ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУИ ВТОРОМУ ИЗДАНИЯМ

Настоящий учебник содержит все основные вопросы курса теории упругости, предусмотренные программой, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР для механических отделений университетов. Он может быть рекомендован также студентам высших технических учебных заведений, аспирантам и научным работникам.

В предлагаемом курсе основное место отведено математической постановке задач, анализу дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению, общим и частным методам их интегрирования. Некоторые конкретные задачи, имеющие принципиальное значение, проиллюстрированы числовыми примерами.

В целях облегчения усвоения материала в книге изложены элементы тензорного исчисления, теория интеграла типа Коши, теорема Гарнака, краевая задача Римана и некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье.

Содержание книги составляет курс лекций, в течение нескольких лет читаемый автором иа механико-математическом факультете Азербайджанского государственного университета имени С. М. Кирова.

Рукопись первого издания была прочитана академиком Ю. Н. Работновым, академиком АН УССР Г. Н. Савиным, профессорами Д. И. Шерманом, Л. М. Качановым. Научным редактором книги был профессор И. И. Ворович. Автор считает своим приятным долгом выразить им глубокую признательность за ценные замечания. Отдельные разделы книги были просмотрены профессорами А. Ш. Габиб-заде и В. Д. Клюшниковым, старшим научным сотрудником Л. М. Флитманом и к. ф-м. наук Р. Ю. Амензаде. Их замечания были очень полезными, за что автор им весьма благодарен.

Во втором издании книги исправлены отдельные не- точиости, более подробно изложены некоторые выводы и добавлены примеры.

ВВЕДЕНИЕ

Теория упругости изучает механику деформируемых сред, которые, после удаления сил, вызывающих деформацию, полностью восстанавливают свою первоначальную форму и возвращают всю работу, затраченную на деформацию.

Первые попытки создания теории упругости на основе понятия сплошной среды, позволяющие игнорировать ее молекулярное строение и описать макроскопические явления с помощью методов математического анализа, относятся к первой половине восемнадцатого столетия.

Фундаментальный вклад в классическую теорию внесли Гук, Навье, Коши, Ляме, Грин, Клапейрон. Гуком в 1678 г. установлен закон, линейно связывающий напряжения и деформации.

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый «принцип Сен-Венана», дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно.

Глава I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. Для этого нам понадобится ввести в рассмотрение произвольные криволинейные координаты. По отношению к этим координатам и будет дано определение вектора, а впоследствии тензора, как некоторого объекта, не меняющегося при изменении системы координат.

Преимущество тензорного исчисления в механике сплошной среды обнаруживается особенно тогда, когда мы оперируем с произвольными системами координат. В дальнейшем ограничимся рассмотрением трехмерного евклидова пространства, в котором положение каждой точки определяется тремя числами — координатами. Здесь мы приведем основные сведения из тензорного исчисления. Их изложение не претендует на полноту и строгость; дается сводка определении и формул, на которые в дальнейшем будут делаться ссылки.

Обозначим криволинейные координаты какой-либо точки через х1, х2, хэ и введем новые координаты этой точки х1, х2, х3, связанные со старыми соотношениями

л^х^х1, л2, л3) (6=1, 2,3), (1.1)

которые называются формулами преобразования координат.

Допустим, что все функции хк в рассматриваемой области изменения координат х1, х2, х3 однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка, а также якобиан отличен от нуля. Тогда из (1.1) найдем преобразование координат, обратное преобразованию (1.1)

хь—х^х1, х2, х3) (А=1, 2, 3). (1.2)

Если фиксировать какие-нибудь две из трех координат и изменять третью непрерывно, то получим линию, которая называется координатной линией. Мы будем считать, что в каждой точке пространства проходят три координатных линии, не лежащие в од-

ной плоскости. Можно доказать, что это требование всегда выполняется, если якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля.

В частном случае, при переходе от одной прямолинейной прямоугольной системы координат oxjx2x3 к другой oxi'xix^, вместо (1.1) будем иметь

з

*а = 2 а^х'п (А=1’ 21 3^t1-3)

л-1

где а» » —косинусы углов между осями систем координат oxix2x3 и OXiX^Xa.

Условимся для краткости записи здесь и в дальнейшем в (1.3) опускать знак суммы, считая, что суммирование должно быть произведено по повторяющемуся индексу от п=1 до га=3. Мы также больше не будем указывать, что имеем три формулы (6=1, 2, 3). Соотношения (1.3) запишутся при этом в виде

x^a^xV(1-4)

Преобразование вида (1.4) называется аффинным ортогональным.

Определения скаляра, вектора и тензора

Пусть в некоторой системе координат хп(и= 1, 2, 3) имеем величину f(x', х2, х3), а в системе хк— »7(х’, х2, х3); если при преобразовании (1.1) значения этих величин в одних и тех же точках равны, то эта величина называется инвариантом, или скаляром. Примерами скалярных величин являются плотность, температура.

Допустим, что в некоторой системе координат хп(п=1, 2, 3) мы имеем_ совокупность трех величин Л", а в системе х6 (6 = 1, 2, 3) —Д*; если при преобразовании координат (1.2) величины Л6 определяются по формулам

(1.5) дхп

то совокупность этих величин Л* называют контравариантным вектором, а величины Дп— его компонентами. Как и в формуле (1.4), суммирование в формуле (1.5) производится по индексу п, который фигурирует дважды. Легко заметить, что совокупность трех дифференциалов координат составляет контравариантный вектор.

Действительно, из формул (1.2) имеем

dx6 =dx1 +dx2 +dxa=dxn .(1.6)

dxi 1 дх^ 1 дх"дхп

Сравнение формул (1.6) и (1.5) показывает, что dxn являются компонентами контравариантного вектора.

Пусть в некоторой системе координат хп мы имеем совокупность трех величин Дп, а в системе хА—Ла. Если при преобразова-

нии координат (1.1) величины Лл определяются по формулам

А.-А,^.(1.7)

то совокупность этих трех величин Ап называют ковариантным вектором, а величины Ап — его компонентами. Легко убедиться, что в случае аффинного ортогонального преобразования определения коитравариантного и ковариантного векторов совпадают. Действительно, решив уравнения (1.4) относительно

^« = Vfc1(L8)

из (1.4) и (1.8) найдем

дх„ дУп

дх„

Последние соотношения показывают, что формулы преобразования (1.5) и (1.7) совпадают, т. е. имеем

Совокупность величин ап (п=1, 2, 3) называют аффинным ортогональным вектором.

Пусть в некоторой системе координат ха мы имеем совокупность девяти величин Amn, а в системе х» — Л>*. Если при преобразовании координат (1.2) величины JPft определяются по формулам

Д<*_^лм дх1 дх1 дх” дхпД<*_^лм дх1 дх1 дх” дхп(1.Ю)(1.Ю)

Д<*_^лм дх1 дх1 дх” дхп

Д<*_^лм дх1 дх1 дх” дхп

(1.Ю)

(1.Ю)

то совокупность этих девяти величин Amn называют контравариант- ным тензором второго ранга, а величины Amn — его компонентами.

В формулах (1.10) должно быть произведено двойное суммирование по всем значениям повторяющихся индексов пит (т, п = = 1, 2, 3). Если

^ik ^тп^ik ^тпдхт дхп дх1 дх* *дхт дхп дх1 дх* *(1-11)(1-11)

^ik ^тп

^ik ^тп

дхт дхп дх1 дх* *

дхт дхп дх1 дх* *

(1-11)

(1-11)

то совокупность девяти величин Amn называют ковариантным тензором второго ранга.

Если

А? = АХ^ ,(1.12)

дх‘ дха

то совокупность девяти величин Ат11 называют смешанным тензором второго ранга. В случае аффинного ортогонального преобразования определения контравариаитного, ковариантного и смешанного тензоров в силу (1.9) совпадают, т. е.

Pfs—jWWink- (1-13)

Совокупность девяти величин pmm называют аффинным ортогональным тензором второго ранга.

Пусть в любой системе координат имеем совокупность следующих девяти чисел:

„ _f 1, когда т=п...

—L

(О, когда т Ф п.

Покажем, что бтп, называемые символами Кронекера, являются компонентами смешанного тензора второго ранга; для этого мы должны показать, что 6т" удовлетворяют формулам (1.12)

lk=^J^L^L(ns)

дх" дх*

В силу (1.14) имеем 5хк дх№дхк дхк

дх” дх1дх” дх1

Подставляя (1.1) в (1.2), получим

хе = х6 (х1 (х1, л2, х3), х!(х1, х2, х3), х3(х*, х3, х3)). (1.17)

Дифференцируя обе части (1.17), найдем

дх* дхй дх"д? ~ дх" дх1 *

С другой стороны.

(1.18)

Из сравнения (1.18) и (1.16) получим (1.15), что и требовалось доказать.

Тензоры более высокого ранга определяются аналогичным образом. Так, например, если

^/*Г^шл$^/*Г^шл$дхт дх1дхт дх1дх” дх5 дхк дЗ?дх” дх5 дхк дЗ?

^/*Г^шл$

^/*Г^шл$

дхт дх1

дхт дх1

дх” дх5 дхк дЗ?

дх” дх5 дхк дЗ?

то совокупность 27 величин .4тПз называют ковариантным тензором третьего ранга (число компонентов тензора определяется числом измерений пространства в степени, равной рангу тензора).

Рассмотрим контра вариантный и ковариантный тензоры второго ранга Amn, Лтп. Если при изменении порядка индексов у Amn, Amn имеют место соотношения

А™ = А™; Апт=Ата, (1.19)

то тензоры соответственно называются симметричным контраварп- антным и симметричным ковариантным. Если при изменении по-

рядка индексов имеют место соотношения

Апт=__Ат^ Аят=-Лтп, (1.20) то тензоры соответственно называются антисимметричным контра- вариантным и антисимметричным ковариантным.

Сложение, умножение и свертывание тензоров. Признак тензора

Сложение. Операция сложения применима только к тензорам, имеющим одинаковое количество нижних и верхних индексов (т. е. к тензорам одного и того же ранга и типа). Если нам даны два тензора одного и того же ранга и типа, то, алгебраически суммируя каждый компонент первого тензора и соответствующий компонент второго, мы, очевидно, получим тензор того же ранга и типа, что и слагаемые. Указанная операция называется сложением, а полученный результирующий тензор называется суммой двух тензоров.

Умножение. Определим произведение двух тензоров любого ранга и типа. Перемножив каждый компонент первого тензора на каждый компонент второго тензора, получим тензор, ранг которого равен сумме рангов двух тензоров. Указанная операция называется умножением, а полученный результирующий тензор — произведением двух тензоров. Для определенности предположим, что речь идет об умножении контравариантного тензора второго ранга Лтп на тензор третьего ранга ^ (^^—один раз контравариантный, два раза ковариантный). Тогда получим тензор С$< , компоненты которого определяются формулами

CT^A^BV (1.21)

Это тензор пятого ранга (три раза контравариантный, два раза ковариантный).

Операции сложения и умножения могут быть распространены на любое число тензоров.

Свертывание (сокращение индексов). Операция свертывания применима только к смешанным тензорам; поясним это на ряде примеров. Возьмем, например, тензор четвертого ранга А"(т' в состав которого входят один контравариантный и три ковариантных индекса. Если мы теперь примем т = п, получим тензор Bs£ = A"tm в котором индекс п является повторяющимся; в соответствии с нашим условием производим суммирование от п=1 до п=3. В результате получаем ковариантный тензор второго ранга, т. е. тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора. Операция свертывания в данном примере, очевидно, больше не может быть повторена.

Возьмем теперь тензор пятого ранга А^ и произведем свертывание относительно любой пары индексов, один из которых является верхним, а другой — нижним. Если мы, например, по- 10

ложим s = m, то получим тензор третьего ранга В”г = Ат"г- Свертывание может быть продолжено еще один раз; взяв, например, г = и, получим ковариантный вектор С^Ащ^. Из тензора пятого ранга А™", после двукратного сокращения индексов, получим контравариантный вектор Dn=A®m- Если в тензоре четвертого ранга А™ произвести два раза свертывание, мы получим скаляр (инвариант) /г = А™ или /2 = Д^д. В случае аффинных ортогональных тензоров операция свертывания может быть произведена по любым двум индексам, так как между контравариантным и ковариантным аффинными ортогональными тензорами нет никакой разницы.

Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора рти по индексам тип, получим инвариант

С=Ртт = РпА-РчгА-р;й- (1.22)

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора Атп и Bsrp свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно: АтпВть AmnBsftt, ArnBsrt, AmtBrt. Скалярное произведение контравариантно- го вектора Ат и ковариантного вектора Вп дает инвариант АпВп, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов А™ и Вп. В случае аффинных ортогональных векторов ам и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-6 = апЬп.

Признак тензора. Пусть дан какой-либо тензор, например, А„п. Приведем в соответствие с ковариантными индексами этого тензора произвольные контравариантные векторы и" и о$, а с контравариантным индексом — ковариантный вектор wv. Если произведение ДтяИв®^т> представляющее собою тензор шестого ранга, свернуть по индексам т и а, п н р, к и у, то получим инвариант

/^Ат^-и*’^. (1.23)

Далее, пусть нам даны два тензора А^п и В1^, Если произведение АтпВ4^, представляющее собою тензор пятого ранга, свернем по индексам т и а, п и 0, то будем иметь контравариантный вектор

А^Дер = Се. (1.24)

Таким образом, операция умножения тензоров дает снова тензор. Теперь ставится вопрос — будет ли некоторая система величин тензором, если ее произведение на тензор дает тензор. На этот счет существует теорема, позволяющая легко установить тензорный ха-

рактер данной системы величин. Эту теорему сформулируем следующим образом:

если при любом выборе векторов ит, о", w^ произведение (1.23) представляет инвариант, то Л^й есть тензор;

если при любом выборе тензора В“₽ произведение (1.24) представляет контравариаитный вектор, то Л^л есть тензор;

если величины Лтп обладают свойством симметрии и произведение Дтпиты” представляет инвариант для любого вектора ufe, то ЛтЛ есть тензор.

Для доказательства теоремы вида 1 необходимо убедиться в том, что компоненты Л^, удовлетворяют определению тензора.

Согласно условию теоремы для двух систем координат х'* и хп имеем /=/, или на основании (1.23)

Л^иаи1У7 = Л^ы^и^.

Меняя в формулах (1.5) и (1.7) роли координат х” и х”, в системе хп получим

дхтдх"дх1

Подставляя эти соотношения в последнюю формулу, будем иметь

-гт —а—в—.т дх* дх^ дх” — — —

Аави. -о тот=Л;в дх” дх" дх^

Отсюда

/ дт .й дх"1 дх” дхт \ —е—в— А Л1р — Л^ —— и 1^=0.

\дх1 дх9 дхк /

Так как по условию контраварнантные векторы п“, с? и ковариантный вектор а>? являются произвольными, то

vr Дй дх” дх" др

Лев — Атп -—— ,

дх" дх^ дхк

Следовательно, Атп есть тензор.

Для доказательства теоремы вида 2 соотношение (1.24) ска- лярно умножим на произвольный ковариантный вектор Dy, тогда

л^в1р/л=сеой=/,

где f — инвариант.

Следовательно,

Л^а₽Рй = Л^£>й.

Меняя в формулах (1.10) и (1.7) роли координат хп и х", в системе хп получим

Таким образом.

Отсюда в виду произвольности тензоров Втп и D^

тг л 6 дхт дх” дх1 дх" дх^ дх6 что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы вида 3 кснтравариантный вектор представим в виде Hk=oft + wft. Тогда

Am^tmutt =^mn-ymyn+ Лет„тУттоя + ^mn®m®l"+ ЛтлУпщт.

Так как по условию теоремы Лтпитип, Лтпуто” и Атп^™®” — инварианты и в силу симметричности величин Ат» имеем Лтпотщп=Лтпопщ"1, то Лтпота>п — инвариант. Тогда учитывая, что ут и фй — произвольные векторы, в силу теоремы вида 1 заключаем, что Лтп является ковариантным тензором второго ранга.

Метрический тензор

Рассмотрим две бесконечно близкие точки Л(х’, х2, х3) и Л1(х*+^№, №-|-d№, j^+dx3) пространства. Эти точки определяют бесконечно малый вектор dr, не зависящий от выбора системы координат. Длину вектора d г обозначим через ds. Если S по условию определяет единичный вектор, направленный по прямой ЛЛь то

dr=dse.(1.25)

Проведем из точки Л(х], х2, х3) координатные линии, которые не лежат в одной плоскости и, вообще говоря, не ортогональны. Обозначим через еп систему векторов, направленных по касательным к координатным линиям с длиной, не равной единице; тогда

drx^=dxteXi dr^dx^a, dra=dx3ey

где drx, dr a, dr г —‘бесконечно малые векторы, определяющие параллелепипед, диагональю которого является вектор dr, т. е.

dr=dse—dxnen.(1.26)

Отсюда, согласно правилам скалярного умножения векторов, найдем

ds2 = (dx^^dx^)- - grtltdxndxk,(1.27)

где

gnft^n-e»-) (п, А=1, 2, 3).(1.28)

Система векторов еп называется ковариантным базисом координатной системы.

В квадратичной форме дифференциалов dxm коэффициенты gnh, как явствует из (1.28), образуют симметричную матрицу (g«k = =gkn)- Таким образом, на основании теоремы о признаке тензора gnh являются компонентами ковариантного тензора, называемого ковариантным метрическим тензором.

При использовании криволинейных координат целесообразно ввести, наряду с основным базисом е п, взаимный контравариант- ный базис е к, т. е. тройку векторов е к, связанных с основными векторами е п формулами;

еп-е»=^,(1.29)

где 6nh — символы Кронекера. Для этого достаточно принять

С1 = ^2 х g3 , г?_ ^ х Яg ’

г3=^р, £=er(e3X^)-(1-30)

Из (1.29) также следует, что

gi=e4e3X<3)-(1-31)

Итак,е 71 перпендикулярен плоскости ей, е ^.

Если система координат ортогональна, то, очевидно, [см. (1.30) и (1.31)] базисные векторы е п и ек совпадут по направлениям, но их величины, вообще говоря, различны.

Представим вектор еп как линейную комбинацию векторов ек ед = Спкек (k, л = 1, 2, 3).

Учитывая соотношения (1.28) и (1.29), получим Cnk=gnk; следовательно, €n=g,xit ек.

Отсюда по правилу Крамера найдем

ек=^_ еп=g«»e„ (g ^ 0).(1.32)

Здесь 6Пк — алгебраическое дополнение элемента g^ в детерминанте g.

Из (1.32) на основании (1.29) будем иметь e».e"=^=g”,‘.(1.33)

Величины g^ являются симметричными. Подставляя (1.32) в (1.29), будем иметь ке«• еgi,!=gnjgik^д.

Отсюда заключаем, что величины g»k являются компонентами кон- травариантного тензора. Тензор gjh называется контравариантным

метрическим тензором. Компоненты этого тензора g-k могут быть вычислены при помощи (1.33).

Умножим теперь контравариантный вектор Лт на метрический тензор ghr и свернем; тогда мы получим ковариантный вектор ^АгЛ':, который мы обозначим через Лг. Следовательно,

Ar = gkrAk.(1-34)

Таким же образом

Аг = §*гАк,(1.35)

gfc = gfenghr-(1-36)

Векторы Аг и Лг, связанные формулами (1.34) и (1.35), называются ассоциированными векторами. Как видно из формул (1.34) и (1.35), мы легко можем вычислить компоненты одного из векторов Лг и Ат по компонентам другого. Поэтому Аг и Аг удобно рассматривать как различные соответственно ковариантные и контра- вариантные компоненты одного и того же векора А.

Тензор ghT называется смешанным метрическим тензором. Легко доказать, что gkr совпадает с тензором Кронекера. Действительно, на основании формул (1.34), (1.35) и (1.36) имеем

An=giirA,=gfergmrAni=g™Am, откуда

А=^т-

Для того чтобы эти соотношения выполнялись при всех значениях Ль, компоненты смешанного метрического тензора gk’n следует выбрать следующим образом:

„ (1 при А=тй (О при к 4 т.

Рассмотрим теперь ковариантный тензор Лгь. Если нужно поднять первый индекс г, тогда тензор Лг& следует умножить на gmn и затем свернуть относительно первого индекса, т. е.

Для того чтобы можно было узнать, какой индекс был поднят, на его место ставят точку. Например, в равенстве

д* =g»M,„

поднят второй индекс к. Оба индекса можно поднять по формулеAfS =gtmg,inAmn.

Эти операции, очевидно, можно полностью перенести на тензоры любого ранга. Все тензоры, полученные один из другого указанным способом, называются ассоциированными; компоненты их

также могут быть рассмотрены как компоненты одного и того же тензора.

В прямолинейной прямоугольной системе координат квадрат расстояния между точками А с координатами хт и Ai с координатами Xm + dxm будет

ds1=dxV(1.38)

Так какхт=хт^х\ Л2, Л3),dx^dx".

Теперь формуле (1.38) можно придать вин ds1=dx”dxb. дх" д^ Введя обозначение

(L39> дх дхк

последней формуле придадим вид ds2=gnkdxndxk.(1.40;

На основании теоремы о признаке тензора заключаем, что gnk — ковариантный тензор.

Определим значения контравариантных и ковариантных компонентов вектора а, заданного в точке Р пространства. Проведем через эту точку три координатные поверхности

.О = const.(1-41)

Пересечение этих координатных поверхностей определит три координатные ЛИНИН.

Вычислим углы, образуемые направлениями е* и ее с осямипрямоугольной декартовой системы координат хт. Вдоль е* возь-мем элементарный вектор dr^; длина его определится по формулеdsk= | drk ] = V dxV

Здесь суммирование ведется по индексу m от 1 до 3. Учитывая, что вдоль координатной линии хк координаты хт зависят только от координаты хк, последней формуле придадим вид

или, в силу формул (1.39),

ds^VgMdx^.

Тогда выражение для косинуса угла между направлением еь и

осью хт примет вид

cos(»„A=„)=^.=-b-^..(1.42)

Как известно, формула для косинуса угла между направлением е к (или между вектором grad Xй) и осью хт имеет вид

cos (е*, х ) =-.(1.43)

1| grad V|1’

Учитывая, что в прямоугольной декартовой системе координат компоненты тензора g„k равны 6ПЙ, в силу (110) будем иметь

*1 dxt*1 dxtдхк dxjдхк dxj

*1 dxt

*1 dxt

дхк dxj

дхк dxj

отсюда

gbk =gbk =

gbk =

gbk =

cos(ee, х„)cos(ee, х„)На основании этой формулы из (1.43) найдем

cos(ee, х„)

cos(ee, х„)

(1.44)

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты вектора я через Дй и Да, а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через ато. Далее <1^ и а#й обозначают проекции вектора а соответственно на е* и у*. Учитывая, что а = = ZmQm (А — орты прямоугольной декартовой системы координат), согласно основной формуле для проекции вектора на заданное направление получим

^="тсоз(ей,(1.45)

1

ае^атсоз(ек, xj — -^--— ат.(1.46)

у gkk дхт

С другой стороны, на основании формул (1.5) и (1.7) имеем

Д = атД = атдхйд^т *дхйд^т ** ^т дх* ^т дх

Д = ат

Д = ат

дхй

д^т *

дхй

д^т *

* ^т дх

* ^т дх

Подставляя эти выражения соответственно в (1.45) и (1.46), окончательно получим

а.„=”^А^(1.47)

«ек = -^А\(1.48)

V g*k

Отметим еще раз, что в (1.47) и (1.48) по индексу А никакого суммирования производить не следует. Если криволинейная система координат ортогональна, то направления^ не k совпадут, тогда аеА=аей’ обозначим их через ахб.

Если криволинейная система координат ортогональна, то, как известно,

где Нн — коэффициенты Лямэ.

В этом случае из (1.47) и (1.48) получим

ахь = ^Ак = НкА\(1.49)

Величины <zxk называются физическими проекциями вектора а.

Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах х, через р^, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах х* через рх^, а его контравариаитные компоненты через Л^, тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь

Учитывая здесь (1.44) и то, что g^—Hk-2, можем написать Aiil=-—™р^ cos(^, ха) cos (е*, хе).

На основании (1.13)

Р txk = As cos (^. a) cos (в*, хр), тогда

Р^к=Н1НкА1к.

Учитывая, что Aik^gligkkAlk = Hi 2Нк 2Aik, будем иметь

рХ1^=н1н^,к=-^А»-(L5°)

Определим угол О между двумя произвольными векторами А и В, заданными в одной точке. Векторы А и В можно определить линейной комбинацией вида

А = Аьек — Аке'л

В=Впеп=Впеа.

Скалярное произведение векторовД и В равно

А-В=^е^АьВя=^.е^АкВп=<еь-е^АкВп=<е^е,^АкВ\ или

А.В=НкпА6Вп=^АкВп = А6Вк = АкВй. (1.51)

С другой стороны,

А В= | А | |5 ] cos 8,(1.52)

где

| А 1 = УД.А = У8кпА*А* = У g^AkAn = V АкА\(1.53)

I в [ = У8кпв*в«=ygkRBkBn=Ум\

Подставляя (1.51) и (1.53) в (1.52), найдем

cos & g^B” ,(j ,54)

УгмА»А" УёмВ^а

Из последнего получим условие ортогональности двух векторов А и В

g^B^g^A.B^A^B^A.B^Q,(1.55)

Дифференцирование базисных векторов.

Символы Кристоффеля

Из формулы (1.26) следует

-~- = гп.(1.56)

дхп

Базисные векторы, вообще, являются функциями положения точки, в которой они определяют координатный триэдр. Изменения базисных векторов характеризуются значениями производных

—— . В евклидовом пространстве, очевидно, производная вектора

по скалярному аргументу будет также вектором.

Значения —-к представим в виде суммы трех векторов, параллельных базисным векторамея, т. е.

де* дх*де* дх*Уц!^]'Уц!^]'(1-57)(1-57)

де* дх*

де* дх*

Уц!^]'

Уц!^]'

(1-57)

(1-57)

Величины Р*п^ называются коэффициентами связности или символами Кристоффеля. Если координаты декартовы, то еп — постоянные векторы, поэтому Г^д^О, тогда как для криволинейной системы КООрДИНаТ Г^ай^О.

Из (1.56) следует, что

(1.58)(1.58)дея дее .

(1.58)

(1.58)

дхк дхп

На основании (1.58) из формул (1.57) имеем

р

откуда следует, чтооткуда следует, чторУ р7Алб — Мл*рУ р7Алб — Мл*(1.59)(1.59)

откуда следует, что

откуда следует, что

рУ р7

Алб — Мл*

рУ р7

Алб — Мл*

(1.59)

(1.59)

Символы Кристоффеля выражаются через производные метри-

И учи.И учи.ческого тензора. Умножая равенство (1.57) скалярно на ет тывая (1.28), получим

И учи.

И учи.

^Shmдхк^Shmдхк(1.60)(1.60)

^Shmдхк

^Shmдхк

(1.60)

(1.60)

(1.59),(1.59),^8ктдха^8ктдхась "^■"-А”’£рп-сь "^■"-А”’£рп-(1*61)(1*61)

(1.59),

(1.59),

^8ктдха

^8ктдха

сь "^■"-А”’£рп-

сь "^■"-А”’£рп-

(1*61)

(1*61)

Переставив в равенстве (1.60) индексы п и к и учитывая найдем

Складывая (1.60) и (1.61), будем иметь

^gnm | ^Simдхк дх"^gnm | ^Simдхк дх"дет , дет дхКдхадет , дет дхКдха(1.62)(1.62)

^gnm | ^Simдхк дх"

^gnm | ^Simдхк дх"

дет , дет дхКдха

дет , дет дхКдха

(1.62)

(1.62)

Вычислим в этой формуле выражение, заключенное в скобки. Учитывая соотношение (1.58), найдем

д§кт8 ,. , дек । деп

дх^ дхт ( " к) " дхт ф * дхт

" " дХк 6 дХп ’

Следовательно, формула (1.62) примет вид

(1.63)(1.63)Ор / - dgnm I ^Skmdg^n

(1.63)

(1.63)

дхк Г дх„ дхт

После умножения (1.63) на g“m и суммирования по индексу т, с учетом (1.36) и (1.37) получим

г1 -1 П5г1 -1 П5,г dgnm . dgbm dgbn i дхк дх”дхт,г dgnm . dgbm dgbn i дхк дх”дхт(1.64)(1.64)

г1 -

1 П5

г1 -

1 П5

,г dgnm . dgbm dgbn i дхк дх”дхт

,г dgnm . dgbm dgbn i дхк дх”дхт

(1.64)

(1.64)

Отсюда также видно, что символы Кристоффеля симметричны относительно индексов п и k.

Легко показать, что имеет место следующее равенство:

дх”дх”(1.65)

дх”

дх”

Дифференцируя равенство e"-enr=6mn, получим

дх6дх6де—

дх6

дх6

дх*

Учитывая (1.57), найдем

ТеперьТеперьде"де"——рл——рл(1.65')(1.65')представим в видепредставим в виде

Теперь

Теперь

де"

де"

——рл

——рл

(1.65')

(1.65')

представим в виде

представим в виде

^-=bV

dxs J

Умножим скалярно обе части этого равенства на е™, тогда

де" дхкде" дхк* ет — Bj$m — Вт^* ет — Bj$m — Вт^

де" дхк

де" дхк

* ет — Bj$m — Вт^

* ет — Bj$m — Вт^

Сравнивая это соотношение с выражением (1.65'), найдем

Отсюда придем к формуле (1.65).

Параллельное векторное поле

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат.

Если /(s) — скалярная функция (s — параметр), то в новых координатах/=/, следовательно,

/(s + As) —/(s)7(s + ag)_ 7(S)

lim= lim—-—i-^-i-

Aj^OAsas^OAs

или

dj df

dsds

откуда видно, что производная скалярной функции по параметру снова является скаляром.

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в § 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля.

Пусть координаты произвольной точки Р, находящейся на рассматриваемой кривой, являются функциями параметра s. В каждой точке этой кривой построим вектор, равный вектору, заданному в точке Р. Таким образом, вдоль кривой будет иметь параллельное векторное поле. Выведем уравнения, которым должно удовлетворять это поле.

Обозначим компоненты вектора рассматриваемого поля в системе координат хк через Ак, в декартовой системе координат Хт. через ат. В декартовой системе координат компоненты параллельных векторов постоянны вдоль кривой и, следовательно, —— = U.

ds

По определению вектора

т дх' "

Дифференцируя по параметру s последнее равенство, будем иметь

(1.66)(1.66)^ат dA^ ^т 1^^ ^хт dxn уds ds дх^дхпдх* ds

(1.66)

(1.66)

После умножения уравнений (1.66) на g“₽ -yf- и суммирования по индексу m от 1 до 3, используя (1.39) и (1.37), найдем

(1-67)(1-67)dд^х™ дхт ь

(1-67)

(1-67)

— + Г^ - п—=0.

dsдх дхк ^“ ds

Продифференцировав равенства (1.39) по ха, кроме того, будем иметь

^nt^хт ^хт । дхт ^Хт, । gg v

дха дх^дх" дх1* дхп дхадхк '

В равенствах (1.68) дважды производим круговую перестановку индексов п, к, а и из суммы полученных таким образом равенств вычитаем (1.68). Тогда найдем

2 д"х™ ^х™ . dSna I ^еб __^2.(I 69 \

дх'дхп дха дхк дхп дх1 "'

Подставляя (1.69) в (1.67), будем иметь

+—= 0.(1.70)

dsds

Таким образом, параллельное векторное поле вдоль заданной кривой должно удовлетворять дифференциальным уравнениям (1.70).

Возьмем какой-либо вектор в данной точке пространства и построим во всех точках этого пространства параллельные ему векторы. В этом параллельном векторном поле компоненты Д0 будут функциями координат лА Если через любую точку этого поля про-

ведем некоторую кривую, то, очевидно, векторы на этой кривой будут удовлетворять уравнениям (1.70), Учитывая, что теперь мы имеем

dA^дА^ dxR

dsдхп ds

уравнениям (1.70) придадим вид

0.0.(1.71)(1.71)( дА8 .dx

0.

0.

(1.71)

(1.71)

Г1 п»А

I дх") ds

Принимая во внимание, что условие (1-71) должно быть удовлетворено для всех кривых, выходящих из точки Р, получим, что параллельное векторное поле удовлетворяет системе дифференциальных уравнений вида

_^_ + г£иА = 0. (1.72)

§ 6, Тензор Римана — Кристоффеля. Производная вектора. Формула Гаусса — Остроградского, е-тензор

Теперь перейдем к определению новых тензоров при помощи дифференцирования данных векторов и тензоров. Пусть f — данная скалярная функция, зависящая от координат точки х6. Тогда в новых координатах Т™, связанных с хк формулами (1.1), имеем J = f- Учитывая последнее, а также принимая во внимание (1.1), будем иметь

dy -1 •(1.73)

дхт дхк дхv *

Таким образом, производная скалярной функции по координатам „df

дает ковариантный вектор t .

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного конт- равариантного вектора ДР вдоль некоторой кривой и ковариантный вектор Вр, определенный на той же кривой. В любой точке взятой кривой произведение ВрАР является скалярной функцией параметра s и поэтому -^-(ВрДр) —также скаляр. В правой части равенства

— (В^^-^-А^В^ —dsdsр ds

вместо из (1.70) подставим величину — Г^Д^-^—; тогдаdsds

^-(В,л')=41л'-г{.м‘^asasas

или

^-(ВМ₽) =-т^в.^Ца9.

ds\ dsds )

(1.74)

Учитывая, что Л₽ — произвольный контравариантный вектор параллельного векторного поля н что произведение такого вектора на выражение внутри скобок в правой части (1.74) является скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что

dB» г,» о ^"— 1₽я^й ——asas

(1.75)

является ковариантным вектором.

