^ । 1 д0*dp R dft£^ । 1 д0*dp R dft
да гр । 1 dagg । да9г . 2. „
дг + г 56 + дг + г аго + ^о — 0,
да гр । 1 dagg । да9г . 2. „
дг + г 56 + дг + г аго + ^о — 0,
darz । 1 daQz дг г dd
darz । 1 daQz дг г dd
dR
dR
1
R sin О
1
R sin О
£^ । 1 д0*dp R dft
£^ । 1 д0*dp R dft
(27)
Если напряжения в уравнениях равновесия выразить через деформации, а эти последние через перемещения, то получим уравнения в перемещениях в цилиндрической системе координат:
+(i+ri|[}|w+^+>] + %,=o,t*(v!».--^ + ^^)+(28)
+ (1 + »)7^7|Ы + ^+^]+1.=0,
Х>„, + (X + И) £ [7 -It (г«,) + 7 ^ + » + х, = 0.
Здесь V725=1 5 . 1 5=5=
V — дг2г dr "* г2 dQ2дг2 ‘
В сферической системе координат (R, ft, ф) из (26) находим следующую систему уравнений равновесия:
RR+ xR=o,
R
R
(29)(29)дарц> ।। * 5афд Зд^ф + 2^^ ctg О „
(29)
(29)
-"dR* +tfsinO5q>~Rdft~r R"Г Лф —
doRP .1 ^фО_ .1 ^®йй_ I
dR/?sinOdtp Rdft~*"
3^» + (aM - <гфф) ctg О
H□г x e—0,
Учитывая формулы (17) и (18), из уравнений (29) получим следующие уравнения в перемещениях;
f 2 Г Id1 du„ ])
uiV2tin -- «о -I—г-s- -rr-(tiflsinO) -I—r—s--=—+
K R2 V K 1 sin У оу ' “' 1 sm ft dф J J
g Г 1 dId ,
++- Ц) "g^-g^ (Я2ия) +"gy («9 sin ft) +
1 ди„ 1
+ p+^ = 0,
/? sm ft dф J ”
C22 ГduR 1_ cos ft duv 1 "I
9" ( tiy r2 [ дй 2 sin2 ft U^ sin2 ft dф J J
1 d Г 1 d „Id,
+ & + ц) у дуг [ ^г -^ (R Ur) + y—5- "gy (^ sin ft) + (30)
1 du_1_
1>К+тат[>+^в4?-^]}+
. Я + u d Г 1 d , n9 , .1 d ,. a \ ,
+ "в -"а(R2Un) 4- -n . -T -sr- (Uo Sin ft) -4-
dф L R2 dR v K' 1 Rsinv dft v 1 1
+ ^ft-df] + ^ = 0’ где
V2=_LjL(,d2jL\4.’^_
R» dR dR / R2 sin ft dft v dft ) R2 sin ft dtp» *
Глава 5
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ
Частные решения. Метод Треффца1)
В настоящей главе мы будем рассматривать важнейшие методы решения уравнений эластостатики в перемещениях
ц4" (^~Ь и) иь ji ~Ь ^i = 0> z' /= L 2, 3.(1)
Среди решений системы уравнений (1) важное значение имеют частные решения, т. е. решения, которые удовлетворяют системе уравнений в перемещениях, но не удовлетворяют граничным условиям или удовлетворяют только некоторым из них. Из частных решений и? можно составить общее решение в виде либо конечного, либо бесконечного ряда Ui = ^avuL причем коэффи-
V
циенты av следует выбрать так, чтобы были выполнены все граничные условия.
Среди частных решений системы уравнений (1) особого внимания заслуживают так называемые фундаментальные решения, отвечающие действию сосредоточенных сил в неограниченном упругом пространстве. При помощи этих фундаментальных решений можно найти решения для ограниченной области, применяя формулы Сомильяны и Грина (§ 4.13 и 4.14).
Возвращаясь к уравнениям (1), заметим, что при отсутствии массовых сил дилатация е = ut] г является гармонической функцией. Это легко доказывается дифференцированием уравнений (1) по х{ с последующим свертыванием. Тогда имеем
Ui, ;р-\~ kUj, jii = 0, /г = 1 + — ,
откуда
V2e = 0.(2)
•) Треффц Е., см. список литературы.
Применяя к формуле (1) оператор Лапласа и принимая во внимание соотношение (2), получим при Xt = О
V2V2u,=0.(3)
Составляющие вектора перемещения удовлетворяют бигармони- ческому уравнению, т. е. являются бигармоническими функциями. Разыскивая частные решения уравнений (3), воспользуемся теоремой Альманси ), которая гласит, что каждая функция вида
ф + ^ф, ф + х2ф, Ф + хзф удовлетворяет бигармоническому уравнению, если функции ф и ф являются гармоническими в рассматриваемой области.
Рассмотрим функцию f = ф + %1ф и проверим, является ли она бигармонической, если ф, ф — гармонические функции.
Используя тождество
У2(ии) = uX2v + vV2« + 2v, tu, t,(a)
убеждаемся, что
А2/ = 2фа и
V2V2f = 2V^a=2d,V^=0..
Проверим теперь справедливость обратной теоремы, которая утверждает, что для каждой функции f, бигармонической в V, существуют функции ф и ф, такие, что
f = <P + ^.-
Для доказательства этой теоремы следует убедиться в существовании функции, удовлетворяющей двум условиям
Ф2ф = о, V2(f — x^) = 0.(б)
Второму из этих условий, учитывая формулу (а), придадим вид ^7 = У2(х,ф) = 2ф. Р(в)
Уравнению (в) удовлетворяют частные решения
Ф (х,, х2, х3) = -^ J V2/ (^, х2, х3) d^.
Здесь х^—произвольная точка области V. Так как д^ф = v2 ^ф = 1 V2V2f = О,
то функция \72ф зависит только от переменных х2, х3, т. е.
V2^ = у (х2, х3).
Определим теперь функцию ф так, чтобы
V2^ = (д2 + д3) ф = — и (х2, х3), и положим_
ф = ф + ф.(г)
Легко проверить, что выражение (г) удовлетворяет обоим условиям (б). При проверке второго из условий (б) нужно иметь в виду, что функция ф не зависит от переменной хх.
Если в выражении
/ = ф + /?2ф, Rz = xlxb функции <р и ф являются гармоническими, то функция { является бигармонической. Это легко проверить, используя тождество (а). Имеем
V2f = фХ^У?2 -|- 4х<ф. i = 6ф -|- 4/?ддф,W^ = 6V^ + 8V2ф + 4R dRV^ = 0.
Легко можно доказать и обратную теорему, гласящую, что для каждой функции Д бигармонической в области V, существуют гармонические функции ф и ф, такие, что f = ф + 7?2ф.
Выбор частных решений уравнений (3) зависит до некоторой степени от формы тела. Например, в случае упругого полупространства х3 ^ 0 Треффц (см. список литературы) выбрал для перемещений И; следующий вид:
Ui = Ф< + ХзХь V^, = 0, V2Xi = 0, i=l, 2,3.(4)
Удобство этого выбора в том, что на границе х3 = 0 заданные перемещения равны функции ф(. Поэтому можно простым способом определить функцию ф,, решая уравнение Лапласа
V^ = 0,1 = 1, 2, 3,(5)
с граничным условием
Ф^Х!, хг, ^ = иДхх, х^,(6)
где Ui — заданное перемещение.
Функции ф{ и Хе связаны между собой. Их связывает система уравнений в перемещениях (1). Подставляя формулы (4) в (1), находим соотношение
2%i, з + к [хз + Фа, k + х3Хк, a], i = 0.(7)
Мы значительно упростим это соотношение, если примем, что Xi = Ф,й причем ф также является гармонической функцией. Это
приводит соотношение (7) к виду
2ф, <з + ^ [ф, з + Фа, а1, i — 0.
Проинтегрируем это уравнение по х,, а постоянную интегрирования возьмем равной нулю. Тогда
^ = -174^ Фа. а ИЛИ(8>
Если на границе упругого полупространства х3 ^ 0 заданы перемещения tA(xbx2), то следует идти таким путем. Решая уравнения Лапласа (5) с граничными условиями (6), находим функции ф,. Из этих функций образуем дивергенцию (величину фА;й) и подставим в правую часть уравнения (8). После интегрирования этого уравнения получаем функцию ф. Зная функции ф и ф, можно определить поле перемещений
«< = Ф< + ^зФ,/.(9)
В задачах, касающихся действия сосредоточенных сил в неограниченном упругом пространстве, деформации шара и цилиндра, удобно принять следующее предположение относительно составляющих вектора перемещения:
»i = T< + № —о9-) ф,„(Ю)
где а — постоянная. Подставляя соотношение (10) в уравнения в перемещениях (1), приходим к уравнению
2ф,< + 4^, < + ^ (Фа, а + 2^)# z = 0,(11)
где
5 = Х/ф,/ = ^ф = К ■ gгadф, dR=—_
Интегрируя уравнение (11) по х, и приравнивая постоянные интегрирования нулю, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
^3r^ + Я + Зц Ф = — я + Зц
Это уравнение интегрируем по радиусу R:
R
Ф =6 — 8v 1^о фб. 6 ^о + СТ? , а = 3_4v = я + Зц •
Постоянную интегрирования С следует выбрать таким образом, чтобы ф была гармонической функцией. Если начало координат является регулярной точкой рассматриваемой области, то следует положить С = 0, а интегрирование начинать от нуля,
Удобство такого способа построения частных решений состоит в том, что решение задачи частично сводится к решению известных граничных задач теории потенциала. Применение метода Треффца мы продемонстрируем в § 5.7, 5.9 и 5.10.
Представление Папковича — Нейбера
Весьма интересное представление решения уравнений в перемещениях предложил Папкович). Аналогичное представление, найденное другим путем, дал Нейбер ).
Представление Папковича — Нейбера часто применяется при решении трехмерных задач эластостатики.
Выразим перемещение и через скалярную функцию ф и векторную функцию ф в виде
и = Л grad (ф + R • ф) + Вф.(1)
Здесь R является радиусом-вектором R = (xi,x2, х3), а А и В постоянными, которые выберем в дальнейшем так, чтобы функции ф и ф удовлетворяли как можно более простым и хорошо известным дифференциальным уравнениям.
Подставим это выражение для и в уравнения в перемещениях p.V2u + (Л-ф p)grad divu + Х = 0.(2)
Учитывая, что
divu = АУ2ф + AR • У2ф + (2А + В) div ф,(3)
приводим формулу (2) к виду
Л (I + ft)grad [V2V + R • У2ф] + [(1 + ft) (2Л+ В) — В]grad divф + + № + ^ = 0, ft = l+£. (4)
Постоянные Л и В выбираем так, чтобы выражение во вторых квадратных скобках равнялось нулю. Если дополнительно положить Л = 1, то
б==-2-Ш = -4(1-т).
Уравнение (4) будет удовлетворено, если ф и ф будут удовлетворять системе уравнений
V2T + R • ^ф = 0,(5)
4(1 — v) V4 — 7 = 0-(6)
После исключения из уравнения (5) члена V^ получим окончательно систему уравнений
4(l-v)V2V+-^ = 0,(7)
4(l-v)V^-A = 0.(8)
Мы получили достаточно простой вид уравнений для функций ф и ф. Мы видим, что при отсутствии массовых сил функции ф и ф являются гармоническими.
Определение поля перемещений основано на решении неоднородных уравнений (7) и (8) при учете заданных условий на границе тела. Очевидно, граничные условия будут выражены через функции ф и ф. Зная теперь функции ф и ф, определим поле перемещений из формулы (1). Мы получим
u = grad (ф-|-R • ф) — 4(1—v)ф,(9)
или
«/ = Ф./ +(Х/ФД,- —4(1 — v^b(9а)
В частном случае отсутствия массовых сил имеем
divu = e = div [grad (ф + R ■ ф) — 4(1 —v)ф] = — 2(1 —2v)divф и
V2 div u = V2e — 0.
Дилатация является гармонической функцией согласно уравнению (2) § 5.1. Вектор угла поворота го примет вид
о = у rot и = — 2 (1 — v) rot ф; поэтому
V2© = - 2 (1 — v) rot V^ = 0.
Вектор го также удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармоническим вектором.
Для напряжений ст^ получаем следующие формулы:
°ц = 2ц [Ф, I] — 2(1 — v) (ф/, ( + ф/, J d^vV^],(10)
где
Ф = ф4-х/ф/, V2Ф = 2divф.
Укажем другой путь вывода решения Папковича— Нейбера, принимая за исходную позицию представление Гельмгольца
u = A grad Ф + В rotY.(11)
Из векторного анализа известно, что такое представление вектора возможно всегда; это есть не что иное, как выражение его в виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого вектора. Для определения вектора Y следует добавить к (11) условие
divY = 0.(12)
Подставляя формулу (П) в систему уравнений в перемещениях
V2u + ^grad divu = 0, ^ = 1 + -^ = t J 2v ,(13)
получим уравнение
2Л (1 — v) V2 grad Ф + В (1 — 2v) V2 rot Y = 0.
Полагая А =—(1—2v) и В = 2(1—v), получим уравнение Лапласа
V2 (grad Ф — rot Y) = 0.(14)
Выражение в скобках является гармонической векторной функцией. Обозначим ее через
2ф = gradФ— rotY.(15)
После выполнения в уравнении (15) операции дивергенции получим уравнение Пуассона
72Ф = 2бкф,(16)
решением которого является функция
Ф = ф4-ц.ф,(17)
где ф — произвольная гармоническая функция.
Если подставить (17) в (11) и учесть соотношение (15), то получим уже найденное выше представление поля перемещений через четыре гармонические функции
u = grad (ф + R • Ф) —4 (1 — v)i|).(18)
Соотношения (14) и (15) мы используем при установлении связи решения Папковича — Нейбера с решением Галеркина, которое будет обсуждаться в следующем параграфе.
Как мы уже упоминали, метод Папковича — Нейбера часто используется при решении трехмерных задач. Интересно и то,
что он применяется также к решению двумерных задач, где его вид аналогичен. Для решения многих задач достаточно трех функций ф,. Так, в случае действия сосредоточенной силы в неограниченном упругом пространстве мы полагаем ф = 0, а функции ф,- определяем из уравнения (8). Для решения задачи об упругом полупространстве, нагруженном перпендикулярно к границе, достаточно трех функций: ф и ф = (фь фг, 0).
Возникает вопрос, является ли решение, найденное при помощи только трех функций Папковича — Нейбера, полным. На эту тему возникла обширная дискуссия и накопилась уже обширная литература *). Две теоремы, касающиеся этой проблемы, сформулировал Слободянский. В первой утверждается, что функцию ф можно без ограничения общности принять равной нулю, если рассматриваемая область является ограниченной и односвязной или если она является внешностью некоторой замкнутой поверхности. Во второй теореме утверждается, что без ограничения общности одну из функций ф; всегда можно положить равной нулю.
Вторая теорема была подтверждена Юбенксом и Стернбергом, однако с некоторыми ограничениями относительно геометрических свойств поверхности. Эти авторы доказали, кроме того, что первая из теорем Слободянского не справедлива в случае, если величина 4v является целым числом.
Исследуем теперь соотношения между функциями Треффца § 5.1 и функциями Папковича — Нейбера. В § 5.1 мы приняли для упругого полупространства следующие соотношения;
Щ = ci2 -|- х3р, I, i = l, 2, 3, (19)
где функции аь £ являются гармоническими). Заметим, что соотношениям (19) можно придать вид
u = grad (x3W — 4(1 — у)ф, (20) где
— 4 (1 — v)ф^ (а,, а2, а3 —Р).
Подставляя (20) в однородные уравнения эластостатики в перемещениях, находим, что
Рз=с11уф.(21)
Таким образом, производная функции Треффца £, взятая по Хз, связана с дивергенцией векторной функции Папковича — Ней- бера ф.
Поэтому возможен следующий путь. Решением однородного уравнения (8) находим функцию ф, а интегрированием уравнения (21) — функцию р. Таким способом находим поле перемещений по формуле (19).
Представление Галеркина1)
Очень интересное представление поля перемещений через три функции (которые при отсутствии массовых сил являются би- гармоническими) дал Галеркин. При выводе этих уравнений мы будем пользоваться способом, указанным Моисилом2), в котором применяется простой формализм, пригодный для решения систем дифференциальных уравнений.
Представим уравнения эластостатики
+ +=(1)
в сокращенной операторной записи
М«/)+дГ = °.(2)
где
Lij = 6;/V2 + kdidj.
Далее выразим перемещения ut с помощью векторной функции х следующим образом:
Xi
^12
L\3
^11
Xi
L\3
^11
L\i
Xi
ux =
X2
^22
L13
•
«2 =
^21
X2
Д3
,«3 =
L2\
L33
X2
. (3)
Хз
^32
L33
L^\
Хз
L33
L31
L33
Хз
Итак, для составляющей «1 получим выражение
И] = (Z-22^-33 — Тз2Т2з) Х1 (^-12^-33 L^L^ 7д +
+ (/-12^23 — ^-22^13) Хз = U + ^ V2V2%! — М^, ь
*) Galerkin В. G., Contribution a la solution generate du probleme de la theorie de Felasticit6 dans le cas de trois dimensions, C. R. Acad. Set., 190 (1930), 1047—1048; 193 (1931). 568—571.
■ 2) Moisil G. C., Asupra sfstemelor de ecuapi cu derivate parpale lineare si cu coeficient constanti, Bull. Set. Acad. RPR, ser. A, 1 (1949). -
Если выражения (3) подставить в уравнения (2), то получим систему трех уравнений
Z,H LX2 Ll3Z,H LX2 Ll3^21^21^-22 L23^-22 L23^зх L32 L33^зх L32 L33^ + ^=°.^ + ^=°./ = 1, 2, 3./ = 1, 2, 3.(4)(4)
Z,H LX2 Ll3
Z,H LX2 Ll3
^21
^21
^-22 L23
^-22 L23
^зх L32 L33
^зх L32 L33
^ + ^=°.
^ + ^=°.
/ = 1, 2, 3.
/ = 1, 2, 3.
(4)
(4)
После выполнения соответствующих операций получим из уравнений (4) систему уравнений
v!V2v^+ttV=0'(6)
Вводя три новые функции Fi = V2%<, получим следующие соотношения для перемещений:
u^^A-^VFt-kdxFj.j, uu = e = VFbl,(6)
u = (l + ^)V2F — kgrad div F.(6a)
Уравнения (5) приводятся к неоднородной системе уравнений
(Л + 2|ы) V2V2^ + X, = 0,(7)
или
(А + 2ц) V2V2F + X = 0.(7а)
Вектор F называется вектором Галеркина. Функция Галеркина позволяет первоначальную систему эллиптических уравнений (1) свести к трем уравнениям простой структуры, которые при Х=0 становятся бигармоническими уравнениями. Однако за простоту уравнений (7) приходится расплачиваться более сложным видом граничных условий. Если на поверхности, ограничивающей тело, заданы перемещения, то в граничных условиях в соответствии с формулами (6) появляются вторые производные функции Р4. В случае заданных на границе нагрузок имеем в граничных условиях третьи производные функции Галеркина. Это вытекает из формул '
Pi = ОцПь оИ = 2gez/ + ЬчХе, где
оц = л^Г ^^ ~ <W ^Л + (1 - v) Wi., + Fb J],
91(8)
Скк = 1—^о- (1 + v) ^2^& h> v = "о/Г iГ • 1 _ 2v ' 12 (Л + ц)
Путем подстановки.убеждаемся, что напряжения (8) удовлетворяют тождественно (с учетом соотношений (7)) уравнениям
в напряжениях
^2°Ч + T^TS- о= — №./ + ХЬ ') ~ T^v ^i^k- h. (9) вытекающим из уравнений совместности.
Решение Галеркина с успехом применяется для определения поля перемещений, вызванного в упругом пространстве действием массовых сил. Эта задача здесь упрощена, поскольку остается только найти частные решения уравнений (7) в предположении, что Рг обращаются в нуль на бесконечности.
Решение Галеркина применяется также при определении деформации упругого полупространства, упругого слоя и толстых плит. В этих случаях берется либо одна, либо две функции Галеркина— сколько потребуется.
Известно, что в односвязной области каждую бигармониче- скую функцию можно выразить двумя гармоническими функциями. Таким образом, в решении Галеркина, в которое входят три бигармонические функции, мы имеем дело с шестью гармоническими функциями. Однако из шести гармонических функций в решении Галеркина две функции зависят от остальных.
Ниже мы дадим другой, более наглядный способ получения функций и уравнений Галеркина.
Если вектор перемещения мы представим по Гельмгольцу в виде
u = —(1 — 2v) grad Ф + 2(1—v^ot'P, div4r = 0,(10)
то после подстановки формулы (10) в однородные уравнения в перемещениях (1) получим уравнение Лапласа
V2(gradФ — rotY) = 0.(11)
В это уравнение входят четыре функции: Ф и Ч^, но они связаны зависимостью div4f = 0. Независимыми являются только три гармонические функции, которые обозначим через Г1, Гг, Г3. Выберем их так, чтобы
ф = divГ, Y = rotr,(12)
Подставляя выражения (12) в (11), приходим к бигармониче- скому уравнению
V2VT = 0.(13)
Если выражение (12) подставим в (10), то получим
u = grad div Г — 2(1 — v)V2r.(14)
Отсюда видно, что подстановка Г = -^AF приводит соотношение (14) к (6а),
Нам остается связать функцию Галеркина с функциями Пап- ковича—Нейбера1). Используем утверждение, что V2F является гармонической векторной функцией. Положим
V2F = 2ф,(15)
где ф— векторная функция Папковича — Нейбера. Выполним в уравнении (15) операцию дивергенции
V2(divF) = 2divф.(16)
Сравним полученное соотношение (16) с соотношением (16) § 5.2
V2® = 2div^, Ф = КФ + ф,(17)
где ф, ф — функции Папковича — Нейбера.
Из сравнения уравнений (16) и (17) вытекает соотношение divF = Ф = ф + R • ф,(18)
связывающее функцию Галеркина с функциями Папковича — Нейбера.
Осесимметричное распределение напряжений.Функция Лява 2)
Во многих задачах эластостатики мы встречаемся с деформациями, симметричными относительно некоторой оси. Осесимметричное распределение деформаций и напряжений, как правило, возникает в телах вращения, нагруженных осесимметричным образом, а именно в цилиндрах кругового сечения, в толстых круглых плитах и вращающихся дисках. Часто приходится также иметь дело с осесимметричным состоянием деформации в упругом пространстве, полупространстве, в неограниченном слое и в шаре. Вообще говоря, в этих задачах удобнее будет применять цилиндрическую систему координат (г, ф, г). В силу осесимметричного распределения деформаций и напряжений, перемещения, деформации и напряжения не будут зависеть от угла ф, т. е. и = (мг, 0, мг).
Деформированное состояние характеризуется соотношениями
ди *и*duzл
■rr 57 >^ф”"’^“""dz’^ = Q>
*) Mindlin R. D., Note on the Galerkin and Papkovlch Stress Functions, Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1936), 373—376,
г) Ляв А., см. список литературы.
а напряженное состояние — зависимостями агг = 2цегг 4* Хе, Офф = 2цбфф 4- Хе, о22 = 2цегг 4“ Хе, огг —— 2р.вгг, <тГф 0, (т^ = 0»(2)
^ ^ГГ 4“ ^фф 4- ^22*
Если в уравнения равновесия доГг , дагг ( атг <Тфф п "dr- + "дГ "* г
дОгг । д^гг i °rz лдг дг г
подставим соотношения (2), а деформации выразим через перемещения, то в результате получим систему двух уравнений в перемещениях:
V2ur + ^=0,
(4)
Vu2 4- k ~ 4- — = О, 6 = А±1£.
Здесь мы ввели следующие обозначения:
<7252 । * д . д2v 2115,,. ди,
V —-г^г 4—V2 = V2г, е = —— (ru )4--Д-. дг2 г дг 1 дг2г2г дгх г' ' дг
Мы предположили, что действие массовых сил ограничивается действием вертикальной составляющей Xs (О, О, Xz). Введем функции я, w, такие, что
дииг = ~д^ иг=ш-
Учитывая тождество
V2 = A V2uдг дг
и интегрируя первое уравнение (4) по г, приходим к системе двух
уравнений
4-4) V2-+-^- = 0,
(5)(5)\\1к /дг2 )1дг’
(5)
(5)
дд2\,/ 1теi52 \tхгл
U 4"Тv2 4" -д—й- ® 4г — 0.
дгдг2/1\ кдг2 /рк
Эту систему можно записать в операторном виде LuuU-Y Luia,w=.O, ^wu^ 4" LjWWw 4 ^^ o.
Введем функцию х (г, z) > связанную с функциями и, су зависимостями
О 7umLuu О'
и =,, СУ =,
X ^фф^фы X
откуда получим ди,д2х
d2 "I(6)dz2 J X'd2 "I(6)dz2 J X'“г —37Lu^ —*37^
d2 "I(6)
dz2 J X'
d2 "I(6)
dz2 J X'
uz = w=Luux = \^\ +4) v2
Подставляя (6) в уравнения (5), убеждаемся, что первое из них удовлетворяется тождественно, а второе приводит к уравнению
и’> + йт7г,'=«'и’> + йт7г,'=«'(7)(7)
и’> + йт7г,'=«'
и’> + йт7г,'=«'
(7)
(7)
Если Хг = 0, то х является бигармонической функцией.
Способ введения функции х указывает на то, что она является частным случаем вектора Галеркина. А именно, принимая вектор Галеркина F в виде F = (0, 0, 7з) и переходя к цилиндрической системе координат, получаем соотношения (6) и уравнение (7). Функция х называется функцией Лява.
Подставим соотношения (6) в определяющие уравнения (2), выражая напряжения через функцию х- Получим следующие формулы:
IjT °22 — "dz Г2 v) V X —>
I5Г T72d2x1
2ц °rr—dzM Xdr2 J ’
2ц aWdzLVт dr J ’
I5 Г,.. ,-9Xk— I
37Г v) V x — 35г] , V— 2(Л + ц) — 26 ‘
Вернемся к уравнениям в перемещениях (4) и, положив Х^ = О, запишем их в несколько иной форме:
5+(1 fe) д£ = °
dz \ dzdr ) 1 х 1 ' dr
г dr V \ dzdz )А x 17 dz
7 В. Иоваикнй
Подставим в уравнения (4') соотношения Гельмгольца
.. о , 5Ф 0 п к 5 У
иг = -(Д-2^—-2(Д-^ — , дф1 д^
U2=_(l_2v)^- + 2(l-v)^(r4r),
полученные из формулы (10) § 5.3, записанной в цилиндрической системе координат (здесь Т = Та — единственная отличная от нуля компонента вектора Т).
После простых преобразований (4') принимают вид
.^~7^И = Положим
OZOZх 1
Это позволяет удовлетворить первому из уравнений (10). Подставляя зависимости (11) во второе из уравнений (10), получим для функции х бигармоническое уравнение
V2V2x = 0.(12)
Если соотношения (11) подставим в формулы Гельмгольца (9), то найдем простое представление перемещений через функцию х- Соотношения
+ 2(l-v)V=Z(6-)
идентичны формулам (6).
Функции Лява допускают различные применения. Путь, по которому следует идти при использовании этого метода, таков. Сначала выражаем граничные условия в перемещениях или напряжениях через функцию х- Далее решаем бигармоническое уравнение (12) с учетом заданных граничных условий. Зная теперь функцию х, находим перемещения по формулам (9) и напряжения по формулам (8). При решении уравнения (12) часто используется характерное для осесимметрических задач интегральное преобразование Ханкеля либо, если область ограниченная (цилиндр, толстая плита), конечное преобразование Ханкеля.
Неудобство метода Лява заключается в том, что в граничных условиях при заданных перемещениях появляются вторые, а в случае заданных на границе нагрузок — третьи производные функции х-
Рассмотрим теперь уравнения в напряжениях
^Z°ij + | _|_ v S. ij — 0» s — CTn + ° 22 + °зз- (13)
Переходя в этих уравнениях от декартовых координат к цилиндрическим и принимая во внимание независимость напряжений от угла ф, получим систему уравнений
^'2°гг77 korr стфф) + Т+~7 777 = О,
^2(Тфф + т? (стгг стфф) + T+V 7 Иг = ®
^ + -^^0.(14)
Г21 I1— Л
V Г Grz +:,= U,
rz г2 тг 1 + v dr dz
s = Orr + ^фф + °zz-
Если в эти уравнения подставить соотношения (8), то окажется, что уравнения в напряжениях удовлетворяются тождественно.
Осесимметричное распределение напряжений.Функции Буссинеска1)
Неудобством метода Лява является то, что напряжения получаются троекратным дифференцированием функции х- Значительно более удобным является путь, выбранный Буссинеском. Исходной точкой и здесь является представление Гельмгольца
(1)(1)ur— (1 2v) дг 2(1 v) dz •
(1)
(1)
u2=-(l-2v)^ + 2(l-v)l^(rn
Подставляя эти соотношения в уравнения в перемещениях, по
лучим
+=(2)
V дг 1 dz /’v '
V2^(гЧ^ — О, V2 = V2--L.(3)
\ dz r dr v 'j 1r2x '
Выберем функции Ф и Т так, чтобы
(4)(4)дФ . 5У =дг ' дг
(4)
(4)
Уравнение (3) представляет собой уравнение Лапласа. Функция ф
Q I дФ 1 де
(5)
является гармонической. Если из уравнений (4) и (5) исключим V, то получим уравнение
(6)
общее решение которого имеет вид ф = гф + ф,(у)
где ф — гармоническая функция.
Если мы выразим функцию Т через функции ф и ф и подставим Ф и Т в уравнения (1), то получим следующие соотношения:
дФдФ ._,
иг = ^7-^ = -^-4(1 —у)ф, Ф = ф + 211)>(8)
Именно такое представление перемещений через гармонические функции предложил Буссинеск. Если соотношения (8) подставим в формулы для напряжений (формулы (2) § 5.4), то получим следующие выражения:’
^„ = ^-(2-^Ф, ^,„-^-2(1-,)^. (9)
ф2ф = 2.
Функции Буссинеска можно вывести из функций Папкови- ча — Нейбера. А именно, если в представлении перемещений через функции Папковича — Нейбера
(Ю)(Ю)u< = dj. (ф + х^ — 4 (1 — v) ф.
(Ю)
(Ю)
ПОЛОЖИТЬ Ф1=Ф2 = О, ф3 = ф, то получим
и, = ^ (ф + х3ф), «2=д2(ф + х3ф), и3=д3(ф+д:зф)-4(1—у)ф, (Ц)
Переходя к цилиндрической системе координат в предположении, что фгф(г, г), ф = ф(г, z), 2 = х$, получим из (11) следующие соотношения:
иг = -^". «г = -^" —4(1—у)ф, Ф = ф + 2ф,(12)
тождественные соотношениям (8). Итак, функции Буссинеска составляют частный случай функций Папковича — Нейбера.
Нетрудно также показать связь между функцией Лява и функциями Буссинеска). Функция Лява х является бигармони- ческой функцией. Поэтому функция ф
^ = 2ф(13)
является гармонической функцией. Дифференцирование уравнения (13) по z дает
V2^L = 2^.(14)
dz dz' '
Сравнивая формулы (14) и (6), находим, что
5 = Ф = Ф + ^.(15)
Эта формула описывает связь между функцией Лява и потенциальными функциями Буссинеска.
Потенциал упругого перемещения
Представление составляющих поля перемещений через четыре гармонические функции в виде
«г — Ф,/ Ч-^/Ф/),/ — 4(1 — vHz(1)
является весьма общим. Оно используется при сложных формах тел и при неоднородных граничных условиях. В настоящем параграфе мы сосредоточим внимание на простейшей форме соотношения (1), когда перемещение выражается через единственную функцию ф. Тогда
«г = Ф, ь(2)
Функция ф, введенная впервые Ламе), называется потенциалом. упругого перемещения (англ, elastic displacement potential, нем. elastischer Verschiebungspotential).
С помощью функции ф найдено много простых решений эластостатики, представляющих собой либо окончательный вид решения уравнения в перемещениях (например, в неограниченной области), либо частные решения, которые удовлетворяют уравнениям и части граничных условий.
Рассмотрим сначала действие массовых сил в неограниченном упругом пространстве. Предположим, что массовые силы обладают потенциалом Ф (так что ^i = p9,i) и действуют в ограниченной области V'.
Уравнения в перемещениях имеют в этом случае вид
V2M1+^, + £^t = o, £ = !+-;. • (3)
Если в уравнения (3) подставить перемещение и(, выраженное через потенциал ф, а полученное уравнение проинтегрировать по Xi, то в результате получим уравнение Пуассона
^TTV-<4>
Частное решение этого уравнения
ф М 4л (Л + 2ц) JVф М 4л (Л + 2ц) JVR (х, I)R (х, I)Я = [Сч-^Ж-£г)]’/2,Я = [Сч-^Ж-£г)]’/2,(5)(5)
ф М 4л (Л + 2ц) J
V
ф М 4л (Л + 2ц) J
V
R (х, I)
R (х, I)
Я = [Сч-^Ж-£г)]’/2,
Я = [Сч-^Ж-£г)]’/2,
(5)
(5)
является окончательным решением для неограниченного упругого тела. Знание функции ф позволяет вычислить перемещения, деформации и напряжения по формулам
(6)
рхоц ' '
аИ = 2рф, I; л + 2ц
Если тело ограничено, то к решению и' = ф1( следует добавить решение и" однородной системы уравнений в перемещениях, а и" выразить через новые функции ф" и ф" по формуле (1). Перемещения и" следует выбрать так, чтобы выполнялись заданные на границе тела условия.
Вернемся к уравнению (4) и предположим, что в теле отсутствуют массовые силы. Уравнение (4) переходит в уравнение Лапласа
(7)(7)У2Ф = 0;
(7)
(7)
Ф становится гармонической функцией, а формулы (6) переходят в
Ui = ^,b ег; = ф.<;, е = 0, аг; = 2цф,г;.(8)
Можно дать ряд частных решений, удовлетворяющих уравнению Лапласа. К примеру, такими функциями являются
7?-1, In-у, ln(7? + x3), х31пг, 9, х39,(9)
где R = (x2 + х| + х2^*, г = (х^ + х|),/2, а 9 является одной из координат в цилиндрической системе координат (г, 9, z).
Рассмотрим некоторые из этих гармонических функций. Так, потенциал
С
является частным решением уравнения
''М-^+4^Н>=()-(10)
Отсюда видно, что функция ф связана с задачей деформирования, характеризующейся центральной симметрией. Определим в сферической системе координат (7?Д, 9) перемещения, деформации и напряжения как функции только радиуса R;
дф_ ®UR _ 2С „ UR
Ur~ ~dR~ —еоо-еее--^---^г.
по4 ц С 2цС
е — и, Qrr — zV^rr— стбб — стее—
Если к последнему напряженному состоянию добавить всестороннее равномерное растяжение aRR = а^ = аее = 2|гО, то суперпозицией этих двух состояний будут напряжения
^я = 2р(^-+ D\ »от=»ее =2ц(о — -^У(а)
Такое напряженное состояние возникает в сплошном или полом шаре под действием равномерного нагружения его радиальным давлением. В случае полого шара внутреннего радиуса а и наружного b при постоянном радиальном давлении ра на поверхности R = а и при постоянном давлении рь на поверхности R = b подсчитываем постоянные С и D в соотношениях (а) из граничных условий
aRR (а) = — Ра, aRR (6) = — Pb-
В случае сплошного шара С = О, ибо перемещение uR в центре шара должно равняться нулю. В этом случае в шаре возникает состояние равномерного давления aRR = аее = а^ = —ръ.
Рассмотрим, далее, потенциал ф = С 1п (r/с). Это выражение является частным решением (с особенностью) уравнения
Функция ф=С1п(г/с) связана с осесимметричным деформированным состоянием тела, не зависящим от угла 0 и переменной z. Для этого деформированного состояния имеем
dm Спdur С
—— — , и6 — иг — 0, err — -g-— — —,
eee = v = 7i"’ е^ = 0’ е = 0’ а^ = 0,агг=2цегг = — ^-, аве = 2цеев = -^-.
Если к последнему состоянию добавить равномерное растяжение arr = аее = 2pJD, то в результате получим
агг = 2ц (#—£),ае9 = 2ц (£> + £).(б)
Напряженное состояние (б) возникает в бесконечной толстостенной трубе под действием равномерного давления на внутренней г = а и внешней г = Ь поверхностях. Если ра— давление на поверхности г = а, а рь— давление на поверхности г = Ь, то постоянные С и D находятся из граничных условий аГг^ = — Pai arr(b) = — pb.
Если мы имеем дело со сплошным цилиндром кругового сечения, то С — 0, ибо перемещение иг на оси цилиндра должно равняться нулю. В цилиндре в этом случае возникает состояние давления агт = аее = —Рь-
Рассмотрим потенциал ф=С0, удовлетворяющий уравнению Лапласа в цилиндрических координатах. Этому потенциалу отвечает следующее состояние перемещений, деформаций и напряжений:
U. == 0,г dr ’U. == 0,г dr ’и=^- = 0,z dzи=^- = 0,z dz1 дф С “е — 7 "55"— Т ’1 дф С “е — 7 "55"— Т ’
U. == 0,
г dr ’
U. == 0,
г dr ’
и=^- = 0,z dz
и=^- = 0,z dz
1 дф С “е — 7 "55"— Т ’
1 дф С “е — 7 "55"— Т ’
(в)
2цС2цСе = 0, агг = 0,а99 = 0, a2Z = 0, агг = 0,
2цС
2цС
OLn ——Д I —
ru ar Ou \ г !
Потенциал ср = СО вызывает в теле только перемещения «е и напряжения аге. Такое напряженное состояние можно реализовать в бесконечной толстостенной трубе, нагруженной на внешней и внутренней поверхностях касательными напряжениями ог<р. Эти напряжения уравновешиваются моментом ±2лС, направленным вдоль оси трубы.
Наконец, рассмотрим гармоническую функцию1)
Ф = С1п(7? + 4 R = (r2-Vz2?.
Стц = 2цС
Г 2 12
Х2+ х3
^i
R3 (R + х3)
R2 (R + х3)2 J
а 22 = 2ц С
X? + X2
R3 (R + х3)
7?2(7? + -f3)2J
„ О..Л> ^з „ о.. О Х1 Х2 + Х3O33R3 ,СТ,2— Zp.C R3 (^ + Хз)2„ О..Л> ^з „ о.. О Х1 Х2 + Х3O33R3 ,СТ,2— Zp.C R3 (^ + Хз)2известную под названием решения Буссинеска второго рода. Напряжения оц выражаются в прямоугольной системе координат формулами
„ О..Л> ^з „ о.. О Х1 Х2 + Х3
O33R3 ,СТ,2— Zp.C R3 (^ + Хз)2
„ О..Л> ^з „ о.. О Х1 Х2 + Х3
O33R3 ,СТ,2— Zp.C R3 (^ + Хз)2
Хп
°2з= 2цС -^3-,
<ТЗ| =^РС-^Г.(г)
Заметим, что в плоскости х3 = О напряжения ст33 равны нулю всюду, кроме начала координат. Это решение имеет особенность порядка AJR2 в начале координат и на отрицательной оси х3. Выделим вокруг начала координат полусферу, ограниченную плоскостью х3 = 0. На границе этой полусферы получим следующие составляющие вектора сил pt = а^п^ (п, =
Р\ = 2РС R2 ^ + Хз) , р2 = 2рС R2{R2+X3) , рД = -^. (д)
Мы считаем здесь, что нормаль направлена внутрь сферы.
В дальнейших выкладках удобнее оперировать в цилиндрической системе координат, ибо функция ср = С1п(7? + 2) характеризуется осевой симметрией относительно оси 2 = х3. Имеем
агг = 2ц^4 =''or2о д2фGzz 2р dz2агг = 2ц^4 =''or2о д2фGzz 2р dz22рСг 2рС2ц <Эф 2рС
агг = 2ц^4 =
''or2
о д2ф
Gzz 2р dz2
агг = 2ц^4 =
''or2
о д2ф
Gzz 2р dz2
R3 ~ R(R +г) 'R(R + z) ’
2pCz_ о <Э2ф 2рСг
R3 Orz — zp. дгд2 — R3 .
Рассмотрим выражение
dQ = 2лг (— a2Z dr + ar2 d2\dQ = 2лг (— a2Z dr + ar2 d2\(з)(з)Так какI д2ф 2ц czz— dz2 —Так какI д2ф 2ц czz— dz2 —V2m_№V ф \ dr2V2m_№V ф \ dr21 dtp \ 1 <Э L d? ) r dr jr dr V dr / ’1 dtp \ 1 <Э L d? ) r dr jr dr V dr / ’I d2q> _ I d / d<p \2ц °гг dr dz r dz\ dr )I d2q> _ I d / d<p \2ц °гг dr dz r dz\ dr )ибо V2<p = 0,ибо V2<p = 0,
dQ = 2лг (— a2Z dr + ar2 d2\
dQ = 2лг (— a2Z dr + ar2 d2\
(з)
(з)
Так как
I д2ф 2ц czz— dz2 —
Так как
I д2ф 2ц czz— dz2 —
V2m_№
V ф \ dr2
V2m_№
V ф \ dr2
1 dtp \ 1 <Э L d? ) r dr jr dr V dr / ’
1 dtp \ 1 <Э L d? ) r dr jr dr V dr / ’
I d2q> _ I d / d<p \2ц °гг dr dz r dz\ dr )
I d2q> _ I d / d<p \2ц °гг dr dz r dz\ dr )
ибо V2<p = 0,
ибо V2<p = 0,
которому можно приписать определенный механический смысл. Вырежем из тела геометрическую фигуру вращения, которая
возникает в результате вращения дуги АВ вокруг оси 2 (рис. 5.1). Горизонтальные силы, действующие на поверхность вращения, имеют нулевую равнодействующую. ■ На боковой поверхности фигуры вращения напряжения агг и atr сводятся к вертикальной равнодействующей Q, направленной
по оси г. Ее значение, отнесенное к элементу ds дуги АВ, равно
то из формулы (з) получим
dQ = 4лц (dr ^+ dz-^) (г-^-) = 4nfxd (г
Интегрируя вдоль дуги АВ, получаем вертикальную равнодействующую сил, действующих на боковой поверхности фигуры
вращения:
(и)(и)Q = W .
(и)
(и)
Вырежем теперь из тела фигуру вращения, симметричную относительно оси 2, представленную на рис, 5.2. Так как иапря-
жение огг равно нулю на всей плоскости 2 = 0, за исключением начала координат, то, не изменяя напряженного состояния, можно произвести разрез до начала координат, показанный на рис. 5.2. Вдоль оси —2 сделан цилиндрический вырез малого радиуса г = а от г = О- до г = —оо. Вычислим значения г-^ в выделенных точках кривой 1-6 и подсчитаем разность значений г по формуле (и).
Равнодействующая сил, действующих на нижнюю часть фигуры (образованную вращением дуги 1-2 вокруг оси г), с учетом формул (з) и (и) составит
QI 2 = 4лц (С — 0) = 4лцС.
Аналогично подсчитываем равнодействующие
QM = 0, Q34 = 0, Q45 = 4np(2C —С) = 4лцС,
Q5 6 = 4лр (С — 2С) = — 4лцС.
Эти силы, за исключением равнодействующей Qs-e, действуют в направлении оси —2. Очевидно, что эти силы в равновесии не находятся. Для сохранения равновесия на дне кругового отверстия следует приложить силу Р = 4лцС, направленную по оси -|-2.
Рассмотрим теперь напряжения в некотором отдалении от дна отверстия, т. е. для г > а. В выражениях для оГт и оее в формулах (е) будет доминировать член (Р + z)R в знаменателе. Для r/z <§: 1 имеем
Я(Я + 2) = Г2 + 22 + 2(г2 + г2)А ~Г2 + г2-22(1 + ^г) = 1г2,
так что
_ _ .. 4лцС
^ГГ^66г2 •
Эта формула идентична формуле, которая получается в случае бесконечной области с цилиндрическим вырезом, внутри которого действует давление р = 4лцС/а2. Поэтому можно считать, что потенциал ср = С In (Я + г) обусловливает напряженное состояние, возникающее в неограниченном пространстве с цилиндрическим вырезом очень малого диаметра, простирающимся от г = 0 до г = —оо и наполненным жидкостью, оказывающей на стенки гидростатическое давление.
Представленное здесь решение может быть использовано для построения решений в случае более сложных типов нагружений.
Функцию ср = 1п(Я + z) мы используем в § 5.14 в задаче о действии на упругое полупространство z>0 сосредоточенной силы, направленной по оси +z.
Действие массовых сил в неограниченном теле.Решение Кельвина
Пусть в неограниченном упругом теле действуют массовые силы ХДх), распределенные в ограниченной области V". Действие этих сил вызывает деформацию тела, убывающую по мере удаления от области V' и принимающую на бесконечности нулевое значение. Рассмотрим систему уравнений
pV2u< + (Л + ц)е, i + Xt = 0, хеУ^,(1)
в предположении, что и, = 0 на бесконечности.
Будем разыскивать частное решение этой системы уравнений в форме, данной Кельвином '):
Ui = Ф. I + €1]Йк,1(2)
или
u = grad ф + rot ф.(2а)
Точно так же поступаем с полем массовых сил, разлагая его на потенциальную часть и соленоидальную часть:
X = р (grad ^ +rot х).(3)
Подставляя (2а) и (3) в уравнения в перемещениях (1), которые удобнее представить в виде векторного уравнения
(X + 2ц) grad div и — ц rot rot u + X = О, получим следующую систему уравнений Пуассона:
V2t+-^- = 0.(5)
Решение этих уравнений в неограниченном пространстве имеет вид
ф W— 4л (Л + 2ц) J R (x, I) ’<6)
V
4лц J ^(X,^)•
V
*) Thomson W., Cambridge and Dublin Math. J., 3 (1848).
Здесь R = [(х,-— ^ (х; — £<)У/2— расстояние между точками х и §. Функции Ф и % в уравнениях (6) и (7) следует выразить через распределения массовых сил X. Из соотношения (3) имеем div X = pV2^, rot X = — pV2x-
Для определения функций Ф и % теперь имеются уравнения р^ = Хг,ь №1 = -еМкХк.$.(8)
Решение первого из этих уравнений Пуассона имеет вид
ИЛИ
Преобразуя первый интеграл с помощью теоремы Гаусса — Остроградского в интеграл по поверхности, настолько удален* ной, что массовые силы можно считать равными нулю, имеем
Г 5 f х*та Ll/ri (п
VА
Учитывая, что а г t 1 _ aril
<3gz L/?(X,dx; L (x, ^) J ’
получим для функции ^(x) следующую формулу:
V*
—i^W-^MTnhrW- (9)
Решая аналогичным способом второе из уравнений (8), приходим к формуле
(Ю)
V
ИЛИ
%z М = “ 4лр" I €<^ ® "d^ [^(х, I) ] dV ^‘V*
Зная функции ft и х, можем определить функции ср и ф, по формулам (6) и (7).
Рассмотрим частный случай, а именно действие сосредоточенной силы, приложенной к началу координат и направленной по оси х3. Сосредоточенную силу можно трактовать как распределение массовых сил, определенных формулой
-^ = д,3б(х),(11)
где 6(х) —функция Дирака.
Подставляя формулу (П) в формулу (9), получим
О(х) = — 4^- J М(£) ■^[■^71)'] dV® = — 4л7^ [^(х,0) ]'
Здесь R (х, 0) = (x,Xi) v=. Величину R (х, 0) будем обозначать через R. Подставляя выражение (11) в формулы (10), получим
^* 4лр 136 dxfe \ R )’ откуда
1 д / 1 \х2
^' 4лр дх2 \ R /4лр£3 ’
^24лр/?3 ’^3
Можно было бы теперь подставить найденные функции О и х< в формулы (6) и (7) и проинтегрировать. Однако удобнее решить непосредственно уравнения (4) и (5). Представим уравнение (4) в виде
^2ф + 4л (% + 2ц) R3 = °’ или
Отсюда видно, что частным решением этого уравнения является функция
ф = 8л (Л + 2ц) * "У'(12)
Аналогичным способом решаем уравнение (5), получая в результате функции
^ = -8~Т’ ^=^'Т- ^3 = 0.(13)
После подстановки выражений (12) и (13) в соотношения (2) получим ')
(14)(14)(3) = Х + ц /Уз , £+21
(14)
(14)
I 8лц (X + 2ц) \ ^’ + X + ц R Г
Здесь и® — составляющие перемещения, вызванного действием сосредоточенной силы, направленной по оси х3 и приложенной в начале координат. Формулам (14) можно придать несколько иной вид:
u^ = A^B^--^R\t3\.(14а)
где
Д =^ + Цо _ 2 (X + 2ц)
8лц (X + 2ц) ’X + ц
dR-1dx3dR~ldx2dR-1dx3dR~ldxidR-1dx3dR-1dx3dR~ldx2dR-1dx3dR~ldxidR-1dx3(15)(15)Напряжения и дилатация, соответствующие определенным формулой (14а) перемещениям, даются формулами
dR-1dx3dR~ldx2dR-1dx3dR~ldxi
dR-1dx3
dR-1dx3dR~ldx2dR-1dx3dR~ldxi
dR-1dx3
(15)
(15)
»и = 2цЛ о23 = 2рА 022 = 2ц Л Ст|3 = 2цЛ Озз= 2ц Л
с Л dR dR d^-1_ л 2ц dR"1
<T|O = ОЦ/1 "555, е = А -7—гч—.
12dxi dx2 dx3 ’X + ц dx3
Вычислим теперь величины р{ = а^п, на сфере с центром в начале координат. Предполагая, что нормаль направлена внутрь сферы (и, = —Xj/P), получим
бцДх^з6цДх2х32цД / Зх| ц \
Pl— Rl . Pi— R4, Рз— R2 \R2 + Х + ц/"
Исследуем, будет ли вырезанный из тела шар находиться в равновесии. Равновесие сохранится, если будут выполнены условия равновесия
pvdA = O, ^ p2dA = 0, ^p3dA —1=0.(17)
AAA
*) Решение типа (14) часто называют элементарным решением первого poda. — Прим, перев,
Подставляя формулы (16) в (17) и интегрируя по поверхности шара г = а, убедимся, что условия равновесия выполнены.
Обозначим через U^!\x, g) перемещение, вызванное действием сосредоточенной силы, направленной параллельно оси Xj и приложенной в точке g. По аналогии с формулой (14) найдем, что
и’."(х, а = л^ = А j-ЛС-(R).„], (18)
где
R^R(x, Ю = [(xi-^)(xг-^)IV,.
Функции uV4x, I) образуют описанный в § 4.13 тензор перемещений Грина, входящий в формулы Сомильяны. Этот тензор симметричен
uVVx-^-U^, х),(19)
что вытекает из теоремы взаимности Бетти (§ 4.11).
Составляющие тензора перемещений имеют в точке g особенность порядка 1?R, а их значения уменьшаются с ростом R.
Если в точке g действует массовая сила X\(g)dV(g), то перемещения, вызванные ею в точке х, определяются формулой
Ui = Ui (g) и'? (х, |) + Х2 (g) U?' (х, |) + Хз (g) U1?' (х, g)] dV (g) =
-•Xj^uVVx, W®.
Интегрируя по области V', в которой действуют массовые силы, получим следующую формулу:
utW=^ Xj^VW®,(20)
v
или
м, (х) = / X/ (g) ^ (g, х) dV (g).(20а)
v
Для определения поля перемещений, вызванного массовыми силами, и, в частности, сосредоточенными силами, можно применить либо метод Папковича — Нейбера, либо метод Галеркина. Получение окончательных формул здесь является более простым, чем по методу Кельвина. В методе Папковича — Нейбера вектор перемещения выражается через потенциальную функцию qp и векторную функцию ф:
Естественно положить ф = 0, а функцию ф определить из урав* нения Пуассона (уравнения (8) § 5.2)
4(1 — v)V2i|>=-^.(22)
Если сила действует в направлении оси Хз, т. е. Xt = д;зд(х), то следует положить ф] = ф2 = 0, а функцию ф3 определить из уравнения
4(l-v)V^3 = -^-.
Решением этого уравнения является функция
= — 1блц(1 - v)^ 1(23)
Подставляя ф =? ф1 = ф2 = 0 и ф3 из формулы (23) в соотношение (21), получим формулу
1 Г ,11
м+ (3 — 4V) -п- б<3 • ’16лр.(1 —v) L R3 '' R
согласующуюся с формулой (14).
В методе Галеркина в уравнения v2^ + w=0(24)
следует подставить X; = 6i36(x) и Ei = В2 = 0. Остается только одно уравнение
VW3 + y^ = 0,решение которогоF =3 8л(Х + 2ц) 1
Перемещения найдем по формулам (6) § 5.3. В этом случае для Ei = Е2 = 0
u1 = — kd1F3i3, иг = — кдгР313, м3 =(1 + A) V2E3 — М3Е3-3,
6 = 1 + и
Подставляя в эти уравнения Р3 из формулы (25), получим после простых преобразований
^^[в^-^и], что согласуется с формулой (14а).
Решения с особенностью высшего порядка
^3 Элементарных решений, рассмотренных в предыдущем параграфу, можно сконструировать другие решения, имеющие осо еннОсть более высокого порядка.
асс^отрим действие двух сил, одна из которых интенсивности р^ ПрИложена в начале координат и направлена по оси Хь а втОрая TOg же интенсивности, но противоположно направленная Приложена в точке (£, = —h, 0, 0). Если через и^' обозначим поде перемещений, вызванное действием этих двух сил, то по пРиНцИпу суперпозиции получим
(1)(1)“I'^T^'^l- Х2. Хз) — ^'Ч^ + ^ Х2’ Хз)].
(1)
(1)
где Ui выражено формулой (18) § 5.7. Переходя к пределу по h, получаем поле перемещений
ди1?'
(2)(2)ит = _р—1-
(2)
(2)
I0X1
для так называемой двойной силы Р без момента.
СЛ1) в начале координат три двойные силы интенсивности Р направдень] по Трем осям прямоугольной системы координат, то Вь1званное ими поле перемещений находим из формулы
и< = — Ри< = — Рди1^'дхгди1^'дхгд[Г12'дхгд[Г12'дхгдЦ1^'дх3дЦ1^'дх3^=-puv:h^=-puv:h(3)(3)ПодставЛяя в формулу (3) соотношение (18) § 5.7, получимПодставЛяя в формулу (3) соотношение (18) § 5.7, получим
и< = — Р
и< = — Р
ди1^'дхг
ди1^'дхг
д[Г12'дхг
д[Г12'дхг
дЦ1^'дх3
дЦ1^'дх3
^=-puv:h
^=-puv:h
(3)
(3)
ПодставЛяя в формулу (3) соотношение (18) § 5.7, получим
ПодставЛяя в формулу (3) соотношение (18) § 5.7, получим
(4)(4)1 = “ РА (S Т ~ ^' ‘U, / “ ~ 4л (А + 2ц){’
(4)
(4)
А =^ + Ц R = 2 (^ + 2ц)
8лц (А + 2ц) ’% + ц
Эта особенность описывает так называемый центр дилатации11). "Ычислцм напряжения, связанные с полем перемещений (4). 1ак как в этом СЛуЧае е = ut, i = 0, то
°ii — 2pez, ц(ui,i + ubi) 2л (А + 2ц) ( в ), tf (5)
Выдели^ вокруг начала координат шар радиуса R и введем со- ставляк^щну силы р. на ег0 поверхности;
Pi— л(А + 2ц) R1 ’*' 2’Pi— л(А + 2ц) R1 ’*' 2’(6)(6)
Pi— л(А + 2ц) R1 ’*' 2’
Pi— л(А + 2ц) R1 ’*' 2’
(6)
(6)
J Д^Лее автор использует также термин центр давления. В отечественной Л/ю^пер6 эту особенность чац1е называют центром расширения — сжатия, —
Проектируя р на направление нормали, получим
I Р I = Pint = — я(Л + 2и) "^г •(7)
Мы положили здесь nt = xJR, так как нормаль направлена вне шара. Если вырезать шар малого радиуса с центром в начале координат, то на границу тела будет действовать равномерное давление р, обратно пропорциональное кубу радиуса. Заметим еще, что величина N = -л^ р не зависит от радиуса R.
Другой тип особенности найдем, если в начале координат приложим силу интенсивности М/(2А), направленную по оси х2, а в точке (Bi = —h, 0, 0) — силу М/(2А), действующую в отрицательном направлении оси х2. Обозначим поле перемещений, вызванное действием этих сил, через й'2’. Тогда
«Р1 = ^ [И)21 (х„ хр х3) - Up (х, + h, xY х3)].
При А, стремящемся к нулю, имеем
й'2' = —й'2' = —М дир2 dxiМ дир2 dxi(8)(8)
й'2' = —
й'2' = —
М дир
2 dxi
М дир
2 dxi
(8)
(8)
Особенность (8) соответствует действию «двойной силы с моментом». Пусть теперь в начале координат действует сила М/(2А) в положительном направлении оси хь а в точке (0, |г = А, 0) действует сила М/ (2А) в отрицательном направлении оси хь При А->0 получим
«'» =«'» =м даД2 дх2 "м даД2 дх2 "(9)(9)
«'» =
«'» =
м даД
2 дх2 "
м даД
2 дх2 "
(9)
(9)
Суперпозицию полей (8) и (9) можно трактовать как поле перемещений, вызванное действием сосредоточенного момента интенсивности М. Особенность
м и. = йр + йр = — ^*м и. = йр + йр = — ^*dUpdxidUpdxidU(P )Ох2 /dU(P )Ох2 /(Ю)(Ю)
м и. = йр + йр = — ^*
м и. = йр + йр = — ^*
dUpdxi
dUpdxi
dU(P )
Ох2 /
dU(P )
Ох2 /
(Ю)
(Ю)
принимает с учетом формулы (18) § 5.7 следующий вид1):
или
*) Особенность типа (11) носнт название центра вращения. — Прим, перев.
Заметим, что и3 = 0 и что е = и^, < = 0. Вызванная действием сосредоточенного момента М дилатация равна нулю, элементы объема тела испытывают только изменение формы.
Предположим теперь, что центры давления *) равномерно распределены вдоль отрицательной полуоси х3 от х3 = 0 до х3 = —оо). Если центр давления находится в точке (0,0,—13), то перемещения задаются формулами
«1 = С^, и2 = С^, и2 = С^^,(12)
где
R = K + ,= +k + №
Интегрируя (12) вдоль отрицательной полуоси х3, получим
ОООООО
u^CxJ-^, u2 = Cx2j ^Ь и3 = С^^Ма.
О00
В результате указанного интегрирования получим )
. Сх,Сх2С.._.
“2 — RIU х3) 1 Мз —У’ <13> или
^ = С^1п(Я+х3).
Мы получили рассмотренную ранее (в § 5.6) особенность Буссинеска второго рода.
Упругое полупространство. Первая краевая задача
Рассмотрим упругое полупространство х3>0, на границе которого х3 = 0 заданы перемещения. Первая краевая задача заключается в решении в области х3 > 0 системы уравнений в перемещениях
^Ut + ke, i = 0,х3>0,(1)
с граничными условиями
(2)(2)Ui^Xy, х2, 0) = (/,(х11 х^.
(2)
(2)
Начнем с представления решения при помощи гармонических функций. Положим
«/ = *зФ. < + фо(3)
См. примечание на стр. 210. — Прим, перев.
где ф, и ф— гармонические функции, связанные между собой зависимостью (формула (8) §5.1)
Ф,з= з —4V Фй.-(4)
Из соотношений (2) и (3) видим, что на границе Хз = О
и^хХ1 х2, 0) = ДДх1, х2) = ф,(хь х2> 0).
Функции ф,(х) найдем поэтому, решая гармонические уравнения
V^xH, х3 > 0,(5)
с граничными условиями
фг(Х„ Х2, 0) = £7;(х„ Х2).(6)
Предположим теперь, что функции ф, на бесконечности равны нулю. Зная функции ф<, образуем дивергенцию фь, h и проинтегрируем уравнение (4) по х3. Нужно использовать еще условие, что на бесконечности ф —► 0, и требование, чтобы функция ф была гармонической. Последней задачей будет определение перемещений по формуле (3). '
Для определения функций ф и ф удобнее всего применить интегральное преобразование Фурье. Это преобразование определяется следующим образом1):
Ф,(аь а2, ^з) = ^- / / фД^, х2> x^eUa'X1+a^dxxdx2, (7) а его обращение дается формулой
фДхр х2, х^ = -^- | | фДар а2, х^ е-1 VaiX'+aiX^ daxda2. (8)
В дальнейших выкладках будем использовать трансформанты производной функции ф
— ОО —ОО
ОО ОО
Г Г (Xt, Xm хЛ
17 J J 57—~ e‘^X1+a^dxxdx2=—/а2ф< (a„ a2, x3).
Приступаем к решению уравнения (5). Это уравнение умножим на e^^^+^i и проинтегрируем по плоскости ххх2. Используя
соотношения (7) — (9), приводим уравнения (5) к обыкновенным уравнениям
—4 — Y2Tz = °. Y = (а? + а^У2.(10)
Применение преобразования Фурье к граничным условиям (6) дает
ф<(ар о2, 0)=£Л(а,, а2),(11)
где
^(«ь «2) = ^ J / UAxx, x^e^^'+^Mxxdx^
Здесь следует предположить, что величина
J J | Ut(xv, x2')\dxx dx2
ограничена. Решение уравнений (10) с учетом граничных условий (11) и требования, чтобы на бесконечности функции ф, обращались в нуль, приводит к функции
Ф^Ор а2, x3) = t/;(o1, a2)e~v4(12)
Функция ф является гармонической. После интегрального преобразования Фурье уравнение Лапласа V2xp = 0 переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
— Y2^ = 0,
решение которого, стремящееся к нулю на бесконечности, имеет вид
ф(оь а2, x3) = B(ah а2) е"^.(14)
Функции ф( и ф связаны между собой уравнением (4). Применяя к этому уравнению преобразование Фурье, получаем
= -.(15)
В соотношение (15) подставим (12) и (14) и подсчитаем величину S(ai,a2)—функцию параметров преобразования ai и а2:
В(аь 02) = — y(3L4v) [гаД^Ор а^+га^Ор а2)+у^з(аР a2)J. (16)
Выполняя обратные преобразования Фурье в соотношениях (12) и (14), получим
фДхь х2, х3) =
= 2^" | | ^(«ь а2)ехр[— ух3 — г (a(Xi + ^Hdaj da2, (17)
f ^0, + ^02+и,Ук
X exp[— yx3— t (a^! + a2x2)ldat da2. (18)
Итак, поставленная задача решена, ибо знание гармонических функций ф, и ф позволяет получить перемещения по формуле (3).
Упругое полупространство. Вторая краевая задача
Более сложной является вторая краевая задача, когда на границе хз = 0 заданы нагрузки р<(Х|, х2). Нужно решить систему уравнений
Vut + ke, ( = 0, х3 > 0,(1)
с граничными условиями
ст31 (хь х2, 0) = —р,(х„ х2),
-<732^!, х2, 0) = —р2(х„ Х2),(2)
СТзз(Х1> х2, 0) = —Рз(х„ х2).
Мы считаем здесь, что нагрузки действуют в положительном направлении осей координат.
Сначала представим решение, используя гармонические функции ф, и ф, связанные с перемещениями зависимостями
«z==Фz +^зФа-(3)
Функции ф, и ф связаны между собой уравнением
^.з^-з^гФ^й.'(4)
Выразим граничное условие (2) через перемещения. Заметив, что
°а = 2ре/^ + Х^цв = u (tn, j + иь t) + kbijUfe, £,
получаем в плоскости х3 = О следующие соотношения:
Ф1. 3 + Фз, I + Ф, I =~ >
Фг. 3 + Фз, 2 + Ф. 2 =~>(5)
2ф3,з + 2(1 — 2v)tp,3 = — ^-.
Введем три новые вспомогательные функции: гармонические функции Qi, удовлетворяющие уравнению Лапласа
V2Q, = 0, х3 > О,(6)
с граничными условиями
pQiCti, х2, 0) = —р;(х„ х2), х3 = 0.(7)
В плоскости х3 = О получаются соотношения
Ф1, 3 + Фз, 1 + Ф, 1 = ^ь
Фг, 3 Ч" Фз. 2 Ч" Ф, 2 = Q2>(8)
2ф3, з Ч~ 2 (12v) ф, 3 = Q3.
В обеих частях соотношений (8) стоят гармонические функции. Но если на границе некоторой области гармонические функции равны (ибо они равны функциям Pi(xhx2)), то они тождественно совпадают во всей области. Соотношения (8) поэтому справедливы и для х3 > 0.
Считая, что соотношения (8) имеют место для всего полупространства, применим к ним следующие операции. Продифференцируем первое из уравнений (8) по хь второе по х2, а третье по х3 и сложим между собой почленно. Принимая во внимание, что ф2ф< = 0, V2tp = 0, получим следующее уравнение:
Фа, аз Ч* О—4v)ip,33 = Qft>ft,(9)
или, учитывая (4),
Ф,зз= 2О®)
Итак, мы имеем все элементы решения. Решим сначала уравнение Лапласа (6) с граничными условиями (7). Из решений Q,- образуем дивергенцию Qa, а, которая входит в правую часть уравнения (10). Функции ф получим, интегрируя уравнения (10).
Фигурирующие в решении постоянные интегрирования приравняем нулю, ибо на бесконечности должно быть ф = 0, ф, 3 = = 0. Для определения величин ф, используем соотношения (8), справедливые для полупространства х3>0. Интегрированием получим из последнего уравнения системы (8) функцию ф3,
из второго уравнения функцию ф2, а из первого уравнения функцию фь Знание функций ф{ и ф позволяет определить и перемещения по формулам (3).
Для решения второй краевой задачи можно непосредственно использовать введенное преобразование Фурье. Так, решение преобразованного уравнения Лапласа (6) можно представить в виде
^(«ь а2, х3) = — h^^Le v*,, Y = ^2 + агу/2. (П)
Здесь
р,(а„ а2) = -^ | j рДхь x^e^^+^dx^dx^
При этом предполагаем, что интеграл
J J I pt^Xi, х2) \dxx dx2
является ограниченной величиной. В решении (11) предполагаем, что на бесконечности Qi—>0.
Так как функции фиф; гармонические, то их можно представить в аналогичном (11) виде:
Ф(ап а2, х3) = В(а„ а2) е~?х\(12)
фДан а2, Хз) = С;(аь а2)е-*Ч(13)
Здесь мы учли условия на бесконечности ф—>0, ф{—>0. Величины В, С; являются функциями параметров ab а2. Величину B(ai, а2) определяем из уравнения (10). Учитывая (11), имеем
B = —2^VaiPi-Via2P2-V4p3Y(14)
К уравнениям (8), справедливым для х3 ^ 0, применим преобразование Фурье:
Фь з — ш,ф3 — ш,ф = Q„
ф2, з — 1«гФз — ^гФ = ^2-(15)
2фз, з "Т 2 (12v) фз, з = Q3.
Подставив в эти уравнения соотношения (11), (12) и (14), приведем их к системе алгебраических уравнений
уС[ + Ш|С3 + Ш;В = -^-,
уС2 + ш2С3-(-ia2S =-^-,(16)
2YC3+2(1-2v)Y5 = ^.
Решая эту систему уравнений, находим величины C,-(ai, аг). Наконец, применив обратные преобразования Фурье к функциям Ф, ф, получим формулы
ф;(хь х2, х3) =
= ^Г / J Ct^’ а2)ехр[— V*j — ^(а^ + a2x2)]jai Ja2, (17)
х,У^ [ J 32Л + ^&+*> X
X exp [— Yx3 — г (a^ + a2x2)J dax da2. (18)
Зная теперь функции ф; и ф, вычислим перемещения по формуле (3). Представленный здесь способ решения является весьма общим; он содержит в себе много частных случаев. Так, если
в плоскости х3 = 0 действует только вертикальная нагрузка (направленная по оси х3), то Pi = рг = О, а поэтому Qi = Q2=0, В =—п—Рз- Это означает значительное упрощение решения.
Ниже мы дадим другой способ решения, применимый, од
нако, исключительно для вертикальных нагрузок. Для решения этой краевой задачи используем представление перемещений с помощью функций Папковича — Нейбера
«г = Ф, < + (^/Ф/). г — 4(1 — у)фг,(19)
в котором выберем функции ф и ф; следующим образом: Ф = (1—2v)%, ф, = дгз-^.
Очевидно, х является гармонической функцией; поэтому Ui = Хдх, зг + (1 — 2v) X, / — (3 — 4v) б,3х,;.
Подставляя формулу (20) в соотношения между напряжениями и деформациями, выражаем напряжения через функцию %:
стп = 2р. [х3х, пз + (1 — 2v) х, ц — 2vx, 33],
а22 = 2р [хзх, 221 + (1 — 2v) X. 22 — 2vx, 33],
а33 = 2ц[х3Х, 333 —Х.ззЬ(21)
ст23 = 2рх3х, 233,а31 = 2рх3х, 133,
СТ12 = 2р [х3х, ,23 + (1 — 2v) X, 12].
Из формул (21) видно, что для х3 = 0 при конечных значениях производных Х.223, X, 133 И Х.ЗЗЗ
Уз2 = 0, <т31 = 0, ст33 =2р(х, ззУ^—о.(22)
Если в плоскости х3 = 0 задана нагрузка —Рз(Хьх2), то функцию х получим путем решения уравнения Лапласа
V2x = 0(23)
с граничным условием
— 2р|х,зз 1Хз=о = Рз(Х1, х2).
Разумеется, мы предполагаем, что на бесконечности х~*0. Если к уравнению (23) и граничным условиям применить преобразование Фурье, то получим
X (а,, а2, х3) = — Рз^^ e-v^, у = (а? + а^.(24)
Применяя к формуле (24) обратное преобразование Фурье, получим
Х(хр х2, х3) =
= ——ехр[—ух3—t («А + а2х2)1 datda2. (25) 4лцау+ а>
Иногда удобнее будет пользоваться цилиндрической системой координат (г, ф, г). Ниже мы дадим функции перемещения и формулы для перемещений и напряжений в этой системе координат. Перемещения выражаются формулами
“г-^+0-2»)#.
+<26)
«.-ZS-2(1-,)A.
Для напряжений получим следующие выражения:
Огг — ух дг2 дг ф дг2дг2 J J ,
’-“-^Ht^+^+S-a-^v)^.
CT2z =2p.[z-^- —-^-J,(27)
Г 2z d^z_ d2x _ (1—2v) dxl гф [ г дгдфдг г2 дф dz r2 dqpj’ „ — d3x „ _ 2pz__d^_ arzdrdz2 , Стф2 r дф dZ2 .
Мы видим, что при конечных значениях функций
53Х1 дЧ
дг дг2 'г дф дг2
в плоскости z = 0 имеем аТ2 = 0, a^z = 0. Если заданы вертикальные нагрузки pz(r, ф), то следует решить уравнение Лапласа
( д2 . 1 д . 1 д2 . д2 \ ....
( дг2 + г дг + г2 дф2 + dz2)^^’ Ф’ 2)—°(28)
с граничным условием
а22 Uo = -pAn Ф)2|i(S)2=o-<29)
Значительное упрощение написанных выше формул получим в случае деформации, характеризующейся осевой симметрией относительно оси z. Такое состояние возникнет, когда pz = pz(r). В этом частном случае перемещения и напряжения становятся не зависящими от переменной ф.
В этом случае удобнее использовать интегральное преобразование Ханкеля для решения уравнения (29). Это преобразование определяется соотношениями *)
(30)(30)X (a, z) = j х (г, z) гJo (аг) dr,о
(30)
(30)
х (г, z) = J х (а, г) а/о (аг) da.о
Здесь /0(аг)—функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Применяя к уравнению (28) (в котором д2х/дф2 = 0) пре<
') И. Сиеддон, loc. cit. стр; 213,
образование Ханкеля и учитывая, что
I ("^+"7^)х^' г)/0 (ar) dr = — а2х (а),(31)
о
в чем можно убедиться интегрированием по частям, приводим уравнение (28) к обыкновенному дифференциальному уравнению
<Z2x 9- л^-аХ=°-
Решением этого уравнения (в предположении, что на бесконечности %-0) является функция
х(а) = Л(а)е-аг.
Величину Л (а) найдем из граничного условия (29). Применяя к этому условию преобразование Ханкеля, имеем
— | 2р.а2Ае-аг k=o = — рг (а), где
РМ= / pz(r)r/0(ar)dr,о
Так как
то
^=^е-аг-(32)
Если к формулам (26) и (27) применить преобразование Ханкеля и подставить х, то получим после выполнения обратного преобразования Ханкеля следующие формулы1):
“г = — ^ J (1 — 2v — az) pz (a) е—J, (ar) da, и о
ю(33)
«г = 2^ / [2 (1 — v) + az]p2 (а) е"аг/0 (ar) da г о
И
а22 = — j а (1 + аг) р2 (а) е-а2/0 (or) da, о
arr = — J а(1—az) р2 (а) е~аг/о (аг) do — о
- 1 / [02 - (1 - 2v)J ^ /, (ar) da, (34) о
афф = — 2 (1 + v) J ар2 (а) е-“2/0 (ar) da — (arr + а22), о
аГ2 = — z J a2pz (a) e-azJA (ar) da. о
Рассмотрим еще раз действие вертикальной нагрузки Рз(^1,^2), используя при этом функции Галеркина. Для решения этой задачи достаточно всего одной функции Галеркина FS = F. Используя формулы (6) и (8) § 5.3, получим следующие выражения для перемещений и напряжений:
Ui = -T^17[M-2(l-v)d1.3V2]F, F1 = F2 = 0, F3 = F, (35)
Oq = TrW Id3 H/V2 - W + (1 - v) V2 (My + 63/dz)J F. (36)
Задача сводится к решению бигармонического уравнения
V2V2F=0(37)
в упругом полупространстве при заданных граничных условиях а31 (х^ х2, 0) = 0, а32 (х,, х2, 0) = О,
О33 (*1' х2' 0) =Pi (-^1> Х2>-
Применяя для решения бигармонического уравнения интегральное преобразование Фурье, приведем уравнение (37) к виду
^._2у2^ +у^ = 0, у = (а2 + а1Л (39) dx^ dx3
где
F^, а2, х3) = ^ /^ Р^х^хз)^^^^^(40)
Так как на бесконечности F-*0, то решением уравнения (39) является функция
В = (А + х3уВ)е-№(41)
Величины А, В находим из граничных условий (38). Здесь мы имеем три граничных условия и только две постоянные интегрирования. Расписывая два первых граничных условия (38), получим уравнения
р,,(I - v) v= - ag F)^ - о, р2 к I - v) v= - a2] fj^=о.
После применения к ним преобразования Фурье убеждаемся, что остается одно общее условие
{[(l_v)Y2 + vd2|^ = O(42)
Поэтому постоянные А и В определим из соотношения (42) и третьего граничного условия (38).
Если вертикальная нагрузка зависит только от переменной г, то можно воспользоваться способом Лява, решая бигармо- ническое уравнение
V2V2x(r, 2) = 0(43)
с граничными условиями
Огг (г, 0) = — рг (г), аГ2 (г, 0) = 0.(44)
При решении уравнения (43) обычно используют преобразование Ханкеля. Получим решение в виде
X(r, z) = J (А + агВ) е~а2/0 (аг) da,(45)
о
причем постоянные А, В определим из граничных условий.
Представленное здесь общее решение, использующее функции Папковича — Нейбера, Галеркина и Лява, в принципе можно применить и для краевой задачи, в которой на плоскости Хз = 0 задано вертикальное перемещение и нулевые напряжения аз1 и аз2. Функция Буссинеска, упомянутая в § 5.5, также может пригодиться для решения приведенных в § 5.9 и 5.10 краевых задач.
Задача Буссинеска
Под названием «задача Буссинеска» мы понимаем следующую задачу. Упругое полупространство х3 ^ 0 нагружено в начале координат сосредоточенной силой р3(хь х2) = BdCrJd^), направленной по оси х3. Эта задача является частным случаем
задачи, рассмотренной в § 5.10. В проделанных там выкладках нам следует теперь положить рх = р2 = 0, р3 = Т)6(х1)6(х2) = = — <тзз(х1, х2, 0). Так как нагрузки симметричны относительно плоскостей ххх3 и х2х3, то при решении задачи Буссинеска удобнее применить косинус-преобразование Фурье
f (dp а2, х3) = -|- J j f (xh х2, x3)cosa1x1 cos d2x2 dx, dx2,
°ЛО)
f (xu x2, x3) = — j j f (dp a2, x^cosdjx, cos a^tZa,^. о 0
Применяя метод, указанный в § 5.10, согласно которому перемещения выражаются через потенциальные функции ф, и ф:
«< = ^зФа + ф<,(2)
прежде всего следует решить уравнение Лапласа
V2Q3 (хр х2, х3) = 0(3)
с граничным условием ^(х,, х2, 0) = —р3(хр х2).(4)
После применения к уравнению (3) косинус-преобразования Фурье получим обыкновенное дифференциальное уравнение ^-Y2Q3 = 0, Y = (a2 + a2)'\
решение которого
Q3 = - №^L(5)
В случае сосредоточенной силы р3(-Кь х^ = Р6(х1)6(х2) имеем сосо
р3 («р a2) =-^-j б (xj cos аххх dxx J б (х2) cos d2x2 dx2 = оо
= f б (х,) cos d,X[ dxx f 6 (x2) cos d2x2 dx2 =.
Поэтому
<6)
После выполнения обратного преобразования Фурье получим
„Р Г Г -х» У “Т+Оо,,
£23 =—^г J ]е J 1 2 cos а^, cos 03X200, da2. (7)
о 0
Рассмотрим интеграл
”f°° -ч lz«f+4
7 - I cos a,*, dax—, -cos a2x2 da» =
оо v af + «2
— / Ko (a,r) cos a,*, dax = -^-, о
где K0(air)— функция Бесселя от мнимого аргумента третьего рода нулевого порядка (так называемая функция Макдональда)1),
r=$+x$i., R = ^ + x^k.
Мы видим, что
“3 л2ц \ дх3 ) 2лц Р3 *' '
Используем теперь уравнение (10) предыдущего параграфа
—Г =— — №, 1 + ^2, 2 + ^з, з)-(9)
Так как рх = О, р2 = 0, то Qi = О, Q2 = 0, и поэтому в правой части уравнения (9) останется только член —-^йз, з- Выражая функцию ф с помощью интеграла Фурье
ф = -^У J S(a,, a2)e Хз ^ai+a2 cos a,*, cos а2х2 dax da2, о о
получим из уравнения (9), принимая во внимание (7), следующее соотношение:
В'(10)
') См. Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований, т, 1, «Наука», М., 1969, стр. 26, 59, —Прим, перев.
fi В, Новацкий
Итак,
«> оо -х, V а^+а»„
ф =.. _ - cos g.X, cos g2r2 da, da„ = — -—-, (11)
2л И О О У “1 + °2
Удобнее всего определить функции ф; из уравнений (8) преды дущего параграфа, справедливых для х3 ^ 0:
(12)(12)Фьз 4* Фз, i 4* Ф, i— 0, Фг, 3 4" фз, 2 4" Ф. 2— О'2ф3, з 4~ 2 (1 — 2v) ф, з = й3.
(12)
(12)
Из последнего уравнения (12) имеем
Фз, 3— 2 И 2у)Ф.З2лрР3
Интегрируя по х3, находим
Ф3 2лрРФ3 2лрР+ С.+ С.
Ф3 2лрР
Ф3 2лрР
+ С.
+ С.
Постоянная интегрирования равна нулю, ибо на бесконечности Фз = 0. Из второго уравнения (12) найдем, что
Фг, з(фз, 2 4~ Ф, г) — 4я(1 (12v) -^ .
Интегрируя по х3, получим
(1—2у)Р хг
ф2— 4лц Р (Р + х^ 1
Наконец, из первого уравнения (12) получаем
(1—2v)P Xi
4лц Р(Р + х3) -
(13)(13)Остается определить перемещение по формулам (2): р Г г21
(13)
(13)
"@= 4л;г -^з—(1 — 2v) ^(^ + хз) . Р=1,2.
В плоскости х3 = 0 перемещения принимают значения
Px6(l-2v)„(l-v)P
UR=V—Р=1,2,——. 9 = (хН х^‘.
р4лцр2 ’ г , з 2лцр ’ ' k 1 27 •
Зная перемещения, можно определить напряжения по формулам^/=2(46^ 4- ХЬ($екк,
Таким образом, получаем
/= 1, 2, 3,/= 1, 2, 3,xf(2P+x3)\R3 (R+x3^/_x2 (2R + *3) \R3 (Р+^э)2 Zxf(2P+x3)\R3 (R+x3^/_x2 (2R + *3) \R3 (Р+^э)2 ZЗР х^з°31 = 2л R5 ’
/= 1, 2, 3,
/= 1, 2, 3,
xf(2P+x3)\
R3 (R+x3^/_
x2 (2R + *3) \
R3 (Р+^э)2 Z
xf(2P+x3)\
R3 (R+x3^/_
x2 (2R + *3) \
R3 (Р+^э)2 Z
ЗР а>1 = — -^7ЗР а22= ~ ^7ЗР а>1 = — -^7ЗР а22= ~ ^7, 1 ,. о J ^+М*1R5 + з (12v)^ R3^R + x^
ЗР а>1 = — -^7
ЗР а22= ~ ^7
ЗР а>1 = — -^7
ЗР а22= ~ ^7
хгхз , 1 n0 J ^+ #хз + хз
^5 + 3 (12v) R3 (R + Хз)
3P_ Г-Д^з,1_/1 _ 2 X *1*2 2P + x3 1
2л L R5 3P3 (P + x3)2J
Мы видим, что напряжения a3j (/ = 1, 2, 3) не зависят от упругих констант,
В сферической системе координат (7?, О, ф) получим следующие формулы для перемещений и напряжений:
^= 4^p"t4(1 — v)cos» —(1 —2v)J,
Р sin У Г.1 — 2v 1п
Ыд ^— (3 4v) -| :—:27 , Um = О,
и 4лцР L v1 + cos У j ’*•>’
а^ ==‘2^Г11 ~ 2v —(4~2v) C0S$b
(1 — 2v)P cos2 O (1 — 2y) P sin ^ cos A
CT^ 2лР2 1 + cos ■& ’ aR^ 2лРг 1 + cos 0 ’
(1 — 2v) P cos2 О — sin2 Ф Офр 2лрг 1 + cos i>
Or^ = °> ^ = 0.
Действие сосредоточенной силы рз(Хь x2) = P6(xi)5(x2) в начале координат в упругом полупространстве х3 ^ 0 вызывает осесимметричное относительно оси хз поле деформаций. Поэтому удобно эту задачу решать в цилиндрических координатах. Используя функции Папковича — Нейбера ф и ф^:
Ui = ф, < + (Л/Ф/), t — 4 (1 — v) ф.
в предположении, что
Ф-(1-2-)Х.(О. 0. А).
мы получили в предыдущем параграфе следующие формулы (формулы (33) § 5.10):
(1 — 2v — аг) pz (а) e-^It (аг) da,
(15)
“z = "^7 j [2(1 —v) + az]pz(a)e-aVo(a/-)<Za,
где
p2(a)=J рг (г) rJ0 (ar) dr,
о
Для сосредоточенной силы pz(r) = Рд^/^лг), приложенной в начале координат (г, ф, г), получим
рЛ^ = ^.
Подставляя pz(a) в формулы (15) и выполняя указанные операции, получим следующие формулы для перемещений:
+||6)
R = (г2 + r2)v\ г = (ху + xj)V1.
Решение задачи Буссинеска можно найти другим способом: путем суперпозиции двух простых решений.
Так как точка приложения сосредоточенной силы является особой точкой, то будем рассматривать полупространство х3 О с вырезом в виде полушара с центром в начале координат. Будем разыскивать такое решение, в котором равнодействующая сил, действующих на поверхности полушара, равна сосредоточенной силе Р. На остальной части границы х3 = О требуем, чтобы a3i = a32 = a33 = 0.
Вспомним, что сосредоточенная сила, действующая в направлении оси х3 в неограниченном пространстве и приложенная в начале координат, дает в плоскости х3 = 0 (исключая начало координат) а33 = 0. Это видно из формулы (15) § 5.7.
Поэтому в качестве первой части решения задачи Буссинеска рассмотрим действие сосредоточенной силы в неограниченном пространстве. Для такого состояния перемещения м' выражаются формулами (14) § 5.7. Эти формулы напишем в виде
Ы! = 0-^3->U2=D^-, «з = О + X + ц(17)
Величину D определим из дальнейших рассуждений. В плоскости х3 = 0 (за исключением начала координат) имеем следующие величины напряжений:
,2ц2 Dxx , 2ц2 Dx2 ,„, о
a3! — х + ц R3 ’а32 х+ц /?з • азз — °-О8)
На поверхности полушара действует вектор нагрузки р' с компонентами
, бцПх^з , 6цОх3х2 , 2цО / Зу; ц V
Pl- R1 • Рг— R1 >Р)- R2 \ R2 + Л+цЛ
Равнодействующая этих нагрузок, направленная по оси хз, принимает значение
4“'1DTTV'(2°)
В качестве второй части решения возьмем перемещение и", возникающее от потенциала ф = С In (R + х3), рассмотренного в § 5.6. Эти перемещения выражаются формулами
“Г = Ф. 1• Ы" = -^4Т^) > из=^-(21)
В плоскости х3 = О (за исключением начала координат) напряжения а33 исчезают. Из формул (г) § 5.6 найдем для Хз = О
a" = -2nC^, а" = -2цС^> а"=0.(22)
Компоненты главного вектора нагрузки р" принимают вид
р" = 2р /?2(/? + х3) ’ р^ = 2ц Я^Г+хП" ’ ^ = ^^ ‘
Следует еще вычислить равнодействующие нагрузок, приложенных к полушару. Легко показать, что эта равнодействующая направлена по оси х3 и принимает значение
4лцС.(24)
Сюда следует добавить оба частных решения. Мы видим, что условие aj3 = a33 + a" = 0 выполняется при х3 = 0. Два остальных граничных условия
"л = < + <i=0, (Tj2 = < + < = 0 при х3 = 0
приводят к зависимости
С = -ЛТ7^(25)
Следует еще связать величины С, D с сосредоточенной силой, Мы здесь используем условие, что равнодействующая всех сил, приложенных к полушару, должна быть равна силе Р. Учитывая
и (24), имеем
(26)(26)Р = 4лДц 4^V + ^С'
(26)
(26)
Из соотношений (25) и (26) найдем, что
пг С = — г
4лц ’4л (X + ц) '
Добавляя перемещения, вызванные обоими состояниями, получим следующие формулы:
Р / ^з_ _ цxv
4лц \ R3X + ц R (R + х^
(27)(27), _ Р (_ Ц<2
(27)
(27)
4лц \ R3X + ц R (R + х^
Р f xj X + 2ц 1 \
“3 =\"R3" + Х + ц "r) ’
совпадающие с выведенными ранее формулами (13), В частности, в плоскости х3 = 0 получим следующие перемещения:
РхвР X + 2ц 1
X 2 . р=1, 2, и3 = ^—гт2--,(28)
Р 4л (X + ц) г2 1 г’4 4лц X + ц г '' '
где г = (х2 + х^)'1— радиус в цилиндрической системе координат.
Вернемся к уравнениям (27) и выразим перемещение иг в цилиндрической системе координат (г, 0, 2):
n I • а Рг [ Z ц 1\
и, = Ux COS 0 + Sin 0 = -у—хг I Т — ТТ1 •
'4лц/?2X + ц . z I
\+ R /
Перемещение ит не зависит от угла 0.
В сферической системе координат (Р,^, у), учитывая, что г = Р cos ■&, г = Р sin Ф, находим окончательно *)
Ur — 4лц/? (cos$— Х + ц 1 + cos О ) ‘(29)
Отсюда вытекает, что перемещение ит принимает положительное или отрицательное значение в зависимости от того, является ли выражение
cos2 ft -|- cos ф —^
меньшим или большим нуля.
Перемещения uR будут положительными, если точки, в которых мы изучаем эти перемещения, лежат внутри конуса
COS2 ^о + COS $0— = 0-
Л т Ц
Для Х = р, v = ^- получаем fto = 68°3O'.
Формулы Герца1)
Пусть в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полупространство, действует нормальная нагрузка р3 = p(xi,x2). Предположим, что интеграл J J |p(xb х2) |dxtdx2 ограничен. Для определения перемещений, вызванных этой нагрузкой, воспользуемся решением задачи Буссинеска для сосредоточенной силы, помещенной в точке | = (gi, g2, 0), трактуя его как функцию Грина. Используем формулы (13) предыдущего параграфа, записывая их для Р = 1 одной формулой
и Ах, £) =
_ (1 — У)б;з18 f х3лц/?(х, £)4лц дх{ 1 /?(х, §)_ (1 — У)б;з18 f х3лц/?(х, £)4лц дх{ 1 /?(х, §)Hl-2v)ln[7?(x, g) + x3]}, (1)Hl-2v)ln[7?(x, g) + x3]}, (1)
_ (1 — У)б;з18 f х3
лц/?(х, £)4лц дх{ 1 /?(х, §)
_ (1 — У)б;з18 f х3
лц/?(х, £)4лц дх{ 1 /?(х, §)
Hl-2v)ln[7?(x, g) + x3]}, (1)
Hl-2v)ln[7?(x, g) + x3]}, (1)
№ ^-[(х.-^ + ^-^ + х!]'/-
расстояние между точками х и £.
Интегрируя по области Г в плоскости х3=0, на которой действует нагрузка, получим
(X) =J Jd^d^-^^-^P^. £2) X
гг
X { P^JT + ^ - 2v>1п ^ <x’ ^ + Хз1 }^i dW (2)
Введем функции.
Й (x) = J J p &, g2) In [7? (x, I) + x3] d^ d^2,(3)
г
Функция Ф(х) является потенциалом простого слоя с плотностью, равной р(хьх2). Она удовлетворяет вне области Г
*) Hertz Н., Ober die Bertihrung fester elastischer Korper, J. reine und angewandte Mathematik (Crelle), 92 (1882).
уравнению Лапласа, является непрерывной функцией всюду, за исключением области Г, и стремится к нулю при R->co. Производная функции Ф(х) по направлению нормали к области Г испытывает конечный разрыв. При переходе от точки х к точке (xi,x2,0) со стороны положительных значений х3 получим
аФ I _ 1 — 2np(xj, х2) внутри Г,"ЭхТ^+о — 10 вне Г.
Функция П(х) является в полупространстве х3 > 0 гармонической функцией. При R —► оо эта функция неограниченно возрастает. Производные й(х) по координатам в области х3 > 0 при R —► оо стремятся к нулю.
Соотношение (2) можно представить с помощью функций Й и Ф в следующем виде:
“^■Ц^’30-Wgrad[X3O + (1 — 2v)Q]’(6)
откуда
Г <ЗФ , / < о \ <3^ 1 — —л— х3^— 2v) -— ,
4лр. L 3 <ЗХ]<3X1 J
1 Г <ЗФо х <362 1
м2 =—-.— FU— 2v)-5— ,(7)
4лц L 3 <3х2' дх2 Jv '
— у т I <ЗФ Мз = 2лр. 4лр. ^3 <Зх3
Из формул (7) определяем дилатацию
,.1 — 2v <ЗФ
е = div и = -л-д—.(8)
2л|1 дх3'
Вычислим компоненты напряженного состояния
х3 <32Фх3 <32Ф
°13 2л <3X1 дх% ’1723 2л 5х2 дх3 ’
_ 1 / <ЗФд2Ф\(9)
<Тзз — — хз “ту •2л у дх3дх3 }
Так как
стц+ ст22 +<т33 = (ЗЛ +2p)divu,(10)
то, учитывая (9), имеем
v =. (11)2 (Л + Ц) Х 'v =. (11)2 (Л + Ц) Х ',1। о \ -эф ।^Ф'
v =. (11)
2 (Л + Ц) Х '
v =. (11)
2 (Л + Ц) Х '
^п + ^^"Г-" (1 + 2v)-Ьхз——
2лдх3 дх3
Из формул (9) находим, что при х3 = 0
o3i = 0, ст32 = 0, <тзз = ^(-^).(12)
Из формулы (5) вытекает, что
, m 1 (дФ\ (~ р(м,*2) внутри Г, <733^1. Х2, 0) = ^- -—=
2Л \ ОХ3 /JCj_>.+Q[0вне 1 .
Вводя новую функцию
Г = - 4^гкФ + (1-2^Й],(14)
можно представить перемещения (7) в более короткой записи
"'^ГТГ + ^^Ф.(15)
Эти формулы введены Герцем и применялись им к контактным задачам. Значения перемещений в плоскости х3 = 0 даются формулами
₽= 1, 2,(16)₽= 1, 2,(16) 1 — 2v дй (X), х3, 0) MS 4лр дху
₽= 1, 2,
(16)
₽= 1, 2,
(16)
“з=-15гФи1.*2,0).
Определение напряженного и деформированного состояния в упругом полупространстве, нагруженном на границе х3 = 0 перпендикулярно ограничивающей его плоскости, было предметом целого ряда исследований. Так, Буссинеск) рассматривал действие нагрузки р, равномерно распределенной по круговой области Г перпендикулярно к плоскости х3 = 0. Той же задачей, хотя и другим путем, занимался Тередзава). Затем Ляв) очень подробно и тщательно рассмотрел действие нормальной нагрузки, распределенной по прямоугольной и круговой области на плоскости х3 = 0. Он рассматривал не только постоянные, но и линейно меняющиеся нагрузки. Много интересных результатов по этой проблеме получили Губер) и Фукс). Подробное обсуждение изложенной в настоящем параграфе задачи читатель найдет в монографии Лурье (см. примечание на стр. 230).
Задача Черрути
Задача, носящая имя Черрути, относится к случаю нагружения поверхности х3 = 0, ограничивающей упругое полупространство Хз ^ 0, касательными нагрузками. Предположим, что касательные нагрузки направлены по оси хь Тогда граничные условия имеют вид
ст31 (хь х2, 0) = — р: (Х[, х2), ст32 (х„ х о) = 0,
(В а33(х1, х2, 0) = 0.
Для решения этой задачи применим представление Трефф- ца, упомянутое в § 5.10. И здесь мы выразим перемещения через гармонические функции ф,, ф:
мг = Фг+ ^зФ,г.(2)
Имеют место соотношения
53Ф1 + д1ф3 + д1ф = й1,
д3ф2+ д2ф3+ д2ф=0,(3)
2д3ф3 + 2 (1 — v) д3ф = 0.
Здесь мы положили Q2 = Q3 = 0, ибо Рг = р3 = о Для определения функции Qj служит уравнение Лапласа ' "
V2Qt = 0(4)
с граничным условием
цЙДх,, х2, 0) = — р,(х„ х2).(5)
Между функциями Qt и ф существует зависимость выражаемая соотношением (10) § 5.10. В нашем частном случае имеем
^ = 2 ^А*(6)
Ход решения таков. Решаем уравнение (4) с граничным условием (5). Зная функцию Qh определим функцию ф из уравнения (6), а затем функцию ф3 из третьего уравнения (3), функцию ф2 из второго уравнения (3) и функцию ф, из первоГо. Подставляя функции фц ф в соотношение (8), заканчиваем решение задачи.
Для решения этой задачи применим синус- и косинус-пре- образования Фурье.
Предположим, что нагрузка рДх^Хг) симметрична п0 переменным хь х2, а поэтому ее можно представить двойным косц-
нус-преобразованием Фурье:
Pi(xb x2) = -^-J J Pi(ai, 02) cos а:Х! cos 02X3 dat da2, (7х) о о
где
Pi (ан а2) =-^-J J Р(хр х2) cos а^ cos а2х2 dxx dx^. (7") о о
Точно так же и функцию Пь учитывая граничное условие (5), выразим двойным косинус-интегралом Фурье
£2i(Xp х2, х^ = -^- J J Q, (a!, а2, х3) cosa^ cosa2x2da1da1. (8) о о
Путем решения уравнения Лапласа (4) с учетом граничного условия (5) и условия, что Qi —» 0 при|х^ + х| + х31 —■>• 0, получим
Q^Xp х2, х3) =^-J J рх (ар a2)e-x^ cos axxY cosa2x2da, da2, (9)
о 0
Y=(a? + a|)V«.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением действия сосредоточенной силы Pi(xb х2) = P6(xi)6(x2), приложенной в начале координат и направленной по оси хр Учитывая, что р
рх (ар «2) = "2^ (эт0 вытекает из формулы (7 )), имеем
&il^J J 6"VX3cosa1x1cosa2x2da1da2=— 2^^-. (10) о о
Используя уравнение (6), заметим, что функцию ф нужно выразить с помощью смешанного преобразования Фурье
ф = -^- J | В (ар а.^ е~х^ sin a^ cos a2x2 dax da2, (11) о 0
где
Pax
4лцу2 "
Функцию ф легко вычислить. Замечая, что р ■ г г aie—A:3^
^з^ = ^—J J —-—sin OjXj cos o2x2 do] da2 = о о
= 2^1 “^(«^sina.da^ — ^l-,(12)
о
где
г = ^\А-х^,/? = (х| + 4 + х^,
получим после интегрирования по Хз
Ф = — 4SjT R<R + х3) ’(13)
Из третьего уравнения (3) имеем Р(1 — 2v) Xi. ..
$3 4лр. R (R + х3) '*’
Из первых двух уравнений (3) найдем
дзФ2="5^ 1 J sin “1*1 sin “з^з^«i da* о о
p F F /
^зф* = ~ л^Г J J VY^"/ C0S “lX| C0S “^ dttl d<4‘ 00
Используя интеграл (12) и интегралы
F F e—x^л
j J cos a^j cos a2x2da1da2 = ^-,
0 0 V и
( fj j 3л x,x2
J J a1a2sina|X| sina2x2da1da2 = -2— oo V
МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ функции ф! и ф2- Мы получим
_ р t (1 xi V
ф1 = LT — v \Т+^" ~ R (R + Хз)2
_ PvxTx2 1
^^ ' 2лд R<R-V-xa) •
Подставляя функции ф£, ф в соотношения (2), имеем
_ Р [ 1 । xf । fl J 1xf
= ISjT L"R + "р= + “ 2v) \ /?+х3 ~ /?(/?+ Х3)2
(16)(16)“2 = ^ ["^”^ “ ^жЫ’
(16)
(16)
“3 = 4}щ+ О ~ 2v) /?(/? + х3)2] ‘
В сферических координатах (7?, Ф, <р) получим следующие выражения для перемещений:
Pcosq: Г,.. . „1ч sin'S1 1
Md = 5х ( 1 — v) 81П» — (1 — 2v) 5—:5" ,
K тщР L2 х ' 1 + cos v J ’
“• =[4 <3 - 4’>cos « —F < 1 - 2’) +
,I 1 O?)
+ 22v> 1 + cosoL
".“-^[т + ти-^т+Ы-
Пусть теперь в начале координат действует сосредоточенная сила Р с компонентами Р\, Pi, Р^, направленными по соответствующим осям координат. Складывая перемещения (13) § 5.11 для Р3 с перемещениями, вызванными действием силы Р\ (формулы (16) настоящего параграфа), и с перемещениями, вызванными действием силы Ра, получим следующие формулы:
1 х2/1Я2 \
+ ^[^y-(l-2v)+ ^[^y-(l-2v)4лцМ! = Рх + -^ + (1 — 2v) ^ + Хз — жя + ^р)] +
+ ^[^y-(l-2v)
+ ^[^y-(l-2v)
/?(/? + x3)2] + P3[ ^3(12v)/?(/? + x3)
(
1X <1\ХпХоX г)
R + Ti — SIS+«,)■)] + P1 ["S'- ~<1 ~2v>S<s+«,J '
4„№=P,[^l+(l-2,)^^r] +
Х„ХЧX, 1Xn1
+ ^ [-У + 0 - 2^адт^)] + p3 It + 2<1 - v) «]■
S = (xi + x’ + s3'S.(IS)
Если в области Г на плоскости х3 = 0 действуют нагрузки р = ^(РьРг.Рз), то вызванные ими перемещения находим, применяя принцип суперпозиции. Так, например, перемещение
Ui(x) выражается формулой
4np.«! (х) = jj | р, (^, g2) [у^ду + (рз(х>^ +
R(x,
i n /t t \ Г (xi %i) (xs ~ £2)
+ P2(si. s2)[r^x,^
/1 9 A (X1£1) (*2^2)1 I
U ’ R^ 1) [7? (X, 1) + x3]£ J
- 0 — 2v) p7y-|J7p7^gy+^j-] } ^i ^2.
Задача Миидлина
Задача Миндлина является обобщением задач Буссинеска и Черрути. Она заключается в определении поля перемещений, вызванного произвольно направленной силой Р, приложенной в точке § упругого полупространства. Плоскость х3 = О свободна от напряжений. Рассмотрим сначала частный случай, когда в точке (0, 0, /г) действует сосредоточенная сила Р] = 1 в положительном направлении оси х3. Решение этой задачи можно разбить на два этапа. Сначала рассмотрим действие в неограниченном пространстве двух противоположно направленных сил: силы Р\ = +1 в точке (0, 0,/г) и силы Р\ =—1 в точке (О, О,—А). Соответствующее этой нагрузке поле перемещений обозначим через u°t, а напряжений через а^.
Здесь мы воспользуемся формулами (14) § 5.7, Применяя принцип суперпозиции, получим перемещения м®:
"x.lx. — hX х, (х, + Л) ,/ 11 \
и» = Аб (1)
PiР2 \Ri Ra) J
Здесь
R^VH^-hf^ R^VH^ + h^, r^x} + xl
. _ Л, + р.„ _ Я.+ Зц
Л 8лц (X + 2ц) '°^ + Ц *
Определяя поле напряжений о®,, заметим, что в плоскости х3 = 0 отлично от нуля только напряжение
о _ h /1 - 2v ЗУХ
°”4л(1-т)1, R30 R5J’
’-ТДТЙ- W+tiW-
Второй этап решения состоит в определении поля перемещений и\, вызванного действием нагрузки р3(хр х2) = — ^(Хр х2, 0) в плоскости Хз = 0 упругого полупространства. Однако это уже известная задача, обсуждавшаяся в § 5.11 и 5.12. Следует вычислить функцииВторой этап решения состоит в определении поля перемещений и\, вызванного действием нагрузки р3(хр х2) = — ^(Хр х2, 0) в плоскости Хз = 0 упругого полупространства. Однако это уже известная задача, обсуждавшаяся в § 5.11 и 5.12. Следует вычислить функцииR(*. 5)R(*. 5)Q(x)=J jp^.^ln^' + x,)^^, -^ = ф. (3)г3Q(x)=J jp^.^ln^' + x,)^^, -^ = ф. (3)г3Функция Ф гармоническая в области х3 > 0 и удовлетворяет граничному условиюФункция Ф гармоническая в области х3 > 0 и удовлетворяет граничному условию1 / <5Ф \ П / X/ - \тг-(xi> х9).(4)2л \ дх8 /*,-> + о33 V 1 У' '1 / <5Ф \ П / X/ - \тг-(xi> х9).(4)2л \ дх8 /*,-> + о33 V 1 У' 'Рассмотрим гармоническую функцию1)Рассмотрим гармоническую функцию1)5(х) = -5(х) = -12(1 -v)12(1 -v)Л + х3 । ~ / 1 З(х3 + Kf\ /?2 +V#2 Rt ).Л + х3 । ~ / 1 З(х3 + Kf\ /?2 +V#2 Rt ).12(1-v)12(1-v)/ х3 + Л \I рз I\^2 /,3/ х3 + Л \I рз I\^2 /,3где С и D — постоянные. Для Хз = 0 имеемгде С и D — постоянные. Для Хз = 0 имеемS (xh х2, 0) =S (xh х2, 0) =_ А Г с । D / 12(1-v) [^ + h\R30_ А Г с । D / 12(1-v) [^ + h\R30Полагая D = —Л, С = 2(1 — v), получаем соотношениеПолагая D = —Л, С = 2(1 — v), получаем соотношениеS (Хр х2> 0)= — ах3S (Хр х2> 0)= — ах3h2(1-v)h2(1-v)/хз+Д\ IрзI\ ^2/,3/хз+Д\ IрзI\ ^2/,3(5)(5)(6)(6)
Второй этап решения состоит в определении поля перемещений и\, вызванного действием нагрузки р3(хр х2) = — ^(Хр х2, 0) в плоскости Хз = 0 упругого полупространства. Однако это уже известная задача, обсуждавшаяся в § 5.11 и 5.12. Следует вычислить функции
Второй этап решения состоит в определении поля перемещений и\, вызванного действием нагрузки р3(хр х2) = — ^(Хр х2, 0) в плоскости Хз = 0 упругого полупространства. Однако это уже известная задача, обсуждавшаяся в § 5.11 и 5.12. Следует вычислить функции
R(*. 5)
R(*. 5)
Q(x)=J jp^.^ln^' + x,)^^, -^ = ф. (3)г3
Q(x)=J jp^.^ln^' + x,)^^, -^ = ф. (3)г3
Функция Ф гармоническая в области х3 > 0 и удовлетворяет граничному условию
Функция Ф гармоническая в области х3 > 0 и удовлетворяет граничному условию
1 / <5Ф \ П / X/ - \
тг-(xi> х9).(4)
2л \ дх8 /*,-> + о33 V 1 У' '
1 / <5Ф \ П / X/ - \
тг-(xi> х9).(4)
2л \ дх8 /*,-> + о33 V 1 У' '
Рассмотрим гармоническую функцию1)
Рассмотрим гармоническую функцию1)
5(х) = -
5(х) = -
1
2(1 -v)
1
2(1 -v)
Л + х3 । ~ / 1 З(х3 + Kf\ /?2 +V#2 Rt ).
Л + х3 । ~ / 1 З(х3 + Kf\ /?2 +V#2 Rt ).
1
2(1-v)
1
2(1-v)
/ х3 + Л \
I рз I
\^2 /,3
/ х3 + Л \
I рз I
\^2 /,3
где С и D — постоянные. Для Хз = 0 имеем
где С и D — постоянные. Для Хз = 0 имеем
S (xh х2, 0) =
S (xh х2, 0) =
_ А Г с । D / 12(1-v) [^ + h\R30
_ А Г с । D / 12(1-v) [^ + h\R30
Полагая D = —Л, С = 2(1 — v), получаем соотношение
Полагая D = —Л, С = 2(1 — v), получаем соотношение
S (Хр х2> 0)= — ах3
S (Хр х2> 0)= — ах3
h
2(1-v)
h
2(1-v)
/хз+Д\ IрзI
\ ^2/,3
/хз+Д\ IрзI
\ ^2/,3
(5)
(5)
(6)
(6)
Так как в обеих частях уравнения находятся гармонические функции, то соотношение (6) справедливо для полупространства Хз > 0. Интегрируя по х3, имеем
ф (х)=4"ф (х)=4"। h х3 + Л"h2(l-v)R32। h х3 + Л"h2(l-v)R32Х3Х3>0.>0.(7)(7)
ф (х)=4"
ф (х)=4"
। h х3 + Л"h2(l-v)R32
। h х3 + Л"h2(l-v)R32
Х3
Х3
>0.
>0.
(7)
(7)
Теперь уже легко найти вторую гармоническую функцию
QW-tatR,+ x1 + h)-^^A;. ^—Ф.
Зная функции Ф(х) и П(х), определяем по формулам (6) § 5.12 перемещения и'ь Окончательно искомые перемещения даются формулами1)
x3^ + (l-2v)^-],drdrx3^ + (l-2v)^-],drdrг_/ х3 — Л х3 + Л \ 1 16лц (1 — v) \ R3t R32 ) 4лц
x3^ + (l-2v)^-],drdr
x3^ + (l-2v)^-],drdr
1 Г (х3 - Л)2 _ (х3 + Л)2 _|_
16лЦ(1— V) R3/?2
^(^ ^jjt 2л1Л 4яц dx.
Здесь ur = ux cos 0 4- u2 sin 0.
Как перемещения, так и напряжения имеют особенность в точке (0,0, А); решение u'i является регулярной функцией.
Пусть теперь в точке (0, 0, /г) полупространства х3 > 0 действует сила Pi = 1, направленная по оси хь И здесь целесообразно будет составить решение из двух частей.
Первая часть относится к двум сосредоточенным силам, действующим в неограниченном упругом пространстве, причем обе они параллельны оси хь Первая из них действует в точке (0,0,/г), вторая — в точке (0,0,—/г). Складывая решения ц? в неограниченном пространстве, убеждаемся, что в плоскости Хз = 0 мы имеем сг^ = сг“2 = 0. Отличным от нуля останется только нормальное напряжение
К напряженному состоянию а°{) следует добавить напряжение a'ij, выбранное так, чтобы в плоскости х3 = 0 было
Од. + Од. 0, СТд2 + СГд2 0, Одд 4" Одд 0.(10)
3№xt 'Яо .3№xt 'Яо .Следует решить, как и в предыдущем случае, задачу Буссинеска. Так как
3№xt '
Яо .
3№xt '
Яо .
-^-=1Г(1 - 2v)
5*3 w0 2(1 -v)[R3
то
-4^-1—— 2v)-^-(ln(Z?2 + ^3 + A)) 4-
dx3 ^ + 02 (1 — v) ( dxs' dxv x x 1i
(H)(H)
(H)
(H)
4 А. И. Лурье, loc. cit. стр.. 230.
Так как в обе части уравнения входят гармонические функции, то последнее соотношение справедливо в области х3 ^ 0. Интегрируя по х3, находим
Ф=2(Г^<£[0-2')1п№ + *, + Я + ^(12)
Так как дй]дх3 = Ф, то
Й = 2(Г^Г^Г К -2v)[(^ + A)In(R, + х3 + A)-/?2] +
+ Л1п(/?2 + х3 + /1)}. (13)
Перемещения w? можно определить по формулам (8) § 5.12. При /г-*0 мы снова получим решения задач Буссинеска и Черрути для сосредоточенной силы.
Следует добавить, что поле перемещений и, можно найти и другими способами. Так, в случае действия сосредоточенной силы в точке (0,0, h) по оси х3 для определения поля u't можно применить функцию Буссинеска (§ 5.5) или функцию Лява (§ 5.4). Эта задача характеризуется осевой симметрией относительно оси х3. Во второй задаче перемещения и\ можно определить, используя функции Папковича.
Миндлин решил поставленную им задачу весьма оригинальным способом путем суперпозиции в неограниченном пространстве нескольких соответственно выбранных решений с особенностями. Подробности этого подхода читатель найдет в трех его работах1) и в монографии Вестергарда (см. список литературы)..
Упругое полупространство.
Решение Тередзавы ) и Снеддона)
Рассмотрим упругое полупространство г ^ 0, находящееся под действием осесимметричной нагрузки. Решение этой задачи было дано Тередзавой с использованием функции Лява. Требуется решить бигармоническое уравнение
W^r, z) = 0(I)
с соответствующими граничными условиями в плоскости z = 0.
Предположим, что интеграл от нагрузки на плоскости z = 0 ограничен. В этом случае перемещения и напряжения на бес
конечности (т. е. при (г, г) —» оо) будут стремиться к нулю, и к уравнению (1) можно применить преобразование Ханкеля. Это преобразование определяется соотношениями
X (a, z) = J х (г, z) rJ0 (аг) dr, X (г, z) = j X (а. z) а/0 (аг) da. (2) оо
Умножим уравнение (1) на rJo^ar) и проинтегрируем по г от О до оо:
/(^+ ^+7^Гх(г. z) r/0 (ar) dr = 0.(3)
О
Заметив, что
/ ("S" + 7 "^ ) х (Г| z) r/°(ar) dr=~ «2Х (a. z), о
сводим уравнение (3) к обыкновенному дифференциальному уравнению для преобразованной функции
^ — a2)2x(a, г) = 0.(4)
Решение этого уравнения имеет вид
X (а, г) = (Л + агВ) е-аг + (С + Daz^e12. (5а)
Так как на бесконечности напряжения и перемещения должны исчезать, следует положить С = D = 0. Поэтому
X (а, г) = (Л + агВ) е-аг.(56)
Подставляя
Х(П z)= J X (a, z) aJQ (ar) da0
в формулы для перемещений (формулы (6) § 5.4)
^ = -> + 2(>—>Л(6)
получим следующие выражения:
“z = Д(1 — 2v) "О" — 2 0 — v) «2х] a/о (ar) da. о
Аналогично выражая напряжения (формулы (8) § 5.4)
2g"°zz—v) V X dz2j.
15Г52X1
2g°rrdzLVV Xdr2 J '
15Г «1
2g°фф —dzl^ Xr dr J ’^
2g °rz dr IP v) V X 5z2 ].
оГф == a^ == 0
через интеграл Ханкеля т,(г, z)= [ z (a, z)aJQ(ar)da, получим 6 .
следующие соотношения:
^Г °« = Ц( 1 - v)-§" - «2 (2 - v) -g-] a/о (ar) da, О
^ °" = J [ v ^ + (1 - V) a2g-] Wda - 1 { a^Wda>
°°(9)
v °фф = J v ("S - °2 #) a/° ^ da + 7 J “2 % Z1 <a0 da> оо
-^Гагг= J [v-§- + a2(l-v)x]a271(ar)da.
Входящие в выражение для х и в производные этой функции постоянные А, В следует определить из граничных условий.
Сначала рассмотрим случай вертикальных нагрузок
агг (г, 0) = — р (г), аг2(г, 0) = 0.(10)
Из второго граничного условия, которое можно представить
в виде
получимполучим[v-S+^-^xL-0-
получим
получим
A = 2vB.
Таким образом находим трансформанту
X = (2v + az) е-аг В (а)
и следующие формулы для напряжений:
arr = 2ц j В (а) а3е~аг [(1 — аг) JQ (аг) + (2v — 1 + аг) -'^^ da,
О
aw = 2ц ? В (а) а3е~аг Г2v/0 (аг) — (2v — 1 + аг) da, oJLJ (11)
azz = 2ц j В (а) а3е-аг (1 4* az) JQ (аг) da, о
arz = 2ц г J В (а) а^"®-/] (ar) da. о
Из первого граничного условия (10), принимая во внимание первую из формул (9) и выражение
р (г) = j р (a) a/о (аг) da,о
получим
где
Р (а) = j Р (г) rJ0 (аг) dr.о
Отсюда вычисляем величину В(а), а именно
Подставляя В (а) в формулы (11), после указанного интегрирования получим искомые напряжения.
Пусть в плоскости г = 0 задано следующее распределение нагрузок:
_,.л г2+ 2^
где £ > 0— постоянная. Это нагрузка кольцевого типа со значением р(0) = 2/^ в начале координат и р(оо) = 0 на бесконечности. Так как
Р («) = J £^- rJ0 (ar) dr = (1 + а£) е-^,
то
6(а) = - d + ^^l
D w2ца3
После подстановки В (а) в формулы (11) и вычисления несобственных интегралов получим следующие выражения для напряжений:
— (*+£) + z£ 4^-1,
22[ '' 1 dz 1 ° oz2 J
„ _ d U dR'X D-11
°rz Zdr[^ дг ^ ]’(12)
®rr| R 4" (^ О дг 2$ ^г2 4" г2 (^ ^ У
+ 4(1-5-)t(l-2v)$-2]+4^1})
где /? = [/-2 + (z4-£)T
Пусть теперь задана нагрузка
т. е. нагрузка интенсивности Р](ла2) распределена по кругу радиуса а, так что Р является полной нагрузкой, действующей на упругое полупространство. Тогда
Р («) = 4г J г/о (аг) dr = -^-Jx (аа).о
Подставляя р(а) в формулу для В (а), а затем в формулы (11), получим напряжения в виде несобственных интегралов. Однако вычисление этих интегралов вызывает значительные трудности, так что рассмотрим только случай сосредоточенных сил интенсивности Р. Тогда
В (а) = —л Р i" •' ' 4лца2В (а) = —л Р i" •' ' 4лца2р(а) = ЛИтМ^ = ^.)
В (а) = —л Р i" •' ' 4лца2
В (а) = —л Р i" •' ' 4лца2
л а->0 а 2л
Подставляя В (а) в формулы (11), получим после интегрирования следующие выражения:
_ Р Зг3Р 3rz2
°22- 2л ^г^11- °гг— 2л (Л2 + г2)^’
_ Р ( Зг2г ,. о \ Г 1г
'" 2л | ^Г2 + г2^и[ гг r2 (Г2 + Z2)V, ]
= Р (1 — 2у) Г г(2г2 + г2$
O,p4) 2л L г2 (г2 + г2)71г2]'
Эти формулы выражают напряжения в цилиндрических координатах и соответствуют ранее найденным выражениям в § 5.11 для задачи Буссинеска.
Подставляя А и В в формулы для перемещений (7), получим
(14)(14)Р Г_гг 4лц ( (т2 + •г2)'’
(14)
(14)
Р Г Z2\1
^z3Т~ Н~ 2(1 — V)
2 4лц I (Г2 + ziVU(г2 + ;
На границе z = 0 перемещения принимают следующие значения:
и.и.Р(1 — 2у)4лцгР(1 — 2у)4лцг_ Р(1 - у)Ыг 2лцг_ Р(1 - у)Ыг 2лцг(15)(15)
и.
и.
Р(1 — 2у)
4лцг
Р(1 — 2у)
4лцг
_ Р(1 - у)
Ыг 2лцг
_ Р(1 - у)
Ыг 2лцг
(15)
(15)
Мы видим, что при приближении к точке приложения сосредоточенной силы перемещения неограниченно возрастают. С другой стороны, сосредоточенная сила не имеет физического смысла. Действие сосредоточенной силы можно рассматривать как предельный случай действия нагрузки, равномерно распределенной на малой поверхности границы.
Примем распределение нагрузок
Р ^ 2л (г2 + ?2)'/! ’Р ^ 2л (г2 + ?2)'/! ’$>0,$>0,
Р ^ 2л (г2 + ?2)'/! ’
Р ^ 2л (г2 + ?2)'/! ’
$>0,
$>0,
где Р означает полную нагрузку. Это нагрузка кольцевого типа, непрерывно распределенная на поверхности г = 0, которая при возрастании параметра $ характеризует действие сосредоточенной силы. Имеем
Р (а) = — I
2л J о
5г , (Г2 + £2)
^/0(ar)dr = ^e-"t,
В (а) = —
Ре-^4лца3
Подставляя эти выражения в формулы (7) и (11), получим
^ = — (z(z + S^- + 2 (1 - V)
2 4лИ I [г2 + (^+^)2]/г
1
[г^+(г+ОТ,/« /'
О
Р (32 + g) (z + g)2 + g/2
2л [г2+(?+г)2Г/2
При z = О находим
„ _Р(1-у)1
22лц (г2 + V)41 ’
„ Р Сгг2л (г2 + £2)7’ '
Мы видим, что перемещения их остаются конечными в начале координат для £ #= 0.
Рассмотрим далее случай, когда на поверхности г = 0 действуют только касательные силы, т. е. когда
игг = (г,0) = 0, огг(г,0) = -5(г).(17)
Из первого граничного условия получим
А = —B(l—2v).
В этом случае напряжения выражаются через интегралы
аГГ = 2р J В (а) а3е~аг |^(2 — az) 70 (аг) + (2v — 2 + az) ^'^ j da, о'
<Тфф = 2р j В (а) а3е-“г ^2v/0 (ar) — (2v — 2 + аг) —^ j da,
° со(18
агг = 2рг J В (а) а4е-аг70 (ar) da, о
агг = — 2р j В (а) а3е-аг (1 — аг) 7, (ar) da. о
нагрузканагрузкаПредположим, что осесимметричная касательная имеет вид
нагрузка
нагрузка
Ozr(r. 0) = -g(r) =Ozr(r. 0) = -g(r) =(Г2 + ?2)3/’ ’(Г2 + ?2)3/’ ’?>?>0.0.
Ozr(r. 0) = -g(r) =
Ozr(r. 0) = -g(r) =
(Г2 + ?2)3/’ ’
(Г2 + ?2)3/’ ’
?>
?>
0.
0.
Применяя к второму уравнению (17) преобразование Ханкеля, т. е. умножая его на r7i(ar) и интегрируя по г от 0 до оо, получим
2рВ (a) а2 = g (а) = £е~°Е,
т. е.
g (а) = / £ (г) rJx (ar) dr = J —^ v, Л (ar) dr = ^-“Е.
Подставляя В (а) = £е-°£/(2[ш2) в формулы (18), находим напряжения в замкнутом виде
а„=л_242_г ^2+2(i-v)(^-ip-i4il.
"= [ dzdz2 '\ dz ) г dr \
„о dR-xх 1 ( dR л 1 2 d^-1 ]
CTw —Ч 2v dz2(1 v) гЦ dz !)+ r dr(19)
d2^-1dr dzd2^-1dr dz
d2^-1dr dz
d2^-1dr dz
GZZ = ^^-. R^^^f.
Достаточно общий метод решения задачи об упругом полупространстве дал Снеддон1). Он основан на интегральном преобразовании Фурье по двум переменным, примененном к уравнениям в перемещениях, и приведении полученных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если к системе уравнений в перемещениях
V2U; + йе, z = О, t= 1, 2, 3,(20)
применить интегральное преобразование Фурье, определяемое соотношениями
ut (а,, аг, х3) = -^ J J и, (х„ х2, х3) ez «м.+«л> dxx dx2,
"”"”(21)
Ui (Xi, Xa, X3) = -^ J j «/ («1, «2. *з) e-1 <<М1+а2ды dai da2i
то получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной х3
(£)2 — о2) йх — к (о2^ + а,а2й2 + ia.xDu^ = О,
(£>2 — о2) й2 — к (а2а,й1 + а2й2 + 1а2£)й3) = 0,(22)
(£>2 — а2) й3 — kiD (ащ! + o^2 + Юй^ = 0.
Здесь
Нетрудно проверить, что решением этой системы уравнении являются функции
Й1 = (Ai + а^Рхз) е~ах^ + (At + aiP%) еах»,
й2 = (Д , + а.Рх^ е~^ + (А3 + а^'хз) е^,(23)
й3 = (Аз — 1а.Рх^ е-ах* + (Аз + 1а.Р'х^ еах\
Здесь A,, Aj (t = l, 2,3) — произвольные постоянные, а величины Р, Р' задаются выражениями
к,<24>
Р'а (6 + 2) (“'^ + «2^2 + iaA3).
Для упругого полупространства при исчезающих на бесконечности перемещениях и напряжениях в соотношениях (23) и (24) следует положить
Д<=0 и Р' = 0.
Применим преобразование к напряжениям
»13= И («1, з + «з, i)> ст23 ~ Н («2.з + «з, г)>
РЗЗ = 2рИ3, 3 + X (Ыь 1 + U2> 2 + «3, з).
Тогда получим
б13 = р.(Дй1 —ta^),623 = р (Du2 — шай3),
х(25)
a33 = 2р£)й3 4- Л (£>й3 — Га^ — 1а2й2).
Подставляя формулы (23) в (25) и учитывая, что A't = О, Р' = О, получим следующие зависимости:
6[3 = р [— «Av — 2aavPx3 + сцР — Ш] AJ е~ах>,
523 = М— “А2 — 2aa2Px3 + а^Р — ta243] е-м=,
Озз = р [— 1 (^ — 1) («i^i + а?Рх3 + а2А2) +
+ (^ + 1) (— аА3 — ia.P + ia2Px3)] е~аХ1.
Если в плоскости Хз = 0 действуют нагрузки
О31=А(^1> ^2).О32 = Р2 (•*!* -*2)» СГЗЗ = Рз (*1. Х2),
то для определения постоянных Аг, А2, А3 получим из системы (26) систему линейных уравнений
р. (— аА, + а,Р — (ауА^^рц
р (— аА2 + а2Р — ш2 А3) = рг,(27)
р[— I (& — 1)(а,А] 4- а2А2) 4- (1 4~ &) (— аА3 — laP^ = р3.
Зная постоянные Аь А2, А3 и Р, из формул (23) получим трансформанты перемещений, а из формул (26)—трансформанты напряжений. Остается выполнить обратное преобразование Фурье.
В частном случае вертикальной нагрузки (pi = О, р2 = О, Рз 0) из уравнений (27) получим
.$«<*1 д _ Фзаг д Рз (1 + А)
12£а*ц ’2Аа2ц ’32Аац ‘
Так, например, для трансформанты перемещения и3 в плоскости х3 = о получим
Перемещение к3(х|,х2, 0) получим в виде несобственного интеграла
Формулы Бетти для дилатациии составляющих вектора вращения
Рассмотрим находящееся в равновесии тело V. Пусть в рт°м теле действуют массовые силы, а на ограничивающей его °верхности Л заданы неоднородные граничные условия. В точ- е § этого тела следует определить дилатацию е(§), §Е V. Для Решения этой задачи используем теорему взаимности Бетти
J Xitii dV 4- J p{UidA= ^ XiUidV + J piUtdA. (1)
VAVA
дл
весовые силы Xi, нагрузки pi и перемещения Ui относятся к реформированному телу V. В то же время система со штрихами Усть относится к неограниченной области, в точке § которой аХодится единичный центр дилатации. Его действие вызывает области V перемещения u'i, а иа поверхности А — составляющие вектора напряжения ^цП1=р\. Действие центра дилатации
Ь1 подробно обсуждали в § 5.8. Там поле перемещений и\ было сражено формулой
,1дЯ'*
Ul—4л (Л + 2ц) dxt *w
где
т
ак как дилатация е' = u't, i равна нулю, то составляющие век- °Ра напряжения на поверхности А принимают вид
pt = И (ul, / + «Л <) m-pt = И (ul, / + «Л <) m-(3)(3)
pt = И (ul, / + «Л <) m-
pt = И (ul, / + «Л <) m-
(3)
(3)
Подставляя формулу (2) в (3), получим
,unj д dR—1ц д dR—1
Р1 2л (Л + 2ц) дх^ дх£ 2л (Л + 2ц) да дх{ '' '
Здесь
nl — И1^1 + «2^2 + «З^з — "у^"
является производной по нормали к поверхности А.
Представим себе центр дилатации в точке § в виде трех двойных сил (без момента), направленных параллельно осям системы координат. В соответствии с рассуждениями § 5.8 двойные силы можно выразить с помощью массовых сил следующим образом:
»—4'4(х-а-®
Подставляя X't в уравнение (1) получим
— j -£- б (х — s) Ui (х) dV (х) + j p'iUi dA =
V 1A
= J Xiu'idV + J piu'tdA. (6)
VA
Преобразуем левую часть уравнения (6), интегрируя по частям и применяя теорему Гаусса — Остроградского:
j Ui (х) -^ б (х — g) dV (х) = j б (х — §) Ui (х) nt dA —
V'А
(-диДх)
У*
Поверхностный интеграл равен нулю, ибо §^Л, а объемный интеграл в правой части последнего уравнения дает дилатацию в точке | со знаком минус. Подставляя в правую часть уравнения (6) соотношения (2) и (4), окончательно получим
- 4л (Л + 2ц) е ^ = J Xt (х) и» (х, I) dV (х) + у
+ |[рг(х) u® (х, g) — р](х, ^и£ (x)]dA(x). (7) A
Здесь мы ввели обозначения
„о — dR ‘„о = 2Ц -^- —^ -
Ul— dxt ’ pl И дп дх, 1
Формула (7) была выведена Бетти. Она позволяет определить дилатацию в точке | по известным функциям и, и pt на поверхности А. Эту формулу можно получить и другим способом, а именно путем соответствующего преобразования формул Со- мильяны (формулы (12) § 4.13). Для перемещений иА(|) мы получили там следующее соотношение:
uk £) = ^Xi (х)(/р* (х, §)dV(x) +
V
+ / [р, (х) иТ (х, ю - р^ (х, g) ut (х) I dA (х).(8)
А
Функция иТ (х, §) является составляющей тензора перемещений Грина. Она выражает перемещение в точке х в направлении, параллельном оси х,, вызванное действием сосредоточенной силы, приложенной в точке | и направленной параллельно оси хд. Эта функция относится к неограниченной упругой области и выражается формулой (§ 5.7, формула (18))
и?Чх,^ = А^В^--^. ьф(9)
где
А —^ + п = 9 Л+_?Д
8лц (Л + 2ц) ’Л + ц
Вычислим дивергенцию обеих частей равенства (8). Таким образом мы получим формулу для дилатации
^ (?) = J Xt (х) -^ U^Xx, б) dV (х) +
Vb '
+ J [р/ (X) -^ uTkx, I) - Ui (х) -^рТ (X, ?)] dA (х). (10) А
Учитывая, что
dU^'dU^'d d dR "^"д^д^ d д dR”дГк dxk dxtd d dR "^"д^д^ d д dR”дГк dxk dxt1 dR-'1 dR-'4л (Л + 2ц) dx^4л (Л + 2ц) dx^
dU^'
dU^'
d d dR "^"д^д^ d д dR
”дГк dxk dxt
d d dR "^"д^д^ d д dR
”дГк dxk dxt
1 dR-'
1 dR-'
4л (Л + 2ц) dx^
4л (Л + 2ц) dx^
dp'^ _ 2ц d dR"'d^k 4л (Л + 2ц) da dxt
без труда устанавливаем, что уравнение (10) переходит в уравнение (7). Перейдем к вычислению составляющих вектора вращения <si=^tiikUk.t в точке |sV.
Предположим, что в точке § неограниченного пространства действует единичный сосредоточенный момент, направленный
параллельно оси х3. Этот момент в соответствии с рассуждениями § 5.8 вызывает следующее поле перемещений:
(it)
Здесь мы имеем дело с векторным полем
u'=1о).(12)
8лц \ дх2дх, 1х '
Поле перемещений и) характеризуется нулевой дилатацией, т. е. uz г = 0.
Составляющие вектора напряжения р на поверхности А определяем по формуле
Pi = °}tn 1= Iх (w/, / “Ь ы/. j пг(^)
В результате вычислений получим следующие составляющие:
/1_Гдд,д/д д\"| „-1
8лLдп дх2дх,; 2 дх,Л|дх2 Л "’
г1Гдд.д/ дд\1-I,...
Р28лLдпдх,дх2V2дх, П' дх2
Г д / д д Р3 8л L дх3 \Л2 дх, П[ дх2 1 Массовые силы, выражающие действие сосредоточенного момента, можно определить так:
^ = -1^-б(Х-§), ^=ттг6(х-£)> ^=о. <15>
Подставляя формулы (12), (14) и (15) в уравнения взаимности (1), получим после простых преобразований
- 8лцЮз ® = / [^ (х) ^ - ^(х)^] dV (х) +
V2
+pM^-\dA(x)-V
+ I [“2 w "^ ^ - w i ^T^dЛ <x> + A
+ Г U] (x))<M(x) +
'J 1 x 7 oxi \ z dxi 1 dx2 /^ / ।
A.
. Г I \ d / dR~' dR-1) .., . ,
+ J ^(x)^^-^«,^-рЛ(х) +
A
+^^^^^—n^S^dAkxY (16)
Здесь
/ ди2 ди, \
®з(Ю — у \ д^,^2)'(17)
Это формула Бетти для составляющей из вектора вращения. Формулы для составляющих coi и сог получим из формулы (16) циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
Формулу (16) можно также вывести непосредственно из формулы Сомильяны. Для этого следует формулу (8) выписать для k = 1, а затем для k = 2, полученные формулы продифференцировать и вычесть одну из другой по схеме (17). Читатель может убедиться, что при помощи формул (9) после ряда преобразований получается уравнение (16).
5.17. Метод Бетти интегрирования дифференциальныхуравнений эластостатики1)
Рассмотрим однородные уравнения эластостатики
\72и{ + fee, i = 0, fe = l-V^-, xeV.(1)
Так как дилатация е в отсутствие массовых сил является гармонической функцией, уравнения (1) можно привести к виду vVui + y^6^0-(2)
Поэтому ut = — ^- ext является частным решением уравнений Навье (1).
Рассмотрим сначала уравнения в перемещениях
X?2ut = — кел, xeV,(3)
с граничными условиями
и,= (/Дх), хеД.(4)
Если бы дилатация была известна в каждой точке х е V, то по известной правой части уравнения (3) мы бы решили уравнение Пуассона с граничными условиями (4). Функцию е мы можем определить из формулы Бетти (уравнение (7) предыдущего параграфа)
е^ — WhST I [р'(х) "°(х’ ^~р'(х’?) Ul(x)jdA(х)’ (5) д
где
О dR-' о о д dR-1 „ _ v
*) Betti E,, Teoria della elasticita, 11 Nuovo Cimento, ser. 2, 6—10 (1872).
Эта формула позволяет определить дилатацию е, когда на поверхности А заданы не только перемещения и4, но и нагрузки pi. Для исключения функций pi нужно решить следующую вспомогательную задачу.
Рассмотрим систему уравнений Навье
Wt + fee*t = 0(6)
с граничными условиями
m’ = mJ на А.(7)
Применим к функциям и, и mJ теорему взаимности
- J p*utdA = J ptutdA, р"{ = о'^п^ Д 'A
Это уравнение ввиду условия (7) можно представить в виде
J p>tdA = J p^dA.(8)
AA
Исключая из уравнений (5) и (8) величину р^,, получим следующую формулу для дилатации:
«®W+Вд J^-P?)^-(9)
А
В подинтегральном выражении известны функция р*— pQ{ и функция Ut как заданное граничное условие на А. Очевидно, чтобы знать р*, требуется решить систему уравнений (6) с граничными условиями (7). В силу характера перемещений (м, = diR'1^ решение этой системы уравнений является более простым, нежели решение системы уравнений (3) с граничными условиями (4).
Зная теперь дилатацию в каждой точке области V, мы можем путем решения уравнения Пуассона с учетом граничных условий (4) определить поле перемещений щ.
Рассмотрим далее уравнения в перемещениях
^Ui A-kea = 0, х е V,(10)
с граничными условиями (формула (8г) § 4.2)
ди, pi = 0(irti = 2pА-ХепгА-2ргоап;.(11)
Это условие можно представить в виде
ди, 1
-^Г = 2^^i — Ь6^ — ®апр хе А.(12)
Если бы дилатация е и составляющие тензора вращения избыли известны, то решение уравнений (10) сводилось бы к решению системы уравнений Пуассона с граничными условиями типа Неймана (условия ди^дп = ^) .
Решим первую часть задачи, а именно определим дилатацию. Воспользуемся формулой (5). В этой формуле известными являются функции р^ на Л, а неизвестными функции и{ на А.
С целью исключения перемещений и, рассмотрим следующую задачу. Решим систему уравнений
V2«" + /?e5 = 0(13)
с граничными условиями
Р? = рЗ на А-(14)
Применяя теорему взаимности к перемещениям и{ и и^, получим уравнение
J р**и{ dA = ^ P{u**dA. АА
Учитывая граничное условие (14), приводим последнее уравнение к виду
J pout dA= J р£и**dA-(15)
АА
Исключая из формул (5) и (15) функцию р°ир окончательно получим формулу
е^)=— 4л (Л + 2ц) j Pi(Ui ~uT)dA.(16)
А
Из этой формулы по известным функциям pt и и**— и? можно определить дилатацию в области V и на поверхности А. Определение е на поверхности А необходимо, ибо эта функция входит в граничные условия (12). Для решения уравнений Пуассона (10) с условиями (11)
^щ = — -j е, i
следует еще найти составляющие тензора вращения соо, входящие в граничные условия (12).
Мы объясним здесь порядок действия для определения только одной составляющей вращения, а именно функции со3 = <о21. Используем формулу (16) предыдущего параграфа, исключая
из нее массовые силы и записывая сокращенно
8лц(о3(|) = J (р,^ — p'u^dA.(17)
А
Функции u't и p't имеют те же самые значения, что и в § 5.16. Следует еще из уравнения (17) исключить перемещения и^ Здесь возникает некоторая трудность, основанная на том, что нагрузки р\ на А не образуют самоуравновешивающейся системы сил. Для выполнения условий равновесия следует ввести в произвольной точке § второй центр вращения, в котором приложен момент с вектором, параллельным оси х3, но направленным противоположно. Обозначим поле перемещений, вызванное действием этого сосредоточенного единичного момента, через йр
=о)
8лц \ дх2 ’ dxt ’ / ’
где___
В результате получим
8лц [оз (Ю — ®з (I)] = / VPi (и'г — “9 — (Pi — Pi) “J dA- (18) A
Для исключения перемещений u< решим еще систему уравнений Навье
V2^ + fee,f = 0(19)
с граничными условиями
Pi = p'i — Pr(20)
Применяя к полям перемещений и, и й, теорему взаимности, получим
ptutdA = J ptutdA.
АА
В силу граничного условия (20)
/ kPi — P'i) МА= j Piut dA.
AA
Таким образом, формула (18) для составляющей со3 вектора вращения примет вид
8лц.[со3(Ю—o3(s)]= / p^u'—u' — u^dA. (21)
Л
9 В. Новацкий
Аналогично можно определить остальные составляющие тен- 3оРа вращения. Тогда легко найти правую часть граничного Условия (12).
_ _ Нам остается решить систему уравнений Пуассона V2u, = '^е, < с граничными условиями (12) типа Неймана. Во всех
Рассуждениях здесь предполагается, что решение вспомогательных задач является более простым, чем решение основных
Ниже мы дадим применение метода Бетти к решению задачи 6 Упругом полупространстве1). Предположим, что в плоско- ти х3 -^ q, ограничивающей упругое полупространство, заданы сремещения и,- Определим сначала дилатацию в точке £ по Формуле (9) :
(X + 2ц) е (?) = J J [р? (х, |) — р* (х, I)] ut (х) dxx dxr (22) А
р3 = 2р^1дпр3 = 2р^1дпdR~xдх(dR~xдх(В этой формуле
р3 = 2р^1дп
р3 = 2р^1дп
dR~xдх(
dR~xдх(
i дх. ■ где*
R2 = (xj - U2 + (^ - У2 + (х3 - 6з)2.
ак Как границей упругого тела здесь является плоскость
", То> в СИЛу
ni = cos (п, X,) = 0, n2 = cos (п, ,х2) = 0. лз = cos (п, х3) = — 1, имеем
₽! = -2и^-(23)
НагРУзки
Р* = a*ini = Н (UL i + и*. ,) л, + Xe*nt
принимают вид
Р1 И (Ы|, 3 ~ь Ы3, 1)> р2 Р (Ы2, 3 + Ы3, г)’
♦»•♦•(24)
Рз~2рм31 3X (Н], 1 4" ы2, 2 4" Ы3, з)"
выберем точку |' как зеркальное отражение точки |. Квадрат Расстояния точки |' = (£ь&ь —£з) от точки х= (хь х2, х3) обо- начим через
р2 = (X! - ^,)2 + (х2 - £2)2 + (х3 + £3)2.
) Cerruti V., Mem. fis. mat. Accad. Lincei, Roma (1882).
и°и°др~! —др-1 \ дх ’ дхч /‘др~! —др-1 \ дх ’ дхч /‘Для определения дилатации е при заданных на границе перемещениях ищем такое поле перемещений и*, которое в плоскости х3= 0 сводится к
и°
и°
др~! —др-1 \ дх ’ дхч /‘
др~! —др-1 \ дх ’ дхч /‘
(25)
Легко убедиться путем подстановки в уравнения (6), что решением этих уравнений, удовлетворяющим заданным граничным условиям, являются функции
• др-1 . о X + ц д2р-1 и, = лН 2 , х3 —,
1дХ(1Л + Зцd dxt дх3
.др-1.оХ + цд2р-1
2дх2X + Зц’ дх2 дх3
«з«здр-1-дх3др-1-дх3+ 2+ 2А + Ц д2р-1X + Зц 3 дх3 *А + Ц д2р-1X + Зц 3 дх3 *
«з
«з
др-1
-дх3
др-1
-дх3
+ 2
+ 2
А + Ц д2р-1
X + Зц 3 дх3 *
А + Ц д2р-1
X + Зц 3 дх3 *
ПОПОЗнание перемещений u*t позволяет определить функции р\
ПО
ПО
формулам (24):
^ = - 2Ц^ = - 2ЦЛ + ц д2р~'
^ = - 2Ц
^ = - 2Ц
Л + Зц dxi дх3 ’
№2ц№2цЛ + ц д2р~!Л + Зц дх2 дх3 ’Л + ц д2р~!Л + Зц дх2 дх3 ’(27)(27)Р*з = ^Р*з = ^Л + И ^2Р~1Л 4" Зц дхдЛ + И ^2Р~1Л 4" Зц дхд
№2ц
№2ц
Л + ц д2р~!
Л + Зц дх2 дх3 ’
Л + ц д2р~!
Л + Зц дх2 дх3 ’
(27)
(27)
Р*з = ^
Р*з = ^
Л + И ^2Р~1
Л 4" Зц дхд
Л + И ^2Р~1
Л 4" Зц дхд
В плоскости х3 = 0 соотношения (23) можно представить в виде оо d2p~* g q d2p~*„0d2p~* coq\
Pl 2Р* А А ' Р2=2Р"^’ Рз ^"а 2 • • (28) 1 дх, дх3 z дх2 дх3 5дх3
Здесь мы использовали зависимости /?(х, |)=р(х, |) при х3 = = 0. Из сравнения формул (27) и (28) вытекает пропорциональность величин р‘ и р) в плоскости х3 = 0:
Pi^.xv х2- 0) Л + З^ P°Axv х2> 0)'(29)
Последнее соотношение позволяет значительно упростить формулу для дилатации (22). Получаем
е ^ = - мх + зц) J J “' (х) -д^дГ3 I^"1 (х- ^)1 ^1 ^2- (30а) Учитывая, что dR~lldxi = — dR^ld^, соотношению (30а) можно придать несколько иной вид, а именно
.И д Г д г г и, (х)1
й ^ = — я (Л + 3(1) "517 ["517 11 "Р^лЛ) dXx ^^J • (306^
Введем новые функции
П
и, T^ax^, 1,2,3,
Ф dL\ , dL2 . dLa + д^2 д^ ’
придавая уравнению (306) следующий вид:
л (Л + 3g) д^ •
Функции Li^) являются гармоническими, т. е.
v'-My-n^xIv^f^J^-o. ^-А,^.
Функции Li^ представляют собой потенциалы простого слоя. Здесь мДх)— плотности слоя. Воспользуемся теоремой о нормальной производной потенциала простого слоя. Устремляя точку | к пределу £3 = 0, получим
Пт 4г" = — ЗлиД^, ^2, 0).(32)
Ез=0+®3
Функция Ф(|) как сумма производных функций L^ также является гармонической функцией по переменным gi, ^, g3.
Нам остается решить систему уравнений (1) или (2). В уравнении (2) дилатация известна, является гармонической функцией, заданной уравнением (31). Записывая уравнение в переменных gb g2, £з. имеем
V'2[«/(!)+4^(1)^] = 0, ^=1+4.(33)
или
V'2 \ut (I) -^i 4г]= °-
Последнему уравнению, в силу гармоничности функции Ф, можно придать вид
V'2. [^ (I) — 2^С+Ж ^3 "dj?] = °"(34)
Функции
_ |-i + Л ^ дФ
Ф<— “< — 2л (Л + 3g) *3 "д^
являются гармоническими в области £3 > 0. На границе g3 = 0 они принимают значения
Ф< 61, ^2, 0) = ut (^, ^2, 0)^^4^-.(35)
Из теории функций известно, что гармонические функции, удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям, совпадают во всей области. Поэтому
ф, а,, и и=- -^.(36)
Отсюда вытекает, что
Ui ^ —+ 2л (Л + 2ц) ^3 д^ •(37)
Переходя к координатам Хг, имеем
Ы- <Х> = —2^ 1Г +•^
«ЭХ VX^ «ЭХ ^Л OJX J UX^
Порядок действия для определения перемещений таков. Заданные функции перемещений и; на границе Хз = О подставляем в формулы для функций Li. Далее образуем функцию Ф, а перемещения определяем по формулам (38).
Упругий слой
Упругая среда, ограниченная двумя параллельными плоскостями, называется упругим слоем. Обозначим толщину слоя через 2h. Поместим начало координат в срединной плоскости слоя так, чтобы срединная плоскость совпадала с координатной плоскостью х3 = 0.
Определение напряженного состояния в слое сводится к решению системы уравнений
ЦУЧ + (Л + ц)е , + ^ = 0(1)
в области |х3| < h.
К системе уравнений следует добавить граничные условия. Их можно выразить в перемещениях, в нагрузках, либо придать им характер смешанных граничных условий.
Предположим, что массовые силы в слое равны нулю, а граница слоя находится под действием нагрузок р. Пусть на границе хз = h заданы нагрузки
х3 = /г:а31 = ам(х1’ х2)' аз2= °32 (хр х1)> °зз = азз(хр хг)> @)
а на границе х3 = —h — нагрузки.
х3=/г: a3i=a3i(xp ^2)’ аз2 = аз2(хр хг)> азз = азз(хр хг)- ($)
Здесь функции ^(х^ х2), ^(х^ х2), ... являются заданными функциями точек границы.
Указанную выше краевую задачу удается разделить на две более простые краевые задачи. Введем величины
91 = у (»з?аз1)’9г ” "2 (ай ^зг)’ 9з= "2" (°зз 4* °зз)’
si ” у (»з* 4~ ^1)> S2 = "У (ст32 4~ ^зг)» 5з у (стзз азз)’ следует решить отдельно две краевые задачи, а именно:
2 = + /г: <т31 = ± <71» ^зг = — 9г> °зз= 9з»
2 = ± /г: ст3| = sb О32 = s2,(Т33 = ± s3.
Задача а) характеризуется симметричной относительно плоскости х3 = О нагрузкой, краевая задача б)—антисимметричной относительно этой плоскости нагрузкой. В случае краевой задачи а) перемещения и\ и и2 являются четными функциями, а из — нечетной функцией по переменной х3. В срединной плоскости хз = 0 имеем
=4^ = 0, и3 = 0.(4)
дх3дх3 ’ з
Срединная плоскость будет растягиваться или сжиматься.
В краевой задаче б) перемещения щ и и2 являются нечетными функциями, а «з — четной функцией переменной х3. В срединной плоскости
«1 = 0, и2 = 0, -^- = 0.(5)
Срединная плоскость будет изгибаться.
Решение задачи об упругом слое формально не вызывает больших трудностей. Сюда можно применить методы, использованные для решения задачи об упругом полупространстве, вводя функции Папковича — Нейбера, Галеркина и т. д.
В дальнейшем займемся граничными условиями типа а). Сначала рассмотрим влияние осесимметричных нагрузок, действующих нормально к границе. Задачу этого типа решим простейшим способом, применяя метод Лява. Следует решить би- гармоническое уравнение
V4X(r, 2) = 0(6)
с граничными условиями
2=±й: <тгг = —р(г), огг = 0.(7)
Напряжения azz и агт выражены через функцию х- Согласно формулам (10) § 5.4, представим граничные условия (7) в виде
Предположим, что интеграл от нагрузки р(г) на плоскости 2 = ±h ограничен. В этом случае напряжения и перемещения будут стремиться к нулю при г-*оо, а для решения уравнения (6) можно применить преобразования Ханкеля. Это преобразование определяется соотношениями
х(а, z)= | x(r, z) rZ0(ar)dr, х (г, 2) = J х(а, z)aZ0(ar) da. (8) оо
Применение интегрального преобразования к бигармонИческо- му уравнению (6) приводит*к обыкновенному дифференциальному уравнению
(■£"-“2)2х(а, z) = 0(9)
с решением
х(а, г) = Л sh аг + Baz ch аг + С ch аг + Daz shaz. (10)
Подставляя х(“,2) в соотношения (9) и (10) § 5.4, выразим перемещения и напряжения в виде интегралов Ханкеля. Соответствующие формулы были даны в § 5.15.
Рассматриваемые здесь нагрузки симметричны относительно плоскости г = 0. Напряжение azz является четной функцией, а перемещение uz—нечетной функцией переменной г. Из формул (6) и (8) §5.15 вытекает, что функция % должна быть нечетной относительно переменной г.
В соотношении (10) следует положить С = 0, D = 0. Поэтому ■
X (а, г) = A sh аг + Ваг ch az.(11)
Коэффициенты А, В, будучи функциями параметра а, определяются из граничных условий. С этой целью выразим нагрузку р(г) через интеграл Ханкеля
р (г) = j р (а) aZ0 (ar) da, р (а) = j р (г) rZ0 (ar) dr. . (12) оо
Применяя интегральное преобразование к граничным условиям (7), получим систему уравнений
[(l-v)-S-(2- ’)а><Ц—р(«), [’+ “!(1 — viz] =0-* *
Из этих уравнений находим величины А и В. Таким способом определяется функция % (а, г). Применение к формулам (7) и (9) § 5.15 обратного преобразования приводит к определению перемещений и напряжений. Они выражаются в виде несобственных интегралов. Взятие этих интегралов вызывает, вообще говоря, значительные трудности и требует обращения к численным методам.
В § 5.15 мы изложили метод Снеддона для упругого полупространства. Незначительная модификация позволяет применить его к решению задачи об упругом слое.
■ В § 5.15 к уравнениям в перемещениях было применено интегральное преобразование относительно переменных Xi и х2. Была получена система трех уравнений (уравнения (22) § 5.15), которые можно записать сокращенно одним уравнением
(D2 — а2)й;— kaiaiui=0, i, /=1, 2, 3,(14)
где'
D = ~^’ a3 = iD- а = (а2 Д-а2)1/».
Решением этой системы уравнений являются функции
й/ = (Д, + P'aj.x^ ch axt + (А'. Д- Ра;^3) sh ах3, / = 1, 2,
zz3 = (Да Д- iaP'x^ sh ах3 Д- (Д' Д- iaPx^ ch ах3,^ ^
где
Р' = «(а1 А + °2^2 + 1аАз\
«.X (|6)
Р = а(а1 А + а2 А + i»A^, к — 1 Д- —.
Преобразуя напряжения о^, Ом и о33, получим следующие выражения:
^- = (аД, — zat Д3 + Ра,) sh ах3 Д- ЗРаа^з ch ах3 Д-
Д- (аД) —Ш|Д3 Д- P'ai)chax3+ 2Р'аа1х3 sh ах3,
^- = (аД2 — ш2Д3 Д- Р«2) sh ах3 Д- 2Раа2х3 ch ах3 Д
+ (аД2 — га2Л3 + Р^г) ch ах3 Д- 2Р'аа2х3 sh ах3, ц?)
^- = — i (k — 1) [(Д^ Д- А2а2) ch ах3 Д- Ра2х3 sh ах3] Д-
Д- (1 Д- к.) [Д3а ch ах3 Д- zaP ch ах3 Д- 1а?х4Р sh ах3] —
— z (к — 1) [(Д'а, Д- Дгаг) sh ах3 Д- P'a2x3ch ах3] Д-
Д- (1 Д- А) [ Д3а sh ах3 Д- шР' sh ахл Д- га2х3Р' ch ах3].
Предположим, что заданы одинаковые граничные условия в плоскостях х3 = h и х3 = —h, симметричные относительно плоскости Хз:
O31=PiU1> х2\ аз2 = Р2(^ь *2)» Озз=Рз(^1, х2\(18)
В силу таких нагрузок напряжения О31, 032 являются нечетными, а напряжения азз~* четными относительно переменной х3. Величины A't Ц = 1, 2, 3) и Р' равны нулю. Поэтому достаточно решить систему уравнений
(аД] —га^з + РаО sh ай + 2Раа,йсЬай = -^-,
(аД2 — 1агАа 4- Ра2) sh ah + 2Paa2h ch ай = -^-,
— i (й — 1) [(Д,а, + А2а^ ch ай + P^h sh ай] +
+ (1 + ^)[(Д3а + zaP) ch ай + ia2hP sh ай] = -^-.
Из уравнений (19) при помощи соотношений (16) можно определить постоянные Ai (i = 1, 2, 3), а из формул (15) и (17) трансформанты перемещений и напряжений.
В случае антисимметричных относительно плоскости х3 = О нагрузок обращаются в нуль величины Ai, Р и отличными от нуля остаются величины Ai и Р'.■
Применение обратного интегрального преобразования Фурье завершает решение задачи.
Бесконечный и конечный цилиндр
Рассмотрим бесконечный цилиндр, нагруженный по боковой поверхности. Пусть ось 2 совпадает с осью цилиндра, а нагрузка на боковой поверхности зависит только от переменной 2. В таком случае мы имеем дело с осесимметричным нагружением.
Для решения этой задачи воспользуемся функциями Папко- вича — Нейбера. В прямоугольной системе координат они имеют вид
u = grad (ф Д-R • ф) — 4(1 — v)ф,(1)
где функции ф и ф,- являются гармоническими.
