Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Содержание предлагаемого перевода второго тома труда А. Надаи «Пластичность и разрушение твердых тел》】)охватывает широкий круг вопросов теории пластичности и ползучести; в нем уделено много внимания проблемам теории упругости, статики сыпучих тел и геомеханики. Во всех этих областях нашли отражение оригинальные результаты А. Надаи, причем некоторые из них публикуются впервые (подробная характеристика содержания книги имеется в предисловии автора).
Характерная черта книги состоит в том, что ее автор никогда не ограничивается формальными выводами; он всегда выявляет механическое существо задачи, а если нужно — показывает ее особенности на числовых примерах. Сохраняя традиции первого тома, автор стремился сделать свой труд доступным максимально большому кругу читателей ——механикам, физикам, металлургам, геологам, инженерам и студентам технических специальностей.
Следует заметить, что в книге отражены результаты, полученные в основном до 1950 г., лишь в некоторых случаях обсуждаются работы, вышедшие вплоть до 1960 г. За этот недостаток вряд ли можно винить автора, ставившего перед собой цель изложения классических результатов. При подготовке русского издания в ряде случаев были сделаны необходимые примечания и, кроме того, приведен список дополнительной литературы, не претендующий, однако, на полноту.
Труд А. Надаи по пластичности и разрушению твердых тел подводит итог его глубоким и плодотворным исследованиям в области механики деформируемых сред. В связи с этим хочется кратко охарактеризовать научную деятельность и привести некоторые данные о жизни ученого.
Бурный прогресс механики деформируемых сред в XX веке резко отличается от более спокойного ее развития в предшествующем периоде. Разработанная математиками (Коши, Пуас-
1) В оригинале Theory of Flow and Fracture of Solids (Теория течения и разрушения твердых тел). Мы, однако, для единообразия сохранили название, принятое для перевода первого тома (см, Надаи Л., Пластичность н разрушение твердых тел, ИЛ, М., 1954)，
соном, Лагранжем и др.) и инженерами (Навье, Ламе, Сен- Венаном и др.) теория упругости долгое время рассматривалась как раздел математической физики, а не как инструмент для практических расчетов. Например, решение проблемы устойчивости стержня, полученное Эйлером еще в XVIII веке, считалось математическим парадоксом. Взамен использовались грубо эмпирические формулы Бресса и др. Не находили применения ни теория изгиба пластин и оболочек Лагранжа — Кирхгофа, ни теория пластического течения Сен-Венана — Леви. Для решения практических задач с успехом создавались и использовались элементарные методы сопротивления материалов.
Стремительные успехи техники в XX веке, необходимость минимизации веса машин и конструкций потребовали от инженеров создания уточненных методов расчета. Появляется замечательная плеяда инженеров ——ученых, свободно пользующихся современным математическим аппаратом для решелия сложных технических проблем. У нас это А. Н. Крылов, И. Г. Бубнов, Б. Г. Галеркин, С. П. Тимошенко, Л. С. Лейбензон, П. Ф. Пап- кович и др., в Германии — Л. Прандтль и его ученики и сотрудники——Т. Карман, Р. Мизес и др., в Швейцарии ——А. Стодола, в Австрии — Э. Мелан и т. д.
Почетное место в этом перечне принадлежит Арпаду Надаи, одному из основоположников современной теории пластичности и ползучести, который занимался не только прикладными инженерными задачами, но и такими общими естественнонаучными проблемами, как проблемы геомеханики 】).
Жизнь Арпада Надаи (1883—1963), венгра по национальности, была связана с четырьмя странами ——Австро-Венгрией, Швейцарией, Германией и США. Он родился в Будапеште, где получил начальное образование. В 1902——1906 гг. он учится и защищает диплом инженера в Швейцарском федеральном политехническом институте. Здесь его учителями были такие известные ученые, как Гейм, Стодола и др. После непродолжительной деятельности инженера-машиностроителя он переезжает в Германию и становится преподавателем в Высшей технической школе в Шарлоттенбурге, а в 1912 г. уже пишет докторскую диссертацию о термических эффектах при нагреве стали на границе текучести. Во время первой мировой войны его научная деятельность прерывается ——в 1914 г. он призывается в армию.
По окончании войны Надаи переезжает в Геттинген. Работая в Институте прикладной механики под руководством
Не является случайным, что редактором перевода на русский язык первой монографии по теории пластичности А. Надаи был в 1936 г. Л. С. Лейбен- зон, один из наиболее крупных и разносторонних наших ученых в области механики, также интересовавшийся задачами геомеханикц.
〃.Прандтля, он выполняет ряд блестящих работ по теории упругости и пластичности. В 1923 г. ему присваивается звание профессора прикладной механики Геттингенского университета. В 1925 г. он публикует оригинальную монографию по теории изгиба пластинок 9, не потерявшую значения до сих пор (стереотипное второе издание этой книги публикуется издательством 《Springer》в 1969 г.), а в 1927 г. — первую в мировой литературе монографию по теории пластичности 2), переведенную в 1931 г. на английский, а в 1936 г.——на русский 3) языки.
В декабре 1927 г. ученый переезжает в Питтсбург (США). В течение двадцати двух лет он работал здесь в качестве консультанта исследовательской лаборатории компании «Вестингауз», выполнив ряд основополагающих исследований по теории обработки металлов давлением, теории ползучести и теории конечных деформаций, а также по решению многих практически важных задач теории упругости и пластичности. В 1942—1946 гг. он становится также консультантом опытового бассейна Д. Тэйлора в Вашингтоне.
В 1946 г. в связи с 225-летним юбилеем АН СССР Надаи посетил Советский Союз и установил дружеские контакты с советскими механиками.
После 1950 г. научные интересы ученого связаны преимущественно с проблемами геомеханики. Библиографию его трудов, опубликованных до 1953 г., можно найти в статье Мелана4). А. Надаи был награжден Золотой медалью (ASME, 1947 г.), медалью Ю. Бингама (Реологическое общество США, 1952 г.), медалью С. Тимошенко (ASME, 1958 г.) и Золотой медалью Франклиновского института, США, 1960 г.
В заключение считаю своим долгом отметить, что при подготовке русского издания группа ученых-механиков, работавшая над переводом книги, преодолела значительные трудности, связанные с широтой и многообразием затронутых в ней проблем.
Перевод гл. 1—3, 10——15, 17 выполнил Р. Л. Салганик, гл. 4—9 —|Н. А.①орсман|, гл. 16 — В. И. Розенблюм. Большую помощь при подготовке книги к печати мне оказал редактор издательства А. С. Попов, главу 17 книги помог отредактировать Ю. Я. Ретеюм. Всем названным лицам я выражаю искреннюю признательность.
— Г. С. Шапиро
Nadai A., Die elastischen Platten, 326 S., Berlin, Springer Verlag, 1925.
Nadai A., Der bildsame Zustand der Werkstoffe, 171 S., Berlin, Springer Verlag, 1927.
Надаи А., Пластичность, ОНТИ, 1936 г.
M e 1 a n E., A. Nadai, Osterreichisches Ingenieur-Archiv, (1953).
Памяти моей дорогой Элизабет
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
После издания первого тома этой книги прошло несколько лет. Хотя успехи прикладной механики за последние десятилетия отмечены рядом глубоких статей и несколькими новыми книгами, посвященными математической теории пластического деформирования твердых тел, многие из этих исследований имеют сугубо теоретический характер и посвящены доказательствам принципов, практическая ценность которых еще неясна. Очень немногое из недавно написанного имеет целью наметить в механике деформируемых твердых сред новые перспективы, которые привели бы к лучшему пониманию тех задач, где в качестве переменных состояния берутся скорость пластической деформации и температура или учитывается влияние времени на сопротивление тел течению. Как ни странно, несмотря на огромное количество экспериментальных данных (рассеянных по специальным журналам), еще не удовлетворена все возрастающая потребность в нескольких исчерпывающих руководствах, в которых излагались бы основные сведения о деформировании твердых тел в диапазоне вплоть до температур плавления и делалась бы попытка объяснить законы взаимосвязей между скоростями пластической деформации и температурой.
Для инженера в такой же степени удивительно, что уже давно ставшие известными теоретические и экспериментальные результаты, касающиеся медленной ползучести металлов при повышенных температурах, почти не применялись теми, кто интересуется явлениями крайне медленного деформирования пластов горных пород, слагающих внешнюю оболочку Земли. Дело в том, что в глубоких слоях Земли из-за установившегося возрастания температуры с глубиной породы медленно деформируются под действием очень малых разностей давлений и в механическом отношении ведут себя в основном так же, как ковкие металлы при ползучести.
Целью второго тома является изложение избранных вопросов, относящихся к течению твердых тел, на которое влияет скорость пластической деформации и температура, причем всюду, где это возможно, кратко' рассматриваются (с точки зрения
механики) связанные с теорией экспериментальные данные. Ин・ тенсивно изучаемая физика твердого тела, теория тепловых ко^ лебаний атомов и распространения дислокаций в кристалличе- ской решетке, в которых автор чувствует себя некомпетентным, оставлены за пределами книги. “
В первой главе дается краткий обзор классической теории термоупругости с учетом различий между адиабатическим и изотермическим модулями упругости и рассматриваются малые адиабатические изменения температуры при мгновенном нагружении или разгрузке упругого тела. При этом используется данный Кельвином (1855 г.) анализ тепловых явлений в упругих телах, который был проиллюстрирован и подтвержден автором экспериментально в Берлине (1911 г.); в экспериментах проводились наблюдения за нейтральной осью стальной балки путем измерения температуры при мгновенном упругом изгибе. Кроме того, в данной главе развивается упрощенная теория изотерм и адиабат упругих тел, применимая к породам земной коры.
В связи с определением выражений для механической работы, упругой или пластической, во второй главе проводится подробный анализ общих состояний деформации конечной величины. При рассмотрении влияния скоростей пластических деформаций на протяжении всей книги большое внимание уделяется исследованию применимости фундаментального закона гиперболического синуса для скоростей, охватывающего большой интервал относительного изменения скоростей деформаций пластических сред (от 1 до 108) и область изменения гомологической температуры от абсолютного нуля до точки плавления. Этот закон, открытый Прандтлем в Геттингене еще в 1913 г., был блестяще подтвержден обширной серией экспериментальных исследований, выполненных бывшими сотрудниками автора Дэвисом и Менджойном в Вестингаузовских исследовательских лабораториях в Питтсбурге (Пенсильвания); эксперименты проводились на различных металлах, испытывавшихся при одноосном и двухосном напряженных состояниях в широком диапазоне скоростей и температур. По-видимому, некоторые из этих интересных исследований не привлекли того внимания специалистов, которого они безусловно заслуживают. Вероятно, то же можно сказать и о классической теории Мора равновесия идеально сыпучего весомого материала, предложенной более полувека тому назад.
Автор описал эту теорию и сделал попытку проиллюстри- ровать ее несколькими новыми точными решениями, которые он получил для насыпи и выемки в сыпучей среде. При этом оказалось возможным обобщение теории Мора, названное авто- ром теорией обобщенных идеально пластичных сред Прандтля;
оно заключается в том, что наряду с прямолинейными огибающими Мора вводятся криволинейные огибающие семейства кругов главных напряжений. В этой теории учитывается рассмотренное Прандтлем в 1923 г. влияние среднего напряжения нлн давления на предел текучести. В отсутствие массовых сил тяжести легко находится полезное для приложений изогональное поле не перпендикулярных друг другу поверхностей скольжения, которые могут быть построены для многих интересных случаев при помощи точных решений, найденных Гартманом в его замечательной докторской диссертации (Геттинген, 1925 г.).
Некоторые главы могут показаться на первый взгляд неподходящими для книги, посвященной прежде всего пластичности, поскольку в них кратко рассматриваются основы математиче* ских теорий упругости и вязкости и приводится ряд точных решений соответствующих задач. Но внимательный читатель, вероятно, заметит, что некоторые решения, связанные с упругими пластинками, с периодически расположенными сосредоточенными силами, действующими на пластинку, а также теория температурных напряжений и т. п., представлены в значительно улучшенном^ более кратком и точном виде; кроме того, получены новые решения для чисто вязких и вязко-упругих пластинок, покоящихся на основании, подобно жидкости создающем выталкивающую силу.
В гл. 13 о температурных напряжениях представлен относящийся к случаю неустановившегося потока тепла изящный способ записи решений при помощи «потенциала смещений», предложенный Меланом (Вена, 1950 г.). Среди прочих результатов, касающихся практических приложений, в этой главе приведено много графиков, которые иллюстрируют распределения температуры в тонких стальных дисках, цилиндрах и сферах при охлаждении и которые окажутся полезными для быстрого определения максимальных температурных напряжений в роторах больших паровых турбин; эти графики автор построил много лет назад, но не имел случая опубликовать. С помощью этих графиков можно также вычислять максимальные температура ные напряжения в холодных роторах, на поверхность которых набегает перегретый пар. Изучены, кроме того, тепловые удары, вызывающие пластическое деформирование или связанные с ним эффекты.
Попутно отметим очень странное и интересное явление, к которому недавно привлек внимание Вессель, а именно возникновение на кривых «напряжение ——деформация» при растяжении некоторых ковких металлов мелких, правильно чередующихся зубцов в экспериментах, проводимых при температуре жидкого гелия (при 4° К). Автор выдвинул объяснение, согласно которому
эти зубцы появляются благодаря коротким тепловым ударам, связанным с послойным течением, вызываемым весьма своеобразными тепловыми условиями ——очень низкими значениями удельной теплоемкости и резким падением теплопроводности до нуля с приближением к абсолютному нулю температуры.
Автор полагает, что в книге этого типа следовало привлечь внимание к аналогии между уравнениями теории изотропной упругости, вязкости и вязко-упругости, поскольку линейные уравнения чисто вязкой среды многое проясняют в теории медленной ползучести твердых тел при повышенных температурах; указанная взаимосвязь расширяет кругозор читателей.
В гл. 16, посвященной ползучести, сделана попытка связать между собой поведение металлов, нагружаемых в различных видах испытаний при повышенных температурах. При этом рассматривается применение закона степенной функции, логарифмического закона и закона гиперболического синуса для скоростей ползучести, а также соответствующих им законов релаксации, позволяющих учесть деформационное упрочнение, обратную ползучесть и т. п. На основе этих предварительных данных развивается (и иллюстрируется решениями) специальная теория установившейся ползучести для трех- и двумерных напряженных состояний, приводящая к синтезу неупругих последействий, которые выражаются определенными интегралами типов Беккера, Больцмана и Вольтерра. Кроме того, поясняется прямая и обратная задачи последействия.
Эволюция рельефа земной поверхности и изменения громадного масштаба в твердых породах внешней оболочки Земли побудили автора дать в последней главе этого тома очерк избранных задач геомеханики. Сюда относятся механизм возникновения поперечных сдвигов при горообразовании, простая гипотеза относительно вычисления давления внутри Земли, случаи роста больших подземных соляных куполов в равнинах и аналогичные явления течения вулканических масс. Долгие годы находясь под впечатлением монументальной книги Альберта Гейма о геологии Швейцарских Альп и захватывающей теории Вегенера об импульсивном раскалывании первичной земной коры и последующем движении блоков континентальных массивов, автор сделал попытку собрать убедительные механические доказательства, подтверждающие представления Гейма в отношении эволюции громадных покровов Альп и теорию Вегенера движения континентов.
Что касается спорного вопроса о физических силах, вызвавших эти грандиозные движения в земной коре, то автор снова высказывает идею о системе порождаемых притяжением Луны снл，которые создают приливы твердого вещества, несмотря на
некоторые возражения выдвинутые против этой теории. Новое точное решение автора для отступающей волны деформации в слое горных пород, покоящемся на создающем выталкивающую силу основании и прогибаемом вниз весом отступающего фронта ледника, можно полагать, встретит меньше возражений. При этом автор позволил себе руководствоваться тем принципом, которому он следовал в первом томе и по которому математика в инженерных приложениях и задачах геомеханики является прежде всего прекрасным инструментом, но не самоцелью.
Автор сознает, сколь многим он обязан своей alma mater —— Швейцарскому федеральному политехническому институту, вспоминая высокий уровень одухотворенности, с которым там велось преподавание во времена обучения автора. То была одна из блестящих эпох в истории этой старой школы, когда там преподавали Гейм, Герцог, Гирш, Празиль и Стодола. Автор хочет еще раз выразить в этом предисловии свое преданное уважение и глубокие чувства благодарности проф. Людвигу Прандтлю ——одному из наиболее оригинально мыслящих творческих умов в прикладной механике двадцатого столетия,——который обладал познаниями и плодотворно работал почти во всех областях механики. Начиная с 1919 г. Прандтль более глубоко, чем кто-либо другой, влиял на образ мыслей автора, для которого этот гениальный человек оставался с 1929 г. и до его кончины, последовавшей 23 августа 1953 г., одним из самых близких друзей. Глубина его мышления и простота манер восхищали каждого, кто был с ним знаком. Автор все еще живо представляет картины частых и долгих обсуждений, которые он имел с Прандтлем в Геттингене по проблемам пластичности.
4 Надаи
Часть I
ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХТЕЛАХ.
ПРИНЦИПЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Глава 1
ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НАПРЯЖЕНИЯМИИ ДЕФОРМАЦИЯМИ
Введение. В то время как в первом томе предполагалось, что в процессе упругого или необратимого деформирования твердого тела температура остается постоянной, в этой главе будут рассматриваться различные случаи, когда температура изменяется при нагружении или разгрузке. В приложениях можно встретить ряд простых тепловых явлений, для описания которых достаточно включить температуру как характеристику состояния в уравнения, связывающие компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений; так будет, например, в случае, когда нужно определить температурные напряжения в неравномерно нагретом теле. В других случаях бывает необходимо использовать первое и второе начала термодинамики и учитывать превращение внешней механической работы или внутренней энергии упругого деформирования в тепло и наоборот, как, например, в случае, когда нужно определить изменение температуры упругого тела или жидкости, происходящее в результате мгновенного деформирования или внезап-* ного приложения нагрузки. .
В общем виде здесь будут исследоваться только однородные напряженные или деформированные состояния. В этой главе мы будем интересоваться в первую очередь влиянием температуры на упругие свойства тел; позже будут рассмотрены влияние температуры на пластичность, вязкость или скорость изменения деформаций со временем. Так же как и в термодинамической теории идеальных газов, удобно выделить специальные виды процессов деформирования и нагружения твердого тела и описать, например, те из них, при которых изменения температуры вследствие нагревания или охлаждения тела происходят при поддерживаемой на заданном уровне деформации или напряжении. Удобно также различать изотермические и адиабатические изменения состояния как специальные виды процессов нагружения. При изотермическом изменении состояния температура поддерживается постоянной.
При обратимом процессе рассматриваемое тело должно находиться в контакте с другими телами, являющимися просто тепловым резервуаром, в который уходит или откуда приходит
тепло ПОд действием бесконечно малых изменений температуры. Адиабатические изменения состояния проводятся при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Это происходит при быстром (мгновенном) нагружении или разгрузке.
Адиабатические изменения температуры в твердом теле. Со времени классических опытов Джоуля по определению ме・ ханического эквивалента тепла известно, что при быстром на* гружении или мгновенной разгрузке упругого тела его темпера-* тура обратимым образом меняется на небольшую величину. Джоуль обнаружил, что упругий металлический стержень немного охлаждается, если приложить к нему растягивающую нагрузку, и нагревается, если его быстро разгрузить; подобно этому, короткий металлический столбик слегка нагреется, если к нему мгновенно приложить сжимающие напряжения, и охладится, если его быстро разгрузить!). Однако при испытании вулканизированного каучука, когда к стержню, изготовленному из этого материала, подвешивался, а затем снимался груз, Джоуль наблюдал соответственно нагревание и охлаждение ). Кроме того, он нашел, что температура спиральной пружины из закаленной стали слегка уменьшается при нагружении в осевом направлении и обратимо увеличивается при быстрой разгрузке. Следовательно, касательные напряжения в предварительно закрученной упругой металлической проволоке вызывают охлаждение при дальнейшем быстром закручивании и нагрев при раскручивании ).
】)Joule J. Р., Proc. Roy. Soc. (London), 8, 564—569 (1857); Phil. Mag.t 15, ser. 4, 538—544 .(1858); Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 149, 91 (1859).
Описанные наблюдения над тепловыми явлениями в упругих телах можно подытожить словами Томсона (Кельвина)〔)： «Тело всегда охлаждается при деформировании его против какой-либо возникающей в нем самом упругой силы и нагревается, когда деформируется, поддаваясь ей, если только эта сила уменьшается с ростом температуры, и, наоборот, тело будет
Рис. 1.1. Лорд Кельвин (родился в Белфасте, Ирландия, 26 июня 1824 г., умер в Ларгсе, Шотландия, 17 декабря 1907 г.).
Вильям Томсон (с 1866 г. лорд Кельвин) был профессором натурфилософии в Университете в Глазго с 1846 г. и занимал эту должность в течение 53 лет. Он ввел понятие абсолютной температуры и был одним из основателей кинетической теории тепла и диссипации энергии. В 1855 г. он развил теорию термоупругости, основанную на классических наблюдениях Джоуля малых изменений температуры при мгновенном нагружении или разгрузке упругих тел. Он изобрел много остроумных приспособлений, использованных при прокладке подводных кабелей. Вместе с Тэтом он является автором трактата по натурфилософии („Treatise on Natural Philosophy**), опубликованного в 1867 г. В этой книге он выдвинул поучительное и простое объяснение одного лз предложенных Кирхгофом граничных условий для упруго изогнутой пластинки.
нагреваться при его деформировании против любой возникающей в нем самом упругой силы и охлаждаться, когда пеформи^ руется, поддаваясь ей, если ее величина возрастает с увеличением температуры» (цит. соч., стр. 63—64). И далее:《Когда деформация представляет собой всестороннее сжатие или расширение, утверждение справедливо также и для жидкостей».
Ч Thomson W. (Lord Kelvin), Thermo-elastic Properties of Matter, Quart. J. Math., April (1855); вновь опубликовано в Phil. Mag. (1877), вторая половина года. Или см. его «Mathematical and Physical Papers», v. 3, PP・ 63—82, Cambridge University Press, London, 1890.
2 А. Надаи
Таким образом, при адиабатическом объемном расширении (сжатии) упругой жидкости или твердого тела происходит по* глощение (выделение) тепла, если среда нормальна, т. е. под действием постоянного гидростатического давления среда расширяется, когда ее температура увеличивается. Большинство упругих тел и жидкостей обладают этим свойством, а именно положительностью температурного коэффициента объемного расширения. Исключения составляют вода при температуре от О до 4℃ и каучук, сжимающиеся при нагревании. Что касается поведения упругих тел под действием чистого (или простого) сдвига, т. е. под действием девиатора напряжений, то происходит охлаждение, если модуль сдвига при постоянном напряжении сдвига уменьшается с ростом температуры.
В противоположность строго обратимым изменениям температуры, сопровождающим процессы деформирования упругих тел, существуют явления, связанные с необратимым деформированием, например с текучестью ковких металлов, когда происходит необратимое превращение в тепло механической работы, затрачиваемой на деформацию. Хорошо известно, что, когда образец вязкого металла быстрым растяжением выводится в пластическое состояние, он нагревается, особенно в области шейки. Точные калориметрические измерения выделяющегося при этом тепла впервые выполнил Хорт'). Хорт, Тэйлор, Фаррен и Квинни ) показали, что механическая работа, совершаемая при растяжении образцов вязких металлов, не превращается полностью в тепло. Заметная часть этой работы (около 10% или несколько меньше для стержней из малоуглеродистой стали) переходит в скрытую упругую энергию, которая каким-то образом накапливается в испытавшем деформационное упрочнение металле (вероятно, в упруго изогнутых прослойках, содержащихся в пластически продеформированных кристаллических зернах). Раш) путем увеличения последовательными ступенями растягивающей нагрузки, которая прикладывалась к стержням из малоуглеродистой стали, обладающей четко выраженным пределом текучести, и путем записи температуры этих стержней впервые обнаружил, что в упругом диапазоне температура падает, а в момент достижения предела текучести внезапно увеличивается.
Hort Н., Warmevorgange beim Langen von Metallen, Forschungsarb. Ver. deut. Ing., № 41, 53 (1907).
(1.1)(1.1)Абсолютная температура 0 упругого стержня, когда его в упругом диапазоне мгновенно нагружают напряжением о, определяется согласно формуле, предложенной Томсоном (см. § 1.9, стр. 60) в следующем виде:
(1.1)
(1.1)
"备-Jew '
где а ——температурный коэффициент линейного расширения, 0о ——начальная абсолютная температура, с ——удельная теплоемкость (количество тепла, необходимое для нагревания на Г единицы веса тела при действующем на него постоянном напряжении), w ——удельный вес (вес единицы объема), / — механический эквивалент теплоты.
Линейное изменение температуры в зависимости от приложенного напряжения, вытекающее из формулы (1.1), было подтверждено рядом экспериментов по растяжению и сжатию, которые автор проводил в 1911 г. в Берлине со стержнями из малоуглеродистой стали, обладающей хорошо выраженным пределом текучести !). Температура в этих опытах измерялась при помощи нескольких термопар (которые припаивались к стержню вдоль его оси на равных расстояниях друг от друга) и струнного гальванометра Эдельмана. Результаты замеров температуры при различных сжимающих и растягивающих нагрузках для трех стержней, изготовленных из одной и той же малоуглеродистой стали, представлены на рис. 1.2 и 1.3. Нагрузка прикладывалась быстро и наращивалась ступенями. Изломы кривых на этих рисунках и резкое возрастание температуры как раз соответствуют достижению предела текучести, что обнаруживалось по падению груза в испытательной машине).
N a d a i A., Untersuchungen der Festigkeitslehre mit Hilfe von Tempe- raturmessungen, 51 pp., Dissertation, Technische Hochschule, Berlin, 1911. Рассмотрим стержень из малоуглеродистой стали, который испытывался при комнатной температуре (17° С) или при 0о=29О° и для которого температурный коэффициент линейного расширения равен а=0,000011, теплоемкость с=0,105 ккал/кг • град, удельный вес ш = 0,0078 кг/см3 и / = 42 700 кг • см! ккал. Когда мгновенно прикладывалось растягивающее напряжение а= 1000 кг/см2, температура падала в согласии с выражением (1.1) на величину 0—0О = =0,0913。или приблизительно на 0,1° С.
Если призматический стержень из малоуглеродистой стали мгновенно нагружается в упругом диапазоне двумя равными и противоположно направленными моментами, создающими равномерный его изгиб по длине, то растянутые волокна, параллельные оси стержня, немного охладятся, а сжатые — немного
Рис. 1.2. Испытания на растяжение.По оси абсцисс: растягивающая нагрузка; по оси ординат: температура'Рис. 1.2. Испытания на растяжение.По оси абсцисс: растягивающая нагрузка; по оси ординат: температура'Рис. 1.3. Испытания на сжатие. Наблюдаемые изменения температуры в малоуглеродистой стали при быстром нагружении.По оси абсцисс: ежи мающая нагрузка; по оси ординат: температура.Рис. 1.3. Испытания на сжатие. Наблюдаемые изменения температуры в малоуглеродистой стали при быстром нагружении.По оси абсцисс: ежи мающая нагрузка; по оси ординат: температура.
Рис. 1.2. Испытания на растяжение.
По оси абсцисс: растягивающая нагрузка; по оси ординат: температура'
Рис. 1.2. Испытания на растяжение.
По оси абсцисс: растягивающая нагрузка; по оси ординат: температура'
Рис. 1.3. Испытания на сжатие. Наблюдаемые изменения температуры в малоуглеродистой стали при быстром нагружении.
По оси абсцисс: ежи мающая нагрузка; по оси ординат: температура.
Рис. 1.3. Испытания на сжатие. Наблюдаемые изменения температуры в малоуглеродистой стали при быстром нагружении.
По оси абсцисс: ежи мающая нагрузка; по оси ординат: температура.
нагреются по сравнению с начальным ненагруженным состоя^ нием. При этом возникает вполне доступное для наблюдения распределение температуры поперек стержня, в котором температура пропорциональна напряжениям изгиба. Таким образом, распределение температуры будет повторять линейное распределение напряжений изгиба. На рис. 1.4 воспроизведено распределение температуры, полученное автором при мгновенном из-
температуры с некоторым запаздыванием, связанным с постепенным распространением тепла, что и наблюдалось в действительности.
Интересно отметить, что на температурных кривых 2 и 3 (рис. 1.2) обнаруживаются отчетливые заострения на пределе текучести и что скачку температуры предшествует ее обратный рост. Ясно, что это происходит из-за наличия у стали верхнего 〃 нижнего пределов текучести и что термопара, запись температуры которой и воспроизводят кривые 2 и 3 (рис. 1.2), раньше, чем к ней дошло тепло, возникшее в участках текучести, обнаружила участок упругого падения напряжения от верхнего предела текучести до нижнего. Ординаты кривых изображают в относительных единицах температуру, пропорциональную току в гальванометре.
гибе стальной балки прямоугольного поперечного сечения. Измерения были проведены термоэлектрическим методом с соблюдением необходимых предосторожностей для регистрации мгновенных распределений.
Предположим, что h ——высота балки, о ——напряжение,心 ——температураПредположим, что h ——высота балки, о ——напряжение,心 ——температурана расстоянии г от нейтральной оси, при z = h/2 в поперечном сечении, где растягивающее напряжение от изгиба о=0о, возникающее в результате мгновенного приложения изгибающего момента, максимально. Тогда распределение температуры по сечениюна расстоянии г от нейтральной оси, при z = h/2 в поперечном сечении, где растягивающее напряжение от изгиба о=0о, возникающее в результате мгновенного приложения изгибающего момента, максимально. Тогда распределение температуры по сечениюО=О()——температура крайнего волокнаО=О()——температура крайнего волокнабалки в момент выражениембалки в момент выражениемвремени /=0 даетсявремени /=0 даетсяОО_ 2^0% /г_ 2^0% /г(1.1а)(1.1а)ГДе JewГДе Jewнаходится из выра-находится из выра-жения (1.1).Предположим, что балка идеально изолирована. Так как сталь хороший проводник тепла, это линейноежения (1.1).Предположим, что балка идеально изолирована. Так как сталь хороший проводник тепла, это линейноераспределение температуры по сечению балки может существовать только мгновенно; затем распределение температуры в балке должно быстро стать нелинейным В любой следующий момент времени / температура 0 должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности дурье 1)распределение температуры по сечению балки может существовать только мгновенно; затем распределение температуры в балке должно быстро стать нелинейным В любой следующий момент времени / температура 0 должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности дурье 1)t, секt, сек0步 q 0/ '0步 q 0/ '(Мб)(Мб)где g = Zz/c3 = const, k ——коэффициентгде g = Zz/c3 = const, k ——коэффициенттеплопроводности, с ——удельная теплоемкость, w ——удельный вес материала, решение уравнения (1.16) должно быть мени / при z= ±6/2 было d^/oz—O и втеплопроводности, с ——удельная теплоемкость, w ——удельный вес материала, решение уравнения (1.16) должно быть мени / при z= ±6/2 было d^/oz—O и вРис. 1.4. Сглаживание термоупру-гого распределения температуры посечению стальной балки, подвергну-той изгибу.Рис. 1.4. Сглаживание термоупру-гого распределения температуры посечению стальной балки, подвергну-той изгибу.решение выражается в виде ряда Фурьерешение выражается в виде ряда ФурьеТак как стержень теплоизолирован, таким, чтобы в любой момент вре- момент / = 0 было 0=—2^zlh, ЭтоТак как стержень теплоизолирован, таким, чтобы в любой момент вре- момент / = 0 было 0=—2^zlh, Это
Предположим, что h ——высота балки, о ——напряжение,心 ——температура
Предположим, что h ——высота балки, о ——напряжение,心 ——температура
на расстоянии г от нейтральной оси, при z = h/2 в поперечном сечении, где растягивающее напряжение от изгиба о=0о, возникающее в результате мгновенного приложения изгибающего момента, максимально. Тогда распределение температуры по сечению
на расстоянии г от нейтральной оси, при z = h/2 в поперечном сечении, где растягивающее напряжение от изгиба о=0о, возникающее в результате мгновенного приложения изгибающего момента, максимально. Тогда распределение температуры по сечению
О=О()——температура крайнего волокна
О=О()——температура крайнего волокна
балки в момент выражением
балки в момент выражением
времени /=0 дается
времени /=0 дается
О
О
_ 2^0% /г
_ 2^0% /г
(1.1а)
(1.1а)
ГДе Jew
ГДе Jew
находится из выра-
находится из выра-
жения (1.1).
Предположим, что балка идеально изолирована. Так как сталь хороший проводник тепла, это линейное
жения (1.1).
Предположим, что балка идеально изолирована. Так как сталь хороший проводник тепла, это линейное
распределение температуры по сечению балки может существовать только мгновенно; затем распределение температуры в балке должно быстро стать нелинейным В любой следующий момент времени / температура 0 должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности дурье 1)
распределение температуры по сечению балки может существовать только мгновенно; затем распределение температуры в балке должно быстро стать нелинейным В любой следующий момент времени / температура 0 должна удовлетворять дифференциальному уравнению теплопроводности дурье 1)
t, сек
t, сек
0步 q 0/ '
0步 q 0/ '
(Мб)
(Мб)
где g = Zz/c3 = const, k ——коэффициент
где g = Zz/c3 = const, k ——коэффициент
теплопроводности, с ——удельная теплоемкость, w ——удельный вес материала, решение уравнения (1.16) должно быть мени / при z= ±6/2 было d^/oz—O и в
теплопроводности, с ——удельная теплоемкость, w ——удельный вес материала, решение уравнения (1.16) должно быть мени / при z= ±6/2 было d^/oz—O и в
Рис. 1.4. Сглаживание термоупру-гого распределения температуры посечению стальной балки, подвергну-той изгибу.
Рис. 1.4. Сглаживание термоупру-гого распределения температуры посечению стальной балки, подвергну-той изгибу.
решение выражается в виде ряда Фурье
решение выражается в виде ряда Фурье
Так как стержень теплоизолирован, таким, чтобы в любой момент вре- момент / = 0 было 0=—2^zlh, Это
Так как стержень теплоизолирован, таким, чтобы в любой момент вре- момент / = 0 было 0=—2^zlh, Это
仆=-^ 0° £ '-W °У 3几叫仍 sin 等(〃 =1, 3, 5,・・・)，(1.1В) n = l
i) См. Byerly W. E、，An Elementary Treatise on Fourier's Series and Spherical, Cylindrical und Ellipsoidal Harmonics, 287 pp., Ginn and Company, Boston, 1893.
где 枕——целые нечетные числа. Выражение (1.1в) дает распределение температуры 抄 по сечению балки в зависимости от координаты г в момент времени t. На рис. 1.4 приведены распределения температуры, возникающие от мгновенного изгиба стальной балки, вычисленные в моменты / = 0, 1,48; 5,92...
Р и с. 1.5. Распределениетемпературы О по сече-нию балки, подвергнутойизгибу.Р и с. 1.5. Распределениетемпературы О по сече-нию балки, подвергнутойизгибу....(ce&). Уменьшение О в крайнем волокне при z=h/2 показано на нижнем графике рис. 1.4 Ч.
Р и с. 1.5. Распределениетемпературы О по сече-нию балки, подвергнутойизгибу.
Р и с. 1.5. Распределениетемпературы О по сече-нию балки, подвергнутойизгибу.
f 一0。户h — 4&/z *f 一0。户h — 4&/z *(1.1г)(1.1г)Если длину балки обозначить через /, то, согласно элементарной теории упругого изгиба, прогиб в середине пролета будет равен
f 一0。户
h — 4&/z *
f 一0。户
h — 4&/z *
(1.1г)
(1.1г)
причем следует особо подчеркнуть, что здесь Еа ——адиабатический модуль упругости, который относится к мгновенному нагружению.
После того как распределение температуры, определяемое выражением (1.1в), исчезнет и вос-
-4以，-4以，(1.1Д)(1.1Д)становится первоначальное равномерное распределение температуры, прогиб балки немного увеличится и станет равным
-4以，
-4以，
(1.1Д)
(1.1Д)
где Е ——изотермический модуль упругости. После того как это произойдет, длины волокон перестроятся: те волокна, которые растянулись и' охладились, растянутся еще больше, а те, которые сжались и нагрелись, сожмутся еще сильнее, и при этом напряжения о будут оставаться неизменными. Как будет показано в § 1.9, отношение
串=乂* (l.le) Е се
больше единицы. Величина 比 обозначает отношение удельной теплоемкости при постоянном напряжении сп к удельной теплоемкости при постоянной деформации Се、которое для малоуглеродистой стали немного больше единипы [см. соотношение (1.73) и ниже]. Отсюда видно, что термоупругое последействие должно заметно сказываться на прогибе балки. При неизменном приложенном моменте первоначальный прогиб fa возрастает до f. К этому можно добавить, что по той же самой причине после мгновенной разгрузки балки ее прогиб не исчезает мгновенно: хоть и довольно малый, но все же различимый остаточный прогиб будет исчезать постепенно, так что после быстрой и полной разгрузки стержня должно наблюдаться термоупругое восстановление, похожее на ползучесть. Это также должно, вообще говоря, иметь место й для адиабатического процесса чередующихся нагружений и разгрузок упругого тела. Такой циклический процесс должен сопровождаться узкой петлей гистерезиса чисто термоупругого происхождения).
На рис. 1.5 изображено измеренное распределение температуры N в стальной балке сразу после приложения изгибающего момента.
Если по длинному цилиндрическому. стержню из ковкого металла нанести сильный растягивающий или сжимающий осевой удар, то это вызовет вблизи ударяемого конца местную деформацию, соответственно либо шейкообразную, либо бочкообразную. В этом случае превращение механической работы деформирования в тепло происходит на сравнительно коротком участке стержня, причем мгновенное увеличение температуры этого участка может быть вполне ощутимым. В относительно коротких стальных образцах, которые испытывались на растяжение со скоростью деформирования 500 1/сек в высокоскоростной разрывной машине, описанной в т. 1 (стр. 33), наблюдалось увеличение температуры приблизительно на 50° С 9
Параметры состояния в термоупругости. Обозначим через V объем и через 0 абсолютную температуру (8=273 + 8, где 8 ——температура по шкале Цельсия) изотропного упругого тела, подвергнутого действию однородных напряжений. Удобно представить тензор напряжений в виде суммы двух слагаемых—— изотропного тензора, отвечающего всестороннему растяжению» равному по величине среднему нормальному напряжению, которое обозначим о, и оставшейся девиаторной части 2)——и рассматривать эти два слагаемых отдельно.
Рассмотрим однородное всестороннее растяжение или сжатие упругого тела или жидкости. Объем V определяется средним напряжением о и абсолютной температурой 0. Любые две из этих трех переменных состояния можно принять за независимые, третья будет от них зависеть. Здесь важно заметить, что от двух упомянутых переменных, например от среднего напряжения о и температуры 0, должна зависеть, вообще говоря, не большую длину рабочего участка (15,74 м) и пропущенная для предотвращения обдувания воздухом через вертикальную стальную трубу длиной 16,8 м, быстро нагружалась путем подвешивания на ее конце груза. Мгновенное появление растягивающих напряжений, созданных подвешенным грузом, вызывало падение температуры проволоки на (0 — 0О), и затем, по мере того как окружающий воздух нагревал ее до прежней температуры, длина проволоки должна была увеличиваться за счет температурной деформации —а(0 ——0о), выражающей термоупругое последействие. Однако в опытах Сэйра, наблюдавшего упругое последействие и петлю гистерезиса при нагружении и разгрузке, положение было сложнее, так как на термоупругие явления накладывались вязкость и пластичность, которые давали даже больший вклад в упругое последействие, чем чисто температурный эффект. Кстати, можно добавить, .что термообработанные высокоуглеродистые стали либо не очень хорошо подчинялись, либо вовсе не следовали закону упругости Гука даже при сравнительно малых деформациях. В частности, Сэйр обнаружил постепенное уменьшение модуля Юнга с ростом напряжений от Е=2,12・10б до £=2,04 • 106 кг [с諸 и существенные петли гистерезиса при циклических испытаниях высокоуглеродистых сталей.
С хорошо известным явлением разогрева металла вследствие быстрого пластического деформирования сталкиваются в процессах механической обработки резанием, при которой металлическая стружка быстро отгибается краем режущего инструмента, так что для охлаждения необходимо применять специальные жидкости.
См. т. 1, стр. 123—124.
только изотропная часть напряженного состояния, но также и девиаторная часть, определяющая деформации искажения, так как известно, что модули упругости и вместе с ними модули сдвига несколько возрастают, когда среднее напряжение о =——р принимает большие отрицательные значения, т. е. когда тело подвергается действию больших гидростатических давлений 9, и значительно уменьшаются с приближением температуры 0 к температуре плавления тела 0т. Оба эти эффекта должны сказываться, например, на упругом поведении пластов горных пород внешней твердой оболочки Земли, залегающих на больших глубинах и находящихся под действием больших давлений и температур.
Таким образом, если среднее напряжение о и абсолютная температура 0 увеличиваются на бесконечно малые величины do и 2е, объем V упругого тела в условиях всестороннего растяжения (сжатия) изменяется на
dV = ~^^ do + "8. (1.2)
Если разделить это равенство на V, то отношение dV/V будет выражать приращение de натуральной объемной дилатации е единицы объема de — dV/V и, следовательно,
Здесь величина (Оо/Ос)е определяет скорость увеличения среднего напряжения о при изменении дилатации объема с при постоянной температуре, или изотермический модуль К объемного сжатия) упругого тела, а величина (Oe/dB)。 определяет скорость температурного расширения единицы объема при постоянном напряжении и росте температуры или увеличение единицы объема, приходящееся на один градус, которое обозначим через а. Таким образом,
de = ^ + adQ, «=(謂 к，а =(凱. (1.4)
В соответствии с установившимися в термодинамике обозначениями здесь нижний значок у частной производной указывает тот из трех параметров состояния с, о, 0, который в процессе дифференцирования не изменяется; это правило используется и в последующем изложении.
1) См. т. 1, стр. 47.
Если бы зависимость К и о от о и 8 была известна и выражение (1.3) представляло собой полный дифференциал, то, выполнив интегрирование, мы получили бы общее уравнение состояния 尸(。，о, 0) =0 упругого тела или жидкости 】).Однако для твердых тел почти ничего не известно о зависимости К н о от среднего напряжения о и температуры 0 в широком диапазоне изменения этих переменных. Некоторые результаты измерений зависимости упругих параметров от температуры приводятся в § 1.7.
Когда, как это часто бывает, объемное расширение е единицы объема очень мало, можно определить эту величину обычным образом
(здесь Vo ——объем при некоторой температуре 0О и некотором напряжении сг0, от которых ведется отсчет) и выразить температурное расширение а единицы объема через линейное температурное расширение “=(阿。8)0 грани единичного куба. При малых ено
е = (1+£)3-1=Зе, а =(箱。= 3 備)° = 3а (1.6)
Когда объемное расширение (дилатация) е мало, величины а и & называются соответственно температурными коэффициентами объемного и линейного расширения. Мы видим, что первый коэффициент равен утроенному второму ).
Рассмотрим сначала поведение упругого тела, находящегося в изотропном напряженном и деформированном состоянии, и
1) Такое уравнение, если бы был известен его явный вид, соответствовало бы для изотропного поля напряжений в упругом теле уравнению состояния идеального газа
pv = RQ(1.5)
в теории газов (р — давление, и — удельный объем, 0 — абсолютная температура, R—газовая постоянная).
предположим, что объемное расширение е при этом мало (по сравнению с единицей). В уравнениях (1.3) и (1.4), которые дают
応=(需)8"。+ (需=空 + ""仇 a*)
переменная с обозначает определенное обычным образом объемное расширение e=(V—Vo)/Vo, а за среднее напряжение о можно принять нормальную силу, действующую на элемент поверхности тела, деленную на площадь этого элемента в начальном ненагруженном и ненагретом состоянии (при некоторой температуре отсчета 0О и напряжении о = 0), а не на фактическую площадь в нагретом и нагруженном состоянии (при 0 и о). В частности, это выполняется в том случае, когда изменение температуры относительно невелико, что соблюдается в ряде практически важных случаев {).
Последовательность деформаций можно представлять в виде кривой в пространстве, отнесенном к прямоугольной системе координат с, о, 0, откладывая абсолютную температуру как ап- ликату, соответствующую значениям объемной деформации с и среднего напряжения о, изменяющимся по некоторому закону в плоскости с, о. Последовательности деформаций для нагружения или разгрузки тела, в течение которых температура 0 не
Если же, наоборот, температура 0 изменяется в широком диапазоне, так что происходят существенные изменения состояний твердого тела от соответствующих низким значениям 0 до отвечающих приближению к точке плавления 0^, как, например, те, которые должны обнаруживаться при статических условиях равновесия сил под землей на глубинах 50—100 км в породах твердой внешней оболочки Земли, то в величину плотности пород р на больших глубинах, соответствующих высоким давлениям р (при о=——р) и высоким температурам, должна быть внесена поправка согласно соотношению
(1.9)
где ро—плотность при 0 = 0О и о=0.
Нагревание горных пород при атмосферном давлении (о=0) от обычной температуры 0О=273° до температур, близких к температуре плавления 0m, сопровождается возрастанием температурного расширения е приблизительно на 8——12% или несколько больше, а их объем уменьшается при 0 = 0о=const с возрастанием давления 卩，вероятно, на 4——6% при давлении р= 10 000 атм. Эти обстоятельства важны, например, для понимания интересных задач механики, связанных с процессами конвективного охлаждения верхних слоев земной коры в течение раннего, геологического периода, когда происходило ее затвердевание. Здесь возникает задача о том, на какую глубину может погрузиться горная порода после того, как она затвердела, а ее плотность увеличилась из-за застывания и давления вышележащих слоев, но уменьшилась из-за температурного -расширения, связанного с тем, что, погружаясь, порода попадает в область более высоких температур.
изменяется (0 = const), называются изотермами твердого тела н могут быть представлены своими нормальными проекциями на плоскость с, о, образующими семейство кривых, для которых 0 = const.
Если не давать телу расширяться или сжиматься, то при нагревании или охлаждении будет e = const, 0е = 0. Тогда, согласно уравнению (1.8), при изменении температуры 0 напряжение о должно изменяться со скоростью
(需)「一(音)/儔卜(1，1。)
Произведение аК представляет собой увеличение напряжения при понижении температуры на Г, когда возможность сокращения тела исключена 】).
Для девиаторной части деформации упругого тела можно предположить справедливость уравнения； аналогичного (1.8), где 丫 ——единичный сдвиг, t——касательное напряжение. Величина (дх/ду) q^G определяет изотермический модуль сдвига. Так как, вообще говоря, при поддержании касательного напряжения т постоянным модуль G уменьшается с ростом температуры, то единичный сдвиг у может изменяться даже при неизменном напряжении т. При очень высоких гидростатических давлениях, р =——о, в уравнение (1.11) следует добавить еще один член (0у/0о)&т・
Теория температурных напряжений. Если модуль объемного сжатия К 〃 температурный коэффициент объемного расширения а не зависят от о и Q и, следовательно, постоянны, то дифференциал de, определяемый выражением (1.8), представляет собой полный дифференциал и его можно проинтегрировать вдоль любого пути между двумя точками в плоскости е, о. Пусть известно температурное расширение е при напряжении сг = О и некоторой начальной температуре ео = 073 + Оо, где 8。 можно положить равной комнатной температуре в градусах Цельсия; тогда, интегрируя уравнение (1.8) от точки с = 0, о = 0, 0 = 0о до точки е, о, 0, получаем
е =君 + ^ (0 — 0О), (1 •⑵
1) Например, при комнатной температуре для малоуглеродистой стали, обладающей модулем объемного сжатия 1,75 • 10б &27cM2 и коэффициентом объемного расширения 。=3,3'10一5 {/град, среднее напряжение о при уменьшении температуры на 1° увеличивается на qk=57,7 к21cM?• ера*
ето представляет собой уравнение состояния твердого тела в случае изотропного распределения напряжений 〃 деформаций, причем тело подчиняется закону упругости Гука. Придавая температуре 0 в уравнении (1.12) различные постоянные значения, мы получим семейство изотерм 0 = const такого тела в переменных е, о. Это семейство состоит из параллельных прямых (рис. 1.6).
Линейное уравнение состояния, подобное уравнению (1.12), следует рассматривать как первое приближение к уравнению состояния для общего случая; оно справедливо только в ограниченном диапазоне изменения е, о, 0. Другими словами, поле изотерм представляется параллельными прямыми только в ограниченном диапазоне изменения температур 0 (и средних напряжений о). Так как наклон изотерм в плоскости е, о равен изотермическому модулю сжатия К и известно, что этот модуль при о = 0 существенно уменьшается при подходе к температуре плавления, то очевидно, что, когда температура изменяется между крайними значениями, изотермы должны сходиться друг к другу и образовывать семейство кривых, расстояние между которыми постепенно уменьшается в направлении отрицательных значений о.
Если 吸,Од, 6, “z, %к, тХ2/ и 8Х, ", %, Y”, Yz冷 Уху обозначают компоненты напряжений и малых упругих деформаций, если a = o/3 = const и если модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v предполагаются постоянными (не зависящими от а и 0), то изотермические модули упругости £ и сдвига G также будут постоянными, и для компонент тензора деформаций можно будет записать шесть линейных выражений 】). Выражая закон Гука для ех, 8^ и 82 с добавлением членов, соответствующих температурному расширению, получаем
%— ” 亿 + %)] + а (8 —仇)，Ууг =(1.13)
Поскольку сумма нормальных деформаций
е = % + 旳 + % =丄 J (。乃 + % + 力)+ За (0 — 0О) = -^г + а (0 — 0О)
(1」4)
】)См, т, 1, уравнения (24,2), (24.5), стр. 433,
удовлетворяет уравнению состояния (1.12), то
(1.15)(1.15)Е = 3(1 — 2v)K = 2(l +v)G・
(1.15)
(1.15)
Девиаторная часть тензора упругих деформаций при таких
шестью соотношениямишестью соотношениямипредположениях выражается
шестью соотношениями
шестью соотношениями
(1.16)(1.16)
(1.16)
(1.16)
Заметим, что уравненияЗаметим, что уравнениямогут служить определе-
Заметим, что уравнения
Заметим, что уравнения
ниями изотермических модулей упругости и сдвига в общем случае для тела, у которого К и v непостоянны и зависят от среднего напряжения о и абсолютной температуры 0; правда, в этом случае уравнения (1.13) должны записываться для дифференциалов 0&犬,...;dyyz,
Уравнения (1.13) и (1.14) обычно служат для вычисления распределения температурных напряжений 6 неравномерно нагретом упругом теле при условии, что изменения температуры не очень велики. Однако эти уравнения недостаточно общи и не охватывают случаев, когда модули Е, G, К, а также коэффициенты а и у зависят от среднего напряжения о и абсолютной температуры 0 и когда эта последняя значительно изменяется внутри тела.
Общее поле изотерм для твердой среды в предположении о зависимости ее сжимаемости и температурного расширения от давления и температуры. Рассмотрим теперь случай изотропных напряжений о и деформаций с в упругом теле, когда модуль сжатия К= (до/де) 0 и температурный коэффициент объемного расширения а= (де/дд) а зависят от среднего напряжения о и от абсолютной температуры 0, которые могут теперь изменяться в широком диапазоне, а дилатация е остается все еще сравнительно малой величиной. Предположим, что поле изотерм 0 = const уже определено. Для кристаллических твердых тел при отсутствии аллотропных превращений структуры это поле в плоскости е, о, очевидно, ограничено. Оно должно быть ограничено тремя граничными кривыми. На рис. 1.7 оно не может заходить влево за изотерму 00, соответствующую абсолютной температуре Q = 0 = const, так как не существует температур, меньших абсолютного нуля. Справа на рис. 1.7 оно ограничено некото^ рой кривой o,m=f(em), а именно кривой плавления mm твердого тела, за которой среда находится в жидком состоянии. Наконец, сверху на рис. 1.7 оно ограничено кривой разрушения 疗，расположенной над осью е, где о〉0, и соответствующей хрупкому
разрушению тела под действием равномерного трехосного растяжения 1).
Из-за того что температура плавления твердого тела 0；л увеличивается при высоких гидростатических давлениях р, кривая плавления тт должна идти несколько круче изотерм. Так как наклон изотерм (do/dc)。измеряет модуль объемного сжатия К среды как в твердом, так и в жидком состоянии, то замечаем, что наклон изотерм уменьшается, когда они пересекают
кривую плавления и входят в область жидкого состояния (рис. 1.8). Уменьшение связано с тем, что обратная величина 1/К= (де/до) 0 измеряет сжимаемость среды, а, как известно, жидкость более сжимаема, чем кристаллизующееся из нее твердое тело. Следует отметить, что жидкое состояние в правой части на рис. 1.8 начинается за некоторой второй кривой, показанной штрихами. Это объясняется тем, что при плавлении кристаллического тела объем увеличивается скачком.
Чтобы определить семейство кривых, сходящихся друг к другу при возрастании давления (т. е. когда а<0), мы можем,
1) На рис. 1.7 начало О в плоскости е, о выбрано на изотерме 0=0, т. е. при напряжении о=0 объемная температурная деформация е отсчитывается от объема т^ла при абсолютном нуле температуры,
по-видимому, постулировать существование уравнения состояния вида
т
е = 2 必偿乂号)(n = 0, 1,2,..., m),(1.⑺
%=o
где функции q)n (6/01) зависят только от температуры, а 01 н Ко ——две произвольные постоянные. Уравнение (1.17) можно записать в безразмерных переменных
т
令=^, s =豈，^ = ^ Фп (0)^.(1.18)
п=0
Здесь 8 можно назвать гомологической температурой i) — термин, введенный Людвиком, который в качестве 仇 брал температуру плавления тела. На практике может оказаться достаточным ограничиться первыми тремя членами ряда, предполагая, что уравнение состояния имеет вид
е = ср +(PiS + ср2s2,(1」9)
который позволяет рассматривать различные конкретные случаи, например случай горной породы, залегающей на большой глубине в верхней части твердой земной коры, т. е. упругого тела, подверженного действию очень больших гидростатических давлений р (больших отрицательных значений среднего напря^ жения о =——р) и изменениям температуры от любого значения до температуры плавления 0]. Подставляя в уравнение (1.19) различные постоянные значения 仆=const, получаем уравнение для семейства изотерм твердого тела.
Предполагая, что уравнение (1.19) справедливо, можно вычислить сжимаемость (де/да) q=1/K и температурный коэффициент объемного расширения а— (де/дВ)а
T闺尸(L2。)
где штрихи обозначают производные по 仆.Можно видеть, что Две из трех функций, а именно 屮 и 屮匕 можно вычислить, если известны модуль объемного сжатия К и температурное
1) Введенную здесь безразмерную величину 仇 которая используется так- ;ке в уравнениях (1.18) — (1.44), не нужно смешивать с обозначением 仔 в равенстве 8=273°+仔 для температуры в градусах Цельсия, употребляемым в других частях гл. 1.
расширение е тела. Например, если экспериментально определена зависимость К и е от температуры 0 = 0^ при атмосферном давлении, которое можно отождествить с о=0, то, так как о = = s = 0, получаем
e = 0(例, a =
^ =*叫"). (1.22)
Проиллюстрируем теперь это на более конкретном примере, считая, что изменение модуля объемного сжатия К и температурного расширения е в зависимости от гомологической температуры G описывается простыми функциями
е = а。®］也 + ^■令2］ = qp (8) при o = s = 0, (1.23)
где Ко, а0 — заданные постоянные, равные соответственно значениям модуля объемного сжатия и температурного коэффициента объемного расширения тела при нулевых напряжении и температуре s = 8 = 0. Из уравнений (1.22) и (1.23) также находим, что температурный коэффициент объемного расширения при o = s = 0 равен
”4(1 +8). (1.24)
Заметим, кстати, что уравнения (1.23) определяют абсциссы в точек пересечения изотерм с осью абсцисс о=0 и наклоны изотерм до/де в этих точках (рис. 1.9). Таким образом, значения К и е, предписываемые уравнением (1.23), получаются, если по二 ложить
g =。［仆 + 的絕， где а{ = 2а2 = ^1，
Ф1 = Ьо + Ь^ + М» где 瓦=1, % = 1/4,尻=3/4."""
Допустим, что функция ф2 взята в виде
02 = 3 + Q仆 + 频仔2, (1.26) где с。，Ci,方一постоянные. Если положи > 令=0, то из уравнения (1.19) для объемного расширения пс у^им
е = b()s + cQs2. (1.27) Как показали испытания ряда твердых тел и жидкостей, уравнение точно такого вида j) описывает поведение сравнительно
слабосжимаемых тел при комнатной температуре и больших гидростатических давлениях р, когда s = —р/К°.
Квадратичный член в уравнении (1.27) несуществен в низкотемпературном интервале даже при давлениях порядка 15 000 атм. Поэтому положим для простоты со = О, пренебрегая, таким образом, малым увеличением модуля объемного сжатия с возрастанием р вплоть до 15 000 атм при абсолютном нуле
Р ис. 1.9. Изотермы упругого тела (слева направо: 0=0; 400; 800; 1200; 1600° К).
у — глубина (км); 0 — температура породы (°К).
температуры и считая, что соответствующая абсолютному нулю изотерма 0 = 0 представляет собой прямую линию e = s (匕。рав- но 1), проходящую через начало координат О (рис. 1.9).
Наконец, для определения констант с】и с2 в уравнении (1.26) (после того как положено 3=0), пожалуй, можно посту* пить так. Предположим, что система изотерм 布=const, определяемая уравнением (1.19), в какой-то мере стремится принять направления касательных к направлениям пучка лучей, выходящих из некоторой удаленной точки А, расположенной на прямолинейной изотерме 0 = 0 (уравнение которой e = s), после того как переменная s в уравнении (1.19) достигает определенного отрицательного значения s =——So, соответствующего некоторому большому значению давления р0- Так как s = o/Ko, то при этом давлении р0 имеем а=—р0 и So=po/Ko. Если еа и s. обозначают
3 А. Надан
координаты точки Л, то пучок лучей, выходящих из А, задается уравнением
e-% = 3(s-so),(1.28)
где 屮=屮(8)——некоторая функция 色 Пусть для координат Л выбраны значения
% = Sa = - 2s° = — 养.(1.29)
Тогда равенство (1.19) можно записать в виде
е = — 2so + 3(s + 2s()).(1.30)
На систему изотерм [уравнение (1.19)]
е = ср + q)]S + ср2s2,”(1.31)
помимо уже упомянутых ограничений, можно дополнительно наложить еще одно, заключающееся в том, чтобы изотермы стремились к пучку лучей, определяемому уравнением (1.30), когда s = —So. Это сводится к требованию, чтобы значения е и производных de/ds, вычисленные из двух предыдущих уравнений, совпадали, когда s берется равным ——s(), т. е. чтобы
ф-ф^о + ф^^ -2So + WSo，(1.32)
(1.33)(1.33)(1.34)(1.35)(1.34)(1.35)叫 一 2ф250 = ^
(1.33)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.34)
(1.35)
или после решения этих уравнений относительно qpi и ф2
s()q)i — 2ф — 4so + 33so = 0, s^q)2 — <р — 2s。+ 2恥° = 0.
Для того чтобы удовлетворить этим двум условиям, в которые через функции <р,屮】，屮2, согласно уравнениям (1.25) и (1.26), входят первая и вторая степени 仆，нужно выбрать неизвестную функцию《(О) в виде
屮=l + d田十成俨， (1.36)
где di,壮2 ——постоянные. [Первый член в уравнении (1.36) должен равняться единице, чтобы прн 8 = 0, 2=1 из равенства (1.30) получилось уравнение e = s изотермы абсолютного нуля.]
После подстановки в уравнения (1.34) и (1.35) полных выражений фь ф2,屮，приведенных ранее, получаем окончательный вид наших двух условий
(s^q + ^dx — а^ + (s統 + 2s0d2 — а^ #2 = 0,(1.37)
(s°6i + 3s()di — 2а)仆 + (s062 + 3s°d2 — 2a2)W = 0,(1.38)
которые будут удовлетворены при всех значениях 8, если обращаются в нуль четыре выражения, заключенные в скобки. Таким образом, получаем четыре линейных уравнения для четырех неизвестных постоянных: Ci, с2, di, d2. Обращение в нуль выражений в двух скобках в уравнении (1.38) сразу дает значения di и ^2：
必=招炉， 厶=也肃包， (1.39)
а из (1.37) находим значения % и с2:
2s061-的2s061-的(1.40)(1.40)2S062 -02
2s061-的
2s061-的
(1.40)
(1.40)
3s^
после чего в интервале s》——s0 =——Ро/Ко изменения переменной s = o/Ko система изотерм полностью и в явном виде определяется уравнением
е = ср + ср^ + ср2s2 = &田 + a2M + (瓦 + 仇分 + %仆2) s + (q® + 翅巒)s2.
(1.41)
Модуль объемного сжатия К и температурный коэффициент объемного расширения а тела можно теперь легко вычислить в соответствии с уравнениями (1.20) и (1.21) при изменении напряжения о и температуры 0 в любом заданном интервале. Например, когда s = —s® мы находим
书=(*)也 = 6。+ 6田 + М2- 2 (。* +。2m)So， (1.42)
“4 =(需)=о】+ 2a2仔 一 (4 + Z%。) s。+ (q + 2c2今)s^ • (1.43)
Изображенная на рис. 1.9 система изотерм построена по этим Уравнениям с использованием численных значений постоянных
материала, приведенных в следующем подстрочном примечании 1).
Использование предыдущего семейства изотерм для исследования упругого равновесия самой верхней твердой оболочки Земли. Механические свойства твердого материала, температурное поведение которого представлено на рис. 1.9, по-видимому, в какой-то мере сходны со свойствами прочной сцементированной горной породы, обладающей довольно большой температурой плавления (1327°С при о=0), умеренным температурным расширением и весьма высокой объемной упругостью. Чтобы использовать доставляемые рис. 1.9 сведения для описания упругого состояния горных пород, слагающих, внешнюю оболочку Земли, примем в первом приближении, что плотность пород и ускорение силы тяжести постоянны в пределах первых 50 км глубины. Если предположить, что средняя плотность пород втрое превышает плотность воды, т. е. их удельный вес равен у=0,003 кг)с^, то всестороннее давление, обусловленное весом вышележащих пород земной коры, достигнет величины рс=15 000 ка/с九2=уу как раз на глубине у = 50 км.
Принимается, что при нулевых значениях напряжения и абсолютной температуры (начало координат О на рис. 1.9) модуль объемного сжатия ^=2 • 105 кг/сж2 и температурный коэффициент объемного расширения а°= =3 • 10~5 \/град. Если абсолютную температуру плавления при нулевом напряжении принять равной 01 = 1600° К, то «оОi = «i = 2а2 = 0,04800. Для давления ро, при котором имеют место условия (1.37) и (1.38), взято довольно большое значение ро=15ООО кг]с諸.Ему соответствуют вычисленные значения постоянных 50=^0/^0=0,075, с〔=——0,6220, с2=5,243. На основании этих данных с использованием значений 方о=1；瓦= 0,250;匕2=0,750 вычислена следующая таблица:
Абсолютная температура 0
0
0! = 1600° к
Гомологическая температура §
0
1
Объемное расширение е при о = 0
0
0,072
при о = —%
0,0750
0,0520
Относительный модуль объемного сжатия К/Ко
при о = 0
1
0,500
при о = — %
1
0,765
Отсюда видно, что, тогда как объем тела * при 0 = 01 = 1600° К в ненапряженном состоянии увеличивается на 7,2% (под давлением ро=15ООО кг/сл^), он возрастает вследствие температурного расширения только на 2,3% и что, вместе с тем, если модуль объемного сжатия при возрастании температуры до 1600° К в первом случае снижается на 50%, то во втором случае он меньше своего значения при 9=0 только на 23,5%.
Поскольку как давление р, так и температура 】)0 под землей возрастают пропорционально глубине у, то изображенное на рис. 1.9 семейство изотерм можно снабдить равномерными шкалами, вниз по которым против соответствующих значений давления откладываются значения глубины у и абсолютная температура пород 0. Проектируя теперь горизонтальными линиями, например, точки шкалы температур 0=400; 800; 1200; 1600° К на соответствующие изотермы, получаем на изотермах четыре точки, обозначенные большими кружками; в поле изотерм этими точками, очевидно, изображается состояние пород на разных глубинах у. Абсциссы этих точек определяют деформацию е, включая и температурное расширение, а наклон изотерм в них — истинные значения местного модуля объемного сжатия К, соответствующего преобладающим в данном месте температуре и давлению. Итак, мы видим, что рассматриваемое семейство изотерм может быть полезным при изучении упругого равновесия пород внешней облочки Земли.
Если допустить, далее, что можно получить какие-то сведения об изменении в зависимости от абсолютной температуры пород 0 коэффициента Пуассона V, то, используя уравнение (1.15), можно вычислить модуль упругости Е и модуль сдвига G внешней оболочки Земли на любой глубине у. Так как такие сведения особенно интересны для геофизиков, то примем гипотетически, что увеличение коэффициента Пуассона v с температурой 0 в пределах первых 50 км глубины не зависит от давления и описывается функцией
V = V。1 = Vo [1 + (3/4)俨], (1.44)
где постоянную v0 для сцементированных пород, представляющую коэффициент Пуассона при 6=心=0, можно ориентировочно положить равной Vo=1/4, и, таким образом, при O^^=0/0i<l будет % & v &/б)
Рассматривая форму кривой зависимости коэффициента Пуассона v=f (0) от температуры 0 при исчезающе малых давлениях в кристаллических телах, видим, что, когда температура от меньших значений постепенно приближается к температуре плавления 6加，эта кривая должна заканчиваться значением vm, которое должно быть заметно меньше значения ”『 =〔/2, соответствующего жидкому состоянию. Модуль сжатия среды ^ сохраняет свою значимость как для твердого, так и для жидкого состояний. Он уменьшается скачком от значения Кт до конечного значения, меньшего, чем К/, когда кристаллическое тело плавится, поскольку, как известно, сжимаемость де/дб=1/К в жидком состоянии больше, чем в твердом. С другой стороны, модули Е и G
Если, округляя, принять температуру поверхности Земли равной 0=300° К, то очевидно, что градиент температуры д^/ду должен быть равен 1600°—300°= 1300°, поделенным на 50 км、т. е. 26 град/км — число, несколько меньшее геотермического градиента 30 град/км, который обычно приводят геофизики, говоря о верхних слоях земной оболочки.
См. также § 1.7, стр. 40. Хорошо известно, что в очень пористых сыпучих средах при низких давлениях величина v стремится к значению v=0. При наложении небольшого одноосного или многоосного сжатия в таких телах прежде всего происходит закрытие пор. В плотных телах при низких давлениях наблюдается увеличение v с ростом температуры. Представляется разумным предположить, что в противоположность этому, когда давления достигают крайне больших значений (порядка сотен тысяч атмосфер, которые должны быть в центральных частях Земли), величина v будет стремиться к % при всех температурах. Эти части Земли не пропускают возникающих при землетрясениях волн сдвига, т. е. их модуль сдвига G должен бить исчезающе малым, несмотря на очень большие значения модуля ежа- тия К. что имеет место, когда v=%.
обращаются в жидком состоянии в нуль, так как жидкость в состоянии равновесия не может выдерживать касательных напряжений, какою бы ни была продолжительность их приложения. Из физических соображений можно, однако, ожидать, что модули Е и G стремятся к некоторым конечным значениям 1) Ет и Gm, когда температура твердого тела 0 приближается к температуре плавления 0т. Поскольку
Е = 2 (1 + V)G = 3 (1 - 2v) К,(1.45)
модули Е и G при постоянном о уменьшаются по двум причинам: вследствие увеличения v и вследствие уменьшения К с увеличением 0. То, что модуль
Рис. 1.10. Модули упругости Е и сдвига G, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v в зависимости от абсолютных температур 0.Рис. 1.10. Модули упругости Е и сдвига G, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v в зависимости от абсолютных температур 0.
Рис. 1.10. Модули упругости Е и сдвига G, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v в зависимости от абсолютных температур 0.
Рис. 1.10. Модули упругости Е и сдвига G, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v в зависимости от абсолютных температур 0.
Жирные линии относятся к давлению р = 0, тонкие — к давлению "о=-15ООО км/см.
упругости Е кристаллического тела остается измеримым вплоть до некоторого конечного значения Ет, достигаемого, когда температура, постепенно возрастая, приближается к температуре плавления 0т, было подтверждено изящными опытами Кестера (см. § 1.7), которому удалось для ряда металлов измерить модуль упругости Е при температурах, лишь чуть меньших температуры плавления 0^.
(1.46)(1.46)Кривая v=/(0) должна удовлетворять еще одному условию. Если производные от £, X и V по температуре 0 обозначить штрихами, то после дифференцирования уравнения (1.45) видно, что
(1.46)
(1.46)
丁 = Т十 1 -2v *
Согласно опытным данным, производная d£/d9 для металлов всегда отрицательна (в отсутствие аллотропных превращений), а производная dv/dQ ——по-
ложительна. Для того чтобы кривая, представляющая изменение модуля объемного сжатия, также монотонно снижалась с ростом температуры, т. е. чтобы было dK/devO, необходимо на кривую v=f (0) наложить некоторое условие, а именно чтобы нигде вдоль нее не было
@ 47)
2Е I de 卜 ，-"
в противном случае кривая, представляющая изменение модуля К объемного сжатия в интервале О<0<0т, имела бы аналитический экстремум. Очевидно также, что ^ = £* до тех пор, пока на кривой v = /(0), соответствующей постоянному о, коэффициент Пуассона v 證 ％. Эти подробности упомянуты в связи с тем, что о форме кривой v=f(9) и величинах vm и Ет в твердых телах высказывались ошибочные утверждения.
На рис. 1.10 приведены кривые, представляющие изменение коэффициента Пуассона v, модуля объемного сжатия К и модулей упругости Е и сдвига G в зависимости от абсолютной температуры 0, построенные с использованием уравнений (1.15) и (1.44) для твердых тел типа горных пород, свойства которых были описаны выше. Соответствующие различным температурам кривые, проведенные жирными линиями, относятся к случаю о=——р=0; кривые, проведенные тонкими линиями, представляют изменения К, Е 卜 G, когда при различных температурах тело подвергается действию давления ро=15ООО к,г/см2 】).
1) Можно привести следующие значения, вычисленные с использованием уравнений (1.15), (1.23), (1.42) и (1.44) в предположении, что Ко= =2 • 105 кг/см2, 0)= 1600° К (см. также рис. 1.10).
Абсолютная температура 0, °К
0
400
800
1200
16000
Гомологическая температура
Т
0
0,25
0,50
0,75
]
Модуль объемного сжатия К/Ко
при о = 0
1
0,902
0,762
0,621
0,500
при а== —ро
1
0,923
0,860
0,808
0,765
(15 000 кг/см2)
Коэффициент Пуассона v
0,250
0,262
0,297
0,355
0,4375
Модуль упругости E/К。 при о = 0
1,500
1,28
0,93
0,51
0,186
при о = — %
1,500
1,32
1,05
0,70
0,285
(15 000 кг/см2) Модуль сдвига G/K。 при о = 0
0,600
0,507
0,358
0,187
0,064
при о = —в
0,600
0,545
0,405
0,260
0,098
(15 00 кг/см2)
Подытоживая, мы можем сказать в отношении условий, встречающихся в верхней части земной коры, что, тогда как модуль объемного сжатия К вследствие роста температуры уменьшается с глубиной на 18% 】)，модуль упругости Е уменьшается более заметно (приблизительно на 79%). Такое уменьшение пр сравнению с соответствующими значениями модулей К и Е на земной поверхности имеет место на глубине 50 及九，где температура возрастает ) до 1600° К, а давление — до 15 000 кг/см2. •
Зависимость упругости и температурного расширения от температуры. В литературе имеются скудные сведения об экспериментальном определении модулей упругости и сдвига при сравнительна высоких температурах, приближающихся к температуре плавления 0т тела. Значения этих модулей, определенные из статических испытаний при повышенной температуре, могут оказаться заниженными из-за неизбежной пластической деформации и ползучести, которые становятся существенными при высоких температурах, в особенности для ковких металлов. Более достоверные результаты получаются при динамических испытаниях, когда образец заставляют совершать упругие колебания.
Одна из ранних работ была опубликована Кохом и Ди- терле), которые записали частоты колебаний струны и колебаний проволоки (крутильных) из алюминия и вычислили отсюда модули упругости Е и сдвига G. Зависимость этих модулей от гомологической температуры 0/0т воспроизведена на рис. 1.11, где также изображены кривые для коэффициента Пуассона v и модуля объемного сжатия К. Сплошные части кривых построены на основании указанных измерений. Кроме того, на рис. 1.11 приведена кривая температурного коэффи-
Напомним, что значения К для земной коры (или наклон изотерм на рис. 1.9) должны вычисляться в точках, обозначенных большими кружками и соответствующих глубинам у и температурам 0, отложенным на шкалах в левой стороне рис. 1.9.
Относительно глубин, много больших 50 км, где условия уже не могут быть правильно отображены полем изотерм на рис. 1.9 из-за различных предположений, использованных при его построении, можно сказать следующее:
циента линейного расширения а для алюминия. Значения коэффициента Пуассона, подсчитанные по этим измерениям, по-ви-
°m
Рис. 1.11. Зависимость модулей упругости £ и сдвига G, модуля объемного сжатия К и коэффициента Пуассона v, а также температурного коэффициента линейного расширения а для чистого алюминия от гомологического температурного отношения 8/8加(опыты Коха и Дитерле).
при подходе к температуре плавления 0т падает до значений, гораздо меньших тех, что наблюдались в последующих опытах (рис. 1.16).
На рис. 1.12 воспроизведены результаты опытов Коха и Дан- некера, изображающие модули Е, G и а для железа. Разрыв на кривой G соответствует переходу от a-железа к у-железу.
На рис. 1.13 представлены полученные в опытах Хол- борна, Шила и Хеннинга 】)кривые температурной деформации
Ч Н о 1 Ь о г п, Scheel, Henning, Warmetabellen der Physikalisch Technjsclien Reichsanstalt, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, Germany,
6 ^m
Рис. 1.12. Зависимость £, G и а от гомологического температурного отношения 8/8加 для железа (опыты Коха и Даннекера).
женным на рис. 1.13, определяет температурный коэффициент линейного расширения 】).
Наиболее полные и тщательные определения температурной зависимости модулей упругости чистых металлов принадлежат Кестеру i)・ При помощи электромагнитного устройства он воз-
Ри с. 1.13. Температурная деформация (по Холборну, Шилу и Хеннингу 1919 г.).
/ — медь; 2 — малоуглеродистая сталь; 5 —кварцевое стекло.
буждал, добиваясь резонанса, упругие изгибные колебания малой амплитуды в круглых стержнях из 32 различных чистых металлов диаметром от 4 до 10 мм и длиной от 100 до 200 мм. Стержни, концы которых были свободны, поддерживались в горизонтальном положении двумя проволочными петлями, проходившими, таким образом, через два узла стоячей волны,
】)Koster W., Die Temperaturabhangigkeit der Elastizitatsmoduls reiner Metalle, Z. Metallk., 39, 1—9, 9—12, 145—160 (1948). Оборудование, использованное для этих опытов, описано в Z. Metallh., 29, 109—123 (1937). В этих статьях можно также найти многочисленные ссылки на старые относящиеся к этому вопросу работы.
соответствующей основному колебанию; колебания можно было возбуждать в интервале температур от ——180 до 1000°С J).
立。Cf
Рис. 1.14. Модуль упругости £ при различных температурах (по Кестеру).
/ — вольфрам; 2 — платина； 3 — медь; 4 — молибден； 5 — серебро; 6 — бериллий.
Справа масштаб для платины, меди, серебра; слева — для вольфрама, молибдена, бе-риллия.
Результаты опытов Кестера для вольфрама, молибдена, бериллия, платины, меди и серебра воспроизведены на рис. 1.14, для никеля, железа и кобальта ——на рис. 1.15, для цинка, алю-
I) Модуль упругости определялся по частоте п основного тона согласно выражению
42PQс ，
где р — плотность； I — длина； Д — площадь; / — момент инерции поперечного сечения стержня; р=4,730 для стержня с двумя свободными концами. Кестер определял также для ряда металлов при различных температурах коэффициент затухания изгибных колебаний.
Заметим, что величина модуля упругости Е、определенная в этих акустических испытаниях на быстрые поперечные колебания стержней, определяет величину адиабатического модуля Е, который несколько больше изотермического. Для практических целей это различие несущественно.
миния и магния ——на рис. 1.16. Кривые изменения модуля упругости £ на рис. 1.14 и 1.16 очень гладкие без резких изгибов, обращенные вогнутостью к оси температур.
Наиболее примечательно, что Кестер измерил модуль £ для серебра и металлов с низкой температурой плавления (см. кривые на рис. 1.16 для Zn, Al и Mg) почти до точек плавления (обозначенных кружками). Таким образом, определенно доказано, что модуль упругости кристаллических твердых тел стремится к конечному значению (например, для чистого алюминия оно сравнительно велико: Ет = 4,00 • 105 кг/cM^ тогда как при —180° С было получено значение Е = 7,80 • 105 кг/см2), когда температура приближается к точке плавления снизу, и, кроме того, показана ошибочность представления о стремлении коэффициента Пуассона к % при подходе к температуре плавления 0W снизу.
В поведении кривых для ферромагнитных металлов Ni, Fe и Со обнаруживается существенная аномалия (рис. 1.15); модуль упругости отожженного никеля сначала падает и проходит через минимум при 200° С, затем возрастает до достижения точки Кюри, после чего линейно уменьшается с ростом температуры; кривая модуля для железа начинает быстрее загибаться вниз, подходя к точке Кюри (760° С), в которой мгновенно приобретает более пологий наклон, сохраняющийся до точки а-у-превращения вблизи 900° С, и при дальнейшем нагревании возрастает скачком (при у-а-переходе модуль упругости Е скачком падает при охлаждении). Ферромагнитные свойства, так же как и полиморфные превращения, нарушают гладкость кривых изменения модуля упругости (см. также соответствующие нерегулярности в поведении модуля упругости Е для кобальта на рис. 1.15). Эти аномалии подтверждаются также поведением коэффициента затухания в только что рассмотренных трех металлах.
На рис. 1.17 воспризведены некоторые данные для модуля упругости сплавов, стойких в отношении ползучести при высоких температурах, измерявшегося в опытах Менджойна !) и Флейшмана 2).
На рис. 1.18 показано изменение модуля упругости алюминиевого сплава с температурой О, измеренной по шкале Цельсия. Ординаты точек, отмеченных кружками, соответствуют средним значениям Е в процентах по отношению к модулю Ео при комнатной температуре ®о=21°С, измеренным при указываемых абсциссами температурах в различных испытаниях на
Рис. 1.15. Модуль упругости Е при различных температурах (по Кестеру).
/ — никель; 2 — железо； 5 — кобальт.
Рис. 1.16. Модуль упругости Е при различных температурах (по Кестеру).
1 — цинк; 2 — алюминий; 3 — магний»
Рис. 1.17. Модуль упругости Е.
а — вестингаузовский жаропрочный сплав 26； 6 — вестин-гаузовский сплав 25 для дисков турбин (опыты Мен-джойна); 8 — сталь 16% Сг, 25% Ni, 6% Мо (по Флей-шману).
упругость, проводившихся согласно сведениям, полученным от Темплина 】)， американскими промышленными лабораториями. Интерполирующая кривая на рис. 1.18 построена автором.
Эверетт и Микловитц2) по значениям модулей Е и G, измеренным в опытах с небольшим консольно закрепленным стержнем, который под действием подвешенных к нему грузов подвергался одновременно упругим изгибу и закручиванию, определили коэффициент Пуассона v=(E/^G) —— l для пяти стальных образцов, применяемых Американским обществом инженеров автомобилестроителей (SAE), в интервале температур от комнатной до 537° С. На рис. 1.19 представлена кривая v=f(9), интерполирующая полученные авторами средние значения коэффициента Пуассона.
Рассматривая энергию атомной решетки и результирующее изменение объемного модуля сжатия и температурного расширения объема с абсолютной температурой, Витовец3) вычислил обратное значение 团=1/丫 коэффи-
Я признателен Темплину из исследовательской лаборатории Американской алюминиевой компании в Кенсингтоне, Филадельфия, за предоставление приведенных выше опытных данных. В статье Темплина и Гартмана (Templin R. L., Hartmann Е. С., The Elastic Constants for Wrought Aluminium Alloys, NACA Tech. Note 966, January, 1945) приводятся данные по точному определению модуля Е при растяжении и сжатии, а также модуля G и коэффициента Пуассона v для ряда алюминиевых сплавов при комнатной температуре.
Сплав
Е (ке/сМ)
G (кг/см?)
V
растяжение
сжатие
2S
0,697.105
0,703.105
2,67 ・ 105
0,32
75 S
0,725. Ю5
0,740 - 105
2,74 • 105
0,33
24 S
0,740 - 105
0,753・105
2,81 ・ 105
0,32
Кривые зависимости сгх от ех для этих алюминиевых сплавов имеют хорошо выраженный предел пропорциональности. Только что указанные значения и те, что приведены на рис. 1.18 для Е/Ео, относятся к прямолинейным участкам кривых «напряжение ——деформация», где еще не достигнут предел пропорциональности.
Everett F. L., Miklowitz J., Poisson's Ratio at High Temperatures, /. Appl. Phys., 15, 592—598 (1944).
V i t о v e c F., Ober die Temperaturabhangigkeit der Querzahl der Me- talle, Osterr. Ing. Arch., 6, № 2, 1932—1934 (1952). Витовек использует формулу, предложенную Шефером [Schaefer С., Drudes Ann., 1124 (1902)], выражающую изменение коэффициента Пуассона v с температурой
1 +” = (1 + v20)1 +” = (1 + v20)1 - а (9 — 20)1 - В 2 — 20)'1 - а (9 — 20)1 - В 2 — 20)'
1 +” = (1 + v20)
1 +” = (1 + v20)
1 - а (9 — 20)
1 - В 2 — 20)'
1 - а (9 — 20)
1 - В 2 — 20)'
где а и Р — температурные коэффициенты модулей упругости и сдвига, v2o — значение v при 9=20° С. Однако уже Ангенхейстер [A n g е n h е is t е г G., Drudes Ann., 11, 188 (1903)] показал, что линейная экстраполяция зависимости модулей £ н G от температуры, на которой основана эта формула, не может быть справедливой в широком диапазоне температур
циента Пуассона для металлов — железа, меди и алюминия — в зависимости от гомологической температуры 0/0m (0W ——абсолютная температура плавления), которое представлено кривыми рис. 1.20, построенными на основе его
Рис. 1.20. Обратная величина коэффициента Пуассона m= 1/v (по Витовецу).
вычислений. Он затабулировал также значения zn=l/v для ряда металлов; мн здесь приводим некоторые данные (см. таблицу ниже).
О дальнейших определениях зависимости модулей упругости и сдвига н коэффициента Пуассона от температуры для 21 вида серийной стали
4 А. Надаи
сообщается в статье Гарофало, Мэйленока и Смита }). Их опыты были выполнены на устройствах, аналогичных упомянутым выше установкам Эверетта и Микловитца, в которых горизонтальный консольный стержень из стали одновременно подвергался статическому изгибу и кручению. При этом определялись модули упругости £ и G в интервале температур от 93 до 480° С для углеродистых сталей, до максимальной температуры 590° С для ферритных малоуглеродистых и высоко хромистых сталей и до 820° С для аустенитных нержавеющих сталей.
Таблица 7」
ЗНАЧЕНИЯ m=l/v
А1
Мо
W
Ni
Си
Ag
Zn
Pb
При абсолютном нуле
При температуре плавления
3,00
2,50
3,28
2,64
4,30
2,75
3,50
2,70
2,90
2,35
3,20
2,70
3,77
2,90
2,33
2,15
Они обнаружили, что модули Е 口 G для этих сталей (за исключением двух аустенитных нержавеющих сталей) убывают приблизительно линейно с ростом температуры в интервале, который охватывался их опытами, но при высоких температурах они заметили, что Е и G начинают убывать с температурой быстрее, чем линейно. Из их опытов можно, таким образом, заключить, что в имевшем место диапазоне температур в первом приближении коэффициент Пуассона остается практически постоянным (в противоположность данным опытов Эверетта и Микловитца, представленным на рис. 1.19). Отклонение от линейности, наблюдаемое у ферритного сплава, они также приписывают изменению магнитных свойств при увеличении температуры.
За подробностями и численными значениями величин Е, G, v читателю следует обратиться к опубликованным в этой статье графикам ).
Изменение коэффициента Пуассона v в области перехода от упругих деформаций к пластическим. Предыдущий краткий обзор работ об упругих постоянных можно дополнить несколькими замечаниями об увеличении коэффициента Пуассона v металлов, сопровождающем постепенное развитие в них остаточных деформаций в процессе одноосного растяжения или сжа-
1) Garofalo F., М а 1 е п о с k Р. R., Smith G. V., The Influence of Temperature on the Elastic Constants of Some Commercial Steels. (Presented at the 55th Annual Meeting of the American Society of Testing Materials, June, 1952, Preprint 159, 18 pp.) В этой статье содержатся также некоторые результаты опытов по тому же предмету других исследователей и даны ссылки на их работы.
Р и с. 1.21. Кривая „напряжение — де- формацияи и коэффициент Пуассона в пластической области для полисстью раскисленной малоуглеродистой стали (С 0,22%) (по Стонгу, Гринспэну и Ньюмэну).Р и с. 1.21. Кривая „напряжение — де- формацияи и коэффициент Пуассона в пластической области для полисстью раскисленной малоуглеродистой стали (С 0,22%) (по Стонгу, Гринспэну и Ньюмэну).
Р и с. 1.21. Кривая „напряжение — де- формацияи и коэффициент Пуассона в пластической области для полисстью раскисленной малоуглеродистой стали (С 0,22%) (по Стонгу, Гринспэну и Ньюмэну).
Р и с. 1.21. Кривая „напряжение — де- формацияи и коэффициент Пуассона в пластической области для полисстью раскисленной малоуглеродистой стали (С 0,22%) (по Стонгу, Гринспэну и Ньюмэну).
тия при нормальной температуре. Стонг, Гринспэн и Ньюмэн 】) определяли отношение полного поперечного сокращения ——еу
к полному продольному удлинению 8Х, используя обычные методы измерения того и другого, для образцов ряда металлов (алюминиевый сплав 24 S-Т, хромомолибденовая и две полностью раскисленные малоуглеродистые стали), которые они испытывали на растяжение за пределом упругости ——в некоторых случаях вплоть до 18% остаточной осевой деформации при комнатной температуре и при —44° С. Построив зависимость отношения ——е^/е% от осевой деформации 近，они обнаружили, что за пределами упругого диапазона оно быстро увеличивается от значения порядка 0,3 до максимальной величины 0,46, после чего медленно уменьшается. Анизотропность прокатанных металлов существенно влияла на величину этого отношения у образцов, вырезанных под разными углами к направлению прокатки. Одна из их кривых, представляющая отношение —//% в начале пла-
стического диапазона деформаций для полностью раскисленной малоуглеродистой стали, изображена на рис. 1.21 вместе с кривой зависимости напряжения от деформации.
Джерард и Уайлдхорн2) сообщают об аналогичных точных измерениях коэффициента Пуассона, проведенных в области перехода от упругих
宙 B.tz// S.儿 n
a燄 m
WR е л
м.,train
dy戸 u 3
5S576A 一95rnNAoberо
hreo d ， ilv.ics wunilaut
gctarY г n^l^w^ tast-223ee S^Gn^ 9so21/rnl-n4*
деформаций к начальным пластическим на образцах из трех алюминиевых сплавов (прокатанный 24S-T4; выдавленные через отверстие 14S-T6 и 75S-T6), испытанных при комнатной температуре на одноосное растяжение
Рис. 1.22. Кривая „напряжение — деформация'* при растяжении и сжатии и коэффициент Пуассона V для алюминиевого сплава 24S-T4 (нагруженного в направлении прокатки) (по Джерарду и Уайлдхорну).Рис. 1.22. Кривая „напряжение — деформация'* при растяжении и сжатии и коэффициент Пуассона V для алюминиевого сплава 24S-T4 (нагруженного в направлении прокатки) (по Джерарду и Уайлдхорну).
Рис. 1.22. Кривая „напряжение — деформация'* при растяжении и сжатии и коэффициент Пуассона V для алюминиевого сплава 24S-T4 (нагруженного в направлении прокатки) (по Джерарду и Уайлдхорну).
Рис. 1.22. Кривая „напряжение — деформация'* при растяжении и сжатии и коэффициент Пуассона V для алюминиевого сплава 24S-T4 (нагруженного в направлении прокатки) (по Джерарду и Уайлдхорну).
и сжатие. У этих сплавов хорошо выражен упругий диапазон на кривых «напряжение ——деформация», которые имеют вид, подобный воспроизведенной на рис. 1.22 кривой
о% = f(£%),
где ах — осевое нормальное напряжение, е% = е； + £： — полная деформация, причем е； = %/Е — упругая, а 吸一остаточная часть ех. Эта кривая получена для алюминиевого сплава 24S-T4 и состоит из двух постепенно загибающихся и ведущих в пластическую область деформации еж ветвей, соответствующих растяжению и сжатию.
Для вычисления результирующего коэффициента Пуассона v в переходной области от упругих к малым пластическим деформациям эти авторы пользуются уравнением
(1.47а)(1.47а)е = е = —we = — vze/ —vzze^.у ZX力 X
(1.47а)
(1.47а)
откудаоткуда，£； + /或，£； + /或(1.476)(1.476)
откуда
откуда
，£； + /或
，£； + /或
(1.476)
(1.476)
где V’ и v〃 一 коэффициенты Пуассона, соответствующие упругой (%) и остаточной(£；) частям деформации ех соответственно, т. е. уравнением, объединяющим малые упругие и остаточные деформации, которое для изотропного течения было выведено ранее [см. т. 1, уравнения (24.11) и (24.11а), стр. 435]; его эквивалентный вид [см. т. 1, уравнение (24.23), стр. 440]:
『成. (1・47в)
Если полное относительное увеличение объема обозначить через е, а упругую и остаточную его части через е‘ и е〃，то для одноосного растяжения или сжатия ех получаем
е = / + е" = (1 — 2v) % = (1 — 2，)《+ (1 — 2v") & (1.47г)
откуда также следует (1.47в). На рис. 1.22 представлен взятый из работы тех же авторов типичный пример изменения коэффициента Пуассона v в зависимости от 8Х на переходных участках ветвей кривой «напряжение ——деформация», соответствующих растяжению и сжатию. Интересно отметить, что у ветви кривой v, соответствующей деформации растяжения (ех>0), ординаты меньше, чем у ветви, соответствующей деформациям сжатия (ех<0), и что эта последняя ветвь кривой v пересекает горизонтальную линию v=%, отвечающую предельному значению коэффициента Пуассона v, соответствующему несжимаемому материалу. Таким образом, в области деформаций сжатия за ех =——0,012 наблюдались значения v (и v〃)，большие /2.
Это свидетельствует о том, что фактически остаточное объемное расширение е" = (1—2у")б/ при увеличивающейся деформации сжатия становилось положительным и большим абсолютной величины упругого объемного расширения / = (1 — 2vz) е^, которое для наблюдавшегося значения v,=0,34 было отрицательным в области деформаций сжатия (е^. < 0). Так как е； < 0, то v〃 должно быть больше 72, чтобы величина е" = (1 — 2v") ej дала положительное приращение объема, превышающее абсолютную величину е‘. Это подтверждается и некоторыми старыми наблюдениями, согласно которым подвергшиеся холодной обработке и испытавшие деформационное упрочнение поликристаллические ковкие металлы дают очень небольшое остаточное!) увеличение объема, даже когда они деформируются в условиях одноосного или многоосного сжатия, так что материал может течь. Нужно добавить,
однако, что, как показали сами авторы】)，условия проведения этих испытаний были весьма сложными вследствие пластической анизотропии, присущей металлическим стержням, полученным прокаткой илн выдавливанием, из которых изготовлялись образцы.
Во всяком случае, эти опыты и те, о которых сообщалось раньше, выявляют большую чувствительность такой величины, как коэффициент Пуассона V, к структурной анизотропии. Пожалуй, может быть интересным сопоставление характера кривой v на рис. 1.22, построенной по наблюденным значениям, и кривой на рис. 1.23, построенной по значениям коэффициента Пуассона v, вычисленным для некоторой изотропной среды с идеализированной 〃 упрощенной симметричной в отношении сжатия и растяжения диаграммой ^напряжение ——деформация», состоящей из трех отрезков прямыл при упрощающем предположении, что v'=0,3 и v,,= /2 = const. Обозначим через ео упругую деформацию в момент достижения точки текучести при напряжении сГх = Оо, соответствующем растяжению, через Е ——модуль упруго-
ст и на крутом участке диаграммы «напряжение ——деформация», изображенной на рис. 1.23, и через Е° ——наклон dGxld&x = Ео = const в пластической области. Тогда легко проверить, что отношение упругой деформации 或 к полной деформации ех в точках пластической области ех>ео выражается в виде
(1.47е)(1.47е)Рис. 1.23. Идеализированная кривая „напряжение — деформация'* для растя-Рис. 1.23. Идеализированная кривая „напряжение — деформация'* для растя-коэффициент Пуассона v.±1±2±3±4-0,010,4000,4500,4750,483коэффициент Пуассона v.±1±2±3±4-0,010,4000,4500,4750,483жения и сжатия и соответствующий Деформация % = ± 0,5 Коэффициент Пуассона v = 0,300жения и сжатия и соответствующий Деформация % = ± 0,5 Коэффициент Пуассона v = 0,300
(1.47е)
(1.47е)
Рис. 1.23. Идеализированная кривая „напряжение — деформация'* для растя-
Рис. 1.23. Идеализированная кривая „напряжение — деформация'* для растя-
коэффициент Пуассона v.
±1±2±3±4-0,01
0,4000,4500,4750,483
коэффициент Пуассона v.
±1±2±3±4-0,01
0,4000,4500,4750,483
жения и сжатия и соответствующий Деформация % = ± 0,5 Коэффициент Пуассона v = 0,300
жения и сжатия и соответствующий Деформация % = ± 0,5 Коэффициент Пуассона v = 0,300
обычной гиперболы, имеющими в качестве горизонтальной асимптоты прямую v=% (рис. 1.23). Если же предположить, что постоянное значение v〃 несколько больше 7г в области сжатия (е： < 0) и меньше V2 в области растяжения (е； > 0), то изменение результирующего коэффициента Пуассона V для ковкого металла, у которого объем слегка необратимо увеличивается как при одноосном растяжении, так и при сжатии, можно выразить аналитически при помощи двух неконгруэнтных ветвей обычной гиперболы.
Теория термоупругости. Напомним, что для определения состояний, через которые проходит идеальный газ, когда он совершает работу, расширяясь или подвергаясь сжатию в некоторой машине под действием внешних сил, первый и второй законы термодинамики применяются к определенному идеальному циклу или процессу в газе. Подобно этому, для рассмотрения превращения механической работы или энергии упругой деформации в тепло, или наоборот, мы определим, как изменяются параметры состояния упругого тела, когда оно подвергается заданному виду деформирования или нагружения
Рассматривая сначала состояния изотропной деформации и нагружения, используя обозначения § 1.3, принимая напряжение о и абсолютную температуру 0 за независимые переменные н упругое объемное расширение е за зависимую переменную, в соответствии с уравнением (1.8) мы будем считать, что в равенстве
de = (&\da + (^аМ(L48)
частные производные, определяющие модуль объемного сжатия К и объемный коэффициент температурного расширения а,
居)е = К, 儔)° =。，а также 備『一瞰，(1・49)
являются материальными константами, так как изменения температуры, с которыми мы будем иметь дело в этом параграфе, очень малы. Следовательно, de является полным дифференциалом, так что уравнение (1.48) можно сразу проинтегрировать по любому пути, соединяющему некоторое начальное состояние е = о = 0, 0 = 0о с любым состоянием е, о, 0, и можно принять следующее уравнение состояния:
e=* +a(8 一 瓦).(1.50)
Пусть dQ обозначает тепло, поглощенное единицей объема твердого тела при изменении его состояния е, о, 0 на de, do, d0, и пусть d5 = G de обозначает механическую работу, затраченную на его деформирование. Если Л ——тепловой эквивалент механической работы, то, согласно первому закону термодинамики или принципу сохранения энергии, сумма dQ и % dco должна представлять собой величину d〃， на которую изменилась внутренняя энергия единицы объема (включая и потенциальную энергию упругой деформации), или
dQ + A da)= dQ + Aede = d〃.(1.51)
Если мы примем 0 и о за независимые переменные, то сможем выразить dQ как
"Q = ("^) ^9 ~Ь ^"50"^ ^ ^ ^®»(1.52)
или же, если в качестве независимых переменных использовать Вне, как
Предположим, что температура тела 0 возрастает на de, а объем тела поддерживается постоянным. Тогда тепло dQ, поглощенное при этих условиях единицей объема тела, удельный вес которого w (выраженный в ке/с也з), выражается как dQ = = wce rf0. Здесь се обозначает удельную теплоемкость тела, или тепло, требуемое для увеличения температуры 0 единицы веса на 1° С при постоянном объеме e = const. При de = 0 никакой внешней работы не совершается, и из уравнения (1.53) получаем.
dQe = wcedQ = ^^edQ, (^ =wce. (1.54)
С другой стороны, если температура возрастает на de, а напряжение о поддерживается постоянным, то из равенства
=(黑)е "9 + (17)0 血(1 ・55)
после деления на de и использования уравнения (1.54) при о = =const получаем
(需)。= (#L + (^)e (器)。=+ (黑)。 (黑)。.0 ・56)
Если удельную теплоемкость при постоянном напряжении обозначить через %, то с учетом уравнения (1.52) и того, что de== =(de/dQ)0 d0, поскольку do = 6, поглощенное телом тепло dQa выразится в виде
dQo =侬％ dB = ("!|')° de — Ла (關)。d°・(1 ・57)
После подстановки сюда значения (du/dQ)^ взятого из уравнения (1.56), мы видим, что разность между удельными теплоемкостями с0——се твердого тела может быть подсчитана из уравнения
w(%-%) =[(乳-词傷)。(L58)
при условии, что (ди/де) 0 известно.
Для вычисления (du/de)Q будем следовать стандартной〔) процедуре, используя второй закон термодинамики и энтропию Ф среды, определенную равенством
у dQ du — Ла de
d<P = 丁 =§，(1.59)
I) Планк М., Курс термодинамики, М., 1948.
и вычисляя вторую производную от ф, О?屮/оо 0е, для упругого тела, уравнение состояния которого выражается соотношением (1.50). Снова считая е и 0 переменными, из уравнения (1.59) видим, что
(ди/дВ)е _ wce( 0中、—(2〃/de)e —/и
Приравняв выражения для d2^ldQ 0е, вычисленные по этим двум первым производным от 屮，находим с учетом уравнения (1.49) соотношение ■
(7Г)0 = л [а - 9 (器)」=&。+ 攻8)・(16)
Подставим (1.61) в уравнение (1.58) для разности двух удельных теплоемкостей (с。——cj тела; тогда получим
侬(％ — %) = — 48 (芻)е (器)。=4°2K仇(162)
Если отношение двух удельных теплоемкостей обозначить, как в газовой динамике, буквой х, то после деления уравнения (1.62) на се видим, что для твердого тела
(1.63)
Однако член, добавляемый в этом выражении для х к единице, оказывается крайне малым, и поэтому разность с0 ——се часто не существенна, когда рассматриваются только малые изменения температуры.
Теперь мы используем предыдущие формулы для вычисления малых изменений температуры, которые наблюдаются 6 твердом теле, когда его нагружают мгновенно, г. е. адиабатически, и одинаково во всех направлениях от некоторого началь^ ного состояния ei = a(Bi ——0О), Oi = 0, 0i до напряжения о. В адиабатическом процессе теплообмен между данным телом и окружающими его телами отсутствует. Используя уравнение (1.53) в предположении, что dQ равно нулю,
dQ = d〃 一 Ao de = ("^") de + [(^^)® — 4。] de = 0,(1.64)
мы можем вместо двух частных производных от и подставить выражения, которые были подсчитаны в соотношениях (1.54) и (1.61), и получить дифференциальное уравнение адиабаты
(1.65)(1.65)/аК de _ — ^Юwce0
(1.65)
(1.65)
которое после интегрирования дает
е — е{е — е{出 Се % 01砧 1П V*出 Се % 01砧 1П V*(1.66)(1.66)При малой величине разности температур 也——0 по сравнению с 0 или 01 мы можем заменить In (0i/0) на In [1 + (也一0)/0] = =(也一0)/0 и тогда вместо уравнения (1.66) можем записать соотношениеПри малой величине разности температур 也——0 по сравнению с 0 или 01 мы можем заменить In (0i/0) на In [1 + (也一0)/0] = =(也一0)/0 и тогда вместо уравнения (1.66) можем записать соотношение(1.67)(1.67)в которое из уравнения состояния можно подставитье — 3 = -^— а (В] — 0),(1.68)в которое из уравнения состояния можно подставитье — 3 = -^— а (В] — 0),(1.68)что дает с учетом уравнения (1.62) следующую формулу для изменения температуры твердого тела в процессе адиабатического нагружения:что дает с учетом уравнения (1.62) следующую формулу для изменения температуры твердого тела в процессе адиабатического нагружения:°吟+凡2k6°吟+凡2k6—4а8о wcG—4а8о wcG(1.69)(1.69)В правую часть вместо 0 можно подставить или метическое начальной и конечной температур просто 01. Другими словами, мы можем считать лоемкость % и отношение н = с0/се равными их начальной температуре 仇，положивВ правую часть вместо 0 можно подставить или метическое начальной и конечной температур просто 01. Другими словами, мы можем считать лоемкость % и отношение н = с0/се равными их начальной температуре 仇，положивсреднее ариф- (91 + 9)/2, или удельную теп- значениям присреднее ариф- (91 + 9)/2, или удельную теп- значениям при乂 = 1 +乂 = 1 +4а2KM.L = const.4а2KM.L = const.wcewce(1.70)(1.70)
е — е{
е — е{
出 Се % 01砧 1П V*
出 Се % 01砧 1П V*
(1.66)
(1.66)
При малой величине разности температур 也——0 по сравнению с 0 или 01 мы можем заменить In (0i/0) на In [1 + (也一0)/0] = =(也一0)/0 и тогда вместо уравнения (1.66) можем записать соотношение
При малой величине разности температур 也——0 по сравнению с 0 или 01 мы можем заменить In (0i/0) на In [1 + (也一0)/0] = =(也一0)/0 и тогда вместо уравнения (1.66) можем записать соотношение
(1.67)
(1.67)
в которое из уравнения состояния можно подставить
е — 3 = -^— а (В] — 0),(1.68)
в которое из уравнения состояния можно подставить
е — 3 = -^— а (В] — 0),(1.68)
что дает с учетом уравнения (1.62) следующую формулу для изменения температуры твердого тела в процессе адиабатического нагружения:
что дает с учетом уравнения (1.62) следующую формулу для изменения температуры твердого тела в процессе адиабатического нагружения:
°吟+凡2k6
°吟+凡2k6
—4а8о wcG
—4а8о wcG
(1.69)
(1.69)
В правую часть вместо 0 можно подставить или метическое начальной и конечной температур просто 01. Другими словами, мы можем считать лоемкость % и отношение н = с0/се равными их начальной температуре 仇，положив
В правую часть вместо 0 можно подставить или метическое начальной и конечной температур просто 01. Другими словами, мы можем считать лоемкость % и отношение н = с0/се равными их начальной температуре 仇，положив
среднее ариф- (91 + 9)/2, или удельную теп- значениям при
среднее ариф- (91 + 9)/2, или удельную теп- значениям при
乂 = 1 +
乂 = 1 +
4а2KM.
L = const.
4а2KM.
L = const.
wce
wce
(1.70)
(1.70)
С этими оговорками из уравнений (1.67), (1.68) и (1.70) получается соотношение
а (В — М) = е q —= 一 似К將-纟)一 =_ (х _ i) (е _ 内)
или для уравнения адиабаты
%=轰=亡(L71)
и для изменения температуры в адиабатическом процессе
Эти соотношения показывают, что адиабаты твердого тела, подверженного действию однородного напряжения о, образуют в плоскости е, о семейство параллельных прямых с несколько
более крутыми наклонами do/de = %K = Ka — в х раз больше наклонов К изотерм [уравнение (1.50)],——иначе говоря, адиабатический модуль объемного сжатия Ка твердого тела 6 々 раз больше изотермического модуля объемного сжатия К.
При о=——р уравнение (1.72) справедливо также и для жидкости, откуда следует, что температура 也 жидкости возрастает при мгновенном приложении давления р и понижается при снятии этого давления. Уравнение (1.72) совпадает с формулой, впервые предложенной Томсоном 】).
Предположим теперь, что цилиндрический образец металла мгновенно деформируется упруго под действием одноосного растягивающего или сжимающего напряжения ах при oy = 6z = 0. Так как температурный коэффициент линейного расширения а = а/3 и для одноосного напряжения ах среднее напряжение равно а=ах/3, то после подстановки этих значений в уравнение (1.72) изменение температуры твердого стержня, который скачком нагружают одноосным напряжением аХл выразится в виде
8一d=一生^. (1.73)
Мы можем добавить, так как Ка = хК、что адиабатический модуль упругости Еа = %Е в х раз больше изотермического модуля Е (в предположении, что коэффициент Пуассона v для рассматриваемых нами малых изменений состояния не зависит от тепловых явлений).
Применив уравнение (1.72) к одноосному напряженному состоянию, что дало уравнение (1.73), мы неявно предположили, что в эффект адиабатического нагревания или охлаждения существенный вклад вносит только изотропная часть о= =0%/3 тензора одноосного напряжения о&, или, другими словами, что на тепловой эффект пренебрежимо мало влияет де- виаторная часть напряженного состояния, которая в рассматриваемом случае представляет собой сумму двух чистых сдвигов, а именно: Oi = —О2 = о&/3, Оз = 0 и (л = —Оз = о&/3, а2=0. Мы уверены, что в этом утверждении следуем Томсону, хотя автор мог проверить это только косвенно, так как не смог найти в подробных исследованиях Томсона по термоупругости примера, в котором бы явно определялись тепловые эффекты напряженного состояния, характеризующие чистый сдвиг (чисто девиа- торные напряжения, не связанные с изменением объема). Этот выдающийся физик утверждает только, что его общее уравнение для теплового эффекта [см. уравнение (1.81) ниже] справедливо для любого вида напряженного состояния.
См. примечание на стр. 19 этой книги.
Рис. 1.24. Последовательности деформирований: e=const, o=const, O=const.Рис. 1.24. Последовательности деформирований: e=const, o=const, O=const.Приведем, наконец, формулы для величин поглощаемой 6 разных процессах теплоты, необходимой для того, чтобы температура возросла от 01 до 0.
Рис. 1.24. Последовательности деформирований: e=const, o=const, O=const.
Рис. 1.24. Последовательности деформирований: e=const, o=const, O=const.
Изохорический процесс, т. е. такой, в котором форма поверхности тела поддерживается неизменной, или объемное расширение (дилатация) постоянно e = ei = a (0i——00) = const (движение вдоль пути АВ на рис. 1.24). Из уравнения (1.54) и (1.50) получаем
Qe = w^e (6-61),(1-74)
при этом напряжение падает до значения
о = — Ка (0 — 0j).
Изобарический процесс, когда напряжение поддерживается постоянным (движение вдоль пути CD на рис. 1.24). Так как из уравнения (1.57) в сочетании с уравнением (1.62) следует, что
dQo = wcG d6 = (wce + Aa2KQ)"仇то после интегрирования получаем
Q。= 5% (е — М) + —• (1.75)
так и не зависят соог-так и не зависят соог-Мы можем добавить, что как Qe,
так и не зависят соог-
так и не зависят соог-
ветственно от величин е или о, при которых линии АВ и CD на плоскости рис. 1.24 соединяют две данные изотермы 0i = const и 0 = const.
Изотермический процесс. Если в теле, температура которого поддерживается постоянной, напряжение возрастает, начиная от ненагруженного состояния, до величины о (от точки Е с c=f〃 (0 — 0о), о = 0 до точки 尸 на рис. 1.24), то телу должно быть сообщено количество тепла, равное
Qq = Дбгбог,(1.76)
что можно проверить путем применения уравнения (1.51), выражающего первый закон термодинамики, к замкнутому тепловому циклу наподобие обозначенного на рис. 1.24 цикла EFGE. Количества тепла, соответствующие движению вдоль коротких сторон треугольника FG и GE (рис. 1.24), даются формулами для Qe и Qo，которые были только что выведены, а площадь треугольника представляет работу на единицу объема, отдаваемую упругим телом по завершении цикла.
Указанные простые выражения для Q?, Qo и Q0 полезны, когда требуется подсчитать тепловые изменения состояния или когда описываются тепловые циклы с обратимыми ветвями, отвечающими предписанным последовательностям деформаций. Это можно пояснить примером. Рассмотрим замкнутый тепловой цикл из трех последовательных действий (которому на пло-
СА выделяется количествоСА выделяется количествоскости е, о (рис. 1.25) соответствует треугольник) с началом в точке Л («1, о = 0, 01). Пусть тело сначала адиабатически нагружается до напряжения о и температуры 0 (движение до точки В с координатами е, о), затем нагревается при поддержании его объема постоянным до тех пор, пока температура не возрастет от 0 опять до 仇[движение до точки С (е, 6, 01)], и наконец разгружается при постоянной температуре (движение вдоль изотермы 仇=const от точки С обратно в точку А), Поскольку при движении вдоль адибаты АВ теплообмен отсутствует, вдоль ВС поглощается количество тепла Qi и вдоль тепла Q2, то, согласно первому за-
СА выделяется количество
СА выделяется количество
Qi + Q2 +Qi + Q2 +4 (о — О, (с _ С1)24 (о — О, (с _ С1)2=0,=0,(1.77)(1.77)кону термодинамики, по завершении цикла получим
Qi + Q2 +
Qi + Q2 +
4 (о — О, (с _ С1)2
4 (о — О, (с _ С1)2
=0,
=0,
(1.77)
(1.77)
где третий член выражает тепло, эквивалентное механической работе, представленное заштрихованной площадью треугольника АВС, и сообщенное телу внешними источниками, чтобы вернуть его в начальное состояние. Но согласно уоавнениям (1.74) и (1.76),
Qi = wce (0i - 0), Q2=-4〃8Qi，(1.78)
и на основании уравнения (1.50)
К(е — д) = 6 = и — 5 + аК (9 — d)・(1.79)
Пользуясь этими выражениями, получаем из уравнения (1.77) — Аш (0 + М)/2
06_ We + /a2K (8 + m)?2一，
где знаменатель дроби в правой части представляет wca [см. уравнение (1.62)] при средней температуре (0 + 0i)/2. Таким об-
разом, мы вывели выражение для изменения температуры (0 — 01) в процессе адиабатического нагружения и нашли, что оно согласуется с выведенной ранее формулой (1.69) (в предположении, что (8+ 仇)/2 〜仇).
В заключение можно отметить, что Томсон предложил основанную на первом и втором законах термодинамики 】)общую формулу для тепла, поглощаемого телом, которое нагружают, поддерживая его температуру 0 постоянной; эту формулу он записал следующим образом：
Q= — 48(W)j (1單)
Здесь(о обозначает работу, совершаемую при движении вдоль изотермы 0 = const и любом виде нагружения от начального нет нагруженного состояния к конечному.
Если воспользоваться формулой (1.81) для изотропного нагружения, принимая за начальное положение точку D на рис. 1.25 с координатами 22 = 0(6 — 80), оо=0, а за конечное точку В (е, о, 0), то механическая работа, совершенная при переходе по изотерме (равная площади треугольника DB巨), выразится в виде
(1.82)(1.83)(1.82)(1.83)(ё -ё1) 0 _ [е - а (8 -瓦)]e3 = —2 ——
(1.82)
(1.83)
(1.82)
(1.83)
Но поскольку
(У = К [е — а (6 — 6о)]，
八 _ К[”а(8-8о)]2 _ а
3 =2=女，
то по формуле Томсона (1.81) мы находим, что поглощенное на изотерме 0 = const тепло Q равно
Q = Аада (1.84)
в согласии с нашим уравнением (1.76). Точно так же, если рассматривать, как делает Томсон, произведение wc0 (0 —也)， подсчитанное на основании уравнения (1.69) как «убыль иля прибыль тепла》Q, когда тело адиабатически нагружают или разгружают, то можно вычислить 0 ——0Ь поделив поглощенное при движении по изотерме тепло Q, выражаемое формулой
Томсона (1.81), на wcQi и, таким образом, можно оценить 0—01 для любого вида нагружения.
Это приводит нас к следующему окончательному результату. Предположим, что мы хотим вычислить изменение температуры в состоянии чистого сдвига т(5 = —。2 = £ Оз = 0), адиабатически вызывающего деформацию сдвига у без какого-либо изменения объема (е = 0). Чтобы дать теорию для этого случая, необходимо располагать уравнением состояния для чистого сдвига. Если принять у и т за прямоугольные координаты (аналогично тому, как мы поступили сенов случае изотропного напряженного состояния), то ясно, что нельзя считать изотермы 0 = const в плоскости у, t семейством параллельных прямых 9 (как было в случае изотропного напряженного состояния на плоскости е, а). Предполагая справедливость закона Гука, видим, что изотермы представляют собой пучок прямых, прохо-* дящих через начало координат (丫 =工=0),
Y = 3 (1.85)
где изотермический модуль сдвига G должен зависеть от абсолютной температуры 0. Предположим (в ограниченном диапазоне температур 0), что
G = GO[1-P(0-0O)],
где р ——некоторая весьма малая положительная постоянная. Затем для изотермы 0 = const, отвечающей девиатору напряжений, можно постулировать уравнение
т[1 +6(8-8。)]
Однако можно убедиться, что тепловой эффект чисто сдвигового адиабатического нагружения, который получается на основе этого допущения и может быть подсчитан способом, аналогичным примененному в случае изотропного напряженного состояния, по порядку величины ниже получающегося вследствие объемного расширения, и это делает его практически незначительным.
!) Это означало бы, что ненагруженное тело способно претерпевать деформацию сдвига просто за счет увеличения или уменьшения своей температуры, чю физически абсурдно. Поэтому для чистого сдвига изотермы должны проходить через начало координат 丫=工=°, что и учтено в уравнении (1,86).
Глава 2
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА.
РАССМОТРЕНИЕ СОСТОЯНИЯМАЛЫХ И КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Вот мое теперешнее представление о пластичности однородных аморфных тел.
Пусть а, р, 丫 一 три главные деформации в произвольной точке; Р, Q, R — главные напряжения, связанные с ними симметричными линейными уравнениями, одинаковыми для всех осей. Тогда полную работу, .совершенную напряжениями Р, Q, R при развитии деформаций а, р, у, можно записать как
t/ = Л (а2 + Р2 + у2) + ^ (₽Y + Ya + °Ф),
где А и В — коэффициенты, природа которых здесь не рассматривается. Теперь можно положить
U = Ui + /,
где Q обусловлено симметричным сжатием (ai = Pi=Yi)> а “一 искажением без сжатия (cc2+B2+Y2=0) и a = ai + a2, P = Pi + p2, Y = Yi + Y2-
Отсюда следует, что
Ui=g(A + 5)(a + P + Y)2,
U2 =皆(24 - В) [a2 + ¥ + 丫2 一 偉丫 + y« + «₽)]•
Мое мнение заключается в том, что эти две части можно рассматривать как независимые: Ui — работа, совершаемая при сжатии, U2 — при формоизменении. Для обозначения работы, которую необходимо совершить над телом, чтобы превзойти его упругие силы, я бы употребил старое слово «resilience».
Дж. Максвел/I
В этой и следующей главах будут выведены общие уравнения для механической работы и изложены некоторые теоремы, относящиеся к энергии, необходимой для деформирования твердых тел в статических условиях. В ряде приложений, о которых будет идти речь, рассматриваются случаи, когда деформации достигают конечных значений. В следующем параграфе приводится также много сведений о конечных деформациях и излагаются общие методы анализа и обращения с однородным конечным формоизменением упругих и пластических сред.
Письмо Дж. Максвелла лорду Кельвину, 18 декабря 1856 г. (Из книги Дж. Лармора: Larmor J., Origin of Clerk MaxwelFs Electric Ideas, p. 32, Cambridge University Press, LonKon» 1937.)
& А. Надаи
Дифференциал механической работы. Когда уравновешенная система внешних сил деформирует тело, эти силы производят механическую работу, равную работе, поглощаемой внутренними напряжениями для преодоления сопротивления,
Рис. 2.1а. Пауль Людвик (родился 15 января 1878 г. в Шлане, Богемия,умер 28 июля 1934 г. в Вене).
Людвик, директор Технического исследовательского отдела н“ профессор Технического университета в Вене, был одним из основателей прославленной Венской школы исследователей механической прочности (Тет- майер, Людвик, Терцаги, Леон, Мелан). В 1。0) г. он в сотрудничестве с Леоном предложил в качестве новой меры для конечных удлинений стержней понятие логарифмической деформации ё = J dill = In (1 + е), введенное в его очень интересной небольшой книге: Ludwik Р., Elemente der technologischen Mechanik, 57 pp., Julius Springer, Berlin, 1909, в которой он определил общую кривую текучести (Fliesskurve) a^f(8), характеризующую пластическую деформацию ковких металлов в области деформационного упрочнения, использовав ее для предсказания поведения металлов при сравнении испытаний на растяжение, сжатие, кручение и прокатку. Людви ковская деформация ё стала одним из выдающихся инструментов для определения общих состояний с конечными деформациями, названными в 1937 г. автором. этой книги натуральными деформациями. Людвик открыл также описанный в его книге МОЗ г. логарифмический закон скоростей, который он установил в опытах по вытягиванию с различными скоростями оловянных проволок.
с которым материальные элементы тела противодействуют деформированию. Пусть %, у, z — прямоугольные координаты точки 尸 в деформированном состоянии, отнесенные к фиксированным в пространстве осям, и пусть напряженное состояние в бесконечно малом материальном элементе dx, dy, dz задается компонентами нормальных напряжений <jx, cr〃，az и касательных напряжений ^亦，rzx, хху. Предположим, что напряжения могут сохранять постоянные значения, как в идеально пластической среде, или увеличиваться на дифференциалы do%, ..., dr^,..
как в упругом материале или в деформационно-упрочняющемся металле, кроме того, предположим, что происходит бесконечно малое изменение деформированного состояния материального элемента на дифференциалы компонент деформаций удлинения
Рис. 2.16. Альфонс Леон (родился 9 сентября 1881 г. в Рагузе, Далмация, умер 30 мая 1951 г. в Вене).
Леон стал профессором механики и технологии в Техническом университете в Граце в 1918 г. Он был назначен в 1945 г. директором Технического исследовательского отдела в Венском техническом университете. В начале своей деятельности он сотрудничал с Людвиком. Прекрасный обзор его жизни и деятельности можно найти в книге, посвященной памяти Леона: Alfons Leon, Gedenkschrift, 88 рр.» Verlag Allgemeine Bau-Zeitung, Vienna, 1952. Леона будут помнить также за его выдающиеся исследования по хрупкой и сдвиговой прочности (он обобщил теорию прочности Мора, предложив использовать параболу в качестве огибающей главных кругов напряжений, что было проверено им в опытах с чугуном) и за его обширные работы по концентрации напряжений.
d%,壮£中 d£z и сдвига dy^z, dYzx, dyxy. Если деформации имею/ конечную величину, то приращения деформаций должны быть взяты как приращения натуральных удлинений 〃 сдвигов, как определено в т. 1, стр. 150. Понятно, что они относятся к тем состоящим из материальных точек линейным элементам, которые при увеличении формоизменения последовательно проходят через «каркас» из координатных осей, сохраняющих в точке Р(%，У, n) параллельность некоторым фиксированным направлениям осей х, у, %. При деформации тела через этот каркас из трех взаимно перпендикулярных направлений пройдут, вообще говоря, новые материальные точки. Иначе говоря, напряженное состояние можно задать посредством трех главных напряжений, обозначаемых через 04, 02, Оз, и их направлениями, а изменение деформиоованного состояния можно определить глав，
ными значениями dq, d&2, ^£3 дифференциалов натуральной деформации, мгновенные направления которых совпадают с главными направлениями напряжений, тогда как три главных направления конечных натуральных деформаций как таковых, вообще говоря, будут другими.
Если механическую работу, приходящуюся на единицу объема материала ]), обозначить через со, то дифференциал dco этой работы, совершенной напряжениями о^, ..., т^, ..., равен d(o = ах dex + ・•. + %yz dyyz + .・・=cfj d&{ + cr2 de2 +(r3 de3. (2.1)
В этом равенстве ради краткости мы не выписываем всех трех членов в таких суммах, как(ух d&x +(yy dsy +(yz dsz и ту2 dyyz + 4-Xzx dyzx + xxy dyxy\ мы позволим себе такую свободу и в последующих уравнениях, когда будут появляться суммы членов, содержащих компоненты напряжений или деформаций, в которых индексы %, у, г просто должны циклически переставляться. Мы будем также опускать черту над £ и у, обозначающую натуральные компоненты деформации ), если это не будет вызывать двусмысленности при распознавании этих и других типов деформации.
Для изотропных материалов уравнение (2.1) можно выразить в более сжатой форме, если воспользоваться октаэдрическими компонентами напряжения и приращениями деформаций, отнесенными к плоскостям правильного октаэдра, ориентированного своими тремя осями в направлении действия главных
напряжений. Обозначим через о и То нормальную и касательную компоненты напряжения в октаэдрической плоскости
^х + ^у + ^z S + s + S
О =з=з—，(2・2)
То = }М(%_%У + .…+6(唸+ …)= "|М® —时+ …,(2.3)
а через de и dy。обозначим, как было определено раньше !), приращения натуральной деформации в перпендикулярном и в параллельном направлениях к октаэдрической плоскости:
Jex + dsy + d&z d£i+d&2 + d£3,
加=3=3，(2.4)
外0 =等/(何一或/2 ++_|®%+ ...) =
=•|~К@1 —或2尸 + (羯一成3)2 + @3 — d£])2.(2.Б)
Видно, что в этих формулах величины о, de, dyQ представляют собой среднее нормальное напряжение, приращение средней натуральной нормальной деформации и приращение натуральной октаэдрической деформации сдвига соответственно.
Дифференциал dco механической работы, приходящийся на единицу объема, для однородного напряженного состояния можно записать в виде суммы работы, совершенной силами, действующими в нормальном (работа объемного расширения) den。и тангенциальном (работа формоизменения) dcod направлениях к восьми октаэдрическим плоскостям, т. е.
ds = dsp + d6d(2.6)
(индексы и н d относятся к изменению объема и формы соответственно). Поскольку под действием среднего нормального напряжения о единичный объем увеличивается на 3de, то первый член равен
ds© = Зи d£ = и (d% + d% + d%) = и (或1 + 点2 + ds), (2.7) а второй равен
d®d = ds —笈①=(cr% — cr) d8r + ... + %z dyyz + ...=
=(qj — a) a% + (s — 6 加2 十(аз — В 壮馭(2.8)
Дифференциал работы формоизменения d^d можно выразить уерез & и dy。в виде
dorf = yT0dYq,(2.9)
1)С關.т. 1, етр. 121, 122 и !明，
Рис. 2.2. Тангенциальные смещения dub du2, du3 центра октаэдрической площадки АВС, соответствующие приращениям деформаций dq, *£2, ^£3.Рис. 2.2. Тангенциальные смещения dub du2, du3 центра октаэдрической площадки АВС, соответствующие приращениям деформаций dq, *£2, ^£3.
Рис. 2.2. Тангенциальные смещения dub du2, du3 центра октаэдрической площадки АВС, соответствующие приращениям деформаций dq, *£2, ^£3.
Рис. 2.2. Тангенциальные смещения dub du2, du3 центра октаэдрической площадки АВС, соответствующие приращениям деформаций dq, *£2, ^£3.
если вспомнить относящееся к формоизменению изотропного материала общее правило, согласно которому бесконечно малое приращение dy любой деформации сдвига всегда происходит в направлении вызывающего его соответствующего касательного напряжения т !).
Поэтому То и dyo представляются в некоторой октаэдрической плоскости двумя отдельными параллельными векторами ).
D См. т. 1, стр. 260, 261.
丿 Т du丿 Т duV — объем одного октанта ОАВС данного октаэдра, то, так как Т и du должны иметь одинаковое направление, работа силы Т, приходящаяся на единицу объема, выражается в виде
丿 Т du
丿 Т du
(2.9а)
равными ОА = ОВ= АВС будет равнаравными ОА = ОВ= АВС будет равнаЕсли мы выберем длины полуосей октаэдра (рис. 2.2) =0。曰，то площадь равностороннего треугольника
равными ОА = ОВ= АВС будет равна
равными ОА = ОВ= АВС будет равна
А = У3/2, объем октанта будет равен У =1/6 и величина силы Т будет равна
*тант ОАВС испытывает однородное растяжение dei только в направлении^*тант ОАВС испытывает однородное растяжение dei только в направлении^Т = 4т()= КЗ т0/2. Чтобы подсчитать d〃，предположим, что материальный
*тант ОАВС испытывает однородное растяжение dei только в направлении^
*тант ОАВС испытывает однородное растяжение dei только в направлении^
Если обе части уравнения (2.9) разделить на дифференциал времени dt и если дифференцирование по времени / обозначать точкой, то из уравнения (2.9) находим, что скорость, с которой совершается работа формоизменения, равна
(2.10)(2.10). з・
(2.10)
(2.10)
Sd =万 ToYo>
где уо ——скорость изменения октаэдрической деформации сдвига.
Дифференциал работы d(o, приходящейся на единицу объема и совершенной в бесконечно малом элементе материала dV= =dx dy dz, равен сумме дифференциалов работ объемного расширения dw^ и формоизменения d(Dd：
ds = ds^ + do)d = За rfe + -~ т0 dyQ,(2.11)
Полная работа деформации, совершенная при определенной последовательности нагружений (ряд последовательных бесконечно
параллельном О А. Тогда центр С。треугольника АВС сместится в том же направлении на величину d&i/3; компоненты смещения в нормальном и тангенциальном направлениях к плоскости АВС суть (d&J3) cos а и (d£i/3) sin а. Так как cos а =1仅М, sina = p2/3，то первая из компонент равна dejS V 3, а вторая равна (dSi/3) р2/3 = d〃i. Если деформации удлинения d&i, d£2, ^е3 производятся одновременно, то смещение точки Со в тангенциальном к плоскости АВС направлении дается тремя составляющими
加,du2,时з =如也*亚%加,du2,时з =如也*亚%(2.96)(2.96)
加,du2,时з =如也*亚%
加,du2,时з =如也*亚%
(2.96)
(2.96)
вдоль трех осей симметрии (высот) равностороннего треугольника АВС соответственно; это приводит к результирующему смещению d〃，равному сумме этих трех компланарных составляющих векторов, наклоненных один к другому под углом 120°,
d〃 =—尸г У(d〃i — d〃2)2 + (d〃2 — d〃3)2 + 3〃з — dti\}^.⑵9в)
/2
(2.96) и(2.9г)(2.96) и(2.9г)После подстановки сюда значений для Jui, d〃2, d〃3 из уравнения использования уравнения (2.5) мы получаем
(2.96) и
(2.9г)
(2.96) и
(2.9г)
du = -m (如1 - de2)? + (d£2 -加3产 + (如3 - de，？= -豐=
3У32了3
и Для работы формоизменения из уравнения (2.9а) находим
V 2 2УТ 2V 2 2УТ 2(2.9д)(2.9д)
V 2 2УТ 2
V 2 2УТ 2
(2.9д)
(2.9д)
“то и представляет собой величину, даваемую уравнением (2.9).
малых приращений деформации) в некотором элементе материала, выражается суммой
o = 5 + G)d = 3 j a de + у j tody。，(2.12)
в которой оба интеграла должны вычисляться вдоль предписанного пути деформирования. Для вычисления этих двух интегралов необходимо привлекать зависимость между компонентами напряжения и деформации или скорости деформации, характеризующую данное твердое тело.
Энергия упругой деформации. А. Малые деформации. Предположим сначала, что в изотропном упругом материале имеют место малые деформации, увеличивающиеся или уменьшающиеся с изменением напряжений линейно и обратимо. Символы 8Х, .. ., у”，... обозначают в этом пункте компоненты малой деформации, которые, согласно закону упругости Гука, удовлетворяют линейным соотношениям между напряжениями и деформациями
£% =Y〃z = ~q~~£% =Y〃z = ~q~~(2.13)(2.13)
£% =Y〃z = ~q~~
£% =Y〃z = ~q~~
(2.13)
(2.13)
или в главных напряжениях
(2.13а)(2.13а)O1-V & + Оз)
(2.13а)
(2.13а)
5 =£
где Е и G = E/2(1 +v)——модули упругости и сдвига, a v ——коэффициент Пуассона. Вследствие линейности соотношений между напряжениями и деформациями и вытекающего из них принципа суперпозиции механическую работу со, приходящуюся на единицу объема, можно непосредственно выразить независимо от пути деформирования или нагружения в виде суммы конечных членов
①= 4"(°х%+ ••• +%zY〃e+ ・•・) = ^(О 问+ 02%+%£з)・ (2.14)
Эта работа со представляет собой потенциальную энергию упругой деформации, запасенную в единице объема материала. Так как средняя-деформация
£* + % + %(1 一 2v) (or% + 5 + %)(1 - 2v) о
е =诟—р—(2.15)
и' октаэдрическая деформация сдвига
%%to Gto G
%
%
to G
to G
пропорциональны среднему напряжению а и октаэдрическому касательному напряжению т0 соответственно, то интегралы в уравнении (2.12) можно вычислить сразу для любого пути деформирования. При этом энергия деформации выражается либо через октаэдрические напряжения о, т0 посредством соотношения
(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)3 (1 - 2v) а2 3*
(2.17)
(2.17)
(2.18)
(2.18)
° = 2F h 而J
либо через октаэдрические деформации е, у。
3fe2 3 с р
g) = 2(1—2v)+tGY"
где первый и второй члены представляют собой энергию упругого объемного расширения со。 и формоизменения (oj соответственно. Напряжения о и to даются уравнениями (2.2) и (2.3), средняя деформация 8 ——уравнением (2.15), а октаэдрическая деформация сдвига 丫。一 соотношением
% = 1■/ (%-喷+ …+ 訴 z+ •••) =
=у м(电一助产 + (g2 - S)2 +(S - 5)， (2.19)
Согласно уравнениям (2.17) и (2.18), энергия упругой деформации со есть однородная квадратичная функция шести компонент либо напряжения, либо деформации. Ее дифференциал dco представляет собой полный дифференциал, и с использованием уравнений (2.17) или (2.18) можно убедиться, что справедливы либо шесть соотношений
(2.20)⑵21)(2.20)⑵21)либолибо己①己①
(2.20)
⑵21)
(2.20)
⑵21)
либо
либо
соответственно.
Полная энергия упругой деформации IF, запасенная в теле, вычисляется интегрированием з по объему V тела. Используя уравнение (2.17) для выражения W через о и т0, получаем
取=jJo2du + ^j\；d匕 (2.22)
Если 〃， и, w обозначают смещения некоторой точки, то нх можно ввести в предыдущие уравнения, содержащие
т. 1,(2.23)т. 1,(2.23)компоненты деформаций, посредством соотношений [см. уравнение (25.1)]:
т. 1,
(2.23)
т. 1,
(2.23)
диdw dv
% =后而+6
Используя уравнения (2.19) и (2.23) и производя интегрирование по объему тела, можно выразить энергию W упругой деформации тела через октаэдрические компоненты деформации 8 ну。:
取J (靄 + 需 + 竊У ^ + (2-24) +争1储一黑『+…+計寄+鼾+…]｝也
Б. Энергия деформации обобщенной упругой среды при конечных деформациях. Обобщенную упругую среду можно охарактеризовать тем свойством, что дифференциалы компонент натуральной деформации пропорциональны дифференциалам компонент истинных напряжений:
d^-yidoy + da^dxyz
= g , • • •, ^Ууг =•(2.25)
Модули упругости £ и сдвига G = £/2(l +v) и коэффициент Пуассона v в этих шести соотношениях между напряжениями и деформациями представляют собой переменные величины, зависящие от напряженного (или деформированного) состояния. Полагая дифференциал натурального объемного расширения равным de = d&x + d&y + d&z = 3dE, обозначая через 8 среднюю натуральную деформацию, через о= & + 0卄仇)/3 — среднее напряжение и через то и у0 — октаэдрическое напряжение и натуральную деформацию сдвига, после сложения трех уравнений (2.25) получаем
血=也含竺； (2.26)
(2.27)(2.28)(2.27)(2.28)модуль объемного сжатия определяется кг
(2.27)
(2.28)
(2.27)
(2.28)
А = 3(1 -2у)， а модуль сдвига — как
G . £=色助
= 2(1+# dYo '
Можно постулировать, что среднее напряжение о зависит от натурального объемного расширения е или средней натуральной
деформации 8, а касательное напряжение т0 — от деформации сдвига у。，
0=g(2)，to = /(%),(2.29)
причем обе эти зависимости монотонны и справедливы как при возрастании, так и при уменьшении аргументов. Так как после дифференцирования этих функций получается, что
6=3 =岩=%3k=金=一需=乩(2.30)
то, исключая Е из двух последних уравнений и*находя v, видим, что коэффициент Пуассона такого тела определяется соотношением
а модуль упругости Е — соотношением
£ = 2(1+^е=-^.(2.32)
Дифференциал энергии деформации
d(d = o%d%+ ... + xyz dyyz + ...(2.33)
с учетом уравнения (2.25) можно выразить через компоненты напряжения 。兀,...,т^, ..., но лучше, используя уравнение (2.9), разбить ① на сумму работы объемного расширения
5=3, о de = 3 j g ⑻厶(2.34)
и работы формоизменения [используется равенство (2.9)]
®rf = у J ^о rfVo = у J f(Y。)外。・⑵35)
Сумма этих работ(Ou + cod = co представляет собой приходящуюся на единицу объема энергию упругой деформации, запасенную в элементе материала.
Конечные деформации изотропной идеально упругой несжимаемой среды. Специальным случаем материала, рассмотренного в § 2.2, Б, является упругое тело, обладающее коэффициентом Пуассона v = 1/2= const и постоянными модулями упругости Е и сдвига О = £*/3 в условиях, когда упругие дефор- мацни могут возрастать до конечных значений. Так должна себя вести идеально упругая резиноподобная изотропная среда, не обнаруживающая при умеренных деформациях никакого упругого
последействия или ползучести. Так как теперь величины Е, G н V ——постоянные материала, то можно проинтегрировать соотношения (2.25) между напряжениями и деформациями и записать их в конечном виде. Таким образом, в состоянии однородной конечной деформации
£% — ^ , • • •, Yyz = ~.
Хотя эти соотношения совпадают с формулами, выражающими закон Гука при бесконечно малых деформациях, следует помнить, что здесь £%, ..., 丫伏,.…представляют собой компоненты натуральной деформации удлинения и сдвига, определение которых дано в т. 1, стр. 150.
Так, например, деформация удлинения 8Х представляет собой проинтегрированные приращения деформаций dex тех состоящих из материальных частиц линейных элементов, которые прошли через воображаемую ось, скрепленную с материальной точкой Р(х, у,之)тела и при деформировании тела сохраняющую направление, параллельное оси % фиксированной системы прямоугольных координат х, у, z в пространстве; точно так же, например, натуральная деформация сдвига yyz представляет собой проинтегрированные изменения угла dyyz между линейными элементами, которые прошли через прямой угол со сторонами, сохраняющими направления, параллельные направлениям осей у и г. Таким образом, когда при деформировании тела конечные величины £%, ... или у^, ... возрастают, то, вообще говоря, ни 8Х, ..., ни Ygz， ... не относятся к линейным элементам, состоящим из одних и тех же материальных точек деформируемого тела. Если мы хотим найти деформацию линейного элемента ds, состоящего из данных материальных точек, который удлиняется до 曲‘，или изменение, которое испытывает в процессе конечного деформирования прямой угол между двумя такими элементами, мы должны возвратиться соответственноА) к квадратичному удлинению ^= (ds^/ds)2 и определяемой им натуральной деформации удлинения © = 1пМ九 и к обычной деформации сдвига Y = tg屮(屮——угол, на который изменяется прямой угол).
Мы можем добавить, что изложенные соображения позволят глубже понять процесс деформирования по сравнению с тем, что можно получить из уравнений (2.36), которых, однако, достаточно для вычисления совершаемой напряжениями механической работы. Так как в несжимаемом материале никакой работы объемного расширения не производится, то со” = 0, и так как уравнения (2.36) по форме тождественны с уравнениями (2.13)
для бесконечно малых деформаций, то полная работа, совершаемая в упругой среде этого типа, подвергающейся конечным деформациям, равна работе формоизменения cod или энергии де- формации^ запасаемой единицей объема^
①=Ч/ =万 J % 力0 =而=.(2.37)
Для иллюстрации рассмотрим несколько простых примеров конечного формоизменения идеально упругой среды, для которой £* = 3G = const и v = i/2・ В этих примерах мы будем обозначать натуральные деформации удлинения и сдвига символами 8 и у для того, чтобы отличать их от обычных деформаций удлинения и сдвига £ и у.
А. Простое растяжение или сжатие. Соотношение между напряжениями и деформациями для стержня из идеально упругого несжимаемого материала, который испытывается на растяжение или сжатие в осевом направлении, выражается в виде !)
= Её^(2.38)
где 01 ——истинное напряжение, 8i = ln(l H-eJ——натуральная деформация в осевом направлении.
Энергия деформации, запасенная в единице объема стержня, равна
腺1寸 АЗ)?①===
2 2Е 2
Для этой идеально упругой несжимаемой среды поучительно, быть может, исследовать соотношение, связывающее касательное напряжение т в наклонном сечении стержня с соответствующей деформацией сдвига у, когда осевая деформация ei возрастает до конечных значений. Пусть ось х направлена по оси стержня. Предполагая, что начало координат помещено в неподвижном конце стержня, обозначим через х, у, 2=0 координаты точки Р, когда деформация отсутствует, а через К /,之'=0, — когда стержень деформирован и точка Р смещена в положение Р'(х'、『)(рис. 2.2а). Обозна， чим также через ах, a?, az направляющие косинусы радиуса-вектора г = ОР в недеформированном стержне и через а%, ауу 。之—направляющие косинусы радиуса-вектора d = ОР‘ в деформированном стержне. Плоское сечение р,
1) См также т. 1, стр. 93, где для такого стержня построена обычная кривая «напряжение ——деформация»:
о。=时产=里,(2.38а)
3Д^сь сто ——напряжение под действием нагрузки Р, отнесенное к первоначально" площади поперечного сечения Ло. сго=^Мо； & — обычная деформация.
Рис. 2.2а. Простое растяжение.Рис. 2.2а. Простое растяжение.
Рис. 2.2а. Простое растяжение.
Рис. 2.2а. Простое растяжение.
которое первоначально было перпендикулярным ОР, переходит после деформации в сечение р‘. Для вычисления деформации сдвига 丫 в сечении //, где действуют нормальное напряжение а и касательное напряжение т, обозначим направляющие косинусы нормали к плоскости pz через а/, а/, а：. Для простого растяжения главными напряжениями будут cri, 02=03=。， а в несжимаемой среде главные натуральные деформации удлинения равны ёь ё2=ё3= =—81/2. Вспоминая, что простое растяжение выра- б,жается посредством линейного преобразования
%' = (1 +£i)% = e"%,旷=(1 + £2)//= е~~/2//, 才=(1 + £3)2 = e一勖22，(2.40)
и вводя показанные на рис. 2.2а углы а, а' и а〃, получаем
tg 出=^ = ееJ2 А =不瓦忙 tg а. (2.41)
Согласно правилам, изложенным в т. 1, гл. 12, для состояния конечной однородной деформации можно выразить квадратичное удлинение 九 в направлении радиуса-вектора /, или 0Pl в виде
Л = /7г2-(1 + е)2 = А
Используя главные удлинения при простом растяжении Л1 = е?&,九2 =九3 = е~& (удовлетворяющие условию несжимаемости 储九2九з = 1) и направляющие косинусы ах,旬，az вектора OP, tzx = cos а, ау = sin а, Qz=0 (предполагается, что z=z'=0), из уравнений (2.40) получаем сначала
/2
九=了 = 0孤 + 咖 2 +。%3，(242)
а затем, подставляя сюда только что указанные значения величин 。工,。沙，а2 и 九 1,入2,入з, находим_
Л = е2е = е&/2 (ch 務丄 + cos 2а sh 巻~) •(2.43)
Отсюда определяется натуральная деформация удлинения ё в направлении ОР, наклоненном в деформированном стержне под углом а' к оси %. Если стержень растягивается под действием истинного напряжения си = £&, то выражения для нормального напряжения а и касательного напряжения т, действующих в наклонном сечении (плоскость //), нормаль к которому наклонена к оси х под углом а〃，имеют вид
(2.44)(2.44)(7 =号(1 +cos2a")：т =^- sin 2ct〃.
(2.44)
(2.44)
Чтобы вычислить a〃，мы используем выражения для направляющих косинусов qJ, q；, а； нормали к плоскости р‘，которые были выведены в т. 1,
стр. 142 [уравнение (12.23)]. Так как (при z = / = 0, а； = 0)
= rev=з
cosa
Зуи О 3 I
%泌）+ （学也）
У & cos2a + sin2a
(2.45)
ajV 九 2
е"& sin a
=sin=
(Ху — ОШ з —
м&%) +($也)
Me~2& cos2a + 6一折 sin2a
то мы находим, что
.° 〃e-3e'/2sin2a
2a = ch (3© i/2) + cos 2a sh (3斫/2)'⑵善)
Условная деформация сдвига 丫， которая выражает скольжение плоскости // по отношению к параллельной ей плоскости, отстоящей от нее на единицу длины, т. е. у=—tg(a,/—а'), вычисляется из уравнения (12.28) (см. т. 1, стр. 143; здесь направляющий косинус аг полагается равным нулю) или из формулы
Y =—(九 1 —九2)V九з sin a cos a = — sin 2a sh ^-,(2.47)
тогда как касательное напряжение т в плоскости pf дается после подстановки значения sin 2a" из уравнения (2.46) в формулу (2.44) выражением
(2.48)(2.48)(Е&/2) е~з&/2 sE 2ach (3&/2) + cos2ash (3EJ2)
(2.48)
(2.48)
Эти последние уравнения и определяют в параметрическом виде искомую функцию r=f(у), связывающую касательное напряжение т с соответствующей деформацией сдвига у.
Отметим, что, тогда как связь «напряжение ——деформация» для нормально по напряжения ел и натуральной деформации могла быть, согласно уравнению (2.38), просто выражена в виде Oi=E©i, функция r—f (у) в (2.48) при конечной величине деформации оказывается гораздо более сложной. Например, при а = л/4 выражения
Y =Y =ЗёЗё22т =т =(七斫⑵e一3杀/2ch(3&/2)(七斫⑵e一3杀/2ch(3&/2)(2.49)(2.49)
Y =
Y =
Зё
Зё
2
2
т =
т =
(七斫⑵e一3杀/2ch(3&/2)
(七斫⑵e一3杀/2ch(3&/2)
(2.49)
(2.49)
определяют касательное напряжение т и деформацию сдвига у в плоском сечении растягиваемого стержня, которое первоначально в отсутствие деформации было наклонено к оси стержня под углом a=n/4. При монотонном увеличении деформации сдвига у с увеличением осевой деформации & касательное напряжение т вскоре достигает максимального значения в соответствующем наклонном сечении и затем уменьшается с ростом ё1 благодаря тому обстоятельству, что плоскость .' наклоняется настолько круто, что
множитель 2а〃 в выражении для т=——(cri/2)sin 2a,z убывает при увеличении 81 менее быстро, чем происходит рост си = Е©1 в зависимости от 运】)
Б. Чистый сдвиг. Пусть материал испытывает однородное сжатие в направлении оси х и растяжение вдоль оси у. Это будут главные направления деформации. Состояние чистого сдвига определяется выбором главных натуральных деформаций в этих направлениях, равных 8j= — ё0 и ®2 = ©а (в предположении, что
1) Можно проверить для a=n/4, что т имеет максимум, когда 8t удовлетворяет условию ^~3ё1 = Зё — 1, которое выполняется при 81 = 0,426 или для обычной деформации Ei = 0,531, т. е. при растяжении стержня на 53%. Этот максимум |ттах1 = 0,278 имеет место при деформации сдвига, равной |yl=0,638.
Рис. 2.3. Касательное напряжение х = F (ёО в зависимости от натуральной осевой деформации & для плоского сечения, наклоненного под углом a = 45° к оси растягиваемого стержня из идеально упругого материала.
Рис. 2.4. Касательное напряжение т ^ f (у) в зависимости от условной деформации сдвига для плоского сечения, наклоненного под углом a = 45° к оси стержня из идеально упругого материала, подвергнутого простому растяжению.
Как и следовало ожидать, для бесконечно малых деформаций формулы (2.47) и (2.48) в пределе дают т= —Gy= —£у/3. Кривые для т=尸(友)и для т=/(у) приведены на рис. 2・3 и 2.4.
£з = 0). Соответствующие главные удлинения будут равны 九1=1/% = е~2阮，左=L Чистый сдвиг с интенсивностью ё0 выражается посредством линейных преобразований£)
(2.50)(2.50)%，= % М% = xcf,旷=—~ = уе^\
(2.50)
(2.50)
Га1
где х, у — координаты точки Р в отсутствие деформации, х\ yf — то же в деформированном состоянии.
Это приводит к преобразованию углов
tg а = е~2^ tg ах = е2ёо tg a,z,(2.51)
где а — угол между осью х и радиусом-вектором г=ОР в неде- формированном теле; о/ — угол между осью % и радиусом-вектором / = ОР‘ в деформированном теле; а〃 一 угол наклона нормали к плоскости, которая вначале была перпендикулярна ОР. Для чистого сдвига, отвечающего главным напряжениям сч = =——。2 = —to, Оз = 0 в несжимаемом упругом материале с постоянными модулями Е и G = £73, соотношения между напряжениями и деформациями [уравнения (2.25)] можно для конечных деформаций записать в конечном виде. Для чистого сдвига
&=一藹=包二一赛=券=一前 (2.52)
энергия упругой деформации, приходящаяся на единицу объема, равна
①=2①^上上 = %丽=誥=2G風尸.(2.53)
Раньше мы уже вычислили удлинение 九 вдоль ОР\ 九〃 一вдоль нормали, наклоненной под углом а", и условную деформацию сдвига ?) y=tg(a' —— a〃).
1) См. т. 1, стр. 156.
2) В частности, обращаясь к уравнениям (13.16) — (13.18а) и (13.186) (см. т. 1, стр. 157), мы находим выражения для удлинений X и Х,Л и деформации сдвига 丫 соответственно:
九=«2® = С —Sc,
(2.57)
九〃=
1 e + Sc 〃'
(2.58)
Y = Ss
—Sc〃
С - Sc〃'
(2.59)
где для краткости обозначено
s = sin 2a, s〃 =
=sin 2a〃，S = sh 2阮，
с = cos 2a, c〃 =
=cos 2a〃，C = ch 2e0.
⑵60)
Учитывая также уравнение (2.51), мы замечаем, что.
〃S
“ S + Cc
s 十 Sc
• ' - C 十 Sc •
(2.61)
6 А. Надан
Так как компоненты нормального напряжения о и касательного напряжения т в плоскости, нормаль к которой составляет угол а" с осью х, равны
о к — % cos 2(х〃，т ^ т0 sin 2а〃⑵54)
и поскольку To=2G0o, то, использовав выражения, приведенные в последнем примечании, получаем-
〃2G阮(S + Cc)
or = - 2G&oC〃 ”,(2.55)
IG0oS〃 =⑵ 56)
Таким образом, комбинируя выражение (2.16) для касательного напряжения с приведенным в примечании выражением (2.59) для у, мы можем определить функцию t=f(a, 丫) в параметрической форме (рассматривая интенсивность чистого сдвига ёо как параметр), так что зависимость касательного напряжения т от деформации сдвига 丫 6 плоских сечениях тела, состоящих из одних и тех же материальных точек, определяется следующим обра* зом:
含窯，Y = Ss，(2・62)
причем в этих двух последних выражениях а считается постоянной 9
В примерах § 2.3 А и Б не происходит поворота главных направлений напряжения и конечной деформации; эти направления совпадают между собой, и связь «напряжение ——натуральная деформация» для них в упругом теле может быть постулирована в виде линейного соотношения, что выглядит как сохранение закона Гука, зато соотношение, связывающее касательное напряжение т с соответствующей условной деформацией сдвига у, отнюдь не является линейным и к тому же зависит от ориентации данного плоского сечения. Рассмотрим теперь состояние конечной деформации, в котором происходит поворот главных осей деформации.
В. Простой сдвиг. Снова обозначим через %, у н х‘, у' координаты точки 尸 в недеформированном и точки 尸/ в деформированном теле соответственно. Простой сдвиг, параллельный оси х, выражается посредством соотношений
/ = % + Y$y,旷=协(2.63)
Например, при а=л/4 выражения
т = ^^ , у = sh 2ёэ⑵62а)
определяют касательное напряжение т и деформацию сдвига у в тех состоящих из одних и тех же материальных точек плоскостях в деформированном теле, которые первоначально, в отсутствие деформации, были перпендикулярны направлению ОР、образующему с осью % угол а=45°. Выражения (2.62) показывают, что т достигает максимального значеьшя Ттах = 0,66 G, которому соответствует у= 1,51, когда 九/豳=0, 28Q=cth 2ё0, т. е. когда 2ёр приблизительно равно 1,20 идиёо=О,6О.
где Ys = tg6 — мера интенсивности сдвига. Состояние простого сдвига можно осуществить, поддерживая компоненты нормального напряжения ах и о? исчезающе малыми и увеличивая компоненты касательных напряжений 工化^, т. е. создав плоское напряженное состояние, в котором главные напряжения равны
0rl = —O2 = t%y，仃3 = °・ (2.64)
Эти главные напряжения 仃丄 и о? все время остаются наклоненными к оси х под углами л/4 и Зп/4. Вследствие того что хху —— единственная отличная от нуля компонента напряжения по отношению к направлениям %, у, %, связь «напряжение ——деформация» [уравнения (2.25)], выражающая закон упругости, дает, что ёх = ёу = ё2 = О и что приращение dyxy натуральной деформации сдвига уху равно
在*" =呑5 =嘗(2.65)
или в конечном виде
包^ = Y5 =子-・(2.66)
Следовательно,механическая работа, совершеннаякасательныминапряжениямихху,или энергия упругойдеформации,запа
сенная в единице объема, равна
з 2 2G 2 *
Кстати, то же выражение для работы можно получить, используя выражения для октаэдрического касательного напряжения Токт и для приращения натуральной октаэдрической деформации сдвига 2уокт после применения уравнений (2.3) и (2.5), которые дают
Тху，/окт=]/^dYs，Yokt = "j/^ Ys = j/ ^■^~・
(2.68)
Теперь из уравнения (2.9) находим
①=告 J《кт dyoKT = ^" •(2.69)
Вспоминаяf), что удлинение К=е2е в направлении d (угол между ОР' и осью %) и условную деформацию сдвига 丫 для
См. т. 1, уравнения (13.41) — (13.49), стр. 168, 169.
состояния простого конечного сдвига 丫$ можно выразить либо как
22
九=1 Н—cos 2(х + 丫^ sin 2а,
2(2.70)
Y = -^- sin 2a + % cos 2a
(где a обозначает угол между OP и осью %), либо соотношениями
1у2
у = 1 + ^-——^ cos 2a' — Ys sin 2a-
2⑵ 71)
j-=——^sin 2a' + Ys cos 2a\
из которых следует, что круг деформаций, отвечающий конечному простому сдвигу %, имеет уравнение
一一身+产^(1 +学一一身+产^(1 +学(2.72)(2.72)
一一身+产^(1 +学
一一身+产^(1 +学
(2.72)
(2.72)
мы замечаем, что главные удлинения 九卜九2 даются выражениями [после подстановки у = 0 в уравнение (2.72)]мы замечаем, что главные удлинения 九卜九2 даются выражениями [после подстановки у = 0 в уравнение (2.72)]2/ Г九 1 = е阳=1 + 今 + Ys ]/ 1 + 学入 2 = e缎=1 + 等-丫 1 + V2/ Г九 1 = е阳=1 + 今 + Ys ]/ 1 + 学入 2 = e缎=1 + 等-丫 1 + V(2.73)(2.73)которые удовлетворяют условию несжимаемости материала 九爪2=1 ИЛИ 81 + Ё2 = 0. Кроме того, мы видим, что% +九2 户+ e一海~2=2которые удовлетворяют условию несжимаемости материала 九爪2=1 ИЛИ 81 + Ё2 = 0. Кроме того, мы видим, что% +九2 户+ e一海~2=2ch 23 = 1 + 毋(2.74)ch 23 = 1 + 毋(2.74)и что [после подстановки у = 0 в уравнения (2.70) и (2.71)] главные направления деформации для конечного простого сдвига Ys определяются двумя условиямии что [после подстановки у = 0 в уравнения (2.70) и (2.71)] главные направления деформации для конечного простого сдвига Ys определяются двумя условиями
мы замечаем, что главные удлинения 九卜九2 даются выражениями [после подстановки у = 0 в уравнение (2.72)]
мы замечаем, что главные удлинения 九卜九2 даются выражениями [после подстановки у = 0 в уравнение (2.72)]
2/ Г
九 1 = е阳=1 + 今 + Ys ]/ 1 + 学入 2 = e缎=1 + 等-丫 1 + V
2/ Г
九 1 = е阳=1 + 今 + Ys ]/ 1 + 学入 2 = e缎=1 + 等-丫 1 + V
(2.73)
(2.73)
которые удовлетворяют условию несжимаемости материала 九爪2=1 ИЛИ 81 + Ё2 = 0. Кроме того, мы видим, что
% +九2 户+ e一海
~2=2
которые удовлетворяют условию несжимаемости материала 九爪2=1 ИЛИ 81 + Ё2 = 0. Кроме того, мы видим, что
% +九2 户+ e一海
~2=2
ch 23 = 1 + 毋(2.74)
ch 23 = 1 + 毋(2.74)
и что [после подстановки у = 0 в уравнения (2.70) и (2.71)] главные направления деформации для конечного простого сдвига Ys определяются двумя условиями
и что [после подстановки у = 0 в уравнения (2.70) и (2.71)] главные направления деформации для конечного простого сдвига Ys определяются двумя условиями
tg 2a == — tg 2az,tg 2a == — tg 2az,(2.75)(2.75)
tg 2a == — tg 2az,
tg 2a == — tg 2az,
(2.75)
(2.75)
определяющими два угла
«1，(Х2 = % + »
и два угла
《,«2 = «! + у ,
или два набора взаимно перпендикулярных направлений. Пер- бый описывает те взаимно перпендикулярные линии в недефор- мированном теле, которые, после того как произошла деформация, превращаются в два взаимно перпендикулярных направления ар «2，вдоль которых возникают главные удлинения L и 九2 и главные натуральные деформации £】и ё2 (рис. 2.5 и 2.7)】).
Состояния конечного простого и конечного чистого сдвигов принадлежат к классу плоских деформаций, характеризуемому в несжимаемой среде (с точки зрения геометрии формоизменения) равенством с противоположным знаком двух главных натуральных деформаций 瓦=——ё2 при обращении в нуль третьей ёз = 0.
Назовем ряд непрерывно увеличивающихся формоизменений последовательностью деформаций. Последовательность простых сдвигов, определенных линейными преобразованиями (2.63), получается путем увеличения ys. Предположим, что величина у§ ограничена некоторым конечным значением Ys = Yso・ При простом сдвиге в упругом материале касательное напряжение ххуу согласно уравнению (2.66), пропорционально натуральной дефор-
Эти две системы взаимно перпендикулярных линий представляют собой диагонали двух «нерастянутых» ромбов, которые были введены в т. 1 на рис. 131, стр. 169. Их построение воспроизведено на рис. 2.7」де дано также построение квадратных корней из главных удлинений )^Xi = 1 + еь 旷厶2= 1 + ^2 и в связи с этим условных главных деформаций Ei,阮，соответствующих простому сдвигу конечной величины; эти построения проводятся графически с использованием только циркуля и линейки.
Отложим (рис. 2.7) отрезки 04 = 1, AB=AC—\SI2, проведем окружность с центром в начале О прямоугольной системы координат 尤，у и радиусом, равным единице длины； построим также на отрезке единичной длины OG = 1 в качестве основания два нерастянутых ромба 0G12, изображенных на рис. 2.7 тонкими линиями, и проведем в них четыре диагонали 01 и G2. Стороны 02 этих ромбов лежат на лучах ОВ и ОС. Пусть в еще не деформированном материале построен квадрат ODEF со сторонами единичной длины, параллельными диагоналям 01 и G2 левого ромба, показанный на рис. 2.7 жирной прерывистой линией. Теперь построим изображенный жирной сплошной линией прямоугольник OD,E,F, со сторонами, параллельными диагоналям 01 и G2 правого ромба. Очевидно, он должен представлять собой ту фигуру и в том положении, в которую переходит единичный квадрат ODEF в результате конечного простого сдвига у§.
Вершины этого прямоугольника можно получить просто проектированием вершин D и 尸 единичного квадрата в горизонтальном направлении (параллельно оси Ох、так как при простом сдвиге все точки пере?лещаются в этом направлении) на два луча, проведенных из точки О и параллельных диагоналям правого ромба, что дает вершины Df и F' прямоугольника. Длины полученных таким образом двух отрезков 0D' и 0Ff определяют главные значения условной деформации ei и &, поскольку 0Dr— 1 + 81 и 0Fr = 1 + &2.
мации сдвига ?^у, а также условной деформации сдвига ys. Так как обе они равны 弋宽期IG и благодаря тому, что 0 ^ ys •< yso, главные напряжения Oi =——O2 = Gys возрастают по абсолютной
величине при увеличении тху от нуля до тху=6у8о, в результате чего в конце последовательности простых сдвигов главная на-
Р и с. 2.7. Построение главных удлинений Хь Л2 для простого сдвига 九$ (единичный квадрат ODEF переходит в прямоугольник OD,E,F,}.
туральная деформация 8Ь согласно уравнению (2.74), имеет величину, вычисляемую из соотношения
ch2&=l+争.(2.76)
Согласно сказанному выше, ясно, что можно получить такие же главные деформации £^ =—ё2, осуществив в материале после-
довательность чистых сдвиговj) ©；= — ©； = £。путем увеличения интенсивности ёо- Для того чтобы перевести материал из начального недеформированного состояния точно в то положение, которое достигается в конце последовательности простых сдвигов (ys = yso), чистый сдвиг 0о должен осуществляться в надлежащем направлении, а именно вдоль линий OD и OF (рис. 2.7), направления которых определяются углами ai и с^ (т. е. в первом направлении материал должен быть растянут главным напряжением а* и сжат во втором направлении напряжением о； = — о； = — to). Затем, после того как ё0 достигнет наибольшего требуемого значения, равного。0 = &；=屁，нужно осуществить поворот деформированного материала как твердого тела в то положение ODrErFr (рис. 2.7). в котором первое главное направление чистого сдвига совпадает с главным направлением для простого сдвига и с прямой, наклоненной под углом а] определенным уравнением (2.75). Значение ёо, которым должна заканчиваться последовательность чистых сдвигов, определяется, таким образом, подстановкой ёо в уравнение (2.76) для ёь т. е. из условия
-J-= (ch 280 - l) = sh2&) или
sh0° =号，(2.77)
выражающего, как было выведено в т. 1 [уравнение (13.51)], условие эквивалентности чистого сдвига ёо простому сдвигу ys0- Для того чтобы создать такую деформацию, упругий материал, согласно § 2.3, Б [уравнение (2.52)], должен нагружаться путем чистого сдвига вплоть до достижения главными напряжениями значений
о： = — о； = яг。= 2G©o (2.78)
・(2.79)・(2.79)и то должно стать равным
・(2.79)
・(2.79)
т0 = 2G鼠=2G аг sh^^ = 2G In +
Хотя окончательные деформации, произведенные, таким образом, простым или чистым сдвигом, получаются е точности
1) Отметим, что для получения положительной главной деформации §1 при простом сдвиге главные деформации в условиях чистого сдвига должны быть выбраны так, как указано выше в основном тексте; в то же время в примерах, разобранных в § 2.3, В, они имеют противоположные знаки.
одними и теми же и в обоих случаях материальные линии, вдоль которых осуществляются главные деформации, тождественно совпадают, мы замечаем, однако, что соответствующие напряженные состояния отнюдь не тождественны] при простом сдвиге главные напряжения удовлетворяют условию ai =——а2 = тху~ = Gyso и направлены по отношению к оси х под углами л/4 и Зл/4 (рис. 2.5), а при чистом сдвиге напряжения о；= — а*, предписываемые уравнениями (2.78) и (2.79), действуют в направлении главных деформаций & и ®2, составляющих с осью х углы а； и а； (рис. 2.6).
Эти примеры убеждают нас в том, что в области конечных деформаций можно создать одну и ту же деформацию, или деформированное состояние идеально упругого материала, посредством двух (или более) типов нагружения, зависящих от путы, по которому деформировалась среда. Иными словами, данное состояние конечной деформации, вообще говоря, без указания определенного пути деформирования еще не определяет единственным образом напряженного состояния даже в идеально упругой среде в тех случаях, когда происходит поворот главных направлений напряжений или деформаций или тех и других относительно материала. Следовательно, мы должны ожидать, что механическая работа, требуемая для проведения разных последовательностей деформирования, завершающихся одним и тем же конечным состоянием деформации, не обязательно будет одной и той же.
В самом деле, мы находим здесь, что работа, совершенная при осуществлении последовательности чистых сдвигов, которые мы только что рассматривали [согласно § 2.3, Б, уравнение (2.53)], составляет
8р =七0丽=М" = 2G (ё0)2, (2.80)
а работа при осуществлении последовательности простых сдвигов равна
(2.81)(2.81)_吃_Gy：0
(2.81)
(2.81)
5一话 ~~T~
Таким образом, мы видим, что, так как, согласно уравнению ⑵ 77),
sh 80 = -^, отношение cos/cop всегда больше единицы:
% 一 脸 函一7匾7% 一 脸 函一7匾7(用＞L(用＞L(2.82)(2.82)
% 一 脸 函一7匾7
% 一 脸 函一7匾7
(用＞L
(用＞L
(2.82)
(2.82)
Работа, затраченная на проведение последовательности простых сдвигов cos, больше работы, совершенной при проведении последовательности чистых сдвигов сор (эти работы совпадают только тогда, когда е0 бесконечно малая величина).
Вычислим, наконец, компоненты напряжения о；, а*,七％^, необходимые для поддержания равновесия материала в конечном состоянии после завершения последовательности чистых сдвигов а* = — а* = т0 = 2Ge0 и после выполнения необходимого поворота тела. В плоском напряженном состоянии а^. 4- а* = а* + а*, но последняя сумма для чистого сдвига равна нулю и а* = — а*. Кроме того, поскольку главные оси напряжения для чистого сдвига совпадают с главными осями конечной деформации для простого сдвига, то две неизвестные компоненты напряжения а* и т；у удовлетворяют двум условиям, а. именно условию х^ах = ^2 + О^(2・83)
и условию совпадения главных осей напряжения и деформации,
(2.84)(2.84)выраженному в виде
(2.84)
(2.84)
0c ~ °C。： ％о
Отсюда, используя уравнения (2.77) и (2.79), мы находим ве-, личины
=Р0Y叩一—=Р0Y叩一—(2.85)(2.85)
=Р0Y叩一—
=Р0Y叩一—
(2.85)
(2.85)
которые также можно выразить в эквивалентной форме 】)
。；=-^ = 2Ge0the0, J。；=-^ = 2Ge0the0, J2G林2G林ch ё0 *ch ё0 *(2.86)(2.86)
。；=-^ = 2Ge0the0, J
。；=-^ = 2Ge0the0, J
2G林
2G林
ch ё0 *
ch ё0 *
(2.86)
(2.86)
В то же время последовательность конечных простых сдвигов заканчивается при напряжениях
О* = % = 0, хХу = GYso,О* = % = 0, хХу = GYso,(2.87)(2.87)
О* = % = 0, хХу = GYso,
О* = % = 0, хХу = GYso,
(2.87)
(2.87)
Что происходит при деформировании материала, когда он проходит через последовательность чистых сдвигов, мы можем понять и иным путем. Вместо того чтобы сначала деформировать тело и затем, произведя необходимый поворот, в один шаг привести его в предписанное конечное положение, мы можем рассмотреть другую последовательность чистых сдвигов, когда деформирование 〃 одновременный поворот на нужный угол производятся бесконечно малыми шагами. Ниже будет показано (см. § 2.5, Л), что линейное преобразование
%，= %]/*%% + ~7=， У’ = :%，= %]/*%% + ~7=， У’ = :У = 2(2.88)У = 2(2.88)
%，= %]/*%% + ~7=， У’ = :
%，= %]/*%% + ~7=， У’ = :
У = 2(2.88)
У = 2(2.88)
деформирует квадрат в продолговатый ромбоид, если две постоянные Zx и Ys, представляющие удлинение в направлении оси х и условную деформацию сдвига, параллельную этой оси, сделать зависящими друг от друга, т. е. если выделить такую последовательность плоских деформирований, что некоторая функция f(Хх, ys) =0.
Мы докажем позднее [см. уравнение (2.188) на стр. 126], опираясь на соотношение (2.88), что можно определить некоторую последовательность частых сдвигов, е которой главные направления напряжения будут все время совпадать с главными направлениями конечной деформации (фактически те и другие во все время деформирования скреплены с двумя проходящими в среде взаимно перпендикулярными линиями, состоящими из одних 〃 тех же материальных точек1)), если 九s и 丫$ удовлетворяют следующему квадратному уравнению:
号+ Yo%Ys-Y^= 1，号+ Yo%Ys-Y^= 1，(2.89)(2.89)
号+ Yo%Ys-Y^= 1，
号+ Yo%Ys-Y^= 1，
(2.89)
(2.89)
которое в плоскости переменных 九化，丫$ является уравнением равнобочной гиперболы. Более того, мы докажем, что при этом частном виде пути деформирования тело переводится из неде- формированного состояния (九化=1, Ys = 0) в состояние конечного однородного простого сдвига(К=1, Ys = Yo)-
Таким образом, мы можем заметить, что при помощи этой частной непрерывной последовательности чистых сдвигов, характеризуемой двумя предыдущими уравнениями, в упругой несжимаемой среде так же можно создать то деформированное
' 1) Этот тип искажения представлен на рис. 2.26 и 2.27, из которых ясно видно, о чем здесь идет речь.
состояние, которое отвечает конечному простому сдвигу 丫§ = 丫。・ Едва ли нужно добавлять, что посредством этих чистых сдвигов в сочетании с бесконечно малыми поворотами производится та же механическая работа, запасаемая в упругой среде в виде потенциальной энергии деформации, что и работа g)p = 2G(eo)2, которую мы вычислили, согласно формуле (2.81), для чистых сдвигов первого типа; никакие повороты работы не потребляют, будь то поворот, осуществляемый за один шаг, или ряд последовательных бесконечно малых поворотов, связанных с одновременным деформированием.
Читателю следует хорошо осознать то обстоятельство, что на промежуточной стадии этой последней серии чистых сдвигов, сочетающихся с поворотами, удлинение Хх изменяется: сначала оно убывает, а потом возрастает (в чем можно убедиться, взглянув на рис. 2.26). Таким образом, в процессе осуществления этих чистых сдвигов среда испытывает в направлении оси х сначала определенное сжатие, которое затем сменяется расширением (и соответствующие изменения размеров в направлении оси у).
Хотя два (или больше) линейных преобразования, примененных одно за другим, вообще говоря, не подчиняются коммутативному закону суммирования, т. е., вообще говоря, они не дают одного и того же конечного преобразования (конфигурации искаженного тела), когда изменяется порядок, в котором они осуществляются, все же при надлежащем подборе постоянных они могут служить хорошим примером того, что определенное заданное состояние однородной деформации среды может быть достигнуто разными путями деформирования. Для упругой среды это можно проиллюстрировать следующим примером.
Г. Различные последовательности деформирования. (1) Предположим, что упругая среда деформируется, сначала претерпевая последовательность чистых сдвигов
/ = %= хех, / == ye 8r(2.90)
под действием напряжений аж = —а^, тху = 0, которые удовлетворяют следующим соотношениям «напряжение ——деформация»:
_dex — (1/2) do у3dо%do%
или
即=-%=器.(2.91)
) После достижения значения ёх=ёо чистые сдвиги прекращаются и деформирование тепа продолжается посредством простых сдвигов (рис. 2.8):
при которых касательное напряжение равно Txy = Gys, тогда как нормальные напряжения сохраняют свои прежние значения аж=—ау = 2(7ёо=const. Предположим, что простой сдвиг Ys заканчивается значением ys = Yo. Таким образом, подставив выражение (2.90) в (2.92), получаем, что конечное искажение характеризуется линейным преобразованием
%" = %*。‘ + y y00一气 y=уе~^. (2.93)
Механическая работа, совершенная в процессе проведения чистого сдвига, равна % = 2G説а при простом сдвиге равна %=С宕/2 (нормальные напряжения ах и ау в течение второй серии деформирований не совершают дополнительной работы, так_ как натуральная деформация удлинения, оставшаяся после первой серии ёх =——ev=eo = const, в дальнейшем не меняется), так что полная совершенная работа равна
= = . (2.94)
Д. Деформация, получающаяся при реверсировании. Рассмотрим теперь деформацию, выполняемую в обратном порядке, когда среда сначала деформируется серией простых сдвигов
/ = % + 心， 『=у (2.95)
под действием напряжений ох — ау — 0, т；^ = Gy；, затем происходит остановка при Ys= Yo и дальнейшее деформирование производится посредством последовательности чистых сдвигов (2.9):
%" = / U% = 6时 (尤 + Y回，
Конечные состояния деформации. Конечные состояния деформации после завершения серий деформирований, описанных в § 2.3, Г и Д и определяемых соотношениями (2.93) и (2.96), будут одинаковыми, если приравнять соответствующие постоянные в этих уравнениях, т. е.
酸= 00， Y；=产备2 ⑵97)
Тело в процессе Д должно сначала нагружаться касательными напряжениями т^ = Оу0е-2ёо и затем нормальными напряжениями ах= —бу~20ёо при сохранении касательных напряжений тг；夕 оставшихся от простого сдвига, неизменными и равными только что установленным значениям (хотя тело удлиняется в направлении оси х и сокращается в направлении оси у, во время проведения чистого сдвига условия равновесия соблюдаются; видно также, что напряжения т^ производят работу только при проведении последовательности простых сдвигов). Следовательно, полная работа, совер- щенная в условия^ § 2.3, Д, равна
Работы o)d и о)е, потребляемые в последовательностях деформирований, рассмотренных в § 2.3, Г и Д, отличаются на величину работы, совершенной касательными напряжениями тху. Чтобы произвести указанное конечное деформирование упругого материала (как показано на рис. 2.8 и 2.9) в случае,
Рис. 2.8. Последовательность Г — сначала производится чистый сдвиг, а затем простой.
когда тело сначала деформируется посредством простого сдвига (последовательность деформирований § 2.3, Д), нужна меньшая работа, чем в случае,
Рис. 2.9. Последовательность Д — сначала производится простой сдвиг, а затем чистый.
когда оно сначала деформируется чистым сдвигом и затем простым сдвигом (последовательность деформирований § 2.3, Г).
Скорость диссипации энергии в вязкой среде. Так же как и в т. 1, гл. 26, мы будем считать, что развитие деформаций в очень вязкой среде подобно установившейся ползучести, происходящей в условиях статического равновесия внутренних напряжений. Мы рассмотрим лишь малые изменения формы материальных элементов, пренебрегая постоянными упругими составляющими деформации и рассматривая среду как несжимаемое твердое тело “н жидкости, Составляющие напряжения в
вязкой среде даются следующими соотношениями4):
о% = 2卩©% + ст, • • •,%z =卩％z, •• •,。= W(°% + 5 + ")
(2.99а)
где скорости деформаций удлинения и сдвига выражаются в виде
°* =黑，•…，V"=-!^- + 黑，• • •， £ + M + ®z = °・ (2.996)
Здесь и, v, w ——компоненты скорости,卩 ——коэффициент вязкости. Точки над 8 и у обозначают дифференцирование по времени /. Напряжения о%,…，т”，... совершают механическую работу по преодолению вязкого сопротивления среды деформированию; скорость, с которой внутри среды рассеивается энергия и превращается в тепло, определяется в расчете на единицу объема выражением
СО = О%©% + . . . + ^угУуг + • • • = 0rle[ +。2°2 +。3©3・(2.1 00)
Подставив в выражение (2.100) соотношение (2.99а), находим, что
СЬ ="(2 链 + 2 学 + 28| + 後 + 展Х + %)(2.100a)
Вводя сюда выражение 2/3 (ёх + 8^ + ёг)2 (которое в несжимаемой среде равно нулю), величину со можно также выразить соотношением
cb = |n[(^-8,)2+ …+^(嗫 + ...)].(2.101)
Но, согласно равенству (2.19), выражение в скобках равно (恥)證，где yo — октаэдрическая скорость сдвига; мы видим, что скорость диссипации энергии в вязкой среде выражается также в виде
由=万卩證=攵飞%=錫，(2.101a)
показывающем, что рассеяние энергии происходит только при изменении формы тела, чем подтверждается наше уравнение (2.10), поскольку в несжимаемой среде работа объемного расширения равна нулю: 6^ = 0.
1) См. т. 1, стр. 450, соотношения (26.6),
Скорость dW/dt, с которой рассеивается энергия в вязком теле, выражается интегралом
需=JcWJ會=
I2阁2+…+備+ "匕(2」。2)
взятым по объему тела V.
Механическая работа, совершаемая при деформировании пластичной среды. Пути нагружения и деформирования. А. Простые случаи конечного однородного деформирования. Сначала мы рассмотрим некоторые случаи конечного однородного деформирования материала, упрочняющегося при деформировании, когда главные направления напряжения и деформации совпадают и не поворачиваются относительно друг друга и по отношению к телу. Предположим, что определены экспериментально или иным путем две монотонно возрастающие функции, описывающие зависимость среднего напряжения 0 = 1/3(01 + 02 + + оз) от средней деформации удлинения 8 = Уз (ei +82 + 83) и зависимость октаэдрического касательного напряжения
[(6 -02)2 + 92 一03)2 + (03 -01产]"
от деформации сдвига
Yo = {[伍1 - %)2 + 佃2 — e3)2 +(83 一 £1)2]",
J(2.103)
O = g®, to = f(Yo)，
где Qi, 02, Оз обозначают главные напряжения; 8b 82, £3 ——главные натуральные деформации; 丫。一натуральную деформацию сдвига. Механическая работа, приходящаяся на единицу объема, совершенная напряжениями при деформировании элементарного объема металла или какой-нибудь другой пластичной среды, вычисляется, согласно равенству (2.12), посредством криволинейного интеграла
G)= 3jodE + ^j т0 dy0, (2.104)
взятого вдоль данного пути деформирования или нагружения, т. е. по последовательности бесконечно малых приращений деформации, испытываемых элементом среды. Хотя равенство (2.104) справедливо в общем случае, когда главные оси напряжения и деформации в процессе конечного деформирования
поворачиваются относительно друг друга или в пространстве (при условии, что используются компоненты натуральной деформации), мы сначала ограничимся случаем напряженных состояний и состояний конечной деформации, не испытывающих поворота. Можно добавить, что соотношения (2.103), вообще говоря, позволяют включить в рассмотрение деформирование пористых материалов, которые сжимаются либо упруго, либо с остаточными деформациями и в которых некоторая малая часть объема, не считая упругого расширения при первом нагружении, может испытывать необратимое остаточное изменение. В таких
случаях предпочтительно вводить в качестве аргументов двух
указанных в соотношениях (2.103) функций полную натуральную деформацию (т. е. понимать под е= 1/3®*Е2+£з) и 丫。 суммы упругой и остаточной деформаций, без априорного раз
а характери-деформации»а характери-деформации»деления деформации на соответствующие части) зующие пластичность соотношения «напряжения -
а характери-деформации»
а характери-деформации»
для процесса нагружения записывать в девиаторном виде')
(2.105)(2.105)dq — de = ^ (о】—a) d^,d% — de = -^ (о? — о) ^屮,ds 一成=^ (& 一 0)恥
(2.105)
(2.105)
где приращение функции течения dtp для деформации сдвига равно一
Лр =(2.106)
В случае если понадобится вычислить ту часть механической работы, которая требуется для упругого деформирования материала, можно использовать равенства (2.17) и (2.18), из которых находится запасенная в среде энергия упругой деформации
3(1 -2v) а2 3*3(1 -2v) а2 3*(2.107)(2.107)
3(1 -2v) а2 3*
3(1 -2v) а2 3*
(2.107)
(2.107)
Однако поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело главным образом со случаями деформирования, в которых преобладает остаточная деформация, то допустимо пренебречь энергией
со у пр и рассматривать плотные материалы типа ковких металлов как несжимаемые среды, считая
de = g (dq 4- ds2 + d%) = О,
так что работа деформирования состоит полностью из работы необратимого формоизменения
Voз г
①= s" =万 J t0dY0.(2.108)
о
Нижний предел этого интеграла уо = О относится к условиям, когда материал недеформирован, а верхний предел 丫。一 к концу деформирования. Интеграл в выражении (2.108), очевидно, равен площади фигуры, заключенной между этими пределами и расположенной под общего вида кривой to=j(Yo) для деформа- ционно-упрочняющегося материала. При дальнейшем, исследовании наше главное внимание должно быть направлено на определение верхнего предела интеграла 6 выражении (2.108), который, как мы видим, зависит от пути нагружения, т. е. от промежуточных однородных напряженных состояний, или от пути деформирования, через который проходит элемент материала в процессе его формоизменения 4).
Б. Связь МЕЖДУ ПУТЕМ НАГРУЖЕНИЯ И ПУТЕМ ДЕФОРМИРОВАНИЯ. Исследуем теперь после наших вводных замечаний связь между путем нагружения “ путем пластического деформирования, основывая последующее рассмотрение на связи «напряжение ——деформация» в несжимаемом материале, для которого дифференциалы главных конечных натуральных деформаций можно выразить посредством соотношений
dj = dtp
ds = d屮(02 - 2 Q1) у ^ 付2 — 0)， (2.109)■^煞卜^d屮付3_6,
Строго говоря, должны рассматриваться только такие последователь
ности деформирований, для которых дифференциал работы d(o〉0, т. е. только процессы нагружения. При разгрузке зависимость To = /(Yo) перестает быть справедливой и деформации в это время уменьшаются упруго ——случай, который должен быть исключен. Однако ниже мы увидим, что тем не менее мы можем все же включить в рассмотрение последовательность деформирований с внезапным разрывом непрерывности, связанным с мгновенными изменениями пластического напряженного состояния и даже с переменой знака напряжений, при условии только, что полностью пренебрегаются упругие части деформаций и правильно истолковывается кривая «напряжение —— цеформация» после того, как произошел разрыв.
7 А. Надаи
где приращение функции течения
29=缴 (2.110)
зависит от приращения dy。октаэдрической натуральной деформации сдвига уо и от касательного напряжения то. Если задана определенная последовательность нагружения (последовательность изменения напряжений), то требуется определить соответствующую последовательность деформирований, или наоборот, а также верхний предел у。в интеграле (2.108) и механическую работу, затраченную на данном пути.
Чтобы облегчить рассмотрение, воспользуемся геометрическим представлением для напряженного состояния и состояния конечной деформации в некоторых точках Р(5,父，оз) и Q(&i, 82, ез) с декартовыми координатами аь а2, Оз и 82, 83 соответственно, отсчитываемыми в двух прямоугольных системах, оси которых совпадают с соответствующими главными осями (подобно тому, как это было ранее для случаев стесненного течения 9) • Рассматриваемые два типа последовательностей состояний представляются двумя кривыми ——одной, описываемой точкой Р в пространстве s, 02, Оз, и другой, прочерчиваемой точкой Q в пространстве 財，82, &з・
Рассмотрим сначала идеально пластичную несжимаемую среду (основной вывод, в том что касается определения состояний конечной деформации, будет справедлив также для дефор- мационно-упрочняющегося материала). В этом случае на последовательность нагружений накладывается' ограничительное условие
(о】一%у + (% — аз) + (% - ai)2 = 9宕=2咏=const, (2.111) представляющее собой уравнение поверхности текучести 2), которой служит прямой круговой цилиндр радиусом г = Мз 1° = /2/3 о。 (5)— предел текучести при растяжении), ось которого совпадает с пространственной диагональю оч =(У2 = оз・ На путь деформирования накладывается условие несжимаемости материала
j + 吻 + % =。， (2.112)
которое в текущих координатах 81, £2, 83 представляется уравнением плоскости, проходящей через начало координат О перпендикулярно пространственной диагонали 財=跑=&3, совпадающей с осью цилиндра [уравнение (2.111)]. .
1) См. т. 1, стр. 485.
Поэтому путь нагружения можно было бы описать кривой, нанесенной на поверхности цилиндра, а путь деформирования — кривой в плоскости, определяемой уравнением (2.112). Однако небольшое размышление убеждает нас в том, что при рассмотрении путей нагружения составляющие движения точки Р(б,①，в), направленные вверх или вниз вдоль оси цилиндра, несущественны, поскольку присутствие этих составляющих означает прибавление или вычитание из. главных напряжений аь а2, Оз некоторого однородного гидростатического растяжения (или сжатия), не влияющего на текучесть материала. Для составляющих движения точки Р, направленных перпендикулярно этой оси, такое изменение не имеет значения; иначе говоря, путь нагружения можно изобразить на некоторой окружности, получающейся путем нормального сечения цилиндра, например, плоскостью
。1 +02 + 6 =。, (2.113) проходящей через начало О и совпадающей с плоскостью 81 + 82 + 83 = 0. Рассмотрим в этой плоскости точку ^(Пр (5^ а0, которая является проекцией на эту плоскость точки Р(аь 02, оз), в которой образующая цилиндра, проходящая через Р, пересекает плоскость о； +《+ о； = 0 (рис. 2.10)). Когда точка Р передвигается по цилиндру, точка Ро движется по окружности (радиуса г =Уз т0 = М〃з о。)，описываемой уравнением
2 (d + 喇 + 或)=3片=告唸 (2.114)
Назовем для краткости плоскость а[ + а^ + аз = ® плоскостью напряжений, а плоскость 修 + 跑 + &з = ° ——плоскостью деформаций.
Дифференциал дуги пути деформирования, или кривой, описываемой точкой Q(&i, 82, 83) в плоскости деформаций, есть некоторый бесконечно малый вектор, длина или абсолютная величина которого с учетом того, что d&3 = —d^ — d&2, равна
d% = J de； + 顕 + d^ = ]/2 (血；+ de】血2 + d喲, (2.115'
но, согласно равенству (2.5) и учитывая, что d^ = —dei — d^ имеем.
办0 = 2 /у (de； + d* de? + d嚼.(2.116)
Мы видим, что абсолютная величина вектора d&$, или элемента дуги пути деформирования
d%=g&Y。，(2.117)
пропорциональна приращению натуральной октаэдрической деформации сдвига Куо, определяющей интенсивность конечной необратимой деформации. Согласно уравнению (2.109), для компонент d&i, d&2, &£з элемента дуги d&s пути деформирования имеют место пропорции
dj : d% : ds = (б - о) : @ —。)： 9з —。)= d ： о；：嵐(2.118) показывающие, что бесконечно малый вектор d£$, определяющий путь деформирования, параллелен и направлен в ту же сторону, что и радиус-вектор для путей нагружения, лежащих на окружности [уравнение (2.114)]
历=研=厂8一%)2+ …=|/0: + 0广 +42,(2.119)
радиус которой равен Кз т0 = ^2/3 % = const.
Идеально пластичный материал может деформироваться даже тогда, когда главные напряжения все время равны постоянным значениям, удовлетворяющим уравнению (2.111). В этом случае точка Р остается на одном и том же выбранном на цилиндре месте [уравнение (2.111)], множители в равенствах (2.109), содержащие напряжения, постоянны, равенства (2.118) могут быть проинтегрированы, и если формоизменение начинается из недеформированного состояния материала, то натуральные деформации будут изменяться, удовлетворяя пропорциям
% ： % ： % =⑼ 一 о) ： (%一 б : (% 一 о) = Н ： & ：巾(2・ 120)
Соответствующий путь деформирования представляет собой некоторую прямую, выходящую из начала О, а расстояние, проходимое вдоль нее точкой Q(e,①，&з), измеряется октаэдрической деформацией сдвига у。, умноженной на коэффициент у Кз, поскольку
% = Q什磯+碣=h2 (璋+ 8/2 +喲=!■m函0■(2.121)
Примерами служат последовательности простых растяжений 81 = 一2跑=—2&3, ЧИСТЫХ СДВИГОВ 81 = —82, £з = 0 и т. п., в общем
Рис. 2.10. Поверхность течения: ® —。2『+ (。2 - ％『+ (。3 — 5)? = 2涼=9吟 и плоскости деформаций и напряжений: о； + о； + о； = 0, 8j + 82 + 83 = 0.Рис. 2.10. Поверхность течения: ® —。2『+ (。2 - ％『+ (。3 — 5)? = 2涼=9吟 и плоскости деформаций и напряжений: о； + о； + о； = 0, 8j + 82 + 83 = 0.
Рис. 2.10. Поверхность течения: ® —。2『+ (。2 - ％『+ (。3 — 5)? = 2涼=9吟 и плоскости деформаций и напряжений: о； + о； + о； = 0, 8j + 82 + 83 = 0.
Рис. 2.10. Поверхность течения: ® —。2『+ (。2 - ％『+ (。3 — 5)? = 2涼=9吟 и плоскости деформаций и напряжений: о； + о； + о； = 0, 8j + 82 + 83 = 0.
деформации, при которых главные натуральные деформации изменяются при постоянных отношениях e2/ei и £з/& (рис. 2.10) ^.
1) Плоскость деформаций £〔 + £2+£з=0 представлена на рис. 2.11 в уе круга в аксонометрической проекции, радиус которого ОТ】=% = % Мз уо выбран равным £$ = Мз/2, что отвечает значению у0 = К2 и предположению,
что длина ребра ОА куба, показанного на рис. 2.11, представляет собой натуральную деформацию £1 = 1; точка Т\ круга соответствует состоянию простого растяжения, характеризующегося значениями Ei = —2е2 =——2е3= 1. Три точки Т1, 7\ Тз представляют, таким образом, простые растяжения этой величины в направлениях 1, 2 и 3 осей； точки Ci, С2, Сз~простые сжатия в тех же направлениях и Si, S2, S3 ——состояния hiictofo сдвига, отвечающие одному и тому же значению 85 = Кз/2 или у0 = К2. Все точки на окружное стях семейства кругов, концентричных кругу, изображенному на рис. 2.11, имеющему радиус £$=Нз/2, обладают тем общим свойством, что они представляют собой пластические деформации одной и той же интенсивности Yo=const. Следовательно, они требуют одного и того же количества механической работы(о=3/2Тоуо, затрачиваемой для достижения какой-нибудь точки
на окружности некоторого круга при движении по прямому пути деформнрс)- вання, совпадающему с радиусом этого круга. '
Видно, что шесть компланарных лучей, образующих между собой равные углы в 60°, представляют последовательности простых растяжений, сжатий и чистых сдвигов (их направления можно легко установить по их ориентации по отношению к изображенному на рис. 2.11 кубу). Если бы подобное деформирование, характеризуемое прямолинейным путем, начиналось не
Рис. 2.11. Плоскость деформацийРис. 2.11. Плоскость деформаций£】+ £2 + £з = 0 и круг £$ = У 3/2 = const.£】+ £2 + £з = 0 и круг £$ = У 3/2 = const./— пространственная диагональ./— пространственная диагональ.
Рис. 2.11. Плоскость деформаций
Рис. 2.11. Плоскость деформаций
£】+ £2 + £з = 0 и круг £$ = У 3/2 = const.
£】+ £2 + £з = 0 и круг £$ = У 3/2 = const.
/— пространственная диагональ.
/— пространственная диагональ.
из недеформированного состояния материала, а из состояния с начальной остаточной деформацией от точки Q*(£；, 8*, £：), то мы имели бы пропорции
(*_ё：)： ® _嗡：他 一 W)=(0；-吗：但-叫：(0；-П (2.122)
Указанные виды пластического деформирования, характеризующиеся прямолинейными путями, были названы ранее примерами нестесненного течения (см. т. 1, стр. 484) 4).
1) Может быть, существенно добавить к этому замечание, - касающееся внезапных изменений направления пути деформирования, включая случай мгновенного полного обращения напряженного состояния на пределе текучести. Предположим, что материал при простом растяжении Oi = Oo, 。2=。3 = 0 течет, в то время как точка Q движется вдоль прямой OTi на рис. 2.11. Предположим, что после достижения точкой Q определенного положения Q* напряжение Oi внезапно меняет знак и что материал с этого момента подвергается простому сжатию q = — % о? = 03 = 0. Так как точка Р мгновенно
В. Механическая работа при деформировании идеально пластичной среды. Рассмотрим механическую работу со, затрачиваемую на деформирование идеально пластичной среды по различным путям от недеформированного до некоторого конечного состояния деформации, для которого заданы конечные значения натуральных деформаций &, е2, £з =——£】=——£2, предположив, что при любом из путей не происходит никакого поворота главных осей напряжения и деформации и что обе группы соответствующих главных направлений все время совпадают друг с другом. Предположим, что материал испытывает некоторый общий вид деформирования, задаваемый кривой, вдоль которой движется точка Q(8b £2, £з), описывая в плоскости деформаций 81 + 82 + + ез = 0 путь деформирования, начинающийся в точке О, 81 = 82 = = £з = 0, и оканчивающийся в некоторой заданной точке Q. Плоскость деформаций представлена на рис. 2.12. Для среды, в которой то = const, механическая работа со, произведенная напряжениями, согласно соотношению (2.108), равна
Yo _ ,
° = ¥ J то rfYo = 2* то¥о = /Зт0е5 = у (2.123) о
Верхний предел 丫。 этого интеграла, или величина октаэдрической натуральной деформации сдвига в конце процесса дефор* мации, согласно равенству (2.121), берется равным у0 = 2&JV3, где es представляет собой, очевидно, длину дуги, отмеренную вдоль заданной кривой пути деформирования, связывающего на рис. 2.12 точки О и Q.
перескакивает от 5 = Оо к о； = — о。вдоль оси 6 (эта ось дважды пересекает цилиндр в наклонном к его оси направлении), то направление вектора ОР меняется на обратное и, следовательно, точка Q начнет отходить от точки Q* в направлении 0cl на рис. 2.11. Поэтому мы можем заметить предположительно, что наша схема построения путей деформирования применима также к случаям, когда напряженное состояние может мгновенно, т. е. разрывно, изменяться от ел, 02, Оз до новых значений о：, о；, о； при условии, что упругими деформациями полностью пренебрегается. В последующем тексте будут разобраны соответствующие примеры.
Хорошо известно, что эффект Баушингера противоречит только что установленному простому обстоятельству (см. г. 1, стр. 30). Думается, однако, □то с логической точки зрения при условии пренебрежения упругими деформациями и исключения эффекта Баушингера, рассматривая переход точки Р в новое положение на цилиндрической поверхности течения [уравнение (2.111)], соответствующее мгновенному изменению направления пути деформирования, следует включать в наши схемы общего представления путей деформирова- ння также разрывные пути.
Допустим, что мы связали прямой линией начало О с конечной точкой Q криволинейного пути деформирования (рис. 2.12) и что мы рассматриваем эту прямую как другой путь, на котором также может быть достигнута точка Q. Этот прямолинейный путь образует, как мы видели, последовательность деформирований, отвечающую нестесненному течению. Поскольку длина дуги £.s, пройденной точкой Q(£i, £2, £3), на кривой больше, чем на прямой, соединяющей точку О с Q, и так как з пропорциональна £$, то мы сразу же видим, что минимальная
2n 92。2n 92。Q(£/>e2,e3)Q(£/>e2,e3)< Простое растяжение£ I = - 2 е? — ~ 2 ^з< Простое растяжение£ I = - 2 е? — ~ 2 ^зРис. 2.12. Представление различных путей деформирования на плоскости деформаций £】+ £2 + £з = 0・Рис. 2.12. Представление различных путей деформирования на плоскости деформаций £】+ £2 + £з = 0・
2n 92。
2n 92。
Q(£/>e2,e3)
Q(£/>e2,e3)
< Простое растяжение
£ I = - 2 е? — ~ 2 ^з
< Простое растяжение
£ I = - 2 е? — ~ 2 ^з
Рис. 2.12. Представление различных путей деформирования на плоскости деформаций £】+ £2 + £з = 0・
Рис. 2.12. Представление различных путей деформирования на плоскости деформаций £】+ £2 + £з = 0・
работа comm, необходимая для деформирования среды до заданного состояния конечной деформации £卜 £2, £з, должна равняться
Smin = V 3to£$, min = 3/2toYo1 min,(2.124)
где 8S, min — расстояние по прямой между 。и Q
5 = M + % + W = |/2(ё彳 + *£2 + 磷・ (2.125)
Таким образом,
Smin = т0 н60什%% + 嗡(2. 126)
представляет собой минимальную работу, производимую при нестесненном течении или при увеличении деформаций до.конечных значений с соблюдением постоянства отношений £“£1 и £з/£i・
Г. Заданные пути нагружения и деформирования. Рассмотрим путь нагружения применительно к соотношениям (2.114), (2.119) и рис. 2.10, обозначив направляющие косинусы радиуса-вектора ОРо круга напряжений посредством cos щ, cos а2, cos сс3. Тогда только что упомянутые соотношения можно записать в эквива- лентой форме как систему уравнений
cos aj + cos a2 + cos a3 = 0, (2.127) 2 (cos2Qi 十 cos «! cos a2 + cos2 a2) = 1, (2.128)
а условие параллельности вектора ОР0 бесконечно малому элементу дуги d& пути деформирования — в виде
cos a
q = -T= ==,
Г 3 To d£s es .
0^9
cos a2 == —- = — ,(2.129)
COS a3 == ~~ =，
F 3 T0 dEs £s
где ©i，©2，©з—соответствующие натуральные главные скорости пластической деформации dejd/, ..., причем, согласно равенству (2.115),以 равно
4s=爷=)/2 (昭 + 时2 +喷• (2.130)
Мы видим, что предыдущая группа соотношений определяет путь нагружения, соответствующий данному пути деформирования. В самом деле, допустим, что последний задан в параметрическом виде посредством уравнений плоской кривой, расположенной b ПЛОСКОСТИ £1 + £2丄£3 = 0,
55Jfi(/)d/,£2 =]%(/)〃，£з=-£1 — £2.(2.131)
5
5
сГо
Очевидно, что соответствующий путь нагружения определяется уравнениями (2.129) и (2.130) или выражениями
|/(2/3)(碎 + 駐2 + 砌'|/(2/3)(碎 + 駐2 + 砌'
|/(2/3)(碎 + 駐2 + 砌'
|/(2/3)(碎 + 駐2 + 砌'
(2.132)(2.132)V3 T0е2 _ t0百2
(2.132)
(2.132)
• 0sj/"2/3 (曲 + 8^2 + 喲
где 3 =%«), ©2 = /2(/) представляют собой натуральные главные скорости остаточной деформации, при которых развивается пластическое деформирование. Попутно мы видим, что если эти заданные скорости умножить на некоторый коэффициент, то это не повлияет на результирующий путь нагружения или временную последовательность, согласно которой должна изменяться нагрузка, т. е. таким образом подтверждается предполагаемое неявно свойство идеально пластичной среды, а именно, что ее напряжения текучести не зависят от абсолютной скорости деформации. Добавим, что пути деформирования, представляемые геометрически подобными кривыми [уравнение (2.131)], дают один и тот же путь нагружения).,
Обратно, если путь нагружения задан посредством соотношений
о； = и — о = g] (/) = 1，3 т0 cos ah
呜=% — о = 82 ⑴=М3 to cos a2,(2.133)
《=—《—％
где gi(f) и g2(%) подчинены условиям, налагаемым уравнением (2.128), то, разрешив уравнения (2.132) относительно скоростей деформаций
金⑵134)
и использовав выражение (2.130), мы видим, что отсюда можно найти только отношение скоростей деформации
Очевидно, что обратная задача об определении пути деформирования по данному пути нагружения, вообще говоря, не опре-
делена (за исключением случая прямолинейного пути для нестесненного течения) до тех пор, пока не определена результирующая скорость 85 = d^s'dt (или эквивалентная скорость сдвига #o = 2©JM3)， с которой должно проводиться деформирование). В предположении, что эта скорость задана,
贰=⑴2)点%)=似/),(2.136)
траектория пути деформирования определится равенствами
5=费/0:% 办，e2 = ^ j g^y0 dt.(2.137)
0 оo(i
Например, если скорость октаэдрического сдвига поддерживается постоянной, #о = с, то равенства
5, £2 =姦 J(r，%)成(2.138)
0 о
будут описывать соответствующий режим деформирования с «постоянной скоростью деформирования».
Д. Последовательности простых растяжений и чистых сдвигов. Возвращаясь к рассмотрению работы, производимой при этих последовательностях деформирований, мы видим, что механическая работа со, совершенная при деформировании идеально пластичной среды, например при осуществлении ряда последовательных серий деформирований, представляемого прямолинейной ломаной линией на плоскости деформаций 81 + 82 + ез = 0, больше работы, затрачиваемой на кратчайшем прямолинейном пути, соединяющем начало О с концом ломаной. Все стороны такого многоугольника представляют нестесненное течение, а в каждой его вершине главные напряжения, вызывающие течение, испытывают внезапные изменения: точка Р° на рис. 2.10 перескакивает на круге напряжений от одного положения к другому. Рассмотрим простой пример, когда путь деформирования представляется треугольником OQQi (рис. 2.13); сторона OQ соответствует простому растяжению 81 =——2^2 = —2£з, а стороны OQi и QiQ ——двум последовательным чистым сдвигам, посредством которых можно осуществить то же самое простое растяжение. Это можно проиллюстрировать, рассмотрев деформирование двух кубов из данного материала. Один из них (рис. 2.15) подвергается простому растяжению oi = o()=const до конечной натуральной деформации 8i = —282 = =—2ез = £о вдоль «прямого» пути деформирования OQ, которому отвечают £§ = Мз/2£о, Yo = К2"е0 и на котором' совершается работа (0/ = аоео- Другой
куб деформируется в два приема (рис. 2.16) способом, напоминающим тот, который применяет кузнец при ковке куска металла, попеременно переворачивая его после каждого удара молота. Однако предполагается, что этот второй куб будет деформироваться в строгом согласии с ломаной линией деформирования OQiQ (рис. 2.13) сначала посредством чистого сдвига
Представление различных путей деформирования на плоскости деформацийJ + £2 + £з = 0.
/ — чистый сдвиг; 2 — простое растяжение； 5— простое сжатие.
S = —。2 =。0 仅3 , Оз=0・ £i = —£2=£о/2, £з=0 (пока ребро куба OBi не станет равным ОВ, рис. 2.16) и затем после поворота 6 положение, изображенное на рис. 2.16.——посредством чистого сдвига ai = —(73 = ^0 Кз, а2=0,S = —。2 =。0 仅3 , Оз=0・ £i = —£2=£о/2, £з=0 (пока ребро куба OBi не станет равным ОВ, рис. 2.16) и затем после поворота 6 положение, изображенное на рис. 2.16.——посредством чистого сдвига ai = —(73 = ^0 Кз, а2=0,деформирующегодеформирующегоРис. 2.15. Простое растяжение.Рис. 2.15. Простое растяжение.%%его до тех пор, пока не получится ребро ОС2=ОС. Это 'придает второму кубу ту же форму, что и“у первого. Так как, очевидно, при этихG двух последовательных чистых сдвигах потребляется работа&/2® = 2 j,о%b现со? = 2 / ст】dq =—,(2.139)£п/2то суммаего до тех пор, пока не получится ребро ОС2=ОС. Это 'придает второму кубу ту же форму, что и“у первого. Так как, очевидно, при этихG двух последовательных чистых сдвигах потребляется работа&/2® = 2 j,о%b现со? = 2 / ст】dq =—,(2.139)£п/2то суммаГГ2%£。2%£。(2.140)(2.140)
S = —。2 =。0 仅3 , Оз=0・ £i = —£2=£о/2, £з=0 (пока ребро куба OBi не станет равным ОВ, рис. 2.16) и затем после поворота 6 положение, изображенное на рис. 2.16.——посредством чистого сдвига ai = —(73 = ^0 Кз, а2=0,
S = —。2 =。0 仅3 , Оз=0・ £i = —£2=£о/2, £з=0 (пока ребро куба OBi не станет равным ОВ, рис. 2.16) и затем после поворота 6 положение, изображенное на рис. 2.16.——посредством чистого сдвига ai = —(73 = ^0 Кз, а2=0,
деформирующего
деформирующего
Рис. 2.15. Простое растяжение.
Рис. 2.15. Простое растяжение.
%
%
его до тех пор, пока не получится ребро ОС2=ОС. Это 'придает второму кубу ту же форму, что и
“у первого. Так как, очевидно, при этих
G двух последовательных чистых сдвигах потребляется работа
&/2
® = 2 j,
о%
b现
со? = 2 / ст】dq =—,(2.139)
£п/2
то сумма
его до тех пор, пока не получится ребро ОС2=ОС. Это 'придает второму кубу ту же форму, что и
“у первого. Так как, очевидно, при этих
G двух последовательных чистых сдвигах потребляется работа
&/2
® = 2 j,
о%
b现
со? = 2 / ст】dq =—,(2.139)
£п/2
то сумма
Г
Г
2%£。
2%£。
(2.140)
(2.140)
в 2/丿彳=1,155 раза больше работы (о$, производимой при простом растяжении, в соответствии с тем, что ломаный nyTb_OQiQ в 1/cos 30°=2/К3 раз длиннее прямого пути OQ или qto со〃/д = 2“3 .
Предыдущие замечания, могут, по-видимому, выявить некоторые интересные дополнительные особенности известного процесса образования шейки при растяжении круглого стержня из ковкого металла. Мы упоминали в т. 1, стр. 103, что растягивающая нагрузка, являющаяся результирующей осевых напряжений оа в минимальном сечении шейки на развитой стадии процесса ее образования, равна наименьшей результирующей напряжений аа (среди сил, отвечающих различным распределениям осевого о。， радиального аг и
тангенциального о> нормальных напряжений, удовлетворяющих условию пластичности Tu = const) при условии, что две пластические деформации в поперечных направлениях, а именно 8Г и %, равны одна другой во всем минимальном поперечном сечении. Давиденков и Спиридонова!) первыми привлекли внимание к тому обстоятельству, что в минимальном поперечном сечении непосредственно перед тем, как по нему произойдет разрушение, имеет место £r = £f = const.
Таким образом, их наблюдения ясно показали, что все материальные элементы в этом сечении находятся в напряженном состоянии и。， ог = а^ гипа простого растяжения 6,。2 =。3 = 0 с наложенным на него трехосным гидростатическим давлением; течение этих элементов происходит при некотором £а и £г = £е,*т. е. согласно прямому пути деформирования на рис. 2.13, соответствующему простому растяжению f】=—2g2 = —2£з・
Рис. 2.16. Два последовательных чистых сдвига.
Наш предыдущий пример объясняет механическую причину осуществления такого вида деформирования: для него 6 этом частном случае течения требуется наименьшая осевая нагрузка 〃， следовательно, наименьшая механическая работа. Ван Итерсон в своей книге) утверждает в связи с этим, что несущая способность конструкции исчерпывается при наименьшей нагрузке, «когда механические условия создают ситуацию, при которой два главных напряжения могут уравняться». Хотя это последнее утверждение справедливо для только что упомянутого случая образования шейки при растяжении образца, оно не будет верным в общем случае, что показывается просто заменой вида деформирования в последнем примере, если предположить, что на рис. 2.14 некоторая точка Q сначала достигается при деформировании вдоль прямого пути с наикратчайшим расстоянием OQ посредством чистого сдвига и затем либо полигональным путем OQiQ, т. е. двумя последовательными простыми растяжениями, либо путем OQ2Q, т. е. простым сжатием, за которым следует простое растяжение. В этом случае мы пслуинлн бы как раз противоположное, а именно, что проведение прямой последовательности чистых сдвигов требует совершения меньшей работы, чем проведение сначала одной, а за ней другой последовательности простых растяжений.