Ковариантный вектор (1.75) называется абсолютной производной ковариантного вектора В^ по параметру s и обозначается через —L • следовательно,

IBp _ dB^ t dx«

Is ds6 ds '

(1.76)

Положим, что в какой-либо координатной системе удовлетворяется уравнение

dBa „ дхп _

—L„r^Sft—^0,ds* ds

(1.77)

тогда оно удовлетворяется и в любой другой системе. В случае декартовой системы координат (Грпй=0) уравнение (1.77) примет вид

dBe

—L=o.

ds

Отсюда следует, что вектор Вр также есть параллельное векторное поле вдоль рассматриваемой кривой. Таким образом, (1.77) есть уравнения, которым удовлетворяет параллельное ковариантное векторное поле В^ вдоль данной кривой.

Рассмотрим параллельное векторное поле произвольного ковариантного вектора Лр вдоль некоторой заданной кривой и контравариантный вектор Bf> определенный на той же кривой. Поступая так же, как при выводе формулы (1.76), и учитывая, что параллельное векторное поле j4p должно удовлетворять (1.77), получим абсолютную производную контравариантного вектора по параметру s

IBf*dB» , nP dxn

—— = —;г1 ;л о —-— -

Is dsds

(1.78)

Пусть В» есть поле контраварнантных векторов, определяемое в некотором пространстве. Возьмем какую-либо произвольную кривую, проходящую через любую фиксированную точку этого пространства; тогда из (1.78) с учетом

dB^дв^ dx”

dsдх” ds

найдем

8$[ дхп ' лп ) ds ‘

dx^

Так как является произвольным контравариантным вектором

ds

IB*„

и —- есть контравариантным вектор, то на основании теоремы

о признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора ВР и обозначается через В?п; здесь запятая перед индексом и указывает на дифференцирование по хн. Следовательно,

В% = -^" + ^ЛВЬ.(1.79)

Аналогичным образом получим ковариантный тензор второго ранга

В,„=^-П„Вк.(1.80)

Этот тензор называется ковариантной производной вектора Вр.

Распространим эти результаты на дифференциро1ваиие тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля Вт, Сп, определенные вдоль некоторой кривой. Пусть Лтп есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой АтпВтоСп дает скаляр, поэтому его производная по $ есть также скаляр

^(А^ВтСя) = ^-ВтС" + Атп^.Сп + Апы,Вт^1 . asasas

Исключив при помощи (1.70) производные векторов, получим

-^(Лт„ВтС") = (^-ПАя ^-Г^ ВтС\ ds\ dsdsds /

. Тогда(L81). Тогда(L81)Следовательно, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что в правой части выражение в скобках есть тензор того же типа и ранга, что и Атп. Его называют абсолютной производной тензора Лтп и обозначают через

. Тогда

(L81)

. Тогда

(L81)

8s

Рассмотрим тензорное поле в некотором пространстве. Если в нем возьмем какую-нибудь кривую, проходящую через любую точ-

ку этого пространства, то выражение (1.81) вдоль этой кривой будет тензором.

Учитывая, что

dAmn дЛтл ^Рds Лг^ ds ’

формуле (1.81) придадим вид

(1.82)(1.82)*^Я1П/ УАтп п» л Т1 Л X ^Х^

(1.82)

(1.82)

1| п 5 1лЗ^та Ij*

Bs \ дх?/ ds

Принимая во внимание, что (1.82) представляет собой тензор и

есть произвольный контравариантный вектор, на основании ds

теоремы о признаке тензора заключаем, что выражение в скобках есть тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше, чем AmTt; этот тензор называется ковариантной производной тензора Атп и обозначается через Лтп,р. Здесь запятая указывает на дифференцирование по Xе, следовательно,

л ..^Amn т4. д . г™, лл ..^Amn т4. д . г™, л(1.83)(1.83)

л ..^Amn т4. д . г™, л

л ..^Amn т4. д . г™, л

(1.83)

(1.83)

Указанным способом можно вычислить абсолютную и ковариантную производные тензора любого типа и сколь угодно высокого ранга. Так, например, если тензор задан контравариантными компонентами Лтл, то

Д7 = ^- + Г^ Д“ + Г^ Ата. (1.84)

Вычислим вторую ковариантную производную ковариантного вектора Вг, т. е. с помощью формулы (1.83) определим ковариантную производную тензора Вг,8

В г, stВ г, stдВг,5дх1дВг,5дх1Гт ортог/^т,л — i ^-О/,тГт ортог/^т,л — i ^-О/,тд^В,дх*дх5д^В,дх*дх5рт 1 rsрт 1 rs5Втдх*5Втдх*

В г, st

В г, st

дВг,5дх1

дВг,5дх1

Гт орто

г/^т,л — i ^-О/,т

Гт орто

г/^т,л — i ^-О/,т

д^В,дх*дх5

д^В,дх*дх5

рт 1 rs

рт 1 rs

5Втдх*

5Втдх*

рт дВт pm дВ? D f ^ Гт pin рД

Переставим в этой формуле индексы з и / и вычтем одно выражение из другого. Пользуясь свойством симметрии символов Кристоффеля, будем иметь

Вт,st — Br.ts — f?xstBp,( 1.85)

где

Rxst =Г ft -Г?, + Г^ - Г™Г£,.(1.86)

dxs дх‘

В (1.85) левая часть является тензором и Вр есть произвольный ковариантный вектор; на основании теоремы о признаке тензора

заключаем, что Rp r3t является также тензором. Тензор Rp r$t, который носит название тензора Римана — Кристоффеля, составлен только из ковариантного метрического тензора gmn и его производных до второго порядка включительно.

Опустим в (1.85) индекс р, тогда

где

г —1(dgmpJ_dgps6gmi)

р’т- —2\ дх'+дхтдхр)’

р1/ ^£тр■dgmsdgppх

m.ps~~ (J^ Г’

отсюда

^Srnp_p , p

^xs ^p.msT1 m.ps'

Учитывая, что

найдем

p — d Г ^prsi dxs p'r£p — d Г ^prsi dxs p'r£d p, । pim pipm p

p — d Г ^prsi dxs p'r£

p — d Г ^prsi dxs p'r£

^xt k P-ts\" k rsk m.pt kr*km,ps‘

Введем под знаки производных в последнем равенстве выражения Гр,ms и учтем формулу (1.64). Тогда

1_ / S4pt . ^grs _ d^gpp _ №gr( \pr£i 2 \ дх5дхгдх*дхр дх£дхг dxsdxp /

+Smn (^'mx^'n^pt+Smn (^'mx^'n^pt— Г Г 1* т>гг ntpsr— Г Г 1* т>гг ntpsr(1-87)(1-87)

+Smn (^'mx^'n^pt

+Smn (^'mx^'n^pt

— Г Г 1* т>гг ntpsr

— Г Г 1* т>гг ntpsr

(1-87)

(1-87)

Из последних формул непосредственно вытекают следующие свойства:

Rprst = "Rrpsn RppSi — °,

Rpr$i="Rpr^ Rpr^^-(1.88)

^prsi^^ R.S/pr-

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора RPT^t относительно каждой пары индексов р, г и з, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов J?i2ia, /?1з:з, ^2323, ^?i2t3, /?212з, Я3132.

Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф-

феля обращаются в нуль, то из формул (1.87) имеем

^t=0.(1-89)

Таким образом, условия (1.89) являются необходимыми условиями евклидовости пространства.

Можно показать и обратное. Если тензор Римана — Кристоффеля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты х1, х2, х3, чтобы квадратичная форма приняла вид ds^gtkdxixk с постоянными коэффициентами. Постоянство этих коэффициентов указывает на евкли- довость пространства. Следовательно, равенство нулю тензора Римана — Кристоффеля является достаточным условием того, чтобы пространство было евклидовым.

Выше было показано, что в трехмерном пространстве тензор Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонентов. Следовательно, условия (1.89) могут быть заменены шестью независимыми условиями вида

/^„,=0(^=1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132) (1.90)

Таким образом, условия (1.90) являются необходимыми и достаточными условиями евклидовости пространства.

Выведем формулу Гаусса — Остроградского в криволинейной системе координат.

Формула преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности в прямоугольной системе координат — формула Гаусса — Остроградского,— как хорошо известно, имеет вид

-^- dx = С ак1^,(1.91)

дхк J

где у-—замкнутая поверхность, ограничивающая объем т, к — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности ш.

Возьмем теперь криволинейную систему координат хк и пусть ДА обозначает контравариантный вектор, определяющий в системе координат xh вектор aft. Учитывая, что величина Акк является скаляром, будем иметь

=(1,92)

’ дхкv

Обозначим через Пк ковариантные компоненты единичного вектора внешней нормали, составляющие которого в системе координат Хк равны к.

С другой стороны,

А^^а^.(1.93)

Следовательно, из (1.91), с учетом (1.92) и (1.93), получим

J А^х = J Аьп^.(1.94)

В заключение рассмотрим е— тензор. Пусть составляющие объекта erst изменяются по знаку, ио не по абсолютному значению, при перемене мест двух индексов. При этом, очевидно, составляющие символа eTSt могут иметь следующие значения: 0, когда любые два индекса равны; +1, когда rst является четной перестановкой чисел 1, 2, 3, и —1, когда rst является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3.

Рассмотрим определитель |а'|. Здесь верхний индекс означает строку, а нижний—столбец. Если определитель развернуть по столбцам, то он будет равен

. г , , I i к

1 а, | =+ а^аз.

Здесь суммирование производится по индексам I, /, к, которые образуют перестановки чисел 1, 2, 3, а знак плюс или минус ставится в соответствии с четностью или нечетностью перестановки этих чисел. На основании определения е — символов,

I а* I =6^0.10.^13.

Рассмотрим сумму

е^а^а* (/, /, к, а, ^, у=1, 2, 3).

Учитывая, что индексы I, /, к являются индексами суммирования, будем иметь

е^^а^ —efe}laaa^ax=

Таким образом, перестановка индексов а и у приводит к перемене знака. Это остается в силе и для других индексов. Следовательно, рассматриваемая сумма антисимметрична относительно индексов о, р, у, т. е.

^^^^7= I а» | ^рт- (1.95)

Если в формуле (1.95) положитьЕсли в формуле (1.95) положить^=^=I дх1| дх1I дх1| дх1+ 0, то получим+ 0, то получимeijk"eijk"дхгдх5дхгдх5дх1 дХ’дх1 дХ’и учесть,и учесть,дх дх® Эх'^7 ———=7дх дх- дх6дх дх® Эх'^7 ———=7дх дх- дх6что якобианчто якобиан(1.96)(1.96)

Если в формуле (1.95) положить

Если в формуле (1.95) положить

^=

^=

I дх1| дх1

I дх1| дх1

+ 0, то получим

+ 0, то получим

eijk"

eijk"

дхг

дх5

дхг

дх5

дх1 дХ’

дх1 дХ’

и учесть,

и учесть,

дх дх® Эх'

^7 ———=7

дх дх- дх6

дх дх® Эх'

^7 ———=7

дх дх- дх6

что якобиан

что якобиан

(1.96)

(1.96)

Введем новую ставим выражение получимВведем новую ставим выражение получимкоординатную систему у1 = уЧх1, -^ л3) и соJ. Тогда на основании формулы (1.96) о у5 |координатную систему у1 = уЧх1, -^ л3) и соJ. Тогда на основании формулы (1.96) о у5 |

Введем новую ставим выражение получим

Введем новую ставим выражение получим

координатную систему у1 = уЧх1, -^ л3) и со

J. Тогда на основании формулы (1.96) о у5 |

координатную систему у1 = уЧх1, -^ л3) и со

J. Тогда на основании формулы (1.96) о у5 |

еИ&еИ&дхгдхгдхгдх1 дх” дх1 _^_ I—~Г"веЯ1 ;7"—5уду* ду^ дуд1 ^ Jдхгдх1 дх” дх1 _^_ I—~Г"веЯ1 ;7"—5уду* ду^ дуд1 ^ JдУ^У7дУ^У7

еИ&

еИ&

дхг

дхг

дхгдх1 дх” дх1 _^_ I

—~Г"веЯ1 ;7"—

5уду* ду^ дуд1 ^ J

дхгдх1 дх” дх1 _^_ I

—~Г"веЯ1 ;7"—

5уду* ду^ дуд1 ^ J

дУ^У7

дУ^У7

или после сокращения наили после сокращения наeijkeijkдхгдхгду5ду5ду1ду1=йерт=йерт^ 0 будем иметь^ 0 будем иметьдхгдх5дхгдх5дх1 дх^ дЗ?^У1 ду^ дукдх1 дх^ дЗ?^У1 ду^ дукОтсюда на основании определения тензора величины eij!tОтсюда на основании определения тензора величины eij!tдхгдх5дхгдх5представляют тензор, его обозначают через вод.

или после сокращения на

или после сокращения на

eijk

eijk

дхг

дхг

ду5

ду5

ду1

ду1

=йерт

=йерт

^ 0 будем иметь

^ 0 будем иметь

дхг

дх5

дхг

дх5

дх1 дх^ дЗ?

^У1 ду^ дук

дх1 дх^ дЗ?

^У1 ду^ дук

Отсюда на основании определения тензора величины eij!t

Отсюда на основании определения тензора величины eij!t

дхг

дх5

дхг

дх5

Введем теперь три некомпланарных вектора Л1', В’, Ск. Из определения смешанного произведения следует

А • (В X С) = А^ (В'^ X С5^ =А • (В X С) = А^ (В'^ X С5^ =дх!дх*дх!дх*еиьА1В!Ск = ч5кА1В3С\

А • (В X С) = А^ (В'^ X С5^ =

А • (В X С) = А^ (В'^ X С5^ =

дх!

дх*

дх!

дх*

(1-97)

Глава II

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

Первоначально Коши и Навье рассматривали твердое тело как систему материальных частиц. При этом каждую пару материальных частиц полагали связанной между собой силами взаимодействия, направленными по прямой, соединяющей их и линейно зависящими от расстояния между частицами. При том уровне, на котором находилась физика в начале XIX столетия, описать таким способом упругие свойства реальных тел не удалось. В настоящее- время существуют строгие физические теории, позволяющие определить упругие свойства кристаллов различного строения, отправляясь от рассмотрения сил взаимодействия между атомами в кристаллической решетке. Более простой путь, по которому следует современная теория упругости, состоит в том, чтобы рассматривать распределение вещества тела непрерывно по всему его объему; это позволяет перемещения материальных точек принимать за непрерывные функции координат.

Для вычисления силы взаимодействия между материальными частицами, расположенными по одну сторону от произвольной площадки, мысленно выделенной внутри тела, и частицами, расположенными по другую сторону этой площадки, оказалось целесообразным ввести понятие об осредненной силе взаимодействия между ними.

Погрешность, полученная от указанной абстракции, может быть существенной в случае определения взаимных перемещений точек, первоначальные расстояния между которыми сравнимы с расстояниями между материальными частицами, и при определении силы, действующей на площадку, соизмеримую по величине с квадратом расстояния между материальными частицами.

При решении практических задач о деформации твердого тела эта абстракция не вносит ощутимых погрешностей, чем и оправдывается замена твердого тела непрерывной сплошной средой.

§ 7, Виды внешних сил

Различают два вида внешних сил, действующих на тело:

Поверхностные силы — это силы, которые возникают в точках поверхности тела.

Пусть на элемент dm поверхности тела действует сила dP, тогда вектор

представляет собой силу, отнесенную к единице площади поверхности тела в точке М (рис. 1). Она называется интенсивностью поверхностной силы и размерность ее сила/длина2.

Главный вектор и главный момент поверхностных сил, приложенных ко всей поверхности м, на основании их определения, будут

K=J Т„^, (2.2)

K=j(rX Л)^. (2.3)

Здесь J —поверхностный интеграл; г — радиус-вектор точки приложения силы относительно произвольно выбранного начала координат.

Примером поверхностных сил может служить давление жидкостей или твердых тел, соприкасающихся с данным телом, давление света и др.

Массовые силы — это силы, которые действуют на элемент массы тела (рис. 2). Пусть на массу dm=pdT, заключающуюся в элементе объема du тела, действует сила d Q. Тогда вектор f= = —— представляет собой силу, отнесенную к единице массы в dm

данной точке.

Рассматриваются также объемные силы Ь*, которые определяются формулой

K = ^-=P^- = pf.(2.4)

dt dm

Главный вектор и главный момент объемных сил, приложенных ко всему объему т, будут

V=jFpdt,(2.5)

L = ^ {гХ-Нр^т.(2.6)

Здесь j — объемный интеграл.

Типичным примером массовых сил служат силы тяготения. Если ось хз направим вертикально вниз, то сила тяжести, отнесенная к единице объема, будет

f*=W(2-7)

§ 8. Метод сечений. Вектор напряжения

В недеформированном теле расположение частиц соответствует состоянию его теплового равновесия. Если выделить из этого тела какой-нибудь объем, то все силы, действующие на него со стороны других частей, будут уравновешенными. Под действием же внешних сил расположение частиц в теле меняется, т. е. тело деформируется, в результате чего возникают внутренние силы. Для определения последних применяется так называемый метод сечений. Пусть имеем деформируемое тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил. Мысленно рассечем его некоторой поверхностью тт на две части. Отбросив одну часть, заменим ее действие на оставленную распределенными по поверхности сечения внутренними силами связи между частицами тела, лежащими по обе стороны сечения (рис. 3). Теперь силы, действующие в точках поверхности сечения, могут быть отнесены к внешним поверхностным силам. Для равновесия оставшейся части эти силы должны быть выбраны так, чтобы с заданными силами, действующими на рассматриваемую часть тела, они составляли уравновешенную систему сил. Обозначим через Д К, Д £ соответственно главный вектор и главный момент сил, распределенных по элементу поверхности Д<о сечения тт с нормалью п в точке М. Направление нормали п к элементу поверхности До будем считать положительным, если она направлена от оставшейся части к отброшенной.

Полагая, что в рассмотренной нами модели сплошной среды между ее частицами осуществляется только центральное воздействие, имеем

lim^ = 0, Ит — = Т„.

Дт-О АшДш—0 Аш

Вектор Т „ называется вектором напряжения на элементе поверхности с нормалью л в точке NL

При рассмотрении модели среды, введенной Фойгтом в 1887 г„ предполагается, что между ее частицами, помимо обычного центрального воздействия, осуществляется еще и вращательное. Тогда, кроме вектора напряжения Г„, будет существовать и вектор моментного напряжения Afn, равный

М„ = Ит — ^ 0.

Дш—0 Аш

На последней модели мы не останавливаемся.

Размерность вектора напряжения, как это следует из его определения, будет сила/длина2.

Вектор напряжения Тп может быть разложен на две составляющие:

Нормальная составляющая, направленная по нормали л, называется нормальным напряжением и обозначается через ап.

Касательная составляющая, направленная по касательной к кривой пересечения плоскости, проходящей через Гп ил, с поверхностью сечения, называется касательным напряжением и обозначается через тп (рис. 4).

Нормальное напряжение принято считать положительным, если его направление совпадает с направлением внешней нормали к поверхности сечения в данной точке, и отрицательным — в противном случае.

Если направление вектора напряжения Тп совпадает с нормалью к поверхности сечения в данной точке, то

Гя=7„ И т„=0.

В этом случае нормальное напряжение называется главным нормальным напряжением, а площадка, на которой действует это напряжение,— главной площадкой в данной точке.

Напряжение, отнесенное к поверхности элемента dm с нормалью п , в недеформированном состоянии называется условным напряжением, а напряжение, отнесенное к поверхности элемента du/ с нормалью л', в деформированном состоянии — истинным напряжением.

Пусть вектор напряжения TV характеризует действие тела Л на тело В, передающееся через элемент поверхности сечения с нормалью л, а напряжение Т_^ характеризует действие тела В на тело Л, передающееся через тот же элемент поверхности (рис. 5).

На основании третьего закона Ньютона имеет место равенство

Т_п=-Тп. (2.8)

Тензор напряжений

Выберем в теле некоторую точку Р и проведем через нее координатные линии произвольной криволинейной системы координат xh.

Рассмотрим в точке Р тетраэдр, мысленно выделенный из не- деформированного тела тремя координатными поверхностями, определяемыми ковариантными базисными векторами Уц и поверхностью, внешней нормалью к которой служит некоторое направление п (п— единичный вектор), проходящее через ту же точку Р (рис. 6).

Рассмотрим движение тетраэдра. Обозначим через Доь dtoi, d®3 и dw соответственно площади поверхностей СРВ, АРС, АРВ

и АВС. На указанных поверхностях, нормалями которых служат соответственно векторы взаимного базиса е* и единичная нормаль п, действуют силы — ТhdM (6=1, 2, 3) и Тnda>, где 7\ и Т№ — векторы напряжения в координатных площадках с нормалями е* и л. Кроме того, массовая сила выделенного элемента равна p^F— W^dt (здесь W —ускорение; р— плотность материала неде- формированной среды).

На основании принципа отвердевания и начала Даламбера уравнение движения тетраэдра будет иметь вид

Тпа^ - 7^ - Р (F- W) dx = 0.(2.9)

Здесь во втором слагаемом суммирование ведется по индексу к от 1 до 3. Поскольку для тетраэдра сумма векторов площадей равна нулю, то

ndt> = -^-ek.(2.10)

Учитывая, что в ** 6^=£^ь и n=nfeek (п^— ковариантные компоненты единичного вектора), вместо (2.10) будем иметь n,kd«>eh = -- ек,

1/ ^

откуда

dtok = 'V~g^nfcdu>.

Подставим это в (2.9), тогда

л- Т„ У^пк- р(F- W)= 0.

Дю

Пусть при постоянном направлении П расстояние от точки Р до поверхности АВС стремится к нулю. Принимая во внимание, что из последнего уравнения найдем Дш

Т„ = У^Ткпк.(2.11)

Вектор напряжения Тк может быть представлен тремя составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса е№, т. е.

VI^T^^.(2.12)

Подставляя (2.12) в (2.11), получим

Tn = =ftmn,kem.(2.13)

Учитывая, что Тп = Т”ет, где Т” — контравариантные компоненты вектора напряжения, найдем

Т”—а*тп,к.(2.14)

В (2.13) двойное суммирование ведется по индексам би т, а в (2.14) —одинарное суммирование по индексу к.

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины о6™ составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор oSm называется контравариантным тензором напряжений.

Уравнения движения и равновесия в компонентах тензора напряжений

Известно, что для составления уравнений движения абсолютно твердого тела необходимо и достаточно приравнять нулю главный вектор и главный момент действующих на него внешних сил и сил инерции.

Для того, чтобы составить уравнения движения деформируемого тела, необходимо и достаточно приравнять нулю главный вектор, главный момент сил и сил инерции, приложенных к каждой части тела, которую можно мысленно из него выделить.

Равенство нулю главного вектора, главного момента указанных сил налагает определенные условия (к нахождению которых мы переходим) на изменение компонентов тензора напряжений при переходе от одной точки тела к другой. В дальнейшем будем пред- 36

полагать, что компоненты тензора напряжений непрерывны и имеют непрерывные частные производные во всех точках тела. Мысленно вырежем внутри тела некоторый произвольный объем т, ограниченный достаточно гладкой поверхностью и. Главный вектор и главный момент объемных сил р/^т, действующих на элемент объема с/т, выделенного из объема т, сил инерции — pWc/т, приложенных к этому элементу в случае динамической нагрузки, и поверхностных сил T^dte, действующих на элемент dm, должны равняться нулю, т. е.

Jp(F-W) eft+ 17^=0.(2.15)

J(rXP(F-W))z/T+j(rxr„)d«=O.(2.16)

Так как компонент силы p(F—W)cZt в направлении единичного вектора v равен vp(F— W Jc/т и компонент силы ГAd® в том же направлении равен vTndto, вместо (2.15) можно написать

^?^_wm^mdi^(2.17)

Учитывая (2.14) и формулу Гаусса — Остроградского (1.94), поверхностному интегралу в (2.17) придадим вид

J r^n,^o = j(a^vjrt^d-t=^o^mdx. (2.18)

Подставив это в (2.17), получим

J(p(F-_^H.3^)VB/Zt = 0.

Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции, произвольности вектора vm и объема т следует, что подынтегральная функция должна обращаться в нуль в каждой точке тела

0^4-pf™ = pU7m.(2.19)

Если тело находится в равновесии, то ускорение элемента dx будет равно нулю, и уравнение примет вид

^ + pF'" = O.(2.20)

Здесь о J"1— ковариантная производная тензора напряжений o'"”; суммирование производится по индексу й от 1 до 3.

Уравнения (2.19) и (2.20), связывающие изменение компонентов тензора напряжений с массовыми силами в любой точке внутри

тела, соответственно называются уравнениями движения и уравнениями равновесия дефомируемого тела в контра вариантной форме. Эти уравнения, в которые входят девять компонентов тензора напряжений, являются неоднородными уравнениями первого порядка в частных производных. В случае отсутствия массовых сил эти уравнения будут однородными.

Так как компонент момента г Xpf/7— W)di в направлении единичного вектора v равен v-rXp(F— W^d-t, компонент момента ryl\dto в том же направлении равен v- г XT^d® и радиус-вектор точки г можно представить в виде/*—/^р то с учетом формулы (1.96) вместо (2.16) напишем

J е//еР (Fz -11^)i^dx + J t^Wd»=0.(2.20')

Принимая во внимание формулу (2.13) и формулу Гаусса — Остроградского (1.94), поверхностному интегралу в уравнении (2.20') придадим вид

J е/>»^6а,"'^ш = Jt^e^^^-in^-

TaK как £/Д ш=0* и v*m = 0, уравнение (2.20') запишем в виде J^lP^-^i^+^'Ajdt^O.

Так как o.^-J-pF^pV/^ поэтому

J е^1т^т</т=0.

На основании формулы/,^ = 8) **, произвольности объема t и непрерывности подынтегральной функции имеем

е,7У'у»=0.

Заметив, что &;^ =—е^ь, последнему соотношению придадим вид

-уе</»(°" -^)^ = 0.

Развернув это выражение, будем иметь

(С23 _ ,32) vi _р („31 _ ,13) у2 _|_(,12 _ ,21) v3 = 0,

* Так как eijs в декартовой системе координат константа, то в этой системе координат Sij*.m=0, что остается справедливым и для любой другой системы координат,

** Данная формула вытекает из соотношения

dr дд1“. ^( дГ„

*1= "ti -sirт«->-77'•+' "ЗУ- (ТУ +1•<' Г-"‘^

Так как направление v произвольно, заключаем, что а»-»=о™».(2.21)

Таким образом, доказана симметричность тензора напряжений. Следовательно, тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в данной точке, определяется шестью независимыми компонентами.

§11. Условия на поверхности

В предыдущем параграфе было указано, что необходимым и достаточным условием равновесия деформируемого тела является равенство нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных к каждой части тел, которую можно мысленно из него выделить. Это должно остаться в силе и для частей тела, имеющих общую с поверхностью тела поверхность. Будем считать, что компоненты тензора напряжений непрерывны вплоть до границы.

Условия равновесия бесконечно малого тетраэдра (см, рис. 6), когда поверхность АВС совпадает с поверхностью тела, дают связь между тензором напряжений и внешними силами. Эта связь имеет вид (2.13) или (2.14) с той лишь разницей, что в этих формулах № будет внешней нормалью к поверхности тела в данной точке. Эти условия называются поверхностными или граничными условиями.

Таким образом, из необходимого и достаточного условия равенства нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных к каждой части тела, включая части тела, имеющие общую поверхность с поверхностью тела, вытекает, что шесть компонентов тензора напряжений должны удовлетворять внутри тела трем дифференциальным уравнениям (2.19) в случае динамической нагрузки или (2.20) — в случае статической нагрузки и трем поверхностным условиям (2.14).

Следует отметить, что шесть компонентов тензора напряжений из системы трех дифференциальных уравнений определяются неоднозначно. Каждое решение из бесконечного множества решений этой системы, удовлетворяющее трем граничным условиям, соответствует некоторому статически возможному напряженному состоянию.

Следовательно, под действием приложенных внешних сил может возникнуть бесчисленное множество статически возможных напряженных состояний. Таким образом, задача о нахождении напряженного состояния в теле является статически неопределимой.

Ниже (гл. V) будет показано, каким образом из бесконечного числа статически возможных напряженных состояний будет выделено реальное напряженное состояние.

§12, Уравнения движения и равновесия в декартовой системе координат

Пусть Хк — оси декартовой прямоугольной системы координат, проведенные через некоторую точку нагруженного тела. Тогда ко-

вариантные и контравариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадут друг с другом и, в силу формул (1.55), (1.56), будут равны физическим компонентам, а формулы (2.14) примут вид

"^n!t = amRnm- (2.22)

Здесь Тпк — компоненты вектора напряжений 7П, действующего на площадке, проходящей через заданную точку тела, внешняя нор

маль к которой составляет с осями координат углы (п, хи); <5mh—■

Рис. 7Рис. 7компоненты аффинного ортогональ-

Рис. 7

Рис. 7

ного тензора напряжений, причем пкк (не суммировать) — нормальные к координатным площадкам напряжения; Оти(т^к')—касательные напряжения.

Симметричность тензора напряжений выражает закон парности касательных напряжений: в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения перпендикулярны к линии пересечения площадок, рав-

ны по величине и направлены в противоположные стороны (рис. 7).

(2.23)(2.23)Повернем оси ох^ вокруг начала кооординат, тогда в силу (1.13) будем иметь

(2.23)

(2.23)

°П — ^“rm0^

(arm — косинус угла между осями ХТ И Хт).

Учитывая, что a2rs=l, arsafS = 0 (г¥=0, где суммирование ведется по индексу 5, из (2.23) получим

Следовательно, сумма нормальных компонентов напряжений, действующих на три взаимно перпендикулярные площадки, не зависит от их ориентации в данной точке.

В декартовой прямоугольной системе координат, благодаря тому, что символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадают с физическими компонентами, уравнения движения (2.19) и равновесия (2.20), соответственно примут вид

(2.24)(2.25)(2.24)(2.25)(2.26)(2.26)^-+^t = P^ дхт

(2.24)

(2.25)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.26)

^хт .

Эти уравнения могут быть записаны и в следующем виде:

div Ta+p^=pVV^

в случае движения.в случае движения.div 7VrpFft = 0div 7VrpFft = 0(2.27)(2.27)

в случае движения.

в случае движения.

div 7VrpFft = 0

div 7VrpFft = 0

(2.27)

(2.27)

в случае равновесия.

Здесь Т к= 1т<5кт — вектор напряжения на координатной площадке .t.^const.

§ 13. Уравнения движения и равновесия в цилиндрических и сферических координатах

Часто бывает удобно пользоваться уравнениями движения и равновесия в цилиндрической и сферической системах координат. Физические проекции силы pF и ускорения VT в цилиндрической

Рис. 8Рис. 8

Рис. 8

Рис. 8

системе координат соответственно обозначим через pFT, р^, pF3 и Гт, ll^, Г3, а физические проекции тензора напряжений в той же системе координат — через о1Г, ow, озз, ог<р, Сгз, <М (рис. 8).

На основании формул (1.49) и (1.50) с учетом того, что в цилиндрической системе координат компоненты ковариантного метрического тензора

£п=^=1, ^23 = 7/2 = г2, ^33 = /У^1, ^12 = 52з = ^31^0,

имеем

pF^pF,, pF2 = -2-pFv, pF3 = pF3, а” = з„, al2 = -L 3f1„

(2.28)(2.29)(2.28)(2.29)°13 = °Г31 О23 =—9^, 3-’ = -LJfi] (,33-.^,

(2.28)

(2.29)

(2.28)

(2.29)

В силу (1.84)

„тб Йате t р,т JA , ^^ ту

3 ,т — ^m + 1 ут3 + Г,т3 , откуда, при 6=1, с учетом (2.28), будем иметь

I 1do3r2

dr + Т^Г + 7^Г + (я+ л+7з)5 +

Используя (1.64), найдем

Г

1 -пЗ pil ,pi Iт»1 Т3З a

11 = 1 13 = i 21 —1 31 =1 23 = ^ 23™1 33 = u,

Г^ = —, Г^=-г.r

Тогда

ml _ да„1 Л»^da3rarf — ®w

°,m ——— Г — j•

drr Ofдх3 r

Подставляя это равенство в (2.19), получим первое уравнение движения

—-+^+^ + —^+рЛ = Р^.(2.30)

ОГ ГОХ3г

Аналогично выводятся два других уравнения движения

d%_l

1

да„

W I

1 dV 1

1 ^®rv

— oU7

F г v

dr

Г

ду

dxs 1

r

1

1

^’зз -

Чгз

bpF3

=рГ3.

dr

г

df

djr3

г

Физические проекции объемной силы и ускорения в сферической системе координат соответственно обозначим через pFr, р^ф, pF*, и Wri 1ГФ, UP*, а физические проекции тензора напряжений в той же системе координат — через orr, ow, cr**, Or*, о**,^ (рис. 9). В этой системе координат gn = //i2=l; §йа = Н^ = гг1 gM = H32 = =гг31П2ф, gi2=g23=53i = 0. Учитывая эти соотношения, из формул (1.49) и (1.50) найдем

pF1 = pFн Р^=1— pFv; pFs= — pF*

/■sintpг

U7* = U7r; W2U7* = U7r; W2e» = 0 • e“e» = 0 • e“a*2=—Ц—°rf;r sin фa*2=—Ц—°rf;r sin фi— V • r sin ф" r2Sin2^ °W’O28 =1r1 sin фi— V • r sin ф" r2Sin2^ °W’O28 =1r1 sin ф^9 = 2-^^9 = 2-^a33=— г2<>r*; °3 ——=*r-a33=— г2<>r*; °3 ——=*r-

U7* = U7r; W2

U7* = U7r; W2

e» = 0 • e“

e» = 0 • e“

a*2=—Ц—°rf;r sin ф

a*2=—Ц—°rf;r sin ф

i— V • r sin ф

" r2Sin2^ °W’

O28 =1

r1 sin ф

i— V • r sin ф

" r2Sin2^ °W’

O28 =1

r1 sin ф

^9 = 2-^

^9 = 2-^

a33=— г2

<>r*; °3 ——=*r-

a33=— г2

<>r*; °3 ——=*r-

Из (2.19), (1.64) и (1.84) получим уравнения движения

da.* 11. 1

-^+71iH-#+T^r+T^+^ct^-^-^+

4-pFr = pU7r

+ ,F*=p\T*

^+^7 ^+- ^+-(3^ + 2зЛ^ + р^=^‘ дг г sin г г

Если положить 1Гг= 1^ = W3 = 0 и Wr= ^= ^=0 в уравнениях (2.30) и (2.31), то мы получим уравнения равновесия в компонентах тензора напряжении соответственно в цилиндрической и сферической системах координат.