В случае цилиндра удобнее воспользоваться представлением формулы (1) в цилиндрических координатах (г, 6,2). Обозначим составляющие вектора ф в этих координатах через ф = (фг, фе, фг). Заметим, что
ф! = фг cos 6 — ф6 sin 6,
ф2 = фг sin 6 + фд cos 0.^а^
Отсюда вытекает следующая зависимость:
^| + ^2 = (^+*)е!6.(26)
Так как функции фь фг гармонические, а функции фг и фе в осесимметричной задаче зависят только от переменных г, 2, то функции фге<е, фев<е являются гармоническими. Поэтому имеем уравнения
?2(фгег6) = 0, V2^eei6) = 0.(3)
Скалярное произведение в (1) примет вид
R • ф = хгф, : Гфг + 2фг,
что легко проверить, используя соотношение (2а).
Итак, составляющие вектора перемещения (ыг, ы6, ы2) можно выразить в следующем виде:
ыг =-^7 +-^г (гфг + 2фг) — 4(1 — v)фr,
ые = —4(1 — v)фe,(4)
“^ =-^- + -^-(гфг + 2фг) —4(1 — v)фг.
В случае осесимметричного напряженного состояния, которое мы здесь будем рассматривать, «е = 0, а следовательно, и фе = = 0. При определении частных решений задачи будем использовать функции ф и фг, полагая фг = 0.
Функции фг и ф должны удовлетворять уравнениям
д2фг I 1 дфг1, д2фг _
дгг ' Г дтг2 ТГ Т yz2
д2ф . 1 дф । д2ф
дг2" + ~ ~дг~ + "dz2" ~
Введем новые обозначения — безразмерные координаты
Zа
где а — радиус цилиндра. Таким образом получим уравнения
д2ф . 1 дф1. д2ф _
дх1 + х дхх2 Ф' + d?2 — °’ Фг —Ф> (5)
д2ф0 , 1 дф0 , д2ф0ф
+Ф»=Т-(6>
Выполним в этих уравнениях преобразование Фурье, определяемое соотношениями
(7)(7)V— ОО
(7)
(7)
ф(х, £)=—4=- f Ф^, P)e~z^dp и т. д.У 2л J
Тем самым сведем систему уравнений (5'), (6') к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
S+t^Mo’ + t^-0’<8>
5+7Т-А-1<9>
Решениями этих уравнений являются функции ф(х) = АД(рх) + М^х\(Ю)
$o(x) = B/o(px)+B2tfo(Px).(11)
Здесь /п(Рх) =i-n/n(ipx)— модифицированная функция Бесселя первого рода от аргумента рх, а /(о(Р^) и ЛДрх) —модифицированные функции Бесселя третьего рода (так называемые функции Макдональда) нулевого и первого порядка соответственно.
воз-(4)(12)(13)воз-(4)(12)(13)Решения (10), (11) справедливы для общего случая пустотелого цилиндра. Для сплошного цилиндра следует положить Д2 = В2 = 0, ибо функции 7<i(px) и До(Р*) неограниченно растают при х —*0.
воз-
(4)
(12)
(13)
воз-
(4)
(12)
(13)
Подставим функции ф и фо в формулы для перемещений Полагая ф2 = 0, получим
„ — ^ _L Г дФ
-ТХ ^ .
Применим к этим соотношениям преобразование Фурье
йДх, р) = фо — (3 — 4у)ф + хф', ф'=^-, «г (х, Р) ^ — <Р (фо + хф).
В эти формулы входят первые производные функций ф и ф0по х. При использовании решений (10), (11) необходимо помнить о
соотношениях
•^^ = РЛ (₽Д^^- = p/о (Рх) -1Л (Рх),
U-*Ct**
^М = -р/<1(рх),**^ = -p/c0(px)-ltfI(px).
Остается выразить трансформанты напряжений через функции фо и ф. Воспользуемся формулами для напряжений в осесимметричной задаче
’^(^ + 77ф СТм = 2и(^ + т^в), п / диг । v\/ диг , диг \(1^)
Gzz = 2ц + Чп— е , СТ., = Ц —4- -—5- , zz \ дг1 — 2v / ’rz \ дг ' dr )'
dur . иг . duzдг "* г дг 1
Применяя к этим соотношениям преобразование Фурье и используя формулы (13) и уравнения (8), (9), получим
^ = - [(3 - 2v) ф' (х) — (р2х + (1 — 2v) 1) ф (х) +
+ 7 ф' (х)— Р2Ф W].
■^Г = —[(3 — 2v)-^- — (1 — 2v)^'(x) —у ф'(х)],(15)
^Г = - [(тг+Р2^) $ И + 2^' ^ + ₽2Ф м].
- zp [Хф' (х) - (1 - 2V) ф (х) + ф' (X)].
' Рассмотрим частный случай осесимметричной деформации сплошного цилиндра. Пусть при х = 1
<тгг(1, ^=-р(9, <тг2(1Л) = 0.(16)
На боковой поверхности цилиндра действует только нормальная нагрузка, изменяющаяся в направлении оси ^. Предположим, что интеграл J | р (£) |d£ ограничен.
Так как мы имеем дело со сплошным цилиндром, то примем, что
ф (х) = Д/\ (рх), ф(х) = аф0(х) = В1/0(рх) • а. (17)
Применим к граничным условиям (16) преобразование Фурье и используем первое и четвертое соотношения (15) и (17).
В результате получим систему уравнений
Л [(3 - 2v) р/0 (р) - (4 (1 - v) + Р2) /1 (₽)] +
+ ВМ(р)-р/0(Р)] = .^о,
Л, [Р/О (Р) - 2 (1 - V) Л (Р)] + В,РЛ (Р) = 0.
Отсюда
д _ р (р) ah (р) о _ Р (Р) а /о (Р) — 2 (1 — у) Р~‘Л (р) 2цД(р) ’2цЛ(р)
А (Р) = Р2 V» (Р) - А (Р)1 - 2 (1 - v) Л (Р),
Зная постоянные Дь Д2, можно найти напряжения и перемещения. Итак,
иДх, й=—L f р(Р№, P)e-^dP,
(18) иДх, ^ = ^ J P^W^x, P)6-^dp,
где
+ Р/о(Р)Л(Р^)-Р^1(Р)/о(Рх)], (19)
V^x' Р) = -2^[2(!-Х)Л(Р)/о(Рх) +
+ /, (Р) рхЛ(Рх)-р/о(Р)/о(Рх)].
Рассмотрим преобразование
р(Р) = У7= J p^e^dt =
^W I p(Ocospg^ + -^U / p^sinpu^. (20)
Отсюда видно, что функция р(Р) является комплексной, в то время как нарузка р(^) является по предположению действительной.
Если функция р(£) четна [р(£) = Р(— ^)L то второй интеграл в (20) равен нулю. Поэтому для четной функции р(?) = р5(?) имеем
МР)=у=- J P.©COSM-МР)=у=- J P.©COSM-(21)(21)
МР)=у=- J P.©COSM-
МР)=у=- J P.©COSM-
(21)
(21)
"•(^>=7kRe"•(^>=7kRe= V^ I MPW. Р) cos PUP, о= V^ I MPW. Р) cos PUP, оi / Ps (Р) v (х- Р) (cos Р£—z‘ sin РУ ^Рi / Ps (Р) v (х- Р) (cos Р£—z‘ sin РУ ^Р(23)(23)
"•(^>=7kRe
"•(^>=7kRe
= V^ I MPW. Р) cos PUP, о
= V^ I MPW. Р) cos PUP, о
i / Ps (Р) v (х- Р) (cos Р£—z‘ sin РУ ^Р
i / Ps (Р) v (х- Р) (cos Р£—z‘ sin РУ ^Р
(23)
(23)
Если функция р(?) = ра(?) нечетна [ра (?) = — ра(— ?)], то в (20) исчезает первый интеграл и остается
р0(р) = -^ J Ро® Sin М.(22)
Подставляя
р(Р)=РДР) + 'Ра(Р)
в формулы (18) и учитывая (19) и известное соотношение
■ e-i^ = cos р? — I sin р?,
получим для случая нагрузки, симметричной относительно плоскости ? = 0, следующие выражения:
и, (*, у = -J= ReV 2ли, (*, у = -J= ReV 2л/ рДР)^. Р) (cos Р£ — / sin р?) dp
и, (*, у = -J= Re
V 2л
и, (*, у = -J= Re
V 2л
= V^ J P^)K(X- P) sin PUP.о
Если нагрузка антисимметрична относительно плоскости ? = 0, имеем
(24)(24)иДх, 2) = ^ J Ра№^Х, P)sinP?dp,о
(24)
(24)
иг(х, ^ = -3/^ / Ра(Р)V(х, Р)COSР£dp.
Аналогично исследуется касательная нагрузка (?(£), действующая на боковой поверхности. Граничные условия принимают вид
х=1: агг(1, 9 = 0, аГ2(1, ^=-q®.(25)
Рассмотрим далее конечный цилиндр длиной 2L. Пусть плоскость £ = О проходит через середину его высоты. На боковой поверхности цилиндра действует нормальная нагрузка р^.
Решение поставленной здесь задачи составим из двух частей: решения и', и'г для бесконечного цилиндра и дополнительного решения, интегрально удовлетворяющего граничным условиям на концах цилиндра.
Пусть на боковой поверхности бесконечного цилиндра действует периодическая нагрузка
агг = — р = — ро — V pfc cos,/ = —,
х = 1:11а (26)
orz = 0.
Эту задачу решим, применяя конечное косинус-преобразование. Не вдаваясь в подробности выкладок, дадим сразу конечный результат:
i I "жг12 (1 ~ v) Л (р&) м+р^о ср*) л м -
— Рал:/1 (Рд)70(рдх)] cos (27)
< = S мйт I2 (1 - v) Z1 (P^ zo M + Л (P^) W. (P^) -
-PtMPtVoMlsinP^, ^ = ^. (28)
Здесь u°r представляет собой радиальное перемещение для бесконечного цилиндра, вызванное постоянной нагрузкой —рр.
Легко заметить из уравнения (28), что и'г(х, ± /) = 0. В силу формул (15) убеждаемся, что n'z(x, ±/) = 0.
Решение (27), (28) является точным решением для конечного цилиндра длиной 2/, закрепленного на торцах £ = +1. В этих плоскостях исчезают осевое перемещение и касательное напряжение:
«'(х, ±/) = 0, <т'г(х, ±/) = 0.(29)
Нормальное напряжение q'zz (х, ± /) отлично от нуля.
Если конечный цилиндр на торцах £ = +1 должен быть свободным от напряжений, то к напряжениям ст^ следует доба-
вить напряжения а"р такие, чтобы в плоскостях £ = ± / было ^+< = 0, а"=0.(30)
Решение этой задачи достаточно сложно и приводит к бесконечной системе уравнений). Для решения этой задачи можно применить также «класс однородных решений», используя собственные функции однородной задачи).
Однако можно ограничиться приближенным решением, основанным на выборе напряженного состояния <т7 в виде одноосного напряженного состояния в цилиндре. Если через Z обозначить равнодействующую напряжений qzz, т. е. положить
а1
Z = 2л J c’zzr dr = 2ла2 j a'zzx dx,оо
то напряженное состояние ст 7. сводится к нормальному напряжению
< =<D
во всем цилиндре.
Это предположение в силу принципа Сен-Венана (о котором речь пойдет в § 5.22) справедливо для сечений £ = const, удаленных от границы £ = ± /. Представленное здесь решение, основанное на суперпозиции состояний ст^ и Оц из формулы (31), будет тем ближе к действительности, чем больше отношение Lia = I.
Читателю предлагается обратить внимание на несколько работ, относящихся к задаче о цилиндре3). Особенно интересна обширная работа Файлона, содержащая много числовых данных и графиков. Следует упомянуть также и польские работы. Работа Олесяка) посвящена интересной контактной задаче,
работы Соколовского *) и Игначака ) касаются температурных напряжений в неограниченном цилиндре. Эту задачу удается разбить на две задачи: в первой из них определяются напряжения с помощью так называемого термоупругого потенциала перемещения, а во второй рассматривается давление на неограниченный цилиндр. Для нас более интересной является вторая задача. В обеих работах применяется интегральное преобразование Фурье, а отправной точкой является бигармоническое уравнение V2V2x(r, 2) = 0.
Задача о шаре. Метод решения
Прежде чем приступать к обсуждению решения краевой задачи о шаре, приведем вкратце важнейшие сведения о шаровых функциях ).
Исследуем однородный полином n-й степени
^=2 а^х^х^(1)
Uj + Uj+U j=/l
где а1
а,а2<1а а ] ал а | дх/дх<*
Коэффициенты йа.а.а, можно выбрать так, чтобы функция ип была гармонической, т. е. чтобы удовлетворялось уравнение Лапласа W™ = 0.
Заметим, что гармонический полином вида (1) имеет 2n + 1 независимых коэффициентов. Функцию Un можно представить в виде
2п + 1
где йк — постоянные, U^—полиномы п-й степени от переменных хь х2, х3. Однородные гармонические полиномы называются шаровыми функциями. Максимальное число линейно независимых шаровых функций степени п равно 2п + 1. Введем сферические координаты (Д, #, ср), связанные с переменными хь х2, х3 соотношениями
xt = Д sin#cos ср, x2 = T?sin#sincp, x3=/?cos#.
0<д<оо0<»<л0<Ф<2л
•) Sokolowski М., Some Plane Problems with Boundary Conditions in Terms of Displacement, Arch. Meeh. Stos., 9, № 4 (1957).
Гармонический полином (1) примет вид
(2)’(2)’Un = RnYn^, Ф),
(2)’
(2)’
где Уп(#> ф)— полиномы, в которые входят степени выражений- cos#, sin#, cos ф, sin ф. Для гармонического полинома степени п также имеем 2n + 1 линейно независимых функций Уп(#, ф). Такие функции называются поверхностными шаровыми или сферическими. Подставляя полином (2) в уравнение Лапласа
V Un R1 dR dR V R1 sin » d# \Sln V d* ) +
R^ sin2 # (Эф2R^ sin2 # (Эф2(3)(3)
R^ sin2 # (Эф2
R^ sin2 # (Эф2
(3)
(3)
получим дифференциальное уравнение
-4г- 4 (sin #+ п (п + 1)У„ = 0.(4)
sin v dir \ dv ) sin2 v41' n' '
Ищем однозначное и ограниченное решение уравнения (4). Функция У„(#, ф) должна удовлетворять условиям
У„(#> ф + 2л) = УП(#, ф), ] У„ (0, ф)|<оо, |У„(л, ф)|<оо. (5)
Решение уравнения (4) ищем методом разделения переменных
У„(#, ф) = ^„(#)Ф„(ф).(6)
Подставляя формулу (6) в (4), получим систему обыкновенных уравнений.
Ф;' + аФ„ = 0,(7)
Функция Фп должна удовлетворять первому из условий (5); поэтому ДОЛЖНО быть Фп(ф + 2л)= Фп(ф). А это возможно только для значения ст = т2, где m — целое число, m ^ п. Итак, ф(Г) = Anm cos /Иф + Bnm sin Отф.(9)
Вводим новую переменную p = cos#. Применяя обозначение Р^ (р) = ЧГП (#), приводим уравнение (8) к виду
(Ю)(Ю)(1 _ ^41] + [n(n + 1) - -4^] Р^ (р) = о.
(Ю)
(Ю)
-1<р<1.
Это уравнение имеет два линейно независимых решения. Для наших целей принимается во внимание непрерывное решение
в отрезке |р| ^ 1, ограниченное в точках 6 = 0 и 6 = л. Таким решением является функция
Р^(д)-(1-^^^(П)
где р (рХ^А-Д^Р1-^(12)
2nnl dpn *1
Число различных сферических функций T^W порядка п составляет 2п + 1. Комбинация этих 2п + 1 сферических функций
У а № ф) = 2 (Anm cos тф + Bnm sin тф) P'^ (cos fl) (13) m=0
является также сферической функцией.
Функции Р„* = Рп (cos й) называются зональными.
Сферические функции, отвечающие различным значениям x = n(n+l), попарно ортогональны на сфере 2:
2л л
J с?ф J Kt(fl, ф)У/(А, ф)зшАс?А = 0, если j #=1.(14)
о о
Сферические функции имеют норму
2л л
j /И'«>. Ф)Г sin »«</»= AwA <15> о о
где 80 = 2, 8й=1 для к > 0.
Функции )(А, ф) с непрерывными производными второго порядка можно разложить в ряд по сферическим функциям
/ (fl, ф) = 2 2 kAnm COS тф + Bnm sin тф) рТ (cos fl) = n=0 m=0
= '2rLm)(fl, ф).(16)
Коэффициенты Фурье Апт, Впт определяются формулами 2л л
J J f № Ф) Р*^ (cos A) cos "’Ф sin А ^А ^Ф
(17)(17)Лпт"Nnm
(17)
(17)
2л л
J J / (A, <p) P^ (cos fl) sin mqi sin fl d^ dtp
где
2лет (n + m)l_ I 2 для m = 0,
^nm (2n + 1) (n — m)l ’ m (1 для m > 0.
Предположим, что однородный гармонический полином Un можно представить в виде
и^РЖМУ(18)
Подставляя формулу (18) в (3), получим для функции F (R) следующее дифференциальное уравнение (Эйлера) :
R2F" + 2RF'-n(n+ 1)F = O, F' = ^.(19)
Предположим, что функция F(R') имеет вид F(R) = Ra. Из уравнения (19) находим, что
ст (ст + 1) — и (n + 1) = О,
откуда получаются два значения: а = п и ст = — (n + 1), Функцию U^ можно выразить в двух формах:
Un = RnYn^, ф), Un = R-^Yn^, Ф).(20)
Первое решение соответствует внутренней задаче, второе — внешней задаче о шаре. '
Общее решение уравнения Лапласа V217 = 0 для шара радиуса а можно представить как
ЩР, ф, а) = ^(4)"г„(а, Ф)(21)
для внутренней задачи и
S
/ р \— (n+ *f
М», ф)(22)
п=1 для внешней задачи.
Функции Уп^, 0) = Р'„ (cosО), не зависящие от переменной Ф, являются зональными функциями. Они выражаются форму* лой (12). Их называют также полиномами Лежандра. Имеем
Ро(р)=1,Ро(р)= О,
Pi(p) = p,Р((р)= 1,
^(р)=|(Зр2-1),РИр) = Зр,
13<23>
Рз(р)=у(5р3-3р),W =
Pt (р) = 4 (35р4 - ЗОр2 + 3), Р^ (р) = -|- (7р3 - Зр),
На рис. 5.3 представлены графики полиномов Лежандра.
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему с нормой Nm = 2^ПьТ:
1J Рп (р) Pm (р) dp =1J Рп (р) Pm (р) dp =О, если пг=А п,
1
J Рп (р) Pm (р) dp =
1
J Рп (р) Pm (р) dp =
2(24)
—, если пг = п. ' ’
Функцию f(p), определенную на отрезке —l^p^l и удо-
РИС. 5.3.РИС. 5.3.
РИС. 5.3.
РИС. 5.3.
влетворяющую условиям Дирихле1), можно разложить в ряд по полиномам Лежандра:
Нр)=5й„Р„(р),(25)
п=0
где
ап = ^Ц^- f f (р) Рп (р) dp.-1
Три последовательных полинома Лежандра связаны между собой следующей рекуррентной зависимостью:
(П + 1) Рпн (р) - (2п + 1) рРп (р) + nPn_t (р) = 0.(26)
■) Мы требуем, чтобы функция /(р) была на отрезке —1 ^ р ^ 1 непрерывна и монотонна и имела конечное число разрывов. Если функция /(р) в точке разрыва ро ограничена, то должны существовать правые и левые пределы;
limHPo + Л) и Ит/(р0 —й),й>0.
/1-»0Л->0
Справедливы также соотношения
рр'п (р) — Р'п-1 (?) = пРп (р), р;+1(р)-р;-!(р)=(2п+1)р„(р), Р'п+1 (Р) - рР'п (Р) = (« + D Рп (Р),( 7)
(Р2 — 1) Р'п (р) = П [ррп (Р) — ?„_,].
Перейдем теперь к задаче о шаре. Здесь мы будем рассматривать две задачи. Первая, в которой мы будем исследовать напряженное состояние внутри упругого шара под действием нагрузок (либо перемещений), распределенных на поверхности R = Ro, называется внутренней задачей о шаре. Вторая, внешняя задача о шаре относится к неограниченному упругому пространству с шаровой полостью радиуса R = Ro. В этой задаче изучается напряженное состояние в точках (.R, ср, »), R > Ro, вызванное действием нагрузок и перемещений, приложенных к границе R = Ro. Ограничимся рассмотрением осесимметричной деформации тела относительно оси z. Вектор перемещения и характеризуется двумя отличными от нуля составляющими и = («д, 0, uz), а величины uR, иг не зависят от угла ср. В сферической системе координат напряженное состояние описывается величинами стяд, стм, ст^ф, aRQ.
Для решения обеих задач, внутренней и внешней, используем функции перемещения Буссинеска. Для решения осесимметричной задачи, как мы убедились в § 5.5, достаточно двух гармонических функций % и ф. Перемещения ит, иг в цилиндрических координатах были связаны в упомянутой точке с функциями ф и % следующими зависимостями:
иг=^-, иг = — 4(1 — т)ф + 4г- Ф = "Х + гф.(28)
При переходе от цилиндрической системы (г, ср, г) к сферической (R, ф, ») найдем выражения для перемещений uR и и9;
uR =— 4 (1 — v) ф cos а +(/?ф cos»),
1 а! а(29)
«о~ v) М^ sina + Уз? ^ cos»).
В дальнейшем будет удобнее разделить перемещения ин и и^ на две части: одну, связанную с функцией %, а другую — с функцией ф:
ия=^"-«^2) = -4(1—v)фp + -^-(/?фp),
, а, а(3°)
где
p = cos», /5 = sin ft.
Рассмотрим гармонические функции
Xn = R-'n+V'P.M ^^p-tnvnp^ n==0 L 2(31)
Эти функции непрерывны и конечны вне шара радиуса R = RQ и стремятся к нулю при R—*oo, Следовательно, они годятся для решения внешней задачи. Подставим их в соотношения (30). Тогда получим две системы решений [Лп] и [£„]:
'П + -'Рп^'П + -'Рп^\ и^ = -^+Х^’и^Рп^,/от
'П + -'Рп^
'П + -'Рп^
I и» = — рк и
и'^ = Р Й ^""Р" ^ ~ 4 0 ~ v) R''nV'Pn (Р)] == -р[/г + 4(1-^]/?-'"+1,Р„(р),
"J:„^ = - pR"^1' урр'п ^ _ (3 _ 4v) рп (^
Формулы (32) и (33) разнородны. Нам бы хотелось, чтобы и^* и и® были пропорциональны Рп(р), в то время как из формул (33) видно, что и'^ пропорционально рРп(р). Желательно потребовать также, чтобы и^' и «^* были пропорциональны ^Рп (р). Эта разнородность формул (32) и (33) оказывается помехой при решении краевой задачи. Поэтому граничную нагрузку удается представить только в виде бесконечного ряда по полиномам Рп(р) или рР'п(р). Чтобы устранить разнородность формул для перемещений, воспользуемся тем фактом, что линейная комбинация решений [Л„] и [£п] вида an[An-t] + [£п] также является решением уравнений эластостатики в перемещениях.
Воспользуемся рекуррентным соотношением (26) и исключим величину РДр} в выражении и^. Имеем
и$ = - [П + 4 (1 - V)! Цп + 1) Pn+V + пРп_Л.
Далее изменим индекс в решении [Лп]:
[Лд-J: u^=-nR',n+i'Pn_M
Построим теперь решение ап[Лп_1] + [£„] и выберем постоянные а,п так, чтобы в это решение входил только коэффициент
R^^Pn+xkPV Потребуем поэтому, чтобы
- «„nR-'^'P^ (р) -2^1 [п + 4 (1 - v)] R-(n+1'Pn_v (р) =0.
Отсюда получим
“п = — 2п + 1 ^ + 4(1v^'
Пусть новое решение как комбинация частных решений [An-i] и [£п] имеет вид
[Pnl = (2п -(- 1) {а„ [Xn-J + [Ри]) =
= (2п+ !)[£„]-[п + 4(1- v)][X„_,]. (34) Новая формула для перемещения и^ примет вид
[В„]: ^2> = -(«+!)[« +4 (l-v)]p-,n+‘^(35)
Таким образом мы исключили коэффициент р из и^ в формуле (30). Используя формулу (34), найдем для «^2| следующее выражение:
U^ = -PR-^ {(2п+ 1)[1 — 4(1 — v)]P„ +
+ (2n+ l)pP;-[n + 4(l-v)]P;_a. (36)
Эту формулу удается значительно упростить, используя рекуррентные формулы (26) и (27). Продифференцируем формулу (26) по р:
(2« + 1) (рР'п + Р^ = (и + О P'n+i + яРп-ь
Подставим последнее соотношение в (36); получим
и»' = - pR"to+h ((n + 1) Р;+1 - 4 (1 - v) [(2n + 1] Рп + р;.,]).
(37а)
Следует воспользоваться еще вторым соотношением системы (27)(2/1 -|- 1)Рп-(-Рп—1 = Р п + 1.
Мы видим, что введение этой зависимости в формулу (37) приводит к тому, что функция и<£ становится пропорциональной
[Sn-J: «»’= — ^p-^^'^n + 4v — 3)Pn+i (р).(376)
Аналогично и решения [An], [Sn-i] образуют две последовательности линейно независимых решений. С их помощью можно удовлетворить граничным условиям, выраженным в перемещениях или напряжениях.
Общее решение внешней задачи будем искать в виде суммы частных решений
[S]=S(m;i + [b;_,]),(38)
п=0гдеШ = а„Ш, [5;_i] = M5„-iL
Здесь ап и Ьп— коэффициенты, которые определяются йз граничных условий.
Запишем составляющие решений [ЛУ и [B^_J. Учитывая формулы (32) и заменяя в формулах (35) и (376) п на п— 1, получаем следующие формулы:
(39)(40)(39)(40)^'=-а,Дл+1)Я-("+2)ЯМ
(39)
(40)
(39)
(40)
^ = ~anR-^pP'n(p’),
№-1]:№-1]:^2| = Ьпп кп + 3 - 4v) R"nPn (р), u^ = -bn^R-nYn-4^-^P'n Ip).
№-1]:
№-1]:
Следует дать еще выражение для напряжений как функций переменных R и ■&. Для этой цели воспользуемся формулами (17) § 4.19 для деформаций. В этих формулах исключим члены, в которые входят производные по переменной qx
ди_1 ди»eRR dR ’R д»ди_1 ди»eRR dR ’R д»URRURR
ди_1 ди»
eRR dR ’R д»
ди_1 ди»
eRR dR ’R д»
URR
URR
ew= д-(и0^Ф + Мд),ew= д-(и0^Ф + Мд),1 Г 1 дис д /и.\1 6r^ = 2 [^ "W + ^"dR VR /] ’1 Г 1 дис д /и.\1 6r^ = 2 [^ "W + ^"dR VR /] ’(41)(41)
ew= д-(и0^Ф + Мд),
ew= д-(и0^Ф + Мд),
1 Г 1 дис д /и.\1 6r^ = 2 [^ "W + ^"dR VR /] ’
1 Г 1 дис д /и.\1 6r^ = 2 [^ "W + ^"dR VR /] ’
(41)
(41)
$^<р е^ф О’
6 = Тё "dR W + R sin» "д» (“o S’n ^-
Эти соотношения нужно подставить в формулы для напряжений
°rr = 2ц ^бдд + j _ 2v ej, Цда = 2ц8дф, ^#0 = 211^8^4--j _2v е), Одд> = 0,(42)
^фф == 2ц (^фф + ।2V е) ,<7^ = 0.
Подставляя соотношения (39) и (40) в (41), а затем в (42), получим следующие формулы для п-х составляющих напряженного состояния:
[Л;]:[Л;]:(43)(43)(44)(44)& = 2ра„ (га + 1) (п + 2) R-W'pn (р), а^ = -2ца„ [(п + I)2 Рп (р) - рР'п (р)] R"^\ Й = -^п [(п + 1) Рп W + рР'п (Р)] R-^, & = ^ап (п + 2) R^^P; (р)
[Л;]:
[Л;]:
(43)
(43)
(44)
(44)
и
с/о = — 2р&п п (п2 + Зп — 2v) nR ("+" Рп (р), а^ = 2цЬп |п (п2 - 2/г - 1 + 2v) Рп (р) -
-[n-4(l-v)]pP'(p)) R"^\
а^р = 2цЬп {(ra + 3 — 4nv — 2v) Рп (р) +
+ [п - 4 (1-v)]pP; (р).} /Г(п+0,Й> = -2ц6„ (п2 - 2 + 2v) R'^pP'n (р).
Для дилатации получим следующую формулу:
П<, IX
е = -2 (I - 2v) (2м - 1) nbnR'u^Pn {р).(45)
Для каждого п имеем по два решения с постоянными ап и Ьп. Покажем теперь, что напряжения aij = 0ij+ щ/ при п = 0 и п ^ 2 образуют на поверхности шара произвольного радиуса Ro уравновешивающуюся систему нагрузок. Проектируя силы на направление оси z, имеем для n-го решения
Z = | d(p| (оадСовб’ — Одо sin ft) Ро sinti dti = о 0
= 2n7^ J (pORR — p0R9) dp.(46)
Так как напряжение aRR пропорционально Pn(p), а напряжение aRo пропорционально ^Р'п^р\ то в формуле (46) появятся
следующие интегралы;
11
J рРп ^р) dp = J Л (р) Рп (р) dp,
111
— J р2Р'п (р) dp = J (р2— \)P'n(p)dp = J-^-sin^dp =
iii
= J п(j)Pn — Pn_t)dp = n j Pi (p)Pn(p)dp — n J PoU^Pn-ApW-
Эти интегралы в силу ортогональности подинтегральных функ- п
ций для п = 0 и п ^ 2 равны нулю. Поэтому 7 = 0 для п = 0 и п ^ 2. Легко проверить, что уравнения равновесия для сил, действующих на произвольной поверхности R = Ro в направлении Х) и хг, и уравнения моментов относительно осей хь Хг, х3 удовлетворяются. Это следует из независимости напряженного п
состояния от переменной <р. Поэтому напряжения а^ для п = 0 и и ^ 2 образуют уравновешивающуюся систему сил.
Рассмотрим теперь случай п = 1. В силу формул (39) и (43)
u'r = — 2a17?~3cosO, и»1 = — a^^sinO,
a^R= 12|iaIT?_4cosO, ail = a% = — 6a1|i./?~4cosO,(а)
Or» = 6|ia17?-4sinO.
Легко проверить, что 7(,, = 0. Из формул (40) и (44) получим
ид1 =4(1—V)b\R 'cos■&, стад = — 4ц (2 — v) bxR~2cos О, стад =2ц (1 — 2v)6IT?-2sinO,ид1 =4(1—V)b\R 'cos■&, стад = — 4ц (2 — v) bxR~2cos О, стад =2ц (1 — 2v)6IT?-2sinO,и»1 = — (3 — 4V)bxR ‘sin О,<^ = 2^(1—2V) Я"2 cos О, (б)1(2) _ '(2)(?W — и<рф.и»1 = — (3 — 4V)bxR ‘sin О,<^ = 2^(1—2V) Я"2 cos О, (б)1(2) _ '(2)(?W — и<рф.
ид1 =4(1—V)b\R 'cos■&, стад = — 4ц (2 — v) bxR~2cos О, стад =2ц (1 — 2v)6IT?-2sinO,
ид1 =4(1—V)b\R 'cos■&, стад = — 4ц (2 — v) bxR~2cos О, стад =2ц (1 — 2v)6IT?-2sinO,
и»1 = — (3 — 4V)bxR ‘sin О,
<^ = 2^(1—2V) Я"2 cos О, (б)
1(2) _ '(2)
(?W — и<рф.
и»1 = — (3 — 4V)bxR ‘sin О,
<^ = 2^(1—2V) Я"2 cos О, (б)
1(2) _ '(2)
(?W — и<рф.
Из формулы (46) вычисляем
Z<2> = - 16(1 — ^pbv(в)
Эта величина не зависит от радиуса. Величина bi пропорциональна равнодействующей напряжений at{, распределенных по поверхности сферической полости.
Перейдем к внутренней задаче о шаре. В качестве частного решения выберем гармонические функции
^ = RnPAp\ ^ = RnPAp).(47)
Эти функции внутри шара R < Ro непрерывны и ограничены, так же как их производные по R и О.
Воспользуемся теперь тем фактом, что полиномы Лежандра удовлетворяют следующей зависимости:
Рп(,Р)~Р-(«+ч (р)-
Эту зависимость легко проверить, убедившись, что дифференциальное уравнение
(Х-р^К-^рР'п +п(п+1)Р„ = 0
не изменяется при замене п на —(га + 1).
Чтобы отыскать решения внутренней задачи, соответствующие решениям (39), (40), (43) и (44), следует заменить — (п + 1) в этих формулах на п. Таким образом получим следующие формулы:
u^ = cnnRn-xP,M
«...1 .(48)
^ = diAn^xW-^^w*xPnkpY ^2* = - dn (п + 5 - 4v) R^'pp; (р), оrr = 2цс„п (п — 1) Rn~2Pn kp\
[(? а% = -2цСХ‘'2№(р)-рР^^
СТфф = 2цс„/?"-2 [пРп (р) — рР'п (р)],
. & = - 2цС„ (п - 1) Rn-^P'n (р),
& = 2pd„ (п + 1) к^ - п - 2 - 2v) RnPn (р),
& = - MnR^ [(n + 1) (п2 + 4п + 2 + 2V) Рп {р) - — (/г + 5 — 4v) рР'п (р)],
аЙ = 2pdnRn [(n + 1) (п - 2 - 2V - W) Рп (р) - — (/г+ 5 —4v)pP„(p)]>
fe = - 2pdn (n2 + 2n - 1 + 2v) RnP'n (p) 0.
Общее решение [S] краевой задачи представим в виде
[3]=S ([<?;] + №).(52)
.п=й
Легко проверить, что во внутренней задаче равнодействующая напряжений, распределенных по произвольному шару R < R° (R0 — радиус шара), равна нулю для п = 0 и п ^ 2. Это вытекает из формулы (46), если принять во внимание зависимости (50) и (51).
Рассмотрим случай п = 0. Получимоо
Ur = — 2d0(l — 2v) R, и» = 0,.
000о0' '
Orr = ow = qw = — 4M0(l + v), qm = 0, Z = 0.
Здесь мы имеем дело с центральной симметрией деформаций и напряжений.
Для п = 1 получаем два типа решений. Первый относится к решению [С?]:
u'r = С] cos ■&, и#1 = — ci sin О,
to)
Orr = о»й = СГфф = Or» = и.
Это решение соответствует вращению тела как твердого целого. Второй тип решений дается системой [/)*]•’
^=-2^(1 —4v) Я2 cos О',
«#* = — 2dt (3 — 2v) У?2 sin О,
Orr = — 8(1^ (1 + v) 7? cos О,(e)
СТ## = СГфф = — 16ЦС?! (1 + v) R cos О,
ст^ = — 4ц^ (1 + v) R sin О. i i Из формулы (46) видно, что Z,2) = Z = 0.
Внутренняя и внешняя задача о шаре
Рассмотрим упругое полупространство R > Ro, лежащее вне сферической полости радиуса R = Ro. Пусть на границе R = Rq упругого полупространства заданы нагрузки
Стадно, О) = $(О), сг^^о, ^ = q№.(1)
Разложим правые части этих граничных условий в ряд по полиномам Лежандра:
s№ = ^SnPn^, ^^ = ^п^^ = -^яп^^р. (2) п=0п=1п=1
Коэффициенты этих разложений подсчитаем по формулам
8п =/ s W Рп (cos f>) sin О с№,
о
я(3)
Ап = 2" £ J » W ^ sin $ йй1
0
Общее решение [S] внешней задачи представим в виде
b$]=S № + №-1]},(4)
п=0
где решения, соответствующие системам [Л,*] и [Bn-i], представлены формулами (39), (40), (43) и (44) предыдущего параграфа.
Первое условие системы (1) с помощью соотношений (2) и
(4) можно записать следующим способом:
2ц 2 к (n + 1) (п + 2) Во-'^3’ - Ьпп (п2 + Зп — 2v) п=0
= 21 Рп (р) Sn. п=0
Отсюда
ап(п + l)(n + 2)-M(n2 + 3n-2v)/?o = ^^"+3’.(5)
Второе из граничных условий (1) приводит к уравнению
_an(ra + 2) + 6„(n2-2+2v)Bo = ^4—.(6)
Определитель этой системы уравнений
Д = 2 (п + 2)[(п + 2) (n+l)-(l +v) (2/г+1)] Во
отличен от нуля для каждого п.-
Для п = 0 получаем ao = soBo/(4p). Перемещения и напряжения, относящиеся к /г = 0, получим по формулам (39), (40),
(43) и (44) предыдущего параграфа. Имеем
UR-- 4ц Ш
°_/ М °_ So / Яо \3°_ Л 3
°rr— S° (ДГ/ ’ СТ,М—СТфф—2Д~АГ/ ’ ^^—U-
Деформации и напряжения обладают центральной симметрией. Эти функции уменьшаются с расстоянием, стремясь при R-*oo к нулю. Решение (а) соответствует граничным условиям
Orr(Rq, ^ = s0, aM(R0, ^ = qo = O.
Перейдем к внутренней задаче, которую будем решать при условиях (1) на поверхности шара радиуса Ro. Нагрузки s (Ф) и q(-&) разложим в ряд по полиномам Лежандра, согласно формулам (2). Общее решение [S] задачи представим в виде
[sj=S uc-j+irai,(?)
п=0
где частные решения, соответствующие системам [С^] и [D^], относятся к внутренней задаче и представляются формулами (48) — (51) предыдущего параграфа. Первое граничное условие
Orr (Ro, О) = s (&) = 2 snPn (p)
n=0
Запишем в виде
2ц 2 1спп(п- 1)/?о"'2 +
П=1
+ dn (п + 1) (п2 - п - 2 - 2 V) /?о"] рп (р)2 snpn (р).
Отсюда вытекает система уравнений
с„п(п-l)Rr2 + dn\n+l)(n2-n-2-2v)R^ = ^.(8)
Второе граничное условие
а R» (Ro. ^ = 9(^ = 2^^.
п=\ приводит к системе уравнений
cn(n-l)RF2 + dn(n+2n- 1 +2v)7?o" = -^-.(9)
Определитель этой системы уравнений
д = -2(п—l)[n(n—1) + (1 +v)(2n + l)]^,"'1) отличен от нуля для п = 2, 3 ... .
Внутренняя задача имеет решение, если система нагрузок, действующая на границе R = Ro, находится в равновесии. Поэтому потребуем, чтобы равнодействующая внешних нагрузок
Я
Z = 2л/?о J [s (ft)cos ft — q№ sin ft] sin ft dft (10) о
была равна нулю. ‘Подставляя в формулу (10) разложения функций s(ft) и 7(ft) в ряд по полиномам Лежандра, имеем
Z = 2л/?о У} J [s„P„ (cos ft) cos ft — qn ^£- sin ft] sin ft dft = n=0 0
CO 1
= 2лРо^ J (s„pPn(p) — nqn[pPn(p)— Pn-i(p)]) dp. (11) n=9 -1
В силу ортогональности полиномов Лежандра в ряде (11) остается только член, соответствующий n = 1:
Z = 2nRo J [Sjp2 — q, (р2 — 1)] dp = ^1 (s, + 2^). -i
Уравнения равновесия шара будут удовлетворяться только тогда, когда
.S1 + 29l = 0.(12)
Рассмотрим радиальное нагружение шара s(ft) = s0, ^(ft)=0. Для п = 0 имеем
оо
uR = — 2 (1 — 2v) d0R, ио = 0,
оООО
aRR = — 4|id0 (1 + v) = стфф = ст^, a^g = 0.
Величину do подсчитаем из условия сгдй(Ро, ft) = So- Получим
$о01 — 2v0
^о = — 4ц(1 +v) ’ Ur = 2n(l + v) RSa’ U» = °’000
arr ^ Sq ^ const, <Тфф ^ <Tyy = Sq.
Мы имеем дело с всесторонним растяжением шара.
Рассмотрим случай граничных условий
s(ft) = s1cosft, ^(ft) = — qx sin ft.
Он соответствует выбору из рядов (2) члена n = 1. Этому случаю отвечают формулы (д) и (е) предыдущего параграфа. Си-
стема (д) относится к вращению тела как твердого целого. Система (е) связана с нагрузкой s(fl) = s, cos fl.
Из условия orr^Ro, fl) = sicosfl определяем коэффициент di в формуле (е). Имеем
d, = —,—г = л п н ибо s, + 2a,=0.
18цР0(1+т)4^0(1 + v) ’1 1
Рассмотрим пустотелый шар с внутренним радиусом 7?] и наружным Ro- Пусть на внешней и внутренней поверхностях шара заданы нагрузки
Orr^Ro, ■d^sW, a^iRo, fl) = <7 (fl),
aRR(R„ fl) = s’(fl), a^(R„ fl) = /W-( }
Правые части уравнений (13) разложим в ряды по полиномам Лежандра:
s (fl) = S snPn (р), q (fl) = — 2 ЯпрР'п (р), Т1(14)
з- (fl) = ^ s*nPn (р), q* (А) = - 2 qX (p),n=0n=l
причем коэффициенты этого разложения найдем по формулам (3). В общее решение задачи о пустотелом шаре должны входить типы решений, соответствующие внутренней и внешней задачам.
Например, напряжение ад» представим в виде
ая» = 2ц 2 Un (п + 2) R^n+3) - bn ^ - 2 + 2v) /Г,п+1) -
- сп (п - 1) Rn'2 - dn ^ + 2п - 1 + 2v) #"] рР'п (р).(15)
Напряжение ад» складывается из частных решений, выраженных формулами (43), (44), (50) и (51) предыдущего параграфа.
Внешние нагрузки, действующие на пустотелый шар, должны образовывать систему, находящуюся в равновесии. Поэтому должно быть
2л
Z] = 2л/?о J [s (fl) cos fl — q (fl) sin fl] sin A dA — 0
2л
— 2лР^ J [s* (fl) cos fl — q* (fl) sin fl] sin A dA = 0.(16)
0
]0 В. Новацкий
Подставляя (14) в эту формулу, получим в результате условие равновесия
^(^ + 2?1)-^^ + 2^ = 0.(17)
Рассмотрим случай, когда ряды (14) состоят из одного первого члена:
R = R0: s (ft) = s0, 7W = 0, R = RV: s*W = so, 9*W = 0.
Здесь мы имеем дело с постоянной радиальной нагрузкой, поэтому напряженное и деформированное состояния обладают центральной симметрией. Граничные условия (18) приводятся к уравнениям.
2ao/?o~3-2do(l + v) = ^-, 2a07?r3-2d0(l + v) = ^-, решение которых имеет вид
^1 So ™ SqSp — Уар3 R;
а° TjT 1 — р3 ’0 4р (1 + v) (1 — р3) ’ Р
Перемещения и напряжения выражаются формулами uR = — a0R~2 — 2 (1 — 2v) d0R, и^ = 0, ° rr = 4P [a0^~3 — (1 + v) d0], <Tro = 0, <r»a = M> = — 2p [a07? 3 + 2 (1 + v) Jq].
Рассмотрим случай, когда нагрузка на пустотелый шар выражается соотношениями
R = RQ: s(ft) = s,cosft, q (ft) = — qx sin ft,
R = R,: s* (ft) = st cos ft, <7* (ft) = —<7* sin ft, n = \.^^
В решение этой задачи входят три постоянные: а,, 6Ь dv Постоянной с, в нашей задаче нет, ибо для п = 1 функции, представленные формулами (50) предыдущего параграфа, равны нулю. Из граничных условий (19) найдем
6ai7?o~4 — 26, (2 — v) R»2 — 4d, (1 + v) Ro = s,/2p, 3ai7?o~4 - 6i (1 - 2v) Ra2 + 2d, (1 + v) Ro = qx^, 6Я17?Г4 —26i(2-v)7?r2-4di(l+v)7?, = sf/2p, ( } 3a\R7' - Ml — 2v) RT2 + 2di (1 + v) 7?i = ^/2р.
Если принять во внимание условие равновесия (17), то соответствующий определитель будет отличен от нуля и решение системы будет иметь вид
R1,2 - v1 - Р3'
а'— 12ц (1 — р5) S1P + S1 — 3(l-v) (S> + 2^ ~’
9р = RJR0,
ь-—izj-v) ^+ад-<2о
dl 8ц(1 + v) Т?о(1-Р5) Х
X [я - sip4 - ^^у (1 - р2) (з, + 2^)].
Эти коэффициенты значительно упрощаются, если
s, + 2^ = 0, s; + 2q* = 0,(22)
т. е. если отдельные нагрузки, распределенные на сфере R = Ro и на R = Ri, находятся в равновесии.
Для нагрузок из формул (14) нужно рассмотреть последовательно случаи п = 0, п = 1 и п ^ 2. Для п ^ 2 получим из граничных условий (13) систему четырех уравнений, в которую входят постоянные ап, ..., dn. Определитель этой системы уравнений отличен от нуля. Знание коэффициентов ап, ..., dn позволяет представить перемещения и напряжения в виде бесконечных рядов. Например, напряжение сгД9 дано в виде ряда (15).
До сих пор мы рассматривали решения однородной системы уравнений эластостатики в перемещениях. Теперь обратим внимание на неоднородные уравнения, учитывая влияние массовых сил на деформацию тела. В этом случае мы имеем дело с системой уравнений
P-U;, а + (^ + Р) иь п + ^i = 0.(23)
Рассмотрим массовые силы, обладающие потенциалом: Хг = -&з. Принимая частное решение неоднородных уравнений (23) в виде
= Ф, ь(24)
приходим к уравнению Пуассона для функции Ф:
РфTW-<25>
Частным решением этого уравнения является функция
ф<х)-<л(л + 2,)<26>
V
10*
где /?(х, |)—расстояние между точками х и |, а интегрирование производится по неограниченному упругому пространству. Зная функцию Ф, определяем напряжения по формуле
ОтсюдаОтсюдаа'ц = 2це{/ + X6/;e, е = V^.(27)
Отсюда
Отсюда
Подсчитаем напряжения a'ij на поверхности шара R = Ro. Эти напряжения отличны от нуля. Поэтому к напряжениям сг(/ следует добавить напряжения сг"/, такие, чтобы были выполнены граничные условия задачи.
Рассмотрим два частных случая: первый, когда массовые силы являются функциями только переменной R, и второй, когда распределение массовых сил является осесимметричным относительно оси г. В первом случае уравнение (25) примет вид
■ 2 d \ф/„х»(/?)
\dR^ R dR } Ф W X + 2ц ’
или
1^ Гг>2^Ф1_ й№
R2 dR V dR A X + 2ц -
Решением этого уравнения является функция
я R
ф w - f ^ I ^ w «■<3°)
о о
Зная функцию Ф(/?), определяем перемещения и напряжения по формулам
я
UR = "dR = — X + 2ц "R2 I ^= °’
/ Q д2Ф ХО.„ .
^RR — ^a^ X + 2ц ’
/ / 2ц 5Ф Хв , „
—°W ^~dR~ X + 2ц ’
Напряженное состояние сг^ является центрально-симметричным. К напряжениям сг^. следует добавить напряжения а"р также обладающие центральной симметрией и выбранные так, чтобы на поверхности шара R = Ro было
°яя + °яя = ^’ стя» + стя» = ^'
В случае осесимметричного относительно оси г распределения массовых сил разложим функцию Ф в ряд по зональным функциям
»=WW(32)
Л=1
Для функции Ф примем ряд
ф-^ь^рм(33)
П=1
Решение уравнения (25) принимает вид
М=1
Перемещения определяются по формулам
,_ Vр
UR dR 2(Х + 2ц)2« + 3
П=1
/1 в-п Рп+^ А
“» ~ 2 (X + 2ц) 2п + з Р dp • П=1.
Зная перемещения, вычисляем напряжения о^, о^д, сг^, о^« Если поверхность шара должна быть свободной от напряжений, то к напряжениям сг^ следует добавить напряжения ст". Потребуем, чтобы на поверхности шара R = Ro удовлетворялись граничные условия
^RR + ®RR = ^’ СТД» + ° R» = ^‘
Следует решить внутреннюю краевую задачу, для которой на поверхности R = Ro должны удовлетворяться условия
*№> »)^0,^ q(R0,^ = a,№(R0,^.(34)
Внутреннюю задачу решаем по схеме, указанной выше (формулы (7), (8), (9) и т.д.).
Существует обширная научная литература, касающаяся задачи о шаре. Много проблем, связанных с осесимметричным напряженным состоянием в полном шаре, читатель найдет в работах Галеркина !), Лурье ), Стернберга, Юбенкса и Садов
ского). Задачей о концентрации напряжений в окрестности сферической полости занимались Саусвелл) и Лармор). Интересный случай действия сосредоточенных сил на упругий шар был рассмотрен в работе Стернберга и Розенталя ) и в работах Вебера) и Фикеры). Подробное обсуждение осесимметричной задачи о шаре читатель найдет в главе VI известной монографии Лурье). Здесь интересным является общее решение задачи при помощи функций перемещения Папковича.
В настоящей монографии мы не обсуждаем общей задачи, в которой напряжённое состояние зависит не только от переменных г, z, но также и от переменной ф. Решение этой задачи было начато еще Ламе, который разложил напряжения в двойные ряды по шаровым функциям Лежандра P*,m'(cosй) и тригонометрическим функциям cos/Иф, sin/Иф. Дальнейшее развитие этой задачи принадлежит Томсону) и Тедоне и Сомильяне). Читателям, желающим ближе познакомиться с этой общей проблемой, советуем изучить главу VIII упомянутой монографии Лурье. Этот автор при решении задачи о шаре пользуется четырьмя функциями перемещений Папковича. Правильный выбор четвертой функции позволяет упростить вычисления и представить решения в наиболее простом виде.
5.22. Принцип Сен-Венана
Решение дифференциальных уравнений эластостатики (как в перемещениях, так и в напряжениях) наталкивается, вообще говоря, на значительные трудности в связи со сложностью граничных условий. Возникает вопрос, не приводит ли модифика-
ция граничных условий с целью их упрощения к значительным изменениям точных решений.
Некоторый свет на эту проблему проливает так называемый принцип Сен-Венана, сформулированный интуитивно, но подтвержденный во многих частных случаях.
Рассмотрим тело, на части поверхности которого, малой по сравнению со всей поверхностью, действуют как-то распределенные нагрузки. Пусть на той же самой малой поверхности действует другое распределение нагрузок, статически эквивалентное первому. Статическая эквивалентность понимается здесь
РИС. 5.4.РИС. 5.4.
РИС. 5.4.
РИС. 5.4.
в смысле совпадения главного вектора и главного момента для двух распределений нагрузок. Принцип Сен-Венана гласит, что деформации и напряжения, вызванные этими распределениями нагрузок, мало отличаются в точках, достаточно удаленных от области приложения нагрузок (рис. 5.4).
Этот принцип Сен-Венан применил для приближенного решения задачи о кручении и изгибе простых брусьев. В задаче о кручении бруса (подробно рассматриваемой в гл. 7) он заменил действие сосредоточенного крутящего момента в концевых сечениях бруса некоторым частным непрерывным распределением касательных напряжений, дающих в качестве суммарного момента, приложенного на концах бруса, тот же крутящий момент.
Так сформулированный принцип Сен-Венана, называемый также принципом «статически эквивалентных нагрузок», до сих пор недостаточно теоретически обоснован. В то же время дано общее обоснование для суженного принципа Сен-Венана
в формулировке Лява): «Если силы, действующие на малую часть поверхности тела, эквивалентны нулевой силе и нулевому моменту, то напряжения уменьшаются с удалением от места приложения нагрузки и пренебрежимы на расстояниях, значительных по сравнению с линейным размером нагруженной части тела». Этот принцип был подтвержден теоретическими исследованиями, выполненными Занабони).
Рассмотрим тело (рис. 5.5,а), нагруженное системой сил Р, находящихся в равновесии, т. е. в предположении, что главный вектор и главный момент этих нагрузок равны нулю. Эти нагрузки действуют на малую (по сравнению со всем телом) часть поверхности тела, содержащуюся в шаре В радиуса е. Предположим, что тело свободно, не имеет никаких поверхностных опор по линиям или точкам. Рассмотрим два различных и не пересекающихся сечения А' и А", лежащих вне области В, причем сечение А" более удалено от области В, чем сечение А' (рис. 5.5,а,б). Под влиянием нагрузки Р тело деформируется, в нем возникает некоторое напряженное состояние. В сечении А' возникает некоторое распределение напряжений, сил взаимодействия R' (рис. 5.5,а). Аналогично в сечении А" распределение сил взаимодействия обозначим через R" (рис. 5.5,6). Мерой величины сил R' будет энергия деформации, вызванная силами R' в обеих частях тела (т. е. в части Ci и С2 + С3, согласно рис. 5.5,в). Имеем
Г^= j W^dV, (1) v
где o^'i—напряжение, вызванное действием сил R' в теле Ci +(С2+ С3). Аналогично для сил R", действующих в сечении А" на тело (Ci + С2)+ С3, имеем
v
Величины Ук' и Wr», представляющие собой упругую энергию, работу деформации, являются положительно определенными функциями.
Принцип Сен-Венана при помощи энергии деформации (1) и (2) Занабони8) представил в виде следующего утверждения.
Если А' и А" — два сечения тела, лежащие вне области В, и А" лежит дальше от области В, чем сечение А', то в случае действия самоуравновешивающихся нагрузок Р, находящихся в шаре В радиуса е, всегда
Tw > Wr- (3)
Для доказательства этого утверждения Занабони рассматривает следующую лемму.
Пусть самоуравновешивающиеся нагрузки Р действуют на тело Ci (рис. 5.6,а). Обозначим работу деформации в этом теле
РИС. 5.6.РИС. 5.6.РИС. 5.5.РИС. 5.5.
РИС. 5.6.
РИС. 5.6.
РИС. 5.5.
РИС. 5.5.
через Жь Пусть при действии системы сил Р на тело Ci + С2 (рис. 5.6,6) возникает упругая энергия Ж1+2. Требуется доказать, что
rL>r1+2.(4)
Работу деформации IPwi можно выразить как сумму частных работ
Г1+2 = Г, + ГД1+ГЛ2 + ГДР.(5)
Нагрузим сначала тело Сь определив работу HP\. Но концевая плоскость А' тела Cv деформировалась. Связывая С] с С2, можно нагрузить тело Ci и С2 распределением внутренних сил R (рис. 5.6, в). За счет этих сил в теле Ci возникает упругая энергия ЖД1, а в теле С2 — энергия ЖЛ2. Очевидно, силы R выбраны так, чтобы в сечении А' = А" перемещения и напряжения были непрерывны. Энергии ЖЛ1, Жл2 соответствуют телу Ci и телу С2,
свободному от нагрузок. Так как на Ci действует и нагрузка Р, то к Жд1 следует добавить работу Ждр, т. е. работу нагрузок Р на деформациях, вызванных распределением R в сечении А'=А".
Полученное таким способом выражение (5) равно работе деформации тел Ci и С2, которые вначале были «спаяны», а затем нагружены силами Р.
Применим теперь к выражению (5) принцип минимума дополнительной работы, придавая виртуальные приращения силам R. Рассмотрим частную вариацию, при которой силы R получают приращения в отношении 1 :(1 + е), где е является положительной или отрицательной величиной. Таким образом мы получим
^+2 = Г. + (1 + €)2 Г^ + (1 + е)2 Г№ + (1 + е) TRp. (6)
Так как нагрузки Р не варьируются, то энергия Ж, не изменяется, а энергия Жпр возрастает до (1 + ^ЖКР ввиду возрастания деформаций до 1 + е, вызванного приращением сил R до (1+е)/?. Работа деформации ЖЛ1 увеличивается до (1 + е)2ЖЛ1 в связи с возрастанием как нагрузок, так и перемещений до (1 + е). Аналогично Wm заменяется на (1 + е)2>'3Л2.
Вычитая формулу (5) из (6), имеем
АГ1+2 = е (2ГЛ1 + 2Г№ + ГдР) + е2 (ГЛ1 + ^).(7)
Так как работа деформации Ж\^ при варьировании напряженного состояния должна быть минимальной, то ДЖ1+2 > 0. Это неравенство будет удовлетворено, если
2Гд1+2Гд2 + Гдр = 0.(8)
Подставляя формулу (8) в (5), получим
Г1+2 = Г,-(Гд, + Гд2).(9)
Так как работы деформации ^Л1 и ЖЛ2 положительны, то из формулы (9) сразу вытекает лемма.
Вернемся к упругому телу, состоящему из трех частей: С\, С2, С3, и находящемуся под действием нагрузки Р (рис. 5.5,а). Это тело можно трактовать как соединение тела Ci с телом С2 + С3, либо как тело Ci + С2, соединенное с телом С3. В первом случае имеем
у,+№) = у,-(^,+у„^ а во втором
Гн+^+з = Г1+2 - (Xr" (1+2, + Гд^з) =
= ^1 — (^Д1 + ^R2) — (^R" (1 +2) + и^Л»з)-
Из равенства работ деформации
^1+<2+3) = ^<1+2)+3 получим
^ч + Г^2+3) = Тю + Г № + Г^(1+2) + *к-^
Так как WRA и ИРЮ являются положительными величинами, то
Тк-х + TR'(2+3) >Тк-(1+2) + Г^з,(10)
или
Г)>Г1+2.(11)
Теорема Занабони имеет довольно общий характер, однако она не дает информации о характере уменьшения отдельных составляющих тензора напряжений при удалении от области внешних нагрузок.
Подобными рассуждениями пользовался Васютыньский при доказательстве ряда теорем о сопротивлении формоизменению) и о влиянии местного упрочнения системы).
Поведение напряжений с удалением от области нагрузки исследовал Буссинеск на примере упругого полупространства х3 ^ 0, нагруженного силами, перпендикулярными к плоскости Хз = 0 и действующими в области малого круга радиуса е. Результат его исследования таков. На расстоянии R» от начала координат напряжения имеют порядок P/Ro, если главный вектор сил имеет порядок Р. Однако если главный вектор равен нулю, то напряжения имеют порядок (ejRoXPfRo)* Наконец, если и главный вектор, и главный момент равны нулю, то напряжения имеют порядок (е//?0)2 (Р/Ро)- Этот результат мы можем легко подтвердить, исследуя среднее напряжение 5 = = y(cr]i + ^ + сгзэ), вызванное вертикальными нагрузками в задаче Буссинеска.
Из § 5.12 известно, что
,,2(l + v)n,.,.1 — 2v дФ /1П.
^п + tf22 + ^зз = ~ 1L2v—divu, divu=^—^(12)
и
®M=J I^fetr*,^.аз)
г
где
RU, HM^-^IW
Итак, среднее напряжение 5 принимает вид
9(х) = _ j J ^Ь2^.(и)
Г
Предположим теперь, что нагрузка складывается из п сосредоточенных сил Р^, приложенных в точках (^, ^, 0) внутри круга радиуса е и направленных по оси х3.
Подставляя в выражение (14) величину
получим в результате суперпозиции нагрузок следующую формулу:
(1 + V)x3 Л
а(Х)-зл[(х^^+^-^ + ^р^
Разложим функцию ст(х, ^) в ряд Тейлора по ^, ^ в окрестности точки х:
б(х, ^)=д(х)4-|Г^\ ^ +52 + ... .(16)
\^1/о\ /о
В результате получим выражение Пп
Зя - х3 V Dv . 3xiХз£vDv I Зх2х3 V cvDv ।
11°2+ „56р 3 + n5 Ь2^з + • • (17)
7?0 = [4+^ + <•
Если теперь принять, что расстояния ^, ^ имеют порядок е (т. е. (^)2 + (^)2^e2)> то становится ясным, что для 2 Ej =#0 среднее напряжение имеет порядок P/Ro- Если главный вектор сил 2 Рз равен нулю, то отпадает первый член правой ча- V=1
сти уравнения (17), а среднее напряжение ст имеет порядок ИРД (P/R^- Если 2^3=0 и величины 2 §^3, 2 ^з равны 47 47V=1V=1v=l
нулю, то мы имеем дело с нагрузкой при нулевых главном векторе и главном моменте. Среднее напряжение ст имеет порядок (еШЧ^о). Мизес1) показал, что результат Буссинеска нельзя
обобщить на случай сил, действующих в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полупространство.
Если в начале координат действует горизонтальная сила Р2 по оси х2, то среднее значение напряжения в точке х дается формулой
=r^^xH^2-(18)
Если в круге радиуса е действуют п сосредоточенных сил, направленных параллельно оси х2, то
„ . X О + v)Р2 (Х2 — Й)
Разлагая правую частьРазлагая правую частьв ряд Тейлора по ^, ^, имеем
Разлагая правую часть
Разлагая правую часть
Зл7?дд (х)Зл7?дд (х)ппv—1v—1(20)(20)
Зл7?дд (х)
Зл7?дд (х)
п
п
v—1
v—1
(20)
(20)
Мизес рассмотрел четыре случая, представленные на рис. 5.7. Среднее напряжение а в случае действйя нагрузок (распреде-
РИС. 5.7.РИС. 5.7.
РИС. 5.7.
РИС. 5.7.
п
ленных по кругу радиуса е) с главным вектором Р=2^2
V=1
имеет порядок P/Ro- Для нагрузок на рис. 5.7,6 с нулевым главным вектором получаем напряжение порядка (е/^0) (P!Ro\ Тот же самый порядок напряжения получаем для случая рис. 5.7, в, в котором обращается в нуль как главный вектор, так и главный момент. Наконец, для случая, соответствующего рис. 5.7, г, напряжение ст имеет порядок (р/Ро)2(Р/$).
Обратим внимание на случай, представленный на рис. 5.7, в. Хотя главный вектор и главный момент сил равны нулю, напряжения не имеют порядок (е/^о)^/^), как то имело место в случае вертикальных сил, рассмотренных Буссинеском. Этот пример показывает, что принцип Сен-Венана, сформулированный в начале настоящего параграфа, требует новой, более общей формулировки.
Такое более общее представление принципа Сен-Венана принадлежит Стернбергу1). Отсылая заинтересованных читателей к его работе, добавим, что он рассмотрел, между прочим, принцип Сен-Венана для многосвязных и бесконечных областей. Внимания заслуживает также работа Ноулса и Стернберга2), относящаяся к этому принципу.
Глава 6ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ЗЛАСТОСТАТИКИ
Напряженное состояние,зависящее только от двух переменных х( и х2
Рассмотрим частный класс тензоров напряжений и деформаций, а именно такой, в котором составляющие тензора не меняются в направлении одной из осей декартовой системы координат. Если этой осью будет ось х3, то напряжения щ^ и деформации в,,- будут функциями независимых переменных Xi и х2.
В уравнениях равновесия, связанных с таким напряженным состоянием, исчезнут частные производные по х3. Уравнения равновесия упростятся и примут вид
ара,р = 0, а,₽=1, 2,(1)
^lO’lS + ^г^гз = 0-(2)
Два первых уравнения будут выполнены, если мы введем функцию напряжений F, связанную с напряжениями следующими зависимостями:•
(Тар = — F,a^ 4“ dap^.vyi И> Р = 1, 2.(3)
Подставляя формулу (3) в (1), убеждаемся, что
(Tpa. р = ( F,a^ 4* ^oP^.Yv),p ^ — ДоРР 4* Дрра = О*
Функция F называется функцией напряжений Эрщ она играет важную роль при решении двумерных задач.
Третье уравнение равновесия, уравнение (2), будет удовлетворено, если мы введем новую функцию ф, связанную с напряжениями oi3 и стгз зависимостями
О13 = д2ф, (Т23 = —д,ф.(4)
Кроме уравнений равновесия, должны выполняться еще уравнения совместности в напряжениях, т. е. так называемые уравне-
ния Бельтрами — Мичелла. Они образуют систему шести дифференциальных уравнений
^Ч/Ч-у^^.^О, ^/, ^ = 112, 3.(5)
Эти уравнения существенно упрощаются ввиду независимости напряжений от переменной х3. Уравнения (5) примут вид
V^CT33 = 0,
Vfa13 = 0,(6)
V2(T23 = 0.
Здесь s = оц 4*012 + Сзз, a V2 = d; + д2 и а, 0 = 1,2. Первые четыре уравнения связаны с функцией Эри F, два последние — с функцией напряжения ф. Подставляя формулы (4) в третье и четвертое уравнения системы (6), получаем
д2\4ф = 0, diV^ = 0.
Из этих уравнений сразу следует, что функция ф должна удовлетворять уравнению Пуассона
(д? + д2)ф = с,(7)
где с является постоянной величиной.
- Напряженное состояние, которое определяется составляющими Ст1з и ст23, возникает при кручении брусьев. Этой задачей мы займемся подробнее в гл. 7. В гл. 6 мы будем заниматься только напряженным состоянием, связанным с функцией Эри. Для этого в дальнейшем мы будем рассматривать два первых уравнения системы (6), предполагая, что ст13 = 0, ст2з — 0 во всем упругом пространстве.
Свертывая индексы в первом уравнении системы (6)
^?стар + T+V S.°P= ®’ а’ Р=*’ 2,(8)
получим
(2 + ^(аи + а22) = 0,
или
Ч(СТ11 + СТ22)=°.(9)
а это показывает, что в теле, на которое не действуют массовые силы, двумерный лапласиан от суммы нормальных напря-
жений ст,, и 022 равен нулю. Так как из формулы (3) вытекает, что стп + <^22 = ^1^’ то соотношение (9) примет вид
V№ = O.(10)
Функция Эри должна удовлетворять бигармоническому уравнению. Итак, для определения функции F мы получаем простой и хорошо исследованный тип дифференциального уравнения — бигармоническое уравнение. Мы знаем, что бигармоническую функцию можно составить из решений гармонического уравнения. Поэтому для решения уравнения (10) можно воспользоваться теорией потенциала.'
Рассмотрим выражение V^ct^. При помощи зависимостей (3) и (9) получим
Ч°«=V? (- F, +=41-^, + \Ц’п + м =
———
Подставляя найденную зависимость в уравнение (8) и принимая во внимание обозначение s = ст, , + о22 + ^зз> приходим к уравнению
[сгзз — V (ст,, 4- CT22)Lp = 0.
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
стзз — v (ст, ,4-ст22) = а0 4-а,х, +а2х2,(11)
где ао, а,, а2— постоянные. В правую часть соотношения (11) входит линейный член, который сооветствует чистому изгибу. В дальнейшем положим этот член равным нулю, откладывая рассмотрение изгиба до гл. 7.
При таком ограничении имеем
<тзз —v(ct,,+ <т22) = 0.(Па)
С другой стороны, справедлива формула
бзз — ^^зз — v(ct,, +<t22)L(12)
Из уравнений (На) и (12) видно, что е33 = 0. Кроме того, мы приняли, что в рассматриваемом упругом теле ст,з = 0, ст2з = 0. Отсюда вытекает, что е,з = 0 и е2з = 0. Итак, мы имеем дело с таким деформированным состоянием, в котором
е/3 = 0, /=1, 2, 3.(13)
Такое деформированное состояние называется плоским деформированным состоянием. Заметим, что исчезновение деформаций
8)3 (/= 1, 2, 3) связано с исчезновением только двух составляющих тензора напряжений, а именно Щз и ст23. Величина <тзз выражается через сумму нормальных напряжений оц и ст22 (формула (На)) и, вообще говоря, отлична от нуля. Выражая аи + огг через функцию Эри, получим соотношение
o33 = vV^. (14)
Центр тяжести при решении задач о плоском деформированном состоянии лежит в решении бигармонического уравнения (10) с граничными условиями, выраженными через производные функции F. Знание этой функции позволяет определить напряжения по формулам (3).
Из закона Гука определяем деформации еар (а, р = 1, 2), а из них интегрированием — перемещения иа (а = 1,2).
Плоское деформированное состояние
Плоское деформированное состояние характеризуется деформациями eap(xi, х2) (а, р = 1,2) при нулевых деформациях е)3 (/ = 1,2,3). Отсюда вытекает, что перемещения также должны быть функциями только хь х2. Составляющие вектора перемещений даются формулами
«„ = «„(%!, х2), о=1, 2, ы3 = const.(1)
Обратно, если считать справедливыми формулы (1), то получим ®ар= *2" (^а, р + ^р, а)> а 1, 2,(2)
8/3 = 0, /=1,2,3.(3)
Связи между напряжениями и деформациями при учете соотношений (3) примут вид
•^ар = 2р8ар + Хбарв, в = иа- а, а, Р = 1, 2,(4)
<Тзз = Хе, <713 = 0, <т2з = 0.(4a)
Так как е„р зависят только от Хь х2, то и стар зависят от этих переменных. Сложим нормальные напряжения (Гц и о22. В-результате получим■
Оц + о22=2(^ + н)е.(5)
Исключая из уравнений (4а) и (5) величину е, найдем следующую связь между нормальными напряжениями:
<Т33 —v(<T1i + CT22) = 0, v = 2(Дл) •(6)
Если на тело будут действовать массовые силы, то два первых уравнения равновесия примут вид
^а.р + ^а = 0, Ха = Ха<хх,х2\ а, р = 1, 2.(7)
Третье уравнение равновесия
5Щ13 4* ^з^зз 4* 53<т3з 4- Х3 = 0(8)
превратится в тождество, ибо Х3 должна равняться нулю (существование этой составляющей массовых сил вызвало бы напряжения и деформации, зависящие от х3, что противоречит принятым допущениям), напряжения cti3 и ст23 равны нулю, а <т33 не зависит от х3.
Если теперь напряжения выразим через деформации, а деформации через перемещения, то в результате получим систему двух уравнений в перемещениях:
^“а 4- (^ 4- р) е а 4- Ха = 0,^
е = дхих 4- д2ы2, а = 1, 2.
Определенное соотношениями (1) — (9) плоское деформированное состояние имеет простую механическую интерпретацию. Именно в таком состоянии будет находиться бесконечно длинный упругий цилиндр (рис. 6.1), нагруженный по боковой поверхности силами р = (щ, р2, 0), в предположении, что составляющие рх, р2 не зависят от х3. При таком типе нагрузки произвольное сечение цилиндра х3 = const после деформации не изменит своего положения, так что справедливы условия ы3 = 0, е33 = 0. В сечении цилиндра х3 = const действует равнодействующая сила N = J <т33с?4, где А— площадь сечения цилиндра.
А
В таком деформированном состоянии находится бесконечный цилиндр, свободный от нагрузок на боковой поверхности и находящийся под действием массовых сил X = (ХЬ Х2, 0), не зависящих от переменной х3. К уравнениям в перемещениях (9), описывающим деформированное состояние цилиндра, следует добавить граничные условия. Эти условия принимают вид
Ра = о^. а, 0=1, 2, хе А,(10)
если на боковой поверхности цилиндра заданы нагрузки ра, и
«а = Ш хе А,(11)
если на границе цилиндра заданы перемещения.
Возможны также смешанные граничные условия, например типа (10) на $i и типа (11) на s2, где через Si и s2 обозначены части контура сечения цилиндра.
Итак, мы имеем два пути для исследования плоского деформированного состояния: решение уравнений в перемещениях (9) с условиями (10) или (И), либо решение уравнений в напряжениях, которые сводятся к бигармоническому уравнению для функции Эри. Первый путь удобен, когда граничные условия заданы в перемещениях, второй — когда они заданы в напряжениях.
Мы займемся подробно вторым путем. К бигармоническому уравнению для функции Эри
(12)(12)ViV|F = 0
(12)
(12)
следует добавить граничные условия. Рассмотрим бесконечный цилиндр, нагруженный по боковой поверхности поверхностными силами р = (рь р2, 0) (рис. 6.2). Граничные условия (10) следует выразить через функцию F. Мы получим
Ра ” ^ра^р " — ^,а»П» + na4^> °’ Р = 1 > 2;(13)
или после расписывания
Р1 = П1д2Р — П2д1д2Р- Р2=- ПХд\д2Р + П2д\Р*
Так как
n1 = cos(n, х^-^, n2 = cos(n, х2) =^,
то
р,=^т + а^т-тт
(14)
P2 = -W"^-^F^S-Am
Проинтегрируем уравнения (14) на границе s, начиная от произвольно выбранной точки Д:
d2F — (дгЛо = [ Pids = Px(s\
,(15)
dxF — (5^)0 = — j p2ds = — P^s\
Для цилиндра в односвязной области можно пренебречь постоянными величинами (diFJo и (дг^о- Эти величины не влияют на значения напряжений. На основании формулы (15) убеждаемся, что вдоль ненагруженной границы dxF и д2Р являются постоянными величинами.
Функции PJs), P2VS^ трактуем как главные векторы нагрузок рь р2, действующих на участок границы, ограниченный двумя произвольно выбранными точками А и В,
Формулы (15) можно трактовать как первый вид граничных условий для бигармонического уравнения (12).
Другой, более удобный вид получим на основе следующих рассуждений. Определим функцию F, используя соотношения (15);
Вв
F — [ (diF dX) + d2F dx^ = J (Px dx2 — P2 dxx\ AA
Проинтегрируем по частям. Тогда
в
F = \Pxx21® — | P2xx I® — J kx2dPx — xx dP2y (16) A
Принимая во внимание, что Pa= J Pads, преобразуем уравнение (16) к окончательному виду
вв
F = J Pi^ — x^ds-V J р2^х — х'ху8 = 8^\(16а)
АА
Последняя формула допускает следующую механическую интерпретацию, Функцию F на границе s можно трактовать как момент сил ра, действующих на границе s между точками А и В, относительно вертикальной оси, проходящей через концевую
точку В. Второе граничное условие получим из выражения для производной функции F по нормали (рис, 6.2):
дрЭР , др dx2 -. пdx, , „
дпдх, 1 1 дх2 2 ds 1ds 2
Подставляя в это выражение соотношения (15), получим
# = -(,,1>+^» = йЙ- (17)
Правая часть этого уравнения известна; она определяется заданными на границе нагрузками, а также формой границы.
Уравнения (16) и (17) представляют собой второй вид граничных условий, связанных с бигармоническим уравнением (12):
F = g^- ^ = F.* = h^-(18)
После решения бигармонического уравнения (12) с условиями (15) или (18) определяем напряжения по формулам
«М = — Л ар + барЛ YY> а, ₽ = 1, 2, 033 = ^F-(}
Для определения деформаций еар воспользуемся формулами бар =-^7 [Стар — ^а₽(СТц + <Г22)],«, Р= L 2.(20)
Эти формулы получим из решения уравнений (4) и (4а) от* носительно деформаций. Подставляя формулы (19) в (20), получим выражения для деформаций через производные функции F:
=«»-^[(1-'’)6.А?-аАЩ(2D
Нам остается определить составляющие вектора перемещения, исходя из деформаций:
diZZi = en, д2и2 = е22, д,и2 + d2«i = 2е12.(22)
После интегрирования двух первых уравнений, принимая во внимание формулы (21), получим
"i=:M[(1-v)V-”d-l™X- + ^
1 г(23)
=[О — V) V1 — d2] F ^2 + ^ 2 (^1) •
Здесь fi(x2) и f2(xi) играют роль произвольных функций, которые нужно определить из граничных условий задачи, учитывая
дополнительное условие, вытекающее из третьей формулы (22): d1u2+d2u1 = -^- = -ld1d2^(24)
Рассмотрим теперь плоское деформированное состояние с учетом массовых сил Ха (а = 1,2), которые обладают потенциалом Ф:
^а=-Ф.«.(25)
Уравнениям равновесия
Ха = 0, аяа я = Ф „(26)
ри> р * а ' ри» р। их /
(27)(28)(29)(27)(28)(29)мы удовлетворим, выражая напряжения оар через функцию Эри F и функцию Ф следующим образом:■
(27)
(28)
(29)
(27)
(28)
(29)
(Тар = — F, ар + дарР, YY "Ь барФ-
Подставляя в уравнения Бельтрами — Мичелла
+ TTV $.«»= - (^.в+ ^..) -1^7 V»
V?a33=1 — V ^v. Y’ s = ffll + ° 2'2 + ^ЗЗ’ a’ P> Y=b 2,
зависимость (25), получим следующую систему уравнений:
sУ2ф + 2Ф .,
I ар 1 1 у , ар 1 — у ар 11, ар ’
I dd 1 — у *
Умножая первое из этих уравнений на dap и учитывая второе из уравнений (29), получим для суммы нормальных напряжений следующее соотношение:
^(’,.+%)—<3°)
Но из соотношений (27) вытекает, что оц + <т22 = Vi F + 2Ф. Подставляя эту зависимость в (30), находим следующее неоднородное уравнение для определения функции F:
xW = —т^-^Ф.(31)
Правая часть этого уравнения равна нулю, когда Ф является гармонической функцией, например тогда, когда массовые силы линейны по Xi и х2. С уравнением (31) мы встретимся в гл. 8 при обсуждении двумерных задач термоупругости, где используется так называемая аналогия массовых сил для определения температурных напряжений.
Задачу о плоском деформированном состоянии можно решать также в перемещениях. Исходным пунктом являются тогда уравнения в перемещениях (9). Поступая точно так же, как в § 5.3, представим уравнение (9) в операторном виде
+(32)
где
Выразим перемещения иа с помощью векторной функции Х = ^(Xi, %2, 0) следующим образом:
откуда
М1 = ^22X1^12^2 О Н- ^) V.X, ^^l^pXp,
(34) и2 = -Ц^\ +^цХ2 = (1 + ^) V?X2 — WpXp.
Если подставить формулы (34) в (32), то получим систему уравнений
(Х + 2и)^хо + *а = °- «=1, 2.(35)
Соотношения (34) и уравнения (35) можно представить в векторном виде
и = (1 + &) ^i^— k grad div X,(36)
(^ + 2ц)?Мх + Х = 0,(37)
где
u = (W1)u2, 0), Х = (Х1, Х2, 0), Х = №, Х2, 0).
Вектор х является двумерным вектором Галеркина. Его введение сводит систему эллиптических уравнений (32) к системе двух неоднородных бигармонических уравнений (35).
Зная функции Ха, определяем напряжения по формулам
а«@ = T=W [(1 — v) Vi (деХа + дах8) - dadpdvxY + v da№v], (38)
а, P=l, 2.
Величину азз получим из формулы
^F^Wv(39)
В случае тел простой формы, таких, как упругое полупространство или упругий слой, для определения поля перемещений достаточно только одной функции. Если Xi = О, Х2 = X, то
“i = ~ Т^2? d Ах, «2 = (vf+т=27а?)^ (4°)
Напряжения оар даются формулами
Плоское напряженное состояние
ось цилиндра параллельнаось цилиндра параллельнаРассмотрим конечный цилиндр, характеризующийся тем, что его высота мала по сравнению с размерами его сечения. Такой
ось цилиндра параллельна
ось цилиндра параллельна
цилиндр называется диском. Пусть оси хз, а боковая поверхность нагружена поверхностными силами р\, р2, распределенными симметрично относительно срединной плоскости Хз = 0 (рис. 6.3). Пусть на диск действуют массовые силы X = (Хр Х2, 0), также распределенные симметрично относительно плоскости Хз = 0.
Плоскости Хз = ±h свободны от нагрузок. Под действием нагрузок в диске возникает трехосное напряженное состояние, в которое входят все составляю-
щие напряженного состояния зц (i, j = 1,2, 3) как функции пере, менных Xi, х2, хз.
Рассмотрим третье уравнение равновесия
(1)(1)51013 + д2о23 + 530зз — О
(1)
(1)
и'перейдем в этом уравнении к пределу при х3->+А и при х3->—h. Так как на границе х3 = ±А
013 (хр х2, ± А) = О, о23(хр х2, ± А) = 0, о33 (хп х2, ±/г) = О, (2) то на этой границе исчезают также производные напряжений 013 и О2з по переменным х, и х2. Из уравнения (1) при х3 = ±й останется соотношение
I 53О33 |х3 = ±Л— 0.
Итак, на границе х3 = ±А исчезают как напряжение о33, так и его производная по х3. Поэтому не будет большой ошибкой принять, что в тонких дисках напряжение о33 является малым
по отношению к напряжениям оар (а, 0 = 1,2). Итак, допустим, что стзз = 0 в каждой точке диска. Это упрощение будет тем более оправданно, чем меньше толщина диска по сравнению с остальными линейными размерами.
Займемся остальными уравнениями равновесия:
Si<Jia + d2o2a + д3а3а + Ха = 0, a = 1,2.(3)
Проинтегрируем последнее уравнение по толщине диска л
/ (^Щю + 52а2а + дз^за + ^J dx3 = 0.(4)
— h
Заметим, что
h
J д3о3а dx3 = о3а (xb х2, ± А), а = 1, 2.(5)
— h
Последний интеграл равен нулю в силу предположений (2), согласно которым отсутствуют нагрузки в плоскостях х3 = ±А. Таким образом, уравнение (4) можно представить как
о’зм + ^О. а, 0=1,2,(6)
где величины
лл
aS« = ~2h J ара ^Х3> Ха = ~2h / ^а ^Х3— h— h
являются средними значениями напряжений aap и массовых сил Ха по толщине диска. Таким образом, мы получили систему двух уравнений равновесия, в которой средние значения напряжений и массовых сил зависят только от переменных Xi и х2.
Заметим, кроме того, что при симметричных относительно плоскости х3 = 0 поверхностных силах рь р2 и массовых силах Хъ Х2 напряжения oi3 и о2з являются антисимметричными относительно этой плоскости, так что
h
®aa = ^h \ a3adx3 = 0, «=1,2.
- Л
Итак, в тонком диске толщиной 2А, малой по отношению к остальным линейным размерам, напряженное состояние прибли
женно описывается тензором
<i °21 о<i °21 о<2 0
<i °21 о
<i °21 о
(7)(7)^з 0о о
(7)
(7)
Такое состояние называется обобщенным плоским напряженным состоянием.
Из условия О;3 = 0 (/ = 1, 2, 3) вытекает, что *)
е*3 = 0,8*3 = 0(8)
и что
ст*з = ° = ^зз + ^ е* = 8и + 622 + 6зз.(9)
Из условия (9) найдем, что
6зз = дз“з = Х + 2ц ео> ео = 8и "Ь Сг-
нели теперь подставить е*3 в соотношения Гука
<& = 2КР + ^а^‘> а, р = 1, 2,.
то получим.
•irH+wW ею»
Мы видим, что деформированное состояние е*^
связанное с описывается
обобщенным
плоским напряженным
состоянием,
тензором
8ц е12
8i/= 621622
0
0 .
(П)
00
8зз
Подставим соотношение (10) в уравнения равновесия (6), используя одновременно зависимости
еар = "2 (“а, Р + мр, а).О2)
В результате получим уравнения в перемещениях
а, р, у = 1,2.(13)
К этим уравнениям следует добавить граничные условия. На границе могут быть заданы либо средние перемещения
иа = Ua(xt, х2), а=1,2, хе Л,(14)
') Очевидно, здесь е^ обозначает средние (по толщине) значения деформаций.
либо нагрузки
Р*а = оба^пб^> хе А, а, Р=1, 2,(15)
где
h
Р*а = 4г \РА-
Выполним теперь свертывание в уравнениях (13). В результате получим уравнение
^1Е^+_Н1 у2„» 4-X' =0116)
Л + 2ц1 V, V ■ V, у
Но из уравнений (10) найдем, что
ail “Ь а22 ^Ц х + 2ц S. V^^
Исключая из (16) и (17) величину и* у = е*]+е*2) приходим к следующей связи между суммой нормальных напряжений и дивергенцией массовых сил:
W + oy+T^TB-^-O. (18)
Вводя функцию Эри F* для обобщенного плоского напряженного состояния
^--r.e + W-09)
приводим уравнение (18) к виду
W+^S^>4, = 0.(20)
Если в диске отсутствуют массовые силы, то функция Эри F* становится бигармонической функцией. Если массовые силы обладают потенциалом (Х^-ФД уравнение (20) примет вид
VW=-^^-V=®.(21)
Как легко было заметить, дифференциальные уравнения для плоского деформированного состояния и обобщенного плоского напряженного состояния (при наличии массовых сил) различаются только коэффициентами. Можно также легко показать, что в случае обобщенного плоского напряженного состояния получаются те же граничные условия, что и для плоского деформированного состояния. На границе s диска имеем
r = g(s\ ^ = h^’W
причем функции g(s) и /i(s) даются формулами (16а) и (17) § 6.2, где вместо рь р2 нужно подставить величины р* и р*.
В дальнейших выкладках, касающихся дисков, будем обозначать напряжения и деформации символами оар, еар, памятуя о том, что здесь речь идет о средних значениях напряжений и деформаций по толщине диска.
Разрешая уравнение (10) относительно деформаций, имеем
®ар = ~£ [(1 + v) ^ар ^5бар], S = Оц + (?22> Ct, Р = 1, 2, (23)
6зз =—£ (ап + ^22)-(24)
Учитывая, что
611 = dxUx =-£-(<Тц W22)>622 = 52П2 = £" (а22 Vall)>
получим после интегрирования
Еих = Г (an — vo22) dxx + fx (x^,
J,(25)
£«2= J (®22—W11)^2 + ^U1)-
Подставляя формулы (25) в соотношения
812 = 4(52^+5^2) = -^-,Р= 2"(l + v) '(26)
получим
J(52ffii — v52<t22)dxx + J (5^22 — V51O|I) dx2 +
+ 5J2 + 52fi = 2(1 + v) o12, или
J d2an dxx-Y j dxa22dx2 — v J (д^и + д2аХ2^х2 —
— V J (6^21 + 52^22)5X1 + d2f, + dxf2 = 2ax2.
Но подчеркнутые выражения совпадают с левыми частями уравнений равновесия, т. е. равны нулю. Условие (26) примет вид
| д2ахх dxx + J d|O22 dx2 + д2^ + д,^ = 2о12.(27)
Выражая напряжения через функцию Эри, получим
J dXFdxx + j di/7 (Zx2 + d2fi + di^ + 26id2/7 = 0.(28)
Если мы знаем функцию Эри F, то перемещения определим по формулам (25), а функции fx, fa — из граничных условий, учи-
тывая зависимость (28). Часто уравнение (28) удается представить в виде
S2f| (*2) + 3^2 (Х1) = G1 (Х2^ 4" G2 (*])•(29)
В этом частном случае мы можем сразу определить функции fi и f2, а именно
fl (*2) = [ G1 (*2) ^Х2 + ^ («1 — ©°Х2), г„„<3°)
h (*1) = J G2 (*1) ^1 + £ (U2 + © *l)-
В последних формулах u^ и и^ обозначают перемещения, а со0 — угол поворота диска как твердого целого.
В случае тонкого тела с прямолинейными параллельными границами (полоса, полуполоса, прямоугольная пластинка) функция F является суммой частных решений типа .
.( cos ах, 1. f cos Рх2 1
I sin aX| / ’I sin 0x2 / ’"
f cos ax, 1.(cos Px21
X2g±ax, J 1 I х|й±Шk
[sin ax, J ’[sin 0x2 J ‘
В этих частных случаях мы имеем уравнение
^fi + d|f2 = O.
Решения (30) примут здесь вид
f,(x2) = £(u° —©°х2), f^) = £(«£ +©%).(31)
Величины ц°, и®, со0 надо определить из граничных условий задачи.
В некоторых случаях в цилиндрическом теле может возникнуть напряженное состояние а<Дхь х2, х3), i, j = 1, 2, 3, характеризующееся тем, что три составляющие тензора напряжений, а именно а,3, равны нулю. С таким напряженным состоянием мы встречаемся, например, в задачах об установившихся температурных напряжениях, возникающих в полупространстве и в упругом слое (формулы (25) § 8.4). Такое напряженное состояние .называется плоским напряженным состоянием. Для этого состояния остаются справедливыми формулы (7) — (30) настоящего параграфа. Однако следует помнить, что средние значения напряжений в обобщенном плоском напряженном состоянии зависят от переменных Хь х2, в то время как составляющие напряжений и перемещений в плоском напряженном состоянии зависят от переменных Хь х2, х3.
Упругое полупространство,находящееся в плоском деформированном состоянии
Рассмотрим упругое полупространство Xj ^ 0, нагруженное на границе Xi = О силами, зависящими только от переменной х2. В полупространстве будет осуществляться плоское деформированное состояние; напряжения, деформации и перемещения не будут зависеть от переменной х3.
Эту задачу удается решить непосредственно, без введения функции Эри1). Исходным пунктом здесь будут уравнения равновесия и уравнения геометрической неразрывности, выраженные в напряжениях. Первые два уравнения в предположении, что Xi = Х2 =0, имеют вид
5^,+ d2a21 = 0,(1)
5|СТ]2 4“ д2О22 = 0.(2)
Уравнение неразрывности
.51622 + д^ =2д|д2Е12(3)
запишем, используя соотношения (20) § 6.2, так:
51 [022— v to 1 +о22)] + 52[он — v(on + о22)] = 25|52О|2.(4)
К уравнениям (1), (2) и (4) применим однократное преобразование Фурье, определенное соотношениями
f Ui - а) = ff to, *2) eia^ dx2,"(5)
fto, I Hxv °)6-10X2 da*
Умножим уравнения (1), (2), (4), на ега*2 и проинтегрируем по х2 от — оо до + оо. Вводя обозначение D = djdxi, приводим уравнения (1), (2), (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
06ц —iad|2 = 0,
О6|2 — /ад22 = 0,(6)
— а2 [Оц — v(an + 522)] + 04^22 — ?toi + йгг)! = — 2/аОа12.
Исключим из этой системы уравнений величины дз2 и 612. В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка
(^-а^ац^О.(7)
Аналогичные уравнения получаем для д12 и 522.
=) И. Н. Снеддон, Д. С. Берри, см. список литературы.
Предположим, что на границе Х| = 0 действует вертикальная нагрузка р^х-^ в положительном направлении оси Хь Считаем при этом, что интеграл J | р (х2) |dx2 ограничен. После применения к граничным условиям
п i1 (0, х2) = — р (х^, ст|2 (0, х2) = 0 интегрального преобразования Фурье имеем
5П (0, а) = — р (а), д|2(0, а) = 0,(8)
где
Р (°) =[ р (х2) е1м» dx2.
У 2л J
Решение уравнения (7) с учетом того, что при |х^ + х||->оо напряжения должны исчезать, имеет вид
бц^, а) = (А + Вх,)е-1“'Ч(9)
Из первого уравнения системы (6) находим
iad|2(xj, a)е—IaI[S — (A + x^aJ.(10)
Постоянные А, В определяем из граничных условий (8): А = = —р^, В = Аа. Поэтому
5ц = — р (a) (1 + аХ|) l0!*1,(П)
5)2 = — ip (а) аХ|е_1а,Х1.(12)
Из второго уравнения системы (6) получим
022 = —р(а)(1 —ax^e-l0^.(13)
Применяя к 5Н, д|2 , 522 обратное преобразование Фурье по формуле (5), находим
^(■«о *2) = —[ p(a)(l — ax^e-l^^-^tZa, (14)
V 2Л
al2 Up ^2) = - "7=" f P (a) ae-1“1^‘- ^ da.
у 2л
Разобьем функцию р(х2) на симметричную р8(х2) и антисимметричную ра (х2) относительно оси Xi части. Тогда
Р(а) = РДа) + гра(а),(15)
где
P$^=v^ f ps (х2) cos ах2 dx2,
(16)
p0(a) =[ pa (x2) sin ax2 dx2.
У 2л J
Подставляя формулу (15) в формулы (14) и принимая во внимание тот факт, что напряжения являются действительными величинами, получаем следующие формулы для напряжений:
ОцОц1 /2л"1 /2л"J (1 + axl)e_'al*4P^a)cosax2 + iMa)sina*2]da,J (1 + axl)e_'al*4P^a)cosax2 + iMa)sina*2]da,
Оц
Оц
1 /2л"
1 /2л"
J (1 + axl)e_'al*4P^a)cosax2 + iMa)sina*2]da,
J (1 + axl)e_'al*4P^a)cosax2 + iMa)sina*2]da,
°22 —°22 —1 /2л"1 /2л"ax,) e-l0'^ [pj (a) cos ax2 + pa (a) sin ax2]da,(17)ax,) e-l0'^ [pj (a) cos ax2 + pa (a) sin ax2]da,(17)
°22 —
°22 —
1 /2л"
1 /2л"
ax,) e-l0'^ [pj (a) cos ax2 + pa (a) sin ax2]da,
(17)
ax,) e-l0'^ [pj (a) cos ax2 + pa (a) sin ax2]da,
(17)
а12 —а12 —X|/2 лX|/2 лj ae-laUi[pi(a)sinax2 — pQ(a)cosax2] da.j ae-laUi[pi(a)sinax2 — pQ(a)cosax2] da.
а12 —
а12 —
X|
/2 л
X|
/2 л
j ae-laUi[pi(a)sinax2 — pQ(a)cosax2] da.
j ae-laUi[pi(a)sinax2 — pQ(a)cosax2] da.
Рассмотрим частный случай, когда в начале координат действует единичная сосредоточенная сила (рис. 6.4)
(18)(18)р(х2) = рДх2) = д(х2), ра(х2) = 0,pi = т/^ J д (х2) cos ax2 da = -
(18)
(18)
Подставляя формулы (18) в (17) и выполняя указанное интегрирование, находим
172 xf
аи = — v (1 + axj е-ах> cos ах2 da ,-2 - 2.2 ,
• ол ( 1 +
ОО9
1 Г2^1^2/ п\
022 = ~ -Z" (1 — ах,) е-ах‘ cos ах2 da =—2S2, (I9)
О
^1^2^1^2Г2
^1^2
^1^2
о^ = —— ae-0^ sin ах2 da он
11 В. Новацкий
Напряжения оп и а22 сжимающие и симметричны относительно оси х2, напряжение ст|2 антисимметрично относительно этой оси.
В полярной системе координат (г, 9) получим следующие формулы для напряжений:
Стц=— cos3 9, а22 =—cos 9sin29,
"(20)
Oi2 =cos2 9 sin 9
и
2 orr=—— cos9, aee = 0, or6 = 0,(21)
Здесь orr=oi, oee = o2— главные напряжения. Максимальное значение касательного напряжения подсчитывается по формуле
Tmax = -^-2-^ = ^cos9.(22)
Линии главных напряжений определяются семейством лучей и концентрических окружностей. Для г = const напряжение аТг изменяется по косинусоиде, принимая при 9 = 0 наименьшее значение, а на границе полупространства нулевое значение. Напряжение агг имеет в начале координат особенность порядка 1/г.
Пусть теперь сосредоточенная сила, перпендикулярная к границе Xi = 0, действует в точке Xi = 0, х2 = «• В этом случае
напряжения принимают видо-h (х,, Х2; 0, ^2) =2л[xf + (Х2 - ^2fyо*2 (х,, х2; 0, g2) =2Х1 (х2 — |2)2л[х? + (х2 - ?2)2]2 'напряжения принимают видо-h (х,, Х2; 0, ^2) =2л[xf + (Х2 - ^2fyо*2 (х,, х2; 0, g2) =2Х1 (х2 — |2)2л[х? + (х2 - ?2)2]2 'Л + (Х2 — 62) ]Л + (Х2 — 62) ](23)(23)<№, х2; 0,<№, х2; 0,
напряжения принимают вид
о-h (х,, Х2; 0, ^2) =
2
л
[xf + (Х2 - ^2fy
о*2 (х,, х2; 0, g2) =
2
Х1 (х2 — |2)2
л
[х? + (х2 - ?2)2]2 '
напряжения принимают вид
о-h (х,, Х2; 0, ^2) =
2
л
[xf + (Х2 - ^2fy
о*2 (х,, х2; 0, g2) =
2
Х1 (х2 — |2)2
л
[х? + (х2 - ?2)2]2 '
Л + (Х2 — 62) ]
Л + (Х2 — 62) ]
(23)
(23)
<№, х2; 0,
<№, х2; 0,
Функции (23) можно трактовать как функции Грина для задачи о полупространстве, нагруженном силами, перпендикулярными к границе.
Если на границе х^ = 0 действует нагрузка р = ро = const на отрезке — а ^ х, 4- а (рис. 6.5), то
а
оп (Хр х2) = | роОп (х,, х2; 0, ^d^2 =
—а
= - ^- [2 (е2 - ej - sin 2е2 + sin 292], (24) где
tg0i = A:—. tgе2—Ч—, sme,:—l—, 51П92=-^—, *1Л|I 1/ 2
cose, = -^, Cos92 = ^-,Г1|2 = [Х1+(x2 + a)2]V1.
Для остальных напряжений находим
(25)(25)о22 = ~ -^-[2 (Э2- 9,) - sin 292 + sin 29J, ац = "~ 2^ (cos 29, — cos 29g).
(25)
(25)
IP
Для точек, лежащих внутри отрезка (—я, 4-я),
а„ (0, х2) = — ро, а22 (0, х2) = — р0, а12(0, х2) = 0.
Для точек, лежащих справа и слева от точек (0, я), (0, — а), напряжения на оси х2 равны нулю.
Рассмотрим далее действие касательных сил s(x2), приложенных на границе х, = 0. В этом случае имеем граничные условия
Оп (0, х2) = 0, а12 (0, х2) = — s (х2).(26)
Здесь мы предположили, что нагрузка s(x2)>0 действует в положительном направлении оси х2.
Применим к граничным условиям (26) преобразование Фурье
ДО, а) = 0, а12 (0, а) = — s (а),(27)
где
5 ^="Йг i ^etaxi dx<1‘
Из соотношений (9) и (10) для х, = 0 получим А = 0, 5 = = — is (а) а. Итак, из формул (6) и (9) имеем
о,, =[ $(а)ае-1°1х‘-<ох1</а,
У 2л J
<J22 = — —т= [ (2 —ах1)5(а)е-1а1х‘-;ах«</а,(28)
V 2л
о,2 = — ; J— f s(a)(l — ax,)e-lalxi-<a^rfa.
V 2л -ОО
Нагрузку s(x2) разделим на симметричную ss(x2) и антисимметричную sa(x2) части. Тогда
гдегде(29)(29)s (a) = Sj (а) + isа (а),
где
где
(29)
(29)
^ (а) =[ s» ^ cos ах2 dx2,
у 2Л ^
Подставив формулу (29) в формулы (28) и взяв действительные части интегралов (так как напряжения являются действительными величинами), получим
огп = -==- I [sa(a)cosax2— $Да)81Пах2]ае_1а1*1^а, У 2л •j
022= у==- | [§а(а) cosах2—s5(a)sinах2](2 — ах^е-!01 ^ da, (30)
= f [sa (a) sin ах2+$» (a) cos ах2] (1— axj e_|a,X1 da. 2л J
Рассмотрим частный случай действия единичной сосредоточенной силы, касательной к границе, приложенной в начале коор
динат и направленной по оси Хг (рис. 6.6). Нормальные напряжения оц, 022 будут тогда антисимметричными, а напряжение 012 — симметричным относительно оси хр Нагрузка на границе X] = 0 примет вид
ss(x2) = б(х2), sa (х2) = 0.
Учитывая, что
S, (а) = у==т | 6 (х2) cos ах2 dx2 = у=-,
получим из формул (30) следующие выражения для напряжений:
XГ^^1^2
»i 1Iае-“^ sin ах2 da— , 2 , 2„,
л;л (*1 + х2)
0'22=—(2 — axje^'sinax^c^2-2х2-,(31)
Л 5Л+
оо.2
1 Г1*1*2
ai2=——(1—axi)e-axicosax2da =sr^-.
Л 5Л (*l+*2)
Заметим, что напряжение 022 в начале координат имеет особенность, ибо при Xi = 0 имеем о2г(0, х2) = —2/(лх2).
В полярной системе координат имеем (рис. 6.7)
он=—-^7 cos2 9 sin 9, O22 = —^ sin3 0,
о,2 = — -^7 cos 9 sin2 9
и
°rr = — ^sin9, a66 = 0, o>9 = 0.(32)
Как видно из этих формул, Отт и аее суть главные напряжения. Мы имеем дело с радиальным распределением напряжений. При заданном 9 напряжение сТт обратно пропорционально г и имеет особенность в начале координат. Для заданного г величина а™ изменяется с синусом угла 9, принимая экстремальные значения при 9 = ±л/2 и нулевое значение при 9 = 0.
Рассмотрим случай, когда граница упругого полупространства х, ^ О нагружена силами, изменяющимися периодически в направлении оси х2. Ограничимся рассмотрением нагрузок, перпендикулярных к границе.
Выразим напряжения oap (a, 0= 1, 2) с помощью бесконечных рядов в комплексной форме:
°ае= 2 айМе"^, а„=^.(33)
П=—оо
Подставляя формулу (33) в уравнения (1), (2) и (4), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Da'^ — ZanCT("> = 0,
D5<"> —Za„d&> = 0,(34)
—a2 fa*")—v (a'^+o^)!+p2 [5m,-v (5'п+5й’)] = —^п D5«-
Исключение функций а^ и 5$ приводит к дифференциальному уравнению'
(П2-а2пуд^ = 0.(35)
Аналогичные уравнения получим для функцийст^ и о^'.
Представим вертикальную нагрузку р(х2), действующую в плоскости Xi = 0 в отрицательном направлении оси Xi, с помощью ряда ооа
р^=А / p^e^^d^.(36)
п=—оо—а
Величины о)^ и а\"\ удовлетворяющие уравнениям (34) и (35), имеют вид
аЙ’ (хь а„) = (А„ + х,В„) е”1а" ।х-,
(37) iAS (xi, ап) = е ।а" ।Х1 [В„ — (Лп + х,Вп) а„].
Из граничных условий
ан (0, х2) = р(х2), о12(0, х2) = 0,(38)
которые можно представить в виде
W ап) = А 612 (°- “яМ
определим постоянные Ап, Вп* Ап = рп, Вп = апАп. Поэтому
an = Re 2 р'"Ч1-ba^e-!0"1^-10"^,
П=—оо
a22=Re 2 p(n,(l-a„x1)e-la"lx'-,o«x-,(39)
п=—оо
п / • V-| а„ | х,—1а_хп |
o12 = Relzx1 Р «пв I "1 1 n 2L \П=—ОО/
Разделяя р(х2) на симметричную ps(x2) и антисимметричную р0(х2) части:
Р^ = рАх^-\-1ра^.
Из формул (39) получим следующие выражения для напряжений:
»и = JS* (1 + апх^ е~1 °"1 х> (р^' cos а„х2 + р'”’ sin ах2),
»22 = ^ 2^ (1 — «„х^ е-1 а« ।х' (plsn) cos апх2 + р^1 sirt апх2), (40)
<7125 а" ।х- (р^1 cos апх, — р^ sin а„х2).
Здесь аа
Р^ = 2^ I Ps (^ C0S %*2 dx2, р^ = ^ S Ра (*2) Sin а„*2 dx2.
—а—а
Рассмотрим полупространство Xi ^ 0, представленное нарис. 6.8 и нагруженное симметрично относительно оси Хь На-Рассмотрим полупространство Xi ^ 0, представленное нарис. 6.8 и нагруженное симметрично относительно оси Хь На-из уравненийиз уравненийгрузка уравновешена реакциями опор рь причем равновесия для нагрузок вытекает, что а — с
Рассмотрим полупространство Xi ^ 0, представленное на
рис. 6.8 и нагруженное симметрично относительно оси Хь На-
Рассмотрим полупространство Xi ^ 0, представленное на
рис. 6.8 и нагруженное симметрично относительно оси Хь На-
из уравнений
из уравнений
Р1 = Р—^—-
В рассматриваемом случае р^ = 0 и (а—са\
ра(—1)" .= —sin апс, а„псп ""ра(—1)" .= —sin апс, а„псп ""Р™'=0.Р™'=0.^,(41)^,(41)р ] cosanx2dx2^pv j cos anx2 dx21 = 0a—c'
ра(—1)" .
= —sin апс, а„
псп ""
ра(—1)" .
= —sin апс, а„
псп ""
Р™'=0.
Р™'=0.
^,(41)
^,(41)
Напряжения получим по формулам (40), подставляя вместо р^ выражение (41) и р^ = 0. Полученные формулы
Оц = — "^ ^ ~П t +е"0"*' Sin а"С C0S а"Х2’
п=1
а22 =— ^ ^Г- (1 — а"х1) е-0"*1 sin апс cos апх2, (42)
П=1
о12 = — -^^ ^ (—1)"е-а"Х| sin а„с sin а„х2
п=1
удается представить в замкнутом виде1). Входящие в формулы (42) коэффициенты
sin anc cos а„х2 = ^ (sin п^2 — sin пл^1),
sinanc sina„x2 = — ^-(sin пл^ + cosnn£2),
* _ *2 + С ? *2 — С
Ь1 —2 ’= —2’
выразим с помощью суммы и разности двух выражений и используем соотношения
S,G) = 1(-D —sm^.-arctg е„+.
s2 К) = 5 (—1) e ""^ sin ял? = — 2(chnT) + cosn£) ’ n=l
S3 ® = S (-1)" e-^ cos n< = - ^±^L_, n=l'
На рис. 6.8 представлены графики напряжения о22 в сечениях х2 = 0 и х2 = За.
Интересный способ решения задачи об упругом полупространстве дал Пейн 2). Этот метод, называемый методом дейст-
вительных потенциалов, основан на разложении функции Эри на потенциальные функции действительной переменной:
F = ^-Xx%-(43)
Функции %а (а =1,2) являются гармоническими, удовлетворяющими уравнению Лапласа V2x« = 0. Здесь мы имеем аналогию с решением задачи об упругом полупространстве при помощи метода Треффца, когда бигармоническую функцию щ представляют в виде и, = Ф< + ^1Х,ь
Подставляя формулу (43) в выражения для напряжений
•Jag = — dad$F -f-dogViT7,(44)
цаходцм
»и = ^Xi — хДд^д2Х + х^,
»22 = ^Xi — 2д,Х2 — *i^X2,(45)
°12— 5,Х2 —
Последние соотношения значительно упростятся, если ввести две новые гармонические функции
Фа = ^1Ха’ а = 1, 2-(46)
Подставив их в формулы (45), получим
<г„ = - д,ф, + х,д2ф2,
»22 = д1Ф1 —2д,ф2 —х,д2ф2,(47)
»i2 = — д2 (ф, — ф2 — Х,<?,ф2).
Рассмотрим граничные условия в плоскости xt = 0, ограничивающей упругое полупространство. Если на границе заданы касательные нагрузки Oi2 =—s(x2), то из первого уравнения (47), согласно условию оц(0, х2) = 0, получаем ф1 = 0. В этом случае единственной неизвестной функцией будет функция ф2, так как ф1 = 0 во всей области. Если на границе xt = 0 задаем граничные условия оц(0, х2) = —р(х2), oi2(0, х2) = 0, то, как вытекает из третьего уравнения системы (47), граничное условие Oi2(0, х2) = 0 будет удовлетворено в предположении, что Ф1 (0, Хг) = ф2(0, х2), т. е. ф1 s ф2 во всей области.
Рассмотрим более подробно именно этот случай. Так как Ф1 = Фз = Ф, упростим соотношения (47):
ан = —^ф + ^^ф,
от= —д^ — х^ф,(48)
<т|2 = х1д1д?ф.
Из первой зависимости (48) получим
р^ = М^..(49)
Учитывая, что функция 51ф = ф также является гармонической функцией, мы должны решить уравнение
V?ф = 0(50)
с граничным условием ф(0, х2) = р(х2).
Зная функцию ф, а тем самым функцию д1ф, определим напряжения стар по формулам (48). Применяя технику интегрального преобразования Фурье, находим решение уравнения Лапласа (50) с граничным условием ф(0, х2) = р(х2) в виде
ф = -^ = -р= J р(а)ехр[—ах!—iax^da, (51) где
Р (а) = у= J р (х2) ela^ dxv
Если функция р(х2) является четной, то
ф = ]/ — J £ (а) е-"1 cos ах2 da, р(а) = "|/ — j р (х2) cos ах2 dx2. оо
Для нечетной функции р(х2) имеем
ф = 1/— J р(а) e-aX1 sinax2 da, £(а) = 1/ ^ J р(х2) sin ax2dx2. оо
Метод Пейна позволяет также достаточно простым способом решить несколько задач со смешанными граничными условиями. Решение такого типа задач читатель найдет в цитированной выше работе Пейна.
В пространственных задачах теории упругости с успехом используются функции Папковича — Нейбера. Эти функции широко применяются и в двумерных задачах теории упругости.
Вектор перемещения
u =grad (ф + г • ф) — 4(1 — v) ф(52)
выражается через три функции: скалярную ф и векторную ф = (фь ф2, 0). Расписывая уравнение (52) по компонентам вектора, имеем
«1 = д1Ф + д, (Х]Ф1 + х2ф2) — 4 (1 — v) ф„(53)
«2 = д2ф + д2 (х^ + х2ф2) — 4 (1 — v) ф2.(54)
Рассмотрим упругое полупространство Xi ^ 0 с заданными на границе перемещениями
«1 (0, х2) = Л (х2), «2 (0, х2) = /2 (х2).(55)
Для решения этой задачи достаточно двух функций. Удобно (из-за наличия границы Xi = 0) положить ф2 = 0. Тогда
«1 = 51Ф— %ф + Х!^!^, Ф1 = ф,(56)
и2 = д2ф 4-х^ф,(57)
где х = 3—4v. Граничные условия (55) принимают вид
[д^ — хф]Х1=0 = h (х2), [52ф]Х1=0 = /2 (х2).(58)
Функции ф, ф являются гармоническими в области Xi ^ 0, т. е. они должны удовлетворять уравнениям
V^ = 0, У?ф = 0(59)
с граничными условиями (58) и условиями ф->0, ф-*0 при х^ + х^-х». Применяя к решению задачи интегральное преобразование Фурье, представим функции ф и ф в виде интегралов
Ф = у^ J А (а)(/а)
"2<6°)
ф = у^ J В (а) e-aXi-laX2 da.
Из граничных условий (58), к которым применено преобразование Лапласа:
— аЛ(а)— хВ(а) = ^(а), —iaB (а) = f 2 (а),(61)
найдем величины Л (а), В (а). Тем самым становятся известными функции ф и ф из формул (60). Зная функции ф, ф, определяем перемещения по формулам (56).
Представленные здесь способы решения удается без труда обобщить на задачи об упругом слое, нагруженном по границе силами, зависящими от переменной х2.
Рассмотрим, например, упругий слой (в плоском напряженном состоянии это будет пластинка) шириной 2a, не ограниченный в положительном и отрицательном направлении оси х2. Предположим, что на границе Xi = ± а действует сжимающая нагрузка р(х2), распределенная симметрично относительно оси
Xi (рис. 6.9). Предположим, далее, что Ст12 = О на границе Xi = ±а, т. е. отсутствуют касательные напряжения.
Используя метод интегральных преобразований Фурье, применим его к системе уравнений (6) и (7). Однако решение уравнения (7) в случае упругого слоя несет больше информации. А именно получаем
стн (X], а) = (Л' 4-х^') e-aXi + (Cz + XyD'^e^1,(62а)
или
бн (хь а) = Л ch аХ] + Вахх sh axi + С sh ах, + Daxx chaxP (626)
Из двух первых уравнений системы (6) определяем трансформанты напряжений а22, б12. Постоянные интегрирования
Л, ..., D определяем из граничных условий, двух на границе Xi = а и двух на границе хх = — а. Рассматриваемый здесь частный случай нагрузок (рис. 6.9) приводит к значительным упрощениям. Так как Стп является симметричной функцией относительно плоскости хх = 0, то в выражение (626) не могут входить антисимметричные функции. Поэтому С = О, D = 0. Постоянные Л, В определим из граничных условий стц(а, х2) = — — pUi) и <Ti2(a, х2) = 0.
Решение представленной на рис. 6.9 задачи сводится к вычислению интеграла
2 f х (sh Л + ЛсН Л) chaxi — axi sh Л sh axi,
°п = -2у - J р<Дг cosax2da,
о
где(63)
Л = act,
/
2 С
— I р (х^ cos ax2 dx2о
Эту задачу можно также решить при помощи функции Эри. В силу симметрии нагрузки относительно плоскости Хг = О применим к уравнению
MW = 0(64)
косинус-преобразование Фурье, определяемое соотношениями
F^xx, a^j/^ J В (Xj, х2) cos ax2 cfx2,_°»(65)
/2 f ~
— I F^xx, a)cosax2da. о
Уравнение (64) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка
(D2 — а2УР=0,(66)
решение которого имеет вид
F = Л ch ax, + Вахх sh ахх + С sh ахх 4- Daxx ch ахх. (67)
По формулам
Стаз = — dad^F + ba^iF, а, р = 1, 2, получим напряжения в виде интегралов Фурье. В силу симметрии напряжений Стп и СТ21 относительно плоскости х2 = 0 положим С = D = 0. Получим
стн = — у — J а2 [Л ch ахх + Вахх sh axj cosax2 da, о
Ст22=1/ —^ J а2[(Л + 2В) ch ах, + Вахх sh axj cos ах2 da, (68) о
^2 = 1/^-^- J а2[(Л + 5) sh ахх + Вахх ch ах,] sin ax^da. о
Постоянные Л, В определяются из граничных условий стц(±а, х2)=— р(х2), Ст12(±а, х2) = 0. В результате, например, для стп получается выражение (63).
Задача об упругом полупространстве и упругом слое играет важную роль во многих областях техники. Так, в строительной механике мы имеем дело с нагрузкой, действующей со стороны фундамента на грунт, который с некоторым приближением
может трактоваться как упругое тело (плотный песок, скальная порода).
С пластинами в виде балок-стенок, подкрепленных и нагруженных в своей плоскости либо нагрузками, либо собственным весом, мы встречаемся, например, в башенных конструкциях. Действие сосредоточенных сил на полосу встречается в мостовых конструкциях (передача сил с проезжей части на опоры) и летательных аппаратах.
Этим задачам посвящена обширная литература. Подробное обсуждение этих задач читатель найдет в указанных ниже работах *) и монографии Гиркмана), а их техническое применение, например, в работе Новацкого и Домбровского).
Функция напряжений Эри в полярных координатах
Во многих пластинках, особенно круглых и кольцевых и в пластинках в форме клина, бывает удобнее представлять решения в полярных координатах. Поэтому дадим основные соотношения и уравнения для плоского напряженного состояния в этих координатах.
Нормальные напряжения обозначим через а™ и стее, касательные напряжения через стгв (рис. 6.10), деформации соответственно через егг, еее, еге, а перемещения через ur, иЙ.
Зависимости между деформациями и перемещениями имеют вид )
1 ди„ и,
еее = 7"дб"+Т’0)
_ -V (v дигдиеиЛ
г6 2\г дедгг Г
Связь между деформациями и напряжениями для плоского напряженного состояния устанавливается формулами
Of Г = 1 _ V2 ^ГГ + V8ee)’
а60 = т=^(®66 + ve")’^2)
оге = 2Неге-
Наконец, уравнения равновесия сводятся к двум уравнениям •): догг , 1 доге , °гг -аее dr г г дб г г — и>
Эти уравнения будут тождественно удовлетворены, если напря-
РИС. 6.10.
жения выразим через функцию Эри следующим обрааом:
_ 1 дР , 1 дЧат — г дг + г1 д№ ’
д1?
^ = ^’(4)
_ 1 дР 1 д^Ра™ г2 56 г дг 56 ’
К этим уравнениям и соотношениям следует добавить уравнение совместности. Это уравнение, как мы знаем, приводится к виду
') Эти формулы найдем из формул (27) § 4.19, приравнивая нулю соста- вляющие напряжения по оси z и производные по координате г.
Vi (»ц + а22) = 0. Так как сумма нормальных напряжений является инвариантом, то справедливо уравнение
^Кг + ^) = 0-(5)
Подставляя формулы (4) в формулу (5), найдем для функции F бигармоническое уравнение в полярных координатах:
(^+т4 + ^^)^(^)=о-№)
Рассмотрим вначале частный случай, а именно круглую пластинку или кольцевую пластинку, нагруженную осесимметричным способом. В этом случае напряжения, деформации и функция F не будут зависеть от угла 6. Уравнение (6) упростится:
Общим решением этого уравнения является функция
F = Xlnr + Br2lnr + Cr2 + D.(8)
Из соотношений (4) получим следующие формулы для напряже- стгг = 4 + В(1 +21пг) + 2С, аее=-4 + 6(3 + 2М + 2С,(9)
стге = 0.
Перемещения ит, ив могут быть функциями гиб. Это легко проверить, определяя величины ит из первого уравнения системы (1) и первого уравнения системы (2). Получим ^^^[^V^ +2(l-v)Blnr + (l-3v)B + 2(l-v) С]. Проинтегрируем последнее уравнение по г;
иг--= -^ [— IL+^IA 4. 2 (1—v) Вг 1п г—В (1 + v) г 4- 2 (I—v) Сг] +
+ f(6). (Ю) Здесь f(0) является произвольной функцией переменной 0.
Из соотношения
1 /.1 диЙ и
еее = -Ё№е —=+ —
определяем функцию
После интегрирования этого уравнения по 6 получим е
»е = ^Г-р^^ + АИ.dA
о
где fi (г) — функция только г. Подставим иг и ие в третье из соотношений (1). Так как аг6 = 0, то и еге = 0. В результате получим уравнение
о
Умножая это уравнение на г, убеждаемся, что первые два члена зависят только от 6, остальные два от г. Поэтому
е
-^Ж +Jf(6)d6 = a, r-^-/,(r) = -a, о
где a — произвольная постоянная.
Решением этих двух уравнений являются функции
f (6) = a sin 6 + у cos 6, Д(г) = а + рг.
Подставляя эти функции в уравнения (10) и (11), получаем ur = -1 [- (1 + v) 4 + 2 (1 — v) Br In r-B (1 +v)r + 2(1—v)Cr] +
+ asinO + ycosO, (12) ue = 4^- + acos6— ysinO + Pr.(13)
В формулы для перемещений входят постоянные А, В, С, а, р, у. Мы определим их из граничных условий.
Исследуем две простые задачи. Рассмотрим кольцевую пластинку, в которой через а обозначим внутренний радиус, через b — внешний радиус. Пусть на границе г = а пластинки действует нагрузка ра, на границе г = b — нагрузка рь.
Вид функции атт в формуле (9) показывает, что из граничных условий
^rr lr=a ^ Pai ®rr lr-6= Pb(14)
можно определить только две из трех постоянных А, В, С.
Из формулы (13) видим, что член 4Вг6/Е не является однозначной величиной. Он равен нулю для 6 = 0, но после обхода по замкнутому контуру, помещенному внутри кольцевой пластинки, возрастает на величину %пгВ1Е. Такая неоднозначность физически невозможна, так что следует принять В = 0. Остается выражение
О„ = -£ + 2С,(15)
из которого с учетом граничных условий (14) определяем постоянные А и С. Окончательно получим известное решение Ламе
_ a2b2 pa-pb , Раа2-рьЬ2
°ГГ ь2 — а2 г2Ь2 — а2 •
_ а262 Ра-Рь , раа2-рьЬ2(16)
аее Ь2 _аг г2 т 62 _ а2 •
стге = 0.
круговым отверстиемкруговым отверстиемВ случае неограниченной пластинки с (6 —> оо, рь = 0) получаем из формул (16)
круговым отверстием
круговым отверстием
^гг ^2~ Ра» ^00 — ^2" Ра» ®г6 6. (17)
В случае сплошной круговой пластинки (при а->-0, ра = 0) получаем состояние всестороннего сжатия
Огг = Оее = — Рь» <тГ0 = О. (18)
Рассмотрим далее представленную на рис. 6.11 пластинку, нагруженную моментами М. Граничные условия записываются следующим образом: ьь
стгг(а) = 0, агДЬ') = 0, J a66dr = 0, j a66rdr = M. (19)
аа
Первые два условия показывают, что границы г = а и г = b свободны от нагрузок. Третье условие выражает обращение в нуль главного вектора напряжений в произвольном сечении 6 = const. Наконец, последнее условие указывает на то, что действие напряжений уравновешивается изгибающим моментом. Подставляя формулы (9) в (19), получим следующую систему уравнений:
4+В(1+21па)+2С = 0,
^- + В(1 +21п6) + 2С = 0,
аа
ьь(20)
J °^rdr = S-^-rdr^^r^-^F^M. аа
Подставляя функцию F (8) в выражения
дР \»/ дР \ь
дг)а И ( дг г)а •
убеждаемся, что эти выражения с учетом двух первых уравнений (20) равны нулю. Остается уравнение
M = — (F)^ = — Alni-B(b2lnb — а21па) — С(62 — а2).(21)
Из первого и второго уравнений (20) и уравнения (21) определяем постоянные А, В и С. Подставляя их в формулы (9), получим после простых преобразований следующие формулы:
4М / а2Ь2 , 6 . ,9, г .21
= —+Ь21пт+а21п 7),
aee = ^(-^ln4 + 62lnf+ а21п-^-М2^^
о,е = 0, где
N = lb2-a2Y- — W\n(l^.
Перемещения ит, и6 определим по формулам (12) и (13). Входящие в них три постоянные а, р, у вычислим, используя три дополнительных условия.
Потребуем, чтобы точка Р с координатами [г = (а + 6)/2, 6 = 0] была жестко закреплена. Поэтому примем, что
/ ди Аа + Ь
иДР.О^О, Ые(^.0) = 0,(-^1=0, R = -^-. (23)
Эти три условия дают
4[--^^^ + 2(1-^ВЯ1пЯ--В(1+^ +
+ 2C(k—v)^ + у = 0,(23а)
р^4-а = 0, 0 = 0.
Так как р = 0, то и а = 0. Из трех постоянных а, р, у отличной от нуля остается только величина у. Определим ее из первого уравнения системы (23а).
Вернемся к уравнению (6), в котором функция Эри зависит от обеих переменных гиб. Общее решение этого уравнения
было дано Мичеллом в виде
F = а In г + 0г2 + yr2 In г + бг26 + еб +
у- 6 sin 6 4- (а/ + 6/® + air"1 + 6{rln г) cos 6 4- + -у 6 cos 6 + (с/ 4- dxr3 + cir-1 + dir In r) sin 6 4-
+ У (алгп + bnr~n+2 + a'„r-n + b^r-""1"2) cos n6 4- n=2
+ ^ (Cnf" + </пг~"+2 4- c'nr-n + d'nr-n+2) sinn0. (24) n=2
Первые три члена функции F соответствуют осесимметричному напряженному состоянию. Выбирая со-р
ответствующим образом члены, зависящие от г и 6, можно найти несколько,,
частных решений.д
Рассмотрим функцию/ X
F = Cr6 sin 6./
Из формул (4) получим/
2 Сд~~\ arr = —cos6, aee = 0, ar6 = 0.(25)/ I \ \
Здесь мы имеем дело с радиальным рас- A^-S" 4.. ^-^\ пределением напряжений. Такое состоя- /।\
ние возникает в клине с границей|
6 = ±a под действием сосредоточенной""^—*—
силы, приложенной в вершине клина врис. 6.12.
направлении оси симметрии (рис. 6.12). Постоянную С выбираем таким образом, чтобы было выполнено условие равновесия а
Р 4- J orr г cos 6 dQ = 0. —a
Из этого уравнения получим
р
ПоэтомуПоэтому2a + sin 2a "
Поэтому
Поэтому
(26)(26)2Р cos 9
(26)
(26)
(2a 4- sin 2a) г
Для а = л/2 получимОггДля а = л/2 получимОгг2Р а — cos6’лг2Р а — cos6’лг
Для а = л/2 получим
Огг
Для а = л/2 получим
Огг
2Р а — cos6’
лг
2Р а — cos6’
лг
Этот случай соответствует полубесконечной пластинке.
Легко можно убедиться, что функция
F = Сгб cos 6
и напряжения
о,г = — ^- sin 6, аее = 0, аге = 0,(27)
соответствуют нагружению пластинки, показанному на рис. 6.13. Из условий равновесия
а
Р + J пггг sin 6 с?6 = О
—а
определим постоянную
2а — sin 2а ‘ Отсюда
_ 2Psin^°rr— (2а-sin 2а)
Рассмотрим сплошную круговую пластинку, находящуюся под действием периодической нагрузки р(9) (рис. 6.14). Эту нагрузку разложим в ряд Фурье в окрестности L = 2л:
p(6) = -y + 2a"cosn6 + JJ^sinne, (28)
n=Iп=1
где 2л
Qn = -^-J p(0)cosn0d0,n = 0, 1,2,...,
"л(29)
Ьп = -^- J p(0)sinn0d0, n=l, 2, 3, .... о
Так как силы, действующие на пластинку, должны находиться в равновесии, то должны быть выполнены условия
2л2л
J р(0) cos0 <Z0 = O, J р (0) sin 0 tZ0 = 0.(30)
оо
Сравнивая уравнения (29) и (30), убеждаемся, что ai = 0, bi = = 0. Первый член ряда (28) а0/2 соответствует нагрузке, равномерно распределенной по границе пластинки. Этому члену отвечают напряжения <r^r = a^6 = a0/2. Соответствующая этим напряжениям функция Эри примет значение F° = aor2/4.
Отсюда видно, что нагрузке (28) соответствует функция Эри
F = ^1 + ^ (Л„г" + Cnr^ cos п0 + S № + С^+2) sin п0.
л=2п-2(31)
Постоянные Л„, Л^, Сп, С'п определим из граничных условий
ОгДа, 0) = р(0), аг6^а, 0) = О.(32)
Получим'
А«— St"41- A-=-Sra,c'-
.»<33>
р апр/ Оп
п" 2ап(1 + п)’2ап(1+”) ‘
Задача о трещине
Задача о трещине имеет важное значение в теории разрушения хрупких тел. Первым занялся этой задачей Гриффитс1), исследуя разрушение стекла. Этот автор объяснял разрушение хрупких тел существованием в теле трещин, которые увеличи-
*) Griffith A. A., The Phenomene of Rupture and Flow in Solids, Phil. Trans. Roy. Soc., A, 221 (1920), 163.
Griffith A. A., The Theory of Rupture, Proc. 1st. Int. Cong. Appl. Meeh., Peft 1924, Technische Brekhandel Wettmann,
ваются под действием растягивающих сил. Внезапное раскрытие трещины и разрушение наступят тогда, когда растягивающие силы возрастут до такого значения, при котором энергия деформации трещин будет больше, чем энергия, необходимая для возникновения новых свободных трещин.
Задача о трещине в тонкой пластинке была рассмотрена в последнее десятилетие многими авторами, причем, как правило, они пользовались методом двойственных интегральных уравнений. Обширный обзор этих задач и методов их решения читатель найдет в двух работах Снеддона ).
Рассмотрим неограниченное пространство с трещиной длиной 2с в направлении оси Хг, не ограниченной в направлении оси Хз (рис. 6.15). В большинстве задач мы интересуемся случаем,
когда поверхность трещины свободна от напряжений, а на бесконечности действуют растягивающие напряжения. В плоскости Xi = 0 имеем граничное условие
ан = а12 = 0 при — с^х2^с,(а)
а на бесконечности
ai2->0, a22->0, an=P0 при | xf + 4| -> оо. (б)
Используя принцип суперпозиции, можно упомянутую выше задачу заменить двумя следующими:
О| । — р^ Gj2 — 0 при х, — 0, с ^^ х2 ^^ си(в)
ail-*°. а22"*°’ а12-*° ПРЯ 1*1 +х2|->ОО.
Так как задача является симметричной относительно плоскости
Xi = 0, можно ограничиться рассмотрением упругого полупро-
странства, в котором должны выполняться граничные условия
Оц(0, х2) = —р0,О|2 (О, Х2) — 0 j «• (0, х2) =0,Оц(0, х2) = —р0,О|2 (О, Х2) — 0 j «• (0, х2) =0,— ОО— ООI х2 К с, < Х2 < ОО; I Х2 I > с.I х2 К с, < Х2 < ОО; I Х2 I > с.(1)(2)(3)(1)(2)(3)
Оц(0, х2) = —р0,
О|2 (О, Х2) — 0 j «• (0, х2) =0,
Оц(0, х2) = —р0,
О|2 (О, Х2) — 0 j «• (0, х2) =0,
— ОО
— ОО
I х2 К с, < Х2 < ОО; I Х2 I > с.
I х2 К с, < Х2 < ОО; I Х2 I > с.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Ниже мы приведем способ решения задачи о трещине, данный Снеддоном 4 и основанный на сведении задачи к решению двойственных интегральных уравнений.
В § 6.4 был представлен метод решения задачи об упругом полупространстве при помощи интегрального преобразования Фурье. В предположении, что ai2(0, х2) = 0 и что ац(0, х2) = = —р(х2), там были получены следующие формулы:
(4)(4)»п = — 7^=- [ р (а)(1 4-ахОе-и^-^ da, а22 = — у^—- / Р (а) 0 — ax1')e~axi~iaXi da, °^ = — -^" J Р (a)ae-“^-to^ da.
(4)
(4)
Здесь
/ p(x2)^dx2
является трансформантой нагрузки р(х2) =;—dn(0, х2) на оси Xi = 0. Следует заметить, что функция р(х2) задана только на отрезке |х2| с, где р(х2) = р0.
В дальнейшем нам потребуются формулы для перемещения. Перемещение «1 фигурирует в граничном условии (3). Выполняя интегральные преобразования Фурье над соотношениями
622 — д2и^ =« -^ [(Т22 — V (ан 4" °22)11
ПолучимПолучим®12 = "2"(^2И1 + ^«г) =1-2~ I
Получим
Получим
— 2у.ш«2 = а22 — v (ап 4- б22),
—/ай] 4-5^2 = -^-.
*) И. Н. Снеддон, loc. cit. стр. 213.
Из этих уравнений, учитывая формулы (11) — (13) § 6.4, после выполнения обратного преобразования Фурье находим
«1 =т=- [^а- [2 (1 — v) + ах,] е~а^1-<а^ Да,
2ц у 2л J а
. .(?)
«2 = — — V— [[ 1 — 2v — ах, ]Да.
2ц У 2л а
Предположим, что функция £0(^2) симметрична относительно плоскости х2 = 0. Симметричной относительно этой плоскости будет также функция р(х2). Трактуя р(а?) как трансформанту четной функции, получим из формул (4)
ОО
/ 2 Г
а,1 = — 1/ — I р (а) (1 + ах,) е-ах> cos ах2 da, о
ОО
/2 С
(8)(8)а22 = — 1/ — I р (а) (1 — ах,) е~аХ| cos ах2 da, о
(8)
(8)
а12 = — Ху д/"-^- J р (a) ae~aX1 sin ах2 da,о
/ 2 Г
^(а) = у — J р(х2) cosax2da.
о
В последних формулах а = |а|.
Перемещения выражаются формулами
[-^-[2(1 — v) + ax1]e ax- cosax2da,
°_ - _(9)
иг = — "irVT f 2v —«^""‘sinaXztZa,0
a = | a I.
Используя граничные условия (1) — (3), получим систему двух интегральных уравнений:
}/^ J Р(a)cosax2da = po(x2), |х2|<с,(10)
о
|х2|>с.|х2|>с.(И)(И)J -2-^- cos ах2 da = 0, о
|х2|>с.
|х2|>с.
(И)
(И)
Вводя обозначения
х1 = сть р^ — »‘1‘Р№.
и выражая cos г через функцию Бесселя дробного порядка cos2=(^y/2Z_V1(z),
приводим систему интегральных уравнений (10), (11) к виду
f рР (Р) к^ (РП) dp = g (n), InKI, (12) о
J ^(p)/-y3(pn)dp = 0,|T]I>1-(13)
о
Решая эту систему уравнений, получим функцию р'/зР(р) — = р(а). Знание этой функции позволяет вычислить напряжения и перемещения по формулам (8) и (9).
Система интегральных уравнений (12) и (13) является частным случаем общей системы уравнений
I X К 1,I X К 1,(14)(14)J Ну) kky)dy=O, оJ Ну) kky)dy=O, оIX |> 1,IX |> 1,J УЧ {у) к ку) dy = g (х), О
I X К 1,
I X К 1,
(14)
(14)
J Ну) kky)dy=O, о
J Ну) kky)dy=O, о
IX |> 1,
IX |> 1,
исследованной Басбриджемх). Решением системы уравнений (14) является функция
fk)fk)2-№х-»2-№х-»1
fk)
fk)
2-№х-»
2-№х-»
х'+^д.^ (х) J у‘+Ч1 — ^g^dy +
111
+ J «1+^(1 — u^du J gky^xyf^k+i+^ky^dy I. (15)оо)
Это решение имеет смысл при следующих ограничениях: функция g(z/) должна быть интегрируемой на отрезке |у|^ 1,
*) Busbridge L. W., Proc. London Math. Soc., 44 (1938), 115.
а величина р должна удовлетворять неравенствам
Р>—2, -Л—1 <р —1<Л+1.
Используя формулу (15), в которой для системы интегральных уравнений (12) и (13) следует положить р = 1, Л = —‘/г, получим
Р («) = Р (у) = p'iaP (Р) = Р VТР («) = Р (у) = p'iaP (Р) = Р VТ1/о (р) / у'12 (1 — уЧ’2 g (у) dy + О1/о (р) / у'12 (1 — уЧ’2 g (у) dy + О
Р («) = Р (у) = p'iaP (Р) = Р VТ
Р («) = Р (у) = p'iaP (Р) = Р VТ
1
/о (р) / у'12 (1 — уЧ’2 g (у) dy + О
1
/о (р) / у'12 (1 — уЧ’2 g (у) dy + О
+ р J «V2(1— u^i2dtl J g(Mz/)z/72y1(p2/)dz/l. (16)00J
В частном случае рй = const, т. е. при постоянном давлении в трещине, получим
Иа)™/^)/^ Л(ас).(17)
Подставляя формулу (17) в формулу (8) и группируя члены соответствующим образом, получим
у(он 4-а22) = — рйс J е~ах'1х (ас) cosax2da, о'
у(а22 —ац) = росх1 J ае-"'/, (ас) cos ах2 da, (18) о
а12 = — PqCxx J ае-0^/, (ас) sin ах2 da.
о
Из этих уравнений получим
-^-(022 — 011) 4-/012 = росхх J ае-аЧх (ас)da,(19)
о
где
z = X! 4- /х2 = ге^6.
Заметив, что
J ae-az/, (ас) da = с (с2 4" z2)-11 = с (.ГхГ^-*11 е-8^ <0i+02> # о
где
z—/с = rTet6s 2 4- /с = гае<62,
и взяв соответственно действительную и мнимую части выражения (19), получим
1 ,, Г { С2 Vh - Г з /n I Л \1
7 (о22 — Оц) = р0 7) cos 6 cos [у (61 + 62)j ,
Г / С2 Vil А • Г 3 /А I А >
Oi2 = — Ро 77) cos 6 sin v(0i + 02)
\ ' и 2 /L
На рис. 6.16 представлены граничные условия, а также радиусы
РИС. 6.16.
г, И, г2 и углы 6, 61, 02- Первую формулу системы (18) можно записать в виде
7(011 +а22) = —pocRe J e~azJv (ac)da =
о
= — рос Refl—п—1,(21)
Р L (г2 + с2) '2 JХ '
' откуда
7 (оц + о22) = Ро " 7COS(0 —7 61—7 62)— 1].(22)
*L v н2)Xf J
Легко проверить, что для Xi = 0 и |х2| ^ с выполняется условие оц = 022 = —Ро, 012 = 0 и что для | х21 > с имеем
012 = 0, o11 = Pof-7^=-l).(23)
\V х2 — с" /
Прогиб «1(0, Хг) на отрезке | х21 ^с выражается функцией
«.(О, х2)=-^р0(С2-<>.(24)
Граница трещины переходит в эллипс, так как из формулы (24) получаем уравнение
^2 , [“1 (0, x2)J- _,_i-v
с2 + &а —ц PqC*
Задача о штампе
Рассмотрим действие силы Р на упругое полупространство посредством абсолютно жесткого штампа (рис. 6.17). Этот штамп не ограничен в направлении оси ±х3, а нагрузка Р не зависит от переменной х3.
В плоскости Xi = 0 появится перемещение «ДО, х2), характеризуемое тем, что на отрезке |х2| с оно принимает постоянное значение. При |х2| *> с перемещение «ДО, х2) является неизвестной функцией. Предположим, что между штампом и по-
РИС. 6.17.
лупространством нет трения, так что напряжение ai2(0, х2) равно нулю. Вертикальная нагрузка р(х2) =—оц(0, х2) действует только на отрезке |х2| ^ с. Мы имеем дело со смешанной задачей с граничными условиями
«! (0, х2) = const,|х2Кс,(1)
ан(0, х2) = 0,|х2|>с,(2)
а12 (0, х2) = 0,— оо < х2 < оо.(3)
Задача, как мы скоро увидим, сводится к определению сил /Дх2) на отрезке |х2| ^ с, сил взаимодействия штампа и упругого полупространства. Для определения напряжений и перемещения в упругом полупространстве воспользуемся принципом суперпозиции. Эти величины определяются следующими формулами:
С
^ар (-^1» *2) = J ^(У^ар^Р *2» ^, У ^2»(4)
—с
с
tia(Xp Х2) = J Р(§г)Иа(^Р ^2* 0’ £2)^2 *(5)
—с
а, 0 = 1, 2,
Здесь Стар—напряжения, вызванные в точке (xi, Х2) упругого полупространства действием сосредоточенной силы, направленной перпендикулярно к границе и помещенной в точке (0, £2). Это не что иное, как функция Грина, рассмотренная в § 6.4 (формулы (23)). Через «а обозначим перемещения, связанные с напряжениями Стар. Использование граничного условия (1) приводит к следующему интегральному уравнению первого рода:
С
J Р (У «* (0, х2; 0, у d^ = const.(6)
" —с
После определения из этого уравнения неизвестной функции р(ёг) мы можем найти величины аар и «а по формулам (4) и (5).
Используя формулы (23) § 6.4, имеем далее
„ 2 f Р (£2) d^i
—С
»22 = ~ J ^ (*2 - S2)2 ^2,(7)
—с
Г2 = х? + (х2-^.
Нам остается определить перемещение «*(х,, х2; 0, ^). Для этой цели используем формулу (9) § 6.6, несколько модифицируя ее с тем, чтобы найти поверхность, симметричную относительно плоскости Хг = ^2- Тогда имеем
«1 = V V д / 9(«)[2 (I — v) + ax1]-^r^cosa(x2 — ^da. (8) о
Так как в точке х2 = £2 действует сила единичной интенсивности, то
9U2) = I • 6(х2—£2).
Отсюда со,
^ (а) = У -7 J 6 (х2 — &) cos а (х2 — g2) da = -^ iZ^- 0
и
“*= ^ i ^^ — ’v) + axil±^~c°s«^2 —^)da + M?- (9)
Интеграл в формуле (9) при Xi = О является расходящимся. Поэтому будем рассматривать относительное перемещение и по отношению к прямой, проходящей через две произвольно выбранные точки границы, например (0, (2 — 6), (0, £2 + 6)- Предположим, что в этих точках перемещение и* равно нулю. Тогда имеем
о —^Г^"» + 4 а»)
о
Подставляя и®, вычисленное по формуле (10), в (9), находим
«1(хр х2; 0, у
= 2^/[2 <1 -> '""'“""^■'-“"^ + ,,=-..cos«fe-Mlda= о
v) Inv) In^+(^2-В2)2b2^+(^2-В2)2b2(11)(11)
v) In
v) In
^+(^2-В2)2
b2
^+(^2-В2)2
b2
(11)
(11)
Подставляя формулу (11) в интегральное уравнение (6), имеем
J р(£2) In| х2 —£2 |d£2 = const.(12)
—с
Решение этого уравнения дал Садовский *):
С
/р^Ж=-гД=.(13)
л у с2 — х2 „сnV с2 — х2
Из формулы (13) видим, что напряжение стц(0, х2) =—р(х2), | х21 ^ с, неограниченно возрастает, когда |х2|-*с. Этот результат относится к гипотетическому телу с неограниченной упругостью. В реальном упругом теле вблизи точек (0, ±с) появляются пластические зоны. В точках, удаленных от области приложения штампа, напряжения аар, определенные по формулам (7), незначительно отличаются от напряжений, которые возникают там в действительности.
Решение интегрального уравнения (6), несмотря на кажущуюся его простоту, наталкивается на значительные трудности математического характера. Отсылая читателя, интересующегося теорией интегральных уравнений, к замечательной монографии
Шмейдлера *), ограничимся здесь проверкой результата (13) способом, предложенным Снеддоном). Заметим, что
Jp(x2)dx2 = £ \^-x^kdx2 = P.(14)
Выражая р(хг) через интеграл Фурье, имеем
„ , ,/"~2" f / X.-. Г 2 Р Г cos ах2 dx2 ,.
Р(а)=1/ — J р (х2) cos ах2 dx2 = у — — J(15)
оо V с — х2
С другой стороны, известно, что
j Jo (ac) cos ах2 da =j Jo (ac) cos ах2 da =(c^-x^-V1 при |х2|<с,(1б)
j Jo (ac) cos ах2 da =
j Jo (ac) cos ах2 da =
О при | х21 > с.
Выполняя обратное преобразование Фурье, приходим к соотношению
3_ f cosax^ = }( }(П)
О Г с х2
Из сравнения формул (15) и (17) видим, что
p(a)«^J0(ac).(18)
Подставляя формулу (18) в формулы (8) § 6.6 (которые и здесь остаются справедливыми), получим
Ф1 + а22 =— J0(ac)e~ax' cosax^da,
(19)(19)о
(19)
(19)
а22 — аи + 2га12 = —^- J а70 (ас) e~az da,о
Z = Х1 + /х2.
Последние интегралы можно представить в замкнутом виде. Получим
Ф1 + ф2 = -^Яе JФ1 + ф2 = -^Яе Je-azJ0(ac)da =e-azJ0(ac)da =■у (а22■у (а22о= Рх'ло= Рх'л■^Re[C2 + 22]-'\(20)■^Re[C2 + 22]-'\(20)Цх — ic)^Цх — ic)^
Ф1 + ф2 = -^Яе J
Ф1 + ф2 = -^Яе J
e-azJ0(ac)da =
e-azJ0(ac)da =
■у (а22
■у (а22
о
= Рх'л
о
= Рх'л
■^Re[C2 + 22]-'\
(20)
■^Re[C2 + 22]-'\
(20)
Цх — ic)^
Цх — ic)^
Schmeidler W., Integralgleichungen mil Anwendungen in der Physik und Technfk, Geest und Postig, Leipzig, 1950.
Вводя обозначения
z = reto, z— ic = rxeWx, z + ic ==г^.
где г, rb r2, 0, 01( 62 показаны на рис. 6.16, находим окончательные формулы для напряжений
ар =(cos (6, + е2)1 + — cos е cos [б -| (0, + 02)В, я^ГгУ1J rxr2L 2
<т22= - —Р цт (cos Ц- (01+02)]—~ cos 0 cos [о --|-(01+02)]], (21)
л(Г1Г2)' I L2 J rxr212
Pr COS 0 . Г„ /л I —^rsin 0 —-(0, + 02) . тЦгХг2У2 12 J
Из формулы (9) § 6.6 находим, что
(22)(23)(22)(23){дих\Р (I — v) г , , . .,
(22)
(23)
(22)
(23)
\ ох2 /Х1=о\ ох2 /Х1=о= + (ас) sin ах2 da,
\ ох2 /Х1=о
\ ох2 /Х1=о
т. е.
Опри |х2|<с,
P(l-v).
при |Х2|>С’
откуда видно, что граничное условие (1) удовлетворено.
В настоящем параграфе мы дали решение простейшей контактной задачи. Несколько более сложных контактных задач читатель найдет в обстоятельных монографиях Галина •) и Штеер- мана2). Много задач с использованием интегральных преобразований различного типа было решено Уфляндом3).
Контактные задачи решаются различными методами, прежде всего с использованием теории потенциала и методов теории функций комплексной переменной. Применение этих последних методов читатель найдет в монографии Мусхелишвили и в книге Грина и Верны (см. список литературы).
Представленный тут способ решения задачи о штампе является частным случаем общего метода, изложенного для пространственных задач в § 4.15.
Рассмотрим пластинку, нагруженную на границе и жестко закрепленную на частях границы I и m (рис. 6.18). Обозначая через «п и «з составляющие вектора перемещения в нормальном
и касательном к границе направлениях, имеем «п = О, us = О на границе /, m пластинки. Под влиянием нагрузки в пластинке возникнут напряжения, а вдоль границы m граничные силы: реакции p(Q) и s(Q), которые будут функциями положения точки Q на границе т. Примем их в качестве неизвестных функций нашей задачи.
Будем считать основной системой ненагруженную пластинку, жестко закрепленную вдоль части границы I (рис. 6.18, б). Пусть на эту основную систему действует сначала внешняя нагрузка. Обозначим составляющие перемещения, вызванные этой нагрузкой, через «®ф), /=1, 2.
Пусть на основную систему действует единичная сосредоточенная сила p(Q) = In- Это состояние мы понимаем как действие единичной сосредоточенной силы, нормальной к границе и приложенной в точке Q границы т пластинки. Под действием этого нагружения в пластинке возникнут перемещения; точка Р получит перемещение с составляющими U*^, i—l, 2. Составляющие U\nA (Р, Q) являются функциями как положения точки Р внутри пластинки, так и положения точки Q на ее границе. Они являются функциями Грина для состояния p(Q) = 1П, удовлетворяющими в основной системе уравнениям равновесия и всем граничным условиям (рис. 6.18, б)..
Аналогично через Uf'(P> Q)i < = 1, 2, обозначим составляющие перемещения точки Р, вызванного действием сосредоточенной касательной силы s(Q) = ls, приложенной в точке Q границы т (рис. 6.18, в).
Предположим, что функции и'Г(Р, Q) и U1^ (Р, Q) можно определить в основной системе из дифференциальных уравнений теории упругости.
Вернемся к пластинке, представленной на рис. 6.18, а. Составляющие перемещения и^Р^, i = 1, 2, в точке Р пластинки можно выразить в следующем интегральном виде:
«ДР) =«?(?) + J p(Q)Unp. Q)dsQ+ J s(.Q)U^4P,Q)dsQ. (24) (m) (ml
Рассмотрим случай жесткого закрепления границы m пластинки.
Потребуем, чтобы на границе m составляющие перемещения щ
были равны нулю. Это условие мы реализуем, переходя из точки Р к точке Q' границы т. Из системы уравнений (24) находим, что
W') + f P^W, ^dsQ+ J s(Q)^>(Q,) Q)dsQ = 0, (25) (m) Im)
i = 1, 2.
Мы получили систему двух интегральных уравнений первого рода. Решение этой системы уравнений дает неизвестные функции p(Q') и s(Q'). После подстановки этих функций в интегральное выражение (24) получим составляющие перемещения упругой пластинки, представленной на рис. 6.18, а. Заметим, что ядра интегральных уравнений (25) симметричны, как вытекает из теоремы взаимности Бетти.
Проведенные выше рассуждения можно обобщить на случаи, когда пластинка закреплена на большем числе линейных опор.
Эти рассуждения справедливы также для пластинки, представленной на рис. 6.19, в которой по дуге т перемещения равны нулю.
Вернемся еще раз к рассмотренной в этом параграфе задаче о штампе. Уравнение (25), выписанное для границы Xi = 0 уп-
ругого полупространства Xi>0, имеет вид
с
(26)(26)J p^U^O, х2; 0, у ^2 = const. —С
(26)
(26)
Так как массовые силы и граничные нагрузки вне отрезка | х21 ^ с отсутствуют, то «®(хр х2) = 0. Далее, положим в формуле (25) s(Q) = 0 в силу предположения, что касательные силы в плоскости Xi = 0 отсутствуют. Очевидно, уравнение (26) идентично уравнению (12). В случае полупространства, нагруженного двумя штампами, получим систему двух интегральных уравнений, в которых неизвестными функциями являются pi(h) и Рг(^) —опорные реакции под штампами (рис. 6.20).
Применение функций комплексной переменной
При решении двумерных задач теории упругости большую услугу окажет нам метод функций комплексной переменной. Этот метод, примененный Колосовым), был существенно расширен и обогащен Мусхелишвили ) и его школой. В настоящем параграфе мы кратко изложим основы этого метода и его применений, отсылая читателей, желающих познакомиться с ними более подробно, к монографии Мусхелишвили и книге Бабушки, Ректориса и Вычихло (см. список литературы).
Введем несколько новых понятий, таких, как комплексное перемещение, главный комплексный вектор сил, главный момент и т. д. Мы будем рассматривать только плоское деформированное состояние. Перенесение данных здесь понятий и методов решения на плоское напряженное состояние не составит никакого труда. В плоском деформированном состоянии закон Гука имеет вид
<тор 2р,вар -{- Хвдор, е = 8ц 4* 822, я, Р == 1, 2,
<т3з = ^е. <Т1з = 0, ст23 = 0.
Выразим теперь левую часть уравнения (1) через функцию Эри:
^^(-d^p + dapVDF.(2)
Заметив, что
= 9 /1 \(^и + СГ22),<Т11 + а22 = V1F, Vf = di4'd2,
2 (Л +
приводим уравнение (1) к виду
d-.F-l^ + ^^^F,(3)
— dxd2F = р (д, «г + д2их\
Разрешая уравнения (3) относительно di«i и дгМг, получим
2^^ = - d\F 4-x^F, = х + 2ц 2р,д2и2 = — d^F 4г x^F, Х‘ 2(Л + ^‘
После интегрирования уравнений (4) приходим к следующим, выражениям для перемещений:
2р«, = — dxF Ч-х^, 4-М*г),
2р«2 = — d2F + xxh2 4- &2 (xj.' '
Здесь &i(x2) и &2(Х1) — произвольные функции и
hx = J W dxi, h2= ^ V^F dXi.
Воспользуемся, наконец, последним уравнением системы (3). Подставляя в это уравнение «1 и «2 из формул (5), получим соотношение
х, (d2hx 4- dxh^ 4- д2кх 4- dxk2 = 0.(6)
Вводим величину их 4- ш2, называемую комплексным вектором перемещения. Тогда, учитывая формулу (5), имеем
2ц (и, 4- z«2) = — (dxF 4- id2F) 4- хх (hi 4- ih2) 4" ^1 4" ^2.,
<7)
Граничные условия также можно представить в комплексном виде. Пусть граница описывается параметрическими уравнениями
x^x^s), x2 = x2(s),
где s — длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки А (рис, 6.2). Составляющие вектора нагрузки р = (РьР2, 0), дей-
ствующего на границе s, связаны с функцией . Эри соотношениями..
Интегрируя pi и р2 по дуге s от Л до В и обозначая результирующие нагрузок через Рх, Р^, получим
Р.= Jp,ds = (d2F)®, р2_ jp2ds = (-d,F)®.(9)
ЛВАВ
Из этих результирующих образуем так называемый комплексный главный вектор сил
Р, + 1Р^ = / (Pi + W2) ds = -i kdxF + 1д^вд. (10)
АВ
Введем также понятие главного момента, выраженного формулой
M= j (*iP2 —x2Pi)ds.
ЛВ
Задача плоского деформированного состояния решается для двух основных типов граничных условий. Если заданы перемещения, то используем граничные условия в виде (7), если заданы нагрузки, — выписанное для границы условие (10).
Рассмотрим односвязную область S с границей сй и воспользуемся справедливой для этой области теоремой Гурса, утверждающей, что бигармоническая функция в односвязной области может быть представлена с помощью двух голоморфных функций *) ф(г) и % (г) в виде
Е = Ке[гф(г) + %(z)], z = xv-Hx2, S = xx—ix2. (11) Здесь Re[ ] обозначает действительную часть комплексной функции, az — величину, сопряженную к г. Справедливость теоремы (11) доказывается следующим образом. Предположим, что в области S существует голоморфная функция
n^WQiUb X2) + ^2U1, х2).(12)
Полагая Q^Xp x2^ = ^F, имеем
V?E = Re[n(z)].(13)
■) Если функция комплексной переменной /(z) имеет в каждой точке области производную, то такая функция называется голоморфной (регулярной). Если f(z) = ft + lf2 голоморфна в области S, то функции fi(x1,x2), /г^.хг) являются гармоническими функциями и удовлетворяют условиям Коши — Римана dtft = dji, dtfa = —Oif\.