Таким образом, применение этих законов течения требует осторожности. В этой связи мы отсылаем читателя к изложенному ниже в § 2.5, К н Л дальнейшему рассмотрению принципа минимальной механической работы в случае конечных деформаций.
Е. Деформационно-упрочняющийся материал. Рассуждения, последовавшие за формулой (2.123), относятся к идеально пластичной среде, но их можно сразу же обобщить также и на случай несжимаемого деформационно-упрочняющегося металла, т. е. на случай, когда 81 + 82 + 83 = 0 и когда течение металла подчиняется закону деформационного упрочнения to = f(Yo), где f(Yo) — монотонно возрастающая функция у。. Совершенная напряжениями работа со в этом случае выражается интегралом
①= (3/2) JtodYo = (3/2) J f(Y°)dYo・(2.141)
о0
Этот интеграл равен площади, расположенной ниже кривой, изображающей общую функцию деформационного упрочнения To = f(Yo)・ Предыдущие утверждения, относящиеся к путям, вдоль которых работа минимальна, остаются в силе. Для представления последовательностей нагружений мы можем по-прежнему пользоваться плоскостью напряжений о； + о^ + о； = 0, но теперь эти последовательности будут изображаться плоскими кривыми. Условие пластичности по-прежнему можно выразить в переменных с[ = at — а, а^= а2 ~ а посредством уравнения (2.114)
2^+ g[^ + g^ = 3^,(2.142)
представляющего собой при данном зьтачении т0 уравнение окружности. Когда радиус 厂=Мз t。= Мз / (丫°) непрерывно изменяется, оно представляет собой уравнение семейства концентрических окружностей, пересекаемых кривой пути нагружения, на которой радиус-вектор OPQ параллелен des. Если, например, путь деформирования задается уравнением (2.131), то на этом пути деформирования скорость можно найти из выражения (2.130)
©s = Н讦年曲=,(2.143)
откуда интегрированием можно определить значения натуральной октаэдрической деформации сдвига
Y0 =簪=2M厢 J |/^ + 3百2 +考(2.144)
Это равносильно вычислению (теперь необходимой) длины £s дуги кривой заданного пути деформирования и дает к концу процесса деформации соответствующее значение верхнего пре-
дела уо в интеграле для работы [выражение (2.141)]. При этом выражения (2.132) дают напряжения, определяющие соответствующую *кривую пути нагружения,
1 Es%1 Es%кгг。е2 _陶〃Yo)京2кгг。е2 _陶〃Yo)京2(2.145)(2.145)
1 Es%
1 Es%
кгг。е2 _陶〃Yo)京2
кгг。е2 _陶〃Yo)京2
(2.145)
(2.145)
Р и с. 2.17. Общего вида кривая деформационного упрочнения to = f (у0)-Р и с. 2.17. Общего вида кривая деформационного упрочнения to = f (у0)-
Р и с. 2.17. Общего вида кривая деформационного упрочнения to = f (у0)-
Р и с. 2.17. Общего вида кривая деформационного упрочнения to = f (у0)-
Мы можем, например, сравнить работы 刨 и сор, требуемые для деформирования деформационно-упрочняющегося металла,
путем простого растяжения и путем двух дающих ту же окончательную деформацию последовательных чистых сдвигов, как показано на рис. 2.13. Однако теперь мы замечаем, что отношение зр心t определено отношением площадей, расположенных под общей кривой деформационного упрочнения то=/(уо), соответствующих верхнему пределу интеграла ОА = = Yo= М 勿 ％ для ^простого растяжения £о и О В = у0 = 2 ^/з80 для указанных двух последовательных чистых сдвигов, как показано на рис. 2.17, и отвечает переходам из точки ОвЛиизОвВ соот-
ветственно; заштрихованный излишек площади снова подтверждает, ЧТО С0р/0)/> 1.
Ж. Резюме. Предыдущие утверждения, касающиеся течения идеально пластичной среды, можно подытожить следующим образом-.
1) Предполагая, что главные оси напряжения и конечной деформации совпадают друг с другом и с одними и теми же линиями из материальных точек и что не происходит никакого поворота этих осей, приходим к следующему геометрическому закону, определяющему связь между путями нагружения и деформирования: когда точка Ро (а[, о： oj) движется по окружности круга радиуса 厂=Мз т° =宀на плоскости напряжений о1 + о； + о； = 0, точка Q(£i,&2, &з) движется в плоскости деформаций £1 + £2 + &з = 0 таким образом, что, описывая путь деформирования, она всегда перемещается в направлении, параллельном радиусу-вектору 0Po (рис. 2.10).
Совершаемая напряжениями механическая работа со, приходящаяся на единицу объема, равна расстоянию &s, проходимому точкой Q (и измеряемому длиной дуги) по пути деформц^
рования, умноженному на /3 т0 = К2/3а0 (радиус 厂 цилиндра равен 1Л3 т0). 。
Следовательно, если для области конечных деформаций главные направления деформации не поворачиваются, то минимальная величина механической работы затрачивается при деформировании идеально пластичной среды от недеформирован- ного состояния до некоторого конечного состояния деформации £1, 82, 83 по кратчайшей последовательности, отвечающей нестесненному течению, посредством которой это конечное состояние может быть достигнуто, т. е. посредством деформирования среды при постоянных отношениях деформаций 82/ei и 色/色.Добавим, что этот вывод можно отнести также и к деформационно-упроч- няющемуся металлу, поведение которого описывается монотонно возрастающей функцией деформационного упрочнения общего вида to = f (уо).
Энергия, поглощаемая при деформации мембран. Во время второй мировой войны возник интерес к задаче определения энергии, поглощаемой пластически деформирующимися тонкими стальными пластинами, жестко закрепленными по контуру и нагруженными в поперечном направлении гидростатическим давлением. Некоторые из этих исследований имели также целью определение энергии пластической деформации, поглощаемой пластинами, подвергнутыми действию подводных взрывов. Мы кратко остановимся на группе сильно упрощенных случаев этого типа, а именно случаях пластической деформации тонких мембран из очень податливого металла постоянной толщины, считая эти мембраны жестко закрепленными по краям и испытывающими умеренные пластические прогибы под действием статического равномерного поперечного давления р.
Для упрощения вычисления работы W, требуемой при создании пластического прогиба мембраны, мы будем считать, что в начальном плоском состоянии мембрана не нагружена и примерно равномерно растянута во всех тангенциальных направлениях растягивающими напряжениями одинаковой величины. Известно, что это последнее допущение не может быть верным по двум причинам: во-первых, из-за того, что условия, предписанные на граничной кривой, требуют, чтобы деформации в касательном к этой кривой направлении обращались в нуль и в то же время они должны принимать конечные значения в перпендикулярном к ней направлении, вследствие чего вдоль контура мембранные напряжения имеют в этих двух направлениях различные значения; во-вторых, из-за того, что благодря деформационному упрочнению металла толщина мембраны на последней стадии необратимой деформации будет меняться от точки к точке. Для
приближенного вычисления работы мы, однако, не будем считаться со всеми этими обстоятельствами !), т. е., другими словами, определим искомую энергию пластического изгиба мембраны так, как если бы речь шла о тонкой пленке, натянутой на круг, квадрат, эллипс или прямоугольник. Однако мы исключим очень узкие эллипсы или очень длинные прямоугольники (так как в последних случаях, когда линия контура ограничивает очень вытянутую фигуру, очевидно, что мембранные напряжения в продольном направлении составляют примерно половину от напряжений в поперечном направлении и работа совершается преимущественно напряжениями, действующими в этом последнем направлении; деформация в направлении длинной оси будет исчезающе мала). Считая прогиб w мембраны функцией прямоугольных координат хну, имеем для площади прогнутой поверхности выражение
4 J+ (靄『+寄(2.146)
которое для не очень больших прогибов w можно принять равным
Л = ло + /, / = (1⑵ J J [(壊У+(謂弘，(2.147)
где Ло ——площадь плоской фигуры, ограниченной линией контура. Среднее значение натуральной деформации £力 на изогнутой срединной поверхности мембраны можно теперь подсчитать как
4 =m]/^ = (1/2)出(1+£ =备・(2.148)
Поскольку главные деформации равны £1 = 82 = 8/, &з = 一2&厶 мы имеем у。= 21л2 8^ = К2 У/Ло и можем вычислить To = f (уо) и работу формоизменения
取=(3⑵ I/ f tody。，(2.149)
6
где V — материальный объем мембраны, V=A^h^ "о — ее начальная толщина*:
Допустим, что мы аппроксимировали изогнутую форму эллиптической мембраны посредством выражения
зё =叫(1—糸一方)，(2.150)
Пренебрегая энергией деформирования для упругой части деформации, т. е. предполагая всю деформацию пластической,
8 А. Надаи
а прямоугольной мембраны ——посредством выражения
wr = Wq sin 号 sin 争,wr = Wq sin 号 sin 争,(2.151)(2.151)
wr = Wq sin 号 sin 争,
wr = Wq sin 号 sin 争,
(2.151)
(2.151)
где Wq — максимальный прогиб; a、b ——полуоси эллипса или стороны прямоугольника соответственно. Тогда, выполнив интегрирование в выражении (2.147) для эллипса, находим
(2.152)(2.152)Л^О (b а\匕2 /е
(2.152)
(2.152)
~Ь + УР А^яаЬ. № =』-,
а для прямоугольника
4m Y。=”，4m Y。=”，(2.153)(2.153)
4m Y。=”，
4m Y。=”，
(2.153)
(2.153)
3门侬^%0。0 / Ъ3门侬^%0。0 / Ъ(2.154)(2.154)3冗2访%0Т0 / b3冗2访%0Т0 / b+箒+箒(2.155)(2.155)
3门侬^%0。0 / Ъ
3门侬^%0。0 / Ъ
(2.154)
(2.154)
3冗2访%0Т0 / b
3冗2访%0Т0 / b
+箒
+箒
(2.155)
(2.155)
так что работу IF, определяемую выражением (2.149), можно подсчитать путем графического интегрирования для ряда возрастающих прогибов д.
Для идеально пластичной среды, в которой то = const, работа для эллиптической и прямоугольной мембраны соответственно
равна
При to = const отношение We к Wr~ работы для эллиптической мембраны к работе для прямоугольника — при одном и том же прогибе w0 равно We: Wr = 4: л, однако после сказанного выше ясно, что для очень вытянутых фигур найденными выражениями пользоваться не следует.
И. Простой сдвиг в пластичной среде. В этом параграфе пока еще не рассматривались конечные пластические деформации с поворотом главных осей напряжения и деформации. Чтобы найти геометрическое представление путей деформирования и для таких пластических состояний деформации, рассмотрим в качестве примера случай последовательности простых сдвигов, когда направления главных напряжений и деформаций поворачиваются относительно материальных элементов пластичной среды и относительно друг друга. Простой сдвиг отвечает случаю плоской деформации с поворотом. В несжимаемом материале это состояние однородной конечной плоской деформации характеризуется двумя равными по величине и противоположными по знаку
главными деформациями; третья главная деформация равна нулю независимо от того, сопровождается деформация поворотом или нет. Поскольку при геометрическом представлении напряженных и деформированных состояний с конечными деформациями без поворота главных осей, данном в § 2.5, Б, не предусматривалось указание их направлений, мы можем распространить его на все состояния плоской пластической деформации, включая также и те, которые сопровождаются поворотами главных осей.
Главные дифференциалы приращения тензора деформаций для рассматриваемого состояния плоской деформации удовлетворяют соотношениям (2.115)——(2.119) и условиям d&i =——d&2 и d&3 = 0. Так как этим деформациям отвечают главные напряжения oi =——。2, оз = 0, отношения которых остаются постоянными во время всего процесса деформирования, то уравнения (2.118) можно проинтегрировать и записать в конечном виде】)：& =—映 &з = 0, и в виде соотношений, получающихся циклической перестановкой индексов 1, 2, 3. В плоскости деформаций 81 + 82 + 63 = =0 эти три группы уравнений представляются тремя прямыми, пересекающимися в начале координат О и наклоненными под одинаковыми углами в 60°. Это приводит нас к предположению, что последовательность постых сдвигов ys (состояние плоской деформации с поворотом) можно представить в виде прямолинейного пути 81 = —82, &з = 0, который точка Q с координатами &1, £2, 83, откладываемыми в направлениях действия главных напряжений 6,。2, Оз, проходит вдоль OS3 (рис. 2.11). Считая, что последовательность простых сдвигов осуществляется, как и в § 2.3, В, в направлении оси %, мы можем воспользоваться выражениями, которые были там выведены и справедливы для состояния простого сдвига независимо от природы материала, а именно выражениями
dys = dyxy = d^ - d^2 = 2ЛЬ %= 丫仙=2片，q = 一色二匕夕
Читателю следует заметить, что только что приведенным в тексте деформациям 白，82 придается иной смысл, чем фигурирующим в уравнении (2.120) величинам главных, присущих материалу собственных натуральных деформаций в случае отсутствия вращения, рассмотренном в § 2.5, В: при развитии деформации главные оси поворачиваются по отношению к материалу и к фиксированным осям в пространстве, эти «кажущиеся» натуральные деформации 81 и 出 представляют собой проинтегрированные значения главных дифференциалов de】и d&2 тензора приращения пластических деформаций в направлении осей о】и 02 для тех материальных линий, которые проходят через эти оси. Эти значения ei и ед следует четко отличать от действи- тельно главных, присущих материалу собственных натуральных деформаций, скажем, 5 и 力二一 5 в состоянии плоской деформации.
Октаэдрическое касательное напряжение равно т0 = К2/3 т^, а октаэдрическая натуральная деформация сдвига равна уо = =Н/з У ХУ' MbI замечаем, что, когда простой сдвиг у$ возрастает на величину dys, точка Q(2i, £2, 83) продвигается по прямой 7 = 82, 8з = 0 на длину линейного элемента d& [см. уравнение (2.115)]:
d&s = уd^+ d^ + d^ = |/2d% =簪，(2.156)
так что расстояние, проходимое гочкой Q, составляет
两=% = H^j =耆・(2.157)
Допустим, что мы выбрали вторую точку Q* с прямоугольными координатами, равными главным натуральным деформациям £] = — &；, 8* = 0 эквивалентного чистого сдвига 80 (обладающего в точности теми же главными, присущими материалу натуральными деформациями, что и данный простой сдвиг ys), величину которого мы определили в общем случае из равенства (2.77) посредством соотношения
2sh&0 = Ya(2.158)
Очевидно, что эта точка Q*, перемещаясь по своему пути деформирования, будет двигаться по той же прямой, расположенной вдоль OS3 на рис. 2.11, что и точка Q, но легко видеть, что первая будет следовать за второй, потому что Q* смещается на линейный элемент d^s < dss1 а именно
d£； = Н 虑：+ 厶；+ &： = К^<(2.159)
или на конечное расстояние
W = £； = М»£； = М»1п ^ +W = £； = М»£； = М»1п ^ +(2.160)(2.160)
W = £； = М»£； = М»1п ^ +
W = £； = М»£； = М»1п ^ +
(2.160)
(2.160)
поскольку главная присущая материалу натуральная деформация при простом сдвиге ys (и при эквивалентном чистом сдвиге), согласно уравнению (2.73), равна
2八十3/4)2八十3/4)< d%.< d%.de；=de；=⑵ 161)(2.162)⑵ 161)(2.162)
2八十3/4)
2八十3/4)
< d%.
< d%.
de；=
de；=
⑵ 161)
(2.162)
⑵ 161)
(2.162)
Таким образом, поскольку £$>£；, точка Q, представляющая последовательность простых сдвигов, всегда оказывается впереди точки Q*, представляющей эквивалентный чистый сдвиг】).
Сопоставление этих двух расстояний es и 8*, проходимых
точками Q и Q*, показывает, что, согласно § 2.5. Б, они непо
стом сдвиге у$ 〃 при эквивалентном чистом сдвиге 80 соответственно, которые даются выражениямистом сдвиге у$ 〃 при эквивалентном чистом сдвиге 80 соответственно, которые даются выражениямиРис. 2.18. Бесконечно малое приращение dys простого сдвига Ys.Рис. 2.18. Бесконечно малое приращение dys простого сдвига Ys.средственно измеряют значения механической работы 3s 〃 з〃， совершенной 6 идеально пластичной среде (то = const) при про
стом сдвиге у$ 〃 при эквивалентном чистом сдвиге 80 соответственно, которые даются выражениями
стом сдвиге у$ 〃 при эквивалентном чистом сдвиге 80 соответственно, которые даются выражениями
Рис. 2.18. Бесконечно малое приращение dys простого сдвига Ys.
Рис. 2.18. Бесконечно малое приращение dys простого сдвига Ys.
Мы замечаем, таким образом, после подстановки сюда к = 2 she。, что в идеально пластичной среде
отношение этих работ равно
g)s :①夕=she。： &0，(2.165)
тогда как е идеально упругой среде это отношение, согласно равенству (2.82), было найдено равным
①$:①2 = (sh£o: %2.(2.166)
В деформационно-упрочняющемся металле, подчиняющемся закону To = f(yo), величины со$ и з。 выражаются двумя интегралами
5,①〃 =(3/2)J г。d*Yo (2.167) о
i) Возрастание интенсивности простого сдвига 丫$ на величину dys вьь зывает в тензоре приращения пластической деформации изменение d&i = —d&2 в направлении действия главных напряжений ai =—а2=тЛу. На рис. 2.18 показаны два соответствующих соседних положения нерастянутого ромба с диагоналями, направленными по главным присущим материалу конечным дефор- мациям Cj = — е2 при простом сдвиге ys. Длинная диагональ ориентирована в том направлении, в котором действует главная деформация £；; отрезок OD\ наклоненный под углом а[, представляет величину 1 + е* (здесь последний символ е* временно обозначает обычную главную деформацию), а отрезок 0。" равен 1 + £； + de；
с верхними пределами, пропорциональными только что вычисленным величинам 8s и 8* и равными соответственно
Yo = K^3Y5 = 2 /273she0 для простого сдвига, (2.168)
Y； = 2 К2/3 80 для чистого сдвига. (2.169)
Мы видим вновь, что при течении податливого металла с деформационным упрочнением, характеризуемым монотонно возрастающей функцией to = f(Yo), будет выполняться неравенство д>з@, т. е. работа, совершаемая при простом сдвиге, всегда больше, чем работа при эквивалентном чистом сдвиге.
Таким образом, нет никакого парадокса в том, если положениям двух различных изображающих точек Q(£i, 82, &з) и Q*(e；, 8*, е*) сопоставить определения накопленных в первом случае главных значений бесконечно малых приращений тензора деформаций и во втором случае главных, присущих среде натуральных деформаций, возникающих в последовательности состояний простых сдвигов в пластичной среде. Двигаясь, эти две точки Q и Q* оставляют точную запись своего движения в плоскости деформаций 81 + 82 + 83 = 0.
К. Теорема минимума механической работы для конечной однородной пластической деформации. Касательное напряжение то и натуральная деформация сдвига уо на октаэдрических площадках, как упоминалось в предыдущих параграфах, использовались при определении интенсивности однородного напряженного состояния на пределе текучести и величин конечных остаточных деформаций в податливых материалах; помимо связанных с этим преимуществ, величины то и уо являются также важными переменными, от которых зависит механическая работа деформации, производимая напряжениями в несжимаемой пластичной среде. Мы видели, что последовательности нагружений и деформирований можно в этих пространствах представить геометрически посредством изображения движений соответственно двух точек: точки /%, прямоугольные координаты которой равны приведенным главным напряжениям о； = 0I -0,0£ =02 一0，0； =03 一0， удовлетворяющим условию о： + о，+ о； = 0, и точки Q с координатами, равными главным натуральным деформациям 81, е2, &з, удовлетворяющим условию 81 + 82 + ^3 = 0.
В § 2.5, Б мы убедились, что можно установить взаимно однозначное соответствие между состоянием конечной деформации и положениями точки Q на плоскости деформаций в предположениях, что ориентация главных осей неизменна по отношению
к материальным элементам; эти оси в процессе деформации проходят через одни и те же материальные элементы и, кроме того, эти оси совпадают с главными осями напряжения. Мы видели также, что поскольку приращение октаэдрической деформации сдвига dyQ = 2 d&s К3 пропорционально дифференциалу дуги dbs кривой, представляющей путь деформирования, и это должно быть верным также и для проинтегрированных вдоль нее значений Yo = 2%/MW, то, следовательно, интеграл, выражающий 九«・ ханическую работу, приходящуюся на единицу объема,
Y。=2%/m 丁
® =4 j ТО dy0,(2.170)
о
возрастает с увеличением дуги es, измеренной вдоль кривой, изображающей путь деформирования.
В предположении о существовании описывающей деформационное упрочнение функции to=f(yo) общего вида, которая монотонно возрастает (или по крайней мере остается неизменной, как для идеально пластичной среды, to = const) с увеличением у。， это приводит нас к принципу минимальной работы для пластичных сред, однородно деформируемых до конечных величин деформаций. Этот вывод можно получить исходя из наикратчайшего пути между началом О и точкой Q(&i, 82, &з), представляющими недеформированное и деформированное состояния тела, и из того, что вдоль других путей, соединяющих эти точки, длина будет иметь большие значения, так как это показывает, что минимальная работа совершается на прямом пути, вдоль которого отношения главных натуральных деформаций 82/ei и s/^i и приведенных главных напряжений о；/о； и о；/о： остаются во время деформации постоянными.
Рассмотрим теперь общий случай последовательности коней- ных однородных деформаций в несжимаемой среде, сочетающихся с поворотом главных осей напряжения и деформации. Состояние чистой деформации определяется шестью величинами: тремя квадратичными удлинениями 9
% = (1+吗2，乙= (1 +联 "(1+g и тремя деформациями сдвига
%，Y以 %，
где £；, ..., у^2,・・・—условные составляющие деформации, а поворот определяется тремя величинами. Так как на деформации
накладывается условие несжимаемости, то путь деформирования можно определить путем задания лишь восьми из этих величин как функций некоторого переменного параметра. Обозначим через 九 1,入2,九з главные удлинения в течение процесса деформирования и через Лр А；,厶;——их значения в конце этого процесса. Несмотря на то что три главные оси деформации занимают направления, вообще говоря, отличные от тех, по которым дeй^ ствуют главные приведенные напряжения о；, о；, о； показывается——при условии, что область изменения путей деформирования обеспечивает достаточно большой диапазон степеней свободы,—— что можно построить последовательности деформирований, s которых соответствующие главные оса напряжения, приращения тензора деформаций 〃 конечных соб^ твенных деформаций будут 6 каждой точке пути совпадать друг с другом вдоль одних 〃 тех же линий материальных точек тела.
Такой вид деформаций можно вообразить состоящим из бесконечно малых чистых растяжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях с последующими поворотами на бесконечна малые углы. Так как при этих малых поворотах работа не потребляется, то, если не принимать их во внимание, видно, что сами деформации будут в точности того типа, который рассматривался в § 2.5, В. Мы можем заключить, что среди этих деформирований есть одно, у которого главные собственные натуральные деформации &i, 82, £3 возрастают при постоянных отношениях 重/白，£з/&ь пока не достигнут конечных значений &；,感 8*, и что соответствующий ему путь деформирования требует минимальной работы. Или, взглянув на это несколько иначе, мы можем такой непрерывный путь, удовлетворяющий условиям 彩/圻=^1^ = const,弋/片=£；卜；=const, заменить некоторым разрывным путем, поступив следующим образом. Вспоминая, что состояние однородной конечной деформации описывается линейным преобразованием, в котором координаты /, “ zf некоторой точки в деформированном теле являются линейными однородными функциями ее координат 尤，у, z в отсутствие деформации, и что этот путь деформации можно осуществить посредством деформирования тела вначале вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений до требуемых величин удлинений, а затем поворотом его как твердого тела в такое положение, что эти три направления совпадут с осями эллипсоида деформации ^（А,*, А：,九；），мы можем в таком случае остановиться на деформировании до величины &i, £2, &з, производимом при постоянных отношениях деформаций 82/81, 83/^1 • Первая из названных
операций требует величины работы, относительно которой после сказанного в § 2.5, В ясно, что она представляет собой абсолютный минимум механической работы з*, затрачиваемый для создания деформации X*,九;，% при любых других обстоятельствах. Поскольку предыдущая непрерывная последовательность деформирований, проводимых при постоянных 82/8i, &з/£1 и сочетающихся с бесконечно малыми поворотами, требует той же работы, то принцип минимальной работы справедлив 〃 для нее. Здесь не было дано никакого доказательства существования последовательности деформирований, обладающей тем свойством, что во время ее проведения главные оси напряжения и конечной деформации, поворачиваясь при переходе из начального положения в конечное соответственно, совпадают с тремя взаимно пер- пендикулярными линиями, образованными одними и теми же материальными точками. Однако в следующем параграфе будет дано доказательство для общего случая плоской конечной де- формации^
Л. Конечная однородная плоская деформация. Применение принципа МИНИМАЛЬНОЙ РАБОТЫ К СОСТОЯНИЮ ОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОЙ КОНЕЧНОЙ пластической деформации. 1) Состояние конечной однородной плоской деформации описывается линейным преобразованием J)
xf = спх + с]2у,
yf = 31% + С22У，(2.171)
где %, у — прямоугольные координаты некоторой точки Р в начальном положении; — координаты в смещенном положении Р. В случае несжимаемой среды, что мы и будем предполагать, такая деформация преобразует единичный квадрат О АС В (рис. 2.19) в четырехугольник О А，С В，единичной площади. Удобно выразить четыре постоянные в приведенном линейном преобразовании через деформации или удлинения и сдвиги, предписываемые в тех двух направлениях, которые первоначально совпадали с осями % и у, используя при этом условие несжи、 маемости. Отрезки ОА и бВ, первоначально направленные по осям % и у, подвергаются конечному растяжению и после этого оказываются наклоненными к своим исходным направлениям под конечными углами рх и ру.
Обозначим через е； и е/ обычные деформации удлинения
е； = ON\OA-1," = ОВ[ОВ - 1
】)См. т. 1, § 11.1, 12.1, 13.1 и 13.2.
и через Ys = tg6 = tg(k + Pg) обычную деформацию сдвига. Чтобы не иметь дела с деформациями удлинения е； и е〉мы введем квадратичные удлинения вдоль О А' и。夕，т. е. К = (1+嘅 и 九у = (1+£；у. Условие несжимаемости, выражающее равенство единице площади четырехугольника OArCfB\ записывается в виде
(1+4)(1+吟cos6=l ИЛИ 九^^MmI+y^ (2.172)
Таким образом, деформация полностью определяется заданием двух из трех величин Хх,入у, у$, например 九冗 и у$, и одного
из углов |3Х и 员，например рх. В отсутствие деформации Хх = = Ау=1, Ys = 0, Рх = 0. Определив при помощи этих требований четыре постоянные с“, с】2, ^21, ^22 в уравнениях (2.171) посредством подстановки в них заданных значений координат %, у в К * точек Л, В и Л\ В\ легко проверить, что состояние одно* родной плоской конечной деформации в общем случае выражает, ся линейным преобразованием
£ = % Ma* cos ^х + у ^^ sin %,
夕=X На* sin % + “Ку cos 限(2.173)
Воспользовавшись уравнением (2.172) и соотношениями 6к + 6и = °， Ys = tg б, можно исключить из этого преобразования и р^ и представить его в другом виде
£ = %MQ0S% + *s^^i通),
*=xm晨sin%+幺(e。期*s里奥),⑵[74)
2’ = 2.
Отрезок ОР длиной 广，наклоненный к оси % под углом а, переходит в отрезок 。尸'длиной г\ наклоненный к этой оси под углом Н. Удлинение 九=(厂'/厂产 в направлении ОР' можно выразить либо через угол а (измеренный в недеформированном теле), либо через угол d (измеренный в деформированном теле). Если величины / и у' из (2.173) и % = rcosa, y = r sin сс подставить в выражение для удлинения 九=(厂7厂)=(х^ + у'?)/户，то получится, что
九=厶尤;％ + ~工 2 '“ cos 2а + М\図 sin 6 sin 2а, (2.175)
или после использования (2.172) и соотношения tg 6 = ys, что
(2.176)(2.176)Z = ^±k + ^^cos2a + Y5sin2a.
(2.176)
(2.176)
Единичный квадрат со сторонами, наклоненными в недеформированном теле к оси % под углами а и а+ (л/2), переходит в ромбоид единичной площади, претерпевая при этом удлинения Лц и 九у. Если через у обозначить условную деформацию сдвига, задаваемую этим четырехугольником, то мы получим выражение \A=1+W，(2.177)
которое служит для определения этой деформации у. Мы имеем =+ 厶 包 cos 2а + % sin 2a,
22(2.178)
入v =——22cos 2a — % sin 2a
и
% +爲=九％ +九夕(2.179)
Подставляя сюда 九中 Zv из (2.178) и (2.177), мы получаем выражение для деформации сдвига у:
Y = _ % 2 包 sin 2a + % cos 2a(2.18Q)
Возводя выражения (2.180) в квадрат и комбинируя результат с уравнением (2.176), получаем соотношение
++(2.181)
Мы получили для плоской деформации уравнение окружности 6 координатах ^удлинение 九——деформация сдвига у》， правая часть которого на основании (2.172) представлена в виде (1/4)(К + %)2—1.
Положив у = 0, из уравнения (2.181) находим, что главные удлинения равны
%，% =寸土/匹子二7,及=1,(2.182)
или, заменив 乙 на % = (1+%)/% и Ч + \ на (磋+ Y^+1)/%, это можно записать в другом виде
及=总 11"丄 土 / 代，(2.183)
удовлетворяющем условию несжимаемости 九i入2=丨・ Полагая в уравнении (2.180) у = 0, получаем уравнение
也25 吕П ^^7'"
определяющее два угла а, а+ (л/2) для тех двух направлений в недеформированном теле, которым отвечают главные оси деформации в деформированном теле. Чтобы найти соответствующий угол в деформированном теле, решаем систему уравнений (2.173) относительно хну:
х = Уку (/cos 也一旷 sin 阳)，(2.185)
У = Mh(- %'sin瓦+ *cos%),
выражаем обратную величину удлинения 1/九=(〃厂丿尸 через %'= = /cosa‘ и yr = rr sin ccz
1 = 1+般1 = 1+般cos 2%cos 2%cos 2%cos 2%cos 2a‘ —cos 2a‘ —
1 = 1+般
1 = 1+般
cos 2%
cos 2%
cos 2%
cos 2%
cos 2a‘ —
cos 2a‘ —
++sin 2% )sin 2% )sin 2a‘sin 2a‘(2.186)(2.186)
+
+
sin 2% )
sin 2% )
sin 2a‘
sin 2a‘
(2.186)
(2.186)
и, положив (d/da‘) (1/入)=0, получаем для направлений главных осей деформации s деформированном теле следующие соотношения-.
_九g sin 20у + 九方 sin 2邑\
(2.187)(2.187)g 窑 —九 y cos 2§尤一％y cos 2§J，
(2.187)
(2.187)
S也 2厶 +S也 23%
峻 cos 2% - (1 + Y* cos 2p J
Мы считаем необходимым дать читателю эти формулы для общего состояния конечной деформации, часто встречающегося в инженерной и геофизической практике, поскольку этого не было
Рис. 2.20. Последовательность конечных плоских деформаций.Рис. 2.20. Последовательность конечных плоских деформаций.Механическая работа в случае, когда задана последовательность плоских деформирований. Чтобы избежать выписывания несущественных постоянных членов и при вычислении работы деформации пояснять выкладки наиболее простым из возможных способов, представим себе теперь последовательность состояний плоских деформирований, происходящих так, что угол рх все время остается равным нулю: 0工=0. Это деформирование, таким образом, состоит из простых конечных сдвигов Ys 6 направлении оси %, сочетающихся с одновременным растяжением или сжатием линейных элементов, параллельных оси % (и соответствующими изменениями длин, параллельных наклонным сторонам ромбоида ORSQ на рис. 2.20). Этот вид плоской деформации, на котором будут основаны дальнейшие вычисления, выражается линейным преобразованием простейшего вида, полу
Рис. 2.20. Последовательность конечных плоских деформаций.
Рис. 2.20. Последовательность конечных плоских деформаций.
чающимся из уравнений (2.173) при 伝=0,阮=3, W = tg 6 = tg 阮,
(2.188)(2.188)% M九％ +, ljf =彳=・,2, = N.
(2.188)
(2.188)
Ум и 人
Этот частный вид, так же как и общий вид плоской деформации [уравнения (2.173)] несжимаемого материала, является по существу конечным чистым сдвигом, сочетающимся с некоторым поворотом главных осей деформаций [их угол поворота был фактически уменьшен на угол 又，входивший в случае общего деформированного состояния в уравнения (2.173)]. Рассматриваемый вид деформирования искажает единичный квадрат ORqSqQq, превращая его в четырехугольник ORSQ единичной площади, как показано на рис. 2.20, посредством перехода
Рис. 2.21. Путь Vs ~ f (^х)'Рис. 2.21. Путь Vs ~ f (^х)'через промежуточные четырехугольники, одна пара сторон которых все время остается параллельной оси %. Преобразования углов для этой плоской деформации даются выражениями
Рис. 2.21. Путь Vs ~ f (^х)'
Рис. 2.21. Путь Vs ~ f (^х)'
tga = §, tga=%=Г・(2-189)
Последовательность деформирований для нее можно определить посредством функции
尸 %) = 0(2.190)
либо графически, путем построения кривой в прямоугольных координатах 九笈，ys (рис. 2.21). Эта кривая соединяет точку 尸о(入％=1, Ys = 0) с точкой 尸 1(九Xi, Ysi), которые представляют собой начальное недеформированное и конечное деформированное состояния. Исследования различных путей деформирования на плоскости 81 + 82 + 83 =。мы можем проводить, рассматривая соответствующие им кривые на этой плоскости в системе прямоугольных координат 統，Ys・
Чтобы выразить механическую работу з, совершенную напряжениями в рассматриваемой последовательности плоских деформирований, введем дифференциалы d%, d/, dyxy компонент натуральной деформации удлинения
% = In (1 + 吟= ln(l + 4) = In М%,
8^ = 111(1+8^) = 111/^
и сдвига уху. Дифференциалы d&x = dkx/2kx и d&y = dkyl2ky определяют бесконечно малые изменения единицы длины линий, проходящих через оси % и у, a dyxy выражает малое изменение прямого угла, который эти линии образуют. В состоянии однородной
плоской деформации компоненты касательных напряжений ху2 и tzx обращаются в нуль и, кроме того, мы можем также взять нормальное напряжение сг2 равным нулю )
Вследствие равенства % = 0 в несжимаемом материале d% = =—厶次 Поэтому пластические соотношения между напряжениями и деформациями
d% = dqp 卜％ - ^~(5 + 久)],
(2.191)(2.191)d% = dqp [5 - ^ (% + %)] , dyxy = 3dср%, d% = dqp ^z - 4" (% + 喇
(2.191)
(2.191)
можно значительно упростить; так как de2 = 0, аг = 0, то отсюда следует, что “ =—ах и
d%= - dj = "^ = ^^, dyxy = 3d(pr^,(2.192)
где дифференциал функции течения равен d^ = dyQl^Q\ здесь to, уо — октаэдрическое касательное напряжение и натуральная деформация сдвига.
Рассмотрим вначале случай идеально пластичного материала. В этом случае условие пластичности то = const для плоского напряженного и деформированного состояний принимает простейший вид
或 + Хху = = Т = const (2.193)
(Оо — предел текучести при растяжении). Это условие в переменных ах и хху выражает уравнение некоторой окружности (рис. 2.22). Главные напряжения равны Qj = — а2 = ^о/^3 , 03 = 0.
Дифференциал натуральной деформации сдвига dyxy можно выразить через дифференциалы dkx и dys, определяющие приращение рассматриваемой плоской деформации, следующим образом:
d、xy = d%- У'，，= d% - 2% 虑广 (2.194)
Для вычисления этого приращения натуральной деформации сдвига dyxy рассмотрим моментальный снимок деформирован-
Это равносильно наложению однородного гидростатического нормального напряжения, не влияющего на условие пластичности, из которого неисчезающее нормальное напряжение' 5 можно вычеркнуть.
ного тела (рнс. 2.23), сделанный сразу после того, как материальная линия OQ'=1, мгновенное положение которой совпадало с осью у, перешла вследствие приращения деформации на dZx, dys в новое слегка наклоненное положение OQ〃. Это равносильно тому, что вертикальный луч а' = н/2 (0Q‘) повернулся на бесконечно малый угол da'・ Используем формулу (2.189) для преобразования углов и продифференцируем ее, считая зависимой переменной а', независимыми переменными 九％ и у$ н неизменным
Рис. 2.22. Круг напряжений.Рис. 2.22. Круг напряжений.Рис. 2.23. Приращение натуральной деформации сдвига dyxy.Рис. 2.23. Приращение натуральной деформации сдвига dyxy.
Рис. 2.22. Круг напряжений.
Рис. 2.22. Круг напряжений.
Рис. 2.23. Приращение натуральной деформации сдвига dyxy.
Рис. 2.23. Приращение натуральной деформации сдвига dyxy.
угол а в недеформированном теле. Это дает связь между направлением а' = н/2 и соответствующей материальной линией а = = const в недеформированном теле:
d tg М =訖(tg 优)力％ + ~ (tg(/) dys (2.195) или
da' _ _ tg a d^x + tg2 a dyscos? a'— (厶工 + 丫$ tg a)2'
откуда снова, используя уравнение (2.189), получаем выражение
d(f= - sin2az (与禺沪 dA%+ d%)(2.196)
в согласии с уравнением (2.194), дающее для малого угла d" на который повернулся вертикальный луч o/ = jt/2, приращение натурального сдвига
办第=—da' = dYs-^^・(2.197)
Вершины четырехугольника OMNQ на рис. 2.23 отвечают первоначальным положениям тех точек недеформированного тела, которые после сообщения конечной деформации Хх, ys ста-
новятся непосредственно перед добавлением приращений d九办 dw вершинами единичного квадрата OMrNfQr 】).
Подставляя величину dyxy из выражения (2.194) и dez=0, 如久=——d&y в формулу (2.5) для дифференциала натуральной октаэдрической деформации сдвига dyo, получаем, что этот дифференциал равен
★о= |Zg jZd谖 + %= |/ I ^ + [dys- ,
(2.198)
что позволяет нам выразить приходящуюся на единицу объема механическую работу з, производимую в состоянии плоской деформации при деформировании материала по заданному пути) F&, Ys) =0：
①=|■卜。珞0 =号 j ]/1 + (*JyJ好(2.199) 1
Прежде чем перейти к дальнейшим применениям этого выражения, выпишем формулы, определяющие главные направления напряжений и деформаций. Главные оси напряжения наклонены к оси % под углом а', для которого (так как 6期=——ar) имеем
tg 2(/ =tg 2(/ =(2.200)
tg 2(/ =
tg 2(/ =
9 А. Надаи9 А. Надаи%%=•⑵侬a)=•⑵侬a)Чтобы не смешивать угол d для главных осей напряжения с аналогичным углом для главных осей конечной деформации, обозначим последний в деформированном состоянии тела
9 А. Надаи
9 А. Надаи
%
%
=•⑵侬a)
=•⑵侬a)
посредством 6‘. Для нахождения угла В' мы решаем уравнения (2.188) относительно % и у, записывая
Xх = к cos 弘 yf = к sin 储
y = V 九』sin gy = V 九』sin gчто дает
y = V 九』sin g
y = V 九』sin g
% = y~ (cos pz 一 ％ sin N),
Затем мы вычисляем обратную величину квадратичного у дли нения
гNA%
и ищем для 1/九 экстремум, (d/dg) (1/九)=0, откуда находим угол У для главных осей деформации
Главные удлинения % = е261, Л2 = е?% для плоской деформации выражаются с учетом уравнения (2.183) в виде
Zj = ср + К(р2 — 1, Z2 = ср — К(р2 — 1,(2.201а)
удовлетворяющем условию несжимаемости ZiZ2= 1 и условию
3 +九2 = 2(р, где для краткости обозначено
(2.2016)(2.2016)—Хх + Ys + 1 _ 九% + %屮=一視;—-
(2.2016)
(2.2016)
На основании соотношений (2.192) между напряжениями и деформациями отношение напряжений %Ху!ох = Щ 2az равно также
丫$ (2.202)
и становится известной функция от Хх или 丫$, если задать последовательность деформирований F (kx, ys) =0. Поэтому компоненты напряжения можно определить из уравнения (2.193) следующим образом:
图=一 ％ = cos 2с/,% =善• sin 2M,
''(2.203)
±。0± % Try/%
Путь, соответствующий минимальной работе. Из предыдущих уравнений можно получить некоторые интересные вы-
формированное состояние тела, с точкой В (九足,丫§丿，отвечающейформированное состояние тела, с точкой В (九足,丫§丿，отвечающейводы. Среди различных путей плоских деформирований 尸(九k，Ys)=0 есть один и только один, соединяющий точку РоО也=1, Ys = 0) (рис. 2.21), представляющую начальное неде-
формированное состояние тела, с точкой В (九足,丫§丿，отвечающей
формированное состояние тела, с точкой В (九足,丫§丿，отвечающей
заданному конечному состоянию деформации, вдоль которого одновременно удовлетворяются уравнения (2.200) и (2.201). Для
Рис. 2.24. ПоследовательностиРис. 2.24. Последовательностиэтого выделенного пути деформирования в каждой его точке главные оси конечной плоскости деформации совпадают с главными осями приращения тензора деформаций 〃， следовательно, также с мгновенными осями главных напряжений. Для этого пути углы Г и d равны друг другу, |У = а‘，при условии, что величины А% и Ys удовлетворяют определенному дифференциальному уравнению, которое получается приравниванием правых частей tg2a' = =5® и tg2『 выражений (2.202) и (2.201), а именно
Рис. 2.24. Последовательности
Рис. 2.24. Последовательности
九心一% =九心一% =2Ys定+般-12Ys定+般-1Введением W = % П = Y^ ференциальному уравнениюВведением W = % П = Y^ ференциальному уравнениюконечных плоских деформаций, (2.204) для проведения которых требуется минимальная работа.
九心一% =
九心一% =
2Ys
定+般-1
2Ys
定+般-1
Введением W = % П = Y^ ференциальному уравнению
Введением W = % П = Y^ ференциальному уравнению
п (Е + п+ 1)п (Е + п+ 1)占(自 + n—1)'占(自 + n—1)'(2.205)(2.205)это уравнение приводится к диф-
п (Е + п+ 1)
п (Е + п+ 1)
占(自 + n—1)'
占(自 + n—1)'
(2.205)
(2.205)
обладающему интегралом
自+ сМ玩-「1,(2.206)
или в переменных Хх, ys:
/ + c%Ys-Y^=l(2.207)
(здесь с ——постоянная интегрирования). Решения этого уравнения представляются на плоскости прямоугольных координат Хх, Ys семейством равнобочных гипербол, проходящих через одну и ту же точку Л (рис. 2.24) с координатами 統=1, Ys = 0. Постоянную с можно определить подстановкой величин 丫$1,九山 в уравнение (2.207), а напряжения Оу =——ах, тх?/, вызывающие деформирование материала вдоль рассматриваемых гиперболически?; путей, можно вычиСиЧить из уравнений (2.203). Поскольку постоянная интегрирования с входит в уравнение (2.207) в первой
степени, то видно, что имеется только один путь деформирования, соединяющий точку 4(九不=1, ys = 0) с точкой, изображающей заданное конечное состояние, вдоль которого удовлетворяются поставленные условия.
Специальная последовательность чистых сдвигов, определяемая уравнением (2.207), характеризуется некоторым дополнительным свойством. Можно видеть, что две пары совпадающих главных осей при деформировании среды непрерывно совпадают с двумя прямыми линиями, состоящими из одних и тех же материальных точек. Действительно, если получающееся из уравнения (2.207) выражение для гиперболы
卷一丫^—1 = - c%Ys (2.208)
подставить в знаменатель дроби в правой части уравнения (2.184) для tg2a, где это выражение также появляется, то вид
но, что
tg 2a = f 学 ,=—里山=—2 = const; (2.209)
в то же время угол g для главных осей деформации [уравнение (2.201)] в деформированном теле изменяется при их повороте в пространстве. Таким образом, хотя 0' изменяется, а остается постоянным, т. е. с главными осями деформации (〃 напряжения) во все время деформирования скреплены одни и те же матери^ альные точки тела (которые в недеформированной среде расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых а = const и а+ (л/2) =const). ' Механическая работа, совершаемая в идеально пластичной среде (oo = const), как мы уже видели, при чистом сдвиге без поворота (打=0), когда главное удлинение ^ = е2е* увеличивается и dei =——de?, oi = —О2 = оо/Мз, равна
(2.210)(2.210)<° = J ((^1 dq + а2с?%)=合а08!=着 In 儿.
(2.210)
(2.210)
При чистом сдвиге с поворотом (в идеально пластичной среде), который мы рассматривали выше и при котором мы фиксировали путь деформирования заданием функции F(XXi ys) =0, производится та же самая работа】).
I) Это подтверждается, если воспользоваться вспомогательной переменной ср, которая была введена в уравнение (2.2016), так как подсчитываемая из (2.199) работа, произведенная при этом виде чистого сдвига,
равна работе, которая дается выражением (2.210).
работу в идеально различных последоработу в идеально различных последо"(1 +Y『％)/%М1"(1 +Y『％)/%М1▽ 8▽ 8о。Wо。WYsiYsi(2.212)(2.212)
работу в идеально различных последо
работу в идеально различных последо
"(1 +Y『％)/%М1
"(1 +Y『％)/%М1
▽ 8
▽ 8
о。
W
о。
W
Ysi
Ysi
(2.212)
(2.212)
Поскольку при рассматриваемых чистых сдвигах с поворотом, которые следуют по путям деформирования, изображаемым равнобочными гиперболами [уравнение (2.207)], отношение главных натуральных деформаций е，Е2 =——1 остается постоянным, то на основании сказанного в § 2.5, В и Ж мы ожидаем, что совершенная при этом работа з, только что вычисленная в выражении (2.216), представляет минимально пластичной среде при осуществлении в н вательностей плоских деформирований, приводящих к заданным конечным удлинениям 储，九2=1/九1,九з=1.
Рассмотрим, например, некоторую 〃о- следовательность простых сдвигов ys. На плоскости Лх, у§ она представляется вертикальной линией 48,九；х=1 (рис. 2.25). Пусть точка В с ординатой ysi =АВ представляет собой простой сдвиг в конце процесса деформирования. Но точку В можно достичь также из точки Л (Хх= 1, % = 0), идя по другому пути деформирования, изображаемому равнобочной гиперболой [уравнение (2.207)]. Постоян- )
Рис. 2.25. Два способаРис. 2.25. Два способавая с для этого пути
Рис. 2.25. Два способа
Рис. 2.25. Два способа
создания простого ко-нечного сдвига Ysi.
в предположении, что Zxi = 1, равна c = Ysi・ Таким образом, путь, требующий минимальной работы деформирования среды до величины деформации Zxi = 1, Ysi, отвечающей простому сдвигу,—— это гипербола
/ + YsKYs —%=1* (2.211)
В то время как при проведении последовательности простых сдвигов, согласно уравнению (2.163), потребляется работа
на пути деформирования, описываемом гиперболой (2.211), та же конечная деформация !) Zxi = 1, ysi создается при минимальной работе
①min =體^ In 儿=體^ In + /1 + 传■) ] •(2.213)
I) Фигурирующее в уравнении (2.213) главное удлинение 筋，отвечающее конечному простому сдвигу 丫小 было вычислено в соотношении (2.73)*
Например, если у51 = 1, то(о5 = а0/Кз", а
①min①minO,96(JoO,96(Jo
①min
①min
O,96(Jo
O,96(Jo
Мы замечаем, что вдоль гиперболы, определяемой уравнением (2.211), Хх < 1 (за исключением концевых точек Л и В на рис. 2.25). Чтобы пройти по пути, отвечающему минимальной работе, нужно сначала тело слегка сжать в направлении оси % (в то же время плоскости у = const соскальзывают до определенных положений). ★ затем растягивать до тех пор, пока не
Рис. 2.26. Простой конечный сдвиг ysi, создаваемый последовательностью деформирований, на которую затрачивается минимальная работа.
будет восстановлена первоначальная длина тела. Эта последовательность деформаций, потребляющая наименьшую работу comin, изображена на рис. 2.26 последовательностью ромбоидов и на рис. 2.27 последовательностью прямоугольников со сторонами, параллельными главным осям. Последние.ясно показывают, что одновременно с деформированием при чистых сдвигах происходит поворот главных осей. .
Теперь после определения посредством уравнений (2.188) общего класса плоской деформации мы докажем, что на путях, изображаемых семейством равнобочных гипербол [уравнение (2.207)], механическая работа з достигает экстремума. Это означает, что нужно найти последовательность плоских конечных деформирований 尸(Ах, Ys) =0, для которой определенный интеграл, выражающий совершенную напряжениями механическую работу
3二舟/警/]+ 国醬7J, (2.214)
имев! аналитический экстремум, фактически минимум, т. е. решить задачу вариационного исчисления. В этой задаче максимизирующая или минимизирующая функця Л(^х, ys) =0 называется экстремалью интеграла】) (2.214). Доказательство состоит в установлении того, что экстремали рассматриваемого интеграла совпадают с семейством наших гипербол [уравнение (2.207)].
Рис. 2.27. Последовательность деформаций, требующая минимальной работы. Чистый сдвиг, связанный с поворотом деформируемого тела.
Поворот показан последовательными положениями совпадающих между собой главных осей напряжения и конечной деформации.
Удобно заменить одну из переменных, а именно 九兀,и обозначить новую независимую переменную через и, а зависимую―■ через V：
〃 = 1пА* = 2%, du = u = % = g(〃). (2.215)
Следуя обычной символике, используемой в вариационном исчислении, мы будем обозначать малое изменение, или вариацию выражаемой определенным интегралом (2,214) работы ① при небольшом изменении (варьировании) пути деформирования, дописыванием 6 перед варьируемой величиной; таким образом, 6со выражает (первую) вариацию механической работы(о. Чтобы выразить экстремальность со, или обращение 6со в нуль,
1) См. В о 1 z а О., Vorlessungen fiber Variationsrechnung, Verlag von В. G. Teubner, Leipzig, 1909, или Woods F. S., Advanced Calculus, Ginn and Company, Boston.
мы должны дописать 6 перед интегралом (2.214) и положить его вариацию равной нулю. Это равносильно [с учетом соотношений (2.215)] нахождению экстремалей u = g(〃)，для которых первая вариация определенного интеграла обращается в нуль:
«1«1
6J = 6 j Н1+(и—и)2d〃 = 6 J f(〃, и, U)d〃 = 0. (2.216) оо
Здесь г/ ——производная vf = dv/du, функция f ——подинтегральное выражение в /. В вариационном исчислении доказывается, что эта математическая задача 6/ = 0 решается интегрированием соответствующего уравнению (2.216) дифференциального уравнения, известного под названием дифференциального уравнения Эйлера^ а именно уравнения, имеющего вид
案—亲(鳥) = °' и, и)= М1+ ” —и% (2.217)
Однако
_ Of __и，一 и
(2.218)
dv 。暝 Hl + (/ — v)2
Таким образом, вводя обозначение
У 1 +(и—и)2 '
(2.219)
мы видим, что уравнение Эйлера записывается как
黑+ и =。
(2.220)
или в явном виде
需7 +（黑一。Y =。■
(2.221)
Интеграл уравнения (2.220)
U =广=сое 〃
М1 +(и-О)2°
(2.222)
после разрешения относительно (o'——v) принимает вид
U — и =尸'Q ,(2.223)
где знаки ± не выписаны, поскольку ，о ——неопределенная постоянная интегрирования. Второе интегрирование, проводимое
в уравнении (2.223), дает
и = де〃 + 靑 |/ 廿〃—爲, (2.224)
где с。,，1 — постоянные интегрирования.
После устранения квадратного корня путем возведения в квадрат и возврата от переменных 〃 и и к первоначальным обозначениям Ys и 九х(е〃 =几) уравнение . кривых, доставляющих экстремум интегралу / [соотношение (2.216)], выражается общим решением уравнения Эйлерам
醵-2q%Ys —(言—昌礎 + 1 = °* (2225)
Оно содержит две постоянные интегрирования с。 и Ci, что позволяет, таким образом, провести кривую F(Xx, у$) =0 через две заданные точки, а именно Zx= 1, у$ = 0 и 九山，Ysi・ Легко видеть, что, после того как эти постоянные выбраны, согласно равенствам % = 2/К4 + с и с{ = —с/2, уравнение (2.225) совпадает с уравнением (2.207), определяющим семейство равнобочных гипербол,
Y^ + c%Ys-*+l=°・ (2.226)
Итак, доказано то, что выражаемая уравнением (2.214) механическая работа со принимает аналитический экстремум, когда деформирование тела из начального недеформированного состояния 九％=1, ys = 0 в некоторое заданное деформированное состояние 入Xi, Ysi происходит таким образом, что 6 процессе плоской деформации главные оси напряжения все время совпадаю! с главными осями конечной деформации. То, что экстремум работы [выражаемой уравнением (2.210)] представляет именно минимум, показано не было, но этот факт достаточно очевиден из отмеченного ранее, и его можно легко проверить на примерах 】).
Возможно, будет поучительным упомянуть о ряде других последовательностей плоских деформирований, принадлежащих классу, определенному уравнениями (2.188). Например, возьмем последовательности, для которых ориентация главных осей
(2.228)(2.228)Рис. 2.28. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений напряжения.Рис. 2.28. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений напряжения.18 2，=京?-1 = 0 = С°吗18 2，=京?-1 = 0 = С°吗(2.229)(2.229)
(2.228)
(2.228)
Рис. 2.28. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений напряжения.
Рис. 2.28. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений напряжения.
18 2，=京?-1 = 0 = С°吗
18 2，=京?-1 = 0 = С°吗
(2.229)
(2.229)
напряжения не меняется и которые определены тем условием [см. уравнения (2.200) и (2.202)], что
tg 2М =入* 受^ — 丫5 = с = const,(2.227)
или после интегрирования предыдущего уравнения——условием
Ys = c(k- 1),
представляющим на плоскости 厶册 ys семейство прямых (рис. 2.28).
С другой стороны, последовательности плоских деформирований, для которых остаются неизменными, главные направления
Рис. 2.29. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений де(： ормаци i.
деформации, ложитьдеформации, ложитьопределяются уравнением (2.201), если в нем по*
деформации, ложить
деформации, ложить
что дает уравнение семейства окружностей (рис. 2.29) /+日一^)2=1+*.(2.230)
Ни в одной из этих групп деформаций нет одновременного совпадения главных осей напряжения и деформации.
На рис. 2.30 буквами А, В, С обозначены три совершенно различные последовательности плоских деформирований, изображенных в плоскости Zx, ys- На рис. 2.31 изображены соответ-
Рис. 2.30. Три последовательности конечных плоских деформаций.
Рис. 2.31. Три последовательности конечных плоских деформаций, которые завершаются одной и той же окончательной конфигурацией.
а — тело сначала деформируется простым, а затем чистым сдвигом； б — тело сначала деформируется чистым, а затем простым сдвигом; в — путь минимальной работы.
ствующие последовательности деформаций, завершающихся одной и той же конечной конфигурацией. Пусть точка °(九化=1, Ys = °) на рис. 2.30 представляет собой недеформиро- ванное, а точка 尸(九足=4, 丫$1 = 1)——конечное деформированное состояние тела, и пусть на пути Л тело деформируется вдоль ломаной линии DEF сначала посредством простого сдвига до точки Е(九с=1, Ys=1/4), а затем — посредством чистого сдвига до точки F. Вдоль пути В (ломаная линия DGF) тело сначала подвергается чистому сдвигу, а затем — простому сдвигу. Гиперболический путь С представляет собой путь, требующий минимальной работы. Для этих трех совершенно разных способов деформации (рис. 2.30) получаются следующие величины работы:
①力；①в；①с = (1，64; 2,39; 1,25) у|г-,
чем еще раз подтверждается, что на гиперболическом пути С затрачивается наименьшая работа.
В заключение добавим, что принцип минимальной работы, в том виде, как он был объяснен предыдущей теорией и проиллюстрирован многочисленными примерами плоского деформирования идеально пластичной среды (то = const), справедлив также и для материала, проявляющего деформационное упрочнение, описываемое монотонно возрастающей функцией то = /*(уо) • Однако, хотя геометрия, определяющая компоненты конечной деформации, в обоих случаях одна и та же, вычисление механической работы в последнем случае связано с громоздкими интегралами, выражающими эту работу для различных путей деформирования. Условие экстремума (минимума) сохраняет силу и для интегралов, вьтражающих эту работу в случае т0 = /(уо).
В различных приложениях, описанных в предыдущих параграфах и посвященных пластичным средам, мы рассматривали в качестве простейших случаев, поддающихся изучению, только состояния однородной конечной деформации и ставили вопрос о том, в каком из конкурирующих состояний потребляется наименьшая работа. Полагают, что принцип минимальной работы пластического деформирования может иметь большое значение в области неоднородных состояний конечной деформации для определения конкретных последовательностей неоднородного деформирования тела, завершающихся напряженными и деформированными состояниями, для которых заданы либо окончательная деформация, либо результирующие силы ——проблема, которая из-за связанных с ней математических трудностей лишь слабо затронута исследованиями краевых задач этого типа.
Глава 3
ПРИНЦИПЫ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ РАБОТЫВ ТЕОРИЯХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СРЕД
Энергетические принципы в теории упругости. В математической теории упругости установлены принципы, в которых используется условие, что потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия минимальна по сравнению
Рис. 3.1. Густав Кирхгоф (родился в Кенигсберге 12 марта 1824 г., умер в Берлине 17 октября 1887 г.).
Густав Роберт Кирхгоф с 1850 г. профессор физики в Бреславле, с 1854 г. — в Гейдельберге, с 1874 г. — в Берлине, открыл вместе с Бунзеном в 1859 г. метод спектрального анализа и исследовал физическую и химическую природу тепла и света. Применив вариационное исчисление в сочетании с принципом возможных перемещений для упругой поверхности, описывающей плоскую изогнутую пластинку, он впервые определил точную форму двух граничных условий (1850 г.). Среди избранных курсов по математической физике курс, читанный им в Берлинском университете, является классическим примером введения в общую механику.
Фотография взята из книги: Lenard Р., Great Men of Science, The Macmillan Company, New York, 1933.
с ее значениями в произвольно возмущенном близком положении, когда упруго деформированная форма тела слегка изменена, или по сравнению со значениями энергии деформации в слегка возмущенном равновесном положении упругой системы, в котором внешние силы или состояния внутреннего напряжения изменены на малые величины.
Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. 9. Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую ►вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинтегральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение
для изогнутой срединной поверхности упругой пластинки и выражения для двух граничных условий 9，
Условие минимума потенциальной энергии при статическом равновесии упругой системы привело к установлению двух родственных принципов.
Применяя к упруго деформированным телам принцип возможных перемещений, первоначально использовавшийся в статике твердых тел, можно найти малые изменения потенциальной энергии, связанной с внутренними и внешними силами, соответствующие малым возможным перемещениям, которые выводят точки упругого тела из их истинных равновесных положений и согласуются с условиями закрепления в предположении, что действующие на тело внешние силы остаются существенно невозмущенными. Тогда потенциальная энергия, связанная с внутренними и внешними силами, в положении, тела, отвечающем устойчивому равновесию, является минимальной (первый энергетический принцип).
Можно также сравнивать величину энергий деформации в напряженных состояниях, близких к состоянию равновесия внутренних напряжений в упругом теле, предполагая, что внешние силы и граничные напряжения, которые действуют в упругой системе в состоянии равновесия, слегка изменяются или варьируются таким образом, что при этом сохраняется взаимная уравновешенность всех сил. Поскольку энергия упругой деформации, запасенная в теле, состоящем из материала, который удовлетворяет линейному закону упругости Гука (тело, для которого соотношения между напряжениями и деформациями выражаются
I) Комбинируя упомянутое уравнение с принципом Гамильтона вариации кинетической энергии колеблющейся упругой пластинки, Кирхгоф вывел также дифференциаьчьное уравнение изогнутой срединной поверхности для малых изгибных колебаний круглой пластинки, представленных различными формами ее собственных поперечных колебаний. Это привело его к определению через функции Бесселя совокупности отвечающих этим формам узловых окружностей и их радиусов, и, таким образом, снова впервые он решил знаменитую математическую задачу, а именно задачу об определении «звуковых фигур», описанных в книге «Entdeckungen fiber die Theorie des Klanges», которые были открыты австрийским физиком Хладни; в 1787 г. Хладни наблюдал «звуковые фигуры», насыпая мельчайший порошок (ликоподий) на пластинки, в которых изгибные колебания возбуждались скользящим по краю пластинки скрипичным смычком. В 1811 г. по предложению Лагранжа Парижская академия наук объявила премию за решение этой задачи. Среди соревновавшихся математиков была Софи Жермен, которой впоследствии была присуждена эта премия. Первоначально она безуспешно пыталась решить эту задачу, приведя ее к дифференциальному уравнению шестого порядка для изогнутой поверхности упругой пластинки и неверным граничным условиям. Лагранж обнаружил ее ошибки и впервые предложил правильное уравнение четвертого порядка, названное впоследствии именем этого великого математика.
линейными функциями), при малых смещениях может быть выражена посредством однородной квадратичной функции напряжений или внешних сил и граничных напряжений, то можно вычислить малое изменение энергии деформации упругого тела при варьировании напряжений или сил. Напряжения или внешние силы, вызывающие истинные упругие смещения 〃, и, w материальных точек в их положения равновесия,——это те, которые доставляют минимум энергии деформации (второй энергетический принцип)9-
В § 2.2, А приходящаяся на единицу объема энергия упругой деформации была выражена через однородную квадратичную функцию либо шести компонет деформации, либо напряжения [соотношения (2.17) и (2.18)]. Если принять первые переменные за независимые, то дифференциал работы выразится в виде
d①="^"点*+ • • • +^^7dY"+ (3.2)
В состоянии равновесия упругого тела, испытывающего малые смещения, должны одновременно выполняться три условия:
Компоненты напряжения в каждом бесконечно малом элементе материала должны быть взаимно уравновешены.
Соотношения между напряжениями и деформациями должны быть линейными функциями.■
Шесть компонент деформаций £%, “, ％, Yyz, Yz%, уху должны выражаться через производные от трех функций координат %, у, г, а именно от трех компонент смещения 〃， и,侬,и удовлетворять шести условиям геометрической непрерывности
диdw , dv
眠F-・・，yl同(3・1)
Так как корректное выражение для приходящейся на единицу объема работы деформирования, совершаемой шестью компонентами напряжения о%, о^, Oz, %, Tzx, ^ху в бесконечно малом элементе упругого материала, невозможно вывести до тех пор, пока не постулирован закон связи между напряжениями и деформациями, то использование для упругой среды вариационных принципов, связанных с энергией деформации (о, предполагает справедливость линейных связей между напряжениями и деформациями (приведенное выше второе необходимое условие).
Поэтому следует заметить, что возможные перемещения, о которых упоминается в первом энергетическом принципе, таковы, что они удовлетворяют условиям 2 и 3. Следовательно, они могут отклоняться от истинных смещений в упругом теле в том отношении, что соответствующие им шесть компонент напряжений могут не удовлетворять трем условиям равновесия напряжений (поставленное выше условие 1).
Малые вариации напряженного состояния в упругом теле, рассматриваемые во втором вариационном принципе для работы, подчиняются условию 1, но их распределение может отклоняться от истинного в упругом теле в том отношении, что соответствующие им деформации, вообще говоря, не будут удовлетворять либо условию 2, либо условию 3 в зависимости от того, каким способом производится варьирование.
а если за независимые переменные принять последние, то он запишется в виде
也=盟"Х+…+^7力"+(3.3)
В эти два уравнения вместо частных производных можно подставить (при условии, что считается справедливой линейная связь между напряжениями и деформациями) их выражения, даваемые равенствами (2.20) и (2.21), и получить соответственно
d(o = о % d&x + • • • + Ту% dy^z +(3.4)
do = £尤 do% + ... + yyz dxyz + ...,(3.5)
где члены, стоящие один над другим, равны между собой при условии, что напряжение и деформация пропорциональны.
Мы можем теперь воспользоваться этими только что упомянутыми соотношениями, чтобы выразить малые вариации бсо удельной работы со; для этого нужно заменить прямое d на знак варьирования 6. Однако мы должны отдавать себе полный отчет в том, что в соответствующих выражениях символ вариации 6 может иметь иное значение и что если мы затем используем соответствующие две формы вариации 6со энергии деформации
3(о = о% 6% + ... + Qz °Y” + ...(3.6)
или
6(о = 8Х 6аЛ + ... + yyz дт^ + ...(3.7)
в зависимости от условий, которые налагаются на новое варьированное состояние, то последние выражения (3.6) и (3.7) в некотором смысле будут более общими, чем (3.4) и (3.5), а именно в том, что теперь, например, нет нужды постулировать применительно к ним справедливость линейной связи между напряжениями и деформациями (или условий геометрической непрерывности смещений и, и,侬，выражаемых прежде упомянутым условием 3, если это потребуется).
Это обстоятельство иногда выражают в виде утверждения, что вариация з представляется равенством (3.6) в случае, если варьируется деформированное состояние, или равенством (3.7), если варьируется напряженное состояние соответственно. Строго говоря, если не используется ни выражение (3.6), ни выраже* ние (3.7), а, например, используется выражение для полной энергии деформации, равной взятому по всему телу объемному интегралу, в котором подинтегральное выражение для единичной работы со молчаливо считается записанным в виде суммы
ю А. Надан
квадратичных членов комопнент либо деформации, либо напряжения, то видно, что, когда такой интеграл начинают варьировать, фактически уже неявно предполагают существование или справедливость линейной связи между напряжениями и деформациями, поскольку невозможно записать выражение для со в конечных величинах без использования соотношений, связывающих напряжение с деформацией или наоборот. Эти замечания должны пояснить некоторые условия, которые могут быть наложены на вариации в конкретных случаях.
Если мы предположим сначала, что точкам упругого тела сообщаются малые возможные смещения би, Зи, 6侬,выводящие их из положений равновесия, то внутренние напряжения о化,... совершат при этом некоторую дополнительную работу и энергия деформации 呼》= J о)dV изменится на некоторую величину
6^ = 6 J ^dV, (3.8)
где интеграл берется по объему V тела. Обозначим через We потенциальную энергию, связанную со всеми внешними силами (нагрузками); индексы i и с при W относятся к системе вну< тренних и внешних сил. При возмущении равновесной конфигурации тела действующие на него внешние и массовые силы будут совершать работу, которая должна равняться уменьшению соответствующей им потенциальной энергии, т. е. равняться ——61Fe.
Чтобы вычислить эту работу наиболее простым способом, мы условимся считать, что внешние силы не меняются при сообщении точкам тела виртуальных перемещений 6〃，5и, 6w, т. е. что они сохраняют те значения, которыми обладали в невозмущенном равновесном положении тела. Тот же результат получится, если мы вообразим, что все приложенные силы передаются через одинаковые переброшенные через блоки нити, к которым прикреплены грузы.
Это может показаться противоречащим хорошо известному из теории малых прогибов упругих балок или пластинок обстоятельству, что внешние силы (нагрузки), действующие на упругое тело, возрастают пропорционально вызываемым ими в направлении их действия прогибам. Но небольшое размышление убеждает нас в том, что безразлично, используем мы для вычисления внешней работы 6We те заданные значения внешних сил, которыми они обладали в невозмущенном равновесном положении тела, или даем им изменяться до тех новых равновесных значений, которые они приняли бы после того, как точки их приложения сместились бы на би, Ои, 0®.
Поскольку энергию деформации (о можно выразить через однородную квадратичную функцию от шести компонент либо напряжения, либо деформации, то потенциальную энергию We действующей на упругое тело некоторой системы сосредоточенных внешних сил Qi,・• •, Qm
m
吃=—^』Q必(3.9)
n=l
можно записать как однородную квадратичную функцию либо внешних сил Q加 либо малых перемещений qn точек приложения этих сил. Это следует из того обстоятельства, что любое перемещение «〃 точки приложения некоторой силы Q〃 в упругом теле есть линейная функция сил Qn:
q* = 2 aniQni(3.10)
n=l
и, наоборот, решая эти m линейных уравнений относительно Qn, можно любую силу выразить в виде
п = т
Q» = Ei 6欣q九,(3.11)
n = l
где на основании принципа сохранения энергии «коэффициенты влияння》должны удовлетворять условию теоремы Максвелла, т, е. обладать свойством симметрии
а力・=。川，^ij = ^jb i, j = 1, 2,…，儿，…，/п,(3.12)
так что матрицы двух предыдущих систем линейных уравнений симметричны. Таким образом, подставляя в (3.9) либо m соотношений (3.10), либо (3.11), получаем выражение для потенциальной энергии We внешних сил в виде однородной квадратичной функции либо от Qn, либо от qn.
Следовательно, вычисляя частные производные от We по силам Qn или смещениям !) qn, можно удостовериться, что они
Можно проверить равенство (3.10), предположив, что приложенных сил только две, три и т. д. Чтобы доказать, например, равенство dWe/dQi = =—伙，мы замечаем после подстановки (3.10) в (3.9), что при вычислении dWe/dQi члены в двойной сумме будут давать либо ainQn, либо antQn, за исключением одного-единственного члена, а именно члена a-Q?, в котором появляется квадрат Q] и который дает 2aaQi. Таким образом, после вычисления этой частной производной от каждого члена получаем
^q^ = - -^ («iiQi + CC/2Q2+ ... +ct"Qz+ •・.
• • • + SjQi + azzQz + »»• 4" a"Q/ + .・.),
равны dWedWe с
旗7=一%，
откуда следует, что вариацию потенциальной энергии рассматриваемой системы внешних сил Qn можно записать либо в виде
тт
6吃=2幾侦九=-工猴。Q九，(3・14)
九=11
либо в виде
6% = £ 需 М〃 = — £ Qn О%,(3.15)
или после сложения этих двух сумм ——в виде т
6We = - ^ 1Q ^n + qnW=-^^ Q例.(3.16) 1
Тем самым показано, что поскольку дело касается выражения для вариации потенциальной энергии внешних сил 6历& то безразлично, считаются внешние силы варьируемыми величинами при вариациях би, би, 6侬 формы упругого тела или нет】). Чтобы завершить вывод выражения для вариации потенциальной энергии, выпишем вклад в нее от внешних сил Qn, который, как только что было показано, согласно (3.15), равен
-XQM(3.17)
Аналогично, если на определенной части границы тела приложены напряжения, распределенные по площади А, то изменение отвечающей им потенциальной энергии записывается как
—J (s^ ди + sy dv + sz6w) dA,(3.18)
где величины sx = пхйх+xxyay+тхгй2, sy = ..., s2 =... обозначают составляющие напряжения по направлениям, параллельным осям % у, 2, а о%, Оу, az ——направляющие косинусы внешней нормали к некоторому элементу площади dA граничной поверхности; интеграл здесь берется по всей площади Л.
откуда, учитывая свойство симметрии ац — ац, находим п=т
= - g 21 ^niQn = —qt,/г=1
т. е. первое из равенств (3.13).
〔)См. von Karman Т., Physik Z., 253 (1913); а также S t о d о 1 а А., Dampf- und Gasturbinen, 5th ed., p. 914, Verlag Springer, Berlin, 1922.
Если объемные силы отсутствуют, то потенциальная энергия, соответствующая двум предыдущим системам внешних сил, из^ меняется на величину
3吃=—】Q/iM九—J (sx 6u + 5^6^ + sz dw) dA. (3.19)
Принцип возможных перемещений в применении к находящемуся в устойчивом равновесии упругому телу выражается теперь тем условием, что вариация полной потенциальной энергии (Wi+ We) должна обращаться в нуль
6(1FZ+ Ге) = 6 J(^dV + bWe = 0, (3.20)
где dWe дается равенством (3.19) (первый принцип). Чтобы упростить использование уравнения (3.20), можно попытаться, если это будет возможно, выбрать такую виртуальную деформацию, при которой силы или напряжения, приложенные к поверхности тела, не совершают виртуальной работы.
Применим уравнение (3.20) к деформациям изгиба упругой пластинки постоянной толщины h, приняв за плоскость %, у срединную плоскость пластинки, обозначив малый прогиб в точке х, у через w и предположив, что в качестве внешней нагрузки пластинка несет только распределенное по поверхности z =——h/2 давление p = f(x, у) (кг/см2) и не имеется никаких сосредоточенных сил и сил в направлении срединной плоскости. Используя выражения для деформаций изгиба в плоскостях г = const (см. § 8.1)
ди d2wdv d2w
, a(3.21
ди , dv с'
а также закон Гука и пренебрегая незначительным нормальным напряжением az, можно получить следующие выражения 】) для изгибающих моментов тх и ту и крутящего момента тху (на единицу ширины сечения):
J 0*2衣=一n(赛 + "器)，J 0*2衣=一n(赛 + "器)，(3.22)(3.22)
J 0*2衣=一n(赛 + "器)，
J 0*2衣=一n(赛 + "器)，
(3.22)
(3.22)
где интегралы берутся в пределах —Л/2 и h/2, а постоянная N обозначает жесткость пластинки N = Е№[\2(\——v)2. Чтобы найти выражение для энергии деформации ^ пластинки, мы заметим, что можно пренебречь работой компонент напряжения Oz, Txz,七以 в тонкой пластинке и что с учетом равенства (2.17) энергия деформации з, приходящаяся на единицу объема, равна
s =4 [g 5 + 力—2『咽 + 4 闵. (3.23)
Умножая (3.23) на dx dy dz, используя равенства 12mxz\2myzT2m
°* = 胪，% = 外，t现=-L
и интегрируя по 2, получаем выражение для энергии деформации пластинки
3・=盘 J J [m^ + m^ - 2vmxmy + 2(l+v) т^ dx dy. (3.24) После подстановки выражений (3.22) для тх^ 能〃,тху находим 吗=打1囹^产-(1-V)(器密一(為公姒(3.25) Здесь двойной интеграл берется по площади пластинки. В отсутствие сосредоточенных сил и, кроме того, если не совершается никакой работы на опорах или на краях пластинки, потенциальная энергия действующих на пластинку внешних сил (нагрузка от поперечного давления р) дается выражением
С использованием двух предыдущих выражений для ^ и We первый энергетический принцип для упругой пластинки записывается в виде уравнения
6(rz + re) = 0,(3.27)
совпадающего с упомянутым выше уравнением Кирхгофа.
Варьирование можно проводить в подинтегральных выражениях без варьирования давления р. Преобразуя интегралы путем последовательного интегрирования по частям, можно показать, что условие минимума [уравнение (3.27)] эквивалентно требованию, чтобы прогиб w пластинки удовлетворял дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка (уравнение Лагранжа)
аа3 = 而+2名毎_ + 可=m(3・28)
и двум дифференциальным соотношениям, выражающим граничные условия для пластинки,
г / dw d2w \- n
,1(3・29)
% = _n[丽+(27)
которые совпадают с найденными Кирхгофом при помощи такого же метода 】).
Первый вариационный принцип для энергии использовался при выводе интегралов, из которых получаются дифференциальные уравнения теории упругости, но он имеет более широкое применение, благодаря тому что с его помощью можно найти приближенные выражения для деформации упругих балок, пластинок и. других тел во многих важных для приложений случаях, когда проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти точное решение невозможно. Швейцарский математик Вальтер Ритц 2), к сожалению, скончавшийся в раннем возрасте, показал, как можно находить такие приближенные решения. Например, в случае изгиба пластинки он предложил представить уравнение ее изогнутой поверхности в виде суммы конечного числа членов
侬=力叫(％, у) + ・•・ + cnwn (x, у),(3.30)
в которой для получения лучшего приближения число членов нужно последовательно увеличивать. Он выбрал величины д(х, у) таким образом, чтобы они в точности удовлетворяли граничным условиям, заданным вдоль краев пластинки, и предложил определять константы Ci, ..., сп из условия минимума потенциальной энергии Wi+We.
Для этой цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии 呪 и We внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным с^ ..., сп. Затем использовалось вариационное условие 8(呼» +U7。) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных с】,...,сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций 侬)(％, у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от 侬) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола !) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25),
обращается в нуль. Это также имеет место в пластинках с краями в виде прямолинейных многоугольников, вдоль которых поставлены граничные условия w = 0 и Д^ = 0 (соответствующие свободно опертым краям). В этих случаях условие минимума энергии очень заметно упрощается, так как константы с】，...,，п должны вычисляться из гораздо более простого условия
б j j [у (/W - 將]dx dy = 0. (3.32)
Рассматриваемый метод был распространен на случаи, когда нагрузки действуют вдоль срединной плоскости пластинки, вызывая в некоторой области сжатие, под действием которого пластинка может выпучиваться. Пусть пластинка нагружена системой результирующих напряжений (на единицу ширины) их, Пу, пху (几陋 пу направлены по нормали к сечениям hdx и hdy соответственно; пху ——по касательной), действующих строго в срединной плоскости; включим в энергию деформации при изгибе пластинки ту часть, которая возникает благодаря действию результирующих сил мх, му, пху. Тогда критические значения этих
сил, при которых произойдет выпучивание пластинки, можно вычислить из условия !)
I6 / J [а* (需)2 + 2九必需需 + пУ (謂Н dx dy +
+ J [I(A 硝-О - S(翡胱-(諡))]аУ = °-(3.33)
Уравнение (3.33) и многочисленные аналогичные условия выпучивания балок и пластинок использовались для вычисления приближенных значений выпучивающих нагрузок или напряжений в таких телах.
Выше были рассмотрены возможные перемещения в упругом теле, меняющие его деформированную форму при невозмущенных внешних силах. Теперь мы будем считать, что изменение энергии деформации вызывается малой' вариацией напряженного состояния тела
bWi = J do dV = J (% Во% + ... + yyz 6%z + • • •) dV (3.34) при сохранении во всем теле взаимной уравновешенности напряжений, так что малые вариации напряжений 80g..., дт^,... удовлетворяют трем условиям равновесия. Чтобы выразить вариацию энергии деформации 311^ через работу, совершаемую напряжениями, действующими на граничной поверхности тела, объемный интеграл (3.34) надо преобразовать в поверхностный интеграл, определяющий вариацию внешней работы
°呼力=j J \ ^^ = \ j (〃6s% + и6sg + 侬6sJd4 = — dWe. (3.35)
Здесь sx, s期、Sz ——составляющие наклонного напряжения s = = isx + js?/ + ks2 по осям %, у, z соответственно; они определяются выражениями
S% = %•■% + ^ху^у + ^хг^г^ • • • >
где ах, "у, az ——направляющие косинусы нормали к элементу площади dA рассматриваемой поверхности или составляющие единичного вектора a=i&+jay + k&, также определяющего элемент площади 2A = ad/4. Равенство (3.35) можно доказать
См Bryan G. Н., Proc. London Math. Soc., 22, 54 (1891); Timoshenko S., Sur la Stabilite des sistemes elastiques, in A. Dumas (ed.), Annales des ponts et chaussees, Fasc. Ill, IV, V, 174 pp., Paris, 1913; Timoshenko S., Theory of Elastic Stability, 1st ed., p. 306, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1936.
В уравнении (3.33) предполагается, что никакие поперечные силы на пластинку не действуют и что граничные напряжения никакой виртуальной работы не совершают.
путем преобразования шести произведений в выражении для б со в сумму трех скалярных произведений
63 =翼6%++(需+ ^)6%z+=
=^ (v • 6SJ + *(v -6Sy) + ^(V • 6SJ (3.36)
где v = i〃 + ju + kw ——вектор смещения; Sx = iпх + jtx1/ + krxz, Sg = = ...,Sz = ...——три вектора результирующих напряжений в сечениях, параллельных плоскостям yz, z% и %у, или три компоненты тензора напряжений, записанного в виде диады
H = iS* + jSg + kSz.(3.37)
Но три скалярных произведения в правой части выражения (3.36) можно записать в сжатой форме посредством равенства 6co = div (v・6H), а объемный интеграл (3.34) можно выразить по теореме Гаусса через интеграл по поверхности
б%» = J 6(о dV = J div (v • 6П) dV = J j v ・ 6s d4 = — 6吃・(3.38)
Последний интеграл в правой части совпадает с поверхностным интегралом в выражении (3.35)】).
Если на поверхности тела действуют сосредоточенные силы (нагрузки) Qi, ..., Qn, вызывающие в положении равновесия смещения q】，…，qn своих точек приложения, то после сказанного о соотношениях (3.13) видно, что вместо поверхностного интеграла в выражении (3.38) должна быть записана сумма
6吃П一工 qn 6Q〃，拆=—卷•(3・39)
Доказав в (3.38), что 6Wi = —6吃，мы таким образом заключаем, что если имеются сосредоточенные силы, то
См. § 3.2, где имеются очень похожие преобразования и промежуточные выкладки. Из сказанного выше видно, что при получении выражений (3.35) или (3.38), выводимых из (3.34), предполагаются выполненными два из трех условий для упругого материала, оговоренных в примечании 1 на стр. 165, а именно условие 1 (равновесие внутренних напряжений) и условие 3 (геометрическая непрерывность или совместность компонент деформации) ,в то же время условие 2 (линейность связи между напряжениями и деформациями) не используется.
т. е. смещение qn в упругом теле в направлении действия внешней силы или нагрузки равно частной производной от энергии Wi по силе Qn； это составляет содержание хорошо известной теоремы КастильянОг
Рис. 3.1а. Герман фон Гельмгольц (родился в Потсдаме 31 августа 1821 п, умер в Берлине 8 сентября 1894 г.).
Герман Людвиг Фердинанд фон Гельмгольц получил образование военного врача прусской армии; в 1849 г. он был назначен профессором физиологии в Кенигсберге, в 1858 г. — в Гейдельберге и с 1871 г. до конца своей жизни он был профессором теоретической физики в Берлинском университете. Кроме выдающихся достижений в области физиологической оцтики [он изобрел глазное зеркало (офтальмоскоп)] и акустики (им написана книга: Helmholtz Н.» Lehre von den Tonempfindungen, 1862, где он проанализировал функционирование органов человеческого слуха и развил'принципы физиологической эстетики, управляющие чувством гармонии и музыки), в одной из своих первых статей (Uber die Erhaltung der Kraft, 1847) он провозгласил принцип сохранения энергии. В последний период жизни его исследования посвящены механике, гидродинамике (в статье: Ueber Integrale der hydro- dynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen., CreN- les /., 55 (1858) он установил законы вихревого движения и взаимодействия виде卤)，метеорологии (волны в атмосфере на граничных поверхностях широких потоков воздуха) и электрическим колебаниям (в виде руководства работами его блестящего ассистента Герца, которые привели последнего к открытию электромагнитных волн). Собрание курсов лекций Гельмгольца по механике до сих пор остается выдающимся примером совершенства изложения материала в лекциях по основным принципам механики.
Если взять такую вариацию напряженного состояния, при которой поверхностное напряжение s не меняется, т. е. ds = O, то (3.38) примет вид
6^ = 0. (3.41)
Мы получили теорему о наименьшей работе, которая так часто используется для нахождения сил реакций в статически неопределимых задачах изгиба неразрезных упругих балок (те。-
рема Менабреа); эта теорема получается также из равенств (3.39) и предположения о том, что qn = Q для силы реакции Qn на неподвижной опоре】) (второй энергетический принцип).
В томе 1, гл. 26, было установлено, что дифференциальные уравнения для компонент скорости несжимаемого вязкого тела
Рис. 3.16. Лорд Рэлей (родился в Эссексе 2 ноября 1842 г., умер в Эссексе 30 июня 1919 г.).
Джон Вильям Стрэтт, лорд Рэлей, стал после смерти Максвелла вторым Кавенднтскнм профессором в Кембридже (1879—-1884 it.), в 1887 г. он стал преемником Дж. Тиндаля в качестве профессора натурфилософии в Королевском институте, в 1873 г. был избран в Королевское общество и в 1904 г. получил Нобелевскую премию за метод выделения аргона из воздуха. Оставив свои преподавательские обязанности в Кембриджском университете, он оборудовал собственную лабораторию у себя дома в Терлинге, с чего и начались (1884 г.) его исследования по физике.
В 1872 г., уехав для отдыха в Египет, он под влиянием сочинения Гельмгольца (1862 г.) увлекся задачами акустики и задумал написать ставшую классической книгу „Теория звука". Им опубликован также обширный цикл статей по теории вязкой жидкости.
при установившемся медленном движении под действием уравновешенной системы сил по форме совпадают с уравнениями
Эта теорема о наименьшей работе была доказана Федерико Менабреа в статье, представленной Туринской академии наук в 1857 г., а теорема, выражаемая соотношением (3.40), была изложена Альберто Кастильяно в его диссертации, представленной в Туринский университет в 1873 г., и, кроме того, опубликована в его книге: Castigiiano A., Theorie de Fequilibre des systemes elastiques Turin, 1879. См. С о 1 о n e 11 i G., Scienza delle Con- struzioni, 562 pp., 2d ed., pp. 72, 77, G. Einauidi, Turin, Italy, 1948.
В тексте мы не доказали, что экстремумы, определяемые уравнениями 6(Wi + We) ^0 и 6取t=0, дают усдовия минимума полной энергии или энергии деформации； для состояний устойчивого равновесия это представляется достаточно очевидным.
для компонент малых смещений в несжимаемом упругом теле. Следовало бы поэтому ожидать, что для ряда теорем об энергии деформации упругого тела имеются дублирующие теоремы о скорости диссипации энергии при установившемся движении вязкого твердого тела.
Гельмгольц и Рэлей действительно установили, что при медленном установившемся движении вязкой жидкости или твердого тела при постоянных внешних силах и при условии, что инерционными членами можно пренебречь, в истинном движении рассеивается наименьшее колииество энергии по сравнению с потерями энергии в любых других движениях с теми же значениями компонент скорости на граничной поверхности тела】).
Чтобы проиллюстрировать аналогию между двумя соответствующими друг другу энергетическими принципами, относящимися к упругой и к идеально вязкой средам, рассмотрим в качестве примера состояние бесконечно ма
лого простого сдвига в слое упругого материала 0&y《yi, которое возникает под действием постоянного касательного напряжения Тху = const, вызывающего вдоль оси х смещения■
ихус
и = —, V = w = С
и деформацию сдвига d〃 dv 〃i Qy
Предположим, что данное равновесное положение слоя ^<у<у\ возмущено смещением плоскостей у=const на некоторую величину в направлении оси х в новое положение, для которого
Для любого положительного или отрицательного значения постоянной с распределение 〃‘ представляет параболу (рис. 3.2)； константа выбирается так,
】)Л а м б Г., Гидродинамика, ОГИЗ, М,—Л„ 1947.
что парабола проходит через точки О и Л и, кроме того,优= 〃 = 0 при у=0 и 〃； = 〃] при у = У]・ Таким образом, обе границы тела //=0 и у=у\ остаются в прежних положениях.
Подстановка смещений 》'вместо прежних смещений и=щу/у1 равносильна варьированию формы тела (разность 〃‘一 〃，если константе с придавать малые значения, фактически определяет вариацию формы 0〃). Смещения 〃‘ порождают деформацию сдвига
ху ду ух L \ 勿丿」
и энергию деформации (на единицу объема)
,1, G 戶
①=-ХхуУху = — Уху
2近
Энергия деформации, запасенная в материальной призме с основанием, по площади равным единице, и высотой у、, равна
払С..2 51
о/ dy =
о
После вычисления интеграла отсюда находим
1 +4с
吃=帀卜+
⑹
Поскольку обе граничные плоскости у=0, У=У1 не смещались и, кроме того, в двух нормальных к ним плоских сечениях, скажем х=0 и х= 1, касательные напряжения не производят никакой работы, то работа внешних сил равна нулю, IF； = 0, и полная потенциальная энергия равна энергии деформации 吃.Таким образом, согласно первому энергетическому принципу, энергия деформации W\ должна иметь минимум. Это имеет место в том случае, если постоянную с в последнем уравнении положить равной нулю, и тогда видно, что энергия деформации принимает минимальное значение ^^ ^ ^/ = =G用2yl на исходном распределении и—щу)ух.
Теперь рассмотрим состояние простого сдвига в чисто вязкой среде, для которой скорость сдвига равна
Уху
Хху
где ц ——коэффициент вязкости. Скорость, с которой происходит диссипация энергии (на единицу объема), составляет
必=^хуУху-
Проварьируем это состояние, воспользовавшись выражением (а). Нам нет нужды повторять вычисления. Если мы истолкуем “， и, w как компоненты скорости течения вязкой среды, то все, что останется сделать,——это поставить точки над величинами 丫以，со',步;，заменить символ G на 卩 и заметить,
что в приводимом ниже выражении (в) пропадает множитель 1/2, который входил в выражение(о = txyYxy/2 и в равенство (б). Таким образом, скорость, с которой происходит диссипация энергии внутри слоя вязкого материала в варьированном состоянии, дается выражением
откуда снова видно, что минимум имеет место при с=0.
Обобщая это, мы можем утверждать, что при установившемся медленном движении вязкой среды под действием данных постоянных внешних сил рассеивается наименьшее количество энергии по сравнению с потерями энергии при любом другом движении со скоростями на граничной поверхности, равными заданным. Добавим еще: если внешние силы на граничной поверхности вязкого тела не производят работы при виртуальном изменении скоростей течения внутри тела, то достаточно минимизировать скорость диссипации энергии 伊з порождаемой внутренними напряжениями ).
Теорема о максимуме пластической работы. Вариационные принципы для решения задач теории идеально пластичной среды были предложены различными исследователями. Как упоминалось в предыдущих главах, при применениях этой теории можно интересоваться распределением напряжений в теле, которое течет целиком или только в отдельных областях. В первом случае упругой частью деформаций можно обычно полностью пренебречь, тогда как в случае частичного течения этого делать нельзя, и упругие деформации также должны учитываться. Обе группы задач можно изучать при помощи вариационных принципов.
Садовский !) для ряда конкретных случаев полного течения идеально пластичной среды нашел точные выражения для напряжений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия, заданным граничным условиям и условию пластичности то = const, опустив, однако, рассмотрение связи напряжений со скоростями деформаций, которая в общем случае течения (когда две первые группы условий не дают достаточного числа уравнений для определения неизвестных компонент напряжения) также должна быть удовлетворена. Взамен этой связи он ввел принцип максимума, утверждающий, что истинное пластическое распределение напряжений характеризуется тем свойством, что отвечающие ему внешние усилия (нагрузки) больше нагрузок, соответствующих любому другому распределению напряжений, которое удовлетворяет двум первым, но не последнему из трех упомянутых выше условий.
Хилл) (Кембридж, Англия) в столь же замечательной статье доказал, что упомянутое здесь условие максимума эквивалентно использованию принципа максимальной пластической работы.
Первой иллюстрацией этого метода может служить пример, рассмотренный Садовским. Предположим, что нужно найти распределение нормальных напряжений о " касательных напряжений т в круглом стрежне для случая полного течения при совместном действии растяжения и кручения. Стержень одновременно нагружен осевой силой
а
Р = 2冗 j or drои крутящим моментомаМ = 2л ^ nr2dr.о
Предполагается, что элементы внутри круглого цилиндра текут при постоянном октаэдрическом касательном напряжении
Sadowsky М. A., A Principle of Maximum Plastic Resistance, J Appl. Mechanics (December； 1942). В этой интересной статье методами вариационного исчисления получены решения для ряда случаев течения стержней круглого и прямоугольного поперечных сечений при совместном действии растяжения и кручения, а также для течения полого цилиндра.
то = const, а напряжения опт суть функции радиального расстояния / Для этого случая легко найти точное решение). Пусть е и у — пластические деформации удлинения и сдвига на расстоянии г от оси стержня. В предположении, что деформации бесконечно малы, тензоры напряжения и пластической деформации должны удовлетворять требованию, чтобы их главные направления совпадали). Это будет иметь место, если нормальную деформацию в осевом направлении £ и деформацию сдвига 丫 принять равными
8 =(р(г, 丫 = 3(рт = 0г,8 =(р(г, 丫 = 3(рт = 0г,(3.42)(3.42)
8 =(р(г, 丫 = 3(рт = 0г,
8 =(р(г, 丫 = 3(рт = 0г,
(3.42)
(3.42)
где 0 ——отнесенный к единице длины угол закручивания. Отсюда
更=?=纟(3.43)
Учитывая, далее, что главные напряжения равны
。2 = 9/2) ± U(о/2)2 + 於 备=о,
получаем, что условие пластичности
то = (1^2/3)а0 = const
или(0] _ %У + (% - ％)2 + (% - а1)2 = 9呜=2困
принимает вид
02 + 3T2 =唸(3.44)
где do ——предел текучести при растяжении. Таким образом, в случае полного течения круглого стержня при одновременном
действии растяжения и кручения из равенств (3.43) и (3.44) получаем, что О — Оо£
(3.45)(3.45)Уз 一 /Зе + 92г2
(3.45)
(3.45)
У382 + 02Г2
больше в периферическойбольше в периферическойИз примера на рис. 3.3 и уравнений (3.45) видно, что растягивающие напряжения больше в центральной, а касательные
больше в периферической
больше в периферической
внешней частях стержня. Согласно Садовскому, две функции от г, выражающие а и т в уравнениях (3.45), характеризуются тем свойством, что при этих значениях о и т = = ]/"侬—о?)/? достигается максимум крутящего момента
а
ооРис. 3.3. Распределение напряжений при повсеместномРис. 3.3. Распределение напряжений при повсеместномЛ4 = 2л J тг2 dr =о
о
о
Рис. 3.3. Распределение напряжений при повсеместном
Рис. 3.3. Распределение напряжений при повсеместном
при условии, что осевая нагрузка на рассматриваемый круглый стержень
尸=2л j от " = & = const (3.47) о尸=2л j от " = & = const (3.47) отечении в круглом стержне, подвергающемся комбинированному действию растяжения и кручения.
尸=2л j от " = & = const (3.47) о
尸=2л j от " = & = const (3.47) о
(Ро < л〃2(7о) остается постоянной (или, наоборот, достигается максимум Р, когда М поддерживается постоянным： М = MQ = =const < 2冗仃0"3:3 mз).
Эта задача вариационного исчисления с ограничениями, на* латаемыми на решение (изопериметрическая задача)〔)，заклю^ чающаяся в том, чтобы интеграл М в (3.46) был максимален при условии постоянства интеграла Р в (3.47). Она сводится к некоторой задаче на экстремум, если к М добавить 厶尸 и по-
требовать, чтобы первая вариация получаемого интеграла обратилась в нуль
6 (М + АР) = 3 j f (г, и) dr = 0.(3.48)
о
Здесь 九——множитель Лагранжа, f(r, а) — функция от а и г:
f(г, и) = 2冗(*з? г2 + 九от)・(3.49)
Поскольку функция f(г, а) не содержит производной g‘ =此曲 от неизвестного напряжения а, то второй член в уравнении Эйлера
^-4(» = °350)
обращается в нуль. Для решения этого уравнения не требуется интегрирования; после приравнивания первого члена нулю оно дает конечное уравнение, из которого находится неизвестное нормальное напряжение
Мз МзМ +「2 У У 0 Кзл2 + г2丿
При помощи этих выражений для а и т можно вычислить М и Р. Значению 九=0 соответствует полное течение круглого стержня при простом кручении т = Оо/Нз, а = 0, 'а значению 九=оо — то же при чистом растяжении а = по, т = 0. Физический смысл множителя Лагранжа 入 остается, однако, неясным, пока мы не сопоставим уравнения (3.51) с полными выражениями а и т, определяемыми равенствами (3.45). Из такого сопоставления обнаруживается, что обе группы формул будут одинаковы, если положить Х = е/0.
Чтобы сформулировать общий принцип максимальной пластической работы, который в предыдущем примере использовался для нахождения состояния пластического равновесия, рассмотрим сперва некоторое распределение напряжений ах,.. т：”，••• в идеально пластичной среде, удовлетворяющее трем условиям равновесия
°Ох дгху дххг
условию пластичности
(% - О J + (% - О J + (% - %У + 6 (脸 + 胃% +=
=2/ = 9 靖=const (3.53)
IF
и шести соотношениям между напряжениями и скоростями де
формации
(3.54)(3.54)葭=黑=屮【°尤一(1/2)(% + %)],・・・，
(3.54)
(3.54)
. dv . dw °
~dz + ~ду~ = 3屮％z,
где(р(%, у, г)——функция течения для растяжения; 〃, о, w ——компоненты скорости. Пусть величины 〃, и, w задаются посредством граничных условий на поверхности тела.
Скорость диссипации энергии в единице объема материала
6 = ^Х^х 十 Gyby + %©2 + ^уz\yz + ^zxVzx + ^xyVxyt (3.55) выраженная при помощи соотношений (3.54) через компоненты напряжения, равна
6 = ^ [(% 一 ％У + (% -咚У + (% — ％У + 6 (脸 + 胃% + 吮)]• (3・56)
Поскольку, согласно уравнению (3.53), выражение в квадратных скобках равно 9* =： 2о戸 const в каждой точке тела, то мы получаем отсюда
6 =创2)*屮=畴中.(3.57)
Согласно Хиллу, скорость W, с которой совершают работу приложенные к системе извне силы, больше скорости диссипации энергии 你〃 6 теле при любом отличном от истинного распределении напряжений и；, ..., т]，・• •，вызывающем движение элементов среды с теми же самыми скоростями и, v, w и удовлетворяющем уравнениям равновесия и условию пластичности.
Если снова, как в § 3.1, обозначить через а%, 〃口, az направляющие косинусы внешней нормали к элементу dA поверхности тела (или компоненты единичного вектора ^ = \ах+\ау-]-ка2, проведенного вдоль внешней нормали к этой поверхности и по направлению, совпадающему с вектором dA = a%4, которым также можно задать элемент площади), через v = i〃+ju + k侬一вектор скорости') и через
S* — ^х^х + ^ху^у + ^ xz^z^
Sy =工”“尤 + U /у + ^yZdz>(3.58)
Sz = ^zx^x + ^zy^y + %&
Символ о (одна из прямоугольных компонент “, и, w полного вектора скорости, обозначенного здесь дерез v) не нужно смешивать с абсолютной величиной вектора v, равной Р〃2 + 緑 + 酬2.
——составляющие наклонного результирующего напряжения s = isx+js》+ ksz по осям %, р, г соответственно, то работа W, совершаемая напряжениями s в единицу времени на поверхности тела, выразится взятым по этой поверхности интегралом
历=『j s・vd4=j J (s%〃 + syv + s2w) dA. (3.59)
Эта работа должна равняться диссипации энергии внутри текущего тела, которая выражается взятым по объему тела V интегралом 4) [здесь используются соотношения (3.53) и (3.54)]: Г= J J J 6dlz = ^J J J(pdV =
=J]^收一喷+(。й。厅+(。「疗+6(吃+吃+吃)]叱 следовательно,
J Js・vd4= J J J 6dK(3.60)
I) To, что объемным интегралом j 6 dV можно заменить поверхностный j* s • v dA, не нуждается ни в каких дальнейших пояснениях, если отсутствуют объемные силы или силы, сосредоточенные внутри тела. Однако при помощи векторного анализа можно провести и обычное доказательство преобразования поверхностного интеграла, выражающего скорость производства работы поверхностными силами, в объемный интеграл, выражающий скорость диссипации энергии внутри тела.
Обращаясь к гл. 14 т. 1 и используя ранее введенные обозначения, обозначим через
S% = i。％ + ]^ху + kjz,
^у = ^Хух + }^у + ^уг^(а)
Sz = Sx + i^zy + к%
три результирующих вектора напряжений в сечениях, перпендикулярных осям х, у、г； через П ——тензор напряжений, или диаду.
И = iS% + jSy + kSz = ( ХуХИ = iS% + jSy + kSz = ( ХуХХху Gy xzyХху Gy xzy^xzXyz^xzXyz⑹⑹
И = iS% + jSy + kSz = ( ХуХ
И = iS% + jSy + kSz = ( ХуХ
Хху Gy xzy
Хху Gy xzy
^xz
Xyz
^xz
Xyz
⑹
⑹
который должен удовлетворять внутри тела условиям равновесия
dS%дхdS%дхdSy Н- —FдуdSy Н- —Fду(в)(в)
dS%дх
dS%дх
dSy Н- —F
ду
dSy Н- —F
ду
(в)
(в)
Легко видеть, что сумма шести произведений в соотношении (3.55), выражающем скорость диссипации энергии 6 в единице объема тела, равна сумме трех скалярных произведений
. a © 0V , & Ov
Аналогично, скорость производства работы варьированной системой напряжений и* ..., т],・•・ при начальных скоростях 〃,и, w или скоростях деформации еЛ, ..., у^, ••• выражается интегралом
取=J I](《©%+・・・+%介双+・・・)"匕(3а)
который равен
j j年[(% -0亿_啕+.・.+6"%+・・・)]d，・(3.62)
Далее, соотношение (г) мы можем переписать в виде
(д)(д)向=^(S%・ V)+ 帚(Syv) + % (Sz・ V),
(д)
(д)
так как если продифференцировать здесь первые сомножители, то получаемая
+ Ь+ Ьсумма
+ Ь
+ Ь
в соответствии с уравнением (в) обратится в нуль.
Выражения в правой части равенства (д) можно в дальнейшем рассматривать, используя следующую сокращенную запись скалярного произведения дифференциального оператора на вектор w:
V • w = div w, причем д/дх = V • i, д/ду = V • j, d/dz = V • k.
Таким образом, выражение (д) для скорости диссипации энергии принимает вид
® п 言(S* • V)+ 击(S“ • v) + -^ (Sz • v)=
=V •【(iS% + jSy + kSz) • v] = V • (И • V), co ^ div (П • v).(e)
Но по теореме Гаусса в векторном поле w интеграл по замкнутой поверхности от потока w • dA через элемент площади dA = ad{ равен количеству вещества, поступившему из находящихся внутри этой поверхности источников с интенсивностью на единицу объема, равной div w, или
wM j J JwM j J Jdiv w dV.div w dV.
wM j J J
wM j J J
div w dV.
div w dV.
Таким образом, записывая здесь (П • v) вместо w и замечая, что а« П - s представляет результирующее наклонное напряжение s на элементе площади М поверхности тела,
dA • w = JXa • w = dAa • (И • v) = dAs • v,
мы, наконец, получаем из соотношения (ж) то выражаемое уравнением (3.60) равенство поверхностного и объемного интегралов, о котором говорилось вначале,
s-v dAs-v dAJ J J div (П^v)^^У^| J JJ J J div (П^v)^^У^| J J6dK6dK⑶⑶
s-v dA
s-v dA
J J J div (П^v)^^У^| J J
J J J div (П^v)^^У^| J J
6dK
6dK
⑶
⑶
В этом интеграле ф = ^о/^то — та же положительная величина, что и в выражении (3.60) (величина ср должна быть положительной, в противном случае работа по преодолению сопротивления пластичного материала деформированию, равная со = 9/2Ф^о. не была бы положительной).
Принцип максимальной пластической работы доказывается установлением неравенства
Wf<W9(3.63)
которое проверяется ниже !)«
1) Заключенные в скобки подинтегральные выражения в равенствах (3.60) и (3.62) можно записать через главные напряжения. Для первого из них, используя уравнение
(% —啞2 + (°2 — АУ + (。3 —。了 = 2《=Const и обозначая
自=6-03,n=03一01，甘=01-02, p = м20> находим
/ + 哦 + ? =p2. Аналогично, полагая
? = & -或 d = % -，，У = < - &,
мы находим также, что
自，2 +m2 +g』，2.
Таким образом, мы получаем два вектора р = ig + jr| + к^ и рг = i^ + jt)z + kg одинаковой длины с концами в двух различных точках §, т|, ^ и g, rf, *, расположенных на сфере радиуса V2 о。. Но подинтегральное выражение в равенстве (3.62) равно произведению(р/2 на величину
我+ g + ^ = P'・P, представляющую собой скалярное произведение р' • р, которое, конечно, меньше 2唸 чем и подтверждается неравенство (3.63).
Компоненты скорости 〃，о, w здесь предполагаются непрерывными функциями координат х, у, г. Из теории гиперболических уравнений в частных производных, к которым сводятся задачи пластичности, хорошо известно, что при заданном распределении напряжений может возникнуть слоистое пластическое течение, характеризуемое разрывными функциями “，и, w. Например, при простом растяжении или сжатии стержня в нем могут образоваться один, два или более пластических слоев, которые могут пересекать друг друга. Такие случаи не сопоставимы по затрачиваемой работе в смысле сформулированного выше принципа и нуждаются в дополнительных исследованиях.
То, что принцип максимальных усилий в формулировке Садовского действительно эквивалентен принципу максимальной пластической работы, можно увидеть на примере совместного действия растяжения и кручения, если записать выражение для работы крутящего момента М, равной AfO, при условии, что Р и ё поддерживаются постоянными. Действительно, для заданной угловой скорости вращения 0 = const работа максимальна, если максимален момент М.
В § 3.1 мы применили принцип минимума энергии к случаю состояния простого сдвига в упругой и идеально вязкой средах. Рассмотрим теперь в качестве дальнейшей иллюстрации принципа максимальной работы вариацию состояния простого сдвига в слое。& у《у» идеально пластичной среды, находящейся под действием постоянного касательного напряжения
請，值)
текущей со скоростями
и =, V = w = 0
У\и скоростями сдвига. дu , dv "i2而+肃=L3叫⑹
откуда видно, что функция течения 屮=〃1/3尼物.
рассматривая вместо котором ©z = 0, о；=рассматривая вместо котором ©z = 0, о；=Пусть мы варьируем это напряженное состояние, него состояние плоской пластической деформации [в
рассматривая вместо котором ©z = 0, о；=
рассматривая вместо котором ©z = 0, о；=
=(1/2) (о； + о；)] с компонентами напряжения
成Н*+2吋票,
(в)
В этих выражениях °&у &Ув и здесь нельзя принять у<0, так что граница слоя у=0 является одной из тех «линий разветвления» пластического напряженного состояния, определенных в т. 1, стр. 603, за которой решения не существует. Далее, безразмерная постоянная с представляет собой существенно положительный малый параметр, подлежащий варьированию !). Если положить постоянную с равной нулю, то выражения (в) совпадут с уравнением (а). Компоненты напряжения в варьированном состоянии выбраны та-
1) В соответствии с выдвинутыми условиями, при которых был сформулирован принцип максимума энергии, компоненты о；, о；厶 в варьированном состоянии должны удовлетворять двум условиям равновесия и условию пластичности [уравнение (г)]. Они должны давать поэтому в двумерном случае плоской пластической деформации точное решение, удовлетворяющее указанным трем условиям, которые в общем случае записать не легко. Определяемые выражениями (в) величины получены из некоторого точного решения (см. т. 1, соотношение (37.21), стр. 601)
0r% = 3 +等 ±2々/1一(、左) ' 5 = '1+辱'^=-^
при —а& уУа путем разложения по степеням у=а + у* этого решения в окрестности одной из двух линий ветвления, а именно линии у* =—о = const, в предположении, что у — малая положительная величина. После введения обозначения с для малого постоянного отношения yja, yja = c, и приравнивания нулю несущественной постоянной с = 0 были получены выражения (в).
ким образом, что они удовлетворяют двум условиям равновесия для напряжений о；, о；, т；у и условию пластичности
(Г)(Г)«-<)2+4<1 = 4^2
(Г)
(Г)
в предположении, что постоянная с остается малой. Распределения этих напряжений показаны на рис. 3.4 и могут быть истолкованы таким образом, что
Рис. 3.4. Пластическое состояние равновесия напряжений после варьирования.Рис. 3.4. Пластическое состояние равновесия напряжений после варьирования.
Рис. 3.4. Пластическое состояние равновесия напряжений после варьирования.
Рис. 3.4. Пластическое состояние равновесия напряжений после варьирования.
после того, как постоянным касательным напряжением тху дается небольшое возмущение, как показано на рис. 3.4, к телу должны быть приложены некоторые дополнительные нормальные напряжения огх, о?, чтобы возвратить значения напряжений опять к пределу текучести. Попутно можно заметить в связи с этим примером, что было бы бессмысленно давать величине Txy = const положительное приращение, поскольку в пластичном теле R соответствии с уравнением (г) абсолютное значение 厶 никогда не может превзойти величину k. Если течение не прерывается, то на вариации компонент напряжения в пластичном теле накладывается условие пластичности, заключающееся в том, что постоянная в выражениях (в) существенно
положительна. Скорость, с которой совершается работа постоянными касательными напряжениями rxy = k (в призме с основанием единичной площади и высотой yi) с учетом равенства(p = 〃i/3^yi, равна
必=%»匕必1= 3屮建№1 =々"1，
а скорость, с которой совершается работа варьированными напряжениями G：, Оу, т^ при тех же скоростях u—uiy/yi, согласно равенству (3.62), составляет
^ = 3/中4%蜘=曹j (1-需弘=^1(1一外оо
Отсюда видно (поскольку с ——существенно положительная постоянная), что в подтверждение принципа максимальной работы действительно
Wf<W.
Принцип возможных перемещений и принцип минимальной дополнительной работы для материалов с нелинейной связью между напряжениями и деформациями или напряжениями и скоростями деформаций. В этом параграфе мы рассмотрим вариационные принципы для работы (приложимые к ряду твердых тел общего вида, которые рассматривались ранее) и попытаемся сформулировать их для случаев, когда варьируются либо составляющие смещений, либо напряженное состояние тела. Для определенности предположим, что рассматривается несжимаемая среда, в которой компонентами бесконечно малой пластической деформации являются ех, ..., у»,..., что дифференциалы этих компонент выражаются в виде
de% = ”^ [о% — (1 /2)(% +“Yyz = ^^^yzi • • •(3.64)
и что октаэдрическое касательное напряжение то и деформация сдвига у。[выражения для них были даны раньше равенствами (2.3) и (2.19)] связаны соотношениями
"Y0 =t0"w，to = f(Yo)，(3.65)
где 〃屮一дифференциал функции течения для сдвига. Эти соотношения, очевидно, описывают течение деформационно-упроч- няющегося пластичного тела, характеризуемого функцией деформационного упрочнения общего вида to=f(Yo), относительно которой предполагается, что она монотонно возрастает.
Пусть только внутренние напряжения совершают работу. Рассмотрим эту работу для единицы объема
8 = ^ j 师呑。(3.66)
и дополнительную работу для единицы объема, определяемую посредством интеграла
^ = 4 J Yo“・
На рис. 3.5 вертикальной и горизонтальной заны величины работ з и со7, умноженные на щие значениям ① и о/ работа деформирования Wi и дополнительная работа 1卜,,производимые напряжениями ах,..., т^,... внутри тела, даются выражениями
штриховкой пока- 2/3. Соответствую-штриховкой пока- 2/3. Соответствую-Гf = J J J Г； = J J J o/dl/, (3.68) где интегрирование производится по объему V тела.
штриховкой пока- 2/3. Соответствую-
штриховкой пока- 2/3. Соответствую-
Если снова воспользоваться обозначениями § 3.1 (s = isx + jsy + ksz — результирующее напряжение на элементе площади dA граничной поверхности; v = i〃+ju + k侬 一 вектор смеще-
(3.67)(3.67)Р и с. 3.5.Р и с. 3.5.ния), то работа, произведенная граничными напряжениями s на
(3.67)
(3.67)
Р и с. 3.5.
Р и с. 3.5.
единице площади поверхности тела, выразится в виде
w = J s • dv = j (sx du + sydv + sz d侬)，(3.69)
й/ = j v ・ ds = j (〃 dsx + v dsy + w ds)(3.70)
а внешняя работа We и дополнительная внешняя работа 步;— в виде
Г,= J j wdA, Ге= J J DdA,(3.71)
где интегралы берутся по поверхности тела. В среде с деформационным упрочнением работа W представляет невосстановимые потери энергии при необратимом изменении структуры.
Считая деформированное тело находящимся в состоянии устойчивого равновесия, предположим, что его точки смещаются на малые расстояния 6〃, 6v, 6ш при невозмущенных граничных напряжениях s и внешних силах. На это возможное смещение 6v текущего материала должно быть наложено, однако, условие, что ни в каких элементах тела не имеют места неравенства dto<O и dyoVO, т. е. не происходит разгрузки. Это необходимо для того, чтобы не нарушались равенства (3.64) и (3.65), поскольку мы не рассматриваем упругой части деформации.
Хотя величины работы 吃 и We в противоположность работе в случае упругости представляют собой потери энергии, они однозначно определяются смещениями или деформациями, испытываемыми элементами материала, находящегося в пластическом состоянии до тех пор, пока деформации остаются малыми; следовательно, принцип возможных перемещений оказывается применимым к устойчивому равновесию; он требует, чтобы
№ 一 6%=0,(3.72)
где
dWi = j 6(о dV, 6We = j (s* Зи + Sy би + sz 6侬)dA= ^ s • 6v dA.
(3.73)
Если на поверхность действуют внешние сосредоточенные силы Qi,…，Qx，смещающие точки своего приложения в направлении своего действия на величины 内，...,«%, то величины работы в равенствах (3.71) записываются в виде сумм интегралов 吃=£ J Q, d%,吃=£ J % dQ〃 (3.74)
а величина dWe в уравнении (3.72) выражается в виде i=k
6吃=WQz・6%・(3.75)
В интегралах, входящих в равенства (3.69) и (3.70), мы считаем граничное напряжение s некоторой функцией вектора смещений v (либо наоборот), и точно так же в интегралах, входящих в суммы, определяемые выражениями (3.74), мы считаем, что силы зависят от соответствующих смещений 力 точек их приложения (или наоборот). Каждая из сил Q〃 будет увеличиваться со смещением q^ точки ее приложения в соответствии с некоторой кривой, подобной изображенным на рис. 3.6 и 3.7 для сил Q% и Q/+i. Вид каждой из этих кривых существенно зависит от характера функции деформационного упрочнения то = /(уо), а также в определенной мере от последовательности, в которой возрастают до своих конечных значений другие параметры нагружения (другие имеющиеся силы).
Поскольку в постулированном нелинейном законе связи между напряжениями и деформациями принцип суперпозиции отдельных деформаций, вызванных рядом одновременно изменяющихся нагрузок, не выполняется, становится очевидным, что общее рассмотрение зависимости внешней силы Q% от смещения qi уже само по себе составляет весьма внушительную задачу. Ниже рассмотрим несколько поучительных примеров. Нам при-
дется удовлетвориться утверждением, что полные работы ж и W можно однозначно определить либо через нагрузки Q», либо через смещения «% и что принцип возможных перемещений в форме, выражаемой уравнениями (3.72), (3.73) и (3.75), остается справедливым для среды с деформационным упрочнением.
Перейдем теперь к рассмотрению малых вариаций напряженного состояния в теле, течение которого определяется законом (3.65) с тем условием, чтобы нигде в теле не было 6т0<0, 6уо<О. Для этого предположим, например, что одна из внешних
Рис. 3.6. Рис. 3.7.
нагрузок Qi увеличивается на 6Q3 и будем считать, что при этом не нарушается равновесие внутренних напряжений (и что реакции учитывают эти вариации сил, не совершая при этом работу) .
Для получения выражений, эквивалентных выведенным в § 3.2 равенствам (3.44) и (3.42) для упругого тела, заметим, что выражение для вариации dWe внешней работы Wet даваемое равенством (3.73), с этой точки зрения бесполезно. Обратимся, однако, к вариации 6吃 дополнительной работы 咚 выражаемой равенством (3.74). Взглянув на рис. 3.6 и рис. 3.7, мы обнаруживаем, что если нагрузка Qi возрастает на 6Qe при неизменных других нагрузках, то полная дополнительная работа W^, совершенная в теле, возрастает на величину площади qRQt заштрихованной горизонтальной полоски на рис. 3.6. Правда, если сила Q» возрастает на 6Q3 то другие силы совершат добавочную работу We (одна из них, например Q^+i, совершит работу, изображенную заштрихованной вертикальной полоской на рис. 3.7), но так как, согласно нашему допущению, все нагрузки Qx поддерживаются постоянными, то дополнительной работы ни Qi+i, ни какая-либо Q^, за исключением Q*, не совершат.
Предполагая далее, что дополнительная работа W^ выражена как функция только сосредоточенных сил Q%, мы видим,
что вариация W^ при возрастании Q〔・ на 6Q» должна выражаться в виде
6^=M°Q' = %6Q，(з・7б)
dW} %=丽.dW} %=丽.и, следовательно, q. == dW^/dQ.. В этой частной производной можно заменить внешнюю работу IF； внутренней дополнительной работой W；, что равносильно преобразованию поверхностного интеграла в объемный, о котором мы неоднокраiho говорили в предыдущих параграфах, и записать
dW} %=丽.
dW} %=丽.
(3.77)
Таким образом, в теле, удовлетворяющем условиям течения, выражаемым уравнениями (3.64) и (3.65), смещение 力 точки приложения сосредоточенной силы Q^ равно частной производи ной от дополнительной работы IF； напряжений внутри тела по этой силе. Эта теорема аналогична теореме, доказанной Ка- стильяно для энергии деформации упругого тела!), включая и те случаи, когда то или другое из смещений qi равно нулю в случае неподвижных опор статически неопределимой системы или когда не варьируются граничные напряжения, 6IF； = 0, так что равенство
6IFf = 0(3.78)
выражает теорему минимума дополнительной работы).
Мы не станем здесь приводить доказательство того, что принцип возможных перемещений, выражаемый равенством (3.72), d(Wi—吃)=0, и принцип дополнительной работы, вы-
ражаемый равенством (3.78), 6取? = 0, для материала, течение которого определяется соотношениями (3.64) и (3.65), обеспечивают минимум W{—Wе и Wi соответственно в состоянии устойчивого равновесия тела ).
Мы не станем также показывать в общем виде, что упомянутые выше две теоремы о минимуме справедливы и для произвольного упругого несжимаемого тела, характеризующегося следующей связью между напряжениями и деформациями:
de* = 3G【"о* — (1 /2)("% + do/, ..., ~丫亦=~q , • • •,
dx(3.7£)
to = f(Yo)， G =
где деформации %, ..., 丫⑺• •. теперь представляют собой бесконечно малые обратимые упругие деформации;呼〃 w\——восстановимые энергии деформации. Кроме того, мы не будем показывать, что эти теоремы применимы к скоростям %,历； изменения основной и дополнительной работы, диссипируемой в произвольной вязкой среде, характеризующейся соотношениями
d©% ~ [dcr* — (1 /2) (d(jg + dcrj], •. •, d%z = ~~ , • • •,
(3・80)
при помощи которых (после интегрирования) можно описывать медленную ползучесть при повышенных температурах податливых металлов, считая коэффициент вязкости 卩 зависящим от напряженного состояния и скорости деформации.
Эти экстремальные принципы могут найти многообещающие приложения 8 теории изгиба гибких балок из материала, деформирующегося в соответствии с любым из трех законов (3.64), (3.79) и (3.80) соответственно.
Чтобы продемонстрировать несколько таких практических приложений на примерах, допускающих точные вычисления,
предположим, что /(у0) и /(#о) записываются в виде степенных функций соответствующих аргументов 丫。и ^о
"о = f(Yo) = %丫的 или % = f (%) = %愈/“(п>1). (3.81)
Относительно ползучести металлов при повышенных температурах попутно добавим, что экспериментальные данные по долговременным испытаниям на ползучесть в разумном диапазоне скоростей остаточных деформаций ползучести подтверждают справедливость выражений (3.80) и (3.81). Это оправдывает рассмотрение здесь степенных зависимостей в особенности потому, что для степенной зависимости с2уо1/л можно найти решения при более сложных напряженных состояних, чем те, которые встречаются при простом изгибе балок. Рассматриваемые теории для трех названных выше типов твердых тел оказываются вполне аналогичными в том смысле, что приводят к одинаковым распределениям напряжений при одних и тех же способах нагружения и при одинаковых формах тел.
Поскольку случай изгиба балок связан просто с одноосным напряженным состоянием, мы можем одинаково легко сформулировать все три закона деформации следующим образом, записав связь нормального напряжения о с малой пластической, либо упругой деформациями, либо со скоростью деформирования © в точках некоторого поперечного сечения балки: случаи 1 и 2
о = О0е1/% или е = (оКо)"(и > 1),(3.82)
случай 3
о = с》т или © = (о7с)"(и > 1).(3.83)
Здесь случай 1 относится к деформационно-упрочняющемуся телу (величина е равна пластической деформации), случай 2 — к упругому (величина е равна упругой обратимой деформации), случай 3 — к вязкому (величина 自 равна скорости изменения остаточной деформации); о。，с, /г —заданные постоянные материала 1).
В В случае 2, когда мы имеем дело с упругим материалом, коэффициент пропорциональности Оо=Е обозначает переменный модуль упругости, а в случае 3 ради краткости мы для вязкой среды записали G=c»1n вместо более удобного выражения
偿户，e=喃叫 (3.84)
раскрывающего размерность с
Читатель может проверить, что для несжимаемого материала с функцией ф, зависящей gt напряжения или деформации, модуль сдвига G и коэффициент вязкости “, введенные в равенства (3.65), (3.79) и (3.80), выражен-
Имея в виду применение в дальнейшем случая 1 деформационному прочняющегося тела к изгибу балок), перечислим кратко несколько необходимых элементарных формул из теории изгиба балок, основанной на обычном допущении, что после того, как балка слегка изогнется, ее плоские сечения останутся плоскими. С этой целью рассмотрим балку с прямоугольным поперечным сечением шириной Ь, высотой 2力 и моментом инерции 7=(2/3)Ь%з, отнесенным к центральной оси, параллельной стороне Ь. Мы считаем, что изгиб балки происходит в плоскости, совпадающей с другой осью симметрии прямоугольного сечения. Обозначим через % расстояние некоторого поперечного сечения от одного из концов балки, через / ——длину балки, через у ——
ные через законы деформирования при одноосном напряженном состоянии, представленные уравнениями (3.82) и (3.83), определяются соотношениями
и, следовательно,
•ф 「de пе^1^Oog-S-D/九
3卩=
соответственно.
Ранее было отмечено, что физический закон, подобный представленному уравнениями (3.82) и (3.83) при показателе 几〉1, теряет силу в точке е=п=0, так как здесь Е, G или 卩 становятся бесконечно большими в противоречии с экспериментальными фактами, требующими также в случаях, когда материал ведет себя одинаково при растяжении и сжатии, чтобы о=/(е) или o=f(©) были нечетными функциями 8 или 8. При 拉，не равном целому нечетному числу, уравнение (3.32) для отрицательных 8 должно записываться в виде
о= —Оо(—е)"72 при е < 0 (仇〉0),
Выбор степенных функций не мешает, однако, рассмотрению других простых типов функций, более подходящих при формулировке законов деформирования для целей удовлетворения точно определенным экспериментальным фактам, скажем для устранения первого упомянутого недостатка использования чисто степенных функций путем добавления слагаемого, пропорционального напряжению. Например, можно ввести вместо соотношения (3.82) функцию
прогиб, через г——расстояние точки Р от нейтральной оси пп поперечного сечения (рис. 3.8) и через е】и о】——деформацию и напряжение изгиба в крайних волокнах z = h этого поперечного
Рис. 3.8. Пластический изгиб балки.
сечения. Если деформацию 8 и напряжение о в некоторой точке 尸(％, г) балки выразить соотношениями
е = o = o()f®,(3.85)
то для изгибающего момента М после подстановки z = 〃£/£] и а из предыдущего уравнения и использования равенства /= (2/з)力力3 получим
M = 2b fozdz =導 f『(E)EdE.(3.86)
о福0
Поскольку величина М обычно есть известная функция от х вдоль балки, то соотношение (3.86) показывает, что изгибающий момент М 6 балке можно выразить двумя кривыми: графиком зависимости М от координаты % вдоль балки (кривая а) и графиком зависимости М от деформации 白(кривая б) крайних волокон (рис. 3.9), т. е.
М =®),尸®)=扌 у ⑻Е血.(3.87)
Эти две кривые для М, вообще говоря, позволяют найти зависимость деформации 81 от координаты %, &i =(p(%), если известен закон связи между напряжениями и деформациями о = оо/(е); даже когда последний закон известен только эмпирически, это можно выполнить графическим построением (см. кривую 6 на рис. 3.9),“
Так как для малых прогибов кривизна d2y/dx2 изогнутой оси балки равна
d2y . £]. 屮(％)/о оо\
уравнение для прогибов который деформируетсяуравнение для прогибов который деформируется凉=±Т=±Т，(3・88)
уравнение для прогибов который деформируется
уравнение для прогибов который деформируется
то мы получаем дифференциальное балки, изготовленной из материала, согласно закону сг = оо/(£).
Рис. 3.9. Изгибающие моменты М и деформация % балккРис. 3.9. Изгибающие моменты М и деформация % балкк
Рис. 3.9. Изгибающие моменты М и деформация % балкк
Рис. 3.9. Изгибающие моменты М и деформация % балкк
Если закон связи между напряжениями и деформациями о = Оо/(е) [уравнения (3.85)] выражается в соответствии с уравнениями (3.87) степенной функцией
о = аое1/п,(3.89)
то изгибающий момент определяется выражением
И
е11
F(5)=砰2 J m+1)/%如=券口 .(3.90)
о
Постоянный множитель при е{/п имеет размерность момента, и его можно сокращенно обозначить посредством
3/ш°/_ 2nbh2ciQ
(2〃 + 1)力=2〃 + 厂
Постоянную Мо можно истолковать как фиктивный постоянный изгибающий момент, который в прямоугольном сечении балки
для крайних волокон (% =力)создавал бы деформацию %=1 и напряжение oi = g。. Мы видим отсюда, что для степенного закона [уравнение (3.89)] деформация 白 и напряжение о】в крайних волокнах балки выражаются равенствами
(3.92)(3.92)
(3.92)
(3.92)
которым в предположении, что значения М на всем протяжении балки положительны, отвечает следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси):
d2ydx2d2ydx2(3.93)(3.93)
d2y
dx2
d2y
dx2
(3.93)
(3.93)
Если прогибы у уже найдены для некоторой заданной системы нагрузок, то из уравнения (3.93) видно, что при умножении всех сил на общий множитель 力 без изменения их отношений друг к другу прогибы балки становятся в 尼九 раз больше. Каждая сила возрастает с прогибом у^ производимым ею в точке своего приложения, как уУп, т. е. увеличивается в такой же степени, е какой изменяется напряжение Q =(j^ln с деформацией 8 при условии, что отношения нагрузок друг к другу не изменяются; это справедливо также в случае, когда увеличивается в 尼 раз распределенная нагрузка p = f(%).
Работа на единицу объема, соответствующая закону связи между напряжением и деформацией o = oo£im, равна
①=J о 旅=—^jTj—,(3.94)
о
а дополнительная работа на единицу объема равна
,「 г а е(»+1)/п з
①=£ do =—=—・(3.95)
о
Поскольку дифференциал работы dWh необходимой для изгиба элемента балки длиной dx и объемом 2bh dx, равен
(3.96)(3.96)dWi = 2b dx ^ ① dz = "^ J cd de,
(3.96)
(3.96)
то после подстановки сюда co из соотношения (3.94), интегрирования и использования равенств (3.92) получаем, что работа деформирования при изгибе балки равна
陷=百% j同""記抬j (襦户d%=〃既.(3.97)
Мы видим, теперь, что если постулируется степенной закон, то с учетом равенства ^ = а)/п дополнительная работа Wt равна основной работе деформации, деленной на показатель п.
Применим второй принцип работы к нескольким случаям изгиба.
Пример 1. Найти прогиб под сосредоточенной нагрузкой Q в свободно опертой балке. Обозначив через а】и а2 расстояния от нагрузки до концов балки (Oi + O2=/) и через %i и %2 координаты, отсчитываемые от левого и
Рис. 3.10. Опертая по концам балка, нагруженная сосредоточенной силой Q.Рис. 3.10. Опертая по концам балка, нагруженная сосредоточенной силой Q.
Рис. 3.10. Опертая по концам балка, нагруженная сосредоточенной силой Q.
Рис. 3.10. Опертая по концам балка, нагруженная сосредоточенной силой Q.
правого концов балки (рис. 3.10), получаем, что, согласно соотношению (3.97), дополнительная работа равна
(3.98)
а прогиб у под нагрузкой Q на основании равенства (3.77) находится вычислением частной производной от М： по Q:
(3.99)
Но M = Qa2xi/l, dMldQ==a2Xill при 0<Xi<tzh a M=Qa@2ll, dM/dQ^a^/l при 0<%2<@2, следовательно,Но M = Qa2xi/l, dMldQ==a2Xill при 0<Xi<tzh a M=Qa@2ll, dM/dQ^a^/l при 0<%2<@2, следовательно,чточтоЕсли никающее при действии нагрузкиЕсли никающее при действии нагрузкив балке, воз- то, так как Qaia2/l представляет со-в балке, воз- то, так как Qaia2/l представляет со-(3.100)(3.100)и находим,и находим,(3.101)(3.101)(3.102)(3.102)
Но M = Qa2xi/l, dMldQ==a2Xill при 0<Xi<tzh a M=Qa@2ll, dM/dQ^a^/l при 0<%2<@2, следовательно,
Но M = Qa2xi/l, dMldQ==a2Xill при 0<Xi<tzh a M=Qa@2ll, dM/dQ^a^/l при 0<%2<@2, следовательно,
что
что
Если никающее при действии нагрузки
Если никающее при действии нагрузки
в балке, воз- то, так как Qaia2/l представляет со-
в балке, воз- то, так как Qaia2/l представляет со-
(3.100)
(3.100)
и находим,
и находим,
(3.101)
(3.101)
(3.102)
(3.102)
бой максимальный изгибающий момент, на основании соотношений (3.92) получаем
Пример 2. Дополним теперь предыдущее рассмотрение полным вычислением формы изогнутой балки, нагруженной сосредоточенной силой Q, для чего проинтегрируем дифференциальные уравнения для прогибов у\ и 圾 левого и правого пролетов балки. Используем равенство (3.93), которое дает
d2y2d2y2(3.103)(3.103)
d2y2
d2y2
(3.103)
(3.103)
где через с。обозначена величина
(3.104)(3.104)
(3.104)
(3.104)
Интегрируя уравнения (3.103) и соответствующим образом подбирая их интегралы при Х1 = @1, %2=。2, находим
办=(М為V2) { [1 +(〃 + 喏]» 偿)}(。& % V 勾)(3.105)
и подобное выражение для р2, получающееся заменой хь 〃i на х2, а2- Если в предыдущем равенстве положить %i = ai, то, конечно, получится результат, даваемый равенством (3.100) и найденный при помощи вариационного принципа работы ])-
1) А если положить показатель степени я = 1, так что о=оое=£Е, то все предыдущие формулы совпадут с хорошо известными формулами элементарной теории изгиба упругих балок, обладающих постоянным модулем упругости 瓦
Таким образом, свободно опертая балка, несущая сосредоточенную на- грузку Q в центре %=〃2 ее пролета длиной /, прогибается в соответствии с уравнением (3.105) (полагаем х^ — х, у\=у, ai = а2=//2) следующим образом:
УУУтп + 1Утп + 1[(и+2)|-[(и+2)|-(0&%&а),(3.106)(0&%&а),(3.106)
У
У
Ут
п + 1
Ут
п + 1
[(и+2)|-
[(и+2)|-
(0&%&а),(3.106)
(0&%&а),(3.106)
где ут — максимальный прогиб,
4 (〃 + 2)九4 (〃 + 2)九〃/24 (拉+ 2)力•〃/24 (拉+ 2)力•(3.107)(3.107)
4 (〃 + 2)九
4 (〃 + 2)九
〃/2
4 (拉+ 2)力•
〃/2
4 (拉+ 2)力•
(3.107)
(3.107)
Используя выражение для изгибающего момента M=(〔/2)Q%, находим, что деформация изгиба 白 и напряжение изгиба Oi в крайних волокнах г=А изменяются по закону
呀嵐、阖\呀嵐、阖\°i°iОоМWОоМW(3.108)(3.108)
呀嵐、阖\
呀嵐、阖\
°i
°i
ОоМW
ОоМW
(3.108)
(3.108)
Интересно сопоставить формы изогнутых линий для последнего случая при увеличении показателя степени п в законе деформации £=(о/(Го)п・ Кривые,
Рис. 3.11. Прогибы балки, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой Q, соответствующие закону деформирования е = (о/о。)" для /г = 1, 2, 4 и 6.Рис. 3.11. Прогибы балки, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой Q, соответствующие закону деформирования е = (о/о。)" для /г = 1, 2, 4 и 6.
Рис. 3.11. Прогибы балки, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой Q, соответствующие закону деформирования е = (о/о。)" для /г = 1, 2, 4 и 6.
Рис. 3.11. Прогибы балки, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой Q, соответствующие закону деформирования е = (о/о。)" для /г = 1, 2, 4 и 6.
представляющие прогиб у и деформацию ei крайних волокон (ординаты 81 образуют то, что мы назвали «искаженным» веревочным многоугольником для изгибающего момента, и пропорциональны кривизнам d2y/dx2 изогнутой линии), для значений показателя степени 〃=1, 2, 4 и 6 приведены на рис. 3.11 и 3.12. Они построены для одних и тех же значений ут и 印，max [отвечающие им силы Q и напряжения изгиба можно найти из равенств (3.107)]. Видно, что чем больше показатель степени п в законе деформации е= (о/оо)п, тем острее кривая остаточных прогибов балки вблизи места
приложения нагрузки Q и тем сильнее пластический изгиб концентрируется в части балки, примыкающей к нагрузке !).
Пример 3. Рассмотрим балку длиной /, изгибаемую приложенными на концах двумя равными моментами М\ и сосредоточенной силой Р в середине;
опоры на концах действуют как шарниры без трения. Определим кривые увеличения максимального прогиба с нагрузкой Р и моментами Л4Ь т. е.
характер кривых, о которых шла речь в связи с рис. 3.6, 3.7. Выразим моменты Mi и центральные силы Р двумя безразмерными параметрами
ЛЛРа
Мо2Мо
(рис. 3.13) и положим а = 〃2. Дифференциальное уравнение для прогиба у легко интегрируется при 0«%&а с использованием выражения для изги*
При п, стремящемся к бесконечности, обе половины балки остаются практически прямыми, не участвуя в изгибе нигде, за исключением малой окрестности Q. Предельный случай для закона деформации /г -> оо сам по себе вполне оправдан, так как о становится постоянной, (J = o()=const (что отвечает идеально пластичной среде, деформирующейся при постоянном напряжении текучест и (Уо) при рассмотрении пластических деформаций и распределения напряжений вблизи центрального сечения. Однако переход к пределу 拉一>оо имеет мало смысла, поскольку он означает в конце концов концентрацию течения материала в тончайшем слое (при условии, что упругая часть деформации исключается). В следующем параграфе будет показано, каким образом можно распространить только что рассмотренный принцип минимума работы на случай упруго пластичной среды, причем так, чтобы получалось правдоподобное распределение напряжений в окрестности места приложения нагрузки Q.
бающего моментабающего момента
бающего момента
бающего момента
М = Мх + -~ Рх = М^^пг + р 計,
〃1(丄〃1(丄~ 7Г~~И~ 7Г~~И
〃1(丄
〃1(丄
~ 7Г~~И
~ 7Г~~И
После интегрирования получаем выражение
"-(九 + 1)(九 + 2)如 2"-(九 + 1)(九 + 2)如 2тп+2 + (п + 2) (т + р严1 р~ — ^m + p ~j
"-(九 + 1)(九 + 2)如 2
"-(九 + 1)(九 + 2)如 2
показывающее, что максимальный прогиб балки при х~а равен
а
"max =(九+1)(〃 + 2)勿72
{mn^2 + [(n + l)p-m] (т + р)л+1}.
Если момент Mi приравнять нулю, т=0, то два последних уравнения совпадут с уравнениями (3.106) и (3.107) предыдущего примера, так что при т—0 получаем
呐2
(拉+ 2)九'
но если нулю приравнивается нагрузка Р, р=0, то получается неопределенность вида 0/0.
После раскрытия неопределенности находим выражения
тпа2 J %
тпа2
"max = — 2 九'
показывающие, что, когда силы р или моменты m действуют порознь, максимальный прогиб балки возрастает как п-я степень р или /и соответственно, а когда р и m действуют одновременно, это простое правило не выполняется. Однако Утах МОЖНО ПреДСТЗВИТЬ ПО- верхностью ymax=F(m, р), НЗ которой последовательности нагружений соответствует некоторая восходящая кривая. В противоположность случаям,когда деформации росли до конечных величин, которые мы изучали в
О
Рис. 3.14. Поверхность, представляющая максимальный прогиб балки, одновременно изгибаемой моментами Мх и сосредоточенной нагрузкой Р в середине пролета.
По осям отложены m = MJMq, р = Pa/2MQ н Umax・
предыдущей главе, мы замечаем здесь, имея
дело с бесконечно малыми деформациями, что прогибы и основная и дополнительная работы деформации 呼/ и 呼订 совершаемые в балке, однозначно определяются конечными значениями параметров нагружения тир независимо от пути нагружения. Дифференциалы этих работ dW； и dW^ являются
М =叮[(〃+ Q) %-р%2],М =叮[(〃+ Q) %-р%2],衣~ =万ПРИ 0 < х < Z/2,衣~ =万ПРИ 0 < х < Z/2,
М =叮[(〃+ Q) %-р%2],
М =叮[(〃+ Q) %-р%2],
衣~ =万ПРИ 0 < х < Z/2,
衣~ =万ПРИ 0 < х < Z/2,
полными дифференциалами по отношению к переменным параметрам нагружения m и Р・ На рис. 3.14 показана форма поверхности jmax=F(加,р) в случае показателя 〃=2 для закона деформации 8= (а/ао)2, когда получается уравнение поверхности второго порядка !)
^тах =例(6m2 + 8mp + 3户).
Пример 4. Найти максимальный прогиб в свободно опертой балке, подвергающейся действию равномерно распределенной нагрузки р=const Чтобы использовать второй принцип работы, допустим что вдобавок к распределенной нагрузке р в середине пролета %=〃2 приложена сосредоточенная сила Q, действующая в том же направлении, что и р. Так как
_2 弘наX =万_2 弘наX =万"max =設^/К?] «Л+1 (\-U)n du."max =設^/К?] «Л+1 (\-U)n du.При 几=2 получаемПри 几=2 получаем=5р/4Утах = 384" ТУ •=5р/4Утах = 384" ТУ •
_2 弘наX =万
_2 弘наX =万
"max =設^/К?] «Л+1 (\-U)n du.
"max =設^/К?] «Л+1 (\-U)n du.
При 几=2 получаем
При 几=2 получаем
=5р/4
Утах = 384" ТУ •
=5р/4
Утах = 384" ТУ •
то из уравнения (3.99) находим //2
Полагая Q=0 и 〃=%// (0&〃久 ％), получаем 1/2
где интеграл можно вычислить путем разложения подинтегрального выражения в степенной ряд по 〃， что мы здесь не будем делать. При 〃 целом, 〃=1, 2, ..., ряд обрывается и интеграл легко можно подсчитать численно. Считая п=1 и записывая о=Оо£=Е£, что соответствует упругому материалу, находим в согласии с элементарной теорией упругого изгиба
Пример 5. Рассмотрим статически неопределимый случай изгиба балки, покоящейся на трех опорах и изгибаемой в двух равных по величине пролетах равномерно распределенной нагрузкой p=const. Если бы балка опиралась по концам на две опоры Я и С (рис. 3.15) и в се середине В была бы приложена сосредоточенная сила Q, направленная противоположно р, то, согласно равенствам (3.77) и (3.98), прогиб у в точке В под действием Q и р получился бы равным
1) Уравнение (а) показывает, как неправильно было бы складывать прогибы, создаваемые отдельно моментами т и силами р, ошибочно предполагая справедливость принципа суперпозиции, что равносильно неучету среднего члена в уравнении (а).
Рассматривая Q как реакцию, создаваемую средней опорой В, получаем условие для ее определения из требования, чтобы у обращался в нуль, т. е.
о
Снова вводя х//=〃，мы видим, что изгибающий момент
m=哆[(1-勖"1]‘ 。
обращается в нуль, когда 〃 принимает значение
и становится отрицательным при "oVuQ% Таким образом, интеграл в равенстве (а) можно разбить на две части следующим образом:
「«о%~|
备1"*%+«[(-m严 d" 卜
Lo«о」
Г也%
0.0.= 6 + 1)j(-М嚅八
0.
0.
Lo«о
1 дМpl d〃o1 дМpl d〃oluluПодставляя сюда
1 дМpl d〃o
1 дМpl d〃o
lu
lu
м =(〃о〃 —必)，=
получаем, что условие (а) приобретает вид
«о%
⑹⑹J (〃о - 〃)" "”+i du= ^ (〃 - 〃о)〃 〃“+i d〃，
⑹
⑹
о
откуда определяется нензвестнаа «о нпн снла реакции Q=p/(1—wo)・
При иррациональном п интеграл можно разложить в ряд по степеням “о, чего мы не рассматриваем. Но чтобы проиллюстрировать это на простом примере, предположим, что п равно двум. Мы получаем в этом случае из предыдущего условия, что
т. е. уравнение шестой степени для 〃"
64啸一ЗО* + 24〃0 — 5 = 0, решая которое методом подбора, находим приближенное выражение его корня
〃о = 0,386, Q = 0,614р/.
Отсюда видно, что при законе связи между напряжением и деформацией а = а0 У^б центральная опора В несет 61 % полной нагрузки р/, изгибающей оба пролета сплошной пластичной балки, покоящейся на трех опорах.
Если бы мы взяли 〃=1, отвечающее случаю идеально упругого материала а = аое = £，е, то в согласии с теорией упругих балок нашли бы из уравнения (б) значение «o = 3/s = O,375 и Q= (5/s) р/=0,625 р/; мы можем” заметить, что оба упомянутых результата получаются удивительно близкими.
В заключение можно сказать, что предыдущие формулы и выражения для неупругих прогибов в сходных случаях изгиба балок и стержней, выведенные исходя из принципа минимума дополнительной работы, могут, по-видимому, быть полезными 6 связи с другими приложениями для определения скорости медленного прогибания металлических балок, нагружаемых при /ювышенных температурах, если применить для описания ползучести последний закон деформирования, выражаемый уравнением (3.83).
Способ вычисления скоростей медленного прогибания стержней под влиянием ползучести заключается просто в написании точек над прогибами и замене в уравнениях (3.84) о。на постоянную с = Оо圖".Очень близкая теория ползучести, вероятно заслуживающая некоторого внимания, может быть также основана на использовании вместо степенных функций, входящих в закон (3.83), закона гиперболического синуса для ползучести у0 = ^*sh(т0/т*)(у*, т* — постоянные для материала).
Принципы минимальной работы для упруго пластичной среды без упрочнения. Обратимся к изучению идеально пластичной среды, в которой мы, однако, хотим теперь учесть также и упругую часть деформации, постулируя закон деформации [уравнения (3.65)] в виде соотношения to=f(Yo), которому соответствует ломаная линия, состоящая из круто наклоненного прямолинейного участка в диапазоне упругих деформаций
^о = тууо/Ту при —уу < у0 < уу (Yg = T“/G— деформация сдвига на пределе текучести, ту ——предел текучести) и двух горизонтальных прямых т0= ±Ту = const в пластической области (рис. 3.16). При достаточно высоких нагрузках в теле возникнут некоторая упругая и пластическая области или ряд областей с пластическими деформациями.
Считая, что смещениям дается небольшая вариация 6〃, би, 6w, можно к такой среде применить принцип возможных перемещений. Полная внутренняя работа 呼厶 совершаемая напряжениями в теле, будет складываться из двух частей: из работы,
Рис. 3.16. Закон „напряжение — деформация**.
То — октаэдрическое напряжение； Yo - октаэдрическая деформация сдвига.
которая может быть запасена и затем восстановлена, т. е. из энергии упругой деформации Wie, и из работы Wip, потерянной на создание остаточного искажения в элементах материала, в которых имела место текучесть. Далее, если обозначить через We работу, совершаемую внешними силами (нагрузками) и граничными напряжениями на поверхности тела, то принцип возможных перемещений выразится в виде
dWie + 6Wip 一 6We = 0.(3.109)
Внутреннюю работу можно найти вычислением объемного инте= гр ал а
j ^dV.
Заметим, что с учетом равенств (2.18) энергия упругой деформации на единицу объема(ое равна
(3/2) £е22/о 11
% =+(3.110)
и что второй член в этом выражении, представляющий приходящуюся на единицу объема энергию формоизменения, имеет
в области течения постоянное значение, равное ^ Gy^ = const, поскольку октаэдрическая упругая деформация сдвига 丫。в точке текучести т0 = ту = const постоянна и равна yo = yP = ry/G всюду, где в теле происходит течение. В то же время удельная работа о)Р, затраченная на создание остаточной части деформации, равна
4 / ^0 dyQ = ~(yQ-yy).4 / ^0 dyQ = ~(yQ-yy).(3.111)(3.111)
4 / ^0 dyQ = ~(yQ-yy).
4 / ^0 dyQ = ~(yQ-yy).
(3.111)
(3.111)
Поэтому внутренняя работа находится вычислениемПоэтому внутренняя работа находится вычислениеминтеграловинтегралов
Поэтому внутренняя работа находится вычислением
Поэтому внутренняя работа находится вычислением
интегралов
интегралов
(3.112)(3.112)
(3.112)
(3.112)
где левый интеграл должен браться по всему объему тела с учетом только что сделанной оговорки, а правый ——только по тем участкам объема, где происходит течение.
Дополнительная удельная упругая энергия со^ = сое равна ①^
во всем теле при условии, что чина 片 в равенстве (3.110)во всем теле при условии, что чина 片 в равенстве (3.110)в пластических областях вели- полагается равной 丫^ = const.
во всем теле при условии, что чина 片 в равенстве (3.110)
во всем теле при условии, что чина 片 в равенстве (3.110)
С другой стороны, мы видим, что суммарная дополнительная работа IF；, необходимая для деформации тела, состоящего из упруго пластичной среды (в которой есть упругая и пластическая зоны), просто равна запасенной в теле полной упругой энергии Wie): •
Wi =Wie= j ①edkWi =Wie= j ①edk(3.113)(3.113)
Wi =Wie= j ①edk
Wi =Wie= j ①edk
(3.113)
(3.113)
_0吃。_0吃。Те рассуждения, которые привели нас к уравнениям (3.77), в равной степени применимы и к рассматриваемому здесь материалу. Если действуют сосредоточенные силы Q?・，то мы видим, что смещения их точек приложения в направлении действия сил определяются из соотношений
_0吃。
_0吃。
(3.114)
и что 8 тех случаях варьирования состояния внутренних напряжений, когда граничные напряжения не варьируются, действительные напряжения, отвечающие решению задачи для упруго пластичной среды, г— это те, которые обеспечивают равенство
bWie = 0, (3.115)
или те, для которых запасенная в теле энергия упругой деформации минимальна.
Эта теорема аналогична теореме о наименьшей энергии, рассмотренной в § 3.1 [выражение (3.41)] для упругого материала 4). Мы неявно предположили, что пластическая часть деформации не приводит к изменению объема и что вариации таковы, что процесс течения нигде не прерывается.
Рассмотрим несколько примеров, взятых из теории- изгиба балок, предполагая теперь, что выполняется соотношение между напряжениями и деформациями 〃ля идеальной упруго пластичной среды а=(Го/(е). Согласно
Впервые этот вариационный принцип рассмотрели Хаар и Карман (Н а а г A., Karman Т., Zur Theorie der Spannungszustande in plastischen und sandartigen Medien, Nachr. Ges. Wiss., G6ttingen, p. 204—218, 1909; имеется русский перевод в сб. «Пластичность», ИЛ, М., 1948) применительно к пластичной среде, для которой они, однако, считали справедливым критерий Треска и Сен-Венана максимального касательного напряжения, и в связи с задачами равновесия сыпучих материалов (песок, грунт), предполагая что в обоих типах сред имеют место упругие деформации. Следуя идеям, высказанным в лекциях математика Феликса Клейна, они показали в этой статье, что для упругой среды можно вывести линейную связь между напряжениями и деформациями (закон Гука), а также три условия совместности компонент деформации из условия минимума энергии деформации, рассматривая его в соответствии с правилами классического вариационного исчисления как задачу об условном экстремуме для выражающего энергию деформации определенного интеграла с тремя дополнительными условиями равновесия напряжений. Этот последний метод они попытались распространить на два упомянутых выше типа сред.
Идя тем же путем, Генки (Н е n с к у Н., Zur Theorie plastischer Deforma- tionen und der hierdurch in Material hervorgerufenen Nachspannungen, Z. an- gew. Mathem, und Meeh., 4, 323—334 (1924)； имеется русский перевод в сб. «Пластичность», ИЛ, М., 1948) показал, что при определенных ограничениях из условия минимума энергии упругой деформации 6呼》= 0, дополненного тремя условиями равновесия напряжений и условием пластичности то=const, можно вывести связь между напряжениями и деформациями (см. т. 1, уравнение (24.21), А = (%)2力о, стр. 438, то, что мы назвали синтезом малых упругих и остаточных деформаций) в упруго пластичной среде без упрочнения, а именно связь, приложимую к тем случаям течения, когда главные направления тензоров напряжения и упругой и пластической деформации во все время течения совпадают. Рассмотрев снова методами вариационного исчисления указанные задачи об условном экстремуме и остроумно определив компоненты смещения и переменный модуль пластичности как четыре лагранжевых множителя, Генки сумел вывести соотношение между напряжениями и деформациями в случае упруго пластичной среды, De = (l/2)i|)Da (уравнение (24.21), т. 1).
(3.116)(3.116)
(3.116)
(3.116)
рис. 3.16 для одноосного нагружения, имеем
£ & — £°,
—£о & Е & £о,
£()& £,
Рис. 3.17. Изгибающий момент М в зависимости от деформации £卜Рис. 3.17. Изгибающий момент М в зависимости от деформации £卜Используя обозначения из § 3.3 и считая, что поперечное прямоугольное, bX2h, найдем, что изгибающий момент, при нается течение в крайних волокнах г— ±Л, равенИспользуя обозначения из § 3.3 и считая, что поперечное прямоугольное, bX2h, найдем, что изгибающий момент, при нается течение в крайних волокнах г— ±Л, равенсечение балки котором начи-сечение балки котором начи-恤T・恤T・(3.117)(3.117)Если снова обозначить деформацию и напряжение при z—h то, согласно равенствам (3.85) и (3.86), изгибающий момент, сечение может нести, выражается следующим образом:Если снова обозначить деформацию и напряжение при z—h то, согласно равенствам (3.85) и (3.86), изгибающий момент, сечение может нести, выражается следующим образом:через 81 и 5, который такоечерез 81 и 5, который такоепри ~£0 < ^1 < е0,при — е0 > 8i > 80при ~£0 < ^1 < е0,при — е0 > 8i > 80(3.118)(3.118)в зависимости от того, деформируется данное сечение только упруго илп частично течет в своих внешних частях —h<z<——z0 и zo<2</i 9-в зависимости от того, деформируется данное сечение только упруго илп частично течет в своих внешних частях —h<z<——z0 и zo<2</i 9-i) Это определяет показанную на рис. 3.17 нечетную функцию зависимо' ст и М от £i, характеризующуюся двумя горизонтальными асимптотами М== =± (3/2) Мо, соответствующими максимальному изгибающему моменту, который может выдержать балка, когда ее поперечное сечение полностью охвачено течением.i) Это определяет показанную на рис. 3.17 нечетную функцию зависимо' ст и М от £i, характеризующуюся двумя горизонтальными асимптотами М== =± (3/2) Мо, соответствующими максимальному изгибающему моменту, который может выдержать балка, когда ее поперечное сечение полностью охвачено течением.где £ ——полная (упругая плюс остаточная) деформация; о。——предел текучести при растяжении; s0=(yc/E — упругая деформация в точке текучести.
Рис. 3.17. Изгибающий момент М в зависимости от деформации £卜
Рис. 3.17. Изгибающий момент М в зависимости от деформации £卜
Используя обозначения из § 3.3 и считая, что поперечное прямоугольное, bX2h, найдем, что изгибающий момент, при нается течение в крайних волокнах г— ±Л, равен
Используя обозначения из § 3.3 и считая, что поперечное прямоугольное, bX2h, найдем, что изгибающий момент, при нается течение в крайних волокнах г— ±Л, равен
сечение балки котором начи-
сечение балки котором начи-
恤T・
恤T・
(3.117)
(3.117)
Если снова обозначить деформацию и напряжение при z—h то, согласно равенствам (3.85) и (3.86), изгибающий момент, сечение может нести, выражается следующим образом:
Если снова обозначить деформацию и напряжение при z—h то, согласно равенствам (3.85) и (3.86), изгибающий момент, сечение может нести, выражается следующим образом:
через 81 и 5, который такое
через 81 и 5, который такое
при ~£0 < ^1 < е0,
при — е0 > 8i > 80
при ~£0 < ^1 < е0,
при — е0 > 8i > 80
(3.118)
(3.118)
в зависимости от того, деформируется данное сечение только упруго илп частично течет в своих внешних частях —h<z<——z0 и zo<2</i 9-
в зависимости от того, деформируется данное сечение только упруго илп частично течет в своих внешних частях —h<z<——z0 и zo<2</i 9-
i) Это определяет показанную на рис. 3.17 нечетную функцию зависимо' ст и М от £i, характеризующуюся двумя горизонтальными асимптотами М== =± (3/2) Мо, соответствующими максимальному изгибающему моменту, который может выдержать балка, когда ее поперечное сечение полностью охвачено течением.
i) Это определяет показанную на рис. 3.17 нечетную функцию зависимо' ст и М от £i, характеризующуюся двумя горизонтальными асимптотами М== =± (3/2) Мо, соответствующими максимальному изгибающему моменту, который может выдержать балка, когда ее поперечное сечение полностью охвачено течением.
Далее, энергия упругой деформации сое, приходящаяся на единицу объема в точке х, г, и интеграл
л
I Зе da,
о
взятый по половине высоты поперечного сечения, будут равны
О < £1 < е0,О < £1 < е0,80 < 8h80 < 8h(3.119)(3.119)
О < £1 < е0,
О < £1 < е0,
80 < 8h
80 < 8h
(3.119)
(3.119)
Используем эти значения для вычисления дифференциала dWie энергии упругой деформации, запасаемой при изгибе в элементе балки длины dx.
dWie = 2& dx J ®edz,0dWie = 2& dx J ®edz,0(3.120)(3.120)
dWie = 2& dx J ®edz,0
dWie = 2& dx J ®edz,0
(3.120)
(3.120)
Рис. 3.18. / — пластическая;2 — упругая.Рис. 3.18. / — пластическая;2 — упругая.6161
Рис. 3.18. / — пластическая;
2 — упругая.
Рис. 3.18. / — пластическая;
2 — упругая.
61
61
который для краткости будем в дальнейшем обозначать dW.
Пример 1. Определить угол поворота ф произвольного сечения консольной балки, однородно изгибаемой моментом Л4>Мо, вызывающим в балке частичное течение (рис. 3.18). Исполь
зуя справедливое при £〉£о второе вы- п
раженне для интеграла j о? &% из со- о
отношений (3.119), находим из равенства (3.120), что поскольку 81 и М не зависят от х, то
步=o()b〃£o% (1 — ^~^ =
=承卜若).(3•⑵)
Подставляя сюда для отношения £。/5 его значение, найденное из второго выражения для М, данного в равенствах (3 118), а именно
(3.122)
мы получаем, что энергия упругой деформации равна
Поэтому, согласно указанному энергетическому принципу, угол наклона равен
(3.124)(3.124)0呼£gx£j
(3.124)
(3.124)
~дМ — h 匕3-(2ММ)) — ~
Это значение уже было для прогибов у балки, вЭто значение уже было для прогибов у балки, ввычислено исходя из дифференциального уравнения которой частично развилось течение, а именно
Это значение уже было для прогибов у балки, в
Это значение уже было для прогибов у балки, в
d2y _ Eldx2 Лd2y _ Eldx2 Л=const, у=const, у£1%2£1%2中=中=dy _ j% dx hdy _ j% dx h
d2y _ El
dx2 Л
d2y _ El
dx2 Л
=const, у
=const, у
£1%2
£1%2
中=
中=
dy _ j% dx h
dy _ j% dx h
Пример 2. Найти максимальный прогиб ут в свободно опертой балке длины /, несущей в центре пролета сосредоточенную нагрузку Q, после того как началось течение !). Пусть Qo и Qm — нагрузки, при которых течение соответственно только начинается и полностью развивается в центральном сечении балки х = //2.
Замечая, что максимальный изгибающий момент равен M = Q〃4, мы получаем в силу того, что Мт= (3/2)MQ, следующие величины:
Q。=学，Ql^Ql 用.Q。=学，Ql^Ql 用.• (3.125)• (3.125)
Q。=学，Ql^Ql 用.
Q。=学，Ql^Ql 用.
• (3.125)
• (3.125)
Нагрузка Qm определяет несущую способность балки из идеально пластичного материала). Рассматривая левую сторону балки, мы видим, что при Qo<Q<Qm= (3/2)Qo течение будет распространяться от центрального сечения влево до некоторой точки с координатой %°, лежащей в интервале //2>хо>//3. Так как в сечении %=%о, M=Qxq/2=M0, то в уравнении
Q%。= 2М0 = ~^~ = constQ%。= 2М0 = ~^~ = const(3.126)(3.126)
Q%。= 2М0 = ~^~ = const
Q%。= 2М0 = ~^~ = const
(3.126)
(3.126)
нагрузка Q и длина не охваченной течением части балки %о являются взаимозависимыми параметрами, их произведение остается постоянным в процессе распространения области текучести. Далее, ординаты zo = h&o/&i кривой, ограничивающей в балке зону пластичности, лежат в области, где Ei>£o, и поэтому, согласно равенствам (3.118), изгибающий момент должен равняться
М =М =丄丄QQx=^M0QQx=^M0(3.127)(3.127)
М =
М =
丄
丄
Q
Qx=^M0
Q
Qx=^M0
(3.127)
(3.127)
откуда определяется зависимость отношения £°/£i от х. Следовательно, соотношение
2。=誉=±"]/3-器=土力]/3-^(3.128)
определяет г0 = / (х), т. е. уравнение границы пластической зоны при некоторой заданной нагрузке Q; в интервале %о&%&〃2 оно представляет обыкновенную параболу.
1Q號喩о1Q號喩оITIT(3.129)(3.129)Подсчитаем теперь энергию W упругой деформации левого пролета балки, слагающуюся из части 呼'в упруго деформированной области 0<х<х0 и части 呼〃 в частично охваченной течением области хэ<х<//2 Используя равенство (3.120), соотношение сое = аоЕ2/28о и обозначения 2hM0/&0 = 2IE, М= (1/2) Qx, находим, что часть W равна
1Q號喩
о
1Q號喩
о
IT
IT
(3.129)
(3.129)
В то же время в частично текущей области х0<х<1/2, где 81>е0, на основании соотношений (3.119) и (3.128) получаем, что часть энергии деформации 呼〃 составляет
步〃步〃9Z — 22%о + 4%о9Z — 22%о + 4%о(3.130)(3.130)
步〃
步〃
9Z — 22%о + 4%о
9Z — 22%о + 4%о
(3.130)
(3.130)
длины /(3.131)длины /(3.131)步'+步〃=步'+步〃=9Z —• 2O%o + 4%o9Z —• 2O%o + 4%oПоэтому полная энергия деформации, приходящаяся на половину балки, равна
длины /
(3.131)
длины /
(3.131)
步'+步〃=
步'+步〃=
9Z —• 2O%o + 4%o
9Z —• 2O%o + 4%o
步
Так как энергия обеих половин составляет 2W, то максимальный прогиб балки равен ym = 2dW/dQ, что после замены Q на Q = 2Mq/xq и dQ на dQ = =—2Mo dxQfxQ дает
君dW
学(3.132)
Таким образом, определяем максимальный прогиб 6 балке, частично охваченной течением,
ym = 一- 丿 J.(3.133)
Вводя сюда сосредоточенную силу Q, находим выражение
协識41。-(6 +殻)("册］'3134)
верное до тех пор, пока .厶式& < 7з и QoQ Q < VgQo-
В момент, когда в балке только начинается течение, прогиб в ее центральном сечении под действием нагрузки Qq=4MqII будет равен
Ут^ = '^i£ »(3.135)
что согласуется с элементарной теорией изгиба полностью упругой балки, а в момент исчерпания несущей способности, когда Q = Qm=3/2Qo, этот прогиб
будет равенбудет равен20
будет равен
будет равен
(3.136)(3.136)Утр = ~д~ У то = 2,22у 优 °.
(3.136)
(3.136)
Рис. 3.19. Деформация у в крайнем волокне 马=力 в упругой и пластической зонах изогнутого стержня.Рис. 3.19. Деформация у в крайнем волокне 马=力 в упругой и пластической зонах изогнутого стержня.Попутно проверяется, что скорость возрастания нагрузки Q с увеличением максимального прогиба ут, т. е. dQ/dymi обращается в нуль как раз в момент исчерпания несущей способности балки при Q=Qm. После этого изгибание балки происходит неограниченно при Q„? = const.
Рис. 3.19. Деформация у в крайнем волокне 马=力 в упругой и пластической зонах изогнутого стержня.
Рис. 3.19. Деформация у в крайнем волокне 马=力 в упругой и пластической зонах изогнутого стержня.
Несколько лет назад автор определил форму изогнутой срединной линии балки для рассматриваемого случая, проинтегрировав дифференциальные уравнения для у、
成〃 _ _£оdx2А А КЗ — (2%/%о)dx2hxQ '成〃 _ _£оdx2А А КЗ — (2%/%о)dx2hxQ '220 ^^ % ^^ %0,0 ^^ % ^^ %0,(3.137)(3.137)
成〃 _ _£о
dx2А А КЗ — (2%/%о)
dx2hxQ '
成〃 _ _£о
dx2А А КЗ — (2%/%о)
dx2hxQ '
2
2
0 ^^ % ^^ %0,
0 ^^ % ^^ %0,
(3.137)
(3.137)
которые после надлежащего сопряжения двух следующие выражения:которые после надлежащего сопряжения двух следующие выражения:ветвей изогнутой линии даютветвей изогнутой линии дают
которые после надлежащего сопряжения двух следующие выражения:
которые после надлежащего сопряжения двух следующие выражения:
ветвей изогнутой линии дают
ветвей изогнутой линии дают
х0 < х < у ,0 < х < х0,х0 < х < у ,0 < х < х0,(3.138)(3.138)
х0 < х < у ,0 < х < х0,
х0 < х < у ,0 < х < х0,
(3.138)
(3.138)
относящиеся соответственно к пластической и упругой частям левой половины балки Полагая в первом из них х = //2, убеждаемся, что получающееся выражение для максимального прогиба балки совпадает с тем, которое было выведено для ут [равенство (3.133)] из энергетического принципа.
Может быть поучительным сопоставление кривых изменения вдоль балки из идеального упруго пластичного материала деформации £】в крайнем волокне г = Л с соогветствуюшими кривыми изменения &】в балке из материала, деформирующегося в соответствии со степенным законом, которые изображены на рис. 3.11 и 3.12 § 3.3. На рис. 3.19 показаны четыре такие кривые, отвечающие длинам области, где отсутствует течение, равным %о〃 = %, 4/э, 7/is и %； последняя из этих кривых, отвечающая полностью развитому течению в центральном поперечном сечении балки, уходит в бесконечность.
Мы видим, поскольку деформация & пропорциональна кривизне d^yldd изогнутой линии, что в поведении кривых изменения £[, подобных изображенной на рис. 3 19, снова отчетливо проявляется концентрация изгибных пластических деформаций вблизи места приложения силы, когда последняя приближается к предельному для несущей способности балки значению Qm=(3/2)Qo. Однако, несмотря на стремление кривизны к бесконечности, максимальный прогиб стремится к конечному значению утр = (2%)^/^0 Все же так как в этот момент dQ/dym = 0, балка приходит в состояние неустойчивого равновесия и будет продолжать прогибаться.
БИБЛИОГРАФИЯ
Качанов Л. М., Упруго-пластическое состояние твердых тел, ПММ, 5, 431-438 (1941).
Качанов Л. М., Вариационные принципы для упруго-пластических сред, ПММ, 6, 187-196 (1942).
Качанов Л. М., Механика пластических сред, ОНТИ, 1947.
Н a u s п е г Н. Н. (ред.), Plastic Deformation Principles and Theories, Сборник статей Л. М. Качанова, Н. М. Беляева, А. А. Ильюшина, В. Мо- стова, А. Н. Глейзала, Mapleton House, Brooklyn, N. Y., 1948.
Марков А. А., О вариационных принципах в теории пластичности, ПММ, ", 339-350 (1947).
Ильюшин А. А., Деформация вязко-пластических тел, М., 1947.
Hodge Р., Prager W., A Variational Principle of Plastic Materials with Strain Hardening, 18 pp., 1947 [/. Math, and Phys., 27, 1 —10 (1948)].
Prager W., Variational Principles in the Theory of Plasticity, 9 pp., 1948. Greenberg H. J., Complementary Minimum Principles for an Elastic-Plastic Material, 21 pp., 1948 [Quart. A ppi. Math., 7, 85—95 (1949)].
Greenberg H. J , On the Variational Principles of Plasticity, 93 pp., 1949 (GDAM Report A11-S4, Brown University, 1949).
Hodge P. G., An Introduction to the Mathematical Theory of Perfectly Plastic Solids, 396 pp., 1950 ).
Прагер В., Ходж ①-Г., Теория идеально пластических те/, ИЛ, М., 1956. Гудьер Дж. Н., Ходж ①。Г., Упругость и пластичность, ИЛ, М., I960. Хилл Р., Математическая теория пластичности, ГИТТЛ, М., 1956. См, разделы, касающиеся теории пластического потенциала н экстремальных и вариационных принципов.
Hill R., Mechanics of Quasi-static Plastic Deformation in Metals, in G. I. Taylor 70th Anniversary Volume, p. 7, London, 1956.
Hill R., Stability of the Rigid-Plastic Solids, /. Meeh, and Phys. Solids, 6, 1 (1957). Имеется русский перевод: сб. Механика： № 3 (49) (1958).
Соколовский В. В., Теория пластичности, Изд-во АН СССР, 2-е изд., 1950.
Часть II
УПРУГОСТЬ и вязкость
Глава 4
Самая необъяснимая вещь в мироздании ——это то, что оно объяснимо.
Альберт Эйнштейн, Ч
1. Упругость и вязкость комбинируются в веществе простейшими способами. А. Введение. В упругом теле компоненты малых деформаций являются линейными функциями компонент напряжений. Поведение вещества называется в общем случае вязким, если скорости необратимых перемещений точек относительно друг друга возрастают с ростом напряжений, вызывающих деформацию • вещества. Таким образом, вязкое вещество деформируется при тем больших значениях скоростей деформации, чем больше напряжения, причем простейшим случаем служит идеально вязкое вещество, у которого компоненты скоростей необратимых деформаций возрастают пропорционально соответствующим компонентам напряжений. Вязкость твердых веществ становится заметной при повышении температуры. Одним из обычных примеров этого служит подвешенный вертикально прямой стеклянный стержень, нагруженный грузом при температуре, приближающейся к температуре размягчения стекла. При этом наблюдается непрерывное опускание груза, стержень же необратимо удлиняется с тем большей скоростью (пропорционально увеличивающейся с увеличением груза), чем больше груз. В этом параграфе вначале рассматривается несколько типов таких тел, которые можно назвать простейшими идеальными композитными телами, а именно тела, у которых свойства идеальной упругости и вязкости проявляются одновременно и в простейшем сочетании. Примеры такого рода рассматриваются также с целью лучшего уяснения более общих явлений, наблюдаемых в поведении твердых тел при повышенных температурах, как, например, медленной ползучести податливых металлов или поликристаллических твердых тел, находящихся под действием напряжений в течение продолжительного времени. Эти примеры рассмотрены далее при более точных предположениях.
1) Из книги; Frank Р., Einstein, His Life and Times, N. Y., 1947.
В приложениях предполагается, что скорости движений столь малы, что можно пренебречь инерционными членами, содержащими ускорения элементов материала, и принять, что внешние и внутренние силы находятся в статическом равновесии. Смещения и деформации считаются малыми, материал в упругой области ——сжимаемым, а в области остаточных деформаций ——несжимаемым. В некоторых случаях делается упрощающее пред-
Р и с. 4.1. Кривые первичной и вторичной ползучести./ — первичная ползучесть; 2 — вторичная ползучесть.Р и с. 4.1. Кривые первичной и вторичной ползучести./ — первичная ползучесть; 2 — вторичная ползучесть.Рис. 4.2. Испытания при постоянной скорости изменения деформаций.Рис. 4.2. Испытания при постоянной скорости изменения деформаций.
Р и с. 4.1. Кривые первичной и вторичной ползучести.
/ — первичная ползучесть; 2 — вторичная ползучесть.
Р и с. 4.1. Кривые первичной и вторичной ползучести.
/ — первичная ползучесть; 2 — вторичная ползучесть.
Рис. 4.2. Испытания при постоянной скорости изменения деформаций.
Рис. 4.2. Испытания при постоянной скорости изменения деформаций.
положение о полной несжимаемости материала как для упругой обратимой, так и для остаточной необратимой частей деформации.
Представление об этих простых идеальных композитных телах можно получить, описав сначала их поведение при различных (ранее рассмотренных, см. т. 1, гл. 8) видах испытаний на растяжение; они показаны графически для некоторых технических материалов на рис. 4.1—4.4. На рис. 4.1 приведены технические кривые долговременной ползучести, где построены графики удлинения (общей деформации £ как суммы упругой и остаточной деформации) в зависимости от времени / при постоянном значении o = const и при повышенной температуре. На рис. 4.2 показаны результаты наблюдений по растяжению образца при постоянной скорости деформации © = d£/df = const (получаемой путем растяжения образцов при данной относительной скорости головок образца). Путем увеличения в растянутом образце напряжения о на одинаковые величины в одинаковые промежутки времени, т. е. при заданных постоянных скоростях увеличения напряжений da/d/ = const, получены разветвленные кривые (рис. 4.3), отражающие влияние скорости де-
формации. На рис. 4.4 отражены результаты испытаний на релаксацию, при которых длина растянутого образца не меняется благодаря закреплению головок в фиксированном положении, в то время как приложенное первоначально напряжение о,
Рис. 4.3. Испытания при постоянной скорости изменения напряжений.Рис. 4.3. Испытания при постоянной скорости изменения напряжений.ний.ний.
Рис. 4.3. Испытания при постоянной скорости изменения напряжений.
Рис. 4.3. Испытания при постоянной скорости изменения напряжений.
ний.
ний.
постепенно падает с течением времени 力 как видно из кривых, приведенных для ряда значений начального напряжения о】.
Б. Вязко-упругость. Рассмотрим растянутый стержень под действием нормального напряжения о. Обозначим через £‘ упругую, через £〃 ——остаточную деформацию удлинения в осевом направлении, через у' и 丫〃 ——упругий и остаточный относительный сдвиги в наклонном направлении. Точкой над 8, у или нормальными о и касательными т напряжениями обозначим соответствующие производные по времени. В упругом материале
а = Ее；(4.1)
а в идеально вязком необратимо несжимаемом веществе
0 = 3卩警 =3卩®"，(4.2)
ввиду того что главные скорости деформации осевого удлинения при простом растяжении равны 斫=©", а в поперечном направ* лении ©2 = ©з= —©"/2, максимальная скорость сдвига равна Ушах = 8i — ё2 = (3/2) 6,z и максимальное касательное напряжение равно Ттах = о/2 = Р?тах = (3/2)呢〃.ЗдеСЬ Е— МОДУЛЬ уПругОСТИ； 卩一коэффициент вязкости. Предполагая, что оба типа деформации налагаются друг на друга и составляют общую деформа-
цию е, получаем следующие зависимости:
8 =后8 =后е = U + е〃 =崇 + е〃，е = U + е〃 =崇 + е〃，£з卩»£з卩»(4.3)(4.3)
8 =后
8 =后
е = U + е〃 =崇 + е〃，
е = U + е〃 =崇 + е〃，
£з卩»
£з卩»
(4.3)
(4.3)
Такое тело называется вязко-упругим f)«
Если G =万(]+牙 обозначает модуль сдвига, a v — коэффициент Пуассона, то подобным же образом вязко-упругое поведение тела при действии касательных напряжений описывается зависимостями
Y‘ = t/G, у = y' +丫〃 = t/G + 丫〃，(4.4)
V = t/jx, ? = V + V = V + (^) Y‘ = EG + t仙.
3卩 7 =丄=2 (1 +v) te3卩 7 =丄=2 (1 +v) te(4.5)(4.5)Используя для двух отношений, имеющих размерность времени, обозначения.
3卩 7 =丄=2 (1 +v) te
3卩 7 =丄=2 (1 +v) te
(4.5)
(4.5)
называемые временами релаксации нормального и касательного напряжений соответственно, перепишем предыдущие уравнения в виде
°’ + "^ =目 У + 七=V (4.6)
и выразим упругие части деформации удлинения и сдвига через общие деформации в двух эквивалентных формах
М = * = С“ 8 (0) + J 配％〃
(4.7)(4.7)(4.8)(4.8)L о _
(4.7)
(4.7)
(4.8)
(4.8)
V = * = e$s Y(0)+ j ye^dt
L о ,
или после выполнения интегрирования по частям
е 0
t.
yf = -^ — у —^~6一"“ J ye"% dt,
I) Впервые его исследовал Максвелл в статье: Maxwell J. С., On the Dynamical Theory of Gases, Phil. Mag.t 35, 129 — 145, 185—219 (1868),
где 8(0), 丫(0)——значения деформаций в момент времени / = 0. Две постоянные материала /е и /s в общем случае имеют несколько отличающиеся друг от друга значения, но для несжимаемого упругого тела (2 = 1/2), обладающего вязкостью, они равны te=ts. Вторые члены в правых частях уравнений (4.8), очевидно, выражают значения『，у〃，умноженные на —1.
Для лучшего уяснения особенностей вязко-упругого поведения вещества рассмотрим следующие простейшие типы испытаний на растяжение }
Рис. 4.5. Напряжения о = const.Рис. 4.5. Напряжения о = const.Рис. 4.6. Напряжения сняты.Рис. 4.6. Напряжения сняты.Рис. 4.7. Напряжения меняют знак.Рис. 4.7. Напряжения меняют знак.
Рис. 4.5. Напряжения о = const.
Рис. 4.5. Напряжения о = const.
Рис. 4.6. Напряжения сняты.
Рис. 4.6. Напряжения сняты.
Рис. 4.7. Напряжения меняют знак.
Рис. 4.7. Напряжения меняют знак.
Напряжение поддерживается постоянным и затем внезапно снимается. Пока напряжение остается постоянным, o = const, d = ©/ = 0, имеем
= const,"备0+自.(4.9)
Деформация линейно растет со временем t. Для разных значений а=const уравнения (4.9) изображаются пучком лучей, выходящих из точки А (рис. 4.5); получается семейство «кривых ползучести» для вязко-упругого тела. При внезапной разгрузке от значения о до о = 0 получается график, показанный на рис. 4.6, а при разгрузке и нагружении обратного знака до величины —о получается график на рис. 4.7.
Скорость деформаций поддерживается постоянной. Имеем £ = 〃厶 © = 〃 = const; из уравнений (4.3) или (4.7) получаем
上总 = 6 + ；0 = £〃 = const,(4.10)
o = 5(i -D,(4.11)
I) Строгий анализ этих испытаний со ступенчатым характером нагружения требует использования d-функции. См., например, F1 ii g g е W., Viscoelasticity, Toronto—London, 1967. — Прим. ре。.
где о】——напряжение в момент f = 8, причем о^ = Eute = E&i,色= =*• Так как t: te = s : 8b напряжение можно выразить через общую деформацию е:
0 = 5(1 —е-*). (4.12)
Подставляя сюда различные постоянные значения скорости деформации 〃 = £i/、= const, получаем семейство геометрически подобных экспоненциальных кривых, имеющих горизонтальные асимптоты (рис. 4.8). Эти кривые представляют собой кривые зависимости напряжений от деформаций при постоянных скоростях деформации. Оба рассмотренных типа испытаний (1) и (2)
Р и с. 4.8. Скорости деформаций 8 = const.Р и с. 4.8. Скорости деформаций 8 = const.Рис. 4.9. Скорости изменения напряжений d == const.Рис. 4.9. Скорости изменения напряжений d == const.
Р и с. 4.8. Скорости деформаций 8 = const.
Р и с. 4.8. Скорости деформаций 8 = const.
Рис. 4.9. Скорости изменения напряжений d == const.
Рис. 4.9. Скорости изменения напряжений d == const.
Вязко-упругость.
оказываются тождественными, если время / испытаний достаточно велико.
Скорость изменения напряжений поддерживается постоянной. Пусть напряжение о возрастает с постоянной скоростью or = const, 0 =侬匕 тогда
(4.13)(4.14)(4.13)(4.14)
(4.13)
(4.14)
(4.13)
(4.14)
В этом случае кривые зависимости напряжений от деформаций образуют семейство обычных парабол, исходящих с одинаковым углом наклона из начала координат О (рис. 4.9).
Релаксация. При действии нормального напряжения о】 и поддержании неизменной по величине деформации £ = о"£ =
= 81 = const получим= 81 = const получим/еа + о = 0,
= 81 = const получим
= 81 = const получим
-t/t
0 = 52 /%
(4.15)(4.16)(4.15)(4.16)так как ё = 0. Подобным же образом при действии на тело касательного напряжения п и постоянном значении относительного сдвига у = Ti/G = yi = const имеем
(4.15)
(4.16)
(4.15)
(4.16)
/5т 4- т == О,T =工田一"%.
(4.17)(4.18)(4.17)(4.18)В этом случае первоначально упругие деформации удлинения или относительного сдвига постепенно превращаются в остаточные удлинения или сдвиг. Начальные скорости уменьшения напряжений в момент времени % = 0 равны- 6=——oj^, t =——口/厶, они пропорциональны начальным напряжениям и обратно пропорциональны временным постоянным te или ts соответственно.
(4.17)
(4.18)
(4.17)
(4.18)
Рис. 4.10. Рис. 4.11. Рис. 4.12.Вязко-упругость. Петли гистерезиса.Рис. 4.10. Рис. 4.11. Рис. 4.12.Вязко-упругость. Петли гистерезиса.Петли гистерезиса можно получить многочисленными способами, производя периодические операции с постоянными характеристиками напряженного или деформированного состояний. На рис. 4.10—4.12 приведены в виде графической зависимости
Рис. 4.10. Рис. 4.11. Рис. 4.12.
Вязко-упругость. Петли гистерезиса.
Рис. 4.10. Рис. 4.11. Рис. 4.12.
Вязко-упругость. Петли гистерезиса.
3 примера получения петель гистерезиса для стержня, растянутого в осевом направлении нормальными напряжениями о. На рис. 4.10 петля гистерезиса получена путем деформирования стержня в прямом и обратном направлениях с постоянной скоростью деформации, © = ±z/ = const. На рис. 4.11 показаны колебания при постоянной скорости нагружения, 6= ±® = const, а на рис. 4.12 ——колебания при синусоидально меняющихся напряжениях, а=а0 sin со/, производящих полные деформации
£ = 4■卜土击旷若一02). (4.19)
Все петли пересекают ось 8, когда и = 0, причем £=±о()/з%е при угле наклона, равном dGld& = E.
Гистерезисные петли первого, второго и третьего типа циклов состоят из двух ветвей экспонент, из двух парабол и эллипсов соответственно. Все кривые пересекают ось е под углом do/de = E\ причем при увеличении скоростей 4) петли сужаются.
В. Стойко-вязкость. Некоторым контрастом к вязко-упругому поведению является поведение композитного твердого тела другого типа, для которого следует предположить, что напряжения онт слагаются из двух частей: (/ и т\ вызывающих упругие деформации, и о〃 и J, необходимых для того, чтобы преодолеть в теле внутреннее сопротивление вязкого характера, препятствующее любому изменению деформаций и пропорциональное скоростям изменения деформаций ё или у соответственно ):
(4.20)(4.21)(4.20)(4.21)о =『+ о〃 =氏+ 3卩窑 =£ (е +疗),т = Y + t〃 = Gy + 卩券=G (у + % 汕
(4.20)
(4.21)
(4.20)
(4.21)
tr = 3^/£, tg = [i'G.
Такое тело было названо стойко-вязким ), соответствующие основные явления, известные инженерам, встречаются в телах, совершающих быстрые колебания, под видом явления внутреннего демпфирования вязкого характера. Из уравнения
(4.22)(4.22)G、= q — Gtg 乎
(4.22)
(4.22)
Можно более полно изучить различные виды последовательных нагружений, представляя три переменные е, е и а в системе прямоугольных координат и вычерчивая соответствующие проекции кривых в плоскостях £, о н 8,8, причем последние можно изобразить в виде годографов этих движений [см.丄 A ppi. Mechanics, 55; Trans. Л SME, № 10, 61 (1933)].
видно, что второй член в правой части представляет внутреннюю демпфирующую силу, приходящуюся на единицу площади, и становится значительным при достаточно больших скоростях сдвига dy/di.
Это служит контрастом вязко-упругому поведению тела, что можно усмотреть, переписав соответствующее выражение (4.4) для вязко-упругости следующим образом:
丫 = у + у =靑卜 + * j t 叫=屮 + * j yf dt. (4.23)丫 = у + у =靑卜 + * j t 叫=屮 + * j yf dt. (4.23)оооо
丫 = у + у =靑卜 + * j t 叫=屮 + * j yf dt. (4.23)
丫 = у + у =靑卜 + * j t 叫=屮 + * j yf dt. (4.23)
о
о
о
о
Считая y〃 = 0 при 方=0, мы замечаем отсюда, что даже в том случае, когда временная постоянная ts = [i/G .может принимать сравнительно большие значения для очень вязких материалов, t
член Y〃 = (l“s) J V〃，характеризующий остаточный сдвиг при о
действии постоянного т, непрерывно растет до значений, превышающих упругую деформацию у'. Таким образом, времена релаксации 力,tg для стойко-вязкости должны приниматься малыми, тогда как соответствующие времена f。，ts для вязко-упругости должны приниматься большими').
1) Пусть к стойко-вязкому телу прикладывается 〃 сохраняется постоянным напряжение о; тогда из равенств (4.20) и
Хотя величина 卩 имеет одинаковую размерность (кг • см~2 • сек) в технической системе единиц как для вязко-упругости, так и для стойко-вязкости, а коэффициент пропорциональности в зависимостях тт=卩dy〃/d/, xr,=\id\ldt для удобства обозначается той же буквой 卩，следовало бы во избежание недоразумений назвать этот коэффициент в первом случае (вязко упругость) коэффициентом вязкости, а во втором случае (стойко-вязкость) коэффициентом внутреннего демпфирования вещества. В последнем случае нам представляется неудачным называть величину 卩 коэффициентом «внутреннего трения», как это предложил Гутенберг, ввиду того что различные идеальные твердые вещества (например, сыпучие зернистые среды, такие, как песок) обладают внутренним сопротивлением типа кулонова трения, при котором отношение касательного напряжения к нормальному, t/o=N, постоянно.
Таким образом, читатель должен заметить, что применительно к геофизическим приложениям равенства (4.4) прежде всего служат для предсказания весьма медленных остаточных деформаций горных пород (составляющих верхние слои земной коры) при горообразовании или послеледниковых подъемах в областях континентов, подвергшихся действию ледников в течение длительных геологических периодов. В то же время равенства (4.20) оказываются полезными для исследования влияния внутреннего демпфирования на законы распространения и затухания волн при землетрясениях с очень быстрыми упругими колебаниями.
(4.21) получаем
疗 + е =备=const, 8 = -^-(1 — е"")(4.24)
После внезапного снятия напряжения о находим
疗+ е = 0, е =(4.25)
Таким образом деформация реагирует на приложенное напряжение с запаздыванием во времени и принимает свое конечное
Рис.Рис.4.13. Стойко-вязкость. Постоянное напряжение а = const./ — восстановление.4.13. Стойко-вязкость. Постоянное напряжение а = const./ — восстановление.Рис. 4.14. Стойко-вязкость. Скорости деформации 8 = Const.Рис. 4.14. Стойко-вязкость. Скорости деформации 8 = Const.
Рис.
Рис.
4.13. Стойко-вязкость. Постоянное напряжение а = const.
/ — восстановление.
4.13. Стойко-вязкость. Постоянное напряжение а = const.
/ — восстановление.
Рис. 4.14. Стойко-вязкость. Скорости деформации 8 = Const.
Рис. 4.14. Стойко-вязкость. Скорости деформации 8 = Const.
значение, равное упругой деформации о/Е, по истечении некоторого времени; аналогично при внезапной разгрузке деформация восстанавливается постепенно. Это восстановление равно упругой деформации (рис. 4.13) при 力=8 после разгрузки.
При постоянной скорости деформации^ 2 = 〃 = const, е = 〃/, напряжение о возрастает равномерно в зависимости от времени t или деформации е (рис. 4.14):
0 = e ("力 + e)=上4(力 + 力).(4.26)
Если скорость изменения напряжений постоянна, 6=侬= =const, о = з/, то деформация 8 равна
£ =号上一〃 (1 —•(4.27)
Она представляется в виде семейства кривых, касательных к оси абсцисс в начале координат и асимптотически приближающихся к пучку лучей, исходящему из точки 4(/ = %) (рис. 4.15).
Релаксация, Предположим, что после промежутка времени 厶，в течение которого действует постоянное напряжение
ао = const, а деформация е увеличивается до значения е【= = gJE<gJE, дальнейший рост деформаций останавливается и новых удлинений вещества не происходит. Тогда при 力〉介 де」 формация 8 = 8i = const, 8 = 0. Но в стойко-вязком материале напряжение о, необходимое для возникновения деформации, равно сумме о =(/ + о〃，причем слагаемое of = Es вызывает деформацию 8, а слагаемое а/, = 3цё служит для преодоления вязкого сопротивления; так как последнее слагаемое обращается
Стойко- Скорости напря-Стойко- Скорости напря-Р и с. 4.15. вязкость, измененияР и с. 4.15. вязкость, измененияРис. 4.16. Стойко-вязкость.Релаксация при /> 九.Рис. 4.16. Стойко-вязкость.Релаксация при /> 九.жения а = const.жения а = const.
Стойко- Скорости напря-
Стойко- Скорости напря-
Р и с. 4.15. вязкость, изменения
Р и с. 4.15. вязкость, изменения
Рис. 4.16. Стойко-вязкость.
Релаксация при /> 九.
Рис. 4.16. Стойко-вязкость.
Релаксация при /> 九.
жения а = const.
жения а = const.
в нуль при 方〉力，то в момент времени /=厶 напряжение должно внезапно уменьшиться от своего начального значения о。до конечного упруго воспринимаемого напряжения, а именно, согласно равенству (4.24), до значения
о = £% = 6 = % (1 — e"i/'r) = const. (4.28)
Мы видим, что в стойко-вязком веществе релаксация напряжений происходит мгновенно^ если при первоначальном приложении напряжений она началась до окончания времени релаксации *, как это видно на рис. 4.16. Чем раньше возникает релаксация после приложения напряжений о = оо, тем больше будет скачок напряжений 伪一0 = 000一'#'・ Для больших значений /ь очевидно, о = оо и падения напряжений не будет вообще.
Следует, однако, иметь в виду, что диаграммы, воспроизводящие такого рода изменения напряжений и деформаций, иллюстрируют при вязко-упругом поведении сравнительно мед^ ленные процессы деформирования, тогда как в случае стойко-
вязкого вещества они относятся к быстрым процессам. Основные особенности поведения этих двух видов веществ можно увидеть из табл. 4.1.
Таблица 4.1
Испытание
Вязко-упругое вещество
Стойко-вязкое вещество
Постоянное ние
напряже-
Кривые ползучести представляют собой прямые линии. Предела ползучести не существует. Ползучесть никогда не прекращается
Кривые «деформация —— время» асимптотически приближаются к горизонтальным линиям. Деформации затухают
Постоянная скорость деформации
Кривые «напряжение — время» или «напряжение —деформация» приближаются к горизонтальным асимптотам
Они представляют собой пересекающиеся в одной точке прямые
Постоянная изменения жений
скорость напря-
Кривые «напряжение — деформация» представляют собой параболы
Экспоненциальные кривые, асимптотически приближающиеся к пересекающимся в одной точке прямым
Релаксация
Постепенное исчезновение напряжений
Внезапное падение напряжения (обусловленное моментом начала 'релаксации)
Восстановление
Отсутствует
Равно упругой деформации
Едва ли есть необходимость упоминать о том, что явление медленной ползучести в металлах и поликристаллических веществах при повышенных температурах нельзя описать теми простыми средствами, которые мы здесь рассматривали. Это объясняется двумя важными причинами, а именно: 1) для названных веществ зависимость напряжений от скоростей деформаций существенно нелинейна и 2) в этих веществах возникают пластические деформации, а упрочнение и размягчение (рекристаллизация), происходящие с течением времени при умеренно высоких температурах, влияют на ползучесть и релаксацию. Тем не менее следует указать, что путем надлежащей комбинации двух принципов суперпозиции, использованных при выводе равенств (4.3), (4.4) и (4.20), определяющих соответственно вязко-упругое и стойко-вязкое поведения, можно в какой-то мере
воспроизвести качественную картину некоторых характерных особенностей ползучести поликристаллических тел и сходных явлений.
Г. Композитное вязко-упругое вещество, способное к восстановлению деформаций. Рассмотрим третье идеализированное композитное вязко-упругое вещество, способное к восстановлению, постулируя принцип наложения трех различных типов деформаций У, е〃，е'〃 и двух типов напряжений о' и о〃 следующим образом: $
е = М + е〃 + М〃，(у =(/ + и〃.(4.29)
Предположим, что деформация 8 имеет упругую часть е' = о/Е, возникающую мгновенно при действии напряжения о, остаточную часть е〃 вязкой природы, пропорциональную (%卩)jo d厶 развивающуюся медленно, когда напряжения вызывают скорости деформаций ©〃 =。/3卩，пропорциональные напряжениям, и третью часть『〃 полуостаточного типа, которая может быть постепенно восстановлена при взаимодействии ранее упомянутых двух аддитивных напряжений(/ и о〃，Предполагается, что эти напряжения имеют вид
(/ = ££〃，о〃 = 3 卩忠〃(4.30)
и допускают рассмотрение заданных 《смещенных》и «обратимых» деформаций, сопровождающих изменения напряжений или. деформаций при третьем типе деформаций /〃， если выбрать постоянные Е「,卩「, характеризующие обратимые части остаточных деформаций, не зависимыми от Е,卩.
Для рассматриваемого третьего композитного тела, считая справедливыми выражения, основанные на соотношениях (4.29) и (4.30),
陪’(4.31)
о =『+ / = £r(8w + 仪〃)J =(4.32)
=4 +z蟲(4.33)
исследуем снова следующие случаи:
Внезапное приложение напряжения а=const. Из преды* дущих уравнений мы видим, что
М = _££ е〃 =工 /
а из уравнения (4.32) следуют зависимости
方彩〃 + 以〃=号=const, Q〃 =言(l —
показывающие, что деформации е постепенно возрастают согласно выражению
e = e丿 + e〃 + m〃=工(1 - ±)+書(1-8-%)(4.34)
вдоль кривой, приближающейся к наклонной прямой линии, как показано на рис. 4.17. Кривые ползучести £=/(/) для постоянного напряжения содержат вначале криволинейную часть, соответствующую периоду начальной ползучести. Напротив, при
Рис. 4.17. Композитное вещество. Деформация е после внезапного приложения напряжений а = const и восстановление деформаций после разгрузки.
1 — постоянное напряжение; 2— напряжение после разгрузки; 5— восстановление.
действии а=const в течение значительного времени, когда деформация достигает значения 81 (точка Л на рис. 4.17), и при последующем внезапном снятии напряжения деформация будет определяться зависимостью
e =5一"I■一曾(1-e一")(4.35)
где время f отсчитывается от точки 4, а последний член в правой части (4.35) представляет собой восстановление.
Скорость деформации постоянна, e = 〃f, e = u = const. Из (4.33) получим, что
d + 齐 + £/〃 = Еи = const,(4.36)
а из (4.32) находим, что
a^Er(^ + tr^).(4.37)
Рис. 4.18. Композитное вещество. Испытание при постоянных скоростях деформации.Рис. 4.18. Композитное вещество. Испытание при постоянных скоростях деформации.
Рис. 4.18. Композитное вещество. Испытание при постоянных скоростях деформации.
Рис. 4.18. Композитное вещество. Испытание при постоянных скоростях деформации.
После подстановки о из (4.37) в (4.36) для обратимой деформации £〃' получается следующее дифференциальное уравнение:
% + 長 + + (1 + £)] % + 暑=鵠=const. (4.38)
Его решение при граничных условиях е〃' = ©/〃 = 0 при / = 0, т. е. 8,//, будучи подставлено в (4.37), определяет напряжения а и здесь не выписывается. Характерные кривые для трех частей
деформации 8,8,8 приведены на рис. 4.18. Напряжения быстро достигают асимптотического значения 6 = Elite, в точности равного соответствующему значению для вязко-упругого вещества [см. § 4.1, Б (2)]. Как видно из уравнения (4.38), при f = 8 деформации £〃' приближаются к постоянному значению е'〃 =
Е utel Е%
Релаксация напряжений. Если деформации остаются постоянными и ско
рость деформаций 8 равна нулю, то мы можем применить предшествующие равенства (4.36) и (4.37). Задав
〃 =0 и исключив из этих равенств переменную е〃[ мы видим, что напряжения о должны удовлетворять дифференциальному
уравнению
。+ [* + +(1 + 含)]6 + К = °，(4・39)
Далее, уравнение (4.38) остается справедливым и при 〃 = 0; таким образом, мы убеждаемся, что оба уравнения имеют одинаковый вид и одинаковые постоянные коэффициенты. Интеграл уравнения (4.39) приводится к виду
(4.40>(4.40>о = АсМ + 8&丝
(4.40>
(4.40>
где Л, В ——постоянные интегрирования;九卜 入2 ——два корня квадратного уравнения 】)
Здесь использованы следующие обозначения:
^=今卜+吉)'a。=营(击+40'a=]/4信+节-金・
(4.42)
Обратимая деформация типа е'〃， которая может развиться в процессе деформирования, предшествующего возникновению состояния релаксации при 8 = const, оказывает влияние на скорость 6, с которой напряжение о начинает падать. Поэтому полезно рассмотреть два случая начальных состояний релаксации.
В первом случае предположим, что начальное напряжение (j = oi действует только мгновенно, после чего образец релаксирует при & = Ei =(Ji/E = const. Это можно выразить начальными условиями f = 0, о = б, е〃 = £〃' = 0. Постоянные интегрирования определятся в следующем виде:
4 =号[[一九。《型Г)], 5 =*[1+"1叫,(4.43) а начальная скорость падения напряжения равна
借=- о任 + ，/ = 6(4.44)
Но первый член ——。"厶 представляет собой скорость падения напряжений для вязко-упругого вещества. Таким образом, мы замечаем, что s веществе, обладающем обратимыми деформациями, начальная скорость падения напряжений будет много больше^ чем в веществе, не обладающем обратимыми деформациями £〃'， если tr ——величина того же порядка или меньше чем *
Во втором случае, напротив, предположим, что образец на・ гружен напряжением о\ =const в течение такого длительного
Оно получается из уравнения (4.39), если положить о = е", что даст V2 + 2bv + с = 0, и = — 6 土 UT^ — с, где
b = }(； + ；)=九 о, с = 1/Л・
Дискриминант уравнения всегда положителен; оба корня v (обозначенные в тексте через М, %) оказываются всегда отрицательными, так как Л<Х0.
периода времени, что деформации е'〃 успевают достигнуть своего максимального значения 以"= и{Ет (точка Л на рис. 4.17). Если затем образец релаксирует, то начальными условиями будут cf=oi,或"= gJEt при / = 0, и постоянные интегрирования примут значения
А = ^_^т^ В=^[1 + ^Ж)], (4.45) которым соответствует начальная скорость падения напряжений 然 / = 0,(4.46)
равная начальной скорости релаксации вязко-упругого вещества. Так как в обоих случаях |入2|>|入il, то по истечении достаточно большого промежутка времени слагаемое Be2t уравнения (4.40) будет значительно меньше, чем слагаемое 4е'#, так что напряжения будут изменяться по закону
о = 4е 竺(4.47)
Несмотря на то что Л меньше, чем di/2, напряжение о после достаточно длительного периода времени будет иметь большие значения и будет релаксировать при меньших скоростях (так как |Xi I <1Де), чем в случае вязко-упругого вещества, подчиняющегося уравнению
0 = 0传一力爆.(4.48)
Итак, мы убедились (рис. 4.19), что при релаксации вещества, обладающего активной обратимой деформацией е〃‘， напряжения о падают при более высоких значениях 〃 〃р〃 меньших скоростях, чем 6 вязко-упругом материале, имеющем ту же вязкость 卩(и то же время релаксации /е). Это можно проиллюстрировать и на числовых примерах для кривых релаксации о, асимптотически сходящихся при больших значениях времени / (см. табл. 4.2).
Таблица 4.2
3停
0/6
72
0,122L」77（簿）
1
О,277е~0*382(〃J)
3
0,500е-°，б34 (加。)
Вязко-упругое вещество
ё一组
Суммируя сказанное, можно утверждать, что третий тип идеального композитного вязко-упругого чувствительного к восстановлению деформаций вещества (е = У + е" + е'〃， о =(/ + о〃) обладает такими свойствами, при помощи которых можно воспроизвести, по крайней мере качественно, некоторые фазы неупругого поведения реальных поликристаллических тел или органических материалов (пластмасс).
Можно попытаться дать феноменологическое объяснение поведения некоторых реальных материалов, обнаруживающих временные зависимости для напряжений и деформаций при нагрузке и разгружении, подобные тем, которые были описаны для
Рис. 4.19. Композитное вещество. Релаксация.Рис. 4.19. Композитное вещество. Релаксация.Рис. 4.20. Упругие блоки, погруженные в вязкое вещество.Рис. 4.20. Упругие блоки, погруженные в вязкое вещество.
Рис. 4.19. Композитное вещество. Релаксация.
Рис. 4.19. Композитное вещество. Релаксация.
Рис. 4.20. Упругие блоки, погруженные в вязкое вещество.
Рис. 4.20. Упругие блоки, погруженные в вязкое вещество.
вещества, определенного уравнениями (4.29)——(4.32). Для этого будем считать, что их структура состоит из элементарных частичек, соответствующих упругому или вязкому поведению, и сконструируем искусственные модели таких материалов ). Если предположить, например, что блоки материала, показанного на рис. 4.20, упругие, а разделяющие их слои вязкие, то касательные напряжения, обозначенные т, исказили бы эту анизотропную композитную конструкцию согласно законам вязко-упругости, тогда как при действии нормальных напряжений в направлении,
указанном о, конструкция реагировала бы частично по законам стойко-вязкости, частично по законам вязко-упругости 】)
Теория упругого и чисто вязкого веществ. Рассмотрим более подробно ряд полезных решений и приведем вкратце (ссылаясь на т. 1, гл. 25 и 26) следующие уравнения.
А. Сжимаемое изотропное упругое тело. Если обозначить модули упругости и сдвига через £ и G, коэффициент Пуассона через V, компоненты бесконечно малых упругих деформаций через %, %, %, у® Yz%, Уху, компоненты напряжений через о%, д, Oz, t〃z, тгх, хху и компоненты смещений через 〃， vt w, то закон упругости выразится шестью соотношениями между напряжениями и деформациями
^х =万【и尤—卩(％ + 仇)］，•一，Ууг = ~q•(4.49)
Обозначив малую упругую объемную деформацию через 8：
£ = % + % + 殳，(4.50)
а через е‘ и а — средние нормальные напряжения и деформации:
Е-з-0 =3-，(4・51)
после сложений первых трех соотношений (4.49) получим
「(1-2”)о"3 - Е
Соотношения (4.49) в девиаторной форме можно записать следующим образом:
о% — о* = 2G (е% — е ),..., tgz = Gy%,....(4.53)
Описание механических систем, составленных из упругих и вязких элементов, можно найти в статье Бюргерса (цитировано выше, стр. 21). Вещество, составленное из упругих твердых зерен, погруженных в вязкую массу, рассматривалось Бриллюэном (Ann. de chemie physique, 1898).
Некоторые пластмассы после быстрого нагружения сжатием до конечных деформаций могут почти полностью восстановить свои начальные размеры по истечении достаточно большого периода времени. Часто предлагают модели волокнистых органических веществ, в которых предполагается, что упругие волокна погружены в вязкую массу. Явление восстановления и ползучести исследовалось Л ид ер меном для некоторых натуральных и искусственных волокнистых веществ как теоретически, так и экспериментально (шелк, нейлон, рэйон).
См. Liederman Н., Elastic and Creep Properties of Filamentous Materials and Other High Polymers, The Textile Foundation, Washington, 1943. См. также: H о u w i n k R., Elasticity, Plasticity and Structure of Matter, Cambridge University Press, London, 1937; Reiner M., Deformation and Flow, an Elementary Introduction to Theoretical Rheology, London, 1949,
Подставляя сюда уравнения для компонент деформаций, выраженных через производные от трех составляющих перемещений вдоль координатных осей,
диdvdw
(4.54)(4.54)% — d%，%%，
(4.54)
(4.54)
dw dvGu dwdv du
也2 = 1? + ^尤=77+ 丽，= 6+五
и подставляя в три уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил) выражения для шести компонент напряжений
(4.55)(4.55)
(4.55)
(4.55)
получим следующие дифференциальные уравнения Навье для трех компонент смещений 〃，и, w:
(4.56)(4.56)(l-2v)A〃 +霊=0,(l-2v)Au + ^ = 0,(1 — 2v) Аз + 碧=。・
(4.56)
(4.56)
Последние, если использовать уравнение (4.52), можно записать в следующей редко применяемой форме:
Е do寸" +段Е доЕ А doТА®+ 17Е do寸" +段Е доЕ А doТА®+ 17=0,=0,0,0,0,0,(4.57)(4.57)
Е do
寸" +段
Е до
Е А do
ТА®+ 17
Е do
寸" +段
Е до
Е А do
ТА®+ 17
=0,
=0,
0,
0,
0,
0,
(4.57)
(4.57)
где 厶=。2/0%2 +(52/0“ +(?2/広2 — оператор Лапласа. Если продифференцировать предыдущие две системы уравнений по х, у, г соответственно и сложить почленно, то получим, что изменение объема 8 и среднее нормальное напряжение о должны удовлетворять уравнению Лапласа
Де = 0, Да «= 0,Де = 0, Да «= 0,(4.58)(4.58)
Де = 0, Да «= 0,
Де = 0, Да «= 0,
(4.58)
(4.58)
Б. Изотропный несжимаемый упругий материал. Если принять коэффициент Пуассона v = % и положить E = 3G, то объемное расширение будет равно нулю:
,,ди . dv . dwА у
£ = % + % + % =訴 + 石 + 龍=div w = 0,(4.59)
где w — вектор малого смещения w = i〃 + ju+k3. Согласно (4.53), соотношения между напряжениями и деформациями примут вид
от% = о + 2G%,・・・，％z = Gy^z, •…(4.60)
а уравнения (4.57) запишутся в форме
GA〃 + ^ = 0，
G Аи + 黑=О,
дУ(4.61)
G Aw + 雾=0,
Да = 0.
Однако если для упругого тела коэффициент Пуассона равен нулю, v = 0, и B = 2G, то уравнения (4.57) запишутся следующим образом:
div w =，
G А〃 + -д— = О,
2-3 2-32-3 2-3G Ау +G А侬+G Ау +G А侬+=О,=О.=О,=О.(4.62)(4.62)
2-3 2-3
2-3 2-3
G Ау +
G А侬+
G Ау +
G А侬+
=О,
=О.
=О,
=О.