Рис. 9

§ 14. Определение главных нормальных напряжений

Возьмем прямоугольную декартову систему координат ох*. Направление, определяемое единичным вектором п с компонентами п^=?со5 (я, xs), называется главным направлением симметричного тензора напряжений с^, если вектор ОгчПк параллелен вектору п

где о— скалярная величина.

Последнее соотношение запишем в виде

(»,»-»8г»)»*=0.(2.32)

Равенства (2.32) относительно «а представляют линейную однородную систему трех уравнений. Условием существования ненулевых решений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы.

^ ’’kr-^kr I(2.33)

Докажем теперь, что все его корни вещественны; обозначим их через щ(/=1, 2, 3). Предположим противное: пусть <n = ai-|-ify и соответствующие значения n.h=рк-Ндь; подставим это в (2.32). Если затем сравним действительную и мнимую части, то получим

(arA — аД,6) рк 4- Мг»?» = 0,

(°т — аАа) V» — Mrf А — 0-

Умножим первое равенство на qr, а второе — на рг и просуммируем по г от 1 до 3. Вычитая один результат из другого и учитывая симметричность <тга, 6гъ получим *

V'rkPrPk + ЧкМкЗ ~ 0- (2.34)

Учитывая, что не все ри, Цк равны нулю и каждое слагаемое внутри скобок (2.34) положительно, приходим к выводу, что Д;^=0. Следовательно, корни уравнения (2.33) всегда действительны и соответствующие им значения п^, будучи решениями системы линейных уравнений с действительными коэффициентами (2.33), также будут действительными. Величины щ называются главными компонентами тензора напряжений, а Пк1 являются их направляющими косинусами.

Предположим, о/, стР — два неравных корня, а пт1, пгр — соответствующие значения пт, тогда из (2.32) найдем

—а^г) д'— 0,(2.35)

^kr ор^кг)пг—^-(2.36)

Здесь по индексам I и р суммирование не производится. Если умножим (2.35) на Пкр, а (2.36) на п^, то, вычитая один результат из другого, а затем принимая во внимание симметричность оьг и б^г, получим

Так как tsi^ap, то

nU?=O.

Таким образом, в этом случае главные направления тензора напряжений ортогональны и определяются единственным образом. Если уравнение (2.33) имеет два одинаковых корня, например, С] =02, то направление л8, соответствующее третьему главному направлению, будет перпендикулярно плоскости л1, №.

Следовательно, любые два взаимно ортогональные направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной к л8, могут быть приняты за соответствующие главные направления. Если, наконец, все три главные напряжения равны между собой, то любые ортогональные направления можно принять за главные.

Теперь кубическое уравнение (2.33) запишем в виде

„з „ f^-t /23 - /3 = 0.(2.37)

По свойству корней кубического уравнения соотношения между корнями и коэффициентами имеют следующий вид:

Л = О1+О2 + °3>

а, 0, о,0 . с. О I .,

/2=++"-3102 + а1а1 + а2°31

Оos О О331

3 —3 —°l°lо оо оОООО°2 Оо =3°2 Оо =3— 31а23у— 31а23у

3 —

3 —

°l

°l

о о

о о

О

О

О

О

°2 О

о =3

°2 О

о =3

— 31а23у

— 31а23у

Возьмем матрицу С в виде

С = ||4|Н1ЗЙ) -^11-

Определитель этой матрицы представляет собой левую часть уравнения (2.33), записанную в произвольной криволинейной системе координат хк.

Рассмотрим непрерывные взаимно-однозначные преобразования координат хк = хк (х1, х2, хэ). Согласно преобразованию смешанных тензоров (1.12) мы имеем

j -р дх? дх*

Cj Cq "3 .

дх- дхр

Введем здесь обозначения

тогда

с =мн ^мм ^i и«!Мм-1

Отсюда заключаем, что детерминанты матриц С и С равны. Таким образом, уравнение

|о§<-о)1 = 0(2.38)

инвариантно относительно выбора системы координат и корни его всегда определяют главные компоненты тензора напряжений. Следовательно, коэффициенты уравнения (2.37) являются инвариантами относительно преобразования координат, так как они полностью определяются корнями, т. е. главными значениями тензора напряжений, Раскрывая (2.38), получим формулы для инвариантов

/ 1 = al-|-<J3-|-a3 = a"

^2=»1«2 + »2«з+вз«1 =*у [(°-)2 — 43«]

Л~ 3Ла3 = |^|.

Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора напряжений, то в этой системе координат компоненты <зы (&#=г) обратятся в нулю; остаются лишь действующие на этих площадках нормальные напряжения од.

Глава III

ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

§ 15. Тензор конечной деформации

Рассмотрим непрерывную среду S, в которой выбрана криволинейная система координат хг (г=1, 2, 3). Если совокупность некоторых функций координат определяет удлинение любого бесконечно малого прямолинейного материального отрезка, проходящего

Рис. 10

через заданную точку, то будем говорить, что эти функции определяют деформацию окрестности этой точки.

Пусть координатные линии, выбранные в среде в ее начальной конфигурации, состоят из материальных точек той же среды. Будем считать, что в процессе деформирования координатные линии продолжают состоять из тех же материальных точек. В результате деформации данная система координат Рххх2х3 с ковариантными базисными векторами вй, искажаясь непрерывно вместе со средой, в одной из последующих конфигураций 5 примет некоторое положение. Конфигурация 5 может быть принята в качестве новой системы координат Р5!5253 с базисными векторами вк- В качестве системы отсчета, в которой определено перемещение, возьмем систему координат ох^х^х^ с векторами базиса 6а0 (рис. 10). Систему охо^о2^3 можно выбрать по усмотрению, а из систем координат 46

хг и хг произвольно можно выбрать только одну: если выбрана система хт, то система хг определится деформацией и наоборот.

Согласно формуле (1.27) для квадратов линейных элементов конфигураций 3 и 3 соответственно имеем

d:d=gnkdxndx*’-, dsi=gnj,dxadxk.(3.1)

Здесь g^k. gnk — ковариантные метрические тензоры соответственно в 3 и 5; dxn — компоненты бесконечно малого вектора PQ, определяющего положение точки Q относительно точки Р, a dxn — компоненты вектора PQ (см. рис. 10), который в силу непрерывности является бесконечно малым.

Деформированное состояние тела определяется разностью ds2 —ds2 =g^dx^dx^ — g„gixndxk.

На основании (1.6) этой разности придадим вид

(3.2)

ds2—ds2=2^nkdxndx!!,

где

епк = ~^~ Ignk gnk\

(3.3)

в свою очередь.

-dx1 dx"*

StA* Sim *b e

(3-4)

Из (3.2) видно, что бпк являются компонентами симметричного ковариантного тензора второго ранга, который называется тензором деформации. Когда все епх=0 для всех точек, то ds = ds и тело не деформируется. Относительное удлинение линейного элемента dsn вдоль координатной линии хп, по определению, равно

ел = ^л-^л ,

Согласно формулам (1.40)

d7n = Vgttrtdx", ds^Vg^dx”.(3.6)

Учитывая (3.6) в (3.5), получим

£л = Sfc^L. = 1/Ж _ 1.

^5Лг ^дл

Отсюда, используя (3,3), найдем

^="|/* 1+*^-1' и

Здесь по индексу п суммирование не производится; корень взят со знаком плюс, так как при епп = 0 относительное удлинение равно нулю.■

Косинус угла 9„fe между двумя линейными элементами dsn и dsь, которые до деформации были направлены вдоль координатных линий хп и хк, согласно формулам (1.54), (1.6) и (3.6) определится по формуле*

_gfjdxndxk

_ gn‘dxndxk ; дхп дхк

ds„dsftу g„„gkkdxndxk

В силу (3.4) этой формуле придадим вид

cos 6^ =^к - .

Vётйм

Определив из (3.3) gnh и подставив в 'последнюю формулу, найдем cos^ =—■■^ + 2^.(3.8)

V (gnn + 2$лп) (^ + 2^)

Формулы (3.7) и (3.8) показывают, что шесть компонентов тензора деформаций, определяемые формулами (3.3), позволяют полностью вычислить удлинения вдоль координатных линий, исходящих из некоторой точки тела, и угол между двумя линейными элементами после деформации, которые до деформации были направлены вдоль координатных линий хк. Так как угол между координатными линиями до деформации известен, то определится и изменение этого угла.

Теперь через компоненты вектора перемещения и определим компоненты тензора деформации 8пь- Из рис. 10 видно, что

(3.9)(3.9)Г = Г 4-я.

(3.9)

(3.9)

Пусть еп. е-п являются соответственно базисными векторами, тогда на основании (1.26)

(ЗЛО)(ЗЛО)(З.Н)(З.Н)дг- аг

(ЗЛО)

(ЗЛО)

(З.Н)

(З.Н)

eft= — * €к = ^дхкдхк

Из векторного уравнения (3.9) следует

дгдг [ 170

дх”дхк дх6

Подставляя (3.10) в последние соотношения, будем иметь

дхт .^

?=^й4•дхкдх*

Так как для конфигурации Зи S соответственно

gA-e**^ gnk^ е„-ек.

то на основании правил скалярного умножения и формул (3.4), (3.11) найдем

_/ди\/ди\ди

8*I1 и)I ^ ^”л £I ~&ЛЙI ®п"^+

Vдх”)\дх6)дх*

^3.12)

Т * дхп 4 дхп дхь■'

Подставив (3.12) в (3.3), получим 1 / ди , ди । ди ди \ +13>

Относительно системы координат № вектор и представим в виде u=uaett, и=иава,(3.14)

здесь суммирование производится по индексу а. Тогда, учитывая (1.57), (1.79), (1.65) и (1.80), найдем

=(3.15)

дхпдх*

где uart, lu.k есть ковариантные производные соответственно контра- вариантного и ковариантного векторов, равные

= -(3.16) дхпдхк

Следует отметить, что здесь символы Кристоффеля должны быть вычислены по метрическим тензорам для конфигурации 5.

(3-17)(3-17)Подставляя (3.15) в (3.13) окончательно будем иметь

(3-17)

(3-17)

глк — ~2~ ^"’fc ^*Uii'n +”».*“*«)•

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных ковариантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов евиеи вычисляются компоненты тензора деформации.

Материалы, применяющиеся в технике, за исключением таких, как резина, некоторые пластмассы и др., сохраняют упругость только при весьма малых удлинениях и сдвигах. Отсюда ясна практическая важность тензора малой деформации.

Пусть Q — точка, близкая к точке Р, а ^ — ее положение после перемещения. На рис. 10 РР—а и Q$=Ui представляют собой соответственно перемещения точек Р и Q.■

Разлагая и i в ряд в точке Р и пренебрегая членами высших порядков малости относительно dx" (dxn — контравариантные компоненты вектора PQ), будем иметь

U1(Q)=a(P)+je^^=M(P)+.^(^

Из последнего соотношения найдем перемещение du точки Q относительно точки Р

du = u*ne5tdxn.

Представив du=dukek и умножив скалярно обе части приведенного выше равенства на вт, получим

duk - itk>ndxn,(3.19)

где и^ — ковариантная производная в точке Р.

Введя обозначения

^* = -у (“м + «л.*)»

(3.20)

ю^ = -у(«»,л-«л.1)»

вместо (3.19) будем иметь

^«*=(^ +<!>*,) dx-.

Из формулы (3.20) заключаем, что <о*п — антисимметричный тензор, называемый тензором вращения. Перемещение типа e^dx" возникает вследствие деформации окрестности точки Р, тогда как перемещение типа <i»indxn возникает вследствие вращения окрестности точки Р как абсолютно твердого тела вокруг нее.

ванного состояния 5 должен равняться нулю, т. е.Rnmpq = ^’ Rmnpq ®ИЛИRmnpq" Rmnpq = 0.(3.21)Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоффеля (1.87) в (3.21), получимI2ванного состояния 5 должен равняться нулю, т. е.Rnmpq = ^’ Rmnpq ®ИЛИRmnpq" Rmnpq = 0.(3.21)Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоффеля (1.87) в (3.21), получимI26^g mq6^g mqдЧпрдЧпрd-gmpd-gmp64nq64nqдхпдхР 1 дхтдхч дх^дх4 дхтдхрдхпдхР 1 дхтдхч дх^дх4 дхтдхр

ванного состояния 5 должен равняться нулю, т. е.

Rnmpq = ^’ Rmnpq ®

ИЛИ

Rmnpq" Rmnpq = 0.(3.21)

Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоффеля (1.87) в (3.21), получим

I

2

ванного состояния 5 должен равняться нулю, т. е.

Rnmpq = ^’ Rmnpq ®

ИЛИ

Rmnpq" Rmnpq = 0.(3.21)

Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоффеля (1.87) в (3.21), получим

I

2

6^g mq

6^g mq

дЧпр

дЧпр

d-gmp

d-gmp

64nq

64nq

дхпдхР 1 дхтдхч дх^дх4 дхтдхр

дхпдхР 1 дхтдхч дх^дх4 дхтдхр

==\1 / ^Smq । 5i1gnp d2gmpd^gnq A

— i,nqдхпдхч dx^dxp)

-g^t. „,ГМ< -ГЬячГ},тр^0.(3.22)

Учитывая здесь (3.3) и то, что тензор Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонентов J?i2ia, /?шз, Ra^ Riai3> Ram, Rstsa, из (3.22) получим шесть независимых уравнений

дх^дх” + dxmdxi дхтдхР дхядх«рп тр д"

-ф2Гярет?г-|- 2Гдтед^г 2ГЛ9еярг — 2Гшрепдг =0,(3.23)

где

/ ^рг . дбгр^пр \

"рГ 2 дхч §хр5xf )

mnpq: 1212, 1313, 2323, 1213,2123,3132.

Эти уравнения указывают на то, что компоненты тензора деформаций епь зависимы. Уравнения, которым должны удовлетворять компоненты тензора деформаций епл, являются необходимыми и достаточными условиями того, что конфигурации S и 5 принадлежат евклидову пространству.

§ 18. Тензор деформаций в декартовой системе координат

В декартовой системе координат ковариантные и контравари- антные векторы совпадают друг с другом; совпадают также ковариантные производные с обычными производными, так как в этом случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы Кристоффеля равны нулю.

Таким образом, согласно (3.17) в декартовой системе координат Хк компоненты тензора конечной деформации определяются по формулам

I / д«я , дяь , ди. ди„ \

+ +(3*24>

у ох,, дх„ дх6 дхп /

Учитывая, что в случае декартовой ортогональной системы коор динат gnn=l и gnA = 0, формулы (3.7) и (3.8) примут вид

^-Vl-^-l, созепй = —=^ 2е*л .(3.25)

К (1 + 2е„„) (1 + 2^)

По этим формулам вычисляются относительные удлинения линейных элементов, исходящих из некоторой точки среды параллельно осям декартовой прямоугольной системы, и углы, образованные между этими линейными элементами после деформации.

Согласно (3.17) или (3.24) в декартовой прямоугольной системе координат Хк компонентами малой деформации будут

(3.26)(3.26)/ ди- . диь

(3.26)

(3.26)

\ дхк дхп

Если рассматривается малая деформация, то из (3.25) будем иметь

е„ = 1+-1-(2£м)е„ = 1+-1-(2£м)1 == ^ПП'1 == ^ПП'

е„ = 1+-1-(2£м)

е„ = 1+-1-(2£м)

1 == ^ПП'

1 == ^ПП'

cos 9tn = 2ейп 11 —— ^(£nn + е»й + ^6пп6^ 4j = 2^я-cos 9tn = 2ейп 11 —— ^(£nn + е»й + ^6пп6^ 4j = 2^я-Таким образом, из еп = епп следует, что величины енп суть относительные удлинения линейных элементов, которые до деформации были параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат. Величины 2ей„ представляют собой косинусы углов, образующихся после деформации между двумя линейными элементами, которые до деформации были параллельны осям координат.ИмеемТаким образом, из еп = епп следует, что величины енп суть относительные удлинения линейных элементов, которые до деформации были параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат. Величины 2ей„ представляют собой косинусы углов, образующихся после деформации между двумя линейными элементами, которые до деформации были параллельны осям координат.Имеемcos 6ЙЯ = COS [90’ -(¥»„+Y«»)l = siп (у„й + уйл)S уйя + у^.cos 6ЙЯ = COS [90’ -(¥»„+Y«»)l = siп (у„й + уйл)S уйя + у^.Здесь уьп — угол поворота к оси охп линейного элемента, параллельного оси охд и равного ; упй— угол поворота к оси ох*дхкЗдесь уьп — угол поворота к оси охп линейного элемента, параллельного оси охд и равного ; упй— угол поворота к оси ох*дхклинейного элемента, параллельного оси охп и равноголинейного элемента, параллельного оси охп и равногодх„дх„(рис.(рис.11). Значит, 2вкп представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям ох^ и охк (к^йп).В декартовой системе координат компоненты тензора вращения11). Значит, 2вкп представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям ох^ и охк (к^йп).В декартовой системе координат компоненты тензора вращения

cos 9tn = 2ейп 11 —— ^(£nn + е»й + ^6пп6^ 4j = 2^я-

cos 9tn = 2ейп 11 —— ^(£nn + е»й + ^6пп6^ 4j = 2^я-

Таким образом, из еп = епп следует, что величины енп суть относительные удлинения линейных элементов, которые до деформации были параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат. Величины 2ей„ представляют собой косинусы углов, образующихся после деформации между двумя линейными элементами, которые до деформации были параллельны осям координат.

Имеем

Таким образом, из еп = епп следует, что величины енп суть относительные удлинения линейных элементов, которые до деформации были параллельны соответствующим осям декартовой прямоугольной системы координат. Величины 2ей„ представляют собой косинусы углов, образующихся после деформации между двумя линейными элементами, которые до деформации были параллельны осям координат.

Имеем

cos 6ЙЯ = COS [90’ -(¥»„+Y«»)l = siп (у„й + уйл)S уйя + у^.

cos 6ЙЯ = COS [90’ -(¥»„+Y«»)l = siп (у„й + уйл)S уйя + у^.

Здесь уьп — угол поворота к оси охп линейного элемента, парал

лельного оси охд и равного ; упй— угол поворота к оси ох*

дхк

Здесь уьп — угол поворота к оси охп линейного элемента, парал

лельного оси охд и равного ; упй— угол поворота к оси ох*

дхк

линейного элемента, параллельного оси охп и равного

линейного элемента, параллельного оси охп и равного

дх„

дх„

(рис.

(рис.

11). Значит, 2вкп представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям ох^ и охк (к^йп).

В декартовой системе координат компоненты тензора вращения

11). Значит, 2вкп представляет собой изменение угла между двумя линейными элементами, параллельными осям ох^ и охк (к^йп).

В декартовой системе координат компоненты тензора вращения

11/ дакда„ XV дх„ дхк )/ дакда„ XV дх„ дхк )(3.27)(3.27)

1

1

/ дакда„ X

V дх„ дхк )

/ дакда„ X

V дх„ дхк )

(3.27)

(3.27)

Повернем оси охк декартовой прямоугольной системы координат, новые оси обозначим через ох/. Учитывая, что екп есть тензор, на

и^и,, и2=ги¥,и^и,, и2=ги¥,ы3=“з-ы3=“з-^ц — 6ГГ,^ц — 6ГГ,^22 — ^^СТ"£33 — 633^22 — ^^СТ"£33 — 633(3.28)(3.28)

и^и,, и2=ги¥,

и^и,, и2=ги¥,

ы3=“з-

ы3=“з-

^ц — 6ГГ,

^ц — 6ГГ,

^22 — ^^СТ"£33 — 633

^22 — ^^СТ"£33 — 633

(3.28)

(3.28)

основании (1.13) имеем вк/= вкатка™, откуда вкк^вы^ т. е. сумма относительных удлинений в трех взаимно ортогональных направлениях, исходящих из одной точки тела, не зависит от их ориентации в данной точке.

§ 19. Компоненты тензоров малой деформации и вращения в цилиндрических и сферических координатах

Физические проекции вектора перемещения и в цилиндрической системе координат (г, ср, х3) обозначим через ит, uv, и3, а физические компоненты тензора деформации — через егг. еФФ, взз, егф, еф3, бат. При помощи формул (1.49) и (1.50) находим

ди,1 диди,1 дие = е I" дг ’^ г dTе = е I" дг ’^ г dTди3ди31/1 ди,1/1 ди,2 1 дг2 1 дг№уЗ=(«>г№уЗ=(«>г1 / ди32г \ dy1 / ди32г \ dyг—^ дх3 /г—^ дх3 /шзг=<о,шзг=<о,1 / диг1 / диг2 ( дх32 ( дх3ди3ди3

ди,1 ди

ди,1 ди

е = е I

" дг ’^ г dT

е = е I

" дг ’^ г dT

ди3

ди3

1/1 ди,

1/1 ди,

2 1 дг

2 1 дг

№уЗ=(«>г

№уЗ=(«>г

1 / ди3

2г \ dy

1 / ди3

2г \ dy

г—^ дх3 /

г—^ дх3 /

шзг=<о,

шзг=<о,

1 / диг

1 / диг

2 ( дх3

2 ( дх3

ди3

ди3

^ 12 —" ^г<ц^23 — ^^3*^31 —^Зг"

Согласно (3.20) и (3.28) для шести независимых компонентов тензора малой деформации и тензора вращения будем иметь

В формулах (3.30) введены сокращенные обозначения «9?=ш3. °М=«>Г, «=3г=%.

Допустим, что «3 = 0, a us и иг не зависят от координаты х3; тогда из формул (3.29), (3.30) найдем■

егг = —; ^=^-Ч

drг dip г

_ 1 / 1ди, ди*«¥,v 2 \ гдр "^ дгг_ 1 / 1ди, ди*«¥,v 2 \ гдр "^ дгг(3.33)(3.33)(3.34)(3.34)

_ 1 / 1ди, ди*«¥

,v 2 \ гдр "^ дгг

_ 1 / 1ди, ди*«¥

,v 2 \ гдр "^ дгг

(3.33)

(3.33)

(3.34)

(3.34)

(3.31)

Эти формулы определяют три компонента тензора деформаций в случае так называемой плоской деформации относительно плоскости г<р в полярных координатах.

В сферической системе координат (г, ф, ф) физические компоненты вектора перемещения к обозначим через иг, и^, и^, а физические компоненты тензора деформации в той же системе координат— через ет е»ф, ерр, еГф, еФф, е^. Согласно формулам (1.49) и (1.50) имеем

Ux = Uf, U2 = rU^, Ua = r SIH ф«ф,

^1 = em ^и = r^w 6^ = ^ sin2фйф-i,(3.32)

^12= rerv> е2з= г2 sin ^т*» е31 = г sin Ф^г.

Подставляя (3.32) в (3.20), найдем '

1 d“f ,1 I 1

ew —— Н— “г 4“ф,

г sin ф д^ г г tg ф

1 d«*1.

е^ =ттНи-пгдфг

„ -1 1 1 да'^1 )

rv2 \г sinф дрдгг

_ 1 М ^1 и 1 J^X

2 \ г др г tg ф т г sin ф др / ’

/]1ди, \

^рг =— I-ИрЧ—) ,

\ дг ггдф /

।/ д«фд\

2г sin ф \ дрдф

1 [ дит д , ЛЮфГ_(1>т„—-

/ д ,• ,, ды, \

’r<p=u)f —; ~ I *т ^ги^ sin ф) I .

2г sin ф \ дгдр )

§ 20. Главные относительные удлинения

Определим по аналогии с теорией напряженного состояния в декартовой прямоугольной системе координат главные направления 54

тензора деформаций, как такие направления, для которых выполняются условия

е»яа„ = еаЛ.(3.35)

Здесь е — скаляр; as — направляющие косинусы единичного вектора V.

Используя символы Кронекера, систему уравнений (3.35) запишем в виде

(e»„-W)«n=O-(3.36)

Так как все косинусы одновременно не могут быть равны нулю, то

1| = 0.(3.37)

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям elt е2, е3, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню; в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые перпендикулярные направления можно принять за главные.

Кубическое уравнение (3.37) запишем в форме

еЗ_/152+/2£_/э = 0.

По свойству корней кубического уравнения соотношения между корнями и коэффициентами имеют вид

^ 1 = е1 + е2 + ез’

Л — £1е2 + £1£3 + еЗе2>

Л = ^t£2£3‘

По аналогии с теорией напряженного состояния здесь Л, Л, /з являются инвариантами. Таким образом,

11 = е1 + е2 + е3 = е«

^2 = el®2 Н-М3 4" S2e3 = “J" [(е«)2 — е*£₽1 ■

Л = е1е2*3 = ! е« I •

Первый инвариант тензора деформации в случае малых деформаций представляет собой относительное изменение объема. Действительно, возьмем в некоторой точке Р среды главные оси тензора деформаций. На них построим параллелепипед, имевший до деформации ребра, равные dXk- После деформации рассматриваемый параллелепипед, оставаясь прямоугольным, будет иметь ребра

(1+вй)с/лл. Объем параллелепипеда до деформации di = dxidx^dxx, после деформации

di 1 = (l + ^i) (1 +^s) (1 + ез)dx\dx2dx^= (1 + е,) (1 Н-ез) (14-Вз)di.

Отбрасывая малые величины высшего порядка, будем иметь

^ = ( 1 + ^ + е2 + ^з) ^Т‘

Обозначив изменение объема в точке Р, отнесенное к единице- объема, или относительную объемную деформацию через 0, получим

Q till—di..

9 — -—г, + е2 + ^э.

di

Учитывая, что /i = ei-ге2 + ез = ен+ е2г+езз> для относительной объемной деформации найдем

6 = /= div н, (3.38)

1 ПТ 22 Т 33I,

т. е. 0 = /j есть относительная объемная деформация в точке Р. Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора деформации, то в этой системе координат компоненты едЛб^/') обратятся в нуль, останутся лишь действующие на этих площадках удлинения вк.

Уравнения совместности деформаций в некоторых системах координат (условия Сен-Венана)

Учитывая, что в случае декартовой системы координат символы Кристоффеля тождественно обращаются в нуль, уравнения совместности (3.23) в этой системе примут вид

_^_+^£^^^=0,(3.39)

дхддхр дх^дх^дх^дх рдхрдх^

где mnpq; 1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132.

Уравнения совместности в декартовой системе координат были получены Сен-Венаном для малых деформаций непосредственно исключением компонентов перемещения из формул (3.26).

Если условия Сен-Венана для произвольного тензора вц выполнены, то можно найти такое поле перемещений, для которого е^ является тензором деформаций. В случае односвязного тела перемещение определяется с точностью до перемещения абсолютного твердого тела, в случае многосвязного — необходимо выполнение некоторых дополнительных условий.

Чтобы получить уравнения совместности деформаций в цилиндрической системе координат, учтем формулы (3.28) и (1.64) 56

б уравнениях (3.23); тогда после некоторых вычислений получим

1 д2егг , 1 д { 2 <*ew^ де„ 2 №(ге^1 д2егг , 1 д { 2 <*ew^ де„ 2 №(ге^Др2Др2г дг д^е,, ЙХ2г дг д^е,, ЙХ2дг д^е33 дг2дг д^е33 дг222дгд^е^ дгдх3дгд^е^ дгдх3дгд^дгд^О,О,^ , 1^ , 1^йзз^йзз15^33г дг15^33г дго,о,дх; г2 df2 ' г дг г дх3 Ар / 1д2в„,5,1д<ге^ \ _1дЧг^__^2/гд^дхг1 дг \ г дг /г2дгдх3дгду\дхь \ гг дг )д?2 дгд<> дх3д^d2 / е^ \1 №ега дгдх3 X г ) г дудх3дх; г2 df2 ' г дг г дх3 Ар / 1д2в„,5,1д<ге^ \ _1дЧг^__^2/гд^дхг1 дг \ г дг /г2дгдх3дгду\дхь \ гг дг )д?2 дгд<> дх3д^d2 / е^ \1 №ега дгдх3 X г ) г дудх3О,О,«2д^дг«2д^дгйх2йх2О.О.

1 д2егг , 1 д { 2 <*ew^ де„ 2 №(ге^

1 д2егг , 1 д { 2 <*ew^ де„ 2 №(ге^

Др2

Др2

г дг д^е,, ЙХ2

г дг д^е,, ЙХ2

дг д^е33 дг2

дг д^е33 дг2

2

2

дг

д^е^ дгдх3

дг

д^е^ дгдх3

дгд^

дгд^

О,

О,

^ , 1

^ , 1

^йзз

^йзз

15^33

г дг

15^33

г дг

о,

о,

дх; г2 df2 ' г дг г дх3 Ар / 1д2в„,5,1д<ге^ \ _1дЧг^__^2/

гд^дхг1 дг \ г дг /г2дгдх3дгду\

дхь \ гг дг )д?2 дгд<> дх3д^

d2 / е^ \1 №ега дгдх3 X г ) г дудх3

дх; г2 df2 ' г дг г дх3 Ар / 1д2в„,5,1д<ге^ \ _1дЧг^__^2/

гд^дхг1 дг \ г дг /г2дгдх3дгду\

дхь \ гг дг )д?2 дгд<> дх3д^

d2 / е^ \1 №ега дгдх3 X г ) г дудх3

О,

О,

«2д^дг

«2д^дг

йх2

йх2

О.

О.

Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения Uk (Xi, ха, Хз). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций е^п, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вкп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что вкп— заданные однозначные функции хь, имеющие непрерывные частные производные второго порядка.

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения Uk, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке.

Область задания компонентов тензора деформаций, при помощи которых в этой же области, занятой до деформации телом, ищутся проекции вектора перемещения, обозначим через т. При этом пока будем полагать, что эта область одиосвязна. Из (3.26)

и (3.27) имеем

-у^=^+^п.(3.41)

Пусть в точке Л4°(ль х°, Лз) заданы компоненты перемещения и„ и компоненты тензора вращения ш^- Из (3.41) компоненты перемещения в точке /И'(^ь ^2, X) будут

М'

#»=«» + ^ (^я+ю*я)^хп-(3.42)

А0

Здесь интегрирование ведется по произвольной кривой, соединяющей точки М° и М' и целиком лежащей в области т, х^ — есть текущие координаты точки этой кривой; следовательно,

^л = —d(x'n—xn).

Подставим последнее соотношение в (3.42); тогда

М’М'

«»=«» + [ ekndxn- J we„d(x'„-x„).

А°

Интегрируя последний интеграл по частям, получим

«*=«*+ С ^«^„-^x'n-x^^ +А°

М'М'(3.43)(3.43)

М'

М'

(3.43)

(3.43)

Здесь суммирование ведется также по индексу т. На основании (3.27)

2 \. дхтдхпдд2 \. дхтдхпдддхт 2 дхт ( дхп дхк } дх„ 2 \ дхт дхк /д \ ( дип дит \

2 \. дхтдхп

дд

2 \. дхтдхп

дд

дхк

Учитывая (3.26), найдем

дхт дхпдхк

Подставив это в последний интеграл (3.43), окончательно получим

(3.44)(3.44)ик = ик 4* шля ^Хп — хп) 4~ 31'

(3.44)

(3.44)

О .\ охп дхк

По своему физическому смыслу Uk не должны зависеть от пути интегрирования М°М'; для этого в случае односвязной области необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение представляло полный дифференциал во всех точках (хь хг, Хз) и для всех значений (х/, х/, Хз') области г. Эти условия приводят к следующим соотношениям:

^wt 1 ^srб^ецд^emr „ q(3.45)

dx^x, dxmdxn dxmdx, йх^хл ’

где mkrn: 1212, 1313, 2323, 1213, 2123, 3132.

Таким образом, соотношения (3.45) обеспечивают совместность шести дифференциальных уравнений (3.26) для определения трех функций Uk- Эти уравнения совпадают с условиями совместности Сен-Венана, поэтому условия Сен-Венана также обеспечивают интегрируемость шести дифференциальных уравнений (3.26). С учетом условий Сен-Венана формулы (3.44) определяют ин независимо от формы кривой интегрирования, лежащей целиком в области т.

Если тело многосвязно, то интеграл в формуле (3.44) может, вообще говоря, получить конечные приращения, в силу чего не обеспечивается однозначность перемещений, тогда как они должны быть однозначными. Многосвязное тело с помощью надлежащих мысленных разрезов можно обратить в односвязное, тогда при соблюдении условий совместности деформаций Сен-Венана перемещения ик, определяемые (3.44), будут однозначными функциями, если кривая интегрирования нигде не пересекает линий разрезов. При приближении точки М' к какой-либо точке линии разреза с левого или правого берега Uk будут принимать, вообще говоря, различные значения. Отсюда становится ясно, что в случае многосвязной области для обеспечения совместности деформаций дополнительными условиями будут (нд)л.бер= (Цц)пр.бер вдоль всех линий разрезов.