Функция Qi гармонична, т. е. V?V?F = V?Q, =0. Введем функцию ф(х), голоморфную в S и такую, что
г
ф(г) = 4/ П^^ — Ф! + /ф2.(14)
20
Из формулы (14) сразу вытекает, что
ф'(г) = 4 Л (г) =4 (91 + IQ-1Y(15)
Нетрудно показать, что функцию F можно представить в виде
F = Х1Ф, + х2ф2 + q,(16)
где q является гармонической функцией. Для того чтобы доказать это, установим сначала справедливость уравнения
V^F — х,ф,— х2ф2) = 0,(17)
или
^F — 2 (д1Ф1 + д2ф2) — х^2ф, — х2^ф2 = 0.
Так как функции ф1 и ф2 гармонические, то остается уравнение
4F — 2 (5,ф, 4- д2ф2) = 0.(18)
Из уравнения (16) имеем
51Ф1="4"91> д]ф2 = -^- Q2.
Функция ф как гармоническая функция должна удовлетворять условиям Коши — Римана
<Э[Ф1 = 52ф2 =-^-Q1( <31Ф2 = —d^1=^-Q2.
Поэтому
2Р1Ф1 + ^2) = Q,.
Так как V?F = Qi, то уравнение (18) тождественно удовлетворяется. Тем самым выполняется соотношение (16), если только q является гармонической функцией. Трактуя q как действительную часть комплексной функции % (г) в области S и учитывая, что
Re [гф (г)] = Re [(Xj — 1х^ (ф! + г*Ф2)] = (2ф + гф) = х,ф, + х,ф2,
формулу (16) можно представить в виде
К = Ре[гф(г) + х(г)].(19)
Функция F однозначно определяется двумя голоморфными функциями ф(г) и x(z). Эти функции, так же как и F, будем называть функциями напряжений либо комплексными потенциалами.
С помощью функций ф(г) и x(z) можно выразить напряжения и граничные условия задачи.
Для определения напряжений исходим из следующих соотношений:
°П + °22 = ^V >
cm — <ти + 2io12 = d\F — ду — 2id{d/.(20)
Подставляя формулу (19) в правую часть этих соотношений, получим
<Т11 + »22 = 2 [ф' (z) + ф' (z)J = 4 Re [ф' (z)J, °22 — ^п + 2io12 = 2 [гф" + x"L
откуда после разделения второго из уравнений на действительную и мнимую части вытекает, что
+ <T22 = 4ReK(z)Lсг22 — (Тп = 2 Re [зф" + х"], СГ12 = Im [гф" + х"].Вводя для упрощения записи обозначения
Ф'(г) = Ф(г), х'(2)=ф(4 i|)'(z) = 4f(z), представим напряжения в окончательном виде (ТИ = Re [2Ф —гФ' —ЧЧ, ^22= Re[2® + гФ'+Т],(21)
<Ti2 = Im [гФ'+ V].
Комплексный вектор перемещения, учитывая формулу (7), можно выразить как
2ц («1 + z ы2) = хф (z) — гф' — / + kx + «62, х=(22)
Остается определить функции кх и к2. Используем для этой цели соотношение (6). Так как ^Ai + ^i^2 = ^гФ1 + ^1ф2, то
^2^1 Н- ^1^2 ^= ^*
Этим уравнениям удовлетворяют функции кх — 2 ц (ctj *— Сх2), А2 —2ц (а2 —)- Oxj), где С, ai, a2—произвольные действительные постоянные. Таким образом, уравнение (22) принимает вид
2р. («! + iu2) = %Ф (z) — 2ф' (z) — х' (г) + 2ц (a + iCz), (23) где,
а = а! + 1аг.
В дальнейшем последний член правой части уравнения (23) будем включать в предыдущие члены. Поэтому, не умаляя общности, принимаем,что
2ц (щ + iu2) = Хф (z) — гф' (z) — ф (z),(24)
Ф(г) = х'(^).
Зная функции ф и ф, по формуле (23) можно определить составляющие вектора перемещений в произвольной точке тела с точностью до линейного члена. Равенство (24) играет на границе роль граничного условия в перемещениях.
Аналогично с помощью функций ф и ф можно выразить главный вектор сил
Р = Pi + IP г = — I (di? + id.^ = J (р, + ip^ ds =
AB
= — i^(z) +гф' (г) + Ф(г)1д.(25)
В дальнейшем часто вместо вектора Pi + iP2 будем вводить выражение
t (s) = i / (pi + ipa) ds = f /(s) + if2 (s) = [ф + гф' + ф]°. (26)
AB
Если кривая С является границей, то выражения (25) и (26) представляют собой граничные условия задачи в нагрузках.
Следует рассмотреть еще одну задачу, которая будет иметь важное значение при определении единственности решения. Если в рассматриваемой односвязной области дана функция F и тем самым потенциалы ф(г) и x(z), то напряжения определяются однозначно функциями F по формулам (2) и функциями ф(г) и ф(г) по формулам (21). Однако возникает вопрос, однозначно ли определены функции F, ф(г), ф(г) при заданных напряжениях стар. Чтобы ответить на этот вопрос, надо исследовать соотношения (20а). Предположим, что эти соотношения удовлетворяются двумя парами функций ф<0, фО) и ф<2\ ф<2). Вводя обозначения А = ф0> — ф<2\ р = ф(1) — ф<2), получим из формул (20а) следующие условия:
4Re[r(z)] = 0, 2[zO"(z) + p'(z)] = 0.(27)
Из первого условия вытекает, что
A' (z) — Ci, A(z) = CZz + a, ^"(z) = 0,(a)
где С — действительная постоянная, а а — комплексная постоянная.
Поставляя $"(г) = 0 во второе условие (27), получим p'(z) = 0, p(z) = p,(б)
где р — комплексная постоянная.
Отсюда делаем вывод, что при заданных напряжениях <тар функция ф(г) определена с точностью до линейного члена а + + iCz, а функция ф(г) — с точностью до постоянной р.
Рассмотрим случай, когда в односвязной области S заданы перемещения. Спрашивается, до какой степени функции ф(г) и ф(г) определяются перемещениями. Рассматривая, как и ранее, две пары функций ф, ф, получим из формулы (24)
2р. ^uv + ^2) = %ф(1) — гф'111 — ф(1) = хф*21 — гф'*2* — ф(2), откуда
хФ — гй' — р = 0.(28)
Условие однозначности перемещений влечет за собой однозначность напряжений. Поэтому можно воспользоваться соотношениями (а) и (б). Подставляя их в формулу (28), имеем
(1 + х) Ciz + ха — р = 0.
Так как последнее уравнение должно удовлетворяться для каждого значения z, то должно быть
С = 0, ха = р.(в)
Отметим, что произвол в определении функций ф и ф является меньшим, чем при заданных напряжениях. Функция ф определена с точностью до постоянной а, функция ф — с точностью до величины р, причем аир зависимы между собой: р = ха или Р = ха.
Поэтому если заданы напряжения, а начало координат находится в S, то функции ф(г) и ф(г) будут определены однозначно, когда постоянные С, а, р выбраны так, чтобы выполнялись условия
Ф(0) = 0,Im [ф' (0)] = 0, ф(0) = 0.(29)
Если задано поле перемещений, то следует положить С = 0, а а выбрать так, чтобы выполнялось условие ф'(0) = 0. Так как Р = ха,то тем самым определено и значение р. В односвязной области S функции ф(г) и ф(г) будут определены однозначно, если их представить в виде степенных рядов:
Ф (z) = 2 ОпЛ ф (z) = 2 bn^.(30)
п=0п=0
Для каждого из членов рядов (30) главный вектор сил Р\ + IP^ и главный момент равны нулю, так как после полного обхода
контура с0 члены z" принимают свои начальные значения. Нулевое значение главного вектора нагрузок и главного момента свидетельствует о выполнении условий равновесия для внешних нагрузок.
При применении метода комплексных потенциалов существенная трудность заключается в нахождении функций ф(г) и ф(г), которые требуется выбрать так, чтобы удовлетворялись граничные условия. Для этого следует установить непосредственную зависимость ф, ф от граничных условий. Подробнее эту задачу мы обсудим в § 6.11.
Другой (хотя и не универсальный) способ заключается в выборе функций ф и ф в виде многочленов и определений соответствующих им напряжений и перемещений.
Вид комплексных потенциаловдля многосвязных областей
Рассмотрим плоскую многосвязную область, представленную на рис. 6.21. Обозначим через с^ (& = 1, 2т) внутренние граничные контуры, через с0 — внешний контур. Обозначим через Zh произвольные точки, лежащие внутри контуров ск. Эти
РИС. 6.21.РИС. 6.21.точки принадлежат областям, не входящим в состав рассматриваемой (т + 1)-связной области S.
РИС. 6.21.
РИС. 6.21.
Может оказаться, что в многосвязной области (так же как и в односвязной) перемещения и напряжения удается выразить однозначно через комплексные потенциалы ф(г) и ф(г), не связывая их с функцией Эри, а непосредственно используя уравнения равновесия и уравнение совместности
(1)(1)ара,в = 0> а> ₽=I. 2.
(1)
(1)
VUCT11 + "зг) =°-
В предположении, что напряжения стар (а, р = 1, 2) являются непрерывными функциями вместе со вторыми производными и удовлетворяют уравнениям (1), справедливо следующее утверждение.
Функции аар в (ш + 1)-связной области можно выразить однозначно через комплексные потенциалы в виде
Ф(г) = г 2 ЛДп(г —z6)+ 2 у61п (z — z6) + v0(z),(2)
(3)(3)Ф (г) = 21 Vs In (z — z6) + ф0 (z),
(3)
(3)
причем
"п + "22 = 4 Re [ф'],(4)
"22 — "11 + 2<"12 = 2 (Хф" + ф').(5)
В выражениях (2) и (3) Лд являются действительными постоянными, у6, уд— комплексными величинами. Как величины Лд, так и разности уд — Уд не зависят от положения точек хд, а только ОТ функций Стар. Функции фо И фо являются голоморфными функциями.
Мы не приводим здесь сложного доказательства этого утверждения. Читатель найдет его в книге Бабушки, Ректориса и Вы- чихло (см. список литературы).
Из требования однозначности напряжений и перемещений следуют дополнительные условия, определяющие постоянные Лд, Уд. Уд-
Рассмотрим комплексный главный вектор сил
(Р1+^2)л = -*(ф+ <+*)*(6)
для дуги, соединяющей точки Л и В внутри области S. Для комплексного вектора перемещения в области S справедлива формула
2ц (их + iu^ = хф — хф' — ф, х = 4^Г •(7)
Совершим обход контура сд, исходя из точки х и перемещаясь по часовой стрелке. После обхода контура выражение (7) изменится на величину
— 2л/ [(1 + %) Акг + худ + у^].
Условие однозначности перемещения будет выполнено для каждого значения х, если
4 = °. иУд + Уд = °. ^ = 1,2т. (8) Соотношение (6) справедливо и для предельного случая, когда дуга АВ является замкнутой кривой сд. Интегрируя формулу (6) вдоль дуги в направлении по часовой стрелке и требуя однозначности выражения (6), получим
Ф\ + iP^Ck = [ Or + ipi^ ds = — i [- 2л/у6 + 2л/у'] = ck
= -2л(уд — у'),6=1,2п.(9)
Из соотношений (8) и (9) определяем значения yft и уд. Подставляя эти значения и Лд = 0 в формулы (2) и (3), получим
следующие выражения для голоморфных функций ф(г) и ф(г):
Ф (2) = Фо (2) — ^m- 5' + iP^) In (z — z6),(10)
’ 4=1
Ф (2) = Фо (2) + злГЬЙО ^ W — ip^ In (z — Zft).(11)
4=1
Если задано поле напряжений стар, то функция ф(г) определена с точностью до члена Ciz + а, а функция гр (z) — до члена р, где С — действительная, а а, р — комплексные постоянные.
Если заданы перемещения, то функция ф определена с точностью до члена а, функция ф с точностью до члена р, причем эти величины связаны соотношением %а = р.
В приложениях мы часто встречаемся с неограниченной областью с вырезами по контурам Ci, Сгст. Для такой области, в которой контур <?о простирается до бесконечности, выбираем окружность сн с центром в начале координат и таким радиусом R, чтобы в ней содержались все внутренние контуры <?i, Сг, • • •, ст. Пусть на границах сд (А = 1, 2, .... т) действуют нагрузки, которые дают главные векторы P\k' + IP^. Тогда для части плоскости, лежащей вне круга cR, т. е. для |z| > /?, или для всех z в окрестности бесконечно удаленной точки, справедливо соотношение
2 ^ + Ц1^ 1П (2 _ 2^ = (Р1 + 1Р^ ]п 2 + ф* (z\
6=1 где
Р^Р^ЖШЧ
4=1
а ф*(г) является голоморфной функцией в окрестности бесконечно удаленной функции. Здесь
Ф* С?) = 5 W +[Р^1п (2 - z^ - ^ +1Р^1п 2 = к=\
т/\
= £(р^^>(1-> 4=1
а функция 1п ^1 ~ ^"У очевидно, является голоморфной в окрестности бесконечно удаленной точки.
Потенциалы ф(г) и ip (г), данные соотношениями (10) и (11), можно представить для неограниченной области в виде
Ф(г) = Фо — 2л( 1 + х) 1п z’(12)
t(z) = №) + ^T^lnz, Ра = ^\(13)
Согласно теореме Лорана, функции фо, Фо можно представить в окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. вне круга сн) в виде рядов
Фо(з)= 5Ф5(з)= 5 bnz\(14)
п—— ООП=” ОО4
Следует потребовать еще, чтобы на бесконечности напряжения были ограничены. Рассматривая это ограничение, будем исходить из формул (4) и (5) для напряжений. Подставляя формулы (12) и (14) в формулу (4), получим
ст,, +ст = 4 Re(<р') = 2(ф'+ф') = 2 Г-- - Д^Д 41 +
4-2 5 «[л,^-'4-(<5Jz^-4-ф2 У n[anz^ п— — ООГ.=2
Из условия ограниченности стп + ст22 для произвольно больших значений z вытекает, что
ап = ап = 0 Для л = 2,3 (а)
Подставляя (13) и (14) в формулу (5) и требуя, чтобы выражение ст22 — <тц 4- 2zcti2 было ограничено в окрестности бесконечно удаленной точки, приходим к выводу, что условию ограниченности не удовлетворяет ряд
У nbnzn-v. п=2
Поэтому должно быть
Ь„ = 0, п>2.(б)
Принимая во внимание полученные соотношения (а) и (б), можно представить функции ф(х) и ф(г) в окрестности бесконечно удаленной точки следующими выражениями:
ты—2£~^-1пг+гг+Ф0(д*15*
’K2>=2wi4rlnz+r'z+,|’«|2)-<16)
Здесь Г=аь Г/ = Ь1 являются комплексными величинами, а
Фо (z) = ао + ~ + "^г + • • •» Фо (z) = ^о + ~ + -^ + • • •
— голоморфными функциями на бесконечности. Постоянным Г и Г' можно приписать определенный физический смысл. Так как Ф^оо) = Г, то
lim (стп + ст22) = 4 Re [ф' (оо)] = 4 Re (Г). Z-»oo
Дважды дифференцируя функцию ф(г) и замечая, что гф"(г)-> —* 0 [ибо ф(г) есть величина порядка O(l/z2)], получим из формулы (5)
lim (ст22 — ®i 1 + 2гст12) = 2Г'. Z-»oo
Вводя обозначения Г = В + iC, Г' = В' + 1С', имеем
ац(оо) -|- ст22(оо) = 4В, аггС00) — стп (°°) = 2В', а12(оо) = С'.
Поэтому
стн(оо) = 2В— В', ст22(оо) =2В + В', ст12(оо) = С'. (17)
Величину С — мнимую часть Г — можно выразить через вращение о тёЛа на бесконечности. Поэтому имеем
а> = ^дхи2 — d2“i) = -^р (ф' — ф').
Подставляя в последнее выражение функцию ф из формулы (15) и переходя к пределу при z —» оо, получим
, ,1+%^,„ 2цш(оо)
ю(°°)2^С’ с=~ндг-(18>
Заметим, что условие ограниченности напряжений на бесконечности не означает, что ограничены и перемещения. Подставляя (15) и (16) в комплексный вектор перемещения (8), получим
2ц («1 + <й2) = 2л (1"+ xf ^п 2’ + *п^) +
+ (%Г-Г)г- Pz + O(l).(19)
Здесь через 0(1) обозначены те величины, которые остаются ограниченными при произвольно возрастающей z. Из выражения (19) мы видим, что напряжения и перемещения одновременно ограничены на бесконечности, если Г = Г' = 0 и если комплексный главный вектор нагрузок Pi + iP2 равен нулю.
Конформное отображение на единичный круг
Пусть задана функция z=to^, голоморфная в области комплексной плоскости £. Здесь 2 = Xi + 1x2, С = Bi + zb. Функция z = (о(£) ставит в соответствие каждой точке £ области S* некоторую точку 2 области S в комплексной плоскости 2. Пусть область S является совокупностью всех точек 2, соответствующих точкам £ области S*. При этом предполагаем, что каждая точка 2 области S отвечает только одной точке области S*. Такое отображение называется взаимно однозначным отображением области S на область S*. Если с* — некоторая кривая в области S* и точка £ пробегает эту кривую, то соответствующая ей точка 2 пробегает некоторую кривую с области S (рис. 6.22).
Рассмотрим точки £ и £ + d£ на кривой с* и поставим им в соответствие точки 2 и 2 + dz на кривой с в области S. Обозначим соответственно дуги на этих кривых через АВ = As и А*В* = = As* и устремим к пределу отношение As/As* при Д£, стремящемся к нулю. Тогда
Д£->0 I I I
Соотношения (1) вытекают из того факта, что отношение длин дуг имеет тот же предел, что и отношение соответствующих им хорд. Так как 2 = ю (£) является голоморфной функцией, то величины dzjd^, принимают только одно значение независимо от способа стремления А£ к нулю. Требуется дополнительно предположить, что о'(£) =# 0. Аргумент величины dz/dt, определяет ориентацию As относительно элемента As*. Аргумент комплексной величины As* измеряется углом а*, заключенным между As* и осью |i, соответственно аргумент величины As — углом а.
В силу теоремы о вычитании аргументов при делении имеем
argA^ — arg Az = arg-^.(2)
В пределе при Д£->0 векторы Д£ и Az переходят в векторы, касательные к кривым с* и с, a arg(dz/d£) = а*— а является углом поворота элемента дуги ds по отношению к ds*. Отсюда видно, что угол между касательными к двум произвольным кривым ci, с^, проходящим через произвольную точку области S, равен углу между касательными к двум соответствующим кривым с?, С2 в соответствующей точке преобразованной области. Поэтому
02 — О* = 02 — О1.
Такое взаимно однозначное отображение области S на область S*, сохраняющее углы, называется конформным. *
В дальнейшем мы ограничимся отображениями ограниченной или неограниченной области S на область S* — единичный круг |^| ^ 1с помощью аналитической функции
г = со(^).(3)
Требуется предположить, что <о'(С) не обращается в нуль внутри области |^|1. Чтобы функция <о'(£) не принимала нулевых
значений, достаточно предположить, что контур с0 области S имеет непрерывно изменяющуюся кривизну.
Будем рассматривать два основных случая.
Если область S ограничена, а точка г = 0 находится внутри области, то функцию z = ы(^) можно выразить с помощью степенного ряда
2 = ®кО=^^\ |£|<1,(4)
считая, что точке г = О комплексной плоскости г соответствует точка £ = О комплексной плоскости £.
Если область S не ограничена, то, предполагая, что точка z = 0 является внешней, представим функцию г = ю(^) в виде
iCKh(5)
п=0
считая, что точке z = оо соответствует точка £ = 0.
Преобразуем основные выражения для главного вектора и комплексного вектора перемещения из области S на область 5*.
Речь идет о формулах
/(2)=А+^2= J UP\ — Р^ ds = <р (2) + 2ф' (2) + ф (2),(6)
2(г) = 2ц(и, + »ы2) = хф(г) —2ф'(г) —ф(г).(7)
Введем обозначения
Ф [ю (2)1 = Ф1 (С), Ф[ю(2)1 = Ф1(С).H<»(C)] = m ^[® (01=0(0-
Учитывая, что
получаем в области S* следующие формулы:
F (2) = Ф1 (С) + ^- О) + Ы),(8)
G (2) = хФ1 (2) -7(C) - WО)
а
Выражая переменную 2 в полярной системе координат 2 = регЛ приводим комплексные векторы (6) и (7) на границе |2| = 1 к следующему виду:
(Й = Ф: (<т) + ==7(7 + 77) на |2|=1,(10)
G(tt) = хф, (о) — Д==-ф((а) — ф, (о) на 121=1.(11)
to (ст)
Здесь а = е^ — значение 2 на границе единичного круга, F^, GW—функции нагрузок и перемещений на той же границе. Уравнение (11) представляет собой граничное условие первой основной краевой задачи теории упругости, уравнение (10) — граничное условие второй основной задачи. Условия (10) и (11) можно представить одной формулой
<0 (ст)
Я(а) = аф1(а) + ==-ф[(а) + ф1(а).(12)
Полагая а = 1, Н = F, получим уравнение (10); полагая а = = —х, Н = —G, получим граничное условие (11).
Отображая область S на единичный круг S*, удобно выразить 2 в полярных координатах 2 = Ре’в- Окружностям р = = const и лучам й = const в комплексной плоскости 2 соответ-
ствуют на плоскости z замкнутые кривые р = const вокруг начала координат и кривые t> = const, проходящие через начало координат (рис. 6.23) и оканчивающиеся на контуре Cq, соответствующем кривой р = 1.
Величины р, О можно трактовать как криволинейные координаты точки (xi, х2) в плоскости z. Величины хь х2 связаны с величинами р, О следующим соотношением:
М + /х2 = (0 ® = (0 (ре^). (13)
Соотношение ю(^) = е£ определяет в плоскости z семейство ортогональных линий р = const, t> = const, которому в плоскости £ соответствует семейство окружностей и радиальных прямых.
РИС. 6.23.
Рассмотрим произвольную точку г0 плоскости z. Проведем через эту точку кривые
р = const, t> = const.
Обозначим через (р) касательную к кривой t> = const и через (О)— касательную к кривой р = const.
Рассмотрим комплексный вектор А в точке zq; его составляющие, параллельные осям Xi и х2, обозначим через А^ и Л2 (рис. 6.24). Составляющую, касательную к кривой t> = const, обозначим через Лр, а составляющую, касательную к кривой р = const, через Л^. Между этими составляющими имеется следующая связь:
Лр = Л, cos а + Л2 sin а, Лв = — Л, sin а + Л2соза, (14) или
Лр + /Лв = е-‘а(Л1+/Л2);(14a)
а — угол между касательной к кривой t> = const в точке z и ОСЬЮ Хь
Следует определить величину е_’а с помощью отображающей функции г = <о(£). Рассмотрим в системе (р, О) две точки: z и
г + dz. В комплексной плоскости £ приращение dt, для точки £ откладывается в радиальном направлении. Поэтому имеем
dz = eta\dz\, d^ = e^\dl\.(15)
Из этих соотношений находим, что
„1а _ dz _ ®Ч£Ж
_ o' (S) e№
(16)
\dz\ |o'(€)ll^l
l®'(€)l -
Так как ^ = pe№, то
C O' ^
(17)
e -P Та/ЮГ 6"
P Ito'ior
Подставляя e~ia в соотношение (14а), получим
лр + м8 = 1 ^^(^ + /4).(18)
Это соотношение можно использовать для преобразования век
тора перемещения и = (иь и2, 0) в координатах Хь х2 к полярным координатам (р, О):
Up + /u6 = e-i0(ui+zu2).(19)
или
ЫР += у |ю/ (£) | (“1 + ZU2) =
В дальнейшем важную роль будут играть формулы преобразования для напряжений. Локальное преобразование составляющих
напряженного состояния от системы прямоугольных координат к системе криволинейных ортогональных координат описывается следующими формулами:
арр = an cos2 а + о22 sin2« + о[2 sin 2а,
a^ = ап sin2 а + а2г cos2 а — а12 sin 2а,(20)
Оро = 4 (о22 — On) sin 2а + а12 cos 2а.
Легко проверить, что справедливы вытекающие из формул (20) зависимости
Орр + 0^ = Оц + о22,
Ом — Орр + 2Щро = е21а (а22 — сти + ^г)-
Учитывая формулы (20а) § 6.8, уравнения (21) можно записать в виде
орр + ом = 4 Re [ср'(z)],
Ом — оРр + 2zapfl = 2e2ia [гф" (г) + ф' (г)].
Наконец, вводя соотношение
glia = 0. [^ (ОР = О. l®'(ОР =(О'(О
р2 |o'(0P Р2 ®Ч0®Ч0 р2 О'(О и обозначения
ф \^рДО. уг — .ML
мы можем представить уравнения (22) в иной форме:
оРр + ом = 4 Re [Ф, р] = 2 [Ф, (0 + Ф?^)],
ом ~ оРр + 2zap<) =[^) ФПС) + <»'(0 Т (С)].
Р2<о (О
Нам остается еще выразить нагрузки, действующие на границе рассматриваемой области, в системе (р, ф) (рис. 6.25). Раскла-
дывая вектор нагрузки р s (pi, р2, 0), действующий на границе р = 1 в комплексной плоскости г, на составляющие р = (рр, р^, 0), представим граничное условие для нагрузок в виде
(рр — ip^Ca = 2 (арр — io^. =
= (СТ11 4" $22) б2'™ (СТ22 ^11 4" 2/О12). (24)
Вводя комплексные потенциалы Ф1(£) и Т^), получаем на границе области следующие граничные условия:
Рр — ip» = ф1 (») 4- Ф1 (») — =Т [о (а) Ф1 (а) + ®' (а) Т (а)], (25)<о (а)
где о = е№, | £ | = 1.
Решение для конечной односвязной области
Рассмотрим конечную односвязную область S, ограниченную замкнутым контуром с0. Эту область отобразим с помощью функции г = <о(£) на область S* — единичный круг |£| ^ 1, границу которого обозначим через у.
В рассматриваемом случае функции qpi (g) и ф1(С) можно представить с помощью функций, голоморфных внутри круга
Ф1Ю = 5а„Г. Ф1(9 = 2М",
Оп=0
Решение задачи основано на определении комплексных постоянных an, рп из заданных граничных условий. Обе краевые задачи— в перемещениях и в напряжениях — рассмотрим одновременно, выражая их одной записью (уравнение (12) § 6.10):
Я(а) = аф1(а) + -Д^гф;(а) + ф1(п), a = eie. (2)
<о (а)
Разложим функции Я (о), <о(а)/и'(а) в комплексные ряды Фурье:
Я(а)= 2 Л„е^»= 2 Апап,(3)
п=—ооГ1=—ОО
<0 (а)<о' (а)<0 (а)<о' (а)2 cnein»= ^ споп, п=—ООп= — ОО2 cnein»= ^ споп, п=—ООп= — ОО(4)(4)
<0 (а)
<о' (а)
<0 (а)
<о' (а)
2 cnein»= ^ споп, п=—ООп= — ОО
2 cnein»= ^ споп, п=—ООп= — ОО
(4)
(4)
2л
^ = jrj H^e-^d».
Подставим функции (1), (3), (4) в граничные условия (2). Учитывая условие1) ср(О) = 0, а поэтому и ф] (£)Е_0 = а0 = О, и принимая во внимание, что 5 = е-г0 = ст1, приходим к уравнению
ОООООООООО
а 2 йпап + 2 cmam 2 nanO-ri+1 + 2 М~а = 2 Апа". (5) П=1Ш= — ООП=1п=0П=—ОО
Перемножая между собой ряды во втором члене левой части Этого уравнения в предположении, что ряд ф, (а) абсолютно сходится, получим уравнение
ОО Г /00\/00\"
2 аа„+ 2 mamcm+„_! ем+ р„+ 2 mamcm_n_ae-M = л=0 L\m=l/\m=l/_
== 2 А„е-^.(6)
П=—ОО
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях величины е!'п0, приходим к системе уравнений'
aa„+ 2 mamcm+n-i = Ап, п=1,2, 3, ....(7)
т=1
Р«+ 2 mamcm_n-i = A_n, п = 0,1,2 (8)
т=1
После определения величин an из уравнений (7) подставляем их в уравнения (8) и последовательно определяем величины р„. Таким образом, основная часть задачи — определение голоморфных функций ф1(£), ф1(С) — выполнена.
Заметим, однако, что в случае граничного условия (2) в нагрузках (т. е. когда a = 1, Н(с) = F(о)) функция ф1(£) не будет определяться однозначно. Поэтому из рассмотрения уравнений (7) при a = 1 вытекает, что без дополнительного условия
(0)•
Iml^hoyJ=° ^
определить мнимые части величины ai не удастся.
Для обеспечения существования решения должны быть выполнены условия равновесия тела. Эти условия будут выполнены, если
/ (Pi + ip-il ds = Q, j (ххр2 — x^) ds = 0.(б)
С»Co
*) См. первое соотношение системы (29) § 6.8.
Так какТак как
Так как
Так как
fl (s) + if2 (s) = i f (Pi + IP2) ds,s»
то приращение функции F(s) = fx (s) + zf2(s) ПРИ обходе границы равно нулю. Отсюда следует, что F(a^ = fi(^) + if2^ — функция однозначная.
Второе из условий (б) запишем как
/ U1P2 — х2рх) ds = — ^ [Л (s) dxx + f2 (s) dx2] = 0.
После интегрирования по частям имеем
[Xifi (s) + x2f2 (s)]cn — j [^ (s) dxx + f2 (s) dx2] = 0.
O'.
В силу однозначности выражения в квадратных скобках в левой части остается только интеграл. Представим его в виде
dz = o' (C) d^.dz = o' (C) d^.Re И [fi (s) dxx + f2 (s) dx2] I = Re И [f, (s) + if2 (s)] dz I =x CoJ\ Cg)
dz = o' (C) d^.
dz = o' (C) d^.
УравнениеУравнение= Re j F (a) <o' (a) da ,.V.
Уравнение
Уравнение
Re j F (a) о/ (a) da =0
-V.
налагает ограничения на коэффициенты Ап ряда (3).
В случае первой краевой задачи, когда на границе заданы перемещения, для определения функций qpi (g) и ф1(£) достаточно условия ф1 (0) = 0.
Особенно просто преобразуются уравнения (7) и (8) для круговой области S. Функция <о(£), отображающая круг S радиуса R на область S* — единичный круг |£| ^ 1, имеет особенно простой вид;
z = to(& = R£. (9)
В этом случае ю (о)/(о' (а) = а = е№, а коэфициенты о^, за исключением Ci = 1, равны нулю. Система уравнений (7) и (8) существенно упрощается. После простых преобразований получаем уравнения
acq + Si = Ах,
аап = Ап, п^2,(Ю)
Рп = А_п — (п + 2) Ап+2, п = 0, 1,2, ...,
Рассмотрим вторую краевую задачу (а = 1, Я(а) = F(a)). Мы имеем
Oj + 6i = Л],
а„ = Л„, п>2,(11)
Рп — л_„ — (п + 2)Л„+2, п = 0,1,2
В силу того что тело как целое находится в равновесии, должны быть выполнены условия
2лК2л/?2л/?
J Pids — 0, J p2ds = 0, j Ру ds = 0
ООО или 2л
| (рр cos О — ру sin й) dft = О, о
|Л2„(12)
j (рр sin О + ро cos О) dO = 0, j pyd$ = 0.
оо
Здесь через рр, ру обозначены составляющие нагрузки в направлении локальных’базисных векторов (р) и (О).
Из первого уравнения системы (11) видно, что Л] является действительной величиной, так как ai + di — величина действительная. Покажем, что ^то условие следует также из уравнений (12), Из формулы (3) имеем
2л
4=-^ / F^e-tod».
о
Интегрируя по частям, находим, что 2л2л
Ai = -4rS e~^dF^=i: I (Pi + /p2)e-todo =
оО
2л
= Ъг/ (Рр + гЛ)Ш.
о
В силу третьего уравнения системы (12) имеем 2л
Л1“^г1 ?pd^о
Итак, Л1 — величина действительная. Нам остается еще определить мнимую часть комплексной величины аь Из условия Im[cp( (О)/<о'(О)] = Im (aj = 0 видим, что мнимая часть величины ai равна нулю. Из первого уравнения системы (11) получаем
ai = Л1/2. Поэтому
Ф1 (?) = ~ ? + 5 л„г, Ф1 (?) = 5 Р„?".п=2п=1
Учитывая формулу (9), окончательно имеем
Ф1(?) = ф(г) = -^-г+2^(j") •
п=2
Ф1(?) = Ф(г) = 5рп(у) • п-1
Таким образом задача решена только при условии, что ряды для ф(г), ф(2), ф'(г) абсолютно и равномерно сходятся на окружности 121 = R.
Оказывается, что эти требования выполнены, если первые производные составляющих рр и рй удовлетворяют условиям Дирихле на границе круга. Рассмотрим случай, когда отображающая функция является многочленом пг-й степени:
<о(?) = 5у6?\ Yi ^ О, Ym^O.(13)
Обозначим через ю(^) многочлен, коэффициенты которого являются сопряженными к коэффициентам многочлена (13):
ю(?)=5Ы6.(13а)
Так как функции <о'(£)#=О при |£|< 1, то функция й'(1/£) является регулярной функцией и отлична от нуля при |£|> 1.
Функция -^^) регулярна при |^|^1 и имеет на бесконечности полюс n-го порядка.
Разлагая функцию ^^у в Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, получим
^у = с^п + c^""1 + ... + сД + Со + 2 с_кГк. (14) k=l
Подставляя в последнюю формулу С = Щ получаем
б^/^У = С"-°П + Сп-\ОП-Х + • • • + C1O + с0 + 2 с-*<*"*•
Так кактоТак кактою (ст)to' (ст)ю (ст)to' (ст)ПОО2 Ck<3b + 2 С_кО-\6=06=1ПОО2 Ck<3b + 2 С_кО-\6=06=1(15)(15)
Так как
то
Так как
то
ю (ст)to' (ст)
ю (ст)to' (ст)
ПОО
2 Ck<3b + 2 С_кО-\
6=06=1
ПОО
2 Ck<3b + 2 С_кО-\
6=06=1
(15)
(15)
<о (ст) <о (ст) to (ст)
S'(1/ст)6'(6)<о' (ст)
Если подставить формулу (15) в уравнения (7) и (8), то получится (при ck = 0, где k^n + 1) следующая система уравнений:
п
««1 + 2 1Г1атст = Дь
Ш=1
п-1
®®2 + 5 ^®т^т+1 == ^2»
т=1
аа„+а1сп = Лп,(16)
аа6 = Л6 при ^>п+1,
т=6 + 1
Рб ==5 /^ЙтСт—6—1 Н- ^—6, ^ = 0, 1,2, . . . .
т=1
Можно показать, что ряды cpi(C)> Ф1(С) будут удовлетворять условиям задачи, если функции fi и f2 из выражения Е = fi 4* if2 достаточно регулярны, например если они имеют вторые производные по К удовлетворяющие условиям Дирихле.
Рассматриваемый здесь случай имеет важное практическое значение, во-первых, потому, что сводит задачу к решению конечной системы уравнений, во-вторых, потому, что точный вид границы можно аппроксимировать представлением функции ю(^) в виде многочлена, причем точность приближения будет тем большей, чем большее число членов этого многочлена учитывается при вычислениях.
Решение для бесконечной области
Для бесконечной области, ограниченной кривой с0, функцию, отображающую область S на единичный круг S*, можно представить формулой
2 = ю(у=^+^^_1^]^!.(1)
п=0
Точку 2 = 0 рассматриваем как внешнюю точку. Точке 2 = со соответствует точка £ = 0. Сумма в (1) представляет собой регулярную функцию.
Функции ф (2) и ф(2) для бесконечной области, ограниченной кривой с0, даются формулами (15) и (16) § 6.10:
Ф (^) = ~ 4тЦ\Д) 1п 2 + (Д + iQ 2 + Фо(2),(2)
Ф (2) = х g^i"^ In 2 + (S' + z"C') 2 + 1|)O(2),(3)
причем
S'= у [022(0°) —оц (00)],S'= у [022(0°) —оц (00)],r 2цй (oo)1 + x 'r 2цй (oo)1 + x 'S=4tQii(°°) + 022(0° )L
S'= у [022(0°) —оц (00)],
S'= у [022(0°) —оц (00)],
r 2цй (oo)
1 + x '
r 2цй (oo)
1 + x '
C' = a12 (00),
Величина С связана с вращением й(оо) тела на бесконечности. Подставим 2= ©(£) из формулы (1) в формулы (2) и (3).
После простых преобразований получим
Ф1 ©=-^та1П ^ +(6+zc) f+ф0 ® •<4>
Ф1 ®=- ^мГ+хГ1п £+<6'+zc') f+^ a),(5)
где ф°(£), ф°(£)—новые однозначные аналитические функции в области |^| ^ 1.
Рассмотрим краевую задачу, в которой на с0 заданы нагрузки, а на бесконечности имеет место напряженное состояние ац(оо), 022(0°) и 012(00) в предположении, что 6(оо) = 0. Подставим формулы (4) и (5) в граничное условие
Ф1 (") + -==- ф[ (о) + Ф1 (a) = F (а).(6)
со (а)
В результате получим новую форму граничного условия: ф° (о)+та+та=р<м (?) со (а) где,
f о (а) = f (о) — ^ g"^2 In о — Ру — (В' — г’С') аа —
со' (a) L 2л (1 + х)J
Если на границе отсутствуют нагрузки (Pi = 0, Р2 = 0), то функция fo(a) однозначно определена на границе. Однако легко показать, что функция Fo(a) будет однозначной на границе, если главный вектор нагрузок P1+ZP2 не обращается на границе в нуль, При движении точки а по единичной окружности [£[= 1
величина Г (а) получает приращение i(Px -\- 1Р^, когда а обходит полный круг, в то время как Ina получает приращение 2ш". Таким образом, два первых члена правой части уравнения (8) сокращаются и функция Ро становится однозначной.
Если границей бесконечной области является окружность, то
Здесь а — радиус окружности. Граничное условие (7) с учетом (9) принимает вид
Ф° (ст) — ^г Фо (ст) + Ф° (ст) = Во (ст),(10)
где
f0 (а) f (а) - P1 ^ In а - ^- - (5' - tC^ аа +
+v ст — ВахА.(И)
Разложим функции <р° (?) и Ф°Ю в бесконечные ряды
Ф°а)=2а^, Ф°Й)=2^П,(12)
п=Ап=\
а функцию F (a) — Р‘ ^Рз- In ст в ряд Фурье
Г(а)-^±^1па^
= 2 Anetn^п=—оо= 2 Anetn^п=—оол1 + 2 ^ (е ‘^ — ем) п=\л1 + 2 ^ (е ‘^ — ем) п=\(13)(13)
= 2 Anetn^п=—оо
= 2 Anetn^п=—оо
л1 + 2 ^ (е ‘^ — ем) п=\
л1 + 2 ^ (е ‘^ — ем) п=\
(13)
(13)
Подставим формулы (12) и (13) в граничное условие (10):
^ апе1пЙ — ^ П»пе~! ,п+2) * + ^ ₽пе_,пв =
п=1п=1п=1
ОООО
n=—0O•-П=1
- 2аВе"№ - (В7 - (С') ае№ + 2л (Г^)" е'2^ <14>
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а = е№, находим следующую систему уравнений, служащую для определе- ления величин ап и р„:
ai — Д Ч—™2гГ ’ ~ ^' "^^^ а’
ап = Ап + Р'^Р- при п> 2,
5 л i К?\ + ^2)
Ро — Ло2*
^А^-^^-ЧаВ,(15)
О « Pl + 1?2 | Р1 г^2
р2 —2 I 2л,1+я) '
Рп = Л_„ — (га + 2) а„-2 — Рх ^^ ДЛЯ га>3.
В найденном таким образом общем решении содержится целый ряд частных случаев. Если В = В' = С' = 0, то система уравнений (15) относится к бесконечному телу с круговым вырезом, на границе которого отличен от нуля главный вектор Р\ + IP г. Если Р\ + iPa = 0, то мы имеем дело с действием самоуравно- вешивающейся нагрузки на границе |z| = а. Наконец, если Ап = 0 (что соответствует F(a) = 0) и Л + 1Р2 = 0, а величины В, В', С' отличны от нуля, то мы имеем дело с концентрацией напряжений вокруг выреза (граница которого свободна от нагрузок), вызванной действием напряжений сГц(оо), 022(0°) и 012(оо) на бесконечности.
Рассмотрим этот последний случай более подробно. Предположим, что тело равномерно растягивается в направлении оси хх. Тогда
ап(оо) = р, а22(оо) = 0,о12(оо) = 0.(16)
В уравнениях (15) следует положить
р=р=0, В = ЬС' —0.
Решая уравнения (15), получим
рал1
== 0 для га > 1,
Ро = О, Р1 = —^L, ₽2 = 0, Рз = -^-,
Р„ = 0 для га > 3.
Функции <р°(У и ф°(Э получим по формулам (12):
Ф°«) = ^^ Ф0© = -^«-^3), а функции Ф1(0, Ф1© по формулам (4) и (5):
Ф1© = Ф°© + ^- Ф1а) = Ф0(Э+^.
Учитывая формулу (9), имеем , , Р ( z । а2 \
Ф (2) = - [z + а2 (7 -.
Напряжение определяем из формулы (22) §6.10.
В полярной системе координат (р, 4) имеем [i-^ + ^+^~v)cos24 аот = ^[1+^ —(1+'^r)cos2^]'(17)
I1+^-^)sin2A’ ^т-
На границе р — а исчезают напряжения арр и ар^. Напряжение aflfl дается формулой
а^(а, А) — р (1 — 2 cos 2$)
и принимает наибольшее значение при А = л/2 и # = Зл/2.
В случае всестороннего растяжения тела, т. е. для ан(оо) = р, а22(оо) = р, а12(оо) = 0, путем суперпозиций напряжений получим следующие выражения:
оРР = р(1— -^У <М = 0, аот = р(1 +^)-(18)
Рассмотрим далее действие сосредоточенных сил в бесконечном теле. Распределение напряжений, вызванных действием сосредоточенных сил, получим, рассматривая следующую вспомогательную задачу.
Пусть на границе бесконечной области, ограниченной окружностью г = а, действуют постоянные нагрузки
^' 2ла ’^2 2ла '
Равнодействующей нагрузок р\ + № является величина Р\ + + iPi. Если положить ац(оо) = О, 022(00) = 0, 012(00) = 0, то из формулы (11) получим
F.W-Fto^ка + ^-^-А..
Но
In СГ,In СГ,F (а) Mi + Ц2 = i J (рх + ip.^ ds = ^ (Р, + 1Р^ » = поэтому
In СГ,
In СГ,
0 ' ' а2 2л (1 + х) '
Функции ф° (?) и ф° (?) выразим с помощью бесконечных рядов (12). Подставляя их в уравнения (10), мы видим, что
ап = 0 для п=1,2,
Р^2л(~/х)-’ ₽^° Для п>2>
поэтому
Ф-0-0, <>®=£(t.^ ^ И
Из уравнений (4) и (5) получим
Ф1 ® = 2л (1 + х2) 1П ^’
Ф1 © = -1п 5 + -Дгй- S2-
Учитывая, что 2 = а/?, получим
2л(1 + х) Z2 ' 2л(1+к)
Для определения напряжений требуются величины <₽'(2), <р" (2) и ф'(2):
=(2о)
2л (1 + х) zл (1 + х) г3 ‘
Напряжения, вызванные действием сосредоточенной силы Р\ -|* + 1?2 в начале координат 2 = 0, получим устремлением радиуса а к нулю, однако при таком росте нагрузок pi + ip^, чтобы их равнодействующая была постоянной и равнялась величине Pi + 1Р2.
13 В. Новацкий
Функции ф'(2), ф"(2), фДг), необходимые для определения напряжений, вызванных действием сосредоточенной силы Py + iP^, получим, подставляя в формулы (20) а = 0. Напряжение аар (а, £=1,2) определим по формулам (21) § 6.8.
В полярной системе координат (г, 9) имеем
°гг = ~№ C°S 9 + Р^ Sin 9)>
аее=2Н7(Г^^СО80^<21>
^ = 2ST(rW(Л Sin 9 “ C0S 9)'
6.13. Определение комплексных потенциалови вывод интегрального уравнения
Сначала рассмотрим односвязную область S, ограниченную кривой с. Эту область отобразим на единичный круг |£| ^ 1 с помощью функции 2 = ш(£). Предположим, что точке 2=0 соответствует точка £ = 0, а функция w(^) голоморфна в единичном круге к, причем ш(0) = 0.
Как мы уже знаем из § 6.10, граничные условия для первой и второй краевых задач задаются на границе единичного круга (т. е. в точках £ = а = ег#) одним уравнением
«Ф! (ст) + ф( (а) + ф! (ст) = Д (а).(1)
со (а)
Для второй краевой задачи, согласно обозначениям § 6.10,
о=1, Д(а) = К(а) = Л(^) + г72(^),
Для первой
а = —х, Д(ст) = —G(ct) = —[^W + t^^)].
Предполагая, что главный вектор сил равен нулю на границе круга к, функции К (ст) и G(a) мы трактуем как однозначные функции. В дальнейшем мы будем пользоваться уравнением, сопряженным к уравнению (1), а именно уравнением
афД^) + ^4■ф^(ст) + Фl(ст)==Д(ст).(2)
Умножим уравнения (1) и (2) на -^т а А £ > гДе ^^к, и проинтегрируем их вдоль границы у единичного круга. Получим
систему уравнений
а |2л/ J vа |2л/ J vФ1 (<T) I 1(da 4 a — t 2л/ J vФ1 (<T) I 1(da 4 a — t 2л/ J v®(p) ф^(p) , . If Ф1(р) ,.-—da HI da = Л (£)>® (p) Ka-^ 2ni J o-^(3)®(p) ф^(p) , . If Ф1(р) ,.-—da HI da = Л (£)>® (p) Ka-^ 2ni J o-^(3)
а |
2л/ J v
а |
2л/ J v
Ф1 (<T) I 1(
da 4 a — t 2л/ J v
Ф1 (<T) I 1(
da 4 a — t 2л/ J v
®(p) ф^(p) , . If Ф1(р) ,.
-—da HI da = Л (£)>
® (p) Ka-^ 2ni J o-^
(3)
®(p) ф^(p) , . If Ф1(р) ,.
-—da HI da = Л (£)>
® (p) Ka-^ 2ni J o-^
(3)
vv»! (p)P —?»! (p)P —?YYсо (а) ф[ (а) »'(р) (а — £)со (а) ф[ (а) »'(р) (а — £)1 л da + IY1 л da + IYф. (p) ^da=B^, (4)ф. (p) ^da=B^, (4)
v
v
»! (p)
P —?
»! (p)
P —?
Y
Y
со (а) ф[ (а) »'(р) (а — £)
со (а) ф[ (а) »'(р) (а — £)
1 л da + I
Y
1 л da + I
Y
ф. (p) ^da=B^, (4)
ф. (p) ^da=B^, (4)
где
ла)= ’ vла)= ’ vВ^В^11Н^Н^2л/ J а — ^v2л/ J а — ^vda.da.
ла)= ’ v
ла)= ’ v
В^
В^
1
1
Н^
Н^
2л/ J а — ^v
2л/ J а — ^v
da.
da.
Предполагая, что функции <Pi (^), Ф1(?) аналитически продолжены на у, и учитывая, что
^(^-ф,<9. ^/^-М)(5)
YY
И1)
^.|{Щ^=^(6)
VV
приводим уравнения (3) и (4) к виду
1 г ш(о) ф'(р) «Ф1т+—(?)
V
1 г со (al
V
Уравнение (7) является интегродифференциальным уравнением. В дальнейшем мы преобразуем его в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Уравнение (8) будет использовано (после предварительного определения функции <pi (?)) для вычисления комплексного потенциала ф1©. Используя соотношение
f lllZl d0 = _?L^. = к
J а' (а) а-?а'(0)’
*) Это необходимое и достаточное условие, чтобы функции Ф1(р) и Ф1(р) были на у непрерывным продолжением функций ф1(9 и ф1(£).
преобразуем уравнение (7) к виду
«ф,(£) + ^ f+(Ю)
со (а) (а — 6)
В это уравнение входит член ^со^), в котором постоянная величина К связана со значением ср, (0), пока не известным. Для исключения члена ^(^) разобьем функцию <pi (^) на две части:
ф.(^) = -^- + ф0«).(Н)
Подставляя формулу (11) в (10) и учитывая, что
VV '
упрощаем уравнение (10):
^Ю + ^/^^^^ + М-Л®. (12) V
Последнее уравнение дифференцируем по £ и устремляем £ к точке у на границе круга, предполагая при этом существование непрерывного продолжения функции cp'°(£). В результате нолу- чим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
аф'° fro) +/ -= JL (м ^ ~ м И) ^ da = А' (сто), (13)
2ш J со (а) до0 \ а — а0 /
где
Л ("о! 2ш J (а - о»У •v
Уравнение (13) можно сокращенно записать так:
аф'° fro) + "2^" / ^ ("> ао) ф'° fr) da = А' (<т0),(14)
v
где через К (а, <т0) обозначено ядро интегрального уравнения
К (а a t = 1 —= 51Zkz^l£°lzi(^z^2L^K£o) /1
’ ° со' (а) дао \ а — а0 /(а — а0)2 со' (а)
После определения функции <pz° (<т0) из интегрального уравнения (14) возвращаемся к уравнению (12), из которого вычисляем функцию ф°(£). Постоянная ф1 (0), входящая в это уравнение,
определяется из условия <р°(0) = 0 (которое в силу формулы (11) равносильно условию <pi(0) = 0).
Нам остается определить функцию <pi (?) из соотношения (11). Но входящая в это соотношение величина К не известна. Из уравнения (11) вытекает, что
ф;(о) = -^<о'(о) + ф'о(0)-<16)
С другой стороны,
ф( (0)—(0)
K =(17
а'(0)а'(0)
Исключая из формул (16) и (17) величину <pj(0), получим
или у^^Ж.(18)
а а'(0)а а'(0)
Во второй краевой задаче а = —и, так что уравнение (18) принимает вид
г К _,
х а'(0) ’
из которого однозначным образом можно определить величину К. В первой краевой задаче а = 1, а величина К + К является действительной. Имеем тогда
—ф'°(0)(0)(0)_ /ф[(0)\
^ + ^=4==4LU + ^-—=2Re .(19)
а' (0)а'(0) со'(0)\а'(0)/
Соотношение (19) будет выполнено только в случае, когда ф'(0)/й'(0)—действительная величина. Поэтому получаем дополнительное условие
<20>
которое мы используем для определения величины К. Можно показать, что условие (20) будет выполнено, если главный момент равен нулю. После определения функции ф((?) можно приступить к определению функции ф1(?) из уравнения (8).
Рассмотрим далее неограниченную область S с вырезом. Отображающая функция ю(?) имеет вид
® (?) = у + ®0 (?),
где <ю0(?) является голоморфной функцией в единичном круге, а <о(О) = сю, Рассматривая бесконечную область, потребуем,
чтобы начало координат 2 = 0 лежало вне области S. Как мы знаем из § 6.12, функции комплексного потенциала для бесконечной области имеют вид
Ф. ® = W^T ^ £ + (В + <С) f + Фо (£),(21)
Ф.(□ = -^^Т1П£ + (В' + iC'){ -Но(О-(22)
В этих соотношениях функции ф0, фо являются голоморфными функциями, допускающими непрерывное продолжение на границу у. Постоянные В, В', С' связаны с напряжениями 0^0(0°) в окрестности бесконечно удаленной точки, С — с вращением й(оо) тела на бесконечности. Значение С примем равным нулю. Если подставить формулы (21) и (22) в уравнение (1) для второй краевой задачи [а = 1, Н(а) = F(о)], то получим следующее граничное условие:
Фо(<$) +^ + Ы^) = Fo (<т),(23)
и (а)
где
Е0(ц) = Е(а)-;^^1пог-^-
__^М_Г р- - iP= or_ Всс?\ — (В' — iC'^ас (24) со'(а) [2л (1 + х)J
И
й (^) = у + йоЙ)-
Применяя преобразование, аналогичное тому, которое мы выполнили над уравнениями (1) и (2), получим следующие уравнения для определения функций ф0 и ф0:
1 со (а)(а)
Фо (□ + — f =da + фо (0) = Ло (е),
2л; j со (а) (а — £)
. _ 1 f f о (а) da<25>
0 2лс J а — £ ’
v
1 Г F«^do 1 f Фо (С) л- (арл ФоК) - JJ ^7757 dor. (2 6)
VV
После решения этой системы уравнений, зная уже функции ф0 и фо, находим из соотношений (21) и (22) искомые функции Ф1(£) и ф1(£). В случае первой краевой задачи [а = — х, Н(а) = = -G(o)] следует при отличном от нуля главном векторе и ограниченных напряжениях сгар(оо) подставить в уравнение (1), Ф1Ю и tiU), определенные формулами (21) и (22), что приве-
дет к уравнению
ФоМ — "f^ToM — iW = Go(CT)’(2?)
а далее аналогично поступить с функциональными уравнениями (25) и (26). Вернемся к уравнению (25), которое следует свести к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Используя соотношение
SL-Ke (28) j о-(«)<а-г)о'(0)
получим из уравнения (25)
Фо ® + i IW ^ + К»® (?) + Мб) = 4 (?). (29)
ZJli * (О ^Uj (U CJ
Но Ко = О, так как (о'(0) = оо. Итак,
Фо ^ + i IW da + МФ = Ло т. (30)
2ти J с» (а) (а —
С другой стороны, учитывая, что
“ (?) = у + too (?), находим
с» (а) — и (?) _ сор (а) — а>0 (?) с,qп
а-?а-^ а? '
Так как
1 г Фр (a) da =Q2ni J со' (0) а ’
что вытекает из формулы (28) при ? = 0, то преобразуем уравнение (30) к виду
^O + ^J^rf-^^ + W-Ato. (32)
Дифференцируя последнее уравнение по ? и устремляя ? к точке Сто на окружности у, приходим к интегральному уравнению
фо (сто) + i J ^ (а» сто) МФ da = Л^ (ст0),(33)
V
где
■к (ст, Сто) =
со'(О) dap L ст —Сто J’
1 f F«W<to
2Ш J М-^о)2 *
Можно доказать, что уравнение (32) при любой правой части имеет только одно решение. Подставляя Фу (<т0) в уравнение (25), получим функцию фо(?)- Постоянная фо(О), входящая в это уравнение, выбирается так, чтобы было выполнено условие qpo (0) = 0. Функцию фо(£) определяем из соотношения (26).
Решение интегрального уравнения
Рассмотрим уравнение (10) § 6.13
=Ф, ©+^ / ^l") ^ ^ + ^ (» + iM°) - Л (». (1)
«^«н«^«нДифференцируя это уравнение по £ и устремляя точку £ к точке Сто на единичной окружности у, получим интегральное уравнение
«^«н
«^«н
(2)(2)==- da-VKto' (сто) = А' (ст0). со (а)
(2)
(2)
Можно показать, что ядро
К (ст, Сто)К (ст, Сто)1 д Г с» (а) — с» (а0)со' (а) да0 L ст — ст0
К (ст, Сто)
К (ст, Сто)
является вырожденным, когда функция co(£) измерима. Подставим <о(^) = p^/q^), где р(Е) и q(£)— многочлены, в выражение
с» (а) — с» (а0) _ р (ст) g (а0) — р (а0) g (с) ... ст — а0 (а — а0) g (а) g (а0) ' ^
Числитель в выражении (3) равен нулю при ст = Сто, поэтому можно разделить его на ст—-Сто. Частное (3) является многочленом от переменных ст, Сто, и его можно представить в виде
tiSltiBti^^(4)
й-1
Таким образом, ядро уравнения (1) удается записать как
сто ^По . *7 (<го) .N=5°й <ст)м<то).сто ^По . *7 (<го) .N=5°й <ст)м<то).(5)(5)1 д г со (ст) — о (стр) I у gk (ст)со'(ст) «Эсто L о —Сто J Д g (ст) со' (ст)
сто
^По . *7 (<го) .
N
=5°й <ст)м<то).
сто
^По . *7 (<го) .
N
=5°й <ст)м<то).
(5)
(5)
Из теории интегральных уравнений известно, что решение интегрального уравнения (1) допускает представление в замкнутом виде, если только ядро К (а. Сто) является вырожденным.
Особенно легко можно решить краевую задачу, в которой отображающей функцией является многочлен
(6)(6)то (?) — 5 с& >0, са^= 0.
(6)
(6)
fc=i
Учитывая, что Ci не может равняться нулю, предполагаем, что (о'(0)=#0. Отправным пунктом дальнейших рассуждений будет уравнение (7) § 6.13. Рассматривая вторую краевую задачу [а = 1, Н(а) = F(ct)], исходим из уравнения
Ф1(О J+(7)
2ш J со'(а) (а-?)'
где
V
Покажем, что интеграл в уравнении (7) является многочленом n-й степени в круге к. Функцию со'(ст) можно трактовать как непрерывное продолжение голоморфной функции вне у, а именно функции о/(1/?). Итак, co(ct)/cp'(ct) рассматриваем как аналитическое продолжение функции
СР (?)Cj? + ... + С^?” ^г С1 + ... + Сп^1 1(g^
СО' (1/ё)C!+ гс^'Ч ... +псп?‘-Л ;,?"-*+ ... +пс„ '
Функция (8) на бесконечности имеет полюс n-го порядка.
После выполнения алгебраических операций, в основном деления, можно выбрать такие постоянные Ьо, Ьх, ..., Ь_н, чтобы
.Х^ = ^?"+ ... +61? + 6о+Уб_й?"6, 1?1>1- (9) ®'(1/?)
Так как со'(?) ^ 0 для |?| ^ 1, а ю'(1/?) ¥= 0 для | ? |> 1, то выражение со' (?)/со'(1/?) представляет аналитическую функцию для всех значений |?| ^ 1, за исключением ?= <», где имеется полюс n-го порядка. Выражаем cpi (?) с помощью ряда
Ф^-^а^, |?|<1. (10)
Тогда
^ = ^ка^-\121^1,(11)
фМ)^^-^.m>i.(12)
6=16
Учитывая формулу (12), запишем выражение ю^—- Ф1(1/£) ®'(1/£)
в виде
.^^Ф^Ш-Яо + ^ + ^Ч- ... + V + xO. (13) ®z (MP ш
где
xta-Sw6,
6=1
причем х(£) является голоморфной функцией вне у, непрерывно продолженной на у» Величины Кб связаны с коэффициентами а^ и bk следующими соотношениями:
Кх = 6хЬх + 2а2й2 + ... + папЬп,
Ka = йхЬа + 2а^ + ... + (п—^dn_xbn,
(14)
Кп = ахЬп.
Здесь мы не дали выражение для Ко, ибо в дальнейшем эта величина нам не потребуется.
1 г СО (ст) ф{ (а)2л/ J со' (о) (СТ—g)1 г СО (ст) ф{ (а)2л/ J со' (о) (СТ—g)Подставим теперь формулу (13) в уравнение (7) и совершим в выражении (13) переход от точки £ к точке ст на окружности у. Учитывая, что
1 г СО (ст) ф{ (а)2л/ J со' (о) (СТ—g)
1 г СО (ст) ф{ (а)2л/ J со' (о) (СТ—g)
do—— [ (^0 + ^1^+ ... + Кпо )-4-
2ш Jст — t
v6
I1 f X (ст) dg
2л/ J ст — £ •
V
получим уравнение
^^ + ^-1^ + ^+ ••• 4-^)^ + 1^«v(U ^
+4rJJ^r+'hW=^©- ОЭ
Так как для £s к в силу теоремы Коши
Г ,х_(<т) da = 1 f _da уК nda = 0 2ш J а — ^ 2ти J а — ^
vv n=i
И
J(Ko + Kict+ ... + К„ст'г)^т = Ко + К1? + ... + К^п, ¥
то уравнение (15) принимает вид
ф^у+^+Ко+к^ч-4-к„г=л(е).(16)
Так как коэффициенты ап, входящие в решение qpi (?) (формула (10)), не известны, то и коэффициенты К-, как видно из формул (14), являются неизвестными величинами. Для их определения разложим функцию А (£) в ряд Тейлора в точке £ = 0 и подставим в формулу (16) выражение (10). Учитывая, что
Л(£) = — f ^da = — [+4+ ... +-5т-) У7 (ст) do =
v /2л/ J a-t 2л/ J \а а2ап+х )
VV
у \п=о '
= Ло + Л£ + Л2£2+ ... + АГ+ .... (17) где
д - Г FWdaп 2л/ J ап+1 ’
v
получим уравнение (16) в виде
0^ + ... 4-од£Ч ... +фГ(б) + Ко + ^+ ... +К„£" =
= Д>+АН.... (18)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получим следующую систему линейных уравнений:
ai + ai6i+ ... +«аА = Ль
On 4” О|6п =: Ап*
Так как величины ад являются комплексными, то систему уравнений (19) можно разбить на систему 2л уравнений, в которую будут входить действительные и мнимые части величин а^ = = «а + фд.
Однозначность решения системы уравнений (19) будет обес* печена, если будет выполнено условие
Из этого условия определим мнимую часть величины «ь Условие qpi(0) =0 было уже учтено в выражении (10). После определения величин ал можно определить величины Кд, Кг, ... .... Кп и величину Ко + Ф1 (0) = Ло. Таким образом функция Ф1 (?) определена в круге у.
Зная функцию Ф1(?), можно определить второй комплексный потенциал по формуле (8) § 6.13:
, m 1 Г r"Wda1 Г ®Тст) t'l^da
'l’1 ®2лс J a — t,2ш J со' (ст) (а — ?) "( ^
¥V
Последний из интегралов можно найти в конечном виде. Входящую в уравнение (20) функцию ®, ^ ср' (ст) можно тракто- вать как непрерывное аналитическое продолжение -функции •^"^ ф[ ®, которая является голоморфной внутри у (за исключением нулевой точки, в которой она имеет полюс). Тогда имеем
^^- ф! (?) = КГ + ... + ^Г1 + X* (0, 1? 1<1, (21) где
Х*© = 1 К-Г.
п=О
Для ? е к, применяя формулу Коши, получим
1 /• й (1/6) Ф1 (о) л _ 1 г ® (o') Ф1 (ст) da _
2л/ J со'(а) а— ? ° 2л/ J со'(а) a—t,
- ^Г j &ГП + • ■ • + К,Г1) -^ + ^ J ^ d<^x-«). (22)
VV
пИнтеграл, содержащий ряд 2 К£-1> равен нулю, так как/=•
2 к^-1 представляет собой граничное значение голоморфной функции вне единичного круга.
Подставляя формулу (22) в (20), получим следующую фор*
мулу;
Так как =-п.
хЧ9--У$-ф! <9
ТО =-п
V1=1
Займемся теперь решением краевой задачи для неограниченной области. Будем исходить из функционального уравнения (25) § 6.13:
Ф, (0 + ^ J ^^ + W0)- Л0(0,(25)
J со' (а) (а - О
где-
Л — 1 Г ро (ст> da
02л/ J а — £ '
v
Уравнению (25) можно придать также вид
^ <°+^ IМ^^ ^ ^+^ _ л°<Е)-(26)
Так же как и для ограниченной области, можно показать, что если
®(9 = |+ 2С^- й=0
то функцию о (£)/®'(1/£) можно представить суммой многочлена степени п — 2 и бесконечного ряда:
-=^L = bn_^n'2 + ... + ^ + V ь.^,(27)
с»' (VO
Для |?|=1 при Фо(5) = 2ай5й найдем, что
"== ^ ^ =ф0 (» =
с» (1/ст)cd (а)
= Рп_2ст"-2 + • • • + Dxa + До + 5 Р-^~й. (28)
Й=1 где
D1 = й\Ьх -|- 252^2 + • • • ~Н (^ — 2) йп—^п—2,
Dn—з ^ й\Ьп—з + ^^Ьп—2,
Dn_2 = axbn_^.
Вычислим далее интеграл, входящий в уравнение (26):
п—2
J№ ^ = ^ ВД\ (30)
2ш j а' (а) (а - У"
Подставляя формулу (30) в уравнение (26), находим п—2
Фо®+ 5 ^ + Фо(О) = Ло®.(31)
6=0
Подставляя сюда фо(£) и Ло(£), разложенные в ряд Тейлора, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях величины у получим систему п — 2 линейных уравнений, в которую входят коэффициенты ак и Dk Исключая Dk из этой системы при помощи соотношений (29), получим систему уравнений, из которой уже можно определить постоянные ап.
Рассмотрим простой пример, относящийся к бесконечной области 3, ограниченной эллипсом с уравнением
Функция, отображающая область 3 на единичный круг, имеет вид
\ с,/TU2
В функциональное уравнение
1 с а (а) Фо (°) , .— 1 f Fo^da
Фо (?) + ——- -г ~ гг da + фо (0) — —- ——_ (32)
2ш со' (а) (а — У2ш сг — £
подставим величину
со (У г 1 + mV
STS Ф" °Ф" °
—4P£(i+f+<+---)i>,r’’,
V=1
в которой устремим £ к точке ст на окружности у. Так как при £ = ст ряд содержит только отрицательные степени ст, то первый из интегралов в уравнении (32) отпадает. Остается уравнение
»Ю+ЫЗД—йг/ (33)
Величину Ч’о (0) определим из условия ф0 (0) ^ 0. Окончательно имеем
<34>
V
Функцию тро(S) находим из уравнения
,1 Г W^o1 л wfaj Фо(<т)
^° ®2л/ J а - £2л/ J со' (а) (а - {) da* (35)
vv
Так как ряд
со (а)а (т + а2) V _v-i
V=1
содержит только положительные степени ст, то
м)=^/®^+1р±^.ф№ ре)
Если в формуле (36) положить m = 0, то она будет справедлива для бесконечной области 3, ограниченной окружностью.
Глава 7
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА
Задача Сен-Венана
Рассмотрим прямой брус в виде длинного цилиндра с осью х3. Пусть этот брус свободен от нагрузок на боковой поверхности, и пусть на его конце (основании цилиндра) действуют нагрузки. Предположим, что ось бруса х3 совпадает с его срединной осью, т. е. с прямой, проходящей через центры тяжести сечений бруса. Сразу же добавим, что мы будем заниматься брусом с постоянным сечением (рис. 7.1).
В наших рассуждениях мы не будем учитывать влияния массовых сил. Итак, основные дифференциальные уравнения: уравнения равновесия
Ca.i^O(1)
и уравнения Бельтрами — Мичелла
v2ct^+ytpvs,;/ = 0> s = akk,t,/=1,2,3,(2)
будут однородными уравнениями. Граничные условия
Р1 = ацП1(3)
должны быть однородными на боковойповерхностицилиндра.
Определение напряженного состояния в брусе, вызванного действием приложенных к его основанию сил, имеет большое практическое значение; достаточно упомянуть механизмы, летательные аппараты, строительные конструкции. В этих конструкциях брус часто является основным элементом. Это может быть как одиночный брус (например, мостовая балка), так и система брусьев (рама или ферма). Точное определение напряженного состояния в брусе наталкивается на большие трудности математического характера. Даже и теперь, после векового развития теории упругости, мы располагаем лишь незначительным числом точных решений, относящихся к довольно простым видам нагружения бруса. Для преодоления математических трудностей Сец-
Венан предложил полуобратный метод (англ, semi-inverse). В этом методе априори налагаются некоторые ограничения на перемещения и напряжения, а затем определяются дальнейшие ограничения на эти величины так, чтобы были выполнены уравнения теории упругости.
РИС. 7.1.РИС. 7.1.
РИС. 7.1.
РИС. 7.1.
При рассмотрении задачи о деформации бруса мы полагаем, следуя Сен-Венану, что в брусе имеет место упрощенное напряженное состояние. А именно предполагаем, что напряжения ап, <Т22, ^12 равны нулю. Итак, мы априори считаем, что напряженное состояние описывается матрицей
11<М =11<М =0 0 ^З!0 0 ^З!О<т13Ос2з •О'32 °33О<т13Ос2з •О'32 °33(4)(4)
11<М =
11<М =
0 0 ^З!
0 0 ^З!
О<т13
Ос2з •
О'32 °33
О<т13
Ос2з •
О'32 °33
(4)
(4)
Нужно исследовать, какими должны быть силы, действующие на концах бруса, в предположении, что составляющие напряженного состояния (4) удовлетворяют дифференциальным уравнениям теории упругости и граничным условиям.
Легко проверить, используя уравнения (3), что при напряженном состоянии (4) боковая поверхность цилиндра будет свободна от нагрузок. Нагрузки, действующие на основание цилиндра х3 = /, обозначим через q^ (/ = 1, 2, 3). Пусть эта система нагрузок сводится к главному вектору Р и главному моменту М (рис. 7.1). Составляющие Pt и М, связаны с нагрузками q^Xi, х2) и напряжениями ац в сечении хз = / следующими соотношениями:
Р, = J а{3 dA = qtdA, i = 1, 2, 3,(5)
АА
Mv = — J х2а33 dA = — J x3Q3 dA,(6)
AA
M2 = j х^зз dA = J х^з dA,(7)
AA
Ai3 = J (^2^31 — *1^32) dA = J (x^ — x^) dA. (8) AA
Главный вектор и главный момент Р' и NV, действующие на второе основание цилиндра (сечение х3 = 0), определим из уравнений равновесия бруса как целого.
Заметим, что только некоторые определенные системы нагрузок, приложенных к основанию цилиндра, будут приводить к напряженному состоянию, выраженному схемой (4). В принципе же нагрузки qi будут вызывать в брусе трехосное напряженное состояние.
Однако если брус является длинным, а площадь сечения бруса мала по сравнению с его боковой поверхностью, то мы можем применить для решения задачи принцип Сен-Венана. В силу этого принципа все системы нагрузок qi, статически эквивалентные векторам Р, М, вызывают в некотором отдалении от сечения х3 = / одинаковые поля напряжений и деформаций. В уравнениях (5) — (8) можно принять различные системы нагрузок qt, однако они должны быть выбраны так, чтобы интегралы в правой части этих уравнений равнялись одним и тем же составляющим векторов Р, М. .
Принцип Сен-Венана позволяет рассматривать вместо заданных нагрузок другие нагрузки, статически эквивалентные заданным. Заданные нагрузки всегда можно заменит^ такими, которые приводят к напряженному состоянию (4).
Применяя высказанный выше принцип, задачу Сен-Венана можно разбить на несколько простых задач, а полученные результаты сложить. Если сила Р3—J q^dA является единствен-
А
ной причиной деформации, то мы имеем дело со случаем осевого растяжения бруса. Состояние, в котором единственными причинамц, вызывающими деформацию бруса, являются моменты М) и М2, называется изгибом бруса парами сил. Действие сил Py, Pi приводит к изгибу бруса поперечными силами. Наконец, действие момента М3 как единственной причины, вызывающей деформацию бруса, приводит к кручению бруса.
Решение первой задачи, относящейся к растяжению бруса, достаточно просто. В самом деле, рассмотрим брус длиной I, на основание которого х3 = / действует нагрузка <73(хьх2), такая, что | qadA = Pa. В силу принципа Сен-Венана мы можем
А
заданную нагрузку Q3(xb х2) заменить другой нагрузкой ^(Хр х2), статически ей эквивалентной. Эта эквивалентность выражается соотношением
P3 = J q3dA = ^ q'dA. (9)
А А
Примеры эквивалентных нагрузок показаны на рис. 7.2. ■
В достаточном отдалении от основания бруса напряженное состояние уже не зависит от распределения нагрузок в сечении х3 = /. Из многих возможных статически эквивалентных нагрузок ^(х,, х2) выберем наиболее простую, а именно нагрузку q01 равномерно распределенную по основанию. Мы имеем qoA = = Р3. Легко проверить, что нагрузка qo вызывает в брусе напряженное состояние, определяемое только одной составляющей тензора о,,, а именно составляющей 033 = qo = const. Уравнения (1) и (2) и граничные условия (3) будут удовлетворены.
РИС. 7.3.РИС. 7.3.РИС. 7.2.
РИС. 7.3.
РИС. 7.3.
Будут выполнены также тождественно соотношения (5) — (8), если учесть, что интегралы J xY dA, J х2 dA равны нулю как
АА
статические моменты площади сечения бруса относительно оси, проходящей через его центр тяжести.
Примененный здесь принцип Сен-Венана был проверен на нескольких примерах. Ниже мы дадим один из них, относящийся к брусу прямоугольного сечения длиной 2/г, шириной 26 и толщиной 1, нагруженному сосредоточенной силой Р3 (рис. 7.3).
Напряженное состояние, связанное с этим типом нагружения, зависит от переменных Xi, х3 и является обобщенным плоским напряженным состоянием. Напряжение ц33 в сечении х3 — i= 0, вызванное действием сосредоточенной силы Р3, можно
представить в виде ряда
/Гз / , I лЛд ch Лд -1- sh Ли1
^ЗЗ^Р О) = -^-1 1 + 2 2^ 5Н2Лп + 2Лп C0SanX1l, (10) v n=l/
ПЛ . ПЛЙ
При большом значении отношения ЫЬ сумма, стоящая в скобках в (10), мала по сравнению с единицей и напряжение азз(лй,0) в сечении бруса х3 = 0 распределено практически равномерно.
Мы видим, что даже в крайнем случае действия сосредоточенной силы напряжение ц33 в сечении Xi = 0 практически не отличается от напряжения ^(Хр 0), вызванного действием нагрузки ^о = ^з/(26), равномерно распределенной по основанию бруса. Рассмотрим второй частный случай: изгиб бруса моментом М2 = М. Из уравнения равновесия для бруса как целого вытекает, что на другом конце бруса должен действовать момент М'г = — М.
Проверим, что поле напряжений
Ац = А22 = Aj2 = А23 = ff13 = Of A33=aiX! + a2X2 (11) удовлетворяет всем условиям задачи. Оно удовлетворяет уравнениям равновесия (1), дифференциальным уравнениям Бель- трами — Мичелла (2) и граничным условиям на боковой поверхности цилиндра. Подставляя формулы (И) в граничные условия (5) — (8) на основании цилиндра, имеем
Л = j а13 d'A = 0, Л = Г а23 dA = 0, АА
^3=1 а33 dA = aY J Xi dA + a2 J x2 dA = 0,
AAA
MY = — J oXix2dA = — aY J xYx2dA— a2 J x^dA = 0,(12)
AAA
M2 = j АззХ, dA = a, J x, dA + a2 J x,x2 dA = M, AAA
M3 = — J (х^зг — a31x2) dA = 0. A
Главный вектор сил P равен нулю, как и должно быть. Составляющая Р3 равна нулю, так как J xYdA= J х2йЛ = 0. Коэф-
АА
фициенты «ь «2, входящие в линейное распределение напряжения (Тзз, определим из третьего и четвертого уравнений системы (12). Имеем
(13)(13)а1Лг а2Л1— 0, Ct(/22 4" а2Лг—
(13)
(13)
где /22, /и являются моментами инерции относительно осей Xi и х2| а /12 — центробежным моментом. Последнее уравнение группы (12) тождественно удовлетворяется, если ai3 = ц23 = 0. Так как
(14)(15)(14)(15)/11 м112м
(14)
(15)
(14)
(15)
«1 = —:> «2 =;7"
/ц/22 ~/12/ц/22™/12
то нормальное напряжение ц33 примет вид
Оза = ~"Та- (Л Л —/12*2)»
'11'22 '12
Предположим, что оси хь х2 являются главными осями инерции. Так как центробежный момент в этом случае равен нулю, то
о» = -у-хх. (16) /22
Определим теперь поле перемещений в брусе. Мы можем определить его либо по формулам Чезаро, либо непосредственно. В последнем случае исходными будут выражения для деформаций
сп = дхих
= -^ [СГ11 — v (ff22 + (Тзз)]
vAf
— Е1 хь
/ = /22. (17)
822 = ^2^2
= 44ff22— V (<Тц 4- СГзз)]
vAf
— Е1 хх,
(18)
взз = 5з«з
= ~Е fe*(аП + С22)]
м
— Е1 Ар
(19)
р ст12
(20)
2ц
2 ^1и2 "1 <Wи>
Раз
23 2ц
= 4 (д2«з + д3ы2) = 0,
(21)
р — Стз1
®31 2ц
= 4(д1“з + д3«1) = 0.
(22)
Интегрируя уравнение (19), получим
Ыз = -^р XjX3 4“ w? (-Kp х2р(23)
где и^— произвольная функция переменных хц х2. Подставляя формулу (23) в соотношения (21) и (22), а затем интегрируя
их, получим следующие выражения для перемещений их и и^;
"1 = ~~ 2^Г хз — ^1«°з + “1 (хр х2).(24)
ы2 = х$д2и® -|- и2 (-^р х2)‘(25)
Подставим формулу (24) в соотношение (17), а (25) в соотношение (18). Получим систему уравнений
— ^«З + д2«2 = ~ 1^ Х1‘
Так как эти соотношения должны быть справедливы для произвольного значения Хз, то
5^ = 0, д2ы° = 0.(27)
Нам остается еще проинтегрировать соотношения (26) с учетом (27). Получим
"1S" xi + Ф1 (х*)* «2 = --^-х1^ + ф2(х1)-(28)
Здесь фЬ ф2—произвольные функции выписанных переменных. Следует еще связать между собой функции ф1 и ф2. С этой целью используем последнее оставшееся уравнение (20). Подставляя в него перемещения их, и2 по формулам (24), (25) и принимая во внимание зависимости (28), получим условие
- 2x3<^8«° + ^^ - ^ х2 + ^1 = 0.(29)
Так как только один член этого уравнения зависит от х3| то ^^ = 0.(30)
Уравнение (29) с учетом (30) удается разложить на систему уравнений
^Ф1 (х2)vAf _ dqMxi) _
dx2EI X2 Y1’ dxxY1*
Отсюда
Ф1 = -ёг44-У1Х2 + у.
ф2 = — y^ + d.
Соотношения (27) и (30) приводят к утверждению, что ы° является линейной функцией переменных хх и х2:
«"-р^ + р^+р.(32)
По формулам (23), (24) и (25) с учетом зависимостей (28), (31) и (32) получаем окончательные выражения для перемещений:
"i = ~Йг [хз + v (^ — <(] + Y^z - 0Л + у,
«2— 'gj"xlx2 — Yl^l ^2*3 4* 8,(33)
Ua = -gp Х^з + Р[Х[ 4“ $2х2 + Р-
Постоянные интегрирования Pi, Р2, р, уь у, 6 мы определим из условий закрепления бруса в сечении х3= 0. Если допустить, что брус жестко закреплен в начале координат (0,0,0), то из условий и\ = «2 = «3 - 0, дз«1 - д3«2 = ^«2 = 0 для точки (0,0,0) получаем по формулам (33)
Pi = Р2 = Р = У! = У = 6 = 0.
Напряженное состояние в точках, удаленных от основания цилиндра, в силу принципа Сен-Венана не зависит от распределения нагрузок ^з(^ь^2); прежде приложенные нагрузки удовлетворяли условиям (5) — (8), которые в нашем случае приводят к соотношениям
j q3dA = 0, j 1/3X2 <М = 0, М = j q3xvdA. (34) ААА
Поэтому вместо заданной нагрузки ^(ХьХг) мы можем принять статически ей эквивалентную ^' = а,х| + а^, приводящую к более простому напряженному состоянию в брусе, определенному по схеме (11). Для заданной нагрузки ^з(Х1,х2), отличной от ^ = а^ + а2х2, напряженное состояние (И), очевидно, является приближенным, отличающимся от точного решения только вблизи основания цилиндра.
Кручение прямого бруса.
Основные соотношения и уравнения
Пусть на цилиндрический брус действует крутящий момент М= j (х^зг — x2ff3iW-(1)
А
Так как в это соотношение входят только напряжения о3|, о32, следует считать, что они играют основную роль в задаче кручения бруса. Поэтому предположим, применяя полуобратный метод Сен-Венана, что в брусе имеет место напряженное
состояние, определяемое только составляющими а31, а32 тензора напряжений оц. Предположим также, что эти напряжения зависят только от переменных Xi и х2 (рис. 7.4).
Нужно исследовать, какой тип деформации соответствует такому напряженному состоянию. Заметим, что из уравнений равновесия остается одно, а именно
51<т13 + д2а2з = 0.
Это уравнение будет выполняться тождественно, если связать напряжения ai3, агз с некоторой функцией напряжений ф зависимостями
<Т13 = д2ф, а23 = —д^. (2)
Нужно удовлетворить также уравнениям в напряжениях Бель- трами — Мичелла и граничным условиям. В рассматриваемом
РИС. 7.4.
случае (в предположении, что единственными напряжениями в брусе являются a3i и а32) уравнения Бельтрами — Мичелла сводятся к двум уравнениям
Viai3 = 0, Viff23 = 0, Vi = di4-d2-(3)
Эти уравнения с учетом соотношений (2) приводим к виду
дЛ^ф = 0,— <91V? тр = 0.
Отсюда сразу вытекает, что функция ф должна удовлетворять уравнению Пуассона
ф?ф = -2Д".(4)
Величина К является постоянной, которую мы найдем в дальнейшем при определении деформаций тела.
Перейдем к выводу граничного условия, отвечающего дифференциальному уравнению (4), рассматривая нагрузку, действующую на боковой поверхности бруса. Составляющие этой нагрузки задаются формулами
Р^ОцП,.(5)
Так как на боковой поверхности n3=cos(n, х3) = 0, а напряже- ццц a^p (а, р = 1,2) равны нулю внутри бруса, то из уравне?
ний (5) остается только соотношение
Ps = o3YnYA-o32n2.(6)
Боковая поверхность будет свободна от нагрузок, если положить р3 = 0, что мы и сделаем. Подставляя в формулу (6) соотношения (2) и учитывая, что
п, = cos (п, х^ =-^^-, n2 = cos(n, х2) = — -^-,
(7)бруса бруса(7)бруса брусаполучим зависимость
(7)
бруса бруса
(7)
бруса бруса
dxY ds дх2 ds т
Из этой зависимости вытекает, что на контуре с сечения следует принять граничное условие ф = const. В случае с односвязным сечением можно принять условие ф = 0.
Итак, определение функции ф сводится к решению уравнения Пуассона
(д, + ^2) Ф(хц х2) = —2К, хр х2еА,(8)
с граничным условием
ф(з) = const, sec.(9)
Так как в брусе напряженное состояние определяется составляющими а3ь ц32, в основании бруса следует рассмотреть условия
Л=] OjidA, ^2 = ^ <T23dX, Л1з = — M=j (d3Yx2—Q32xY) dA. (10) ллл
Первые два условия приводятся к криволинейным интегралам PY = J д2ф dA = — J ф ^хр Р2 = — | d^ dA = J ф dx2.
АсАс
Криволинейные интегралы равны^ нулю, если ф = const на контуре основания. Поэтому Pi = 0, Р2 = 0, так что система нагрузок сводится к крутящему моменту. Для крутящего момента М из последнего уравнения системы (10) имеем
М = — J (х,д,ф + х2д2ф) ДА = 2 J ф dA — j ф (х, dx2—х2 dxY\ (11)
АААс
А
А
В случае односвязного сечения бруса криволинейный интеграл исчезает, так как ф = 0 на контуре с. В этом случае
Л1 = 2|ф^А.(12)
А
Мы видим, что рассматриваемое напряженное состояние вызвано действием крутящего момента М в основании цилиндра.
Следует рассмотреть еще деформацию бруса и при этом определить значение постоянной К. Так как в случае кручения бруса напряжения Оц, агг, Озз, 012 равны нулю, то и деформации, связанные с этими напряжениями, равны нулю. Итак, имеем систему четырех однородных уравнений
8ц = djMi = 0,622^52^2^0,833 = 53ы3 = 0,
1 / з д \ л(13)
ei2 = j(5i«2 + 52«i) = 0.'
Из соотношений (13) вытекает, что линейный элемент ds, лежащий внутри сечения х3 = const и не изменяющий своей длины, испытывает только смещение и поворот. Для перемещений «1 и ы2 получаем
их = — ■Охг, и2=<Ухх.'(14)
Этим соотношениям удовлетворяют два первых из уравнений (13) и последнее из этих уравнений. Величина t> (угол поворота бруса) может зависеть от переменной х3, но только линейным образом. Это вытекает из того, что мы считаем напряжения и связанные с ними деформации не зависящими от переменной х3. Поэтому примем, что
■& (х3) ='Оо + хза-(15)
Здесь -0-0 и и— постоянные величины. Если предположить, что брус закреплен в сечении х3 = 0, то величину -O-q следует положить равной нулю. Величина со определяет крутку — угол закручивания, отнесенный к единице длины. Поэтому имеем
Ux = — Х2Хз<й, и2 = ХхХз,(й.(16)
Кроме того, в соответствии с третьим уравнением системы (13) и3 = (в<р(х1, х2).(17)
Выразим теперь возникающие в брусе напряжения через перемещения:
<т13 — 2ре13 — н (53«! 4-д^з),
(1 о)
Огз== 2ре23 = ц (дзЫ2 4~ ^из).
Подставляя в формулы (18) выражения (16) и (17), имеем
о13 = ри (5^ — х2), ff23 = H“(52<P4-^i)-(19)
Из последних соотношений получаем
д2а13 — дхо23= 2ри.(20)
С другой стороны, вводя зависимости между напряжениями и функцией ф (соотношение (2)), найдем, что
V^-ф2ци.(21)
Сравнивая последнее уравнение с уравнением (4), видим, что рю = К. Угол закручивания и можно связать с крутящим моментом М благодаря соотношению (11) или (12).
Вводим новую функцию напряжений х, связанную с функцией ф зависимостью
ф = ^[х(хр х2)—1(х? + х2)].(22)
Подставляя формулу (22) в уравнение Пуассона (8) и граничное условие (9), убеждаемся, что функция х удовлетворяет уравнению Лапласа
V2x (*i> ^) = °, х,, х2 е Л,(23)
с граничным условием
X (s) = const + у (х2 4- х2), sec.(24)
Путем введения функции х мы свели задачу к известной проблеме теории потенциала, а именно к краевой задаче Дирихле. Зная функцию х> можно определить напряжения. Воспользовавшись соотношениями (2), находим, что
^=^-4 °»—^«-4<25>
Подставляя формулы (25) в третье соотношение системы (10), получим
М = К J (х2 + х| — x^jX — x2d2x) dA = A
= К J [(X, - d1X)2 + (x2 - ад dA, К = ни. (26) A
Последнюю формулу можно представить в виде
М = toD,(27)
где
5 = Ц J [(х, — d,x)2 + (х2 — d2x)2] dА. А
Через D мы обозначили величину, называемую жесткостью бруса на кручение, или просто жесткостью бруса.
Возможен еще один путь формулировки задачи о кручении бруса: введение функции перемещения ф(хь хг), фигурирующей в выражении (17) для перемещения и3. Подставляя оцз и а2з из формул (19) в уравнение равновесия (1), получим для функции ф гармоническое уравнение
Vfo = 0.(28)
К уравнению (28) следует добавить граничное условие. Подставляя формулы (19) в граничное условие (6), получим
^rti + ^rt2 = ^ = x2»i—W<29)
Нам нужно решить уравнение Лапласа (28) с граничным условием (29). Это известная задача теории потенциала: краевая задача Неймана. Известно, что однозначное решение задачи Неймана существует тогда, когда
f ds = 0.
J дп С
Это вытекает из следующего преобразования:
J ^-ds= j d^ntds= J VfodA = 0. СсА
Легко проверить, что граничное условие (29), проинтегрированное по контуру сечения, удовлетворяет постулату Неймана:
J ^L ds = j (xj dxv + х2 dx^ = 0. С 'с
Проверим далее, выполняются ли условия (10) на основании бруса. Первое из этих условий дает
J а31 dA = ци j (д^ — х2) dA =
АА
= ЦЮ J (к (5,ф — х2)1, J + [xj (д2ф + Xj)], 2} dA. (30) А
Здесь мы воспользовались тем, что функция ф удовлетворяет уравнению Лапласа. Применяя к формуле (30) преобразование Грина, имеем
J а31 б?А = цю J [^(4т+ xtrt2 —х2тг1)]б?б = 0.(31)
Ас
Условие Pi = 0 будет выполнено, если под знаком криволинейного интеграла фигурирует граничное условие (29), Аналогич-
ные рассуждения показывают, что также и Р2= J 0^А=О. Последнее соотношение системы (10) приводит к выражению
М = ®D,D = n J (xf + ^2 — x^^ + х,д2ф) dA. (32)
Л
Величину D можно записать также в виде
D = ц | [(х2—д,ф)2 + (xj + 5гф)2 + x2d^—хДф- (д]ф)2—(д2ф)2] dA. л~
Покажем, что поверхностный интеграл от подчеркнутого выражения равен нулю.
Применим к интегралу
3= J [(<91V)2 4-MWл
преобразование Грина. Тогда имеем
J [(51Ф)2 + (д2ф)Ч dA = | ф ^ ds — J фУ2ф dA. ЛсА
Последний интеграл исчезает, если У2ф = 0. Используя далее уравнение (29), получим
3 = [ ф ds = f ф пх +п2) ds —
J т an J X\dxt ох2 Сс
= J 1(х2ф), 1 — (Х]ф), 2] dA = j (х<Дф — хМ dA. (33) лл
Поэтому жесткость бруса на кручение
О = ц| [(х2-51ф)2 + (х1 + ^ф)2]йЛ>0(34)
л
является положительной величиной.
Напишем формулу (32) в виде
О = ц J (х2 4-х2) 6?Л — ц J (x2d^ — х,д2ф) dA. (35) ЛА
Учитывая формулу (33) и обозначая через U полярный момент инерции, придадим соотношению (35) вид
D = н (Id - f 1(с\ф)2 4- (д2ф)2] dA I.(36)
I AJ
Так как D > 0, то справедливо неравенство D ^ Id^.
Найдем теперь связь между функциями ф и х- Из сравнения соотношений (19) и (25) видно, что
д,Ф = д2Х, д2ф = — д^.
Отсюда вытекает, что функция ф + hl является аналитической функцией комплексной переменной z = Xi + tx2. Функции ф и х являются гармоническими, а соотношения (37) представляют собой известные соотношения Коши — Римана.
Применение комплексного потенциалак задаче о кручении бруса
Рассмотрим первую задачу теории потенциала: будем искать решение уравнения Лапласа
VfP (х,, х2) = 0, (х,, х2) е Л,(1)
которое на границе с односвязной области Л принимает непрерывные значения
Р = !^, s^c.(2)
Краевая задача, характеризующаяся уравнением (1) и граничным условием (2), носит название задачи Дирихле. Известно,
что решение уравнения (1) существует и единственно, если граница области является достаточно гладкой.
Для дальнейшего особое значение имеет решение задачи Дирихле для круга. Общий вид этого решения мы дадим в форме функции комплексной переменной (рис. 7.5).
Рассмотрим замкнутый круг |z|^l и отыщем решение уравнения (1) с граничным условием
P = L |z|=l. (3)
Ниже т] = е10 будет изображать точку z = rei0 на окружности у единичного круга.
Обозначим через Q(xi,x2) гармоническую функцию, сопряженную с функцией Р(Х|,Х2). Эту функцию можно определить с точностью до постоянной, если известна функция Р.
Вместо функции Р в круге |z| ^ 1 мы будем искать комплексную функцию
F (z) = Р (Хр хг) 4- iQ (х„ хг),(4)
которая на границе у удовлетворяет условию (3). Это условие можно записать как
^(П) + ^(П) = 2Н6).(5)
Умножим равенство (5) на'
1 dq2лг q — z ’
где z— точка внутри окружности у, и проинтегрируем по окружности:
ГF (п) dq■ 1ГF (ц) dq=1Гf (6) dq
2лг Jq — z"т" 2nz Jq — zniJц — z"''
vvv
В силу теоремы Харнака1)соотношение(6)равносильно гра
ничному условию (5). Первый интеграл в (6) равен функции F(z) в силу теоремы Коши, второй интеграл имеет постоянное значение
«--К(7)
Величины ао, Ро являются здесь действительными постоянными.
Уравнение (6) дает
F<г>-Т -"- + гк-<8)
Из формулы (7) получаем F(0) = ао +/Ро- Из соотношениия (8) поэтому имеем
“о 4" £Ро = "^f J —~«о + £Ро>
откуда вытекает, что
2л
Isr/W3-(’)
VО
Решением краевой задачи Дирихле является выражение (8). Выделяя из этого выражения действительную и мнимую части, получим функции Р и Q. Формула (8) носит название формулы Шварца. Если в формулу (8) подставить z = ге^ = = г (cos ф + i sin ф), ц = eie = cos 6 + i sin 6, то после простых
*) См., например, Leja F., Teoria funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1957. [См. также Лаврентьев M. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, изд. 4, «Наука», М., 1973. — Прим, перев.]
преобразований и выделения действительной части получим так называемый интеграл Пуассона
2л
w 2л J 1 - 2r cos (0 - <p) + г2 •1
0
Перейдем к задаче о кручении бруса. Эту задачу удается решить без труда, если заданная область S сечения является односвязной и ее можно отобразить на область S* единичного круга |^| ^ 1. В этом случае можно воспользоваться формулой Шварца. Пусть функция
2 = й(С),(11)
является отображающей функцией. Из § 7.2 мы знаем, что функция перемещений ф и функция напряжений % являются сопряженными гармоническими функциями; они образуют аналитическую функцию■
/Д^Ш-ф + й-(12)
Так как функция х удовлетворяет уравнению Лапласа с граничным условием Дирихле, то в дальнейшем удобнее ввести комплексную функцию
7Ш = х~*ф.(13)
Функция х удовлетворяет на границе с области S граничному условию
X «= J (^ + 4) + const = У 22 + const.
На единичной окружности |£| = 1 имеем
X 1у =-^-с» (ст) го (ст), IE 1=1.(14)
Здесь через ст = ei0 обозначена точка на окружности у.
Для определения функций ф и х воспользуемся формулой Шварца (8). Внутри круга |С| С 1 получим
If!»- f ?№.»И>^ +constt 1 2nz J а — £1’
V откуда_
НЕ)=ф + «Х“^ J—“^^da+const(15)
V
Из последней формулы без труда определяем функции ф и х как действительную и мнимую части функции /(£).
Если функция «(J) измерима, то и выражение и (ст) и (ст) будет измеримой функцией. В этом случае вычисляем интеграл (15), используя теорему о вычетах.
Важной с практической точки зрения величиной является крутка со = MID. Поэтому следует найти жесткость на кручение для сечения бруса как функцию от (d(Q:
D = n j (х2 4- xs)dA + p. j (х^ф — x,<?^)<M = p70 + цО0. (16) 4
Величина /о является полярным моментом инерции области, ограниченной кривой с. Тогда имеем
70 = [ (Х1 + XD ^ = / [^2 (X1X2) + ^1 (^l^)] dX\ dX2 = A.4
— — j x,x2 (x, dxx — x2 dx^ - — -^-f (z2 — z2) (z dz + z dz), cc
где z + zz — z
X, g , X2 2,1
Ho
j za dz = 0, j z3 dz = 0, j z2z dz = j z-d ^ z2) = — J z2z dz. ccCCC
Окончательно, учитывая, что г = ю(£)> z = co(C). имеем
70 = — 7 / [® (ст)]2 и (ст) do.(17)
Применяя теорему Грина к выражению Do, находим
Do = — | ср (х, dxx + х2 dx2) = — / Ф^ (у г2). сс
Но на границе у
г2 = ZZ = (О (ст) (О (ст), Ф= ^-[f (ст) 4-/(ст)].
Поэтому
Оо=-|/[Нст)4-Й^]^[»(ст)4-^)].(18)
Остается определить напряжения. Для этой цели воспользуемся соотношениями (19) § 7.2 и образуем комплексную величину
сТ1з — 1ст23 = рсо (^[ф — 1д2ф — х2 — ix^.(19)
14 В. Новацкий
Так как F(Xs) = <р-V 1х — аналитическая функция комплексной переменной г, го с^ф = д^ч д2ф = —д\^- Последняя из этих зависимостей позволяет представить формулу (19) в виде
"1з — 1О2з = Н® [^i (Ф + Й) — 1 (*i — ^2)]> или
"13 —1023 = Н® [^ (z) — iz].
Но
F (z) = F [<о (С)] = f to.F' to = f' to -^y;(20)
подставляя (20) в последние соотношения, получим вид комплексного касательного напряжения, особенно удобный для вычислительных целей:
О1з —1о23 = Ц® [-^7^- —I® (С)]-(21)
Составим из напряжений одз, ст2з в определенной точке вектор т. В ортогональной криволинейной системе координат (р) и (Ф) (рис. 6.24) получим касательные напряжения тр и т0.
Используя формулы (18) § 6.10 для проекций произвольного вектора А на оси (р), (Ф) и оси Xi, х2
Ар + iA, = е~‘- (А, + /Д2) = | у^Йт (А, + /А,),
получим следующее соотношение:
•£(С) ,\
Р v р | to (£) | '
или*
тр - it0 =1 р^уу 1Г (С) - it/ to ^)L(22)
На границе сечения должно быть тр = 0. Формула (22) позволяет поэтому определить касательное напряжение т^ на границе контура и, в частности, его экстремальное значение.
Рассмотрим простой пример применения метода функций комплексной переменной к задаче о кручении бруса. Пусть сечение бруса ограничено кардиоидой, заданной уравнением
г =2с (1 + cos 9), r = to + x$\tg9=^_.
Функция, отображающая это сечение на область единичного круга |С|^ 1, имеет вид
?=а(5) = с(1 —£)2.
Из формулы (15) получаем
f^ = ^ + ix = ^/(1-2а + а2)(1 - f ++ const =
= ic2(6-4C+C2).
Величину D определяем по формуле (16):
D = 17|ллс4,а составляющие напряженного состояния—по формулам (21).
Мембранная аналогия
Мембраной называется очень тонкая плоская упругая пленка, способная сопротивляться только нормальным напряжениям, равномерно распределенным по толщине пленки. Такую мембрану можно изгибать и сминать, ее жесткость на изгиб минимальна.
Описанную таким образом упругую мембрану растянем силами S на плоском контуре (подобно тому как натягивается кожа на барабане) в плоскости х,х2. В мембране возникнет состояние всестороннего растяжения а^ = а^ = S/Л, где через S мы обозначаем силу натяжения, а через h — толщину мембраны. Силу S обычно называют первоначальным натяжением мембраны. Такую равномерно натянутую мембрану нагрузим силами p(xb х2), перпендикулярными к плоскости хь х2. Под влиянием этого нагружения в мембране возникнет двумерное напряженное состояние (ап, а22). Эти напряжения равномерно распределены по толщине мембраны. Нагрузка р(хьх2) вызывает прогиб в направлении оси Хз, который обозначим через w (хь х2).
Дифференциальное уравнение поверхности прогиба мембраны найдем самым общим способом, используя принцип виртуальных работ при вариации перемещений
dF = dS’.(1)
Здесь Ж обозначает работу деформации, которая складывается из работы напряжений ^°1=а°2 = S/h и напряжений ац, а22, вызванных нагрузкой р(хь х2); $ — работа внешних сил. Под влиянием внешней нагрузки р произвольный поверхностный элемент До мембраны увеличивается. Вырезая такой элемент мембраны и подвергая его действию сил S, убеждаемся, что поверхность этого элемента увеличится на величину J Sdunds. Здесь через ds обозначен элемент дуги контура cQ, через duH —
перемещение в направлении, нормальном к с0. Приращение поверхности показано на рис. 7.6: это заштрихованная часть.
Так как для каждого поверхностного элемента работа деформации выражается произведением силы S и приращения поверхности, то для всей поверхности имеем
Ж = 5^А' — А\(2)
Через Л' обозначена поверхность деформированной мембраны. В выражении для работы деформации мы взяли в каче-
«7=0«7=0РИС. 7.6.РИС. 7.6.стве S первоначальное натяжение. Хотя нагрузка р(х\, x2) увеличивает натяжение S, однако это приращение достаточно мало по сравнению с начальным натяжением, так что им можно пренебречь. Обратим внимание и на то, что в выражение (2) не входит коэффициент 1/2. Это вытекает из того, что в момент приложения нагрузки р начальное натяжение S существовало в полную свою величину.
«7=0
«7=0
РИС. 7.6.
РИС. 7.6.
геометрии известно, что поверхностьгеометрии известно, что поверхностьИз дифференциальной А' выражается формулой
геометрии известно, что поверхность
геометрии известно, что поверхность
л' = П1 ++ ($НТ dA’ dA=dxi dx2-<3)
Л
Разлагая подинтегральное выражение в ряд и ограничиваясь малыми прогибами, из формул (3) и (2) получаем следующее выражение для работы деформации:
r^J^^MNW.(4)
А
После варьирования перемещений в формуле (4)
6F = S J diwdi dw dA, t = I, 2,(5)
А
и приравнивания вариации работы деформации к вариации работы внешних сил
&$ = J р dw dА(6)
А
получаем следующее соотношение:
j р dw dA = S j diwdi 6® dA.(7)
Aa
Интеграл в правой части уравнения (7) преобразуем следующим образом:
J djWdi дну dA = J (_dtw day) £ dA — J w, it dw dA, (8) АЛA
и применим формулу Грина на плоскости. В результате получим
J dtwdt dwdA = ^ -^- bw ds — J Vfw 6w dA. (9)
AcA
Величина dw/dn означает здесь производную прогиба по нормали к контуру с. Подставляя формулу (9) в (7), получим следующее интегральное соотношение:
J (<SViw + р) 6w dA — S J ^- дну ds = 0.(10)
Ас
Из соотношения (10) находим дифференциальное уравнение, а также относящиеся к нему граничные условия. Если на границе с задан прогиб w(s) = №($), то на этой границе должно быть бш = 0. Это вытекает из предположения, принятого при выводе принципа виртуальных работ. Итак, при заданных на границе перемещениях исчезает криволинейный интеграл в уравнении (10) и остается равенство
J (SViw + р) дну dA = 0.(11)
А
Так как виртуальное перемещение 6w внутри мембраны произвольно. то
SViw (х) + р (х) = 0, х = (хр х2, 0), хеА (12)
Из формулы (10) мы получили дифференциальное уравнение прогиба мембраны в предположении, что на контуре с выполняется граничное условие
w(s) = 17 (s), sec.(13)
В § 7.2 был указан путь решения задачи о кручении бруса при помощи функции напряжений ф. Эта функция должна удовлетворять уравнению Пуассона
\7?ф = — 2К, К = улй,(14)
с граничным условием
ф = 0(15)
на границе с односвязного сечения бруса.
Отсюда видна аналогия между уравнением прогиба мембраны (12) и дифференциальным уравнением кручения бруса. Прандтль1) использовал эту аналогию для экспериментального определения напряжений кручения. Известно, что тонкая мыльная пленка, натянутая на контур с, равномерно растянута в своей плоскости. Это соответствует предположениям, принятым для упругой мембраны. Если увеличить давление с одной стороны пленки, то пленка деформируется и ее поверхность прогиба будет описываться уравнением (12).
Из сравнения уравнений (12) и (14) в предположении, что р = const и ну = 0 на с, получаем
,2KS
апу = ф, а = ——.(16)
Здесь а — постоянная с соответственно выбранной размерностью.-
Рассмотрим семейство кривых
ф(хь х2) = const.
Наклон dx2ldx\ касательной к какой-либо кривой рассматриваемого семейства находим из формулы
^^+-^^ = 0.(17)
(/AjVA2
Учитывая, что
"ia = ФК "23 = — d^,(18)
из (17) получаем следующую формулу:
4X2 Раз4X1013 '
Из этой формулы вытекает, что в каждой точке кривой ф = = const вектор касательного напряжения
Т = 1^3 + 12"23
направлен по касательной к этой кривой. Кривая ф = const называется линией касательных напряжений в сечении скрученного бруса. Величина касательного напряжения определяется цр формуле
т = | т | = (»2з + ст2зу/= = [(^2 + ^2ф)2]‘/2.(19)
Вернемся к прогибу мембраны и определим наклон элемента ds, лежащего на вогнутой поверхности мембраны. Этот наклон
») Prandtl L., Phys. Z„ 4 (1903), 758—770,
определяется формулой да) да) dxi . да) dx2 dsdxt ds * dx2 ds
Если через p обозначить угол между направлением элемента ds и осью х2, то
da) да) . п . да) о
-5r = ^Tsin₽ + ^;C0S₽-<20)
Определим направление наибольшего наклона dwfds. Для этой цели продифференцируем (20) по р и приравняем продифференцированное выражение нулю. В результате получим
ь г dwjox^
Отсюда
од2а). пdiO)
COS Р = -7=5== ,Sin Р = —, - — - ■ 1 •
]/(<),ш)2 + (д2ш)2V (dia>)2 + (д2а>)2
Подставляя полученные выражения в формулу (20), получаем
= [(¥)Ч(¥)Т.(21)
\ /щах
Подставляя зависимость aw = ф в формулу (19) и сравнивая уравнения (19) и (21), находим, что
Отсюда видно, что величина касательного напряжения т в сечении бруса измеряется наибольшим наклоном прогнувшейся поверхности, умноженным на постоянную а.
В § 7.2 мы установили связь между круткой со и крутящим моментом М;
M = <pD, D=-^-Ji|)(M.
А
Используя зависимость (16), имеем
D = ^- J wdA = ^-V,(23)
А
где через V обозначен объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью прогнувшейся пленки. На основании формулы (23) можно с помощью эксперимента с пленкой, контур которой соответствует сечению скручиваемого бруса, найти значение жесткости на кручение D.
Решение задачи о кручениидля некоторых частных случаев
Если контуром с сечения бруса является эллипс с уравнением-
22
(1)(1)XjХ2
(1)
(1)
то решением уравнения ViTp = — 2[гш, удовлетворяющим условию ф = 0 на границе, является функция
/22\
Х1 х2 \ф = т 1т-1, m = const.
\ ах а^)
Так как 2 I 2 оЛ “Г
Vnp = — 2р<в = — 2m—5-5—,.
ax<4.
ТО
Напряжения определим по формуламазх = д2ф =, ст32 = —= —5-Жесткость на кручение D выражается формулойНапряжения определим по формуламазх = д2ф =, ст32 = —= —5-Жесткость на кручение D выражается формулойМ 5 г .D = — = — ^dAРезультирующее напряжение равноМ 5 г .D = — = — ^dAРезультирующее напряжение равнорла^рла^4 + 4 '4 + 4 '(2)(3)(2)(3)
Напряжения определим по формулам
азх = д2ф =, ст32 = —= —5-
Жесткость на кручение D выражается формулой
Напряжения определим по формулам
азх = д2ф =, ст32 = —= —5-
Жесткость на кручение D выражается формулой
М 5 г .
D = — = — ^dA
Результирующее напряжение равно
М 5 г .
D = — = — ^dA
Результирующее напряжение равно
рла^
рла^
4 + 4 '
4 + 4 '
(2)
(3)
(2)
(3)
/ Г2 Г2 \ V»
4 + 4
На границе сечения, учитывая формулу (1), получаем
2т /х^4 \'/г
т = 1 Н— е ,
^1 \^2/
Для эллипса, в котором 2аг является малой осью, имеем е > 0. Тогда касательное напряжение достигает максимального значе* ния при х2 = «2> поэтому в точке (0, а2)
2цго4а2о] + 42цго4а2о] + 4' 2т
2цго4а2о] + 4
2цго4а2о] + 4
^тах =
^2
Из формул (19) § 7.2, учитывая, что спз = д2ф, <т2з =—д1ф, имеем
di<P=—д2Ф + х2> д2ф = --^^ф —хр(5)
Отсюда можем определить функцию перемещений
22
а‘ — а^ ф (х1, Х2) = -2-—2 ХхХг.(6)
«1+ а2
Перемещения даются формулами 22
#1 — Ux = — Х2Х3С0, И2 = Х1Х3(В,«3 =52 Х1Х2Ш> (7)
ах + а2
На рис. 7.7 показана депланация эллиптического сечения, описываемая функцией «3. Из уравнения (7) видно, что линиями
РИС. 7.7.
одинаковых перемещений являются гиперболы. Сплошными линиями обозначены выпуклости, штриховыми линиями — вогнутости деформированной поверхности.
В частном случае ах = аг = а мы имеем дело с круговым сечением. Максимальные перерезывающие напряжения получаются на окружности: ттах = цсоя. Сечение бруса не искривляется в процессе кручения, ибо ф = 0.
Рассмотрим функцию кручения, введенную Вебером1):
f (г) = Ф + ix = ia^z — ^ + ^-ib2.(8)
Подставляя z = rei6 и определяя функции ф и х, получим в полярной системе координат
Ф= — а ^г + -^) sin6, x = «r(l — tt)cos6 + у 62.(9)
*) Weber С., Forschungsarbeiten VDI, № 249, 192),
Сосредоточим внимание на функции напряжений %. Мы знаем, что эта функция должна удовлетворять условию X = у (xf + х2) = у р2 на границе сечения. Поэтому имеем уравнение контура
X = ар (1 — уг) cos 9 + у Ь2 = у р2,
из которого после преобразования следует, что
-6Д1
(Ю)(Ю)Из этого выражения мы видим, что сечением является круг радиуса а, из которого вырезан круг радиуса b (рис. 7.8).
(Ю)
(Ю)
РИС. 7.8.
Используя формулы (25)Л§ 7.2, получиму\( 2а62. \
ст13 = К (д2% — х2) = ц<ох2 х( — 1).
(И)(И)Для г = Ь получаем
(И)
(И)
(Tia = цш (2а cos 6 — 6) sin 6, ст2з = — ци (2а cos 6 — 6) cos 6
и уже отсюда определяем суммарное перерезывающее напряжение
т = (ст^3 4- ст;у1/2 = цсо (2а cos 6 — 6).
Максимальное значение касательного напряжения оды получим в точке (6, 0):
оЬ
Тшах 2р(оа ( 1 „д
Если отношение Ь(а мало, то максимальное напряжение равняется Ттах « 2раа, т. е. в два раза больше, чем на границе сплошного кругового сечения. Отсюда видно, что круговой вырез вызывает значительную концентрацию напряжений.
Рассмотрим кручение бруса прямоугольного сечения со сторонами 2а и 26. Для решения этой задачи применим (уже не для экспериментальных целей, а для вычислительных) мембранную аналогию, обсужденную в § 7.4.
Определим прогиб пленки, натянутой на прямоугольник со- сторонами 2а, 26 и равномерно нагруженной. Следует решить дифференциальное уравнение
V^-JL (12)
с граничными условиями
ю(±а, х2) = 0, w(xb ±6) = 0.(13)
Решение этого уравнения разобьем на два частных решения:
W (хь Х2) = Ш0 (Х1) + Ш)1 (хь х2).
Предполагаем, что функция wo(xi) как частное решение уравнения (12) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
= —L(14)
dx, S
с граничными условиями
(15)(15)w0 (± а) = 0.
(15)
(15)
Потребуем, чтобы функция a)i(xi,x2) удовлетворяла гармоническому уравнению
V^Dt (Хь х2) = 0(16)
с граничными условиямиWj (± а, х2) = 0,Решением уравнения (14) с функцияс граничными условиямиWj (± а, х2) = 0,Решением уравнения (14) с функцияwJxl ± 6) = — a/о (xj.граничным условием (15)wJxl ± 6) = — a/о (xj.граничным условием (15)(17)(17)являетсяявляется
с граничными условиями
Wj (± а, х2) = 0,
Решением уравнения (14) с функция
с граничными условиями
Wj (± а, х2) = 0,
Решением уравнения (14) с функция
wJxl ± 6) = — a/о (xj.
граничным условием (15)
wJxl ± 6) = — a/о (xj.
граничным условием (15)
(17)
(17)
является
является
2 /9 'pa /xf2 /9 'pa /xf2рSa ппл2рSa ппл“(_1)<"-Ч/2“(_1)<"-Ч/22j §cosa„xb=1,з,...a«2j §cosa„xb=1,з,...a«“п — 2а -“п — 2а -
2 /9 '
pa /xf
2 /9 '
pa /xf
2р
Sa п
пл
2р
Sa п
пл
“(_1)<"-Ч/2
“(_1)<"-Ч/2
2j §cosa„xb
=1,з,...a«
2j §cosa„xb
=1,з,...a«
“п — 2а -
“п — 2а -
Решению уравнения (16) можно придать видРешению уравнения (16) можно придать видw^Xp х2)= 2 (X„cha„x2 +S„sha„x2)cosa„x,.n=U3. ...w^Xp х2)= 2 (X„cha„x2 +S„sha„x2)cosa„x,.n=U3. ...(19)(19)Из граничных условий (17) вытекает, чтоИз граничных условий (17) вытекает, что9n (—n<n-D/2В„ = 0, Ап = -^-^ Sa a'2 ch Xn9n (—n<n-D/2В„ = 0, Ап = -^-^ Sa a'2 ch Xn, nn.bXn = —, nn.bXn = —2a2aСкладывая частные решения, имеемСкладывая частные решения, имеемW (ХрW (Хр2/2.pa.х2) = 1у223\а2.2/2.pa.х2) = 1у223\а2.(—l),n 9/2 ch anx,—— cos anxv.ап ch ^п(—l),n 9/2 ch anx,—— cos anxv.ап ch ^п(20)(20)Перейдем от задачи об изгибе мембраны к задаче о кручении бруса. Согласно формуле (16) § 7.4, имеемПерейдем от задачи об изгибе мембраны к задаче о кручении бруса. Согласно формуле (16) § 7.4, имеемф = aw,ф = aw,2ucoSa =р2ucoSa =р
Решению уравнения (16) можно придать вид
Решению уравнения (16) можно придать вид
w^Xp х2)= 2 (X„cha„x2 +S„sha„x2)cosa„x,.
n=U3. ...
w^Xp х2)= 2 (X„cha„x2 +S„sha„x2)cosa„x,.
n=U3. ...
(19)
(19)
Из граничных условий (17) вытекает, что
Из граничных условий (17) вытекает, что
9n (—n<n-D/2
В„ = 0, Ап = -^-^ Sa a'2 ch Xn
9n (—n<n-D/2
В„ = 0, Ап = -^-^ Sa a'2 ch Xn
, nn.b
Xn = —
, nn.b
Xn = —
2a
2a
Складывая частные решения, имеем
Складывая частные решения, имеем
W (Хр
W (Хр
2/2
.pa.
х2) = 1у
223\а2.
2/2
.pa.
х2) = 1у
223\а2.
(—l),n 9/2 ch anx,
—— cos anxv.
ап ch ^п
(—l),n 9/2 ch anx,
—— cos anxv.
ап ch ^п
(20)
(20)
Перейдем от задачи об изгибе мембраны к задаче о кручении бруса. Согласно формуле (16) § 7.4, имеем
Перейдем от задачи об изгибе мембраны к задаче о кручении бруса. Согласно формуле (16) § 7.4, имеем
ф = aw,
ф = aw,
2ucoSa =р
2ucoSa =р
Функция напряжений кручения ф примет вид
/Х!ф (X], х2) = цма2 1у\а ,/Х!ф (X], х2) = цма2 1у\а ,4цсоа4цсоап=1,3, ..п=1,3, ..(—1)'" I,/2chanx2з , . COS araX|. an ch Xn(21)(—1)'" I,/2chanx2з , . COS araX|. an ch Xn(21)
/Х!
ф (X], х2) = цма2 1у
\а ,
/Х!
ф (X], х2) = цма2 1у
\а ,
4цсо
а
4цсо
а
п=1,3, ..
п=1,3, ..
(—1)'" I,/2chanx2
з , . COS araX|. an ch Xn
(21)
(—1)'" I,/2chanx2
з , . COS araX|. an ch Xn
(21)
После дифференцирования функции ф получим составляющие напряженного состояния
o'is — ^гФ —o'is — ^гФ —16ц та л216ц та л2(—!)'" 11/2 sh апх2 п2 ch Хп(—!)'" 11/2 sh апх2 п2 ch Хпcos а.пхх,cos а.пхх,п=1,3.п=1,3.СТ23 = — С^ф = 2цсо X!СТ23 = — С^ф = 2цсо X!8a V (— I)'"-11/2 chan.v2 .л2 L п2 chA„ sina«xiп='. з, ...8a V (— I)'"-11/2 chan.v2 .л2 L п2 chA„ sina«xiп='. з, ...(22)(22)
o'is — ^гФ —
o'is — ^гФ —
16ц та л2
16ц та л2
(—!)'" 11/2 sh апх2 п2 ch Хп
(—!)'" 11/2 sh апх2 п2 ch Хп
cos а.пхх,
cos а.пхх,
п=1,3.
п=1,3.
СТ23 = — С^ф = 2цсо X!
СТ23 = — С^ф = 2цсо X!
8a V (— I)'"-11/2 chan.v2 .
л2 L п2 chA„ sina«xi
п='. з, ...
8a V (— I)'"-11/2 chan.v2 .
л2 L п2 chA„ sina«xi
п='. з, ...
(22)
(22)
Для 6 > а максимальные касательные напряжения (соответствующие наибольшему наклону поверхности мембраны) получим в серединах наибольших сторон прямоугольника. Подставляя Xi = а, х2 = 0 в формулу для ст23, находим, что
ттах 2цсоа И л2 ^I .(23)
\п=1, 3, ...J
Бесконечный ряд в (23) быстро сходится при b > а. Для очень узкого прямоугольника, когда b/а » 1, в формуле (23) можно
пренебречь бесконечным рядом по сравнению с единицей. Для Ь]а ~> 1 имеем ттах = 2цсоа.
Для квадратного сечения (а = 6)
Ттах = ^ма I 1 ^f ^J ТДХГДД727 ) ~ 1’351На®.
VП=1. з,/
Жесткость на кручениеЖесткость на кручениеD вычислим по формулеD вычислим по формуле
Жесткость на кручение
Жесткость на кручение
D вычислим по формуле
D вычислим по формуле
p-Aj^M-
А
(—1)<п 11/2 ch апх2«« ch Х„(—1)<п 11/2 ch апх2«« ch Х„cos апхх Xcos апхх X
(—1)<п 11/2 ch апх2
«« ch Х„
(—1)<п 11/2 ch апх2
«« ch Х„
cos апхх X
cos апхх X
X dxx dx2 = -^ p (2a)3 (2b) 1X dxx dx2 = -^ p (2a)3 (2b) 1(24)(24)192а VI 1 ,, nJt^л56n5 2а
X dxx dx2 = -^ p (2a)3 (2b) 1
X dxx dx2 = -^ p (2a)3 (2b) 1
(24)
(24)
n=l. 3, ...
Ряд в формуле (24) является быстро сходящимся, и величину D удается легко вычислить для произвольного отношения bia. В случае квадратного сечения имеем D « 0,1406ц(2а)4.
Для случая узкого прямоугольника, когда bl'a»\, можно положить th ?,п « 1. В этом случае из формулы (24) получаем выражение
D = | н (2а)3 (26) (1 - 0,630 ^.
Функция ния (19)Функция ния (19)кручения ф(хьх2) находится интегрированием уравне- § 7.2:кручения ф(хьх2) находится интегрированием уравне- § 7.2:ФункцияФункцияд1ф = "^" ^^ + Х2’ д2<Р Ф выражается формулойд1ф = "^" ^^ + Х2’ д2<Р Ф выражается формулой32a2 ф = хххг^32a2 ф = хххг^(_1)1»-1)/2 sha х .-— — sin апхх.(_1)1»-1)/2 sha х .-— — sin апхх.п=1, 3, ...п=1, 3, ...п3 ch Хпп3 ch Хп(25)(25)
Функция ния (19)
Функция ния (19)
кручения ф(хьх2) находится интегрированием уравне- § 7.2:
кручения ф(хьх2) находится интегрированием уравне- § 7.2:
Функция
Функция
д1ф = "^" ^^ + Х2’ д2<Р Ф выражается формулой
д1ф = "^" ^^ + Х2’ д2<Р Ф выражается формулой
32a2 ф = хххг^
32a2 ф = хххг^
(_1)1»-1)/2 sha х .
-— — sin апхх.
(_1)1»-1)/2 sha х .
-— — sin апхх.
п=1, 3, ...
п=1, 3, ...
п3 ch Хп
п3 ch Хп
(25)
(25)
Сен-Венан подробно исследовал поверхность депланации иа = = соф(хь х2). Он показал, что для квадратного сечения она составлена из восьми частей, разделенных диагоналями квадрата и прямыми, соединяющими середины противолежащих боковых сторон. Эти части попеременно выпуклы и вогнуты так, как показано на рис. 7.9.
Для возрастающего отношения сторон прямоугольника а/6 из упомянутых восьми поверхностей четыре, прилегающие к серединам коротких сторон, уменьшаются, а четыре оставшиеся —•
увеличиваются. При а = 1,45136 первые четыре части исчезают, и поверхность депланации (искривления) складывается только из четырех частей, каждая из которых занимает четверть сечения.
Рассмотрим, наконец, кручение бруса с сечением в виде полукруга. Определение напряжений будет значительно проще в полярных координатах (г, 9). В этом случае удобнее обозначить напряжения стрз, сгд3.
РИС. 7.9.РИС. 7.9.
РИС. 7.9.
РИС. 7.9.
Так как равнодействующее перерезывающее напряжение является касательным к контуру бруса, то (при стр3 = 0 для г = = а) максимальное значение на границе примет напряжение Ст9з (рис. 7.10). Так как
дф . « , дф cos 6
(26)(26)"13 = ^ =SIn 0 +М'
(26)
(26)
,дф п.дфsin 9
тото"23 —^"Фdr” COS 6+ддт
то
то
"Рз = "13 cos 9 + Ст2з51п 6 —у4|-,
^ез = - "is sin9 4- ст23 cos 9 = - -^-.
Функция кручения ф должна удовлетворять уравнению Пуассона 7?ф = — 2цш с граничным условием ф = 0. В полярной системе координат потребуем выполнения равенства
/ аз 1 а 1 аг \
+ тг^)^^6) = -2^(28)
с граничным условием ф = 0. Разлагая правую часть уравнения (28) в ряд Фурье на отрезке 0 ^ 9 ^ л:
л 8цсо \т sin пблп ’
га—1, 3, ...
и принимая решение уравнения (28) в виде ряда
(29)(29)ф (г, 0) =5 4>п (г) sin п9,
(29)
(29)
сводим уравнение (28) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(30)
dr2 ' г dr г2лп'
Решением этой системы уравнений являются функции
фп (г) = Апгп + Впг~п + Спг2,(31)
где
р 8ци1
" л п(п + 2) (л —2) '’
Заметим, что выражение (29) удовлетворяет граничным условиям на прямой 9 = 0, 9 = л. Граничное условие на дуге
окружности будет выполнено, если положить ф(а, 9) = 0. Кроме того, следует положить Вп = 0, так как иначе мы получили бы особенность в начале координат. Из граничного условия
ф(а, 0)=О следует, что Л» = — Спа-"+. Окончательно имеем
1р(г, 0) =^ Cnr2(l — p"-2)sinn0, Р = -^-(32)
л=1, 3, ...
Из формул (27) получим
орз = У С„г (I — р"-2) п cos П0, n=L ’(33)
ое) = — У спг (2 — пр"-2) sin п9.
72=1, 3, ...
Максимальное касательное напряжение получается на контуре сечения бруса в точке (а, л/2):
/ л\8цсоаVI ( — l)1"-*!^
Тмх — ^оз у) — яп (п + 2)0,745цща.
72—1. 3, •■■
Жесткость на кручение бруса определяется формулой
О = -1 j J ф(р> 0)pdp d9 ~ 0,294ца4. о о
Кручение бруса с сечением,составленным из прямоугольников
Брусья с сечениями, составленными из прямоугольников, повсеместно применяются в стальных конструкциях. Там мы имеем дело с таврами, двутаврами, швеллерами и зетовым железом (формы Т, I, С, “D- Общий метод решения задачи о кручении для таких брусьев дал Клитчиев *). Ниже более подробно мы рассмотрим решение для тавра, данное Базилевичем 2). На рис. 7.11 приведены размеры сечения тавра и указана принятая система координат. Внутри сечения тавра должно выполняться уравнение Пуассона
V^(%i, х2) = — 2що(1)
с граничным условием ф = 0 на контуре.
Ход решения таков. Построим решение уравнения (1) для каждого из прямоугольников, удовлетворяя части граничных условий. В конце мы используем условие непрерывности функции ф на отрезке EG.
■) Klitchieff I. М., Torsion of I rods, Eight Int. Congr. of Theor. and Applied Mechanics, Istanbul, 1952._
Сначала рассмотрим функцию ф = ф, в прямоугольной области ABDC. Используя решение § 7.5, относящееся к прямоугольнику, представим функцию ф1 в виде
Ф^М^-О^-2 ^chY^ + S^shy^cosy^,
n=V3--(2)
ПЛ
Отсюда видно, что граничные условия на прямых xt = ± а выОтсюда видно, что граничные условия на прямых xt = ± а выYn —
Отсюда видно, что граничные условия на прямых xt = ± а вы
Отсюда видно, что граничные условия на прямых xt = ± а вы
полнены. Выражение (2) можно также представить в виде
Ф1 = 2 <Рп + Ап ch у„х2 + я=1, 3, ...
4-В„8ЬупХ2)С08у„Хь (3) где
Выполнение граничного условия ф1(хь Ь) = 0 приводит к следующей связи между величинами Вп и Ап:
Вп = ЧщхAn cth Кп, Хп = Уп^-
(4)
В прямоугольной области EFGH представим функцию ф2 в виде ряда
Ф2 =2 (Qm + Ст ch ^Х + Dm sh d„X) cos dmx„
m=l. 3. ...(5)
л 32с2цсо ,. jm-i)/2. тл
— тзлз2c •
И тут выполнена часть граничных условий, а именно ф2(± О х') = 0. Условие ф2(хь/т)=0 приводит к следующей зависимости между коэффициентами Ст и Dm;
Om=--^-CmcthPm, ^ = &mh.(6)
Остается обеспечить выполнение условия ф = 0 при —а < х, < — с, с<хх<а, ^1^ и условий непрерывности
ф, (х,, 0) = ф2 (X,, 0),^"°> =(8)
на отрезке —с ^ %i ^ с.
Первое из условий (8) приводит к соотношению ОООО
2 (Рп + А^ cos У„Х] =2 (Qm + Cm) cos dmx,. (9)
n=l, 3, ...m= 1, 3, ...
Одновременно следует удовлетворить граничному условию (7). Мы добьемся этого, представив cos 6mx, в условии (9) в виде
tm^ =tm^ =оcosbmxxооcosbmxxопри при припри при при— а < хх < — с,— с < хх< с, с < Хх < а.— а < хх < — с,— с < хх< с, с < Хх < а.
tm^ =
tm^ =
о
cosbmxxо
о
cosbmxxо
при при при
при при при
— а < хх < — с,
— с < хх< с, с < Хх < а.
— а < хх < — с,
— с < хх< с, с < Хх < а.
Функцию fm(xi) представим в виде ряда Фурье по косинусам
Ш=^(-1)|"|',№ 2 лп=1. 3.Ш=^(-1)|"|',№ 2 лп=1. 3.пcos-J у cos y„xiт2 — (n/p)2пcos-J у cos y„xiт2 — (n/p)231С V = — ’ а31С V = — ’ асс(10)(10)
Ш=^(-1)|"|',№ 2 лп=1. 3.
Ш=^(-1)|"|',№ 2 лп=1. 3.
п
cos-J у cos y„xiт2 — (n/p)2
п
cos-J у cos y„xiт2 — (n/p)2
31С V = — ’ а
31С V = — ’ а
с
с
(10)
(10)
и подставим ее в правую часть граничного условия (9). Таким образом из уравнения (9) мы получим связь между постоянными Ап и Ст:
, 32ута2 Г 4 пу у
— л3 лр3 С 2m2 [т2 - п2/р2]п3 т
т=1, 3, ...J
(11)(11)V т^-^т-'^Ст лр 2т2 — п2/р2
(11)
(11)
m—L 3, ...
Следует использовать второе условие системы (8). Разложим множитель cosynxi в ряде для
gn(*i) = cos упМ.—c<Xi<c,
в ряд Фурье по cos6m%i- В результате получим
, х 4р2 ny V(—l)lm—‘^ m cos 6тХ[/|Лх
gnM = -^-COS-f 2j ^p2-^2•(12)
m^L 3, ...
Учитывая второе из условий непрерывности (8), находим следующую зависимость между коэффициентами Вп и Dm:
.«Вп cos
р„-4(-1)'”-"'= 2. оз)
/pwl, 3, ...
Наконец, исключим из уравнений (4), (6), (11), (13) величины An, Cm, Dm. Таким образом мы приходим к бесконечной системе неоднородных линейных уравнений для коэффициентов Ви
^- cos ^ cth ^nb ^ kBk cos -4р XА=1, 3, ...
т th 6mh (n2 — m2p2) (й2 — m2p2)т th 6mh (n2 — m2p2) (й2 — m2p2)
т th 6mh (n2 — m2p2) (й2 — m2p2)
т th 6mh (n2 — m2p2) (й2 — m2p2)
2pcoa2 n2 2pcoa2 n2лр C0S 2V Cth ^nb ^J m2 (n2 - m2p2) (1 ch dmA ) + m=\t 3, ...лр C0S 2V Cth ^nb ^J m2 (n2 - m2p2) (1 ch dmA ) + m=\t 3, ...
2pcoa2 n2
2pcoa2 n2
лр C0S 2V Cth ^nb ^J m2 (n2 - m2p2) (1 ch dmA ) + m=\t 3, ...
лр C0S 2V Cth ^nb ^J m2 (n2 - m2p2) (1 ch dmA ) + m=\t 3, ...
(_ 1 )<ra—1 )/2n3(_ 1 )<ra—1 )/2n3ch Xnb — 11shyn6 J’ch Xnb — 11shyn6 J’n = 1, 3, 5, ... .n = 1, 3, 5, ... .(14)(14)
(_ 1 )<ra—1 )/2n3
(_ 1 )<ra—1 )/2n3
ch Xnb — 11shyn6 J’
ch Xnb — 11shyn6 J’
n = 1, 3, 5, ... .
n = 1, 3, 5, ... .
(14)
(14)
Решая систему уравнений (14), получим коэффициенты Вп, а из соо1ношений (4), (6), (13)—остальные коэффициенты.
РИС. 7.12.РИС. 7.12.
РИС. 7.12.
РИС. 7.12.
Базилевич дал решение частного примера для а = 4, b = 2, h = 4, с = 1, ограничиваясь системой пяти уравнений (14). На рис. 7.12 представлены линии уровня функции ф. Напряжения задаются формулами
(15)(15)0-13 = ^гЯ5,0-23 = — ^ф.
(15)
(15)
Жесткость на кручение бруса получим по формуле
= ца3Ь + 4 V-^h + У Ип sh \nb + Вп (ch у„ b — 1)] + иU,1 ш
п=1, 3, ...
+ w S ^^shV-^^V-)],
что дает для частного случая а = 4, b = 2, h = 4, с = 1 значение D « 21,74р.
Рассмотрим еще стержень с сечением, составленным из двух прямоугольников (рис. 7.13), применяя другой, достаточно удобный в приложениях метод, предложенный Арутюняном1).
Следует решить уравнение Пуассона)
(16)(16)Vi^ = — 2
(16)
(16)
со следующими граничными условиями:
ф(хь 0) = ф(0, х2) = ф(х„ Z?) = -ф (а, х2) = 0,
ф(С|, *2) = 6 ф (хь с2) = Оф(С|, *2) = 6 ф (хь с2) = ОДЛЯДЛЯС2 $7 Х2 ^^ ^iС2 $7 Х2 ^^ ^iДЛЯ CjCXj^a.ДЛЯ CjCXj^a.(17)(17)
ф(С|, *2) = 6 ф (хь с2) = О
ф(С|, *2) = 6 ф (хь с2) = О
ДЛЯ
ДЛЯ
С2 $7 Х2 ^^ ^i
С2 $7 Х2 ^^ ^i
ДЛЯ CjCXj^a.
ДЛЯ CjCXj^a.
(17)
(17)
Трудно найти одну функцию, которая бы удовлетворяла такой сложной системе граничных условий. Поэтому функцию ф составим из двух функций: из функции фь определенной в области ОАВС, и из функции ф2, определенной в области ODEF. В силу непрерывности функции в рассматриваемой области сечения бруса функции ф1 и ф2 должны совпадать в общей области OAMF.
Поэтому потребуем выполнения следующих граничных условий для функций ф! и ф2:
Ф1(О, х2) = ф1(х1, 0) = ф, (а, х2) = 0, 10 для x^ct,
Ф1(-^1, ^2)| ф9(х с) для %
(18)
ф2 (xl 0) = ф2(0, х2) = ф2(х1, Ь) = О,
[0 для х^с2,
ф2(с^, х2) = ( , ,,
I ФДСь х2) для х2^с2.
Представим функции фа (а = 1, 2) в виде сумм двух функций:
^ = Фа + 1Та,(19)
где функции ^а удовлетворяют уравнению Пуассона
7?^=-2ц®,(20)
а функции Фа— уравнению Лапласа
У1Ф« = 0.(21)
Мы располагаем системой четырех дифференциальных уравнений второго порядка и можем удовлетворить на каждой границе четырем граничным условиям. Однако требование непрерывности функции ф в сечениях хх = ci и х2 — с2 дает нам только два граничных условия в каждом сечении. Поэтому на функции фа можно наложить некоторые ограничения. А именно примем, чго функции Фа отличны от нуля только в области OAMF и что эти функции удовлетворяют дополнительным условиям
Ф^С], х2) = 0,Ф2(Х|,с2) = 0,
дФ1 (сь х2) п 5Ф2(хь с2) л(22)
dxt* дх2 и'
Выразим граничные условия (18) через функции Ч^,, Фа:
ЧЩ^Н-Ф^О^) = Ч', (х,, 0) = У, (а, х2) = У, (х,, с2) = О,
У2(х„0) + Ф2(х1,0) = Т2 (0, х2) = ЧМх^) = Ч^(с,, х2) = О,
(23) ф] (X], 0) = Ф,(С„ х2) = д1Ф1(с1, х2) =
= Ф1(Х1, с2)— Ф2 (х,. с2) = 0,
Ф2(0, х2) — Ф2 (Xj, с2) — д2Ф2 (Х[, с2) —
= Ф2(С[, х2) Ч^ (с,, х2) = 0.
Решение уравнений Пуассона (20) представим в виде 6=16=1
(2-4) где
Алх, . Алх, 4с?
- л»1>sh+ В«> Ch+ ^[1 +
,ЙЛХ,. ЙЛХ9 4с? ,(25)
= А^ sh+ в^ ch+ -^ 1 + (-1)^].
Такое представление функций Ч^, Чг2 приводит к тому, что становятся выполненными условия 4ri(xi, 0) = 4ri(xl, с2) = 0 и Ч^О, х2) = ^(сьхг) =0.
Рассмотрим теперь уравнение (21) для а=1 и применим к этому уравнению синус-преобразование с конечными пределами:
y№)sin^r-6=1
.(26)
^ (xi) =Х J ф1 (xi> хг) sin^ dx2.
о
Умножим уравнение (21) для а = 1 на
2 . блх, ,— sin ах2^2^2
и проинтегрируем его по х2 от 0 до с2. Используя соотношение
Ci2 Г д2Ф1с2 J дхХCi2 Г д2Ф1с2 J дхХ. 6лх2 , sindx2 =с2. 6лх2 , sindx2 =с2С2) + ф|(х1,О)]-т%2.(1|), \ ^2 /С2) + ф|(х1,О)]-т%2.(1|), \ ^2 /
Ci
2 Г д2Ф1с2 J дхХ
Ci
2 Г д2Ф1с2 J дхХ
. 6лх2 , sindx2 =
с2
. 6лх2 , sindx2 =
с2
С2) + ф|(х1,О)]-т%2.(1|), \ ^2 /
С2) + ф|(х1,О)]-т%2.(1|), \ ^2 /
приводим уравнение (21) к обыкновенному дифференциальному уравнению
d1»!'/ Ал \226л
-I-- — Ц'П+ [(_1Г+1Ф|(Х1)С2) + Ф1(Х1)О)] = О. (27)
и Л-1\ с 2 /С 2
Используя условие Ф( (хь 0) = 0, 0 <%\ < cV) и условие Ф( (xb с2) — — ^(Х], с2) = 0, получим
dx^dx^(28)(28)
dx^
dx^
(28)
(28)
Решением этого уравнения является функция
Л' = № sh ^ + С^ ch-^ +
А Л С3 6 С»
Поступая аналогично, приходим к следующему выражению для функции v^x2y
^ (*з) = Ч2’ sh ^ + С^ ch ^ 4
(30)(30)
(30)
(30)
До сих пор не были выполнены граничные условия, которые подчеркнуты в системе (23). Они приводят к соотношениям
fl > (0) + ^ > = 0, f«i (0) + „1= (0) - о,f;'(=)-o.f,='(»)=o,
^(t,)-0,a,«l"W = o.
«^kJ-O.6,=«>(е;)-0.
Подставляя в эти условия выражения (25), (29) и (30) и исключая коэффициенты Д*"1, Ct121, D*^’ (а=1, 2), получим бесконеч- дые системы уравнений для определения величин ВТ. Имеем
последовательно
2 А А V (-1)РР8р'
В и =(—1) — pshtop У—, , V, , '7 л r ' р 2 А- к2р2
csch /7ЛГ] sh 0Л ^Т) — -1) -csch /7ЛГ] sh 0Л ^Т) — -1) -1бС7
csch /7ЛГ] sh 0Л ^Т) — -1) -
csch /7ЛГ] sh 0Л ^Т) — -1) -
+ (~ О +' ^р-Psh^P У
1 — csch рлт| sh BPLрЧр2 + 62Р2)1 — csch рлт| sh BPLрЧр2 + 62Р2)х лр Р р=\х лр Р р=\р2 + 62/р2р2 + 62/р2^2(6л)3^2(6л)3csch рл? sh рл (g — р) +csch рл? sh рл (g — р) ++ (-1)^+ (-1)^Лбsh— УРр=1, 3, ...Лбsh— УРр=1, 3, ...1 — csch рл£ sh рлр1 — csch рл£ sh рлррЧр2 + к2/рЧрЧр2 + к2/рЧр = ^,с2р = ^,с2bп = —, 61bп = —, 614сг(6л)3 ^ +С24сг(6л)3 ^ +С2р=1, 3, ..,
1 — csch рлт| sh BPLрЧр2 + 62Р2)
1 — csch рлт| sh BPLрЧр2 + 62Р2)
х лр Р р=\
х лр Р р=\
р2 + 62/р2
р2 + 62/р2
^2(6л)3
^2(6л)3
csch рл? sh рл (g — р) +
csch рл? sh рл (g — р) +
+ (-1)^
+ (-1)^
Лб
sh— У
Р
р=1, 3, ...
Лб
sh— У
Р
р=1, 3, ...
1 — csch рл£ sh рлр
1 — csch рл£ sh рлр
рЧр2 + к2/рЧ
рЧр2 + к2/рЧ
р = ^,с2
р = ^,с2
b
п = —, 61
b
п = —, 61
4сг
(6л)3 ^ +
С2
4сг
(6л)3 ^ +
С2
Вводя новые неизвестные р'?
5"' = ри 'с. с., 3—У— sh М,
в^^ = р^с с2sh,
6А 1 2£р •
приводим систему уравнений (31) и (32) к виду
рт = 2 а №) + р
р=1
F?-l/./Г + V», «-1.2
Р=1 р
где
26р sil'^“sl1 Р11^ — Р-') cscl1 Рлт1
=рМЛ2^ '
26 sh рлр sh рл(^ — р) csch рл^
скр лрр2 + 62/р2'
₽А= - лфр ^ + (—1)ft+'lcsch АлР +
। *6й _9 VI 1 — csch рлч sh (рл/р) /осх "г ЦТ Рр (р2 + 62р2)'
р=1, з,...
Уб^-[1 +(—l)A+,]csch^ Н-
। 16й 1 V1 1 ~ csch Рл^ sh РЛР"я*" Т2"рЧр^Т^/р2] •
р=1, 3, ...
Бесконечные системы уравнений (34) можно заменить одной системой уравнений
Z.m=^i A„nZn-\-am, m=l, 2, .... оо, (36) n=l
где следует положить
^к=^2к-Р ^к = а2к-1>^&> = ^2А> Чк = а2к«
А2к-1, 2р-1 = А^, 2р = 0,(37)
А^к— 1, 2р = ^кр»А2к,2р—\ ^ ^кр‘
Арутюнян доказал, что система уравнений (36) вполне регулярна; отсюда следует ограниченность найденного решения бесконечной системы уравнений. Зная коэффициенты S^1, В(Д можно уже, возвращаясь назад, определить остальные коэффициенты А1"*, С*к\ О^' (а=1, 2). Итак, функции 4% Фа (а = = 1, 2) определены. Знание этих функций позволяет определить напряжения oi3 = с^ф, о2з = »2ф и жесткость на кручение
А
Много примеров, относящихся к сечениям, составленным из прямоугольников, читатель найдет в обширной монографии Арутюняна и Абрамяна *).
Кручение бруса с трещинами
Рассмотрим брус односвязного сечения с трещиной, находящийся под действием крутящего момента М (рис. 7.14). Общий метод решения задач такого типа разработал Новацкий2),
*) Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л., Кручение упругих тел, Физматгиз, М., 1963.■
Метод заключается в замене дифференциального уравнения задачи системой интегральных уравнений первого рода.
Задача сводится к решению уравнения Пуассона
(1)(1)V^ = — 2 рю
(1)
(1)
с граничным условием ф = 0 на контуре C + 2C1. Через 2ci здесь обозначен контур трещины.
Для решения уравнения (1) введем вспомогательную функцию: функцию Грина G(%i, х2; ^ь Ы. удовлетворяющую диффе
ренциальному уравнению(^ + ^)G^, х- g„ у =
глд^-^д^-у (2) с граничным условием
G(s, Ю = 0 на границе с, sec. (3)
Следует подчеркнуть, что решение уравнения (2) относится здесь ко всему сечению (без трещины) с контуром с.
Применим формулу Грина на плоскости для сечения с контуром сг\-2сх;"
^(G^-W)dA= J (б^-ф^з.(4)
Ae + 2ci
Подставляя в формулу (4) уравнения (1) и (2) и граничные условия для функций ф и G, получим
ф(Ю = ^-/С(м^)Ми) + ^ /G^^-ds,(5)
А2С1
ИЛИ
ф(Ю = ^ f G(M Ю^М +
<6>
Cl
Вводя обозначения )
Фо=^ Jg(^W(x), S(s) = (^1) +(^-) ,(7)
А+™
получим уравнение■
ФЙ) = Фо® + -^ J S(s)G(s,g)^.(8)
В этом уравнении неизвестными функциями являются функция ф(£) и функция S(s) вдоль трещины. Неизвестную функцию S(s) найдем, воспользовавшись'граничным условием ф = 0 на контуре С] трещины.
Переходя затем в уравнении (8) от точки g к точке а, лежащей на границе щ, получим
фо (о) + j 5(s)G (s, о)ds = 0, s, се с^ (9)
С1
Мы получили интегральное уравнение первого рода, из которого нужно определить функцию S(s). Зная эту функцию, из уравнения (8) можно определить функцию кручения ф в точке §. Далее определяем составляющие напряженного состояния по формулам
а|3 = д2ф, а23 = —<5^.(10)
Важной задачей теории кручения является определение жесткости на кручение D бруса. Эта величина, как известно, выражается через функцию ф по формуле
D = ^^dA.(11)
А
Подставляя в формулу (11) функцию ф из (8), получим1)
гдегдеD = D^^ f S^G<s> л L с,.D = D^^ f S^G<s> л L с,.(12)(12)So = T f^oW).ASo = T f^oW).A(13)(13)
где
где
D = D^^ f S^G<s> л L с,.
D = D^^ f S^G<s> л L с,.
(12)
(12)
So = T f^oW).
A
So = T f^oW).
A
(13)
(13)
Здесь Dti является жесткостью на кручение бруса с полным сечением (т. е. без трещины). Интеграл в соотношении (12) является отрицательной величиной, описывающей уменьшение жесткости на кручение ввиду существования трещины. Меняя порядок интегрирования в формуле (12), имеем
Д = До + ^- jS(s)ds jG(s,g)M.(14)
ClА
*) Alblas J. В., On the Torsion of a Cylindrical Bar with Slits, Proc. Ko- nink- Nederl. Ahad, van Wetenschappen, ser. B, 64, № 1 (1961).
^ Ч>0 (фор-^ Ч>0 (фор-(15)(15)Заметив, что поверхностный интеграл в (14) равен
^ Ч>0 (фор-
^ Ч>0 (фор-
(15)
(15)
мулы (7)), находим
D = Dq + -^ J фо (s) S (s) ds.
Cl
Рассмотрим выражение
Д = цЮ2Огеа = j S (s) Фо(5) ds.(16)
Cx
Величину Л можно определить точно, найдя функцию S(s) из интегрального уравнения (9) и выполнив указанное в формуле (16) интегрирование по с\. Однако можно дать приближенное значение этой величины, исходя из предположения, что при малых вариациях S(s) величина А будет стационарной. Преобразуем выражение (16):
J ф0 (s) S (s) ds J фо (o^S (a) da
A = ^—,.(17)
2л" J dS J ^ (S* ^ ^ (S1 ^ ^ d°
C, C,
Мы здесь умножили числитель и знаменатель на S (о) ф0 (о) do.
Cl
выражая этот интеграл при помощи уравнения (9) через двойной криволинейный интеграл.
J ф0($)5(»)Ц$ -Cl
2
Выражение (17) можно представить также в виде
(18)(19)(18)(19)А = — 2 л -ч-— .
(18)
(19)
(18)
(19)
j ds J G (s, a) S (s) S (a) da
Возьмем вариациюВозьмем вариациюдЛ = 0.дЛ = 0.Cl Cl
Возьмем вариацию
Возьмем вариацию
дЛ = 0.
дЛ = 0.
Выберем функцию S(s) так, чтобы выражение (18) было стационарным. Если для S(s) мы примем физически возможный вид функции S*(s) (с особенностью того же типа, что и в точном решении), содержащий некоторое число неизвестных постоянных, то «наилучшим» значением А является
j фо (s) S* (s) ds
ЛстацЛстац(20)(20)L ci
Лстац
Лстац
(20)
(20)
-^ j ds j G (a, s)S’ (a) S*(s)da '
Gi 61
позволяет убедиться, что пра-позволяет убедиться, что пра-ть уравнениеть уравнение
позволяет убедиться, что пра-
позволяет убедиться, что пра-
ть уравнение
ть уравнение
Следует проверить свойство стационарности, варьируя выражение (18). Имеем
— -^-jds jdaG (s, о) S(s) 5(o) —^- j ds j daG^s, a^S^a^S^ —
C\ C\Ci Cl
— -^- j ds j da G (s, a)S (s)dS(a) =
C, Cl
= J ifo (s) 65 (s) ds J i|)0 (o) S (a) da +
Cl
+ J xfo W 65 (a) da J xfo (s) 5 (s) ds.
ClCl
ИЛИ
— 6Л j ds j daG (s, a) 5 (s) 5 (a) =
Cl c,
= A [ ds 65 (s) j da G (s, a) 5 (a) + 2ni|)0 (s) +ClLc,_
(21)(21)+ A j da 65 (a) J ds G (s, a) 5 (a) -]- 2ni|)0 .
(21)
(21)
Простой взгляд на уравнение (9) вая часть уравнения (21) равна нулю.
Так как криволинейный интеграл в левой части уравнения (21) отличен от нуля, остается уравнение 6Л = 0. Итак, выражение (20) является стационарным.
Представленный выше путь решения задачи о кручении бруса с трещиной мы проследим на примере кругового сечения (рис. 7.15) с радиальной трещиной b — с. Эта задача решается проще всего при помощи полярных координат (г, 6). Следует pei
\дг2 + 7 ~дг + ~г2 "Зег") ^ (г> Ю = — 2ци(22)
с граничными условиями
(23)(23)"Ф (а, 0) = 0 на окружности,if(a, 0) = 0 вдоль трещины.
(23)
(23)
Функцию Грина G(r, 9; р, ft), входящую в уравнение (8), определим из дифференциального уравнения
(-Jt + t^ + t^W’0; Р’^2л6 (г — р) д (9 — ft) (24)
с граничным условием
С(й, 9; р, ф) = 0 на границе г = а.(25)
Напомним, что функция Грина относится ко всему кругу без учета трещины. Функция Грина G(r, 9; р, ft) известна), она выражается в замкнутом виде:
. а +2rp cos (ft — 0)
G (г, 9; р, ») In —г . Д2—о•(26)
' ’ ’'2 г1 + р2 — 2rp cos (ft — 6)'
Входящие в это выражение переменные показаны на рис. 7.15. Функция ф0> входящая в уравнение (8), получается из уравнения 2)
(^+7^)ч>«« = -2№(27)
с граничным условием
(28)(28)фо(а) = О.
(28)
(28)
И здесь также следует подчеркнуть, что уравнение (27) относится ко всему круговому сечению. Уравнению (27) с граничным условием (28) удовлетворяет функция
♦.«-^(1-4).(29)
Зная теперь ф0 и G, мы можем составить функциональное уравнение (8). Тогда получим
Ф(р, ft) =ф0(р) 4Ф(р, ft) =ф0(р) 4ъъа2 + —^2pr cos ftг2 + р2 — 2pr cos ftа2 + —^2pr cos ftг2 + р2 — 2pr cos ftdr.dr.(30)(30)
Ф(р, ft) =ф0(р) 4
Ф(р, ft) =ф0(р) 4
ъ
ъ
а2 + —^2pr cos ft
г2 + р2 — 2pr cos ft
а2 + —^2pr cos ft
г2 + р2 — 2pr cos ft
dr.
dr.
(30)
(30)
Так как трещину мы поместили на прямой 9 = 0, то в функции Грина G, стоящей под знаком интеграла, следует положить 9 = 0.
Так как вдоль грещины функция ф должна быть равна нулю, то, переходя от точки (р.У) к точке (р, У), лежащей на отрезке (а, с), получим интегральное уравнение первого рода
/ $№6/ $№6dr = — л роз (а2 — р2),dr = — л роз (а2 — р2),b < р < а. (31)b < р < а. (31)
/ $№
6
/ $№
6
dr = — л роз (а2 — р2),
dr = — л роз (а2 — р2),
b < р < а. (31)
b < р < а. (31)
Это уравнение путем ряда преобразований удается свести к сингулярному интегральному уравнению с известным решением. Вводя новые переменные
приведем уравнение (31) к виду
Р<П<Ь (31а)Р<П<Ь (31а)/ 1п | 4^р |5 ^ ^ = — лциа(1 — п2),
Р<П<Ь (31а)
Р<П<Ь (31а)
Путем подстановки
1 — £1—71»1 — X^ — У'1+Г У~ 1+т]’~ 1 4-4/
преобразуем уравнение (31а): о
<316>
Определим новую функцию Т^, полагая
7’(х) = __’
v 7(1 + X)2(14-х/
Подставим ее в интегральное уравнение (316) и это уравнение продифференцируем по у. В результате получим уравнение
о
J ^^ у2— х2 = Я1г<й (1 4- у)3' •(31 в)
1+3
Наконец, введем переменные
у2 = t, х2 = s, ds = 2х dx,
с помощью которых приведем уравнение (31в) к уже известному сингулярному интегральному уравнению
7(1/?)^7(1/?)^2я|х“ (1 + /Г)3 '2я|х“ (1 + /Г)3 '°<'<(т4)г- <32)°<'<(т4)г- <32)
7(1/?)^
7(1/?)^
2я|х“ (1 + /Г)3 '
2я|х“ (1 + /Г)3 '
°<'<(т4)г- <32)
°<'<(т4)г- <32)
ЛУ s оЛУ s оилиили(336)(336)В частном случае, когда трещинаВ частном случае, когда трещинаности (6 = 0), имеемности (6 = 0), имеемдоходит до центра окруж-доходит до центра окруж-Т^ =Т^ =4р(04р(0/1 - s2 J/1 - s2 J(1 _/)/!-/2(1 +Z)3(Z2_S2) Ш‘(1 _/)/!-/2(1 +Z)3(Z2_S2) Ш‘(34)(34)
ЛУ s о
ЛУ s о
или
или
(336)
(336)
В частном случае, когда трещина
В частном случае, когда трещина
ности (6 = 0), имеем
ности (6 = 0), имеем
доходит до центра окруж-
доходит до центра окруж-
Т^ =
Т^ =
4р(0
4р(0
/1 - s2 J
/1 - s2 J
(1 _/)/!-/2
(1 +Z)3(Z2_S2) Ш‘
(1 _/)/!-/2
(1 +Z)3(Z2_S2) Ш‘
(34)
(34)
Решение этого уравнения удается представить в замкнутом виде
- / dt
, (33а)
В силу определения функции Т(х) получаем
S(p) =S(p) =4ц<о 1Л ^4ц<о 1Л ^InIni — УЧi — УЧ++
S(p) =
S(p) =
4ц<о 1
Л ^
4ц<о 1
Л ^
In
In
i — УЧ
i — УЧ
+
+
Я^-^-И-Н1)]- <35>
Учитывая, что при р = а имеем S(a) = 0, при р = 0 функция 8(р) обладает особенностью.