(4.62)
(4.62)
В. Чисто вязкое вещество. Постулируя, что для этого вещества можно пренебречь бесконечно малыми упругими частями деформации, примем, что скорости остаточного относительного сдвига растут пропорционально соответствующим касательным напряжениям. Если мы обозначим через 〃， и, w малые составляющие вектора скорости w = i〃 + ju + k侬 и примем, кроме того, что вещество несжимаемо и течет при весьма малых скоростях, то мы сможем пренебречь возникающими в нем ускорениями и считать, что напряжения находятся р статическом равновесии. Тогда для чисто вязкого несжимаемого вещества зависимости
%2 =卩 Vgz， ^ZX =卩”2*， ^xy =卩 Vxy,%2 =卩 Vgz， ^ZX =卩”2*， ^xy =卩 Vxy,между напряжениями и скоростями деформации примут следующий вид:
%2 =卩 Vgz， ^ZX =卩”2*， ^xy =卩 Vxy,
%2 =卩 Vgz， ^ZX =卩”2*， ^xy =卩 Vxy,
(4.63)(4.63)о* = o + 2*, % = 0 + 24询, % = о + 2唸,
(4.63)
(4.63)
где ц — коэффициент вязкости;电，у ——весьма малые скорости дс формации. Скорости деформации равны
. d〃.Зи. dw
酸=放， 办=狗， % = 6'
,,,,А А (4.64)
. dw dv . du dw .Ou ' 丿
и
E = E* + 办 + % =林 + 丽 + -^ = div w = 0.(4.65)
Мы видим, что полученные соотношения (4.64), (4.65) и зависимости (4.63) напряжений от скорости деформации для вязкого тела имеют форму, подобную соответствующим уравнениям (4.54) и (4.60) для несжимаемого упругого тела, если коэффициент вязкости ц заменить модулем сдвига G. Следовательно, для вязкого несжимаемого тела, находящегося в статическом равновесии, величины и, и, w должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
卩А" +需=0,卩a0 +需=0,卩a3+碧=0, лa = 0. (4.66)
Ясно, что последние уравнения связывают компоненты скоростей и, и, w таким же образом, как связаны компоненты смещений 〃,и, w для упругого несжимаемого тела в уравнениях (4.61), если G заменить на 卩.
Отсюда следует, что для медленного течения чисто вязкого вещества, находящегося в статическом равновесии, пригодны точные решения, полученные в математической теории упругости, а новые решения можно получить классическими методами решений задач теории упругости !). В следующих главах мы рассмотрим ряд точных решений для несжимаемых упругих или чисто вязких тел, часто даже не делая различий между этими двумя типами тел.
Как уже отмечалось в т. 1, стр. 450, сюда можно включить также решения, которые получены для сжимаемого упругого тела при. v * 1/2, если в эти решения коэффициент Пуассона не входит (или по крайней мере не входит в выражения для некоторых существенных компонент напряжений или деформаций), например в некоторых выражениях для изгиба балки или полосы, или при действии сил на единственную граничную кривую и т. д.
Глава 5
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
И ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
《...я утверждаю, что задачей механики является описание наиболее полным и простейшим образом наблюдаемых движений в природе. Этим я хочу сказать, что наше дело — констатировать явления, но не определять их причины».
Г. Кирхгоф 1)
Плоские поля смещений или скоростей. В тонкой плас- стинке, растягиваемой силами, действующими в ее плоскости, или в вытянутом теле, перемещения точек которого ограничены параллельными плоскостями, составляющие смещений или скоростей зависят от двух координат. Если плоскость х, у совпадает со срединной плоскостью диска или с одной из параллельных плоскостей вытянутого тела, то компоненты смещений (или скоростей) 〃，и в направлениях осей х и у определяют плоское поле векторов. Рассмотрим две точки Р〈х, у) и Q(x + dx, y + 力/), отстоящие друг от друга на бесконечно малое расстояние d「= = idx+jdy, и предположим, что две оси, проходящие через точку Р параллельно осям х и у, перемещаются вместе с телом во время его движения. Малый элемент dx dy материала будет испытывать малые деформации и малые вращения относительно осей х, у, г, которые предполагаются фиксированными в пространстве. Компоненты перемещений и и v при переходе от точки Р к точке Q получают приращения
°"=黑°" + 需d协 du = ^ dx + ^ dy. (5.1)
i) Из предисловия Кирхгофа (Берлин, январь 1876 г.) к первому изданию его сборника лекций по механике. Из книги: Wien W. (ed ), Vorlesun- gen iiber mathematische Physik, v. I, Mechanik, 4 th ed , Leipzig, 1897.
Иначе их можно записать в виде
Gx 十 2 \ ду 十 Ох)。，2 \дх 列丿的，
"。=需 3十貝需+蔡)"x + 4■(需一需)"工
Первые два члена в правых частях этих уравнений содержат компоненты деформаций и относительный сдвиг
диdvdv ди
丽=%，石=办，林+石=Y對，
которые характеризуют деформации элемента dx dy, а третьи члены определяют малое вращение элемента относительно оси, параллельной оси г, на угол
(5.4)(5.4)1 /du ди\
(5.4)
(5.4)
①=万乐一石卜
Выражения (5.1) можно также записать в виде d〃 = % d% + ^^ dy — со dy, dv = %dy + dx + co dx.
Если же w и у обозначают компоненты скоростей, то, используя точки для обозначения скоростей деформаций, запишем их как ©*,财，忆，а через 6)обозначим угловую скорость вращения элемента dx dy. Тогда имеем
ди . dv ^ dv , ди .1 / dv ди\ ..小
京=eq ^7 = 3，两 +而= y*d，孤屈一码)=①(5.6)
и можем записать
(5.7)(5.7)du = ©/ dx + ~- dy — dy,
(5.7)
(5.7)
du =财 dy + —2~ d% + 6)d%.
Предыдущие сотношения указывают, что деформации элемента материала dx dy определяются плоским тензором чистой деформации или плоским тензором скоростей деформации соответственно
^у
(5.8)
Кроме того, элемент испытывает бесконечно малОе вращение со,亩 1).
Если вместо прямоугольной системы кординат х, у использовать плоские полярные координаты г, а, то можно разложить вектор w на радиальную и тангенциальную составляющие. Обозначим эти составляющие в радиальном и тангенциальном направлениях снова через 〃 и и соответственно, через % и & — относительные деформации в радиальном и тангенциальном направлениях и через у” ——относительный сдвиг. Эти величины легко выразить через 〃 и и, если воспользоваться рис. 5.1, на котором показан малый элемент материала rdrda в недефор- мированном состоянии (ABDC) и после малых деформаций (A^B'D^C^). Деформации удлинения 8Г и ⑦ оказываются равными соответственно
ArBf — АВ dr + [и-\- (ди/дг) dr] —и — dr d〃 r ABdrdr
—ArCr — AC — EF 4- (dw/da) da — rda —
(1 + u/r) r da + (dv/da) da — rda1 / , dv \
一7^= 7 (〃 + 而,)，(5・9)
i) Или вi) Или ввекторных обозначениях (см. т. 1, гл. 14), положив
i) Или в
i) Или в
dr = id% + jdy, w = i〃 + W,
」 dw , dw dw ~，dw _
если диадаесли диадаdr・idr・i^ +?击)w = dr7w,^ +?击)w = dr7w,°. dw ] . dwVwf K+J 丽°. dw ] . dwVwf K+J 丽
если диада
если диада
dr・i
dr・i
^ +?击)w = dr7w,
^ +?击)w = dr7w,
°. dw ] . dw
Vwf K+J 丽
°. dw ] . dw
Vwf K+J 丽
в своей симметричной части представляет собой чистой деформации [см. (5.8)]в своей симметричной части представляет собой чистой деформации [см. (5.8)]плоский тензор скоростейплоский тензор скоростейШУгуШУгу
в своей симметричной части представляет собой чистой деформации [см. (5.8)]
в своей симметричной части представляет собой чистой деформации [см. (5.8)]
плоский тензор скоростей
плоский тензор скоростей
ШУгу
ШУгу
(%) (Vw + wV)=(%) (Vw + wV)=(VsiYxi(VsiYxi
(%) (Vw + wV)=
(%) (Vw + wV)=
(VsiYxi
(VsiYxi
а в несимметричной части
(%)(Vw-wV) = [： ®]
выражает диаду, соответствующую бесконечно малому вращению вокруг оси, причем последнее можно также определить по формуле
rot w = V X w = к (^" —= 2к(о.
а относительный сдвиг у” определяется как малое изменение прямого угла САВУ возникающее при деформации, которое можно представить в виде суммы двух малых углов
V + (dv dr} dr — и V dv V =;=—
*drr dr г
Ip =
и + (ди/да) da — и 1 du
.. ди . dv и
Y〃 =屮 + 屮=7^ +斤一7
Нам еще нужно определить малый поворот со. Его можно найти, выразив теорему Стокса для малого элемента площади ABDC
(рис. 5.2). Согласно этой теореме, циркуляция вокруг элемента (линейный интеграл векторных компонент в тангенциальном направлении, взятый вокруг ABDC в направлении положительного вращения) должна быть равна удвоенному значению ротора вектора 明 а именно площади 川厂2а, увеличенной в 2з”2a раз. Но циркуляция равна
〃 dr + (и + 居 dr) (г + d/*) da — (а + 寨 da) dr — и厂 da = 2cor dr da,
следовательно,
(5.H)(5.H)2co = ；^（々）一；
(5.H)
(5.H)
Таким образом, компоненты деформации в полярных координатах &•, £厶 yrt выражаются следующим образом：
% =% =3〃 дг '3〃 дг 'ь= ；（"+嘉），ь= ；（"+嘉），_ ди ди сY" =苏+布-7•_ ди ди сY" =苏+布-7•(5.12)(5.12)
% =
% =
3〃 дг '
3〃 дг '
ь= ；（"+嘉），
ь= ；（"+嘉），
_ ди ди с
Y" =苏+布-7•
_ ди ди с
Y" =苏+布-7•
(5.12)
(5.12)
Скорости деформаций ©「，©/ и сдвига ytt определяются теми же зависимостями, если и и и представляют собой полярные компоненты скоростей. •
Во многих приложениях необходимо знать только напряжения и деформации илн скорости деформаций. Так как уравнения (5.3) или (5.12) представляют собой три зависимости для составляющих 〃 и и, то последние можно исключить из них путем дифференцирования. Тем самым мы получаем условия совместности для компонент деформаций или скоростей деформаций в прямоугольных координатах
ду2 дх2 ~ дхду (・)
и в полярных координатах
丄豐—+ 与W 一 力• (5.14) r 0a2 dr [ dr y r dr da
Соответствующие зависимости для скоростей можно получить, поставив точки над компонентами деформаций. Эти условия должны всегда удовлетворяться, чтобы в деформированном теле существовала непрерывная система компонент 〃 и и.
Плоская деформация. Говорят, что тело находится в состоянии плоской деформации, если его точки перемещаются в параллельных плоскостях, а перемещения и деформации удлинения в направлении, перпендикулярном этим плоскостям, равны нулю. Применяя прямоугольную систему координат и выбирая координатную плоскость х, у, совпадающую с одной из этих плоскостей, для плоской деформации получим
w = гг = y*z = ууг = т»2 = т” = 0.
А. Упругое тело. Если в третьем уравнении (4.49) положить 8? = 0, то нормальное напряжение о? должно быть равно
% = "о* + о/，(5.15)
а среднее напряжение а будет равно
о =
Ох + Оу + О?
(1 4-V)(Од-Ч-Оу)
3
3
(5.16)
Зависимости (4.49) между напряжениями и деформациями приведутся к виду
% =需=备[(1 ~ v) а^ - vax],(5.17)
dv ди хху
Y切=丽+万=丁.
Откуда находим
(5.18)(5.18)"=f^7【(l -")% + "咽，
(5.18)
(5.18)
%=者7[(1 -")办+ "叫
и получаем объемное расширение
8 = 8Х + 8^8 = 8Х + 8^(1-2”)(о> + %)3(l-2v)a(1-2”)(о> + %)3(l-2v)a2G2GЕЕ(5.19)(5.19)
8 = 8Х + 8^
8 = 8Х + 8^
(1-2”)(о> + %)3(l-2v)a
(1-2”)(о> + %)3(l-2v)a
2G
2G
Е
Е
(5.19)
(5.19)
Два условия равновесия
°。％ ^ху方 +丁°。％ ^ху方 +丁О,О,@5 Мху = 而"十F- 一u@5 Мху = 而"十F- 一u(5.20)(5.20)
°。％ ^ху方 +丁
°。％ ^ху方 +丁
О,
О,
@5 Мху = 而"十F- 一u
@5 Мху = 而"十F- 一u
(5.20)
(5.20)
удов летворя ются, если компоненты напряжений ax,。办 тху приравнять вторым производным функции напряжений Эри F (%, у):
02尸02尸% = "^7，% = ^~，302尸02尸% = "^7，% = ^~，302尸дх ду02尸дх ду(5.21)(5.21)
02尸02尸
% = "^7，% = ^~，3
02尸02尸
% = "^7，% = ^~，3
02尸дх ду
02尸дх ду
(5.21)
(5.21)
Условие совместности (5.13) компонент деформаций £%, еу, 丫*小 выраженных через напряжения [при использовании уравнений (5.17)], а именно
(1 一 S (醤 + 誓)—"(需 + 醬)=2 |^, (5.22)
показывает, что о%, о》，тху можно определить по. редством функции Эри 尸(％,〃), которая должна удовлетворять, согласно пре-
дыдущему выражению, однородному линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка
В + 2 IFdF + 可=А А尸=°・ (5.23)
Это уравнение называется бигармоническим дифференциальным уравнением. Если заданы значения напряжений на границах, то, как это видно из равенств (5.21), остается найти из уравнения (5.23) функцию 尸(％, у), принимающую на границах вместе с ее нормальной производной dF/dn (п ——внешняя нормаль к граничной цилиндрической поверхности тела) заданные значения 1).
После определения напряжений можно найти соответствующие компоненты перемещений и и v путем интегрирования первых двух выражений (5.17) для относительных деформаций ех и Eg по % и // соответственно и путем последующей подстановки полученных значений для 〃 и и в третье равенство (5.17), определяющее зависимость между напряжениями и деформациями yxy = ^xy/G. Значения и и v должны удовлетворять этому выражению тождественно. Эти выкладки позволяют найти из трех упомянутых соотношений произвольные функции, появляющиеся при интегрировании, и получить результаты в виде совокупности членов вида
1/ = % — Ry, v = c2 + С3%, (5.24)
представляющих малое поступательное движение и поворот твердого тела. Очевидно, что при таком определении w и у соблюдается условие совместности деформаций, поскольку функция напряжений F(x, у) определяется из уравнения (5.23).
Если, напротив, на границах тела заданы компоненты перемещений, то 〃 и и можно определить из дифференциальных уравнений Навье (4.65), записанных в двумерном виде (формула для
Если, например, граница х=const свободна от напряжений, т. е. если на ней сГх=%у=0, то функция напряжений 尸(％, у) в узкой полосе вдоль границы %=c6nst должна быть касательной к некоторой плоскости Р=а + + Ьх+су так, чтобы dF/dx=b = cons^ dF/dy—c=const при x=const. Уравнение 4А尸=6 по форме совпадает с дифференциальным уравнением АА侬=0 малых прогибов плоской упругой пластины, слегка прогнувшейся под действием распределенных по граничной кривой моментов и перерезывающих сил (см. § 8.1). Таким образом, решение задачи плоской деформации с заданными напряжениями на границах приводится к нахождению упругой поверхности плоской пластины, для которой заданы прогибы w и наклоны dw/dn по нормали вдоль граничной кривой (совпадающей с граничным цилиндром тела в состоянии плоской деформации). Эта аналогия впервые была использована Вихартом (W i е g h а г t К., Mitt. Forschungsarb- Ver. deut. Ing., № 49, 1908).
оператора Лапласа в этом случае имеет вид А = д2/дх2 + д2/ду2), т. е. с помощью одной из двух групп уравнений
(5.25а)(5.25а)(5.256)(5.256)(1 - 2”) А〃 + 靄=О, (1-2”)Аи +岩=0, Ле = 0;
(5.25а)
(5.25а)
(5.256)
(5.256)
而=°，Аа = 0.
Отметим полезное преобразование группы уравнений (5.256) при помощи двух тождеств
ад (диdv\д (dvd〃 \
Ад (диdv\д (dvди\岱・26)
указывающих, что выражение в первых скобках представляет собой объемное расширение е, выражение во вторых скобках равно 2s, где со——ротор вектора плоского поля перемещений w = i〃 + ju,
так чтотак чтоААиЛиЛ_ 3(1 -2v)do9 @s一N T- 一 дуdx+ 2 dje =…Edo dy+ 2 —_ 3(1 -2v)do9 @s一N T- 一 дуdx+ 2 dje =…Edo dy+ 2 —£ дх十дх ду，9々丿£ дх十дх ду，9々丿^ -^堂现^ -^堂现(5.28)(5.28)
так что
так что
А
А
и
Л
и
Л
_ 3(1 -2v)
do
9 @s
一N T- 一 ду
dx
+ 2 dje =…E
do dy
+ 2 —
_ 3(1 -2v)
do
9 @s
一N T- 一 ду
dx
+ 2 dje =…E
do dy
+ 2 —
£ дх十дх ду，9々丿
£ дх十дх ду，9々丿
^ -^堂现
^ -^堂现
(5.28)
(5.28)
После подстановки этих величин в два уравнения Навье (5.256) мы видим, что для упругого вещества при плоской деформации последние соотношения эквивалентны уравнениям Коши ——Римана
ds — 3 (1 ~ у) 0。_ 1 - у д&
(5.29)(5.29)~ду ~ Ё 丽—1 - 2v。尤’
(5.29)
(5.29)
dco —3 (1 — v) do — _ 1 — v。£
而一 £ 一 W - I 一2Y ~дй
Следовательно, величиныСледовательно, величины3 и3 иили со иили со и3 (1 — V)Q(1 -V)1 -2v 丿3 (1 — V)Q(1 -V)1 -2v 丿(5.30)(5.30)
Следовательно, величины
Следовательно, величины
3 и
3 и
или со и
или со и
3 (1 — V)Q
(1 -V)
1 -2v 丿
3 (1 — V)Q
(1 -V)
1 -2v 丿
(5.30)
(5.30)
можно рассматривать как действительные и мнимые части функции комплексной переменной z = x-Yiy\
(5.31)(5.31)
(5.31)
(5.31)
Рис. 5.3.Рис. 5.3.貝“—鑒=0,皆+否厂牖+ % = 0.貝“—鑒=0,皆+否厂牖+ % = 0.(5.33)(5.33)
Рис. 5.3.
Рис. 5.3.
貝“—鑒=0,皆+否厂牖+ % = 0.
貝“—鑒=0,皆+否厂牖+ % = 0.
(5.33)
(5.33)
кроме того, со и среднее напряжение о удовлетворяют уравнению Лапласа
Доо — 0, Ао = 0. (5.32)
Любое семе访ство сопряженных потенциалов з и —3(1—v)o/E определяет семейство компонент смещений и и и для плоской деформации упругого тела.
Если вместо прямоугольных координат применяются полярные координаты, то мы имеем нормальные напряжения аг, о% в радиальном и в тангенциальном
направлениях и касательное на
пряжение т力.Два условия их равновесия получаются из рассмотрения малого элемента материала rdrda и действующих на него усилий (рис. 5.3):
Эги уравнения будут удовлетворены, если положить
I dF I d2F。2尸
д dF\(5.34)
Поскольку сумма нормальных напряжений
"+ 6 = о* + % = AF(5.35)
представляет собой инвариант, величина А尸 при плоской дефор- маннн также должна быть инвариантом. Она выражается в
полярных координатах при помощи равенств (5.34) в следующем
виде:виде:…f尸屮+ ；祭+…f尸屮+ ；祭+1 d2F1 d2F(5.36)(5.36)
виде:
виде:
…f尸屮+ ；祭+
…f尸屮+ ；祭+
1 d2F
1 d2F
(5.36)
(5.36)
определяющем оператор Лапласа. Функция напряжений F(r,a), выраженная через г и а посредством (5.36), удовлетворяет уравнению (5.23). Мы уже определили деформации и вращение тела через компоненты перемещений в радиальном и тангенциальном направлениях, которые снова обозначаются как 〃 и и соответственно. Таким образом, имеем следующие зависимости между напряжениями и деформациями:
% =鴿=击[(1 一 V)о> - vaj,
匕=}(" + 瑞)=击 K1一")d 一 "叫'(5.37)
{ du dv v xTt
из которых указанным ранее способом можно определить пере* мещения 〃 я и, если известна функция напряжений, удовлетворяющая граничным условиям для напряжений.
Если же вдоль границы заданы перемещения 〃 0 и, то в урав^ нения равновесия (5.33) можно подставить выражения для на* напряжений
= 1^7 [(! - V)ez + ver],(5・38)
t〃 Gy〃・
При этом получаются два дифференциальных уравнения в част* ных производных для 〃 и и, которые, однако, в полярных коор^ динатах г, а оказываются более сложными, чем соответствующие уравнения (5.25а) и (5.256) в прямоугольных координатах. Но их вторая форма, основанная на введении вращения (о и среднего напряжения о, записанная в виде
«①—3 (1 — w) do
7^"一 Е dr '
亜=_ 3(1 - w) do(5，39)
万Ег да *
сохраняет соотношения Коши — Римана для величин со и 3 (1 — V)о
l _2—, представляющих пару сопряженных потенциалов.
Использовав выражения для со и для объемного расширения £
2(о2(оV . dv __ d〃 г dr г да 9V . dv __ d〃 г dr г да 9ди . и ."而+不+ди . и ."而+不+加—3 (1 — 2”)о г да ~~~ Е加—3 (1 — 2”)о г да ~~~ Е
2(о
2(о
V . dv __ d〃 г dr г да 9
V . dv __ d〃 г dr г да 9
ди . и .
"而+不+
ди . и .
"而+不+
加—3 (1 — 2”)о г да ~~~ Е
加—3 (1 — 2”)о г да ~~~ Е
легко убедиться, что поскольку
de — 2 ds — dr 厂 даde — 2 ds — dr 厂 даА〃 —А〃 —и 2 dvи 2 dv
de — 2 ds — dr 厂 да
de — 2 ds — dr 厂 да
А〃 —
А〃 —
и 2 dv
и 2 dv
de , c d°>*v. 2ди
—т—h 2 -у-= А ио+ "т，
г да дгг2产而'
то уравнения Навье для компонент перемещений в радиальном и тангенциальном направлениях 〃 и и в полярных координатах г, а выражаются следующим образом:
Е /А и 2 dv\ . да 八
等(а0 一養黑卄黑 =0.
Б. Несжимаемое упругое тело. Приведем вкратце предыдущие уравнения в их простейшем виде для плоской деформации такого тела (” = 1/2), у которого объемная деформация £ равна
нулю,
£ = % + 办=黑 + 芻=°，(5.40)
и среднее напряжение равно
0* +0扌 + %S + Og
Тогда зависимости между напряжениями и деформациями приведутся к простому виду
О* — Оу Оу — О^ху
причем напряжения ах и о» будут равны
о* = 2Gex + a, % = 2G% + a,
а 〃 н и удовлетворяют уравнениям (4.61) в двумерном виде
GA〃 +芻=0, GAu +芻=0, До = 0.(5.41)
В. Несжимаемое чисто вязкое вещество. Для этого вещества оказывается справедливой подобная же совокупность уравнений,
в которых 〃 н и обозначают компоненты скорости
ди dvqf+ 西=°，ди dvqf+ 西=°，°* + Gy°* + Gy
ди dv
qf+ 西=°，
ди dv
qf+ 西=°，
°* + Gy
°* + Gy
G X — Gyc
百*=一百"=—4Ц—,o* = 2re* + o,% = 2卩询 + 0,%?=吓*勿
(5.42)
卩 А〃 +黑=0, 卩 Аи +需=0, Ао = 0.(5.43)
В § 5.2, Б и 5.2, В сохраняют силу все зависимости, относящиеся к функции напряжений 尸(х, у), приведенные в § 5.2, А.
Предположим, что в вязком веществе нужно найти поле скоростей 〃 11 и при данных граничных значениях и и и. Учитывая уравнение сплошности
"放+而"放+而=0,=0,(5.44)(5.44)
"放+而
"放+而
=0,
=0,
(5.44)
(5.44)
можно получить W И У при помощи функции тока ф, положив
〃 =/， ду '〃 =/， ду 'иидфдфдх *дх *(5.45)(5.45)
〃 =/， ду '
〃 =/， ду '
и
и
дф
дф
дх *
дх *
(5.45)
(5.45)
Так как для вращения имеем
с dv ди А .26 =我一石=一m，с dv ди А .26 =我一石=一m，(5.46)(5.46)
с dv ди А .
26 =我一石=一m，
с dv ди А .
26 =我一石=一m，
(5.46)
(5.46)
то, учитывая уравнения (5.32), Аз = 0, получаем, что и функция тока 屮 должна быть бигармонической функцией
Л Лф =» 0.(5.47)
Таким образом, в вязком веществе поле скоростей 〃 и и при плоской деформации определяется бигармонической функцией 屮, если заданы граничные значения гр и ее нормальные производные ду^/дп. С помощью о н гр можно выразить соответствующие напряжения, если использовать сопряженные потенциалы —Зо/2Е и(о,
дх ду 'дх ду '%=о — 2 卩 Е，%=о — 2 卩 Е，
дх ду '
дх ду '
%=о — 2 卩 Е，
%=о — 2 卩 Е，
Эти формулы показывают, что функция тока 屮 и функция напряжений 尸 связаны между собой двумя уравнениями
d2F . 矿屮@2尸d2F
dx dy J M dx dy dy2 dx2 *
Методика получения вается аналогичной координат х, у.Методика получения вается аналогичной координат х, у.решения в полярных уже рассмотреннойрешения в полярных уже рассмотреннойкоординатах оказы-для прямоугольныхкоординатах оказы-для прямоугольных
Методика получения вается аналогичной координат х, у.
Методика получения вается аналогичной координат х, у.
решения в полярных уже рассмотренной
решения в полярных уже рассмотренной
координатах оказы-для прямоугольных
координатах оказы-для прямоугольных
5.3. Плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает в тонком диске постоянной толщины при действии сил в направлении срединной плоскости диска. Если выбрать эту плоскость в качестве координатной плоскости х, у, то составляющие напряжений Oz,工化力 工屮 будут равны нулю по всей пластинке, а среднее напряжение примет значение о = =(0黑 + Оу) /3.Рассмотрим плоское напряженное состояние в чисто вязком (несжимаемом) материале. Согласно третьему из уравнений (4.63), так как o2 = a + 2|ui82 = 0, имеем ©z = —0/2卩；обозначив через ё сумму скоростей деформаций ех, е^, представляющую дивергенцию вектора скорости w = i〃 + ju в плоском поле, получим© = ©“ +财=^+黑=divw=-匈=言・ (5.52)Зависимости между напряжениями и скоростями деформаций примут вид0“ = 0+2脸， или5.3. Плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает в тонком диске постоянной толщины при действии сил в направлении срединной плоскости диска. Если выбрать эту плоскость в качестве координатной плоскости х, у, то составляющие напряжений Oz,工化力 工屮 будут равны нулю по всей пластинке, а среднее напряжение примет значение о = =(0黑 + Оу) /3.Рассмотрим плоское напряженное состояние в чисто вязком (несжимаемом) материале. Согласно третьему из уравнений (4.63), так как o2 = a + 2|ui82 = 0, имеем ©z = —0/2卩；обозначив через ё сумму скоростей деформаций ех, е^, представляющую дивергенцию вектора скорости w = i〃 + ju в плоском поле, получим© = ©“ +财=^+黑=divw=-匈=言・ (5.52)Зависимости между напряжениями и скоростями деформаций примут вид0“ = 0+2脸， или99dvdv丄3IX丄凯^ -^丄3IX丄凯^ -^- X9Т0- X9Т01-2 1-21-2 1-2
5.3. Плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает в тонком диске постоянной толщины при действии сил в направлении срединной плоскости диска. Если выбрать эту плоскость в качестве координатной плоскости х, у, то составляющие напряжений Oz,工化力 工屮 будут равны нулю по всей пластинке, а среднее напряжение примет значение о = =(0黑 + Оу) /3.
Рассмотрим плоское напряженное состояние в чисто вязком (несжимаемом) материале. Согласно третьему из уравнений (4.63), так как o2 = a + 2|ui82 = 0, имеем ©z = —0/2卩；обозначив через ё сумму скоростей деформаций ех, е^, представляющую дивергенцию вектора скорости w = i〃 + ju в плоском поле, получим
© = ©“ +财=^+黑=divw=-匈=言・ (5.52)
Зависимости между напряжениями и скоростями деформаций примут вид
0“ = 0+2脸， или
5.3. Плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает в тонком диске постоянной толщины при действии сил в направлении срединной плоскости диска. Если выбрать эту плоскость в качестве координатной плоскости х, у, то составляющие напряжений Oz,工化力 工屮 будут равны нулю по всей пластинке, а среднее напряжение примет значение о = =(0黑 + Оу) /3.
Рассмотрим плоское напряженное состояние в чисто вязком (несжимаемом) материале. Согласно третьему из уравнений (4.63), так как o2 = a + 2|ui82 = 0, имеем ©z = —0/2卩；обозначив через ё сумму скоростей деформаций ех, е^, представляющую дивергенцию вектора скорости w = i〃 + ju в плоском поле, получим
© = ©“ +财=^+黑=divw=-匈=言・ (5.52)
Зависимости между напряжениями и скоростями деформаций примут вид
0“ = 0+2脸， или
9
9
dv
dv
丄3IX丄凯^ -^
丄3IX丄凯^ -^
- X9Т
0
- X9Т
0
1-2 1-2
1-2 1-2
Применяя
полярные координаты г, а
подобным образом,
полу-
чаем
. д (гм) . dv
£一%
=0,
(5.48)
@屮
u = -,V =
г да
一亍，
(5.49)
2(о = —ч~ г дг
/ 、1 ди _ ад2^
1 ^^1 d2"
r drr2 da?'
(5.50)
А Аф = 0.
(5；51)
После подстановки выражений для напряжений о%, оу, тху в уравнения равновесия (5.20) получим
(5.53)(5.53)2卩 А〃 + 3黑=0,2卩 Аи + 3 芻=0.
(5.53)
(5.53)
Эти уравнения можно аналогичным образом преобразовать в уравнения Коши ——Римана, введя двумерную дивергенцию div w = g и ротор
. 1 / dv ди \
Уравнения Коши ——Римана для этих переменных имеют вид
ду ~~ дх ' дх ~ дуду ~~ дх ' дх ~ ду(5.54)(5.54)
ду ~~ дх ' дх ~ ду
ду ~~ дх ' дх ~ ду
(5.54)
(5.54)
Следовательно, поле скоростей 〃，и при плоском ном состоянии определяется уравнениями (5.54) или становки в них С = ог/2卩 уравнениямиСледовательно, поле скоростей 〃，и при плоском ном состоянии определяется уравнениями (5.54) или становки в них С = ог/2卩 уравненияминапряжен- после под-напряжен- после под-
Следовательно, поле скоростей 〃，и при плоском ном состоянии определяется уравнениями (5.54) или становки в них С = ог/2卩 уравнениями
Следовательно, поле скоростей 〃，и при плоском ном состоянии определяется уравнениями (5.54) или становки в них С = ог/2卩 уравнениями
напряжен- после под-
напряжен- после под-
d® do dd) da卩石=荻，n前=一历d® do dd) da卩石=荻，n前=一历(5.55)(5.55)
d® do dd) da
卩石=荻，n前=一历
d® do dd) da
卩石=荻，n前=一历
(5.55)
(5.55)
показывающими, что теперь сопряженными гармоническими функциями являются цо и о.
Напряжения ах, Од, хху можно аналогичным образом определить посредством функции напряжений 尸 из уравнения АА尸=0.
С целью сравнения приведем соответствующие уравнения для плоского напряженного состояния в упругом сжимаемом теле. Деформации равны
〃-% 07о-d d-d〃-% 07о-d d-d=4* a -"叨
〃-% 07о-d d-d
〃-% 07о-d d-d
=击(% 一 "0)(5.56)
% = 一 万(О* + Оу), УХу =不 XXyf
”divw = |^ + ^ =色Q^⑺。,о = $(o* + %)・ (5.57)
Перемещения удовлетворяют уравнениям
2GA 〃 + 3 窮=0,
2G Au + 3 詐=0.
(5.58)
Для c = divw величины со и а должны удовлетворять уравнениям
.* =（―嚼，>=-（1-<（5-59）
ИЛИ
3也=е巡 3变=_ё包.（5 60）
° дх Г ду » д ду Г дх *丿
Избранные решения бигармонического дифференциального уравнения. Определение компонент напряжений при плоской деформации в упругом или чисто вязком материалах, компонент скоростей в вязком веществе и прогибов плоской слабо изогнутой упругой или вязкой пластинки （см. гл. 9） приводит к нахождению интегралов бигармонического дифференциального уравнения ДД/ = 0 при заданных граничных условиях. Функция f может представлять функцию напряжений, или функцию Эри 尸， функцию тока гр или функцию прогибов w плоской пластинки. Естественно, что в этой книге нельзя дать подробное перечисление и обзор большого числа существующих точных решений, полученных в этой области за последние 50—60 лет. Данная глава посвящена краткому ознакомлению читателя с теорией получения некоторых интегралов уравнения ДД/==0 для избранной группы двумерных задач, имеющих отношение к задачам о действии сосредоточенного давления в упругом и вязком телах и к некоторым геофизическим приложениям.
А. Осевая симметрия. Если 尸 зависит от радиального расстояния г от оси, то уравнение [см. （5.36）]
aаf=（备+ ；令（礬+ ；寥）=0（5・61）
имеет общее решение
尸=% + см? + с2 in г + 方川 In г.
（5.62）
Если 尸⑺一функция выразится следующим
Эри, то осесимметричное распределение образом:
напряжений
°' ^ ~^金『=201 + ~2" +e3 （2 1口 广 + 1）， d = ^^~ = 2/ — -^f- + 方（2 E 广 + 3）.
（5.63）
Исключим сперва часть решения, связанную с постоянной интегрирования 禽, положив сз=0・ Тогда остальные члены, содержащие ci и с2, определят напряженное состояние в полых цилиндрах под действием внутреннего или
внешнего давления. Для случая внутреннего давления /• = 〃， о「= — р, г = Ь, Ог = 0 хорошо известные формулы Ламе
0r牲庐偉+1)664)
дают значения напряжений в упругом или в вязком полом цилиндре. Можно получить выражения для радиального перемещения в упругом цилиндре (так как и = 0)
"=厂立=赤［"一"(" + e"=而證冷厂［- -(1 - 2-)r］(5.65)
или для радиальной скорости “， с которой расширяется чисто вязкий цилиндр,
u = rkt = ^(立一")=加請％万'•(5.66)
Что касается части решения, в которой положено Сз = &
F=cr2 In г,(5.67)
то следует отметить, что она имеет ту интересную особенность, что определяемая ею тангенциальная составляющая смещения представляет собой многозначную функцию координаты а.
Рассмотрим несжимаемый упругий материал. Подставим формулы для соответствующих компонент напряжений
аг = с (2 in г + 1),
j = c(91nr + 3),(5.67а)
тг〃 = О
в соотношения между напряжениями и деформациями ди аг — а； — с
ди , dv 0 c
Yr/ = 7^ + ^--T = 0-
Затем проинтегрируем первые два из них по г и а соответственно и определим две произвольные функции интегрирования (одна из этих функций зависит от а, а другая от г) из условия, что yrt при вычисленных значениях и и V должна равняться нулю. В результате получим
и =——+ а【cos а + & sin а,
era .,,
и = —г；的 sin а + & cos а + 西厂，
где члены, содержащие постоянные интегрирования о】,〃2, аз, выражают движение абсолютно твердого тела. Наличие многозначного члена cra/G в выражении для и (который после полного поворота полярного угла а на 2л
увеличивается на 2лг/6) позволяет, как впервые указал Тнмпе】)， использовать функцию напряжений F=cr\nr с добавлением членов 仍严 и с2111r для выражения состояния чисто собственных упругих деформаций 〃 напряжений в замкнутом кольце при отсутствии внешних с〃/, действующих на это кольцо. Действительно, после определения сх и с? из условий г=а, г=Ь, аг=0 формулы '
…[*借7+唱
…十号岁传+м+呜]
опишут состояние чистого изгиба в кольце или полом цилиндре, в которых
результирующее нормальное усилие ь
J 5 dr
по радиальным плоским сечениям также равно нулю. Чтобы вызвать это напряженное состояние, вырежем в кольце узкий сектор § над полярной осью а = 0 (рис. 5.4), оставив полое пространство
затем приложим изгибающий момент, возникающий от распределенных тангенциальных напряжений (У/, чтобы замкнуть просвет, и сварим
оба торца. Величина момента определится значением постоянной с в предыдущем равенстве. Когда цилиндрические поверхности г=а и г=Ь свободны
от напряжений, замкнутое кольцо или цилиндры испытывают состояние чистого изгиба от внутренних напряжений. Если мгновенно создать подобное
состояние в цилиндре из вязко-упругого материала и заварить щель, то напряженное состояние постепенно исчезнет за счет релаксации.
Б. Некоторые 6игармонические функции. Напряжения, имеющие осо6ен・ ности. Пусть Н(z) ^f+ig — функция комплексного переменного r—x+iy=r^a. Тогда действительная и мнимая части fug функции Н(г) (поскольку они удовлетворяют уравнениям Af=O, Ag=0) являются гармоническими функциями (логарифмическими потенциальными функциями), а функции
尸=f, g,呷，户曰时，xg. yf, yg (5.67b)
представляют собой частные интегралы бигармонического дифференциального уравнения ААЕ=0. Их можно выразить в прямоугольных (х, у) или в полярных (г, а) координатах и умножить на неопределенные постоянные интегрирования, выразив таким образом решение бигармонического уравнения при
помощи конечных и бесконечных сумм, в которых постоянные интегрирования находятся из заданных граничных условий. Выбрав, например, z"=(%+iy)n, после отделения действительной части от мнимой в функции Н (г) получим частные решения в виде полиномов (если п — положительное целое число)
X,弘 ％2_у2, 2ху, %3-Зху2, 3%2у_уЗ,….
Положив
H(N)= # =产/弋(5.67г)
получим потенциалы, выраженные в полярных координатах г, а, d (cos па, sin па), 尸"(cos па, sin па), [sin (п In г), cos (几 In г)] [sh па, ch па]
в зависимости от того, является ли п положительной, отрицательной или мнимой величиной. Каждую из выписанных потенциальных функций можно умножить на г2 и на постоянную интегрирования. Получающиеся тригонометрические ряды можно использовать для построения функции напряжений F или функции тока 2 в цилиндрах, кольцах, телах в виде сектора и т. п.
Кроме упомянутых функций, при исследовании плоского напряженного состояния или плоской деформации можно использовать некоторые из бигармо- нических функций типа
尸=In г, а, г2 In г,户仇 г In г sin а, г In г cos а,
га sin а, га cos а, sin 2а, cos 2а,....
Если компоненты напряжений, соответствующие функции напряжений F, неограниченно возрастают вблизи некоторой точки, то говорят, что в этой точке напряженное состояние имеет особенность. Например, две сопряженные функции напряжений, полученные из комплексной функции
Н (z) = с lnz = с (lnr + /а) = 8 + i尸2,
определяют две особые точки для напряжений. Функция Fi = c In г определяет так называемый центр сосредоточенного радиального растяжения или сжатия с напряжениями
сс
и скоростями в радиальном и тангенциальном направлениях
〃 =—— , и = 0.
2財
Это решение можно также получить с помощью функции тока 屮=—ca/2ji. Вторая функция напряжений F2=ca определяет центр сосредоточенного закручивания с напряжениями
〃 = S = 0, тг/= --—
и скоростями в радиальном и тангенциальном направлениях
скорости (или перемещения — для многозначные функции координатскорости (или перемещения — для многозначные функции координатРис. 5.5.Рис. 5.5.функции путемфункции путемс .от/ =——sm а,с .от/ =——sm а,т〃 =cos ат〃 =cos а
скорости (или перемещения — для многозначные функции координат
скорости (или перемещения — для многозначные функции координат
Рис. 5.5.
Рис. 5.5.
функции путем
функции путем
с .
от/ =——sm а,
с .
от/ =——sm а,
т〃 =cos а
т〃 =cos а
представляющими вихрь вокруг начала координат г=0. Этот результат получается также с помощью функции тока ф= (с/2ц) In г.
Решения, выведенные исходя из подобных особенностей для напряжений, часто можно использовать для тел (с отверстием или несколькими пустотами), напряжения в которых определяются вне областей с особенностями. В подобных случаях, а именно в случаях, когда функция напряжений вводится внутри двусвязных или многосвязных областей (вокруг отверстия, например), след) ет, однако, принимать некоторые предосторожности для выяснения,
будут ли одна или обе составляющие упругого тела) 〃 и и выражаться через 力,у или г, а. Если возникает многозначное поле скоростей 〃，у, то в функцию напряжений 尸 необходимо включить некоторые особые напряженные состояния, создающие искусственное распределение собственных напряжений («внутренних напряжений») вокруг отверстия. Такие условия встречаются, например, при использовании функций напряжений F = cr2 In г [см. (5.67)]. Пока особенность располагается в точках, принадлежащих внешней граничной кривой, окружающей односвязную область, это затруднение не возникает. С математической точки зрения поучительно исследовать характер этих особых решений, которые можно легко выразить в виде рядов. Можно исходить из комплексной функции "(а) переменной
а=х+%, имеющей особенность, и выводить из нее новые
последовательного дифференцирования или интегрирования по з.
В качестве следующего примера рассмотрим для упругого тела функцию напряжений
F = crlnr sin а,(5.68)
которая определяет распределение напряжений
и поле перемещений в полярных координатах
〃=—-糸(sin а + a cos а), и = а sin а,
если опустить дополнительные члены, характеризующие движения абсолютно твердого тела. Разрежем бесконечное тело (рис. 5.5) плоскостью, перпендикулярной плоскости х, у, вдоль полярной оси а=0 и вырежем постоянным радиусом г=const круговое отверстие'вокруг начала координат О (г = 0). Очевидно, что напряжения аг и xrt вдоль поверхности отверстия не создают ни результирующей силы, ни момента, так что от поверхности отверстия на тело не передаются никакие внешние силы и моменты. Далее, ясно, что 〃 и и на плоскости разреза а=0 тоже равны нулю, тогда как после поворота полярного угла а на 360° на примыкающей стороне разреза имеем
а = 2л,〃 =—晉=〃о = const, и = 0・
Таким образом, оба берега плоского разреза сместятся друг относительно друга в направлении полярной оси на величину 〃 = 〃o=const. Так как на обоих берегах разреза а = 0 и а = 2л касательные напряжения *t=—с/г равны, то мы можем сварить тело вдоль этих берегов. При этом вновь получается состояние собственных напряжений в бесконечном теле без приложения к нему внешних результирующих сил или моментов. Это напряженное состояние Д. Тэйлор 1) использовал в своей теории дислокаций, как об этом уже упоминалось в т. 1, стр. 74.
Радиальные поля напряжений. 1) Сосредоточенная нормальная сила на прямолинейной границе. Функция напряжений
т…=%т…=%(5.69)(5.69)
т…=%
т…=%
(5.69)
(5.69)
определяет известное распределение радиальных напряжений )
2P sin а2P sin аS = S = °S = S = °(5.70)(5.70)
2P sin а
2P sin а
S = S = °
S = S = °
(5.70)
(5.70)
и соответствующее поле радиальных и тангенциальных составляющих скоро- стей 〃r, ut в вязком несжимаемом веществе
p尸
иг= — й——Inr sin а,«/ =————(In г + 1) cos а, (5.71)
если опустить члены, характеризующие движение абсолютно твердого тела. Составляющие скорости их и иу в направлениях хну равны
РхуР / 炉 \
=%(572)
Результирующая радиальных напряжений о% действующих по полуци- линдрической поверхности r = const, простирающейся от угла а = 0 до а = л, для слоя материала единичной ширины равна силе Р, направленной вдоль оси у Уравнения (5.70) определяют напряженное состояние в полубесконеч- ном теле у>0, ограниченном плоскостью у=0 и нагруженном в начале коор> динат О нормальной силой Р, отнесенной к единице длины вдоль оси г (рис. 5.6).
Так как максимальные касательные напряжения в этом случае равны
.. 尸 sin а
Fax =万丨%丨—，
ТО кривые, ВДОЛЬ которых Tmax=const, представляют собой окружности (рис. 5.7), касающиеся оси х и проходящие через точку О приложения силы К, так как для них r = 2asina (а — радиус такой окружности). При фотоупругом испытании прозрачного упругого материала в белом поляризованном свете кривые Tmax = const, называемые изохромами, являются линиями постоянной окраски. Следовательно, в радиальном поле напряжений эти
окружности представляют собой и so хромы (на рис. 5.8 они воспроизведены в монохроматическом свете).、
Рис. 5.6. Сосредоточенная нормальная сила Р.Рис. 5.6. Сосредоточенная нормальная сила Р.Рис 5.7. Сосредоточенная нормальная сила.Максимальные касательные напряжения Хах постоянна на окружностях.Рис 5.7. Сосредоточенная нормальная сила.Максимальные касательные напряжения Хах постоянна на окружностях.
Рис. 5.6. Сосредоточенная нормальная сила Р.
Рис. 5.6. Сосредоточенная нормальная сила Р.
Рис 5.7. Сосредоточенная нормальная сила.
Максимальные касательные напряжения Хах постоянна на окружностях.
Рис 5.7. Сосредоточенная нормальная сила.
Максимальные касательные напряжения Хах постоянна на окружностях.
и деформированном состоянии, выи деформированном состоянии, выПри таком двумерном напряженном
и деформированном состоянии, вы
и деформированном состоянии, вы
званном действием сосредоточенной силы (и в сходных задачах при плоском
Рис. 5.8. Сосредоточенная нормальная сила, действующая на свободную границу тела в условиях плоской деформации. Изохроматические линии являются окружностями (по Фрохту).Рис. 5.8. Сосредоточенная нормальная сила, действующая на свободную границу тела в условиях плоской деформации. Изохроматические линии являются окружностями (по Фрохту).
Рис. 5.8. Сосредоточенная нормальная сила, действующая на свободную границу тела в условиях плоской деформации. Изохроматические линии являются окружностями (по Фрохту).
Рис. 5.8. Сосредоточенная нормальная сила, действующая на свободную границу тела в условиях плоской деформации. Изохроматические линии являются окружностями (по Фрохту).
напряженном состоянии и плоской деформации), выражения для составляющих скоростей в вязком веществе и для перемещений в упругом веществе "е стремятся к нулю с удалением от точки приложения результирующей
Фор-Фор-нагрузки. Поэтому перемещения, относящиеся к бесконечно удаленной точке в плоскости 尤，у, определить невозможно !)«
Фор-
Фор-
Сосредоточенная касательная сила на прямолинейной границе. мулы, полученные для функции напряжений
尸=——га sin а =——уа,
а именно
2Р cos а2Р cos а尸In г • cos а2冗卩尸In г • cos а2冗卩Gt = ^rt = 0,击(E「+l"ina,Gt = ^rt = 0,击(E「+l"ina,(5.73)(5.73)подобным же образом описываютподобным же образом описываютнапряженное состояние и скорости внапряженное состояние и скорости вполу-полу-бесконечном теле у〉0, нагруженном силой Р, приложенной в начале коорди-бесконечном теле у〉0, нагруженном силой Р, приложенной в начале коорди-Р и с. 5.9. Сосредоточенная касательная сила Р.Р и с. 5.9. Сосредоточенная касательная сила Р.нат О и действующей в направлении отрицательной оси х (рис. 5.9). В обоих случаях (1) и (2) можно вырезать из полубесконечного тела сектор, ограниченный прямыми линиями а = ——р и а = -^-+ р (так как (h=t“=0 на пучке лучей а=const), и получить распределениеинапряжений в клине, нагруженном в его вершине г=0 частичной нагрузкой Q, воспринимаемой круговой дугой 2г|3. Формулы (5.73) опишут случай изгиба клиновидной консольной балки под действиемнат О и действующей в направлении отрицательной оси х (рис. 5.9). В обоих случаях (1) и (2) можно вырезать из полубесконечного тела сектор, ограниченный прямыми линиями а = ——р и а = -^-+ р (так как (h=t“=0 на пучке лучей а=const), и получить распределениеинапряжений в клине, нагруженном в его вершине г=0 частичной нагрузкой Q, воспринимаемой круговой дугой 2г|3. Формулы (5.73) опишут случай изгиба клиновидной консольной балки под действиемсилы, приложенной на конце консоли. При таких распределениях радиальных напряжений кривые ттах = const будут окружностями, причем направление силы Q определит ось системы круговых изохром 2). Поскольку От, 〃г, 〃± стремятся к бесконечности при г -> 0, решение будет неприменимо внутри некоторой области 0<г<с вблизи точки приложения силы Р.силы, приложенной на конце консоли. При таких распределениях радиальных напряжений кривые ттах = const будут окружностями, причем направление силы Q определит ось системы круговых изохром 2). Поскольку От, 〃г, 〃± стремятся к бесконечности при г -> 0, решение будет неприменимо внутри некоторой области 0<г<с вблизи точки приложения силы Р.
2Р cos а
2Р cos а
尸In г • cos а
2冗卩
尸In г • cos а
2冗卩
Gt = ^rt = 0,
击(E「+l"ina,
Gt = ^rt = 0,
击(E「+l"ina,
(5.73)
(5.73)
подобным же образом описывают
подобным же образом описывают
напряженное состояние и скорости в
напряженное состояние и скорости в
полу-
полу-
бесконечном теле у〉0, нагруженном силой Р, приложенной в начале коорди-
бесконечном теле у〉0, нагруженном силой Р, приложенной в начале коорди-
Р и с. 5.9. Сосредоточенная касательная сила Р.
Р и с. 5.9. Сосредоточенная касательная сила Р.
нат О и действующей в направлении отрицательной оси х (рис. 5.9). В обоих случаях (1) и (2) можно вырезать из полубесконечного тела сектор, ограниченный прямыми линиями а = ——р и а = -^-+ р (так как (h=t“=0 на пучке лучей а=const), и получить распределениеинапряжений в клине, нагруженном в его вершине г=0 частичной нагрузкой Q, воспринимаемой круговой дугой 2г|3. Формулы (5.73) опишут случай изгиба клиновидной консольной балки под действием
нат О и действующей в направлении отрицательной оси х (рис. 5.9). В обоих случаях (1) и (2) можно вырезать из полубесконечного тела сектор, ограниченный прямыми линиями а = ——р и а = -^-+ р (так как (h=t“=0 на пучке лучей а=const), и получить распределениеинапряжений в клине, нагруженном в его вершине г=0 частичной нагрузкой Q, воспринимаемой круговой дугой 2г|3. Формулы (5.73) опишут случай изгиба клиновидной консольной балки под действием
силы, приложенной на конце консоли. При таких распределениях радиальных напряжений кривые ттах = const будут окружностями, причем направление силы Q определит ось системы круговых изохром 2). Поскольку От, 〃г, 〃± стремятся к бесконечности при г -> 0, решение будет неприменимо внутри некоторой области 0<г<с вблизи точки приложения силы Р.
силы, приложенной на конце консоли. При таких распределениях радиальных напряжений кривые ттах = const будут окружностями, причем направление силы Q определит ось системы круговых изохром 2). Поскольку От, 〃г, 〃± стремятся к бесконечности при г -> 0, решение будет неприменимо внутри некоторой области 0<г<с вблизи точки приложения силы Р.
尸иг= — sin а In (厂/а),尸иг= — sin а In (厂/а),〃广〃广2呻\ а2呻\ аОтсюда видно, что граничная поверхность, вдавленная вблизи точки приложения силы 户，будет подниматься вдали от точки приложения силы, так как несжимаемое вещество, вытесненное под нагрузкой Р, должно появиться в другом месте, как показано на рис. 5.6.
尸
иг= — sin а In (厂/а),
尸
иг= — sin а In (厂/а),
〃广
〃广
2呻\ а
2呻\ а
Интересные примеры изохром даны в книге: Ф р о х т М., Фотоупругость, т. 2, гл. 2, П41т几 М., 1950.
Сосредоточенный момент. При действии момента М, приложенного в точке О (「=0) свободной прямой границы у=0, функция напряжений имеет вид
М
尸=一詩(2а — sin 2а),(5.74)
а соответствующие напряжения равны
2М sin 2а2М sin 2алг2лг2М (1 - cos 2а)
2М sin 2а
2М sin 2а
лг2
лг2
0， 吁寿-•(5・75)
функцию (5.74) легко построить, исходя из функции (5.69) для сосредоточенной нормальной силы Р. Приложим две равные силы Р в противоположных направлениях в двух точках 0】и 。2, отстоящих друг от друга на малое расстояние 2а, что создает пару с моментом М=2Ра. Уменьшая плечо 2а и увеличивая силу Р так, чтобы момент М не менялся, получим сосредоточенный момент М в точке прямолинейной кромки у=(Р).
Функция напряжений
尸=} М sin 2a
определяет напряжения
翁sin 2а,翁sin 2а,” =0,” =0,М с % =尸 cos 2а,М с % =尸 cos 2а,
翁sin 2а,
翁sin 2а,
” =0,
” =0,
М с % =尸 cos 2а,
М с % =尸 cos 2а,
вызванные сосредоточенным моментом М, который действует в вершине прямого угла, ограниченного плоскостями а=±л/4.
Г. Периодические ( остояния плоской деформации. I) Периодические интегралы бигармонического уравнения можно получить, положив
小(х, У)— Yп(У)I sin —■-— или cos —~~—丿，(5.76)
(5.77)(5.78а)(5.786)(5.77)(5.78а)(5.786)где Уп — функция у; а — постоянная; п ——положительное целое число. После подстановки 尸 в бигармоническое уравнение АА尸=0 получим для Yn обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка
(5.77)
(5.78а)
(5.786)
(5.77)
(5.78а)
(5.786)
интегралы которого приводятся к виду
Yn = е 次"/a,e-^yla^ yW。,的飞的厶
или к виду „, ппу,八门学，nay,几冗学
〃 = sh£‘ chysh/, ych-/・
Эти функции напряжений F также могут служить для удовлетворения граничных условий на параллельных кромках полосы 0&%&а, — оо <z/< оо или прямоугольника 0&%&а,
Рассмотрим тригонометрические ряды, составленные из полученных частных интегралов
F= £(“〃 + %〃 2^_卜-R/a 卜也 ^5£ или cos ^^)(〃 = 0, 1, 2, 3,...),
ne0
(5.79)
где ап и Ьп — постоянные. Очевидно, что эта функция напряжений может определить состояние плоской деформации в полубесконечном теле у》0, нагруженном вдоль прямой кромки //=0 периодически меняющимися нормальными напряжениями G? = f(x), или касательными напряжениями Txy=g(x), или теми и другими вместе, при условии исчезновения напряжений ах, Оу, Тх? при у —со. Если ап = Ьп, то касательные напряжения хху равны нулю, если 仪打=0, то нормальные напряжения o〃 равны нулю для плоскости у = 0.
Определение давлений под параллельными цепями высоких гор. Предположим, что на граничной плоскости у=0 полубесконечного упругого или вязкого тела действуют нормальные напряжения
Gy = - р ( 1 + sin —(5.80)
(где р и а — постоянные) и что тХу=0 при у=0. Функция напряжений F, определяющая такое распределение давлений, имеет вид
宀吟(1 +号卜叫吟. (5.8])
В первом приближении уравнение (5.80) представляет собой распределение вертикальных нормальных напряжений в горизонтальном слое у—0, проведенном на уровне поверхности долины, под действием веса правильной параллельной цепи высоких гор, вершины которых отстоят друг от друга на расстоянии 2a (рис. 5.10). При этом предполагаегся, что 〃=〃丫/2 для гор с оди-
паковой высотой h и одинаковым удельным весом горных пород у- Чтобы учесть гидростатическое давление на больших глубинах (z/>0), вызванное гравитационными силами (рис. 5.11), в уравнение (5.81) следует добавить два
О* °уО* °у
О* °у
О* °у
Рис. 5.11. Приближенное распределение напряжений о*, ау под действиемвеса горы с профилем ABCDE.
/ — асимптота; 2 — глубина а/л, при которой ттах принимает максимальное значение.
слагаемых. Тогда получим функцию напряжений для уровней долины, расположенной ниже поверхности у = 0, в виде
尸=一号（/ +炉）一紧+ * （1 +*）l丿" sm号， （5,82）
Этой функции соответствует следующее распределение напряжений:
S = _ Р (1 + 常)-Р (1 一号)е-助/“ sin * ,
Оу = — р (1 + 崇)一р (1 + 号)内。sin 号，(5.83)
где постоянная 卩=力丫/2・ При достаточно больших значениях глубин у эти формулы дают распределение гидростатических давлений, так как слагаемые, содержащие множитель е~пу/а, стремятся к нулюJ). В табл. 5.1 приводятся значения о* и ау, вычисленные по формулам (5.83) для вертикальных сечений, проведенных через грунт при %=а/2 (под вершиной горы) и при %=——а/2 (под долиной); соответствующие кривые даны на рис. 5.11).
Таблица 5.1
Глубина ~~
Напряжения под вершиной С для х = а/2
Напряжения под долиной А для % = — а/2
-%/Р
』/Р
-%/Р
f/P
0
2
2
0
0
0,5
1,80
2,41
1,20
0,59
1,0
2,00
2,74
2,00
1,26
1,5
2,39
3,06
2,61
1,94
2,0
2,87
3,41
3,14
2,60
2,5
3,38
3,79
3,62
3,21
з,о
3,90
4,20
4,10
3,80
Сказанное объясняет в первом приближении особенности в распределении подземных давлений в толще высоких гор, что представляет особый интерес для геологов.
Далее, определяя с помощью (5.83) максимальное касательное напряжение, получаем
5 = ]/中1 + 吃(5.84)
максимальные каса-горизонтальных пло-на критической глу-максимальные каса-горизонтальных пло-на критической глу-(5.85)(5.85)Таким образом, несмотря на наличие возвышенностей, тельные напряжения сохраняют постоянные значения в скостях «/=const и достигают максимального значения … a бине У = ниже уровня долины, где
максимальные каса-горизонтальных пло-на критической глу-
максимальные каса-горизонтальных пло-на критической глу-
(5.85)
(5.85)
Стах = ^{р = 0,368р = 0,184Ау.
Следовательно, независимо от высоты, горной цепи плоскости наибольшего сдвига находятся на одной и той же глубине У — ~ (рис. 5.11), составляющей примерно 7б от расстояния между вершинами или долинами. Однако величина максимальных касательных напряжений для параллельных цепей высоких аор прямо пропорциональна высоте аор h. Геологам известно, что на протяжении определенных геологических эпох под действием движений геофизического характера, охватывающих целые континенты, горные цепи сталкивались или перемещались вдоль горизонтальных плоскостей сдвига. Отсюда можно заключить, что эффект даже малых дополнительных нарушений такого типа будет сосредоточиваться вдоль слоев, где прежде всего исчерпывается сопротивление сдвигу, а именно в областях, где Стах принимает максимальное значение, т. е. в названной плоскости наименьшей жесткости, расположенной на глубине У~~ ниже уровня долины. Изостатические соображения не меняют этого факта, так как вес возвышающихся горных цепей должен уравновешиваться соответствующими напряжениями под ними.
Горные породы под цепью гор испытывают под действием их веса перемещения и, V упругого и вязкого (остаточного) характера. О них можно судить, определив упругую деформацию е^.и скорость остаточной деформации ёх соответственно. Возьмем для простоты упругий несжимаемый материал (коэффициент Пуассона v= Vs) и определим из уравнений (5.83) выражения для деформаций
@〃加 о%-Оу пр _пи/а .冗％
3$=-5寸一^- =受^步 У sin--
После интегрирования этих выражений находим упругие компоненты перемещений и и V в горизонтальном и вертикальном направлениях в виде
РУ 亠Пи [ а ТСХ
〃 =—е yta cos ——,2Gа
(5.86)(5.86)…爲卜+圖E%吟,
(5.86)
(5.86)
откуда следует, что в горизонтальной плоскости на уровне долины
〃 =О,〃 =О,2л G2л Gsinsin冗％а冗％а(5.87)(5.87)
〃 =О,
〃 =О,
2л G
2л G
sin
sin
冗％а
冗％а
(5.87)
(5.87)
Если в предыдущих формулах заменить модуль сдвига G на коэффициент вязкости 卩,то получим соответствующие выражения для малых составляю-
щих скоростей “， 。， с которыми расположенные ниже поверхности Земли точки х, у стационарно движутся вследствие вязкости горных пород. Отметим также, что породы будут погружаться под вершинами гор и подыматься в долинах согласно синусоидальному закону.
Интересно оценить вертикальное упругое перемещение и остаточную скорость и на уровне у=0 долины. Примем среднее значение модуля сдвига горных пород (7=80 000 кг/см2!), высоту гор А=3000 м,。=冗九/0=4,713 м и удельный вес горных пород у«0,0027 к21cMз, так что -давление равно 〃=力丫/2 = 405 кг/см. Тогда для амплитуды синусоидальной волны упругих вертикальных перемещений получим
ve = к 363 см = 3,63 м.
Подобным же образом, принимая для горных пород в верхних слоях земной коры среднее сравнительно высокое общепринятое 2) значение 卩=5 • 1022 пауз=
Рис. 5.12. Ряд сосредоточенных нормальных сил.
=5 • 1016 К2・сек/см2, получим для амплитуды вязкой вертикальной скорости vv, с которой перемещаются точки горизонтального слоя у = 0, величину
== 6,02 • 1О~10 см/сек = 0,019 см/год,
т. е. приблизительно 2 см в столетие.
Однако перемещения под горными цепями, вызванные вязкостью» могут быть много больше вследствие несовершенств горных пород). Если взять 卩 в сто раз меньше, то вполне возможны скорости。^^2 м в столетие. Переме- плення такого порядка величин должны быть заметными, например, в искривлении осей длинных железнодорожных туннелей, пронизывающих массивы Сен-Готард или Симплон в Швейцарских Альпах (первый из этих туннелей существует около ста лет).
Распределение напряжений под действием периодически расположенных сосредоточенных нормальных сил. Предположим, что по прямолинейной границе у=0 нормальные напряжения ау представляются в виде периодической функции от х, ay=f(x), с периодом С〃， принимающей постоянное значение о? = —р=const на части интервала —с<х<с и равной нулю вне этого
1) Хороший песчаник имеет модуль упругости F=240 000 кг/см2\ тогда при v=V2 модуль сдвига равен G = E/3.
интервала, причем тху = 0 при р = 0. Разрывная периодическая функция Oy=f(%) (рнс. 5.12) выразится в виде тригонометрического ряда
^= -~ 万 + ^ 2Tsm"Vcos(〃= 1, 2, 3 …).(5.88)
-n—l-
Пусть ширина нагруженной полоски 2c уменьшается, а давление р возрастает так, что сила, действующая на площадь 2cХ1, постоянна, P = 2cp = const. Математик Фейер доказал, что можно приравнять единице пределы отношений, входящих в ряд,
c=0\ a a /
и, переписав тригонометрический ряд в более простой форме
(〃 =1, 2, 3 ...),(〃 =1, 2, 3 ...),(5・89)】)(5・89)】)
(〃 =1, 2, 3 ...),
(〃 =1, 2, 3 ...),
(5・89)】)
(5・89)】)
получить аналитическое выражение для ряда одинаковых сжимаюш.их нагрузок Р, периодически расположенных с (рис. 5.13,о). Путем суперпозиции двух таких бесконечных ±Р, принимая Yi = x —自，％2 = % + Е，получаемполучить аналитическое выражение для ряда одинаковых сжимаюш.их нагрузок Р, периодически расположенных с (рис. 5.13,о). Путем суперпозиции двух таких бесконечных ±Р, принимая Yi = x —自，％2 = % + Е，получаемсосредоточенных интервалами 2a рядов нагрузоксосредоточенных интервалами 2a рядов нагрузок
получить аналитическое выражение для ряда одинаковых сжимаюш.их нагрузок Р, периодически расположенных с (рис. 5.13,о). Путем суперпозиции двух таких бесконечных ±Р, принимая Yi = x —自，％2 = % + Е，получаем
получить аналитическое выражение для ряда одинаковых сжимаюш.их нагрузок Р, периодически расположенных с (рис. 5.13,о). Путем суперпозиции двух таких бесконечных ±Р, принимая Yi = x —自，％2 = % + Е，получаем
сосредоточенных интервалами 2a рядов нагрузок
сосредоточенных интервалами 2a рядов нагрузок
(5.90)(5.90)
(5.90)
(5.90)
что представляет собой ряд периодически расположенных, попеременно меняющих направление сосредоточенных сил (рис. 5.13,6).
Тогда если, например, задаться функцией напряжений
(〃=1, 2, 3 ...),(5.91)(〃=1, 2, 3 ...),(5.91)戶=一警+e""(1+贵)。-而^ cos 吟 п=1
(〃=1, 2, 3 ...),(5.91)
(〃=1, 2, 3 ...),(5.91)
то постоянные 〃冗，входящие в этот ряд, определяются из условия, что на границе у = 0 нормальные напряжения
p ① 几2冗2〃冗%p ① 几2冗2〃冗%(5.92)(5.92)
p ① 几2冗2〃冗%
p ① 几2冗2〃冗%
(5.92)
(5.92)
представляет собой первую постоянных ап находимпредставляет собой первую постоянных ап находимсистему нагрузок Р [ряд (5.89)]. Отсюда для _ Ра
представляет собой первую постоянных ап находим
представляет собой первую постоянных ап находим
1) Фейер доказал, что расходящийся ряд типа (5.89) имеет смысл, если определять его сумму по правилу разложения средних арифметических его конечных частных сумм. Он доказал, что эти средние арифметические сходятся к нулю в ненагруженных частях интервала при безграничном возрастании п. См. К п о р р К・，Theorie def unendlichen Reihen, p. 455, SpringerVerlag, Berlin, 1922,
Следовательно, функция напряжений
(几=1, 2, 3 ...)(几=1, 2, 3 ...)一 / плх -5/а cos ——一 / плх -5/а cos ——(5.93)(5.93)
(几=1, 2, 3 ...)
(几=1, 2, 3 ...)
一 / плх -5/а cos ——
一 / плх -5/а cos ——
(5.93)
(5.93)
определяет напряженное состояние в полубесконечном теле у>0, а именно
一叁(T)^-nnyla cos 〃"% , 5=一■£■_?2 (1+簪)户吟。S等，(5.94)
"也鼻S 啥产"a sin吟("=1, 2,3...).
Это напряженное состояние создано рядом сосредоточенных сжимающих сил Р, действующих на одинаковых расстояниях 2а друг от друга.
Рис. 5.13. Ряды сосредоточенных сил.Рис. 5.13. Ряды сосредоточенных сил.
Рис. 5.13. Ряды сосредоточенных сил.
Рис. 5.13. Ряды сосредоточенных сил.
Решение в интегралах Фурье для полубесконечного тела, нагруженного по плоскости у = 0 нормальными “ касательными напряжениями. Предположим, что бу и гХу задаются на границе у=0 как однозначные функции х, принимающие конечные (или в отдельных точках интегрируемо бесконечные) значения внутри определенного интервала конечной длины и равные нулю вне
этого интервала. В этом случае мы можем принять частное решение бигар- монического уравнения в следующей форме:
(Л + Bay) е~ау cos ах(5.95)
и вместо суммы рассмотреть для функции напряжений 尸 определенный интеграл Фурье, взятый в пределах от а = 0 до а=оо.
Если на поверхности у=0 распределены нормальные напряжения(yy=f(x), где f(%)——четная функция, то мы принимаем А=В и выражаем соответствующее распределение напряжений формулами
ст* = - J Л (1 — ay) е~ау cos a»da,о
б? = — J Л (1 + ay) е~ау cos a% da,(5.96)
о■
%ху = - У j 4ае~а“ sin a% da.о
Переменный параметр Л (а), зависящий от переменной интегрирования а, можно определить, согласно теории интегралов Фурье 9，из граничного условия, которое задает на у=0 значение нормального напряжения сту=/(х) в виде
0rp=，(%)=- J 4 (a) cos a% daу = 0.
о
откуда
Л(а)= -4 f f^ cos аЛ d%(5.97)
о
в предположении четности функции f(%).
Таким же образом, но используя выражение С (a) (y/a)e~aycos ах, можно выразить решение через интегралы Фурье для напряженного состояния, при котором на поверхности у = 0 действуют касательные напряжения 工久^=且(％), где ^(х) — нечетная функция. Эти общие решения находят интересные приложения в теории сосредоточенных давлений при двумерном распределении напряжений.
Плоская деформация вязко-упругого вещества. Можно избежать необходимости различать определенные периоды ре- лаксдции, которые входят в формулы для напряжений и деформаций, содержащие экспоненциальные множители «一”勿,завися-
См. Weber Н., Die partiellen Differential Gleichungen der mathemati- schen Physik, nach Riemann's Vorlesungen? v. L p. 48, Vieweg—Verlag, Brunswick, Germany, 1910,
щие от времени / н некоторых временных постоянных /г, если принять материал несжимаемым как для упругих, так и для остаточных частей деформаций, т. е. предположить в обоих случаях коэффициент Пуассона v = %. Это предположение упрощает теорию плоской деформации, и, согласно § 5.2, Б и В, его можно распространить на вязко-упругие вещества. Обозначим упругую и остаточную части деформаций и перемещений одним и двумя штрихами. Когда v = V2, для плоской деформации, при которой в? = £； + £； = 0, оба слагаемых обращаются в нуль в любой момент времени £； = 0， &： = °， кроме того, также равны нулю ве・ личины ^ = е^ = ё2 = 0. Так как среднее напряжение а равно
о =з= —2— = %，(5.98)
то для упругих и остаточных частей деформации получим следующие зависимости:
или
% = o +=2卩
% = o +2G 瑞= 0 + 2卩瑞，(5.100)
Вводя обозначение p/G = /s и учитывая, что
〃 =〃 + 〃”， и = U + и〃，
'〃 =〃'+ 〃”，0 = U + /,
зависимости между напряжениями и скоростями деформации
можно записать в виде
о-d d-d dad-。一一 = = -Xу D gХЕ •& *8 “+ .Yо-d d-d dad-。一一 = = -Xу D gХЕ •& *8 “+ .Y1^1^-4 d-d о-d =+ +-4 d-d о-d =+ +aj1一厶+ах・％aj1一厶+ах・％о*丄Gо*丄G01(5.01(5.ь-1 -%+3ь-1 -%+3
о-d d-d dad-。一一 = = -Xу D gХЕ •& *8 “
+ .Y
о-d d-d dad-。一一 = = -Xу D gХЕ •& *8 “
+ .Y
1^
1^
-4 d-d о-d =+ +
-4 d-d о-d =+ +
aj1一厶+ах
・％
aj1一厶+ах
・％
о*丄G
о*丄G
01(5.
01(5.
ь-
1 -%
+
3
ь-
1 -%
+
3
Решая эти уравнения относительно компонент напряжений, получаем
6“ +号=2啥+ 6 +}
Gu OSG
嗚十丁 = 2G 石 + 6 +(5.102)
02 = 6
Мы можем продифференцировать условия равновесия [уравнения (5.20)] по времени /, сложить результат дифференцирования с уравнениями (5.20) и подставить в поитученные суммы предыдущие уравнения (5.102). Тогда мы получим для составляющих перемещений 〃 и и два дифференциальных уравнения в частных производных от независимых переменных %, у、厶 описывающих задачу о вязко-упругой деформации несжимаемого материала,
6А"+ ^卜+勺=0,6А"+ ^卜+勺=0,GAU +号e+勺=。.GAU +号e+勺=。.(5.103)(5.103)
6А"+ ^卜+勺=0,
6А"+ ^卜+勺=0,
GAU +号e+勺=。.
GAU +号e+勺=。.
(5.103)
(5.103)
(5.104)(5.104)напряжений черезнапряжений через@2尸@2尸02尸дх ду *02尸дх ду *(5.105)(5.105)Используя условие совместностиду2 дх2 — дх ду，получаем дифференциальное уравнение для ний ?(%, у, /)Используя условие совместностиду2 дх2 — дх ду，получаем дифференциальное уравнение для ний ?(%, у, /)функциифункции(5.106)(5.106)напряженнапряженАА 户+ *AAF = 0,АА 户+ *AAF = 0,(5.107)(5.107)
(5.104)
(5.104)
напряжений через
напряжений через
@2尸
@2尸
02尸
дх ду *
02尸
дх ду *
(5.105)
(5.105)
Используя условие совместности
ду2 дх2 — дх ду，
получаем дифференциальное уравнение для ний ?(%, у, /)
Используя условие совместности
ду2 дх2 — дх ду，
получаем дифференциальное уравнение для ний ?(%, у, /)
функции
функции
(5.106)
(5.106)
напряжен
напряжен
АА 户+ *AAF = 0,
АА 户+ *AAF = 0,
(5.107)
(5.107)
Из этих уравнений следует, что
Ло Ч—Дет — 0.
С другой стороны, выражая компоненты функцию напряжений Эри 尸(％, у, /), имеем
в то время как для упругой части деформаций должны удовлетворяться уравнения
Положив a = q)(/)s(x, у) в уравнении (5.104):
(Ф + *①)а5 (招切=0,(5.109)
можно выбрать для s(x, у) решение уравнения Ав = О, согласующееся с уравнениями (5.108), а для 屮«)——произвольную функцию времени /, т. е. можно умножить любую потенциальную функцию в на произвольный множитель, зависящий от времени. Это позволяет определить плоские деформированные состояния, при которых граничные напряжения (внешние нагрузки) меняются некоторым заданным образом в зависимости от времени %. Можно принять, что
0 + *(р = О,о =«-力/小(х, у),(5.110)
где As = O. Те же рассуждения можно применить и к функции напряжений F. После получения ряда решений для 〃 и и из уравнений (5.103) остаточные и упругие части и и v определятся формулами
〃〃，и" = ；£-"%] (“，◎)*$dt, uf = и — Uf\ U=u—U〃・
s 0(5.111)
Релаксация давления в длинном цилиндре, посаженном на жесткий вал. В качестве примера плоской деформации рассмотрим релаксацию давления р по поверхности контакта длинной цилиндрической втулки, плотно посаженной на абсолютно жесткий вал.
Предположим сначала, что материал втулки идеально несжимаемый (”=，2)・ Обозначая индексами «нуль» все значения в идеально упругом материале в момент времени /=0 при нагружении, запишем для цилиндра с внешним и внутренним радиусами а и b значения радиальных, тангенциальных и осевых напряжений стг, Ot, 0rz [см. уравнения (5.64), (5.65)] в момент времени f=0
(5.112)(5.112)斗。=-理^ (当一)，%。=3^号得+ 1)，
(5.112)
(5.112)
00 = ~2~(”0 + So) н %2 一 出
и соответствующее им радиальное перемещение
〃0 = 〃о〃0 = 〃о2G啰一02/2G啰一02/(5.113)(5.113)
〃0 = 〃о
〃0 = 〃о
2G啰一02/
2G啰一02/
(5.113)
(5.113)
Поскольку радиальное перемещение при r=a остается неизменным 〃(a, f)=const и длина цилиндра не меняется, то для несжимаемого вязкоупругого материала очевидно, что три полные скорости деформации везде равны нулю % •» % н % н о и е：=成=。в любой момент времени； следова-
тельно, 0rz =万(07 + 立). Таким образом, полное радиальное перемещение точки с любым радиусом г должно оставаться постоянным и (г, /) =«о- Эта постоянная величина изменяется от первоначально упругого до конечного остаточного значения, причем часть wzz(r, t) перемещения и увеличивается, согласно уравнениям (5.111), следующим образом:
〃〃亿 /) = ~^-〃()е '"s j e^s dt = iz0(l — e ^5).(5.114)
$ о
总『/ = 哀卜/+^*一勺=0,总『/ = 哀卜/+^*一勺=0,(5.115)(5.115)Из формул, определяющих полные скорости деформации [уравнения (5.101)], следует, чю так как “ и 由，так же как £г, равны нулю в любой момент времени t
总『/ = 哀卜/+^*一勺=0,
总『/ = 哀卜/+^*一勺=0,
(5.115)
(5.115)
то все три компоненты напряжений стг, иь стг, а также контактное давление р будут уменьшаться пропорционально одному и тому же временному множителю е s. Релаксация присходит так, как будто на втулку действует давление
(5.116)(5.116)Р = %е $,
(5.116)
(5.116)
и напряжения можно определить просто по формулам (5.112), заменив ро на р.
Предположим теперь, что при упругих деформациях материал является упруго сживаемым с коэффициентом Пуассона v, тогда начальное упругое состояние в посаженном цилиндре в момент времени /=0 будет следующее:
d。 =読%(多+1), 2vp0«2dzo = ”(CTro + Ofo)=庐 一 @2，d。 =読%(多+1), 2vp0«2dzo = ”(CTro + Ofo)=庐 一 @2，(5.117)(5.117)(5.118)(5.118)При последующей вязко-упругой деформации упругие и остаточные части деформации, обозначенные одним и двумя штрихами, запишутся в видеПри последующей вязко-упругой деформации упругие и остаточные части деформации, обозначенные одним и двумя штрихами, запишутся в виде£；' £；'《=1V [(% % %) 一 击(力 + £ + J) £；，彳，К' н 击・[(%，％ %) — 4~ (°「+ S + %)]£；' £；'《=1V [(% % %) 一 击(力 + £ + J) £；，彳，К' н 击・[(%，％ %) — 4~ (°「+ S + %)](5.119)(5.119)а условие плоской деформации ег = 8^ + £；, ©^ = ©； + ©； требует, чтобыа условие плоской деформации ег = 8^ + £；, ©^ = ©； + ©； требует, чтобы6z + ； 02 ssy (6, + 6f) + "^^ (“ + Of)，6z + ； 02 ssy (6, + 6f) + "^^ (“ + Of)，(5.120)(5.120)
d。 =読%(多+1), 2vp0«2
dzo = ”(CTro + Ofo)=庐 一 @2，
d。 =読%(多+1), 2vp0«2
dzo = ”(CTro + Ofo)=庐 一 @2，
(5.117)
(5.117)
(5.118)
(5.118)
При последующей вязко-упругой деформации упругие и остаточные части деформации, обозначенные одним и двумя штрихами, запишутся в виде
При последующей вязко-упругой деформации упругие и остаточные части деформации, обозначенные одним и двумя штрихами, запишутся в виде
£；' £；'《=1V [(% % %) 一 击(力 + £ + J) £；，彳，К' н 击・[(%，％ %) — 4~ (°「+ S + %)]
£；' £；'《=1V [(% % %) 一 击(力 + £ + J) £；，彳，К' н 击・[(%，％ %) — 4~ (°「+ S + %)]
(5.119)
(5.119)
а условие плоской деформации ег = 8^ + £；, ©^ = ©； + ©； требует, чтобы
а условие плоской деформации ег = 8^ + £；, ©^ = ©； + ©； требует, чтобы
6z + ； 02 ssy (6, + 6f) + "^^ (“ + Of)，
6z + ； 02 ssy (6, + 6f) + "^^ (“ + Of)，
(5.120)
(5.120)
где временная постоянная J равна
(5.121)(5.121)/=3 卩 =3/$
(5.121)
(5.121)
г~ £ - 2(l + v) G 一 2(1+”)，
а для f$, как и раньше, имеем ts — ii/G.
Из уравнений (5.119) и (5.120) получим полные скорости деформации
匕=祭=击［心_62+ *(%_%)］， & = / =击卜/_"今(6 一02)］■匕=祭=击［心_62+ *(%_%)］， & = / =击卜/_"今(6 一02)］■(5.122)(5.122)На внутренней поверхности втулки г = а последнее равенство позволяет записать условие ралаксации, т. е. определяет (w)r=a = 0 для всех моментов времени f, или
匕=祭=击［心_62+ *(%_%)］， & = / =击卜/_"今(6 一02)］■
匕=祭=击［心_62+ *(%_%)］， & = / =击卜/_"今(6 一02)］■
(5.122)
(5.122)
仇一7 +(°7 — %) 1= 0・(5.123)
7s^r=a
Заметим, что осевое нормальное напряжение az, а согласно уравнению (5.120), и сумма (Ог + б) не зависят от координаты г; они могут зависеть только от времени f, поэтому производные》Gzl6r или d(er + ot)/dr обращаются в нуль.
Нормальные напряжения и「 и о力 можно определить из условия совмест-
ности
书抖一М = °(5.124)
и условия равновесия. Использовав (5.122), получим
д (гдт) . Л д (гстг) с
—- а/ = 0,—一 “ = 0.
дгдг
После соответствующего сложения и вычитания, обозначив s = ” + ar, 5 = о, — стг,' получим для функций s н ⑫ дифференциальные уравнения
показывающие, что
2
s = 25 "),吁产 屮2")，
(5.125)(5.126)(5.127)(5.128)(5.125)(5.126)(5.127)(5.128)где ф1(0, ^2 (0 — две произвольные напряжения ar, а будут равны.
(5.125)
(5.126)
(5.127)
(5.128)
(5.125)
(5.126)
(5.127)
(5.128)
”=叭一7T22,
функции времени f. ТогдаS = S + 3巾2・функции времени f. ТогдаS = S + 3巾2・нормальные(5.129)нормальные(5.129)_飞2-a2b2 — a2_飞2-a2b2 — a2(5.130)(5.130)Граничные условия o「=——»(f)=——p при r=a и ar = 0 при r=b будут удовлетворены, если
функции времени f. Тогда
S = S + 3巾2・
функции времени f. Тогда
S = S + 3巾2・
нормальные
(5.129)
нормальные
(5.129)
_飞2-a2
b2 — a2
_飞2-a2
b2 — a2
(5.130)
(5.130)
т. е. при такой же зависимости напряжений от г, как (5.118) для начального упругого состояния при f=0, с тем отличием, что множитель p=p(f) зависит от времени.
•丄1•丄1Из условия плоской деформации (5.120) или из соотношения
•丄1
•丄1
(5.131)
где использовано только что найденное значение s, путем интегрирования получим первое выражение для осевого напряжения
0rL b2 一 / [叩 + F；，e J Pe，叫.(5.132)
Точно гак же из условия релаксации (5.123), использовав начальные условия /=0 при г = а,
[川3=[0加…="^产(% + 1)，[%】…=賢第，(5•133)
получим второе выражение для ст2
°z = 7^'[p(%+l)_Po(l_2v + 4)e"\・.(5-134)
Приравняв обе зависимости (5.132) и (5.134), полученные для стг, мы видим, что контактное давление р(/) должно удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению
(5.135) at t\11
tr где постоянная t\ равна
厶=[1 + (1 - 2%%]〃，(5.135а)
что дает окончательную зависимость контактного давления р от времени f:
吋京鳴庐｛h + "f)务］j"2"+仍解"卜 6136)
тогда как радиальное перемещение и, найденное из второго из уравнений (5.122), меняется в зависимости от / и г следующим образом:
^^ 产 +(1 - 2»)卜i + (1 一 产)4] }.(5.137)
С течением времени цилиндрические слои втулки будут перемещаться внутрь, за исключением слоя г = а. Внешняя поверхность г—Ь сжимается в радиальном направлении 'на величину
(5.138)(5.138)〃—〃(1 -2夕)20a2
(5.138)
(5.138)
ко — kg a 2Gb
• Если в предыдущих равенствах принять коз巾фпииеш Пуассона ”=■%, то они в точности совпадут с равенствам% полученными для идеально
несжимаемого материала. В только что рассмотренной второй, точной теории релаксации напряжений в вязко-упругом цилиндре из упруго сжимаемого материала мы замечаем [после подстановки давления р из равенства (5.136) в равенство (5.134)], что осевые нормальные напряжения ст2 в плоскостях z=const, нормальных к оси, меняются по времени t следующим образом:
e 一р0a262Г (3 (出 + 62)]
%庐)一([2厶 esj. (5.139)
В то время как в идеально несжимаемом материале все три составляющие напряжений стг, о% Oz уменьшаются пропорционально одному и тому же множителю е $, в упруго сжимаемом веществе давление р и напряжения о「 и 0力 уменьшаются пропорционально одной функции времени, а осевое нормальное напряжение Oz ——пропорционально другой, более сложной временной функции. Так как в любой момент времени должно строго соблюдаться условие плоской деформации &之= £； + &； = °， то для второго вещества не обязательно, чтобы в любой момент времени одновременно равнялись нулю 8^ = 0 и 8^ = 0; наоборот, будет происходить обмен между упругими и остаточными частями осевой деформации
< =Y(产 一(5/4。)
z z G (b 4- За2) (b2 — a2) tr
При совпадении (для обоих материалов) процесса релаксации в радиальном направлении осевые напряжения релаксируют пропорционально временной функции, которую надо находить отдельно путем трудоемкого анализа. Усложнение, связанное с наличием двух несовпадающих процессов релаксации, устранено в первой теории путем задания v = 】/‘2. Можно надеяться, что эти замечания могут пояснить характер вязко-упругой релаксации в состоянии плоской деформации.
Дополнение. Релаксация при сложном напряженном состоянии может нарушить условия работы деталей машин. Высокие давления, удерживающие на валах плотно посаженные путем прессовой или термической посадки металлические диски, колеса, трубы или ступицы, могут понизиться вследствие действия повышенных температур. Эти явления навели Дэвиса 】)на мысль обобщить теорию осесимметричных состояний плоской деформации вязкоупругого вещества путем постулирования (взамен линейной зависимости между остаточными скоростями деформации и напряжениями) степенного закона ползучести, отражающего поведение многих ковких металлов. При этом максимальные касательные напряжения xm — xl2(^t—Or)=w/2 выражаются через максимальные остаточные скорости сдвига следующим образом:
хш =咻=с(5.141)
где предполагается, что металлы имеют переменную вязкость 卩，
卩=сп+1х^ = ^cn^w~n.(5.142)
Рис. 5.14. Радиальные и тангенциальные напряжения при /г = 2.Релаксация напряжений о「，Рис. 5.14. Радиальные и тангенциальные напряжения при /г = 2.Релаксация напряжений о「，Рис. 5.15. Радиальные и тангенциальные напряжения при п = 10.о, в толстостенном металличеРис. 5.15. Радиальные и тангенциальные напряжения при п = 10.о, в толстостенном металличе
Рис. 5.14. Радиальные и тангенциальные напряжения при /г = 2.
Релаксация напряжений о「，
Рис. 5.14. Радиальные и тангенциальные напряжения при /г = 2.
Релаксация напряжений о「，
Рис. 5.15. Радиальные и тангенциальные напряжения при п = 10.
о, в толстостенном металличе
Рис. 5.15. Радиальные и тангенциальные напряжения при п = 10.
о, в толстостенном металличе
ском цилиндре, посаженном на жесткий вал в предположениистепенного закона ползучести т俏=с (嗫严川при 九=2 на,рнс. 5.14 и при 〃 = 10 на рнс. 5.15 (по опытам Дэвиса).
Так как, согласно (5.115), полные скорости деформации всюду равны
нулю
m = 一也=_=；悟 + ^) = }% = 0,(5.143)
водныхводныхш , w 1 dw wn+lш , w 1 dw wn+l(5.144)(5.144)то это даст для 5 =(7%—0z дифференциальное уравнение в частных произ
водных
водных
ш , w 1 dw wn+l
ш , w 1 dw wn+l
(5.144)
(5.144)
Откуда после интегрирования при начальных условиях 侬 o=bto——Ого= =2仰42匕2/(b2 一 "2)尸 пpй / = 0 находим
1
侬=S 一，=他"+局产)1/九 '(5.145)
где постоянные Е i
d 々2 равны
1
2呪九+j
/接一Q2 y
2 12Pd庐丿'
(5.145a)
в то время как сумму напряжений s=a/ + аг можно вычислить (после подстановки только что найденного значения w в условия равновесия) из уравнения
■^■ = 3小产侬) (5-146)
путем графического интегрирования по г. Интегралы уравнений (5.144) и (5.146) определяют s и 侬 и распределения радиального и тангенциального напряжений crr = ~ (s — w), df = q(s +侬)в металлическом цилиндре в любой момент времени, что позволяет судить о падении контактного давления (аг)г=а = —Р(Л по времени.
На рис. 5.14 и 5.15 показано распределение напряжений ar, at в цилиндре с отношением внешнего и внутреннего радиусов 匕/а=4 для моментов времени /=0,Г' ..., 10 000 час, когда показатель степени л в законе (5.142) изменения вязкости принимается равным 几=2 и п= 10 соответственно *). Следует отметить, что при 几=2 релаксация напряжений проникает глубоко в стенку цилиндра (случаи "=0, т. е. случай вязко-упругости с постоянной вязкостью ц = const получается при аффинных семействах кривых напряжений), тогда как при п = 10 заметные изменения напряжений ar, et имеют место только во внутренней трети толщины стенки цилиндра. Контактное давление р сперва релаксирует быстрее, а затем медленнее, чем в случае одноосного сжатия, начинающегося с того же начального значения давления р=Ро при /=0, которое на обоих рисунках равно ро=ЗО ООО фунт【дюй解.
I) В цитированной статье модуль сдвига равен G = 7,77 • 106 фунт1дюйл^, вязкость 卩 на основании (5.142) принята равной ii=2ncn+lw~n = ^Bw~n фунт/дюйм2 • час, где В = 7,92 • 1016 при 几=2, В=9,80 • 1052 ПрИ 几=10.
СОСРЕДОТОЧЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ
6.1. Определение компонент напряжений и перемещений в полубесконечном теле при плоской деформации с помощью плоских гармонических функций. Как показал автор】), компоненты напряжений и перемещений в плоско деформированном полубесконечном теле из упругого сжимаемого (или несжимаемого) или чисто вязкого материала, нагруженного на граничной плоскости заданными распределенными напряжениями ——нормальными о》=产(х) либо касательными 以“=产*(%) — можно определить путем решения первой краевой задачи для плоской гармонической функции. Хотя при определении формул для напряжений можно использовать функцию напряжений 尸(尤，у), мы убедимся, что их можно также определить с помощью плоских гармонических функций, не прибегая к бигармонической функции У7 (х, z/)..
Следуя теории стационарного плоского-потенциального потока в гидродинамике ), введем функцию комплексной переменной z=x + iy, функцию Z(z), обычно называемую комплексным потенциалом^ действительная 屮(％, у) и мнимая % (%, у) части которой определяют ортогональную сетку кривых, вдоль которых потенциал скорости ср и функция тока % имеют постоянные значения
Z (г) = ср + /%.(6.1)
Тогда компоненты U н 丿 в направлении осей % и у вектора скорости W=U-ViV можно выразить через производную комплексного потенциала
%=U-iV,(6.2)
т. е. через действительную и мнимую части U,——V производной 0Z/&, причем вектор скорости
W=U + iV(6.3)
является отражением вектора dZ/dz относительно оси % в ком
плексной плоскости х, iy. Тогда полупим
(/ -— = 1/ ^■
дх ду 'дудх '
dU — dVdU dV⑹少
дхду *ду ~~ дх *
Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа -^ +
+ -^ = A(p = 0 и т. д. Введем также интеграл функции Z(z), положив
^ Zdz = f(xt у) + ig (х, у).(6.5)
Легко показать, что для нахождения распределения напряжений, вызванного нормальными напряжениями o?/ = f*(%), действующими в плоскости у = 0 полубесконечного тела у>0 при Vr« = 0, Р = 0, можно взять функцию напряжений Эри F (х, у)
(6.6)(6.6)в виде
(6.6)
(6.6)
尸=收一田
где ф и g — функции, которые были определены в (6.5). Запишем выражения для напряжений, приписывая индексы % и функциям <р и g для обозначения соответствующих частных производных 屮и g,
% = Fyy = 2(ру — gyy + yQm
% =尸4力=-gxx + У^хху(6.7)
^ху = 一 Fху =—屮％ + §ху 一 У^ху>
и применим для Z и dZ]dz схему дифференцирования, использованную в формулах (6.4). В результате получим
(6.8)(6.8)Z =屮+坎， "=外=線，崇=U -加， V = ^у= - %*,
(6.8)
(6.8)
Аналогично для величин Zdz и Z найдем
<P = f* = g力— % = 〃= —g#・<P = f* = g力— % = 〃= —g#・(69(69J Z dz = f + ig,/= Ф + 以,
<P = f* = g力
— % = 〃= —g#・
<P = f* = g力
— % = 〃= —g#・
(69
(69
Производные, входящие в уравнения (6.7), выразим в виде
g” = % =匕2cpy -gyy=V,
gxx = — g” =—匕 —屮％ + gxy = — U + U = 0. (6.10) gxy =屮％ = U，
В результате для напряжений при плоской деформации, вызванной нормальными напряжениями 0” =产(％), действующими в качестве внешней нагрузки на плоскости у = 0, получим простые формулы:
。力=U+y 历"， Gy = V _、 хху= ~ У (6.11)
Мы видим, что в эти формулы входит только одна плоская гармоническая функция V вместе с ее производными:
丿= 4-(% +%) =17；；⑺，(6・12)
где а — среднее напряжение, а = у (ах + а^ + аг); поскольку для плоской деформации 玩=0 осевые нормальные напряжения равны Oz = v(dc + “)и так как оу = Р (х) = V на граничной плоскости у = 0, то мы можем отсюда заключить, что проблема нахождения напряженного, состояния, вызванного напряжениями o〃 = f*(%), сводится /с решению первой краевой задачи для плоской гармонической (потенциальной) функции V при следующих граничных значениях: у = 0, V=oy = f*(x), Так как 0* = ® при у = 0, то при
2.
у = 0 среднее напряжение равно а = у (1 + v)a^.
Для несжимаемого упругого тела (v = V2) среднее напряжение на плоскости у = 0 равно o=oy = f* (х); это справедливо и для чисто вязкого несжимаемого вещества: у = 0, a=ay = f*(x).
Из уравнений (5.18) и (6.11) можно сразу найти соответствующие компоненты перемещений ^, т] в упругом сжимаемом теле (здесь они обозначаются через 自，刀，чтобы не смешивать их с потенциальными функциями U, V),
%=芻=拉(]-2""- 喝]'()
а из уравнений (6.8), (6.9) путем интегрирования по частям легко получить выражения для перемещений:
W =-击[(1 -2v)% + y 岩]+ g + &弘 n = ^[2(1 - v)<p-У 需]+ e2-内尤，
которые тождественно удовлетворяют также третьему из соотношений между напряжениями и деформациями тху = Gyxy.
Для несжимаемого упругого тела (2 = 1/2) эти последние зависимости приводятся к упрощенному виду:
(6.15)(6.15)自=一+^需=一击ди'
(6.15)
(6.15)
n =击（屮—謂）=击3- "）•
В случае вязкого вещества мы получаем те же зависимости для Е и т] после замены G на 卩(опустив слагаемые Q,方，…，связанные с движением абсолютно твердого тела). Это доказывает, что при у = 1/2 перемещения ^ и т] зависят от единственной потенциальной функции ср (вещественной части функции Z).
Таким же образом можно доказать, что при заданном распределении касательных напряжений гху = р^(х), действующих на поверхности у=0 (при 0^ = 0、на у = 0), следует принять для функции напряжений 尸(％, у) выражение
F(x,小=呎・(6.16)
Тогда напряжения, вызываемые действием нагрузки, будут равны
% = 2丿+ "瑞，
%=-?%、(6・17)
dV_ и
а перемещения выразятся следующим образом:.
а=-击〔2(1 -v)% + y 制+ д + & 弘
1「(6.18)
^ = ^ [(1 -2V)屮一У而]+02-03%・
В формулах (6.17) функция U дает решение краевой задачи для касательных напряжений р = 0,工纣==/**(〃)=上伉 но в этом
случае напряженное состояние зависит от двух сопряженных потенциалов: U п V. Согласно (5.31), ротор вектора W=U + iV, 9 = * (dqldx — d^lGy) и величина ——3(1——у)о/Е представляют собой действительную и мнимую части функции
口 、 • 3 (1 - V)а . 3 (1 - V)а
Очевидно, что
GH (г) Go . За 〃dZ
— = -：z一г = U — lV =-7-
1 — w 1 — w 2 (1 + w)dz
или что две потенциальные функции U и U, входящие в выражения (6.11) и (6.17) для напряжений, равны
и =и =Go1 - vGo1 - vу = 3° '~2(l+v),у = 3° '~2(l+v),(6： 19)(6： 19)
и =
и =
Go
1 - v
Go
1 - v
у = 3° '~2(l+v),
у = 3° '~2(l+v),
(6： 19)
(6： 19)
причем U пропорционально(о, а в состоянии плоской деформации. материала (v= 1/2)U = 2Gs = G(碧一岩)，причем U пропорционально(о, а в состоянии плоской деформации. материала (v= 1/2)U = 2Gs = G(碧一岩)，V — среднему напряжению о Для несжимаемого упругогоV — среднему напряжению о Для несжимаемого упругого了=0=万亿 + %),了=0=万亿 + %),
причем U пропорционально(о, а в состоянии плоской деформации. материала (v= 1/2)
U = 2Gs = G(碧一岩)，
причем U пропорционально(о, а в состоянии плоской деформации. материала (v= 1/2)
U = 2Gs = G(碧一岩)，
V — среднему напряжению о Для несжимаемого упругого
V — среднему напряжению о Для несжимаемого упругого
了=0=万亿 + %),
了=0=万亿 + %),
а для вязкого веществаа для вязкого веществаU = 23『(碧一*}),U = 23『(碧一*}),，=о=4■亿+%).，=о=4■亿+%).
а для вязкого вещества
а для вязкого вещества
U = 23『(碧一*}),
U = 23『(碧一*}),
，=о=4■亿+%).
，=о=4■亿+%).
Кривые V = const представляют собой изобары o = const. Добавим, что решение плоской задачи в интегралах Фурье (§ 5.4) точно соответствует формулам (6.11) и (6.17).
Суммируя изложенное, мы устанавливаем, что решения задачи плоской деформации в полубесконечном упругом или вязком теле у > 0 при заданных значениях нормальных ^ = /*(%) или касательных 工％沙=/**(%) напряжений на поверхности у=0 сводится к построению первых краевых задач для поля плоских сопряженных гармонических функций
展?тй^ или и = т (6」9а)
соответственно. Задача облегчается, .если для получения U и V использовать методы конформного отображения !)«
См, также С а г о t h е г S. D., Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 97, 110 (1920) ； Л я в А., Математическая теория упругости, ГИТТЛ, М., 1935; 〃ам 6 Г., Гидродинамика, ГИТТЛ, 1947； Прандтль Л., Т и т ь е н с О. (цитировалось выше).
Пример 1. Полубесконечная часть границы нагружена равномерным давлением. В полярных координатах г, а граничные условия на плоскости у=0, а=0 имеют вид 仇=七“=0 и а=л, а<=—р=const, тг*=0 (рис. 6.1). Они будут удовлетворены, если в (6.2) принятьПример 1. Полубесконечная часть границы нагружена равномерным давлением. В полярных координатах г, а граничные условия на плоскости у=0, а=0 имеют вид 仇=七“=0 и а=л, а<=—р=const, тг*=0 (рис. 6.1). Они будут удовлетворены, если в (6.2) принять崇=U — 汐=С In 2 = С (Е 厂 + zce),崇=U — 汐=С In 2 = С (Е 厂 + zce),откуда получимоткуда получимU — С \nr,у = — Са,U — С \nr,у = — Са,(6.20)(6.21)(6.20)(6.21)где действительная постоянная С определяется из граничного условия при помощи уравнения (6.11) для о?. Тогда ау=У=Сл = —р, С=р/л для а=л.где действительная постоянная С определяется из граничного условия при помощи уравнения (6.11) для о?. Тогда ау=У=Сл = —р, С=р/л для а=л.Рис. 6.1.Рис. 6.1.Составляющие напряжений аХ1 о”，駕久？， согласно (6.11) I), равныСоставляющие напряжений аХ1 о”，駕久？， согласно (6.11) I), равныили^х ^~ (2а + sin 2а),Gy ^- (2ct — sin 2a), (6.23)T用=-方(1 - cos 2a),или^х ^~ (2а + sin 2а),Gy ^- (2ct — sin 2a), (6.23)T用=-方(1 - cos 2a),откуда ясно, что граничные условия удовлетворяются. Составляющие перемещений Е， " в несжимаемом упругом теле (v=V2) можно определить на основании (6.15) в видеоткуда ясно, что граничные условия удовлетворяются. Составляющие перемещений Е， " в несжимаемом упругом теле (v=V2) можно определить на основании (6.15) в виде5-噩川"iD + ^ + Cb5-噩川"iD + ^ + CbL 晶"m一С。" + 5；L 晶"m一С。" + 5；(6.24)(6.24)
Пример 1. Полубесконечная часть границы нагружена равномерным давлением. В полярных координатах г, а граничные условия на плоскости у=0, а=0 имеют вид 仇=七“=0 и а=л, а<=—р=const, тг*=0 (рис. 6.1). Они будут удовлетворены, если в (6.2) принять
Пример 1. Полубесконечная часть границы нагружена равномерным давлением. В полярных координатах г, а граничные условия на плоскости у=0, а=0 имеют вид 仇=七“=0 и а=л, а<=—р=const, тг*=0 (рис. 6.1). Они будут удовлетворены, если в (6.2) принять
崇=U — 汐=С In 2 = С (Е 厂 + zce),
崇=U — 汐=С In 2 = С (Е 厂 + zce),
откуда получим
откуда получим
U — С \nr,у = — Са,
U — С \nr,у = — Са,
(6.20)
(6.21)
(6.20)
(6.21)
где действительная постоянная С определяется из граничного условия при помощи уравнения (6.11) для о?. Тогда ау=У=Сл = —р, С=р/л для а=л.
где действительная постоянная С определяется из граничного условия при помощи уравнения (6.11) для о?. Тогда ау=У=Сл = —р, С=р/л для а=л.
Рис. 6.1.
Рис. 6.1.
Составляющие напряжений аХ1 о”，駕久？， согласно (6.11) I), равны
Составляющие напряжений аХ1 о”，駕久？， согласно (6.11) I), равны
или
^х ^~ (2а + sin 2а),
Gy ^- (2ct — sin 2a), (6.23)
T用=-方(1 - cos 2a),
или
^х ^~ (2а + sin 2а),
Gy ^- (2ct — sin 2a), (6.23)
T用=-方(1 - cos 2a),
откуда ясно, что граничные условия удовлетворяются. Составляющие перемещений Е， " в несжимаемом упругом теле (v=V2) можно определить на основании (6.15) в виде
откуда ясно, что граничные условия удовлетворяются. Составляющие перемещений Е， " в несжимаемом упругом теле (v=V2) можно определить на основании (6.15) в виде
5-噩川"iD + ^ + Cb
5-噩川"iD + ^ + Cb
L 晶"m一С。" + 5；
L 晶"m一С。" + 5；
(6.24)
(6.24)
Если, например, считать, что "=0 и дх]/дх—0 для удаленной точки у=0, %=а (на ненагруженной границе тела), то получим перемещения
"一磊川A忐Jе团…。］■"一磊川A忐Jе团…。］■(6.25)(6.25)
"一磊川
A忐Jе团…。］■
"一磊川
A忐Jе团…。］■
(6.25)
(6.25)
Упругое основание осядет так, как показано на рис. 6.1а, где профиль под краем нагрузки р=const приобретает на весьма малом участке длины бесконечно большой наклон, а прогиб для точки О (г=0) равен q = pa[2nG.
При дифференцировании полярных координат 户=炉+^2, a = arctg®/%) по х и у имеем
дг/дх = х/г, дг/ду 匸 ук да/дх = — y/产, да/ду = %/产.
Предыдущие формулы остаются справедливыми для несжимаемого упругого тела и могут быть применены также для вязкого основания из несжимаемого материала путем замены G на 卩 и расстановки точек для ± я “ при определении компонент скоростей течения основания.
р = const
2RG2RGРис. 6.1а. Деформация плоской поверхности у = 0 полубесконечного упругого тела (у > 0) вблизи границы равномерно распределенного давления р = const, действующего на сторону х < 0 плоскости у = 0.Рис. 6.1а. Деформация плоской поверхности у = 0 полубесконечного упругого тела (у > 0) вблизи границы равномерно распределенного давления р = const, действующего на сторону х < 0 плоскости у = 0.
2RG
2RG
Рис. 6.1а. Деформация плоской поверхности у = 0 полубесконечного упругого тела (у > 0) вблизи границы равномерно распределенного давления р = const, действующего на сторону х < 0 плоскости у = 0.
Рис. 6.1а. Деформация плоской поверхности у = 0 полубесконечного упругого тела (у > 0) вблизи границы равномерно распределенного давления р = const, действующего на сторону х < 0 плоскости у = 0.
Напряженное состояние можно определить также с помощью функции напряжений
戶=磔(sin 2a-2а),(6.26)
которая дает выражения для компонент напряжений Or, о» и Trt в полярных координатах в следующем виде:
(6.27)(6.27)аг = -(2а + sin 2а),
(6.27)
(6.27)
о, = ——— (2(х — sin 2а),ZJC
七"=备(1 - cos 2а).
Для полноты исследования приведем формулы, выражающие в полярных координатах г, а компоненты перемещений для сжимаемого упругого тела с коэффициентом Пуассона v:
ииии■4- sin2а + (1 - 2v) а] +q cos а + с2 sin а,■4- sin2а + (1 - 2v) а] +q cos а + с2 sin а,sin 2а + 2 (1 — v) In rj — % sin а + c? cos а + %厂.sin 2а + 2 (1 — v) In rj — % sin а + c? cos а + %厂.(6.28)(6.28)
и
и
и
и
■4- sin2а + (1 - 2v) а] +q cos а + с2 sin а,
■4- sin2а + (1 - 2v) а] +q cos а + с2 sin а,
sin 2а + 2 (1 — v) In rj — % sin а + c? cos а + %厂.
sin 2а + 2 (1 — v) In rj — % sin а + c? cos а + %厂.
(6.28)
(6.28)
Заметим, что максимальные касательные напряжения для этого напряженного состояния
'max
旦Ш Sina
4也 Л
(6.29)
остаются постоянными на пучке лучей a=const, принимая наибольшее значение на луче • а=л/2; кроме того, если обозначить через 0 угол, под которым траектории главного напряжения пересекают пучок лучей а=const, то,
поскольку
находим
tg2₽ =
2тг〃
cos 2a — 1sin 2a
=一 tga,
Это свойство характеризует семейство
Р
Рис. 6.2. Траектории главных напряжений.
со фокусных ортогональных парабол с общим фокусом в начале координат О. Траектории главных напряжений представляют собой семейство ортогональных парабол (рис. 6.2).
■ Пример 2. Полубесконечная часть границы нагружена равномерно распределенными касатель-
tay =”=const
ними напряжениями Txy = T=const (рис. 6.3). Примем
тлтл(6.30)(6.30)% = и - iV = iC Е 2,
т
л
т
л
(6.30)
(6.30)
U = — Ca, U = — С In г, С
и, использовав эти выражения, определим из (6.17) выражения для напряжений
5 T (+)，Mi)
которые можно также получить из функции напряжений
尸=У屮=» ——^ [у2 (In г - 1) 4- хуа].(6.32)
Полоса конечной ширины на плоской поверхности тела нагружена равномерным давлением. Предположим, что равномерное сжимающее напряжение о« =——р действует на границе полубесконечного тела справа от точки О4; наложим на эту нагрузку равномерное растягивающее напряжение оу = р правее
Рис. 6.4. Суперпозиция двух показанных распределенных нагрузок, дающая нагружение постоянным давлением р = const по полосе — с < х < с шириной О& = 2c.
точки О2 (рис. 6.4). Тогда результирующая нагрузка представляет собой равномерное давление о« =——р = const, распределенное по полосе шириной OiO2 = 2c. Произведя суперпозицию двух соответствующих функций напряжений (6.26), получим
^H—WSai—r^)，(6・33)
где /ч, ai и「2, «2 — полярные координаты точки Р относительно полюсов Oi и。2〔)・ Использовав формулы (6.23), получим
* =—券【2 他1 一 а2)+ sin 2al — sin 2a2],
% = —^- [2 (a】一％) — sin 2ct| + sin 2a2],(6.34)
%xy =券(cos 2% — cos 2%).
Слагаемые, содержащие 厂；sin 2a〔 = 2%]^], r^ sin 2a? = 2%2y2 в выражении для F, отбрасываются, так как они представляют собой два одинаковых состояния чистого сдвига противоположных знаков.
Траектории главных напряжений для этого состояния представляют собой софокусные ортогональные эллипсы и гиперболы с фокусами в точках Oi и О2 (рис. 6.5)】).
Интересно отметить, что максимальные касательные напряжения Ттах, вычисленные по формулам (6.34),
%ах = /®三叫 二^ = g sin (% 一 %)(6.35)
принимают постоянные значения через точки О】и О2 c центрами,принимают постоянные значения через точки О】и О2 c центрами,на окружностях, проходящих лежащими на оси симметриина окружностях, проходящих лежащими на оси симметрии
принимают постоянные значения через точки О】и О2 c центрами,
принимают постоянные значения через точки О】и О2 c центрами,
на окружностях, проходящих лежащими на оси симметрии
на окружностях, проходящих лежащими на оси симметрии
Рис. 6.5. Траектории главных напряжений.Рис. 6.5. Траектории главных напряжений.сательные напряжения ттах постоянны по окружностям, проходящим через Ох и О2.сательные напряжения ттах постоянны по окружностям, проходящим через Ох и О2.
Рис. 6.5. Траектории главных напряжений.
Рис. 6.5. Траектории главных напряжений.
сательные напряжения ттах постоянны по окружностям, проходящим через Ох и О2.
сательные напряжения ттах постоянны по окружностям, проходящим через Ох и О2.
х = 0. Наибольшее из этих значений тШах достигается на полуокружности с центром в точке О.
Поэтому при действии достаточно большого давления р в материале, сравнительно слабо сопротивляющемся сдвигу, первых
При помощи предыдущих выражений для напряжений в точке Р(х» у) можно получить угол наклона (р траекторий к оси х из зависимости
2t%“ cos 2al — cos 2a2tg 2(p == :г—zг-r— = tg Qi + a2).
& * Gx — бу sin 2。1 — sin 2a2
Этот угол равен ф = ^~ (aj + a2), ^■(冗 + a【+ a?), что является хорошо известным свойством эллипса или гиперболы, проходящих через точку Р, с фокусами в точках О】и О2 (касательная и нормаль к эллипсу или гиперболе делит пополам угол, образованный радиусами-векторами О】Р и О2Р) Добавим, что здесь, так же как и в первом примере, характер траекторий главных напряжений совпадает с характером линий тока и эквипотенциальных линий при плоском течении идеальной жидкости, вытекающей через отверстие в стеьке из одной камеры к другой смежной камере,
трещин сдвига следует ожидать в серпообразном сегменте вдоль этой полуокружности радиуса с (рис. 6.6). На рис. 6.7 можно ясно видеть серпообразную область разрушения в виде светлой полукруглой полоски на фоне искусственно затемненного парафинового образца, который был подвергнут автором сосредоточенному быстро возрастающему давлению (при помощи цилиндрического штампа). По предложению автора Месмеру удалось
Рис. 6.7. Продольное сечение парафинового образца, быстро сжатого цилиндрическим штампом; заметна светлая серпообразная область с нарушенной структурой.Рис. 6.7. Продольное сечение парафинового образца, быстро сжатого цилиндрическим штампом; заметна светлая серпообразная область с нарушенной структурой.Рис. 6.8. Изохромы представляют собой окружности, проходящие через углы штампа, когда поверхность контакта последнего должным образом обработана для создания равномерного распределения давлений (случай плоской деформации).
Рис. 6.7. Продольное сечение парафинового образца, быстро сжатого цилиндрическим штампом; заметна светлая серпообразная область с нарушенной структурой.
Рис. 6.7. Продольное сечение парафинового образца, быстро сжатого цилиндрическим штампом; заметна светлая серпообразная область с нарушенной структурой.
воспроизвести круговые изохромы при оптическом испытании плоско деформированного тела. При изготовлении специального штампа из целлулоида тщательно скруглялись посредством шлифовки острые углы штампа. Полученные экспериментально изохромы (рис. 6.8) оказались весьма близкими к окружностям, проходящим через углы штампа, как это и предсказывалось формулой (6.35)1).
Складывая выражения (6.28) для двух соответствующих систем компонент перемещений, убеждаемся в том, что поверхность тела осаживается под нагрузкой 2рс по кривой, симмет-
I) Изохромы на рис. 6.8 можно сравнить с изохромами, воспроизведенными на рис. 6.13 и полученными при вдавливании жесткого штампа с острыми углами.
18 А. Надаи
ричной относительно центральной точки О нагруженной полосы,
V = ,1 嚷[U — с) In(X — с)2 — (% + с) In(X + с)2], (6.36) если не учитывать слагаемые, связанные с перемещениями абсолютно твердого тела. Деформация, показанная на рис. 6.9, напоминает след колеса старого экипажа в мягкой грязи.
Рис. 6.9. Осадки поверхности полубесконечного упругого или вязкого тела под действием давления р = const в случае плоской деформации.
Вдавливание в тело жесткого плоского полубесконечного штампа. Решение Садовского для жесткого штампа конечной ширины и решение Герца для контакта параллельных цилиндров. Рассматривая выражения для составляющих напряжений и скоростей в полярных координатах применительно к функции напряжений
F = rn [ап sin 〃а + bn sin (п — 2) а](6.37)
и соответствующей функции тока 屮 в несжимаемом вязком материале 1)
屮=岔【°九 cos 〃a + bn cos (n — 2) a](6.38)
(an, bn,几—постоянные), можно видеть, что на участке границы а = л мы можем задать три условия:
=°，g一需六°，t"= 一募)=0,
Функцию 屮 можно определить, зная 尸,путем интегрирования
4卩布="-S или
д ( д^ \1 dF 1 d2F 磔
из которых получаются следующие условия:
〃 =0, [пап + (〃 一 2) bn] sin 〃п = О,
и = 0,(а〃 + b 九)cos 〃冗=0,(6.39)
t〃 = 0, [пап + (〃 一 2) b" cos шт = 0.
Положив cos 〃冗=0, где и равно половине нечетного числа, и обозначив
ьп=- 烹为，(6.39а)
эти условия можно удовлетворить, причем будет выполнено также условие а = 0, тг^ = 0. Таким образом, в то время как левая часть границы тела а = 0 остается свободной от нагрузки (о尸Е = 0), правая часть границы гладко прилегает к плоскости а=л, 〃 = и = 0, кроме того, на этой части границы т理=0. Существует бесконечное множество таких состояний, но только одно из них не имеет истинной особой точки вблизи начала координат при п<3/2; когда же п〉5/2, напряжения возрастают с увеличением радиуса, что в данной задаче не представляет интереса.
Принимая п = 3/2, мы получаем bn = 3an, sin (п — 2)а = =—sin-|-; обозначая ап через с, получаем функцию напряжений 尸=(sin 巻一3 sin ^ )(6.40)
и связанную с ней функцию тока
(6.41)(6.41)2卩屮=cr% (cos 岑 + 3 cos 財
(6.41)
(6.41)
Тогда компоненты скоростей будут равны
ии3〃％ / . За . . а \-~4jT [c°s 方 + 3 cos 工3〃％ / . За . . а \-~4jT [c°s 方 + 3 cos 工(6.42)(6.42)
и
и
3〃％ / . За . . а \
-~4jT [c°s 方 + 3 cos 工
3〃％ / . За . . а \
-~4jT [c°s 方 + 3 cos 工
(6.42)
(6.42)
а компоненты напряжений выразятся следующим образом:
о, = - ^ ci (sin -^ +5sin-|j,
az = —-| ci (_ sin 書 + 3 sin -|j,(6.43)
%ci «os -y —
Эти зависимости показывают, что на плоской части а = зт гра-ницы нормальные напряжения s=—3cl% неограниченно
х>0,。若(VI /х). (6.44)х>0,。若(VI /х). (6.44)ххРис. 6.11. Траектории главных напряжений при вдавливании жесткого штампа.Рис. 6.11. Траектории главных напряжений при вдавливании жесткого штампа.
х>0,。若(VI /х). (6.44)
х>0,。若(VI /х). (6.44)
х
х
Рис. 6.11. Траектории главных напряжений при вдавливании жесткого штампа.
Рис. 6.11. Траектории главных напряжений при вдавливании жесткого штампа.
возрастают у края г=0. Если эти напряжения сжимающие, мы можем, например, считать, что о尸一3仅-％=—р при г=а, так что постоянная с = у ра% будет положительной, тогда как на свободной части границы при а = 0, 〃 = 0 имеем。= —3仃％/卩,т. е. поверхность тела станет выпуклой и примет вертикальное положение у края штампа. После добавления вертикальной скорости точку 4(r = % = a, у = 0) можно принять неподвижной; тогда для искаженного профиля (рис. 6.10) имеем
Формулы (6.42) и (6.43) дают распределение напряжений вблизи края жесткого штампа,
Рис. 6.10. Вдавливание жесткого штампа.
вдавленного в несжимаемое тело. Траектории главных напряжений показаны на рис. 6.11. В этом случае не наблюдается скольжения материала относительно штампа.
Подобным же образом можно доказать, что функции напряжений и тока
尸 1(cos 等 一 cos ,
/(6.45)
2^! = - с^ 卜也导 + sin I)
определяют напряженное состояние
ог「= - } q厂％(3 cos 巻 + 5 cos ^ >
d = ^ 3-% (3 cos 岑-3 cos -yj,(6.46)
% = 7 Si%(3 sin 岑-siri"|),
и скорости
(6.47)(6.47)/г% За . а \鼠COS т +cos
(6.47)
(6.47)
Зс/% / . За ,. а \
=力+S111
удовлетворяющие граничным условиям а = 0, s=f = 0 и а = п, 〃 = и = 0, 6 = 0,亏£=—с「％.
Очевидно, что это решение соответствует распределению касательных напряжений т“ =——qr-%, действующих на правую (х<0, а=п) часть границы полу бесконечного тела через поверхность, остающуюся плоской, в то время как левая (%〉0, а = 0) часть границы свободна от нагрузки. Это напряженное состояние не нарушится, если поместить жесткий плоский штамп на правую часть границы при их гладком прилегании, так как на этой части границы тела и и v равны нулю. Предположим далее, что одновременно с вдавливанием в тело жесткого штампа, при котором, согласно (6.42) и (6.43), получается распределение нормальных напряжений о± =——Зсг~%, мы начнем двигать штамп по телу с малой скоростью и=—〃о в направлении отрицательной оси %. Если по поверхности контакта действует кулоново трение, то помимо нормальных напряжений о± =——Зе/—% возникнут касательные напряжения 工泣=——|щ)0£ = 9|ыосг-% (ре。——коэффициент сухого терения).
Но эта система в точности воспроизводит распределение касательных напряжений т^ =——с「％, определяемых функцией 尸】. Отсюда следует, что если мы примем с】=—3|х0^, то путем наложения обоих напряженных состояний, определяемых функциями F и 尸 1, мы 6 точности получим напряженное состояние в несжимаемом полубесконечном теле, у которого вдавливание абсолютно жесткого плоского штампа сопровождается его медленным перемещением с преодолением сил трения Кулона в направлении отрицательной оси %. Заметим, что, в то время как свободная от нагрузок левая (а=0) зона границы приобретает связанные с частью функции тока 屮 скорости 〃 = 0, и =——Зег%, вторая часть г|^ (вызванная силами трения) дает вклад для скорости в виде
4i = _ си%仙=3 (阿/卩)cr^ = 一 固4 v{ = 0.
Следовательно, действие сил трения распространяется на свободную сторону тела, вызывая появление горизонтальных скоростей, в цо раз превышающих вертикальные скорости поперечных перемещений свободной поверхности тела.
Садовский 9 определил распределение давлений под жестким штампом конечной ширины 26 при плоской деформации упругого материала. Он установил, что под штампом бесконеч- z и конечной ширины х= ±6 (рис. 6.12) нормальные напряжен
нои длины в направлениинои длины в направленииРис. 6.12. Вдавливание жесткого штампа конечной ширины.Рис. 6.12. Вдавливание жесткого штампа конечной ширины.ния распространяются по закону —b<x<b9
нои длины в направлении
нои длины в направлении
Рис. 6.12. Вдавливание жесткого штампа конечной ширины.
Рис. 6.12. Вдавливание жесткого штампа конечной ширины.
I(648)
где Q — нормальная сила (фунт/дюйм), воспринимаемая площадью 2方XL Оказалось, что нормальное давление обратно пропорционально ординатам
(6.48) он выразил компоненты бесконечно малой нормальной(6.48) он выразил компоненты бесконечно малой нормальнойокружности у = у Ь2 — х2 радиуса Ь. Для получения формулы перемещений 自 и п，производимые силой q(t)dt, действующей в произвольной точке /, у = 0 на свободной грани у = 0 упругого тела.
(6.48) он выразил компоненты бесконечно малой нормальной
(6.48) он выразил компоненты бесконечно малой нормальной
Если применить уравнения (5.72) для несжимаемого материала, то для этих перемещений получим
W =W =d^]=—d^]=—q (2) df2冗Gq (2) df2冗Gq (t) dt (x-t)y2冗匕[(%-/)2+疗],
W =
W =
d^]=—
d^]=—
q (2) df
2冗G
q (2) df
2冗G
Интегрируя последнее выражение для dr] по / в пределах ——6, b и принимая、во внимание, что для жесткой пластинки шириной 2Ь, ——b<t<b, n = r]o = const при у=0, Садовский пришел к интегральному уравнению для неизвестного распределения давления д(/) штампа на тело
n = i^ J 9(о (In I х - /1 + 1) rf/ = По = const,
решение которого
совпадает с формулой (6.48).
9 Sadowsky М., Zweidimensionale Probleme der Elastizitatstheorie, Z. angew. Math, und Meeh., 8, 107 (1928). В этой статье Садовский рассматривает ряд случаев сосредоточенного давления при двумерном и трехмерном напряженных состояниях.
Садовский подробно не исследовал поля напряжений, что потребовало бы, как мы видим, интегрирования по / выражений для напряжений о%, ау, тху. Однако легко показать, что формулы (6.43) для напряжений о「，о±,亏力 полностью определяют напряженное состояние вблизи одной из кромок жесткого штампа конечной ширины, которое должно соответствовать случаю, рассмотренному Садовским. Если обозначить через г расстояние точки от левого, например, угла штампа в плоскости контакта, так что г = Ь — %, а ординату окружности — через у, х2^-у2 = Ь2, то при г《6 получим
g2 =接一%2 =接一他—Г)2 =~2分，
а из формулы Садовского (6.48) находим давление Q Q % =——.
у эту 冗 厂
Согласно равенству (6.43), при а = н распределение давления имеет вид
%= _ 3cL/2= —3衅尸/2= — р/у.(6.49)
Значения о^ и о> совпадут, если принять р = QIrV2ab .
Полезно сравнить картину изохроматических линий, которые наблюдал Месмер при исследовании оптическим методом напряженного состояния при 'вдавливании жесткого металлического штампа с бицентрическим семейством окружностей, соответствующим случаю постоянного давления p = const (рис. 6.8). Кривые Tmax = const показаны на рис. 6.13 для жесткого штампа с острыми краями; они соответствуют случаю, рассмотренному Садовским. Ясно видно, что изохромы вблизи плоскости контакта не являются окружностями. Кроме того, появление новых петлеобразных полос более высокого порядка вокруг обоих острых краев подтверждает то обстоятельство, что напряжения должны значительно возрастать около углов штампа, где, согласно уравнениям (6.43) и (6.48), величины ах и оу возра^ стают неограниченно.
Рассмотрим другой пример, приняв в уравнениях (6.39)
п = -|-, пап + (〃 一 2) & = О,
так что &п=—5ап. Тогда получим функцию напряжений
尸=“％ (sin 普一5 sin ^),(6.60)
функцию тока
2卩"
ф = С广5/2 (cos 尊—5 COS y^ ,
(6.51)
скорости
и =
5cr* / . 5а. а \
=4卩 lSm 2SHI 2)，
(6.52)
V =
5cr% / 5а -а \
二4卩 «OS 2 -5COS 2 )
и напряжения
0 =
--j-"% (sin -^ + 3 sin y^ ,
6 =
15 и / . 5а - . а \ 丁 “"(sin —~5smyj,
(6.53)
% =
15/ 5аа \
удовлетворяющие граничным условиям:
5_
卩
а = 0,
=t〃 = 0,〃 = 0,v =
cf\
(6.54)
а = л,
=—15cr%, t〃 = 0,и =
V :
=0.
Если с ——положительная постоянная величина, то на правой (а = л) части границы полубесконечного тела будет действовать нормальное давление, возрастающее по параболическому закону с ростом расстояния г от края нагруженной площади (рис. 6.14, на котором можно также проследить траектории главных напряжений). Распределение напряжений) при этом будет соответствовать приведенному на рис. 6.15. Свободная поверхность тела у края пластинки плавно соприкасается с плоскостью сжатия.
В классической работе Герца) по контактным давлениям между двумя выпуклыми упругими телами установлено, что нормальное давление по площади контакта двух параллельных упругих цилиндров одинакового радиуса R, вдавливаемых один в другой с нормальной силой Q (фунт/дюйм), равно
% = _ 幣］/力2 — %2, -&<%<&, (6.55)
Рис. 6.13. Изохроматические кривые под жестким штампом с плоской поверхностью контакта и с острыми углами, указывающие на концентрацию напряжений вблизи углов (случай плоской деформации по Месмеру).
Рис. 6.14. Траектории главных напряжений при плоской деформации полубесконеч- ного вязкого тела, нагруженного на одной стороне границы давлением а/ = — 15c Hr.
Рис. 6.15. Расп ределение напряжений в полубесконечном теле, вызванное давлением на поверхности 07 = —15c Mr.
где 2匕一ширина параллельной полоски, по которой соприкасаются два цилиндра; р0— максимальное давление (фунт/дюйм) при 尤=0; х ——расстояние точки в контактной полоске от оси ее центра.
Приняв коэффициент Пуассона v = 0,3, Герц нашел, что
(6.56)(6.56)&= 1,08]/嘗
(6.56)
(6.56)
Так как давления а^ в контактной площади представляются ординатами полуэллипса, построенного над отрезком длиной 2Ь, то нормальная результирующая сила Q на единицу длины, передаваемая на площади 2bX 1 (дюйм), равна
(6.57)(6.57)Q = ±Zw
(6.57)
(6.57)
Предположим, что радиусы R обоих цилиндров и вместе с тем
величинувеличину(6.58)(6.58)ширину поверхности контакта 2b мы увеличиваем, а (Ь ——x)/b сохраняем малой. Тогда
величину
величину
(6.58)
(6.58)
% = —•令 М(6 + %) (Ь — %)〜Ро |/ 旦、-制,
давлениядавленияи мы можем заменить эллиптическое распределение
давления
давления
(6.55), полученное Герцем для контактной площади, нашим параболическим распределением уравнения (6：54)
(6.59)(6.59)d = — 15с Кг,
(6.59)
(6.59)
положив %了2/仿=15。и b — х — r. Отметим, что функция напряжений F(r, а), которую мы ввели в (6.50), представляет собой распределение напряжений вблизи одного из краев х = Ь площади контакта двух сравнительно больших упругих цилиндров, рассмотренных Герцем.
6.4. Упругая осадка берега континента под действием высокого прилива. Высокие океанские приливы 】)периодически перемещают большие массы воды на поверхность отлогого берега континента, меняя распределение давлений на берег и вызывая заметные упругие прогибы поверхности. Исключив пока упругие деформации земной коры под действием притяжения Солнца и Луны (о которых мы скажем в другой главе), используем
точное решение задачи о плоской деформации для оценки упругого наклона берега под действием надвигающейся океанской приливной волны. Для этого рассмотрим напряженное состояние в теле большой протяженности под действием давления, воз-
(6.61)(6.61)(6.60) скобки(6.60) скобкирастающего линейно в сторону отрицательных значений .х (рис. 6.16). Такое распределение можно получить простейшим образом из мнимой части функции
(6.61)
(6.61)
(6.60) скобки
(6.60) скобки
z In z = (% In г — уа) +*%а + у\пг)
после введения во вторые гармонической функции "■£卜宀1n团一食].
Это выражение принимается в качестве потенциальной функции V, введенной в § 6.1 в равенство (6.2), которая используется согласно формулам (6.11) для определения компонент напряжений,
0-+喝=^口。+ 2川心)],
(6.62)(6.62)Gy = V _ 吟=*(ха-у),dV р5=-?京=一京蚪
(6.62)
(6.62)
При а = 0 (у=0), бу — 1：Ху = 0 получаем свободную от напряжений поверхность, а при а = л(У = О, х<0),(уу = рх/а,』=0 получаем давление, возрастающее линейно в зависимости от —%; значение постоянной р определяется условием х =——а, ву =——р. Компоненты перемещений 〃，и в предположении несжимаемости материала определяются из выражений
% 一 дх% 一 дхо* - бу4Gо* - бу4Gc回In (/)" = _ 鳥=_£勿c回In (/)" = _ 鳥=_£勿U = С [-产 In (f) + 再,U = С [-产 In (f) + 再,(6.63)(6.63)
% 一 дх
% 一 дх
о* - бу4G
о* - бу4G
c回In (/)" = _ 鳥=_£勿
c回In (/)" = _ 鳥=_£勿
U = С [-产 In (f) + 再,
U = С [-产 In (f) + 再,
(6.63)
(6.63)
Обращаясь возрастающуюОбращаясь возрастающую
Обращаясь возрастающую
Обращаясь возрастающую
4naG
к рис. 6.17, наложим на нагрузку OiB(, линейно по Хь Oy=p%Ja (х4<0), вторую подобную же
нагрузку О2^2, 0沙=—р%2/а (х2<0), начинающуюся в точке О2. Тогда разность между ординатами двух прямых линий О^В^ и 02^2 в заштрихованной части 0p4c представляет собой вес высокой приливной волны, набегающей на пологий берег
Рис. 6.17. Упругие осадки и берега континента во время прилива.
/ — давления; 2 — осадки; 3 — низкий отлив; " — высокий прилив.
океана. При у = 0 горизонтальные перемещения равны нулю и грунт слегка осаживается при вертикальных перемещениях
о = £ [— £ In (^У+呼 ln(^)2 + 2 (* — 瘠)]・(6.64) Полагая
х、= х — b, х2 = х + b,
отсчитывая х от нового начала координат О, помещенного в середине отрезка。。2 = 2仇 и обозначая
ъ а *1 а，
& =*=自 一 В， 自2 =号=自 + p，
для прогибов V поверхности грунта при у = 0 получим следующее выражение:
и = со? ( —£~ In Е； + 整 In 卷 + 占；一卷十。。自 + с),(6.65)
в которое включены слагаемые 联 + 白，отражающие движение абсолютно твердого тела. Предположим, что длина 2& заливаемого участка берега мала по сравнению с*длиной а, которую мы считаем столь большой, что точка D при х=а остается не-
подвижной и находится на горизонте, т. е. %=а, У = 0, 0 = 0, 0и/0% = 0・ Поскольку величина ^ = Ь/а мала по сравнению с g= 1, можно выразить и в более простой форме (исключая область вблизи начала координат О с малыми значениями Е). При Q = — 1, q = 2 имеем
и =躲(占 Е 自—Е + 1)・ (6.66)
Это выражение справедливо для положительных &, исключая малые значения g. (Вследствие симметрии уравнения (6.65) видно, что V ——нечетная функция от g, и поэтому не требуется рассматривать отрицательные значения J.) Введем, наконец, гидростатическое давление 夕=丫九，соответствующее наибольшей разности 九 между уровнями высокого и низкого приливов, заменив постоянную р значением (рис. 6.17)
Резюмируем, теперь результаты, относящиеся к упругим перемещениям V берега под действием перемещающегося веса водяных масс при высоком приливе (высотой /г). Формула для у имеет вид
° = 7^詳(_ ©1П 蜀 + 敏1П 肾—12优 + 8p).(6.67)
Деформированная поверхность имеет наклон
黑="ШО【(2 + В) 1rli Е + ВI —焦 一 В)1rli W — РI — 2р], (6.68)
следовательно, вертикальная осадка ОЕ (рис. 6.17) берега океана у начала координат О(% = ± = 0) оказывается равной
”=舞'(6・69)
а наибольший наклон поверхности Земли к уровню океана равен
(凱 J(6.70)
где 夕=丫力；h——высота приливной волны; у=1000 кг^ — удельный вес воды; 26 — ширина заливаемой части берега. Предположим, что на расстоянии а= 100 кл = !05 м уровень грунта остается неизменным, высота прилива /г = 2л=6,28 м покрывает берег шириной 26=200 м и модуль сдвига горных пород
G = 80ООО кг/см2 (примерное значение для песчаника). Для этих д-анных вертикальная осадка в точке О (рис. 6.17) равна
и%=о = 12,5 CMt
а наклон грунта равен
(凱 9,9・
или, поскольку длина дуги одной секунды равна 4,8481 ・ 10~6, то этот наклон приблизительно соответствует дуге в две секунды, что является заметным)-
Глава 7
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ
7.1. Уравнения в цилиндрических координатах. При осесимметричном состоянии напряжений и деформаций положение точки Р определяется цилиндрическими координатами гиг——. расстояниями до точки от оси и от плоскости, перпендикулярной к оси. Вектор малого перемещения точки Р разлагается на радиальную (“)и осевую (V) составляющие. Грани малого элемента материала (рис. 7.1), ограниченные двумя цилиндрическими поверхностями г, r + dr — =const, двумя ПЛОСКОСТЯМИ 2, z + d2=const, и двумя плоскостя7.1. Уравнения в цилиндрических координатах. При осесимметричном состоянии напряжений и деформаций положение точки Р определяется цилиндрическими координатами гиг——. расстояниями до точки от оси и от плоскости, перпендикулярной к оси. Вектор малого перемещения точки Р разлагается на радиальную (“)и осевую (V) составляющие. Грани малого элемента материала (рис. 7.1), ограниченные двумя цилиндрическими поверхностями г, r + dr — =const, двумя ПЛОСКОСТЯМИ 2, z + d2=const, и двумя плоскостями, пересекающимися вдоль оси z и отклоняющимися друг от друга на малый угол, получают линейные деформации ег,印,е2 в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях,ми, пересекающимися вдоль оси z и отклоняющимися друг от друга на малый угол, получают линейные деформации ег,印,е2 в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях,%%ди дг 'ди дг 'ии=宝.=宝.(7.1)(7.1)Рис. 7.1.величину, определяе-Рис. 7.1.величину, определяе-Прямой угол между радиусом г и образующей цилиндра, проходящей через точку Р, меняется на малую мую относительным сдвигом,Прямой угол между радиусом г и образующей цилиндра, проходящей через точку Р, меняется на малую мую относительным сдвигом,
7.1. Уравнения в цилиндрических координатах. При осесимметричном состоянии напряжений и деформаций положение точки Р определяется цилиндрическими координатами гиг——. расстояниями до точки от оси и от плоскости, перпендикулярной к оси. Вектор малого перемещения точки Р разлагается на радиальную (“)и осевую (V) составляющие. Грани малого элемента материала (рис. 7.1), ограниченные двумя цилиндрическими поверхностями г, r + dr — =const, двумя ПЛОСКОСТЯМИ 2, z + d2=const, и двумя плоскостя
7.1. Уравнения в цилиндрических координатах. При осесимметричном состоянии напряжений и деформаций положение точки Р определяется цилиндрическими координатами гиг——. расстояниями до точки от оси и от плоскости, перпендикулярной к оси. Вектор малого перемещения точки Р разлагается на радиальную (“)и осевую (V) составляющие. Грани малого элемента материала (рис. 7.1), ограниченные двумя цилиндрическими поверхностями г, r + dr — =const, двумя ПЛОСКОСТЯМИ 2, z + d2=const, и двумя плоскостя
ми, пересекающимися вдоль оси z и отклоняющимися друг от друга на малый угол, получают линейные деформации ег,印,е2 в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях,
ми, пересекающимися вдоль оси z и отклоняющимися друг от друга на малый угол, получают линейные деформации ег,印,е2 в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях,
%
%
ди дг '
ди дг '
и
и
=宝.
=宝.
(7.1)
(7.1)
Рис. 7.1.
величину, определяе-
Рис. 7.1.
величину, определяе-
Прямой угол между радиусом г и образующей цилиндра, проходящей через точку Р, меняется на малую мую относительным сдвигом,
Прямой угол между радиусом г и образующей цилиндра, проходящей через точку Р, меняется на малую мую относительным сдвигом,
(7.2)(7.2)ди . dv
(7.2)
(7.2)
в плоскости, проходящей через ось]).
Если Or, о% Oz — компоненты нормального напряжения в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях, а тГ2 = т— касательные напряжения, действующие на двух гранях элемента, пересекающихся по линии PQ, то зависимость между напряжениями и деформациями для упругого материала примет
Из рассмотрения исключаются также перемещения вращательного характера (кручение в плоскостях z=const), связанные с касательными напряжениями tfz и относительными сдвигами 丫^.
следующий вид:
…陪+▲'(73)
% = 2G(az +2v)，
t=G(Z),
где G — модуль сдвига; v — коэффициент Пуассона; е ——объемное расширение,
.. ди t и . dvп 八
е = 8Г 4- 8/ 4- е2 ==亍 + 7 + 石•(7・4)
Условия равновесия напряжений, действующих по граням малого элемента (рис. 7.1), выражаются уравнениями
(7.5)(7.5)°” 丄 6 一 ” 丄 °t _ п
(7.5)
(7.5)
doz , (9т , т са +育+ у = °・
Если подставить выражения для компонент напряжений (7.3) в уравнения (7.5), то для составляющих перемещений и и у получаются два дифференциальных уравнения
(7.6)
где А — оператор Лапласа,
0,02
а объемное расширение
£ =肃肃^(⑦ + S + C)=与^ (0Г+ 6 + %)(7.7)
(7.8)(7.8)должно удовлетворять уравнению Лапласа
(7.8)
(7.8)
ae=必+7^7 +硬=°•
Используя (7.8), можно привести уравнения (7.6) к дифференциальным уравнениям для каждой из составляющих перемещений 〃 и и,
— (А〃 一号)=0, (7.9)
ААи = 0. (7.10)
Тимпе) нашел ряд полезных частных решений последних уравнений, разлагая выражения для напряжений в степенные ряды по г и г. Пользуясь этими результатами, он получил некоторые точные решения осесимметричных задач теории упругости, например для толстой упругой пластинки, одна из плоскостей которой нагружена постоянным давлением.
Рассмотрим задачу о полубесконечном упругом теле г> 0; предположим, что на граничной плоскости г=0 заданы отвечающие условиям осевой симметрии либо нормальные 。纟(или касательные т) напряжения, либо компоненты перемещений и и V. Эта группа задач теории упругости исследовалась общими методами, основанными на теории потенциальных функций. Естественно, что в данной книге не представляется возможным дать даже краткий обзор общих методов решения этих задач). Мы ограничиваемся изложением лишь одного специального способа построения решений, в котором используются некоторые частные интегралы уравнений (7.9) и (7.10). При этом мы основываемся на более общем методе, описанном в цитированной в примечании книге Римана——Вебера, используя важную группу решений вида Z(z)R(r). Одна из комбинаций интегралов для а, удовлетворяющих уравнению (7.9), имеет вид
"=е土а% дг), (аг), (7.11)
а вторая группа для и, удовлетворяющая уравнению (7.10),
имеет вид
и = е±В%(什)，ze^J^r),(7.12)
где Л)(|3г), 」i(ar)——функции Бесселя первого рода от действительной переменной нулевого и первого порядка; а, р ——действительные постоянные. Функции /о(х) и 丿乂尤)представляют собой интегралы дифференциального уравнения Бесселя
炉察+%黑+(炉一层m = 0(7，13)
для значений 〃 = 0 и п= 1 соответственно, причем они являются функциями колебательного характера с регулярным поведением у начала координат 尤=0. Эти функции выражаются посредством бесконечных рядов, сходящихся при всех значениях 尤，
/_ 1 (%⑵2 I(%⑵4 (%/2)6
1^ур (3!)2 十• • •，
/％(尤/2)3 I (尤/2)5(х/2)7,
21 -2 +1.2.2.31 -2-3-2-3-4 + • -(乙⑸
При 尤,стремящемся к бесконечности, х —»оо, ряды (7.14), (7.15) асимптотически сходятся к функциям〔)
/。(%)= /I sin {х + ^,厶(%) = /J Sin(X-|). (7.16)
Функции Бесселя подчиняются следующим зависимостям:
J х/。"％ = %/〔，(7 и,J х/。"％ = %/〔，(7 и,J上厶(%)点=1.J上厶(%)点=1.
J х/。"％ = %/〔，(7 и,
J х/。"％ = %/〔，(7 и,
J上厶(%)点=1.
J上厶(%)点=1.
Функции /о(ar), Ji (аг) могут входить в бесконечные суммы или определенные интегралы (аналогичные тригонометрическим рядам или интегралам Фурье) для выражения произвольных функ-
См Byerly W. Е., Elementary Treatise on Fourier's Series and Sphe« rical, Cylindrical and Ellipsoidal Harmonics, Boston, 1893. Gray A., Mathews G. B., Mac Robert J. M., A Treatise on Bessefs Functions and Their Applications to Physics, London, 1931. Янке E., Э м д e ①.，Таблицы функций с формулами и кривыми, ГИТТЛ, М., 1948. Schafheitlin Р., Die Theorie der Besselschen Funktionen, Leipzig, 1908. Карман T., Био M., Математические методы в инженерном деле, ГИТТЛ, М., 1946.
ций от г и, таким образом, могут использоваться для удовлетворения заданным граничным условиям на границе 2 = 0 полу- бесконечного тела 2>0・
Сосредоточенное давление. Действие поверхностных напряжений на полубесконечное тело. Предположим, что на плоской поверхности z = Q полубесконечного тела задано распределение нормальных напряжений Oz = ——p = f(r), где р — нормальное давление, а касательные напряжения г на этой плоскости равны нулю (рис. 7.2). Сюда относится случай, когда нормальное давление р распределено по площади круга радиуса г = а и равно нулю вне круга г>а. Тогда четыре составляющих напряжений Or, о%, Oz, т будут стремиться к нулю при 乙 стремящемся к бесконечности. Следовательно, главный интерес представляет определение напряжений вблизи граничной плоскости 2 = 0.
Ниже мы покажем, что при 2 = 0 нормальные напряжения на поверхности тела достигают следующих граничных значений:
4 = — Р，
% = - р + ^(1 -2у)"(7.18)
б = — 2vp — у (1 — 2v) р
(1 -2v) рг” 4G(1 -2v) рг” 4G2 = 0,2 = 0,(7.19)(7.19)и что радиальное перемещение и равно
(1 -2v) рг
” 4G
(1 -2v) рг
” 4G
2 = 0,
2 = 0,
(7.19)
(7.19)
так что эти величины у граничной плоскости z = 0 можно сразу определить из весьма простых общих формул 】).Здесь р ——сред-
I) В качестве упражнения читатель может попытаться получить формулы для Gr и о% приняв, что на поверхности тела (плоскость z=0) первое условие равновесия (7.5) принимает частный вид
d2u du и d \ \ d (ru)]d2u du и d \ \ d (ru)](1 —2v) d%(1 —2v) d%где doz/dr ——известная функция от 厂，а уравнение для и имеет следующий вид:
d2u du и d \ \ d (ru)]
d2u du и d \ \ d (ru)]
(1 —2v) d%
(1 —2v) d%
неа значение давления, взятое по всей площади круга перемен- ноге радиуса г,
Г
Р = ^2 / P^^dK(7.20)
о
где при р(九)=0 и 九＞仪 верхний предел интегрирования принимается равным фиксированному значению г— а.
Обращаясь к уравнениям (7.11) и (7.12), введем компоненты перемещений
〃 =(4 + Ваг) ^-аг/1 (аг),
у = (С + Daz) е-аг/0 (аг), (г 0),(7・21)
где А, . . . , D — постоянные интегрирования, причем 〃 представляет собой интеграл уравнения (7.9), а и — интеграл уравнения (7.10). Четыре постоянные А, ..., D не являются независимыми, так как они связаны между собой уравнениями (7.6), которые одновременно должны быть удовлетворены при подстановке в них составляющих перемещений 〃 и и. Это налагает на постоянные два условия; третье задается требованием равенства нулю касательных напряжений т = 0 на плоскости г = 0 или
ди . dv Л八
五+ 万=0,"0,
откуда следует, что
С=- А + В.
В этом легко убедиться после вычисления производных ди/дг и dv/dr с использованием правил дифференцирования (7.17). Таким же образом после выполнения определяемого уравнениями (7.6) 1) трудоемкого процесса дифференцирования выражений для 〃 и и, заданных равенствами (7.21), найдем
В — D =В — D =41—2»41—2»с =—с =—2(1 -V)А2(1 -V)А
В — D =
В — D =
41—2»
41—2»
с =—
с =—
2(1 -V)А
2(1 -V)А
Так как постоянная Л осталась пока не определенной, мы можем ввести вместо 4/(1—2v) новую постоянную Л и задать компоненты перемещения, удовлетворяющие условию 2 = 0, т = 0, в форме
(7.22)(7.22)〃 =4 (1 — 2” 一 аг) е~аг/1 (аг), у = — Л [2(1 — V)+ аг] ^~а2/0 (аг).
(7.22)
(7.22)
I) Отметим, что, согласно уравнению (7.4), объемное расширение 8 вн- ражается в виде
в = а2[4 + За? — С + О (1 - аг)] 丁窈厶(ar)t
Постоянная интегрирования Л должна определяться заданием второго граничного условия на граничной плоскости 7 = 0, т. е. заданием распределения либо нормальных напряжений о2 (или векторов перемещения К^2 + и?), либо в случае смешанных граничных условий (например, когда твердое тело вдавливается в граничную плоскость) заданием на части граничной плоскости векторов перемещений, а на остальной части поверхности — заданием нулевых нормальных напряжений. Чтобы удовлетворить второму граничному условию, предположим, что постоянная интегрирования Л (а) зависит от параметра а. Умножим правые части выражений (7.22) на da и проинтегрируем их в пределах от а = 0 до а = оо, т. е. зададим компоненты перемещений 〃 и и в виде определенных интегралов
и = j 4 (a) (1 — 2v — az) e~azJ{ (ar) da,
08(7.23)
v = — j A (a) [2(1 — v) + аг] 6~aV0 (ar) da. о
Отсюда можно определить объемное расширение в виде
е =等 + / + 案=2 (1 — 2# / л (а) е-宮厶(如)а da.(7.24)
о
Тогда очевидно, что на граничной плоскости 2 = 0
〃 =(1 — 2v) j 4 (a)厶(ar) da,о
u= —2(1 — v) J A (a) J0(ar)da,(7.25)
о
8 = 2 (1 — 2v) j Д (a) 70 (ar) a da.о
Для нахождения постоянной 4(a) рассмотрим граничное условие, заключающееся в том, что на плоскости 之=0 нормальные напряжения Oz представляют собой заданную функцию от г. После подстановки в выписанное ниже выражение для нормальных напряжений s значения (dv/dz)z==Q, вычисленного с помощью второго из равенств (7.23), и значения 8, определенного с помощью последнего из равенств (7.25), граничное условие и目
плоскости 2 = 0 запишется в виде
(7.26)(7.26)(7.28)(7.28)
(7.26)
(7.26)
(7.28)
(7.28)
oz = — р = f (г) = 2G ^ Л (а) /0 (аг) а da.
Сопоставление выражений (7.25) для £ и (7.26) для Oz показывает, что на граничной плоскости 2 = 0 объемное расширение
(7.27)(7.27)(1 — 2v) р
(7.27)
(7.27)
£=—
пропорционально давлению р, и так как с удовлетворяет уравнению Лапласа
Де = 0,
то £ определяется решением краевой задачи для потенциальной функции в предположении, что £ стремится к нулю при 2 = 8.
В теории бесселевых функций показано, что произвольную функцию f(г), подчиняющуюся определенным условиям (которые обычно удовлетворяются в практических приложениях ])), можно выразить в виде интеграла Фурье):
f (厂)=j /о(a厂)a 血 j f (九)厶(a九)九 d九(7.29)
бо
Таким образом, сравнивая правые части (7,26) и (7.29), можно определить функцию 4 (а) в виде определенного интеграла
2G4 (а) = — J р (A) J。(аА) Л dA. (7.30) о
Из (7.25) находим соответственно перемещения а и и в плоскости z = 0:
и =L諳上 j р (入)九 dA j J】(ar) /о (aA) da, (7,31) о0
v = -^- J p (九)A d九 j /0 (a厂)Jo (a九)厶.(7.32)
оо
Согласно известной формуле 9 интегрального исчисления, внутренний интеграл в равенстве (7.32) представляет собой разрывную функцию переменной 九，
ООI
j (аЛ) da = ■ 7 при ° < 九(7.35) о0 при г < Л< оо,
поэтому выражение (7.31) для 〃 можно записать в более простой форме:
Г
—丄證 j p(A)AdA,(7.36)
о
где 厂——верхний предел (вместо оо), так как разрывный множитель в (7.35) равен нулю при 九>厂.Но
2 J p(A)AdA = "2,(7.37)
о
I) Интеграл (7.35) можно вычислить путем подстановки в двойной интеграл (7.29) разрывной функции f(厂)=1 при 0<r<a и f(/)=0 при 0<г< оо Положив f(A) = l и приняв 入=а за верхний предел внутреннего интеграла, получим для последнего выражение
j厶（a九）AdA = %M厶（a簿］忆$ =生經・（7.33）
о
Следовательно, если OVYa, то
f (г) = 1 = а ^ /1 (сш) /0 (。厂)da,(7.34)
о
где 厂 ——независимая переменная, а ——постоянное значение этой переменной. Поэтому, - имея в виду, что в равенстве (7.35)九一независимая переменная, а г — постоянное значение 九，мы убеждаемся в том, что интеграл (7.35) равен
Jx (ar) /()(ей) da ==Jx (ar) /()(ей) da ==оо1О1Опри 0 < Л < г,при г < Л < оо.при 0 < Л < г,при г < Л < оо.
Jx (ar) /()(ей) da ==
Jx (ar) /()(ей) da ==
о
о
1
О
1
О
при 0 < Л < г,при г < Л < оо.
при 0 < Л < г,при г < Л < оо.
Последний интеграл напоминает интеграл Дирихле, определяющий функцию от九：
广…
♦ л
при
0 < Л < 1,
——sin a cos ей da = <
万
J a
0
.0
при
1 < Л < ОО,
причем оба значения можно назвать «разрывными множителями».
где р—среднее значение давления р в круге переменного радиуса г (0<г<оо). Следовательно, радиальное перемещение 辽 в граничной плоскости оказывается равным
"=一 0二患г = 0,(7.38)
что доказывает справедливость формулы (7.19).
Перемещение и, выраженное формулой (7.32), нельзя вычислить столь же просто, однако мы можем по крайней мере получить значение и в центре загруженной площадки,
и。= - ~ - J р (九)A dA j /° (аЛ) da, 厂=2 = О, оо
откуда вследствие
j /0 (aZ) da = ~ о получаем
°。=3『PWdN(7.39)1)
о
Имея в распоряжении значения 〃 и £ в плоскости z = 0, можно при помощи формул (7.3) определить нормальные напряжения для граничной плоскости 2 = 0 в следующем общем виде:
a=—p，
“=-р + }(1-2”)/,(7.40)
1
s = — 2vp_q(l - 2v) р.
Эти выражения справедливы для всей граничной плоскости, если р вычисляется согласно равенству (7.37). В центре площадки давления
(7.41)(7.41)之=广=0,%=-
(7.41)
(7.41)
"=S = — 4" (1 + 2v) Pr7
Пусть давление p заданным образом распределено по поверхности круга радиуса а и имеет результирующую нормальную силу
p = 2n J pr dr. (7.42) о
Поскольку при 厂>а давление равно нулю р = 0, то среднее давление будет равно ^ = Р/лг2 при г>0. Тогда для свободной поверхности тела
" =- 6 = °肅)巴，厂 >"，2=°， (7・43)
Таким образом, эти нормальные напряжения оказываются равными напряжениям, вызванным сосредоточенной в центре круга
Рис. 7.3. Перемещения 〃 и и под действием давления р.Рис. 7.3. Перемещения 〃 и и под действием давления р.Рис. 7.4.Рис. 7.4.
Рис. 7.3. Перемещения 〃 и и под действием давления р.
Рис. 7.3. Перемещения 〃 и и под действием давления р.
Рис. 7.4.
Рис. 7.4.
厂=а силой Р. Наши интегральные выражения для составляющих напряжений, которые здесь не выписываются, при неограниченно возрастающих значениях гиг должны стремиться к решению Буссинеска для распределения напряжений, вызванных сосредоточенной нормальной силой Р, приложенной в начале
1 -2v R (R + z)1 -2v R (R + z)+备卜+备卜координат (рис, 7.4)〔),
1 -2v R (R + z)
1 -2v R (R + z)
+备卜
+备卜
(7.44)(7.44)P Г 1 - 2v
(7.44)
(7.44)
3P评
% = -，
3P 22 r
T= 一元炉，
rue
R2 =产+22.
Этому решению соответствуют перемещения
〃=发［篇-15后"， 『寻中+訂〃=发［篇-15后"， 『寻中+訂(7.45)(7.45)
〃=发［篇-15后"， 『寻中+訂
〃=发［篇-15后"， 『寻中+訂
(7.45)
(7.45)
значениязначенияи =—и =—
значения
значения
и =—
и =—
на граничной плоскости 2 = 0:
(1二必空_0-^
2冗 Gr '°-2冗 Gr
Легко убедиться, что когда 之=0,厂〉о, выражения (7.38) для 〃 при / = Р/冗厂2 и формулы (7.43) для 0y и ot совпадают с соответствующими выражениями решения Буссинеска.
Частные случаи. А. Равномерно распределенное по кругу давление. В каче-
стве примера рассмотрим случай, когда давление р (рис. 7.5) постоянно по площади круга радиуса а и равно нулю вне его: p = po = const при 0<г<а; р = 0 при а<г<оо. Согласно (7.30), получаем для 4(a) выражение
2GA (а) = — % ] W0(aW dZ= 一 р° 费厶 Qa), (7.47) о
l) Ф e п п л ь А. и Л., Сила и деформация, т. 2, ОНТИ, 1938 или Timoshenko S., G о о d i е г J. N., Theory of Elasticity, 2d ed., McGraw-Hill Company, New York, 1951.
а из равенств (7.23) находим перемещения 〃，и и объемное расширение £,
〃 =—-^^ J (1 — 2” 一 а%) -^/1 (аа) /〔 (аг) da, о
и =罢 j[2 (1 — у) + az] -^-厶(aa) Zo (ar) da, (7.48) о
e ^ —0 - % E。。j e-az/[(ao) 70 (ar) da. о
Отсюда для граничной плоскости г = 0 имеем
〃=_"二;我。吗 jg 乙(a")/1(aГ)厶，о
и =(1 二尹°% j 2 人(⑶)J。3)^a»(7.49)
о
e =— 支~ 场)"。“ j 人(aa) 70 (ar) da.о
Из этих интегралов, использовав формулы (7.38) и (7.27) и приняв р = р для 0<г<а, /二仙出/厂2 для r〉a, можно выразить составляющую перемещения и и объемную деформацию е для плоскости 2 = 0 следующими простыми формулами:
(1-2»)ро「
4G，
0<r<a,
(1 -2v)犷
〃-'4G「I
a V Y 8,
(7.50)
£= _ (l-2v)p°
0<r<a,
-G，
(7.51)
E = 0,
a<r < 00.
Вертикальную составляющую перемещений и нельзя выразить столь же просто, однако интеграл (7.49) дает все же возможность получить в конечном виде два существенных значения и для граничной плоскости г = 0. на оси 广=0 и у края нагруженной зоны r = a・ Принимая в (7.49) г=0 и r = a, получаем
соответственно 】)
乙(аа) da = 1,乙(аа) da = 1,J ^ 乙(сш)厶(aa) da = £ ・(7.52) оJ ^ 乙(сш)厶(aa) da = £ ・(7.52) оСледовательно, составляющая перемещения и при z = r = 0 равнаСледовательно, составляющая перемещения и при z = r = 0 равна
乙(аа) da = 1,
乙(аа) da = 1,
J ^ 乙(сш)厶(aa) da = £ ・(7.52) о
J ^ 乙(сш)厶(aa) da = £ ・(7.52) о
Следовательно, составляющая перемещения и при z = r = 0 равна
Следовательно, составляющая перемещения и при z = r = 0 равна
V = Vq =V = Vq =• а при z = 0,厂=。равна• а при z = 0,厂=。равна(1 -V)p()a 8(1 -V)p()a 8(7.53)(7.53)Мы видим, что при постоянном сосредоточенном давлении p = po = const получается вдавливание в форме чаши, а прогиб V от своего максимального значения и = и。на оси в центре г=0 круга г = а падает на кромке сжатой области г = а до значения 2^а = ^^о или примерно до 2/3 максимального значения.Мы видим, что при постоянном сосредоточенном давлении p = po = const получается вдавливание в форме чаши, а прогиб V от своего максимального значения и = и。на оси в центре г=0 круга г = а падает на кромке сжатой области г = а до значения 2^а = ^^о или примерно до 2/3 максимального значения.Граничные значения напряжений на граничной плоскости 2 = 0, согласно уравнениям (7.40), равны2)Граничные значения напряжений на граничной плоскости 2 = 0, согласно уравнениям (7.40), равны2)% = — Ро,% = о,% = — Ро,% = о,"=S"=S(1 +2») %2(1 +2») %2U = - 3 =U = - 3 =(1 -2v)p0标2?(1 -2v)p0标2?0<r<a}(7.54) a<r <оо.0<r<a}(7.54) a<r <оо.
V = Vq =
V = Vq =
• а при z = 0,厂=。равна
• а при z = 0,厂=。равна
(1 -V)p()a 8
(1 -V)p()a 8
(7.53)
(7.53)
Мы видим, что при постоянном сосредоточенном давлении p = po = const получается вдавливание в форме чаши, а прогиб V от своего максимального значения и = и。на оси в центре г=0 круга г = а падает на кромке сжатой области г = а до значения 2
^а = ^^о или примерно до 2/3 максимального значения.
Мы видим, что при постоянном сосредоточенном давлении p = po = const получается вдавливание в форме чаши, а прогиб V от своего максимального значения и = и。на оси в центре г=0 круга г = а падает на кромке сжатой области г = а до значения 2
^а = ^^о или примерно до 2/3 максимального значения.
Граничные значения напряжений на граничной плоскости 2 = 0, согласно уравнениям (7.40), равны2)
Граничные значения напряжений на граничной плоскости 2 = 0, согласно уравнениям (7.40), равны2)
% = — Ро,
% = о,
% = — Ро,
% = о,
"=S
"=S
(1 +2») %2
(1 +2») %2
U = - 3 =
U = - 3 =
(1 -2v)p0标2?
(1 -2v)p0标2?
0<r<a}
(7.54) a<r <оо.
0<r<a}
(7.54) a<r <оо.
Нормальные напряжения на оси 厂=0 полубесконечного тела можно найти, определив из (7.48) объемное расширение £ и
деформации % = £/ = 7 丿，
(7.55)(7.55)е =—。二"％" J в-в/] go) da, r = 0,0
(7.55)
(7.55)
】)См. цитированную на стр. 290 книгу Шафхейтлина
2) Читатель должен обратить внимание на то, что на краю нагруженной площадки г = а все три нормальные напряжения меняют свои значения скачком, когда 厂 переходит от г<а к r〉a: осевые напряжения аг меняются от Oz = —Ро до а = 0, радиальные ar — от a? = — (1 +2v)p0/2 до о「= + (1 — 2v)po/2 и тангенциальные 6 — от у = —(1+2v)po/2 до о, = —(1—2v)〃o/2. Это соответствует характеру особых точек на г —а, описанному в § 6.1, формулы (6.22).
3) Отметим, что в подинтегральном выражении интеграла (7.48), выражающего отношение и]г, член
Г /] (ar) ] ar/2 1
Эти интегралы можно выразить в конечном виде】),в результате мы находим
e = - a臂)р。 [i - z(絞 + 吟一"
8/ =—聲[1 — 2v — 2 (1 — V)2 (a2 + 之2)-% + 之3 (q2 + 之2)-％].('
Следовательно, распределение нормальных напряжений вдоль оси г=0 6 полу бесконечном теле под действием постоянного давления р(), приложенного по поверхности круга радиуса 以 (учитывая, что для 厂=0, £「= £力，&z = dv/dz = 8 ——2ej, определяется формулами:
2G提+ 3)= 2G [写芸-2小
M =6=2G(6/ + 7^)>(7.57)2)
г = 0,% = - Ро [ 1 — 公(絞 + ^У4^,
0Г = 6 =一受[1 + 2v - 2 (1 + V)Z (a2 + 22尸/2 + 之3 储 + 之2)一%].
Путем интегрирования по частям
/ = J ef/i (aa) <ia = — ~ J e~az d [/0 (aa)]=
оо
=——[«7% (a。)]： - 4 I e-а/ (aa) da =- z (a2 + 也-％],
0 где интеграл
о
определен в цитированной книге Римана — Вебера, см. стр. 290. Далее
j e-a*a/i (aa) da = - ^ = ^" ^•[之(出 + 為-%]. о
Проверка правильности этих полиномов состоит в том, что когда г стремится к бесконечности, полиномы стремятся к выражениям Буссинеска, см (7.44). Например,
Найдем также максимальное касательное напряжение
Tmax = g (% - S)
ВДОЛЬ ОСИ 2, г = 0,
Fax=}%[- l+2v-2(l+V)232 + 22)」/2+3z3(a2+z2「” U.S#
Ясно, что она сначала увеличивается с ростом г, а затем уменьшается, достигая максимального значения на глубине
Nm='aNm='a"2(1+”)]У 7-2v '"2(1+”)]У 7-2v '(7.59)(7.59)
Nm='a
Nm='a
"2(1+”)]
У 7-2v '
"2(1+”)]
У 7-2v '
(7.59)
(7.59)
Таким образом, мы нашли на оси тела 厂=0 под площадкой нагружения на глубине гт изолированную точку (при коэффициенте Пуассона v = 0,3 глубина равна 2т = 0,637 а, а для несжимаемого упругого тела при v= 1/2 глубина равна zm = (1/^2)а = 0,707 а), в которой абсолютное значение максимального касательного напряжения имеет аналитический мак- снмум
I Fax 二I Fax 二О,33ро при v = 0,3,
I Fax 二
I Fax 二
О,29ро при v= 1/2.
Можно было бы ожидать, что при возрастании давления р() начальное течение возникает вблизи этой изолированной точки 厂=0, z = zm. Но учитывая наличие комбинированных разрывов (возникающих по краю сжатой области 厂=а в граничной плоскости 2 = 0) в значениях трех нормальных напряжений, учитывая перемену знака радиального напряжения аг, которое сразу вне круга г = а становится растягивающим, а также особое поведение касательного напряжения т川(исчезающее т“ = 0 на плоскости 2 = 0, но принимающее конечные значения по цилиндрической поверхности r = a = const, перпендикулярной этой плоскости), можно полагать, что развитие первых трещин сдвига вскоре перегонит течение в изолированной точке; трещины возникнут на краю г=а нагруженной области и будут распространяться внутрь тела в направлении, перпендикулярном граничной плоскости 2 = 0.
В несжимаемом упругом теле, v= 1/2, напряжения на граничной плоскости 2 = 0 имеют значения
0<r<a, r>a,0<r<a, r>a,(7.61)(7.61)(yz =(yr =(jt = — p0, % = О/ = o尸 0,
0<r<a, r>a,
0<r<a, r>a,
(7.61)
(7.61)
а в<до/ь оси г = 0
（7.62）（7.62）% 1 1>
（7.62）
（7.62）
% =-矍［2 一 3 （1 + 多（1 +£广
Центр нагруженной области 厂=а = 0 осаживается на величину
°° =罢*（7.63）
Чисто вязкое вещество при постоянном давлении р（）= const, распределенном по кругу радиуса а, будет непрерывно деформироваться при только что найденных напряжениях, а центр нагруженной области перемещается с вертикальной скоростью
0。一 2 厂0。一 2 厂（7.64）
0。一 2 厂
0。一 2 厂
Б. Вдавливание жесткого штампа. Идеально жесткий цилиндрический штамп радиуса а с плоским основанием, вдавливаемый в полубесконечное упругое тело нормальной силой Р, вызывает на плоскости вдавливания распределение нормальных напряжений, равное по Буссинеску
2兀aj ，°<Ya， （7・65）
и вертикальное перемещение
° = ^?^，°<г<^-（7・66）
Поскольку контактное давление р в упругом материале вдоль острого края г = а штампа стремится к бесконечности, материал под краем жесткого штампа неизбежно деформируется за пределами текучести или, если он хрупкий, начинает растрескиваться вдоль цилиндрической поверхности r = a = const, ортогональной к граничной плоскости z = 0.
Распределение напряжений согласно Герцу. Предположим, что на плоскости 2 = 0 полубесконечного тела z>0 нормальное давление
^Z = - Р = - Ро /1 _ %（7.67）
действует внутри круга радиуса а и что р = 0 при г>а. Ординаты нормального напряжения аг, отложенные в зависимости от радиусов г на плоскости 2 = 0, представляют собой половину эллипсоида вращения. Распределение нормальных напряжений
о，，or на граничной плоскости 2 = 0 под действием результирующей нормальной силы
p=書网出(7.68)
легко определить из равенств (7.40). Для этого надо определить значение среднего давления р,
Р = -р- J pr dr.(7.69)
откуда получим
0=等[1-(1一鼻)"]при
”等 при г》а.(7.70)
В центре круга напряжения равны
%= — Ро， “ = %=-^(1+2v)po， 厂=0.(7.71)
На рис. 7.6 приведены кривые для о「，о±, аг на граничной плоскости тела .{принято v = 0,3). Прогиб и。под действием нормаль-
Р и с. 7.6. Распределение напряжений в полубесконечном теле под действиемР и с. 7.6. Распределение напряжений в полубесконечном теле под действием(по Герцу).(по Герцу).давления р = р、давления р = р、
Р и с. 7.6. Распределение напряжений в полубесконечном теле под действием
Р и с. 7.6. Распределение напряжений в полубесконечном теле под действием
(по Герцу).
(по Герцу).
давления р = р、
давления р = р、
ной силы Р в центре 厂= 2 = 0 блюдцевидного отпечатка, согласно формуле (7.39), равен
°。二宁 jpd 厂jH 犷不 d「二R『.(7.72) оо
Г. Коноидальное разрушение. Имея в виду сказанное по поводу начала возникновения круговых трещин при равномерно распределенных давлениях и при вдавливании жестких штампов и учитывая достижение относительного максимума наибольшим касательным напряжением ттах на некотором расстоянии от нагруженной граничной плоскости, можно ожидать, что хрупкие трещины внутри тела будут искривляться и примут чашеобразную форму. Наблюдения над разрушением в хрупких материалах при сосредоточенных давлениях подтверждают эти заключения. При слабом ударе молотка с плоской головкой и острыми краями фарфор, стекло, холодный асфальт и т. п. раскалываются вдоль вогнутой чашеобразной 《коноипальной》трещины. В начале трещина ортогональна к ударяемой поверхности и часто имеет мелкие волнистые следы (напоминающие морские раковины), вызываемые, возможно, явлениями, связанными с распространением акустических волн.
Разрушение вследствие «точечных раковин» закаленных стальных тел является другим доказательством наличия изолированного максимума ттах на некотором расстоянии под центром круговой области нагружения: когда закаленные стальные катки (или колеса) непрерывно перемещаются по закаленному стальному основанию (рельсам), мелкие куски отколотого материала, зажатые между катками и основанием, будут создавать области сосредоточенных давлений и выкалывать с поверхностей контакта небольшие раковинки. Мы уже упоминали (см. § 6.2, рис. 6.8) о родственных явлениях, наблюдаемых при оптических испытаниях в виде изохром для плоской деформации при сосредоточенных давлениях, когда изохромы принимали круговую форму. Высказывалось предположение, что известные метеорные кратеры в Аризоне и в Северной Канаде (кратерное озеро Чабба) обязаны происхождением своих острых краев с сильно наклоненными, почти вертикальными стенками и чашеобразной формой срезывающему действию плотного роя метеоров, которые, ударившись о Землю почти вертикально, выбили в Земле большую впадину !).
1) Метеорный кратер в Аризоне (между Флэгстаффом и Винслоу) достигает ширины З/4 мили, кратер Чабба восточнее Гудзонова залива — ширины в две мили. Первый был нанесен на карту Нинингером, директором музея метеоритов в Седоне (Аризона), второй описан Билсом, который сообщил на собрании Международного союза геодезии и геофизики в Торонто ,1957) об открытии нескольких подобных впадин, вызванных ударами метеоритов. Одна из них, расположенная на восточном берегу Гудзонова залива и имеющая 400 миль в диаметре, сопоставима с И марийским морем, наибольшей видимой темной площадью на поверхности луны.
Джильберт】)， Вегенер, Урей и др. объясняют образование кратеров на поверхности луны ударами метеоров. Астрономы указывают, что многочисленные кратеры меньшего размера (с диаметрами от едва заметных до порядка десятков километров) представляются правильными, сравнительно пологими, круглыми, чашеобразными впадинами, которые часто окружены совершенно круглыми, слегка возвышенными кромками. Некоторые из впадин имеют отчетливо эллиптическое очертание: очевидно, они образовались в результате удара под косым углом по отношению к поверхности луны.
Поскольку каменные метеоры достигают земли в большом количестве, превышающем в 35 раз число металлических железоникелевых метеоров (обнаруживающих кристаллическую структуру Видманнштедта )), то кажется весьма вероятным, что малые круговые кратеры на поверхности луны были выбиты каменными метеорами или их плотными роями. Учитывая крайне низкую температуру в легких и хрупких горных породах, из которых, по-видимому, состоит поверхность луны, отсутствие на ней атмосферы и тот факт, что твердые тела, падающие на луну из космоса, должны обладать низкой температурой, близкой к абсолютному нулю температурной шкалы, можно заключить, что срезывающее действие каменных метеоров, ударяющихся о горные породы луны с космическими скоростями, должно быть огромным. И те и другие, находясь в крайне хрупком состоянии, должны мгновенно раздробляться из-за хрупких трещин по поверхности контакта, рассыпаясь в порошок или даже испаряясь вследствие превращения кинетической энергии в тепло, так что ни в выбитой чаше, ни вокруг нее не сохраняется остатков вещества ).
Насколько множо судить, форма средних и малых круговых лунных кратеров согласуется с установленным законом развития в хрупком материале типа стекла коноидальных трещин, вызванных высоким сосредоточенным давлением. Так как крупные
каменные метеоры сравнительно редки, то можно предположить, что правильные круговые кратеры промежуточного размера с диаметрами в несколько десятков километров образуются не вследствие ударов отдельных крупных тел, а из-за соударений с отдельными плотными роями каменных метеоров, пересекающих траекторию луны. Происхождение впадин с неправильными крутыми откосами и больших темных областей, называемых морями, не поддается столь простому объяснению и здесь не рассматривается. Как известно, в земную атмосферу ежедневно в огромном числе проникают весьма малые метеориты, которые сгорают в ней вследствие трения о воздух. Естественно предположить, что подобные метеориты действуют на поверхность нашего земного безатмосферного спутника подобно «пескоструйной обработке».
В заключение, кстати, заметим, что стальные плиты можно разрезать при помощи струй воды, направленных с большой скоростью перпендикулярно поверхности плит.
Глава 8
ТЕОРИЯ ИЗГИБАПЛОСКИХ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
Изгиб пластинок. Направим оси х, у так, чтобы они совпадали со срединной плоскостью пластинки постоянной толщины 用，малой по сравнению с другими размерами пластинки. Обозначим через w прогибы пластинки в точке %, у, 2 = 0, причем прогиб принимается малым по сравнению с толщиной пластинки 瓦 Плоскости 之=土用/2 могут быть свободными или пластинка может быть нагружена распределенным по плоскости г = —у поперечным давлением p = f(x, у). В тонкой пластинке при малых прогибах прямые линии, перпендикулярные срединной плоскости z = 0, остаются прямыми линиями, нормальными к изогнутой срединной поверхности 侬(％, у); упругие деформации 8Х, %, уху в точке Р(х, у, г), сопровождающие изгиб, выражаются следующим образом:
%%d2wd2wd2w 丽,d2w 丽,〜дх ду〜дх ду(8.1)(8.1)
%
%
d2w
d2w
d2w 丽,
d2w 丽,
〜дх ду
〜дх ду
(8.1)
(8.1)
Так как нормальные напряжения о? должны быть весьма малы по сравнению с напряжениями изгиба о%,仃伊 хху, мы вправе положить Oz = 0， Тогда для тонкой пластинки из сжимаемого упругого материала нормальные и касательные напряжения ах, 0沙,5 с помощью закона упругости выразятся в виде
(8.2)(8.2)£,.、 Ez (d2w d2w \
(8.2)
(8.2)
5 = Gyl-2Gn 矣訂
и будут пропорциональны расстоянию z. Эти напряжения через поперечные сечения x = const, q = const передают два изгибающих момента тх и ту и крутящий момент тху, приходящиеся на
единицу ширины,
无/2
7仆= %之血=一"7r+ V
一团2
歩2
=j о产 dz= _ N(窟+ v謳)，(8.3)
-h/2 九/2
=J勿产血=_(l_y)N為， i/2
где постоянная
"=12(一衿(&4)
обозначает цилиндрическую жесткость пластинки. Кроме того, если
九/2九/2
PL ^ dz, %=%«之(8.5)
-Zi/2—九/2
обозначают поперечные силы на единицу ширины в направлении, нормальном к изогнутой поверхности 侬(&у), то условия равновесия этих сил в поперечном направлении й моментов требуют, чтобы
дтх дтхудту дтху дрх дру
= к +可+夕=°・
(8.6)
При этом предполагается, что пластинка не нагружена силами, параллельными ее срединной плоскости. После подстановки тх, ту, тху из (8.3) в (8.6) для поперечных сил получим
plNf~, pl — Nr。plNf~, pl — Nr。(8.7)(8.7)
plNf~, pl — Nr。
plNf~, pl — Nr。
(8.7)
(8.7)
Прогибы w должны удовлетворять уравнению Лагранжа в частных производных четвертого порядка (\ = д2/дх2 + д2/ду2)：
△A侬="+ 2百可 + 犷=而.△A侬="+ 2百可 + 犷=而.(8.8)(8.8)
△A侬="+ 2百可 + 犷=而.
△A侬="+ 2百可 + 犷=而.
(8.8)
(8.8)
Помимо этого уравнения упругая поверхность w должна удовлетворять двум граничным условиям для каждого элемента граничной поверхности пластинки. Если эти условия относятся к составляющим нормальных и касательных напряжений,
передаваемых через цилиндрическую поверхность, перпендикулярную пластинке, а п обозначает внешнюю нормаль и s — касательную к граничной кривой пластинки, то, как указывалось в §3.1, стр. 141, они будут определяться двумя граничными условиями Кирхгофа следующим образом:
他九=一"（、券他九=一"（、券關+（2-”）關+（2-”）дп ds2「дп ds2「(8.9)(8.9)
他九=一"（、券
他九=一"（、券
關+（2-”）
關+（2-”）
дп ds2「
дп ds2「
(8.9)
(8.9)
где тп ——внешний изгибающий момент относительно s; р^ — исправленная поперечная сила, перпендикулярная упругой поверхности пластинки, причем обе величины отнесены к единице ширины цилиндрической граничной поверхности пластинки. При этом исправленные поперечные силы р； определяются, согласно теореме Кельвина и Тэта, в виде суммы 9
% = % +% = % +dmnsdsdmnsds(8.10)(8.10)
% = % +
% = % +
dmnsds
dmnsds
(8.10)
(8.10)
где рп — обычная поперечная сила, т. е. результирующая касательных напряжений, mns — крутящий момент, передаваемые через элемент ds h и отнесенные к единице ширины:
(8.Н)(8.Н)
(8.Н)
(8.Н)
Здесь обычная поперечная сила рп налагается на дополнительную поперечную силу dmns/ds так, что их сумма определяет выражение для исправленной поперечной силы р； в уравнениях (8.9). Следовательно, оказывается возможным рассматривать только эту результирующую силу р； и полностью не учитывать крутящие моменты mns вдоль граничной поверхности. Отметим, что в прямоугольной системе координат задача сводится к зада-
нию вдоль края x = const момента тх и исправленной поперечной силы
% =也+ ^^=一"[工 +(2-”)^^].(8.12)
В тех случаях, когда крутящий момент тху у остроконечных прямоугольных углов пластинки, скажем, при х = а, у = Ь не равен нулю, тогда в результате введения исправленных поперечных сил р； и р， в углу появится одна сосредоточенная сила Q = 2(mxv)x=a)У^Ь} равная удвоенному значению крутящего момента. Это имеет место, например, когда вдоль этих двух граней заданы граничные условия 侬=0 и △侬=0 (такие грани инженеры обычно называют «свободно опертыми», так как вдоль них изгибающие моменты тх и ту равны нулю). Таким образом, термин «свободно опертый» для прямолинейного края, вдоль которого выполняется условие 侬=八侬=0, представляется неподходящим. Это условие лучше выразить следующим образом: если крутящий момент тху в углу не равен нулю, то, чтобы края пластинки х = а, у = Ь вблизи угла оставались прямыми, требуется приложить направленную вниз сосредоточенную силу Q, предотвращающую подъем угла.
В упругом несжимаемом материале при v = V2 и при N = =七用3/9 = g/^з/З (обозначив N« = g G叫 получим
1 d2w ]
2 dy2 JJ
仃 Г d2w .
102叫
my = — Ne+
2 О/卜
102©
(8.13)
团2 Ne dx dy
Pl Ne ox」
Ne N'w =
=p・
(8.14)
С другой стороны, для пластинки из чисто вязкого материала, введя ц вместо G, величину Nl 互卩九з вместо Ne и проставив точки над ех, £у, уху, w, чтобы получить скорости деформаций и скорости прогиба w = dwjdt (/ ——время), находим
Г d2w , 1 d2w ]
s O'血
Для прогибов получим дифференциальное уравнение
АА庇=$ 卩炉 АА^ = р,(8.16)
где р может зависеть или не зависеть от времени 力.Поскольку система уравнений (8.15) и (8.16) имеет форму, подобную уравнениям (8.13) и (8.14), то для исследования вязких пластинок можно применить все многочисленные решения, полученные для упругих пластинок. Максимальные напряжения изгиба в пластинке можно найти (приняв z = /z/2) из выражения
6 7、
(8.17)(8.17)力，0"，^ху = Д2 (^х，^y，^ху)*
(8.17)
(8.17)
Круглые вязкие пластинки при осесимметричной нагрузке. Если распределенная нагрузка р = рМ (г) и прогибы w зависят oi расстояния г от центра круговой пластинки, то, поскольку оператор Лапласа выражается как Л=d2/dr2 + d/rdr = yd/dr (rd/dr), уравнение (8.16) для пластинки из вязкого материала примет вид
\ dr2 г dr 办2 г dr ) Nv 筋з ， ( •
а его общее решение запишется так:
疯=ед。+ б + c2r2 + Q In г + c4r2 In г, (8.19) где wq — частное решение, определяемое правой частью уравнения (8.18). Его можно выразить в последовательных квадратурах, если положить
“=岩1 ?『"(「)"“=岩1 ?『"(「)"
“=岩1 ?『"(「)"
“=岩1 ?『"(「)"
Если параметр нагрузки р0 зависит от времени /, то эти уравнения требуют дальнейшего интегрирования по времени t.
Пусть, например, круглая вязкая пластинка радиуса а нагружена по- сз'оянным давлением р=const, не меняющимся с течением времени /, а край пластинки г=а защемлен (r=a, w = dw/dr=0). В этом случае прогибы ш возрастают в зависимости от времени по закону
"謠”2 '产(8・21)
Если же пластинка шарнирно оперта по краям, т. е. при /* = о,改，=0 имеем mr = —N v[d2w I dr2(%)力初〃 dr] = 0, то
侬=出("2 -户)+ d 一 .(8.22)
Таким же образом, когда пластинка нагружена сосредоточенной постоянной силой Р в центре и ее край г=а защемлен, имеем
w =(а2-г2-2r2 In —V(8.23)
Если же край свободно оперт, то
9 =倘6屮一修一2八m寻.(8.24)
В двух последних случаях изгибающие моменты mr, 〃厶 неограниченно возрастают к центру пластинки г=0 из-за наличия слагаемых, содержащих 1п(а/г). В пластинке с защемленным краем имеем
倘产急(3 1 吟—(8.25)
а для пластинки с свободно опертым краем
祭畔，吋亲(31吟+ 1).(8.26)
Конечные значения для mr, mt и для максимальных изгибных напряжений в центре пластинки
6 /п
°V =0/ =庐(能力=0，r=°，
получаются, если предположить, что сосредоточенная сила Р = лср распределена на малом круге радиуса с в виде давления р конечной величины, как эю обычно и делается в теории упругих пластинок !). Очевидно, что перерезывающая сила рг в круговых сечениях /•=const в случае сосредоточенной силы Р, приложенной в центре г=0 пластинки, также стремится к бесконечности：
Pr = — NrPr = — Nrd A侬drd A侬dr2门厂2门厂(8.27)(8.27)
Pr = — Nr
Pr = — Nr
d A侬dr
d A侬dr
2门厂
2门厂
(8.27)
(8.27)
Теория изгиба прямоугольных упругих пластинок. Эта теория развивается уже более 130 лет, в течение которых было получено множество точных решений, и читателя следует отослать к обширной литературе по этому вопросу. Упругие поверхности прямоугольных пластинок и распределение напряжений в пластинках выражались либо с помощью двойных периодических функций в двойных рядах, либо с помощью периодических функций в форме тригонометрических рядов. В прямоугольнике со сторонами х = 0, х = а, у = 0, у = Ь двойной тригонометрический ряд
俏=1 п = 1俏=1 п = 1(m,九=1, 3, 5 …)(8.28)(m,九=1, 3, 5 …)(8.28)sin (他冗尤/q) sin (tinyIb)mn (m2ln2 + 拉2/62)2
俏=1 п = 1
俏=1 п = 1
(m,九=1, 3, 5 …)(8.28)
(m,九=1, 3, 5 …)(8.28)
выражает упругую поверхность пластинки, изогнутой в поперечном направлении под действием постоянного давления р = const, а ряд
_ 4尸，丫 sin (тп^/а) sin (nn^/b) sin (mnx/a) sin (nny/b)
侬=^abN 乙 乙(他 2/"2 + 〃2/b2)2
伍 “(m,1, 2, 3 .. .)(8.29)
Рис. 8.2. Пирамидальная нагрузка.Рис. 8.2. Пирамидальная нагрузка.выражает упругую поверхность такой пластинки, нагруженной сосредоточенной силой Р в точке с координатами 三，刀(рис. 8.1). Оба эти решения принадлежат основателю теории упругости Навье (1821), и они удовлетворяют граничным условиям 侬=0, А侬=0 на сторонах прямоугольника.
Рис. 8.2. Пирамидальная нагрузка.
Рис. 8.2. Пирамидальная нагрузка.
Рис. 8.1. Прямо-угольная пластин-ка, нагруженнаясосредоточеннойсилой Р.
Предположим, что прямоугольная пластинка а\Ь несет внешнюю нагрузку, распределенную в форме четырехгранной пирамиды, возвышающейся над пластинкой (рис. 8.2), так, что поперечное давление р внутри четверти пластинки в треугольнике ОАВ выражается в виде
2ро%
где ро ——давление, действующее в центре х = а/2, у = Ь/2 прямоугольного основания. Орнштейн 】)，решая эту задачу- в тригонометрических рядах, показал, что соответствующая упругая поверхность прямоугольной пластинки, удовлетворяющая условиям 侬=0 и А侬=0 на четырех сторонах прямоугольника, может быть
Ornstein W., Note on Rectangular Plates: Deflection under Pyramidal Load, Quart. Appl. Math., 11, № 3, 339—341 (October 1953). “
выражена в виде тригонометрического ряда
読鑑%К£$ S也* sin号2(九=1, 3, 5(8.30)
1
Для удовлетворения граничных условий ку = Ат = 0 в действительном эксперименте с прямоугольной пластинкой, изогнутой подобно одной из трех предшествующих упругих поверхностей, требуется приложить направленную вниз сосредоточенную силу Q, равную удвоенному значению крутящего момента тху в каждом из четырех углов прямоугольника. В ее отсутствие (Q = 0) предшествующие решения не будут строго соответствовать форме изогнутой пластинки, так как углы последней будут подниматься ])•
В 1900 г. Эстанав2) получил решение, соответствующее уравнению (8.28) для прямоугольной пластинки, нагруженной постоянным давлением р, выразив его, однако, через тригонометрические ряды, как суммы двух упругих поверхностей w、и w2l
④=侬1 +④2，④=侬1 +④2，(8.31)(九=1, 3, 5 ...).(8.31)(九=1, 3, 5 ...).
④=侬1 +④2，
④=侬1 +④2，
(8.31)
(九=1, 3, 5 ...).
(8.31)
(九=1, 3, 5 ...).
Постоянные, удовлетворяющие граничным условиям 侬=厶侬=0 по краям прямоугольника, равны3)
2 (2 + а〃 th а〃)〃5n5 ch %2 (2 + а〃 th а〃)〃5n5 ch %""一"5n5 m a" '""一"5n5 m a" 'nnbnnb(m == 1, 3, 5 ...).(m == 1, 3, 5 ...).(8.32)(8.32)
2 (2 + а〃 th а〃)〃5n5 ch %
2 (2 + а〃 th а〃)〃5n5 ch %
""一"5n5 m a" '
""一"5n5 m a" '
nnb
nnb
(m == 1, 3, 5 ...).
(m == 1, 3, 5 ...).
(8.32)
(8.32)
Если считать сторону а меньшей из двух сторон прямоугольника аХб, то ряды для изгибающих моментов !) прекрасно сходятся. Максимальные прогибы w^ в центре % = а/2, у = 0 имеют следующие значения:
b]a 1 2,04 3,82 оо
侬о 0,00406 0,01026 0,01276 0,01302 X 嘗
Пластинка в виде полосы постоянной ширины, нагруженная сосредоточенной силой. Уравнение для прогибов w в случае бесконечной пластинки, нагруженной рядом периодически расположенных вдоль оси % сосредоточенных сил Р
(рис. 5.13,6), относится к типу уравнения (5.90). Его можно получить с помощью частных интегралов уравнения АА侬=0, указанных в § 5.4, Г (1), равенство (5.79), в форме тригонометри
ческогоческогорядарядаwwРа2 у九=1Ра2 у九=1e-S"'/Q). nny \ . 〃嚙.〃冗％e-S"'/Q). nny \ . 〃嚙.〃冗％(8.33)(8.33)
ческого
ческого
ряда
ряда
w
w
Ра2 у
九=1
Ра2 у
九=1
e-S"'/Q). nny \ . 〃嚙.〃冗％
e-S"'/Q). nny \ . 〃嚙.〃冗％
(8.33)
(8.33)
имеющего силу для ^》。(九=1, 2, 3,...). В этом решении пластинка делится на бесконечное число параллельных полосок шириной а, каждая из которых несет одну силу (рис. 8.3); таким образом, определяется упругая поверхность бесконечно длинной полосы, свободно опертой по двум параллельным прямым краям х = 0 и х = а и нагруженной сосредоточенной силой Р 6 точке х = Е, у = 0.
Если сила Р действует, например, в центре Е = о/2 полосы, то
= 募£上注艺e-SW。)(1 +警卜in等 仇=3, 5…),
(8.34) а максимальный изгиб оказывается равным
侬=。+击+A •••)号^= 0,01695 譬. (8.35)
(8.36)(8.36)Вторые производные от упругой поверхности (8.33) можно выразить следующим образом:
(8.36)
(8.36)
ду2 +' dy
d2w dcp
2N ~ч= у ~ч~,Ox dy ' 0%
где функция
中(招 加=NA侬=—?£ g一?ssin 等 sin 等，(8.37)
справедливая при ^》。(孔=L 2, 3 ...), очевидно, представляет собой среднюю кривизну d2w/dx2 + d2w/dy2 = /\wt умноженную на цилиндрическую жесткость N изогнутой пластинки (разложение (8.37) справедливо при z/> 0). Так как(р = 0 вдоль параллельных краев % = 0, х = а и так как в окрестности точки приложения сосредоточенной силы Р (см. § 8.2, равенство (8.27)) поперечные силы по окружности малого радиуса г неограниченно возрастают как
Pr = ~NPr = ~Nd A侬drd A侬drР23vР23v(8.38)(8.38)
Pr = ~N
Pr = ~N
d A侬dr
d A侬dr
Р23v
Р23v
(8.38)
(8.38)
то поверхность ср должна иметь особенность в точке % =自，у = 0 (厂=0) типа
屮=金1口几(8.39)
Мы видим, что функция 屮 представляет собой функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению А屮=0, равна нулю на сторонах пластинки % = 0 и % = а и стремится к бесконечности как in г в тонке % = J, у = 0. Функция 屮 выражает прогибы тонкой
мембраны, закрепленной по краям пластинки под действием сосредоточенной силы, приложенной в некоторой точке (рис. 8.4).
Функцию Грина, для которой получен ряд (8.37), можно выразить в конечной форме следующим образом ]) •
(8.40)(8.40)L ch Еут 一 cos m (% — E)/q]屮— —4冗 ch (лу/а) — cos [л (x + g)/tz] *
(8.40)
(8.40)
Правые части равенств (8.36), а следовательно, изгибающие и крутящие моменты m® m〃，тху, можно выразить в конечном виде и найти затем распределение поперечных сил рх, которые поддерживают бесконечную пластинку вдоль ее обоих краев х = 0, х = а. Так, например, по линии симметрии у = 0 (рис. 8.5) изгибающие моменты определяются в конечном виде:
^xy = °，(8.41)^xy = °，(8.41)m _(1 +v)p 1 - cos m (% + 自)/码 mx-my-&冗m i-cos [冗(%-自)/a]'
^xy = °，(8.41)
^xy = °，(8.41)
и если сосредоточенная сила Р действует в центре пролета 传="⑵，то
тх = ту =тх = ту =(1 + V)Р ]1 + sin (тсх/а)
тх = ту =
тх = ту =
8л П 1 — sin (n%/q)
(8.42)(8.42)(8.40),(8.43)(8.40),(8.43)(1 +V)P .+ 2\
(8.42)
(8.42)
(8.40),
(8.43)
(8.40),
(8.43)
8л 1П ”g 2 \2 а У*
Вычисляя силу px =—NdNwldx с помощью уравнения найдем
_ Р gin (冗自/o) [cos(Ttg/а) — ch (rty/a) cos (冗尤/a)】 Рх — 2a {ch (ny/a) — cos [n (x —自)/o]} {ch (ny/a) — cos [л (x + l)/a]}
Отсюда получаются простые формулы для распределения поперечных сил вдоль обоих краев полосы:
厶=±备碎諾I綜研'X = 0, X = а， (8.44) где верхний и нижний знаки приписываются соответственно х = 0 и х = а. Хотя вдоль этих краев действуют также крутяш.ие моменты тху, равные
т (8.45)
ху ' / ду 2 дх 2 ' ' однако, как мы знаем, можно пренебречь их присутствием и определить истинное распределение поперечных сил с помощью исправленных поперечных сил, действующих вдоль обоих краев
1) Функцию Грина можно построить путем отображения полосы 0 & % & а на единичный круг, как было показано в книге автора по упругим пластинкам (см. стр. 313).
Рис. 8.4. Функция Грина (р.
Рис. 8.5. Изгибающие моменты.
Рис. 8.6. Распределение касательных усилий рх и поперечных сил р[ = Р* + 6т%/0у вдоль границ х = 0 и x = q.
Бесконечная полоса, нагруженная сосредоточенной силой Р.
пластинки х = 0 и х = а и необходимых для уравновешивания сосредоточенной силы Р,
дтху 3 — V 1 — V дрх
В нашем случае р； выражаются в виде 乙'2 L' "丿ch 询/a)干cos (吗a)「
где верхний и нижний знаки относятся соответственно к х = 0 и % = а. Пример показан на рис. 8.6.
8.5. Бесконечная пластинка,8.5. Бесконечная пластинка,Путем наложения двух параллельных рядов сосредоточенных сил ±Р (рис. 8.7), приложенных к бесконечной пластинке, и использования полученных выше результатов для полосы можно найти напряженное состояние в длинной прямоугольной пластинке при изгибе ее сосредоточенной силой Р, приложенной в точке вблизи одной из коротких сторон при краевых условиях 侬=厶侬=0. Решение Навье (8.29) соответствует бесконечному числу рядов сосредоточенных сил, наложенных в парах параллельных линий.
8.5. Бесконечная пластинка,
8.5. Бесконечная пластинка,
опирающаяся на сплошное
основание и нагруженная сосредоточенной поперечной силой. Великий немецкий физик Генрих Герц в 1884 г」) определил упругие прогибы бесконечной ледяной пластинки, нагруженной сосредоточенной силой и плавающей на воде. Он нашел решение дифференциального уравнения прогибов бесконечной упругой пластинки, плавающей на поверхности жидкости. Предполагается, что на пластинку действует сосредоточенная сила, вдавливающая пластинку выпуклостью вниз в эту жидкость вопреки силам противодавления последней. Решение Герца применялось инженерами к близкой задаче для упругих фундаментных плит, передающих нагрузки на грунт, и при проектировании
1) Hertz Н., Wiedemann's Ann. Physik und Chemie, 22, 449 (1884). Опубликовано также в Gesammelte Werke von H. Hertz, v. 1, p. 288, 1895.
железобетонных плит д^я дорожных покрытий ^. Помимо этих и подобных приложений в инженерных задачах о плитах на упругом основании, можно думать, что задача для бесконечной пластинки из упругого или вязкого вещества, нагруженной поперечной нагрузкой и лежащей на основании, реакции которого представляют собой силы противодавления жидкости, как силы сопротивления вязкого характера, или те и другие вместе, встречается в некоторых интересных проблемах изгиба и коробления земной коры под действием внешних сил.
Упомянем здесь такие примеры из геомеханики, как изгибные деформации земной коры, которые проявлялись в медленном опускании уровня земли под действием веса больших ледников, покрывавших некогда огромные пространства континентов, и в последующем медленном подъеме земли в течение послеледниковых периодов геологической истории (последний ледниковый период, после которого растаяли большие ледники). В геологии известны многочисленные примеры изменения уровня земли на протяженных участках земной коры, вызванные изменением ледовой нагрузки или весом накапливающихся осадков, причем весьма малые вертикальные скорости опускания или подъема уровня земли в некоторых районах дают заметные величины прогибов).
Тяжелая пластинка из материала удельным весом ур и толщиной h, границы которой могут быть бесконечно удаленными, покоится на полужидком основании несколько большего удельного веса % и оказывает на слой равномерное давление yph. Сосредоточенная поперечная сила Р, приложенная к пластинке, заставляет ее изгибаться по поверхности вращения с прогибами w. Пренебрегая весом пластинки как внешней нагрузкой и считая, что он передается в виде равномерного давления yphy заметим, что при изгибных прогибах гравитирующее основание будет действовать на пластинку реактивным давлением q — —ysw. Осесимметричные прогибы упругой пластинки, зависящие от радиального расстояния г данной точки до точки приложения сосредоточенной силы, должны, согласно (8.8), удовлетворять дифференциальному уравнению
=(爲+鳥)(争+瑞)=齐(8.47)
В инженерных расчетах предполагается, что для пластинок, лежащих на твердом упруго реагирующем основании от основания на пластинку передается реактивное давление, пропорциональное прогибам w пластинки q= —kw, где k ——эмпирически заданная постоянная (кг/см3). Тогда прогибы и напряженное состояние при изгибе упругих пластинок, покоящихся на упругом основании, определятся из уравнения
(8.48)(8.48)АА 侬=—-у w,
(8.48)
(8.48)
имеющего форму, тождественную с уравнением (8.47),
Если же пластинка состоит из вязко-упругого материала и опирается на твердое упругое основание (q = — hw) или плавает на поверхности жидкого основания (力= Ys)，то мы должны в левой части уравнения (8.47) поставить точки над 侬，а в правой части (8.47) записать!)
q±(q!Q Ц w\
где %е=3卩/£ ——постоянная с размерностью времени (вязкость 卩 и модуль Е относятся к материалу пластинки). Прогибы w получатся из уравнения
АА 庇=—伞但 + £)・(8.49)
Когда остаточные деформации становятся преобладающими, можно пренебречь упругими частями деформации (это сводится к предположениям несжимаемости v= 1/2, £ = 8,匕=0, но Nt© = =(£7i3/9) (3卩/Е) = (1/3)р,/13=^, где Nv — цилиндрическая жесткость пластинки). Тогда для прогибов w чисто вязкой плиты находим
АА^ =—亲侬.(8.50)
В геомеханических приложениях представляет интерес случай чисто вязкой пластинки, плавающей на гравитирующем очень вязком основании (типа некоторых толстых слоев глины или консолидированного ила). Этому случаю соответствует уравнение
aА^ =- 崇5一余位，(8.51)
9 См. § 102 уравнение (10.3).
аналогичное уравнению (8.49), но здесь постоянная ks зависит от вязкости основания !).
Займемся теперь интегрированием уравнения (8.47) Герца. Пусть 〃 ——характерная длина; х и у ——независимая и зависимая переменные; а ——постоянный параметр в безразмерном виде, так что
% =“ =(8.52)
Тогда уравнение (8.47) или)
(為+出)(需+罢)(8・53)
d2z dz病+丽=一.d2z dz病+丽=一.разбивается на систему из двух дифференциальных уравнений
d2z dz
病+丽=一.
d2z dz
病+丽=一.
(8.54)
Если подставить в эти уравнения значения z = iy или z =——iy, то оба они примут одинаковую форму соответственно либо с верхним, либо с нижним знаком
ху" + у' Т ixу = 0,(8.55)
которая представляет собой частный случай дифференциального уравнения Бесселя
严唄 + xyf +(Tix2 — n2)y = 0,(8.56)
имеющего в обычных обозначениях два интеграла Jn(xV^Ti) и У九(％М干 i), соответствующие либо верхнему, либо нижнему знаку в уравнении (8.56). Поскольку в уравнении (8.55) п = 0,
то получи.м для обоих знаков пары функций Бесселя нулевого порядка первого и второго рода:
/о (% ]/М),%(% /¥7).
Полный интеграл уравнения (8.53) выразится как
у = 4/о(尤 VI) + В70 (尤 UW) + CYq(x МТ) + СУ。(尤 了三)，(8.57)
где А,..., D — комплексные постоянные интегрирования.
Эти четыре интеграла с комплексными аргументами !) 口行ил…%u определяются из выражений
(8.58)....(8.59)(8.58)....(8.59)г1(〃/2)2 I (〃/2)4 _ ("/2y_
(8.58)
....(8.59)
(8.58)
....(8.59)
1] !2 + 2 !23 !2 十
У。(м) = (0,11593-In “) /о (〃) _ 空 +(1 + 1ТУ' -
(1 + 1/2+ 1/3) (“/2)6 ,一3!2十
Если принять для многозначных комплексных аргументов и и для логарифмов от 〃 следующие главные значения: либо
и = xVi ==(1 + i)%,
In 〃 = In (% М z)= lnx + y/, либо
…尸=xe~ 阿/4 =合(l-i)%,(8.60)
In 〃 = In (% ]/ —力=In % —争，
Выше мы применили функцию нулевого порядка второго рода Уо(^), введенную Шафхейтлином в его книге: Schafheitlin Р., Die Theorie der Besselschen Funktionen, Verlag von B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, p. 106, 1908. Эта функция при u=oo ведет себя согласно приведенной ниже формуле (8.70), взятой из той же книги (стр. 42, уравнение (2)). Заметим, что функция, обозначенная тем же символом %(〃)в уже цитированном известном справочнике Янке и Эмде, не совпадает с функцией Шафхейтлина, а связь между ними имеет следующий вид:
9
【У。^)]шафхейтлин = - {0,1159370 («) - [Уо (м)]Янке},(8.57а)
где 0,11593 = In 2 - С = In 2 - 0,57722, С = lim (1 + 善 + 亠 + ・…+ 丄一In
九=8 、23n/
постоянная Эйлера (см. Янке и Эмде, цитировано ранее).
то им соответствуют четыре функции в интеграле (8.57), представленные как две пары сопряженных комплексных функций. Таким образом, после разделения действительной (Re) и мнимой (Im) частей получим
厶(％ /± z) = Re /0 4- / Im 70 = Sj (х) ± zS2 (х),(8.61)
где Si(%) и S?(%) представляются бесконечными рядами
S1(x)=l-嘿+ 曙一^§^+(8.62)
S2(x) = — *+喘一嚼巴+(8.63)
Таким же образом
^ Уо (х ММ) =(0,11593 - In % 干?)(Si ± 5) — S3 干 2s4，(8.64)
где S3 (%) и S4(x) представляются бесконечными рядами
5зМ =(! +iO"^^_(l +4" + ^ + })'^~ +
+。+^ + 4' + } + 4' + 4')-^^~-(8・65)
5/)=空-(1+扛》)曙 +
+ 0 +Т + Т + Т + 4)^Й~~(8.66)
После разделения действительных и мнимых частей находим
гдегде%(X /7) = R】 (%) + 蝎(%)，%(% 厂刁= №(%—&(%)，R ⑶=弘0,11593S1 - Si In 尤 + 今 S2 - S3),R2 (x)=玄0,11593s2 — S2 In % —子 Si — Sj ・%(X /7) = R】 (%) + 蝎(%)，%(% 厂刁= №(%—&(%)，R ⑶=弘0,11593S1 - Si In 尤 + 今 S2 - S3),R2 (x)=玄0,11593s2 — S2 In % —子 Si — Sj ・(8.67)(8.67)(8.68)(8.68)
где
где
%(X /7) = R】 (%) + 蝎(%)，
%(% 厂刁= №(%—&(%)，
R ⑶=弘0,11593S1 - Si In 尤 + 今 S2 - S3),R2 (x)=玄0,11593s2 — S2 In % —子 Si — Sj ・
%(X /7) = R】 (%) + 蝎(%)，
%(% 厂刁= №(%—&(%)，
R ⑶=弘0,11593S1 - Si In 尤 + 今 S2 - S3),R2 (x)=玄0,11593s2 — S2 In % —子 Si — Sj ・
(8.67)
(8.67)
(8.68)
(8.68)
Отсюда видно, что так как каждая пара функций /о и У。 представляет собой пару сопряженных комплексных функций, то мы можем выразить полный интеграл уравнения (8.53) в действительной форме следующим образом:
у = %Si (%) + 02s2 (%) + SR(%) +，2&(%)，(8.69)
где с】,〃2, Q, ，2 ——действительные постоянные интегрирования. Для их определения в нашем распоряжении имеется два
граничных условия для пластинки в начале координат г = х = 0 и два условия при %, стремящемся к бесконечности. Для того чтобы проследить поведение у при х, стремящемся к бесконечности,
мы должны использовать известные асимптотические выражения теории бесселевых функций (записанные для главных значений (± j) - */4 = 0干？冗/8)：
/о(X /Tz) = /о (〃) = /鳥 sin (〃+ 今卜 y^ / ” ^-?\ (8.70a)
%(%1曰=厶⑷=/~ cos
К 2几%К 2几%(8.706)(8.706)
К 2几%
К 2几%
(8.706)
(8.706)
Вводя для сокращения записи обозначения
''2土 汴,''2土 汴,(8.71)(8.71)
''2土 汴,
''2土 汴,
(8.71)
(8.71)
(а{с — a2s — c{s + с2с), х = оо, (8.72)(а{с — a2s — c{s + с2с), х = оо, (8.72)мы видим, что полный интеграл уравнения (8 69) при х, стремящемся к бесконечности, асимптотически стремится к действие тельной функции
(а{с — a2s — c{s + с2с), х = оо, (8.72)
(а{с — a2s — c{s + с2с), х = оо, (8.72)
р2ти
и что для удовлетворения граничного условия х = оо, у = 0 в бесконечной пластинке нужно выбрать
с I =能， ，2 = ^1 •(8.73)
Кроме того, поскольку в третьем слагаемом, содержащем 8(%) в уравнении (8.69), появляется член Si(%)lnx и в центре пластинки х = 0, Si (0) = 1, In 0 =——оо, то для того, чтобы получить конечный прогиб w при % = 0, следует принять постоянную интегрирования Ci = 0, а потому и “2 = 0. Тогда полный интеграл (8.69) приводится к виду
у = %6(%)+ &(%)]•(8.74)
Так как первое слагаемое в скобках равно действительной части /()(〃)，а второе——мнимой части Уо(〃) для комплексного аргумента и = xVt , то полный интеграл можно также записать в виде _
у = a】 [Re /0 (“) +【m 厶(〃儿 ^ = x / L (8.75)
Наконец, последняя неизвестная постоянная интегрирования 〃1 определяется из того граничного условия, что поперечные усилия рг в пластинке вблизи ее центра 厂= % = 0 должны иметь результирующую, равную сосредоточенной силе 尸；или, согласно теории круглых пластинок (см. § 8.2, равенство (8.27)), значения р, по окружности малого радиуса 厂(％) должны быть равны
2卡(争+黑卜.专.(8.76)
Используя переменные % и у {г = ах la = {NlysY^x^ w = ay), получим
Iх £(需 + 磊= 2口侖广 (877)
Если интерпретировать у как комплексную функцию 〃 = %匕, то из уравнения (8.54) видно, что при z = —iy можно записать следующее дифференциальное выражение:
%生=—沃卓=—卜".(8.78)
dxdx \
Если теперь сюда подставить первое слагаемое уравнения (8.75) для у, равное D = 〃iJo(〃), то это ничего не даст для определения постоянной 〃i； если же взять в комплексной форме второе слагаемое у = 〃1У()(〃) для у, используя полное выражение для Уо(〃) со; ласно (8.59), то после дифференцирования по и вблизи 2
0 получим dY^du и
-W凱」翁(&79)
Следовательно, второе слагаемое уравнения (8.75), как мнимая иасть Уо(〃)при и = х К/ в предшествующем выражении, дает член +2〃1/л, и постоянная интегрирования 〃【принимает значение 1)
Таким образом, упругая поверхность пластинки^ изогнутой 〃о(Э действием сосредоточенной силы Р 〃 реактивного давле-
Это значение а\ можно также получить, применяя в уравнении (8.74) выражения для У"%) и /?2(%) в виде рядов в действительной форме, имея в виду, что только единственный член в них, а именно S2(x)ln% при % = 0, нает вклад в дифференциальное выражение (8.77),
ния ——y$w со стороны основания, определяется зависимостями
W =W =侬=訳亍 5 (%)+ &(%)］，%=j/^「，(8.81)侬=訳亍 5 (%)+ &(%)］，%=j/^「，(8.81)
W =
W =
侬=訳亍 5 (%)+ &(%)］，%=j/^「，(8.81)
侬=訳亍 5 (%)+ &(%)］，%=j/^「，(8.81)
(8.84)(8.84)N AA®i = р — Ys®iN AA®i = р — Ys®iпри 0 & г & а,при 0 & г & а,^ aa侬2 = 一 yS侬2^ aa侬2 = 一 yS侬2при г》а.при г》а.(8.85)(8.85)
(8.84)
(8.84)
N AA®i = р — Ys®i
N AA®i = р — Ys®i
при 0 & г & а,
при 0 & г & а,
^ aa侬2 = 一 yS侬2
^ aa侬2 = 一 yS侬2
при г》а.