Наиболее общее тензорное изложение теории напряжений и деформаций для произвольной системы координат представляет особую ценность для конечных деформаций. Выведенные общие уравнения и формулы позволяют нам в дальнейшем составлять их в необходимых координатных системах.

В дальнейшем будем пользоваться, главным образом, декартовой прямоугольной системой координат.

Глава IV

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМ И ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЯМИ

§23. Обобщенный закон Гука

Уравнения, полученные в главах И и III, недостаточны для определения напряженного и деформированного состояний, возникающих в теле под действием приложенных сил. Поэтому эти уравнения должны быть дополнены определенными соотношениями, связывающими напряженное и деформированное состояния. Эти зависимости определяются исходя из физических свойств твердого тела, подвергающегося деформации. Установление связи между напряженным и деформированным состояниями является одной из важных задач механики сплошной среды, требующей постановки предварительных экспериментов. Это связь обычно идеализируется простейшими математическими формулами.

В процессе деформирования в одних случаях устранение внешних сил приводит к полному возвращению тела в естественное состояние, т. е. деформация обратима, в других же случаях после устранения нагрузки в теле сохраняются деформации, называемые остаточными или пластическими, т. е. деформация необратима. В дальнейшем мы будем изучать вполне обратимые малые деформации.

Примем, что в каждой точке рассматриваемого тела существует взаимно однозначное соответствие между напряженными и деформированным состояниями.

Выражая это аналитически, получим шесть зависимостей вида

^ = ЛЧе^(4.1)

которые однозначно разрешимы относительно компонентов тензора деформаций

—(4.2)

За недеформированное состояние упругого тела принимается такое его состояние, когда в нем отсутствуют напряжения. Это состояние в дальнейшем берется за начало отсчета напряжений и деформаций. Ввиду этого функции /ij, а также ф>о обращаются в нуль, когда их аргументы обращаются в нуль

/^(0) = ^‘(0) = 0.

Для многих материалов зависимости (4.1) или (4.2) являются либо

нейными, если величины напряжений не выходят за определенный предел.

Линейный закон связи между напряжениями и деформациями называется обобщенным законом Гука. Общая запись закона Гука будет следующая;

вЧ=Сиием.(4.3)

Переставим поочередно в (4,3) индексы Цк1 на jikl, ijik, jilk’ из условия симметрии тензора напряжений и тензора деформаций обнаружим симметрию величин

Ci3RICi3RIС3**1С3**1^ij1^ q^ •*^ij1^ q^ •*(4.4)(4.4)

Ci3RI

Ci3RI

С3**1

С3**1

^ij1^ q^ •*

^ij1^ q^ •*

(4.4)

(4.4)

которые образуют тензор четвертого ранга. Величины CiiM назовем упругими коэффициентами тела. Общее число различных коэффициентов Ciikt, как можно убедиться, на основании (4.4) равно 36. Упругие коэффициенты зависят от метрического тензора g^ неде- формированного тела и от его физических свойств. Учитывая, что

1 при а=т О при а + т.1 при а=т О при а + т.

1 при а=т О при а + т.

1 при а=т О при а + т.

) запишем в виде

3 3—С ek!g6mg gIng .

На основании правила скалярного умножения С”м§кт§!П представляет собой смешанный тензор С^п , a ekigkmgtn— контравариант- ные компоненты тензора малой деформации.

Таким образом, вместо (4.3) имеем

(4.5)

Запишем закон Гука (4.3) в виде Оц = С^меы (в силу симметрии о;, и ekl справедливы равенства С^м^С^гЫ^Сщк^Сцд) и произведем преобразования, аналогичные вышеприведенным. Тогда получим

^ = С^Хп.(4-6)

Для случая осевого растяжения призматического бруса закон Гука записывается в виде

е = Со, е' = С'а1

где е и е'—соответственно продольная и поперечная деформации, а С и С' — постоянные, равные

Здесь Е— продольный модуль упругости; v—коэффициент Пуассона.

§ 24. Работа внешних сил

Пусть на упругое тело действуют поверхностные силы Гп и объемные силы рг . Придадим этим силам приращения соответственно dT^ и pdr. В силу этого вектор перемещения и изменится на du. Тогда работа dV сил Т^ и р^при дополнительном деформировании тела будет

dy=J ?Fkdubdx+J Tnkdufcd^

где т — объем тела, а <о — его поверхность.

Учитывая, что Tuk = <5krUT и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, для dV получим

dV = С 9Ftdukdx-Y СкМ^ dx,

JJ дх,

или

dV=UpFft +duftdx 4- С ^ -A- (duft) dx.

И mJJ dx,

В силу того, что

±*4-pF=o, — {dtik)=d^-, dx, vdx, '6 dx,

будем иметь

(4.7) J dx,

В подынтегральном выражении (4.7) суммирование ведется по индексам А и г. Учитывая симметричность тензора напряжений Окт> имеем

, диь , 1 / дик . da, \.

dx,2 \ dx, 1 дхк }

На основании последнего соотношения для dV окончательно получим

dV = ^ft,dek,dx.(4.8)

Эта формула в условиях статики определяет работу внешних сил pF и Тп на приращениях компонентов тензора деформаций, вызываемых изменением упомянутых сил; работа, отнесенная к единице объема, будет

dA = »ft,dek,.(4.9)

§ 25. Потенциал тензора напряжений

По идее Томсона, к изучению процесса деформирования тела применимы первый и второй законы термодинамики. Предположим,

что процесс деформирования тела термодинамически обратим, тогда состояние тела однозначно определяется термодинамическими переменными.

Если U, Q, A, S суть внутренняя энергия, количество тепла, работа внешних сил и энтропия, соответственно отнесенные к единице объема тела, то в случае малых деформаций по первому и второму законам термодинамики имеем

dU=dQ \ dA, dQ-TdS. (4.10)

Здесь dU, dS— соответственно приращения внутренней энергии и энтропии представляющие полные дифференциалы независимых термодинамических переменных, определяющих состояние тела, Т — абсолютная температура.

Исключая из (4.10) приращение тепла dQ, с учетом (4.9) получим основное термодинамическое соотношение для процесса деформирования тела

dU=7dS+=krdekr (4.11)

Определим упругое тело таким образом, чтобы задание тензора деформацией ект и одной термодинамической переменной (температуры Т или энтропии S) полностью определяло его состояние, т. е. тензор напряжений оаг и термодинамические потенциалы U и F=U—TS (последний носит название свободной энергии Гельмгольца).

В качестве независимых переменных, определяющих состояние

упругого тела, выберем ект и температуру Т. Тогда свободная энер-

гия Гельмгольца будет функцией только ект и Т, т. е.

F=5(^r, Т).

(4.12)

Определив U из

F = U-TS.

(4.13)

и подставив его в (4.11), найдем

dF=strdekT — SdT.

(4.И)

С другой стороны, из (4.12) имеем

dF^-—debr-\-—- dT. декг' дТ

(4.15)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в; (4.14) и (4.15), получим

дР

3=—^’(4.16)

здесь

4к = екк, е»г=2^„ (* ^ г).

Первое соотношение (4.16) показывает, что потенциалом тензора напряжений для упругого тела при данном выборе независимой

термодинамической переменной является свободная энергия Гельмгольца. Если в качестве независимой термодинамической переменной выберем энтропию, т. е. предположим, что состояние упругого тела полностью определяется заданием тензора деформаций е^г и энтропии S, тогда U=U(e^r, S) и поэтому

dU=-^defer^dS.(4.17)

Из сравнения (4.11) и (4.17) получим

7= —,(4.18)

de*,dS

Первое соотношение (4.18) доказывает, что потенциалом тензора напряжений является внутренняя энергия.

В случае адиабатического процесса, т. е. когда dQ=O, из первого соотношения (4.10) следует, что dA является полным дифференциалом независимых переменных е^г, т. е.

dA = — dekr.дек, r

С другой стороны, на основании (4.9)

dA^a^de^

откуда

^ = "^-(4-19)

Если совершается изотермический процесс (7 = const), то в силу второго соотношения (4.10) приращение тепла dQ, так же как и dU, будет полным дифференциалом, так как известно, что приращение энтропии dS есть полный дифференциал. Следовательно, из первого соотношения (4.10) заключам, что dA является полным, дифференциалом. Тогда

(4.20)

Как видно из (4.19) и (4.20), в случае адиабатического и изотермического квазистатических процессов потенциалом служит работа внешних сил и она может быть определена из равенства

dA = 4rdekr = ^-defer(4-21)

декг

Если тело линейно-упругое, то согласно (4.6) величины —— ли- defer

нейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций вкг. Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно вкт- Следовательно, по теореме Эйлера об однородных

функциях будем иметь

Это соотношение называется формулой Клапейрона.

Теперь в качестве независимых переменных, определяющих состояние упругого тела, возьмем тензор напряжений щ,г и температуру Т. Введем новую функцию

J =U— TS— скгекг,(4.22)

которая зависит только от оаг и Г; тогда

dJ =— d^ — dT.(4.23)

д^мдТ

С другой стороны, из (4.9), (4.11) и (4.22) имеем

dJ= — SdT — ekrdakr(4.24)

Сравнение (4.23) и (4.24) приводит к выражениям

(4.25)

<70дгОТ

Таким образом, в случае, когда в качестве независимых переменных выбраны сиг и Т, функция (4.22) является потенциалом для тензора деформации упругого тела. Легко показать, что в независимых координатах ом и Т для адиабатического и изотермического процессов деформирования тела потенциалом тензора деформаций является функция

^Аг-А.(4.26)

Формуле (4.9) придадим внд

dA=akrdek, =d^)irek^—ek,dakr

Отсюда, учитывая, что при адиабатическом и изотермическом процессах деформирования dA есть полный дифференциал, будем иметь

^(А 3кг^кА^ ^kr^kr' Следовательно,

„* д (okTekf — Л)

Итак, функция п^йг— А для адиабатического и изотермического процессов является потенциалом тензора деформаций.

Если тело линейно-упругое, то по формуле Клапейрона ойгСаг^ = 2Д и на основании (4.26) потенциал тензора деформаций, называемый упругим потенциалом, будет равен А. Следовательно,

■(4.27)

Эти соотношения называются формулами Кастильяно и справедливы для линейно-упругого тела при адиабатическом и изотермическом процессах.

Потенциал в случаелинейно-упругого тела

Пусть процесс деформирования твердого тела происходит адиабатически или изотермически; тогда имеет место соотношение (4.19). При этом соотношении величина dA является полным дифференциалом непрерывной однозначной функции А, зависящей только от тензора деформацией ^г. Примем тело линейно-упругим. Подставим выражения обобщенного закона Гука (4.6) в (4.9)

dA-CT^de^

Чтобы правая часть этого равенства также была полным дифференциалом, должно выполняться условие СтП=СТ”. Учитывая последнее, после интегрирования найдем

А = 2-СГАтА>. (4.28)

Различные случаиупругой симметрии тела

В теории упругости рассматриваются тела однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные. Однородным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех его точках; изотропным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях. В противном случае тело называется неоднородным и анизотропным. Примером анизотропных тел являются кристаллы.

Применяемые в технике металлы и их сплавы имеют поликри- сталлическую структуру в виде беспорядочно расположенных кристаллических зерен. Поликристалл, размеры которого одного порядка с размерами кристаллических зерен, по своему существу неоднороден и анизотропен. При сравнении между собой образцов, размеры которых значительны по сравнению с размерами отдельного зерна, ввиду произвольности ориентации зерен и малости их размеров по сравнению с размерами образца (от долей микрона до десятков микронов), поликристалл ведет себя, как однородная и изотропная сплошная среда.

Следует отметить, что условия изготовления, а также различные виды механической обработки вносят в металл более или менее существенную анизотропию и неоднородность, поэтому всегда имеет место лишь приближенная однородность и изотропность материалов.

Симметричность структуры анизотропных тел приводит к связям между коэффициентами упругости. Мы рассмотрим некоторые частные случаи упругой симметрии.

Для анизотропных линейно-упругих тел, когда процесс деформирования происходит изотермически или адиабатически, ввиду того, что С”" = С^П, число коэффициентов упругости равно 21.

Пусть тело обладает одной плоскостью упругой симметрии, которую примем за плоскость 0x1X2. При изменении направления оси ох3 на обратное следует поменять знаки Хз и из, следовательно, изменяются и знаки компонентов деформаций е3ь е23.

Изменение направления оси оха на обратное не должно менять величину упругого потенциала А, так как она является инвариантом. Поэтому в формуле (4.28) должны исчезнуть члены, содержащие взз, 613 в первой степени, т. е.

/п13 /->23 /->22 /->33 /^33/->13 />31 л/л ла\

Сц = Ьн = U23 — Ь13 — L23 = C12 = L12 = L22 = U*(^.^У^

Таким образом, в случае, когда тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств, число упругих постоянных уменьшается до 13.

Пусть тело обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств. Примем эти плоскости за координатные плоскости 0X1X2 и 0x2X3. Чтобы величина упругого потенциала не изменилась от изменения направления оси 0x2 на обратное, вследствие чего изменится знак у компонента eta, кроме условий (4.29), следует положить

СЙ=СЙ = СЙ=СЙ=0.(4.30)

Следовательно, если тело в каждой точке имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии упругих свойств, то имеется только 9 не равных нулю упругих постоянных; их можно представить в виде матрицы

ей сПСй000

Сг22 сПейооо

Саз СйСзз000

000СЙ 00•

0000 СЙо

0000 оей

Из рассмотрения этой матрицы следует, что если в теле имеются две ортогональные плоскости упругой симметрии, то третья ортогональная к ним плоскость будет также плоскостью упругой симметрии. Такое тело называется ортотропным.

Если тело обладает упругими свойствами, одинаковыми относительно каждой из трех плоскостей симметрии, то, чтобы при изменении оси oxi на ось 0X2, оси 0X2 на ось ох3 и оси oxi на ось ох3, т. е. при перемене между собой «и, е32, е33 или 612, еаз, Bai не изменилась величина упругого потенциала, кроме условий (4.29) и

должны быть соблюдены еще условия

С

И /ч22 /^33. /^2 2 /-*33 />33е />12 /->13 /^23/4 qi^

U = U22 = C33» Сц=Ьп=С22» C12 = U13 = b23*™-1J

Следовательно, когда тело обладает упругими свойствами, одинаковыми для каждой из трех плоскостей, упругий потенциал имеет вид

сп

А = —^~ (^11 + ^22 + ^зз) + Сп (е32^зз + ^33^11 + ^11^22 ) +

4^- (S12 -|- ^2$ + ^31)(4.32)

и тогда остаются только 3 независимые упругие постоянные.

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инварианты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора деформаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е.

Л=Р(еп-|-^2г4~^зз)2Н~9 (ен^22+ ^22^33 + ^33^11— е12 — е1з — Sat). (4-33)

Таким образом, изотропное тело характеризуется лишь двумя упругими константами Р и Q. Применяя формулы (4.20) и при этом учитывая, что в них величины ел/(&¥=г) представляют угловые деформации, тогда как в (4.33) они обозначают половины угловых деформаций, из формулы (4.33) получим

^-(2P+Q)68»,+(-Q)^,

где 0 — объемная деформация, 6йг символы Кронекера.

Принимая во внимание введенные Ляме обозначения

2P + Q=X; -Q=2h,(4.34)

получим формулы компонентов тензора напряжений для линейноупругого изотропного тела через компоненты тензора малой деформации

аег=Х68е,.+2р£6г,(4.35)

Постоянные X и ц называются упругими постоянными Ляме.

Эти формулы, выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела.

Заметим, что формулу (4.33) в силу формул (4.34) можно теперь представить в виде

2Л =Х62+2^ег6е6г.(4.36)

Здесь суммирование ведется по обоим индексам к и г.

Так как энергия деформации всегда положительна, то из формулы (4.36) заключаем, что р>0. Действительно, если выбрать тензор вкт таким, что вкк = 0, то (4.36) примет вид

2Д =4р (^12-Не23-|-6з1), откуда р>0.

Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные направления тензора деформаций совпадают с главными направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем иметь el2=fe2^ = e3i = 0, в силу формул (4.35) также 012 = 023=031 = 0, что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не различают главные направления тензора деформаций и тензора напряжений; те и другие называются главными направлениями.

Пусть изотропное тело испытывает осевое растяжение; напряженное состояние в каждой его точке дано в виде

®п #= 0, агг=в|2=а23=а31 = з33 = 0, тогда формулы (4.35) примут вид

X9 + 2yln, = an X6-j-2^25=0, Х94*2^зз=0.(4.37)

Складывая эти формулы, получим

Внося (4.38) в первую формулу (4.37), будем иметь

438

X 4-^

Сравнивая (4.39) с формулой закона Гука для осевого растяжения призматического бруса, найдем

Д= н(ЗХ + 2|л) _(4 40)

X + ц

Из двух последних формул (4.37) с учетом (4.38) имеем

„XX

2233^^(3X4-2^) 11

Подставим в эту формулу значение ом из (4.39) и введем обозначение

(4.41)(4.41)х

(4.41)

(4.41)

2<Х +f> *

тогдатогда^22 —633 — —^ц.^22 —633 — —^ц.(4.42)(4.42)

тогда

тогда

^22 —633 — —^ц.

^22 —633 — —^ц.

(4.42)

(4.42)

Равенства (4.42) выражают закон поперечного сужения при осевом растяжении, причем v называется коэффициентом Пуассона.

Допустим, что изотропное тело подвержено всестороннему гидростатическому давлению, тогда

^п™^—°зз= —Р’

312=°2з=аз1=0.(4.43)

Учитывая (4,43), из (4.35) получим

хе + 2^,= -^ (г=1, 2, 3).(4.44)

Складывая формулы (4.44), будем иметь

(ЗХ+2^в=-Зр.(4.45)

Вводя обозначение

*=*+“-(*.(4-46)

где К называется модулем объемного сжатия, из (4.45) получим р=-К9.(4.47)

Согласно закону сохранения энергии при р>0 происходит уменьшение объема; учитывая это, из формулы (4,47) имеем К>0. На основании формул (4.40), (4.41) и (4.46) величины X, р и К выразим через £ и v

Х =^, р =—5, К=— (4.48)

(l+v)(l —2v) г 2(1 +v)3(1 —2v)'

Из двух последних формул (4.48), учитывая, что £>0, р>0 и КХХ получим 1—2v>0, l+v>0, откуда область возможных значений коэффициента Пуассона будет

— l<v<0,5.(4.49)

Как видно, коэффициент Пуассона может принимать также некоторые отрицательные значения. Однако, как показывают опыты, коэффициент Пуассона для известных материалов принимает положительные значения, поэтому вместо неравенства (4.49) будем иметь

0<v<0,5.

Для очень многих материалов v имеет приблизительно одно и то же значение, близкое к ’/з- Следовательно, из первой формулы (4.48) имеем Х>0.

Таким образом, из (4.36) вытекает, что энергия деформации А есть положительно определенная квадратичная форма компонентов 70

тензора деформаций, обращающаяся в нуль только тогда, когда компоненты тензора деформаций одновременно равны нулю.

Решая (4.35) относительно компонентов тензора деформаций вкг и учитывая две первые формулы (4.48), мы получим обобщенный закон Гука для изотропного тела.

—(4.50)

где

3=у°м-(4,51)

Температурные напряжения

Пусть Г — изменение температуры в некоторой точке тела, тогда объем достаточно малой окрестности этой точки изменится пропорционально Г. Вследствие этого относительное удлинение всех волокон, исходящих из данной точки, равно аТ. При этом компоненты тензора деформации будут

^и = ^22 = ^зз = оТ; ^12 = ^23 = ^31=0.(4-52)

Здесь а — коэффициент линейного теплового расширения. В действительности деформация окрестности точки, возникшая под действием разности температур, встречает сопротивление среды. В этом случае полная деформация елг представляет результат суперпозиции указанного теплового расширения еь/ и упругой деформации т. е.

вйг — вбг — ^йг-(4.53)

В изотропном линейно-упругом теле, если не превзойден предел пропорциональности, в силу гипотезы Неймана компоненты тензора деформаций ед/' связаны с компонентами тензора напряжений формулами обобщенного закона Гука

°бг=W^r -(- 2р.£йГ.(4.54)

Согласно формулам (4.52) и (4.53)

9" = 6-ЗаГ(4.55)

Подставляя (4.53) и (4.55) в формулы (4.54), получим

»й,=Х68»,+2р^-рГ8ег.(4.56)

Формула (4,56), где р=(ЗЛ + 2ц)а, выражает обобщенный закон Гука для изотропного тела. На основании гипотезы Неймана компоненты тензора полной деформации, входящие в формулы (4.56), определяются при помощи перемещений Uk формулами (3.26).

§ 29. Интеграл энергии для уравнений движения упругого тела

Предположим, что на тело действуют поверхностная сила Т» и объемная сила рЛ Определим работу этих сил от начального момента Z = 0, соответствующего естественному состоянию покоя, до рассматриваемого момента времени t. Перемещение точек тела за время dt будет ^~^- Обозначим работу внешних сил за время dt через dR. Тогда

dR=J (р5й^^т + J (гяй^^^.

Подставляя ТПк = СкгМт и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, получим

dR _ С17 д^г dt J |_\ dxrdR _ С17 д^г dt J |_\ dxr

dR _ С17 д^г dt J |_\ dxr

dR _ С17 д^г dt J |_\ dxr

Исходя из уравнений движения, найдем

dx.dx.

dx.

dx.

Здесь первое слагаемое представляет собой производную кинетической энергии тела по времени. Действительно,

Р ^аь dufe , dpi/ дяь \2 , dK

1 p-—-2. 5-dX=1 — p M dx = —— .

JdSdt di J 2 \ dt } dt

Вследствие симметрии тензора напряжений оьт

Если процесс упругого деформирования идет адиабатически или изотермически, то в силу (4.19) будем иметь

defer dtdefer dtР дА дейгJ дем dtР дА дейгJ дем dtAdx.Adx.

defer dt

defer dt

Р дА дейг

J дем dt

Р дА дейг

J дем dt

Adx.

Adx.

Следовательно,

Интегрируя последнее соотношение в пределах от 0 до t и учитывая, что в начальный момент времени тело находилось в естест- 72

венном состоянии покоя, найдем

/?=лг + ул</т,(4.57)

где У Adt — работа, которая должна быть затрачена внешними силами для того, чтобы возникла деформация. Эта работа равна потенциальной энергии упругой деформации; А является потенциальной энергией упругой деформации, отнесенной к единице объема. Формула (4.57) верна не только для изотермического и адиабатического процессов, только А при этом не является потенциалом.

Если тело линейно-упругое и изотропное, то А определяется по формуле (4.36). Таким образом, работа внешних сил расходуется на возникновение кинетической энергии тела и потенциальной энергии деформации. Формула (4.57) представляет закон сохранения механической энергии.

Если под действием внешних сил тело из естественного состояния покоя перейдет в новое, деформированное состояние покоя, то кинетическая энергия будет равна нулю и формула (4.57) примет вид

^=1^.(4.58)

Тождество Бетти

Пусть тело линейно-упругое и находится в двух различных напряженных состояниях (я^, е^) и (я/у, ^у). Тогда

=ii=CTjVmn,(4.59)

=ц=СТГвтп.(4.60)

Составляя я//е)у, учитывая в нем (4.59), а затем собирая коэффициенты при е^, с учетом (4.60) получим тождество Бетти

4'ije*ij=a*je'£}.(4.61)

Тождество Бетти показывает, что для одного и того же линейноупругого тела работа первого напряженного состояния на деформации второго напряженного состояния равна работе второго напряженного состояния на деформации первого напряженного состояния.

Теорема Клапейрона

Пусть линейно-упругое тело под действием поверхностной силы Тп и объемной силы pF находится в состоянии покоя. Работа упомянутых сил на перемещениях ик равна

R = J pF^dx + J Г^dw.

Внося сюда ТпА=<ГйгПг и преобразуя поверхностный интеграл в объемный, будем иметь

В силу уравнений равновесия (2.25) и симметрии тензора напряжений Окт, получим

R=SakfMt-

Если процесс деформирования идет адиабатически или изотермически, то на основании формулы Клапейрона

(4.62)(4.62)Adx = -L^.

(4.62)

(4.62)

Из равенства (4.62) следует, что работа упругой деформации равна половине работы внешних статически приложенных сил на перемещениях. Это положение носит название теоремы Клапейрона.

Глава V

ПОЛНАЯ СИСТЕМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Уравнения упругого равновесия и движения в перемещениях

Уравнениями (4.1), связывающими тензоры напряжений и деформаций, замыкается система основных уравнений (2.24), (3.26) теории упругости, т. е имеет место система девяти уравнений

_^+р/г(5Л)

dxt Т

°U—/ij^erkV(5-2)

Здесь неизвестными являются шесть компонентов тензора напряжений по и три перемещения u^. С помощью формул (3.26) через ак вычисляются компоненты тензора малой деформации е,к.

Система уравнений (5.1) и (5.2) содержит одновременно и компоненты вектора перемещения, и компоненты тензора напряжений. Чтобы получить уравнения равновесия или движения в перемещениях, из (5.2) определяем

даИ 1 д?и / №аг . ^6 \dxt 2 дегк \ дх1дхк дх(дхг /

Здесь коэффициенты при вторых производных неизвестных функций Uh являются функциями первых производных от этих функций.

В результате имеем систему трех нелинейных уравнений в частных производных второго порядка относительно трех функций ик трех независимых переменных хт в случае равновесия и четырех независимых переменных хт и времени t — в случае динамического приложения сил. Эти уравнения не приводим ввиду их сложности. Их удобнее составлять непосредственно в каждой конкретной задаче.

В случае, когда имеет место закон вида (4.6), коэффициенты

—— будут представлять собой упругие постоянные Сн и дифференциальные уравнения составят систему трех линейных уравнений с переменными коэффициентами, когда тело неоднородное, и с постоянными коэффициентами, когда тело однородное.

Для изотропного однородного линейно-упругого тела будем иметь

dxtdxtдб ,6 ( д“1dxt dxi \ dXjдб ,6 ( д“1dxt dxi \ dXjди; \ dxi )ди; \ dxi )(5-3)(5-3)

dxt

dxt

дб ,6 ( д“1

dxt dxi \ dXj

дб ,6 ( д“1

dxt dxi \ dXj

ди; \ dxi )

ди; \ dxi )

(5-3)

(5-3)

Подставляя выражения этих частных производных в уравнения (5.1), найдем

М^+Н^+Р^--^г)=°-(5-4)

Полученные уравнения движения в перемещениях, содержащие три функции Uj, называются дифференциальными уравнениями Ляме. Система уравнений (5.4) эквивалентна дифференциальному уравнению в векторной форме

(Х+р) v div « + рд«+ pff(Х+р) v div « + рд«+ pffdtidti(5-5)(5-5)

(Х+р) v div « + рд«+ pff

(Х+р) v div « + рд«+ pff

dti

dti

(5-5)

(5-5)

которое получится из уравнений (5.4), если каждое из них умножить на /у, а затем просуммировать по индексу j, учитывая, что 6 = dive. При этом для упругого равновесия вместо системы уравнений (5.4) и уравнения (5.5) будем иметь

(Х+^^+^ДЦу + Р^/^О,(5.6)

(Х+1*) V div« + n A w-|-pF=O(5.7)

Для случая, когда на тело действуют только поверхностные силы, т. е. когда объемная сила р Нравна нулю, уравнения (5.6) примут вид

(Х + р)-^- + рД«у = О.(5.8)

Продифференцируем (5.8) по Ху и сложим по индексу j. Тогда

(Х+2р) Д9=О.

откуда

д8=0.

Таким образом, в случае отсутствия массовых сил относительная объемная деформация является гармонической функцией.

Действуя оператором Д на обе части (5.8), получим

^- д64-рдды/=О.

Учитывая, что Д6 = 0, будем иметь

ддыу=0,

т. е. вектор перемещения является бигармонической функцией.

Сложим формулы обобщенного закона Гука (4.50) (при г=й), тогда

6=3 ^2--д,(5.9)

где Зо — сумма нормальных напряжений, действующих в трех взаимно перпендикулярных площадках. Так как 6 — гармоническая функция, то в силу (5.9) о также является гармонической функцией.

Действуя оператором ДА на обе части каждой из формул обобщенного закона Гука для изотропного и однородного тела и учитывая, что относительная объемная деформация есть гармоническая функция, a Uj суть бигармонические функции, приходим к выводу, что компоненты напряжения также суть бигармонические функции.

Подставим выражение, определяемое формулой (4.56), в дифференциальные уравнения (5.1), тогда ■

(Х+р)^- + мЫ; + р(ду —^)_^=о.(5.10)

(7XJ\01* /

Эти дифференциальные уравнения называются термоупругими уравнениями Дюгамеля — Неймана.

Следует отметить, что упругие постоянные Аир являются функциями температуры и, как установлено экспериментами, при повышении температуры обычно уменьшаются. Для случая, когда градиенты температуры в теле не слишком велики, Аир можно считать постоянными.

Система дифференциальных уравнений (5.10) содержит три неизвестных функции щ, так как изменение температуры Т предполагается известным; последнее определяется следующим образом: пусть в теле происходит изменение температуры, зависящее от координат его точки и времени L Допустим, что тело термически изотропно и однородно; кроме того, коэффициент теплопроводности А* и удельная теплоемкость с не зависят от изменения температуры. Это допущение при не слишком больших разностях температуры вполне оправдывается. В этом случае функция Г(Х|, Ха, Хз; О должна во всем теле удовлетворять уравнению теплопроводности Фурье

аЧТ4-9-=—,(5.11)

су dt

где А — оператор Лапласа; у •— удельный вес, а — температуропроводность, а2 = А^-’-у-1; Q — количество тепла в единице объема, выделяемое или поглощаемое за единицу времени источником тепла, расположенным в данной точке тела.

В случае стационарного температурного состояния тела уравнение (5.11) приводится к уравнению Пуассона

дТ--^.(5.12)

Если тело не содержит источников тепла, то получим уравнение Лапласа

дГ=0,(5.13)

т. е. температура будет гармонической функцией.

Для полного определения функции I нужно задать соответствующие граничные, а в случае нестационарного температурного состояния еще и начальные условия. Предполагается, что искомая функция и ее частные производные непрерывны вплоть до поверхности тела. Начальным значением Т может быть любая, непрерывная или разрывная, наперед заданная функция f(x:, х2, х5), т. е.

T^xv х2, ха, О)=/(лс1э х2, хау(5.14)

В простейшем случае граничным условием служит задание температуры на поверхности <о рассматриваемого тела в виде функции координат и времени

Г|ш = Г°(хд, х2, ха; t)(5.15)

в любой момент времени />0.

дТдпдТдпНа границе можно также задать поток тепла через поверхность тела

дТ

дп

дТ

дп

= — q°(xv х2, ха; i),(5.16)

где q° — количество тепла, втекающее или вытекающее через единицу площади поверхности тела за единицу времени.

Наконец, согласно закону охлаждения Ньютона, условие на поверхности тела может быть также задано в виде

(5.17)

Здесь Т* — температура среды; — — коэффициент относительной теплопередачи; к — коэффициент теплоотдачи.

В случае совместного рассмотрения задачи теплопроводности и термоупругости мы имеем дело с обобщенным уравнением теплопроводности

-~+62-^-(11у« = а2дТ.(5.18)

Здесь и — вектор упругого перемещения;

ср, cv — теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме; а — коэффициент линейного расширения.

Обобщенное уравнение теплопроводности (5.18) отличается от обычного (5.11) при Q = 0 присутствием добавочного слагаемого 78

Ьг^ div и и может быть получено из первого закона термодинамики. Идея такой постановки задачи принадлежит известному русскому физику Н. А. Умову, который сформулировал ее в 1871 г. в работе «Теория термомеханических явлений в твердых упругих телах». При таком подходе решение задачи термоупругости сводится к совместному решению обобщенного уравнения теплопроводности с уравнениями движения и совместности деформаций при соответствующих начальных и граничных условиях для температуры и напряжений. В такой постановке задача реализуется тогда, когда, помимо температурных полей, на тело действуют быстро изменяющиеся внешние силы, которые могут вызвать в теле довольно существенное перераспределение температурных полей, что в свою очередь может повлечь к перераспределению напряжений. В тех случаях, когда температурные напряжения возникают в теле только за счет нагрева, подводимого к нему извне, в обобщенном уравнении теплопроводности можно пренебречь слагаемым^2 “^ diva.

Тогда из задачи термоупругости выделяется отдельная задача теплопроводности. Совершенно ясно, что во всех статических задачах слагаемое^2 "^"div и обращается в нуль, поэтому здесь задачи термоупругости и теплопроводности решаются раздельно.