Вычисляя жесткость на кручение по формуле (15), имеем
а
в = Вй + ^ J i|?o(s)5(s)ds = ya4n +
о
1
+ 1 pa4 / (1 — г))2 (^) dr) ~ 0,8780557рла4. (36) о
Вычислим теперь приближенное значение эффективной жест- кости D (см. формулы (16) и (20)). Возьмем <S*(rj) в виде
S*(T]) = Т)-1/2 — Т].
Эта функция имеет особенность того же типа, что и функция S(r) из формулы (35), а в точке (а, 0) принимает нулевое значение. Из формулы (20) получаем
Г 1п2Г 1п2
Г 1п2
Г 1п2
После приближенного интегрирования получается
так чтотак чтоЛ « - у а4 ~ - 0,66646а4,24,3757
так что
так что
D « Do — 0,67р,а4 « 0,90(ia4.
Этот результат незначительно отличается от точного решения (36). Трещина уменьшила жесткость приблизительно на 10%.
Изгиб бруса поперечной силой *)
Рассмотрим цилиндрический брус постоянного сечения. Пусть брус закреплен в сечении хз = 0 и нагружен в концевом сечении х3 = / силами, равномерно распределенными с равнодействую
щей Р (рис. 7.16). Эта сила Р = (Р, 0, 0) действует в направлении оси Хь Начало координат поместим в закрепленном сечении, предполагая, однако, что оно не совпадает с центром тяжести этого сечения Предположим, что боковая поверхность бруса сво* бодна от нагрузок.
. 9 Новожилов В. В., см. список литературы.
15 В. Новацкий
Выделим сечением х3 = const часть цилиндра с основаниями в сечениях х3 = const и х3 = L При предположении, что в основании х3 = I мы имеем дело с нагрузками, равнодействующая которых равна Р = (Р, 0, 0), напряжения atj должны удовлетворять следующим условиям:
Р\ = J a3i dA, Р2 = J «згdA = 0, Рз~ J <Тззй?4 = 0,(1)
ААА
Мх = — J х2о3зб/Л = 0, М2 = J х^зз dA = 0,
А ,А(2)
М3 = J (х2о13 — хщ^) dA = 0.
А
Составляя уравнение равновесия для выделенной сечениями х3 = const и Хз = I части цилиндра, получим в сечении х3 = = const следующие соотношения:
Px=^a3\dA, Р2 = / оз2^ = 0, P3=So33dA = 0,(3)
ААА
Мх = — J х2о33б/Л = 0, М2= J Ххазз dA = — Ру — Хз'),(4)
АА
м3= J (х2о13 — x1a23)dA = 0.(5)
А
Из уравнений (3) делаем вывод, что отличным от нуля будет напряжение 013. Для выполнения условия (5) требуется допустить, что и напряжение а2з будет отличным от нуля.
Применяя полуобратный метод Сен-Венана, допустим, что напряжения oi3, 023, сгзз отличны от нуля, и проверим, будут ли при таком предположении удовлетворяться уравнения равновесия, уравнения Бельтрами — Мичелла и граничные условия задачи. Попробуем удовлетворить условиям (4) и условию J о3зб/Л = 0, допуская, что напряжение о33 можно выразить А следующей функцией:
азз = РУ — Яз)(«о + «А + а2х2).(6)
Подставляя а33 в условия (4) и третье из системы (3), в сечении х3 = const < / получим следующую систему линейных уравнений:
ctoSg 4“ «1/32 “Ь «зЛг = L
«o-S 1 + «1Л2 + а2^ 11 = 0,(6а)
(ZqX 4" «1*^2 4“ «2*S[ ’ “ о,
где
А = J dA, Sj = J x2dA, S2 = J x,dA,
AAA
Iu= J x^dA, I22= J x^dA, f12 = J Xj^dX.
AAA
В соотношениях (6a) /ц и /22 обозначают моменты инерции сечения соответственно относительно осей Xj и Хг; 7]2 — центробежный момент инерции, a Si, S2 — статические моменты соответственно относительно осей Xj и х^. Из системы уравнений (6а) мы определяем однозначным образом коэффициенты
11^2 — ^12^1Л1-А-S?il2A"~S1S2
«0 =Д,«]=д>«2 =Д ■(?)
гдегдеУчитывая, чтоУчитывая, что^2271252д =7127цSiS251А^2271252д =7127цSiS251Ах? =х? =$2А ’$2А ’^2 =^2 =S, А ’S, А ’
где
где
Учитывая, что
Учитывая, что
^22
712
52
д =
712
7ц
Si
S2
51
А
^22
712
52
д =
712
7ц
Si
S2
51
А
х? =
х? =
$2
А ’
$2
А ’
^2 =
^2 =
S, А ’
S, А ’
где х^, х®— координаты центра тяжести сечения, легко убеждаемся, что
а0 = — QjX^ — а2х°.
Поэтому
(Т33 = PQ х3) Jet j (л^х») + а2 (х2^)]л(8)
Используем далее уравнения равновесия. В силу нашего допущения он = 022 = 012 = 0 мы имеем следующие три уравнения:
53013 = 0, дзОгз^О, дщ^ 4* д2а2а 4~ 5зст3з = 0.(9)
Из двух первых уравнений следует, что напряжения щз и <т2з не зависят от переменной х3. Третье уравнение в силу формулы (8) принимает вид
51»1з + 52ст23 = Р [Uj (х, — х°) 4- а2 (х2 - 4)]-(1°)
или
д1 { ст13 — ^ ["1 (Х1 - *1) - “г^г]} +
4- 52{ ай — -^- [а2 (х2 — х”) — ajхО]} = 0. (10a)
15*
Уравнение (10а) будет тождественно удовлетворено, если ввести функцию напряжений Ч^ определяемую соотношениями
"la^^ + ^t"!^!—х1)~ М].(Н)
% = ~ ^ + ^ [“2 (*2 - ^) - «1^-(12)
Функцию Ч, определим, используя уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла:
V^ + yrp^W-0- i, /=1,2,3.(13)
Здесь
5 = 0Ц + 022 + »33 = <Т33.
В силу того, что Ojj = 022 = Oj2 = 0, система шести уравнений (13) сводится к трем уравнениям
V/сТзз + T+V ^зстзз = О»
РаРа<14)
= —а—V2O =2-
V1CT13 1 4- V •1 231 + V •
Первое из этих уравнений удовлетворяется тождественно в силу предположения, что напряжение Озз имеет вид (6). Два других уравнения системы (14) приводятся, с учетом формул (11) и (12), к уравнениям
(15)
Интегрирование этих уравнений приводит к уравнению Пуассона
V?4f = T^(a^1-a1^)-2y<,(16)
где К — пока не определенная постоянная величина.
К дифференциальному уравнению (16) следует добавить еще граничные условия на боковой поверхности и основаниях цилиндра. Так как боковая поверхность должна быть свободна от нагрузок, то справедливо соотношение
илиилиЩз^! + ^23^2— 6,(17)
или
или
013“Ji" °23 ds —0"(17а)
Подставляя в это граничное условие напряжения по формулам (11), (12), выразим его с помощью функции Ф следующим образом:
{d2T + ^[«, (х,}^- +
+ {д]Ч._^1ог(,2_4_О1^]|^. = 0.
Это условие можно несколько упростить, заметив, что gW dxtgW dx2 _ gW
dxi dsдх2 ds ds '
Запишем окончательно граничное условие (17) на контуре сечения бруса в виде
gW Рх2 ,, х dxi Pxi ,. dx2
~g-(а° + “г-^г) “^g-(«о + aJxi) •(18)
Дифференциальное уравнение (16) и граничное условие (18) можно разбить на два уравнения и два граничных условия. Введем новые функции ф и Ф:
Ч^Ф + Лф.(19)
Подставляя формулу (19) в (16) и (18), получим дифференциальное уравнение Пуассона
vfф = - 2(20)
с граничным условием
■^- = 0 на контуре с(21)
и дифференциальное уравнение
^ = ТГ7(М,-«Л)(22)
с граничным условием g® Рх2 ,, х d*i Рх\ ,. х dx2
■gr —(“° +—Г (“° + aixi) Т <23)
на контуре с сечения.
Если допустить, что сечение является односвязной областью, что мы и предположим, то условие (21) можно заменить условием ф = 0 на контуре сечения. Функция ф является здесь точным аналогом функции кручения ф, рассмотренной в § 7.2. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению такого же вида, что и уравнение (20), и аналогичному граничному условию. Функция Ф называется функцией изгиба.
Вернемся еще раз к граничному условию (23). Интегрируя соотношение (23) по границе области А, получим
Ф = 4 J [(“0 + °Л) *2 ^Г “ («0 + «1^1) ХХ -§-] dS. (24) О
В качестве начала интегрирования выбираем произвольную точку на контуре сечения.
Интеграл в выражении (24) является периодической функцией. Убедиться в этом можно, интегрируя по замкнутому контуру (длиной L) и воспользовавшись формулой Гаусса и уравнением J a33dA = ^. Итак, Ф(0) = Ф(£) = 0.
А
Нам остается проверить, выполнены ли в основании х3 = I условия (1).
Условие J a31dA = P можно заменить равносильны^ усло- А
рием
J {Уз! 4" х\ [д^з] -{- д2ц32 Р («о ~Ь а1^-1 4* а2^-2)]| dA = Р, (25) А
в котором мы использовали уравнение равновесия (10). Так как / xt (д^ 4- d^dA = J X] (мщз] 4- n^ds — J ст31 dA,
АсА
то условие (25) примет вид
J X] (пщз] 4- n^^ds — Р J (а0 4- “1*1 + «2^2) хх dA = P. сА
Здесь криволинейный интеграл равен нулю ввиду граничного условия (17), поверхностный интеграл равен —1 ввиду первого уравнения (6а). Поступая аналогично, проверяем, что j а32 dA = 0 в сечении х3 = I.
А
Третье условие Jct33^ = 0 выполнено благодаря заданА
ному виду напряжения ст33, которое для х3 = 1 равно нулю. По той же причине выполняются условия J x1a33dA = 0, А
J Х20зз dA = 0 в сечении х3 = /. А
Нам остается удовлетворить еще условию
- М3 = J (л2°1з х^з) dA = 0.(26)
А
Имеем
j [х^^ + хгд^Х] dA + Р J xtx2 (с^х, — а2х2) dA = 0. (26a) АА
Преобразуя первый интеграл, находим, что
/ (х^., + x2W.2) dA = / [(х^)., + (х2Ч%] dA - 2 / ^dA =
ААА
= J ^(^Х] + п2х^ds — 2 J Ф сМ = 2^ЧГ-^-ds — 2 J Ф<М =
е. АА
= -2Р-т^-2 Jt<m,
А
s
Л = 2" / (xi dx2 — х2 dxt\ ,о
Интегрируя по частям выражение
j ds ’
мы использовали условие У(0) = Ч^Л) = 0. В результате преобразований с учетом граничного условия (18) приводим уравнение (26а) к виду
-2 / W-Pp^xJao+a^-x^a^^ А
’+ Р J х1х2(а1х1—а2х2) dA = 0.(27)
А
Это соотношение мы используем для определения не известной до сих пор постоянной К, входящей в дифференциальное уравнение (16). Подставляя в (27) соотношение ^ = Ф +/Сф, находим, что
к=— f J фйЛ^ / J Ф^л + ^ ^ Л^ [х, (а0 + а2х2)-^-—
\д ) V А
— х2 (а0 + ajXj -^-] + ^- J xvx2 (а2х2 — а,х,) dA I.(28)
AJ
Зная теперь функции ф, Ф и величину К, а поэтому и функцию V, мы можем определить касательное напряжение по формулам (П) и (12).
Рассмотрим угол поворота объемного элемента бруса относительно оси хз, т. е. величину
«3 =^д1и2 — д2и1').
Приращения величины соз в направлении осей координат даются формулами
д1<Вз = ту (и2, п — Wi, 2i) ="2" t(u2,1 4" иь 2), 1 2ць 12] =
= 5^12 — д2ен = -^ djCT12 g-d2 [ст.1v(o22 4- Пзз)1>
д2(Оз = д,822 — d2812 = -g df [cr22 v (<7ц 4" (7зз)]2,7 ^2^12^(29)
d30)3 = 5^23 — d2813= 2^ (51^23 — дгФз)-
Так как <jH — а22 = Фг = °, а напряжения о13, ст23, ст33 даны формулами (6), (И) и (12), то
д1(о3 = ^(/-Хз), д2(о3 = -^Р(/-х3),
1 I Г,,1(30)
дз«з= ~ 2ц ^ = 7 L^ ” 2(14v) (а^* ~1
Приращения di<o3, дг<оз— постоянные величины в сечении х3 = = const. Величина д3<о3 изменяется в поперечном сечении бруса и является линейной функцией переменных хь х2.
Интеграл
4 J ^“зdA = 4 14 — 2(1 4 v) (“^ ~ аг^)](31
А
— среднее значение крутки — является мерой скручивания волокон бруса. Из проведенных рассуждений следует, что брус под действием поперечной силы испытывает не только изгиб, но и кручение.
Однако может встретиться частный случай, когда брус подвергается только изгибу при отсутствии кручения. Этот случай возникает, когда среднее значение крутки равно нулю, т. е.
^=2(1 + vT (“^ ~ “i^)1(32)
Подставляя формулу (32) в формулу крутящего момента
М3 = J (х2ст13 — xx<s^ dA,
А получим
Мз = — 2 J ФdA — 2 ^ Л^ ^Х] (а0 + а2х2)-^-— х2(а0 + а,х,)-^-] +
А
+ т J х1х2 (а2х2 — «1^1) dA - -рр7 М — а14) J ^ dA- (33) АА
Если в концевом сечении бруса будут действовать одновременно поперечная сила Р в направлении оси хх и крутящий момент (33), то в произвольном сечении хз = const < I возникает изгиб без кручения.
Из этих рассуждений следует, что если сила Р помещена в произвольной точке прямой хг = Хг и действует в направлении оси хц а расстояние Хг выбрано так, чтобы удовлетворялось уравнение
х2Р + М3 = 0,(34)
то в брусе не будет скручивания. Величина М3, входящая в формулу (34), выражается соотношением (33).
Изгиб бруса поперечной силой.Другие варианты решений
Рассмотрим частный случай разобранной в предыдущем параграфе задачи об изгибе бруса. Допустим, что сила Р действует в направлении оси хь причем предположим дополнительно, что оси X) и х2 — главные оси инерции, проходящие через центр тяжести поперечного сечения бруса. Так как в этом случае Si = = S2 = /12 = 0, то
х® = х^ = 0, ао = а2 = О, а1= —Т^Г*^^
и в результате этих упрощений напряжение 033 примет вид
Озз = РЦ- Хз) «А = - ^^ х' ,/ = /22.(2)
Упрощаются также уравнения равновесия
^зст1з = О1 д3<т2з = 0, д|(Т|з + д2сг2з-|—^- = 0(3)
и уравнения Бельтрами — Мичелла
Vfo =0, 1 13(1 + v)/ •1’
Vf<r33+ -7^7^33 = 0.
При решении задачи об изгибе мы пойдем иным путем, чем в предыдущем параграфе. В качестве неизвестных функций введем функцию изгиба и функцию кручения. Из двух первых уравнений равновесия (3) следует, что Ст1з и ст23 являются функциями только переменных хь х2. Третье уравнение равновесия (3) перепишем в виде
51а1з + 52(п23+-^) = 0.(5)
Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если ввести функцию напряжения Q:
а13 = д2Й, а23 = - д.Й ^.(6)
Подставляя формулы (6) в уравнения Бельтрами — Мичелла, получим систему уравнений
—7ТТИТ' '’^=«.
откуда
V^ = --(T^)T-2^-(7)
Здесь цо— постоянная величина.
Заметим, что справедливо следующее тождество:
V2 < VX^X
i I 2(1 +v)/ [2 V । 2
= -(m)7-2^= -(m)7-2^(8)(8)
= -(m)7-2^
= -(m)7-2^
(8)
(8)
Отсюда следует, что функцию Q можно представить в виде
Й = ФЙ = ФР2(l+v)/Р2(l+v)/vТХ?Х2vТХ?Х2++(9)(9)
Й = Ф
Й = Ф
Р2(l+v)/
Р2(l+v)/
v
ТХ?Х2
v
ТХ?Х2
+
+
(9)
(9)
где ■& — некоторая гармоническая функция.
Введем функцию ф!, гармонически сопряженную с функцией Ф:
^1Ф1 = д2Ф1 = — ^Ф.
Выражая напряжения oi3 и о23 через функцию фЬ получим
ст1з = ^2^ = ^1Ф1 М^г — 2(1 + v)7 ["2 vXi +0 — Tv)x2]’ 00)Рхххг,(2 + v) Рхххг
<т23 = — djQр- = д2Ф1 + Ц®Х, — 2(1 + v)/ •
Подставим далее
ф1 = цюф-.§(1^-.(П)
Тогда формулы (10) примут вид
о,3 = 1ш(д1ф-х2)-^^[д1х + 4^ + (* “тИ- (12)
®2з = (ш (д2ф + х,) — g-^-^y [<Э2Х + (2 + v) х,х2].
Первые члены правой части соотношений (12) идентичны формулам (19) § 7.2. Функцию ф можно назвать функцией кручения при изгибе бруса поперечными силами. Функцию х назовем функцией изгиба. Исследуем граничные условия, связанные с гармоническими уравнениями Vix = 0, V^ = 0. Из граничного условия
о|3«1 + ог23ц2 = 0 (13)
на боковой поверхности бруса получаем
р.сор.соР дх2 (1 + v) I дпР дх2 (1 + v) I дп
р.со
р.со
Р дх
2 (1 + v) I дп
Р дх
2 (1 + v) I дп
wtvtt Kiх- + (1 ~ i) 4 ni + (2+v> х№\ • <14)
Допустим, что функция ф удовлетворяет граничному условию Неймана
dq> дпdq> дпх./ц —х^.х./ц —х^.(15)(15)
dq> дп
dq> дп
х./ц —х^.
х./ц —х^.
(15)
(15)
Для функции х остается на границе также условие типа Неймана '
дп 2 + V 2 Л2дп 2 + V 2 Л2Ц, —(2-ф v) ХХХ2П2.Ц, —(2-ф v) ХХХ2П2.(16)(16)
дп 2 + V 2 Л2
дп 2 + V 2 Л2
Ц, —(2-ф v) ХХХ2П2.
Ц, —(2-ф v) ХХХ2П2.
(16)
(16)
Из уравнений Лапласа для функций ф и х с граничными уало- виями (15) и (16) мы еще не можем определить напряжения 013, о23, ибо нам неизвестна величина со. Мы найдем ее из
условия обращения в нуль крутящего момента М3 в концевом сечении х3 = /. Здесь
М3 = J (<т13х2 —<т23х,)</Л = 0.(17)
А
Члены, связанные с функцией ф, дают
M3 = coD, D — — ц j (х^ + х| + хДф — x^d^dA. (18) А
Члены, связанные с функцией %, приводят к выражению
^3 =2 (1 + v) / 1 [X2^1%X,52X + ( ^2 ) *2
■А
-(2+ |)х?х2рЛ.(19)
Постоянную величину оз мы найдем из условия Л13 + М" = 0. Величина со имеет определенный физический смысл. В «этом мы легко убедимся, рассматривая угол поворота <о3 объемного элемента в плоскости поперечного сечения бруса:
Юз = ту (d] и2 — 52U[).
Приращение этого угла в направлении оси х3 равно
д3СО3 = у (u2, |3 — «1, 2з) = е23, 1е13, 2 = "2^ (5,а23д2<т13).
Подставляя в эту формулу напряжение из формул (12), получим
дз®з = -^ (5,023 — а2ст13)==ю — у^р^-.(20)
Величина <о3 является углом поворота объемного элемента бруса относительно оси х3, а д3<о3— круткой волокон бруса, параллельных этой оси.
Величину
т= 1 ^dA
A J дх3
А
следует трактовать как среднее значение крутки. Из формулы (20), учитывая, что J x2dA = Sv=0, получим
™-т(-ЯГМ-(2D
А
Итак, величина ю совпадает со средним значением крутки т.
Случай чистого изгиба без кручения имеет место при т = со = 0. В этом частном случае в формулах для напряжений (12) отпадут члены, связанные с функцией ср.
Нам остается еще определить перемещения. Для этого следует определить деформации, а затем проинтегрировать соотношения
ес/= у (“z, / + w/, <)•(22)
Легко проверить, что соотношения (22) будут выполнены, если перемещения примут вид
Р ( V11
Ы1 : "ЁГ ( Т (^ хз) (xi хд + ~2 У хз J №Х2ху
Р
— х3) Х]Х2 + ©xtx3,(23)
Р (/Хд \)
Ug gj | X, ^Xg g- j -ф XjX^ + х j + соф-
Особенно простой способ решения задачи об изгибе бруса поперечными силами дал Тимошенко1). Его метод является модификацией способа, обсужденного в § 7.8.
А именно заметим, что третье уравнение равновесия (3) будет удовлетворено, если допустить, что
Рх2
о|3 = д2Ф2Г- + ^ ^’ а23 = ~ д1Ф' (24)
Здесь Ф — функция, зависящая от переменных хь х2, а )(х2) — функция, зависящая только от х2. Подставляя (24) в уравнения Бельтрами— Мичелла (4),имеем
вда-о.(25)
Интегрируя эти уравнения, приходим к выводу, что
WРх2-#-- 2^6).(26)
1(1 +v) 12dx2х '
где со — пока не определенная постоянная.
Из формулы
2у.ддЮд = <ф(Т2з д2О|3 "получим
2(^3 = - V^ - d2f = 2ц© - -^^.(27)
*) Timoshenko S., A Membrane Analog of Flexure, Proc. London Math. Soc., ser. 2, 20 (1922), 398.
Если ось Xj является осью симметрии поперечного сечения бруса, то изгиб силой Р вдоль этой оси вызывает симметричное распределение поворота соз элементов сечения со средним значением, равным нулю для всего сечения. Среднее значение д3(о3 будет равно нулю, вследствие чего в уравнении (27) нужно положить (о = О.
Так как мы будем рассматривать брус с симметричным относительно оси Xi сечением, то в дальнейшем следует положить (о = О. Подставим формулу (24) в граничное условие (13). Получим
5Ф dx, дФ dx9 дФ / Рх^\ dx9
— (*2)•(28) дхх ds дх2 ds ds \ 271 х 2// ds v 7
Если функция f(x2) известна, то определены граничное условие (28) и правая часть дифференциального уравнения (26). Зная функции Ф и f(x2), определим напряжения (24).
В случае односвязного сечения легко определить функцию f^y Ее следует выбрать так, чтобы условие (28) ст^ло однородным. Тогда имеем Ф($) = const на границе.
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пусть контуром поперечного сечения бруса будет окружность х, + х2 =г2. Выбирая функцию f(x2) в виде
/ (хг)= 27 (г2 — ^г)
и подставляя f(x2) в граничное условие (28), получим дф/д$ = = 0. Поэтому на окружности Ф = const = 0. Нам остается решить уравнение (26), которое при и = 0 принимает вид
V^=(]L^r^ (29)
Уравнению (29) с граничным условием Ф = 0 удовлетворяет функция
-Z 9 ,994(1 "Т 2v) Р
ф = /п(х1 + х2 ^)Х2' т 8(1 +v)Z '
Составляющие напряженного состояния получим по формулам (24):
(3 + 2v) Р / 2 91 2у 2\а13 — 8(1 +v)/ v'3 + 2V
о23 = — 4(1"^_V)7 Pxvx2,(30)
Рхх (I — х3)
Рассмотрим эллиптическое сечение бруса. Так как уравнение контура задается формулой
4
— 4- — = 1
2।21 »
а, а2
то функцию f (х2) примем в виде
г / X^ / а? 9
/=—о — ат .
1 v у 27 \а2 2 V
Подставляя f(x2) в уравнение (26) и граничное условие (28), получим уравнение Пуассона
9_^"^9 ( ^1
(31)(31)vfo=—- Ц ч
(31)
(31)
1 V а21 + v
с граничным условием Ф = 0. Частным решением уравнения (31), удовлетворяющим граничному условию Ф = 0, является функция
/а2\
Ф= Ш ( х; ЧV Х2 — а?1х2>\ а2 /
(1 + V) а2 4- Va2 Рm — 2(l + v) (3af + а|) 7"
Составляющие напряженного состояния определим по формулам (24):
2 (1 + v) а2 + a2 Р I 22(1—2v)afx2 \
“ (1+ V) (3af+ а2)* Х1 * Т^Т^Т^") '
(1 + V) а2 4- 02^ Р’
°23 = “ ТнТКз^+^У 7 Х,Х2’
Р(1 — х3) Х| »зз —7•
В случае прямоугольного сечения со сторонами 2а1е 2а2 используем уравнение контура
(х2 —a^)(x2 —а2) = 0
для определения функции f(x2). Если в граничное условие (28) подставить вместо /(х2) постоянную PaJ^I1), то разность
Рх2Ра2
172Г
будет равна нулю для дц = ± at. Вдоль сторон х2 = ± а2 будет dxjds = 0. Таким образом, граничное условие (28) становится
однородным на контуре. Поэтому нужно решить уравнение Пуассона
^Ф = ТТ^(32)
с граничным условием Ф = 0 на контуре прямоугольника. Решение уравнения (32) составим из двух частей:
Ф (хь х2) = Фо (х2) + Ф, (х„ х2).
Функция Фо должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
</2Ф<> dx^</2Ф<> dx^V Рх24- v IV Рх24- v I(33)(33)
</2Ф<> dx^
</2Ф<> dx^
V Рх2
4- v I
V Рх2
4- v I
(33)
(33)
с граничным условием Фо(± я2) = 0.
Функция Ф1 должна удовлетворять уравнению Лапласа
(34)(34)V^)^, х2) = 0
(34)
(34)
с граничными условиями
(35)(35)Ф1(±а1, х2) = —Ф0(х2), Ф, (х„ ±а2) = 0.
(35)
(35)
Решением уравнения (33) является функция
Фо =—(a2 —06(1 + v) Z 2Фо =—(a2 —06(1 + v) Z 22vP(1 + v) /a22vP(1 + v) /a2д*1,3. 5, ...д*1,3. 5, ...-1)" .-zr-slnaA-1)" .-zr-slnaA
Фо =—(a2 —
06(1 + v) Z 2
Фо =—(a2 —
06(1 + v) Z 2
2vP
(1 + v) /a2
2vP
(1 + v) /a2
д*1,3. 5, ...
д*1,3. 5, ...
-1)" .
-zr-slnaA
-1)" .
-zr-slnaA
пП
On ~ •о 2
Можно легко убедиться, что функция
2Рм V (—l)”chanX| .
Ф, =; У -3--,L Sin a„x2
(! + v)/a2U ch a at
удовлетворяет уравнению (34) и граничным условиям (35). Поэтому знание функции
Ф = ~ 6(1 +v) 7 (a2 — Х2)Х2 —
2Pv VI(—l)"chanx, .
'— хL—ГТsma„x2
0 + v)/a2%ch%ai
позволяет определить напряжения cr13 и о23 по формулам (24) ).
Глава 8ДИСТОРСИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Стационарные задачи термоупругости.
Вариационные принципы и теорема взаимности
В послевоенный период наблюдается значительное развитие термоупругости — области, посвященной исследованию напряженного и деформированного состояний тела, вызванных температурным полем. По мере развития многих областей техники, при расчете конструкций паровых и газовых турбин, летательных аппаратов, при исследовании сварки металлов, в химической промышленности и особенно в ядерной физике все чаще приходится сталкиваться с проблемами, в которых температурные напряжения играют значительную, а иногда и доминирующую роль. Поэтому задаче температурных напряжений мы уделим больше внимания, чем это имело место в ранних монографиях по теории упругости.
В настоящей главе мы будем заниматься главным образом статическими и стационарными напряжениями, вызванными установившимся температурным полем. Некоторое внимание мы уделим также квазистатическим задачам, т. е. таким, в которых изменение температуры во времени происходит медленно, так что можно пренебречь инерционными членами.
В наших рассуждениях мы ограничимся такими температурами, при которых механические и термические материальные коэффициенты можно считать постоянными. А именно мы предположим, что |0/Го|С1, где 0 — температура, отсчитываемая от естественного состояния тела, а То—абсолютная температура естественного состояния.
Принятые допущения ограничивают пригодность решений лишь определенным интервалом температур. Несмотря на это, основываясь на линейной термоупругости, мы можем решить широкий класс задач практического значения.
Рассмотрим упругое тело в конечной области, на которое действуют поверхностные силыр,- и массовые силы Xi и которое
нагревается на поверхности А. Пусть внутри этого тела действуют источники тепла w.■
В установившемся процессе все факторы, действующие на тело, и вызванные ими следствия не зависят от времени и являются функциями только положения.
В необратимом термодинамическом процессе изменение энтропии складывается из
обмена энтропии с окружающей средой и
производства энтропии.
Так как приращение энтропии во времени равно нулю (S=0, S = const), то производство энтропии компенсируется обменом энтропии с окружающей средой. Уравнение теплопроводности, как мы вывели в § 3.8, принимает для задачи установившегося притока тепла следующий вид:
^ц^,1! = —w хеУ,(1)
Это уравнение справедливо для анизотропного тела. Для иво- тропного тела, которым мы сейчас занимаемся, следует положить Xtj = Xobtj, где Хо — коэффициент теплопроводности для изотропного тела.
Уравнение (1) переходит в уравнение
V20 = _^-, х = А. q_®(2)
х ’ се ’ Хоv 7
К уравнению (2) следует добавить граничные условия. Чаще всего встречаются следующие условия:
задана температура 0 в каждой точке хеД
задан градиент температуры дО/дл в каждой точке хе,4,
задана функция дВ/дп + аО = р на поверхности тела; величины а и £ являются здесь постоянными.
Граничное условие вида 2) имеет место тогда, когда известна интенсивность потока тепла внутрь извне (либо наоборот). Если тело теплоизолировано, т. е. не происходит ни притока, ни отдачи тепла через поверхность А, то дО/дл = 0. Третий вид граничного условия мы получаем при свободном теплообмене по поверхности А, ограничивающей тело. Мы не будем заниматься методами решения дифференциального уравнения Пуассона (2). Читатель найдет их в любом обстоятельном курсе теории дифференциальных уравнений или в монографиях, посвященных теплопроводности *).
Из уравнения (2) получим температуру 6. Распределение температуры уже как известная функция входит в определяющие уравнения и в уравнения в перемещениях теории упругости.
К принятому предположению |0/7'о|^С 1 добавим еще одно, касающееся малости деформаций. А именно предположим, что квадраты и произведения компонент тензора деформаций 8,, пренебрежимо малы по сравнению с линейными членами. Таким образом, мы ограничиваемся геометрически линейной термоупругостью. Зависимость между деформациями и перемещениями выражается линейным соотношением
eif = "^kui.! + “/.<)•(3)
Как известно, деформации не могут быть произвольными функциями; они должны удовлетворять шести соотношениям, так называемым уравнениям совместности:
8ц. kl + ekl, ij—ejl. ik—eik,jl = Oi i, j, k, /=1, 2, 3.(4)
Основной задачей является отыскание связей между напряженным и деформированным состояниями. Эта задача была выполнена в гл. 3.
Поэтому выпишем соотношения, выведенные ранее в § 3.12. В дальнейшем важную роль будет играть свободная энергия F = F(e.ij, 0), причем
F = [iei/ez,.+у eA68„rt —у0еА6 —Д-02,(5)
0 = Т — То.
Дифференцируя свободную энергию по деформациям, имеем
<$ц = "дГ- = 2^8'/ + (А8** ~ Y°)6//-(6)
Здесь у = (ЗХ + 2ц) at, где at— коэффициент линейного теплового расширения. Дифференцируя функцию F по температуре, получим в результате энтропию с обратным знаком:
5 = -^- = уем+Д0.(7)
К этим уравнениям добавим уравнения равновесия
aH.i + ^/ = 0.(8)
Таким образом, мы имеем полную систему соотношений и уравнений для стационарной задачи термоупругости.
Прежде чем перейти к обсуждению решения, задач термоупругости в перемещениях или напряжениях, сосредоточим внимание на основных вариационных теоремах. В § 4.5 был
сформулирован принцип виртуальных работ в виде (формула (3) §4.5)
J Xi but dV + j Pi bUi dA = j Gij be^ dV.(9)
VAV
Этот принцип справедлив как для упругого, так и для неупругого тела, для линейных и нелинейных соотношений между деформированным и напряженным состояниями. Принцип виртуальных работ справедлив также и для задачи термоупругости. Если теперь в правую часть (9) подставить соотношения Дюгамеля — Неймана (6), связывающие деформации и температуру с напряжениями, то получится уравнение
j XibUidV-V j pibuidA = bWi — yj ebs^dV, (10)
VAV
где
Ге = j Ге dV = j (це</е// + A e^e„„) dV.(11)
vv
Предположим, что во время виртуального перемещения массовые силы, поверхностные нагрузки и температура не изменяются. Тогда в правой части уравнения (10) можно символ вариации вынести за знак интеграла. Полагая далее, что на поверхности тела Л„, на которой заданы перемещения, должно быть but = 0, приводим уравнение (10) к виду
б Жг — j XtUi dV — j ptUi dA — у J 0e^ dV = 0.б Жг — j XtUi dV — j ptUi dA — у J 0e^ dV = 0.(12)(12)кккк
б Жг — j XtUi dV — j ptUi dA — у J 0e^ dV = 0.
б Жг — j XtUi dV — j ptUi dA — у J 0e^ dV = 0.
(12)
(12)
к
к
к
к
Здесь через Ao мы обозначили ту часть поверхности тела, на которой заданы нагрузки. Обозначая через Г выражение в квадратных скобках, имеем
6Г = О.(13)
Итак, мы получили обобщение на стационарную задачу термоупругости теоремы о минимуме потенциальной энергии. Эта теорема утверждает, что среди всех геометрически возможных положений равновесия в действительности осуществляется то, для которого функция Г достигает минимума.
Вернемся к уравнению (10) и преобразуем в нем последний интеграл правой части:
J 0 бе^ dV = j 0 buk, к dV = j [(0 but\ t — ^,i бы J dV=
VVV
= ^6bUintdA—^Q.ibutdV.(14)
av
Подставляя формулу (14) в (10), находим после некоторой перегруппировки следующее соотношение:
6Уе = | (X/ — уО, ;) dU( t/V + j (Рг + ^n-i) but dA. (15) VA
Сравним это выражение с виртуальной работой в теле такой же формы и выполненного из того же материала, на которое действуют массовые силы Х\ и нагрузки р*., но в котором 0 = 0:
дГ = [ X\bu.dV 4- f p^UidA.(16)
VA
Сравнивая выражение (15) с (16), получаем следующую аналогию массовых сил. Перемещения и деформации будут в нагретом теле такими же, как и в ненагретом, если на Аи задать те же самые перемещения, а на Ао—нагрузки р* = р{ + y0«z и если в качестве массовых сил принять величины XI = Xi — уб, z.
В стационарной термоупругости пользуются также вторым минимальным принципом, который является обобщением известной из эластостатики теоремы Кастильяно о дополнительной работе. Предположим, как мы это сделали в § 4.7, что напряжения оц получают виртуальные приращения бац. Величины 8aij мы трактуем как непрерывные функции класса С2, как величины бесконечно малые и независимые. Потребуем, чтобы напряжения оц + Ьоц и нагрузки pt + 8pt были статически допустимыми. Это означает, что So/j должны удовлетворять уравнению равновесия■
да,71/ = 0(17)
внутри тела и граничным условиям
bpi = Ьо^п.;(18)
на Ао. На Аи нагрузки вр, являются произвольными величинами. Предположим дополнительно, что вариации 6р, принимают нулевые значения на той части поверхности, на которой заданы нагрузки, т. е. на Ао.
Обозначим дополнительную работу через ТРц.
Va = / Га dV = j + 4 ^кОпп^ dv.(19)
При выводе обобщенной теоремы Кастильяно для стационарной термоупругости мы исходим из соотношений Дюгамеля — Неймана, разрешенных относительно деформаций:
eij = ^V-^ij + ^'абк + а^) 6ц-(20)
Мы видим, что
ео=^(^° + а^)-(21)
Умножим это соотношение на Ьац и проинтегрируем по объему. V;
J[e-7-^-(^a + af0aw)]6ff1.,dy = 0,(22)
или
/ еИ 6a(i dV = j ^ ^И dV + / a(6 da64 dV.(22а)
VV 11V
Преобразуем интеграл в левой части последнего уравнения к следующему виду:'
6Га + J а(0 bskk dV = | Ьр^и, dA — j ба/(, jUj dV. (23)
VAV
Приращения бац выберем так, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (17) и чтобы вариация нагрузок 6pz была равна нулю на Ао. В результате получим из формулы (23)
(24)(24)vv6 Уа + j y-t^akkdV— J ptUi dA =0.
(24)
(24)
v
v
Au
Обозначая через Г* выражение в квадратных скобках, имеем
уравнениеуравнениедГ* = О,дГ* = О,(25)(25)
уравнение
уравнение
дГ* = О,
дГ* = О,
(25)
(25)
из которого видно, что среди всех статически допустимых состояний равновесия в действительности осуществляется только то, для которого Г* достигает минимума. На то, что мы имеем дело с минимумам функционала Г*, указывает положительность его второй вариации.
получаемполучаемЕсли на поверхности тела действуют нагрузки, то для Ли = 0
получаем
получаем
(26)(26)6 ГГа + / at6akk dV =0.v.
(26)
(26)
Обобщая рассуждения § 4.6 и 4.8, мы можем дать другую форму теорем о минимуме потенциальной энергии и минимуме дополнительной энергии.
Рассмотрим поле перемещений щ (наряду с соответствующими ему тензорами напряжений ац и деформаций е,,), которое удовлетворяет уравнениям равновесия
a/Z|/+ Xz=-0, хеУ,a/Z|/+ Xz=-0, хеУ,(а)(а)
a/Z|/+ Xz=-0, хеУ,
a/Z|/+ Xz=-0, хеУ,
(а)
(а)
с граничными условиями
Ui = tAx\хгАи,
, ..(б)
Pi = Ofi^ = gi (х), хеАа,v '
Рассмотрим теперь другое поле перемещений и*, отличное от поля и,, которое не обязательно удовлетворяет уравнениям равновесия
вц. / + xi= °- х е V,(в)
но удовлетворяет кинематическим условиям
< = Мх), хеА,,_ (г)
и не удовлетворяет условиям p*1 = gi(.x') на Аа.
В обоих рассматриваемых случаях на тело, кроме внешних сил, действует и температурное поле 9.
Умножим уравнение равновесия (а) на и^— ut и проинтегрируем по объему тела:
/(а/;>/+^)(«;-«а^=°-
v
Преобразуя этот интеграл и применяя теорему Гаусса — Остроградского, окончательно получаем
J ЗД-»а^ + J pM-u^dA-^-e^dV. (27)
УАоV
Поверхностный интеграл распространяется только на Ао, ибо, согласно граничным условиям (б) и (г), на Аи имеем и, — ы; = = ft'—f(=0. Рассмотрим теперь свободную энергию Р^ец, 9), заданную формулой (5). Составим следующие выражения: F(eV— г1р 9), Г^, 9), F (е1р 9). Легко убедиться в справедливости следующего соотношения:
f(ez/ — eip 9) =
= F «р 9) - F (ец. 9) - ^и - е./) ^а + ^/9) - тУ, (28)
где m = cJ(2T0Y
Введем работу деформации
^е ^ P^ij^ij Н~ "2 ^kk^nn'
Так как
F ^ц, 9) = 1^6 (е;;) — у9е^ — т92,
то вместо неравенства (28) получаем
^в (^ - ^ = ^’ ^ - ^ Ы - (^ - ^ ^it + ^,9) > О,
поскольку работа деформации U7g (е^ — е^) является положительной величиной.
Проинтегрируем это выражение по объему тела. Получаем неравенство
г: ^ - Г (е;/) - f ^ - е;/) ^И 4- уб„0) dV > 0.(29)
V'
Исключая общий член в (27) и (29), получаем следующее неравенство:
Г: - / Х^ dV - f р^ dA-yj 9е^ dV >
> Ге — J X(ut dV — j ptut dA — у j ^ekk dV.(30)
клак
Мы получили теорему, которая утверждает, что потенциальная энергия системы для поля перемещений щ, удовлетворяющего уравнениям равновесия и заданным граничным условиям, всегда меньше потенциальной энергии системы, для которой существует поле перемещений, удовлетворяющее только части граничных условий, а именно кинематическим условиям.
Если упругое тело свободно от нагрузок на поверхности, а массовые силы равны нулю, то неравенство (30) упрощается:
К-у \^VV>'re-y^EkkdV. (30а)
VV
Здесь следует сделать предостережение, состоящее в том, что как выведенная ранее теорема о минимуме потенциальной энергии, так и только что приведенное неравенство справедливы лишь для односвязного тела. Это вытекает из того, что лишь в односвязном теле заведомо обеспечена однозначность поля перемещений.
Перейдем к другому виду теоремы о минимуме дополнительной работы. Пусть тело получает деформации под влиянием внешних сил и нагрева. Пусть напряжения ац удовлетворяют уравнениям равновесия (а) и граничным условиям (б). Кроме того, пусть деформации удовлетворяют геометрическим условиям совместности (неразрывности) в области К. .
Обозначим через а*^ другое напряженное состояние (не идентичное с состоянием ац), вызванное теми же самыми внешними силами и нагревом. Предположим, что напряжения ст^ удовлетворяют уравнениям равновесия (в) и только динамическим граничным условиям на Ао (т. е. р* = а*(.п. = gt (х), х г Аоу Итак, напряженное состояние а^ не удовлетворяет граничным условиям на Аи, а деформированное состояние е^ не удовлетворяет условиям неразрывности. Умножим разность напряжений ст*;.— ai? на ei; и проинтегрируем по объему У:
N=$lai-°HWV-<31)
V
Преобразуя это выражение, получим последовательно
J «I - ^u) “i, idV=S {[(»;/ - ^л «j, / - (°к / - aitl /)цdV= VV
= I«/ -ст//) niu. dA-! ^а. i - ° a. /) uidV • ЛV
Объемный интеграл равен нулю в силу уравнений (а) и (в). Поверхностный интеграл берется по поверхности Аи, ибо разность граничных условий (б) и (г) на Ао равна нулю. Поэтому имеем
J Q3*j — aihendV = J №—P^uidA- <31а) vАи
В дальнейшем мы должны будем обратиться к свободной энергии F. Выражая деформации через напряжения в уравнении (5), а затем используя соотношения
eq = ^p'otj 4- X'bqdkk + a(9diy, получим следующий вид свободной энергии:
F ^if. 9) = ^'OilOil + 4" акк°пп — то02.
Легко проверить, что
'’(";,-"-/• 6)=
= F №,. е) - ^ (”,/. в) - (»;, - ’„) («Ч - W) -(32)
Проинтегрируем последнее соотношение по объему тела и введем функцию
^а = / (^trz/crz/ + -у °иОпп^ dV.V
С помощью функции y0 сведем выражение (32) к неравенству
Г; - Га - J (а^ - atj) (еи - аДуе) dV > 0.(32a)
v
Исключая из (31а) и (32а) общий член, приходим окончательно к неравенству
г; - j p\ut dA + atJ 9ст^ dV > Жа - J Piu4 dA + at j 9okk dV.
Это неравенство выражает следующее утверждение. Дополнительная работа системы, в которой напряжения Оц удовлетворяют уравнениям равновесия и всем граничным условиям, а деформации Вг, удовлетворяют уравнениям ’неразрывности, меньше дополнительной работы системы, в которой напряжения а*г) удовлетворяют уравнениям равновесия и динамическим условиям (р,—Р( = Ь на Ла), а деформации е*; не удовлетворяют условиям неразрывности.
Если тело нагружено по всей поверхности, то в неравенстве (33) исчезают поверхностные интегралы (ибо Аи = 0). Поэтому имеем
г; + a, j 9о^ dV > га + а, / 9а кк dV.(33a)
vv
Если 9«= 0, то неравенство (33а) переходит в неравенство (13) § 4.8.
Обобщим теперь на задачу термоупругости вариационную теорему Рейсснера.
Рассмотрим функционал 3 (ец, оц, чЛ вида
"^ = / [^в — (,°ц + у96;/) ez/ Хрц 4- у о,; (и^/ + Uj, dV —
- j Mi dA— J P1 (U1 -йг) dA, (34) AaAa
где
We = p.eljelj +yeAAenn.
В последнем выражении р, является заданной нагрузкой на Ла, а й,— заданным перемещением на Аи.
Используем условия стационарности функционала 3. Для этого вычислим первую вариацию функционала 3 и приравняем ее нулю. Внутри тела V варьируются функции ац, ец, Щ. На поверхности Аи могут варьироваться только функции pt, на Ао — функции Ui. Поэтому имеем
ЬЗ = 0 = j [-^- Ьем — Ьо(1еИ — az/ dez/ — ye&z/ dez/ — X{ but +
+ У Ьац (uif I Ar Uj.i) Ar "2 CM ^ui. I 4" ^ub f)] ^ —
— j ptbu.idA — j dpi^Ui — uz yd A.(35)
. AOAu
Группируя соответствующим образом члены и воспользовавшись преобразованием
у | Оц (Ьщ,; + Ьи;> t)dV = " J ptbUidA— j a/i-zbutdV, va0v
приведем уравнение (35) к виду
J (— ^ч + Ydz/0)1 Ьеч — [ez/ - у (uz,, + иь Z)1 bo£) - .
v ИJ L 2J(35а)
— (ct/Zi j 4- ХА Ьщ j dV — j (A — pz) bU{ dAA- j (^—u{) bpt dA= 0.
AaAu
В силу взаимной независимости виртуальных приращений уравнение (35а) сводится к следующим уравнениям Эйлера вариационной задачи:
Oji, j -|- Xi ^ 0, X ЕЕ X,
6il = "2^ui,l Ar ui,iY хе/фЛ,
°Ч = dej— Y06z/ =2p.ez/ + (ЛеАА — уб) dz/, х eV + A
uz = uz, хеЛ„, Pi = Pb xeAa.
Мы получили последовательно: уравнения равновесия, связи между деформациями и перемещениями, соотношения Дюгамеля — Неймана и граничные условия на Аи и Аа.
Обобщенная на стационарную задачу термоупругости теорема Рейсснера имеет вид
6^ = 0,(36)
где функционал 3 дан формулой (34). Выведенная здесь теорема утверждает, что из всех напряженных состояний и перемещений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и соответствующей части граничных условий, осуществляется напряженное состояние и перемещения, заданные формулой (36).
В теории температурных напряжений важную роль играет теорема взаимности. При ее выводе мы будем опираться на соотношения Дюгамеля — Неймана, записанные для двух систем причин и следствий:
а</ = 2це(/+ (Ae66 —yO)dz/,(37)
<; = 2lie', + (Xe'kk — y0')d(/.(38)
Умножим первое уравнение на е^, второе — на е,, и почленно вычтем одно из другого. Получаем тождество
tVif ~ амеп + V (6ем - 9'ем) = 0-(39)
Проинтегрируем это тождество по объему У:
/ ^а^ц — aVibdV + y J (9ем — 9Ч) dV ^0.
Интегрируя по частям первый интеграл и учитывая, что
a/z./+ ^i = °>a/i,/ + ^ = 9> хгУ,
Pt=aitnP P'i = a'nnp хеА,
получим следующий вид теоремы взаимности:
J XX dV + J рХ dA+y ^ (Ое^ -0\.) dV = J о^И dV’ <40)
VАVV
ИЛИ
j XX dV + J pX dA + a J (0a^ — 0'a^) dV = j a^, dV. (40a) VAVК
Эта теорема была доказана Майзелем), а ее обобщение на анизотропные и неоднородные тела дано Новацким). Из теоремы взаимности следует ряд интересных выводов и даже метод интегрирования дифференциальных уравнений стационарной задачи термоупругости.
Рассмотрим односвязное и ограниченное тело, на которое действуют внешние силы Xt и нагрузки pt. Кроме того, пусть
в теле имеет место приращение 0 температуры, вызванное внешним нагревом и действием источников тепла w.
В качестве штрихованной системы примем всестороннее растяжение тела и кроме того предположим, что X'i = 0 и 9' = 0. При всестороннем растяжении тела силами интенсивности, равной единице, имеем
aH=XAi> <Ь = 3> Р'{ = а'цП1=^ -nv
Подставляя эти значения в уравнение (40а), получим
— j niui dA + J Х^ dV + J p^ dV + 3a; J 0 dV = 0.(41)
AVAV
Подинтегральная функция в первом интеграле выражает проекцию перемещения на нормаль п к поверхности А, а интеграл представляет приращение объема ДУ, вызванное действием температуры 9 и силами Xt, р,.
Состояние всестороннего растяжения оС = 1 • д.. вызывает постоянные деформации 6^ = 213,'+ 3V= 1/(3^, # = ЛН-2/3ц, и линейные перемещения и, = хД/ДЗК).
Уравнение (41) примет вид
А У =И XlXl dV + [ piXi dA] + 3az [ 9 dV. (42)
\VАУV
Для Xt = 0, Pi = 0 получим )
AV = 3azj9dV.(43)
v
Мы получили выражение для изменения объема тела, вызванного только изменением его температуры.
К соотношению (42) можно прийти и без помощи теоремы взаимности. Умножим уравнения равновесия на х, и проинтегрируем по объему У:
J (Xi + o^XidV-O.
V
Преобразуя это равенство, получим следующее соотношение:
/ Xtxt dV + / Pixt dA = J okk dV.(44)
VAV
С другой стороны, свертывая соотношения Дюгамеля—Неймана, получим
^ = (3^ + 2H)(8^-3at9).(45)
Подставляя формулу (45) в (44) и учитывая, что у = 3/(а<, находим, что
А У = За( [ 9 d V +f XiXi dV + Г р<х< dA\.(46)
Jод JJI
VA/
Таким образом, мы пришли к соотношению (42).
К интересному результату мы придем, полагая pt = О, Х< = 0 в формулах (44) и (46). Мы нашли
A7 = 3aJ 9dV, j akkdV = 0.(47)
кv
В случае односвязного тела, свободного от внешних нагрузок (р, = 0, Xt = 0) и испытывающего температурное воздействие, интеграл от первого инварианта напряженного состояния по объему тела равен нулю. Существенную роль в определении поля перемещений играет метод Майзеля1), выеденный из теоремы взаимности. Рассмотрим тело, занимающее область V, жестко закрепленное на поверхности Аи (Ui = 0), а на поверхности Ао свободное от нагрузок. Под действием нагревания в теле появятся перемещения и, и температура 9. Из уравнения (40) для pt = 0, Xt = 0 на Ао, и< = 0 на Аи имеем
- j Х'^ dV + j Plu'( dA— Jp'.ut dA + у J(9e'ft-9\ft) dV = 0. (48) vaua0v
Разыскивая в точке § составляющую ик перемещения, выберем соответствующим образом штрихованную систему нагрузок. А именно предположим, что на Аи тело жестко закреплено (и< = 0), а на Ао свободно от нагрузок (р(' = 0) и что 9'= 0. Пусть в точке § действует единичная сосредоточенная сила, па-, раллельная оси хк. Эта сила вызывает перемещения u,= iy(x,£), напряжения а'^Цх, §) и деформации е‘?'(х, ^.Величины и' получим из системы уравнений эластостатики в перемещениях
рГ^/ + (Л + р)Г^// + д(х —^)6is = 0, i, j, A = l, 2, 3,(49)
с граничными условиями
р^ = 0 на Ао, Г^^О на Ац.(50)
Так как Х' = д(х— ^bik, то из уравнения (48) находим
j 6(х —g)6zfe«z(x)dV(x) = y j 9(x)e'/fft>(x, g)dV(x), (51)
vv
или
Uk (g) = V J 9 (x) V^ (x, £W (x) = a J 9 (x) o'^ (x, g) dV (x). (52) кк
В этом уравнении Г1^ обозначает дилатацию, a а1^^1— первый инвариант напряженного состояния, вызванного в области V действием единичной сосредоточенной силы.
Метод Майзеля определения поля перемещений удобен в случае центральной симметрии температурного поля (толстостенная сферическая оболочка, шар) и осевой симметрии (толстостенный цилиндр, сплошной цилиндр, упругое полупространство и слой), а также в случае плит и оболочек простой формы, где функции Г^, ст'<6> удается определить простым способом.
Уравнения термоупругости в перемещениях
Рассмотрим односвязное тело V, нагруженное внешними силами и подвергающееся нагреву. Пусть внутри тела действуют массовые силы ХДх) и источник тепла щ(х), и пусть на Да заданы нагрузки р,(х), на Аи— перемещения fi(x). Запишем урав
нения равновесия
■a1M + Xt = 0, г, /=1,2,3,(1)
через перемещения. Подставляя затем деформации
ez/=^ («z, / + и/, z)(2)
в соотношения Дюгамеля — Неймана
^г/— 2peZ/-|-(Лейй — y9)6Z;-,(3)
а эти последние в уравнения равновесия (1), получим систему трех эллиптических уравнений в перемещениях:
Рмг,//+ (^ + Р) м/,/z +-^z = у9, z-(4)
К этим уравнениям присоединим граничные условия
Ut (х) = h (х), X (= Аи,(5)
»/г«/ = Р(«г./ + «/,<)«/ + (^ий,й — yQ)nt=pi(x), хеА„. (6)
Важно убедиться в единственности решения системы дифференциальных уравнений (4).
Предположим, что существуют два решения и'., и". Тем самым имеем различные напряжения о^., а^ и деформации е'.., г"г Введем обозначения
н; = н; —Н" е^е^-е",0^ = 0^ —а"г
Последовательно получаем
^i, / = °- х е ^(?)
^=^1^4^ x^V + A,(8)
4 = 2ре^ + Лб^е’^, х е V + А.(9)
Уравнения в перемещениях (4) становятся однородными:
рц-.^ + ^ + ^ц^^О, хе|/.(10)
Соответствующие этим уравнениям граничные условия также становятся однородными
u. = 0, хе А ,
(Н) и К / +м/. О ni + хьаиХ=°- х G 4-
Уравнения (7) — (10) относятся к телу, в котором отсутствуют массовые силы, а температура равна нулю.
Рассмотрим интеграл
I=^a*.e*jdV,(12)
v
который в силу формулы (9) представим в виде
'-K'WIi+tw:.)-'1'-<|2»>
к
Как известно, подинтегральная функция выражает удвоенную работу деформации упругого тела. Эта величина в силу того, ' что р > 0, X + 2/зР > 0, является неотрицательной.
Выражение (12) при помощи соотношений (8) и (9) удается представить как
I=Ha*iu^idV + S ^аи^-(13)
vv
Второй интеграл в правой части равен нулю в силу уравнения (7). К первому интегралу применим преобразование Гаусса— Остроградского. Для этого требуется, чтобы функции а*., е^ в
односязной области V + А были непрерывными класса С1. В результате получим•
I=^p>\dA.(14)
л
Из формулы (11) следует, что «1 = 0 на Аи и р* = 0 на Аа. Для этих однородных граничных условий поверхностный интеграл равен нулю. Таким образом, / = 0. Подинтегральное выражение (12а) должно быть равно нулю в области У + Д. Поэтому е* =0, откуда е(, = е7, и и, = и';. Учитывая соотношение (9), имеем также а';. = а"..
Итак, решение единственно.
Теорему единственности мы можем распространить и на более сложные граничные условия. Так как произведение p*tut является инвариантной скалярной величиной, его можно записать в виде
рХ = рХ+Рп«п+РП1«П1(15)
(где I, II, III — три взаимно ортогональных направления) и так выбрать составляющие нагрузок или перемещений, чтобы выражение (15) было равно нулю. К примеру, если направление III соответствует направлению нормали, то на А можно положить ы*н=0 и р* = р*п = 0, что соответствует нулевому нормальному перемещению при отсутствии нагрузки в двух остальных направлениях I, II.
В случае упругой задачи с граничными условиями р^ = — ки^ на Аа уравнение (14) примет вид
J о^е^ dV-Vk J uiu1dV = 0.(16)
vАо
Так как оба интеграла положительно определены, имееме*./ = 0, и* = 0 во всей области, что приводит к единственности решения.
Вернемся к уравнениям в перемещениях (4). Если предположить, что функция температуры принадлежит классу С1, то перемещения должны принадлежать классу С2. Напряжения тогда принадлежат к классу С1 в соответствии с требованием, принятым при доказательстве теоремы единственности. Для решения системы (4) с граничными условиями (5) и (6) можно воспользоваться аналогией массовых сил, описанной в § 8.1. Формулируем теперь эту аналогию следующим образом.
Рассмотрим нагруженное внешними силами нагретое тело, в котором поле перемещений описано системой уравнений (4) вместе с граничными условиями (5) и (6). Рассмотрим второе тело той же формы и из того же материала, но в котором 9 = 0
16 В- Новацкий
в каждой точке. Спрашивается, какие массовые силы Х\ и поверхностные силы р\ на Аа (для «• = /, на Аы) нужно приложить, чтобы в обоих телах (нагретом и ненагретом) возникало одно и то же поле перемещений щ.
Уравнения эластостатики в перемещениях (для 9 = 0) имеют вид
+(А + ц) My+ А^ = 0.(17)
К этим уравнениям добавим граничные условия
и = ГМ хеАи,(18)
хеАа-(19)
Из сравнения уравнений (4) и (17) и граничных условий (5) и (18), а также (6) и (19) следует, что мы получим одно и то же поле перемещений и*. = ut (х), х е V, если
Xl = Xi — у0, f, хеУ,
«, = «z = fi = Гр X G Ац,(20)
Р*1=Р1 + 9Ч% хеА0.
Аналогия массовых сил позволяет свести стационарную задачу термоупругости к задаче эластостатики.
В частном случае Хг = 0 и pi = 0 на Аа имеем
Я; = -у9р xeV; «• = /;, xgAu; р^ — п^, хеАа.
Величина р? = у0пг называется термическим давлением.
Кратко обсудим методы решения уравнений термоупругости в перемещениях
ри(,И + (Z, + р)и!,ц = уВ,{.(21)
Представим общее решение и, в виде суммы двух решений: частного решения и', неоднородного уравнения (21) и общего решения и" соответствующего однородного уравнения:
uz = и< + и".
Частное решение уравнения (21) можно представить в виде, данном Гудьером1), вводя так называемый потенциал термоупругого перемещения Ф в соответствии с соотношением
^ = ф.г(22)
- Подставляя формулу (22) в (21), получим
Кл + 2И)Ф, ^-yej.^o.
Система этих трех уравнений будет удовлетворена, если функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
Ф-П = ^, т = т^.(23)
Из уравнения (23) получим функцию Ф, а следовательно, и частное решение (22). Можно вычислить деформации е^ и напряжения а'ц, связанные с функцией и'Г Имеем
6£/ = Ф. eU=°.W
Учитывая (23), получим следующее выражение для напряжений aV-.
<т^ = 2ц(Ф ,,-б^.Ф, кк>
Заметим, что для бесконечной области частное решение м' является окончательным решением. Решение уравнения (23) можно выразить через интеграл Пуассона в виде, аналогичном гравитационному (ньютоновскому) потенциалу:
где /?(х, У— расстояние между точками g и х. Так как и'( = Ф и то
“i--^!6®^^!6®"^^^). да VV
где
Ul (х, В) = — 4л(х + 2ц) (^), <'
Функция С\(х, %) имеет определенную механическую интерпретацию, а именно ее можно трактовать как перемещение точки х в направлении оси xt, вызванное действием центра расширения— сжатия, помещенного в точке § неограниченного тела. Воспользовавшись теоремой взаимности, (26) можно представить также в виде
<(x) = v j'9(g)0'Z!(x, g)dP(s),(27)
где 0Ф(х, £) означает дилатацию в точке %, вызванную действием сосредоточенной силы, помещенной в х и направленной по оси х{. Так как
(2ц-|-ЗЛ)©*1'= Л(/*,
где через № мы обозначим сумму нормальных напряжений, то уравнению (27) можно придать вид
u'^ = at / 0(§)Л'°(х, W-(28)
v
Легко заметить, что формулы (27) и (28) являются частным случаем формул Майзеля, обсужденных в предыдущем параграфе.
Если тело ограничено, то к решению ц' = ф . следует добавить общее решение и" системы однородных уравнений эласто- статики
ц^^ + Д + ^цД^О,(29)
причем требуется, чтобы поле перемещений ut = u't-\- и" удовлетворяло всем заданным граничным условиям. Итак, если тело свободно от поверхностных нагрузок, то на «границе Л должны быть выполнены условия
Pi=P'i + P" =0, хеЛ,
или
«,+^)rt/ = 0-(3°)
При решении системы уравнений (29) применяем методы, обстоятельно обсужденные в гл. 5.
Часто систему уравнений термоупругости (21) решают с помощью метода Папковича — Нейбера, выражая перемещения через четыре функции
«< = Ф,< + (х/Ф/)а —4(1—*)Ф/,(31)
где функции Ф, ф^ удовлетворяют уравнениям
ф2Ф = т9,\2ф;=о(32)
Удобство представления Папковича — Нейбера основано на простоте определения функций Фиф, как частных решений хорошо известных уравнений (Пуассона, Лапласа) в теории потенциала. Трудности применения метода Папковича — Нейбера связаны с удовлетворением граничным условиям, в которые входят вторые производные как функции Ф, так и функций ф,-.
Несколько частных случаев решения пространственных и плоских задач термоупругости мы обсудим в § 8.4 и 8.5.
Рассмотрим теперь частный случай, относящийся к закрепленному телу, т. е. к такому телу, для которого перемещения гц на границе равны нулю. Если предположить, что в этом теле температура постоянна, то 0^ = 0.
Уравнения (21)' становятся однородными. При однородных граничных условиях м,- = 0, хе А получим
Ui(x) = 0, х е V + А.(33)
В силу обращения в нуль перемещений в теле имеем нулевые значения деформаций е,,. Напряжения отличны от нуля и в соответствии с соотношениями Дюгамеля — Неймана имеют значения
аИ = — уб;/0.
В случае нагрева (0 > 0) имеем дело со сжимающими, а в случае охлаждения (0 < 0)—с растягивающими постоянными нормальными напряжениями.
Уравнения термоупругости в напряжениях
Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами — Ми- челла, обобщенные на задачи температурных напряжений.
Ограничимся пока рассмотрением односвязного тела. Сформулируем нашу задачу следующим образом. Мы ищем в теле.У, ограниченном поверхностью А, составляющие напряженного состояния ац в предположении, что на А заданы нагрузки р^ Итак, мы имеем уравнения равновесия
ajiii-VXi = 0,хе V,(1)
с граничными условиями
рг(х) = а/<и/, хеЛ.(2)
К этим уравнениям мы должны добавить условия совместности, т. е. потребовать, чтобы перемещения были однозначными функциями.
Для обеспечения однозначности перемещений требуется рассмотреть в V + А упомянутые в § 1.11 выражения Чезаро
р
ut (х) = и® (х°) + J dup(3)
Роили, более подробно,р
ut (х) = и® (х°) + (хА — х») ш% + J [е/г + (х, - |ft)r] &г (4)
р.
Первые два члена правой части уравнения (4) относятся к движению тела как жесткого целого, а потому сосредоточим внимание только на трех криволинейных интегралах
р
Lj= J Uird^r, j, r=l, 2, 3,(5)
P. где
Ujr^^ ^jr 4“ k^k ^4) tojk, r ^jr 4" ^jkl^lsm k^k ^k^ ^rs, m- (6)
P
Чтобы перемещения были однозначными, интегралы J diij или
Ро
Lj должны быть не зависящими от пути интегрирования. Это условие равносильно требованию, чтобы криволинейный интер
грал J U!r d^r, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой С р.
в области V +А, был равен нулю.
Из § 1,11 известно, что это условие приводит к соотношению epnrUjr,n = 0> х е V + А.(7)
Для дальнейшего будет удобным следующий вид уравнения (7) (уравнения (11) § 1.11):
е</, кк 4" ^кк, ij 6ik, jk&jk, ik : 0-(8)
Итак, имеем систему уравнений (1) с граничными условиями (2) и систему шести уравнений (8). Если теперь в уравнения (8) подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
&ц = «Д/О + 2р/а</ + Х'Ь^Окь(9)
то после выполнения тех же преобразований, что и в § 4.4, получим систему шести дифференциальных уравнений эллиптического типа
° а. кк 4- 4гй^ °кк- И + 2(Х“' (9- </ + "ТТ^Г 6,7 9м)+
4” ■^И^к, к 4" kXi.j 4- X,. ;) = 0, X G V + А. (10)
Решение системы уравнений (10) с учетом граничных условий (2) приводит к определению напряжений. Деформации etj найдем по. формулам (9), а перемещения 1ц— путем интегрирования соотношений
8z/ = ^kui.i 4- uj,tY(IQ
Заметим еще, что принадлежность деформаций классу С2 обуславливает принадлежность функций ац и 9 тому же самому классу функций. Это следует из уравнений (9) или (10). Массовые силы должны принадлежать классу С1. Кроме того, выполнены условия, при которых была доказана теорема единственности решения в •§ 8.2, а именно, что оц и и{ должны быть класса С1.
К уравнениям в напряжениях (10) можно прийти и путем преобразования уравнений в перемещениях1)
V-Ul // + (^ + И) Ui,n = у0, i-(12)
Принимая во внимание соотношение (11), имеем
Ц6</, кк + (^ + и) 6М, ij = V0, </•(^)
Подставляя в (13) выражения (9), получим
°Ч. кк +°кк- а ~ ЗЛ + 2Й ^55'№ + 2р,а< (9> " + бг/0, м) = °'
(14)
Свертывая уравнения (14), приходим к соотношению
+(15)
SS, RR ।2|Х »КК4
Из уравнений (14) и (15) получаем окончательно уравнения в напряжениях
°И.кк ^^§^7^akk,ii +2ца^0,г/ + y^f 6i/0, ) = 0'О6)
Особенно простой вид уравнений (16) мы получим для температурного поля без источников. Поскольку 9j,- = 0, из уравнения (16) следует, что
V2a^ = 0. (17)
Сумма нормальных напряжений является гармонической функцией. Система уравнений (16) упрощается и имеет вид
°il,kk + J । v (°кк + а;^9), ij =0,(18)
..А р Ц (ЗА + 2ц)/1 ах
2(А + ц) ’ Ь Л+ц •1 ;
Если к уравнениям (18) применить оператор Лапласа и принять во внимание формулу (17), то
\2\2aij==0.(20)
Составляющие тензора напряжений являются бигармоническими функциями. Каким должно быть распределение температуры, которое не вызывало бы в теле напряжений? Подставляя ац=0 в уравнения равновесия (1) и граничные условия (2), видим, что эти уравнения удовлетворяются. Подставляя а,,- = 0 в уравнения (18), получаем
9а/ = 0, /, /=1, 2, 3.(21)
Эта система уравнений будет удовлетворена, если распределение температуры линейно:
9 = а0 + х,а(.(22)
Деформации е^ на основании формул (10) принимают значения е(/= аг96;/.(23)
Перейдем теперь к формулировке задачи термоупругости в напряжениях в многосвязной области.
Сначала рассмотрим двусвязную область (рис. 8.1) и в ней составляющие вектора перемещения и поворота в точках Рп и Р. Перемещения были выражены криволинейным интегралом Че- заро (4). Для нахождения составляющих поворота поступаем так. Учитывая, что
tojh = '2^ui, ь ик-;\
получаем дифференцированием выражения (4)
р
tojk = Ы% + f €iW€ism6rs. m d^r'(24)
Р»
Вводя вектор поворота o> = -jrotu, или
top = ^pkjtoi^(25)
получим требуемое выражение
р
®р = < ~ / Ssm6rs, m dK-(26)
P.
Следует рассмотреть условия однозначности перемещений в двусвязной области, другими словами, условия независимости криволинейных интегралов (4) и (26) от пути интегрирования1).
Так как область двусвязна, мы не можем применять преобразования С1 окса, ибо в двусвязной области не на каждую замкнутую кривую С можно натянуть поверхность S, лежащую целиком в V-\-A. Поэтому мысленно рассечем область У-|-Л, вводя поверхность В и сводя двусвязную область к односвязной. В области V' = V + А —В проведем кривую от Ро до Р так, чтобы она не пересекала поверхность В. В такой области, как в односвязной, справедливы условия геометрической совместности (7) или (8).
РИС. 8.2.РИС. 8.2.
РИС. 8.2.
РИС. 8.2.
Нам остается обеспечить непрерывность перемещений при переходе через поверхность В, наложив дополнительное условие. Рассмотрим интегралы
р-р+
L,IH= Ulrd^, Ц(Р+) = / Ujrd^r. (27)
Ро-Ро
Здесь мы обозначили через ( + ) и (—) две стороны разреза В, а через Р+ и Р~— точки на этих сторонах, лежащие друг против друга (рис. 8.2). Значения этих интегралов, а потому и перемещений определены однозначно, хотя не обязательно совпадают.
Заменим теперь путь РоР+ путем от Ро до Р~, а затем кривой С, соединяющей точку Р~ с точкой Р+. Имеем тогда
J u!rdb= J Ujrd£r-^ Uit dinp\p,c
или
L^(P+) —L/(P~) = ^Ulrdlr.(28)
Точно так же для другой точки D, лежащей на В, имеем
L!(D+)-L!(D~)= ^UirdV(29)
С'
Если через С' обозначить кривую, проходящую от D+ до D- и окружающую отверстие, то правые части уравнений (28) и (29) одинаковы, ибо замкнутую кривую С' можно провести так, чтобы, выходя из D-, она проходила по поверхности В до Р~, далее доходила до Р+ вдоль кривой С и, наконец, проходила по поверхности В до точки D+. Если функции Up- (г = 1,2, 3) однозначны, то интегралы по путям D^P и P+D+ взаимно уничтожаются и правые части (28) и (29) совпадают. Аналогичные рассуждения можно провести для произвольной кривой С, целиком лежащей в V + Л и пересекающей поверхность В. Левые части (28) и (29) должны быть равны нулю в силу требования непрерывности перемещений на В. Таким образом, приходим к условию
^Ujrdlr = 0.(30)
с
Аналогичные рассуждения можно провести для функции
р
J ^psmPrS) m d^r.
Pc
Условие непрерывности вектора поворота требует, чтобы на кривой С было выполнено условие
J ^psm^rs, m d^r = 0.(31)
С
Эти рассуждения можно обобщить на (N + 1)-связную область. Такая область N разрезами Ва (а = 1, 2, ..., У) может быть сведена к односвязной области. При решении задач термоупругости в напряжениях пользуются следующими уравнениями: а) уравнения равновесия
»/<,/ + ^< = 0, хеЕ,(32)
граничные условия
Р1 = аИп8, хе А,(33)
геометрические условия совместности
^prm^qsn.^'rs, mn 0> X ^ V -|~ А,(34^
дополнительные условия
J 1®/г 4* ^kl^lsm С^б §*) ers, ml d^r О, С_
.(35)
J ^IsmSrs, m d^r—0, а 1, 2, ,.., N.
Са
Кривые Са (а = 1, 2, .... N) являются замкнутыми в V + A, и каждая из них пересекает только одну поверхность Sa.
Подстановка выражений (9) для деформаций сводит условия (34) к системе уравнений (10).
Так как деформации являются линейными функциями напряжений и температуры, то под знак интеграла в уравнениях (35) входит температура.
Рассмотрим (N + 1)-связное тело, которое на поверхностях А, Ва (a = 1, 2, ..., /V) свободно от нагрузок. Исследуем, может ли линейное распределение температуры в таком теле вызвать напряженное состояние. Убедимся, что для Oij = 0 при А, = 0, xeV, pi = 0, хе(.4, Ва) и линейного распределения температур 0 = а0-ф агхг удовлетворяются уравнения (32), (33) и (34). Следует проверить, удовлетворяются ли уравнения (35) для <Jij = 0, хе V и в,, = at06jj. Эти уравнения принимают вид
J (6;г0 — ^H4rm£iA m) ^sr = 0,
,(36)
j 6lrm9.m^r = 0,0=1, 2, У.
са"
Легко убедиться, что линейное распределение температур 0 = = aQ-Y*aiXi удовлетворяет этим уравнениям. Таким образом, мы получили более общую, чем раньше, теорему, которая утверждает, что линейное распределение температур не вызывает напряжений в многосвязном теле, не нагруженном на границах области.
Формулировка задачи термоупругости в напряжениях имеет важное значение для двумерных задач термоупругости.
Пространственные стационарные задачи термоупругости
В этом параграфе мы рассмотрим несколько характерных примеров, которые решим в перемещениях. Читателей, интересующихся более детально проблематикой термоупругости, мы
отсылаем к обстоятельным монографиям по этому предмету ).
Мы начнем наши рассмотрения с очень простого примера, а именно с действия сосредоточенного в точке источника тепла интенсивности w, помещенного в бесконечном упругом пространстве в начале координат. В этом случае определение потенциала термоупругого перемещения Ф приводит к окончательному решению. В нашей задаче необходимо решить уравнения
V26 = — у" 6 (х), У2Ф = щ0(1)
в бесконечном пространстве. В силу сферической симметрии поля температур и функции Ф мы имеем дело с одномерной задачей, в которой независимой переменной является радиус R. В сферической системе координат (.R, 9, ф) уравнения (1) переходят в уравнения
(^ + 4^-)ф-т0'<3>
Решением уравнения (2) является функция
0 = W’ иб° V2(|) = -4^(/?).(4)
Решение уравнения (3) с подстановкой значения 9 из формулы (4) принимает вид
ф^ = ДК, А = ^.(5)
Знание функции Ф позволяет уже определить напряжения. В сферической системе координат получаем
^ = 2р(^--^)Ф=-4^"1-
(6)
<тМ = »фф = 2р f у 4r ~ V1Ф = - 2^
Поместим источник тепла в точку £ и положим w = 1. Тогда
(7)
9-1(х,—$,)(*<-М1'Л.
опреде-(8)(9)опреде-(8)(9)Напряжения и перемещения, возникающие вследствие действия этого единичного сосредоточенного источника тепла, ляются по формулам
опреде-
(8)
(9)
опреде-
(8)
(9)
Получаем
.,„ m х, —
U^ 8лЛ0 Я(х, |) ’
<^=- Sa К+(x-^^ -^ /Г2].
Функции аи, и* следует трактовать как функции Грина задачи для бесконечного упругого пространства.
Если в бесконечном упругом пространстве источники тепла ю(х) занимают область V', то вызванные этими источниками перемещения и напряжения находим по формулам
ut (х) = j w (|) и* (|, х) dV (§),'
(Ю)
°и (х) = / ^ 6) ац & х) dV (§).
V'■
Во втором примере мы займемся напряженным состоянием в упругом полупространстве х3>0, вызванном нагревом плоской области Г, лежащей в плоскости х3 = 0. Следовательно, нужно решить стационарное уравнение теплопроводности
V29 = 0
(Н)
c
граничным условием
0(xb x2, 0) = f(xI, x2) на Г,
(12)
a
затем систему уравнений в перемещениях
V-Ut. // + (^ + р) ui,ji = у9.<
(13)
c
граничными условиями
ст13 = 0, ст23 = 0, 033 = 0 при х3 = 0.
(14)
Следует дополнительно предположить, что при ^ + х^ + х3)-* —> оо напряжения и температура равны нулю. Решение уравнений в перемещениях будем искать с помощью представления Папковича —Нейбера ’)
u = grad (Ф 4- R • ф)— 4(1—v)ip, (15)
где функции Ф, ф должны удовлетворять следующим уравнениям:
V2O = m0, ¥^ = 0.(16)
Решим вначале вспомогательную задачу. А именно определим температуру 9 и напряжения ац, вызванные действием температуры f(xt, х2)= в06(х1)6(х2) в плоскости х3 = 0. Эта задача характеризуется цилиндрической симметрией. В цилиндрической системе координат (г, ф, z) следует решить стационарное уравнение теплопроводности
V29(r, z) = 0 (17)
с граничным условием
6(Г. 0)=e„4^(18)
и условием 9=0 на бесконечности. Решением уравнения (17) является функция
® — 2л#3 '—.® — 2л#3 '—.(19)(19)
® — 2л#3 '—.
® — 2л#3 '—.
(19)
(19)
Для определения перемещений йг, йг достаточно знать функции Ф и ф3 = ф. В цилиндрической системе координат (г, ф, г) примем вектор перемещения в виде
и = §га(1(Ф + 2ф) — 4(1—v)iзФ,(20)
где 13 — орт оси г. Мы имеем
ф = ф (г, г), ф1 = 0, ф2 = 0, ф3 = ф (г, г).
Уравнения (16) переходят в уравнения
1 д г дг1 д г дг+-^)ф=т6.+-^)ф=т6.1 д г дг1 д г дг+ -Д)ф =0.1 да1 / т+ -Д)ф =0.1 да1 / т(21)(21)
1 д г дг
1 д г дг
+-^)ф=т6.
+-^)ф=т6.
1 д г дг
1 д г дг
+ -Д)ф =0.1 да1 / т
+ -Д)ф =0.1 да1 / т
(21)
(21)
Граничными условиями для уравнений (21) являются равенства
6гДг, 0) = 0, б«(г, 0) = 0.(22)
Величины dzr(r, 0) ийгг(г, 0) следует выразить с учетом соотношений (20) через функции Фиф,
Решением уравнений (21) являются функции
86nz,рб,a,(l+v)
ф=-ттг^у«+P|n<z + ^> <’=2(тДй- ^"Ч^'
(23)
Зная функции Фиф, можно определить напряжения
,2рц9,, 9 ЦП Г 12 1
°rr —R (R + z) ’ "фф — 2ЦР°° L R (R + z) Я3 J ’(24)
Огг = 0, Orz = 0.
Интересно, что составляющие тензора напряжений azz, атг равны нулю. Поэтому мы имеем дело с плоским напряженным состоянием, в котором напряжения агг, дфф зависят от переменных г и г.
Перейдем от цилиндрической системы координат к прямоугольной декартовой системе координат %ь х2, ха и возьмем функцию Дирака не от начала координат, а от точки (£ь g2, £3). Полагая далее 9о = 1, получим следующую функцию Грина:
* 2цРJ . х3। / t \2 ГДз2 1)
|R+[fl3Я(Я + х3)П'
a22—r2IЯI R3Я(Я + х3)И’(25)
. 2цр , v x, » \ Г хз2]
C12— r2 (%1^1) (X2^(^+Хз)]’
<3 = 0’ СИ = 0’a33 = 0'
Здесь
г = [(*1 - У2 + <х2 - ^-, R = (г2 + х^.
Зная функции Грина (25), мы можем решить общую задачу, сформулированную ранее. Если в конечной плоской области Г на границе х3=0 задана температура 9(хь х2, 0) = f(xi, х2), то напряжения, вызванные ее действием в полупространстве х3>0, выражаются формулой
^Z/^l’ Х2’ Хз)=/ J ^(^Р ^^//(^Р Х2’ Х3’ ^Р ^2’ 0)^1^2'(26)
г
В частном случае, когда Г является прямоугольником —«1 < X) < «1, —а2 < х2 < а2 и f = 1 — величина постоянная, цз выражения (26) тотчас получаем следующие формулы ддя
напряжений:
<Jii = 2|ip [arc tg<Jii = 2|ip [arc tg(«1 — Х|) х3 (а2 — х2) г.(«1 — Х|) х3 (а2 — х2) г.+ arc tg+ arc tg(«1 + Xi) х3 («2 — х2) г2(«1 + Xi) х3 («2 — х2) г2+++ arc tg+ arc tg(cii + xi) х3(а2 + х2) г3(cii + xi) х3(а2 + х2) г3+ arc tg+ arc tg(ai — х,)х3(a2 + х2) гА(ai — х,)х3(a2 + х2) гА— arc tg— arc tgQi — *1a2 — х2Qi — *1a2 — х2— arctg— arctgQi + X]02 — Х2Qi + X]02 — Х2— arc tg— arc tg01 + Х102 4" Х201 + Х102 4" Х2— arctg— arctg01 — X!а2 4" х201 — X!а2 4" х2(27)(27)
<Jii = 2|ip [arc tg
<Jii = 2|ip [arc tg
(«1 — Х|) х3 (а2 — х2) г.
(«1 — Х|) х3 (а2 — х2) г.
+ arc tg
+ arc tg
(«1 + Xi) х3 («2 — х2) г2
(«1 + Xi) х3 («2 — х2) г2
+
+
+ arc tg
+ arc tg
(cii + xi) х3(а2 + х2) г3
(cii + xi) х3(а2 + х2) г3
+ arc tg
+ arc tg
(ai — х,)х3(a2 + х2) гА
(ai — х,)х3(a2 + х2) гА
— arc tg
— arc tg
Qi — *1
a2 — х2
Qi — *1
a2 — х2
— arctg
— arctg
Qi + X]
02 — Х2
Qi + X]
02 — Х2
— arc tg
— arc tg
01 + Х1
02 4" Х2
01 + Х1
02 4" Х2
— arctg
— arctg
01 — X!
а2 4" х2
01 — X!
а2 4" х2
(27)
(27)
(o2 + *2) x3(a, — x,)r4(o2 + *2) x3(a, — x,)r4. r 02 — X2 — arc tg —& «1 — Xi. r 02 — X2 — arc tg —& «1 — Xi— arc tg— arc tg02 — X2ai 4- Xi02 — X2ai 4- Xi— arc tg— arc tg02 4" x2ai 4- Xi02 4" x2ai 4- Xi— arc tg— arc tgq2 4- x2 «i — x.q2 4- x2 «i — x.
(o2 + *2) x3
(a, — x,)r4
(o2 + *2) x3
(a, — x,)r4
. r 02 — X2 — arc tg —
& «1 — Xi
. r 02 — X2 — arc tg —
& «1 — Xi
— arc tg
— arc tg
02 — X2
ai 4- Xi
02 — X2
ai 4- Xi
— arc tg
— arc tg
02 4" x2
ai 4- Xi
02 4" x2
ai 4- Xi
— arc tg
— arc tg
q2 4- x2 «i — x.
q2 4- x2 «i — x.
а22 = 2ц₽ [arc tg+ arc tg
+ arc tg + arc tg(01 + XJ Г3
<T,2=2lipin^ + ;[^ + ;3).
(X3 + r2) (X3 + r4)
Здесь
2 = [(*! + «О' + (*2 — ^ + 4F>
C. 4 = [(*1 + «i) + (*2 + a2)2 + 4]’/\
Заметим, что при приближении к углам прямоугольника (ri—»О, i = 1, 2, 3, 4) напряжение 012 стремится к бесконечности.
В плоскости хз = О напряжение <т22 имеет конечный разрыв (скачок) на границах х, = + а; прямоугольника; аналогично напряжение ан претерпевает разрыв на границах х2 = ±а2 прямоугольника. Плоское напряженное состояние возникает в упругом полупространстве также при наличии на границе х3 = О источников тепла1). Однако оказывается, что в случае закрепленного упругого полупространства (например, при граничных условиях «з = 0, Оз1 = (Т32 = 0 при Хз = 0) напряжения о3,(/ = = 1,2, 3) отличны от нуля.
Напряженное состояние в упругом слое, нагреваемом по границе, исследовали Лурье2), а также Снеддон и Локкет). Они показали, что если граница не нагружена, то в упругом слое возникает плоское напряженное состояние.
Рассмотрим теперь установившийся приток тепла и вызванное им напряженное состояние в упругом пространстве вокруг
сферической полости ’) (рис. 8.3). Пусть тепловой поток на всей поверхности от — оо до + 00 имеет постоянный градиент т. Преграда в виде сферической полости изменяет постоянный поток вблизи полости. Если поток направлен по оси г, то распределение температур выражается в сферической системе координат (R, ф, О) следующей формулой:
илиили9(R, ^ = t^R -f9(R, ^ = t^R -fл3 \1 cos 2^2 )<-иьи,л3 \1 cos 2^2 )<-иьи,9 = тг+ -2^3-.9 = тг+ -2^3-.(28)(29)(28)(29)
или
или
9(R, ^ = t^R -f
9(R, ^ = t^R -f
л3 \
1 cos 2^2 )<-иьи,
л3 \
1 cos 2^2 )<-иьи,
9 = тг+ -2^3-.
9 = тг+ -2^3-.
(28)
(29)
(28)
(29)
РИС. 8.3.РИС. 8.3.
РИС. 8.3.
РИС. 8.3.
Функция (28) удовлетворяет уравнению притока тепла с условием (д6/д/?)д=а = 0. Поэтому она пригодна для случая тепло
изолированной границы R = а. Распределение температур характеризуется осевой симметрией относительно оси г. Из формулы (29) видно, что на значительном расстоянии от границы полости второй член оказывает небольшое влияние. Распределение температур является стационарным (9 « тг), а градиент температуры равен т.
Из уравнений, выведенных в § 8.3, мы видим, что линейное распределение температур в од-
но- или многосвязном теле не
вызывает напряжений. Так как первый член в уравнении (28) линейный, то влияние на напряжение будет оказывать только второй член
Qi = ~ cos У. (30)
Приступая к определению напряжений, предположим, что граница R = а свободна от сил. На первом этапе решения задачи мы разыскиваем частное решение уравнения
V2Q = m91,(31)
где
* =R "ТБ" 4"Sin 0*.
R2 dR \ dR ) sin и* од дй )
Легко показать, что этим решением является функция Ф=--^-созА.(32)
Напряженное состояние о' определяем по формулам
<т^ = 2ц (О^ф — т9^ = — ^- cos fl,
(Тот = 2Н (Я'^Ф + /?"2д|ф — mej^ COS fl, /. /хАа2(33)
(Тфф = 2ц \R окФ + ctgfl +'6 — /п9,) =^- cos fl,
<TOT=2p^(/?-,^D) = -^sin^, А = ^.
На границе R = а отличны от нуля напряжения a'RR и о^. Мы имеем
о^ = —2^cosfl, q'r9 = — Дз1пА.(34)
Поэтому к напряженному состоянию с' следует добавить состояние а" и выбрать его так, чтобы на границе R — а были выполнены следующие граничные условия:
°'rr + CRR = ®’ °ВД + С№ = °-(35)
Перемещения и" выразим через функцию Буссинеска (§ 5.20, формулы (29)):
Ur = 9rx — 4(1 — v) фр + д^ (Rp^,
Uq = R д^х + 4(1 — v) фр + R de (/?фр),.(36)
p = cosA, p = sinA,
где функции x и ф являются гармоническими функциями, выраженными через функции Лежандра /?Hn+I:Pri(cos А).
Ввиду простого вида напряжений о' для дополнительного решения достаточно одной функции х- Поэтому, используя формулы (43) § 5.20 для внешней задачи, получим для гармонической функции х с учетом условий (35) следующее выражение:
А л4
^ = -6iT^cos^(37)
Определяя напряжения, связанные с функцией х. и добавляя К этим напряжениям величины (33), окончательно получим на-
пряженияпряжения
пряжения
пряжения
Orr = 2Л (-^- - ^ cos»,. / а2 . а4 \_
(38)(38)^<р<р ^оо ЛI ^2 п~ i^t cos»,. 7 а2 а4 \ . «
(38)
(38)
Qro = — Лj sin ».
Напряжения олл, <тф1Т, <тм равны нулю в плоскостях » = л/2, Зл/2, а напряжения од^ исчезают в плоскостях » = 0, л. Максимальные значения напряжений афф, авй возникают в точках Л и В, причем в точке А мы имеем сжимающее напряжение, а в точке В— растягивающее напряжение со значением
2Д2ДEatxa2(1 — v)Eatxa2(1 — v)
2Д
2Д
Eatxa2(1 — v)
Eatxa2(1 — v)
Наибольшее значение напряжений алл и ал^ получается для R!a = /5
АА .
[сГдЛ]тах “ ”2" COS », [^до]тах "— "2™ ^Щ ».
Двумерные стационарные задачи термоупругости
Рассмотрим изотропное и однородное упругое тело, в котором в силу изменения температуры возникло поле перемещений и = (щ, и2, 0), зависящее только от двух переменных %i и х2. Для равновесного термодинамического процесса уравнение притока тепла имеет вид двумерного уравнения Пуассона
V?0 = -±, 0 = 0(х„ х2).(1)
Такое поле может возникнуть в бесконечном упругом пространстве в силу действия источников тепла, распределение которых не зависит от переменной ха. Оно может возникнуть также в бесконечных цилиндрах с осью, параллельной х3, нагретых на боковой поверхности способом, не зависящим от переменной ха.
В рассматриваемых ниже случаях мы будем иметь дело с плоским деформированным состоянием, для которого составляющие тензора деформаций е,з (/ = 1, 2, 3) равны нулю.
Связь между напряжениями и деформациями задается с помощью соотношений Дюгамеля — Неймана
(тг/ = 2це,у + (А,ем —у0)д,7, г, /, £=1, 2, 3.(2)
Так как в плоском деформированном состоянии е,з = 0, j = = 1, 2, 3, то напряжения щз и а2з равны нулю. Вместо шести
соотношений (2) мы получаем четыре:
°ар = 2цеар + (Хе— У0)6ар- е = 8И4-е22, а, Р=1, 2,(3)
о^ = Хе — у0.(4)
(5)(6)зависи-(7)(5)(6)зависи-(7)Разрешим соотношения (2) относительно деформаций. Тогда В// =a(06jj + 2ц а^ -|- X б^а^ц,, акк = СТП + ° 22 + ^ЗЗ-
(5)
(6)
зависи-
(7)
(5)
(6)
зависи-
(7)
Так как е/3 = 0, то
8зз = 0 = ф0 4" (2ц + ^ ) ^ЗЗ 4" ^ (°"ц 4" a21V
Исключая из формул (5) и (6) величину о33, получим мости
еае = (1 4- v) а<0дае + 2ц' (стар — vsda@),5 = <^11 4" а22-
Уравнения (3), (4) и (7) представляют собой зависимости между составляющими тензоров напряжений и деформаций для плоского деформированного состояния.
Если напряжения аа$ подставить в уравнения равновесия °фа, р = 0(8)
и воспользоваться соотношениями (3) и (4), а деформации выразить через перемещения
8ар = ~2 ^а. р 4- ыр, а)>
то в результате получим систему двух уравнений в перемещениях:
ЦИа, рр 4" (^ 4" и) ыр. pa = Y0, а-(9)
Решение этой системы уравнений представим в виде суммы двух решений: частного решения и^ = Ф а системы неоднородных уравнений (9) и общего решения «"однородных уравнений:
И<рр + (^+н)<ра = 0-(Ю)
Подставляя и„ = Ф a в систему уравнений (9), получим
[(Х4-2р)Ф.аа-у0],а = О.(11)
Интегрируя эти уравнения по ха, для определения термоупругого потенциала Ф получим следующее уравнение:
V?O = me,(12)
где
m=xT2ir = 4^-ab ^=dUdX.
Остановимся немного на уравнении (12). Если тело ограничено, то уравнение (12) можно решить, принимая как можно более простое граничное условие, например Ф = 0 на границе. В случае неограниченного тела частное решение уравнения (12) является окончательным решением задачи термоупругости. В этом последнем случае имеем
Ф(х„ x2) = ^JJ е(|„ g2)ln rrfg, ^g2.(13)
(Г)
Здесь
Г = [(х,—ё,)2 -h(x2 —ё2)2Г*
— расстояние между точками (Xi, х2) и (ё1, £2). Решение (13) можно использовать также в качестве частного решения для случая ограниченного тела.
Знание функции Ф позволяет определить функции и'а, е'р, а^р. Последовательно получаем
«а = Фа> ЕаР = ФаР. ^ = <, + е'2 = ^Ф(14)
И
<P = W. аР-баРф. YY)’ а- ₽. V = b 2,(15)
а'3 = — 2ц,ф ¥Y = — 2ц,те.(16)
Заметим, что напряжение о'3 = — 2ц,/и9 пропорционально температуре.
В случае ограниченного тела к полю и'а следует добавить поле и", удовлетворяющее системе уравнений (10). Система уравнений (10) относится к изотермическому состоянию тела; перемещения м" зависят от граничных условий задачи. Для решения этой системы уравнений мы применим методы теории упругости, подробно обсужденные в гл. 6. Мы можем применить здесь функции Папковича — Нейбера, Галеркина либо функцию Эри. Дадим еще другой подход. Выразим напряжения через производные некоторой функции xlM, х2):
crap = (daPVi — дад^ х, а, 0 = 1, 2,(17)
<T33 = vV2x — 2цт0.(18)
Легко проверить, что определенные так напряжения оар удовлетворяют уравнениям равновесия (8). Подставляя соотношения (17) в уравнения совместности'
^„ + ^^ = 2^5^,(19)
получим для определения функции % уравнение
№ + -^^9 = 9,(20а)
или о оЕа.О
V?V?X(206)
1 лх (1 — v)''
К этому уравнению следует добавить граничные условия. Легко проверить, повторяя рассуждения § 6.2, что для тела, свободного от нагрузок, должно быть
X —о. >-0 (21) на границе тела.
Рассмотрим частный случай бесконечного односвязного цилиндра, в котором существует поле температур без источника. В этом случае уравнение (206) становится однородным; при однородных граничных условиях (21) ему удовлетворяет функция % = 0 в каждой точке цилиндра.
Согласно зависимостям (17) и (18), получаем
оар = 0, а, р=1, 2, а33 = — 2ц,/и9. (22)
Напряженное состояние описывается только одной составляющей озз, пропорциональной распределению температур. Эту зависимость впервые заметил Мусхелишвили (см. список литературы) .
Рассмотрим плоское напряженное состояние в пластинках. Пусть срединная плоскость пластинки совпадает с плоскостью х3 = 0, а плоскости х3 = ±/г, ограничивающие пластинку, теплоизолированы. В таком состоянии нагревание боковой поверхности пластинки вызовет в ней температурное поле и поле напряжений аар, которые можно приближенно считать не зависящими оч х3. И температуру 9, и напряжения аар (а, р= 1, 2) мы трактуем как средние значения по толщине пластинки.
В плоском напряженном состоянии (ср. с § 6.3) составляющие а,з (/" = 1, 2, 3) равны нулю. Точно так же и ei3 = 9, Е2з = 0. Поэтому, исключая из системы уравнений (2) величину
взз ¥= 0, получим следующий вид соотношений Дюгамеля — Неймана:
oaR = -;2^ [(1 — v) е „ 4- (ve — (1 + v) at9) daR], up 1 — у lx / up i\ \ i / i / apj' (23)
e = en +e22. a, P= 1, 2.
Если напряжения aap подставить в уравнения равновесия (8), а деформации выразить через перемещения, то в результате получим следующую систему уравнений:
«a ar+=а- а. ₽= 1, 2,(24)
и» рр । Jр* ра 1 — у ‘• г ’’ х /
отличающуюся от уравнений (9) только коэффициентами. Частное решение уравнения (24) находим из уравнения Пуассона
VfO = moe, м; = Фа> m0 = (14-v)ar(25)
К решению и'а следует добавить общее решение м" системы однородных уравнений
<ю+4^“».=°-<26>
Другой способ решения основан на введении функции Эри и использовании уравнений совместности. Вводя в уравнения совместности функцию % согласно формуле (17), получим уравнение
V2V2x + £a(Vf9=0,(27а)
или
ViVrXf-.(276)
Это уравнение отличается от уравнения (296) только коэффициентом при Q. Если в односвязной и свободной от нагрузок на боковой поверхности пластинке существует поле температур без источников (Q = 0), то ввиду однородности уравнения (276) и граничных условий (х = 0, х, п = 0) функция х равна нулю в каждой точке пластинки. Тем самым все составляющие напряженного состояния равны нулю. Пластинка свободно деформируется.
Уравнение
(28)
с условиями
Х-°. ^~°(29)
на границе пластинки, соответствующее действию источников тепла в односвязной ограниченной и свободной от нагрузок на границе пластинке, обнаруживает известное сходство с другим дифференциальным уравнением плоского напряженного состояния. Это уравнение изгиба плиты средней толщины, нагруженной перпендикулярно срединной плоскости):
(30)(30)г-т2г-:2 <7
(30)
(30)
ViViay = у.
Здесь ху— прогиб плиты, ^(xi, х2)—нагрузка, N—жесткость плиты на изгиб. Если плита односвязна и защемлена на границе, то
^ = °> ^=° (31)
на границе плиты.
Аналогия между дифференциальными уравнениями (28) и (30) и граничными условиями (29) и (31) хорошо видна. Опре-
РИС. 8.4.РИС. 8.4.
РИС. 8.4.
РИС. 8.4.
деление функции % в пластинке, находящейся в температурном поле, удается свести к определению прогиба плиты (той же самой формы, что и пластинка), защемленной на границе. Представленная здесь аналогия была высказана Дюба) и распространена на квазистатические задачи Треммелем).
Рассмотрим еще важный в технике случай пластинки, в плоскостях х3 = ± h которой происходит свободный теплообмен. На рис. 8.4 показан элемент пластинки в виде параллелепипеда со сторонами основания Ахь Ахо и высотой 2h. Через боковую грань 2hAxi, лежащую в плоскости ^i = xi, внутрь рассматриваемого элемента проникает количество тепла
\QXi =-Х ^^^L2h Дх2.
Аналогично через грань 2ААх2, лежащую в плоскости ^ = = Xi + Ахь внутрь элемента проникает количество тепла
4Q,,™ _ I jSta+g^L 2Л Д,„
На основании теоремы о конечных приращениях получим
AQX1 + AQX + Дх, = X ^®<Ак±А|Аьх^ 2Л д д
О < ^ < 1.
Аналогично количество тепла, проникающее через грани 2AAxi в сечениях тц = х2 и ц2 = х2 + Дх2, выражается соотношением
AQX2 + AQX2+ ДХ, = X dWiL^±^^sL 2А Ах, Ах2,."дЧ
0<^2< 1.
На гранях х3 — ±h происходит обмен тепла, причем количество тепла, отдаваемое вовне, равно
AQXg = 2^' (9 — 90) АХ] Дх2.
В последней формуле 9о является температурой окружающей среды, а к'— коэффициентом внешней теплопроводности. Так как мы имеем дело со стационарным потоком, то количество тепла, содержащееся в элементе, должно быть постоянным; итак, количество тепла, проникающего внутрь элемента, должно равняться количеству тепла, отдаваемому по плоскостям х3 = = ± h. Из теплового баланса находим уравнение
2ИХ2ИХ' d26{xi + Oi Лх1( х2, х3)дх2' d26{xi + Oi Лх1( х2, х3)дх2d26 (х,, х2 + ^г Ах2, х3)дхэd26 (х,, х2 + ^г Ах2, х3)дхэ= 2И9-90).= 2И9-90).
2ИХ
2ИХ
' d26{xi + Oi Лх1( х2, х3)дх2
' d26{xi + Oi Лх1( х2, х3)дх2
d26 (х,, х2 + ^г Ах2, х3)дхэ
d26 (х,, х2 + ^г Ах2, х3)дхэ
= 2И9-90).
= 2И9-90).
После предельного перехода, сделав предположение о непрерывности производных функции 9, находим стационарное неоднород’ ное уравнение теплопроводности
\2Q_p2(Q_Q)=0 р2 = ^_.(32)
Это уравнение можно еще упростить. Вводя новую функцию ST = 9 — 9о, находим из уравнения (32)
V^ = 0V.(33)
Здесь мы воспользовались тем, что температура окружающей среды постоянна, и потому V^9o = O.'
Перейдем к определению напряжений в пластинке, предполагая свободный теплообмен по плоскостям х3 = ± h. Частное
решение Ф уравнений равновесия определяем из уравнения Пуассона
V^D = m09, m0 = (l + v)az,(34)
Подставим в уравнение (34) соотношение 9 = ^" + 9о; получим
V?O = m0 (^ + 90).(35)
Если мы ограничимся односвязной пластинкой, то можем исключить в последнем уравнении член т90. Так как поле 90 постоянно, оно в силу теоремы Мусхелишвили не вызывает напряжений в пластинке. Итак, мы пользуемся для определения напряжений только уравнением
V^ = т^.(36)
Принимая во внимание уравнение (33), представим уравнение (36) следующим способом:
V?Ф = ^V^.(37)
Частным решением уравнения (37) будет функция
Ф = ^5".(38)
Так как
иа — a — 02, a’02, ар>
то напряжения можно выразить формулой
<₽ = -^ (^. aS - Ч^, VT) = ^ ^. ^ * М^ (39)
Дополнительные напряжения а"р находим с помощью функции Эри F", решая чисто упругую задачу, причем эти дополнительные напряжения даются формулами
Вернемся еще раз к неоднородному уравнению в случае температурных напряжений в пластинке. Оно имеет вид (формула (27а))
V2VfX+£azV29 = 9.
К этому уравнению присоединим граничные условия, которые в предположении односвязности пластинки и отсутствия нагрузок на границе принимают вид
Х = °>U = °-(4°)
Тогда для пластинки с обменом тепла по плоскостям Хз = +к уравнение (27а) принимает вид
V^x + Да^ (9 — 90) = 0.(41)
Это — неоднородное уравнение с однородными граничными условиями х= 0, dyjdn = 0. Функция х отлична от нуля, и в пластинке существует напряженное состояние аар, хотя температурное поле не имеет источников. Эти напряжения равны нулю только тогда, когда 0 = 9, т. е. когда коэффициент внешней теплопроводности равен нулю. Но в этом случае мы имеем дело с тепловой изоляцией по плоскостям, ограничивающим пластинку.
Для решения осесимметричных задач довольно удобным становится метод Майзеля. В цилиндрической системе координат (г, ср, г) для плоского деформированного состояния отличны от нуля перемещение иг, деформации егг, ефф и напряжения огг, аФФ, Ozz. Перемещение иг(г) дается формулой
ь
UrH = T I 6 (р)0 (р* г) Р ^Р-<42)
а
Эта формула справедлива для бесконечного полого цилиндра внутреннего радиуса а и наружного Ь. Функция 0(р, г) означает дилатацию цилиндрической поверхности радиуса р, вызванную действием единичной радиальной нагрузки, равномерно распределенной по поверхности радиуса г ^а<Дг«<,Ьу
Для решения двумерных задач термоупругости успешно применяется также метод функций комплексной переменной *).
Приведем несколько простых примеров решения двумерных задач термоупругости. Начнем с наиболее простого примера, а именно нагревания полого цилиндра осесимметричным образом2). Для определения перемещения ит применим формулу Майзеля (42). Обозначим через U радиальное перемещение, вызванное действием единичной радиальной нагрузки, приложенной к цилиндрической поверхности р = г. Для определения этого перемещения нужно решить уравнение в перемещениях
(Л + 2ц)(^+1^---^)щР> г) + 8(р-г) = 0.(43)
Решением этого уравнения являются функции
U' = Л1Р + Л9р-1,0' == 2ЛЬ а < р < г,
dp РГ • (44)
U" = 6^ + B2p-1, 0" = 25нr<p<b,
где из граничных условий
(45)(45)Орр(р, а) = 0, оРр(р, 6) = 0,U' (г, г) = U" (г, г), а'рр (г, г) — а'р'р (г, г) = 1
(45)
(45)
определим постоянные д62Г1 ।Р'21
2 (&= — а=) (Л + 2ц)(Л + ц) J-
В1 = W^T^T^+^T [1 "*" а2 (Л + р) ] ’(46)
Д=^(Л + р)Л1, в^^^ + ^в,.
Подставляя 6', 6" в уравнения (42), получим
Г Гь
иг^ = ^- Л1 j 9(р) pdp + B] | 9(p)ptZp
Laг■
или
иг (г) = mиг (г) = m7 / 9 (р) р dp -) • а7 / 9 (р) р dp -) • аVЛ + 2цVЛ + 2ц9(Р)Р^Р , (47)9(Р)Р^Р , (47)
иг (г) = m
иг (г) = m
7 / 9 (р) р dp -) • а
7 / 9 (р) р dp -) • а
V
Л + 2ц
V
Л + 2ц
9(Р)Р^Р , (47)
9(Р)Р^Р , (47)
Последовательно формуламПоследовательно формуламопределяем деформации и напряжения по
Последовательно формулам
Последовательно формулам
диг иг
■ГГ — 77 ■ 8ТО — — ,
Огг2регг —И Хеу9, Офф 2р8фф -]- Хе у9,
о2г = Хе — у0, e = err + ew.
Окончательно для напряжений
получим следующие формулы:
огг = — 2pmогг = — 2pm-L j e (P) p dp — a-L j e (P) p dp — a
огг = — 2pm
огг = — 2pm
-L j e (P) p dp — a
-L j e (P) p dp — a
' b
bzla^V —7^) j 9(p)PdP a■
о<р<р = — 2цт e(r) — ^-je(p)pdp —
a
ь
6^(1 +^)f 9(p)prfp
(48)
Огг = — 2pm 9 (r)Огг = — 2pm 9 (r)
Огг = — 2pm 9 (r)
Огг = — 2pm 9 (r)
b
•(б2 - о2) (A + p) J 9 (P) P rfPa
Мы получили довольно простые формулы, справедливые не только для температурного поля, удовлетворяющего уравнению теплопроводности, но и для разрывного распределения температур в сечении цилиндра.
Рассмотрим частные случаи. Если 6—»оо, то мы имеем дело с цилиндрической полостью в неограниченной области. В этом случае Л^^^^., В, =9 и
Г
“г = -7- J 9 (р) Р dp,а
0^= —2цт9 (г).
Заметим, что для г = а мы имеем иг = 0 и огг = 0. Для сплошного цилиндра (т. е. для а = 0) имеем
ur (г) = mur (г) = m7 / 9 (р) Р dp +- о7 / 9 (р) Р dp +- о62(Х + р.)62(Х + р.)ъ/ 9 (р) р dpоъ/ 9 (р) р dpоогг = — 2р,тогг = — 2р,тbг— v / 9 (р) р dp 4- ~ J 9 (р) р dpооbг— v / 9 (р) р dp 4- ~ J 9 (р) р dpоо»ФФ=-2рт»ФФ=-2ртгb9^--^- j 9(p)pdp—jr J 0 (р) р г/роо■гb9^--^- j 9(p)pdp—jr J 0 (р) р г/роо■(59)(59)
ur (г) = m
ur (г) = m
7 / 9 (р) Р dp +
- о
7 / 9 (р) Р dp +
- о
62(Х + р.)
62(Х + р.)
ъ
/ 9 (р) р dp
о
ъ
/ 9 (р) р dp
о
огг = — 2р,т
огг = — 2р,т
bг
— v / 9 (р) р dp 4- ~ J 9 (р) р dpоо
bг
— v / 9 (р) р dp 4- ~ J 9 (р) р dpоо
»ФФ=-2рт
»ФФ=-2рт
гb
9^--^- j 9(p)pdp—jr J 0 (р) р г/р
оо■
гb
9^--^- j 9(p)pdp—jr J 0 (р) р г/р
оо■
(59)
(59)
На оси цилиндра имеем ur(9) = О, так как
lim г->0lim г->09 (р) р dp = 09 (р) р dp = 0
lim г->0
lim г->0
9 (р) р dp = 0
9 (р) р dp = 0
ииагг (9) — афф (9) = — 2pmагг (9) — афф (9) = — 2pm
и
и
агг (9) — афф (9) = — 2pm
агг (9) — афф (9) = — 2pm
■ь
у 9 (0) —^- J 9 (р) р dp
о
ибо
limyr [ 9(p)pdp = le(0). r->0 '2
Наконец, в частном случае 6 -* оо, а = 0 мы имеем дело с бесконечной упругой областью, в которой действует осесимметричное температурное поле, не зависящее от переменных фи г. Соответствующие формулы получаем, подставляя а = 0 в формулы (49).
Предположим теперь, что в бесконечном пространстве задано разрывное распределение температур
0 = 0оЯ(а — г),(51)
где H^t)—функция Хевисайда, причем
I I, г < а,( О, г>«.
Из формул (49) получим для этого частного случая
= (а —г) + ^-ГЦг — а)У
Огг = — цт0о [я (а — г) + -^ Я (г — а)] , г21^2^
Отт = — Ц«9о \ Н (а — г) — ^- Я (г — а)], агг = — 2р,т0оЯ (а — г).
Заметим, что напряжения o¥(p и azz претерпевают конечный разрыв на поверхности г = а. Напряжение огг и перемещение иг являются непрерывными функциями.
Пусть в полом цилиндре существует температурное поле, удовлетворяющее граничным условиям
6 (а) = 90, 9 (6) 0.
Решением однородного стационарного уравнения теплопроводности
। 1п
в этом случае будет функция
6(г)=е06(г)=е0In (6/г)In (d/а) 'In (6/г)In (d/а) '(53)(53)
6(г)=е0
6(г)=е0
In (6/г)
In (d/а) '
In (6/г)
In (d/а) '
(53)
(53)
Подставляя 6(г) в соотношения (48), получим следующие формулы для напряжений:
arr = — т^о
огфф = —тц60огфф = —тц60(54)(54)
огфф = —тц60
огфф = —тц60
(54)
(54)
агг = — тц6а
Радиальное напряжение является сжимающим (для 6а > 0) во внутренней области полого цилиндра, принимая на границах нулевые значения. Напряжения а(Г<Р и а22 достигают своих максимальных значений на границах цилиндра.
Рассмотрим следующий пример, относящийся к полубеско- нечной пластинке Xi > 0. Пусть в точке (^, 0) этой пластинки действует сосредоточенный источник тепла единичной интенсивности. В силу аналогии с плитой используем известное решение Мйчелла ) для полубесконечной плиты, жестко закрепленной на границе Xi = 0 и нагруженной сосредоточенной силой единичной интенсивности
№ — вллД2^1 2 ^Х| ~ ^2"*~ Х2]1п(55)
oTuv IZ“Г '
Из аналогии уравнений (28) и (30) и граничных условий (29) и (31) имеем
(56)(56)% — —— w.
(56)
(56)
Зная функцию %, вычисляем напряжения по формулам (17):
-2^А|к+М!-А.
а22=-^/1п—+4('^-^г')-(57)
-2g.^-[(x1 + 2^r2 + 2x1x2]|,
_ ^Ц 1 v — El Х1 + El \ I 2giX2 / 2 I t2 1
где
K = ^, ^.г^А + 6i)2+<А, m0 = (l + v)az.
Для %! = 0 имеем a22(0,=
Это напряжение зависит от х2 и ^, за исключением начала координат, где 022(0,0) = £а</(лх) не зависит от £р Представленная задача была решена другим способом Меланом и Пар- кусом *).
Рассмотрим, наконец, случай кольцевой пластинки, в которой имеет место теплообмен на ее поверхностях х3 = ± к. Общее решение уравнения (33) имеет вид
^" = А/о (Рг) + В/(о (рг),(58)
где Z0(pr) и Ко (Рг) — модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода. Для кольцевой пластинки с внутренним радиусом а и наружным b определяем постоянные А и В из граничных условий
^(a) = ea, gr^ = eb.(59)
Напряжения в пластинке определим по формулам (39)
/ 2цт0 ДЗ" , 2цт0 d2S"—02r dr ’ "wР2 dr2 ‘
Так как напряжение б'г должно исчезать на границах г = а и г = Ь, то напряженное состояние о' следует дополнить напря-
женным состоянием о":
°w = ~№-а> Г2Р“ (1 + 7^) “ Ь Рь (1 +'
где
Ра =<(«), Рь=<ДЬУ
В частном случае сплошной круговой пластинки (а = 0) в решении (58) следует положить В = О, поскольку функция Ко^Д имеет особенность в начале координат. Постоянную А определим из второго граничного условия (59).
Напряжения а^ определим из формул (60), напряжения а"р — из формул (61) в предположении, что а = 0. Допустим, что в этом случае мы имеем дело с всесторонним сжатием
°rr = °w = - Рь« Рь = «Ь\
Вернемся еще раз к задаче термоупругости в плоском деформированном состоянии и обсудим необходимые и достаточные условия существования в односвязном теле деформаций без напряжений. Если в соотношениях (7) между деформациями, напряжениями и температурой положить оар = 0 (а, р = 1, 2), то получим
еп = dxU\ = (1 + v) а^б, 822 = д2и2 = (1 + v) ctfO,
(bz) 2e12 = d2ux + dxu2 = 0.
Исключая из двух первых уравнений перемещения, получим уравнение
(#+$0=0.(63)
Температура должна удовлетворять уравнению Лапласа (температурное поле не должно иметь источников). Далее из уравнения (62) следует, что
^iUj — д2и2> dxti2 — — d^tix.(64)
В этих соотношениях мы узнаем зависимости Коши — Римана. Они показывают, что перемещение Ui можно трактовать как действительную часть, а перемещение и2— как мнимую часть комплексной функции
w (z) = и, (хьх2) + iu2 (х,,х2), z = xx-\-ix2.(65)
Так как температура 0 удовлетворяет уравнению Лапласа, то функцию 0 можно трактовать как действительную часть
17 В. Новацкий
комплексной функции
й (z) = 6 (xbx2) + iP (xbx2).(66)
Учитывая формулы (65) и (66), мы можем выразить соотношение (62) в комплексном виде:
-^ = (1 +v)a(fi(z).(67)
Если функция й непрерывна во всей области, то
® = (1 + v) af j й (z) dz.(68)
В рассматриваемом случае перемещения и повороты должны быть однозначными функциями. Рассмотрим далее разность перемещений в точках 1 и 2 сечения цилиндра. Получим из формулы (68)
2
®(2) — ®(1) = (1 + v) af j й (z) dz.i
Если в области сечения цилиндра выбрать замкнутую кривую с, начало которой соответствует точке /, а конец точке 2, причем эти точки совпадают между собой, то требование однозначности перемещений приведет к условию
Й (z) dz = 0.(69)
Это — Достаточное условие для однозначности перемещений. Рассмотрим далее поворот
со —y(diU2 — дгЧ\\(70)
В силу третьего уравнения системы (62) имеем
(О ^= — ^2^11со ■— д [ и2.
Сопоставляя эти соотношения с двумя первыми уравнениями системы (62), найдем," что
д,(о = — (l+v)afd20, д2со = (1 + у)а(д]0.(71)
Разность поворотов со в двух точках / и 2 сечения цилиндра выразится формулой
2
ю(2) — Mu) = j (d1(0 dxv + d2co dx2) =
22
= (1 + v)a# j (— 9,idxx ф- 6, xdx^ = (1 + v)a( [ -^- ds.
ii
Разность поворотов пропорциональна количеству тепла ф12\ проходящему через кривую с, соединяющую точки 1 и 2. Если в сечении цилиндра выбрать замкнутую кривую, то условие однозначности со(2) = cot1) приводит к зависимости
#Т^ = °-Р2)
Функция со однозначна только тогда, когда выполнено условие (72). Выполнение этого условия наступит только тогда, когда в области, ограниченной замкнутой кривой, будут отсутствовать источники тепла. Уравнение (72) представляет собой необходимое условие однозначности перемещений и поворотов.
Рассмотрим простой пример температурного поля
Q = kz = А (х, + ix^.(а)
Это поле удовлетворяет условиям (69) и (72). Перемещения однозначны. Из формулы (68) имеем
w = (1 + v) at у (х, + /х2)2;
отсюда'
u,=Re(®) = (l + v)a(4(x2 — х|),
(б) «2 = Im (®) = (1 + v) а(йХ[Х2.
Температурное поле1)
6 = — a In г,(в)
имеющее особенность в начале координат, не удовлетворяет условиям (69) и (72). Эта особенность указывает на существование источника тепла в начале координат. Заметим, что температура, данная формулой (в), является действительной частью комплексной функции
Q = — alnz = — a In г — ai<p, z = rei4.(г)
Поэтому в соответствии с формулой (68) имеем
к, = — (1 + v) atz (In z — 1) = — (1 + v) ataret(f (Iп r + /ф — 1 )• (д) Отсюда
u, = — (1 + v)afar [(In r — 1) cos ф— ф з1пф],
u2= — (1 + v) atar [(In r — 1) й!пф + ф созф]. ^
Переходя к полярной системе координат, из уравнений (е) находим достаточно простые формулы для радиального иг и трансверсального Иф перемещений, а именно
(ж)(ж)иг = — (1 + v) atar (In г— 1),иф = — (1 + у)а,агф.
(ж)
(ж)
Перемещение ит однозначно; многозначность появляется в перемещении иф. При полном повороте вокруг начала координат значение иФ увеличится на ДмФ = — (1 -|-v)2nara;. Отсюда видно, что однозначность перемещения иф на какой-нибудь окруж-
РИС. 8.5.РИС. 8.5.РИС. 8.6.РИС. 8.6.
РИС. 8.5.
РИС. 8.5.
РИС. 8.6.
РИС. 8.6.
ности вокруг источника возможна только тогда, когда мы вводим в цилиндр напряженное состояние oag (a, р = I, 2), которое должно согласовать перемещения. В то же время свободная деформация цилиндра без напряжений возможна только в цилиндре, разрезанном до источника тепла. Если этот разрез мы выполним вдоль радиуса, то он при деформации раскроется в виде клина (рис. 8.5).
Рассмотрим еще температурное поле
П = —=Лг~‘(cos ф — z sin ф), (з)
которое отвечает существованию диполя в начале координат. Постоянная величина Л связана с интенсивностью диполя. Так как в силу формулы (68)
® (z) = (1 + v) а, Л (In г + /ф), (и) то
м, = (1 + v) а<Л In г, и2 = (1 + у)а(Лф. (к) Перемещение м2 неоднозначно. Отсюда также видно, что при обходе вокруг диполя перемещение и\ возвращается к исходному значению, в то время как перемещение и2 возрастает на величину Ди2 = (1 +у)2лЛа;. Состояние, в котором напряжения aag (a, р = 1,2) равны нулю, возможно только при разрезе упругого тела вплоть до диполя. На рис. 8.6 показана щель,
сделанная по радиусу г до диполя. Эта щель имеет ширину Ди2. Отсюда видно, что смыкание этой щели возможно только путем приложения сил на поверхности щели.
Мы не обсуждаем двумерных задач термоупругости в многосвязной области. Интересующихся такими задачами читателей мы отсылаем к известной монографии Боли и Уэйнера (см. список литературы).
Квазистатические задачи термоупругости
Мы часто встречаемся с задачами термоупругости, в которых температурное поле изменяется очень медленно во времени. В этом случае мы можем пренебречь инерционными членами в уравнениях движения и трактовать задачу как квазистатиче- скую.
Уравнения термоупругости для изотропного тела примут вид (ср. уравнения (10) и (11) § 3.9)
^1>И 4* (А + р) 4j.ji + ^t = Y®, ь(1)
,2>
К этой системе уравнений следует добавить граничные и начальные условия. Эти последние мы примем в виде 6(х, 0) = = /i(x), Ui(x, 0) =gi(x).■
Решение системы уравнений (1) и (2) будет складываться из частных решений щ, 0, удовлетворяющих неоднородным уравнениям (1) и (2), и общих решений u'v 0' системы однородных уравнений
ни; п + (л + и) и', lt = уо'р(3)
(4)
Особенно просто определить частные решения уравнений (1) и (2) в бесконечном упругом пространстве, в котором, помимо источников тепла, действуют массовые силы, обладающие потенциалом: X = р grad Ф.
Система уравнений в перемещениях
^,// + (Х + р)й/,/1 + р»,; = уе ((5)
удовлетворяется, если положить
й, = Ф, i, u = grad Ф,(6)
Подставляя формулы (6) в (5), получим уравнение
V2O = m0-4, С2 = Л±^,.(7)
Сурл + 2ц
Так как ё,кк = \2Ф, то уравнение (2) примет вид
_^ф-1§ + ^9 = -т-(8)
Исключая из уравнений (7) и (8) функцию Ф, для определения поля температуры 6 получаем параболическое уравнение
\29 _ ± 6 = _ 5--х,=-,(9)
X]хе,1 + хт)т
т. е. уравнение, сходное по структуре с классическим уравнением теплопроводности. Разница состоит в том, что вместо коэффициента х мы здесь имеем коэффициент xi < х.
После определения температуры 6 из уравнения (9) вычислим функцию Ф как решение уравнения (7). Решение этого уравнения имеет вид
О")
где
R = [(Xi -Ы (х, - ^l'\ f (I, 0 = me & 0 —L»(I, 0. ci
Зная функцию Ф, мы можем определить все составляющие поля деформаций, и напряжений:
(Н)(Н)йг=Ф.г, е,; = Ф,г/,di/ = 2ц (Ф, г/ — б^Ф. и) — рОб;/.
(Н)
(Н)
Теперь рассмотрим другой тип фундаментального решения: действие сосредоточенной силы в неограниченном пространстве, помещенной в начале координат. Действие этой силы вызывает поле перемещений и, и связанное с ним поле деформаций '). Представим массовые силы в виде
X = p(grad» + rotX). (12)
Разобьем также вектор перемещения на потенциальную и соленоидальную части
u = grad Ф + rot ф.(13)
*) Nowacki W., Green Functions for a Thermoelastic Medium (III), Bull. Acad. Poton. Set., S6r. Sci. Techn., 13, № 4 (1965).
Подстановка соотношений (12) и (13) в уравнения (1), (2) в предположении, что Q = О, приводит к системе уравнений
V2O = m0= стр
12р (14)
v2e — ё - т^2ф = о.
Предположим, что в направлении оси х, в начале координат действует сосредоточенная сила, медленно изменяющаяся во времени. Тогда
^ = б(х,)б(х2)б(хз)б^(П.(15)
Применим к уравнениям (13), (14) преобразование Лапласа, определенное соотношением
24g (х, 01 = g(x, Р)=/ g(x, t^e-ptdt,
' о
и предположим, что начальные условия однородны. Получим систему уравнений
V25 = тё —», v2^=-A^,(16)
С1с2
v2e—^ё — Пр?2Ф = о.(17)
Величины д и X определим по формулам (ср. с рассуждениями § 5.7)_
^ <х’ Р) = - 1S^ J X (х', р) • grad [-^ту] dV (хЪ
(х’ Р) = - ^ J Х <х'’ Р) X grad [^дту] dV ^.
Подставляя формулу (15) в (18), получим
^(х- ^"Ч^Ш^М’ Х1 = 0, X2 = ^d3(-^jf(p), ^"'Т^^Ш^^ R2 = xtxt.(
После исключения функции Ф из уравнений (16) и (17) получим
(V2-p2)6=-^dimf(p),
4npcxm \ R )
^ — --■О+е), e = rimx, <1=^-
Частным решением этого уравнения является функция
0 = еДд10 = еДд1-^- л--^- л-4npc2m (1 + е)4npc2m (1 + е)(20)(20)
0 = еДд1
0 = еДд1
-^- л-
-^- л-
4npc2m (1 + е)
4npc2m (1 + е)
(20)
(20)
Подставляя формулу (20) в первое уравнение системы (16), приходим к уравнению
V^-Bd^e-^+^fM В = Апг,
с частным решением
Ф (х. р)-= да,{R + г11^ ехр[- R /Д±^]}f (р). (21)
Решение уравнения ?2ф=у X известно:
^=0, Фг—^зДОт ^3=-^Ld2 (R)f(t). (22)
Нам остается в формулах (20) и (21) произвести обратное преобразование Лапласа. Подставляя Ф и if в соотношение (13), получим
(23)(23)“1" 4(4 - «У W« + # <Ф » +
(23)
(23)
+ т+?м] — егкЫ.4Ы И-о
Температура 0(|’ задается формулой
ес>(х, /) =
= — еДд1 |— f ) (т) J11 ехр Г— + еП d-t I. (24)
' о'
Если теперь предположить, что в точке § действует сосредоточенная сила Xi = 6(xl)6(x2)6(x3)f(/)61A, направленная по оси
хи, то получим следующее основное решение:
4' - [(т - ^Л ГО + ^Ьг дм] f to +
। еВх Г f (т). Г # f 1 + е VAl ,
.^1+8^^] R erfc L 2 Uu - T)) J ^T'
, t °(25)
6<> = — гАдк W- - f f (т)Г,,3p X
* R J 7 L 4лх (t — т)3 J
0
Г ^2 (1 + e) 1 . )
Заметим, что перемещение и1^ складывается из двух членов: первого, который изменяется во времени как функция /(/), и второго в виде свертки, характеризующего связанность поля деформаций и температурного поля.
Для ограниченного тела можно определить интегралы «,, 6 таким образом, чтобы часть граничных условий была удовлетворена, либо принять их в качестве частных решений уравнений (7) и (9) для бесконечной области. Функции «,, О' должны быть выбраны так, чтобы на поверхности, ограничивающей тело, выполнялись заданные граничные условия.
Для определения напряжений и температуры в ограниченном теле может оказаться полезным путь, предложенный Био1).
Рассмотрим систему однородных уравнений (1) и (2) и исключим из нее температуру, используя выражение для энтропии
■S = Y86Ji+-^-.(26)
1 о
Таким образом мы получаем систему четырех уравнений, неизвестными функциями в которых являются перемещения .и энтропия:
I10;,//+ (^ + Ц + 6) «;-у, = ypS, h (27) V2S_1$-yV2«m = 0, р = А, d = Y2P. (28)
Дифференцируя (27) по Xt и свертывая, получим
^“ь < Л+ 2^ + d S-ii-(29)
Подставляя формулу (29) в (28), получим дифференциальное уравнение
s.«-^s-°. ^=“ттйг- (ЭД
Интересно отметить, что в связанной квазистатической задаче энтропия удовлетворяет уравнению диффузии. Выразим вектор перемещения и через потенциалы Папковича следующим образом:
u = — grad (ф + R • ф) + Вф, .
В-2 ‘Диг R = (x„x„xj-,(31)
при этом предположим, что вектор ф является гармоническим. Подставляя формулу (31) в (27), находим
grad[(^+2p + d)V2V + vpS] = 0.(32)
Оператор градиента мы можем отбросить, если к функции ф добавим квадратичную функцию координат. Если этого не сделать, то к вектору ф следует добавить вектор, который является линейной функцией координат, что вытекает из структуры соотношения (31). Положим далее, что выражение в квадратных скобках в формуле (32) равно нулю, добавляя к ф линейную функцию координат. Из формулы (32) получим
V^ + ^S-О.(33)
Исключим далее из уравнений (33) и (30) функцию S. Мы видим, что функция ф должна удовлетворять уравнению
V2(v2 — ^-д()ф = 0.(34)
Решение этого уравнения возьмем в виде
Ф = Ф1 + ф2,(35)
где функция ф1 должна удовлетворять уравнению Лапласа, а функция фг — уравнению диффузии. Таким образом, для определения функций ф и ф мы имеем систему уравнений
V2T1 = 0, (V2 —^-^)ф2 = 0, \?2ф = 0.(36)
Решив систему уравнений (36) с учетом заданных граничных и начальных условий, мы можем приступить к определению перемещений ut по формулам (31) и температуры по формулам (26) с последующим вычислением энтропии из уравнения (33).
Следовало бы обсудить еще основные общие теоремы квази- статической термоупругости, такие, как принцип виртуальных работ, теорема взаимности, теорема единственности решения. Мы здесь не будем этого делать. Эти теоремы мы представим в общем аспекте для динамических задач термоупругости. Теоремы для квазистатических задач будут частным случаем этих значительно более общих теорем.
Как следует из рассуждений о динамических задачах термоупругости, влияние дилатационного члена —т)йл, ь в уравнении (2) на распределение температур и величину напряжений является незначительным. Поэтому можно построить приближенную теорию температурных напряжений, опирающуюся на систему уравнений
ц^-,/y + U+^И/^^уб.о(37)
V20 — 1 0 = - $..(38)
XX
Задача здесь может быть решена в два этапа. Сначала решаем уравнение теплопроводности с заданными граничным и начальным условиями. Затем подставляем уже известное распределение температур в правую часть уравнений (37) и решаем эту систему так же, как для стационарной задачи, трактуя время / как параметр. Поэтому можно в полной мере использовать методы решения системы уравнений (37), обсужденные в § 8.1 — 8.5. Так, например, частное решение уравнения (37), удовлетворяющее уравнению
у2ф = ще,(39)
мы можем представить в виде-
V
где 6(^, /) является решением уравнения (38). Однако выполнение интегрирования может натолкнуться на значительные трудности. Мы можем воспользоваться другим способом, указанным Гудьером1). Продифференцируем уравнение (39) по переменной / и исключим 0 с помощью уравнения (38). При отсутствии источников тепла получим
У2ф = тхЛ20.(41)
Интегрируя это уравнение по времени и координатам, получим t
ф = тх J 0 dt + Фо + Ф,/. ■(42)
О
:) J. N. Goodier, loc. cit. стр. 482.
Здесь Ф1 — гармоническая функция, а Ф0 = Ф(х, 0)—потенциал термоупругого перемещения в момент / = 0, соответствующий температуре 6(х, 0) = 60(х). Функция Фо должна удовлетворять уравнению
V^o=mOo.
Рассмотрим некоторые частные задачи, решаемые несколько иным, чем до сих пор, методом.
а. Рассмотрим действие источников тепла Q(x,/), находящихся в подобласти V' неограниченного упругого пространства. Мы хотим определить перемещения и напряжения, вызванные этим действием.
Решим вспомогательную задачу, основанную на определении перемещений и напряжений, вызванных действием сосредоточенного мгновенного источника тепла единичной интенсивности, помещенного в начале координат. В силу центральной симметрии поля перемещений и деформаций следует решить систему уравнений
V2®*=m6*, *V20* — — 6* = — ^-6^t\
2_ d2 , 2 d(43)
V dR2 + R dR '
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа. Получим
Х2Ф* = т6*, V20* —-^-0*= — ^-.(44)
Исключая трансформанту 6*, приходим к уравнению
0102Ф*=--^д(Я), ^ = V2, 02 = V2 —-£-.
Решением этого уравнения является функция
ф Т— Ж) з)2 - 2>vj^i-^),-(45)
где F] и F2— решения уравнений
W = -^6 (R\ S2F2 = ~д (R).(46)
Так как
Р m р m e~R
4лх/? ’2 4лх R ’
ТО
Совершая обратное преобразование Лапласа, находим
Ф* (/?,/) =— erff—^=VО' = 4х/,
4л/? XV» Г
2 г'(48)
еН(г) = —=г е-ц2 du, erfc(z)=l—erf (2).
У л J т о
Зная теперь функцию Ф*, определяем перемещения и напряжения
Вернемся к нашей первоначальной задаче определения напряженного состояния, вызванного действием источника Q(x,/), занимающего конечную область V'.
Перенесем сосредоточенный мгновенный источник из начала координат в точку (£). Функция Ф*(х, /) задается формулой (48) с тем, однако, замечанием, что величина R определяется по формуле
. 1Цх, £) = [(хг-^Ж-^)]72.
Напряжения а*м (х, /) получим по формуле ^W^-Ww)’ С /- * = 1. 2, 3.(50)
Итак, имеем
„• = V3L (h _ _=<«.-I.)'l Гег| /ехр Щ] +
2л/?3 Ц R2 \К«/1^\ О /]
+ -Дг[(Х1-^_/?2]ехр/^1. (51)
у ЛП^\ V / J
Аналогичные выражения получаем для а*2 и стзз-
Далее вычислим
хШ+^-Ы-^Ш]- <52>
Циклической заменой индексов находим выражения для ст’3, сг^з- Знание напряжений ст^(х,/) как функций Грина этой задачи
позволит определить напряжения, вызванные источниками тепла Q(x, /). Мы получим их по формулам
t
о^ (х, /) = / dx / Q (I, т) о*и (|, X, t - т) dV ®.(53)
О V'
Так как решением второго из уравнений (43) является функция
1/R2 \
6*(х, е, /) = ——з^ехр
(ли),г\и /
то температура, вызванная действием источников Q(x,/), выражается формулой
6(х, t)= J dx J (Ж т)6*(х, L t — x)dV ®-(54)
О V'
б. Рассмотрим напряжения в толстостенной сферической оболочке, вызванные температурным полем, характеризующимся центральной симметрией. Обозначим через а внутренний радиус, через b— наружный радиус оболочки. Для определения радиального перемещения применим метод Майзеля. В случае радиальной симметрии эта формула (формула (42) § 8.5) примет вид
6
«R № ^) = ^ J 6 (Р, О ® (р, /?) р2 dp.(55)
а
Через 0(р, R) мы обозначили дилатацию на сфере радиуса р, вызванную действием единичных сил, равномерно распределенных по сфере радиуса R.
Обозначим через Щр, R) радиальное перемещение, вызванное единичными силами, распределенными по сфере радиуса R. Перемещение Д(р, R) должно удовлетворять дифференциальному уравнению
(Л + 2ц) (d2 + 2р-1др - 2р-2) U + д (р - R) = 0 (56)
с граничными условиями
арр(а,/?) = 0, арр(6,/?) = 0.(57)
Здесь сгрр означает радиальное напряжение, связанное с перемещением U. Уравнение (56) можно заменить системой однородных уравнений
(д2 + Зр-1^— 2р~2)Д' =0 для а < р < R,
(д2 — 2р-'^р — 2р-2)1/" = 0 для R<p<b. (58)
Решением этих уравнений являются функции
£/' = Ар + Ар~2, ^"-Ар + Ар'2.
Из граничных условий
U' (R, R) = U" (R, R\ а;р (R, R) - а;р (R, R) = \, o'p>R) = 0,<р^А = 0(59)
определим постоянные А, А, В^ В2. Первое из этих условий гарантирует непрерывность перемещений на сфере р = R. Второе из них описывает разрыв напряжений на этой поверхности. Два последних выражают отсутствие нагрузок на внутренней и внешней поверхностях оболочки. Принимая во внимание соотношения
</pp = W' + 2|iC/;p, е' = 1Гр + 2р-ЧГ
и аналогичные формулы для арр, находим следующие значения постоянных:
а -163 f I 4- -Je—_?1\
3(Х + 2ц) b3-a3\ т ЗХ + 2ц Ь3)’
А = ^(3^+2ц)Л„
R —1 д3 G '4^^
3 (X + 2ц) Ь3 — а3 \ ЗХ + 2ц а3)’
А = ^(3^ + 2ц)В,.
Так как
0'(р,/?) = ЗАприа < р < R,
6"(p,R) = 3B1 при R < р < Ь,
то формула (55) примет вид
RRььЛ1 J" 6 (р, f) р2 dp + Bi J 6 (р, /) dp ,Л1 J" 6 (р, f) р2 dp + Bi J 6 (р, /) dp ,aaRR
R
R
ь
ь
Л1 J" 6 (р, f) р2 dp + Bi J 6 (р, /) dp ,
Л1 J" 6 (р, f) р2 dp + Bi J 6 (р, /) dp ,
a
a
R
R
ИЛИ
m 63Ur W i) ^2 уз _ аз m 63Ur W i) ^2 уз _ аз4ц R3ЗХ + 2ц 634ц R3ЗХ + 2ц 63RRbbj 6(p, t)p2dp +-^5- j 6(p, /)p2dp +j 6(p, t)p2dp +-^5- j 6(p, /)p2dp +*-a b'j 0 (p, /) p2 dp ,*-a b'j 0 (p, /) p2 dp ,RRу = (3X + 2ц) a,.(60)у = (3X + 2ц) a,.(60)99
m 63
Ur W i) ^2 уз _ аз
m 63
Ur W i) ^2 уз _ аз
4ц R3
ЗХ + 2ц 63
4ц R3
ЗХ + 2ц 63
R
R
b
b
j 6(p, t)p2dp +-^5- j 6(p, /)p2dp +
j 6(p, t)p2dp +-^5- j 6(p, /)p2dp +
*-a b'
j 0 (p, /) p2 dp ,
*-a b'
j 0 (p, /) p2 dp ,
R
R
у = (3X + 2ц) a,.(60)
у = (3X + 2ц) a,.(60)
9
9
Если распределение температур известно, то определение перемещений «д требует нахождения простых квадратур. Напряжения в рассматриваемой толстостенной сферической оболочке определим по формулам
Grr = 2цдд«д + Хе — уб, aw = ам = 2ц + Ке — уб, 2„ (61)
Рассмотрим как частный случай полученного решения бесконечное пространство со сферической полостью. Полагая Ь—► оо в формуле (60), получим
R
uRkR^ = -^r J 0(р, f^dp.(62)
Из этой формулы получаем интересное следствие. Для R = а, т. е. на границе упругого полупространства, окружающего полость, имеем «д(§,/) = 0 независимо от распределения температур. Подставляя формулу (62) в (61), получим
R
(63)(63)СТфф = овв=2цтСТфф = овв=2цтR"4г [ 0(р, /)р2^р-6(/?, /) . а-R"4г [ 0(р, /)р2^р-6(/?, /) . а-Grr = - -^ J 6 (р, t) Р2 dp,а
(63)
(63)
СТфф = овв=2цт
СТфф = овв=2цт
R"
4г [ 0(р, /)р2^р-6(/?, /) . а-
R"
4г [ 0(р, /)р2^р-6(/?, /) . а-
Заметим, что для R = а
<3RRka, 0 = 0, офф(а, /) = а№(а, /)= — 2ц0(а, /).(64)
Напряжения офф и ам на границе R = а зависят от распределения температур на этой поверхности.
в. Во многих технических задачах требуется рассматривать температурное поле, изменяющееся периодически во времени. С такими случаями мы имеем дело при расчете резервуаров, плотин, колонн и т. д.
В случае периодического во времени распределения температур можно разложить перемещения, напряжения и температуру в ряд Фурье по времени. Поэтому займемся только гармоническим во времени изменением температуры. Ограничимся рассмотрением двумерной задачи плоского деформированного состояния ■).
*) Lardy Р„ Das 2-dimensionale Problem bei periodischer Temperaturein- wirkung, Mem.. A. I. P. Ch., Zurich, 12 (1952), 201.
Подставляя
0 = 0, (xb х2) cos at + 02 (xh х2) sin tot(65)
в уравнение теплопроводности
V?0 —1 0 = 0,
получим систему двух уравнений
V?0]—2^02 = 0, V?02 + 2^0! = O, 2^ = -^-.(66)
Исключая из этих уравнений сначала 01, а потом 02, находим vMOi + 4&Ч = 0, V?V?02 + 4^02 = 0.(67)
Однако достаточно решить одно из этих уравнений. Если, например, мы знаем 01, то 02 определим из первого уравнения (66). Оба уравнения (67) следует дополнить двумя граничными условиями. Если предположить, что на границе цилиндра задано условие 0 = O0(s)cos tot, то на этой границе должны выполняться следующие граничные условия:
O,(s)=Oo(s),02 = 0.(68)
Заметим, что уравнения (67) имеют такой же вид, что и уравнение изгиба тонкой плиты, покоящейся на упругом винклеров- ском основании.
Зная распределение температуры, мы можем приступить к определению поля перемещений, пользуясь потенциалом термоупругого перемещения. Уравнение
У?Ф = mti(69)
разбивается на два:
У^Ф^тОр У?Ф2 = т62.(70)
если принять, что'
Ф = Ф, cos tot + Ф2 sin tot.(71)
Частные решения уравнений (70) найдем достаточно легко, сравнивая эти уравнения с уравнениями (66). Мы получим
Ф' = —2^°2’ ф2 = ^0>-(?2)
Складывая функции Ф1 и Ф2 по формуле (71), можем определить напряжения оц, соответствующие функции Ф. Так как функция Ф, вообще говоря, не удовлетворяет заданным граничным условиям, к напряжениям о,; следует добавить напряжения о'.., относящиеся к изотермическому состоянию тела.
Для определения напряженного состояния а^ удобно воспользоваться функцией Эри.
В свете предыдущих рассуждений довольно просто выглядит следующая одномерная задача. Пусть плоскость Xi = 0 упругого полупространства Xi ^ 0 нагрета до температуры 0 = = 0о cos со/. Требуется найти распределение температур и напряжений в упругом полупространстве. Для этого нужно решить уравнения (67), которые для одномерной задачи примут вид ^- + 4^01 = 0, ^4 + 4^2е2 = 0(73)
dx,dx,
с учетом граничных условий
01(0) = 0О, d?0i (0) = 0, 02(О) = О, д[О2(О) = -2^Оо. (74) Граничные условия, содержащие вторую производную по xj, получим из уравнений (66), выписанных для границы X] =0. Решением уравнений (73) являются функции
0] = Оое-6Х| cos &xb 02 = 60е—fex‘ sin кхх.
В соответствии* с формулой (65) получаем следующее распределение температур:
0 = Ooe_ft*' cos(^x,—со/).(75)
По формулам (72) определяем потенциалы
Ф,=—^- e~kx' sin kxx,Ф2 =-^—е-"1 cos/>х,,
а по формуле (71)—потенциал термоупругого перемещения ф = _ _^e-6x,sin(^i _ю^(76)
Напряжения, связанные с функцией Ф, определим по формуле О;/ = 2ц(Ф.17-6г/Ф,^.(77)
Так как Ф является функцией переменных хх и /, то о„=0, о.22 = оаа=-^Ф, о22 = Озз = — 2|iOoe~®Xi cos (^кхх — со/).
Так как граничные условия в плоскости Xi = 0 удовлетворены, мы можем считать задачу решенной. Заметим, что при хх = = 0 мы получим на границе следующее, изменяющееся во времени напряжение:
о22 (0, /) = о33 (0, /) = — 2цтОо cos со/.(79)
Наибольшее напряжение мы получим на границе. Эти напряжения экспоненциально затухают с расстояние^.
Собственные напряжения.
Основные соотношения и теоремы
В § 8.1—8.6 мы занимались частным видом дисторсии: температурными деформациями е°{; = аД;0. Там мы имели дело с соотношениями
е</= аД/0 + Зр'о^ + V^ijOfeh.(1)
Если бы каждый элемент объема тела мог свободно деформироваться при повышении температуры, то температурные деформации принимали бы значения ег = е9. = аДД Однако этот частный случай, как мы знаем, отвечает линейному распределению температур. Вообще же говоря, дисторсия e°i( = atb1(9 не удовлетворяет уравнениям совместности, так что в упругом теле возникают температурные напряжения оц, а тем самым и деформации е,,-.
Здесь мы будем рассматривать более общий, чем температурный, тип дисторсий е^.(х). Предполагаем, что дисторсии являются непрерывными и дифференцируемыми функциями координат-. Так как дисторсии е®., вообще говоря, не удовлетворяют уравнениям совместности, то в теле возникнут деформации е,ц и напряжения оц. Связи между деформациями, напряжениями и дисторсиями являются обобщением зависимости (1):
е^Ч + ^'Ч + А/0^-(2)
Вызванные дисторсиями напряжения называются собственными напряжениями (англ, initial stresses, немецк. Eigenspannungen, франц, autocontraintes).
Дисторсии могут возникать в металлах вследствие превышения предела упругости и появления остаточных деформаций. Они могут также возникнуть вследствие температурной обработки и как результат действия усадки или вспучивания. Наконец, ошибки при монтаже и начальные несовершенства в строительных конструкциях (плиты и оболочки) можно трактовать как дисторсии.
Разрешим соотношение (2) относительно напряжений. Получим уравнения
а;/ = 2ц (е;/ - е^) + totj ^kk - e»fe).(3)
Для дальнейшего существенным будет соотношение
°ftfe = (3^ + 2p)(efefe —eofe),(4)
связывающее между собой первые инварианты напряженного и деформированного состояний.
Аналогия между зависимостями (1) и (2) позволяет сформулировать общие теоремы, касающиеся дисторсии. Важное значение в задачах дисторсии имеет принцип виртуальных работ. Этот принцип в общем виде, не зависящем от физических соотношений, как известно, имеет вид
j Xt6uidV-V j pl6utdA = ja,vdez/dV.(5)
vav
Здесь Xt, р^ как и ранее, являются внешними силами, ^ — перемещениями, а,,— напряжениями, а бщ, det, — вариациями перемещений и деформаций. Подставляя в правую часть (5) физические соотношения (3), получим
J X, би, dV + j р, би, dA = 6Ге - j ^. de;. dV.(6)
VАV
Здесь
Ге= j W6dV= ^ ^^jA-^^dvvv'
и•
^ = 2peo. + M/,.eofe.
Если предположить, как и ранее, что du, равны нулю на той части поверхности, на которой заданы перемещения (эту часть обозначим через Аи), то уравнение (6) можно представить в виде
6 ^е6 ^е/ Xtu,dV — \p,u,dA- j v^^dVVAoV/ Xtu,dV — \p,u,dA- j v^^dVVAoV= 0.= 0.(7)(7)
6 ^е
6 ^е
/ Xtu,dV — \p,u,dA- j v^^dV
VAoV
/ Xtu,dV — \p,u,dA- j v^^dV
VAoV
= 0.
= 0.
(7)
(7)
Мы получили теорему о минимуме упругой энергии, обобщенную на упругие дисторсии. Мы видим, что для температурных деформаций е®. = аД/.0 уравнение (7) переходит в уравнение (12) § 8.1 для температурных напряжений.
Уравнение (6) можно привести к виду■
J И; - ^. /) ^ dV + $& + Ч0^ би, dA = 6Ге. (8)
VА■
Сравним это уравнение с соответствующим уравнением для упругого тела, в котором отсутствуют дисторсии, но которое имеет те же самые перемещения и деформации. Правые части в этих уравнениях будут идентичными, если к телу без дисторсии мы приложим другую систему внешних сил X*, р*. Мы имеем здесь
j Х\ би, dV + j р* би, dA = дГе.(9)
VА
Отсюда видно, что при одинаковых условиях для перемещений на Аи получаются следующие соотношения:
и^ : ttj,х s Аи.
Последние формулы выражают аналогию массовых сил. Мы видим, что каждая задача дисторсии может быть сведена к эла- стостатической задаче.
Обозначим через.
Го - J Wo dV - J ^'Очом + ^OkfeOnn^ dV (10)
VV
дополнительную работу упругого тела, занимающего область V. Легко заметить, что соотношение (2) удается записать с помощью выражения (10) в простом виде:
=«=^7(”7.+ •?,"</)■=«=^7(”7.+ •?,"</)■(II)(II)
=«=^7(”7.+ •?,"</)■
=«=^7(”7.+ •?,"</)■
(II)
(II)
Умножая формулу (11) на статически допустимые виртуальные приращения напряжений и интегрируя по объему тела, получим ^^dV-ЬЖ^ ^иЬои^‘<12>
vv
Преобразуя левую часть уравнения (12), приходим к соотношению
6ЖС+ | е^ doZ/. dV = j бр^^А — J 6ofl tu.dV. (13) VAV
Если теперь в формулу (13) подставить ограничения, касающиеся статически допустимых приращений напряжений, т. е.
до/(1/ = 0, х е V, 6pi = 0, х е Ао, Ьр; произвольны на Аи, то из этой формулы получим теорему о минимуме дополнительной работы, обобщенную на задачу дисторсии:
К решению задачи о собственных напряжениях, так же как и в термоупругости, ведут два пути: формулировка дифференциальных уравнений в перемещениях или в напряжениях,
Первый путь основан на использовании уравнений равновесия
а/Л/4-^ = 0(15)
и замене напряжений деформациями при помощи соотношений (3).
Если деформации е,, выразим через перемещения
®ij"2" (^i. / + ^/. 1")»О®)
то получим следующую систему уравнений в перемещениях:
ци( ц + (^ + ^) ui. а + Xi= Чщ уО7)
К этим уравнениям следует добавить граничные условия. Если предположим, что на Аи заданы перемещения ft, а на Аа— нагрузки pt, то эти условия запишем в виде
щ (х) = ft (х), хеАи,
Pi (х) = (2^,. + X6Mefes - Л^) ^ = оИпр х е Ао.
Для односвязной области легко доказать единственность решения системы уравнений (17). Доказательство этой теоремы проводится аналогично тому, как это было сделано в § 8.2 по отношению к уравнениям термоупругости в перемещениях. Единственность решения будет иметь место, если напряжения принадлежат классу С1, а перемещения — классу С2.
При формулировке задачи в напряжениях мы исходим из уравнений совместности
Вц, kl + 6Ы, ij— eik,ilejl,№ = 0, i, j, k, l=\, 2, 3, (19)
ИЛИ
^pmr^lsm^rs, mn = 0-(20)
Подставив в эти шесть уравнений совместности деформации ец по формулам (2) и воспользовавшись уравнениями равновесия (15), получим следующую систему шести дифференциальных уравнений:
„2 (А + 2ц), М>ц
° И "*" ЗА + 2ц °кк- ‘i= ~ (^‘"- i "*" Xi' ^ — А + 2ц Хк’ к —
+ thV»(W“(2!)
Эти уравнения являются обобщением уравнений в напряжениях Бельтрами — Мичелла на задачу дисторсии. Заметим, что в фор-
мулировке задачи в напряжениях деформации е,, и напряжения должны быть функциями класса С2, а перемещения и, — функциями класса С3.
Если рассматриваемая область ^N -ф 1)-связна, то к уравнениям (21) следует добавить дополнительные условия
J (e/r ^ikl^lsm^rs, tn) d^r = О,
С“(22)
j ^ism6rs. m) dcr = 0, a=l, 2, ..., N.
Ca
Кривые Ca (a = 1, 2, ..., АГ) являются замкнутыми линиями в Е + Л, из которых каждая пересекает только одну поверхность Ва. Вспомним, что введением поверхности Ва мы свели (У + 1)- связную область к односвязной области. Условия (22) следует выразить в напряжениях щ, и дисторсиях е°.;, используя соотношения (2).
Рассмотрим некоторые простые следствия, вытекающие из уравнений в перемещениях (17) и в напряжениях (21). В случае постоянных значений дисторсий е^. уравнения (19) становятся однородными. Полагая и, = 0 на Л, получим также однородные граничные условия. Постоянные дисторсии приводят в теле, которое защемлено на Л, к нулевым значениям перемещений. Так как ц,(х) =0, хе!7, то и ец(х) = 0, хе V. Из соотношений (3) следует, что в теле возникают постоянные напряжения
° ц —(2ре°/ + АД.ъ^) = — Г]Т.(23)
Если уравнение (15) умножим на xt и проинтегрируем по области, то получим
j (Х{х, + оИ1 jx^ dV = 0, v
или
j x,XtdV + j XiPidA= j OfefedV.(24)
VAV
Учитывая соотношение (4), получим
АУ=зИ ,[*Л^ +JeOfedE. (25)
\VА/ V
Здесь ДЕ = J 4fedV—приращение объема тела. Если на поверх- v
цости тела нет нагрузок, а внутри отсутствуют массовые силы.
то из уравнений (24) и (25) получим
Ay=jeofe^, $оккс1у = 0.(26)
VV
Приращение объема тела мы найдем, интегрируя сумму нормальных дисторсий по объему тела. Сумма нормальных собственных напряжений, проинтегрированная по объему тела, равна нулю.
Рассмотрим уравнения в перемещениях (17) при отсутствии массовых сил (2Г, = 0). Определение частного решения этой системы уравнений становится довольно простым в частном случае е®;. = 6^.6°. В этом случае г]^ = З^д^.е0 и т]^/ = 3/<е0г Если частное решение принять в виде потенциала Ф, так что и,- = Ф.,, то из уравнений (17) находим
Наконец, заметим, что в частном случае e^ = dz/e° и при отсутствии массовых сил уравнения в напряжениях (21) и условия (22) будут выполнены, если функция е° удовлетворяет условиям
80^ = 0,(28)
а напряжения оц3(х) принимаем равными нулю в каждой точке тела. Приравнивание нулю шести других производных функции е° приводит к выводу, что функция е° является линейной функцией. Поэтому линейное распределение дисторсий не вызывает в одно- или многосвязном теле собственных напряжений.
Теорема Майзеля *)о взаимности работ для дисторсии
Теорема о взаимности работ была обобщена на задачу дисторсии Колоннетти, который исходил из тождества
(0
его легко получить умножением уравнения
аг/ = 2^/ + М;Аб —^(2)
на е^ и аналогичного уравнения для о'г; на е,ц с последующим вычитанием результатов. Интегрируя тождество (1) по области V и преобразуя интегралы, приходим к уравнению взаимности.