при г》а.
(8.85)
(8.85)
причем максимальный прогиб 侬max под нагрузкой Р при х = г = 0 (Si(0) = 1, S2(0) =S4(0) =0) принимает значение
侬max侬max(8.83)
侬max
侬max
что совпадает с прогибом, найденным Герцем. Бесконечная пластинка, покоящаяся на твердом упругом основании под давлением д =—々з, имеет такие же прогибы, если ys заменить постоянной изгиба k. Изгибающие моменты можно получить из формул
г / dw . dw
» / d2w , dw
时一川屮+切
Мы не приводим здесь их довольно сложные выражения, дающие неограниченное возрастание моментов вблизи сосредото* ценной силы !) Р.
Восемь постоянных интегрирования, связанные с прогибами wi и w2, следует находить из двух условий при г=0, четырех условий непрерывности при г=а и двух условий, заданных для г= оо, что в целом требует трудоемких вычислений. Можно получить более простое приближенное решение следующим образом: нужно заменить в правой части первого уравнения (8.85) w\ его средним значением W\ в интервале 0<г<а; тогда первое уравнение приводится к виду
^ АА侬 1 = р — ysw 1 = const, совпадающему с уравнением для круглой пластинки при постоянном давлении p——Ys庇i = const; далее нужно использовать второе уравнение, справед* ливое при г>а.
Чисто вязкая пластинка, нагруженная сосредоточенной силой Р, будет вдавливаться в основание с сопротивлением вязкого характера q = ~ksw (мы пренебрегаем гидростатической частью —Ys侬 сопротивления), согласно уравнению
Nv АА庇=—ksw.
(8.86)(8.86)Скорости прогибов 力 в этом выражении определяются по предыдущим формулам (8.82) и (8.83), если заменить в них прогибы w, Ys, N на скорости прогибов 力，息，2?、=(1/3)卩力3
(8.86)
(8.86)
dw \ df /maxdw \ df /max8/(1/3) ^ц/г38/(1/3) ^ц/г3(8.87)(8.87)Следовательно, слои горных пород, опирающиеся на вязкие нижние слои, медленно нагружались бы весом массива льда в течение продолжительного времени с максимальной скоростью под ледяной вершиной
dw \ df /max
dw \ df /max
8/(1/3) ^ц/г3
8/(1/3) ^ц/г3
(8.87)
(8.87)
(8.88)(8.88)(8.89)(8.89)“а’ £。=时“а’ £。=时(8.92)(8.92)
(8.88)
(8.88)
(8.89)
(8.89)
“а’ £。=时
“а’ £。=时
(8.92)
(8.92)
С другой стороны, если предположить, что верхний слой земной коры, рассматриваемый как чисто вязкая плита, достигает столь большой глубины, на которой нижележащее основание вследствие высоких температур ведет себя в той или иной мере как жидкость (q = —Ys侬),то прогибы будут определяться уравнением
Nv АА血=—y$5.
Решение этого уравнения для сосредоточенной силы Р, возрастающей со временем / по экспоненциальному закону
Р = Р^\
можно найти с помощью предыдущих формул; оно определяется выражением
w =
дающим аффинную последовательность прогибов w. Временная постоянная
(8.91)
Определяет скорость погружения плиты; что касается произвольной постоянной а, то можно считать, что она определяет радиус, при котором получает первое нулевое значение трансцендентная функция в скобках. Неизвестный параметр а можно найти из уравнения
5](a) + R2(a)= 0
и задать для выбранного а прогиб ©, равный нулю. Поскольку большим значениям 〃 соответствуют меньшие значения времени 力,мы замечаем, что чем быстрее прогибается плита, тем большая площадь ее радиуса а погружается под действием силы 6 главной синклинали.
Поскольку бесконечная плита подпирается гидростатическим противодавлением, то условие статического равновесия требует, чтобы результирующая этих сил 夕=——\sw уравновешивала сосредоточенную силу Р, действующую на пластинку,
Р = 2лу5 j rw dr. (8.93) о
Если Р остается неизменной в течение времени /, то легко убедиться, что, так как прогибы w в вязкой плите вдоль главной
Рис. 8.8. Прогибы вязкой пластинки, лежащей на сплошном основании, под действием постоянной сосредоточенной силы Р.
синклинали должны непрерывно возрастать со временем /, радиус 〃 зоны, находящейся под постоянной нагрузкой Р = const, должен уменьшаться. При этом развивается «шарнирная» окружность, вокруг которой линия прогибов мгновенно поворачивается относительно своего первоначального положения, причем эта «шарнирная» окружность будет менять свое положение и двигаться внутрь по направлению к центру впадины. Другими словами, в то время как основная впадина непрерывно углубляется, она становится все уже и вокруг нее образуется кольцеобразное возвышение над начальным профилем изогнутой плиты (на рис. 8.8 показаны несколько профилей, возникающих последовательно во времени)!).
Деформация вязко-упругой бесконечной плиты под действием пострян- ной поперечной нагрузки рассматривается в § 10.4,
Глава 9
ИЗГИБ ВЯЗКО-УПРУГИХ БАЛОК
Изгиб балок постояннога сечения под действием поперечных сил. Рассмотрим гибкую призматическую балку или стержень постоянного поперечного сечения, изгибаемые поперечными силами в одной из главных плоскостей инерции. Проведем ось х через центры тяжести поперечных сечений и предположим, что плоскости этих сечений в гибкой балке остаются плоскими и ортогональными к упругой линии балки. Волокна на расстоянии z от нейтральной оси пп, на которой деформации изгиба £ и нормальные напряжения изгиба о равны нулю
,d2w' О 〃@2“@2©,d2w' О 〃@2“@2©
,d2w' О 〃@2“@2©
,d2w' О 〃@2“@2©
(рис. 9.1), удлиняются в направлении оси % пропорционально z. Если обозначить упругую и остаточную части деформации £ через е‘ и е〃 и таким же образом — упругую wr и остаточную w〃 части прогиба w,
£ = £‘ + £〃， W = Wf + wf\ (9.1)
то, поскольку деформации изгиба пропорциональны соответствующим кривизнам изогнутой оси балки, для вязко-упругого материала (Е ——модуль Юнга, ц — коэффициент вязкости) получим
8 =-2勾=戸，£ =一鼠，
(9.2)(9.2)(9.3)(9.4)(9.3)(9.4)••/ , • //d2w 1 / . , a \/3卩
(9.2)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.3)
(9.4)
где точками над символами обозначено дифференцирование по времени /.
Умножив каждое из трех соотношений в первой колонке этих уравнений на zdA (здесь dA — элементарная площадка поперечного сечения на расстоянии z от нейтральной оси пп) и проинтегрировав их по координате z по всей площади 4, получим три интеграла
J z2 dA = /, j Qzdz^ М, j gz dz = M, (9.5)
представляющие соответственно осевой момент инерции / поперечного сечения, изгибающий момент М и его производную по времени М в сечении % = const балки. Если, кроме того, обозначить перерезывающую силу в сечении x = const через Q, а распределенную нагрузку, действующую на единицу длины балки,——через p = f(x, /), то мы получим следующие зависимости:
г г，d2w' о г 。2庇〃m =一/e赤=一3々爾■
(9.6)(9.6)(9.7)(9.7)7^3ШОm q=з~ах3дх7^3ШОm q=з~ах3дх[e中[e中（府+的=_0一% 他+务卜力+台（府+的=_0一% 他+务卜力+台(9.8)(9.8)(9.9)(9.9)，Z7级必m
(9.6)
(9.6)
(9.7)
(9.7)
7^3ШО
m q=з~
ах3дх
7^3ШО
m q=з~
ах3дх
[e中
[e中
（府+的=_0一% 他+务卜力+台
（府+的=_0一% 他+务卜力+台
(9.8)
(9.8)
(9.9)
(9.9)
Уравнения (9.7) и (9.9) представляют собой две формы дифференциального уравнения изогнутой упругой линии w вязкоупругой балки, в то время как уравнение (9.6) дает возможность вычислить упругую и остаточную части wf и 侬〃 прогибов W.
Из уравнения (9.4), которое можно записать в виде
/+^=©,(9.10)
упругая деформация е‘ выражается через общую деформацию £ следующим образом 】)：
]/)=。一丝]е (0) + J 迎”山 =8(/) -^— J eZ^d/, (9.11)
где е(0) — общая деформация изгиба е в момент времени / = 0. Если при / = 0 не существует остаточной деформации『(0)，то
9 См. § 4.1, уравнения (4.7) и (4.8).
е{0) равняется упругой деформации е'(0). Рассматривая уравнение (9.7) как дифференциальное уравнение первого порядка относительно времени t для изгибающего момента Му мы можем определить из него момент М по схеме уравнения (9.11), т. е.
m (/) = _ /e (券-需.評ed' = _/E窘，(9.⑵
где полученное выражение мы приравняли выражению для М согласно (9.6). Это последнее уравнение можно дважды проинтегрировать по переменной % с учетом того, что упругая часть прогиба wf выражается через общий прогиб w для любого' момента времени t зависимостью
- tlte 方
侬‘=侬一^— j we"% dt =——j~ j dx J Л1 dx + qx + 3，(9.13) 'о ■
где постоянные интегрирования с】и c2 зависят от времени t. Остаточная часть прогиба 侬〃，равная w" = w —侬'，определяется по формуле
侬〃=纟厂 J we^dt.(9.14)
е О
Продифференцировав ее по времени /, получим 力〃=如'/、，откуда для 侬〃 находим второе эквивалентное выражение
侬〃 (f) =侬" (0) + 七 j w‘dt.(9.15)
Дифференциальное уравнение (9.9) упругой линии вязкоупругой балки упрощается в случае чисто упругой балки,
а для чисто вязкой балки ^
3/卩岩=".(9.17)
1) Если доминирующими становятся остаточные части деформации е〃 = (1/3|1) J odZ, вызванные длительным временем действия, то по сравнению с ними можно пренебречь упругими частями £‘. Этот тип чисто вязкого тела характеризуется малым значением временной постоянной te—^!E\ после умножения уравнения (9.9) на /е, пренебрежения членом /ср по сравнению с р и учета условия £九=3林 получается уравнение (9 17).
Из этих зависимостей получается простое правило, уже упомянутое выше, которое состоит в том, что вязкая балка под постоянной (не зависящей от времени) нагрузкой р прогибается с постоянной скоростью 血，пропорциональной прогибам w балки из упругого материала, изгибаемой той же самой нагрузкой при тех же граничных условиях. Это правило оказывается справедливым и для вязко-упругой балки, нагруженной только постоянными нагрузками, если эти нагрузки прикладывались к балке одновременно. В этом стучае балка будет прогибаться с постоянными скоростями w, пропорциональными начальным упругим прогибам W’.
Если балка начинает изгибаться из ненагруженного состояния (начальные значения всех нагрузок равны нулю), то прогибы w можно найти путем интегрирования уравнений (9.7) или
роны, что после внезапного нагружения балки сосредоточенными силами, приложенными в нескольких точках, последняя удерживается в упруго изогнутом положении, зафиксированном в пространстве в течение неопределенного времени. Тогда 应=0, и из уравнения (9.7) находим внутренние изгибающие моменты
teM + M = 0, М = Ме'%・ (9.19)
Отсюда следует, что напряжения изгиба о в балке постепенно исчезают. По истечении достаточно большого времени после разгрузки балка будет оставаться в изогнутом положении, причем ее прогибы вследствие релаксации превратятся в остаточные.
Пример 1. Для вязко-упругой консольной балки длиной /, защемленной на одном конце 4 и нагруженной сосредоточенной силой 尸=尸«) на другом конце О (рис. 9.2), при изгибающих моментах, равных М = —Рх, получим
d2w d3w /. Р \ х
После двойного интегрирования по / и по х получим выражение для прогибов
W =W =JР力）壶+屮1 +中2%；JР力）壶+屮1 +中2%；(9.21)(9.21)
W =
W =
JР力）壶+屮1 +中2%；
JР力）壶+屮1 +中2%；
(9.21)
(9.21)
здесь предполагается, что 尸=0, w = 0 при f = 0, а через (pi и (p2 обозначены две произвольные функции времени t. Вводя для сокращения записи обозначение Р* для выражения внутри скобок, которое является известной функцией времени,
Р* = Р+； j Р 山，(9.22)
о
и обозначая максимальный прогиб под точкой О через з, из граничных условий х=0,必= 3=(pi, x=l, w = Q, dw/dx=0, получим значение постоянных ⑺и обозначая максимальный прогиб под точкой О через з, из граничных условий х=0,必= 3=(pi, x=l, w = Q, dw/dx=0, получим значение постоянных ⑺и q)2 в видеи q)2 в видер*/3ф| = (0 = "с；工'•屮 13/Е，р*/3ф| = (0 = "с；工'•屮 13/Е，р*/2中2=一所下，р*/2中2=一所下，(9.23)(9.23)
и обозначая максимальный прогиб под точкой О через з, из граничных условий х=0,必= 3=(pi, x=l, w = Q, dw/dx=0, получим значение постоянных ⑺
и обозначая максимальный прогиб под точкой О через з, из граничных условий х=0,必= 3=(pi, x=l, w = Q, dw/dx=0, получим значение постоянных ⑺
и q)2 в виде
и q)2 в виде
р*/3
ф| = (0 = "с；工'•
屮 13/Е，
р*/3
ф| = (0 = "с；工'•
屮 13/Е，
р*/2
中2=一所下，
р*/2
中2=一所下，
(9.23)
(9.23)
Прогибы консоли оказываются равными
侬=of (%) = со侬=of (%) = со(佘-* +1) = (" + ^) f (x).(佘-* +1) = (" + ^) f (x).(9.24)(9.24)
侬=of (%) = со
侬=of (%) = со
(佘-* +1) = (" + ^) f (x).
(佘-* +1) = (" + ^) f (x).
(9.24)
(9.24)
Упругие и остаточные части прогибов равны
wf = о» (%),侬〃 =з〃〃х),wf = о» (%),侬〃 =з〃〃х),з'з'Р/зР/зрз1ТЁЦрз1ТЁЦjp〃・ оjp〃・ о(9.25)(9.25)
wf = о» (%),
侬〃 =з〃〃х),
wf = о» (%),
侬〃 =з〃〃х),
з'
з'
Р/з
Р/з
рз
1ТЁЦ
рз
1ТЁЦ
jp〃・ о
jp〃・ о
(9.25)
(9.25)
растет с течением времени t порастет с течением времени t поЕсли, например, сосредоточенная сила Р линейному закону Р=Р〃/о, то мы имеем
растет с течением времени t по
растет с течением времени t по
Ро/З /с〃一二 А/3£2
3/Е 犷6/Е "Т^.
В момент времени f=f° имеем
Р = Л)・Р = Л)・23 ,、〃 _ Pd
Р = Л)・
Р = Л)・
Пример 2. Колебания консольной балки. Ссылаясь на предыдущий пример, предположим, что сосредоточенная сила Р, изгибающая консоль меняется периодически, как указано на верхней половине рис. 9.3, возрастая и убывая по времени линейно между пределами ±Ро с полным периодом колебания, равным 4/0 Тогда, используя зависимости, только что найденные в примере 1, мы видим, что максимальные прогибы (о и их упругие и остаточные части s'н со" на конце консоли х=0 определяются при помощи легко воспроизводимой кривой OCEHG, состоящей из парабол и ломаной линии QBDFG соответственно, причем заштрихованные ординаты представляют
собой остаточные части з" прогибов в различные моменты времени Е. Например, прогиб в момент времени 2%, равный
2* =器.合，
будет остаточного характера и т. д. Кривая Р=/（（о） нагрузки Р в зависимости от максимального прогиба, который она вызывает, представляет собой
Рис. 9.3. Зависимость нагрузки Р и прогибов з, з', з〃 от времени при колебаниях вязко-упругой консольной балки.Рис. 9.3. Зависимость нагрузки Р и прогибов з, з', з〃 от времени при колебаниях вязко-упругой консольной балки.
Рис. 9.3. Зависимость нагрузки Р и прогибов з, з', з〃 от времени при колебаниях вязко-упругой консольной балки.
Рис. 9.3. Зависимость нагрузки Р и прогибов з, з', з〃 от времени при колебаниях вязко-упругой консольной балки.
Рх ~SРх ~SММdo育do育=const;=const;петлю гистерезиса, состоящую из двух параболических дуг типа, рассмотренного в § 1.1,6,5 （см. рис 4.11）. Это подтверждает изложенные там рассуждения относительно гистерезисных петель при постоянной скорости возрастания напряжения
Рх ~S
Рх ~S
М
М
do育
do育
=const;
=const;
здесь S — модуль сечения балки.
Вязко-упругая балка, изогнутая под действием осевой сжимающей силы, вызывающей выпучивание. Исследуем движение точек балки длиной / из вязко-упругого материала. Будем измерять ее отклонения ® от прямой линии, по которой действуют на балку две равные м противоположно направленные
сжимающие силы Р. Так как изгибающий момент Л1 в сечении х и его производная по времени М равны
М = Р叫 М = Pw + Pw、(9.26)
то, согласно уравнению (9.7), прогибы w удовлетворяют дифференциальному уравнению
霊+=+ Р 出(927)
Введя обозначение
俨=分，(9.28)
получим.
窯• + 俨血=_(2РР + 善)侬.•(9.29)
Если балка нагружена постоянной сжимающей силой Р (сила Р сохраняет свое значение Р-= const независимо от времени /), то 户=0 и прогибы определятся из уравнения
窮• + 俨也 + ^ 侬=0.(9.30)
А. Балка с шарнирными опорами по концам и с искривленной осью. Предположим, что мы имеем балку, показанную на
Рис. 9.4. Балка с начальнымиРис. 9.4. Балка с начальнымипрогибами 〃 = 〃0 cos-у-прогибами 〃 = 〃0 cos-у-
Рис. 9.4. Балка с начальными
Рис. 9.4. Балка с начальными
прогибами 〃 = 〃0 cos-у-
прогибами 〃 = 〃0 cos-у-
рис. 9.4, со слегка искривленной осью в напряженном начальном состоянии. Зададим форму оси функцией
(9.31)(9.31)и = 〃о cos —・
(9.31)
(9.31)
При внезапном приложении нагрузки Р балка будет сперва прогибаться упруго и начальные прогибы 〃 увеличатся на малую величину упругих прогибов 丄 так что общий прогиб будет равен .з="十冉(9.32)
22 A. Hawaii
причем дополнительные упругие прогибы, согласно элементарной теории упругого изгиба, определяются дифференциальным уравнением 】)
/£ 需=—「侬=—Р (и + 〃о cos * ・(9.33)
Положив
u = u()cos 子，(9.34)
получим значение постоянной и。，
。。=硒譯k 砧券干(9.35)
Значение и。 увеличивается с ростом нагрузки Р и становится бесконечно большим, когда сила Р будет равна эйлеровой силе
при которой выпучивается упругая балка. Если обозначить через а постоянную величину 1р
(9・37)
то начальный упругий прогиб балки можно записать в виде
侬=〃 + и = (1 + а) 〃о cos 子・(9.38)
Мы можем предположить, что прогибы w вязко-упругой балки в момент времени / равны
w =侬°C叫cos -у-,(9.39)
что удовлетворяет уравнению (9.33) и начальному условию при f = 0
w = wQ cos-y- = (1 + а) “° cos 乎, если выбрать
侬0 = (1 +а)〃о・(9.40)
Таким образом, максимальный прогиб вязко-упругой балки в сечении % = 0
g1aх = (1 +а) 〃。产(9.41)
В левой части уравнения (9.33) мы должны записать d2wldx2=d2v/dx2, чтобы учесть то обстоятельство, что деформации вызываются только прогибами и (но не %),
возрастает с течением времени / со скоростью
(9.42)
Центр балки начинает прогибаться в момент времени / = 0 со скоростью
—а(1 + а) 〃о = 尸绪〃。/А доч
侬 max—從 一(& _ р)2 储•(9・43)
Скорость 办max тем больше, чем ближе нагрузка Р к значению эйлеровой силы Реу 〃 становится бесконечно большой, когда Р = Ре. С течением времени при увеличении осевой нагрузки Р все больше возрастают скорости, превосходя начальные значения скорости, с которыми прогибается балка. Например, если а= 1 (сжимающая сила Р равна половине эйлеровой силы PJ, то скорости прогибов равны
W = 2 -— J"e COS 今；
если же а = 9 (нагрузка составляет 0,9 эйлеровой силы), то скорости прогибов равны
力=90年屏唯cos子，
и мы замечаем, что после достаточно длительного времени / прогибы w неограниченно возрастают при любых нагрузках Р.
Б. Выпучивание вязко-упругой балки при постоянной сжимающей СИЛЕ, ПРИЛОЖЕННОЙ С ЗАДАННЫМ НАЧАЛЬНЫМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ. При
наличии эксцентриситета приложения сжимающей нагрузки Р (рис. 9.5) начальные упругие прогибы балки равны
з二С黑滥' 俨=热.(9.44)
Прогибы w вязко-упругой балки, удовлетворяющие уравнению (9.30) и имеющие в начальный момент / = 0 эту заданную форму, можно выразить в виде рядов
俨f
侬=£ (е 叫• cos (/公十俨.x),(9.45)
где постоянные п и 4〃 подлежат определению. Начальное условие в момент времени / = 0 требует, чтобы независимо от постоянных мы выразили функцию /(х) =cos р% в интервале —//2< <х<//2 в виде бесконечного ряда косинусов, предположив, что за пределами этого основного интервала функция /(%) меняется
как периодическая функция с периодом 2/ (рис. 9.6). В этом случае используем ряд
/ (х) = cos В% =工“力 cos -—^ (т = 1, 3, 5, ...). (9.46)
Здесь постоянные ат после вычисления интеграла
z
J f (%) COSdx
о
оказываются равными
sin (m + а) л(m + а) лsin (m + а) л(m + а) л++sin (m — а) зт(т — а)冗sin (m — а) зт(т — а)冗
sin (m + а) л(m + а) л
sin (m + а) л(m + а) л
+
+
sin (m — а) зт(т — а)冗
sin (m — а) зт(т — а)冗
АпАпсатсат2 —("2 一 a2)冗22 —("2 一 a2)冗2алC0STалC0ST
Ап
Ап
сат
сат
2 —("2 一 a2)冗2
2 —("2 一 a2)冗2
ал
C0ST
ал
C0ST
где
Следовательно, постоянные равны
В результате выражение для прогибов w вязко-упругой балки примет следующий вид:
ооa2f
。涡而Fc°s 竿(m=l,3, 5,...). (9.47)
COS -^- m=l
По истечении достаточно большого времени прогибы с возрастают неограниченно, и снова скорость возрастания прогибов тем больше, чем ближе осевая сила Р к критической силе Эйлера Ре, при которой балка выпучивается мгновенно.
В. Изгиб чисто вязкой балки под действием постоянной осевой СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ Р, ПРИЛОЖЕННОЙ С ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ & РаССМОТрНМ случай чисто вязкой балки, в которой не имеется упругих деформаций, предположив Е = 8, /е = Зц/£ = 0, Е、= 3模. Прогибы балки определяются из дифференциального уравнения
или, если обозначить 02 =夕/3卩/, из уравнения
察=一俨叽(9.48)
При постоянной сжимающей силе Р, приложенной с эксцентриситетом с, изгибающий момент М распределяется равномерно,
Рис. 9.7. M = ± Mo = ± Pc.
когда в момент / = 0 внезапно прикладывается нагрузка, и равняется М = М0 = Рс = const. Разлагая момент М в ряд как периодическую функцию х периода 2/ (рис. 9.7), выразим начальное условие для балки в момент / = 0 в следующем виде:
т-1
М=¥ £(U」cos赞 (m=l, 3, 5, ...). (9.49) т=\
Решение, удовлетворяющее этому условию и уравнению (9.48), находится таким же образом, как в § 9.2, Б,
1
ОО 0222f
⑦=^ £ ±Z^_e而 cos *5=1, 3, 5,(9.50)
771=1
Для чисто вязкого стержня не существует критической силы, но его прогибы будут неограниченно возрастать при любой постоянной осевой сжимающей силе Рис тем большими скоростями, чем больше эта сила. Если мы обозначим временную постоянную через /о, сделав ее равной
(9.51)
то максимальный прогиб в центре х = 0 пролета / можно выразить в виде ряда по времени t
侬 max =— ... + ...).(9.52)
Мы видим, что чем больше сила Р или чем меньше время /0, тем быстрее прогиб wmax возрастает со временем t.
ОПУСКАНИЕ И ПОСЛЕЛЕДНИКОВОЕПОДНЯТИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.ТЕЧЕНИЕ СРЕД, ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯСОГЛАСНО ЗАКОНУ СКОРОСТЕЙОБЩЕГО ВИДА.
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯИ ТЕПЛОВЫЕ УДАРЫ.ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Глава 10
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБВЯЗКО-УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ,ПОКОЯЩЕЙСЯ НА ЖИДКОМ ОСНОВАНИИ )
Натуралист — лицо, хорошо знающее натуральную философию (словарь Джонсона). Опираясь на это свидетельство, химики, физики, астрономы и математики, несомненно, могут претендовать наряду с традиционными описателями природы на почетное и общепринятое звание Натуралиста.,.).
0.1 Опускание и поднятие земной поверхности. Из геологических данных известно, что большие участки земной поверхности периодически покрывались льдом — гигантскими ледниками и что эти ледниковые периоды сменялись эпохами общего отступления ледников, во время которых ледяной покров постепенно таял. Так было, например, в последний ледниковый период, предшествовавший исторической эпохе, когда громадные территории в северном полушарии (Канада и северная часть США и Европы) были покрыты слоем льда толщиной в несколько километров, который потом растаял. Последствия постепенного накопления ледников и последующего их отступления характеризовались соответственно понижениями уровня земной поверхности под тяжестью массы льда, часто окруженными поднятыми областями, и медленным возвращением или подъемом освободившихся от ледяного покрова площадей в течение послеледникового периода. Это привело к большим изменениям в распределении осушаемых речными системами площадей, породило современные внутренние озера ледникового происхождения и т. д.)
Вес слоя льда толщиной 九 и удельным весом около 丫?= = 1000 кг/jw3, лежащего на земляной подкладке (удельный вес
которой примем равным уе = 3000 кг/м3), предположительно плавающей в среде той же плотности, при статическом равновесии вызвал бы опускание этой подкладки на величину
噜=(гз)/".
Протяженный ледн и к толщиной 3 км, покоящийся на некотором участке континентального плато, вызывает опускание уровня суши на 1 км, а после того как он растает, суша поднимается на ту же высоту. Изменения уровня подвергшихся ледниковому воздействию земных масс на такую величину или даже на величину намного меньшего порядка, происходящие в течение нескольких тысячелетий, должны легко обнаруживаться и действительно отмечены многочисленными наблюдениями.
Математическое изучение этих интересных явлений медленного деформирования наружных слоев земной коры, вызванного изменениями ледниковой нагрузки, приводит к теории изгиба вязко-упругих пластинок, которая пока еще развита очень слабо. Мы надеемся, что в данной главе, возможно, будет пролит некоторый свет на эту и связанные с ней задачи, которые могут возникать в инженерной практике в отношении фундаментов на упругом грунте. С этой целью будут рассмотрены простейшие примеры такого типа, а именно примеры деформации слабо изгибаемой по цилиндрической поверхности бесконечной пластинки постоянной толщины из вязко-упругого материала, прогибы w которой зависят только от координаты % и времени 厶 Здесь предполагается, что эта пластинка нагружена внешними силами и в изогнутом виде покоится на несколько более плотной подстилающей среде, подобной жидкости.
Инженерами уже изучена очень близкая в математическом отношении задача, а именно задача об изгибе идеально упругой балки, покоящейся на упругом основании [). Прогибы балки на упругом основании вычисляются в предположении, что контактное давление q балки на основание пропорционально прогибу w балки, q =——kw, где k — определяемый эмпирически коэффициент основания (его размерность кг/см2, если q — нагрузка на единицу длины). Строго говоря, эта гипотеза приближенная, поскольку смещение w по нормали к свободной плоской поверхности 2 = 0 полубесконечного упругого тела (г > 0) в данной
Н е t ё п у i М., Beams on Elastic Foundation, 225 pp., University of Michigan Press, Ann. Arbor, Mich.; also Oxford University Press, London, 1946. В этой книге содержится не только теория балок на упругом основании, но и ряд близких вопросов теории упругих оболочек. (На русском языке см., например, Крылов А. Н., Изгиб балок на упругом основании. Изд-во АН СССР, М. — Л., 1931. — Прим, ped.).
точке х, у зависит не только от местного давления q, приложенного в этой точке, но и от некоторого интеграла по всем контактным силам q, действующим поблизости от нее. Однако в рассматриваемом случае, когда нагрузка q создается гидростатическим давлением лежащей в основании тяжелой жидкости (4 = —Ys侬)，выражение для контактного давления q = ~kw (6 = Ys), поддерживающего пластинку, становится точным.
Вязко-упругая пластинка, покоящаяся на основании. Рассмотрим бесконечную горизонтальную пластинку из вязкоупругого материала постоянной толщины h. Примем за плоскость %, у срединную плоскость пластинки, а положительную координату z и смещение ^ будем отсчитывать вниз. Пластинка слегка изогнута по цилиндрической поверхности, ордината которой 侬,представляющая прогиб пластинки, зависит от координаты % и времени /, а также от внешних сил, состоящих из распределенной нагрузки p = f(x, /) и контактного давления q = —kw, создаваемого основанием. К этому случаю одномерного изгиба пластинки можно применить развитую в гл. 9 теорию изгиба гибкой вязко-упругой балки, предполагая, что последняя изгибается под действием суммы некоторой распределенной нагрузки р и контактного давления q =——kw со стороны основания. Принимая во внимание уравнение (9.9), получаем дифференциальное уравнение для прогибов w такой балки
i 庇(1°・D
где / ——момент инерции поперечного сечения балки; Е ——модуль упругости; te=3[i/E\ ц ——коэффициент вязкости; точками обозначено дифференцирование по времени Л
Для бесконечной вязко-упругой пластинки постоянной толщины 九，покоящейся на основании, соответствующее уравнение получается заменой в уравнении (10.1) изгибной жесткости балки /Е на модуль пластинки N、вводимый в теории изгиба плоских упругих пластинок (§ 8.1, соотношение (8.4)):
3、
" =(1。・2)
здесь v ——коэффициент Пуассона. Прогибы w вязко-упругой пластинки определяются из дифференциального уравнения)
N翡々(也+-J) + Q + /' Q = ^，(1°・3)
Вследствие обращения в нуль при изгибе деформаций % = 0 и скоростей деформации ©д = 0 бесконечная пластинка, изогнутая по цилиндрической поверхности, помимо напряжений изгиба ах и изгибающих моментов тх = / ахг dz на единицу ширины пластинки испытывает в сечениях, перпендикулярных оси у, действие нормальных напряжений о〃 и изгибающих моментов %= J Gyz dz. Так как в чисто упругой пластинке ту = = vmx, а в чисто вязкой пластинке т^ (1/2)тх, то, например, в вязко-упругой пластинке первое соотношение соблюдается при внезапном нагружении, а второе (если нагрузка остается той же)—по прошествии достаточно большого времени, когда преобладающей станет остаточная деформация, т. е. в такой пластинке должно происходить постепенное перераспределение напряжений изгиба а%, о〃 (и моментов тх, ту).
Чтобы не рассматривать время этого перераспределения, усложняющего вычисления, полагают коэффициент Пуассона v для упругой части деформации равным 1/2, т. е. значению, справедливому для остаточной части деформаций 9- При дальней-
Рассмотрим, например, случай чистого изгиба пластинки. Пусть при /=0 прикладывается момент mx = mo == const, который затем поддерживается постоянным. Используя теорию пластинок, легко показать, что изгибающий момент ту должен постепенно возрастать от значения my — vmQ до величины ту= Ck'mg в соответствии с зависимостью
ту = (1/2) т° [1 -(1 - 2v) e~tlte\.
При этом прогибы пластинки растут со временем, согласно соотношению
5=一 2^1 卜(1 一 V)2 + ^. +(1 一 2V)2 (1 一 ^1^ со скоростями
也=等=—號【3 + (l—2v)2e
а упругие части прогибов изменяются согласно равенству
加=-需^ { 3 +[1 一 "— 2")2 6 J”}.
Но если положить v=V2, то предыдущие соотношения упрощаются и прини
恤尤2恤尤2他g = (1/2)①0,他g = (1/2)①0,ww恤尤2恤尤2wwмают вид
恤尤2
恤尤2
他g = (1/2)①0,
他g = (1/2)①0,
w
w
恤尤2
恤尤2
w
w
соответствующий предположению о несжимаемости. Фактически в этих случаях цилиндрического изгиба бесконечной пластинки, так же как и в теории плоской деформации вязко-упругого материала (см. § 5.6, равенства (5.120) и (5.121)), из-за условия плоской деформации е^ = 8^ + е^ = 0, накладываемого на деформацию в пластинке, в процессе релаксации изменение со временем f напряжений ау сопровождается изменением напряжений 。心 с чем проще иметь дело, если считать v =〔/2・
шем построении теории изгиба вязко-упругой пластинки, покоящейся на основании, мы будем поэтому считать v = l/2, т. е. предполагать несжимаемость также в отношении упругой части деформации, что дает для модуля пластинки W значение
12(1")9•12(1")9•(Ю.4)(Ю.4)
12(1")9•
12(1")9•
(Ю.4)
(Ю.4)
Из уравнения (10.3) сразу же можно получить важный вывод. Если внешнее давление р не зависит от времени / или стремится со временем к некоторому постоянному значению, когда становится / = 0, то скорость прогибания w = dw/dt будет посте
пенно уменьшаться до нуля в каждой точке пластинки, так как сумма внешнего давления р и давления от сил реакции д =——kw стремится в каждой точке к нулю, т. е. по истечении некоторого времени оба давления уравниваются: kw = p.
Рис. 10.1.в форме необратимо изогнутой пластинки^ характеризуемой кривой ее прогибов, котораяРис. 10.1.в форме необратимо изогнутой пластинки^ характеризуемой кривой ее прогибов, котораяТаким образом, установившееся распределение внешнего давления p = f(%) оставляет, в конце концов, точный отпечаток
Рис. 10.1.
в форме необратимо изогнутой пластинки^ характеризуемой кривой ее прогибов, которая
Рис. 10.1.
в форме необратимо изогнутой пластинки^ характеризуемой кривой ее прогибов, которая
отвечает наступившему состоянию совершенного изостатического равновесия между р и ——kw в полностью освободившейся от напряжений необратимо изогнутой пластинке (рис. 10.1). Мы можем добавить, что математически это должно быть верным даже для функций p = f{x) с внезапными изменениями наклона или конечными скачками величины р, которые снова должны появляться в окончательной форме изогнутой срединной поверх
ности пластинки.
Это следствие теории изостазии земной коры было бы логичным, если бы массивная пластинка могла выдерживать такие резкие переходы кривой изгиба, не будучи напряженной. Однако в действительности она будет деформироваться по- иному; например, вблизи мест резкого изменения давления будет происходить образование круто наклоненных трещин (поверхностей разрыва, вызванных соскальзыванием) или возле мест постепенного возрастания до больших величин кривизны изогнутой срединной поверхности напряжения изгиба будут достигать предела прочности (или текучести) материала, так что дальнейшее применение обычной теории изгиба станет невозможным задолго до того, как реализуются следующие стадии деформации.
Для пластинки из упругого материала, не обладающей вязкостью (也=0,力=0,侬" =0,侬=侬')，проги6ы w при условии, что пластинка покоится на упругом основании (q =——kw) и нагружена давлением р, находятся из уравнения
NN—kw + р,—kw + р,(10.5)(10.5)
N
N
—kw + р,
—kw + р,
(10.5)
(10.5)
(10.6)(10.6)а для чисто вязкой пластинки, в пренебрежении упругими деформациями и прогибами (侬'=0,侬=侬〃)，для которой модуль
(10.6)
(10.6)
прогиб w определяется уравнением
“О 石Г= -kw + p.“О 石Г= -kw + p.(10.7)(10.7)
“О 石Г= -kw + p.
“О 石Г= -kw + p.
(10.7)
(10.7)
Бесконечная вязко-упругая пластинка, изгибаемая сосредоточенной силой. А. Прогиб изменяется со временем экспоненциально. Пусть р = 0, т. е. никакой внешней распределенной нагрузки к пластинке не приложено. Тогда прогибы определяются уравнением (10.3), в котором полагается р = 0,
N 岩(位+i■卜(1"8)
Можно найти некоторую совокупность решений этого уравнения, полагая прогиб w равным
w = WqX (х) qp (/),(10.9)
где 侬о ——некоторый постоянный прогиб. Подставим это выражение в уравнение (10.8), тогда
X⑷X⑷XX（0 +芒）脩（0 +芒）脩(10.10)(10.10)
X⑷
X⑷
X
X
（0 +芒）脩
（0 +芒）脩
(10.10)
(10.10)
(10.11)(10.11)Пусть два получившихся выражения, зависящих соответственно от х и от /, будут равны отрицательной постоянной ——с (с〉0), и вместо с запишем
(10.11)
(10.11)
где а ——произвольно выбранная длина;九——безразмерная величина. Тогда из левой части уравнения (10.10) находим
(10.12)(10.12)小X _ _ 4%4育"=_才儿
(10.12)
(10.12)
Четыре интеграла этого линейного дифференциального уравнения четвертого порядка, определяющего функцию X (%), должны иметь вид】)
4一
X (%) = «М-4 (九％/а) = «土(1+i)(九％/а)
или, в действительных переменных,
X (%) = (еКх/а или «-'%/“)《os 子 или sin 券).(10.13)
/ 4W\々@4/ 4W\々@4Далее, из правой части уравнения (10.10) и из (10.11) находим для функции ф(/) уравнение
/ 4W
\々@4
/ 4W
\々@4
(10.14)
или, более кратко,
6 = ^^，办=(8一1)乙，君© =中，屮=e"公 (10.15)
Мы замечаем отсюда, что постоянная 力о, имеющая размерность времени, может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от следующих условий:
КР，%>о или
0VBV1,-『-陪々о<О・(10.16)
Прогибы вязко-упругой пластинки
3 = 5^/fm(子)(10.17)
в первом случае (|3>1) возрастают, а во втором — уменьшаются со временем 力 описывая соответственно процесс нагрузки или разгружения пластинки.
Если ограничиться рассмотрением бесконечно длинной пластинки, нагруженной одной сосредоточенной силой Р, представляющей собой приходящуюся на единицу длины нагрузку, равномерно распределенную вдоль оси у (% = 0) (рис. 10.2), то при положительных значениях % нужно взять комбинацию двух частных интегралов
(10.18)(10.18)x(3) = i/a(cos^ + sin 个),
(10.18)
(10.18)
4一
Здесь использованы четыре корня: У』=土(1 土 i)仅2.
которая при х = 0 дает dw/dx~Q, а при возрастании х до бесконечности —обращение в нуль прогиба &. Это решение, если не обращать внимания на экспоненциальный временной множитель е〃《, представляет собой хорошо известную кривую быстро затухающих колебаний, сходную с получающейся для изогнутой упругой линии длинной балки или пластинки из
Рис. 10.2.
идеально упругого материала, покоящихся на упругом основании, прогибы которых при 〃 = 0 удовлетворяют уравнению (см. (Ю.5))
Последнее уравнение, если определить параметр 九о соотношением
^ =黑(Ю.20)
(а — произвольная длина, как и прежде), дает для случая одной сосредоточенной силы при % = 0 следующее решение для упругой пластинки при %>0:
侬*=叫人(~^)=吟е-м%/а (cos~^ + sin^"), • (10.21)
где Wq — максимальный прогиб в точке % —0; в то же время линия прогиба вязко-упругой пластинки в момент времени / = 0 имеет вид
w = wQX (?)=©0e一"力" (cos 甘 + sin 勺).(10.22)
Функции Х(九х/а) и Х^()^x1 а) отличаются величинами параметров X и Аю. Пусть под произвольной длиной понимается расстояние первого нуля функции Х(Хх/а) от начала координат % = 0, а / и /о — соответственно ширина основной впадины между двумя ближайшими нулями функций X и X。по обе стороны от
сосредоточенной силы. Тогда /=2а и 侬，口侬* обращаются в нуль при х = а= (1/2)I и х= (1/2)/0 соответственно, если
sin 九=—cos 九，九=(3/4)冗
и
sm- =_cos__ , %=而=石.
Так как, согласно определяющему уравнению для В (см. (10.15)),
В =(灯=(打，(223)
т=От=Ото мы видим, что отношение этих двух длин волн составляет
т=О
т=О
(10.24)
Кроме того, ширина I основной впадины кривой прогиба, отвечающей сосредоточенной силе, приложенной к вязко-упругой пластинке, при нагружении (когда р > 1) меньше, а при разгру- жении (когда 0<р<1) больше длины /0 упругого стержня, обладающего теми же значениями k и N. Упругая часть wf прогиба w вычисляется из уравнения (9.13):
也‘ + 半=血叱(10.25)
а остаточная часть w〃 ——из уравнения (9.14):
(10.26)(10.26)• 〃 W
(10.26)
(10.26)
ПолагаяПолагая5〃 =
Полагая
Полагая
步=叫x (号"⑴,
из уравнения (10.25) находим
Г (0 = Се% + 評。脩^,(10.27)
где С — постоянная интегрирования.
Б. Аффинная последовательность прогибов для нагружения сосредоточенной силой. Пусть Р>1, и пусть постоянная интегрирования с = 0, тогда получим некоторую специальную последовательность прогибов вязко-упругой
пластинкипластинки
пластинки
пластинки
(10.28)(10.28)告屮，
(10.28)
(10.28)
чему соответствуют упругий w\ остаточный wf, и полный прогиб w пластинки, равные
3 J
_ wte _ w
_ 矶 © (В — 1)
-办 + 3'
w =
=加 + “ = w0X (圖 M。(10.29)
и все обращающиеся в нуль при /= оо. Мы можем назвать это решение последовательностью аффинных прогибов пластинки. Эта последовательность характеризуется тем свойством, что отношения 侬‘:w": з остаются неизменными в процессе деформирования. Если, например 0 = 2, t^te, wf — w^^^w, то длина волны Z= (2)-/ /о=О,84 Zo.
В момент / = 0 имеем
県皿（b二1）师汇66,県皿（b二1）师汇66,w = WqX,w = WqX,(10.30)(10.30)
県皿（b二1）师汇
66,
県皿（b二1）师汇
66,
w = WqX,
w = WqX,
(10.30)
(10.30)
так что, с другой стороны, мы можем смотреть на (10.30), как на начальные условия для деформации в последующие моменты времени />0. Если Р обозначает сосредоточенную силу, изгибающую пластинку (на единицу ширины), действующую в точке х=0, то, поскольку эта сила должна равняться весу смещенного объема материала основания, для бесконечной пластинки имеем
Но
и сосредоточенная сила
Здесь
w dx.
Р = 2/
J W dx = Wq6th
(10.31)
(10.32)
(10.32а)
обозначает значение Р в момент ^=0; таким образом, Ро определяет величину максимального прогиба при f=0】).
Для пластинки из идеально упругого материала мы аналогично нашли бы, что сосредоточенная сила равна
% = —^― •(Ю.ЗЗ)
В. Мгновенная разгрузка. Пусть пластинка, после того как она прошла через аффинную последовательность прогибов, в некоторый момент времени t имеет прогиб,
wY = qX 丿=/е / I cos + sin(10.34)
под действием сосредоточенной силы
尸尸書(10.35)
и внезапно освобождается от этой силы. Здесь мы написали ci вместо ©ос"', учитывая (10.29). Пластинка будет восстанавливаться чисто упруго, согласно уравнениям (10.21) и (10.33), с прогибами
g = — &Хо (竽)=一 c2e-^xla (cos 竽 + sin 第) (10.36)
и силой
ПосколькуПоскольку(10.37)(10.37)
Поскольку
Поскольку
(10.37)
(10.37)
то новая изогнутая форма пластинки имеет вид
^^Wi + wz^CiX — С2Х0 =^^Wi + wz^CiX — С2Х0 =2^ (九X —九оХ),2^ (九X —九оХ),(10.38)(10.38)
^^Wi + wz^CiX — С2Х0 =
^^Wi + wz^CiX — С2Х0 =
2^ (九X —九оХ),
2^ (九X —九оХ),
(10.38)
(10.38)
а ее максимальный прогиб при х=0 снизится до
侬0 = % - С2 n瓯^ (九一九o)，侬0 = % - С2 n瓯^ (九一九o)，(10.39)(10.39)
侬0 = % - С2 n瓯^ (九一九o)，
侬0 = % - С2 n瓯^ (九一九o)，
(10.39)
(10.39)
Форма разгруженной пластинки изображена на нижнем графике рис. 10.3. График построен так: от горизонтального уровня отложены ординаты, соответствующие кривым 侬 1 и ——w2 в верхней части рисунка (предполагается.
Рис. 10.3. Бесконечно длинный слой, плавающий на основании.В верхней части: КУ1 — начальный (частично упругий, частично остаточный) прогиб бесконечного вязко-упругого слоя под сосредоточенной силой Pi； (— t^s) — прогиб, соответствующий упругому восстановлению. В нижней части: о, = twt + tw2 — линия изгиба после внезапного снятия силы Р[.Рис. 10.3. Бесконечно длинный слой, плавающий на основании.В верхней части: КУ1 — начальный (частично упругий, частично остаточный) прогиб бесконечного вязко-упругого слоя под сосредоточенной силой Pi； (— t^s) — прогиб, соответствующий упругому восстановлению. В нижней части: о, = twt + tw2 — линия изгиба после внезапного снятия силы Р[.
Рис. 10.3. Бесконечно длинный слой, плавающий на основании.
В верхней части: КУ1 — начальный (частично упругий, частично остаточный) прогиб бесконечного вязко-упругого слоя под сосредоточенной силой Pi； (— t^s) — прогиб, соответствующий упругому восстановлению. В нижней части: о, = twt + tw2 — линия изгиба после внезапного снятия силы Р[.
Рис. 10.3. Бесконечно длинный слой, плавающий на основании.
В верхней части: КУ1 — начальный (частично упругий, частично остаточный) прогиб бесконечного вязко-упругого слоя под сосредоточенной силой Pi； (— t^s) — прогиб, соответствующий упругому восстановлению. В нижней части: о, = twt + tw2 — линия изгиба после внезапного снятия силы Р[.
что 九=2入°). Интересно, что после внезапного снятия сосредоточенной силы Pi над горизонтальным уровнем ®=0 возникают два симметрично ориентированных пологих горба.
Это может отвечать крайне упрощенной картине быстрого послеледникового поднятия, имеющей отношение к тому, что можно было бы ожидать, когда, например, быстро тает длинный язык ледника, протянувшийся вдоль впадины с пологими склонами. Верхние части склонов этой долины, где грунт ранее осел под тяжестью ледникового языка, поднимутся над гори-
зонтальной поверхностью и образуют, по крайней мере на определенный период времени, два параллельных поднятия или плавно изогнутых гребня !)« При О<0<1 можно подобным образом изучить непрерывное изгибание в обратную сторону под действием постепенно уменьшающейся сосредоточенной силы Р = Роеч^\ положив %=—介，厶=(1 — 0)3
Нарастание прогиба под действием неизменной сосредоточенной силы. Воспользуемся решением дифференциального уравнения (10.8) — выражениями (10.29) и (10.32), определяющими прогибы w и сосредоточенную силу Р,
где максимальный прогиб пластинки при х = 0 обозначен через с = c^t 代 q(10.41)
и где постоянные % и Ро даются равенствами
4 =Р。=牛.(1642)
Здесь величины 方 и 尸。представляют собой значения с и Р при /=0.
В этой последовательности увеличения прогибов w и сосредоточенной силы Р, которое происходит с течением времени / экспоненциально при поддерживаемом постоянным параметре X, 先=裁=金= 8"，(043)
зависимость от времени 力 максимального прогиба w и сосредоточенной силы Р представляется двумя экспоненциальными кривыми, а зависимость Р от с — прямой линией, как показано на рис. 10.4—10.6, где точки А, В и С относятся к одному и тому же моменту времени t.
Пусть 入=const, и предположим, что нагрузка Р и прогиб 侬 за бесконечно малый промежуток времени dt возросли на
Профиль, изображенный в нижней части рис. 10.3, согласно уравнению (10.38), характеризует временное равновесие между направленными вверх и вниз давлениями q=—kw. Это всего лишь промежуточная форма деформированного слоя земли, так как эти давления продолжают действовать и под их действием с течением времени все волны будут постепенно сглаживаться вплоть до превращения в горизонтальную поверхность. В том, что выталкивающее давление q ———kw под поднятыми частями слоя принимает положительные значения (отвечает растягивающим напряжениям), нет ни- qero противоречивого, так как есть еще гидростатическое давление, создавае- мое весом всех пластов, образующих рассматриваемый вязко-упругий слой； которое, как не относящееся к изгибной деформации, нет нужды рассматри- вать, но существование которого препятствует тому, чтобы контактное дав- 'енне g под слоем принимало знак, растягивающих нормальных напряжений.
дифференциалы dP и de (соответствующие точки на рис. 10.4 и 10.6 обозначены А\ В\ С)
dP = ^ 标〃。df, dc = *。例。dt.(10.44)
Тогда из (10.43) мы получим для изменения прогибов за время dt выражения
d吁厶Х(与)，dc^^dP. (10.45)
Предположим, что после этого бесконечно малого изменения пластинку мгновенно разгружают как раз на величину dP. Это
Рис. 10.6.Рис. 10.6.Приращения максимального прогиба с и силы Р.Приращения максимального прогиба с и силы Р.Рис. 10.4.Рис. 10.4.Рис. 10.5.Рис. 10.5.
Рис. 10.6.
Рис. 10.6.
Приращения максимального прогиба с и силы Р.
Приращения максимального прогиба с и силы Р.
Рис. 10.4.
Рис. 10.4.
Рис. 10.5.
Рис. 10.5.
вызовет чисто упругое восстановление, для которого, согласно выражениям (10.36) и (10.37), прогибы пластинки умень・ шаются на дифференциалы
泡‘=小儿（等），翡dP.泡‘=小儿（等），翡dP.(10.46)(10.46)
泡‘=小儿（等），翡dP.
泡‘=小儿（等），翡dP.
(10.46)
(10.46)
Если dC и dW обозначают прогибы в точке х = 0 и в произвольной точке % после указанной бесконечно малой разгрузки (новое состояние слоя представляется точками 4〃, В〃, С〃), то они выразятся так:
dC = А — dcz = dP •, .2ka
dW = dw- d 业= Xdc-XQ de'. (10.47)
Но точке C〃 (рис. 10.6) соответствует новое значение 九+d九 вдоль прямой 0。〃， которое получается при сохранении в равенствах (10.42) постоянства не 九，а Р, так что, дифференцируя, мы видим, что dc = CC" должно также равняться
de =de =2ka2ka(10.48)(10.48)
de =
de =
2ka
2ka
(10.48)
(10.48)
Отсюда и из соотношений (10.44) и (10.45) мы получаем
dP : Р = dK :九=df ： f().dP : Р = dK :九=df ： f().(10.49)(10.49)Теперь мы можем выразить dC и dW в соотношениях через 九 следующим образом:Теперь мы можем выразить dC и dW в соотношениях через 九 следующим образом:dCdC尸・[1-(九0/九)]a入2ka尸・[1-(九0/九)]a入2kadW =dW =尸・[Х-(；Ц/入)Х°] d；l2ka尸・[Х-(；Ц/入)Х°] d；l2ka(10.47)(10.50)(10.47)(10.50)
dP : Р = dK :九=df ： f().
dP : Р = dK :九=df ： f().
(10.49)
(10.49)
Теперь мы можем выразить dC и dW в соотношениях через 九 следующим образом:
Теперь мы можем выразить dC и dW в соотношениях через 九 следующим образом:
dC
dC
尸・[1-(九0/九)]a入2ka
尸・[1-(九0/九)]a入2ka
dW =
dW =
尸・[Х-(；Ц/入)Х°] d；l2ka
尸・[Х-(；Ц/入)Х°] d；l2ka
(10.47)
(10.50)
(10.47)
(10.50)
Обозначим через 厶 момент времени, когда было добавлено приращение dP, а через 九i——значение Z в момент времени, когда нагрузка возросла до величина Р =凡灰"。；теперь допустим, что после восстановления нагрузки до прежнего значения бесконечное число раз повторяются такие же бесконечно малые нагружения и разгрузки, как было описано., возвращающие в каждом цикле силу к ее значению Р =卩甜心.Тогда накопятся новые прогибы С и 1F
吟盡[J X 图%Х (等)j T •(10.52)
Но**
[X(-^)dK— ^ e-^x/a (cos 勺 + sin dA =
=-(0一%i%/a COS -^-——0一九%/Q COS % \aa /
И
取=费[E (ё-У cos W -…a cos 子)-九。X。(g)In 勺・ I)
(10.53)
Таким образом, после суммирования мы видим, что, во-первых, в период времени 0</</i вязко-упругая пластинка изгибается, имея прогибы, которые возрастают со временем экспоненциально,
侬=%e〃4：1 (■芈) (10.54)
i) Первый член в этом выражении при % = 0 принимает вид 0/0, но из (10.52) видно, что истинное значение этого члена равно 入一入i в соответствии с тем, что I叭=о = С.
под действием таким же образом возрастающей силы
Р = Р^1\ 凡=簪\(10.55)
причем параметр Z сохраняет значение 九=Ai = const, а постоянная времени /о — значение
九=匕[(-^у - 1] = const.(10.56)
Это приводит в момент t — t\ к прогибу
叫=gXi(W), с} = с^(10.57)
и к силе
尸0絃体=尸.(10.58)
Во-вторых,если мыпримем последние значениязаначаль
Поэтому(10.59)Z и вре-(10.60)(10.61)Поэтому(10.59)Z и вре-(10.60)(10.61)ные для второй серии деформаций W и С, когда сила уже поддерживается постоянной P = const и /＞/1,九＞储，то вязко-упругая пластинка получит дополнительные прогибы W и С； которые мы вычислили в выражениях (10.53) и (10.51). полный прогиб в момент времени /＞厶 составляет
Поэтому
(10.59)
Z и вре-
(10.60)
(10.61)
Поэтому
(10.59)
Z и вре-
(10.60)
(10.61)
w = wx + W, с = с{ + С.
Наконец, найдем соотношение между параметром менем / при P = const. Из равенств (10.49) получаем
Поскольку величина /0 зависит от переменной 九
то после подстановки /о в (10.60) находим дифференциальное уравнение, связывающее Z и /,
□一传丫"後)=^ 成， С。/)
При начальном условии / =厶，九=%1 оно удовлетворяется функцией
屮=(行-岛(灯.(Ю.63)
Функция \=F(t ——介)представляет собой выпуклую кривую, которая непрерывно возрастает с уменьшающейся скоростью. Пример такой кривой приведен на рис. 10.7.
Интересный частный случа访 возникает, когда начальное значение 九 1 выбирается равным 九1 =九°. Этот случай имеет место, если пластинку вначале быстро нагружают чисто упруго, т. е. в момент /1 = 0 прилагают сосредоточенную силу Р, вызывающую начальный упругий прогиб,
吗然)，c1=赛.(10.64)
Выражения (10.51), (10.53) и (10.63) в этом случае упрощаются; если в дальнейшем сила Р остается постоянной, мак^
симальный прогиб С в точке % = 0 увеличивается с ростом 九，согласно соотношению
e =鑒後(10.65)
а время f возрастает по закону
/ = (1/4)/е・®— 1 -1п〃)，(10.66)
где использовано сокращенное обозначение и= (Шо)4. Эти два последних уравнения определяют в параметрическом виде изменение максимального прогиба С = WX=Q со временем / для значений 九 > 九°. Кривая прогибов W дается выражением
W-^ COS 乎-f〃 COS 与卜鹏。(^) in A], (10.67)
а полный прогиб равен
侬=吗 + W・(10.68)
ПРОГИБЫ W[ = {PK^ka） Хо Щх/а）, W И ПОЛНЫЕ ПРОГИБЫ w = Wi + W ДЛЯ ВЕСКО
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ
九 0%/а
0
0,25
0,50
Х0 （九0%/a）=瓦^ 叫=
1
0,946
0,824
九爪。
=2
吟
尸九。X 2ka
0,307
0,229
0,097
w =
1,307
1,175
0,921
九/九0
=3
г =
& 2ka
0,901
0,593
0,129
w =
1,901
1,539
0,953
Таблица 10.2
МАКСИМАЛЬНЫЕ ПРОГИБЫ С ПРИ х = О В РАЗЛИЧНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ 力
九/儿0 =
1
2
3
4
5
〃=（九/九 0）4 =
1
16
81
256
625
Время 〃/е =
0
48,92
302,4
996,0
2470,4
Максимальный прогиб С =尸九（）/2^ai
0
0,31
0,90
1,61
2,39
Таблицы 10.1, 10.2 и рис. 10.8 показывают, что длина волны 1=2а для основной впадины, которая образуется на вязко-упругой пластинке, прогрессивно изгибающейся под постоянной сосредоточенной силой Р = const, непрерывно уменьшается со временем /. Таблицы 10.1 и 10.2 характеризуют поведение величины аУ1 =，1Хо （九о%/а）, пресет呼ляющей собой начальный упругий прогиб пластинки в момент времени f = 0, поведение кривой прогиба W и полного прогиба w = W[ + W при 九/九о=1, 2 и 3; здесь также затабулированы прогибы WX=Q = C для нескольких значений 九/九о и соответствующих значений относительного времени “彌.Три кривые на рис. 10.8 изображают форму вязкоупругой пластинки, изгибаемой постоянной сосредоточенной силой Р при 九/九о=1, t/te = O （начальный упругий прогиб）;九/九о = 2, 〃L = 0,3i и 九/入 0 = 3, 〃J = 0,90. Стоит обратить внимание （рис. 10.8）, что, в то время как центральная впадина под по-
Таблица 10.1
НЕЧНОЙ ВЯЗКО-УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ Р = const
0,75
1,00
1,25
1,50
2,00
2,50
3,00
0,668
0,509
0,363
0,234
0,067
-0,017
-0,042
-0,022
-0,098
-0,128
-0,118
-0,068
0,015
0,012
0,646
0,4Н
0,235
0,116
-0,001
— 0,002
-0,030
—
-0,31
—
—
-0,10
—
—
—
0,20
—
—
-0,03
—
—
стоянной нагрузкой углубляется и становится уже, две примыкающие области по бокам от нее расширяются и образуют два слегка приподнятых холма.
Рис. 10.8. Последовательные формы линии прогибов ◎ вязко-упругого слоя под действием постоянной сосредоточенной силы Р.
На рис. 10.7 показано изменение максимального прогиба С слоя со временем / для частного случая 储=九().Видно, что первоначально упруго прогнутая вязко-упругая пластинка начинает давать остаточный прогиб, причем с бесконечной скоростью dC/dt=C==oo (вертикальный наклон в начале / = 0). Однако при
Zi>Xo начальная скорость изгибания С в момент /=/ь когда нагрузка становится постоянной, конечна и скачком принимает определенное значение.
Очевидно, что все три кривые (侬，叫，取)в любой момент времени / удовлетворяют требованию статического равновесия
j w dx= ^ wxdx = const, J W dx==Qt о о 0
выражающему условие, что смещенный объем (вес) основания при поддержании постоянного значения внешней нагрузки на слой остается неизменным. Это подтверждает сказанное выше, а именно, что, чем глубже погружено в подстилающую среду круто изогнутое дно центральной впадины под действием силы P = const, тем выше относительный подъем двух примыкающих областей над кривой начального прогиба ⑪i и тем острее будет пик, появляющийся при деформировании пластинки на кривой распределения изгибающего момента тх в точке х = 0, который можно вычислить после интегрирования по времени уравнения (9.7)
Чисто вязкая пластинка. Когда остаточные деформации преобладают, можно пренебречь упругими деформациями и вычислять прогибы из уравнения (10.7), считая р = Ь,
醤=-芻，"о = (1/3)ц/Л (10.69) Полагая
ay =恤MX (年),/о = ^^, (Ю.70) получаем для Х(号)интегралы, определяемые соотношением (10.13). Например, если взять
X (甘)=小/а (cos 等 + sin 手), (10.71) то получим решение для бесконечной вязкой пластинки, покоящейся на основании и изгибаемой сосредоточенной, приложенной в точке % = 0 силой
Р = 2々 J wdx = 2hwgh J x (子)dx = ?必产土 , (10.72) о о
которая увеличивается со временем f экспоненциально.
Если, с другой стороны, предположить, что
= 5%х (冬)，t尸醬,(10.73)
то уравнению (10.69) будет удовлетворять любая из четырех функций
X=е九%/а е-кх/а cos 把，sin —
и можно будет рассмотреть уменьшение прогибов, отправляясь от некоторого начального деформированного состояния пластинки. Например, для пластинки конечной длины а, свободно опертой в концах х = 0 и х=а, имеем Х = пл (〃= 1,2,3, ...) и ее прогиб можно выразить тригонометрическим рядом
侬=£% = ^\(10.74)
n=*l
коэффициенты cn которого вычисляются из условия, что в момент времени /=0 пластинка была вдавлена в основание, будучи деформирована произвольным образом, т. е.
w^^cnsm^- = fM.(10.75)
п=1
Поскольку постоянные времени /Л возрастают как четвертая степень п, можно заметить некоторую особенность в законе уменьшения прогибов вязкой пластинки, а именно, чем выше порядок гармоник, тем более медленно они исчезают. Если начальная форма пластинки имеет какие-либо характерные складки, то они будут преобладать после исчезновения определяющих начальную форму низших гармоник ——обстоятельство, которое может иметь некоторое значение в геологических приложениях |)・
Изгиб пластинки распределенной нагрузкой. Для бесконечной пластинки, изгибаемой распределенной нагрузкой p=f(х, /), можно найти интегралы полного дифференциального уравнения (10.3)
"竊=-*®+勺+力+力(1°76)
I) См. § 10.8, стр. 393.
А. Установившееся распределение нагрузки. Пусть задано распределение
(10.77)
В этой и подобных периодических функциях, которые будут рассмотрены, мы можем опустить среднее значение p=po=const, помня, что однородное распределение нагрузки ро, наложенной на слой земли, опускает его как твердую плиту вертикально вниз на величину po/k. Имея в виду, что это смещение po/k нужно добавлять к прогибам, которые будут рассматриваться, если среднее значение функции p=f(x) равно m = const, мы можем не считаться с этой последней частью распределенной нагрузки и писать
(10.77а)(10.77а)p = p0cos—.
(10.77а)
(10.77а)
После подстановки в уравнение (10.76) этого выражения, для которого р=0, выражения для прогиба
(10.78)(10.78)Ро冗％
(10.78)
(10.78)
W 7 (р (/) cos
и введения обозначений
мы получаем для у") соотношения
/Оф + Ф= 1, (р=1+ 以一"°・(10.80)
Считая, например, что нагрузка р прикладывается мгновенно в момент /=0, получаем, что пластинка сначала изгибается упруго, согласно уравнению
N —丁 = — kw + р = — kw + Pq cos,(10.81)
и приобретает прогиб
(10.82)(10.82)Wel = w0 cos ,
(10.82)
(10.82)
где постоянная 侬о должна быть взята равной
Ро/々 =РоЗ 1+(叫4党一工"Ро/々 =РоЗ 1+(叫4党一工"(10.83)(10.83)
Ро/々 =РоЗ 1+(叫4党一工"
Ро/々 =РоЗ 1+(叫4党一工"
(10.83)
(10.83)
Прогиб ◎ в выражении (10.78), удовлетворяющий этому начальному условию /=0, w = wei или (р(0)=九〃0=С+1, равен
(10.84)(10.84)
(10.84)
(10.84)
Упругая wz и остаточная w" части прогиба 切=办 + 陋〃 могут быть вычислены из соотношений
鋁+明 必 =-,
которые даюткоторые дают(10.85)(10.85)Таким образом, амплитуда прогиба увеличивается от своего начального упругого значения wo~PQte/kto до конечного остаточного значения 5〃=р()/々 при /=8, причем высота гребней об-
которые дают
которые дают
(10.85)
(10.85)
I |Рразующихся волн равна глубине их
гвпадин (рис. 10.9 и 10.10). Однако
Рис. 10.9. Прогибы (侬)под действием установившегося распределения давления Р = Ро (1 + cos лх/а).Рис. 10.9. Прогибы (侬)под действием установившегося распределения давления Р = Ро (1 + cos лх/а).поднятие почвы в гребнях волн компенсируется однородным вертикальным смещением 例/々，вызванным
Рис. 10.9. Прогибы (侬)под действием установившегося распределения давления Р = Ро (1 + cos лх/а).
Рис. 10.9. Прогибы (侬)под действием установившегося распределения давления Р = Ро (1 + cos лх/а).
Рис. 10.10. ^ — упругий прогиб; 切〃 一остаточный прогиб.Рис. 10.10. ^ — упругий прогиб; 切〃 一остаточный прогиб.средним давлением ро, которое создает нагрузка, определяемая выражением (10.77) ； пластинка, испытавая только положительные прогибы, деформируется вдоль впадин, располагаясь ниже первоначального уровня 侬=6.
Рис. 10.10. ^ — упругий прогиб; 切〃 一остаточный прогиб.
Рис. 10.10. ^ — упругий прогиб; 切〃 一остаточный прогиб.
Б. Давление в виде некоторой периодической функции х. Если создаваемое нагрузкой давление равно произвольной периодической функции, например четной функции х,
Р = Их) = р0^ сп cos -(10.86)
1
(по причине, ранее оговоренной, здесь опущен член с0), то прогиб пластинки полагаем равным
◎吟2 Ф/z (о cos(10.87)
1
где коэффициенты (рп(0 определяются рядом дифференциальных уравнений первого порядка по времени t:
%©〃 + Фп = сп> % = (1 +%(1 °・88)
屮〃 R) = с〃 + С^е "%.
Снова, рассматривая внезапное приложение распределенной нагрузки р в момент /=0, вызывающей упругий прогиб
岑 £ 譬 8S(10.89)
1
удовлетворим начальному условию /=0, w = wei, положив Cn = [(teltn) — 1]，门, что дает для зависящего от времени множителя в тригонометрическом ряде (10.87) следующее выражение:
9〃 ") = с〃 [(光—1) е “+小(10.90)
Пример 1. Если бесконечная вязко-упругая пластинка нагружена однородным давлением р=ро=const, периодически распределенным в интервалах
ширины 2c (рис. 10.11), и среднее давление рос/а не учитывается, то p=f(x) представляется в виде ряда
р =警工 g sin 喑 cos ~ (九=1, 2, 3,・・・),(10.91)
а результирующий прогиб пластинки ——в виде ряда
2Po $е “2Po $е “sin (riTtcIG cos (九Л%/Q)sin (riTtcIG cos (九Л%/Q)(10.92)(10.92)
2Po $е “
2Po $е “
sin (riTtcIG cos (九Л%/Q)
sin (riTtcIG cos (九Л%/Q)
(10.92)
(10.92)
по глад^по глад^От приложения такой нагрузки пластинка изгибается в момент f=0 кой волнообразной кривой
по глад^
по глад^
2Po $ sin (плс/а) cos (плх/а)
吁^，邙+(小4/4砌■
Однако при стремлении времени к бесконечности члены е "в выражении (10.92) обращаются в нуль, и в оставшемся ряде мы узнаем умноженный на 1/々 первоначальный ряд (10.91), представляющий собой давление p=f(х), так что при /=оэ имеем w = ph Предполагая, что кривая давления p=f(x) имеет конечные разрывы, мы придем к парадоксальному результату, что кривая прогиба w, когда / стремится к бесконечности, стремится приобрести подобные же конечные разрывы. Это подтверждает сказанное выше о конечной форме равновесия вязко-упругой пластинки (см. стр. 349), в которой в виде функции w (х) запечатляется начальная, не меняющаяся со временем кривая давления p=f(x). Мы заключаем отсюда, что не имеет смысла рассматривать ряд (10.92), когда уже наступила эта завершающая стадия деформирования, поскольку гораздо раньше этой стадии изгибающие напряжения в пластинке станут крайне большими, вызвав местное пластическое течение или разрывы.
Если ширина 2c полос, в которых действует давление р0» уменьшается, но результирующая нагрузка 2сро=Р сохраняется постоянной, то выражение для прогиба стремится к ряду
представляющему собой волнообразную кривую искажения пластинки под действием приложенных на равных расстояниях 2a сосредоточенных сил Р. Этот ряд расходится при f, стремящемся к бесконечности.
В. Произвольное установившееся распределение давления. Если период 2a периодической функции давления неограниченно увеличивать, мы придем к наиболее общему решению для прогибов бесконечной пластинки под действием постоянной во времени распределенной нагрузки, выражаемому интегралом Фурье. Рассмотрим четную функцию f(%), которую можно выразить определенным интегралом
f (х) = с (九)cos Лх d九,f (х) = с (九)cos Лх d九,с (%) = ~- j / (a) cos Ха da. (10.95) о
f (х) = с (九)cos Лх d九,
f (х) = с (九)cos Лх d九,
Будем считать, что заданное произвольное установившееся четное распределение давления р=ро/(х) выражается интегралом
(10.96)(10.96)Р = Pof W = Ро J с (九)cos 九％ d九,
(10.96)
(10.96)
о
а соответствующие прогибы w бесконечного слоя в произвольный момент времени / — в виде
(10.97)(10.97)w =管 J ф (九，0 cos 九% d九,о
(10.97)
(10.97)
где множители р° и po/k имеют размерность давления и длины соответственно. Функцию <р(%, /) можно определить совершенно тем же путем, которым подобные функции были найдены для членов тригонометрического
24 А. Надаи .
разложения в § 10.6, Б, — подстановкой выражения (10.97) в дифференциальное уравнение (10.76) с учетом для установившейся нагрузки равенства р=0, что дает для определения 屮(九，才)следующие соотношения:
垃0 + 屮=e W, T =c0-"" + e (九),垃0 + 屮=e W, T =c0-"" + e (九),(10.98)(10.98)Аналогично при внезапном приложении давления p=Pof (х) /=0 упругий прогиб 叫z оказывается равнымАналогично при внезапном приложении давления p=Pof (х) /=0 упругий прогиб 叫z оказывается равнымв моментв моментооe （九）cos九% d九e （九）cos九% d九(10.99)(10.99)и начальное условие f=0, w = %i удовлетворяется, если положитьи начальное условие f=0, w = %i удовлетворяется, если положитьф (九，/) = С (九)[(£—1) е + 1] •ф (九，/) = С (九)[(£—1) е + 1] •(10.100)(10.100)Таким образом, выражение (10.97) или общее решение для прогибов w бес- конечного вязко-упругого слоя, нагруженного неизменным во времени давлением p=pof(%), имеет видТаким образом, выражение (10.97) или общее решение для прогибов w бес- конечного вязко-упругого слоя, нагруженного неизменным во времени давлением p=pof(%), имеет видww£ J с(")[("^ — 1) е 九 + 1] cos Хх dK. о 、£ J с(")[("^ — 1) е 九 + 1] cos Хх dK. о 、(10.101)(10.101)Пример 2. Если давление p=pof(x) задается посредством разрывной функции от х, показанной на рис. 10.12, т. е.f (%) = 1при0 < х < с,f (%) = 0прис < х,то для с (九)имеемс2 г2с (^) = ~ J cos Ха da ~ -^ sin Хс,(10.102)оПример 2. Если давление p=pof(x) задается посредством разрывной функции от х, показанной на рис. 10.12, т. е.f (%) = 1при0 < х < с,f (%) = 0прис < х,то для с (九)имеемс2 г2с (^) = ~ J cos Ха da ~ -^ sin Хс,(10.102)ои давление Р выражается при помощи известного, так называемого разрывного множителя Дирихле !)и давление Р выражается при помощи известного, так называемого разрывного множителя Дирихле !)p = 工^" J m？S也 %С cos九% d入, оp = 工^" J m？S也 %С cos九% d入, о(10.103)(10.103)I) Weber H., Die partiellen Differential Gleichungen der matematischen Physik, nach Rieman's Vorlesungen, 5th ed., v. 1, p. 50, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, Germany, 1910.I) Weber H., Die partiellen Differential Gleichungen der matematischen Physik, nach Rieman's Vorlesungen, 5th ed., v. 1, p. 50, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, Germany, 1910.
垃0 + 屮=e W, T =c0-"" + e (九),
垃0 + 屮=e W, T =c0-"" + e (九),
(10.98)
(10.98)
Аналогично при внезапном приложении давления p=Pof (х) /=0 упругий прогиб 叫z оказывается равным
Аналогично при внезапном приложении давления p=Pof (х) /=0 упругий прогиб 叫z оказывается равным
в момент
в момент
о
о
e （九）cos九% d九
e （九）cos九% d九
(10.99)
(10.99)
и начальное условие f=0, w = %i удовлетворяется, если положить
и начальное условие f=0, w = %i удовлетворяется, если положить
ф (九，/) = С (九)[(£—1) е + 1] •
ф (九，/) = С (九)[(£—1) е + 1] •
(10.100)
(10.100)
Таким образом, выражение (10.97) или общее решение для прогибов w бес- конечного вязко-упругого слоя, нагруженного неизменным во времени давлением p=pof(%), имеет вид
Таким образом, выражение (10.97) или общее решение для прогибов w бес- конечного вязко-упругого слоя, нагруженного неизменным во времени давлением p=pof(%), имеет вид
w
w
£ J с(")[("^ — 1) е 九 + 1] cos Хх dK. о 、
£ J с(")[("^ — 1) е 九 + 1] cos Хх dK. о 、
(10.101)
(10.101)
Пример 2. Если давление p=pof(x) задается посредством разрывной функции от х, показанной на рис. 10.12, т. е.
f (%) = 1при0 < х < с,
f (%) = 0прис < х,
то для с (九)имеем
с2 г2
с (^) = ~ J cos Ха da ~ -^ sin Хс,(10.102)
о
Пример 2. Если давление p=pof(x) задается посредством разрывной функции от х, показанной на рис. 10.12, т. е.
f (%) = 1при0 < х < с,
f (%) = 0прис < х,
то для с (九)имеем
с2 г2
с (^) = ~ J cos Ха da ~ -^ sin Хс,(10.102)
о
и давление Р выражается при помощи известного, так называемого разрывного множителя Дирихле !)
и давление Р выражается при помощи известного, так называемого разрывного множителя Дирихле !)
p = 工^" J m？S也 %С cos九% d入, о
p = 工^" J m？S也 %С cos九% d入, о
(10.103)
(10.103)
I) Weber H., Die partiellen Differential Gleichungen der matematischen Physik, nach Rieman's Vorlesungen, 5th ed., v. 1, p. 50, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, Germany, 1910.
I) Weber H., Die partiellen Differential Gleichungen der matematischen Physik, nach Rieman's Vorlesungen, 5th ed., v. 1, p. 50, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, Germany, 1910.
а прогиб выражается равенством (10.101) с использованием выражения (10.102). Максимальный прогиб в момент /=0 в точке 尤=0 составляет
sin Лс dX九[1 +(04九4/4*)]sin Лс dX九[1 +(04九4/4*)]Предположим, что мы уменьшили ширину 2c нагруженной области наПредположим, что мы уменьшили ширину 2c нагруженной области нарис. 10.12 и увеличиваем давление ро, сохраняя 2cpo = P=const. Тогда предыдущие формулы должны выражать решение для случая изгиба бесконечной вязко-упругой пластины, покоящейся на основании и нагруженной неменяющейся сосредоточенной силой Р. Это решение изучалось в § 10.4 в частном случае, который описывается соотношениями (10.64) — (10.68) и для которого были получены явные выражения в конечном виде. Таким образом, определенные интегралы в выражении (10.101) с использованием (10.102) должны сходиться (при замене sin(%c) Дс на единицу) к соответствующим функциям, приведенным в что в подинтегральном выражении liрис. 10.12 и увеличиваем давление ро, сохраняя 2cpo = P=const. Тогда предыдущие формулы должны выражать решение для случая изгиба бесконечной вязко-упругой пластины, покоящейся на основании и нагруженной неменяющейся сосредоточенной силой Р. Это решение изучалось в § 10.4 в частном случае, который описывается соотношениями (10.64) — (10.68) и для которого были получены явные выражения в конечном виде. Таким образом, определенные интегралы в выражении (10.101) с использованием (10.102) должны сходиться (при замене sin(%c) Дс на единицу) к соответствующим функциям, приведенным в что в подинтегральном выражении li10.4. Равенство (10.104) при учете, in(Xc)/Zc]= 1, приводится к виду10.4. Равенство (10.104) при учете, in(Xc)/Zc]= 1, приводится к виду(10.104)
sin Лс dX
九[1 +(04九4/4*)]
sin Лс dX
九[1 +(04九4/4*)]
Предположим, что мы уменьшили ширину 2c нагруженной области на
Предположим, что мы уменьшили ширину 2c нагруженной области на
рис. 10.12 и увеличиваем давление ро, сохраняя 2cpo = P=const. Тогда предыдущие формулы должны выражать решение для случая изгиба бесконечной вязко-упругой пластины, покоящейся на основании и нагруженной неменяющейся сосредоточенной силой Р. Это решение изучалось в § 10.4 в частном случае, который описывается соотношениями (10.64) — (10.68) и для которого были получены явные выражения в конечном виде. Таким образом, определенные интегралы в выражении (10.101) с использованием (10.102) должны сходиться (при замене sin(%c) Дс на единицу) к соответствующим функциям, приведенным в что в подинтегральном выражении li
рис. 10.12 и увеличиваем давление ро, сохраняя 2cpo = P=const. Тогда предыдущие формулы должны выражать решение для случая изгиба бесконечной вязко-упругой пластины, покоящейся на основании и нагруженной неменяющейся сосредоточенной силой Р. Это решение изучалось в § 10.4 в частном случае, который описывается соотношениями (10.64) — (10.68) и для которого были получены явные выражения в конечном виде. Таким образом, определенные интегралы в выражении (10.101) с использованием (10.102) должны сходиться (при замене sin(%c) Дс на единицу) к соответствующим функциям, приведенным в что в подинтегральном выражении li
10.4. Равенство (10.104) при учете, in(Xc)/Zc]= 1, приводится к виду
10.4. Равенство (10.104) при учете, in(Xc)/Zc]= 1, приводится к виду
8 8
(10.105)(10.105)2 Гd九=匕2 P& f du
(10.105)
(10.105)
M J 1 + (鼠入4/4稣)nha J l + 〃4
Неопределенный интеграл здесь можно вычислить
1 + 唄'" + "2 1 — FV u + u2
+ 2 arctg
Отсюда для определенного (максимального) упругого времени f=0 имеемОтсюда для определенного (максимального) упругого времени f=0 имееминтеграла в (10.105) и тем самым для начального прогиба бесконечной балки при х=0 в момент
Отсюда для определенного (максимального) упругого времени f=0 имеем
Отсюда для определенного (максимального) упругого времени f=0 имеем
f d〃 лР%о
(10.106)(10.106)I —产=,w
(10.106)
(10.106)
! l+〃42/22ka
что подтверждает, конечно, полученный нами раньше результат (10.64) для мгновенного упругого нагружения сосредоточенной силой Р.
Пример 3. Предположим, что установившееся давление р распределено по бесконечному вязко-упругому слою и имеет вид симметричного горба с медленно уменьшающимися наклонами, описываемый функцией от х,
р — pJ (%)
出+%2
(10.107)
где а — некоторая постоянная длина. Тогда из равенств (10.95) находим】)
,а ч 2 f cos Ла da
о
Прогибы пластинки w в момент времени f выражаются с использованием (10.101) соотношением
侬=卫券 J ‘一'° [(^—1)е /' + 1] cos 九％ dA. (10.109) о
Это дает при мгновенном приложении нагрузки (10.107) упругий прогиб
(10.110)(10.110)Роа f е~Ка cos 九％ dA~j 一1 +侬第4党，
(10.110)
(10.110)
С течением времени эта форма изменяется, пока при /= оо не получаются остаточные прогибы, выражающие окончательную форму пластинки
切.(Ю.Ш)
k (а +/
Г. Распределенное давление, меняющееся со временем /. Предыдущие выводы можно легко распространить на случай, когда распределенное давление изменяется со временем, либо возрастая, либо убывая с ростом /, и на случай процессов нагружения и разгрузки бесконечной пластинки. Ссылаясь, например, на § 10.6, Б, мы можем различать два важных случая.
Случай а. Некоторое заданное (произвольное) периодичен ское распределение давления может изменяться со временем как
P = PoW(4f(%) = PoW(f)£%cos贵 仇=1, 2, 3,・・・)・ (10.112) 1
В этом случае кривые давления в последующие времена пред^ ставляют собой некоторое семейство аффинных кривых. •
Случай б. Некоторое первоначально произвольное периодическое распределение давления может изменяться по закону
Р = Pof(x, f) = Po2c%W%«)cos贤 (Ю.НЗ)
в предположении, что временные множители 屮п«) в членах ряда задаются некоторым разумным образом.
Для сравнения форм прогибов вязко-упругой пластинки рассмотрим применительно к соотношению (10.112) следующие законы изменения распределенной нагрузки, представляющие собой некоторый интерес для геофизики.
Случай
1屮 «)=1
Нагружение
Случай
22«)=1-еТ/%
Случай
3^(t)^e"tftp(10.114)
Разгрузка
Случай
41 /л厶ё/力一片и色
4，
где /р, /1,勾—заданные постоянные.
Случай 1 возвращает нас к установившемуся давлению, рассмотренному в § 10.6, Б; случай 2 позволяет описывать деформацию пластинки при постепенно возрастающей произвольно распределенной нагрузке, сначала растущей быстро, а затем стремящейся к некоторому установившемуся распределению; случай 3 соответствует постепенному исчезновению нагрузки с уменьшающейся скоростью; случай 4 ——разгрузке пластинки, по которой было распределено давление р, начавшее уменьшаться с исчезающе малой скоростью dp/dt = Q.
Будем считать, что давление р выражается рядом (10.112), а прогиб ш — рядом
3 = OE5(/)cos 等，(Ю.115)
(10.76) находим, что завися- определяются набором диф-(10.76) находим, что завися- определяются набором диф-п
(10.76) находим, что завися- определяются набором диф-
(10.76) находим, что завися- определяются набором диф-
九=(1 +九=(1 +е, (10.116)е, (10.116)После подстановки ш в уравнение щие от времени коэффициенты(рп ференциальных уравнений
九=(1 +
九=(1 +
е, (10.116)
е, (10.116)
no fno f偌必+ 5 = % (We +吻，
no f
no f
откуда интегрированием по частям
J ^e,tn dt = *фе"% —； J ^e^tn dt получаем для функций(рп выражения
5=&ё-‘% + ^!)評 + (1 一匀 e"卜仙同.(10.117)
Постоянные интегрирования Сп определяются из начальных условий, которым должны удовлетворять функции(рп： для случая 2 / = 0,(рп = 0; для случаев 3, 4 / = 0,(рп = ^и. Это приводит к следующим функциям 屮期«):
必=7^[(力一管(1 -«/%)-(加一幻(1 -«-%)] (Ю.118) для случая 2,
Ф« = 7^ & -爲。-勺-(〃-勿厂吃] (Ю.119) для случая 3.
В случае 4 мы приведем формулы для разгрузки, сохраняя в ряде (10.112) только первый член и полагая s = l, что соответствует падающему давлению
Р = PoW (0 cos — = —^т-(⑴/九一敬-他)cos —, (10.120)
уменьшающемуся со скоростью
p = - /；夕^ (ё一力小-2-加2)cos -у-.
Очевидно, что р обращается в нуль при /=0. Полагая прогиб
g = £(p«)cos*,(Ю.121)
находим, что(р(/) определяется с использованием (10.116), где нужно положить /п = /о, из уравнения
/。ф + -"弋二""："(1+曾)"122)
Допустим, с другой стороны, что эта разгрузка вязко-упругой пластинки, плавающей на основании, началась из состояния, когда она была полностью необратимо изогнута под действием ранее приложенной нагрузки
p = p0cos —,
достигнув своей статически равновесной конфигурации
® = £cos 賢.(10.123)
Будем рассматривать эту конфигурацию в качестве начального прогиба для цикла разгрузки, начинающегося в момент /=0・
Из сравнения выражений (10.121) и (10.123) найдем, что нужно удовлетворить начальному условию / = 0,(р(0) = 1; в результате из уравнения (10.122) для(р(/) находим выражение
ср (/)=产〃。+ 4 («т侑一《—"%) — 4 (с-”2 — с-"。)，(10.124)
/一 匕(厶一打)д —/2 (% 一勿)
1一(厶一小仿一编'▲ -亿一力)(厶一切•
Здесь постоянные времени t\ и %2 можно выбрать произвольно и использовать для согласования ответа с физически предписанным периодом времени исчезновения внешнего давления р (выражение (10.120)).
Если эти две постоянные времени друг другу равны, fi==/2, то функция 2«) в уравнении (10.120) примет вид
“(/) =」吧 上；二:可=(1 +£) e-〃t (10.125)
Изменение давления р определяется выражением
Р = Р°(1 +^)e-"ic°s*，(10.126)
а(р(/) —соотношением
Ф(0 = е-^ + [1(10.127)
‘L 匕 \厶一力 匕丿」 /i-^о
Если 厶 и 力2 выбираются равными Ze=3|i/E, то течение грунта будет описываться симметричной по времени функцией
w(/)"：二广(10J28)
иллюстрирующей простой закон изменений уровня грунта
Pq / j\ этхw = -^-(p(/)cos—,
сопровождающих постепенное исчезновение нагрузки.
Послеледниковое деформирование земной коры, иллюстрируемое примерами. В настоящее время массивным ледяным слоем покрыты два громадных материка — Антарктида и
Гренландия; ледниковые условия последней были тщательно изучены и нанесены на карту экспедицией Альфреда Вегенера в 1930—1931 гг., в которой ее героический руководитель погиб {). Отчеты этой экспедиции показывают, что горные породы в основании Гренландии можно сравнить с чашей с поднятыми краями, образованными изрезанными горами, окружающими
Рис. 10.13. Профиль, проведенный через лед внутрь Гренландии до ее середины (по Лоэву).
/ - скальное основание; 2 —лед; 3 — фирн.
полуостров. Это плоское блюдо наполнено льдом, имеющим форму линзы и поднимающимся до высоты 3000 м. Толщина льда, как показывает профиль, воспроизведенный на рис. 10.13, возрастает от 500 до 1000 м у краев и до 2700 м в средней ча-
Wegener Е., Loewe F., Alfred Wegeners letzte Gronlandfahrt. 304 pp., F. A. Brockhaus, Leipzig, 1932; Georgi J., Im Eis Vergraben, 224 pp„ Paul Muller, Munich, 1933. Если рассматривать главную северную часть Гренландии как прямоугольник шириной 800 и длиной 1800 км, покрытый слоем льда двухкилометровой толщины, то объем этой массы льда составит примерно 3 млн. км3. Если бы весь этот лед растаял, то уровень океанов при их существующей протяженности повысился бы на 8 м.
Недостаток места не позволяет привести обширную библиографию отдельных статей, посвященных послеледниковым поднятиям. Отсылаем читателя к книге: Gutenberg В. (ed.), Internal Constitution of the Earth, 439 pp., 2d ed., Dover Publications, Inc., New York, 1951 (см. гл. 15, стр. 386 этой книги). Кроме того, см. статьи Гутенберга: Gutenberg В., Tilting Due to Glacial Melting, /. GeoL, 41, 449—467 (1933); Changes.in Sea Level, Postglacial Uplift and Mobility of the Earths Interior, Bull. Geol. Soc. Am., 52, 721—772 (1941); Is the Land Around Hudson Bay at Present Rising? Am. J. Sci., 240, 147—149 (1942); Postglacial Uplift in the Great Lakes Region, Arch. Meteo- roL, Geophys. und Bioklimatol., Ser. A., 7, 243—251 (1954). (В этой последней статье можно найти ссылки на 26 работ.)
сти. Прогнутое вниз основание из горных пород, образующих слой]), гипотетическая толщина которого 50 к儿，показано на рис. 10.14.
77Рис. 10.14. Гипотетический (преувеличенный) профиль слоя- земли под Гренландией (по Лоэву и Георги)./ — запад; 2 —лед; 3 — восток;4 — скальное основание.Рис. 10.14. Гипотетический (преувеличенный) профиль слоя- земли под Гренландией (по Лоэву и Георги)./ — запад; 2 —лед; 3 — восток;4 — скальное основание.А. Уменьшение распределенной ледниковой нагрузки во всех точках по некоторому закону во времени. Будем исходить из указанных наблюдений, касающихся таяния сравнительно протяженных и толстых ледников, которые покрывали другие районы земли в последний ледниковый период и затем исчезли. Рассмотрим примеры движения и изгибного деформирования слоя земли под действием уменьшающейся в данном месте ледовой нагрузки, считая процесс оледенения завершенным. Интересуясь эффектами на протяжении длительного времени, будем считать земную
7
7
Рис. 10.14. Гипотетический (преувеличенный) профиль слоя- земли под Гренландией (по Лоэву и Георги).
/ — запад; 2 —лед; 3 — восток;4 — скальное основание.
Рис. 10.14. Гипотетический (преувеличенный) профиль слоя- земли под Гренландией (по Лоэву и Георги).
/ — запад; 2 —лед; 3 — восток;4 — скальное основание.
кору идеально вязким телом, пренебрежем ее упругими деформациями и примем, что дифференциальное уравнение ее прогибов (см. уравнение (10.7)) имеет вид
No 噥= —+№ = (1/3)卩碣 (10.129)
где 无0 ——толщина,卩 ——вязкость слоя земли. Допустим, что некоторая полоса земли подвергалась в течение какого-то периода времени действию веса параллельных рядов ледников высотой
无=瓦(1 + cos *)・无=瓦(1 + cos *)・(10.130)(10.130)
无=瓦(1 + cos *)・
无=瓦(1 + cos *)・
(10.130)
(10.130)
Создаваемые давления
(10.131)
I) Brockamp В., Sorge Е., W б 1 с k е п К., Wissenschaftliche Ergeb- nisse der deutschen Gronland-Expedition von A. Wegener, 1929 und 1930/1931, v. 2, Leipzig, 1933. Одной из целей экспедиции Вегенера было определение профиля скального основания подо льдом полуострова в Гренландии при помощи эхолотирования сквозь лед, для того чтобы установить, прогнулась ли, согласно законам изостазии, земная кора вниз под действием веса льда. Измерения действительно обнаружили впадину в центральной части, но были недостаточно полными. Последующие сейсмические исследования, проведенные французской экспедицией: «Campagne au Gronland 1950», Josef A., Expedition Polaire Francaise de Paul — Emile Victor, Rappts. prelim., v. 15, p. 43—56, 1952, согласно статье Гутенберга (1954 г.), не оставляют никакого сомнения в том, что основание из горных пород в центре Гренландии имеет форму блюдцеобразной, вогнутой чаши.
+ cos —. а+ cos —. авызвали осадку земли в виде параллельных долин с глубинами
+ cos —. а
+ cos —. а
(10.132)
Здесь po = hiyi и 々 = Ye, где уг= 1000 ка/л? и уе=3000 /са/л? — значения удельного веса льда и пород в основании слоя. Величина 2P。/々=(2/3)瓦 представляет собой наибольшие глубины долин под уровнем ш = 0 при статическом равновесии слоя.
После начала таяния льда давление р может меняться со временем, как
P = PoW«)(l +COS 号)，
(10.133)
где 屮 «)<1 убывает. Полагая
P = PoW + P，p* = Mcos —
(10.134)
и соответствующий прогиб
W =华屮 + w*, w* =(/) cos —,
(10.135)
из уравнения (10.129)
Nq о© = kw + р .
(10.136)
находим для(р(/)
乂0冗4m開
(10.137)
Ф (/) = с*"。(C + ； J 巾《他 di^,
(10.138)
а для прогиба w при />0 в период таяния находим
侬=(巾 + 0COS — I,
з=幣[2一0 +屮(1 +cos子■)]・
(10.139)
Так как 2=1 при /=0 и w= (po/k)[l +cos (лх/tz)],
то началь-
ными условиями, которым должна удовлетворять функция (р(/) в (10.139), являются /= 1 при(р = 0.
Пример 1. Допустим, что в момент / = 0 давление р (см. (10.131)) упало до нуля. Тогда при снижении среднего давления р0 до нуля слой должен подняться равномерно на высоту —ро/归 из своего первоначального изогнутого положения АВС в положение 4向& (рис. 10.15);
При этом над равновесным уровнем вырастут параллельные складки высотой рс/^= (7з)^г (рис. 10.15). Эти волны впоследствии будут сглаживаться в соответствии с решением уравнения (10.136) ； полагая р* = 0, имеем
步=牛e一做cos卫ka步=牛e一做cos卫ka(10.141)(10.141)
步=牛e一做cos卫ka
步=牛e一做cos卫ka
(10.141)
(10.141)
Рассмотрим ледники высотой 2用?• = 3000 м, по толщине сходные с ледяной шапкой, покрывающей современную Гренландию, и шириной 2a = 600 км.
Рис. 10.15. Последовательность прогибов w после быстрого исчезновения льда.Рис. 10.15. Последовательность прогибов w после быстрого исчезновения льда.
Рис. 10.15. Последовательность прогибов w после быстрого исчезновения льда.
Рис. 10.15. Последовательность прогибов w после быстрого исчезновения льда.
первоначально породившие долины глубиной 2р0/^= (2/3)/?/ = 1000 м. Предположим, что слой земли имеет толщину 50 км и его вязкость ц=5 • 1022 пуаз= =5 • 1016 kzIcm^ • сек, /г=уе=0,003 кг]с解.Тогда постоянная времени 力 в уравнении (10.137) будет равна
(10.142)(10.142)冗4卩展
(10.142)
(10.142)
/0 = ~5т" = 8,35 • 1010 се&・
Учитывая, что один звездный год (время одного обращения Земли вокруг Солнца по отношению к звездам) равен 7\ = 365,256 солнечного дня каждый (каждый по 2 4 час, или 86 400 сек), или Ts = 3,1558 • 107 сек, мы получаем для постоянной времени значение
/0 = 2650 звездных лет.
Амплитуда волн, поднявшихся до положения 4131cl в момент f=0, после того как мгновенно произошло таяние льда, была первоначально равна = polk = (1 /3) /i； = 500 м, и эта амплитуда в последующее время будет уменьшаться со скоростью
Начальная скорость опускания гребней волн и поднятия для впадин имеет сравнительно большую величину
/ = 0, wm = +=干 18,94 см/год,
и для движения грунта в течение послеледникового периода (рис. 10.16) получаются числа, приведенные в табл. 10.3.
Таблица 10.3
ПОСЛЕЛЕДНИКОВОЕ ПОДНЯТИЕ И ОПУСКАНИЕ УРОВНЯ
ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Временное отношение 〃力
0
%
1
2
3
4
5
1
0,607
0,368
0,1353
0,0498
0,01832
0,00674
Время f, год
0
1325
2650
5300
7950
10 600
13 250
Амплитуда прогиба слоя земли 5g м
500
304
184
67,7
24,9
9,16
3,37
Максимальная скорость поднятия или опускания wm, см/год
18,94
11,5
6,97
2,55
0,94
0,35
0,13
После таяния льда почва во впадинах и гребнях волн поднимается или опускается за столетие на
6,97 м по прошествии 2650 лет,
2,55 м по прошествии 5300 лет,
0,35 м по прошествии 10 600 лет.
Из-за весьма сильного предположения о мгновенном освобождении от ледника скорости поднятия или опускания в первый период получились пре-
увеличенно большими. Рассмотрим поэтому в следующих примерах случаи постепенного таяния ледника.
Пример 2. Допустим, что мы остановились на случае 4 (см. § 10.6, Г), когда временной множитель 2(f) в выражении для давления (см. (10.133))
Ф «) = РоФ «) = Ро占一 %占一 %(10.143)(10.143)
Ф «) = Ро
Ф «) = Ро
占一 %
占一 %
(10.143)
(10.143)
представляет собой кривые для различных значений m — t^ti (рис. 10.17, где zn= 1/2, 1, 2). Прогибы 5 в период снижения ледовой нагрузки
5=岩(2 +985簧)5=岩(2 +985簧)(10.144)(10.144)изменяются со временем по закону(р(/), который определяется (10.138),изменяются со временем по закону(р(/), который определяется (10.138),Ф (0 = «т 偽 +Ф (0 = «т 偽 +疗（e-他一小/附一久小俏一小偽）疗（e-他一小/附一久小俏一小偽）（A 一/2）（八一"）（A 一/2）（八一"）из уравнения(10.145)из уравнения(10.145)
5=岩(2 +985簧)
5=岩(2 +985簧)
(10.144)
(10.144)
изменяются со временем по закону(р(/), который определяется (10.138),
изменяются со временем по закону(р(/), который определяется (10.138),
Ф (0 = «т 偽 +
Ф (0 = «т 偽 +
疗（e-他一小/附一久小俏一小偽）
疗（e-他一小/附一久小俏一小偽）
（A 一/2）（八一"）
（A 一/2）（八一"）
из уравнения
(10.145)
из уравнения
(10.145)
Кстати, этот вязкого слояКстати, этот вязкого слоярезультат (как и другие выражения для ф) в случае чисто можно получить из соотношений для вязко-упругого слоя (см.результат (как и другие выражения для ф) в случае чисто можно получить из соотношений для вязко-упругого слоя (см.
Кстати, этот вязкого слоя
Кстати, этот вязкого слоя
результат (как и другие выражения для ф) в случае чисто можно получить из соотношений для вязко-упругого слоя (см.
результат (как и другие выражения для ф) в случае чисто можно получить из соотношений для вязко-упругого слоя (см.
Рис. 10.17. Максимальное давление р = 2р()2 = 2роРис. 10.17. Максимальное давление р = 2р()2 = 2роN—2MN—2M厶-%厶-%вызьгвызьгваемое весом льда в период спада оледенения.ваемое весом льда в период спада оледенения.
Рис. 10.17. Максимальное давление р = 2р()2 = 2ро
Рис. 10.17. Максимальное давление р = 2р()2 = 2ро
N—2M
N—2M
厶-%
厶-%
вызьг
вызьг
ваемое весом льда в период спада оледенения.
ваемое весом льда в период спада оледенения.
10.6), если пренебречь упругой частью деформации, положив в них постоянную времени te=3\ilE=Q, но заменив при этом прежнее значение /о=[1+ (n^Njka^yte новым 力〒冗《乂“尼出，справедливым теперь для чисто вязкого слоя. Таким образом, выбирая отношение m—i^t\ и 九，можно согласовать кривую уравнения (10.143), управляющую законом таяния льда, с подходящими фактическими наблюдениями, относящимися к постепенному отступлению ледников.
Пример 3. Положив 勾=介，加=1, по«чучим частный случай закона исчезновения оледенения, для которого 2(/), как мы видели в уравнении (10.25), переходит в функцию
屮=(1++)е7 偽, (10.146)
а ф принимает вида ф принимает вид
а ф принимает вид
а ф принимает вид
(10.147)(10.147)佑+ /） e-仙力（厶”小一依一械）
(10.147)
(10.147)
厶一办（九一f0）?
где второй член составляет небольшую часть величины ф.
Пример 4. Полагая t2=h = tQ=№NeIha* мы получаем интересный случай 31 ого специального закона исчезновения оледенения, для которого
中=2 = (1 +円L色中=2 = (1 +円L色(10.148)(10.148)
中=2 = (1 +円L色
中=2 = (1 +円L色
(10.148)
(10.148)
падение со временем прогиба w вязкого слоя
侬=~^~ (1 + ~^~) 6-"力(1 + cos-^)(10.149)
описывается тем же самым временным множителем, что 〃 для ледовой нагрузки
Р = Ро (1 + ±) U仇(1 + cos 賢)，(10.150)
а прогибы слоя s = p]h во все времена / и во всех точках падают пропорционально ледовой нагрузке р.
Допустим, что мы выбрали /о=265О лет — значение, которое мы нашли в примере 1. Тогда движение грунта во время послеледникового периода />0 будем характеризовать величинами, приведенными в табл. 10.4.
Таблица 10.4
ПОСЛЕЛЕДНИКОВОЕ ПОДНЯТИЕ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО Ф«[1 + Ж)] eT/力
Временное отношение £%
0
%
1
2
3
4
5
Ф
1
0,911
0,736
0,406
0,1992
0,0916
0,0404
Время /, год
0
1325
2650
5300
7950
10 600
13 250
Максимальный прогиб слоя земли 5m,м
1000
911
736
406
199
92
40
Максимальная скорость поднятия 应т, см/год
0
— 11,5
-13,9
-10,2
—5,3
-2,8
—1,3
Рис. 10.18. Послеледниковое поднятие.
Последовательность прогибов w для закона исчезновения ледника, выражаемого соотно-шением р = ро (1 +彳)е~'〃о (1 + cos лх/а).
Рис. 10.19. Послеледниковое поднятие.
За исключением гребней волн, уровень земли везде (рис. 10.18 и 10.19) со скоростями. pot /冗ше / ° 1 + cos,^0 I 。丿За исключением гребней волн, уровень земли везде (рис. 10.18 и 10.19) со скоростями. pot /冗ше / ° 1 + cos,^0 I 。丿поднимаетсяподнимается(10.151)(10.151)возрастающими от нуля до максимальной по времени скоростивозрастающими от нуля до максимальной по времени скоростиподъемаподъема疯 max—卷 L(1+COS 号),疯 max—卷 L(1+COS 号),/ =/0./ =/0.
За исключением гребней волн, уровень земли везде (рис. 10.18 и 10.19) со скоростями
. pot /冗
ше / ° 1 + cos,
^0 I 。丿
За исключением гребней волн, уровень земли везде (рис. 10.18 и 10.19) со скоростями
. pot /冗
ше / ° 1 + cos,
^0 I 。丿
поднимается
поднимается
(10.151)
(10.151)
возрастающими от нуля до максимальной по времени скорости
возрастающими от нуля до максимальной по времени скорости
подъема
подъема
疯 max—卷 L(1+COS 号),
疯 max—卷 L(1+COS 号),
/ =/0.
/ =/0.
подниматьсяподниматьсяПо истечении времени /=/о=265О лет дно долины (%=0) будет с максимальной скоростью
подниматься
подниматься
% 0,£ = /(),励max= — 0,736= — 13,9 см/год = — 13,9 м/столетие,
就0
Скорость в этом месте становится впоследствии равной
10,2 м/столетие по истечении 5300 лет,
2,8 м!столетие по истечении 10 600 лет,
м/столетие по истечении 13 250 лет.
Б. Данные о послеледниковых поднятиях уровня земной поверхности. Согласно Гутенбергу !), послеледниковое поднятие в Фенноскандинавии, приведшее к возникновению Скандинавского полуострова из прежде погруженного состояния на уровне последнего, плейстоценового оледенения, сконцентрировалось, достигнув здесь максимальных скоростей подъема, в самой северной части Ботнического залива в Балтийском море. Эллиптическая область вокруг центра максимальной скорости поднятия всплывала со скоростями, уменьшавшимися по мере удаления от него. Согласно данным, приписываемым Саурамо, в настоящее время скорость подъема в этом центре составляет как раз один метр в столетие ——число, благоприятно сопоставляющееся со скоростью поднятия 1,3 м в столетие, которая приводится в табл. 10.4 для времени 13 250 лет после начала отступления оледенения. Если другие допущения, сделанные в примере 4, покажутся приемлемыми применительно к условиям поднятия Фенноскандинавии, то приведенные числа подтвердят величину среднего значения вязкости слоя земли ц=5 • 1022 пуаз, на которой были основаны выполненные вычисления и которая была также принята Гутенбергом.
Американские геологи столь же внимательно изучили послеледниковые поднятия уровня земли в северо-восточной части США и в восточной Канаде. В 1928 г. Логи) обнаружил доказательство катастрофического осушения «ледникового озера Хитчкок», которое существовало в течение 4000 лет и было внезапно осушено вследствие движений земной коры, дав начало реке Коннектикут. Южный край великого континентального ледяного щита, который покрывал северо-восточные штаты, в момент наибольшего оледенения в последний ледниковый период продвинулся до линии, которая, со-
гласно Логи !), проходила через штаты Новой Англии в направлении, параллельном восточному побережью Атлантики, пересекая его севернее и повора- инвая в сторону моря. Этот край отступал назад, по мере того как происходило таянье льда, спазматическими движениями в интервалы времени, запечатленные четырьмя или пятью более или менее параллельными отчетливо распознаваемыми промежуточными линиями. Возле этих линий земля была наклонена, и плоскости ее наклона шли вверх по направлению, в котором отступал фронт льда. Об этих поднятиях, напоминающих поворот вокруг некоторых «дверных петель», согласно Логи, очень хорошо свидетельствуют
Рис. 10.20. а — изгибание земной коры в момент наивысшей степени оледенения; б — современное наклонное положение старой береговой линии AfBf и положение АВ после полного послеледникового восстановления земной коры.
/ — лед; 2 — уровень земли в отсутствие ледовой нагрузки; 3 — уровень земли в высшей точке оледенения; 4 — современный уровень моря; 5 — уровень моря в высшей точке оледенения.
найденные геологами наклонные положения многих старых береговых линий океана и ледниковых озер, которые поднимаются по направлению к суше с наклонами, постепенно уменьшающимися при удалении от восточного берега в сторону Гудзонова залива как к центру области оледенения.
L о u g е е R. J., A chronology of Postglacial Time in Eastern North America, Sci. Monthly, May 1953, pp. 259——276. Логи пишет в этой статье: «Поднявшиеся (прежние) береговые линии проходили на высотах в несколько сот футов над уровнем моря вокруг границ подвергавшейся оледенению части Северной Америки, но не всем известно, что они сохранили отметкч о поднятиях в земной коре, которые составляют историю послеледникового периода». Величину вертикальных движений земли в Гудзоновом ледниковом центре в период наибольшего оледенения он оценил в 914 м и нашел, что поднятие почвы в северо-западном направлении, которое распространяется на некоторые штаты Новой Англии и составляет от 3,41 до 4,55 м/км, произошло в течение однократного спазматического наклоняющего движения грунта. О путях отступления ледников по поверхности земли см. также: Daly R. A., Strength and Structure of the Earth, 434 pp., Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1940 (see p. 326),
25 А. На дай
На рис. 10.20 изображено наклонное положение AfB\ которое горизонтальная прежде линия АВ (старый берег моря) приняла после того, как за вершилось направленное вверх послеледниковое искажение земной коры, а на рис. 10 21—описанное Логи уменьшение таких наклонов, показанное на вертикальном профиле континента, проведенном в северо-западном направлении в сторону суши. Параллельные кривые на рис. 10.20, а изображают пласты пород под полной ледовой нагрузкой, на рис. 10.20,6 эти линии после исчезновения ледовой нагрузки снова стали прямыми.
Гутенберг описывает аналогичные изменения уровня земной поверхности в области Великих Озер в Северной Америке, как направленный вверх поворот вокруг некоторых «дверных петель》с практически исчезающим в настоящее время поднятием вдоль прямой линии, которая идет в северо-западном направлении, проходя несколько севернее городов Милуоки и Кливленд. В то время как изменения поднятий вдоль этой линии пренебрежимо
、07юо 200 300
Рис. 10.21. Послеледниковое выгибание (по Логи).
— уровень моря при оледенении; цифрами показана глубина {фут).
малы, уровни вдоль прямой линии, касающейся северных оконечностей озер Верхнего и Онтарио, поднимаются в настоящее время со скоростью, равной примерно 40 см в столетие； наклон поверхности в этой полосе земли, направленный вверх на северо-восток, увеличивается на 7—9 см на 100 км расстояния в столетие.
В. ИЗГИБНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ВЯЗКОГО СЛОЯ ЗЕМЛИ, СОЗДАВАЕМАЯ ОТСТУПАЮЩИМ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ ПРОТЯЖЕННЫМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ЛЕДНИКОВЫМ фронтом. В предыдущих примерах мы изучали деформацию слоя земли, предполагая, что ледовая нагрузка в данном месте убывает со временем. Рассмотрим теперь изгибную деформацию, которая следует за протяженным прямолинейным фронтом льда, непрерывно отступающим с малой скоростью с, подобно тому, о чем говорилось в упомянутых выше наблюдениях.
Пример 5. Рассмотрим в качестве вспомогательного примера для пояснения простого случая движущейся волны, давления следующее распределение давления вдоль поверхности слоя:
(10.152)(10.152)冗(％ — с/)
(10.152)
(10.152)
Р=Р° cosа
представляющее собой нагрузку, которая движется с постоянной скоростью с=const по поверхности бесконечного слоя. (Если сюда добавить среднее давление 〃о, то это распределение будет сходно с движением по равнине параллельных песчаных дюн под действием ветра.) Записывая для р соот-
ношения
" = Р1+Р2，
.冗%>-nct
Pl = Ро21 (/) COS —, Wi = cos —
(10.153)(10.153)P2 = Р0Ф2 (0 sin 器，屮2 = sin ~^ ,
(10.153)
(10.153)
как и прежде, находим, что удовлетворяющий уравнению (10.129) прогиб вязкого слоя, покоящегося на основании, равен
侬=侬1 + 侬2， 'o = nr，
叫=F(P1 (/) cos —,侬2 = ~^~ 02 «) SIH —^-,叫=F(P1 (/) cos —,侬2 = ~^~ 02 «) SIH —^-,<P1 =<P1 =—小力 + cos (net I a) + (nctQ/a) sin (nct/a)—小力 + cos (net I a) + (nctQ/a) sin (nct/a)1 + (nctQ/a)21 + (nctQ/a)2(jtc/o/a) [e~~"力一cos (xcf/a)] + sin (冗cf/a)1 + (nctQ/a)2(jtc/o/a) [e~~"力一cos (xcf/a)] + sin (冗cf/a)1 + (nctQ/a)2(10.154)(10.154)
叫=F(P1 (/) cos —,
侬2 = ~^~ 02 «) SIH —^-,
叫=F(P1 (/) cos —,
侬2 = ~^~ 02 «) SIH —^-,
<P1 =
<P1 =
—小力 + cos (net I a) + (nctQ/a) sin (nct/a)
—小力 + cos (net I a) + (nctQ/a) sin (nct/a)
1 + (nctQ/a)2
1 + (nctQ/a)2
(jtc/o/a) [e~~"力一cos (xcf/a)] + sin (冗cf/a)1 + (nctQ/a)2
(jtc/o/a) [e~~"力一cos (xcf/a)] + sin (冗cf/a)1 + (nctQ/a)2
(10.154)
(10.154)
причем 5=0 при /=0. С течением времени прогиб
w =厶—/ /« I sincos1 +
^ [1 + (ncto/a)2] L \ aa /
, 冗(％-cf) Kc/o . л (x - c0 1
+ cos —-sin— (10.155)
aaa J
устанавливается по прошествии большого интервала времени в виде
(10.156)(10.156)(Ро/女)[cos 冗(％ — cf)/a —(冗％/a) sin 冗(％ — cf)/a]
(10.156)
(10.156)
1 + (冗%/")2
Если ввести фазовый угол со, определяемый равенством
tg 8 =tg 8 =冗％a冗％a①=arctg ^①=arctg ^(10.157)(10.157)
tg 8 =
tg 8 =
冗％
a
冗％
a
①=arctg ^
①=arctg ^
(10.157)
(10.157)
то прогиб w при /=оо принимает вид
(10.158)(10.158)Ро cos [со + m/a) (% — #)]Kl + tg2 о
(10.158)
(10.158)
т. е. форму некоторой волны переноса давления р с фазой со, причем обе волны движутся вправо со скоростью с (рис. 10.22). Амплитуда этих прогибов
―广卫Q=生 cos ①(10.159)
У 1 + tg2 ® k
под движущейся нагрузкой меньше их изостатического значения под подобной неподвижной нагрузкой.
Пример 6. Рассмотрим слой земли, покрытый с одной стороны однород- "с应 ледяной нагрузкой, которая тает по краю с постоянной скоростью.
Определим волну прогибов 6 слое. Применим полученное элементарное решение к двум случаям медленного отступления прямолинейного ледового фронта, имеющего форму, изображенную на рис. 10.23 и 10.24 соответственно. Будем
Рис. 10.22.
предполагать, что слой земли нагружен, как показано на этих рисунках, весом протяженного пласта льда, край Л которого тает со скоростью с см/сек.
Рис. 10.24.
Рис. 10.23.
Распределение давления, движущееся с горизонтальной скоростью с.
Если фронт льда имеет вертикальный край, мы можем выразить давление р при помощи интеграла Фурье
р = р0НРо 丁 sin 九(％ - ct) d儿 x > ct.
(10.160)
Если фронт льда спадает постепенно, как показано на рис. 10.24, то, предполагая, что
p = ро [2 - ё-Р("-徜]
при
при
х > ct, % < с/,
движение можно выразить интегралом
2
Р^Ро + —₽2Ро
sin Л (х — ct) dk
-九(九2 +俨)
% > cf,
(10.161)
где В — заданная постоянная.
Учнтыва* что слой погружается под действием среднего давления р = ро= =const на величину ^ = р0/^ = const, мы можем в последующем опустить эти члены и вычислять прогибы вязкого слоя из уравнения (10.129)
猫 ~^^~ =—左^ + р,，(10.162)
испОеПьзуя для р интеграл
Р == Pi + Р2 = Ро j % (九)sin 九(％ — cf) d入， о
который представим в виде суммы двух частей
Pi=Poj 21 (f) sin 入％ d九，屮 1 (f) = % (入)cos (九硝，
二(10.163)
p2 = Po / 5 ⑺ cos Лх d%,业(0 = — Co (九)sin (Лс/).
6
Здесь &(九)сокращенно обозначает любое из двух выражений
% 8)=备 или 。。仇)=sXj5)”，(9164)
соответствующих вертикальному или пологому фронту льда (формулы (10.160) или (10.161) соответственно).
Аналогично тому, что было изложено в предыдущем простом примере применительно к выражению (10.152)丨)，представим прогиб w, удовлетворяющий уравнению (10.162), в виде суммы двух частей:
ро 「. .- е~^° + cos (ЛсО + Лс/0 sin (kct)
g = 吶 ski版丸 Ф1 =1T(W
о
Ро Г%с% [ — 0-'/% + cos (九川)一sin (九 cf)]
^2 =-у J Ф2 cos Лх dK Ф2^—y冃磕0A(10.165)
0
причем w обращается в нуль при /=0.
новое значениеновое значение(10.166)(10.166)1) Чтобы получить выражения для временных функций (pi (/), (р2 (0 в (10.165) из соответствующих выражений, найденных в (10.154), мы должны записать вместо л/а переменную интегрирования 九 и вместо t^N^lka^
новое значение
новое значение
(10.166)
(10.166)
При этом новом значении 力 наши новые функции q)i и фг удовлетворяют следующим уравнениям:
/оФ1 + Ф1 = Ф1 =» Со COS (入cf), /0ф2 + Ф2 =屮2 = — Cg Sill (Kot)
с начальными условиями $i・0, s・0 при f・8
При беспредельном возрастании времени изогнутый вязкий слой земли стремится принять некоторую определенную форму, а именно (после отбрасывания экспоненциального члена е""° в выражениях для q?i и 中2 и перегруппировки членов)
Ро f sin 九(％ - с/) + %с/о cos 九(％ - cZ)、 八
3=先]。。8)1+*)2%(%>0・(1°・167)
о
Это выражение, будучи функцией переменной % ——ct, представляет собой волну изгиба, которая движется вдоль слоя 6 положительном направлении оси х со скоростью с и следует за таким же образом отступающим давлением р ледовой нагрузки. Одно значение прогиба можно легко вычислить, а именно значение, для которого % ——с/=0. Если мы возьмем %=0, /=0, то прогиб под фронтом ледовой нагрузки, под точкой Л на рис. 10.23 и 10.24, составит
时*1о时*1оXctocQ 仇)d入 一 1 + 伍%)2XctocQ 仇)d入 一 1 + 伍%)2(10.168)(10.168)
时*1о
时*1о
XctocQ 仇)d入 一 1 + 伍%)2
XctocQ 仇)d入 一 1 + 伍%)2
(10.168)
(10.168)
Если мы подставим сюда для с°(久)первое значение сс(九)=2/лА, отвечающее резкому вертикальному фронту льда (рис. 10.23), и значение /о из равенства (10.166), мы получим, вводя сокращенное обозначение а для постоянной a=NQc/k, прогиб wq слоя под точкой Л 6 виде
侬0侬0Po 丽.Po 丽.(10.169)(10.169)
侬0
侬0
Po 丽.
Po 丽.
(10.169)
(10.169)
九4d九[1 + 仇/0)2](1+a2入1。)九4d九[1 + 仇/0)2](1+a2入1。)Если же мы возьмем для Со(九)второе значение, даваемое равенствами (10.164), соответствующее наклонному фронту льда (рис. 10.24), то этот прогиб будет равен
九4d九
[1 + 仇/0)2](1+a2入1。)
九4d九
[1 + 仇/0)2](1+a2入1。)
(10.170)
что должно быть меньше предыдущего значения р°/5/г.
Мы можем вычислить угол наклона грунта под движущимся вертикальным фронтом ледовой нагрузки в точке Л (х — с/=0). Используя равенство “(九)=2/冗九 и дифференцируя выражение (10.167) по х, находим, что слой
земли имеет наклон dw/dx при x==cf, равный
dzdz0,647 T~・(10.171) i)ka/50,647 T~・(10.171) i)ka/5О® — 2Po f d% 一 2% f dx jt左 J 1+a2"° Tikah J
dz
dz
0,647 T~・(10.171) i)ka/5
0,647 T~・(10.171) i)ka/5
В то время как прогиб 汕0=仰/5々 на профиле грунта под отступающим вертикальным фронтом льда не зависит от скорости с, наклон (dw/dx) x=BCi грунта в этом месте обратно пропорционален aV5= (^0c/Zг)1/5, т. е. корню пятой степени из скорости & с которой отступает фронт.
Рис. 10.25. Прогибание слоя земли под однородной ледниковой нагрузкой, покрывающей половину грунта и тающей с края со скоростью с.Рис. 10.25. Прогибание слоя земли под однородной ледниковой нагрузкой, покрывающей половину грунта и тающей с края со скоростью с.
Рис. 10.25. Прогибание слоя земли под однородной ледниковой нагрузкой, покрывающей половину грунта и тающей с края со скоростью с.
Рис. 10.25. Прогибание слоя земли под однородной ледниковой нагрузкой, покрывающей половину грунта и тающей с края со скоростью с.
Используем некоторые из значений констант, принятые в примере 1. Пусть слой земли имеет толщину Ло=50 км=5 • 106 。川， вязкость 卩=5・1。22 пуаз=5 • 101е кг • сл~2 • сек, причем он плавает в среде с удельным весом уе=0,003 кг[с储 и покрыт с одной стороны на поверхности коркой льда толщиной 2/г, = 3 км — 3 • 105 см, который тает с края со ск，ростью с см/сек, (рис. 10.25) Мы снова получим, что равномерное погружение грунта под действием среднего давления po=^iYi = 150 кг/см2 составляет ро/^= =500 м=5・104 см> так что полный прогиб, который слой испытывает на
1) После разбиения последнего1) После разбиения последнегоопределенного интеграла на две части
1) После разбиения последнего
1) После разбиения последнего
о оо о
о о
о о
и разложения подинтегрального выражения в ряд мы имеем
f° dzJ [+公。 оf° dzJ [+公。 о1+21+2（1—%+古-3+・：・）+住一备+击一…= 1+2（击一费+费一磊+…卜W （-1）2 I弋（一y二十宁（二1）二十 乙（10n）2十乙（10几）4十（10n）6十…L 11I（1—%+古-3+・：・）+住一备+击一…= 1+2（击一费+费一磊+…卜W （-1）2 I弋（一y二十宁（二1）二十 乙（10n）2十乙（10几）4十（10n）6十…L 11I=1,017=1,017
f° dz
J [+公。 о
f° dz
J [+公。 о
1+2
1+2
（1—%+古-3+・：・）+住一备+击一…
= 1+2（击一费+费一磊+…卜
W （-1）2 I弋（一y二十宁（二1）二十 乙（10n）2十乙（10几）4十（10n）6十…
L 11I
（1—%+古-3+・：・）+住一备+击一…
= 1+2（击一费+费一磊+…卜
W （-1）2 I弋（一y二十宁（二1）二十 乙（10n）2十乙（10几）4十（10n）6十…
L 11I
=1,017
=1,017
(几=1, 2, 3,…).
учетом выраженияучетом выражениякраю 6 точке А, расположенной под фронтом льда、с (10.169) равен
учетом выражения
учетом выражения
тогда как максимальный прогиб слоя 2^0/^= ЮОО 川 гораздо больше. При модуле слоя Nq = (1/3) цЛо = 2,083 • 1036 кг - см - сек, №/々 = 6,94 • 1038 см4. сек примем константу а равной
а =色黑=1 • 1035 см5.
akakТогда скорость с, с которой тает край льда, составит
ak
ak
1,44 • Ю"4 смIсек = 1,44 - 3,156 • 103 см/год = 45,4 м/год,
т. е. фронт льда двигался назад со скоростью 45,4 км в 1000 лет. С учетом предыдущих значений мы находим, что под вертикальным краем льда (в точке 4, рис. 10.25) грунт приобретает наклон, который, принимая во внимание соотношение (10.171), равен
(雾L=* = aa
Таким образом, получается подъем на 3,24 м/к.м по направлению к области, которая уже освободилась от своей ледовой нагрузки. Опускание, вызванное под и позади отступающего ледника, показано на рис. 10.25. Угол наклона незначительно изменяется, если скорость таяния с становится, например, вдвое меньше или вдвое больше !)：
Наклон0侬庇=3,72%0 ^w/dx=3,24%0 0侬"%=2,82%Наклон0侬庇=3,72%0 ^w/dx=3,24%0 0侬"%=2,82%Скорость таяния
Наклон
0侬庇=3,72%0 ^w/dx=3,24%0 0侬"%=2,82%
Наклон
0侬庇=3,72%0 ^w/dx=3,24%0 0侬"%=2,82%
с=22,7 м/год
с=45,4 м/год с=90,8 м1год
Если по слою земли проходит волна изгиба w=f(x — cf), предполагаемая форма которой изображена на рис. 10.26, то некоторая материальная горизонтальная линия в грунте, такая, как АВ в момент / = 0 (представляющая собой старую береговую линию моря при /=0), будет через равные промежутки времени в моменты Л,必 /з,勿 занимать положения 4В1, ..., А^В^ показанные в нижней части рис. 10.26 и отвечающие указанным положениям волны изгиба. (Кривые 4iBi, ... специально смещены друг относительно друга, чтобы избежать путаницы； их левые точки должны совпадать с точкой А.) Эти положения соответствуют разностям ординат wn ——g= =f(х— ctn) — f(x), построенным в зависимости от координаты %; самая верхняя линия 力484c4 в своей левой части Л4В4 представляет собой в точ-
I) Если принять, что в течение периода освобождения Северной Америки от ледников скорость таяния была постоянной, то расстояние между положением наибольшего продвижения льда вдоль берега Атлантики (в период высшей точки оледенения) и Гудзоновым заливом, составляющее около 2000 км, при только что сопоставленных трех скоростях будет соответствовать временам освобождения от оледенения в 88, 44 и 22 тысячи лет соответственно.
но ст и обратную картину любой из кривых w. В полевых условиях можно наблюдать картину, соответствующую возрастающим половинам кривых, проведенных сплошными линиями; падающие половины (штриховые линии) погребены подо льдом и не поддаются визуальной проверке. Возрастающие половины этих кривых согласуются с общей тенденцией наклонно идущих вверх старых береговых линий на северо-востоке Америки, как описано Логи.
Раньше было установлено правило (см. § 10.2), согласно которому по прошествии достаточно большого промежутка времени установившееся распределение давления р оставляет точный отпечаток в линии изгиба вязкого
Рис. 10.26. Последовательные формы кривых, которые принимает первоначально горизонтальная линия АВ, жестко связанная с грунтом, по мере прохождения по земле показанной выше волны изгиба w = f (х — ct).
1 - положение фронта льда; АВ — уровень моря при f = 0; Д1В1, Д2В2, …一положения линии 4в пpИ f =九方2,….
слоя, и, таким образом, при отвечающей установившемуся давлению функции, имеющей конечный разрыв, подобной показанной на рис. 10.23, нельзя рассматривать окончательную, остро изогнутую линию изгиба слоя. Однако примечательно, что, когда волна давления той же самой формы медленно проходит вдоль слоя, эта трудность не возникает из-за того, что в критическую область давления попадают все новые и новые элементы материала, вследствие чего предотвращается постепенное образование угла на изогнутой линии. Асимптотически при /= ооэта линия остается гладкой кривой, которая выражается уравнением (10.167) и показана на рис. 10.25.
Вязкая пластинка, покоящаяся на основании и изги* баемая осевым сжимающим давлением. Рассмотрим случай одномерного изгиба покоящейся на основании горизонтальной пластинки, нагруженной сосредоточенными поперечными сн~ аамн и равномерно распределенной осевой сжимающей силой 几, рассчитанной на единицу ширины и действующей в направле-
Рис. 10.27.Рис. 10.27.Предположим сначалаПредположим сначаладлядляобщности, что материал пла-общности, что материал пла-стинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание (9.7), имеемстинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание (9.7), имеемуравнениеуравнениеn票一他+书， "券一名网+陶・n票一他+书， "券一名网+陶・_34_34(10.173)(10.173)
Рис. 10.27.
Рис. 10.27.
Предположим сначала
Предположим сначала
для
для
общности, что материал пла-
общности, что материал пла-
стинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание (9.7), имеем
стинки вязко-упругий. Тогда, принимая во внимание (9.7), имеем
уравнение
уравнение
n票一他+书， "券一名网+陶・
n票一他+书， "券一名网+陶・
_34
_34
(10.173)
(10.173)
нии срединной плоскости пластинки параллельно оси х. Если коэффициент Пуассона принять равным половине, то возникает также равномерное сжатие силой 几/2 в направлении оси у. В отсутствие внешнего распределенного давления (р = 0) условие равновесия для вертикальных поперечных сил〔) pv
и изгибающих моментов 恤 (рис. 10.27)
др@ 厶0/〃匕 dw
-~- = kwf =— п
приводит к уравнению
02mdpdw
/7 =
дх2дхдх2
枕需-(Ю.172)
После дифференцирования уравнения (10.172) по времени / и подстановки вторых производных д2тх1дх2 и д2тх/дх2 в предыдущее уравнение мы видим, что прогибы ш вязко-упругой пластинки^ испытывающей также осевое сжатие силой 〃，дей- ствующей в направлении оси х, могут быть определенн из дифференциального уравнения
"券+ a争+ (" + +)盜+ "(位 +月=0。(10.174)
В дальнейшем мы будем рассматривать частный случай чисто вязкой пластинки, подверженной действию неизменной осевой силы п (не зависящей от времени /). Умножая уравнение (10.174) на %е и пренебрегая теми членами, которые приобретают множитель te (так как он предполагается малым), но
используя при этом модуль для вязкой пластинки Л^0 = Ж = ~-^ = (1/3)И/Л
мы упростим это уравнение, и оно примет вид
d2w 厶几寸十k5d2w 厶几寸十k5=0.=0.(10.175)(10.175)
d2w 厶几寸十k5
d2w 厶几寸十k5
=0.
=0.
(10.175)
(10.175)
Заметим, что для упругой пластинки (не обладающей вязкостью) ,покоящейся на упругом основании и нагруженной осевой сжимающей силой 几，соответствующее уравнение
NNd4w .五产+孔d4w .五产+孔dx2dx2kw = 0kw = 0(10.176)(10.176)
N
N
d4w .
五产+孔
d4w .
五产+孔
dx2
dx2
kw = 0
kw = 0
(10.176)
(10.176)
имеет очень сходный вид. Это последнее уравнение было исследовано инженерами !) для соответствующего случая гибких балок в связи с задачей выпучивания при упругой неустойчив вости.
Возвращаясь к уравнению (10.175) и полагая侬= X(%)(p(f),
получаем.
X⑷m
仇/小)Х〃 + 伐/小)X =-而= c = const・ (10.177)
Мы можем различать два случая в зависимости от того, положительна или отрицательна постоянная с, имеющая размерность времени:
случай 1 случай 2случай 1 случай 2e =必e =必
случай 1 случай 2
случай 1 случай 2
e =必
e =必
где fa, tb — существенно положительные постоянные времени. Случай 1. Положим с =—/а, и пусть
1=躲^，或=看，(Ю.178)
где I — неопределенная длина. Тогда
—2₽Ч _ N&ta =
и сжимающая сила и выражается через безразмерные параметры р и 厶貝 соотношением
〃=牛.(10.180)
I) См. стр. 346 [ср. Г е 1 е н ь и, цит. соч., уравнение (115), стр. 1351.
Вторая часть уравнения (10.177) в предположении, что с =--/., дает ф = е"%, а из первой, если положить х = const еы1, для определения 九 получается характеристическое уравнение четвертого порядка
九4 + 2『* +成=0, (10.181)
имеющее четыре корня
九1 = - 九3 = b / - 1 + /1 -(霜，
九2 =—儿=6 J — 1 — J 1 —(年)•(10.182)
интеграла различаются в за-интеграла различаются в за-Соответствующие четыре частных висимости от следующих условий:
интеграла различаются в за-
интеграла различаются в за-
случай 1 А случай 1 Б случай 1 В
т. е. будет ли число, выражаемое внутренним квадратным корнем, действительным, равным нулю или мнимым. Для осевой силы и соответственно получается
п=2 )/誉. (10.183)
Случай 1А. Ха<р. Если обозначить
(10.184)(10.184)
(10.184)
(10.184)
то, поскольку аа ——действительное рациональное число аа< 1, четыре корня уравнения (10.181) будут мнимыми числами
% =—九з = i§M 1 — %， 及=—儿=i^Ml + %,(10.185)
и уравнение (10.175) имеет следующие четыре частных интеграла (записанных в действительном виде):
cos H + % 旣cos H + % 旣(10.186)(10.186)
cos H + % 旣
cos H + % 旣
(10.186)
(10.186)
Случай 1 Б. Аа = 6・ Для этого случая в предыдущих выражениях, где полагается аа = 0, получаем две пары равных корней
储=九2,九3 =入4, так что здесь частные решения имеют вид
尹心也毕,cos毕,xsin-^, %cos 用.(10.187)
п = 2п = 2Сжимающая сила п равна
п = 2
п = 2
(10.188)
Случай 2. Допустим, что постоянная с = /ь, введенная в уравнение (10.177), положительна. Снова полагая
口 2 ntbl2p ==2M口 2 ntbl2p ==2M=就44= 2俨就2=就44= 2俨就2(10.189)(10.189)
口 2 ntbl2
p ==
2M
口 2 ntbl2
p ==
2M
=就44= 2俨就2
=就44= 2俨就2
(10.189)
(10.189)
мы получаем 屮=^一"％ и характеристическое уравнение
A4一2『九2-* = 0,(10.190)
имеющее для всех значений Хь и р два действительных и два мнимых корня
九［=—九2 = рМ% + 1,九з =—徇=i§М% — 1,(10.191)
где постоянная аь, обозначающая теперь
(10.192)
представляет собой число, большее единицы. В этом случае мы приходим к следующей совокупности четырех частных интегралов (в действительной форме):
(10.193)(10.193)两"/)
(10.193)
(10.193)
上察生，Sill
В отличие от случаев 1, 1А и 1Б, в которых прогиб w возрастает, в случае 2 прогиб будет убывать cq временем t.
Каждая из рассмотренных трех совокупностей частных интегралов соответствует простым периодически колеблющимся формам решений. Если пластинка вначале обладает прогибами этой формы, то предыдущие формулы позволяют нам рассмотреть необратимое возрастание или распад волнообразного рельефа на бесконечной вязкой пластинке, поддерживаемой на
плаву гидростатическим давлением 〃 подверженной действию осевой однородной сжимающей силы п, перпендикулярной гребням первоначальных волн.
Допустим, что слой в момент / = 0 обладает, например, малыми остаточными прогибами с произвольно выбранной длиной волны 2/ и амплитудой w0 (рис. 10.28):
w =侬 ocos (10.194)
При 九а=§ (случай 1Б) пластинка изгибается гак, что ее прогибы
w =叫 1% cos 佚，(10.195)
причем ш в момент / = 0 совпадает с только что указанным распределением, если 6 =九。=冗. Обозначая соответствующее значение постоянной времени ta через /о и сжимающей силы п через По, в этом частном случае из выражения (10.179) получаем
%о =甞， (Ю.196)
а из выражения (10.180) для сжимающей силы находим значение I)
%=糸班2.(10.197)
I) Мы могли бы принять вместо выражения (10.194) для гой же самой длины / прогиб
тлх
⑪=⑪加 cos —-—, m — целое,
чему соответствует ряд значений сжимающей силы п и постоянной времени ta 2就2_ m4n4N0
п ="=就 4•
Подобно этому можно исследовать и случай 1А. См. ниже выражение (10.208).
Аналогично рассматривая случай 1А, когда 九а<6 и когда частное решение имеет вид
侬=侬0产acosKl-："”，(10.198)
что совпадает при /=0 с выражением (10.194), если р Ml-(Ха =冗,И используя величину аа(аа < 1), мы находим
俨=舞，厶=耳老，孔=毋，(Ю.199)
Если мы воспользуемся вторым частным решением, найденным в случае 1А,
ш = w0e^flcos H+产,(10.200)
положив Р К1 + aa = л, мы точно так же получим
俨=备，〃=9;厘九=告.(1°.2°1)
Придавая характеристическому отношению 九"В фиксированные значения в допускаемом интервале
или полагая, что aa пробегает значения
найдем, что сжимающая сила и и постоянная времени ta будут изменяться в интервалах
〃о》〃》(1/2)枕 0’tq&ta< оо,
для первой и второй совокупностей соответственно. Таким образом, для этих двух совокупностей решений, которые включают также и случай 1Б, если мы положим aa = 0, постоянная ta может быть взята где угодно в промежутке от нуля до бесконечности. Прогиб w возрастает со временем /, исключая лишь случай, когда величина aa становится в точности равной единице. Когда в равенствах (10.199) aa = 1, р = оо, " = °°, мы можем все же принять, что limp К1 — а@ =冗 сохраняет свое конечное зна・ чение л. Случай aa= 1 обнаруживает то интересное обстоятельство, что существует некоторая определенная сжимающая сила, а именно
八=(1/2) п0 =糸,(10.203)
которая препятствует исчезновению или росту присутствующих вначале волн (они, конечно, исчезают в вязкой пластинке, если сила будет становиться исчезающе малой). Под действием этой силы n = hl"№ первоначально волнообразный рельеф
侬=侬0 cos 箒(10.204)
сохраняется, поскольку ta в соотношениях (10.199) становится бесконечным 】).
Мы можем добавить, что случай 2, который был рассмотрен выше, описывает пропущенный интервал для сжимающей силы 0<п<п0/2. Если среди интегралов, определяемых выражениями (10.193), мы выберем в качестве решения
w = w^e~t,tb cos Е~ / 1 В" ,(10.205)
то оно при / = 0 дастш = ^Ocos-y^-, если положить р Vad — 1 = л, где для всех значений 入匕，0 имеем
& = /1 +(昔『・(Ю.206)
Таким образом, для случая 2 мы находим, что
俨=占，翁，(1°.2°7)
откуда, так как аь〉1, следует, что постоянная времени tb изменяется в интервале оо>/& > /0, а сила п ——в интервале (1/2)/?о》〃》О. При действии силы, меньшей чем по/2, первоначально имевшиеся волны будут постепенно исчезать, 〃 пластинки со временем выпрямляются. (Это также справедливо и в случае остающейся ненагруженной пластинки п = 0, когда аь обращается в бесконечность и выпрямление происходит со скоростями, отвечающими минимальной постоянной времени tb = tQ под действием выталкивающего давления со стороны основания.)
I) В действительности легко проверить, возвратившись к дифференциальному уравнению (10.175), что, когда осевая сила 拉 принимает то значение, которому соответствует безразличное состояние,拉=(1/2)〃。, сумма второго и третьего членов в уравнении (10.175) обращается в нуль и что, следовательно, обращаются в нуль скорости прогибания w. Кроме того, когда сжимающая сила принимает это выделенное значение По/2, изгибающий момент тх обращается 8 нуль вдоль всей длины пластинки при любой амплитуде wQ кривой прогиба © = ^ocos (лх/1), потому что моменты тх, вызванные п, как раз уравновешивают моменты, возникающие благодаря гидростатическому давлению и вертикальным перерезывающим силам pw в каждой точке. Сила, равная 几q/2, не вызывает дальнейшего прогибания.
Предыдущие результаты можно было бы получить сразу же подстановкой в дифференциальное уравнение (10.175)
функциифункцииd4w О%’d4w О%’n瓦n瓦d2w дх2d2w дх2+ 6 侬=°+ 6 侬=°тлхw = ame m cos —厂тлхw = ame m cos —厂(10.208)(10.208)
функции
функции
d4w О%’
d4w О%’
n
瓦
n
瓦
d2w дх2
d2w дх2
+ 6 侬=°
+ 6 侬=°
тлх
w = ame m cos —厂
тлх
w = ame m cos —厂
(10.208)
(10.208)
где 团——целое число, удовлетворяющее (10.175), если постоян ную ст выбрать равной
=(n/N0)(m2n2/l2)-k/N0
Эта постоянная ст принимает либо положительные, либо отрицательные значения в зависимости от того,- какое из условий выполняется для сжимающей силы
П< т2л2 * Ст < °'(10.210)
Если m = 1, то в предыдущих обозначениях с】 соответственно равно 3 = 1//а или б = —1/力・
Использование ряда, составленного из q/енов этого вида, позволяет рассмотреть прогибы бесконечной вязкой пластинки, покоящейся на основании и находящейся под действием осевой сжимающей силы & например случай, когда начальные возмущения пластинки в момент / = 0 задаются произвольной четной периодической функцией 居
力=0, w = f(x) = ^am cos^- (m = l,3, 5,…).(10.211) i
Мы можем заметить некоторые странности в поведении членов соответствующего ряда, выражающего прогибы пластинки в момент времени /,
侬=工 cos(10.212)
когда сжимающая сила п принимает одно из значений, соответствующих безразличному состоянию
/ =备(10.213)
для которого множитель ст в экспоненте е'^" соответствующего члена (см. выражение (10.209)) обращается в нуль.
Соответствующая гармоника в ряде (10.212) остается неизменной; все гармоники, более низкие, чем эта неизменная гармоника, затухают, а более высокие растут со временем 力
Рассмотрим, например, вязкую пластинку, обладающую начальными пологими возмущениями основного тона с большой
Рис. 10.29. Изгибная деформация вязкого слоя при осевом сжатии п.Вверху: складки растут при л = п^ внизу, складки остаются неизменными при 几=〃加， а основной рельеф исчезает.Рис. 10.29. Изгибная деформация вязкого слоя при осевом сжатии п.Вверху: складки растут при л = п^ внизу, складки остаются неизменными при 几=〃加， а основной рельеф исчезает.
Рис. 10.29. Изгибная деформация вязкого слоя при осевом сжатии п.
Вверху: складки растут при л = п^ внизу, складки остаются неизменными при 几=〃加， а основной рельеф исчезает.
Рис. 10.29. Изгибная деформация вязкого слоя при осевом сжатии п.
Вверху: складки растут при л = п^ внизу, складки остаются неизменными при 几=〃加， а основной рельеф исчезает.
длиной волны 2Z, на которые наложены мелкие возмущения более высокого порядка (рис. 10.29),
w = w} cos —+ 侬加 cos ——.(10.214)
Мы можем наблюдать следующие странные обстоятельства. Под действием сжимающей силы & равной
(10.215)
мелкие возмущения будут неограниченно расти с очень малой скоростью, тогда как амплитуда возмущения основного тона остается неизменной. Если осевая сила п имеет гораздо меньшую величину
几=〃加=例2 冗2，(10.216)
то возмущения основного тона будут исчезать со сравнительно большой скоростью, однако возмущения высших тонов в пластинке будут сохраняться. Если осевая нагрузка п имеет промежуточную величину
пт<п<пх.
то возмущения гзысших тонов будут неопределенно увеличиваться, а длинноволновые возмущения ——спрямляться 】)•
Этим завершается рассмотрение роста или убывания простых возмущений в бесконечной чисто вязкой пластинке, лежащей на основании и находящейся под действием неизменного осевого давления п, когда вопрос о неустойчивости вязко-упругого равновесия не может быть исследован, поскольку упругими частями деформации изгиба мы пренебрегли заранее. Исследование условий неустойчивости и выпучивания пластинки потребовало бы более совершенного интегрирования сложного дифференциального уравнения (10.174). Однако предыдущие замечания, вероятно, проиллюстрировали определенные обстоятельства, которые могли бы проявиться в верхних слоях земной коры, после того, как потеря устойчивости уже произошла и простые возмущения приняли характер необратимых искажений, приводящих к возникновению плоских геосинклиналей и антиклиналей. Мы можем добавить, что геологические данные обнаруживают поразительные примеры формирования параллельных складок со сравнительно короткой длиной волны в деформированных пачках пластов (флексура) в горных цепях. Классическим примером, который можно упомянуть здесь, являются флексуры Юрских гор на северо-западе Швейцарии с их зачастую интенсивно перемятыми слоями юрских известняков (рис. 10.30). Эти явления основательно изучены швейцарскими геологами и описаны в монументальной книге великого геолога Альберта Гейма). Кроме того, можно отметить правильные параллельные флексуры Аппалачских гор на востоке Соединенных Штатов с их веерообразными плоскостями кливажа
Северо-восток
хр. Веисенштеии
xp. Пасванг ^ Фарисберг
Л
叩.Ранжир
хр. Вейсенштейн {север}
.сПасванг
н卩.Велера
хр. Ранжир
) впадина Бельсберг
т卩.Вейсенштейн
6
^500加
Юго-восток
、叩 Вейсенштейн (/о力
3
砰.Вейсенштейн {север)
хр. Велера „
,-—、、 хр. Пасеанз
、、、声р. Шассераль
Фрайберген
оз. Билерзее
Масштаб по горизонтали
.0 Г
-500м
Масштаб по вертикали
072 3 км
Рис. 10.30. Четыре профиля через Юрские горы Швейцарии (воспроизводится по книге: Heim A., Geologic derSchweiz, v. 1, p. 583, Chr. Herm. Tauchnitz, Leipzig, 1919).
и сьчанцевые образования, которые были так тщательно изучены Эрнстом Клоосом Ч. Можно высказать предположение, что обычно правильные волнообразные формы составляющих эти флексуры пластов горных пород начинались в свое время с совершенно пологих синусоидальных возмущений.
Случай 1В. Ха>р. Обозначая, как и прежде,
постоянную временипостоянную времени2No 俨=No九42No 俨=No九4(10.217)(10.217)
постоянную времени
постоянную времени
2No 俨=No九4
2No 俨=No九4
(10.217)
(10.217)
и осевую сжимающую силу
п== 2^(10.218)
и полагая
1+а=(^)(а>0),(10.219)
найдем, что корни характеристического уравнения (10.181) представляют собой две пары комплексно-сопряженных чисел
=1 + Za = ai + ia2,
%== — ^4 = p r — 1 一ia= — ctj + 沁?，
имеющих одну и ту же абсолютную величину Ха и радиус-векторы, симметрично наклоненные по отношению к мнимой оси 厶
Гем самым значения действительной и мнимой частей этих четырех корней лп определяются следующим образом:
'/耳=/|//系+裁,'/耳=/|//系+裁,
'/耳=/|//系+裁,
'/耳=/|//系+裁,
откуда вытекает, что
0^2 + 01]=入 °,0^2 + 01]=入 °,(10.221)(10.221)(10.222)(10.222)
0^2 + 01]=入 °,
0^2 + 01]=入 °,
(10.221)
(10.221)
(10.222)
(10.222)
и что четырьмя соответствующими частными интегралами уравнения (10.175) в действительной форме являются выражения
на которые накладывается условие 6<九。или условие для сжимающей силы •
В качестве примера использования двух из этих частных интегралов расмотрим следующий. Найдем прогибы w бесконечной вязкой пластинки, лежащей на основании 〃 несущей в начале координат х = 0 сосредоточенную поперечную нагрузку Р, которая возрастает со временем^ при условии, что пластинка подвергается действию неизменной сжимающей силы п в направлении оси х при граничном условии х = 0, dw/dx = 0. При х> 0 имеем
w =侬oC("%—g”° (cos 号 +/ sin 等).(10.223)
Мы можем определить постоянную w0 — максимальный прогиб пластинки под нагрузкой Р при % = 0 в момент времени / = 0 из
условия, что поперечная сила pv равна ——尸о/2, или
PvPv0% dw—n。丽+ 〃万T0% dw—n。丽+ 〃万T2 (a2 +a1)a120&02 (a2 +a1)a120&0х=0 ■ /=0х=0 ■ /=0今.(10.224)今.(10.224)
Pv
Pv
0% dw
—n。丽+ 〃万T
0% dw
—n。丽+ 〃万T
2 (a2 +a1)a120&0
2 (a2 +a1)a120&0
х=0 ■ /=0
х=0 ■ /=0
今.(10.224)
今.(10.224)
Используя соотношения (10.221) и (10.222), это выражение для 侬о можно упростить, получив эквивалентное ему выражение
илиили叫=叫=p0統2 ]/T 红p0統2 ]/T 红&成 4^/ai&成 4^/ai(19.225)(19.225)
или
или
叫=
叫=
p0統
2 ]/T 红
p0統
2 ]/T 红
&成 4^/ai
&成 4^/ai
(19.225)
(19.225)
где Ро — значение Р в момент / = 0.
Нам следует определить теперь две безразмерные величины ai и а2. В качестве одного из условий для этого мы выберем первое из равенств (10.221)
01]十a2 =人办
а в качестве второго — геометрическое условие, задав пролет основной впадины на кривой изгиба пластинки вблизи места при-
Рис. 10.31.Рис. 10.31.
Рис. 10.31.
Рис. 10.31.
ложения сосредоточенной силы Р. Чтобы последующие формулы были согласованы с обозначениями, использованными при рассмотрении случаев 1, 1А и 1Б, мы возьмем в качестве неопределенной длины Z длину названного пролета, приняв за % = 〃2 расстояние первого нуля (侬=0) прогиба w от начала координат х = 0 (рис. 10.31). После подстановки % = 〃2, 9 = 0 в выражение (10.223) это условие дает
a1 = 一a23g号=- a2w謊a2 . (10.226)
Так как ±ai и 士仪2 суть прямоугольные координаты четырех точек в комплексной плоскости, представляющих собой че1ыре комплексных корня 九九 характеристического уравнения (10.181),
то два условия, поставленные для ai и «2, можно истолковать как требование того, чтобы в плоскости прямоугольных координат аь «2 семейство концентрических кругов с радиусами, равными 入如 пересекалось кривой, задаваемой уравнением (10.226). Эта последняя кривая 】)симметрична относительно оси 仪卜 имеет
вершину в точке ai =——2, «2 = 0 и приближается к двум горизонтальным линиям (Х2=±2л как к асимптотам (рис. 10.32). Для бесконечной пластинки прогибы w дov^жны обращаться в нуль при х = оо, что налагает требование положительности а】в уравнении (10.226). Видно, что тогда следут рассматривать только ветвь кривой между точками В и С, показанную жирной линией.
Точке В соответствует предельный случай 1Б, когда 九а = 6 =冗； следовательно, поскольку
届 + £ =唸(4 一 届=р,(10.227)
величины а】и аг принимают значения cti = 0,仪2 =冗.Из рассмотрения случая 1Б нам известно, что пластинка не несет поперечной нагрузки и, следовательно, Р = 0. Это подтверждается равенством (10.224), если в нем положить ai = 0; поперечная сила 〃о в начале координат % = 0 и вместе с ней Р обращаются в нуль. При этом пластинка подвергается действию только осевого сжатия, равного
…％ =名-, (10.228)
чему соответствует
(10.229)
Точке С отвечает другой предельный случай, когда исчезающе мала осевая сила в слое, 〃 = 0. Мы имеем здесь 0 = 0; равенства (10.227) показывают, что ^ = а2 = ^/1^2 , а из (10.226) находим, что
ctg —= — 1, 儿=…雙;
следовательно,
5 = % = (3 ⑵ л, % = ―^ = (81/4) %(10.230)
и максимальный прогиб 侬о пластинки в момент / = 0 при п = 0 (см. выражение (10.225)) становится равным
==月必Р
02/2 И 4班.
(10.231)
В этом последнем случае, когда вязкая пластинка несет только сосредоточенную силу Р = P^,ta в начале координат % = 0, легко проверяется, что прогибы 侬,удовлетворяющие дифферен
циальному уравнению
04冲
+々侬=0,
равны
⑵=gа（偌）Т3叔⑵）'os等+ Siti等）， w = ^2 g。"。№叔⑵）cos （等一"，
(10.232)
где постоянные w° и ta имеют только что определенные значения; кроме того, предыдущая функция совпадает с функцией, определяемой выражением (10.223) при отсутствии осевой силы п.
11з рассмотрения случая в пределах 0《电《(9/2)n, рис, 10.32, величины Ха и 々2,11з рассмотрения случая в пределах 0《电《(9/2)n, рис, 10.32, величины Ха и 々2,Рис. 10.33. Вязкий слой. Зависимость сосредоточенной поперечной силы Pq от осевого сжатия.Рис. 10.33. Вязкий слой. Зависимость сосредоточенной поперечной силы Pq от осевого сжатия.hwjhwj
11з рассмотрения случая в пределах 0《电《(9/2)n, рис, 10.32, величины Ха и 々2,
11з рассмотрения случая в пределах 0《电《(9/2)n, рис, 10.32, величины Ха и 々2,
Рис. 10.33. Вязкий слой. Зависимость сосредоточенной поперечной силы Pq от осевого сжатия.
Рис. 10.33. Вязкий слой. Зависимость сосредоточенной поперечной силы Pq от осевого сжатия.
hwj
hwj
1В видно, что, когда ⑥ изменяется отвечающих точкам В и С на представляющие собой длину вектора OD и ординату точки D ветви кривой 占С, изменяются в интервалах
冗《се? & (3/2) л
и_
冗&入" 《 3n/k2.
Это приводит к изменению сжимающей силы 〃 (р изменяется в диапазоне л > р > 0), если для п воспользоваться выражением 几=2々/2卩2九^ в интервале
2沙/2
等=几0)心 0, (10.233)
а также к изменению постоянной времени /а = N^a/kl\ если использовать равенство % = =冗4乂0他/4 в диапазоне
(81/4) 4认》%.
Для сопоставления форм изгиба, описываемых случаем /5, предположим, что мы оставляем неизменными длину вол- ны / в основной впадине на кривой изгиба пластинки и на
чальный максимальный прогиб w0 в его центре % = 0 в момент / = 0. При изменении g и 出 кривая изгиба между фиксированными точками 乂 = 0,侬=侬()и х = = //2,侬=0 будет, естественно, принимать несколько отличные формы. Значения сосредоточенной силы Ро могут быть вычислены из выражения (10.225). Результаты представлены в виде кривой зависимости А от сжимающей силы п на рис. 10.33, которая имеет небольшой горб, но в остальной части соответствует непрерывному падению нагрузки Р° с увеличением п.
(初 таX%=0 = ~-(初 таX%=0 = ~-(10.234)(10.234)Установим также максимальную скорость прогибания пластинки при / = 0 в точке х = 0 под действием нагрузок Ро и п. Из выражения (10.223) находим, что она равна
(初 таX%=0 = ~-
(初 таX%=0 = ~-
(10.234)
(10.234)
Эта скорость обратно пропорциональна четвертой степени длины 入° = 00 радиуса-вектора 0D на рис. 10.32. Если для сравнения мы оставим неизменными величины 力，2°,①。，I и будем увеличивать сжимающую силу п от нуля до 〃о, то, поскольку точка D на рис. 10.32 будет двигаться от С к В, длина Ха радиуса- вектора OD будет непрерывно уменьшаться. Мы видим теперь, что сосредоточенная сила Ро на рис. 10.33 будет уменьшаться, в то время как пластинка не только начнет изгибаться с непрерывно 〃 быстро возрастающими скоростями, но также 〃 сами эти скорости 庇max =(庇max)f=oe""a доЛЖНЫ будут увеличиваться СО 6〃С- менем / тем быстрее^ чем большей выбирается сжимающая сила 儿
10.9. Изменение упругости и вязкости внешней оболочки земной коры вследствие увеличения температуры с глубиной. Ранее при определении состояний плоской деформации и изгиба вязко-упругих сред мы всюду в рассматриваемом теле считали модули упругости и сдвига £ и О и коэффициент вязкости 林 постоянными материала. В § 1.5——1.7, где с некоторыми подробностями рассматривались уравнения состояния твердых тел, мы видели, что упругие свойства твердых тел зависят от двух важных переменных состояния, а именно от абсолютной температуры Т и от среднего напряжения о; то же следует предположить и относительно свойства вязкости. Помня, что температура Т и среднее напряжение о =——р сильно увеличиваются с глубиной под поверхностью земли, можно теперь пересмотреть определенные в предыдущих параграфах общие виды складкообразования в верхних слоях земли и вязко-упругого деформирования наружной твердой коры при заданных внешних силах, уделив внимание изменению с увеличением глубины постоянных материала Е, G, V и 極，входящих в соотошения между напряжениями и деформациями и между напряжениями и скоростями деформаций.
Перечислим кратко несколько предположений, при помощи которых это можно сделать без существенного усложнения теории.
Мы примем, что самая верхняя оболочка Земли толщиной от 60 до 100 км состоит из однородного материала горных пород постоянной плотности])• В некоторой ограниченной области она
Мы не будем учитывать полученные по регистрациям землетрясений указания на то, что внешняя кора, вероятно, состоит из нескольких слоев, обладающих различной упругостью, слегка увеличивающейся вместе с их плотностью при переходе через определенные плоскости раздела (различение определенных базальтовых слоев и т. д.), находящиеся на сравнительно небольших глубинах.
может быть отнесена к системе прямоугольных координат х, у, г, плоскость х, у которой совпадает с горизонтальной, а координата 2 измеряет тубину под поверхностью Земли. При увеличении с постепенно убывающими скоростями обеих переменных состояния бирс глубиной а по направлению к центру Земли вполне достаточно предположить, что внутри земной коры 0 < z < Л, геотермический градиент!) dQ/dz и градиент давления dp/dz
Данные об изменении температуры в земной коре с глубиной накапливались благодаря измерениям в глубоких шахтах, во время прокладки длинных железнодорожных туннелей через высокие горные гряды, но особенно благодаря измерениям температуры в глубоких нефтяных скважинах. О данных по геотермическому градиенту см. Gutenberg В. (ed.), Internal Constitution of the Earth, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1939, pp. 132—141; see also 2d ed., pp. 150—166, Dover Publications, New York, 1951; and Hager D., Practical Oil Geology, 5th ed., 466 pp., McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1938 (записи температуры в нефтяных скважинах см. на стр. 271, 272). См. также French R. W., Geothermal Gradients in California Oil Wells (представлено весеннему собранию Pacific Coast Division of Production, American Petroleum Institute, April 1939, p. 653). C* мьье глубокие в Соединенных Штатах нефтяные скважины были пробурены компанией «Супериор ойл компани» (Лос-Анджелес, Калифорния) и компанией «Огайо ойл компани» (Бэйкерсфилд, Калифорния); в скважинах первой компании наблюдались следующие температуры:
Скважина Limoneria Well № 1, Вентура-Каунти, Калифорния
Скважина Pacific Creek № 1 Well, Саблет-Каунти, Вайоминг
Глубина, м
Температура. ℃
Глубина, м
Температура, ℃
2591
71
3754
91
3666
93
4651
112
4794
116
6255
154
5713
121
Скважина № 72——4 компании «Огайо ойл компани» в Керн-Каунти вблизи Бэйкерсфилда (Калифорния) удерживает до настоящего времени рекорд наиглубочайшей пробуренной на земле скважины, достигшей глубины 6548 м, в которой была зарегистрирована температура 171° С (экстраполированные данные). (О данных по бурению этой скважины см. R i n t о u 1 W. Т., Petrol. Engr., October, 1953, pp. 420—422.)
За вычетом 21° С как атмосферной температуры средний геотермический градиент d8/dz, вычисленный из наблюдений на самых больших глубинах в нефтяных скважинах, составляет
с f 2,13°С/100 м в Саблет-Каунти, Вайоминг, dv/dz =〈
I 2,29° С/100 м в Керн-Каунти, Калифорния.
Автор выражает признательность за любезное предоставление приведенных выше результатов наблюдений Д, Коху, главному инженеру компании
имеют постоянные значения. Можно принять для геотермического градиента среднее значение й0/йг = 0,0300° С1м (возрастание температуры на 3℃ с каждыми 100 м увеличения глубины), а для градиента давления dp/dz = 0,300 атм (кг/см2) на метр, считая, что средний удельный вес плотных типов пород, преобладающих на больших глубинах, приближающихся к основанию внешней коры, составляет около 丫 = 3000 кг/м3. Рассматриваемые две переменные состояния, а именно температура 0 и среднее (гидростатическое) давление р (обе принимаются равными нулю на поверхности земли z = 0) будут иметь следующие значения:
Глубина z, км
Температура, ℃
Давление, кг/см2
0,1
3
30
1
30
300
10
300
3 000
50
1500
15 009
100
30Э0
30 ОСО
Большинство известных на поверхности земли осадочных и изверженных пород имеют при атмосферном давлении (呼 0) температуры плавления около 1500° С. Допуская определенное увеличение их температур плавления при высоких всесторонних давлениях 9 указанного выше порядка, преобладающих
«Супериор ойл компани» (Лос-Анджелес, Калифорния), У. Эмери И, инженеру компании «Огайо ойл компани» (Бэйкерсфилд, Калифорния) и д-ру Дж. Холмквисту, руководителю исследований компани «Спэнг Калфант компани» (Эмбридж, Пенсильвания).
Представляется, что величины градиентов dQ/dz, полученные по измерениям в глубочайших нефтяных скважинах, занижены из-за циркуляции бурового раствора и из-за недостатка времени, необходимого для установления нарушенного теплового равновесия, существовавшего в породах под землей до бурения. Однако общие данные, записанные Гутенбергом и другими авторами, указывают на определенные изменения геотермического градиента от места к месту. Эти изменения, вероятно, могут иметь большее значение, чем им до сих пор приписывалось в том влиянии, которое они должны оказывать на среднюю медленную ползучесть основания под высокими горными грядами на земле, если учесть то обстоятельство, что на скорости пслзучести, с которыми твердые тела вообще, а горные породы в особенности должны ползти под действием малых различий между главными напряжениями, сильно влияют самые малые изменения температуры.
1) Согласно Жоли (Joly J., The Surface History of the Earth, p. 41, Clarendon Press, Oxford, 1930), базальты при атмосферном давлении плавятся при температуре около 1170° С. Что касается увеличения температуры плавления пород с давлением, то мы отсылаем читателя к книге Жоли и литературе по геологии-
в нижних слоях земной оболочки, можно полагать, что вопрос, находятся ли породы на этих глубинах и основание, на котором покоится вышележащая твердая кора, в жидком состоянии или нет, не существен, если цель состоит в оценке некоторых тенденций вероятного изменения механических свойств в основных частях внешней твердой оболочки земли. После предварительного рассмотрения в гл. 1 вопроса относительно формы изотерм gconst, представленных графиками зависимости среднего нормального напряжения о =——р от упругого объемного расширения е в однородной оболочке из горных пород (см. § 1.5, 1.6, рис. 1.9, рис. 1.10), следует вообще ожидать существенного уменьшения модулей упругости и сдвига Е и G н точно так же вязкости 卩 под влиянием совместного действия увеличения 0 и /7 с глубиной г в однородном материале.
Допустим, что Е, V н 卩——известные функции глубины г. Рассмотрим слой земли большой ширины, подверженный горизон- h
тальному растяжению или сжатию силой 〃％= J о* da, действую- •о
щей в направлении оси х при условии, что £?/ = 0. Если упругий слой подвергается действию распределенных нормальных напряжений о* и(5У (е = 0), то
1 — v21 — v2% = V。％ =匸屮% = V。％ =匸屮(10.235)(10.235)
1 — v2
1 — v2
% = V。％ =匸屮
% = V。％ =匸屮
(10.235)
(10.235)
Результирующие нормальных напряжений па единицу ширины 〃^, пу, перпендикулярные плоскостям % = const, y = const можно вычислить путем интегрирования этих выражений по координате 2
Е dz1 — V2Е dz1 — V2/ ^^г = ех J-^f^ , (10.236)
Е dz
1 — V2
Е dz
1 — V2
причем линии их действия располагаются на глубинах
2 = ± I耍也 可=* J方厶 （1°.237）
соответственно, где интегралы берутся между пределами 2=0 и z=h.
Подобным образом в чисто вязком слое из несжимаемого материала, растягиваемом с заданной скоростью деформирования ёх при неизменной силе пх и при 2^ = 0,
о* = 20g = 4©*卩，пх = 2пу = 4©% j 卩 da; (10.238)
эти силы пх и 〃沙 действуют на глубине
»]科2dz
""气——.(10.239)
I"dz
Допустим, что вязко-упругий слой земли растягивается или сжимается в горизонтальном направлении при поддержании скоростей деформирования постоянными ёх = 80 = const и ёу = 0. Если через te=3[i/E теперь обозначить параметр времени, который меняется с глубиной %, то мы сможем следующим образом выразить скорости деформирования:
£©% = 6% + ； о* — vdy —； % = £©о，
' 1. ' 1(Ю.240)
Е^у = — ”6* —+ 6g + " % = 0・
После сложения или вычитания этих уравнений, интегрирования суммы От + “/ или разности ах — а^ по /, считая, например, слой при / = 0 полностью ненапряженным и недеформированным, мы получаем для напряжений ах и о“ выражения
0Х = 400M -©0m(3l% +产6)，
% = 2如一如(3ё%。一2-恤)， где
勿=2 (1 — V)J,力匕=(2/3) (1 + v)te (10.242)
——два параметра с размерностью времени, изменяющихся с глубиной z. Либо, наоборот, мы можем принять, что в момент / = 0 к слою прикладывается некоторая сила, производящая начальное упругое растяжение 8Х = е^ = const (не зависящее от х), я что в дальнейшем поддерживается постоянной скорость деформации % = ©o = const. Помимо членов, уже вошедших в соотно、 шения (10.241), это даст еще два члена
(1⑵取(bv +，(1 ⑵ £%-(10.243)
в правые части соотношений (10.244) для о* и о? соответственно.
Предыдущие и последующие выражения сильно упрощаются если считать, что коэффициент Пуассона не меняется с глуби-
ной г и его значение 】)равно v= 1/2. В этом случае
±а = У#・(10.244)
Обозначив средние по слою значения Е и ц через
h九
El^ \ Edz, ^ = 4" J И^(10.245)
оо
для первого примера, когда вязко-упругий слой, начиная от не- деформированного состояния, растягивается с постоянной скоростью e0 = const, находим
h
о* = 2% = 4©0卩(1 —葭丝)，пх = 2пу = 4е01 р,(1 — e~t!te)dz, (10.246) о
Во втором примере слой сначала растягивается упруго до деформации £〔, а затем необратимо удлиняется с постоянной скоростью деформации ©о = const, для которой при / = 8 будет достигаться та же результирующая напряжений пх = по, что и отвечавшая началу течения в момент f=0, именно
h
% = 〃о = J % 厶=(4/3) eQhEm =衣0力％ (10.247) о
В этом случае требуется, чтобы 80 было выбрано равным
…或(1°・248)
Распределение нормальных напряжений по вязко-упругому слою дается выражением
= *法+ (含-許卜叫，(10.249)
где £,卩，te = 3«IE — заданные функции г. Мы замечаем, что в последнем случае слой в момент 2 = 0 начинает деформироваться, имея упругое распределение напряжений
% = 20=爆，(Ю.250)
1) Предположение, что v= 1/2 во всей земной оболочке, устраняет обременительные различия при согласовании напряжений в разных средах, как мы уже установили в предыдущих случаях； в то же время следует понимать, что, предположив несжимаемость при упругом деформировании, модулю сжатия К нельзя приписать никакого конечного значения. Сделанное допущение было бы бессмысленным, если бы изучалось такое геофизическое явление, как распространение волн сжатия при землетрясениях.
которое при 2 = 00 превращается в вязкое распределение
…=跣(Ю.251)
Эти напряжения были сначала пропорциональны Е, а в конце стали пропорциональны 卩,при этом линия действия результирующей силы пх постепенно смещалась от ге до 之山
拉h
Ze = Emh『七之也 无=卩山力J卩Nd%’(10.252)
“ о' о
где %е и 2ц измеряют расстояния до центров тяжести Се и Сц (рис. 10.34) площадей под кривыми Е и 卩.
Рис. 10.34. Упругость и вязкость в слое земли.
Предположим, что кривая для Е может быть вогнутой (рис. 1.10), а кривая для 林一выпуклой и возрастающей с образованием острого пика вблизи поверхности 2 = 0 (в наиболее холодной верхней области слоя земли). Это приведет к выводу, что главное (разрушительное) действие сжатия или растяжения по истечении больших отрезков времени будет по существу сосредоточиваться в самых верхних слоях пород (ближайших к поверхности земли) в конце периода вязкого деформирования, когда породы подвергаются действию наибольших напряжений, по той причине, что линия действия горизонтальной силы пх будет, как показано на рис. 10.34, постепенно подниматься.
Из-за недостатка надежных лабораторных данных относительно изменения Е и 卩 для пород, одновременно подвергаемых действию сильно увеличивающихся температур и давлений, попытаемся проиллюстрировать эти условия для массивного слоя земли, проведя в первом приближении две, наклонные прямые, в какой-то мере правдоподобно выравнивающие фактические кривизны кривых распределения Е и 卩(рис. 10.35, 10.36). В первом случае предполагается, что Е и 卩 достигают конечных значений на нижней поверхности оболочки z = /z, тогда как во втором (рис. 10.36) гипотетически принимается, что 七 и 卩 обращаются на глубине 之=九 в нуль.
Это элементарное предположение служит для того, чтобы вывести или оценить соответствующие распределения напряжений в слое; при этом ординаты напряжения при / = 0 и / = оо становятся пропорциональными значениям £ и р,, а результирующие проходят через центры тяжести трапеций или треугольни-
Р и с. 10.35. £ и ц в слое земли.Р и с. 10.35. £ и ц в слое земли.6卡 ~3ба6卡 ~3баРис. 10.36. Напряжения, вызванные нормальной силой пх (слева) и изгибающим моментом тх (справа).Рис. 10.36. Напряжения, вызванные нормальной силой пх (слева) и изгибающим моментом тх (справа).
Р и с. 10.35. £ и ц в слое земли.
Р и с. 10.35. £ и ц в слое земли.
6卡 ~3ба
6卡 ~3ба
Рис. 10.36. Напряжения, вызванные нормальной силой пх (слева) и изгибающим моментом тх (справа).
Рис. 10.36. Напряжения, вызванные нормальной силой пх (слева) и изгибающим моментом тх (справа).
ков (рис. 10.35, рис. 10.36). Например, отвечающие рис. 10.36 модуль упругости, коэффициент вязкости и температура по сечению слоя представляются линейными функциями
Е = Ео(1—"^),卩=卩。(1一号)，6=~^・ (10.253)
Здесь £0 и р，о определяют значения соответствующих величин на поверхности земли z = 0, а 0 представляет собой общую температуру плавления, достигаемую в основании оболочки z = h. Неизменная осевая сжимающая горизонтальная сила пх вызывает в слое не зависящее от времени распределение нормальных напряжений
-2% =警(1 (Ю.254)
при постоянной скорости необратимого деформирования £* = =。*/4卩=枕"2卩0% в направлении оси %; нагрузка пх действует на глубине z=/i，3i)・
1) Вряд ли нужно указывать, что нет необходимости рассматривать в этих деформированных состояниях массивного слоя земли напряжения, вызываемые неоднородным температурным расширением (несмотря на крайне высокие значения температуры ^ = Q\zlh, приближающиеся под землей к точке плавления). Если бы слой был свободен, он бы завернулся, будучи сильно нагретым снизу, однако его свободное температурное расширение подавляется: состояние с увеличивающимися сжимающими напряжениями ах, и? будет вынуждать образующуюся чашу оставаться плоской. Но эти темпе-
Аналогичным образом, в бесконечном упругом слое, изгибаемом по цилиндрической поверхности (£〃 = 0), в котором модуль упругости £ изменяется с г линейно, согласно соотношению
…。口一"，
при элементарном рассмотрении !) деформация изгиба
11(10.255)(10.255)
1
1
(10.255)
(10.255)
считать(10.256)считать(10.256)порождает напряжения изгиба (см. (10.235)), если v = 1/2,
считать
(10.256)
считать
(10.256)
。" = 2% =苧=争(1一"借-1)・
Если обозначить £化=£。, Gx = ^a при z=(2/3)/z (рис. 10.36), положив
% =号,* =爵(一3之2 + 4後一力2),(10.257)
то это распределение напряжений изгиба ах выразится параболой, а изгибающие моменты будут равны
h
mx = 2my = j qxz dz = (I /4) ааЛ2.(10.258)
о
Абсолютная величина наибольшего напряжения изгиба ах, действующего в плоскости 2 = 0, равна аШах = Заа = 12mx/h2; это—- в точности удвоенное максимальное значение 6mx/h2 напряжения ратурные напряжения не могут осуществиться, поскольку они будут уничтожаться в результате релаксации, обусловленной низкой вязкостью g при высоких температурах. Точно так же и различия между двумя главными напряжениями ах и Оу, действующими в горизонтальном направлении, и нормальным напряжением Oz в вертикальном направлении в бесконечном упругом теле, находящемся под действием собственного веса, стираются вследствие релаксации. Горизонтальные нормальные напряжения а х — о, о?——о существуют только при гипотетическом мгновенном приложении горизонтальной результирующей силы или изгибающих моментов или когда слой земл? непрерывно деформируется с малыми конечными скоростями деформации 8Х,询，как при установившемся сдавливании или растяжении, так и при установившемся изгибании моментами, возникающими в соседних массах континентального блока; подобные внешние силы действуют на протяжение длительных геологических периодов времени.
Ч Мы предполагаем, что нейтральная ось изгиба располагается на глубине 2 =力/3 (рис. 10.36) и что деформация изгиба еж при 2=0 равна
в слое с однородной, неизменяющейся упругостью. Кроме того, кривизна линии упругого изгиба составляет
(10.259)(10.259)d2w __3% —(3/2) mx
(10.259)
(10.259)
dx2 г — (/г/3) h^
где через N = (1/9) Emh3 обозначен эквивалентный модуль слоя, равный модулю однородного упругого слоя с'Ет= (1/2)Е0. Отсюда видно, что слой, обладающий переменной упругостью, прогибается по крайней мере е 3/2 раза больше слоя с неизменной упругостью.
Соответствующее утверждение применимо и к чисто вязкому слою, обладающему переменной вязкостью
Ц=Но(1 -|).(Ю.260)
Ясно, что вычисления наименее сложны, когда ординаты кривых Е и 卩 при всех значениях % отличаются друг от друга постоянным множителем. Это наводит на мысль дать приближенное описание взаимодействия между зависящими от времени упругой 〃 остаточной частями деформации. С этой целью вместо того, чтобы оперировать двумя эмпирическими функциями, задающими значения £ и ц, как показано на рис. 10.34,
£ = £/() 卩=卩加 g(D,(10.261)
(Em,卩团——средние значения Е и ц по слою земли, а С обозначает ^ = z/h), введем в рассмотрение среднее арифметическое двух фактических отношений
f= g 隽)，
приняв его за новую осредняющую функцию
尸® =尸® =5组仪皆+"г(£5组仪皆+"г(£+ r j, (10.262)+ r j, (10.262)
尸® =
尸® =
5组仪皆+"г(£
5组仪皆+"г(£
+ r j, (10.262)
+ r j, (10.262)
и воспользуемся этой функцией распределения 尸(С). Иными словами, это равносильно допущению (коэффициент Пуассона неизменен и равен v= 1/2), что модуль упугости Е, модуль сдвига О и вязкость 卩 слоя (рис. 10.37) меняются с глубиной, согласно соотношениям•
Е\ Em=G : Gm =卩：读伊=尸也)、(10.263)
обеспечивая для параметра времени
./L蟄=告=齧(0264)
постоянное значение (его независимость от ^ = г/й).•
Теперь для завершения рассмотрения случая изгиба такого вязко-упругого слоя приведем основные соотношения
"①*=1, 点=季=j尸飢典，④=仔);"®『盟,
Ооо
(10.265)
где ^п определяет положение нейтральной осн】)，а 猿——радиус инерции площади под кривой 尸优)или Е=Е"(0, причем ин-
Рис. 10.37. Гипотетические распределения характеристик упругости и вязкости в земной коре Е!Ет = ц/ц^ = F (g).
/ — напряжения растяжения; 2 ~ напряжения изгиба.
дексы 0 и 1 относятся к верхней и нижней граничным плоскостям
С=0 и С=1; упругие деформации изгиба даются выражением
Напряжения равны
% = 2% = (%)汝;=_ (%) Eh (g — G 黑 (10.266)
(использовано условие v = 1 /2 в соотношениях (10.235)), а изгибающие моменты равны
Ех = ^Шу = ^ J о/ 臂=—(%)力3 彳£ J Е (g —厶К dW， 00…(10.267)
%=2勺=一伫J ER修一瓷］鲁=-必需.
Величина, заключенная в скобки, представляет, очевидно, модуль слоя для слоя с переменной вязко-упругостью, а именно
% =(4/з)% 沿储一或)=12 解—瓷 ％,(10.268)
где Nc = (\19)Ет№ ——модуль слоя при неизменной вязко-упру- гости (рис. 10.37).
Мы приходим к выводу, что теория изгиба вязко-упругого слоя земли в том виде, как она была развита в § 10.2——10.7, когда упругость и вязкость считались однородными (Е и 卩 принимались по всему слою за материальные константы), может быть теперь усовершенствована и распространена на случай изгиба слоя земли, в котором модули Е, G и вязкость 林 изменяются с глубиной z = % согласно осредненному закону 尸隽)(уравнения (10.263)) с условием, что для модуля слоя взамен Nc используется новое* значение NVK вычисляемое из равенства (10.268); тем самым учитывается приближенным и вполне законным способом изменение механических характеристик твердой коры вследствие постепенного увеличения температуры 0 = 0^ с глубиной 2.
Таким образом, в отсутствие результирующей осевой нормальной силы пх (〃冗=0) прогибы w слоя земли, обладающего переменной вязко-упругостью, покоящегося на жидком основании и несущего распределенную заданным образом поперечную нагрузку, зависящую от координаты х и времени 厶 могут быть определены, согласно уравнению (10.3), посредством линейного уравнения в частных производных.
需++(10.269)
в котором 2。，力，力——постоянные; здесь должны быть использованы полученные раньше выводы за исключением касающихся окончательных выражений для изгибающих напряжений о% и。力 Напряжения о* и ау не подчиняются обычному закону пропорциональности z, но их значения ах = 2ау = 4Е^х/3 должны вычисляться при помощи произведения E = EmF(^) на упругую часть £； изгибной деформации £%, которая связана с последней обычными формулами преобразования
段+年=% 弘=%-J %朋出九 (10.270)
Согласно (10.266), имеем
*=2% =-竺^f，△尸售)欝. (Ю.271)
Отсюда следует, что для упругой части wr прогиба w слоя сохраняются прежние формулы преобразования (см. (10.25))
w" + w,侬‘=侬一-^—j w^ltedt. (10.272) °е о
После подстановки сюда выражения для полного смещения w через хи/, полученного из дифференциального уравнения (10.269), и после интегрирования из выражения (10.271) получаем также напряжения изгиба о* и о^ в любом вертикальном сечении слоя земли х = const или у = const, чем и завершается теория одномерного изгиба поперечными нагрузками слоя земли, обладающего переменной вязко-упругостью и покоящегося на основании.
Глава 11
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ТОНКИХ СЛОЯХВЯЗКОГО МАТЕРИАЛА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЖАТИЯ
1. Установившаяся экструзия через узкий прямоугольный насадок. Скорость 〃， с которой течет вязкая среда при ее выдавливании из некоторой емкости через узкий канал между двумя параллельными стенками у=±/г, параллельна этим стенкам. Проведя ось х параллельно этим стенкам в направлении течения, находим, что поскольку гидростатическое давление 〃
постоянно в сечениях х = const (рис. 11.1) и равны нулю скорости деформации 葭=& = 0, то нормальные напряжения dc = 5/ = =—р зависят только от х и скорость сдвига равна уху^ди/ду^ = тХу/н- Из условия равновесия
От 第дох дрдр ди
可k ==九(1L1)
скорость 〃 получается равной
"=必(1—各)=_备需(1 - 殆)，(11.2)
т. е. распределена по параболическому закону, причем среднее значение равно 讶=(2/3)〃о, где 〃о = — (h2/2[i)dp/dx — максимальное значение скорости и. Так как расход через единицу ширины канала за единицу времени равен
Q = 2/z〃 = (4/3)/mo，(11.3)
3“3“(ИЛ)(ИЛ)то градиент давления др/дх, требуемый для продавливания объема Q вязкой среды через узкий канал, получается равным
3“
3“
(ИЛ)
(ИЛ)
дрдх
Вязкая среда, сжимаемая между двумя длинными прямоугольными параллельными пластинками. Если ширина 2а сжимаемого слоя материала мала по сравнению с длиной 26, то среда не будет течь в направлении оси г (ось г выбирается направленной по длине), т. е.侬=0, и мы приходим к случаю плоского течения со скоростями 〃 и и, параллельными осям х и у
////////////////////〃/////、/ ///〃/
Рис. 11.2.
(рис. 11.2). Если принять, что слой вязкого материала сдавливается двумя плоскими пластинками без проскальзывания при их сближении, то скорости у плоскостей у= ±h будут равны
у = %〃 = 0,V = — vQ = const,
у = h,〃 == 0,V ^ Vq = const.
В этом состоянии плоского течения
〃 =f， и = — #
дудх
функция тока 屮，удовлетворяющая указанным граничным условиям
У = %2=不7 = °'
y = 一 瓦2=一 u0%需=°，
будет бигармонической функцией (см. § 5.2, уравнение (5.47))
屮=^-^У-У^(11・5)
Она дает для скоростей следующие выражения:
«=^(1-Я> 。一号修-若卜(U6)
Заметим, что компонента скорости 〃，направленная вдоль сжимающих пластин, снова распределена по параболе.
Среднее напряжение о или давление р =——о вычисляются по их градиентам с использованием уравнений (5.43):
др а Зи-уох
=一Т，
需=W =屮，(11・7)
p = % + ^Г ① 2 一 炉)，
где ро — давление 〃 в начале координат % = у = 0. Давление р° определяется путем наложения на последнее равенство приближенного условия: р = 0 при %=±а, у = 0, дающего
p=贵(出 + 力一%2),(1L9)
а три компоненты напряжений о%, о〃，хху находятся из уравнений (5.42)'
0Х = - р + 2卩葭=智(%2 一 3川-歩+ 2們，
久=一p + 2卩时 =书■(%2 + 力一a2一2炉)，(11.10)
Картина линий тока 屮=const и распределение скоростей, параллельных пластинам в половине слоя вязкого материала, сжимаемого между пластинами у= ±h, представлена на рис. 11.3, 11.4. Линии тока первоначально имеют направление, перпендикулярное сдавливающим пластинам, но быстро и очень резко загибаются в направлении главного потока, параллельно пластинам. На рис. 11.5 изображено распределение напряжений о%, о^, тх?/ и давления р =——о в сечении х = 0 и в крайнем сечении х=а слоя вязкого материала. Из рис. 11.5 следует, что ни нормальные, ни касательные напряжения 。国 и хху не обращаются в нуль на краю % = 〃, чего следовало бы, строго говоря, потребовать от точного решения. Граничное условие для хху на свободном краю удовлетворяется лишь в точке % = а, у = 0. Однако видно, что значения сгх и р вдоль х = а малы по сравнению с максимальным давлением р0 на оси % = 0 образца, так что это решение можно считать удовлетворительным.
Рис. 11.3. Линии тока.
Рис. 11.4. Скорости и.
Рис. 11.5. Распределение напряжений.
Плоское течение вязкой среды, сжимаемой между двумя параллельными пластинками.
Касательные напряжения хху вдоль .х = о необязательно будут малы; однако они образуют уравновешенную систему сил, распределенных по узкому краю, так что их местное влияние при х = а не имеет значения. Максимальное давление 〃о, требуемое для сдавливания сравнительно тонкого слоя вязкого материала между параллельными плитами, пропорционально ско、 рости и°, с которой движется каждая плита, квадрату ширины 2о и обратно пропорционально третьей степени толщины 2九 слоя. Полная результирующая сжимающая нагрузка Р для прямоугольной площади сдавливания длины 26 и ширины 2〃， если воспользоваться значением р согласно (11.9) при у = 0, приближенно равна
P = 4b j (p)^dx = (8!^pQab = ^^. (Н.П) о
Эту формулу можно использовать для экспериментального определения коэффициента вязкости 卩 среды при сдавливании ее
тонкого слоя между параллельными плитамй при условии, что Л мало, а b велико по сравнению с а.
Осесимметричное течение вязкой среды. Круговой слой вязкого материала, сжимаемый между параллельными плитами. Используем цилиндрические координаты гиг, обозначив через и радиальную и через V осевую компоненты скорости в
цилиндре радиуса а из вязкого ма^ териала, сжимаемого между двумя плоскостями 之=±用，движу- и^имися с абсолютными скоростями 4=у0 навстречу друг другу. Тогда мы можем выразить скорости удлинения в радиальном,
тангенциальном и осевом направлениях и скорости сдвигов через компоненты напряжений аг,。厶 о?, Gz (рис. 11.6) посредством следующих соотношений:
" =警=击& - (1 /2) (s + %)],
(1I」2)(1I」2)第=?=击 & — (1 /2)(0? + 3)], 酸=需=嘉E 一(12)("+哂,
(1I」2)
(1I」2)
ди , dv 1
(11.13)(11.13)После введения давления
(11.13)
(11.13)
p= 一(1/3)(" + 立+ %) и нахождения напряжений
с ди
% = 2卩歹一Р，
d=2n；一",
Р (1L14)
эти соотношения следует рассматривать вместе с двумя уравнениями равновесия (см. § 7.1, уравнения (7.5)):”
屮—…争=0, dr
「祭+ ±（F）= °
(11.15)
и уравнением неразрывности
ди и dv 1 д (ги) ди 八
济 + 7 + 而否°，
(11.16)
показывающим, что для данного радиального и осевого течения скорости и н V могут быть выражены через функцию тока ”
11 d屮
〃=—-~Lu=
r dzr dr
(11.17)
Подставляя найденные выражения для напряжений (выражение
(11.14)) в уравнение (11.15), получаем, что градиенты равны
давления
雾=卩(a" -今)，
где Д — оператор Лапласа ad2dd2
(11.18)
(11.19)
Чтобы исключить давление р из уравнений (11.18), ротор поля скоростей (о = (1/2) (ди/дг ——dv/dr} через тока
выразимфункцию
2r①=r——^-9- = A 2,
dr2 rdr庆2
(11.20)
где для суммы трех предыдущих дифференциальных отношений введено операторное обозначение
d产厂dr d#
const,для функ-(11.25)(11.26)(11.27)(11.28)const,для функ-(11.25)(11.26)(11.27)(11.28)
const,
для функ-
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
const,
для функ-
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
Но из выражений (11.18) следует, что
一多一崇Аg0.(11.22)
Отсюда и из равенства 2з = 0〃/。％ — dv/dr получим
'9 =号.(11.23)
Замечая, что А = 4/+(2/r) (d/dr) после подстановки сюда выражения для з, взятого из равенства (11.20), находим, что функция тока 屮 в случае симметричного по отношению к поворотам течения должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка:
A幺纯=0,(11.24)
которое было впервые выведено Стоксом】)при следующих граничных условиях:
г = Л,п — 0,и = — и° =(
2=—儿П = 0,U = Uo = COH
Можно проверить, что это уравнение выпол ции ^ = C\r2z+c2r2^. Полагая
w=需(3/2 — 23), для скоростей находим соотношения
Далее для градиентов давления получаем dр3ии0г dр 3卩002
dr —2/?з '02 一 川 •
Наконец, для давления запишем
p=需(絞一产+ 222).
*) Л а м б Г., Гидродинамика, ГТТИ, М. — Л.» 1947.
При этом удовлетворяются условия, что для r = a, 2 = 0 давление р = 0, чему соответствуют компоненты напряжения, равные
^г = ^ = ^^ (产一出-4炉 + 2公)，
备=幣(Г2_a2+2”_4九2),备=幣(Г2_a2+2”_4九2),(11.29)(11.29)
备=幣(Г2_a2+2”_4九2),
备=幣(Г2_a2+2”_4九2),
(11.29)
(11.29)
3岷0
%z=一卷-г2・
Максимальное давление ртах в центре цилиндра г = 2 = 0 равно
(11.30)(11.30)—3卩 00a2
(11.30)
(11.30)
Ртах = —4дз~
причем в средней плоскости г = 0 распределение давления дается параболоидом вращения
P = Pmax(l Y),(Н.31)
следовательно, полная осевая сжимающая нагрузка 尸，требуемая для сдавливания цилиндрического вязкого слоя радиуса о
Рис. 11,7. Радиальное течение вязкой среды, сжимаемой между двум круглыми пластинками (линии тока).Рис. 11,7. Радиальное течение вязкой среды, сжимаемой между двум круглыми пластинками (линии тока).
Рис. 11,7. Радиальное течение вязкой среды, сжимаемой между двум круглыми пластинками (линии тока).
Рис. 11,7. Радиальное течение вязкой среды, сжимаемой между двум круглыми пластинками (линии тока).
p=("2)吟^=嗨£p=("2)吟^=嗨£(11.32)(11.32)между двумя плоскостями, отстоящими одна от другой на расстояние 2й, равна
p=("2)吟^=嗨£
p=("2)吟^=嗨£
(11.32)
(11.32)
Это выражение может служить также для экспериментального определения вязкости 卩 материала при испытании на сжатие. Сжимающая сила Р пропорциональна четвертой степени радиуса а испытываемого образца. Картина линий тока и распределение радиальных скоростей и представлены для этого случая на рис. 11.7, 11.8).
Предыдущие соотношения были использованы в Вестингау- зовских исследовательских лабораториях при испытании на сжатие некоторых пластиков, деформировавшихся при несколько повышенных температурах; в этих испытаниях измерялись толщина 2h слоя материала и скорость vQ =——dh/dt верхней сжимающей пластинки. Формулы, о которых идет речь, основаны на допущении, что смещения малы по сравнению с наименьшим размером, т. е. толщиной 2h цилиндрического слоя. Предположим,
Рис. 11.8. Радиальное течение вязкой среды, сжимаемой между двумя круглыми пластинками (радиальные компоненты скорости и).
однако, что величины v0 = dh/dt и h измеряются в какие-то дискретные моменты времени / при поддержании нагрузки Р постоянной и что h и а изменяются согласно уравнению ha2 = =用0〃^ = const, где /г。и 〃о ——значения h и а в момент / = 0. Тогда из (11.32), учитывая, что % =——dhldt^ имеем
dh 8P,
E— == const,庐 dt 3jI|XCZq/2q
j1 — 32Р/(1L33)
无4无力3呻"押，
т. е. при условии, что вязкость 卩 остается неизменной, толщина 2力 должна уменьшаться со временем / как ординаты гиперболы высокого порядка. Если, с другой стороны, имеются указания о том, что среда подвергалась структурным изменениям, то можно посторить график зависимости h от времени /, провести касательные к h = f(t), определить скорость Vo=—dh/dt и подсчитать мгновенные средние значения вязкости 卩 среды.
ТЕЧЕНИЕ ОБОБЩЕННО ВЯЗКОЙ СРЕДЫВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
Установившееся течение обобщенно-вязкой среды в трубе. В предыдущих главах при изучении равновесных состояний несжимаемых упругих или вязких тел считались справедливыми линейные соотношения между напряжениями и деформациями или напряжениями и скоростями деформаций соответственно. Рассмотрим теперь зависящее от скорости течение сред при более общем условии,——что скорость сдвига представляет собой известную функцию напряжения сдвига. В качестве примера выберем установившееся спокойное течение такой обобщенно-вязкой среды в прямой цилиндрической трубе и найдем распределение скоростей в сечении трубы и градиент давления, обеспечивающий через трубу заданное значение расхода 】).
При установившемся спокойном (нетурбулентном) течении некоторой среды в цилиндрической трубе скорости параллельны оси трубы. Обозначим через и скорость на расстоянии г от оси трубы и, для удобства, через и — скорость, сдвига (вместо использованного ранее обозначения R = dy/df), которая равна v = —du/dr.
При этих скоростях сдвига и в жидкости между коаксиальными цилиндрами r = const длины / возникают касательные напряжения т, результирующая которых 2лг /т уравновешивает
Относительно течения полужидких материалов в трубах было написано большое число работ исследователями, называющими себя реологами, которые интересовались различными физическими, химическими и структурными аспектами течения в капиллярах размягченных сред, паст, суспензий твердых частиц в жидкостях (краски), высокополимеров, пластиков и т. п. В данной книге мы не можем затрагивать этот предмет, а рекомендуем читателю обратиться к монографиям: Bingham Е. С., Fluidity and Plasticity, 440 рр., McGraw Hill, Book Company, Inc., New York, 1922; H о u w i n k R., Elasticity, Plasticity and Structure of Matter, 376 pp., Cambridge University Press, London, 1937; Рейнер M., Десять лекций по теоретической реологии, Огиз, ГТТИ, М. — Л., 1947; Сб. «Деформация и течение», Гостоптехиздат, М., 1963 (см. обширную библиографию в этой книге). Мы воздержимся от употребления определенных названий, введенных реологами для обозначения специальных типов твердых тел и жидкостей, поскольку многие из этих терминов не очень подходят для большинства важных твердых материалов, используемых в инженерных конструкциях. См. также подстрочное примечание в т. 1, стр. 477.
перепад давления рлг2. Если и© t。0 a — значения и, т н г на внутренней стенке трубы, то мы получаем
2Z — q ， 、一 2/ ・
Считая заданным закон деформирования при сдвиге
KR(12.2)
причем va=f(ra)t находим для скорости течения уравнение
雾=—и= Т(力=Т 倍)•(12.3)
Предполагая, что жидкость прилипает к стенке трубы, т. е.
〃 =0 при г — а, получаем, что и равна
xaf?
" = ^J ⑺出=J ‘(号)"(12-4)
Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости.Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости.сдвига линейно v = f(x) =t/jiсдвига линейно v = f(x) =t/jiПереносимый за единицу времени объем материала, или расход .Q, составляет
Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости.
Рис. 12.1. Течение вязкой жидкости.
сдвига линейно v = f(x) =t/ji
сдвига линейно v = f(x) =t/ji
Q = 2л J иг dr =冗“2〃. (12.5) о
Здесь й средняя скорость в сечениях трубы.
Течение Пуазейля. Для жидкости, в которой скорость сдвига возрастает с напряжением (рис. 12.1), получаем
(1°.6)(1°.6)
(1°.6)
(1°.6)
Объем жидкости, проходящий в соотношениемОбъем жидкости, проходящий в соотношениемединицу времени, определяемединицу времени, определяем
Объем жидкости, проходящий в соотношением
Объем жидкости, проходящий в соотношением
единицу времени, определяем
единицу времени, определяем
с пра4с пра4
с пра4
с пра4
которое выражает закон П^^азейля для ламинарного истечения из капилляра идеально вязкой жидкости {).
Бингамовская жидкость. Ю. К・ Бингам), экспериментируя с суспензиями твердых частиц в жидкости, обнаружил, что формула Пуазейля согласуется с наблюдениями, если предположить, что при простом сдвиге в такой среде закон вязкости становится справедливым после достижения некоторого конечного предела пластичности то (Бингам назвал его значением текучести) ,
т = т0 4- ну- (12.8)
Эта среда начинает течь при т>то вблизи стенок трубы в области сО《а, где то^тта, подвергаясь здесь сдвигам v = =—du]dr, тогда как внутренние части жидкости в цилиндре 0《г&с переносятся с постоянной скоростью 〃 = 〃с = const подобно твердой трубке с жидкостью (рис. 12.4; на рис. 12.5, a воспроизведен закон скоростей). Иллюстрацию профиля скоростей на рис. 12.4 можно получить, выдавливая из тюбика зубную пасту. Таким образом,
приприО&г&с:О&г&с:приприи == 0, 〃 == 〃с，"== T =——dr 卩'2/ 'и == 0, 〃 == 〃с，"== T =——dr 卩'2/ '
при
при
О&г&с:
О&г&с:
при
при
и == 0, 〃 == 〃с，
"== T =——
dr 卩'2/ '
и == 0, 〃 == 〃с，
"== T =——
dr 卩'2/ '
приприг = с: t = to = pc/2/j г = а, т = Тд = ра/2/.г = с: t = to = pc/2/j г = а, т = Тд = ра/2/.Интегрируя уравнениеИнтегрируя уравнение
при
при
г = с: t = to = pc/2/j г = а, т = Тд = ра/2/.
г = с: t = to = pc/2/j г = а, т = Тд = ра/2/.
Интегрируя уравнение
Интегрируя уравнение
(12.9)(12.9)
(12.9)
(12.9)
находим, что скорость течения при с <г《а равна
〃 ="^Т【о?—厂2 — 2с (а — г)].(12.10)
Чтобы выразить этот профиль скорости и расход Q в зависимости от градиента давления р/l, представим последний в безразмерном виде:
3 =落=詐(12.11)
и обозначим отношение радиуса центрального твердого ядра к
Рис. 12.2. Жан Леонард Мари Пуазейль (родился 23 апреля 1797 г., умер 26 декабря 1869 г.). Биографию его можно найти в журнале: Rheological Memoirs, 1, № 1 (1940).
радиусу трубы через а —с/а. Тогда с = 2т0^, а также р= 1/а, поэтому для такой жидкости скорость при г》с
"墨同1+9-2](1七)(12.12)
имеет максимум при г = с, равный
〃。中信-2 +。)中(6-2 +扑(12 •⑶
Это показывает, что максимумы на профиле скоростей и распо* лагаются (d〃/dr = 0) в точках с координатами 厂=аа, u = uct лежа-
щих на некоторой гиперболе, задаваемой предыдущим уравнением, что облегчает построение профилей скорости !) (рис. 12.6, 12.7). При этом изменение расхода Q через трубу с изменением безразмерного градиента давления р выражается соотношением
Q = псис + 2л J иг dr = ^^ 卜§ 一 4 + 靑)=冗。2〃(12.14)
или кривой, которая начинается в точке 6=1, Q = 0, имея в ней
Рис. 12.3. Юджин Кук Бингам, профессор химии в Колледже Лафайета, •Истон, Пенсильвания (родился 8 декабря 1878 г. в Корнуэлле, Вермонт, умер 6 ноября 1945 г.). Биографию его можно найти в журнале: Journal of Colloid Science, 2, № 1 (1947).
горизонтальную касательную (рис. 12.8), и очень быстро выходит на наклонную прямолинейную асимптоту с уравнением
Q = ^(3P-4)・(12.15)
Начальное значение р = 1 =ра!2т^1 представляет собой минимальный градиент давления p/厶 требуемый для того, чтобы началось течение бингамовской жидкости. Видно, что, когда р принимает большие значения, профили скорости на рис. 12.7 все больше
Рис. 12.4.Рис. 12.4.Течение в трубе бингамовской жидкости, подчиняющейся закону скоростей т = т0 + 吃.I — твердое ядро.Течение в трубе бингамовской жидкости, подчиняющейся закону скоростей т = т0 + 吃.I — твердое ядро.Рис. 12.5.Рис. 12.5.
Рис. 12.4.
Рис. 12.4.
Течение в трубе бингамовской жидкости, подчиняющейся закону скоростей т = т0 + 吃.
I — твердое ядро.
Течение в трубе бингамовской жидкости, подчиняющейся закону скоростей т = т0 + 吃.
I — твердое ядро.
Рис. 12.5.
Рис. 12.5.
приближаются к параболам Пуазейля (уравнение (12.6)) и что расход Q в конце концов выражается законом Пуазейля
QQ冗工0a3 R _ Jlp@4一 4ц P 一 8p7 .冗工0a3 R _ Jlp@4一 4ц P 一 8p7 .(12.16)(12.16)
Q
Q
冗工0a3 R _ Jlp@4一 4ц P 一 8p7 .
冗工0a3 R _ Jlp@4一 4ц P 一 8p7 .
(12.16)
(12.16)
Если последнюю формулу применим к изученному течению, не обращая внимания на только что рассмотренную его геометрию, ТО МЫ ВЫЧИСЛИМ Кажущуюся вЯЗКОСТЬ |1а,
(12.17)(12.17)—364 p.
(12.17)
(12.17)
На - 1 _ 4рз + зр4，
где ^ = pa/2xol, причем |ха = оо при 0=1.
Изложенная теория Бингама прекрасно объясняет отклонения от течения Пуазейля, которые он наблюдал на ряде жидко-
Рис. 12.8. Расход Q в зависимости от градиента давления § для бингамовской жидкости.
Распределение скоростей в трубе для бингамовской жидкости.
стей, и тот факт, что необходим некоторый минимальный пере-
жидкостижидкостипад давления (6=1)】) для того, чтобы заставить эти течь.
жидкости
жидкости
обладаеттребуетсяобладаеттребуетсяБивязкая среда. Предположим, что среда двумя отчетливыми диапазонами вязкости, т. е. пусть
обладаеттребуется
обладаеттребуется
большее увеличение напряжения, чтобы обеспечить ее течение с низкими скоростями деформации, чем течение с высокими скоростями деформации; это может иметь место вследствие мгновенного изменения структуры при некоторой критической скорости сдвига. Допустим, что диаграмма сдвига состоит из двух наклонных линий
(12.18)(12.18)T=卩园，巧=卩~1，0< у < ур
(12.18)
(12.18)
T = 5 +卩(0 - u), s < v.
Здесь считается, что 卩1>卩.Интервал большой вязкости (卩，располагается вокруг оси трубы в области 0《г《с, но касательное напряжение т в трубе будет оставаться непрерывной функцией радиуса 尸，т. е. х = рг/21.
При малых давлениях p<p\ = 2til/a происходит простое тече-
(12.19)(12.19)ние Пуазейля
(12.19)
(12.19)
4 =(歩—产｝ Q=
4卩 1 %O|Ll [ /
Это продолжается до тех пор, пока 0<р< 1, если 0 снова обозначает величину, измеряющую падение давления
pa _ Р
При р> 1 развиваются две концентрические области течения с вязкостями |11 и ц и распределение скорости приобретает вид
0<г <с,(12.20)с《г & а,0<г <с,(12.20)с《г & а,
0<г <с,
(12.20)
с《г & а,
0<г <с,
(12.20)
с《г & а,
В статье (М a h n с k е Н. Е., Tabor W., A Simple Demonstration of Flow Type in Greases, Lubrication Eng., 11, № 1, 22—28 (1955)) авторы установили, что ламинарное течение некоторых смазок в цилиндрических трубах очень хорошо согласуется с предположением о диаграмме (рис. 12.5, а) зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига для бингамовской жидкости. Однако они обнаружили, что профиль скорости внутри так называемого «ядра» (для трубы 6W「《c) имеет небольшую кривизну аналогично тому, что имеет место для рассматриваемой в § 12.4 бивязкой среды. В данной статье читатель может также найти многочисленные ссылки на другие вязкие жидкости более общего вида.
где, как и раньше, |3=1/а = о/с. Профиль скорости представлен на рис. 12.9; пунктирная кривая A CD отделяет две ветви кривой скорости и. При р> 1 за единицу времени через трубу проходит объем
Q =-4）+ Зб]. （12.21）
Проведенное выше исследование, включающее диапазон повышенной вязкости （卩1）, которому отвечает область среды
Течение в трубе жидкости с двумя диапазонами вязкости.
вблизи оси трубы, является дальнейшим обобщением предположения Бингама. Вместо допущения об идеально жесткой части, не текущей ниже критического значения то, мы предположили, что в области 0《г《с среда также подвергается деформациям сдвига, даже если напряжения сдвига в ней еще не достигли точки разрыва 口，где вязкость падает от 卩i до 卜i.