Вышеизложенным способом из (2.30) и закона Гука (4.35) с учетом формул (3.29), (3.30) легко получить дифференциальные уравнения движения в перемещениях в цилиндрической системе координат. Они таковы:

(Х+адгА-^-^))-^

(5|9)

дх3 \ дг(№ /

где

0=ео + ^w+ ^зз=“—ту (гм,) Н—"—~ + ~~" •(5.20)

г orг Of »х3

Также из (2.31) и (4.35) с учетом формул (3.33) и (3.34) получим дифференциальные уравнения движения в перемещениях в сферической системе координат. Они имеют вид:

(X+2p)rsin^-^- -2р—2_(и, sin 4-

+ pr sin ^(рг ——

(Х+ад—1-4?—vJ^ sin ф d<p \ dp(Х+ад—1-4?—vJ^ sin ф d<p \ dpa\/ d2u„ \

(Х+ад—1-4?—vJ^ sin ф d<p \ dp

(Х+ад—1-4?—vJ^ sin ф d<p \ dp

— (^))+prfFv4=0, (5.21) dr)\ ? dp )' '

—L +pf Sin Ф Fa 1 = 0, dr* 6P )—L +pf Sin Ф Fa 1 = 0, dr* 6P )(X-|- 2p) sin ф -^2p(-^-(rw?sin <p)

—L +pf Sin Ф Fa 1 = 0, dr* 6P )

—L +pf Sin Ф Fa 1 = 0, dr* 6P )

где

6=^+^p+^ =“ 4-^u^ ^—Ц" (i ^ sin '^+1 (5'22)r2 orr sin ip)

Для осесимметрической задачи уравнения (5.19) примут вид (Х+2^)г —+2^г-^ + рг^г—^1=0, Fv=0, 1 1' dr 1 dx3 1 г др )¥

(5.23)

(Х + 2(л) г —— 2^-^-(ru>¥)-|-pr/F3=0,dx3 dr 1\ 3 dP )

ибо uT = 0, a tir и «з не зависят от координаты у. В силу последнего обстоятельства Wr=<u3=0 и

9 = — — г дг9 = — — г дгди3 dxsди3 dxs(5.24)(5.24)Для случая равновесия и когда FT=F3 = Q, уравнения (5.23) приводятся к виду■Для случая равновесия и когда FT=F3 = Q, уравнения (5.23) приводятся к виду■d0d0dr X + 2jx dx3dr X + 2jx dx30,0,ОтсюдаОтсюдаdeдх3deдх32р 1 д ,. п(гш„) = 0.+ 2ч г dr v v2р 1 д ,. п(гш„) = 0.+ 2ч г dr v v(5.25)(5.25)

9 = — — г дг

9 = — — г дг

ди3 dxs

ди3 dxs

(5.24)

(5.24)

Для случая равновесия и когда FT=F3 = Q, уравнения (5.23) приводятся к виду■

Для случая равновесия и когда FT=F3 = Q, уравнения (5.23) приводятся к виду■

d0

d0

dr X + 2jx dx3

dr X + 2jx dx3

0,

0,

Отсюда

Отсюда

de

дх3

de

дх3

2р 1 д ,. п

(гш„) = 0.

+ 2ч г dr v v

2р 1 д ,. п

(гш„) = 0.

+ 2ч г dr v v

(5.25)

(5.25)

dдгdдг7^'™^7^'™^^з_ = 9.дха "^з_ = 9.дха "^£„ = 2-^-4- —дх2 ^з дг^£„ = 2-^-4- —дх2 ^з дг

dдг

dдг

7^'™^

7^'™^

^з_ = 9.дха "

^з_ = 9.дха "

^£„ = 2-^-4- —

дх2 ^з дг

^£„ = 2-^-4- —

дх2 ^з дг

—^-=0.d^3

Определив решение №ф этого уравнения, с помощью одного из уравнений (5.25) найдем также 0. Тогда для определения иг и иф из (3.30) и (5.24) получим дифференциальные уравнения вида

^ = 2<of

дх3 дг т

(5.253

Отсюдад { 1 ддг \ г дг

Найдя решение Ur последнего уравнения, с помощью одного из урав' нений (5.25) найдем также Нз-

Для осесимметричной задачи уравнения движения в сферической системе координат примут вид

(X + 2и)+ 2рi——(ш? sin ф) + Рг (F, -=0, F^= 0,

dr г sin ф\№ /

(^ + 2р.)^2(1—^-(r^sin ф)+ рг=

simp дг\ oi2 /

где

^Ц-'Т-С^Н(Иф sin 6),г2 дгг sin ф дф

1 / дцу д г Л а

ю„ = -—(гйф) , ш=шф = и,

т 2г Др dr.

так как ыт=0, «ф = «ф(г, ф) и ит=ит (г, б).

' § 33. Уравнения в компонентах напряжений

Рассмотрим основные уравнения статики линейно-упругого изотропного тела

-^--^ = 0,(5.26)

екг = Ч. ~ — »8»г(5.27)

Девять уравнений (5.26) и (5.27) содержат девять неизвестных ФУНКЦИЙ Ufc, Ohr.

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций еы не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5.27) в условия совместности деформаций Сен-Венана; тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. X и ц не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел.

Подставляя (5.27) в условия Сен-Венана (3.45), после ряда преобразований получим

^Н ,^Yl3v /Й2О.6^0 \ ^ ^12,5 28)

дх^ йх^ 1 + v 5^2^2 у блдАгз

^дп 3vд-я д/do2з। да^х .daisX.5 £m

dx2^x31 Ч- v5x2^3дх\\дхх дх2дх3)'

(5.30)(5.30)и еще четыре подобных соотношения, соответствующих также условиям (3.45). Продифференцируем первое уравнение (5.26) по хь второе — по х2, третье — по (—хэ) и сложим их; тогда

(5.30)

(5.30)

52 (ац + ®22) I 52 (Оц + ^22)52д33

dxfдх%5х3

3v/ 52а। 52а X/ дР3дР2дР\ X

1 + v5xj5х| )У 5х35х25X1 /

ИЛИ

А3—^-1

5^2з\ ^х^ дхз dxi

О 52»12 52аи

5Х]5х2(^

52»22д?О3з

дх^5х3

' дРг ■ дР2дР? X

5X1 5хг5х3 )'

Внося (5.30) в (5.28), будем иметь

Дс 7(1+v)A»22^- = “(1+V)P

j5х35

/-^L — 2^1^.V (5.31)

\ 5х25xi5х3 /

1 ,, . ,52аI , . , . .

Д’—t-U+^A’h—ТТ=^Г (^^Р

35х^3

/ дРхдР2дР3 X

( 5xi5х25х3 )

Два последних соотношения получаются аналогично из оставшихся двух уравнений типа (5.28).

(5.32)(5.32)Складывая последние равенства, найдем формулу

(5.32)

(5.32)

1+V4-

52а _

dFi

у (1 + у) “3(1 —v)

дРг

5xj

5xi

дхг

1 + v л^ ।

52а

дР2

л V (1 + V)

^, (5.33)

з

5х|

3 Г 11 у

5х2

г 3 (1 — v)

дхг

1 4-v „„

I 52а _

5F3

V (1 + V)

др,

з -Лю

5х3

2

5х3

F 3(l-v)

дхг

,1 + V дР,

Да = — р!'

3(1 — v) дх,

Подставляя (5.32) в (5.31), получим

Эти равенства составляют первую группу соотношений Бельтра- ми — Митчелла.

Для получения второй группы соотношений Бельтрами — Митчелла преобразуем (5.29). С этой целью продифференцируем второе уравнение (5.26) по х3, третье — по х2 и сложим их; полученный результат суммируем с (5.29); тогда будем иметь

4- V , „,52а _1 -Ь V / дР3 , др2 \

3дх2дх33 \ 5х25х3 )

Аналогично получаются остальные два уравнения этого типа. Таким образом, вторая группа соотношений примет вид

1 + V

■ 3 Д°11!"

| ^2а _

=-pl±2(

3 1

Г др\ ■ 6Г2\

< 6X2' ^Х1 / ’

дх\дхг

1 + V д_|

62О _

1 + V = — р—Т

( dFi j 6/^,

(5.34)

3

дхчдх-4

3

1 6х3 бХз /

]+v «л 1

62g_

6F3 । 6Fi \

з д 31 1

6jci6jc3

Р 3 1

6xi 16х3 ) *

Следовательно, соотношения Бельтрами — Митчелла представляют собой шесть линейных дифференциальных уравнений, содержащих шесть функций ors.

Важно отметить, что система уравнений (5.33), (5.34) пригодна только для случая линейно-упругого изотропного однородного тела при изотермическом или адиабатическом процессе деформирования его, тогда как шесть уравнений совместности Сен-Венана пригодны для любого тела.

В случае, когда массовые силы отсутствуют или постоянны, соотношения Бельтрами — Митчелла принимают вид

1 v ,।~з-Л9*г+б^;=1 v ,।~з-Л9*г+б^;=(5.35)(5.35)

1 v ,।

~з-Л9*г+б^;=

1 v ,।

~з-Л9*г+б^;=

(5.35)

(5.35)

Подобным образом при помощи (4.50) и (2.30), когда РТ=ЕФ = = Fa= №г= №$ = 1^з = 0, уравнениям совместности (3.40) в цилиндрической системе координат придадим вид

ДУДУ22лзлз., 2 ,д0^_|-„(а|., 2 ,д0^_|-„(а|4— у)— 4- -Г2 бу '4 йу .11г2 бу 1 + v г4— у)— 4- -Г2 бу '4 йу .11г2 бу 1 + v г-4- v дг--4- v дг-1 62г д^1 62г д^Д°зз4-Д°зз4-। I 6 / 1 69Д^ГфН”[1 + v дг \ г д^। I 6 / 1 69Д^ГфН”[1 + v дг \ г д^■Ь* дх^, 2 д ..■Ь* дх^, 2 д ..— аг? = 0,— аг? = 0,(5.36)(5.36)ДУ ~|—:ДУ ~|—:1 1626. 2 да^,. у q1 1626. 2 да^,. у qДоз,+ -т4Доз,+ -т4г д^дхэ629дгдх3г д^дхэ629дгдх3г2 бу2^з»/"2 буг2 бу2^з»/"2 буо,о,

ДУ

ДУ

2

2

лз

лз

., 2 ,

д0^_|-„(а|

., 2 ,

д0^_|-„(а|

4

— у)— 4- -

Г2 бу '

4 йу .11

г2 бу 1 + v г

4

— у)— 4- -

Г2 бу '

4 йу .11

г2 бу 1 + v г

-4- v дг-

-4- v дг-

1 62

г д^

1 62

г д^

Д°зз4-

Д°зз4-

। I 6 / 1 69

Д^ГфН”[

1 + v дг \ г д^

। I 6 / 1 69

Д^ГфН”[

1 + v дг \ г д^

■Ь* дх^

, 2 д ..

■Ь* дх^

, 2 д ..

— аг? = 0,

— аг? = 0,

(5.36)

(5.36)

ДУ ~|—:

ДУ ~|—:

1 1626. 2 да^,. у q

1 1626. 2 да^,. у q

Доз,+ -т4

Доз,+ -т4

г д^дхэ629дгдх3

г д^дхэ629дгдх3

г2 бу

2^з»

/"2 бу

г2 бу

2^з»

/"2 бу

о,

о,

где

'зз*'зз*Д=—Д=—ддгддг162 .62_'2 ^ + 6х=162 .62_'2 ^ + 6х=

'зз*

'зз*

Д=—

Д=—

д

дг

д

дг

162 .62_

'2 ^ + 6х=

162 .62_

'2 ^ + 6х=

Для осесимметричной задачи уравнения (5.36) примут вид

Д»„Д»„1 + v дг21 + v дг2

Д»„

Д»„

1 + v дг2

1 + v дг2

(5.37)(5.37), I 2 /М 11А

(5.37)

(5.37)

А^НГ" (°rr— °w) + “ГТТ "ТО»

г21 4- v г or

Д»зз4= 0,

. I 15261п

гдегдеЛ^+ТТ7^73

где

где

дг2 г дг ^2

так как оГ1р=сГфЗ=0, а остальные компоненты тензора деформации не зависят от координаты ф.

Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения

На практике наиболее широкое распространение имеют следующие случаи загруженкя и закрепления тел: 1) заданы силы, приложенные на поверхности тела; 2) заданы перемещения точек его поверхности; 3) на одной части поверхности заданы перемещения, а на другой — внешние силы. В связи с этим различают три типа основных граничных задач статики упругого тела.

Первая основная граничная задача состоит в нахождении в области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2), а на поверхности его еще следующим условиям:

«$гпг = Т^^ -Гз- -<а).(5.38)

где Т^ — проекции заданных сил, действующих на поверхности тела.

Вторая основная граничная задача состоит в нахождении такого решения уравнений (5.1) и (5.2), которое на поверхности тела удовлетворяет граничным условиям

u, = uAxv х2, х3),(5.39)

где и° — проекции заданного вектора перемещения точек поверхности тела.

Третья основная задача состоит в определении такого решения уравнений (5.1) и (5.2), которое на одной части удовлетворяет условиям (5.38), а на другой —условиям (5.39). Кроме этих задач

встречаются и другие задачи, также имеющие прикладное значение. На некоторых из них мы в дальнейшем остановимся.

Для задач термоупругости, в которых, помимо температур, действуют также поверхностные силы, граничные условия (2.22) принимают вид

7" Я1 =(A9-j- 2р#п — Э7')^1-|-

7^2 = 2^21^1 -|- (Х0 -{- 2[*Й22 — Р^)^ “Ь 2р^з3^31(5.40)

Гп3=2p.ealziI + 2|И32Дй + (М + 2н^зз — Р^) л3.

Уравнения (5.10) и (5.40) показывают, что вектор упругого перемещения и в теле будет таким, какой возникает, если на тело, кроме массовых и поверхностных сил, будут действовать еще силы pVT, приложенные в каждой точке его и отнесенные к единице объема, а на поверхности — давление п^Т.

Доказательство существования решения указанных задач представляет трудную проблему математического анализа. Однако в настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упругости установлена при весьма общих условиях. Принимая существование решений упомянутых граничных задач, перейдем к доказательству их единственности.

Допустим, что одна из указанных основных граничных задач имеет два решения: uV, -ark и и-к", агк". Очевидно, разность этих решений

Z/д = //£ — Wfti 5^ " Згк эгк

при отсутствии массовых сил должна удовлетворять основным уравнениям статики упругого тела (5.1), (5.2). В силу этого для «ь и orft имеет место формула (4.62)

У Tntu/ito=2 ^ Adr.(5.41)

В случае первой основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, на поверхности тела Тпг = 0, так как оба решения должны удовлетворять условиям (5.38) при одних и тех же силах, заданных на поверхности этого тела.

В случае второй основной граничной задачи для решения, составленного из разности двух решений данной задачи, аналогично предыдущему случаю, на поверхности тела будем иметь пг=0.

Наконец, в случае смешанной задачи на одной части поверхности Тпг=0, а на другой мг=0.

Таким образом, во всех трех основных граничных задачах подынтегральная функция на поверхности тела равна нулю, т. е.

ГпА = 0,

поэтому во всех трех случаях

J^</T = O.(5.42)

Учитывая, что А есть положительная квадратичная форма, из (5.42) получим

А=0.

Как следует из (4.36), это, в свою очередь, возможно при егд = 0. Отсюда заключаем, что еГк=еть" или, на основании обобщенного закона Гука (4.35), aTh'=<jTk". Следовательно, оба решения дают одинаковое напряженное или деформированное состояние.

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует ыг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения ur различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения.

В этом параграфе мы доказали, что система (5.1), (5.2) при заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным, так и многосвязным.

Основные задачи динамики упругого тела

В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае динамической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения и.к и проекции вектора скорости пл° точки тела в некоторый момент времени А), с которого начинается изучение задачи, т. е.

яИ^, х2, х8; t)\i=i6 = uVxv х2, х^, (5.43)

4г^хх» х2, х3; i^^io^^Xv х2, х3). (5.44)

Таким образом, интегралы системы уравнений (5.4) должны удовлетворять не только граничным, но и начальным условиям (5.43), (5.44).

Как и в предыдущем параграфе, докажем теоремы единственности решений указанных здесь задач, не останавливаясь на доказательствах теорем существования.

Допуская, что эти задачи имеют два решения, рассмотрим их разность, являющуюся решением системы уравнений (5.4) при Fk = 0. Для этого решения:

в случае первой задачи на поверхности тела вектор напряжения Тп = 0 при f^t0;

в случае второй задачи вектор перемещения точки поверхности телаа=0 при /^/о и, следовательно,-^-= О на поверхности о;

в случае же третьей задачи на одной части поверхности Гп = 0 при t^t0, а на другой «=0 при t^to, следовательно, на этой части поверхности тела = 0.

di

Так как оба решения задачи должны удовлетворять одним и тем же начальным условиям, то для разности этих решений начальные условия будут однородными, т. е. в начальный момент времени to

имеет место

(5.45)(5.45)я_^_=0.

(5.45)

(5.45)

di

Из сказанного следует, что работа R, вычисленная для разности решений « при t^to, равна нулю. Учитывая это, из формулы (4.57) будем иметь

(5.46)(5.46)/f+J АдК=0.

(5.46)

(5.46)

Так как кинетическая энергия тела К и энергия деформации суть положительные величины, то из (5.46) получим

К = 0; А = 0

и, следовательно,

да"diда"di0; ^й = 0 при О^о-0; ^й = 0 при О^о-

да"di

да"di

0; ^й = 0 при О^о-

0; ^й = 0 при О^о-

Из условия -^-= о следует, что вектор перемещения и не зависит

di

от времени; из условия егь = 0 следует, что деформация равна нулю. Следовательно, решение и может выражать только жесткое перемещение тела. По условию в начальный момент «=0, следовательно, это жесткое перемещение должно быть равно нулю во всех точках тела и во все моменты времени. Таким образом, два решения совпадают полностью.

§ 36. Принцип Сен-Венана (принцип смягчения граничных условий)

Рассматривая задачи об изгибе и кручении длинных призматических брусьев, Сен-Венан в 1855 г. опубликовал свой знаменитый принцип: «Способ приложения и распределения сил по концам призмы безразличен для эффектов, вызванных на остальной длине.

так что всегда возможно с достаточной степенью приближения заменить силы, которые были приложены, статически эквивалентными силами, имеющими тот же полный момент и ту же равнодействующую».

Спустя тридцать лет, в 1885 г. первая общая формулировка этого принципа была дана Буссинеском: «Уравновешенная система внешних сил, приложенная к упругому телу, когда все точки приложения сил этой системы лежат внутри данной сферы, производит деформации, пренебрежимо малые на расстояниях от сферы, достаточно больших по сравнению с ее радиусом».

Буссинеск для доказательства принципа Сен-Венана рассмотрел полубесконечное тело, находящееся под действием сосредоточенных сил, перпендикулярных к его плоской границе. Небезынтересно заметить, что до сих пор строго общего доказательства прин

ципа Сен-Венана не имеется. Существующие в этом направлении попытки посвящены в основном оценке погрешности принципа Сен- Венана применительно к призматическим, а также к телам, все размеры которых являются величинами одного порядка. Вопрос об оценке погрешности этого принципа применительно к тонкостенным стержням и оболочкам, ввиду его большой сложности, разработан слабо.

При решении задач теории упругости часто обращаются к принципу Сен-Венана. Если при решении задачи граничные условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Ве- нана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения, чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений, очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упругости, называемые контактными задачами или задачами по исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически эквивалентные системы сил: одна в виде сосредоточенной силы Р, перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки, а другая — в виде равномерно распределенных иа полуцилиндриче- ской поверхности сил, равнодействующая которых равна силе Р и перпендикулярна к границе пластинки. В достаточно удаленных

от места приложения указанных сил точках тензор напряжений в обоих случаях практически одинаков. Области консольной балки, тензор напряжений в которых существенно зависит от способа приложения силы, на рис. 13 заштрихованы.

Эффективное решение указанных в § 34 граничных задач упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности. Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время мы располагаем решениями многочисленных задач теории упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные условия: заданная система сил, приложенная к небольшой части упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела.

§ 37. Прямые и обратные решения задач теории упругости.

Полуобратный метод Сен-Венана

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения uh, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях.

В решениях обратных задач задаются либо перемещения, либо компоненты тензора деформаций в рассматриваемом теле и определяются все остальные величины, в том числе и внешние силы. Решения обратных задач особых трудностей не представляют, однако не всегда возможно прийти к решениям, представляющим какой-либо практический интерес. Исходя из этого Сен-Венаном предложен полуобратный метод, состоящий в частичном задании одновременно перемещений и напряжений, затем в определении при помощи уравнений теории упругости уравнений, которым должны удовлетворять оставшиеся перемещения и напряжения. Полученные уравнения сравнительно легко интегрируются. Таким образом, этим методом можно получить полное и точное решение для большого числа частных задач, наиболее часто встречающихся в практике. Сен-Венан применил свой метод к задачам нестесненного кручения и изгиба призматических тел.

§ 38. Простейшие задачи теории упругости

К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те из них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра- ми — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным методом.

Всестороннее равномерное давление.

Пусть тело подвержено всестороннему равномерному внешнему давлению —п р (п — единичный вектор по нормали к поверхности тела). Массовыми силами пренебрегаем. Зададимся тензором напряжений в виде

’ц=®22 = в33=~ Р' Ск^ЗЗ^З^0»(5.47)

который удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия (2.25), а также соотношениям Бельтрами — Митчелла.

Определим внешние силы, вызывающие в рассматриваемом теле тензор напряжений в виде (5.47); на основании формул (2.22) имеем

Т^=-рпк или

Т„= -пр,

т. е. вектор напряжения, приложенный на поверхности тела, должен представлять собой давление —пр, что имеет место по заданию. Таким образом, во всех точках тела любые три взаимно перпендикулярные сечения суть главные площадки. На основании обобщенного закона Гука (4.50) компоненты тензора деформаций будут равны

^=— Р1' еы = ° (А* г)-(5.48)

Допустим, что данное тело закреплено в некоторой точке, которую примем за начало координатных осей, и в этой точке закреплено элементарное волокно, расположенное на оси х3; кроме того, стеснен поворот элементарного волокна, расположенного на оси х2, в плоскости Х[Х2. Аналитическая запись этих условий закрепления соответственно для всех Хц=0 такова

и6 = 0,и6 = 0,ЙИ]д«2ЙИ1^здх3СХ?ЙИ]д«2ЙИ1^здх3СХ?(5.49)(5.49)

и6 = 0,

и6 = 0,

ЙИ]д«2ЙИ1

^здх3СХ?

ЙИ]д«2ЙИ1

^здх3СХ?

(5.49)

(5.49)

Подставляя решение (5.48) в формулы (3.44) и учитывая условия закрепления (5.49), после несложных вычислений определим проекции вектора упругого перемещения.

«» =(5.50)

Следовательно, перемещения точек тела радиальные, причем они растут пропорционально расстоянию от начала координат и симметричны относительно него.

Осевое растяжение призматического бруса.

Пусть призматическое тело с прямолинейной осью и перпендикулярными к ней основаниями произвольной формы подвержен» осевому растяжению. Массовыми силами пренебрегаем. Тензор напряжений, выбранный в виде

311 = а22==а12 = ^З™^! =0> аЗЗ = Р'(5.51)

удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия (2.25), а также соотношениям Бельтрами — Митчелла. Определим внешние силы, вызывающие в данном призматическом теле тензор напряжений вида (5.51). В силу формул (2.22) имеем: на боковой поверхности бруса (п3 = 0)

7л1=Гп2=7п3=0,(5.52)

на основаниях бруса [cos(x3, x1) = cos(x3, л:2)=0; соз(л:э, х$)= + 1)

7э1=732 = 0, Г33=+^.(5.53)

Равенства (5.52) показывают, что боковая поверхность тела должна быть свободна от внешних сил, что вполне справедливо, так как на тело действуют только осевые силы. Равенства (5.53) показывают, что на основаниях бруса должны быть приложены равномерно распределенные растягивающие усилия интенсивностью р. Фактически передача растягивающей силы на рассматриваемый брус может сильно отличаться от равномерно распределенных растягивающих сил. Однако, согласно принципу Сен-Венана, на достаточо удаленной от оснований бруса части его решение (5.51J можно принять за точное.

На основании обобщенного закона Гука (4.50) компоненты тензора деформаций будут равны

612 ~ ^23 = Й31 = 0,

й11 =^ 333* ^22=~ 333> ^33=*(5.54)

В центре тяжести верхнего сечения бруса, в котором расположено начало координат, как и в первой задаче, примем граничные условия

=для х6 = 0.(5.55)

д^2 дх3 дл3

Подставляя решение (5.44) в формулы (3.44), с учетом (5.55) получим

^1=~- ^ii ^з^g"^2* “з="”-гз-(5.56)

Первые две формулы (5.56) показывают, что во всех поперечных

сечениях перемещения ut и и2 одинаковы и пропорциональны расстоянию данной точки поперечного сечения до оси бруса. Третья формула (5.56) показывает, что плоские сечения после деформации остаются плоскими. В курсе сопротивления материалов последний результат принимается за исходное предположение, носящее название «гипотеза плоских сечений».

Растяжение призматического бруса под действием собственного веса.

Пусть призматический брус длиной I, закрепленный своим верхним концом, подвержен деформации растяжения под действием собственного веса. Обозначим через р плотность материала. Оси системы координат выберем так, чтобы начало ее поместилось в центре тяжести верхнего основания, перпендикулярного к оси бруса, и одна из осей системы, направленная вертикально вниз, например, Л"э, совпала с осью бруса. Тогда проекции массовой силы будут

Л=^=0, Fa=g.

Пользуясь полуобратным методом Сен-Венана, выберем компоненты тензора напряжений в виде

а11 = аг2 = а12=а23 = 531 = 0,

°зз = ^з + ^-(5.57)

Здесь а, b — пока неизвестные постоянные. Этими компонентами тензора напряжений соотношения Бельтрами — Митчелла удовлетворяются тождественно; тождественно удовлетворяются также первые два уравнения равновесия, а из третьего уравнения получаем

а = —Pg.

В силу этого будем иметь

°зз= -Р№+^

Учитывая формулы (5.57) и имея в виду, что п3=0, где п — внешняя нормаль к поверхности бруса, для проекции силы, действующей на боковой поверхности бруса, на основании (2.22) будем иметь

Тп\=Т^ = Тп3=0.

Как видно из последних равенств, боковая поверхность бруса должна быть свободна от сил, что имеет место в действительности, так как брус находится под действием лишь собственного веса. На нижнем основании бруса при х3 = 1 имеем

п1 = яг = 0, «3=1,

где п— внешняя нормаль нижнего основания. Согласно формулам (2.22)

т^-о, ?:2=о, г;3=~р£/+б,

В силу условий задачи нижнее основание свободно от сил, поэтому

7’п3 = — pg/4~6=O, откуда

6=pgl.

Окончательно имеем

азз = Р^(—хз4"^)-<5-58)

Поступая аналогичным образом, на верхнем основании бруса при х3 = 0 будем иметь

Г^Т^О, T^=-pgL

Это соответствует такому закреплению верхнего основания, при котором в нем возникают только нормальные, равномерно распределенные по всему основанию напряжения. Такое закрепление практически осуществить не представляется возможным, но в силу принципа Сен-Венана решение (5.57) может быть принято за точное и при любом другом способе закрепления.

На основании обобщенного закона Гука компоненты тензора деформаций будут

en — e^-^-pgt-Xg-H),e33=-^pg(-x34-/),

^t2 = ^23=^3i = 0.(5.59)

При граничных условиях (5.55) второй задачи с учетом (5.59) из формул (3.44) будем иметь

я3 = —[х| -|- * (xi 4" х2) — 2/х3](5.60)

Точки, лежащие на оси бруса, как показывает третья формула (5.60), перемещаются лишь вдоль этой оси.

Так как в поперечных сечениях бруса отсутствуют касательные напряжения, а следовательно, и сдвиги, то эти сечения после деформации бруса останутся нормальными ко всем волокнам и, как показывает третья формула (5.60), сечения обращаются в параболоиды вращения, обращенные выпуклостью вниз.

Призматический брус длиной /, закрепленный своим верхним концом, находится под действием своего веса и силы Р, приложенной к свободному концу в направлении оси бруса. Поместим начало координат в центре тяжести верхнего сечения и одну из осей х3 направим вдоль оси бруса вниз. Исходя из принципа Сен-Венана, заменим силу Р статически ей эквивалентной, равномерно распределенной по нижнему основанию бруса нагрузкой интенсивностью Р=—^~ (w— площадь нижнего основания, перпендикулярного к

оси бруса); тогда, в силу линейности задачи, решение будет представлено в виде суммы решений второй и третьей задач.

Кручение круглого призматического бруса.

Пусть иа крайних поперечных сечениях круглого призматического бруса с осью охз действуют пары сил, моменты которых по величине равны, но знаки различны; в этом случае брус подвержен деформации кручения (рис. 14); боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил и объемные силы отсутствуют (^ = 0).

Элементарное решение задачи в теории сопротивления материалов основывается на предположении, что поперечные сечения бруса, оставаясь плоскими, с сохранением между собой расстояний поворачиваются относительно друг друга и их радиусы не искривляются. Если принять во внимание это предположение, то проек

ции вектора перемещения некоторой точки в каком-либо поперечном сечении бруса будет

(5.61)(5.61)«!=—тл2х3, Й2 = ТХ1Х3, «3 = 0,

(5.61)

(5.61)

где т — постоянный угол закручивания, рассчитанный на единицу длины бруса.

Проверим, совместимы ли эти перемещения со всеми основными уравнениями теории упругости. Подставив (5.61) в формулы (3.18), для компонентов тензора деформаций будем иметь

—=0,

2г23= — +=т,г(5.62)

1 ал-2

Объемная деформация

6 = еи ~Ье22-|*^аз=0-(5.63)

Как видно из формул (5.62), уравнения совместности Сен-Венана удовлетворяются тождественно.

Учитывая, что массовые силы равны нулю и имеет место соотношение (5.63), убеждаемся, что (5.61) удовлетворяют уравнениям упругого равновесия Ляме (5.8).

На основании обобщенного закона Гука компоненты напряжений будут

Зц = СТ22=333"СТ12=О,

023 = 1*^1331=—^2(5164)

Таким образом, в любом поперечном сечении бруса действуют только два компонента касательных напряжений. Подставляя (5.64) в формулы (2.22), на боковой поверхности, где «3 = 0, будем иметь Тпй = 0. Следовательно, боковая поверхность бруса должна быть свободна от напряжений, что действительно имеет место. Далее, подставляя (5.64) в формулы (2.22) для крайних поперечных сечений (И1=л2=0, л3=±1), получим поверхностные силы, соответствующие решению (5.61), в виде

Тп1 = + ртл2, Г„2= + ртхр ГпЭ = 0.

Таким образом, решение (5.61) приводит к выводу, что в крайних поперечных сечениях бруса должны действовать только касательные силы, распределенные по закону (5.64). Главный вектор и главный момент этих сил относительно центра круга будут

Vj = J TnVdto= — нт J x2dw,

l/s= J rn2rfu> = p.T j Л^ш,

£ = J (^e-^i — Ta ,x2) d» = нт J (x? -ф лз) d®.

В силу того, что оси ох\ и охг проходят через центр тяжести круга, статические моменты его площади будут

J х^ = j* xvd® = 0.

Окончательно имеем

^1 = ^2 = 0, £ = нТ/0, где /» — полярный момент инерции площади круга,

/0=(М+^)з«—251,

здесь R — радиус окружности.

Осуществление передачи внешних сил на концах бруса по закону (5.64) практически невозможно, но на основании принципа Сеи-Веяана решение (5.64) можно считать точным при любом законе передачи внешних сил, если соблюдены условия статической эквивалентности, т. е. постоянную т выбираем так (это возможно), чтобы момент М приложенной пары сил на одном из крайних сечений был равен равнодействующему моменту До, т. е.

ZoPt/o^AT,ZoPt/o^AT,

ZoPt/o^AT,

ZoPt/o^AT,

откуда получаем

^0 ’

что дает закон Гука при кручении круглого призматического бруса.

Чистый изгиб призматического бруса.

Примем ось бруса за 0X3, а главные центральные оси инерции поперечного сечения за оси ох1 и ох2, при этом ось oxt направим в сторону растянутых волокон (рис. 15).

Предположим, что боковая поверхность бруса свободна от внешних сил и массовые силы отсутствуют. Кроме того, пусть в крайних сечениях рассматриваемого бруса приложены две пары сил, плоскости действия которых совпадают с одной из главных его плоскостей, моменты их равны по величине и знаки противоположны. В этом случае брус подвергается чистому изгибу и, как известно из теории сопротивления

материалов, решение этой задачи основано на предположении, что каждое поперечное сечение, оставаясь плоским, поворачивается вокруг центральной оси этого сечения, перпендикулярной плоскости действия пар (нейтральная ось — ох2), на определенный угол.

Положим, что компоненты тензора напряжений

311 = б22=а12"°13==а32 = 0’ 333 = aXj,(5.65)

где а — некоторая постоянная; Xi —■ расстояние точки поперечного сечения, в которой вычисляется нормальное напряжение озз, до нейтральной оси этого сечения.

Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматриваемая задача также является простейшей задачей теории упругости, компоненты тензора напряжений (5.65) тождественно удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора напряжений (5.65) также удовлетворяют уравнениям упругого равновесия.

На боковой поверхности бруса, где пз = 0, на основании формул (2.22) с учетом (5.65) будем иметь

I'm = ^л2=Т^ = *-*•

Таким образом, боковая поверхность должна быть свободна от внешних сил, что имеет место в действительности.

В крайних сечениях, где cos (х3, Xi) =cos (х3, х2) =0, cos (Хз, х3) = ±1, также на основании формул (2.22) с учетом (5.65) имеем 7^ =7„*2=0, 7^ = + ах,.(5.66)

Формулы (5.66) показывают, что в крайних сечениях бруса должны быть приложены только нормальные напряжения, распределенные по закону (5.66). Главный вектор и главный момент этих сил будут

V3= J <j33c/u)=a J х^ш,

£1=У a^x^w =а У xvx2dw,

о33х14ч>=а J Xiduo.