') В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
Здесь мы пойдем другим путем, используя аналогию массовых сил, введенную в § 8.7. Напишем уравнение взаимности для тела, в котором отсутствуют дисторсии. Это уравнение имеет вид
J ^X>'t - х'-и^ dV+ ^ XX - Р?и^ dA = 0.(3)
VА
Пусть теперь на тело действуют силы X,, р^ и дисторсии е^, которые вызывают перемещения ut. Вторая система нагрузок складывается из сил Х'р р'{, дисторсий е^, вызывающих поле перемещений и'.. Мы знаем, что задачу дисторсии можно свести к задаче эластостатики без дисторсий, если принять, что
Pi=Pi + ’fll"l.ft = P'f + "»"/• xsA«' (4)
и* = и.,u*t' = и'.,хе Аи.
Подставим формулы (4) в уравнение (3). Получим
[ (X.u'i—X'^dV + J XX — pX) dA —
JA
— J (^H.itt'i-Vp.jU^dV + J ^>.пХ — Xiniui) dA = 0.(5)
VA
Преобразуя предпоследний интеграл, приводим уравнение (5) к виду
J (XX — XX) dV + j (pX — pX) dA + VA
+ J^6;/-^/)^^, (6) v
или
J (XXi — XX) dV + j (pX — pX) dA +
УA
+ Jm-^)^=o- (7) у
Уравнение (7) представляет окончательный вид теоремы взаимности, обобщенной на дисторсию. Легко убедиться, что для частного случая температурных дисторсий, когда е°/ = аД/0, уравнение (7) переходит в теорему о взаимности работ для термоупругости (ср. с уравнением (40а) § 8.1).
Теорема о взаимности работ (7) позволит вывести методы интегрирования уравнений в перемещениях. Рассмотрим тело V, в котором действуют только дисторсии е^.. Пусть массовые силы равны нулю. На части поверхности Аи пусть заданы нулевые перемещения, а на Ао отсутствуют нагрузки. В качестве штрихованной системы примем то же тело, свободное от нагрузок на Ао и защемленное на Аи.
Предположим далее, что в теле отсутствуют дисторсии (e'Q = 0) и в точке § в направлении оси х^ действует сосредоточенная сила X'i = b(x — £)dzft. Эта сила вызывает перемещения и; = Г^>(х, с), которые должны удовлетворять уравнениям
Л V/ + (А + р) Г^ + 6 (х - £) dzfe = 0(8)
с граничными условиями
Г)6' = 0, хе Аа,
Р^ = [И № + Гп ’/) + б< Л VI ni = °> Х е Аг (9)
Зная функции Г(,&), вычисляем напряжения
^=рптагт?та^\таг о°)
Заметим, что решение системы (8) с граничными условиями (9) представляет собой задачу эластостатики; она относится к телу, в котором отсутствуют дисторсии.
Применяя к обеим системам причин и следствий теорему взаимности в виде (7), получим
— ^ Цх — ^Ь^иДх^У W-\- \ o't^(x,l)^jWdV(x) = 0.
VV
Отсюда
ыА®= /е^х^Чх, W(x), k = 1,2,3.(11)
v
Мы нашли перемещения ик^, выраженные через дисторсии в интегральном виде. Под знаком интеграла стоят известное распределение дисторсий и напряжения а^рЦх, %), вызванные действием сосредоточенной силы в точке |, направленной по оси Xh. Напряжения а'^ являются здесь функциями Грина для рассматриваемого тела. Такой путь отыскания перемещений Uh^ был предложен Майзелем)-
В частном случае е®=дг/е° имеем
ufe® = 3K je°(x)r^(x, ^dV^, К^Цц. (12) v
Теорему взаимности можно использовать также для определения деформаций и дилатаций, возникающих в результате действия на тело внешних сил.
Рассмотрим тело V, в котором действуют массовые силы Х;, но отсутствуют дисторсии (е®. = 0). Пусть это тело свободно опирается на Аи ^ = 1^, и пусть на поверхности Аа действуют заданные нагрузки р,. В этом теле мы разыскиваем дилатацию в точке |. В качестве второй системы причин и следствий примем наличие центра дилатации в точке £ бесконечного упругого пространства Поэтому следует положить Х- = 0 и е'® = б(х— £)б/Л Действие такой точечной дисторсии в неограниченном пространстве вызывает перемещения Г?(х, |)=«- и напряжения
Применяя для введенных причин и следствий теорему взаимности в виде (7), получим
J X.u'.dV + J ^Plu,l — p'iul')dA = j a1/(x)d(x —§)d..<ZE (х), VAV
р: = о^пг
Из этого уравнения мы получим первый инвариант напряженного состояния
<Дь = / X.u'.dV + j ^р^ — P^u^dA.(13)
VА
Легко найти дилатацию в точке |, учитывая известную зависимость между дилатацией гик и инвариантом о^:
Окончательно имеем
(14)(14)8ЬЬ® ЗА + 2ц [ I XtUtdV A" J ^Piui PiUi)dAL vv
(14)
(14)
ы; = П(х, §).
Эту формулу мы уже получили ранее другим путем в § 5.16 как формулу Бетти.
Если бы перемещения u't выбрать так, чтобы они исчезали на поверхности Д, то, обозначая эти перемещения через ГДх, £),
мы получили бы дилатацию е^(|) в значительно более простом виде:
8М® ЗА + 2ц8М® ЗА + 2цVVX. (х) и; (х, §) dV (х) —— J Р< (х- Ю ut (х) ^ (х)АX. (х) и; (х, §) dV (х) —— J Р< (х- Ю ut (х) ^ (х)А(15)(15)
8М® ЗА + 2ц
8М® ЗА + 2ц
V
V
X. (х) и; (х, §) dV (х) —
— J Р< (х- Ю ut (х) ^ (х)
А
X. (х) и; (х, §) dV (х) —
— J Р< (х- Ю ut (х) ^ (х)
А
(15)
(15)
^ = г. (х, 9-
Эта формула позволяет определить дилатацию в точке |, ибо все функции, стоящие под знаком интеграла, известны. Известно распределение массовых сил Х( в теле, а также и распределение перемещений и, на А. Известна также функция М; = Г.(х, с) внутри тела и функция p,1 = G,jinj на поверхности А.
Дислокации Вольтерры
Если на односвязное тело, находящееся при температуре То естественного состояния, не действуют внешние силы (массовые и поверхностные), то тело находится в естественном, ненапряженном состоянии.
В справедливости этого утверждения мы убедимся, рассматривая работу деформации с использованием формул (I) и (5) § 4.16:
^ = / (це;/е;/+yefefee„„)dV = yf j X^dV + j ptut dA (1) V \V A i
При отсутствии внешних сил получаем W = 0, что возможно только тогда, когда составляющие деформированного состояния равны нулю в каждой точке тела. На основании закона Гука отсутствие деформаций приводит к ненапряженному состоянию.
Представленная здесь теорема не всегда справедлива для многосвязного тела. Можно привести много примеров, когда эта теорема оказывается неверной. Рассмотрим двусвязное тело — кольцевую пластинку, представленную на рис. 8.7, первоначально находящуюся в естественном состоянии. Вырежем из этой пластинки двумя радиальными сечениями сектор Г, а затем с помощью силы соединим кольцо в единое целое, совмещая между собой границы АА' и ВВ'. В соответствии с предположениями линейной теории упругости, допустим, что вырез очень узкий. Таким образом, мы ввели в тело разрыв перемещений в спаянном сечении.
После спаивания мы получили двусвязную пластинку, в которой при отсутствии внешних сил имеют место напряженное И деформированное состояния. К естественному состоянию
мы можем привести тело путем нового разреза, например, вдоль А А'.
Если бы деформации спаянного кольца (рис. 8.7, в) были известны, то на основе процедуры, указанной в § 1.11, при помощи интеграла Чезаро мы бы определили перемещения. Мы бы получили таким образом конфигурацию рис. 8.7, а. Точка Р совмещенного сечения перешла бы в точки Р\ и Рг, лежащие по обеим сторонам .раскрытого сечения. Перемещения становятся двузначными.
Обобщим наш простой пример на трехмерное двусвязное тело, свободное от внешних нагрузок и массовых тел. Пусть на
внутренней поверхности В имеют место разрывы в перемещениях). Эти разрывы вызывают в теле деформированное состояние. Предположим, что деформации е,, определены на 5 и что они являются функциями класса С в рассматриваемой области. Кроме того, потребуем, чтобы деформации ец удовлетворяли условиям совместности2).
Пусть х — точка на внутренней поверхности В. Через Ац/(х) = и^(х)— и“(х) обозначим разрыв перемещения и( в точке х. Из формулы Чезаро, выписанной для точек х, х°, имеем
р
и( ^ = и, (х°) + (xft — х») to% + j Ujr d^r,(2)
po
где
Ujr = efr 4* ^jkl^lsm k^k^) 6rS] m.
Поэтому'
AU/ (x) = u+ (x) - u- (x) = J [e/r + e«jfeieism ^xk - ^) ers, m] d^r. (3)
Здесь с — произвольная замкнутая кривая, выбранная так, чтобы она окружала полость и пересекала поверхность В в точке х (рис. 8.8,а, б). Величина at (х) обозначает предел перемещения Uj(x*) при смещении х* по кривой с до точки х с одной стороны поверхности В. Аналогично иу (х) есть предел перемещения Uj(x*) при смещении точки х* в точку х по другую сторону поверхности В.
а8а8РИС. 8.8.РИС. 8.8.
а8
а8
РИС. 8.8.
РИС. 8.8.
Выберем на поверхности В точку х', отличную от х, и напишем для нее скачок перемещений
АЫ/ (х') = «+ (х) - иу (х) = J [e/r + elk[e[sm (х'к - ^) 8rs, Д <%г. (4)
Здесь с'—замкнутая кривая, окружающая полость и пересекающая поверхность В в точке х'.
Но из требования, чтобы деформации etj удовлетворяли условиям совместности, и из теоремы Стокса следует, что
J [®/r 4” ®jk8lsm ^Лк ^/г) ®rs, m] ^r
С.
= J [e/r H~ ^jk8lsm k*k £fc) ^rs, ml d^,r.(5)
o'
Отсюда, учитывая уравнения (3), (4) и (5), получим
AUy (х ) = Ац^ (х) -|- (хк Х^ J (jkl^lsm^rs, m d^r. (6)
Рассмотрим тензор поворота (о(/= у (uZ-,— иь J. Выполняя в формуле (2) указанные дифференцирования, получим р
®ii =J ^ijl^lsmKrs, m ^r‘^
р»
Введем вектор поворота <o = -2-rotu, или юр = -^ ^р^тац.
Выполняя в формуле (7) операцию tPii и используя формулу
*2" ^rmn^smn ^rs, получим
Р
®р (к) top (х°) J £psm6rs, m d^,r.(8)
ро
Разность поворотов в точке х поверхности В выражается формулой
Ашг (х) = ю+ (х) — ®7 (х) = - J e[sm6rs, m d^r. (9)
С
Учет условий совместности и применение теоремы Стокса дают J ^Ism^rs, m d^r = J ^lsnfirs, m d^r.(10)
cc*
Последнее соотношение указывает на независимость величины Дш;(х) от положения точки х на поверхности В. Здесь Дач(х) — относительный поворот элемента поверхности, лежащего с одной стороны В, по отношению к элементу, лежащему на противоположной стороне этой же поверхности (при перемещении вдоль кривой с). Учитывая формулы (6), (9) и (10), напишем
Ди (х') = Ди (х) + Д<о X г.(11)
Разрыв перемещений в точке х' выражается через скачок в точке х и относительный поворот Дю, не зависящий от положения точки х на поверхности В. В формуле (11) г является вектором, соединяющим точку х с точкой х'. '
Уравнения (11) связывают относительные перемещения и повороты одной стороны поверхности сечения относительно другой. В случае разрывности такого рода говорят о дисторсиях (или дислокациях) Вольтерры.
Если мы произведем сечение вдоль поверхности В, то материальные элементы, которые до этого находились напротив друг друга, теперь получат относительные движения в виде сдвигов и поворотов (рис. 8.8,6).
Рассмотрим следующую задачу, обратную предыдущей. Пусть многосвязное тело находится в естественном состоянии. Путем необходимого числа разрезов превращаем его в односвязное тело. Сдвинем теперь стороны сечений друг относительно друга так, чтобы относительные перемещения материальных элементов (которые находились друг против друга и которые разделило сечение) были выражены разрывами типа (11). Наконец, соединим сечения, убирая или добавляя материал там, где это необходимо, и снова получая многосвязное тело. Таким способом мы ввели в тело дислокации Вольтерры1), характеризующиеся векторами Ди и Дю.
Ниже мы даем (рис. 8.9) несколько типов дислокаций Вольтерры в конечном пустотелом цилиндре. На рис. 8.9, а мы имеем дело с разрывом в перемещении иг. Эта дислокация возникла
путем разреза цилиндра и перемещения границ сечения в направлении радиуса г. На рис. 8.9,6 и 8.9, в показан разрыв в перемещении «е; первый из них является постоянным, второй пропорциональным радиусу. На рис. 8.9, г—е представлены разрывы в перемещении иг..
*) Volterra V., Suite distorsioni del solid! elastic! pili volte connessi, Rend. Lincel, 5е serie, ler sem., 14 (1905).
Volterra V., Sulle distorsioni de! corpi elastic! simmetrico, Rend. Lincel, 5е serie, ler sem., 14 (1905), 431—438.
Volterra V., Volterra F., Sur les distorsions des corps elastiques, Gauthier- Villars, Paris, 1960.
Предыдущие рассуждения допускали однозначное представление задачи эластостатики для двусвязного тела, находящегося под действием дислокаций Вольтерры и нагруженного поверхностными силами. Эта формулировка требует однозначного определения напряжений ся, класса С1 и деформаций ец класса С2 в области 7 +Л. Напряжения ац должны удовлетворять уравнениям равновесия
Иц, j = 0, хе К(12)
с граничными условиями
pt (х) = ацп1г хе А.(13)
Между напряжениями и деформациями должны выполняться соотношения
ац = ^Р-ец+ X8to6tj, xeV + A.(14)
В области V^A должны быть выполнены условия совместности
^prm^qsn&rs, mtv ~= О, X е V -}- А.(15)
Кроме того, имеются дополнительные условия
J (ег/ ^jkl^lsm^h^rs, m) ^r == Atlj (х) -f- ^jkl^k Ati>i AZy,(16)
c
/ Ч^гз. ш^г = — А<йЬ(17)
c
где кривая с окружает полость и пересекает поверхность В в точке х.
Формулы (16), (17) вытекают из формул (8), (9) и (11). Правые части этих уравнений мы считаем известными величинами: характеристиками дислокаций Вольтерры.
В частном случае А/; = 0, Асо3- = 0 мы имеем дело с формулировкой задачи эластостатики для двусвязного тела, нагруженного только поверхностными силами.
Работа деформации.
Теорема взаимности для дислокаций Вольтерры
Рассмотрим двусвязное тело с дислокацией Вольтерры на поверхности В, на которое действует внешняя нагрузка в виде массовых сил и нагрузок на границе.
Работу деформации выражает интеграл
^^Т J Oii^iidV» / (pe^e^ + ye^e^dK. (1) vv '
Преобразуем первый из интегралов:
J ^ij^ij dV = J at]Utij dV = J [(cr-fyU;). /Оц, jUt \ dV.(2)
vvv
Заметим, что при преобразовании объемного интеграла J ^OijUi\jdV в поверхностный требуется использовать обобшен-
ную формулу Гаусса, учитывающую разрыв перемещения на поверхности В. Мы имеем
j VCjiUiY jdV = ^ OjtnjUi dA + f s^ (u,+ — u^ dB. (3) VAВ
Здесь через n обозначена внешняя нормаль к поверхности А, через v — внешняя нормаль к поверхности В. Через uf, иг обозначены значения функции щ в точке на 5 с положительной и отрицательной стороны нормали v. Учитывая, что а^п.) = Рь обозначая через Pt вектор напряжения на поверхностном элементе на В и, наконец, используя уравнения равновесия, представим работу деформации с помощью следующей формулы:
Г = 4И XtutdV A- / ptutdA+ j pt (at - uy) dB\. (4)WAВ/
Из формулы (4) отчетливо видно, что при отсутствии внешних сил (pi = 0, Xt = 0), но при существовании дислокации Воль- терры работа деформации отлична от нуля. В теле возникает деформированное состояние. В этом частном случае
Г = j+ А 8М8„„) dV = ^ / Pt (и+ - иГ) dB. (5)
V 'в
Подставим в последний интеграл зависимости
Auf = и+ ui = ^1 хк6Ш ^®р(6)
характеризующие дислокацию Вольтерры. В результате имеем
Г = 4 j [А А/1 + ^2 А/2 + Рз А/з + АИ1 (ЛгРз - ^2) + В
+ Асо2 (Р1хз Рзхд + А(Оз (^2Х[ — ^i-v2)] dB =
= 4J [Al • р + Асо • (р X r)]dB.(7)
в
Таким образом, работа деформации выражена непосредственно через коэффициенты дислокации. Формулу (7) можно записать проще, обозначая через $i = A/i, s2 = А/2, s3 = Д/3, s4 = Асл,
s5 = Дюг, S6 = Дюз коэффициенты дислокации, а через Ei, Е2, ... ..., Е6 — соответствующие им коэффициенты в формуле (7) (fi — pi, Е2 = р2, • •., ft = x2pa — х3р2, ...). Тогда
Г =г = 1, 2, .... 6.(8)
в
Перейдем к теореме взаимности. Предположим, что причинами первой системы являются внешние силы (Xi, pi) и дислокации, характеризующиеся величинами Mi, Дол (либо величинами Si). Следствиями, вызванными этими причинами, являются перемещения Ui. Вторую систему причин (Х'р р'^) и следствий ^и'^ отметим штрихами. Мы исходим из тождества
aiie'ij — 011611 = 0.(9)
Это условие справедливо в области V + А.
Далее проинтегрируем это уравнение по объему тела:
j Оце'ц dV = ^ a'ijeij dV.(10)
Преобразуем интеграл в левой части уравнения (10) согласно формулам (2) и (3). В результате получим
j aije'tj dV = j XiUi dV + J p.u'. dA-\- j Pt ^u'* — u'”) dB. (11) v ’ vлв
Аналогично имеем
[ a'ijeij dV = ^ X'iUi dV + f p'u. dA-\- j p' (ut — иг) dB. (12) VVAВ
Уравнение (10) приводит к уравнению
J Xiu’t dV + j p^ dA-\- J Pi ^u'i dB = vав
= J X'.ut dV + j p'tut dA + j p't Mit dB, (13)
VAВ
ИЛИ
J X^u't dV -|- J р{И'1 dA -|- J EiS'i dB =
VAВ
= j X'iUi dV + j p\ut dA + j E'iSi dB. (14)
Vлв
Если отсутствуют внешние силы (Хг = 0, Х(' = 0, рг = 0, Р; = 0), то получаем
Eis'i dB = J E'iS; dB.(15)
вв
Если на тело действуют исключительно внешние силы, то уравнение (14) выражает содержание теоремы Бетти о взаимности работ. ■
Если мы рассмотрим две системы, находящиеся в равновесии, одну без дислокаций, а другую без внешних сил, то из формулы (14) получим теорему Колоннетти').
*) Colonnetti G., Sul principio di reciprocita, Rend. Lincel, 5е serie, ler sem., 21 (1912), 393—398.
Часть III .
ЭЛАСТОКИНЕТИКА
Глава 9
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ,УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ
Дифференциальные уравнения,граничные и начальные условия
Рассмотрим упругое тело, на которое действуют внешние силы. Эти силы, поверхностные нагрузки и массовые силы, являются функциями положения и времени. К внешним воздействиям отнесем и заданные на поверхности А тела перемещения, также являющиеся функциями положения и времени t. Мы ограничимся рассмотрением ограниченной односвязной области D и неограниченной области. В первом случае потребуем, чтобы перемещения u(x,/) имели первые и вторые непрерывные производные как по переменным хь х2, Хз, так и по времени tv <L I <. 1г- Для неограниченной области мы требуем выполнения условий регулярности на бесконечности.
Известно, что действие внешних нагрузок и массовых сил вызывает в динамических задачах не только поле перемещений и(хД), но и сопровождающее его температурное поле 6(х,/). В принципе мы имеем дело с задачей термоупругости. Однако сложный математический характер этой теории часто приводит к непреодолимой трудности. Поэтому в классической эластоки- нетике также принимается упрощающее предположение, вытекающее из того факта, что при быстро изменяющихся во времени нагрузках обмен тепла посредством теплопроводности между отдельными элементами тела происходит очень медленно.
Приближение, используемое в классической эластокинетике, основано на трактовке термодинамического процесса как процесса адиабатического.
В § 3.9 даны уравнения в перемещениях для анизотропного тела в предположении адиабатичности процесса:
TcwK/ + «/. Д/ + ^ = Р«г> i> i> k< Z = 1> 2. 3- (D
Здесь cSjk( — упругие постоянные адиабатического процесса.
Величины с^1Ы и cTlikl, измеренные в изотермических условиях,
Pz/Pfezс6 "Pz/Pfezс6 "(2)(2)связаны соотношением
Pz/Pfezс6 "
Pz/Pfezс6 "
(2)
(2)
—гт IT
В последнем соотношении То — абсолютная температура естественного состояния, се — теплоемкость при постоянной деформации, Pi, — коэффициенты, содержащие как температурные, так и упругие постоянные.
Свободная энергия системы U в случае адиабатического процесса равна работе деформации:
U = W^=lcSik№u(3)
Приращение температуры 6 = Т — То, где Т —абсолютная температура в точке х в момент t, связано в адиабатическом процессе с тензором деформаций ец следующим соотношением:
6 = --^pz/6z/. (4)
В настоящей главе мы будем рассматривать изотропное однородное тело. К уравнениям, справедливым для этой простой структуры упругого тела, мы легко придем, используя соотношения
Cijki = Xbtjbki -\- p,(.bikbji -\- bubjfe), ^ij = yf>ij,(5)
выведенные в § 3.11. Уравнения в перемещениях тогда примут вид
HsWz.// + (^s + fxs)w/,/z + A'z = puz, /,/=1,2,3.(6)
Из формул (2) следует, что
ц5 = ц7, Xs = Хг + tj^y7.(7)
Здесь цг, Хт — постоянные Ламе, измеренные в изотермических условиях, у7 = (ЗХТ + г^а,, т]т = Тоут/се, где at — коэффициент линейного температурного расширения для изотропного тела. Далее х = Хо/Се, где Хо— коэффициент теплопроводности. Температура, соответствующая деформации тела, дана формулой (4), которая для изотропного тела принимает особенно простой вид:
6 = —хт]ге, е = div u = ubi.(8)
Температура пропорциональна объемному расширению. Наконец, внутренняя работа представлена формулой
^в *= Ц 6Z/6Z/ Н—2~ ^kk^na*(9)
Из представленных выше уравнений (6) и (8) следует, что благодаря предположению адиабатичности процесса температурное поле и поле перемещений получились раздельными. Напомним, что в задачах термоупругости они связаны между собой и удовлетворяют связанной системе четырех дифференциальных уравнений.
Из соотношения (9) выводятся обобщенные соотношения Гука для эластокинетики
az/ = 2p5e./ + V6Z/eM, Z, /=1,2,3.(10)
В то время как в задачах эластостатики в соотношения Гука входили изотермические постоянные Хт, цт, здесь входят адиабатические постоянные ц8, Xs.
Величины е,/ связаны с перемещениями соотношениями
е//= "2 («/,/ +ы/,/)■(11)
Уравнения совместности Сен-Венана остаются справедливыми и для динамических задач теории упругости.
Задача, которую мы ставим в эластокинетике, заключается в решении системы гиперболических уравнений (6) при заданных граничных и начальных условиях. Уравнения (6) можно представить в векторном виде:
pV2u + (X + ц) grad div u + X = pu,(12)
или
(X + 2ц) grad div u — ц rot rot u + X = pu, (13) где
grad div u = V2u + rot rot u.
Часто уравнения в перемещениях записываются в виде
c^grad div u — с2 rot rot u — u + P-1X = 0,(14)
где
Физический смысл этих величин будет пояснен далее.
В уравнениях (12) — (14) при постоянных ц, X мы опустили индекс S. Однако мы будем помнить, что входящие в уравнения (12) — (14) постоянные Ламе относятся к адиабатическому состоянию и измерены в адиабатических условиях.
Если в уравнениях эластокинетики положить ц = 0, то мы получим уравнения в перемещениях для несжимаемой жидкости.
Эластокинетика, помимо всего прочего, находит широкое применение в сейсмологии, изучающей распространение упругих
волн в земной коре. В этой области обычно принимается ц = X, что соответствует значению v = -^ для коэффициента Пуассона 5
и значению К = д- ц для модуля всестороннего сжатия.
К уравнениям в перемещениях (6) следует добавить граничные и начальные условия. Если на поверхности тела А заданы перемещения fj(x,/), то граничные условия имеют вид
ut^x, f) = h(x, t), хеЛ.(15)
Если на А заданы нагрузки р,(х, /), то граничные условия принимают вид
Оц^Х, f) п., (х) = pi (Х, О, X Е А.(16)
Возможен также случай смешанных граничных условий. Если на Аи заданы перемещения ft(x, t), а на Аа— нагрузки рДх,/), причем А — Аи 4- Ао, то граничные условия запишем так:
ut(x, t) = fi(x, t), х^Аи,аИ (x, 0 n, = pi (x, t\ x e A„.
Начальные условия характеризуют движение тела в некоторый начальный момент /о, например в момент / = 0. Мы имеем
ди, (х, 0)
Ui^x, 0) = gi(x), = ы/(х, 0) = й,(х).(18)
Поле перемещений в момент / = 0 задается распределением gt(x), а поле скоростей перемещений — распределением А,(х). В случае когда
ut (х, 0) = 0, Hi (х, 0) = 0,
мы имеем дело с телом, которое до момента / = 0+ находилось в состоянии покоя.
Рассмотрим векторное уравнение (13) и применим к нему операцию дивергенции
(X + 2ц) div V2u — р div u + div X — 0.
Используя обозначения
с2 _Л+ 2ц £2—111 р ’2 р ’
получаем следующее скалярное волновое уравнение для дилатации:
2е = -J-divX.(19)
CjP
Здесь
—оператор Даламбера.
Применяя к уравнению (13) операцию rot и учитывая, что div u = rot grad е = 0, получим
ц rot V2u — р rot u + rot X = 0.
Вводя обозначение ® = -irotu, где о -^вектор поворота, а затем обозначение
D2 = V2^2,
С2
получим векторное волновое уравнение
2®1-rotX.(20)
с2Р
Правые части уравнений (19) и (20) различаются величинами Ci и с2 (причем Ci > с2). Эти волны распространяются с разными скоростями. Уравнение (19) характеризует волну дилатации, уравнение (20) — волну сдвига.
Рассмотрим уравнение в перемещениях (14), исключив массовые силы,
c|V2u4-(ti—с2)grad divu — u = 0.(21)
Представим вектор и в виде
u = v + w(22)
с дополнительными условиями
rot v = 0, div w = 0.(23)
Из векторного анализа известно, что такое представление векторного поля всегда возможно. Это представление вектора в виде суммы градиента некоторого скаляра и ротора некоторого вектора.
Подставляя в уравнение (21) формулу (22) и применяя к этому уравнению операцию дивергенции, получим
div (c2V2v — v) = 0.(24)
Мы использовали здесь условие divw = 0. Ротор выражения, содержащегося в скобках, равен нулю ввиду первого условия (23). Однако если дивергенция и ротор некоторого вектора в рассматриваемом объеме обращаются в нуль, то этот вектор.
тождественно равен нулю. Таким образом, выражение в скобках должно быть равно нулю. Это утверждение приводит к волновому уравнению
2v = 0.(25)
Подставим формулу (22) в уравнение (21) и применим к этому уравнению операцию rot. Учитывая первое условие (23) (rotv = = 0) и условие rot grad div u = rot grad e = 0, получим уравнение
rot [c|V2w — w] = 0.
Так как дивергенция выражения в скобках равна нулю (т. е. divw = 0), мы получим волновое уравнение
2w = 0.(26)
Уравнения (25) и (26) различаются некоторыми свойствами. Волна v, распространяющаяся в бесконечном теле, связана с изменением объема, ибо rotv = 0. Эта волна сопровождается сжатием и растяжением элементов тела, так что дилатация отлична от нуля. Элементы тела не претерпевают изменения формы, ибо rotv = 0. Волна w, распространяющаяся в бесконечном упругом пространстве, вызывает только изменение формы этих элементов, ибо divw = 0, a rotw #= 0.
Волна v называется волной дилатации, волну w мы определяем как волну сдвига.
Плоская волна.
Структура одномерного волнового уравнения
Рассмотрим простейший случай распространения волны, а именно плоскую волну. Волновое движение характеризуется вектором перемещения и = («ь и2, «з) с той лишь разницей, что составляющие ы, являются функциями только переменных *1 и t.
Предположим, что X = 0 и что причиной движения в неограниченной области являются начальные условия. Уравнения в перемещениях для рассматриваемой одномерной задачи примут следующий вид:
(Х + 2ц)д^м1 = рй1, цд2м2 = рй2, цд^м3 = рй3, (1) или
д*удАы^хр /) = 0,(д\у<5^(«2, «з) = 0.(2)
С1 )\ с2 /
Эти уравнения различаются только коэффициентами ct и с2. Поэтому рассмотрим общее одномерное волновое уравнение
(^-А^ф^, /) = 0.(3)
Вводя преобразование переменных
^ = Xi + ct, 4\ = xY— Ct(4)
и учитывая, что
дФ _ дФ . 5Ф дФ / дФ дФ \ dxtdtдтн
д2Ф = д2Ф 2 д2Ф . д2Ф 8х\ д^ д^дщ дт)1 • д2Ф о / <Э2Ф п д2Ф . д2Ф \ д? \д£ д^дщ д^х) преобразуем уравнение (3) к виду
Решением этого уравнения является функция
Ф^ь П1) = £ Gli) + f (Si)-
Возвращаясь к координатам xb t, имеем
Ф(Х1, O = fUi + cO + £Ui — ct).(6)
Это решение Даламбера, в котором f и g— произвольные функции. Аргументы функций f и g называются фазой в момент t, а величина с — фазовой скоростью.
Предположим, что мы имеем дело с начальными условиями
Ф(хь 0) = a(xt), Ф(хь 0) = p(xt).(7)
Используя решение (6), получим
f Ui) + g (^i) = a (Xi), cf (xY) — eg' (xY) = P (xj. (8)
После интегрирования второго из уравнений (8) имеем
ь
где b — произвольная постоянная. Таким образом,
f(x1) = |a(x1) + -lj р©^,
ь
хх
р©^.
ь
Подставляя эти функции в формулу (6), найдем
Ф-уГа^ + ^ + а^-сОЦ-^- / Р©^.(9)
Xi—ct
В частном случае, когда скорость перемещения в начальный
момент равна нулю, интеграл в формуле (9) обращается в нуль, так что
Ф = j [а (х, + с/) + a (xt — с/)].(10)
На рис. 9.1 показано распространение возмущения
Ф(хь 0) = a(xt) =Ф(хь 0) = a(xt) =(Н)(Н)0, х < — а,1, | х | < а,
Ф(хь 0) = a(xt) =
Ф(хь 0) = a(xt) =
(Н)
(Н)
0, х > а.
Здесь мы имеем наложение двух перемещающихся возмущений: функции a(xi + ct) в направлении оси —хх и функции a(xt — ct) в направлении оси +хь
Начальное возмущение (11) перемещается здесь с постоянной скоростью с. Интересно то, что в направлении осей +Х1 и — хх перемещаются горбы величины уа^). Рис. 9.1 в моменты времени (= const представляет собой мгновенную фотографию перемещающихся возмущений. На рис. 9.2 представлено перспективное изображение функции Ф(х1Д),
РИС. 9.2.
Рассуждения, относящиеся к волновому уравнению (3), мы можем перенести и на волновые уравнения в перемещениях (2).
Перемещение их характеризует упругую волну, распространяющуюся в направлении оси хх с постоянной скоростью сь Перемещения ы2 и «з характеризуют упругие волны, распространяющиеся в направлении оси Xi с постоянной скоростью с2 < Сь
Обычно принято называть перемещение «1 упругой продольной волной, а перемещения м2 и «з — поперечными волнами. Название «продольная волна» обусловлено тем, что направление распространения волны и направление вектора иг совпадают. Перемещения м2 и «з имеют направления, перпендикулярные к направлению распространения волны; отсюда название «поперечные волны».
Дилатация е = дхщ связана только с волной мь ибо д2и2 = = д2«з = 0. Продольная волна сопровождается сжатием или растяжением элементов тела, так что продольная волна одновременно является волной дилатации. Рассмотрим волновое
уравнение (3) для случая гармонически изменяющихся во времени возмущений.
Примем решение уравнения (3) в виде
ф = ф°ехр[г"(^х1—а>01-(12)
Подставляя формулу (12) в (3), получим
, 9 ■ CD2 л , . СО
— +^г = 0, 6Ь2=±Т.
Решением уравнения (3) является функция
Ф = Ф°+ ехр [ — zco (/ — -^-)] + Ф°- exp [ — zco (/ + ^-)].
Очевидно это решение является частным случаем решения Да- ламбера (6).
Рассмотрим частное решение
Ф = А ехр [— zco ^ + -^-^, или
Ф = Дехр]р(^ + х1)1» / = -^—•(13)
Величины А и /—постоянные; А является амплитудой колебаний, а величину /') мы определим, зафиксировав время / и определяя функцию Ф для сечений xt = ^ и xt = ^i + nl, где п— целое число. Мы имеем
Ф&, /) = Аехр[-^(с/ + ^)],
Ф & + Ш, 0 = А ехр { - -^ ^ + & + «/)] } =
= Ф&, Йе^ = Ф^, t).
Мы видим, что фазы точек, отстоящих друг от друга на /, 2/, 3/, ..., различаются на 2л, 4л, 6л, ..., т. е. являются одинаковыми. Функция Ф изменяется внутри отрезка /, но ее значения повторяются через /. С другой стороны, плоские волны обладают свойством периодичности по времени
Ф(хи / + 7’)“^ехр{-^-[с(/ + П + х1]} =
е=ф(хи f) ехр j^— 2”^cj.
*) Величина I называется длиной волны. — Прим, перев,
Условие периодичности требует, чтобы Т = //с, ибо только тогда Г 2шТс1,
exp Ij— = е~2лг = 1.
Выражение (13) мы можем записать также в виде
Ф = A exp [— —y(ct + х^ = A exp [—2rtz ^у + у-)] . (14)
Равенство tjT = Х\П определяет точки одинаковой фазы.
Пусть теперь плоская гармоническая волна распространяется в направлении нормали п к плоскости
ХХПХ + Х2П2 4" Х3П3 = р.
Здесь р — расстояние плоскости от начала координат. Общим решением волнового уравнения является функция
Ф = Дехр{ — ^-\ct.+ (»i^i + «2^2 + ^з^з)]}, п,П1 = 1, (15)
что можно проверить подстановкой.
Переходя к уравнениям в перемещениях
И«/, ы + Ц 4-10 «й, й/= Р«/,(16)
представим решение этих уравнений в виде
Uj = Д,ехр[— ^y-^ct + xmnm)y(17)
Подставляя выражение (17) в (16), получим систему уравнений
(X 4- ц) tij (Aknk) -{- pAj — рс2Ду=0, /, ^=1, 2, 3.(18)
Приравнивая нулю определитель системы (18), получим
(ц — pc2)2 (X 4-2ц — рс2) = 0,(19)
откуда
с =(Л±2нуА С=М7’
1\ р ) ’2\ р / *
Возникает вопрос, какие из величин Сь с2 следует поставить в соответствие отдельным составляющим вектора и. Для упрощения решения положим, что нормаль п направлена по оси Хь Тогда пх = 1, п2 = п3 = 0, и из уравнений (18) получим
ДДХ4-2Ц — рс2) = 0, Д2(ц — рс2) = 0, Д3 (ц — рс2) = 0.
Поэтому скорость С! = ^—связана с перемещением а скорость С2 = (ц/р)'/1 — с перемещениями и2, и3. Окончательно
имеем
их = Ах ехр— \cxt + хх) ,
ы2 — Л2 ехр [— ^у- <c2t Т xi)] .(20)
, и3 = Д3ехр[— ^(c2t + xj].
Волна их является продольной волной, волны «2 и ы3 — поперечными волнами. В сейсмической литературе продольная волна называется P-волной (primary wave), а поперечная волна S-волной (secondary wave). В свою очередь S-волна делится на SV- и S/7-волны, т. е. на волну, поляризованную в вертикальной плоскости (SV— vertical secondary wave), и на волну, поляризованную в горизонтальной плоскости ^SH — horizontal secondary wave).
Общее решение Ламе
В § 9.1 мы рассматривали общее решение уравнений в перемещениях
dv2u +(с2 — сг) grad div u — u + p-1X — 0,(1)
представив перемещение u в виде суммы
u = v4-w, divw = 0, rotv = 0.(2)
Этим условиям удовлетворяет представление Ламе1)
u = grad Ф + rot ф.(3)
Если аналогичным способом представить массовые силы
Х = р (grad'd + rotx),(4)
то после подстановки выражений (3) и (4) в (1) получим два независимых друг от друга простых волновых уравнения: скалярное волновое уравнение
П2ф = _ 1^(5)
С1
и векторное волновое уравнение
□^=-±х.(6)
Уравнение (5) описывает продольную волну, распространяющуюся со скоростью сх, уравнение (6)—поперечную волну, пе-
*) G. Lame, loc.cit. стр. 197.
ремещающуюся со скоростью с2. Уравнение (5) относится к безвихревому полю, ибо
rot v = rot grad Ф — 0.
Дилатация отлична от нуля, так как
е = Uk, к = V® #= 0.
Поперечные волны не вызывают изменения объема тела, ибо div w = div rot ф = 0. Они вызывают только изменение формы тела.
Следует еще обсудить граничные и начальные условия уравнений (5) и (6).
Если тело не ограничено, то следует постулировать, что составляющие массовых сил (grad{>, rot %) занимают ограниченную область. Только в этом случае напряжения и деформации на бесконечности будут обращаться в нуль. Граничные условия отпадают в полном смысле этого слова, и частные решения уравнений (5) и (6) являются окончательными решениями задачи. Зная функции Ф, ф, определим перемещение и из соотношения (3). Заметим еще, что в неограниченном упругом пространстве волны обоих типов распространяются независимо друг от друга.
Если тело ограничено, то продольные и поперечные волны распространяются от места возмущения до границы, а затем отражаются. В случае граничного условия в перемещениях и = = f (х, /) получим
u = f(x, t) = gгadФ(x, /) + го!ф(х, /), или
f i = ^i Ф + <Э2фз — <53ф2,
f2 = д2Ф + дзф, — д^з,(7)
/з = <53Ф + д^г —д2ф!.
В ограниченном теле функции Фиф связаны между собой граничными условиями. Аналогично дело обстоит с граничными условиями в напряжениях и с начальными условиями.
Нам остается показать, что для полного определения перемещений достаточно знать динамические потенциалы Ф и ф. Дюгем *) доказал следующую теорему о полноте, сформулированную Клебшем2). Пусть и(х,/)—частное решение уравнения (1) (для X = 0) в области D при t\ < t < t2. Тогда существуют некоторая скалярная функция Ф(х,/) и некоторая векторная
*) Duhem Р., Sur 1’integrale des equations des petits mouvement d’une solide isotrope, Mem. Soc. Set, Bordeaux, ser. V, 3 (1898), 316.
функция ф(х, /), такие, что u = grad Ф + rot ф, 61уф = 0,(8)
причем Фиф удовлетворяют уравнениям
П2ф = 0, П2ф = 0.(9)
Эта теорема относится к случаю отсутствия массовых сил *), однако ее нетрудно обобщить на* случай действия массовых сил.
В доказательстве этой теоремы исходной точкой является определение некоторой векторной функции W как ньютоновского потенциала:
т J “'У,',")61 ■<Ю)
D
Здесь /?(х, §)—расстояние между точками х и § области D. Очевидно
V2W = u,(11)
т. е.
u = grad div W — rot rot W.(12)
Вводим новые функции U(x, t) и V(x, t), которые определяем следующим образом:
W = divW, V = —rotW.(13)
Сравнивая формулы (13) и (12), получим следующие представления вектора перемещения:
u = grad U + rot V, divV = 0.(14)
Подставляем выражение (14) в уравнения в перемещениях (1). После простых преобразований имеем
с2 grad П^ + с2rot П2¥ = 0.(15)
Применим к уравнению (15) сначала операцию дивергенции, а затем операцию rot. В результате получим уравнения
V2n2(/ = 0, v2n2V = 0.(16)
Интегрирование этих уравнений приводит к соотношениям □ ^ = а(х, t\ □2V = b(x, t\(17)
где а (х, 0, b (х, 0 — гармонические функции, так что
V2a(x, 0 = 0, V2b(x, /) = 0, divb = 0.(18)
') Sternberg Е„ On the Integration of the Equations of Motion in the Classical Theory of Elasticity, Arch. Rat. Meeh. Anal., 6, № 1 (1960).
Определим две новые функции Л(х,/) и 5(х, /): t т
(19)(20)(19)(20)А (х, 0 = "т J J а (х, X) dX dr,с* t» t,t T
(19)
(20)
(19)
(20)
В (x, 0 = f f b (x, X) dX dr, tx < t0 < /2,C2 / tre tg
такие, что
z A 1 AM . z A 1 d2Ba(x, t) = — — b(x,r-
C^ utC'2 ^^
Используя соотношения (18), убеждаемся, что
VM = 0, V2B = 0, divB = 0.(21)
Определим две функции Ux(x, t) и ф(х, t), такие, что
UX = U-VA, ф = ¥+В.(22)
Подставляя формулы (22) в (17) и принимая во внимание соотношения (20) и (21), получим следующие волновые уравнения: ■
^ = 0, □2ф = 0. (23)
Вернемся к соотношению (14) и выразим входящие в него функции через функции (22):
u = grad U + rot V = grad Ux + rot ф + u*,■ (24)
u* = — grad A — rot B.
Заметим, что
div u* = — div grad Д — div rot В = 0,
rot u* = — rot grad A — rot rot В — V2B — grad div В = 0.
Эти соотношения позволяют утверждать, что существует функция U2(x, t), такая, что
u* = gradl72, V2t72 = 0.(25)
Подставим формулы (25) в (24) и получим
u = grad (Ux + U^ + rot ф.(26)
Затем подставим формулы (26) в уравнение (1), учитывая соотношения (23) и второе из соотношений (25). В результате получим уравнение
откуда•
^ = а(/) + /р(х) + у(х).(27)
Из второго уравнения (25) имеем
V2p = 0, V2y = 0.(28)
Введем, наконец, функцию Ф(х,/), определенную следующим образом:
Ф = 1)х (х, 0 + U^ (х, 0 — а (/).(29)
Из соотношений (26) и (29) вытекает, что перемещение и удается представить в виде зависимости
u = grad Ф + rot ф, divip = 0.(30)
Таким образом, мы получили разложение вектора перемещения на потенциальную и соленоидальную части, предложенное Ламе, Применим к формуле (29) оператор П2. Используя соотношения (23), (27) и (28), получим П2Ф = 0. Учитывая формулу (23), окончательно имеем
Ф = 0, П2ф = 0.(31)
Итак, теорема о полноте решений доказана.
Некоторым вариантом представленного здесь метода решения при помощи разложения вектора перемещения на потенциальную и соленоидальную части является решение, примененное Сандру1) для определения фундаментальных решений уравнения (1).
Подставляя в уравнение (1) выражение
u = gгadф + w,(32)
получим уравнение
grad [с^Ф + (с2 — с2)div w] + ^d2w + р-1Х = 0.(33)
Выберем векторную функцию w так, чтобы удовлетворялось волновое уравнение
pD|w + X = 0;(34)
тогда остается уравнение
с2П2ф + (с? — с2) div w = 0.
После применения к этому уравнению оператора П| и использования уравнения (34) получим для определения функций ф биволновое уравнение
□Mv=WTS)d,vX'<35>
Этот путь удобен для определения перемещений в упругом неограниченном теле.
Вернемся к решению Ламе и рассмотрим двумерные задачи.
Если u = («i, «2, 0), то решение удается представить с помощью двух функций:
ф = ф(хь х2) /), ф1=ф2 = 0, Фз = ф(х1, х2, tY
Представление (3) дает
их = <3^ + д2ф, и2 = д2Ф— 51'Ф,(36)
а волновые уравнения принимают вид
2ф = о, П|ф = 0,(37)
где
□ a = v!-4^, a=l, 2, V? = d? + ^.
Если действуют массовые силы, то, выражая их следующим образом:
^i = p(d^ + d2x), Х2 = р(^-<31х),(38)
получим неоднородные волновые уравнения
П2ф = _Ц_^ □2T]) = __LX-(39)
ClС2
Во многих задачах эластокинетики мы имеем дело с осесимметричной деформацией относительно некоторой оси, например оси z. Деформацию тела в этих случаях удобнее представлять в цилиндрических координатах (г, ф, z). В силу симметрии относительно оси z как перемещения, так и деформации не зависят от угла ф. .
Выразим перемещения ит, иг через потенциалы Ф и Т:
(40)(40)<9Ф^У _ <9Ф,дФ Ф
(40)
(40)
drdz' Uz~ dz'dr' г
и подставим их в уравнения движения (при Х = 0):
уг2 т г дг Г2 т OrOz И
।/ d2urд2иг \....,.
"^(dz2drdz) — pUr’(41)
(Х.Н2р)№+1^+^-
х 1\ dr dz 1 г dz dz2 /
ц / dur du2 \/ d2ur d2u2 \..
- ?ы- те)=p«- (42)
После простых преобразований находим систему двух волновых уравнений
□ ?Ф(г, z, 0 = 0, fv2 — -L --L (г, z, 0 = 0, (43)
\ r с2 /
где
Г = ^Х^.Г = ^Х^.□?=v2—Vt» v2=AL + 1^- + ^ cfdr r dr dz
Г = ^Х^.
Г = ^Х^.
Второе из этих уравнений приводим к виду волнового уравнения
1Ф = 0,(44)
если введем новую функцию ф, связанную с V зависимостью
пг _ . дФdr *
Если в осесимметричной задаче не фигурирует и переменная z, то формулы (40) сводятся к равенству ит = дФ/дг, а из уравнения (41) при и2 = 0 и приравнивании нулю производных по z, получается волновое уравнение
2Ф(г, 0 = 0,(45)
где
Cidr" г dr
Этот случай соответствует цилиндрическим волнам.
Рассмотрим еще частный случай волнового движения, характеризующегося центральной симметрией. В сферических координатах (R, ф, О) имеем и= (ид, 0, 0). Уравнения в перемещениях имеют вид
И (у2Ид — ^-) + (К + и) ^ -^ (R2ur) — р^ = 0.(46)
Вводя потенциал
UR=W’ фвфМ, ^=(^+4+^Т.
получим волновое уравнение
^rуу^ф^ 0 = 0,(47)
ci /
где
n2 д2 , 2 д
^ = dR1 R dR ‘
Сферические волны могут быть обусловлены наличием точечного центра расширения — сжатия в бесконечном упругом пространстве. Они могут возникнуть также в пространстве со сферической полостью, если на границе полости действует изменяющаяся во времени нагрузка.
9.4. Решение Яковаке. Решение Папковича— Нейбера
Представим систему уравнений в перемещениях в удобном для дальнейшего виде
v2Mz + z>M/i/i + ^ = -L«Zl I, /=1, 2, 3,(1)
с2
где
ViFt = Xu 6 = 1+^.
Уравнение (1) можно компактно представить в операторной записи
Ь^и^Р^О;(2)
здесь
Fij = Пгд// + kdidj, □1 = ^’2dt.
с2
Введем векторную функцию x = (Xi, Хз, Хз) и выразим с ее помощью перемещения следующим образом:■
Х1 ^-12 ^13
кц Xi ^-13
^п L12 Xi
«1 =
Хг ^22 F2s
,«2 =
^21 Хг ^23
,«3 =
^21 F22 Х2
. (3)
Хз ^-32 ^-33
^31 Хз L33
^31 ^з2 Хз
Выполняя указанные действия, получим для иг формулы
«, = [□! + ^(V2 — д2)]ф,— kd^d^ — М,д3ф3, ф^П^Ху, «2 = [ П^ + к (V2 — д2)] ф2 — М2д1Ф1 — М2дзФз,
«з = [ □2 + к (V2 — ^2)] Фз — М3д1Ф1 — ^д3д2ф2,
или в общей записи
uz = [(Пг + ^V2) dz/— kdid^j, i, / = 1, 2, 3.(4)
Принимая во внимание, что операторы П^ и П^ связаны соотношением
а2 = Л±2ц □2_A±Ev2,(5)
представим формулу (4) в виде
u=2d^(n^_A±Jl_gradd^),(6)
т. е. выразим перемещения через вектор ф. Легко заметить, что для статической задачи уравнение (6) принимает вид, полученный в § 5.3, а вектор ф становится вектором Галеркина.
Подставим перемещения (3) в уравнения (2). Для определения функций х; находим систему уравнений
ии7-Ц ^-127-21^"227-317.397-Ц ^-127-21^"227-317.397-137-137-237-337-237-33Х< + ^ = 0.Х< + ^ = 0.(7)(7)
и
и
7-Ц ^-12
7-21^"22
7-317.39
7-Ц ^-12
7-21^"22
7-317.39
7-13
7-13
7-23
7-33
7-23
7-33
Х< + ^ = 0.
Х< + ^ = 0.
(7)
(7)
Выполняя нужные операции и вводя вектор Ф = П2Х> получим систему уравнений
(Х4-2ц) □П2фг + ^ = 0,(8)
которая в векторной записи принимает вид
(Х + 2ц) n2D^ + X = 0. (9)
Соотношения (6) и уравнение (9) были выведены Яковаке1). Легко заметить, что для статической задачи уравнения (9) переходят в бигармонические уравнения Галеркина.
Применение биволновых уравнений (9) достаточно удобно в случае действия массовых сил в бесконечной области, где частное решение уравнения (9) является окончательным решением задачи.
Для конечной области следует предпочесть решение Ламе. Ведь в случае первой краевой задачи фигурируют первые производные потенциалов, в случае второй краевой задачи — вторые производные. Как видно из соотношений (6), в методе Яковаке в первой краевой задаче фигурируют уже вторые производные, а во второй краевой задаче — третьи производные.
При отсутствии массовых сил уравнение (9) становится однородным. В этом случае можно использовать теорему Бод- жио2), которая утверждает, что самым общим решением уравнения
$ХФ> .. . ^„Ф = 0, (10)
где Ф\, ..., S>„ — некоторые операторы, является функция
Ф = ф(» + ф<2> + ... +ф<").(П)
Функции qjW удовлетворяют уравнениям
^Ф(А) = О,^Ф(А) = О,£ = 1, 2, ..., п.£ = 1, 2, ..., п.(12)(12)
^Ф(А) = О,
^Ф(А) = О,
£ = 1, 2, ..., п.
£ = 1, 2, ..., п.
(12)
(12)
Примененный здесь способ вывода представления (6) и уравнений (9) не гарантирует, однако, полноты решения задач эла- стокинетики при использовании функции ф. Ниже мы дадим доказательство полноты, данное Стернбергом и Юбенксом1), т. е. докажем следующую теорему.
Пусть вектор перемещения и(х,/) является частным решением уравнений (1) в области В (не обязательно односвязной) для —оо < t < оо. Тогда существует векторная функция ф(х, /), такая, что вектор перемещения и(х,/) выражается через нее следующим образом:
ц = Л + 2цgrad div ф).(13)
Функция ф(х,/) должна удовлетворять волновому уравнению (9). Подставим формулу (3) § 9.3 в систему уравнений в перемещениях (1). В результате получим уравнение
grad D^ + y^-rot D^ + y^—0.(14)
Определим функцию ф с помощью скалярной функции ф и векторной функции х-'
Ф = grad »+ ^-^ rot х(15)
и подставим ф в уравнение (9):
gradD’DfO+y^rotfDrn^ + ^-O.(16)
Из сравнения уравнений (14) и (16) следует, что функции и х должны удовлетворять уравнениям
□ 2» = Ф, П2Х = Ф.(17)
Функции ^ и х являются запаздывающими потенциалами:
в в
где /?(х, |) —расстояние между точками х и £.
*) Sternberg Е., Eubanks R. A., On Stress Functions for Elastokinetics and the Integration of the Repeated Wave Equation, Quart. Appl. Math., 15 (1957), 149.
Применим к равенству (15) оператор П^. Принимая во внимание второе из соотношений (17), получим
□ 2Ф = §габ П2#+ у-^-го1ф.(19)
Вернемся к представлению (13), исключая из него выражение rot -ф с помощью равенства (19). В результате получим
и = §гад(ф--!^П^) + -?^а2ф.(20)
Выражение в скобках преобразуем, используя первое из уравнений (17) и соотношение
-^^□^=n2^ + ^±±_V^.(21)
Таким образом, получим
u = A±2t □ ^--^-grad W.(22)
Приняв во внимание следующее из формулы (15) соотношение div Ф = V2»,(23)
преобразуем выражение (22) к виду
и = Л±21£ □ 2q, —^^ и grad div Ф,(24)
а это представление идентично формуле (6). Таким образом, справедливость представления Яковаке доказана.
Ниже мы установим, следуя Стернбергу1), связь между решением Яковаке и решением Ламе. Рассмотрим однородную систему уравнений (1), которая после введения представления (6) переходит в систему уравнений
2П2Ф = 0.(25)
В силу теоремы Боджио решение уравнения (25) можно представить в виде
Ф = ф' + ф".(26)
причем функции ф' и ф" удовлетворяют уравнениям
У =0,(27)
2ф" = 0.(28)
*) Е. Sternberg, loc. cit. стр. 562,
Подставляя выражение (26) в представление (6) и учитывая уравнение (27), получим
и = ^ +2^ □ 2ф" — ^~~ grad div (q/ + ф")-(29)
Воспользуемся, далее соотношением (5) и уравнением (28); это приводит (29) к виду
и = ^^ Р2<р" — grad div(q/ + ф")1> или
u = — — i-^-[grad divq/ + rot rot q/'J.(30)
Здесь мы использовали соотношение
grad div ф" = V2q)" + rot rot ф".
Определим новые функции Фиф следующим образом:
Ф = — -^ ^ и div ф', ф = — -^ ^ И rot ф".(31)
Подставляя формулы (31) в (30), получим представление
u = grad Ф + rot ф, divф = 0,(32)
идентичное представлению Ламе. Нужно еще проверить, удовлетворяют ли функции Фиф, выраженные через ф' и ф" формулами (31), волновым уравнениям
2Ф = 0,П2ф = 0.(33)
В силу уравнений (27) и (28) получим
2ф = _ Л±Ь div пу = 0,
2ф = _l±JLrot n2v" = o.
От трехмерной задачи уже можно перейти к двумерной. Следует, однако, добавить, что непосредственным введением функции ф для двумерной задачи мы обязаны Собреро1), который рассматривал весьма общий класс линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Предположим, что перемещения не зависят от переменной Хз. Тогда система уравнений (1) примет вид
^ («₽) + ^а = °> «з = 0, а, Р=1, 2,(34)
*) Sobrero L., Delle funzioni analoghe a potenziale intervenienti nella Fi- sica-Mathematica, Alii Reale Accad, Lincei, Ser. VI, 21 (1935), 448.
гдегде1»-ПА,+«„»,• oi=1»-ПА,+«„»,• oi=V? = df + ^, Ха — цЕа,V? = df + ^, Ха — цЕа,4-4»?.с2:=1+а4-4»?.с2:=1+аW2W2ВЫ-ВЫ-и, =Отсюда находими, =Отсюда находиммагдемагдеФ1ф2Ф1ф2Z-12Z-22Z-12Z-22^2 —^2 —^ + цЛ+ 2ц^ + цЛ+ 2ц^-11z,21^-11z,21Ф1ФгФ1Фга, Р = 1, 2,а, Р = 1, 2,□f=v?-4^- v?=a? + ^.ci□f=v?-4^- v?=a? + ^.ci(35)(35)(36)(36)
где
где
1»-ПА,+«„»,• oi=
1»-ПА,+«„»,• oi=
V? = df + ^, Ха — цЕа,
V? = df + ^, Ха — цЕа,
4-4»?.
с2
:=1+а
4-4»?.
с2
:=1+а
W2
W2
ВЫ-
ВЫ-
и, =
Отсюда находим
и, =
Отсюда находим
ма
где
ма
где
Ф1
ф2
Ф1
ф2
Z-12
Z-22
Z-12
Z-22
^2 —
^2 —
^ + ц
Л+ 2ц
^ + ц
Л+ 2ц
^-11
z,21
^-11
z,21
Ф1
Фг
Ф1
Фг
а, Р = 1, 2,
а, Р = 1, 2,
□f=v?-4^- v?=a? + ^.
ci
□f=v?-4^- v?=a? + ^.
ci
(35)
(35)
(36)
(36)
Входящие в систему уравнений (34) перемещения их и разим через две функции ф1 и фг следующим образом:
Функции фа (а = 1, 2) должны удовлетворять уравнению
РР7-иZ,217-иZ,217-127-227-127-22Фа + А = 0-Фа + А = 0-
Р
Р
7-и
Z,21
7-и
Z,21
7-12
7-22
7-12
7-22
Фа + А = 0-
Фа + А = 0-
Выполнение указанных действий приводит к биволновому уравнению
□ 2П2Фа + у^г = 0, а = 1, 2.(37)
Рассмотрим теперь осесимметричную задачу. Если осью симметрии является ось z, то достаточно положить
фз = ф (г, z, й, Ф1 = ф2 = о,(38)
где фь фг, фз — декартовы координаты вектора ф. Из соотношения (б) получимгде фь фг, фз — декартовы координаты вектора ф. Из соотношения (б) получими.и.X + ц d2q>X + ц d2q>и2и2□ i = \2□ i = \2И= Л. + 2ц1 д2—г 5<,С1И= Л. + 2ц1 д2—г 5<,С1дг дг ’дг дг ’(□1ФV2 =(□1ФV2 =^ + цЛ.+ 2цдг2 +^ + цЛ.+ 2цдг2 +д2ф \""дЗ2"/’L А52г дгдг2д2ф \""дЗ2"/’L А52г дгдг2(39)(39)
где фь фг, фз — декартовы координаты вектора ф. Из соотношения (б) получим
где фь фг, фз — декартовы координаты вектора ф. Из соотношения (б) получим
и.
и.
X + ц d2q>
X + ц d2q>
и2
и2
□ i = \2
□ i = \2
И
= Л. + 2ц
1 д2
—г 5<,С1
И
= Л. + 2ц
1 д2
—г 5<,С1
дг дг ’
дг дг ’
(□1Ф
V2 =
(□1Ф
V2 =
^ + цЛ.+ 2ц
дг2 +
^ + цЛ.+ 2ц
дг2 +
д2ф \
""дЗ2"/’
L А52
г дгдг2
д2ф \
""дЗ2"/’
L А52
г дгдг2
(39)
(39)
Функция ф должна удовлетворять биволновому уравнению
□ 2П22ф=0.(40)
При переходе к статической задаче функция ф становится функцией Лява.
В гл. 5 мы часто пользовались представлением перемещения и с помощью функций Папковича — Нейбера. Метод этих авторов довольно удобен при решении некоторых краевых задач.
Посмотрим, будет ли представление
u = grad(0 +R • х) —4(1 — v)x(41)
удобным также и для задач эластокинетики.
Подставим формулу (41) в уравнение
p,V2u + (X + p,)grad div u + X = pu;(42)
тогда мы получим уравнение
grad [(Л + 2ц) (V29 + R • V2x) -p0-p(R-X)J-
— 4 (1 — v) [pV2X — рх] + X = 0.(43)
Выберем функцию х так, чтобы удовлетворялось уравнение
— 4(1 —v)hD2x + X = 0.(44)
Из уравнения (43) остается
. □?0 + R-D?X = 0.(45)
Уравнения (44) и (45) образуют полную систему волновых уравнений.
Если мы имеем дело с бесконечной областью, ход решения будет таков. Из решения уравнения (44) определяем функцию х и подставляем ее как известную функцию в уравнение (45). Из решения этого уравнения получаем функцию 9.
Для ограниченного тела решение последней системы волновых уравнений становится довольно сложным. Это вызвано связанностью функций 9 и х в уравнении (45).
Установим теперь связи между функцией Яковаке ф и обобщенными на динамические задачи функциями Папковича — Нейбера 9 и х- Определим функции 9 и х как
9 (х, 0 = — И div Ф — R • х,
<46) Х(х, /) =^ П^-
Тогда представление
и = ,^ + 2ц цЗф—А + Ц grad div ф(47)
переходит в представление Папковича — Нейбера
u = grad(9 + R х) — 4(1— v)x-(481)
С другой стороны, из формулы (46) при учете уравнения (8) получим
-4(1-v)hD|x + X = 0,□2e + R-D?X = 0.(49)
Из всех рассмотренных до сих пор представлений и(х,/) (через потенциалы Ламе Фиф, через функцию Яковаке ф и через обобщенные функции Папковича — Нейбера 9 и х) наибольшее практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к самым простым волновым уравнениям. Представление с помощью функции ср удобно для определения перемещений в бесконечной среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное представление дают функции 9, х ввиду связанности волновых уравнений (44) и (45).
Уравнения эластокинетики в напряжениях
Во многих задачах эластостатики важную роль играют уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, особенно в задачах о кручении и изгибе стержней и в задачах, связанных с плоским напряженным и плоским деформированным состояниями. Аналогичные уравнения для задач эластокинетики вывел Игна- чак ).
Исходным пунктом являются уравнения в перемещениях
P-Ui. kk + (^ + и) Mft, hi + X; = рй{.(1)
Используя связи между тензором деформаций и перемещениями
2ez/ = ut, J 4- и,. {,(2)
преобразуем уравнения (1) к виду уравнений, содержащих деформации,
№/, kk + (X + I1) 6kk. II + у (Xz, / 4- Х,_ z) = pei(,(3)
Далее воспользуемся соотношениями Гука
2p,ez/ = Ci, затрут akk«(4)
Подставляя формулы (4) в (3), получим дифференциальные уравнения
, 2(А + ц)_MZ/ _, v . v
°Ч. kk + и+2ц °kk-Ч — ЗА + 2ц kk + ЛМ + Хь t =
1 /Хб{I \
= X ^ЧI л ^Mt ) '(5)
с2 \ Зл + 2ц /
Свертывая уравнения (5), получим соотношение
аг'"Н1 + 2^^хь,„=о, at-^-A-d;.(6)
Используя формулу (6), сводим уравнения (5) к виду
2(Я + ц)/ 11 \ Mij
<7)
^1 — ^i, / + X,. i + Л + 2и Xr, r.
Эти уравнения являются обобщением уравнений Бельтрами — Мичелла на динамические задачи. Если нагрузки, а тем самым и напряжения не зависят от времени, то получаем уравнения в напряжениях эластостатики (см. формулы (6) § 4.4).
Применим к уравнениям (7) оператор Dp получим
М»2 (Л.-4-и)
^□2а;/+□^(X;^^, z)+ ^_|_2ц П^г, г л. + 2ц ^г' ГЧ=^' ^)
В этом общем случае тензор напряжений удовлетворяет неоднородному биволновому уравнению. При отсутствии массовых сил имеем
^ftft = 0, DfD|az/ = 0.(9)
Напряжение oz/ можно разделить на две части; Сц = а'ц + ^/, причем
^/ = 0,□22а"=0.(10)
Очевидно, что уравнения (7), выраженные через напряжения, необходимо выполняются в линейной эластокинетике. Как мы покажем ниже на примере плоской задачи, они не являются достаточными для решения конкретной краевой динамической задачи. Ниже мы предложим другой вариант уравнений движения в напряжениях, которые не только являются следствием основной системы уравнений эластокинетики, но и обусловливают эту систему. Игначак ) доказал разрешимость этого ва< рианта уравнений в напряжениях, а также теорему единственности их решения иным путем, без ссылки на энергетические соображения. Вывод этой последней теоремы мы ниже повторим.
Исключая из уравнений (1) и (2), а также из уравнений движения
°П. ] + Xt = рй{(Н)
перемещения и деформации, приходим к соотношениям в напряжениях
— ^kA = (.akl. к + ^-lYl 4"(°1к. к + -^Д Z> (12)
которые являются необходимыми уравнениями эластокинетики. Рассмотрим вторую краевую задачу, предполагая, что на односвязное тело действуют внешние силы. Пусть на поверхности А заданы граничные условия
az/(x, f)«/(x)=pz(x, Д хеА,(13)
а напряжения а^ удовлетворяют внутри тела начальным условиям
az/(x, 0) = <т»/(х), dz/(x, 0) = ^.(14)
Предположим, что мы имеем дело с двумя различными решениями уравнения (12), напряжениями oZj и az". Обозначим их разность через tZj, а разность перемещений и'— и" через Ui. Разность напряжений Tij должна удовлетворять системе уравнений движения
•tti. i = pUt(15)
с однородными граничными и начальными условиями
хИ(х, /)п;(х) = 0, хеЛ, т;/(х, 0) = tZ/(х, 0) = 0, xeV, (16) а также уравнению
Р /.. ^Ц » \
]Г (Л ~ ЗЛ + 2ц ^Ч = Tftz- fcl + м‘(17)
Умножим это уравнение на tz/ и проинтегрируем по объему тела V и по времени 0 < т < t < оо:.
t
Jdr j [(tz/tz/ — зх-^2--rftftTnn)-g- —(rftz, fei+xk,,ki')xt^dV=0. (18) о V
Ho
XijXij = у "^ ^M^ilY ^kl, kf^ij = Q^ki, к ^ilY I "Iki, к ^lj, ]•
Применим теорему Гаусса — Остроградского к выражению tt
J dr J (T^.s^/X/dV = j dx j хк1>ктмп^А =
OFOF
t
= J dx [ ^- <хк11ктчп^ — xfeiikx4n^ dA.
Q A
Этот интеграл равен нулю в силу первого граничного условия (16). Уравнение (18) поэтому примет вид
t
I ^Т I { "2р "d? (^У^У — ЗЛ. + 2ц ^^пп ) + 2ты, ft Тц, J | dV = 0. о V
Учитывая соотношения (15), имеем t
I ^Т I [^Г "d? ^WH — ЗХ + 2ц ^kk^nt^ + Р2 (Wi)] dV = 0, 0 V
или
I ["2ц" (^У^ УЗАТ^Г-^™) + P^z^z] ^ =0-(1®)
Используя соотношения (4), окончательно получим
Цу-ёиёИ-V^ekfeenn A-^UdJ^dV = 0, еИ = е'И — е"р (20) v
При ц > 0, ЗХ + 2ц > 0, р > 0 мы имеем дело с квадратичной положительно определенной формой. Поэтому должно быть ёц = 0, l)i = 0, а следовательно, и т;, = 0. В силу однородности начальных условий для напряжений получим tZj = 0. Итак, мы имеем дело с единственностью напряжений.
Вернемся к уравнениям в напряжениях (7) и отбросим в них массовые силы:
„2 (Л. + ц)/ 11 \ Mz/
□г — Ckk = 0.(21)
2 11 ЗХ + 2ц кка"\4 c2x)3k-V2p
Продифференцируем уравнение (21) по х, и получим 2(Л. + ц)/ 11 \ Mzz
П1агу./ + "зА+2ц °kk> 111 + 7" “7") ЗЛ + 2Ц §kkl ! = °‘ (22)
Используя соотношение (6), которое при Xz = 0 примет вид
□ К = °.(23)
получим систему уравнений
□га/;,/ н зх + 2ц ®кк11 = 01^4)
Разрешая уравнение (11) относительно и< (при Х{ = 0 и в пред* положении однородности начальных условий), получим
p«z(x, 0 = J (t — T)ff/Z, z(x, x^dx.(25)
о
Подставляя (25) в (24) и учитывая соотношения (12) при Xi = 0, сводим систему уравнений (24) к системе уравнений эластокинетики в перемещениях
Р^иг + (X + р.) uk, м = рйг.(26)
Уравнения в напряжениях (6) и (7) справедливы также для двумерных задач. Если внешние силы, граничные и начальные условия не зависят от переменной х3, то уравнения в напряжениях примут для плоского деформированного состояния вид1)
/ 11 \ ^аВ
++(27)
□ К = 0- а, 0, у = 1,2.(28)
Справедливы следующие соотношения:
Р ГМар 1 _-
И La“P 2 (Л. + ц) ^Ш a“V' VP । apY. ?a>t
pua (x, 0=1 (t — т) aap, p (x, t) dt,(30)
0
^aB
2цВар = crap 2 (Л + p) ^ a> ^=1’ 2-(31)
Эти уравнения были использованы Игначаком2) для решения задачи о поверхностных волнах Рэлея. Метод уравнений в напряжениях оказывается удобным при исследовании динамических задач для изотропных неоднородных тел.
Для решения двумерных задач довольно удобным в применениях оказывается некоторый вариант уравнений в напряжениях, предложенный Снеддоном) и Радоком). Он основан на таком использовании уравнений движения и условий совместности, что получаются волновые уравнения для трех неизвестных функций ап, 022, 012. Часть этих уравнений удовлетворяется одной функцией напряжения, являющейся в некотором смысле обобщением функции Эри на динамические задачи. Ход рассуждений в этом варианте следующий.
Исходным пунктом являются два уравнения движения:
^l^ll + ^2^21 = РИр ^1^12 + ^2022 = Р«2>(32)
и уравнение совместности
д^ег, + dXi = 2д.д2е(33)
Воспользовавшись соотношением (31), выразим условие совместности (33) в напряжениях:
^1а22 4* ^^ц2 (А + ц) ^* (аЧ + а22) = ^\д./$х2.(34)
Продифференцируем первое из уравнений (32) по xb второе по х2 и сложим:
д®ап + dja22 + 2д,д2о12 = рё, е = д,и, + д2и2.(35)
Учитывая, что
2 (А ~|- ц) в ^= (Тц 4* ^22,(36)
преобразуем (35) к виду
^п + ^2°22 + 2d1d2o12 = y^p^y (6ц 4~ 622)-(37)
Исключая из уравнений (34) и (37) напряжение oi2, получим первое основное уравнение
□?(а11+а22) = °-(38)
Продифференцируем первое уравнение (32) по Хц второе по х2 и вычтем почленно. Тогда
^№1^2^22 = Р ($11$22)"
Принимая во внимание, что
е11е22= 2jy (ап а2г)>
и выполняя простые преобразования, приходим ко второму основному уравнению
diд^он=(д2т^а22-(39)
2^2/\/
Наконец, продифференцируем первое уравнение (32) по х2, второе по Х[ и сложим. Получим третье основное уравнение
5^2 (о,, 4-а22) + П^12 = 0.(40)
Для определения неизвестных функций оц, о22, 012 имеем три уравнения (38)—(40). Удовлетворим сначала уравнению (39).
Выражая напряжения оц и 022 с помощью некоторой функции
’u-^-i^. ”а-эу-^ду, (41)
и подставляя формулы (41) в (39), убеждаемся, что это уравнение удовлетворяется. Подставляя формулы (41) в уравнение (40), получим
i(»12 + W) = 0.(42)
Наконец, подставляя формулы (41) в уравнение совместности (38), получим для функции F биволновое уравнение
^□^(Хр х2, /) = 0.(43)
Решение этого уравнения позволяет определить напряжения оц и 022 из формул (41). Напряжение oi2 найдем из решения волнового уравнения
QH = -d№lF,(44)
в котором правая часть уже известна. Трудность заключается в том, что в ограниченных телах напряжение oi2 входит в граничное условие. Возможен еще другой путь определения напряжения О12. Подставляя он и о22 в формулы (31), получим деформации еп = d\U\, е22 = d2U2. Интегрируя их, получим перемещения «1, и2, а с их помощью — напряжение oi2 = ц(д2И1 + di«2). Может показаться, что представление
^ар = Р. ар + $ар уу ГТ" ' а> Р=Ь 2,(45)
\^^2/
удовлетворяющее уравнениям (38) — (40), дает полное решение. Однако, как показал Игначак1), это не так. Ибо подставляя формулу (45) в уравнения (29), получим
«.»27ГтС)^ = 0'(46>
Уравнение (46) не может выполняться ни для одной функции F, которая удовлетворяет уравнению
^□^ = 0.(47)
С другой стороны, подставляя формулу (45) в уравнения движения
^ар. р = Рма>
*) J. Ignaczak, Ipc. cit. стр. 574.
получимполучим(48)(48)1 Й ••а“Р- Р 2с2 'а РЫ“"
получим
получим
(48)
(48)
Отсюда следует, что перемещение иа выражалось бы только через скалярный потенциал F, в то время как известно, что перемещение выражается через потенциальную и соленоидальную части.
Снеддон и Радок показали, в частности, пригодность представленного здесь решения для задачи о силах, движущихся в упругом пространстве и полупространстве с постоянной скоростью и.
Выберем новую систему координат (^i, §2), движущуюся вместе с возмущением и связанную с системой (хь х2) зависимостью
61 = *1 — Ut, ^2 = Х2.
Очевидно, что возмущение движется по направлению оси хь Вводя новые переменные в уравнение (43), получим
д21 д2 \ /^
^6151 ^^2 / \ ^1
Здесь
4г-ЙШ„Ь)-о.s2 ®»2 )4г-ЙШ„Ь)-о.s2 ®»2 )(49)(49)•Q •D2 у/г „ .Q . Л V2 у/1 Г, г,
4г-ЙШ„Ь)-о.
s2 ®»2 )
4г-ЙШ„Ь)-о.
s2 ®»2 )
(49)
(49)
S1=zP!=Z 1^> S2 = zp2 = z 1, U = F.
\ С1 /\с2/
_ d2Ua2 d2Uд;22с2_ d2Ua2 d2Uд;22с21 I д2(/ »22—— (! + ^'^">1 I д2(/ »22—— (! + ^'^">.d2U . „г d»UОц + ^22 — "ТТГ + Р2 ".d2U . „г d»UОц + ^22 — "ТТГ + Р2 "(50)(50)Для напряжений ац, а22, выписанных в переменных ^, g2, имеем следующие формулы:
_ d2Ua2 d2U
д;22с2
_ d2Ua2 d2U
д;22с2
1 I д2(/ »22—— (! + ^'^">
1 I д2(/ »22—— (! + ^'^">
.d2U . „г d»U
Оц + ^22 — "ТТГ + Р2 "
.d2U . „г d»U
Оц + ^22 — "ТТГ + Р2 "
(50)
(50)
Решение уравнений (49) можно представить в виде
/ а2 1 а2 \ А--А- -^1^1 = 0./ а2 1 а2 \ А--А- -^1^1 = 0.а2i_ d2 \dlf 4 d4 )а2i_ d2 \dlf 4 d4 )t/2=o,t/2=o,(51)(51)
/ а2 1 а2 \ А--А- -^1^1 = 0.
/ а2 1 а2 \ А--А- -^1^1 = 0.
а2i_ d2 \
dlf 4 d4 )
а2i_ d2 \
dlf 4 d4 )
t/2=o,
t/2=o,
(51)
(51)
U = ux +t/2.
Если в уравнение для U\ подставим ₽i^2 = ^2, то получим гар
моническое уравнение
Решениями этого уравнения являются аналитическая функция FJzJ и сопряженная с ней функция Fx(z,), где z^^ -t-fp^-.
Ux = Fx<2xHFMY
Общее решение уравнения (49) можно представить в виде
U ~ Fx (z,) -|- F1 (Z[) + F2 (z2) + F2 (z2) = 2 Re [F[ (zj + F2 (z2)], 22 = £1 + ^2^2-
Подставляя формулу (52) в соотношения (50), получим аи = - 2 Re [(1 + ₽? - 1 Pf) F" (z,) + у (1 + Р^) F" (г2)], ^22 = (1 + ₽D Re R7 ^ + F" (z2)],(53)
an + o22--2(P=-P=)Re[F"(2i)].
Подставляя оц и о22 в две первые формулы (31), после интегрирования получим перемещения их, и^, выраженные форму-
И«> = - Re [f( (z,) + 1 (1 + PI) F' (z2)] , г1i(54)
Hti2 = Im[piF((z1) + 2^(l + P|)F2(z2)].
Подставляя «1 и «г в соотношение о12 = р.(di«2 + d2«i), получим а„ - 2 Im [р,f;- (г,) + ^^ F" (г,)].(55)
Применение интегральных преобразований
Рассмотрим действие массовых сил в неограниченном пространстве. Предположим, что напряжения и перемещения обращаются в нуль на бесконечности. Мы располагаем уравнениями движения
' °ik, j + Xk = puk, j, k=\, 2, 3, (1) и соотношениями Гука
(2)(2)°jk = Ц кик, j + иь к) + ^kjtil, Ь
(2)
(2)
Для дальнейшего будет удобно ввести новую переменную Т = Ci/; тогда уравнение (1) примет вид
х л 52“ь (Х> Т)
Ojk, / (х. т) + ^ (X, т) = рс= —|^,(1а)
Систему этих уравнений можно решить, применяя преобразование Фурье по четырем переменным, определяемое соотношениями f (а„ «2, «з, ю) = ^г J H*i> х2> *з, т) ехр [Z(u6x6 +сот)] riK, 1 £г -<3>
/Ui, *2, х3, т) = ^- J f (“i, «2, аз, со) ехр [—Z(u6xfc +сот)] cZfl7, 1^4
dV = dxx dx2 dx3 dx, dW = dax da2 da3 da>.(4)
Здесь область интегрирования £4 берется по переменным хх, х2, Хз, т. Умножая обе части уравнений (1а) и (2) на ехр [/(«аХа + сот)], интегрируя по £4 и учитывая соотношения
1^ J ^ехРЬ’^Хй +©T)]dV = -(Za/, ©2)f,(5)
сводим систему уравнений (1а) и (2) к системе алгебраических уравнений
— 1а,61к + Xk + рс\<йгйк = 0,(6)
б/А = — Ф (Ййа, + й,ай) — i№>Mukak.(7)
Исключая из этих уравнений трансформанты напряжений, получаем систему уравнений, в которые входят только трансформанты перемещений
(у2 —со2Р2)й* + (Р2 — 1) а/айй/=-^-,(8)
где
у2=он«и^ е2=4-
с2
Решение этой системы алгебраических уравнений дает
_ _^№-(Й^Х1-Ь»а)акХк
U/ ^^-«VHV-^
Подставляя формулу (9) в (7), находим соответствующее выражение для трансформант напряжений. Применяя к формуле (9) обратное преобразование Фурье, получим
х 1 Г р2 (у2 - to2) X. - 62a,aкХкг ,х1
(х’ т) -ехр [-/ (“Л+ W-
'(Ю)
Этот метод используется во многих работах', относящихся к действию изменяющихся со временем сил и сил, перемещающихся с постоянной скоростью).
Значительно удобнее, однако, применять интегральные преобразования к решениям Ламе. Мы имеем дело с соотношениями (§ 9.3)
Ui = Ф, t + ^iikd/^kf(И)
^=р(«.*+^ад(12)
и с волновыми уравнениями
V2—у^ф=-4^ fv2т^Ь =—yZ,(13)
/«I \ c2 /c2
ИЛИ
(v2 — d2) Ф (x, t) =» (x, t), (v2—₽2dt) ф (x, t) =z (x, t).
cic2
(13a)
Применим интегральное преобразование Фурье к уравнениям (12):~_
^1 = — ф (а^ + «гХз — «зХг)»
Х2 = — ip (а^ + a3Zt — а^з),(14)
Х3 = — ip (а3» + а^г — а2Хь)-
Разрешая эту систему уравнений относительно » и Z/ и принимая во внимание соотношение div X = — i^kOk = 0» получим трансформанты правых частей уравнении (13);
о^Л • Xi = - ^2 (^за2 — ЗД,
Х2 = ^г №«3Д«1)> Хз = ^г (Д“1^ia2).
Применим преобразование Фурье к волновым уравнениям (13а):
(у2 ~ <о2) Ф = 4 ^> Ф/(У2 ~ ®2₽2)= 4 X/, /=1, 2, 3. (16) С1с2
•) Eason G., Fulton J., Sneddon I. N., The Generation of Waves in an Infinite Elastic Solid by Variable Body Forces, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 248 (1956), 575.
Выполняя в уравнениях (16) обратное интегральное преобразование, получим
,,1 Г $ ехр Г—Z (а,хь + сот)!
Ф X, I —aw, 4л2с7 Jу2-со2’
^'(17)
' |ДЦ™Ц^ ,-1,2.3.
4ЛС2У ~ Р И
Зная функции Ф и ф,, определим перемещение u(x, Z) по формулам (11).
Рассмотрим частные случаи действия массовых сил. Пусть функция ft(x, Z) имеет вид
ft(x, f) = ft0S(x)S(f) = ^-S(x)S(T), ft0 = const; (18) тогда
^(«ь а2, а3, (0) = ^- J б (х,) б (х2) б (х3) б (т) X
Е,
X exp[Z (айхй + сот)] dV = ^^-.(19)
Если ft(x, 0 гармонически изменяется во времени: ft (х, Z) = = fto6(x)e‘v = fto6(x)ez,nT, т\ = ^сх, где X — частота колебаний, то
ft(a1, a2, a3, to) =
■^- J 6 (xj б(х2) 6 (х3) exp(Za6x6) dx} dx2 dx3 J e^e^ dx = Ex—00
= ^ J exP[z(toT +^It^^^S^H--^-).(20)
Здесь мы воспользовались тождеством
(21)(21)J еИ^т = 2яЬ^,
(21)
(21)
где 6 — функция Дирака.
Наконец, если источник ft (х, Z) = ft0 6 (х,) 6 (х2) 6 (х3 — и^ = == ft06 (Х[) 6 (х2) 6 (х3 — г]т), г] = и/С|, перемещается в направлении
оси х3 с постоянной скоростью и, то
»(ai,a2,a3,(o)=-^- J J 6 (xJS (x2) exp[z (а^ + а2х2)] dxx dx2 X
X J J 6(^3 — лт) exp[i(а3х3 + <от)]</х3</т =
= ^ J exp[iT((o +a3n)MT = ^-S((o + a3n). (22)
Рассмотрим еще осесимметричную задачу, причем предположим, что единственной причиной, возбуждающей волновое движение, является потенциальная часть массовых сил X = р grad О. Тогда перемещения ит, uz выражаются через потенциал Ф так:
(23)(23)5Ф _ дФ“г — dr •“2 — dz '
(23)
(23)
а волновое уравнение ограничивается только продольной волной
□ ?ф = -4-^ П2 = У2x-di, V2 = ^- + 1A+^L (24) с,C]dr r dr дг
При решении этой задачи удобно применить сначала интегральное преобразование Ханкеля, а потом преобразование Фурье по двум переменным; преобразование Ханкеля определяется формулами
Ф (a, 2, f) = | Ф (г, z, Й Jo (аг) г dr,
L _(25)
Ф (г, 2, 0 — J Ф (а> 2, 0 а/0 (аг) da.
о
Умножая уравнение (24) на rJo^ar^dr, интегрируя по г от 0 до оо и учитывая, что
I ("5' + 7"^)Ф(г’ 2> Or/o(«r)dr = — а2Ф(а, г, Й, О
получим
\ UZ/С| иь
ИЛИ
— а2) Ф (а, 2, т) — ^-5^l£lI2. =^ (а> 2j t^
\«г jохс^
Введем интегральное преобразование Фурье
Ф (а, р, со) = -^ J Ф (а, 2, /) exp [/ (гр + шт)] dz dt, 1 Ег ~(27)
Ф(а, г, т) = "2^" J Ф(а> ₽, <о)ехр[—г(гр+(от)](/р</(о.
Применяя формулы (27) к уравнению (26), получим алгебраическое уравнение
(а2 + 02 —ш2)Ф(а, 0, ю)==^Ф(а, 0, ш).(28)
С1
Совершая обратное преобразование над решением (28), найдем Ф(г, г, г) =
— Г da J jР’ ю) 2 exp [— I (Рг + шт)] a/0 (ar) dp dto. (29)
2лс7 J J J а2 + Р — (О 1 0—оо —оо1
Так же просто интегральные преобразования используются для .■определения перемещений в бесконечной области методом Яко- ;ваке. Перемещения тогда выражаются формулами
". = ^(а;б„-^а,а,)ф„(зо)
где функции <р; должны удовлетворять биволновым уравнениям (^+2ц)П2П2ф, + ^ = 0.(31)
Выполнение интегрального преобразования Фурье по четырем переменным (х, т = с^), представленного формулами (3) и (4), дает
— X 4- 2р Г? о — X 4- р — 1
y2 = a24-a| + a2, И
(X + 2ц) (у2 - о2) (у2 - <о2Р2) Ф, + ^ = 0.(33)
Функции ф/ найдем по формуле
,1 r X. ехрГ— i fa. хь 4- сот")]
Ф/ (Х, т) = - —2^- j 247-22^ dal da2 da3 dto, (34)
4л C1P Vv - to2) (у —toV)
или
.. P г Xj /11\
’4л2с2р (X 4- H) <o2 \ y2 — co2p2 y2 — co2 / ^
X exp] — z (akxk + (0T)]dU7.(35)
Метод интегральных преобразований можно применить также к уравнениям в напряжениях. Игначак1) дал соответствующие формулы для напряжений, применяя к уравнениям в напряжениях сначала преобразование Лапласа по времени t, а затем преобразование Фурье по трем переменным хь Х2, х3. Свои формулы он применил для определения напряжений, вызванных действием ядра термоупругой деформации, т. е. ядра типа X = р grad th
Принцип виртуальных работ. Единственность решения
Рассмотрим упругое тело под действием нагрузок, изменяющихся во времени. В этом теле возникает поле перемещений ы<(х, /). Добавим к перемещениям ы< виртуальные приращения 6«ц Эти приращения очень малы, но произвольны; впрочем, они согласуются с условиями, наложенными на тело. Они являются непрерывными функциями класса С2. На той части поверхности тела, на которой заданы перемещения, положим б«; = 0. На остальной части поверхности виртуальные перемещения произвольны.
Рассмотрим виртуальную работу внешних сил
6L = J Xt 6ut dV+ [ pt but dA.(1)
VA
Учитывая, что pi = арп^, и используя теорему Гаусса — Остроградского, преобразуем поверхностный интеграл к виду
6L = J <Xt + аИ, ^ but dV + J 6!t ^t! dV.(2)
VV
Воспользуемся уравнениями движения
°7. / + ^i ^ P^i"(3)
Подставляя формулу (3) в (2) и приравнивая между собой работу внешних сил из уравнений (1) и (2), получим
. j (Xi — piii)6uidV4- j pibUtdA = j ajibeijdV. (4) 'vAV
Мы получили принцип виртуальных работ эластокинетики. Уравнение (4) справедливо как для упругого, так и неупругого тела, для линейных и нелинейных соотношений между напряженным и деформированным состояниями. Введение соотношений Гука
с^ = 2ц8;/ + Мг/ейй(5)
сужает принцип виртуальных работ до линейно упругих тел. Введение работы деформации
We = №;ez/ + у еккепп(6)
позволяет придать уравнению (4) форму
J (Xz — рй^ but dV-\- J pi but dA = b ^ WEdV. (7) VAV
Из уравнений (4) и (5) вытекает, что виртуальная работа внешних сил и сил инерции равна вариации внутренних сил, т. е. вариации работы деформации. Нужно добавить, что в случае смешанных граничных условий (когда на Аи заданы перемещения, а на Аа — нагрузки) поверхностный интеграл, входящий в уравнения (4) и (7), берется только по поверхности Аа.
Приравняем перемещение щ в некоторый момент тому перемещению, которое в той же точке действительно будет иметь место по прошествии времени dt. В этом случае ди,д№
bill = -^р- dt = uz dt, bWe = -gy dt, ... .
Уравнение (7) примет вид
J XiUidV + J piVidA — p J и1У^У = ГЕ, Ге= ^ WedV. (8) VAVV
Обозначим кинематическую энергию через
^ = f J ViVidV.
v Так как
d3t Г •
-Щ-^PJ u^dV»v
уравнение (8) можно представить в виде
А (^ + Ге) = J XiUi dA + $ pivi dA.(9)
VA
В этом уравнении мы узнаем основное энергетическое уравнение, которое составляет частный случай (ограниченный адиабатическими процессами) закона сохранения энергии из § 3.2 (формула (10)).
На основе уравнения (9) утверждаем, что суммарное приращение во времени кинетической энергии и работы деформации равно приращению работы, выполненной внешними силами системы.
Основное энергетическое уравнение (9) можно использовать для доказательства единственности решения. Рассмотрим для этого односвязное тело, находящееся под влиянием внешних сил в деформированном состоянии, изменяющимся во времени. Пусть на части Аа поверхности заданы нагрузки, а на части Аи — перемещения. Пусть существуют два решения и' и и"; тогда оба поля перемещений должны удовлетворять уравнениям движения
а'ц, / + ^<= Р“р
I X — ой"^^
Вычитая одно из другого эти уравнения и вводя обозначения й£ = и^ — и", oit = o'it — о"р получим систему однородных уравнений
^П,/ — рй< = 0.(11)
Граничные условия для перемещений и'^ и" имеют вид
^ = f,(x, 0 на Аи,Р- = с'вп, на Да,
и" = 1Дх, 0 на Ац, р" = а".П1 на Аа. (1$
Почленное вычитание граничных условий дает
й( = 0 на Аа, pt = O на Аа.(13)
Однородными становятся также начальные условия. Для перемещений u't и и" эти условия преобразуются следующим образом:
u't (х, 0) = gt (х),й'{ (х, 0) = ht (х),
и'^х, 0)=g,(x), й" (х, 0) = ht (х).^
Почленно вычитая эти уравнения, имеем для перемещений й(. = и< — и"
йДх, 0) = 0, ЙДх, 0) = 0,хе^ + Д.(15)
Итак, поле перемещений описывается уравнениями движения (11), в которые уже не входят массовые силы, а также однородными граничными (13) и начальными (15) условиями. Подставляя в основное энергетическое уравнение (9) Xz = 0, ^< = 0 на До и uz = 0 на Д„, получим
dX , dTz _п dt + dt ’
что приводит к соотношению
Ж + Т6 = const = J (у P^i + Р-еибц + у eftfte„„) dV.(16)
v
Эта постоянная должна быть равна нулю ввиду начальных условий при t = 0, ибо в силу того, что йг = 0 и йг = 0, имеем также и ^’ = Ж’е = 0. Но как кинетическая энергия, так и работа деформации не могут принимать отрицательных значений. Кинетическая энергия может быть равна нулю, если в каждой точке и в каждый момент Ог = 0. Так как V; = 0 при / = 0, то
йг = 0(17)
в каждой точке гела и в каждый момент. Отсюда вытекает, что
Поэтому возможно только одно решение. Из приравнивания нулю деформации вытекает, что 8^ = 0, т. е. 8^ = 8^. Наконец, из обобщенного закона Гука получим единственность напряжений.
Рассмотрим частный случай, в котором причины, вызывающие деформацию и движение тела, гармонически изменяются во времени, т. е. когда
Х^х, Й = Х*^х)е-ы,
р^х, t)=p*(x)e-tot = aunj на Аа(18)
и
гц (х, 0 = fi (х) е~ына Аи.
В теле возникают перемещения ut (х, f) = e-ie,tu*^, деформации ez/ = е-1®Ч*И\х) и напряжения Сц^х, t) = e~itot а*Дх).
Уравнения движения
ст/ц / + ^* + Р®2«* = °-(19)
записанные в перемещениях, будут эллиптическими уравнениями.
Введем амплитуды перемещений би*, умножим уравнения (19) на би*. и проинтегрируем по объему V:
J (X; + ро)2м*)би* dV + J а*^ ,6^ dV =Q,
Преобразуя второй из интегралов, получим
J (X* + p<D2«;) би; dV + J р] bu\ dA = ^ а*( бе^ dV, VAV
ИЛИ
J (х; + р®2«‘) би* dv + J р\ би; dA=б J w; dv, (20) VAV
где
W* = Lie* 8* 4-8* 8* .
8“ 1] 1} 1 2 RR tttt
Принимая, что вариации перемещений равны нулю на Аи и произвольны на Аа, получим из формулы (20)
б^Г*- f X-^dV- f py.dA^^p f u*6u*dV, F= f W*dV.
\ VAg/VV
Вводя величину
^•^^L J u^dV,
V
получим окончательно
— J Х*и^У— ^p*u*dA\ = 0.(21)
гao )
Итак, мы имеем дело с некоторым экстремальным свойством выражения, заключенного в скобки. Заметим, что при со-*0, т. е. при переходе к статической задаче, мы получаем доказанную в § 4.5 теорему о минимуме потенциальной энергии.
Предположим, что варьированию подвергаются амплитуды напряжений а'^ Величины бсг’у и связанные с ними вариации перемещений выбираем так, чтобы внутри тела удовлетворялись уравнения
ба*л j + 6Х* + р<о2 би* = 0.(22)
Кроме того, потребуем, чтобы на 4ст было бр* = бсг^.и,. = 0. На Аи величины 6р* = 6а*!гп; пусть принимают произвольные значения.
Умножим уравнения (22) на и* и проинтегрируем по объему тела:
^(б^^ + бХЛ-р^биЗи’йИ^О.(23)
V
После простых преобразований получим
J 6Г и* dV + J брХ dA = J е^. ба), dV — ра>2 J и* би’ dV. (24)
VАиVV
Так как
6Г* = f е* ба* dV, ЬХ = ра>2 [ и* би’ dV, VV
уравнение (24) можно свести к виду
6(^-r*) = J u^dV А- / u.6p*dA.
vАи
Предполагая, что u* = f’(x) на Аи не варьируется и что б (и*Х^ = и* ЬХ*, получим окончательно1)
^ X*tu*dV — J Ру^А\ = 0.(25)
\VЛц/
Из всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям движения (3) и граничным условиям на До, в действительности осуществляется напряженное состояние, определяемое вариационным уравнением (25). Заметим, что при со-*0 уравнение (25) представляет собой теорему о минимуме дополнительной работы, подробно обсужденную в § 4.7.
9.8. Принцип Гамильтона
Из принципа виртуальных работ при варьировании перемещений можно вывести некоторый весьма общий минимальный принцип для поля перемещений.
Рассмотрим конфигурацию деформированного тела, непрерывно изменяющегося во времени между двумя моментами t = tQ и t = t\. Приравняем действительные перемещения u,(x, t) и перемещения иг-4-биг-, причем варьировать будем так, чтобы
биг(х, t0') = 6ul(x, ^) = 0. (1)
■) Reissner Е., Note on the Method of Complementary Energy, J. Math. Phys., 27 (1948), 159—160.
Westergaard H. M., On the Method of Complementary Energy, Proc. Amer. Soc. Civil Eng. (1941), 199—227.
Запишем принцип виртуальных работ (формула (7) § 9.7) в виде
6L — р J u£ 6u£ dV = 6 J 1Ге dV,(2)
VV
где
6L = J Xi Ьщ dV + j pt but dA.
VA
Проинтегрируем уравнение (2) по времени от to до tx;
txцt,
J dt |бГ8^ = J bLdt — p J dt J UibUidV. (3) t, Vtoto V
Введем кинетическую энергию ^ — ypj utiitdV и вычислим ее v
вариацию:
.3^ = Р J utbiit dV = p J -^-(m£6m£) dV —p j ili&Ui dV. vvv
Интегрируя последнее выражение по времени от to до /ь получим
J ЬЖ dt = p j dt J -^-(«£6«£)dr— p j dt J utbUidV. (4) t,to Vto V
Первый интеграл в правой части равен нулю в силу предположения (1). Поэтому
[ 6^ dt = - р J dt J ut but dV.(4a)
toto V
Подставляя формулу (4a) в (3), получим соотношение
j (Ж8 — ^dt= J 6Ldt, Же = J WedV, (5)
totoV
а это и есть принцип Гамильтона. В левой части мы вынесли символ вариации за знак интеграла. Это допустимо потому, что как Ж8, так и Ж являются функциями состояния — величинами, зависящими от мгновенного состояния тела и не зависящими от того, каким способом это состояние было достигнуто. Символ ва- tx
риации в выражении J bL dt можно вынести за знак интегралу
только тогда, когда внешние силы обладают потенциалом
oL = 3— 6и. = — О — Ui ,
ди; 1( dut ’
в этом случае
6 J (Г8—^ + r)d/ = 0.(6)
t.
Обозначая через П=Ж8 + ^9 полную потенциальную энергию системы, получим принцип Гамильтона в виде
6j(n — ^dt = O.(7)
Функция J^ — П называется функцией Лагранжа, а интеграл J (^ — И)dt— действием по Гамильтону. Формула (7) указывает на то, что интеграл J X— H)dt принимает экстремальное значение.
Для абсолютно твердого тела Же = 0 и это уравнение переходит в известный принцип Гамильтона механики абсолютно твердого тела.
Возвращаясь к уравнениям (5) и (6), заметим, что потенциал внешних сил существует, если нагрузка не зависит от перемещений. Однако можно указать случаи (например, действие аэродинамических нагрузок на крыло самолета), в которых нагрузки зависят от перемещений, а часто и от изменений этих перемещений во времени. В этих случаях нагрузки не обладают потенциалом и нужно использовать вид (5) принципа Гамильтона."
Заметим еще, что для статической задачи Ж = 0 и принцип Гамильтона сводится к принципу минимума потенциальной энергии упругой системы
6П = 0.(8)
Рассмотрим простой пример приложения принципа Гамильтона к колебаниям мембраны, обсужденным в § 7.4. Пусть тонкая плоская упругая пленка натянута на контур / с натяжением S. К натянутой таким образом мембране приложена нагрузка, перпендикулярная ее плоскости. Эту нагрузку обозначим через р(х, f), а вызванный нагрузкой прогиб — через w(x, t). Под
влиянием нагрузки сила натяжения S получает незначительное приращение AS. Работа, произведенная внутренними силами S + dS на элементе dA (рис. 7.6), составит
dW^ = (S + dS) J J dun ds « S J J dun ds.
AA
После интегрирования по поверхности А мембраны получим
Жг = S (А'— А).(9)
Через А' мы обозначили поверхность мембраны после деформации. Используя известную формулу дифференциальной геометрии, имеем
А* = J [ 1 + (<W + (д2ф)2]'А dA.А
В силу того что первые производные перемещения w малы по сравнению с единицей, получим
Г8 = S (А' - Д) ~ у- J [(<W + (d2m)2] dxx dx2. (10)
А
Кинетическая энергия задается формулой
Ж = у J ww dA,(11)
А
а вариация внешних сил — выражением
6L = j р bwdA.(12)
. А
Подставим формулы (10) — (12) в уравнение (5):
6 j dt J dA jy-K^a;)2 + (d2m)2] — угуД }= J dt J pbwdA. (13) t, At, A
Ho
Цt,rtt
yd J dt J ww dA = J dA J tbbw dt = J dA j| w6w |'‘ — J w6w dt .
to A ,A toAt^
Так как 6w(x, t0) = (>w(x, /[) = 0, to
у 6 J dt J ww dA = — J dt J w 6w dA.
t, At, A
Преобразуем по частям выра кение
у в J [(д,©)2 + (d2©)2] dA = j dt w di (bw) dA =
AA
= J [(di© bw), t — V?© d©] dA = J dtw nt bw ds — J V?© bw dA = AIA
= j6©-^-<Zs— J" Vi© bw dA. (15) lA-
Подставляя формулы (14) и (15) в (13), получим
J dt J j [SV?© — pw + p\ bw — S J 4^- bw ds I = 0.
t, uiJ
Криволинейный интеграл по границе мембраны равен нулю. Это следует из предположения, сделанного при выводе принципа виртуальных работ. Мы предположили тогда, что вариации перемещений должны согласовываться с условиями, ограничивающими движение тела. Поэтому если на / задано граничное условие © = 0, то вариация bw должна быть равна нулю на этой границе. Остается поверхностный интеграл. Ввиду произвольности вариации bw подинтегральное выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю:
SVf©— р© + р = 0,(16)
и мы получили дифференциальное уравнение колебаний мембраны. Если нагрузка р не зависит от времени, то из формулы (16) получим дифференциальное уравнение мембраны для статической задачи
SVi© + p = 0.(17)
Принцип Гамильтона можно применить для вывода дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий для более сложных упругих систем, таких, как тонкие плиты и оболочки. Можно также, исходя из принципа Гамильтона (5), найти общие уравнения движения вместе с граничными условиями.
Теорема взаимности
Рассмотрим две системы причин, вызывающих движение тела, и вызванные ими следствия. Причинами могут быть внешние силы, т. е. массовые силы X, и нагрузки на Аа, а также перемещения на Аи, наконец, заданные начальные условия. Причинами являются перемещения ut внутри тела и связанные с ним деформации е^ и напряжения а^.
Вторую систему причин и следствий будем отличать от первой системы, снабжая все величины штрихами.
Первая система причин и следствий описывается уравнениями движения
■ОП. i "V ^1~ P«h(1)
граничными условиями
ut = tAx, Й на Аи, aMni = pl(x, t) на Аа (2)
и начальными условиями
Щ (х, 0) = gt (х), м<(х, 0) = й<(х).(3)
К этим уравнениям нужно добавить соотношения Гука
Оц = 2Pei/ + ^i/Sfefe(4)
и связи между деформациями и перемещениями
ei/== у^ь / + и/, г)-(5)
Аналогичные уравнения со штрихами справедливы для второй системы причин и следствий. Применим к уравнениям (1) — (5) интегральное преобразование Лапласа, определяемое соотношениями
$ [аг/ (х, 0J = 8И (х, р) = J а^ (х, f) e~Pl dt.о
Заметив, что
^[■^-j^p2^^*, р) — рщ(х, 0) —Мх, 0) == p4t (х, р) — pgt (х) — hi (х),
преобразуем уравнение (1) к виду
5ц,1 +^ = p(p2Ui— pgi — hi).(6)
Граничные условия после применения к ним преобразования Лапласа примут вид
й1(х, p) = fi(x, р) на А„, дмП1=р1(х, t) на Аа. (7)
Применение преобразования Лапласа к формулам (4) и (5) приводит к соотношениям
о И = ^р-ё^ + Хбцё^ ^ij—~2 (h.it / A-uh i).(8)
Умножим первое из уравнений (8) на ёц и аналогичное уравнение для о'ц на ёг/. Почленно вычтем одно из другого полу-
ченные таким образом уравнения и проинтегрируем по объему: j toMs — Оцё-ib dV = 0.(9)
v
Это первая общая форма теоремы взаимности, которая после применения обратного преобразования примет вид свертки:
t
dr J ац (х, т) ег/ (х, t — т) dV (х) = о v
= j dr j а^Дх, t— т)е£/(х, t)cZ^(x).(10)
о v
Уравнению (9) можно придать вид
J olju'ijdV = J S'^dV,
VV
или
J [(^"W;idF4[№^ OO КV
Применение теоремы Гаусса — Остроградского, а также использование уравнений (6) и аналогичных уравнений для системы со штрихами позволяют свести уравнение (11) к виду
J Х£й< dV + J рД dA-\-p J g^ dV + J h^ dV =
VAVV
= J X'lul dV + J р'й£ dA + p J ££й£ dV + J /г£й£ dV.(12)
VAVV
Применение обратного преобразования Лапласа приводит к уравнению Граффи ) t
J dr J [Xi (x, т) u'i (x, t — t) — X't (x, t — t) ut (x, t)] dV (x) +
о v t
+ J dr J [p£ (x, t) u' (x, t — t) — p' (x, t — t) ut (x, t)] dA (x) + о A
Л du^xa1)du^x,
+ J (x)digi(X)di dV M A- V
+ J \ht (x) u' (x, О—Н'ДхУиДх, 0]dl/(x)=0. (13)
Это вторая форма теоремы взаимности для эластокинетики. В случае однородных начальных условий уравнение (13) значительно упростится. Особенно просто формулируется теорема взаимности для бесконечного тела. Если предположить, что действие массовых сил ограничено конечной областью, а начальные условия однородны, то перемещения ut и и\ обращаются в нуль на бесконечности. В уравнении (13) исчезают поверхностные интегралы и остается
(14)(14)т) и{ (х, t—т)—Xf (х, t—x)ut(x, t)]cZE(x) = 0.
(14)
(14)
о у
Пусть в точке § действует единичная мгновенная сосредоточенная сила ^ = 6(х — E)61;6(f), направленная по оси х( и создающая в бесконечной области поле перемещений U\'4x, Е, t\ В точке т] приложим силу Xi = 6(x— ц) 6^6(0, направленную по оси хк. Обозначим через и^Чх, л, 0 поле перемещений, связанное с действием силы Х\. Из уравнения (14) получим
t
J </т J [б(х-|)боб(т)^’(х. П, t-x)-
0 Уоо
— 6 (х — Т]) 6lkb у — т) и^ (х, ё, т)] dV (х) = 0, или
U^^, П, 0 = 1^Чч, I, 0, А ^ = 1, 2, 3.(15)
Очевидно, что тензор перемещений U^ является симметричным тензором. Соотношения (15) являются обобщением теоремы взаимности Максвелла на динамические задачи теории упругости.
Соотношения (15) остаются справедливыми и для ограниченного тела при однородных граничных условиях. В этом случае мы имеем дело с уравнением
t
J dx j [Xi (x, т) u't (x, t — t) — Xi (x, t — t) Ui (x, t)] dV (x) + 0 V•
i
+ j dx j [^ (x, t) u'i (x, t—t)—p^ (x, t—t) u. (x, t)] dA (x) = 0. (16) 0 A
Если предположить, что сосредоточенная сила Xi действует в точке § и направлена по оси Xj, а сила Xi в точке т) направлена по оси Ху и, кроме того, что на Ад отсутствуют поверхностно
нагрузки, а на Аи тело защемлено, то останется уравнение (15), в котором интегрирование ведется по ограниченной области. Поверхностный интеграл в уравнении (13) исчезает, ибо pt = р'1 = 0 на Аа и u. = U; = 0 на Ац.
Вернемся к бесконечному телу и рассмотрим действие силы Хз, движущейся в направлении оси х3 с постоянной скоростью и. Тогда
Xt = б (xj д (х2) д (х3 — и0 б/3.
Поле перемещений, обусловленное действием этой силы, обозначим через Ui(x, /).■
Во второй, вспомогательной системе приложим в точке § мгновенную сосредоточенную силу ^ = д(х — £)б(Об</( направленную по оси Xj. Поле перемещений, вызванное этой силой, обозначим через «,(х, 2, t\
Уравнение (14) примет в этом случае вид
t
J dx J [б (х,) б (х2) б (х3 — ит) dZ3uz (х, Е, t — т) —
0 V
— б (х — |) б (< — т) bMut (х, т)] dV (х) = 0, откуда
t
и^ t)= J ы3(0, 0, ит; ^, ^2, g3; t — x^dx, j=l, 2, 3.(17)
о
Поэтому, зная находящееся под знаком интеграла перемещение и'у связанное с действием сосредоточенной мгновенной бесконечной силы, мы можем определить вектор перемещения u(§, Ц, вызванного СИЛОЙ Хг = б(Х1)б(Х2)б(Х3 — и^)6г3, движущейся с постоянной скоростью в направлении оси х3. Из формулы (17) видим, что и3^ <)= 0 при t = 0. Перемещающаяся сила Xt начинает свое движение в момент t = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда причины гармонически меняются во времени. В этом случае, обозначая буквами со звездочкой амплитуды колебаний, а через со — частоту колебаний, получим систему уравнений движения в виде
о и. i + ^i + ^u*i = 0(18)
с граничными условиями
«ИХ) = /ИХ) на Аи И a‘/Z«Z=P*(X) На АО* О9)
Уравнением, соответствующим уравнению (9), будет
^Wj-ay^dv-o,(2°)
v
а вторая форма теоремы взаимности выразится уравнением
J (хх - х;х dv + J (рх - р'Х dA=0-<21)
VА
Здесь напряжения о,* и перемещения и'^ удовлетворяют уравнениям движения
^,/ + ^* + р“2< = 0(22)
с граничными условиями
«Г(х) = /-*(х) на Дц и ст^ = pf (х) на Ао. (23) Вернемся к исходным уравнениям (1) — (5) и предположим, что система со штрихами относится к статической задаче, а поэтому удовлетворяет уравнениям
^,/+^ = 0(24)
и граничным условиям
иХГД^ на Ац и ^Х = р((х) на Аа. (25)
Умножая уравнения (4) на вц а уравнение
0^2^ + Лд^(26)
На бц, почленно вычитая перемноженные так уравнения и интегрируя по объему V, получим
J [а,, (х, 0 е^ (х) — <з'м (х) гц (х, 0] dV (х) = 0.(27)
v
Выполняя такие же преобразования, как и в уравнении (11), имеем
J {[ст//(х, t^uAx^ j— оп.Дх, tXA^dV^ — у
= J {[</ (х) Ut (х, 0], j — afl£, j(x)ui (х, 0) dv (х). у
Наконец, используя уравнения (1) и (24), получим
J (Xt - 9й^ u'^V-Y J Piu't dA = ^ X\utdV + J p'ut dA.(28)
УAVA
Такая форма теоремы взаимности позволяет использовать фундаментальные решения эластостатики для определения перемещений.
В качестве примера определим перемещение и,(§, 0> вызванное в бесконечном пространстве действием массовых сил ХДх, t). Для этой цели используем перемещения U^* (х, |), вызванные действием стационарной сосредоточенной силы, помещенной в точке § и направленной по оси х,. Из уравнения (28), в котором в рассматриваемом случае исчезают поверхностные интегралы, имеем
J б (х—|) 6Mut (х, 0 dV (х) = J [^z (х, 0 — puz (х, 0]U? (х, |) dV (х). VV
Это уравнение сводится к интегродифференциальному уравнению
и, (|, 0 + Р J «»(х, 0 и^\х, §) dV (х) = V
= J ХАх, t)uV4x, ^dV(x). (29) v
Если перемещения гармонически изменяются во времени:
ut (х, 0 = e~totu*t (х),
то уравнение (29) примет вид
и* (х) - PCD2 J U*t (х) urn (х, I) dV (х) = J X} (х) и^ (х, Ю dV (х). (30) VV
Пусть в ограниченном теле действует поле массовых сил ХДх, А, а на границе Аи и Ао заданы однородные граничные условия. В уравнениях (28) исчезнут поверхностные интегралы и останется
и, (|, 0 + р J м, (х, о 0\п (х, |) dV (х) = J ^ (х, 0 0^ (х, |) dV (х).
vv(31)
Здесь перемещения О^Чх, I) обусловлены действием сосредоточенной силы Xz = 6(x — ^)&и в точке | ограниченного тела. Функции О^Чх, I) должны удовлетворять системе уравнений
110^кк + (Л + ц) и^к£ + б (х -1) б;/ = 0(32)
С граничными условиями
0^п = 0 на Ац, р^ = 0 на Лр.(33)
Предположим теперь, что массовые силы гармонически изменяются во времени:
ХДх, 0 = е"шХ/(х).
Принимая следующий вид перемещений ut:
и, (х, 0 = е~£Ми, (х) + 2(х) е""£®^,(34)
убеждаемся, что функции и^х) удовлетворяют неоднородной системе уравнений
и* (х) - рЛ2 J и*, (х) 0^ (х, |) dV (х) = J х; (х) urn (X, |) dV (х), (35) VV
а и^— однородной системе уравнений
и^ (|) - рсо2 J и^ (х) О'р (х, g) dV (х) = 0,(36)
V
I, / = 1, 2, 3, п=1, 2,..., со.
Из системы уравнений (35) получим амплитуды перемещений, вызванных действием массовых сил. Приравнивая нулю определитель системы уравнений (36), определяем частоту собственных колебаний тела. Система уравнений (35) для таких частот не имеет решений. В этом случае мы имеем дело с резонансом.
Определим теперь приращение объема тела при изменяющейся во времени деформации. В качестве состояния со штрихами примем всестороннее статическое растяжение тела. Тогда
ац=ХЬИ' p'l=a'iini = nH u'i = ^' К = Л + уЦ.
Из уравнения (28) для X'i = 0 имеем
J ntut dA = -^-( J Xtx{ dV + j ptxt dA — p J iliXi dV
A\VAV,
Левая часть уравнения представляет собой приращение объема тела; поэтому
АУ(0АУ(01зк1зкj Xi (х, 0 Xi dV (х) + vj Xi (х, 0 Xi dV (х) + v
АУ(0
АУ(0
1
зк
1
зк
j Xi (х, 0 Xi dV (х) + v
j Xi (х, 0 Xi dV (х) + v
(37)(37)+ j р{ (х, ^) Xi dA (х) — р J Hi (х, 0 Xi dV (х) .av,
(37)
(37)
Для статической задачи последний интеграл обращается в нуль, и мы получаем формулу (20) § 4.11.
К формуле (37) мы придем также следующим формальным путем. Умножим уравнения (1) на xt и проинтегрируем по области V. Получим
J (°ji, / + Xt — рм() x( dV = 0, v или
J l(°jixi\ i — bijOjt + Xtxt рй4Х(] dV = 0. v
Окончательно
j ptxt dA + j Xtxt dV — p J utxt dV = j okk dV.(38)
avvv
Ho
(T66 = 3/<866, j a66 dV = 3K J 866 dV = 3K AV.VV
Очевидно, что формула (38) идентична формуле (37).
Обобщенная формула Сомильяны
В § 4.13 даны так называемые формулы Сомильяны, с помощью которых можно определить перемещения и внутри тела, зная перемещения и нагрузки на поверхности тела и фундаментальные решения для бесконечного пространства. Применим использованные там рассуждения к задачам эластокинетики.
Рассмотрим тело, занимающее объем V, ограниченный поверхностью А. Пусть на это тело действуют массовые силы, а на поверхности А заданы перемещения щ = /Дх, t\ Примем далее, что начальные условия для перемещений однородны.
Исходным пунктом наших рассуждений будет теорема взаимности
t
J dx J V^i (x, т) u't (x, t — t) — X'i (x, t — т) щ (x, x)]dV (x) + 0 V
t
+ J dx J [pz(x, t) u'^x, t—t) — p'(x, t—т) иДх, x)]dX(x) = 0. (1) 0 A
Это — уравнение (13) § 9.9, упрощенное вследствие однородности начальных условий.
Массовые силы Х( и перемещения щ- относятся к ограниченному телу. Попробуем определить перемещения иД^, Г) в точке
§^V, выражая их через граничные условия и соответственно выбранные перемещения u'i. Эти последние функции выберем следующим образом. Предположим, что функции u't = = U^ (х, 2, О вызваны действием сосредоточенной мгновенной силы Х/ = б;йб(х —|)6(0, приложенной в точке § бесконечного упругого пространства и направленной параллельно оси Хк. Эга сила вызывает перемещения и'{ = U^\
Перемещения мы получим из решения системы уравнений nVw + (Л + р) U^it + м> (х - §) 6 (0 = рй,(2)
в бесконечном пространстве. Предположим, что эти перемещения известны (мы их вычислим в § 10.1). Следует добавить, что при решении системы уравнений (2) требуется предположить также однородность начальных условий.
Определим далее соответствующие перемещениям U^\x, 2, /) напряжения qV = а'ц (х, |, 0 и построим вектор напряжения на поверхности Л:
Р;=р® (х, в, о=н та + и^ п, + хптап. о)
Подставляя u'. = U^, p't = pVi\ X't = 6ik6(x— 1)6(0 в уравнение (1) и принимая во внимание, что
t
[ dx j X'i (x, t — т) u£ (x, t) dV (x) =
i v t
= J dx J 6 (x — I) 6 (t — t) bikut (x, t) dV (x) = uk (|, t),
0 V
получим следующее соотношение:
t
Uk (I, 0 = J dx J Xi (x, т) uT(X, ^t-x^ dV (x) + 0 V t-
+ J dx J [p; (x, т) U^ (x, E, t—т)—p^ (x, I, t—t) ut (x, t)] dA (x). (4) 0 A
Последняя формула представляет обобщение формулы Сомиль- яны на задачи эластокинетики. Зная распределение массовых сил Xt, перемещения ut = f£ на А и вектор напряжения на А, можно определить вектор перемещения в точке § в момент времени Л Формула (4) справедлива до тех пор, пока § лежит внутри телд,
Формула (4) имеет только теоретическое значение. Это следует из того, что на поверхности А заданы (т. е. известны) либо перемещения, либо нагрузки, т. е. только один тип граничных условий на А. Если бы, однако, выбрать перемещение u'i так, чтобы оно соответствовало полю перемещений, вызванных действием силХ| = б;ьб(х — £) б (() в ограниченном теле (занимающем объем V, ограниченный поверхностью Л), защемленном по А, то определение перемещения и.к^Ц имело бы практический смысл. Пусть поле перемещений ut = uT kxi Е, 0 удовлетворяет системе уравнений
рХ№ + (А + ц) ОТ и + btk д (х -1) д (0 = рйь хЛеу, (5)
с граничными условиями
и^Чх, |, 0 = 0, хе л,
и однородными начальными условиями.
Предполагая, что поле перемещений ОТ известно, определяем вектор напряжения р\ = рТ по формуле (3). Подстановка функций Хр UT, ТТ в уравнение (1) приводит к формуле
uk (I, 0 = J dx J Xt (x, т) ОТ (x, I, t - t) dV (x) -
0 V
t
— J dx J ^T (x> ^ t — O Ui (x, T) dA (x),(6)
0. A
из которой уже можно определить перемещение Uk^OY Формула (6) представляет собой решение первой краевой задачи эластокинетики.
Представленную здесь обобщенную формулу Сомильяны без труда можно расширить на случай неоднородных начальных условий.
Смешанные краевые задачи эластокинетики )
Рассмотрим односвязное тело в области V, ограниченной поверхностью А. Пусть поверхность А составлена из трех частей, разделенных кривыми а и р. На каждой из этих частей поверхности заданы иные, чем на соседней, граничные условия. На тело действуют массовые силы X, на части поверхности Лг заданы
- нагрузки q, на Ах и Л3 предположим, что вектор и равен нулю ’). Положим, что все причины возникли в момент t = 0+
Мы имеем дело с задачей со смешанными граничными условиями. Требуется решить систему уравнений
P^i, // + (^ + /) ы/, jl + ^i= P^i (х> 0»(1)
I, /= 1, 2, 3, хе/, t > 0, с граничными условиями.
ut ^, 0 = 0, у G Л„ Л3, qt {у, 0 = Оц {у, t) ns (у), у е Л2, (2) и начальными условиями
uz(x, 0) = 0, й<(х, 0) = 0, хе/, / = 0.(3)
Точку, принадлежащую области V, мы будем обозначать через х, а точку на поверхности Лг — через у.
Эту сложную задачу теории упругости, как и ранее (§ 4.15), сведем к решению системы интегральных уравнений. Мы будем оперировать с простейшей системой, которую назовем «основной системой». В качестве «основной системы» выберем тело, жестко закрепленное на части поверхности Л3 и свободное от нагрузки на частях Ах и Л2 поверхности.
При решении задачи окажется весьма полезным тензор перемещений Грина U^^x, Е, t\ построенный в основной системе. Пусть в точке §е / рассматриваемой основной системы действует параллельно оси Хк единичная мгновенная сосредоточенная сила. Эта сила Xz=6(x— l)6(0 6zfc вызывает при фиксированном к перемещение 1№ с составляющими иТ (х, |, /), г = 1, 2, 3. Если к последовательно принимает значения к = = 1, 2, 3, то мы получим три вектора LK1*, U/\ 1Г3>, или тензор перемещений U\^ (х, 5, f), i, к=\, 2, 3. Функции Грина и\у (х, |, 0 выберем так, чтобы удовлетворялись дифференциальные уравнения движения
Mk?H + (А + ц) и^?а + б (х -1) д (0 би = риТ' (х, I, 0, (4) х, |е/, t> 0, с граничными условиями
p(fc> = CTW(y, ^,0л; (у) = 0, уеЛ,, Л2, U^ (у, |, 0 = 0, у е Л3, (5) и начальными условиями
U^^, |, 0) = 0, й^Чх, |, 0) = 0, х, |е/, f=0.(6)
Здесь ар = р. Ум + Up^ + 'KbliUv^T — напряжение, вызванное действием сосредоточенной силы б(х—1)6(06^. Используем теперь теорему взаимности (13) § 9.9, предполагая, что вектор и относится к системе уравнений (1) с условиями (2) и (3), а вектор и' = №>—к основной системе. В уравнении (13) § 9.9 сразу же отбросим два последних интеграла ввиду однородности начальных условий для функций и и №> (уравнения (3) и (6)).
Теорема о взаимности работ принимает следующий вид:
J ^т J [^ (х, т) [/^ (х, |, t—т)—б (х—с) б (t—т) btkut (х, т)] dV (х) + о v
+ J dx J [р, (у, t) U^ (у, |, t—x^—p^ (у, I, t—x) ut (у, т)] dA (у)=0.
0(7)
Это уравнение значительно упростится, если воспользоваться свойством функции Дирака
p(x)d(x-|)<W(x) = f(|)(8)
V
и граничными условиями (2) и (5) для функций и и 1№. Окончательно получим
uk ($, 0 = и» (§, t) + J dx J Rt (у, т) UW (у, I, t — т) dA (у), | £ V.
0 л-(9)
Здесь введено обозначение
u»k (I, 0 = / dx J X; (х, т) U^ (х, |, t — т) dV (х) + о v
+ J dx J qt (у, т) U^ (у, |, t — т) dA (у), | е V, уеЛ2. (10) 0 А,
Через Ri мы обозначили функцию ацп^ = pi на поверхности Ах. Если функция U^ известна, то известно выражение и“(|, 0, так как распределение массовых сил X в теле и распределение нагрузок q на Л2 задано. Функции и° можно трактовать как перемещение в точке § основной системы, вызванное действием массовых сил и нагрузок qi на поверхности Л2.
20 В. НовацкиА
Произведем теперь замену переменных в функциональном уравнении (9):
ик (х, 0 = и^ (х, t) + J dx J Rt (у, т) U^ ^, х J — т) dA (у), хе V.
0 л-(11)
В это уравнение входят две неизвестные функции: перемещение Ui и реакция опоры Ri на Аь Очевидно, что, зная распределение сил /?/(у, f) на Аь можно найти поле перемещений м,(х, t). Функции Ri^, t) определим, используя первое из граничных условий (2)
ы,(у'» 0 = 0, УеА?(12)
Здесь у' — произвольная точка на Ль отличная от у. Граничное условие (12), будучи подставлено в (11), дает при переходе от точки xSV к точке у' eXj следующую систему уравнений:
t
«й(у'»0 + J dx ^ Rt^, x^U^^» V- < —т)сМ(у) = 0, (13) о л,
у, у'еЛр i, к = \, 2, 3.
Мы получили систему трех интегральных уравнений первого рода. Ее решением являются функции /?г(у, т), t = 1, 2, 3. Подставляя Ri в соотношение (11), получим искомое поле перемещений Ui-
Уравнение (13) можно представить в более удобном для вычислений виде введением дополнительной функции Грина.
Новый тензор перемещений G/n(x> У> 0 определим так. Пусть в точке ^'е Ах действует сосредоточенная сила, направленная параллельно оси хт. Функция G/1 в основной системе удовлетворяет однородной системе уравнений движения:
nGM/ + (A4-|i)G/7/t = pGzr,(x, у', 0, хеГ,уеЛь ^>0, (14)
с граничными условиями
рТ {у> V. 0 == б (у —у') б,гб (0, у, у' е Л„
Р(р (У. У', 0 = 0, у £ Л2, G^ (у, у', 0 = 0, у е Л3,(15)
И начальными условиями
G*/1 (х, у', 0) = 0, О^Чх, у', 0) = 0.(16)
Применим к функциям UT и G^ теорему взаимности, используя формулу (13) § 9.9. В новых обозначениях при учете гра-
ничных и начальных условий (5), (6), (15) и (16) получим со* отношение
dr J б (х — g) б«б (т) GT (х, у', 1 — т) dV (х) = о v
(17)(17)= / dx J б (у — у') 6ir6 (t — т) UT (у, |, т) dA (у), О Л,
(17)
(17)
которое приводит к зависимости о^у^^Чу',^.(is)
Заменяя у' на у, | на х, а индекс г на г, имеем и^Чу, х, П=О^Чх, у, i).(19)
Очевидно, функциональное уравнение (И) можно записать как
uk (х, /) = и° (х, /) + J dx J R. (у, г) Gp (х, у, t — г) dA (у).(20)
0 А,
Переходя от точки xg V к точке у'е Ль получим из формулы (20) систему интегральных уравнений
^(У',^)+ртрДу, х^Чу', У, t-x)dA(y) = 0,(21)
о д,
I, 6=1, 2, 3.
Представленный здесь метод решения можно обобщить на случай тела, в котором на поверхностях Ль Л2Ат (Л^ЛгЛ-... ... Л- Ат = Л) заданы различные граничные условия. Если какая-либо из поверхностей вырождается в кривую, то в интегральные уравнения наряду с поверхностными интегралами войдут также и криволинейные интегралы.
Рассмотрим теперь случай гармонических во времени колебаний. Предположим, что причины, вызывающие колебания, имеют вид
Х(х, t) =Х* (x)e-il0t, р(х, /) = р* (х) e-ltot(22)
Тогда функции и,(х, t\ G1^ (х, f) будут гармонически изменяться во времени, причем
Ui^x, t^uUx^e'^. G,fei) = Gf4x)e-itoi(23)
Функции и?(х) должны удовлетворять эллиптическим дифференциальным уравнениям
ри*, И + ^ + ^ “/• Н + Р™2мг + ^* = 0(24)
и граничным условиям
и* = 0 на Л, и Л3, q* = a',.(nj на Л2.(25)
Функциональное уравнение (20) переходит в уравнение
ик (х) = at (х) + j К (у) вГ кх, у) dA (у).(26)
л.
Переходя от точки xg V к точке у'е Ль получим систему интегральных уравнений
4°(у') + j ^(y^'V, УМЛ(у) = 0,I, £ = 1,2,3, (27)
л,
из которой уже можно определить неизвестные функции R} 0" = 1,2,3).
Метод Купрадзе
Обсудим кратко интересный метод, предложенный Купрадзе1) и основанный, на сведении уравнений зластокинетики для гармонических во времени колебаний к системе интегральных уравнений.
Подставляя в уравнения движения
put, ц + (^ + Р) ui,ii + ^i = рй<(1)
гармонические колебания
и^х, t) = иЦх) e~ia>i, Х{(х, t) = ХЦх) e~iat,
получим систему уравнений
р.и*(, ц + (X + р) u*j. ft + X*i + pco2«l = 0,(2)
которую кратко можно записать в следующем операторном виде:
ПцИ-¥Х1 = 0,+(3)
\ С2 /
Мы будем рассматривать колебания односвязного тела В+, ограниченного поверхностью А. В дальнейшем мы воспользуемся
■) Купрадзе В. Д-, Методы потенциала в теории упругости. Физматгиз, М., 1963.
теоремой взаимности для случая гармонических во времени колебаний. Это уравнение (21) § 9.9
J (XX* - X^t^ dV + J (рХ* - м dA = 0.(4)
VА
Пусть массовые силы Х*р поверхностные нагрузки р* и перемещения tu относятся к рассматриваемой области В+, в то время как величины Х'^, р7 и и?— к бесконечной области. Пусть в точке |еВ+ действует сосредоточенная сила с амплитудой Х/ = б(х—1)6/4, направленная параллельно оси хк. Вследствие действия этой силы возникает поле перемещений U*ik\x, ^ и вектор напряжения р'* с составляющими рТ = о1Гпг
Функции Ulf' должны в бесконечной области удовлетворять системе уравнений
^h + (X + ц) U^p + б (х - ё) di6 + рй2^16* = 0.(5)
Перемещения UX должны на бесконечности затухать в соответствии с «условием излучения», которое мы подробно обсудим в § 9.15.
В дальнейшем опущены звездочки при всех величинах. Мы делаем это только для упрощения записи, помня, что имеем дело с амплитудами.
Подставляя в уравнение (4) и' = [/^> (х, ё), Х, = б(х— ё) б», p' = pW(x, ё), получим уравнение
J \Xt (х) uT (X, У — б (х — §) б/6«/ (х)] dV (х) + V
+ j \pt (х) U^ (х, ё) — р'^ (х, ё) ut (х)] dA (х) = 0. А
Используя свойство функции Дирака, находим, что
и^МхХГЧх, ё)^(х) + v
+ J Pi (х) и^ (х, ё) dA (х) - J р^ (х, ё) Ut (х) dA (х).(6)
АА
Формула (6) является формулой Сомильяны, выведенной здесь для частного случая гармонических колебаний. Перемещения мй (^ = 1, 2, 3) выражаются через объемный и поверхностные интегралы, в которые входят функции и/ и р^ на поверхности А.
Правую часть уравнения можно записать в виде интегралов от скалярных произведений векторов на тензоры. Полагая
х - №, х2, х3), и|6> = № iA\ и^), Р = (Р1, р21 Рз),...,
запишем уравнение (6) в виде
«6(1) = jx(x).U,6>v«6(1) = jx(x).U,6>v(х, I) dV (х) 4- J Р (X). U(6> (х, ю dA (х) -А
«6(1) = jx(x).U,6>v
«6(1) = jx(x).U,6>v
— j р,6> (х, |) • u (х) dA (х).(7)
А
В соответствии с формулой (8г) § 4.2 составляющие вектора напряжения р можно выразить через производные перемещений ди.
Pi (х) = olt (х) П; (х) = 2ц -^- 4- 2цщ/;пу 4- XriiUk> k.
Отсюда ')
р (х) = 2р -^ 4- Хп • div u + 2p(n X rot и) = Тх [и (х) ],(8)
Аналогично имеем
р,6> (х) = 2ц А (и16*) 4- Лп • div U,6> + 2р (n X rot U16*) =
-^[^(х, у].(9)
Индекс х при Т означает, что дифференцирование ведется по Xi. Учитывая формулы (8) и (9), перепишем уравнение (7) так:
uft ® = / X (х) ■ и,6> (х, §) dV (х) 4- / Тх [и (х)] ■ U'6' (х, У dA (х) - VА
- j Tx[Ulk)(x, ^-u(x)dA(x).(7а)
А
Поменяем местами | их и обозначим точку на А через у. Тогда uk (X) = J X (I). и16* & х) dV ® 4- / Ту [и (у)]. и,6) (у, х) dA ^ -
VА
- J T'JU^Vy, x)].u(y)d4(y),(10)
А
Формула (10) справедлива для области В+. Если точка х находится во внешней области В-, то левая часть уравнения (10) равна нулю. Если точка х находится на поверхности А, то в ле-
■) В. Д. Купрадзе называет оператор Г оператором напряжений.—Прим, перев, ' ~
вой части формулы (10) появится множитель 1/2. В общем виде имеем
П« uk^ = J X©.U|6,& x)W
v
+ jr9[u(y)].U-6-(y,x)^(y)-j rg[U,e,(y,x)].u(y)dX(y), (11)
АА
гдегдеТ](х) =Т](х) =11/2011/20при х е В+, при хе А, при х е В~.при х е В+, при хе А, при х е В~.
где
где
Т](х) =
Т](х) =
1
1/2
0
1
1/2
0
при х е В+, при хе А, при х е В~.
при х е В+, при хе А, при х е В~.
Очевидно, что произвольный регулярный1) вектор ц(х) в области В* выражается в виде линейной комбинации трех интегра-
лов:
ик^=/ uw& хнют, V
У6(х)== J и|6)(у, х)«ф(у)<М(у),(I2j
А
Wk^ = J ТДи'^у, х)].ф(у)М(у).
А
Здесь векторы <р (у) и ф(у) определены на поверхности А, а вектор х(1) в области В+. Функции Uk, Vk, Wk называются упругими потенциалами. Функция Uk называется объемным потенциалом, Vk — потенциалом простого слоя, a Wk— потенциалом двойного слоя.
Нетрудно показать, учитывая уравнения (3) и (5), что
ПиУк^ = 0, DMWkW = 0, ПИик^ = -Х1Ах\ (13)
Объемный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению (3), а потенциалы простого и двойного слоя — соответствующему однородному уравнению.
Основные свойства введенных потенциалов (12) существенно зависят от дифференциальных свойств поверхности А и векторов ф(у), Ф(у) и х(У)- Если точка х принадлежит области В+, то потенциалы простого и двойного слоя можно дифференцировать
■) Произвольный вектор, определенный в замкнутой области S*u.4 = В*. называется регулярным, если его (все) составляющие непрерывны вместе со своими первыми производными в В+, а их вторые производные непрерывны и интегрируемы в В*.
произвольное число раз и доказать, что они являются аналитическими функциями.
Дело усложняется, когда точка х приближается к границе, х-*А. Ядро упругого потенциала простого слоя U<h>(y, х) стремится в точке х = у к бесконечности как 1 /г. Поэтому потенциал простого слоя уже в случае непрерывной плотности <р (у) выражается на А ограниченным интегралом. Иначе обстоит дело с потенциалом двойного слоя. Купрадзе в цитированной выше работе показал, что если плотность ф(у) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, а поверхность А принадлежит по крайней мере классу Са, то потенциал двойного слоя в А существует в смысле главного значения Коши *). Мы дадим здесь без доказательства три теоремы Купрадзе относительно упругих потенциалов 2).
Теорема 1. Если АеСа и феС°, то потенциал простого слоя
К6 = / U'6'(У, х).ф(у)^Л(у)А
всюду непрерывен. Если же Ф (у) е На (Л), то
Vfe(x) е Ср(В+),0<р<1.(14)
Теорема 2. Если ЛеС, и фе//а(Л), то выражение ^у^(у) Для точки у, стремящейся к точке у0 на границе А, принимает конечное значение. Тогда мы получим соотношение
7V6(y0) = 2лф6(у0) + / ГУо[и,6,(у,уо)].ф(у)£1Л(у).(15)
А
■) О функции f(x) мы говорим, что на некотором множестве S [f(x) е е На (S)] она удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, если отношение
lf(x)-f(y)lга (х, у) ’
Где г(х, у) —расстояние между точками х и у, будет ограничено априори для произвольных х и у. принадлежащих множеству S. Если функция f, определенная в области S (х, е) (е не зависит от х), однозначна и непрерывна вместе с производными до (к—1)-го порядка, а к-я производная принадлежит Ha(S), то говорят, что / принадлежит классу C„(S) и пишут f еС„(5). Если данное выше определение остается в силе для каждой внутренней точки поверхности А, то говорят, что поверхность А принадлежит классу С„. Если к = 1, то говорят, что А является поверхностью Ляпунова.
’) В. Д. Купрадзе, loc. cit стр. 612.
Теорема 3. Если Л е Со и q> е На (Л), то потенциал двойного слоя
Г6(х)= J гЛи^Су, х)] - * (У) ^Л (у)А
стремится к конечному пределу, когда точка х стремится к некоторой точке уоеЛ. Этот предел равен
№6(уо) = -2лЫУо) + / гДи^^у, у0)М(у)<М(у). (16) А
Теоремы 2 и 3 используются при решении основных краевых задач.
Решение первой краевой задачи, когда на Л задан вектор перемещения u(yo) = f(yo), мы представим в виде потенциала двойного слоя, используя формулу (16). Получим следующую систему интегральных уравнений:
-2лЫу0) + / Г, [U16* (у, уо)]-Ф(у)^Л(у) = ^(Уо).(17)
А
Решение второй краевой задачи (когда на Л заданы нагрузки) ищем в виде потенциала простого слоя, применяя теорему 2. Тогда имеем интегральное уравнение
2л<р6(Уо) + / ^[^^(у, у0)] -ф(у)<М(у) = ^(у0).(18)
А
Здесь fh(yo)—заданная на границе Л нагрузка.
Входящие в эти уравнения интегралы необходимо понимать в смысле главных значений Коши. Это сингулярные интегральные уравнения. Существенное значение имеет вопрос, является ли справедливой для обсуждаемых уравнений теория Фредгольма, ибо классическая теория интегральных уравнений применяется к уравнениям с квазисингулярными ядрами (ядрами со слабой особенностью, т. е. такими, которые на основном интервале имеют особенности, интегрируемые в обычном смысле).
Купрадзе показал, что в случае сингулярных интегральных уравнений теории упругости классическая теория Фредгольма остается в силе. В уже цитированной книге он дал доказательство теоремы единственности и теоремы существования решения как для внутренней, так и для внешней задачи.
Решение неоднородного волнового уравнения
Путем разложения вектора перемещения на потенциальную и соленоидальную части уравнение в перемещениях было сведено к системе простых волновых гиперболических уравнений
второго порядка. Здесь мы более подробно займемся волновым уравнением, характеризующим волну дилатации в бесконечной упругой области,
(v2—^)ф(х, о = -Д-у(х, О-(О
Это волновое уравнение имеет фундаментальное значение в распространении акустических и оптических волн. Предположим, что начальные условия однородны, так что единственной причиной, вызывающей волновое движение, будет источник у(х, /), который является заданной функцией переменных х, I. Мы начнем с рассмотрения распространения волны в трехмерном пространстве: x = (xi, Х2, Хз).
Для решения уравнения (1) воспользуемся вспомогательной функцией G^R, t), зависящей от радиуса R = (х? + х2 + x^1 и времени t. Пусть эта функция удовлетворяет уравнению
(l^^W-^)0^’ 0=-4лб(^)б(/) (2)
с однородными начальными условиями G(R, 0) = G(R, 0) = 0. Уравнение (2) описывает сферическую волну, вызванную действием точечного мгновенного возмущения в начале координат. Уравнения (2) можно записать также в цилиндрических координатах:
++2- 0 = -4л-УДб(?)б(0,(3)
\ dr2 г dr 1 dz2 с2 ) х '2лг ' * х х '
ибо сферическая волна характеризуется осевой симметрией относительно оси z. Уравнение (3) удобнее в силу возможности применения к нему интегрального преобразования Ханкеля — Фурье.
Применим сначала к (3) преобразование Лапласа, принимая во внимание однородность начальных условий. Получим
/ d2 . 1 д . д2 P2V г \ л 6(г) . , .,„
Чж G (г, z, р) = — 4л б (zY(4)
\ dr2 г dr 1 dz2 с2 } v2лг ' * х >
Здесь
G (г» 2, р) = ^ [G (г, z, 0] = J G (г> 2, f) e-pt dt, о
Умножим уравнение (4) на r/0(ar)cosyz и проинтегрируем по объему Ко:
7 "37 + "£" ~ "flG ^' 21Р^ rJy (ar) cos ^г dr dz="
= —2= —2J rd (r) /0 (ar) dr J d (z) cos yz dz. оо
= —2
= —2
В соответствии с правилами интегрального преобразования .Ханкеля — Фурье получим
откуда
G^r, z, р) = ^- Г Г(б)
' ’ ’ л J J a2 + У2 + (р2/с2)' *
о о
Учитывая, что
С COS yz t/y Л exp [—zb^gZ-]- (р2/с2)] J a2 + у2 + (p2/C2) — 2 VTF+TTTT)"
И
C exp [— z Ka2 + (p2/c2) ] aZ0 (ar) (Za e~RplcJ K^+TP/TY “ R ’
получим
—1 Г n r- " 1 p~RPlc
G (r, z, p^ = ^ exp 5 у /z2 + r2 ] = —_.(6)
Перенесем теперь возмущение из начала координат в точку §.
Уравнение (2) в прямоугольной системе координат примет вид
(v2 - ^ d?) G (х, ^,t) = - 4лб (х -1) d (f).(7)
Применив к этому уравнению преобразование Лапласа, имеем
(V2 -5)5 (X, §, р) = - 4nd (х - §).(8)
Решением этого уравнения, очевидно, является функция —„-Rplc
G(x,l, р)=^~,(9)
где
R = 1(^1 - SJ2 + (х2 - а2)2 + (Хз - Вз)2]7’-
Применим к (9) обратное преобразование Лапласа. Тогда получим
Функция G(x, §, /) является фундаментальным решением волнового уравнения. Она представляет собой мгновенный импульс (функция Дирака), перемещающийся в направлении возрастающих значений R от точки возмущения ^ до бесконечности. Величина с является скоростью распространения этой волны.
Вернемся к уравнению (1) и применим к нему преобразование Лапласа с учетом однородных начальных условий:
(v2—-^)ф(х, р) = ~4-у(х, р).(Н)
Умножим уравнение (11) на G, а уравнение (8) на Ф, вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем по объему V. Получим■
I" (ёУ2Ф — ФУ2С) dV = v
= --^-j ^GdV + 4л j d(x — ^O(x)dV, (12) vv
или
)(8<-Ф<)<(Л = 1пФ($,р)-^|^|/.(12а)
АV
Для бесконечной области в предположении, что интеграл J|y|dV является ограниченным, имеем Ф -> 0 при R -> оо. v
В уравнении (12а) поверхностный интеграл исчезает, и мы получаем
Ф & Р) = 15^г J Y (х> Р)5 (х> ^ Р)dV (х)-(13)
v
Применяя к (13) обратное преобразование Лапласа и используя теорему о свертке, имеем
t
Ф(1, 0=7^ J dr j у(х, t — r)G(x, |, r^dV (х).(14)
О V
Подставляя в (14) фундаментальное решение (10) и меняя ме* стами точки | и х, получим
7^1)1 v(S,<-t)6(4-t)a, ко
или
Ф<’Л)=^)^^т R<ct. (15)
Подинтегральная функция характеризуется тем, что в нее входит временной аргумент t— (R/c). Функцию у мы берем в момент t — (R/c), опережающий момент t, для которого вычисляем Ф. Разность R(c этих моментов как раз составляет время, необходимое для распространения возмущения из точки | в точку х со скоростью с. Выражение (15) называется запаздывающим потенциалом.
Неравенство R ^ ct указывает на интегрирование внутри шара. Введем сферические координаты (R, ф, О), связанные с координатами ^, и х, зависимостями
^ = xt-VRnb / = 1,2,3,(16)
где щ — направляющие косинусы прямой, соединяющей точку х с точкой |, и
nv = sin О cos ф, п2 = sin О sin ф, щ = созО, .
О^^^л, 0^ф^2л.
Подставляя формулы (16) в (15) и учитывая, что в сферических координатах dV = J?2 sin ОdtpdRd», получим
Ф(х, *) = ^г J j j y(^ + ^, t — ^ R sin» dR dip d».(15a)
0 0 0
Здесь мы интегрирование по прямоугольным координатам заменили интегрированием по шару радиуса R = с/. Центром шара является точка х, точкой на поверхности шара — точка |.
Рассмотрим теперь частный случай формулы (15). Предположим, что функция у(х, /) имеет вид 4лс2б(х)Ц/). Это — сосредоточенное возмущение в начале координат, изменяющееся во времени с момента / = 0 по заданному закону f^ty
Из формулы (15) получим
Ф^*^=1А^Г* R=№ + ^x^ = R(x,0).(17)
Эта функция удовлетворяет волновому уравнению (1) и имеет особенность в начале координат.
Рассмотрим далее двумерную волновую задачу, описываемую уравнением
(vf -4 Ф Ui> х2, /) = - 4 Y Ui> *2, П. vt = df + d2,
Ф(хь x2, 0) = Ф(хь x2, 0) = 0.
Для решения этого уравнения воспользуемся волновым уравнением, в котором решение зависит от г = (х2 + х|)'/2,
\дг2 г дг с1 dt1 ) х '2лг0 g)
G(r, 0) = G(r, 0) = 0.
Применим к уравнению (19) сначала преобразование Лапласа
^-4)с(г, р) = --Ц^.(20)
Решаем это уравнение, используя интегральное преобразование Ханкеля, и находим G в виде
5<f^) = I «^'(^-^(v)-<2«
о
Здесь Ko(z)—модифицированная функция Бесселя третьего рода. Применяя к формуле (21) обратное преобразование Лапласа и перенося источник из начала координат в точку |, получим
|0 при 0 < 1< г(с,
G (xh х2;§2, = | с __,(22)
( VW-r2 Р
где
г = [(х1-^1)2 + (х2-^2)2],/\
Применим к уравнению (18) преобразование Лапласа:
(V1 — 4") Ф <*i’ х2, Р) = — 4 Y (х1> х2, р)-(23)
Комбинируя соответствующим образом уравнения (20) и (23), имеем
(GV2® —Ф?25)^л =
2л J б (xj — ^)б (х2 — У Ф (Х[, х2, р)dxv dx2--^ yGdA. (24) AA
Поверхностный интеграл заменяем на криволинейный интеграл. Этот интеграл равен нулю, если предположить, что интеграл J | у Id А ограничен и Ф-*0, G-*0 при г—юо. Из уравнения л
(24) остается уравнение
Ф(к U 0 =-^ J Y^1’ х2. Р) 5 (xb х2; ^, g2, p)dxldx2.
А
Заменяя переменные и применяя обратное преобразование Лапласа, имеем
t
Ф(х- /)= 2^ PTJ ^- ^G^, х, t-x)dA^,
0 A
^ = (^1Л2), x = (x„ X2).
Нам остается подставить G из формулы (22) в формулу (25). Тогда
Ф (х, /) = — Г dx Гг^су — ту (26)
' 2лс J J У с2 (/ - т)2 - г2v/
Сравнивая формулу (26) с формулой (15), заметим некоторое несовпадение, а именно в формуле (26) интегрирование ведется по времени. В формулу (15а) временная зависимость входит косвенно через радиус шара R ^ с/, по которому ведется интегрирование, и через функцию у (|, / — -у-).
Рассмотрим теперь частный случай источника, а именно у(х, /) = 4лс26(Х1)6(х2)/:(/). Это линейный источник (вдоль оси х3) интенсивностью 4nc2f(/). Он начинает действовать в момент t = 0 и изменяется во времени по закону f (/). В этом случае из формулы (26) получим
!
t-p,c
2с ■- ■■ ■ при ct > р,
J ^C2 (t _ т)2 _ р2(27)
|0при с/ < р,
где р = (х2 + х2)1/2.
Формулу (27) можно получить другим путем, а именно интегрируя выражение Ф для точечного возмущения (формула
(17)) вдоль оси г от — оо до + оо. Поэтому имеем
Ф = [' -
/р2+(г_^)2 Ь
/? = [р2 + (2-ОТ'/2, Р = (Х2 + <3.
Вводя переменную s = 2 — g и учитывая, что
( ^ 0 при л > О,
{ = 0 при л < О, получим
Ус2Р-р2
ф = 2 J /(/-О/сЖ^+^Л dsоУ р2 + s2
Совершая новую замену переменных т = / — 7 /р2 + s2,
получим функцию Ф в виде
t-Pic
Ф = 2с Г —=Х=^= при ct > р J ус2 (< _ Т)2 _ р2
в соответствии с формулой (27).
Нам остается рассмотреть одномерную задачу
тт^Ф^ь /) = --^-у(х„ /), \/с^8)
Ф(хь 0) = 0, Ф(х„ 0) = 0.
Вспомогательная функция G(xh ^; /) должна удовлетворять уравнению
^ /) = -5(x1-^1)S(0> х с '(29)
G^,0) = 0, G(xh^, 0) = 0.
Применяя к формулам (28) и (29) преобразование Лапласа и соответствующим образом комбинируя эти уравнения, получим
J (ёз?Ф — Фд[С) dxv = w9? ОООО
— 7? J yGdxH- J 5 (%! — ^Ф^!, p)dxv (30)
— 09— 09•₽ор
— 09
— 09
Предположим, что интеграл J | у \dxv ограничен, а это влечет за собой Ф—>О, G—>0 при Xi —»± оо. Интегрируя по частям левую часть уравнения и учитывая условия на бесконечности, получим
Ф(£ь Р) = ±г fVUo p)G(xlt gh p)dXi. (31)
После применения обратного интегрального преобразования и замены переменных получим
tОО
фU1, /) = 7? / dx J ч&х,1-х^акххЛъ^х. (32)
О —оо
Применяя к формуле (29) преобразование Лапласа, а затем косинус-преобразование Фурье, будем иметь
Cfe U р) —И ^".^АГ~^«»V-p\X. -S, п. (33)
Выполнение обратного преобразования Лапласа дает
G^, £„ 0 =G^, £„ 0 =^1 — Si ' с,^i — Si' с.^1 — Si ' с,^i — Si' с.при Х!>^,при Х!>^,При Х^^,При Х^^,(34)(34)
G^, £„ 0 =
G^, £„ 0 =
^1 — Si ' с,
^i — Si' с.
^1 — Si ' с,
^i — Si' с.
при Х!>^,
при Х!>^,
При Х^^,
При Х^^,
(34)
(34)
где H^t + с — функция Хевисайда.
Подставляя формулу (34) в (32), получим следующую формулу для функции Ф: tjc,+c (i—т)
Ф^Р t)=±Jdx J у^, т)^.(35)
Ох,—с Ц—т)
В частном случае плоского источника, заданного функцией у(Х1, /)= 6(Xi)l(t), из формулы (35) получим
[ t-xye
[ Hx)dx при I х, | < ct,
Ф(^о = { 0Jр 1(36)
О при | х( I > ct.
Интеграл Пуассона )
Рассмотрим однородное волновое уравнение
(V2-Ad^(x> /) = 0(1)
с неоднородными начальными условиями
Ф(х, O) = f(x), Ф(х, 0) = g(x), хеУ.(2)
Займемся исследованием распространения в бесконечной области волны Ф, вызванной начальными условиями (2). Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа и результат
V20> — j- [р2Ф — рФ (х, 0) — Ф (х, 0)] = 0(3)
запишем в виде
(v2--§-)®(x, р) = —^-[р/(х) + я(х)].(4)
Сравнение уравнения (4) с уравнением (11) § 9.13 показывает, что функцию pf(х) + g (х) можно трактовать как источник у(х, р). Используя формулу (13) предыдущего параграфа, получим
ф (I. р) = 4^г / [р/ (х) + g (х)] 5 (X, |, р) dV (х).(5)
V
Функция G(x, |, /) как фундаментальное решение волновой задачи задается формулой (10) § 9.13. Применим к формуле (5) обратное преобразование Лапласа и заменим переменные. Тогда
®(х. 0—bs"J g®G® X. О^Ю-Ь
+(6)
Рассмотрим первый из интегралов, обозначая его через Фр Введя сферические координаты (/?, ф, О), выразим координаты g, на поверхности шара через координаты центра шара хг
^!=Х[+ «[/?, ^,2 = х^Ц-n2R, ^з = х3 + n3R. (7)
Здесь «!, п2, «з— направляющие косинусы прямой, соединяющей точку § с точкой х. В сферических координатах
«j = sin ■& cos ф, n2 = sin О'sin Ф, n3 = COS0‘,0<0<л, 0^ф^2л.
Объемный элемент dV примет в сферических координатах вид
dV = /?2sin^^d(pdj?>(8)
Подставляя формулы (7) и (8) и функцию
G(x, I, t)=™^-(9)
в первый интеграл (6), получим
R 2л л
Ф1(х, ^ = i J J J ё<А^п1К’ x2-Vn2R, x3 + «3j?)X
Xd(4— t^^-s\^d»d^.(10)
Используя свойство функции Дирака
J A (n) д (т, — 0 ^П = А (/),(11)
v
приводим выражение (10) к виду
2л л
ФДх, ^ = 1л J J §^ + ntct> XiA-n^t, х3 + п^ sin a dS dtp. (12) о о
Интеграл, входящий в это уравнение, является средним арифметическим функции g на поверхности шара единичного радиуса. Формулу (12) запишем символически как
ФДх, 0=Шс((^(х,/)}.(13)
Учитывая вид уравнения (6), имеем
Ф(х, 0 = tMct\g(x, /))+4жа/(х, /)}].(14)
Решение уравнения (1) с начальными условиями (2) представлено в виде двух поверхностных интегралов. Выражение (14) называется интегралом Пуассона.
Проверим теперь, удовлетворяет ли выражение (14) начальным условиям. С этой целью выполним дифференцирование по времени в формуле (14):
Ф(х, fy = tMct\g^x, /))+ад(х, /))+/4^IZ(x, 0). (15)
При / = 0 имеем
2л я
Ф (х, 0) = Mct [f (X, 0)} = ^ j dqp J f (xj sin »d» =о о
2л л
= /(х)^рФ1зт^ = /(х).(16)
о о
Интеграл в этом выражении равен поверхности единичной сферы, т. е. величине 4л. Поэтому Ф(х, 0) = f(x).
Дифференцируя уравнение (15) по времени, имеем
^-^ = Mcj£(x, ^.yt^W, /)) +
+ 2^{/(х, /)}+/^{/(х, /)).(17)
Рассмотрим выражение
2л л
=^j d(pI ^"А7 + П2"6; + Пз"ж^’ ^ Ызт^^= о о
= 4лсД 11 "Sri dA = ДлсД III V2^1 ^2 ^3 =R=ctR<ct
= ^-\^gkxx, X2, X3) +
Это выражение при t—»0 стремится к нулю. Так как
lim—(£(х, /)} =0, <->о 01
а величинаа величинаa^Mctat2a^Mctat2(/(X, /))(/(X, /))
а величина
а величина
a^Mctat2
a^Mctat2
(/(X, /))
(/(X, /))
является ограниченной при /-*•(), из формулы (17) остается
2л л
.d®jx,0) = ^^(Х) 0)! =sr(x)_L J d(p J sin^^ = J§r(X). 00
Второе начальное условие выполнено.