При экструзии твердых тел для снижения трения и износа фильер используются густые смазки. В случае смазанной поверхности скорость и на стенках обращается в нуль только в смазке, а выдавливаемый твердый предмет скользит вдоль стенок, с конечной скоростью ис. Если затвердевшее вязкое вещество выдавливается через цилиндрическую фильеру, рабочая поверхность которой поддерживается смазанной, то скорость в тонком слое смазки толщиной 0 равна и = ис（а ——「）/6, а скорость сдвига равна у = —duldr = uJ6 = const. Так как касательное напряжение при г = а равно т—Гц = ра/21, то, если 卩，обозначающее вязкость смазки, предполагается
очень малым по сравнению с вязкостью твердого тела pti, мы должны иметь для скорости скольжения выражение
раб
Экструдируемое вещество будет деформироваться со скоростями
и =и ="。+命（一S），"。+命（一S），
и =
и =
"。+命（一S），
"。+命（一S），
так что вытесняемый за секунду объем материала составляет
8山/8山/八9, пр〃4проQ = n〃〃c+而■=—八9, пр〃4проQ = n〃〃c+而■=—Чем больше толщина 0 смазывающего агента и чем меньшей может быть его вязкость по сравнению с вязкостью 卩 формуемого изделия, тем больше может быть экструдировано твердого тела и тем большей будет скорость прохождения через фильеру.Чем больше толщина 0 смазывающего агента и чем меньшей может быть его вязкость по сравнению с вязкостью 卩 формуемого изделия, тем больше может быть экструдировано твердого тела и тем большей будет скорость прохождения через фильеру.12.5. Течение при степенной диаграмме сдвига. Течение некоторых сравнительно мягких тел в цилиндрической трубе может12.5. Течение при степенной диаграмме сдвига. Течение некоторых сравнительно мягких тел в цилиндрической трубе можетТечение жидкости в трубе приТечение жидкости в трубе прибыть изучено, если принять, что диаграмма сдвига у=/(т) имеет вид степенной функции. Хотя это уже было сделано в форме и = ст九,мы будем, однако, теперь предполагать, что закон сдвига выражается соотношениемu = + 孔〉1， (12.22)быть изучено, если принять, что диаграмма сдвига у=/(т) имеет вид степенной функции. Хотя это уже было сделано в форме и = ст九,мы будем, однако, теперь предполагать, что закон сдвига выражается соотношениемu = + 孔〉1， (12.22)включив в эту функцию линейный член с тем, чтобы получитьвключив в эту функцию линейный член с тем, чтобы получитьконечную вязкостьконечную вязкость
8山/
8山/
八9, пр〃4про
Q = n〃〃c+而■=—
八9, пр〃4про
Q = n〃〃c+而■=—
Чем больше толщина 0 смазывающего агента и чем меньшей может быть его вязкость по сравнению с вязкостью 卩 формуемого изделия, тем больше может быть экструдировано твердого тела и тем большей будет скорость прохождения через фильеру.
Чем больше толщина 0 смазывающего агента и чем меньшей может быть его вязкость по сравнению с вязкостью 卩 формуемого изделия, тем больше может быть экструдировано твердого тела и тем большей будет скорость прохождения через фильеру.
12.5. Течение при степенной диаграмме сдвига. Течение некоторых сравнительно мягких тел в цилиндрической трубе может
12.5. Течение при степенной диаграмме сдвига. Течение некоторых сравнительно мягких тел в цилиндрической трубе может
Течение жидкости в трубе при
Течение жидкости в трубе при
быть изучено, если принять, что диаграмма сдвига у=/(т) имеет вид степенной функции. Хотя это уже было сделано в форме и = ст九,мы будем, однако, теперь предполагать, что закон сдвига выражается соотношением
u = + 孔〉1， (12.22)
быть изучено, если принять, что диаграмма сдвига у=/(т) имеет вид степенной функции. Хотя это уже было сделано в форме и = ст九,мы будем, однако, теперь предполагать, что закон сдвига выражается соотношением
u = + 孔〉1， (12.22)
включив в эту функцию линейный член с тем, чтобы получить
включив в эту функцию линейный член с тем, чтобы получить
конечную вязкость
конечную вязкость
Рис. 12.13. Скорости и для закона скоростей …值+2印.Рис. 12.13. Скорости и для закона скоростей …值+2印.(12.26)(12.26)
Рис. 12.13. Скорости и для закона скоростей …值+2印.
Рис. 12.13. Скорости и для закона скоростей …值+2印.
(12.26)
(12.26)
при исчезающе малых напряжениях и скоростях сдвига (рис. 12.12, а). Материальные константы vQ и s имеют размерность скоростей сдвига, а 口——касательного напряжения.
Некоторые из мягких цветных металлов могут экструдироваться под давлением в форме круглых стержней из сосуда через отверстие твердой фильеры в диапазоне температур, в котором они поддаются обработке. Хотя
эти насадки обычно имеют на выходе слегка сужающуюся коническую форму, мы можем для простоты считать, что стержень образуется в короткой цилиндрической трубе длины I и радиуса а. Подставляя соотношения v =——du/dr, x = pr/2l в уравнение (12.22), снова вводя обозначение для безразмерной постоянной
и интегрируя изучаемое уравнение
翁(用(12.23)
находим, что скорость 〃，с которой материал проходит через трубу, равна
+ 齊［1一（守口，（12.24）
а объем экструдируемого в единицу времени материала составляет
Q = 2n j иг dr = т2й = ла3 + ：*)・(12.25)
о
Можно заметить, что наибольшая скорость на оси (г = 0) трубы "max И средняя СКОрОСТЬ
выражаются через полиномы, содержащие те же степени р, что и степени т/n в законе скоростей (12.22). Чем больше значение показателя 几,тем более спрямляется профиль скорости в своей центральной части. На рис, 12.13 проиллюстрирован случай 〃 = 3, V\ = 2v0 при трех различных давлениях, которым соответствует Р= 1, 2 и 3. Та часть мощности, которая затрачивается при прохождении материалом экструзионной трубы】)，равна
Г =32朋=2 叫2a?(噌 + ^^) • (12.27)
Течение в трубе при законе гиперболического синуса для скоростей. Эксперименты на растяжение2) ковких металлов с изменением скоростей сдвига в очень широком диапазоне от самых малых, встречающихся в долговременных испытаниях на ползучесть, до самых больших, которые создаются при высокоскоростных (ударных) испытаниях, показали, что при повышенных температурах зависимость скорости сдвига и от касательного напряжения т можно выразить законом гиперболического синуса
u = ssh 三， (12.28)
】)Поршень в экструзионном цилиндре, вынуждающий материал вытекать из отверстия, должен до того момента, как материал достигнет экструзионного насадка, дополнительно сообщить движущейся массе кинетическую энергию ла2P〃(我)2/2 и произвести работу деформирования среды, заключенной в сосуде, где создается давление. Последнюю можно грубо оценить как работу сжатия Wi, требуемую для преобразования цилиндрической болванки (содержимого сосуда, в котором создают давление) в цилиндрический стержень радиуса а. Будем считать, что это производится радиальным сжатием аг = П/=——ро, az=0 при скоростях натуральной деформации ©；•=& = =——8г/2=г/г. Поскольку смещаемый за единицу времени в радиальном направлении объем 2nrhr появляется в выдавливаемом стержне как объем п〃2〃，то находим
. г па?" Ай
% — г — 2nr2h ~ 2V，
где А = ла2, а V — объем сЬсуда сжатия V=nr2h. Средняя максимальная скорость сдвига и радиального сжатия равна v = 8r — 82 = Зег = ЗЛй/2У. Если диаграмма скорости сдвига (рис. 12.12) известна, то тогда определится средняя ордината максимального касательного напряжения T=tmax=Po/2, т. е. необходимое давление 〃о, и, таким образом, дополнительная мощность будет равна
Wx = AilpQ,
См. т. 1, стр. 472, см. также гл. 16.
впервые предложенным в 1928 г. Прандтлем (s и Т)при данной температуре являются материальными константами с размерностями скорости сдвига и касательного напряжения).
В последующих статьях Прандтль 】)замечает, что этот закон скоростей, выражающий общую зависимость скоростей деформаций от напряжений в твердых телах и жидкостях, может хорошо описывать течение в цилиндрической трубе сред, которые он называет нормально вязкими в отличие от тех, для которых Т = ЦУ.
Закон гиперболического синуса объединяет одной-единствен- ной функцией различные хорошо установленные факты, известные из наблюдений за общим поведением твердых тел и жидкостей в широком диапазоне температур. Он удовлетворяет тому логическому требованию, что выражается нечетной функцией, связывающей переменные и и t. Наконец, этот закон обеспечивает для крайне малых скоростей пропорциональность скоростей сдвига напряжению, а для весьма больших скоростей ——экспоненциальную зависимость между ними. Уравнение (12.28), разрешенное относительно т, выражается в виде
(i2-29)
и определяет вязкость среды
=(12.3。)
которая уменьшается с ростом касательных напряжений т независимо от знака последних. Кроме того, этот закон показывает, что, например, ковкие металлы характеризуются сравнительно узким идеально вязким диапазоном, когда напряжения и скорости сдвига очень малы
卩=^~ = const,(12.31)
а при сравнительно больших скоростях сдвига напряжения текучести т
—= 1п—(12.32)
Т1
I) Prandtl L., Fliessgrenze normal zaher Stoffe im Rohr, Z. angew. Math, and Meeh., 30, № 5—6, 169—174 (May 1950).
См. также очень интересную краткую заметку Прандтля： Prandtl L, Betrachtungen zur Rheologie, Physik. Bl., 5, № 4, 161—172 (1950).
логарифмически возрастают с увеличением скорости сдвига у — закон, который был впервые предложен и проверен для металлов еще Людвиком 9 в 1908 г.
Вычислим распределение скоростей и в цилиндрической трубе и объем Q вытекающей из трубы за единицу времени среды, для которой справедлив закон гиперболического синуса (12.28). Снова обозначая через р безразмерную постоянную
(12.33)(12.33)□—口а_%
(12.33)
(12.33)
p - 2tiZ -巧，
находим, что касательные напряжения
рг_ рарг_ ра(12.34)(12.34)
рг_ ра
рг_ ра
(12.34)
(12.34)
вызовут скорости сдвига
(12.35)
〃 = *chp —Ch%・〃 = *chp —Ch%・(12.36)(12.36)откуда после интегрирования получается распределение скорости
〃 = *chp —Ch%・
〃 = *chp —Ch%・
(12.36)
(12.36)
Максимальная скорость получается на оси трубы 厂=0,
〃max = *"(chp- 1).〃max = *"(chp- 1).(12.37)(12.37)
〃max = *"(chp- 1).
〃max = *"(chp- 1).
(12.37)
(12.37)
После вычисления средней скорости й в трубе находим, что объем вытекающей за единицу времени жидкости равен
(12.38)(12.38)Q =32" = 2ns歩(甯一體 + - pF
(12.38)
(12.38)
где, согласно равенству (12.33), постоянная 0 измеряет градиент давления р/1.
Функцию от р в скобках можно выразить в виде степенного ряда следующим образом ):
Оба указанных выражения для объема Q, вытекающего через трубу, записываются в виде
Q =nm"=П淤0伸（做,Q =nm"=П淤0伸（做,(12.40)(12.40)
Q =nm"=П淤0伸（做,
Q =nm"=П淤0伸（做,
(12.40)
(12.40)
определяя, таким образом, Q или среднюю скорость истечения й через безразмерный параметр £ служащий мерой падения давления р/1. Таким образом, функция г|)(§) выражается в виде
2(6) = 2(・.) (12.40а)
где скобками обозначено выражение, стоящее в скобках формулы (12.38).
О /0。30050 070 0900О /0。30050 070 0900Рис. 12.14. Закон гиперболического синуса для скоростей и = и】sh (т/ti).Рис. 12.14. Закон гиперболического синуса для скоростей и = и】sh (т/ti).
О /0。30050 070 0900
О /0。30050 070 0900
Рис. 12.14. Закон гиперболического синуса для скоростей и = и】sh (т/ti).
Рис. 12.14. Закон гиперболического синуса для скоростей и = и】sh (т/ti).
Подводя итог, мы можем теперь, пользуясь предложенным Прандтлем способом, воспроизвести на двух чертежах при помощи трех кривых, ведущих себя сходным образом, закон гиперболического синуса для скоростей и функцию 2(0，，определяющую расход Q жидкости через трубу (рис. 12.14, 12.15). Слегка изменяя член перед рядом, чтобы получить соответствие с законом Пуазейля, мы можем, полагая 卩=(dt/du)工=o=ti/s, пере^ писать этот ряд следующим образом:
QUDS'S©)'中(6)=1 + I- + 240 + тАоо + * • • •(12・41)
При малых 6, г е. при малых градиентах давления р〃，это выражение приближается к формуле Пуазейля для расхода Q (равенства (12.7)), а распределение скорости и становится параболическим (так как ch(pr/a)——1 ^г212с^),
Рис. 12.15. Кривые для функции -ф (|3), определяющей расход среды.Рис. 12.15. Кривые для функции -ф (|3), определяющей расход среды.как для течения обычной вязкой жидкости. При увеличении градиента давления, а значит, и р происходит относительное изменение формы установившегося распределения скоростей течения 无：кривые скорости в интервале своего определения все более выпрямляются, принимая более крутые наклоны вблизи стенки трубы. Это становится особенно заметным, если построить графики отношенр1я скорости и к средней скорости й при различных значениях §. На рис. 12.16, рис. 12.17 показано несколько профилей скорости в двух различных масштабах для различных значений £ а на рис. 12.18, 12.19 изображено изменение величины В с объемным расходом материала Q.
Рис. 12.15. Кривые для функции -ф (|3), определяющей расход среды.
Рис. 12.15. Кривые для функции -ф (|3), определяющей расход среды.
Заметим, что рассмотренные ранее частные виды функций скоростей сдвига и = /(!；), часть которых была независимо предложена другими исследователями,
можно так или иначе связать с функцией v = v{ sh(r/Ti) или истолковать как приближенные выражения для нее, охватывающие ограниченный диапазон изменения переменных т и и. Это в равной мере можно сказать о бингамовском законе скоростей сдвига, о диаграмме для бивязкой жидкости и о диаграмме степенного закона сдвига, которые рассмотрены выше. Обозначим две материальные константы, характеризующие диаграмму Бингама (уравнение (12.8)), при помощи индекса нуль
т = т0 + Цо^,(12.43)
а индекс 1 припишем к функции гиперболического синуса
(12.44)(12.44)u = ssh (言卜
(12.44)
(12.44)
Будем различать соответствующие безразмерные постоянные ра %ра %
Распределение скоростей и в трубе вРаспределение скоростей и в трубе вРис. 12.17.случае, когда для скоростей имеетРис. 12.17.случае, когда для скоростей имеетместо закон гиперболического синуса.место закон гиперболического синуса.Рис. 12.18.Рис. 12.18.Р и с. 12.19.Р и с. 12.19.
Распределение скоростей и в трубе в
Распределение скоростей и в трубе в
Рис. 12.17.
случае, когда для скоростей имеет
Рис. 12.17.
случае, когда для скоростей имеет
место закон гиперболического синуса.
место закон гиперболического синуса.
Рис. 12.18.
Рис. 12.18.
Р и с. 12.19.
Р и с. 12.19.
Зависимость средней скорости й и расхода Q от градиента давления в слу~чае закона гиперболического синуса для скоростей.
относя их к первой и ко второй функциям соответственно. Допустим также, что мы вычислили кривые скорости и для этих двух случаев:
〃=舞(1-/№。(1+目-2],吁智(ch М-ch*)'
(12.46)
(12.47)
воспользовавшись уравнениями (12.12) и (12.36) и соответствующими расходами Q, предполагая, например, заданным градиент давления р//, который
Рис. 12.20. Сопоставление трех законов скоростей: ОР соответствует
закону V
Ui sh — ; OQP —
6
ской жидкости; • OSP —
с двойной
бингамов- жидкости
вязкостью.
определяет некоторое значение максимального касательного напряжения т=та на стенке трубы 厂=〃：
% =瑞=5仇=T。/(12.48)
Через это значение выражается соответствующее значение скорости сдвига иЛ = и\ sh(ra/Ti) на стенке трубы.
Обращаясь к рис. 12.20, изображающему диаграмму сдвига и = sh(t/ti), проведем теперь касательную PQ к ней в точке P(va, та) и будем рассматривать ординату OQ=m как предел текучести, а линию QP — как характеризующую жидкость Бингама прямую (уравнение (12.8), обладающую наклоном цо- Тогда при заданном давлении р, приводящем к тому же касательному напряжению та и той же скорости сдвига %, мы мо-
жем сопоставить профили скоростей, даваемые уравнениями (12.46) и (12.47) для этих двух типов сред, и найти, что они сходны по форме. Действительно, мы можем вычислить значения двух материальных констант цо и т0, входящих
в уравнение (12.46), из условия, чтобы прямая QP на рис. 12.20 была касательной к кривой v = vi sh(r/Ti) в точке P(va, та)】).
1) Если мы для краткости обозначим
01
то получим
n = shg
(12.48а)
(12.486)
и найдем, что две материальные константы для бингамовской жидкости, если их подставить в соотношение для среды Прандтля (в окрестности ранее выбранных значений gun), даются выражениями
^ = 1-県(38в)
Аналогично, проводя ломаную линию OSP на рис. 12.20, касающуюся в с“一 '“ u = ssh(i/ii), можно построить диа
приближающую предыдущую кривую, (12.48а) и (12.486)) для этих двух
начале О и в точке P(va, та) кривой грамму сдвига для бивязкой жидкости, получив (с использованием уравнений вязкостей выражения
% shg
% th 自
(12.49)
чему отвечает критическое касательное напряжение в точке S, равное
(12.50)(12.50)т chjshg/』
(12.50)
(12.50)
S @ ch § — 1
Можно также рассмотреть функцию типа введенной в § 12.5 (уравнение (12.22)), и после подбора произвольных характеризующих ее трех материальных констант, включая и показатель п степенного члена, можно добиться хорошего приближения между ней и кривой гиперболического синуса даже в гораздо большей мере, чем это было возможно • для двух предыдущих приближенные функций.
Некоторые из указанных подробностей, по-видимому, будут полезны для составления мнения о многочисленных прежних попытках, которые были предприняты с целью ввести новые функции течения. Мы можем утверждать, ито с этой точки зрения закон гиперболического синуса охватывает наиболее общим образом многие частные законы течения, которые были независимо предложены исследователями для истолкования законов истечения из труб сред, вязких в обобщенном смысле.
Измерение больших вязкостей. Среди многочисленных методов измерения вязкости, часть из которых требует простых, а часть более разработанных средств, здесь можно упомянуть лишь несколько пригодных для определения очень больших вязкостей (в абсолютных единицах {)). Для абсолютного определения вязкости необходимо, чтобы испытание допускало управление касательными напряжениями т и скоростями сдвига u = dy/df, основанное на количественном измерении величин т и и; в общем случае определение 卩
—dv
а согласно (12.48)
(12.48г)(12.48г)仇TTM
(12.48г)
(12.48г)
Эти выражения можно еще упростить в зависимости от того, для малых или больших значений Е н п желательно получить диаграммы сдвига. Таким образом, формулы, которые были выведены для бингамовской жидкости, оказываются или могут быть теперь истолкованы как приближенные выражения, справедливые 6 ограниченном интервале, принадлежащем области применимости закона гиперболического синуса v^vi sh(r/ri).
I) См. книги стандартов ASTM (Американское общество испытания ма* териялов), описывающие методы измерения вязкости и их спецификацию.
производится по достоверно установленной в испытаниях функции т=/(у). Коэффициент вязкости 卩 как отношение касательного напряжения к скорости деформации сдвига в технической системе единиц (ТС) (к?(вес)—единица силы, см — единица длины, сек — единица времени) имеет размерность (кг • см~2 • сек) (ТС). Среда имеет вязкость, равную единице:
1 кг • см~2 • сек (ТС),
если при сдвиге двух параллельных плоскостей на 1 сл/ за 1 се&, отстоящих на расстоянии 1 см, в ней возникает касательное напряжение, равное 1 кг/см2. Эта единица пока еще не получила названия (в динамике жидкостей и газов предпочитают определять единицу вязкости как 1 (^г • м~2 • сек)).
В физической системе единиц СГС (сантиметр, грамм (масса), секунда) размерность единицы вязкости получается делением касательного напряжения, равного единичной силе в одну дину (г (масса) • см • сект2), отнесенной к 1 см2 площади, т. е. 1 дн/см2, на единичную скорость сдвига за секунду. Эта единица получила название один пуаз (в честь Пуазейля):
1 пуаз = 1 (дн/см2) (сек) = 1 а • сж"1 • сек^1 (СГС).
Так как 1 ка веса в технической системе (ТС) равен произведению 1000 а (масса) (СГС) на ускорение силы тяжести g = 981 см/сек2, т. е. 1 кг (вес) (ТС) =981 000 (г (масса) • см • • сект2) = 981 000 дн (СГС),то мы видим, что техническая единица вязкости равна 1 кг • см~2 • сек (ТС) = 981 000 (дн • см~2 • се&)= = 981 000 пуаз (СГС), или примерно одному миллиону пуазов.
1002,89 • IO' 0,2891002,89 • IO' 0,289Вязкость 卩 для различных сред иллюстрируется следующими числами:
100
2,89 • IO' 0,289
100
2,89 • IO' 0,289
Стекло (при температуре отжига)
1013
Асфальт (сильно изменяется)
Медь (при 200° С и растягивающем
1010-Ю12
напряжении 450 к?[см?)
Сталь (0,35 % С) (при 454° С и растя
9-Ю17
гивающем напряжении 527 кг/см2)
Верхняя земная кора (50—60 км тол
1018
щины)
5 -1022
0 1,83-10' 1,83
Вода при температуре, ℃ Вязкость 卩，(кг/см2) (сек) (ТС) сантипуазы (СГС) (0,01 пуаз)
20 1,03-10~8 1,03
Вязкость 卩,пуазы
Для абсолютного определения вязкости идеально вязких сред （т=卩и） применяется формула Стокса, относящаяся к падению шарика, согласно которой сила вязкого сопротивления, действующая на сферу радиуса г, падающую с постоянной скоростью и, равна
D = блцги.
С другой стороны, эта сила равна разности веса сферы в вакууме и при помещении в вязкую жидкость, или
D = （4/3） "3g （р 一 р）
где р — плотность g- = 981 см/сек2.где р — плотность g- = 981 см/сек2.падающей сферы, рх — плотность жидкости, а
где р — плотность g- = 981 см/сек2.
где р — плотность g- = 981 см/сек2.
Для измерения больших вязкостей таких сред, как твердые смолы, асфальты и т. п., можно применять вискозиметры с падающим или вращающимся цилиндром. В первом, приписываемом Почеттино!）, используется
Рис. 12.21. Падающий цилиндр.Рис. 12.21. Падающий цилиндр.Рис. 12.22. Выпуклый мениск.Рис. 12.22. Выпуклый мениск.
Рис. 12.21. Падающий цилиндр.
Рис. 12.21. Падающий цилиндр.
Рис. 12.22. Выпуклый мениск.
Рис. 12.22. Выпуклый мениск.
длинный тяжелый цилиндр, вставляемый в вертикальном положении в подлежащий испытанию вязкий полутвердый материал, медленное движение которого происходит под действием либо собственного веса, либо перепада давлений （pi и pg ——давления над и под металлическим плунжером и вязкой средой, рис. 12.21）, либо того и другого вместе. Если 丫。一удельный вес среды, yi — удельный вес плунжера, р — давление в среде в горизонтальной плоскости на глубине х, то для равновесия кольцеобразного элемента среды требуется, чтобы
否F =（需 一Y。）a В团）
i） Г а т ч е к Э., Вязкость жидкостей, ОНТИ, М. — Л , 1935.
где т ——касательное напряжение при данных лих. Когда тяжелый плунжер падает подобно тому, как показано на рис. 12.21, вычисление его вертикальной скорости дает
+ Yo)+ Yo)(12.52)(12.52)儿一出 (Y1 一 Yo)出 _ b
+ Yo)
+ Yo)
(12.52)
(12.52)
+ —2Д-*
(b и a ——наружный и внутренний радиусы кольцевого пространства, наполненного подлежащей испытанию средой). В случае очень вязкой среды можно положить pi = p2=0 и вычислять 卩 в предположении, что плунжер падает только под действием собственного веса. Этот метод является удобным средством измерения вязкостей порядка 10б——109 пуаз.
Видоизменение этого метода, известное под названием испытания с выпуклым мениском или вискозиметром (рис. 12.22), заключается в том, чтобы дать столбу вязкого материала высотой / в стеклянной трубке медленно оседать под действием собственного веса или добавочного перепада давления (pi——р2). Нижняя поверхность среды при этом постепенно выпучивается, превращаясь в параболоид вращения; наблюдение за получающимся мениском можно вести с помощью катетометра. Если а — радиус трубки, Vo — удельный вес среды, то касательное напряжение т равно
宀产 +Y%,(12.53)
и из уравнения d〃/dr=T/|i находится распределение скорости и
5(包产+Y。)(即.54)
Наблюдая опускание мениска при г=0 со скоростью 〃о, получаем выражение для вязкости
卩=(包 Р2 + 丫0)_а •(12.55)
Недостаток места не дает возможности рассказать о многочисленных модификациях этих методов измерения изменений во времени течения в капиллярных трубках, которые послужили основой для построения разнообразных вискозиметров с использованием собственного веса опускающихся, а также поднимающихся столбиков средн】).
С другой стороны, можно использовать вращающийся цилиндр, находящийся в вязком материале кольцевой формы и поворачиваемый вокруг своей оси постоянным моментом, создающим установившееся вихревое вязкое те- 〃ен〃е, и вычислять вязкость из равенства
(12.56)
где а — радиус цилиндра; b — радиус трубы, заполненной средой на длине Z; 〃1 ——скорость на боковой поверхности вращающегося цилиндра； М ——постоянный момент.
1) Rhodes Е. О., Volkmann Е. W., Barker С. Т., New Viscosimeter for Bitumens Has Extended Range; Koppers Products Company, Pittsburgh, Pa. (Eng. Neus.-Record, № 21, 1935). Авторами используется метод всплывающих воздушных пузырьков, также приписываемый Почеттино (Р о с h е te 11 п о, Nuovo cimento, ser. 6, 8 and 77, 1914).
Можно поддерживать нагруженным постоянной нагрузкой Р тонкий цилиндр, вставленныйвдоль осн。в среду, заполняющую трубку радиуса b (рис. 12.23). Под действием этой нагрузки стержень перемещается с постоянной скоростью 〃а, создавая касательное напряжение та, и вязкость среды определяется из соотношения
"一 2冗1йа"一 2冗1йа(12.57) i)(12.57) i)где а ——радиус; / ——длина, на которую вставлен стержень; P=2naha. Применим эту формулу к тонкой цилиндрической игле, которая под действием собственного веса может постепенно проникать в вязкую среду. Вместо / подставим переменную глубину N, на которую проникла игла, а для скорости запишем ua — dz/dt. Тогда из уравнения (12.57) получим, что глубина погружения г иглы в идеально вязкой среде должна увеличиваться как квадратный корень из времени玛叵. (12.58)С другой стороны, для среды, в которой скорость сдвига имеет вид степенной функции от касательного напряжения т,u = ui 信『， >1, (12.59) используя равенства |т| = таа/г, и =——du/dr, из уравнения黑(*) SEO)где а ——радиус; / ——длина, на которую вставлен стержень; P=2naha. Применим эту формулу к тонкой цилиндрической игле, которая под действием собственного веса может постепенно проникать в вязкую среду. Вместо / подставим переменную глубину N, на которую проникла игла, а для скорости запишем ua — dz/dt. Тогда из уравнения (12.57) получим, что глубина погружения г иглы в идеально вязкой среде должна увеличиваться как квадратный корень из времени玛叵. (12.58)С другой стороны, для среды, в которой скорость сдвига имеет вид степенной функции от касательного напряжения т,u = ui 信『， >1, (12.59) используя равенства |т| = таа/г, и =——du/dr, из уравнения黑(*) SEO)Рис. 12.23. Проталкивание иголки через вязкую среду.Рис. 12.23. Проталкивание иголки через вязкую среду.находим, что скорость погружения иглы иа равнанаходим, что скорость погружения иглы иа равна『吕俘停П岬）『吕俘停П岬）
"一 2冗1йа
"一 2冗1йа
(12.57) i)
(12.57) i)
где а ——радиус; / ——длина, на которую вставлен стержень; P=2naha. Применим эту формулу к тонкой цилиндрической игле, которая под действием собственного веса может постепенно проникать в вязкую среду. Вместо / подставим переменную глубину N, на которую проникла игла, а для скорости запишем ua — dz/dt. Тогда из уравнения (12.57) получим, что глубина погружения г иглы в идеально вязкой среде должна увеличиваться как квадратный корень из времени
玛叵. (12.58)
С другой стороны, для среды, в которой скорость сдвига имеет вид степенной функции от касательного напряжения т,
u = ui 信『， >1, (12.59) используя равенства |т| = таа/г, и =——du/dr, из уравнения
黑(*) SEO)
где а ——радиус; / ——длина, на которую вставлен стержень; P=2naha. Применим эту формулу к тонкой цилиндрической игле, которая под действием собственного веса может постепенно проникать в вязкую среду. Вместо / подставим переменную глубину N, на которую проникла игла, а для скорости запишем ua — dz/dt. Тогда из уравнения (12.57) получим, что глубина погружения г иглы в идеально вязкой среде должна увеличиваться как квадратный корень из времени
玛叵. (12.58)
С другой стороны, для среды, в которой скорость сдвига имеет вид степенной функции от касательного напряжения т,
u = ui 信『， >1, (12.59) используя равенства |т| = таа/г, и =——du/dr, из уравнения
黑(*) SEO)
Рис. 12.23. Проталкивание иголки через вязкую среду.
Рис. 12.23. Проталкивание иголки через вязкую среду.
находим, что скорость погружения иглы иа равна
находим, что скорость погружения иглы иа равна
『吕俘停П岬）
『吕俘停П岬）
Если снова для иа подставить ua — dz/dt и для та значение та = W/2naz, то такое испытание в пенетрометре должно давать результат вида
(12.62)(12.62)
(12.62)
(12.62)
')Обращаясь к рис. 12.33, находим (d/dr) (гс) =0, т—[х(ди/дг) = —та (а/г), 〃="//卩)In (匕〃)，％=(%。/卩)In 他/а), 〃=〃а[1п 他〃)九и 他/а)]; следовательно.
a In (b/a)a In (b/a)^)r^a^)r^a卩4"a In (匕/а)卩4"a In (匕/а)尸2冗0/尸2冗0/
a In (b/a)
a In (b/a)
^)r^a
^)r^a
卩4"
a In (匕/а)
卩4"
a In (匕/а)
尸
2冗0/
尸
2冗0/
откуда следует соотношение (12.57).
Мы видим, что глубина проникновения г при действии постоянного веса W должна возрасти как l/(n+1) степень времени f, а за равные времена — как и/(и4-1) степень веса 取】).
Приведенные выше схемы испытаний для измерения величины вязкости могут быть основаны на иных (отличных от линейных) законах скоростей, для чего требуется несколько более сложный анализ.
Кручение круглого стержня в предположении закона гиперболического синуса для скоростей. Законы деформирования твердых тел при повышенных температурах можно изучать при помощи испытаний тонких стержней на кручение или изгиб при различных скоростях закручивания или изгибания. В качестве последнего примера обратимся к рассмотрению кручения круглого стержня с различными скоростями закручивания, предположив, что для материала справедлив закон гиперболического синуса. Обозначим через 0 угол относительного закручивания двух сечений, отстоящих друг от друга на единицу длины, и через 0 — скорость закручивания. Скорость сдвига и на расстоя* нии г от оси запишем как
v = r0 = ^= v1Sh^-,(12.63)
а из выражения для касательного напряжения,
т = 0 1П& + /1 +营)(12.64)
определим распределение напряжений т в круглом стержне:
т % In [器 + /1 + (訪У ] •(12.65)
Так как скорости сдвига и в любом сечении пропорциональны г, то функция т=/(г) равна функции, обратной гиперболическому синусу:
T = Ti arsh (%〃0坦). а
Момент Л4 = 2л J тг dr, который остается постоянным при дан* о
ной скорости закручивания или постоянной максимальной ско*
Эквивалентное этому выражение получил Мак (Mack С., Rheology of Bituminous Mixtures Relative to the Properties of Asphalts, Proc. Assoc. Asphalt Paving Technologists, v. 13, pp. 194—255, 1942). Когда показатель n=l, в уравнении (12.62) возникает неопределенность вида 0/0, после раскрытия которой находим, что в согласии с уравнением (12.58) z = const К^".
рости сдвига при r = Q, u = % = a8 = const, с использованием сокращенных обозначений
自=許，" = ^ = shW(12.66)
выражается через 三 формулой
М = ^- [3& s№ 自-cl? J + 3ch 自 - 2],(12.67)
а через 刀 ——формулой
m =m或[з In (n + ]AП硒 +(2-"学+"2 - 2]. (12.68)
Когда g и п малы и п =邑 мы получаем для момента М выражение
М = (1/2)冗马。3自=(1/2)冗％炉，(12.69)
равное соответствующему выражению для вязкого стержня, материал которого деформируется согласно линейному закону т =卩и,卩=Ti/ui=ta/Ua = const. Когда величины Е и т] велики, момент равен
М = (2/3) таа\(12.70)
поскольку распределение касательных напряжений т = /(г) все более и более приближается к тому, которое имело бы место при кручении идеально пластичной средь、а именно r=ra = const (независимо от г). Таким образом, закон деформирования, определяемый уравнением (12.63), перебрасывает мост через интервал, отделяющий указанные два простых случая кручения, 6 которых касательное напряжение равно либо 工=工。「/@, либо т=та=const.
Глава 13
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Теория температурных деформаций и напряжений. Детали машин, испытывающие напряжения от внешних нагрузок, могут подвергаться действию температурных напряжений, если они работают при повышенных температурах. С возрастанием рабочих температур в различных промышленных объектах —— парогенераторах, паровых и газовых турбинах, сосудах, применяемых химической промышленностью, и кубах для перегонки нефти и т. д. — стало необходимым рассчитывать температурные напряжения, создаваемые в валах маховиков, кожухах, стальных трубах, по которым течет горячая жидкость, и т. п. Для определения этих напряжений могут потребоваться различные методы анализа в зависимости от того, остаются ли деформации, вызываемые температурными напряжениями в телах или их частях, чисто упругими и носят обратимый характер или возникают пластические деформации.
Сознавая, что удельный объем металлов может изменяться под влиянием: (1) упругих деформаций, (2) температурного расширения, (3) внезапных аллотропных превращений кристаллической структуры или (4) постепенных необратимых изменений структуры, вызываемых холодной или горячей пластической обработкой, и что механические постоянные твердого тела ——модули упругости, коэффициент теплового расширения, вязкость и предел текучести ——изменяются с температурой далеко не простым образом, следует ясно представлять себе, что расчет температурных напряжений в телах, когда температура изменяется в широком диапазоне, выдвигает сложные проблемы【)，в особенности если температурное поле носит переходный характер, т. е. может очень быстро изменяться со временем, как, например, в
По-видимому, будет поучительно вернуться к § 1.7 и вспомнить общий характер изменения модуля упругости Е, температурного коэффициента линейного расширения а и произведения Еа в зависимости от гомологической температуры (отношения абсолютной температуры Т к температуре плавления Тт), изображенного для алюминия и железа на рис. 13.1, 13.2, а также вспомнить изменение кривой «напряжение ——деформация», охватывающей переход от упругого к пластическому диапазону деформаций, и изменение предела текучести в зависимости от температуры (см. пример для никелевой стали, приведенный на рис. 13.3, 13.4).
Рис.
13.1. Изменение с
модуля упругости Е и коэффициента расширения a температурой (для алюминия).
0 5 0 5 0 у 2 Z 厶 Z zwp2e~EHA6 ш
^ ZWWQ/EHAad 5X5 4 3 2 / о-
о О 0,20,4 Q6
Т
О 200 400 ℃
Рнс. 132 Изменение Е, a, Fa и а0 с температурой (для железа)(1 фунт!дюйм2 = 0,0703 кг/см2).
70203040506070 80^ ~г
Рис. 13.3. Диаграммы «напряжение — деформация» для никелевой стали при различных температурах (по Макветти) (1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2).
Рис. 13.4. Предел текучести для никелевой стали при различных температурах (по Макветти).
таких хороших проводниках тепла, как металлы. Если температурные напряжения действуют короткое время и имеют сравнительно большую величину, то это приводит к случаям тепловых ударов, когда часть поверхности тела внезапно подвергается интенсивному кратковременному нагреву в сравнительно тонком слое. Хотя в этих случаях температурные напряжения могут быть определены также и для пластичных сред, у которых предел текучести уменьшается с температурой, однако в нагретом теле, нагружаемом непрерывно в течение большого периода времени, становятся важными вязкие составляющие деформации, и приходится рассматривать остаточные деформации, вызванные ползучестью и релаксацией напряжений. Что касается влияния внезапных изменений удельного объема, связанных с аллотропными превращениями кристаллической структуры, когда температура проходит через соответствующий характеристический интервал (что часто порождает вследствие быстрого охлаждения или закалки остаточные напряжения в материале), то их учесть трудно 1).
Общая теория температурных деформаций и напряжений в изотропных упругих средах для широкого диапазона изменения
Наиболее важным примером является превращение a-железа в у-же- лезо, происходящее в стали при температуре около 900° С и вызывающее изменение объема, величина которого зависит также от скорости изменения температуры. Техническое армко-железо при нагревании вплоть до 900° С и переходе через эту температуру обнаруживает внезапное уменьшение удельного объема на 0,004, а при охлаждении, когда проходится температура 905°С, — увеличение на 0,006, или примерно на 1/2%. Мгновенные изменения объема этого порядка величины при охлаждении должны рассматриваться как большие, даже если их сравнивать с уменьшением объема вследствие полного температурного сокращения в стали, которое при падении температуры от 900° С до комнатной (20° С) составляет 0,0375. Таким образом, при превращении у а объемное увеличение составляет менее одной шестой названного полного сокращения.
Среднее изменение объема вследствие температурного расширения, при* ходящееся на один градус Цельсия, составляет около 0;0375 : 880=0,000043, или лишь 1/140 внезапного изменения объема, вызванного уапревраще- нием. Это внезапное увеличение объема при охлаждении (закалке) волной проходит по телу, в котором температура быстро падает по направлению к- охлаждаемой поверхности. Поэтому можно представить себе сложные эффекты, вызывающие температурные напряжения, которые будут накапливаться в теле во время периода охлаждения и в конце концов станут остаточными ввиду также того обстоятельства, что чисто упругие изменения объема во внешних частях компактного тела (сферы), которое было охлаждено до комнатной температуры, имеют порядок 0,001 (напряжение о=5270 кг/см2 при одноосном растяжении стали с модулем упругости F=2 • 106 кг/см2 и коэффициентом Пуассона v=0,3 создает объемное расширение (1—2v)o/£, как раз равное 0,001). В то же время объем в самых внутренних, еще горячих частях тела из-за v-a-превращений возрастает на 0,006, создавая таким образом, большие растягивающие напряжения в холодных частях тела
температур (не учитывающая остаточные деформации или необратимые изменения объема) должна быть более сложной, чем линейная теория чисто упругих деформаций, поскольку она должна основываться на общем уравнении состояния в предположении, что удельное тепловое расширение объема и модули упругости и сдвига являются нелинейными функциями температуры 0 (и среднего напряжения о). При ограничении, что температура изменяется в сравнительно узком диапазоне, была развита удобная для работы теория, в которой коэффициент теплового расширения и модули упругости считаются не зависящими от 0 и для них принимаются некоторые средние постоянные значения. Обозначая через а температурный коэффициент линейного расширения, предположим, что тепловое объемное расширение мало ——порядка упругого расширения объема ——и что температура, выражаемая ^ункниеВ В = /(х, у, 2, %) (/ — время), отсчитывается для удобства от окружающей температуры, равной нулю. Тогда, используя прямоугольные координаты %, у, z。учитывая, что температурное расширение объема пропорционально увеличению температуры 3а0, для деформаций материального элемента, подвергающегося также действию напряжений ах, 0切 az, т^г,...» имеем
(13.1)(13.1)% = 祭=备(о* - w% - w”) + 叫 ・・・， dg 0т) т^
(13.1)
(13.1)
а для объемного расширения находим
(13.2)(13.2)£ = % + % + % =与更 9% + % + “) + 3а0,
(13.2)
(13.2)
где Е, n， U — компоненты смещения. Разрешая эти равенства относительно напряжений, получаем
0т) dg I vs —(1 + V)а01
G儔G儔，而,—「
G儔
G儔
Если подставить равенства (13.3) в уравнения равновесия (4.55), записанные в компонентах напряжения, для компонент смещения I, т], G получаются три дифференциальных уравнения равно
весия:весия:
весия:
весия:
(13.4)(13.4)(1 - 2v)纯 + 窮= 2(1 + w)a票,(1 -2v) Ат]+-^- = 2(1 +w)a 芻,(l-2v)戈 + 絹= 2(l+v)a 碧.
(13.4)
(13.4)
При этом объемное расширение £ должно удовлетворять уравнению
Aё・(13.5)
Применяя еще раз оператор А = д/дх2 + д2/ду2 + д2/д^ к уравнениям (13.4), можно исключить из них 8, получив
m(口，"击(需需，謂.(13.6)
Вторая запись уравнений (13.4), соответствующая уравнениям (4.57), такова:
33тт+ An+ An33+ 丛+ 丛-Ез -£■-Ез -£■о - 2 о о а оо - 2 о о а о^ -^理^剪①^ -^理^剪①(13.7)(13.7)
3
3
т
т
+ An
+ An
3
3
+ 丛
+ 丛
-Ез -£■
-Ез -£■
о - 2 о о а о
о - 2 о о а о
^ -^理^剪①
^ -^理^剪①
(13.7)
(13.7)
дённый им компоненты 2(%, У, z)：дённый им компоненты 2(%, У, z)：S дх * ^ dy * dz *S дх * ^ dy * dz *(13.9)(13.9)
дённый им компоненты 2(%, У, z)：
дённый им компоненты 2(%, У, z)：
S дх * ^ dy * dz *
S дх * ^ dy * dz *
(13.9)
(13.9)
причем среднее нормальное напряжение о= (1/3)(取 + “ + ⑴ удовлетворяет уравнению
A。=-肃为№(13.8)
Мел ан 1) в Вене опубликовал недавно красивое решение предыдущих дифференциальных уравнений, выраженное через вве
потенциал температурных смещений, представив смещения как производные некоторой функции
что для объемного расширения дает соотношение
8 =8 =需+ 需 +•& = a5需+ 需 +•& = a5(13.10)(13.10)
8 =
8 =
需+ 需 +•& = a5
需+ 需 +•& = a5
(13.10)
(13.10)
После подстановки этих выражений в три дифференциальных уравнения (13.14) получаем
! 0% ' Оу ' 0之丿— 1 — v \ дх * ду，dz /
соответственно и видим, что потенциал смещений 屮 должен
удовлетворять уравнению
(13.11)(13.11)А .(1 + V)а п
(13.11)
(13.11)
А 屮=-— 0,
*1 — v
где постоянная интегрирования по необходимости исчезает. Когда решение этого уравнения известно, соотношения (13.1) и (13.3) для компонент напряжения и деформации принимают симметричный вид:
■2G (需-a屮)'%z = 2G -^, % = 26(穿一А屮)，％ = 2G 嘉， (13.12)
力=2G (書一a中)，u = 2G^"
ии
и
и
ду dz xzx dz дх 丫也 дх дуду dz xzx dz дх 丫也 дх ду(13.13)(13.13)
ду dz xzx dz дх 丫也 дх ду
ду dz xzx dz дх 丫也 дх ду
(13.13)
(13.13)
6 упруго несжимаемом твердом теле (v= 1/2) объемное расширение будет чисто тепловое:
8 = За9.(13.14)
При этом напряжения равны
o* = o + 2G(% —аВ),・・.，т^ = GyyZi ...,(13.15)
а компоненты смещения находятся из дифференциальных уфав-
нений
, 1 до08
纯 1 G，
а ду »(13•⑹
, 1 до08
纯+g % =a庆，
в то время как
Ла = — 4GaA0.
Температура в этих уравнениях рассматривается как заданная функция 0 = f(х, у, z). Однако в массивных телах, где подъем или понижение температуры происходит посредством постепенного прогрева или охлаждения через их поверхность, или в металлических деталях машин, представляющих собой хорошие проводники тепла, в которых температура может быстро изменяться со временем, на первом шаге вычисления температурных напряжений может понадобиться найти то неизвестное наиболее неблагоприятное неустановившееся распределение температуры /(%, у, z, /), при котором температурные напряжения будут принимать максимальные значения ^. Другими словами, сначала требуется выразить в аналитической форме в зависимости от координат и времени распределение температуры 0 на основе решения уравнения теплопроводности (уравнение Фурье)
需=寿加， (13.17)
при заданных граничных условиях для потока тепла (здесь k — коэффициент теплопроводности; с。и 丫。一удельные теплоемкость и вес материала). Предполагая, что нагретое тело окружено средой с более или менее однородной температурой и что последняя отсчитывается от этого постоянного значения, обычно принимают в качестве теплового граничного условия на поверхности тела, что количество тепла, теряемое вследствие теплоотдачи через единицу площади поверхности за единицу времени ——kdQldn пропорционально перепаду температур между выделяющим тепло телом и окружающей его средой, или что на поверхности выполняется условие
где п ——направление внешней нормали к поверхности, % ——константа теплопередачи).
При установившемся, не зависящем от времени распределе
нии температуры в теле имеем
0.0.鉀8020020 =
0.
0.
G%20у2。之2 —
Поэтому объемное =(%)⑸+ % + j) ЛапласаПоэтому объемное =(%)⑸+ % + j) ЛапласаАе = 0,Ае = 0,Да = 0,Да = 0,расширение £ и среднее напряжение о= в упругой среде удовлетворяют уравнению
Поэтому объемное =(%)⑸+ % + j) Лапласа
Поэтому объемное =(%)⑸+ % + j) Лапласа
Ае = 0,
Ае = 0,
Да = 0,
Да = 0,
так же как и в теле с однородной температурой 】). Если
= w(o* + %)-EaB,(13.18)
то соотношения между напряжениями и деформациями упрощаются и приводятся к двумерному виду
е^= 2^-[(1 -v)qx~vqJ + (1 +v) Q0,
办=击【° 一 v)%_ wj + (1 + w) 0r仇(13.19)
Используя выражение для среднего напряжения а= (7з)(Qx+' fq + s), их можно свести к виду:
_ £ (е — 3а0)°* = 3(1-2 ⑺，
% = Е [(1 + ”) о* - 3va] + а9,
f =皆【(1 + ”) ％ — 3va] + а0,(13.20)
£ = % + %= 3 d ^2")0r + 3а0,
1) В связи с задачами о температурных напряжениях, вызываемых установившимся, не зависящим от времени распределением температуры, см.: М е л а н Э., П а р к у с Г., Температурные напряжения, вызванные стационарными температурными полями, Физматгиз, М., 1958. В этой книге содержится обширный обзор по теории, основанной на классических постулатах о линейности соотношений между напряжениями и деформациями с неизменными значениями упругих и температурных констант материала. В ней описаны температурные напряжения в двумерном и трехмерном случаях — в дисках, пластинках, телах вращения и т. п. Ее продолжением служит книга: П а р к у с Г., Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, М., 1963, где рассматриваются температурные напряжения в переходных температурных полях, а также имеется небольшой обзор по температурным напряжениям в вязко-упругих и упруго-пластичных средах.
дающему для напряжений следующие соотношения:
о* = 2G (% - а0) + -y^Y = 2G% + %,
% = 2G (% - а9) + 告^ = 2Ge〃 + ”，(13.21)
応=-2Ga6 + ^^ = ^ ^v [ve - (1 + v) аб].
Смещения g и т] удовлетворяют уравнениям
илиили(1 -2v)纯 + 窮= 2(1 + v)a翁,(1 -2w)A?] +患= 2(1 + w)a 需,Де =” аА01 — v, 3 dadB纯+方介=-a京，Л , 3 da08a2£a a aA°=_我二V)А仇(1 -2v)纯 + 窮= 2(1 + v)a翁,(1 -2w)A?] +患= 2(1 + w)a 需,Де =” аА01 — v, 3 dadB纯+方介=-a京，Л , 3 da08a2£a a aA°=_我二V)А仇(13.22)(13.22)(13.23)(13.23)
или
или
(1 -2v)纯 + 窮= 2(1 + v)a翁,
(1 -2w)A?] +患= 2(1 + w)a 需,
Де =” аА0
1 — v
, 3 dadB
纯+方介=-a京，
Л , 3 da08
a2£a a a
A°=_我二V)А仇
(1 -2v)纯 + 窮= 2(1 + v)a翁,
(1 -2w)A?] +患= 2(1 + w)a 需,
Де =” аА0
1 — v
, 3 dadB
纯+方介=-a京，
Л , 3 da08
a2£a a a
A°=_我二V)А仇
(13.22)
(13.22)
(13.23)
(13.23)
гдегде
где
где
a _ d2 1d2
△一曲十讨，
Напряжения ax, о?, xxy можно также вычислить при помощи функции напряжений 尸(匕 у), удовлетворяющей, когда имеются температурные деформации, уравнению
AAF =—AAF =—EaAB1 — vEaAB1 — v(13.24)(13.24)
AAF =—
AAF =—
EaAB
1 — v
EaAB
1 — v
(13.24)
(13.24)
и соответствующим граничным условиям для F(x, у).
Если распределение температуры 0 = f (х, у) установившееся, АВ = О, то в состоянии плоской деформации, согласно уравнениям (13.11) и (13.14), как функция напряжений 尸(％,у), так и функция Мелана 屮(％, у) бигармонические:
AAF = 0, ААф = 0.AAF = 0, ААф = 0.(13.25)(13.25)
AAF = 0, ААф = 0.
AAF = 0, ААф = 0.
(13.25)
(13.25)
Поскольку напряжения выражаются соотношениями
@2戶级屮
d2F ℃ *屮
(13.26)(13.26)5=万戸=-2e寸，
(13.26)
(13.26)
wA尸一£a0 = — 2GAW,
-■^ = 2G^^，
то для плоской деформации при установившейся температуре имеем
AF = -，尸=-2G屮.(13.27)
е* = % = (1 + V)а0,Y*y 一 Ор дх *е* = % = (1 + V)а0,Y*y 一 Ор дх *(13.28)(13.28)(13.29)(13.29)Температурная плоская деформация, свободная от напряжений. Упругое тело, в котором благодаря неоднородному распределению температур имеются температурные деформации, может оставаться ненапряженным, как, например, в случае плоской полосы, которая свертывается, когда ее с одной стороны обогревают теплоизлучением. Тело в состоянии плоской деформации 82 = 0 может оставаться полностью свободным от напряжений в плоскостях, параллельных плоскости х, у (ах = = gy = xXy=Q)^ В то же время для удержания его от расширения вдоль оси z требуется, согласно уравнению (13.18), нормальное напряжение a2 = —£а0 при температурных деформациях
е* = % = (1 + V)а0,
Y*y 一 Ор дх *
е* = % = (1 + V)а0,
Y*y 一 Ор дх *
(13.28)
(13.28)
(13.29)
(13.29)
Из условия совместности следует, что 0电%發因 __ ^2уху _ n
ду2 дх2 ~~ дхду ~ “
Отсюда видно, что одно из необходимых условий существования такого ненапряженного состояния заключается в том, чтобы температура 0 была установившейся:
(13.30)(13.30)Д0 = 0.
(13.30)
(13.30)
Кроме того, на основании уравнений (13.19) смещения Е и 刀 должны удовлетворить уравнениям
или быть парой сопряженных гармонических функций на плоскости, удовлетворяющих 】)уравнениям
AJ = O, Ат1 = О.(13.32)
Это можно проиллюстрировать примерами.
Пример 1. Предположим, что в полубесконечном теле имеется установившееся поле температур 0, распространяющееся на область у>6,
О = Qoe~^y sin Рх.(13.33)
Соответствующие температурные смещения
g = - (1 + ⑺ аб/ е~% cos 胱
:(13.34)
П = — (1 + v)。瓦 k e~^y sin 6%P
не будут создавать никаких напряжений (исключая oj, и мы замечаем, что поверхность гела у=0 в нагретых местах выпучивается наружу, а в охлажденных прогибается внутрь (рис. 13.5).
Рис. 13.5.Рис. 13.5.
Рис. 13.5.
Рис. 13.5.
Пример 2. Аналогично, если установившийся поток тепла проходит через бесконечное тело, правая половина 屮=冗 которого поддерживается при постоянной температуре O=0o=const, тогда как в его левой половине (р=0 температура 0=0 (рис. 13.6), то температура равна
00ОоФлОоФл(13.35)(13.35)
0
0
ОоФл
ОоФл
(13.35)
(13.35)
I) М е 1 a n Е., Temperaturverteilungen ohne Warmspannungen, Osterr. /〃g・ Arch., 4, № 1 (1951). Мелан установил, что помимо условий, налагаемых Уравнениями (13.30) и (13.31), в общем случае трехмерных температурных деформаций напряжения будут исчезать в свободном теле, которое может изменять свою форму без внешних ограничений, если температура представима функцией вида
8(%, y, 2)= 2a/川"* 厶 ", 2 = 0, 1, 2,
「пе aikl — произвольные постоянные.
Изотермы 6=const этого температурного поля представляют собой пучок лучей, выходящих из начала О.
Используя полярные координаты г, ф и обозначая смещения в радиальном и тангенциальном направлениях через 〃 и и, имеем
ег = е/ = (1 + V)аб, у“ = 0
или
дг ~ г гО(р — 冗ди , dvи с
—z—F -ч 0.гд^дгг
(13.36)(13.36)Здесь и н V вновь удовлетворяют условиям Коши — Римана, и мы находим после интегрирования
(13.36)
(13.36)
(1 + V)。瓦(1 + V)。瓦/ In ——， г/ In ——， г(13.37)(13.37)(1 +“)叫
(1 + V)。瓦
(1 + V)。瓦
/ In ——， г
/ In ——， г
(13.37)
(13.37)
где мы опустили члены, соответствующие жесткому перемещению тела; здесь а — достаточно большая постоянная длина. Поверхность тела выпучивается
8 = %
Рис. 13.6.
наружу с нагретой стороны 屮=л, 0<г<а и прогибается внутрь на охлажденной стороне <р=0, 0<г<а； никакими напряжениями эта деформация не сопровождается.
Пример 3. Если температура на поверхности поддерживается равной 0=—0о=const на левой стороне (屮=0) и 0=0o=const на правой стороне (屮=冗)тела, то поперечные смещения и поверхности вдвое больше, чем в примере 2.
Пример 4. Осуществляя наложение двух температурных полей указан* но го типа
тока теплатока тепласо смещенными началами О】и 。2 полярных координат n, (pi и Q,中2 (рис. 13.7), получаем распределение температуры для установившегося по
тока тепла
тока тепла
(13.38)(13.38)е _ ^о(Ф1 - Ф2)зт
(13.38)
(13.38)
в котором полоса шириной OiO2=2c на поверхности полубесконечного тела поддерживается при температуре 0 = 0о=const, а по обе стороны от этой полосы температура обращается в нуль. Изотермы и линии тока для тепла,
Рис. 13.7. Выпучивание поверхности вследствие местного нагрева.Рис. 13.7. Выпучивание поверхности вследствие местного нагрева.
Рис. 13.7. Выпучивание поверхности вследствие местного нагрева.
Рис. 13.7. Выпучивание поверхности вследствие местного нагрева.
соответствующие этому температурному полю, представляют собой уже знакомое нам семейство окружностей, проведенных вокруг двух центров *(мы получили это семейство окружностей, проведенных вокруг двух центров, в качестве изохром rmax = const для случая действия распределенного на конечном участке поверхности давления р=const в состоянии плоской деформации (см. § 6.2, рис. 6.6, рис. 6.8),
Поверхность тела под действием соответствующих температурных деформаций искривляется, согласно уравнению (см. рис. 13.7),
V =(1 +；)°% [(% + с) In (х + с)2 — (% — с) In (% — с)2](13.39)
и выпучивается над нагретой полосой в виде плоской складки, имеющей резко закругленные края.
В § 6.2 (уравнение (6.36)) мы нашли сходную функцию, представляющую собой поперечное смещение и поверхности полубесконечного тела под действием давления р=const, распределенного по полосе ширины 2с:
и = (1 Р [(х — с) In(X — с)2 — (х + с) In(X + с)2](13.40)
н вызывающего прогибание под нагрузкой (рис. 6.9). Заметим, что путем выбора температуры 仇 в виде
2(l-v)p (1 + v) aG
эти два профиля (один выпуклый, другой вогнутый) деформированной поверхности полубесконечного тела можно сделать конгруэнтными кривыми и совместить их друг с другом. Если мы припишем температуре 0о отрицательный знак, оба профиля деформированной поверхности станут совершенно одинаковыми; таким образом, местным охлаждением до температуры 0о=const полосы шириной 2c на поверхности полубесконечного тела мы мо・ жем создать такое же искривление этой поверхности, что и распределенным давлением p=const, когда область под нагрузкой будет сильно напряжена !).
Температурные напряжения в цилиндре. Предположим, что температура 0 зависит от расстояния по радиусу г от точек оси длинного цилиндра, который может свободно расширяться в осевом направлении, имея постоянную осевую деформацию £z = £o = const, и в котором будет осуществляться состояние плоской деформации. Тогда для нормального напряжения получим
% = ^е0 + V (аг + 立)一£а8, (13.42)
а нормальные деформации ег и в^ в радиальном и тангенциальном направлениях будут равны.
(13.43)(13.43)ег = ^ = -^^-[(1 -"-v)orr-vaz]~V80 + (l + v)a0, ez = у =[(1 — ”) б — voj — ve0 + (1 + v)a0,
(13.43)
(13.43)
причем они должны удовлетворять условию совместности
d (「£/)drd (「£/)dr办=о,办=о,(13.43а)(13.43а)
d (「£/)dr
d (「£/)dr
办=о,
办=о,
(13.43а)
(13.43а)
где р ——радиальное смещение данной точки. Условия совместности деформаций и равновесия напряжений приводят к двум уравнениям:
^(P)i = -曽患， (13.44)
^(e)-s = 0. (13.45)
Мы видим тесную аналогию рассмотренных состояний плоской температурной деформации и состояний, вызываемых распределенными давлениями, когда граничные значения температуры 0 и нормального напряжения а? распределены по поверхности полубесконечного тела подобным образом. Заметим попутно, что в только что разобранных примерах чисто температурных деформаций, не сопровождающихся напряжениями, в системах уравнений для компонент смещений не появляются модули упругости среды.
Складывая и вычитая эти два уравнения, а затем интегрируя, находим, что нормальные напряжения равны
好=q _ 7^匸V yr J * "，
6 = 3 + 皆一"7^(8-5 J Hr dr), (13.46)
oz = 2vc{+Es0-~^.
Мы можем потребовать еще, чтобы допускалось свободное расширение или сжатие цилиндра в осевом направлении, требуя, чтобы не было никакой осевой результирующей силы или чтобы интеграл по поперечному сечению цилиндра
J ozrdr = 0 (13.47) обращался в нуль】).
А. В сплошном цилиндре радиуса а граничные условия заключаются в том, что Ог=о土 при г = 0 и Ог=0 при 厂=а. Тогда уравнения (13.47) удовлетворяются, если положить
q 一 2(1 -б，q 一 2(1 -б，& = °，& = °，а — 2(1-”)/ —
q 一 2(1 -б，
q 一 2(1 -б，
& = °，
& = °，
8о =£= а%,
где через 0W обозначена средняя температура
а
(13.48)(13.48)0加=春〕""・
(13.48)
(13.48)
о
Температурные напряжения в таком цилиндре выражаются соотношениями
0rL 2(；% 勿—^j 打〃，
Lо 」
卜优-28 + ^ j er dr], (13・49) ■0*
"自仇i)，
Или, оставляя в стороне уравнение (13.44) и используя только уравнение (13.47), получаем для радиального смещения соотношение
р' р d Г d (гр) 1 (l+v)a dd
откуда можно найти р, а также напряжения.
которые можно записать в симметричной форме:
fa
0 一 2 (1 ~ V)
£a
6 一 2 (1 — V)
8 - % + (б - J 8r dr)],
" =1 一 V(8 匕).
(13.50)
Обозначая посредством 屮 и г|/ две функции переменного радиуса г и через о постоянную, определенные следующим образом:
屮П "4^， 炉=亲(8 一 "Д j 8rdr)=2一^ j 屮公，
\0丿0
(13.51)(13.51)£a6*
(13.51)
(13.51)
0 = 5(17)，
можно выразить температурные напряжения в сплошном “〃• /шндре в простом виде-.
(13.52)(13.52)% = — о 仲一 ％, d = — о 仲 + U), 备=—2оф.
(13.52)
(13.52)
Переменные 屮 и г|/ можно истолковать как две безразмерные температуры, зависящие от радиуса г, при этом 屮 измеряет превышение температуры над средней температурой 0т в сечении цилиндра,屮——превышение над средней температурой в круге переменного радиуса г, и оба превышения делятся на произвольно выбранную постоянную температуру 0*. Среднее значение г|)равно нулю
а
J 屮8r dr = 0.(13,53)
о
Относя индексы 0 и п к г = 0 и г = а, мы получим температурные напряжения (замечая, что г|)о==О при г = 0) в центре (г = 0):
и на поверхности (г=а):
% = 0, d = % = - ^а = 一 自%,：；8加).
Напряжения приобретают максимальные значения, если 0 увеличивается или уменьшается монотонно с изменением г. Радиальное расширение цилиндра на его поверхности г=а равно
Р〃 = а“ 匕,Р〃 = а“ 匕,(13.55)
Р〃 = а“ 匕,
Р〃 = а“ 匕,
т. е. той же величине, на какую он расширился бы при равномерном нагреве или охлаждении до средней температуры 0т.
Допустим, например, что температура 0 в цилиндре увеличивается с ростом г пропорционально некоторой степени г (или отношения и = г/а),
8 = %(g) =%〃"， п> I.(13.56)
Средняя температура 0т равна
оо(13.57)
о
о
или, принимая 0а = 0*, имеем
2 = 一急，"器,3吊•(13.58)
Температурные напряжения будут равны
“ =一 о (屮一U) =О 一 〃")，
6 = -(т(г|)+ и)= ^[1-(гг+1)〃5(13.59)
备=—2(гф =方芻■ [2 — (гг + 2) 〃“].
В наружной, более нагретой части напряжения будут сжимающими в тангенциальном и радиальном направлениях, а в- внутренней — растягивающими (рис. 13.8, случай при м=2).
Теорема. Так как температурные напряжения в недефор мированном теле не изменяются от добавления или вычитан и
из данного распределения температур 0 постоянной температуры 0о = const, то мы можем с таким же правом считать, что в цилиндре
9 =—(氏一％〃")•
Заметим, что если обратить знак и предположить, что темпера-
Р и с. 13.8. Темпе-
ратурные напряжения в цилиндре в случае 6 = %〃2.
туры в цилиндре (см. верхнюю кривую на рис. 13.8) распределены по закону
8 = 8о-е〃〃* (13.60) г. е. во внешних частях цилиндр более холодный, чем во внутренних, то деформирование температурами, выражаемыми соотношением (13.60), вызывает такие же температурные напряжения, но противоположного знака, как в цилиндре с распределением температур (13.56).
Мы будем пользоваться этой теоремой для вычисления максимальных значений температурных напряжений при переходных процессах (когда тепловой поток меняется), возникающих, например, в цилиндрах или сферах, которые обладали сначала постоянной температурой, а затем мгновенно помещались в более теплую или более холодную окружающую среду (см. § 13.4).
Б. В длинном полом
цилиндре !), в котором
выражаются шений:
температура зависит от г, можно аналогично показать, что температурные напряжения
соответствующим набором симметричных соотно-
%=- 0 к- и+?(吋一也)]
d =
(13.61)
% = — 2аф,
i) О температурных напряжениях в полых цилиндрах см.: Lorenz R., Temperaturspannungen in Hohlzylindern, Z. Ver, deut, Ingr., 51, 743 (1907) (для осесимметричного распределения температуры) ； Kent С. Н., Thermal Stresses in Thin-Walled Cylinders, Applied Mechanics Meeting, ASME, June 1931 (радиальный градиент температуры постоянен, но 0 может изменяться с z в осевом направлении). О круглых дисках см.: Malkin I., /. Franklin Inst., 232, 129 (1941).
где о— та же самая постоянная, что и для сплошного цилиндра. Здесь предполагается, что нет ограничений, мешающих рассматриваемому полому цилиндру расширяться или сокращаться в осевом направлении. Обозначая через г^ и 厂2 внутренний и внешний радиусы, а через 0т —среднюю температуру, имеем
°优=/_ 2 J 8r dr,
(13.62)(13.62)£а8*О= 2(1—“，£а8*О= 2(1—“，
(13.62)
(13.62)
£а8*
О= 2(1—“，
£а8*
О= 2(1—“，
Геперь мы можем легко показать, что значения 屮‘ на внутренней и наружной поверхностях полого цилиндра равны !)
Г = м，u=0； г = 7，电=电2.
Таким образом, мы получим следующие температурные напря
жения:s = 0, S =%=一 2叫=-匚产"n?Иr=仆жения:s = 0, S =%=一 2叫=-匚产"n?Иr=仆оу = 0, d = % = — 2。巾2 =оу = 0, d = % = — 2。巾2 =Ea (E - 8加)1 - VEa (E - 8加)1 - Vпри Г =г2・при Г =г2・(13.63)(13.63)
жения:
s = 0, S =%=一 2叫=-匚产"n?Иr=仆
жения:
s = 0, S =%=一 2叫=-匚产"n?Иr=仆
оу = 0, d = % = — 2。巾2 =
оу = 0, d = % = — 2。巾2 =
Ea (E - 8加)
1 - V
Ea (E - 8加)
1 - V
при Г =г2・
при Г =г2・
(13.63)
(13.63)
В эти последние формулы не входят ни радиусы 门 и 力，ни толщина полого цилиндра. Если мы сопоставим две трубы из одного и того же материала, имеющие внутренние радиусы П，г； и толщины' h = r2 — rv h' = r^ — r[, и восстановим те же самые ординаты кривой температуры 0 при соответствующих радиусах г и /, для которых выполняется пропорция
I) Интеграл во втором члене выражения для 屮‘ в соотношении (13.62) при приближении верхнего предела г к значению, отвечающему внутреннему радиусу с, можно вычислить:
г г
J @г "=屯 j г dr (1/2)屯(г2 - rf).
Следовательно, при г=п из соотношений (13.62) находим 少；=0, тогда как при г=г2 интеграл обращается в нуль, поскольку среднее значение гр, взятое по сечению трубы, равно нулю, так что при r=Q имеем ^ =屮若
то в соответствующих точках температурные напряжения будут одинаковыми.
£а0*£а0*В. В ТОНКОМ СПЛОШНОМ КРУГЛОМ ДИСКЕ ИЛИ В ПЛОСКОМ КОЛЬЦЕ, в которых 0 = /(г), температурные напряжения можно вычислить из предыдущих соотношений, используя, однако, для константы напряжения о новое значение
£а0*
£а0*
(13.64)
соответствующее исчезающей величине осевого напряжения, 仇=0.
В сплошном диске:
S =-(L/2)Ea(8o-%) при г = 0,
S=-(U2)Ea(8〃一%) при г = а,匚
а в плоском кольце, в котором 0 = 0], 02 при г=гь「2： d = -ЕоЦ»-%) при r = q,
d = — Еа (02 一 0J при r = r2.'
Рассмотрим, например, плоское кольцо с внутренним и внешним радиусами п и 勺，которое отводит тепло радиально наружу, когда распределение температуры в нем установилось; температура поддерживается равной 0 = 0] при 厂=门 и равной 02 = 0 при г =「2・ Плоские поверхности кольца предполагаются покрытыми идеальным теплоизолирующим материалом. Тогда температура в кольце дается выражением
8 = R8 = RIn (力2)1П(П〃2)'In (力2)1П(П〃2)'(13.67)(13.67)
8 = R
8 = R
In (力2)1П(П〃2)'
In (力2)1П(П〃2)'
(13.67)
(13.67)
и средняя температура 0т составляет
(13.68)(13.68)2广Г 1 d
(13.68)
(13.68)
0ГИ = ~22 8r dr =仇亍2Г
На основании соотношений (13.66) заключаем, что напряжения о в кольце будут равны
%= — ЕаВ]
q н _ Еа»
不-dg(Г2〃1)。
1п(”优
1
при г = rh
при г = г2.
(13.69)
S0S0Рис. 13.9. Охла-Рис. 13.9. Охла-ждение.ждение.гревание.гревание.Распределения температурыРаспределения температуры0 в сплошном цилиндре.0 в сплошном цилиндре.Переходные температурные напряженные состояния цилиндра. А. Радиальный неустановившийся поток тепла. Рассмотрим теперь задачу о температурных напряжениях в длинном сплошном цилиндре, которы访 сначала имел постоянную температуру, предполагая, как это часто бывает в машинах, что по-
S0
S0
Рис. 13.9. Охла-
Рис. 13.9. Охла-
ждение.
ждение.
гревание.
гревание.
Распределения температуры
Распределения температуры
0 в сплошном цилиндре.
0 в сплошном цилиндре.
Рис. 13.10. На-
Рис. 13.11. Падение температур 0О (в центре), 0^ (средняя), 0а (на поверхности) в сплошном цилиндре при охлаждении.Рис. 13.11. Падение температур 0О (в центре), 0^ (средняя), 0а (на поверхности) в сплошном цилиндре при охлаждении.верхность г = а цилиндра приводится в хороший тепловой контакт с гораздо более холодной или теплой средой. Понимая, что уйдет какое-то время, пока материал непосредственно под поверхностью цилиндра прогреется или остынет, и что понадобится еще время, чтобы волна нагрева или остывания смогла проникнуть внутрь цилиндра, мы можем представить результат теплообмена, осуществляемого за счет теплопроводности, семейством температурных кривых0 =
Рис. 13.11. Падение температур 0О (в центре), 0^ (средняя), 0а (на поверхности) в сплошном цилиндре при охлаждении.
Рис. 13.11. Падение температур 0О (в центре), 0^ (средняя), 0а (на поверхности) в сплошном цилиндре при охлаждении.
=f(r, /), построенных в зависимости от г для моментов времени / =厶，必 …，как показано на рис. 13.9, рис. 13.10.
Принимая сперва начальную
температуру цилиндра в момент / = 0 за 0 — 0с = const и считая температуру среды 0 = 0, мы можем для сравнения рассмотреть затем случай, когда начальная температура цилиндра равна нулю 0 = 0, а температура среды 0 = 0С > 0.
По указанным распределениям B = f(r, 0 мы можем по строить, например, кривые, представляющие изменения температуры 9о в центре (г = 0), температуры 0а на поверхности
(广=〃)п средней температуры 0Ш в цилиндре в различные моменты времени, изображенные на рис. 13.11, соответствующем рис. 13.9, который относится к постепенному охлаждению цилиндра. Так как температурные напряжения при г = 0 и r=q пропорциональны (00 — 0m) и (0а ——8印) (см. соотношения (13.54)), то ординаты, представляющие эти разности на рис. 13.11, указывают, что со временем происходит рост, а затем убывание температурных напряжений, вызываемых в цилиндре при г=0 и г = а, и мы можем найти максимальные их значения, имеющие место в некоторые моменты времени % и ta (рис. 13.11).
Рассматриваемая задача об определении температурных кривых 0=f (г, /) в сплошном цилиндре, охлаждаемом или нагреваемом с поверхности, не изменится, если температурные напряжения, соответствующие рис. 13.10, останутся теми же по абсолютной величине и лишь изменят знак на обратный. Нахождение этих кривых связано с решением уравнения теплопроводности для радиального потока тепла в цилиндре:
新爲居 +謂， (13.70)
где константы обозначают теплопроводность 々 (ккал/м • час 0 С), удельную теплоемкость е (ккал/кг0 С), удельный вес уо (ка/мЗ). Принимая в качестве начального условия, что в цилиндре при f=0 температура О = 0С = const, и затем что тепло, отдаваемое цилиндром через поверхность г=а, пропорционально перепаду температуры между цилиндром и окружающей средой, или
где X — коэффициент известному в теории граничному условию)где X — коэффициент известному в теории граничному условию)теплоотдачи (ккал/м^ • час ℃), мы придем к хорошо теплопроводности (удовлетворяющему предыдущему решению уравнения (13.70) в виде бесконечного ряда
где X — коэффициент известному в теории граничному условию)
где X — коэффициент известному в теории граничному условию)
а — СП с В е~^пЧ0 (апг/а)
(13.72)(13.72)6 2r戸崎研
(13.72)
(13.72)
в котором с представляет собой безразмерный коэффициент относительной
ЛаkЛаkтеплоотдачи:
Лаk
Лаk
(13.73)
Последовательность также безразмерных параметров an —ai, а2, ... должна находиться как корни следующего трансцендентного уравнения (выражающего граничное условие (13.71)):
a」i (а) — с/0 (а) = 0,(13.74)
Постоянные % в (13.72) пропорциональны 喙
Рд =2*,(13.75)
”CoYo«
а /о(а%/7а), /i(an^M) — функции Бесселя нулевого и первого порядков 9- Среднюю температуру 0т можно легко найти вычислением интеграла
。Уn *(」+ *)。Уn *(」+ *)(13.76)(13.76)
。Уn *(」+ *)
。Уn *(」+ *)
(13.76)
(13.76)
так что две указанные температурные разности (仇一0m) и (九一0m), определяющие температурные напряжения в центре 厂=0 и на поверхности цилиндра (r=a), в любой момент времени оказываются равными
「= 0, г = а,「= 0, г = а,8。- 8加=20м 1 п8。- 8加=20м 1 пГ 2с - %(%) ап.Г 2с - %(%) ап.产+吟产+吟% - 8加=28» ^^% - 8加=28» ^^(13.77)(13.77)
「= 0, г = а,
「= 0, г = а,
8。- 8加=20м 1 п
8。- 8加=20м 1 п
Г 2с - %(%) ап.
Г 2с - %(%) ап.
产+吟
产+吟
% - 8加=28» ^^
% - 8加=28» ^^
(13.77)
(13.77)
и дают, согласно соотношениям (13.54), следующие значения температурных напряжений в процессе охлаждения цилиндра:
0> = О/0> = О/_2_2” =0,” =0,°f = ^z°f = ^zEa()(©о —呪)2 (1 - v)- _Ea0*m)Ea()(©о —呪)2 (1 - v)- _Ea0*m)при г = 0,при г = 0,(13.78)(13.78)1 — V1 — Vпри г = a,при г = a,
0> = О/
0> = О/
_2
_2
” =0,
” =0,
°f = ^z
°f = ^z
Ea()(©о —呪)
2 (1 - v)- _Ea0*m)
Ea()(©о —呪)
2 (1 - v)- _Ea0*m)
при г = 0,
при г = 0,
(13.78)
(13.78)
1 — V
1 — V
при г = a,
при г = a,
где ao ——коэффициент теплового расширения. Строя графики разностей температур (0о — 0m) и (От — 0a) в различные моменты времени, можно определить по их максимальным значениям максимальные значения температурных напряжений за время переходного периода охлаждения сплошного цилиндра ).
Предыдущие формулы включают в качестве предельного случая самый быстрый процесс охлаждения цилиндра, когда коэффициенты теплоотдачи % и c—ak/k обращаются в бесконечность. Этот случай со средой, обладающей теоретически бесконечной эффективностью охлаждения, представляет, однако, чисто академический интерес, поскольку таких сред не существует. Из граничного условия (уравнение (13.74)) находим, что
lim [cJ0 (a)] = aJi (a),
C-> 8
так что Jo(a)=O, т. e. параметры an при 九=co являются нулями функции J0(a), и мы видим, что температура в цилиндре меняется согласно соотно
шению
(13.79)
九
и что (полагаем с=8в выражении (13.76)) средняя температура 0т теперь равна.
(13.80)
п
В момент /=0 температура 0а на поверхности цилиндра сразу падает до нуля, и 0а=0 во все моменты времени f; средняя температура в момент f=0 равна 0т = 0с Ч ； следовательно, при Х=оо максимум температурных напряжений достигает своей наибольшей величины на поверхности цилиндра г=а при /=0
(13.81)(13.81)ea0%
(13.81)
(13.81)
2(1 一⑺'
т. е. в момент приложения охлаждающего удара).
Б. Экспериментальные данные. Оставляя в стороне математически весьма упрощенный случай А= оо, по-видимому, возможно дать информацию о некоторых экспериментальных данных, касающихся практической применимости теплового граничного условия (уравнение (13.71)), на использовании которого были основаны предыдущие расчеты температурных напряжений, по крайней мере для случая передачи тепла от окружающего перегретого пара к холодному стальному телу. Процесс передачи тепла при этих обстоятельствах отнюдь не так прост, чтобы можно было характеризовать его на протяжении всей продолжительности постоянным значением относительной теплоотдачи
c=7.a/k, так как известно, что X может значительно изменяться с температурой поверхностных слоев твердого тела, в особенности в первый период передачи тепла 1).
Когда перегретый пар с температурой от 250 до 350° С обтекает холодную сталь, он сперва конденсируется в тонкую пленку воды, покрывающую сталь Эта водяная пленка усиливает передачу тепла к телу, и можно рассчитывать на значение X порядка, вероятно, 4000 ккал/м • час •0 С при давлении 1 атм и температуре пара 320° С. Если для теплопроводности стали принять k= 1 ккал/м • час • ℃ и для радиуса цилиндра 〃 = 0,45 м, это даст для с=А〃/々 значение с=40. Спустя короткое время, когда температура поверхности цилиндра поднимется до 100° С, водяная пленка испарится, коэффициент теплоотдачи для пара упадет до низкого значения Х=80 ккал^ • час • ℃ и, таким образом, с=Ха//г станет равным с=0,80, т. е. одной пятидесятой своего первоначального высокого зяачения; эти числа существенно зависят также от скорости, с которой пар обтекает твердое тело. Таким образом, процесс прогрева холодного вала или массивного сплошного цилиндрического ротора паровой турбины перегретым паром, циркулирующим вокруг них, происходит на большей части периода прогрева при сравнительно низких значениях коэффициента относительной теплоотдачи' c=Ka/ky составляющих, вероятно, от 0,8 до 1,0. Было бы ошибочно считать в подобных случаях для стальных тел с= 8 ц использовать распределение темпеэатур по формуле (13.79).
Изменение температуры в зависимости от радиуса г и времени t можно проиллюстрировать результатами некоторых испытаний, проведенных Ретбо- ном на Южнофиладельфийском заводе фирмы «Вестингауз электрик корпо- рейшн» в 1929 г. Ретбон испытывал стальные диски, имевшие внешний радиус 654 мм и толщину 230 мм (в середине было отверстие 115 мм в диаметре), внешняя цилиндрическая поверхность которых нагревалась перегретым паром. Плоские поверхности дисков были идеально теплоизолированы, так что поток тепла через диски был радиальным. На рис. 13.12 воспроизведены экспериментальные кривые изменения температуры 8 = f(r, f) по диску для разных моментов времени 2 после того, как пар начал циркулировать по периферии дисков. По этим кривым вычислялась константа 仇 в первом члене ряда (13.72), и, так как остальные константы были известны, по трем из этих кривых было подсчитано значение 入(см. таблицу).
Таблица
Средняя температура
Коэффициент тепло
Время после начала прогрева
пара, ℃
отдачи 九， ккал/м2-час-℃
от 1 час до 2 час 47 мин
327
81,2
от 2 час 47 мин до 4 час 4 мин
346
72,1
от 4 час 4 мин до 6 час
349
63,9
Исходя из среднего значения Х=70 кка川繕• час •℃, были построены кривые рис. 13.13, показывающие, что в первом приближении температура 0 в соответствующие времена хорошо согласуется с наблюдаемыми значениями,
Рис. 13.12. Распределение температуры в нагреваемом паром стальном диске в различные моменты времени (построено по данным опытов Ретбона). / — начальная температура пара; 2 — начальная температура диска; г — расстояние от центра диска.
чем подтверждается, таким образом, в определенном диапазоне температур справедливость теплового граничного условия (уравнение (13.71)).
В. Построение графиков распределения температур в цилиндре. Возвращаясь к выражению (13.72) и к связанным с ним формулам, легко убеждаемся, что будет охвачен весь диапазон распределений температур 0*0cf(G 0 за период охлаждения сплошного цилиндра, если для последовательных моментов вре- менн построить кривые 9/瓦=『(广，0> соответствующие выбору
нескольких характерных значений безразмерной постоянной теплоотдачи
Ла
二 дюйм
Р й с. 13.13. Три кривые распределения температуры, полученные Ретбономв стальных дисках, нагревавшихся по периферии.
На рис. 13.12 и рис. 13.13 точками показаны экспериментальные значения, а сплошными линиями — расчетные значения при X — 70 ккал/м • ℃ • час.
честве абсцисс и ординат семейства кривых, проводимых для разных моментов времени / = /ь /2, ... 9-①орма этих кривых,
построенных для некоторого постоянного значения с, тем самым становится не зависящей от начальной температуры 0С и внешнего радиуса а, так что те же кривые пригодны и для случая нагревания цилиндра, если поменять знаки у чисел. Комбинация параметров k/c0y0a, входящая в выражение для коэффициентов рп (выражение (13.75)) и, следовательно, в показатели экспоненциальных членов е»', имеет размерность, обратную времени; мы ее можем обозначить через 厶，положив
(13.82)(13.82)1 = 左
(13.82)
(13.82)
tc 一e0y0出
В нашей задаче эта комбинация параметров не существенна; действительно, если построено семейство кривых для заданных значений с и 厶，то можно, сохранив значение с и изменив постоянную /с, скажем, придав ей новое значение 弘，получить то же самое семейство для новой последовательности моментов времени 片=(弘/厶)(%, /2, ...), что сводится к растяжению масштаба времени от t до f. Таким образом, можно построить первое семейство, например положив 厶=1 час. Два цилиндра из одного и того же материала, обменивающиеся теплом с одной и той же средой, будут характеризоваться одним и тем же семейством кривых e/8c = f(〃a, 〃%с), если сопоставлять эти кривые в моменты времени Р"=(а7〃)2. Это иллюстрируется двумя семействами температурных кривых 0/0с на рис. 13.14, 13.15, воспроизводящих распределения температур, которые соответствуют значениям относительной теплоотдачи с=1 и с=10; последнее отвечает гораздо более быстрому охлаждению цилиндра.
Г. Тепловые удары. Когда волна холода или тепла не имеет достаточно времени, чтобы глубоко проникнуть внутрь цилиндра 1) или какого-нибудь тела, можно считать, что температура 0 изменяется в поверхностных слоях с глубиной как в полубес- конечном теле, т. е. согласно уравнению
(13.83)(13.83)dQ _ k d2edt ~ Co、％ d%2
(13.83)
(13.83)
Рис. 13.14. Кривые распределения температуры в цилиндре; с = Ка/k = 1； е/8с — отношение фактической температуры к начальной.
Мы можем воспользоваться решением этого уравнения при начальном условии /=0, 0 = 0с = const и граничном условии дВ/дх + сд/а = 0 при % = 0, т. е. решением [)
0 = 04ФШ + [~Ф(^ + ^)] «"“”｝， (13.84)
где функция Ф(г) представляет собой интеграл ошибок.
①(2)=言 J id?,①(2)=言 J id?,(13.85)(13.85)
①(2)=言 J id?,
①(2)=言 J id?,
(13.85)
(13.85)
значения которого затабулированы); две независимые переменные и и V равны отношениям
〃 = ^， и = /±,(13.86)
а постоянные раметрова постоянные раметров「=独/ 一 CoY。"「=独/ 一 CoY。"(13.87)(13.87)с и /с обозначают, как и раньше, комбинации па-
а постоянные раметров
а постоянные раметров
「=独/ 一 CoY。"
「=独/ 一 CoY。"
(13.87)
(13.87)
где величина а представляет собой произвольную длину. Уравнение (13.84) использовал Томсон (Кельвин) в его ранних исследованиях остывания внешней твердой оболочки Земли.
Может представить интерес запись температуры 0о на поверхности твердого тела, которое подвергалось действию охлаждающего удара. Полагая х = и = 0 в выражении (13.84), видим, что температура 仇 должна уменьшаться со временем по закону
0О =瓦产[1 —①(，叫=“е" [ 1 —①卜]/^ )]. (13.88)
Здесь член в квадратных скобках убывает гораздо быстрее, чем происходит увеличение экспоненциального члена с аргументом cv. При больших значениях последнего для этой функции можно записать асимптотическое представление
0О = -Д— [1+. .1, (13.89)
Р^л CU L 2 (си)222 (си)42 (си)6 J
приближающееся при с。—8 K
(13.90)(13.90)
(13.90)
(13.90)
откуда видно, что температура на поверхности по прошествии некоторого времени уменьшается как обратная величина квадратного корня из времени. При 力=0 скорость уменьшения 0О бесконечна. Падение температуры поверхности для значения
Рис. 13.16. Температура поверхности в полубесконечном теле.
с=1 можно видеть на рис. 13.16, 13.17, где построены зависимости 0о/0с от и и % соответственно. Падение температуры поверхности, соответствующее другому фиксированному значению
Рис. 13.17. Изменение температуры поверхности Оо со временем t в полу® бесконечном теле, подвергшемся охлаждающему удару.
константы теплоотдачи c = \alk, получается отнесением ординат 0о/0с, представленных на рис. 13.16, 13.17, к абсциссам U = u/c, У=〃с, т. е. сжатием или растяжением горизонтального масштаба на указанных рисунках.
Температурные напряжения внутри полубесконечного тела, создаваемые рассматриваемым охлаждающим ударом, если мы
допустим, что тело не испытывает деформации в направлениях, параллельных плоскости % = 0 (% = & = 0), равны
0* = 0,0* = 0,=Еа(%-е)=Еа(%-е)(13.91)(13.91)
0* = 0,
0* = 0,
=Еа(%-е)
=Еа(%-е)
(13.91)
(13.91)
Рис. 13.18.Температуры внутри тела в различные моменты времени t.Рис. 13.18.Температуры внутри тела в различные моменты времени t.
Рис. 13.18.
Температуры внутри тела в различные моменты времени t.
Рис. 13.18.
Температуры внутри тела в различные моменты времени t.
Напряжения су и az изменяются с глубиной %, как показано на рис. 13.18, пропорционально разности температур (0С — 0), а напряжения на поверхности % = 0 ——как (0С — 90) (рис. 13.19).
Рис. 13.19.Температураповерхности 0°;напряженияпри х = 0 равны
Оу = “ =Еа (OJ~Oo)
Охлаждающий улар в.полубесконечном теле.
С течением времени они возрастают и достигают своих наибольших значений через бесконечное время. Но следует иметь в виду, что в теле конечных размеров средняя температура 0т (которая в бесконечном теле была взята равной 0С) также начнет уменьшаться с течением времени, и, таким образом, кривая 0о/0с на рис. 13.17, 13.19, если ее использовать для определения температурных напряжений в поверхностных слоях тела конечных размеров, имеет физический смысл только в своей круто падающей части. При охлаждающем (нагревающем) тепловом ударе поверхностные слои нагружаются растягивающими (сжимающими) напряжениями.
Предыдущее изучение теплового удара, воздействующего на поверхность полубесконечного упругого тела х》0, было основано на предположении, что массивный сплошной кусок мате-
риала внезапно соприкасается своей плоской поверхностью % = 0 со средой (жидкостью или газом), имеющей другую температуру, существенно более высокую или низкую, чем началь^ ная температура 0С = const материала. Садовский !) исследовал действие теплового удара другого типа. Он предположил, что плоская поверхность % = 0 полубесконечного упругого тела х > 0 подвергается внезапному местному нагреву на площади, ограниченной окружностью радиуса г=а в плоскости х = 0. Этот нагрев вызывает за бесконечно малое время мгновенное возрастание температуры на конечную величину в очень тонком слое, примерно такое же, которое получилось бы от паяльной лампы, если ее направить на круг радиуса г=а. Садовский поставил вопрос о статических напряжениях, мгновенно создаваемых в теле. Такая постановка требовала не столько решения задачи о переходном процессе теплопроводности, сколько ана、 лиза статического осесимметричного распределения упругих деформаций и напряжений, которое было изящно вычислено Садовским через эллиптические функции Якоби ).
Д. Течение материала под действием температурных напряжений. Тепловая волна, возникающая в теле при мгновенном нагреве, может вызвать деформацию поверхностных слоев, выводящую материал за пределы упругости при двухосном нагружении равными напряжениями о。. Предполагая, что во время краткого периода выхода за пределы упругости предел текучести о° зависит от температуры 9 = Т ——273° ——/0 (7 — абсолютная температура, /о ——начальная температура тела в градусах Цельсия), согласно кривой на рис. 13.20, и что Е, a, v ——известные функ^ ции Т, можно построить кривые зависимости произведений Еа/(1 —V)и Еа6/(1 —v) от температуры 0 в упругом диапазоне деформаций, как показано в верхней части рис. 13.20. Тогда ординаты этих кривых будут определять в интервале О<9<0о упругие напряжения о=ЕаО/(1——v), а при 9>0о — напряжения текучести о。(соответственно по двум ветвям O^D и DH).
Допустим, что в какой-то момент / тепловая волна занимает положение в теле, описываемое кривой 0 = f(х), показанной в нижней части рис. 13.20. Тогда можно отсчитать при этих значениях 0 ординаты Есс0/(1——v) или а0 по верхним кривым и отложить их по горизонтали против соответствующих глубин %
в нижней части рис. 13.20, получив, таким образом, ломаную линию CBAF, которая представляет собой температурные напряжения под поверхностью тела х=0, определяя наряду с температурными напряжениями пластически деформированную зону в показанном двойной штриховкой слое 0<х<х0, 〃 ниже—— упруго деформированную часть тела. Таким образом, высокие
Рис. 13.20. Температурные напряжения на поверхности с учетом пластического течения.
/ — пластичность; 2 — упругость; SS — поверхность тела.
значения упругих напряжений, отвечающих показанной пунктиром части AG кривой CAG, оказались вследствие повышенной податливости материала, когда температура 0 была 0>0О и материал тек, сниженными до значений, соответствующих ветви AF.
Поскольку эти напряжения сжимающие, то можно ожидать, что даже когда поверхность мгновенно подвергается действию сравнительно высоких температур, большого вреда от них не будет; однако положение будет иным, когда материал мгновенно охлаждается и в нем возникают растягивающие напряжения, которые по мере того, как в охлажденной области вблизи поверхности будет возрастать предел текучести и мате
риал будет становиться все более хрупким, могут приводить к разрушению (трещины, появляющиеся при остывании).
Сфера. В сплошной сфере, когда температура 0 зависит от расстояния г по радиусу от центра до данной точки и времени 力 0=f(г, /), деформации er = du/dr и 勿=〃〃 равны
(13.92)(13.92)% = ^ (“ 一 2vaz) + а9, 4 = 4" [(1 — V)d — var] + а0.
(13.92)
(13.92)
Условия равновесия для напряжений аг, а^ и совместности деформаций Ег,玩
d” — 2 & - o>) = °
7 厂(13.93)
dr r1 — v dr
удовлетворяются, если
2cl ,2£a f Q о у
ar = - — + ^2- 叫声 \ dr dr,
J / 1、(13.94)
^t = ^ + c2 - tzv (0 一声 j e 产“)・
В сплошной сфере радиуса а имеем 口=0, 02 = 2£1a9m/3(1-v)= =о, так что, обозначая через 0т среднюю температуру
a
% = * J 旷公，(13.95)
о
находим, что температурные напряжения равны
0 =器(% _ ^ j 9产力)=— 0 仲一#),
,°，、，(13.96)
+ ^e一备 J 9产")=一0e + 号)，
где функции 屮 и гф,» определяемые равенствами
屮‘=春卜一^je产分)=屮一^/屮户公，(13.97)
аналогичны введенным в § 13.3, А для цилиндра. При 厂=0 имеем 2； = 0, а при г = а имеем 也=必・ Температурные напряжения в центре сферы при 厂=0 равны
__—1.。0 (瓦—8/и)
四=d=一时0=k,
а на поверхности сферы при г —а равны
“ ——•(13.98)
Температура 0 в переходных полярно симметричных состояниях охлаждения сферы, температура которой вначале при /=0 была постоянной 0 = 0c=const и которая отдает тепло в среду с нулевой температурой, выражается рядом
У»尸噺粤 (13・99)
где
а2с8с九〃, CoYo"〉( i о mn\
7"， c =,tc = —-—•(13.100) с — c + a jkk
Здесь постоянные параметры an^al, а2, ... являются последовательностью положительных корней трансцендентного относительно а уравнения
(13.101)(13.101)(1 - с) tga = a,
(13.101)
(13.101)
а величины k,九，％, 丫。имеют тот же смысл, что и в § 13.4, А〔).
Средняя по сфере температура равна
(13.102)(13.102)
(13.102)
(13.102)
а разности температур, входящие в выражения (13.98) для температурных напряжений, могут быть найдены вычислением рядов
Г = 0,00 — 0/й =Г = 0,00 — 0/й =(13.103)(13.103)1) Выражение (13.99) является известным решением дифференциального уравнения теплопроводности в сфереdt - CoYo \ r dr 0产丿'1) Выражение (13.99) является известным решением дифференциального уравнения теплопроводности в сфереdt - CoYo \ r dr 0产丿'удовлетворяющим начальному условию: /=0, 0 = 0c=const и граничному услоудовлетворяющим начальному условию: /=0, 0 = 0c=const и граничному условию при г=а:вию при г=а:08 Л77+袤08 Л77+袤0 = 0.0 = 0.
Г = 0,00 — 0/й =
Г = 0,00 — 0/й =
(13.103)
(13.103)
1) Выражение (13.99) является известным решением дифференциального уравнения теплопроводности в сфере
dt - CoYo \ r dr 0产丿'
1) Выражение (13.99) является известным решением дифференциального уравнения теплопроводности в сфере
dt - CoYo \ r dr 0产丿'
удовлетворяющим начальному условию: /=0, 0 = 0c=const и граничному усло
удовлетворяющим начальному условию: /=0, 0 = 0c=const и граничному усло
вию при г=а:
вию при г=а:
08 Л
77+袤
08 Л
77+袤
0 = 0.
0 = 0.
В частном случае бесконечной теплоотдачи 九=8, с=8, приводящей к падению температуры 0а на поверхности сферы г=а до нуля, уравнение (13.101) принимает вид fga=0; его корни равны ап—пл, и" температуры 0 и 0т выражаются рядами
8 .里些£口^尸％亠九广▲ 八a
二"嶼(Em)
‘加=f - 2 ~^2» n= 1, 2, 3,.
n
Неоднородно нагретая сфера расширяется в радиальном направлении на поверхности г=а на величину иа = ааВт, равную той, на которую происходит расширение сферы, имеющей всюду постоянную температуру em = consti).
Процесс охлаждения или нагревания сферы можно представить графически, построив кривые зависимости отношения температур 0/0с от отношения и = г/а в различные моменты времени /=(1/4, 1/2, 1, 2, Характер таких семейств кривых существенно зависит от выбираемого значения константы относительной теплоотдачи с = А〃/^. Два примера для с= 10 и с= 1 приведены на рис. 13.21, 13.23. По ним можно построить три кривые убывания со временем / относительных температур 0о/6с и 0а/0с при 厂=0 и г = а и относительной средней температуры 0т/0с (рис. 13.22, 13.24). Таким образом, рассматривая разности их ординат, получим характер изменения температурных напряжений со временем % в центре сферы г = 0 и на ее поверхности г = а. Максимальные значения этих разностей показаны на рис. 13.22, 13.24; эти значения соответствуют максимальным значениям температурных напряжений в сфере под действием переходного охлаждения или нагревания сферы.
Температурные напряжения во время неустановивше- гося нагревания; релаксации напряжений в тонком круглом диске из вязко-упругого материала. Рассмотрим температурные напряжения в тонком сплошном круглом диске постоянной толщины из вязко-упругого материала, деформируемом в отсутствие внешних сил радиально симметричным распределением температуры 9 = f 亿 /), которое с течением времени может изменяться. Температурные напряжения, о которых идет речь, из-за вязкости среды будут следовать за предписанным
Радиальное температурное смещение u—r^t в неоднородно нагретой сфере, температура которой 0=f(г), равно
〃 =3(1二)2 (1 - 2w) e,紋 + ^:^ " j 8产办.
^-r/a^-r/a
^-r/a
^-r/a
Рис. 13.21. Распределение температуры в сплошной сфере при с = %а/^ = 10.
Рис. 13.22. Отношение температуры 0/0с для 0 = 60 (в центре сферы), 9 = % (среднее значение), 0 = 6Й (на поверхности сферы) как функция времени / при с = ЛаД = 10.
Рис. 13.23. Распределение температуры в сплошной сфере при с = Ka/k = 1,0.
изменением температуры 0 с некоторой задержкой. В частности, мы можем принять, что указанное температурное распределение стремится к установившемуся 0 = f(г), в результате чего в диске происходит процесс медленного самозатухания температурных напряжений, пока они постепенно совсем не исчезнут с тече^ нием времени.
Обозначая одним и двумя штрихами упругую и остаточную части деформаций ег, &, 殳 в радиальном, тангенциальном и осевом направлениях, а через ar, at, а2 = 0 — нормальные напря* жения в рассматриваемом тонком диске, имеем
4 = * =黄兽一叫）+。仇。；=击S-明'
(13.105)(13.105)4 = 4 =击&70+a仇督），
(13.105)
(13.105)
_善（斗 + S）+。仇 0:=一专（5 + 叫
4 + g К = a 一 2%『Г+也 + 3硯 4，+ 球 +或=（）.
Радиальное смещение р и скорость u = d~Ot при этом равны
р = р，+ р〃，〃 =害=加 + “〃,р = р，+ р〃，〃 =害=加 + “〃,(13.106)(13.106)а полные скорости деформаций выражаются соотношениямиа полные скорости деформаций выражаются соотношениями忘f = / = 4"(仇 + 希-"т一斐 + aе0),忘f = / = 4"(仇 + 希-"т一斐 + aе0),(13.107)(13.107)где точки обозначают дифференцирование по времени и гдегде точки обозначают дифференцирование по времени и гдеЗц~FЗц~F(13.108)(13.108)——постоянная времени,读 ——коэффициент вязкости; предполагается, что Е, V,卩——константы (не зависят от температуры 0). Условия совместности деформаций ©乃 & и равновесия напряжений Or, о± имеют вид——постоянная времени,读 ——коэффициент вязкости; предполагается, что Е, V,卩——константы (не зависят от температуры 0). Условия совместности деформаций ©乃 & и равновесия напряжений Or, о± имеют вид(13.109)(13.109)Введем новые переменныеВведем новые переменныеs = о力 + О「,侬=% — аг.s = о力 + О「,侬=% — аг.(13.110)(13.110)
р = р，+ р〃，〃 =害=加 + “〃,
р = р，+ р〃，〃 =害=加 + “〃,
(13.106)
(13.106)
а полные скорости деформаций выражаются соотношениями
а полные скорости деформаций выражаются соотношениями
忘f = / = 4"(仇 + 希-"т一斐 + aе0),
忘f = / = 4"(仇 + 希-"т一斐 + aе0),
(13.107)
(13.107)
где точки обозначают дифференцирование по времени и где
где точки обозначают дифференцирование по времени и где
Зц~F
Зц~F
(13.108)
(13.108)
——постоянная времени,读 ——коэффициент вязкости; предполагается, что Е, V,卩——константы (не зависят от температуры 0). Условия совместности деформаций ©乃 & и равновесия напряжений Or, о± имеют вид
——постоянная времени,读 ——коэффициент вязкости; предполагается, что Е, V,卩——константы (не зависят от температуры 0). Условия совместности деформаций ©乃 & и равновесия напряжений Or, о± имеют вид
(13.109)
(13.109)
Введем новые переменные
Введем новые переменные
s = о力 + О「,侬=% — аг.
s = о力 + О「,侬=% — аг.
(13.110)
(13.110)
Уравнения (13.109) выразятся через эти переменные в следующем виде:
(13.111)(13.111)(13.112)(13.112)(13.113)(13.113)i т + 今缁 &s) - s] + 吟粤=0,今 &位)+位+今傍 (s) +з]+ * 工 =0,
(13.111)
(13.111)
(13.112)
(13.112)
(13.113)
(13.113)
откуда после введения обозначений
с д (rs)ds
呼=幾上+侬=;M(产9)
имеем
S + l；=-aEr 万'好+ 17=-a圆京
Интегрируя эти уравнения по времени / в пределах от / = 0 до % находим
S «)=厂窑=е" S (0) - Еа〃謂册 dt ,
°,(13.114)
Г (/)=啓尹=。-织 Г (0) 一 Ear J * е% dt ・
Вместо S(0) и IF(0), равных значениям S и 步 в момент / = 0, т. е. двух совершенно произвольных функций от г, мы можем записать
S (0) = £а二嚼А , Г(0) = £а 旦禺#, (13.115)
обозначив через 屮1(厂)и 屮2(厂)также произвольные функции от г. Тогда, интегрируя по частям входящие в квадратные скобки (13.114) интегралы, найдем
皀е”/1嚼一閉嗚〜/• O3.U6)
Таким образом, из уравнений (13.114) находим
tit
(13.117)
Эти два уравнения для двух неизвестных s и у можно еще раз проинтегрировать по г в пределах от г=0 до г, воспользовавшись равенством
при помощи которого в левой части первого из выражений (13.117) посредством соотношения
вводится третья произвольная функция s0, зависящая от времени 力 и равная значению s в центре диска г = 0 в момент вре* мени /. Если, кроме того, обозначить через 0о температуру при г=0, а через
0加=煮 J Br drо
среднюю температуру диска (в любой момент времени), то введенные две произвольные функции (pi(r),屮2(厂)определятся из начального температурного напряженного состояния диска при / = 0, о котором мы знаем】)，что в момент /=0
s = Of + Or = Ea(%_%=o，
w = £а I — 0 + ~ f 0г dr J ,(13.118)
\о
- %爲.
】)См. § 13.3, А, равенства (13.50), которые, однако, относились к случаю длинного цилиндра, находящегося в состоянии плоской деформации е2=const и в которых теперь, чтобы их можно было применить к тонкому круглому диску, находящемуся в плоском напряженном состоянии, комбинацию параметров £а/2(1—V)в выражениях для Or, о» следует заменить комбинацией Еа/2, что приводит к выражению (13.118) (см. также § 13.3, равенства (13.64) и (13.65)).
Таким образом,
Ф1 (^) - Ф1 (°)= (0о ~ 0ко，屮2&)= У + 鲁 j Hr dr\ • (13.119)
\0 人"
Третья произвольная функция s0, равная значению s = ^ + + Ог при 厂=0, определяется из того граничного условия, что на периферии диска г = а радиальное напряжение аг должно обращаться в нуль или что в любой момент времени / имеем аг = =(1/2) (s ——侬)=0, s = w при 厂=〃,откуда и находится неизвестное значение s0:
So = Еа 8他一备一So = Еа 8他一备一У仇一書）2."出.e 0-У仇一書）2."出.e 0-(13.120)(13.120)
So = Еа 8他一备一
So = Еа 8他一备一
У仇一書）2."出.e 0-
У仇一書）2."出.e 0-
(13.120)
(13.120)
Мы получили окончательный результат: распределение температурных напряжений 6 тонком диске из вязко-упругого материала 6 любой момент времени / выражаемся в виде
一-t/te f一
s = d + " = Ea 8他一80 -3*-j (8加一9q)e""山， ■0■
(13.121)
з =gf = Е。—8 + 戸 jar dr +j0r dr\ et/tedt \,
-00/-
чем определяются температурные напряжения o「=(i/2)(s —侬), 。土=(1/2) (s +侬),следующие за изменяющимися во времени распределениями температур 0=f (г, /).
Предположим, что температура 0 устанавливается начиная с момента t = t{ ]). Тогда, отсчитывая / от %=友，можно величину 0, входящую под интегралы по времени в выражениях (13.121), вынести из-под знаков интегралов и, используя равенство
je“i(e J), о
1) Понятно, что для поддержания любого установившегося распределения температуры 0=/(г), не являющегося решением уравнения А8=0, требуется, чтобы в тонкий диск через его плоские поверхности подводилось тепло или отводилось из него.
выразить s и 侬 в виде
(13.122)(13.122)5 =万a限一6)葭"，
(13.122)
(13.122)
侬= Еа{ — e + 0r dr^e~tlte
и найти напряжения о> и а^:
“ =(1/2) (s —侬)=(1/2) Еа (办一^ j 0г 公卜к
Z о ，\(13.123)
6 = (1/2) (s + 侬)=(1/2) £a 0^ - 29 4- ^ J 0r dr е~ше.
Выражения перед временным экспоненциальным множителем е~^е представляют собой начальное напряженное состояние при / = 0 (это известные выражения 0(屮干1|/), введенные в § 13.3,А, см. соотношения (13.51)). Таким образом, температурное напряженное состояние 6 вязко-упругом диске, 6 котором поддерживается установившееся распределение температур 0=/(г), постепенно исчезает благодаря релаксации, а первоначально упругие деформации преобразуются в остаточные.
В процессе этой релаксации точки диска движутся с радиальными скоростями 〃，
〃=需=呜=一 a ；：：)a (emr - 7 J Or dr) (13.124)
по которым вычисляются радиальные смещения
г
р = ^£ [1 + (1 ~ 2v) е-^] +-^ [3 ~ (1 ~ 2v) е^Ц ・ j 9r dr. (13.125) о
Отсюда при г = а на периферии диска в любой момент времени получаем
р“ =。。匕=const(13.126)
——интересный результат^ заключающийся 6 том, что при релаксации напряжений в сплошном вязко-упругом диске, находящемся в установившемся поле температур 0 = /(г), на его боковой поверхности не происходит ни сжатия^ ни расширения сверх того радиального смещения pa =(za®m, которое приобрел бы диск, если бы в нем поддерживалась постоянная температура
0m = const. Однако внутри диска будет происходить небольшая перегруппировка положений точек, испытывающих радиальные смещения [р(г)]%=8, которые они в конце концов совершают.
Предположим, что после полного исчезновения температур- ных напряжений аг, о力 диск быстро охлаждают и его темпера- тура 0 = f(г) падает до нуля. Нагретый и испытавший релаксацию диск будет полностью свободен от напряжений, однако после охлаждения в нем снова должны возникнуть напряжения из-за температурного объемного сокращения —За9, испытываемого его элементами. Поскольку это равносильно наложению на поле — 0 температурного поля 0 = f(г), то очевидно, что, будучи охлажденным^ диск подвергнется действию системы остаточных температурных напряжений, в точности равных по величине и противоположных по знаку напряжениям, выражаемым соотношениями (13.123), в которых нужно положить / = 0.
Тепловой удар, испытываемый слоем вязкого материала, мгновенно переходящим в состояние пластического течения при очень низких температурах. Металлы с кубической гранецентрированной (г. ц. к.) или плотноупакованной гексагональной (гекс) структурой решеток проявляют в испытаниях на растяжение при температурах, приближающихся к абсолютному нулю 7 = 0, неожиданно большую тягучесть. Например, чистый никель (г. ц. к.) и цирконий (гекс) при нормальной температуре Т = 300° К (0 = 27℃) и при очень низкой температуре 7 = 4,2° К (температура кипения жидкого гелия) при атмосферном давлении обладают пределом прочности при растяжении 6, max и предельной деформацией удлинения 8, приведенными в прилагаемой таблице 9.
Таблица
Металл
7 = 300。к
Т = 4,2° К
Предел прочности при растяжении о,,
/, max кг/см2
Предельное удлинение е
Предел прочности при растя- жении 仇，
Z, шах кг[с^
Предельное удлинение е
Никель
3860
0,54
7180
0,62
Цирконий
2460
0,35
6470
0,47
I) См. кривые «напряжение — деформация» при растяжении в § 16.8, стр. 730, на которых основаны приведенные выше данные.
Механическая работа деформирования о), необходимая для растяжения этих материалов до точки разрыва, равная площади под кривой «напряжение ——деформация» при растяжении и выражающаяся как работа растяжения [кг • м/см3], дается в следующей таблице:
Таблица
Температура, °К
Удельная механическая работа, ка・<и/сл?
никель
цирконий
300
4
(0 = 16
со = 34
(0 = 8
® 26
Согласно принципу сохранения энергии, эта механическая работа о)переходит в тепло. Эквивалентное количество тепла \ккал!см^\
" = з〃 = 0,00234а),
где / = 427 ^г • м/ккал — механический эквивалент тепла (число Джоуля)——составляет соответственно:
при Т = 300° К : Н = 0,0374 ккал/см3 для никеля,
Н = 0,0187 ккал/см3 для циркония,
при 7 = 4° К ：Н = 0,0795 ккал/см3 для никеля,
Н = 0,0608 ккал/см3 для циркония.
Это тепло будет изменять указанные выше значения температуры.
В испытаниях на растяжение, проведенных с этими и другими (схожими по структуре) металлами при очень низкой температуре, около 4° К, обнаружилось весьма странное неожидан^ ное явление, открытое Бесселем, чему мы специально уделим внимание. Хотя даже при 78° К (—195℃) регистрируются гладкие диаграммы «напряжение — деформация», при температуре 4,2° К на этих диаграммах появляются очень правильные мелкие зубцы 9，часто следующие друг за другом. Амплитуда этих зубцов увеличивается с возрастанием полного пластического удлинения 8, ясно свидетельствуя о том, что при 4° К текучесть перестает развиваться однородно на длине рабочей части и что в растягиваемых стержнях формируются бесчисленные дискретные слои сдвигов, каждый из которых приводит к резкому изменению наклона кривой «напряжение ——деформация». Нам представляется вероятным, что эти мелкие зубцы появляются
Такие кривые с мелкими зубцами можно увидеть на рис. 16.64—16.66.
на диаграмме вследствие своеобразных условий теплопроводности в металлах, которые возникают при очень низких темпе
ратурах и ответственны за выравнивание распределения тепла, выделяющегося в слоях сдвигов. Чтобы изобразить эти уело-
Рис. 13.25. Тепловые характеристики никеля при очень низких температурах: удельная теплоемкость с。 (ккал!кг-°]^\ коэффициент теплопроводности k (ккал/см • се/с«°К); коэффициент температуропроводности а2 =々/coYo (см2/сек).
(ккал/см • сек • °К), и коэффициента температуропроводности 壮= =々/&丫0 в зависимости от абсолютной температуры Т (у([кг/см3]~- удельный вес, который считается неизменным) в интервале от абсолютного нуля до 7 = 300° К = 27°С 】).Эти параметры входят в уравнение теплопроводности Фурье (уравнение (13.17)):
08It08It«2Д0,«2Д0,2 kа2 =QYo2 kа2 =QYo(13.127)(13.127)
08
It
08
It
«2Д0,
«2Д0,
2 k
а2 =
QYo
2 k
а2 =
QYo
(13.127)
(13.127)
Из рис. 13.25 видно, что при низких температурах удельная теплоемкость с。быстро уменьшается при приближении к абсолютному нулю, а коэффициент теплопроводности, возрастая, преходит через резкий максимум и затем быстро падает с уменьшением абсолютной температуры 9, причем оба обращаются в нуль при Т = 0. Видно также, что коэффициент а2^ =力/&丫0 неограниченно возрастает с приближением к 7 = 0. Эти факты указывают, что для точной записи уравнения Фурье в широком диапазоне температур потребовалось бы рассматривать коэффициенты 方 и 々 как функции температуры 0, что привело бы к непреодолимым трудностям при решении задач теплопроводности. Однако несколько интересных выводов можно получить непосредственно из рис. 13.25. Кроме того, можно полагать, что коэффициент температуропроводности 0 с увеличением работы холодного деформирования уменьшается тем больше, чем сильнее растягивается металл при таких низких температурах вследствие увеличения числа мелких площадок кливажа в кристаллических зернах.
Эти обстоятельства делают вероятным следующее: по достижении критического состояния разрывного течения в дискретных слоях сдвигов тепло, выделяемое внутри этих тонких слоев, не может одновременно достаточно быстро уходить в прилегающие холодные части металла и температуры внутри таких слоев значительно возрастают, вызывая соответствующее каждому зубцу быстрое падение предела текучести и нагрузки, происходящее до тех пор, пока разность температур не исчезнет благодаря теплопроводности.
1) В интервале от 7=0 до Т=40°К, согласно таблицам Бюро стандартов (см. предыдущее примечание), коэффициент теплопроводности 论[вт/см ♦ °К] изменяется по закону
^-аГЧрГ-1, (13.128)
где константы а и 0 равны для
никеляа—10,4 • Ю-50=4,6
цирконияа=125- Ю-50 = 34
железаа=10,2 • 10~50=9,6
медиа=2,5 • 10-50=0,35
Аналитический максимум 电 вычисленный по уравнению (13.128), имеет место при 7т= (0/2а)1/з, причем максимальное значение 月 равно 月тах = =(2/3) (2а02)т/з в малой окрестности Т=0 коэффициент теплопроводности 左 можно приближенно выразить в виде
々= 2,39・КГ4仔)々= 2,39・КГ4仔)ккал/см* сек*°К,ккал/см* сек*°К,(13.129)(13.129)
々= 2,39・КГ4仔)
々= 2,39・КГ4仔)
ккал/см* сек*°К,
ккал/см* сек*°К,
(13.129)
(13.129)
откуда находим для никеля ^=7,0 • 10-6 Г и для циркония ^ = 5,2 • 10-5 Л
Подсчитаем сначала возрастание температуры Д0 в растягиваемых стержнях, обусловленное выделением количеств тепла ",о которых уже говорилось, допуская временно, что тепло не рассеивается за счет теплопроводности. Для опытов при комнатной температуре мы можем считать Н = уосо\ду используя неизменное среднее значение удельной теплоемкости % отвечающее 7 = зб0°К, а именно для никеля Со = О,1О8 и для циркония с。= 0,066 \кал/°К\. Учитывая, что удельные веса соответственно равны уо = 0,0085 и 0,0065 [кг/см3], мы находим, что температура растягиваемого стержня возрастает (при Г = 300° К) на
Д0 = 4О,8 ℃ для никеля
Д0 = 43,6 ℃ для циркония
Для опытов, выполненных при 4° К, ожидаемое увеличение гораздо больше; здесь мы должны учесть изменение удельной теплоемкости с° с температурой, положив
" = Yo j cQ(T) dT = у^с^^д.(13.130a)
4°K
Для вычисления среднего значения с° в неизвестном интервале от 7\ = 4° К до Т заменим показанную на рис. 13.25 кривую ，о(7) параболой, проходящей через точки (7 = 0,方=0) и (Г2 = =300° К, ，о2), положив ，о = Со2(力/「2)%• Это дает для неизвестного верхнего предела Т в интеграле (13.130а) соотношение
Ш
3俘 =3Н
Таким образом, для увеличения температуры испытываемого на растяжение 九р〃 4° К стержня вследствие выделения тепла Н за счет механической работы со в первом приближении находим следующие значения Д0 при 4° К:
Л0 = 172 ℃ для никеля,
Л0 = 239℃ для циркония,
е. получается увеличение А0 для никеля в 4,2 раза, а для циркония в 5.5 раза по сравнению с испытаниями при комнатной температуре.
Рассмотрим теперь характер течения при 4° К и то обстоятельство, что образуются отдельные слои текучести.
Предположим, что в растягиваемом стержне последовательно образуются п тонких плоских слоев сдвига. Тогда в каждом слое происходит преобразование механической работы ①/几 в количество тепла Н/п. Но поскольку течение в данный момент
концентрируется внутри одного слоя, занимающего (1/п) объема стержня, то плотность удельной работы и количество выделяемого тепла в единице объема слоя, охваченного течением, как раз равны со н " соответственно. Таким образом, предположим, что нагревшийся слой толщиной 2h в момент £=0 имеет постоянную температуру, скажем 0 = 0О = const, при ——力《尤《力 и соприкасается с двух сторон с холодным металлом при температуре 0 = 0, ——8<%<——й, Л<х<оо. Нас интересует, как быстро тепловой удар, которому подвергается этот
Рис. 13.26. Температура 0 в окрестности пластического слоя толщины 2/г металла после внезапного наступления течения.
/ — материал не течет; 2 — течет; 3 —временно не течет.
слой в результате внезапного повышения его температуры до 0о (0о= 172℃ в никеле и 0О=239℃ в цирконии), рассеется за счет теплопроводности в прилегающих холодных частях металла.
Решение этой классической задачи теплопроводности для случая, когда коэффициент а2 = k/yQc постоянен (не зависит от температуры 0), хорошо известно!). Оно выражается в виде зависимости 0 от времени / симметричными кривыми (рис. 13.26), построенными по уравнению
8=4回昜hm爲)卜(⑶⑶)
где 2 — гауссов интеграл ошибок от указанных аргументов.
I) См. стр. 488 (Франк и Мизес, цит. соч., т, 2, стр. 627),
В средней плоскости % = 0 подверженного течению слоя температура уменьшается со временем / согласно соотношению
8 =書加(0)=瓦2(^^)=瓦巾(]/ 号｝(13.132)
где
2 =上=互 力=且=殁。С。
4a2f t ' ° 4a2訣 *
Значения этой температуры приведены в таблице.
Таблица
О
ОО
3
2,5
2
1,5
1
th
0
0,111
0,160
0,250'
0,444
1
в/%
1
1,000
1,000
0,995
0,966
0,843
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,0316
0,01
/〃0
1,563
2,778
6,250
25
100
1000
10 000
е/0о
0,742
0,604
0,428
0,223
0,112
0,035
0,0112
Скорость уменьшения температуры равна
^二兽Е^ = 一备*L・（⑶侬）
красивое симкрасивое симДля наибольшего значения скорости получаем
красивое сим
красивое сим
метричное выражение
fL=T>^)3/2^fL=T>^)3/2^(13.134)(13.134)
fL=T>^)3/2^
fL=T>^)3/2^
(13.134)
(13.134)
определяющее точку перегиба / на кривой зависимости температуры от времени (рис. 13.27) при
h = (2/3) /0,瓦=еоф (1,225) = О,91940о.
Это решение показывает, что температура 0 в средней плоскости % = 0 слоя, в котором происходит течение, падает со временем / тем быстрее, чем меньше /о и чем больше коэффициент q2 = kjy^c^
Поскольку предыдущие простые соотношения основаны на использовании фиксированных (не зависящих от температуры) значений тепловых величин з, k и а2, то требуется некоторый анализ для того, чтобы оценить их правдоподобные значения во втором случае, с которым мы главным образом имеем дело: имеются в виду испытания на растяжение при очень низкой температуре 4° К. Рассматриваемый тепловой удар мгновенно
Рис. 13.27. Падение температуры 0 со временем t в средней плоскости % = 0 слоя, внезапно перешедшего в пластическое состояние.
нагревает некоторый тонкий слой, где имеет место течение (в никеле при 172° С, так что значения а2 для никеля составляют ” = 0,256 см2/сек при 200° К и “2 = 0,920 см?Iсек при 100° К). Поэтому мы не ошибемся очень сильно, предположив, что если температура Т изменяется между 200 и 100° К, то а2= (2/3) X X (0,920—0,256) =0,440 см2/сек и, следовательно, t° = h214a?= = /i2/l,76. Допустим, что толщина охваченных течением слоев равна 0,1 см, тогда /i = 0,05 см и /0 = 1,42 • 10-3 сек. Значения абсолютной температуры Т при охлаждении, вычисленные на основании таблицы на стр. 509 в средней плоскости % = 0 (см. рис. 13.28, кривая 2-2), приведены в следующей таблице.
Таблица
Время / • 103, сек
0
1,42
35,5
142
ОО
Абсолютная температура
7, °К
176
149
42
24
4
Температура в слое, где происходит течение, уменьшается от 176 до 24° К за 0,142 сек. Однако было установлено】)，что предел прочности никеля вблизи абсолютного нуля уменьшается приблизительно линейно в диапазоне температур 0<Г<200° К, согласно уравнению
^l max =7400— 19Т.(13.135)
Таким образом, при удержании температуры теплового удара на ее высоком начальном уровне Г = 176° К лишь в течение
Рис. 13.28. Рассеяние теплового удара в тонком слое течения Людерса в никеле.
Кривая /-/: испытание на растяжение при комнатной температуре. Кривая 2-2: испытание на растяжение при 4° К.
такого очень короткого промежутка времени произошло бы существенное снижение а；тах (и предела текучести): от 7400 до 4050 кг/см2, если чуть увеличить этот промежуток. Наши грубые оценки последствий рассмотренных тепловых ударов, распределяющихся по тонким слоям металла, представляют собой достаточное доказательство того, что странные зубцы на диаграммах «напряжение ——деформация», которые получаются при температурах, приближающихся к абсолютному нулю, Т=0, вызываются повторяющимися падениями предела текучести в течение кратких следующих один за другим периодов концентрации тепловой энергии в слоях, где происходит пластическое течение. Колебания нагрузки становятся ясно выраженными
I) Это установил Бессель (см. § 16.8, рис. 16.58).
при 4° К, так как при этой температуре работа со, требуемая для пластической деформации никеля, более чем вдвое, а для деформации циркония даже более чем втрое превышает ту, ко« торая затрачивается при комнатной температуре; кроме того, способность материала увеличивать температуру при превращении механической работы в тепло в громадной степени возрастет за счет уменьшения удельной теплоемкости с。до исчезающе малых значений.
Взаимосвязь между зубцами на кривых и короткими тепловыми ударами подтверждается также наблюдениями, проведенными над кривыми «напряжение ——деформация» для циркония при 4° К. Зубцы становились заметными сразу после загиба диаграммы и увеличивались до гораздо больших амплитуд, чем в никеле. Это связано с тем, что здесь: 1) удельная теплоемкость, грубо говоря, наполовину меньше; 2) увеличение температуры Д0 в 1,4 раза больше; 3) предел прочности вблизи абсолютного нуля падает с ростом температуры в 1,5 раза быстрее, чем в никеле, — все три причины приводят к увеличению относительной амплитуды колебания нагрузки в цирконии по сравнению с никелем.
Мы можем завершить эти рассуждения о пластическом поведении металлов при очень низких температурах замечанием, что концентрация тепловой энергии в областях мельчайших ослаблений, где начинаются и откуда распространяются по рас* тягиваемому образцу слои сдвигов, может создавать малые неустановившиеся поля температурных напряжений вокруг скоплений, из которых начинают расти зоны пластических деформаций; кроме того, как это ни странно, эти пока еще слабо изученные тепловые явления могут способствовать пониманию механического и пластического поведения металлов в совсем еще мало исследованном диапазоне самых низких температур.
Глава 14
ВНУТРЕННИЕ И ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Введение. Под внутренними напряжениями мы понимаем систему напряжений, которые могут существовать в равновесии внутри тела, когда к его поверхности не приложены ни нормальные, ни касательные напряжения. Однако внутренними будут и напряжения в подвергаемых действию сил на торцах тонких призматических или цилиндрических стержнях, боковые поверхности которых свободны от напряжений, при условии, что результирующие этих сил и их главные моменты равны нулю. Внутренние напряжения могут возникать и в идеально упругой среде. В § 5.4, А мы упоминали о таких напряжениях в замкнутом упругом кольце, внутренняя и наружная поверхности которого полностью свободны от напряжений, тогда как внутри действует некоторая система радиальных и тангенциальных внутренних напряжений; мы заметили, что такая система напряжений встречается всякий раз, когда одна из компонент упругого смещения не является однозначной функцией одной из координат. Несколько примеров для упругих тел упоминались в предыдущей главе; они относятся к неоднородным распределениям температуры в цилиндрах и дисках, которые могут деформироваться температурными напряжениями без каких бы то ни было внешних нагрузок.
Внутренние напряжения могут, однако, возникать в твердых телах и по другим причинам. Если часть или несколько частей тела подвергались необратимому деформированию за пределом упругости и затем внешние нагрузки и моменты удалялись, то в чрезмерно деформированных областях и вокруг них будут действовать внутренние напряжения, которые в этом случае называются остаточными напряжениями 9. Приводящее к их возникновению течение может иметь пластическую природу, как
Немецкие инженеры называют их собственными напряжениями по аналогии с собственными функциями, введенными математиками для обозначения функций, которые соответствуют определенным значениям (собственным значениям) параметров дифференциального уравнения при заданных граничных условиях. Понятие внутренних напряжений было предложено как общее понятие для этого типа напряжений, создаваемых самим телом; термин остаточные напряжения закрепляется за случаем, когда внутренние напряжения обусловлены необратимым деформированием.
в ковких металлах, или вызываться медленной необратимой ползучестью при повышенной температуре и продолжительном действии нагрузок; в вязко-упругих средах оно может обусловливаться вязкими частями деформации, которые могут накапливаться, когда тело находится в деформированном состоянии в течение большого промежутка времени.
Если, например, твердый стальной шар вдавливается в кусок ковкого металла, то материал вокруг потекшей при необратимом сдавливании части не может остаться ненапряженным после удаления нагрузки, поскольку область под шаром подвергается действию нормальных сжимающих напряжений в боковом направлении. Пластически деформированная часть ведет себя подобно жесткому клину, вдвинутому в полено. Тем, кто имел дело со сталью, знакомы остаточные напряжения, имеющие место в стержнях, полученных холодной прокаткой, сопровождающейся большими пластическими деформациями, или протягиванием, особенно после того, как такие изделия подвергнутся последовательным обжатиям в процессе повторяющихся циклов холодной обработки без отжига. Сильно перетянутая проволока или стержни могут содержать внутри образовавшиеся от растяжения периодически расположенные трещины и даже оказаться совершенно бесполезными после того как испытают чрезмерную необратимую деформацию.
Остаточные напряжения могут быть вызваны структурными изменениями в определенных частях тела, удельный объем которого претерпел изменения в результате аллотропного превращения кристаллического строения этого тела, или образования некоторой новой фазы в сплавах в процессе термообработки, нормализации, упрочнения, закалки, диффузии углерода или газа (азота) в сталь через поверхность и т. п. Часто они бывают следствием комбинации эффектов, вызываемых изменениями объема в процессе формирования новой фазы в кристаллической структуре, и температурных напряжений, возникающих из-за неодинакового сокращения материала, когда температуры снова уравниваются.
Распространенным примером являются повреждения, наносимые колесам железнодорожного вагона во время резких торможений, после которых внешняя часть (толщиной в долю дюйма) надетого на колесо обода может, как видно на глаз, нагреться до красного каления за счет тепла, выделяемого при трении о тормозные колодки, тогда как за пределами нагретого до красного каления края материал колеса остается холодным; в результате сильно перегретая часть обода должна тут же потечь под действием сжимающих напряжений (пока она еще горячая) и сразу же после этого подвергнуться быстрому охлажде-
нию (закалке) из-за отвода тепла посредством теплопроводности в холодные части колеса. Хотя вследствие у-а полиморфного превращения в стали, сопровождающего закалку, происходит увеличение объема, во время теплового сокращения, которое следует за общим охлаждением края, остаточная усадка превосходит предшествующее растяжение, направленное по периферии, и делает диаметр внешних частей обода слишком малым, чтобы они могли согласоваться с внутренними частями. В результате этого нагретые раньше до красного каления части обода благодаря растяжению становятся сильно деформированными в тангенциальном направлении !).
'В то время как остаточные напряжения опасной величины в важных частях конструкций являются нежелательным последствием определенных процессов изготовления и должны устраняться посредством отжига, в некоторых случаях они приносят пользу и служат для понижения максимальных растягивающих напряжений деталей машин в рабочих условиях.
Австрийский генерал артиллерии Ухатиус был одним из первых, кто предложил использовать преднапряженные области сжатия в стенках пушечных стволов, изготовлявшихся в старину из литой бронзы; такие области создавались протаскиванием через ствол болванки, диаметр которой был чуть больше внутреннего диаметра ствола. Это привело к хорошо известному процессу автофреттажа при изготовлении толстостенных стволов артиллерийских орудий, который применяется в настоящее время на артиллерийских заводах и заключается в следующем. Стальные стволы подвергают действию высоких гидростатических давлений и слегка необратимо расширяют с целью создания вокруг отверстия направленных по периферии остаточных напряжений сжатия, которые существенно снижают максимальные растягивающие напряжения, возникающие во время выстрела.
Второй пример, на который можно сослаться,——это запредельное вращение дисков паровых турбин. Диски больших паровых турбин, вращающиеся с высокими угловыми скоростями, испытывают значительное двухосное растяжение). Чтобы
предотвратить возможное из-за скрытых дефектов разрушение таких дисков, обычно практикуется их опробование на испытательных площадках, заключающееся во вращении дисков с угловыми скоростями, которые выбираются для обеспечения безопасности на 10——20% выше рабочих. Сплошные диски или диски со ступицами могут, таким образом, слегка расширяться пластически вокруг центра или поблизости от ступицы; после такого запредельного вращения в дисках появятся остаточные напряжения сжатия в той критической области, где в рабочих условиях растягивающие напряжения максимальны!).
В качестве дальнейшего примера упомянем о неожиданно большой прочности на изгиб искусственно закаленных стеклянных пластин. Если нагретую до красного каления стеклянную пластину подвергнуть быстрому охлаждению, обдувая ее с обеих сторон холодным воздухом, то затвердевание произойдет в некотором тонком слое, внутри же пластины, где материал остается еще вязким, температура первое время остается неизменной. В кварце и стекле, обладающих низкими коэффициентами температурного расширения (по сравнению с металлами), в результате этого сперва создаются в охлажденных поверхностных слоях растягивающие напряжения, которые сравнительно не высоки. Затем мягкие внутренние части постепенно остывают, растягивающие поверхностные напряжения переходят под действием постепенного температурного сокращения внутри пластины в сжимающие, но стекло, обладая высокой прочностью на сжатие, хорошо им сопротивляется в закаленных поверхностных слоях. В то же время, поскольку значения вязкости в нагретых внутренних частях малы, возникающие там небольшие растягивающие напряжения ни к каким повреждениям не приводят. Высокие остаточные напряжения сжатия, образующиеся в обоих поверхностных слоях, дают огромное повышение прочности стекол на изгиб в тех применениях, когда стекла подвергаются действию растягивающих (изгибающих) усилий.
В ранних работах Хейна по остаточным напряжениям от его внимания не ускользнуло, что последние оказывают влияние также и на микроструктуру металлов и могут присутство-
I) См. S t о d о i a A., Steam and Gas Turbines, v. 2, p. 1080, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York; L a s z 1 d F., Geschleuderte Umdrehungs- korper im Gebiet bleibender Deformation, Z. angew. Math, und Meeh., № 5, 281 (1929). Заметим, что помимо зарождения благоприятной системы остаточных напряжений в дисках из ковких металлов с ярко выраженным деформационным упрочнением будет также происходить местное возрастание прочности при условии, что эффект Баушингера не аннулирует достигнутых преимуществ.
вать внутри и вокруг кристаллических зерен в качестве микро- остаточных напряжений, которые он назвал скрытыми упругими напряжениями !).
Подобно этому, как нам представляется, в связи с двумя видами поверхностей скольжения при пластической деформации металлов, а именно грубыми слоями течения, следы которых появляются как линии Людерса на полированной поверхности мягкой стали, и небольшими пачками поверхностей соскальзывания (линии скольжения) внутри кристаллических зерен, можно различать два вида внутренних напряжений в зависимости от того, сравним ли по порядку величины размер области, где они возникают, с размерами напряженного тела или с размерами кристаллических зерен.
Первый метод вычисления остаточных напряжений, вызванных течением. В металлах, обладающих определенным пределом текучести, остаточные напряжения после разгрузки в первом приближении можно вычислить, исходя из предположения, что после пластического деформирования и последующего снятия нагрузки эти металлы ведут себя как идеально упругие тела. Пусть материал идеально пластичный; примером
В прот ивоположность использованному Хейном названию Reckspann- ungen (внутренние напряжения). См. Н е у n Е., Festschr. Kaiser Wilhelm Ges., 121 (1921); Stahl und Eisen, (1917), а также: Martens A., H e у n E., Materialienkunde, 2d ed., p. 280, Springer, Berlin, 1912. Об остаточных напряжениях в тянутой латуни см. М a s i n g G., Veroffentl. Siemenskonzern, Berlin, 3, № 1 (1923); № 2 (1924); 5, № 1, 2 (1925); Z. Metallk., 257 (1924); Proc. First and Second Intern. Congr. Appl. Mechanics, Delft, 1924, Zurich, 1926, а также Sachs G., E s p e у G., Residual Stress in Cartridge-trass Tubing, Paper 1386, Metals Technol., Sachs G., Tightness of Expanded Tube Joints, ASME Applied Mechanics Meeting, 1947.
О микро-остаточных напряжениях см. серию статей Ласло [L a s z 1 о F., Tesselated Stresses, parts 1—5, /. Iron Steel Inst. (London), p. 173 (1943); p. 183 (1944); p. 207 (1945); p. 5 (1950)]. В этих статьях он рассмотрел системы напряжений и деформаций, возникающих внутри и вокруг определенных идеализированных элементарных блоков (в материале с переслаивающимися двумя фазами), встроенных в общую матрицу и беспорядочно ориентированных в ней. Рассматривались случаи, когда такой агрегат подвергался действию однородного поля напряжений или когда его температура внезапно понижалась; автор пытался таким образом предсказать те микронапряжения, которые могли бы возникать в перлитной фазе в стали или в неоднородных материалах.
В отношении остаточных напряжений читателю рекомендуется обратиться к блестяще написанной краткой монографии Хейндлхофера: Heindb- hofer К., Evaluation of Residual Stress, 186 pp., Metallurgy and Metallurgical Engineering Series, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1948, гДе дан также обзор разнообразных методов экспериментального определения таких напряжений. Специальное внимание этому вопросу уделено в сборнику: Осгуд В. (ред.), Остаточные напряжения, ИЛ, М,, 1956. ”
может служить малоуглеродистая сталь, обладающая известной идеализированной диаграммой «напряжение ——деформация» для нагружения и разгрузки, воспроизведенной на рис. 14.1, где показано, что рабочее напряжение снижается от его значения на пределе текучести В до напряжения текучести
Рис. 14.1. Идеализированная диаграмма «напряжение —деформация» для нагружения и разгрузки.Рис. 14.1. Идеализированная диаграмма «напряжение —деформация» для нагружения и разгрузки.Рис. 14.2. Остаточное напряжение т в подвергшемся необратимому кручению круглом стержне.Рис. 14.2. Остаточное напряжение т в подвергшемся необратимому кручению круглом стержне.
Рис. 14.1. Идеализированная диаграмма «напряжение —деформация» для нагружения и разгрузки.
Рис. 14.1. Идеализированная диаграмма «напряжение —деформация» для нагружения и разгрузки.
Рис. 14.2. Остаточное напряжение т в подвергшемся необратимому кручению круглом стержне.
Рис. 14.2. Остаточное напряжение т в подвергшемся необратимому кручению круглом стержне.
О, отвечающего течению при измененных знаках напряжений. Считая деформации малыми, обозначим через
о*, о*, а*, т* , т* , £
систему напряжений в тот момент, когда в теле прекращается течение (точка В на рис. 14.1), а через
i
——систему напряжений, которые действовали бы в теле, если бы оно было идеально упругим; они выбираются так, чтобы при комбинировании с предыдущей системой получались требуемые значения результupующих сил и моментов. При полной разгрузке последняя система напряжений должна исчезать, но при частичной разгрузке они будут принимать определенные значения. Получающиеся разности напряжений
% =0：一。*% =嗑一吃，…(14.1)
определяют систему остаточных напряжений.
Пример 1. Остаточные напряжения при кручении. Предположим, что круглый стержень из мягкой стали подвергается скручиванию, выводящему у@ пределы упругости при круче耳貝％ а зат^м крутящий момент снимаете%
Ломаная линия О АВ представляет собой касательное напряжение т* в зависимости от переменного радиуса г (рис. 14.2), где т0 — предел упругости при простом сдвиге； т*, у* — касательное напряжение и деформация сдвига на окружности радиуса г; 0* — относительный угол закручивания в момент, когда течение только что прекратилось. Если стержень разгружают, он раскручивается на некоторый угол 0\ и деформация сдвига вдоль некоторого круга радиуса г уменьшается от своего первоначального значения у*=г6* на величину y^rQ^ становясь равной
Y = Y*-V = r(е*-&), (14.2)
а касательные напряжения уменьшаются на величину т,=С07=та,г/а. Вычитая эти значения т‘ из значений, представленных ломаной линией ОАВ, получаем набор ломаных линий, изображающих распределение касательных напряжений
т = т* - т^ (14.3)
вдоль радиуса г при разгрузке (рис. 14.3) и соответствующих раскручиванию на угол 6‘. Линия О А'В' с показанными штриховкой ординатами представляет собой остаточные напряжения т при полной разгрузке, когда внешний крутящий момент М=М*——Mf обращается в нуль или когда
“ =(1/2)冗tA； = (1/2) JidG^ = M* = лт0 (書一^) , (14.4) откуда
W =*(4-％), (14.4a)
где c ——радиус, до которого доходит область течения; а ——наружный радиус стержня; Тд — упругое напряжение разгрузки при г=а. Если происходит дальнейшее увеличение угла раскручивания 6‘， касательное напряжение т при г—а может достигнуть значения т=——То и в стержне снова начнется течение в противоположном направлении.
Указанный выше метод можно также применять к деформационно-упроч- няющимся металлам, в которых октаэдрическое касательное напряжение, соответствующее течению, монотонно возрастает с октаэдрической деформацией сдвига, согласно уравнению to = f(Yo).
Пример 2. Рассматривая снова испытание круглого стержня на кручение (см. т. 1, гл. 21), мы можем получить распределение остаточных напряжений сдвига т для деформационно-упрочняющегося металла при разгрузке, вычисляя напряжение и* по кривой «напряжение——деформация» для сдвига t*=f(Y*) =f (「6*) при прямом нагружении и вычитая из ординат этой кривой ординаты кривой т/= Gy'= т;；г/а (рис. 14.4), отвечающей обращению в нуль момента М=М* —
(14.5)(14.5)Пример 3. Аналогичным путем находятся остаточные напряжения в полом цилиндре, пластически деформированном внутренним давлением р. Пусть, например, кривая «напряжение—деформация» для чистого сдвига выражается степенной функцией 】)
(14.5)
(14.5)
т = T0Yn/2»
】)См. т. 1, § 31.2.
где то и 0<п<2 — заданные постоянные. Тогда радиальное и тангенциальное напряжения о「 и О/ в голстостенном цилиндре, длина которого предпо
лагается неизменной и в котором
Рис. 14.3. Кручение.
Ломаные линии представляют собой напряжения сдвига Т в стержне при разгрузке после предшествовавшего ей течения; линия ОА后 определяет остаточные напряжения в стержне после полной разгрузки; / — упругость; 2 — пластичность.
течение происходит по указанному закону,- можно вычислить в момент прекращения пластического течения посредством соотношений
где а и b ——внутренний и внешний радиусы цилиндра. Остаточные напряжения после снятия давления р можно найти, вычитая
Рис. 14.4. Начальные напряжения текучести т* и остаточные напряжения т в скрученном круглом стержне.
Рис. 14.5. Остаточные напряжения ”，О/ в цилиндре, пластически деформированном внутренним давлением р.
из предыдущих значений
цилиндре (они могут быть ложить п=2), а именно
о； и
о； те, которые были бы
в идеально упругом
получены, если в предыдущих выражениях по-
%
方/ (3 + 1卜
(14.7)
откуда
(14.8)
Эти соотношения остаются справедливыми при условии, что в процессе снятия давления р ни в одном месте внутри цилиндра второй раз не достигается предел текучести^ На рис. 14.5 приведен пример для n= 1, E=toY“・
Пример 4. Остаточные напряжения в диске постоянной толщины, вращающемся с запредельной скоростью. Будем исходить из теории течения при максимальных касательных напряжениях и примем, что диск радиуса а вращается на периферии с линейной скоростью 〃 = асо, при которой в центральных частях возникает течение. Тогда скорость 〃， которой отвечает распространение области течения до радиуса г=с, согласно уравнению (34.33), т. 1, стр. 548, 549, определяется равенством
(14.9)(14.9)必— 0 —24废
(14.9)
(14.9)
若 а0 3 (3 4- v) а4 — 2 (1 + 3v) ст с2 + (1 + 3v) с4
Здесь 〃о обозначает скорость (для тонкого свободного кольца, вращающегося в своей плоскости), при которой в кольце начнется течение,
где ао ——предел текучести при растяжении; 丫。— удельный вес материала диска; g — ускорение силы тяжести； а — характерное постоянное напряжение, определяемое уравнением (14.9). Скорость 〃 в частично охваченном течением диске для принятого закона течения можно выбрать между пределами
1,55〃оМз 〃о = 1,73〃о. (14.11)
Остаточные напряжения после остановки диска можно вычислить, находя с помощью соотношений (34.31) и (34.32), т. 1 стр. 547, 548 значения радиальных и тангенциальных напряжений аг и а/? соответствующих скорости w на периферии (определяемой выражением (14.9)), и вычитая из них напряжения о； и и； (выражения (34.27) и (34.29)), соответствующие вращению упругого диска с той же самой угловой скоростью со = 〃/а = соо Ко/оо, с которой он вращался, когда тек. Это можно проиллюстрировать двумя примерами, изображенными на рис. 14.6, рис. 14.7, на которых кривые, представляющие системы напряжении о^, az, ar, az и ar = ar — ar, ar = az — az. соответствуют случаю частичного течения, когда область гечения простирается до радиуса с=а/2, соответствующего значению характеристического напряжения а=2,65 а0 и скорости на периферии 〃 = $2,65 〃()= 1£3〃°, и случаю диска, полностью олваченного течением (с = а, и = За0, 〃 = рЗ 〃()= 1,73〃。). Распределения остаточных напряжений изображены в нижней части каждого рисунка под другими кривыми напряжений, которые служат для их построения (ординаты тангенциального остаточного напряжения показаны штриховкой). Следует отметить, что в центральной части диска напряжения сжимающие и их максимальное значение в центре диска 厂=0 составляет ar = az =—0,095ао и 0^ = 0，= = —0,238 а0 соответственно при с=о/2 и с—а. Однако когда диск вращается так, что возникает полное течение, в его центральной части создаются растягивающие напряжения значительной величины (г=а, о» =0,476 о°), из-за
Рис. 14.6. Остаточные напряжения о「, Gt в круглом диске из идеально пластичного материала после испытания на запредельное вращение; в диске возникло течение в области 0 & г《с = = q/2.
Рис. 14.7. Остаточные напряжения аг, а； в круглом диске после испытания на запредельное вращение; во всем диске развилось течение.
/ — упругость; 2 — пластичность.
присутствия которых польза от запредельного вращения со скоростью 〃 = рЗ〃о становится сомнительной. Остаточные напряжения в последнем случае (после предварительного полного течения) выражаются формулами
” =-。。(1 - *) = 一 0,238。° (1 — 2),一礬)一 0,238<4-礬).・
Рис. 14.8. Необратимое закручивание и раскручивание полых стальных цилиндров (по Бадеру).М - момент; 0 - угол закручивания.Рис. 14.8. Необратимое закручивание и раскручивание полых стальных цилиндров (по Бадеру).М - момент; 0 - угол закручивания.Второй метод вычисления остаточных напряжений на основе общего закона деформирования при разгрузке. При циклических нагружениях и разгрузках агрегаты из кристаллических зерен в твердых телах обнаруживают упругий гистерезис и последействие, а кривая «напряжение ——деформация» для ковких металлов, испытывающих течение с последующей разгрузкой, после того как напряжение изменяет знаки, заметно отклоняется от прямой линии разгрузки (эффект Баушингера). Поэтому упрощающее предположение, согласно которому в предыдущем параграфе определялись остаточные напряжения, а именно, что напряжения во время разгрузки можно вычислять, используя даваемую законом упругости линейную связь между напряжениями и деформациями, постепенно утрачивает силу по
Рис. 14.8. Необратимое закручивание и раскручивание полых стальных цилиндров (по Бадеру).
М - момент; 0 - угол закручивания.
Рис. 14.8. Необратимое закручивание и раскручивание полых стальных цилиндров (по Бадеру).
М - момент; 0 - угол закручивания.
мере того, как увеличиваются по абсолютной величине напряжения, меняющие знаки. Можно подумать об улучшении первого метода, приняв для отвечающих разгрузке ветвей кривых «напряжение — деформация» их фактическую форму, известную из наблюдений. Как это сделать, можно показать на примере кручения круглого стержня с использованием некоторых экспериментальных результатов Бадера ^ по пластическому закручиванию и раскручиванию толстостенных цилиндров из мягкой стали; результаты приведены в виде серии кривых зависимости крутящего момента М от угла закручивания 0 (рис. 14.8). Исходя из этой и аналогичной серии кривых, полученных для меди, которая предварительно растягивалась и
1) Bader W., Versuche fiber die Gleitflachenbildung in bleiben Verdrill- ten Flusseisenstaben und fiber die ihnen zuruckgebleibenen Eigenspannungen, Dissertation, Univ. Gottingen, 1927.
затем испытывалась на сжатие (см. т. 1, рис. 15, стр. 30), было установлено, что каждому сопровождающемуся наклепом нагружению соответствует некоторая ветвь разгрузки с последующим наклепом при деформировании в противоположном направлении, обладающая постепенно изменяющейся, но индивидуальной формой.
Рис. 14.9. Диаграмма «напряжение — деформация» в случае простого сдвига при прямом и обратном нагружении.
(1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2.)
Учитывая, что верхние части этих ветвей разгрузки остаются практически прямыми, предположим, что мы будем брать только одну из этих кривых разгрузки 1), сдвигая ее по оси у на рис. 14.9, представляющем собой диаграмму зависимости касательного напряжения от деформации сдвига для металла. Эту кривую будем использовать для вычисления напряжений
9 Ttans. ASME (1930).
при разгрузке, начинающейся в любой точке начальной кривой t* = f(Y), добавляя при заданном угле раскручивания 07 соответствующие значения системы 丫'=厂8‘，т/. Остаточными напряжениями тогда будут т = т* — /. Они построены на рис. 14.10, где для различных значе
ний полного угла закручи- 5х加4^
вания 0 (на единицу длины)一
изображены касательные напряжения т в сечении круглого стержня в зависимости от отношения "а (г — переменный радиус, а — внешний радиус цилиндра). Видно, что острые углы на графиках (§ 14.2, рис. 14.2, рис. 14.3), полученных ранее первым методом, теперь исчезают и что кривые для т, соответствующие большим углам раскручивания, приобретают совершенно иную форму.
Указанный метод можно обобщить дальше, рассмотрев для каждого состояния прямого пластического кручения соответствующую ему индивидуальную кривую т，=/3) разгрузки.
Рис. 14.10. Распределение напряжений сдвига т при кручении круглого стержня в процессе разгрузки и последующего закручивания в другую сторону для различных значений приходящегося на единицу длины угла закручивания 0, построенное на основании диаграммы «напряжение — деформация», показанной на рис. 14.9.(1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2.)Рис. 14.10. Распределение напряжений сдвига т при кручении круглого стержня в процессе разгрузки и последующего закручивания в другую сторону для различных значений приходящегося на единицу длины угла закручивания 0, построенное на основании диаграммы «напряжение — деформация», показанной на рис. 14.9.(1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2.)Экспериментальное определение остаточных напряжений. Снимая ступенями на токарном станке наружные части холоднотянутых латунных брусков и тщательно измеряя компаратором изменения их длины, Хейн 】)сумел показать, что в холоднотянутых металлических брусках имеются значительные осевые напряжения. На рис. 14.11, рис. 14.12 показаны распределения остаточных
Рис. 14.10. Распределение напряжений сдвига т при кручении круглого стержня в процессе разгрузки и последующего закручивания в другую сторону для различных значений приходящегося на единицу длины угла закручивания 0, построенное на основании диаграммы «напряжение — деформация», показанной на рис. 14.9.
(1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2.)
Рис. 14.10. Распределение напряжений сдвига т при кручении круглого стержня в процессе разгрузки и последующего закручивания в другую сторону для различных значений приходящегося на единицу длины угла закручивания 0, построенное на основании диаграммы «напряжение — деформация», показанной на рис. 14.9.
(1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см2.)
осевых напряжений, обнаруженные им в круглых латунных брусках, вытянутых при уменьшении диаметра с 28 до 25 мм (на первом рисунке воспроизведены остаточные напряжения через пять суток, а на втором ——через, два года после холодной вытяжки). Еслиосевых напряжений, обнаруженные им в круглых латунных брусках, вытянутых при уменьшении диаметра с 28 до 25 мм (на первом рисунке воспроизведены остаточные напряжения через пять суток, а на втором ——через, два года после холодной вытяжки). Если1) Н е у n Е., Metal! und Erz, Halle, p. 411, 1918.
осевых напряжений, обнаруженные им в круглых латунных брусках, вытянутых при уменьшении диаметра с 28 до 25 мм (на первом рисунке воспроизведены остаточные напряжения через пять суток, а на втором ——через, два года после холодной вытяжки). Если
осевых напряжений, обнаруженные им в круглых латунных брусках, вытянутых при уменьшении диаметра с 28 до 25 мм (на первом рисунке воспроизведены остаточные напряжения через пять суток, а на втором ——через, два года после холодной вытяжки). Если
во внешней части действуют растягивающие напряжения, то они частично уничтожаются удалением наружного слоя； следовательно, сжимающие на пряжения в центральной зоне образца будут уменьшаться и брусок будет расширяться в осевом направлении, и наоборот.
Первый случай Хейн наблюдал в холоднотянутых латунных прутках, тогда как прутки из закаленной стали оказывались в своей внешней части сжатыми. Однако при вычислении остаточных нормальных напряжений в осевом направлении Хейн не учел присутствия в таких холоднотянутых брусках радиальных и тангенциальных напряжений. Последние были учтены Заксом
рез пять суток после вытяжки.Осевые остаточныерез пять суток после вытяжки.Осевые остаточныенормальные напряжениянормальные напряжениярез два года после вытяжки.рез два года после вытяжки.(Р, атм) в холоднотянутых стержнях круглого попе-речного сечения (по Хейну).
рез пять суток после вытяжки.
Осевые остаточные
рез пять суток после вытяжки.
Осевые остаточные
нормальные напряжения
нормальные напряжения
рез два года после вытяжки.
рез два года после вытяжки.
и Эспи !), которые улучшили этот метод расчета Хейна для осесимметричных случаев. Другой метод, также основанный на принципе удаления материала, был предложен Розенталем и Нортоном), которые использовали электрические датчики деформации. Эти авторы применили также для измерения остаточных напряжений на поверхностях дифракцию рентгеновских лучей, что не требует рассечения испытуемых образцов ).
Остаточные напряжения в холоднотянутых круглых брусках возникают из-за неоднородного течения при протягивании брусков через конические отверстия, когда под действием высоких давлений, создаваемых в этих отверстиях, происходит уменьшение диаметров брусков. Ли и Бетей) показали,
Sachs G., Е s р е у G., The Measurement of Residual Stresses in Metals, Iron 4ge, 148, 36, 63 (1941).
состояния всостояния вулучшения напряженногоулучшения напряженногоРис. 14.13. Изменение твердости проволоки по Бринелю (R) при последовательных вытяжках (Ли и Бетей).Рис. 14.13. Изменение твердости проволоки по Бринелю (R) при последовательных вытяжках (Ли и Бетей).действию повышенных температурдействию повышенных температур
состояния в
состояния в
улучшения напряженного
улучшения напряженного
Рис. 14.13. Изменение твердости проволоки по Бринелю (R) при последовательных вытяжках (Ли и Бетей).
Рис. 14.13. Изменение твердости проволоки по Бринелю (R) при последовательных вытяжках (Ли и Бетей).
действию повышенных температур
действию повышенных температур
что холоднотянутые стальные проволоки в центральной части обладают гораздо большей твердостью по Бринелю, чем возле поверхности. На рис. 14.13 изображено измеренное ими распределение твердости в сечении проволоки,
которая вытягивалась до следующих значений диаметров: d=0,328, 0,300, 0,275 и 0,243 (дюйм). Поскольку большие твердости по Бринелю соответствуют значительному наклепу (большие октаэдрические деформации сдвига и касательные напряжения в законе деформационного упрочнения To=f(Yo) для ковкого металла), то понятно, почему в холоднотянутых брусках появляются большие остаточные напряжения. Для удаления этих напряжений бруски и проволоку следует подвергать промежуточному отжигу.
В отношении систем остаточных напряжений, которые создаются в целях
обла-обла-некоторых высоконапряженных
обла-
обла-
стях деталей машин, таких, как вращающиеся в рабочих условиях диски турбин, можно поставить вопрос о том, как долго будут сохраняться эти искусственно созданные системы внутренних напряжений. Воспроизведенный на рис. 14.12 пример, по-видимому, указывает, что можно ожидать изменений во времени распределения остаточных напряжений, полученных в результате чрезмерного наклепа. Если сильно пред-
напряженные детали будут подвергаться.
в течение длительного периода времени, то конструктору следует убедиться,
ито внутренние напряжения не испытывают при этом релаксации.
Часть IV
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНО СЫПУЧИХИ ОБОБЩЕННО ПЛАСТИЧНЫХ СРЕД
Глава 15
РАВНОВЕСИЕ ИДЕАЛЬНО СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА.ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯОБ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЕ
Что, наконец, представляется нам затверделым и плотным, То состоять из начал крючковатых должно несомненно, Сцепленных между собой наподобие веток сплетенных. В этом разряде вещей, занимая в нем первое место, Будут алмазы стоять, что ударов совсем не боятся, Далее — твердый кремень и железа могучего крепость. Также и стойкая медь, что звенит при ударах в засовы. Вещи другие, тела у которых текучи и жидки, Будут скорей состоять из гладких и круглых частичек. Ибо легко, как вода, растекается горсточка маку: Круглые зерна его не держатся, вместе сплотившись, А по наклону бегут от малейшего их сотрясенья.
Лукреций 1)
Условие скольжения в идеально сыпучем материале. Среди различных подходов, рассмотренных в гл. 15 т. 1 для формулировки условий текучести или разрушения квазиизо- тропных поликристаллических тел, мы упоминали частный случай теории прочности Мора, для которого огибающая наибольших кругов главных напряжений состоит из двух симметрично расположенных прямых (т. 1, стр. 246). Мы отмечали важность этого подхода при исследовании равновесия неплотно связанных сред, например песка или сухого грунта. В этой главе мы используем графическое представление напряженного состояния и будем следовать идеям Мора, так выразительно изложенным в главе об идеальной зернистой среде из собрания его наиболее важных исследований по технической механике 2).
Рассмотрим идеально сыпучий материал, состоящий из несвязанных округлых или многогранных частиц средних размеров. Из реальных материалов примером может служить нагроможденный в дюны высушенный солнцем морской песок. Такой материал, находящийся под действием внешних сил и нагруженный собственным весом частиц, способен воспринимать
Лукреций (первый век до н. э.), О природе вещей (De Rerum Na- tura), перев. Ф. А. Петровского, Изд. АН СССР, М., 1945.
Mohr О., Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, 567 pp., Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1st ed., 1905; 2d ed., 1914； Abhand- lung VI, Die Lehre vom Erddruck, pp. 236—263,
исключительно сжимающие нормальные составляющие напряжений (здесь мы припишем этим составляющим положительный знак). В несвязанных песках касательные компоненты напряжений должны удовлетворять некоторым условиям, имеющим вид неравенств.
Рис. 15.1. Отто Мор (родился 18 октября 1835 г. в Вессельбюрене, Холь、 штейн, умер 2 октября 1918 г. в Дрездене). Барельеф в честь семидесятилетия Мора от имени одиннадцати профессоров механики, преподававших в технических учебных заведениях Германии и Австрии.
Наиболее важные исследования Мора можно найти в переработанном виде в собрании четырнадцати его избранных произведений (цит. в предыдущей сноске). Этот сборник содержит сообщения о принципах графоста тики, связанных с идеями Вариньона и Кульмана, о геометрии масс и о напряжениях и деформациях (графические методы Мора для представления моментов инерции масс, распределенных в пространстве, и однородных напряженных состояний и малых деформаций); кроме того, там содержится фундаментальная теория механической прочности твердых тел и состояний предельного равновесия идеальной сыпучей среды, основанная на рассмотрении огибающей наибольших главных кругов напряжений (часть которой Мор опубликовал уже в 1882 г.), и метод проведения при помощи карандаша и линейки упругой линии балки путем построения веревочных линий. Инженеры обязаны Мору многими элементарными приемами, которые они повседневно используют при расчете ферм, мостов, подпорных стенок и деталей машин.
Рассмотрим произвольную точку внутри сыпучей среды; проведем через нее плоское сечение и вообразим, что соседние части сыпучего тела по обе стороны от этого сечения на мгновение стали жесткими и превратились в твердое тело. Малейшему перемещению одной из этих частей относительно другой вдоль плоскости сечения препятствуют силы,. являющиеся по своей природе силами трения. По-видимому, разумно предположить, что касательное напряжение тп, выражающее сопро-
тивление трения в расчете на единицу площади плоскости контакта в момент, когда движение (проскальзывание) только начинается, пропорционально нормальному напряжению 。九, действующему в сечении; более того, прежде чем произойдет проскальзывание, величина |тл j нигде не может превзойти некоторую долю 卩 нормального напряжения 。九 при любой ориентации сечения, так что
1t"1其从%. (15.1)
Здесь индекс п обозначает направление внешней нормали к сечению. Вспоминая закон Кулона для трения скольжения твер
дых тел, обозначим через р угол сухого трения и положим
W = tgp. (15.2)
Для равновесия сыпучего песка, таким образом, требуется, чтобы в среде выполнялось двойное неравенство
一。九 tgpV%V + o〃tgp, (15.3)
причем в случае возникновения внутренней по-
верхности скольжения СО- р и с. 15.2. Предельное напряженное состоя- ответствующий знак нера- ние, представленное тремя главными кру- венства нужно заменитьгами напряжений Мора,
знаком равенства.
Нанесем на плоский чертеж три главных круга напряжений, представляющих собой напряженное состояние, приняв о” и т^ за прямоугольные координаты, и обозначим главные напряжения 1) в элементе материала, упорядоченные по их алгебраической величине, через о】，02 и оз. Точка Р, имеющая координаты о九,тп (рис. 15.2), представляет собой нормальное и касательное напряжения 。九,тп в сечении, имеющем нормаль м. Точка Р должна быть расположена в одном из криволинейных треугольников, ограниченных главными кругами напряжений. Вектор ОР, составляющий с осью ап угол 0, выражает в действительности
1) См. т. 1, стр 115.
результирующее напряжение, действующее в сечении п, причем
tg"^・（15.4）
Мы видим, что поскольку 6 никогда не может стать больше угла трения р, множество наибольших главных кругов напряжений с диаметрами, равными предельным напряженным состояниям сыпучего материала （oi — оз）, которые возможны как раз перед моментом нарушения равновесия, должно касаться двух прямых, OBi и ОЗ?, наклоненных к оси ап под углом трения р. Главные круги, соответствующие множеству напряженных состояний, возникающих в сыпучем материале, должны лежать внутри углового сектора В1ОВ2, а те, которым отвечают состояния, в которых как раз может начаться скольжение, должны касаться двух прямолинейных огибающих Мора ОЗ】и 0В2. Поскольку
sinP = ^t，（15.5）
мы должны заключить, что все предельные напряженные состояния, в которых возникает опасность скольжения, характеризуются определенной величиной отношения наибольшего главного напряжения к наименьшему, а именно
=停-专）•（15.6）
Направление напряжения oi в элементе материала определяет направление наибольшего давления, а те два плоских сечения, в которых отношение тп/ап становится равным либо + tgp, либо ——tgр （точки Pi и Р2 на рис. 15.2）, называются плоскостями скольжения. В состоянии предельного равновесия кучи песка они определяют два семейства поверхностей, которые в соответствии с представлением напряжений по Мору всегда пересекаются вдоль направления промежуточного главного напряжения 02 и называются поверхностями скольжения. В состоянии предельного равновесия каждой точке кучи песка сопоставляются две поверхности скольжения. Предположим, что мы поворачиваем плоскость сечения вместе с нормалью и вокруг оси промежуточного главного напряжения а2. Тогда точка P（Gn, тп） описывает на рис. 15.3, а главный круг напряжений. Вспоминая, что при этом нормаль к плоскому сечению поворачивается на половину угла РМС и что положения точки Р, совпадающие с точками С, Р】и 巳，определяют соответствен-
но расположение сечения, в котором действует главное напряжение о】,и двух плоскостей скольжения, мы видим, что последние должны быть наклонены друг к другу под острым углом 屮, равным (п/2 ——р), а к направлению главного напряжения о】—— под равными углами (л/4 — р/2) (рис. 15.3,6).
Результирующие напряжения Орез, которые действуют на каждой из поверхностей скольжения в состоянии предельного равновесия, определяются двумя векторами ОР、= ОР2 равной длины. Отсюда мы выводим характеристическое свойство таких состояний равновесия е сыпучей среде, заключающееся в том.
Рис. 15.3. Главный круг напряжений Мора. / — огибающая Мора; 2 — плоскость скольжения.
что 6 любой точке результирующие напряжения Орез на поверхностях скольжения, проходящих через эту точку, равны друг другу и наклонены по отношению к их нормалям п под углом трения р.
Однородное плоское напряженное состояние. В технических применениях теории, описывающей распределение давления в сыпучих материалах, чаще всего встречаются состояния, определяемые двумя координатами хну. Один из важных случаев связан с давлением грунта на твердые подпорные стенки. Пусть 5c и ау — нормальные компоненты напряжений; хху — касательное напряжение (третье нормальное напряжение о? не представляет интереса, если перемещения происходят в плоскости х, у); а — угол между осью х и наибольшим главным давлением он а2 — наименьшее главное давление. Тогда для плоского напряженного состояния (рис. 15.4) имеем
и* = 1/2 (б + s) + 1 /2(6 — S)cos 2а, % = 1 /2 (о】+ 必)一1/2(5 — “) cos 2%(15,7)
%g = 1/2(0] 一02)S出 2a.
Мы можем ввести сюда среднее напряжение о и максимальное касательное напряжение Тщах,
01 + ^2 。尢 + Одб —。2
2=2，Fax = -2
(15.8)(15.8)(15.9)(15.9)О* = О +《ах COS 2а,
(15.8)
(15.8)
(15.9)
(15.9)
°д = ° — Тщах COS 2(Х,
T^U = Tmax sE 2(Х.
Поскольку условие скольжения
1 4- sin р
СГ| =-：：—
11 — sin р
с учетом равенства oi + o2 = 2o представляется также в форме 6 = и(1 + sinp),
<т2 = а(1 — sin р),(15.10)
Fax =。Sill р,
то мы видим, что уравнения (15.8) в случае плоского предельного напряженного состояния сыпучего материала можно записать в виде
и* = и (1 + sin р cos 2а),
% = о(1 — sin рcos2а),(15.11)
хху = asin р sin 2а.
Направление, в котором действует наибольшее давление оь служит биссектрисой острого угла (л/2 — р) между плоскостями скольжения (рис. 15.5). Назовем плоскость скольжения, которая составляет с осью % угол |3,
(15.12)(15.12)(3 = а + -^ —1~,
(15.12)
(15.12)
первой плоскостью скольжения. Тогда мы можем выразить а через р и переписать уравнения (15.11) в иной форме
и* = о [1 + sin р sin (20 + р)],
^ = а[1 — sinpsin(2|3 + p)],(15 •⑶
Пу = — о sin р cos (20 + p).
Как и в уравнениях (15.10), в этих уравнениях удовлетворено условие скольжения, и они применимы к любому беско-
нечно малому материальному элементу сыпучей среды, находящемуся в состоянии предельного равновесия. Радиус МР\ любого наибольшего главного круга напряжений в таком состоя
нии (как, например, круга, показанного на рис. 15.6, который касается прямолинейной огибающей Мора OSJ определяел максимальное касательное напряжение
Ттах=(0*1 — О2)/2 = О sin р.
Используя выражение для его величины через компоненты напряжений о%, о«, хху, можно условие скольжения для состояния
предельного равновесия сыпучего материала выразить явно в виде уравнения
(% — о J + 4% = (% + о J sin2p = 4а2 sin2 р, (15.14)
которое тождественно удовлетворяется выражениями (15.11) или (15.13) для о*, %, тху.
(15.15)(15.16)(15.17)(15.15)(15.16)(15.17)Рэнкиновское распределение напряжений в сыпучем грунте, находящемся под действием собственного веса. Рассмотрим теперь в качестве одного из простейших примеров неоднородного плоского напряженного состояния распределение давления в сыпучем грунте, нагруженном собственным весом и заполняющем область больших размеров, ограниченную горизонтальной или наклоненной под малым углом 6 плоскостью. Распределение напряжений под свободной плоской поверхностью, наклоненной под малым углом, было рассмотрено Рэнкином 1) еще в 1856 г. Здесь поверхности скольжения являются двумя семействами параллельных плоскостей, которые на плоскости %, у представляются в виде их следов ——двух семейств параллельных прямых скольжения (начало координат плоскости %, у расположено на плоской свободной поверхности, ось % направлена горизонтально, ось у ——вертикально вниз). Поскольку в этом случае угол а (направление наибольшего главного давления s) не зависит от х н у, мы можем положить в уравнениях (15.11) a = const. После подстановки выражений для ах, Gy и тху в два уравнения равновесия
(15.15)
(15.16)
(15.17)
(15.15)
(15.16)
(15.17)
(у ——удельный вес грунта) мы получаем
да — sin р sin 2a do _1 4- sin p cos 2a
dx ~" 丫 cos p ' dy 丫 cos2 p
и для среднего давления а находим выражение
a = со%” [у (1 + sin р cos 2a) — % sin р sin 2a + cJ.
Если поверхность грунта горизонтальна, то главное давление S в грунтовом теле больших размеров можно направить либо вертикально, либо горизонтально. Когда о】 действует в горизонтальном направлении, имеем а = 0 и (положив Ci = 0) мы получим уравнения
+ sin р уу о = ——,
cos2 р 1 — sin р
% = 5 = ° (1 + sE Р)=；罢-^ YD = УУ ctg2 传-告)，(15.18) 久=。2 =0(1 -sinp) = Y肉
5 = 0.
Когда же о】 действует в вертикальном направлении, имеем а = п/2 и тогда получим
— sin р уу
О == —-Ц——,
丫' cos2 р 1 4- sin р
= 6 = о(1 -sinp)= Y^-|：^- уу = УУ tg2(Д - -j-j, (15.19) % = 5 =0(1 + sin р) = уу,
rЛу =。.
Эти два предельных случая плоского напряженного состояния можно наглядно представить себе, рассматривая отвечающие им прямые линии скольжения, а также при помощи простого эксперимента. Воткните песок на плоском берегу и попытайтесь сдвинуть лезвие вперед или назад. Обращая внимание только на то, что происходит на передней стороне лопаты, после того, как будет удалено некоторое количество песка с задней части, мы обнаружим, что если лопату толкать горизонтально вперед, то она сдвинет значительно больший клин песка (рис. 15.7, а), чем
тот, который понемногу соскользнет вниз под действием собственного веса, если лопату сдвинуть в противоположном направлении (рис. 15.7, б), освободив впереди нее песок. Мы почувствуем также, что сила, нужная для проталкивания песка вперед, значительно больше, чем сила, действующая на лопату во втором случае.
Точно так же если горизонтальные давления вх, которые мы вычислили при помощи уравнений (15.18) и (15.19), воспринимаются совершенно гладкой вертикальной стенкой или брусом, то следует ожидать значительно большей силы Е^ если надвигать брус на песок (рис. 15.8, а), чем если вытаскивать брус, двигая его горизонтально (£*2) (рис. 15.8,6). В теории давления грунта на подпорные стенки величину Е\ называют пассивным, а £2 — активным давлением грунта, соответствующими уравнениям (15.18) и (15.19).
Поскольку компоненты напряжений возрастают пропорционально глубине у, результирующие Ех или Е2 горизонтальных давлений 。区 на гладкую вертикальную стенку высоты h должны действовать на глубину 2/3 儿 Для слоя песка единичной
3亭＜^2停t)-3亭＜^2停t)-толщины z= 1 результирующие силы горизонтального давления на вертикальную стенку равны:
3亭＜^2停t)-
3亭＜^2停t)-
результирующая пассивного давления,
результирующая активного давления
И
t=ctg4^-f)-их отношение. (15.20)
Поскольку £\ — верхнее, а Е2 — нижнее значения внутреннего (соответственно пассивного или активного) сопротивления
Рис. 15.8. Давление весомой сыпучей массы на гладкую вертикальную стенку (по Рэнкину).Рис. 15.8. Давление весомой сыпучей массы на гладкую вертикальную стенку (по Рэнкину).
Рис. 15.8. Давление весомой сыпучей массы на гладкую вертикальную стенку (по Рэнкину).
Рис. 15.8. Давление весомой сыпучей массы на гладкую вертикальную стенку (по Рэнкину).
грунта за счет внутреннего трения, первое и второе напряженные состояния названы соответственно верхним 〃 нижним предельными состояниями равновесия сыпучей среды. Верхнее равновесное состояние грунта имеет место, когда длинный клин, показанный на рис. 15.8, а, должен быть сдвинут с преодолением внутреннего сопротивления Е^ связанного с трением и действием веса; нижнее состояние равновесия создается за стенкой, подавшейся назад и сдвинутой немного силой (£2), развивающейся в коротком клине, показанном на рис. 15.8,6. Выражаясь кратко, в грунте с горизонтальной поверхностью наибольшее главное напряжение s действует в горизонтальном или вертикальном направлениях соответственно в состояниях верхнего или нижнего равновесия, причем отвечающие им линии скольжения принимают характерные положения, показанные на рис. 15.8.
Если поверхность весомого грунта представляет собой плоскость, слегка наклоненную под малым углом 6, то компоненты напряжений сохраняют неизменные значения в плоскостях
параллельных поверхности, и мы не ошибемся, предположив, что среднее напряжение а= (!/2) (ах-\-ау) возрастает пропорционально глубине 勿，
(15.22)(15.22)0 =收,
(15.22)
(15.22)
и что угол а, определяющий направление наибольшего главного давления о】, также остается неизменным. Определение постоянных с и а в формулах для напряжений
(15.23)(15.23)S, % = с% (1 土 sin р cos 2а),%ху = с% sin р sin 2а, а = cyQ
(15.23)
(15.23)
облегчается замеченным еще Мором обстоятельством, что вер
тикальная (x = const) и наклонная(z/0 = const) плоскости
Рис. 15.9. Сопряженные сечения в весомом грунте с наклонной поверхностью.Рис. 15.9. Сопряженные сечения в весомом грунте с наклонной поверхностью._0_0
Рис. 15.9. Сопряженные сечения в весомом грунте с наклонной поверхностью.
Рис. 15.9. Сопряженные сечения в весомом грунте с наклонной поверхностью.
_0
_0
(рис. 15.9) являются сопряженными плоскими сечениями. Они обладают тем свойством, что результирующие напряжения, действующие в грунтовом теле на каждом из этих двух семейств плоскостей, соответственно параллельны другому семейству плоскостей. Это выясняется, если на диаграмме Мора (рис. 15.10) провести линию 0T параллельно плоскости свободной поверхности. Линия ОТ пересекает наибольшие круги напряжений, один из которых проведен через точки U и L. Очевидно, координаты точек U и L равны компонентам напряжений 0尤 и хху соответственно для верхнего и нижнего предельных состояний равновесия. Совпадающие по направлению векторы OU и OL определяют величины результирующих напряжений а ез = "К^х + ^у в вертикальных сечениях грунтового
тела, удовлетворяющих условию сопряженности по отношению к %, тХу, а именно, условию
tgfi =丄里=const.tgfi =丄里=const.(15.24)(15.24)
tgfi =丄里=const.
tgfi =丄里=const.
(15.24)
(15.24)
(15.25)(15.25)cos 2a. Раз-cos 2a. Раз-(15.26)(15.26)
(15.25)
(15.25)
cos 2a. Раз-
cos 2a. Раз-
(15.26)
(15.26)
Последнее условие дает неизвестный угол а, определяющий направление главного напряжения. После подстановки в него значений Оа и хху из уравнений (15.23) получаем
,д _ sin p sin 2a2 — 1 + sin p cos 2a *
Это уравнение является квадратным относительно решая его, находим
“с с— sin2 д 土 cos 6 Мsin2 р — sin2 6
sin p
Видно, что угол 6 наклона свободной поверхности никогда не может стать больше угла внутреннего трения р — в противном
случае квадратный корень стал бы мнимой величиной. Склоны насыпи рыхлого песка никогда не могут спускаться круче, чем под углом покоя р.
Рассмотрим верхнее предельное состояние насыпи, поднимающейся под углом 6. Применяя теорему синусов к треугольнику ONU (значения о”, хху1 о, ттах, Ттах = а sin р и углов приведены на рис. 15.10) и обозначая угол OUN через £ = 2а —6, имеем
血8 = 5m3一6) = ^ =諜， (15.27)
Тем самым определяются углы £ и 2a = £十6. Для нижнего состояния равновесия мы должны были бы таким же образом рассмотреть треугольник ONL.
Теперь остается вычислить постоянную с. Положим в уравнении (15.17) Ci = 0, что дает нам выражение для среднего напряжения о, удовлетворяющее условиям равновесия. Прирав
нивая имеющиеся два выражения для а, находим
о = с% = с ® - % tg р)=
у [у (1 + sin р cos 2а) — % sin р sin 2а]-门。\
=5. (lo.zo)
cos2 p\/
Затем, используя соотношения (15.25) и (15.27), определяем два эквивалентных выражения для постоянной с,
_ у [I + sin р cos(£ + 6)] _
С —COS2 Р—
Y cos 6 (cos 3 + sin p cos £),〔冃 阿
cos2 p・ <
После этого все неизвестные определены, а вместе с ними и напряжения ох, а^, хху и т. д., причем в уравнении (15.23) нужно подставить 2а = е + б.
Рис. 15.11. Линии скольжения в грунте, поверхность которого наклонена под углом естественного откоса3 = р.Рис. 15.11. Линии скольжения в грунте, поверхность которого наклонена под углом естественного откоса3 = р.6 = 8 = 0 и, следова6 = 8 = 0 и, следовательно,тельно,Y (I + sin р)cos2 рY (I + sin р)cos2 руу (I +sin р)cos2 руу (I +sin р)cos2 р(15.30)(15.30)Для горизонтальной поверхности имеем
Рис. 15.11. Линии скольжения в грунте, поверхность которого наклонена под углом естественного откоса
3 = р.
Рис. 15.11. Линии скольжения в грунте, поверхность которого наклонена под углом естественного откоса
3 = р.
6 = 8 = 0 и, следова
6 = 8 = 0 и, следова
тельно,
тельно,
Y (I + sin р)cos2 р
Y (I + sin р)cos2 р
уу (I +sin р)cos2 р
уу (I +sin р)cos2 р
(15.30)
(15.30)
что совпадает с приведенным выше выражением (15.18).
С другой стороны, если поверхность спускается под углом естественного откоса (углом покоя) р = 6, то 6 нижнем состоянии равновесия насыпи (cos 2а =——sinp=cos(n/2 + p)) наибольшее давление сп составляет с осью % угол а = л/4 + р/2, и напряжения становятся равными
о* = о cos2p = -|-(l + cos 2р),
% =。(1 + sin2p) = -^-(3 - cos 2p),(15.31)
^xy = £ sin 2p, a = у (y-x tg p).
Первое семейство линий скольжения состоит из вертикальных линий, а второе — из линий, наклоненных под углом покоя (рис. I5.ll).
В верхнем равновесном состоянии насыпи, поверхность которой наклонена под углом 6<р, линии скольжения имеют вид, показанный на рис. 15.12; на рисунке показаны также направления результирующих напряжений. Если угол 6 равен углу покоя р, то наибольшее главное давление di отклоняется от горизонтальной плоскости на угол а = л/4 ——р/2. Надеемся, что
Рис. 15.12. Весомая сыпучая масса.
читатель познакомится поближе с этими довольно простыми подробностями, связанными с диаграммами Мора для рассмотренных примеров.
Некоторые данные относительно углов трения р и удельного веса у свеженасыпанных сыпучих материалов, в которых по предположению сцепление отсутствует, приведены в табл. 15.1 в соответствии со значениями из книги Мюллера-Бреслау!) •
Таблица 15.1
Тип материала
Угол трения р, град
Удельный вес Y, кг/м3
Насыпь из сухого грунта
35—40
1400
Насыпь из мокрого грунта
27
1800
Песок сухой
30—35
1580—1650
Песок мокрый
25
2000
Глина сухая
40—45
1500
Глина мокрая
20—25
1900
1) Muller-Breslau Н. F., Erddruck auf Stiitzmauern, Alfred Kroner, Leipzig, 1906,
15.4. Напряженное состояние тяжелого сыпучего материала в полярных координатах. В( епользуемся .полярными координатами на плоскости г,屮,обозначая радиальное и тангенциаль15.4. Напряженное состояние тяжелого сыпучего материала в полярных координатах. В( епользуемся .полярными координатами на плоскости г,屮,обозначая радиальное и тангенциальное нормальные напряжения через аг и аь а касательное наное нормальные напряжения через аг и аь а касательное напряжение через т” (запряжение через т” (заположительные принимаются направлеположительные принимаются направления, указанные стрелкаминия, указанные стрелкамина рис. 15.13).на рис. 15.13).Указанные три компоненты напряжений должны удовлетворять двум уравнениям равновесияУказанные три компоненты напряжений должны удовлетворять двум уравнениям равновесиядбг 丄 ％дбг 丄 ％立,1匹 r ^qp立,1匹 r ^qpI dGt , 2т〃 , dxrt7而+丁+方" = "°0屮I dGt , 2т〃 , dxrt7而+丁+方" = "°0屮у sin ф, (15.32)у sin ф, (15.32)00Рис.Рис.
15.4. Напряженное состояние тяжелого сыпучего материала в полярных координатах. В( епользуемся .полярными координатами на плоскости г,屮,обозначая радиальное и тангенциаль
15.4. Напряженное состояние тяжелого сыпучего материала в полярных координатах. В( епользуемся .полярными координатами на плоскости г,屮,обозначая радиальное и тангенциаль
ное нормальные напряжения через аг и аь а касательное на
ное нормальные напряжения через аг и аь а касательное на
пряжение через т” (за
пряжение через т” (за
положительные принимаются направле
положительные принимаются направле
ния, указанные стрелками
ния, указанные стрелками
на рис. 15.13).
на рис. 15.13).
Указанные три компоненты напряжений должны удовлетворять двум уравнениям равновесия
Указанные три компоненты напряжений должны удовлетворять двум уравнениям равновесия
дбг 丄 ％
дбг 丄 ％
立,1匹 r ^qp
立,1匹 r ^qp
I dGt , 2т〃 , dxrt
7而+丁+方" = "°0屮
I dGt , 2т〃 , dxrt
7而+丁+方" = "°0屮
у sin ф, (15.32)
у sin ф, (15.32)
0
0
Рис.
Рис.
и предельному условию, при выполнении которого может начаться скольжение
(о; — oj 十 4吟=(鲁十 dj sin2p = 4a2 sin2p. (15.33)
При максимальном касательном напряжении тт =(т sin р и среднем напряжении о= ((Тт +(Т£)/2 последнее условие эквивалентно условиям
6 = (1 + sin р) а,无=(1 - sin р) а,(15.34)
где (ji и П2 — наибольшее и наименьшее главные давления. Уравнения (15.32) имеют частное решение
о> = yr sin3 qp = ^- г sin ф (1 — cos 2屮)，
d = 丫厂 sin ф cos2qp = г sin ф (1 + cos 2屮)，(15.35)
t〃 = 丫厂 sin2 屮 cos 屮=^ r sin 屮 sin 2(p.
Один из способов определения состояния предельного равновесия весомого сыпучего материала состоит во введении функции напряжений Эри 尸(乙屮)，исходя из предположения, что полное решение уравнений (15.32) можно выразить в форме
.0尸г尸(Р(Р
“ =yr sin3 屮 + — Ч- ~, d = yr sin 屮 cos2 屮 + 尸”，
.2尸в尸屮(15.36)
К〃 =Yг sm/ (р cos 屮—г,
о =击厂 sing) + LA А尸，
где индексы г и ф у функции F означают соответствующие частные производные, a \F=Frr+Frlr+F^ /г -— оператор Лапласа. После подстановки выражений (15.36) в условие (15.33) имеем (у + ~ Yr sin Ф cos 2ф) +( —^^+"^ +Yrsin(psin2(p)=
=(yr sin ср + А尸Fsir^p = 4а2 sin2 р. (15.37)
Мы получили дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и второй степени относительно функции напряжения F. В некоторых случаях решения этого уравнения можно найти.
Другой метод основывается на том, что три компоненты напряжений Or, О/, % представляются в форме, удовлетворяющей условию скольжения (15.33) (подобно тому, как удовлетворялось это условие в случае прямоугольных координат выражениями (15.11)), Для этого положим
% = о [1 + sin р cos 2((р — а)],
d = о [1 — sin р cos 2 (屮一а)],(15.38)】)
% = — о sin р sin 2 (ср — а),
где а——угол наклона главного напряжения о】с осью % ((р = 0). При этом ст и а рассматриваются как две неизвестные функции, подлежащие определению из двух уравнений равновесия (15.32). Мы вернемся к этому методу в § 15.5.
Однако уравнения (15.38) позволяют нам теперь расщепить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (уравнение (15.37)) на три отдельных уравнения. Для этого заметим, что скобки в левой части уравнения (15.37) представляют собой величины (аг — aj2 и 4吟，которые можно выразить при помощи соотношений (15.38). Этим задача сводится к совместному интегрированию системы трех дифференциальных уравнений
Fr尸屮中
—yr sin ф cos 2(p + — + —^Frr = 2(t sin p cos 2 (屮一a),
2Pr2戶(15.39)
yr sin qp sin 2(p^ + -y^ = — 2a sin p sin 2 (屮一a),
yr sin 屮 + A尸=2d
для трех неизвестных функций Л, а и а, которая линейна, по крайней мере, относительно двух неизвестных — F и а.
Тот же процесс линеаризации можно применить и в случае прямоугольных координат, после чего уравнения (15.11) и уравнения равновесия принимают вид
—YU + Руу — Fхх = 2о sin р cos 2а,
Fxy = — ст sin р sin 2а,(15.40)
YP + AF = 2(т.
Легко получить несколько решений обеих групп уравнений.
Приведем два точных решения, которые, по-видимому, не были замечены в обширной литературе по задачам о давлении грунта. Эти решения относятся к двум поучительным случаям, представляющим некоторый практический интерес для инженеров. Предположим, что угол а, определяющий направление наибольшего давления о】，линейно зависит от полярного угла ф, так что мы будем искать переменный угол а в виде
а = ± +手 или а = -^ +y*(15.41)
Кроме того, для функции напряжений 尸 примем представление
F = r^(^)(15.42)
и, подбирая вид выражения для среднего напряжения о, согласующийся с последней формулой, положим о равным .
в = yrf (ф).(15.43)
Это позволяет исключить независимое переменное г из системы уравнений (15.39) и обратить их в три совместные полные дифференциальные выражения для двух неизвестных функций, а именно,力(qp) и /(ср) единственного переменного ф.
Мы докажем сейчас, что они дают точные формулы для распределения напряжений е грунте под насыпью или выемкой с острым углом 〃 плоскими откосами, наклоненными как раз под углом покоя р и расположенными симметрично относительно вертикальных осей.
Решение для насыпи, а = в/4 +(р/2.
После подстановки
cos 2 (qp — а) = sin qp, sin 2 (qp — а) = — cos qp
уравнения (15.39) принимают форму
—3, + 0 + 3〃 = у sin qp (cos 2qp + 2f sin p),
0 — 4力’ + 0 = у (— sin qp sin 2(p + 2/ sin p cos qp),(15.44)
+ 0 + 3〃 = 丫(一 sin qp + f).
Разрешая относительно переменной 力 эту систему трех линейных уравнений так, как если бы 弘 * и 3〃 были неизвестными,
с учетом того, что определитель 0 = 48, находим для функции ^>((р) следующее выражение:
3 = £ [— sin 屮 cos2(p + (1 — sin p sin <p)/].(15.45)
После исключения из этой системы 力 и 力〃 получаем дифференциальное уравнение для функции f(ф),
夕=・(15.46)
Из этого уравнения находим, что f и среднее напряжение а = = уг/((р) равны-
g =、rf = yrc (sin (р — sin р)(15.47)
и удовлетворяют граничным условиям обращения в нуль о на двух плоских поверхностях насыпи (при (р = р и 屮=冗——°). Поскольку ось симметрии насыпи 屮=冗/夕 совпадает с осью главного напряжения а = л/2, из условия уравновешивания веса тонкого столбика грунта вдоль этой оси следует, что(тг = уг, и первое из уравнений (15.38), взятое при 屮=冗/2,
“ =(т(1 + sin р) = yrc cos2p,(15.48)
позволяет определить постоянную интегрирования c=l/cos2 P. При этом уравнения (15.38), описывающие напряженное состояние грунта под остроугольной насыпью, принимают простую форму
% =(т(1 +sinpsin(p),
色=0(1- sin p sin (p),
Tr/ =(rsinpcos(p,(15.49)
_ yr (sin ф — sin p)
cos2 p
в предположении, что оба плоские откоса наклонены под углом покоя р. То же самое напряженное состояние в прямоугольных координатах %, у выражается следующими соотношениями (r=m%2 +炉方
(15.50)(15.50)^ =(1(1+ sin р sin ф) = а (1 + у sin р),хху = ст sin р cos ф = ay-sin р,
(15.50)
(15.50)
o = U7(y — rsinp).
Распределение напряжений в насыпи по горизонтальной плоскости АВ показано на рис. 15.14. Ориентация наибольших главных давлений oi =(r(l+sin р) в точках любой окружности
Рис. 15.14. Распределение напряжений в горизонтальномРис. 15.14. Распределение напряжений в горизонтальномсечении АВ насечении АВ насыпи на глубине у.сыпи на глубине у.Рис. 15.15. Ориентация наибольших главных давлений о】в насыпи.Рис. 15.15. Ориентация наибольших главных давлений о】в насыпи.
Рис. 15.14. Распределение напряжений в горизонтальном
Рис. 15.14. Распределение напряжений в горизонтальном
сечении АВ на
сечении АВ на
сыпи на глубине у.
сыпи на глубине у.
Рис. 15.15. Ориентация наибольших главных давлений о】в насыпи.
Рис. 15.15. Ориентация наибольших главных давлений о】в насыпи.
广=const определяется простым правилом, что все векторы о^ направлены к одной точке С, расположенной в верхней точке окружности (рис. 15.15).
Из дифференциальныхИз дифференциальныхРис. 15.16. Линии скольжения в насыпи весомого сыпучего грунта (р = эт/6).Рис. 15.16. Линии скольжения в насыпи весомого сыпучего грунта (р = эт/6).семейства совпадает ссемейства совпадает слинией ф = л — р, которые являются единственными прямыми линиями скольжения. Параболы, таким образом, выходят из точек линий контура, имея вертикальные касательные (рис. 15.16). Добавим, что предшествующие соотношения описывают, очелинией ф = л — р, которые являются единственными прямыми линиями скольжения. Параболы, таким образом, выходят из точек линий контура, имея вертикальные касательные (рис. 15.16). Добавим, что предшествующие соотношения описывают, оче
Из дифференциальных
Из дифференциальных
Рис. 15.16. Линии скольжения в насыпи весомого сыпучего грунта (р = эт/6).
Рис. 15.16. Линии скольжения в насыпи весомого сыпучего грунта (р = эт/6).
семейства совпадает с
семейства совпадает с
линией ф = л — р, которые являются единственными прямыми линиями скольжения. Параболы, таким образом, выходят из точек линий контура, имея вертикальные касательные (рис. 15.16). Добавим, что предшествующие соотношения описывают, оче
линией ф = л — р, которые являются единственными прямыми линиями скольжения. Параболы, таким образом, выходят из точек линий контура, имея вертикальные касательные (рис. 15.16). Добавим, что предшествующие соотношения описывают, оче
Мы можем выписать явное выражение для функции напряжений Эри F(r,屮)，которая дает решение этой задачи в полярных и прямоугольных координатах,
F = г沖(ф) = 6 爲-p” [ — cos? р sin 屮 cos 屮 + (sin 屮一sin p) X
X (1 — sin p sin qp)], (15.51)
尸=y^iy [-心У cos? p + r2(y-r sin 似r-y sin p)].
уравнений линий скольжения 9
(О * = tg 個-(p) = ctg 中， (2)-r^2 = tg (₽2 -屮)=tg g/
(15.52) определяются их уравнения
г [1 + cos (р + 喇=р = const,
г [1 — cos (р —屮)]=д = const,
(15.53) описывающие два семейства соосных конфокальных и изогональных пара- бол с фокусом, расположенным в вершине насыпи. Постоянные ряд определяют их параметры. Ось одного контуром профиля ср = р, а другого ——с
видно, нижний случай предельного равновесия, определяемого весом холма 2).
Решение для выемки, а = Зв/4 +(р/2.
Предполагая, что углом покоя р (рис.Предполагая, что углом покоя р (рис.Рис. 15.17. ОриентацияРис. 15.17. Ориентациянаибольших главных давлений О] под выемкой (р = л/6).наибольших главных давлений О] под выемкой (р = л/6).
Предполагая, что углом покоя р (рис.
Предполагая, что углом покоя р (рис.
Рис. 15.17. Ориентация
Рис. 15.17. Ориентация
наибольших главных давлений О] под выемкой (р = л/6).
наибольших главных давлений О] под выемкой (р = л/6).
плоские откосы выемки наклонены под
15.17), мы можем выписать следующие
формулы распределения напряжений в полярных координатах, аналогичные соответствующим формулам для насыпи:
% = о (1 — sin р sin ф),6 = о (1 + sin р sin qp),
t〃 = — о sin р cos qp,(15.54)
_ w (sin ср + sin р)
О — COS2 р .
То же в прямоугольных координатах
о* = о(1 + / sinp),
%'(15.55)
“=—п —sinp,
0 =e■①+「sinp).
Наибольшее давление oi = o(l+sinp) на оси симметрии Ф = л/2 под ребром выемки с вогнутым углом О направлено теперь по горизонтали. Вдоль окружности r = const векторы главных напряжений s занимают показанные на рис. 15.17 положения, будучи направленными в самую низкую точку
окружности С. Распределение напряжений в горизонтальной плоскости z/ = const, расположенной под выемкой, показано на рис. 15.18.
Рис. 15.18. Распределение напряжений в горизонтальной плоскости АВ на глубине у = const под выемкой (р = л/6).Рис. 15.18. Распределение напряжений в горизонтальной плоскости АВ на глубине у = const под выемкой (р = л/6).
Рис. 15.18. Распределение напряжений в горизонтальной плоскости АВ на глубине у = const под выемкой (р = л/6).
Рис. 15.18. Распределение напряжений в горизонтальной плоскости АВ на глубине у = const под выемкой (р = л/6).
Рис. 15.19. Линии скольжения в грунте под выемкой (р = л,6).Рис. 15.19. Линии скольжения в грунте под выемкой (р = л,6).
Рис. 15.19. Линии скольжения в грунте под выемкой (р = л,6).
Рис. 15.19. Линии скольжения в грунте под выемкой (р = л,6).
Дифференциальные уравнения .линий скольжения
也=一也^Рdr2，
(2)号=-ctg 中 一 dr&2
определяют систему кривых
⑴广(1 — cos((p + p)) = p
r(l+cos(q)-p)) = g,
которые вновь представляют собой два изогональных семейства конфокальных парабол, имеющих фокусом ребро выемки О. Оси этих парабол направлены вдоль обоих
откосов выемки, однако вершины их расположены в теле грунта, и при больших значениях г кривые обоих семейств вновь поворачивают вверх (рис. 15.19). Их поведение показывает, что здесь мы имеем верхнее состояние равновесия.
Заметим, что на горизонтальной плоскости у = 0 (qp = O и 屮= л), проходящей через ребро выемки О, напряжения, опреде-
ляемые уравнениями (15.54), принимают значения
Gr = G t = G —Gr = G t = G —W sin pcos2 pW sin pcos2 pt“=^wtg2 P приt“=^wtg2 P при(15.58)(15.58)
Gr = G t = G —
Gr = G t = G —
W sin pcos2 p
W sin pcos2 p
t“=^wtg2 P при
t“=^wtg2 P при
(15.58)
(15.58)
кроме того, на плоскости у = 0 действуют результирующие напряжения Орез,
Орез = F。； + 嗚=。/1 +sin2p,(15.б8а)
которые возрастают пропорционально г и образуют с нормалью к плоскости у = 0 постоянный угол 8, поскольку
tg£ = ~Ц^~ = si" Р = const. (15.586)
Такое распределение нагрузки показано на рис. 15.20. Рассмотрим массу грунта под плоскостью у三 0, несущую на поверхности распределенную внешнюю нагрузку в виде наклон
ных к поверхности напряжений арез. Мы видим, что представленное выписанными уравнениями решение для выемки определяет также те максимальные давления, которые можно приложить (наклонно под одинаковым углом 8) к горизонтальной плоской поверхности бесконечного объема сыпучей среды, без того чтобы началось скольжение.
Уравнения теории идеально сыпучей среды в форме Кёттера. Мы видели, что компоненты напряжений ах, 0“ хху для плоского предельного напряженного состояния можно
выразить в виде (см. уравнения (15.13))выразить в виде (см. уравнения (15.13))о* = о [1 + sin р sin (2р + р)], Од = о[1 — sin р sin (2р + р)],(15.59)%ху = — о sin р cos (20 + р);о* = о [1 + sin р sin (2р + р)], Од = о[1 — sin р sin (2р + р)],(15.59)%ху = — о sin р cos (20 + р);при этом удовлетворяется условие скольжения (уравнение (15.14))(% — о/? + 4%g = 4а2 sin2 р.(15.60)при этом удовлетворяется условие скольжения (уравнение (15.14))(% — о/? + 4%g = 4а2 sin2 р.(15.60)Немецкий инженер Кёттер 1) еще в 1903 г. предложил рассматривать в качестве двух неизвестных зависимых переменных, подлежащих определению из двух уравнений равновесия весомой сыпучей среды,Немецкий инженер Кёттер 1) еще в 1903 г. предложил рассматривать в качестве двух неизвестных зависимых переменных, подлежащих определению из двух уравнений равновесия весомой сыпучей среды,°。％°т%дс Обуб^хдЧ— = (J, —z14— дхдудудх°。％°т%дс Обуб^хдЧ— = (J, —z14— дхдудудх(15.61)(15.61)среднее напряжение о и угол наклона первой линии скольжения р,среднее напряжение о и угол наклона первой линии скольжения р,Р = а +Р = а +马一色4 2 *马一色4 2 *Если мы обозначим временно20 + р = 6,Если мы обозначим временно20 + р = 6,то после подстановки выражений (15.59) для о%, о〃，хху в урав、 нения (15.61) они примут видто после подстановки выражений (15.59) для о%, о〃，хху в урав、 нения (15.61) они примут вид爲+ sinp(sin。靄-cos 崎)+爲+ sinp(sin。靄-cos 崎)++ 2o sin p (cos S 碧 + sin S 需)=0,+ 2o sin p (cos S 碧 + sin S 需)=0,需-sinp(sin6 罂+ COS6 靄)+需-sinp(sin6 罂+ COS6 靄)+(15.62)(15.62)
выразить в виде (см. уравнения (15.13))
выразить в виде (см. уравнения (15.13))
о* = о [1 + sin р sin (2р + р)], Од = о[1 — sin р sin (2р + р)],(15.59)
%ху = — о sin р cos (20 + р);
о* = о [1 + sin р sin (2р + р)], Од = о[1 — sin р sin (2р + р)],(15.59)
%ху = — о sin р cos (20 + р);
при этом удовлетворяется условие скольжения (уравнение (15.14))
(% — о/? + 4%g = 4а2 sin2 р.(15.60)
при этом удовлетворяется условие скольжения (уравнение (15.14))
(% — о/? + 4%g = 4а2 sin2 р.(15.60)
Немецкий инженер Кёттер 1) еще в 1903 г. предложил рассматривать в качестве двух неизвестных зависимых переменных, подлежащих определению из двух уравнений равновесия весомой сыпучей среды,
Немецкий инженер Кёттер 1) еще в 1903 г. предложил рассматривать в качестве двух неизвестных зависимых переменных, подлежащих определению из двух уравнений равновесия весомой сыпучей среды,
°。％°т%дс Обуб^хд
Ч— = (J, —z14— дхдудудх
°。％°т%дс Обуб^хд
Ч— = (J, —z14— дхдудудх
(15.61)
(15.61)
среднее напряжение о и угол наклона первой линии скольжения р,
среднее напряжение о и угол наклона первой линии скольжения р,
Р = а +
Р = а +
马一色
4 2 *
马一色
4 2 *
Если мы обозначим временно
20 + р = 6,
Если мы обозначим временно
20 + р = 6,
то после подстановки выражений (15.59) для о%, о〃，хху в урав、 нения (15.61) они примут вид
то после подстановки выражений (15.59) для о%, о〃，хху в урав、 нения (15.61) они примут вид
爲+ sinp(sin。靄-cos 崎)+
爲+ sinp(sin。靄-cos 崎)+
+ 2o sin p (cos S 碧 + sin S 需)=0,
+ 2o sin p (cos S 碧 + sin S 需)=0,
需-sinp(sin6 罂+ COS6 靄)+
需-sinp(sin6 罂+ COS6 靄)+
(15.62)
(15.62)
+ 2o sin p (- cos S 患 + sin S 栗)=у.
Введем длины дуг Si и s2, измеряемые соответственно вдоль первой и второй линий скольжения, и воспользуемся частными производными 1)
(15.63)(15.63)言=^喋+血噜，
(15.63)
(15.63)
差= sin(B + p)負-cos(B + p)击.
Тогда после умножения первого уравнения (15.62) на cos р, а второго——на sin 0 и сложения, и после умножения первого и второго уравнений на sin(p + р), —cos(p + p) соответственно и сложения, получаются два уравнения
(15.64)(15.64)矗券+黑+2。同6+р）需+5也（6 +吟］=需, 含黑+黑+ 2。（7"零+ COSB需）一汇*1,
(15.64)
(15.64)
которые записаны с использованием частных производных (15.63).
Эти уравнения можно еще упростить, если умножить первое и второе уравнения на sin р,——sin2 р соответственно и сложить, и на ——sin2 р, sin р и сложить. При этом для двух неизвестных функций аир получается система дифференциальных уравнений в частных производных
cos р + 2a sin р 舟"=у sin 偉 + р),
。。9а(15.65)
cos p — 2G sin p = — у cos p.
Здесь можно еще заменить зависимую переменную о, введя вместо среднего напряжения о результирующее напряжение на каждой из площадок скольжения р,
р = a cos р,(15.66)
Напомним, что первая и вторая линии скольжения наклонены к положительной оси х под углами (см. рис. 15.5) Pi = р = а + ^ ,
В2 =* а —今 + 斗=В -专 + р, где угол а определяет направление, в котором действует наибольшее главное давление о, и заметим, что В + р = =л/2+02.
(р наглядно представляется как напряжение, выражаемое на рис. 15.2 отрезком ОР{=р). В результате получим
黑+ 2。黑tgp」Ysin(p + p), к(15.67)
言-2。患 tgp= — ycosB,
где tg р можно интерпретировать как неизменный коэффициент внутреннего трения u = tgp, причем р——угол трения в сыпучей среде. Уравнения (15.67) известны как уравнения теории грунтового давления Кёттера. После умножения первого и второго уравнений на интегрирующие множители енР, е^мв их можно представить в симметричной форме
(ре?哨=丫《2呻 sin (В + р),
广(15.68)
(pg-2AВ) = — 丫0-2呻 cos P，
а в некоторых случаях их можно проинтегрировать, если удастся предугадать зависимость угла р от координат. С помощью этих уравнений построено поле линий скольжения у шероховатой подпорной стенки, вычислено давление грунта на стенку, а также определена несущая способность сыпучего материала в основаниях сооружений 1).
Методы получения решений, удовлетворяющих граничным условиям, требуемым в практических приложениях, основаны на принципе Римана, согласно которому для класса уравнений в частных производных гиперболического типа интегралы, имеющие различную аналитическую форму, могут гладко сопрягаться вдоль определенных линий скольжения, т. е. вдо^ь той или иной из «характеристических кривых》данной системы дифференциальных уравнений (см. т. 1, стр. 625). Раньше внимание концентрировалось на вопросе о том, какую форму следует припи-
сать линиям скольжения, когда они приближаются к вертикальной или слегка наклонной твердой подпорной стенке с шероховатой поверхностью, и как далеко от стенки простирается поле этих изогнутых кривых в область, где преобладают прямолинейные линии скольжения Рэнкина. Этот вопрос был выяснен Рейсснером ) и Карманом), которые построили поле, показанное на рис, 15.21, вычислив интегралы в уравнениях Кёттера (15.67) для окрестности стенки, подпирающей сыпучую среду с горизонтальной поверхностью, при помощи ступенчатой аппроксимации (Рейсснер) или разложения в ряды (Карман). Линии скольжения в грунтовом клине АВС (рис. 15.21) определяются (1) уравнениями (15.67), (2) коэффициентом трения на стенке и (3) условием, что криволинейные линии скольжения должны вдоль линии ВС гладко сопрягаться с прямолинейными линиями скольжения для нижнего рэнкиновского состояния равновесия. Это дает для горизонтальной компоненты результирующего давления грунта при угле трения р = 30° величину
e = 0,81以， (15.69)
где Er ——значение активного давления грунта.
Ес = %Y九2Ес = %Y九2Кроме того, требуется тический угол наклонаКроме того, требуется тический угол наклонаctg(p =ctg(p =KFcos p1 +p2sinpKFcos p1 +p2sinpвычисленное для исходного рэнкиновского состояния (см. § 15.3, стр. 540)).
Ес = %Y九2
Ес = %Y九2
Кроме того, требуется тический угол наклона
Кроме того, требуется тический угол наклона
ctg(p =
ctg(p =
KFcos p1 +p2sinp
KFcos p1 +p2sinp
Понимая трудность получения конечных выражений для поля напряжений у подпорной стенки из уравнений (15.67), Кёттер в работе 1903 г. предложил определять, по крайней мере, форму линии скольжения АС (рис. 15.21), которая начинается у основания % подпорной стенки, из усло
вия аналитического максимума горизонтальной составляющей Ед активного давления грунта Е. Тем самым ставится вариационная задача. (См. критические замечания в цитированных выше статьях Рейсснера.)
Обобщение Прандтлем понятия идеально пластичной среды. Применение к течению твердых
тел в условиях плоского напряжен- Рис. 15.21. Линии скольжения ного состояния, иллюстрируемое вблизи подпорной стенки. соответствующими изогональными линиями скольжения. Прежде чем продвинуться дальше в рассмотрении предельного равновесия сыпучей среды, выясним группу смежных вопросов, перечислен
ных в названии этого раздела, к которым привлек внимание Прандтль в двух из первых его статей, посвященных теории пластичности 9- На основе рассмотрения огибающих кругов Мора для наибольших главных напряжений он ввел понятие обобщенного идеально пластичного тела, не обладающего свойством деформационного упрочнения, имея в виду твердые тела квазиизо-
тропного поликристаллического строения с вполне определенным пределом текучести. Для такого тела он смог постулировать, что материальные элементы начинают деформироваться и непрерывно деформируются неопределенно долго, если только максимальное касательное напряжение ттах достигает строго определенного предела, зависящего от среднего значения (полусуммы) наибольшего и наименьшего главных напряжений с^ и а3,
一。1 一03£Fax —2= /一。1 一03£Fax —2= /0rl + Оз0rl + Оз22(15.70)(15.70)
一。1 一03£
Fax —2= /
一。1 一03£
Fax —2= /
0rl + Оз
0rl + Оз
2
2
(15.70)
(15.70)
Это условие пластичности особенно подходит для рассмотрения двумерных задач медленного течения в таких телах, в которых
Prandtl L., Uber die Harte plastischer Когрег, Nachr. Ges. Wiss. Gdttingen. Math.-physik. KI., p. 12, 1920; Uber die Eindringungs-festigkeit (Найе) plastischer Baustoffe und die Festigkeit von Schneiden, Z. Angew. Math. 〃〃d Meeh., 1, 15—20 (1921),
Рис. 15.22. Людвиг Прандтль (родился 4 февраля 1875 г. во Фрейзинге Бавария, умер 23 августа 1953 г. в Геттингене).