Учитывая, что оси ох, и ох2 направлены вдоль главных центральных осей инерции поперечного сечения, статический момент относительно оси ох2 и центробежный момент инерции площади сечения относительно осей ох^ и ох2 равны нулю, окончательно имеем

£3 ^ о 7,

где I — момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси ох2.

На практике осуществить передачу внешних сил по закону (5.66) не представляется возможным; поэтому, исходя из принципа Сен-Венана, вместо этих сил можно взять нагрузку в виде изгибающих моментов так, чтобы было выполнено условие эквивалентности

а!=М, откуда

и, таким образом.

На основании обобщенного закона Гука для компонентов тензора деформаций будем иметь

vчМ 5^И — ^22Т" ®33ТТ" -*1*

е^^х.,(5.67)

^12 = ^23 = ^31 = О'

Поместим начало координат в центре тяжести левого крайнего сечения, в котором закрепим брус так, чтобы удовлетворялись условия

их = и2 = иг = ^ = ^ = ^ = й.

дх3 дх8 дх3

Тогда из (3.44) с учетом условий закрепления и формул (5.67) после некоторых преобразований для определения перемещений получим формулы

'Л=~: [4 - ’ (4-4)],

«з = —^ %№(5.68)

34

Е! 1 3

Ось бруса до деформации xi = x2=0, как показывают формулы (5.68), оставаясь в плоскости oxix3, называемой плоскостью изгиба, после деформации обращается в параболу

М 2

Кривизна упругой линии с точностью до малых величин высшего порядка равна

1 d^u\

Подставляя выражение «ь получаем формулу,

1 _31

R— EI '

определяющую кривизну оси бруса, пропорциональную величине изгибающего момента. Так как кривизна постоянна, то упругая линия — парабола с точностью до малых величин высшего порядка может быть заменена окружностью.

Как следует из формулы для перемещения их, любое поперечное сечение x3=cons.t после деформации переходит в плоское сечение.

Г л а в а VI

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

При решении задач теории упругости для общего случая трехмерных тел встречаются большие математические затруднения; это обстоятельство вынуждает переходить к решению более или менее широких классов частных задач, одним из которых является плоская задача теории упругости. В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, имеющих большое значение для практики: плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние.

§ 39. Плоская деформация

Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения любой точки параллелен некоторой плоскости, называемой плоскостью деформации, и не зависит от расстояния рассматриваемой точки до этой плоскости.

Допустим, что тело имеет плоскую деформацию, параллельную плоскости ох^, тогда

«1 = «1(л,1, х2), д2 = м2(х1, х2), и3=0.(6*1)

Внося (6.1) в формулы (3.26), для компонентов тензора деформаций будем иметь

еи--т—> е^—-—, ^12 = ———-—],(Ь.2)

ojt[ох-ь2 \ дх^ длх /

последние, вообще говоря, отличны от нуля и не зависят от хз, а остальные

^23 = ^31 = йЗЗ = 0.

При этом объемная деформация равна

^! 1 дх^

и также является функцией лишь координат Х[ и Хг-

В этом случае формулы обобщенного закона Гука примут вид

Ju =Х°14-2рец, с22 = Х91-|-2^22,

(6.3)

з12 — 2ре12, j23:_ о31— 0, о33—Х9Р

Следовательно, при плоской деформации тензор напряжений, в об-

щем случае, состоит из четырех отличных от нуля компонентов, зависящих от двух аргументов Xj и Хг. Благодаря наличию компонента озз обеспечивается состояние плоской деформации. Легко показать, что при плоской деформации тела число независимых компонентов тензора напряжений равно трем. В самом деле, складывая первые две формулы (6.3) и учитывая пятую формулу (6.3), получим

^=^п^"(311+°22)'

откуда с учетом формулы (4.41) имеем

333 = Ф11 + ’22)-(6.4)

В разбираемом случае дифференциальные уравнения равновесия (2.25) примут вид

+++=^3=0.(6.5)

OXj 0X20X1ОХ2

Эти уравнения показывают, что массовая сила, приложенная к любой точке тела, должна быть параллельна плоскости деформации и не должна зависеть от координаты хэ.

Уравнения Ляме (5.6) также соответственно упрощаются, принимая вид

dxi

(Х+^^-+м«2 + Р^ = О,(6.6)

здесь Д — двумерный оператор Лапласа.

Из условий совместности деформаций Сен-Венана, как легко видеть, остается следующее:

'^П 1 _^22_ __ 2 ^612/g уч

6х|6х, dxidxj

остальные же пять условий удовлетворяются тождественно.

Для изотропного однородного тела уравнение совместности (6.7) при отсутствии массовых сил на основании (6.3) и (6.5) примет вид

А {аи + аза) = 0-(6.8)

Действительно, из формул закона Гука (6.3) с учетом соотношения <6.4) имеем

„1 Г х , , л

V П “ 2^0 (°п + °22Т

^^[^“^гпо^+^ф<6*9)

_ 1

с другой стороны, из дифференциальных уравнений (6.5) при F^ = =F2=0 имеем

_^П_ I ^22 _ q 62а Г2.$ до,

^^^1^2

Подставим (6.9) в (6.7), с учетом (6.10) придем к уравнению (6.8), которое называется уравнением Леви.

Учитывая закон Гука в форме (6.9), условию совместности деформаций (6.7) придадим другой вид

Г" bll — У^и + ^Н7 [322~ v(all+a22)] =2 -—— . (6.11)

дДдх,oxLox2

Из определения плоской деформации вытекает, что она точно возникает в призматическом теле бесконечно большой длины с прямолинейной осью и притом поверхностные и массовые силы должны лежать в плоскостях поперечных сечений и не должны зависеть от координаты вдоль осн тела. Когда призматическое тело имеет конечную длину, плоская деформация в нем реализуется не точно, причем чем длиннее тело, тем точнее реализуется плоская деформация при условии, что на его торцах приложены силы, распределенные по закону о33 = л6ь

Поскольку, согласно определению, условия на боковой поверхности призматического тела не зависят от координаты хз, граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений или на нескольких контурах, если сечение многосвязное. Таким образом, система дифференциальных уравнений равновесия (6.5) и соотношения (6.3), наряду с контурными условиями, характеризуют более простые задачи статики упругого тела (§ 35); при этом здесь также различают три основные двумерные граничные задачи.

Для первой основной граничной задачи контурные условия, согласно (2.22), записываются в виде

а11«1 + 312«2 = Т'<1Р

312^1 + а22й2 = ^л2- (6.12)

Дифференциальные уравнения равновесия и уравнение Леви, а также контурные условия (6.12) при отсутствии массовых сил не содержат упругих постоянных материала. Следовательно, в случае плоской деформации при отсутствии массовых сил напряженное состояние тела в любом его односвязном сечении, параллельном плоскости деформации, определяется заданными на контуре этого сечения силами, его формой и не зависит от свойств материала.

Если сечение представляет собой многосвязную область, то независимость напряженного состояния от свойств материала обеспечивается при дополнительном условии, заключающемся в уравно-

вешиванин внешних сил, приложенных к каждой из границ области. (Доказательство этого положения будет дано несколько позже.) Сказанное п составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе определения тензора напряжений на моделях из материала с другими упругими свойствами.

При плоской деформации, очевидно, будем иметь

2».,=-^^-, 2^=0, 2w13=0.

дх2 2313

В дальнейшем для удобства toi2 обозначено через и3. Из формул

о ди2 dut с dui , <?oj

ЙХ; дх2дх^ 0X1

определив выражения

д«!=—!—2—2-, ды2=——+2—2-

дхх дх2дх2 дхг

и подставив их в уравнения равновесия Ляме (6.6), получим систему дифференциальных уравнений для 9, и м3 в виде

(X + 2а)- 2р + рЛ = 0,UX10X2

(л + 2^-^-4-2^^з_4-р^2 = 0.

0X2"Xi

Если принять Fi = F2 = 0> то последние уравнения примут вид

t^! &»*dflj ды*

дх^дх2дх2дх[

где «>* = ———«3. Эти уравнения составляют дифференциальные X + 2ц

соотношения Коши — Римана, следовательно, функции 9i, to* суть гармонически между собой сопряженные.

§ 40. Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние пластинки называется плоским, если вектор напряжения на площадках, параллельных основаниям, равен пулю по всему ее объему.

Примем среднюю плоскость пластинки толщиной 2Л за координатную плоскость OxtX2 (рис. 16). В силу определения

313 = 323^°33 = ^’

поэтому система дифференциальных уравнении (2.25) принимает вид (6.5).

Так как озз^О, для изотропного тела будем иметь

„диаdai dun

Внеся отсюда значение —— через —- и —— в остальные о^з0^1 Oxi

формулы закона Гука, получим соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций в виде

>51 " А- I

\ ^1

,^“2

дх>

)-L2ul-^1-, /’

. * / ди 1

522 Лд

\ ^1

1^2

дх2

(6.13)

/дх2

д«2 \

’ ди, ।

° 12 14

. дхо

<Xq /

ди5 X / ды1 । ди^ '

гдегде(6.14)(6.14)ЙЛз X + 2и cU^ Дг2.ди^ . йид q дих । ди3 дха дхпдха дхх

где

где

(6.14)

(6.14)

Х + 2И ’

Как видно, формулы (6.13) получаются из первых трех формул

путем замены коэффициента Ляме X на коэффициент X*. Подставив (6.14) в уравнения (5.6), получим

(Г4-р)(Г4-р)(Х* + ^Здесь д = —--|дх, дх^(Х* + ^Здесь д = —--|дх, дх^^- + ^ДЦ14-Р^1 = О,- + РД«2 + Р^2^О> ^з^О.^- + ^ДЦ14-Р^1 = О,- + РД«2 + Р^2^О> ^з^О.

(Г4-р)

(Г4-р)

(Х* + ^

Здесь д = —--|

дх, дх^

(Х* + ^

Здесь д = —--|

дх, дх^

^- + ^ДЦ14-Р^1 = О,

- + РД«2 + Р^2^О> ^з^О.

^- + ^ДЦ14-Р^1 = О,

- + РД«2 + Р^2^О> ^з^О.

Эти уравнения отличаются от уравнения (6.6) только заменой коэффициента X на коэффициент X* и являются трехмерными.

Таким образом, несмотря на значительное упрощение основных уравнений задачи о плоском напряженном состоянии, эта задача остается трехмерной, поскольку координата Хз не исключена из

Рис. 16Рис. 16приведенных выше уравнений. Однако Файлоном для случая, когда толщина пластинки достаточно мала, дана идея, позволяющая привести указанную задачу к двумерной. Она заключается в том, что вычисление значений средних величин вектора перемещения и тензора напряжений в тонкой пластинке достаточно точно определяет решение задачи о плоском напряженном состоянии;

Рис. 16

Рис. 16

последнее, следуя Ляву, называют «обобщенным плоским напря женным состоянием».

§ 41. Обобщенное плоское напряженное состояние

Теперь допустим, что пластинка высотой 2ft нагружена по боковой поверхности внешними силами, параллельными основаниям и симметрично распределенными относительно средней плоскости; основания пластинки примем свободными от внешних сил. Кроме того, будем считать, что составляющая массовой силы, перпендикулярная средней плоскости пластинки, равна нулю, а две другие составляющие распределены симметрично относительно средней плоскости пластинки. Возникающее в такой пластинке напряженное состояние называется обобщенным плоским напряженным состоянием; оно часто встречается в приложениях и является важным для практики случаем.

По условию, на основаниях хэ=±й

Т'п!™а13 = 0' ^'лЗ = 02з = ^’ ^ПЗ^^ЗЗ^О*(6.15)

а на боковой поверхности пластинки Гп3 = 0, кроме того, F3 = 0.

Из третьего дифференциального уравнения равновесия

। =Оф.

дхх дх^ дх^

учитывая условия (6.15), при х3=±й будем иметь ^зз д

Следовательно, при х3=±Л обращается в нуль не только величина озз, но и ее производная по координате х3; поэтому при достаточно малой толщине пластинки величина о33 будет очень малой и мы можем считать о33=0 во всей пластинке.

В силу симметрии очевидно, что проекция вектора перемещения любой точки средней плоскости на ось ох3 равна нулю и является нечетной функцией относительно х3, поэтому ее среднее значение и3* = 0. Будем также считать, что изменения проекций uj (хь х3, х3), «2 Ub х2, х3) по толщине пластинки малы, поэтому вместо величин «1, и2 можно рассматривать их средние значения по толщине, которые определяются формулами

АЛ

uYdxy M2=-^-j u2dxa.(6.16)

—Л—ft

Умножим обе части системы дифференциальных уравнений равновесия (2.25) на (2й)-1с/х3 и проинтегрируем по координате х3 от —ft до +Л; тогда, в силу условий (6.15),

■^i ^=^^*=°-

44^23 дха^23 дхаdx3 — —— [з23]_л — 0.2Дdx3 — —— [з23]_л — 0.2Д

4

4

^23 дха

^23 дха

dx3 — —— [з23]_л — 0.2Д

dx3 — —— [з23]_л — 0.2Д

Окончательно получим (помня, что озз=0> Гз = 0) 4<с+4!1+р^=о, 4^.+4^+р5;=о. (6.i7) дхг дх^дхх 0X2

_^.+^к=о,(6.18)

где +л+л

-Л

представляют собой средние значения величин оц, ..., F2 по толщине пластинки.

Из определения плоского напряженного состояния вытекает, что «ь и2, оц, 022, Hai — четные функции х3, а 013, Озз— нечетные. Следовательно, средние значения 0*3, оззравны нулю и уравнение (6.18) является тождеством.

Осредняя значения данных на боковой поверхности пластинки внешних сил по ее толщине на контуре какого-либо сечения, параллельного основаниям (или на контурах, если сечение многосвязное), будем иметь ■

гдегдеа11Я1 4-312^2 = ^1, .а11Я1 4-312^2 = ^1, .(6.19)(6.19)

где

где

а11Я1 4-312^2 = ^1, .

а11Я1 4-312^2 = ^1, .

(6.19)

(6.19)

Из формул закона Гука (6.13), переходя к средним значениям и учитывая, что 033 = 0, получим

б12 = Н где введено обозначениеб12 = Н где введено обозначениесЦdX]/ дисЦdX]/ ди** дич°22 = X*6i 4* 2^ — ,дхч** дич°22 = X*6i 4* 2^ — ,дхчда 2да 2дхг дххдхг дхх(6.20)(6.20)

б12 = Н где введено обозначение

б12 = Н где введено обозначение

сЦ

dX]

/ ди

сЦ

dX]

/ ди

** дич

°22 = X*6i 4* 2^ — ,

дхч

** дич

°22 = X*6i 4* 2^ — ,

дхч

да 2

да 2

дхг дхх

дхг дхх

(6.20)

(6.20)

ди,диг

— -

dxiдх^

Соотношения (6.20) между средними значениями компонентов тен-зора напряжений а*р а*2, а*г и производными средних значений

перемещений ut иг, при обобщенном плоском напряженном состоянии отличаются от соотношений (6.3) при плоской деформации только тем, что вместо упругой постоянной Ляме А участвует постоянная X*. Дифференциальные уравнения равновесия (6.17) и контурные условия (6.19), которым должны удовлетворять оц, oa, 3j2 , полностью совпадают с дифференциальными уравнениями равновесия (6.5) и контурными условиями (6.12) при плоской деформации. Следовательно, для плоского обобщенного напряженного состояния уравнения равновесия Ляме и соотношения Бельтра- ми — Митчелла для осредненных величин будут записываться так же, как при плоской деформации (6.6) и (6.11), с той лишь разницей, что вместо X будет фигурировать X*.

Таким образом, приходим к весьма важному выводу, что различные по существу задачи плоской теории упругости — плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние — математически идентичны.

§ 42. Функция напряжений Эри

Решение задач плоской теории упругости значительно упрощается, если массовыми силами пренебречь либо в силу их малости, либо, имея в виду, что всегда задачу при наличии массовых сил можно свести к задаче без массовых сил, если найти какое-либо частное решение соответствующих неоднородных дифференциальных уравнений равновесия, В дальнейшем будем предполагать, что массовые силы отсутствуют.

В плоской задаче теории упругости большую роль играет введенная впервые Эри вспомогательная функция. Следует отметить, что благодаря введению этой функции был создан плодотворный метод решения задач плоской теории упругости.

В случае отсутствия массовых сил уравнения (6.5) примут вид

^П__^_^12_ = 01(6.21)

дх\ дх?dxi дхг

Первое уравнение (6.21) показывает, что выражение <тцб(х2—O|2Jxi является полным дифференциалом некоторой функции Q(x(, х2), следовательно,

(6.22)(6.22)(6.23)(6.23)додР

(6.22)

(6.22)

(6.23)

(6.23)

3i2 ——*О22=“;—

oxtдхг

Таким же образом из второго уравнения имеем

„ дР др

312—Т—' > 522—

ОХ-гОХ\

где Р (xb х2) — некоторая функция. Сравнение этих формул для одной и той же величины дает соотношение

6Qдх\6Qдх\дР дхг ’дР дхг ’

6Qдх\

6Qдх\

дР дхг ’

дР дхг ’

которое показывает, что выражение Pdxx-vQdx?_ представляет собой полный дифференциал некоторой функции Ф (хь л2), так что

' Pdx1-irQdx2=d^.

откуда

Р = -^, Q = -^.дх\дх2

Подставляя значения Р и Q в формулы (6.22) и (6.23), получим

02фу2ф»*12^= *дх^0xidx202фу2ф»*12^= *дх^0xidx2Эти формулы были впервые получены Эри. Функция Ф(хь х2) называется функцией напряжения Эри.

02фу2ф

»*12^= *

дх^0xidx2

02фу2ф

»*12^= *

дх^0xidx2

Очевидно, если допустить, что имеют место соотношения (6.24), уравнения (6.21) будут удовлетворены тождественно. Кроме того, как известно, для того, чтобы величины он, «22 и о12 соответствовали действительному напряженному состоянию, они должны удовлетворять условию совместности (6.8), т. е.

Д(3п + 322)=0. (6.25)

(6.24)(6.24)^22^22у2ф dxjу2ф dxjРис. 17Рис. 17.^2Ф3И Т°22 —Г.^2Ф3И Т°22 —Г^ = дф.^2^ = дф.^2С другой стороны, из соотношений (6.24) имеем

(6.24)

(6.24)

^22

^22

у2ф dxj

у2ф dxj

Рис. 17

Рис. 17

.^2Ф

3И Т°22 —Г

.^2Ф

3И Т°22 —Г

^ = дф.

^2

^ = дф.

^2

Учитывая последнее равенство, из (6.25) окончательно получим

(6.26)(6.26)ддФ=О,

(6.26)

(6.26)

где

дл, д^дл| ^^2

В дальнейшем мы будем считать, что функция напряжений в области имеет непрерывные производные вплоть до четвертого порядка.

Таким образом, для того чтобы функция напряжений определяла некоторое действительное напряженное состояние, необходимо и достаточно, чтобы она была бигармонической.

Выведем теперь контурные условия, которым должна удовлетворять функция Эри. Допуская, что на границе данной области заданы внешние силы Тп1, Тпг, преобразуем контурные условия (6.12).

Мы будем в дальнейшем предполагать, что контуры простые, т. е. не самопересекающиеся, и достаточно гладкие.

Выразим «1 и п2 через производные координат Х| и х2 по дуге I, отсчитываемой в положительном направлении вдоль рассматриваемого контура. Из рис. 17 имеем

л.л. dx2 , “ dl ’ dx2 , “ dl ’«2= —«2= —dxx""dTdxx""dT(6.27)(6.27)

л.

л.

dx2 , “ dl ’

dx2 , “ dl ’

«2= —

«2= —

dxx""dT

dxx""dT

(6.27)

(6.27)

d ( дФ \ т dl \ dx2 /d ( дФ \ т dl \ dx2 /d dld dl(6.31)(6.32)(6.31)(6.32)и интегрируяи интегрируяФ — С, -j- Л^л?!-|- ^глс2 -фЛ'Ф — С, -j- Л^л?!-|- ^глс2 -фЛ'dxx Г dl J jVdxx Г dl J jVмммм1 f Tnxdl dl.N -1 f Tnxdl dl.N -(6.33)(6.33)

d ( дФ \ т dl \ dx2 /

d ( дФ \ т dl \ dx2 /

d dl

d dl

(6.31)

(6.32)

(6.31)

(6.32)

и интегрируя

и интегрируя

Ф — С, -j- Л^л?!-|- ^глс2 -ф

Л'

Ф — С, -j- Л^л?!-|- ^глс2 -ф

Л'

dxx Г dl J jV

dxx Г dl J jV

мм

мм

1 f Tnxdl dl.N -

1 f Tnxdl dl.N -

(6.33)

(6.33)

Внося (6.24) (r=0, I, 2, ....

и (6.27) в контурные условия (6.12), получим на Lr , m)

д^Ф дх2 ]6^Фдхх _

дх^dt ' ^1^2 dlл1’

_ ^фдхх _т

дххдх2 dlдх1 dlл2

или

(6.28)

Для произвольной точки N контура Lr введем обозначения

— I = Д„ -^- = ВГ(6.29)

^ЛТ |/vdxi N

Тогда, интегрируя равенства (6.28), получим

мм

~ = АГ - f T^l; = В, + f TnXdL (6.30)dxiох»J

NN

Итак, приращения функций ^ф , ^ при переходе из точки N дх\ дл»

в точку М (эти точки лежат на одном и том же контуре) равны соответственно проекциям на ось ох2 и на ось oxi результирующего вектора внешних сил, приложенных к контуру между этими двумя точками. Имея формулы (6.30), нетрудно найти производные

АФ_дФdxx।дФ4x2

dl—dxidlдх2dl '

дФ дФdxxjдФdxi

дпдххdnдх2dn

Внося значения , из (6.30) в (6.31)

dx] 6x2

полученный результат по I, будем иметь

Формула (6.33) показывает, что по заданным на любом контуре значениям внешних сил можно вычислить значение Ф в любой точке того же контура с точностью до линейного слагаемого вида

С, -|- Дг^1 -|- В,хг.

Следует отметить, что это слагаемое для компонентов тензора напряжений, вычисляемых формулами (6.24), выпадает.

Если заданная область односвязна, то на контуре Lq можно Со, До и Во принять равными нулю. Если область многосвязна, то, положив постоянные Сг, Вт и Дт равными нулю на каком-либо одном из контуров, мы не можем распоряжаться остальными по произволу.

Подставляя значения ,—- из (6.30) в (6.32), определим

значение нормальной производной

по заданным внешним силам, приложенным на контурах.

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сводится к определению бигармонической функции но известным на контурах значениям этой функции и ее нормальной производной.

При полном обходе любого замкнутого контура в силу формул (6.30), (6.33) будем иметь

ММ -1dl Jdl JММ -1dl Jdl J(6.35)(6.36)(6.35)(6.36)

ММ -1

dl Jdl J

ММ -1

dl Jdl J

(6.35)

(6.36)

(6.35)

(6.36)

где Vi и К$— соответственно проекции на ось oxi и на ось ох$ главного вектора внешних сил, приложенных к рассматриваемому контуру. Интегрируя (6.36) по частям, получим

ф—= — •ViAr^ + ^/V^l + ^^t^'nl- -^ol)^(6.37)

где Х]« и x2jv — координаты произвольной точки N рассматриваемого контура LT, с которой начинается полный обход. Третий член (6.37) определяет значение главного момента всех внешних сил, приложенных к рассматриваемому контуру, относительно произвольно выбранного начала координат.

Формулы (6.35) и (6.37) позволяют установить условия одно,.дФ УФ._

значности функции Ф и ее производных "^ ’ '^*- Функция Ф

5Ф ЙФ -■

и ее провзводные —— , -^— будут однозначными в том случае, если главный вектор н главный момент внешних сил, приложенных к каждому контуру области, в отдельности равны нулю; если главный вектор равен нулю, то функция будет, вообще говоря, неодно- дФ дф „.

злачной, а ее производные ——. -т— будут однозначными функ-ojci ох2

цнями; если же главный вектор не равен нулю, то неоднозначными будут как сама функция Ф, так и ее производные.

Ряд интересных решений урав- ^2нения (6.26) можно получить, за

давшись функцией Эри в виде *полиномов различных степеней.

х} В качестве простейшего примера ' выберем функцию Эри в виде полинома второй степени, который, очевидно, удовлетворяет уравне-

Рис. 18нию (6.26)

ф = -у «2^1 4- Ъ2ХХХ2 +^- С2Х2.

В случае отсутствия массовых сил по формулам Эри (6.24) для компонентов тензора напряжений получим

ЯЦ = С21 ^Yt — O^i ° 12= 1—Ьу

Таким образом, все три компонента постоянны по всей области. Для прямоугольной полосы со сторонами, параллельными осям координат (рис. 18), силы, приложенные к контуру, где ап = ±1, ац=±11 в силу формулы (6.12) будут

7’п=тп=с2; Г^ —^2=—b2; Т<а=аа—а2.

Уравнению (6.26) также удовлетворяет полином третьей степени

На основании формулы (6.24) компоненты напряжений будут ^^^i+^i »2z=^i+to *12= — ^-vt — c3.r2. (6.3S)

(6.39)(6.39)Предполагая с5 —о- = Ь3 = 0, г/з^О, мы получим ахх^3х2, з22=о, »12=0.

(6.39)

(6.39)

Эта система компонентов тензора напряжений соответствует чистому изгибу прямоугольной полосы внешними силами, приложенными на обоих ее концах ль —О, Xi = L Эти внешние силы на основании формул (6.12) должны быть равны —d3x2 на конце xi=6 и d3x<i на конце Xj =L Главный вектор и главный момент этих сил, очевидно,

будут

У = 8 Jo11dx2=0, Л1 = 8 J'j;X2^.r2 = — ^Зс35, —с—с

здесь 6 — толщина полосы; 2 с — высота полосы.

Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных во закону (6.39), действуют статически эквивалентные пары сил с моментом АТ, причем вблизи места приложения пар напряженное состояние будет отличаться от (6.39). Если не равен нулю только коэффициент Оз. то отличным от нуля компонентом тензора напряжений будет нормальное напряжение 022=03X1. Если же только один из коэффициентов 6Э, сэ не равен нулю, например Сз^О, то в дополнение к нормальному напряжению ои появляется касательное напряжение 012. Когда используются полиномы более высокой степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами.

§ 43. Функция Эри в полярных координатах.

Задача Ляме

да,. 1 да,да,. 1 да,^ = 0.^ = 0.в по-когдав по-когда(6.40)(6.40)Уравнения равновесия плоской задачи теории упругости лярной системе координат на основании уравнения (2.30), отсутствуют массовые силы, примут вид

да,. 1 да,

да,. 1 да,

^ = 0.

^ = 0.

в по-когда

в по-когда

(6.40)

(6.40)

dr г фрг

1da,2

w J» =0.г ду дгг

Решение этой системы может быть принято в виде

1 дФ . I д2Ф 3 =г дг г2 Ур21 4Ф I1 дФ . I д2Ф 3 =г дг г2 Ур21 4Ф Iд^фOr2д^Фд^фOr2д^Ф^f 1р 1 ' —-*^ —— *г2 фр г деду^f 1р 1 ' —-*^ —— *г2 фр г деду(6-41)(6-41)

1 дФ . I д2Ф 3 =

г дг г2 Ур2

1 4Ф I

1 дФ . I д2Ф 3 =

г дг г2 Ур2

1 4Ф I

д^ф

Or2

д^Ф

д^ф

Or2

д^Ф

^f 1р 1 ' —-*^ —— *

г2 фр г деду

^f 1р 1 ' —-*^ —— *

г2 фр г деду

(6-41)

(6-41)

где Ф(г, <р) — функция напряжений Эри в полярной системе координат.

Первые два соотношения (6.41) должны удовлетворять условию (6.25), т. е.

Д(’„ + ^) = 0(6.42)

где Д — двумерный оператор Лапласа в полярной системе координат

Л 62 I 1 d . I 52 Д =—.

д/*2 г дг г1 ду2

Подставляя выражения Orr, оФФ из (6.41) в (6.42), для определения функции Эри получим бигармоническое уравнение

?-4--1у

\ дг2‘гдгГ2^у2 )

/ дДф.1^Ф.1д2ф X_0

Х дг»гдг'г"3д^

Для случая симметричного распределения напряжений относительно начала координат уравнение (6.43) примет вид

Д4ф , 2 ^Зф I йрф I Дф _^dr4 г dr3 г2 dr^ г3 dr *

общее решение которого будет

Ф- .^ Д In г-(-Яг2 hi r-|-Cr2-|-D.(6.44)

Подставляя (6.44) в формулы (6.41), для случая симметричного распределения напряжений относительно начала координат получим компоненты тензора напряжений

»„ = А ^+6(1 + 2 In г)+2С,

^--Д^+£(3 + 21пг) + 2С,^--Д^+£(3 + 21пг) + 2С,(6.45)(6.45)

^--Д^+£(3 + 21пг) + 2С,

^--Д^+£(3 + 21пг) + 2С,

(6.45)

(6.45)

°Лр = 0.

Если точка г=0 принадлежит области, то для ограничения компонентов тензора напряжений, определяемых формулами (6.45), следует Л и В брать равными нулю, тогда

5гг = 0т = С*

Задача о деформации полого круглого цилиндра, подверженного равномерному давлению на внутренней и виешней поверхности, впервые решена Ляме. Решение этой задачи можно легко получить из соотношений (6.45), подчиняя их граничным условиям

сгг= — Р\ на цилиндре r=rv

(6.46) arr= — Pi на цилиндре г = г2,

где и, г» — соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра.

Для определения коэффициентов А, В, С нужно, кроме двух граничных условий (6.46), иметь еще и третье условие. Третьим условием является независимость проекций вектора перемещения Ur, иф от полярного угла <р, так как независимость компонентов тензора напряжений от угла <р не обязательно приводит к независимости вектора перемещения от полярного угла <р. Для случая плоской деформации иг и иф определяются из формул закона Гука 112

да,I + v\1

~7 — ~ К1 — v) 3rr — v3wl “ or Е

ШЛ-^!-^)-^!-^) tn rl+2C(l-2v

и, . \ да 1 +v

= L±2|_A + s [(3_4v)_|_-2(i_2v)lnr] + 2C(l-2v)} .

Из этих соотношений найдем

я,=-4^{-4~в11~2(1“2^1пг1г+2С(1-2^г}+/(?)*

Е '(6.47)

Здесь функции f(<p) Hg(r) подлежат определению.

Так как проекции вектора перемещения иТ1 и^ не должны зависеть от <р; то следует положить

/(т) = 0, В = 0.(6.48)

В соотношениях (6.45), положив В = 0, из граничных условий (6.46) найдем

+ 2С=-Л; ^- + 2С=-^.

ЧГ2

Решая эту систему уравнений, получим

А- (Й-Р1)« . с

гХ-гХ^-г^

^ (й " Р1>^ (й " Р1>О.О.1 , Г1?У — г1№rVrX1 , Г1?У — г1№rVrXУчитывая (6.49) в (6.45), для компонентов напряжений окончательно будем иметь

^ (й " Р1>

^ (й " Р1>

О.

О.

1 , Г1?У — г1№rVrX

1 , Г1?У — г1№rVrX

(6.50)(6.50)_ r?r| (ps — дО 1 r^pt— г|р2

(6.50)

(6.50)

Принимая во внимание соотношения (6.49), в формулах (6.47) будем иметь

и, = —‘у V 2" [Г^Р1~Р^”+(1 -2v)(ngi- Ар^ ri ,E(4-ri2)LrJ

uv=g (г).(6.51)

и тогдаи тогдаоткудаоткудаТак как оГф = 0, то, следовательно,

и тогда

и тогда

откуда

откуда

dg(r) ._ dr8<j1 ~ г ’

g^ = qr.

где q — интегральная постоянная.

Таким образом, тангенциальная проекция вектора перемещений «ф представляет собой вращение абсолютно твердого тела.

Рассмотрим теперь задачу определения напряженного состояния тонкого концентрического круглого диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью го. На диск действует объемная сила pFr = pto2r.

Учитывая, что здесь деформация относительно полюса О является симметричной, имеем ит=0,-^- = 0. Тогда из формул (3.29) и (2.30)

^=^-,(6.52)

drг

da,. а,, — а.„

(6.53)(6.53)совместностисовместности-^4™-^ + Р^г=0.

(6.53)

(6.53)

совместности

совместности

drг

Учитывая (6.52) из (3.40), получим уравнение деформаций в виде

1 d ( dew \derr л

г dr \dr )dr

или

r-~+(^-^r) не-

Последнее соотношение удовлетворяется, если

de„ 1

-^ — (^-^Д(6.54)

На основании формул закона Гука (5.27) и того, что озз = 0, Огг=<Тгг(г), Офф = Офф(г) соотношению (6.54) придадим вид

da da,, 1 -f- v

Подставляя в это уравнение выражение Orr—ovv из (6.53), будем иметь

^=„^L_(l + v)p<u3r.(6.55)

drdr

Дифференцируем (6.53) по г, тогда

^ I 9)ш2г = 0.

dr \ dr ) dr dr'

Подставляя (6.55) в последнее уравнение, найдем

— I —^(г2а„)1+(3--Нр.о5г==0.dr [ г dr j

Интегрируем это уравнение

^=Л+А —^р^А(6.56)

Из (6.53) и (6.56) имеем

Для нахождения постоянных Л и S у нас имеются следующие граничные условия

т„ = 0 на цилиндре г = г2,

а„ = 0 на цилиндре г = г1.

Отсюда

А -4pw*/1 2 = 0,

8'2

я г В 3 + v 2 2„

Решения этой системы уравнений будут

А = ^ ~*~ — рю2 (г2 -|- гХ), В = —- + v рю2 гХгХ-

Следовательно,

3 + V _ 2 ( 2.2, Г1Г2

Ъг=—7 ?(|>2 Г1 + Г2-Г-— .(6.57)

(3 + v) ri+r2 + -^T-)-(l + 3v)r2 .