Интеграл Пуассона позволяет полнее понять механизм распространения волны. Предположим, что возмущения f(x) и g(x) содержатся в некоторой конечной области DQ, ограничен-
ной поверхностью А. Это означает, что функции f и g равны нулю вне этой области.
Рассмотрим изменение состояния Ф(х,/) в точке М(х), лежащей вне области О0. В силу формулы (14) состояние Ф определено в точке М в момент t как начальное состояние в точках, лежащих на сфере Mct радиуса ct с центром в М. Функция Ф(х, /) отлична от нуля только в том случае, когда сфера Mct пересекает область О0.
Пусть dv и d2— расстояния от точки М до ближайшей и самой дальней точки области О0 (рис. 9.3,а). Очевидно, что при
/ < /1 = dxj с сфера Mct не пересекает Do; поверхностные интегралы в выражении (14) равны нулю. До точки М возмущение еще не дошло; точка М находится в состоянии покоя. Начиная с момента tx = dxjc до момента t2 = d2jc сфера A4ci пересекает область Do, поверхностные интегралы будут отличны от нуля. В момент /i = dxjc сфера Л4сг достигнет области О0 и фронт волны пройдет через точку М. При dxjc <1 < d2jc точка М находится в состоянии возмущения. Момент t2 = d2jc соответствует переходу конца волны через точку Л4. При дальнейшем возрастании t сфера Л4С« будет содержать область О0, возмущение минует точку Л1 и Ф(х, /) примет нулевое значение (рис. 9.3,6), Перейдем к двумерной задаче, т. е. к решению уравнения
(д? + д22)ф — р"Ф = 0(18)
с начальными условиями
Ф (М, х2, 0) = f (хр х^, Ф (хр х2, 0) = g (хр х2).(19)
Преобразование Лапласа функции Ф выражается формулой
Ф(Х!, х2, р) =
= ^ 11^ ^’ ^ + Pi^* ^15 (^ ^ ^ х2’ р) ^1 ^ (2°) Л
Здесь функция б(хь Хг, |i, |г, Р) задается формулой (25) предыдущего параграфа.
Рассмотрим первый из .записанных выше интегралов:
Ф^Хр х2, P)=2^I g^v’ ^) 5(^i, ^2. Хр х2, р)^^. (21)
А
Применяя обратное преобразование Лапласа и учитывая, что
G(Xp х2, £р с2, /) —G(Xp х2, £р с2, /) —0сУс2^ _ л20сУс2^ _ л2при 0 < / < г/с,при 0 < / < г/с,при / > г/с,при / > г/с,(22)(22)
G(Xp х2, £р с2, /) —
G(Xp х2, £р с2, /) —
0
с
Ус2^ _ л2
0
с
Ус2^ _ л2
при 0 < / < г/с,
при 0 < / < г/с,
при / > г/с,
при / > г/с,
(22)
(22)
получимполучимФ1(Хр х2, /) =_ 1 С С g(gi. Ь) d^ dU 2лс Л VW-^-x^-^-x^ ’Ф1(Хр х2, /) =_ 1 С С g(gi. Ь) d^ dU 2лс Л VW-^-x^-^-x^ ’г < ct. (23)г < ct. (23)Легко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, примененное к соотношению (20), при переходе к полярным координатам (г, 6) даетЛегко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, примененное к соотношению (20), при переходе к полярным координатам (г, 6) дает
получим
получим
Ф1(Хр х2, /) =
_ 1 С С g(gi. Ь) d^ dU 2лс Л VW-^-x^-^-x^ ’
Ф1(Хр х2, /) =
_ 1 С С g(gi. Ь) d^ dU 2лс Л VW-^-x^-^-x^ ’
г < ct. (23)
г < ct. (23)
Легко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, примененное к соотношению (20), при переходе к полярным координатам (г, 6) дает
Легко убедиться, что обратное преобразование Лапласа, примененное к соотношению (20), при переходе к полярным координатам (г, 6) дает
Ф(Хр х2, /)Ф(Хр х2, /)ct 2л1 Г Г gUt + г cos0, х2 + г sin 0)ct 2л1 Г Г gUt + г cos0, х2 + г sin 0)2пс J Jо о2пс J Jо оУc2t2 — г2Уc2t2 — г2г dr dti +г dr dti +
Ф(Хр х2, /)
Ф(Хр х2, /)
ct 2л
1 Г Г gUt + г cos0, х2 + г sin 0)
ct 2л
1 Г Г gUt + г cos0, х2 + г sin 0)
2пс J J
о о
2пс J J
о о
Уc2t2 — г2
Уc2t2 — г2
г dr dti +
г dr dti +
ct 2л
rdrdti . (24)rdrdti . (24)о оо оУc2t2 - г2Уc2t2 - г2Г С Ухх Л-т cos 6, x2-V г sin 0)
rdrdti . (24)
rdrdti . (24)
о о
о о
Уc2t2 - г2
Уc2t2 - г2
Интегрирование здесь производится по сфере Cct радиуса ct. Формулы (23) и (24) можно получить также и переходом от трехмерной задачи к двумерной.
Если функции g и / не зависят от х3, то и функция ф, заданная формулой (14), не зависит от х3. Эта функция удовлетворяет уравнению (18) с начальными условиями (2). Очевидно, что формула для решения пространственной задачи справедлива и для плоской задачи. В формуле (14) мы интегрировали по сфере радиуса R = ct. Здесь ввиду независимости функций f и g от х3 интегрирование по верхней полусфере можно заменить интегрированием по кругу Cct, образованному пересечением шара Set с плоскостью Х[Х2 (рис. 9.4).
Элемент поверхности dA связан с элементом do плоскости следующей зависимостью:
do = dA cos у, где
LUb v MNCt•
Здесь |i, c2 — координаты точки круга CV Аналогичные рассуж-
дения применимы и нужно удвоить.дения применимы и нужно удвоить.к нижней полусфере, поэтому интеграл
дения применимы и нужно удвоить.
дения применимы и нужно удвоить.
В результате формула (12), которая имеет вид ф1=4^ // 8^’ ^ W R = ct, dA^R4\^d^d^, Sct переходит в
ф _ 2/ f f ULii^^^-L f f g^.^)^.^
4n^JJ cosy 2лс J J ^ct)$ _ (X1 _ g()2 _ (%2 _ g )z *
В общем виде, преобразуя формулу (14), получим
b 21 2лс dt J J Vw-<.xx-^y-^-^ +
f f gdbgs)^^ 1
J J /(Ct)2-(Xl-^)2-(x8-^)2 ‘’
Указанный метод называется методом спуска и широко применяется в различных областях математической физики.
Предположим, что начальное возмущение в плоскости Х1Х2 ограничено некоторой областью О0 с контуром / (рис. 9.5). Предположим, что точка ЛГ(Хь х2) лежит вне DQ. Пронаблюдаем распространение волны, вызванной возмущениями g и f в области О0. Состояние Ф согласно формуле (24) является начальным состоянием в точках, лежащих на окружности Cct радиуса ci с центром в точке М(хь Хг). В момент t<_dxlc, где dx — кратчайшее расстояние от контура /, окружность Cct не имеет точек,
РИС. 9.5.РИС. 9.5.
РИС. 9.5.
РИС. 9.5.
общих с областью Do; до точки М возмущение еще не дошло. Начиная с момента /1 = dx]c до момента /2 = d^c, где d2— наибольшее расстояние от точки М до контура /, поверхностные интегралы в формуле (24) отличны от нуля. Заметим, что они отличны от нуля и при / > d^c, ибо окружность Cct содержит область Do. Для /2 > d^c имеем
Ф(хь х2, /)- ^ FJ^L DoФ(хь х2, /)- ^ FJ^L Dodt Jn VW-^-^-Vx,- g2/dt Jn VW-^-^-Vx,- g2/(26)(26)
Ф(хь х2, /)- ^ FJ^
L Do
Ф(хь х2, /)- ^ FJ^
L Do
dt Jn VW-^-^-Vx,- g2/
dt Jn VW-^-^-Vx,- g2/
(26)
(26)
Интегрирование в этой формуле ведется по области Do.
В случае возмущения в трехмерном пространстве функция Ф была равна нулю после перехода хвоста волны через точку М(хх, Хг). Здесь, в двумерной задаче, функция Af (xi, х2) не об-, ращается в нуль.
Следует, однако, заметить, что с неограниченным возрастанием / функция Ф будет стремиться к нулю. Это следует из на-
личия члена ci в знаменателе подинтегральных выражений в формуле (26). Функция Ф не обращается в нуль после перехода хвоста волны через точку М, т. е. имеет место диффузия волны.
На рис. 9.5, б показана функция Ф в фиксированной точке Af(Xi, Хг) в зависимости от времени t.
Колебания, гармонические по времени
Рассмотрим однородное волновое уравнение в бесконечном пространстве
(v2-j-c^ = 0(1)
и предположим, что причины, вызывающие деформацию, гармонически меняются во времени. Тогда и функция Ф должна изменяться гармонически во времени:
Ф (х, 0=е-;“гФ*(х).
Уравнение (1) переходит в уравнение эллиптического типа, называемое уравнением Гельмгольца
(V2 + 6W = 0, ^2 = $.(2)
Это уравнение сводится к уравнению Лапласа, когда к = 0.
Рассмотрим сначала сингулярное решение этого уравнения в бесконечной области. Нас интересуют те решения уравнения (2), которые имеют в точке § особенность и зависят только от расстояния между точками х и §.
Обозначим через г = г(х, |) расстояние между этими точками и запишем уравнение (2) в едином виде для пространственной и плоской задачи1):
(3)
При п = 3 имеем пространственную задачу, зависящую только от г = (х^ + Xg + х^2, при п = 2 — плоскую задачу, зависящую от г = (х2 + х2)''2.
Общее решение уравнения (3) имеет вид
Ф(г) = ^г1Л//^(^) + 5^М т=^.(4)
') Kupradze V. D., Dynamical Problems in Elasticity, Progress in Solid Mechanics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963.
Здесь Нт, Нт — функции Ханкеля т-го порядка первого и второго рода.
При м = 3 (т=1/2) имеем
т. е.т. е.H'S W-iV^F
т. е.
т. е.
elkr-Ikr
(5)(5)^-Ax^-^Bx-^.
(5)
(5)
r = [(x, - 61)2 + (x2 - g2)2 + (x3 - 6з)2]'/2.
Очевидно, что функция q> будет неограниченно возрастать при х-Ч-
Нужно еще установить, какую из величин следует сохранить, а какую отбросить. Так как Ф(х, /) = Не[е~г“гФ*(х)], то
Ф, (х, /) = Re p-ZmZ -у-] = у Re{ exp [— /со (/ — у ^ } =
= ycosco;(/-y).(6)
Мы получили расходящуюся волну, распространяющуюся от места возмущения в направлении возрастающих г со скоростью с. Напротив, функция
Ф2 (х, /) =Re e-tGltФ2 (х, /) =Re e-tGltе-№]1/ г'
Ф2 (х, /) =Re e-tGlt
Ф2 (х, /) =Re e-tGlt
(7)(7)_—^-cosco^ + y
(7)
(7)
представляет собой сходящуюся волну. Это волна, распространяющаяся от бесконечности до точки возмущения. Решение (7) не имеет физического смысла и его следует для бесконечной области или для внешней области отбросить.
Перейдем от пространственной волны к двумерной. Решением уравнения (3) для п = 2 является
Ф^АН^кгНВН^Чкг), r = [(x1-6i)2 + (x2-^2)2p. (8)
В это решение входят функции Ханкеля нулевого порядка первого и второго рода. Эти функции можно представить как линейные комбинации функций Бесселя и Неймана
+ H^kr^J^-iN^M (9)
где
s=0s=0N„to =N„to =S=0S=0to^r'g+s)(s!)2r(l+s)to^r'g+s)(s!)2r(l+s)(10)(10)
s=0
s=0
N„to =
N„to =
S=0
S=0
to^r'g+s)(s!)2r(l+s)
to^r'g+s)(s!)2r(l+s)
(10)
(10)
Мы получаем при х—*§ неограниченно возрастающее решение, причем функция ф возрастает как 1п(1/г), если А #= В. Если А = В, из формул (9) сразу видно, что особенности сокращаются.
Рассмотрим частное решение
O^RebT^XW-(11)
При возрастающем г для больших аргументов функции Hoefer’) справедлива асимптотическая формула
М1» ~ ■/А-еИЫ-п1Чу + о (г-1)].(12)
Через О(г“) обозначаем такую величину у, что отношение у/га остается ограниченным при г->оо. При учете (12) формула (11) примет следующий вид:
Ф1 = Ке|у -L.eH6r-„/4-m<)[i _|_ о(г-*)] j =
= /^“s“(f—г + ^П + о^1»('3)
Мы имеем дело с расходящейся волной, распространяющейся в направлении возрастающих г со скоростью с. Легко показать, что вторая волна
O2 = ReXX2'(M
является сходящейся, т. е. не имеет физического смысла. Для решения пространственной задачи ф = eikT,r образуем следующее предельное выражение:
которое характеризует поведение сингулярного решения на бесконечности. Выполняя указанные дифференцирование и переход К пределу, получим
(14а)(14а)/ eikr \Г= lim — — =0.
(14а)
(14а)
г^1 г /
Аналогично для решения плоской задачи ср = На1 (&г) справедлива формула
Г = Пт ]/7{ 4? [#о1 (Ar)] - ikH^ (kr)} =
= lim /7 [- кН? (kr) - ikH?(kr)) = 0.(15)
Г-> со
При предельном переходе мы воспользуемся асимптотическим выражением
Н? (кг)«У^Ц1 ккг - ^Г1 11 + 0 (г"*)1-
Предельные выражения (14) и (15) можно записать как
4- — - ik — = е^О (г-2),
4; [Z/&11 (Ar)] - 1кН? (кг) = е;6гО (г"71).(16)
Эти формулы дают информацию о поведении фундаментальных решений и их производных в окрестности бесконечно удаленной точки.
В дальнейшем мы будем рассматривать класс решений уравнения
(V2 + А2) Ф* = 0,
которые ведут себя на бесконечности так же, как частные решения е£*7г, Н?(кг).
Теорема Гельмгольца *)
Разобьем бесконечную упругую область на внутреннюю область Dt, охватываемую поверхностью А, и внешнюю область Da. Предположим, что источники возмущений, вызывающие монохроматические (гармонические) волны, лежат вне области Di. Уравнение Гельмгольца
W* + W = 0, Ф (х, I) = Ф* (х) е"1®1, k = oic, (1) является однородным, а его решения регулярны в области Di, т. е. не имеют в этой области особенности.
Попытаемся определить функцию Ф*(§), ^,@Dt, через поверхностные интегралы от функций Ф* и дФЙдп. Так как при выводе формулы для функции Ф* будем применять преобразо-
‘) Helmholtz Н., Journal f. Math. (Crelle), 57 (1859), 7,
вание Гаусса — Остроградского, следует предположить, что функции, подвергающиеся этому преобразованию, имеют непрерывные первые и вторые производные внутри области Di и на поверхности А.
Для определения функции Ф*(б), где ^gD,, вводим функцию G(x, /) = G*(x)e~imt, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
(V2 + A2) G* (х, б) = — 4лд (х — б)(1а)
в бесконечном пространстве. Предположим, однако, что точка § принадлежит Di. Умножим уравнение (1) на G*, уравнение (1а) на Ф*, вычтем один результат из другого и проинтегрируем по области Dt. Тогда
| (GV®* _ oVG*) dV = 4л J Ф* (х) д (х - б) dV (х).(2)
DiDt
Применяя к левой части уравнения (2) преобразование Гаусса — Остроградского, получим
ф-«)=^/(б-^-ф-^)^(х).(3)
А
Функция G*(x, б) является фундаментальным решением, зависящим от расстояния между двумя точками б и х. В соответствии с решением предыдущего параграфа
с* (х, ю=, r=[^ - ба (х( - ба)А.(4)
Функция G(x, б, О описывает расходящуюся волну, распространяющуюся от точки возмущения до бесконечности. Подставляя формулу (4) в (3), получаем
ф®=,И[лГТ-ф-;ккН $eD- ®
А
Эта формула справедлива до тех пор, пока точка б принадлежит области Di- Если точка б лежит вне Di, то правая часть уравнения (5) равна нулю.
Формула (5) представляет собой первую теорему Гельмгольца. Если Ф* является регулярным решением уравнения (1) и имеет непрерывные первые и вторые производные внутри области Di, а также на ее поверхности, и если точка б лежит внутри области Di, то функция Ф* будет выражаться формулой (5). Если б лежит вне области Di, то правая часть формулы (5) равна нулю.
На основании формулы (5) можно определить функцию Ф*(б) в точке б области Dt, если известна функция Ф*(х) и ее нормаль-
ная производная <?Ф*(х)/<?п на поверхности А, ограничивающей область Di. Точка х принадлежит А, а нормаль п направлена наружу области Dt.
Во многих приложениях все источники находятся во внутренней области Dt, а нас интересует значение функции Ф* в точке £, лежащей во внешней области Da. Решение уравнения (1) для области Da будет регулярным решением. Предположим, как и ранее, что первые и вторые производные функции Ф* непрерывны в области Da и на поверхности А, отделяющей область Di от области Da.
Опишем теперь сферу радиуса Ro с центром в точке %eDa. Этот радиус выберем настолько большим, чтобы сфера содержала внутреннюю область Dt (рис. 9.6).
Область, содержащуюся между поверхностью сферы 2 и поверхностью А, обозначим через D. Запишем уравнение (5) для области D:
ф" ®to I [-ф" 77 (V) dA * +
А
1 Г Г р^^ дф* * д ! р^^ М
+^г II V ^ - ф ^ (d2 w- (6)
В первом поверхностном интеграле мы изменили знак. Это сделано ввиду того, что мы здесь приняли противоположное направление нормали, которая в формуле (6) направлена внутрь области Dt, т. е. вовне области D. Во втором поверхностном интеграле направление нормали совпадает с направлением радиуса R; тут нормаль направлена вовне области D.
Преобразуем второй поверхностный интеграл в формуле (6).
Здесь </2 = Ro sin fl d^ dtp = Ro d<n. Через doo = sin 0 dti d<p мы
обозначили телесный угол поверхностного элемента (72, угол с вершиной в точке £. В результате получим
иг'“,[«(^-»ф1 J^-fj^C^-i®- (7)
Очевидным является требование, чтобы полученные выше выражения стремились к нулю при RQ-*oo (отсутствие источников колебаний на бесконечности). Этим требованиям мы удовлетворим, принимая, что
|Ф*^|<7< и 7?(^-г£Ф*)->0(7а)
при R-* ос. Эти условия должны быть выполнены при произвольном выборе начала радиуса-вектора R и его направления (т. е. углов # и ф). Обозначая через О(7?“) такую величину х, что отношение x/Ra остается ограниченным при R—^оо, а через о(7?“) такую величину х, что отношение х/7?“-*0 при R-*oo, причем это происходит безотносительно к направлению радиуса- вектора R и независимо от выбора его начала, запишем условия (7а) в виде
Ф* = о(7?“1),(а)
^--№ = O(R-X\(б)
Условия (а) и (б) называются условиями Зоммерфельда. Условие (а) называют условием конечности (немецк. Endlichkeitsbe- dingung), условие (б) — условием излучения (немецк. Ausstrah- lungsbedingung).
Таким образом, из формулы (6) остается
Если точка £ принадлежит области Di, то правая часть уравнения (8) равна нулю. Соотношение (8) представляет собой теорему Гельмгольца для внешней области. Эту теорему сформулируем так.
Пусть Ф* — регулярное решение уравнения (V2 + &2)Ф* = 0. Пусть первые и вторые производные функции Ф* непрерывны внутри Da и на замкнутой поверхности А. Кроме того, пусть
|7?Ф*|<К,
\ ок/•
при любых фИ, когда R-* ос. Пусть
Где R— расстояние между точками х и |, a д^дп означает дифференцирование по внешней нормали к А. Тогда I принимает значение — 4лФ* или нуль в зависимости от того, лежит точка | в области Da или вне области Da (т. е. принадлежит Dt).
Перейдем к двумерной задаче. Выделим в плоскости х^г область Dt, ограниченную контуром /, и предположим, что возмущения, вызывающие волновое движение, находятся во внешней области Da. Тогда уравнение
(52 + 5|) Ф* + &2ф* = о, Ф(х, /) = Ф*(хр х2) e-tot (9)
имеет регулярное решение в области D^
Рассмотрим затем функцию G*. удовлетворяющую уравнению
(52 + 52)G*+ № =
= —2л6(х,—^)б(х2 —^), где (^, ^eDP (10)
Умножая уравнение (9) на G*, уравнение (10) на Ф*, вычитая один результат из другого и интегрируя по области D^ получим Ф* (61, Ы = -^ j (Ф^2С* - GW) dxx dx2. (10а) А
Применяя преобразование Грина, находим
Z
Частным решением уравнения (10) в бесконечном упругом пространстве является функция
G' = ^H^\kr\(12)
где
r = [(x1-g1)2 + (x2-g2)2]'\
Подставляя формулу (12) в (11), окончательно имеем
ф*(б„б2) = ^ J [ф-^ №>^^^(13)
i
Если точка § = (|ь £2) лежит вне области Di, то Ф*(£ь с2) = 0. Мы доказали следующую теорему. Пусть Ф*— решение уравнения (9), и пусть первые и вторые частные производные этой функции непрерывны внутри области и на замкнутом контуре /. Пусть, далее,
1 = / { ф* ^ Iя”1 ^г)1 - Н»' ^ ^dS^
где г — расстояние между точками | = (^, |2) и х = (хь х2), а djdn — производная по внешней нормали к контуру /. Тогда I = 0 или / = 4/Ф*(£ь£2) в зависимости от того, лежит ли точка | внутри или вне контура I.
Точно так же, как и для трехмерной задачи, получается следующая формулировка условия конечности и условия излучения Зоммерфельда:
ф* = О(г-'/2),(14)
^-1кФ* = о(г"Ч.(15)
Фундаментальным решением, удовлетворяющим принципу излучения, является решение Н'о (^г). Чтобы это проверить, достаточно воспользоваться асимптотической формулой для функции Ханкеля и формулой
^Vz) = -Н^ (2).
Тогда условие (15) выполняется в усиленной форме; в правую часть формулы (15) входит O(r~r).
Заметим, что условию излучения удовлетворяют также функции
Нт (кг) cos тер, Нт (кг) sin тер.
Формула (13) была выведена Вебером1). Она является двумерным аналогом теоремы Гельмгольца.
Формула Кирхгофа
Решение волнового уравнения
(v2-ld^ = o(1)
в ограниченной области Di удается представить для движения, гармонически изменяющегося во времени Ф(х, t) = Ф*(х)е-{(0<, с помощью формулы Гельмгольца через поверхностные интегралы от функции Ф* и ее нормальной производной дФ*)дп на А.
Считая, что нормаль является внешней, имеем
teD,. (2)
А
') Weber Н., Math. Ann., 1 (1869), 1—36.
21 В, Новацкий
Функция Ф*(х) = 0 в области Di, если точка х лежит вне Di. Введем обозначение
[Ф] = ф (х, / - ^ = ф* (Х) е-u»teUR =
= Ф* (х)ехр J— ike ^ — ■у^.(3)
Умножая уравнение (2) на e-ttoteikct, получим
ф W=^ J {|ф1*-'“ i ^ -I ш} м ® - л
1 Г f [ffxi ^R Г ^ ।^1 If ^Ф 1 I /4 л /&х /лх “ 4л J 11Ф1 дп [ R + dR ( R Л R [ дп Н dA ®1 (4)
А
Учитывая, что
— = — 1ксФ,—^с[Ф],
приводим формулу (4) к окончательному виду
ф<- «-^{^(Й-^Ш-Ж]}^ (=) А
Это частный случай формулы Кирхгофа, примененный к гармоническим во времени колебаниям, т. е. к монохроматическим волнам. Формула (5) выражает значение функции Ф через «запаздывающие» значения этой функции и ее производных на замкнутой поверхности А. В эту формулу не входит явно период колебаний 2л/(£с), так что эта формула справедлива для любого периода. Формула (5) остается справедливой и для внешней области Da, если предположим, что нормаль является внешней по отношению к области Da.
Перейдем к выводу формулы Кирхгофа для причин, которые изменяются во времени. Рассмотрим уравнение (1) в замкнутой области Dt. Предположим, что функция Ф в этой области регулярна, ее первые и вторые производные как внутри области, так и на поверхности А непрерывны и что начальные условия однородны.
Применяя преобразование Лапласа к формуле (1) в предположении, что Ф(х, 0) = Ф(х, 0) = 0, получим уравнение
^2-^-)ф(х, р) = 0.^2-^-)ф(х, р) = 0.(6)(6)
^2-^-)ф(х, р) = 0.
^2-^-)ф(х, р) = 0.
(6)
(6)
Рассмотрим уравнение
(^-J^Gtx, |, 0 = -4лб(х-|)б(П(7)
в бесконечной упругой области. Это уравнение мы подробно рассматривали в § 9.13. Оно относится к волновому движению, вызванному действием сосредоточенного мгновенного источника, помещенного в точке |. Предположим, что точка | лежит во внутренней области Dv
Применим к уравнению (7) преобразование Лапласа в предположении однородности начальных условий
(v2 -^G (х, I, р) = - 4лб(х - g).(8)
Умножим уравнение (6) на G, уравнение (8) на Ф, вычтем один результат из другого и проинтегрируем по Dt. В результате получим уравнение
J (GV^ — OV2G) dV (х) = 4лФ (|, р\
Применяя преобразование Грина, будем иметь
Ф«, p) = if(®f-O^dX«, bteD,. (9)
А
Мы приняли здесь, что нормаль к А направлена наружу Dt. Функция G известна. Мы определили ее в § 9.13 (формула (9)):
G(x, I, р^ = ^-, ^[(х.-^ + ^-^Ч^з-Вз)^ (Ю)
Вводя обозначения
[ф] = фе-«р/е,[ф] = фе-«р/е,
[ф] = фе-«р/е,
[ф] = фе-«р/е,
преобразуем формулу (9) к виду
ф (X, Р) - ^ / {№ j^) - ^ g |₽ф]- g] } dA (6). (11)
Применим к формуле (10) преобразование Лапласа. Учитывая, что
, —1 / d-prIc \1 / р \
^-■[G(x, |, P)l = ^
t
^-■[ф]^ ф(х, t — т)б(у-т)с?т = ф(х, /-у) = [Ф(х, 0], о
$"Х [рФ] = / -Ф(Х^-— д (у - т) dx = о
дФ (х, / - Ric) Г дФ (х, /) 1 at — L at J •
L дп J J дп \ c j 0
= <ЭФ (x, / — Ric) Г дф (x, /) 1 дп[ дп J ’
получим формулу Кирхгофа в окончательном виде):
ф(х-о-^1{|ф(б.о1^У-
Эта формула справедлива до тех пор, пока ^еО,- Если точка
§ лежит вне области Dt, то Ф(х, /) = 0 в области Dp
Аналогичную теорему для двумерной задачи доказал Воль- терра). Исходным пунктом является здесь формула Вебера
Ф-® - И [ф' жгн™ W - н«” W тег]ds-
Функцию Ханкеля Н'^ (^г) представим в виде несобственного интеграла ):
^4^ = -^- J e^^dx,о
или
H'j'W-^S^. »-=hT.(13)
Подставив формулу (13) в (12), получим
дф* Г e<6,r6-c<>dd дп J ууудф* Г e<6,r6-c<>dd дп J уууф, <9 Г elhVr»-ct>d^On J У»2 — 1 .ф, <9 Г elhVr»-ct>d^On J У»2 — 1 .ds.ds.(14)(14)
дф* Г e<6,r6-c<>dd дп J ууу
дф* Г e<6,r6-c<>dd дп J ууу
ф, <9 Г elhVr»-ct>d^
On J У»2 — 1 .
ф, <9 Г elhVr»-ct>d^
On J У»2 — 1 .
ds.
ds.
(14)
(14)
Точка | лежит внутри контура I, а функция Ф* регулярна внутри контура и имеет особенность вне этого контура. Введем обозначение rd = ф. Тогда
e^W-cQ d-фУф2-г2e^W-cQ d-фУф2-г2ф. у, r°_^^Lдп J /ф2 - г2ф. у, r°_^^Lдп J /ф2 - г2ds =ds =Ф(1 a = -L Г4 2л J дпIФ(1 a = -L Г4 2л J дпIф%-1Ыс1-^ ^6ТУ - г26лф%-1Ыс1-^ ^6ТУ - г26лфУ»^ d* 'у^2-г2 .фУ»^ d* 'у^2-г2 .ds.ds.(15)(15)
e^W-cQ d-ф
Уф2-г2
e^W-cQ d-ф
Уф2-г2
ф. у, r°_^^Lдп J /ф2 - г2
ф. у, r°_^^Lдп J /ф2 - г2
ds =
ds =
Ф(1 a = -L Г
4 2л J дп
I
Ф(1 a = -L Г
4 2л J дп
I
ф%-1Ыс1-^ ^6
ТУ - г26л
ф%-1Ыс1-^ ^6
ТУ - г26л
фУ»^ d* '
у^2-г2 .
фУ»^ d* '
у^2-г2 .
ds.
ds.
(15)
(15)
Для функции f(xltx2, г), где xh х2 и г считаются независимыми
переменными, имеем
dfdf dx{ &fdf dr
дпdxt dn ' Ъпdr dn '
Учитывая это, придадим формуле (15) вид
Ф (х, 0 =Гф^, х2, t —ds. (16)
\ ’ 2 2л J dn 6л / J ’ 21 с / ]/ ф2 — г2 J
Это уравнение представляет монохроматическую цилиндрическую волну Ф (£,/)= e-it0^*(£) в интегральном виде. В это уравнение, однако, не входит явным образом период колебаний 2л/(^с).
Формула (16) для функции Ф(£,/) справедлива также для волнового движения, изменяющегося во времени по произвольному закону. ‘
Глава 10ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ
Действие сосредоточенных силв бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим систему уравнений эластокинетики
pV2u + (А + ц) grad div u + X = pu(1)
и найдем фундаментальное решение этой системы в случае действия сосредоточенной силы в бесконечном упругом пространстве. Известно, что систему уравнений (1) путем представления u = grad Ф 4* rot ф, Х = р (grad 6 4-rot я) (2) удается свести к системе волновых уравнений
П?Фу О, □1Ф = -4х-(3)
с,с2
Граничные условия уравнений (3) заменяются на бесконечности условиями регулярности (условиями излучения).
Сосредоточенные силы представим как частный случай массовых сил. Источники О', %, входящие в правые части уравнений (3), выразим с помощью формул, выведенных в § 5.7:
» к От~ [ X <«■ о • grad, [-^у] dV ®,
V(4)
X (х- ^) = - J Х ^’ ^ X grad, dV (I). v
Рассмотрим сначала частный случай, действие сосредоточенной силы
X (х, /) = е*мГ кх\ XI (х) = б,чб (х),
гармонически изменяющейся во времени с частотой со. Пусть сила будет приложена в начале координат и направлена по
оси X]. Из формул (4) получим следующие амплитуды функций
6 М = "4яр / 5“5 ® ТСр [ Д (х, 6) 1 ^^ ® = ” 4лр 5хГ [ft (х, 0)] ’
^[ftwL Я(х.0)-М + ^ + 4'‘.(5)
О (х, /) = e~itotti* (х), х (х, /) = e-itotx* (х).
Из последней формулы вытекает, что
Х1 и’ Х2 4лр дх3 [ Я (X, 0) J ’ Х3 4лр дх2 L Я (х, 0) J ’ ^а^
Таким образом, правые части волновых уравнений (2) известны. Учитывая, что
Ф (х, /) = е-*и'Ф* (х), ф (х, /) = е“‘и/ф* (х),
преобразуем уравнения (3) к виду(V2 + ст2) Ф* = —Ц —1,(V24лрс2 дхх \ R j(v2 + <k =—Ц-— (—V (Vs 2 4лрс2 дх3 \R )преобразуем уравнения (3) к виду(V2 + ст2) Ф* = —Ц —1,(V24лрс2 дхх \ R j(v2 + <k =—Ц-— (—V (Vs 2 4лрс2 дх3 \R )= 0,= 0,.1 д', =Г 4лрСг дх2.1 д', =Г 4лрСг дх2(6)(6)
преобразуем уравнения (3) к виду
(V2 + ст2) Ф* = —Ц —1,(V2
4лрс2 дхх \ R j
(v2 + <k =—Ц-— (—V (Vs 2 4лрс2 дх3 \R )
преобразуем уравнения (3) к виду
(V2 + ст2) Ф* = —Ц —1,(V2
4лрс2 дхх \ R j
(v2 + <k =—Ц-— (—V (Vs 2 4лрс2 дх3 \R )
= 0,
= 0,
.1 д
', =Г 4лрСг дх2
.1 д
', =Г 4лрСг дх2
(6)
(6)
где
со ст =—, С1со ст =—, С1т = с2т = с2
со ст =—, С1
со ст =—, С1
т = с2
т = с2
Легко проверить, что решениями уравнений (6) являются функции.1 а / eloR — 1 \.
4лрв>2 <ЭхД R )’
1 д letTR-l\4лрв>2 дх3 R /'
. _1 д / eiTR - 1
^з 4лрв>2 дхг \ R Г
Подставляя функции Ф* и ф* щения и( = и^'(х, t), получимПодставляя функции Ф* и ф* щения и( = и^'(х, t), получимв представление (2) для переме- следующую формулу:в представление (2) для переме- следующую формулу:
Подставляя функции Ф* и ф* щения и( = и^'(х, t), получим
Подставляя функции Ф* и ф* щения и( = и^'(х, t), получим
в представление (2) для переме- следующую формулу:
в представление (2) для переме- следующую формулу:
иТ(х, 1) =иТ(х, 1) ="1.е^_4npCj *' R"1.е^_4npCj *' R1 д2 / etoR - eUR 4лрсо2 дххдхд \ R1 д2 / etoR - eUR 4лрсо2 дххдхд \ Rе-1®1, (8)е-1®1, (8)
иТ(х, 1) =
иТ(х, 1) =
"1.е^_
4npCj *' R
"1.е^_
4npCj *' R
1 д2 / etoR - eUR 4лрсо2 дххдхд \ R
1 д2 / etoR - eUR 4лрсо2 дххдхд \ R
е-1®1, (8)
е-1®1, (8)
/= 1,2,3.
Формула (8) представляет в точке х в момент t три составляющие вектора перемещения, вызванного действием единичной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и
направленной по оси хь Повторяя рассуждения для случаев, в которых сосредоточенная сила приложена в точке § и действует в направлениях, параллельных осям х^ и хз, получим общий вид фундаментального решения
U^ = e"itotЗдесьU^ = e"itotЗдесь" 1 , 4лрс2 ‘ k R" 1 , 4лрс2 ‘ k R1»2/_ eUR4лрш2 dXjdxk \R1»2/_ eUR4лрш2 dXjdxk \R/, k = 1,2,3./, k = 1,2,3.(9)(9)
U^ = e"itot
Здесь
U^ = e"itot
Здесь
" 1 , 4лрс2 ‘ k R
" 1 , 4лрс2 ‘ k R
1»2/_ eUR
4лрш2 dXjdxk \R
1»2/_ eUR
4лрш2 dXjdxk \R
/, k = 1,2,3.
/, k = 1,2,3.
(9)
(9)
R = R(x, ^ = [(х;-^) (хг-^)1'\
Для каждого значения k получим три составляющие перемещения. l/^— тензор перемещений. Представим фундаментальные решения в виде матрицы третьего порядка
U(x, Е, /) =U(x, Е, /) =и\ци^'и\ци^'и? и^ и?' и”' U^' UTи? и^ и?' и”' U^' UT(Ю)(Ю)
U(x, Е, /) =
U(x, Е, /) =
и\ц
и^'
и\ц
и^'
и? и^ и?' и”' U^' UT
и? и^ и?' и”' U^' UT
(Ю)
(Ю)
столбцы которой являются векторами
[/ = {U11*, U12», U13»}.(11)
Обозначая через О транспонированную матрицу, имеем
[/(х, ?, t) = U& х, t) = U(x, Е, /).(12)
Соотношения (12) вытекают непосредственно из формул (9); они свидетельствуют о симметрии тензора U^. Соотношения (12) можно вывести также из теоремы взаимности. Это уже было сделано в § 9.9 (формула (15)).
Если в формулах (9) перейти к пределу ю—*0, то получим фундаментальные уравнения эластостатики
U^ (хЛ) = А [в-^-(Я).д], L к = 1,2,3,(13)
где
д^ + Ц о _ 2 (А + 2ц)
8лр.(Л + 2р.) ’А + Ц -
Решения (13) согласованы с решениями, найденными в § 5.7 (формула (18)). Заметим, что разность фундаментальных решений динамической и статической задач
о
£2(х, 2,/) = (/(х, £,/) — (/(х,|)(14)
ограничена, а ее первые производные имеют полюсы первого порядка.
Изложим кратко второй способ получения фундаментального решения (с помощью представления Яковаке). Если сосредоточенная сила действует в начале координат в положительном направлении оси х3, то уравнение для вектора ф примет вид
П1а2Ф/ = -тЙг’ ^1-2-3-<15>
Так как X/= е~гю<б(х)бз/, то ф1=ф2 = 0. Вводя обозначение Фз = е~‘ю,Ф*(х), получим для определения функции ф* уравнение ^ + ст2)^2 + т2)ф-=__^__.(16)
Решение этого уравнения может быть получено путем применения косинус-преобразования Фурье или преобразования Хан- келя. Отсюда следует, что функция б(х) является четной, а задача характеризуется осевой симметрией относительно оси х3 = 2. Уравнению (16) можно придать вид
(V^+oW + t8)»1^«У-б^,(16а)
где
dr2 ~ г dr ' dz2 ’
ф* = ф* (г, 2), Г = (х| + Х^.
Решение уравнения (16а) можно заменить решениями двух более простых уравнений, применяя символический метод решения линейных дифференциальных уравнений.
Представим уравнение (16) в виде
0.0»—<17> где
D{ = V2 + a2,Z)2 = V2 + т2.
Частным решением уравнения (17) является функция
.1 д (х)1/11 \ д(х)
ф =5=9I1,
cfp DXD2 cfp \О1 D2) D2 — Dx
X + 2ц = cfp, или
=(18)
Cip (т2 — а )
Здесь Fa (а=1,2) — решения уравнений Гельмгольца
(V2 + o2)E,=6(x), (V2 + t2)E2 = 6(x).(19)
Так как функции Fa (а = 1, 2) характеризуются также симметрией относительно оси х3 = 2, этим уравнениям можно придать вид
(V^a2)^, 2) =-^-6 (2),
(V2 + Т2)/7, (г>2) = -^ 6(2).
Решая эти уравнения при использовании косинус-преобразова- ния Фурье и преобразования Ханкеля, получим
pioRplxR
р £ р =
ПоэтомуПоэтомуг‘ 4лЯ ’24л/? •
Поэтому
Поэтому
(20)(20)Ф* = - 2 / 2 * о ^loR - е^.с-р (а — т ) 4 л/?
(20)
(20)
Для определения перемещения и используем представление Яковаке'
и= Я"^^- В2Ф — — ^—-graddivф.(21)
получим из формулы (21)получим из формулы (21)Учитывая, что ф = (0, 0, ф*) e~i<0<,
получим из формулы (21)
получим из формулы (21)
[/^'[/^'e-l«>f Г elTR4лрС2 , R 31e-l«>f Г elTR4лрС2 , R 31to2 дхлдх; \ Rto2 дхлдх; \ R(22)(22)
[/^'
[/^'
e-l«>f Г elTR
4лрС2 , R 31
e-l«>f Г elTR
4лрС2 , R 31
to2 дхлдх; \ R
to2 дхлдх; \ R
(22)
(22)
Для сосредоточенной силы, направленной по оси хд, получим из формулы (22) формулу (9).
Надлежит помнить о том, что перемещения 1/'^ должны быть действительными величинами. Поэтому следует брать действительную часть от правых частей соотношений (8), (9) и (22).
Зная перемещения, можно определить деформации и напряжения по формулам
^ = т та+тау °ч = 2^’ +<23)
Перейдем к действию сосредоточенных сил, изменяющихся во времени произвольным образом. Пусть теперь в начале координат действует сосредоточенная сила X, = 6i;6(x)f(<), направленная по оси хь Предположим, что эта сила начала действовать в момент t = 0+ Примем за исходный пункт наших рассуждений представление (2) и волновые уравнения (3). Применим к соотношениям (2) и уравнениям (3) интегральное преобразование Лапласа. Предположим при этом, что начальные
условия для перемещений являются однородными. Поэтому исходим из соотношений
u = grad Ф + rot ф, X = р (grad ■& +rot X) (24) и уравнений
V2~4^ = -4ё, (v2-4^ = -4z.(25)
с2)ct ’\c^) c^
Здесь.
Ф(х, р) = 2'[Ф(х,/)]= J Ф(х, ^e-^dt,... .
о
Применим преобразование Лапласа к функции, выражающей сосредоточенную силу,
X/(x,p) = M(x)f(p)(26)
и к соотношениям (4). Из последних получим
»<х’ p^-^^VRihiW' ii=0>
_ _1О Г 1ч
X34лр дх2 L R (х, 0) J '
Сравнение уравнений (6) с уравнениями (25) при учете формул (27) показывает, что можно использовать формулы (8), заменяя в них величину im параметром р. Отсюда
х Йр) Lс\ д2 /е-Р^-_е-Р^'
U j (X, р) =7 I 6;, но1
4лрс2 L R Р2 дх, дхх \ R ,
^-iL-p^l^ &(t1)11\ с2)'^-iL-p^l^ &(t1)11\ с2)'Применение к (28) обратного преобразования Лапласа дает искомое решение задачи. Рассмотрим частный случай мгновенного импульса Xj = 6lj6(x)6(0, Н0=6(0- Так как 2”[6(0] = = 1 и
^-iL-p^l^ &(t1)
11\ с2)'
^-iL-p^l^ &(t1)
11\ с2)'
при t < №„
то перемещение ^/’'(х, 0 примет видто перемещение ^/’'(х, 0 примет видпри t>R!c\, 1 ’
то перемещение ^/’'(х, 0 примет вид
то перемещение ^/’'(х, 0 примет вид
Если f(t) = H(t), где 77(0—функция Хевисайда, то
^Чх, t) =^Чх, t) =14лрС214лрС2(3,)(3,)гдегдес2 дх. дх{с2 дх. дх{t < Rki, t > R/cvt < Rki, t > R/cv
^Чх, t) =
^Чх, t) =
1
4лрС2
1
4лрС2
(3,)
(3,)
где
где
с2 дх. дх{
с2 дх. дх{
t < Rki, t > R/cv
t < Rki, t > R/cv
В общем случае силы X, = 6jh6(x)f(t), т. е. силы, приложенной к точке х и направленной параллельно оси х^, составляющие тензора перемещений U\k' (х, с, 7) выражаются формулой
и^Чх,+
4лрс2 ( Rс2 /
(32)(32)+ с= таг IX Н ('' - £) -1 ('' - £)] IV -“•'
(32)
(32)
Рассмотрим теперь двумерную апериодическую задачу. Пусть сила
Ха = 6 (х,) 6 (х2) / (Общ. а=1,2, действует в направлении оси Хр Эта сила равномерно распределена вдоль оси хз. В этом случае мы имеем дело с плоским деформированным состоянием.
Перемещение lA^ равно нулю, а деформации, напряжения и перемещения не зависят от переменной х3. Вектор перемещения u = (u(, «2, 0) описывается системой дифференциальных уравнений
t^ViUa-|-(Я,-|-ц) е, а + Ха = рйа, а=1,2,(33)
где
в = d1U1 4" ^Иг, ^f = 5( 4" ^2-
Хотя и здесь можно применить представление (2) и волновые уравнения (3), мы для решения уравнений (33) воспользуемся методом интегральных преобразований. Сначала применим к уравнениям (33) преобразование Лапласа в предположении однородных начальных условий. Получим систему уравнений
У?йа4~у2ё, а — р2<Т2йа 4" Л-^а = 0, а=1,2,(34)
где '
A±2e = ₽2> у2 = р2-1, п = -, а2 = -^-Ч.
IIРР С2
Выбор конкретного интегрального преобразования зависит от свойств поля перемещений. Заметим, что при действии сосредоточенной силы в начале координат в направлении оси х( перемещения их симметричны, а «2 антисимметричны относительно плоскостей х(х3 и х2х3. Отсюда следует, что для перемещения их нужно применить косинус-, а для перемещения и2—синус-преобразование Фурье. Поэтому
йх кхъ х2> р) = "Y J J «1 («1, 92, р) cos а^! cos а2х2йа, da2, о о
ОО ОО(35)
й( (ah а2, р) = — | | й( (xb х2, р) cos а(х( cos а2х2 dxx dx2 о о
и
й2(х(, х2, р) =-^-| / й2(а(, а2, р) sin а(х( sin a2x2dax da2, о о
ОО ОО
й2(а(, а2, р) = -^- | | й2(х(, х2, p)sina(x( sina2x2dx( dx2. о о
Трансформанты массовых сил примут вид
Х( (xb х2, р) =-^-| | Х( (a(, a2, р) cosa(x( cos a2x2rfa( rfa2, о о
^(ol а2, р) = ^- / / X1(x1,x2,p)cosa1x1cosa2x2dx1dx2 —с^, (37) о о
Х2 = 0, Х2 = 0.
Применяя к первому из уравнений (34) косинус-, а ко второму синус-преобразование Фурье по двум переменным, найдем систему алгебраических уравнений
(38)(38)(₽Ч + a2 + p2ff2) й, — а,а2у2й2 = т] -^
(38)
(38)
" — аха^йх + (р2а2 + а2 + р2о2) й2 = О
с решением■
Л пШ а2 + Р2а2+р2о2
(39)(39)2р2л (а;Ч^+^а2)(а2+а| + А2) ’
(39)
(39)
л = nf (Р) 0102^ т = — -
2р2л (a2+^+A2)(a?+«22+pV) ' Р
Используя формулы (35) и (36), выполним обратное интегральное преобразование Фурье. Принимая во внимание соотношение
F (*i, х2, р) = Г Г cos “i^i с°з “2^2 d(Xi ^ = л,
'=№+*2)’\
где Ко (г, р; о) —модифицированная функция Бесселя третьего рода нулевого порядка, получим преобразования Лапласа перемещений
«1 = I К° ^ р; ст)Vo Д Ио (г, р; ст)- Ко (г, р; т)]), 2р л (pa дх^J
^=4& -д^ Ио И р;») - ^ (г, р; т)Ь
Нам остается выполнить обратное преобразование Лапласа в выражении (40). Предположим, что f(t) = H(t). Учитывая, что Цр) = 1/р, получим
^-.г^р^тст) =L р J ' ’ ’ ’^-.г^р^тст) =L р J ' ’ ’ ’0аг ch — ГС0аг ch — ГСпри 0 < t < гс,при 0 < t < гс,при t > го.при t > го.(41)(41)
^-.г^р^тст) =
L р J ' ’ ’ ’
^-.г^р^тст) =
L р J ' ’ ’ ’
0
аг ch — ГС
0
аг ch — ГС
при 0 < t < гс,
при 0 < t < гс,
при t > го.
при t > го.
(41)
(41)
$~ ^(r,^] = 1 J « -1^ Ф V', г; a) dt',о
где
Ф (t, г; а) =Ф (t, г; а) =01//2 _ Г2О201//2 _ Г2О2при 0 < t < га, при t > га.
Ф (t, г; а) =
Ф (t, г; а) =
0
1//2 _ Г2О2
0
1//2 _ Г2О2
Перемещения иа (а=1,2) выражаются формулами
«1 Uu хъ t)A—J е(г, t; с) —
2лрс( <
(42)
и2^хь х2, 0= 2^"^^ J a-O2[<P(r, ст)-ф(г, К; т)]^.
Рассмотрим случай, когда сосредоточенная сила гармонически изменяется во времени, т. е, когда А'а = б1ае-1т(6(х1)6(х2)«
Для определения амплитуд колебаний используем систему уравнений
V^ + Y2<a + «Wa + n^ = О, a = 1,2.(43)
Применяя такую же процедуру, как и в отношении уравнений (34), заменяя в формулах р на тю, /(р) на e-im< и йа на Иа(^1> *2, 0. получим
—/<й/ Г
Uj (хь х2, О =2— 1 ^o(g to; о) +
2р л
о2 а2Y
+[^o(G tco; <j) — Ko(r, ito; т)] ,(44)
а dx^j
Tie—^^d^
u, (x„ x2, 0 = - 2^-1^7 [ Ko (r, io; a) — Ko (r, far, t)J.
Нам остается еще выделить действительную часть в правой части формул (44), ибо вектор перемещения принимает действительные значения.
Рассмотрим, наконец, одномерные задачи. Пусть поле перемещений будет вызвано действием сил Xv = б (xi)f(^). Эти силы равномерно распределены на плоскости х( = 0. Перемещения иДхьП описываются дифференциальным уравнением
(X + 2р.) д\и\—рй1+Х1 = 0. (45)
Рассмотрим сначала однородное уравнение (45) при Xv = 0 01-ot u( = 0.
ci /
К этому уравнению применим преобразование Лапласа в предположении однородности начальных условий
fd?^й(=0.(46)
\ ci /
Решением этого уравнения являются функции
«1(^ь Р) =«1(^ь Р) =(47)(47)плоско-форму-плоско-форму-Лехр^— -у-) при х, > О,Вехр[-^-] при х( < 0.
«1(^ь Р) =
«1(^ь Р) =
(47)
(47)
плоско-форму-
плоско-форму-
Очевидно, А = В ввиду непрерывности перемещений в сти х( = 0. Трансформанты напряжений описываются
лами
Рп (^!, р) =Рп (^!, р) =9 дй1 . / pxi \ пcip"3^" = — лРс|РехР^—при Х|>0’АрСур ехр ^-“у) при х( < 0.
Рп (^!, р) =
Рп (^!, р) =
Для определения величины А используем условие разрыва напряжений в плоскости Х\ = 0:
аы(0+, ^-<^(0-, 0 + f(O = O.(49)
Применим к соотношению (49) преобразование Лапласа и используем формулы (48). Определим таким образом величину
ПоэтомуПоэтому2рС\р
Поэтому
Поэтому
(р)ехр (—приХ(> 0,
(50)(50)2pcip' \ci / г1’
(50)
(50)
Ч^ехрЧ-Чприх,< 0.
2pcipr\ ci/г1
В частном случае А) = б(х()б(/) имеем Цр) = 1. Применение обратного преобразования Лапласа к формулам (50) дает
и (хь 0 =и (хь 0 =при х( > 0, при х, < 0.при х( > 0, при х, < 0.(51)(51)
и (хь 0 =
и (хь 0 =
при х( > 0, при х, < 0.
при х( > 0, при х, < 0.
(51)
(51)
Мы получили две волны, одна из которых распространяется в положительном направлении, другая в отрицательном направлении координатной оси. Заметим, что решение (51) можно получить как непосредственно методом Даламбера, так и применением косинус-преобразования Фурье.
Фундаментальные решения имеют вспомогательный характер. Они встречаются в общих методах решения, в рассмотренных ранее формулах Сомильяны и в методе интегральных уравнений.
Из фундаментальных решений можно сконструировать другие решения с более высоким порядком сингулярности, повторяя рассуждения § 5.8. Так, например, для мгновенной двойной сосредоточенной силы, действующей по оси Xi и приложенной в начале координат, рассуждения, аналогичные проведенным в § 5.8, приводят к выводу, что поля перемещений и(А, вызванные действием этой силы, описываются соотношениями
«У (х, 0 =«У (х, 0 =^'/'(х, 1)dxi^'/'(х, 1)dxi(52)(52)
«У (х, 0 =
«У (х, 0 =
^'/'(х, 1)dxi
^'/'(х, 1)dxi
(52)
(52)
Здесь и\-' (х, 0 задаются с помощью формулы (30). Если в начале координат действуют три двойные силы (направленные по осям координат), образуя так называемый центр расширения — сжатия, то поле перемещений выражается формулой
(ди"'
++dU^' дх2dU^' дх2Uj (х, t) = — 1-4-1 v '\ dxv
+
+
dU^' дх2
dU^' дх2
Можно убедиться, что поле перемещений примет вид
и1и1■ 1д Гб^-Щ) '4лрс^ дх ^ [ R .■ 1д Гб^-Щ) '4лрс^ дх ^ [ R .(54)(54)
и1
и1
■ 1д Гб^-Щ) '
4лрс^ дх ^ [ R .
■ 1д Гб^-Щ) '
4лрс^ дх ^ [ R .
(54)
(54)
Если изменение во времени центра расширения — сжатия описывается функцией Хевисайда, то
(55)(55)1д_ \H^-~R!c^_4лрс^ дх} L R
(55)
(55)
Центр расширения — сжатия создает поле перемещений, характеризующееся центральной симметрией, так как выражение в скобках не изменяется при повороте системы координат. Переходя к сферической системе координат, выразим радиальное перемещение Ur формулой
(56)(56)1 д Г H(t- R/Cj) '
(56)
(56)
4лрС[ dR L R .
Заметим, что формулу (54) можно получить непосредственно из системы уравнений (1). Для центра расширения — сжатия получаются уравнения
V^ik + (А, + ц) uh 1Ч — d (О djd (х) = ри,. (57)
Частное решение этого уравнения найдем, принимая, что Ui = = Ф, г. Уравнение (57) переходит в волновое уравнение
(58)(58)П2ф=б(х^)С1Р
(58)
(58)
с решением, описываемым формулой (54).
Источник возмущений,движущийся с постоянной скоростью.
Двумерные задачи *)
По задачам, рассматриваемым в этом и следующем параграфах, имеется обширная литература, а сами задачи имеют большое практическое значение. Общим свойством этих задач является то, что путем соответствующего преобразования переменных можно исключить временную переменную. При скорости и движущегося возмущения, меньшей скоростей сь с2, волновые уравнения переходят в уравнения эллиптического типа, а при и > Ci > с2—в уравнения гиперболического типа.
Рассмотрим довольно простую задачу, а именно действие сосредоточенной силы Р6 (х( + uf), перемещающейся в плоскости
') Cole J., Huth J., Stresses Produced in a Half Plane by Moving Loads, /. Appt. Meeh., 25 (1958), 433—436.
х2 = 0 (ограничивающей упругое полупространство) в направлении оси —хх. Эта сила перемещается с постоянной скоростью и. Сосредоточенная сила действует перпендикулярно плоскости Х2 = 0 и равномерно распределена вдоль прямой, параллельной оси х3, а ее интенсивность равна Р.
В плоскости х2 = О мы имеем дело с граничными условиями a22(xh °, 0 = — ^(xt + vt\ ах2(.хх, 0, 0 = 0.(1)
При решении этой задачи- воспользуемся волновыми уравнениями
di + <?2у^\ф = 0, /^4.^^Лф = о.(2)
С1 /\с2 /
Перемещения и\ и и^ выражаются формулами
их = дхФ — д2ф, и2 = д2Ф-|-д1'ф.(2а)
Примем новую систему координат (^.^Д). связанную с силой, движущейся вдоль оси хх. Производя преобразование для относительного движения
£| М ~Т У0 ^2 ^ ^2, t = >(3)
приводим уравнения (2) к виду
(
Я2 Д2 \-/ д2 Д2 \
Р1 )ф(|-’ ^=°’^=°’(4)
где
Ра = (1—Л^, Па = ^.а=1,2.
Так как возмущение в подвижной системе координат не зависит явно от времени, мы исключили в уравнениях частные производные по времени t'. Здесь величины т]а (а = 1, 2) являются числами Маха. До тех пор пока т]1 < 1, р2 < 1, уравнения (4) будут эллиптическими уравнениями. Мы имеем дело с дозвуковым случаем.
Для т]2 > 1, л 1 < 1 уравнения (2) примут вид
fp^ + ^Ф^, Ы = 0,У = 0,(5)
\"g| Ogi /\"61/
где
4=(i-i)'A-
Мы имеем дело с околозвуковым случаем. Первое из уравнений (5)—эллиптического типа, а второе — уже гиперболического.
Если щ > 1, т]2 > 1, то мы имеем дело со сверхзвуковым случаем. Волновые уравнения (2) примут вид
^i^iдгдгЛ2 \Вг) —О, аЬ2 /Л2 \Вг) —О, аЬ2 /"SW-^-O, (6)"62/"SW-^-O, (6)"62/
^i
^i
дг
дг
Л2 \
Вг) —О, аЬ2 /
Л2 \
Вг) —О, аЬ2 /
"SW-^-O, (6)
"62/
"SW-^-O, (6)
"62/
где
\ = Ь2а-1)'\ a=l,2.
Рассмотрим подробно дозвуковой случай тц<1, т]2<1. В системе координат (хь х2, О перемещения задаются формулами (2а), а составляющие тензора напряжений — формулами
Переходя к координатам (Bi Лг, И и учитывая уравнения (4),
получим следующие соотношения:
дФдф дФ । дф
— д|Г ~ dir ’“2 = д|? + аЁГ
(8)
и
0-22/.9 оч 52ф I 2<?2ф
"7-к-2)^-+^-.
-^=(л2 — 2^+2)^-— 2 —* ,
°12 _ о ^2Ф , о_. <Э2ф
ц dg, д^д^ '
(9)
Граничные условия (1) примут в системе координат (|b g2) вид
"22(^1, 0)^J, а12(1„ 0) = 0.(10)
Подставляя формулы (9) в (10), получим систему уравнений
2д2г|) •
ь* 62 Je^
2
<92Ф
^( д^2
-^(5,).
-М-2)^] -°-
(И)
(12)
Для решения уравнений (4) используем преобразование Фурье. Легко проверить, что интегралы
Ф №ь 6г) = у= / ^"Р‘' “'5г е-зд' da,
(13)
Ф &, Ы = -^ J Se-^ । “ । ^ е-зд, da
удовлетворяют уравнению (4) и условиям излучения на бесконечности. Применяя преобразование Фурье к граничным условиям (11) и (12) и учитывая, что преобразование Фурье для функции d(£i) имеет вид
а для функций Фиф — вид
Ф (°, £2)= Ае~Р' । ° । Ч ф (а, £2) = Ве~^‘ I ° I $=, получим систему уравнений
-а2(^-2)Л + 2га|а|р25 = -—
47Ц У 2лq4)
2га | а | Р, Л + (т]2 — 2) а? В = О,
из которой определим постоянные А и В:
А =7=-, В =sgn а,
ца2А р 2лца2Д ]/2л0g)
у = п]-2, А = у2-4р,р2.
Из формулы (8) получим следующее выражение для перемещения ui:
Ux = _P^ f 1[уе-М»1^ + 2р1р2е-Ра«1^е-ад,^а. (16)
Учитывая, что
Г2£^Ч 2^!!1 rfa = 2 f°^2«Le-₽1|a|5!rfa = jl_2arctg(Ak)
J aJ ato\ 5i /
*co0
представим перемещение ux в виде
P f Г 11, / pig2 Л .
+ 2p,p2[y-varctg(^)]}.(17)
Введя обозначенияВведя обозначения£i + «₽ib = Пе'9', ^i + «₽е?2 = г2е‘92, TZ Y IZ 2р1 ^1 = -Т’ ^ = ^7’£i + «₽ib = Пе'9', ^i + «₽е?2 = г2е‘92, TZ Y IZ 2р1 ^1 = -Т’ ^ = ^7’О ^6Ь 02^ л,О ^6Ь 02^ л,придадим перемещениям следующую форму:придадим перемещениям следующую форму:1 д \ 2 л /1 д \ 2 л /К2РР2 / 162 \ц \ 2л /К2РР2 / 162 \ц \ 2л /«2 = ^f kKl 1П Г2 — /<,0, 1П Г,).«2 = ^f kKl 1П Г2 — /<,0, 1П Г,).(18)(18)Заметим, что в перемещении и^ в месте приложения силы появляется особенность логарифмического типа. Эта особенность интегрируема, и она исчезает для нагрузки, распределенной по конечной поверхности.Напряжения определим по формулам (9):Заметим, что в перемещении и^ в месте приложения силы появляется особенность логарифмического типа. Эта особенность интегрируема, и она исчезает для нагрузки, распределенной по конечной поверхности.Напряжения определим по формулам (9):g _ ^1Р /„22^ I 2^ s*n ^зр2К2Р sin 6211 Л \ 211 "Г ) Г1л Гг_ К\РI 2^2ргР sin 6222 л \ Пг) /[ п- лг 2’2Р^!? / COS 61 cos62\° 12 I) •Л \' 1' 2/g _ ^1Р /„22^ I 2^ s*n ^зр2К2Р sin 6211 Л \ 211 "Г ) Г1л Гг_ К\РI 2^2ргР sin 6222 л \ Пг) /[ п- лг 2’2Р^!? / COS 61 cos62\° 12 I) •Л \' 1' 2/(19)(19)Перемещения и напряжения ; неограниченно растут, если д = 0, т. е. еслиПеремещения и напряжения ; неограниченно растут, если д = 0, т. е. если
Введя обозначения
Введя обозначения
£i + «₽ib = Пе'9', ^i + «₽е?2 = г2е‘92, TZ Y IZ 2р1 ^1 = -Т’ ^ = ^7’
£i + «₽ib = Пе'9', ^i + «₽е?2 = г2е‘92, TZ Y IZ 2р1 ^1 = -Т’ ^ = ^7’
О ^6Ь 02^ л,
О ^6Ь 02^ л,
придадим перемещениям следующую форму:
придадим перемещениям следующую форму:
1 д \ 2 л /
1 д \ 2 л /
К2РР2 / 162 \
ц \ 2л /
К2РР2 / 162 \
ц \ 2л /
«2 = ^f kKl 1П Г2 — /<,0, 1П Г,).
«2 = ^f kKl 1П Г2 — /<,0, 1П Г,).
(18)
(18)
Заметим, что в перемещении и^ в месте приложения силы появляется особенность логарифмического типа. Эта особенность интегрируема, и она исчезает для нагрузки, распределенной по конечной поверхности.
Напряжения определим по формулам (9):
Заметим, что в перемещении и^ в месте приложения силы появляется особенность логарифмического типа. Эта особенность интегрируема, и она исчезает для нагрузки, распределенной по конечной поверхности.
Напряжения определим по формулам (9):
g _ ^1Р /„22^ I 2^ s*n ^зр2К2Р sin 62
11 Л \ 211 "Г ) Г1л Гг
_ К\РI 2^2ргР sin 62
22 л \ Пг) /[ п- лг 2’
2Р^!? / COS 61 cos62\
° 12 I) •
Л \' 1' 2/
g _ ^1Р /„22^ I 2^ s*n ^зр2К2Р sin 62
11 Л \ 211 "Г ) Г1л Гг
_ К\РI 2^2ргР sin 62
22 л \ Пг) /[ п- лг 2’
2Р^!? / COS 61 cos62\
° 12 I) •
Л \' 1' 2/
(19)
(19)
Перемещения и напряжения ; неограниченно растут, если д = 0, т. е. если
Перемещения и напряжения ; неограниченно растут, если д = 0, т. е. если
Последняя формула дает фазовую скорость распространения поверхностных волн Рэлея (о чем будет речь в § 10.5). Здесь же заметим, что перемещения и напряжения неограниченно растут, когда скорость перемещения силы стремится к фазовой скорости поверхностной волны.
Перейдем к сверхзвуковому случаю, когда t]i > 1, т]2>1, т. е. и > Ci > с2. Решением дифференциальных уравнений (6) будут тогда интегралы
ф(£1,?2) = у=- J Лехр[—Za(^ —A.^2)lt/a,"2(20)
■ф^!, У = 7^= f Вехр[—га(^ — Л.2^2)]^а, р 2Л
найденные путем применения интегрального преобразования Фурье к уравнениям (6). Легко проверить, что эти функции удовлетворяют условиям излучения на бесконечности.
Из граничных условий (11) и (12) получим систему уравнений
— а2у Л + 2а2А.2В >
и/2л(21)
2a2X^ + а2уй = 0, у=т]2 — 2.
Поэтому
Л=—6 = -~^—,ца2А0)^2л ’ца2Д0У 2 л *
где
Ао = у2 + 4X^2, и
Ux = -^T (ye^-2W^4(22)
ZJl|AZ3Q jI*
Так как перемещение щ является действительной функцией, то из формулы (22) следует, что
Р2цлД0Р2цлД0J- 2ХД2 / ^^=^- daJ- 2ХД2 / ^^=^- da
Р2цлД0
Р2цлД0
J- 2ХД2 / ^^=^- da
J- 2ХД2 / ^^=^- da
(23)
H(z) =H(z) =О при z < О-^ При 2 = 0 1 при z > 0О при z < О-^ При 2 = 0 1 при z > 0Последнее выражение преобразуем, используя следующие представление функции Хевисайда:
H(z) =
H(z) =
О при z < О
-^ При 2 = 0 1 при z > 0
О при z < О
-^ При 2 = 0 1 при z > 0
1,1 f Sin 02 .
=t+^J-^—^-<24>
о
С помощью формулы (24) представим перемещение щ как
«1 = - -^ VnH & - Ш - ^Н (^ - Ш] + С, (25)
где С— постоянная величина, которая не влияет на распределение напряжений.
Поступая аналогично, получим для и2 следующую формулу:
«2 =№iH & - Ш + ^хН U1 - ^2)] + С'.(26)
Напряжения определим по формулам (9); получим
^=- £ М2+46 (^ -х^ - 4 w (^_ М ’
а22 = - £ [у (2Х? + А П2) 6 (^ _ Мг) + 4 W (^ _ М2)] , (27) а>2 = ^ М [6 (^ - Ш - 6 (^ - Ш ].
Здесь
«=б(2),
где 6(z)— функция Дирака. Из уравнений (25) — (27) видно, что возмущение характеризуется двумя волнами Маха:
^i — ^2 = 0, £.-М2 = 0.
На рис. 10.1 представлены оба фронта волн Маха.
Решение для рассмотренного здесь сверхзвукового случая можно получить значительно проще путем трактовки уравне
ний (6) как волновых уравнений. Соответствующие решения Даламбера этих уравнений имеют вид
Ф = f (£1 ± М2). Ф = 5 (^i ± ^2)-(28)
Знак при §2 должен выбираться так, чтобы были выполнены условия излучения на бесконечности. Так как сила движется в отрицательном направлении оси Хь следует положить
ф=^(^-ш, Ф=ёа.-ш- (29)
Эти функции надо подставить в граничные условия (12).
Несколько изменим эти условия, интегрируя их по |ь Тогда получим
Подставляя формулы (29) в (30) и обозначая через f' и g' производные этих функций относительно их аргументов, получим систему уравнений
Nr-^g^-^H^, -2Xxf-Ng' = 0.. (31)
Из этих уравнений определим функции
Поэтому при ^ + 0 имеем
Г(£1-Ш = -л§^ te.-Ш,
(32)
Из формул
“• == ^ ^ - Х^ + V & - Х^>
Л(33)
«2 = 4?- + # = - Х'^' ^ ~ Х^ + s' tei - Ш
получим выражения, совпадающие с формулами (25) и (26).
Мы не будем заниматься случаем ni > U Лг < 1 и для околозвуковой скорости отошлем читателя к цитированной выше работе Коула и Хута.
Рассмотрим теперь напряженное состояние, вызванное в бесконечном упругом пространстве силой Р, передвигающейся в направлении оси хх с постоянной скоростью и ). Эту силу, равномерно распределенную вдоль прямой, параллельной оси х3, можно выразить как массовую силу
X) = 6 (х, — и/) 6(х2), Х2 = 0.(34)
Для решения этой задачи применим метод интегрального преобразования Фурье, обсужденный в § 9.6. Исходным пунктом является система уравнений в перемещениях для плоского деформированного состояния
P^uf + (А. + ц) ик, kj + Xj = piij, j,k = i,2.(35)
Для упрощения вычислений вводим новую переменную т = cxt, заменяя уравнение (35) на
22*
^1Ы/ + (А,+ ц) ukiM + ^/ = pCi
Т(36)
Х/ = б1/б(х1 —щт), т]1=~’
Учитывая, что
ОО ОО ОО
«/Ui. ^2, т) = ——sr- [ [ Г ^(cq, а2, ю)Х
(2Л)и и
— ОО —ОО —ОО
й] (аь а2, го)й] (аь а2, го)X exp [— I (а^! + а2х2 + гот)] dax da^ dm, ОО ОО ОО(37)
й] (аь а2, го)
й] (аь а2, го)
/ / J «/(^х2,т)Х
— ЛЛ
X ехр[г (а^] + а2х, + гот)] dxx dx2 dt, приводим систему уравнений (36) к виду
(62 —Р^йу + СР2 —1)а/аАйА = —Ху/р, /,6 = 1,2,
62 = а2 + а2, Р = с1/с2.(
Решение уравнений (38) и выполнение обратного интегрального преобразования приводят к следующим выражениям:
х2, Т) 2(2jt)V2 J J J (б2 _ Ш2) (б2 - р2ш2) А 1—ОО —ОО —ОО
Хехр[ — i (а^! + а2х2 + ют)] dax da2dto,j, 6=1, 2.(39)
Подставляя формулу (39) в формулы для напряжений
^п + о22 = 2 (X + ц) (д^, + д2и2),
(Тц с22 = 2ц (dt их — д2и^),(40)
cr12 = Н (^«г Н" ^2и1),^33 = 2 (X + ц) (ffl1 "(~ ff22^’
получим при Х2 = 0 следующие формулы:
ffll + ff22 — —ffll + ff22 — —XX2(Р2-1) f f f idXi P2 (2л)3/2 j j j 62-©2
ffll + ff22 — —
ffll + ff22 — —
X
X
— 00 — 00 — 00
X exp[— I (a^] + a2x2 + гот)] da.x da2 dm,
^ll *^22 —^ll *^22 —27 7 -iQy^№-to2)-^-i4^-^A_
^ll *^22 —
^ll *^22 —
p2 (2л)% J J J(d2 - c»2) (d2 - p2to2)
— 00 — 00 — 00
X ^i exp[— i (a,x, + «2^2 + ®T)1 ^ai da^d®, (41)
1 r” r00 p t"a2[p2(d2-to2)-2(p2-l)a2]x, p2 (2л)3/2 J J J (62 - co2) (d2 - p2©2) X r—00 — 00 — 00
Следует определить еще трансформанту
ОО ОО ОО
(аь а2, го) =—Д- j | | б^ — П1Т)б(х2)Х'^ —ОО —ОО —ОО
Р(2n)VzР(2n)VzX ехр [г (а1х1 + а2х2 + гот)] dxx dx2 dr =
Р(2n)Vz
Р(2n)Vz
J j 6 (х, — т^т) ехр [г (а1х1 + гот)] dxx dr =
—Д- [ exp[/T(© + niai)]dT^-^6(© + ni^ (42) (^л)*V ^ л
Подставляя формулу (42) в (41), получим следующие формулы:
.। _Р(Р2—1) f f fa, ехр {— i [а, (ж, — о/) + a2x2]} dax da2^+(1-^)»?.। _Р(Р2—1) f f fa, ехр {— i [а, (ж, — о/) + a2x2]} dax da2^+(1-^)»?X exp {— t [a! (x, — vf) + a2x2]} dax da2, (43)X exp {— t [a! (x, — vf) + a2x2]} dax da2, (43)
.। _Р(Р2—1) f f fa, ехр {— i [а, (ж, — о/) + a2x2]} dax da2
^+(1-^)»?
.। _Р(Р2—1) f f fa, ехр {— i [а, (ж, — о/) + a2x2]} dax da2
^+(1-^)»?
X exp {— t [a! (x, — vf) + a2x2]} dax da2, (43)
X exp {— t [a! (x, — vf) + a2x2]} dax da2, (43)
a'2-H+(«-nDa?][aU(l-nl)a|] X
X exp { — г [a1 ^xx — uf) + a2x2]} da.x da2, где
После выполнения указанных интегрирований получается формула сгп + о22 =
.24',.24',_^(Р2-!)
.24',
.24',
«Р (1 - П|)«Р (1 - П|)—I слр |—^1 —i||^— vtjj uuj —
«Р (1 - П|)
«Р (1 - П|)
Р(Р2-1)(х,-У/)
Из других формул (43) получим
^ll ffM —^ll ffM —2 (х, — и/) Р2 (х, — и/) Р(1 — (1/2) Л2)(1 — Л2) 1/1(х, - о/)2+ (1 - П2)х2
^ll ffM —
^ll ffM —
2 (х, — и/) Р
2 (х, — и/) Р
(45)(45)(X, — 0/)2+ (1 — Пг) ^2
(45)
(45)
сг12 —сг12 —^2(1 -
сг12 —
сг12 —
"п! . (^1 - у02+ ( - ’ll) *2
(1 — (1/2) ^ (| - П2)'А '(х, - р/)2 + (i — ni) ^2.
Ниже мы приводим график максимальных касательных напряжений для силы Х\ = P6(xt — и/)б(хг), перемещающейся со
скоростью и = 0,4 С] в направлении оси Xi (рис. 10.2) *) в предположении, что v = 1/4, т. е. Л. = р. Изображенные кривые являются изохромами Tmax = const. Числа, написанные рядом с кривыми, означают величины паттмР, где а — некоторая характерная длина.
Интересен случай, когда Сг < и < Сь или тр < 1 < т]2. В этом случае первая формула системы (43) остается без
изменений. В то же время из остальных формул (43), в которые следует подставить т]2<1, получим иные выражения для 0ц — 022 И ^12-'
_2Р f (1 - (1/2) П*)(1 - г],)"72 (х, - «/)
СТ"I (х.-^+О-^
^ 6 [х, - vt - (^ - 1)'А Х2] + £ 6 [х, - и/ + (^ - 1/А х2] |,
_ Р ((1-<х2(
nff2|Ui_y/)2+(1_T12)z2+
+ тО —^)6[xi—1),/5*2]—
На рис. 10.3 показаны изохромы для наибольших касательных напряжений при и = 0,8 С] и v = 1/4. Вдоль кривых
хх — vt-= ± (т]2 — l)l/j х2
при с2 <и <С\ напряжения претерпевают разрыв. Это вызвано наличием дельта-функции Дирака в выражении касательных напряжений.
Аналогичным образом решается задача, связанная с силой, направленной по оси хь но передвигающейся в направлении
РИС. 10.4.
ОСИ Х2 со скоростью V < С2 < Ср
^ =Рб(х1)6(х2 —П^), ^2 = °, Т)!="^"-
Для этого случая получим
^, =—== 6 (® + Л^г)-
Итак, , (Р2—1)Р Г Г iat exp {— I [щх, + a2(х2 — v^)]} ^«i da^ _
_j_2«!+o
ЛРЧО - ^D xi + (xa—°o2] ’
_ = _ Г (‘ — -nD72(1 - n?)V’ (1 - (1/2) Hi) " a|1лт]2 . (1 - nD xi + (x2 - pQ2 (1-41)^1+(x2-o02.
= _ ^-ety (l-(l/2)n22)(l -^rV* _
CTl2ЛТ]2 (1 - ni) ^? + (*2 - »02
■(I - <
(i-nD^+t^-^)2.
На рис. 10.4 представлены графики максимальных касательных напряжений, обусловленных силой Р6(Х1)6(хг— vt\ движущейся со скоростью и = 0,4 Ci в направлении оси Хь При выполнении графика принято у = 1/4. Числа, написанные рядом с кривыми, означают величины латщахЛ где а — некоторая характерная длина.
Источник возмущений, движущийся с постоянной скоростью. Пространственные задачи
Пусть в неограниченном упругом пространстве в направлении оси Хз перемещается с постоянной скоростью и сосредоточенная сила. Эта задача, так же как и более сложная задача о движущихся поверхностных силах (равномерно распределенных по окружности), была решена Эсоном, Фалтоном и Снеддоном1). Эти решения являются прекрасным примером применения интегрального преобразования Фурье в эластокинетике.
Исходным пунктом являются формулы (1) — (11) § 9.6, в котором перемещения были выражены в виде преобразования Фурье по четырем переменным:
,, _1 Г 02(У2 —<»2)—б^аД
4л2с?р J (V - а2) (У2 - о2Р2) Х
Хехр[ — z (а^ + ®т)] dll7, /, ^ = 1, 2, 3, (I)
Y2 = а2 + а2 + а2, т = cxt, Р2 = Д-,-с2
62=р2—1, dW = dax da2 da^ d®.
Здесь Ц74 означает пространство переменных («ь а2, аз, ®). В случае Xi = Х2 = 0, Хз #= 0 получим для перемещений следующие формулы:
иДх, т) =иДх, т) =и2^х, т) =и2^х, т) =Р2- 1 Г X3aia3e~<a dW 4л2с?р J (V2 — <»2) (V2 — 02®2)
иДх, т) =
иДх, т) =
и2^х, т) =
и2^х, т) =
(2)(2)р2- 1 Г Х3ага3е-*2 dW 4л2с?р J (V2 — <»2) (V2 — Р2ш2) ’
(2)
(2)
,* Г Х3 [р2 (у2 — ш2) — б2аз]
"3(Х* Т)= 4^р" ^ (у2 — со2) (у2 — Р2ш2) е~ Q dW‘
Q ^= Ctj^i "j- 02-^2 Ч~ «3X3 -р ®Т.
Используя соотношения Гука
(Т/6 = |1(ы/,й+tift>/) +Mft/tin,„, j, k, n=l, 2, 3,(3)'
найдем следующие зависимости: ..ЗР2 — 4 Г (аД3е-ш ,™
"11 + "22 + "334^5р2- J -уТ_-щ2- dW,
а — = ^ ~ 1 f iI^iJL^1^2iZil aw
0,1 СТ222 л2Р2 J (y2 - a2) (y2 - ®2Р2)
„„ _1 paJp2(Y2-a2) + 62(a[-a*)]x3e
011°332л2р2 J(у2 — co2) (Y2 — a2P2)- dw,-
1 f ^|^<Т'-»3-2^]?,«-"('”
a234л2Р2 J (Y2 - to2) (Y2 - a2P2)
_ I f (ai[P2(Y2-®2)-26'aj]X3e~n
°13 -4n2P2 J (у2 - <o2) (Y2 - «2P2)
_ 62 f /0)0203X36 Q П7
°122n2P2 J (Y2 - to2) (Y2 - ®2P2)'
Для силы P, передвигающейся по оси х3 с постоянной скоростью и, имеем
Х3 = Рб(х1)б(х2)б(х3 — и/) = Рд(х,)д(х2)д (х3 — щт), 11=-^-.
Поэтому
^з = -^-б(м + п^з).(5)
Подставляя формулу (5) в формулы (2) и интегрируя, получим
Р№ дц
8л3цР2 dxv
гдегде2 —2 —- №L д1'2 8л3цР2 дхг ’“3 = 8л3цР2 [^2/2 —- №L д1'2 8л3цР2 дхг ’“3 = 8л3цР2 [^2/2 —дПд(х3-дПд(х3-— i [О|Х| + 02*2 + «3 (*3 — Ор]} ^"1 ^°2 ^«3 ■ «2 + 0 - П1) "з] [°! + «2 + (1 * *1!) аз]— i [О|Х| + 02*2 + «3 (*3 — Ор]} ^"1 ^°2 ^«3 ■ «2 + 0 - П1) "з] [°! + «2 + (1 * *1!) аз]— i [Q|X| + а2х2 + °з (*з — о<)]) ^«i ^«2 ^аз— i [Q|X| + а2х2 + °з (*з — о<)]) ^«i ^«2 ^аз। „2Oi + а2। „2Oi + а2(6)(6)(7)Т)2 = —•с2(7)Т)2 = —•с2
где
где
2 —
2 —
- №L д1'
2 8л3цР2 дхг ’“3 = 8л3цР2 [^2/2 —
- №L д1'
2 8л3цР2 дхг ’“3 = 8л3цР2 [^2/2 —
дП
д(х3-
дП
д(х3-
— i [О|Х| + 02*2 + «3 (*3 — Ор]} ^"1 ^°2 ^«3 ■ «2 + 0 - П1) "з] [°! + «2 + (1 * *1!) аз]
— i [О|Х| + 02*2 + «3 (*3 — Ор]} ^"1 ^°2 ^«3 ■ «2 + 0 - П1) "з] [°! + «2 + (1 * *1!) аз]
— i [Q|X| + а2х2 + °з (*з — о<)]) ^«i ^«2 ^аз
— i [Q|X| + а2х2 + °з (*з — о<)]) ^«i ^«2 ^аз
। „2
Oi + а2
। „2
Oi + а2
(6)
(6)
(7)
Т)2 = —•с2
(7)
Т)2 = —•с2
Подставляя в формулы (7) aj = р собФ, а2 = р sin Ф, x1=rcos0, x2 = rsin0 и интегрируя по Ф и а3, находим
гдегдеП10 5р
где
где
Хз Vt / 9 j 9\1/
Yi, 2 = Д7=Т' Г = (xi + Х9 •
V 1 — П1. 2
Дифференцируя по г и используя известное интегральное со* отношение, получим
=(р0(е-№ - е"?^ d^ =
_ 2л2/ у2Yi
#,|('W P’+vyJ' ’
Кроме того,
dlv __2л2/Г (1 — q2)-2(1-1^)~'/г
^и^^- n^L ('Чт^ е2+тг.
.2л2
Подставляя формулы (8) — (10) в формулы (6), получим
и — Х1Р
"V2
Yi
14np.'q2f2
[е2+уг
(г2+УТУ2 J
и — Х1Р
Г V2
V!
.(11)
г4лцт12Г2
kr2+ <
(г2+^)\
р ГО-п2)72(» —nD'Al
^[(r2+<2(r2+Y?)V\
Напряжения а,, можно определить из формул (3), дифференцируя выражения для перемещений, или из формул (4) при учете (5) и интегралов (8) — (10).
Рассмотрим, далее, действие сосредоточенной силы Р, действующей в направлении оси х3, но передвигающейся со скоростью и в направлении оси Хь Тогда „
Х3 = Рд(х1-тцт)д(х2)д(х3), Х2=Х3 = 0. (12)
Трансформанта силы Х2 принимает вид
%3=-^-б((о + 7)1а1).(13)'
Подставляя формулу (13) в формулы (2), можно представить перемещения в виде
(14)
_ РУдЧ\U' — 8л3цР2 дхх дх3 ’_ РУдЧ\°2 8л3цр2 дх2 дх3 *_ РУдЧ\U' — 8л3цР2 дхх дх3 ’_ РУдЧ\°2 8л3цр2 дх2 дх3 *ОО ОО ОООО ОО ОО— ОО — ОО—ОО— ОО — ОО—ООехр {— i [a, (xj — о/) + а2х2 + а3Хз]}К1 - П?)«? + «1 + «з] [(• - п!) «1 + «2 + аз]ехр {— i [a, (xj — о/) + а2х2 + а3Хз]}К1 - П?)«? + «1 + «з] [(• - п!) «1 + «2 + аз]dav da2 da2,(15)dav da2 da2,(15)гг220000 ОО0000 ОО— 00 —ОО —ОО— 00 —ОО —ООexp {— i [а! (n — v/) + а2х2 + «з^з])(* - ’ll) «1 + «2 + «3exp {— i [а! (n — v/) + а2х2 + «з^з])(* - ’ll) «1 + «2 + «3do-x du<2 dct^ido-x du<2 dct^iЗдесь Г1 и Г2 означают интегралы
_ РУдЧ\
U' — 8л3цР2 дхх дх3 ’
_ РУдЧ\
°2 8л3цр2 дх2 дх3 *
_ РУдЧ\
U' — 8л3цР2 дхх дх3 ’
_ РУдЧ\
°2 8л3цр2 дх2 дх3 *
ОО ОО ОО
ОО ОО ОО
— ОО — ОО—ОО
— ОО — ОО—ОО
ехр {— i [a, (xj — о/) + а2х2 + а3Хз]}
К1 - П?)«? + «1 + «з] [(• - п!) «1 + «2 + аз]
ехр {— i [a, (xj — о/) + а2х2 + а3Хз]}
К1 - П?)«? + «1 + «з] [(• - п!) «1 + «2 + аз]
dav da2 da2,
(15)
dav da2 da2,
(15)
г
г
2
2
0000 ОО
0000 ОО
— 00 —ОО —ОО
— 00 —ОО —ОО
exp {— i [а! (n — v/) + а2х2 + «з^з])(* - ’ll) «1 + «2 + «3
exp {— i [а! (n — v/) + а2х2 + «з^з])(* - ’ll) «1 + «2 + «3
do-x du<2 dct^i
do-x du<2 dct^i
Подставляя в интеграл Г] зависимости а2 = рсозФ, a3 = psinO, x2 = rcos0, x3 = rsin0 и интегрируя по Ф и аь найдем, что
S" ~W1(1 _ ’®’1 е'№ ~ °_ ”э‘‘ е'и'1 ^di*' °61
где
.— Х1 ~yZ
01,22"
— 41,2)
(17)(17)Интегрируя согласно (16), получим
(17)
(17)
r-(x« + ,y.
Поступая аналогично с интегралом Г2, найдем, что
(1-<^+^'/з '(1-<^+^'/з '(18)(18)
(1-<^+^'/з '
(1-<^+^'/з '
(18)
(18)
Наконец, из формул (14) получим следующие выражения для перемещений:
м _ (X! — и/) х2Р / J1_\
1 4лцт12Г2 \ R> Ri)*
Рх2Х34л [ink4Рх2Х34л [ink4R2 — R{ + (х, — и/)2R2 — R{ + (х, — и/)2(19)(19)
Рх2Х34л [ink4
Рх2Х34л [ink4
R2 — R{ + (х, — и/)2
R2 — R{ + (х, — и/)2
(19)
(19)
«з«зР4лцп2Р4лцп2По *9 ,, х 1 ~~yf n / 11
«з
«з
Р
4лцп2
Р
4лцп2
^ + ^№-R.) — хИт-Т"
А2^Г\ К) А1
где
^2 = [(l-^2)(^ + x2) + (x1-U/)T.
г = (х2 + ^.
Рассмотрим теперь простой случай, в котором источник продольной волны 0(х, t) передвигается с постоянной скоростью в направлении оси х3:
V2— дА\С1 /V2— дА\С1 /Ф (х, /) =^(х, /).С1Ф (х, /) =^(х, /).С1(20)(20)
V2— дА
\С1 /
V2— дА
\С1 /
Ф (х, /) =^(х, /).
С1
Ф (х, /) =^(х, /).
С1
(20)
(20)
Уравнение (20) можно трактовать как волновое уравнение, связанное с действием в бесконечном упругом пространстве массовых сил X; = р$,,. Так как задача характеризуется осевой симметрией относительно оси х3 = г, решение удобно искать в цилиндрических координатах. Вводя новую переменную т = сх1 и предполагая, что мы имеем дело с точечным источником возмущений
О(г, г, ^=%^7^ kz — т^т), т11 = -^-,(21)
получим уравнение (20) в виде
/ д2 . I д . д2 д2 \ z .1 „ ,.
ITT ^ з Ь ТТ Т ) ^ (^ г> т) 2 ^ (г> 2> т)1 (22)
\дг г dr dz дт /cY
Применяя к уравнению смешанное интегральное преобразование Ханкеля — Фурье, получим в соответствии с формулой (29) § 9.6
Ф (г, z, т) = —Ц- Г а/0 (аг) da X 2лС1 J
X Г Г еХРI- 1 (^ + toT)ld^dto- (23) а2 + р2 — со2 — ОО —ОО
Учитывая, что
^ (а, Р, Ю) = ^ д (<о + Рщ),(24)
получим
ГТ p-i6(z-of)
ф (г, 2, t) = —— J а/0 (аг) da J 2 - 2 т-dp,
4ncf Jа2 + Р2 (1 - Пт)
откуда после простого интегрирования найдем
4лс2 /г2(1 — r^)+(z —t>/)2
Эта формула справедлива для гр < 1, т. е. для возмущений, перемещающихся с дозвуковой скоростью. Для сверхзвуковых скоростей (t]i > I) имеем
ф(r’ z* ^ = ^Я/а/о(аг)da_(’^p2(^iy ^"
Проинтегрируем по р:
, е—ip (г—ГЦ<)л sin (а (z — иО/а) / 9 i w
Этот интеграл понимается в главном значении Коши, поэтому
Ф (г, z, /) = — 1 - f sin fa -——Ja (ar) da,4ncta J V о /
или
^^ г*"" при 0 < г < -——, Ф(г, z, t) = 4яс1 V^-oty-a^О
Опри —-— < г < оо.
Перемещения и напряжения, связанные с действием источника, получим по формулам
и1=-^' alh “ 2цФ,;ь + М/кФ-вл.(28)
Отражение плоской волны от свободной поверхностии от абсолютно жесткой стенки
Пусть в плоскости Х1Хз в направлении АО распространяется под определенным углом плоская монохроматическая волна. Эта волна отражается от плоскости х3 = 0. На рис. 10.5 показаны падающие волны двух типов: P-волна и SV-волна.
22*■
Первая из них является продольной волной (волной дилатации), распространяющейся вдоль прямой АО с фазовой скоростью cb Эта волна после отражения, помимо отраженной P-волны, дает начало ЗУ-волне, распространяющейся со скоростью с2. Вторая из этих волн, представленная на рис. 10.5,6, является поперечной (перпендикулярно поляризованной) волной, распространяющейся со скоростью с2. Эта волна, кроме отраженной ЗУ-волны, вызывает возникновение продольной P-волны. Предположим, что в обоих случаях плоскость х\ = 0 свободна от напряжений.
При рассмотрении отражения Р- и ЗУ-волн от плоскости х3 = 0 мы воспользуемся волновыми уравнениями. Так как мы имеем дело с плоской волной, не зависящей от переменной Х2, то к нашим услугам уравнения
+ L<^ = 0, (д? + 6з2Ld2U = 0.(1)
\С1 /\С2 /
Решение уравнений (1) примем в виде
ф =Gj (х3) е*61*1"^*, ф = С2(х3)е''^-с''.(2)
Мы должны связать потенциалы Фифе заданными граничными условиями. Эту задачу можно решать сразу для двух функций Фиф
Подставляя формулы (2) в (1), получим систему обыкновенных уравнений. .
//2/7/ /»2Mil
—r + ^G^O, v^ = H1) , Ц = 1, 2,(3)
“Х3\ сц/
с решениями ■.
Gtt= А/^»^ B^V», ц = 1, 2.(4)
Отсюда уже можно представить потенциалы (2) в виде
Ф = Д| exp [i& (Х| -ф VjX3 — с/)] -f- Вх exp JiA (х, — V|X3 — с/)],
ф = Л2 ехр [^ (х3 + v2x3 —- с/)] + В2 ехр [г^(х, — v2x3 — c/)j. - ^
Заметим, что с представляет собой скорость распространения волны вдоль поверхности. Это вытекает из следующих рассуждений. Если на рис. 10.5, а принять скорость ci как отрезок АО, то этот отрезок будет означать расстояние, на которое переместится волна в единицу времени. Отрезок ОК является расстоянием, которое преодолевает фронт волны вдоль свободной поверхности в единицу времени, равным скорости с. Отсюда следует, что
cos а = -^-,(6)
где а — угол падения волны. Точно так же если на рис. 10.5,6 мы положим, что ВО = с2 является скоростью распространения волны, то отрезок КО будет представлять скорость с распространения волны вдоль плоскости х3 = 0.
Обозначая через 0 угол падения ЗУ-волны (рис. 10.5,6), получим зависимость
cos0 = -^-.(7)
Здесь с, входящее в соотношения (6) и (7), одно и то же; оно относится к потенциалам (5), которые описывают распространение волн как в случае, представленном на рис. 10.5, а, так и в случае, представленном на рис. 10.5, 6. Поэтому в случае падающей P-волны (рис. 10.5, а) Д2 = 0, в случае падающей ЗУ- волны (рис. 10.5,6) Д1 = 0. В обоих выражениях (5) имеем одно и то же к = а/с.
Исключая с из уравнений (6) и (7), получим
c1seca = e2sec0,(8)
откуда
cos a = -^ cos 0.(9)
С2
Это и есть закон отражения плоской волны, аналогичный закону отражения Снелла в оптике. Величину к, входящую в выражения (5), можно представить в виде
с II' ’'
где / = 2лС1/ю — длина продольной P-волны, V = 2лс2/ю— длина поперечной ЗУ-волны.
Постоянные Ль Вь Д2, В2 входят в граничные условия. Заметив, что
о1==д)Ф —д3ф, «з = д3Ф + 6^(10)
и
азз = 2рд3и3-(-А^и,+ д3Ыз), 0i3 = p (^«з+ 5з«1)>(П)
получимполучимОзз = 2ц (дзф + д1дзф) + А¥|Ф, он = Ц (251д3Ф + д?ф — дзф)-
получим
получим
Итак, имеем два граничных условия
Озз(Х|, О, /) = 0,O|3(xj, О, /) = 0.
(12)(12)(13)(13)Рассмотрим сначала случай распространения Р-волны, представленной на рис. 10.5, а. В этом случае следует положить Л2 = 0: это равнозначно факту, что набегающей волной является P-волна. Принимая В2 ^ 0, отложим пока исследование вопроса, при каких условиях В^ может быть равным нулю. Подставляя функции Ф и ф из формул (5) в граничные условия, получим систему двух уравнений, содержащих постоянные Ль Вх, В^:
(12)
(12)
(13)
(13)
(Л, + В,) [2pv? + А (1 + v?)] - ^В2 = О,2(Л1-В1)у,-В2(у2-1) = 0.(14)
Здесь, как легко убедиться из соотношений (6) и (7),
V) = tg а =/-^-— iV2, v2 = tg 0 = f-^-— 1V’.(14a)
\ci /)
Из решения уравнений (14) имеем
В, _ 4у,у2-(Зу,+ 1)(у2 — 1)
Л1 (l + 3vi)(v2- 1)+4у,у2 ’
В24УД1 + ЗУ*)
Л| (1 + 3vf)(v^- 1)+ 4у,у2 '.
Рассмотрим частный случай, а именно ц = А, т. е. v = 1/4. Эти- значения постоянных Ламе принимаются в сейсмологии. В этом случае
'- с2 = Зс2, cos2 а = 3 cos2 0, v| — 1 = 1 + 3v2.
Уравнения (15) примут при учете формул (14а) следующий вид:
В,4 tg a tg Р — (1 + 3tg2a)2
Л|4 tg a tg р + (1 + 3 tg2 a)2 ’
А =4 tg a (1 + 3 tg2 a)(1 b ‘
Л, 4 tg a tg Р + (1 + 3tg2a)2 *
Из этих формул видим, что величина В2 обращается в нуль в двух случаях: один раз при a = л/2, 0 = л/2, другой раз при a = 0. В этих двух случаях отражение относится только к
/’-волне. При а = л/2 получим, кроме того, В\ = —Ль Мы имеем дело с /’-волной, которая падает перпендикулярно к плоскости х3 = 0 и полностью от нее отражается. Рассмотрим теперь случай, в котором Bt = 0. Из первого уравнения (16) получим
4tgatgp = (l +3tg2a)2.
Учитывая, что tg2p = 3tg2a + 2, получим уравнение
4 tga(3 tg2 a + 2)l/z = (1 + 3 tg2 a)2(17)
с корнями a,i ~ 12°47' и a2 = 30°. Этим корням соответствуют скорости с ~ 1,776 с2 и с = 2,00 с2. Если волна падает под углом
ai или а2, то эта волна не отражается. В то же время ЗУ-волна, распространяющаяся соответственно под углом ^ или р2, очевидно, существует.
Рассмотрим далее плоскую ЗУ-волну, показанную на рис. 10.5,6. В этом случае в выражениях (5) положим Ах = 0. Подставляя функции Ф и ф из формул (5) в выражения (12) и используя граничные условия (13), получим систему двух уравнений, из которых определяем отношения В^А^ и В^А^ в предположении, что ц = X:
А =4 ‘g р (1 + 3 tg2 a)
Аг 4 tg a tg р + (1 + 3 tg2 a)2 *
Вг = 4 tg a tg р — (1 + 3 tg2 a)2
А24 tg a tg р + (1 + 3 tg2 a)2 ’
ЗУ-волна, падающая под углом р к плоскости Хз = 0, отражается под углом р и вызывает распространение продольной волны под углом а. Из соотношения (9) видно, что р > а. Падающая ЗУ-волна не отражается, когда В^ = 0, т. е. когда угол падения принимает одно из двух значений: р1«з55°41' или р2 = 60°. Этим значениям соответствуют скорости с~ 1,776с2 и с = 2,00 с2.
Рассмотрим теперь отражение волны от абсолютно жесткой стенки (рис. 10.6). Эта задача отличается от предыдущей только
граничными условиями, которые здесь принимают вид
«1 = (^Ф — ^зФ)Хз=0 = О,
«3 = (530 + 5^ = 0.(19)
Если падающая волна является P-волной, то потенциалы примем в виде (5) в предположении, что Лг = 0. Подставляя (5) в граничные условия (19), получим систему двух уравнений, из которых вычислим отношения
А =А =2у,(2
Л| V|V2 + 1 Ла V|V2 4-17
Очевидно, что амплитуда Bi будет равна нулю, когда viv2 = 1, что при ц = X приводит к уравнению
(3 tg2 а — 1) (tg2 а + 1) = 0,(21)
откуда можно определить углы падения ai и а2, при которых волна не отражается.
Если падающая волна является SV-волной, то в выражениях (5) следует положить Л] = 0. Учет граничных условий (19) приводит к
А = 2v2 А = viAzAЛ2 14" ViV2 1 Л2 14" viv2
SV-волна не отражается, если Bi = 0 или viV2=l. Отсюда можно определить углы падения ^ и р2 и соответствующие им скорости с.
Поверхностные волны Рэлея ')
Возмущения на поверхности, ограничивающей упругое полупространство (либо в упругом теле вблизи его поверхности), вызывают распространение волн, характеризующихся тем, что их амплитуды являются максимальными на поверхности и'что они затухают достаточно быстро с глубиной. Эти волны имеют большое значение в сейсмологии.
Рассмотрим упругое полупространство х, ^0 и предположим, что поверхностная волна распространяется в направлении оси х2. Такого рода волна может возникнуть, если вызывающее ее возмущение не зависит от переменной х3. Независимость поверхностной волны от переменной х3 является причиной того, что «з = 0 и езз = 81з = 823 = 0. Здесь мы имеем дело с плоским деформированным состоянием.
■) Rayleigh J. W., On Waves Propagate! Along the Plane Surface of an Elastic Solid, Proc. Math. Soc. London, 17 (1885), 4—11,
Перемещения, записанные в трехмерных задачах с помощью потенциалов ф и ф в виде
«1=Ф,; + е;/Ж/, i. /, 6 = 1, 2, 3,(1)
примут в двумерной задаче следующую форму:
«1 = Фа + Ф,2, «2 = Ф,2 —Ф.ь(1а)
где ф и ф— скалярные потенциалы.
Уравнения Ламе упрощаются:
□ 1Ф = 0,0^ = 0;(2)
здесь
□ =V^ + dt, а=1, 2.
са
Решение волновых уравнений будем искать в виде
(4)(4)Ф = Ф (xjexp)— i (at— hx^Y ф = T (хх) exp [— i(at— kxs)}; (3) отсюда видно, что волна является гармонической во времени и распространяется в направлении оси х2. Фазовой скоростью, пока неизвестной, является с = а(к. Подставляя формулы (3) в (2), получим из последних обыкновенные дифференциальные уравнения
(4)
(4)
— V;® = 0,5vfr = О,dx\ 1dx\ 2
где
Из общих решений уравнений (4) выберем только те, которым соответствует уменьшение амплитуд волны с глубиной:
Ф = Ле-',1Х|, 4r = 5e-v=X|, va > 0, a=l, 2.(5)
Принятый здесь постулат об угасании волн с глубиной влечет за собой утверждение, что va (a = 1, 2) должны быть величинами действительными и положительными.
В неограниченном пространстве продольные и поперечные волны распространяются раздельно, независимо друг от друга. В рассматриваемом здесь случае эти волны связаны между собой граничными условиями.
В предположении, что плоскость Xi = О свободна от напряжений, мы имеем три условия
Оц(0, *2, 0 = 0, ст1?(О, х?, 0 = 0, а,3(0, х2, 0 = 0,(6)
Последнее условие тождественно удовлетворяется в силу предположения о независимости деформаций от переменной х3. Так как
Стп = 2рен -ф Хе^, ст12 = 2ре12, е^ = д^-|-д2ы2,(7)
то, подставляя в (7) соотношения (1а), получим
стп = 2рдцр + AVpp + 2pdid2ip, Ст12 = ц[2д1д2ф + д21р —дЗД. (7а)
Подставляя в (7а) выражения
Ф= A exp [— v^! — i (tot — Ах2)], ф = Вехр[ — v2X[ — i (tot — £х2)]
и используя граничные условия (6), получим следующую систему уравнений:
р (v2 — А2) + 2рv/j А — 2pz&v2B = О,2pz&v, А + р (А2 + v2) 5 = 0.(8)
Из условия совместности этой системы однородных линейных уравнений получим соотношение
р. (v{ — А2) + 2р v[] (А2 + v2) — 4pv,v2F = 0.(8а)
Это решение при учете зависимостей
приводим к виду
(
т2 \2
2&2^l —4v1v2&2 = 0,с2 /
или
(2 — г])2 = 4 (1 —-iTri)’'2 (1 —'П),/2.(86)
Здесь мы ввели обозначения •& = с^с( < 1 и л = с2/с2-После возведения обеих частей равенства (86) в квадрат и умножения получим следующее уравнение:
Л [л3 — 8л2 + (24 — 16») л — 16 (1 — »)] = 0.(8в)
Корень Л1 = 0 не соответствует условиям задачи. Из остальных трех корней нужно выбрать тот, который соответствует постулату va > 1, а = 1, 2. Заметим, что в уравнение (86) не входит частота о. Итак, скорость поверхностных волн с — сн будет постоянной, независимой от о. Поэтому поверхностная волна не обладает дисперсией.
Рассмотрим частный случай О = 1/3, который соответствует допущению л = р, или v = 1/4. Это значение принимается в сейсмологии для сейсмических волн, распространяющихся в земной коре. При <b = 1/3 получим из формулы (8в), кроме rji = О, следующие действительные корни:
Лг = 4, гр = 2 + —, т]4 = 2.
Так как величины va (а = 1, 2) должны быть действительными и положительными, то
v| = ^ — -^ = ^(1— ел) > О,
(9) v^ = 62 —-^ = 62(1—л)>0, ОСЬ
с2
Из этих соотношений вытекает неравенство
Л<1<4'd°)
которому удовлетворяет только корень ц = г| 4 ^ 0,8453.
Фазовая скорость поверхностной волны определяется по формуле
С= Сд = С2 y'ri! «а 0,9184с2.
Эта скорость меньше фазовой скорости поперечной волны. Подставляя т]4 и й в формулы (9), имеем
v, ~ 0,84756, v2 ~ 0,39936.
Интересным является угасание волны с глубиной. Об уменьшении амплитуды волны свидетельствует член
e-v,x* или e~ViXi,(11)
входящий в функции ф и ф, а тем самым в перемещения их и «2.
Обычно в качестве меры угасания принимается уменьшение амплитуды в е раз, где е — основание натурального логарифма. Это уменьшение величины e~ViX' или е-^х‘ в е раз получим, подставляя в (11)
11
= V или = Отсюда
1I1I
Xi =. . — - =г .:- ИЛИ X, =г =;
к V 1 — $Ц 2л )^1 — th)к }^ 1 — ц 2л )/1 — ц
Здесь через I = 2л/£ мы обозначили длину волны. В рассматриваемом случае при О = 1/3 имеем ц ~ 0,8453. Поэтому
xv « 0,1878/ или хх «< 0,3985/.
Мы видим, что величина хх является дробной длиной волны. Поверхностная волна распространяется в направлении оси х2 вблизи поверхности хх = 0, достаточно быстро угасая с глубиной.
Рассмотрим теперь перемещения, используя для их определения соотношения (1а). Получим
«, = (— 4v1e~v‘x' + Bike-'1,1*^ exp [/ (kx2 — о/)], и2 = ЦкАе~',хХ' + v25e~V2;t,)exp [/ (kx2— о/)].^^
Постоянную А можно выразить через В, используя второе из уравнений (8):
2»v,fe ,
D 199
62 + v2
Наконец, взяв действительную часть от правых частей уравнений (12), получим окончательные формулы для перемещений «1=0,8475C(e-v^— 1,7320е-^) cos © (t —,
/ х \ R 03) и2 = - С (e"vA — 0,5773е-^>) sin © (/ —,
"\ CR /
С = - Ak.
Итак, перемещения определены с точностью до произвольной постоянной С. Это обусловлено тем, что в уравнения (8) не входит причина, вызывающая распространение поверхностных волн. Уравнения (8) служат только для определения фазовой скорости cR путем решения задачи о собственных значениях.
При Х[ = 0 получим
и, (0, х2, t) = - 0.6204С cos © // — -^ ),
/04)
«2 (0, х2, t) = — 0.4227С sin © (/ ——).
\ cr /
Соотношения (14) показывают форму деформированной плоскости Xt = 0. Отношение амплитуд горизонтального перемещения к вертикальному составляет 0,681.
Рассмотрим теперь случай несжимаемой среды, для которого следует положить v = 1/2, или с2= оо. Подставляя в уравнение (8в) й = 0, получим
■ПСП3 — 8Tf + 24r) — 16) = 0.(15)
Корень Ц[ = О не удовлетворяет условию задачи, два других корня уравнения являются мнимыми, последний корень является действительным и меньшим единицы (неравенство (10)). В результате получим
с = cR = 0,95554с2,
т. е. фазовая скорость примерно на 5% меньше скорости поперечной волны.
Глубина хь при которой член е V“X1 (а = 1, 2) уменьшается в е раз, дается формулой
Vi й 2л "
Мы здесь рассмотрели только частные случаи v = 1/4 и v = 1/2. Выше приведены графики, построенные Кноповом ) для разных значений коэффициента Пуассона v (рис. 10.7). Заметим при этом, что О = O(v), т. е.
а — Iх = 1 1 ~2vЛ + 2ц 2 1 -v ‘
Из наших рассуждений вытекает, что поверхностные волны Рэлея очень быстро угасают с глубиной. Это волны с большой
амплитудой и большой энергией. Они вызывают поверхностные сотрясения и являются главной причиной разрушения наземных конструкций. Энергия этих волн больше, чем энергия пространственных волн (продольных и поперечных), исходящих из того же центра возмущения. Поверхностные волны играют значительную роль при наблюдении сейсмических волн. К наблюдателю из места возмущения сначала приходят продольные, потом поперечные волны и, наконец, поверхностные волны. Продольные и поперечные волны распространяются по хорде, а поверхностные волны по дуге. Наблюдение поверхностных волн является одним из самых значительных элементов исследования сейсмических волн.
Нужно добавить несколько слов относительно скорости волн Рэлея. Мы знаем, что сн -< с2 < С| и что в неограниченном пространстве продольные волны вызывают изменение объема, а поперечные— изменение формы. Сопротивление среды изменению объема несравненно больше, чем изменению формы; поэтому фазовая скорость продольных волн больше фазовой скорости поперечных волн. Поверхностные волны распространяются вблизи границы среды в области разрыва материальных констант между упругой средой и атмосферой. Вблизи границы сопротивление среды распространению волн наименьшее, среда более податлива. Поэтому скорость поверхностных волн меньше скорости пространственных (продольных и поперечных) волн.
Поверхностные волны имеют также большое значение в ультразвуковых исследованиях и в дефектоскопии при исследовании поверхностных дефектов конструкции.
Открытие поверхностных волн Рэлеем теоретически и позднейшее их нахождение экспериментально — прекрасный пример эффективности и плодотворности теоретических исследований.
Дадим в заключение вывод основного соотношения Рэлея (86), исходя из уравнений в напряжениях1).
Из уравнений (29) § 9.5 получим три уравнения
Оц2 (Х+ |1) (^П "^ ^22) = ^С2^1 (^1а11 “Ь ^2а12)>
^222 (Л + ц) ^п "^ ^22)= 2с5д2(д1а11 + д2а12),(16),
»12 = с2 Р^г (сти + ^22) + ^12]-
В эти уравнения подставим
O[, = а (х,) exp [i (Ах2 — а>01*
a22 = P(x1)exp[i (kx2— <oZ)],(17)
а12 = у (х^ exp [t (kx2 — а>0].
Складывая первые два уравнения системы (16), имеем
a + P = -^r(c?-^(a"-^ + 2Z6Y').(18)
Вычитая второе уравнение системы (16) из первого, находим
о/2
a-p = --^(a"+m(19)
Из третьего уравнения (16) найдем
v = 5^2v —z&(a'+ 0'^- ч'=^; (2°)
Уравнения (18)—(20) эквивалентны уравнениям
P (X1) = ■ PT^ ^ -V2 + ^ a N’
2ZAy (х,)2ZAy (х,)2,22cf 6 — V22,22cf 6 — V2v2 V' + v2v2 V' + v2^^2 [S3-v|Z)]a(xl)-C1 c24Й2^^2 [S3-v|Z)]a(xl)-C1 c24Й2(D2 - v2) (Z)2 - v2) a (x() = 0, D(D2 - v2) (Z)2 - v2) a (x() = 0, D62 + Vj , d62 + Vj , dZ)a (xj,Z)a (xj,(21)(21)dxi 'dxi '
2ZAy (х,)
2ZAy (х,)
2,22
cf 6 — V2
2,22
cf 6 — V2
v2 V' + v2
v2 V' + v2
^^2 [S3-v|Z)]a(xl)-
C1 c2
4Й2
^^2 [S3-v|Z)]a(xl)-
C1 c2
4Й2
(D2 - v2) (Z)2 - v2) a (x() = 0, D
(D2 - v2) (Z)2 - v2) a (x() = 0, D
62 + Vj , d
62 + Vj , d
Z)a (xj,
Z)a (xj,
(21)
(21)
dxi '
dxi '
Так как 0^(0, x2, Z) = 0, to a(0) = 0. При (x2-+ x2)-* oo должно быть a(oo) = 0. Из последнего уравнения (21) получим
a (х,) = А (.е-^- — е-^.(22)
Подставляя формулу (22) во второе уравнение (21) и учитывая условие <112(0, х2, t) = 0, т. е, условие у(0) = 0, приходим к соотношению
2й2= 4viv2&2,
с2/
т. е. к формуле (86).
В дальнейшем мы не раз столкнемся с задачей о поверхностных волнах Рэлея. Обратим особое внимание на поверхностные волны, исходящие от точечного возмущения в упругом полупространстве; такие волны будут исследованы в § 10.11 (формулы (27)).
Волны Лява
В только что рассмотренных поверхностных волнах Рэлея материальные частицы перемещались только в плоскости распространения поверхностной волны. Там не было поперечных волн И волн, перпендикулярных к плоскости распространения. Однако
наблюдения на поверхности земной коры распространения плоских поверхностных волн в направлении оси х2 показали, что в некоторых случаях могут возникать 5//-волны, а значит, и перемещения «з. Ляв1) показал, что эти волны могут возникать и в упругом полупространстве с упругими свойствами, изменяющимися скачкообразно (рис. 10.8).
Рассмотрим двухслойную упругую среду, показанную на рис. 10.8. Пусть материал упругого слоя (—h хх ^ 0) отличается от материала полупространства х, ^ 0 постоянными Ламе
и9
РИС. 10.8.
и плотностью (pi #= р2, Xi #= Х2, pi #=р2). Пусть в определенной таким образом среде распространяется упругая волна
и = [0, 0, G^Jle1'61^'^(1)
в направлении оси х2 с фазовой скоростью с. Предположим, что граница хх = —h свободна от нагрузок. Так как
«! = 0,«2 = 0,u^G^x^e11^1-®^,(2)
до divu = 0, а система уравнений в перемещениях
pV2u + (X + p)graddivu = pu(3)
сводится к волновому уравнению
р (df-f-d|) «з (xi, х2, 0 — Р«з = 0.(4)
Подставляя формулы (2) в (4), получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
(d2 + ^)G,=0, Р2 = -^-1,-Л^х^О,(5)
^-^о2=о, ^=\—^,Х[>0(6)
Здесь через с^> = (Pi/Pi)‘/2, с^> = (р2^р2)'/2 обозначены скорости распространения поперечной волны в средах 1 и 2.
Решение уравнений (5) и (6) дает
G, = A sin (А^х,) + В cos (А^х,),—/г^х^О,(7)
G2 = Cexp(— 02&х,),х,>0.(8)
Выбранные таким образом решения должны быть ограничен» ными на бесконечности. Величина 02 должна быть положительной для угасания волны в глубине полупространства. Отсюда вытекает, что с^ > с.
Постоянные интегрирования А, В, С связаны между собой граничными условиями в плоскости Xj = h и условиями непрерывности перемещений и напряжений в плоскости Xi = 0. Заметим, что согласно (2) отличны от нуля только перемещения и3 и напряжения стз1 и <т2з. На границе Xi = —h отсутствие нагрузок приводит к условию
д,С1(-й) = 0.(9)
Непрерывность перемещений и3 и напряжений стз: в плоскости Xi = 0 выражается следующими соотношениями:
Gi(0+) = G2(0-)>(10)
'p1d1G1(0+) = p2d1G2(0-).(11)
Условие непрерывности напряжений ст2з приводит к условию (10). Условия (9)—(11) дают систему уравнений'
A cos (р, ДА) + В sin (р t ДА) = 0,
В = С,(12)
Р1Р1Л= P2P2G.
Эта система имеет нетривиальное решение, если удовлетворяется характеристическое уравнение
p202 = p,Mg(&M).(13)
Действительный корень уравнения (13) получим только тогда, когда с^' > с')'. Определенная из (13) фазовая скорость с удовлетворяет неравенству с^* > с > с^’ и зависит от величины к, а также И. Отсюда следует, что волны Лява могут существовать только тогда, когда скорость с^ > с^. Заметим еще, что фазовая скорость с волн Лява зависит от частоты со и поэтому для эти^ волн имеет место дисперсия.'
Если с является действительным корнем уравнения (13), то перемещение «3 выражается формулами
«з^ь х2, () = D cos [APt (х, + A)] e^vxi-ch, —Л ^х, ^ 0, (14) м3(хь х2, t^ = D cos (Pi^/i) e-^ikXvel,l^-ct\ xv ^ 0.(15)
Здесь D — произвольная постоянная. Наибольшее значение перемещения получим при Xi = —К. При Xj > 0 перемещение уменьшается указанным способом.
Волны Лява в самом общем виде получаются суперпозицией монохроматических волн (14) и (15) при различных значениях k.
Распространение волн в упругом слое
Рассмотрим упругий слой толщиной 2й, заключенный между плоскостями х3 = ±й, свободными от напряжений. Пусть в этом слое распространяется периодическая волна с фазовой скоростью с. Плоская продольная волна распространяется в бесконечном пространстве со скоростью Сь поперечная волна — со скоростью с2. В упругом слое скорость волны будет отличной от Cj и с2. Ограничение упругого пространства двумя плоскостями вызывает возмущения, влияющие на изменение фазовой скорости и напряженного состояния.
Ниже мы рассмотрим плоскую задачу; перемещения «1 и «3 будут независимыми от переменной х2, а ц2 = 0.
Задача о распространении периодических волн в упругом слое была решена Рэлеем) и Лэмбом). Математически эта задача формулируется следующим образом. Ищем решение двумерных волновых уравнений
== Vi=^ + d3 (1)
X С1 /\ С2 /
в предположении, что
ф^, х3, t^ = eu^-cWVx^,ф (xj, х3, () = е<*<*1-с<)ф* (х3).^^
Подставляя формулы (2) в (1), получим обыкновенные дифференциальные уравнения'
(дз — vDo‘ = 0,(дз — у2)ф* = 0,(3)
где
Va = (&2 — &а)'/2, &а = —,а = 1, 2.
Са
Решение уравнений (1) можно представить в виде
Ф = (Л sh v,^ + В ch v,x3) eWxi-ch,
ф = (C sh v2x3 + D ch v2x3) e<6^)
Перемещения их и w3 связаны с функциями Фиф зависимостями
и1 = <Э1Ф— д3ф, и3 = д3Ф + ^[ф.(5)
Напряжения выражаются формулами
о, i = 2ц (di Ф — дкЭзф) + Xv^,
<ТЗЗ = 2ц. (<ЭзФ + д^зф) + XV^,(6)
013 = ц (2д1д3Ф + 51ф — д|ф).
Подставляя (4) в (5) и (6) и используя граничные условия
о3з(хь ± h, t) = 0,o13(xb + h, 0 = 0,(7)
получим систему четырех линейных однородных уравнений, содержащих постоянные А, В, С, D.
Приравнивание определителя этой системы уравнений нулю приводит к характеристическому уравнению, из которого при заданных значениях р, цД и ш можно найти фазовую скорость с. Упростим задачу, рассмотрев две системы частных решений:
Ф, = Beik^x*-C^ ch v,x3,
ф[ = Cetk^-ct) sh v2x3' '
и
Ф2 = Аеи sh v,x3,
191
ф2 = Deu ^Xi ~ct' ch v2x3.7
Подставляя формулы (8) в соотношения (5), нетрудно заметить, что перемещение Wi является симметричным, а и3— антисимметричным относительно плоскости х3 = 0. Напряжения оц и о33 симметричны, напряжение си3 антисимметрично относительно плоскости х3 = 0. Решение (8) соответствует симметричному виду колебаний. Используя указанные свойства симметрии, достаточно учесть граничные условия только при х3 = h. Подставляя формулы (8) в (6) и используя условия (7), получим систему двух уравнений
[(2ц + X) р[ — X] В ch Mxh + 2ц/р2С ch v2/i = О,2tp,Bshv1/i — (1 + р|) С sh v2/i = 0,f10^
₽а = ^.а=1,2.
Из условия существования нетривиального решения системы уравнений (10) получим характеристическое уравнение
th(v2ft)4РФ2 ’И
или
th(^/l -с2/^)=_ ^-c^jc^
th (м Y\ — с2/с2)4 /1 — с2/с'| /1 — c3/c2
Рассмотрим сначала предельные случаи. Если длина волны / = 2л/& очень велика по сравнению с толщиной слоя 2й, то величины vi А и х-гй будут малы при конечном значении с. Заменяя в уравнении (11) гиперболические тангенсы их аргументами, получим
Pi _ 0 + Pi)2
Р2 4Рф2 1 откуда
с = ^"5\=Тх.(12)
Если ц = Х (т. е. если v=l/4), то с2х = ЗсХ и из формулы (12) получим
с = ср=^сх = ^У^с2.(13)
Предположим, далее, что длина волны очень мала по сравнению с толщиной слоя 2й. Тогда величины vi/z и ¥гй очень велики, а отношение гиперболических тангенсов в левой части уравнения (12) можно принять равным единице. В этом предельном случае получим
(2-41= 4 1/1-41/1-4-(14)
\/ у С, У С2
В этом уравнении мы узнаем характеристическое уравнение для поверхностных волн Рэлея. При фиксированной малой длине волны и при возрастании толщины слоя уменьшается влияние границы Хз = —h на поверхностную волну, возникающую на границе х3 = h, и обратно.
Границу х3 = h можно трактовать как границу упругого полупространства; периодическая волна по своему характеру приближается к поверхностной волне Рэлея. При v = 1/4 получаем из формулы (14)
с к * 0,91 94с2.
жит в пределах ср ^ с ^ cR.Заметим, наконец, что ввиду периодического характера функжит в пределах ср ^ с ^ cR.Заметим, наконец, что ввиду периодического характера функполучим бесконечное число сим-получим бесконечное число сим-В общем случае симметричных колебаний фазовую скорость с требуется определить из полного уравнения (116). Из вида уравнения (116), в которое входит параметр к = м/с, делаем вывод, что фазовая скорость с зависит от частоты со и поэтому имеет место дисперсия. Из обсуждения предельных случаев следует, что для первой формы колебаний Л1ц фазовая скорость ле
жит в пределах ср ^ с ^ cR.
Заметим, наконец, что ввиду периодического характера функ
жит в пределах ср ^ с ^ cR.
Заметим, наконец, что ввиду периодического характера функ
получим бесконечное число сим-
получим бесконечное число сим-
ции th(v2A) в случае с>с2 мы метричных форм колебаний Mn,M12, ... .
Общее исследование характеристического уравне- - ния (Пб) для произвольных значений р, ц, X провел Го- голадзе *).
На рисунке 10.9 представлена фазовая скорость с и групповая скорость U = = с + k(dcjdk) в зависимости от параметра кН для первой и второй форм симметричных колебаний в предположении, что v= 1/4.
Толстой и Усдин ) установили, что в первой симметричной форме колебаний фазовая скорость с монотонно уменьшается от с = Ср = 2 У 2/Зс2 ПРИ кН = 0 до асимптотического значения с = = cR = 0,9194 с2 при кН = оо. Фазовая скорость U имеет те же самые предельные значения, что и фазовая скорость с, достигая, однако, максимума при кк « 2.
Вторая форма симметричных колебаний Л412 является типичной для дальнейших высших форм колебаний, для которых с > с2. При кк-^-О фазовая скорость с стремится к бесконечности, а групповая скорость U—к нулю. При kh-^oo имеем с->- с2.
Перейдем к колебаниям, выраженным формулами (9). Подставляя (9) в формулы для. перемещений (5), замечаем, что их
антисимметричны, а и2 симметричны относительно плоскости х3 = 0. Используя формулы (6), убеждаемся, что напряжения он и азз антисимметричны относительно плоскости Хз = 0, а <лз симметрично относительно этой плоскости. Подставляя формулы
’) Гоголадзе В. Г., Дисперсия волн Рэлея в слое, Труды Сейсмолог, ин-та АН СССР, 119 (1947), 27—38.
в граничные условия (7) при х3 = Н, получим систему двух Линейных однородных уравнений. Приравнивание определителя Этой системы нулю дает характеристическое уравнение
th (v^) _ 4PiP2 ,, гх th(y2*) (1 + Р^-
Рассмотрим и здесь предельные случаи. Займемся сначала случаем, в котором длина волны очень велика по сравнению с толщиной слоя и для которого с < с2 < сь Разлагая гиперболические тангенсы в ряд и сохраняя три члена ряда, после некоторых преобразований получим
с2 4/—=-W 1с2 О\с2 4/—=-W 1с2 О\(16)(16)и
с2 4/
—=-W 1
с2 О\
с2 4/
—=-W 1
с2 О\
(16)
(16)
с = —.к
Из этого уравнения, относящегося к первой форме антисимметричных колебаний Mi2, можно определить фазовую скорость волн
изгиба. Заметим, что в этом предельном случае мы имеем дело с дисперсией волны.
Другой предельный случай относится к длинам волны, очень малым по сравнению с толщиной слоя. В этом случае при kh^>-oo и с < с2 < Ci левая часть уравнения (15) стремится к единице. Уравнение (15) сводится к уравнению (14), характеризующему поверхностные волны Рэлея.
При с > с2 и kh -> оо фазо
вая скорость стремится к с2. На рисунке 10.10 представлены графики функций с/с2 и Uic2 для первой и второй форм антисимметричных колебаний в предположении, что v= 1/4; эти графики построили Толстой и Ус- дин *).
Графики показывают, что для первой несимметричной формы колебаний AT2i фазовая скорость с монотонно возрастает с ростом кН от нуля (при кН = 0) до асимптотического значения cR (при кН^-ооу Предельные значения для групповой скорости U те же самые, что и для фазовой скорости с.
Вторая форма несимметричных колебаний М22 (как и следующие ЛГ23, ЛГ24, ...) характеризуется для с > с2 тем, что при кН^>-0 фазовая скорость стремится к бесконечности, групповая скорость
’) I. Tolstoy, Е. Usdin, loc. cit. стр. 693.
стремится к нулю, в то время как при &/?-»-оо обе скорости стремятся к значению с2.
В литературе по сейсмологии можно встретить несколько работ, обобщающих рассмотренную выше задачу. Так, Рейсснер *), а также Осборн и Харт ) рассматривали бесконечный упругий слой, заключенный в жидкость, а Седзава и Нисимура )—плиту в неограниченной упругой среде с другими упругими свойствами.
Распространение продольной волныв стержне кругового сечения
Рассмотрим бесконечный стержень кругового сечения, находящийся в пустоте. Пусть в этом стержне, свободном от нагрузки на боковой поверхности, распространяется продольная волна в направлении его оси.
Исследуем случай, осесимметричный относительно оси z (совпадающей с осью стержня). Перемещения, деформации и напряжения будут в этом случае в цилиндрической системе координат (г, <р, г) независимыми от угла ф.
Для решения этой задачи удобно будет воспользоваться волновыми потенциалами Фиф. Волновые уравнения в силу предположенной симметрии деформации относительно оси г примут вид (уравнения (43) и (44) § 9.3)
v2-4^ = o, fv2--V#U = o, (1) ci / \ /
dr2 ' г dr ' dz2 ‘
Составляющие вектора перемещения и = (иг, 0, uz) связаны с потенциалами Фиф следующими соотношениями:
<ЭФ . д2ф
(2)(2)Urdrdr dz’
(2)
(2)
<ЭФдгф1дф дФ.д2ф1д2ф
Uzdzdrгdrdzdz2Cgdt2
В дальнейшем нам понадобятся формулы для напряжений
п ди г ।( иг । диг । диг \
(3)(3)а„ = 2ц^ + уЦ— +-^+^г),
(3)
(3)
Эти напряжения входят в граничные условия задачи. А именно на боковой поверхности цилиндра при г = а должны выполняться граничные условия
arr (a, z, <) = 0, аг2 (a, z, t) = 0.(4)
Продольная волна распространяется в направлении оси z с фазовой скоростью с. Частные решения уравнений (1) примем для этого случая в следующем виде:
ф = ЛО, (г) e-ito »-2i=> = ЛО, (г) еи ^-=‘\
ф = BG^ (г) е~‘® ^~2^ = BG2 (г) е'6 '2~ci\ k = to]c.
Через со обозначена частота колебаний. Вспомним, что длина волны / связана с величинами к и с следующей зависимостью:
2л 2лски ‘
Подстановка функций (5) в волновые уравнения (1) сводит последние к обыкновенным дифференциальным уравнениям
-^ + 7^ + vaGa = 0, a=l, 2,(6)
где
ktt = ^-, a=l, 2.
Из общих решений уравнений (6) выберем те, которые не имеют особенности при г = 0. Уравнениям (6) будут удовлетворять функции Бесселя 70(va г), а = 1,2. Решение уравнений (1) представим в виде
Ф = Ae‘6,2~c<V0(v,r), ф = Де,6<2 c<V0(v2r).(7)
Подставляя формулы (7) в (2), получим
ur = I Л/а (V/) + В1кГй (v2r)] е^
иг = ^AikJ0 (v,r) + ^BJ0 (v2r)] e^2-^,(8)
7p(v„r) =-^[7o(var)J.
Выражая напряжения (3) через перемещения (8) и удовлетворяя граничным условиям, получим систему двух уравнений
А [2^^ Ы - М2/0 ЗДГ_ + ^ikB [/" (v<=a = О,2<W^ (v<=fl - В (2^ - ^ [/' (v/)]r=a = 0.(9)
Из приравнивания нулю определителя системы уравнений (9) вытекает характеристическое уравнение
2n^[7"(v2r)]r_a№-2^)[7^(v/)]r=a2n^[7"(v2r)]r_a№-2^)[7^(v/)]r=a= 0, (10)= 0, (10)[2H/;(v1r)-U2/0(v1r)]r=a
2n^[7"(v2r)]r_a
№-2^)[7^(v/)]r=a
2n^[7"(v2r)]r_a
№-2^)[7^(v/)]r=a
= 0, (10)
= 0, (10)
2^[/o(V)La
из которого мы можем определить фазовую скорость с для заданной частоты со. Уравнение (10) довольно сложно, и поэтому мы не будем заниматься его обсуждением. Из вида этого уравнения, однако, следует, что мы имеем дело с дисперсией волнового движения, так как фазовая скорость зависит от частоты.
Рассмотрим два предельных случая. Если радиус а мал по сравнению с длиной волны / = 2л/с, то мы можем воспользоваться упрощенным характеристическим уравнением, разлагая 70(var) в бесконечный ряд и сохраняя в нем два члена:
Имеем поэтомуИмеем поэтому(Н)(Н)(12)(12)70(var) = l-^(var)2 + -^(var)* +
Имеем поэтому
Имеем поэтому
(Н)
(Н)
(12)
(12)
Jo М ” - Т v«a (1 - Т Ча2), ^M«-i^(i-|vi4 70(vaa) ~ 1 — j(vaa)2, а=1, 2.
Подставляя формулы (12) в (10), получим характеристическое уравнение
“vi{№-26=)(i -lvy)[v’(i - jv^ + A^fi -!,;„■)] + + 26=v;(l-|A;)(l -l^-o. (13)
Исключая члены, содержащие a2 и более высокие степени а, и отбрасывая решение v2 = 0 (которое приводит к соотношению с = с2), получим из уравнения (13) следующее соотношение;
(^_2^^ + А^ + 2^ = о
После простых преобразований приходим к соотношению
1 с 2X6, + цб^
62 и2 (X + ц) б2^ ’
откуда
(14)(14)/ ц(ЗХ + 2ц) = /" Е_V р(х + Ю V р ■
(14)
(14)
Второе приближение, найденное из уравнения (13) Похгамме- ром *), приводит к следующему значению для фазовой скорости: с ~ 1/^(1 — т v2Fa2V v= г — коэффициент (15) р '( + и) Пуассона.
Очевидно, что мы имеем дело с дисперсией волны, так как к = = со/с. Если длина волны очень мала по сравнению с радиусом стержня, то уравнение (13), как показал Банкрофт2), переходит в характеристическое уравнение для волн Рэлея в упругом полупространстве.
Общее решение (10) исследовал Дэвис), представив графики фазовой скорости с и групповой скорости U в зависимости от отношения а(1 для первых трех форм колебаний.
Продольные волны в упругой средес цилиндрической полостью
Задача о распространении продольных волн в бесконечной упругой среде в окрестности цилиндрической полости была решена Био).
Пусть ось цилиндрической полости совпадает с осью z, а радиус полости равен а. Продольная волна распространяется параллельно оси z с фазовой скоростью с. Предположим, что волна характеризуется осевой симметрией относительно оси z. Эту осесимметричную задачу наиболее удобно решать с использованием потенциалов. Био воспользовался волновыми уравнениями (урав-
нения (43) § 9.3)
(v21^Ф = 0,(1)
\ С1 /\ Г с2 /■
где
dr2 ' г dr ' dz2 •
Функции Ф и Чг связаны с перемещениями ит и их соотношениями (формулы (40) § 9.3)
дФ dVдФ . 1 d .
r drdz zdz ' г dr х 'х '
Подставив эти соотношения в формулы для напряжений о dur . , ( ur . dur . duz\/ dur . duz \
агг = 2ц^+Х^ + -57 + -5Г),=(3)
получим следующие соотношения, вытекающие из формул (2) И (1):
/52фугу хЛ угф
агг = 2ц —Y-—- + ——т. \ drdrdz / at
_ 9 / д2Ф d2V \ . d^(4)
°rz \ dr dz dz2 Р dt2 1
На поверхности г = а, на которой отсутствуют нагрузки, справедливы граничные условия
orr (a, z, t) = 0, arz (a, z, /) = 0.(5)
Решение уравнений (1) примем в виде
Ф = AK0(v/) cos k (z— cf),W = BK\{v2r)s\nk(z — ct), (6)
где
Vp = ^(l-«T % = -^.ц=1, 2,
a Ko^ir), Ki^2r)—модифицированные функции Бесселя третьего рода нулевого и первого порядка. Эти функции удовлетворяют условию угасания волны на бесконечности.
На бесконечности мы будем иметь дело с плоской волной, распространяющейся в направлении оси z. Лишь вблизи цилиндрической полости волна возмущается и напряженное состояние зависит от радиуса т.
Подставляя формулы (6) в формулы (4) и используя граничные условия (5), получим систему двух линейных однородных уравнений, содержащих постоянные Л и 5. Она имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Это условие
приводит к характеристическому уравнению
'°2 L v2a ' Ki (v2a) JV!a
(2-< М^) _л (7) /1 -af Kv^ '
Подставляя в это уравнение значения v^ = # 1^1 — а2, ц = 1, 2, мы можем выразить фазовую скорость в зависимости от переменной ак = 2яа!1, где/— длина волны. Если длина волны очень мала по сравнению с радиусом а, то ка стремится к бесконечности, а уравнение (7) с учетом асимптотического выражения
^n^~^Y e~zcosn^x"V
сводится к виду
4/Т^^/Т^ = (2-а2)2,(8)
в котором мы узнаем характеристическое уравнение для поверхностных волн Рэлея. Био дал численное решение уравнения (7) для фазовой скорости с и групповой скорости U в зависимости от отношения Ца при различных значениях коэффициента Пуассона..
Заслуживает внимания решение более сложной задачи, а именно задачи о распространении продольной волны в упругой среде е цилиндрической полостью, заполненной жидкостью ').
Плоская задача Лэмба
Рассмотрим следующую задачу, относящуюся к плоскому деформированному состоянию. Пусть в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полупространство х3^ 0, действует нагрузка P(xi,/) = e^p^'i)- Эта нагрузка вызывает в полупространстве напряженное и деформированное состояния, возникают продольные и поперечные волны. Требуется решить волновые уравнения
^ + дз-4-^Ф = 0,fd? + ^--Ld/U = O(1)
\С1 /\с2 /
с граничными условиями -
<T33 = U1, о, 0 = —e^pUD, o13(xh 0, 0 = 0,(2)
*) М. A. Biot, loc. cit. стр. 698,
Здесь мы предположили, что нагрузка p(xi)e!'“' действует перпендикулярно к плоскости, ограничивающей упругое полупространство, в положительном направлении оси хз. Потенциалы Ф и ф связаны с перемещёниями и напряжениями следующими соотношениями: ,.
их — д,Ф — д3-ф, «а = д3Ф + д,ф,(3)
О1з = ц (2д1д3Ф + <Э?-ф — д3ф),
'- ..(4)
Озз = 2ц (д3Ф + 51 дзф) Н—7 ф.
ci
Волновые уравнения (1) можно решить, применяя интегральное преобразование Фурье. Легко проверить, что уравнениям (1) удовлетворяют интегральные выражения .
ф = -£_ j Д(а)е-^е-г"'с?а,
(5)
ф = j В (a) e~',2X8e~taXi da,
(6)
v4
Р = 1, 2.
Подставляя формулы (5) и (6) в выражения для перемещений (3), получим
7
их = J (~ iaAe-'-’^1 4- ^Ве-"4^ e~tax> da, '
eitot
US = --7=
- V 2л
J (v, Де-*^- + iaBe~',iX«) e~lax' da.
(7)
Подставляя формулы (5) и (6) в формулы (4) и используя граничные условия (2), получим систему двух уравнений
где
2iavtA — (2а2 — k^ В = Q,(2а2 — ^) А + 2iav2B = -^
Р^=у^ / P^x^e^dx^
(9)(9)плэ-плэ-, tmt«i (x„ 0, —цу2л, tmt«i (x„ 0, —цу2лf (2O2 _ k2 _ 2V1 v2) e"lax' da, J jV (a)f (2O2 _ k2 _ 2V1 v2) e"lax' da, J jV (a)ltot.1 “«3(^1, 0,0 = --^- Jltot.1 “«3(^1, 0,0 = --^- Jр (°),v^-2"1 da.^ (а) *р (°),v^-2"1 da.^ (а) *(Ю)(Ю)
(9)
(9)
плэ-
плэ-
, tmt
«i (x„ 0, —
цу2л
, tmt
«i (x„ 0, —
цу2л
f (2O2 _ k2 _ 2V1 v2) e"lax' da, J jV (a)
f (2O2 _ k2 _ 2V1 v2) e"lax' da, J jV (a)
ltot.1 “
«3(^1, 0,0 = --^- J
ltot.1 “
«3(^1, 0,0 = --^- J
р (°),
v^-2"1 da.
^ (а) *
р (°),
v^-2"1 da.
^ (а) *
(Ю)
(Ю)
Из решения системы уравнений (8) имеем
2а2 — ^2 ~ z х2iav, _
гдегдеА = й (а) Р В = — ^N (О) Р (“),
где
где
N (а) = (2а2 — к2-)2 — 4a2v,v2.
Подставляя формулы (9) в соотношения (7), получим в скости х3 = 0 следующие выражения:
В частном случае сосредоточенной силы р(х^ = Род(х,) имеем
р(а)=-^ f d(x1)eto'dx, = -^> f /2л J1/2л
так что
U, (х,, 0, 0 =U, (х,, 0, 0 =iPOettot2лцiPOettot2лц(2a2 — /г2 — 2v,v2)IV (a)(2a2 — /г2 — 2v,v2)IV (a)ae~tax'da,ae~tax'da,
U, (х,, 0, 0 =
U, (х,, 0, 0 =
iPOettot
2лц
iPOettot
2лц
(2a2 — /г2 — 2v,v2)IV (a)
(2a2 — /г2 — 2v,v2)IV (a)
ae~tax'da,
ae~tax'da,
(H)
«3 (-V]. о, /) =^— J у (a) da’
Выделим в функции нагрузки симметричную р8(Х[) и антисим* метричную pa(*i) относительно плоскости Xi = 0 части. Тогда
p(d) = pA^-ViPa(d),(12)
где
рЛ^=УрЛ^=Уj ps(x^ cosax, dxit
рЛ^=У
рЛ^=У
J Ра Ui) sin ax, dxx.
Подставляя формулу (12) в (10) и учитывая, что амплитуды перемещений и сами перемещения должны быть действительными
величинами, получим следующие формулы:
I eltot ux (х,, 0, 0 = Re sI eltot ux (х,, 0, 0 = Re s2а2 — fej — 2v,v22а2 — fej — 2v,v2ооУ (а)У (а)aps (a) sin ах, da ?,aps (a) sin ах, da ?,«3(х,, 0, t) = — Re«3(х,, 0, t) = — ReООv А(о) д■ А,-;- cos ах, daN (а)1v А(о) д■ А,-;- cos ах, daN (а)1(13)(13)
I eltot ux (х,, 0, 0 = Re s
I eltot ux (х,, 0, 0 = Re s
2а2 — fej — 2v,v2
2а2 — fej — 2v,v2
о
о
У (а)
У (а)
aps (a) sin ах, da ?,
aps (a) sin ах, da ?,
«3(х,, 0, t) = — Re
«3(х,, 0, t) = — Re
О
О
v А(о) д
■ А,-;- cos ах, da
N (а)1
v А(о) д
■ А,-;- cos ах, da
N (а)1
(13)
(13)
для симметричной нагрузки и
их (х,, 0, 0 =их (х,, 0, 0 =2а2 — fe2 — 2v,v22а2 — fe2 — 2v,v2NWNWара (а) cos ах, daара (а) cos ах, dau3 (х,, 0, 0 = — Reu3 (х,, 0, 0 = — ReV,PO (°) ."N^w” s,n 0X1 daV,PO (°) ."N^w” s,n 0X1 da(14)(14)
их (х,, 0, 0 =
их (х,, 0, 0 =
2а2 — fe2 — 2v,v2
2а2 — fe2 — 2v,v2
NW
NW
ара (а) cos ах, da
ара (а) cos ах, da
u3 (х,, 0, 0 = — Re
u3 (х,, 0, 0 = — Re
V,PO (°) .
"N^w” s,n 0X1 da
V,PO (°) .
"N^w” s,n 0X1 da
(14)
(14)
для антисимметричной нагрузки.
Аналогичным образом можно рассмотреть случай касательных нагрузок, лежащих в плоскости х3 = 0 и параллельных оси Хь В этом случае решаем уравнение (1) с граничными условиями
а33(х„ 0,/) = 0,а13(х„ 0, 0 = ~ gUi) е'А (15)
Мы предположили здесь, что нагрузка g(x^ettot действует в положительном направлении оси х,. Подставляя выражения (5) и (6) в формулы (4) и принимая во внимание граничные условия (15), получим систему уравнений
2/av, А - (2a2 -k^B = - ^, 1'27(16)
(2a2 — k^ A + 2z'av2B = 0.
После определения величин А, В как функций параметра а получим из формул (7) при х3 = 0 следующие выражения для пере* мещений в плоскости, ограничивающей упругое полупространство:
UX (х„ о, /) = - —р= _JUX (х„ о, /) = - —р= _J£ (a) v2NW£ (a) v2NWe-laxv ^Qie-laxv ^QiU3 (X„ 0, 0 = - ^= f 4^- (2a2 - ^2 - 2VjV2) ae-^- da.U3 (X„ 0, 0 = - ^= f 4^- (2a2 - ^2 - 2VjV2) ae-^- da.(17)(17)
UX (х„ о, /) = - —р= _J
UX (х„ о, /) = - —р= _J
£ (a) v2
NW
£ (a) v2
NW
e-laxv ^Qi
e-laxv ^Qi
U3 (X„ 0, 0 = - ^= f 4^- (2a2 - ^2 - 2VjV2) ae-^- da.
U3 (X„ 0, 0 = - ^= f 4^- (2a2 - ^2 - 2VjV2) ae-^- da.
(17)
(17)
Здесь тоже можно выделить в ^(х,) симметричную и антисимметричную относительно плоскости х, = 0 части с помощью интегралов Фурье по синусам и косинусам.
Вернемся теперь к интегралам (11). При их вычислении возникают значительные трудности математического характера: интегралы не удается взять непосредственно. Они вычисляются путем замены переменной интегрирования а комплексной переменной g = а + ft и контурным интегрированием в плоскости g. Несобственные интегралы в формулах (11) примут вид
f g (2g2 - A? - 2 /§2 - А 2 /g2 -
/ = f(18)
2(^-^-^-yV^-kX*
Мы не будем входить в подробности этого сложного метода интегрирования, а ограничимся представлением окончательного результата. Читателей, интересующихся примененным здесь методом интегрирования, отсылаем к монографии Эвинга, Ярдецкого и Пресса (см. список литературы).
Интегралы (11) можно представить бесконечными рядами
zz,(x„ 0, /) = — Р^- exp [z (tot—хх,)] +
+ -^ ^х.)^ сexp[z (tot — /г,х,)1 +
+ (k2xYVk О exp[z (tot — /г2х,)]} + ...,iP К(19)
zz3(x„ o, o =^-expV(tot — xx,)] —
-■^fei) Vzcie2(P[z(to< — ^A)l +
+ (к2ху41 Dx exp (i(tot — A^x,)]} + ... .
В этих формулах введены обозначения
х (2х2 - ^) - 2 УТ^Т2 /Т^Т2
(20)(20)Н—АГ(х)
(20)
(20)
kXV^kX
Здесь х— корень уравнения Рэлея Af(x) = 0, a N'(х)— производная функция А(х) по х. Кроме того, введены постоянные
С = -2/2^^=С = -2/2^^=^2-2^3^2-2^3e-inn,e-inn,
С = -2/2^^=
С = -2/2^^=
^2-2^3
^2-2^3
e-inn,
e-inn,
r— к\к\
(21)(21)2 к'к/ e-t^,2 к'к/ e-t^,Cx = —i /2л , 2— 2< e-W, /i-2^)’
(21)
(21)
2 к'к
/ e-t^,
2 к'к
/ e-t^,
D =
Dx = - 4/ /2л 1Dx = - 4/ /2л 1k2 \Ч= e-inl4 к2)*
Dx = - 4/ /2л 1
Dx = - 4/ /2л 1
Члены рядов (19) убывают как (х,)-^2. Первые члены этих рядов представляют волны Рэлея, распространяющиеся от источника возмущений с фазовой скоростью сд и с амплитудой, не зависящей от хь Отношение амплитуд волн и3 и их постоянно и равно МН.
Вторые члены рядов (19) представляют продольные волны, распространяющиеся с фазовой скоростью Ci = <о//?ь Третьи члены представляют поперечные волны, распространяющиеся от точки возмущения с фазовой скоростью с2 = ю/Аг-
Амплитуды этих колебаний пропорциональны (^х,/^ и (^Х))-^2. Заметим при этом, что цилиндрические волны, вызванные существованием линейного источника возмущений, помещенного в бесконечном упругом пространстве, характеризуются амплитудами, пропорциональными (xi)-'/2.
Осесимметричная задача Лэмба
Это одна из основных задач эластокинетики. Она играет ту же самую роль, что и задача Буссинеска в эластостатике.
Пусть в плоскости х3 = 0, ограничивающей упругое полупространство, действует вертикальная нагрузка P^r,t^= p^eitot, направленная по оси х3. Для определения перемещений и напряжений в этой осесимметричной задаче воспользуемся потенциалами Ф(г, z, t) и ф(г, z, t), удовлетворяющими волновым уравнениям-
^2--^дАФ = о, (v2 - -Ld2U = o( (i) \С1 /\с2 )
где
dr2 ' г dr * dz2 *
23 В. Нопацкнй
Перемещения ип и2 и напряжения о22, аг2 выражаются тогда формулами
_ дФ । <?гф= дФ <?гф1_f
г dr drdz’ г dz dz2 cl dt2 ’
=+++=+(3)
22 dz \ r ' dr ' dz ) rz ^ \ dz dr ) x ’
Функции Фиф связаны между собой граничными условиями задачи
a22(r, 0, t) = — р(г) eltot, аГ2(г, 0, t) = 0.(4)
Уравнения (1) решим, используя интегральное преобразование Ханкеля. Можно легко убедиться, что решениями уравнений являются функции
ф — eiat J ^e~v,za/0 (ar) da,
(5)
ф = eltot J Be~v-zajQ (ar) da,о
где
^ = ^~^ k^< ^=1’2-
Подставляя формулы (5) в (2), получим
ur (г, z, t) = — eitot j (aAe-'!'z — v2aBe-V2Z) a/, (ar) da,
J(6)
u2(r, z, t) = eiat ^ (—v{Ae~v'z-\-a2Be^v‘z) aJQ(ar) da.
о
Подставляя формулы (6) в соотношения (3) и используя граничные условия, приходим к системе двух уравнений
(1)(1)2av, А — a (2a2 — kl)B = О,ц [(2a2 — kj) А — 2a2v25] = — р (а).
(1)
(1)
Из этой системы уравнений определим постоянные А, В и подставим в формулы (6). При 2 = 0 находим следующие переме-
щения: t t 00
Ur (г, о, /) = f— J ^М (2а2 — /г2 — 2v, V2) а2^ (аг) da,
О eZm< к^р (а) и2 (г, О, 0 =~ J -N (oj- v^o (аг) da.
где
N (а) = (2а2 — /г])2 — 4a2v,v2.
Если в начале координат действует сосредоточенная сила
ТОТОР кг, ОР кг, Ор»6(г) lmt 2лгр»6(г) lmt 2лг,eltoiPaur (r, 0, /) = —=r x *7 2лц,eltoiPaur (r, 0, /) = —=r x *7 2лцОS^to'Pu^r- °* ^ = -^4оОS^to'Pu^r- °* ^ = -^4о2a2 —/г2 — 2VjV2N (a)° ^ ^аГ^ ^a’2a2 —/г2 — 2VjV2N (a)° ^ ^аГ^ ^a’5«у. <") da.#(a)5«у. <") da.#(a)(9)(9)
ТО
ТО
Р кг, О
Р кг, О
р»6(г) lmt 2лг
р»6(г) lmt 2лг
,eltoiPa
ur (r, 0, /) = —=r x *7 2лц
,eltoiPa
ur (r, 0, /) = —=r x *7 2лц
О
S^to'Pu^r- °* ^ = -^4о
О
S^to'Pu^r- °* ^ = -^4о
2a2 —/г2 — 2VjV2
N (a)° ^ ^аГ^ ^a’
2a2 —/г2 — 2VjV2
N (a)° ^ ^аГ^ ^a’
5«у. <") da.
#(a)
5«у. <") da.
#(a)
(9)
(9)
длядляНайденные формулы для перемещений, а также формулы
для
для
напряжений (3) позволяют решить следующую важную для сейсмологии задачу.
Пусть в точке (0, 0, Л) упругого полупространства z ^ 0 действует источник возмущений, гармонически изменяющийся во времени. Этот источник является причиной возникновения продольных и поперечных волн, характеризующихся осевой симметрией относительно оси z. Предположим при этом, что плоскость z = 0 свободна от нагрузок.
Решение этой задачи составим из двух частей. Первая часть задачи относится к действию двух источников возмущения, помещенных в бесконечном упругом пространстве симметрично относительно плоскости z = 0. Действие этих двух источников возмущений, вызывающих только продольные волны, выражается потенциалами фФ = 0, фФ = 0. Мы покажем, что плоскость z = 0 не будет свободной от напряжений. Для аннулирования этих напряжений нужно дополнительно решить задачу Лэмба и определить потенциалы Ф<2> и фФ. Суперпозиция потенциалов Ф = = фФ + фФ, ф = фФ + фФ и является решением задачи.
Однако прежде чем построить решение фФ, мы должны найти потенциал Ф(°> для источника возмущений, помещенного в начале координат, Функцию Ф<°) находим из волнового уравнения
(Ю)(Ю)-L д2\ Ф’°1 = - Оп ^11^1 etet
(Ю)
(Ю)
cl 7° 2лг
Здесь О-о — интенсивность источника возмущений. Частным решением уравнения (10), удовлетворяющим условию излучения, является функция
ф(0)
Оо£^2^11 = _£^1 Г -£122124л^4л J V!
о
/0 (аг) а da.
(И)
гдегде
где
где
/? = (r2 + z2)V2> г = ^2 + х2у/2>
Добавим действие двух источников возмущений, один из которых помещен в точке (0,0,/г), другой — в точке (0,0,—А). В результате получим потенциал
ф’1^-^^ J -^ J0(ar)(e~V1,z~ft4e~V1,z+,t|)da. (12) о
Функция фО) равна нулю, ибо возмущение вызывает в бесконечном пространстве только продольные волны. Зная функцию фО, определим перемещения и*.1* и и^' по формулам
иг дг ’ г дг •
В плоскости z = 0 имеем
и"Чг, о, ^ = -^^4 e-^j^^da, u»4r,0,t) = 0. (13) о
Из формул (3) определим напряжения, подставляя вместо Ф функцию Ф(|), а вместо ф значение ф(1* = 0. В результате получим
^ (г, 0, I) =/ -^- (2a2 - /г2) a/0 (or) da,
стФ (г> 0, t) = 0.
Очевидно, что в плоскости г = 0 напряжение а^ ^ 0 и условия на свободной от нагрузок границе не выполняются. К напряженному состоянию о^ добавим напряженное состояние о^, выбранное так, чтобы на границе 2 = 0 были выполнены условия
а^ =- 0, а^ + о^ — 0.(15)
Итак, нужно решить задачу Лэмба (о напряженном состоянии сг;(2)) в упругом полупространстве. Легко проверить, что условия
(16)(16)(17)(17)„ (r 0 0=^ Г "М^-Чо„ (r 0 0=^ Г "М^-Чоe~V|,Vo (ar) da.e~V|,Vo (ar) da.(18)(18)
(16)
(16)
(17)
(17)
„ (r 0 0=^ Г "М^-Чо
„ (r 0 0=^ Г "М^-Чо
e~V|,Vo (ar) da.
e~V|,Vo (ar) da.
(18)
(18)
приводят к соотношению r v '2л Vi
Подставляя формулу (16) в формулы (8), получим
- elli>t^Q Г (2а2 —
V2л J АГ (а) V] А
о
X (2а2 — Ц — 2v, v2) e-Vifta2/1 (ar) da, itotA 00 („2 _ b2\
^4r, 0, 0 = ^^^ j - ^^y-e-^a/^ar)^.о
Результирующие перемещения в плоскости z = 0 получим сложением перемещений и^ и и^\ а также и^ и и^".