Прандтль был ассистентом Фёппля в Высшей технической школе в Мюнхене, короткое время — профессором в Ганновере, затем — профессором в Геттингене, куда он был приглашен в качестве директора Института прикладной механики, основанного в 1899 г. великим математиком Ф. Клейном. Этот пост он занимал с 1904 г. до своей смерти. Прандтль первым построил аэродинамическую трубу для проведения аэродинамических исследований (1908 г)., а затем создал Аэродинамический институт Общества кайзера Вильгельма в Геттингене. Он спроектировал первый аппарат, в котором изобретательно использовался шлирен-метод Теплера, для наблюдения сверхзвукового потока в сопле Лаваля (Physik Z., 23 (1907)); он определил условия, при которых ламинарный пограничный слой, прилегающий к телу в потоке жидкости, отделяется от тела (Uber Fliissigkeitbewegung bei sehr kleiner Reibung, доклад на Третьем международном конгрессе математиков в Гейдельберге, 1904 г.) и предложил степенной закон с показателем 1/7 для распределения скорости, когда пограничный слой становится турбулентным (2 angew. Math, und Meeh., 5, 136 (1925)). Прандтль вывел основные уравнения дчя определения подъемной силы и сопротивления, действующих со стороны трехмерного потока воздуха на крыло аэроплана конечной длины (Tragfliigel-Theorie, pt. 1, 2, Mitt. Nachr. KgL Ges. Wiss., Gottingen, p. 151, 1918, 107, 1919), значительно улучшающие теории профиля крыла, предложенные до этого Ланчестером (1909 г.), Н. Е. Жуковским (1910 г.) и другими. Богатство изысканий Прандтля в гидро- и аэродинамике иллюстрируется его широко известными книгами, как уже упоминалогь в тексте. Столь же велик вклад Прандтля в механику твердого тела, начиная с его мембранной аналогии, решающей задачи кручения упругих стержней (опубликовано в Physik, Z., 4, (1903)); среди его работ, посвященных математической теории пластичности — определение давления, при котором начинается течение пластичного металла вблизи срезанного угла (1920 г.), его фундаментальной важности открытие в 1928 г. закона гиперболического синуса для деформации и его обобщение понятия идеально пластичного тела (1921 г.). Дар Прандтля — способность уловить существенные черты столь разнообразных проблем технической механики - ставит его в один ряд с ее выдающимися основоположниками.
предел текучести возрастает с увеличением среднего давления, или при высоких сжимающих нормальных напряжениях. В случае плоского напряженного состояния уравнения Прандтля для обобщенного пластичного тела практически совпадают с теми, которые впоследствии были предложены для описания таких течений тел, когда не ттах, а октаэдрические касательные напряжения Токт рассматриваются в качестве основной меры предела текучести, который предполагается зависящим от среднего нормального напряжения, Токт = /(о)・ Если пренебречь упругой составляющей деформации и задать приложенные на границе тела
Рис. 15.23. Диаграмма, определяющая обобщенное пластичное тело Прандтля.
внешние напряжения, то эти двумерные пластические напряженные состояния Ок, ву, тХу уже становятся статически определимыми 1) посредством двух уравнений равновесия, условия текучести (уравнение (15.70)) и заданных статических граничных условий. Две компоненты скорости 〃 и и, предполагаемые весь ма малыми, можно затем определить из уравнений
ди , dv Л
段+石'=°，
dv/dy — ди/дх % - о%(15.70а)
ди/ду + dv/dx — —2Txy *
Выберем простейший тип обобщенного пластичного тела, предполагая, что для него огибающие Мора ——две прямые, наклоненные под углами ±р, и что точка О0 — начало координат плоскости ап, тп — лежит на расстоянии c = OOq от точки их пересечения О (рис. 15.23). С использованием обозначений, приведен-
См. т. 1, стр. 461, 594,
ных на рисунке, условие пластичности (уравнение (15.70)) принимает вид
tmax= C + usinp = (c + or)sinp.(15.71)
Отсюда видно, что теория сыпучей среды, для которо访 условие скольжения выражалось в виде ттах = о, sin р (or отсчитывается от начала О) и только что введенный простейшн访 случай обобщенного пластичного тела (для которого напряжения о отсчитываются от нового начала О0) должны быть тесно связаны. Чтобы вывести из формул для сыпучей среды формулы, выражающие компоненты напряжений для обобщенного пластичного тела, нужно просто заменить компоненты нормальных напряжений в ней。贫，ог〃，о, Отг напряжениями в пластичном теле, добавив к ним постоянную с: gx + c, Ug + c, о + с, Gn + c, так что для напряжений 6 пластичном теле получаем следующие соотношения:
с + и* = (с + и) (1 + sin р cos 2а),
с + % = (с + и) (1 — sin р cos 2а),(15.72)
тху = (с + о) sin р sin 2а.
При этом напряжения 。九,тп на площадках скольжения связаны линейным соотношением
% = (с + %) tg р =々 + 叫 tg р.(15.73)
Гартман 1) заметил, что после подстановки выражений для напряжений (уравнения (15.72)) интегрирование уравнений равновесия
丄 дхху п О% дгху
丁 = 而+ k = °(15.74)
облегчается путем введения новой зависимой переменной г, которая определяется соотношением
с + о = ск* =々《%(15.75)
где
N = tgp, k = ф.(15.75а)
В замечательной докторской диссертации (которая, к сожалению, осталась неопубликованной) под названием Uber die Integration der Differential Gleichungen des ebenen Gleichenpfewichtszustandes fiir den allgemein— plastischen Кбгрег, представленной в Геттингенский университет в 1925 г., Гартман развил общую теорию равновесия среды, подчиняющейся условию пластичности (15.71). Он получил много точных решений, представляющих практический интерес, в том числе и неизвестные для них ранее поля линий скольжения, некоторые из которых будут упомянуты ниже,
Это дает два дифференциальных уравнения для двух неизвестных, о и угла а, определяющего направление максимального главного напряжения си,
_Cos2a + ^sin2a + sinp^ + 2cosp^- = 0,dz • ° I 厌 с • dz , n da с (15.76)-17sm2a +而 cos2a — smp而+ 2cosp 段=0.
Введением частных производных
^ = cosa亩+ sma丽，肃=一 后+ cosa(15.77) которые берутся по дугам тип первой и второй траекторий главных напряжений, проведенным в направлениях наибольшего и наименьшего главных напряжений о】и оз, уравнения (15.76J можно преобразовать к симметричной форме
(l+sinp)爵+ 2cosp 器=0,
及da(15・78)
(l-sinp)4r+ 2cosp 嘉=0.
В этом пластическом плоском напряженном состоянии возникают линии скольжения, которые можно построить по уравне
ниямниям黑hg卜+今一多'黑П tg（a _今+多）,黑hg卜+今一多'黑П tg（a _今+多）,(15.79)(15.79)
ниям
ниям
黑hg卜+今一多'黑П tg（a _今+多）,
黑hg卜+今一多'黑П tg（a _今+多）,
(15.79)
(15.79)
определяющим два изогональных семейства кривых, которые пе* ресекаются под острым углом (п/2 — р).
Читатель знаком с одним частным случаем обобщенного идеально пластичного тела, а именно, с идеально пластичным телом, В котором В условиях ПЛОСКОГО напряженного СОСТОЯНИЯ Ттах = =尼=const. Для этого случая очевидно, что две прямолинейные огибающие на диаграмме Мора (рис. 15.23) превращаются в две параллельные линии, причем р = ц=О, с = оо, но ctgp = qn=4. Тщательным вычислением Гартман показал, что
lim (dz)= р->0lim (dz)= р->0d (о* + %) _ dod (о* + %) _ do
lim (dz)= р->0
lim (dz)= р->0
d (о* + %) _ do
d (о* + %) _ do
(15.80)
lim (sin р 严)=1 р->0
и что из уравнений (15.78) получаются дифференциальные уравнения для зависимых переменных о и а, справедливые для идеально пластичного тела,.
爵+ 2々祭=0,黑+ 2々爵=0・.(15.81)
Эти уравнения определяют два ортогональных семейства линий течения и эквивалентны уравнениям
dm дп2 ' dm2 дп2 ( * ' или при записи в координатах s〔 и s?, представляющих собой длины дуг, отсчитываемые вдоль направлений линий скольжения, —уравнениям
= 0, = (15.83)
которые для идеально пластичного тела были получены Генки (1923 г.) и Мизесом (1925 г.) и исследованы Каратеодори и Шмидтом (1923 г.) I).
Однако теперь дифференциальные уравнения обобщенного пластичного тела (15.78) имеют для нас большее значение, чем это могло показаться до сих пор, поскольку они проливают некоторый новый свет на способы получения точных решений для состояний предельного равновесия зернистой среды, обладающей ограниченным сопротивлением сцепления. Именно этот факт побудил нас включить теорию Прандтля обобщенного идеально пластичного тела в данную главу, посвященную в первую очередь равновесию зернистых материалов.
Трудности получения приемлемых интегралов уравнений Кёт- тера (15.67) и (15.68) возникают из-за наличия в правой части двух членов, выражающих влияние компонент массовой силы тяжести. В некоторых приложениях теории грунтового давления представляет интерес влияние сравнительно высоких нагрузок или давлений, действующих на поверхности грунта, или исследование равновесия на больших глубинах, где местные массо^ вые силы дают лишь небольшую добавку к основным напряжениям. Это побудило Рейсснера и Гартмана 2) положить у = 0 в уравнениях Кёттера для ограниченных глубоко залегающих зон грунта, т. е. рассматривать только однородные уравнения (15.67) и (15.68),
含(“2呻)=0, 备(ре-呻)=0, (15.84)
очень близкие к нашим уравнениям (15.78). Эти последние отличаются от первых лишь положением начал отсчета напряжений (Оо и О соответственно). В последующих разделах приводятся примеры решений, которые могут служить в качестве иллюстра-
тела и равновесия грун- массовые силы тяжести.тела и равновесия грун- массовые силы тяжести.ции к теории обобщенного пластичного та, причем в обоих случаях опускаются
тела и равновесия грун- массовые силы тяжести.
тела и равновесия грун- массовые силы тяжести.
15.7. Простейшие решения. А. Состояние с ложим сначала, что некоторый объем рыхлого15.7. Простейшие решения. А. Состояние с ложим сначала, что некоторый объем рыхлогоосевой симметрией. Предпо-
15.7. Простейшие решения. А. Состояние с ложим сначала, что некоторый объем рыхлого
15.7. Простейшие решения. А. Состояние с ложим сначала, что некоторый объем рыхлого
, песка удерживается в равновесии под действием радиального давления、 приложенного на поверхностях
двух концентрических цилиндров г = а и 广=Ь, Лучи радиусов и окружности r=const являются линиями главных напряжений, так что мы будем различать два состояния предельного равновесия, смотря по тому, какое из напряжений Or или о% будет наибольшим главным напряжением о】.В первом случае большее радиальное давление действует на внутренней (厂=〃)，а во втором——на внешней (厂=Ь) цилиндрической поверхности. Уравнение равновесия
(15.85)(15.85)里+?Т=одг г
(15.85)
(15.85)
6 первом случае, когда Or = Oi, удовлетворяется, если положить
2 sin р
Qi == а (1 + sin р),
1 + sin р '
6 = о (1 — sin р),
do _
_ та
(15.86)
dr 一
г，
07 =
схг~т (1 + sin р),
о =
5广吗
О/ =
Cir_w (1 - sin р),
а во втором случае, когда Ot = Oi, если положить
/г =
_ 2 sin р07 = s = о (1 — sin р),
~— sin р '八、
do
а/ = а1 = а(1 +sin р),
/га(15.87)
丁“ = W(l-sinp),
а =
=%厂"，а/ = c{rn (1 + sin p).
Если на внутренней поверхности полости г—а действует давление ра, го постоянная интегрирования с】 принимает значения c} = paaml(\ +sin р), с{^= раа~пI(\—sin р) соответственно. Однако давление ра в сыпучей среде нельзя вычислить, не задав конечное уравновешивающее давление ръ на внешней поверхности цилиндра г=Ь.
Если угол внутреннего трения р=30°, то напряжения имеют следующие значения:
2/г = 2,2/г = 2,О「= 3。/ = РаО「= 3。/ = Ра” в первом случае,” в первом случае,『Ра『Ра图图I — во втором случае.I — во втором случае.
2
/г = 2,
2
/г = 2,
О「= 3。/ = Ра
О「= 3。/ = Ра
” в первом случае,
” в первом случае,
『Ра
『Ра
图
图
I — во втором случае.
I — во втором случае.
Под напором давления сыпучий материал вынужден скользить по логарифмическим спиралям, ориентированным двояким образом (рис. 15.26), которые соответствуют эпюрам напряжений, показанным на рис. 15.24 и рис. 15.25.
Осесимметричные распределения напряжений в сыпучем материале.
Во-вторых, мы можем описать характер течения 6 толстостенном цилиндре, деформация которого происходит по закону обобщенного идеального
бба
б
б
Рис. 15.26. Линии скольжения в сыпучем материале, представляющие собой
логарифмические спирали.
пластичного твердого тела (уравнение (15.71)), наложив на предыдущее напряженное состояние двуосное растяжение напряжениями, равными — с.=const. В случае цилиндрического твердого тела у нас появляется еще одна возможность, а именно, оставить внешнюю (г=Ь) или внутреннюю (г=а) поверхность ненагруженной внешними напряжениями (аг=0).
.Мы выпишем формулы для цилиндра из прандтлевского твердого тела, нагруженного внутренним давлением р (первый случай):
а = Clr~m — с — среднее напряжение,
ог = с】(1 + sin р) r~m — с, О/ = с】(1 — sin р) r~m — с - напряжения..
В предположении, что аг обращается в нуль на внешней поверхности г^Ь, имеем
cbm1 Л
Положив на внутренней поверхности г=а, От=р, получим
(15.88)
Но на внешней поверхности г=Ь, где аг обращается в нуль, тангенциальное напряжение о» как раз равно пределу текучести материала при растяжении — ву. Таким образом,
Cf)Lb = 一 ；義肾=一 cm = — 团々 ctg р =-。夕 (15.89)
Отсюда видно, что для приведения всего цилиндра в пластическое состояние нужно приложить давление р, равное
。奇［閑」。奇［閑」(15.90)(15.90)
。奇［閑」
。奇［閑」
(15.90)
(15.90)
которое вызывает в его стенках напряжения
(Ь〃)他一1“=Р S/Q严二『(Ь〃)他一1“=Р S/Q严二『““(b/r)他(1 — sin p)/(l + sin p) — 1P(b/a严一1(b/r)他(1 — sin p)/(l + sin p) — 1P(b/a严一1(15.91)(15.91)
(Ь〃)他一1
“=Р S/Q严二『
(Ь〃)他一1
“=Р S/Q严二『
“
“
(b/r)他(1 — sin p)/(l + sin p) — 1
P(b/a严一1
(b/r)他(1 — sin p)/(l + sin p) — 1
P(b/a严一1
(15.91)
(15.91)
При этом в отличие от сыпучей среды материал нагружен также и растягивающими напряжениями значительной величины, направленными по окружности.
Предыдущие соотношения должны описывать также идеально пластичное тело、течение которого происходит при неизменном значении ттах=^ = =const, и р=0, /п=0, с= оо. В этом частном случае формулы для р, аг и ot принимают вид неопределенностей 0/0, но можно убедиться, что
а уравнения (15.91) дают таким же образом
(15.92)(15.92)” =2々 ln-р- , 07 = 2山(in ~—
(15.92)
(15.92)
в соответствии с хорошо известными соотношениями, описывающими напря женное состояние в цилиндре из идеально пластичного материала 9-
Б. Однородное напряженное состояние вдоль веера прямолинейных лучей. Введем полярные координаты г и ср и предположим, что направление наибольшего главного давления в сыпучем грунте 。】вдоль любого луча
ф=const наклонено под постоянным углом, причем разность углов равна ф——а=л/4——p/2=const. Напряжения на луче ср=const имеют постоянные значения, удовлетворяющие условию скольжения (уравнение (15.33)), и выражаются в виде
” = ог (1 + sin р),
d = ocos2p,(15.93)
t〃 = — о sin р cos р.
Рис. 15.27. Однородное напряженное состояние вдоль полупрямых, образующих веер.Рис. 15.27. Однородное напряженное состояние вдоль полупрямых, образующих веер.
Рис. 15.27. Однородное напряженное состояние вдоль полупрямых, образующих веер.
Рис. 15.27. Однородное напряженное состояние вдоль полупрямых, образующих веер.
жений Эрижений Эри尸=号32р户即₽ П噺岂尸=号32р户即₽ П噺岂напря-(15.94)напря-(15.94)(15.95)(15.95)
жений Эри
жений Эри
尸=号32р户即₽ П噺岂
尸=号32р户即₽ П噺岂
напря-
(15.94)
напря-
(15.94)
(15.95)
(15.95)
эти компоненты напряжений можно определить при помощи функции
Это дает для среднего напряжения следующее выражение:
0=1/2 AF = CoeW
где постоянная & определяет интенсивность напряжений, а 卩==tgp. Линии скольжения первого семейства совпадают с пучком прямых (p=const(Pi =(p), а для второго семейства это ——логарифмические спирали (рис. 15.27)】)
г = [02 = Ф л/2 + р].
Соответствующее напряженное состояние в обобщенном пластичном тс〃б выражается соотношениями
о = с。。2Mxp — с,仇=с。cos? p«2iw _ %
(15.96) Or = с。(1 + sin р)抖①一с,% = sin р cos р (— с0е2цф + с).
В идеально пластичном материале из функции напряжений F = C\r2^ выводит ся напряженное состояние в веере
” = S = 2ci(p, t〃=-Ci,陋.97)
причем линиями- скольжения будут лучи ср = const и окружности r = const.
Детальное изучение решений для упруго-пластичного тела, подчиняющегося условию текучести Треска Tmах = const, как для плоского напряженного состояния (Oz = t*z = tyz = 0), так и для плоской деформации (8г = 0) бесконечного упруго-идеалыю-пластичного клина, находящегося под однородными поверхностными нагрузками (задаются нормальные напряжения 。力 или касательные напряжения с. на прямых (р = 0 и ср = р, 0<р<2л) можно найти в работах Нахди с сотрудниками!). В этих работах используются полные соотношения между напряжениями и скоростями деформации с учетом как упругих, так и пластических составляющих деформации К £〃，£ = £‘ + £〃 для тела Прандтля——Рейсса, подчиняющегося условию пластичности Треска.
.8. Несущая способность тупого клина. Вдавливание штампа в плоскую поверхность полубесконечного тела. Когда длинное призматическое твердое тело .симметричного сечения (рис. 15.28) нагружается по его затупленной верхней грани АВ достаточно высоким равномерно распределенным нормальным давлением р, в некоторой области вблизи короткой грани АВ возникают пластические деформации, Прандтль 2), рассмотрел этот случай применительно к материалам с резко определенным пределом текучести при растяжении и сжатии, как у некоторых ковких металлов (малоуглеродистые стали) в предположении, что из-за высоких значений модуля упругости и модуля сдвига упругие составляющие деформации малы по сравнению с пластическими деформациями уже при умеренных значениях этой деформации. При этом он ввел, по-видимому впервые, предположение, что граница области, где произошло местное течение, преходит по последней линии скольжения зоны пластичности, и за этой зоной материал призмы остается жестким. Это предполо-
жение вводили впоследствии многие нссле^ователи при решении так называемых задач пластичности в «жестко-пластической» постановке, описанной Прагером】)，Хиллом ) и другими.
-В пластической области Прандтль различал пять зон, которые он пристраивал одну к другой таким образом, чтобы напряженное состояние менялось непрерывно при переходе через внутренние границы соседних зон. Он предположил, что в треугольнике ДВС, который продавливается вниз под действием внешнего
Р и с. 15.28. Затупленный клин.Р и с. 15.28. Затупленный клин.давления р, имеет место состояние двухосного сжатия о% = const, Оу = р = =const. Подобно этому два треугольника ADF и BEG, которые слегка сдвигаются из своих исходных положений наружу, подвергаются однородному простому одноосному сжатию вдоль боковых граней AF и BG, тогда как в двух секторах ACD и ВСЕ возникает однородное напряженное состояние как раз того типа, который дается уравнениями (15.96) и (15.97) для веера; причем здесь имеются пучки прямолинейных линий скольжения —лучи, исходящие из углов Д и В.
Р и с. 15.28. Затупленный клин.
Р и с. 15.28. Затупленный клин.
Таким образом, задача определения несущей способности затупленного кли-
на, т. е. давления р, нужного, чтобы одновременно довести
до предела текучести пять только что описанных римановы% областей, сводится по существу к расчету напряженного состояния в одной из веерообразных областей, например ACD. При этом используются уравнения (15.96), а постоянная с0 выбирается так, чтобы на общей границе этого сектора с треугольником ADF действовало напряжение, как раз равное пределу текучести при одноосном сжатии ас (равное диаметру наибольшего главного круга напряжений, изображающего состояние при ai = ac, 02 = 0) • Тогда напряжение на верхней граничной линии АС определяет неизвестное вертикальное давление р, действующее на треугольник АВС.
Пусть 仆——половина угла между поверхностями тупого клина (рис. 15.28), р — угол наклона прямолинейно访 огибающей Мора и p> = tgp. В этом случае для несущей способности р призматического тела Прандтль получил выражение
Р =受爲万【(1 + sin Р)殍廿-1 + sin p],(15.98)
р = (1 +8)%・р = (1 +8)%・Для идеально пластичного тела, подчиняющегося условию текучести Стах =仇/2 = const, это соотношение дает в пределе простую формулу
р = (1 +8)%・
р = (1 +8)%・
(15.99)
Важный частный случай получается, если взять 8 = 11/2. Это так называемое двумерное испытание на твердость, когда по длинной полоске с параллельными краями к плоской поверх- ности тела прикладывается постоянное нормальное давление р.
Рис. 15.29. Зона пластичности в обобщенном идеально пластичном теле, находящемся под действием равномерно распределенного по участку поверхности давления р = const.Рис. 15.29. Зона пластичности в обобщенном идеально пластичном теле, находящемся под действием равномерно распределенного по участку поверхности давления р = const.
Рис. 15.29. Зона пластичности в обобщенном идеально пластичном теле, находящемся под действием равномерно распределенного по участку поверхности давления р = const.
Рис. 15.29. Зона пластичности в обобщенном идеально пластичном теле, находящемся под действием равномерно распределенного по участку поверхности давления р = const.
В табл. 15.2 мы воспроизводим значения р, вычисленные Прандтлем для обобщенного пластичного тела, характеризуемого углом трения р, |x = tgp и острым углом 屮=冗/2 — р, под которым пересекаются друг с другом поверхности скольжения.
Таблица 15.2
Угол Мора р, град
Ф, град
出=tg Р
sin р
Давление рЕс
AF/AB
0
90
0
0
2571
1
10
80
0,1763
0,1736
3499
1,572
20
70
0,3640
0,3420
5194
2,530
30
60
0,5773
0,5000
8701
4,920
40
50
0,8391
0,6428
17560
8,462
При таких условиях получается картина вдавливания жесткого штампа в твердое тело больших размеров, ограниченное плоской поверхностью для идеально пластичного и обобщенного идеально пластичного тел соответственно (рис. 15.29, рис. 15.30). В левой части рис. 15.29 показаны траектории главных напряже-
ний, а в правой ——линии скольжения {) в пластической зоне, которая простирается значительно дальше вдоль поверхности, чем для идеально пластичного тела (рис. 15.30), в котором линии скольжения ортогональны.
Можно привести здесь некоторые результаты), полученные при испытаниях на сжатие призм, изготовленных из отожжен^ ной малоуглеродистой стали, имевшей резко выраженный пре-
Рис. 15.30. Давление р = const на участке поверхности. Линии скольжения в идеально пластичном теле.
дел текучести, для которого при сжатии цилиндрических образцов было получено значение ас = 2 395 кг/см2. Деформация поверхностей одной призмы в виде тупого клина с углом 仆=45° воспроизведена на рис. 15.31. Видно, что на обеих поверхностях
Таблица 15.3
ОПЫТЫ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ТУПЫХ КЛИНЬЕВ ИЗ МАЛОУГЛЕРОДИСТОЙ СТАЛИ
Угол клина 20, град
45
45
90
90
180
Наблюдаемые значения р в наименьшем сечении, вызывающие внезапное течение, кг/см2
3250
3330
3850
4430
5540
Наблюдаемое значение отношения р/с*
1,36
1,39
1,61
1,85
2,31
Значение р® по формуле Прандтля р/“ = 1 + е
1,39
1,39
1,79
1,79
2,57
клина под срезанной вершиной образовались выступы. Посколь： ку малоуглеродистая сталь сразу же после достижения начала течения ведет себя как идеально пластичное тело, в табл. 15.3 наблюдаемые значения давления, вызывающего внезапное разрушение, сопоставлены со значениями по формуле Прандтля
Рис. 15.31. Деформация боковых плоскостей затупленного клина. / — поднятие; 2 — расстояние.
причем обнаруживается вполне хорошее согласие между экспериментом и теорией.
Малоуглеродистая сталь обладает той особенностью, что на ней прекрасно видны линии течения (линии Людерса). На рис. 15.32——15.34 они показаны для трех образцов со срезанной вершиной. Видно, что они имеют ожидаемый характер, за исключением области вблизи краев призм, где плоское напряженное состояние нарушается из-за того, что образцы имеют конечную длину. Ширина выступов (AF = BG на рис. 15.28), выда-
вленных по краям полоски сжатия (АВ на рис. 15.31—15.34), находится в хорошем согласии с вычисленной шириной пластической зоны для идеально пластичного тела.
Хилл и Прагер 1) в своих книгах предлагают несколько измененную картину линий скольжения при здавливании длинного штампа в полубесконечное тело, описывающую границу раздела между пластической и жесткой зонами под «вполне гладким» (лишенным трения) штампом. Согласно Хиллу, ширина
28=90：23=90：28=135：V « 4280 кг/смг а = 5210 кг/см2 <г = 5920 кг/см128=90：23=90：28=135：V « 4280 кг/смг а = 5210 кг/см2 <г = 5920 кг/см1Рис. 15.32.Рис. 15.32.Рис. 15.33.Рис. 15.33.Рис. 15.34.Рис. 15.34.
28=90：23=90：28=135：
V « 4280 кг/смг а = 5210 кг/см2 <г = 5920 кг/см1
28=90：23=90：28=135：
V « 4280 кг/смг а = 5210 кг/см2 <г = 5920 кг/см1
Рис. 15.32.
Рис. 15.32.
Рис. 15.33.
Рис. 15.33.
Рис. 15.34.
Рис. 15.34.
Линии течения (линии Людерса) на боковых плоскостях затупленные клиньев из малоуглеродистой стали.
Угол клина равен 20, максимальное давление, которым образец нагружался по верхнейконтактной площадке, равно О. Расположение слоев течения показано путем совмещенияс плоскостью узкой площадки контакта.
областей выпучивания по обе стороны штампа будет равна лишь половине ширины, которая определяется картиной линий течения по Прандтлю^ воспроизведенной на рис. 15.30 и подтвержденной опытами. Их фиктивная схема имеет мало общего с истинным поведением высокопластичных металлов, например малоуглеродистой стали, под действием распределенного давления со сторсны жесткого штампа.
Всегда имеющееся сильное сопротивление проскальзыванию вблизи краев жесткого штампа на площадках контакта его с телом, в котором возникает течение, неизбежно вызывает весьма значительную концентрацию пластических деформаций сдвига непосредственно вблизи углов штампа. Отсюда понятно, почему главные первые линии Людерса (линии течения) ACEG и BCDF на рис. 15.28 и 15.30 исходят из углов { и В. Эти два слоя течения по упомянутой выше причине появлялись весьма отчетливо в большинстве опытов автора, убеждая его, что Прандтль предвидел существенные особенности процесса локализованного течения под действием распределенного давления (которые не были приняты во внимание в картине течения Хи^ла и Прагера). Идеализированное по Прандтлю рассмотрение сложного процесса
')См. Хилл, цит. соч., и Прагер, 4〃т. соч., где поясняются их соображения относительно «смазанного» штампа.
вдавливания штампа в металл с резко определенным пределом текучести составляет несомненно важную фазу в решении задачи о действии распределенного давления.
Допуская, что и в зоне течения, и вне ее можно пренебречь упругими деформациями, можно поставить вопрос: «Какие доказательства, помимо полученных путем наблюдения, представлены в подтверждение предположения, сделанного Прандтлем и многими другими исследователями этих задач, о действии распределенного давления, а именно, что граница или поверхность зоны, местного течения должна проходить по линии скольжения ——последней 8 зоне пластичности ——за которой тело остается жестким». Мы видели на многих случаях частичного течения, описанных в первом томе, что когда области течения окружены участками, деформированными упруго, их граничная линия или поверхность совпадает не с направлением линий или поверхностей скольжения, а с поверхностью, на которой т0КТ раньше всего достигают своего предельного значения Токт = ”2/3)о。(о。一 предел текучести при растяжении). --
Хорошо известно, что появление линий Людерса или отчетливо видимых слоев течения в малоуглеродистой стали вызывается неустойчивостью состояния однородного малого пластического деформирования материала, причем переход к более предпочтительному состоянию вызывается небольшой концентрацией напряжений. На результаты, воспроизведенные на рис. 15.28 и рис. 15.32——15.34, несомненно оказали влияние эти обстоятельства и особенно высокая концентрация напряжений вблизи особенностей напряженного состояния —вблизи острых краев образца или штампа. При рассмотрении этих фактов более верным было бы предположение, чго прежде чем станут видны первые отчетливо различимые слои течения, в считающейся «жесткой» части уже имеются малые (лежащие за пределами измерений) пластические деформации. Можно поставить вопрос, не следует ли лучше исследовать постепенный рост “ распространение зоны течения с возрастанием напряжений в упругом теле, чем постулировать заранее внезапное наступление «полной» пластичности в целых участках полей линий скольжения и течения, прекращающееся на границах жесткой части. Однако ввиду трудности получения точных решений для задач с распределенным давлением такой первоначальный инженерный подход представляется неизбежным и может быть, несомненно, полезным, коль скоро результаты вычислений подтверждаются надежными экспериментами.
.9. Дальнейшие примеры изогональных полей линий скольжения. А. Изогональные циклоиды. Возвращаясь к уравнениям (15.78), предположим, следуя Гартману, что угол а, определяющий наибольшее главное давление в, зависит от координаты у, a=f(f/)・ Тогда из уравнений (15.76) следует, что
(15.100)(15.100)су = 2а sin р — sin 2а + с2, z cos р = cos 2а + с% + q,
(15.100)
(15.100)
где с, Ci и с2 ——постоянные, а система линий скольжения представляется в параметрической форме
(15.101)(15.101)% = 3 (干 2a cos р — 2а) + const, у=— %[(冗一2а) sin р + sin 2а],
(15.101)
(15.101)
которая справедлива для значений параметра а в пределах
专—Р V 2а V 萼 + р.专—Р V 2а V 萼 + р.(15.101а)(15.101а)
专—Р V 2а V 萼 + р.
专—Р V 2а V 萼 + р.
(15.101а)
(15.101а)
Уравнения (15.101) описывают два изогональных семейства обычных циклоид, пересекающихся, как показано на рис. 15.35. Заметим, что эти циклоиды имеют огибающими две параллельные прямые.
Вместе с равенствами (15.72) уравнения (15.101) описывают (с учетом соотношений (15.75)) напряженное состояние в полосе
Две системы линий скольжения, представляющие собой изогональныециклоиды (по Гартману).
ширины 2/z, ограниченной прямолинейными огибающими, если приписать постоянной & значение
3 7.(15.1016)
0 (л + 2р) sin р + 2 cos р'/
Наибольшее давление ai направлено перпендикулярно горизонтальной оси симметрии у = 0. Напомним читателю описанную впервые Прандтлем в 1923 г. сходную картину, но с ортогональными линиями скольжения 】),для течения идеально пластичного тела, сдавливаемого между двумя параллельными шероховатыми плитами. В этом случае течение происходит в направлении, противоположном положительному направлению оси % на рис. 15.35. Мы замечаем, таким образом, что предыдущие уравнения описывают течение данного типа для обобщенного пластичного тела.
С другой стороны, если значения параметра а изменяются в пределах
—^ + р<2а<^—р,(15.101в)
то циклоиды располагаются, как показано на рис. 15.36. Это соответствует тому, что на оси симметрии пластического слоя
См. т. 1, рис. 521, стр. 604.
(оси %) наибольшее давление направлено горизонтально, и оно расталкивает параллельные сжимающие плиты ^.
Б. Естественные границы. Если существует огибающая поверх- ностей скольжения, то она образует естественную границу、ограничивающую область. 6 которой имеет место состояние плоской пластической деформации. Два примера течения обобщенного пластического тела, упомянутые выше, примечательны и в том отношении, что математические соотношения, описывающие напряжения, нельзя аналитически продолжить за две физические плоскости y=±/i, представляющие собой огибающие поверхностей скольжения. Эти две плоскости представляют собой естественные границы в двояком смысле: они ограничивают пластичное тело и определяют пределы той области пространства, вне которой перестает существовать математическое решение. Последний факт открывает перспективы для нахождения новых точных решений, как было указано нами в 1924 г.2).
Условие скольжения или текучести (15.60) содержит вторые степени переменных напряжений ах, Og, хху, так что, если, разрешив его, взять квадратные корни со знаками ±, появляются две ветви решения. Каждая из них имеет свой механический смысл, включая свои соответствующие картины линий скольжения, которые нужно рассматривать на отдельных плоскостях %, у. Такое поведение решения напоминает поведение многозначных функций комплексного переменного, при рассмотрении которых координатная плоскость покрывается двумя или большим числом листов; они представляют собой обособленные области существования функции и разветвляются вдоль определенных «линий ветвления». Две огибающие линий скольжения в наших последних примерах характеризуются как две такие линии ветвления пластического поля, вдоль которых два тесно связанных плоских на-
Добавим, что при таком двумерном течении материал движется по линиям течения, которые отходят от жестких плит вертикально, но быстро загибаются, превращаясь в горизонтальные линии, вдоль которых компонента скорости, параллельная оси, возрастает. В обоих случаях, представленных картинами линий скольжения на рис. 15.35, рис. 15.36, пластичный материал между пластинами течет в направлении отрицательной полуоси х лишь в одну сторону под некоторым перепадом давления, действующим в этом направлении. В первом случае, очевидно, этот перепад является пассивной реакцией на высокие давления, создаваемые в материале сближающимися плитами, тогда как во втором (рис. 15.36) именно перепад давления в действительности является активным источником всякого движения и несколько раздвигает плиты. Используя терминологию теории давления грунтов, мы можем сказать, что давления в первом и во втором случаях являются соответственно пассивным и активным.
N a d a i A., Uber die Gleit- und Verzweigungsflachen einiger Gleich- gewichtszustQnde bildsamer Massen und die Nachspannungen bleibend ver- zerrter Кбгрег, Z. Physik, 30, 106—138 (1924).
пряженных состояния, отличные в физическом пространстве, ограничивают друг друга. При этом переменная а, определяющая направление наибольшего главного давления си, согласно уравнениям (15.101а) и (15.101в), относящимся к первой и второй областям предыдущего решения, изменяется непрерывно. Поскольку огибающая (или огибающие) поля линий скольжения глубоко связана с особенностями соответствующих плоских состояний пластической деформации, это привело к мысли систематически исследовать такие состояния на основе изучения формы этих абсолютных естественных границ.
Мы назовем эти линии ветвления естественными границами, поскольку они являются абсолютными границами области течения в плоскости %, у и в поле переменных, служащих для описания напряженного состояния пластической деформации тела. Ни одно из соотношений нельзя аналитически продолжить за эти огибающие линий скольжения. Это свойство характерно лишь для таких полей пластических линий скольжения, которые имеют огибающие линии или кривые и которые можно противопоставить состояниям пластической деформации, допускающим аналитическое продолжение за границы пластической зоны. В основе обоих типов течения лежит постулат об огибающей окружностей наибольших главных напряжений Мора в плоскости ап, тп. Представляющееся парадоксальным существование специфической группы решений, обладающих естественными границами, связано с той особенностью, что внешние напряжения на этих границах тела совпадают случайно со значениями Gn, тп для точек Р, расположенных на двух образующих Мора, равных нормальному и касательному напряжениям в плоскостях скольжения; естественная граница тел ——это бесконечно плотное скопление и совмещение площадок скольжения.
Поскольку огибающие Мора не допускают рассмотрения точек Р(оп, тп) во внешности сектора 今。々 на рис. 15.22, то максимум абсолютного значения касательного напряжения тп в точке Р плоскости Мора при некотором данном значении ап (или соответствующем среднем давлении о) никогда не может стать больше ординаты точки Р, расположенной на прямых ОВ\ или ОВ2. Так как вне BQB? не существует физических напряженных состояний, то становится понятно, почему граница области течения оказывается абсолютной границей, когда линии скольжения касаются ее. Систематическими сведениями (в рамках этого в общем малоизвестного направления) о классах и группах решений для обобщенного пластичного тела, подразделяющихся в соответствии с формой их естественных границ, и об их полях напряжений и линий скольжения мы ( бнзаны Гартману. Недостаток места не позволяет детально рассмотреть эти решения
здесь аналитически, но мы хотя бы опишем некоторые из ннх по их полям линий скольжения.
В. Семейство прямых скольжения, огибаемых данной кривой. Предположим, что эта кривая непрерывна и не имеет точек перегиба. Проведем ее касательные. По одну или другую сторону от точек касания они определяют одну из систем линий скольжения пластической области, расположенной с выпуклой стороны кривой, представляющей собой ее естественную границу. Вместе с изогональными траекториями первой системы этим определяются четыре сопряженных особых интеграла уравнений (15.78) (на рис. 15.37,
Семейство линий скольжения, огибаемых данной кривой.
рис. 15.38 показаны две возможные ситуации из четырех). Когда кривые стягиваются в точку, получается решение для веера (см. рис. 15.27), которое определяется уравнениями (15.96).
Г. Огибающие линий скольжения в виде двух непараллельных прямых. Предположим, что пластичное тело находится в условиях сильного поперечного сжатия между двумя жесткими шероховатыми пластинами, причем угол, под которым они наклонены друг к другу, немного увеличивается или уменьшается. Это вызовет в теле течение в радиальном направлении внутрь или наружу с неравномерным распределением радиальных скоростей. Из-за препятствующего течению сильного трения на сжимающих пластинах профиль скорости u=f(r, ф) на окружностях г=const будет криволинейным. Каждое семейство линий скольжения будет касательным к поверхностям одной из плит, которые оказываются его огибающими, так что две наклонные плиты определяют две естественные границы соответствующего течения. Здесь снова можно выделить четыре различных случая течения, два из которых изображены на рис. 15.39, рис. 15.40. Один из случаев иллюстрирует картину, возникающую при экструзии пластичной массы под действием приложенного извне перепада давления через пространство между наклонными пластинами, если угол между ними немного уменьшается.
Д. Область вне окружности или между двумя концентрическими окружностями. Гартман рассчитал разнообразные случаи, когда естественными границами служит окружность или две концентрические окружности. Эти случаи, как и рассмотренный выше случай, можно исследовать в полярных координатах г,而(Рис- 15.41—15.44).
Рис. 15.39.Рис. 15.39.Рис. 15.40.Рис. 15.40.Линии скольжения при течении пластичной массы, содержащейся междунаклонными пластинами.
Рис. 15.39.
Рис. 15.39.
Рис. 15.40.
Рис. 15.40.
Рис. 15.41.Рис. 15.41.Рис. 15.42.
Рис. 15.41.
Рис. 15.41.
Линии скольжения, огибаемые двумя окружностями.
Рис. 15.45.
Две логарифмические спирали в качестве естественных границ течения (по
Рис. 15.43.
Рис. 15.44.
Линии скольжения, огибаемые одной окружностью.
Гартману).
Интересный заключительный пример. В качестве последнего примера упомянем течение пластичного тела в области в виде рожка, ограниченного двумя логарифмическими спиралями (рис. 15.45).
Ж- Добавление. Довольно близкие соображения привели проф. Яки из Технического института в Будапеште〔)к установлению ортогональных семейств линий скольжения для тех тел, которые он назвал типами вполне пластичного грунта Он отождествляет их с идеально пластичным телом, в котором течение происходит при постоянном значении максимального касательного напряжения tmax = ^ = const, но с учетом силы тяжести у в уравнениях равновесия. Он определил форму изобар и кривых скольжения для по- лубесконечного тела и для плоского напряженного состояния клина 0 ^ <р ^ Р， прямолинейные края которого нагружены заданными значениями тангенциальных нормальных напряжений 0力=厶(厂)при (р=0 и 。才=，2(「) при ср=р и равномерно распределенными касательными напряжениями тг/=const. Он сообщил также о том, что найдено поле скольжения, в котором одно из семейств линий скольжения состоит из множества неконцентрических окружностей. Среди исследованных им случаев ——картина линий скольжения вокруг туннеля кругового сечения с горизонтальной осью, пробуренного на определенной глубине под горизонтальной поверхностью тяжелого «пластичного» грунта в предположении, что на стенках цилиндрического отверстия действует давление, возрастающее пропорционально глубине у.
.10. Распространение теории Мора на связные грунты. Пластичные тела, имеющие частично искривленную огибающую Мора. В обнажениях пластов грунта, уплотненных в ходе естественных процессов, часто видны короткие крутые откосы. Их существование справедливо объясняется наличием в сухом уплотненном грунте сил сцепления. Цилиндрический образец такого грунта будет сопротивляться одноосным сжимающим или даже растягивающим напряжениям умеренной величины, обнаруживая способность сопротивляться растяжению и сжатию. Это еще более справедливо применительно к пластическим деформациям того типа тел, которые рассматривались в §§ 15.6——15.9.
Уже много лет тому назад исследователи равновесия грунта считали, что они могут рассматривать типы связных грунтов на диаграмме Мора (рис. 15.46), сдвинув начало отсчета напряжений ап, тп на графике наибольших главных кругов напряжений вправо в положение Оо. При этом остается более или менее неопределенным, откуда должны начинаться две прямолинейные огибающие кругов напряжений ОВ ——от точек Во или точек Вь и, кроме того, имеется возможность провести окружности О0С (01 =仇，02 =03 = 0) и 00т (6 = 02 = 0, 0з = 一8) для состояний одноосного сжатия и растяжения, соответствующих пределам
J а к у J., Sur la stabilite des masses de terre completement plastiques, I—III, Tirage de Muegyetemi Kozlemenyek, Budapest, Miiegyetem (Hongrie), C. D. U・ 624, 13, pt. I, 1947, p・ 1-23; pt, II, 1948, p. 1-48; pt, HI, 1948P p. 1—1&
прочности грунта 】)на сжатие и на разрыв вс и ①.Если огибающие начинаются в точках 5?, это означает, что среда не обладает конечным пределом прочности на разрыв. Диаграмма рис. 15.46 совпадает с той, которая служит для определения предложенного Прандтлем обобщенного пластичного тела (см. рис. 15.22). Мы уже упоминали, что обе теории тесно связаны при рассмотрении двумерных напряженных состояний, если массовая сила тяжести в грунте играет второстепенную роль, а на границах заданы
лишь действующие в теле напряжения. Если вес дает лишь небольшие добавки к уже существующим давлениям, то к связному грунту можно также применить (с небольшими ограничениями) разнообразные решения, рассмотренные в §§ 15.6——15.9.
Теперь мы кратко поясним, как в нескольких простых случаях можно определить состояние равновесия весомого связного грунта путем более аккуратного учета наличия в таком грунте растягивающих напряжений. Мы рассмотрим грунт с горизонтальной или наклонной плоской поверхностью, т. е. обобщенную форму того, что в § 15.3 именовалось состоянием предельного равновесия Рэнкина. Если физически допустимы растягивающие напряжения, то внезапный обрыв диаграммы Мора в некоторой точке, расположенной левее 月2, такой, как точки Во или В{ на рис. 15.46, нарушает правило Леона, которое мы приводили (см. т. 1, стр. 249) в связи с трещинами отрыва и сдвига. Согласно этому правилу, на диаграмме наибольших главных кругов напряжений не допускается проведение огибающих, которые пересекают ось напряжений ап под углами, меньшими прямого. Оно
Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, 2-е изд., М. — Лч
1954 (см. рис. 3)・
требует, во избежание противоречий, чтобы огибающая Мора в ее вершине пересекала ось ал под прямым углом }
В одном из приемлемых способов описания предельных состояний связного грунта задается форма искривленной части огибающей Мора, скругляющей угол между прямыми ОВ. Этот способ с тем же успехом можно применить и при рассмотрении плоского напряженного состояния обобщенного пластичного материала Прандтля： Имеет смысл использовать для этой цели ветвь конического сечения, расположенную симметрично относительно оси ап. Стремясь получить обозримые выражения для напряжений и поля линий скольжения в весомом связном грунте, разберем два случая, когда огибающие Мора скругляются параболой или эллипсом.
А. Дуга параболы. Проведем параболу, сопрягающую прямые ОВ, которых она касается в точках Ре{^пе. ±rne), где ап^, тЛе ——координаты верхней точки касания. Используя в остальном прежние обозначения, имеем для верхней прямолинейной части огибающей РвВ (рис. 15.47) уравнение
% = %e + (o〃-O/JtgP,8,(15.102)
а для параболы
W = 2〃 (。/ + 哨，-力 & % & %е・(15.103)
В обоих случаях за начало систем координат пп, тп берется точка Оо- Пусть о и тт ——среднее напряжение и максимальное касательное напряжение, соответствующие точке Р(оп, тп) параболы ЛРе; ф ——угол, под которым наклонена касательная к параболе. Тогда из свойств параболы ) следует, что компоненты напряже-
ний в плоскостях скольжения должны быть равны
報=0吋。一小也屮'
% = P ctg qp =工俏 cos 屮，'/
а прочность на разрыв а/ равна удвоенному значению параметра р,
S = 2p.(15.105)
Условие скольжения, эквивалентное условию (15.103) для параболической части огибающей, записывается через макси-
Р и с. 15.47. Огибающая Мора с затупленным углом, предназначенная для описания состояний равновесия связного грунта； угол затуплен по дуге параболы.
мальное касательное напряжение тт и среднее напряжение о в виде
唸= р2 + 2ро(15.106)
или в развернутой форме
/4 (% — о J + %,=户 + °(% + %).(15.107)
Рассмотрим весомое грунтовое тело с горизонтальной поверхностью. Мы можем различать, как и в § 15.3, верхнее и нижнее состояния равновесия в зависимости от того, является ли наибольшим. главным напряжением горизонтальное (ах) или вертикальное (“)нормальное напряжение. В верхнем предельном состоянии под поверхностью связного грунта будут существовать весьма большие сжимающие напряжения ах, а проходящий через начало координат О0 наибольший главный круг напряжений для одноосного сжатия (рис. 15.47) в большинстве случаев касается
огибающих Мора на прямолинейных участках, и параболические участки практически оказываются несущественными. Поэтому нас будет больше интересовать нижнее состояние равновесие, когда вблизи свободной поверхности возникают растягивающие напряжения; мы соберем данные относительно этого случая, принимая Оу за наибольшее напряжение. Поскольку касательное напряжение %ху обращается в нуль, для равновесия необходимо, чтобы ву = \у (丫 ——удельный вес грунта), причем ось у направлена вертикально вниз.
По мере движения точки Р(ип, г) на рис. 15.47 по дуге параболы от вершины Л (ап =——。力 тп = 0), представляющей напряженное состояние на плоской поверхности у = 0, к точке Ре угол ANP = ^ = n/2 ——ср возрастает вместе с глубиной у. Поскольку 屮 измеряет острый угол, под которым пересекаются линии скольжения двух семейств, мы видим, что эти линии искривлены в противоположность состоянию Рэнкина, которое мы рассматривали прежде, пока у не превысит определенное значение у = уе (соответствующее точке Ре), за которым осуществляется в несколько измененном виде случай Рэнкина с прямолинейными линиями скольжения.
Рассматривая на рис. 15.47 главную окружность напряжений PC, которая касается параболы в точке Р, мы можем записать для нижнего состояния предельного равновесия соотношения, выражающие главные напряжения ах и о?, оп и среднее напряжение О=1/2(5с + 5/),
ах = а + tw cos 2а = а - т^ = уу - 2tm = Y//-~^-,
а^ = а - т^ cos 2а = а + т^ = уу,
б =、у — 5 =、У — ^^ ； S = 2〃(15.108)
G+肃;)P , T„ = pctg(p.
Здесь положено a = n/2, cos 2а = — 1.
Чтобы выразить ах через глубину у, подставим в уравнение параболы (15.103) тп = р ctg ср и только что полученное выражение для ап. Вводя в качестве безразмерного переменного параметра, задающего глубину у, величину г] (Г)> 0 всегда), определяемую соотношениями
мы получаем
1 + sin ф .1Кп (п - 2)
(15.110)(15.110)о = Y// — р (г) — 1) = ^ [(П — 1)2 — 3],
(15.110)
(15.110)
о% = УУ-2р(Г1_1) = "(п_4) = уу_2р []/-^-—-1],
где параметр р параболы (уравнение (15.108) равен р = 2с tg2p = const.
Предыдущие формулы теряют силу в конечной точке параболыПредыдущие формулы теряют силу в конечной точке параболыРе, где угол(Р вится равнойРе, где угол(Р вится равнойстановится равным р, а переменная 刀=% стано-становится равным р, а переменная 刀=% стано-1 + sin рsin р1 + sin рsin р(15.111)(15.111)
Предыдущие формулы теряют силу в конечной точке параболы
Предыдущие формулы теряют силу в конечной точке параболы
Ре, где угол(Р вится равной
Ре, где угол(Р вится равной
становится равным р, а переменная 刀=% стано-
становится равным р, а переменная 刀=% стано-
1 + sin рsin р
1 + sin рsin р
(15.111)
(15.111)
чему соответствует определенная глубина уе грунта, а именно
% =捺陋一4),(15.112)
ниже которой начинается видоизмененное напряженное состоя* ние Рэнкина с прямыми линиями скольжения. На поверхности 4 = 0, г)= 2 напряжения достигают значений ох =——в =——2р, о〃 = =0, т. е. достигается предел прочности о力 грунта на разрыв.
Линии скольжения в слое 6《у <Уе легко построить, используя дифференциальное уравнение первого семейства
% = tg 停 + 等卜 tg 署一 *)=*• (15.1 ⑶
или, если воспользоваться переменной r)= (l+sin(p)/sin(p, уравнение
@1 = —(15.114) dx р Мп(П — 2) •
которое после интегрирования дает для линии скольжения, проходящей через начало 尤= у = 0,刀=2, уравнение
х = ~^^~~，Н1 (n-2)-ln h~ 1 + /п(П~2)]},
:(15.115)
y = ^(*-4).
Этим решается задача определения линий скольжения, так как все линии первого семейства конгруэнтны найденной, а все линии второго семейства являются зеркальным изображением линий первого семейства, которые получаются отражением относительно оси у. Линии обоих семейств касаются друг друга в точках свободной поверхности у = 0, будучи нормальными к ней. Если горизонтальные силы, удерживающие массив весомого связного
Рис. 15.48. Огибающая Мора (состоит из параболы и из прямых) для (р = л/6).Рис. 15.48. Огибающая Мора (состоит из параболы и из прямых) для (р = л/6).
Рис. 15.48. Огибающая Мора (состоит из параболы и из прямых) для (р = л/6).
Рис. 15.48. Огибающая Мора (состоит из параболы и из прямых) для (р = л/6).
грунта, чуть меньше, чем предельные значения о%, которые определены нами при помощи уравнений (15.110), то грунт будет разрушаться, и вдоль кривых, определ只емьлх уравнениями (15.115), начнут расти трещины кливажа.
На рис. 15.48, рис. 15.49 показаны форма огибающей Мора и поле линий скольжения для случая, когда угол трения взят равным
Р =专=30。 [с = ^ а = ,
в соответствии с чем
1 + sin р _ &sin р —，1 + sin р _ &sin р —，__ 3 О/ _ 5 р勿—4 у — 2 у •__ 3 О/ _ 5 р勿—4 у — 2 у •
1 + sin р _ &sin р —，
1 + sin р _ &sin р —，
__ 3 О/ _ 5 р勿—4 у — 2 у •
__ 3 О/ _ 5 р勿—4 у — 2 у •
Искривленные участки линий скольжения проходят в интервале 2《？］ W 3, 0 Му《％, в котором острый угол 屮 пересечения линий скольжения этих двух семейств возрастает от 屮=0 на поверхности у=0 до 屮=60° на глубине уе.
Благодаря допущению о том, что более прочный грунт способен выдерживать растягивающие напряжения, достигающие предельных оь предшествующий анализ,——как мы полагаем,——обосновывает физически правдоподобный факт, согласно которому
Рис. 15.50. Распределение напряжений в нижнем состоянии равновесия связного грунта под горизонтальной плоскостью, полученное с использованием огибающей Мора, показанной на рис. 15.48 (Р =冗/6).Рис. 15.50. Распределение напряжений в нижнем состоянии равновесия связного грунта под горизонтальной плоскостью, полученное с использованием огибающей Мора, показанной на рис. 15.48 (Р =冗/6).Рис. 15.49. Линии скольжения для нижнего состояния равновесия связного грунта под горизонтальной плоскостью (р =冗/6).
Рис. 15.50. Распределение напряжений в нижнем состоянии равновесия связного грунта под горизонтальной плоскостью, полученное с использованием огибающей Мора, показанной на рис. 15.48 (Р =冗/6).
Рис. 15.50. Распределение напряжений в нижнем состоянии равновесия связного грунта под горизонтальной плоскостью, полученное с использованием огибающей Мора, показанной на рис. 15.48 (Р =冗/6).
насыпь из такого грунта может удерживаться в равновесии (без разрушения 〃 осыпания) при помощи гораздо меньших поперечных напряжений ох, чем это нужно для того, чтобы удерживать несвязный грунт.
Yy(l-Sinp) 2Y9esinp _ 2P1 + sin р Г 1 + sin p sin p，Yy(l-Sinp) 2Y9esinp _ 2P1 + sin р Г 1 + sin p sin p，(15.116)(15.116)В заключение приведем выражения для напряжений ох и ау в области, лежащей ниже плоскости у = уе- Эти выражения соответствуют видоизмененному 《нижнему》 состоянию равновесия Рэнкина:
Yy(l-Sinp) 2Y9esinp _ 2P
1 + sin р Г 1 + sin p sin p，
Yy(l-Sinp) 2Y9esinp _ 2P
1 + sin р Г 1 + sin p sin p，
(15.116)
(15.116)
o« = УУ-
На рис. 15.50 воспроизведено распределение напряжений ах, оу в грунте, полученное по огибающей Мора, показанной на рис. 15.48.
В этой связи следует упомянуть о некоторых системах параллельных трещин в земной коре, к которым недавно привлек внимание канадский геолог Моллард]). Он сумел, применяя тонкие методы интерпретации, обнаружить на фотографиях, полученных аэрофотосъемкой территории Канады, а также многих других районов замечательно регулярную правильную картину параллельных поверхностных трещин (не различимых другими способами). Эти трещины были обнаружены в поверхностных пластах несцементированных осадочных пород, подстилаемых твердым скальным основанием толщиной в несколько сот футов, на обширных площадях в Саскачеване и Манитобе. Зачастую это были системы параллельных отрезков прямых длиной в несколько миль, пересекающихся под разными углами.
Среди различных рассмотренных причин Моллард выдвинул одно объяснение, которое кажется весьма правдоподобным, а именно, что эти системы параллельных прямолинейных трещин возникли за геологические времена в результате землетрясений, достаточно далеко отстоящих от данного места и распространяющихся по континентам в виде волн с прямолинейным фронтом. Такие волны сотрясают верхние пласты осадочных связных пород, разбивая их системами параллельных вертикально расположенных через правильные интервалы трещин разрыва, что не очень отличается от условий, при которых образуются трещины в покрытиях, применяемых для экспериментального анализа напряжений в деформированном металле. Хотя здесь мы не можем обстоятельно рассматривать эффекты разрушения, вызываемого землетрясениями, представляется, что этот интересный пример образования в природе таких регулярно расположенных трещин разрыва в толстых слоях связных осадочных пород следовало отметить в связи с вопросами, рассмотренными в этой главе.
Гладкая криволинейная огибающая Мора, подобная параболе, определяемой уравнением (15.103), может определять обобщенное пластичное тело, в котором пластическое сопротивление при сдвиге заметно возрастает с увеличением среднего нормального напряжения в области сжатия. Способом, аналогичным использованному в предыдущих вычислениях, можно рассчитать состояния плоской деформации, положив в основу уравнений
М о 11 а г d J. D. and associates, A Study of Aerial Mosaics in Southern Saskatschewan and Manitoba, Saskatchewan Geological Society Meeting, Apr. 25, 1957. Перепечатано в журнале «Oil in Canada», 5 Aug. 1957 (co многими рисунками расположения трещин).
течения условие пластичности^ выражаемое 6 переменных о乳,тп обычной параболой ])
^^-^ а/ап-(15.117)
Здесь постоянная 07 = 2° (р — параметр параболы) представляет собой предел текучести при простом растяжении. Соотношение (15.117) можно теперь считать применимым во всем диапазоне изменения ап:——а^ ^оп<оо. Этому эквивалентно предположение о том, что соотношение между максимальным касательным тш и средним сжимающим а= 1/2(ах + ау) напряжениями также представляется обычной параболой
т^ = р + 2ра.(15.118)
Отсюда следует для плоской деформации условие текучести в виде
%(%-%У +吃= р2 + р(% + о)(15.119)
Путем объединения этого условия с записанными для компонент напряжений уравнениями равновесия
+丁 =(15.120)
в которых опущены члены, содержащие массовые силы, можно определить три напряжения ах, о^, %ху 2).
Б. Дуга эллипса. В качестве второго примера предположим, что огибающая Мора 6 области растяжения определяется дугой эллипса, которая благодаря наличию двух постоянных в ее уравнении позволяет учесть более значительные изменения механических свойств грунтовой массы, чем парабола. Рассмотрим
нижнее состояние равновесия и напряженное состояние насыпи из связного грунта, имеющей плоскую поверхность, поднимающуюся под углом 6. Текущие координаты ап, тп точки ^(пп, тп) на огибающей Мора удовлетворяют уравнению эллипса
% =川(2-扑0&S&S。，(15.121)
где р— параметр, 〃一большая полуось эллипса, или уравнению верхнего прямоугольного участка
% = % + (s-Sc)tgp, 5^<s< оо. (15.122)
Здесь вместо (а/ + оп) мы записали
5 = % + о〃， Se = d + o〃e，(15.123)
а индексом е пометили переменные, относящиеся к точкам Ре{^пе, ±Tnf), в которых эллипс касается прямолинейных участ-
Р и с. 15.51. Диаграмма Мора, в которой скругление угла производится дугой эллипса РеАРе.
Мы видели, что в грунтовом теле вертикальная плоскость и наклонная плоскость, параллельная поверхности, т. е. плоскости %=const,у—% tg 6 = z/o = const
соответственно являются сопряженными плоскостями напряжений, обладающими тем свойством взаимности, что резульгирую- щие напряжения в каждой из них параллельны плоским сече-
ниям другого семейства. Таким образом, в любом вертикальном сечении грунтового тела имеем
tg6 = ^・(15.124)
Если мы проведем, на рис. 15.51 через начало О0 линию О0Г, наклоненную под тем же углом 6, что и свободная поверхность, то компоненты напряжений ох и гху окажутся абсциссой и ординатой той точки R, в которой линия OqT пересекает круг наибольшего напряжения, касающийся огибающей в точке 户(。加七九)；результирующее напряжение Орез,, действующее в плоскости % = const, представляется при этом вектором O0R = арез.
Обозначим через (р угол наклона касательной к эллипсу, а через с ——расстояние ОА = с. Поскольку радиус кривизны R厶 эллипса в вершине его большой полуоси А равен параметру р (ординате точки эллипса, расположенной под фокусом 尸),.а длина поднормали равна rm sin ^ = xndxnldan, мы получим, дифференцируя уравнение (15.121), соотношения
%sin(p = p(l竽-=tg屮=丿2 岂,(15.125) \dsУ q P s (2a — s)
а также
； + ； = j с = ctg p - Se‘ (15.126) определяющие большую полуось и параметр р эллипса
〃=言丁， P = Ra = *・(15.127)
Кроме того, как и в случае параболы, имеем правило, согласно которому прочность грунта на разрыв о力 равна удвоенному параметру р,
6 = 2р.(15.128)
Мы принимаем, что в грунте с наклонной поверхностью изменение среднего напряжения о= (1/2)(0^ +。“) пропорционально глубине у。，
。=—号+ YUo= - p + Y% = - p + Y(y-xtg6)・ (15.129)
Используя обозначение п = УУо/Р Д^я безразмерной глубины, нмеем
T) = V(g-%tg6)・(15.130)
Для среднего напряжения о находим о = р(т)_ 1),(15.131)
а так как с другой стороны
o = % + %tg(p = s(l — ^)一〃(15.132)
то, приравнивая оба выражения, получаем соотношение, связывающее переменную s с безразмерной глубиной 刀，
(15.133)
Аналогичным образом, для максимального касательного напряжения тт мы имеем два выражения
唸=普卜(2。一 s) + 2(а — s)2] = ^^^, (15.134)
吟=丁(1+2n一鍔■卜(15.135)
Объединяя уравнения для трех компонент напряжения о* = сг + % cos 2а, о, = о —工加 cos 2а,(15.136)
^ху = % Sin 2a
с условием сопряженности сечений (уравнение (15.124)), получаем для направляющего угла а наибольшего главного напряжения си соотношение
sin (2а — 6)=sin (2а — 6)=о sin 6о sin 6(15.137)(15.137)
sin (2а — 6)=
sin (2а — 6)=
о sin 6
о sin 6
(15.137)
(15.137)
Обозначим разность углов (2а — 6) через & т. е. положим
(15.138)(15.138)2a = 6 + е.
(15.138)
(15.138)
Тогда мы можем вычислить £ из уравнения (15.137), используя формулы, которые мы вывели для о и тт,
sine = £^=P±lzJ^ = h_i^(15.139)
а также можем определить распределение напряжений 6 массиве связного грунта, ограниченного наклонной плоскостью, в
нижнем состоянии равновесия по формулам
"山」叱:в
_ о sin 6 sin(£ + 6)
— sin 8
(15.140)
где
cr = p(T]- 1), Р(П-О sind _ m sin e '
+ 1—5 a — p
(T] — 1) sia dM2n + 1 - [pn2/(a-P)i
(15.141)
На плоскости свободной поверхности откоса взять n = 0, sin 8 = —sin 6, £ = n + 6, a= (n/2) +6, что пряжений на свободной поверхности формулы о% = — р (1 + cos 26), % = — р (1 — cos 26), хху = — р sin 26, о = — р, % = Р， совпадающие с формулами для состояния простого
мы должныдает для на-
(15.142)
растяжения.
6 = 0, 02 =—伪=一2р, в направлении, параллельном плоскости Уо = О, y = %tg6. Тем самым обнаруживается, что в нижнем равновесном состоянии насыпи грунт на ее плоскости растягивается до своей прочности на разрыв, т. е. до предельного значения, которое он может выдержать.
Уравнение (15.141) перестает выполняться на определенной глубине п = %, соответствующей на диаграмме Мора точке Ре(。九е，Тпе) (см. рис. 15.51), где угол 屮 становится равным углу наклона р прямолинейного участка огибающей. Используя уравнение
久=% —2р +%esinp = p(“一 1)(15.143)
и выражение для т^е, получающееся из уравнения (15.134) при ф = Р ДЛЯ глубины Т]е НЗХОДИМ
Пе = ―~ 1 —р L
М1 + (p/а) ctg2 P」，
(15.144)
а согласно уравнению (15.139) получаем
sin % = sin (2а^ — 6) = (% — D sin 6 sin p j/^ 1 + ^ tg2 p. (15.145)
В области, расположенной под наклонной плоскостью г] = т)е, где начинает использоваться прямолинейный участок ВеВ огибающей Мора, вновь имеет место видоизмененное нижнее равновесное состояние Рэнкина. Легко проверить (см. рис. 15.52), что
при r)eWn<8 для переменного угла 8 должно выполняться условие 1)
sin 8 =且迎9 =厂貰怨一…・(15.146)
% [р ("+1)+ c] sin Р'
Отсюда видно, что при 刀-> 8 имеем
[sin 叫=8 = •|^,(15.146а)
Проведем на рис. 15.52 отрезок OqT, наклоненный к оси ап под углом 6. Он пересекает круг наибольшего главного напряжения, касающийся прямолинейной огибающей ОВ в точках R и S. Угол е оказывается равным углу TSN, причем в треугольнике OqNS имеем O0N sin д = ^S sin(n — е) или a sin d=Tw sin е, что совпадает с уравнением (15.146). Координаты точки R дают значения ах, тху, а отрезки OqR и OqS выражают результирующие н@- пряж^ния в сопряженных 冲叫琢
причем угол (8)л =оо и направление наибольшего главного напряжения (а)笛=8= 1/2[(е)“=8 + 6] стремятся к постоянным значе
ниям.
Рис.Рис.грунте с на«грунте с на«клонной плоской поверхностью (6 = p = n/6) в зависимости от углубления 刀. Пунктирными линиями показаны асимптоты для соответствующих напряжений.клонной плоской поверхностью (6 = p = n/6) в зависимости от углубления 刀. Пунктирными линиями показаны асимптоты для соответствующих напряжений.Таким образом, мы замечаем, что в обеих областях выше иниже плоскости т] = т]е= (у/р) (^ 一 xtg6) линии скольженияТаким образом, мы замечаем, что в обеих областях выше иниже плоскости т] = т]е= (у/р) (^ 一 xtg6) линии скольжения
Рис.
Рис.
грунте с на«
грунте с на«
клонной плоской поверхностью (6 = p = n/6) в зависимости от углубления 刀. Пунктирными линиями показаны асимптоты для соответствующих напряжений.
клонной плоской поверхностью (6 = p = n/6) в зависимости от углубления 刀. Пунктирными линиями показаны асимптоты для соответствующих напряжений.
Таким образом, мы замечаем, что в обеих областях выше и
ниже плоскости т] = т]е= (у/р) (^ 一 xtg6) линии скольжения
Таким образом, мы замечаем, что в обеих областях выше и
ниже плоскости т] = т]е= (у/р) (^ 一 xtg6) линии скольжения
остаются искривленными. Они выпрямляются только на больших глубинах г), медленно приближаясь к прямолинейным асимптотам при Т] -> 8.
В рэнкиновской области г)>т]е распределение напряжений можно найти из уравнений (15.140), используя, однако, для sin е выражение (15.146).
Единственная компонента напряжений, которая меняется строго линейно с глубиной 刀 во всем диапазоне 0<г)<оо ——среднее напряжение о. Это видно из рис. 15.53, на котором представлены графики зависимости напряжений о%, о〃，тху и о от глубины г) для частного случая, когда угол наклона откоса 6 как раз равен углу внутреннего трения р, для которого принято значение
ООРис. 15.54. Линии скольжения в весомом связном грунте под н 1КЛОННОЙ плоской поверхностью (6 = p =n/6).Рис. 15.54. Линии скольжения в весомом связном грунте под н 1КЛОННОЙ плоской поверхностью (6 = p =n/6).
О
О
Рис. 15.54. Линии скольжения в весомом связном грунте под н 1КЛОННОЙ плоской поверхностью (6 = p =n/6).
Рис. 15.54. Линии скольжения в весомом связном грунте под н 1КЛОННОЙ плоской поверхностью (6 = p =n/6).
6 = р = л/6 = 30°. Кривые для о©。沙，тху очень медленно стремятся к своим асимпотам — лучам, выходящим из точки。(刀=1) и показанным тонкими штриховыми линиями.
Линии скольжения не были определены, поскольку их дифференциальные уравнения нелегко проинтегрировать. Однако на рис. 15.54 приводится их вероятный вид (построенный с ограниченной точностью по полю их изоклин) вблизи поверхности откоса. Линии первого семейства, имеющие наклон влево, поворачиваются, приближаясь к вертикальным линиям, а линии второго семейства — к линиям 『const, которые на очень больших глубинах 刀 наклонены под углом б = р = 30°. Это подтверждает законы, установленные для нижнего, равновесного состояния Рэнкина весомого грунта в области под плоскостью, наклоненной под естественным углом покоя р (см. рис. 15.11).
Вид изображенных на рис. 15.54 поверхностей скольжения, которые стремятся изогнуться вниз к подножью откоса (второе семейство), может до некоторой степени проиллюстрировать мгновенную форму профиля оползня, вдоль которого произойдет разрушение грунта более прочного типа.
Поверхность разрушения вначале перпендикулярна к свободной поверхности в той ее точке, где местный дефект вызывает образование первых трещин разрыва.
Заключительное замечание. Предыдущие соотношения не теряют силы, если предположить, что плоскость свободной поверхности откоса наклонена по отношению к горизонтали круче того предела для угла 6, который определяется углом трения р, т. е. если провести линию RO°T на рис. 15.51 и рис. 15.52 под углом 6 > р, большим угла наклона прямолинейного участка РеВ огибающей Мора. Соответствующие напряженные состояния устойчивы в определенной ограниченной области, а именно пока линия кОоТ не пересекает огибающую АРеВ внутри некоторого слоя под свободной поверхностью. Иными словами, откос в связ、
ном грунте может подниматься круче угла покоя р. Это подтверждает вид крутых склонов в верхней части огромных куч шлака, которые нередко видны вблизи магистралей. Однако мы должны помнить, что наше утверждение не применимо к областям, расположенным на большой глубине, где имеет место видоизмененное рэнкиновское состояние равновесия и где ни одна линия скольжения из семейства, идущего на рис. 15.54 вправо, не может быть направлена под углом, большим р.
Порошкообразный или пористый упругий материал, содержащий жидкость. Смоченная глина или каолин легко деформируются. Легкую формуемость смоченной глины люди использовали с доисторических времен при изготовлении посуды и кирпича. Мелкозернистые материалы могут вести себя как высоко пластичные, если пустоты между твердыми зернами частично заполнены жидкостью. Широко известно, что их хорошая формуемость связана с капиллярным действием жидкости, поверхностным натяжением пленки жидкости, заключенной между твердыми частицами, и капиллярным снижением давления в капельках, связывающих твердые частицы, что внешне проявляется как сцепление.
Согласно Терцаги, это имеет место даже в совсем сухой глине благодаря мельчайшим количествам воды, адсорбированной в виде пленок с толщиной, близкой к молекулярной. Кроме того, формуемость обусловлена слоистым строением твердых частиц в виде субмикроскопических коллоидных размеров пластинок, которые в тонких глинах слипаются, но легко сдвигаются друг по другу в пластическом состоянии, когда имеется достаточное количество поровой воды, действующей как смазка, облегчающая их относительное перемещение. Пласт природной глины, насыщенной водой, под непрерывно действующим вертикальным давлением будет сжиматься, так как будет терять поровую воду, которая может выходить путем испарения с поверхности или просачиваться в ненагруженные области. Итак, давление поровой воды w переменно по пространству и во времени, с чем связаны задачи, возникающие при сооружении оснований зданий на таких грунтах. Цель их — вычислить осадку за длительный период, необходимый для того, чтобы произошла консолидация водосодержащего грунта.
Поскольку механические характеристики влажных податливых глин нельзя анализировать, не вводя в рассмотрение течение жидкостей через пористые среды, рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей книги. Достаточно сослаться на выдающуюся работу Терцаги, который положил в основу рассмотрения медленных процессов консолидации глин тонкую
аналогию、установленную им между дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье,
Q=i^p 忌儲，(15.147)
и уравнением движения поровой воды, медленно просачивающейся через пустоты 6 пласте глины, нагруженном внешним давлением
八 z dw dw 厶2 О?©一 с、
Q=—^H， F = b(15.148)
Входящие сюда величины выражают
Q — количество тепла (объем воды, см/сек), протекающие, за единицу времени через единицу площади;
々一коэффициент теплопроводности (проницаемость грунта, С儿4/ка . сек)；
0 — температура (w——давление поровой воды, {кг/см)). Здесь использован закон Дарси, согласно которому количество протекающей за единицу времени грунтовой воды Q пропорционально градиенту давления поровой воды }) w、Q = —kdw/dx.
Проблемы, связанные с грунтовыми основаниями зданий, были столь же замечательным образом исследованы Био, который в ряде работ2) рассмотрел без использования только что упомянутой термо-гидродинамической аналогии поведение упругого скелета пористого, но упруго реагирующего материала, содержащего в порах сжимаемую жидкость. Он ввел соотношения между напряжениями и деформациями в виде
о* = 2Nе* + 4е + Qe, • • •,
cr = Qe + R£,(15.149)
%z = ^Уугу • • •,
где ех, • • •, у® …一компоненты деформации; е — объемное расширение твердого скелета; 8 — упругая объемная деформация поровой жидкости; А, ^, Q, Л — упругие постоянные; о*, …，Tyz, ••• выражают силы, действующие на твердую фазу по граням единичного куба пористого материала; а — сила, приложенная к жидкой фазе, o = ——fp; р — давление в жидкости; ,—коэффициент пористости.
В двумерной задаче о плоской деформации это привело Био после применения уравнений равновесия и совмесности, а также закона Дарси, к представлению давления жидкости о в виде суммы двух функций о, удовлетворяющих соответственно двум уравнениям (Д — оператор Лапласа),
КАо = Ь 槊，Ао = 0, (15.150)
а после введения функции напряжений Л (%, у) соотношениями
(15.151)(15.151), d2F
(15.151)
(15.151)
% + 0 =戏
@2"дх ду@2"дх ду
@2"дх ду
@2"дх ду
АА 尸=0.АА 尸=0.(15.152)(15.152)——к сумме двух функций Л, удовлетворяющих соответственно двум уравнениям,
АА 尸=0.
АА 尸=0.
(15.152)
(15.152)
Интегралы тех двух дифференциальных уравнений, которые не содержат производных по времени, представляют собой начальное распределение напряжений, возникающее после мгновенного приложения внешней нагрузки. Входящая в эти уравнения постоянная К равна
八 一 4 + 2N + R + 2Q '八 一 4 + 2N + R + 2Q '(15.153)(15.153)
八 一 4 + 2N + R + 2Q '
八 一 4 + 2N + R + 2Q '
(15.153)
(15.153)
а постоянная b входит в закон Дарси, который здесь представлен в несколько иной форме
黑=—6^Г("х — " •瑞=—6禺(旬—U/ (15.154)
Правые части (15.154) выражают производные по времени компонент перемещения жидкости относительно твердого скелета, т. е. компоненты относительной скорости жидкости. Последние нва соотношения служат для определения осадки основания нз
пористого грунта под данной внешней нагрузкой за длительный период.
В изложенных теориях силой тяжести самой жидкости, просачивающейся в пустотах пласта грунта, можно было пренебречь. Надо, однако, упомянуть, что геологам-нефтяникам приходится учитывать ее при изучении движения жидкостей (воды или нефти) или газа через глубоко залегающие пористые среды. Это побудило Хабберта 】)представить закон Дарси в несколько усовершенствованной векторной форме
Q = — grad w) = cF. (15.154а)
Помимо градиента давления фильтрационного потока gradw Хабберт учел здесь также силы тяжести уо, что позволяет рассматривать как несжимаемые, так и сжимаемые жидкости, полагая Yo = pg (р ——масса единицы объема) и считая, что происходит ламинарное движение вязкой жидкости. В его уравнении для потока d обозначает характерный размер, ц ——вязкость жидкости, 7V — безразмерный коэффициент формы, с = М/2р/卩一 проницаемость системы, F — действующую на жидкость силу (в расчете на единицу массы), вынуждающую жидкость двигаться через пористую среду.
Уравнение Хабберта, таким образом, применимо к процессам передвижения нефти и природного газа под землей через насыщенные водой пористые среды и позволяет вывести уравнения поля для движения жидкости в окрестности глубоких нефтяных скважин. Когда рассматривается несколько несмеши- вающихся жидкостей, то движущие силы 尸卜 尸2, ... для каждой
См. недавний крайне поучительный историко-критический обзор в его работе: Hubbert М. К・，Darcy's Law and the Field Equations of the Flow of Underground Fluids, представленный на Гидрогеологическом симпозиуме Международной гидрогеологической ассоциации к столетию Дарси, состоявшемся в Дижоне (Франция) 20—26 сентября 1956 г. (Shell Development Company, Exploration and Production Division, Houston, Texas, Bull. 5, Publ. 104, p. 24—59, 1957).
Дарси в книге: Darcy H., Les Fontaines publiques de la ville de Dijon, 1856 описал свои эксперименты, проведенные на полом цилиндре трехметровой высоты, заполненном песком, через который просачивалась вода под действием больших и малых разностей давлений. Он пришел к заключению, что расход определяется выражением
Q= — k(Р2 — Pi)〃，
где (р2 ——Pi)——разность давлений, Z — высота колонки песка.
Относительно движения жидкостей, заполняющих поровое пространство песка или твердого тела, см. книги: М а с к е т М., Течение однородных жидкостей через пористые среды, Гостоптехиздат, М., 1949 г.; Физические основы добычи нефти, Гостоптехиздат, М., 1953.
отдельной жидкости (различных плотностей рь р2, .. •) будут отличаться друг от друга по величине и направлению, но все окажутся в одной вертикальной плоскости. Их нужно прибавить (векторно) к вектору силы тяжести, а их геометрическая сумма определит вектор результирующей силы F в каждой точке грунта.
В предыдущих уравнениях внимание было сосредоточено на медленном просачивании подземных вод через пустоты в пористой среде, которое вызывает оседание; дифференциальные уравнения относились к тому типу, который описывает зависимость от времени явлений или процессов диффузии в пространстве. Иной вопрос возник у нефтяников в связи с бурением глубоких скважин. Этот вопрос относится к текучести и разрушению уплотненных прочных осадочных пород, таких как известняки и сцементированные песчаники, встречающиеся на больших глубинах, поры которых постоянно насыщены жидкостью—— водой, нефтью или обеими вместе. В окружающих отверстие глубокой нефтяной скважины твердых породах возникает трехосное напряженное состояние. При этом, как можно предположить, давление жидкости, заключенной в порах, становится высоким, поскольку ей некуда уйти. При нормальных условиях оно может быть порядка одной трети от полного давления, создаваемого весом вышележащих пород.
Итак, возникает интересный вопрос, каким образом давление р жидкости, заключенной в порах твердых пород, изменяет их прочность при трехосном сжатии в условиях глубокого залегания по сравнению с пределами текучести или прочности, которые наблюдаются на сухих образцах с порами, заполненными воздухом, если образцы породы подвергают продольному сжатию в обычных лабораторных испытаниях с обжатием поперечным давлением (поместив их в оболочки из металлического листа или пластика).
Влияние давления заключенной в порах воды на прочность осадочных пород в условиях трехосного нагружения было изучено Робинсоном!). Он исследовал цилиндрические образцы, имевшие диаметр 3/4 дюйм и высоту 3/2 дюйм, насыщенные дистиллированной водой и покрытые оболочкой из пластика, подвергая их обжатию давлением рс в камере высокого давления и осевому сжатию между поршнем, проходящим в камеру, и основанием. Поровое давление создавалось путем закачки воды
I) Robinson L. Н., Jr., Effects of Pore and Confining Pressures on Failure Characteristics of Sedimentary Rocks, представлено на 33-м ежегодном собрании Общества инженеров-нефтяников Американского института инженеров горняков, металлургов и нефтяников, Хьюстон (штат Техас), 5 октября 1958 г. (7. Petroleum Technology).
через центральные отверстия в поршне и основании к плоским поверхностям образца. Вначале устанавливались обжимающее рс и поровое р давления; они поддерживались неизменными на протяжении испытаний, а осевая нагрузка устанавливалась на таком значении, что образец испытывал только однородное гидростатическое давление 6 = 02 = 03 = % не оказывающее на него никакого влияния, кроме несущественного упругого уменьшения объема.
Для избежания протечки жидкости под пластиковой оболочкой нужно потребовать, чтобы поровое давление удовлетворяло условию р ^ рс. С увеличением осевого сжимающего напряжения о. сверх рс цилиндрический образец породы испытывает необратимую деформацию 8а. Диаграммы «напряжение — деформация» при сжатии, о。一& = /(%), записанные при достаточно больших значениях давления обжатия рс, напоминают по виду результаты, наблюдавшиеся Карманом на мраморе 】)；разрушение породы при низком поровом давлении р не очень отличается от разрушения тягучего металла, но когда р увеличивается, а разность (рс ——р) убывает до определенного значения (рс — р = 350 &а/с儿2 для известняка из Индианы, причем рс поддерживалось при значении % = 700 кг 1с吟、характер разрушения меняется с пластического на хрупкий. Это происходит при осевых нагрузках (о. —%), много меньших предела текучести, отвечающего нулевому поровому давлению р.
Важный результат этих испытаний состоит в том, что наличие в порах жидкости под высоким давлением 〃，достигающим внешнего обжимающего давления рс, приводит к тому, что порода становится более хрупкой. Когда разность (рс ——р) была меньше критического значения, порода разрушалась хрупко вдоль наклонных плоскостей, как при простом одноосном сжатии. Интересно, что при этих обстоятельствах поровая жидкость служит смазкой между поверхностями сдвиговых трещин, сильно облегчая развитие дефектов и относительное проскальзывание частей разрушенного образца вдоль плоскости разрушения, несмотря на высокие нормальные напряжения, сдавливающие их. В результате этого осевая нагрузка(Оа — %) быстро уменьшается, как при переходе от верхнего предела текучести к нижнему.
Робинсон не построил огибающую Мора кругов наибольших главных напряжений, соответствующих первой обнаруженной пластической деформации. Однако это было выполнено для горных пород Хаббертом и Уиллисом), а также в обширной
серии опытов Хэндина и Хагера !) по испытаниям на трехосное сжатие многих осадочных пород, хотя и в сухом состоянии. Хаб- берт и Уиллис подтвердили интерпретацию аналогичных опытов, проделанных Макгенри) на бетоне, установив, что образцы породы, содержащие поровую жидкость под давлением р, ведут себя в отношении огибающей Мора в первом приближении так же, как и сухие образцы в обойме.
Если заменить уравнение 七九=尸(0九),определяющее те предельные напряженные состояния, которым соответствует начало разрушения сухой породы, уравнением 工n = F (Sn ——р), относящимся к той же самой породе, насыщенной жидкостью под давлением р, то последнее уравнение будет описывать в первом приближении поведение влажной породы. Здесь е^ и ап — ком、 поненты касательного и нормального напряжения на поверхности сдвига или скольжения в сухой, а тп и Sn.——то же во влажной породе (постулируется, что on = Sn ——р). Этот подход может быть полезным при анализе некоторых явлений, встречающихся при бурении на больших глубинах, хотя он чрезмерно упрощает сложную картину, которая имеет место в насыщенной жидкостью породе. Так, в опытах Робинсона кривые《на、 пряжение ——деформация», Оа —Рс =，(е。), для последнего случая не конгруэнтны тем, которые получаются для сухих образцов (на первых при охрупчивании в критическом диапазоне (Рс — Р)видны острые пики и крутые спады от максимальных нагрузок к минимальным, тогда как сухая порода деформируется более непрерывно).
Условия текучести и разрушения, ползучесть сухих естественных пород и их поведение, когда поровое пространство заполнено жидкостью, находящейся под давлением, при испытаниях на сложное нагружение при нормальной и повышенной температурах рассмотрены в тринадцати статьях Симпозиума по деформации горных пород). Вкратце их содержание сводится к следующему.
Горные породы — мрамор, доломит, гранит, базальт — в условиях трехосного нагружения при небольшом обжимающем давлении дают не слишком большую пластическую деформацию перед разрушением (для цилиндрических образцов осевая деформация достигает нескольких процентов); в то же время при повышенных температурах вплоть до 800° С пластичность этих материалов возрастает. Их можно деформировать до осевой деформации 10——15% и больше при значительно меньшем дифференциальном напряжении течения (осевое напряжение минус поперечное); при этом происходит внутрикристаллитное скольжение. Твердые сухие гранит и базальт при обжимающем давлении 5000 атм лишь слегка пластичны при 300° С, а при 500° С они текут без разрушения под дифференциальным осевым напряжением 1100 атм до осевой деформации 15%. Наиболее же пластичная из пород ——мрамор ——может быть деформирована на 1500将 при растяжении под обжимающим давлением 5000 атм при 800° С.
В 115 опытах, которые провел Херд по трехосному нагружению золенгофенского известняка, на кривых «напряжение —— деформация» был прослежен переход от хрупкого поведения к пластическому в зависимости от температуры (до 700° С) и обжимающего давления и давления поровой жидкости. Для получения при постоянном обжимающем давлении рс = = 3000 от儿=const осевой пластической деформации сухого известняка, равной 8= 10%, дифференциальное (осевое минус поперечное) напряжение, составлявшее при 20° С 6500 атм (&а/с儿2), пришлось снизить при 600° С до 1800 атм. При этом кривые «напряжение ——деформация» напоминали кривые для пластичного металла, испытывающего наклеп. Напротив, в присутствии давления поровой воды (порового давления) р пластичность при постоянном обжимающем давлении рс= 1100 атм и температуре 0= 150° С сильно снижалась: с деформации 8 = = 10% при р = 610 атм до 8 = 3% при поровом давлении р = = 940 атм. В то же время для дифференциального напряжения течения обнаруживался отчетливый горб, «верхний предел текучести», и происходило преждевременное разрушение, ясно свидетельствуя об охрупчивании под действием порового давления р.
Опыты по поел стечению (ползучести) были проведены на известняке при осевом сжатии под боковым обжимающим давлением; вначале давалось приращение нагрузки, а затем известняк постепенно релаксировал при комнатной температуре на протяжении 3 час (Робертсон). Поскольку в этих испытаниях на поел стечение допускалось изменение дифференциального напряжения, они не позволяют точно определить закон изменения скорости ползучести.
Хэндин, Хиггс и ОЪрайен провели испытания мрамора на кручение в пластической области под обжимающим давлением и при температурах от 24 до 300° С; они получили результаты, аналогичные результатам Бёкера 】)(1914 г.). Как и ожидалось, пластичность росла с увеличением температуры; наблюдалось остаточное закручивание до 1,6 радиана на сантиметр.
Скорость нарастания остаточных деформаций во времени в этих испытаниях, проведенных, на искусно спроектированных машинах, была сравнительно очень высока. Однако полученные значения напряжений течения, требуемых для деформирования наиболее твердых типов пород проливают свет на те условия, при которых глубоко погребенные слои внешней твердой оболочки Земли подвергались медленной деформации на протяжении геологических эпох.
.12. Упругое поведение зернистого сыпучего материала. Тот факт, что агрегат из несвязанных многогранных или округлых твердых частиц при нагружении тремя неравными главными давлениями в определенных пределах обнаруживает (в массиве) упругую сжимаемость и упругие касательные напряжения, уже с давних пор известен ученым, исследовавшим возможные типы деформации грунтовых тел. Достаточно вспомнить, что при землетрясениях волны расширения и сдвига проходят по песку и самым верхним неуплотненным слоям земной коры. Это побудило в недавнее время группу ученых-упругистов развить специальную механику зернистых материалов, основанную на новых идеализированных моделях. Они предположили, что эти тела состоят из одинаковых упругих сфер, упруго контактирующих друг с другом, и уложенных, скорее всего, в соответствии с одним из наиболее плотных типов упаковки сфер в плотные правильные слои. Кроме того, они считали возможным описать равновесие и характер колебаний сфер, если известно, что происходит на площадке контакта двух сфер, когда между ними передается нормальная сила Р и касательная сила Т.
Ч См( т. h стр. 272* рис. 186.
Работы в этом направлении стали возможными после того, как Миндлин 】)в 1949 г. сумел обогатить математическую теорию упругости точным решением, описывающим распределение касательных напряжений по эллиптической площадке контакта двух выпуклых упругих тел, сдавливаемых постоянной нормальной силой Р, в то время как одно из тел воздействует на другое еще и с некоторой постепенно возрастающей силой Т, направленной по касательной к площадке контакта. Тем самым он распространил полученное в 1881 г. широко известное решение Герца для распределения нормальных напряжений, создаваемых нормальной силой Р, на случай передачи через площадку контакта еще дополнительной касательной силы Г. Исключив начальный сдвиг, Миндлин нашел, что не происходит изменения нормальных компонент усилия на площадке контакта, касательные компоненты на ней всюду параллельны приложенной силе Т, контуры равных напряжений суть эллипсы, гомотетичные (соосные и подобные) эллиптической границе, а абсолютная величина напряжений возрастает от половины среднего напряжения в центре площадки контакта до бесконечности по ее краям. В случае двух упругих сфер с равными радиусами точки, удаленные от плоскости контакта (два центра сфер), смещаются на величину
4G〃 '
где G—- модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона, а — радиус уплощенного круга контакта; все точки круглой площадки контакта перемещаются как твердое тело параллельно смещению 6 (и силе Т), а касательные напряжения t также параллельны, но их распределение обладает осевой симметрией, и они возрастают с расстоянием от центра р как
(15」55)
Это возрастание неограниченно при приближении к краям круга контакта р = о, если предположить, что не происходит проскальзывания. В то же время, согласно решению Герца, нормальные напряжения о меняются как ординаты полуэллипсоида вращения
° =蔡/1 (15.156)
1) Mindlin R. D„ Compliance of Elastic Bodies in Contact, /. Appl. Mechanics, 16, № 3, 259—268 (1949).
Характер изменения поверхностных напряжений т (уравнение (15.155)) показывает, что должно произойти их перераспределение, начинающееся сразу с самых малых значений результирующей касательной силы Г, в силу того факта, что на кон- гактной поверхности не может существовать значение т, большее, чем напряжение трения, вызываемое герцевым распределением нормальных напряжений о (уравнение (15.156)). Если справедлив закон трения Купона, т = р,о, то поверхностные усилия снизятся до их кулоновых значений
-卩 u =赛 / 1一告，他其рк" (15.157)
в кольцевой области, в которой от внешнего радиуса р = о до внутреннего радиуса р = о‘ распространяется проскальзывание соответственных материальных точек двух сфер. Задавшись условием, что сферы соприкасаются без какого-либо проскальзывания внутри круга р = о‘, Миндлин и Катанео】) независимо нашли, что усилие т принимает значения
т =卦 0<р<^ (15.158)
и что граница р = о‘ зоны без проскальзывания дается выражением
а' = 〃(1 -备)"・(15.159)
Распределение поверхностных напряжений пит видно на рис. 15.55. Джонсон) проверил предсказываемое этой теорией соотношение между смещением 6 и тангенциальной силой Г,
6 =("詛1，(15-160)
в опытах с двумя сферами, прижатыми друг к другу и нагружаемыми нарастающей поперечной силой Т, и обнаружил отличное согласование.
Эти соотношения, воспроизводящие в сжатой форме результаты глубоких исследований, близких к тем, что послужили для решения уравнений теории упругости Навье (см. уравнение (25.12) на стр. 443, т. 1) при помощи потенциалов типа
Черрути ——Буссинеска, замечательны также и своей простотой. Однако пройдет еще некоторое время, прежде чем они будут использованы для решения задач статики агрегата, составленного из весьма многочисленных,Черрути ——Буссинеска, замечательны также и своей простотой. Однако пройдет еще некоторое время, прежде чем они будут использованы для решения задач статики агрегата, составленного из весьма многочисленных,Р и с. 15.55. Контакт двух упругих шаров под действием нормальной (Р) и тангенциальной (Г) сил.Нормальные о и касательные т напряжения на площадке контакта. Кривая / — для касательных напряжений т в случае, если не происходит проскаль* зывания; кривая 2 —для распределения т после того, как по кольцевой пло- щацке между окружностями р = а и р = а' происходит проскальзывание (по Миндлину и Дересевичу).Р и с. 15.55. Контакт двух упругих шаров под действием нормальной (Р) и тангенциальной (Г) сил.Нормальные о и касательные т напряжения на площадке контакта. Кривая / — для касательных напряжений т в случае, если не происходит проскаль* зывания; кривая 2 —для распределения т после того, как по кольцевой пло- щацке между окружностями р = а и р = а' происходит проскальзывание (по Миндлину и Дересевичу).этих исследований исходит Колумбийском университетеэтих исследований исходит Колумбийском университетеодинаковых или неодинаковых, упругих сфер (тяжелых или невесомых, с поровой жидкостью или без нее), и прежде чем описание новых механических моделей зернистой среды, обладающей отчетливо выраженной' упругостью, станет более ясным. Итоги попыток в этом направлении обобщены Дересевичем в интересной работе J), в которой читатель найдет полное описание разнообразных способов правильной плотной укладки одинаковых упругих сфер, теорию контакта двух и множества сфер, уложенных слоями, под действием нормальных и косо приложенных сил, анализ петель гистерезиса при циклическом нагружении двух или нескольких правильно уложенных сфер, описание их реакции на быстрые колебания, а также зависимости скорости распространения звука от гидростатического давления, предсказанной теорией и экспериментально обнаруженной Брандтом (1955 г.) на песчанике (сухом и насыщенном нефтью). Большинство из из института проф. Миндлина в в Нью-Йорке.
Черрути ——Буссинеска, замечательны также и своей простотой. Однако пройдет еще некоторое время, прежде чем они будут использованы для решения задач статики агрегата, составленного из весьма многочисленных,
Черрути ——Буссинеска, замечательны также и своей простотой. Однако пройдет еще некоторое время, прежде чем они будут использованы для решения задач статики агрегата, составленного из весьма многочисленных,
Р и с. 15.55. Контакт двух упругих шаров под действием нормальной (Р) и тангенциальной (Г) сил.
Нормальные о и касательные т напряжения на площадке контакта. Кривая / — для касательных напряжений т в случае, если не происходит проскаль* зывания; кривая 2 —для распределения т после того, как по кольцевой пло- щацке между окружностями р = а и р = а' происходит проскальзывание (по Миндлину и Дересевичу).
Р и с. 15.55. Контакт двух упругих шаров под действием нормальной (Р) и тангенциальной (Г) сил.
Нормальные о и касательные т напряжения на площадке контакта. Кривая / — для касательных напряжений т в случае, если не происходит проскаль* зывания; кривая 2 —для распределения т после того, как по кольцевой пло- щацке между окружностями р = а и р = а' происходит проскальзывание (по Миндлину и Дересевичу).
этих исследований исходит Колумбийском университете
этих исследований исходит Колумбийском университете
15.13. Осесимметричные состояния предельного равновесия сыпучей весомой среды. А. Осесимметричное состояние, аналогичное РЭНКИНОВСКОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ В РЫХЛОМ ВЕСОМОМ грунте. В бесконечном массиве, ничем не возмущаемом и сжимаемом однородным поперечным давлением, параллельным
Deresiewicz Н., Mechanics of Granular Matter, 89 pp., Columbia Univ., Civil Eng. and Mechanics Department, Tech. Rept 25 (Naval Research Project), February 1957. В статье имеется обширный список литературы, содержащий, в числе прочих, работы Миндлина и автора обзора.
плоскостям z = const (ось z направлена вертикально вверх). могут существовать два состояния сжатия в осевом (вертикальном) направлении, которые аналогичны двум рэнкиновским распределениям напряжений под горизонтальной плоскостью, описанным в § 15.3. Если предположить, что для осесимметричного предельного равновесного состояния радиальное, тангенциальное и аксиальное нормальные напряжения ar, az и а2 всюду являются главными давлениями, то условие постоянства отношения наибольшего о】и наименьшего 03 главных напряжений (уравнение (15.6)) приводит к соотношению
^ =告器=<^(15•⑹)
Отсюда видно, что можно различать: (1) верхнее предельное состояние, когда наибольшее давление о】 действует в вертикальном направлении,
力=5 = Y("2)，" = " = O3 = /tg2传-yj (15.162)
и (2) нижнее предельное состояние, когда это давление действует по всем горизонтальным направлениям,
% = 6 = Y (” * % =立=о尸 ％ ctg2 住一号)，(15.163)
причем оба случая соответствуют вертикальному осевому сжатию грунта с одновременным боковым давлением. Любая проходящая через точку Р(г, г) плоскость, наклоненная к вертикальному направлению под углом
冗/4 — р/2 в первом случае,
冗/4 +р/2 во втором случае,
является плоскостью скольжения. Эти плоскости вблизи точки 尸 огибают круговой конус с вертикальной осью н соответственно с острым или тупым углом при вершине (л/2 ——р),(冗/2 + p) (рис. 15.56). Если точка ₽(r, z) движется по окружности г = =const вокруг оси 乙 то отдельные конусы, выходящие из точек R будут огибать два новых круговых конуса / н 2, которые мы можем интерпретировать как главные поверхности скольжения, соответствующие окружности г = const.
Верлнее предельное состояние (1) можно проиллюстрировать на примере осадки несвязного гравия над заброшенной горной выработкой, кровля которой разрушается и позволяет гравию просыпаться вниз в пустую шахту, причем образуется воронка, в которой происходит оседание породы. Круговой конус с углом при вершине (л/2——р) и вершиной, расположенной
.39 А. Падай
на глубине h в центре возмущения О, выделяет своим основанием (кругом ss радиуса r0 = h tg(n/4—р/2)) зону осадки свободной поверхности z = ", в которой можно ожидать изменений уровня грунта. Интересно вычислить компоненты нормальных
Рис. 15.56.Рис. 15.57. Зона осадки SS.
и касательных напряжений 0九 и тп, которые обеспечат удержание на месте веса
перевернутого конуса высоты h, а именно,
_ Qz COS2 р _ Y (/? — 2)(1 + cos 2р)
& — 1 + sin р —2(1+ sin р) ，
o~z sin p cos p — — у (Zz — z) sin 2P1 + sin p2(1 + sin p)
Можно проверить, что вертикальные компоненты напряжений, проинтегрированные по боковой поверхности воронки, как раз уравновешивают вес W (рис. 15.57).
Б. Уравнения предельного равновесия, выраженные в цилиндрических координатах г, г. Предположим, что две из главных осей лежат в меридианальных плоскостях, проходящих через ось z, и что напряженное состояние определяется тремя компонентами нормальных напряжений аг, а/ и az и касательным напряжением xrz, положительные направления которых показаны стрелками на рис. 15.58. Здесь возможны различные типы поверхностей скольжения, совместимых с осевой симметрией, в зависимости от того, лежат ли в глеридианальных плоскостях оба главные напряжения (наибольшее s и наименьшее оз) или лишь одно из них, а другое совпадает с ①.Если ограничиться
первым случаем, то получим класс решений, характеризуемый двумя изогональными семействами поверхностей скольжения, которые являются поверхностями вращения; это следует из предположения, что окружное нормальное напряжение аг в любой точке поля напряжений является промежуточным главным напряжением〔)sG〉S > М)(рис. 15.59).
Рис. 15.59. Первая и вторая линии скольжения (1,2) в предположении, что напряжение а/ является промежуточным главным напряжением а2-Рис. 15.59. Первая и вторая линии скольжения (1,2) в предположении, что напряжение а/ является промежуточным главным напряжением а2-
Рис. 15.59. Первая и вторая линии скольжения (1,2) в предположении, что напряжение а/ является промежуточным главным напряжением а2-
Рис. 15.59. Первая и вторая линии скольжения (1,2) в предположении, что напряжение а/ является промежуточным главным напряжением а2-
Состояния равновесия тяжелого сыпучего материала должны удовлетворять двум уравнениям равновесия
+ r 等=°，(15.164)
г * (r%z)= — 丫厂(15.165)
и условию скольжения
4 唸 ах = (% — 哨2 + 4脸=sin p (% + a)2.(15.166)
Здесь нужно учитывать, что в этих трех уравнениях для четырех неизвестных компонент напряжений может Допускаться
любая величина тангенциального нормального напряжения о± в следующих пределах:
<т3= 1/2(“ + %)(1 - sin p)v 6 <1/2(07 +“)(1 +sinp) = d・ (15.167)
Поскольку неизвестная о力 входит только в первое из трех уравнений, мы можем позволить себе отыскивать тройку величин Or, Oz, Trz, которые будут удовлетворять лишь двум уравнениям (15.165) и (15.166), и использовать уравнение (15.164) для вычисления из него величины.
S = £(S)+厂誓(15.168)
с тем, чтобы убедиться, что неравенство (15.167) не нарушено. Мы замечаем особенное свойство таких осесимметричных напряженных состояний: в качестве четвертого соотношения достаточно удовлетворить неравенству для одной из неизвестных компонент напряжений, а именно о±. Наличие в уравнении (15.165) члена, соответствующего массовой силе тяжести —yr, затрудняет отыскание точных решений. Мы сможем продемонстрировать одну-две группы решений, лишь опустив в правой части уравнения (15.165) член ——yr. Попытаемся представить напряжения ar, 6Zi xrz в форме
“ =о。％ 次， az = %從决，rTZ = OoSz*, (15.169)
где ao ——произвольное постоянное напряжение (за которое мы можем взять единицу напряжений, 1 кг/см2); %, crz — три безразмерные постоянные,之——некоторая функция цилиндрических координат 厂,之.Подставляя выражения (15.169) в уравнения (15.165) и (15.166), мы получаем (полагая 丫 = 0) для неизвестной функции С дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
分需+県第=-*(15.170)
и квадратичное соотношение, связывающее три константы сг,
(Cz- с J + 4脸=sin2 P (% + cJ,(15.171)
в котором cz и cr мы можем выбрать произвольно и из которого находится
cTZ = ± % V2crcz (1 + sin2 р) — (с2 + с^ cos2 р. (15.171а)
Решением уравнения (15.170) служит функция 】)
質厂，2)= 1п/+/(〃)， т = -^^-.(15.172)
(15.173)(15.173)Таким образом, экспоненциальный множитель равен 决=gin(Q/r)+f (/n)=乌 e，
(15.173)
(15.173)
Мы имеем для напряжений о「, Oz,亏z, удовлетворяющих уравнениям (15.165) и (15.166) для невесомой сыпучей среды, группу выражений
Oz = o(a£0(15.174)
а /^rz = ^q^tz ~ е >
которые содержат две произвольные постоянные cr и cz и произвольную функцию f(m) =f[crz(z/a)—cz(r/a)], Эти соотношения позволяют описать разнообразные возможные состояния предельного равновесия.
Мы можем также, использовав выражения (15.174), вычислить по формуле (15.168) тангенциальное напряжение о», получив при этом
e =00 &Z - 以%) /為=一号(好 + Cz)2 COS2 p/黑.(15.175)
Чтобы в крайнем правом выражении не изменился знак (т. е. чтобы напряжение Gt не стало растягивающим), допустимы только функции f(т), имеющие отрицательную производную df/dm<0. При таком предварительном условии неравенство (15.167) принимает форму
1 ~-sinp<(cr + ^)^-cos2p|^-|< 1 + sinp, (15.176)
что ограничивает диапазон значений и ту область пространства, в которых могут быть приложены напряжения, распределенные таким образом.
Простейшие случаи получаются, если взять f = —m или f = =——In m и т. д.; отвечающие им распределения напряжений
】)Нужно положить Crzdz=czdr, тогда crzz — cj^ma (加 ——переменный параметр, а ——произвольная длина), и прибавить к gnf(zn), где f(т)——ftjfjb- извольная функция /и, частный интеграл In (а/r) уравнения (16.170).
подобны на семействах параллельных круговых конусов crzz — —czr = ma, причем три напряжения о「, а2, тг2 отличаются в соответственных точках конусов множителем.
В. Уравнения предельного равновесия, выраженные в сферических координатах. Предположим, что имеет место осевая симметрия относительно оси (р = 0, направленной вертикально вверх (рис. 15.60), и постулируем условия, аналогичные тем, которые указаны в § 15.13, Б. Тогда для четырех неизвестных компонент напряжений or, 。丁，①，tRt (в предположении, что а/ является промежуточным главным напряжением а2, az = a2) мы имеем три следующие уравнения:
до р1
(15.177)(15.177)読 + R(20rA - Or 一 d + ctg qp) = — у cos qp,
(15.177)
(15.177)
R 前 + ад + A [(叮 一 6)ctg Ф + 3^г1 = Y sin qp,
4嗑x = & - ％У + 4嗡=sin2 p & + o#
и неравенство для о/,
S = (1 -sinp) % (or + ⑴ V s < (1 + sin p) % (or + 叮)=5・(15.178)
После исключения из первых двух уравнений величины ① можно действовать с этими уравнениями по схеме, описанной в в § 15, 13, Б. Мы ограничимся изложением двух простейших частных решений, поскольку мало надежды на отыскание интегралов общего вида.
Полая сфера под действием внутреннего давления в отсутствии силы тяжести. Положим y = 0, i；rt = 0 и обозначим через Or и От главные напряжения. Из условия симметрии два окружных напряжения должны быть равны друг другу, Ot = oT. Поскольку два остающиеся напряжения eR и бт зависят только от радиуса R, но не от полярного угла ср, мы имеем два уравнения
R + 2(0r — От) = 0,(15.179)
1 + sin Рг- 1
aR = 1 - sinp"(15・18。)
во втором из жение Or = 5во втором из жение Or = 5жение. Еслижение. Есликоторых предполагается, что радиальное напря- представляет собой наибольшее главное напря
во втором из жение Or = 5
во втором из жение Or = 5
жение. Если
жение. Если
обозначить через m постоянную
m
4 sin р
1 + sin р
(15.181)
то напряженное состояние полой сферы R》R°, внутри которой действует внутреннее давление р, будет задаваться выражениями
6R = P 矗｝，6R = P 矗｝，(15.182)(15.182)1 — sin р Л m \
6R = P 矗｝，
6R = P 矗｝，
(15.182)
(15.182)
Г^Г7^ = V
Малая сферическая полость, расположенная глубоко под слоем весомой сыпучей среды, на границе которой поддерживается статическое давление р0- Может представить интерес
Рис. 15.61. Сферическая полость, поддерживаемая давлением ро на глубине R】в весомом сыпучем материале.Рис. 15.61. Сферическая полость, поддерживаемая давлением ро на глубине R】в весомом сыпучем материале.Рис. 15.60.Рис. 15.60.
Рис. 15.61. Сферическая полость, поддерживаемая давлением ро на глубине R】в весомом сыпучем материале.
Рис. 15.61. Сферическая полость, поддерживаемая давлением ро на глубине R】в весомом сыпучем материале.
Рис. 15.60.
Рис. 15.60.
определение того максимального давления ро на границе полости, при котором впервые на поверхности грунта появляются возмущения. Напряженное состояние в малой области, окружающей вертикальную ось, проходящую через центр полости О, можно определить приближенно, если провести сферу с центром в О, касающуюся поверхности (рис. 15.61), заменить поле вертикальных сил тяжести векторами постоянной величины, сходящимися к центру полости, и решить задачу для тако访 полой сферы, нагруженной однородным полем сходящихся к центру массовых сил.
Задача сводится к тому, что в уравнении (15.179) добавляется правая часть, равная ——у/?,
R 翳 + 2(0区一叮)=-yR.(15.183)
Это уравнение решается совместно с уравнением (15.180). Пусть R。——радиус полости, Ri ——расстояние от ее центра О до поверхности грунта. Граничное условие ад = 0 при R = & и уравнения (15.183) и (15.180) удовлетворяются выражениями
(15.184)(15.184)
(15.184)
(15.184)
что дает для максимального давления /А), которое можно приложить внутри полости, не вызвав еще появления на поверхности грунта возмущений, значение
R = Ro，叮=р0 =普"[(裳)-用.(15.185)
На рис. 15.61 в вертикальном разрезе показано тело, состоящее из сыпучего материала, с профилем, ограниченным двумя логарифмическими спиралями, исходящими из точки А. Это тело слегка приподнимается под действием давления pQ.
Если, например, угол трения сыпучей среды р = 30°, то показатель m составляет т = 4/3. Давление р()будет равно
Р0=4YR[(患)"-*].(15.186)
Если заглубление полости, скажем, в сто раз больше ее радиуса, Ri = lOORo, то давление равно приблизительно ро = 2ОО yRi или в 200 раз больше статического давления yR{ столба невозмущенного грунта, находящегося под действием собственного веса. Тем самым обнаруживается то огромное сопротивление трения, которое возникает на поверхностях скольжения, указанных на рис. 15.61. Распределение напряжений Or и от по вертикальной оси, вероятно, не слишком отличается от точного и дает отклонения в безопасную сторону.
Часть V
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Глава 16
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Если же думаешь ты, что стать неподвижно способны Первоначала вещей и затем возродить их движенье, Бродишь от истины ты далеко в заблужденьи глубоком... Те, у которых тесней их взаимная сплоченность, мало И на ничтожные лишь расстояния прядая порознь, Сложностью самых фигур своих спутаны будучи цепко, Мощные корни камней и тела образуют железа Стойкого, так же, как все остальное подобного рода. Прочие, в малом числе в пустоте необъятной витая, Прядают прочь далеко и далеко назад отбегают На промежуток большой.
Лукреций 1)
Параметры состояния. В связи с повышением темпе- ратур и давлений, воздействующих на детали паровых и газовых турбин, омываемых нагретым паром или горящим топливом, а также в связи с созданием турбин повышенной мощности, обеспечивающих более высокую экономичность, проводятся изыскания новых конструкционных металлов и сплавов, способных противостоять действию тяжелых условий эксплуатации при высоких температурах. Эти новые тенденции приводят к тому, что проектирование основных деталей машин, преобразующих теплоту в механическую энергию или имеющих иное техническое назначение, оказывается существенно зависящим от уровня знаний о механической прочности металлических конструктивных элементов, подвергающихся продолжительному воздействию напряжений при высоких температурах.
Поскольку сроки службы машин значительно больше того времени, которое отводится на испытания лабораторных образцов металлов,, намеченных для применения, требуется очень внимательный подход к проблеме экстраполяции экспериментальных данных при определении ожидаемых величин медленно нарастающих остаточных деформаций и при оценке напряжений, вызывающих разрушение при высоких температурах.
Лукреций (первый век до н. э.), О природе вещей (De Rerurn Natura), перев. Ф. А. Петровского, Изд-во АН СССР, 1945.
При нормальной температуре напряжение течения о в опыте на растяжение для случая тягучего металла повышается с возрастанием пластической составляющей деформации е〃， и функция o=F(e〃) может характеризовать упрочнение металла. Если же температура 0, при которой производится опыт, повышается до более высокого уровня, то напряжение течения о возрастает при увеличении как пластической деформации е〃, так и скорости пластической деформации d^/dt = ^; таким образом, можно считать, что тягучие металлы характеризуются, вообще говоря, не только упрочнением, но и вязкостью】). При этом заранее не ясно, существует ли единая функция (уравнение состояния), выражающая напряжение течения о для данной температуры 0 при одноосном напряженном и деформированном состояниях через конечные значения е〃 и ©〃
o = F(e〃，У) (16.1)
Наличие такого соотношения означало бы, что нормальное напряжение течения о для металла, деформированного до заданной пластической деформации е〃，достигаемой при данной скорости пластической деформации ©", не зависит от выбора путей нагружения или деформирования.
За последние 20——30 лет накоплено много наблюдений, относящихся к длительным испытаниям на растяжение при ползу- чести и на длительную прочность. В этих опытах (1) растянутые образцы поддерживались при постоянных значениях нагрузки и температуры в течение нескольких недель и месяцев, и строились соответствующие кривые ползучести в зависимости от времени /, е〃=/(/). Наряду с такими стандартными испытаниями на длительную ползучесть проводились также (2) испытания растянутых образцов при постоянной скорости удлинения и (3) испытания на релаксацию, в которых определялось убывание нагрузки с течением времени t при условиях, когда полное относительное удлинение при растяжении (равное сумме упругой деформации &' и остаточной деформации или деформации ползучести е〃) поддерживалось постоянным, т. е. е = е' + + £〃=o/f + e〃 = const. Во всех перечисленных типах стандарт^ ных испытаний температура 0 поддерживалась постоянной. Кроме того, проводились: (4) испытания на ползучесть при растяжении при постоянном напряжении о, но при медленных колебаниях температуры 0 между некоторыми верхним и нижним пределами; (5) испытания при сложном (двухосном) напряжен-
1)Автор исходит из ранних формулировок «теории упрочнения», имевших в основе предположение об эквивалентности собственно пластических дефор* маций и деформаций ползучести.——Прим, перев.
ном состоянии полых цилиндров; (6) испытания призматических образцов при изгибе и кручении.
Несмотря на сложность тепловых явлений, имеющих место в поликристаллических металлах при длительном воздействии напряжения при высокой температуре 9, вызывающем изменения атомной структуры зерен и межзеренного вещества, не прекращаются попытки согласовать между собой экспериментальные данные, полученные в упомянутых выше различных видах испытаний, и вывести из них более общие механические зависимости, которые можно было бы положить в основу рабочей теории ползучести металлов. Для чистых стабильных поликристаллических металлов при относительно не слишком высоких температурах (т. е. в области, где преобладающим фактором является упрочнение) можно принять в качестве подходящего предположения, что при одноосном растяжении или сжатии изменениям остаточной деформации £〃 и скорости деформации
Уже в 1932 г. было отмечено (Bailey R. W., Roberts А. М., Testing of materials for service in high temperature steam plant, Proc. Inst. Meeh. Engrs., London, 122, 209 (1932)), что обычные углеродистые стали при длительном воздействии высокой температуры претерпевают странные изменения в структуре карбидов, прослойки которых округляются и превращаются в шарообразные включения. Подобное описание структурных изменений и поведения металлов можно найти в книгах: Norton F. Н., The creep of steel of high temperatures, New York, 1929; T a p s e 11 H. J., Creep of metals, Oxford Univ. Press, London, 1931, а также в сборнике: Creep and Fracture of Metals at High Temperatures, Proc. Symposium, Natl. Phys. Lab. Teddington, May 31 — June 2, 1954, Her Majesty's Stationary Office London, в котором помещены 22 работы, посвященные деформациям и ползучести простых и сложных материалов и теории разрушения.
См. также: Bardgett W. Е., Comparative high temperature properties of British and American Steels: Bailey R. W., A critical examination of procedures used in Britain and the United States to determine creep stresses for the design of power plants for long life at high temperatures. Эти работы доложены на заседаниях: The Institution of Meeh. Engineers, Dec. 4, 1953, London； ASME Annual Meeting, New York, 1953. В работе Бэйли обсуждаются четыре способа экстраполяции данных по ползучести: (1) построение в логарифмических координатах зависимости между напряжением (J и временем t и экстраполяция на срок службы (длительности эксплуатации) ts для определения допустимого рабочего напряжения о§; (2) построение, зависимости между напряжением о и минимальной скоростью ползучести emin в логарифмических координатах (этот способ распространен в США); (3) аналогичное построение зависимости между разрушающим напряжением и временем. Бэйли отрицательно относится к способам (1) и (2), в которых испытания проводятся при рабочей температуре, и рекомендует, как наиболее надежный, способ (4) проведения испытаний при рабочем напряжении, причем ускорение ползучести достигается за счет выбора температуры. Более подробное изложение взглядов Бэйли можно найти в его цитированной статье. Вопросам экстраполяции данных по ползучести посвящены также основополагающие статьи: М с V е 11 у Р. G., /. Appl. Meeh., 1932; Meeh. ^^., March, 1934; р. 1490; Trans. ASME, 1943; Proc. ASTM, 1943.
©“ на величины соответственно W и 或〃 соогвегству^ет приращение do напряжения о, определяемое соотношением
do =盜如〃+盜战〃. (16.2)
Отношение дб]д&" определяет скорость изменения упрочнения при постоянной скорости деформации (©“ = const), отношение 0g田电"определяет вязкость металла при постоянной деформации (£〃 = const); температура 0 при этом остается неизменной, а упругая деформация получает приращение d* = dclE.
Аналогично для элемента, находящегося в трехосном напряженном состоянии, можно принять
"制 Y/ +(16.3)
где то ——октаэдрическое касательное напряжение, 丫。——остаточный октаэдрический единичный сдвиг,十о〃 ——скорость октаэдрического сдвига. Предполагается, что время / не входит явно ни в одно из двух приведенных дифференциальных соотношений.
Предел текучести тягучего металла под влиянием предварительного наклепа повышается по отношению к последующему нагружению того же направления. Однако наклепанный металл может утратить прочность в результате длительного воздействия достаточно высокой температуры, поскольку при этом будут происходить отжиг и рекристаллизация. Таким образом, предел текучести о и октаэдрическое касательное напряжение то (характеризующее пластическое сопротивление) при длительном тепловом воздействии имеют тенденцию к снижению. Этот факт можно точно выразить, добавляя к правым частям соотношений (16.2) и (16.3) третьи члены вида (d(y/dt)dt и ((?To/O/)d/ соответственно. При этом величины дб/dt и dx^dt определяют скорости (по времени) убывания пределов текучести а и то, существующие одновременно со скоростями изменения упрочнения Og；W, 0T。/。丫了, причем последние две величины положительны, а две первые — отрицательны !) •
Бэйли в одной из своих фундаментальных работ (Bailey R. W., Physical properties of metals and the design of plant for high-temperature service——лекция, прочитанная в апреле 1927 г. в Лондоне, в северо-западном отделении Института инженеров-механиков, и опубликованная в сокращенном виде в журнале Engineering, 124, 44—46 (1927)) определил этот вариант ползучести, как «внешнее проявление равновесия между процессами разупрочнения вследствие тепловых воздействий и восстановления упрочнения при дальнейшем скольжении». Эту мысль автору высказывал также Макветти, говоря, что «ползучесть представляет собой равновесие противоположных тенденций упрочнения и разупрочнения» (М с V е 11 у Р. G., Creep of metals at elevated temperatures — the hyperbolic sine relation between stress and creep rate, ASME Meeting, Davenport, Iowa, April, 1943).
С другой стороны, если структура металла такова, что чисто термическое воздействие повышает его прочность с течением времени (это явление называется старением металла), то оба эффекта будут суммироваться. Таким образом, если при умеренно высоких температурах достаточно принять, что т0 зависит, согласно уравнению (16.3), от двух характеристик деформации 丫丁 и 彳％ то для столь же важного класса случаев, в которых должно учитываться постепенное старение или разупрочнение, уравнение (16.3) следует видоизменить, представив его в виде
"t0 dy^ +^~dt. (16.4)
При этом предполагается, что т0 зависит от трех независимых переменных у/, #/ и /. В последующих параграфах из уравнения (16.4) будут получены некоторые поучительные выводы).
Говоря здесь об относительно низких, промежуточных и высоких уровнях температуры 0, мы имели в виду введенную Людвиком гомологическую температуру 0/0т ——отношение абсолютной температуры 0 к абсолютной температуре плавления К. Для поликристаллических металлов, не имеющих аллотропных превращений, и для их сплавов механическое поведение при одних и тех же значениях гомологической температуры 0/0т оказывается примерно одинаковым. Константы материала или параметры, входящие в частные производные в уравнении (16.4), считаются зависящими от 0/0т. Для выражения зависимости этих констант или параметров от температуры предлага-
лись различные функции ——как эмпирические, так и выведенные из физических соображений.
Механическая теория ползучести может оказаться полезной не только в технических приложениях, но и при анализе другого круга задач, о которых здесь следует по крайней мере упомянуть. Можно вызвать остаточные деформации в поликри- сталлических неметаллических твердых (хрупких) веществах, не доводя их до разрушения, т. е. эти вещества можно привести в пластическое состояние. Поэтому можно ожидать, что при длительном воздействии напряжения при повышенной температуре они будут обнаруживать, аналогично тягучим металлам, свойства медленной ползучести. Рассмотренные условия имеют место на больших глубинах в естественных горных породах, в твердых верхних слоях земной коры (следует иметь в виду наличие геотермического градиента в наружных слоях земной коры, где при увеличении глубины на каждые 100 м температура возрастает в среднем на 3℃). Таким образом, теория ползучести металлов может пролить свет на родственные законы медленной текучести горных пород и на некоторые фундаментальные проблемы геомеханики, такие, как медленные процессы деформации глубинных слоев земной оболочки, связанные с образованием горных хребтов за долгие геологические эпохи. Можно также рассмотреть движение материков под влиянием лунного притяжения, обусловленное повышенной подвижностью слоев горных пород на глубинах 40—50 км, где температура достигает высоких значений порядка 1200—1500° С, и другие проблемы геомеханики.
Согласование результатов различных видов испытаний металлов при одноосном напряженном состоянии. А. Скорость УПРОЧНЕНИЯ И ВОЗРАСТАНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ от скорости остаточной деформации. Обычный метод определения напряжения о, которое при повышенной рабочей температуре 0 вызовет в металле за заданный срок службы 厶 максимально допустимую остаточную деформацию £：, заключается в проведении длительных испытаний нескольких образцов на ползучесть при постоянной нагрузке G = const); при этих испытаниях получают зависимость остаточной деформации £〃 от времени / в виде кривых ползучести. При более высоких значениях напряжения сц на кривых отчетливо выявляется точка перегиба / (рис. 16.1), при более низких напряжениях кривые на значительном интервале времени прямолинейны.
Для удобства будем обозначать скорость деформации 8 = =d61dt через 〃 и заметим, что на кривых ползучести для ннз- ких уровней напряжения можно различать первую, вторую и
третью стадии, на которых скорость остаточной деформации 〃〃二屯〃 соответственно убывает с течением времени, затем остается приблизительно постоянной, равной минимальному значению 〃北(минимальная скорость ползучести), и после снова возрастает. Можно было бы положить в основу расчета значение номинального напряжения az, при котором ордината геометрического места точек перегиба / равняется допустимой
Рис. 16.1. Кривые длительной ползучести £〃 = /(£).
Пунктирная кривая — геометрическое место точек перегиба /; F — разрушение.
остаточной деформации е/ при значении времени, равном сроку службы ts (подразумевая, таким образом, что точка перегиба / определяет начало шейкообразования в растянутом стержне). Это, однако, требует экстраполяции нижних кривых ползучести £〃 = /(/), полученных при ограниченной длительности испытания, на большие времена вплоть до времени, равного сроку службы 厶.Неопределенность, вносимую этой экстраполяцией, можно устранить, только установив некоторую подходящую функциональную зависимость, связывающую напряжение о и минимальную скорость ползучести 〃/ 】).ЛАы попытаемся рассмотреть, как это можно сделать, и вначале исключим явление постепенного разупрочнения металла с течением времени t.
I) Это эквивалентно тому, что кривые ползучести в нижней части рис. 16.1, приближающиеся к тому уровню, который ожидается в эксплуатации, заменяются отрезками прямых, наклоненными под углами, определяемыми минимальной скоростью ползучести 〃俏；криволинейные участки, соответствующие первому периоду ползучести, при этом не учитываются (рис. 16.2),
Поскольку полная деформация £ равна сумме упругой составляющей £‘ и остаточной составляющей е〃：
е = U+ £〃 = * + /,(16.5)
то полную скорость деформации u = d&/dt = & можно представить в аналогичной форме
〃=警=価 +% 黑 + “〃，(16.6)
где £, £〃 и 〃，〃“ 一 обычные деформации и скорости деформации, отнесенные к начальной длине растянутого образца /о, причем
—срок службы； е — допустимая деформация ползучести.
&' = g]E считается малой величиной. Обозначим для краткости скорость изменения упрочнения дб/д^ и скорость Осг/О〃〃 возрастания напряжения течения а в зависимости от скорости остаточной деформации 〃“ символами -ф и ср,
2 =(16.7)
Одна из фундаментальных концепций, которую можно положить в основу теории ползучести и пластического течения металлов при повышенных температурах, заключается в постулировании дифференциальной зависимости (см. (16.2))
•do = 2 de〃 + 屮 d 〃”(16.8)
и в предположении, что при данной температуре величины 屮 Н ср, вообще говоря, могут зависеть (или не зависеть) от неза-
висимых переменных『и 〃"，но что они не являются функциями времени 九
В частности, можно применять уравнение (16.8) также в случае, когда условная деформация &〃 возрастает вплоть до полуограниченных значений, однако при этом следует различать номинальное напряжение ①，отнесенное к единице начальной площади, и истинное напряжение а, отнесенное к единице фактической площади. Для несжимаемого материала имеем
о = (1 + £〃)О/,(16.9)
при этом для скорости изменения упрочнения 屮 получаем выражение
2 = "^ =立 + (1 +е〃) ^~・(16.10)
Отсюда следует, что в случае растяжения максимальной нагрузке (определяемой из условия (?伪/。£〃 = 0 и соответствующей «пределу прочности» aZmax) отвечает критическое значение скорости изменения упрочнения 屮今 равное
也= Smax・(16.11)
При меньшей скорости изменения упрочнения следует ожидать, что растянутый образец не будет удлиняться равномерно и произойдет потеря устойчивости равновесия, обусловленная локальным шейкообразованием. Используя эти соображения, французский инженер Консидер】)в 1888 г. предложил геометрическое построение, позволяющее определить “с из эквивалентного соотношения
2c = ^~= ］：£〃 =Smax・(16.11а)
Пусть в длительных опытах на ползучесть могут иметь место неограниченно большие деформации ползучести е〃. При этом нагрузку и, следовательно,⑴(но не истинное напряжение о) следует считать постоянными. Это означает, что doi/dt = 0; поэтому, дифференцируя (16.9) по времени 力 получаем
穿=е 〃〃 + (1 + Е〃)醬=о以〃.(16.12)
С другой стороны, согласно соотношению (16.8),
需= 2〃〃 +屮嘗♦(16.13)
i) Considere М., Die Anwendung von Eisen und Stahl bei Construc- tionen, Vienna, 1888. См. t. 1, стр. 87, рис. 55, где показана касательная к кривой истинных напряжений о=/(£“) в точке 5 max.
Комбинируя эти два выражения, получаем дифференциальное уравнение для скорости ползучести и!' = d『Idt для случая постоянной нагрузки (az = const)
中筝+他一S)〃〃 =0 (16.14) или
dt ~~ 屮
Из последнего соотношения следует, что для кривой ползучести £〃=『(/) скорость ползучести 〃“ вначале (пока 屮>6)убывает, а затем достигает минимального значения 鑑口 (когда 2 = сг/), после чего (когда 2<0丄)начинает возрастать; таким образом, при нагрузках, при которых ① приближается к пределу прочности а；шах (причем, согласно уравнению (16.11), dmax=《c), кривые ползучести будут иметь точку перегиба /(力〃〃/山=6), а также первый (d〃〃<0) и третий (d〃〃>0) участки, подобно тому, как это показано на рис. 16.1. При этом точка / соответствует моменту появления шейки на образце.
С другой стороны, если нагрузка на растянутый образец мала и ① значительно меньше предела прочности ①max (полученного по кривым «растяжение ——деформация», снятым при малых скоростях 〃〃 = const, сопоставимых с наименьшими ожидаемыми скоростями ползучести), то мы можем не принимать во внимание соотношение (16.15) и пользоваться при рассмотрении кривых длительной ползучести гипотезой (16.8), которая в сочетании с соотношением (16.6) дает
^ = Е(и-и^ = ^ + ^^, (16.16)
причем здесь следует положить о=const {истинное напряжение постоянно), dcr/d/ = O, 〃 = 〃“・
Пусть при приложении напряжения о в момент времени / = 0 переменные состояния имеют начальные значения 睛，zz/; под воздействием напряжения о деформация £〃 будет постепенно возрастать при одновременном убывании скорости деформации 〃”,обусловленном накоплением деформаций ползучести £〃• Этот процесс характеризуется уравнением
(16.17)(16.17)
(16.17)
(16.17)
которое описывает малое последействие или ползучесть при постоянном напряжении о.
Будем рассматривать три взаимосвязанных параметра состояния о, £〃,〃〃 = ©〃 как прямоугольные координаты точки Р
в пространстве, причем напряжение о будем откладывать по оси ординат над горизонтальной плоскостью £〃，〃〃. Любой путь нагружения или деформирования при этом будет изображаться пространственной кривой в координатах е〃，〃”，о; эту кривую можно найти при помощи дифференциального соотношения (16.8), которое следует проинтегрировать с учетом условия, характеризующего последовательность нагружения или деформирования, т. е. условия, описывающего тип рассматриваемого
испытания на растяжение. Заметим, что проекция пространственной кривой, описываемой точкой Р, на плоскость £〃， 〃” представляет годограф dE〃/d% = 〃〃=屮(£〃) пути деформирования 1).
Соотношение (16.17), очевидно, представляет собой дифференциальное уравнение семейства линий годографа (рис. 16.4) для серии путей деформирования при условии cf = const. Из это- то следует, что задача экстраполирования кривых &〃 = /(/) при длительных испытаниях на ползучесть тесно связана с выбором
1) Годографы должны удовлетворять определенным условиям. Если положительное (растягивающее) напряжение о действует в течение достаточно продолжительного интервала времени f, то скорость остаточной деформации и"=d&"Idt должна оставаться положительной, причем может иметь место только возрастание деформации е〃. В положительном квадранте (〃〃>0) линия годографа, выходящая к оси s〃， должна заканчиваться на этой оси и подходить к ней под тупым углом； линия годографа, отходящая от оси е〃, должна образовывать с ней острый угол. Пересечение линией годографа оси £〃 в направлении от положительного к отрицательному квадранту 〃” имеет смысл лишь в том случае, когда происходит под прямым углом (рис. 16.3),
подходящих функций, при помощи которых можно выразить зависимости между переменными -ф и ср и параметрами состояния е〃, 〃”. В последующих параграфах мы остановимся на подборе подходящих представлений функций 屮 и ср на основе экспериментальных данных.
Б. Использование концепции поверхности напряжений. Как отмечалось, в некоторых случаях при заданной температуре 0 = const зависимость, растягивающего напряжения течения о
Рис. 16.4. Годограф, соответствующий испытанию на ползучесть при постоянном напряжении а = const.Рис. 16.4. Годограф, соответствующий испытанию на ползучесть при постоянном напряжении а = const.Рис. 16.5. Поверхность напряжений о =尸(£〃，〃〃).〃〃 —скорость деформации.Рис. 16.5. Поверхность напряжений о =尸(£〃，〃〃).〃〃 —скорость деформации.
Рис. 16.4. Годограф, соответствующий испытанию на ползучесть при постоянном напряжении а = const.
Рис. 16.4. Годограф, соответствующий испытанию на ползучесть при постоянном напряжении а = const.
Рис. 16.5. Поверхность напряжений о =尸(£〃，〃〃).
〃〃 —скорость деформации.
Рис. 16.5. Поверхность напряжений о =尸(£〃，〃〃).
〃〃 —скорость деформации.
от переменных £〃 и 〃” можно представить в конечном виде при
помощи некоторой единой функции или поверхности напряже
(16.18)(16.18)ний (рис. 16.5)
(16.18)
(16.18)
0 =戶(£〃，〃〃).
Условие существования такого уравнения состояния заключается в том, что da в уравнении (16.8) должно быть полным дифференциалом переменных е〃 и т. е»
(16.19)(16.19)dp __ d(p
(16.19)
(16.19)
Если поверхность напряжений существует, то длительным испытаниям на ползучесть при постоянном напряжении, очевидно, будут соответствовать линии уровня (y = const на поверхности напряжений F. Линии годографа 〃“ =(р(£〃)，как проекции линий уровня на плоскость е〃, 〃", дают топографическое представление поверхности 0 =尸(£〃“)，аналогичное представлению поверхностей на географических картах. Поверхности напряжений F в тех случаях, когда можно считать, что они существуют, являются полезным средством наглядного предста-
вления взаимосвязи различных программ нагружения или деформирования металла.
Возьмем, например, зависимости
屮=屮(£〃)， (р =(р(〃〃)，(16.20)
соответствующие предположению, что скорость изменения упрочнения металла не зависит от скорости деформации 〃“， функция скоростей ср не содержит остаточной деформации £〃. Тогда переменные в соотношении (16.17) разделяются и после интегрирования оно приводит к уравнению состояния, имеющему вид
g = FN&〃)+ F2(h〃)・(16.21)
Согласно этому соотношению, ординаты поверхности напряжений F равны сумме ординат двух цилиндрических поверхностей. Если ® = 0, то 尸 1 = 0, что соответствует произвольной вязкой среде, которая может либо иметь предел текучести, либо не иметь его.
Если аналитическая форма уравнения (16.18) неизвестна, можно попытаться получить приблизительное топографическое представление поверхности напряжений S力 при помощи пространственной диаграммы, построенной на рис. 16.5 для случая растяжения в положительном квадранте £〃》0, 〃”》0 на основании экспериментальной серии профилей для постоянной скорости деформации (〃〃 = const). Аналогично при помощи серии испытаний на одноосное сжатие можно построить вторую пространственную диаграмму, представляющую собой поверхность напряжений при сжатии относящуюся к отрицательному квадранту £"&0, 〃〃《0 и соответствующую отрицательным ординатам о. Для класса тягучих металлов можно принять, что эти две поверхности S/ и Sc удовлетворяют условию
S/・.・“ = F(6〃，〃〃)，Sc・..“= — F(—£〃，一〃〃)。(16.22)
Заметим, что для тягучей мягкой стали это условие заведомо не выполняется, так как при равных скоростях и деформациях напряжения течения величина Ос при сжатии намного больше (по абсолютной величине) напряжения “ при растяжении】).
Относительно профилей пространственной диаграммы S/ в областях, примыкающих к осям £〃 и 〃”， можно отметить, что ординаты поверхности напряжений о могут как обращаться, так и не обращаться в нуль вдоль этих осей. Если поверхность 。=尸(£〃，〃〃) образует вдоль оси £〃 конечный профиль, то можно считать, что этот профиль соответствует кривой «растяжение — деформация» в опыте на бесконечно медленное растяжение. Прочные металлы при низких температурах приближаются к этому условию, если они деформируются чрезвычайно медленно (〃“=0). Линии уровня а=const
В. Случай, когда напряжение зависит только от скорости дефор・ мацнн: о = g (〃〃). Целесообразно вначале не принимать во внимание эффект упрочнения, положив 2 = do/d£〃=0 в уравнении (16.8), и начать с перечисления нескольких соотношений, которые эвристически предлагались для описания зависимости напряжения течения о от скорости остаточной деформации 〃〃 = = dd'ldt =电"для ряда материалов, включая металлы, в некотором интервале температур. Пренебрежение упрочнением приводит к случаю произвольной вязкой среды, текущей с мгновенной скоростью деформации 〃", зависящей только от напряжения
o = g(〃") или 〃” = /z((j). (16.23)
Поверхность напряжений в пространстве £〃， 〃”， о, определяемая этими соотношениями, представляет собой цилиндрическую поверхность над плоскостью £〃，〃” с образующими, параллельными оси £〃. Соотношение (16.23) эквивалентно предположению о наличии коэффициента вязкости, зависящего от скорости деформации 〃〃 и идентичного величине ср, введенной при помощи зависимостей (16.7) и (16.8),
屮=备=器• о6%)
Для металлов, которые при одноосном сжатии и одноосном растяжении обладают одинаковыми свойствами (т. е. одинаковыми по абсолютной величине напряжениями текучести о и скоростями 〃〃), механические соображения приводят к заключению, что зависимость o = g(〃”) должна быть нечетной функцией 〃”.Приведем некоторые варианты зависимости между напряжением и скоростью (т. е. «закона ползучести»), построенные на основании экспериментальных данных.
На первых порах, при накоплении данных по ползучести металлов, исследователи отдавали предпочтение степенной за-
оканчиваются в этом случае на оси £〃 под тупыми углами, и ползучесть при любом постоянном напряжении а=const будет прекращаться при достижении некоторой предельной деформации ползучести.
С другой стороны, при достаточно высоких температурах поверхность напряжений оканчивается вдоль оси £〃，круто к ней опускаясь. Линии уровня (1=const не пересекаются с осью е〃 и при подходе к ней приближаются к направлениям параллельных линий; это соответствует тому, что деформация ползучести £〃 беспредельно возрастает с малыми скоростями 〃”， никогда не прекращаясь. Обращаясь теперь к области, примыкающей к оси 〃”，заметим, что конечный профиль вдоль этой оси соответствует металлу, который перед испытанием подвергся наклепу. Напротив, случаю, когда о обращается в нуль вдоль оси и", соответствует очень мягкий, полностью отожженный Металл (например, мягкая, отожженная медь).
висимости напряжения о от минимальной скорости 】)ползучести 4〃
0 = % (訂У(0&〃& 1),“〃》0.(16.25)
Степенная зависимость имеет тот хорошо известный недостаток, что величина ф, характеризующая вязкость,
do//-】-п
ф ==孔 Оо〃〃0
при исчезающе малых о и 〃〃 обращается в бесконечность (если 〃=#1), что физически неприемлемо.
Логарифмический закон
о = о° In 2，(16.26)
впервые предложенный Людвиком) в 1909 г., проверялся в опытах на мягких металлах при нормальных или низких температурах и при повышенных скоростях деформирования. Уравнение (16.26) теряет смысл, когда 〃” приближается к «0- Однако его можно представить (для положительных значений 〃〃) в альтернативной форме):
а = а2— при0 忘〃〃&〃 2，
广(16.27)
О = 0*2 In при 〃2&〃"，
приводящей при исчезающе малой скорости 〃〃 к конечному значению вязкости 屮=。2/〃2・
Закон гиперболического синуса Прандтля
15唱.(16.28)
Эта зависимость, как уже неоднократно отмечалось в этой книге, соответствует представлениям о механизме скольжения в атомных решетках поликристаллических материалов, определяющем произвольное вязкое поведение, которое характерно
Если п — дробное число и требуется распространить зависимость (16.25) на область сжатия (а<0, и,,<0). то можно принять о==—Оо(—〃〃/〃о)", где а0, 〃о — положительные постоянные.
для тягучих металлов и становится более выраженным при повышении температуры. Прандтль упоминал эту зависимость уже в 1913 г. в своих лекциях в Геттингенском университете и предложил ее в качестве обобщения логарифмического закона Людвика в своей фундаментальной работе 1928 г. Он также пользовался ею в некоторых своих последних статьях, посвященных течению в цилиндрических трубах из различных веществ, которые он назвал «нормальной вязкой средой» (см. стр. 447 этого тома)[).
Теория абсолютной скорости Эйринга была положена в основу обстоятельных исследований механических моделей органических материалов, пластмасс, а также ползучести известняка, алебастра и др. Эти исследования описаны в четырех сообщениях: Hogan М., The engineering application of the absolute rate theory, Univ. Utah Bull., 26 (1951); 58 (1952); 59 (1952)； 62 (1953). В последнем сообщении объемом в 220 страниц содержится обобщение исследований и подробная библиография.
Закон гиперболического синуса предлагали ранее использовать как практический прием для экстраполяции результатов стандартных испытаний на ползучесть на время, равное сроку службы. При больших значениях напряжения течения о уравнение (16.28) принимает вид
〃〃 = *е°/б или о = 5 In 今.
Сравнивая этот результат с логарифмическим законом (16.26), замечаем, что постоянные материала 〃i, 0卜 входящие в уравнение (16.28), выражаются через постоянные, входящие в уравнение (16.26), при помощи соотношений
〃[二 2〃о， о】=cTq. (16.29)
Далее, в § 16.2, Ж приводится аналогичное сопоставление степенного закона и зависимости (16.28).
В случае постоянного напряжения о каждому из трех законов (1, 2, 3) соответствует возрастание с течением времени малых деформаций ползучести с постоянной скоростью 〃〃 = const
е〃 =端 + 〃〃/ = * + % 9", (16.30)
Prandtl L., Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Кбгрег, Z. angew. Math, und Meeh., 8, 85—96 (1928) (см. t. 1, стр. 71). Закон гиперболического синуса был независимо предложен Эйрингом и его сотрудниками, Гласстоуном и Лайдлером в их работе по диффузии и вязкости жидкостей: Е у г i n g Н., Glasstone S., L a i d 1 е г К. J., The theory of rate processes, McGraw-Hill Book Co., New York, 1941. См, также E у г i n g H., Viscosity, Plasticity and Diffusion as examples of absolute reaction rates, /. Chem. Phys., 4, 283 (1936).
где постоянная скорость 〃〃 = /г(о) =const определяется при помощи предыдущих зависимостей. Например, применяя зависимость (16.28), получаем
(16.31)
Пусть допустимая деформация ползучести £】будет накапливаться за заданный срок службы 厶；при этом для допустимой минимальной скорости ползучести 〃二 получаем выражение!)
(16.32)
Соответственно для допустимого напряжения о получим, обращая гиперболическую функцию (16.31),
Приведем теперь уравнения релаксации, соответствующие трем рассмотренным законам для скорости ползучести (1, 2, 3). Значения величин в начальный момент (/ = 0) процесса релаксации напряжений будем отмечать индексом (/). Учитывая, что в случае релаксации полная деформация £ не изменяется с течением времени:
е = ^+£〃 =詈 +£? = const, 票=—£等=一£〃〃‘(16.34)
получаем при 〃〃 = /z(o)
穿=一以⑹,穿=一以⑹,1「do1「do(16.35)(16.35)
穿=一以⑹,
穿=一以⑹,
1「do
1「do
(16.35)
(16.35)
Изменение напряжения о с течением времени / будет определяться следующими выражениями.
(16.36)(16.36)1) Степенной закон ползучести (16.25) дает
(16.36)
(16.36)
[l + (l-n) (£«oMz) ^il^xln /『/"〃
Подразумевается, что величина условной начальной деформации * найдена либо путем экстраполяции данных по ползучести, либо другим способом. Способы определения 80 указаны далее, в § 16.2, К, где рассматриваются случаи мгновенного приложения или снятия нагрузки.
Это выражение становится неопределенным, когда 几=1, о = = Oo〃'7〃j, что соответствует вязко-упругой среде, для которой напряжение убывает с течением времени, согласно закону релаксации Максвелла,
о = 力=豈. (16.37)
Постоянная tri имеющая размерность времени, носит название времени релаксации Максвелла при одноосном растяжении. Эта постоянная численно также равна 人=3卩/£\ причем о()/〃о = =3卩，где 卩——обычный коэффициент вязкоети 7?=卩2Y/山. *
В случае логарифмического закона (16.27) падение напряжения о с течением времени / описывается двумя ветвями кривых, касательных между собой,
o = S —o = S —1 +7-^ 厶一to1 +7-^ 厶一toпри 0《力《办,при 0《力《办,〃2 < 〃〃,〃2 < 〃〃,(16.38а)(16.38а)
o = S —
o = S —
1 +7-^ 厶一to
1 +7-^ 厶一to
при 0《力《办,
при 0《力《办,
〃2 < 〃〃,
〃2 < 〃〃,
(16.38а)
(16.38а)
3) В случае закона становка в уравнение3) В случае закона становка в уравнениедаетдает°t[ f doE〃i J sh cr/oia°t[ f doE〃i J sh cr/oia一 te In一 te Inth (o/2o~i)th 3J2oi)th (o/2o~i)th 3J2oi)(16.39)(16.39)
3) В случае закона становка в уравнение
3) В случае закона становка в уравнение
дает
дает
°t
[ f do
E〃i J sh cr/oia
°t
[ f do
E〃i J sh cr/oia
一 te In
一 te In
th (o/2o~i)th 3J2oi)
th (o/2o~i)th 3J2oi)
(16.39)
(16.39)
а = g^^^ при 九忘/, 0《〃〃V〃2，(16.386)
где постоянные /0 и /? имеют значения
詳=爵，力。 =力」1 一0-(。广%)固，(16.38b)
причем 力° равно времени, за которое напряжение о снижается до точки перехода 0 = 02, где линейный закон о=О2〃〃/〃2 плавно сменяется логарифмической зависимостью а=(у2[1 +1п (卩〃/〃2)]・
гиперболического синуса (16.28) под- (16.35) значения 〃” = /z(o) =〃? sh(o/oi)
где te——постоянная величина, te = o\!Eu\. Вводя новую постоянную 力，имеющую размерность времени, представим (16.39) в виде
力了 = 一 Jlnth叶".=—in・ (16.40)
Обращая эти зависимости 】)，получаем значение начального на-
К = - In th 告.К = - In th 告.(16,406)(16,406)I) С учетом взаимных соотношений у = - Е th у,
К = - In th 告.
К = - In th 告.
(16,406)
(16,406)
пряжения Qi в момент /=0
S = - ％ In th 夫，(16.40a)
а также зависимость, определяющую падение напряжения о с течением времени,
о = - 5 In th~^^.(16.41)
Этот закон релаксации напряжений можно также представить в альтернативной форме, вытекающей !) из уравнения (16.39),
行粉=0一依m券. (16.42)
При малых значениях o/oi отсюда следует • зависимость Максвелла, при больших о/(力一уравнение релаксации (16.386).
Приведенные решения выражают взаимосвязь прямых £：= =£# + 〃//$, соответствующих испытаниям на ползучесть при постоянном напряжении, равном допустимому значению о = = §•(〃/) с кривыми релаксации напряжений, полученными без учета упрочнения для трех типов зависимостей o = g(“〃).
Г. Учет постоянной скорости изменения упрочнения ^ = 5а/^8,,= =const. Если цилиндрический стержень изготовлен из достаточно прочного металла, то при его испытании на растяжение при постоянном напряжении или на релаксацию при умеренно высокой температуре пластическая деформация &〃 возрастает, вообще говоря, незначительно. Предположим, что' начальное состояние металла характеризуется значениями параметров состояния о〃 £?, 〃?, достигнутыми в результате некоторой предварительной деформации. Тогда можно построить на плоскости а, £〃 графики в окрестности точки %(£?, 〃？，％、，соответствующие испытаниям на растяжение с постоянной скоростью 〃〃= =const (рис. 16.6). Эти кривые образуют относительно узкий пучок почти параллельных линий (диаграмм «напряжение —— деформация»), угловой коэффициент которых ^ = д(у/д&н определяет скорость упрочнения данного металла.
Если при последующем растяжении образца изменение остаточной деформации £“ невелико, то допустимо считать, что 屮=const в окрестности точки 匕 и что, следовательно, кривые
См работу: N a d a i A.. The creep of metals under various stress conditions, «Applied Mechanics» (T. von Karman Anniversary Volume), p. 237, 1941, где сообщается также об экспериментах Гейзера на стали К-20 при 1100°F (1939 г.), подтверждающих уравнение (16.42).
круто нисходящей прямой PQ специальных вида нагружения жения от скорости типа (2)круто нисходящей прямой PQ специальных вида нагружения жения от скорости типа (2)Рис. 16.7. Случай, когда -ф не зависит от £〃 и 〃〃.Рис. 16.7. Случай, когда -ф не зависит от £〃 и 〃〃.Полагая (2) в форме находимПолагая (2) в форме находимг|)= const и пользуясь логарифмическим законом (16.26), который соответствует значению @ = gq/u〃,г|)= const и пользуясь логарифмическим законом (16.26), который соответствует значению @ = gq/u〃,(16.43)(16.43)
круто нисходящей прямой PQ специальных вида нагружения жения от скорости типа (2)
круто нисходящей прямой PQ специальных вида нагружения жения от скорости типа (2)
Рис. 16.7. Случай, когда -ф не зависит от £〃 и 〃〃.
Рис. 16.7. Случай, когда -ф не зависит от £〃 и 〃〃.
Полагая (2) в форме находим
Полагая (2) в форме находим
г|)= const и пользуясь логарифмическим законом (16.26), который соответствует значению @ = gq/u〃,
г|)= const и пользуясь логарифмическим законом (16.26), который соответствует значению @ = gq/u〃,
(16.43)
(16.43)
〃〃 =const представляют собой семейство параллельных прямых линий, наклон которых определяется угловым коэффициентом W = const (рис. 16.7). Последействие или ползучесть при неизменном напряжении а^ = const изображается горизонтальной линией PR а испытание на релаксацию £‘ + £〃 =工+ &〃 = const —
(рис. 16.7). Рассмотрим эти два на основе зависимостей напря- и (3) (§ 16.2, В).
ииd〃〃 — (Е + 屮)〃〃2~~dtог0d〃〃 — (Е + 屮)〃〃2~~dtог0
и
и
d〃〃 — (Е + 屮)〃〃2
~~dtог0
d〃〃 — (Е + 屮)〃〃2
~~dtог0
В случаях длительной ползучести при (у = const и релаксации напряжений это выражение принимает соответственно вид
(16.44)
(16.45)
Дифференциальные уравнения (16.44) и (16.45) имеют одинаковую форму и различаются лишь значениями постоянного множителя в правой части. Поскольку начальные условия также одинаковы (моменту t=Q отвечают значения %,彳，〃?)，инте・
гралы этих уравнений оказываются аналогичными по структуре (но отличаются по величине постоянных /с и /「) и имеют вид
£〃-% =旦 +±'£〃-% =旦 +±'GoGo(E + 2)心(E + 2)心для случая ползучести идля случая ползучести и/_彳=『-In (1 + -V tr/_彳=『-In (1 + -V tr(E + 2) 〃0(E + 2) 〃0(16.46)(16.47)(16.46)(16.47)6・ _ о =6・ _ о =号由(”)号由(”)
£〃-% =旦 +±'
£〃-% =旦 +±'
Go
Go
(E + 2)心
(E + 2)心
для случая ползучести и
для случая ползучести и
/_彳=『-In (1 + -V tr
/_彳=『-In (1 + -V tr
(E + 2) 〃0
(E + 2) 〃0
(16.46)
(16.47)
(16.46)
(16.47)
6・ _ о =
6・ _ о =
号由(”)
号由(”)
для случая испытания на релаксацию.
Интересно, что при постоянной скорости изменения упрочнения г|)(исключая случай ф = 0)деформация ползучести (£〃 — £?) при неизменном напряжении o = cr〃 = const характеризуется той
Рис. 16.8. Кривая ползучести.Рис. 16.8. Кривая ползучести.
Рис. 16.8. Кривая ползучести.
Рис. 16.8. Кривая ползучести.
же временной зависимостью, что и падение напряжения (о。一о) при релаксации (рис. 16.8, рис. 16.9); дифференциальные уравнения (16.44) и (16.45) имеют при этом такую же форму, как уравнения прямолинейного движения материальной точки при наличии сопротивления, пропорционального квадрату скорости 】).
Допустимость представления кривых ползучести соотношениями (16.46) тщательно проверял Дэвис в нескольких сериях испытаний медных образцов на растяжение. В одной серии
Следует, однако, иметь в виду, что уравнения (16.46) и (16.47) теряют смысл, если скорость остаточной деформации приближается к значению 〃“=0. Если рассматривать также и этот случай, то логарифмический закон следует использовать в альтернативной форме (16.27) и при интегрировании использовать две ветви функции для участков 0<〃'У〃2 и и2<ии соответственно.
испытаний наблюдалось медленное последействие (ползучесть) медных стержней при комнатной температуре. В этих опытах производилось плавное быстрое нагружение посредством мгновенного приложения через равные интервалы времени малых равных приращений нагрузки к концу горизонтального рычага. Запись возникавших деформаций ползучести £〃 производилась во время выдержек между ступенями нагрузки, составлявших 10 мин и 24 час!). На рис. 16.10 представлены программы
Рис. 16.10. Зависимости «напряжение ~ деформация» при различных видах -испытаний на растяжение для меди.Z — непрерывное нагружение; 2 — ступенчатое нагружение с 24-чассвыми выдержками;5 —ступенчатое нагружение с 10-минутиыми выдержками (1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см1).Рис. 16.10. Зависимости «напряжение ~ деформация» при различных видах -испытаний на растяжение для меди.Z — непрерывное нагружение; 2 — ступенчатое нагружение с 24-чассвыми выдержками;5 —ступенчатое нагружение с 10-минутиыми выдержками (1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см1).75/05 6&а75/05 6&а
Рис. 16.10. Зависимости «напряжение ~ деформация» при различных видах -испытаний на растяжение для меди.
Z — непрерывное нагружение; 2 — ступенчатое нагружение с 24-чассвыми выдержками;
5 —ступенчатое нагружение с 10-минутиыми выдержками (1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см1).
Рис. 16.10. Зависимости «напряжение ~ деформация» при различных видах -испытаний на растяжение для меди.
Z — непрерывное нагружение; 2 — ступенчатое нагружение с 24-чассвыми выдержками;
5 —ступенчатое нагружение с 10-минутиыми выдержками (1 фунт/дюйм2 = 0,0703 кг/см1).
75/05 6&а
75/05 6&а
нагружения для трех медных образцов, которые предварительно отжигались при 650℃ в течение получаса (кривая / соответствует непрерывному нагружению, кривая 2 — нагружению с выдержками длительностью в 24 час, кривая 3 ——нагружению с выдержками в 10 儿〃儿).Графики деформации последействия (ползучести)『，построенные в зависимости от логарифма времени % обнаружили хорошо выраженные прямолинейные участки (не показанные на рисунке), что подтверждает логарифмическую временную зависимость (16.46) и, следовательно, закон ползучести o = oohi〃〃/〃o, (p = 0o/d〃"=o()/〃〃.
Во второй серии испытаний слабо отожженные медные образцы вначале подвергались наклепу посредством растяжения
См. также: Davis Е. A., N a d a i A., The creep of metals, II, J. A ppi. Meeh., March, (1936).
напряжением ①】)до достижения пластической деформации £：・ Затем кривые ползучести £〃 =，(/) при о*/const для длительностей от 3 до 5 час вычерчивались в ” полулогарифмических координатах (рис. 16.11). В этом случае также отчетливо обнаруживались линейные участки. Первичные кривые последействия (ползучести) £〃=，(/) показаны на рис. 16.12.
Рис. 16.11. Ползучесть (последействие) меди при комнатной температуре и постоянном напряжении о( = const (опыты Дэвиса).
Медные образцы предварительно растягивались до достижения пластической деформации £/ при напряжении О/, после чего имела место ползучесть при напряжении О/== const.
Результаты третьей большой серии опытов на длительную ползучесть и релаксацию, проведенных с образцами из бескислородной меди, описаны в § 16.8.
Рассмотрим теперь построение кривой длительной ползучести £〃 =，(/) при постоянном напряжении u=s = const и функции, выражающей изменение напряжения о с течением времени / при релаксации для случая, когда скорость ползучести определяется законом гиперболического синуса (16.28) 〃 имеет место упрочнение металла с постоянной скоростью
1) Численные значения О/ и s： приводятся в следующей таблице.
Таблица
№ опыта
1
2
3
4
5
6
Деформация £；, %
1,56
3,90
4,85
6,15
8,05
10,6
Напряжение 0厶 фунт/дюйм2
10 195
14 460
16 085
17 600
19 640
22 010
41 А. Надаи
W = Oo/0E〃 = const. Из сказанного следует, что уравнение поверхности напряжений должно иметь структуру
0 =0w + 0中，(16.48)
где составляющая а^, соответствующая деформационному упрочнению, принимается в виде
% =耻〃，(16.49)
Рис. 16.12. Ползучесть (последействие) меди при комнатной температуре и постоянном напряжении 。( ^ const (опыты Дэвиса).
а для составляющей 。屮 зависящей от скорости деформации
〃〃，берется выражение
0r 中= <у1к1[^Г + /1 +(^Г)1'(16・5°)
эквивалентное зависимости
= 〃i sh ^.(16.50а)
В приведенных соотношениях 屮，。卜 щ — постоянные материала, которые считаются известными. В последующем будем считать, что напряжение прикладывается мгновенно.
растяжения металл будет % =耻？=/ при нулевойрастяжения металл будет % =耻？=/ при нулевойРис. 16.13. Траектория ползучести PtQg для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения -ф = const.Рис. 16.13. Траектория ползучести PtQg для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения -ф = const.Рис. 16.14. Траектория релаксации P/Q^ для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения р = const.Рис. 16.14. Траектория релаксации P/Q^ для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения р = const.
растяжения металл будет % =耻？=/ при нулевой
растяжения металл будет % =耻？=/ при нулевой
Рис. 16.13. Траектория ползучести PtQg для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения -ф = const.
Рис. 16.13. Траектория ползучести PtQg для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения -ф = const.
Рис. 16.14. Траектория релаксации P/Q^ для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения р = const.
Рис. 16.14. Траектория релаксации P/Q^ для материала, характеризуемого постоянной скоростью упрочнения р = const.
Как и ранее, начальные значения параметров состояния в момент /=0 будем отмечать индексом i. Если металл предварительно был подвергнут наклепу, в результате которого он получил деформацию £?, то начальные значения при нагружении равны о — %, Е〃 = е? и
〃? = / sh 2%：,
поскольку из-за предварительного иметь конечный предел текучести
скорости деформации 〃“ = 0 (рис. 16.13). Если металл вначале находился в своем естественном (полностью отожженном) состоянии, следует положить ^ = 0.
Два упомянутых выше пути деформирования, начинающиеся из точки Р.(а., £?, 〃?) на поверхности напряжений (16.48), характеризуются их линиями годографа на плоскости е〃，〃”，начинающимися из точки (е?, 〃?)• Например, для случая длительной ползучести при постоянном напряжении о = о〃 = const
о = % + о? = S = const,о = % + о? = S = const,(16.51)(16.51)получим
о = % + о? = S = const,
о = % + о? = S = const,
(16.51)
(16.51)
В случае релаксации напряжений деформация сохраняет постоянное значение е' + е〃=const или % — о = Е(е〃 一 £?). Подставив в последнее соотношение 0 = % +0屮 и используя зависимости (16.49) и (16.50), получаем
(f + ^e^ + Q! In [号 + 丿 1 + (-—-J2] = а. + Е^ = const. (16.52)
Дифференциальные уравнения (16.51) и (16.52) аналогичны
по структуре и при указанных выше начальных условиях их можно легко проинтегрировать, вводя вместо 〃” новую безраз
мерную зависимую переменную 叫 выражающую вязкую составляющую о屮 напряжения сг, действующего в момент времени 力
侬W in侬W in(16.53)(16.53)Соотношение (16.53) можно также представить в следующем виде:
侬W in
侬W in
(16.53)
(16.53)
〃“=万~ = 〃i sh w.(16.53a)
Смысл введенной замены иллюстрируется на рис. 16.13, 16.14, на которых жирными прямыми линиями PiPPoo и RQQoo показаны проекции на плоскость е〃，о траекторий в пространстве е〃，〃“，ст, отвечающих испытанию на ползучесть (о = const) и испытанию на релаксацию (е = const) соответственно. Как следует из построений на рис. 16.13 и 16.14, вязкая составляющая пф напряжения о, определяемая отрезком под изображающими точками 尸 и Q, убывает по линейному закону в зависимости от деформации е〃. Поэтому новая безразмерная переменная w = =o(p/(Ji будет иметь значения
а. — ре〃w =
в случае ползучести и
_ a— W
или
^ = -^- [а. + 廃？ 一 (Е + 屮)е[
в случае релаксации. В обоих случаях w имеет в момент / = 0 одно и то же начальное значение
例=例=°1°1°1°1"7% — 0rL 久
例=
例=
°1
°1
°1
°1
Уравнения (16.51) и (16.52) теперь можно представить в виде
需=一力csh侬， 一肋sh侬,需=一力csh侬， 一肋sh侬,(16.55)(16.55)
需=一力csh侬， 一肋sh侬,
需=一力csh侬， 一肋sh侬,
(16.55)
(16.55)
(Е + 屮)〃i04(Е + 屮)〃i04где индексы сиг относятся к случаям ползучести и релаксации соответственно, причем постоянные 瓦，kr имеют значения
(Е + 屮)〃i
04
(Е + 屮)〃i
04
(16.56)
Интегрируя уравнение (16.55), находим
©th —
(16.57)(16.57)財Л““=_ f - In——
(16.57)
(16.57)
с г J sh ^w.
wi小亍
Эти интегралы можно обратить при помощи приема, описанного в § 16.2, В, используя зависимости (16.406) и обозначая через /с, tr постоянные величины, имеющие размерность времени,
归/c,田力=—In th = —In th —% “ , j(16.58)
瓦(厶 + 0» 肋僧 + /) = — In th -у .
Возвращаясь к основным переменным е〃 и о, получаем окончательно для случая ползучести e"=f(f) при постоянном напряжении o = s = const следующее соотношение:
f?端然件f?端然件(16.59)(16.59)
f?端然件
f?端然件
(16.59)
(16.59)
Аналогично для случая релаксации, когда напряжение сг и деформация е〃 изменяются с течением времени / при неизменной полной деформации е = е^ = const, будем иметь зависимость
% — о = Е (е〃 一 е?)=% — о = Е (е〃 一 е?)=Е + ^Е + ^th【3(〃 + /)/2]th他"/2)th【3(〃 + /)/2]th他"/2)(16.60)(16.60)
% — о = Е (е〃 一 е?)=
% — о = Е (е〃 一 е?)=
Е + ^
Е + ^
th【3(〃 + /)/2]th他"/2)
th【3(〃 + /)/2]th他"/2)
(16.60)
(16.60)
Рассматривая рис. 16.13, замечаем, что в случае металла, упрочняющегося с постоянной скоростью г|)= const, при неограниченном возрастании времени / деформация ползучести стремится к конечному предельному значению (соответствующему Точке Роо):
彌一眾=^^=2p8 nРЙ ‘=8， (16.61)
Аналогично из рис. 16.14 следует, что при релаксации напряжение о убывает от начального значения а^ до некоторого конечного значения Gg (точка Qg),
屮力 + E% ‘ =8，e + 他 ,
причем erоо изображается на рис. 16.14 ординатой точки Q^. Из соотношений (16.61), (16.62) следует, что величины накопленной предельной деформации при ползучести и полного падения напряжения при релаксации убывают с возрастанием скорости упрочнения г|).
Обозначим через s н s^ разности напряжений
s = o —%, st = az — п^ (16.63) и для краткости введем обозначения постоянных величин
咨7，e=1+М"=(1+为辱=亡。(Е6зa)
Тогда найденный закон релаксации можно представить в форме
. th^ = e-(“&)th 鶴， (16.64)
вполне аналогичной уравнению релаксации (16.42), выведенному в § 16.2, В для случаев закона гиперболического синуса без учета упрочнения, причем переменным о, s, / в уравнении (16.42) соответствуют величины cs, cs^, ct в уравнении (16.64).
Уравнение (16.64) отчетливо выявляет влияние конечной скорости изменения упрочнения 屮=const на процесс релаксации, причем обнаруживается интересный факт: релаксационные кривые в координатах «напряжение s — время /》，построенные для серии значений параметра с, образуют семейство геометрически подобных кривых 9. Действительно, зависимость (16.64), выраженная в координатах %, у, дает единое основное уравнение кривой
% = У =訪，thy = e-»th%, (16.65) построение которой заменяет построение всего семейства подобных ей релаксационных кривых s = s(f).
Этим завершается анализ процессов ползучести и релаксации при законе ползучести 〃" = 〃i sh (仃屮向)и скорости упрочнения г|)= const.
1) Это согласуется с аналогичным выводом, полученным при анализе логарифмического закона скорости (см. (16.46), (16.47) и рис. 16.8, 16.9).
0
二冃/2% = 2б'
d/G宀,5
"20
0
Рис. 16.15. Релаксация напряжений при ползучести, следующей закону гиперболического синуса в случае отсутствия упрочнения (6 = 0, с= 1) для начальных напряжений a/^aj = 0,5; 1; 1,5; 2,6.
Рис. 16.16. Релаксация напряжений.
Влияние величины постоянного упрочнения ф = const на протекание процесса релаксации напряжений в случае закона гиперболического синуса 〃〃=»〃i sh (。①/。】).Кривые построены в виде зависимости безразмерного напряжения (о — Од)/2О] от безразмерного времени tlte при значениях 屮/£ = 0; 0,1; 0,3; 0,5 н при одном и том же начальном напря жении % соответствующем значению (。厂 ％)/20[ *= 2,6, где 0«==艇/ - начальное напря-
жение текучести,
На рис. 16.15 иллюстрируется характер убывания напряжения с течением времени для неупрочняющегося материала (г|)= 0, с=1) при четырех начальных значениях напряжения в момент /=0: а^/2п1 = 1/2; 1; 3/2; 2,6. Нижняя кривая практически совпадает с кривой релаксации, соответствующей вязкоупругому материалу с постоянной вязкостью (уравнение.Максвелла (16.37)), тогда как верхняя кривая дает на начальном участке значительно большую скорость убывания напряжения.
Влияние упрочнения на релаксацию иллюстрируется графиком рис. 16.16, построенным для значений “/£ = 0,1; 0,3; 0,5, последнее из которых соответствует весьма значительному упрочнению. Чем больше отношение 屮/E, тем быстрее достигается конечное минимальное асимптотическое значение 。8 и тем меньше будет ожидаемое падение напряжения.
Д. Испытания при постоянной скорости деформации. Пусть растянутый образец деформируется посредством перемещения его головок с постоянной относительной скоростью таким обра， зом, что полное удлинение на единицу длины е возрастает равномерно с течением времени t и скорость деформации постоянна: w=de/d/=const При этом
£ = &' + е〃 = + е〃 = 〃/. (16.66)
Приравнивая скорость возрастания напряжения daldt=E{u—uf,) соответствующему выражению из уравнения (16.13), получаем
<р 翁 + (£ + 屮)〃〃 =£〃 == const. (16.67)
Отсюда можно получить выражение скорости пластической деформации u^^d^/dt, пластической составляющей деформации е〃 = j 〃〃 dt и напряжения от = Е (е — £〃)= £ (〃/ — j 〃〃 df) в виде функций времени f (или деформации £=〃/); 6 результате получим кривые зависимости напряжения о от полной деформации е, соответствующие случаю растяжения металлического стержня с постоянной скоростью деформации 〃=const〔)・
Читатель может заметить, что уравнение (16.67) в случае исчезающей скорости 〃《=0 дает альтернативную форму дифференциального уравнения релаксации напряжения; можно также заметить, что угловой коэффициент Zo/ds, определяющий наклон кривой растяжения с постоянной скоростью (вьь ражающей зависимость истинного напряжения о от полной деформации е), нельзя рассматривать как удовлетворительную меру степени упрочнения тягучего металла, поскольку производная do/de не исчезает (в отличие от W = do/d8〃) при произвольном вязком неупрочняющемся материале, растяги* ваемом с постоянной скоростью 〃=d£/d/ = const. •
Поскольку испытания с постоянной скоростью легко осуществимы для широкого диапазона скоростей, их можно использовать для проверки справедливости предположений, которые могут быть положены в основу теории деформирования тягучих металлов при повышенных температурах. Идеальный способ такой проверки состоял бы в сопоставлении семейства кривых «напряжение — деформация», полученных в условиях, когда постоянной является не полная скорость деформации 〃=
Рис. 16.17. Закон ползучести 0ng (〃〃)，представленный в полулогарифмических координатах.
==de/d/ = const, а лишь .скорость остаточной деформации 〃"= = dE〃/df = const. При малых деформациях 8 или е" эти испытания практически невыполнимы, однако можно получить удовлетворительную картину комбинированных влияний упрочнения и скорости растяжения посредством построения диаграмм наблюдаемых значений напряжения течения о в зависимости от пластических деформаций е〃. Если при этом одновременно вычислить действительные значения скоростей остаточных деформаций 〃〃 вдоль каждой, кривой u = const, то можно получить действительную зависимость o = g(〃")，соответствующую постоянным скоростям а" = ©〃 при заданных значениях 8Z, = const.
Экспериментальные данные, полученные таким путем в опытах на растяжение, проведенных на стабильных металлах при нормальных и умеренно повышенных температурах, неизменно приводят к выводу, что на кривых(y=g(〃")，построенных в полулогарифмических координатах при произвольно выбранных значениях е〃 = const, имеется три более или менее отчетливо выраженных участка.
1) Для очень малых скоростей 〃” эти кривые при убывании z/^ асимптотически приближаются к прямой о = 0.
В промежуточном диапазоне, охватывающем несколько порядков логарифмической шкалы (отрезок ВС на рис. 16.17), они являются отрезками прямых линий.
При очень больших скоростях растяжения 〃“, приближающихся к скоростям динамических испытаний на удар, кривые становятся слегка вогнутыми по направлению к горизонтальной оси (участок CQ).
Следует отметить, что точки, соответствующие скоростям, имеющим место в стандартных длительных испытаниях на ползучесть при постоянном напряжении (у = const, ложатся на эту кривую, причем обычно попадают на участок слева от точки перегиба В 】).
Простейшая функция o=g(〃")， имеющая тот же характер, что кривая АВС на рис. 16.17 и согласующаяся с наблюдениями при малых и промежуточных значениях скорости 〃”，имеет вид
〃〃 = 〃ish，・ (16.68)
Эта функция также предлагалась, как было отмечено ранее, для экстраполирования кривых длительной ползучести £”=/(/) до времен, соответствующих срокам службы t8. Пусть прямолинейный участок ВС (рис. 16.17) зависимости d=g(4〃)при интересующих нас малых заданных деформациях е〃 построен на основе нескольких испытаний с постоянной скоростью и на основе испытаний на ползучесть. При этом можно найти две константы материала 〃i = 2〃o,(Т1 = сГо, определяющие закон гиперболического синуса (16.68) и его эквивалентное выражение в виде логарифмической функции (16.26) для больших значений 〃”， о. Для этого следует найти на логарифмической шкале абсциссу uf,=u0 точки О, в которой продолжение линии ВС пересекает горизонтальную ось, а также определить угол наклона ВС, измерив длину EF ординаты, проведенной через точку, отстоящую на один порядок от точки О на логарифмической шкале (EF=a=Oo In и,//^о=2,303 о01g 10 = =2,303 do).
Эти простые соображения были использованы для построения в большом масштабе диаграммы гиперболического синуса, упрощающей инженерные
Большая серия испытаний с постоянной скоростью была выполнена Дэвисом и Менджойном в исследовательских лабораториях компании «Вестингауз». Испытания охватывали большой диапазон скоростей и производились путем растяжения образцов либо на 10-тонной машине Амслера, либо на высокоскоростной машине, использующей кинетическую энергию маховика и предназначенной для испытаний с большими скоростями (эта машина показана на рис. 17, т. 1, стр. 33). Поршень машины Амслера удерживался в фиксированном положении посредством электрического реле, управлявшего масляным насосом, и использовался только для измерения осевой нагрузки при помощи маятникового манометра Амслера; при этом другой захват приводился в движение с постоянной регулируемой скоростью при помощи винтового привода.
расчеты высокотемпературного оборудования 9- На этой диаграмме строилось в полулогарифмических координатах аффинное семейство густо расположенных кривых и =〃[Sho/(Ti，соответствующих фиксированному значению параметра 〃]=〃i = 0,2 1/час и значениям напряжения Oi = 0,l; 0,2;
(и т. д. до ai=200) и скоростей деформации в интервале 0,001 <w,,<1000 \/час. Точка 〃" = 〃[, а = 0 здесь выбрана в качестве «реперной»). Эта диаграмма фактически представляет полное двухпараметрическое семейство кривых
〃 =sh —,
поскольку переход от значений 〃： к любому другому значению 〃i требует лишь горизонтального смещения логарифмической шкалы на величину lg(〃i/〃；)・
Для определения двух неизвестных констант материала 〃i, 5, соответствующих серии проведенных испытаний, следует нанести полученные точки (а〃，о) на прозрачную бумагу, наложенную на диаграмму, и передвинуть эту бумагу горизонтально до достижения наилучшего совпадения экспериментальных точек с одной из кривых диаграммы. При этом искомое значение 斫 определяется точкой, лежащей на подвижной логарифмической шкале как раз над «репером» (точка 〃】на диаграмме), а константа S соответствует той кривой диаграммы, которая наилучшим образом совпала с экспериментальными точками (〃〃，о).
На рис. 16.18—16.20 воспроизведены результаты серии испытаний на растяжение с постоянной скоростью. Испытания проводились на отожженной стали с 0,3 5% углерода при температуре 850° F (454° С) ). При этих испытаниях скорости растяжения изменялись в интервале от 〃=d£/d/=0,00166 до 〃=39 дюйм/дюйм/час (т. е. в отношении! : 23 500) ； если добавить испытания на длительную ползучесть, упомянутые в примечании, то диапазон изменения скоростей будет соответствовать отношению 1 : 10. Кривые «напряжения——деформации» для нагрузки на единицу площади в зависимости от деформации е
М с V е 11 у Р. G., N a d a i A., Hyperbolic sine chart for estimating working stresses of alloys at elevated temperatures, 46th Annual Meeting of Amer. Soc. for Testing Mater., June 1943; M с V e 11 у, P. G., Interpretation of creep tests, Ibidem; M с V e 11 у P. G., Creep of metals at elevated temperatures, the hyperbolic sine relation between stress and creep rate, ASME Meeting, Davenport, Iowa, April 1943.
Рис. 16.18. Диаграммы «напряжение — деформация» для стали К-20 (0,35 % С) при постоянной скорости деформации и = d&ldt = const (на рис. 16.18—16.20 卩三〃).
PM& — условное напряжение; / — вероятное геометрическое место пределов прочности.
Рис, 16.19. Кривые «напряжение — деформация» для стали К-20 (0,35% С);температура 850° F; а — истинное напряжение.
10"8 70々 70-6 70-5 /У 70-3川-2 心7 ； ю юо10"8 70々 70-6 70-5 /У 70-3川-2 心7 ； ю юо5050*40*40303020207070
10"8 70々 70-6 70-5 /У 70-3川-2 心7 ； ю юо
10"8 70々 70-6 70-5 /У 70-3川-2 心7 ； ю юо
50
50
*40
*40
30
30
20
20
70
70
показаны на рис. 16.18; зависимость истинного напряжения течения о от полной деформации 8 для пяти указанных на графике значений скорости и, поддерживавшейся в каждом опыте постоянной, приведена на рис. 16.19.
На этих кривых o=f(£) обнаруживается явно выраженный эффект упрочнения и влияния скорости деформации; напряжения течения о при наибольшей скорости оказались вдвое больше, чем в случае испытания с наименьшей скоростью. После введения необходимых поправок были построены графики зависимости напряжения течения о от логарифма пластической скорости деформации uff=d&f，ldt при постоянных значениях деформации 6Л，=const (рис. 16.20.)
60
产 J dO7dt, дюйм/дюйм /час
Рис. 16.20. Кривые «напряжение — скорость деформации» для стали К-20 (0,35% С) при 850° F; wz, = dzf，ldt ~ скорость пластической деформации (дюйм] дюйм] час).
/ — фактическая длительность испытания при е^« 0,005; 2 — длительность испытания длядостижения деформации е= 11%.
Существенно отметить, что четыре точки, соответствующие результатам Бателя испытаний на длительную ползучесть (при скоростях порядка 〃〃=10-б 1/“ас), хорошо соответствуют нижней кривой, отвечающей деформации £〃 = 0,005. Хотя кратчайший опыт продолжался менее чем одну минуту, а наиболее длительное испытание с постоянной скоростью продолжалось пять дней, точки, соответствующие бателевским испытаниям на ползучесть при 〃〃=10一6, совпали с данными для испытаний длительностью 4000 час (полгода). Для этой специально изготовленной стали нельзя было обнаружить ни малейшего изменения твердости и никаких признаков старения после непрерывной выдержки при температуре 850° в течение полугода. Наличие прямолинейных участков на диаграмме o=g(〃〃) при ez, = const (рис. 16.20) определенно говорит в пользу справедливости зависимости
or = Оо In 2 в широком диапазоне значений 〃” для этой стали при температуре 850° F. Заслуживает также упоминания тот факт, что в этих испытаниях с постоянной скоростью разрушающее напряжение о, max возрастало приблизительно пропорционально деформации &做，при которой достигался максимум нагрузки (рис. 16.18).
Неопределенность, связанная с экстраполированием стандартных кривых длительной ползучести £〃=，(/) до времен, равных сроку службы /5, можно таким образом уменьшить в случае нестареющих стабильных металлов посредством построения прямолинейного участка зависимости g(〃‘') для значений £〃=const, приближающихся к величине допустимой деформации ползучести £，. Такое построение, производимое на диаграммах, подобных рис. 16.20, можно выполнить на основе нескольких испытаний с постоянной скоростью или пользуясь диаграммой гиперболического синуса.
Е. Полуограниченная ползучесть. Хотя детали машин, испытывающие воздействие высоких температур, проектируются при условии, что деформации ползучести в них остаются достаточно малыми, тем не менее, по-видимому, целесообразно распространить приведенный анализ на случай полуограниченных деформаций ползучести, дополнив соответственно те замечания, которые по этому поводу были приведены в § 16.2, А на стр. 624. Для наших целей в данном случае допустимо полностью пренебречь упругой обратимой частью деформации и принять, что е и u = d&/dt выражают обычные деформации и скорости деформации неупругой природы и что нагрузка на единицу первоначальной площади ① и истинное напряжение о на единицу действительной площади растянутого стержня из несжимаемого материала связаны зависимостью
立=言/(16.69)
Предположим, что существует регулярная поверхность напряжений
a = F(e, 〃)；(16.70)
обладающая тем свойством, что плоские сечения е = const, и — =const характеризуются ординатами о, монотонно возрастающими при увеличении значений 〃 и е, причем вдоль этих сечений угловые коэффициенты 0о/0〃, д(у/де соответственно монотонно убывают. Этой поверхности напряжений о = Р(е, и) соответствуют номинальные напряжения
_戶® и)
Если от плоскости е, и отложить ординаты az (меньшие ординат о), то мы получим вторую поверхность номинальных напря-
жений, также характеризующую материал. Чтобы избежать недоразумений, укажем, что обе поверхности о и 5 круто повышаются от осей е и 〃 внутрь положительного квадранта, причем на этих осях они имеют значения о = 0, ое = 0.
Кривые длительной ползучести, полученные при постоянном значении номинального напряжения о?， очевидно, дают семейство контурных линий az = const на поверхности напряжений 5 (16.71). Соответствующие линии годографа на плоскости е, и определяются путем задания фиксированных значений ① в
Рис. 16.21. Диаграмма «напряжение~деформация».
уравнении (16.71), которое совместно с условием u = d&/dt представляет собой дифференциальное уравнение кривых длительной ползучести e = f(/). При внезапном приложении нагрузки ползучесть начинается с большой скоростью и = и^ однако начальная деформация 电 будет весьма малой и мы по-прежнему можем пренебрегать ею.
С другой стороны, при испытаниях с постоянной скоростью следует положить в уравнении (16.71), что скорость деформации имеет постоянное фиксированное значение 〃 = 〃r=const; при этом в вертикальных сечениях поверхности номинальных напряжений мы получим соответствующие диаграммы «напряжение——деформация». Пусть для заданной скорости иг напряжение ① достигает своего максимального значения ①max (предел прочности) при некотором значении деформации е==ег (рис. 16.21).
Можно сделать некоторые выводы относительно величины минимальной скорости ползучести 〃mm и деформации е = ес, при которой последняя достигается в испытаниях на длительную ползучесть при постоянной нагрузке 5 = const. Если обе поверхности напряжений (16.70) и (16.71) существуют и если мы возьмем номинальное напряжение а/ в испытании на ползучесть равным пределу прочности а/щах, определенному в
испытании с постоянной скоростью растяжения 〃 = 〃〃 то при этом будем иметь
〃min = 〃г, 8С = 8Г.(16.72)
Таким образом, минимальная скорость ползучести 〃min Равняется скорости иг, необходимой для достижения максимума на-
Рис. 16.22. Годограф.Рис. 16.22. Годограф.
Рис. 16.22. Годограф.
Рис. 16.22. Годограф.
Рис. 16.23. Кривая ползучести.Рис. 16.23. Кривая ползучести.
Рис. 16.23. Кривая ползучести.
Рис. 16.23. Кривая ползучести.
пряжения oQmax，совпадающего по величине с номинальным напряжением, соответствующим испытанию на ползучесть при постоянной нагрузке s = const. Кроме того, деформация ес, соответствующая точке перегиба / в этом испытании, равняется деформации 却，отвечающей пределу прочности (рис. 16.21 —16.23), Причина этого проста и заключается в том, что выражение
do = -^- d& 4- du (16.73)
является полным дифференциалом, а две программы деформирования а/== const, 〃 =
= 〃「= const лежат в двух перпендикулярных плоскостях, определяющих две плоские кривые, расположенные на поверхности номинальных напряжений ① (уравнение (16.71)), и являющихся касательными друг к другу в одной и той же точке £ = % = £『， Ur = Umin, Oz = Smax・
Сказанное можно дополнительно иллюстрировать при помощи следующего поучительного примера. Предположим, что
(16.74)(16.74)уравнение поверхности напряжений можно представить в фор- ме произведения двух функций
(16.74)
(16.74)
G=fl (в) ・％(〃)•
В этом случае максимум нагрузки 氏 max при 〃 = % = const будет достигаться, когда
翁=备(供)=为(%)总罂］=0，(16.75)
мое из условиямое из условияпричем деформация должна иметь значение е = ег, определяе
мое из условия
мое из условия
(16.76)(16.76)dh =厶(е)de — 1 + е
(16.76)
(16.76)
Отсюда следует, что все максимумы нагрузки о? max на диаграммах 《напряжение — деформация», полученных при различных
Р и с. 16.24. Диаграммы «напряжение —деформация».Р и с. 16.24. Диаграммы «напряжение —деформация».Рис. 16.25. Кривые палзу- чести, 8 = f (/).Рис. 16.25. Кривые палзу- чести, 8 = f (/).
Р и с. 16.24. Диаграммы «напряжение —деформация».
Р и с. 16.24. Диаграммы «напряжение —деформация».
Рис. 16.25. Кривые палзу- чести, 8 = f (/).
Рис. 16.25. Кривые палзу- чести, 8 = f (/).
постоянных скоростях растяжения 〃 = 〃「, имеют место при одном 〃 том же значении деформации £ = £「； поэтому все кривые ползучести е = ,«) будут иметь точки перегиба / при этом значении деформации 8^£c = 8r=const, как показано на рис. 16.24 и 16.25.
Можно отметить, что указанные условия, возможно, имели место в серии длительных испытаний на ползучесть, выполненных Маккеоном на свинце при комнатной температуре и имевших длительность в три года 9 ； результаты этих испытаний, воспроизведенные на рис. 16.26, интересны также тем, что деформации ползучести имели весьма большие значения, доходившие до 15%. Горизонтальная пунктирная прямая на
McKeown J., /. /〃s/. Metals, 60, 201 (1937).
42 Л. Падай
рис. 16.26, соответствующая точкам перегиба / при постоянной деформации £「= %, была нанесена автором.
В качестве примера уравнения поверхности напряжений (16.73), имеющего вид произведения, можно привести функцию
(16.77)
где о。, ео, 〃о, n, m ——константы материала. Деформация ег, при которой имеют место все максимумы нагрузки агтах в испыта-
厶дни厶дниРис. 16.26. Кривые длительной ползучести свинца при растяжении при комнатной температуре (по Маккеону).Рис. 16.26. Кривые длительной ползучести свинца при растяжении при комнатной температуре (по Маккеону).
厶дни
厶дни
Рис. 16.26. Кривые длительной ползучести свинца при растяжении при комнатной температуре (по Маккеону).
Рис. 16.26. Кривые длительной ползучести свинца при растяжении при комнатной температуре (по Маккеону).
ниях с постоянной скоростью, вычисленные на основании уравнения (16.76), оказывается равной
(16.78)(16.78)т
(16.78)
(16.78)
厂 1 — m
Эта деформация совпадает также с деформацией ес, при которой достигаются минимумы скоростей ползучести 〃mm в опытах с постоянной нагрузкой.
Ж. Сравнение степенной функции и закона гипер6олического синуса. Как уже указывалось, в ранних испытаниях на ползучесть исследователи предпочитали пользоваться степенной зависимостью минимальной скорости ползучести =е" от напряжения течения
(16.79)
где т>1,辽2, а2 — постоянные. Поэтому может оказаться полезным провести сравнение этой зависимости с функцией
ц^щ sh-^-.(16.80)
Для этого найдем степенную зависимость, наиболее близкую к графику гиперболического синуса в некоторой выбранной точке. Эта задача сводится к построению степенной функции
касающейся кривойкасающейся кривойX = cymt % = sh у.X = cymt % = sh у.(16.79а)(16.80а)(16.79а)(16.80а)
касающейся кривой
касающейся кривой
X = cymt % = sh у.
X = cymt % = sh у.
(16.79а)
(16.80а)
(16.79а)
(16.80а)
Здесь обозначено %=〃〃/〃i, у =(у[б\； таким образом, в выбранной точке «© о。) ％о = *"[, Уо = <У()/01， являющейся общей для двух кривых, они
Рис. 16.27. функциями,Рис. 16.27. функциями,2 08 6 4 22 08 6 4 20,2 0,4 0,6 厶。0,2 0,4 0,6 厶。24 6 8 10 2040 60 100X-u/Uj24 6 8 10 2040 60 100X-u/UjСравнение законаприменяемыми приСравнение законаприменяемыми пригиперболического синуса со степеннымиэкстраполировании данных по ползучести.гиперболического синуса со степеннымиэкстраполировании данных по ползучести.
Рис. 16.27. функциями,
Рис. 16.27. функциями,
2 08 6 4 2
2 08 6 4 2
0,2 0,4 0,6 厶。
0,2 0,4 0,6 厶。
24 6 8 10 2040 60 100
X-u/Uj
24 6 8 10 2040 60 100
X-u/Uj
Сравнение законаприменяемыми при
Сравнение законаприменяемыми при
гиперболического синуса со степеннымиэкстраполировании данных по ползучести.
гиперболического синуса со степеннымиэкстраполировании данных по ползучести.
должны иметь равные производные. Постоянные сит следует взять равными
c—hshyo=(^『sh許,c—hshyo=(^『sh許,(16.81)(16.81)
c—hshyo=(^『sh許,
c—hshyo=(^『sh許,
(16.81)
(16.81)
т^у0 cth ^/o^ —cth-^,(16.82)
"2 = "i ("^~) sh -^~ •(16.81a)
Степенная функция при этом будет иметь вид
(16.83)(16.83)
(16.83)
(16.83)
Соответствующие графики показаны на рис. 16.27 и 16.28. На рис. 16.27 в логарифмических координатах проведена сплошной жирной линией кривая,
соответствующая уравнению (16.80а). При малых значениях х и у она имеет тенденцию приближаться к асимптоте, наклоненной под углом 45°. Поскольку степенные функции в логарифмических координатах представляются прямыми
Рис. 16.28. Сравнение закона гиперболического синуса со степенными функциями и с результатами опытов на свинце Мура и Аллемана.
Значки соответствуют пяти сериям испытаний свинца Мура и Аллемана.
линиями, зависимости (16.79а) показаны на рис. 16.27 в виде касательных к упомянутой кривой, проведенных через следующие точки:
Уо
1
2
3
4
5
6
尤0
1,175
3,627
10,02
27,29
74,20
201,7
Соответствующие значения показателя т, вычисленные по формуле (16.82), равны
1,313;2,075;3,015;4,003;5,000;6,000.
График на рис. 16.27 дает возможность выявить отклонения касательных степенных функций от закона гиперболического синуса. На рис. 16.28 приведены аналогичные графики в полулогарифмических координатах. Степенные функции при этом имеют вид кривых линий, а закон гиперболического синуса
x=sh ^ имеет характер очень медленно поднимающейся кривой, которая резко переходит в наклонную прямую линию.
Мы применили график (рис. 16.28) для представления большой серии испытаний на длительную ползучесть при о=const, проведенных Муром и Аллеманом i) в Иллинойском университете на свинце, причем полученные ими пары значений 〃；， о были пересчитаны в безразмерные величины)
um 0r V
无=. у = — . Хотя некоторые точки, соответствующие малым скоростям, дали разброс, большая часть экспериментальных данных ложится достаточно близко к графику гиперболического синуса, в особенности при более высоких скоростях ползучести).
Влияние переменности скорости изменения упрочнения 屮= =Оо/Ое" и вязкости ф = да/ди^. Рассмотрим поверхность напряжений о = ?(£〃,〃〃)， описывающую, хотя бы качественно,
характер течения большинства тягучих металлов, а именно наличие упрочнения, скорость изменения которого убывает при увеличении деформации『и возрастает при увеличении скорости деформации 〃〃 = ©〃, а также наличие сопротивления деформации, определяемого вязкостью (р = 0о/0〃〃， возрастающей при увеличении е〃， но убывающей при увеличении
Предположим, что растянутый стержень получил малую остаточную деформацию &〃，и при этом изменение площади поперечного сечения пренебрежимо мало. Тогда поверхность напряжений, обладающую перечисленными свойствами, можно взять в виде произведения двух степенных функций
о = М 0<m, и<1. (16.84)
Скорость изменения упрочнения 屮 и скорость изменения предела текучести о в зависимости от скорости деформации (вязкости) ф в данном случае равны
(16.85)(16.85)2 =赤"="с' • и =m可，
(16.85)
(16.85)
do中=元"="窕
Дифференциалы do, de", du" удовлетворяют уравнению
(16.86)(16.86)
(16.86)
(16.86)
из которого для случая o = const, do = 0 можно пути деформированияиз которого для случая o = const, do = 0 можно пути деформированияползучести при постоянном напряжении получить дифференциальное уравнение
из которого для случая o = const, do = 0 можно пути деформирования
из которого для случая o = const, do = 0 можно пути деформирования
(16.87)
а также выражения для линий годографа, имеющих форму ги
пербол
= с (*^^) гг,т = а = const.(16.88)
Отсюда после интегрирования при начальных значениях £?, 〃?, а. в момент / = 0 получаем уравнение кривых ползучести £〃 = &) при постоянном напряжении s
(16.89)
где /с ——постоянная, имеющая размерность времени
(/и + п) %'(/и + п) %'
(/и + п) %'
(/и + п) %'
Из соотношения
ииа.于伉+炉а.于伉+炉(16.90)(16.90)
и
и
а.
于伉+炉
а.
于伉+炉
(16.90)
(16.90)
можно видеть, что малые деформации ползучести пропорциональны напряжению ai в степени 1/(從 + 九)и времени t в степени n/(m + n). Ползучесть никогда не прекращается. Если m = n, то кривые ползучести будут обычными параболами
&〃=2e)9 + /),，产&〃=2e)9 + /),，产(16.91)(16.91)
&〃=2e)9 + /),，产
&〃=2e)9 + /),，产
(16.91)
(16.91)
Поверхность напряжений в виде произведения двух степенных функций (16.84) была использована Дэвисом для практического анализа медленной ползучести при изгибе в условиях высоких температур в сравнительных испытаниях на изгиб и растяжение литых хромо-никелевых стержней !)« Вначале определялся показатель п по результатам испытаний на растяжение с постоянной скоростью при температурах 1500 и 1652° F, после чего призматические стержни были подвергнуты чистому изгибу при каждой из этих двух температур путем нагружения их постоянным изгибающим моментом, действовавшим в течение одной недели ). При испытаниях определялся прогиб w как функция времени t, после чего вычислялись деформации изгиба ползучести на равномерно согнутом рабочем участке стержня, имевшем постоянную кривизну, причем предполагалось, что поперечные сечения остаются плоскими). Согласно теории пластического изгиба, основанной з данном случае на постулате о наличии поверхности напряжения в виде произведения двух степенных функций (16.84), деформации изгиба ползучести £〃 в крайних волокнах поперечных сечений должны давать в логарифмических координатах е〃， / семейство параллельных прямых, отвечающих различным постоянным значениям изгибающего момента М, Этот вывод удовлетворительно подтвердился проведенными испытаниями на изгиб, что говорит о возможности использования функции напряжений (16.74) для практического анализа поведения металлов ).
В случае релаксации напряжений, когда полное удлинение е поддерживается постоянным и равным начальному значению £储 получим, комбинируя соотношение
(16.92)(16.92)о + Е&"=力 + Ее? = Е% = const
(16.92)
(16.92)
с уравнением (16.84), следующую зависимость:
8〃j £"加〃 (% .『尸仞血〃.8〃j £"加〃 (% .『尸仞血〃.(16.93)(16.93)
8〃
j £"加〃 (% .『尸仞血〃.
8〃
j £"加〃 (% .『尸仞血〃.
(16.93)
(16.93)
Вычислив интеграл в первом приближении!), найдем, что остающееся напряжение и релаксирует пропорционально (/+/г) в степени —п/(1 — п)：
(石)•产(16.94)
Уравнение (16.94) теряет силу в случае, когда д=1, т. е. когда материал обладает вязкостью обычного типа (р=се〃т, возрастающей при увеличении £〃. В этом случае, возвращаясь к уравнению (16.84), которое теперь примет вид о=с£〃т •〃”, легко получим, что релаксация напряжения описывается зависимостью
(16.95)(16.95)
(16.95)
(16.95)
Пренебрегая здесь относительно малым вторым слагаемым в квадратных скобках, получаем соотношение
Приведенные результаты дают некоторые оценки влияния переменной вязкости ф и скорости изменения упрочнения 屮 на процессы ползучести и релаксации.
И. Обратная ползучесть. Различные предположения, использованные в предыдущих параграфах, оказываются непригодными для описания обратной ползучести при повышенных температурах в металлах. Она связана с внезапной разгрузкой после того, как деформации ползучести накапливались достаточно продолжительное время. Стержни, нагруженные растягивающим усилием в течение длительного времени, после внезапной разгрузки обнаруживают, помимо мгновенного упругого сокращения, также
1) Обозначая
и разлагая подинтегральное выражение по степеням малой величины г, можно точно вычислить интеграл в виде ряда, однако достаточно принять
постепенное дальнейшее остаточное сокращение, при котором медленно снимается некоторая доля имевшей место деформации ползучести. Такие деформации обратной ползучести отчетливо проявляются в полимерных материалах, однако они были, несомненно, обнаружены также в металлах. Два случая постепенного восстановления части деформаций ползучести наблюдал Макветти 】)после внезапной разгрузки в опытах на растяжение, проведенных на стали 0,35 % С при температуре
900090009W09W09 20093009400 9500厶час9 20093009400 9500厶час
9000
9000
9W0
9W0
9 20093009400 9500
厶час
9 20093009400 9500
厶час
Рис. 16.29. Обратная ползучесть стали (0,35% С) при температуре 842°Fпосле сброса нагрузки от 7500 до 1120 фунт/дюйм^ (по Макветти и Ваугу).£' — упругое сокращение при быстрой разгр узке (Е — 22,35 • 106 фунт/Оюй必);е； — обратнаяползучесть; е — полное удлинение.
842° F длительностью 700 час и на стали ATV при температуре 1000° F длительностью 2100 час. Соответствующие кривые приведены на рис. 16.29. и 16.30. Деформации обратной ползучести во втором стержне составили примерно 0,9 от упругого сокращения £‘ при разгрузке).
Как было указано в § 4.1, В, постепенное снятие остаточной деформации можно описать аналитически, если напряжение представить как сумму двух составляющих о7 и о〃，из которых первая характеризует упругое противодействие, а вторая уравновешивает внутренние сопротивления вязкой природы, тормозящие деформации, развивающиеся в среде с течением времени.
Обобщая наши первоначальные предположения, положим, что составляющая (/ пропорциональна обратимой деформации
ez —упругое сокращение при быстрой разгрузке, ez = 0,000921； е； —обратная ползучесть; е — полное удлинение.
е, (/ = Е& а составляющая о〃 является известной функцией o〃=g(〃) скорости деформации u = d&/dt. Эти предположения сводятся, по отношению к обратимой деформации е, к постулированию существования поверхности напряжений
a = of + o/f = Е& + g ⑷.(16.96)
' Оценим изменение £ в случае, когда напряжение внезапно прикладывается, затем некоторое время поддерживается постоянным, после чего внезапно снимается. Приняв, например, Степенную зависимость az,=cun, получим для определения е дифференциальное уравнение
Е» 十 с (窑)=а = const,0 < n < 1.(16.97)
В случае внезапного приложения нагрузки получим интеграл
£ = 5•(16.98)
Решение, отвечающее снятию напряжения о при внезапной раз
(16.99)(16.99)грузке, имеет вид
(16.99)
(16.99)
[1 + (1-и) (^/па) (о/с)Уп •力初(
Согласно этим решениям, имеет место запаздывающий рост деформации в первом случае и постепенное снятие ранее достигнутой деформации 5 = о/Е во втором случае (рис. 16.31, где время / при разгрузке, описываемой уравнением (16.99), отсчитывается от нового начала О】). Функция времени в уравнении
Рис. 16.31. Запаздывающее развитие деформации в материале, обнаруживающем обратную ползучесть.а — после нагружения; 6 — после разгрузки.Рис. 16.31. Запаздывающее развитие деформации в материале, обнаруживающем обратную ползучесть.а — после нагружения; 6 — после разгрузки.
Рис. 16.31. Запаздывающее развитие деформации в материале, обнаруживающем обратную ползучесть.
а — после нагружения; 6 — после разгрузки.
Рис. 16.31. Запаздывающее развитие деформации в материале, обнаруживающем обратную ползучесть.
а — после нагружения; 6 — после разгрузки.
.99) оказывается сходной с соответствующей функцией в уравнении (16.36), описывающем релаксацию напряжений при степенном законе ползучести, причем, как следует из пунктирных кривых на рис. 16.31, при обратной ползучести имеет ме- Ото релаксация вязкой составляющей напряжения о〃 при внезапном нагружении и упругой составляющей о7 при внезапной разгрузке).
Запаздывающее развитие деформации £ можно также описать при помощи других законов ползучести вида o〃 = g(〃)，
например при помощи логарифмической зависимости или закона гиперболического синуса, однако мы не будем здесь приводить соответствующие зависимости для деформации е. Более важно включить найденные деформации обратной ползучести в общую теорию ползучести металлов. Это можно сделать, используя концепцию сложной, стойко-вязкой вязко-упругой среды, обладающей свойством обратной ползучести (см. § 4.1, Г). Для этой среды был постулирован обобщенный принцип суперпозиции составляющих деформации трех различных типов, связанных с двумя аддитивными компонентами напряжения
£ = £‘ + £〃 + £〃', О =『 + О〃・(16.100)
Обобщая наши первоначальные предположения, положим
〃=窑= © = ©，+ ©〃 + ©〃/ = % + 〃〃 + 〃〃一(16.101)
где е' = о/Е ——упругая составляющая, &〃——необратимая деформация (обычно деформация ползучести). Деформация обратной ползучести (обозначенная в (16.96) просто символом е) в уравнении (16.100) обозначается при помощи символа d"、поскольку теперь через е обозначена полная деформация. Мы можем приписать среде произвольные свойства вязкости, определив скорость ползучести 〃“ при помощи зависимости от напряжения общего вида
o = g(〃〃),〃〃=力(о)・(16.102)
Кроме того, будем принимать (подобно тому как это было сделано в приведенном выше анализе обратной ползучести), что составляющая напряжения о〃 является известной функцией скорости 〃〃'：
o〃 = g「(〃〃)(16.103)
При определении составляющей напряжения а7 можно допустить известный произвол, принимая либо зависимость (/ = = »£〃'，либо общее соотношение d = ЕЕ‘ (где Ег уже не равняется модулю Юнга Е). Изложенные предположения сводятся к постулированию существования «частичной» поверхности напряжений
о ±『+ о〃 = ££〃 + g「(〃'〃),(16.104)
определяющей обратимые деформации /〃 и их скорости 〃'〃 = = У〃・
В случае испытания на длительную ползучесть при постоянном напряжении и=const последнее соотношение, очевидно, определяет обратную деформацию §'〃・ Учитывая также, что с(>
ставляющая деформации £〃 возрастает пропорционально времени /: £〃 = 〃〃力=力(0)力 получим, что изменение полной деформации 8 с течением времени будет определяться соотношением
£ = £，+ &〃 + £，〃 =备+九⑹ / + “
(16.105)
Здесь У〃 ——интеграл уравнения (16.104), удовлетворяющий начальным условиям внезапного нагружения ^ = 8//, = 0 при f = 0.
Рис. 16.32. Деформация 8 в сложной среде, обладающей свойством обратной ползучести.
ех — упругая деформация； ez, - ползучесть; £,,z — обратная ползучесть; Z — восстановление ползучести.
В результате получим кривую ползучести £ =，(/), подобную
представленной на рис. 16.32; эта кривая ползучести асимпто-
тически приближается к прямой линии ент которой равен и" = d"[dt = h(G)и
ВЛ, угловой коэффици-
чении напряжения а = const. Заметим, =f(f) имеют криволинейный участок
повышается при увели-
обусловленной обратимой компонентой , дящий к подъему кривой на величину
что теперь кривые е = начальной ползучести, деформации /〃，приво-
ЕГ = Е оказывается равной упругой деформации 百
so = а/£，г, которая* при
£о = о7Е. При
внезапной разгрузке, начинающейся из точки А на прямоли
нейной асимптоте АВ (рис. 16.32), деформации обратной пол-
зу必ести (показанные штриховкой) стремятся к значению ер,
Принцип двойной суперпозиции (16.100) можно также использовать для уточнения теории релаксации напряжений. Для этого следует в условии постоянства полной деформации £ = =& = const, или
£ =尹 £〃 + £/〃 = £»,(16.106)
выразить переменное напряжение течения о при помощи либо соотношения G = g(〃“) =g(©〃), вытекающего из закона ползучести (16.102), либо равенства о = с/ + о〃，примененного в уравнении (16.104) при определении составляющей обратимой деформации /. В результате соответственно получаем два совместных дифференциальных уравнения
空吊〃+ £〃—,・，
善宙£〃 +痂®〃)] + £〃 + Ё〃‘ = %•,
связывающих составляющие деформации £〃 и е'〃. Каждое из этих уравнений, которые можно также представить в симметричной форме
『 = 5-(1 + 割 Q〃 —曬(16.107)
позволяет найти с учетом (16.104) зависимость
G = g®) = EK』№\(16.108)
определяющую закон убывания напряжения о с течением времени Л
Следует отметить, что упругая деформация Q = gIE и скорость ползучести и" = ddldt = h(G)зависят только от мгновенного значения напряжения о, приложенного к материалу. С другой стороны, обратимая составляющая 寸〃 деформации £, а также скорость деформации uf^ = d&f /dt и, следовательно, составляющая o〃 = gT (〃“') напряжения о будут достигать своей полной величины либо по истечении некоторого промежутка времени, либо в том случае, когда они создаются ранее той действительной деформации, которая является предметом рассмотрения. Таким образом, при эвристическом подходе важно, иметь в виду, что предложенный принцип двойной суперпозиции трех различных составляющих деформации £ = £‘ + £〃 + £〃' Н двух компонент напряжения 0=『十 о〃 позволяет учитывать
влияние на деформацию предшествующих стадий нагружения или деформирования, т. е. влияние истории нагружения.
Примером этого могут служить различные типы кривых релаксации (определяющих убывание напряжения о с течением времени /), получаемые при различных способах доведения нагрузки до начального значения а = а^ в момент / = 0, соответствующий началу процесса релаксации напряжений. Рассматривая основное условие релаксации, согласно которому сумма трех скоростей деформации uf = d/Et 〃“， 〃〃/ в любой момент времени должна равняться нулю, сразу же замечаем, что напряжение о убывает со скоростью
需=— £(〃〃 + 〃'〃)= —Е 伙(о)+ 〃'〃]・ (16.109)
Таким образом, скорость падения напряжения (do/df) в начальный момент процесса релаксации / = 0 в случае среды, имеющей свойство обратной ползучести, должна зависеть как от начального заданного значения /i(c^), так и от значения (〃”')t=o в момент / = 0. Если начальное напряжение а=а^ прикладывается мгновенно и вслед за этим сразу начинается процесс релаксации, то в момент / = 0 будем иметь е'〃=0 и, следовательно, составляющая напряжения У обращается в нуль: сг' = Ег&〃'=6. При этом составляющая напряжения 0〃 = 0力= =gr(〃“') будет иметь максимальное возможное значение аь соответствующее максимальному положительному начальному значению скорости (〃”')t=o. С другой стороны, предположим, что до начала процесса релаксации образец достаточно продолжительное время выдерживался при начальном значении напряжения Qi, тогда, как видно из графика в левой части рис. 16.32, в этом случае скорость 〃”' в точке Л обращается в нуль, и поэтому в начальный момент релаксации (〃〃)=о = О, (da/dt)t=Q = =一Eh(ai).
Таким образом, как следует из уравнения (16.109), в случае среды, обладающей свойством обратной ползучести, при мгновенном нагружении до напряжения сг = о〃 скорость убывания напряжения 8 начальный момент (da/dt) /=о будет значительно большей, чем в случае среды, не дающей деформаций обратной ползучести е'〃. Если же процессу релаксации предшествует медленное возрастание напряжения о, то абсолютное значение (da/d/) f=0 уменьшится на величину, зависящую от значения (〃“')t=o в начальный момент релаксации. С течением времени / кривые релаксации напряжения для сложной среды и для среды, не проявляющей свойства обратной ползучести, могут пересечься, так как в первой среде релаксация происходит
принцип двойной суперпозициипринцип двойной суперпозицииформации 8 с течением времени f при независимом действии постоянной растягивающей и постоянной сжимающей нагрузок./ — растяжение; 2 —сжатие; 3 — деформация при растяжении.формации 8 с течением времени f при независимом действии постоянной растягивающей и постоянной сжимающей нагрузок./ — растяжение; 2 —сжатие; 3 — деформация при растяжении.
принцип двойной суперпозиции
принцип двойной суперпозиции
формации 8 с течением времени f при независимом действии постоянной растягивающей и постоянной сжимающей нагрузок.
/ — растяжение; 2 —сжатие; 3 — деформация при растяжении.
формации 8 с течением времени f при независимом действии постоянной растягивающей и постоянной сжимающей нагрузок.
/ — растяжение; 2 —сжатие; 3 — деформация при растяжении.
медленнее и приводит к более высоким напряжениям, чем во второй 1).