На основании этих формул нетрудно убедиться, что напряжение ог является растягивающим и достигает максимального значения при г = Уг]Гз. Напряжение офф также является растягивающим и наибольшее значение наблюдается при г = гь При очень маленьком отверстии (Г1<Сг2) у его края резко изменяется напряжение Стфф, т. е. возникает концентрация напряжений. При этом из второй формулы (6.57)

max 3 + V

aw — ——— p«rr2.

Если диск сплошной (г1=|0), то тогда для получения ограниченного решения следует принять 8 = 0, тогда

3„ = -^ршЧ^-г2), 9?f = -^[(3 + vH-(l+3v)rT

В этом случае в центре будем иметь

3 + V 2 2 9n-"3f?—~ Iми г2-

Таким образом, в диске с очень маленьким отверстием у его края напряжение ow вдвое больше, чем в центре сплошного диска. Если стенка диска весьма тонкая, то можно Гг^п; тогда из второй формулы (6.57)

9 2

В качестве одной из задач исследуем распределение напряжений и перемещений при чистом изгибе кругового бруса (рис. 19). Ввиду того, что тензор напряжений не зависит от координаты <р, функцию напряжений берем в форме (6.44). Сформулируем граничные условия задачи в виде »гг=0 при г = ^2>

'„ = 0 при г = Яр я,

o^rdr=M при <р = 0.

На основании формул (6.45) этим условиям придадим вид -!-А+(1 + 21пУ?г)8+2С=0,

J-^+(l + 21n^,)8 + 2C = 0,

-Д1пА+5[^1п/?1-/?|1п7?2 + ^-^]+(^-^)С = ^.

Решения этой системы уравнений следующие:

а—

в=—^й-йу

С =-^- [/?! - pl+ 2(й 1п Я, - Р^ In ЗД

где

D= -(Pi-Р2)2 + 47??^ 1п2-А .

Таким образом.

Определим теперь перемещения и, и иф. Для данной задачи формулы закона Гука с учетом формул (4.50), (3.31) примут вид

4^-=4-K1+v)^r-2 + 2(l-v)einr+(l-3V)S + 2(l-v)C],

— T^ + “-=^I-(1+v)^ + 2(l-v)Blnr + г tty г Е

+ (3 _ v) S + 2( 1 - v) С),(6.58)

2_=о.

г д^ дг г

Интегрируем последовательно первое и второе уравнения этой системы; тогда

«f = -^[-(l+v)^r-1-i-2(l-v)Brlnr-(l+v)Br +

+ 2( 1 — v) Cr]4~/i (<р), =r?-/i(?) + /2(r).

Учитывая эти соотношения в третьем уравнении системы (6.58), получим

-у/Д^ + ^И + ^/Ду)—^/2(г)-0.

Отсюда

Л(?) + Л(¥) = С, г/Дг)-/2(г)=-С.

Общие решения этих двух уравнений соответственно будут

Л(?) = Л sin <?+Р2 cos?+C, /г(г) = Р3г + С.

Таким образом, имеем

«г = -^-1~(1 +v) Дг-1 + 2(1 — v)Brln г — (1 + v) Вг-ф

-[-2(1 — vJCrJ-j-P, cos<p —Р3 sin е,

«¥ = ~ г? — ^ sin ? - P2cos ? 4- P3r.

Для определения постоянных Pi, Pa и Pg следует взять некоторую точку, например О, и закрепить брус так, чтобы исключить его движение как твердого тела, т. е. следует положить в этой точке

диur=us = ■ * =0.

Тогда

с L/<1 + ^222

— (!+») 5 R' + Rl -}-2(1—v)С ₽1 + ^ 1 ,

Окончательно перемещения примут вид.

ыг = ~ [ — (1 + v) -4г'"14-2( 1 — v) Вт In г — (1 Ц-v) Sr4~

2 (1 — v) Cr] -|- Pi cos ?,

4S n .

—^V-Pj sin?-

Из формулы для перемещения иф видно, что при чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими.

§ 44. Комплексное представление бигармонической функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвилн. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости.

В § 32 было показано, что для изотропного однородного тела, когда отсутствуют массовые силы, объемная деформация является гармонической функцией; в случае плоской деформации имеем

(6.59) дд4 т ^

Комплексное представление решений этого уравнения проще всего получить, если записать его в комплексной форме

_^L = 0,(6.60)

dzdz

что непосредственно получается из (6.59) введением новых независимых комплексных переменных 2 = х1-Н‘Х2 и z = X[—tx2 вместо переменных х( и хг, где

Из уравнения (6.60) получим, что гармоническая функция в некоторой области плоскости комплексного переменного г может быть представлена в виде

= Pp'^HTWL(6-61)

л + ц

где ф(г) — аналитическая функция переменного 2.

Умножив второе уравнение (6.6) на мнимую единицу i и сложив с первым, с учетом Fi=F2 = 0 получим

ГД (ы1-Н“2) + (Х + г)('—-—[-z-JL^e^O.

Учитывая, что

dzdz ^1 дх2 az

предыдущее уравнение запишем в комплексной форме

2г^1±^--|-(Х+г)-^=0.

dzdzdz

Интегрируя это равенство по аргументу z, получим

2^(“i + ^>+(X+M9i_?]^022^(“i + ^>+(X+M9i_?]^02(6.62)(6.62)

2^(“i + ^>+(X+M9i_?]^

02

2^(“i + ^>+(X+M9i_?]^

02

(6.62)

(6.62)

где ф) (г) — некоторая также аналитическая функция переменного 2.

Переходя в (6.62) к сопряженным выражениям, будем иметь

2г ^“T^+tX + r)9!-^). dz2г ^“T^+tX + r)9!-^). dz(6.63)(6.63)

2г ^“T^+tX + r)9!-^). dz

2г ^“T^+tX + r)9!-^). dz

(6.63)

(6.63)

Сложив равенства (6.62) и (6.63) и учитывая наряду с соотношением

2г2г<Н«1 + ^з) dz<Н«1 + ^з) dz(6.64)(6.64)

2г

2г

<Н«1 + ^з) dz

<Н«1 + ^з) dz

(6.64)

(6.64)

также выражение (6.61), найдем

2(X+2p)8i=?£^fr4z)+^)J=<^(6.65)

откуда

(6.66)

здесь с — вещественная постоянная.

■ Подставляя последнюю формулу, а также формулу (6.61) в равенство (6.62), после интегрирования полученного результата будем иметь

2|*(й1 + /«2)=«?(2)—z^' (z) — ^(z)^icz,

где * = ^^^" =3 — 4v; $(z) — аналитическая функция аргумента х.

Отбрасывая слагаемое icz, дающее только жесткое перемещение, получаем важную формулу комплексного представления перемещения при плоском деформированном состоянии тела

2p.(«1 + r«2) = x<p(z) —z®' (z) — ф(£).(6.67)

Эта формула выражает также перемещение в случае обобщенного плоского напряженного состояния тонкой пластинки, если вместо х взять величину х *, определяемую соотношением

, X* + Зр 3 — vX* 4- р 1 4- "V

Так как v<0,5, то х> 1 и х*>1.

Теперь перейдем к выводу формул комплексного представления компонентов напряжений при помощи той же пары аналитических функций y(z), ф(г). С этой целью запишем формулы обобщенного закона Гука (6.3) в комплексной форме следующим образом:

°i 1Н-б22=2 (и-)-^) ® 1 >

°22 — Зи Н-2/з12=2р. (^ — еп~Ь 21^12)™ 2-^—[2р(м1 Zu2)]. (6.68)

Учитывая (6.61) в первой формуле (6.68) и равенство (6.67) во второй формуле (6.68), получим существенно важные соотношения, дающие комплексное представление компонентов тензора напряжений при плоском деформированном состоянии среды

°и + ’22 = 2У(г)+?^)] = 4ИеУ(г)],

(6.69)

=21 ~ ’11 + ^=12 = 2 Й" (2) + Ф' (^)L

Формулы (6.67), (6.69) получили широкое распространение в пло-

ской теории упругости, они удобны еще потому, что свойства фигурирующих в них аналитических функций хорошо изучены.

Выразим теперь функцию напряжений Ф(хь х2) через те же аналитические функции <p(z), ф(^).

Из формул (6.24) имеем

а11 + а22 = ДФ = 4 — ; а22 — ° 11 ~Г 2^6j2— 4~— .dzdz

Из этих формул, учитывая (6.69), получим

2 -^=<p'(z)+?Tzj; ^-^-=z®"к^-т^ W- dzdzdz2

Интегрируя первое уравнение по 2, а второе по z, найдем

2 -^- = ?(^)+г/(7) + ^П^)-dz

з-^^Т^+нгТ+гг^).

dz

Из сравнения этих равенств будем иметь

?^)-g2(^)=^)-i7(^i-

Отсюда

giC^—HeJ+Cp g2(^)=<p(£) + c1, и, следовательно,

2=Т (г) + иТТ^) + ф^7+с15dz

откуда

2Ф = 2<? (z)+z^ (2) + J ф(г) dz + X (z) + сгх.(6.70)

Учитывая, что вторые производные функции напряжений (6.24) являются вещественными величинами, сама функция должна быть вещественной с точностью до cz-VCq. Исходя из сказанного в выражении (6.70) необходимо положить

X (г) = J ^) dz 4- cz + с0,

где с, со — произвольные комплексные постоянные. Если принять Ci=O, с=0, Со=О, что не скажется на напряженном состоянии, то формула комплексного представления функции напряжения Эри окончательно примет вид

2Ф = 2^(2)+2^(2) 4-Х (2) + ^)(6.71)

ИЛИ

Ф = Ке(^(г)+х(2)).(6.72)

Здесь символ Re означает, что нужно взять действительную часть выписанного после него выражения.

Выведем в комплексной форме выражение для главного вектора сил, действующих со стороны положительной нормали на некоторую кривую АВ (рис. 20), взятую внутри среды в плоскости деформации o.V|X2- Подставим в соотношении (6.12) формулы (6.24), выражающие компоненты тензора напряжений через производные функции Эри, и учтем, что

Используя эти формулы, составим выражение вида

^п1 + ^л2 =^п1 + ^л2 =. Д / дФdl \ dxi. Д / дФdl \ dxiММдФ6^2дФ6^2

^п1 + ^л2 =

^п1 + ^л2 =

. Д / дФ

dl \ dxi

. Д / дФ

dl \ dxi

М

М

дФ

6^2

дФ

6^2

Обозначая через (Vj, Г2) компоненты названного главного вектора, из предыдущей формулы найдем

J( ЙХ] Ох2

АВ

где символ ( ) а обозначает приращение выражения, заключенного в скобки, вдоль кривой АВ.

В силу (6.71), а также соотношения х'(г)=Ф(г) из предыдущей формулы получим комплексное представление главного вектора сил, действующих на кривую АВ,

V1-\--iV1= — I (y(z)-j-ary'(^г)4-ф(я:))д.(6.74)

Главный момент Lo сил, приложенных к кривой АВ со стороны положительной нормали, относительно начала координат равен

^о = f (^1^«2 — х^Г^dl.

АВ

Из последнего равенства, учитывая (6.73) и выполнив интегрирование по частям, получим

оФ дх\оФ дх\^Y+№‘- дх2 /д^Y+№‘- дх2 /д(6.75)(6.75)

оФ дх\

оФ дх\

^Y+№‘- дх2 /д

^Y+№‘- дх2 /д

(6.75)

(6.75)

Очевидно, чтоОчевидно, что• 5Ф ИI"—~ I ■дх2 ) I• 5Ф ИI"—~ I ■дх2 ) I5Ф . 6Ф1СЛ1 1^X25Ф . 6Ф1СЛ1 1^X2?(z) + z¥'(£) + '* (г).?(z) + z¥'(£) + '* (г).

Очевидно, что

Очевидно, что

• 5Ф И

I"—~ I ■дх2 ) I

• 5Ф И

I"—~ I ■дх2 ) I

5Ф . 6Ф1

СЛ1 1^X2

5Ф . 6Ф1

СЛ1 1^X2

?(z) + z¥'(£) + '* (г).

?(z) + z¥'(£) + '* (г).

5Ф ,<?Ф „Г

Н ^2= Re z

ЙХ1 дх2

С другой стороны, в силу формулы (6.71) имеем

Это равенство вместе с (6.72) позволяет придать формуле (6.75) требуемое комплексное представление главного момента

(6.76,(6.76,70= Re (х (г) — z^^ — zz^(г))д.

(6.76,

(6.76,

§ 45. Степень определенностивведенных функций и ограничения,накладываемые на них

Нетрудно показать, что при заданном тензоре напряжений он, 022, Oi2 функция <p'(z) определяется с точностью до аддитивной мнимой постоянной ci, а функция ф'(г) находится точно.

Пусть tp,(2), ф'(г) — пара аналитических функций, связанных с заданными компонентами Оц, 022, «12 формулами (6.69); тогда

Sii+^^Re?'^)-Sii+^^Re?'^)-(6-77)(6-77)

Sii+^^Re?'^)-

Sii+^^Re?'^)-

(6-77)

(6-77)

’22 “ 3u + 2й12 = 2 [zv" (г)+ф' (z)].(6.78)

Пусть также Ti'(2), ^^(зг) — другая пара функций, связанных с теми же он, 022, 012 соотношениями

an + °22 = 4Re <?;(?),(6.79)

322-°и + 2/з13 = 2 [zc^ (z) + *h (г)].(6.80)

После сравнения равенств (6.77) и (6.79) получаем v;(2)=<p'(z)4-c/.

Из формул же (6.78) и (6.80) следует

№) = f (z).

Из двух последних равенств вытекает, что

?i(z) = ?(z)+у,(6.81)

ф3(г) = ф(г)+у',(6.82)

где у, у' — вообще говоря, комплексные постоянные.

Имеет место и обратное утверждение. Если ф(г) заменить функцией <р(г) + ctz + y, а ф(г) —функцией ф(г)+у\ то напряженное состояние тела не изменится. Справедливость этого положения вытекает из непосредственной подстановки этих функций в формулы (6.77) и (6.78).

Легко видеть, что при заданных проекциях вектора перемещения нельзя произвольно задавать постоянные с, у и у'. Пусть ф(з), Ф(г) — пара функций, связанных с заданными компонентами вектора перемещения формулой (6.67); тогда

2р.(ы14-7«г) = х,?(г) —г?' (z) — ? (2).(6.83)

При замене ф(г) и ф(г) согласно (6.81) и (6.82) из предыдущей формулы получим

2p(/z1 + zti2)=2^ («1 + /я2) + (к+ 1) czz+*Y — Y'-

Отсюда видно, что при этом проекции вектора перемещения не изменятся, если

с = 0, ху — у'=0.(6.84)

Таким образом, в этом случае можно произвольно задавать только одну из постоянных у, у'. При заданных напряжениях подходящим выбором постоянных у, с, у' можно обеспечить соблюдение условий

?(z0) = O, !my'(z0)=Oi Ф(го)=О,(6.85)

где Zo — некоторая фиксированная точка области. Этими условиями вполне фиксируется пара аналитических функций ф(г) и ф(г).

При заданных проекциях вектора перемещения можно путем выбора одной из постоянных у или у' положить

ср(го)=О или ф(зо)=О,(6.86)

Одним из этих условий вполне фиксируется пара аналитических функций ф(г) и ф(г). Если деформируемая среда занимает односвязную область, то функции ф(г), ф(г), %(z) будут однозначными в этой области. Если замкнутая кривая АА рассматривается в односвязной области, где функции ф(з), ф(г), % (г) —однозначны, то из (6.74), (6.76) следует

1/,-|-Л/2 — 01 7,q=0,

т. е. главный вектор и главный момент сил, приложенных к этой кривой, равны нулю. При многосвязной области, как, например, в случае пластинки с отверстиями, функции ф(г) и ф(2) могут оказаться многозначными.

Перейдем к исследованию характера многозначности этих функций сперва для случая конечной и затем — бесконечной многосвязной области. Ясно, что физически компоненты тензора напряжений должны быть однозначными в области; такое же условие наложим и на вектор перемещения. Поэтому, согласно формулам (6.69),

вдоль произвольной замкнутой кривой АА, проведенной в многосвязной области, занятой телом, мы будем иметь

(?'(z)+7^j)5=O,(6.87)

(г?"(г)+/(^=0.(6.88)

Из (6.87) ясно, что Re<p'(z) является однозначной гармонической функцией. Однако известно, что при этом аналитическая функция <р'(г) может оказаться многозначной в неодносвязной области, ибо при обходе замкнутой кривой, расположенной в области и охватывающей какой-либо из внутренних контуров, мнимая часть <р'(г), вообще говоря, изменяется на некоторую постоянную величину, а следовательно, сама функция <р'(г) получает приращение, равное чисто мнимой постоянной. Ниже убедимся, что в данном случае такое приращение не имеет места. В силу ранее сказанного очевидно, что функция q>"(z) будет голоморфной, т. е. однозначной аналитической функцией. Учитывая, что

(?"С?))2 = (7(^=0,(6.89)

из (6.88) имеем

(7й)л=(^(г))^=о,(6.90)

т. е. ф'(2) является голоморфной функцией в многосвязной области.

Дифференцируя выражение (6.67) по координате Хц будем иметь

2р 21£д±_^±=*р' (^) -77^) - zT^z) - f(z).

Вследствие однозначности величин ^^'(г)+ф'(г) (вторая формула (6.69)) и—— («i + i«2) из последнего равенства имеем

Сравнение этого равенства с (6.87) дает

(?'Ид = (7(7)л=0,(6.91)

т. е. <p'(z) также есть голоморфная функция.

На основании (6.91) формулы (6.74), (6.76) для замкнутой кривой примут вид

l/r+<lz2 = — г(<р(г)-|-ф (z))^,

4 = Re(z(z)-zHz))^.(6.92)

Обозначим через Zk(А = 1, 2,..., т) аффиксы произвольно выбранных точек внутри соответствующих контуров Lk, не имеющих общих точек и охватываемых внешним контуром Lo. Функцию ф(г) запи-

тем в виде

Ф (z) = j ср' (г) dz + с,(6.93)

Zo

где 2й — произвольно фиксированная точка в рассматриваемой многосвязной области. Интеграл

J <?4z)dz

является, как правило, неоднозначной функцией и в общем случае при обходе любого внутреннего контура Lr получает приращение 2лМа, где Лй, вообще говоря, комплексная постоянная (множитель 2л1 введен для удобства).

Легко заметить, что функция

®*(z)=J ^'(z^dz — ^ Ле1п(г — ге) + с(6.94)

в рассматриваемой области будет голоморфной. Действительно, при однократном обходе вокруг контура £* функция Ан 1п(2—z&) получает то же приращение 2шАк, между тем как остальные слагаемые суммы не получают приращений; так что функция <р*(2) возвращается к своему прежнему значению.

Учитывая формулу (6.94), из равенства (6.93) получаем

?(^) = 2 Л1п(г-2*Н?*(^(6.95)

6=1

где ф* (г) — голоморфная функция. Далее, исходя из формулыФ(г)=J ^' ^dz-VC

и рассуждая аналогично предыдущему, будем иметь

ф(г) = 2 ^ln(z-z0) + ;*(z),(6.96)

»=1

где Вк— вообще говоря, комплексные постоянные и ф*(£) —голоморфная функция.

Подставим в формулу (6.67) выражения функций <p(z) и ф(г); при однократном обходе по замкнутой кривой Lk, расположенной в данной области и охватывающей только контур Lk, вектор перемещения ui-Hu-t получит приращение

(«1 + ^2)/ =— ^(*^б+^д).

Из этой формулы видно, что для однозначности перемещений должно быть выполнено условие

(6.97)(6.97)* А +А— О-

(6.97)

(6.97)

Теперь определим коэффициенты /1а и В^ для этого по первой формуле (6.74) вычислим главный вектор сил, приложенных с надлежащей стороны к той же кривой IV; его значение дается формулой

Ил + ^=-2л(А-^).(6.98)

Отсюда следует, что главный вектор (Via, lA) не зависит от выбора кривой IV.

Решая совместно уравнения (6.97) и (6.98), получим

(6.99)(6.99)^ _I7It + i^?) g . х (At—<1^20

(6.99)

(6.99)

62л(1 +х) ’6 2л (I +*)

Внеся эти значения Аь и В^ в формулы (6.95) и (6.96), окончательно будем иметь

т(г)=-9. Vt^u+^lntz-z^+y^z), (6.100)

2л (1 4- х)

6 = 1

т

*№)= -(2). (6.101)

2л (1 х)

6 = 1

Рассмотрим случай бесконечной многосвязной области, например, занимаемой неограниченной пластинкой, ослабленной конечным числом криволинейных отверстий; она может быть получена из ранее рассмотренной области при удалении внешнего контура La на бесконечность. Для всякой точки, расположенной вне окружности L, охватывающей все границы отверстий, будем иметь

ln(z —zA) = lnz-|-ln (1ln(z —zA) = lnz-|-ln (1

ln(z —zA) = lnz-|-ln (1

ln(z —zA) = lnz-|-ln (1

Функция 1п(1—z^z"1) будет голоморфной вне окружности Д включая бесконечно удаленную точку; поэтому из формул (6.100) и (6.101) найдем

^г)=(6.102)

2л (1 + х)

^^^^^о^’^'^^^’(6Л03)

где (А, А) — главный вектор сил, приложенных на всех контурах области; <p**(z), ф**(г) — функции, голоморфные всюду вне окружности L, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки.

Подставляя выражения (6.102), (6.103) в (6.69) и налагая условие ограниченности компонентов тензора напряжений во всей рассматриваемой бесконечной области, придем к соотношениям

?(*)=+(6.104)

(I +

ln^ + r'z + %(3),(6.105)

2л (1 + х)

где Г, Г', вообще говоря, комплексные постоянные; фо(2), фо(г)— функции, голоморфные вне окружности L, включая бесконечно удаленную точку, так что в ее окрестности справедливы разложения

(6.106)

W=*o+-7 + ~+"--

Б силу формул (6.85), не меняя напряженного состояния среды, всегда можем принять

«о=6о = О; 1тГ = 0.

Величина 1тГ имеет механический смысл. Чтобы показать это, поступим следующим образом. Продифференцируем соотношение (6.67) по Xi и по ix2, а затем сложим полученные выражения. Тогда

Кбсц г 6л1 тКбсц г 6л1 т6ц2 \ . ./ 6«26х2 Р \ бХ]6ц2 \ . ./ 6«26х2 Р \ бХ](г)-?'(г6x2/J(г)-?'(г6x2/J

Кбсц г 6л1 т

Кбсц г 6л1 т

6ц2 \ . ./ 6«2

6х2 Р \ бХ]

6ц2 \ . ./ 6«2

6х2 Р \ бХ]

(г)-?'(г

6x2/J

(г)-?'(г

6x2/J

=(*— l)Re<p' (z)+Z(* + 1) Im <р' (z).

Отсюда значение вращения со определится формулой

1 / 6и2 6ttl 1 + X ?* (х) —т' О)

2 \ 6X16X2 / 2ц^1

Из этой формулы с учетом (6.104) при z-*-oo находим

ОтсюдаОтсюда№oo=A±2Limr.2^

Отсюда

Отсюда

(6.106')(6.106')2цо>

(6.106')

(6.106')

1m Г= ” .

1 + X

Пусть сть оз — значения главных напряжений на бесконечности на — угол между направлением си и осью oxt; для них имеем

•и—см 2а,

e22 = ’1 + °= —cos 2a,22

a12=———sin 2a.

На основании этих формул

3llH~322=3l + 32i

322 - 311 +2”12 =-(»i- a2) e-S'\

Сопоставляя последние выражения с формулами (6.69) и учитывая (6.104), (6.105) и (6.106), при 2-*оо получим

Re I^-LtajJ-^),

(6.107)

Значит, в бесконечно удаленных частях плоскости имеет место распределение тензора напряжений, бесконечно мало отличающееся от равномерного.

Подставляя формулы (6.104) и (6.105) в (6.67), для больших |д| будем иметь

2р.(«1-|-«г2)=-^‘^ Ш(^)+(хГ -Т')г-Г'Н ..., (6.108)

где многоточие обозначает слагаемые, остающиеся ограниченными при возрастающем |z|.

Таким образом, перемещение на бесконечности не ограничено; оно будет ограничено, если главный вектор (Vi, V^ сил, действующих на все контуры области, и напряжения на бесконечности равны нулю, а также 1тГ = 0, т. е. бесконечно удаленная часть плоскости не испытывает вращения.

Если напряжения на бесконечности равны нулю, а главный вектор внешних сил не равен нулю, то перемещение все же возрастает как In (zz) =21nr.

§ 46. Основные граничные задачи и приведение их к задачам теории функций комплексного переменного

Под основными граничными задачами плоской теории упругости, аналогично тому, как для трехмерного тела (§ 34), мы будем понимать следующие задачи:

Первая основная задача. Определение упругого равновесия, когда заданы внешние силы, приложенные к границе L области S.

Вторая основная задача. Определение упругого равновесия, когда заданы перемещения точек границы L.

Основная смешанная задача. Определение упругого равновесия, когда на одной части границы заданы приложенные к ней силы, а на другой — перемещения точек.

Если область 5 бесконечна, то в случае первой основной задачи должны быть заданы напряжения на бесконечности, т. е. Re Г и Г'; в случае же второй основной задачи и основной смешанной задачи— величины Йь 17, Г, Г'. Допуская, что решение указанных задач существует, его единственность для конечной области можно доказать аналогично доказательству, приведенному в случае соответствующих пространственных задач; на доказательстве теоремы единственности для бесконечной области мы не останавливаемся; при надобности читатель сможет ознакомиться с ним в монографии Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математической теории упругости».

Из формул (6.67), (6.77), (6.78) видно, что решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию пары функций комплексного переменного cp(z) и ф(г), аналитических в данной области S, при этом на ее границе L эти функции <p(z) и ф(г) должны удовлетворять определенным условиям, отвечающим какой-либо из сформулированных задач.

Будем считать, что граница L области S не пересекает себя, замкнута и в каждой точке имеет касательную. Кроме того, примем, что компоненты вектора перемещения и тензора напряжений непрерывны вплоть до границы L.

Для первой основной задачи функции <p(z) и ф(з) в случае конечной односвязной области S, ограниченной контуром L, должны на основании (6.74) удовлетворять краевому условию

ф(/)+/О)+<Й7)=71-Ь(72+с. (6.109)

Здесь Z = X]4-U2 — аффикс точки А и Xi и Хг— ее декартовы координаты, причем

KA-if2 = i\<Fn^iTnM, (6.110) о

где Т^ Т^— заданные значения проекций внешних сил, действующих на L.

Выражение слева в (6.109) дает граничное значение функции ф(?) + zqp'(z) + ф(г), когда г, оставаясь внутри области S, стремится к точке t контура L. Это граничное условие существует в силу принятого предположения о непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до контура L. (Следует отметить, что в формуле (6.74) дуга, обозначенная через АВ, целиком лежит в области S. Однако в силу предположения о непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до контура, мы вполне законно применили эту формулу для случая, когда дуга АВ принадлежит контуру Е.)

Для второй основной задачи функции ф(е) и ф(г), в случае той же конечной односвязной области S, должны на основании

удовлетворять на контуре L соотношению

«<р (/) — ^' to — WO = 2р (и* + шз).(6.111)

где ui* и «г* — заданные значения перемещения точки L.

Здесь, так же как и выше, левая часть равенства (6.111) представляет собой граничное значение выражения

Я<р (г) — Zy' (z) — W-0 при z —*t.

Это граничное значение существует, так как

«V (to - ЙЙ) - ЙО = 2Wtit + ш^

а по условию, принятому нами выше, «1 и м2 непрерывны вплоть до контура L.

Для первой основной задачи в случае бесконечной области S, ограниченной замкнутым контуром L, регулярные в ней функции <Po(z) и фо(г), на основании условия (6.109) с учетом формул (6.104) и (6.105), должны удовлетворять краевому соотношению

Vo(O 4- ^ W 4" Фо to=/i+if г + с-(6.112)

При этом введено обозначение

fl-vt/l-fl-HA 4„'2 (1п/ — Х 1п/) +

+ ^7Г/УТ^-Й + Г)^~Г'Л(6.113)

Когда точка t описывает контур L в положительном направлении, выражения fi + to, In t и In t получают соответственно приращения ((Kf+tVa), —2ш и + 2ш, так что приращение выражения fi+ifs, как легко убедиться, будет равно нулю. Поэтому функция fi+^2 является однозначной и непрерывной на L.

Для второй основной задачи в случае бесконечной же области S, ограниченной контуром L, для функций <ро(г) и i|>o(to на основании формулы (6.111) с учетом формул (6.104) и (6.105) будем иметь краевое условие

«То to — ^о Ю — фо to=2р (и? + hi^,(6.114)

где

2р (и*+/из) = 2р (и*+/и2) 4-In (/7) — 2л (1 + *)

Н^й(хГ-г,'+к ,6Л15)

Как видно из (6.115), правая часть равенства (6.114) представляет собой однозначную и непрерывную на L функцию, поскольку таковыми являются все содержащиеся в ней члены.

В основной смешанной задаче будем иметь условия вида (6.109) на тех частях границы, где заданы проекции вектора напряжения, и условия вида (6.111) на остальных ее частях, где заданы проекции вектора перемещения.

Выше мы убедились, что условие непрерывности компонентов тензора напряжений вплоть до границы L области 5 приводит к непрерывности вплоть до границы выражения

а условие непрерывности проекции вектора перемещения — к непрерывности вплоть до границы выражения

xy(z)-zyr(z)-^(7).

Очевидно, что выражение <p(z)+z<p'(z) 4-ф(з) может быть непрерывным вплоть до границы без обязательного соблюдения условия непрерывности (вплоть до границы Л) компонентов тензора напряжений. Поэтому последнее условие может быть заменено более слабым условием непрерывности вплоть до границы указанного выражения. В дальнейшем будем считать, что для двух первых основных задач функции y(z), <p'(z) и ф(г) непрерывно продолжн- мы на все точки границы L области S; это накладывает сильное условие на искомые функции, но и значительно упрощает рассуждения при применении методов эффективного решения основных задач.

Условие непрерывности <p(z), yf(z) и ф(г) в случае первой основной задачи исключает разрывные внешние нагрузки, например сосредоточенные силы; для смешанной задачи функции <p(z), ф'(г) и ф(г) в отдельности не будут непрерывными в точках стыка.

Теорема Мориса Леви

Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции <p(z) и ф(г) однозначны в данной области S и упругие постоянные X и ц не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями v(z), ф(г), не зависит от упругих постоянных X и ц, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями <p(z), ф(г), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями <p(z), ф(г), не зависело от упругой постоянной х, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lh, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. Этот результат и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе метода нахождения напряженного состояния в каждой точке изотропной однородной среды на мо-

делях из другого материала. В частности, эта теорема дает возможность заменить определение напряженного состояния в однородных и изотропных материалах определением напряженного состояния в прозрачных телах, оптически чувствительных к возникающему в них напряженному состоянию.

Основными методами, позволяющими решать задачи плоской теории упругости для достаточно широкого класса областей, являются метод конформного отображения и метод интеграла типа Коши. Совместное применение этих методов оказывается наиболее эффективным для односвязных областей.

Исследование многосвязных областей значительно сложнее и здесь рассматриваться не будет.

Метод конформных отображений

Пусть конечная или бесконечная односвязная область в плоскости переменного z, ограниченная простым контуром L, взаимно однозначно отображается на единичный круг |£]<1 в плоскости £ посредством аналитической функции

£ = ш(С),£ = ш(С),(6.116)

£ = ш(С),

£ = ш(С),

причем примем, что ш(0)=0 для конечной области и (о(0)=оо для бесконечной области.

Для бесконечной области рассмотрим случай, когда перемещения ut, и$ на бесконечности ограничены; при этом величины Кь Уз, Г, Г' в условии (6.108) должны быть равны нулю; также будут нулевыми компоненты тензора напряжений на бесконечности. Искомые функции <p(z) и ф(г) будут голоморфными (регулярными) в области S, включая и точку z=oo.

Чтобы использовать конформное отображение (6.116) при решении основных задач и вообще задач плоской

теории упругости, преобразуем граничные условия (6.109), (6.111) к переменному I.

Введя новые обозначения

Ф(Е) = ?(<и(1:))^?1(С), ф(я:)=ф (<»(С))=ф1 (С),(6.117)

получим, что функции ф|(О. Ф1 (?) являются голоморфными в области единичного круга ]£|<1; его границу обозначим через у-

Введем полярные координаты (г, 6) на плоскости £; их можно рассматривать как криволинейные координаты точки (хь х2) плоскости z; в силу конформности отображения координатные линии, соответствующие r = const и 9 = const, ортогональны между собой. Возьмем на плоскости г точку (Xi, х2) и проведем через эту точку

координатные линии r=const и 0 = const (рис. 21). Обозначим проекции вектора а, приложенного в точке 2, в системе координат X], ха через оь аа, а в системе еТ) е4 — через аг, ое. Из рис. 21 очевидно

ttr + iag^tt! cosa + ^a sin a)-|-Z(—^i sin « + «a cosa) или

ar + /#z6=e-,a(a1+/a2),(6.118)

где a — угол, составляемый направлением er с осью Xi и отсчитываемый от этой оси в положительном направлении. Чтобы вычислить е*а точку z переместим в направлении бг в положение z + dz; тогда соответствующая точка 1;=ге№ в плоскости £ переместится в радиальном направлении в положение £+^£, поэтому будем иметь

dz=eu\dz\t £/С=е/в|Л|,

откуда с учетом (6.116)

€и = ^«'(О^С= eit *°'(С)

1^11®'(О1 ИС1 Н'(О1 ‘

Из последнего соотношения найдем

е-н = 3_,(6.119)

г |Ш'(С)1

Подставляя (6.119) в (6.118), получим

а, + 1ай = 3 -^g-p (at+la^.(6.120)

При этом проекции вектора перемещения на направления Ct и ва определяются из равенства

я, + iUg = 3 ~~Y (“*+ itt^*(6.121)

На основании формул (1.13) для плоского напряженного состояния и плоской деформации (А, /, г, s=l,2) между компонентами тензора напряжений огг, оее, <м в полярных координатах и компонентами тензора напряжений оц, 022, ois в прямоугольных декартовых координатах имеют место соотношения

°/г + % = О11+в22.