-eltot^Q с v^la2
и, {г, 0, f) =— J -^ц^ в V|A/! (ar) da,
Вернемся к формулам (9), описывающим перемещения в плоскости z = 0, которые возникают под действием сосредоточенной силы, приложенной в начале координат в направлении оси г. Используя известные соотношения для функций Бесселя
Jo (ar) = —^-| (giarenu — e-iar ch “) du,
о
0=(19)
Jx (аг) = — -1 j (etar ch “ + e-lar ch “) ch и du, о
приводим формулы (9) к виду
, А X еШР0 Гг°°а2(2а2-й2-2т^2), /
“г<г. 0, 0=-^J Ch«d« J '„^^е--»М«,
0—со
(20)
, „хeltotPoiГ Т
“г (Г, 0,0—2л2[г/ du jN^6 аГС “^
Q—OQ
Легко заметить, что интегралы по а можно найти из решения двумерной задачи, применяя к формуле (11) § 10.10 операцию —S"^~ и п°ДстановкУ ^i = rchu. Поэтому можно использовать интегралы из плоской задачи Лэмба.
Для больших значений k\f и к2г получим *)
г a a ixP0H /1 \7з Г. / ,л .
иДг, 0,+
+ Г exp_W-fe.rchzz)]
(fe.r)/2 J(ch zz)/3
Г «pW-fephz^^
(fe2rP0J(chzz)V-~V 7
/ А А ИКР» / 1 V^ Г. / ,Я I
uAr, 0, t)— exp—xr —— +
_Af_ Г exp_[z (o< — fe.r ch zz)]
(fe.rV’J(chzz)/-
. JV. rexplz-^-Vchzz)] (fe2r)3/’ J(Ch иДV 7
Здесь величины H и К задаются формулами (20) § 10.10. Величина х является корнем уравнения Рэлея N(х) = 0. Величины М, N, Мь Nt можно выразить через величины С, С., D, Dt § 10.10.
Первый член в рядах (21) и (22) представляет собой поверхностную волну Рэлея, причем отношение К/Н то же самое, что в плоской задаче Лэмба. Однако амплитуда поверхностных волн (которые здесь выступают в роли кольцеобразных волн) уменьшается с радиусом как (хг)~1/з. Следующий член в рядах (21) и (22) представляет собой продольную волну с амплитудами, изменяющимися по закону
(fe.r)7’ j(fe.r)7’ jexp (—ikt г ch zz) ,————-du,л (ch zz)"exp (—ikt г ch zz) ,————-du,л (ch zz)"(23)(23)
(fe.r)7’ j
(fe.r)7’ j
exp (—ikt г ch zz) ,
————-du,
л (ch zz)"
exp (—ikt г ch zz) ,
————-du,
л (ch zz)"
(23)
(23)
причем n = Vi для перемещения и, (г, 0, t) и п = 3/2 для перемещения u2(r.0.() Третьи члены в рядах (21) и (22) представляют собой поперечные волны с амплитудой
(24)(24)1 f exp [— iha ch zz] .(fe2r)’A J x(chzz)"
(24)
(24)
") Эвинг, Ярденкий и Пресс, см. список литературы.
причем и здесь д = V2 связано с перемещением Ur(r,0,t), а и = 3/г— с перемещением uz(r, 0, t). При значительных расстояниях интегралы (23) и (24) можно аппроксимировать членами, пропорциональными (^ir)-1/2, (&2г)-1/2, так что амплитуды продольных и поперечных волн изменяются как (&ir)~2, (й2г)-2 и доминировать будут поверхностные волны Рэлея. Заметим, что амплитуда продольных волн, вызванных точечным возмущением, уменьшается как г-1.
Поверхностные волны Рэлея являются функциями радиуса г и глубины 2, ибо они вызваны действием причин, характеризующихся осевой симметрией.
Рассмотрим частный случай действия на полупространство нагрузки p(r)eitDt = р070 (ar) ei<at. Из граничных условий (4) получим систему уравнений
2а^ Л — а (2а2 — k^ В = О,
у [(2а2 — к^А — 2a2v2B] = - р0.(25)
Поверхностные волны Рэлея соответствуют однородной системе уравнений. Но коэффициенты Л и В могут иметь ненулевые значения только тогда, когда определитель системы уравнений будет равен нулю, т. е. когда
^(a)^^(2a2 — &2)2 — 4a2v1v2 ■0.
При а=* к = <й?с можно принять, что
A = W — ^Ct B^i^ — ktY’C,(26)
где С — произвольная постоянная. В плоскости z =е 0 Получим следующий вид поверхностных волн Рэлея:
Ur (г, 0, 0 = - С к W — &2 — 2 У У — к\ У У — $ Ц (кг) еш\
uz (г, 0, 0 = С к! У У — к\ 70 (кг) eiBt.
Сферические волны в бесконечном пространствесо сферической полостью
Рассмотрим распространение упругих волн в бесконечном пространстве со сферической полостью; эти волны обусловлены давлением р(О = Роег'°*, приложенным к поверхности R = а.
В области R ^ а возникают продольные сферические волны. Вектор перемещения и сводится к одной радиальной составляющей, перемещения зависят только от переменных R и t. Решение этой задачи будем искать в виде потенциала Ф(/?, I), удовлетво-
ряющего уравнению/ 52 .25\ dR1 R dRряющего уравнению/ 52 .25\ dR1 R dR1 52С2 di21 52С2 di2Ф(/?, 0 = 0.Ф(/?, 0 = 0.(1)(1)
ряющего уравнению
/ 52 .25
\ dR1 R dR
ряющего уравнению
/ 52 .25
\ dR1 R dR
1 52
С2 di2
1 52
С2 di2
Ф(/?, 0 = 0.
Ф(/?, 0 = 0.
(1)
(1)
Решение этого уравнения представим в виде расходящейся волны
ф(/?, f}=4 euu~RIC1\. Аф(/?, f}=4 euu~RIC1\. А(2)(2)
ф(/?, f}=4 euu~RIC1\
. А
ф(/?, f}=4 euu~RIC1\
. А
(2)
(2)
удовлетворяющей условию излучения при /? -> оо. Постоянную А определим из граничного условия
(3)(3)(4)(4)а^(а, () = — PoetQt.
(3)
(3)
(4)
(4)
Так как
du„ / ди„ 2ир\ 52Ф X 52Ф
а =2ц—5-+ X —5- +—^ =2ц—- + ——,RR dR \ dR R ) dR2 c2t di2 ’
то, учитывая граничное условие (3), определим постоянную
Д _PoQ3 exp (aito/Ct')
4р (1 + aito/Ct) — (Л + 2g) (azco/Ci)2
Тем самым определена и функция Ф по формуле (2). Теперь уже легко определить перемещение Ur и остальные составляющие напряженного состояния:
5Ф2g 5Ф , X 52Ф
UR-"dR’ <3^~°w~~R'dR+'^^''(5)
Поэтому
, n„ f Pott3 (1 + ikR) exp {Z (со/ — h(,R — а))] ), со
RZ?2[4g(l + /fea)-(X + 2g)(fea)2] рК — с, 1 W
Представленное решение носит почти элементарный характер. Несравненно труднее оказывается апериодическая задача.
Предположим, что граничное условие (3) задается формулой
Orr^, t)=-q(t)H(t).(7)
Это означает, что в момент / = 0+ приложена нагрузка q^tY ко-- торая с этого момента изменяется со временем.
Решение уравнения (1) примем в виде
причем предположим, что функция f равна нулю при / < 0. Подставляя формулу (8) в граничное условие, которое перепишем
в виде
X
С1
52Ф\
5/2 К = а
= -q (/)//(/),
получим для функции f(0 обыкновенное уравнение
-^ + п 4г- + W (О = - Х9 W н У).(10)
где
4с2.,4с2а
1 ^а ’а2р
Применим к уравнению (10) преобразование Лапласа. Получим уравнение
f (?) = — г + 2-пр + й2 ’(И)
где
f(p)=/ Ht)e-P‘dt.
о
Мы предположили здесь, что начальные условия для функции f однородны. Так как ^^) < 1> решение уравнения (11) предста' вим в виде
t^ = —^===x
V к — ч /4t•
X J ^(т)ехр[— y(t — тф1п[^2— ^У’У — т)]Дг. (12) о
В частном случае нагружения дУ) = goH(t) получим следующее решение:
ф(^ /) = - А
R Vk2-^
Г Ч L R — а \1 Г Ч ■ ITl? tfX'Mi Р~а\1 ।
- ехр(у sin+
i Ч2\‘А Г/<2 Ч2Р — а
+ ^-4-) C0SIP 4) v—~л1г (13)
Для перемещения ил Шарп1) дает приближенную формулу:
и-р =и-р =а2Ро-—Г^ехр 2pR /2 ка2Ро-—Г^ехр 2pR /2 кR — аС1R — аС1sin б 1 —sin б 1 —/? — а \С1 //? — а \С1 /приприt>t>R — аС1R — аС1UR — 0 гдеUR — 0 гдеприприt <t <R — аё)R — аё)бб2 V 2с1За2 V 2с1За
и-р =
и-р =
а2Ро
-—Г^ехр 2pR /2 к
а2Ро
-—Г^ехр 2pR /2 к
R — а
С1
R — а
С1
sin б 1 —
sin б 1 —
/? — а \
С1 /
/? — а \
С1 /
при
при
t>
t>
R — а
С1
R — а
С1
UR — 0 где
UR — 0 где
при
при
t <
t <
R — а
ё)
R — а
ё)
б
б
2 V 2с1За
2 V 2с1За
') Sharpe J. A., The Propagation of Elastic Waves by Explosive Pressures, Geophysics, 7 (1942), 144—154, 311—321.
Цилиндрические волны в бесконечном пространствес цилиндрической полостью
Пусть в бесконечном пространстве имеется цилиндрическая полость радиуса а. Систему координат выберем так, чтобы ось г совпадала с осью цилиндра. Пусть на границе г = а упругой области г ^ а действует гармоническая нагрузка р(г, /) = poeiMf. Цилиндрические волны, вызванные этой нагрузкой, описываются уравнением
' д11 3. дг2г дг' д11 3. дг2г дгУ^Ф(г, /) = 0,ci /У^Ф(г, /) = 0,ci /(D(D
' д11 3
. дг2г дг
' д11 3
. дг2г дг
У^Ф(г, /) = 0,ci /
У^Ф(г, /) = 0,ci /
(D
(D
Г«=(хН<.
К уравнению (1) добавим граничное условие агг(а, /) = — poez<a<.(2)
Решением уравнения (1), удовлетворяющим граничному условию (2) и условию излучения на бесконечности, является функция
ф (г, () = АН" > (hr) еш, h = to!cx,(3)
9.16.д2Ф д? ’9.16.д2Ф д? ’о д2Ф . Ло д2Ф . Лв полном соответствии с решениями § Заметив, что
9.16.
д2Ф д? ’
9.16.
д2Ф д? ’
о д2Ф . Л
о д2Ф . Л
(4)(4)получим из граничного условия (2)
(4)
(4)
2Ц {^Х» (6г)] }г_а - ^Х' (М "
Функция Ф(г, t) таким образом определена. С ее помощью вы числим перемещения и напряжения
5Фп д2Ф . Л д2Ф
2ц дФ , Л д2Ф, г,,ь2ц дФ , Л д2Ф, г,,ь(5)(5)
2ц дФ , Л д2Ф, г,,ь
2ц дФ , Л д2Ф, г,,ь
(5)
(5)
Рассмотрим случай апериодической нагрузки. Пусть на границе г = а действует нагрузка q^H^ty Решение этой задачи было дано Сельбергом '). Введем функцию
(6)(6) 1 д УиА диг , игг дгдг "' г
(6)
(6)
‘) Selberg Н., Transient Compression Waves from Spherical and Cylindrical Cavities, Arkiv f. fisik, 5 (1952), 97—108,
в которой мы узнаем дилатацию. Эта функция удовлетворяет волновому уравнению
^L + 1^_J_^.=O.(7)
dr2 г dr с2 df2
Напряжения мы можем выразить через функции ит и 0:
а„ = (Х + 2ц)6-2и-^,(8)
ав8 = 2ц-^ + Х0, агг = №.(9)
Заметим, что
.2 (X + ц)/1 п\
^гг “Ь ^00^^zz •(Ю)
Применим к соотношениям (6) и (8) преобразование Лапласа:
^ = 7Ч7^гГ\ а„ = (Х + 2ц)0-2ц^,(11)
где
0 (г, р) = J 0 (г, /) e~pt dt, ... . о
Преобразование Лапласа применим также и к уравнению (7), предполагая, что начальные условия задачи однородны:
Решением этого уравнения, затухающим при г-*оо, является функция
.ё^лМ^о^).(13)
КпЦ)') —модифицированные функции Бесселя, удовлетворяющие уравнению
рХ + рк;-^рНп2)Кп = о,
связанные с функциями Ханкеля Н^ (р) зависимостью W-^e^H^pY
Вернемся к соотношениям (11), из которых после исключения йг находим
ёгг = (^ + 2ц) 0 + ^- J 0r dr =
^Ф+эдк-Ш+ЛгЧ^У <14>
arr (a, t) = — q(t)H (/),arr (a, t) = — q(t)H (/),илиилидгг(а, р) = — §(р).дгг(а, р) = — §(р).Величина А является функцией параметра р\ найдем ее из граничного условия
arr (a, t) = — q(t)H (/),
arr (a, t) = — q(t)H (/),
или
или
дгг(а, р) = — §(р).
дгг(а, р) = — §(р).
В результате имеем л G•05)
(Л+2ц)^— ) + ~
Подставляя А^р) в соотношение (14) и выполняя обратное преобразование Лапласа, находим
Огг(г, /)Огг(г, /)п2|iC1 К ( Ра(X-^K^—^ — Kv (~п2|iC1 К ( Ра(X-^K^—^ — Kv (~
Огг(г, /)
Огг(г, /)
п2|iC1 К ( Ра
(X-^K^—^ — Kv (~
п2|iC1 К ( Ра
(X-^K^—^ — Kv (~
(16)
Для напряжения azz получим следующую формулу:
azz(r, t) =т^тzzv ’ *2Л1azz(r, t) =т^тzzv ’ *2Л1а^0 (77)^1 ®pt dpа^0 (77)^1 ®pt dp-Zoo (^ + 2p) Ko-Zoo (^ + 2p) Ko/ pa \ 2pcj / pa \ ГТ- +-77-Л1 —/ pa \ 2pcj / pa \ ГТ- +-77-Л1 —(17)(17)
azz(r, t) =т^т
zzv ’ *2Л1
azz(r, t) =т^т
zzv ’ *2Л1
а^0 (77)^1 ®pt dp
а^0 (77)^1 ®pt dp
-Zoo (^ + 2p) Ko
-Zoo (^ + 2p) Ko
/ pa \ 2pcj / pa \ ГТ- +-77-Л1 —
/ pa \ 2pcj / pa \ ГТ- +-77-Л1 —
(17)
(17)
Как следует из формулы (10), зная напряжения агг и azz, можно найти напряжение aeg.
Для вычисления интегралов (16) и (17) требуется контурное интегрирование. Сельберг выполнил его для частных случаев q = — H(f} и q = e~M, проиллюстрировав графиками.
Подставляя в интегралы (16) и (17) асимптотическое выражение
Kn^ = V^^ е-₽[1 +О(1/р)],
справедливое при — Зл/2 < arg р < Зл/2, и переходя к пределу при rja-*oo, получим на фронте цилиндрической волны следующие соотношения:
(18)
В статической задаче напряжения изменяются как г-2, в динамических задачах затухание напряжений на фронте волны характеризуется величиной г~1/2.
Более подробное обсуждение рассматриваемой тут задачи читатель найдет в работе Кромма). Решение этой задачи получено в ней другим, интересным путем, приводящим к решению интегрального уравнения Вольтерры.
Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре
В § 10.8 обсуждено распространение волн в направлении оси z, совпадающей с осью бесконечного стержня кругового сечения. Ниже мы рассмотрим два других типа распространения периодических волн.
Исходим из уравнений в перемещениях в цилиндрической системе координат (г, <р, z) /„и,2 du- \де.
Ц^r7^- ~^г /+ (^ + н)77P^r+ %г = 0,
/ „ и- 2 ди, \де„„
ИЫфг”+7^ 7ф~/7"dipР“ф + ^ф = 0> (1)
p,V2Mz + (X -|-ц)^- рй2 +Х2 = 0,
где
Id1 диф дигd2151 52d2
е==Т "д?^' + 7 77"+ 77’* = dr2"7 57Т2" d^d7 ‘
Составляющие напряжения выражаются формулами ди,fu, 1 ди- \
агг = 2ц —Ь Хе, = 2ц17^-1 + Хе,
ди(du и- 1 ди \(2)
а22 = 2р—дЬ Хе, аГф = Ц|-^-15— .
22 dz 1r \ dr г г dqp /
Будем предполагать, что боковая поверхность цилиндра г = а свободна от нагрузки:
огДа, ф, z, /) = 0, оГ2(а, ф, z, () = 0, аГф(а, Ф, 2, () = 0. (3) Рассмотрим два частных случая. В первом положим, что
иг = 0,и,2 = 0, «ф #= 0(4)
и что «ф не зависит от переменной ф. При отсутствии массовые сил из системы (1) остается второе однородное уравнение, которое после отбрасывания членов с производными по ф имеет вид
/ d2 1 d 1 . d2 1 d2 \...
I Л 2 + n 2 + д 22) ^ф 0*(5)
у dr r dr г dz C2 dr j *
Принимая гармоническую волну в виде
иф (г, 2, /) = £/ф(г)ехр[/ (kz — со/)],(6)
приводим уравнение (5) к обыкновенному дифференциальному уравнению
№+7d7 + r2 — 6 -7г)рфМ = 0,(7)
где
Величина с является фазовой скоростью распространения волны. Из решения уравнения (7) оставим то частное решение, которое не имеет особенности при г->0, а именно
U» (г) = 47, (0г), 0 = (fe22 - 62)'\(8)
Заметим прежде всего, что подстановка и.г = О, uz = 0, иф s = иФ(г, z, I) в формулы для напряжений приводит к выводу, что единственным отличным от нуля напряжением является напряжение огф. Из граничных условий (3) остается только третье условие сГф(а, 2, t) = 0. Это условие приводит к частотному уравнению
J^rA&LU =о,
I dr L г J Sr-a
ИЛИ
poZ0(pa) = 271(pa),(9)
из которого можно последовательно найти корни р,а, р2«, определяющие фазовую скорость распространения волн.
Введя длину волны / = 2л/£, имеем
с = с2 /1 + /2рз/4л2.с = с2 /1 + /2рз/4л2.(Ю)(Ю)
с = с2 /1 + /2рз/4л2.
с = с2 /1 + /2рз/4л2.
(Ю)
(Ю)
Единственное напряжение, распространяющееся вдоль оси 2, — это волна оГф. Поэтому мы имеем дело с распространением волны кручения с фазовой скоростью с.
Заметим, наконец, что напряжения огф задаются формулой
/ а ( диФС пр (^ 2, /) = Ц (-^/ а ( диФС пр (^ 2, /) = Ц (-^jexp [i (kz — о/)].jexp [i (kz — о/)].(И)(И)
/ а ( диФ
С пр (^ 2, /) = Ц (-^
/ а ( диФ
С пр (^ 2, /) = Ц (-^
jexp [i (kz — о/)].
jexp [i (kz — о/)].
(И)
(И)
В § 10.8 мы занимались волнами, которые возникают в круговом стержне в предположении, что иф = 0, а перемещения иг и uz
не зависят от угла ф. Здесь мы рассмотрим перемещения вида
u,r = Ur (г) cos ф exp [/ (&z — <о/)], иф =/7ф (г) sin ф ехр [/(&z — ю/)],(12)
иг = Uz (г) cos ф exp [t (fez — to/)].
Подставляя формулы (12) в систему уравнений (1), получим си* стему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих функции UT, U^ и Uz. Не вдаваясь в подробности решения, дадим их окончательный вид:
и Г ^ = ^М (М + ВГХ (Р2г) + с 1 7, (Р2г),
(13)(13)U. (г) = - А17, (р,г) - В А 7, (Р/) - Ср27( (Р2г), Uz^ = AifeJx ((V)-i№ (р2г).
(13)
(13)
Граничные условия (13), утверждающие, что боковая поверхность бесконечного цилиндра свободна от нагрузок, приводят к уравнениям
. [p2tz; + (рг _ 2) (-^ + -^ + ifeU^"\r=Q = 0.
[^-7(^r+^)L = 0,(И)
VfeUr + U'V=a=O, р=4-.
2
Подставляя формулы (13) в (14) и приравнивая определитель системы уравнений (14) нулю, получим уравнение, данное Банк* рофтом '),
х — 1у(Р1О) —2Y (Pia) — 1гдех — 1у(Р1О) —2Y (Pia) — 1где2х—12х—12х — 12х — 1у (Р2а) — 2-2[y(p2a)-2]-Fa2(2x-l) =0,у (Р2а) — 2-2[y(p2a)-2]-Fa2(2x-l) =0,— (х-1) [у(Р2а) —2]— (х-1) [у(Р2а) —2]11(15)(15)с»2р , ,x=w ^у)с»2р , ,x=w ^у)у7о(У)71 (У) *у7о(У)71 (У) *
х — 1у(Р1О) —2Y (Pia) — 1
где
х — 1у(Р1О) —2Y (Pia) — 1
где
2х—1
2х—1
2х — 1
2х — 1
у (Р2а) — 2-2[y(p2a)-2]-Fa2(2x-l) =0,
у (Р2а) — 2-2[y(p2a)-2]-Fa2(2x-l) =0,
— (х-1) [у(Р2а) —2]
— (х-1) [у(Р2а) —2]
1
1
(15)
(15)
с»2р , ,
x=w ^у)
с»2р , ,
x=w ^у)
у7о(У)
71 (У) *
у7о(У)
71 (У) *
Можно последовательно найти корни уравнения (15) и опреде* лить скорость распространения волн изгиба. Следует добавить,
‘) D. Bancroft, loc. cit. стр. 698.
что приближенное решение
(16)(16)®2 — 4 °2&2со» co = J’
(16)
(16)
дал еще Рэлей, который разложил входящие в формулы (13) функции Бесселя в ряд и ограничился несколькими первыми членами разложения.
Радиальные колебания упругого шара
Если шар нагрузить радиальными силами, равномерно распределенными по его поверхности, а затем эти силы внезапно убрать, то будут происходить радиальные колебания. Ввиду центрально-симметричного характера колебаний мы можем составляющие радиального перемещения uR выразить в прямоугольной системе координат следующим образом:
Щ = % if (R) cos tot, 1=1, 2, 3,(1)
где f (/?) — неизвестная функция радиуса. Перемещения uR выразим через функцию HR);
uR = utnt = UjXiIR = Rf (/?) cos tot,(2)
где tii = Xi!R — составляющие единичной нормали n.
Подставляя формулу (1) в систему уравнений в перемещениях
PUj, kk + (^ + Н) ^к, к) = рй).(3)
приходим к системе уравнений
xz[(A+2p)(-^ + -^-^) + pto2f]costo/^0(4)
Эта система удовлетворяется, если
^+Ц-+^ = 0’®
где
= й2Р
cf Л + 2ц"
Из частных решений уравнения (5) выберем те, которые не имеют особенности в начале координат, ибо мы (ввиду осевой симметрии) должны предположить, что ид(0, /) = 0. Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим указанным условиям, является
Подставим формулу (2) в выражение
„ ди_ди„\
°RR = 2Н "ад" + А+ -ад")(7)
и используем граничное условие задачи
<5riM t) = 0>(8)
где а — радиус шара. Условие (8) при учете формул (2), (6) и (7) приводит к частотному уравнению
(Я + 2ц) [(2 — h^a^ sin ha — ‘Iha cos ha] 4-
-f- 2Я (ka cos ha — sin£a) = 0. (9)
Для среды, в которой ц = Я, т. е. v = 1/4, получим
— = 0,8160; 1,9285; 2,9359; 3,9359; 4,9728; 5,9774; .... (10)
Таким образом будут последовательно вычислены частоты собственных радиальных колебаний шара ton = Cihn, п = 1,2,3, ... .
Величину kaln, входящую в уравнение (9), можно интерпретировать следующим образом. Обозначим через Тх время, за которое продольная волна проходит расстояние, равное диаметру шара 2а, т. е. Ti = 2a/ci = 2а^/с». Обозначая период колебаний Т = 2л/(о, имеем
Т ak
Т\ л *
Зная частоты собственных радиальных колебаний и соответствующие им собственные функции (6), мы можем решить задачу о вынужденных колебаниях шара при нагрузке p(t) = = pocostot на его поверхности. Представленный здесь случай собственных колебаний шара является простейшим случаем, приводящим к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Глава 11
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Основные соотношения и уравнениятеории температурных напряжений
Неустановившееся температурное поле вызывает в упругом теле изменяющееся со временем поле перемещений. В принципе всякое неустановившееся температурное поле приводит к динамической задаче теории температурных напряжений.
Если температурное поле медленно меняется со временем, то можно принять упрощение, основанное на пренебрежении инерционными членами в уравнениях движения. Тогда мы имеем дело с квазистатической задачей, подробно обсужденной в § 8.6. Однако там, где происходит резкое изменение температуры, например тепловой удар (англ, thermal shock), инерционными членами пренебрегать уже нельзя.
Динамические задачи теории температурных напряжений связаны со значительными математическими трудностями. Поэтому до сих пор в замкнутом виде решены только некоторые одномерные задачи.
Как было уже отмечено в гл. 3, теория температурных напряжений является упрощением более общей теории — термоупругости. Это упрощение основано на пренебрежении в уравнении теплопроводности членом, связанным с дилатацией.
Для однородного анизотропного тела система дифференциальных уравнений теории температурных напряжений имеет вид (§ 3.9)
+ 4-х^рй^ + ^е(1)
Я;/9,;/ —Се9 = -гу. (2)
Уравнения (1) и (2) независимы. Из уравнения (2) при заданном граничном и начальном условиях определяется температура 9(х, t). Эта температура в уравнение (1) входит как известная функция.
В случае однородного изотропного тела уравнения теории температурных напряжений значительно упрощаются. Тогда
pV2uz + (Я + ц) ик, ki + Xt = Р&1 + Y®, ь(3)
a0v2e — 9 = - ®.(4)
Здесь p и X—изотермические постоянные Ламе, а у = ^Kat-
Система уравнений (3) и (4) эквивалентна системе
Oji.i + ^< = Р«ь(5)
=(6)
°ц = 2pez/ + (Яе66 — y9)dz/,(7)
eij ="2 (Ui. 1 + uj, ()•(0)
Уравнения (5) являются уравнениями движения, уравнения (7) представляют собой соотношения Дюгамеля—Неймана, а (8) является определением тензора деформаций. Исключение из системы уравнений (5), (7) и (8) напряжений и деформаций приводит к уравнениям (3).
К уравнениям (3) и (4) следует добавить граничные и начальные условия. Для уравнения теплопроводности (4) мы их обсудили в § 8.6. Граничные и начальные условия для уравнений в перемещениях (3) не отличаются от тех, с которыми мы имели дело в эла сто кинетике.
Нетрудно записать уравнения рассматриваемой теории в напряжениях. Для этого достаточно в уравнения (7) § 9.5 подставить вместо Хг величину Xt — y9-Z. Таким образом получаем систему уравнений
2(Х + ц)/ 11 \ кби
+ ^ (е-« + -тт5Ге-*) - тяг “<Р6</6 + tu-°. <9) где
^ = X£>i4-Xiit4-—ii-Xr,n D^ = V2г& с2= - .
X + 2цс2\ Р /
Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона
Если в уравнение, описывающее принцип виртуальных работ в общем виде (уравнение (4) § 9.7),
J (Xz— pit^bUidV + J Pi&utdA = J oZ/68z/dV (1) vAV
подставить соотношения Дюгамеля — Неймана
оц = 2рег/ + (Я,е66 — у9)дф(2)
то получим уравнение
j (X/ — рй/) ди; dV + J pt Ьи^ dA = 6ЖЕ — у j 9 де66 dV, (3) vav
ГД 9
Ге = [ W8 dV, W8 = W4 + 14k»nn.
Уравнение (3) представляет собой принцип виртуальных работ для теории температурных напряжений. Это уравнение можно преобразовать к виду
j (X, — у 9,; — рй;) but dV + j kpi + п^ Ьщ dA = 6ЖЕ. (4) vA
Рассмотрим тело той же самой формы и из того же самого материала, деформирующегося под действием внешних сил XJ и р* изотермически (9 = 0). Принцип виртуальных работ примет тогда вид
/(^•--рй;)ди,^У+Jp;6u;M = dre,(5)
УА
если предположить, что силы XI и pl выбраны так, что поле перемещений и, идентично полю, вызванному действием сил Хи pi и температуры 9.
Сравнивая уравнения (4) и (5), имеем
Х1 = Х1-^,1, хеУ,
Pi = Pi + Y«<0. х г Ао,(6)
ul = щ, xeA„ A = Да + Aa.
Соотношения (6) описывают аналогию массовых сил для динамической задачи теории температурных напряжений.
Вернемся к уравнению (3) и предположим, что приращения but являются действительными приращениями, т. е. что 6ut = vtdt, a b^8 = ^8dt. Уравнение (3) примет в этом случае вид ^-(^ + ^e)=fXiVidV + jpitidA + ч Jo^dV, и( = й(. (7) КАV
Здесь ^ = уР j v^idY—кинетическая энергия. Уравнение (7) к
представляет собой основную энергетическую теорему теории температурных напряжений. Из этой теоремы можно вывести теорему о единственности решения дифференциальных уравнений теории температурных напряжений, поступая так же, как и в § 9.7.
Из принципа виртуальных работ (3) можно вывести обобщенный на теорию температурных напряжений принцип Гамильтона.
Интегрируя это уравнение по времени от /0 до Л и принимая, что 6Ui(x,/0) = 6«i(x, Л) = 0, получим уравнение
fif,fi
б J (Ге — X)dt = j bLdt-^N J dt j 9tekkdY,
t,t,f0 v(g)
6Л= J X(duzdV + J Pt6utdA.
VA
Введя обозначение
^в = / (peZ/eZ/ + yekke№\dY — у J 9ek6dY,vV
можно придать уравнению (8) следующий вид!
б J (Fe — ^dt — J bLdt(9)
f«f»
Если внешние силы обладают потенциалом У, то
6Л = —ч— бн£ = — б^.
В этом случае введем обозначение Г = ^e + F и представим принцип Гамильтона в виде
fi
брг—Ж)Л = 0.(10)
В случае статической или квазистатической задачи уравнение (10) сводится к принципу минимума потенциальной энергии
6Г = О,(11)
который был изложен в § 8.1,
11.3. Теорема взаимности. Метод Майзеля
Пусть дано тело, которое занимает область V, ограниченную границей А, и на которое действуют внешние силы и температурное поле. Пусть, далее, имеются две системы причин. К первой отнесем внешние силы Xif р{ и температуру 9, ко второй — силы Х'р р' и температуру 9'. Первая группа причин вызывает в теле поле перемещений и,, вторая и,.
Применим к соотношениям Дюгамеля — Неймана преобразование Лапласа:
5Ч = 2ре;/ + (Z,8U — у9) б;/,
д// = 2И^/ + (^'6 —уё')^,(1)
где
8Z/(x, р)= J е//(х, Oe-Pfdt, ... . о
Из соотношений (1) вытекает локальное тождество
дгЛ/ —5,/^/ = -У(ёе'6 —ё'е^).(2)
Интегрирование этого тождества по объему V тела дает
J (d^ — o^e^dV^— у J (ёе^ — 9'e^dV.(3)
VV
После применения обратного преобразования Лапласа к этому уравнению получим первый вид теоремы взаимности для теории температурных напряжений
t
J dr J dV (х)[ст./(х, r)ez/(x, ^ —т) —^(х, t — т)е;/(х, т)] = о к
t
= — Y j dr j dV(x)[9(x, T)e'6(x, t—т)—9Дх, /—т)е6й(х, т)]. (4) О V
Применим теперь интегральное преобразование Лапласа к уравнениям движения, связанным с первой и второй системами причин:
Зр,/ + Х( = г?рйр d^jA-X'^pWi.(5)
Предположим, что начальные условия для перемещений являются однородными.
Преобразуя уравнение (3) к виду
У № - ^“i) dA- S (дц. М — д'а, jat)dV = лV
-s S^«-ё’ч^У(6)
V
и используя соотношения (5), имеем
У (ХД — X'Ji^ dV + У ^р^ — р\й^ dA +
КА
+ V .[(бё^-б'у^-О. (7)
V
Наконец, применяя к уравнению (7) обратное преобразование, приходим ко второму виду теоремы взаимности теории температурных напряжений
t
J dr J dV(x)[Xi(x, r)u,(x, t — т) — ^(х, t— т) ut (x, т)] + о v'
+ У dx У dA (x) \pt (x, т) и', (x, / — t) — p' (x, t — t) w, (x, t)] + (8) 0 A
t *
+ у У dx У dV (x) [G (x, t) e'4 (x, t — t) — 9' (x, t — t) ekk (x, r)]=0.
0 V
Рассмотрим ограниченное тело, в котором из-за наличия источников тепла и нагрева поверхности А возникло температурное поле 9(х, t). Пусть на поверхности А заданы граничные условия в перемещениях
ut (х, /) = ^ (х, /), хе А, t> 0.(9)
Будем искать перемещения и^, /) в точке ^еК В качестве системы нагрузок со штрихами примем действие мгновенной сосредоточенной силы ^ = б(х —§)д(/)д,/, приложенной в точке § и направленной параллельно оси х,. Пусть сила X't действует в неограниченной среде, причем § е V. Предполагая, что 0' = 0, получим поле перемещений С/?* (х, с, /), которое удовлетворяет системе уравнений
\xXW + (Л + ц) u"T,ti + б (х - 6) б (/) 6И = рПУ1, (10) однородным начальным условиям и условию 1АЛ = 0 на бесконечности.
Подставляя Х/ = д(х— |)д(/)д;/ и Xt = 0, 9' = О в уравнение (8), получим следующую формулу:
и, (g, t) = у J dx J 9 (x, t) Uk!k (x, g, t — t) dV (x) +
0 V
+ J dx J [p, (x, t) G’/Чх, g, t— т)—р^Чх, ^t—хИДх, r)]dV(x), (11)
0 A
которую можно трактовать, как обобщение формулы Сомильяны на динамические задачи теории температурных напряжений. В формуле (11) мы ввели вектор рЧ' на поверхности А следующим образом:
рЧЧх, t /) = !^^М* Ч 1. k = '> 2. 3- (12)
Формуле (11) можно придать вид t
и,^ 0 = -v ^dx J U^e.idVA-
0 V
+ J dx J [(p, + YenO^/* - № J dV.(13)
0 A
Если точка g лежит вне области V, то величины в правых частях формул (11) и (13) равны нулю.
Формулы (11) и (12) позволяют определить перемещения uj в точке |г V в зависимости от распределения температуры 9 внутри тела и граничных условий на поверхности А.
Обобщенные формулы Сомильяны имеют только теоретическое значение, так как на поверхности А были заданы лишь перемещения «i = /,-, функции pt являются неизвестными.
Однако если перемещения иЧ выбрать так, чтобы на поверхности А перемещения и< обращались в нуль, то мы найдем формулы, уже пригодные для определения перемещений иц Итак, положим, что функция Грина u't=Gu4x, g, f) удовлетворяет уравнению
pV W + (А + У) G^.ki + 6 (х - g) б (0 б,-,- = pG?(14)
с граничными условиями
G'i4x, g, /) = 0 на поверхности Л, хеЛ,
и с однородными начальными условиями. В этом случае формула (11) примет следующий вид:
Uj (g, /) = у J dr | 9 (х, т) GvP,k (х, |, t — т) dV (х) — О V t
— J dr J р1/1 (х, ®, t — r)ft(x, r)dA(x). (15) о л
Здесь рР имеет вид (12), за исключением того, что вместо функции U(P следует подставить функцию G*P.
Если рассматриваемое тело жестко закреплено на поверхности A(ui = fi = О'), то в формулах (15) исчезает поверхностный интеграл и
t
Uj (§, t) = у J dr С в (х, т) G^a (х, |, t — т) dV (х) = о v i
= -у J dr J О.^Р dV. (16) О V
Интересен частный случай стационарного температурного поля 6 = 9(х). Если кроме того распределение температуры однородно, т. е. 9(х) = const, то 9д=0и поэтому перемещение щ(|) равно нулю в каждой точке тела.
Перейдем от ограниченного тела к неограниченной среде. Если предположим, что источники тепла размещены в конечной области D, то в формулах (15) исчезнут поверхностные интегралы. Останутся формулы
Uj^, t) = y J dr J 9(x, t)GV,\(x, g, t — r)dV<x) = о к t
= — у j dr J O.iGPdV. (17) о v
Интегрирование распространяется здесь на неограниченную область Voo.
Рассмотрим общую задачу, в которой на поверхности ограниченного тела заданы смешанные граничные условия:
ut(,x, f) = 0, хе Ац, р{(х, t) = 0, хе Да, А = Аа + Аа. (18)
Перемещения Uj^.t) можно получить из формулы (11) или (13), причем функциям и\ мы придадим другое значение. А именно обозначим через u' = Fj(x, |, t) поле перемещений, вызванное
действием мгновенной сосредоточенной силыХ' = 6 (х — 2) б (/) д;/, приложенной в точке § и направленной по оси х,. Потребуем, чтобы функция Ft удовлетворял а системе уравнений
P^Fp + (Л + р) р'Р м + 6 (х -1) б (/) б„ = pF{ (19) с граничными условиями
Fp (х, М = О, хе А_, Рр (х, I, /) = О, хе А3,(20)
и с однородными начальными условиями. Таким образом получаем t
Uj (I, /) = у j dx j 9 (x, t) р'Рк (x, I, t — t) dV ^x) + о и
t
+ J dx J [pjx, ^Л/Цх, |, / —t) — О Л
— pp (x, I, t — r) ut (x, t)] dA (x).(21)
Поверхностный интеграл равен нулю в силу граничных условий (18) и (20); остается
t
Ui (I, 0 = Y / dx J 9 (x, x) FPk (x, I, t - r) dV (x) =
0 V t
= — 4 j dx J 9,z(x, t)^ (x, I, t-x)dV(x). (22) 0 V
Это формула Майзеля1), выведенная нами непосредственно из обобщенной формулы Сомильяны.
Придадим теореме взаимности иную форму, удобную, в частности, при рассмотрении термоупругих гармонических во времени колебаний. А именно предположим, что система причин А', р'р 9' и следствий и, относится к статической задаче. Тогда имеем уравнения равновесия
^,/+^ = 0(23)
и соотношения Дюгамеля — Неймана
</ = 2^^/ + ^еи " V9') 6i;„(24)
Применим к уравнениям движения И соотношениям Дюгамеля-— Неймана интегральное преобразование Лапласа, предположив,
*) В. М. Майзель, loc. cit. стр. 476.
что начальные условия для перемещения первой системы однородны. Тогда
Оц.1 + Xt — рр2йь(25)
б/^гцё^ + ^ёбб — у9)д^.(26)
Умножим уравнение (26) на е^ а уравнение (24) на ё;у Вычтем почленно результаты этого умножения, проинтегрируем по ограч ниченной области V и найдем
J ^Х, — <А/)^ + у / (08^ —0MdV = °-(27)
VV
Преобразуя первый интеграл и принимая во внимание уравнения (23) и (25), получим
j [(А — РР^и^ — A«z]dV+ ^pXi — p'iU^dA-V
VV
+ Y /(^-Э'ё^У-О.(28)
v
Обращение преобразования Лапласа дает
| [А (х, 0 u't (х)—^ (х) ut (х, /)] dV (х)—р J й, (х, 0 u't (х) dV (х) + vv
+ J [Р£ (х, Й u't (х) — р\ (х) ut (х, /)] dA (х) 4л
+ Y / [0 (X, о г'кк (х) — 0' (х) 8кк (х, 1)] dV (х) = 0.(29)
v
Рассмотрим ограниченное тело, в котором причиной деформации является изменение температуры. Предположим, что на А заданы граничные условия щ = /г-(х). Примем далее, что 9' = 0. Пусть u't = U^1 (х, |) относится к действию сосредоточенной стационарной силы, приложенной в точке §е V и направленной парал^ лельно оси Xj. Перемещения U't' (х, |) должны удовлетворять в неограниченном пространстве системе уравнений
pVW + (X + ц) ^ М + б (х - g) 6Z/ = 0(30)
с условием Г/7^0, когда х стремится к бесконечности. Из теоремы взаимности (29) получаем следующее выражение для
перемещения Uj (§, /):
(1, О = Y / 9 (х, О U^k (х, I) dV (x) + v
+ / [p,(x, t^x, ®-рД(х, ШДх, t^dA(x)-
A'
-p J йЛх, tWtb ^dV^, |sV. (31) v
Мы видим, что это система интегродифференциальных уравнений, из решения которой находятся перемещения Uj.
Если рассмотреть случай, в котором на А заданы граничные условйя (18), то следует принять и'^Р^Чх, |), где функция Грина должна удовлетворять системе уравнений
pWP + (X + ц) Fp. ki + 6 (х -1) 6ц = 0(32)
с граничными условиями
РД (X, §) — 0, хе Аи, рД (х, У = О, хе Аа. (33)
Уравнение (31) принимает в этом случае простой вид
«/(1. 0-Y / 0(х, 0^(х, l)dV^- v
— р j Й/(Х, f) рД (х, |)йУ(х).(34)
v
Рассмотрим частный случай вынужденных колебаний. Пусть температура меняется по закону 0(х, /) = е~ш0*(х), где X— частота вынужденных колебаний. Подставляя
(8, 0 = и, (|) в~ш + 5 ДпЧ9 0 (х, О = 0* (х)(35)
в уравнение (34), получим следующую систему уравнений:
«/Q) = px8 j и* (х) РД (х, !)йГ(х) +
V
+ у J Q^F^^x, W(x),(36)
v
uw ^ - pa)8 J uf (х) РД (х, |) dV (х) - 0.(37)
V
Интегральное уравнение (36) позволяет определить амплитуду вынужденных колебаний упругого тела, обусловленных дей-
ствием перепада температуры. Однородные интегральные уравнения (37) служат для определения частот собственных колебаний тела. Система интегральных уравнений (36) не имеет решения при X = <i)n, т. е. в случае резонанса.
Рассмотрим теперь частный случай односвязного ограниченного тела, в котором деформация вызвана исключительно перепадом температуры. Поэтому примем, что Xt = 0, pi = 0 и 9 4= О, ы, =# 0. В качестве системы со штрихами примем всестороннее растяжение тела единичными силами; тогда
Х',=0, 9' = 0,p', = \nt,
x2
Подставляя эти величины в уравнение (29), получим
j п^ (х, 0 dV (х) =
= у j 9 (х, 0 е'6 (х) dV (х) — р j ut (х, /) u't (х) dV (х).
VV
Учитывая, что e'kfe = а'^^ЗК), <^ = 3, \ = 3Kat и обозначая через АУ приращение объема тела, получим
AE = 3ot< j 9(х, t) dV (.х) —-^ j й^х, t)XidV(x). (38) VV
Если температурное поле стационарно, то второй интеграл в выражении (38) обращается в нуль и мы получим
АУ = За; j 0(x)dV(x).(39)
v
11.4. Решение дифференциальных уравнений теориитемпературных напряжений
Систему неоднородных уравнений в перемещениях
И ^Ut + (X + и) uk,kia Р“< + у9,<(1)
(2)(2)можно решить несколькими способами. Наиболее распространенным является способ представления перемещения в виде
(2)
(2)
и сведения уравнений (1) к системе волновых уравнений
(3)(4)(3)(4)2Ф = тО,
(3)
(4)
(3)
(4)
|^ = 0,
где
□ a = V2L^ ca
Эти уравнения аналогичны волновым уравнениям эластокине- тики, но отличаются от них тем, что величины ц, X, входящие в скорости С\, с^, относятся к изотермическому состоянию (в то время как в эластокинетике они относились к адиабатическому состоянию).
К уравнениям (1) следует добавить еще уравнение теплопроводности
£9 = -^> О = ^-1дг.(5)
Если из уравнений (3) — (5) исключить температуру, то получится система уравнений
□?ДФ=---т£,(6)
(7)(7)□1^ = 0.
(7)
(7)
Из уравнений (3) и (4) или (6) и (7) найдем функции Ф и фц а из соотношения (2) — перемещения щ.
Сначала рассмотрим распространение термоупрутих волн в бесконечной области. При отсутствии массовых сил и предположении однородности начальных условий функция ф равна нулю в каждой точке упругого пространства. Мы имеем дело с безвихревым полем, характеризующимся уравнением (3) или (6).
Для определения перемещений щ достаточно найти частное решение уравнения (3). Функцию Ф можно представить в виде запаздывающего потенциала
ф<х. t) = - ^ JdV(6), R<C1t. (8)
V
в соответствии с формулой (15) § 9.13. В формуле (8) величина 7?(х, |) означает расстояние между точками х и |. Интегрирование ведется по объему шара R = c\t с центром в точке х. Формула (8) справедлива для тела, которое в начальный момент / = 0 находилось в ненапряженном, естественном состоянии.
Если функция Ф известна, то перемещения, деформации и напряжения получим по формулам
и< = Ф,ь е,/ = Фа/) а</ = 2ц (Ф,^ —б^Ф.^+б^рФ.(9)
Частное решение уравнения (3) можно отыскать и другим путем. Применим преобразование Лапласа к уравнениям (3) и (5):_
fv-^O=m6, (v2 --^9 = --^-.(10)
\ Су)\ х1X
Здесь мы предположили, что начальные условия однородны:
9(х, 0) = 0, Ф (х, 0) = 0, Ф(х, 0) = 0.(11)
Исключая из уравнений (10) функцию 9, получим fv2-4-Vv2 - ^Ф = -т-^.(12)
\Су ) \X /X
Частным решением этого уравнения является функция
Ф =-Л- _(9—S)ц = — ,(12а)
р202 _УС1 'У /
где S — частное решение уравнения
fv2-^S = --^, S(x, 0) =S(x, 0) = 0,(13)
\ с\ } и
а 9 — решение второго уравнения системы (10). Добавим, что ввиду аналогичности первого из уравнений (10) и уравнения (13) определение функции S не составляет большого труда. Применение обратного преобразования Лапласа к выражению (12а) завершает решение задачи.*
Другой интересный путь определения потенциала Ф в бесконечном пространстве предложили Новацкий и Ранецкий1). Для одномерной задачи подобный способ был применен также в работе Синга и Пури2).
—- diдг I и по* с ух )
лучим
VдДФ — m —^dtdt 9.(14)
Су l\CyX /\ СуX )
Используя однородное уравнение теплопроводности, а потому ограничиваясь температурным полем без источника (Q = 0)
(V2-1^9=0,(15)
*) Nowacki W. К., Raniecki В., Note on the Propagation of Thermoelastic (non Coupled) Waves, Proc. Vibr. Probl., 8, № 2 (1967).
получим из (14) и (15) уравнениеполучим из (14) и (15) уравнение'2 1 д2\/ 1 д2Ф 1 5Ф V й" Щ ] —й- ——9—t^ /Х^ ^ Х ^'2 1 д2\/ 1 д2Ф 1 5Ф V й" Щ ] —й- ——9—t^ /Х^ ^ Х ^(16)(16)Частное решение этого уравнения получим, принимая, чтоЧастное решение этого уравнения получим, принимая, что— — Ф = — тс?0, х di /1 *— — Ф = — тс?0, х di /1 *(17)(17)откудаФ(х, 0 = 4С1откудаФ(х, 0 = 4С11 —exp1 —expФ, (х) +Ф, (х) +Г (с? (/ — т) 14-xm J И—ехр - j 0 (х, т) dx + Фг (х).(18)оГ (с? (/ — т) 14-xm J И—ехр - j 0 (х, т) dx + Фг (х).(18)оПодставляя формулу (18) в решение (3), убеждаемся, что для того, чтобы функция (18) была частным решением этого уравнения, функции Ф] и Ф2 должны удовлетворять системе уравненийс?тс\узФ1 —Д-ф, =_ _±0(х, 0),(19)^Ф2=-^Ф„(20)Подставляя формулу (18) в решение (3), убеждаемся, что для того, чтобы функция (18) была частным решением этого уравнения, функции Ф] и Ф2 должны удовлетворять системе уравненийс?тс\узФ1 —Д-ф, =_ _±0(х, 0),(19)^Ф2=-^Ф„(20)Если начальное условие для температуры однородно, то следует положить ф] = ф2 = 0. В этом случае перемещение опредеЕсли начальное условие для температуры однородно, то следует положить ф] = ф2 = 0. В этом случае перемещение определяется формулойоляется формулойо1 — exp [V ^ — 4 |9-{(x> T)dT*1 — exp [V ^ — 4 |9-{(x> T)dT*(21)(21)
получим из (14) и (15) уравнение
получим из (14) и (15) уравнение
'2 1 д2\/ 1 д2Ф 1 5Ф V й" Щ ] —й- ——9—
t^ /Х^ ^ Х ^
'2 1 д2\/ 1 д2Ф 1 5Ф V й" Щ ] —й- ——9—
t^ /Х^ ^ Х ^
(16)
(16)
Частное решение этого уравнения получим, принимая, что
Частное решение этого уравнения получим, принимая, что
— — Ф = — тс?0, х di /1 *
— — Ф = — тс?0, х di /1 *
(17)
(17)
откуда
Ф(х, 0 = 4
С1
откуда
Ф(х, 0 = 4
С1
1 —exp
1 —exp
Ф, (х) +
Ф, (х) +
Г (с? (/ — т) 1
4-xm J И—ехр - j 0 (х, т) dx + Фг (х).(18)
о
Г (с? (/ — т) 1
4-xm J И—ехр - j 0 (х, т) dx + Фг (х).(18)
о
Подставляя формулу (18) в решение (3), убеждаемся, что для того, чтобы функция (18) была частным решением этого уравнения, функции Ф] и Ф2 должны удовлетворять системе уравнений
с?тс\
узФ1 —Д-ф, =_ _±0(х, 0),(19)
^Ф2=-^Ф„(20)
Подставляя формулу (18) в решение (3), убеждаемся, что для того, чтобы функция (18) была частным решением этого уравнения, функции Ф] и Ф2 должны удовлетворять системе уравнений
с?тс\
узФ1 —Д-ф, =_ _±0(х, 0),(19)
^Ф2=-^Ф„(20)
Если начальное условие для температуры однородно, то следует положить ф] = ф2 = 0. В этом случае перемещение опреде
Если начальное условие для температуры однородно, то следует положить ф] = ф2 = 0. В этом случае перемещение опреде
ляется формулой
о
ляется формулой
о
1 — exp [V ^ — 4 |9-{(x> T)dT*
1 — exp [V ^ — 4 |9-{(x> T)dT*
(21)
(21)
а напряжения выражаются так:
,2,2°4°41—exp —(t — т) I 9,tj (x, x)dx—1—exp —(t — т) I 9,tj (x, x)dx—о0о0с, (/ —t)Xс, (/ —t)X0 (x, x^dx — уб^Э.0 (x, x^dx — уб^Э.(22)(22)
,2
,2
°4
°4
1—exp —(t — т) I 9,tj (x, x)dx—
1—exp —(t — т) I 9,tj (x, x)dx—
о
0
о
0
с, (/ —t)
X
с, (/ —t)
X
0 (x, x^dx — уб^Э.
0 (x, x^dx — уб^Э.
(22)
(22)
Для дилатации uh;K = e при учете однородного начального условия 9(х, 0) =0 получается следующее выражение:
£kk —
mc^х
t
о
exp -^- (t — т) 0 (х, т) dx.
(23)
Авторы применили описанный выше способ для определения динамических напряжений в ряде динамических задач, а именно в случаях нагревания упругого полупространства, неограниченной среды со сферической полостью и неограниченной плиты на упругом основании.
Интересны два замечания, сделанные упомянутыми авторами, относительно этого метода. Эти замечания относятся к отрезку времени 0 < / < /*, где I* = г/щ — время прихода в данную точку тела первой волны, несущей влияние границы (г— расстояние точки х от ближайшей точки поверхности тела).
Векторное поле перемещений является потенциальным, в каждой точке тело подвергается чистой деформации.
Из формулы (23) и из свойств решения уравнения теплопроводности вытекает, что если температура в каждой точке поверхности тела положительна [9(х, /) ^ 0], то в каждой внутренней точке тела х на отрезке времени 0 < / < /* относительное изменение объема е^ всегда меньше нуля.
Следуя предложенному, здесь пути, решение многих динамических задач можно свести к вычислению конечного числа интегралов по времени от температуры и ее производных. Кроме того, достоинство этого способа состоит в том, что в процессе вычисления можно получить много интересных качественных выводов.
Если тело ограничено, то решение уравнений (3) и (4) нужно составить из частного решения уравнения (3), которое обозначим через Ф, и общего решения уравнений
□2» = о, П^-О. (24)
Полное решение складывается из суммы решений «(. = «, + «", где
Mz = ®, р — ^, i + £//Л, р (25) Функции «"можно выразить также через функцию напряжений Яковаке
«"-[(□^V2^.-^ * = И-£, (26) где функции ф, удовлетворяют биволновому уравнению
□ ?П2<Р/ = 0, /=1, 2, 3. (27)
11.5. Распространение гармонических термоупругих волнв бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим сначала сферические термоупругие волны, зависящие от радиуса R и времени I. Этот тип волн возникает при частном выборе возмущений. Он возникает либо под действием
24 В. Новацкий
точечного источника тепла, либо в бесконечной среде со сферической полостью, граница которой нагрета.
Мы проследим характер этих волн, рассматривая однородное волновое уравнение (6) § 11.4
fv2 —d2Wv2 — — Ф (х,/) = 0.(1)
\ ci / х х /
Предположим, что причины, вызывающие волновое движение, изменяются во времени гармонически. Подставляя
Ф (х, 0 = ФЧх)е-г^(2)
в уравнение (1), получаем следующее уравнение для амплитуд ф*-
(^ + а2)(72 + <7)Ф*(х) = 0,(3)
В силу теоремы Боджио решение уравнения (3) получим как сумму решений простых волновых уравнений:
(V2 + <jW = 0, ^2 + ^)Ф2 = 0,(4)
где
Ф* = ФЦ-Ф2.(5)
Будем искать такие решения уравнений (4), которые имеют особенность в точке | и зависят от расстояния R между точками | и х: R = l(x1 — ^р + (х2 — ^2)2 + (хз — ^з)2]Л- Решениями уравнений (4) являются функции
ФГ-Лг^-ФГ-Лг^-p-ioRjctp-ioRjct(6)(6)eiR VIeiR VI+ В2+ В2e-iR VIRe-iR VIR(7)(7)
ФГ-Лг^-
ФГ-Лг^-
p-ioRjct
p-ioRjct
(6)
(6)
eiR VI
eiR VI
+ В2
+ В2
e-iR VIR
e-iR VIR
(7)
(7)
Из представленных выше четырех частных решений физический смысл имеют только два решения: elaRlc'lR и eiRVqlR' Это следует из того, что выражения '
(8)(8)= * cosJz-A),RJR\ci /
(8)
(8)
ReRe-elR vq]= —cos to It~=й e-RV®№ki
Re
Re
RJR\У 2хш /
представляют расходящуюся волну, распространяющуюся от точки возмущения до бесконечности. Два остальных решения:
e-iaRic^ и e~lRV^lR в формулах (7)—представляют сходящиеся волны. Решения (8) удовлетворяют на бесконечности условию излучения и условию ограниченности Зоммерфельда (см. § 9.16).
Итак, решением уравнения (1) является функция ф=Аехр[_/ю(/_ А)] +
4—-exp — Ki t7=7 exp —7?у —— . (9)
Потенциал Ф состоит из двух членов. Первый из них имеет характер упругой волны, распространяющейся со скоростью Сь Второй член характеризует диффузийную тепловую волну. Упругая волна является незатухающей и не обладает дисперсией. Тепловая волна распространяется со скоростью V2хю и является затухающей, о чем свидетельствует множитель
exp(-7?/"^).
Тепловая волна обладает дисперсией, ибо скорость распространения волны зависит от частоты ю.
Заметим еще, что
(?24-а2)Ф2 = Л AzA^V^
(V2 + q) Ф) = А,e-ioR.
Температуру 6 выразим формулой
9 = 9*(х)е-^, 9‘ = ^(V24-o2)®‘ = ^^AA. (И)
Остановимся на частном случае термоупругой волны, вызванной действием точечного источника тепла Q(x, 0 = Qoe-'™1^^. Для определения постоянных ф и Л2 используем два условия:
4л Пт (Д2Ыд) = 0, — 4лхПтСд2^-)=9ов-А(Д).(12)
R->0р-»0 '/
В первом из этих уравнений утверждается, что радиальные перемещения Дд = дФ/dR равны нулю в начале координат в силу центральной симметрии волнового движения. Второе условие означает, что тепловой поток через поверхность шара радиуса R равен (при /?->0) количеству тепла, выделенного точечным источником.
Из условий (12) при учете соотношений (10) получим
4лх^((т2-?)»
П г-(13)
Взяв действительные части от потенциала термоупругого перемещения и от температуры, получаем )
^.e-R Vt\P |q2 cos(m/ — j^y ^2) 4- г] sin (ю/ — R Krj/2)] }, (14)
8№0=Ar«^cos(«.l-l?M n = v> <15)
Функция Ф складывается из упругой волны, распространяющейся со скоростью Ci, и тепловой волны, затухающей и обладающей дисперсией. Если теперь положить Qo = 1 и точечный источник тепла перенести из начала координат в точку ^, то из формул (14) и (15) получим фундаментальные решения Ф(х, §,/) и 9(х, §,/). В этих функциях, очевидно, 7? = [(х(- — £<)(х{— ^ОГ’-
Если в бесконечном упругом пространстве имеются источники тепла Q(x,/), распределенные в области D, то потенциал Ф и температуру 9, соответствующие этим источникам тепла, получим по формулам
Ф(х, 0= J Q(|, /) Ф (х, Е, twi^,
Dr -(16)
9(х, /)= J Q(g, /) 9 (х, Е, t)dV^.
D
Зная функции Ф и 9, можно определить перемещения, деформации и напряжения,
В двумерной задаче, в которой волновое движение не зависит от переменной х3, мы имеем дело с цилиндрическими волнами. Решение уравнений (1), зависящее от радиуса г = [(Х|— £i)2 + + (х2— £2)2]’\ принимает вид
Ф^Я^ + вАг),
Ф;=а2н^Чг / ё) + в^ (г /^).(17)
Здесь НоЦг\ Яо21 (г) — функции Ханкеля нулевого порядка первого и второго рода. В бесконечной упругой среде физический
смысл имеют лишь решения Hq\of^ и Hq1 (г |/^). Только эти фундаментальные решения представляют расходящиеся волны, распространяющиеся от источника возмущений в точке § до бесконечности, поэтому
Ф (х, 0 = [Д.Я^аг) + AiH^ (г Кй] е~ы. (18)
Несколько частных решений, касающихся периодических задач термоупругости, читатель найдет в монографиях Паркуса и Но- вацкого (см. список литературы).
Распространение апериодических термоупругих волнв бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим однородное биволновое уравнение
/) = 0.(1)
\ С] / \%/
Будем искать сингулярные решения, зависящие от расстояния R между точками х и §. Решение уравнения (1) представим как сумму
Ф = Ф,+Ф2,(2)
где функции Ф] и Ф2 удовлетворяют уравнениям
/V-А^Ф1=о, ^2--^ф2 = о.(3)
\/\ х /
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа, предполагая однородность начальных условий. Тогда
^-4"^Ф1 = 0, fV2 —Ф2 = 0,(4)
\ с\ ) V х'
где
Фа(х, р) = J Фа(х, fie^dt, а = 1, 2.о
Решения уравнений (4) имеют вид
Ф, (х, р) = A e-RPics Ф2 (х, р) = A e-R vp^,
RR(5)
R = [(x, - g,)2 + (x2 - g2)2 + (x3 - £з)2 Г’-
Эти решения соответствуют волнам, распространяющимся от точки возмущения | до бесконечности, причем А; и А2— функции
параметра р преобразования Лапласа. Применив обратное преобразование Лапласа к функциям —^ e~Rplc' и ~^"6-R Vp,M.
Z~} [— e~R ^p/k1 = —— exp [-—1,
LT?J 2улх/3 L 4лх/ J
и используя теорему о свертке, получаем следующее выражение для функции Ф:
АгУ ~ т) У4лхт3АгУ ~ т) У4лхт3ехр—ехр—R2 \ л—— dx.4 яхт /R2 \ л—— dx.4 яхт /(6)(6)
АгУ ~ т) У4лхт3
АгУ ~ т) У4лхт3
ехр—
ехр—
R2 \ л—— dx.
4 яхт /
R2 \ л—— dx.
4 яхт /
(6)
(6)
И здесь мы четко различаем первый член, представляющий упругую волну, и второй член диффузионного характера. Остановимся на частном случае действия точечного мгновенного источника тепла Q(x, Z) = QO6(7?)6(/), помещенного в начале координат. Постоянные Ai и Д2 решения
(7)(7)определим из условий4л lim (7?2Ud) = 0, Д->0определим из условий4л lim (7?2Ud) = 0, Д->0Ф-^Lg-RP^t „L-d^-g-R Vp/zR' R
(7)
(7)
определим из условий
4л lim (7?2Ud) = 0, Д->0
определим из условий
4л lim (7?2Ud) = 0, Д->0
- 4л% Пт (Я2 -§-) = Qod (7?) б ф. (8)
После применения к условиям (8) преобразования Лапласа имеем
4л lim (7?^) = 0, — 4nxlim(/?2-^-) = Qod(/?).(9)
д-»од->о\/
Из первого условия Л^А^О. Учитывая, что
ё = — (У2 — Р1\ф = ^_(Р_ _£\е-кУР1х . m \ Ci / mR \ х cf /
получимполучимЛ1 — Лг —Л1 — Лг —ПоэтомуПоэтомуQomQom^g-Rplcvg-RV pjz^g-Rplcvg-RV pjzQom.Qom.4nxR4nxR(10)(10)
получим
получим
Л1 — Лг —
Л1 — Лг —
Поэтому
Поэтому
Qom
Qom
^g-Rplcvg-RV pjz
^g-Rplcvg-RV pjz
Qom.
Qom.
4nxR
4nxR
(10)
(10)
К такому же.результату придем, применяя формулу (12а) § Н.4.
Учитывая, что для точечного источника тепла частным решением уравнения
является функция
(И)(И)0 = _§2e-R Vp{x
(И)
(И)
4nxR
а решением уравненияа решением уравнения(13) § 11.4 — функция(13) § 11.4 — функция
а решением уравнения
а решением уравнения
(13) § 11.4 — функция
(13) § 11.4 — функция
C = Q° g—Rpict
4ЗДх ’
из формулы (12а) § 11.4 получаем формулу (10) настоящего параграфа. Нам остается еще выполнить обратное преобразование Лапласа формулы (10). Функция Ф принимает вид1)
Ф = - 1) W (т - р) - Ы9, т) - erfc (), (12)4лЯ [ L \ 2 У т / J J
где
Щр, т) = eric ti= + /г) + е-рerfc (—- у7 и
Функция Н^х— р) в формуле (12) является функцией Хевисайда, определяемой следующим образом:
| 0 при т ^ р, или t ^ —, Я(т-р) =CR (13)
р при т > р, или t>—.
Первый член в фигурных скобках выражения (12) представляет упругую волну, второй — диффузионную волну. Применение обратного преобразования Лапласа к выражению (11) дает
0(7?, /) = _^-ех-р|' (4лк()\0(7?, /) = _^-ех-р|' (4лк()\У?2 \4х/ /У?2 \4х/ /(14)(14)
0(7?, /) = _^-ех-р|' (4лк()\
0(7?, /) = _^-ех-р|' (4лк()\
У?2 \
4х/ /
У?2 \
4х/ /
(14)
(14)
Зная функцию Ф, можно определить составляющие напряжения. Используя формулы (9) § 11.4 и выписывая их в сфериче-
■) В. Новацкий, loc. cit. стр. 740.
ской системе координат в предположении центральной симметрии, получим
дФ . д
°RR — r dR + рФ|
1 дФR OR1 дФR OR, д2Ф \ , X^ dR2 ) + рФ*, д2Ф \ , X^ dR2 ) + рФ*(15)(15)О/?Ф = 0, Введя обозначения°RR = °RRО/?Ф = 0, Введя обозначения°RR = °RRОде — О, стйр — О-Оде — О, стйр — О--t +^RR-t +^RRQ—— “^ Orr.rr,< фф ффQ—— “^ Orr.rr,< фф фф— Я "Ь ^фф— Я "Ь ^фф(16)(16)ииctRР = —ctRР = —С^ре?>® ^ 1—»и4цС^ре?>® ^ 1—»и4цполучим следующие формулы:,ум)=™е,|с(получим следующие формулы:,ум)=™е,|с(Р + еР:Р + еР:Р 2/Р 2/р _2/ тр _2/ тер3—Л-т ехр2 /лт3ер3—Л-т ехр2 /лт3р24тр24т
1 дФ
R OR
1 дФ
R OR
, д2Ф \ , X^ dR2 ) + рФ*
, д2Ф \ , X^ dR2 ) + рФ*
(15)
(15)
О/?Ф = 0, Введя обозначения
°RR = °RR
О/?Ф = 0, Введя обозначения
°RR = °RR
Оде — О, стйр — О-
Оде — О, стйр — О-
-t +^RR
-t +^RR
Q—— “^ Orr.rr,< фф фф
Q—— “^ Orr.rr,< фф фф
— Я "Ь ^фф
— Я "Ь ^фф
(16)
(16)
и
и
ctR
Р = —
ctR
Р = —
С^ре?
>® ^ 1—»
и4ц
С^ре?
>® ^ 1—»
и4ц
получим следующие формулы:
,ум)=™е,|с(
получим следующие формулы:
,ум)=™е,|с(
Р + еР:
Р + еР:
Р 2/
Р 2/
р _
2/ т
р _
2/ т
ер3
—Л-т ехр
2 /лт3
ер3
—Л-т ехр
2 /лт3
р2
4т
р2
4т
р«(Р. ')=о'„(р, *) + Л"'"^)'^1 + Р —Ер”) ехр (1 — Р) — Ч,
<(Р. Ч = - И ( егк (т7=) *
2л ( рх 1 [ к 2 У т 1
— -у-[1 — Р + Р2 (1 — 2е)]е» erfc ^-^f + ^^~) +
+ [1 + Р+ Р2(1 — 2е)]e-Perfc/'—^=г —/техр( —
к 2 у т / У лт3 к 4t/J
<ф(Р. т) = <ф(р, т)--^-(^-)3([1+р+р2(1-2е)]ехр(т-р)-1}.
Функция Ф непрерывна, но перемещение uR = дФ/dR при t = R/cx меняется скачком на
Qamcx
4лх7?
При t = R/c\ происходит скачок напряжения одд на pQomc® 1 — ер
лх3 р2
и скачок напряжения офф на
pQomc? 1 + (1 — 2е) р
2лх3р2
Очевидно, эти скачки уменьшаются с расстоянием, т. е. с возрастанием р.
Заметим, наконец, что при t *> Rjc\ эти напряжения быстро стремятся к квазистатическим значениям. При t >> Rjc\ имеем
Ф ~Ф ~Qom 4лРQom 4лР(18)(18)
Ф ~
Ф ~
Qom 4лР
Qom 4лР
(18)
(18)
в соответствии с формулой (48) § 8.6.
Перенося источник тепла в точку § и принимая Qo = 1, получаем функции Ф(х, §, 0 и 0(х, §, t). Для заданного распределения источников тепла в области Ь функции Ф(х, /) и 0(х, /) примут вид
t
Ф (х, 0 = J Л' J Q (I, П Ф (х, Е, t -П dV (I),
°t D(19)
0(x, 0=/ dt' J Q(|, O6(x, ^, t — ndV^Y
0 D
Перейдем к двумерной задаче, в которой волновое движение не зависит от переменной х3.
Решениями уравнений (4), зависящими от радиуса г = [(xi — — £i)2+ (х2 — Ь)2]1/2 и удовлетворяющими условиям излучения, являются функции
Ф^Мо^), ^AKo^f/f ).(20)
где Ко (2) — модифицированные функции Бесселя третьего рода. Заметив, что
1Hit1VP-VIcxY \ сх 1Hit1VP-VIcxY \ сх
1Hit1
VP-VIcxY \ сх
1Hit1
VP-VIcxY \ сх
функцию Ф можно представить в виде
Г A^t'^dt' , Г Аг(Г) / г2 \ Ф(х,/) =,-— - + —’ exp— \dt .
ric, V <t — t'f - rjc2x5 2 (/ - /)\ 4x (t - t ) )
(21)
Первый интеграл представляет плоскую упругую волну, второй — волну диффузионного характера.
До сих пор решено только несколько двумерных динамических задач теории температурных напряжений. Здесь внимания заслуживают работы Паркуса), Муры) и Игначака).
Задача Даниловской
Первой публикацией по динамическим задачам теории температурных напряжений была статья Даниловской). В ней рассматривается внезапное нагревание границы упругого полупространства. В момент t = 0+ плоскость х, = 0, ограничивающая упругое полупространство х; 0, внезапно нагревается до температуры Во, которая затем остается постоянной). При этом предполагается, что плоскость Xi = 0 свободна от напряжений и что начальные условия для температуры и перемещений однородны. Под влиянием внезапного нагревания плоскости х, = 0 в упругом полупространстве распространяется одномерная термоупругая волна.
При изложении задачи Даниловской отступим от оригинальной работы и дадим другой вариант решения. Предположим, что на границе х, = 0 заданы температурные условия
0(0, 0 = 6(0, 0(^,0) = 0(1)
и что граница свободна от напряжений
а„ (0,0 = 0.(2)
Выразим напряжения через функцию Ф. Так как фгф(х,Д), то
Оц = рФ, а22 = Озз = --2р.-^2- + рФ= —2ц/п0+-^-Ф,(3)
. °12 = °|3 = ®23 = 0.
Следовательно, условие (2) примет вид
он (0, 0 = рФ (0, 0 = 0.
Решением уравнения теплопроводностиfv2 — -LjU = o
Jt! expJt! expпри учете условий (1) является функция
Jt! exp
Jt! exp
(4)(4)4и/ /
(4)
(4)
t V^TOtt
Применяя к этому выражению преобразование Лапласа, имеем
a! sin ajXi dai of+ р/хa! sin ajXi dai of+ р/х(5)(5)
a! sin ajXi dai of+ р/х
a! sin ajXi dai of+ р/х
(5)
(5)
где
e' — S’letx,/)]= J 0(x, t)e-p<dt.
0
Применим также преобразование Лапласа к уравнению для потенциала термоупругого перемещения'
тогдатогдад2дх2д2дх2—г^А Ф = т9;с, )—г^А Ф = т9;с, )л2 \а*Р-\ф* = /ие.л2 \а*Р-\ф* = /ие.(6)(7)(6)(7)
тогда
тогда
д2дх2
д2дх2
—г^А Ф = т9;с, )
—г^А Ф = т9;с, )
л2 \а*
Р-\ф* = /ие.
л2 \а*
Р-\ф* = /ие.
(6)
(7)
(6)
(7)
Решением этого уравнения при учете формулы (5) и граничного условия оп (0, р) = рр2Ф*(0, р) = 0 является интеграл
ф'^.р)—^J о
О] sin 01X1 t/Oi -
(8)(8)
(8)
(8)
[ехр(~ ^) - ехР (~ Х1 /W] •
(р —с^х) L \ ci /J
Применим обратное преобразование Лапласа к выражению р2Ф*. В результате получим функцию
4
Ф(х1,0 = -^-[/71(х1, 0-^2(^,0],(9)
где
(*„ 0 = 4[еСеНс(тГ7(*„ 0 = 4[еСеНс(тГ7+ /т) ++ /т) +e-t erfcf——\2)<тe-t erfcf——\2)<т/т )] +/т )] +Г2(х,, /) = ехрГ2(х,, /) = ехр
(*„ 0 = 4[еСеНс(тГ7
(*„ 0 = 4[еСеНс(тГ7
+ /т) +
+ /т) +
e-t erfcf——\2)<т
e-t erfcf——\2)<т
/т )] +
/т )] +
Г2(х,, /) = ехр
Г2(х,, /) = ехр
Зная функцию Ф, определим напряжения по формулам (3). Полученное решение, справедливое для условия (1), можно использовать для более сложных температурных условий. Так, в случае е(о,/) = е0(/)//(/), е(х„о) = о(н)
получим для функции Ф следующую формулу:
Ф (х|( 0 = / бо^Ф^,/ —£)Л'.(12)
о
В частном случае задачи Даниловской, когда температурные условия имеют вид
е (о, о = е0//(о, е0 = const, е(х„ о)=о,(13)
из формулы (12) получим
гдегдеФ = -Qomc^ [Л, (х,, f) - Л2(х„ t)H^t-^-)],Ф = -Qomc^ [Л, (х,, f) - Л2(х„ t)H^t-^-)],(14)(14)A(x„ 0 = ^i (xi. оA(x„ 0 = ^i (xi. оЛ2(х,, t) = ехрЛ2(х,, t) = ехр
где
где
Ф = -Qomc^ [Л, (х,, f) - Л2(х„ t)H^t-^-)],
Ф = -Qomc^ [Л, (х,, f) - Л2(х„ t)H^t-^-)],
(14)
(14)
A(x„ 0 = ^i (xi. о
A(x„ 0 = ^i (xi. о
Л2(х,, t) = ехр
Л2(х,, t) = ехр
Температурное поле, связанное с условиями (13), задается формулой,
(15)
Заметим, что в плоскости Xi = 0 мы имеем Ф = 0, Ф = 0, а на основании формул (3) это приводит к
(16)(16)о22(0, /) = о33 (0, f) = — 2ц/п60// (/).
(16)
(16)
На рисунках 11.1 и 11.2 представлена функция о\\1К, где К = = £«<6а/(1 — 2v) в зависимости от расстояния £ = x,Ci/x. Эти
графики взяты из работы Муры), который выполнил их для значений т = с^/%=1 и т=100.
Напряжение оц выражается формулой аи = рФ, поэтому из формулы (14) видим, что диффузионная часть волны, определенная функцией Л|(Х|,/), возникает сразу в каждой точке полупространства. Второй член, Аг^;, f) H^t— -^.представляет упругую волну, распространяющуюся со скоростью cj. Через сече-
РИС. 11.2.
ние Х| = const фронт упругой волны проходит в момент t = = Х\(с\. Напряжение о,, получает в этот момент разрыв со значением скачка К и изменяет знак. После прохождения фронта волны напряжение оц приближается к квазистатическому значению.
Задача Даниловской была обобщена Игначаком ) на слоистое упругое полупространство. Стернберг и Чекраворти ) исследовали более сложные температурные условия на поверхности
х, = 0 упругого полупространства. Была расмотрена ') также задача о внезапно нагретом упругом полупространстве, жестко закрепленном по плоскости х, = 0. В последнее время исследуется влияние облучения (диффузия нейтронов, лазерные лучи и т. д.), обуславливающее возникновение в теле источников тепла. Здесь мы обращаем внимание на работы Гурнея) и Ра- фальского ).
Для решения динамических задач теории температурных напряжений можно воспользоваться понятием ядра термоупругой деформации так же, как в квазистатических задачах. Определяем потенциалы Ф и фг, обусловленные температурой
ё = д(х —§)д(/).
Если через й, обозначить поле перемещений, вызванное действием ядра термоупругой деформации, то поле и,, возникающее вследствие действия температурного поля 6(х, /), принимает вид
t
Ui (х, 0 = J ^т j 9 (х, т) Ui (х, t — т) йт.О о
Этот путь решения особенно удобен в случае разрывного температурного поля, когда температура 9(х, t') не удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности. Игначак), а также Пехоцкий и Игначак) получили таким путем много интересных результатов.
Мгновенное нагревание границы сферической полостив бесконечном упругом пространстве
Рассмотрим бесконечное упругое пространство со сферической полостью радиуса а. Граница R = а была мгновенно нагрета до температуры 90 и оставлена в таком состоянии. Под влиянием нагрева границы в теле распространяется сферическая термоупругая волна. Эта интересная с практической точки зрения задача была решена и проанализирована Стернбергом и Чекраворти ).
751751Мгновенное нагревание границы сферической полости
751
751
Задача характеризуется центральной симметрией. Система уравнений в перемещениях сводится поэтому к одному дифференциальному уравнению
156
7«„ = пг — .
с? 7 R dR
Вводя потенциал термоупругого перемещения Ф и подставляя uR = dOjdR в формулу (1), а затем интегрируя уравнение по R, получим простое волновое уравнение
д2 . 2 5dR2 + R dRд2 . 2 5dR2 + R dR-ArdMlR, t) = mQ(R, t).-ArdMlR, t) = mQ(R, t).(2)(2)
д2 . 2 5dR2 + R dR
д2 . 2 5dR2 + R dR
-ArdMlR, t) = mQ(R, t).
-ArdMlR, t) = mQ(R, t).
(2)
(2)
Предположим, что поверхность R — а свободна от напряжений и что перемещения ограничены на бесконечности. В этом случае граничные условия примут вид
2ц Г duD 2vuD1
Orr[d - v) ^f + ^ - (1 + v) = °- (3)
Условия (3), выраженные через потенциал Ф, запишем как
5Ф(~, П , мW
dR‘
Легко проверить, что уравнению теплопроводности
/ д2 .2 d 1 л \ a / п а л
при учете граничных условий
е(а,о = еоя(о, 0(оо,/)<у
и начального условия
0(R, 0) = 0
удовлетворяет функция
6=(5)
R \V4xt )' ’
Преобразование Лапласа, примененное к этой функции, дает
Применим
последовательно преобразование Лапласа
к уравне-
нию (2) и
к граничным условиям (4):
( d1 . 2 d5
1—гЧ4-1Ф = т0,
(7)
\dR2 R dRЦ )
J dR+^R^-0’
(8)
Г-Ё2.1—>о.
L dR JR -> оо
(9)
Решая уравнение (7) при учете граничных условий (8) и (9), получим для функции Ф следующее выражение:
maO^ ( paaaa2 + 2е(1 + а^р/х)
Ф —з( гт~9;;— ехР [ — рог (/? — а)] —
Rp2(p — Cj/x) | p2a2a2 + 2e (1 + ара)
— exp[— (R — a) ]Z-^- ]},(10)
где
Зная функцию Ф, можно определить трансформанты йК) CrrПрименение обратного преобразования Лапласа к упомянутым трансформантам сталкивается с рядом трудностей математического характера. Подробности, касающиеся этой процедуры, читатель найдет в цитированной работе Стернберга и Чекраворти, мы же ограничимся тем, что приведем некоторые результаты и графики, полученные этими авторами.
Так же как и в рассмотренных ранее динамических задачах, мы и здесь имеем дело с двумя волновыми членами: с упругой волной, распространяющейся со скоростью с\, и с диффузионной волной. Функция Ur(R, /) непрерывна, но ее первые производные по времени и по радиусу R имеют разрывы в момент времени t = (R — a)jc\.
Введем обозначения
и выразим напряжения в этих переменных. Оказывается, что при т* = у(0—1) (т- е. при t* = (R — a)/ci) напряжения имеют конечный разрыв. Так, при т* =у(0—*)имеем
aRR (Р> Т + )aRR (Р»Т-)1_ОуВ’
Рfill
/о * \_ /о—* \2щпЭо
^ФФ (Р> ^+)^фф (Р’/12vр"
Мы видим, что скачок напряжения уменьшается с ростом 0 = == R/a. На рис. 11.3а—11.Зв изображена зависимость напря-
РИС. П.3в.
жения o^lK (где К = БскбоО—2v)) от т в сечениях 0=1, 0 = 2 и 0 = 3. Здесь предполагается, что v = 1/4, у = 0,20. Кривая а соответствует динамической задаче, кривая b — квазиста- тическому решению. График на рис. 11.3а показывает, что напряжение аФ(р на границе R = а сначала осциллирует, а затем достигает квазистатического значения —1. Динамическое напряжение возрастает приблизительно на 24% по сравнению с ква- зистатическим напряжением.
На рис. 11.36 и 11.Зв изображена зависимость напряжения Офф/К от т при р = 2 и р = 3. Кривая а соответствует решению динамической задачи, кривая b— решению квазистатической задачи, а кривая с — стационарному решению. Мы видим, что напряжения имеют скачки в сечениях т* = у(0—1). Величина этих скачков уменьшается с ростом 0. Мы видим также, что динамическое решение с ростом т быстро стремится к квазистати- ческому решению. При т->оо оба решения асимптотически стремятся к стационарному решению.
В последние годы решено несколько более сложных динамических задач теории температурных напряжений. Игначак) рассмотрел действие сосредоточенного мгновенного источника тепла в бесконечном упругом пространстве со сферической полостью. Концентрацией напряжений вокруг сферической и цилиндрической полостей занимались Игначак и Новацкий).
Задача об источниках тепла, перемещающихся в неограниченном упругом пространстве с постоянной скоростью, была предметом работы Журавского ).
Заслуживает внимания работа Боли и Барбера), в которой рассмотрена задача о колебаниях тонкой плиты, вызванных внезапным нагреванием ее поверхности.
Глава 12
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Введение
В гл. 3 мы дали полную теорию термоупругости для анизотропных тел. Мы нашли там следующее основное выражение для свободной энергии F и энтропии S (формулы (14) и (15) § 3.5):
^= 2"Cwe>;etl —pf/ez/O — -^ б2,(1)
S = pz/ez/ +Аб, б = Г-Г0.(2)
Здесь сцм — материальные постоянные (коэффициенты податливости), относящиеся к изотермическому процессу, величины р{,- связаны с термическими и механическими постоянными, св—теплоемкость при постоянной деформации.
Из соотношений
получаются уравнения Дюгамеля— Неймана
°i} = Cljkl^u Р/уб.(4)
К этим уравнениям следует добавить связь между энтропией и температурой, следующую из закона теплопроводности Фурье (уравнения (11) § 3.4):
TS=XMTlM-VW.(5)
Здесь Хц— коэффициенты теплопроводности.
Из уравнений (2) и (5) получается линеаризованное уравнение притока тепла (уравнение (5) § 3.8)
^</®«ч + ^ — се^— Гор^е^=О.(6)
От приведенных выше выражений и уравнений, справедливых для однородного анизотропного тела, мы можем перейти к результатам для изотропного тела, применяя следующие соотношения:
Сцк1 = Ц (&ij&kl + &П&1к) + ^Ij^kh(7)
Pz/ = y5z/i Az/ = Aodz/.(8)
Здесь ц и X — постоянные Ламе для изотермического процесса, а у = (ЗХ + 2ц) af, где at — коэффициент теплового расширения. Итак, свободная энергия примет вид
Лс8
F — P^tf^Tj Ч 2* ^кк^пп Y®A&6 2Tq *^^
Определяющие уравнения (2) и (4) мы представим как
о^ — гце^Ч-^еы-yO)6Z/,(10)
S = ye«+ ^-6.(11)
Наконец, уравнение теплопроводности сводится к виду
e.„-v6-v„2..(12)
Здесь И?—количество тепла, выделяющееся в единицу времени в единице объема.
Если теперь в уравнения движения
^/z,/+ ^z= Р“;(13)
подставить зависимости Дюгамеля— Неймана (10), а затем выразить деформации через перемещения в силу определения
»U = VUl- / + «/,<),(14)
то в результате получаем систему уравнений
ри£,н + (^ + ц) ubii + Хт = рй; + уб, z-(15)
Уравнения (12) и (15) связаны между собой. В эти уравнения входят четыре неизвестные функции: перемещения щ и температура 6. В уравнения движения в перемещениях входят температурные члены, а в уравнение теплопроводности — деформационный член.
Связанность полей деформации и температуры постулировал уже Дюгамель *), основатель теории температурных напряжений, введя в уравнение теплопроводности дилатационный член. Однако это уравнение не было термодинамически обосновано. Попытку термодинамического обоснования этого уравнения предприняли позднее Фойхт) и Джеффрис ). Однако только в 1956 г. Био) дал полное обоснование уравнения теплопроводности, опираясь на термодинамику необратимых процессов). Био предложил также основные методы решения уравнений термоупругости и вариационную теорему.
Термоупругость описывает широкий круг явлений, являясь обобщением классической теории упругости и теории теплопроводности. В настоящее время термоупругость является вполне законченной областью: записаны основные зависимости и дифференциальные уравнения, предложено несколько методов решения уравнений термоупругости, доказаны основные энергетические и вариационные теоремы, решено несколько задач по распространению термоупругих волн.
Как известно, исследованиям в области термоупругости предшествовали исследования в рамках теории температурных напряжений, приближенной теории, не учитывающей связанности полей деформации и температуры (членом —цём в уравнении (12) пренебрегают). Такой теории мы посвятили предыдущую главу.
Одновременно с теорией температурных напряжений развивалась эластокинетика, также с упрощающим предположением, постулирующим, что обмен тепла между частями тела за счет теплопроводности происходит так медленно, что процесс можно считать адиабатическим.
Упомянутые разделы являются в настоящее время частными случаями общей теории — термоупругости. В теоремах и методах термоупругости содержатся в качестве частных случаев теоремы и методы теории теплопроводности и классической теории упругости.
Следует заметить, что решения, найденные в рамках термоупругости, незначительно отличаются от решений классической теории упругости или теории теплопроводности. Связанность полей деформации и температуры слабая. Однако качественное различие
является принципиальным. Мы увидим это на примерах упругих волн, которые в рамках термоупругости затухают и обладают дисперсией, в то время как в рамках эластокинетики получаются только незатухающие волны. Основное значение термо- упругость имеет в тех случаях, в которых главной целью является исследование упругой диссипации. Значение термоупругости главным образом состоит в познавательной основе и общности этой теории.
Дифференциальные уравнения термоупругостии методы их решения
Система дифференциальных уравнений термоупругости состоит из уравнений движения и уравнения теплопроводности. Уравнения движения
Oji, / ~Ь Xf = рй; (х, t\ хе/, t > 0,(1)
можно преобразовать, используя уравнения состояния
az/ = 2p.ez/ + (Z,e66 —y6)dz/, х е V + А, / > О, (2) и связи между перемещениями и деформациями
eZ/= -2 (tiz, / + «/,<)> х е V + A, t > 0,(3)
в систему трех уравнений, содержащих в качестве неизвестных функций перемещения щ и температуру 6:
Н^г, ц Н- (^ + Р) Ч рЧ Xi = Qtii + уб, i, хе V, t > 0.(4)
Последние уравнения и уравнение теплопроводности
^.и-^^-^йк,к-£, хеУ, />0,(5)
связаны между собой. Массовые силы, источники тепла, нагрев и тепловой поток через поверхность А, ограничивающую область V, так же как и начальные условия, являются причинами возникновения в теле как перемещений, так и сопутствующего температурного поля. Граничные условия механического типа даются в виде заданных перемещений «, или нагрузок pt = сип, на поверхности А. Температурные условия, определяющие теплообмен через поверхность А, в общем случае можно записать в виде
а -^- + 06 = f (х, t), хе Л, t > 0, а, 0 — постоянные. (6)
Если 0 = оо, то мы имеем дело с нулевой температурой 6 на границе; если a = оо, то имеем случай теплоизолированной поверх-
ности А. Начальные условия указывают, что в начальный момент, например при t = 0, перемещения Ut, скорости этих перемещений й, и температура 6 являются известными функциями:
и Ах, fh-o = fi (х),н,(х. /)(=0 = ^(х), Э (х, /)(_0 = h (х).(7)
Система уравнений (4) и (5) достаточно сложна, и естественно требование свести эту систему к простым волновым уравнениям. Существенное упрощение уравнений достигается разложением вектора перемещения и вектора массовых сил на потенциальную и соленоидальную части. Подставляя тогда в уравнения (4) и (5)
Щ = Ф. i + е;7чФ, /> Xi = р (О', z + ^ijklk. }\(8)
где функции Ф и ■& скалярные, а ф, и %; векторные, приводим уравнения термоупругости к следующей системе уравнений1):
□ ^Ф —/и0 = -4^>(9)
□^г = -4хь(10)
С2
D6 - ц?2Ф = - ^-.(11)
Здесь введены обозначения
саX
Уравнения (9) и (11) непосредственно связаны между собой. Исключение функции 6 приводит к уравнению продольной волны
(D^D — тт\дА2)Ф = -^-^П&.(12)
Уравнение (10) описывает поперечную волну. Заметим, что функции Фиф, связаны между собой граничными условиями, которые в каждом случае содержат производные этих функций, перемещения Ui и температуру 6.
Исключая из уравнений (9) и (11) функцию Ф, получаем уравнение
(□fO-mri^V2)e = -— O?Q —(13) XС;
Заметим, что уравнения (12) и (13) имеют одинаковый вид. Структура этих выражений, о чем речь пойдет позднее, показывает, что мы имеем дело с затухающей волной, обладающей дисперсией. В неограниченном упругом пространстве продольные и поперечные волны распространяются независимо друг от друга. Предположим, что причиной движения являются источник тепла Q и массовые силы Х, = рД;. В предположении, что %, = 0 и что начальные условия, связанные с уравнением (10), являются однородными, получим т^г- = 0 во всем пространстве. В неограниченном пространстве возникают только продольные волны (волны дилатации). Учитывая формулы (2) и (8), имеем
Щ = ф. и ^ц = Ф.11, екк = \гФ,
Оц = 2ц (Ф, ц — б</Ф, и) + рдг/ ( Ф — б).
Если в неограниченном пространстве действуют массовые силы Xt = ре^хь, j и Q = 0, О' = 0 или Ф (х, 0) = 0, Ф (х, 0) = 0, ТО ОТЛИЧНЫМИ ОТ нуля будут ТОЛЬКО функции ф;, в то время как ф = 0, 6 = 0 во всей области. Распространяться будут только поперечные волны со скоростью с^ = (ц/р)1/2. Эти волны не сопровождаются выделением тепла. Заметим, что для поперечных волн
Ut = 4tiAk,h ик1к = 0, 6 = 0, ои = 2це0- = ц (ut,, + иь ,).
В ограниченном теле в принципе возникают волны обоих типов. Решение уравнений (10) и (12) составим из двух частей: из частных решений этих уравнений Ф°, ф9 и общих решений однородных уравнений
(DiD —тчд^)Ф' = 0, 0^ = 0,
причем функции Ф' и ф^ следует выбрать так, чтобы были выполнены все граничные условия.
Дальнейшим методом, применяемым при решении дифференциальных уравнений термоупругости, является метод разделения уравнений, основанный на сведении системы уравнений (4) и (5) к системе четырех несвязанных уравнений. В каждое уравнение входит только одна неизвестная функция. Этот метод, по-види- мому, впервые был применен Гильбертом к дифференциальным уравнениям оптики.'Некоторую его разновидность в операторном виде, данном Моисилом1), применил к квазистатическим уравнениям термоупругости Ионеску-Казимир2). Другой способ решения динамических уравнений термоупругости предложил
Калиский 1). Его результат другим путем был получен повторно Подстригачем 2) и Рюдигером3).
Не вдаваясь в подробности этого метода, дадим только окончательный результат. Вводим векторнуюфг и скалярную ф функции и с их помощью выражаем перемещения и температуру следующим образом:
ыг = (йдх/ —Гд^ф/+ У(ДФ,(14)
6 = ц д^П^р,+ (*+«) □[Ф,(*5)
где
Q = (l+fl)D^-W^, Г = а/) —у^а,, « = ^. Vo = ^-
Подставляя и{ и 6 в уравнения (4) и (5), получим четыре отдельных уравнения для функций фх и ф:
□ ЦП^-туи^Тт+^-О,(16)
(□^О — тупд^Ф + ^^О.(17)
К этим уравнениям следует добавить граничные и начальные условия. В граничные условия, очевидно, входят функции ф; и ф. Простота дифференциальных условий (16) и (17) окупается, однако, сложным видом граничных условий. Поэтому уравнения (16) и (17) также найдут применение прежде всего в задачах движения в неограниченном пространстве, где граничные условия в точном смысле отпадают и заменяются заданием нулевых значений перемещений и температуры на бесконечности. Этот постулат будет выполнен, если распределение массовых сил и источников тепла ограничивается конечной областью.
Интересный метод решения дифференциальных уравнений термоупругости предложил Зорский4). Этот метод сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений (4) и (5) в систему трех интегродифференциальных уравнений для перемещений ut. Продемонстрируем его для простоты по отношению к неограниченному пространству в предположении однородности начальных условий. Напишем уравнение теплопроводности
') Kaliski S., Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprgzystosci i cial niesprgzystych, WAT, Warszawa, 1957.
Подстригая Я. С., Основное решение нестационарной термоупругой задачи, Прикладная механика, Киев, 6, № 2 (1960).
Rudiger D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grund- gleichungen, Osterr. Ing.-Archiv, 18, № 1—2 (1964).
Zorski H., Singular Solutions for Thermoelastic Media, Bull. Acad. Polon Sci., Ser. Sci. Techn., 6, № 6 (1958).
Zorski H„ On a Certain Property of Thermoelastic Media, Bull, Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 6, JVs 6 (1958).
в таком виде, чтобы член, содержащий скорость дилатации, находился в правой части уравнения:
6. //-t®=w/-6. //-t®=w/-(18)(18)
6. //-t®=w/-
6. //-t®=w/-
(18)
(18)
Принимая функцию T\iijj в качестве источника тепла, можно получить решение уравнения (18) при использовании функции Грина G для классического уравнения теплопроводности
G /-±G = --d(x-g)d(O, G(x, g, 0 =.
хх8 (nxf)"
(19) p=(gz-xz)(gz-xa.
Подставляя решение уравнения (18)
i
О (х, 0 = ~ W J dx J G (g, х, t — т) ~ div u (g, т) dV (g)
0 V
в уравнения в перемещениях (4), получим следующее интегро- дифференциальное уравнение:
jaV2u + (Л + ц) grad div u — pu =
t
= — т]ху grad J dx J G (g, x, t — t) -^ div u (g, t) dV (g). (20) о и
Если разложить вектор перемещения согласно формуле (8), то уравнение (20) распадется на систему уравнений
□ 2Ф +□ 2Ф +УП Г4> JУП Г4> Jdx J G(g, x,/-T)^V2O(g, х, r)dV(g), к □2ф = 0.dx J G(g, x,/-T)^V2O(g, х, r)dV(g), к □2ф = 0.(21)(22)(21)(22)
□ 2Ф +
□ 2Ф +
УП Г
4> J
УП Г
4> J
dx J G(g, x,/-T)^V2O(g, х, r)dV(g), к □2ф = 0.
dx J G(g, x,/-T)^V2O(g, х, r)dV(g), к □2ф = 0.
(21)
(22)
(21)
(22)
Интегродифференциальное уравнение (21) равносильно уравне< ниям (9) и (11).
В некоторых случаях, особенно если граничные условия даны в напряжениях, стоит воспользоваться уравнениями, аналогичными уравнениям Бельтрами — Мичелла. Эти уравнения для несвязанных задач были выведены Игначаком 1), а для связанных задач Соосом2). Другой метод решения в напряжениях дал Но- вацкий) для плоского деформированного состояния/
*) J. Ignaczak, loc. cit. стр. 487.
Если изменение массовых сил, источников тепла, нагрузок и поверхностных нагревов происходит медленно, то в уравнениях движения можно опустить инерционные члены, а задачу считать квазистатической. Квазистатические уравнения термоупругости
P-^i, п 4* (^ 4* н) иь ji "V Xi = уб, ь(23)
e.//-^6-w* = -T<24)
являются впредь связанными. Особенно просто представляется решение этой системы уравнений для неограниченной упругой среды, в которой действуют источники тепла Q и массовые потенциальные силы Х; = рО, {. Введением потенциала термоупругого перемещения Ф получим из формул (23) и (24) разделенную систему уравнений
С1 (25)С1 (25)V26 — — 0 = —^1$, V2O = m6
С1 (25)
С1 (25)
X]X
X
X] = Т+Т ’ 6 = 11mx•
Температура 6 определяется здесь из параболического дифференциального уравнения, сходного по своей структуре с классическим уравнением теплопроводности.
Для разделения системы уравнений (23) и (24) можно применить также способ, упомянутый ранее (уравнения (16) и (17), в которых следует опустить инерционные члены).
Наконец, интересный способ предложил Био1)- Введя выражение энтропии
5 = уе^+-ж-6(26)
.J о
в уравнения (23) и (24) и предполагая, что Q = 0, Xt = 0, получим систему уравнений
^мь tt 4" (^ 4" Р 4* 6) и,. ji = yPS.j,(27)
.n-^S = 0.6-А Р = А, >,-«3^.(28)
Эти уравнения разделены, а энтропия удовлетворяет параболическому уравнению. Решение уравнений (27) можно дать в виде потенциалов Папковича — Буссинеска
щ = - (Фо 4- W i 4- В^ь В = 2 ^^ ,(29)
в предположении, что векторная функция ф, является гармонической. Для определения функций ф0 и ф; имеем уравнения
?Ч = 0, V^ = 0, (v2—£д,)ф" = О,(30)
где
Фо = ^ + ^о.
После определения функций ф0 и ф,- с учетом граничных и начальных условий получим перемещения по формуле (29).
Как мы упоминали во введении, термоупругость охватывает все рассмотренные до сих пор направления: классическую эла- стокинетику, теорию теплопроводности и теорию температурных напряжений. К дифференциальным уравнениям классической эластокинетики мы придем, предполагая, что движение происходит в адиабатических условиях, а именно без обмена тепла между отдельными частями тела. Так как для адиабатического процесса S = 0, то из формулы (26) получим 6 = —T)xeftft или после интегрирования, принимая однородные начальные условия,
6 = —11хем.(31)
Это уравнение заменяет уравнение теплопроводности. Подставляя формулу (31) в (4), получим уравнение классической эластокинетики в перемещениях:
Р$и», н + №s + Ps) иь it + ^i = Р“й(32)
где
^s = ^г 4" YrT17-x> Иг = Ps-
Величины Xs, ps являются постоянными Ламе, измеренными в адиабатических условиях. Определяющие уравнения после подстановки формулы (31) в (2) примут вид
ац = ^s^ij + ^s^a-(33)
В теории температурных напряжений, в которой изучается влияние нагрева поверхности тела и действие источников тепла на деформированное и напряженное состояния тела, принимается, что влияние члена т^ьь, входящего в уравнение теплопроводности, на деформацию тела незначительно и практически пренебрежимо. Это упрощение приводит к системе двух взаимно независимых уравнений
Ргы<. н + ^т 4" Рг) ui. ii= P“i 4" Vr9, b(34)
0 н — — 9 = - —.(35)
Из уравнения (35), т. е. из классического уравнения теплопроводности, определяется температура 6. Зная распределение температуры, можно найти перемещения из уравнений (34).
12.3. Вариационная теорема термоупругости
Ниже мы сформулируем вариационную теорему термоупругости при варьировании деформированного состояния, предложенную Био1). Она будет состоять из двух частей, причем первая из них основывается на известном принципе Даламбера
J OijSaij dV = J (X,—pu^butdV -V J p^i^dA. (1)
vvA
В этом уравнении бы;— виртуальные приращения перемещений, 6e,j— виртуальные приращения деформаций. Предположим, что бы, и бе,; являются непрерывными произвольными функциями, независимыми от времени и согласованными с условиями, ограничивающими движение тела.
Принцип Даламбера справедлив безотносительно к материалу тела, т. е. при любых зависимостях напряженного состояния от деформированного состояния. Подставляя в формулу (1) определяющие уравнения (2) § 12.2 и вводя величину
Г= J(Wz/ + 4№n)^,(2)
v
в которой подинтегральная функция является положительно определенной квадратичной формой, получим из (1) следующее уравнение:
6Г = J (X, - ры,) дыг dV + J р,.быг dA + у j 06е^ dV. (3) VAV
Во второй части вариационной теоремы используем закон теплопроводности. Для этого воспользуемся связями между тепловым потоком, температурой и энтропией:
4i= — ^о®, z> —7z. z= ^о^ = уё^^Г0 + св6.(4)
Эти связи можно выписать в удобном для дальнейшего виде, введя векторную функцию Hi, связанную с энтропией и тепловым потоком следующими формулами:
S = -Hlib qt=T0Hb(5)
Подставляя в формулу (4) последние зависимости, получим
TqHi = — ^об, z, —T0Hb z = ce0 + 7оуёд6.(6)
Умножим первое из уравнений (6) на виртуальное приращение 6Д, и проинтегрируем по объему тела:
\^ЛА-^тНХьН1йУ = О.(7)
J \Лд /
V
Преобразуя этот интеграл и принимая во внимание второе из соотношений (6), находим уравнение
у- J 666 dV + ^- J Н^Н, dV + J Вп^Н, dA + у J 66ew dV = 0,
(8)
в которое входит член J вбе^У, совпадающий с членом, входя-
V
щим в формулу (3). Исключая этот член из уравнений (3) и (8), получим окончательный вид вариационной теоремы
(Ж + ^ + 5)) = J (^ — puz) 6uz dV + J рфп( dA — J 9п;6Н[ dA.
VAA
(9)
Здесь мы положили■
^^P2^ ®=УМ№<‘°)
причем принято, что 65) = Sdt, 6Ht = Hidt (см. ниже). Функция 5s называется температурным потенциалом, Ф — функцией диссипации.
Рассмотрим частные случаи. Если в уравнении (3) положить 6 = —т^гхем, что соответствует допущению об адиабатичности процесса, то это уравнение переходит в
дГ(5) = j № _ рй;) ^ dE + J Pt6ut dA,(11)
VА
где
Г<« = J ^8емгч + -^ еме„„) dV,и
a ps, Xs— адиабатические постоянные Ламе. Уравнение (11) является формулировкой принципа Даламбера для классической эластокинетики.
В теории температурных напряжений мы пренебрегаем взаимодействием деформаций и температур, что выражается в отбра-
сывании члена \ёккТа во втором из уравнений (4). Отбрасывание этого члена приводит к модификации уравнения (8). Получим
6 ^ + 0) + J ^Н{ dA = 0.(12)
А
Уравнение (12) выражает вариационную теорему для классической несвязанной задачи теплопроводности. В теории температурных напряжений мы имеем два уравнения: уравнение (12) и уравнение (3), в котором функция 6 считается известной.
Вернемся к общей вариационной теореме термоупругости (9) и предположим, что виртуальные приращения du,, бе,,, 6Ht) ... совпадают с действительными приращениями при переходе от момента t к t + dt. Тогда
bui=uidt = x)idt, 6Ht= Hidt = --^9ltdt(13)
Подставляя формулы (13) в (9), получим
А^ + Г + ^ + х^ J XtutdV+S PiMA-V-^ WndA,
где Ж = yP J yi°idV—кинетическая энергия, а 7.т — 2), причем v
КV
Уравнение (14) выражает основную энергетическую теорему термоупругости. Эту теорему можно использовать для доказательства единственности решений уравнений термоупругости1). Поступая так же, как и в теории упругости, предположим, что уравнения термоупругости удовлетворяются для двух пар функций Up 6' и и", 6". Образуя разности этих решений йг = и<— и", 0 = 0'— 0" и подставляя их в уравнения (4) и (5), заметим что полученные уравнения являются однородными; однородны и граничные и начальные условия. Функции й^ 0 поэтому соответствуют термоупругому телу, внутри которого отсутствуют источники тепла и массовые силы и поверхность которого ненагру- жена и находится в условиях нулевой температуры. Формула
’) Боли Б., Уэйнер Дж., см. список литературы.
Ionescu-Cazimir V., Problem of Linear Thermoelasticity. Uniqueness Theorems (I), (11), Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. Sci, Techn., 12, № 12 (1964).
ответит на вопрос, отличны ли от нуля перемещения й, и температура 0 внутри тела. Уравнение (14) примет вид 4т / (г-^ + ^М</ + т6ыё"" + -2^-9)^ =
v
= -77 J (9 lYdV^O. (15) v
Интеграл в левой части уравнения в начальный момент равен нулю, ибо функции iit, ец, 0, Vz удовлетворяют однородным начальным условиям. С другой стороны, полученное неравенство показывает, что левая часть уравнения либо принимает отрицательные значения, либо также равна нулю.
Так как подинтегральное выражение является суммой квадратов, а подинтегральная функция равна нулю при t = 0, то осуществляется только вторая из названных возможностей. В результате получим и г = 0, ezj = 0, 0=0 при ( ^ 0. Так как напряжения аг, связаны линейно с величинами etj и 0, то од, = 0 при t 0. В результате получим
u'i = ul, 0' = 0", a'ij = a'[j при ^0.(16)
Итак, существует лишь одно решение уравнений термоупругости.
Теорема взаимности
Обобщенная теорема взаимности, относящаяся к задачам термоупругости, была полностью сформулирована Ионеску-Казимиром1). Элементы этой теоремы, хотя и выраженные в менее общей форме, мы найдем у Био2).
Теорему взаимности мы изложим в общих чертах, сосредоточив внимание на ее различных приложениях.
Пусть в изотропном теле действуют две системы сил. Предположим, что внутри тела V действуют источники тепла и массовые силы, а на его поверхности заданы нагрузки Рг и температура 0 = 0. Эти причины сокращенно обозначим символом / = = №, Pi, Q, О}, а вызванные ими следствия — символом С = = {uz, 0).Вторую систему причин и следствий обозначим через Г = \Х'ь p't, Q', О') и С' = {uz, 0'). Предположим, что начальные
условия являются однородными, и будем исходить из уравнений движения, уравнений теплопроводности и из соотношений Дюгамеля — Неймана, выписанных для обоих систем. Применяя к этим уравнениям преобразование Лапласа, умножая их соответственно на й' и йр вычитая один результат из другого и интегрируя по объему V, получим два уравнения взаимности для трансформант функций, входящих в обе системы:
J (XX - XX)dV + J W-pX) ДА + у / (0ё'-0'ё) dV=0, (1) VАV
J (Q'o-Q^dV+xrjpJ^-oH^ + иУж«-У0.п)<м=о, (2) VVА
где
ё = ё66, йДх, р)=У utX fte-^dt, ... .
о
wpwp7 м .V7 м .VИсключая из этих уравнений общие члены, находим следующее уравнение:
wp
wp
7 м .V
7 м .V
Х\й^ dV + J (рХ — P\d^ dA
А
= «у J (Уб, п - »0(„) dA + у J (Q0' — Q'0) dV. (3) АV
К уравнению (3) следует применить еще обратное преобразование Лапласа. Используя теорему о свертке, получим
,ди; (х, т)
тр<тр<V оV оХДх, t — т)—^ dx-\-
тр<
тр<
V о
V о
, Гfт) ,ди,(х, т) 1
+ J dA (х) J [р,- (х, t — т) —^pt (х, t — т) —^— dx
А0*
t
= у J dV (х) J [Q (х, t — т) 6' (х, т) — Q' (х, t — т) 6 (х, т)] dx + и о
i
+ ук J dA (х) У (У (хД—т) 0>п (х, т)—^(х, t—т) 6'ге (х, т)} dx. (4) АО
Уравнение (4) справедливо как для динамической задачи, так и для задачи квазистатической. Однако в этих случаях функции Up 6 и и'р 6' имеют различное значение. В наших рассуждениях
было принято, что на поверхности А заданы нагрузки р, и температура 0 = 0. Из структуры уравнений (4) видно, что на А можно задать также перемещения и тепловой поток, пропорциональный градиенту температуры, 6,п = О, п. Уравнения (4) удовлетворяются также для случая смешанных граничных условий.
Уравнение (4) примет особенно простой вид для неограниченного тела, ибо в этом случае исчезают поверхностные интегралы. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями по времени
Xi (х, 0 = X* (х) eitit, р; (х, 0 = р* (х) eito\ ... ,
то уравнение взаимности примет вид
тр<^ J (XXтр<^ J (XX_v_v— X'fX) dV + J (рХ — p7u*^ dAA.
тр<^ J (XX
тр<^ J (XX
_v
_v
= xYJ (O'^-OTO^ + Y J (QV'-Q'V)^. (4a) AV
Из уравнения (4) мы получим ряд интересных следствий. Положим, что в точке | области V действует мгновенная сосредоточенная сила Х( = 6(х— |)6(06ij, направленная по оси х5, а в точке |'— сосредоточенная сила Х( = 6(х— Ю6(06г&, направленная по оси x1v Если мы предположим, что граничные условия являются однородными, то из соотношения (4) получим
ди\ (|, |', 0 _ дик (1', 1, 0dt — dt '
Для источника тепла Q = 6(х—1)6(0 и источника Q'= = 6(х— |О6(О имеем
о'^, г, 0 = 0(10 t о.
Если в точке § приложить сосредоточенную мгновенную силу Xt = 6(x —1)6(06/7, а в точке |' поместить источник тепла Q' = 6(х — Ю6(0> т0 из уравнения (4) вытекает следующее со
отношение:отношение:о (Г, I, 0 =о (Г, I, 0 =цх ди'- (|, I', 0у dtцх ди'- (|, I', 0у dt
отношение:
отношение:
о (Г, I, 0 =
о (Г, I, 0 =
цх ди'- (|, I', 0у dt
цх ди'- (|, I', 0у dt
Пусть в неограниченном пространстве перемещается в направлении оси х3 с постоянной скоростью у источник тепла Q = = 6(x1)6(x2)6(x3— у0- Принимая, что в системе со штрихами Q' = 6(х — I')6(0, из уравнения (4) получим
t
0(5ь 12, 1з, 0 = / бЧО, 0, ут; gb gb ^з, t-T^dx.о
Последняя формула позволяет определить температуру, обусловленную движущимся источником тепла, при помощи выражения для температуры, вызванной действием мгновенного неподвижного источника тепла.
Из уравнений (1), (2) или (3) можно получить частные случаи теоремы взаимности, относящиеся к классической эластоки- нетике и теории температурных напряжений.
Если предположить, что деформация происходит в адиабатических условиях, то в уравнении (1) следует положить 0 = — Чтхем> 6'= — Лтхем' Тогда остается уравнение
J (^^; - Х'^ dV + J ^ - р'^ dA = 0.(5)
vv
Уравнение (2) исчезает в эластокинетике, где предполагается, что в теле нет источников тепла, а поверхность тела теплоизолирована.
В теории температурных напряжений мы опускаем в уравнении теплопроводности член, содержащий дилатацию. Формально это эквивалентно принятию т] = 0 в уравнении (2). Таким образом получим уравнения
J (X^ — X'd^dV + j (р^ — р'.й,) dA + у j (6ё'—e'^dV—O, (6) V.АГ
- j (Qo'-Q^dv + x J (oe^-^e.j ^д = о. (7) VA
Уравнение (6) было выведено Майзелем1). Уравнение (7) является уравнением взаимности для классического уравнения теплопроводности.
Рассмотрим случай, в котором причины / = ^Xt> Pt, Q, 9} и следствия С = (м,-, 0} относятся к связанной задаче термоупругости, а причины Г = \X't, р'р Q', ft'} и следствия С' = (м^ 0'} — к несвязанной задаче. Учитывая различие в уравнениях теплопроводности для связанной и несвязанной задач
ё.кк—М-Чрё = -4> б.^-Т6'-^’<8>
получим из уравнений (8) следующее уравнение:
j (Q'O-QOW + W J O'edV + x j (^6^ — ^'9, n)dA = 0.(9)
VVA
') В. M. Майзель, loc. cit. стр. 476.
Исключая из уравнений (1) и (9) член J O'e dV, получим теорему взаимности в виде
«ПР J (Х^ — X^u^dV + J (р^ — p'^^dA + y J Qe dV =
ААГ
А
А
= ху j (#'0, п — »ё: „) dA + У j (Q6' — Q'O) dV,(10)
АV
Примем теперь, что в системе со штрихами действует только сосредоточенный мгновенный источник тепла в точке |, а граничные условия являются однородными. Подставляя тогда в уравнения (10) Q' = d (х — |) d (f), X'. = 0 и р'. = 0, ft' = 0 на А, получим
6(1, р) +W j 6(S, р^ёДх, ё, pW 1^ = М^, р\ (11) где
ма,р) =
= j Q (х, р) О' (х, |, р) dV (х) — х J »(х, р) 6( „ (х, |, р) dA (х) — VА
ГГ— "^ J рДх, р)й'Дх, |, р)М(х)+ jX, (х, р)«; (х, ^,p)dV^ .
Г
Г
.А
Так как функции и^, О' известны как решения дифференциальных уравнений.теории температурных напряжений, а функции Q, #, pi, Xt заданы, функция М (|, р) известна. Уравнение (11) является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, в котором неизвестной функцией является температура 0. Аналогично можно найти и перемещения.
Представленный здесь ход рассуждения, предложенный Ионеску-Казимиром *), был применен для определения функции Грина в неограниченной термоупругой области).
') V. lonescu-Cazimir, loc. cit. стр. 768."
Методы интегрирования уравнений термоупругости,вытекающие из теоремы взаимности
В эластостатике выводятся соотношения для нахождения перемещений мДхД), хек', £ > О внутри тела по перемещениям ut и нагрузкам pt на его поверхности. Эти соотношения известны как теоремы Сомильяны и Грина *). Ниже мы дадим теоремы такого рода, обобщенные на задачи термоупругости.
Предположим, что причины, вызывающие деформации и температуру в теле, выражены только через граничные условия. Начальные условия примем однородными. Уравнения движения имеют вид
<0м = Р“ь 6,//-"6 —Пё = О, хе 7, t > 0, е = гкк. (1)
К этим уравнениям присоединим определяющие уравнения
ач = 2це0 + (Аем — у0) 6Z/.(2)
Рассмотрим систему со штрихами, относящуюся к неограниченному термоупругому телу,
° И. /= Р“р
хеУ- '>°- <3>
и уравнения Дюгамеля — Неймана
</ = 2це'г/ + (Ц6 — у0') б„.(4)
К уравнениям (1) — (4) применим преобразование Лапласа при учете однородных начальных условий, затем вычтем полученные уравнения друг из друга и проинтегрируем по объему V. После ряда преобразований, которые мы здесь опускаем, получим окончательно )
6 (х, р) =
= - ^ J [р< (I, Р) «; (I, X, р) — р'. (5, х, р) м. (|, р)] dA (|) -
А
-и J [»' (|, х, р) 6, п (|, р) - »(I, р) ё;„ (I, X, р)] dA (|).(5)
А
Эту формулу можно получить также из теоремы взаимности (формула (3) § 12.4), полагая Q' = d(x — l)d(0, Х;=0, X'i = 0, Q = 0.
*) Треффц Е., см. список литературы.
Рассмотрим, далее, вторую систему уравнений
о^-Р^-Цх-^ЦЦ,(6)'
6Г// — 6s —л^ = 0,(7).
оф = 2реф + (Л,еф — yOs)dz/.(8)
Функции uz, 0s относятся к неограниченной упругой оболочке. Они вызваны действием мгновенной сосредоточенной силы XI = б (х — £) б;,б (ф направленной по оси xs. В случае Х^ = б(х —с^б^д^, Xi —0, Q = 0, Q' = 0 теорема взаимности дает следующее выражение для перемещения:
us(x, р)=/ [рг(1 р)й|(|, х, р) — рЦ1, х, р)й£^, р)]й?Л(§) —
А
- "^ J Io. п а Р) 9s (I, х, р) - »(I, р) Оф (I, X, Р)] dA (|).(9)
А
К уравнениям (5) и (9) следует применить обратное преобразование Лапласа. Оно приводит к выражениям в свертках, которые мы не будем выписывать.
Уравнения (5) и (9) представляют собой обобщение уравнений Сомильяны на задачи термоупругости. С их помощью можно выразить функции щ(хЛ), 0(хЛ), х е V, ^<0 через поверхностные интегралы, в которые входят функции и,-, 0 и их производные.
Если функции Грина Ui, 0 и йь о выбрать так, чтобы они относились к телу, занимающему область V, ограниченную поверхностью А, и принять, что на А должны быть выполнены граничные условия
ф = 0, ^ = 0, щ=0, 0s = 0 на А,
то уравнения (5) и (9) упрощаются:
0 (х, р) = х J »(Е, р^'п^, х, p^dA^A- А
+ ^ J Р'£ (I. х, р) ut а, р) dA (У, (10) А
“Ах, р) = —/ р-^ х, Р)“А^, p)dA(^A- А
+^ f^(^ р^:„^, х, P)dA(i). (п)
Эти формулы дают решение первой краевой задачи, в которой на А заданы перемещения щ и температура 0. Если бы функции щ, 6 и щ, 6s относились к телу, занимающему ограниченную область V и свободному от нагрузок и температуры на поверхности Л, то в уравнениях (5) и (9) следовало бы положить
/?' = 0, 9' = 0, р.=0, 0s = 0 на А.
Тогда формулы (5) и (9) примут вид
о(х, Р)=-^- J рд, р)^, х, Ршт
А
+ к[в& pWn&x, p)dA®, (12)
А
йДх,р)= J рД, Р)й-^> х> P'idA^A- А
+ " ^Ш pf^Al, х, p^dA^y, (13)
А
они дадут решение второй краевой задачи, в которой на поверхности А заданы нагрузки р^ и температура 0. Однако применение формул (10) — (13) ограничено ввиду трудности, связанной с отысканием функций Грина Ui, О', щ, 0s, априори удовлетворяющих заданным граничным условиям. Аналогично обобщенным формулам Сомильяны и Грина можно построить решение уравнений термоупругости для смешанных граничных условий. Один из методов, являющийся обобщением метода Майзеля теории температурных напряжений на задачи термоупругости, мы найдем в уже цитированной работе Ионеску-Казимира). Он основан на использовании функций Грина, заранее удовлетворяющих смешанным граничным условиям. Другой способ, предложенный Новацким), основан на использовании вспомогательных функций Грлна, удовлетворяющих граничным условиям, и сведении задачи к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
Плоские гармонические волны
В обсуждении простейшего типа волн сразу же выясняются существенные черты распространения термоупругих волн, их характер, скорость распространения, дисперсия и затухание. Четко
выявляется различие между термоупругими волнами и упругими и тепловыми волнами1).
Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль оси хь обусловленную причиной механической или тепловой природы. Так как перемещения и, и температура 6 зависят только от переменных Xi и t, то уравнения в перемещениях и уравнение теплопроводности, учитывая, что
«/ = Re[«*(x1, (o)e-<tii], 6 = Re[6*(x1, ю)е-^],(1)
примут следующий вид:
(df + а2) ы* = шд^*,(д; -|- </) 6* -|- т^хе^и* = О,
(д? + т2)Ы; = о, р2 + т2)и;=о,(2)
Исключая из двух первых уравнений температуру 6*, получим[(d) + »2) (д2 + -7) + <7ед?] «I = 0, (д2 + т2) и2 = О,
(д- + т2) «з = 0, е = пгх\х.^
Первое уравнение относится к продольной волне, два следующих— к поперечным волнам. Если в два первых уравнения (2) подставить
и* = uQelkx', 6* = №eikx',
то получим зависимости
и0 mik 6° i\qxik
6°а2 — к2 ’ и0q — к2 ‘
После исключения из этих соотношений величины u°j№ получим следующее алгебраическое уравнение:
А4 —А2[а2+<7(1+е)] + <7а2 = О,(4)
из которого определяем корни
,2^ + -7 (1 + е) ± [(°2 + -7(1 + е))2 - 4<7а211.
Эти корни являются функциями параметра е: &i =^i(e), й2 = = й2(е). При е = 0 имеем
й1(0) = %1 = а, £2(0) = Л2 = Vq.
Решением двух первых уравнений (2) являются функции
м, = и°+ exp [— imt ф- zZ^xJ ф- и°_ exp [— imt — z^xj ф-
Г'^г {®+ еХР [~ ZC0^ + ^2Х1] ®- еХР [~ ZM^Z^^i]},
= 6^ ехр[—zcof + z^xj + 6^_ exp [■—zcof — z^xj +^)
+ ^l^1 fut^ exp [_ ^ _|_ z^xj — u°_ exp[— teat — z^xj}.
Так как U\ и 6 — действительные функции, то в выражениях (5) следует взять действительные части в соответствии с предположениями, сделанными в (1).
Поперечные волны определяются соотношениями
и2 = В+ ехр [—zco U — —ф- В_ ехр [ — zco U + — ,
L \ с2 /JL \ с2
zz3 = C+exp[—z’(o^ —-^-)] +С_ехр[—Z(o^ +т^)]-
Они распространяются с постоянной скоростью с2 = (ц/р)1/2. Эти волны не вызывают изменения объема и температурного поля, сопровождающего волновое движение.
Система соотношений (5) описывает термоупругие волны; первое описывает продольную волну, второе — соответствующую этой волне температуру. Обозначая через u§ (р = 1,2) фазовую скорость, а через ^ — декремент затухания и связывая их с корнями уравнения (4) зависимостями
Re(^) ’ $р Im (М’ Р—1, 2, преобразуем формулы (5) к виду
ux=u°+ ехр ^—zco ^—^")~^xj+u0- ехр [—zco (^4--^-]4"19'ф1]ф-
+6°+ ехР (v-l-Vil-00- ехР V+t4+Vi]} ’
а —«2 1L ' v2 ‘ JL '2 ‘ JJ
(7)
0 = 0+ ехр —zco —y-j— ®2xi] + 6- ехР (—zco (^ ф- у-^ + ^х^ ф-+т^у {<(' - У - »л] -
— и°_ ехр [— z"(0 (^ Ф- 77) + ^Ф1]} •
Мы видим, что обе волны затухают и обладают дисперсией, ибо фазовые скорости Ур зависят от частоты со. Физический смысл волн (7) станет ясным, если мы сравним их с волнами в гипотетической среде, характеризующейся нулевым значением коэффициента линейного расширения at. При at = 0, а потому и при т] = 0, m = 0 два первых уравнения (2) примут вид
Д + Н^О, (^ + <7)е* = 0.(8)
Решением этих уравнений являются функции
и* = м°+ ехр [— /со ^-^ + и°_ ехр ко -ф ,
О = 0+ ехр ^— ги (f — 41-) — ^i] +(9)
+ 0°- ехр [- ко ^ + ^-) + ^Xj], где
/ Хт -|- 2|1 V/sту А / СО \^2
Здесь и* представляет чисто упругую волну, распространяющуюся в направлении оси -ф%1 или —Xi с постоянной скоростью щ = Сь Эти волны не имеют ни затухания, ни дисперсии. Второе из уравнений (9) представляет чисто тепловую затухающую волну, обладающую дисперсией. Затухание характеризуется коэффициентом
Дисперсия здесь имеет место, так как фазовая скорость
^Vkr=(W/2
является функцией частоты со. Уравнения (7) описывают модифицированную продольную волну и модифицированную тепловую волну. Из сравнения уравнений (7) и (9) следует, что корень АДе) характеризует квазиупругую волну, ибо АДО) = а = = со/ci относится к чисто упругой волне. Аналогично корень АДеф характеризует квазитепловую волну, так как А2 (0) = ^ = V<7 относится к чисто тепловой волне в гипотетической среде.
Интересен тот факт, что в модифицированную упругую волну (первое уравнение (7)) входят и квазиупругие
м°+ ехр [— im [t — -y-j — йд^ ’ ы- ехР [— i® (^ + ~) + $Д1]
и квазитепловые члены
6+ ехр [— 1® ~ "^) — ^i] ,6+ ехр [— 1® ~ "^) — ^i] ,01 ехр01 ехр[— ito (7 + -^-) +»2х^.[— ito (7 + -^-) +»2х^.
6+ ехр [— 1® ~ "^) — ^i] ,
6+ ехр [— 1® ~ "^) — ^i] ,
01 ехр
01 ехр
[— ito (7 + -^-) +»2х^.
[— ito (7 + -^-) +»2х^.
Аналогичная картина наблюдается в модифицированной тепловой волне. Следует обсудить еще корни Ai, й2 или величины УВ> ’’Э'В- Р = 1, 2. Вводя новые обозначения
—г ^, СО со ’—г ^, СО со ’XXо^ "оДо^ "оД
—г ^, СО со ’
—г ^, СО со ’
X
X
о
^ "оД
о
^ "оД
приводим уравнение (4) к простому виду:
(Ю)(Ю)S4 —5Чх2 + *Х(1 +e)] + ix3 = 0.
(Ю)
(Ю)
Корни £ь l2 этого уравнения являются функциями параметров е и х = со/со*. Величина е = цтх— постоянная, зависящая от тепловых и механических свойств материалов, в то время как % изменяется с изменением со. Величина со* является характерной величиной для данного материала.
Частота вынужденных колебаний со ограничена величиной
что устанавливается исследованием спектра Дебая для продольных волн1). В этой формуле М означает атомную массу материала, образующего упругое тело, и
(с>)$ — ((с>)$ — (xs + 2KsРxs + 2KsР
(с>)$ — (
(с>)$ — (
xs + 2KsР
xs + 2KsР
где Xs, ps — постоянные Ламе для .адиабатического состояния, а р — плотность.
Ниже мы приводим таблицу основных характеристик для четырех металлов:
Алюминий
Медь
Сталь
Олово
* (C1)S, см/с
6,32 • 105
4,36 • 105
5,80- 10=
2,14- 106
8
3,56 - 10'2
1,68- IO-2
2,97 • IO-4
7,33 • 10-2
to*, c-1
4,66 • 1011
1,73- 10"
1,75 • 1012
1,91 • 10"
■6”, CM-
1,31 • 104
3,29- 103
4,48 • 102
3,27- 10*
toe C-1
9,80- 1013
7,55 • 1013
9,95- 1013
3,69- 1013
В таблицу помещен также декремент затухания ■&” для %=оо, причем
]) Brillouin L., Tenseurs en mecanique et en elasticite, Masson, Paris, 1960.
Обратим внимание, что сос значительно больше, чем со*. В выполненных лабораторных экспериментах с использованием ультразвуковых колебаний высокой частоты имело место
сое > со* 2> со,
так что для механических колебаний, встречающихся на практике, можно положить со/со* С 1.
На рис. 12.1 и 12.2 показаны графики отношений yi/(ci)r и ^i/#” для меди в зависимости от переменной % = со/со*. Из
рис. 12.1 видно, что фазовая скорость превышает (ci)r и стремится к ней при х->°°. Декремент затухания #1 растет вместе с х и ПРИ малых частотах пропорционален х2, асимптотически приближаясь при х~> °° к значению ■&”. В окрестности абсциссы X = 1 (со = со*) величины щ и -Оч значительно изменяются. Но для приложений на практике в расчет принимается только малая область изменения х = <о/<о*. Поэтому при х ^ 1 корни 51, 52 можно разложить в степенной ряд по х и использовать соотношение
/ V\
5Я = (С,)Г — 4-с-В- ,Р=1, 2.
Таким образом получаются приближенные значения фазовых скоростей и декрементов затухания. Приведем эти приближен-
ные значения, полученные Чедвиком '):
„( _2jL_ V/z Г1 — хе 1 Х2е (4 + в)
2С|\1 + е^ L 2(14-8)2 "Г" 8 (14-е)4
Х3е (8 — 20е 4- е2)16 (14-е)5Х3е (8 — 20е 4- е2)16 (14-е)5+ О(х4)],+ О(х4)],со’С, (1 4- е)‘/2со’С, (1 4- е)‘/2Х2е2 2(1 4-е)2Х2е2 2(1 4-е)2+ о (X4)],+ о (X4)],(11)(11)
Х3е (8 — 20е 4- е2)
16 (14-е)5
Х3е (8 — 20е 4- е2)
16 (14-е)5
+ О(х4)],
+ О(х4)],
со’
С, (1 4- е)‘/2
со’
С, (1 4- е)‘/2
Х2е2 2(1 4-е)2
Х2е2 2(1 4-е)2
+ о (X4)],
+ о (X4)],
(11)
(11)
e»=f Цо + чП'e»=f Цо + чП'Хе ] Х2е2 (4 — в) ,2(1 4- е)5 ' 8(1 4- е)4 "Т"
e»=f Цо + чП'
e»=f Цо + чП'
16(14-8)8
Отсюда видно, что при хС 1 можно принять у, « cjl + е)|/2 как постоянное значение, несколько большее, чем щ = (cJt, и квазиупругую продольную волну считать затухающей, но не обладающей дисперсией.
Ниже мы дадим решение для очень простого примера плоской волны, связанной с действием плоского источника тепла интенсивности QoCosoC Этот источник гармонически изменяется во времени и действует в плоскости х, = 0. Мы получим
тОп (1//, Xi \«и, = —— Re 1 —z5- exp | — ш /| — ^ix,1 Л1 £.2£.2I1I12х | Л] -* «2у \ У] JтОп (1//, Xi \«и, = —— Re 1 —z5- exp | — ш /| — ^ix,1 Л1 £.2£.2I1I12х | Л] -* «2у \ У] J(12)(12)
тОп (1//, Xi \«
и, = —— Re 1 —z5- exp | — ш /| — ^ix,
1 Л1 £.2£.2I1I1
2х | Л] -* «2у \ У] J
тОп (1//, Xi \«
и, = —— Re 1 —z5- exp | — ш /| — ^ix,
1 Л1 £.2£.2I1I1
2х | Л] -* «2у \ У] J
(12)
(12)
Фазовые скорости у^ и декременты затухания Фр возьмем из формул (11).
Если пренебречь связанностью деформаций и температур, т. е. если в уравнении теплопроводности опустить член цё^, то, подставляя вместо ^i(e), &2(е) величины 6,(0) = о, ^2(0) = Уд, получим из формул (12) приближенное решение теории темпера-
') Chadwick Р., Thermoelasticity. The Dynamical Theory, Progress in Solid Mechanics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1960.
турных напряжений:
Перемещение и, складывается из двух частей: из незатухающей упругой волны, распространяющейся со скоростью щ, и из диффузионной затухающей волны, обладающей дисперсией.
До настоящего времени решено несколько частных задач, касающихся распространения плоских волн в упругом пространстве и полупространстве. Так, Снеддон '), исследуя вынужденные колебания конечного стержня, рассмотрел распространение волн в полубесконечном и конечном стержнях при различных граничных условиях и при различных причинах возникновения волны.
Новацкий) рассмотрел действие плоских массовых сил в неограниченном пространстве и действие плоских источников тепла, возбуждающих колебания в термоупругом слое. Большой интерес представляет здесь отсутствие явления резонанса при вынужденных колебаниях. Оно следует из характера движения, которое является затухающим; амплитуды вынужденных колебаний конечны. Так, в слое толщиной а, который ограничен плоскостями х, = 0, х\ = а, свободными от напряжений и находящимися при температуре 6 = О, и содержит источник тепла Q = Q*(xi) cos го/, получим для напряжения оц (хь /) следующее выражение:
mp®2 Q* (а2 (а2 — о2) cos — На2 (1 + е) — о2] sin cot]
" 5
где
ап = ^Г-== I Q* (^i) sin апх, dxv
о
Мы не получим здесь резонанса, так как знаменатель под знаком суммы всегда положителен. В частном случае а2 = о2, соответствующем резонансу для несвязанной задачи, r-й член ряда
(15)(15)принимает вид рют . Q*smarx, =sm
(15)
(15)
еаг
Этот член имеет конечное значение, хотя величина напряжения а^* будет значительной, ибо для металла е имеет порядок 10-2.
Сферические и цилиндрические волны
Рассмотрим волновые уравнения, характеризующие продольные термоупругие волны, введенные в § 12.2:
(1)(1)(2)(2)□?Ф = те,
(1)
(1)
(2)
(2)
DO — т)Х2Ф = 0.
Если положить, что волновое движение происходит гармонически во времени, т. е.
Ф(х, /) = Ф*(х, ti^e-ito\ 0(х, /) = 6*(х, ю)е~г'ю/, то из уравнений (1) и (2) получим следующие уравнения: (?2 + ^(?2 + ^(ф\ е’) = о,(з)
где величины kx, к2 являются корнями уравнения (4) § 12.6. Разберем те решения уравнения (3), которые характеризуются особенностью в точке | и являются функциями расстояния /" между точками х и |. Эти решения, которые мы обозначим через qp’ (г), удовлетворяют уравнениям
Здесь п = 3 относится к трехмерной задаче, п = 2 — к двумерной. В уравнении (4) не надо суммировать по индексу а.
Общее решение уравнения (4) имеет вид
т^П—^М^ЧМ + в^ЧМ!. "-=^.(5)
Здесь Нт и Нт — функции Ханкеля m-го порядка первого и второго рода.
При п = 3 (т. е. при щ = 72) имеем
a = 1, 2,
а решением уравнения (4) является функция
<Н = АХ^-^ВХ^-, г^Х)-^-^,(6)
/=1, 2, 3.
В неограниченном термоупругом пространстве в расчет принимается только первый член выражения (6), ибо решение
Re e~iatRe e~iatih„r е °ih„r е °-»ar/
Re e~iat
Re e~iat
ih„r е °
ih„r е °
COS (01 /— r\ fa
У“ Re (£o) ’$“Im<^a).
представляет расходящуюся волну. Только это решение имеет физический смысл. Для цилиндрической волны при п = 2 (т. е. при m = 0) получим
W-AH^r^ ВН^гу(7)
г^х—^х,-^, /=1, 2.
Здесь для неограниченного пространства в расчет принимается только первый член соотношения (7), так как для больших значений аргумента получим выражение'
Rep-'Wfi’^r)]-» j/ ^- cos(V — у— со/) [1+ 0 (/-')], (8)
представляющее расходящуюся волну, распространяющуюся в направлении возрастания г.
Представленные здесь решения elkarir, Ho\kar^ должны удовлетворять на бесконечности условиям излучения ‘)
п = 3- — ^—j — ika-^^ = el^rO(j-^ 9a > О,
п = 2; ^^M^-ibaH^^^(9)
Да > О, а = 1, 2.
Эти формулы говорят о справедливости фундаментальных решений в окрестности бесконечно удаленной точки.
*) В. Новацкий, loc. cit. стр. 782.
В. Д. Купрадзе, loc. cit. стр. 612.
Ignaczak J., Nowacki W., The Sommerfeld Conditions for Coupled Problems of Thermoelasticity. Examples of Coupled Stresses and Temperature Concentrations of Cylindrical and Spherical Cavities, Arch. Meeh. Stos., 14, № 1 (1962).
Если рассматривать класс решений уравнений (3), которые ведут себя на бесконечности аналогично фундаментальным решениям -^—, НоЧкаг), то от функции Ф =Ф| + Ф2 нужно потребовать удовлетворения на бесконечности следующих условий:
« = 3; -^- —^аФа = е^го(г”2), $а>0,
п = 2\—^аФа = ег6“го(г”3/2), ^а>0,(10)
а = 1, 2.
К этим условиям надо добавить еще условие конечности функции.
Фа = 0(1) При Г->оо.
Продольные сферические волны имеют место только при частном выборе возмущений. Они возникают под действием источников тепла и массовых сил потенциального происхождения как в неограниченном пространстве, так и в неограниченном пространстве со сферической полостью при граничных условиях, характеризующихся центральной симметрией.
Рассмотрим один из этих случаев, а именно действие точечного источника тепла Q^e-^b^- Решение уравнения (3) примем в виде
Ф‘ = 1(А|е/^ + Л2е^),(И)
где постоянные Aj и Д2 определим из условия, что тепловой поток через поверхность шара при г->0 равен интенсивности источника тепла и что и = дФ*/дг при г = 0 равно нулю. В результате - для функций Ф* и 6* получаются следующие формулы 1):
Ф* =exp imU—) — ■&/! —
4ЛХГ (£2 - fe?) I L '01 ' J
-exp [-«о ('~£-)-f>2r]}, (12)
6* =(^2 — о) ехр Г— im U—) — Ф2г] —
— (/г, — ст2) exp ^— zco ^ —^-) — А/
Здесь й^— декремент затухания, уа—фазовая скорость волны. Функции Ф*, 6* затухают, обладают дисперсией, удовлетворяют условиям излучения и имеют особенность в точке г = 0.
Зная функцию Ф*, можно определить радиальное перемещение иг = дФ1дг. При Q = 1 выражения (12) становятся функциями Грина для потенциала Ф* и температуры 6*. Если задано распределение источников Q (х, /) = Q* (х)e~iat в ограниченной области Ei, то потенциал Ф* выразится формулой
Ф*(х, <о)= J Q*(W(x, g, ®W^.(13)
Решено несколько частных случаев, относящихся к сферическим волнам. Это относится к действию центра расширения — сжатия в неограниченной области и к пространству с полостью при различных граничных условиях, характеризующихся сферической симметрией).
Для сферических волн доказан ряд теорем, которые можно трактовать как обобщение на задачи термоупругости теоремы Гельмгольца для эластокинетики и аналогичной теоремы теории теплопроводности). Суть этой теоремы такова. Дана система уравнений
(V2 + o2)u—my* = 0, (V2 + ^)y* + ^ W = 0,(14)
регулярных в рассматриваемой области В. Здесь и* обозначает потенциал термоупругого перемещения, а у* — температуру. Исключение из уравнений (14) функции у* или и* приводит к уравнению типа (3).
Можно показать, что если на границе А области В заданы функции и*, у*, du*fdn, dv*ldn, то функция у* в точке хе В представляется формулой
У* (x) = х J [0- (I, х) -^- - u* (I) ^£^] dA +
+ тДФТб, х)^^-иЧ£)^|^]^^ хеВ. (14а) А
Здесь функции 0*(x, с), Ф*(х, ^) являются решением уравнений (V2 + <rW —т0* = О,(15)
(V2 + 9)0* + ^V^*=-^6(x-§), .еВ,
где
Ф* = л ^ - е^»
4ЛХ ^2 ~ ^1) г
6*=(«2<Mr —
4лх(^-А,)г(16)
па = /г2 — ст2, а = 1, 2.
Для х е 8— S, где 8— все пространство, и*(х) = 0. Для несвязанной задачи (е = 0), т. е. для теории температурных напряжений, второй интеграл в формуле (14а) исчезает. В результате получим
у*(х) = ± Г- (17)
х ' 4л J L да \ г / г да J'
А
г = г(х, Ю,
т. е. известную из теории теплопроводности теорему. Для функции и*(х) получается следующее выражение:
и* (х) = х J [ф* (ё, х) ^L - ст* (ё)dА (ё) +
А
+ ^ Л °!.ф‘6. ^^~"‘® ж 1 Щф‘<6. ^}м«)' ^в,
-(18)
м*(х) = 0, хеЗ — В.
В этой формуле введен символ П^ = V2 + &2 + &>— ст2. Формула (18) дает выражение функции и*(х) внутри области В через функцииВ этой формуле введен символ П^ = V2 + &2 + &>— ст2. Формула (18) дает выражение функции и*(х) внутри области В через функциии {I),и {I),ди* (I)дади* (I)дади* (1)дади* (1)да
В этой формуле введен символ П^ = V2 + &2 + &>— ст2. Формула (18) дает выражение функции и*(х) внутри области В через функции
В этой формуле введен символ П^ = V2 + &2 + &>— ст2. Формула (18) дает выражение функции и*(х) внутри области В через функции
и {I),
и {I),
ди* (I)да
ди* (I)да
ди* (1)да
ди* (1)да
на поверхности А. При переходе от термоупругости к эластоки- нетике из (18) после ряда преобразований получается известная георема Гельмгольца
ia*r ди1ia*r ди1i^ri^rдада— и— иО,О,X Е В,(19)хе 8 —В.X Е В,(19)хе 8 —В.
ia*r ди1
ia*r ди1
i^r
i^r
да
да
— и
— и
О,
О,
X Е В,
(19)
хе 8 —В.
X Е В,
(19)
хе 8 —В.
соСт1 = WсоСт1 = W
со
Ст1 = W
со
Ст1 = W
Здесь
, , Ms + 2MS \^ причем (cjs= ——
\ Р )
Цилиндрические волны могут возникнуть в случае линейного источника тепла или линейного центра расширения — сжатия и в неограниченной термоупругой среде с цилиндрической полостью, на границе которой задан нагрев, давление или деформация, распределенные осесимметричным образом.
Из многочисленных решений здесь мы дадим только окончательный результат, относящийся к линейному источнику тепла;
Q (г, 0 = Qoe-ltot ^-, г = ^ + х2^.
Для амплитуд потенциала термоупругого перемещения и температуры получаются следующие выражения:
ф*= 7М11 (м - я°1 ^Г>Ь
4х ^2— ^1)
(20) 0* = —[(а2 - ^ Но1 (М - (а2 - $ < ^.
Эти функции удовлетворяют условиям излучения. Они затухающие и обладают дисперсией.
Функции Грина для неограниченной термоупругой среды
В предыдущем параграфе были приведены функции Грина для точечного и линейного источников тепла. Они удовлетворяют уравнениям
м + <?6 Н-хт)^ 6 = --б(х —§), 7 = — .
Здесь через и*, 0* мы обозначаем амплитуды перемещений и температуры. Теперь нужно определить функции Грина для сосредоточенной силы. Пусть в точке | неограниченной области действует сосредоточенная сила 7< = б(х— s)6,-|e~’“(, параллельная оси Хь Действие этой силы вызывает как продольную, так и поперечную волны. Требуется решить систему уравнений
а*р. = — (o2put(l' —д(х — |)дн,
(2)
0* м + 96*1" + хт)^1,^ = 0,
в которых через п^1’, и*111, 0*(1) обозначены амплитуды напряжений, перемещений и температуры, вызванные действием сосредоточенной силы, приложенной в точке | и параллельной оси х,.
Систему уравнений (2) можно заменить системой волновых уравнений ')
(V + ^ (V2 + /г!) ф*(|> = - -L(V2 + 9) d*.(3)
С1
(v= + ?№,|= —Vv«)
с2
Эти уравнения следуют из уравнений (2) в предположении, что
u*(” = grad Ф*1'1 + rot ф,(1*, X* = р (grad d* + rot х*).(5)
Амплитуду массовых сил определяем по формулам
<х) — J Х‘ W ' grad, [775LiT] dV (Х-), ,V
г « = - 4^ J r <x') X gradx [t(^] dV (x').
Для рассмотренного здесь случая сосредоточенной силы, параллельной оси хь получается
4лр 1\г j
Из решения уравнений (4) получим
ф* = 0, ф* = . 1 „• 5F (г, со), ф* = — , 1 , д2Р0 (г, со), (6)
где
Fo(r, ю) = 1(е^-1),^^.-^.-^< = 1,2,3.
Из решения уравнения (3) при учете того, что функция Ф*111 обладает осевой симметрией относительно оси Хц получается2)
где
eVI
F(r, (o) = A1/,-A2/2-/0, /3 = -^,0=1, 2, /0 = 7,
*) В. Новацкий, loc. cit. стр. 782.
причем
_(^-q)a2(^-q^a2
Температура 0*(!| определяется по формуле
6.(|) = J_(v2 + or2) ф-т+ _^_ ^*(8^
пгсуп
Используя формулы (5) и (8), получим
и^ = - —Ц- did/ [Г (г, ю) - Ро (г, <0)1 + -Ц- ^1 6(9)
'4лр®4npcj г
0"" = -27^-72? д1 [Л (г, <о)-/2(г, (0)].(10)
4лртс, — й2)
Эти функции имеют особенность в точке | и удовлетворяют условиям излучения на бесконечности. Если сосредоточенная сила параллельна оси х8, то получим следующие выражения для функций Грина для перемещений иУ и температуры 0*|s|;
иу = — 4^- ^дДри a) — F0(r, со)] —т^е'"^),(11)
0*(*’ =2ТГ2(г. ^-I2v, <0)1, j, 8 = 1, 2, 3. (12) 4лртс( — r2)
Из полученных для сосредоточенной силы решений можно найти другие особенности выражений и*У, 0*(s* (для двойной силы, для сосредоточенного момента и для центра расширения — сжатия).
В двумерной задаче для сосредоточенной силы, параллельной оси х8, получаются следующие функции Грина1);
и^ = - 4^ ^Д VAX' М - АХ" (М - ^’ (ТГ)] - -тгН^У (13)
0’U| = лds И" (М - С М,
4трс1'(^|--^2)(14у
г2 = Ui — ё/) Uj — li), J, s=l, 2.
Зная перемещения и температуру для случая точечного источника тепла и сосредоточенной силы, можно предложить ме-
■) Nowacki W., Some Dynamic Problems of Thermoelasticity (II), Proc. Vibr. ProbL, 5, № 4 (1964).
тоды интегрирования уравнений термоупругости для ограниченного тела *).
Наряду с развитием общей теории распространения термоупругих волн, гармонически изменяющихся со временем, осуществлены решения нескольких частных задач, доведенных до удобного для анализа вида. Преимущественно это типичные задачи классической эластокинетики, которые в рамках термоупругости получили обобщение. Некоторое внимание уделено поверхностным волнам. Эти задачи были сначала обсуждены в работе Лок- кета), а затем более подробно в работе Чедвика и Уиндла).
При исследовании поверхностных волн в плоском деформированном состоянии исходят из волновых уравнений (для продольной и поперечной волн) и уравнения теплопроводности. Волна распространяется параллельно плоскости, ограничивающей полупространство, и затухает с глубиной. Принимается, что в плоскости, ограничивающей полупространство, обращаются в нуль либо напряжения и температура, либо напряжения и тепловой поток. Из определителя системы уравнений, выражающих однородные граничные условия, получается алгебраическое уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами. Один из корней этого уравнения, удовлетворяющий заданным неравенствам, дает фазовую скорость поверхностной волны. Оказывается, что поверхностная волна обладает затуханием и дисперсией и что ее скорость меньше скорости продольной и поперечной волн.
Подобным способом Новацкий и Соколовский ) исследовали распространение гармонической волны в термоупрутом слое. Рассмотрен как симметричный, так и антисимметричный (волна изгиба) вид волны при двух тепловых условиях на границе: 6 = 0 и 6, п = 0. В силу слабой связанности температурного поля с полем деформации, характеризующейся величиной в, дано приближенное решение частотного уравнения методом возмущений.
Распространение гармонических волн в бесконечном круговом цилиндре и в толстостенной трубе исследовал Локкет), дав относящееся к этой задаче частотное уравнение. Игначак и Новацкий) рассмотрели вынужденные колебания бесконечного стержня прямоугольного сечения. Причиной возникновения
') J. Ignaczak, W. Nowacki, loc. cit. стр. 784.
колебаний были нагрев поверхности стержня и действие источников тепла. Те же авторы *) указали метод решения задачи о вынужденных продольных колебаниях пластинок и изгибных колебаниях плит, вызванных действием нагрузок и нагрева. Аналогичным задачам посвящена работа Чедвика ).
Другой решенной задачей является распространение плоской термоупругой волны в неограниченном пространстве со сферической и цилиндрической полостями). Речь идет вот о чем. Плоская волна, вызванная действием плоского источника тепла, распространяется в неограниченном пространстве и наталкивается на сферическую или цилиндрическую полость. При этом возникает возмущение температуры, и в окрестности полости происходит концентрация температуры и напряжений.
Апериодические задачи термоупругости
Эта область исследования является наименее развитым разделом термоупругости, что объясняется значительными математическими трудностями.
При решении апериодических задач термоупругости в основном применяются три метода. Первый основан на исключении из дифференциальных уравнений термоупругости
№, // + (^ + и) «у, jt + Xi = piit + ув, ь
»1 a • Q(1)
6 6 — Tie = ——x '
времени t с помощью преобразования Лапласа или Фурье по времени. Первое из преобразований применяется чаще ввиду на» личия таблиц обратных преобразований. Поэтому, применяя к формулам (1) преобразование Лапласа, определяемое соотношением
$ (щ, 6) = (ыг-, 9) = J (и(, 6) е"Р< dt, р > О,
о
и предполагая однородность начальных условий, найдем из уравнений (1) следующие уравнения в трансформантах:
р«г, // + (^ + и) «/. н + Xi = pp^di + у9, i,
А Р AQ(2)
б'//— z 0~ W,/ = -—•
Здесь неизвестные функции йц 6 являются функциями положения х и параметра преобразования р. Решение уравнений (2) для многих частных задач не вызывает больших трудностей; эти трудности того же порядка, что и в задачах о гармонических во времени колебаниях. Существенная трудность заключается в применении обратного преобразования Лапласа к найденным решениям й^х, р), 6 (х, р).
Второй метод решения основан на применении к уравнениям (1) интегрального преобразования Фурье потрем переменным хр Таким образом уравнения (1) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. После решения этого уравнения выполняется обратное преобразование Фурье по трем переменным *).
Третий метод, с успехом применяемый для термоупругого пространства и полупространства, основан на преобразовании Фурье по четырем переменным. Система уравнений (1) сводится к системе четырех алгебраических уравнений для трансформант ы, 6. Обратное преобразование по четырем переменным приводит к окончательному результату).
Каждый из этих методов связан с большими математическими трудностями; они настолько велики, что до сих пор не найдено в замкнутой форме ни одного решения.
Рассмотрим несколько подробней волновые уравнения, порождаемые уравнениями (1). Если использовать первый метод и к волновым уравнениям применить преобразование Лапласа в предположении однородности граничных условий, то получим систему уравнений
k2—4-Wv2 ——^-У2]ф = —— Q —-^/v2 —
У Ц )\ X / XX Cf \ х /
^2-4и.=-4ь->(з)
\С2 /с2
0= — (v2—A-А Ф, е. = ^пгх, Z= 1, 2, 3. m \ сх }
Уравнение продольной волны для Q = О, У = 0 мы можем представить в виде
(V2 —^)(V2 —^)Ф = 0,(4)
где Л, и Л2— корни биквадратного уравнения
Л4 — /?рЛ4 — /?р0.0.
Л4 — /?р
Л4 — /?р
0.
0.
4p3TA]4p3TA]Так как корни этого уравнения
4p3TA]
4p3TA]
^2^2-Д-Ч1-м)+4±[Ди + «)+4)2
^2
^2
2 [ хС] хС] у
выражаются сложным образом как функции параметра р, то видно, что^применение обратного преобразования Лапласа к функциям Ф и 0 наталкивается на большие трудности; поэтому необходимо обратиться к приближенным решениям. Вообще говоря, применяются два способа приближенного решения. Первый основан на использовании того, что величина е = т)Шх мала (е С 1) и ее можно принять за малый параметр1). Разлагая поэтому функции Ф и 0 в степенные ряды по е:
Ф = Фу -)- еф] -|- е’Ф2 -ф- ..., 0 = 0О "Ф" ^6] -ф- е202 -ф- ...,(5)
первое уравнение системы (3) сводим к системе уравнений
Р,£)2Фо = —— QVd^,
XС}
п -(6)
ОАФ^^Фо,
где
с1х
Для температуры 0 получим
0=^(ФО+еФ, + е2Ф2+ ...).(7)
При применении метода возмущений для практических целей достаточно ограничиться двумя членами^ ряда (5).
Заметим еще, что функции Фо и 60 относятся к несвязанной задаче.
Другой вариант метода возмущений основан на решении уравнений (3), а затем на разложении функций, содержащих вели-
чины Й1(е, р) и й2(е, р), в степенные ряды по параметру е. Гет- нарский ') успешно применил этот вариант при решении задач для упругого пространства и полупространства.
Второй способ приближенного решения основан на определении функций Ф и 6 для малых значений времени. Решения этого типа очень полезны, ибо существенная разница между динамической и квазистатической задачами имеет место для малых значений времени t. С течением времени эта разница исчезает.
В силу теоремы Абеля
lim / (0 = Нт р2? [/ (/)] t~>0 р->оо
малым значениям времени соответствуют большие значения р в трансформантах Лапласа. Поэтому нужно в решениях уравнений (2) или уравнений (3) разложить выражение, содержащее величины k} (е, р) и &2(е, р), в ряд по степеням Мр, сохранив несколько членов этого разложения. Применение обратного преобразования Лапласа дает окончательное приближенное решение.
Работ, касающихся распространения апериодических волн, немного, и они относятся к простейшим системам — упругим пространству и полупространству. Так, задачу о действии мгновенного и непрерывного сосредоточенного источника тепла в неограниченном термоупругом пространстве решил Гетнарский, применяя как метод возмущений, так и метод малых времен. Задача о действии мгновенной сосредоточенной силы в пространстве была рассмотрена Соосом). Влиянием начальных условий на распространение термоупругих волн в неограниченном пространстве занимался Новацкий).
Родственной представленным здесь задачам является задача определения деформаций и температур в окрестности сферической полости в неограниченном пространстве. Задача о внезапном нагреве границы тела с полостью была предметом двух работ. В первой работе Лессен ) использовал метод возмущений, во второй Чедвик) применил асимптотический метод малых времен.
') Hetnarski R. В., Solution of the Coupled Thermoelastic Problem in the Form of Series of Functions, Arch. Meeh. Stos., 6, Яг 4 (1964).
Hetnarski R. B., Coupled Thermoelastic Problem for the Half-space, Bull. Acad. Polon. Set., Ser. Sci. Techn., 12, Яг 1 (1964).
Задачей о внезапном нагревании границы тела со сферической полостью занимался Нариболи ■), применявший метод возмущений. Из найденных приближенных решений следует, что термоупругие волны обладают затуханием и дисперсией. Влияние связанности полей деформации и температуры незначительно; полученные решения мало отличаются от решений, найденных в теории температурных напряжений.