Резюмируя приведенные соображения, можно отметить, что (16. 100) дает возможность:
1) описать так называемую сложную среду в стабильном состоянии, в которой полная деформация слагается из трех аддитивных составляющих — упругой составляющей, вязкой составляющей общего типа (необратимой) и «полу
остаточной» составляющей обратной ползучести; 2) позволяет учесть неупругое последействие, зависящее от типа предварительного нагружения).
Впервые явление неупругого последействия обнаружил немецкий физик Вебер (Геттинген) около 1835 г., т. е. задолго до того, как у инженеров возник интерес к явлениям ползучести металлов. Под влиянием его работ знаменитый австрийский физик-теоретик Больцман (1874 г.) и великий итальянский математик Вольтерра (1909 г.) полвека спустя провели углубленный анализ явлений несовершенной упругости (получивших впоследствии название наследственных явлений) при помощи аппарата определенных интегралов.
Первые исследователи неупругого последействия с удивлением наблюдали, как тонкая нить предположительно упругого
См. § 4.1, Г, а также § 16.8, где рассмотрены результаты релаксационных испытаний медных образцов.
материала, находившаяся некоторое время под воздействием постоянного крутящего момента, затем разгруженная и после небольшой паузы вновь закрученная на короткое время в противоположном направлении, после окончательной разгрузки получала небольшую остаточную деформацию от действия второй нагрузки; однако по истечении некоторого времени вновь немного закручивалась в направлении действия первоначального крутящего момента. Такое поведение неживой материи,
Рис. 16.336. Изменение полной результирующей деформации £ = £‘+£〃 + £‘〃 Сплошная среда обладает свойствами вязко-упругости и обратной ползучести при нагружении вначале растягивающей, а затем сжимающей нагрузками. Ветвь FG представляет собой результирующий полный неупругий эффект после снятия второй нагрузки.
как бы говорящее о запоминании различных воздействий, которые она испытывала в прошлом, расценивалось как необычное свойство, наличие которого в неодушевленном веществе трудно было предполагать.
Этим свойством обладает, в частности, рассмотренная нами сложная среда, характеризуемая произвольной вязкостью и способностью к обратной ползучести (рис. 16.33). Предположим, что образец подвергался воздействию двух программ нагружения, показанных в верхней части рис. 16.33а. В нижней части того же рисунка приведены кривые ОАВС и DEFG, построенные на основе изложенного выше анализа и представляющие изменение деформации е с течением времени / при независимом действии двух указанных последовательностей нагружения. Суммируя алгебраически положительные (растяжение) и отрицательные (сжатие) ординаты е, соответствующие
первой (растягивающей) и второй (сжимающей) нагрузкам, очевидно, получим причудливую кривую, показанную на рис. 16.336, где последний участок FG выражает неупругое последействие после снятия второй нагрузки. Это означает, что при надлежащих условиях образец сокращается под влиянием второй (сжимающей) нагрузки, однако через некоторое время вновь несколько растягивается, как бы «вспоминая» первую, растягивающую, нагрузку. Другие аналогичные явления последействия мы рассмотрим в § 16.7.
К. Влияние времени на изменение напряжения течения при повышенной температуре. Как было упомянуто в § 16.1, первые исследователи ползучести металлов выдвинули предположение, что наряду с упрочнением металла под влиянием необратимого непрерывного остаточного деформирования, проявляющегося в виде деформации ползучести, происходит противоположный процесс разупрочнения, обусловленный продолжающимся воздействием высокой температуры, который «размягчает» металл и повышает его деформационную способность. Рассмотрим, как постепенное снижение напряжения течения металла, вызванное продолжительным воздействием тепла, можно интерпретировать феноменологически в терминах механики.
Представляется вероятным, что в так называемом промежуточном диапазоне температур, в котором обнаруживается заметное постепенное разупрочнение металла с течением времени, функциональное соотношение, определяющее поверхность напряжений (если такое уравнение состояния, выраженное в конечной форме, существует), будет содержать наряду с остаточной деформацией е〃 и скоростью деформации uff = d^f/dt также время 七 т. е.
a = F^\ ”，f). (16.110)
Во всяком случае, будем считать, рассматривая время t как новую независимую переменную наряду с £〃 и “〃，что выражение дифференциала напряжения течения do имеет вид
也=詣 d^ + 鼠 d〃〃 + 絹山. (16.111)
Обозначая для краткости частные производные при помощи символов
2 =初，L 前- % =而，(16112)
получаемполучаемdo =屮 d『+ (p d〃〃 + x df ・do =屮 d『+ (p d〃〃 + x df ・(16.113)(16.113)
получаем
получаем
do =屮 d『+ (p d〃〃 + x df ・
do =屮 d『+ (p d〃〃 + x df ・
(16.113)
(16.113)
Здесь x = Oo/df определяет скорость изменения напряжения течения металла с течением времени, причем % < 0 отвечает разупрочнению, % > 0 ——упрочнению (если металл способен упрочняться под влиянием выдержки при высокой температуре). Можно проанализировать различные основные виды испытаний, рассмотренные в предыдущих параграфах, если окажется возможным проинтегрировать уравнение (16.113) вдоль соответствующих траекторий нагружения
Рис. 16.34.а — зависимость вязкости от времени; б ~ кривые ползучести.Рис. 16.34.а — зависимость вязкости от времени; б ~ кривые ползучести.В случае длительной ползучести при постоянном напряжении o = const, do = 0 уравнение (16.113) можно представить вВ случае длительной ползучести при постоянном напряжении o = const, do = 0 уравнение (16.113) можно представить вформеформеW + %W + %(16.114)(16.114)В интервале температур, соответствующем разупрочнению,屮〃〃В интервале температур, соответствующем разупрочнению,屮〃〃всегда положительно, а % — отрицательно, поэтому знак производной duff!dt, определяющей скорость изменения скорости ползучести 〃“, будет зависеть от соотношения величин двух слагаемых в правой части (16.114)】).Скорость ползучести и" вначале убывает (вследствие больших начальных значений 〃〃) и достигает минимального значения 〃:広‘ определяемого из усвсегда положительно, а % — отрицательно, поэтому знак производной duff!dt, определяющей скорость изменения скорости ползучести 〃“, будет зависеть от соотношения величин двух слагаемых в правой части (16.114)】).Скорость ползучести и" вначале убывает (вследствие больших начальных значений 〃〃) и достигает минимального значения 〃:広‘ определяемого из условия d ""/df = O,ловия d ""/df = O,(16.115)(16.115)здесь %<0. Значению 〃彳值 соответствует точка перегиба / кривых ползучести e〃=f(f), после которой скорость ползучести начинает увеличиваться (рис. 16.1 и 16.34).1) Эта концепция была предложена Бэйли и Макветти (см. примечание на стр. 622).здесь %<0. Значению 〃彳值 соответствует точка перегиба / кривых ползучести e〃=f(f), после которой скорость ползучести начинает увеличиваться (рис. 16.1 и 16.34).1) Эта концепция была предложена Бэйли и Макветти (см. примечание на стр. 622).
Рис. 16.34.
а — зависимость вязкости от времени; б ~ кривые ползучести.
Рис. 16.34.
а — зависимость вязкости от времени; б ~ кривые ползучести.
В случае длительной ползучести при постоянном напряжении o = const, do = 0 уравнение (16.113) можно представить в
В случае длительной ползучести при постоянном напряжении o = const, do = 0 уравнение (16.113) можно представить в
форме
форме
W + %
W + %
(16.114)
(16.114)
В интервале температур, соответствующем разупрочнению,屮〃〃
В интервале температур, соответствующем разупрочнению,屮〃〃
всегда положительно, а % — отрицательно, поэтому знак производной duff!dt, определяющей скорость изменения скорости ползучести 〃“, будет зависеть от соотношения величин двух слагаемых в правой части (16.114)】).Скорость ползучести и" вначале убывает (вследствие больших начальных значений 〃〃) и достигает минимального значения 〃:広‘ определяемого из ус
всегда положительно, а % — отрицательно, поэтому знак производной duff!dt, определяющей скорость изменения скорости ползучести 〃“, будет зависеть от соотношения величин двух слагаемых в правой части (16.114)】).Скорость ползучести и" вначале убывает (вследствие больших начальных значений 〃〃) и достигает минимального значения 〃:広‘ определяемого из ус
ловия d ""/df = O,
ловия d ""/df = O,
(16.115)
(16.115)
здесь %<0. Значению 〃彳值 соответствует точка перегиба / кривых ползучести e〃=f(f), после которой скорость ползучести начинает увеличиваться (рис. 16.1 и 16.34).
1) Эта концепция была предложена Бэйли и Макветти (см. примечание на стр. 622).
здесь %<0. Значению 〃彳值 соответствует точка перегиба / кривых ползучести e〃=f(f), после которой скорость ползучести начинает увеличиваться (рис. 16.1 и 16.34).
1) Эта концепция была предложена Бэйли и Макветти (см. примечание на стр. 622).
Из уравнения (16,113) следует, что кривые ползучести будут иметь первый и третий участки даже в случае неупрочняю- щегося материала (2 = 0), обладающего произвольной вязкостью, если коэффициент вязкости 屮 изменяется с течением времени, вначале возрастая до некоторого максимального значения, а затем убывая, причем деформации £〃 при этом остаются малыми. Полагая в уравнении (16.113) a = const, do=0, 屮=0, получаем, что производная du'ldt, равная в этом случае
(16.116)
обратится в нуль, если в некоторый момент t = t\ имеем %(^) =0. Такое положение может возникнуть в идеальной вязкой среде, характеризуемой уравнением
о =屮(/) 〃",о =屮(/) 〃",(16.117)
о =屮(/) 〃",
о =屮(/) 〃",
если вязкость (p = do/d〃〃 изменяется с течением времени в соответствии с графиком на рис. 16.34, а. Для среды этого типа скорость изменения напряжения течения определяется соотношением
%（%）=黑=醬"=8（f）〃"，%（%）=黑=醬"=8（f）〃"，(16.118)(16.118)
%（%）=黑=醬"=8（f）〃"，
%（%）=黑=醬"=8（f）〃"，
(16.118)
(16.118)
используя которое совместно с уравнением (16.116), найдем, что вдол-ь кривых ползучести о=const справедливо соотношение
(16.119)(16.119)d〃〃 _ _ 〃〃屮，«)dt — 中(О
(16.119)
(16.119)
Правая часть этого соотношения обращается в нуль в момент 方=九，для которого(pz(/i) =0, т. е. когда коэффициент вязкости 屮 имеет аналитический максимум, а коэффициент % изменяет знак одновременно с 屮 «)• О среде такого типа можно сказать, что она вначале упрочняется, а затем разупрочняется.
Примем, что изменение вязкости ф с течением времени / определяется соотношением
LTT^f'(16.12。)
где а, фь fi — постоянные. Согласно этому соотношению, <р имеет значение ①=屮0 =屮1/(1 + а/；) в момент /=0 и достигает максимума, равного Ф)= q)max, в момент t=/i. Используя соотношение о=(р •〃” для скорости изменения Сопротивления материала %, получаем
'Of / l + a(f-幻 2'
Соответствующий график функции ф показан на рис. 16.34, а штриховкой. Для кривой ползучести при постоянном напряжении а == const находим выражение 1)
/=詣[/—3加产+ 3(1+喈)4
которое определяет на рис. 16.34,6 семейство аффинных кривых, имеющих точку перегиба при одном и том же значении времени /=介，которому отвечает минимальная скорость ползучести 〃min = o/q)i.
Возвращаясь к уравнению (16.113), следует отметить, что его применимость в предложенной здесь видоизмененной форме, содержащей член Х=ди@, который характеризует изменение напряжения течения, почти со
一7一7всем не обсуждалась в экспериментальных работах по ползучести металлов. В связи с этим очень мало известно о величине параметра % и о зависимости от времени / параметров упрочнения ^ = ди1д&и и вязкости в=дб[0и".
一7
一7
Для того чтобы получить количественную оценку влияния % на течение среды, рассмотрим простейший идеальный вязко-пластичный упрочняющийся материал, характеризуемый тем свойством, что три основных параметра -ф, ср, % являются универсальными постоянными, а уравнение состояния
ст =屮£〃 +(р〃〃 + # (16.121)
оказывается линейной функцией-”
трех независимых переменных е〃，Р н & 16.35. Поверхность напряжений
〃”，t. В момент / = 0 эта поверх- в виде плоскости а = ^е^ + (ри +%/• ность напряжений представляет со
бой наклонную плоскость, положение которой определяется угловыми коэффициентами 屮，ф (на рис. 16.35 эта плоскость показана сплошными линиями). С течением времени / эта плоскость смещается с постоянной скоростью %, поднимаясь при %>0 и опускаясь при %<0. При этом случаю %>0 отвечает упрочнение, случаю %<0 — разупрочнение. Если отсчитывать время / от момента, когда ордината над началом координат О равняется некоторой заданной величине и=(Уо, то это значение о。 можно рассматривать, как начальный предел текучести материала.
Таким образом, добавляя к правой части (16.121) постоянную Оо, можно включить в рассматриваемую схему материал, обладающий в начальный момент /=0 конечным пределом текучести и。. Пользуясь терминологией, ^применяемой в реологии, такой материал можно также назвать обобщенной идеализированной средой Бингама, обладающей упругостью £‘=о/Е, постоянной вязкостью ф, линейным упрочнением и пределом текучести ^у^^^Л-yt, возрастающим или убывающим с течением времени /, в зависимости от того, имеет ли место упрочнение или разупрочнение. Траекторией нагружения (деформирования) будет путь точки 卜(£〃， 〃”， о), движущейся по наклонной
См. статью: N a d a i A., Strain-hardening and softening with time in reference 切 creep and relaxation in metal% Trans, ASMS, 74, № 3阜 403—413 (1952),
плоскости (16.121) в то время, как эта плоскость вертикально смещается вверх или вниз со скоростью %. Если точка Р, двигаясь по своей траектории, выйдет на вертикальную плоскость е〃，а (рис. 16.35), то она останавливается и остается в этом положении в пространстве £〃, 〃”，о неопределенно долгое время.
Рассмотрим теперь при помощи уравнения поверхности напряжений (16.121) ползучесть при постоянном напряжении a=const и релаксацию напряжений при условии о + Ее' = о】+ Ее? = const и при начальном напряжении а=П1. Полагая q=const и вводя обозначение 〃〃=d£〃/力，получаем для определения деформации ползучести £〃 линейное дифференциальное уравнение первого порядка
如〃 I / G-xt如〃 I / G-xt(16.122)(16.122)
如〃 I / G-xt
如〃 I / G-xt
(16.122)
(16.122)
Аналогично в случае релаксации напряжений получим соотношение
(16.123)(16.123)d °] — о , Е + р。1 — 0 _ S — %/di Е ср Еср
(16.123)
(16.123)
Поскольку оба уравнения имеют одинаковую форму по отношению к соответствующим зависимым переменным е^ и (сп — g)/E и поскольку начальные условия £〃=0 и bi ——а=0 при / = 0 также аналогичны, интегралы этих уравнений будут выражаться при помощи одинаковых функций времени /. Вводя для краткости обозначения
'о ='о =_Ф2_Ф2-фи-фи(16.124)(16.124)
'о =
'о =
_Ф2
_Ф2
-фи
-фи
(16.124)
(16.124)
получаем из соотношения (16.122) уравнение кривой длительной ползучести
^.卜咤 +(1 +*(一"]^.卜咤 +(1 +*(一"](16.125)(16.125)
^.卜咤 +(1 +*(一"]
^.卜咤 +(1 +*(一"]
(16.125)
(16.125)
и соответствующее выражение для скорости ползучести
" =° + О +а)吆(16.126)
Эти кривые ползучести исходят из начала координат。(рис. 16.36), где все они имеют один и тот же угловой коэффициент о/ср. В случае когда материал разупрочняется (%<0, а<0), эти кривые асимптотически приближаются к семейству кривых, выходящих из точки /=/о=ср/2， 8,,=а/ф. Если % обращается в нуль, то будет существовать предел ползучести £〃=о/ф. В случае упрочняющегося материала (%>0, а>0) кривые ползучести обрываются в конечный момент времени tm — tQ 1п(1 + 1/а), которому соответствует деформация е^ах = (и — Х^т)/ф (рис. 16.36). Если скорость разупрочнения характеризуется значением %=——“о7屮，а=——1, то кривая ползучести будет иметь вид прямой линии ОВ, как в случае чисто вязкой среды. Действительно, в этом частном случае сумма первого и последнего слагаемых в уравнении (16.121) обращается в нуль:
W + %£ = 2(£〃 — а//ф) = 0.
Поэтому повышение пластического сопротивления будет полностью уравновешиваться понижением напряжения течения вследствие разупрочнения и, следовательно, £"=0//屮=""，
В случае релаксации, вводя для краткости обозначения
。=就工)-，(16127)
получаем из уравнения (16.123) зависимость, вполне аналогичную (16.125), 卡=儡卜峠 +(1 + М—т偽)]•(16.128)
Падение напряжения о определяется соотношением
о = S + ^^ 卜 * - (1 + а) (1 - е-"。)](16.129)
и происходит со скоростью
票=^[а - (1 + а) М]・(16.130)
Падение напряжения о начинается при /=0, причем в этот момент при всех значениях % или а характеризуется одной и той же скоростью (do/df)f=o= =—Edi/cp.
ВВРис. 16.36. Влияние скорости сопротивления течению % = do/dt на форму кривых ползучести при постоянном напряжении о = const.X < 0 — разупрочнение; х > 0— упрочнение.Рис. 16.36. Влияние скорости сопротивления течению % = do/dt на форму кривых ползучести при постоянном напряжении о = const.X < 0 — разупрочнение; х > 0— упрочнение.
В
В
Рис. 16.36. Влияние скорости сопротивления течению % = do/dt на форму кривых ползучести при постоянном напряжении о = const.
X < 0 — разупрочнение; х > 0— упрочнение.
Рис. 16.36. Влияние скорости сопротивления течению % = do/dt на форму кривых ползучести при постоянном напряжении о = const.
X < 0 — разупрочнение; х > 0— упрочнение.
Ввиду полной аналогии между приведенными уравнениями ползучести и релаксации кривые релаксации, характеризующие убывание напряжения при различных значениях %=do/d/, представленные на рис. 16.37, можно получить посредством зеркального отображения кривых длительной ползучести, приведенных на рис. 16.36 относительно одной и той же оси. При этом преобразовании следует учитывать различные значения, приписываемые соответствующим параметрам /о и а в уравнениях (16.124) и (16.127).
Итак при %=6 (а=0), т. е. в случае упрочняющегося вязко-упругого материала, который не обладает свойствами упрочнения и разупрочнения, напряжение
с = + (16.131)
w+土
будет убывать до конечного значения 。2=012/(屮+£), которое, однако, достигается лишь асимптотически при /->8. В случае упрочнения, когда %>0, кривые релаксации обрываются в конечные моменты времени. Если имеет место разупрочнение (%<0), то кривые релаксации будут обрываться в конечные моменты времени при обращающихся в нуль значениях напряжения. Наконец, в случае, когда
，(" + e)01[
получим необычную прямолинейную кривую релаксации, .обрывающуюся в момент времени /=(р/Е (рис. 16.37, прямая SB).
Рис. 16.37. Кривые релаксации при различных скоростях сопротивления течению % = О。/。/ при одном и том же начальном напряжении о】.
X < 0 — разупрочнение；' х > 0 — упрочнение.
Несомненно, что механизмы ползучести или релаксации, включающие в себя изменение напряжения течения тягучих металлов с течением времени при повышенных температурах, подчиняются более сложным зависимостям, чем те простые выражения, которые были выведены из трехчленного линейного уравнения состояния (16.113). Однако можно ожидать, что установленные простые свойства идеализированной вязко-пластичной среды помогут уточнить концепции, которые можно положить в основу дальнейших иссле- дованйй б намеченных направлениях.
Подводя итоги нашего изучения точек перегиба на кривых длительной ползучести и минимальных скоростей ползучести, отметим три основных факта.
В случае непрерывного растяжения при постоянном номинальном напряжении cq существует критическое значение СКОрОСТИ уПрОЧНеНИЯ ^с = дб1дгН = 6i max (см. 16.11). При меньших значениях скорости изменения упрочнения равновесие становится неустойчивым и следует ожидать, что равномерное растяжение стержня окажется невозможным. Возникновение этого состояния неустойчивости, определяющее начало локального шейкообразования, совпадает с моментом, когда постепенно убывающая скорость гголзучести оказывается равной тому зна-
чению скорости, которое соответствует максимуму нагрузки Gl max В ИСПЫТаНИИ С ПОСТОЯННОЙ СКОрОСТЬЮ При QZ max=Qz (①一 постоянное номинальное напряжение при испытании на ползучесть) •
Сформулированные выше условия могут иметь место преимущественно в случае полуограниченной ползучести, однако состояние неустойчивости и соответствующая минимальная скорость ползучести 〃馬 могут также достигаться при весьма малых деформациях ползучести е〃・ Такое положение будет возникать в том случае, когда под влиянием нагрева предел текучести ст металла постепенно убывает с отрицательной скоростью % = da/dt, причем последняя достигает значения % =——屮〃〃,определяющего критическую минимальную скорость ползучести 〃爲п=-%帥(см・ (16.115)). .
В неупрочняющейся вязкой среде, вязкость которой (р = = do/d〃〃 изменяется с течением времени, состояние неустойчивости может возникнуть в тот момент, когда ср достигает своего аналитического максимума (см. (16.119)).
Ползучесть при пульсирующих напряжениях, нал о* женных на постоянные напряжения. Исключим из рассмотрения влияние усталости, связанное с ползучестью при переменных нагрузках высокой частоты, и рассмотрим ползучесть металлического стержня, нагретого до высокой температуры и нагруженного растягивающим напряжением о. Напряжение о прёд* ставим в виде суммы постоянной составляющей ас и некоторой малой переменной составляющей, периодически изменяющейся с относительно низкой частотой з между значениями ±аа:
о = % + % sin ①九 (16」32)
Предположим, что зависимость скорости ползучести u = defdt от напряжения о определяется законом гиперболического синуса
и = wosh —, (16.133)
где 〃о, о。——известные постояннее. Если бы нагрузка была постоянной, o = oc = const, то ползучесть стержня происходила бы с постоянной скоростью '
也= 〃osh^・ (16.134)
Если, однако, напряжение о изменяется в соответствии с соотношением (16.132), то скорость ползучести и будет представлять
собой периодическую функцию, подобную изображенной на рис. 16.38, где высоты гребней, измеренные от горизонтальной линии 〃 = % = const, оказываются больше, чем глубины впа
дин. Колебания скорости ползучести происходят между максимальным и минимальным значениями
〃тах = 〃о sh，：° "， 〃mln = 〃°sh(16.135)
а средняя за цикл скорость ползучести растянутого стержня
Ос + ^а sin 0Ос + ^а sin 0аеае(16.136)(16.136)
Ос + ^а sin 0
Ос + ^а sin 0
ае
ае
(16.136)
(16.136)
получим(16.137)получим(16.137)оказывается больше, чем ис. Для отношения uPluc> 1 следующее выражение:
получим
(16.137)
получим
(16.137)
匆—] F h % +。" sin 8
〃C — 2冗 sh (ojoo) J S ^•
0
Замечая, что второе слагаемое в подинтегральном выраженииsh叁Ch吆^+ Ch匹sh丝^
°0OoOoOo
не влияет на величину интеграла, представим соотношение (16.137) в следующем виде:
2Л
詈=宕 jch屮№.(16.138)
о
При помощи обозначения x = aa/oQ это соотношение можно привести к виду, дающему представление функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента i% в форме определенного интеграла 】)，
2Л2Л
费 j ch(尤 sin6)de =击 J cos(灰sine)de =厶(2・(16.139) о0
Воспользовавшись представлением функции Бесселя Jo(^) в виде степенного ряда
，о(汉)=£= + (тУ+о^Ш + (ГГЖ修)+ …，
n = 0
(16.140)
замечаем, что она является четной монотонно возрастающей функцией х.
Таким образом, металлический стержень, растянутый напряжением Ос, на которое наложено синусоидально изменяющееся напряжение аа sin со/, в случае гиперболического закона ползучести 〃 = 〃()sh (а/а0) будет иметь скорость ползучести 〃卩, которая оказывается больше, чем скорость ис = и0 sh(Ос/оо), соответствующая постоянному напряжению ас = const. Если амплитуда переменной составляющей напряжения удовлетворяет условию Оа<о。，то, ограничиваясь двумя членами ряда, можно получить для скорости ползучести ир следующее приближенное выражение:
up = ucJq[l ^) * %[1 +}(*)]•(16.141)
При нашем вычислении скорости ползучести ир мы исходили из предположения, что зависимость скорости ползучести и от напряжения, принятая для случая постоянной нагрузки, сохраняется и в случае периодически изменяющегося напряжения о, т. е. что две постоянные материала 〃° и о。 сохраняют те значения, которые они имеют в случае постоянных нагрузок. К сожалению, имеется очень мало надежных данных относительно зависимости
х = 01
234
'о (反)=1
1,2662,2804,88111,30
постоянных «о» 5)в законе ползучести
〃 =〃о sh (O/伉)
от медленных колебаний напряжения, наложенных на сравнительно небольшую постоянную нагрузку 仇】).，
,В работе Тэпселла) выведена формула для 〃「，основанная на предположениях, аналогичных тем, которые были приведены выше, однако полученная при помощи степенного закона ползучести, не дающего возможности провести интегрирование в замкнутой форме. При этом обнаружилось, что экспериментальные точки для стали 0,26 С при 400° С группируются в соответствии с теоретическими выводами для фиксированных скоростей ползучести. Другие опыты по нагружению пульсирующими напряжениями, а также данные о влиянии периодически изменяющихся температур, наложенные на постоянное напряжение или температуру, рассмотрены в обстоятельном обзоре Менсона, Закса и Брауна), содержащем 55 страниц текста, 58 диаграмм и 5 таблиц.
Установившаяся ползучесть при произвольном напряженном состоянии. Мы изложим теорию ползучести металлов при произвольных напряженных состояниях, причем преимущественно будет рассмотрен такой тип идеального, течения, при котором в любой области напряженного тела состояние напряжения однозначно определяет скорости изменений необратимых составляющих ползучести. Предполагая, что имеет место состояние равновесия, будем рассматривать случай, когда внешние нагрузки, действующие на тело, сохраняют постоянные значения и что время, прошедшее после момента их приложения, достаточно для того, чтобы скорости деформаций ползучести достигли своих характерных минимальных значений, соответствующих приложенным напряжениям. Другими словами, в мо-
мент приложения внешних нагрузок деформации будут вначале чисто упругими, поэтому необходимо определ-епное время для того, чтобы скорости остаточной деформации достигли своих минимальных значений и чтобы начальное упругое напряженное состояние перешло в новое равновесное состояние, в котором установившаяся ползучесть продолжается неограниченно с не зависящими от времени скоростями деформации. Исключая из рассмотрения этот переходный период, мы будем исследовать только установившуюся стадию медленной деформации ползучести, когда учет упругих составляющих деформации, остающихся неизменными с течением времени, оказывается излишним.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что эта упрощенная теория первого порядка, описывающая установившуюся ползучесть, а также релаксацию напряжений в произвольном равновесном напряженном состоянии (рассматриваемая как в этом параграфе, так и в § 16.5 и в некоторых примерах из § 16.6), основывается на следующих предположениях.
Между напряжением и скоростями (малых) пластических деформаций имеется однозначное функциональное соответствие, описывающее произвольное вязкое поведение среды.
Не учитываются явления упрочнения, эффекты длительного воздействия высокой температуры, вызывающие старение или разупрочнение металла.
Не учитываются явления обратной ползучести (неупругие эффекты). Это связано с тем, что период неустановившейся ползучести при постоянных напряжениях исключается из рассмотрения (вследствие этого невозможно найти изменения, про： исходящие в переходном периоде между чисто упругим напряженным состоянием при нагружении и конечным состоянием установившейся ползучести при постоянных внешних нагрузках).
Для рассмотрения этих исключенных из анализа случаев следует обратиться к тем параграфам, где они были разобраны. Однако в задаче о релаксации напряжений в полом цилин* дре (см. § 16.6, А) упругие деформации все же необходимо учесть наряду с пластическими.
Введем прямоугольные декартовы координаты %, у, z и примем следующие обозначения: о© ау, az, ту2, тгх, тху — нормальные и касательные составляющие напряжения; £丫, £沙,ez, у^, у2Х, уху——компоненты малой деформации ползучести (относительные удлинения и единичные сдвиги); ux = sxt иу = гу, % = &, %z = Vg %к = %х， vxy = yxy — малые скорости относительных удлинений и относительных сдвигов; wXf 侬力 wz — компоненты вектора скорости. При этом для компонент скоростей деформаций
ползучести будем иметьползучести будем иметьследующие соотношения:следующие соотношения:dwxdwxdwy dwzdwy dwzdwudwz
ползучести будем иметь
ползучести будем иметь
следующие соотношения:
следующие соотношения:
dwx
dwx
dwy dwz
dwy dwz
旬=帀，(16.142) dwz dwxdwx dwy
二而 + b， %u=帀+ F・
Условие непрерывности, выражающее несжимаемость материала при пластических деформациях, имеет вид
dwx dwu dwz
ux + uy + uz == 0.(16.143)
При продолжающейся пластической деформации элемента среды скорости сдвига v = dy/dt в любой момент будут пропорциональны соответствующим касательным напряжениям т независимо от ориентации плоскостей сдвига или скольжения, т. е.
(16.144)
где коэффициент вязкости металла 卩 зависит в любой точке от напряженного состояния.
нию:нию:以=号=-2旬=-2心=-^以=号=-2旬=-2心=-^(16.145)(16.145)Примем аналогично, что скорость деформации удлинения, соответствующая растяжению при действии только нормального напряжения ах, будет пропорциональна этому напряже
нию:
нию:
以=号=-2旬=-2心=-^
以=号=-2旬=-2心=-^
(16.145)
(16.145)
Поскольку максимальная скорость сдвига и максимальное ка- 3 сательное напряжение даются выражениями= »
tmax = -у- = <р-у- = у ц«х, то для коэффициента ВЯЗКОСТИ ф ПО-
лучим следующее выражение:
(16.146)(16.146)qp = Зц.
(16.146)
(16.146)
Наконец, если напряжения ах, о^, а2 действуют одновременно, они вызывают скорости деформации
(16.147)(16.147)dwy 1 /% +
(16.147)
(16.147)
"尸丁 =瓦
以=亏=即即z丿.
Скорости сдвига при этом определяются выражениями
dwy dwz xyzdwy dwz xyz(16.148)(16.148)
dwy dwz xyz
dwy dwz xyz
(16.148)
(16.148)
%z = \^^yzy 7% =卩％f， ^xy =卩%夕%z = \^^yzy 7% =卩％f， ^xy =卩%夕(16.150)(16.150)где о — среднее Примем, чтогде о — среднее Примем, чтонапряжение,в состояниинапряжение,в состоянииаа=g (о*+ % + %)・=g (о*+ % + %)・малых деформациях общими ний и скоростей деформации касательное напряжение т0Кт определяемые соотношениямималых деформациях общими ний и скоростей деформации касательное напряжение т0Кт определяемые соотношениямиустановившейся ползучести при мерами интенсивности напряже- ползучести будут октаэдрическое и скорость сдвига %кт = 9уокт/0/,установившейся ползучести при мерами интенсивности напряже- ползучести будут октаэдрическое и скорость сдвига %кт = 9уокт/0/,
%z = \^^yzy 7% =卩％f， ^xy =卩%夕
%z = \^^yzy 7% =卩％f， ^xy =卩%夕
(16.150)
(16.150)
где о — среднее Примем, что
где о — среднее Примем, что
напряжение,в состоянии
напряжение,в состоянии
а
а
=g (о*+ % + %)・
=g (о*+ % + %)・
малых деформациях общими ний и скоростей деформации касательное напряжение т0Кт определяемые соотношениями
малых деформациях общими ний и скоростей деформации касательное напряжение т0Кт определяемые соотношениями
установившейся ползучести при мерами интенсивности напряже- ползучести будут октаэдрическое и скорость сдвига %кт = 9уокт/0/,
установившейся ползучести при мерами интенсивности напряже- ползучести будут октаэдрическое и скорость сдвига %кт = 9уокт/0/,
Приведенные шесть соотношений можно объединить в одном уравнении, обозначив девиатор тензора напряжений при помощи символа О。 (см. том 1, уравнение (14.46)), а девиатор скоростей деформации —при помощи символа D:
4 = 2卩0. (16.149)
Эта зависимость эквивалентна следующим формулам:
0* 一 0 = 2读以, % 一 0 = 2卩旬, On - (J = 2卩以，
(16.152)(16.152)Поскольку согласно уравнению щей касательного напряженияПоскольку согласно уравнению щей касательного напряжения(16.144) для любой составляю- имеем т=卩〃 из этого закона(16.144) для любой составляю- имеем т=卩〃 из этого закона
(16.152)
(16.152)
Поскольку согласно уравнению щей касательного напряжения
Поскольку согласно уравнению щей касательного напряжения
(16.144) для любой составляю- имеем т=卩〃 из этого закона
(16.144) для любой составляю- имеем т=卩〃 из этого закона
Wkt = 4 [(01 -喑 + (% - 喷 + (03 -喑],
4(16.151)
唸T = 4 [他一 %)2 + 他 + 时 + 他 一 %)2],
где о】,。2, оз, 〃i, 〃2, 〃з — главные напряжения и скорости деформаций. Будем считать, что тОкт является известной функцией !) Оокт：
%кт = f (%кт)・
Тот факт, что закон ползучести (16.152) справедлив в стадии установившейся ползучести материалов, следует не только из опытов на ползучесть при сложных напряжениях, но также из наблюдений над ползучестью при осевом сжатии, в которых обнаружились те же основные свойства, что и полученные ранее в опытах на растяжение. Этим подтверждается, что явление ползучести определяется главным образом состояниями чистого сдвига. (См. работы: Landau С. S., Edwards A. R., Aeronaut. Research Lab. of Australia, Met. Note 6, January 1957; Green away H. T., Ibidem, SM 195, June 1952; Sully A. H., Prod. Eng., 24, № 4, 150 (1953); Allen N. P., С а г rington W. E., 丄 Inst. Metals, 82, 525 (1954).)
коэффициента(16.153)коэффициента(16.153)ползучести вытекает следующее определение рязкости |i материала:
коэффициента
(16.153)
коэффициента
(16.153)
Токт f (и()кт)
LI a К,
Оокт 〃окт
причем шесть компонент напряжения должны удовлетворять трем условиям равновесия
+ 等 + 需=o，•一。.（16J54）
Шесть компонент скорости деформации 〃光,...,vyZi ..., можно исключить, подставив их выражения (16.150) в три уравнения совместности следующего вида !):
(16.155)(16.155)дих д2иу — д2 Vxy= дх ду
(16.155)
(16.155)
В результате получим три уравнения, содержащие шесть компонент напряжения и коэффициент вязкости ц. Совместно с тремя уравнениями равновесия (16.154) и законом ползучести (16.153) получим семь уравнений относительно семи перечисленных неизвестных. К сожалению, их общий анализ в общем случае затруднителен и возможен лишь в тех случаях, когда имеется подходящее выражение закона ползучести и можно воспользоваться некоторыми соотношениями симметрии, упрощающими в частных случаях выражения (16.151) для тОкт, ^окт.
Установившаяся ползучесть при плоской деформации. При двумерном течении несжимаемого материала параллельно плоскости х, у будем иметь wz = uz = vyz = vzx = 0. Учитывая также, что при этом аг = у (о% + а^), %yz = %zx = 0, получаем для трех ненулевых скоростей относительного удлинения и сдвига следующие выражения:
% =-旬=* (о* _ 久)，и% =-旬=* (о* _ 久)，и(16.156)(16.156)
% =-旬=* (о* _ 久)，и
% =-旬=* (о* _ 久)，и
(16.156)
(16.156)
где vxy = v, %Ху^х. Три неизвестные составляющие напряжения ах, Оу, т должны удовлетворять двум условиям равновесия
do> дхdo> дх(16.157)(16.157)do〃 дх
do> дх
do> дх
(16.157)
(16.157)
—Ч== 0
ду дх
число уравнений совместности дефор-
(16.158)(16.158)и условию совместности д2их d&Uy d2v
(16.158)
(16.158)
dу2 + 方声_дхду ,
которое при в формекоторое при в форме(16.159)(16.159)помощи зависимостей (16.156) можно представить
которое при в форме
которое при в форме
(16.159)
(16.159)
В случае плоской деформации выражение для октаэдрического касательного напряжения т0Кт и для октаэдрической скорости сдвига ^окт будет отличаться только численными множителями от соответствующих выражений максимального касательного напряжения ттах и максимальной скорости сдвига Umax：
緖кт4•吟aх，(16.160)
<.=i^x+^=i^-(16.161)
Исключив из последнего выражения величины их, v при помощи соотношения (16.156), убедимся, что действительно
%кт н №окт， Ртах =卩°тах・%кт н №окт， Ртах =卩°тах・(16.162)(16.162)
%кт н №окт， Ртах =卩°тах・
%кт н №окт， Ртах =卩°тах・
(16.162)
(16.162)
Теперь необходимо ввести закон, связывающий тОкт со скоростью октаэдрического сдвига у окт- Примем, например, что этот закон T0KT==f (^окт) может быть представлен в виде степенной зависимости
t = с曬 0 < m ^ 1. (16.163) окт окт, 、 ' /
Введение этой зависимости эквивалентно предположению, что материал характеризуется вязкостью 卩，изменяющейся в зависимости от интенсивности напряжений в соответствии с соотношением
^^cVmx^lm^cll^{^^ (I (16.164)
Если это значение 卩 подставить в условие совместности (16.159), то для трех неизвестных компонент напряжения ах, Оу, т получим три уравнения, определяющие установившуюся ползучесть в условиях плоской деформации. Одно из этих уравнений примет вид
(薪-爲)-。浦伍-G J + 4T2]"=
=4 瀛(t ・ g —増 + 4可f)制，(16.165)
а двумя другими будут уравнения равновесия (16.157). Уравнениям равновесия можно удовлетворить, вводя функцию напря^ жений Эри при помощи соотношений
L 可=久屮 A = = 屮 (16.166)
При этом соотношение (16.165) дает для функции F (х, у) нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка
傣-右)(g-戶/)[(尸Й，- 三孑 + 4Fxy](1~m)/2m) +
+ 4 譌("/(尸"一 JJ + ^P2^12^ = 0. (16.167)
Если показатель степени т равен единице (т = 1), то уравнение (16.167) превращается в линейное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных
АА尸=Fxxxx + ^Рххуу + Fyyyy = °， (16.168)
описывающее поведение чисто вязкой среды, имеющей постд- янную вязкость 卩=const. Это уравнение было получено также ранее в т. 1, уравнение (26.23).
Интересный частный случай соответствует значению показателя ползучести т= 1/3, при этом выражение (1—m)/2m, входящее в виде показателя в соотношение (16.167), оказывается равным единице; уравнение при этом остается нелинейным, но, по-видимому, может оказаться доступным для дальнейшего анализа. В этом частном случае коэффициент вязкости среды оказывается обратно пропорциональным квадрату Токт или Ттах- Если т = 1/2, то коэффициент вязкости ц будет обратно пропорционален первой степени октаэдрического касательного напряжения т0Кт.
Ползучесть в условиях осевой симметрии. А. Радиальное течение в полом цилиндре. (1) Установившаяся ползучесть в полом цилиндре при действии внутреннего давления. Если имеет место осевая симметрия, то изучение установившейся ползучести в условиях плоской деформации оказывается очень простым. Основываясь на теории, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим ползучесть полого цилиндра с закрытыми концами, нагруженного постоянным внутренним давлением р = =const. В этом случае осевая скорость ползучести обращается в нуль 〃z = 0 и, если обозначить через з радиальную состав-
ляющую скорости ползучести на расстоянии г от оси, то для несжимаемого материала получим соотношения
(16.169)(16.169)
(16.169)
(16.169)
где 玩「, ut — остаточные скорости деформации; 0力 о力——нормальные радиальное и окружное напряжения; Ci ——постоянная интегрирования.
Уравнение совместности
d (“)drd (“)dr=Ur=Ur(16.170)(16.170)
d (“)dr
d (“)dr
=Ur
=Ur
(16.170)
(16.170)
при этом удовлетворяется. Кроме этого, будем иметь
(16.171)
Используя также закон ползучести в форме соотношений (16.163) и (16.164)
Токт = CV^ И = сЧт • Кктт}/т = сЧт， (16.172)
где с——постоянная материала, получаем из соотношений
- af = ydci/(i_m)卩一他/(1-他),
6 — “ = -^,
(16.173)
что коэффициент вязкости 卩 в полом цилиндре определяется
формулой
Подставив это значение ц в уравнение равновесия
где
doy _ ”一 о> — 4jxci 2тСх
Ш(^т)/2
•/(2q)，
(16.175)
(16.176)
найдем радиальное напряжение
3= — CL + c»(16.177)
Здесь С】，С2 ——постоянные интегрирования, которые определяются из условий на внутренней (厂=а) и внешней (厂=6) поверхностях цилиндра, Ог =——р при г = а, а = 0 при 厂=瓦 В результате для радиального и тангенциального напряжений ar, ot для установившейся стадии ползучести получим следующие окончательные выражения:
仇=^；"'=匕2制 q2”z [ — (1 - 2m) -~n~ + 1]. (16.178)
Осевое напряжение 仇 при этом равно
(16.179)(16.179)0r + Ofpm^b^
(16.179)
(16.179)
% = _2-=_(方2m —出吗产•
一 ра2一 ра2Среднее значение осевого напряжения 3之 по толщине стенки трубы оказывается независящим от показателя т:
一 ра2
一 ра2
(16.180)
как и должно быть для трубы с закрытыми концами.
Выражение для напряжений (16.178) показывает, что, когда показатель ползучести имеет значение т= 1/2, тангенциальное напряжение О/ в установившемся состоянии распределяется равномерно по толщине стенки (о± = const). Если же 0 < m < 1/2, то получаем практически важный результат, что наибольшее по абсолютной величине окружное растягивающее нормальное напряжение о% будет действовать на внешней поверхности (г = Ь) цилиндра. Замечая, что в уравнении (16.178) постоянная С】 равна
一 ра2mb
"1 —匕2加 _ a2m(10. lol)
и приравнивая это значение к полученному ранее выражению для Ci (см. уравнение (16.176)), найдем постоянную сь входящую в выражение скорости ползучести ut = cjr2 = w/r. При этом равномерная установившаяся радиальная скорость w, с которой происходит расширение внутреннего отверстия (г = а) 口小 линдра, равна
В случае когда показатель степенной функции в законе ползучести имеет значение m= 1, решение (16.178) будет совпадать с формулами Ламе для чисто вязкого материала (卩=const).
Легко обнаружить, что имеет место полная аналогия между приведенными соотношениями, описывающими установившуюся ползучесть полого цилиндра при монотонной степенной зависимости
%кт = /(%кт) = С 咽в(16.183)
и приведенным в т. 1, стр. 507, решением, описывающим пластическое течение цилиндра из упрочняющегося металла, течение которого происходит в соответствии с монотонной функцией упрочнения
%T = f(%KT)= cY^T・(16.184)
При этом оба решения (установившаяся ползучесть и неограниченное течение) относятся к стадии развитого течения. Эта аналогия является следствием того, что скорости относительного удлинения и сдвига в первом случае
〃「，〃/, 0，Uokt
и остаточные деформации во втором случае
%, Ef，Y，Yokt
выражаются соответственно через радиальную скорость w или через радиальное перемещение, р и через компоненты напряжения при помощи аналогичных формул.
) Релаксация напряжений 6 полом цилиндре. Рассмотрим длинный толстостенный металлический цилиндр, который получил небольшую упругую радиальную деформацию, вызванную натягом при насадке его на жесткий вал. Если это соединение подвергнуть воздействию умеренно повышенной температуры, то возникающие деформации ползучести вызовут постепенное снижение давления натяга и напряжений о「, 6t в стенке цилиндра. При этом небольшое радиальное увеличение ра внутреннего радиуса г=а остается постоянным. Однако соответствующая упругая деформация будет постепенно преобразовываться в остаточную. Решение этой релаксационной задачи получил Дэвис 9 для случая цилиндра, находящегося в условиях плоской деформации, когда осевая деформация отсутствует (ez=0). Предполагалось также, что материал полностью несжимаемый по отношению как к упругим, так и п«пастиче- ским деформациям и что течение имеет вполне общий характер и характеризуется коэффициентом вязкости ц, изменяющимся
Davis Е. A., Relaxation of a cylinder on a rigid shaft, ASME Annual Meeting, Paper 59-A-31, 1959.
в зависимости от напряжений в соответствии со степенным законом ползучести （16.172）.
При радиальном расширении цилиндра из полностью несжимаемого материала малые радиальные перемещения р на радиусе 厂,очевидно, будут пропорциональны приращению ра внутреннего радиуса о и обратно пропорциональны г:
p = M" + 2apa + p^ — r^r[l/~ 1 +^1]
Это соотношение, очевидно, не зависит от законов деформирования как для упругих, так и для пластических составляющих деформаций, а также и от времени /. Поскольку радиальное смещение р не зависит от времени, радиальные скорости
dp 0р“ Q dt ~ dt
будут обращаться в нуль при всех значениях времени / и на всех радиусах 厂.Таким образом, все материальные частицы цилиндра из полностью несжимаемого материала в процессе релаксации будут оставаться в тех положениях, которые они занимали в начальном упругом состоянии, т. е.
p = Pi = 2G （接上2",
где индекс i соответствует моменту времени f=0.
Обозначим через s n S сумму и разность составляющих напряжения и будем рассматривать их как две новые зависимые переменные
s == az + orf S =立一0广
В начальный момент релаксации f = 0 имеет место чисто упругое напряженное состояние цилиндра, описываемое формулами Ламе:
b2 -a2 \ r2 1丿'~（坟一紋）产，
Радиальные перемещения при этом равны
（а/ - аг） г _ Sir _ а — Sir2 — ab2ptP= 4G —而— PL 価'-2 （力2-q2）g・
Будем отмечать одним и двумя штрихами упругую и остаточную составляющие скорости деформации, которую обозначим через u = O"dt. Учитывая, что радиальная скорость равна нулю
всюду в цилиндре (酬=0), получаем, что полные скорости деформации
% = % + 〃7产/，
〃,=%+“=穿"
должны равняться нулю во все моменты времени / и во всех точках цилиндра. Теперь из уравнений, связывающих напряжения со скоростью деформации в произвольной вязко-упругой среде
ut - 〃r 一 4G dt 4G d/ '
/^r — S
получим, используя любое из условий 〃г = 0 или 〃力=0, дифференциальное уравнение относительно неизвестной величины разности напряжений S = Ot—о「
OS 丄 G q n
Воспользуемся степенным законом ползучести (16.172), эквивалентным зависимости
%кт = то (_^£) >0 ^ m ^ 1,
где то, и。, ^ ——постоянные материала; %% =叫一叫—скорость пластического сдвига; т0КТ =(仇—%)/М6 = S/Кб — октаэдрическое касательное напряжение. При этом коэффициент вязкости 队 будет иметь значение
%кт т0 /〉\
подстановка которого в дифференциальное уравнение для S и последующее интегрирование с учетом начального условия SSf = 2a2b2pil(b2~a2) г2 при / = 0 дает для неизвестной разности напряжений S следующее выражение:
-" l {1 + [(1/m-1№0//)5尸/勺产"*
Следует отметить, что эта функция, выражающая зависимость S от переменных г и /, имеет точно такую же структуру как формула, выведенная для случая релаксации при простом
одноосном растяжении при степенном законе ползучести ок = СГ0(〃〃/〃О 严(см. (16.136)),
{1 + СЛп) Г(Е〃о同向)或％)/叫产…)•
Чтобы перейти от этого выражения к формуле для S, следует заменить величины Е, “°, <у0, a, s величинами G, % то, S, S^
Вторая неизвестная (сумма напряжений s = s + o0 определяется при помощи условия равновесия
•^(9)-е = 0.
Если здесь перейти от составляющих напряжения 0力 е к переменным S и s, то получим дифференциальное уравнение в частных производных
時=4(門)■
Для его интегрирования введем следующие сокращенные обозначения:
'例 с /2j庐РGv^n
При этом получим
0一(冲 + 0『3_(1+"2/勺尸ds 2cc°f
Интегрирование последнего соотношения дает
s = s + % = 2Cco/ [ 如 +/(/).(16.185)
J r + Ct)
Интеграл, входящий в это выражение, можно вычислить в замкнутой форме, если п ——целое число (n = 0, 1, 2, ..или т = 0, 1/2, 2/3, ...), причем произвольная функция f(/) определяется из того краевого условия, что на внешней свободной поверхности цилиндра г = Ь радиальное напряжение обращается в нуль (8 = 0) или
Sb = Sb = (d)i・
Дальнейшие подробности решения и примеры распределения радиального и тангенциального напряжений 。力 0力 в фикси-
рованные моменты времени f для цилиндров, характеризующихся отношением Ь/а = 4, а также кривые релаксации давления натяга с течением времени / можно найти в цитированной статье Дэвиса.
Б. Напряжения вокруг цилиндрической полости. Рассмотрим бесконечную среду, напряжения в которой при неограниченном возрастании г стремятся к постоянным значениям ar =(y = const. Если среда содержит цилиндрическую полость радиуса г = гь то, используя степенной закон ползучести (16.183), можно найти, что в установившейся стадии ползучести радиальные и тангенциальные напряжения будут определяться выражениями
^ = ©[1 一(—门’= +(2m- 1)件门.
На поверхности цилиндрической полости 厂=门 тангенциальное напряжение будет равно а^ = 2та; таким образом, отношение
(16.186)(16.186)々=个=2m
(16.186)
(16.186)
будет превосходить единицу, если показатель m степенного закона ползучести имеет значение 1/2</и<1; таким образом, при этих условиях установившейся ползучести имеет место концентрация напряжений, характеризуемая коэффициентом концентрации k = 2m. В случае упругого материала, нагруженного напряжением о, коэффициент k имеет значение fe = 2. Таким образом, вследствие перераспределения напряжений при ползучести коэффициент концентрации напряжений убывает до значения k = 2m, меньшего чем два, исключая случай чисто вязкой среды (m= 1), для которой значение 论=2 остается неизменным.
(16.187)(16.187)Равномерная установившаяся радиальная скорость ш, с которой происходит расширение полости, определяется выражением
(16.187)
(16.187)
Распределение радиального и тангенциального напряжений аг, Gt при нескольких значениях m показано на рис. 16.39. В случае т= 1/2 распределение тангенциальных напряжений ① всюду в теле оказывается равномерным:
аг = о(1 — ?), az = а = const.
Если же /п<1/2, то в становится даже меньше, чем о.
В. Концентрация напряжений около кругового отверстия в тонком ПЛОСКОМ РАВНОМЕРНО РАСТЯНУТОМ ДИСКЕ В УСЛОВИЯХ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ползучести или пластического течения материала. Рассмотрим бес- конечную пластину постоянной толщины, нагруженную на пе-
Р и с. 16.39. Установившееся напряженное состояние около цилиндрической полости при степенном законе ползучести т0КТ = cv^ (0 < m < 1).
Осевая ползучесть отсутствует; тело нагружено напряжениями и —О — const, приложен-ными при г = 8； коэффициент концентрации имеет значение k = 2m при 1/2 < /п < 1.и^ — тангенциальное напряжение; % —радиальное напряжение.
риферии равномерным растягивающим напряжением o = const, создающим в пластине плоское напряженное состояние при равной нулю осевой составляющей напряжения Oz・
Вычисление радиального и тангенциального напряжений о「， (yt для стадии установившейся ползучести теперь оказывается несколько более сложным, чем в предыдущих случаях, поэтому
мы ограничимся лишь приведением формул, описывающих распределение напряжений в параметрической форме. В качестве параметра используем величину
изменяющуюся в пределах 1》со》0 при 厶 V 厂 V 8 】).
Воспользовавшись степенным законом ползучести т0КТ = =с。爲т (O&m & 1), получим
」一 (1一3团)0伊/(1-3他)
…(1-叫>
Г1 丄(1 - 3/n) 0 产/(1-3向
=aL1，(16.188)
①他+［卩+3m + (1-3例)他/(1-3次)
На контуре отверстия r = rx (которому отвечает значение со= 1) из формулы 。± =々0 получаем следующее выражение для коэффициента концентрации напряжения'.
kk21 + 3m21 + 3m2m/(l-3m)2m/(l-3m)(16.188a)(16.188a)
k
k
2
1 + 3m
2
1 + 3m
2m/(l-3m)
2m/(l-3m)
(16.188a)
(16.188a)
Различным значениям показателя m отвечают следующие зна- чения k:
团=1; 2/3; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 0;
fe = 2; 1,72; 1,56; 1,40; 1,31; 1,25; 1,21; 1.
Эта зависимость показана на рис. 16.41. Как видно из графика, она хорошо аппроксимируется приближенным выражением
k m + 1.(16.1886)
и См. статью: N a d a i A., On the creep of solids at elevated temperatures, j. A ppi, Phys., 8, 418—432 (1937). Заметим, что октаэдрическое касательное напряжение т0Кт в случае плоского напряженного состояния и радиальной симметрии имеет значение
Токт = у /2 (q2 - oq + 喲•
При этом, поскольку Ог=0 при 厂=门 и ar — ^t — G при г— оо, октаэдрическое напряжение тОктна обоих концах интервала <i<r<00 будет иметь значение Токт = K^Of/З. Последнее выражение для октаэдрического касательного напряжения было для простоты использовано в приводимом решении для всего диска. Это эквивалентно замене малой дуги эллипса пластичности секуще% весьма близкой к эллипсу.
Рис. 16.40. Напряжения около отверстия в диске для вязкого (т = 1), ползущего (1 > m > 0) и пластичного (т = 0) материалов; коэффициент концентрации напряжений равен ^ = [2/(1 + 3/?1)产血"一加).
Рис. 16.41. График зависимости коэффициента концентрации напря・ й；енп后々 = (2/(1+3/п)产加/(1~3加)от показателя m для диска с отверстие^
ирн стеленном законе прлзучести Т弊尸 с唸г
Два предельных случая m= 1,月=2 и т = 0,月=1, очевидно, соответствуют чисто вязкому материалу (при коэффициенте вязкости ц = const) и идеально пластичному материалу, течение которого происходит при постоянном пределе текучести токт = =(К2/3)а0 = const, где о。一 предел текучести при растяжении. На рис. 16.40 показано распределение радиального, и тангенциального напряжений около кругового отверстия при установившейся ползучести бесконечной пластины.
В работе Будянского и Мангасаряна 】)на основе аналогичных соображений получены точные выражения для коэффициента концентрации напряжений k для случая, когда материал бесконечной пластины с отверстием находится в полностью пластическом состоянии. При этом, однако, предполагалось, что при одноосном растяжении поведение материала описывается трехпараметрическим уравнением упрочнения, первоначально предложенным Рамбергом и Осгудом ?), '
〃 ^^ 1,〃 ^^ 1,(16.188в)(16.188в)
〃 ^^ 1,
〃 ^^ 1,
(16.188в)
(16.188в)
где в — номинальный предел текучести. Кроме того, решение было основано на теории пластичности деформационного типа. При этом было обнаружено, что коэффициент пластической концентрации напряжения k на поверхности отверстия r=「i в случае, когда отношение Og/s стремится к бесконечности (doo — напряжение при г= оо), будет зависеть только от показателя степени и
仁（耍广+3）依+3）「（…）/m狐斗3）仁（耍广+3）依+3）「（…）/m狐斗3）(16.188г)(16.188г)
仁（耍广+3）依+3）「（…）/m狐斗3）
仁（耍广+3）依+3）「（…）/m狐斗3）
(16.188г)
(16.188г)
Этот случай соответствует предположению, что упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению с пластическими, т. е. кривая «напряжение —— деформация» при одноосном растяжении, характеризующая пластическое упрочнение, выражается степенной функцией 8=сосгп. При чисто упругом поведении, когда /г=1, коэффициент концентрации напряжения равен двум 左=2.
Как показал А. А. Ильюшин3), в случае степенного закона пластическое распределение напряжений изменяется пропорционально приложенной внешней нагрузке (т. е. напряжению Og при г= оо). При этом напряжения в различных точках диска остаются в постоянном отношении между собой, а коэффициент концентрации напряжений k не зависит от приложенного напряжения, что согласуется с решением (16.188), полученным автором для случая установившейся ползучести, и с решением (16.188г), полученным для случая пластического течения.
Budiansky В., Mangasarian О. L., Plastic stress concentration at a circular hole in an infinite sheet subjected to equal biaxial tension, Office of Naval Research, Contr. № 1866 (02), Tech. Rept. 3, 16pp, Harvard Univ., Division of Engineering and Appl. Physics, December 1958.
R a m b e r g W., Osgood W. B., Description of stress-strain curves by three parameters, Natl. Advisory Comm. Aeronaut., Tech. Note 902, 1943.
И л ь ю ш и н А. А., Теория малых упруго-пластически^ деформаций, Прикл. матем. и мек” 10, 347—356 (1946),
Если же, однако, пользоваться полным выражением трехпараметрической зависимости (16.188в), то коэффициент концентрации напряжений 々(при фиксированном значении показателя /г) будет изменяться в зависимости от величины внешней нагрузки Оз между значениями 2〉左〉1. В этом случае вычисление коэффициента 良 отвечающего заданному отношению Og/s, становится сравнительно сложным и требует проведения численного интегрирования на вычислительных машинах. Сравнение двух аналитических решений (16.188а) и (16.188г), полученных независимо для степенного закона деформирования, не производилось.
Г. Ползучесть вращающегося диска турбины Лаваля. В хорошо известном диске равного сопротивления паровой турбины Лаваля、не имеющем центрального отверстия и несущем тяжелый обод с закрепленными лопатками, радиальные и тангенциальные напряжения, возникающие под действием центробежных сил, имеют всюду в диске постоянные значения Ог = О£ = o=const. Пусть h — переменная толщина диска; h0 — значение h на оси вращения 厂=0; г — текущий радиус; со — угловая скорость; у ——удельный вес материала; g ——ускорение силы тяжести. Внося в уравнение равновесия
房-吟(16.189)
значения сгг =(т^ =(т=const, получаем
•^•=-сМ, с =、W gG(16.189а)
Из этого уравнения находим экспоненциальный профиль диска равного сопротивления
h = h0e~cr2/2.(16.190)
Поскольку в установившейся стадии ползучести окружная и радиальная скорости ползучести равны между собой:
〃/• = 〃/=詁=const,(16.190а)
замечаем, что для вращающегося диска Лаваля скорость ползучести при любом законе ползучести будет равна половине скорости удлинения растянутого стержня, нагруженного таким же напряжением о, т. е. 〃=о/3林.
Д. Ползучесть вращающегося диска постоянной толщины. Быстро вращающиеся диски, работающие при высоких начальных температурах пара в паровых турбинах, могут иметь пластические смещения в радиальном направлении, вызванные медленной ползучестью напряженного металла. Проектировщикам дисков важно знать, что такое расширение дисков в своей плоскости не окажется чрезмерным, поскольку радиальные зазоры между диском и стальным корпусом обычно очень невелики. Если часть обода диска придет в соприкосновение с неподвижной частью турбины, то теплота, развивающаяся при трении, может вызвать опасный перегрев. Поэтому задача вычисления радиальных перемещений диска вследствие ползучести привлекала внимание многих исследователей.
Для простоты будем рассматривать диск постоянной толщины с центральным отверстием, считая, что как внутренняя цилиндрическая поверхность радиуса гь так и внешняя цилиндрическая поверхность радиуса г2 свободны от напряжений. В тонком диске при 5 = 0 скорости ползучести определяются выражениями
% =等=靑(20一哂
% = ^ =击（2S一0）% = ^ =击（2S一0）(16.191)(16.191)
% = ^ =击（2S一0）
% = ^ =击（2S一0）
(16.191)
(16.191)
tlz = — UT — 4 f.
Большинство исследователей пользовались степенным законом ползучести, принимая, что между октаэдрическим касательным напряжением тОкт и скоростью двига иОкт имеет место соотношение
%кт == си£т， ° & 团 & 1,(16.192)
из которого следует выражение для коэффициента вязкости 卩=С喘｝ = М&кт严 т 叫(16.192а)
Вводя для краткости обозначение
% = ^(16.193)
и замечая, что при этом
22 / 2丄 2、2 言(%2 —%+ 1)
唸 Т = @a 一。凡 +3，(16.194)
嗫t = 4(% + 〃Q + M),
получаем для скоростей деформации следующие выражения:
一 dw 一 /^\ 1 例 2%一1 Г 2 (%2 -% + 1) ](l-m/2m
(16.195)(16.195)% 一 dr I с 丿*6 L 3 J
(16.195)
(16.195)
2 —%」2(%2_%+1)](1-汕/2^
3 J
Если же пользоваться критерием максимального касательного напряжения
Jnax =万
и соответствующей максимальной скоростью единичного сдвигаUmax = 〃f - 〃z = 2% + Un
то при tmax = cuMax компоненты скорости деформации будут
равны
dw /(
2元一1
ur =
3，
2 - %
(16.196)
% =
3 ・
Отсюда
находим
/ g
у(m-l)/m
=2с•
(16.197)
d (rar)o2r2dr / y gd (rar)o2r2dr / y g0.0.(16.198)(16.199)(16.198)(16.199)Используя уравнения (16.195) и (16.196), в обоих случаях следует учесть условия равновесия и совместности 1)
d (rar)o2r2
dr / y g
d (rar)o2r2
dr / y g
0.
0.
(16.198)
(16.199)
(16.198)
(16.199)
d(М) ~dr
Пользуясь критерием максимальных касательных напряжений и вводя в качестве двух зависимых переменных функции х и у, заданные соотношениями
尸斤=翠，\ (16.200)
получаем из уравнений (16.196), (16.198) и (16.199) два совместных дифференциальных уравнения относительно % а у
(16.201)(16.202)(16.201)(16.202)^（卄，）-* = 一陪，«^［（2-工）刘+色旦戸2=0.
(16.201)
(16.202)
(16.201)
(16.202)
Из краевых условий следует, что при 厂=门 и г=「2 функция х обращается в нуль.
Рассмотрим вкратце интегрирование по методу последовательных приближений. Можно заметить, что тангенциальное напряжение о, в диске слабо зависит от радиуса 匚 Интегрируя уравнение равновесия (16.201) между
I) Метод интегрирования, основанный на численном расчете последовательных приближений, был предложен в работе: Wahl А. М., S a n к е у G. О., М a n j о i n е М. J., Shoemaker Е., Creep tests of rotating disks at elevated temperature and comparison with theory, /. Appl. Meeh., 21, 225—235 (1954). В этой работе получены решения, основанные как на критерии октаэдрического, так и на критерии максимального касательного напряжения. В ней имеются также многочисленные ссылки на исследования ползучести вращающихся дисков, включая диски переменной толщины (Bailey R. W., Odqti- i s t F. К. G. и др,).
пределамп^г 1 и г2, для которых Ог = 0, х=0, получаем точные средние значения б, у
①=®) = 7737r J d dr = 3g(〔号=宕(彳 + 厂八 + i). (16.203)
Подставив в уравнение (16.201) вместо ное среднее значение у и интегрируя в ближение для неизвестной функции х,Подставив в уравнение (16.201) вместо ное среднее значение у и интегрируя в ближение для неизвестной функции х,переменной р ее только что найден- пределах 门 и г、найдем первое при-переменной р ее только что найден- пределах 门 и г、найдем первое при-
Подставив в уравнение (16.201) вместо ное среднее значение у и интегрируя в ближение для неизвестной функции х,
Подставив в уравнение (16.201) вместо ное среднее значение у и интегрируя в ближение для неизвестной функции х,
переменной р ее только что найден- пределах 门 и г、найдем первое при-
переменной р ее только что найден- пределах 门 и г、найдем первое при-
°ГГ1厂一厂1勿Г（片+厂1厂2+项厂°ГГ1厂一厂1勿Г（片+厂1厂2+项厂(16.204)(16.204)Подставляя это значение х в грирующий множитель 1/(2 — %) циальное уравнениеd [у (2-х)]У (2-х)Подставляя это значение х в грирующий множитель 1/(2 — %) циальное уравнениеd [у (2-х)]У (2-х)уравнение (16.202), умножая его на инте- и интегрируя результирующее дифферен-уравнение (16.202), умножая его на инте- и интегрируя результирующее дифферен-3(1 — %) dr(2 — %)广3(1 — %) dr(2 — %)广dutdut(16.205)(16.205)в пределах гх и г, найдем первое приближенное вестной функции у.в пределах гх и г, найдем первое приближенное вестной функции у.выражение длявыражение длявторой неиз'второй неиз'…产Н饗？…产Н饗？(16.206)(16.206)
°ГГ1厂一厂1
勿Г（片+厂1厂2+项厂
°ГГ1厂一厂1
勿Г（片+厂1厂2+项厂
(16.204)
(16.204)
Подставляя это значение х в грирующий множитель 1/(2 — %) циальное уравнение
d [у (2-х)]У (2-х)
Подставляя это значение х в грирующий множитель 1/(2 — %) циальное уравнение
d [у (2-х)]У (2-х)
уравнение (16.202), умножая его на инте- и интегрируя результирующее дифферен-
уравнение (16.202), умножая его на инте- и интегрируя результирующее дифферен-
3(1 — %) dr(2 — %)广
3(1 — %) dr(2 — %)广
dut
dut
(16.205)
(16.205)
в пределах гх и г, найдем первое приближенное вестной функции у.
в пределах гх и г, найдем первое приближенное вестной функции у.
выражение для
выражение для
второй неиз'
второй неиз'
…产Н饗？
…产Н饗？
(16.206)
(16.206)
где у\ ——значение у при 厂=门；через(р(г) обозначена функция
Г (1-х)dr
(16.207)(16.207)J (2-х) г
(16.207)
(16.207)
Ф (г) — е '〔
Учитывая, что, согласно уравнению (16.197),
(^)lm ° ЖЖ =("% Ф (“(1&208)
и принимая во внимание, что при г=гь 尤=%i = 0
(%_〃н ~ з (2с)1/£‘
получаем для постоянной интегрирования 勿 следующее выражение:
У\ = {at\tlm==s
3(2c)im.〃〃
2
Неизвестную скорость деформации 〃卄 можно найти из соотношения
j о/…2c (3旬严j [里『昨嘗(不(16.209)
при помощи графического интегрирования.
Таким образом, напряженное состояние вращающегося диска постоянно" толщины в стадии установившейся ползучести в первом приближении выражается формулами
片+ “2 +电「」(16.210)片+ “2 +电「」(16.210)0「= GfX = 07 ]
片+ “2 +电「」(16.210)
片+ “2 +电「」(16.210)
Скорость радиальной ползучести диска равна
W = rut =寸/2"=厂〃〃屮 &)• (16.211)
Повторяя процесс при помощи приведенных выражений, можно получить дальнейшие уточнения.
На рис. 16.42 показано распределение радиального и тангенциального напряжений аг и О/ для стального диска следующих размеров: внутренний диаметр 2,5 дюйм, внешний диаметр 12 дюйм, толщина 1 дюйм (скорость вращения равна 15000 об/мин}. Кривые построены по результатам вычислений, приведенным в работе, цитированной в примечании на стр. 704. Кривые построены для нескольких значений показателя ползучести в законе (16.192), а именно 及=1/т = 6; 8; 9, причем значение постоянной с определялось по результатам испытаний на ползучесть растянутых образцов 12-процентной хромистой стали, вырезанных из одного из дисков J). Испытания проводились при температуре 1000° F.
В связи с разработкой высокопрочных крипоустойчивых сплавов допустимые напряжения повысились по сравнению с пределами текучести при той же повышенной температуре. При этих условиях величина ео условной начальной деформации для линейной аппроксимации £ = £o+〃min/ кривой ползучести возрастает, а первый искривленный участок этой кривой захватывает более значительную часть срока службы /3. Одквист) придпринял попытку учесть этот первый период ползучести (обычно исключаемый из рассмотрения) в расчетах напряженного состояния вращающихся дисков.
Он предложил обобщенные зависимости «напряжение — скорость деформации^, описывающие также первый искривленный участок кривой ползучести, на основе которых ему удалось разработать метод последовательных приближений для расчета напряженного состояния вращающихся дисков постоянной толщины. Предложенный подход несколько аналогичен расчету
частично пластического вращающегоя диска, поскольку предлагается различать две зоны, в одной из которых имеет место первичная ползучесть, а относительно второй предполагается, что ползучесть в ней уже достигла уста-
Р и с. 16.42. Распределэние напряжений вдоль радиуса для вращающегося диска при различных значениях п = 1//п.
Решение при критерии максимальных касательных напряжений и степенном законе lmax = °°幫ах，Внутренний радиус 1,25 дюйм-, наружный радиус 6 дюйм; угловая скорость 15 000 об/мин.
ноцившейся стадии. Таким образом, приближенно анализируется перераспре^ деление напряжений в переходном процессе ползучести.
Предложенное решение оказалось весьма сложным. Учитывая, что пэ истечении достаточного времени диск будет находиться в стадии установившейся ползучести, можно также производить оценку его деформаций, вызванных ползучестью, рассматривая только установившуюся стадию и
принимая при этом во внимание начальную деформацию £о〔)・ С другой стороны, представляется целесообразным обобщить теорию расчета напряжений и пластических деформаций вращающегося диска путем введения в рассмотрение сложной среды, обладающей свойством обратной ползучести (см. § 16.2, Е, уравнения (16 106) и (16.108)). Такой подход, возможно, позволит подойти к расчету релаксации контактных напряжений, возникающих в массивной втулке диска при насадке его на вал.
Е. Пластическая деформация вращающихся цилиндров, изготовленных из упрочняющегося материала. Учитывая аналогию, отмеченную в § 16.6, А. едва ли нужно указывать, что напряженное состояние, найденное выше для случая степенного закона установившейся ползучести цилиндров и дисков, будет иметь место также в соответствующих случаях пластической деформации упрочняющегося металла, течение которого полностью описывается монотонным степенным законом деформирования. При этом подразумевается, что упругими составляющими деформации можно пренебречь, а остаточные составляющие деформации остаются малыми.
Ввиду отмеченной аналогии имеет смысл рассмотреть изученный Дэвисом и Коннеллн) длинный металлический, сплошной или полый, цилиндр, вращающийся вокруг своей оси с достаточно большой угловой скоростью з, при которой весь цилиндр переходит в пластическое состояние.
Будем считать, что текучесть металла описывается идеализированным законом деформирования, согласно которому октаэдрическое касательное напряжение течения тОкТ линейно зависит от малой пластической октаэдрической деформации единичного сдвига у°кт：
Токт =巧 + ЬУокт, (16.212)
где Ti, т2 — положительные постоянные, Yokt>0. Будем считать, что цилиндр может свободно сокращаться в осевом направлении, получая при этом равномерную осевую деформацию ez =—呪=const. Это предположение эквивалентно следующему условию, накладываемому на осевые нормальные напряжения в：
(16.213)
где а ——внутренний радиус цилиндра, Ь ——внешний. В несжимаемом материале радиальное пластическое смещение р равно
(16.214)
где 论——постоянная с размерностью длины. Радиальная и тангенциальная составляющие пластической деформации при этом имеют следующий вид:
Зависимости напряжений от деформаций выражаются следующими шениями:Зависимости напряжений от деформаций выражаются следующими шениями:соотно-соотно-々2◎t — ^Г = 2ф80 尸,々2◎t — ^Г = 2ф80 尸,” —°z = Ф8о” —°z = Ф8о(16.216)(16.216)%-”= -(₽£о(1+5)・%-”= -(₽£о(1+5)・Для октаэдрического касательного напряжения г0Кт и единичного Уокт получим выраженияДля октаэдрического касательного напряжения г0Кт и единичного Уокт получим выражениясдвигасдвига(16.217)(16.217)из которых находим модуль пластичностииз которых находим модуль пластичностиЗТоКТ —3产 t[IЗТоКТ —3产 t[I(16.218)(16.218)
Зависимости напряжений от деформаций выражаются следующими шениями:
Зависимости напряжений от деформаций выражаются следующими шениями:
соотно-
соотно-
々2
◎t — ^Г = 2ф80 尸,
々2
◎t — ^Г = 2ф80 尸,
” —°z = Ф8о
” —°z = Ф8о
(16.216)
(16.216)
%-”= -(₽£о(1+5)・
%-”= -(₽£о(1+5)・
Для октаэдрического касательного напряжения г0Кт и единичного Уокт получим выражения
Для октаэдрического касательного напряжения г0Кт и единичного Уокт получим выражения
сдвига
сдвига
(16.217)
(16.217)
из которых находим модуль пластичности
из которых находим модуль пластичности
ЗТоКТ —3产 t[I
ЗТоКТ —3产 t[I
(16.218)
(16.218)
Выражая разность ar — o± при ставляя ее с учетом только что весия (16.198), получаем после радиального напряжения 仃丁：Выражая разность ar — o± при ставляя ее с учетом только что весия (16.198), получаем после радиального напряжения 仃丁：помощи первой из формул (16.216) и под- полученного значения ф в уравнение равно- интегрирования следующее выражение для
Выражая разность ar — o± при ставляя ее с учетом только что весия (16.198), получаем после радиального напряжения 仃丁：
Выражая разность ar — o± при ставляя ее с учетом только что весия (16.198), получаем после радиального напряжения 仃丁：
” =Ci^3£0&声一J/ 万 s Inj^ ■・(16.219)
При этом нормальные напряжения ot и в можно вычислить при помощи уравнения (16.216). В свободно вращающемся полом цилиндре напряжение Or должно обращаться в нуль при г=а и г=Ь. Из этих условий получаем для постоянной интегрирования С} два выражения, приводящие к первой функциональной зависимости между неизвестной деформацией е0, длиной k и угловой скоростью з. Второе соотношение, содержащее неизвестные е0 и 汽 получим из уравнения (16.213). Одновременное решение этих двух уравнений позволяет определить значения £q и ^ для любой заданной угловой скорости вращения со. Ввиду сложности этих уравнений мы не будем их приводить
здесь； численное их решение для нескольких значений скорости вращения было получено в цитированной работе.
Резюмируя сказанное, отметим, что при вращении цилиндра с возрас-
тающими скоростями окружное напряжение 6 на внутреннем
контуре и
всюду в цилиндре возрастает, а пластическое напряженное состояние посте-
пенно изменяется в соответствии с постулированным законом
ния Токт = Ti~I~T2Yokt- На рис.
^^10^ фуит/дюйм2
деформирова-
16.43 в качестве примера показано распределение напряжений в длинном цилиндре при следующих данных： внутренний радиус цилиндра а= 1 дюйм, внешний радиус цилинд-
тельно
yd（核_产）
dz = o「~~ 屮£。= O' г — 3
巧 + V2 т2е0.
ра 6 = 4 равны
07 = 07 =
6
4
2 О
дюйм, постоянные материала Ti = 20 000 фунт!дюй^, т2=
=100 000 фунт/дюйм2, коэффициент сравни-
небольшой угловой скорости
уй)2/2^=4,059, осевая деформация £о = О,О1.
В сплошном вращающемся цилиндре, изготовленном из линейно упрочняющегося материала, постоянная k равна нулю, деформации имеют значения 8r = £» = £о/2= =const, а напряжения оказываются равными
+ ^2eo I, (16.220)
Рис. 16.43. Полностью пластическое распределение напряжений в полом вращающемся цилиндре при законе деформирования Токт = 5 + + ZYokt (решение Дэвиса и Коннелли).
Кривые построены при следующих численных значениях:
Ti = 2 • 104 фунт/дюйм2;
Т2 == 105 фунт1дюйм^\ е0 = 0,01; усо2/2§ = 4,059.
Указанное постоянное значение октаэдрического касательного напряжения тОкТ имеет мест£ всюду в цилиндре, поскольку уОкт = = 1^2 е0 = const не зависит от г. Легко также проверить, что абсолютное значение продольного сокращения 8г=——е0 изменяется при увеличении угловой скорости вращения ①，согласно соотношению *
Yd核 12gt2
МТ т2
(16.221)
Отсюда получаем для радиального испытывающего течение под действием ражение:
расширения сплошного цилиндра,центробежных сил, следующее .вн-
Р = £伍=—,
(16.222)
Поскольку £о должно быть положительно, найдем, положив е0=0 в формуле ДЛЯ 8о, минимальную скорость (Omin, необходимую для того, чтобы весь сплошной цилиндр перешел в пластическое состояние
Y唸in庐 ％1 7r.
g
(16.223)
При этом всюду в цилиндре тОкТ будет иметь значение TpKT = Ti = const. Последняя формула, а также соответствующие вараження для а, =аь 勿="-(3":穹совпадают с теми зависимостями, которые были получены для неупрочняющегося идеально пластичного сплошного вращающегося цилиндра- при е2 = 0 (см. т. 1, стр. 545).
В заключение можно показать, что найденное распределение напряжений в материале, подчиняющемся линейному закону упроинення
%кг - % + ^2^окт*
выражает также распределение напряжений в вязком материале, имеющем предел текучести 口 и деформирующемся в соответствии с законом Бингама
х(жт = 口 + 卩 Оокт・ (16.224)
Чтобы полупить решение для этого последнего случая, достаточно заменить постоянную т2 на постоянный коэффициент вязкости 卩，модуль пластичности ф ——на 3|i, единичный сдвиг уокт ——на скорость сдвига vOkt и перемещение р — на скорость р. Таким образом, нами получено также решение для вращающегося цилиндра, материал которого обладает свойствами среды Бингама.
Неупругие наследственные эффекты при стационарных и переменных режимах нагружения или деформирования. А. Обзор наследственных явлений. Неупругим последействием называют явление, заключающееся в следующем: если на упругое (в обычных условиях) тело при нормальной температуре продолжает воздействовать постоянная нагрузка умеренной величины, то наряду с начальными упругими обратимыми деформациями в теле появляются также малые составляющие деформации, медленно возрастающие с течением времени】). Хотя этот термин не является вполне определенным, мы будем им пользоваться в этом параграфе, рассматривая различные типы наследственных явлений в связи со свойствами изучаемых сред.
В твердых телах, нагружаемых при повышенных температурах, имеет место явление ползучести. Медленная ползучесть обнаруживается в некоторой степени также при нормальных и даже при низких тёмпературах. Ввиду этого ползучесть можно рассматривать как один из типов наследственных явлений. Для упрочняющихся ковких металлов напряжение течения зависит
I) Обстоятельный критический обзор этих явлений и исторические данные приведены в работе: Leaderman Н., Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polymers, 278 pp., Textile Foundation, 1953. Упругое последействие впервые описал в 1835 г. Вебер (Геттинген). Он обнаружил это явление при закручивании и раскручивании шелковых или стеклянных волокон, на которых были укреплены гальванометрические зеркальца. Некоторые закономерности, имеющие место при наследственных явлениях, были впервые описаны в следующих работах: Kohlrausch R., Poggen- dorf*s Ann. Physic, 1847, 1854; Kohlrausch F., Ibidem, 1863, 1866, 1876; Hopkinson J., Proc. Poy. Soc., London (1878) (цитируется по упомянутой книге Лидермана).
как от величины пластической деформации, так и от скорости пластического деформирования. В мягких металлах малое пластическое послетечение обнаруживается при достижении нагрузкой предела текучести, если нагрузка поддерживается на этом уровне в течение некоторого времени. Неупругие наследственные эффекты при постоянных нагрузках связаны с основным свойством твердого состояния вещества, заключающимся в том, что если напряжение способно вызвать необратимое течение, то та или иная составляющая малой остаточной деформации будет возрастать с течением времени Л
Как было отмечено в § 16.2 (см. также § 4.1, Г), наряду с необратимыми деформациями, вызванными пластическим течением или ползучестью (или тем и другим вместе), могут возникать также малые обратимые остаточные деформации У. Аналитическое выражение для них можно получить, если представить полное одноосное нормальное напряжение в виде суммы двух составляющих: о=о'+о〃, причем составляющая о, = Ег8,/, пропорциональна обратимой части /〃 полной деформации, а составляющая o〃=gr(〃〃‘) зависит от скорости деформации и!" = -^-=守〃：
а = а^ + = £储〃 + gr (^). (16.225)
Полная величина малой относительной деформации 8 при этом рассматривается как сумма трех перечисленных составляющих.
Обобщая наши прежние предположения относительно деформации 8, положим, что полная деформация 8 содержит упругую обратимую составляющую V = б]Е> остаточную составляющую 8^ (возрастающую при увеличении напряжения течения о и определяемую монотонной функцией упрочнения % = =力р(о))‘ необратимую вязкую составляющую е〃, скорость кото- рой 〃” = -^- = ©” характеризуется некоторым законом ползучести 〃〃=〃(сг), и, наконец, полуостаточную составляющую У", определяемую уравнением (16.225).
Пусть среда, испытывающая указанные четыре вида деформации, подвергается непрерывному постепенному нагружению, начиная от бесконечно удаленного момента времени /=—оо, причем напряжение o=cr(f)=f(/) монотонно возрастает от значения о = 0, как показано на рис. 16.44〔)• Тогда в момент t
Рассмотрение только монотонных функций нагружения a—f(0 не является существенным ограничением, однако это позволяет избежать необходимости учета интервалов, когда da/d/<0 и рост пластических деформаций 中 прекращается.
составляющие деформации будут иметь следующие значения:
8р(^)= ^р(а)~ пластическая составляющая, (16.226) /t
/(/)= j и" dt = J Л (о) dt — вязкая составляющая. (16.227)
Полная деформация 8 при этом равна
£ = М + е； + £〃 + £〃_
；(16.228)
£«) = —+九夕(о)+ J h^dt + e^^t),
где £〃'(/)——интеграл дифференциального уравнения, получающийся из (16.225) при подстановке вместо означения о = о«) = = /(/). Слагаемые 8( + £〃при этом дают величину остаточной необратимой деформации, накопленной к моменту времени t.
Переменное нагружение.
(16.229)(16.229)Уравнение (16.228) применимо также для случая, когда в некоторый фиксированный момент / = /】 среда испытывает внезапную разгрузку, так что напряжение убывает от значения O]=f(/i) до значения о=0. Для значений времени /〉厶 выпадает слагаемое е； = о/Е, а остаточная деформация
(16.229)
(16.229)
8；1 + 8? = Ар (%) +『九 9)dt
остается неизменной. Ветвь графика £ после разгрузки определяется как результат последействия
8 (0 =吟 + ef + У", / > 九(16.230)
причем составляющая £‘〃 теперь определяется из уравнения
&®〃) + Е£〃 = 0,&®〃) + Е£〃 = 0,(16.231)(16.231)
&®〃) + Е£〃 = 0,
&®〃) + Е£〃 = 0,
(16.231)
(16.231)
описывающего восстановление деформации при внезапном снятии напряжения.
Если нагрузка действует на тело в течение ограниченного промежутка времени £, начиная от момента / = 0 (рис. 16.45), то в интегралах, входящих в приведенные выше выражения, следует заменить нижний предел / =——оо на f==0.
Хотя подробности вычисления слагаемых £〃 и £〃' были подробно изложены в приведенных ранее простых примерах, в которых разыскивалась сумма составляющих £〃 + £‘〃, описывающая соответствующие неупругие наследственные эффекты, тем не менее теперь полезно остановиться на двух частных программах нагружения и деформирования.
Постоянная нагрузка o = const, приложенная в момент / = 0. При действии напряжения o = const упругие и пластические деформации е' = о/Е и £/ = %(о) остаются неизменными, а полная деформация 8(/) определяется выражением
е(£)=工 + 勺(а) + 九(о) / +(16.232)
где &〃'一решение уравнения (16.225) при o = const
g「停〃)+ Е£〃 = о = const.(16.233)
Очевидно, что составляющая &'〃 характеризует изменение обратимой деформации при постоянном напряжении и ее можно символически представить в виде
(16.234)
причем функция 屮«) удовлетворяет начальному условию •ф(О) =0 при / = 0.
Постоянная деформация 8 = const. Пусть тело внезапно нагружается в момент / = 0 так, что деформация достигает некоторого начального значения 8 = 8^ = const и в дальнейшем остается постоянной. Соответствующее начальное значение напряжения аг определяется из соотношения
勺= * + %(о)(16.235)
Пластическая деформация £；=九"(о) будет сохранять постоянное значение, так как с течением времени напряжение о(/) будет убывать вследствие эффекта релаксации, определяемого
совместным решением уравнений (16.107) относительно деформации £〃 и £〃'：
陪，
/£ \ 絃优〃(16.236)
M〃一^Л
где g, gr— функции, обратные к функциям /i(o),九「(0). Определяя начальное напряжение о(0)=о^ из уравнения (16.235) и вычисляя £〃'，согласно уравнениям (16.236), мы сможем найти из уравнения (16.225) напряжение а(/), представляющее собой единичную функцию релаксации, которую можно записать в виде
о = S屮(力)，(16.237)
причем при / = 0 должно быть(р(0) = 1.
Рассмотренные наследственные эффекты, вызванные заданным изменением переменного одноосного нагружения или деформирования, при которых напряжение о = о(£) или деформация 8 = е(/) непрерывно возрастают с течением времени 厶 можно рассчитывать, таким образом, путем интегрирования соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, как отмечалось в § 16.2, И, основатели математической теории неупругого последействия (Больцман, Вольтерра и др.) пользовались для описания наследственных эффектов некоторыми определенными интегралами, в подинтегральное выражение которых они интуитивно вводили производные по времени 0 либо от единичной функции обратимой деформации 屮(/——0), либо от единичной функции релаксации 屮(/——0), где 0 — промежуток времени, на котором напряжение сг(0) или деформация 8(0) изменяются по соответствующим заданным программам.
Б. Интегралы Беккера, Больцмана и Вольтерра. Следуя изложенной концепции, применим введенные ранее две фундаментальные функции W(f) и(р«) (см. (16.234) и (16.237)) в следующих двух задачах.
Случай переменного напряжения, когда задано напряжение о=сг«) как функция времени / и требуется найти деформацию £ = £(/).
Обратная задача о переменной деформации, когда задана деформация £ = £(/) как функция времени / и требуется найти вызывающее эту деформацию напряжение сг = сг(/).
Начнем рассмотрение прямой задачи и примем, что образец подвергается длительному (—оо</) нагружению из
недеформированного состояния путем постепенного и непрерывного увеличения напряжения о от нулевого значения по заданной программе o = o(f) = f(/) (рис. 16.44), не содержащей разрывных изменений напряжений. При этом в материале могут иметь место упругая деформация &，= о/Е, пластическая деформация е；, определяемая кривой упрочнения 8^ = Лр (а) и зависящая только от напряжения о, вязкая деформация е〃, скорость которой 〃〃=©〃=/i(cr) зависит от мгновенного значения о и определяется заданным общим законом ползучести 力(。)и
остаточной деформацией обратимой природы а'〃. Величина &〃‘ определяется единичной функцией 屮(f), которая в случае единичного постоянного напряжения cr = const представляет собой известную функцию времени “(/) (см. (16.234)).
Для того чтобы вычислить полную деформацию £(/), возникающую в заданный момент времени t = OB (рис. 16.46), рассмотрим промежуточный момент времени 6 = 04, которому соответствует значение напряжения а(0) —АР. В соответствии с принципом суперпозиции (16.228) деформация &(/) в момент t=OB равна
е(/)=噜 + “(о) + J й [°(0)]d0 + &〃(/). (16.238)
Для вычисления составляющей &〃'(/) воспользуемся единичной функцией обратимой деформации 2(/), заданной уравнением (16.234) и отнесенной к единичному постоянному напряжению, причем следует иметь в виду, что функция г|)может также зависеть от переменного напряжения сг(0) как от параметра. Пусть напряжение сг(0) в промежуточный момент времени 0 получает приращение dcr = do(8). Поскольку это прира-
щение нагрузки действует как постоянное напряжение do в течение интервала времени (/ ——0), оно, вообще говоря, вызовет в момент времени / приращение деформации W, равное
М〃(/) = % [do •屮(/ - 6) + о 型累》°°] •(16.239)
В этом соотношении учтено путем введения второго слагаемого, что функция *ф может также зависеть от напряжения о, как от переменного параметра.
Таким образом, полное неупругое последействие, определяемое двумя последними слагаемыми уравнения (16.238), будет выражаться в момент времени / определенным интегралом
『 + «= I {л [о (0)] +- 0) + о (0) ^У^-]} d^
(16.240)
в который включена также накопленная вязкая деформация £〃• Составляющую
Q=t
9(/)= $ / (W-6) + o(6)^^]〃(e)(16.241)
можно также представить в следующей эквивалентной форме 9 ：'
(/) = ~ J 0(8)[曙•^^-^^^]^.(16.242)
Выведем уравнение, определяющее полную деформацию з(/), создаваемую переменным напряжением о(/), причем будем считать, что пластические и вязкие деформации отсутствуют (вр = 8Z, = 0), и примем, что функция 屮(/ ——0) не зависит от о, т. е. Oi|)/dcr = O. Полная деформация при этом представляется следующим более простым выражением:
0=^
&«)=f о(е)d吗戸Ide.(16.243)
1) Соотношение (16.242) получается путем интегрирования по частям интеграла
J 2(/-e)dG(e)=件(方一8)0(8)亡8 - J e吗F0⑻如
Где нужно учесть, что слагаемое в скобках обращается в нуль.
Переходя здесь о】 интегрирования гю текущему времени 0 к прошлому времени /' = / — 0, получаем
尸=оо
£(/) =噜+ К [ о(/_ у)_Ё2ур_а/，，(16.244)
где последний интеграл вычисляется от постоянного момента времени (/ = 0) до бесконечно удаленного прошлого (У = оо). Последний определенный интеграл в (16.244) совпадает с тем выражением, которое было постулировано Беккером в его исследовании наследственных эффектов, вызванных прошедшей историей нагружения ).
В двух приведенных выше уравнениях напряжение о«) известно, а деформация 8(/) подлежит определению. Однако эти уравнения можно также интерпретировать как представление решений обратной задачи о переменном деформировании, состоящей в отыскании неизвестной функции о(/), входящей как под знак определенного интеграла, так и во внеинтеграль- ный член. Это приводит к необходимости решения интегрального уравнения.•
Возвращаясь к уравнению (16.242), рассмотрим случай, когда переменная нагрузка, прикладываемая в момент времени / = 0, имеет в этот начальный момент конечное значение о = о° и при / > 0 непрерывно возрастает с течением времени (рис. 16.47). При этом определенный интеграл (16.242) следует записать в несколько видоизменной форме, поскольку нагрузка в момент времени / = 0 изменяется разрывным образом от значения о = 0 до значения о = сг(). Легко показать, что при этом обратимая часть деформации £‘〃(？) будет определяться интегралом
«(尸击 J ^°^-^^^-^0)^^}^0-(16-245) 0 = 0
Если функция 屮« ——0) не содержит параметра о, то это выражение переходит в уравнение Беккера для полной деформации £ = £‘+£〃‘
&(/) = +。⑴- J о⑼吗訐％В , АО. (16.245а) -0=0-
Рассмотрим обратную задачу]) отыскания напряжения а(/), вызывающего заданную непрерывно увеличивающуюся переменную деформацию &(/). Для того чтобы избежать рассмотрения двух составляющих £〃 и £〃', взаимосвязанных при помощи двух нелинейных дифференциальных уравнений (16.236), мы будем считать, что пластические и вязкие деформации отсутствуют: е^ = еЛ, = 0, и примем, таким образом,, что полная деформация 8 равна сумме упругой составляющей £‘ = о/Е и полуоста- точной обратимой составляющей У〃，т. е. £ = £‘ + £〃'. Это эквивалентно предположению, что в элементарном процессе релаксации при неизменной деформации £ = s = —■ = const полуостаточ- ная деформация i〃， определяющая последействие, удовлетворяет дифференциальному уравнению
gr 停〃)+ (Е + EJ £〃' = Eg = d・(16.246)
Решение этого уравнения в случае, когда напряжение о(£) убывает с течением времени /, имеет вид
0⑴=e(%一8〃‘)= 6・一庚"=立中亿g・ (16.247)
Таким образом, мы получаем единичную релаксационную функцию 屮(/,&£), соответствующую приложению единичного началь-
Эта обратная задача занимает значительное место в работах: Boltzmann L., Zur Theorie der elastischen Nachwirkung, Sitzber. Acad. Wiss. Wien, Math.-nalurw. KL, 70, 275 (1874) (см. также: Poggendorf's Ann. Phys/, 7, 624 (1876)); W i e c h e r t E., Gesetze der elastischen Nachwirkung, Wiedermann's Ann. Physik and Chem., 50, 335, 546 (1893); V о 11 e г г a V., Rend accad. del Lincei, 21, ser. 5 (1912); Lecons sur les equations integrales et integro-differentielles, Gauthier-Villars, Paris, 1943; Theory of Functionals, Integral- and Integro-differential Equations, Blackie and Sons Ltd., Glasgow, 1930 (цитируется по указанным ниже работам E. Volterra).
Из обширной литературы по рассматриваемому вопросу укажем также следующие работы: Bennewitz К・，Z. Physik (1920, 1924); Fromm Н., Nachwirkung und Hysteresis, Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, v. 4, pt. 1, p. 436—457, 505—550, Verlag von Johann Ambrasius Barth, Leipzig, 1931; Frendenthal A. M., Inelastic behavior of engineering materials ana structures, J. Wiley and Sons, Inc., N. Y„ 1950; Gross B., Mathematic structure of theories of viscoelasticity, 74pp., Hermann and Cie. Paris, 1953 (см. также: Rheologische Verteilungsfunktionen, Kolloid-Z., 131, 161 (1853)); 3 и н e p K・，Упругость и неупругость, M., 1948.
ного напряжения а^ и удовлетворяющую условию (р(0, ej = 1 при / = 0.
Здесь подразумевалось, что функция(р(/, 8г), вообще говоря, может зависеть от деформации & как от переменного параметра. Исключение из рассмотрения пластических и вязких составляющих деформации оставляет возможность рассмотрения достаточно общих типов сплошных сред, примеры которых были приведены ранее, при введении степенной зависимости (16.36) и закона гиперболического синуса】)(16.41) и (16,42).
Предположим вначале, что единичная функция(р(/) зависит только от времени / и не зависит от &. Поступим так же, как при выводе соотношений (16.243) и (16.244), принимая теперь, что деформация 8(0) в промежуточный момент времени 0 получает приращение ds(0) (рис. 16.48). Тогда найдем, что полоска длиной (力——0) и высотой rfs(0) будет представлять элементарный релаксационный процесс, вызывающий уменьшение напряжения dcr(/) в фиксированный момент времени t в соответствии с уравнением (16.247).
Обозначив
do,： = Edq = Edu (0), do ⑴=E(p (/ — 0) de (0),найдем, что переменная, деформация &(/) вызывает напряжение
о(/) = Е J Ф^-0)^^^0-(16.248)
Среду этого типа, для которой интегралы Больцмана ——Вольтерра приводят к выражениям (16.248) и (16.250), можно представить при помощи механической модели, упомянутой в § 4.1 (см. примечание на стр. 218), удовлетворяющей условию £ = £‘+£〃'= (о/Е)+£〃'. Для этого следует рассмотреть обобщенную модель Кельвина, представляющую собой параллельное соединение упругого и вязкого элементов, причем последний характеризуется обобщенным законом вязкости o〃 = g「(£〃)； эта обобщенная модель Кельвина последовательно прь!соединяется к упругому звену, которое соответствует слагаемому e'=0/瓦
Этот интеграл посредством интегрирования по частям можно также представить в следующих двух формах:
"е=/■
о(/) = Е £«)- J g(①吗” de ,(16.249)
■r = oo-
o(/) = E 8(0+ J e(f-P)傳戶"・(16.250)
-尸=o-
В этих выражениях интегрирование ведется либо по текущему времени 0, либо по прошедшему времени，= / — 0; в теории неупругого последействия приведенный интеграл известен как интеграл Больцмана ——Вольтерра.
Рассмотрим еще раз уравнение Беккера (16.244) для случая переменного напряжения 〃 = оо
Ее(/) = о(/)+ J о(/-，)^1"・(16.251)
/'=0
Нетрудно обнаружить замечательную симметрию в структуре двух последних выражений и сформулировать простое правило, при помощи которого два определенных интеграла в уравнениях (16.250) и (16.251) преобразуются один в другой, если они применяются к соответствующим функциям е(/) и о(力)； это правило сводится к необходимости поменять местами члены fe и ср с членами а и гр. Если в уравнении (16.250) рассматривать 8 как неизвестную величину, то решение этого интегрального уравнения относительно е будет иметь вид (16.251) и, наоборот, если неизвестной является напряжение о. Указанная зависимость между двумя определенными интегралами связана с двумя фундаментальными единичными функциями “(/) и ф(/), точнее, с производными по времени этих функций d«ldt, dqldt. Определение функций г|)(/) и(р(/) требует отыскания деформации е'〃 при постоянном напряжении о = const из дифференциального уравнения
g「(％) + Е£〃 = о = const,(16.252)
определяющего единичную функцию г|)(/) в виде соотношений «寿2⑺，屮(0)"(16.253)
Единичная релаксационная функция ф(/) определяется при помощи соотношений
о (/) = а^ср (/), ср (0) = I(16.254)
и является решением уравнений (16.246) и (16.247) при постоянной деформации £ = & = const. В обоих исходных дифференциальных уравнениях (16.252) и (16.246) развитие последей ствия 1) описывается при помощи надлежащей фунции g『传'〃
Рис. 16.50. Людвиг Больцман (родился 18 февраля 1844 г. в Вене, умер 5 сентября 1906 г. в Дюино, покончив самоубийством). Профессор физики в университетах Граца, Вены, Мюнхена и Лейпцига. Собрание его сочинений опубликовано в 1909 г.
Две производные 曲1卅\ d屮/d/, играющие роль функций влияния и входящие в подинтегральные выражения, называются в теории интегральных уравнений ядрами. Как указано в некоторых работах Э. Вольтерра ), посвященных трудам его отца
На рис. 16.52 и 16.53 показана предполагаемая, форма «кривых влияния» / и 2, представляющих собой прризводные d^/df и d^ldt\ и их соответственное расположение по отношению к кривым е(/—U) (кривая 3 соответствует заданной реформации е) и o(f——，)(кривая 4 соответствует заданному напряжению о) в фиксированный момент времени t = OB. Нетрудно видеть, что подинтегральные выражения двух определенных интегралов можно найти графически или численно в заданных точках, перемножая ординаты 4R кривых влияния /, 2 на ординаты кривых 8 или и. Этот процесс следует повторить для других значений фиксированного времени t — OB, передвинув кривые / и 2 в их соответствующие новые положения.
В. Вольтерра, последний называл в своей геории величины dW(/)/d/‘ и —dq?(L)/dy наследственными ядрами или функция
ми памяти, а определенные интегралы он называл функционалами, зависящими от этих функций.
Рис. 16.51. Вито Вольтерра (родился 3 мая 1860 г. в Анконе, умер 11 октября 1940 г. в Риме). Профессор математики в университетах Пизы, Турина и (с 1900 по 1931 г.) Рима. При фашистском режиме был уволен, позже получил дворянский титул от английского короля Георга.Рис. 16.51. Вито Вольтерра (родился 3 мая 1860 г. в Анконе, умер 11 октября 1940 г. в Риме). Профессор математики в университетах Пизы, Турина и (с 1900 по 1931 г.) Рима. При фашистском режиме был уволен, позже получил дворянский титул от английского короля Георга.
Рис. 16.51. Вито Вольтерра (родился 3 мая 1860 г. в Анконе, умер 11 октября 1940 г. в Риме). Профессор математики в университетах Пизы, Турина и (с 1900 по 1931 г.) Рима. При фашистском режиме был уволен, позже получил дворянский титул от английского короля Георга.
Рис. 16.51. Вито Вольтерра (родился 3 мая 1860 г. в Анконе, умер 11 октября 1940 г. в Риме). Профессор математики в университетах Пизы, Турина и (с 1900 по 1931 г.) Рима. При фашистском режиме был уволен, позже получил дворянский титул от английского короля Георга.
Если деформирование начинается в момент / = 0 и при этом в начальный момент изменяется разрывно, внезапно достигая конечного значения е^ (рис. 16.49), то напряжение o(f) определяется при помощи одного из следующих выражений:
о (/) = Е %・(р (/) + J(р(/ — 6) ~^^ de ,-о」
「 f](16.255)
о ⑴=Е「(0) 口％* 叶
где слагаемое E^{t) в первой строке, очевидно, представляет элементарную релаксационную кривую, соответствующую внезапному приложению деформации е^, которая сохраняет затем постоянное значение в интервале времени О<0</.
Возвращаясь теперь снова к общему случаю, когда единичная функция ф(/, 8г) содержит также переменный параметр ”, приведем решение обратной задачи при заданном пути деформирования 8(/)> начинающемся с конечного значения e = Eio при
4
Рис. 16.53. Графики функций влияния d^/df, 風屮/”，используемых при вычислении интегралов Беккера - Больцмана.
f=0 (рис. 16.49). Необходимое для этого напряжение определяется соотношением
a(/) = £е(/) + £ "⑼［暂^旭 0=0
(16.256)
Если функция ф(/ ——0) не зависит от &, т. е. если 5(p/^8^ = 0, то это выражение совпадает со вторым из уравнений (16.255).
Этим мы заканчиваем краткий обзор теории неупругих наследственных эффектов, которые были рассмотрены на основе классической теории при помощи определенных интегралов, однако было подчеркнуто значение основного закона ползучести (16.225) и двух фундаментальных единичных функций 屮(/), Ф(/), получающихся из этого закона. Приведем теперь примеры, иллюстрирующие целесообразность введения этих функций, производные которых определяют ядра упомянутых интегралов.
В. Примеры приложений. Пример 1. Рассмотрим вначале простейший пример сложной вязко-упругой Рреды со свойствами обратимости, характеризуемой линейными зависимостями от скоростей,
。=3呢" =«e/*〃，g%
где Е, Е「, (1, |хп 备,力—постоянные материала. Мы получили ранее (см. (4.34)), что при постоянном напряжении а=const деформация 8 равна е М + J + е〃‘ =工［1 + / + 告(1 -)"')］・
Третье слагаемое в этом выражении определяет единичную функцию обратимой деформации
Найдем изменение деформации 8(/), если напряжение о возрастает с течением времени f по экспоненциальному закону
где о。, о — заданные постоянные.
Приращение напряжения do(8) в промежуточный момент времени 8 вызывает приращение деформации
в момент /в момент /При переменном напряжении о = Оое”° полная деформация £(/) равна
в момент /
в момент /
g«) = -4)+ 書 j [\-^ + 2(/-e)]do(e),
0= —ОО
ИЛИ
е")=噜 + 击° J a (6)[--е")=噜 + 击° J a (6)[--外（f）］外（f）］d&d&
е")=噜 + 击° J a (6)[--
е")=噜 + 击° J a (6)[--
外（f）］
外（f）］
d&
d&
Интеграл Беккера, входящий в последнее соотношение, легко вычислить при помощи подстановок 0 = 00*" и
d^ (/-0) _Е产呐
В результате получим
8("= [1+击+瓦(1:叫)一]豊-•
Любопытно, что в среде этого типа каждая из трех составляющих деформаций (упругая деформация е\ вязкая деформация 8〃 и обратимая деформа^ ция е'〃), которые соответствуют трем слагаемым в квадратных скобках.
Рис. 16.54. Графики упругой (&'), вязкой (е〃)и обратимой (ew) составляющих деформации е.Рис. 16.54. Графики упругой (&'), вязкой (е〃)и обратимой (ew) составляющих деформации е.
Рис. 16.54. Графики упругой (&'), вязкой (е〃)и обратимой (ew) составляющих деформации е.
Рис. 16.54. Графики упругой (&'), вязкой (е〃)и обратимой (ew) составляющих деформации е.
возрастает с течением времени пропорционально той же функции времени е®", что и само напряжение. На рис. 16.54 это соответствует семейству трех аффинных кривых. Если в последнем уравнении положить 8 =吼拠,аое^ == =о (/), то мы также получим решение обратной задачи для переменной деформации 8.
Пример 2. Найдем выражение интеграла Беккера, определяющего полную деформацию последействия при /〉力，
e〃(/) + U 〃⑴- а (6) ^0 + -^-^—。⑼ т d^
6=00=0
в материале, который подчиняется тем же линейным зависимостям, которые были указаны в примере 1, но будем считать, что переменное напряжение а(^) действовало в течение ограниченного промежутка времени 0《/&介 и было снято в момент t=t\.
Из приведенного выше соотношения следует, что если нагрузка сохраняет постоянное значение o = oo=const в течение интервала времени 0^ / ^ ^ и затем внезапно снимается, то последействие будет определяться соотношением
8〃 ⑺ + U〃(/)=晋警 (J，% 一 1), t> 匕・
Пример 3. Будем считать, что деформация 8 складывается из двух компонент: упругой деформации £‘==о/Е и полупластической деформации £‘〃, т. е. £=£‘+£‘〃； примем также, что деформация последействия £‘〃 развивается, как и в примере 1, при линейной зависимости от скорости g〃 = gr W) = 3q君〃=“君". Сравним наследственные ядра (функции времени) в двух последних определенных интегралах, выражающих последействие в случаях прямой задачи (задано переменное напряжение) и в случае обратной задачи (задана переменная деформация).
Очевидно, что случаю постоянного напряжения будет соответствовать единичная функция обратимой деформации, найденная в примере 1,
屮(/)=善(1
Учитывая, что элементарный релаксационный процесс при постоянной деформации £=£i = Oi/E=const определяется дифференциальным уравнением
"S= c0问，T =
/\丿1 + Г/Г г
и принимая во внимание, что
0 = 0, - 廃〃‘=0押(/),найдем для единичйой релаксационной функции(р(/) следующее выражение:
Таким образом, наследственное ядро будет иметь вид
舛(/-8) Е се)〃 в прямой задаче и d(p (/ — 9)
в обратной задаче. Соответственно из уравнения (16.245а) получим для прямой задачи следующее решение:
七-С ft f J
0
Аналогично для обратной задачи при помощи уравнения (16.255) найдем
о (/) = Е £ (0 一 传一今)j 产e)/% (9)曲，/ > 0.
50.
Таким образом, рассмотренные эффекты последействия представляются при помощи интегралов Беккера и Больцмана — Вольтерра соответственно с некоторыми постоянными множителями. Если функции а(0) или 8(8), входящие под знаки интегралов, рассматривать как неизвестные, то каждое из двух приведенных интегральных уравнений будет решением другого уравнения.
Пример 4. Рассмотрим среду, полная деформация которой определяется соотношением £=£‘+£〃'， и примем, что деформация последействия 以〃 при постоянном напряжении а=const возрастает с течением времени по логарифмическому закону
соответствующему единичной функции
Это эквивалентно утверждению, что составляющая o〃=gr(®'〃) напряжения о = о' + о〃 определяется логарифмической зависимостью от скорости
о〃 = о-Е£〃 = о (1 +1п 印：可〃).
Таким образом, упомянутые функции времени, определяющие £‘〃 н гр, в действительности удовлетворяют двум нелинейным дифференциальным уравнениям при постоянном напряжении o=const:
de'〃 о-Е 产〃/оа«ф Е -E^IE
dt Ertr' dt ETtr
Поэтому наследственное ядро будет иметь вид
d^ (/ — 6) _ Е^- = £>(〃 + /-6
Уравнение Беккера (16.245а)
8(/) = -r+瓦 J
0»О
дает решение задачи о переменном нагружении для случая, когда состав - ляющая напряжения о〃 является логарифмической функцией скорости де-
формации ©〃'. Следует отметить, что функция памяти, входящая в приведенный интеграл, часто использовалась в классических исследованиях последействия.
Однако соответствующие релаксационная и обратная задачи для этого типа среды оказываются более сложными. Процесс релаксации при постоянной деформации е=о\/Е=const определяется интегралом уравнения
尸(0厂0)/。 且
dt ~а丿'Е '
из которого следует, что асимптота do/df=0 в любом случае совпадает с осью /(а=0). Вводя новую переменную
s = ае/о (а & s V 8 при 0 & / < оо),
можно представить это уравнение в виде
dsds
ds
ds
откуда получаем
е$ dssе$ dss= ?&?/(出^ +旨+= ?&?/(出^ +旨+s2 — a22・2!s2 — a22・2!s3 -a3+ 3.3! +s3 -a3+ 3.3! +
е$ ds
s
е$ ds
s
= ?&?/(出^ +旨+
= ?&?/(出^ +旨+
s2 — a22・2!
s2 — a22・2!
s3 -a3
+ 3.3! +
s3 -a3
+ 3.3! +
Полученный бесконечный степенной ряд, который сходится лучше, чем степенной ряд для экспоненциальной функции es, можно использовать для вычисления s, напряжения a=ai(p(0 и единичной релаксационной функции ф (/) = — в зависимости от времени f, в частности для вычислений при малых значениях s и при больших значениях о и(р(/).
Поскольку получение аналитического представления функции(p(f) в замкнутой форме затруднительно, можно также искать (р«) в виде конечной суммы
Ф (0 = 2 an^niltr> 九=0, 1,..., m
九н0
и определять постоянные коэффициенты ап из условия, что кривая, соответствующая этой конечной сумме членов, проходит через фиксированные дискретные точки (фк, th). Эти точки выбираются так, чтобы они соответствовали решению в форме приведенного выше бесконечного степенного ряда для f. Если постоянная а мала, то, пренебрегая всеми слагаемыми в степенных рядах (т. е. полагая е°=1), в первом приближении получаем
а。力a "afs =^ —= ае 'о Ф (Оа。力a "afs =^ —= ае 'о Ф (О
а。力a "af
s =^ —= ае '
о Ф (О
а。力a "af
s =^ —= ае '
о Ф (О
Отсюда находим наследственное ядро
^ф(/ 0) _ е -Е (ь力/々fГ
а при помощи уравнения (16.254)——решение обратной задачи для переменного деформирования £(/),
0=0
Пример 5. Рассмотрим среду, полная деформация которой определяется соотношением £ = &' + &〃- и примем теперь, что составляющая напряжения о〃 = g「(总〃')=с (£'〃)" является степенной функцией скорости деформации ©〃・ Эта степенная зависимость от скорости была рассмотрена в § 16.2, И (уравнение (16.98)) для случая произвольного показателя степени 几 (0<п<1). В этом примере для исключения__некоторых несущественных констант рассмотрим степенной закон о〃 = с М©'〃， соответствующий случаю n=V2. В случае постоянного напряжения а=const, приложенного в момент /=0, получим, что деформация £〃' должна, согласно (16.98), возрастать с течением времени />0 в соответствии с соотношением
£"=爸（1 一工2T屏о/ =工屮（/）•
Таким образом, единичная функция
1K一)=吉
будет принадлежать классу функций 屮(力一6, о), зависящих от напряжения 0d как от переменного параметра. Вследствие этого
d 屮Ес?。@屮 Ес?" —6)
= - [e2 + оеГ(/-e)]2、而=[合 + 0er" - 6)卩.
Таким образом, для полной деформации неупругого последействия £〃'«) при действии переменного напряжения о(6), которое в начальный момент / = 0 имеет конечную величину о。， найдем из уравнения (16.245) для любого момента времени t следующее выражение:
£'〃(/) = М£'〃(/) = М0=fГ (/ — 6) (о — Оо) (do/dB) + рг20=fГ (/ — 6) (о — Оо) (do/dB) + рг26=06=0[с2 + аЕг (/-»『[с2 + аЕг (/-»『dQ.dQ.
£'〃(/) = М
£'〃(/) = М
0=f
Г (/ — 6) (о — Оо) (do/dB) + рг2
0=f
Г (/ — 6) (о — Оо) (do/dB) + рг2
6=0
6=0
[с2 + аЕг (/-»『
[с2 + аЕг (/-»『
dQ.
dQ.
В подинтегральном выражении символ о означает величину напряжения о(8) в промежуточный момент времени 9. Легко проверить, что при постоянном напряжении о(9) =Oo=const интеграл действительно принимает вид U〃= =о屮«)/Е, соответствующий первому уравнению в этом примере.
Можно надеяться, что приведенные пять примеров дополнительно пояснили целесообразность введения двух единичных функций 屮(/) и (р(/), которые вычисляются по различным законам течения, определяющим поведение реальных не вполне упругих материалов; кроме того, эти примеры иллюстрируют пригодность упомянутых функций для изучения последействия посреди ством определенных интегралов.
.8. Влияние температуры. В кратком обзоре невозможно изложить общие зависимости, характеризующие изменение предела текучести и свойств ползучести пластичных материалов в
широком диапазоне температур. Поэтому мы ограничимся выяснением того, как изменения температуры влияют на параметры закона гиперболического синуса, а также рассмотрим некоторые свойства металлов при растяжении, основываясь на некоторых избранных, достаточно надежных экспериментальных данных. Разумеется, уже давно известно, что повышение (понижение) абсолютной температуры Т, вообще говоря, может вызвать такое же изменение пластического сопротивления, как некоторое уменьшение (увеличение) скорости деформирования или пластических скоростей деформации и (т. е. влияния двух переменных Т и и на напряжение течения о оказываются противоположными).
В отношении закона ползучести
〃 = 〃osh* (16.257)
(где u = ds/dt ——минимальная скорость пластической деформации в длительных испытаниях на ползучесть при постоянном напряжении о) имеются следующие результаты, вытекающие из обширной серии опытов Дэвиса】)， проведенных на чистой бескислородной меди.
Для этой меди при комнатной температуре минимальная скорость ползучести не была достигнута за 3500 час испытания (для технической меди минимальная скорость ползучести не достигается при годовой длительности испытания).
При температурах около 80℃ минимальная скорость ползучести становится заметной, а при дальнейшем повышении температуры время, необходимое для достижения минимальной скорости ползучести, сокращается. В качестве примера на рис. 16.55 приведены кривые ползучести для температуры 165℃.
Закон гиперболического синуса (16.257) хорошо согласуется с экспериментальными данными для температур от 0 = = 80° С до 0 = 235° С. Это можно видеть на рис. 16.56, где представлены пять кривых, выражающих зависимость напряжения о от логарифма минимальной скорости деформации и при различных температурах 0 = const; при возрастающих значениях 〃 кривые приближаются к прямым линиям, соответствующим зависимости о = оо 1п(2“/〃о).
Постоянная материала о。 является линейной возрастающей функцией температуры 0.
Постоянная материала w0 также возрастает при повышении температуры 0. Отрезки оси о=0, отсекаемые прямолинейными
Davis Е. A., Creep and relaxation of oxigen-free copper, /. Appi Meeh., June (1943).
асимптотами (рис. 16.56), дают в логарифмической шкале значения 〃о/2. Теоретическая зависимость
^0 = А^т.(16.258)
力час
Рис. 16.55. Длительная ползучесть бескислородной меди При температуре 165° С (опыты Дэвиса).
〃，дюйм/дюйм/час
Рис. 16.56. Зависимость напряжения от скорости ползучести для бескислородной меди.
и — минимальная скорость ползучести.
Пример кривой релаксации напряжения о с течением времени /, полученной при условии, что длина медного стержня остается постоянной, приведен на рис. 16.57 в полулогарифмических координатах. Пунктиром на этом рисунке показана кривая релаксации напряжения о, построенная по уравнениям (16.41) и (16.42), выведенным в § 16.2, В на основе закона гиперболического синуса. Заметим, что при этом не учитывались
1》Kauzmann W., Flow of solid metals from standpoint of the chemical rate theory, Metals Technol^ June 1941 (см. также Trans. A/MEt 143, 57—83 (1941)).
f, час
Рис. 16.57. Релаксация бескислородной меди при температуре 235。С
80 丁…u>fi江一守
：2001 -704 01 W 200\ 30亿 40亿 50& 6W℃0 100 200 300 400 500 600 700 800 °K
р и с. 16.58. Влияние температуры на механические свойства отожженнегетехнически чистого никеля при растяжении.
/ — предел прочности при растяжении; 2 - предел пропорциональности (деформация 0,01%)：
5 —предел текучести (остаточная деформация 0,2先)；4 —поперечное сужение; 5—равимерное удлинение; 6—полное удлинение.
упроинение, восстановление деформации и условные начальные деформации е0, полученные при экстраполировании назад прямолинейных участков кривых ползучести e = e0-h ^mm^ Экспериментальная кривая релаксации на рис. 16.57 вначале опускается значительно круче, а далее идет значительно более полого, чем пунктирная кривая, основанная на элементарной теории.
При внезапной разгрузке на кривых ползучести обнаруживается явно выраженное восстановление деформации.
Необходимость учета восстановления деформации 6 теории релаксационных явлений была отмечена Дэвисом как вывод из результатов его опытов. Этот вывод качественно согласуется также с решением (16.106) — (16.108), полученным на основе теории, развитой в § 16.2, И, согласно которому в материале, обладающем свойством обратной ползучести, напряжение в начальной стадии процесса релаксации снижается значительно быстрее, чем в случае, когда восстановление пластических деформаций не имеет места.
Выяснению основных закономерностей, хаоактеризующих влияние температуры на предел текучести, ползучесть и условия разрушения, в значительной степени способствовало экспериментальное изучение области весьма низких температур, близких к абсолютному нулю. В частности, Вессель 9 разработал специальное оборудование для проведения испытаний металлических стержней на растяжение с заданной скоростью удлинения в воздушной камере при абсолютных температурах до 4,2。К. Им же было изучено механическое поведение металлов в широком диапазоне температур. Далее будут кратко рассмотрены результаты экспериментов Весселя, частично воспроизведенные на рис. 16.58—-16.66.
Для никеля, имеющего гранецентрированную кубическую кристаллическую структуру (рис. 16.58), и циркония (плотно упакованная гексагональная структура, рис. 16.59) условный предел текучести (соответствующий остаточной деформации 0,2%) при снижении температуры повышается лишь незначительно. В отличие от этих металлов для металлов с центрированной кубической решеткой, как, например, для стального
Wessel Е. Т., Tension testing apparatus for the temperature range of —320° F to —452°F (77° К to 4,2° K), ASTM Bull., 211, January 1956. Испытательное устройство, сконструированное в исследовательских лабораториях фирмы «Вестингауз» (Питтсбург), состоит из внешнего и внутреннего двойных сосудов Дюара цилиндрической формы. Во внутреннем сосуде (в нижнем открытом цилиндре) циркулирует жидкий гелий, в наружном двойном цилиндре — жидкий азот. Подробный обзор исследований Весселя приведен в его работе: Wessel Е. Т., Some exploratory observations on the tensile properties of metals at very low temperatures, Trans. ASMEt 49, Preprint 3 (1956); библиография к этой работе содержит 28 названий.
Рис. 16.59. Влияние температуры на механические свойства отожженного циркония при растяжении.1 — предел прочности при растяжении; 2 — пре- дел пропорциональности (деформация 0,01 %); 3— предел текучести (остаточная деформация 0,2%); 4— поперечное сужение； 5 — равномерное удлинение; 6 — полное удлинение.Рис. 16.59. Влияние температуры на механические свойства отожженного циркония при растяжении.1 — предел прочности при растяжении; 2 — пре- дел пропорциональности (деформация 0,01 %); 3— предел текучести (остаточная деформация 0,2%); 4— поперечное сужение； 5 — равномерное удлинение; 6 — полное удлинение.6060о 100 丁 200300 ° Ко 100 丁 200300 ° К
Рис. 16.59. Влияние температуры на механические свойства отожженного циркония при растяжении.
1 — предел прочности при растяжении; 2 — пре- дел пропорциональности (деформация 0,01 %); 3— предел текучести (остаточная деформация 0,2%); 4— поперечное сужение； 5 — равномерное удлинение; 6 — полное удлинение.
Рис. 16.59. Влияние температуры на механические свойства отожженного циркония при растяжении.
1 — предел прочности при растяжении; 2 — пре- дел пропорциональности (деформация 0,01 %); 3— предел текучести (остаточная деформация 0,2%); 4— поперечное сужение； 5 — равномерное удлинение; 6 — полное удлинение.
60
60
о 100 丁 200300 ° К
о 100 丁 200300 ° К
Рис. 16.60. Влияние температуры на механические свойства при растяжении стального сплава типа SAE 4340 в состоянии закалки и отпуска.
/ — предел прочности при растяжении; 2 — предел пропорциональности (деформация 0,01 %); 3~ предел текучести (остаточная деформация 0,2%); 4 — поперечное сужение; 5 — равномерное удлинение; 6 — полное удлинение.
сплава SAE-4340, после закалки и отпуска (рис. 16.60) предел пропорциональности и упомянутый условный предел текучести резко возрастают при понижении абсолютной температуры Т до 4,2° К.
Зависимость от температуры условного предела текучести оу, предела прочности ①max (отвечающего максимуму нагрузки),
Рис. 16.61. Влияние температуры на кривые «напряжение - деформация» для отожженного ниобия; скорость испытания 360%/〃ас (1,0• 10~3 сек~1)./ — хрупкое разрушение； о — нормальное отношение нагрузки к начальной площади; е — удлинение в процентах.Рис. 16.61. Влияние температуры на кривые «напряжение - деформация» для отожженного ниобия; скорость испытания 360%/〃ас (1,0• 10~3 сек~1)./ — хрупкое разрушение； о — нормальное отношение нагрузки к начальной площади; е — удлинение в процентах.
Рис. 16.61. Влияние температуры на кривые «напряжение - деформация» для отожженного ниобия; скорость испытания 360%/〃ас (1,0• 10~3 сек~1).
/ — хрупкое разрушение； о — нормальное отношение нагрузки к начальной площади; е — удлинение в процентах.
Рис. 16.61. Влияние температуры на кривые «напряжение - деформация» для отожженного ниобия; скорость испытания 360%/〃ас (1,0• 10~3 сек~1).
/ — хрупкое разрушение； о — нормальное отношение нагрузки к начальной площади; е — удлинение в процентах.
поперечного сужения при разрушении q= (До——4/)//о и равномерного удлинения 8加 при максимальной нагрузке о；тах показана для этих трех металлов на рис. 16.58 (отожженный технический никель), рис. 16.59 (отожженный цирконий) и на рис. 16.60 (упомянутый выше стальной сплав). На последнем рисунке можно видеть очень крутой подъем кривой напряжения текучести, который обусловливает деформацию такой стали при очень низких температурах.
На рис. 16.61 приведены диаграммы «напряжение ——деформация» для ниобия), который испытывался при постоянной скорости деформирования 〃 = de/df = 0,001 1/сок при семи различных температурах; этот рисунок дает представление о поведении металлов с центрированной кубической структурой. Наибольшая пластичность наблюдается при температурах,
близких к комнатной (^25℃); значительное повышение предела текучести и предела прочности происходит при температуре около 300° С, причем это сопровождается (при температурах 400——600° С) снижением пластичности, по-видимому, вследствие старения. Предел прочности о/тах заметно снижается при температуре 200° С, но при дальнейшем понижении температуры повышается вновь. При температурах ниже —50° С появляется верхний предел текучести, который при температуре ——100° С оказывается даже выше предела прочности, а при температуре ——125° С этот металл хрупко разрушился с образованием трещин сразу же при снижении напряжения после прохождения верхнего предела текучести.
Влияние температуры на обычные механические свойства мягкой (корабельной) стали иллюстрируется графиками 9 на рис. 16.63, на котором можно заметить характерное снижение предела прочности бтах при 100° С и повышение его при температуре около 250° С, приписываемые старению. Интересны кривые «напряжение ——деформация» для этой мягкой стали, приведенные на рис. 16.62 для восьми различных значений температуры ниже 0℃ при одной и той же постоянной скорости деформирования w = 0,00208 l/ce^. На этом графике хорошо заметно, как процесс перехода от верхнего к нижнему пределу текучести, отчетливо выраженный для этой стали, изменяется при понижении температуры от комнатной до минимального уровня, равного 4° К. Верхний предел текучести возрастает при этом до учетверенной величины его значения при температуре 25° С. При температурах —269 и —200° С имеет место хрупкое разрушение при начальном падении нагрузки, однако в интервале от ——196 до ——160° С мягкая сталь может получать некоторую пластическую деформацию (до 14%), прежде чем наступит внезапное хрупкое разрушение.
Третий тип разрушения имеет место при температурах от —160 до —50° С, при которых удлинение достигает 30% и наблюдается образование шейки. Разрушение вначале имеет характер вязкого отрыва в центре минимального поперечного сечения шейки и затем распространяется на все сечение, приобретая при этом мелкозернистую структуру, типичную для хрупкого разрыва. Обычная картина разрушения типа 《чашеч- ки и конуса», характерная для комнатных температур, не на-
i) Wessel Е. Т., A tensile study of brittle failure in ship-plate, A'STM, 59 th Annual Meeting, 1956. Во время последней войны имели место сотни случаев серьезных повреждений судов, их палуб и сварных стальных корпусов, вызванные внезапным возникновением трещин； это приводило к катастрофическим последствиям, выражавшимся в разламывании корабля пополам. Почти все такие разрушения происходили при температурах воздуха, близких к нулю или ниже нуля.
т
J %
*9§Р/1ПНА&44S6
Рис. 16.63. Влияние температуры на ус-ловные механические характеристики прирастяжении для мягкой (корабельной) ли-стовой стали.Рис. 16.63. Влияние температуры на ус-ловные механические характеристики прирастяжении для мягкой (корабельной) ли-стовой стали./ — прочность при сдвиге; 2 — прочность при отрыве;3 — предел прочности при растяжении; 4 — пределтекучести (остаточная деформация 0,01%); 5 — по-перечное сужение. 6 — полное удлинение; 7 — равно*мерное удлинение./ — прочность при сдвиге; 2 — прочность при отрыве;3 — предел прочности при растяжении; 4 — пределтекучести (остаточная деформация 0,01%); 5 — по-перечное сужение. 6 — полное удлинение; 7 — равно*мерное удлинение.
Рис. 16.63. Влияние температуры на ус-ловные механические характеристики прирастяжении для мягкой (корабельной) ли-стовой стали.
Рис. 16.63. Влияние температуры на ус-ловные механические характеристики прирастяжении для мягкой (корабельной) ли-стовой стали.
/ — прочность при сдвиге; 2 — прочность при отрыве;3 — предел прочности при растяжении; 4 — пределтекучести (остаточная деформация 0,01%); 5 — по-перечное сужение. 6 — полное удлинение; 7 — равно*мерное удлинение.
/ — прочность при сдвиге; 2 — прочность при отрыве;3 — предел прочности при растяжении; 4 — пределтекучести (остаточная деформация 0,01%); 5 — по-перечное сужение. 6 — полное удлинение; 7 — равно*мерное удлинение.
Рис. 16.62. Влияние температуры испытаний на кривые «напряжение — деформация» для мягкой (корабельной) листовой стали.
Скорость деформации 750%/час (2,08 • 10*~3 сек""1)； температура испытаний указана на кривых; Q — нормальное напряжение — отношение нагрузки к начальной площади; е —удлинение в процентах.
блюдается при температуре ——50° С и ниже. Число плоскостей сдвига увеличивается с повышением температуры в плоскости разрушения, начиная с малой точечной площадки в центре сечения при температуре —160° С и кончая всем сечением при температурах выше —50°С【).
Следует также упомянуть о появлении часто расположенных зигзагов на кривых «напряжение ——деформация» для тех металлов, которые сохраняют удивительно высокую пластичность при минимальной температуре 4,2° К (температура жидкого гелия). После того как при этой температуре произойдет постепенное повышение напряжений течения ① и с>== (1 + е)(т； вследствие упрочнения, на кривой《напряжение ——деформация» появляются правильно расположенные зигзаги с возрастающей амплитудой и убывающей частотой (рис. 16.64——16.66). При этом величина пластической деформации; сопровождающей каждое падение нагрузки, увеличивается с возрастанием полного среднего удлинения &. Упомянутые диаграммы напоминают зубчатые кривые, полученные для закаленного алюминиевого сплава и для армко-железа (опыты Илэм), а также —— для мягкой стали 2), очень медленно растягивавшейся при температуре 200° С (опыты Менджойна). Это интерпретировалось как эффект выраженного старения с последующим образованием дискретных слоев скольжения, которые отчетливо обнаруживались на зазубренной поверхности образцов.
Однако на основе старения ——медленного процесса внутренней диффузии групп атомов ——невозможно объяснить возникновение зубцов на кривых «напряжение ~ деформация» при таких низких температурах, как 4,2° К. Едва ли можно сомневаться, что появление таких зубцов обусловлено образова нием большого количества дискретных слоев скольжения (полос Людерса), в которых мгновенно концентрируется процесс пластического течения. Другими словами, правильное непрерывное
Эти наблюдения характера разрушения агрегатов ферритных кристаллов, образующих мягкую сталь, хорошо согласуются с выводами Дэвиса и его сотрудников (Davis Н. Е., Univ, of California, Berkeley, 1946), которые обнаружили, что соотношения между элементарными поверхностями сдвига и отрыва (в центральной части поверхности разрушения) при понижении температуры изменяются в пользу последних. См. т. 1, стр 209. '
Недостаток места не позволяет перечислить все практически важные результаты Вессел я относительно влияния острых кольцевых надрезов на разрушение в опытах на растяжение образцов при низких температурах. Этому вопросу (для случая высоких температур) посвящена обширная литература, обзор которой с подробными графиками и таблицами дан в работе: S а с h s G., Brown W. F., Jr., Literature survey on the notch — sensilivity of high temperature alloys (Joint ASTM-ASME Committee on the effect of temperature on the properties of metals, June 1957).
Cm. t. 1, стр. 356—358.
e, %
Рис. 16.64. Влияние температуры на кривые «напряжение — деформация»для технически чистого никеля в отожженном состоянии.
Вертикальная прямая соответствует 0,01 % пластической деформации для всех кривых.На кривых указаны температуры испытаний и удлинения в процентах. По оси абсцисс:е — удлинение за пределом текучести; одно деление равно 5%.
£ %
Р и с. 16.65. Влияние температуры на кривые «напряжение—деформация» дляотожженного циркония, полученного методом дуговой плавки.
Вертикальная прямая соответствует 0,01 % пластической деформации для всех кривых.На кривых указаны температуры испытаний и удаинения в процентах. По оси абсцисс：е — удлинение за пределом текучести; одно деление равно 5%.
течение при равномерной осевой деформации 8, сопровождаемое равномерным поперечным сокращением ес = —1 + (1+£)-%, оказывается затрудненным для определенной группы металлов, которые тем не менее сохраняют удивительно высокие свойства пластичности и удовлетворительную прочность на растяжение при температурах, близких к абсолютному нулю. Можно предположить, что это странное явление связано с тепловыми уда-
如%
Рис. 16.66. Влияние температуры на кривые «напряжение — деформация» Для бета-латуни в отожженном состоянии (обозначения см. на рис. 16.65).
рами, сопровождающими локализованное течение в тонких слоях при «адиабатическом» образовании дискретных слоев течения в диапазоне весьма низких температур (см. § 13.7).
Остановимся на опытных данных, относящихся к зависимости от температуры 0 величин условной начальной деформации 呪 и минимальной скорости ползучести 〃т. Эти величины характеризуют развитие деформации £ с течением времени 厶 если в качестве кривых ползучести принять прямые линии 8 = 8о + ^т^ Кроме того, рассмотрим для металлов и сплавов опытные данные по влиянию температуры на время до разрушения /г при растяжении постоянным напряжением 。厶 отнесенным к единице площади начального поперечного сечения.
Наилучший подход, по-видимому, заключается в том, чтобы экспериментальные значения 8о, ит для различных значений нагрузки o/ = const и температуры 0 = const представлять графически в виде зависимостей £о и ① от 1g ит, и зависимости 6 от 1g /г, и попытаться экстраполировать кривые на срок службы 厶.При построении графиков можно было бы выбрать в ка-
честве переменного параметра температуру 0, однако такие попытки редко приводили к отчетливым функциональным зависимостям, имеющим общее значение в достаточно широком диапазоне температур 9-
Менджойн обнаружил, проведя большую серию испытаний различных хромо-никелевьц сталей на длительную прочность, что при изображении зависимости напряжения аг от времени до разрушения tr в логарифмических координатах соответствующие графики при больших значениях времени /「, порядка 103 или 104 час, приобретают вид семейства параллельных прямых линий. Это позволяет проводить экстраполяцию на срок службы Zs105 час в диапазоне температур от 650 до 1100° С. Отсюда следует также, что показатель т в предположительно существующей степенной зависимости ar = ai (tr/ti)m (где s,介一при данной температуре постоянны), выражающей связь между разрушающим напряжением о「и временем до разрушения 厶,в первом приближении не зависит от температуры.
Можно также указать, что некоторые металлокерамические материалы2) в области температур 1420——1500℃ существенно превосходят лучшие жаропрочные металлические сплавы как по сопротивлению ползучести, так и по длительной прочности, причем предел прочности при мгновенном разрыве достигает значений 12 600 /сг/сж2. Поэтому они с успехом используются для деталей реактивных двигателей и газовых турбин.
См. Larson F. R., Miller J., A time—temperature relationship for rupture and creep stresses, Trans. AS ME, 74, № 5 (1952). В этой работе по данным испытаний на ползучесть получена линейная зависимость 1g О/= = lgOo — ср между Ige и переменным параметром р = Т(20+lg J), где Т — абсолютная температура, о。， с ——постоянные. С другой стороны, в работе: Manson S. S., Н a f е г d А. М., A linear time — temperature relation for extrapolation of creep and, stress-rupture date, NACA Tech. Note 2890, 1953, предлагается температурно-временной параметр q=(T——Ta)/ln (J/"), где Ta, ta ——постоянные. В этой работе утверждается, что q зависит только от напряжения 6(q = f(s)), и, следовательно, эти зависимости при графическом изображении в кординатах (In tr, Т) имеют вид пучка прямых, сходящихся в точке (Та, 1п/а), причем каждый луч соответствует некоторому постоянному напряжению a/ = const (здесь tr ——время до разрушения, Т ——абсолютная температура). Эмпирические зависимости, основанные на таких параметрах, как р или q、едва ли могут пролить свет на сущность такого сложного явления, как ползучесть при высоких температурах. Дело в том, что при растяжении стержня из пластичного металла постоянной нагрузкой а； = const удлинение происходит неравномерно вследствие образования шейки задолго до разрушения, а следовательно, и распределение напряжений в нем будет существенно изменяться по длине образца.
Burdick, Moreland, Geller, Strength and creep characteristics of ceramic bodies at elevated temperatures, NACA Tech. Note 1561, 1950.
Часть VI
ОЧЕРК ИЗБРАННЫХ ПРОБЛЕМГЕОМЕХАНИКИ
ОЧЕРК ИЗБРАННЫХ ПРОБЛЕМ ГЕОМЕХАНИКИ
Геометрия простых нарушений.
Никто этому не поверит. Меня будут называть глупцом.
Арнольд Эшер (1839 г.)
Догадка Бертрана и то представление о надвинутых пластах, которое возникло у Бертрана, Шардта и Люжона, — так называемая Decken-теория ——была верной. С 1898 г. она с триумфом распространилась с запада на восток, преобразив науку о геологии Альп. Ничего подобного не бывало в нашей науке. «Невозможно, невообразимо, чепуха, у нас из-под ног вытаскивают почву» —так кричали многие, а некоторые кричат даже и теперь.
Альберт Гейм〔)
Эволюция рельефных особенностей земной поверхности (проявляющаяся в виде высоких материковых горных цепей, обширных возвышенностей и огромных океанических впадин) и проявления пластической деформации и разрыва пластов горных пород издавна привлекали внимание специалистов-механиков и вдохновили их описать состояние напряжений и деформаций верхней твердой части земной коры и происходящие здесь относительные перемещения. Явления длительного образования и пластического деформирования пластов горных пород изучаются в геологии, а кратковременные динамические воздействия ——в сейсмологии. Однако отдельные избранные вопросы, поддающиеся упрощенному механическому исследованию, могут быть затронуты в этой последней главе, поскольку они тесно связаны с проблемами, рассмотренными ранее в этой книге — такими как, например, теория давления грунта или
Heim A., Geologie der Schweiz, v. II, third part, The swiss Alps, Leipzig, 1920.
изгиб вязко-упругой пластинки, плавающей на полужидком основании.
Первым шагом в этом направлении должно быть краткое ознакомление читателя с геометрической терминологией, ис-
Р и с. 17.1. Альберт Гейм (родился 12 апреля 1843 г. в Цюрихе, умер 31 августа 1937 г. в Цюрихе).
Швейцарский геолог, автор монументальной книги «Геология Швейцарии» (Heim A., Geologie der Schweiz, v. 1, Mollasseland und Jurage- birge, 704 pp., 1919; v. 2, Die Schweizen Alpen, 976 pp., 1920, Christian Hermann Tauchnitz, Leipzig). В этом наиболее полном трактате по геологии Швейцарских Альп содержатся многочисленные разрезы складчатых цепей хребтов Швейцарской Юры и главного массива Швейцарских Альп, изображенные с мельчайшими подробностями самим Геймом и его сыном Арнольдом (который сменил его на кафедре Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе). Приводятся также результаты исследований Гейма в этой области, длившихся на протяжении всей его жизни, и чрезвычайно тщательный анализ механических причин складкообразования и явлений деформации в стратиграфии Альп. Более семидесяти лет назад, задолго до того как были проведены первые лабораторные испытания, доказавшие возможность непрерывного пластического деформирования горных пород под действием всестороннего давления, Альберт Гейм подчеркивал существование пластического. формоизменения пород под горными цепями. Он был чудесным лектором, который мог во время лекции в совершенстве изобразить на доске мамонта, ископаемую рыбу или обнаруженный на стене пещеры рисунок доисторического человека. Автор отчетливо помнит это по тому курсу, который он посещал в 1902 г. Альберт Гейм был одним из величайших геологов всех времен; в его прекрасном патриархальном облике раскрывается величие его скромной личности.
пользуемой в геологии при описании эффектов конечных деформаций, которые локализованы в одном или двух узких слоях и вызывали одновременно либо в разное время наклонные нарушения параллельных пластов осадочных горных пород. В природе встречаются бесчисленные проявления однородных или неоднородных пластических деформаций конечной величины.
О них можно судить по деформациям, испытанным остатками костей ископаемых животных 9.
Рис. 17.2. Останки ископаэ- мой рыбы, деформированные вместе с породой, в которую они были заключены.Рис. 17.2. Останки ископаэ- мой рыбы, деформированные вместе с породой, в которую они были заключены.Два куска а и Ь сломанного хребта ископаемой рыбы принадлежат одному скелету Lepidopus. Будучи погребенными под разными углами к главному направлению пластического растяжения (отмечено стрелками), они оказались деформированными в разной степени. Третичные породы, Альпы (Heim A., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 88, Tauchnitz, Leipzig, 1920).Два куска а и Ь сломанного хребта ископаемой рыбы принадлежат одному скелету Lepidopus. Будучи погребенными под разными углами к главному направлению пластического растяжения (отмечено стрелками), они оказались деформированными в разной степени. Третичные породы, Альпы (Heim A., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 88, Tauchnitz, Leipzig, 1920).Прекрасный пример, наблюдавшийся Геймом, можно видеть на рис. 17.2. Сломанный хребет ископаемой рыбы ясно показывает, что порода, в которой он был найден, деформирована в результате пластического течения (направление главного растяжения показано стрелками). Геологи называют внезапный разрыв в параллельном наслоении пород сдвигом (рис. 17.3) и говорят о складке, если первоначальное эквидистантное наслоение подверглось постепенному искажению, причем толщина слоев (измеряемая по перпендикуляру к их границам) стала переменной. Например, в среднем крыле лежачей (опрокинутой) складки (рис. 17.4) эта толщина минимальна, в то время как в своде или в мульде она много больше, чем в верхнем или нижнем крыльях.
Рис. 17.2. Останки ископаэ- мой рыбы, деформированные вместе с породой, в которую они были заключены.
Рис. 17.2. Останки ископаэ- мой рыбы, деформированные вместе с породой, в которую они были заключены.
Два куска а и Ь сломанного хребта ископаемой рыбы принадлежат одному скелету Lepidopus. Будучи погребенными под разными углами к главному направлению пластического растяжения (отмечено стрелками), они оказались деформированными в разной степени. Третичные породы, Альпы (Heim A., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 88, Tauchnitz, Leipzig, 1920).
Два куска а и Ь сломанного хребта ископаемой рыбы принадлежат одному скелету Lepidopus. Будучи погребенными под разными углами к главному направлению пластического растяжения (отмечено стрелками), они оказались деформированными в разной степени. Третичные породы, Альпы (Heim A., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 88, Tauchnitz, Leipzig, 1920).
Как давно уже указывал Шмидт), такие волнообразные деформации следует рассматривать не как «изгибание» или «выпучивание», а просто как следствие сдвиговой деформации переменной интенсивности, на
правление которой наклонно пересекает первоначально параллельные пласты. Внутри слоя конечной толщины b нарушение, если оно не является фактически трещиной сдвига, характеризуется перемещением 〃 части Л (рис. 17.5) относительно части В горы. Это перемещение зависит от координаты у, измеряемой по перпендикуляру к плоскости сдвига, u = f(y). При этом создается деформация чистого сдвига переменной интенсивности
du df
Рис. 17.4. Лежачая (опрокинутая) складка (Heim А., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 8, Tauchnitz, Leipzig, 1920). 1 ~ своц складки; 2 - верхнее крыло; 3 ~ среднее крыло; 4 — основание; 5 - мульда складки; 6 — нижнее крыло.Рис. 17.4. Лежачая (опрокинутая) складка (Heim А., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 8, Tauchnitz, Leipzig, 1920). 1 ~ своц складки; 2 - верхнее крыло; 3 ~ среднее крыло; 4 — основание; 5 - мульда складки; 6 — нижнее крыло.
Рис. 17.4. Лежачая (опрокинутая) складка (Heim А., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 8, Tauchnitz, Leipzig, 1920). 1 ~ своц складки; 2 - верхнее крыло; 3 ~ среднее крыло; 4 — основание; 5 - мульда складки; 6 — нижнее крыло.
Рис. 17.4. Лежачая (опрокинутая) складка (Heim А., Geologie der Schweiz, pt. 3, p. 8, Tauchnitz, Leipzig, 1920). 1 ~ своц складки; 2 - верхнее крыло; 3 ~ среднее крыло; 4 — основание; 5 - мульда складки; 6 — нижнее крыло.
Рн с. 17.3. Сдвиги и сбросы； угол 6 измеряет падение; линия &S2 опре-деляет простирание сброса.
/ - сброс; 2- горизонт; 5 — сдвиг; 4-сдвиг по Простиранию (поперечный сдвиг).
Рис. 17.5. Смещения простого сдвигав полосе, пересекающей пласты подуглом.
/ — величина смещения, 2 — направление сме-щения.
Максимальное значение только что определенной относительной деформации сдвига 丫 служит мерой удельного дефор- ?у1ирования в нарушении (мы не затрагиваем путаную классификацию нарушений, используемую горными инженерами). Сильно локализованный чистый сдвиг у может значительно изменить кристаллическую структуру пород в нарушениях, где произошло значительное скольжение. В конечном счете последствиями такого смещения могут оказаться расслаивание, отчетливая анизотропность прочности, тонкослоистая структура, сланцеватость и т. д. !)
Рис. 17.6. Поворот слоистых отметок во включении граната и в окружающей породе (по Шмидту).
Галька, крупные комки ила и мелкие ископаемые морские животные, которые первоначально имели сферическую форму с отчетливой радиальной структурой {оолиты}, использовались геологами как благоприятное средство для количественного определения величины и ориентации главных осей деформации эллипсоида деформаций Коши в тех сильно пластически деформированных складчатых пластах, в которых были погребены эти ископаемые. Они послужили Клоосу) в его обширном
тщательном изучении механизма складообразования Аппалачских гор.
Интересно отметить два идеализированных примера возмущений, вызываемых в правильном наслоении в результате появления слоев простого сдвига. Предполагается, что в случае, показанном на рис. 17.7, деформирование локализовано в двух
Рис. 17.7. Схема, показывающая последствия двух одновременных сдвигов равной величины в двух взаимно перпендикулярных полосах.
слоях скольжения, идущих перпендикулярно друг другу, и происходит при одинаковой однородной деформации простого сдвига y = const под действием двух горизонтальных сжимающих сил. Оба слоя скольжения возникают при этом одновременно, вызывая смещение горизонтальных пластов в правой части рисунка и вертикальных пластов в левой. На рис. 17.8 два таких слоя показаны, как этого можно ожидать в естественных породах, наклоненными к направлению горизонтального давления под углами, меньшими 45°, причем предполагается, что первым образуется слой скольжения I, а за ним слой II. В результате этого первоначально горизонтальные пласты (частично заштрихованы) образуют искривленный профиль.
Если деформация сдвига у в каждом слое скольжения переменна и один слой образуется после другого, то возникает показанная на рис. 17.9 картина с частично искривленными границами пластов. Неопытному наблюдателю такие искривленные
Р и с. 17.8. Схема, показывающая деформацию горизонтальных пластовв результате двух последовательных сдвигов по различным направлениям Iи II.
/ — величина смещения； 2 —давление; 3 — направление первого сдвига (I); 4 — направлениевторого сдвига (II).
Рис. 17.9. Деформация совокупности параллельных пластов (слоев) в результате двух последовательных сдвигов в двух пересекающихся направлениях.
/ — величина второго смещения； 2 - направление сдвига； 3 - величина первого смещения
профили наслоений, видимые в нормальных сечениях, кажутся на первый взгляд загадочными, тогда как в действительности их кинематическая история может оказаться простой.
Это приводит нас в пределе к рассмотрению большого относительного проскальзывания двух соседних масс породы в надвигах. Когда Эшер в 1839 г. открыл, что вершины многих высоких пиков в центральных Швейцарских Альпах состоят из
Рис. 17.10. Арнольд Эшер фон-дер-Линт (1807—1872 гг.). Портрет, нарисованный в 1870 г. Альбертом Геймом. .
пород, геологически значительно более старых, чем породы пластов, залегающих в основании этих гор, это произвело сенсацию среди геологов. Горные вершины, где ему удавалось наблюдать «экзотические» породы, он называл Klippen (утес, подводная скала ——нем.). В своем воображении он рисовал две огромные лежачие складки, Glarner Doppelfalt (двойные складки Гларнер ——нем,), проходящие через горы кантона Гларус, с крыльями, расположенными горизонтально и прижатыми друг к другу на протяжении 40 км, и со сводами, расположенными друг против друга и касающимися друг друга, причем два верхних крыла складок оставались в воздухе над горами; Эшер предполагал, что они были размыты под действием эрозии.
Его смелые идеи о «подводных скалах》и об эффектных альпийских надвигах (в результате которых слои пород толщиной 1000——2000 м были перемещены по подстилающей породе на многие километры), выдвинутые в 1840——1850 гг., заложили основы так называемой теории альпийских, покровов (Decken- теории, теории надвинутых пластов). Вскоре эта теория была
принята ведущими швейцарскими геологами ——Альбертом Геймом (уаеником Эшера), его сыном Арнольдом Геймом, Люжо- ном】). Шардтом и др. В 1878 г. Альберт Гейм писал: «Неопровержимо, что в Альпах действительно существуют плоские покрывающие складки (пласты) земной коры, которые простираются на огромные расстояния и вызывают полное обращение последовательности напластования пород на многих сотнях квадратных километров, и что вершины гор состоят из самых старых, а долины прорезаны в самых молодых пластах горных
О 70203040 км
Рис. 17.11. Схематическое представление складки Гларнер в разрезе через гору Гларниш (Heim A., Geologie der Schweiz, v. 2, № 3, Fig. 66, p. 265, 1920).
Детали покровов не приводятся, SS — вторичные сдвиги; FF — надвиг.
/ — уровень моря, северо-запад； 2 — уровень моря, юго-восток; 3 — основные породы; 4-гора Гларниш, 2910 м.
пород». Гениальный французский геолог Бертран) уточнил в 1884 г. гипотезу Эшера о двойной складке Гларнер. Ему она представлялась в виде огромной одиночной складки, смещенной с юга на север и покрывшей плоским слоем длиной 40 км молодые пласты кантона Гларус вдоль линии одиночного надвига (она показана на рис. 17.11, воспроизведенном по схематическому рисунку 1910 г., сделанному Арнольдом Геймом).
Правдоподобный взгляд на альпийские покровы состоит, как представляется, в том, чтобы видеть в них древние поверхностные слои длинного волнистого поднятия — геоантиклинали,—— по слегка наклонным склонам которого они соскользнули вниз
под действием собственного веса. Предположим, что в давно прошедшие времена эта волнистая возвышенность имела профиль, который в вертикальном разрезе можно представить ос- редненной гладкой кривой АВС на рис. 17.12. На этом рисунке изображена половина первоначальной антиклинали, имевшей общую ширину 250——350 км и наиболее крутой склон, наклоненный под углом а. В отсутствие добавочных горизонтальных сил, вызывающих горообразование, после того, как в верхней части
ССWOkm 806040200WOkm 806040200
С
С
WOkm 806040200
WOkm 806040200
Р и с. 17.12. Гипотетический нависающий альпийский надвиг на ранней стадии смещения по линии FF； предполагается, что он возникает на геоан-
тиклинали.
поверхностного слоя возникает трещина, может начаться скольжение покровного пласта вниз по наклонной плоскости при условии, что коэффициент трения породы 卩 удовлетворяет неравенству
卩&tga. (17.1)
Если высота 9 антиклинали /7 = 8 км, ее ширина 侬= 240 /ом, то максимальный наклон оценивается величиной tga = 0,l и покров может образоваться при условии 卩〉0,1.
Из впечатляющего обзора по надвигам, представленного Хаббертом и Руби ), отметим, что во многих местах Скалистых
гор и других частях Северной Америки открыты и исследованы длинные надвиги, вдоль которых оказываются сдвинутыми в горизонтальном направлении целые горные цепи (вблизи канадской границы, в Вайоминге, в Неваде и т. д.). Крайне интересно, что начальная толщина огромных древних массивов перемещенных пород по предварительной оценке достигала в некоторых местах порядка h = 8000 м (см. предыдущее примечание), при этом падение плоскостей нарушения (угол наклона а) оказывается очень малым; кроме того, по мнению таких опытных геологов, как Хабберт, Дэли, Уиллис, эти североамериканские надвиги, в противоположность альпийским Decken, возникли, как полагают, на краях неглубоких геосинклиналей.
Это приводит нас к механическому парадоксу больших надвигов, исследованному в статье Хабберта ' и Руби. Впервые внимание к нему привлек в 1909 г. физик Смолуховский 】). В то время как фактическое существование покровов не вызывает сомнений, трудно согласовать наблюдаемые высокие значения коэффициента трения 卩(в экспериментах по скольжению сухой породы по породе), достигающие величины ji^0,3 = tgp (угол трения р== 17°), с теми значениями угла падения а, составляющими малую долю р, которые соответствуют нарушениям. Более того, легко видеть, что среднее горообразующее напряжение сжатия о*, необходимое, чтобы передвинуть обширные толстые слои породы длиной во много километров по близким к горизонтальным плоскостям надвигов, достигло бы значений, которых ни одна порода не смогла бы выдерживать, не рассыпавшись на куски. Вскоре геологами была осознана необходимость отыскания такого свойства пород, прилегающих к надвигам, благодаря которому сопротивление скольжению за счет трения значительно снижалось бы. Напрашиваются два предположения.
Одно состоит в том, что покровы скользят по тонкому слою высокопластичной породы. Альберт Гейм предполагал, что смазкой служил тонкий слой каменной соли, залегающий в глубинах западных и северных «Древних Альп》 вблизи дуги Юрской горной цепи. Как известно, каменная соль высокопластична и залегает во многих местах в этих районах); выразительные складки в Юрской цепи (см. рис. 10.30) говорят в поддержку этого предположения.
Smoluchowski М. S., Some Remarcs on the Mechanics of Overthrusts, GeoL Mag , new. ser. (1909)
Второе предположение состоит в том, что породы на глубине нескольких километров деформируются путем ползучести из-за возрастания температуры с глубиной.
Предполагалось также, что смазкой служит вода, но ее присутствие на поверхности контакта твердых сухих ненасыщенных пород не снижает коэффициента трения. Исключение могут составлять влажные глины, тонкие слои которых способствуют скольжению, но таких слоев нет в верхних кристаллических породах высоких Альп.
Следует отдать должное Хабберту и Руби за то, что они разъяснили механическое поведение насыщенных жидкостью пористых твердых пород, условия насыщения которых жидкостью характеризуются высокими значениями давления, сравнимыми с полным вертикальным сжимающим давлением Sz веса столба вышележащих пород. Это нормальное напряжение Sz складывается из части аг, передаваемой через твердый скелет породы (как если бы ее поры были пустыми) и давления р поровой жидкости
S2 = az + р. (17.2)
В то же время критическое касательное напряжение тКрит, требуемое, чтобы заставить покров скользить, действует так, как если бы жидкости не было, а мелкие неровности поверхности твердого скелета держались бы прижатыми друг к другу всюду, где они могут контактировать. Поэтому предельное значение касательного напряжения, которое связано с напряжением az, передаваемым твердым скелетом породы, можно вычислить из закона трения
^крнт =以。Z ―卩(Sz — p)・ (17.3)
Отсюда видно, что даже если коэффициент трения 卩 имеет высокие значения, характерные для сухого трения скольжения, то касательное напряжение ткрит можно существенно снизить путем увеличения давления поровой жидкости р.
Предыдущие формулы относятся к скольжению по наклонной плоскости под действием собственного веса. Однако если действуют горизонтальные сжимающие горообразующие силы От, то именно они являются максимальными главными напряжениями и превосходят величину Sz, так что давление р может увеличиваться, пока не достигнет значения S2. Наблюдения, сделанные в глубоких нефтяных скважинах (см. конец § 15.11), подтверждают эти выводы и показывают, что, согласно Хабберту и Руби, в геосинклинальных бассейнах на глубинах в несколько километров давление жидкости р имеет порядок ，=
= 0,9S?. В заключение можно сказать, что некоторые из северо- a.Aiei пк/г-ских надвигов возникли на полог их склонах широких гес；.'гм<зи!<иьных бассейнов на дне которых условия наиболее благо!.;ялпны для появления сдвигов из-за накопления грунто-
С
力"〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃〃/"〃〃/〃〃/〃〃勿"勿»
Р и с. 17.13. Идеализированный разрез через пологую геосинклиналь АВС, на котором виден отделившийся слой породы, начинающий скользить вниз и вызывающий местное выпучивание вблизи переднего края В (по Хаб- берту и Руби).
вой и поровой воды под высоким давлением, как показывают слегка наклонные надвиги в западном Вайоминге (рис. 17.13).
Давление внутри Земли. В верхних слоях земной коры вблизи ее поверхности главные напряжения отличаются друг от друга и различны в разных точках пласта пород из-за местных нарушений их равновесия под действием собственного веса. Однако под этой поверхностной зоной состояние равновесия с увеличением глубины быстро становится приблизительно гидростатическим и характеризуется во всех точках, расположенных в горизонтальной плоскости, равными давлениями, действующими одинаково во всех направлениях. С этим связано длительное воздействие, вызывающее медленное необратимое деформирование пачек пород, примером чего служит рассматриваемое в § 17.6 и 17.7 медленное горообразование, когда продолжительное время действуют очень малые разности между давлениями в горизонтальном и вертикальном направлениях. Мы предполагаем, что помимо вопроса об образовании складчатых гор читателя может заинтересовать получение простыми средствами некоторых точных сведений относительно порядка величины давления р, создаваемого внутри Земли под действием ее поля тяготения !).
Согласно теории Канта—Лапласа, Земля в начальной стадии находилась в жидком состоянии и за время (оцениваемое примерно в 3000 миллионов лет) ее существования как обособленного тела шел процесс ее постепенного остывания. Однако недавно было высказано мнение, что исходная масса Земли была образована в результате скопления космической пыли и метеоритных частиц в виде первоначально холодной твердой массы, которая постепенно разогрелась изнутри благодаря работе сил тяготения и наличию в горных породах радиоактивные компонентов и которая в настоящее время прогревается, либо проходит через стадию, термически близкую к стационарной.
Для оценки давления нужно знать, как массовая плотность р горных пород меняется с глубиной. При записи уравнений равновесия, которым должно удовлетворять гидростатическое давление р, допустимо в первом приближении пренебречь сплюснутостью Земли, т. е. эллиптичностью меридианов с, а также центробежными ускорениями, вызываемыми вращением Земли вокруг ее полярной оси. Эллиптичность с, выражаемая отношением (а——b)/a, имеет малую величину с= 1/297, а центробежная сила на единицу массы снижает ускорение силы тяжести на экваторе всего на 0,35% (здесь а ——радиус экватора,
707000557234z7234z56^^000кмЦентр Земли56^^000кмЦентр Земли
70
70
0
0
5
5
7234
z
7234
z
56^^000км
Центр Земли
56^^000км
Центр Земли
Рис. 17.14. Скорости сейсмических волн в земной коре в зависимости от .глубины z (по Джекобсу).
с^ — скорость продольных волн, волн сжатия (Р); cs — скорость поперечных, сдвиговыхволн (S).
Ь ——радиус меридиана). Пренебрегая этими двумя малыми эффектами, мы можем рассматривать чисто радиальные поля распределения плотности р и ускорения силы тяжести g, рассматривая р и g как функции одного лишь расстояния % по радиусу от центра Земли, которая считается шаром (неподвижным).
В связи с этим мы будем опираться на фундаментальные сведения, накопленные за последние 60 лет в сейсмологии. Поскольку классические определения средней плотности Земли рт Маскелином (1774 г.) и Кавендишем (1799 г.) дали значение, равное рт = $,52, а породы на поверхности имеют среднюю плотность р = 2,7, можно ожидать, что р будет сильно возрастать на больших глубинах вблизи центра Земли. Из рассмотрения значений плотности Вихерт (1896 г.) заключил, что Земля, вероятно, имеет железное ядро, окруженное мантией из легких породообразующих материалов (силикатов). Сейсмологи
(Гутенберг, Рихтер и др.) построили при помощи сложных методов интегрирования кривые времени распространения волн от землетрясений и, таким образом, вычислили скорости распространения двух главных типов волн внутри Земли: продольных (волн расширения ——сжатия) и поперечных (сдвиговых волн, волн искажения); для удобства их обозначили сокращенно как волны Р м Si). Современное состояние знаний о распределении скоростей распространения сейсмических волн внутри Земли приводит к двум кривым2), показанным на рис. 17.14. На этом рисунке обнаруживаются следующие важные в геометрическом отнои^ении 巾акты: 1) скорость продольных волн Р испытывает очень большой скачок на глубине 2 = = 2898 км, чем определяется нижняя граница мантии; 2) на еще большей глубине 2 = 5121 км имеет место второй, очень резкий скачок на кривых для Р-волн; 3) волны формоизменения (S-волны) не могут проникнуть глубже z = 289& км, в связи с
Gutenberg V. (ed.), Internal Constitution of Earth, 2d ed., 439 pp., Dover Publication, New York, 1951 (есть русский перевод первого издания: Г утенберг Б. (ред.), Внутреннее строение земли, ИЛ, М, 1949). См. в этой книге рис. 16 (скорость P-волн) и рис. 42 (скорость продольных (Р) и поперечных (S) волн).
Landsberg Н. Е. (ed.), Advances in Geophysics, v. 3, 578 pp., Academic Press, New York, 1956. См. здесь статью Jacobs J. A., The Interior of the Earth, стр. 187, рис. 1, где показаны графики скоростей Р я S. Разрез Земли, представленный на рис. 17.15, построен по данным этой статьи Джекобса.
Смещение “，параллельное оси х в плоской волне в неограниченном упругом континууме, удовлетворяет волновому уравнению '
скорость распространения волн искажения (волн с вращением ——сдвиговых, поперечных, S-волн) равна
c = cs = KG/р,(17.5)
а волн сжатия (волн без вращения, P-волн) равна
= М 2G (17)/[р(1-2у)] = М2K(1-у)/[р(1+у)],(17.6)
где р — плотность, G — модуль сдвига, К——модуль объемного сжатия, v — коэффициент Пуассона.
Если взять коэффициент Пуассона 2 = 1/4 (значение, которое Гутенберг считает вероятным для большей части Земли, за исключением областей вблизи наружной поверхности и непосредственно вблизи от центра), то отношение скоростей продольной Cd и поперечной с8 волн на всех глубинах равно
】尸2(1 -”(1 -2”) =М家=1,73.(17.7)
Это последнее cooiношение можно с успехом применять для определения v.
Рис. 17」5. Мантия и ядро Земли. Наружная кора Л имеет толщину 30—40 км (полностью не показана). Мантия: В — наружная, z = 40—413 км; С — промежуточная, 413—984 км; D — нижняя, 984—2898 км. Ядро: Е — наружная часть, 2898—4928 км\ G — внутренняя часть 4982—6371 км. (По Буллену и Джекобсу; использованы значения скоростей волн землетрясений и времена их распространения, найденные Гутенбергом.)Рис. 17」5. Мантия и ядро Земли. Наружная кора Л имеет толщину 30—40 км (полностью не показана). Мантия: В — наружная, z = 40—413 км; С — промежуточная, 413—984 км; D — нижняя, 984—2898 км. Ядро: Е — наружная часть, 2898—4928 км\ G — внутренняя часть 4982—6371 км. (По Буллену и Джекобсу; использованы значения скоростей волн землетрясений и времена их распространения, найденные Гутенбергом.)
Рис. 17」5. Мантия и ядро Земли. Наружная кора Л имеет толщину 30—40 км (полностью не показана). Мантия: В — наружная, z = 40—413 км; С — промежуточная, 413—984 км; D — нижняя, 984—2898 км. Ядро: Е — наружная часть, 2898—4928 км\ G — внутренняя часть 4982—6371 км. (По Буллену и Джекобсу; использованы значения скоростей волн землетрясений и времена их распространения, найденные Гутенбергом.)
Рис. 17」5. Мантия и ядро Земли. Наружная кора Л имеет толщину 30—40 км (полностью не показана). Мантия: В — наружная, z = 40—413 км; С — промежуточная, 413—984 км; D — нижняя, 984—2898 км. Ядро: Е — наружная часть, 2898—4928 км\ G — внутренняя часть 4982—6371 км. (По Буллену и Джекобсу; использованы значения скоростей волн землетрясений и времена их распространения, найденные Гутенбергом.)
чем весьма вероятно, что эта глубина отмечает наружную по
верхность плотного ядра, находящегося в жидком состоянии (поскольку поперечные, сдвиговые волны через жидкость не передаются).
По этим данным на рис. 17.15 построен разрез Земли. Сейсмологи считают, что они обнаруживают хорошо различимую поверхность, являющуюся нижней границей наружной части
коры; толщина ее меняется под континентами предположительно от 30 до 50 км, в нижней части она представляет собой гранитно-базальтовый слой, на котором покоятся верхние осадочные йороды; толщина соответствующего (базальтового) слоя под океанскими бассейнами считается немногим больше 5 км. (Этот слой, слой Л на рис. 17.15, невозможно показать на рисунке.) Джекобс различает в породах мантии три зоны (民 С, Q), соответствующие скачкам наклона кривых скорости на рис. 17.14. Наружная граница ядра четко выделяется на глубине 2 = 2898 км. Возможно, что ядро Земли состоит из двух частей Е и G (если пре
небречь тонкой прослойкой F между ними, на которую указывает кривая скорости P-волн). Как предполагают, наружная часть Е находится в расплавленном состоянии; спорным остается вопрос о том, состоит ли внутренняя часть G из жидкости.
На этом, однако, кончаются данные, опирающиеся на надежные результаты измерений для больших глубин. Выражения для скоростей распространения волн cs и cd (формулы (17.5) и (17.6)) содержат одно и то же отношение двух неизвестных——модуля сдвига G и плотности р. При условии, что для коэффициента Пуассона v можно принять его среднее значение (v~V4, как было упомянуто выше), выражения для cs и cd можно использовать, чтобы установить величину отношения G/p, если наблюдаемые значения скоростей нигде не противоречат друг другу. В предыдущих главах было указано, что значения модулей Е, G и К мало зависят от среднего давления р, а в значительно большей степени — от температуры 0, и что
изменение сжимаемости таких важных пород, как гранит и габбро, оказывается незначительным при давлениях р порядка 12000 атм (см. рис. 17.17). Учитывая, что состав и свойства пород, залегающих под внешней корой, неизвестны и что (помимо геотермического градиента dQ/dz вблизи поверхности) мало надежных данных о температурах 0 в глубине Земли, где они должны достигать очень высоких значений, приходится признать, что определение плотности р и модулей 应，G и К для больших глубин связано с весьма трудными задачами, на которых мы здесь не будем останавливаться.
Для оценки давления р в глубинах Земли можно 1) произвольно задать некоторое распределение плотности р (путем приписывания концентрическим оболочкам мантии правдоподобно выбранных значений р) или 2) задать .плотность в виде простой осредняющей функции p = f (%) расстояния от центра х = а——г (а = 6371 к也 ——радиус Земли, z——глубина); после этого вычисляются соответствующие изменения давления р в зависимости оt 尤.
Потенциал ср тяготеющей массы т, распределенной на расстоянии г от центра (т. е. механическая работа, совершаемая, когда масса, равная единице, приближается из бесконечности к массе т), равен
①，
где f——постоянная тяготения. Следовательно, потенциал тяготения epi в точке Р, расположенной на поверхности 尤=厂 сферической массы переменной плотности р и зависящей от %, равен
Ф1 = ~~~ / рх2 dx. (17.8) о
Так как, с другой стороны, потенциал внутри полой сферической оболочки радиуса % и толщины dx сохраняет постоянное значение, равное потенциалу на ее поверхности, а именно
d^2 = ^^ = 4л/рх dx, (17.9)
потенциал ф во внутренней точке Р (%<а) материального шара радиуса а и переменной плотности р равен
中=屮］+ ф2 = 4nf (； ! рх2dx + J р% dx) . (17.10)
Далее, ускорение силы тяжести g в той же точке Р (% = " составляет
gg需=号*也О需=号*也О(17.11)(17.11)
g
g
需=号*也
О
需=号*也
О
(17.11)
(17.11)
что дает, если обозначить полную массу Земли через М, а ее среднюю плотность через рт, для ускорения силы тяжести ga на поверхности г = а шара выражение
ga =醬］РХ2dx =祟=^faPm， оga =醬］РХ2dx =祟=^faPm， о(17.12)(17.12)
ga =醬］РХ2dx =祟=^faPm， о
ga =醬］РХ2dx =祟=^faPm， о
(17.12)
(17.12)
откуда можно определить постоянную тяготения
(17.13)
Условие равновесия сил, действующих на малый элемент массы внутри тяготеющего шара, требует, чтобы давление р удовлетворяло уравнению
业dr业dr-gP・-gP・(17.14)(17.14)
业dr
业dr
-gP・
-gP・
(17.14)
(17.14)
Последнего уравнения вместе с уравнением (17.11) достаточно, чтобы вычислить давление р на расстоянии г ог центра Земли, если известно распределение плотности р в зависимости от 尤.
Рассмотрим теперь три случая.
Случай 1. Шар, имеющий постоянную плотность р = рш== =const. В этом случае ускорение силы тяжести g = gdla, согласно уравнению (17.11), пропорционально г, а из уравнения (17.14) мы получаем выражение для давления
р = (17.15)
где Ya = gaPm, очевидно, представляет собой измеренный на поверхности шара г = а вес единицы объема (удельный вес) того вещества постоянной плотности, из которого состоит шар; Ро —— давление в его центре 厂=0.
Предположим, что шар имеет радиус а и плотность рт, равные среднему радиусу “ = 6371 км и средней по данным физических наблюдений плотности рт = 5,52 нашей планеты. Тогда единичный объем вещества такого шара весил бы на его поверхности (r = a) Ya = 5520 /сг/л13 = 0,00552 кг/см3. Максимальное
давление р()в центре этого тяготеющего шара было бы равно
0,00552 • 6,371 • 1081 ^匚。
Ро =^= 1 758 400 атм, (17.16)
т. е. увеличенному в 1,76 миллиона раз давлению земной атмосферы (1 〃т也 ^1 кг/см2).
Случай 2. Параболическое распределение плотности. Попытаемся учесть до некоторой степени увеличение плотности р с глубиной, предположив, что р изменяется с изменением 尤 в соответствии с выражением
Р = Ро-(Ро-Ра 号(17.17)
где ра и ро ——плотность на поверхности х=а и в центре 尤=0. При таких предположениях средняя плотность рт определяется соотношением
_ 2ро + 3ра
5—
При ра = 3, рт = 5,50 это дает плотность в центре шара р0 = 9,25. Распределение ускорения тяготения g и давления р легко вычисляется при помощи уравнений (17.11) и (17.14). Для давления р в центре шара х = 0 получается значение
2Po (Ро + Р“) + Р^5Р^2Po (Ро + Р“) + Р^5Р^Ро= 1,56ро,Ро= 1,56ро,(17.19)(17.19)
2Po (Ро + Р“) + Р^5Р^
2Po (Ро + Р“) + Р^5Р^
Ро= 1,56ро,
Ро= 1,56ро,
(17.19)
(17.19)
р = 2 740 000 атм,
где Pj = gaPmO/2 ——давление в центре однородного шара постоянной плотности рт (уравнение (17.15)). Изменение с глубиной плотности р, ускорения тяготения g и давления р показано на рис. 17.16.
Случай 3. Шар, имеющий металлическое ядро и мантию из силикатных пород. Мы видели, что по сейсмическим данным на глубине 2898 /см (см. рис. 17.14) или на расстоянии от центра примерно х = 0,545a происходит резкий скачок скорости распространения волн землетрясений vd и и§. Пренебрегая другими скачками, на которые мы указывали прежде, предположим, что в согласии с ранней гипотезой Вихерта наружная силикатная мантия Земли, имеющая малую плотность, окружает значительно более тяжелое ядро, состоящее, возможно, из никеля и железа (составные части определенного класса
метеоритов). Предположим также, ради простоты, что значения плотности р0 внутреннего ядра и р} наружной мапгии постоянны. Для такого шара, состоящего из двух частей, имеющих по предположению постоянные плотности р0 и pi, мы можем вычислить эти плотности, задав два условия, а именно: 1) средняя плотность должна равняться истинному ее значению для
Рис. 17.16. Изменение относительной плотности р, ускорения силы тяжести g и давления р внутри Земли, рассчитанные при параболическом распреде- *лении плотности р.
Земли р?п = 5,50 и 2) момент инерции составного шара относительно оси, проходящей через его центр, должен равняться истинному значению /, взятому для Земли относительно ее полярной оси. Это значение было определено астрономами по периоду прецессии равноденствия (имеющему продолжительность в 25 740 лет), вызываемой действием притяжения Солнца на избыточную массу выступов вблизи экватора эллипсоида Земли
(прецессия постоянной
оси вращения гироскопа). Момент инерции шара плотности р равен
/0 =老審=萼=0,400 Ма\(17.20)
тогда как в действительности момент инерции Земли относительно ее полярной оси равен 9
/ = 0,334 ММ.(17.21)
Предположим, что металлическое ядро простирается до половины среднего радиуса Земли а, так что граница раздела ядра и мантии лежит при Jc = a\=a/2 (будем использовать это значение вместо % = 0*545о по данным сейсмологии). Тогда, используя принятое распределение плотности, имеем
аМо + (1 —歩)卩[=Рт(17.22)
Г'де a = Oi/o, Далее, из условия относительно момента инерции (формулы (17.20) и (17.21)) находим
a5Po + (1 — а5) Pi = -| • 0,334Pm.(17.23)
Взяв а=1/2, рт = 5,50, мы получим из последних двух уравнений для средней плотности металлического ядра величину р0 = = 14,0, а для минеральной мантии ——значение pi = 4,28. Давле- ние в центре Земли будет равно
—Ро+РоР1 +Р?
= ―—(17.24) Ртах = 2,42几=4 230 000 атм,
В табл. 17.1 приведено несколько значений плотности р и давления р, которые были определены Булленом при помощи значительно более тонких и сложных физических методов и выправлены Гутенбергом 2).
Сравнение полученных нами значений р0 и р〔 и максимального давления Ртах с табличными значениями показывает их хорошее согласование ——наша третья упрощенная модель Земли
Таблица 17J
ПЛОТНОСТИ II ДАВЛЕНИЯ В ГЛУБИНЕ ЗЕМЛИ
Глубина 2, км
Расстояние от центра х, км
Плотность р, г/см3
Давление ", 106 бар
Мантия
0
6370
2,76
0
400
5970
4,06
0,15
1000
5370
4,41
0,40
2900
3470
5,57
1,33
Ядро
2900
3470
9,74
1,33
4982
1388
12,0
3,19
6370
0
17,9
3,92
(в виде тяжелого ядра и легкой мантии с соответствующим образом определенными постоянными плотностями) с хорошей точностью воспроизводит некоторые характерные черты внутреннего строения Земли по данным более сложных физических методов: значение максимального давления ртах, вычисленное по формуле (17.24), отличается от приведенного в табл. 17.1 на + 9%, а найденное нами значение для средней плотности ядра ро= 14 лишь на 6% больше среднего значения р0= 13,2, приведенного в таблице. Исключительно высокая плотность ртах = =17,9 в центре 尤=0 ядра Земли (предположительно, металлического) указывает на наличие здесь тяжелого вещества, сильно сжатого (упруго) под действием огромного давления порядка 4 миллионов атмосфер. Относительно значения высокой температуры 0 в этой области Земли мнения, к сожалению, сильно расходятся г).
Упругая сжимаемость пород. Сжимаемость природных пород была детально исследована в Геофизической лаборатории в Вашингтоне Адамсом
В последней книге Гутенберга: Gutenberg В., Physics of the Earth's Interior, 240 pp., International Geophysics Series, v. I, Academic Press, N Y., 1959, воспроизведены (см. рис. 6.1 этой книги) кривые распределения температуры 8 =尸(尤)внутри Земли, предложенные в последнее время девятью знаменитыми исследо в ател ям и. Неопределенность представлений, лежащих в основе приведенных девяти кривых, иллюстрируется тем, что максимальные значения температуры 0 изменяются в пределах от 0тах = 2800 до 6000° С.
с сотрудниками J) при гидростатических давлениях до 12 000 6а〃 (12 240 代21cM2), а для отдельных минералов — до 40 000 бар. Сжимаемость р определялась как
о _1 dv
(17.25)(17.25)『_3丽,
(17.25)
(17.25)
е. уменьшение объема при приращении давления на 1 бар, деленное на объем и。при стандартных давлении и температуре. Таким образом, сжимаемость 10-6 означает изменение объема на одну миллионную при увеличении давления р на 1 бар. Обратная сжимаемости 0 величина равна модулю объемного сжатия К,
К =—К =—dpи。•dvdpи。•dv(17.26)(17.26)
К =—
К =—
dp
и。•dv
dp
и。•dv
(17.26)
(17.26)
Как правило, сжимаемость В естественных пород уменьшается с давлением р сначала (при низких давлениях) быстро, а затем (при давлениях выше
р, бар
Рис. 17.17. Сжимаемость (РХЮ) гранитов и габбро в зависимости отдавления (по Адамсу).
/ — гранит; 2 — габбро.
】)Ada and Rocks Adams L. Adams L. Гутенберга,】)Ada and Rocks Adams L. Adams L. Гутенберга,2000—4000 атм) очень плавно, как показывают кривые на рис. 17.17 для различных гранитов и габбро; в заштрихованные полоски попадают значения сжимаемости для различных пород этих типов. Несколько значений сжимаемости 6，модуля сдвига G и модуля объемного сжатия К, полученных Адамсом н Уильямсоном для некоторых изверженных пород, воспроизведены в табл. 17.2.
】)Ada and Rocks Adams L. Adams L. Гутенберга,
】)Ada and Rocks Adams L. Adams L. Гутенберга,
Таблица 17.2
Порода
Давление ", бар
Сжимаемость 伊106
G, б ар/см
К, бар/см2
Плотность р
Гранит
2 000
2,12
260 000
470 000
2,61
10 000
1,88
290 000
5 30 000
2,66
Габбро
2 000
1,49
360 000
670 000
3,05
10 000
1,20
450 000
830 000
3,08
Дунит
2 000
0,93
590 000
1 800 000
3,38
10 000
3,41
Можно было бы ожидать, что упругому уменьшению объема с давлением на больших глубинах внутри Земли будет препятствовать объемное расширение благодаря росту температуры 0, однако, согласно Адамсу, экспериментальных сведений о влиянии температуры известно крайне мало. Опираясь на теоретические соображения и используя сведения о скоростях va и vs продольных и поперечных волн вместе с гипотетическим распределением плотности р, Гутенберг 1) построил кривую, выражающую изменение модуля объемного сжатия К с глубиной внутри Земли (рис. 17.18). Согласно этой кривой, модуль К возрастает с /(=1,2 • 1012 на глубине г = 50 км до чрезвычайно высокого значения /(=1,56 • 1013 дин/см2=\,56 • 107 бар^1,6 • 107 кг/см2 в центре ядра Земли (по предположению жидкого), т. е. в 13 раз превышает значение К на умеренных глубинах 2).
Недавно Хьюз и Маккуин ) смогли измерить плотности двух горных пород типа габбро и дунита при нескольких сверхвысоких давлениях в диапазоне от 150 до 750 кбар (или от 148 000 до 740 000 атм, 1 &6ар = 986,9 атм). Они подвергали при динамических испытаниях небольшие диски из этих материалов (диаметр 3Д дюйм, высота 】〃 дюйм) воздействию фронта ударной волны, возникавшей при взрыве заряда сильной взрывчатки под алюминиевой пластинкой, на которой находились диски. В этих ценных опытах впервые было выяснено поведение пород, адиабатически сжимаемых искусственным путем при столь высоких давлениях. Они доказали, что плотный дунит с начальной плотностью р» = 3,25 c/сж3 был сжат до плотности р = 4,9 а/с.%/ при давлении 720 кбар, а габбро плотности р? = 3,00 г/см3 сжато до р = 5,0 г/см3 при 750 кбар； более того, габбро претерпело полиморфное превращение кристаллической структуры при давлении 150 кбар, превратившись скачком в более плотную и менее сжимаемую породу.
Z, 15Z, 15Рис. 17.18. Модуль объемного сжатия ^ в глубине Земли (по Гутенбергу).J — жидкое ядро; 2 — твердое (?) ядро; 3 — ядро; 4 — мантия.Рис. 17.18. Модуль объемного сжатия ^ в глубине Земли (по Гутенбергу).J — жидкое ядро; 2 — твердое (?) ядро; 3 — ядро; 4 — мантия.«%«%
Z, 15
Z, 15
Рис. 17.18. Модуль объемного сжатия ^ в глубине Земли (по Гутенбергу).
J — жидкое ядро; 2 — твердое (?) ядро; 3 — ядро; 4 — мантия.
Рис. 17.18. Модуль объемного сжатия ^ в глубине Земли (по Гутенбергу).
J — жидкое ядро; 2 — твердое (?) ядро; 3 — ядро; 4 — мантия.
«%
«%
Рис. 17.19. Кривые «давление — объем» для ду-нита и габбро (по Хьюзу и Маккуину).
1 — габбро байтаунит; 2 — габбро Сан-Маркос; 5 — дуиит-
На рис. 17.19 воспроизведены кривые давлегшя р в зависимости от отношения объема и к нормальному объему и。 для этих пород. Они могут служить для вычисления модуля объемного сжатия ^ при помощи либо уравнения (17 26), либо более точного выражения
阴 (17.27) av
ввиду большой величины уменьшения обьема и。一 и.
Опыты Хьюза и Маккуина существенно подтверждают следствия из теории строения мантии и ядра Земли и предположения, что внутреннее ядро, вероятно, состоит из металлов (железа и никеля), объемы которых при громадных давлениях, достигающих 4 миллионов атмосфер, претерпевают упругое сжатие менее чем до половины их начальных значений.
Вес континентов. Как было сказано, геологические и сейсмические наблюдения показывают, что земная кора под большими континентальными платформами сложена из более легких типов пород (из гранитов и базальтов, если не считать самых верхних пластов осадочных пород), простирающихся на глубину от 30 до 50 км. Они имеют средний удельный вес около у = 2700 кг/м3. Под этими образованиями из легких пород !) лежит мантия, состоящая из заметно более тяжелых пород, удельный вес которых вблизи поверхности контакта с корой оценен в 丫 = 3200 кг/м3.
С другой стороны, породы, образующие дно океанических бассейнов, относятся, как полагают, к более тяжелым, чем породы в массивах материков. В своей теории материкового дрейфа гениальный Альфред Вегенер2) предполагал, что на дне океанов выявляются породы мантии (сима). Однако Юинг3) и его сотрудники в недавних обширных глубинных исследованиях окончательно установили, что на дне океанов сравнительно тонкий рыхлый слой осадочных пород толщиной менее 1 км покрывает слой твердых базальтовых пород толщиной 5 汇也，подобный тому, который, как предполагают, существует в нижней части коры. Этот базальтовый слой имеет удельный вес у = 2800 кг/м3 и покоится на мантии (у = 3200 кг/м3).
Совокупность легких пород, образующих континентальные платформы, геологи называют сиаль (сокращение от silica — кремнезем и aluminum — алюминий, наиболее распространенных составных частей коры); залегающие ниже тяжелые породы мантии называются сима (silica ——кремнезем, magnesium —магний).
*Wegener A., Die Entstehung der Kontinente und Ozeane, 231 pp., 4th ed., Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswick, 1929.
Ewing M., Press F., Geophysical Contrasts between Continents and Ocean Basins, Geol. Soc. Am., Special Paper 62, 1955; Seismic Measurements in Ocean Basins, Sears Foundation, /. Marine Research, 14, № 4, 417— 422 (1955). На рис. 17.20, построенном по данным Юинга и Пресса, показано, как подконтинентальная кора постепенно сужается к Атлантическому океану.
Математическое определение внутреннего напряженного состояния в ограниченной части или во всей твердой внешней сферической оболочке Земли ——одна из главных задач геомеханики, сопряженная, однако, со значительными трудностями. Причина этого состоит в том, что, во-первых, система огромных вековых внешних массовых сил, которые обусловливают суточные упругие деформации коры и за геологические времена вызвали пластические деформации и перемещения частей наружной сферической оболочки, не может быть еще определена с приемлемой достоверностью. Во-вторых, мало изучено комбинированное влияние гидростатического давления р и температуры 0, возрастающих на большой глубине до высоких значений, на упругость, вязкость и пластическое поведение пород в коре на больших глубинах.
Геофизикам удалось кое-что выяснить относительно сложных и взаимосвязанных условий в глубинных областях Земли ——в мантии и ядре. Однако при рассмотрении напряженного состояния наружной коры они ограничиваются, главным образом, рассмотрением одного лишь гидростатического равновесия, следующего принципу изостатичности. При этом принимается гипотеза, что вес узкого вертикального столба в теле, погруженном в более тяжелые породы, удерживается выталкивающей силой, создаваемой последними, т. е. столбики породы плавают в основании как связка карандашей, удерживаемых в вертикальном положении 9 •
Эта гипотеза не учитывает длительного взаимодействия между вертикальными столбиками и тех напряжений изгиба и касательных напряжений, которые могут действовать в вертикальных сечениях частей континентальных оболочек, активно участвующих в вязко-пластическом деформировании во время медленного горообразования или образования глубоких океанических впадин). Однако эта гипотеза оказывается адекватной, когда рассматриваются условия мгновенного равновесия на огромных площадях континентов.
Чтобы простейшим образом описать равновесие массива континента из легких пород, плавающего на более тяжелом основании, предположим, что
породы континента имеют один и тот же средний удельный вес у = 2600 кг/м3, а породы основания ——удельный вес 丫2 = 3100 ка/л". Мы не допустим большую ошибку, упростив еще более результаты упомянутых океанических исследований и предположив вслед за Вегенером, что вещество под дном океана
ОО-10-20■30卜40-10-20■30卜40///////////////；y : 2840Л / / / / 1 / / / //Z///////////////；y : 2840Л / / / / 1 / / / //Z/%二 7000/%二 7000667^=32707^=3270
О
О
-10
-20
■30
卜40
-10
-20
■30
卜40
///////////////
；y : 2840
Л / / / / 1 / / / //Z
///////////////
；y : 2840
Л / / / / 1 / / / //Z
/%二 7000
/%二 7000
6
6
7^=3270
7^=3270
Рис. 17.20.
a — поперечный 「азрез континентального шельфа вблизи мыса Мэй (штат Нью-Джерси),построенный с сохранением пропорций по сейсмическим и гравиметрическим даннымЮинга и Пресса (1955 г.).
б — идеализированный разрез; удельный вес океана равен Yi = 1000 кг/мъ, осадочных пород —Y = 2300 кг/м3, коры — Y = 2840 кг/м3, мантии — Ya = 3270 кг/м3.
/ — осадочные породы; 2 —океан; 3 —кора; 4 — мантия; 5 —основание, мантия; 6 — конти-нентальная платформа.
одно и то же, что и породы под континентами с удельным весом у2- Пусть 丫1 = 1000 &а/мЗ — удельный вес воды. Гидростатическое давление р вдоль
Рис. 17.21. Континентальная скальная платформа, плавающая на более тяжелом основании.Рис. 17.21. Континентальная скальная платформа, плавающая на более тяжелом основании.
Рис. 17.21. Континентальная скальная платформа, плавающая на более тяжелом основании.
Рис. 17.21. Континентальная скальная платформа, плавающая на более тяжелом основании.
/ — континент; 2 — уровень моря; 3 — дно океана; 4 — основание.
(17.28)(17.28)нижней горизонтальной плоской границы континента (рис. 17.21), вызванное его весом, равно давлению под дном океана в этой плоскости
(17.28)
(17.28)
p=力y =力］Y1 +力2Y2,
где А,也 и 九2 ——толщина материковой платформы, средняя глубина океана(взятая равной примерно 5 км) и возвышение дна океана Вб над плоско*
Ес\1и задано среднее возвышение а континента над уровнем моря, a = h——hi——力2, то толщина континентальной платформы h должна быть равна
(17.29)(17.29)&(Y2 - Y1)+。Y2Y2-Y
(17.29)
(17.29)
Первый член в правой части этого уравнения определяет толщину 力о континента, верхняя поверхность которого совпадает с уровнем моря (а = 0). При Y2 = 3,1, Y1 = 1, y = 2,6 (1000 кг/м3) и 力1=5 км получим
% =% =九1 (Y2 - Y1)Y2-Y九1 (Y2 - Y1)Y2-Y5 • (3,1-1,0)3,1 —2,65 • (3,1-1,0)3,1 —2,6км.км.(17.30)(17.30)
% =
% =
九1 (Y2 - Y1)Y2-Y
九1 (Y2 - Y1)Y2-Y
5 • (3,1-1,0)
3,1 —2,6
5 • (3,1-1,0)
3,1 —2,6
км.
км.
(17.30)
(17.30)
Уравнение (17.29) разъясняет то обстоятельство, на которое обращали внима、 пие Пратт, Эри, геологи Дэли, Гейм и другие, а именно, что под высокими горными хребтами и плоскогорьями большой высоты континентальные массивы погружены в основании глубже, чем в других местах, если было достаточно времени для установления изостатического равновесия. Несколько значений толщины Л могут пояснить это утверждение.
Среднее возвышение континента над уровнем
Толщина континента
моря, &儿
h = hQ + ay2/(y2-y), км
0
21
07
25,3
3
39,6
5
52
7
64,4
Значение а = 0,7 км соответствует среднему возвышению (700 也)всей суши над уровнем моря, толщина /г = 25,3 км представляет собой среднюю толщину всех материков на Земле. Эти величины показывают, что корни высоких горных массивов глубоко погружены в тяжелые слои мантии Земли. Они объясняют также, почему дал отрицательный результат знаменитый опыт Пратта, проведенный на равнинах Индии к югу от Гималайских гор, а именно, линия отвеса не отклонилась к северу в сторону возвышающихся горных вершин, поскольку_вес столба породы над плоскостью изостатической компенсации (плоскость ДА на рис. 17.21) под вершинами тот же, что и повсюду.
Основываясь на этих соображениях, рассмотрим простую статическую модель механизма, который может служить иллюстрацией медленного процесса, вызывающего горообразование. Есть много свидетельств того, что в прошедшие геологические эпохи огромные части материков дрейфовали по тяжелым породам мантии и перемещались друг относительно друга в касательном к поверхности Земли направлении. Если большие участки наружной коры перемещались как более или менее жесткие тела, то они должны были действовать с некоторой силой через более деформируемые участки на соседние слабо деформированные области.
В качестве простого примера предположим, что к континенту, имеющему вид полосы, приложены внешние сжимающие силы достаточной величины в виде горизонтально направленных ьормальных напряжений с результирующими Р. Поскольку температура 0 возрастает на 3’ С на каждые сто метров глубины, под континентальным плато с возвышением 3 км и начальной толщиной 用忆4° км температура достигает значения 9= 1200е С, близкого к температуре плавления гранитов и базальтов при атмосферном давлении. Не должны
ли такие повышенные температуры, господствующие вблизи основания континента, оказать сильное влияние на деформируемость глубоко залегающих слоев породы, несмотря на наличие гидростатического давления порядка 10 000 и более атмосфер? При таких температурах породы непрерывно деформируются под действием постоянного напряжения, как тягучие металлы.
В случае широкой полосы коры, находящейся под длительным воздействием горизонтальных сжимающих внешних сил Р (на единицу ширины), развивается состояние плоской деформации с напряжениями 。礼，^у^ху- Она накладывается на поле гидростатического давления р, вызываемого силами тяжести, и в результате накапливается система необратимых деформаций
Н-Зкм8Н-Зкм8р-102.9^ am//Z6；"88℃.р-102.9^ am//Z6；"88℃.ЕЕр, атмр, атмh=39、6KM8’h=39、6KM8’6 км6 кма-Зкмh产 5 KMа-Зкмh产 5 KM
Н-Зкм
8
Н-Зкм
8
р-102.9^ am//Z
6；"88℃.
р-102.9^ am//Z
6；"88℃.
Е
Е
р, атм
р, атм
h=39、6KM
8’
h=39、6KM
8’
6 км
6 км
а-Зкм
h产 5 KM
а-Зкм
h产 5 KM
100000100000g7746°Cg7746°C
100000
100000
g7746°C
g7746°C
О 204060
Н, кмН, км1000 8℃
Н, км
Н, км
Р и с. 17.22. Горообразование.
На верхней поверхности АВ континентального блока поднимается пологая плоская антиклиналь ЛЕВ; плоскость /'В' нижней границы деформируется в геосинклиналь АГЕГВ\ впадина которой погружена в основание; р — давление; 0 — температура.
/ — континент; 2 — уровень моря; 3 — океан; 4 — основание; 5 — направление тепловогопотока.
длительной ползучести £%, £?, уху. Эта система деформаций превращает первоначально прямоугольное сечение полосы континента в тело, наподобие показанного на рис. 17.22, которое имеет в вертикальном сечении два симметричных выступа: ЛЕВ вверху и А，ЕВ внизу. Для объяснения этого симметричного изменения формы достаточно предположить, что температура 0 вблизи срединной плоскости ЕЕ7 чуть выше, чем на плоскостях 44’ и ВВ7 (возможно, из-за крайне медленного конвективного потока массы и тепла, поднимающегося из глубины мантии). Такие конвективные потоки в форме вихрей могут служить частью механизма постепенного векового остывания Земли, что и предполагалось многими исследователями. Над уровнем земли медленно поднимается (на высоту Н в своей вершине Е) пологая волнообразная антиклиналь; она изостатически уравновешивается путем одновременного образования направленного вниз выступа геосинклинали, нижняя точка впадины которой Ef опускается на соответствующую величину Я2,
Из рассмотрение результирующей горизонтальной силы Р видно,- что помимо деформации сжатия £*, вызываемой силами Р, должны возникать также напряжения изгиба и деформации ползучести вблизи среднего сечения ЕЕ7. Если, например, поднятие поверхности в вершине Е достигло " = 3 км, то впадина £"' погрузилась на ”2=15,6 км в тяжелое основание и порода на оси симметрии претерпела в среднем необратимое сжатие 8Х в горизонтальном направлении, равное приблизительно ех=—0,47 (47%) сверх того, которое испытывают граничные сечения ДД, и ВВ7.
Изменение гидростатического давления р и температуры 0 с глубиной можно проследить на рис. 17.22, где показаны максимальные значения р и 0 в точках нижней границы /' и Е‘. За отсутствием надежной информации относительно функции [i=f(p, 0), описывающей вязкость пород, мы не будем пытаться оценить распределение напряжений ах, о?, тху. Отметим лишь, что их значения в горячей нижней части материка будут, как ожидают, малы по сравнению с давлением /? в этих областях; горизонтальные нормальные напряжения Ом будут принимать свои наибольшие значения в холодной верхней части материка, вызывая тем самым хорошо известные эффективные явления горообразования (образование складок, касательные разрывы в сдвигах, образование опрокинутых складок в верхних пластах). В то же время истинное происхождение этих явлений связано с процессами глубоко внизу, в горячих областях, которые могут непрерывно течь без разрушения под вековым воздействием соседних жестких участков материка, сдавливающих легко деформируемые полосы на нем.
Для пополнения объема породы, поглощаемого выступами, ширина (по горизонтали) сжатой зоны (ЛВ) должна была сократиться на ранних стадиях этого процесса на десятки километров. С течением времени скорость деформации имеет тенденцию к замедлению до достижения полустационар- ного состояния, в котором профили обоих выступов достигают наибольшей высоты, а именно, когда приток с обеих сторон способен лишь восполнить потерю массы с верхнего выступа, подвергающегося разрушению путем эрозии. На этой стадии горы перестают расти в высоту и сокращение ширины сжатой зоны практически не наблюдается. Некоторые из этих фактов хорошо согласуются с результатами наблюдений в поясах активности сравнительно молодых высоких гор третичного возраста, тогда как многие из старых сглаженных гор Шотландии давно уже прощли через эти стадии 9
В противоположность процессу поднятия гор в результате горизонтального сжатия результирующими *силами Р, существуют и понижения уровня континентов и особенно глубокие впадины в дне океанов, известные под названием рифтов ——по-немецки грабены (в долине Рейна, в Красном море и его продолжении в виде Африканского грабена длиной во много сотен миль, в наиболее глубоководных впадинах, открытых Юингом в Атлантическом и Тихом океанах и т. д.). Предполагается, что эти области понижения в земной коре обязаны своим существованием результирующим растягивающим силам Р, действие которых накладывается на гидростатическое давление р. По бокам грабенов часто видны старые круто наклоненные сбросы в верхних
Хотя, как правильно указывает Гешти (G е s z t i J., Zusammenschub der Erdrinde, Gerlands Beitr. Geophys., 21, № 1 (1929), сравнение сильно складчатых горных цепей (наподобие Альп) со складками на скатерти дает весьма неполную картину образования горных цепей, разглаживание складок на скатерти может по крайней мере продемонстрировать, что земная кора под складчатыми горами в начальной стадии их образования сократилась на многие десятки километров, как утверждают геологи.
рыхлых пластах оса工очных пород, спускающиеся к долине ^. Это подтверждает мнение о том, что на умеренных глубинах происходило пластическое деформирование грунта в горизонтальном направлении под действием растягивающих сил 尸.Если, например, уровень долины на 匕= 0,5 км ниже уровня континента со средним возвышением 〃 = 0,7 км и толщиной /г = 25,3 /см, то эта толщина уменьшается под грабеном до величины
hf = h——= 25,3— =22,2 一 (17.32) Y2-Y 0,5
На слабо наклонннх боках огромных океанических впадин, опоясывающих Земл® в которых путем подводной эхолокации были обнаружены долины глубиной 3——5 км под средним уровнем дна океанов, должны еще ветре- чаться круто падающие трещины сдвигов, поскольку известно, что эпицентры большинства сильных подводных землетрясений расположены в этих, по-ви- димому, еще вполне активных областях земной коры.
Происхождение соляных куполов.
Вначале был ригм Ганс фон Бюлов
Огромные соляные купола равнин побережья Мексиканского залива являются геологическими объектами, выделяющимися как своим происхождением, так и благодаря тому, что они представляют своей правильной формой, быть может, самый замечательный пример образования крупных подземных тел, обязанных своим существованием природному пластическому течению с почти идеальной осевой симметрией. Каменная соль залегает обширными пластами между слоями хрупких осадочных пород). Во многих местах соль поднялась из них за гео-
логические времена в виде огромных эллиптических или близких к круговым цилиндров диаметром 2400—3600 м и высотой 3600 и более метров. Большая часть сведений относительно этих соляных куполов связана с разведочными работами геологов-нефтяников, поскольку опыт показал, что самые верхние нефтеносные пласты техасских нефтяных месторождений могут быть достигнуты на меньшей глубине вблизи цилиндрических границ соляных куполов.
Предположим, что соль, имеющая удельный весь ys = = 2150 кг]* залегает под горизонтальным пластом плотной
3 〃 ' / 〃 〃//i/门)/厂/7；力/п))，)'))П'" i))))3 〃 ' / 〃 〃//i/门)/厂/7；力/п))，)'))П'" i))))27 327 3Рис. 17.23. Стадии образования соляных куполов встречающегося в Германии типа (по Зейдлю)./ — хрупкий пласт; 2 — слой высокопластичной каменной соли; 3 — подстилающий твердый пласт; S — шток каменной соли; SS — песчаник; G — гипс; А, В — менее прочные области.Рис. 17.23. Стадии образования соляных куполов встречающегося в Германии типа (по Зейдлю)./ — хрупкий пласт; 2 — слой высокопластичной каменной соли; 3 — подстилающий твердый пласт; S — шток каменной соли; SS — песчаник; G — гипс; А, В — менее прочные области.
3 〃 ' / 〃 〃//i/门)/厂/7；力/п))，)'))П'" i))))
3 〃 ' / 〃 〃//i/门)/厂/7；力/п))，)'))П'" i))))
2
7 3
2
7 3
Рис. 17.23. Стадии образования соляных куполов встречающегося в Германии типа (по Зейдлю).
/ — хрупкий пласт; 2 — слой высокопластичной каменной соли; 3 — подстилающий твердый пласт; S — шток каменной соли; SS — песчаник; G — гипс; А, В — менее прочные области.
Рис. 17.23. Стадии образования соляных куполов встречающегося в Германии типа (по Зейдлю).
/ — хрупкий пласт; 2 — слой высокопластичной каменной соли; 3 — подстилающий твердый пласт; S — шток каменной соли; SS — песчаник; G — гипс; А, В — менее прочные области.
хрупкой породы большего удельного веса у = 2400—2600 酸/炉 (рис. 17.23), и что этот пласт имеет в некоторых местах чуть меньшую плотность или ослаблен в результате образования дефектов орогенного происхождения (два таких места Л и В показаны на рис. 17.23 двойной штриховкой). Равновесие более легкой соли в этих местах окажется неустойчивым, и так как соль высокопластична, то даже ничтожная разность давлений вызовет ее движение. В силу большей, чем у жесткого пласта, податливости она будет радиально стекаться к центрам Л и В, изгибая и приподнимая верхние пласты, на которых начнут показываться небольшие выступы. С течением времени эти выступы может разрушить эрозия, что послужит новым источником движения: поскольку тяжелый смытый материал замещается более легкой солью, поступающей снизу, начальная неустойчивость должна возрастать, и соль будет подниматься быстрее, образуя постепенно купола, показанные на рис. 17.23,
Эти идеи выдвинул Зейдль !), исследовавший соляные горсты в Магдебург-Хальберштадском бассейне, из которых в Германии добывается соль. Он приписал образование таких больших подземных соляных тел высокой способности соли пластически деформироваться и течь по направлению к местам меньшего давления. Эта теория происхождения немецких соляных горстов, основанная на существовании пластического течения, была принята американскими геологами для объяснения образования соляных куполов на побережье Мексиканского залива. Первые простираются на 1——3 км в диаметре, уходя далеко в глубину; слои осадочных пород внутри и вблизи их вертикального профиля оказываются складчатыми и изогнутыми кверху в замечательном соответствии с залеганием соли КС1, продавленной снизу вверх. В то же время их американские «двойники» ——купола протыкания вдоль побережья Мексиканского залива ——имеют значительно более правильную форму, поднимаясь в виде цилиндров круглого или овального сечения с почти вертикальной боковой поверхностью и скругленной «шляпой». В результате вымывания подземными водами образовалась шляпа породы (кэпрок)——кальцита, ангидрита и легкого гипса,—покрывающая вершину купола. На рис. 17.24 и 17.25 воспроизведены разрезы двух характерных техасских куполов), причем второй из них имеет шляпу породы толщиной 300 м и в правом верхнем углу обнаруживается нависание. Размеры обоих куполов вполне внушительны： высоты, насколько это исследовано, достигают -2100 и 3300 м, диаметры 1800 и 2400 м. Одно из свойств, наиболее замечательных в механическом отношении, —правильное расположение соседних искривленных пластов породы, загибающихся кверху по мере приближения к вертикальным стенкам купола (это четко устанавливается при помощи глубоких нефтяных скважин, пробуренных в окрестности купола); отсюда ясно, что купол пробил себе путь через эти пласты.
Благодаря наличию пояса тесно расположенных глубоких и неглубоких нефтяных скважин была составлена карта)
(рис. 17.26), показывающая контур купола Барберс-Хилл в области шляпы (нависания) и ниже нее. Значительное число скважин прошло через нависающий * выступ, обнаружив вначале соль, а под ней нефтенасыщенные пласты. Предполагается, что пласт хрупкой породы, располагавшийся вначале ниже поднимающегося соляного купола, был оторван под действием изги-
Р и с. 17.24. Вертикальный разрез соляного купола Пирс Джанкшен (Харрис Каунти, Техас).
/ — шляпа породы (кэпрок); 2 — соль.
бающих сил, будучи ослаблен вблизи верхней части купола, и это положило начало нависанию, которое постепенно развилось. Фильтрация подземных вод через места разрушения впоследствии также способствовала поперечному, боковому перемещению соли и образованию нависающей верхней части грибообразного купола; тем временем вспученный хрупкий пласт над шляпой купола подвергался эрозии.
Последовательные стадии образования купола дополнительно иллюстрируют не требующие пояснений схемы на рис. 17.27а. В осадочных породах, окружающих соляной купол Болинг, при помощи нефтяных скважин было обнаружено нарушение в пласте сланца S, который оказался дважды про访денннм одной и
той же скважиной. Это нарушение образовалось на ранней стадии роста купола, когда давление его шляпы вызвало сброс прежде, чем отложились более молодые (миоценовые) слои !) (рис. 17.276).
Рис. 17.25. Соляной купол Барберс-Хилл (Чамберс-Каунти, Техас). / — соляная шляпа (гипс, ангидрит); 2 — соль.Рис. 17.25. Соляной купол Барберс-Хилл (Чамберс-Каунти, Техас). / — соляная шляпа (гипс, ангидрит); 2 — соль.
Рис. 17.25. Соляной купол Барберс-Хилл (Чамберс-Каунти, Техас). / — соляная шляпа (гипс, ангидрит); 2 — соль.
Рис. 17.25. Соляной купол Барберс-Хилл (Чамберс-Каунти, Техас). / — соляная шляпа (гипс, ангидрит); 2 — соль.
Можно, наконец, упомянуть, что кристаллическую структуру и картину течения каменной соли в двух из самых больших соляных куполах (купол Гранд Салин вблизи Далласа и купол Джефферсон Айлэнд в Луизиане) тщательнее всего исследовал Балк), чья безвременная гибель при авиационной катастрофе
Рис. 17.26. Границы шляпы и тела соляного куп зла Барберс-Хилл (Техас) в проекции на горизонтальную плоскость; нефтяные скважины показаны « лишь частично (по Джадсону, Мерфи и Стейми, 1932)./ — шляпа; 2 —тело; 3 — нефтяные скважины.Рис. 17.26. Границы шляпы и тела соляного куп зла Барберс-Хилл (Техас) в проекции на горизонтальную плоскость; нефтяные скважины показаны « лишь частично (по Джадсону, Мерфи и Стейми, 1932)./ — шляпа; 2 —тело; 3 — нефтяные скважины.〃/////〃//〃〃//〃〃/〃〃///〃/〃/////〃//〃〃//〃〃/〃〃///〃//7777777777777777777777777777,/7777777777777777777777777777,，〃/"////^^^，〃/"////^^^Рис. 17.276. Соляной купол Воле нг.Сдвиг, образовавшийся в расположенной рядом с пластом осадочной породе (сланцы S) (по Хальбути и Хардину, 1954)./ - миоценовые породы; 2 - шляпа; 3 —соляной купол.Рис. 17.276. Соляной купол Воле нг.Сдвиг, образовавшийся в расположенной рядом с пластом осадочной породе (сланцы S) (по Хальбути и Хардину, 1954)./ - миоценовые породы; 2 - шляпа; 3 —соляной купол./777777777777777./777777777777777.
Рис. 17.26. Границы шляпы и тела соляного куп зла Барберс-Хилл (Техас) в проекции на горизонтальную плоскость; нефтяные скважины показаны « лишь частично (по Джадсону, Мерфи и Стейми, 1932).
/ — шляпа; 2 —тело; 3 — нефтяные скважины.
Рис. 17.26. Границы шляпы и тела соляного куп зла Барберс-Хилл (Техас) в проекции на горизонтальную плоскость; нефтяные скважины показаны « лишь частично (по Джадсону, Мерфи и Стейми, 1932).
/ — шляпа; 2 —тело; 3 — нефтяные скважины.
〃/////〃//〃〃//〃〃/〃〃///〃/
〃/////〃//〃〃//〃〃/〃〃///〃/
/7777777777777777777777777777,
/7777777777777777777777777777,
，〃/"////^^^
，〃/"////^^^
Рис. 17.276. Соляной купол Воле нг.
Сдвиг, образовавшийся в расположенной рядом с пластом осадочной породе (сланцы S) (по Хальбути и Хардину, 1954).
/ - миоценовые породы; 2 - шляпа; 3 —соляной купол.
Рис. 17.276. Соляной купол Воле нг.
Сдвиг, образовавшийся в расположенной рядом с пластом осадочной породе (сланцы S) (по Хальбути и Хардину, 1954).
/ - миоценовые породы; 2 - шляпа; 3 —соляной купол.
/777777777777777.
/777777777777777.
Рис. 17.27а. Подъем соля-ного купола.
/ - соль.
в 1955 г. была огромной потерей для геомеханикп. Поскольку в обоих этих куполах ведется добыча соли и пройдены выработки большой высоты, Балк смог описать их внутреннюю структуру. Он обнаружил крупномасштабную линейчатую
Рис. 17.28. Роберт Балк (родился 31 мая 189) г. в Таллине, погиб 19 февраля 1955 г. в авиационной катастрофе вблизи Альбукерке, Нью- Мексико).
Выходец из немецких переселенцев в Эстонии, Роберт Балк вырос в Дюссельдорфе. Изучая геологию под руководством Клооса в Бреславле, он заинтересовался гранитами Силезских гор и Баварского леса. В 1924 г. Балк приехал в Соединенные Штаты, учился в Хантер Колледже (1935 г.), был профессором в Чикагском университете (1947 г.), откуда он вскоре перешел в Bureu of Mines, Сокоро (штат Нью-Мексико). Во время обширных полевых работ по составлению геологических карт в Северо-восточных штатах (горы Адирондак) он подробно познакомился с структурными и петрологическими особенностями изверженных пород, гранитными куполами, с процессами образования включений, трещин, расслаивания и разрушения скал под действием замерзающей воды. В его тщательных зарисовках чувствуется рука художника； будучи влюбленным в красоту природы, он посылал свои пейзажи пустынного Запада, который он так любил, в качестве рождественских поздравлений друзьям Он столь же досконально изучил гнейсы на побережье Новой Англии, как и внутреннюю структуру течения соляного купола Гранд Салин вблизи Далласа (штат Техас), и строение кварцитов вблизи взбросов. Его безвременная смерть была большой потерей для геологической науки. Он погиб в авиационной катастрофе, отправляясь из Сокоро на заседание Национального совета исследований в Вашингтон, — самолет разбился через несколько минут после взлета, врезавшись в тумане в гору вблизи Альбукерке (штат Ныо-Мексико).
структуру, главным образом с крутым почти вертикальным направлением, а также крылья небольших открытых и закрытых складок, доказав, что механизм деформации и продвижения соляных куполов полностью соответствует изложенным выше подробностям истории их роста. Он находил миндалевидные кристаллы галита, максимальное удлинение которых было направлено вертикально, в том же направлении ориентирован-
ные включения н многие другие признаки деформации соляной массы. Этим он доказал, что вертикальное движение в соляных куполах сравнимо с состоянием потока, характерным для течения ранее расплавленной лавы через жерла вулканов, и изученным геологами явлением искажения гранитных массивов (см. § 17.6,「).
По данным Балка температура у основания соляных куполов, которые поднялись с глубины 750 ж, превосходит 300° С (значение, которое следует считать большим, так как соль плавится при 804° С); при таких условиях достаточно совсем небольшой разности давлений, чтобы вызвать при длительном действии необратимые деформации (ползучесть).
Итак, выясняется, что величественное явление образования огромных соляных куполов обязано своим происхождением неустойчивости равновесия слоя легкой соли, погребенного глубоко под параллельными пластами тяжелых пород. В местах, где их средний вес меньше или их прочность уменьшена за счет нарушений, начинается течение высокопластичной соли к центрам этих областей и поднятие ее. Высокие температуры, господствующие на этих глубинах, способствуют течению 9-
Следы течения в строении парод. Проявления текучести, аналогичные только что описанным, хорошо известны как в местах движения изверженных пород, так и в гранитных куполах. Для читателя не геолога может оказаться поучительным ознакомление с различными следами движения, часто крупномасштабного, которые наблюдаются в природе.
Полоски и прожилки в граните. В результате обширных исследований Клооса ), Балка и других, изучавших крупные гранитные блоки в Исполинских горах (Германия), в Йосемитской
долине, в горах Сьерра-Невада (Калифорния), в горах Адирондак и т. д., а также исследовавших граниты, которые, постепенно остывая, выталкивались вверх в виде крупных расплавленных связных масс, было замечено, что некоторые загрязнения
Рис. 17.29. Ганс Клоос (родился 8 ноября 1886 г. в Магдебурге, умер 26 сентября 1951 г. в Бонне).Рис. 17.29. Ганс Клоос (родился 8 ноября 1886 г. в Магдебурге, умер 26 сентября 1951 г. в Бонне).
Рис. 17.29. Ганс Клоос (родился 8 ноября 1886 г. в Магдебурге, умер 26 сентября 1951 г. в Бонне).
Рис. 17.29. Ганс Клоос (родился 8 ноября 1886 г. в Магдебурге, умер 26 сентября 1951 г. в Бонне).
Доцент геологии в Марбурге (1914 г.), профессор в Бреславле (1919 г.) и Бонне (1925 г.), Ганс Клоос провел обширные изследования тектоники по всему земному шару — в Европе, Африке, Сьерра-Неваде (во время трех поездэк в Соединенные Штаты). Он исследовал структурные характеристики гранитных блоков, отчетливо сознавая задачи механики, связанные с их возникновением и с механизмом образования магматических масс. Его тщательные исследования привели к новой концепции образования грабенов. Большой интерес к явлениям пластического формоизменения и разрушения в земной коре вдохновили его поставить модельные эксперименты в возглавляемом им институте в Боннском университете. Он изучал образование трещин в зонах сдвига, возникающих по краям поперечных сдвигов в опытах на небольших моделях, изготовленных из мягкой глины. Клоос бегло говорил по-немецки, по-английски, по-французски и по нор вежски и знал даже малайский и готтентотский языки. Он обладал эстетическим чувством гармонии и симметрии форм, рисуя наброски, напоминавшие наброски Альберта Гейма. Им написано несколько выдающихся монографий и опубликовано более 80 статей (перечисленных в книге «Memorial to Hans Cloos» его верного ученика д-ра Роберта Балка, Proc. Geol.
* Soc. Ат., июнь, 1953, стр. 87, откуда цитируются некоторые приведенные замечания).
и мелкие твердые частицы оказываются правильно расположенными (рис. 17.30а). Такие полоски, различимые по их цвету,
наводят на мысль, что в граните существует своего рода слоистость. Эти полоски представляют собой небольшие частицы вещества с более высокой температурой плавления, которые
плавали в граните? когда он находился еще в жидком состоянии,
Клоос показал, что эти тонкие полоски образуют плоские вогнутые вниз дуги, примыкающие к осадочной породе вдоль «контактов» с ней; вблизи контактов они круто наклонены, в то время как внутри гранитного массива и на его свободной поверхности на некотором удалении от поверхностей контакта эти полоски из мелких частиц могут тянуться линиями параллельно друг другу (преимущественно горизонтально) (рис. 17.306), как они первоначально располагались в жидкой массе. В зонах вблизи границ с соседними жесткими породами трение умень-
Р и с. 17.30а. Полоски в граните (по Клоосу).Р и с. 17.30а. Полоски в граните (по Клоосу).Рис. 17.306. Дуги, образуемые полосками в гранитной массе.Вертика чьный разрез, показывающий также область контакта гранитной массы с третичн 5(ми породами (по Кпоосу)./ — осадочные породы; 2 — область контакта;3 — гранит.Рис. 17.306. Дуги, образуемые полосками в гранитной массе.Вертика чьный разрез, показывающий также область контакта гранитной массы с третичн 5(ми породами (по Кпоосу)./ — осадочные породы; 2 — область контакта;3 — гранит.
Р и с. 17.30а. Полоски в граните (по Клоосу).
Р и с. 17.30а. Полоски в граните (по Клоосу).
Рис. 17.306. Дуги, образуемые полосками в гранитной массе.
Вертика чьный разрез, показывающий также область контакта гранитной массы с третичн 5(ми породами (по Кпоосу).
/ — осадочные породы; 2 — область контакта;
3 — гранит.
Рис. 17.306. Дуги, образуемые полосками в гранитной массе.
Вертика чьный разрез, показывающий также область контакта гранитной массы с третичн 5(ми породами (по Кпоосу).
/ — осадочные породы; 2 — область контакта;
3 — гранит.
шало скорость медленно поднимающегося жидкого гранита, приводя к появлению характерных дугообразных полос. При дальнейшем остывании, когда верхние слои затвердевали, давление еще незастывшего гранита выталкивало эту твердую корку кверху, вызывая в ней растягивающие напряжения, что привело к разрыву ее множеством трещин, перпендикулярных этой дуге. В области, примыкающей к контакту гранита с осадочными породами, развивается грандиозная система аплитовых жил веерообразной ориентации, расщепляющих также окружающие породы. Эти краевые жилы заполнены магмой или продуктами рекристаллизации и наклонены по отношению к крутой поверхности контакта (рис. 17.31).
Поскольку за счет трения, препятствовавшего вытеканию гранита, на боковой стенке действовали касательные напряжения сдвига т, соответствовавшие этим напряжениям главные напряжения О1 = +т, 02 =——т были наклонены к боковой стенке под углом 45°. Направление, перпендикулярное главному растягивающему напряжению действительно совпадает с
50 А. На^ан
плоскостями трещин, в которых образовались аплитовые жилы, показанные на рис. 17.31.
Б. Трещиноватость. Вот другое явление, часто наблюдаемое в гранитах и базальтах (и в некоторых осадочных породах). Скалы оказываются рассеченными тремя параллельными системами мелких нарушений, нередко перпендикулярными друг к другу, которые выглядят как плоскости откола и становятся заметными в результате действия эрозии или расширения замерзающей воды (вода, замерзая между плоскостями отдельности
Рис. 17.31. Вертикальный разрез области контакта гранитного штока (слева) с осадочными породами (справа) (по Клоосу).
/ — поверхность контакта; 2 — гранитный шток; 5 — осадочные породы, порядок залегания которых сильно нарушен; 4 - аплитовые жилы; 5 — поверхности скольжения вблизи границы; 5 — полоски в граните.
или начальных дефектов, раздвигает их еще дальше). Два примера по результатам наблюдений Балка !) в слоистых гнейсах показаны на рис. 17.32 и рис. 17.33.
Трещиноватость обусловлена, по-видимому, объединенным действием различных причин, таких, как (1) тепловое сокращение объема в процессе постепенного остывания изверженной породы и ее перехода из расплавленного состояния в твердое, (2) возникновение правильного поля растягивающих напряжений во время такого процесса остывания и (3) медленное течение остывающей магматической массы, во время которого вязкость ее повышается, а взвешенные пластинки полевого шпата и слюды приобретают параллельную ориентацию, создавая анизотропность прочности породы в целом по отношению к растягивающим напряжениям. Эта прочность определяет последующую сопротивляемость застывшей породы температурным напряжениям и силам, возникающим при горообразовании. Можно ожидать, что в образовании прекрасной картины трещиноватого гнейса на атлантическом побережье в штате Мэн сыграло
1) Balk R., Disintegration of Glaciated Cliffs,丄 Geomorphology, 2, 305— 334 (1939).-'
свою роль (помимо анизотропности этих пород, обнаруживающих линейчатость, слоистость и т. д.) усталостное разрушение под действием периодических приливных нагрузок. Образова-
Р и с. 17.32. Трещины в скалах, порода которых содержит lineotion (продолговатые включения, располагающиеся параллельно стрелкам). Слегка наклонные плоскости отдельности совпадают со слоистыми включениями (рисунок Балка).
ние гексагонально-околотых столбиков черного базальта в жерлах давно потухших вулканов является классическим примером растрескивания; при остывании базальта произошло его рас-
Рис. 17.33. Трещины в расслоенном гнейсе в Новой Англии (по Балку)
щепление по трещинам на вертикально стоящие столбики, имеющие в сечении форму правильного шестиугольника.
Предположим, что пачка параллельных пластов хрупкой породы переслоена тонкими слоями песка (представляющего собой непрочные слоистые включения в изверженной породе),
чала в одном направлении, ачала в одном направлении, аР и с. 17.34. Будинаж в породах при образовании складок.Складка с пластом кварцита между двумя слоями сланца. Пласт кварцита разбит на части трещинами разрыва, которые заполнены кварцевыми жилами; относительное перемещение показано стрелками; / — сланец.Р и с. 17.34. Будинаж в породах при образовании складок.Складка с пластом кварцита между двумя слоями сланца. Пласт кварцита разбит на части трещинами разрыва, которые заполнены кварцевыми жилами; относительное перемещение показано стрелками; / — сланец.
чала в одном направлении, а
чала в одном направлении, а
Р и с. 17.34. Будинаж в породах при образовании складок.
Складка с пластом кварцита между двумя слоями сланца. Пласт кварцита разбит на части трещинами разрыва, которые заполнены кварцевыми жилами; относительное перемещение показано стрелками; / — сланец.
Р и с. 17.34. Будинаж в породах при образовании складок.
Складка с пластом кварцита между двумя слоями сланца. Пласт кварцита разбит на части трещинами разрыва, которые заполнены кварцевыми жилами; относительное перемещение показано стрелками; / — сланец.
которые не способны передавать касательные напряжения сверх определенной величины, и подвергнем эту пачку пород изгибу последовательно в двух перпендикулярных направлениях. Моделью такой системы могла бы служить колода пыльных игральных карт из гибкого упругого хрупкого материала, вроде тонких листочков слюды. Когда такая система изгибается сна
затем, быть может, в перпендикулярном ему, слои породы скользят друг по другу и изгибаются порознь, как если бы у них не было соседей, пока не начинают разламываться с образованием двух систем перпендикулярных трещин (третья система трещин проходит по слоям песка).
Возможно, что некоторые слу-
чаи образования трех взаимно перпендикулярных систем трещин вызваны именно такими обстоятельствами. Странный предельный случай этого типа формоизменения породы, известный под названием будинажа 】)(от фран
цузского слова boudin — сосиска), воспроизведен на рис. 17.34. Поразительная картина вертикальных параллельных трещин,
при пересечении следов которых образуются наклонные параллелограммы «мозаики》，описанные Моллардом (см. § 15.10), могут служить последним примером крупномасштабной трещино
ватости, заслуживающим упоминания.
Параллельные трещины разрыва, вызванные движением вдоль поперечного сдвига. При образовании прямоугольных блоков трещиноватой породы определяющую роль играют растягивающие напряжения и напряжения изгиба, температурные или возникающие в длительных горообразовательных (орогенных) процессах. В то же время наблюдаются и сравнительно короткие параллельные трещины, вызванные касательными напряжениями, возникающими вдоль длинного вертикального или очень круто падающего поперечного сдвига, в котором глубоко под землей происходит проскальзывание одного края относительно другого в горизонтальном направлении. Такие короткие трещины разрыва часто наблюдаются после землетрясений) (рис. 17.35).
Опьиы на модели, проведенные Риделем J) с использованием влажной глты, воспроизводят условия, при которых образуется такая система параллельных поверхностных трещин разрыва.
P и c. 17.35. Типичное ступенчатое расположение трещин разрыва, показанное в перспективе на полего поднимающемся склоне холма. Трещины образовались при землетрясении Arvin — Tehachapi в Калифорнии 21 июля 1952 г.2——3 дюйм иP и c. 17.35. Типичное ступенчатое расположение трещин разрыва, показанное в перспективе на полего поднимающемся склоне холма. Трещины образовались при землетрясении Arvin — Tehachapi в Калифорнии 21 июля 1952 г.2——3 дюйм иПредположим, что вдоль поперечного сдвига происходит скольжение по простиранию в практически горизонтальном направлении, начинаясь на большой глубине из эпицентра землетрясения, и что верхний край или фронт вертикально расположенного сдвига как раз достигает линии, соответствующей линии SS на модели (рис 17.36). При горизонтальном смещении по простиранию вдоль вертикального сброса клинообразная зона, расширяющаяся кверху, оказывается под действием больших касательных напряжений Вследствие этого и вследствие того, что рыхлый аллювий обладает весьма малой прочностью на разрыв, поверхность земли в узкой зоне интенсивного сдвига над главным поперечным сдвигом разбивается наклонно ориентированными ступенчатыми трещинами разрыва, наподобие того, как показано на рис. 17.36.
P и c. 17.35. Типичное ступенчатое расположение трещин разрыва, показанное в перспективе на полего поднимающемся склоне холма. Трещины образовались при землетрясении Arvin — Tehachapi в Калифорнии 21 июля 1952 г.
2——3 дюйм и
P и c. 17.35. Типичное ступенчатое расположение трещин разрыва, показанное в перспективе на полего поднимающемся склоне холма. Трещины образовались при землетрясении Arvin — Tehachapi в Калифорнии 21 июля 1952 г.
2——3 дюйм и
Г. Упорядоченное расположение пластинок ПОЛЕВОГО ШПАТА В ПОТУХШЕМ ВУЛКАНЕ. Многие вулканические конусы третичного периода в Европе состоят из трахита ——весьма пористой изверженной породы, которая содержит много зеленовато-желтых плоских продолговатых пластинок, так называемых включений санидина (кристаллов полевого шпата
толщиной 1/2 дюйм). Примечательным трахитовым конусом является Драконова гора на правом берегу Рейна напротив Бонна, из которой в средние века добывался камень для постройки Кёльнского собора. Ганс и Эрнст Клоосы), обследовав этот
Рис. 17.36. Система трещин, возникающая на поверхности пластичной глины, покоящейся на двух деревянных досках 4 и В, которые взаимно продольно смещены (по Риделю).
/ — относительное смещение.
Рис. 17.37. Идеализированный разрез Драконовой горы на Рейне (по полевым наблюдениям Клооса).
Кривые соединяют наиболее предпочтительные направления, по которым ориентируются пластинчатые включения санидина в трахите; Л — трахит; В, С — третичные породы.
трахитовый конус, обнаружили, что плоские включения санидина не располагаются случайным образом в магме, из которой когда-то кристаллизовались, а имеют некоторую предпочтительную ориентацию. .
В вертикальном разрезе конуса вблизи вершины горы (область Л на рис.17.37) пластинки располагаются так, что средняя плоскость, отвечающая двум их большим осям, перпендикулярна плоскости вертикального профиля. Вблизи контактов (3, С) с прилегающими осадочными породами пластинки расположены параллельно плоскостям контактов и их длинные оси вертикальны. Это схематически показано на рис. 17.37 в виде пунктирных кривых; длинные оси продолговатой гальки санидина направлены по касательным к этим кривым. Продолговатые жесткие тела в деформируемой вязко-пластичной матрице будут ориентироваться так, чтобы оказывать минимальное сопротивление потоку. Пунктирные кривые указывают направление главной необратимой деформации на последней стадии течения вулканической массы, когда она охладилась ниже температуры плавления и стала высоковязким пластичным телом.
Такое движение вулканической массы в вязко-пластическом состоянии, продавливаемой вверх через кратер вулкана, имеющий приблизительно круговое сечение, было впоследствии исследовано Риделем 】)на моделях. На рис. 17.38 показана картина искажения первоначально квадратной сетки линий в осевом сечении вулканической массы, а на рис. 17.39 показана ориентация осей главных пластических деформаций. Видно, что вблизи углов камеры образовались застойные области, в которых не происходило движения материала； в то же время картина деформации в узком горле вулкана ясно свидетельствует о задерживающем влиянии трения о твердые стенки на течение. Контурные линии направлений максимальной деформации в верхней части горловины сильно напоминают кривые, вдоль которых выстраиваются пластинчатые кристаллы санидина на рис. 17.37. Заметим также, что явления застывания вулканических масс, движущихся через отверстия и широкие трещины в массе горной породы, напоминают течение раскаленного металла в технологическом процессе экструзии. С точки зрения геомеханики это очень полезная аналогия. ■
В данную аналогию, указанную в общих чертах, следует включить несколько структурных превращений, которые были изучены в металлах
Riedel W., Das Aufquellen geologischer Schmelzmassen als plastischer Formanderungsvorgang, Neues Jahrbuch Mineralogie, Beilage 67, Abt. B, p. 151, 1929. Пластичная масса (пластилин) продавливалась при помощи поршня через длинный цилиндрический канал. Чтобы сделать деформацию видимой было использовано приспособление, позволившее деформировать материал в разъемной деревянной форме, обе половинки которой заполнялись пластилином. Перед сборкой разъемного цилиндра на обе плоские поверхности мате риала наносилась квадратная сетка, которая затем покрывалась тальком. Далее половинки формы присоединялись друг к другу и затягивались болтами. После испытаний половинки формы разнимались и фотографировалось искажение сетки. По нему численно определялись главные деформации и их направленна, .
0 600b nqe ? :Q-o-点^
0" q i^o 嬲
а .
Q0 /а "gxr
С
乡
^^nn
smB
Р и с. 17.38. Сетка линий, использованнаядля определения направлений главных де-формаций в медленно движущейся пластич-ной массе, продавливаемой через узкое от-верстие.
Рис. 17.39. Ориентация направлений главных деформаций в пластичной массе, продавливаемой через канал, наглядно показывающая направленное вверх движение остывающей вулканической массы через горловину вулкана (по Риделю).
металловедами, а в горных породах ——минералогами. Согласно терминологии, предложенной минералогами, структура, подобная структуре вулканической породы, содержащая полосы (см. §17.6, А), названа Шмидтом г)< «активно» организованной структурой, поскольку положение этих элементов (суспензий) определяется тем, что происходило в породе,- еще находившейся в жидком состоянии (состоянии образования). Напротив, замечательное параллельное расположение осей кристаллов кварца в некоторых альпийских породах является, согласно Шмидту, примером структуры с «пассивной» ориентацией. Он обнаружил, что оси мелких кристаллических зерен кварца в породах Альп на площадях, занимающих многие квадратные километры, имеют общее предпочтительное направление. Шмидт приписал это явление интенсивному пластическому деформированию, которому пласты застывших горных пород подверглись в ходе горообразования. Таким《пассивно» переориентированным структурам пород отвечают широко известные преимущественные положения, которые занимают оси кристаллических решеток кристаллитов в листах меди, подвергнутой интенсивной холодной прокатке. Таким образом, жидкостная структура пластически деформированных металлов во многих отношениях соответствует явлениям, которые независимо описаны минералогами.
,7. Теория Вегенера о движении континентов.
Он лежит теперь во льдах Гренландии, исследованию которой он посвятил многие годы. Эта страна всегда притягивала его величием своей природы и связанными с ней научными пробле* мами... Он вышел в Зимнюю Ночь и не устоял перед ее натиском, но его высокие идеалы освятили трагическую кончину.
Эльза Вегенер)
Геологические наблюдения, проведенные в высоких горных грядах и в других местах, доставляют убедительные доказательства того, что на протяжении прошлой геологической истории Земли громадные континентальные плато двигались как друг относительно друга, так и по отношению к их основанию. Представляется уместным начать этот параграф с указания некоторых важных с точки зрения геомеханики сведений относительно форм прибрежной полосы морей и направлений высоких горных гряд и глубоких впадин океанов, как они вырисовываются перед объективным наблюдателем на карте земного
шара. Около 1910 г. Вегенер выдвинул идею !), что географические континентальные массивы в том виде, в котором они нам теперь известны, когда-то были соединены вместе в единый первичный материк и что последний раскололся на несколько кусков, вероятно, в начале эоценового или третичного геологического периода, т. е. примерно 20—60 миллионов лет тому назад.
Рассмотрим с точки зрения механики следующие основные черты некоторых физико-географических характеристик, относящихся к форме береговых линий двух основных массивов суши,——Евразии) и двух континентов Америки.
Исключительно впечатляющая конгруэнтность береговой линии самого восточного выступающего выпуклого угла Южной Америки и вогнутого угла Африки, которые совмещаются и пригоняются на глобусе по дуге длиною 4000—5000 км с такой
точностью, как будто это два соответствующих друг другу куска картона какой-то гигантской головоломки ]).
Все четыре больших полуострова Евразии: Африка, Аравия, Индостан и Таиландско-Малайский полуостров выступают в Южном направлении.
Оси Адриатического и Красного морей, Персидского залива и Малаккского пролива направлены приблизительно параллельно друг другу с северо-запада на юго-восток.
Длинный узкий язык суши Центральной Америки, протянувшийся с севера Америки, и отходящий таким же образом от Ази на юго-восток Малайский полуостров загибаются на восток, причем за последним следует дуга островов, цепь которых выглядит, как хвост, тянувшийся за континентами при их движении на запад.
Большие почти равнобедренные треугольники Южной Америки и Гренландии указывают своими остриями на юг.
Очертание южной оконечности Южной Америки, включая и Огненную Землю, имеет отчетливый изгиб к востоку.
Высочайшие горные цепи на земле можно сгруппировать в две главные системы: (1) Кордильеры (Анды и Скалистые горы), идущие по существу с севера на Юг, и (2) полоса Пиренеев, горные гряды Альп, Карпат, Кавказских гор и Гималаев,
1) В связи с этим совпадением следует сказать и о противоположных взглядах, сославшись на хорошо известную книгу Джеффриса (Jeffreys Н., The Earth, Its Origin, History and Physical Constitution, Cambridge University Press, London. Имеется русский перевод с 4-го английского издания (1959 г.): Джеффрис Г., Земля, ее происхождение, история и строение, ИЛ, М., I960.) Во втором издании этой книги (1929 г.) на стр. 322, а также в третьем ее издании (1952 г.) на стр. 349 (в русском издании стр. 462) читаем: «Самым популярным доводом в пользу континентального дрейфа является, вероятно, ссылка на соответствие берегов выступа Южной Америки береговому углублению Африки. Но стоит лишь проверить это на глобусе — и видишь, что фактически имеется несоответствие в 15°. Линии побережья, расходящиеся от вершины угла (выступа и углубления), невозможно совместить без расхождений во много сот километров или не предполагая деформации. Ширина шельфовой зоны океана не позволяет принять гипотезу, что форма побережья была сильно изменена эрозией или осадконакоплением...». Однако Кэри (Carey S. W., Wegener's South America—Africa Assembly, Fit or Misfit? GeoL, Mag., 92, 196—201 (1955JJ нашел способ решительно и авторитетно возразить против такого неверного утверждения, заново проверив согласование этих двух береговых линий с использованием для их сопоставления на глобусе строгих методов тщательного построения карт и методов азимутального стереографического проектирования. При этом он внес поправку на узкую прибрежную полосу континентальных отложений, за границу которой он принял линию на глубине 2000 м, располагающуюся посредине континентального склона. Короче говоря, ни малейшего доказательства сколько-нибудь заметного несогласования при тщательном построении карт, выполненном Кэри, обнаружено не было,
протянувшиеся, грубо говоря, с запада на восток и охватывающие большую часть земли.
Поражает воображение (если учесть погружение близлежащих к морю участков прежней суши и их переход в континентальный шельф), что некоторые из вышеупомянутых регулярно-
Р и с. 17.40. Альфред Вегенер с 1924 г. профессор метеорологии и геофизики Университета в Г раце, Австрия (родился 1 ноября 1880 г. в Берлине, умер в ноябре 1930 г. в Гренландии).
Альфред Вегенер был профессором Университетов в Марбурге (1921 г.) и Гамбурге (до 1924 г.); он принимал участие в Датской экспедиции (1906—1908 гг.) и экспедиции Коха (1912—1913 гг.) в Гренландию. Летом 1929 г. он нашел наилучшие пути прохода через глубоко изрезанные ледниками склоны покрытого льдом плато этого острова. Первого апреля 1930 г. он с двадцатью коллегами отправился из Копенгагена в Гренландию в свою последнюю экспедицию (снаряженную Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft) в первую очередь для того, чтобы при помощи эхолотирова- ния исследовать толщину ледяного покрова Гренландии. В течение лета 1930 г. он со своими сотрудниками устанавливал станцию《Eismitte》в центре Гренландии среди ее пустынных ледников на высоте 3000 м (на 400 км восточнее Унмаркфьорда). При возвращении обратно в ноябре 1930 г. на санях он и его спутники погибли в ледяной пустыне от чрезмерного напряжения сил в борьбе с суровой природой. Позцнее его тело было найдено и похоронено во льду ледника.
Приведенная фотография и предыдущие сведения взяты из книги: Loewe F., Wegener Е., Alfred Wegener's letzte Gronlandfahrt, Brockhaus F. A., Leipzig, 304 pp., 1932. Книга содержит 125 иллюстраций, предисловия Курта и Эльзы Вегенер и 26 научных сообщений.
стей предпочтительной ориентации существующих контуров суши могут быть следствием происходившего в грандиозных масштабах общего процесса расчленения первичного массива суши на громадные куски, которые уплывали друг от друга по подстилающему их более тяжелому основанию, претерпевая пластическое деформирование, В то время как две стороны
первоначальной гигантской трещины в земной коре, которые теперь являются восточной и западной береговыми линиями Атлантического океана, хорошо сохранились, другие части этой системы трещин по предположению Вегенера со времени отделения подверглись существенным изменениям. Вегенер составил впечатляющий перечень аргументов (геофизических, геологических, палеонтологических, палеоклиматических и иной природы), подтверждающих его теорию, подробности которой мы не можем изложить в этой книге, посвященной механическим явлениям.
Мы только воспроизводим на рис. 17.41 принадлежащую Вегенеру реконструкцию карты мира, грубо изображающую положения континентов в ранний эоценовый период начальной стадии отделения. Затемненные точками площади в верхней средней части этой карты (для удобства используется произвольная сетка меридианных и широтных кругов) представляют собой мелкие внутренние моря; остальные темные области изображают глубокое море. Вегенер J), Арган) и Дютуа) поместили древний континент Гондвану (современная Антарктика, Австралия, южная оконечность Индии и Восточно-Индийский архипелаг) в начале каменноугольного периода до отделения материков восточнее Африки). Эти глубокие идеи об отделении и перемещении континентов встретили на первых порах многих противников, но с годами оппонентов становилось
Рис. 17.41. Карта мира в эоценовую эпоху, построенная Вегенером. Обозначенные мелкими точками области в Европе, Африке и Азии были в то время покрыты внутренними морями.
все меньше и меньше, несмотря на то что некоторые трудности этой гипотезы еще до сих пор не преодолены !).
Ограничиваясь несколькими выводами на основе указанных выше наблюдений, мы считаем существенным отметить, что по прошествии времени приблизительно 20——60 миллионов лет с начала раннего третичного периода (эоцен) восточные и западные стороны частей первичной трещины, которая отделила Южную Америку от Африки, все еще хорошо сохранились на протяжении от 4000 до 5000 км со складками и деталями, согласующимися друг с другом. Это наводит на мысль, что в то отдаленное время произошел быстрый разлом первобытной континентальной оболочки и что разрушение, вероятно, началось в точке, расположенной где-то в Южном полушарии, в Южной Африке, откуда, расходясь по радиусам на север, развились три гигантские трещины хрупкой природы. Две йз них, сходящиеся под углом примерно равным 25°, образовали границы большого равностороннего треугольника Южной Америки.
Более того； система импульсивных сил ——растягивающих нормальных напряжений,——идущих по касательной к поверхности Земли, наложившаяся на гидростатическое давление, обусловленное весом пород, разорвала начальную тонкую сферическую оболочку Земли. Это был гигантский процесс разрушения, с которым не сравнится никакое преобразование континентального плато Евразии за все время его существования. Однако распространение упомянутых трех начальных трещин на север, по-видимому, потребовало большой затраты времени на их развитие, которое замедлялось из-за пластической деформации примыкающих областей и постепенно затухало, так что древние начальные береговые линии севера Атлантического океана (восточные и западные) между современными 30 и 60° северной широты распознаются не столь отчетливо. Различные физико-географические подробности, касающиеся внутренних морей, говорят о том, что, вероятно, вслед за первым импульсивным процессом в западной Евразии в течение долгого времени преобладала установившаяся система растягивающих напряжений небольшой интенсивности, направленных параллельно биссектрисе угла Гвинейского залива. Это могло бы объяснить возникновение обращающих на себя внимание понижений (рифтовые долины) Адриатического и Красного морей и Персидского залива, длинные оси которых почти перпендикулярны направлению только что упомянутых растягивающих напряжений.
См. Труды симпозиума по теории Вегенера, содержащие сообщения 14 авторов (Symposium on the Origin and Movement of Land Masses, as proposed by A Wegener, American Association of Petroleum Geologists, London, 1928).
Изучение начального (До^оСо) и современного (АВС) положений вершин громадного сферического треугольника Южной Америки (рис. 17.42) не оставляет никакого сомнения в том, что эта часть Нового Света, помимо того что она существенно уплыла на запад (ее центр тяжести G, грубо говоря, прошел на запад 5000 км, т. е. одну восьмую длины экватора 40 000 ot), непрерывно поворачивалась по ходу часовой стрелки, достигнув угла поворота в 25° вокруг нормальной к поверхности Земли оси, проходящей через точку G. Природа системы массовых сил, которые на протяжении миллионов лет понемногу двигали вперед громадную треугольную сферическую оболочку АВС против сил трения, действовавших изнутри Земли, неясна. Также никогда не
Рис. 17.42. Движение Южной Америки на запад (проекция Меркатора).
были изучены ни другое движение ——вращение по часовой стрелке,——которое накладывалось на общее движение на запад, ни положения истинных мгновенных осей совместных бесконечно малых результирующих поворотов.
В качестве первого следствия этого векового движения было отмечено большое лобовое сопротивление, которое оно вызывало в перпендикулярном направлении к ведущему фронтальному длинному краю АВ. Все геологи соглашаются, что дрейф на запад двух континентов Америки — трапециевидной Северной и треугольной Южной Америки ——создавал на их передних западных краях большие фронтальные давления, которые вдоль западного берега обеих континентов Америки выталкивали посредством горизонтального сжатия и складкообразования гряды Скалистых гор и Анд.
Можно добавить и второй интересный с точки зрения геомеханики вывод. Когда сплошная громадная треугольная тяжелая сферическая оболочка Южной Америки медленно дрейфовала на запад, поворачиваясь по часовой стрелке, горячее полужидкое вязкое основание создавало силы трения вдоль ее поверхности. Это ——касательные напряжения т, направленные повсюду на нижней контактирующей сферической поверхности против относительных скоростей скольжения и и возрастающие вместе с и, согласно закону скоростей сдвига r=f(у), справедливому при высоких гидростатических давлениях p=hy, обусловленных весом вышележащей толщи пород и температурой 0,
которые преобладают на глубинах h в основании континента. Обращаясь к рис. 17.42, обозначим относительные скорости скольжения в вершинах С (выступ Бразилии) и В (оконечность Южной Америки) через vc и у в. Взглянув на глобус, мы можем оценить грубо, что, в то время как точка С прошла практически по экватору расстояние CoC=dc = 5OOO км, южная оконечность Южной Америки (точка В) фактически прошла от своего начального положения В。путь ВоВ = ^в = 7бОО км 9-
Для оценки порядка величины этих двух скоростей перемещения примем сперва в грубом приближении, что обе скорости были постоянны и (вместе с Вегенером) что время от начала отделения континентов (от раннего эоцена) составляет, скажем, /=60 млн. лет. Это дает для скорости перемещения точки С (угол Бразилии) величину
dr 5 - 103 __
% = -у =石―j" = 8,3 • 10 ь км/год = 8,3 см/году
а для скорости точки В (южная оконечность Южной Америки) — значение
V в =得)％ = 11,6 см/год.
Обе скорости весьма малы, но это позволяет сделать ожидаемый интересный вывод, связанный с наложением на общее движение вращения по часовой стрелке. А именно громадный треугольник Южной Америки до сравнительно недавнего времени двигался на запад так, что наибольшие скорости на этом континенте достигались в узкой части у конца В, г. е. как раз в области, где его вертикальные сечения самые слабые.
Мы полагаем, что эти простые кинематические факты прекрасно подтверждаются физико-географическими контурными линиями. С удовлетворением можно заметить, что концевая 〃 самая узкая южная часть Южной Америки отчетливо 〃 стр。- го отогнута на восток (рис. 17.43), напоминая пластически отогнутый конец длинной и тонкой консольной балки со сходящимися сторонами, деформируемой боковыми нагрузками. Поскольку этот узкий конец балки двигался с наибольшими скоростями относительно вязкого основания, сила сопротивления, нагружавшая балку сбоку, была наибольшей на ее самом слабом конце. Поэтому не удивительно, что консоль так отчетливо необратимо отогнулась к востоку. Складки на восточной стороне, нагруженной максимальными сжимающими напряжениями, точно так же, как и сотни узких фьордов и небольших отделенных островов на западной стороне, где высокие растягивающие изгибные напряжения вызвали «растрескивание» балки, выразительно говорят в пользу упомянутой выше ее пластической деформации и дают прекрасное косвенное доказательство справедливости теории движения континентов.
Расстояние ds и дуга ВоВ, пройденные точкой В, представляются искаженными на используемой здесь карте, построенной для удобства в проекции Меркатора (рис. 17.42),
иметь в виду, что с западнойиметь в виду, что с западнойРис. 17.43. Конец Южной Америки, отогнутый на восток.Рис. 17.43. Конец Южной Америки, отогнутый на восток.ской карты дна Атлантическогоской карты дна Атлантического
иметь в виду, что с западной
иметь в виду, что с западной
Рис. 17.43. Конец Южной Америки, отогнутый на восток.
Рис. 17.43. Конец Южной Америки, отогнутый на восток.
ской карты дна Атлантического
ской карты дна Атлантического
Можно было бы привести еще ряд веских аргументов подобного свойства в подтверждение гипотезы перемещения и местного искажения, которые легко получить из рассмотрения континента Северной Америки, но мы не будем этого делать из-за недостатка места. Обращаясь к «реконструкциям» начальных контуров обоих континентов Америки, мы должны
стороны они сначала выглядели совсем не так, как в настоящее время, поскольку большое лобовое сопротивление, которое они встречали на своем пути, одновременно толкало эти стороны каждого из континентов в горизонтальном направлении и вызвало поднятие уровней, порожденное деформацией бокового сжатия.
На рис. 17.44 показана схема, построенная автором, согласно идеям Вегенера, в азимутальной эквидистантной проекции, на которой иллюстрируется гипотетическое прежнее положение Северной Америки (контур аа) и современное положение (контур bb). Кривая, ограничивающая впадину DD,
построена с использованием прекрасной физико-географиче- океана, которую опубликовал
недавно Хнзин】). На карте изображены также и контуры нижней части континентального поднятия, указывающие, что весьма широкие полосы вдоль берегов представляют собой погруженные части прилегающих массивов или были когда-то широким материковым мостом LL, соединявшим Северную Америку с Южной. Можно полагать, что некоторыми остатками этого моста являются острова Карибского моря и Малые Антильские острова и что этот район во время движения через него на запад трапецеидального массива Северной Америки подвергался сильной деформации сдвига в направлении, параллельном линии LL.
】)Н е е z е п В. С., Tharp М., Ewing М., The Floors of the Oceans, I, The North Atlantic, Geol. Soc. Am. Spec. Paper 65, 122 pp., April 1959; см. в этой работе вклейки 20 и 22.
Жирные линии /, 2, ..., относящиеся к современному состоянию, представляют собой глубокие разломы, проходящие по дну Тихого океана и вблизи Пуэрто-Рико и обязанные своим
Рис. 17.44. Движение Северной Америки на запад. Азимутальная эквидистантная проекция.
Контуры аа обозначают расположение береговой линии сразу после отделения Северной ,Америки от Евразии; контуры bb — современное расположение.
/ — Баффинова Земля; II — сброс Фэр ветер; Ш — Центральноамериканский прогиб; IV — сброс Сан-Андреас; V — желоб Кайман; VI — желоб Пуэрто-Рико; VII — нижняя часть материкового поднятия.
существованием орогенным движениям главного континентального массива; жирными линиями bb показаны крутые подводные откосы, ограничивающие мелкую подводную платформу, прежний материковый мост, который соединял Аляску с
Сибирью ]). Если нужны дальнейшие доказательства движения континентов на запад, то следует заметить, как хорошо географически и в структурном отношении контуры Гренландии, Баффиновой Земли и северо-восточной части Северной Америки при их смещении назад в прежние положения согласуются с восточными берегами Скандинавии и Британских островов (см. рис. 17.44).
С другой стороны, сейсмические данные и наблюдения линий скольжения вдоль поперечных сдвигов не оставляют никакого сомнения в том, что западная часть большой Североамериканской континентальной плиты, располагающаяся вдоль ее искривленной граничной линии, грубо говоря, проходящей на протяжении 6000——8000 ^ж параллельно западному берегу, в настоящее время совершает медленное и прерывистое движение на юг в бассейн Тихого окена ——вековое движение, которое, вероятно, может быть грубо охарактеризовано как вращение всего континента ) против часовой стрелки, спазмообразно прерываемое периодами временного застоя. Можно сделать предположение, что по крайней мере в данный момент дрейф северной плиты на запад приостановлен и что характер векового движения по неизвестным причинам теперь изменился.
В этом отношении интересны другие признаки местного деформирования, а именно глубокие подводные океанские впадины и ущелья, которые были открыты поблизости от западных берегов обоих континентов Америки. Одна группа подходит к западному континентальному шельфу с осями, распола-
гающимися наклонно к берегу ). Другая группа длиной 5500 км проходит по Тнхом〉 океану у подножья западной стороны Южной Америки (впадины Эдвардса, Ричардса, Гекеля, достигающие глубин 6,2; 7,6 и 5,5 км соответственно). Эти впадины были недавно исследованы ) и описаны как длинные подводные погружения и долины, ограничивающие континентальный шельф. Существенно, что они располагаются у западной стороны Южной Америки, тогда как у ее восточной стороны никаких подобных образований обнаружено не было. Эта грандиозная система прямых длинных глубоких долин, проходящих по дну Тихого океана в такой близости от континентального шельфа, как нам кажется, доказывает, что в настоящее время со стороны обширного бассейна Тихого океана обе Америки подвергаются действию нормальных растягивающих напряжений. При этом два опускания, идущие через Карибское море в северо-западном направлении (желоб Кайман и желоб Пуэрто-Рико ——последний обладает наибольшими глубинами в 8,4 км из уже открытых в Атлантическом океане), могут быть истолкованы как явление, похожее на образование шейки при растяжении широкого плоского металлического стержня (см. т. 1, стр. 359, рис. 290—293). Такое явление характеризует возникновение пластически деформированных зон «растяжения ——сдвига», через которые передаются растягивающие усилия, создаваемые плитами Северной и Южной Америки (усилия ориентированы по направлению стрелок 01, пересекающих изображение Карибского опускания на карте рис. 17.44). Геологические данные, по-видимому, подтверждают это предположение.
Если правильны предпосылки, лежащие в основе глубоких идей Вегенера о том, что на одной стороне Земли задолго до образования континентов существовал единый массив суши, то в геомеханической истории должны были произойти два главных события катастрофического характера (440 млн. лет тому назад): (1) зарождение бассейна Тихого океана и (2) зарождение континентов. Гипотеза о существовании первичного массива суши, который занимал меньше половины поверхности Земли (это относится к началу геологической шкалы времени, около 500 миллионов лет тому назад, когда из обломков суши образовывались древнейшие и более поздние осадочные породы), получила широкое распространение в геологии. Однако нельзя считать, что достигнуто согласие во взглядах относительно системы физических сил ——импульсивных, установившихся
или колебательных,——действовавшей на материальные элементы внешней тонкой сферической оболочки из легких пород до, во время и после отделения континентов. Чтобы объяснить местные искажения земной коры, в последнее время было предпринято много попыток получить эту систему сил, исходя из тепловых конвективных потоков !), поднимающихся и медленно опускающихся назад в горячие глубины Земли, хотя они не позволяют объяснить упомянутые выше импульсивные воздействия. Медленные подземные вихревые потоки тяжелого вещества не смогли бы привести ни к образованию бассейна Тихого океана, ни позднее к импульсивному разлому другой, оставшейся половины оболочки Земли. Мы полагаем, что системы сил были схожи в обоих катаклизмах, имевших космическое происхождение, причем силы были такими, что в два указанных критических периода они привели к общей неустойчивости равновесия самой верхней твердой оболочки Земли.
Исходя из предположения, что на всей поверхности жидкого земного шара затвердел первый значительный, пока еще сравнительно тонкий слой легчайших гранитных пород, Дж. Дарвин пришел более 60 лет тому назад к фундаментальному выводу, заключающемуся в том, что половина этой твердой оболочки пород еще в древнейшие времена на одной стороне земного шара исчезла. В его классической книге) популярно и с большой общностью излагаются многие проблемы космологии; он дает обзор своей теории приливных колебаний жидкого вращающегося шара из тяжелой материи, отмечая, что приливное трение способствовало замедлению скорости вращения Земли вокруг своей оси, вследствие чего в те давние времена солнечные сутки (период одного оборота) непрерывно удлинялись. Вычислив период основного тона малых поперечных свободных колебаний гравитирующего и невращающегося шара постоянной плотности, равной средней плотности Земли р = 5,5 (этот период оказался равным одному современному часу и 34 минутам), он пришел к следующему выводу: во времена, когда период полусуточных вынужденных солнечных приливных волн, вызываемых притяжением вращающейся жидкой Земли Солнцем, равный половине солнечных суток, стал в точности равным периоду свободных колебаний, возникла неустойчивость
приливов. В те далекие времена, когда солнечные сутки длились 3 час 8 мин, приливы разорвали легкую гранитную твердую оболочку пород на стороне, обращенной к Солнцу, притянувшему отделившиеся легкие массы, которые образовали Луну, оставив неизгладимый гигантский шрам на поверхности Земли, ставший бассейном Тихого океана 1)«
В пользу гипотезы Дарвина происхождения Луны говорят следующие наблюдения.
Средняя плотность Луны рт=3,3 ——величина правильного порядка. Учитывая упругую сжимаемость пород под давлениями внутри гравитирующего шара из однородной материи и размеры Луны (радиус 1738 км), следует ожидать, что ее средняя плотность рт должна быть, вероятно, на 8——10% больше плотности ps пород, из которых она образовалась. Хотя теперь плотность пород земной коры составляет лишь р = 2,7, представляется весьма вероятным, что когда-то в прежние времена до начала осадкообразования она была несколько выше, ps = 3,0.
В массах, накопившихся во внешней земной коре, геологами не обнаружено никакого существенного《планетарного》 материала внеземного происхождения (по утверждению Гутенберга) .Редкие тяжелые железо-никелевые метеориты, достигающие поверхности Земли, обладают плотностью около 8; это
исключает предположение о том, что Луна составлена из такой планетарной среды.
Объем Луны с разумной степенью точности равен объему самой глубокой части Тихоокеанского бассейна, который остался подобно шраму на одной стороне Земли, после того как была вырвана соответствующая часть твердой коры.
В противоположность относительно спокойным берегам Атлантического океана, периферия Тихого океана все еще остается активной зоной, которая характеризуется частыми вулканическими явлениями и наличием впадин, образованных поперечными сдвигами.
Позволим себе в качестве догадки, в противоположность сторонникам тепловых конвективных потоков, принять предположительно, что второе явление — зарождение континентов (относимое Вегенером по веским причинам к периоду более позднему на 440 млн. лет, когда глубокая впадина Тихого океана уже давно была заполнена морскими водами) имело такую же импульсивную природу, но было гораздо менее сильным и что оно также было вызвано объемными силами приливного происхождения, но обусловленными лишь притяжением Луны. Тяжелое основание, на котором покоились более легкий слой Евразии и твердое гранитное дно Тихого океана, к тому времени давно затвердело. Следовательно, наружная сферическая оболочка горных пород потеряла одну из своих степеней свободы. Если в ее твердом состоянии периодически возникали приливные объемные силы, то они в ней вызывали очень малые тангенциальные движения, как в упругом теле, т. е. упругие периодические раскачивающие из стороны 6 сторону движения в тангенциальном направлении по отношению к очень горячему основанию.
Поскольку твердая сферическая оболочка способна передавать продольные упругие колебания, подобные продольным волнам при землетрясениях, то существует еще возможность, что первые вынужденные «твердо-приливные» и вторые свободные продольные упругие колебания могли прийти в резонанс, когда солнечные сутки постепенно становились длиннее. Тогда наше утверждение сводится к тому, что в результате такого резонанса могло возникнуть импульсивное отделение, положившее начало существованию континентов во времена, когда Луна, возможно, описывала гораздо более близкую к Земле орбиту, чем теперь.
Так как скорость распространения упругих продольных волн, пробегающих вдоль прямого стержня, равна
то период продольных колебаний упругого стержня длины / с неподвижно закрепленными концами составляет
Предположим, что такой стержень обернут по экватору Земли и имеет длину /, равную половине длины окружности большого круга земного шара, а именно l=xR. Тогда период обегания экватора, 2л/? = 40 000 кл, продольной волной будет равен
Т = 2冗R]/-| ・
Пусть удельный вес пород равен y = pg = 0,0028 ка/см? и модуль упругости Юнга пород равен некоторому • низкому значению Е = 150 000 ка/с儿2 (принимая во внимание довольно высокую среднюю температуру гранитных пород земной оболочки). Отсюда находим скорость распространения волн с = Ve 1р = ^Eg 1у = 2,294 км/сек = 2294 м/сек и период полного колебания
17 430 сек,17 430 сек,Т = 2hR = 40 000 '=с = 2,294
17 430 сек,
17 430 сек,
Т = 290,5 мин = 4,85 час.
Этот период колебаний весьма велик. Следовательно, скорости частиц в земной оболочке по отношению к подстилающему полужидкому основанию и затухание вследствие вязкого трения об это основание в ту раннюю геологическую эпоху были сравнительно очень малы.
Мы можем теперь сделать предположение, следуя допущениям Дарвина в отношении жидких приливов, что рассматриваемые твердые приливы, проявляющиеся в виде продольных колебаний твердой коры, могли точно таким же образом привести к неустойчивости земной коры во времена, когда период одного оборота Земли по отношению к Луне составлял 9,7 час. т. е. равнялся удвоенному периоду Т медленных свободных тангенциальных колебаний горных пород внешней оболочки Земли, в результате чего наступил резонанс. Мы отдаем себе отчет в неопределенности, связанной с тем, что действительно ли наша планета в раннюю эоценовую эпоху, т. е. 60 млн. или более лет тому назад, вращалась вокруг своей полярной оси с такой большой скоростью, как это следует из простейшего анализа основного вида упругих продольных колебаний ее коры. Некоторое усовершенствование этой теории упругих деформаций земной оболочки можно найти в § 17.8.
Подводя итог, отметим, что исследования геологов, сейсмологов, океанографов, в особенности Юинга с сотрудниками, дали убедительные доказательства того, что (1) континентальные массивы фактически являются слоями горных пород с минимальной толщиной около 35—40 км там, где их поверхность находится на уровне моря, и соответственно большей в поднятых частях, причем их удельный вес колеблется между 2650 и 2900 ка/^з； вблизи основания они сложены из базальтовых пород; (2) глубокое дно океана состоит, за исключением тонкого осадочного покрова, из базальтовой оболочки (у = 2900 ка/初з) толщиной всего лишь 5 及м; (3) как континенты, так и тонкий слой базальта на дне океанов подстилаются мантией Земли (перидотитовыми породами, у = 3300 &?/儿3)1)； (4) веское гео- механическое доказательство, основанное на согласовании береговых линий, единстве состава пластов горных пород, включая их геологический возраст и направление складкообразования на соответствующих берегах широко раздвинутых в настоящее время континентов, которые раньше соединялись, и ориентации главных горных цепей и систем протяженных глубоководных впадин, не считая многих аргументов немеханической природы, убедительно говорит в пользу гипотезы Вегенера о движении континентов.
Срединноатлантический хребет. Обширными глубоководными изысканиями Юинга и его коллег выяснено большинство замечательных особенностей атлантической донной топографии: Срединноатлантический хребет) представляет собой очень полого поднимающиеся горы, линия максимального поднятия которых проходит вдоль дуги, расположенной посредине между западными и восточными берегами Атлантического океана, составляющей практически половину окружности Земли). Грубая схема представлена на рис. 17.45.
Срединноатлантический хребет полого возрастает от плоского глубокого дна (во многих местах располагающегося на глубине 5500 м) к широкому подводному поднятию с наибольшими высотами в 3700 м над дном, которое тянется вдоль
Hess Н. Н., The Deeper Structure of the Atlantic, Proc. Roy. Soc. (London), 222A, 341—348 (1954).
Рис. 17.45. Срединноатлантический хребет (по карте National Geographic Society, Washington, D. C., 1955).
Ресифи, Бразилия
7Среди нноатлантическ и и хребет
тубикоЗоВнЬя равнина
Фритаун,Сьерра-Леоне
2
0
500
WOO
1500
3500
Рис. 17.46. Грансатлантический профиль, изображающий Срединноатлантический хребет в вертикальном сечении, проведенном между самым восточным углом Бразилии (Южная Америка) и Гвинейским заливом (Африка). Вертикальный размер увеличен в 40 раз по сравнению с горизонтальным. Построен при помощи эхолотирования (Н е е z е п В. С., Tharp М., Ewing М., The Floors of the Oceans, I, The North Atlantic Geol. Soc. Am., Spec. Paper 65, 122 pp., plate 22, 1959). / — материковый шельф, 2 —подножие склона; по горизонтали отложены морские мили; по вертикали —фатомы; 1 фатом = 182 см.
средней линии Атлантического бассейна по дуге длиною около 20 000 км. Это рассматривается естествоиспытателями как одно из величайших чудес в области физической географии земной поверхности, будоражащее воображение своей возможной тесной связью с происхождением Атлантического океана ).
Поразительное явление заключается в существовании глубокой выемки, идущей параллельно линии вершин Срединноатлантического хребта. Это может показаться странным — рифтовая долина на вершине высокого хребта, занимающая в ширину от 24 до 48 км, обладающая грубо изрезанным дном и круто поднимающимися склонами до высоты 1,3—1,8 км над уровнем дна. Мы увидим ниже, что ее крутые боковые склоны можно рассматривать как два плоских торца наклоненных длинных пластов или кусков, соскользнувших вниз, наподобие того, как это имело место с «покровами» в высоком центральном массиве Швейцарских Альп).
Единственное в своем роде совпадение осей длинного Срединноатлантического хребта и долины, проходящей по его вершинам, со средней линией Атлантического бассейна не оставляет никакого сомнения в том, что этот подводный хребет возник в результате своеобразных тепловых условий, которые создавались за движущимися на запад обоими континентами Америки под вновь образовывавшимся скальным дном океана и внутри дна во времена третичного периода. Глядя на схематический набросок, приведенный на рис. 17.47, мы видим, что между уходящим тыльным краем 4 (обе Америки) и краем В (Евразия) расширялась глубокая впадина, в которую изнутри Земли устремлялись горячие массы пород. Очевидно, что, по
мере того как уходящий край А проходил в течение долгого времени большое расстояние d=AB и движение на запад точки Л все более замедлялось, развивалось общее охлаждение вновь образованного скального дна бассейна океана, причем средняя область между прибрежными полосами 4 и 6 дольше всего оставалась теплой. Под этой областьго устанавливался медленный восходящий поток горячего магматического материала, линии тока которого загибались в характерных мертвых точках на запад и на восток, как показано стрелками на рис. 17.47〔).
Рис. 17.47. Вспучивание основания в зоне Срединноатлантического хребта / — вода; 2 — Африка; 3 — основание; 4 — Америка движется на запад.
В то время, когда холодные концы Д и В на дне соответствующих слоев уже перестали утолщаться, новый материал все еще продолжал поступать в среднюю часть океанического ложа из-за существования горячих восходящих потоков. Среди глубоководных исследований) известны данные Булларда, измерившего величину поднимающегося со дна ущелья на вершине Срединноатлантического хребта теплового потока, равную 7 • 10-6 кал/см2 • сек. Он установил, что эта величина в шесть раз больше, чем в глубоководных местах плоского дна на востоке Атлантики, где этот поток составляет 1,2 • 10-6 кал/см2-сек,. Эти наблюдения придают большую убедительность нашим предыдущим утверждениям.
Согласно указанным результатам наблюдений, возникновение этих гор могло быть связано с крупномасштабным длительным и медленным вторжением базальтовых магм из более глубокой мантии Земли в слои поверхностных пород, обусловленным интенсивной вулканической деятельностью и разломами. В связи с этим довольно трудно объяснить медленное вековое выгибание вверх Срединноатлантического хребта при помощи
каких-либо механических процессов деформирования простейших типов. Учитывая, что в средней трети ширины дна Атлантического бассейна зафиксированы существенно повышенные средние температуры, можно было бы думать о температурных напряжениях, которые стали действовать внутри субокеанической коры (между неподвижными окончаниями Л и В скальных массивов) ,зажатой в осевом направлении во время последней замедленной стадии движения континентов на запад. Имеются
в виду результирующиев виду результирующиеР и с. 17.48. ГипотетическоеР и с. 17.48. Гипотетическоесжимающие усилия в направлении, па-
в виду результирующие
в виду результирующие
Р и с. 17.48. Гипотетическое
Р и с. 17.48. Гипотетическое
раллельном линии «восток ——запад》，и изгибающие напряжения под выпучивающимся вверх хребтом; при этом предполагается, что две последние системы температурных напряжений на-
распределение напряжений кладывались на гидростатические да- изгиба в хребте. вления, обусловленные весом пород.
/ ~ сжатие； 2 - растяжение.В материале, обладающем свой
ствами общей вязко-упругости, ограниченное во времени действие этих температурных напряжений должно было привести к необратимому изгибу вверх нагретой средней трети коры океанического бассейна. Эти привлекательные соображения можно было бы принять, если бы не процесс релаксации, который должен был иметь место в материале, чувствительном при деформировании к скорости необратимого деформирования, и из-за которого любые упругие деформации, вызванные температурным объемным расширением, изменяются, постепенно превращаясь со временем в остаточные, а напряжения исчезают.
Помня, что температуры возрастают, а вязкость соответственно значительно уменьшается с углублением в дно океана, следовало бы ожидать, что напряжения изгиба на больших глубинах убывали гораздо быстрее, чем в самых верхних слоях пород. Поэтому можно полагать, что температурные положительные растягивающие напряжения изгиба, которые принимали свои наибольшие значения как раз у вершины выгнутого подводного хребта, сохранялись в течение долгого времени, пока он медленно рос вверх, а отрицательные сжимающие напряжения изгиба быстро практически исчезали, поскольку на больших глубинах они по абсолютной величине были гораздо меньше, а температуры гораздо больше (рис. 17.48).
Указанные глубоководные изыскания, по нашему мнению, делают возможным вывод, что это гипотетическое преобладание растягивающих поверхностных напряжений изгиба могло вызвать те нормальные разрывы (трещины растяжения) на вершине Срединноатлантического хребта, которые ослабляли рав-
новесие поверхностных слоев пород, пока они, наконец, не начали скользить вниз по наиболее крутым склонам, образуя захватывающую воображение долину.
Вспоминая теорию Хабберта скольжения вдоль наклоненных надвигов (§ 17.1), заметим при этом, что условия скольжения пачек пород под действием собственного веса по наиболее крутым склонам должны были приближаться к критическим, чему особенно благоприятствовали условия на склонах хребта, приводившие из-за полного насыщения пород поровой водой под очень высоким давлением к снижению критического касательного напряжения трения, которое могло бы удержать породы на месте. Совпадение этих обстоятельств дает, таким образом, правдоподобное объяснение странного явления глубокой срединноатлантической рифтовой долины, проходящей почти по всей линии вершин Срединноатлантического хребта, а также объяснение бесчисленных складок на его склонах.
Наконец, заметим, что узкая полоса, содержащая эпицентры большинства подводных землетрясений, зарегистрированных с 1910 г. в Северной Атлантике, в точности следует, как можно увидеть из рис. 17.49】)，средней линии этой долины, доказывая, что эта область является относительно весьма активной зоной сосредоточения подводных деформаций земной коры.
Предыдущие рассуждения, сформулированные в простейшем нестрогом виде, предложены в надежде, что они могут вдохновить молодых исследователей проанализировать при помощи улучшенных механических методов уникальное явление зарождения и происхождения Срединноатлантического хребта, проложить дорогу к пониманию сил, вызывающих движения наружу верхней твердой оболочки нашей планеты, и способствовать убеждению, что рост и существование этого хребта представляют еще один аргумент (пока еще, по-видимому, очень мало оцененный), косвенно доказывающий правильность теории Вегенера о движении континентов.
Напряжения и деформации во внешней твердой оболочке пород Земли. А. Система сил, действующих во внешней тонкой сферической твердой скальной оболочке. У каждого, кто стоял на вершине высоких гор и восторгался великолепным видом лежащих поблизости и более удаленных зубчатых хребтов, встающих по всему горизонту морем островерхих пиков, возникали мысли о происхождении высоких горных цепей на Земле и о силах природы, которые должны были их создать.
Elmendorf С. Н., Н е е z е п В. С, Oceanographic Information for Engineering Submarine Cable Systems, Bell. System Tech. J., 36, № 5, 1047— 1093 (1957). Второй пояс активности проходит через Карибское море.
Рис. 17.49. Срединноатлантический хребет и рифтовая долина.
Эпицентры землетрясений на севере бассейна Атлантического океана по данным сей-смических наблюдений в 1910—1956 гг. согласно Элмендорфу и Хизину (сила землетрясе-ний дается по шкале Рихтера).
Мысль о том, что высокие горные цепи могли подняться вверх из первоначально плоской поверхности силами, которые должны были действовать в глубоко скрытых их основаниях, вероятно, приходила в голову многим наблюдателям и любителям природы. При этом те из них, кто имел склонность к механике, могли бы задать себе вопрос: какого вида поле сил вытолкнуло наверх и смяло в складки слои горных пород, заставив их принять существующее поднятое положение?
Поскольку возникновение гор в одних местах сопровождалось одновременным опусканием земной коры в широких полосах, расположенных в других районах, то размышления о характере этих сил неизбежно приводят к заключению, что в течение долгой истории эволюции Земли слои верхней оболочки пород непрерывно находились под действием напряжений, необратимо деформировались, сдавливались в некоторых областях и растягивались в других, что в этих громадного масштаба процессах проявлялась какая-то система массовых сил, связанная с проникающими глубоко в основание деформациями, которая и теперь продолжает действовать; и что один из кардинальных вопросов геологии имеет механическую природу, требуя, во-первых, определения этой системы объемных сил и, во- вторых, анализа равновесных состояний напряжений и деформаций, которые создаются ею в сравнительно тонкой внешней оболочке твердых пород, поддерживаемой более тяжелым глубоким основанием.
Тонкие искривленные оболочки постоянной толщины, ограниченные двумя параллельными поверхностями вращения, являются распространенным элементом инженерных конструкций. В приложениях первостепенное значение имеют достаточно жесткие искривленные металлические оболочки, в которых боковые смещения точек срединной поверхности, т. е. прогибы оболочки при ее деформировании, остаются малыми по сравнению с толщиной оболочки. Устойчивые состояния равновесия напряжений в таких оболочках из упругого материала, нагруженных осесимметрично расположенными внешними силами, в особенности в цилиндрических и сферических оболочках, находящихся под действием равномерного давления газа или жидкости или сил, равномерно распределенных вдоль параллельных кругов, всесторонне исследованы довольно простыми средствами!).
】)Среди первых создателей общей теории деформированных искривленных упругих оболочек, растягиваемых вдоль срединной поверхности и смещающихся на конечную величину при изгибе моментами, могут быть названы Ляв, Г. Рейсснер, Мейснер, Э. Рейсснер, Стокер и многие другие исследователи, имена которых не приводятся. Оболочки и пластинки из материала, проявляющего текучесть, изучались А. А. Ильюшиным, В. В. Соколовским и др.
В механических задачах, относящихся к твердым породам внешней оболочки Земли, почти совсем не применялись эти общие результаты, за исключением, возможно, лишь случаев их использования при сильно упрощающих предположениях, таких, как, например, допущение, что все тело Земли внутри тонкой твердой оболочки коры ведет себя подобно однородной несжимаемой жидкости или однородному упругому гравитирующему шару постоянной плотности и температуры. На основании приведенных в предыдущих параграфах соображений о том, что имели место значительные сдвиги больших частей суши по отношению друг к другу и к более тяжелой мантии Земли, можно было ожидать, что эти факты приведут к пониманию происхождения грандиозных изменений в положениях плоских массивов континентов и связанных с ними явлений местного деформирования.
Мы не будем останавливаться на разборе некоторых из не- согласующихся между собой силовых полей, предложенных в учебниках и в большинстве своем обнаруживающих неточности в том или ином отношении, а предположим, что имеется единственное первичное поле объемных сил, действующих на тонкую сферическую упругую оболочку постоянной толщины, которая будет представлять для нас внешнюю оболочку Земли. Пусть это будет силовое поле создающих приливы гравитационных ускорений, вызываемых в первую очередь притяжением Луны. Мы попытаемся простыми средствами построить решение уравнений равновесия, выражающих распределение напряжений и упругих и остаточных деформаций в обширных областях внутри внешней твердой оболочки Земли, а также тангенциальных и нормальных компонент малых смещений ее точек.
Это поле объемных сил представляется нам пригодным для того, чтобы с единой точки зрения объяснить те общие повсеместные тенденции, которые наблюдаются в вековых деформациях оболочки горных пород, и определить величины напряжений и деформаций. При этом мы уделим должное внимание подвижности внешней коры как целого, так и в равной степени ее отдельных частей вследствие быстрого уменьшения характеристик прочности пород при возрастании температуры с глубиной !) •
Понятия оболочка пород или твердая кора, употребляемые ниже как синонимы, обозначают комплекс самых верхних легких пластов залегающих вблизи поверхности Земли пород, которые образуют сферическую оболочку толщины 力，считаемой малой (力=50 км) по сравнению со средним наружным радиусом земного шара, равным 门= 6370 км. Материалу внутри этой твердой оболочки, обладающей некоторыми модулями упругости и сдвига Е и G, можно приписать значения этих величин, равные или меньше тех, которые
В элементарной теории изгиба тонких упругих оболочек принимается, что в нормальном сечении бесконечно малой ширины нормальные и касательные напряжения, направления которых параллельны касательной плоскости к срединной поверхности оболочки, в соответствующей точке изменяются линейно с расстоянием точки от этой поверхности. Эти напряжения можно представить в виде суммы слагаемого, отвечающего равномерному распределению напряжений по толщине оболочки, и другого слагаемого, которое будет пропорционально расстоянию от изогнутой срединной поверхности.
Первое слагаемое, выражающее «мембранные напряжения», включает в качестве результирующих нормальные и касательные силы на единицу ширины сечения, причем те и другие лежат в касательной плоскости к срединной поверхности оболочки; вторые ——«напряжения изгиба» ——уравновешивают изгибающие и крутящие моменты на единицу ширины, которые могут передаваться оболочкой. Последние компоненты напряжения обычно имеют значительные величины возле краев незамкнутых оболочек или вблизи особенностей напряжений. В тонкой оболочке пород Земли, которая представляет собой замкнутую оболочку постоянной кривизны, мы можем полностью пренебречь напряжениями изгиба. Мы сосредоточим поэтому свое внимание в дальнейшем исключительно на мембранных напряжениях !), опуская рассмотрение местных эффектов изгиба и не выписывая членов, учитывающих рост гидростатического давления с глубиной под действием веса пород (предполагая, что эти последние члены могут быть, если понадобится, добавлены к силам, обусловленным иными причинами).
Напряженное состояние рассматриваемой твердой сферической оболочки пород зависит от объемных сил, с кото- рыми Луна притягивает элементы массы. Обозначим через
обнаруживаются у известных на поверхности Земли наиболее прочных пород при их нагружении в течение больших промежутков времени. При учете температур 0, увеличивающихся с глубиной до значения 02= 1500° С на нижней контактной сфере радиуса 广2=6320 юи, по которой проходит граница с тяжелым основанием, модули Е и G в статических условиях оказываются гораздо меньшими тех, которые обычно получаются по измерениям скоростей распространения волн сжатия и сдвига, возникающих при землетрясениях. Если взять коэффициент Пуассона v=0,25, то подходящими средними значениями Е и G для плотных пород представляются F=65 000 кг/см2, G = 26 000 кг/см2. Предполагается, что сопротивление горных пород, расположенных между радиусами 厂2&厂&广1， может определяться упругими или остаточными девиа горными деформациями или теми и другими вместе.
Хороший обзор точной теории Лява——Мейснера и упрощенной теории осесимметричных оболочек можно найти в статье Геккелера в книге: Geiger Н., Scheel К・，Handbook der Physik, v. 6, p. 231—265, Julius Springer, Berlin, 1928 (см. также: Г екке лер Г„ Теория упругости, ОНТИ, 1934).
厂0= (1/2)(厂1 + 厂2) средний радиус и через р0 среднюю плотность оболочки. Рассмотрим элемент массы, расположенный в точке Р внутри Земли и имеющий полярные координаты г = ОР и с/ по отношению к оси ОМ, которая соединяет центры Земли и Луны (рис. 17.50). Если бы элемент двигался свободно относительно Земли, то он имел бы гравитационное ускорение (а—as), где а ——ускорение, создаваемое Луной в точке P(r, a'), as ——в центре Земли О. Мы разложим это относительное ускорение (а — as) в точке Р на нормальное ап и тангенциальное %. Ана-
Земла
Рис. 17.50. Создающее приливы ускорение, вызываемое Луной.
логично этому объемную силу притяжения, приходящуюся на единицу объема, разложим на ее нормальную у)г = апр и тангенциальную 丫力= о%р составляющие.
В точке, расположенной на срединной поверхности г = г^ оболочки пород, где плотность р равна р0, имеем уп = ^пРо и yt = atpQ. Согласно теории равновесных приливных волн в жидкости), эти последние компоненты результирующей силы объемного притяжения 丫 на единицу объема выражаются следующими функциями полярного угла а':
Yn = 〃饱=学(1 + 3 COS 2(/),
% = %Ро =贈 sin 2а'，
где постоянная 丫°, очевидно, представляет собой наибольшее значение уп, которое имеет место в оболочке в точке, ближайшей к Луне, а именно при 厂=小，а' = 0. Теперь положим
ge=9,81 м/сек2, среднее ускорение силы тяжести в оболочке;
Ге = q =6370 км, внешний радиус земного шара;
гт = 1738 км, радиус Луны;
Ре =5,52 е/смз (система СГС), средняя плотность Земли;
Рт = 3,34 г/см3 (система СГС), средняя плотность Луны;
/) = 384 400 км, среднее расстояние между центрам Земли и Луны.
Воспользуемся тем, что из теории приливов известно выражение для константы объемных сил притяжения у。 (в расчете на единицу объема), которая была введена выше
Удобно также разложить результирующую объемную силу 丫 на две компоненты: 丫九——в направлении, параллельном линии,
Рис. 17.51. Компоненты объемных сил, вызывающих приливы в оболочке горных пород Земли.
соединяющей центры Земли и Луны (ОМ на рис. 17.50), и уу — перпендикулярном к ней, выбрав знаки, как показано на рис. 17.51. Имеем
yh = Yo cos(/, Yu =—普 sin a'・
На рис. 17.51 показано распределение двух эквивалентных групп компонент объемных сил yn, 丫力 и 丫九,丫。по срединной поверхности оболочки пород.
Б. Вычисление упругого напряженного и деформированного состояний ВО ВНЕШНЕЙ ТОНКОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ ТВЕРДЫХ ПОРОД Земли. Здесь будут рассмотрены два простых идеализированных случая на основе элементарной теории оболочек.
Случай 1. В оболочке действуют одни только приливные объемные силы притяжения. Как можно видеть из предыдущих формул, система результирующих твердо-приливных объемных сил у находится в равновесии внутри тонкой полой замкнутой сферической оболочки пород; поскольку мы не включили в рассмотрение гидростатическое давление, обусловленное весом пород 1), то не нужны никакие внешние силы, чтобы поддерживать полую оболочку, и ее можно считать свободно плавающей в пространстве. Очевидно, что в этой осесимметрично нагруженной оболочке главные направления напряжений известны заранее. Они проходят для главного напряжения о】 по большим кругам («меридианам» по отношению к положению Луны), сходящимся в двух 《полюсах》М{ и М2 (рис. 17.52), над которыми Луна находится в зените и в надире, а для главного напряжения о? — по параллелям с центрами в точках Mh М2.
Для нахождения мембранных напряжений о】и о? требуется написать для них два уравнения равновесия в бесконечно малом элементе оболочки (рис. 17.52). Это удобно сделать для компонент сил в двух направлениях: нормальном и параллельном оси 0Mh а' = 0, предполагая, что третье главное напряжение Оз в направлении, перпендикулярном оболочке пород, об-
Предполагается, что это напряженное состояние, вызываемое объем- ными силами, возникающими в результате действия собственного гравитационного поля Земли, если это потребуется, может быть наложено на рассматриваемое здесь напряженное состояние. Напряженное состояние в однородной идеально упругой твердой породе, находящейся под действием собственного веса (p(jge=Yr на единицу объема), если положить Е* = Еу = О, выражается соотношениями
дающими для среднего давления формулу
dr + Og + Oz (1 + V)yrzР=33(l-v) *
Лишь в несжимаемом теле (v=%) будет сохраняться состояние чисто гидростатического давления
5 = 5 = % = - Y/ = -Р・
ращается в нуль. В результате имеем
% +02 = "^1 (1+3 cos 2他)，
言(5 sida7) = 丫"。sin(/ =畤■ sin 2a\
откуда видим, что
6 =畤-=const,
U2 = *(3 cosZa7— 1),
т. e. деформация вдоль меридианных кругов осуществляется однородным растягивающим напряжением oi = const, а в двух
Рис. 17.52. Главные напряжения о】и а2, действующие на элемент внешней оболочки твердых пород Земли.
полярных шапках вокруг 《полюсов》М} (а'=0) и М2 (az = n) параллели (a' = const) деформируются растягивающими напряжениями 。2, тогда как экваториальный пояс подвергается вдоль таких параллелей действию сжимающих напряжений а2-
Считая породы упругими, находим, что главные деформации 81 и 62 равны
电=备(d -〜)=嚨"(2 + v - 3v cos 2az),
e2 = ~ (a2 ~ vaj =豊?" (— 1 — 2v + 3 cos 2az).
Комбинируя эти уравнения с хорошо известными кинематическими соотношениями теории сферических оболочек, взятыми в
компонентах смещений 〃 и о в тангенциальном и нормальном направлениях (〃 положительно в направлении возрастания а'),
£2 = ±(o + 〃ctga，)
и исключая V, получаем дифференциальное уравнение для и
d〃3 (1 + V)упГл
謐一〃 ctg а' = ―sin 2а'・
Отсюда находим
3 (I + V)уого . ° ,〃 =тт； sin 2a
4Е
и
竺黑哂(1+3 cos 2а)
Видно, что и обращается в нуль на полюсах All и ТИ2 и на окружности о/ = п/2, а прогиб и принимает свое наибольшее положительное значение на полюсах М} и 乂2, а наименьшее (отрицательное) значение на окружности a' = n/2. Полая сплошная сферическая оболочка деформируется при этом в вытянутый эллипсоид вращения с главной осью, направленной на Луну. Распределение упругих тангенциальных смещений и для северного полушария показано в стереографической проекции на рис. 17.53 1).
Случай 2. Материальные элементы тонкой твердой полой сферической оболочки пород испытывают упругие смещения в тангенциальных направлениях, проскальзывая без отрыва по сферической оболочке пород мантии Земли). Допустим, что
кроме системы объемных сил у, определенных своими нормальными и тангенциальными компонентами 丫九,у方 или горизонтальными и вертикальными компонентами 丫九，丫&,
у几=芈(1 + 3 cos 2优)，丫九=Yo cos a-
% =芈 sin 2优，％ =-号 sin a\
соответствующими результирующим объемным силам
Уо т Л 5 + 3 cos 26
YF]/ —2—
действует некоторая распределенная по поверхности контакта оболочки пород с основанием нагрузка p = f(a‘) в радиальных
Р и с. 17.53. Тангенциальные смещения м в твердой оболочке (стереографическая проекция).
направлениях, так что нормальные компоненты смещения — прогибы V оболочки — обращаются в нуль. Это эквивалентно предположению, что, когда Луна обходит свою орбиту вокруг Земли, материальные элементы оболочки упруго сдвигаются в в своей срединной поверхности, двигаясь только в тангенциальных направлениях, и что это скользящее движение материальных элементов пород оболочки по отношению к ядру мантии
вследствие высоких температур и поэтому малых значений вязкости происходит беспрепятственно !）.
Введя нормальную распределенную нагрузку р, мы получаем два условия равновесия
6 +。2 =（Y«+ у） ^0 =咛（1+3 COS 20 + 幣，勘sin2aH）中・
Используем теперь соотношения между напряжениями и деформациями, выражающими закон упругости для главных деформаций 61 и 82- Учитывая формулы для 81 и е2 § 17.9 （1）, полагая о = 0 и пренебрегая нормальными напряжениями в тонкой сплошной оболочке, которые действуют по перпендикуляру к ней, т. е. считая оз = 0, согласно теории тонких сферических оболочек, мы получаем
1 du 1 ,、
3 = £賞"=亲（02 _ следовательно,
。尸 й^тИ备+ v〃ctga，）’
。2 =E^而卜备+ "ctg<4
Полагая постоянную с。равной
—（1-v）鬲 о
0"02 =箸（黑+ "ctga）
Гутенберг на стр. 145 своей последней книги （см. примечание к стр. 766） пишет, что породы верхней части мантии Земли на глубинах от 60 до 200 км могут в определенных местах пребывать в состояниях, близких к плавлению. Это подтверждается минимумом скорости распространения идущих от землетрясений волн и связью поясов сосредоточения очагов землетрясений с только что упомянутыми глубинами и поясами действующих вулканов.
Таким образом, наше допущение об увеличенной подвижности основания, подстилающего верхнюю оболочку твердых пород, и наше предположение, что вязкость 卩 пород достигает сравнительно низких значений в этой критической области по отношению к явлениям длительного необратимого деформирования во внешней коре, в значительной степени допускается авторитетным мнением сейсмологов; цитируя Гутенберга, можно сказать, «что вязкость и сопротивление пластическому течению минимальны в верхней части мантии Земли».
находим, что удерживающая нагрузка равна
"=時(黑 +" ctg 优)-乎+ 3 cos 2а)
После подстановки этого значения р во второе уравнение равновесия получаем дифференциальное уравнение для тангенциального смещения 〃
l (") = (1 + V)(" + 岑"sin 2他)，
где £(〃)——линейный дифференциальный оператор второго порядка
厶(〃)=黑 ctg а' + 〃( 1 一 ctg а)da' da'
который тесно связан с более общим подобным оператором, введенным в теорию тонких осесимметричных оболочек Мейснером 1).
Если положить и =—〃osin2a‘, то
L (“)= 4〃о sin 2a‘.
Мы видим, что это частный интеграл выписанного выше дифференциального уравнения, который удовлетворяет также заданным граничным условиям: при а, = 0 〃 = 0 и при a'=n/2 d〃/da'=0. Таким образом, он представляет собой искомое решение нашей задачи об оболочке, если постоянную интегрирования выбрать равной •
—3 (1 + V)с0 _ 3(1- V2)厂詢0
"о = 4 (5 + V) = 4(5 + w)E *
Заметим, что соответствующая «удерживающая нагрузка»
р, которая держит оболочку пород с ее внутренней стороны вровень с контактирующей сферой мантии Земли, препятствуя
_ (2 + v) Yo/zP°= 5 + w，_ (2 + v) Yo/zP°= 5 + w，подъему последней, а именно
_ (2 + v) Yo/z
P°= 5 + w，
_ (2 + v) Yo/z
P°= 5 + w，
p= - р0(1 +3cos2出)=一
Yo
оказывается пропорциональной нормальной компоненте уп приливных объемных сил, создаваемых притяжением Луны; значения р по знаку противоположны уп 2).
Используя предыдущие функции 〃 и р, можно выразить два главных напряжения 0〔 и 02, действующих на оболочку пород, в симметричном виде
6 =——含^ [v + (2 + v) cos 2优]=о + о-
а2 =——[1 + (1 + 2v) cos 2al = о - o'
где постоянная о。равна
J 3 (1 + у) Yo^o「8(5 + ”)，
среднее напряжение равно о= (1/2) (01 + 02), а члены ±『=±(%)(5 - 5)
представляют собой состояние чистого сдвига.
Эти четыре напряжения (при v = 0,375, r0 = 6,32 • 108 с儿， Yo = 3,12 • 10'10 кг/cj^, oo = 0,0189 ка/c儿2)построены в зависимости от полярного угла на рис. 17.54 и 17.55. Видно, что оболочка
6420■2■4-6•86420■2■4-6•8Рис. 17.55. Среднее напряжение 0 = (01+02)/2 и напряжение о‘./ — растяжение; 2 — сжатие.Рис. 17.55. Среднее напряжение 0 = (01+02)/2 и напряжение о‘./ — растяжение; 2 — сжатие.佇& 2, 2
6
4
2
0
■2
■4
-6
•8
6
4
2
0
■2
■4
-6
•8
Рис. 17.55. Среднее напряжение 0 = (01+02)/2 и напряжение о‘.
/ — растяжение; 2 — сжатие.
Рис. 17.55. Среднее напряжение 0 = (01+02)/2 и напряжение о‘.
/ — растяжение; 2 — сжатие.
Рис. 17.54. Главные напряжения о】и 。2 в твердой оболочке.
твердых пород вокруг полюсов 7ИЬ М2 (а/ = 0, а = п) в области двух широких шапок теперь подвергается действию сжимающих напряжений, а в экваториальном поясе ——растягивающих, причем первые преобладают ^. В отсутствие каких бы то ни было нормальных смещений это понятно, поскольку совместное
1) Меридианальное напряжение Oi обращается в нуль при cos2a'= ^=—v/(2+v) =—0,158, т. е. при угле а'=49°33', а напряжение а2 равно нулю при cos 2а^=—1/(1 +2v) =—0,572, чему соответствует угол а'=62°25‘. Среднее Напряжение о становятся равным нулю при а'=54°4#'・
действие нормальных сил р и уп практически возвращает оболочку к ее начальной недеформированной форме, тогда как касательные силы 丫力 толкают упруго элементы материала по направлению к двум полюсам 而i и М2.
Линии действия главных напряжений, соответствующих в и о?, опять образуют семейство больших кругов §' = const, сходящихся в диаметрально противоположных точках Мх и М2 как
а= 720°а= 720°а = /05 °а = /05 °а =90а =90а = 75°а = 75°а/二 60°а/二 60°——Mi——Mi&二 150°&二 150°Рис. 17.56. Изображение в стереографической проекции линий главных напряжений в твердой оболочке Земли, вызываемых притяжением Луны. Северное полушарие. Положение Луны Mt на экваторе. 1 — экватор; 2 — эклиптика.Рис. 17.56. Изображение в стереографической проекции линий главных напряжений в твердой оболочке Земли, вызываемых притяжением Луны. Северное полушарие. Положение Луны Mt на экваторе. 1 — экватор; 2 — эклиптика.аj 735°аj 735°а =45 а‘二 30°а =45 а‘二 30°
а= 720°
а= 720°
а = /05 °
а = /05 °
а =90
а =90
а = 75°
а = 75°
а/二 60°
а/二 60°
——Mi
——Mi
&二 150°
&二 150°
Рис. 17.56. Изображение в стереографической проекции линий главных напряжений в твердой оболочке Земли, вызываемых притяжением Луны. Северное полушарие. Положение Луны Mt на экваторе. 1 — экватор; 2 — эклиптика.
Рис. 17.56. Изображение в стереографической проекции линий главных напряжений в твердой оболочке Земли, вызываемых притяжением Луны. Северное полушарие. Положение Луны Mt на экваторе. 1 — экватор; 2 — эклиптика.
аj 735°
аj 735°
а =45 а‘二 30°
а =45 а‘二 30°
в полюсах, и семейство параллельных кругов a' = const; для краткости выражений мы будем называть эти семейства лунными меридианами и лунными параллелями на земном шаре 】).
Линии главных напряжений удобно изображать в стереографической проекции. Это показано для северного полушария на рис. 17.56, на котором пучок лучей, расходящихся из северного полюса М и концентрические круги (те и другие изображены тонкими линиями) являются кругами географической долготы (земные меридианы) сс = const и широты р = const.
1)Хотя угол а' (рис. 17.51) отсчитывается от «полюса» Mi (а'=0), на самом деле он является дополнительным к тому, что обычно называют углом щироты, ' •
Предположим, что в некоторый момент / = 0, выбранный за начальный, Луна стоит над точкой Мх земного экватора р = 0 на долготе а = 0. Тогда группа ортогональных кругов, проведенных на рис. 17.56 несколько более толстыми линиями, представляет собой «лунные меридианы» g = const, сходящиеся в лунных полюсах Мх (а, = 0) и М2 (а'=п), а ортогональные к ним круги представляют собой «лунные параллели»; оба семейства определяют линии действия главных напряжений s ио2.
Попытаемся теперь учесть два движения: вращение Земли вокруг своей полярной оси и движение Луны вокруг Земли. В результате этих движений система линий действия напряжений (лунные меридианы и параллели), очевидно, будет непрерывно изменять свое расположение по отношению к системе географических меридианов и параллелей. Луна равномерно вращается вокруг Земли, находясь от нее приблизительно на постоянном удалении D в плоскости, наклоненной под небольшим углом к плоскости эклиптики, в которой Земля обращается вокруг Солнца. Допустим для простоты, что Луна остается на эклиптике. Последняя в любой момент пересекает земной шар по большому кругу, наклоненному к экватору В = ° под углом 6 = 23°30/, и мы можем, не теряя общности, предположить, что в момент f=0 эта плоскость как раз проходит через точку Mi, над которой стоит Луна (рис. 17.56). Это позволяет изображать начальные положения эклиптики на рис. 17.56 кругом, проведенным пунктирной линией М1Е1М2Е2 в согласии с требованием, чтобы он был наклонен к экватору р = 0 под углом 6 = 23°30,.
Будем считать, что этот круг неподвижен в межзвездном пространстве и представляет собой на рисунке путь Луны или точки Mi, в котором радиус-вектор, проведенный из центра Земли к Луне, пересекает поверхность Земли. Тогда точка Mh отмечающая положение Луны, один раз обходит круг эклиптики за время tSl равное звездному месяцу fs = 27 суток 7 час 43 мин = 27 322 солнечных суток, или за четверть месяца (厶/4) проходит на рис. 17.56 дугу М}Е^ достигая наибольшего северного склонения («летнего солнцестояния» Еь если бы эта точка относилась к Солнцу).
В то время как на рис. 17.56 линии действия напряжений 01 и б изображены в момент / = 0, когда Луна как раз находится в наивысшем положении над точкой М^ расположенной на земном экваторе 0 = 0, на рис. 17.57 показано их расположение по прошествии времени £=厶/4 в момент достижения точкой М} своего наиболее удаленного северного склонения, когда эта точка совпадает с точкой летнего солнцестояния Е^
теперь лунные меридианы выходят из этой последней точки 1).
Рис. 17.57. Изображение в стереографической проекции линий главных напряжений в твердой оболочке Земли, вызываемых притяжением Луны. Северное полушарие. Положение Луны Mi отвечает наибольшему северному склонению. / — эклиптика.
В то время как точка М\ движется с неизменной абсолютной окружной скоростью wa (|g| =%Sm) по фиксированному в
】) Обозначим продолжительность одних солнечных суток через 7\ = 24 час= ==86 400 сек и одних звездных суток через rze = 86 164,09 сек (промежуток времени между двумя последовательными фиксированными по отношению к звездам прохождениями географического звездного меридиана или время, за которое Земля совершает один оборот вокруг своей оси в межзвездном пространстве), а через(ое и (Dm — угловую скорость вращения Земли и угловую скорость, с которой равномерно вращается в межзвездном пространстве радиус-вектор, проведенный от Земли к Луне. Тогда мы, очевидно, получим для вращения Земли скорость
曳=2冗/Т； = 7,29212 • 10^5 1/сек.
Для движения Луны по лежащему в эклиптике кругу получим величину
(0加=2冗/片=2,6616 • 10" 1/cg
причем вектор угловой скорости Зт наклонен к вектору (ое под углом 8 = 23°30‘ и обе скорости вращения направлены на рис. 17.56 и 17.57 против движения часовой стрелки, на восток.
пространстве кругу эклиптики, а Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Зе, наблюдателю на Земле, участвующему в последнем переносном движении с переносной скоростью wv （\wv\ =reG）e cos |3, § ——географическая широта мгновенного положения точки М】）, точка М\ представляется отодвигающейся с относительной скоростью
w「= w“ 一 W&,
имеющей почти западное направление.
Следовательно, когда точка Мх как раз пересекает земной экватор р = 0, как показано на рис. 17.56, она движется в западном направлении с относительной скоростью
叫=々（@-0宀0S 6）,
где 6 = 23°30'——угол наклона эклиптики к экватору. Когда эта точка проходит через положение £卜 отвечающее ее наибольшему северному склонению, показанному на рис. 17.57, и двигается как раз по широтному кругу р = 6, ее направленная на запад относительная скорость равна
^2 = re （（O^COS6-COJ.
Допустим, что в первом приближении мы пренебрегаем малым относительным колебательным движением лунного полюса 此 в направлении «север—юг》. Мы можем тогда считать, что путь точки Мх по Земле практически совпадает с экватором Р = 0, утверждая, что эта точка движется по нему на запад с по- стоянкой средней скоростью w, равной
5 = （^）（叫 + ®2）= £ （1 + COS 6） ®е -（oj = 0,96% ®е -（0^）.
По причинам, которые будут объяснены ниже, достаточно принять, что картина линий главных напряжений, показанная на рис. 17.56, вращается по Земле 〃 твердой оболочке ее пород вокруг центра с постоянной средней относительной угловой скоростью
（0 = -^ = 0,96 ® 一 3加）=6,745 - 10'5 \\сек.
Иначе говоря, наблюдатель, помещенный на Луну, видит Землю равномерно вращающейся на восток и совершающей один полный оборот за время
7=生=93200 сек,
т. е. превышающее солнечные сутки Т = 24 〃ас = 86 400 сек на 6800 се%=1 час 53 мин 20 сек.
Рис. 17.58./ - направление к Луне; 2 — меридиан; 3 — большой круг; 4 - экватор.Рис. 17.58./ - направление к Луне; 2 — меридиан; 3 — большой круг; 4 - экватор.
Рис. 17.58.
/ - направление к Луне; 2 — меридиан; 3 — большой круг; 4 - экватор.
Рис. 17.58.
/ - направление к Луне; 2 — меридиан; 3 — большой круг; 4 - экватор.
Поскольку природные горные породы проявляют при длительном действии напряжений вязко-упругие свойства, вероятно, здесь уместно спросить, какого вида 〃 какой величины оста- точные деформации должны были накапливаться 6 оболочке твердых пород под действием системы переменных напряжений Oi и 。2, которые непрерывно движутся в этой оболочке в течение долгих геологических времен. Выделим какую-нибудь произвольную точку Р(а, р) в северном полушарии, имеющую географическую долготу а и широту р. В течение периода времени
Т главные напряжения аь а2 в точке 尸(а, р) периодически изменяются по величине и направлению, описывая полные циклы своих колебаний. Мы можем выразить плоское напряженное состояние, определяемое главными напряжениями С], 。2, сгз = 0 в точке Р оболочки твердых пород
ст】=о + о', о? = о —『，
через компоненты нормальных напряжений о%, ау и касательные напряжения тху) которые действуют в направлениях географических параллелей (p = const) и меридианов (а = const), в следующем виде:
ах = а + az cos 2qp, о = — о。( 1 + 3 cos 2а)
= а — az cos 2(р,(/ = ^ ；чЯ曳(1 - cos 2吟
“ =(/sin 2(р,
где qp ——угол, под которым лунный меридиан М{Р или линия главного напряжения 。1 пересекает в некоторый заданный момент времени / параллель А'РВ，(p = const) в точке Р (а = = со/, р), как показано на рис. 17.58.
Предположим, что вращающаяся оболочка пород при длительном воздействии на нее этих напряжений ах,。切 т%и (мн здесь пренебрегаем, как уже было сказано, нормальным напряжением о2 = оз в направлении, нормальном к оболочке, среднее значение которого Oz = p/2 мало по всей толщине h оболочки, полагая Oz = 0) приобретает необратимые деформации £：, £”，чисто вязкой природы. Тогда мы приходим к выводу, что они будут непрерывно увеличиваться со следующими скоростями:
Принимая во внимание быстрое уменьшение вязкости ц с ростом глубины г, обусловленное увеличением температуры 0 с глубиной в оболочке пород 0《2《九,для коэффициента вязкости 卩 правильным будет принять низкое среднее значение.
Попытаемся выразить величины, стоящие в левых частях двух предыдущих групп соотношений, через географические координаты а (долгота) и р (широта), приняв последние за независимые переменные. Для этого нужно выразить два пока еще не известных угла а' н 屮 на вращающейся Земле через а и р. Обратимся к изображенному на рис. 17.58 октанту северного полушария Земли, вращающейся с угловой скоростью 3 = 6,745・10一5 \/сек против часовой стрелки относительно положения Луны, предполагаемого фиксированным над точкой Mh и заметим, что положение Земли в момент / определяется ее относительным «часовым углом》 а = з/ прохождения меридиана CPN через точку Р(а, Р). Теперь легко показать, что соответствующие углам а, Р угол a'(MiOP) лунного меридиана МХР и угол ср, под которым он пересекает параллель 0 =
=const (/'Р5'), могут быть вычислены по простым формулам)cos а' = cos а cos §, tgqp = ctg а sin р.
При помощи этих формул и тех, которые приведены для cos2(p и sin2(p в примечании, получаем, что напряжения о,(/ выражаются через две географические переменные аир следующим образом:
о = — 2оо(3 cos a cos2 р— 1) = — о。[3(1 + cos 2а) cos2p — 2],
『=2(1*?电(]—cos?а cos?份=-。d% [2 — (1 + cos 2а) cos2p], 『cos 2(p = 2(；三?曳[1 — cos2а (2 — cos2P)],
(/ sin 2(p = 2 "i~^?曳 sin 2a sin p.
COS 2(p =
1 — co' a (2 — cos? B) f- cos2 a cos2 ₽~
sin 2屮=
sin 2a sin 6
1 一 соУ a co?®
Чтобы избежать усложнений из-за различия значений коэффициента Пуассона в упругой и необратимой областях деформации, примем в предыдущих уравнениях v= 1/2, предполагая, что имеют место соотношения между напряжениями и скоростями необратимых деформаций, справедливые для несжимаемого материала. Тогда напряжения в оболочке твердых пород выразятся в виде
о = — %(3 cos2p — 2 + 3 cos 2аcos2р),
『=豊(2 — cos2 p — cos 2a cos2 p),北二^^①一4cos2p —cos2a • (1 + 4cos2p)],
% ==—p- [3 — 5 cos2p + cos 2a • (1 - 5 cos2p)], xxy = -^~ sin 2a sin p,
где постоянная о。равна
=3 (1 + v) АШ = go%0 -8 (5 + v) - ~88~ ,
Возвращаясь к соотношению между напряжениями и скоростями вязких деформаций после подстановки в них полученных выражений для напряжений о%, 0仪，хху, мы видим, что если проинтегрировать эти соотношения по времени t за период 7 = 93 200 сек (время одного оборота Земли) либо за кратное число периодов, то колебательные части напряжений, изменяющиеся с а = со/ как cos 2a или sin 2a, не дадут вклада в образование необратимых деформаций е；, е(, t&. Чтобы вычислить необратимые искажения оболочки твердых пород за длительное время, нам нужно рассмотреть лишь установившиеся, не зависящие от времени слагающие напряжений. Обозначая последние чертой над буквами, находим, что установившаяся, не зависящая от времени часть упругого напряженного состояния вращающейся внешней твердой оболочки Земли выражается простыми соотношениями
й = (у)(頂 + ду) = а0 (2 - 3 cos2 В)=号(1 一 3 cos 2р),
頂=2% (1 -告 с* В)=警 О — 2 cos 2B), ду = 2% (1 — cos2 0)=导(1 — 5 cos 2p),
Это напряженное состояние порождает упругие деформации
呢一±tg6 =工卜*一？)=盜(I —cos 2p), % = 离=書卜厂*) = _*ss20， & = 一 鼠一勖=一舞(1 - з cos 2p)
и скорости изменения необратимой деформации, вычисление которых вследствие полной аналогии соответствующих групп соотношений дает
Здесь 〃 ——упругое смещение, w = 0u'1dt ——скорость течения или скорость изменения во времени остаточного смещения, происходящие в тангенциальном направлении к срединной поверхности сферической полой оболочки пород. Из предыдущей группы равенств получаются кинематические соотношения
и=—sin 2р, w =—sin 2(3,
показывающие, что все точки срединной поверхности оболочки движутся в северном полушарии строго на юг, за исключением точек экватора |3 = 0 и северного полюса В = л/2. Кроме того, и периферическая упругая деформация ©% =0, и скорость необратимой деформации ©： = 0 в направлении земного экватора 0 = 0, как и следовало ожидать, обращаются в нуль.
Только что выведенное осесимметричное распределение установившихся напряжений дх и 3》，которое иллюстрируется на рис. 17.59, показывает, что в широкой экваториальной зоне действуют напряжения сжатия, тогда как две большие полярные шапки вне ее находятся в состоянии, близком к двухосному нагружению равными растягивающими напряжениями?
8= 土冗/2 до макси-8= 土冗/2 до макси-возрастающими по направлению к полюсам мального значения 3*= й^=2(Уо〔)•
8= 土冗/2 до макси-
8= 土冗/2 до макси-
Р и с. 17.59. Полярная диаграмма установившихся нормальных напряжений 3% и Зу, действующих в направлениях географических параллелей (6 = const) и меридианов (а = const) в тонкой оболочке твердых пород Земли.
N — северный полюс; р = 0 — экватор.
В течение времени 7 = 93 200 сек (время одного оборота Земли) остаточные деформации е/, е^ увеличиваются на 暧=等(l-cos26)， "一祟 cos26，
т. е. на экваторе при р = 0 на величины
5)Т
而，
Нормальное напряжение 了勿 которое действует в направлении земных меридианов, обращается в нуль на параллелях Р= ±39°15, (где cos 20= 1/5) и принимает значение Зу=——4ого/3 на экваторе, тогда как нормальное напряжение йх, которое действует в направлении параллелей, обращается в нуль при р= ±30° и равняется 存г к——2uo/3 на экваторе. И деформация еу и скорость деформации * в направлении «север—юг》обращаются в нуль на параллелях §=±45°, на которых скорость вязкого течения сохраняет свое наибольшее по абсолютной величине значение \^^^^^^-
а на полюсах при р= ±л/2 ——на величину
е〃 = J =% y 3
Если бы значения вязкости 出 в зависимости от давления р, создаваемого весом вышележащих пород, и их температуры 0 в течение последних геологических эпох были лучше известны, то можно было бы оценить среднее значение 口 вязкости 出 по толщине h внешней сферической оболочки твердых пород на протяжении истории Земли и делать предположения относительно накопленных величин остаточных деформаций в течение каждого из длительных геологических периодов времени.
Мы можем, таким образом, утверждать, что гравитационные объемные силы 丫。，порождаемые Луной, стремятся крайне медленно смещать материал в обоих полушариях ^ экваториальной области, где он постепенно нагромождается и накапливается в широкой полосе между параллелями р=±39°15', подвергающейся действию установившихся сжимающих напряжений ду в направлении «север ——юг»; это медленное течение поддерживается за счет среды, вытягиваемой из полярных областей. Некоторые физико-географические черты континентов подтверждают вышеупомянутые факты, полученные с помощью предыдущей простой теории длительного медленного необратимого деформирования внешней оболочки твердых пород: значительная доля наиболее высоких протяженных плоскогорий Земли находится в Центральной Азии (Тибет); большинство главных высочайших горных цепей в восточном полушарии (Гималаи, хребты Кавказа и Карпат, Альпы, Пиренеи, Атласские горы и т. д.) направлены в основном с востока на запад (правда, есть и отклонения от этого правила).
В этом отношении следует иметь в виду много оставшихся за пределами нашего рассмотрения дополнительных геологических факторов, которые влияли на горо- и складкообразование на земной поверхности, а также то обстоятельство, что Луна на ранней стадии развития этих явлений, вероятно, обращалась вокруг Земли на гораздо более близком расстоянии, чем теперь; напомним также, что разделение первичного материка (согласно идеям Вегенера) вызвало свои характерные эффекты, не связанные с теми, которые здесь описывались.
В заключение можно сказать несколько слов о малых периодических колебаниях упругого характера, которые совершают точки твердой оболочки по отношению к внутренним областям Земли. Было найдено, что их величина пропорциональна синусу двойного угла лунной широты с/ и они всегда направлены к положению MY Луны, т. е. к точке 尸(а, р) на Земле,
образуя угол л + ф с положительным направлением, выбранным на параллелях р = const. Представляя эти тангенциальные смещения в виде
〃 =—u0sin2a\
мы находим, что их амплитуда равна
—3 (1 -U) roYo = з厂oYo
— 4 (5 + ⑺ E -28£，
где множитель 3/28 появился из-за того, что коэффициент Пуассона был принят равным v= 1/2. Компоненты вектора и в направлении географических параллелей ир и меридианов ит в точке Р
Up = и cos qp, 〃加=〃 sin ф
можно легко вычислить, если воспользоваться соотношениями между углами, выведенными в примечании на стр. 635. Они получаются равными
% = — Uq sin 2a cos 0,
um =—号(1 + cos 2a) sin 2p.
Видно, что траектория, описываемая точкой P(a, В) твердой оболочки благодаря упругим колебаниям, представляет собой малый эллипс
W I (〃m+b『—1
a = 〃о cos р,
6 = %)sin В cos В
(в предположении, что Луна находится над земным экватором, как принималось на рис. 17.58). Эти эллипсы построены на рис. 17.60 для шести географических широт р. Северный полюс 6 =冗/2 остается в покое, а на экваторе р = 0 такой эллипс вырождается в прямую, каждый эллипс проходится дважды за время Т одного оборота Земли. Если бы мы, однако, рассмотрели плоскость фактической орбиты Луны, почти совпадающей с плоскостью эклиптики, в которой движется Земля, то кривые, описывающие упругие колебания, приобрели бы более сложную форму,——полюс больше не оставался бы в покое, а точка на экваторе двигалась бы по петле.
Наконец, несколько слов о вязком трении, которое должно немного тормозить это упругое покачивание внешней оболочки
твердых пород, превращая траектории движения относительно полужидкого ядра мантии Земли в сплетение плотно расположенных в пространстве малых петель. Когда твердая оболочка качается вперед и назад в горизонтальных плоскостях относительно внутренних частей Земли, в более подвижной горячей
Рис. 17.60. Тангенциальные смещения и точек твердой оболочки Земли по отношению к жидкому магматическому основанию.
Векторы и представляют собой горизонтальные смещения, вызываемые притяжением Луны на указанных географических широтах р в северном полушарии во время вращения Земли (показано стрелкой). Предполагается, что Луна находится в плоскости земного экватора. / - направление вращения Земли.
подстилающей ее магме возникает трение вязкой природы, в результате чего напряжения сдвига из областей под контактной поверхностью передаются на оболочку. Поскольку единственным источником, способным восполнить потери энергии в результате вязкого трения, является (помимо сравнительно малых количеств Энергии упругой деформации, запасаемой в твердой оболочке) кинетическая энергия вращения внутренних масс
Земли, то трение, благодаря которому магма тормозит покачивания твердой коры, должно замедлять угловую скорость вращения Земли. Это создает определенный момент вокруг оси, которая, вероятно, может проходить не очень далеко от полярной земной оси (совпадая с последней, когда Луна находится над земным экватором).
Рис. 17.61. Силы, объясняющие движение на Земли.Рис. 17.61. Силы, объясняющие движение на Земли.запад твердой оболочкизапад твердой оболочки/ — направление вращения; 2 — направление к Луне; 3 — оболочка пород; 4 - магма./ — направление вращения; 2 — направление к Луне; 3 — оболочка пород; 4 - магма.
Рис. 17.61. Силы, объясняющие движение на Земли.
Рис. 17.61. Силы, объясняющие движение на Земли.
запад твердой оболочки
запад твердой оболочки
/ — направление вращения; 2 — направление к Луне; 3 — оболочка пород; 4 - магма.
/ — направление вращения; 2 — направление к Луне; 3 — оболочка пород; 4 - магма.
Согласно закону равенства действия и противодействия, результирующая пара равной величины, но противоположного направления должна действовать на саму твердую оболочку в направлении вращения Земли в пространстве. Это кажется парадоксальным или абсурдным: если внешняя твердая оболочка Земли должна скользить по ядру Земли подобно гигантской тормозной колодке, то создаваемое ею трение должно вызывать некоторый «внутренний момент》，но нельзя указать какие-либо внешние силы, которые бы поддерживали эту «тормозную колодку» снаружи.
Классическая теория Дарвина (1910 г.) приливного трения Объясняет приведенный парадокс. Существует внешняя пара
сил, которая уравновешивает этот момент трения, зарождающийся внутри магматического ядра. Она возникает вследствие разницы в двух результирующих силах притяжения Р{ и 尸2, с которыми Луна действует на две выступающие части А\ и Л2 оболочки пород в предположении, что оболочка, упруго деформируясь, принимает форму немного наклоненного удлиненного эллипсоида (рис. 17.61)).
Тангенциальная компонента Qi результирующей силы притяжения Pi, приложенной в точке Ль в действительности немного больше тангенциальной компоненты Q2 результирующей силы Р2 в точке А2 (обе результирующие Р〔 и Р2 направлены к Луне) по двум причинам: во-первых, по закону тяготения Ньютона Pi＞「2 и, во-вторых, угол(pi меньше угла(р2. Поэтому
Q] == РI COS 屮]Р2 cos 屮2 == Qz，
в результате чего возникает внешний момент (Qi—Q2)^o, стремящийся повернуть твердую кору относительно ядра в направлении, противоположном тому, в котором вращаются как ядро, так и оболочка. Здесь предполагается, что две выступающие области Л1 и Л2 отклоняются от оси, соединяющей центры Луны и Земли (на которой они находились бы, если не учитывать силы трения), занимая новые смещенные положения, показанные на рис. 17.61. Мы замечаем, что приливной момент (Q】一Qz"o, сопровождающийся появлением касательных напряжений t, показанных на схеме сбоку, поворачивает оболочку твердых пород вокруг ядра с крайне малой скоростью, вызывая таким образом движение масс на запад и порождая систему сил、которую когда- то искал Вегенер.
Обращаясь снова к закону равенства действия и противодействия, с другой стороны, видим, что если приложить противоположные силам Pi и Р2 силы ——Р〔 и —Р2 в качестве реакций (перенеся последние в центр Луны), направленных к точкам 力1 и #2 на Земле, то они должны оказывать действие на Луну, изменяя (умеренно) ее движение вокруг Земли. Как показано схематически на рис. 17.62, иллюстрирующем отклоненные положения масс r〃i и т2, сосредоточенных в точках %i и
%2 (представляющих собой выступы оболочки твердых пород) на ЗеМеПе, гравитационные силы реакции —Рь —Р2, с которыми массы mb т2 притягивают Луну, дают, согласно треугольнику сил, результирующую R, приложенную в центре Луны См. Поскольку сила ——Р〔，создаваемая ближайшей массой ть тянет Луну вперед сильнее, чем тормозит ее сила ——Р2, порождаемая более удаленной массой т2, то совместное действие обеих этих сил приводит к появлению силы, направленной по касательной к орбите Луны и несколько ускоряющей ее движение. В то же время центростремительная компонента результирующей R остается практически той же по сравнению с ситуацией (не показанной на рисунке), при которой массы 团】и т2
Рис. 17.62. Приложенные к Луне гравитационные силы реакции (—修，一巳), порождаемые упругим деформированием оболочки горных пород Земли в присутствии приливного твердого вязкого трения. Они вызывают увеличение расстояния от Земли до Луны.
находились бы на оси СеСт, соединяющей центры Земли и Луны (т. е. в положении, которое они занимали бы в отсутствие трения) .
Таким образом, присутствие приливного твердого трения порождает три эффекта: 1) оно тормозит движение как земного ядра, так и внешней оболочки пород; 2) оно вызывает медленное движение оболочки относительно ядра на запад; 3) оно увеличивает расстояние D = CeCm от Земли до Луны, заставляя ее, в согласии с теорией Дарвина приливного жидкого трения, несколько отодвигаться от Земли. Думается, что этот третий эффект имеет особое значение, если учесть, что интенсивность порождающих приливы объемных сил у。，создаваемых действием Луны на Землю, изменяется обратно пропорционально третьей степени расстояния D. Поэтому в ранние геологические эпохи, когда это расстояние составляло одну вторую, одну треть и т. д. его нынешней величины, притяжение, которое испытывала твердая оболочка Земли, и возникавшие при этом
приливные упругие деформации 6blли больше современных【)соответственно в 8, 27 и т. д. раз.
Можно надеяться, что последние параграфы, посвященные вопросам геомеханики, смежным с инженерными вопросами теории тонких упругих сферических оболочек, могут навести читателей на дальнейшие размышления в этой интересной области.
В 1910 г. Дарвин в своей превосходной книге, посвященной приливам, которая цитировалась на стр. 806, ясно показал, что роль жидко- или твердоприливных явлений возрастала даже быстрее с уменьшением расстояния D от Земли до Луны, чем было только что сказано, из-за дальнейшего усиления притяжения Луной тех масс, которые уже поднялись над поверхностью в виде приливных гор или выступов. Чтобы понять это, допустим, что на форму холма, возникшего в результате твердого прилива, приближение лунной орбиты к Земле не влияло. Тогда по уже упомянутым причинам притяжение масс, сконцентрированных в выступающих областях, усиливалось бы в 8,27 и т. д. раз, если бы расстояния составляли половину, треть и т. д. от существующего расстояния D. Следовательно, когда в прошедшие геологические эпохи Луна обращалась вокруг Земли, находясь гораздо ближе от нее, суммарный эффект заключался в увеличении амплитуды упругого выпучивания в 64, 729 и т. д. раз.
Эти последние замечания, следующие идеям Дарвина, могут, вероятно, служить для смягчения некоторых аргументов в высказываниях Шейдеггера и других (Scheidegger А. Е., Principles of Geodynamics, р. 132, Springer Verlag, Berlin, Vienna, 1958), которые сводятся к тому, что твердо-приливные силы, создаваемые действием Луны на Землю, слишком малы и не подходят для рассмотрения их в качестве физических сил, способных вызвать эффекты горообразования и движения континентов. Достаточно напомнить, что эти силы были несравнимо большими в отдаленные прошлые геологические вре* мена из-за более близкого расположения Земли и Луны.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 2
Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, изд-во «Наука》，М., 1966.
К а ч а н а в Л. М., Теория пластичности, изд-во «Наука» (в печати).
Г р и н А., А д к и н с Дж., Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды, изд-во《Мир》，М., 1965.
К главе 3
Михлин С. 「.，Прямые методы математической физики, Гостехиздат, М.— 几，1950.
Каданов Л. М., Вариационные принципы теории пластичности, Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Механика твердого тела, М., 1966.
К главе 4
Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, изд-во 《Наука》, М., 1966.
Бленд Д., Теория линейной вязко-упругости, изд-во 《Мир》，М., 1965.
Р ж а н и ц ы н А. Р., Теория ползучести, Стройиздат, М., 1968.
F 1 u g g е W., Viscoelasticity, Toronto — London, 1967.
К главе 5
Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи теории упругости, изд-во «Наука», М.. 1966.
,К г л а в е 6.
Попов Г. Я-, Ростовцев Н. А., Контактные (смешанные) задачи теории упругости, Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела, М., 1966.
К главе 7
I. Абрамян Б. Л., Александров А. Я., Осесимметричные задачи теории упругости, Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела, М., 1966.
К главе 8
Тимошенко С. П., Теория пластинок и оболочек, изд-во《Наука», М, 1963.
Труды I—VI Всесоюзных конференций по пластинкам и оболочкам, 1961 — 1966.
К главе 9
См. книги Ю. Н. Работнова и А. Р. Ржаницына в литературе к гл. 4.
К главе 12
1. Э й р и х Ф. (ред.), Реология, ИЛ, М., 1962.
К главе 13
Новацкий В., Вопросы термоупругости, Изд-во АН СССР, М., 1962.
Сборники «Тепловые напряжения в элементах конструкций», № 1——7 Изд-во АН УССР, Киев, 1961—1967.'
К главе 15
Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, Физматгиз, М., 1960.
Голушкевич С. С., Статика предельных состояний грунтовых масс, ГТТИ, М., 1957.
Березанцев В. Г., Развитие теории предельного равновесия сыпучей среды, Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела, М., 1966.
К главе 16
См. книги Ю. Н. Работнова и А. Р. Ржаницына в литературе к гл. 4.
Качанов Л. И., Теория ползучести, Физматгиз, М., 1960.
См. обзоры по теории ползучести А. А. Гвоздева (бетон), Н. Н. Малинина (пластичность) и В. С. Наместникова (металлы) в трудах II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твердого тела, М., 1966.
Абрамян Б. Л. 846
Адамс (Adams L. Н.) 766—768
Адкинс Дж. 846
Александров А. Я. 846
Аллеман (Alleman N. J.) 660, 661
Аллен (Allen N. Р.) 687
Аман (Amand Р. S.) 788
Арган (Argand Е.) 797
Бадер (Bader W.) 523
Балк (Balk R.) 780, 782—784, 786, 787
Бардик (Burdick) 742
Баушингер (Bauschinger J.)103,
516, 523
Бах (Bach С.) 315
Бейкер (Baker Н. В.) 794
Беккер (Becker R.) 10, 715, 718, 724
Беляев Н. М. 197
Беневитц (Bennewitz К・)719
Бергштрессер (Bergstrasser М.) 315
Березанцев В. Г. 848
Бертран (Bertrand М.) 745, 753
Бетей (Batey) 526, 527
Бетти (Betty В. В.) 661
Бёкер (Boker R.) 605
Бёрнштейн (Bornstein) 505
Билс (Beals С. S.) 305
Бингам (Bingham Е. С.) 7, 433, 435, 437, 441, 450
Био (Biot М. А.) 290, 598, 599
Бленд Д. 846
Блэнпайд (Blanpied W. А.) 505
Больца (Bolza О.) 135
Больцман (Boltzmann L.) 10, 672, 715, 719, 722
Босх (Bosch М.) 465
Брандт (Brandt Н.) 608
Браун (Brown W. F.) 684, 739
Бриллюэн (Brillouin М.) 219
Брокамп (Brockamp В.) 377
Бубнов И. Г. 6
Будянский (Budiansky В.) 701
Булл (Bull V. В.) 797
Буллард (Bullard Е. С.) 813
Буллен (Bullen К. Е.) 760, 765, 768
Бунзен (Bunsen R. W.) 141
Буссинеск (Boussinesq J.) 289, 297, 301, 303
Бэйли (Bailey R. W.) 621, 622, 675, 704
Бюлов (Billow Н.) 776
Бюргерс (Burgers J. М.) 218, 219
Валь (Wahl А. М.) 704, 708
Вандрей (Vandrey F.) 446
Ван Итерсон (Van Iterson F. К. Т.)
109
Вариньон (Varignon) 532
Васмут (Wassmuth) 16
Вауг (Waugh К. R.) 665, 666
Вебер (Weber Н.) 253, 289, 370, 372
Вебер (Weber W.) 672, 711
Вегенер (Wegener Alfred) 10, 306, 376, 377, 770, 772, 793, 794, .796—800, 802, 810, 839, 843
Вегенер (Wegener Else) 793, 796
Вессель (Wessel Е. Т.) 9, 504, 511, 734, 736, 737, 739
Вестергор (Westergaard Н. М.) 174, 321
Веттштейн (Wettstein Н.) 747
Витовец (Vitovec F.) 48, 49
Вихарт (Wieghart К.) 229
Вихерт (Wiechert Е.) 717, 758, 763
Волькен (Volcken К・)377
Вольтерра (Volterra Е.) 719, 722
Вольтерра (Volterra V.) 672, 715, 719, 723
Вудс (Woods F. S.) 135, 162
Галеркин Б. Г. 6
Гамильтон (Hamilton) 143
Гарофало (Garofalo F.) 50
Гартман (Hartmann Е. С.) 48
Гартман (Hartmann W.) 561, 563, 574, 577—579
Гатчек (Hatcheck Е.) 453
Гаф (Gough) 16
Г воздев А. А. 846
Гейгер (Geiger Н.) 819
Гейзер (Heiser G. Н.) 637
Гейм (Heim Albert) 6, 11, 12, 403, 745—747, 752, 753, 755, 773, 783
Гейм (Heim Arnold) 746, 753
Геккелер (Geckeler J. W.) 819
Геллер (Geller) 742
Гельмгольц (Helmholtz H.)142,
155—157
Гельфанд И. M. 162
Генки (Hencky Н.) 191, 563
Георги (Georgi J.) 376, 377
Герц (Hertz Н.) 155, 274, 280, 282, 303, 320, 323, 328, 606
Герцог (Herzog А.) 11
Гершель (Herschel W. Н.) 435
Гесс (Hess Н. Н.) 812, 813
Гетеньи (Hetenyi М.) 346, 394, 395
Гешти (Geszti J.) 775
Гёфер (Hofer К. Н.) 783
Гибсон (Gibson R. Е.) 767
Гирш (Hirsch А.) 11
Гласстоун (Glasstone S.) 634
Глейзал А. Н. 197
Голушкевич С. С. 847
Гопкинс (Hopkins D. М.) 804
Гопкинсон (Hopkinson J.) 711
Гребер (Greber Н.) 465, 481
Григгс (Griggs D.) 603
Грин А. 846
Гринберг (Greenberg Н. J.) 197
Гринвуд (Greenwood I. N.) 621, 684
Гринспен (Greenspan М.) 51
Гросс (Gross В.) 719
Грэй (Gray А.) 290
Грюнайзен (Griineisen Е.) 42
Гудьер (Goodier J. N.) 197, 198,298, 482
Гук (Hooke R.) 23, 28, 64, 72, 76,82, 89, 143, 149, 191
Гутенберг (Gutenberg В.) 209, 250, 286, 306, 377, 384. 386, 413, 759, 760, 765, 766, 768, 769, 807, 826
Даале (Dahle F. В.) 651
Давиденков Н. Н. 109
Даннекер (Dannecker) 40—42
Дануссо (Danusso А.) 672
Дарвин (Darvin G. Н) 806, 807,809.
842, 844, 845
Дарси (Darcy Н.) 600
Дейтлер (Deutler) 633
Дересевич .(Deresiewitz Н.) 608
Джадсон (Judson S.A.) 778, 781
Джекобс (Jacobs J. А.) 758—760
Джерард (Gerard G.) 51
Джеффрис (Jeffreys H.) 208, 765, 795, 807
Джильберт (Gilbert G. K・)306
Джилули (Gilluly J.) 754
Джинс (Jeans J. H.) 807
Джозеф (Josef A.) 377
Джонсон (Johnson K・ L.) 345, 607
Джоуль (Joule J. P.) 16, 17
Дитерле (Dietetic) 40, 41
Доллинс (Dollins C. W.) 661
Дэвис (Davis E. A.) 8, 260, 261, 639, 640, 642, 650, 663, 693, 697,708,710, 731, 732, 734
Дэвис (Davis H. E.) 739
Дэли (Daly R. A.) 385, 754, 755, 771, 773
Дюмон (Dumont C.) 663
Дютуа (Du Toit A. L.) 794, 797
Жермен (Germain Sophie) 143
Жоли (Joly J.) 413
Жуковский H. E. 559
Закс (Sachs G.) 517, 526, 684, 739
Зейдль (Seidl E.) 777, 778
Зинер (Zener S.) 719
Зорге (Sorge E.) 377
Ильюшин A. A. 197, 701, 817
Илэм (Elam C. F.) 739
Иоффе А. Ф. 783
Ишлинский А. Ю. 197
Кавендиш (Cavendish) 758
Казагранде (Casagrande A.) 598
Кампе (Kampe R.) 793
Кант (Kant I.) 757
Каратеодори (Caratheodory C.) 563
Карлс/оу (Garlslaw H. S.) 465
Карман (Karman T.) 6, 148, 191, 290, 557, 602
Каррингтон (Carrington W. E.) 687
Кассебаум (Cassebaum) 633
Кастмльяно (Castighliano A.) 156, 194
Катанео (Cataneo C.) 607
Кауцманн (Kauzmann W.) 732
Каданов Л. M. 197, 846
Квинни (Quinney H.) 18
Кельвин (Kelvin) 9, 16, 17, 19, 60, 63—65, 142, 208, 218, 310, 345, 488
Кеппен (Koppen W.) 797
Кестер (Koster W.) 38, 40, 43—46
Кёттер (Kotter F.) 554, 557, 558
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 17, 141, 142, 223
Кноп (Knopp K・)251
Кларк (Clark F. Н.) 45
Клейн (Klein F.) 191, 559
Клоос (Cloos Е.) 405, 749, 782, 783,
789, 790
Клоос (Cloos Н.) 784—786, 789
Колонетти (Colonetti G.) 156
Кольрауш (Kohlrausch R.) 711
Коннелли (Connelly F. М.) 708, 710
Консидер (Considere М.) 627
Кох (Koch D. Е.) 412
Кох (Koch Т. Р.) 796
Кросс (Cross Н. С.) 651
Крылов А. Н. 6, 346
Кульман (Culmann) 532
Кэри (Carey S. W.) 795
Лаваль (Laval) 559
Лагранж (Lagrange J. L.) 143, 150,
163, 309
Лайдлер (Laidler К. J.) 634
Лам б (Lamb Н.) 157, 267, 430, 820
687Т. Е.) 759F. W.) 559 220, 230—232, ,757687Т. Е.) 759F. W.) 559 220, 230—232, ,757Ландау (Landau С. S.) Ландсберг (Landsberg I Ланчестер (Lanchester I Лаплас (Laplace Р. S.) 264, 288, 294, 312, 429.
687
Т. Е.) 759
F. W.) 559 220, 230—232, ,757
687
Т. Е.) 759
F. W.) 559 220, 230—232, ,757
Лармор (Larmor J.) 65
Ларсон (Larson F. R ) 742
Ласло (Laszlo F.) 516, 517
Лаутерс (Lawthers D. D.) 73：•
Лейбензон Л. С. 6
Ленард (Lenard Р.) 141
Леон (Leon А.) 66, 67, 581
Ли (Lea) 526, 527
Лидермен (Leaderman Н.) 219, 711
Лин (Lin С. К.) 280
Логи (Lougee R. J.) 384一386, 393
Лонгвелл (Longwell С. R.) 754
Лоренц (Lorenz G.) 476
Лоэв (Loewe F.) 376, 377
Лукреций (Lucretius) 531, 619
Людвик (Ludwik Р.) 31, 66, 67, 446,
623
Лэндолт (Landolt) 505
Люжон (Lugeon М.) 745, 753
Ляв (Love А. Е. Н.) 151, 267, 289, 817
Мак (Mack С.) 456
Макветти (McVetty Р. G.) 460, 621,
622, 651, 665, 666, 675
Макгенри (McHenry D.) 603
Маккелаф (Mac Cullough G. Н.) 663
Маккеон (McKeown J.) 657, 658
Макконнел (McConnell R. G.) 754
Маккуин (McQueen R. G.) 768—770
Макроберт (Mac Robert J. М.) 290
Максвел/ (Maxwell J. С.) 65, 142, 147, 156, 204, 218, 435
Малинин Н. Н. 846
Малкин (Malkin I.) 476
Мангасарян (Mangasarian О. L) 70!
Манке (Mahncke Н. Е.) 440
Марков А. А. 197
Мартенс (Martens А.) 515
Маскелин (Maskelyne) 758
Маскет (Muskat М.) 600
Мейснер (Meissner Е.) 817, 827
Менабреа (Menabrea F.) 155, 156
Менард (Menard Н.) 805
Менджойн (Mangoine М. J.) 9, 45, 47, 650, 684, 704, 739, 742
Мелан (Melan Е.) 6, 7, 10, 66, 463. 466, 469
Менсон (Manson S. S.) 684, 742
Мерфи (Murphy Р. С.) 778, 781
Месмер (Mesmer G.) 273, 279, 281
Мизес (Mises R.) 6, 488, 508, 563
Микловитц (Miklowitz J.) 48—50
Миллер (Miller D. J.) 804
Миндлин (Mindlin R. D.) 289, 606— 608
Михлин С. Г. 846
Мичелл (Michell I. Н.) 242
Молл ард (Mollard J. D.) 588, 788
Mop (Mohr О.) 8, 9, 67, 531—535, 541, 544, 558, 562, 566, 660
Мори ленд (Moreland) 742
Мостов В. 197
Мур (Moore Н. F.) 661
Мусхелишвили Н. И. 846
Мэйленок (Malenock Р. R.) 50
Мэтьюз (Mathews G. В.) 290
Мюллер-Бреслау (Miiller-Breslau
Н. F.) 544
Навье (Navier) 220, 229, 230, 233, 320
Нахди (Naghdi Р. М.) 568
Наместников В. С. 846
Наяр Е. 568
Нейл (Neill J.) 684
Нинингер (Nininger Н. Н.) 305
Новацкий В. 846
Нортон (Norton F. Н.) 621
Нортон (Norton J. Т.) 526
Ньюмэн (Newman S. В.) 51
Ньютон (Newton I.) 843
ОЪрайен (O'Brien J. К・)605
Одквист (Odquist F. К. G.) 672,704, 706, 708
Ойкен (Eucken А.) 42
Opp (Огг С. W.) 661
Орнштейн (Ornstein W.) 314
Осгуд (Osgood W. В.) 517, 701
Папкович П. Ф. 6
Пар кус (Parkus Н.) 466
Пауэл (Powell R. L.) 505
Пек (Peck R. В.) 598
Петровский Ф. А. 619
Планк (Planck М.) 57
Полани (Polanyi М.) 783
Попов Г. Я. 846
Почеттино (Pochettino) 453, 454
Прагер (Prager W.) 197, 198, 569, 573
Прандтль (Prandtl L.) 6, 7, 9, 12, 263, 267, 445—447, 558—560, 563, 568 -571, 573—575, 581, 582, 634
Пратт (Pratt J. Н.) 771, 773
Пресс (Press F.) 770, 772, 812
Пуазейль (Pousseuille J. L. М.) 435, 436, 438, 440, 448, 452
Рабенсбург (Rabensburg А. Н.) 778
Работнов Ю. Н. 846
Рамберг (Ramberg W.) 701
Раш (Rasch Е.) 18
Редлих (Redlich К. А.) 793
Рейнер (Reiner М.) 219, 435
Рейсснер (Reissner Е.) 817
Рейсснер (Reissner Н.) 557, 558,563, 567, 571, 817
Ретбон (Rathbone Т. С.) 483—485
Ржаницын А. Р. 846
Ридель (Riedel W.) 789, 791, 792
Ринтол (Rintoul W. Т.) 412
Ритц (Ritz W.) 151, 152
Рихтер (Richter С. F.) 759, 816
Робертс (Roberts А. М.) 621
Робертсон (Robertson Е. С.) 605
Робинсон (Robinson L. Н.) 601—603
Розенблюм В. И. 7
Розенталь (Rosenthal D.) 526
Розенталь (Rosenthal F.) 289
Руби (Rubey W. W.) 754—757
Рыхлевский Я- 568
Рэлей (Rayleigh) 156, 157
Рэнкин (Rankine W. J. М.) 538, 540, 557, 584
Садовский (Sadowsky М. А.) 160, 162, 167, 274, 278, 279, 289- 491
Салганик Р. Л. 7
Саняер (Sander В.) 795
Саурамо (Sauramo) 384
Свифт (Swift Н. W.) 161
Сен-Венан (St. Venant В.) 191, 310
Смекаль (Smekal А.) 783
Смит (Smith G. V.) 50
Смит (Smith J. О.) 280
Страховский (Smoluchowski W. W.)
Соколовский В. В. 197, 198, 556, 581, 817, 847
Солли (Solly А. Н.) 687
Спиридонова 109
Стейми (Stamey R. А.) 778, 781
Стенг (Slang А. Н.) 51
Степанов А. В. 783
Стернберг (Sternberg Е.) 289
Стодола (Stodola А.) 6, 12, 148, 152, 516
Стокер (Stoker J. J.) 817
Стокс (Stokes'J. J.) 226, 430, 453
Сэнки (Sankey G. О.) 704
Тейбор (Tabor W.) 440
Темплин (Templin R. L.) 48
Терцаги (Terzaghi К.) 66, 597, 598
Тетмайер (Tetmajer L.) 66
Тиндаль (Tyndall J.) 156
Тимошенко С. П. 6, 153, 298, 482, 661, 846
Тимпе (Timpe А.) 239, 289
Титьенс (Tietjens О.) 263, 267
Толстой (Tolstoy I.) 814
Томсон (Thomson W.), см. Кельвин
Торре (Torre С.) 589
Точер (Tocher D.) 804
Треска (Tresca Н.) 191
Тримейн (Tremain G. R.) 684,
Тэйлор (Taylor F. В.) 794
Тэйлор (Taylor G. I.) 18, 242
Тэйлор (Taylor R. Е.) 780
Тэпселл (Tapsell Н. J.) 621, 684
Тэт (Tait Р. G.) 17, 151, 310
Уайлдхорн (Wildhorn S.) 51, 52
Уивер (Weaver Р.) 778
Уиллис (Willis В.) 754, 755
Уиллис (Willis D. G.) 602, 603
Уильямсон (Williamson Е. D.) 767
Уорзел (Worzel J. L.) 805
Урей (Urey Н. С.) 306
Ухатиус (Uchatius) 515
Фа дум (Fadum R. Е.) 598
①аррен (Farren W. S.) 18
Фейер (Pejer L.) 251
①Огшль (Foppl А.) 298, 559
Флейшман (Fleischmann М.) 45, 47
Флюгге (Fliigge W.) 205, 827, 846
①олькман (Volkmann Е. W.) 454
Фомин С. В. 162
①орест (Forrest Р. G.) 684
Форсман Н. А. 7
①ранк (Frank Р.) 201, 488, 508
Фрейденталь (Freudenthal А. М.) 719
①рени (French R. W.) 412
Фридман Я. Б. 197
Фритче (Fritsche J.) 194
Фромм (Fromm Н.) 719
①рохт (Frocht М. М.) 243, 244
Хаар (Нааг А.) 191
Хабберт (Hubbert М. К.) 600, 602,
603, 754—757, 815
Хагер (Hager D.) 412
Хагер (Hager R. V.) 603
Хальбути (Halbouty М. Т.) 776, 781
Ханеман (Hanneman Н.) 661
Хардин (Hardin G. С.) 776, 781
Хаувелл (Howell F. М.) 663
Хаувинк (Houwink R.) 219, 433, 783
Хаферд (Haferd А. М.) 742
Хейн (Неуп Е.) 516, 517, 525, 526
Хейндлхофер (Heindlhofer К.) 517
Хеннинг (Henning) 41, 43
Херд (Heard Н. С.) 604
Хиггс (Higgs D. V.) 605
Хизин (Heezen В. С.) 802, 805, 810—
813, 815, 816
Хилл (Hill R.) 160, 164, 198, 569,573
Хладни (Chladni Е. F.) 143
Ходж (Hodge Р. G.) 197, 198, 569
Холборн (Holborn) 41, 43
Холмквист (Holmquist J. М.) 413
Хорт (Hort Н.) 18
Хьюз (Hughes D. S.) 768—770
Хэндин (Handin J.) 603, 605
Цвикки (Zwicky F.) 783
Чеботарев (Tschebotarioff G. Р.) 556
Чемберлен (Chamberlin Т. С.) 807
Черрути (Cerruti V.) 608
Чэлмерс (Chalmers В.) 661
Шапиро Г. С. 7, 568
Шардт (Schardt Н.) 745, 753
Шафхейтлин (Schafheitlin Р.) 290, 300, 324, 683
Шейдеггер (Scheidegger А. Е.) 845
Шил (Scheel К・)41, 43, 819
Шмидт (Schmidt Е.) 563
Шмидт (Schmidt W.)747,749,
793
Штурм (Sturm R. G.) 663
Эверетт (Everett F. L.) 48—50
Эдвардс (Edwards A. R.) 687
Эдельман (Edelmann) 19
Эйнштейн (Einstein А.) 201
Эйринг (Eyring Н.) 634
Эйрих Ф. 846
Элмендорф (Elmendorf С. Н.) 812, 815, 816
Эмде (Emde F.) 290, 324, 488
Эмери (Emery W. В.) 413
Энгессер (Engesser F.) 174
Эри (Airy G. В.) 771, 773
Эриксон (Erikson D. В.) 812
Эрмит (Hermite R.) 161
Эспи (Espey G.) 526
Эстанав (Estanave Е.) 315, 316
Эшер (Escher А.) 745, 752, 753
Юбенке (Eubanks R. А.) 289
Юинг (Ewing М.) 770, 772, 805, 810—813
Юнг (Young Т.) 23
Яки (Jaky J.) 580
Янке (Jahnke Е.) 290, 324, 488
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автофреттаж 515
Адиабатические изменения температуры 15
Аллотропное превращение 514
Антиклиналь 754
Аплитовые жилы 789
Аппалачские горы 403, 750
Армко-железо 739
Базальт 810
Балка вязко-упругая 334, 336
—чисто вязкая 333
упругая 333
Бета-латунь 741
Бивязкая среда 440
течение в трубе 441
Бигармоническое уравнение 229, 237
Вдавливание штампа 303
——в плоскую поверхность тела 568
конечной ширины 278
полубесконечного 274, 276
Вес континентов 770
Вещество Кельвина 218
—Максвелла 218
Вискозиметры 453
Влияние температуры на ползучесть
730, 735, 737, 738
Волна давления движущаяся 386
Время релаксации 204
Максвелла 636
Выпучивание поверхности при нагреве 471
Вязкое трение 840
Вязкость 201
—кажущаяся 438
—металла 622
—различных сред 452
Вязко-упругость 203, 205
Геомеханики проблемы 624
Геосинклиналь 755, 757
Гипотеза Дарвина о происхождении Луны 806, 807
Гипсометрическая кривая 794
Гистерезис 207
Главные направления деформации
Гнейсы 787
Годограф 656
Годографа линии 629, 643
Годографов построение 629
Гондвана земля 797
Горообразование 774
Градиент геотермический 412, 413
—давления внутри Земли 412
Гранит 783
Границы естественные 576—579
—пластической зоны 195
Давление грунта активное 539, 576
пассивное 539, 576
—внутри Земли 757, 766
—контактное 259
— под цепями гор 246
—сосредоточенное 263, 291
—сыпучей массы на стенку 540
Деформации в оболочке Земли 815, 823, 825
Деформационно-упрочняющийся материал 110
Деформация изгиба вязкого слоя 402
—мембраны 112
—пластическая 620
—пластов пород 751
—плоская 223, 227, 253
конечная 121, 122
Деформирование конечное однородное 95
—необратимое 513
Диаграмма «напряжение — деформация» 652
Дилатация 24, 25
Диск турбины Лаваля 702
Дифференциал механической работы 66
Жидкость бингамовская 435
——течение в трубе 438, 439
Зависимость вязкости от времени 675
Закон Бингама 713
—Дарси 598, 599
—Кулона 533, 607
—логарифмический 634, 637
—ползучести 649
степенной 260, 635
—скоростей в форме гиперболического синуса 188, 444, 447, 633
степенной 442
Запредельное вращение дисков паровых турбин 515, 521
Зарождение бассейна Тихого океана 805
一 континентов 805, 808
Звездный -месяц 830
Идеально вязкое вещество 201
—сыпучий материал 532
условия скольжения 532, 537
Изгиб балки пластический 178
—вязко-упругих балок 131
—пластинки при произвольном распределении давления 369, 372
—пластинок 308
——прямоугольных 313
——цилиндрический вязко-упругой пластинки 345
Изменение свойств оболочки Земли с глубиной 411
Измерение больших вязкостей 451
Изогональные циклоиды 574, 575
Изотермические изменения состояния 15
Изотермы твердого тела 27, 30, 33
Изотропные материалы 68
Изохромы 242
—круговые 273
Интеграл Беккера 726, 727
— Больцмана — Вольтерра 720, 721
—Дирихле 295
—①урье 253, 388
Испытания на длительную ползучесть 620, 668
релаксацию 620
твердость двумерные 570
—при постоянной скорости деформации 648
—с выпуклым мениском 454
Карта мира в эпоху эоцена 798
Каучук 16
Колебания консольной балки 335
Комплексный потенциал 263
Композитные материалы 201, 213, 218
Конечные деформации изотропной упругой среды 75
Коноидальное разрушение 305
Контакт двух упругих шаров 608
Концентрация напряжений 697, 698
Координаты цилиндрические 287
Коробление земной коры 321
Коэффициент вязкости 209, 686
—внутреннего демпфирования 209
—концентрации напряжений 697, 699, 700
—Пуассона 37, 38
зависимость от температуры 49, 50
при переходе к пластичности 50
—теплового расширения 459
—теплопроводности металлов 506
Краевая задача первая 263, 265
Кратеры на Луне 306
Кривая плавления 29
Круг напряжений Мора 533, 535
главный 542
Кручение круглого стержня 456
Ледниковый фронт 386
Линии Людерса 306, 572, 573
——скольжения вблизи подпорной стенки 558
в грунте 543
насыпи весомого материала 550
——изогональные 562
——огибаемые двумя окружностями 579
одной окружностью 579
ортогональные 563
——под выемкой 552
—тока 427
Лунная параллель 829
Лунный меридиан 829
Луны притяжение 824
Мантия Земли 760
Мгновенная разгрузка пластинки 355
Медь 641
Металлокерамические материалы 743
Метеорные кратеры 305
Механическая работа 65, 83
при деформировании 95, 103
Механический эквивалент тепла 504
Модель Кельвина 667, 720
Модуль объемного сжатия адиабати* ческий 60
изотермический 24. 60
Модуль объемного сжатия пород 769, 771
—пластинки 347
—сдвига 27
—упругости адиабатический 22
изотермический 22
зависимость от температуры 38 41—44, 46, 47, 459
—Юнга 668
Момент сосредоточенный 245
Нагружение переменное 713, 716
Напряжения внутренние 513
—мембранные 819
—октаэдрические 66, 687
—остаточные 513-
в круглом диске 522
■оболочке Земли 815, 823, 836, 838
метод вычисления второй 523
первый 517
экспериментальное определение 525—527
Напряженное состояние однородное плоское 535
предельное 533
—— ——тяжелого сыпучего материала 545
Наследственные эффекты 672, 711, 725
Несущая способность тупого клина 568, 571
Обобщенно-вязкая среда 433
Обобщенное пластичное тело Прандтля 560
Объемное расширение 24, 25
Огибающая Мора с затупленным углом 583, 586, 590
Огибающие Мора прямолинейные 534
Оператор Лапласа 221, 429, 546, 599
Опускание и поднимание земной поверхности 345
Осадка берега континента 282, 284
Осевая симметрия 237
Осесимметричное распределение напряжений 287
——течение вязкой среды 428
Осесимметричные состояния предельного равновесия сыпучей весомой среды 608
Параметры состояния 619
Пластинка вязкая, покоящаяся на основании 393
—вязко-упругая 347, 350, 356
Пластинка упругая, находящаяся на упругом основании 322
—чисто вязкая 364
плавающая на сплошном основании 322, 330
Плоскости скольжения 534.
Плоскость деформаций 101, 102
Плотность Земли 763——766
Поверхности скольжения 534
—течения 101
Поверхность напряжений 630, 654, 666, 677
Ползучести кривые 202
—минимальная скорость 635, 656
Ползучесть 639, 656, 657, 675
—вращающегося диска 702
—длительная 202, 625, 641, 643
свинца 658
—меди 640, 641, 642, 732
—металлов при повышенных температурах 619
—обратная 664, 668
——стали 665, 666
—полуограниченная 654, 681
——при постоянном напряжении 623
——установившаяся 684
Полосы Людерса 741
Пористый упругий материал, содержащий жидкость 597
Последовательность деформаций 85 конечных плоских 125, 126 Послеледниковое выгибание земной
коры 375, 380, 386
——поднятие земной коры 382, 383
Послетечение металлов 712
Потенциал комплексный 263
—температурных смещений 463
—Черрути — Буссинеска 608
Правило Леона 581
Предел текучести 435, 460
Предельное напряженное состояние 533
Предельные состояния равновесия сыпучей среды 540
Преднапряженные области 515
Приливы 820, 821
Принцип возможных перемещений 149, 170
一 изостатичности 771
——общей максимальной пластической работы 163
Принципы минимальной работы 170, 188
—экстремальной работы 141
Прогиб пластинки 357, 361
Проекция Меркатора 800, 801
Проницаемость грунта 598
Профили Юрских гор 404
Профиль слоя земли под Гренландией 377
Процесс изобарический 61
—изотермический 61
—изохорический 61
Путь деформирования 95
—— нагружения 95
Соляные купола 776——781
Сопряженные гармонические функции 469
—плоские сечения в грунте 541
Сосуд Дюара 734
Срединноатлантический хребет 810, 811, 816
Сталь 652
Старение металла 623
Радиальное течение вязкой среды 431
Радиальные поля напряжений 242
Разрушение коноидальное 305
Разупрочнение 680
Распределение напряжений в насыпи 538, 549, 565
нижнем состоянии равновесия 587
под выемкой 552
—температуры в полубесконечном теле 489
сплошном цилиндре 479
шаре 496, 497
стальном диске 484, 485
Растяжение простое 77
Релаксация 639, 680
——давления в длинном цилиндре 256
—меди 733
—напряжений 203, 210, 215, 644, 647
в полом цилиндре 693
——температурных напряжений в диске 495, 501
Сбросы пород 778
Свинец 661
Сдвиг простой 80, 82, 86
в пластичной среде 114
—чистый 80
Сдвиги пород 778
Сжатие простое 77
Сжимаемость пород 768
Сила сосредоточенная касательная
244
нормальная 243
Складки пород 752
двойные 752
одиночные 753
Скорости сейсмических волн 758
Скорость диссипации энергии в вязкой среде 93
—изменения упрочнения 622, 626
—пластической деформации 620
—ползучести средняя 682
—таяния льда 392
Твердость проволоки по Бринелю 527
Тело Прандтля — Рейсса 568
Температура абсолютная 23
—гомологическая 31, 623
—плавления 31
——по шкале Цельсия 23
Температурная плоская деформация 468
Температурные напряжения 814
в сфере 458, 493
цилиндре 472, 474, 476
остаточные 503
Температурный коэффициент линейного расширения 25
объемного расширения 25
Тензор напряжений 154
Теорема Кастильяно 155
—Кельвина и Тэта 310
—Менабреа 155
—максимума пластической работы 159
—минимума механической работы 118
Теория альпийских покровов 752
—Бингама 438
—Вегенера о движении континентов 793
—давления земли Кулона 557
—Канта — Лапласа 757
— Лява — Мейснера 819
—неупругого последействия 717, 719
——приливного трения Дарвина 842
——температурных напряжений 27, 55
—упругого вещества 219
—чисто вязкого вещества 219
—Эйринга 634
Тепловой цикл 62
Тепловые характеристики никеля 505
Текучести предел 435, 460
Термоупругое восстановление 22
—последействие 22
Термоупругость 23
—параметры состояния 23
—теория 55
Течение в полом цилиндре радиальное 690
—вязкой жидкости 434
—материала под действием температурных напряжений 491•
——обобщенно-вязкой среды в трубе 433
Толщина континентов 773
Точка Кюри 45
Точные решения для сыпучих материалов 547
Траектории главных напряжений 270, 272
Траектория ползучести 643
—релаксации 643
Трансатлантический профиль 811
Трещиноватость 786, 790
Угол покоя 543
—трения 544
Удар охлаждающий 482
—тепловой 496, 508
——в слое вязкого материала 503
рассеяние в тонком слое 511
Удельная теплоемкость 57
Упрочнение 680
Упругая линия балки 333
Упругое поведение зернистого сыпучего материала 605
—равновесие твердой оболочки Земли 36
Упругость 201
Уравнение Беккера 719, 728
—Бесселя 323
—движения поровой воды 598
—Кирхгофа 150
—кривой длительной ползучести 678
—ЛаграЕтжа 150
—Лапласа 220
—состояния 25, 620
—Стокса 430
—теплопроводности 21
—①урье 465, 505, 598
—Хабберта 600
Уравнения идеально сыпучей среды в форме Кёттера 553, 556
—Коши — Римана 230
—Навье 220
—предельного равновесия в сферических координатах 614
цилиндрических координатах 610
Усадочная линейка 42
Условие пластичности Треска 568
Условия совместности для деформаций 227
Установившаяся ползучесть 684
в полом цилиндре 690
при плоской деформации 688
Флексуры гор Аппалачских 403
Юрских 403
Формула Стокса 453
Формулы Ламе 238, 694
Функции Бесселя 290, 481
—Якоби 491
Функция Беккера 718
—Грина 317, 319
——напряжений Эри 237, 255
—релаксации единичная 715, 725
Число Джоуля 504
Чисто вязкое вещество 235
Эйлерова сила 338
Эклиптика 830
Экструзия через насадок 424
Эллипсоид напряжений Коши 749
Энергетический принцип для пла
стинки 150, 156, 181
Энергия упругой деформации 72
Эффект Баушингера 103, 523
Ядра уравнений наследственные 723, 727
Ядро Земли 760
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Из предисловия автора 8
Часть I
ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ.ПРИНЦИПЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Глава /. Тепловые явления, связанные с напряжениями и деформациями 15 1.1. Введение15
Адиабатические изменениятемпературыв твердом теле . . . 16
Параметры состояниявтермоупругости23
Теория температурныхнапряжений27
Общее поле изотерм для твердой среды в предположении о зависимости ее сжимаемости и температурного расширения от давления и температуры29
Использование предыдущего семейства изотерм для исследования упругого равновесия самой верхней твердой оболочки Земли 36
Зависимость упругости и температурного расширения от температуры 40
Изменение коэффициента Пуассона v в области перехода от упругих деформаций к пластическим50
Теория термоупругости'55
Г лава 2. Механическая работа. Рассмотрение состояния малых и конечных деформаций65
Дифференциал механической работы66
Энергия упругой деформации72
А. Малые деформации. Б. Энергия деформации обобщенной упругой среды при конечных деформациях.
Конечные деформации изотропной идеально упругой несжимаемой среды75
А. Простое растяжение или сжатие. Б. Чистый сдвиг. В. Про
стой сдвиг. Г. Различные последовательности деформирования. Д. Деформация, получающаяся при реверсировании. Е. Конечные состояния деформации.
Скорость диссипации энергии в вязкой среде93
Механическая работа, совершаемая при деформировании пластичной среды. Пути нагружения и деформирования .... 95 А. Простые случаи конечного однородного деформирования.
Б. Связь между путем нагружения и путем деформирования.
В. Механическая работа при деформировании идеально пластичной среды. Г. Заданные пути нагружения и деформирования. Д. Последовательности простых растяжений и чистых сдвигов. Е. Деформационно-упрочняющийся материала. Ж. Резюме. 3. Энергия, поглощаемая при деформации мембран. И. Простой сдвиг в пластичной среде. К. Теорема минимума механической работы для конечной однородной пластической деформации. Л. Конечная однородная плоская деформация. Применение принципа минимальной работы к состоянию однородной плоской конечной пластической деформации.
Г лава 3. Принципы экстремальной работы в теориях деформируемых сред141
Энергетические принципы в теории упругости141
Теорема о максимуме пластической работы159
Принцип возможных перемещений и принцип минимальной дополнительной работы для материалов с нелинейной связью между напряжениями и деформациями или напряжениями и скоростями деформаций170
Принципы минимальной работы для упруго-пластичной среды без упрочнения188
Часть II
УПРУГОСТЬ и вязкость
Глава 4. Упругость и вязкость201
Упругость и вязкость комбинируются в веществе простейшими способами .• 201
А. Введение. Б. Вязко-упругость. В. Стойко-вязкость. Г. Композитное вязко-упругое вещество, способное к восстановлению деформаций.
Теория упругого и чисто вязкого веществ219
А. Сжимаемое изотропное упругое тело. Б. Изотропный, несжимаемый упругий материал, В. Чисто вязкое вещество.
Г лава 5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние .... 223
Плоские поля смещений или скоростей223
Плоская деформация227
А. Упругое тело. Б. Несжимаемое упругое тело. В. Несжимаемое чисто вязкое вещество.
3. Плоское напряженное состояние235
1. Избранные решения бигармонического дифференциального урав- ‘ нения 237
А. Осевая симметрия. Б. Некоторые бигармонические функции. Напряжения, имеющие особенности. В. Радиальные поля напряжений. Г. Периодические состояния плоской деформации.
Плоская деформация вязко-упругоговещества253
Релаксация давления в длинном цилиндре, посаженном на жесткий вал256
Глава 6. Сосредоточенное давление263
Определение компонент напряжений и перемещений в полу- бесконечном теле при плоской деформации с помощью плоских гармонических функций263
Полоса конечной ширины на плоской поверхности тела нагружена равномерным давлением271
Вдавливание в тело жесткого плоского полубесконечного штампа. Решение Садовского для жесткого штампа конечной ширины и решение Герца для контакта параллельных цилиндров 274
Упругая осадка берега континента под действием высокого прилива 282
Глава 7.Осесимметричное распределениенапряжений287
Уравнения в цилиндрическихкоординатах287
Сосредоточенное давление. Действие поверхностных напряжений на полубесконечное тело291
Частные случаи .298
А. Равномерно распределенное по кругу давление. Б. Вдавли* вание жесткого штампа. В. Распределение напряжений согласно Герцу. Г. Коноидальное разрушение.
Г лава 8. Теория изгиба плоских тонких пластинок .308
Изгиб пластинок308
Круглые вязкие пластинки при осесимметричной нагрузке . .312
Теория изгиба прямоугольных упругих пластинок.313
Пластинка в виде полосы постоянной ширины, нагруженная сосредоточенной силой ^316
Бесконечная пластинка, опирающаяся на сплошное основание и нагруженная сосредоточенной поперечной силой32；
Глава 9.Изгиб вязко-упругих балок331
Изгиб балок постоянного поперечного сечения под действием поперечных сил331
Вязко-упругая балка, изогнутая под действием осевой сжимающей силы, вызывающей выпучивание336
А. Балка с шарнирными опорами по концам и с искривленной осью. Б. Выпучивание вязко-упругой балки при постоянной сжимающей силе, приложенной с заданным начальным эксцентриситетом. В. Изгиб чисто вязкой балки под действием
постоянной осевой сжимающей силы Р, приложенной С эксцентриситетом а
Часть III
ОПУСКАНИЕ И ПОСЛЕЛЕДНИКОВОЕ ПОДНЯТИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.ТЕЧЕНИЕ СРЕД, ДЕФОРМИРУЮЩИХСЯ СОГЛАСНО ЗАКОНУСКОРОСТЕЙ ОБЩЕГО ВИДА.ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ТЕПЛОВЫЕ УДАРЫ.ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Глава 10. Цилиндрический изгиб вязко-упругой пластинки, покоящейся
•на жидком основании . 345
Опускание и поднятие земной поверхности3'5
Вязко-упругая пластинка, покоящаяся на основании .... 347
Бесконечная вязко-упругая пластинка, изгибаемая сосредоточенной силой350
А. Прогиб изменяется со временем экспоненциально. Б. Аффинная последовательность прогибов для нагружения сосредоточенной силой. В. Мгновенная разгрузка.
Нарастание прогиба под действием неизменной сосредоточен
ной силы' . . . . 357
Чисто вязкая пластинка364
Изгиб пластинки распределенной нагрузкой . . ...... 365
А. Установившееся распределение нагрузки. Б. Давление в виде некоторой периодической функции %. В. Произвольное установившееся распределение давления. Г. Распределенное давление, меняющееся со временем Л
Послеледниковое деформирование земной коры, иллюстрируемое примерами . . . 375
Уменьшение распределенной ледниковой нагрузки во всех точках по некоторому закону во времени. Б. Данные о послеледниковых поднятиях уровня земной поверхности.
Изгибная деформация вязкого слоя земли, создаваемая отступающим с постоянной скоростью протяженным прямолинейным ледниковым фронтом.
Вязкая пластинка, покоящаяся на основании и изгибаемая осевым сжимающим давлением393
Изменение упругости и вязкости внешней оболочки земной коры вследствие увеличения температуры с глубиной . . . . 411
Глава 11. Распределение давления в тонких слоях вязкого материала под действием сжатия424
Установившаяся экструзия через узкий прямоугольный насадок 424
Вязкая среда, сжимаемая между двумя длинными прямоугольными параллельными пластинками425
Осесимметричное течение вязкой среды. Круговой слой вязкого материала, сжимаемый между параллельными плитами . . 428
334502 41 63 3 3 3 4 4 4 5 5444444 444334502 41 63 3 3 3 4 4 4 5 5444444 444Глава 12. Течение обобщенно-вязкой среды в цилиндрическом трубе ...
334502 41 6
3 3 3 3 4 4 4 5 5
444444 444
334502 41 6
3 3 3 3 4 4 4 5 5
444444 444
Установившееся течение обобщенно-вязкой среды в трубе •
Течение Пуазейля
Бингамовская жидкость
Бивязкая среда
Течение при степенной диаграмме сдвига
Течение в трубе при законе гиперболического синуса для скоростей
Измерение больших вязкостей
Кручение круглого стержня в предположении закона гиперболического синуса для скоростей
Глава /3. Температурные деформации я напряжения458
Теория температурных деформаций и напряжений458
Температурная плоская деформация, свободная от напряжений 468
Температурные напряжения в цилиндре472
А. В сплошном цилиндре радиуса а. Б. В длинном полом цилиндре. В. В тонком сплошном круглом диске или в плоском кольце.479
Переходные температурные напряженные состояния цилиндра А. Радиальный неустановившийся поток тепла. Б. Экспериментальные данные. В. Построение графиков распределения температур в цилиндре. Г. Тепловые удары. Д. Течение материала под действием температурных напряжений.
Сфера493
Температурные напряжения во время неустановившегося нагревания; релаксации напряжений в тонком круглом диске из вязко-упругого материала495
Тепловой удар, испытываемый слоем вязкого материала, мгновенно переходящим в состояние пластического течения при очень низких температурах503
Глава 14.Внутренние и остаточные напряжения513
Введение 513
Первый метод вычисления остаточных напряжений, вызванных течением517
Второй метод вычисления остаточных напряжений на основе общего закона деформированияприразгрузке523
Экспериментальное определениеостаточныхнапряжений . . 525
Часть IV
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНО СЫПУЧИХ И ОБОБЩЕННО ПЛАСТИЧНЫХ СРЕД
Глава 15. Равновесие идеально сыпучего материала. Обобщение представления об идеально пластичной среде 531
, Условие скольжения в идеально сыпучем материале . . . . 531
Однородное плоское напряженное состояние535
Рэнкиновское распределение напряжений в сыпучем грунте, находящемся под действием собственного веса538
Напряженное состояние тяжелого сыпучего материала в полярных координатах545
Уравнения теории идеально сыпучей среды в форме Кёттера 553
Обобщение Прандтлем понятия идеально пластичной среды. Применение к течению твердых тел в условиях плоского напряженного состояния, иллюстрируемое соответствующими
изогональными линиями скольжения558
Простейшие решения . . .•564
А. Состояние с осевой симметрией. Б. Однородное напряженное состояние вдоль веера прямолинейных лучей.
Несущая способность тупого клина. Вдавливание штампа в плоскую поверхность полу бесконечного тела568
15 9. Дальнейшие примеры изогональных полей линий скольжения 574
А. Изогональные циклоиды. Б. Естественные границы. В. Семейство прямых скольжения, огибаемых данной кривой. Г. Огибающие линий скольжения в виде двух непараллель
ных прямых. Д. Область вне окружности или между двумя концентрическими окружностями. Е. Интересный заключительный пример. Ж. Добавление.
Распространение теории Мора на связные грунты. Пластичные тела, имеющие частично искривленную огибающую Мора 580 А. Дуга параболы. Б. Дуга эллипса.
Порошкообразный или пористый упругий материал, содер
жащий жидкость597
Упругое поведение зернистого сыпучего материала . . . . 605
Осесимметричные состояния предельного равновесия сыпучей весомой среды608
А. Осесимметричное состояние, аналогичное рэнкиновскому распределению напряжений в рыхлом весомом грунте. Б. Уравнения предельного равновесия, выраженные в цилиндрических координатах г, г. В. Уравнения предельного равновесия, выраженные в сферических координатах.
Часть V
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Глава 16. Ползучесть металлов при повышенных температурах . . .619
Параметры состояния619
Согласование результатов различных видов испытаний металлов при одноосном напряженном состоянии624
А/ Скорость упрочнения и возрастание напряжения течения в зависимости от скорости остаточной деформации. Б. Хо пользование концепции поверхности напряжений. В. Случай, когда напряжение зависит только от скорости деформации: 0=g(〃")・ Г. Учет постоянной скорости изменения
16.3.16.4.16 5.16.616.3.16.4.16 5.16.616.7.16.8.16.7.16.8.упрочнения, ф = да/де,/ = const. Д. Испытание при постоянной скорости деформации. Е. Полуогран и ценная ползучесть. Ж. Сравнение степенной функции и закона гиперболического синуса. 3. Влияние переменности скорости изменения упрочнения 2 = doyd£ и вязкости(p = do7'd〃". П. Обратная ползучесть. К. Влияние времени на изменение напряжения течения при повышенной температуре.Ползучесть при пульсирующих напряжениях, наложенных на постоянные напряженияУстановившаяся ползучесть при произвольном напряженном состоянии Установившаяся ползучесть при плоской деформации ... Ползучесть в условиях осевой симметрии А, Радиальное течение в полом цилиндре. Б. Напряжениявокруг цилиндрической полости. В. Концентрация напряжений около кругового отверстия в тонком плоском равномерно растянутом диске в условиях установившейся ползучести или пластического течения материала. Г. Ползучесть вращающегося диска турбины Лаваля. Д. Ползучесть вращающегося диска постоянной толщины. Е. Пластическая деформация вращающихся цилиндров, изготовленных из упрочняющего материала.Неупругие наследственные эффекты при стационарных и переменных режимах нагружения или деформирования .... А. Обзор наследственных явлений. Б. Интегралы Беккера, Больцмана и Вольтерра. В. Примеры приложений.Влияние температуры упрочнения, ф = да/де,/ = const. Д. Испытание при постоянной скорости деформации. Е. Полуогран и ценная ползучесть. Ж. Сравнение степенной функции и закона гиперболического синуса. 3. Влияние переменности скорости изменения упрочнения 2 = doyd£ и вязкости(p = do7'd〃". П. Обратная ползучесть. К. Влияние времени на изменение напряжения течения при повышенной температуре.Ползучесть при пульсирующих напряжениях, наложенных на постоянные напряженияУстановившаяся ползучесть при произвольном напряженном состоянии Установившаяся ползучесть при плоской деформации ... Ползучесть в условиях осевой симметрии А, Радиальное течение в полом цилиндре. Б. Напряжениявокруг цилиндрической полости. В. Концентрация напряжений около кругового отверстия в тонком плоском равномерно растянутом диске в условиях установившейся ползучести или пластического течения материала. Г. Ползучесть вращающегося диска турбины Лаваля. Д. Ползучесть вращающегося диска постоянной толщины. Е. Пластическая деформация вращающихся цилиндров, изготовленных из упрочняющего материала.Неупругие наследственные эффекты при стационарных и переменных режимах нагружения или деформирования .... А. Обзор наследственных явлений. Б. Интегралы Беккера, Больцмана и Вольтерра. В. Примеры приложений.Влияние температуры 681681686869686869731731
16.3.
16.4.
16 5.
16.6
16.3.
16.4.
16 5.
16.6
16.7.
16.8.
16.7.
16.8.
упрочнения, ф = да/де,/ = const. Д. Испытание при постоянной скорости деформации. Е. Полуогран и ценная ползучесть. Ж. Сравнение степенной функции и закона гиперболического синуса. 3. Влияние переменности скорости изменения упрочнения 2 = doyd£ и вязкости(p = do7'd〃". П. Обратная ползучесть. К. Влияние времени на изменение напряжения течения при повышенной температуре.
Ползучесть при пульсирующих напряжениях, наложенных на постоянные напряжения
Установившаяся ползучесть при произвольном напряженном состоянии Установившаяся ползучесть при плоской деформации ... Ползучесть в условиях осевой симметрии А, Радиальное течение в полом цилиндре. Б. Напряжения
вокруг цилиндрической полости. В. Концентрация напряжений около кругового отверстия в тонком плоском равномерно растянутом диске в условиях установившейся ползучести или пластического течения материала. Г. Ползучесть вращающегося диска турбины Лаваля. Д. Ползучесть вращающегося диска постоянной толщины. Е. Пластическая деформация вращающихся цилиндров, изготовленных из упрочняющего материала.
Неупругие наследственные эффекты при стационарных и переменных режимах нагружения или деформирования .... А. Обзор наследственных явлений. Б. Интегралы Беккера, Больцмана и Вольтерра. В. Примеры приложений.
Влияние температуры
упрочнения, ф = да/де,/ = const. Д. Испытание при постоянной скорости деформации. Е. Полуогран и ценная ползучесть. Ж. Сравнение степенной функции и закона гиперболического синуса. 3. Влияние переменности скорости изменения упрочнения 2 = doyd£ и вязкости(p = do7'd〃". П. Обратная ползучесть. К. Влияние времени на изменение напряжения течения при повышенной температуре.
Ползучесть при пульсирующих напряжениях, наложенных на постоянные напряжения
Установившаяся ползучесть при произвольном напряженном состоянии Установившаяся ползучесть при плоской деформации ... Ползучесть в условиях осевой симметрии А, Радиальное течение в полом цилиндре. Б. Напряжения
вокруг цилиндрической полости. В. Концентрация напряжений около кругового отверстия в тонком плоском равномерно растянутом диске в условиях установившейся ползучести или пластического течения материала. Г. Ползучесть вращающегося диска турбины Лаваля. Д. Ползучесть вращающегося диска постоянной толщины. Е. Пластическая деформация вращающихся цилиндров, изготовленных из упрочняющего материала.
Неупругие наследственные эффекты при стационарных и переменных режимах нагружения или деформирования .... А. Обзор наследственных явлений. Б. Интегралы Беккера, Больцмана и Вольтерра. В. Примеры приложений.
Влияние температуры
681
681
686869
686869
731
731
Часть VI
ОЧЕРК ИЗБРАННЫХ ПРОБЛЕМ ГЕОМЕХАНИКИ
5 5 7 6 0 6 34 4 5 6 7 7 87 7 7 7 7 7 75 5 7 6 0 6 34 4 5 6 7 7 87 7 7 7 7 7 7Г лава 17. Очерк избранных проблем геомеханики
5 5 7 6 0 6 3
4 4 5 6 7 7 8
7 7 7 7 7 7 7
5 5 7 6 0 6 3
4 4 5 6 7 7 8
7 7 7 7 7 7 7
Геометрия простых нарушений
Давление внутри Земли
Упругая сжимаемость пород
Вес континентов
Происхождение соляных куполов [7.6. Следы течения в строении пород
з10к798181з10к798181А. Полоски и прожилки в граните. Б. Трещиноватость. В. Параллельные трещины разрыва, вызванные движением вдоль поперечного сдвига. Г. Упорядоченное расположение пластинок полевого шпата в потухшем вулкане.
з10к
798181
з10к
798181
Теория Вегенера о движении континентов
Срединноатлантический хребет
Напряжения и деформации во внешней твердой оболочке пород Земли ；
я 8 ООя 8 ООСистема сил, действующих во внешней тонкой сферической твердой скальной оболочке. Б. Вычисление упругого напряженного и деформированного состояний во внешпсй тонкой' сферической оболочке твердых пород Земли.
я 8 ОО
я 8 ОО
Дополнительная литература
Именной указатель
Предметный указатель
ПЛАСТИЧНОСТЬ
И РАЗРУШЕНИЕТВЕРДЫХ ТЕЛ
Редактор А. С. ПоповХудожник В. М. НовоселоваХудожественный редактор
И. ШаповаловТехнический редактор В. П. СизоваСдано в производство I8/X 1968 г.Подписано к печати 22/IV 1969 г.Бумага № 1 60X90】厶6 = 27 бум. л. 54 печ. л.Уч. изд. л. 49,18. Изд. № 1/3390Цена 4 р. 02 к. Зак. 1476
ИЗДАТЕЛЬСТВО “МИР"Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2имени Евгении СоколовойГлавполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССРИзмайловский проспект, 29
Так как сталь сравнительно хороший проводник тепла, то выделяющееся в областях текучести тепло довольно быстро отводится в прилегающие холод- нне участки стержня, но это требует некоторого времени. Если вдоль стержНя размещено несколько термопар, то они будут регистрировать изменения
1) См. т. 1, гл. IV о поведении материа* при высоких гидростатических давлениях п. Там уравнение (1.27) в с、 етствии с нашими теперешними обозначениями записывалось прн кол. ：атной температуре в виде
1. Изотермы будут стремиться прижаться друг к другу и принять примерно одинаковый наклон для данного давления, который будет заметно расти с увеличением глубины и давления.
4. На больших глубинах в земном ядре модули Е н G перестают играть существенную роль, однако рассмотрение этого выходит за пределы данной главы. .
3) Изменение модуля упругости Е с температурой определили Кох н Ди- терле [Koch, D i е t е г 1 е, Ann. Physik, 68, 441 (1922)], а модуля сдвига G — Кох и Даннекер [Koch, Dannecker, Ann. Physikt 41, 197 (1915)].
!) В то время как, например, для малоуглеродистой стали при 9=0° С величина а= 1,02 • \^~ъ!град, при 9=700° С величина а уже составляет 1,92 • 10~5 Т]град. Посредством грубой экстраполяции кривой температурной деформации 8 для стали (пренебрегая сокращением объема, связанным с а-у фазовым превращением) получаем, что при температуре плавления малоуглеродистой стали (полагая 07n = 1450° С) температурный коэффициент линейного расширения а = 2,86 • 10~5 \/град, а коэффициент объемного расширения а = 3 а=8,В8 • 10-5 [/град. Таким образом, непосрдественно перед плавлением объем стали оказывается увеличенным грубо на 8—9%. Грюнайзен (цитируемый Ойкеном: Е u с k е n A., Grundriss der physikalischen Chemie, 6th ed., p. 68, Akademische Verlagsgesellshaft, m. b. H., Leipzig, 1944) утверждает, что относительное температурное увеличение объема для всех металлов между абсолютным нулем и температурой плавления составляет ©коло 7%. Известно, что модельщики в литейных цехах при изготовлении деревянных моделей стальных отливок пользуются так называемой усадочной линейкой, деления которой на 2% длиннее, чем на обычной линейке, предусматривая, таким образом, температурное сокращение отливок во время их остывания в формах. '
I) Неопубликованная работа Вестингаузовской исследовательской лаборатории.
1) Thomson W., Mathematical and Physical Papers, v. I, art. 48, On the Dynamical Theory of Heat, part 7, pp. 182—210, Cambridge University
1) Хотя деформации, которые мы хотим рассмотреть, могут иметь конечную величину, подразумевается, что в данных приложениях делается допущение, что плотность массы р меняется лишь незначительно, если она вообще меняется при искажениях твердого тела (элемент объема dV~dx dy dz содержит практически ту же массу в последующих деформированных состояниях, и плотность р считается постоянной). Таким образом, когда нужно варьировать полную работу деформирования тела, согласно правилам вариационного исчисления, нет необходимости варьировать элемент объема dV в объемном интеграле j codK Величину з можно рассматривать как плотность работы или энергии в некотором деформированном объеме и практически связывать с одним и тем же количеством инертной массы.
При написании второго выражения в уравнении (2.1) для приращения работы d(o через главные значения мы можем вообразить, что некоторый бесконечно малый элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, ребра которого направлены параллельно главным осям напряжений, растягивается сперва при приращениях деформаций d&i, ^£2,乙方 в направлениях его ребер и затем поворачивается как твердое тело в новое бесконечно близкое, слегка наклоненное положение. Так как во время этого бесконечно малого вращения элемента никакой работы не совершается, то работа d(o выражается В главных напряжениях в точности уравнением (2.1).
1) См. т. 1, стр. 438; там используются соотношения (24.19), записанные, однако, для дифференциалов натуральных деформаций и функции те
чения 屮.
1) См. т. 1, стф. 97.
1) Если поступить иначе и из уравнений (2.188) вычислить координаты х = —、sV九尤，У = V^x вершины Q(x, ^) ромбоида, соответствующей точке Q'(先'=0, У‘=1), и затем из уравнений (2.188) найти дифференциал dx'=Q'P (рис. 2.23), то для бесконечно малого угла da'=dxf: 1 = QfP: OQr получим то же выражение, которое в приведенном выше тексте дается уравнением (2.197).
1) В этом параграфе, посвященном конечным деформациям^ сопоставлялись по величине затрачиваемой на них механической работы различные последовательности деформаций, удовлетворяющие всем точным условиям, характеризующим течение идеально пластичной среды. В других экстремальных или вариационных принципах, предложенных для такой среды применительно
l) Kirchhoff G., Uber das Gleichgewicht and die Bewegung einer ela- stischen Scheibe, Crelles /., 40, 51 (1850); см. также тридцатую лекцию в избранных лекциях Кирхгофа: Wien W. (ed.), Vorlesungen ueber Mechanik, 4th. ed., p. 449, Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 1879.
1) В соотношениях (3.29) через /г обозначено расстояние, отсчитываемое по внешней нормали, а через s — расстояние по касательной к граничной кривой пластинки. Величина тп равна изгибающему моменту, ось которого совпадает с s, а р；—《исправленной» поперечной силе, перпендикулярной к поверхности упругой пластинки, причем обе величины берутся в расчете на единицу ширины ограничивающего пластинку цилиндра. Дальнейшие подробности см. Thomson W., Tait Р. G., Natural Philosophy, 2d ed., Pt. 2, p. 267, 1879—1883. См. также Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935, и книгу автора: N a d a i A., Die elastischen Flatten, р, 33.
I) Woods F. S., Advanced Calculus, р. 324, Ginn and Company, Boston.
】)В упругой среде, очевидно, о/ =(о,呼'=步，так что излишне различать основную и дополнительную работу. Первое применение понятия о дополнительной работе 呼；в вариационных задачах, относящихся к материалам, которые деформируются не в соответствии с законом упругости, приписывается Энгессеру [Engesser F., Uber statisch unbestimmte Trager bei behe- bigem Formanderungsgesetz und fiber dem Satz von der kleinsten Erganzungs- arbeit, Z. Architekten und /〃g. Ver. Hannover, 35 (1889)]. См. также Westerg а а г d H. M., On the Method of Complementary Energy . . ., Trans. Am. Soc. Civil Engrs., 107, 765—793 (1942), Westergaard H. M., Theory of Elasticity and Plasticity, p. 30, Harvard Monograph 3, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1952. Кроме того, см. статьи, цитированные ниже на стр, 197.
1) Применение двух только что упомянутых вариационных принципов к теории изгиба балок из упруго пластичного материала, по-видимому, впервые рассматривалось Фритче [Fritsche J., Arbeitsgesetze bei elastisch- plastischer Balckenbiegung, Z. angew. Math, und Meeh., 11, № 3, 176—191 (1931)]. В этой замечательной статье Фритче высказывает убеждение о возможности распространения теоремы Кастильяно на случай изгиба упруго пластичного тела и среди прочих случаев изгиба балок несколько по-иному решает разбираемый здесь пример.
I) Т i m р е A., Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen ein-
I) Taylor G., The Mechanism of Plastic Deformation of Crystals, Proc. Roy. Soc. (London), 145, 362, 388 (1934).
1) Скорости или перемещения можно найти только в ограниченных областях тела. Можно, например, закрепить некоторую точку А{г = а, а=п⑵
(рис. 5.6) на оси симметрии поля деформаций, вызванного силой Р. Для этого следует добавить в равенствах (5.71) слагаемые ur = c sin a, Ut — c cos а, определяющие постоянную скорость с в направлении оси у. Тогда результирующие скорости будут равны
I) Выберем начало О координат %, у или г, а в центре отрезка О^О? и примем
f н /а cos а = ха = х arc tg ~ ・
Тогда мы имеем функцию напряжений
尸亿 «) = —(Л~М, где
f2 =尤2a2 = f (% + a, y)= 〃 集，
но df d(%a)~ xy
3 祟条=T (a -号卜 T 3一 Sin2a).
1) Следует заметить, что слагаемое ——2py/h в выражении для огу, представляющее собой вклад силы тяжести Y=gP в это напряжение, получено без помощи функции напряжений 尸(которая удовлетворяет однородному уравнению АА尸=0) и найдено путем прямого интегрирования уравнения равновесия д(уу/ду=——2plh.
подземных толчков и землетрясений.
i) Davis Е., Relaxation of a Cylinder on a Rigid Shaft, J. A ppi. Meeh., (I960).
I) Nada i A., Darstellung ebener Spannungszustande mit Hilfe von win- keltreuen Abbildungen, Z. Physik, 41, 48—50 (1927).
1) Незнакомство с этим явлением в древние времена, как известно из истории, не только повергало в изумление воинов при виде приливов, но
i) Функция f (г) может изменяться непрерывно на конечном числе интер валов или может стремиться к интегрируемой бесконечности в некоторых точках.
1) См. его работу: Gilbert G. К・，The Moon's Face, Bull. Phil. Soc., Washington, 12, 24 (1893). См. также поучительную статью с несколькими фотографиями луны Урея: Urey Н. С., The Origin and Nature of the Moon, Endeavor, 19, № 74, 87—99 (I960).
1) Согласно Кельвину и Тэту, формула (8.10) выражает тот простой кинематический факт, что в тонкой пластинке действительное распределение крутящих моментов тП8 вдоль граничной цилиндрической поверхности, определенное из равенств (8.11), можно заменить эквивалентным распределением поперечных сил dmns/ds без существенного изменения формы упругой поверхности w и вместе с тем без существенного изменения заданного напряженного состояния в пластинке (за исключением узкой полосы, идущей вдоль
граничной кривой, в соответствии с принципом Сен Венана)8 См. стр. 115 книги Кельвина и Тэта, цитированной выше.
i) Соответствующие выражения можно найти у автора в работе: N а- d a i A., Die elastischen Platten, рр. 58—67, Berlin, 1925, из которой взяты
1) Относительно подробностей и числовых значений для изгибающих моментов, перерезывающих сил и т. д. см. цитированные работы на стр. 313,
а т@к不е работу Эстанава на стр. 315・
i) В замечательной статье Вестергора (Westergaard Н. М., От Beregning af Plader раа elastisk Underlag med saerligt Heublik paa Sporgs- niaalet от Spaendinger i Betonveji, Ingenieren, 32, № 42 (1923)) исследованы прогибы и напряжения в бесконечной плите на упругом основании, вызванные рядом сил, приложенных на одинаковых интервалах. Вестергор пытался получить расчетные данные для бетонных плит дорожных покрытий, подвергнутых действию сосредоточенных нагрузок от колес автомобилей.
1) Если 々s велико по сравнению с Ys, то уравнение (8.51) имеет ту же форму для 疝，как уравнение (8.47) для 叫 и интегралы последнего можно использовать для определения w.
При этом четыре интеграла указанного уравнения выражают в рядах, содержащих некоторые логарифмические члены. Тогда остается в стороне система уравнений для двух зависимых комплексных переменных у и z, входящих в уравнения (8.54), и нарушается изящная симметрия, присущая этим последним уравнениям, которые устанавливают _связь с функциями Бесселя /о(〃)，Уо(〃)от комплексных аргументов 〃 = %М，и и^х К— /.
1) Уравнение (8.83) завышает прогиб и напряжения изгиба, если на« грузка Р распределена по сравнительно большой площади в виде постоянного давления р=const, например по площади круга радиуса а, который в несколько раз превышает толщину пластинки h. В этом случае прогибы
для пластинки 々(кг/см3). Распределенная нагрузка р для пластинки (кг/см2)
и для балки (кг(см).
祟=0=学部.
dt
Величина P^P0/tQ (при / = 0) возрастает с уменьшением величины постоянной времени
嘰
т. е. с уменьшением вязкости ц. Когда р приближается к критическому значению &=1, скорость нагружения становится бесконечной, так как % обращается в нуль и 入=入0 ——случай, в котором решение уравнения (10.8) становится непригодным. Случай 0=1, очевидно, соответствует идеально упругой пластинке с исчезающей вязкостью, когда прогибы могут быть созданы
мгновенно или с любой скоростью, так как они не зависят от времени. Допустим, однако, что величина 0——1 становится крайне малой, например
+ Ю~12 очень близко к критическому значению 6=1, мы получим конечный экспоненциальный множитель *Т Таким образом, зависящее от времени решение w = w0X (х) е^^0 существует до тех пор, пока
1而 [(0-1)打]=h
В •> 1, f е > °°
остается конечным.
i) Определенный интеграл в равенстве (10.108) был вычислен Вебером;
1) См. цитированную книгу на стр. 376. Во втором издании книги Гутенберга (стр. 387) приведена поучительная карта, приписываемая Саурамо и изображающая линии равной скорости поднятия для Фенноскандинавии, которая, вероятно, была построена по наблюдениям подъема старых береговых линий моря в течение столетня. Относительно улучшенного варианта этой карты см. статью Гутенберга (1954 г.).
I) Следуя практике, предложенной Гетеньи (см. ссылку на стр. 346 его книги), поперечную силу р© и изгибающий момент тх на единицу ширины определим в вертикальных плоскостях %=const, тогда как раньше они опре
1) Создание таких возмущений избранного вида, вероятно, возможно в мягкой глине с надлежащей степенью влажности.
i) С 1 о о s Е., Oolite Deformation in the South Mountain Fold, Maryland, Bull. Geol. Soc. Am., vol. 58, p. 843—918, 1947; also Johns Hopkins Univ. Studies in Geology, № 16, part 1, 1950; The Physical Features of Washington County, 330 pp., Dept. Geology of Maryland. Baltimore, 1951 (several articles by E. Cloos, pp. 1—97); Appalachenprofil in Maryland, Geol. Rundschau, v. 41, p. 145—160, 1953.
ных деформаций, от 20 до 25%. Однако при этом состояние пластических деформаций оказалось существенно плоским с исчезающе малыми значениями
I) Мы далее исключаем ветви этой кривой вне интервала ——2л>а2>2л,
1) Строго говоря, для елся с переменными в общем случае упругостью
i) Р о i s s е u i 11 е J. L. M., Recherches experimentales sur le mouve- ment des liquides dans les tubes de tres petits siametres, Mem. par, divers, savants acad. roy sci., Paris, 9, 433—545 (1846).
2) Цит. соч., стр. 223. Рейнер (цит. соч., стр. 36) и реологи называют среду, для которой выполняется закон скоростей (12.8), бингамовским телом.
(Закон (12.8), впервые предложенный Шведовым, называют также законом Шведова. — Прим, ред.)
1) Эта гипербола АС (уравнение (12.13)), проведенная на рис. 12.6, рис. 12.7 тонкой линией, проходит через точки &, Сг, Сз, ..., в которых касательные к кривым скорости становятся горизонтальными； радиусы В С, 82c2, •.. определяют радиус с=аа движущегося внутри жидкости твердого ядра. Тонкая пунктирная линия DD представляет собой 0=1/а. Проектируя вертикально точки &, С2,... на гиперболу 0=1/а и отсчитывая ординаты по DD, получаем соответствующие значения безразмерного градиента давле
i) M e 1 a n E., Warmespannungen in Scheibe.n, Osterr. Ing. Arch., 4, № 2, 153 (1950)； also Osterr. Akad. Wiss. Math, — naturw. Kl・, Am.t № 14, 285
1) Примером из инженерной практики могут служить массивные сплошные или полые цилиндры роторов больших паровых турбин в период их прогрева (перед разгоном и набиранием мощности), когда их следует постепенно нагреть, чтобы предотвратить нежелательную деформацию, а также возникновение в них очень высоких температурных напряжений (см. § 13.4, Б).
i) Читатель может найти вывод выражения (13.72) в книге Гребера (см. стр. 465; ссылка на стр. 53) или в книге: Byerly W. Е., Fourier's Series and Spherical, Cylindrical and Ellipsoidal Harmonics, p. 229, Ginn and Company, Boston, 1893.
1) Подставив f=0, 0m = 0c в выражение (13.80), попутно замечаем, что получается теорема, касающаяся бесселевых функций:
n а
т. е. что сумма обратных квадратов корней ап уравнения /0(а) =0 равна 1/4.
1) Коэффициент X теплоотдачи от обтекающей среды к твердому。телу зависит от ряда физических параметров (скорости среды, ее собственной теплопроводности, плотности, удельной теплоемкости при постоянном давлении,
i) Ряд (13.72) не очень хорошо сходится в первые моменты времени после того, как на внешнюю стенку цилиндра начинает действовать гораздо более холодная или горячая среда. Если различие в температурах сравнительно велико, то можно говорить в первые моменты об охлаждающем и^ц
Физматгиз, М., 1959.
1) Sadowsky М. A., Thermal Shock on Circular Surface of Exposure of an Elastic Halfspace, 20 pp., Office of Naval Research Rept. NR-064-405; опубликовано институтом Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, N. Y., January, 1954.
i) Значения коэффициента теплопроводности k [вт/см • °К] для металлов в исчерпывающем виде затабулированы в обзорной статье: Powell R. L., В 1 а п р i е d W. A., Thermal Conductivity of Metals and Alloys at Low Temperatures. 68 pp., Natl. Bur. Standards (U. S.) Circ. 556, Sept. 1, 1954. Чтобы выразить k в технической системе единиц, нужно воспользоваться коэффициентом перевода:
1 вт/сл!-0К^ 0,000239 ккал) см -сек* ° К.
Значения удельной теплоемкости с° при низких температурах можно найти в таблицах: L a n d о 11, Bornstein, Physikalish-Chemische Tabellen, 5th ed., 2 vols., 123 and supplimentary v. 2 (Pt. 2, 1931) and v. 3 (Pt. 3, 1936), Julius Springer, Berlin.
1) См. Bryant Ch. В., Meeh. Eng., 76, № 3, 255 (1954). Когда такие сильно деформированные обода железнодорожных колес заменяют и распиливают, они могут раскрываться, сильно отпружинивать и разламываться на несколько кусков, обнаруживая существующие в них высокие остаточные напряжения. Подобное явление в полученных сильной холодной вытяжкой латунных трубках (гильзах) известно под названием «сезонного растрескивания» и может стать особенно заметным, если такие трубки окружены коррозионно-активной средой (они могут сильно трескаться в присутствии небольших количеств паров ртути в воздухе),
1) Rankine W. J. M., On the Stability of Loose Earth, Phil. Trans. Roy. Soc., London, 147 (1856—1857). Эта теория изложена также в учебнике
1) Равенства (15.38) проверяются путем представления трех компонент
1) Имеют место соотношения Pi = a+л/4 — р/2, р2=а — л/4+р/2, а= =л/4 +(р/2.
i) К d 11 e г F., Die Bestimmung des Druckes an gekrummten Gleitflachen, eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck, Ber. Akad. Wiss., Berlin, pp. 229— 233, 1903.
1) В этой главе предельное напряженное состояние сухой зернистой сыпучей среды рассматривается вместе с соответствующим полем линий скольжения постольку, поскольку их можно описать, исходя из свойств огибающих на диаграммах Мора. Относительно обширных практических применений теории грунтового давления, а также модельных и натурных экспериментов, читатель может прочитать в следующих книгах: В. В. Соколовского (см. стр. 198, 581 этого тома), К г у n i n е D Р., Soil Mechanics, 511 рр., 2d ed., Mc.Graw-Hill Book Co., N. Y., 1947, Tschebotarioff G. P., Soil Mechanics, Foundations and Earth Structures, 653 pp., McGraw-Hill Book Co., N. Y., 1951. Некоторая более старая библиография немецких авторов цитируется также в статье автора: N a d a i A., Plastizitat und Erddruck, Geiger, Scheel, Handbuch der Physik, v. 6, p. 491, Springer, Berlin, 1928. Поучительные опыты с несвязными грунтами были проведены Казагранде (ссылки можно
I) См. т. 1, стр. 614.
I) Рейсснер (цит. соч. на стр. 557) указывает, что в весомой сыпучей
I) Naghdi Р. М., Stresses and Displacements in an Elastic—Plastic Wedge,丄 Appl. Meeh., 24, 98—104 (1957)； см. также Murch S. A., Nagh- d i P. M., On the Infinite Elastic, Perfectly Plastic Wedge under Uniform- Surface Tractions, 16 p., Univ. Michigan. Eng. Research Inst. Tec. Rept. 11 (Naval Research Project), January 1958* где имеются дальнейшие ссылки на литературу. (Обсуждение этой задачи дано в статье: Н а я р Е., Рыхлевский Я-, Шапиро Г. С., К вопросу об упруго-пластическом состоянии упругого клина, Бюллетень Польской Академии Наук, сер. техн, наук, т. 14, № 9, 1966, стр. 515—522. — Прим, ped.)
! Прагер В., Ходж Ф. Г., Теория идеально пластических тел. ИЛ, М., 1956 г.
1) Аналогичное поле линий скольжения для сыпучей невесомой среды построил Рейсснер (см. цит. соч. на стр. 557).
1) Действительно, на рис. 15.46 можно провести круги напряжений, касающиеся прямолинейных огибающих ОВ таким образом, что они проникнут в запрещенную область левее ординат О0^о или 才⑶，которой не отвечают физически осуществимые напряженные состояния; это само по себе является противоречием.
9 Торре в нескольких замечательных статьях широко использовал параболу для представления состояний предельного равновесия твердых тел с помощью огибающей Мора. Однако в статье: Torre С., Der Spannungszu- stand in einem schweren Erdkorper, Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturw. &., 156, №№ 9, 10, 583 (1947); also Osterr. Ing. Arch., 1, 36, 316 (1946—1947) парабола взята в виде
т^ = 2рап, 0<ап< оо,(15.117а)
и поэтому растягивающие напряжения в связном грунте не допускаются; он рассчитал картину линий скольжения для частного случая, который показан на рис. 15.49.
•) См. T е г z a g h i К., Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grund- lage, 391 pp., F. Deuticke's Verlag, Leipzig, Vienna, 1925; T e r z a g h i K-, Theoretical Soil Mechanics, 510 pp., John Wiley, N. Y., 1943; T e r z a g h i K・, Peck R. B., Soil Mechanics in Engineering Practice, John Wiley, N. Y., 1948; Proc. First Intern. Congr. Appl. Mechanics, p. 288, Delft, 1925. См. также статьи его сотрудников Казагранде, Фадума, Пека и др. (Peck R. В., Eng. Stat. Bull. 429, 60 рр., Univ. Illinois, 1955; Froelich О. К., Druckverteilung im Baugrunde, Springer—Verlag, Vienna, 183 pp. 1934).
*) См. т. 1, стр. 268, 269.
1) Н a n d i n J., Hager R. V., Experimental Deformation of Sedimentary Rocks under Confining Pressure. Tests at Room Temperature on Dry Samples, Bull. Am. Assoc. Petrol. Geologists, 41, № 1, 50 (1957). Приводятся кривые «напряжение — деформация» и огибающие Мора для многих .типов ангидридов, доломитов, известняков, мрамора, песчаников и сланцев.
1) Cattaneo С., Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi, Aiti accad. naz. Lincei, Rendi, ser. 6, 27, 342 (1938).
1) Если это предположение не выполняется, поверхности скольжения становятся, вообще говоря, очень сложными, напоминающими спиральные поверхности. Исключение составляет случай полого кругового цилиндра, удер
К-20 at 850° F, ASME Annual Meeting, 1936. Эта сталь, известная как сталь
К-20, была специально приготовлена по поручению Объединенного исследовательского комитета (ASME, ASTM) для совместных высокотемпературных исследований в различных лабораториях (Preprint 25, appendix 11, ASTM
1936; см. также Trans ASME, 58, 97 (1936), Research paper 58—4). Кривые длительной ползучести этой стали при температуре 850° F были получены
Кроссом и Даале (Cross Н. С., Dahle F. В., Battelle Memorial Institute, Columbus, Ohio) для напряжения 800 фунтIдюйм при длительности 9620 час
1) М о о г е Н. F., Alleman К. J., Univ. Illinois Bull., 39, № 48 (1932).
1) Davis Е. A., Creep of metals at high temperature in bending, /. Appl. Meeh., March (1938).
1) Макветти любезно разрешил привести здесь эти неопубликованные результаты испытаний на обратную ползучесть. Эти испытания были проведены им и Ваугом в 1939 г.
1) Schafheitlin Р., Die Theorie der Besselschen Funktionen, Teubner, Berlin, 1908. Таблицы функций Бесселя /o(i%) имеются в справочниках. Приводим здесь некоторые значения:
I) Как известно, в общем случае
1) В серии испытаний быстро вращающихся дисков на ползучесть длительностью около 900 час периодически измерялись деформации ползучести на внутреннем и внешнем контурах. Измеренные значения сравнивались с расчетными данными, полученными при вычислениях на базе критериев октаэдрического напряжения и максимального касательного напряжения. Сопоставление оказалось несколько затруднительным вследствие явно выраженной анизотропности поковок, однако было обнаружено удовлетворительное соответствие между средними значениями измеренных деформаций в опытах при 1000° F и расчетными значениями, полученными на основе критерия максимального касательного напряжения.
1) Недостаток места не позволяет остановиться на всех теоретических исследованиях, посвященных различным сторонам проблемы расчета вращающегося нагретого турбинного диска. Отметим, что число таких исследований неуклонно возрастает. Можно, в частности, указать на следующие работы: О d q u i s t F. K・ G., Recent advances in theories of creep of engineering materials, A ppi. Meeh. Revs., 7, 517 (1954); Wahl A. M., Stress distributions in rotating disks subjected to creep, /. A ppi. Meeh., 24, 299 (1957), в которых содержатся указания по расчету дисков постоянной и переменной толщины для случаев, когда температура или равномерна, или возрастает по направлению к периферии.
1) Швейцарские палеонтологи прошлого века, такие как Веттштейн (1886), предполагали, что скелеты ископаемой рыбы Lepidopus, которые бывают разных размеров и формы, принадлежат к разным видам; они давал» им различные наименования, пока Гейм не указал, что различны не виды, а лишь те главные деформации, которые испытала порода.
1) Согласно Шмидту в восточных Альпах твердые включения граната в таких испытавших сильный сдвиг породах встречаются в повернутых положениях (рис. 17.6). Они были повернуты в пластичной породе буквально, как жесткие ядра.
1) L u g е о n М., Sur la tectonique de la nappe de Morcle et ses consequences, Eclogae 1912, Compt. rend., 155 (1912); 158 (1914). Этот великий франкошвейцарский геолог сперва отвергал Decken-теорию (1894 г.), но в 1896 г. он объявил себя одним из новообращенных последователей Бертрана и показал в своих классических работах (L u g е о n М., Les grandes nappes de re- couvrement des Alpes du Chablais et de la Suisse, Bull. soc. geol. France (1901); Sur la formation des Alpes franco-suisse, Ibid. (1904)), что опрокинутые складки участвуют в механизме горообразования и в других горных образованиях — в Австрийских Альпах, Карпатах j{ Аппенпнах.
1) При выборе 〃=8 км оставлен значительный допуск на разрушение за счет эрозии； в настоящее время ни одна из вершин центральных Альп не превышает 5000 м. Толщина h покрова, не существенная, пока рассматрИ' ваются условия скольжения, на рис. 17.12 произвольно взята равной /г = 2000 м.
1) Jeffreys Н., The Earth, 3d ed., 145 рр., Cambridge Univ. Press, London, 1952. Есть русский перевод с 4-го английского издания (1959 г.): Джеффрис Г., Земля, ее происхождение, история и строение, ИЛ, М., 1960. '2) Цит. соч., табл. 81, стр. 359. Давления в табл. 17.1 даны в барах.
1) Там же, рис. 30, стр. 377.
sures, Trans. Am. Geophys. Union, 39, 959—965 (1958). Они определили пу
тем наблюдений скорость фронта ударной волны и скорость частиц и вычис
лили массовую плотность р и ударное давление р из динамических уравнений.
г) Различные способы рассмотрения столбиков разной плотности и высоты, но одинакового веса (Пратт, 1854 г.), одинаковой плотности, но разной высоты (Эри, 1855 г.), слоистых столбиков разной высоты с плотностью, возрастающей с глубиной (Хайзканен, 1931 г.), детально освещены Дэли (Daly R. A., Strength and Structure of the Earth, 434 pp., Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1940) (см. там рис. 3.4, стр. 48). В этой работе подробно описываются происхождение теории изостатичности и гравитационные аномалии.
1) Классический пример впадины, пересекаемой круто падающими сбросами, ——рифтовая долина Рейна. Возвышения по ее бокам, не участвовавшие в процессе опускания, известны под названием горстов.
чается во многих местах: в части северных штатов, в штатах, примыкающих
к Мексиканскому заливу, на Северо-Германской равнине, под Альпами, вокруг
Карпатских гор и т. д. Огромные площади нынешних континентов были одно время покрыты мелководными морями, подобными Мексиканскому заливу. Потом они были рассечены или окружены вновь поднявшейся сушей, пере- крывшей сообщение с океаном, в результате чего образовались внутренние
моря. Затем во время Пермского периода моря испарились, оставив на своем дне отложения соли. Этот слой соли был впоследствии перекрыт рыхлыми осадками, которые, уплотнившись, превратились в твердые породы. Относительно геологической истории внутреннего моря, которое покрывало часть нынешнего побережья Мексиканского залива, сошлемся на поучительную ра
боту: Н а 1 b о u t у М. Т., Hardin G. С. Jr., Genesis of Salt Domes of Gulf Caostal Plain, B/l. Am. Assoc. Petrol. Geologists, 40, 737—746 (1956).
В этой работе указано, что 1 кубическая миля (~5 кл<3) морской воды содержит около 140 миллионов тонн растворенной соли и других твердых веществ. Таким образом, внутреннее море глубиной в 1000 ж оставляет на почве после высыхания слой соли толщиной, по грубой оценке, 14 м.
1) Seidl Е., Die Permische Salzlagerstatte im Graf Moltke Schacht, 104; SchQrfen, Belegen und Schachtabteufen auf deutschen Salzhorsten, p. 209. Berlin, 1914, 1921.
1) См. Н а 1 Ь о u t у М. Т., Hardin G С., New Exploration Possibilities on Piercement-type Salt Domes, Bull. Am. Assoc. Petrol. Geologists、38, 1725 (1954).
1) Относительно испытаний на пластичность каменной соли (сухой и смоченной) сошлемся на книгу: Н о u w i п k R., Elasticity, Plasticity and Structure of Matter, Cambridge University Press, London, 1937, в которой дан обзор различных исследований А. Ф. Иоффе, А. В. Степанова, Смекаля, Полани, Цвикки и др. Несколько опытов по ползучести каменной соли с примесями, очень непродолжительных, описано Гёфером: Hofer К-H., Proc. Intern. Strata Control Congress, Leipzig, p. 49, 1938.
1) С1 о о s Е., Boudinage, Trans. Am. Geophys. Union, 38, 626 (1947).
1) Две деревянные доски Л и В (рис. 17.36) покрыты слоем влажной пластичной глины С. Поверхность глины должна быть обильно смочена водой, чтобы свести к нулю капиллярное стягивание частиц глины пленкой воды, которая имеется внутри этой связной пластичной массы. Если доска В перемещается в направлении SS, в слое глины развивается клиновидная зона сдвига, в которой концентрируется пластическое формоизменение под действием касательных напряжений т, параллельных и перпендикулярных прямой SS. На поверхности (в полоске ширины Ь) возникает система трещин разрыва, наклоненных к линии SS под углом 45° и нормальных к главным растягивающим напряжениям Oi = e, которые соответствуют состояниям простого сдвига Oi = E,。2 =—т. Однако, как показано на схеме справа, помимо этих трещин разрыва //, образуется и вторая система ступенчатых трещин сдвига, параллельных линиям 33 (наклоненным под углом 12°). Отметим, что если не смочить поверхность глины, то появятся только трещины сдвига, так что в этом случае прочность глины на разрыв явно больше ее прочности на сдвиг.
1) Schmidt W., Gefiigesymmetrie und Tektonik, Jahrb. Geol. Bundesan- stalt (Austria), p. 407, 1926; Gesteinsumformung, Denkschr. Naturhist. Museums, Vienna, v. 3, 1925. Относительно упорядочения структуры пород см. также: R е d 1 i с h К. A., von Т е г z a g h i К., К a m р е R., Ingenieurgeologie, 708 рр., J. Springer, Berlin, 1929; Sander В., Gefiigekunde der Gesteine, 352 pp., J. Springer Verlag, Vienna, 1930.
1) На стр. 1 первого издания своей книги (Wegener A., Die Entstehung der Kontinente und Ozeane, 94 pp, Friedr. Vieweg und Sohn, Brunswik, 1915) он пишет, что под впечатлением конгруэнтности береговой линии Бразилии (образующей в самой восточной ее части выпуклый выступ) и вогнутой береговой линии Гвинейского залива в Африке у него возникла мысль (1910 г.), что эти берега Южной Америки и Африки когда-то были соединены. Это обстоятельство он изложил в двух статьях (Wegener A., Petermanns Mitt., рр. 185, 253, 305, 1912; Geol. Rundschau, 3, 276―292 (1912). Четвертое издание его книги вышло в 1929 г.； английское издание было выпущено в Лондоне в 1924 г. Предположение о том, что континент Северной Америки отделился от Гренландии и сполз в западном направлении, было независимо высказано Тейлором (Т е у 1 о г F. В., Bearing of Tertiary Mountain Belt on the Origin of the Earth's Plan, Bull. Geol. Soc. Am., 21, № 2, 179—226 (1910). •
Взаимная 《пригонка》 континентов, кое в чем похожая на ту реконструкцию карты мира по Вегенеру, которая воспроизведена на рис. 17.41, была рассмотрена Бейкером еще в 1911 г. (см. D u Toit A. L., Our Wandering Continents, Oliver and Boyd, Ltd., Edinburgh and London, 1937).
тренних морей, таких, как Северное, Балтийское и Красное моря, Мексикан
ский и Гудзонов заливы, а также Средиземное и Черное моря и Персидский залив, рассматриваются в противоположность трем глубоким океанам —— Атлантическому, Тихому и Индийскому ——как более или менее пологие по
гружения континентов (геосинклинали), залитые морской водой; эти покрытые
мелкими внутренними морями области относятся к континентам. Исходя из этого, африканский континент рассматривается как часть самого большого
на земле единого массива суши, а именно Евразии.
В то время как суша занимает 30, а море 70% поверхности земного шара, только две трети площади континентов (21,3% общей поверхности) находится на высотах от 0 до 1 км над уровнем моря, а 40,8% общей поверхности земного шара погружено под воду на 4 или более километров (согласно гипсометрической кривой Вегенера и Вагнера, показывающей, что средний уровень континентальных плато располагается на 4,5 км выше среднего уровня дна океанов).
1) Палеоклиматические аргументы перечислены Кеппеном и Вегенером в книге: К о р р е п W., Wegener A., Die Kliniate der geologischen Vorzeit, 265 pp., Verlagsbuchhandlung, Gebriider Borntrager, Berlin, 1924, где дается анализ распределения по поверхности земли бесплодных пустынь, областей с влажным тропическим климатом и расположения ледяных шапок в каменноугольном периоде (265 млн. лет тому назад). Этот анализ привел авторов к заключению, что в то время, задолго до отделения континентов, северный полюс земли находился где-то недалеко от Гавайских островов в современном Тихом океане, а экватор проходил через Северную Европу.
1) Hopkins D. М., Cenozoic History of the Bering Land Bridge, Science, 129, 1919 (1959). В этой статье собраны убедительные доказательства того, что материковый мост существовал по крайней мере 50 млн. или более лет и что подводная платформа bb Берингова пролива дает геологические данные о структурной непрерывности перехода от Западной Аляски к Азии, что отмечено узкой лентой суши аа, которая, как полагают, когда-то соединяла оба континента вдоль пунктирных линий аа. Выпуклые очертания континента в виде линий bb вновь представляют поразительные доказательства пластического осевого сжатия, в результате которого узкая лента аа расширилась, в то время как благодаря дрейфу Северной Америки на запад она сокращалась вдоль оси.
1) Были предложены конвективные вихри различных видов: ячеистые с прямоугольными линиями тока и скругленными углами, фантастические октаэдрические расположения и т. п.； даже «случайные силы》без объяснения их природы выдвигались в качестве причины, вызывающей движение континентов в избранных направлениях.
1) Оставляя в стороне соображения, касающиеся давних времен сразу после разделения первобытного материка, и соображения относительно действия устремившейся вниз в гигантскую трещину с горячим дном воды, геологи (Гесс, цит. соч.) предполагают, что в древние эпохи океанской воды на Земле было гораздо меньше, чем впоследствии.
1) Действие приливного притяжения Луны на упругую деформацию внешней твердой оболочки пород, свободно висящей в пространстве и имеющей одинаковую толщину Л= 100 км и средний радиус Го=632О км, иллюстрируется следующими величинами. Наибольший упругий прогиб на двух полюсах а'=0 и а^=п оказывается, согласно вычислениям, равным утах = = 45,5 м (в выпученных областях); при af= ±л/2 (в уплощенных местах), равен Umin =——22,75 м, а наибольшее по абсолютной величине тангенциальное смещение равно 〃тах = 19,8 м. Наибольшее мембранное напряжение в оболочке достигается возле экватора а'=п/2 и составляет 。2=0,20 кг/сл^, тогда как в вершине а'=0 оно составляет ai = G2=—0,10 ка1сл伙
1) Meissner Е., Viertel/ahresschr. naturforsch. Ges. Zurich, 60, 23 (1915). См. также F1 й g g e W., Statik und Dynamik der Schalen, 238 pp., Julius Springer, Berlin, 1934, p. 153.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
” М И Р “
THEORY GF FLOWANDFRACTURE OF SOLIDS
by
A. NADAI
Pittsburgh, Pennsylvania
VOLUME TWO
McGRAW-HILL BOOK COMPANY, Inc.New York Toronto London
1963
А. НАДАИ
ПЛАСТИЧНОСТЬИ РАЗРУШЕНИЕТВЕРДЫХ ТЕЛ
Том 2
Перевод с английского
В. И. РОЗЕНБЛЮМА, Р. Л. САЛ ГАНИКАи Н. А. ФОРСМАн!
Под редакцией
г. с. ШАПИРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО ,, МИР “
Москва 1969
УДК 539.30
Второй том монографии известного ученого А. Надаи посвящен широкому кругу вопросов механики упругих, вязких и пластичных материалов, а также основам механики сыпучих сред и ползучести (перевод первого тома опубликован в 1954 г. Издательством иностранной литературы). Наряду с изложением классических вопросов теории упругости и пластичности в книге большое внимание уделено приложениям, включая приложения к геомеханике. Многие результаты принадлежат автору, некоторые из них публикуются впервые. Следует отметить, что содержание второго тома книги Надаи в значительной степени не зависит от первого тома.
При изложении материала автор стремился сделать свой труд доступным максимально большому кругу читателей — механикам, физикам, металлургам, геологам и инженерам. Книга доступна аспирантам и студентам университетов и технических вузов.
Редакция литературы 〃。математическим наукам
Нн% 242
35^69