Другая важная проблема, которой посвящено несколько работ— это распространение в термоупругом полупространстве плоской волны, вызванной внезапным нагреванием плоскости, ограничивающей полупространство. Речь идет об обобщении известной из теории температурных напряжений задачи Даниловской. Эту проблему поднял Гетнарский), использовавший метод возмущений и теорему Абеля для малых значений времени. Той же проблемой занимались Боли и Толине), а также Муки и Бройер ).
Распространению продольной волны в упругом полупространстве, а также в бесконечном и полубесконечном стержнях были посвящены работы Снеддона ) и Игначака ). В последней работе сначала применено преобразование Фурье по координате, а затем решено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка по времени. Решение этого уравнения и применение обратного преобразования Фурье приводят к окончательному результату.
Глава 13
ТЕОРИЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ
Введение
Теория упругости основывается на идеализированной модели упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими сторонами поверхностного элемента описывается исключительно главным вектором pdA. Это предположение приводит к симметричному напряженному и деформированному состояниям. Такая модель хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми с конструкционными материалами (сталь, алюминий, бетон) при напряжениях, остающихся в пределах "упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникает в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек.
Расхождение между экспериментом и теорией появляется также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при вынужденных высокочастотных (ультразвуковых) колебаниях. Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влияние микроструктуры материала.
Наконец, теория симметричной упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поли- кристаллические структуры и полимеры.
Эти недостатки теории симметричной упругости старался исправить еще Фойхт ]) путем дополнительного предположения о передаче нагрузок через элемент поверхности dA не только главным вектором pdA, но также главным моментом mdA. Такое допущение приводит к необходимости действия на элемент
*) Voigt W., Theoretische Studien uber die ElastizltatsverhSHnisse der Kristalle, Abb. Ges. Wiss. Gottingen, 34 (1887).
объема do не только напряжений (англ, force-stresses) ац, но и моментных напряжений (англ, couple-stresses) р.,,. Оказывается, что такое предположение приводит к несимметричным тензорам Oij и щ,.
Общая теория такой несимметричной упругости была разработана братьями Коссера) в 1910 г. В классической теории упругости материальная частица совпадает с точкой, а деформированное состояние описывается перемещением точки. В отличие от этой модели братья Коссера ставят в соответствие каждой частице деформированной среды ортогональный трехгранник. Таким образом частицы получают ориентирование (полярная среда). Каждая частица среды Коссера является малым абсолютно твердым телом. Деформация такой среды описывается не только вектором перемещения и, но также вектором поворота о, т. е. величиной, являющейся функцией положения х и времени I. При таких предположениях в теле возникают не только напряжения ац, но и моментные напряжения щ-j, образующие, вообще говоря, несимметричные тензоры.
Теория несимметричной упругости не была оценена при жизни братьев Коссера. Ее возрождение относится к последнему десятилетию. Эта теория была заново открыта и развита Трусделлом и Тупиком)). Линейной теории среды Коссера посвятили интересные работы Кувшинский и Аэро), Пальмов), Эринген и Сухуби ). Линейную теорию термоупругости развил Новацкий).
Несколько авторов развивали упрощенную теорию среды Коссера, теорию так называемого псевдоконтинуума Коссера, в котором предполагается зависимость вектора поворота от ротора перемещения 1е> = -2 rotul подобно тому, как это имеет место в классической теории упругости. Среди этих работ особое внимание заслуживают работа Гриоли) и работа Миндлина и Тир-
стена *). В последней работе интересно введение функции напряжений и потенциалов для изотропной и центрально-симметричной среды, а также исследование распространения плоской волны.
В настоящей главе мы дадим основы теории несимметричной упругости, общие соотношения и уравнения, общие теоремы и методы. В последнем параграфе мы представим в сжатом изложении теорию псевдоконтинуума Коссера.
Уравнения движения
Рассмотрим произвольную область тела, ограниченную гладкой поверхностью А. Обозначим через pdA вектор сил, а через md/1 — вектор моментов, действующих через поверхностный элемент dA извне внутрь тела. Через X обозначим вектор массовых сил, через ¥ — вектор массовых моментов.
Составим уравнения равновесия для произвольного объема V тела:
J pdA + J XdV = 0,(1)
АV
J(r Xp + m)d/l +J(rXX + YW = 0.(2)
A.V
Здесь г — радиус-вектор, отсчитываемый от некоторой точки тела. В прямоугольной декартовой системе координат уравнения (1) и (2) перепишем как
J PldA + J XtdV = 0,(3)
АV
J (eijkxjPk + m<) dA + J ^iifeXjX^ + KJ dV = 0,(4)
AV
I, j, k = \, 2, 3.
Применим уравнения (3) и (4) к бесконечно малому элементу в виде тетраэдра с тремя гранями, ортогональными координатным осям (рис. 13.1). Пусть п.г означают компоненты единичного вектора нормали п к четвертой грани. Обозначим через оц и ц;, составляющие силовых и моментных напряжений, а через рДп) и т;(п)—составляющие сил и моментов, действующих на четвертой грани тетраэдра. Исключая в уравнениях (3) и (4) объемные интегралы и интегрируя по поверхности тетраэдра, получим
pi(n) = ajin/, mi(n) = p./1rt/.(5)
Учитывая первое из этих соотношений, получим из уравнения (3) ^all,J-VXi)dV = 0.(6)
v
В силу произвольности объема V получаем, что уравнение ^/,/ + ^/ = 0(7)
справедливо в каждой точке тела.
Учитывая второе соотношение (5), получим из уравнения (4)
j Veijkxj (^zt, z + X^ + eijka!k + p./(, 5 + Y(] dV = 0.(8)
v
Первый член в подинтегральном выражении в силу уравнения (7) равен нулю. Так как объем V выбран произвольно, справедливо соотношение
eijk°jk + Рц, i + Yj = 0.(9)
Тензор напряжений ац несимметричен. Этот тензор будет сим-, метричен только при отсутствии массовых моментов У,- и момент^
ных напряжений p.,j. В этом случае уравнение (9) сводится к виду e,jhCTjh = 0, что обеспечивает в теории симметричной упругости симметрию тензора ац = ац.
Уравнения (7) и (9) являются уравнениями равновесия внутри тела, уравнения (5) —на поверхности тела. Соотношения (5) можно трактовать и как граничные условия в напряжениях.
В случае динамических задач следует в силу принципа Даламбера добавить инерционные члены. Уравнения движения принимают вид
Oji, j "V Х£ = рйь(10)
Ч/^ + Р7<,/+(И)
Здесь р — плотность, J— динамическая характеристика среды (мера инерции при вращении), о» — вектор поворота.
Закон сохранения энергии. Баланс энтропии ')
Закон сохранения энергии, примененный к объему тела V, ограниченному поверхностью Л, имеет'вид
^i J [у(Ру<у< + 3wiw^ + ^] dV = J (Xtv, + Ytwt)dV + vv
+ J kpi»i + tntw^ dA — J qtnt dA.(1)
'AA
Здесь y{ = й{, w<=tov Через U мы обозначили внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема, через qt — составляющие вектора теплового- потока.
Член в левой части уравнения (1) представляет возрастание кинетической энергии и внутренней энергии. Первый член в правой части представляет мощность массовых сил и моментов, второй член — мощность поверхностных сил и моментов. Наконец, последний член выражает количество тепла, переданное объему V путем теплопроводности. Применяя к уравнению (1) теорему Гаусса — Остроградского и принимая во внимание уравнения движения
°il, 1 + ^i = Р'Ч’ eljfeajh "V V-ji. j "V Vi = J&i,(2)
получим уравнение
j IД — [ff/г (у<, / — 6kiiwk) + р.^, j\-Vqi,iW = 0.(3)
v
Это уравнение справедливо для произвольного объема V. Если подинтегральное выражение непрерывно, то соотношение
й = Оц\ц + p./lxjt — q^.u(4)
где
Yji=z4i,j ^kjl®ki Хц Ш/,/,(5)
•) Nowacki W„ Couple Stresses in the Theory of Thermoelasticity (Ш), Bull. Acad. Polon. Scl, Ser. Sci, Techn., 14, № 8 (1966),
26 В, Новацкий
справедливо локально. Через у,-,- мы обозначили несимметричный тензор деформаций, через хц — тензор изгиба-кручения.
Уравнение баланса энтропии имеет вид
J SdV = - J ^p-dA+ ^QdV.(6)
VАV
Левая часть уравнения представляет собой возрастание энтропии. Первый член в правой части представляет возрастание энтропии, возникающее за счет обмена энтропии с окружающей средой, второй член выражает производство энтропии, вызванное теплопроводностью.
Применяя теорему Гаусса — Остроградского, имеем j[s-6-№) ,Н = 0.(7)
V
Для произвольной области V и при непрерывности подинтегрального выражения справедливо локальное соотношение
5 =(8)
В соответствии с постулатом термодинамики необратимых про-, цессов должно быть 0^0.
Исключая из уравнений (4) и (8) qt, i и вводя свободную энергию Гельмгольца F = U — ST, имеем
F = djiyji + P-ii^li — TS — т[е + ^^.(9)
Так как свободная энергия является функцией независимых переменных у3<, хщ Т, то
a ЭР . дР . дР а, л.
F —ат Т1<10>
Предположив, что функции 0, qt, ..., оц, цд не зависят явно от производных функций ущ хщ Т по времени, и определяя энтропию как 3 = —dF/dT, получим из сравнения уравнений (9) и (10) следующие соотношения:
ЭРдРЭРq.T ,
°ii=~3^Y'S^=~~dT' e + ^-=°-U1)
Второй закон термодинамики будет выполнен, когда 0>О. Отсюда следует, что
(12)(12)гдегдекп^21кп^21^12 к13^22^23^32^33^12 к13^22^23^32^33>о,>о,&п&21&п&21^12^22^12^22>0,>0,Ан > 0.Ан > 0.
(12)
(12)
где
где
кп
^21
кп
^21
^12 к13
^22^23
^32^33
^12 к13
^22^23
^32^33
>о,
>о,
&п
&21
&п
&21
^12
^22
^12
^22
>0,
>0,
Ан > 0.
Ан > 0.
Это неравенство удовлетворяется с помощью закона теплопроводности Фурье
— 41 = Ьцт • Ь или —^ = 6^9./,Г=Г0+9,
Здесь мы ввели температуру естественного состояния Го и перепад температуры 9.
Из уравнения (8), принимая во внимание соотношения (11) и (12), имеем
Г8 = -qM = кмй. И.(13)
Для однородного изотропного тела соотношение (13) переходит в
Т5 = №.И,(14)
где k— коэффициент теплопроводности — величина постоянная.
Определяющие уравнения
Разложим свободную энергию F (yj;, хц, Г) в окрестности естественного состояния (у,( = 0, хц = 0, Т = Го) в ряд Тейлора, пренебрегая величинами выше второго порядка.
Для изотропного однородного и центрально-симметричного тела (не меняющегося при поворотах) получим разложение следующего вида:
г — 2 V/iY/i Н2— УнУИ + "^УккУпп 42—хЛ'х/< +
+ ^-^Х//Х// +ух^х»п — ^Уккб — Х^кк^ — у 92- (О
Справедливость этого выражения для свободной энергии дока» зывается следующим образом, Так как свободная энергия является скаляром, то каждый член в правой части тоже должен быть скаляром. Из составляющих тензора уд можно сконструировать три независимых квадратичных инварианта, а именно УаУзь УаУгз и Y^Ynn- То же относится и к тензору хц. Члены уц-хц, удХг; и Y^nn не входят в выражение (1), ибо это противоречило бы постулату о центральной симметрии. В седьмой и восьмой члены выражения (1) входят инварианты уаа и хаа- Это вытекает из того, что из тензоров у,, и х.ц можно составить только
по одному инварианту первого порядка, а именно ум и хйй. Используя соотношения
ЭРдР Q ЭР/ох
°И— д^И '^И— dxj{ *5 дТ '^
получим из формулы (1) определяющие уравнения
ац = (Н + a) yZ/+ (ц— а) у(/ + (Ху66 — v9)diV,(3)
H/i = (V + е) Кц+ (у — е) хч +(pxw — х9) 6(/,(4)
•S=vy44 + xx44 + m9.(5)
Соотношения (3) и (4) можно записать в эквивалентном виде: ° И = 2HY(;/i + 2aY<//> + (Ху66 — v9) 61р(6)
Н,7 = 2у%(17) + 2ех(/у> + (р%66 - хВ) б/у.(7)
Здесь ц, X— постоянные Ламе, а, у, е, Р — новые упругие постоянные. Эти величины относятся к изотермическому состоянию. Постоянные v, х зависят как от механических, так и от тепловых свойств. Символы ( ) и ( ) означают симметричную и антисимметричную части тензора.
Разрешим уравнения (6) и (7) относительно величин у17 и
V// = «^ + 2/a(//) + 2а'а<и> + Х'ЬИа№(8)
x//= РД/® 4" 2y H(,/) + 2e ц<;У) + P 6,ynw(9)
где
,1,1,1,1., X
Ц = д—,ct = -.—, у = —.—,e =, X = — _ -,
4ц4a ’1 4у4e6цК
P = — буй ’ “^"з^’ &=зд- К = *+Тц, й = р + -д-у.
Рассмотрим бесконечно малый элемент тела, поверхность которого свободна от напряжений ац и щ/, тогда
У^аД^, %?/ = РД/9.(10)
Однако мы знаем, что возрастание температуры может вызвать только деформацию, но не повороты. Поэтому х = 0, Р/ = 0. Величина at является коэффициентом линейного теплового расширения.
Мы уже можем дать окончательный вид определяющих уравнений
°ц = 2ЦУ(//) + 2ау</у> + (Ху^ — v9) б//,(11)
l1;/ = 2^1П + 2е%а/> + P%it6,z,(12)
S = vyftft+m9.(13)
Заметив, что
где се означает теплоемкость при постоянной деформации, получим
dS = ^dNkft + -^dT.(14)
Интегрируя формулу (14) в предположении, что S = 0 для естественного состояния, получим
S = vYii + ce In^,(15)
1 о
Предполагая, что |9/Г0| <С 1, разлагая логарифм в ряд и сохраняя только первый член разложения, имеем
S = vY„ + ce^-.(16)
Уравнение теплопроводности.
Уравнения в перемещениях
В § 13.3 мы получили следующее соотношение:
Т5 = №,И.(1)
Продифференцируем соотношение (15) § 13.4 по времени и получим
TS = ^W + cj.(2)
Из сравнения уравнений (1) и (2) получим уравнение
е A-e-t]0(i + ^)divu=o,(3)
где
Х = Т7’ ^0 = —> divu = Yw.
Уравнение (3) нелинейное. Это уравнение мы можем линеаризовать, принимая (б/Т^С 1. Предполагая, что в теле действуют источники тепла интенсивности W, получим неоднородное линейное уравнение теплопроводности в виде
0.//-^0-nqdivu = -^, Q = ^.(4)
Интересно, что в уравнение теплопроводности входит первый инвариант деформации ум = div и, но не входит величина х». Заметим также, что уравнение теплопроводности идентично
такому же уравнению для симметричной термоупругости. К уравнению (4) следует добавить граничные и начальные условия. На границе А может быть задана либо температура, либо тепловой поток. Если задана температура, то
9 (х, /) = h (х, /), х е /1, t > 0.(5)
Начальное условие в момент t = 0 имеет вид
9(х, 0) = г (х), хе V, / = 0.(6)
Уравнения в перемещениях получим, подставляя напряжения оц и цд из формул (3) и (4) § 13.4 в уравнения движения
aiM "V Xt = рщ, ^ijkajh + V-n.i + Yi = J&i-(7)
Далее, выражая тензоры у^ и х/; через перемещения Я/ и повороты со/, получим систему уравнений в перемещениях
(X + 2ц) grad div u — (ц + a) rot rot u + 2а rot со + X =
= pu + v gr ad 9,(8)
(P + 2y) grad div co — (y + e) rot rot co -f-
+ 2а rot u — 4aco + Y = Zco. (9)
Уравнения (4), (8) и (9) образуют полную систему уравнений несимметричной термоупругости. Семи неизвестным (три составляющие вектора и, три составляющие вектора со, температура 9) соответствует система семи уравнений.
Решение этой системы уравнений, т. е. знание функций и, со, 9, позволяет определить деформации и напряжения.
К уравнениям в перемещениях следует добавить граничные и начальные условия. Если на поверхности А заданы перемещения и повороты, то граничные условия примут вид
Ui (х, о = ft (х, I), СО/(Х, i) = gi{x, t\ хеД />0.(10)
Начальные условия выражены соотношениями
«/ (х, 0) = lt (х),й/ (х, 0) = kt (х),
со/(х, 0) = 9/(х), й/(х, 0) = ^(х), хе V, / = 0,
где функции 1/, kt, qi, tt являются заданными.
Если на поверхности А заданы нагрузки pt и моменты /П/, то
pt (х, 0 = оц (х, /) п, (х), mt (х, 0 = ц// (х, /) ri] (х),(11)
хе A, t>Q.
Выразим теперь правые части уравнений (11) через величины и и й. Имеем
p = X(V • u)п + 2ц -^- + (ц—a)nX(VX«) + 2anX® — vn9 (12) и
m = P(V- й)п + 2у-^- + (у — a)nX(V X «)•(13)
При a = О соотношение (12) переходит в известное выражение для нагрузок в теории симметричной упругости.
Уравнения совместности
Формулы, определяющие тензор деформаций и тензор изгиба- кручения, имеют вид
Y/.i = M/,/ ^kji®k>(О
><Ч1 = <ЙМ.(2)
Функции уц, хц не могут быть произвольными, эти функции должны удовлетворять дополнительным условиям, которые обеспечивают существование однозначных непрерывных решений »< и соь
Эти дополнительные условия, называемые условиями сплошности (совместности), были даны Сандру •). Он показал, что необходимым и достаточным условием того, чтобы кинематическая система (1), (2) была интегрируемой в односвязной области, является выполнение следующих 18 уравнений сплошности:
X/i.z = %H,/.(3)
ЧИ hYw. I + e&iftX;A — ^kll^hk = 0.(4)
Соотношения (3) мы получаем непосредственным дифференцированием зависимости (2). Соотношения (4) находим из рассмотрения интеграла
р’р’
и' (х') = ы? (х°) + J du^u^-V / “i,jdxr (5)
Здесь ц°(х°) представляет собой перемещение в точке Р°, и'(х')— перемещение в точке Р'. Выражение (5) преобразуем,
*) Sandru N., On Some Problems of the Linear Theory of the Asymmetric Elasticity, int. J. Eng. Sci., 4, № 1 (1966).
учитывая формулы (1) и (2), следующим образом;
р'р’
^ = “? + f 'iiidxj — 6kii J ^(^-х^
р'
= «? + ЧцА W — х^ + J [Ги + Чц Iхj ~ xi) М dxt =р»
p’
=■"?+««,•>!(*?-*;)+ j u„dx„ (6)
где
ин= Уи + Чц^-^ь'(7)
Так как перемещение и' должно быть независимым от пути интегрирования, то подинтегральное выражение Undxi должно быть полным дифференциалом. Необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение (7) было полным дифференциалом, является
Uu.h = UM,i.(8)
Из последних условий получим соотношения (3) и (4).
Если теперь в условия (3) и (4) подставить х^ и у3<| выраженные через напряжения оц и моментные напряжения рщ, то эти условия можно записать в напряжениях. Можно образовать таким образом аналог уравнений в напряжениях Бельтрами — Мичелла.
Волновые уравнения
Вернемся к уравнениям (8) и (9) § 13.5 и представим их в несколько иной форме:
□ 2u + (X + р — a) grad div u + 2а rot <о + X = v grad 9,
□ 4® + (0 + Y— e) grad div ® + 2а rot u + Y = 0,^
где
□ 2 = (p + а) V2 — pd2,□ 4 = (Y + e) V2 — 4а — №t.
Применим к обоим уравнениям операцию дивергенции. Вводя обозначения
e = divu = Y44. r = div<o = x441
получим волновые уравнения
n1e + divX = vV29, □T + divY = 0,(2)
где
□! = (X 4- 2р) V2 - рд2, П3 = (0 + 2у) V2 - 4а - Уд2.
Первое уравнение из системы (2) представляет распространение волны дилатации; оно не отличается от аналогичного уравнения теории симметричной упругости. Второе уравнение представляет распространение волны кручения. Заметим, что в бесконечном упругом пространстве температурное поле может явиться причиной распространения волны, но только волны дилатации; второе уравнение системы (2) не зависит от температуры.
Исключим из уравнений (1) сначала функцию ®, а затем функцию и. В результате получим систему уравнений
(П2П4 + 4a2V2)u + [(X + и — а) П4 — 4а2] grad divu +
+ П4Х — 2а rot Y = vD4 grad 9, (П2П4 + 4a2V2) ft> + [(Р + Y — e) П2—4a2] grad div to + '^)
+ D2Y — 2a rot X = 0.
Разложим вектор u на потенциальную и соленоидальную части:
u = grad Ф+rot ф, divtp = O.(4)
Подставляя последние соотношения в первую из формул (3) и разлагая аналогично
X = p(grad6'+ rotZ), Y = Z (grad ст-}-rot я),(5)
получим систему двух волновых уравнений
П1Ф + pt> = v9,
(□2П4 + 4а2?2)Ф + рП4Х — 2aZrotn = 0.^
Подставляя во второе уравнение системы (3)
to=grad£ + rotH(7)
и учитывая формулы (5), получим два других волновых уравнения
П32 + 7а = 0,
(П2П4 + 4а^2)Н + /П2П — 2aprotZ= 0.^
К этим уравнениям следует добавить уравнение теплопроводности (уравнение (4) § 13.5)
V2e_±9-Ti0div6=--5-,(9)
которое при учете формул (4) примет вид
£>e-Tiod,w=-4- D=^—^dt-(Ю)
Исключая температуру 9 из первого уравнения системы (6) и (10), получим окончательный вид волнового уравнения для
продольной волны:
(□iD-vVz\2)Ф + pm + -^Q = o.(11)
Аналогично исключение функции Ф из первого уравнения системы (6) и (10) приводит к уравнению
(DiD-vV^e + wW + 4 DiQ = 0.(12)
Рассмотрим распространение волн в бесконечном упругом пространстве. Предположим сначала, что величины %, т], о равны нулю, а начальные условия для функций 2, ф, Н являются однородными. В этом случае в бесконечном упругом пространстве распространяются только продольные волны, вызванные действием источников тепла Q, потенциальной частью массовой силы X и, наконец, начальным условием для функции Ф. Уравнение (11), описывающее продольную волну, идентично уравнению, найденному для классической упругой среды. Из гл. 12 известно, что волна, описываемая уравнением (11), является затухающей и обладает дисперсией.
Так как
и. — Фд, <oz- = O, У/< = Ф,//. Х// = 0, то
%i = 2H^-VbO + ₽^-#)> ст<//> = 0> ^/ = °- 03)
Продольная волна (11) в бесконечном упругом пространстве обуславливает симметричный тензор напряжений ац.
Если величины Q, ft, %, т] равны нулю, а начальные условия для функций Ф, ф, Н однородны, то в бесконечном упругом пространстве мы имеем дело только с волной кручения 2, удовлетворяющей первому уравнению системы (8). В этом случае имеем ut = 0, <Df = S „ YU/| = 0, ¥<(/> = -бе/Лб. ^i — Oi.i^.H-
Тензор %ij симметричен, откуда следует, что тензор моментных напряжений тоже симметричен:
Иц/)= f/+ ₽dz/2ц<</) = 0.(14)
В теле имеются напряжения otj, причем "(</) = °-
Распространение волны кручения не сопровождается температурным полем. Эта волна вызывает не изменение объема тела, а только изменение его формы.
Рассмотрим, наконец, случай, когда Q, а, ft равны нулю, а начальные условия для функций Ф, 2 однородны. Остаются вто-
рые волновые уравнения из систем (6) и (8). Мы видим, что причиной возникновения этих волн в бесконечной области являются составляющие массовых сил и моментов, величины % и ц. Заметим, что эти волны не сопровождаются температурным полем; они вызывают асимметричные напряжения ац и р^._
В случае ограниченного тела возникают волны всех упомянутых здесь типов. Волновые уравнения связаны между собой граничными условиями.
Принцип виртуальных работ
Можно легко убедиться, что справедливо следующее уравнение:
J [(Xz — pii^Sui + (Y t — Ito^ SaJ dV + j (p, 6«z + m, tr^dA = vA
= / (<J/idY/z + PH^j^dV. (1) v
Для этой цели достаточно преобразовать, воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, поверхностный интеграл и использовать уравнения движения. Левая часть уравнения (1) представляет виртуальную работу внешних сил, правая — виртуальную работу внутренних сил. Через du, и 6<»i обозначаем произвольные виртуальные приращения составляющих вектора и и вектора со.
Подставляя в правую часть уравнения (1) определяющие соотношения (формулы (11) и (12) § 13.4), приводим принцип виртуальных работ (1) к следующей форме:
| [(X,— puz)duz + (У, — Jm^a^dV + j (pt^Ui + т^а.ПА =
VA
= dre-vJedYftftti?V, (2)
. v
где
дГе= J (2pYu/)6Y(Z/) + 2aY<i/>6Y<z/> + ^.^bx^ + 2ex(Z/)dx(Z/) + v
W^W^^1 (3) v
К уравнению (2) добавим уравнение, связанное с уравнением теплопроводности:
— V J 06YHdr= | Вщ 6Ht dA + ^ J 9 69 dr+ ^ J Н^Н^У.
VА° КV
Это — уравнение Био, введенное в § 12.3. Оно остается без изменений в силу идентичности уравнений теплопроводности в симметричной и несимметричной термоупругости.
Вспомним, что вектор Н связан с вектором теплового потока q и энтропией S следующими зависимостями:
q=70H, S = —div(H).(5)
Подставляя формулу (4) в уравнение (2), получим окончательный вид принципа виртуальных работ для несимметричной термоупругости:
б (Г + ^ + Ф} = J [№ — рй,) Ьщ + (У, — 76,) бa J dV +
+ j (р, but + tnt дсо,) dA — j Qtii bHt dA. (6)
AA
Здесь
21 о JV
означает температурный потенциал, а Ф— функция диссипации, причем
Принцип виртуальных работ может служить для вывода общей энергетической теоремы. Приравнивая функции и^, «ц, 6 в точке х в момент t действительным функциям Ui + dui, ан + dan, 6 + + d0 в той же точке, но в момент t + dt, имеем
bui — Vidt, =69 — 9dt,
6Hl = Hidt = — 4-6.ldt
' 0
Подставляя формулы (7) в (6), получим
-^-(^ + ^ + ^) + Хе= J (XiUi-^YiW^dV А- v
гдегде(8)(8)(9)(9)+ J (p^t + "W)dA + у™ j 66. ini dA, A° A
где
где
(8)
(8)
(9)
(9)
^ = "7 J ^idY +4 / ®i®idV,vv
Хв = Ф = 4;$ 6,i6.idV>0.° v
Здесь Ж— кинетическая энергия, Хе—величина, пропорциональная производству энтропии, т. е. величина положительная.
Энергетическую теорему можно использовать при доказательстве единственности решения для односвязного тела. По аналогии с симметричной термоупругостью предположим, что решения и^ «ц, 0 не единственны, т. е. системе дифференциальных уравнений удовлетворяют две различные системы функций: и'р Юр 0' и и", to", 9". Оказывается, что разность этих решений uz = uz— и", coz = со'— и", 0 = 0'— 9" удовлетворяет однородным дифференциальным уравнениям с однородными граничными и начальными условиями. Правая часть уравнения (8) тогда равна нулю. Приравнивание нулю левой части уравнения приво* дит к соотношениям Ж = О, V =0, ^ = 0, Хо — 0> откуда вытекает, что uz = u", to' = to", 0' = 6", т. е. что решение дифференциальных уравнений в несимметрическом случае единственно.
Теорема взаимности
Пусть упругое тело заключено в объеме V и ограничено поверхностью А, и пусть имеют место две системы причин. К первой системе причин отнесем массовые силы Xt, массовые моменты У;, источники тепла Q, затем нагрузки pt и mt на поверхности А, а также нагревание этой поверхности. Следствиями являются здесь составляющие вектора перемещения и, вектора поворота ® и температура 0. Вторую систему причин и следствий в отличие от первой снабдим штрихами.
Применим преобразование Лапласа к определяющим уравнен ниям и получим следующие соотношения:
Ор = (И + a) Y/z + (ц — а) у;/ + (Луйй — v0) &ih (1) (1/z = (V + е)^^ + (у — e)xz/+ Px^d,/,(2)
где
5/г(х, p) = ^\all (x, 01=/ ojt(x, Cie-^dtо
Соотношения, подобные (1) и (2), получим для напряжений о'.р
Легко можно убедиться в справедливости следующего тождества:
°В^Р + Й/^ ^рУн ^'и^и = v (6 Уйй ®Уйй)- (3) Интегрируя это тождество по объему V, имеем
J (М'а — ^/Y/z + ^jXp — ^р) dV — ч J (O'y^ — 9^) dV. (4) VV
Применим преобразование Лапласа к уравнениям движения, предполагая, что начальные условия являются однородными. Получим уравнения
6ti.i + Xt = pp2at, 4^6 th + ^ji.i A-Yt = p4tot (5)
и аналогичные уравнения для напряжений со штрихами. Преобразуя уравнение (4) при учете (5), имеем
J (ХД + Y,®'^ dV + J (рД + dA =
VА
= | (Х;йг + У;йг) dV + J ivp'iul + fh'.^Tx dA +
VA
+ v J(6'y66 —ОУы)^. (6)
v
Это первая часть теоремы взаимности. Вторую часть этой теоремы установим, используя уравнение теплопроводности, к которому применено преобразование Лапласа:
<7>
6:„-t6'-vv;^—-г-.(в)
Предположим и здесь, что тепловые начальные условия являются однородными. Умножая уравнение (7) на 0', уравнение (8) на 6, вычитая один результат из другого, а затем интегрируя разность по объему тела и применяя преобразование Гаусса — Остроградского, имеем
РПо j (Yfefe6' - у^О) dV + -1 J (Q'0 - QO') dV -
- J (e'e.»- 0)<m = o. (9)
A
Исключая из уравнений (6) и (9) общий член, получим
»f J №«; - x;», + y,®; - y;®,) dV +
+ j (рг«; — р'1й1 + mt®'t — т\®^ dA +А.
гг+ х J (ее; п — 0'0. п) dA + J (Q'o — qo') dv = о.(io)
г
г
А
В это уравнение входят все причины и следствия. Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению (10), найдем окончательную форму теоремы взаимности:
с/ Гди'- (х, т) ,dut (х, т)
J dV (х) j [xz (х, t — т) ——Xi (х, t — т) —^ dx +
V о
t
+ J dV(x) / Vо
,dtot (x, t)
П(х,/
dx +
+1 ^wj Л 0
jpz(xj T) dT
ди{ (x, т)
dx -|~
+ J dX(x)J
hi(xJ T) 'дт
dtot (x, t)
— m, (x, t — t)ч Iх '' or
dx =
А0
= -^ [ м(х) [ [О7 (х, т)е.„(х, t — т) — о(х, т)е;„(х, t— т)]с?т + 110 А
+ — f ^(х) f [Q (х, t — т)е'(х, т) —Q'(x, t—т)6(х, T)]dT. (11) Т] о vJ
Vо
Мы видим, что при переходе к симметричной термоупругости теорема взаимности (11) переходит в теорему Ионеску-Казимира ).
Следствия из теоремы взаимности
Сначала рассмотрим бесконечное упругое пространство. Пусть в точке | этого пространства действует мгновенная сосредоточенная сила Х4 = Ь(х — |)6(/)6is, направленная параллельно оси Xh. Обозначим через Uife4x, |, 0 перемещение, вызванное действием этой силы. Пусть в точке т] действует мгновенная сосредоточенная сила Л1 = д(х — т])д(/)дг/, направленная параллельно оси Xj. Эта сила вызывает поле перемещений Ui' (х, я> 0-
Из теоремы взаимности (формула (11) § 13.9), в которой для бесконечного пространства исчезают поверхностные интегралы, получим
Г , , Г , Г, ,, dU^' (х, п, т)
J dV (х) j dx [д (х — g) д,6д (/ — т)^ у о
dU^' (х, т) 1
-6(x-nw-T)6zz--д;=°>
откуда
йЖ п, 0=^/%- М-
После интегрирования по времени имеем
иЧ'а, ч. Г)=и^, lay(1)
Пусть в точке § действует мгновенная сосредоточенная сила Xi = д(х— |)6(/)йг-л, а в точке ч— мгновенный точечный источник тепла Q' = 6(x— ч)6(<). Обозначим через O(,i)(x, |, /) температуру, вызванную действием силы Х^ а через (А-(х, т|, /) —перемещения, связанные с действием источника тепла Q'. Из уравнения взаимности имеем
J dV (х) J dx [д (X -1) д (/ - т) &ik dUi ^я т) + v о
+ -^ д (х - Ч) д (/ - т) O'ft> (х, |, /)] = 0,(2)
откуда вытекает, что
0(*)(Ч, £,v 1' v ot
Предположим теперь, что в точке 1 действует мгновенная сосредоточенная сила X, = 6(х — |) 6 (/) 6th, а в точке ч— мгновенный сосредоточенный момент ¥i=6(x — ч)д(/)д,/. Обозначим через Пр’(х, |, /) вектор поворота, вызванный действием силы Xt, а через УУ'(х, Ч, 0— вектор перемещения, соответствующий действию момента Y't. Из теоремы взаимности вытекает, что
vV(i, ч, о=а^(ч„ i, t\(з)
Пусть, наконец, в точке § действует момент Yt = 6(x— — |)6(/)б1й, а в точке ч— источник тепла Q' = д(х — ч)$(0- Обозначим распределение температуры, связанное с действием момента Yt, через Х^(х, |, /), а вектор перемещения, вызванный действием источника тепла, через Г,(х, 4, t). Из теоремы взаимности следует, что
Л1*'(П,Е.в=-^^%^.(4)
Можно показать, что соотношения (1) — (4) справедливы также для ограниченного тела с однородными граничными условиями.
Рассмотрим ограниченное тело, в котором движение обусловлено начальными условиями. Задача, которую мы ставим, заключается в определении величины перемещения щ, поворота со, и температуры 6 в точке х е Р с помощью поверхностных интегралов.'
Все функции без штрихов относятся к ограниченному телу. Положим, что все величины со штрихами относятся к бесконечному упругому телу. Будем обозначать через Ui = UT4x, Е, /), со/= Q^1 (х, Е, /), 9' = 6и\х, Е, 0 составляющие полей, вызванных мгновенной сосредоточенной силой Л1 = 6(х— |)6(0&а, приложенной в точке | е V и параллельной оси х^. Используя теорему взаимности (уравнение (11) § 13.9), получим в предположении Xi = 0, Yi = О, П = 0, Q = Q' = 0 следующее выражение:
г(1, х, т)
йб (х, t) = J dA (|) J dx^Pi (I, t — t)^
A0
,. aUiA^aa1^ (1. x, r)
— Pi}^ x- T)Vmt^, t — x)^
— m^A, x, t — t) —'g—-- + -^ [9(s, t — x^^n^ x, t) —
-^4l. x, /-r)9,na t)]}, хеУ, 1 e Л. (5)
Здесь мы ввели обозначения
р^ (х, Е, 0 = ^ (I, х, 0 ns (х), m^ (х, I, /) = ц^> (х, I, /) nj (х),
хе А,
где о^>, ц'*1— напряжения, вызванные действием силы X't = = d(x-E)d(/)difc.
Формула (5) выражает функцию йк(х, /) с помощью поверхностных интегралов, в которые входят значения функций щ, pt, 9, соц tn.;, 9, п на поверхности А.'
Пусть теперь система со штрихами относится к действию в бесконечном упругом пространстве мгновенного сосредоточенного момента У; = д(х — Е)д(/)д^. Связанные с этим моментом перемещения, повороты и температуру определяем через
Ui = Vv?4xA,tY to't = А^ЧхА, f), 9'= ^кЧхА, t).
Из уравнения взаимности находим при Xi = Х\ =0, У; =0, Q = Q'= 0 следующее соотношение:
d>ft(x>0 =
Г Г Г(1, х, Чди, т)
= J dA^) J с?т|р;(Е, t — т)^рА1, х, t—т)—^}-
Л о
дЛ™(6, х, ()д®^, т)
+ пц (Е, t — т)^/Я™(Е, X, t — т) —^Н
+ чН0(и--г)^(§, х,М-т)0.„(|, т)]},(6)
где
Pi (х, g, О = ст™ (х, g, О ^ (х), гп\м (х, Е, 0 = р™ (х, g, 0 ns (х),хе А.
Через ст™, р*^’ мы обозначили напряжения, вызванные действием момента У; = d (х — g) д (/) д». Очевидно, что функцию шй(х,/) мы выразили здесь исключительно через поверхностные интегралы, в которые входят значения функций иг, оц, 0, рь ш^ 0 п на поверхности А.
Пусть, наконец, в точке g бесконечного упругого пространства действует сосредоточенный мгновенный источник тепла Q' = 5(х —g)6(/), вызывающий перемещения м' = Ut (х, g, t\ повороты и< = йДх, Е, /) и температуру 0'= 0(х, |, t). Из уравнения взаимности при Xi = Х\ = 0, У/ = Уг = О, Q = 0 получим следующую формулу:
о(х, 0= t
= Х^ dA^S {©(I, х,/-т)6.„а, т)-0(|, х, Z-T)0 „(^, т)-
АО
-vLp'(L /-т)—^р^' ^1-^~дт +
дй. х, т) , ,да>, (|, т) 11 -
+ щ; (Е, / - т) ‘Ч;--’- m*t (Е, х, t - т) ~^] ) dx, (7)
X Е V, 1 Е Л.
Здесь через
р* (х, Е, 0 = ст*, (х, Е, 0 п; (х), m\ (х, Е, /) = р*. (х, Е, /) п. (х), хе А, обозначены главные векторы сил и моментов на поверхности А, обусловленные действием мгновенного сосредоточенного источника тепла Q' = д(х —1)6(/).
Формулы (5) — (7) можно трактовать как обобщение формул Сомильяны на задачу несимметричной термоупругости.
Если функции Грина UVi\ tii\ ©w, ... выбраны так, что удовлетворяются однородные граничные условия для перемещений, поворотов и температуры, то формулы (5) — (7) значительно упрощаются (так как иТ» Q^1, в161, ... равны нулю на А). При этих упрощениях формулы (5) — (7) являются решениями первой краевой задачи.
Аналогично, выбирая функции Грина (и^\ Qi6', ©и\ . ..) так, что на границе А нагрузки и температура равны нулю, формулы (5) — (7) можно трактовать как решение второй краевой задачи.
Общие теоремы эластокинетики
В классической эластокинетике мы предполагали, что деформация происходит в адиабатических условиях. Предположение S = 0, которое мы принимаем и здесь, приводит к соотношению
6=-4^Y№(1)
выражающему пропорциональность температуры дилатации. Если соотношение (1) подставить в определяющие уравнения (11) и (12) § 13.4, то получим
°ц = 2НУ(г/) + 2ау<;/> + XsNkkb4>(2)
Pi/ = 2Y’<((/l + 2exa7>+₽xftAr(3)
Здесь v270
Xs = Хг Д -, ps = цг = у..
— постоянные Ламе, отнесенные к адиабатическому состоянию. Используя соотношения (1), приводим уравнения в перемещениях (уравнения (8) и (9) § 13.5) к виду
(Xs + 2ц) grad div u — (у + a) rot rot u + 2а rot to + X = pu, (4) (P + 2y)grad div to —(y + e)rot rot to + 2а rot u — 4а®-ф Y = 7to. (5) Если выражение (1) подставить в принцип виртуальных работ (уравнение (2) § 13.8), то получим
J 1№ — Р“<) &<< + (^ — ю>) $»d dV +
+ j" (Pi 6м< + mt dco,) dA = MP, (6) A
где
МГ = J (2цу(;/)6у(//) + 2aY<i/> ^<ih + 2ухи/|6х(О) +
+ 28х<//> ^<ih + Mks dY„„ + PxM dxj dV. (7)
Очевидно, что при отсутствии моментных напряжений уравнение (6) переходит в принцип виртуальных работ классической эластокинетики.
Из уравнения (6) следует основная энергетическая теорема, которую запишем как
А (^ + Г) = J QC^ + YiW^ dV + J кр^г + mt^ dA.(8)
AA
Из принципа виртуальных работ (6) мы можем получить обобщенный на задачу несимметричной теории упругости принцип Гамильтона.
Перепишем уравнение (6) в виде
= §£ — р J Hi but dV — J J a, dm, dV,
VV r0)
, 6L = J (X,- btii H~ YjdcD;)dV 4- J ^pi дм,- ~|~ m, dco;) dA
VA
и проинтегрируем по времени от tQ до ty
й
dj W*dt = ^ 6L dV — Jd/fp j" u^UidV + J ^ 65,-dMvY (10)
t,t,t, \ vv/
Вводя кинетическую энергию
2tt = -|- J ii<iij dV 4—2" JdV,
vv
вычисляем ее вариацию
дЖ1 — p J -^- (и, дмг) dV — p J iit 6ut dV +
VV
+ 7 J-^-(cb,-dtoJdV — J j toidtoidV. (11) VV
Деформирование тела происходит непрерывно между двумя моментами: 1 = 10 и t = tv. Приравниваем действительные перемещения м,-(х, /) и повороты со;(х, Z) перемещениям мг + дм; и поворотам иг + 6м,-. Вариации ды; и 6и( выберем так, что
дмг(х, /0) = дм;(х, Л) = 0, би,- (х, t0) = дю (х, ^) = 0. (12)
Интегрируя формулу (11) по времени от /0 до /, и принимая во внимание ограничения (12), находим
dj ^d/ = -p J dt J MuidV — J J dt J &tbtoidV. (13) t.6, vt»v
Подставляя формулу (13) в (11), получим принцип Гамильтона в виде
6,
б J(r — ^dt= j SL dt.(14)
t,v
Если внешние силы обладают потенциалом У, то
ОА —тOU;ч0(0/,
а уравнение (14) переходит в
б | (П —^)d/ = 0, П = г + г.(15)
Через П мы обозначаем полную потенциальную энергию, через Ж— П —функцию Лагранжа.
. Интеграл по времени от функции Лагранжа принимает на интервале t ^ t < tx экстремальное значение по сравнению со всеми возможными перемещениями и поворотами, которые обращаются в нуль во всех точках тела в моменты t = to и t = tx и на поверхности Л„ в любой момент времени.
Теорему взаимности для эластокинетики получим непосредственно из формулы (4) § 13.9, положив в этом уравнении
S = -^V„. S' = -^Vw(16)
Здесь 0 и у66 означают трансформанты Лапласа функций 0, у^^. Подставляя формулы (16) в уравнение
J ^1^н — ^и^а + ^А — ^i^a') ^ = v J (6 ум — 0у^) dV, (17) Vк
видим, что правая часть этого уравнения равна нулю. Выполняя в уравнении
Wa ”+ ^чй'и - ^гх/г) dV = 0(18)
те же преобразования, что и в § 13.9, теорему взаимности для эластокинетики можно представить в следующем окончательном виде:
J dV (х) J [Д (х, / —т)и'(х, т) — ^(х, т)ц. (х, / — r)jdr +
v о■
+ J dV(x) | [КДх, t — т)и'(х, т) —У'(х, т)ш((х, t — r)]dr +
V о t
+ J dA№ I [pJx’ t — T)“i(x’ T) —Pi(x> ^“Дх, / —r)]dr +
A0
t
+ J dA (x) J [m; (x, t — т) co, (x, т) — nV. (x, t) mz (x, t — t)] dx = 0.
A0
(19)
Следует заметить, что так же, как и в § 13.9, здесь мы предположили, что начальные условия для функций и(х,/) и м(х, /) однородны.
Без труда можно перенести результаты § 13.10, касающиеся обобщенных формул Сомильяны, на динамические задачи теории несимметричной упругости.
13.12. Решение дифференциальных уравнений эластокинетики
Дифференциальные уравнения эластокинетики в перемещениях
(Xs + 2ц) grad div u — (ц + о) rot rot u + 2а rot to + X = pu, (1) (P + 2y)grad div® —(y + e) rotrotto + 2arotu — 4a« + Y = /& (2) приводим к волновым уравнениям подстановками
u = grad Ф + rot ЧТ, div4r = 0,
to = grad 5+rot H, divH = 0^
и
X = p (grad О + rotZ), Y = J (grad a + rot i]). "(4)
Подставляя формулы (3) и (4) в уравнения в перемещениях (1) и (2), получим систему волновых уравнений:
□ ]Ф + рО = 0,
D3S -|- Jo = 0,
(□2П4 + 40^)4^ = 207 rot п — рПД(5)
(□2d4 + 4a2V2) Н = 2ap rot т) — 7П2Ч-
Первое уравнение системы (5) описывает продольную волну, второе — волну кручения, а третье и четвертое — поперечную волну кручения. Третье уравнение при а = О переходит в уравнение поперечной волны классической теории упругости
И2-р^)У + рХ=0,.(6)
а четвертое уравнение при а = 0 имеет вид
[(Y + e)V2-7^]H + Zi] = 0,(7)
что соответствует волне кручения в гипотетической среде, в которой возможны только повороты, но невозможны перемещения. Второй путь разделения системы уравнений (1) и (2) аналогичен тому, который применил Галеркин *) к уравнениям классической эластостатики и Яковаке2) к уравнениям классической эластокинетики. Функции этого типа для несимметричной упругости предложил Сандру3), применив общий алгоритм, данный Мои- силом 4).
Ниже мы укажем иной, более простой путь отыскания функции напряжений, позволяющий опустить кропотливое вычисление определителей шестого порядка. Исключая из уравнений (1) и (2) сначала ю, а затем и, получим систему уравнений:
Qu + grad div Ги + П4Х — 2а rot Y = О,
Q® + grad divOw + П2У — 2а rot X = 0,^
где
Q= □2D4 + 4a2V2, Г = (Х + ц — а) П4 — 4а2,
0= (Р + у — е) П2 — 4а2.
Операторы Па(а = 1, 2, 3, 4) указаны в § 13.7.
Рассмотрим сначала первое уравнение системы (8), которое перепишем в операторном виде:
Ьц («/) + D^i — ^абц^Уh, j = 0,i,j,k=\, 2, 3,(9)
где
Ltj = QbM + dtdjV.
Введем функцию g, связанную с составляющими перемещения
соотношениями
£1 ^12 ^13
^11 £1 ^-13
^11 ^12 ?1
«1 =
?2 ^22 ^23
, И2 =
^21 ?2 ^23
. «3 =
^-21^22 ?2
• (10)
£з ^32 ^33
^-31 £з ^-33
^31 ^32 £з
') В. G. Galerkin, loc. cit. стр. 188.
2) M. lacovache, loc. cit. стр. 568.
3) N. Sandru, loc. cit. стр. 807.
4) G. C. Moisil, loc. cit. стр. 188.
После простых преобразований видим, что вектор и связан с вектором g следующим соотношением:
u = □In4g —grad div Г5.(11)
Поступая точно так же со вторым уравнением системы (8), получим зависимость
®=П2Пз'П — graddiv€>n,(12)
где г] — вторая векторная функция напряжений.
Подставляя (И) в первое уравнение (8) и (12) во второе, получим следующую систему уравнений для определения функций g и ц:
ЙП^^ = — П4Х + 2а rot Y,(13)
ЙП 2П3г] = — □ 2Y + 2a rot X.(14)
Мы получили две независимые системы уравнений. Однако эти уравнения неудобны для решения, так как в правую часть входят дифференциальные операторы от массовых сил и моментов. Однако если вместо представления (11)—(12) принять соотношения
и=П1П4Ф— grad div Гф—2аго{П3ф,(15)
®=П2ПзФ — grad div 0ф— 2а rot □ i^,(16)
где ф и ф— новые функции напряжений, то подстановка формул (15) и (16) в систему уравнений (8) приводит к уравнениям
4 (Й □ ^ + X) — 2а rot (Й □ Зф + Y) = О, □ 2 (ЙП3ф + Y) — 2а rot (ЙП ^ + X) = 0.
Из последних зависимостей следуют уравнения
1Йф + Х = 0, П3ЙФ + ¥ = 0,(17)
служащие для определения функций ф и ф. Уравнения (17) совпадают с уравнениями, выведенными Сандру другим способом.
Свяжем теперь между собой потенциалы Ф, S, Т, Н из волновых уравнений (5) с функциями напряжений ф, ф. Рассмотрим уравнения (17) при отсутствии массовых сил и моментов
1ЙФ = 0, П3Йф = 0.(18)
Решения этих уравнений можно представить в виде сумм
Ф = ф' + ф", Ф = Ф' + Ф".(19)
Здесь функции ф\ ф", ф', ф" должны удовлетворять уравнениям□ ,ф' = 0, Йф" = 0,
3ф' = 0, Йф" = 0.(20)
Подставляя формулы (19) в (15) и (16) и используя уравнения (20), получаем следующее представление:
и = □ [ □ 4 Ф" — grad div Г (ф' + ф") — 2а rot П3 ф",
м = П2ПзФ"— grad div 6(ф'+ ф")— 2а rot □ 1ф".^^
Используя зависимость.
rot rot U = grad div U — V2U
и учитывая соотношения
Q= n2D4 + 4a2V2= □1П4 —V2r = D2D3 —6V2,
сводим представление (21) к виду
u = — grad div Гф' — 2а rot П3 ф" — rot rot Гф", to = — grad div 0ф' — 2а rot □ j ф" — rot rot 0ф".^^
Из сравнения (22) с представлением Стокса — Гельмгольца u = grad Ф + rot V, to = grad 2+ rot H(23)
получаем
ф = —divГф,, V= — 2а ПзФ" — rot Гф"
5 = —div6ф', Н = — 2а □1 ф" — rot 0ф".^2^
Это и есть искомые зависимости между потенциалами Ф, S, V, Н и функциями напряжений ф, ф. Легко также проверить, что выражения (24) удовлетворяют волновым уравнениям (5).
Вернемся к уравнениям (17). Заметим, что в бесконечном пространстве ф = 0, когда массовые силы отсутствуют (Х = 0). Тогда
и = —2аго1П3ф, ®=О2П3ф — grad0ф.
Аналогично ф = 0, когда Y = 0. Уравнения (17) особенно удобны для определения функций и и и, обусловленных действием сосредоточенных сил и моментов.
Задача о полноте потенциалов Ф, 2, Т, Н и функций напряжений ф, ф была рассмотрена автором настоящей монографии ').
Монохроматические плоские волны
Характер распространения волн легче всего будет проследить на примере монохроматической плоской волны, распространяющейся в направлении оси Хь
Nowacki W., On the Completeness of Potentials in Micropolar Elasticity, Arch. Meeh. Stos., 21, № 2 (1969).
Предположим, что в однородных волновых уравнениях нения (5) § 13.12)
□ !Ф = 0, □ 3S = 0, QT — O, QH=0, где
Q = □ 2 □ 4 + 4a2V2, функции Ф, 5, V, Н зависят только от х, и I. Подставляя вое уравнение системы (1)
Ф = Л ехр (— imt + ikxxYполучим следующую фазовую скорость волны:(Л + 2р. y/i
Она совпадает с фазовой скоростью продольной волны в сической теории упругости.
Подставим во второе уравнение системы (1) функцию
2=6 ехр (— im + ikxxY
Фазовая скорость волны кручения выражается формулой
с = ^ = ; ^—, со^= —, C3 = /i±W.к К1 - (со,/со)2J\ J )
(урав-(1)в пер-(2)(3)клас-(4)(5)(урав-(1)в пер-(2)(3)клас-(4)(5)Из этой формулы следует, что волны микровращения существуют только при со > со*, т. е. когда частота колебаний превышает значение 2(а/7)1/2. При со ^-оо фазовая скорость стремится к с3. Подставляя в третье уравнение системы (1)
(урав-
(1)
в пер-
(2)
(3)
клас-
(4)
(5)
(урав-
(1)
в пер-
(2)
(3)
клас-
(4)
(5)
V = С ехр (— itot + ikxxY(6)
находим следующее уравнение, служащее для определения фазовой скорости;
с'^к4 + [со2с| — со2 (с2 + с2)] к2 — со2 (со? — со2) = 0,(7)
где
/ ц + а \'/1Г У + е \'/я/ и \'/i
Сг = , О = —; , С, = — .
2\ Р /*\ i 1° X Р /
Дискриминант уравнения (7) представляется формулой
А = [со2 (с2 — с^ - ю?с| {2 + 4со2со?с2 (с2 - с^.(8)
Очевидно, что этот дискриминант всегда положителен, поэтому при произвольной со уравнение (7) имеет два корня к. С помощью теоремы Виета можно показать, что при со < со* имеется один положительный корень к уравнения (10), а при со > со*— два положительных корня. Отсюда следует, что при со < со* существует одна поперечная волна, при со > со* — две поперечные волны. Для малых частот получим приближенное значение корня
уравнения (7) k2 » ф21с1, т. е. для малых частот фазовая скорость поперечной волны составляет приблизительно с=,= (р,/р)1/2, как и в классической эластокинетике.
Асимптотическое решение уравнения (7) для больших частот дает два значения;
Отсюда следуют два значения фазовой скорости:
сст’6т’6
с
с
т’6
т’6
с
Фундаментальные решения эластокинетики
Рассмотрим действие массовых сил и моментов, гармонически меняющихся во времени:
X (х, /) = X* (х) е"'^, Y (х, /) = Y' (х) e-itot. (1)
В результате перемещения и, повороты м и потенциалы Ф, S, V, Н будут меняться гармонически во времени, а волновые урав
нения (5) § 13.12 примут вид
(V2 + <tDO* =(2)
ci
(V2 + a2)S- = -4a,(3)
сз
^^(^-р^^го^-Аад(4)
(V2 + h^ (V2 + ^ Н* = 4 rot X*L 0,11*.(5)
С2с4
Здесь введены следующие обозначения: .
D-X2 + a2 D Х2 + а2 2 Г = ^-,р=-^-,
<0[ (О2 — (О2 \'/з(О(О
СТ] =. "з = ^• а2 =><J4 = — .
С1\с3 /с2с4
_ 1 я + 2ц _ / ц + а у/2/ р + 2у у/= /у + e\v«
ci-\ р ; ’С2-^ р J •сз-^—— ] .) •
Значения ^? и Й являются корнями биквадратного уравнения
&4—&2[ст^4-ст^ + />(г —2)] + ст2(о2 —2р) = 0.(6)
Тогда имеем
,2 [ = 2" l^ + ^ + Z7^ —2) ± У^-^ + р^^у + ^рга2^. (7) «2 J
Подкоренное выражение в формуле (7) всегда положительно.
Рассмотрим однородное уравнение (4). Решение этого уравнения можно в силу теоремы Боджио представить как сумму частных решений
ЦТ* _ ip/’ I ЦТ//*
удовлетворяющих векторному уравнению Гельмгольца
(V2 + ^) Ч"* = О, (V2 + 1$ V"* = 0.(8)
а=1, 2,а=1, 2,Частными решениями уравнений (8) являются функции e±ikaR[R (а=1, 2). Однако физический смысл имеют только решения elk^jR, ибо выражения
а=1, 2,
а=1, 2,
Re[e-^ — j=-cos(o^-—), ^ = ^~,
представляют собой расходящуюся волну, распространяющуюся от места возмущения до бесконечности. Решение однородного уравнения (4) примет вид
V* = AV* = AeikxR ~ТГeikxR ~ТГe^R~7Гe^R~7Г(9)(9)
V* = A
V* = A
eikxR ~ТГ
eikxR ~ТГ
e^R
~7Г
e^R
~7Г
(9)
(9)
функцияфункцияJ14RH*=CVJ14RH*=CVeife2Reife2R(Ю)(Ю)Аналогично решение однородного уравнения (5) представляет
функция
функция
J14R
H*=CV
J14R
H*=CV
eife2R
eife2R
(Ю)
(Ю)
В функции V*, Н* могут входить только действительные фазовые скорости. Поэтому должно быть Ц > 0, ^ > 0. Первое ус- ловие выполнено, второе будет выполнено, если а^ > Чр, или со2 > 4а/7. Это следует из соотношения ^^| = ст2(о^ — 2р) > 0. В выражения (9) и (10) входят две волньц обладающие дисперсией (так как кх, &2 являются функциями частоты и).
Займемся сначала действием массовых сил. Так как Y = 0, то ст = 0 и т) = 0. В бесконечном упругом пространстве не возникает волна кручения (S* = 0). Остается решить систему урав-
нений
(v=+«g®-=-^»-,(п)
(V, + tЭ(Vi+63V■=-4D=z•.(12)
с2
(v2 + ^)(V2+^)H = 4rot%-.(13)
с2
Функции О* и х* определим по формулам
V1
--4Ы“1‘х>®АЫа1^у®'(‘4>
Vе
I, i, & = 1, 2, 3.
Пусть единичная сосредоточенная сила приложена в началекоординат и направлена по оси хР Из формул (14) получим^--^^(т)’ <=», х;=*^Мт)-
Итак, надо решить следующие уравнения !):
(v!+^®'-^O-(,5)
(V- + 6Э (V + tg ч-;=- ^ (V- + ^ - 2р) а, И,
1m (16>
F’ + 4Э (v= + 4Э Ф; = ' (V= + „« - 2„) а, X. Т 4 2X Л I
(V- + Ч) (Vs + q н; — ^ (V -a^i^Y
ly + ^ + ^-^a^Q(17)
(у + ^ + ^н-.-^ад^.
Решение уравнения (15) известно из классической эластокине- тики:
=<18)
Уравнения (16) и (17) решим, применив интегральное преобразование Фурье. Так, например, решение первого уравнения системы (16) имеет вид
оо оо оо , , o x — iatXt
1" Г Г f О< + 2р) е к к
^2“ з ~ —", q 2\ / 9 det] da2 dct3, (19)
8л рс2 дх3а (а-й2)
а2 = а( + а2 + а3.
Заметив, что
е takKk da\ а?а2 da.е takKk da\ а?а2 da.а2 - 62а2 - 62ik,R= 2л-- Rik,R= 2л-- R
е takKk da\ а?а2 da.
е takKk da\ а?а2 da.
а2 - 62
а2 - 62
ik,R
= 2л-- R
ik,R
= 2л-- R
находим из (19) 1 д /в^1^Л^2^1 \
^^гИ- V + ^V + ^i)-(2°)
где
а2-б|
— ь2 —ь2 ’К] «2— ь2 —ь2 ’К] «2Л2 = ТУ-' Лз=~1.
— ь2 —ь2 ’
К] «2
— ь2 —ь2 ’
К] «2
^2*1
Из решения второго уравнения системы (16) имеем 1 д /p^R। \
^^-^^hv + ^v + ^i’- (2D
Применение интегрального преобразования Фурье к системе уравнений (17) дает следующие функции:
н.= р (е=^-е^ 4лр41 R^x-^^2= —г ^А(^1—-4лрс2\RО!H^-^d^lBx^— 4лрс2\Rн.= р (е=^-е^ 4лр41 R^x-^^2= —г ^А(^1—-4лрс2\RО!H^-^d^lBx^— 4лрс2\R> е'2 —> е'2 —> е'2 —> е'2 —31-— Rik,Rт +ik^Rт+31-— Rik,Rт +ik^Rт+elk,Rв’-т_1_\ Ri’Ri’elk,Rв’-т_1_\ Ri’Ri’S3RS3R(22)(22)
н.= р (е=^-е^ 4лр41 R^x-^
^2= —г ^А(^1—-
4лрс2\R
О!
H^-^d^lBx^— 4лрс2\R
н.= р (е=^-е^ 4лр41 R^x-^
^2= —г ^А(^1—-
4лрс2\R
О!
H^-^d^lBx^— 4лрс2\R
> е
'2 —
> е
'2 —
> е
'2 —
> е
'2 —
31-— R
ik,R
т +
ik^R
т+
31-— R
ik,R
т +
ik^R
т+
elk,R
в’-т
_1_\ Ri’
Ri’
elk,R
в’-т
_1_\ Ri’
Ri’
S3
R
S3
R
(22)
(22)
где
в, = i'^-ts’ B1=l№-^’ B,-tg'
Перемещения и повороты найдем по формулам
u = grad Ф + rot Ч1", ю = grad 2 + rot Н.
Так как Y = 0, то ст = 0 и 2 = 0. Итак, имеем
ы: = д1ФЧ-д2^ —d3v;, и*2 = д2Ф*-дЖ и3 = д3Ф* + д№, «й^д.Нз—дзН^ й*2 = д3Щ — дхН*3, ^ = 0^2 —д2Щ. (23)
В результате получим следующие формулы для амплитуд перемещений и поворотов:
Ui — Ui —l^-\A^—R- + A-ki—R-]^i + 1/ pi^iR pih2R eia'R\
+^2^3- + L (24)
4лр<о2 1 I \ 1 R 12 R 1 J Rx *
.^.(1)p , a
'“ / 4лрс 7 (&? — fe^) 1/6 dxfe \ R )
Мы получили три составляющие вектора перемещения £7)U| и три составляющие вектора поворота Q/111. Перенесем теперь сосредоточенную силу в точку § и направим ее параллельно оси Хр Тогда, например,'
Р £( eik'R - eiklR \
®l ^i2 /,2,2\ ^ЦЬ ,n(25)
4лрсД&2 —* dxk\ R /
где
^ = [(M-^)(M-rf.
Таким образом мы получили тензор поворотов Q^Xx,£) и тензор перемещений О'^Чх, Е), /, /= 1,2,3. Подставляя в формулы (24) а = 0, получим переход к классической эластокинетике:
_1eixR д1д д ( eioR - elxR
(26)(26)4лцR Ч4лрсо2 дх^ дх. \ R
(26)
(26)
гдегде(0(0(О ст = — ci(О ст = — ciQ*"' = 0,/, 1= 1, 2, 3,
где
где
(0
(0
(О ст = — ci
(О ст = — ci
_ / Л + 2ц \'/= С1 —
X Р /
Вернемся к формулам (24). Заметим, что сосредоточенная сила, направленная по оси хь вызывает поворот и* = й*<1, = 0. Это приводит к тому, что составляющие хл (/ = 1, 2, 3) тензора изгиба-кручения х,7- = со/, ,• равны нулю. Составляющие тензора деформаций ул = djUt — е^лю^ отличны от нуля. В формулы (24)
входят три рода волн, связанных с величинами аь к\ и k2. Волны, связанные с величинами &i и к2, обладают дисперсией.
Рассмотрим действие массовых моментов. Так как X = 0, то -0- = 0, х = 0. В бесконечном пространстве нет продольной волны (Ф* = 0) и остается система уравнений
(?2 + ^ = -4<Л
(V2 + А2) (V2 + /г2) V* = -^ rot п*,(27)
(v2 + ^)(v2 + ^) Н^-Ц^т)’.
Пусть теперь в начале координат действует сосредоточенный момент
у;=б(х1)б(х2)б(х3)б1/, /=1,2,з.
Составляющие о* и if получим из формул, аналогичных (14):
С/Л| \ 1\ /
. n .1 д / 1 \
п = 0, n> = -j——Нг Ь
’124л7 дх3 \ R )
.15 7 1 \
^з 4л7 дх2 ( R Г
Тем же методом, что и в предыдущем параграфе, находим следующие решения:
_ 1 d
taJcg dxt \ R
= е | д д_
4л/б4(kj — к^ \ R 7 !/
4л7с^' \4л7с^' \AhvRpl^ii+ В2AhvRpl^ii+ В2(28)(28)
4л7с^' \
4л7с^' \
AhvRpl^ii
+ В2
AhvRpl^ii
+ В2
(28)
(28)
1 с4л1с4 ^к дхк \ 1 R1 с4л1с4 ^к дхк \ 1 RHiгдеHiгде
1 с
4л1с4 ^к дхк \ 1 R
1 с
4л1с4 ^к дхк \ 1 R
Hi
где
Hi
где
!= 1, 2, 3,
, _61-"2 Г _*2-^2г _^2
1 ^(Af-^’ 2 кЖ-^' ^Г
Перемещения и повороты найдем по формулам ы;=д2Чг;-д3ЧЧ, и^бз^-а^з, «3 = 51^2-52^1, (й^дх^ + дгЩ-дзН^ co^d^-d^l, и^ = 532* + 5^. (29)
Подставляя в формулы (29) выражения (28), получим
®i = Wi = —2 l^iCi ——н&2с2I ^1/ +
1/JhvRpihiR
(31) tolc^\ RRR /
i=\, 2, 3.
Перенося сосредоточенный момент в точку § и направляя вектор момента параллельно оси Xi, получим тензор перемещений Грина V/Z)(x, s) и тензор поворотов W*i1' (х, с), например
,з / ikiR J^iR \
^ (х’ ^ = ТТ^—Г—)-(32)
4л1б4 (fe । — feyдхк \ R /
j, к=\, 2, 3, где
/? = [(x/-^)(xz-^)],/,.
Возвращаясь к формулам (30) и (31), заметим, что действие сосредоточенного момента У/ = б (xj б (х2) б (х3) б^ вызывает нулевое значение перемещения в направлении оси xi(u’ = 0), а потому и уп = 0. Так как к\, к^, к3 являются функциями частоты, то все типы волн, входящие в формулы (30) и (31), обладают дисперсией.
Рассмотрим некоторый частный случай. Пусть в точке g приложена сосредоточенная сила X/ =б(х — |)б/г, параллельная оси хг. Эта сила вызывает перемещения U'^^x, ^) и повороты Q/Ir>(x, Ю- Пусть, далее, в точке л приложен сосредоточенный момент У/ = б(х — л) б//, параллельный оси х;. Он вызывает перемещения У/(''(х, п) и повороты ^/’^(х, п). К названным выше причинам и следствиям применим теорему о взаимности работ:
J (ху* + у-со;-)^ = j ^ху; + vy^dv. ^ VV
Последнее уравнение дает
/ Ш-^мТЧх, ^dV^^^kx-^b^kx, Wlx^
VV
откудаоткудаH,Z,(£, 'пН^ЧпЛ).(34)H,Z,(£, 'пН^ЧпЛ).(34)
откуда
откуда
H,Z,(£, 'пН^ЧпЛ).(34)
H,Z,(£, 'пН^ЧпЛ).(34)
5 1 ei^R _ eibiR дхк \ R5 1 ei^R _ eibiR дхк \ R(35)(35)Используя формулы (25) и (32), получим
5 1 ei^R _ eibiR дхк \ R
5 1 ei^R _ eibiR дхк \ R
(35)
(35)
^'(^ ^=7,2/2 Ь2Х 4л7с4— ^2)
Р
4лрС2 (^1 ~ ^2)
Учитывая, что г = 2аДрс^), /? = 2аД7с4), видно, что соотношение (34) удовлетворяется. Уравнение (34) можно трактовать как обобщение известной из классической эластостатики теоремы Максвелла о взаимности работ.
13.15. Вариационные теоремы эластостатики.
Теорема взаимности
Пусть тело находится в естественном состоянии, в котором как деформации, так и перемещения равны нулю. В процессе деформирования, осуществляющегося достаточно медленно, происходит изменение температуры. Предположим, однако, что происходит теплообмен с окружающей средой, так что процесс можно считать изотермическим. При установившемся деформировании и отсутствии источников тепла и нагрева все полевые величины, перемещения и и повороты <о становятся независимыми от времени, а 9 = 0 (Г = Го).
Определяющие уравнения задаются формулами
^/ = 2НУ((У) + 2«У<г/> + ^Лг(О
ц.,У = 2ух|;/) + 2ex<i;> + Рхмб;/,(2)
где ц, X—постоянные Ламе, отнесенные к изотермическому состоянию.
Принцип виртуальной работы получим непосредственно из уравнения (6) § 13.11, отбрасывая в этом уравнении инерционные члены
kXvbut + Уу бау)</У + J kPt &ut + mt ба),) dA = 6Уе, (3)
VA
где
6Fe = J [2^у(</)ду(г/) + За^ду^-ф 2у%и/>дх(17) +
v
+^пп + Pxfc6 6xJ dV. (4)
Так как массовые силы и моменты, а также поверхностные нагрузки и моменты не варьируются, можно уравнению (3) придать следующую форму:
бГуе — J (%iUi + Ytm^dV— J {ptUi + mito^dA =0.(5)
L г.
Мы здесь предположили, что на части Аи поверхности заданы перемещения, на Аа— нагрузки. Поскольку би/= 0 на поверхности Аи, в уравнении (5) остается интеграл по поверхности Ао.
Обозначая выражение в квадратных скобках через П, имеем
6П = О.(6)
Величина П—потенциальная энергия тела — имеет экстремум. Поступая так же, как и в теории симметричной упругости, можно показать, что функционал П достигает абсолютного минимума. Согласно теореме о минимуме потенциальной энергии, из всех перемещений и и поворотов ю, удовлетворяющих заданным граничным условиям, потенциальная энергия достигает абсолютного минимума только на одном поле перемещений и поворотов, а именно на поле и, <о, которое удовлетворяет условиям равновесия.
В частном случае Xi = Y, = 0 при заданных функциях и, ю на всей поверхности А получим из формулы (5)
6ГЕ = О.■(7)
Теореме о минимуме упругой энергии можно придать иную форму *)■ Рассмотрим поле перемещений и,- и поле поворотов и,-, соответствующие им напряжения ац и щ„ а также деформации Y,j и Xij. Пусть для поля и, ю будут выполнены уравнения равновесия и граничные условия на Аи и Ао:
и^й*, tot = и,.
Обозначим через и*, ю* другое поле перемещений и поворотов, отличное от и и ю. От функций и*, ю* потребуем только удовлетворения кинематических условий на Аи'.
и4^й., tot = 6it, хеЛй.(8)
l)Nowacki W., Some Theorems of Asymmetric Thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sei, Techn., 15, № 5 (1967),
Функциям и*, со* соответствуют тензоры сД, р.^ и уД хД Напряжения а*р р^ могут не удовлетворять уравнениям равновесия. Умножим первое из уравнений равновесия на (и*— иД второе на (и]— coz) и проинтегрируем по объему тела:
(9)
V
I (е«Л« + н„,, + Y, №-«>,vv=o.(10)
V
После простых преобразований и применения теоремы Гаусса — Остроградского приведем последние уравнения к виду J X, (и{ — и^ dV + J Pi (и; — и^ dA = J оц (и; — иД z dV, vАаv
|уДсо;~сог)4У+ j тДсо;-со,)<М =(И)
Аа
= J [l*// (со; - СО Д ; - tllkG1k (со; - СО,)] dV. V
Здесь мы использовали следующие зависимости на поверхности А;
и\ — ut = 0, со; — со,. = 0, xs Ац.
Так как в соответствии с определением тензора деформаций
Ч i- Ч 1 = Ч~ Ч + Ча S - м6)>
то, складывая почленно уравнения (11), получим
J 1^ди;—и() + УДсо;—co,.)]dy + J [рд«;—«,) + щ,.(со;—со,.)рл=
Ао
= J [^д ^В - YZi) + ^ji (X*z - xz,.)] dV. (12)
V
Обозначим через -^(у/,, x/z) работу деформации, связанную с полями Up top а через ^(у’р x*z) работу деформации, соответствующую полям Up coj; здесь
= j (г*Уи/)У(,/) + ay<z/>y<z/> + Yxu/)xu/) + ^.р^р + v
Ч- "g" VfefeVnn2~ ^йй^пп) dV. (13)
Обозначим через ^e(Y^ —Y/z. xZi — x/z) работу деформации, связанную с разностями ut — «р и^ — иг Как ^8(y/z. x/z), так И ^(V/p х/0 и ^Л^и —' ^11* и*ц—%1^ являются квадратичными положительно определенными формами. Воспользовавшись уравнением (12) и аналогичными выражениями для ^(yJp x*z) и ye(V/,—Y/z, *ц—*и\ найдем, что.
^(Y^-Y,., х’.-х^г;^, ^-v^. и^-
- J ^n-N^QjidV- j (х^-х^сГУХ). (14) VV
Комбинируя соотношения (12) и (14), получим следующее неравенство:
^ - J (xiu*i + ^<)^И - J (?Х + ™z<) dA >
>У6 — [ (XiUi + Yito^dV — f (.PiUt + tnttot)dA. (15)
Это неравенство указывает на то, что потенциальная энергия полей и,, со,, которые удовлетворяют граничным условиям и уравнениям равновесия, всегда меньше потенциальной энергии полей и*, Юр которые удовлетворяют только граничным условиям на Аи и не удовлетворяют уравнениям равновесия.
Перейдем к следующей вариационной теореме эластостатики— теореме о минимуме дополнительной энергии. Рассмотрим интеграл
1 = J (Y/z ^/t + X/Z бц/;) dV. (16) V
Здесь через бац, бра мы обозначили виртуальные приращения напряжений ац и ц^-.
Обозначим через Wa работу деформации как функцию оц и цр-, отнесенную к единице объема. Так как
dWadWaд°Ц ’д°Ц ’Х/<Х/< SW0 SW0(17)(17)
dWa
dWa
д°Ц ’
д°Ц ’
Х/<
Х/<
SW0
SW0
(17)
(17)
то интеграл (16) можно представить в виде
J (Y/i6Q/< + x/zdp/adK= J &6Q/z + ^6p/z)dV = 67ra> (18)
где
У„ = J WadV,Wa = uo№ovih + «Чг/Л^л + 4 ^^ +
V
+ V%/)HlZ/1 + еЧо^^о» + T ^nn (19)
Преобразуя левую часть уравнения (18) и требуя, чтобы величины ба,( и бр,< удовлетворяли уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на Лд: .
(20)(21)на А,х,(22)(20)(21)на А,х,(22)top, i = ^*€ьь b&jk + ^Up, / = 0, xej/,
(20)
(21)
на А,х,
(22)
(20)
(21)
на А,х,
(22)
bpt = bapnj = 0, бт; = dp^vz, = 0, x e Л, приходим к формуле
бУа — J (ut bpi -|- toj bm^ dA = 0.
Au
Так как перемещения ut и повороты и, не варьируются уравнение (21) можно записать в виде
6Г = О, где
Г = Уст — j <ptut + m^^ dA.Аи
Так же как и в симметричной термоупругости, здесь можно доказать, что Г достигает минимума. Уравнение (22) является обобщением теоремы о минимуме дополнительной энергии на случай несимметричной упругости.
равно-(23)(24)равно-(23)(24)Эту теорему можно формулировать иначе. Рассмотрим поле напряжений ст^, р;,, которое удовлетворяет уравнениям весия
равно-
(23)
(24)
равно-
(23)
(24)
а1М~^’ ^iikOih + Н/ь/ = 0, хеУ,
и граничным условиям
pt = Qitni = 0u mt = \ijtnj =rh{, xsAa,Ui = tuсо/= gi,xeAu.
Деформации ^ц и составляющие тензора хр должны удовлетворять условиям совместности.
Введем поле напряжений a*t, р^, отличное от поля ар, рд, и потребуем, чтобы поле напряжений ст*/, р}( удовлетворяло уравнениям равновесия
^H.i^0» ецко*1к+^И,1 = 0, хе У,(25)
и граничным условиям на Ла
P*i = a*nni=Pp 111*; = ^*^ = ^, хеАа. (26)
Мы не требуем, чтобы поле o*jp р;, удовлетворяло кинематическим условиям на Аи и условиям совместности.
Обозначим через Жа(о^, р/Ч) и ^’(ст’., р’,) работы деформации, связанные с полем Ор, p/z и полем- а*р р*р а через ЖДа*Е—Оц, U*i — H/f) работу деформации, соответствующую полю (ст*,— о^, р*,— p/z). Эти работы деформации являются положительно определенными квадратичными формами своих аргументов. Легко проверить справедливость соотношений
VA-V »1й-*Л=11. и,,)-/^-^ч,.
V
- J (р), - р/7) %и dv = жа (ст;,. - ст.„ р;( - p/z) > о. (27) v
Используем соотношения
Nil = Ul,i екЦ®к, ’Xji = toi,i
и преобразуем два последних интеграла в неравенстве (27). Получим
Уо (^ ^4) - ^А°1Р М - I [(Л - Ph ul + (m< - mh “d dA +
А
+ J {^/ь iui + (^. i^iik^ ^-^а. /“ Н^, i+£iikaik^ “4 dV > 0.
^(28)
Объемный интеграл равен нулю в силу уравнений равновесия (23) и (25). В силу идентичности граничных условий (24) и (26) на поверхности Аа поверхностный интеграл в неравенстве (28) берется по поверхности Аи.
Неравенство (28) можно записать в виде
^j — / Wi + m\toh dA> жа— j ^p^t + m^^ dA. (29) AuAa
Левая часть этого неравенства представляет собой дополнительную работу Г* поля ст',., р;,., правая часть — дополнительную работу Г поля пр, pjf, так что
Г* > Г.(30)
Дополнительная работа Г относится к напряженному состоянию, для которого удовлетворяются условия равновесия, граничные
условия и условия совместности. Дополнительная работа Г* относится к напряженному состоянию, для которого удовлетворяются уравнения равновесия и только часть граничных условий, а именно условия на поверхности Аа.
Неравенство (30) показывает, что дополнительная работа Г, относящаяся к напряженному состоянию, для которого удовлетворяются уравнения равновесия, условия совместности и все граничные условия, меньше дополнительной работы напряженного состояния, для которого удовлетворяются только уравнения равновесия и часть граничных условий:
Для несимметричной теории упругости выведена более общая вариационная теорема как обобщение вариационной теоремы Рейсснера (§ 4.9).
Перейдем к теореме взаимности для задач эластостатики. Исходим из тождества
°цЧ'п + ^Хц = о'цЧц + ^>1Р(31)
следующего из определяющих соотношений (1) и (2), выписанных для напряжений, связанных с системами сил со штрихами и без штрихов. Интегрируя это тождество по объему тела, после ряда преобразований и использования уравнений равновесия получаем, что
J (X^ + KX^+J (pXi + mito'i)dA =
VА
= J ^ + У>,) dV + / (рХ + m'Mz) dA. (32) VА
Мы не будем обсуждать следствий, вытекающих из этой теоремы. Добавим только, что совершенно аналогично тому, как это было сделано в гл. 4, мы можем и здесь вывести формулы типа формул Сомильяны и построить решения уравнений в перемещениях, используя функции Грина.
Уравнения эластостатики в перемещениях
Уравнения эластостатики получим из уравнений эластокине* тики в перемещениях, приравнивая в этих уравнениях нулю про* изводные по времени. Таким образом мы приходим к системе уравнений
(ц + a) V2u + (Х+ ц — а) grad div и + 2а rot ® + X = 0,(1)
(у + е) V2w -ф (Р + у — е) grad div <•> — 4аи + 2а rot и + Y = 0. (2)
Преобразуем эти уравнения. Представим тензор у^ через его симметричную и антисимметричную части:
Yu/I = т ldiui + ^^Л ^Ь = 4 № - д<и^ - £«/А-(3)
В векторной записи мы получим антисимметричную часть Y<0> = e/MY^ в виде•
VA=yrotu—<о, или Nt = Vki-ndtum — tok‘ (4)
Рассмотрим теперь однородные уравнения (1) и (2). Подставляя в них
<о = у rot и — ул,(5)
получим
pV2u + (^ + и) grad div u = 2а rot ул,(6)
(у + е) У2ул—4аул + (Р + Y~е) grad div ул = у (у + е) V2 rot и. (7)
Заметим, что подчеркнутые в уравнении (6) члены входят в уравнения в перемещениях классической теории упругости. При отсутствии массовых сил уравнения в перемещениях теории симметричной упругости имеют вид
pV2v + (Л + p)grad div v = 0, V2rotv = 0.(8)
Функция rot v гармоническая, и уА = 0.
Если предположить, что v = и, ул = О, и учесть формулы (8), то уравнения несимметричной упругости (6) и (7) удовлетворятся. Функции v = и, ул = О можно трактовать как частные решения уравнений (6) и (7). Очевидно, что каждое состояние равновесия классической упругой среды является также состоянием равновесия и среды Коссера1).
Частное решение v = и, ул = 0 позволяет последовательно определить величины <o = yrotv, uli = dtto!, а из соотношений
— также и моментные напряжения. Так как в силу уЛ = 0 тензор напряжений а^ симметричен, второе уравнение равновесия принимает вид
Ujt.j =0.
') Schaefer Н., Das Cosserat-Kontinuum, ZAN1M, 47, № 8 (1967),
Нагрузки Pi и моменты mt, действующие на поверхности тела п связанные с частным решением, образуют систему, находящуюся в равновесии.
Используя частное решение u =v, уА = О, получим достаточно просто общее решение системы уравнений (6) и (7). Выразим уА через градиент некоторого скаляра £ и ротор некоторого вектора rot Q:
ул = grad £ + rot rot О.(9)
Подставив формулу (8) в (6), найдем
u = v — 2-^-rotQ.(10).
Подставляя формулу (9) в (7) и учитывая (10), получим систему уравнений
V2^ —v^ = 0,(11)
VQ — аЧ2 = 0,=.—(12)
2у + 0(V + е) Щ + а) х '
Ход рассуждений таков. Решаем уравнения (11) и (12) и решения £ и Q подставляем в (9) и (10). На основе соотношения (10) убеждаемся, что общее решение уравнений (6) и (7) удается представить как сумму решения v классической теории упругости и дополнительного решения
— 2 — rot й.
Разделение уравнений (1) и (2) можно произвести двумя методами. Первый, предложенный Миндлином') и Нейбером2), приводит к обобщенному представлению Папковича — Нейбера; второй, предложенный Сандру), является обобщением представления Галер кина. Займемся вторым методом, выражая перемещение и и поворот <0 через две функции напряжений ф и ф. Мы используем выражения, полученные в эластокинетике (формулы (15) и (16) § 13.12), отбрасывая в них производные по вре-
■) Mindlin R. D., Stress Functions for a Cosserat Continuum, I nt. J. Solids Structures, 1 (1965).
мени. Таким образом получим представление
и = (Л + 2р.) V2 [(у + е) V2 — 4а J ф — [(у + е) (Л + р — a)V2 —
— 4а2(Л + p)I grad div <₽ — 2а[(0 + 2у) V2 — 4а] rot ф, (13)
® = (р + a)V2[(0 4- 2y)V2— 4аJг|?—-
—[(р + а) (Р + у—е) V2—4а2] grad div ф—2а (Л 4" 2р) V2rot ф. (14)
Функции ф и 4 должны удовлетворять следующим дифференциальным уравнениям:
(Л + 2р) V2V2 [(р + а) (у + е) V2 - 4ра ] Ф + X = 0, (15)
V2[(P + 2y)V2 — 4a][(p + a)(y + e)V2-4pa]r|> + Y = 0. (16)
К настоящему времени решено несколько статических задач несимметричной теории упругости, в основном двумерных задач. Ниже мы дадим только фундаментальные решения для бесконечного пространства, к которому приложены сосредоточенные силы и моменты. Мы могли бы здесь использовать решения § 13.14, осуществив в них предельный переход а>->-0. Однако мы пойдем другим путем и решим в бесконечном пространстве систему уравнений
V2O + -L» = 0, (V2 — х2)2+4 а = 0,С[с3
V2(V2-^)TL(V2-2p)X + 4rotn, (17)
V2 (V2 — ^2) Н = X rot хт ^2т1>с2С4
здесь
,2_ 4ац. 2 _ 4а 2аga
(ц. + а) (у + в) 'р+2у’ ц + а’ Р=у+«’
Уравнения (17) получаем непосредственно из уравнений (6) и (8) § 13.7, отбрасывая в них производные по времени. Рассмотрим сначала действие единичной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и направленной по оси Xi:
Ху = б (xj б (х2) б (х3) бд.
Из формул (14) § 13.14 получим
*=-^'Ы' Xl=0> %2^1^Ы' Хз=-4^д2у.
Так как а = 0,1] = 0иЧ/1=0, остается система уравнений
4npcj \ R /
V2 (V2 - ^ ф = _ _L_ (V2 _ 2р) д3 ,4лрс2А R/
X2^2_^H2=PdvdiLy 4лрс2\ R /
92(у2_ЭД= Р эд/П.
4лрс,\ R /
Решениями этих уравнений являются функции
8лрС[
Чг2= —L^-r(V= —2р)д3Г,
4лрс26
(19)(19)^3=—^(V2-2p)d2r,4лрс2&
(19)
(19)
^1 = -—^(^-^)Г, Я2 = -А7Т^2Г,4лрс2&4лрС2«
^з = —ЦтгМГ,4лрС2«
где»-№ - 1 ь2Из формулгде»-№ - 1 ь2Из формулЪ2 = ± а 4цаZ2 (ц + а) (у + в) *Ъ2 = ± а 4цаZ2 (ц + а) (у + в) *
где
»-№ - 1 ь2
Из формул
где
»-№ - 1 ь2
Из формул
Ъ2 = ± а 4ца
Z2 (ц + а) (у + в) *
Ъ2 = ± а 4ца
Z2 (ц + а) (у + в) *
(20)(20)Ы1=д1Ф + д2Уз-д3У2, и2 = д2Ф-дх>¥а, ^ = 530 4-5^, СО] = <?2//3 даН2, а)2 = д2Нх дхНа, №3 = 6^2^2^\
(20)
(20)
окончательно получаем формулы для перемещений и поворотов:
&ЛГ+ад"а|'3/W~■Йрд'а! (~5
<22>
В частном случае а = 0, т. е. в классической теории упругости, имеем
Л + Зц. 6., Л + и. х.х,
/ 8лц (X + 2ц) R ' 8лц(Х+2ц) R3 ’
Формулы (21) и (22) можно обобщить на случай силы, приложенной в точке | и направленной по оси X;. Для этого случая в формулах (21) и (22) следует заменить индекс 1 на i, a R трактовать как расстояние между точками х и |.
Пусть теперь в начале координат приложен единичный сосредоточенный момент У, = б(х1)6(х2)д(х3)би. направленный по оси хх. Из системы уравнений (17) останутся уравнения
4л7с.
V4V=-^)V1 = --^(VJ- 4nZcj
(24)(24)V2(V2-^)T2=-^-^2M 4л/С4\ Я
(24)
(24)
V2 (V2 — £2) Т3 = —дхдл (- ' 34л7с^ 1 3 (R
4idc\
v2(v2-^) =
4л1б4\ R
При этом мы подставили в уравнения (17)
1 а И л 1( 1 )1/ 1 \
°^ = 0’ ^^«M^J. Пз = -^^(^J-
Решениями уравнений (24) являются функции
2 =2 =( 1 -е-^'16ла \ R ,( 1 -е-^'16ла \ R ,1 4а1 4а^1 = -^1 = -4л1с\к*4л1с\к*(V2—д?)Г,(V2—д?)Г,4я1с44я1с4^3=—ЬТТ^3=—ЬТТМГ, нх = о, я2 = _^_O-R31 д2V2r, Г — — - — R.R 2МГ, нх = о, я2 = _^_O-R31 д2V2r, Г — — - — R.R 2e-W - 1e-W - 1d3V2r,d3V2r,(25)(25)
2 =
2 =
( 1 -е-^'
16ла \ R ,
( 1 -е-^'
16ла \ R ,
1 4а
1 4а
^1 = -
^1 = -
4л1с\к*
4л1с\к*
(V2—д?)Г,
(V2—д?)Г,
4я1с4
4я1с4
^3=—ЬТТ
^3=—ЬТТ
МГ, нх = о, я2 = _^_
O-R31 д2
V2r, Г — — - — R.
R 2
МГ, нх = о, я2 = _^_
O-R31 д2
V2r, Г — — - — R.
R 2
e-W - 1
e-W - 1
d3V2r,
d3V2r,
(25)
(25)
Используя соотношения
^=^3-^2,«2 = ^1 -^1^3,«3 = ^2-^,,
со, =5,5 + д2//3 — д3Н2, №2 = д2^ — дхН,, со3 = 5.5 + дхН2, ^26^
получим
4" = s+^+[+1-e''">h(27)
«-y—^s^i [+' -«-“>] + т^^, Ь+ —=-w>]+ + T(V++—К <28>
Подстановка a = 0 в формулу (27) дает u^ = 0. Из формулы (28) при a = 0 получаем
1 / 11 \
“/" = 8+( 2у + Р “ у + еМ^Л^) + 4л(у + е)Я 1(29)
Эта формула относится к гипотетической среде, допускающей только повороты.
Теория температурных напряжений
Под теорией температурных напряжений мы понимали в симметричной упругости такую теорию, в которой пренебрегают связанностью поля деформаций с полем температуры. Упрощения, найденные при пренебрежении этой связанностью, легче всего будет продемонстрировать на уравнениях несимметричной термоупругости § 13.5.
Опуская член т>о div и в уравнении теплопроводности, описываем температуру упрощенным классическим уравнением
(v2 — — 5^0 = -^-.(1)
\X Г/У.' '
Уравнения в перемещениях остаются без изменений:
(X + 2ц) grad div u — (ц + a) rot rot u + 2a rot ® + X =
= pu + v grad 0,(2)
(P + 2y) grad div ®—(y + e) rot rot ® + 2a rot u—4a® + Y = Z®. (3)
Здесь постоянные щ X относятся к изотермическому состоянию.
Уравнение (1) становится независимым от уравнений (2) и (3). Из уравнения (1) определяем температуру 0 и подставляем -ее уже как известную функцию в уравнение (2). После решения
системы уравнений (2) и (3) определим составляющие тензоров ул и к,,, а напряжения найдем по формулам
ац = 2^(1Й + 2ay<z/) + (^Y66 - vO) Д,(4)
Ptj = 2^tn + 2ex<z/> + вчДг(5)
Принцип виртуальных работ идентичен уравнению (2) § 13.8:
J [№ — puz) 6uz -Ь (Уt — J&i) 6coz J dV + J (pi but + mt 6j>z) dA = VA
= dr8-v j0dY»6dy.(6)
v
Здесь температура 6 — известная функция.
Так же как и в теории температурных напряжений с симметричным тензором напряжений, можно и здесь дать обобщение некоторых вариационных теорем: теоремы о минимуме потенциальной энергии, теоремы о минимуме дополнительной энергии и обобщенную вариационную теорему Рейсснера.
Вторую из основных общих теорем, а именно теорему о взаимности работ, получим из теоремы для связанной термоупругости (из уравнения (6) § 13.9). Это уравнение имеет вид
/ (ХД + У^) dV + j (рД + m,^) dA =
VA
= J (^й, + yz'®z) dV + j (рД + m^z) dA 4- VA
+ v j (0 уй6 — 0у^)йУ, йДх, p) = JMz(x, t)e-p‘dt(7)
vо
Здесь функции 0 и 0' являются известными, найденными из решения уравнений теплопроводности. Общая теорема о взаимности работ получается сверткой уравнения (7).
Если тепловой поток стационарен, то теорема взаимности принимает вид
/ (ХД + УД) dV 4- j (рД + шД^А = [ (ХД 4- Y'^dV 4-
vАV
+ J (рД + тД) dA 4- v j (0'уАА — 0у^) dV. (8) ДИ
Рассмотрим упругое тело V, ■ подвергающееся действию стационарного температурного поля, жестко закрепленное на поверх-
ности Л„ и свободное от нагрузки на Ла. Пусть, кроме того, Хг = 0, ¥( = 0. Для определения перемещения щ(х), xeV, рассмотрим то же самое тело с теми же самыми граничными условиями, но находящееся в изотермическом состоянии (6'= 0). Пусть в точке | приложена сосредоточенная сила Х\ = б(х — ^Ь1к, параллельная оси хк. Эта сосредоточенная сила вызывает в теле поле перемещений 17z6|(x, Е), которое выбираем так, чтобы были выполнены все граничные условия. Из формулы (8) при X, = 0, Уz = 0, У; = 0, 0' = О получим
ик (х) = V / 0 (I) U^r (Е, х) dV (I), хе У.(9)
v
Пусть теперь в точке § приложен сосредоточенный момент У; = б(х — ?)б«, параллельный оси хк. Поле перемещений, обусловленное этим моментом, обозначим через У?’(х, Е.). При этом предположим, что перемещения удовлетворяют однородным смешанным граничным условиям на поверхности А. Из уравнения (8) в предположении, что Xi = 0, У; = 0, ^/ = 0, 0' = О, получим
^(x) = vj 0фУ<%(^ xW®, xeV. (10) V
Соотношения (9) и (10) можно трактовать как обобщение метода Майзеля1) на статические задачи несимметричной термоупругости.
Рассмотрим еще интересное следствие относительно изменения объема тела, вызванного температурным полем. Умножим уравнения равновесия•
O/Z./ + ^i = 0, ^iik^jk + Ц/z, / + У, = 0(П)
на Xi и проинтегрируем по объему У односвязного тела:
j (,ojti l-\-XI')xIdV = 0, j («z/^m + H//. ixtA-Yixi')dV = 0. (12) vv
Замечая, что p, = оцП), mt = p;,»/. и применяя теорему Гаусса— Остроградского, получим
j P1xtdA + j XtxtdV = / айй dV,(13)
АVV
j mtxtdA+ / YtxtdV + ]" е1}кХ1О1к dV = J y.kkdV.(14)
avvv
*) В. M. Майзель, loc. cit. стр. 476.
Учитывая, что
Оць = З^Y44 — 3v6, рйе = Зйхйй, где
К = Л + |р, Q = 0 + |y, получим
J Y,u^ = з^ И PiXi dA + J XiXi dH + За J 0 dV, (15)
V\ЛV/V
j x^dE—g^V J mtXtdA + J YtXidV + J е./^и^ dH. (16)
V\AVV)
Интеграл J 4kkdV = А У представляет собой приращение объ- v
ема тела. Из формулы (15) мы видим, что это приращение зависит исключительно от нагрузок pt, массовых сил Х^ и приращения температуры 0. Величина (16) представляет собой интеграл от div о по объему тела или, учитывая, что [ х^ dV = J со/И;- dA,
VА
интеграл от нормальной составляющей вектора поворота по поверхности А. Этот интеграл зависит от всех причин, действующих на тело, ибо на напряжение о^ оказывают влияние также нагрузки р^ массовые силы Х{ и приращения температуры 0.
Если на односвязное тело не действуют внешние силы, то
ДУ = За, j0dE.(17)
v
С другой стороны, из уравнения (13) при pt = О, Х{ = 0 имеем
^ckkdV = 0.(18)
v
Формулы (17) и (18) идентичны полученным в рамках классической термоупругости.-
Представленные здесь формулы можно получить также более общим путем, используя теорему взаимности.
Двумерные задачи теории температурных напряжений
Предположим, что как перемещения, так и повороты не зависят от переменной х3. Тогда плоское деформированное состояние описывается векторами
(1)(1)иг(их, и^, 0), со = (О, 0, (£>з).
(1)
(1)
Деформированное состояние характеризуется величинами
Yn = d1u1,Y22 ^ ^2^2> Yi2 = d,u2 ®з,Y21 = ^гЫ] + (Оз,
х13 = д,а)з, х2з = д2со3.1
Из этих уравнений вытекают зависимости
^1Y21^2Y11 = Х13,^1Y22^2Y12= Хгз, ^Хгз = d2X13,(3)
или.
afV22 + д2ТП = <9,д2(У12 + V21),
^2V12 ~ ^Ч, = did2 (V22 — Yi 1) — p,xI3 + d,x23),(4)
<5iX23 — +xl3 = 0.
Это условия геометрической совместности для двумерного деформированного состояния.
Тензор напряжения характеризуется следующими матрицами:
Оц
0,2
0
0
0
И13
о =
О21
°22
0
. ц =
0
0
Р-23
0
0
°33
Нз1
Н32
0
причем
о11 = 2ру1] +Лу**—V0, 022 = 2^X22 + ^6—v0, а33=Лубб—v6,
®i2 = (И + а) Y12 + (И — а) Y21, <^21 = (и + а) Y21 + (и — а) у12,
Н1з = (Y + е) хп, ц23 = (у + е) х23,Ц31 = (у — е) х13,
^23 = (У — е)х23, Y*& = Y11 + Y22-
Разрешая последние уравнения относительно составляющих ytj, получим
Y'>= ТгК ~ шТТо (<т" + ff22) + 2ДЛ + ц) 6] ’
Y22 = V Ь2 ~ Т(МЙ7(<Т|1 + °22) + 2 (Л + ц) 6] •
11(6)
Yt2 = ■4^7 (+2 + ^21) + "4^" (ст12^l),
Y21 = 7^7 (°12 + ^21)4+ (ff12а21)‘
Для плоского деформированного состояния имеем три уравнения равновесия:
д^ц + d2ol2 = 0,д1о12 + д2о22 = 0,
— ^21 + ^1^13 + ^2^23 = 0.( '
Эти уравнения удовлетворяются следующим представлением ): °п = d2F~ дА^ ^2 = dvF + ^ДФ, 0,2 = — dtd2F — S^,а21 = — d,d2B + д|ф, (8)
Ц1з = д,ф, p23 = M-
Остается еще выполнить условия совместности (4). Выражая деформации через напряжения, имеем
^22 + 5Ai — 2 (л + ц)v2 Ai + "22) + xqr^ v2e =<51д2(а|2+<т2|),
— М (а22 — а„) + у [А — д^(а|2 + а2|)] + уу V2 (а12 — а21) + 2ц(9)
+ Т$гАН1з + <52Р2з) = 0,
51Р23 = д2Н1з-
Подставляя в формулы (9) напряжения, выраженные через функции F и ф, найдем три уравнения
\2\ip 4-V29 = 0,(10)
х2^2 — 1)Ф = о,(11)
<W = <W,- /2 = А±М£у+^.(12)
Первое уравнение известно из классической термоупругости. Это уравнение для стационарной задачи можно записать в виде
Р = 7Г^Г.(10а)
Если отсутствуют источники тепла (Q = 0), то уравнение (10а) переходит в бигармоническое уравнение для функции Эри. Уравнение (11) остается без изменений.
Функции F и ф не являются независимыми: они связаны соотношениями (3). Выражая входящие в эти соотношения величины через напряжения, а эти последние через функции F и ф, получим зависимости
5, (ф _ /2ф2ф) =. _ дэ2\'2р — Вд20,
д2(ф — /2У2ф) = Ad^2F +В<9,0,(13)
л _ (А, + 2ц) (у + в)о _ v (у + е)
Л 4ц (X + ц) ’° ~ 2 (Л + ц) *
Нужно еще поставить граничные условия, связанные с плоским деформированным состоянием. Рассмотрим бесконечный цилиндр с направляющими, параллельными оси х3, нагрузка на боковой поверхности которого не зависит от переменной х3. На боковой поверхности цилиндра должны быть выполнены условия
Рх = "11^, + о]2п2, р2 = ^l^l + ^«2. «3 = И31«1 + Н32«2- (14)
Здесь п= («1, «г, 0)—составляющие единичной нормали к границе s сечения х3 = const цилиндра. Выражая напряжения через функции F и ф и учитывая, что
dxtds ’dxtds ’/ х dx-i dx2/ x dx2
dxt
ds ’
dxt
ds ’
И, = cos(n, Х,) = -7^- = -7-^,n2 = cos (n, x2) = —A =
\ •1/ дп ds •2\ I 2/ Дп
представим условия (14) в виде
d / dF<Эф \ d / dF . <Эф \ ds \ dx2dxt /^u ds \ dxt ‘ дх2 /^2’d / dF<Эф \ d / dF . <Эф \ ds \ dx2dxt /^u ds \ dxt ‘ дх2 /^2’Поэтому dFПоэтому dF<ЭлЬ , дф ^' + ^2 = m3.<ЭлЬ , дф ^' + ^2 = m3.<Эфdx2 dxt<Эфdx2 dxt— f dF~'2- "d^— f dF~'2- "d^дфдх2дфдх2дф"dn" = ГПз"дф"dn" = ГПз"(15)(16)(15)(16)
d / dF<Эф \ d / dF . <Эф \
ds \ dx2dxt /^u ds \ dxt ‘ дх2 /^2’
d / dF<Эф \ d / dF . <Эф \
ds \ dx2dxt /^u ds \ dxt ‘ дх2 /^2’
Поэтому dF
Поэтому dF
<ЭлЬ , дф ^' + ^2 = m3.
<ЭлЬ , дф ^' + ^2 = m3.
<Эф
dx2 dxt
<Эф
dx2 dxt
— f dF
~'2- "d^
— f dF
~'2- "d^
дфдх2
дфдх2
дф
"dn" = ГПз"
дф
"dn" = ГПз"
(15)
(16)
(15)
(16)
Sf2= j pA^ds.SoSf2= j pA^ds.SoЗдесь мы ввели обозначения
S
f2= j pA^ds.
So
S
f2= j pA^ds.
So
Л = — J PaWs,
Ss
Условия (16) эквивалентны условиям dF . дф £. ,dFдф ££дф
dn + ds—fini+M2>^dn~ f2ni — f\П2,-g- rn3. (17)
Особенно интересен случай, когда боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок ^рх = 0, р2 = 0, т3 = 0). Единственной причиной деформации цилиндра остаются источники тепла и нагрев боковой поверхности. Условия (17) становятся однородными. Получим
dF . <Эф dn. ‘ dsdF . <Эф dn. ‘ dsdF dsdF ds0,0,<Эф dn<Эф dn0.0.(18)(18)
dF . <Эф dn. ‘ ds
dF . <Эф dn. ‘ ds
dF ds
dF ds
0,
0,
<Эф dn
<Эф dn
0.
0.
(18)
(18)
Вернемся теперь к уравнениям (Юа) и предположим, что в бесконечном цилиндре нет источников тепла. Деформация этого цилиндра происходит исключительно за счет стационарного нагрева боковой поверхности; уравнение (Юа) становится однородным. Предположим, что 6 = const. Тогда в силу однородных
граничных условий (18), однородных уравнений (10) — (12) и условий (13)
F = 0, ф = 0(19)
во всем цилиндре.
Из формул (8) вытекает, что напряжения ои, о22, oi2, риз, ц2з равны нулю. Единственным отличным от нуля является напряжение озз, причем
о3з = Ау^ — v0, Y^ = Yu + y22.
Учитывая соотношения (6), получим
а„ = - -EL_ 0 = _ £а 0.(20)
13.19. Псевдоконтинуум Коссера
Братья Коссера рассматривали также упрощенную теорию, в которой принято, что поворот локального трехгранника равен среднему повороту поля перемещений. Итак, принято, что
VA = -^-rotu — (» = 0.(1)
Однако взаимодействие сил через произвольную поверхность тела происходит за счет напряжений <т^ и моментных напряжений ц^. Оба тензора считаются в дальнейшем несимметричными.
Так как в выражении О;, = 2цу<г/) + 2ау(1/) + б^Ху^ несимметричная часть тензора не исчезает, величина 2ау<(;> (либо <тА = 2ауА) может быть отличной от нуля. Величина сгА = 2ауА становится в силу наложенного кинематического допущения (1) опорной силой в смысле Хамеля *).
Подставляя в уравнения эластостатики общего континуума Коссера (в предположении отсутствия массовых сил) )
S’(и) — 2arotyA = 0,(2)
(у+е) V2ya + (P+y—е) grad div уА—4ауА — у (у+ е) V2 rot и = 0 (3) зависимость (1) и соотношение
ол = 2ауА,(4)
где <тА — конечная величина, из уравнения (3) получим
<тА = — у (у + е) V2 rot и.(5)
Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем1)
$ (и) — rotoA = 0(6)
или.
p.V2u + (X + р.) grad div u — rotcrA = 0.(7)
Учитывая (5), имеем окончательно
pV2u + (X + р) grad div u + -^ (у + e) rot rot V2u = 0.(8)
Кроме постоянных Ламе p, X, в уравнения в перемещениях входят постоянные у и е.
В этой упрощенной теории мы получили три уравнения в перемещениях (8). Решение этой системы уравнений при учете заданных граничных условий приводит к определению вектора и. Из формулы (1) получим вектор <о. Поэтому мы можем определить тензоры уо и хг/.
В соотношении
Но = 2УХ(О) + 2ех<о> + КД/(9)
обращается в нуль величина х^, ибо
div и = х^ = ^ div rot u = 0.
Формулу (9) можно записать в виде
У-a = N^djtot + diW/) + s(d/(oz — dzo)/).(10)
Симметричную часть тензора напряжений о£, мы получим из формулы
°ищ = 2Н^г/) + ^Д/.(Н)
где
Величину aUh определим непосредственно из уравнения равновесия
£Ик°1к + P/z, s = 0-(12)
Умножая это уравнение на ezim и используя тождество
^ilm^iik ^lj^mk ^Ik^mji получим
^m^^^lm-^^-^Um^jl.r(13)
*) Н. Schaefer, loc. cit. стр. 841,
Работа деформации, отнесенная к единице объема, имела в общей теории Коссера вид
W^^Gi^tj + ц(/х;/).(14)
Первый член этого выражения представим в виде
4 °цЧц = I l<Win + «W^ = | (о «М + ^Vy
Заметим, что в упрощенной теории Коссера член о^А не дает вклада в работу деформации, этот член равен нулю.
Вернемся к уравнению (8). Перемещение и = V, удовлетворяющее уравнениям
$ (у) = pVv + (X + ц) grad div v = О, V2rotv = 0,(15)
является частным решением уравнения (8). Здесь v — решение однородных уравнений классической эластостатики. Общее решение уравнения (8) можно представить в виде
u = v — rotx-(16)
Подставляя формулу (16) в уравнение (8), получим уравнение
служащее для определения функции %. Зная эту функцию, можно определить величину <тА. Подставляя формулу (16) в (5) и принимая во внимание уравнения (15) и (17), имеем
оА = ц rot rot %.(18)
К уравнениям в перемещениях (8) следует добавить граничные условия. Заметим, что структура уравнений в перемещениях не соответствует шести граничным условиям. Если на поверхности заданы перемещения, то не удается независимо выразить нормальную составляющую вектора поворота. Мы имеем пять кинематических граничных условий. Аналогично обстоит дело и с условиями в нагрузках. Читателя, интересующегося этой задачей, отсылаем к работе Койтера1), где эта задача подробно обсуждена.
Теория псевдоконтинуума Коссера хорошо развита. Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано решение ряда задач. Так, Миндлин и Тирстен 2) в цитированной
выше работе обобщили представление Папковича — Нейбера для статических задач, а также получили фундаментальные решения в бесконечном упругом пространстве. Их теоретические выводы были проиллюстрированы несколькими примерами. Они относятся к колебаниям плиты, крутильным колебаниям цилиндра и статической задаче, связанной с напряженным состоянием в бесконечном пространстве со сферической полостью.
Муки и Стернберг), а также Боги и Стернберг) занимались задачей плоского деформированного состояния. Были обобщены решения Файлона и обобщена на континуум Коссера задача о штампе. Особенно интересными являются следствия, касающиеся сингулярных решений для плоского деформированного состояния.
Савин) широко развил применение функций комплексной переменной к двумерным задачам, введя ряд обобщений и решив несколько задач о концентрации напряжений около отверстий.
Видимо, в будущем развиваться будет общая теория континуума Коссера, теория, основы которой мы набросали в § 13.1 — 13.18. Однако ее развитие требует проведения экспериментов, прежде всего определения всех материальных констант.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)
Теории упругости посвящен ряд монографий; изложение этой теории содержится также во многих обширных учебниках технической механики и теоретической физики. Ниже мы приводим важнейшие, по мнению автора, монографии и разработки, отражающие как исторические достижения теории упругости, так и тенденции ее развития.
Аппель (Appel Р.)
Traite de mecanique rationnelle, ed. Ill, vol. Ill, Gauthier-Villars, Paris, 1921.-
Бабушка, Ректорис, Вычихло (BabuSka L, Rektorys K-, Vycichlo F.)
Matematicka theorie rovinne pruznosti, NCSAV, Praha, 1955; немецкий перевод: Mathematische Elastizitatstheorie der ebenen Probleme, Akademie Verlag, Berlin, 1960.
Био (Biot M. A.)
Mechanics of Incremental Deformations, Wiley, New York, 1965.
Бицено К. Б., Граммель Р.
Техническая динамика, т. I, Гостехиздат, М., 1950.
Боли Б., Уэйнер Дж.
Теория температурных напряжений, «Мир», М., 1964
Брдичка (Brdicka М.)
Mechanika Kontinua, NCSAV, Praha, 1959.
Вестергард (Westergaard H. M.)
Theory of Elasticity and Plasticity, Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass., 1952.
Вольтерра, Вольтерра (Volterra V., Volterra E.)
Sur les distorsions des corps deformables, Gauthier-Villars, Paris, 1960.
Грин А., Адкинс Дж.
Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды, «Мир», М., 1965.
Грин, Зерна (Green А. Е., Zerna W.)
Theoretical Elasticity, Oxford Univ. Press, London, 1954.
Губер (Huber M. T.)
Teoria sprgzystosci, t. I, t. II, PAU, Krakow, 1948, 1949.
•Ильюшин A. A.
Механика сплошной среды, Изд-во МГУ, М., 1971.
“Коваленко А. Д.
Основы термоупругости, «Наукова думка», Киев, 1970.
Кольский X.
Волны напряжения в твердых телах, ИЛ, М., 1955.
*Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили И. О., Бурчуладзе Т. В Трехмерные задачи математической теории упругости, Изд-во ТГУ, Тбилиси, 1968.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
Механика сплошных сред, Гостехиздат, М., 1954
Лейбензон Л. С.
Курс теории упругости, ОГИЗ, М., 1947.
Лехницкий С. Г.
Теория упругости анизотропного тела, ОГИЗ, М., 1950.
Лурье А. И.
Пространственные задачи теории упругости, Гостехиздат, М.. 1955.
•Теория упругости, «Наука», М., 1970.
Ляв А. Е.
Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
Мандель (Mandel J.)
Cours de mecanique des milieux continus, vol. I, II, Gauthier-Villars, Paris, 1966.
Мусхелишвили H И.
Некоторые основные задачи математической теории упругости, Изд-во АН СССР, М„ 1949; изд. 5, «Наука», М„ 1966.
Новацкий (Nowacki W.)
Thermoelasticity, Pergamon Press, PWN, Oxford—Warszawa, 1962.
Динамические задачи термоупругости, «Мир», М., 1970
Новожилов В. В.
Теория упругости, Судпромгиз, Л., 1958.
Нолл, Трусделл (Noll W„ Truesdell С. А.)
The Non-linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik, Band 3, Teil 3, Springer, Berlin, 1964.
Паркус Г.
Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, М., 1963.
Пирсон (Pearson С. Е.)
Theoretical Elasticity, Harvard Univ. Press, Cambridge, 1959.
Прагер В.
Введение в механику сплошных сред, ИЛ, М., 1963.
Пуанкаре (Poincare Н.)
Le^on sur la theorie de I’elasticitd, G. Carre, Paris, 1892.
Руа (Roy М.)
Mecanique de milieux continus et deformables, vol. I, II, Gauthier-Villars, Paris, 1950.
Саусвелл P. B.
Введение в теорию упругости для инженеров и физиков, ИЛ, М., 1948.
*Седов Л. И.
Механика сплошной среды, т. 1—2, изд. 2, «Наука», М., 1973.
Снеддон И. Н., Берри Д. С.
Классическая теория упругости, Физматгиз, М., 1961.
Собреро (Sobrero 2.)
Elasticidade, Livraria Bofforni, Rio de Janeiro, 1942.
Сокольников (Sokolnikoff I. S.)
Mathematical Theory of Elasticity, AAcGraw-Hill, New York, 1956.
Соломон (Solomon L.)
Elasticity lineaire, Masson, Paris, 1968.
Тимошенко, Гудьер (Timoshenko S., Goodier J.)
Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York, 1934 !).
Треффц E.
Математическая теория упругости, ГТТЛ, М., 1934.
Трусделл, Тупин (Truesdell С. A., Toupin R. А.)
The Classical Field Theories, Handbuch der Physik, Band 3, Teil 1, Springer, Berlin, 1960.
Фёппль (Foppl A.)'
Vorlesungen fiber Technische AAechanik, Bd. Ill, V, Teubner, Leipzig, 1927, Фёппль А., Фёппль Л.
Сила и деформация, т. I, т. II, ОНТИ, М., 1938.
Фын (Fung Y. С.)
Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, New Jersey, 1965.
Эвинг, Ярдецкий, Пресс (Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F.)
Elastic Waves in Layered Media, McGraw-Hill, New York, 1957.
Эринген (Eringen A. C.)
Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill, New York, 1962.
Ясиньский (Jasinski F.)
Pisma, t. I: Statecznosc konstrukcji i teoria sprgzystosci, PWN, Warszawa, 1961.
*) В издательстве «Наука» готовится перевод 3-го издания (1970 г.).—
Прим, перев.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная температура 70
Адиабатические стенки 68
Адиабатический процесс 69
Альманси теорема 181
Амплитуда колебаний 558
Аналогия массовых сил 469, 481, 724
— мембранная 419
Анизотропия 77, 93
Асимметрия тензора деформаций 798, 802
напряжений 798. 800
Белырами —/Мичелла уравнения 118-119, 485, 574
Беттн метод 254
— теорема взаимности 138, 476, 813
— формулы 250
Бруса жесткость на кручение 411
<эффективная 449
— нзгнб парами снл 402
поперечными силами 402, 449
— крутка 410
— кручение 407
— осевое растяжение 402
Буссинеска задача 223
— решение второго рода 201
— функция 195
Вебера формула 640, 641
Вектор напряжения 40, 44
— перемещения 14
комплексный 358
— снл комплексный главный 359
— — массовых 40
Волна дилатации 553
— изгиба 717, 719
— кручения 717, 718, 810, 823
— Лява 687
— мнкровращения 826
— монохроматическая 825
плоская 554, 559, 776, 825
— поверхностная Рэлея 680, 685, 710, 791
— поперечная 557
— продольная 557
ё- сдвига 553
сферическая 711, 783
— цилиндрическая 714, 783
Вольтерры дислокации 540, 543
Всестороннее растяжение (сжатие) -59
Галеркнна вектор 189
— функция 189
Гамильтона принцип 593, 723, 821
Гельмгольца представление 186, 194
— теорема 636, 639
Геометрическая интерпретация Мора 54—55
Герца формулы 231, 233
Гиббса потенциал 82
Главные значения тензора деформаций 25
— напряжения касательные 54
,нормальные 49
— осн тензора деформаций 24, 26
напряжений 49
Граффн уравнение 599
Грнна тензор деформаций 18
перемещений 143—144
— функции 143
Гука закон 110
— соотношения 106
Гурса теорема 359
Давление термическое 482
Даниловской задача 746
Движения уравнения 63—65, 799
Девиатор напряжений 56
Деформации бесконечно малые 28
— конечные 16
— в криволинейных координатах 173
— однородные 34
— остаточные И, 112
— пластические 11
— температурные 83, 531
Деформирование бесконечно малое 28
— конечное 16
Деформированное состояние плоское 305
Диатермические стенки 68
Дилатация 28
Диск упругий 313
Дислокации Вольтерры 540. 543
Дисторсия 463, 531
Длина волны 558
Дюгамеля — Неймана соотношения 79
Жесткость бруса на кручение 411
эффективная 449
Задача Буссинеска 223
— Даниловской 746
— Лэмба осесимметричная 705
— — плоская 700
Мнндлнна 238
— Сен-Венана 400
•=- о трещине 343
— Черрути 234
— о шаре 273
внешняя 278
внутренняя 278
— — штампе 350
Закон Гука 110
— изменения количества движения 63. 64
момента количества движения 63
— отражения плоской волны 677
— сохранения энергии 73. 801
механической 72
— теплопроводности Фурье 77
— термодинамики нулевой 68
— — первый 69
второй 69
Зоммерфельда условие излучения 639 конечности 639
Изгиб бруса парами снл 402
поперечными силами 402, 449
Изотропия упругого тела 103
Изотропный тензор 103
Инварианты тензора деформаций 25
напряжений 49
Источник тепла 87
— энтропии 74
Кастильяио теорема о минимуме дополнительной энергии 127, 469
частной производной работы деформации 158
Кельвина решение 204
Кирхгофа формула 642
Клапейрона тело 155
«— теорема 155
Клин упругий 341
Колебания упругого шара радиальные вынужденные 721
собственные 720
Колосова метод 357
Комплексные потенциалы 361, 414
Комплексный вектор перемещения 356
главный вектор сил 359
Контактные задачи 354
Континуум материальный 12
Координаты криволинейные 169
Лагранжа 15
ортогональные 169
— сферические 175
цилиндрические 173
Эйлера 15
Коссера доказательство теоремы существования решения уравнений эластостати ни 165
— псевдоконтииуум 798, 853
— среда 798
Коши поверхность напряжений 51
— формула 396
Коэффициент линейного теплового расширения 103. 104
— Пуассона 108
— теплопроводности 466
Коэффициенты Ламе 102
— — а адиабатических условиях 550
— изотермических условиях 106, 550
жесткости 81
податливости 80
Кристаллы системы гексагональной 99
моноклинной 96
ромбической 97
— триклинной 95
Кручение бруса 407
Купрадзе метод 612
Ламе оператор 853
— постоянные, см. Коэффициенты Ламе — решение 560,
Лежандра полиномы 276
Линия центров расширения — сжатия 212
Лихтенштейна доказательство теоремы существования решения уравнений эласто- статики 160
Лорана теорема 367
Лява волны 687
— функция 193
Майзеля метод 478. 726
— теорема 536, 730
— формула 730
Максвелла теорема о взаимности перемещений 143
Маха число 658
Метод Бетти 254
«= Колосова 357
— Купрадзе 612
— Майзеля 478, 726
— Мусхелишвили 357
— Пейна 339
Метод полуобратный Сен-Венана 401
— Треффца 180
Миндлина задача 238
Модуль всестороннего растяжения (сжатия) 106
сдвига 108
— Юнга 108
Момент крутящий 407
Моменты массовые 799
— поверхностные 797, 799
Мусхелишвили метод 357
Нагрузки сосредоточенные 141
Напряжение гидростатическое 56
— касательное 41
— нормальное 41
Напряжений оператор 614
Напряжения главные 49, 54
— моментные 798
— в сферических координатах 176
цилиндрических координатах 175
Напряженное состояние плоское 57, 318
обобщенное 315
Неразрывности уравнения 63
Окружающая среда 66
Онзагера постулат 77
Оператор Ламе 853
— напряжений 614
Описание Лагранжа 14
Эйлера 14
Определяющие уравнения 71, 79, 83, 85—86, 803
Оси главные тензора деформаций 24, 26
напряжений 49
Отображение конформное иа единичный круг 370
Отражение плоской волны от абсолютно жесткой стенки 679
— Свободной поверхности 675
Параметры состояния 67
— интенсивные 76
экстенсивные 76
Пейна метод 339
Папковича — Нейбера представление 184
Перемещение 14
— виртуальное 120, 121
Пластинка кольцевая 338
■— круговая 339
—^неограниченная с круговым отверстием
Пластичность 11
Плоское состояние деформированное 305
напряженное 57, 318
обобщенное 315
Плотность 12
Поверхность напряжений Коши 5]
Полупространство упругое 212
Потенциал запаздывающий 621
— объемный 615
слоя двойного 615
простого 615
» температурный 766
термодинамический Гиббса 82
термоупругого перемещения 482
— упругого перемещения 197
Потенциалы комплексные 361, 414
Поток тепловой 72
Прандтля аналогия, см. Аналогия мембранная
Предел пропорциональности 112
— текучести 112
Представление Галеркина 188
Гельмгольца 186, 194
Представление Папковнча — Нейбера 184
— Яковаке 568
Принцип виртуальных работ 121. 468, 588, 723, 811
— Гамильтона 593, 723. 821
— Сен-Венана 294, 295
— статически эквивалентных нагрузок 295
— транзитивности 68
Процесс адиабатический 69
— изотермический 82
— квазистатнческий 69
— неустаиовившийся 69
— необратимый 69
— обратимый 69
— термодинамический 69
Пуассона интеграл 416, 627
— коэффициент 108
Работа виртуальная 121
— дополнительная 85, 91
Равновесие механическое 68
— тепловое 68
— термодинамическое 68
— химическое 68
Равновесия уравнения 66
Распространение волны в упругом слое 690
кручения в стержне 717
— продольной в стержне 695
Растяжение всестороннее 106
осевое бруса 402
Расширения линейного теплового коэффн циеит 103, 104
Рейсснера вариационная теорема 132, 474
Решение Кельвина 204
— Ламе 560
неоднородное волнового уравнения 617
— Папковича — Нейбера 573
— Снеддона 248
« Тередзавы 241
— элементарное первого рода 207
второго рода 212
— Яковаке 567
Решения сингулярные уравнений теории упругости 208, 210-212, 828, 843—846
— фундаментальные уравнений эластоста- тики 181
Сен-Венана задача 400
— метод полуобратный 401
— принцип 294, 295
Сжатие всестороннее 107
Сила двойная без момента 210
с моментом 211
термодинамическая 76
Силы внешние 40
— внутренние 40
— инерции Даламбера 44
— массовые 40
— поверхностные 40
Симметрия тензора деформаций 18
— — напряжений 46
Система замкнутая 67
— изолированная 67
— однородная 68
основная 153
— физическая 67
Скорость дозвуковая 658
— сверхзвуковая 659
Слой упругий 261
Снеддона решение 248
Собственные напряжения 531
Сомильяны формулы 146, 606
Состояние деформированное 15, 22
— естественное тела 12
— напряженное 42
Состояние напряженное изотропное 109
одноосное 59
плоское 57, 318
•» обобщенное 315
— чистого сдвига 57, 59
Среда Коссера 798
— окружающая 66
— ортотропная 97
— сплошная 12
— упругая И
Тело анизотропное 77
— деформированное 41
— изотропное 103
— Клапейрона 155
— неоднородное 12
— однородное 12
— упругое 12
Температура абсолютная 70
— естественного состояния 78
— эмпирическая 68
Тензор вращения в описании Лагранжа 21
Эйлера 23—24
деформаций Альмансн 23
— — Грнна 18
Коши 23
несимметричный 798, 802
симметричный 18
— нзгиба-кручения 802
— изотропный 103
— Леви-Чивнты 26
— метрический 170
— напряжений 42
моментных 798
несимметричный 798, 800
симметричный 46
— перемещений Грина 143—144
— поворотов 831
— теплового расширения 83
— упругих постоянных 80—81
— шаровой 56, 103
Теорема Альмансн 181
— вариационная Рейсснера 132, 474
—• термоупругости 765, 768
взаимности Беттн 138, 476, 813
— —* Вольтерры 547
Майзеля 536, 730
перемещений Максвелла 143
— Гельмгольца 636, 639
— Гурса 359
единственности решения уравнений гео- рин термоупругости 767—768
—упругости 135, 479—481
= снесимметричной 813
Кастильяно о минимуме дополнительной
энергии 127, 469
частной производной работы де* формации 158
— Клапейрона 155
Лорана 367
— Менабрн 159
о минимуме потенциальной энергии 120, 125, 468
•в» существования решения уравнений эла- стостатнкн 159
Теория необратимых процессов 69
несимметричной упругости 797
« упругости II линейная 12 Теплоемкость при- постоянной деформации
79
постоянном напряжении 84
Тередэавы решение 241
Термоупругие волны 775
Термоупругости уравнения 88, 758
Треффца метод 180
Удар тепловой 722, 746
Удлинение относительное 18
Упрочнение материала 112
Упругие постоянные 80
Упругость И
Уравнение Граффи 599
— притока тепла 86
Уравнения Бельтрами — Мичелла 118—119, 485, 574
движения 63—65, 799
— классической эластистатнкн и эластоки- иетики 90
— Навье 113
— неразрывности 63
— определяющие 71, 79, 83, 85—86, 803
— в перемещениях ИЗ, 479, 574. 805
— равновесия 66
— совместности 36. 38, 117 , 807
— состояния 68
— термоупругости 88. 758
— — в напряжениях 485
—перемещениях 479
— эластостатики в сферических координатах 175—176
— .цилиндрических координатах 173— 175
Условие излучения 639
—■ конечности 639
Условия граничные 89, 114, 480, 552, 806
— начальные 89, 552, 806
— сплошности, см Уравнения совместности
Фаза волны 655
Фазовая скорость волны 555
Формула Вебера 640, 641
— Кирхгофа 642
— Майзеля 730
— Шварца 415
Формулы Бетти 250
— Герца 231, 233
— Сомильяны 146, 606
Функции Грина 143
для термоупругости 788
— зональные 275
— комплексной переменной 357
— Папковича — Нейбера 184
Функции состояния 68
— сферические 274
— Треффца 182
— шаровые 273
“ Яковаке 568, 573
Функция Буссинеска 195
— Галеркина 189
— диссипации 766
— Лява 193
— напряжений изгиба бруса 453. 458, 459
кручения бруса 428, 453, 458
Эри 303■
= состояния 143
Фурье закон теплопроводности 77
Центр вращения 211
— давления 210, 212
— дилатации 2Ю
— расширения — сжатия 212
Цилиндр бесконечный 265
— конечный 271
Черрути задача 234
Шаровой тензор 56, 103
Шварца формула 415
Эластокниетнка 6, 91—92, 549
Эластостатика 6, 90—91, 105
Элементарное решение первого плттг ’07
второго рода 212
Энергия внутренняя 69, 801
— дополнительная 130
кинетическая 72
— потенциальная 122
— свободная 78, 755, 802
чисто объемной деформации НО
— чистого изменения формы 110
Энтропия 70, 73, 755, 802
—, баланс ее 73, 75. 802
—, источник ее 74,
—, обмен ее с окружающей средой 74
—, производство ее 74
Эри функция напряжений 303
Яковаке представление 568
— функции 568, 573
Абрамян 'Б. Л. 441
Адкинс (Adkins J- Е.) 857
Алблас (Alblas J. В.) 443
Альманси (Almansi Е.) 23, 181
Аппель (Appel Р.) 857
Арутюнян Н, X. 436, 441
Аэро Э. Л, 798
Бабушка (Babuska L) 357, 365, 857
Базилевич (Basilewitsch W.) 432, 435
Бай (Вау Н.) 335
Банкрофт (Bancroft D.) 698, 719
Барбер (Barber A. D.) 754
Басбридж (Busbridge L. W.) 347
Башелейшвили Н. О. 858
Бейтмен (Bateman Н.) 225
Бельтрами (Beltrami Е.) 118
Берри (Berry D.) 319
Бетти (Betti Е.) 7, 252, 254
Био (Biot М. А.) 521, 698, 700, 757, 763, 765, 768
Бицено (Biezeno С. В.) 857
Боги (Bogy D. В.) 856
Боджио (Boggio Т.) 568
Боли (Boley В. А.) 488, 492, 517, 541, 754, 767, 796, 857
Брдичка (Brdicka М.) 857
Бриллюэн (Brillouin L.) 779
Бройер (Breuer S.) 796
Бужиньский (Burzynski W.) 464
Бурчуладзе Т. В. 858
Буссинеск (Boussinesq J. V.) 195, 233, 299, 302, 626
Васютиньский (Wasiutynski Z.) 299
Ватсон (Watson G. N.) 644
Вебер (Weber С.) 294, 425
Вебер (Weber Н.) 641
Вейль (Weyl Н.) 160
Верле (Werle J.) 67
Вестергард (Westergaard Н. М.) 197 241.
593. 857
Войновский-Крнгер (Woinowsky-Krieger S.) 504
Вольтерра (Volterra Е.) 544, 857
Вольтерра (Volterra V.) 147, 544, 644. 857
Вычихло (Wycichlo F.) 357, 365, 857
Галеркии Б. Г. 188, 293, 823
Галин Л. А. 5, 354
Галка (Galka А.) 772
Гегелия Т. Г. 858
Гейтвуд (Gatewood В. Е.) 507
Гельмгольц, (Helmholtz Н.) 30, 636
Гельфанд И. М. 142
Герц (Hertz Н.) 231, 233
Гетнарский (Hetnarski R. В.) 795, 796
Гиркмаи (Girkmann К.) 329, 335
Гоголадзе В. Г. 693
Граммель (Grammel R.) 857
Граффи (Graffi D.) 599
Грии (Green А. Е.) 354, 857, 858
Грин (Green G.) 18
Гриоли (Grioli G.) 798
Гриффитс (Griffith А. А.) 343
Де Гроот (Groot S. R. de) 71, 77, 757
Губер (Huber М. Т,) ИЗ, 233 , 858
Гудьер (Goodier J. N.) 482, 497, 523, 859
Гук (Hooke R.) НО
Гуминьский (Guminski К.) 71
Гурней (Gournay L. S.) 750
Гуртин (Gurtin М. Е.) 187
Даниловская В. И. 746
Дересевич (Deresiewicz Н.) 776
Джеффрис (Jeffreys Н.) 757
Домбровский (Dabrowski R.) 335
Дэвис (Davies R. М.) 698
Дюба (Dubas Р.) 504
Дюгамель (Duhamel J. М. С.) 757
Дюгем (Duhem Р.) 561
Егер (Jaeger J. С.) 466
Журавский (Zdrawski М.) 754
Зальцман (Salzmann F.) 515
Занабонн (Zanaboni О.) 296, 297
Зеевальд (Seewald F.) 335
Зерна (Zerna WJ 354. 858
Зорскнй (Zorski Н.) 761
Игначак (Ignaczak J.) 120, 273, 487, 574, 575, 578, 580, 588, 686, 746, 749, 750, 754, 762, 773, 784, 786, 791-793, 796
Ильюшин А. А. ИЗ, 858
Ионеску-Казимир (lonescu-Cazimir V.) 760, 767, 768, 772, 775, 815
Калиский (Kaliski S.) 272, 761
Карслоу (Carslaw Н. S.) 466
Кельвин (Kelvin) 204, см. также Томсон
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 7, 644
Клебш (Clebsch А.) 561
Клитчиев (Klitchieff L М.) 432
Кнопов (Knopofl L.) 685
Коваленко А. А. 858
Койтер (Koiter W. Т.) 855
Колоннеттн (Colonnetti G.) 548
Колосов Г. В. 357
Кольский (Kolsky Н.) 858
Корн (Korn А.) 160
Коссера (Cosserat Е.) 7, 160, 798
Коссера (Cosserat F.) 7, 160, 798
Коул (Cole J.) 657, 664
Коши (Cauchy A. L.) 7, 23
Кремер (Craemer Н.) 335
Кромм (Kromm А.) 717
Крэгге (Craggs J. W.) 272
Кувшниский Е. В. 798
Купрадэе В. Д. 612, 614, 616. 617, 633, 784, 858
Лаврентьев М. А. 415
Лагранж (Lagrange J. L.) 7, 14
Ламе (Lame G-) 197, 294. 560
Ландау Л. Д. 858
Ларди (Lardy Р.) 528
Лармор (Larmor А.) 294
Лауричелла (Lauricella G.) 147, 160
Леви (Levy Р.) 163
Лейбензон Л. С. 858
Лензе (Lense J,) 273
Ленский В. С. 113
Лессен (Lessen М.) 795
Лехницкий С. Г. 858
Лея (Leja F.) 415
Лифшиц Е. М. 858
Лихтенштейн (Lichtenstein L.) 160, 163
Локкет (Lockett F. J.) 241, 248, 496, 791,
Лурье А. И. 230, 233, 239, 240, 272, 293, 294, 496, 858
Лэмб (Lamb Н.) 690
Ляв (Love А. Е, Н.) 191, 233 , 296, 688, 858
Мазур (Mazur Р.) 71, 77
Мазья В. Г. 168
Майзель В. М. 476. 478, 507, 536, 538, 730, 771, 848
Мак-Доуэлл (Mac Dowell Е. L.) 493
Мандель (Mandel J.) 858
Маргуэр (Marguerre К*) 195, 197
Мелаи (Melan ЕЛ 492, 496, 512
Мизес (Mises von R.) 300
Миндлин (Mindlin R. D.) 191, 241, 798. 799, 842, 851, 855
Мичелл (Micheli 3. H.) 118, 511
Михлин С. Г. 5. 168
Моисил (Moisil G. C.) 188. 760, 823
Mope (Morse P. M.) 446
Муки (Muki R.) 796, 856
My pa (Mura T.) 746, 749
Мусхелишвили H. И. 354 , 357, 502, 858
Навье (Navier L. M. H.) 7
Нариболи (Nariboli G. A.) 796
Нейбер (Neuber H.) 184, 842
Нисимура (Nishimura G.) 695
НовацкиЙ (Nowacki W.) 5, 152, 159, 335. 441, 476, 477, 492. 518, 607, 740, 741, 743, 754, 759, 762, 773, 775, 782 , 784—786, 789—792, 795, 798 , 801, 825, 829, 835, 858
Новацкнй (Nowacki W. K.) 735
Новожилов В. В. 5. 449, 858
Нолл (Noll С. А.) 858
Ноулс (Knowles 3. К.) 302
Олесяк (Olesiak Z.) 272
Осборн (Osborne М. F. М.) 695
Пальмов Н. А. 798
Папкович П. Ф. 184
Паркус (Parkus Н.) 492, 496 , 512, 741, 746, 858
Пейн (Payne L. Е.) 329. 331
Пехоцкнй (Piechocki W.) 750
Пирсон (Pearson С. EJ 858
Победря Б. Е. 168
Подстрнгач Я. С. 761
Похгаммер (Pochhammer L.) 698
Прагер (Prager W.) 858
Прандтль (Prandtl L.) 422
Пресс (Press F.) 710, 859
Прокопов Й. К. 272
Пуанкаре (PoincarG Н.) 858
Пуассон (Poisson S. D.) 7, 626
Пури (Puri Р.) 735
Путилов К. А. 67
Радок (Radok J. R. М.) 578, 581
Ранецкий (Raniecki В.) 733
Рафальский (Rafalskl Р.) 750
Рейсснер(ReissnerЕ.)132,134,593
Рейсснер(ReissnerН.)695
Ректорис(RektorysК.)357,365,857
Розенталь (Rosenthal F.) 294
Руа (Roy М.) 859
Рэлей (Rayleigh) 680, 690, 720
Рюдигер (Rudiger D.) 761
Савин Г. Н. 856
Садовский (Sadowsky М.) 293, 294, 352
Самарский А. А. 273
Сандру (Sandru N.) 564, 807, 823, 842
Саусвелл (Southwell R. V.) 130, 294 , 859
Седзава (Sezawa К.) 695
Седов Л. И. 859
Сельберг (Selberg Н.) 714, 716
Сен-Венан (Saint-Venant В.) 7, 18, 36, 295, 401, 429
Синг (Singh А.) 735
Слободянский М. Г. 187
Снеддон (Sneddon I. N.) 213, 221, 241, 248, 319, 344, 345, 353, 496, 578, 581, 584, 644, 667, 670, 776, 782, 793, 796, 859
Собреро (Sobrero L.) 571, 859
Соколовский (Sokolowski М.) 273, 791
Сокольников (Sokolnikoff L S.) 187, 859
Соломон (Solomon L.) 859
Сомнльяна (Somigliana С.) 146, 294
Соос (Sods Е.) 762, 795
Стернберг (Sternberg Е.) 187, 293, 294, 302, 493, 562, 569, 570. 749, 750, 752, 856
Сухуби (Suhubi Е. S.) 798
Тедоне (Tedone О.) 294
Тейт (Tait R, J.) 496
Тередзава (Terezawa К.) 221, 233 , 241
Тимошенко (Timoshenko S.) 461, 504, 859
Тирстен (Tiersten Н. F.) 798, 799, 855
Тихонов А. Н. 273
Толине (Tolins I. S.) 796
Толстой (Tolstoy I.) 693, 694
Томсон (Thomson W.) ^04, 294
Траитер (Tranter С. J.) 272
Треммель (Tremtnel F.) 504
Треффц (Trefftz Е.) 180, 182, 773, 859
Трусделл (Truesdell С.) 798, 858, 859
Тупик (Toupin R. А.) 7^8, 859
Уиидл (Windle D. W.) 791
Усдни (Usdin Е.) 693, 694
Уфлянд Я. С. 354
Уэйнер (Weiner 3. Н.) 488, 492, 517, 541, 767.
857
Файлов (Filon L. N. G.) 272
Фалтон (Fulton J.) 584, 664, 667, 670
Фешбах (Feshbach Н.) 446
Фёппль (Foppl А.) 859
Фёппль (Foppl Е.) 859
Фикера (Fichera G.) 294
Флоренс (Florence A. I.) 497
Фойхт (Voigt W.) 757, 797
Фредгольм (Fredholm I.) 160
Фукс (Fucks S.) 233
Фын (Fung Y. C.) 859
Хамель (Hamel G.) 853
Харт (Hari S. D.) 695
Хут (Huth J.) 657, 664
Цюй (Tsui Y. T.) 750
Чезаро (Cesaro Е.) 37
Чедвик (Chadwick Р.) 776, 781, 791, 792, 794,
Чекравортн (Chakravorty J, G.) 749, 750, 752
Черрути (Cerruti V,) 258
Чжен (Cheng D. Н.) 241
Шабат Б. В. 415
Шарп (Sharpe J. А,) 713
Шефер (Schaefer Н.) 84!, 854
Шилов Г, Е. 142
Шмейдлер (Schmeidler W.) 353
Штеерман Л, И, 354
Эвинг (Ewing W, М.) 710, 859
Эйлер (Euler L.) 14
Эрдейи (Erdely А.) 225
Эрииген (Eringen А. С.) 798 , 859
Эсой (Eason G.) 584, 664, 667, 670, 793
Юбеикс (Eubanks R. А.) 187, 293, 294, 569
Яковаке (lacovache MJ 568. 823
Ярдецкий (Jard^tzky W. SJ 710, 859
Ясиньский (Jasinski F.) 859
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие 7
К русскому изданию9
Часть I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Глава 1. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ11
Упругость. Сплошная среда11
Деформация тела. Вектор перемещения 13
Тензор деформаций15
Изменение длины и направления линейногоэлемента..18
Деформированное состояние в координатах Эйлера...22
Главные осн тензора деформаций24
Изменение объема тела 27
Бесконечно малая деформация 28
Разложение вектора перемещения30
Однородная деформация34
Уравнения совместности36
Глава 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ40
Внешние воздействия. Внутренние силы. Напряженное состояние 40
Преобразование компонент тензора напряжений . . . .46
Главные нормальные напряжения. Инварианты напряженного состояния48
Поверхность напряжений 50
Экстремальные значения касательных напряжений . . . 52
Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор 56
Плоское напряженное состояние57
Уравнения неразрывности59
Уравнения движения 63
Глава 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ , 67
Основные понятия н законы термодинамики67
Закон сохранения энергии для деформированного тела . . 70
Баланс энтропии73
Закон теплопроводности Фурье76
Свободная энергия. Первая форма записи определяющих уравнений78
Термодинамический потенциал Гиббса. Вторая форма записи определяющих уравнений82
Внутренняя энергия. Третья форма записи определяющих уравнений85
Уравнение притока тепла86
9.Основные дифференциальные уравнениятермоупругости . 88
Дифференциальные уравнения классической эластостатики и эластокинетики 90
Случай температурных напряжений92
Материальные константы анизотропного упругого тела . 93
Часть II
ЭЛАСТОСТАТИКА
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЛАСТОСТАТИКИ 105
Связь между напряженным и деформированным состояниями Ю5
Уравнения эластостатики в перемещениях113
Дифференциальные уравнения совместности117
Уравнения Бельтрами — Мичелла в напряжениях . . . .118
Принцип виртуальных работ. Теорема о минимуме потенциальной энергии120
Вторая форма теоремы о минимуме потенциальной энергии 125
Теорема Кастильяно о минимуме дополнительной энергии 127
Вторая форма теоремы Кастильяно о минимуме дополнительной энергии130
Вариационная теорема Рейсснера132
Единственность решения дифференциальных уравнений эластостатики . 135
Теорема взаимности137
Тензор перемещенийГрина. ТеоремаМаксвелла . . . . 141
Формулы Сомнльяны144
Функции Грина147
Приведение смешанной краевой задачи к системе интегральных уравненийпервогорода 152
Теорема Клапейронао работедеформации155
Теорема Кастильяно о частной производной работы деформации 158
Теоремы существования решения дифференциальных уравнений эластостатики 159
Уравнения эластостатики в ортогональных криволинейных системах координат168
Глава 5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ . ... 180
Частные решения. Метод Треффца180
Представление Папковнча — Нейбера184
Представление Галеркина 188
Осесимметричное распределениенапряжений.Функция
Лява191
Осесимметричное распределениенапряжений.Функции
Буссинеска 195
Потенциал упругого перемещения197
Действие массовых сил в неограниченном теле.Решение
Кельвина 204
Решения с особенностью высшего порядка210
Упругое полупространство. Перваякраевая задача . . .212
Упругое полупространство. Вторая краеваязадача . ..215
Задача Буссинеска 223
Формулы Герца231
Задача Черрути 234
Задача Миндлина238
Упругое полупространство. Решение ТередзавынСнеддона241
Формулы Бетти для дилатации и составляющих вектора вращения 250
Метод Бетти интегрирования дифференциальных уравнений эластостатики 254
Упругий слой261
Бесконечный и конечный цилиндр265
Задача о шаре. Метод решения273
Внутренняя и внешняя задача о шаре285
Принцип Сен-Венана 294
Глава 6. ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОСТАТИКИ303
Напряженное состояние, зависящее толькоотдвух переменных х, и й303
Плоское деформированное состояние306
Плоское напряженное состояние313
Упругое полупространство, находящееся в плоском деформированном состоянии 319
Функция напряжений Эри в полярных координатах . . /335
Задача о трещине343
Задача о штампе350
Применение функций комплексной переменной357
Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей 364
Конформное отображение на единичный круг369
Решение для конечной односвязной области375
Решение для бесконечной области380
Определение комплексных потенциалов н вывод интегрального уравнения386
Решение интегрального уравненияЗЭ2
Глава 7. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА 400
Задача Сен-Венана 400
Кручение прямого бруса. Основные соотношения и уравнения 407
Применение комплексного потенциала к задаче о кручении бруса414
Мембраннаяаналогия419
Решениезадачиокручении для некоторых частных случаев 424
Кручение бруса с сечением, составленным из прямоугольников 432
Кручение бруса с трещинами441
Изгиб бруса поперечной силой449
Изгиб бруса поперечной силой. Другие варианты решений 457
Глава 8. ДИСТОРСИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ465
Стационарные задачи термоупругости. Вариационные принципы и теорема взаимности465
Уравнения термоупругости в перемещениях479
Уравнения термоупругостн в напряжениях485
Пространственные стационарные задачи термоупругостн . 491
Двумерные стационарныезадачи термоупругостн,..499
Квазистатические задачитермоупругостн517
Собственные напряжения. Основные соотношения н теоремы 531
Теорема Майзеля о взаимности работ длядисторсии..536
Дислокации Вольтерры540
Работа деформации. Теорема взаимности для дислокаций Вольтерры545
Часть III
ЭЛАСТОКИНЕТИКА
Глава 9. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
ЭЛАСТОКИНЕТИКИ549
Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия 54Э
Плоская волна. Структура одномерного волнового уравнения 554
Общее решение Ламе560
Решение Яковаке. Решение Папковича — Нейбера . . . . 567
Уравнения эластокинетики в напряжениях574
Применение интегральных преобразований582
Принцип виртуальных работ. Единственность решения . . 588
Принцип Гамильтона 593
Теорема взаимности597
Обобщенная формула Сомильяны605
Смешанные краевые задачи эластокинетики607
Метод Купрадзе612
Решение неоднородного волнового уравнения617
Интеграл Пуассона626
Колебания, гармонические по времени633
Теорема Гельмгольца636
Формула Кирхгофа641
Глава 10. ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛАСТОКИНЕТИКИ646
Действие сосредоточенных сил в бесконечном упругом пространстве 646
Источник возмущений, движущийся с постоянной скоростью. Двумерные задачи657
Источник возмущений, движущийся с постоянной скоростью. Пространственные задачи670
Отражение плоской волны отсвободной поверхности н
от абсолютно жесткой стенки675
Поверхностные волны Рэлея680
Волны Лява687
Распространение волн в упругомслое690
Распространение продольной волны в стержне круго- вого сечения695
Продольные волны в упругой среде с цилиндрической полостью ’698
Плоская задача Лэмба 700
Осесимметричная задачаЛэмба705
12 Сферические волны в бесконечном пространстве со сферической полостью 711
Цилиндрические волны в бесконечном пространстве с цилиндрической полостью714
Волны кручения и изгиба в бесконечном цилиндре . .717
Радиальные колебания упругого шара 720
Глава 11. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ722
. Основные соотношения и уравнения теории температурных напряжений 722
Принцип виртуальных работ. Принцип Гамильтона . . 723
3. Теорема взаимности. Метод Майзеля726
. Решение дифференциальных уравнений теории температурных напряжений733
. Распространение гармонических термоупругнх волн в бесконечном упругомпространстве 737"
. Распространение апериодических термоупругих волн в бесконечном упругомпространстве. 741
Задача Даниловской746
Мгновенное нагревание границы сферической полости в бесконечном упругомпространстве 750
Глава 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ755
Введение ;. 755
Дифференциальные уравнения термоупругости и методы их решения 758
Вариационная теорематермоупругостн765
Теорема взаимности768
Методы интегрирования уравнений термоупругостн, вытекающие нз теоремы взаимности773
Плоские гармонические волны775
Сферические и цилиндрические волны783
Функции Грина для неограниченной термоупругойсреды788
Апериодические задачи термоупругостн792
Глава 13. ТЕОРИЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙУПРУГОСТИ797
Введение 797
Уравнения движения799
Закон сохранения энергии. Баланс энтропии....801
Определяющие уравнения803
Уравнение теплопроводности. Уравненияв перемещениях805
Уравнения совместности 807
Волновые уравнения808
Принцип виртуальных работ811
Теорема взаимности813
Следствия из теоремы взаимности815
Общие теоремы эластокннетнкн 819
Решение дифференциальных уравненийэластокинетнки822
Монохроматические плоские волны825
Основные уравнения эластокинетнки827
Вариационные теоремы эластостатнки. Теорема взаимности 834
Уравнения эластостатнки в перемещениях840
Теория температурных напряжений846
Двумерные задачи теории температурныхнапряжений.849
Псевдоконтинуум Коссера853
Список литературы857
Предметный указатель 860
Именной указатель864
В. НОВАЦКИЙ
Теория упругости
Редакторы Г. М. Ильичева и Н. И. Плужникоаа
Художник К- П. СаратовХудожественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. А. Иовлева
СданЪ в набор 22/VIII 1974 г. Подписано к печати 30/1 1975 г.
Бумага № 2 60x907i6=27,2 5 бум. л. 54,50 усл. печ, л. Уч.-изд. л, 49,11
Изд. № 1/7432. Цена 3 р. 67 к- Зак. 323
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении СоколовойСоюзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли. ■
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,
i) Beltrami Е„ Osservationi sulla Nota precedente (del socio Morera), Rend. Lincei, 1, Ns 5 (1892), 141.
with Applications to the Theory of Plates, Proc. London Math. Soc., 31 (1899—
1900), 100.
*) Слободянский М. Г.. ПММ, 18 (1954), 54—78.
Сокольников И., см. список литературы.
Eubanks R. A., Sternberg Е., On the Completeness of the Boussinesq — Papkovich Stress Functions, I. Rat. Meeh. Anal., 5 (1956), 735 [русский перевод: сб. Механика, № 6 (46) (1957)].
Gurtin М. Е„ On Helmholtz’s Theorem and the Completeness of the Papkovich— Neuber Stress Functions for Infinite Domain, Arch, Rat. Meeh. AnoL 9 (1962), 225.
•) А. И. Лурье, loc. cit. стр. 230.
3) Zanaboni O., Valutazione dell errore massimo cui da luago 1’applicazi-
one de principle del de Saint-Venant in un solido isotropo, Atti Accad. Lincei,
Roma, 25 (1937), 595.
2) Wasiutyiiski Z„ A Theorem on the Concentration of Local Reinforcement Effect of a Structure, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci, Techn., 17, № 3 (1969), 187.
*) Sternberg Е., On Saint-Venant’s Principle, Quart. Appl. Math., 11, № 4 (1954) [русский перевод: сб. Механика, № 2 (30) (1955)].
Stos., V, № 1 (1953),'
*) Ignaczak J., Direct Determination of Stresses from Stress Equations of
Motion in Elasticity, Arch. Meeh. Stos., 11, № 5 (1959).
■) Gatewood В. E., Thermal Stresses in Long Cylindrical Bodies, Phil.
Mag., ser. 7, 32 (1941).'
Ч lacovache М., О extindere a metodei lui Galerkin pentru sistemul ecu- а(Шог elasticitatii, Bull. Acad. Set. RPR, Ser. A, 1 (1949), 593.
*) Ignaczak J., On the Stress Equations of Motion in the Linear Thermoelasticity, Arch. Meeh. Stos., 15, № 5 (1963), 691—695.
') Reissner H., Der senkrechte und schrage Durchtritt einer in einem fliissi- gen Medium erzeugten ebenen Dilatations (Longitudinal)-Welle durch eine in diesem Medium befindliche planparallelle feste Platte, Heto. Phys. Acta, 11 (1938), 140—155; 268.
’) Pochhammer L, Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrentzen isotropen Kreiszylinder, J. f d. relne and angew. Math., 81 (1876), 324—336.
5) Этот пооцесс обычно называется тепловым ударом. — Прим, перед.
■) Tsui Y. Т., Problem in Dynamic Thermoelasticity, J. Acoust. Soc. Amer., 40, № 1 (1966).
*) Duhamel J. М. С., Second memoire sur les phenomenes thermomecaniques, I. de I'Ecole Polytechn., 15 (1837), 1—15.
') Moisil G., Sisteme diferentiale adiuncte si formula de reciprocitate, Bull. Acad. Sci. RPR, 3 (1951), 181.
to Thermal Stresses, J. Aerospace Sci., 26, № 7 (1957),
2) Nowacki W., Mixed Boundary Value Problems of Thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Set., Ser. Sci. Techn., 12, № 11 (1964).
*) Sneddon I. N., The Propagation of Thermal Stresses In Thin Metallic Rods, Proc, Roy. Soc. Edin.., Sec. A, 9, 65 (1959),
9 Ignaczak J., Nowacki W., Transversal Vibrations of a Plate Produced by Heating, Arch. Meeh. Stos., 13, № 5 (1961).
') Ignaczak J., Note on the Propagation of Thermal Stresses in a Long Metallic Rod, Bull. Acad. Polon. ScL, Ser. Sci. Techn., 7, № 5 (1959).
2) Eason G., Sneddon I. N., The Dynamic Stresses Produced in Elastic Bodies by Uneven Heating, Proc. Roy. Soc. Edin., ser. A, 65 (1959).
Lockett F. J., Sneddon I. N., Propagation of Thermal Stresses in an Infinite Medium, Proc. Edinbourgh Math. Soc., part 4, 11 (1959).
') Nariboli G. A., Spherically Symmetric Thermal Shock in a Medium with Thermal and Elastic Deformations Coupled, Quart. Meeh. Math., 14, № 1 (1961).
') Koiter W. Т., Couple-stresses in the Theory of Elasticity, Proc. Koninkl. Ned. Akad. von Wettenschappen, ser. BI, 67, № I (1964), 17 [русский перевод: сб. Механика, № 3(91) (1965)].
3) Савин Г. H., Распределение напряжений около отверстий, «Наукова думка», Киев, 1968.
WITOLD NOWACKI
TEORIASPRRZYSTOSCI
Panstwowe Wydawnictwo Naukowe
Warszawa 1970
В. НОВАЦКИЙ
ТЕОРИЯУПРУГОСТИ
Перевод с польского
Б. Е. ПОБЕДРИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975
УДК 539.3
Монография известного польского ученого В. Новацкого представляет собой учебник повышенного типа по теории упругости. От известных руководств по этому предмету книгу отличает то, что автор положил в основу связанную задачу термоупругости, а классическую теорию упругости и теорию температурных напряжений изложил как ее частные случаи.
Большое место занимают в монографии динамические задачи, в частности задачи о распространении волн.
Книга написана на высоком математическом уровне и предназначена научным работникам и инженерам-конструкторам, занимающимся проблемами деформируемого твердого тела и теоретическими вопросами сопротивления материалов. Ее можно использовать и как учебное пособие для студентов-механиков университетов.
203 0 4-031 „.Н 041 (01)-75 31 75203 0 4-031 „.Н 041 (01)-75 31 75Редакция литературы по математическим наукам
203 0 4-031 „.
Н 041 (01)-75 31 75
203 0 4-031 „.
Н 041 (01)-75 31 75
© Перевод на русский язык, «Мир», 1975