(6.122) % - °гг + 2/«гв=(«22 - °и + 2w12) е2'\

справедливость которых проверяется непосредственно. Определив из (6.119)

= 12 ^'(о)2 = С2 w' <С)

с2 1«'(С)12 г2 <77о

и учитывая формулы (6.69), (6.116) и (6.117), из формул (6.122) найдем

(6.123)

г^ЧО

где Ф!(;)=<(г) = Ф(2); W^Q^f (г)=Т (г).

В этом случае вместо граничных условий (6.109), (6.111) соответственно будем иметь

?1(’)4--^=-91(°) + М^ = 71(0)+г'/2(а) + ^(6.124)

*?1(°)-^=^Т1(а)~,Ы?>=2р.[иГ(^^(6.125)

(а)

где

/М = Л(^ Z^WsW-

«7 (о) =й* (/), О? (а)=Й2 (/)

и о — аффикс точки окружности у.

Следует отметить, что ввиду взаимной однозначности конформного отображения необходимо ©'(£;) ¥=0. Новые неизвестные аналитические функции <pi(^), Ф1(£), отвечающие прежним <p(z), и ф(г), можно искать в виде степенных рядов

6=16-0

где коэффициенты ац и Ьк, вообще говоря, комплексные величины.

Граничные условия (6.124) или (6.125) дают возможность построить для определения этих коэффициентов бесконечную систему линейных уравнений.

В тех случаях, когда отображающая функция ю(£) является полиномом, задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили). Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями, перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гар- нака и задачи Римана.

§ 49. Интеграл типа Коши

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости.

решаются с помощью интеграла тапа Коши и различных его обобщений. Исходя из этого, мы приведем без доказательств несколько результатов из теории интегралов Коши, типа Коши и предельных значений последнего.

Интеграл Коши. Пусть f(2) —функция, аналитическая в односвязной области 5, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, и непрерывная bS + L Тогда значение функции цг) в любой точке z^S определится граничным значением этой функции на линии L в виде

= (6.126)

2Л1 J t — 2

L

Здесь интегрирование ведется по линии L в положительном направлении. Интеграл, входящий в правую часть (6.126), называется интегралом Коши. Если точка z находится вне L, то в силу теоремы Коши

ибо подынтегральная функция /(()/(?—2) будет аналитической в S и непрерывной в S + L.

В случае многосвязной ограниченной области формула Коши имеет вид

(6.128)

L

где £=£о +^Г+ ... +1^; каждый из Lv является простой кусочно-гладкой замкнутой линией, причем все Lv(v=l, 2, .... m) находятся внутри Lo. Если 2 — точка вне L, тс> в силу теоремы Коши

=(6.129)

2ю J t — 2L

Пусть f(2)—функция, аналитическая в одпосвязной бесконечной области 3”, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, включая и бесконечно удаленную точку, т. е. f(eo)=co, и непрерывная в S~ + £. Тогда

2л Г J t — Lдля точек 2, лежащих вне £;2л Г J t — Lдля точек 2, лежащих вне £;^=-/(г) + /(сю)(6.130)

2л Г J t — L

для точек 2, лежащих вне £;

2л Г J t — L

для точек 2, лежащих вне £;

^^- = /(оо)(6.131)

для точек 2, лежащих внутри L. Формула (6.130) называется формулой Коши для бесконечной области.

Интеграл типа Коши. Пусть f(/) —заданная на простой кусочно-гладкой замкнутой линии L непрерывная функция, тогда

(6.132)(6.132)I С HMt

(6.132)

(6.132)

2л Z J t — zL

выражает однозначную аналитическую функцию во всякой односвязной области, не содержащей точек линии L. Интеграл (6.132) называется интегралом типа Коши, функция /(/) называется его плотностью, а — ядром, и для производной всех порядков

интеграла типа Коши имеет место формула

f -^- ■(6-133)

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть f(f) — некоторая функция, причем аргумент t и функция f(() могут быть как действительными, так и комплексными. Если f(i) является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента [/а—6| и функции lf(^2) —/(Л) | одновременно стремится к нулю. При этом вопрос о порядке малости приращения функции по отношению к приращению аргумента не рассматривается. Однако многие свойства функции, например разложение ее в ряды и быстрота их сходимости, представление интегралами и т. п., тесно связаны с порядком модуля непрерывности функции, т. е. ©(8)=sup |f (/а) — f (^i) |» где /] и 0 принадлежат кривой L и \0— /J <6.

Мы остановимся на наиболее интересном классе функций, для которых модуль непрерывности представим в виде степенной функции от приращения аргумента, т. е.

Ш^-Л^К^-^1.(6.134)

Здесь КО —функция точек гладкой кривой L; tx, О— любые две точки кривой L; А и а — положительные числа. А называется постоянной Гельдера, а « — показателем Гельдера, 0<«^Т. Условие (6.134) называется условием Гельдера (условие Щ, и функция КО, удовлетворяющая условию Н, называется функцией из класса Н, Очевидно, при «> 1 из условия (6.134) вытекало бы, что всюду f'(0 = 0> а отсюда f(/)=const. При а=1 условие Гельдера совпадает с условием Липшица. Если при достаточно близких друг к другу 0 и /3 условие Н выполняется для некоторого показателя «ь то оно будет, очевидно, выполняться и для всякого показателя «<«1. Таким образом, меньшему а соответствует более широкий класс функций. Наиболее узким классом будет класс функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Главное значение интеграла типа Коши. Пусть Кх^ — заданная действительная функция, обращающаяся в бесконечность в

некоторой точке с конечного интервала интегрирования а^с^Ь. Если вырежем совершенно произвольную окрестность точки с, то функция f(x) в а^х^с—si и с+е^х^й будет ограничена, а в с—е^х^с+ег— не ограничена. Точка с называется особой точкой.

Предел

11m et-tO »,-011m et-tO »,-0f /(x)rfx+ f f^dxf /(x)rfx+ f f^dx(6.135)(6.135)

11m et-tO »,-0

11m et-tO »,-0

f /(x)rfx+ f f^dx

f /(x)rfx+ f f^dx

(6.135)

(6.135)

если он существует, называется несобственным интегралом функции f(x) от а до 6. В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится, а функцию /(х) называют интегрируемой в промежутке [а, 6]. Если же интеграл бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что интеграл расходится. Известно, что несобственный интеграл существует, если порядок бесконечности функции меньше единицы, т. е.

(?<D- (6.136)

В случае обращения функции f(x) в бесконечность порядка первого или выше несобственный интеграл не существует.

Если в криволинейном интеграле (6.132) вместо точки г подставим точку f0 контура L, то получим сингулярный криволинейный интеграл

1^-dt.(6.137)

t — /д

Представим его в виде

Г /(О dt= С /W-Z^o)L ^^Г /(О dt= С /W-Z^o)L ^^dt-Vf^л— '0dt-Vf^л— '0

Г /(О dt= С /W-Z^o)

L ^^

Г /(О dt= С /W-Z^o)

L ^^

dt-Vf^

л— '0

dt-Vf^

л— '0

Так как в силу условия Гельдера

1/^-/(^|ОЧ^-^Г или

где 0=1—а<1, то первый интеграл, на основании (6.136), существует как несобственный.

Во втором слагаемом подынтегральная функция допускает первообразную функцию 1п(/—/о), которая является многозначной Примем, что 1п(/—/о) есть контурное значение аналитической функции In (z—/о), однозначной в плоскости, разрезанной вдоль некоторой кривой, соединяющей точки /о и оо. Условимся для определенности, что разрез произведен справа от линии L. Проведем из точки t» линии L, как из центра, окружность радиуса е и пусть

6 и ti — точки пересечения этой окружности с линией L (рис. 22). Следуя (6.135), будем иметь

f—— + f ——1 = Нт 1п-^^.

J : — /о «_о I J ^ — /о J ^ — <о «-.о <2 — /о LЬд|,J

или

с dt „ .I= 11т1пJ t — ttt «_оLс dt „ .I= 11т1пJ t — ttt «_оLI —^ I + Л Im [arg (^ - /0) - arg (^ -^] -

с dt „ .

I= 11т1п

J t — ttt «_о

L

с dt „ .

I= 11т1п

J t — ttt «_о

L

<1-/о 1 = 0,<2-^0 I<1-/о 1 = 0,<2-^0 II »2 —ГО I е-Д)

<1-/о 1 = 0,

<2-^0 I

<1-/о 1 = 0,

<2-^0 I

Так как |^ —М = 1Л~4)1* Т0> следовательно, In

Выражение в квадратных скобках будет равно углу между векто

рами Мь ^г (рис. 23), причем в силу выбора разреза этот угол должен отсчитываться слева от кривой, поэтому

Пт In=/л,

е_0Ц — /о

следовательно.

Таким образом, главное значение, по Коши, сингулярного интеграла (6.137) для функции /(/), удовлетворяющей условию Гель- дера, равно

^ ЧЧт df=^ -^""Г^"dt+Zn/ ^-(6л 38 >

Предельные значения интеграла типа Коши. Пусть L — простая гладкая замкнутая линия и на ней дана удовлетворяющая условию Гельдера функция f(0; тогда интеграл типа Коши (6.132) имеет предельные значения

(6.139)

L

при z-*-/o извне L и

(6Л4О> 2Л1 J f — to 2

При 2-*-0 изнутри L.

Здесь сингулярным интеграл ^ J ~—f0" понимается в смысле главного значения по Коши и вычисляется по формуле (6.138). Складывая формулы (6.139) и (6.140), найдем значение интеграла типа Коши в точке, лежащей на линии L,

1 Г f^dt . . F+ Оо) + Л- (fo)_ 141

2л/ J /-/„2'1 J

L

Рассмотрим теперь интеграл типа Коши для случая, когда линия интегрирования представляет собой прямую, простирающуюся в бесконечность. Не нарушая общности, эту прямую совместим с действительной осью Х| и обозначим ее через L (рис. 22). Верхнюю полуплоскость обозначим через S+, а нижнюю — S-; точки оси xt не включаются ни в S+, ни в S-.

Пусть f(0 — вообще комплексная функция действительного переменного t, удовлетворяющая условию Н при всех конечных значениях t и стремящаяся к определенному пределу f(oo) при f-*-±oo. Кроме того, функция f(0 для больших значений / удовлетворяет условию

(/^-/(^К-А, Х>0, S>0.(6.142)

Положим также, что функция f(0 стремится к одному и тому же конечному пределу f(oo) при /-»-+оо и М—оо. Если f(oo)^=0, то интеграл типа Коши

-J—CZA^, (6.143) 2л/ J t — г

если считать точку х не Действительно, имеемесли считать точку х не Действительно, имеемлежащей на оси Х|, будет расходящимся.

если считать точку х не Действительно, имеем

если считать точку х не Действительно, имеем

N*N*N*

N*N'N'

В первом интеграле правой части подынтегральная функция в силу (6.142) будет при больших значениях |0 порядка |/|~1-\ поэтому упомянутый интеграл, на основании известного критерия сходимости интегралов с бесконечными пределами, будет сходящимся. Вычислим второй интеграл

N*

f AA = ln(^"-г)-In(^'-г)=±/a4-ln А-,

где а — угол, заключенный между прямыми, соединяющими точку z с точками N\ N", а г\ т" — расстояния точки г соответственно до N' и N" (рис. 24). В последнем равенстве знак первого члена следует брать положительным, если 2 лежит в верхней полуплоскости, и отрицательным — если в нижней полуплоскости. Если N' и N" независимо друг от друга стремятся соответственно к —со, + оо, то а стремится к л, а 1п-^-не стремится ни к какому пределу; от

сюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе ON'= —ON = = ON. Тогдасюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе ON'= —ON = = ON. Тогда

сюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе ON'= —ON = = ON. Тогда

сюда следует, что данный интеграл не стремится ни к какому пределу. Теперь будем считать, что во всем процессе ON'= —ON = = ON. Тогда

Если f(oo)=0, то интеграл (6.143), как показывает ход исследования, пр-и условии (6.142) будет сходящимся.

Таким образом, сингулярный интеграл

N

Г 7(0и С 7(0^

J ZjV_oo J £ 2

L—N

по Коши, называется главным значением и определяется формулой (6.144). При указанных выше условиях, наложенных на функцию /((), функция f(z), определяемая формулой

(6.145)(6.145)=1 f 7(0^2ni J t — z ’

(6.145)

(6.145)

L

будет, очевидно, голоморфной в S+ и S~. Для данного случая формулы Сохоцкого — Племеля для бесконечной прямой имеют вид

(6.146)

Z-(«=-^/(6)+-^- С ^di.

—СО

Здесь F+(A>) и F-^q-) —пределы f(z) при z-t-t» соответственно из верхней и нижней полуплоскостей.

50. Теорема Гарнака

Пусть L — простая замкнутая линия. Обозначим через S+ конечную часть плоскости, ограниченную линией 1, а через S- — бесконечную часть плоскости, расположенную вне этой кривой. При этом линию L мы не относим ни к S+, ни к S~. Возьмем действительную непрерывную функцию точки линии L, Тогда, если

—— Сдля всех

2л/ J I — гv

L

то f (0 =0 всюду на L. Если же

I — = о для всех х£8 , 2л/ J / — z

L

то f(0 -const на L.

При применении теоремы Гариака к разности двух действительных непрерывных функций fv(t) и fa(<). заданных на L, для всех 2еЗ+ на L будем иметь /t(0=/2(0 и Ддя всех z^S- на L будем иметь (/) =/г(0 +с.

Теорема Гарнака формулируется аналогично предыдущей, когда L — бесконечная прямая.

. Краевая задача Римана

Пусть L обозначает совокупность конечного числа п простых не пересекающихся дуг и замкнутых линий плоскости комплексного переменного 2. Затем положим, что на каждой дуге и линии, входящих в L, выбрано определенное положительное направление. Разомкнутые дуги обозначим через а^Ьк, выбирая обозначения так, чтобы положительное направление вело от си к bh. Функцию f(z) будем называть кусочно-голоморфной во всей плоскости, если она голоморфна в плоскости комплексного переменного z, разрезанной вдоль L, непрерывно продолжима на все точки L слева и справа, за исключением концов ак, Ьк, и вблизи концов аь, Ьк имеет место неравенство

IF^k—, о<х<1,I Z — с|

где с — аффикс любого из концов ак, bk’, X и В — положительные постоянные.

Пусть на L заданы функции G(/) и / (0> удовлетворяющие условию Н, причем 6(f) =^0 на L. Требуется найти кусочно-голоморфную функцию F(z), граничные значения которой на L слева и справа, кроме концов ль, Ьк (понятие граничных значений слева 142

и справа неопределенно) удовлетворяют условию

F^-G^F-VW^.(6.147)

где G(/) носит название коэффициента задачи Римана, a f(f) —ее свободного члена. В случае, когда на L функция f(0=O, задача называется однородной.

При G(/) = l получим задачу Римана частного вида

F*^-F-^ = /^ на L.(6.148)

В этом случае задача сводится к определению кусочно-голоморфной функции F^ по заданному скачку /(/) на L. Решение этой задачи можно получить из интеграла типа Коши

РДг\ = — f .(6.149)

2л/ 3 t—г

L

Аналогично сказанному функция F0(z) представляет собой кусоч- го-голоморфную функцию, исчезающую на бесконечности, и, кроме того, она удовлетворяет в окрестности любого конца с линии L условию

|^(г)1<—(6.150)

а также

Го+(О- F? (/)=/(/),(6.151)

кроме концов as, bh. Следовательно, (6.149) является одним из решений задачи (6.148).

Рассмотрим разность F^z)—Fo^ — F.^z), где F^z)—искомое решение задачи (6.148). На основании (6.148) и (6.149) на L имеем

Ft^-F7^ = 0.(6.152)

Согласно известной теореме значения функции F„ (z) слева и справа от L аналитически продолжают друг друга. Поэтому, если приписать функции F*(z) надлежащие значения на £ и учесть, что в силу условия (6.150) любой конец с является устранимой особенностью, мы можем считать F*(z) ограниченной голоморфной на всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля будем иметь Г*(г) = =const на всей плоскости, следовательно, F^ = F0(z) +К или

+(6.153)

2л/ J f - г£

где К — произвольная постоянная. Если принять, что решение F(z) в бесконечно удаленной точке исчезает, тогда следует положить К=0. Если допустить, что решение задачи (6.148) должно представлять собою кусочно-голоморфную функцию всюду, кроме бесконечно удаленной точки, где она может иметь полюс порядка

не выше m, тогда в силу обобщенной теоремы Лиувилля

f.. +Ст_1г™-1 + Ст^, (6.154)

где Со, Сь ..., Cm — произвольные постоянные.

Особый интерес представляет случай, когда G(Z)=g, где g— заданная вообще комплексная, отличная от единицы постоянная. Тогда на L

F+^-gF-^WW.(6.155)

кроме концов. При допущении полюса порядка не выше tn на бесконечности общее решение задачи (6.155) будет иметь вид

F^ = 2^L f^хо^Р^ (6.156)

2ш J х+ (/)(! - г)

где P(z)=C0 + C^+ .., + Cm_^m-*+Cm2m;

Со, Сь ..., Ст— произвольные постоянные: /0(2) — частное решение однородной задачи

^0(£) = П (z-a^^-b^-V(6.157)

й = 1

В свою очередь

У-IilLlL, 0<argg<2n.(6.158)

Изложенные здесь результаты легко распространяются на случай, когда линия L представляет собой неограниченную прямую. В дальнейшем на основе этих результатов будут решены основные граничные задачи для полуплоскости.

§ 52. Приведение основных краевых задач к функциональным уравнениям

Используя имеющийся произвол относительно функции ф(2), мы можем положить ф(0) =0 для конечной области и ф(оо) =0 для бесконечной области. Так как в случае конечной области точке £=0 соответствует точка 2=0, а для бесконечной области той же точке £ = 0 соответствует 2=00, то мы можем в обоих случаях принять ф](0)=0.

Для бесконечной области будем считать, что напряжения равны нулю на бесконечности, главный вектор внешних сил, приложенных к границе, равен нулю и равно нулю вращение на бесконечности. Тогда функции ф(£), ф(О будут голоморфны внутри круга |?|<1.

Будем также считать, что функции ф(^), v^t^), ф(£) непрерывны вплоть до окружности у рассматриваемого круга.

Запишем граничное условие (6.124) и ему сопряженное для первой основной задачи:

(6.159)(6.159)<Р1 (°) + ^=- 91 (»)+Ф1 (3)=/i + ^™' (о)

(6.159)

(6.159)

91 (°) + —7?1 M + ti^H/j-t/a-

<» (о)

Умножим обе части равенств (6.159) на ядро Коши

1 d»

2л/ о — с’

где £ —точка, лежащая внутри единичного круга |^[ < 1т и проинтегрируем их по окружности у. Тогда получим

° —С° —С77О —О —(6.160)(6.160)2л/ J а —С 2л/ J „- /о\ 7Т2л/ J а —С 2л/ J „- /о\ 7Т91 (°) т-С91 (°) т-Сda = B^;da = B^;Т77Т77

° —С

° —С

7

7

О —

О —

(6.160)

(6.160)

2л/ J а —С 2л/ J „- /о\ 7Т

2л/ J а —С 2л/ J „- /о\ 7Т

91 (°) т-С

91 (°) т-С

da = B^;

da = B^;

Т77

Т77

здесь положено

1^2. do. °-с1^2. do. °-сЛ(О=-?- CZl+ZA^; ' 2ni ,1 в —£

1^2. do. °-с

1^2. do. °-с

7

Согласно теореме Гарнака соотношения (6.159) и (6.160) эквивалентны. Учитывая, что функции <pi(o) и ф](о) являются граничными значениями регулярных внутри круга |£|<1 функций <р| (О и ф1(£), а Ф1(о), ф1 (о) — граничными значениями функций, регулярных вне круга |?| <1 и обращающихся в нуль на бесконечности, на основании свойств интеграла Коши окончательно найдем

(6.161)

«'(а) о —Е

Ф1Л + f= В (С).(6.162)

2лг J w (а) а — (7

Первое уравнение, представляющее функциональное уравнение, совместно с условием ф1 (0) =0 (в случае конечной области величину 1т<р/(0) можно фиксировать произвольно) вполне определяет Ф1(£), а затем из второго соотношения может быть найдена функция Ф1(^).

Поступая как в случае первой основной задачи, для второй основной задачи получим

^=Л1(С),^=Л1(С),К?1 (ОК?1 (ОУ1 (о) 9 —СУ1 (о) 9 —С1 2л i1 2л iJ о' (о) а — СТJ о' (о) а — СТМНМНda — и<р,(О) = 5(С),

^=Л1(С),

^=Л1(С),

К?1 (О

К?1 (О

У1 (о) 9 —С

У1 (о) 9 —С

1 2л i

1 2л i

J о' (о) а — С

Т

J о' (о) а — С

Т

МН

МН

Л1(1;)=-а^ С ^uiL»^^;2л/ J 9 — СЛ1(1;)=-а^ С ^uiL»^^;2л/ J 9 — С5(0= St С -tl-^. dg2л/ J 9-ст5(0= St С -tl-^. dg2л/ J 9-стгде

Л1(1;)=-а^ С ^uiL»^^;

2л/ J 9 — С

Л1(1;)=-а^ С ^uiL»^^;

2л/ J 9 — С

5(0= St С -tl-^. dg

2л/ J 9-с

т

5(0= St С -tl-^. dg

2л/ J 9-с

т

Совершенно аналогично можно получить функциональное уравнение для смешанной краевой задачи, которое имеет несколько более сложный вид; мы на нем не останавливаемся.

Выписанные функциональные уравнения могут быть сведены путем несложного преобразования к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода; мы на этом также не останавливаемся.

§ 53. Равновесие круговогополого цилиндра

Рассмотрим равновесие кругового полого цилиндра, находящегося под действием: а) равномерно распределенных касательных сил, приложенных на границах; б) постоянного давления на границах. Оба случая относятся к первой краевой задаче.

В случае а) главные векторы приложенных на каждой из границ r=ri и г=г2 сил в отдельности равны нулю, поэтому из формул (6.100) и (6.101) следует, что функции ср (г) и ф(2) голоморфны внутри кольца (рис. 25). Эти функции <p(z) и ф(г) определяются из граничных условий

?(^)+^Wi)+Wi)=7W + ci на окружности г = г„

(6.163) yf^ + ^'fAJ + 'H^J^/t^H-Ca на окружности г=г2, где

I(t

/(^) = zj (Tn-ViTx^dl= irxTx ^ ( — sin a-)-/cos o)da=<T1(/] — r,), о6

/ (У = ^2 (^2 — r 2)-

Вследствие равенства моментов соотношение между касательными силами Тх и Г2 имеет вид

ТхгХ=ТА

В круговом кольце функции ф(г) и ф(г) возьмем в виде

(6.164)(6.164)<р(^) = 0, ^(z) = -^.

(6.164)

(6.164)

Учитывая (6.164) в граничных условиях, найдем ЬХ=П\ r?; cx = iTvrv откуда

b=-iTxrav

Таким образом,Таким образом,<p(z)=0, ф(г)= —/Т^—.<p(z)=0, ф(г)= —/Т^—.Подставляя эти функции в формулы (6.123), получим °гг 4~ бае 0, °гг — °вв *— ‘2iar6 = — 2/7'tri —™ .Подставляя эти функции в формулы (6.123), получим °гг 4~ бае 0, °гг — °вв *— ‘2iar6 = — 2/7'tri —™ .Отсюда найдем, чтоОтсюда найдем, чтоагг=®вв=и,°г8=—г-агг=®вв=и,°г8=—г-В свою очередь, из формулы (6.121) с учетом (6.67) найдемВ свою очередь, из формулы (6.121) с учетом (6.67) найдем2р. (^+1^) = г2р. (^+1^) = готкудаоткудаиг=0> «е=—- 2циг=0> «е=—- 2цЗадача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ r=rt и г=г2, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и ф(г) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь f(6), f(/2) принимают вид/ (/;)= —ipVi J (cos а-|-/ sin a) da — — рхЦ\ — ri)>(6.165) /(/2)=—р2(/2 —r3).Функции ф(г) и ф(г) возьмем в видеt^^=az\ ф(г)= —,(6.166)Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ r=rt и г=г2, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и ф(г) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь f(6), f(/2) принимают вид/ (/;)= —ipVi J (cos а-|-/ sin a) da — — рхЦ\ — ri)>(6.165) /(/2)=—р2(/2 —r3).Функции ф(г) и ф(г) возьмем в видеt^^=az\ ф(г)= —,(6.166)

Таким образом,

Таким образом,

<p(z)=0, ф(г)= —/Т^—.

<p(z)=0, ф(г)= —/Т^—.

Подставляя эти функции в формулы (6.123), получим °гг 4~ бае 0, °гг — °вв *— ‘2iar6 = — 2/7'tri —™ .

Подставляя эти функции в формулы (6.123), получим °гг 4~ бае 0, °гг — °вв *— ‘2iar6 = — 2/7'tri —™ .

Отсюда найдем, что

Отсюда найдем, что

агг=®вв=и,°г8=—г-

агг=®вв=и,°г8=—г-

В свою очередь, из формулы (6.121) с учетом (6.67) найдем

В свою очередь, из формулы (6.121) с учетом (6.67) найдем

2р. (^+1^) = г

2р. (^+1^) = г

откуда

откуда

иг=0> «е=—- 2ц

иг=0> «е=—- 2ц

Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ r=rt и г=г2, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и ф(г) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь f(6), f(/2) принимают вид

/ (/;)= —ipVi J (cos а-|-/ sin a) da — — рхЦ\ — ri)>

(6.165) /(/2)=—р2(/2 —r3).

Функции ф(г) и ф(г) возьмем в виде

t^^=az\ ф(г)= —,(6.166)

Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ r=rt и г=г2, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и ф(г) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь f(6), f(/2) принимают вид

/ (/;)= —ipVi J (cos а-|-/ sin a) da — — рхЦ\ — ri)>

(6.165) /(/2)=—р2(/2 —r3).

Функции ф(г) и ф(г) возьмем в виде

t^^=az\ ф(г)= —,(6.166)

где коэффициенты а и b предполагаются вещественными. Для них, подставляя (6.164) и (6.166) в граничные условия (6.163), получим систему двух линейных уравнений

2а+&-^=-рх; 2а+Ь~=-р2.

Г1г2

Корнями этой системы будут

Рй^ — Р^х <z=;

2(^)

Тогда

р2^ — р1^ ф (z) ——™ — Z,

2(^-^)

,^2 (Л — №)

£7=.

г2 —г2

'2'1

'2 Г1

Подставляя эти функции в формулы (6.123) и (6.121), для определения компонентов тензора напряжений и вектора перемещения, получим при 9 = 0 соотношения (6.50) и (6.51).

Рассмотрим теперь следующую задачу.

Пусть на окружности L отверстия радиуса 7? в бесконечной пластинке приложены заданные напряжения Гпг и Т^. Пластинка на бесконечности находится в однородном напряженном состоянии. Определим напряженное состояние пластинки.

На основании формул (6.69) и (6.122) имеем

аг — й/.е = ^'(й)4-<р,(г)— [z<p"(z) + f'(z)] е2'1.(6.167)

Подставим (6.104) и (6.105) в (6.167), тогда с учетом (6.106) на окружности L будем иметь

- v r^+2)-^№ft+V* — ?+1-^-—(—

L Rk+V X t ) j?ft+1 X R )j?t+1 X t ) J

(6.168)

^1 + ^27? И] iV2 t । Qp pV - 7*

"*(! + *)/? ^7 + 2КеГ-Г W -T”-lT^

Разложим Tnr—i7ne на окружности r=R в комплексный ряд Фурье

T.-rr»- У к(Х.У+«_,(Д.Н+аф>(6.169)

где

2л

ХЬ=^ ±1, ±2,...). (6.170)

Подставим (6.169) в (6.168) и сравним в обеих частях полученного соотношения коэффициенты с одинаковыми степенями —, —. Тогда

*i I П О ^2 Hi + eVaV] — iV2

—+2КеГ=а0,

^~Г = а- (6-171>

-^ + 2)4^-Н6 + 2)^=а_<й+]) (6 = 2, 3,...).

Определив из этих рекуррентных соотношений аь и Ьк, по формулам (6.123) найдем компоненты тензора напряжений. Рассмотрим случай, когда Tne = Theorist, Тпг=0 и на бесконечности напряженное состояние отсутствует, т. е. Г=Г' = 0, тогда из (6.170) и (6.171) с учетом того, что Vi= V2=0, будем иметь

a0=—iTlt ай = 0 (k= + 1, + 2,...),

а6=0 (Л=1, 2,...), bx= — iT^, »й=0 (6=2, 3,...).

Следовательно,

?(г) = 0, ^z^-iT^ Z

и

AT2R2

ог=а9 = 0, аге = ^—.

Полученное решение совпадает с предыдущим решением, если принять

г,=оо, ^ = 0, r2 = R.

Для случая Tne = 0, Тпг= —р и Г=Г' = 0 будем иметь

ай=—р> ае=01(А=1, 2,...),

^=0, (*=1,2,3,...), Ьх=-р^, 6*=0, (*=2, 3,...).

Следовательно,

ср (z)=0, ф (z) = — pR» —

И

«гв = О, О,= -pR^-L, а(1 = р^2_,

Последние формулы совпадают с формулами (6.50), если в них принять Г3=оо, р2=0, р\ = р и rt = R.

Бесконечная пластинкас эллиптическим отверстием

Методом конформного отображения решим задачу о ненагру- женном эллиптическом отверстии в бесконечной пластинке, подверженной действию равных главных нормальных напряжений р на бесконечности.

Поскольку величина Im Г не влияет на напряженное состояние, примем ее равной нулю; из формул (6.107) найдем

Г=у/7; Г'=0.(6.172)

С помощью формулы

з—аЦЦ—Л^+т!;); Л>0, 0</и<1(6.173)

внешность эллипса с центром в точке 2 = 0 и полуосями Л(1 + т), Л(1—т) конформно отображается на единичный круг |£|<1.

Учитывая, что отверстие не нагружено, из соотношений (6.104) и (6.105) с учетом (6.172) найдем

V^^^^ + V0^ W^M^)-(6.174)

Отсюда в силу (6.117) и формулы (6.173) будем иметь отвечающие (6.174) равенства

Т^Н^-Ч^С+фо’^), <h№=9.№.

или ?1(Q=^c-1+<p.(Q, 'Ш=К№.

где ф.(^) и ф.(^) —функции, голоморфные внутри круга.

Подставив функции ф1(£) и ф1(С) в (6.124), убедимся, что функции ф.(£) и ф.(^) должны удовлетворять тому же уравнению, которому удовлетворяют функции ф[(£) и ф1(£), если правую часть заменить

\to' (а) «2 /

Принимая во внимание, что для данной задачи JV(о) =fa*(o) =0 и можно принять С=0, после некоторых преобразований будем иметь

/ (в)=Ар_ Г _, , «(1+^=2) 1

" - '2 L °2 —m J

В функциональном уравнении (6.161) и в соотношении (6.162) вместо функций ф1(£), Ф1(^), fi(o)+ifs(a) (при условии ф*(0)=0) введем функции ф*(Ь. ♦•(!)» /(о), т. е.

»-<c>+^J 7»-<c>+^J 7ш(°) ?' (°)^7=) (°—oш(°) ?' (°)^7=) (°—od3=_l_2nid3=_l_2ni/(-)/(-)d«td«t(6.175)(6.175)77т-— \ ;1^2nt J « (=)(« —C)7т-— \ ;1^2nt J « (=)(« —C)7(6.176)(6.176)

»-<c>+^J 7

»-<c>+^J 7

ш(°) ?' (°)^7=) (°—o

ш(°) ?' (°)^7=) (°—o

d3=_l_2ni

d3=_l_2ni

/(-)

/(-)

d«t

d«t

(6.175)

(6.175)

7

7

т

-— \ ;1^

2nt J « (=)(« —C)

7

т

-— \ ;1^

2nt J « (=)(« —C)

7

(6.176)

(6.176)

Подставляя (6.173) в уравнение (6.175), найдем

?,Ш?,Ш1(* (1 4- ma2) ^' (g)do

?,Ш

?,Ш

2яе J о (m — а2)(с — С)

(6.177)(6.177)!_ СГА +д0±^1da

(6.177)

(6.177)

ФункцииФункции2 2л t J а— С L о а2—т J т

Функции

Функции

1 + та2 - . ,1

——V. (°).—

a (m — а2)а

являются граничными значениями регулярных вне окружности у функций

1 + м2 - / 1 \ 1—— * — >С(т —С2) \ С / с

которые обращаются в нуль на бесконечности.

Функция AUaA1— внутри у имеет полюсы £= ± Кт, С = в-

а* — т — £

Учитывая все вышесказанное, а также то, что точка Е; лежит внутри круга |^| <1, из (6.177), на основании свойств интеграла Коши и теоремы о вычетах, получим

V.(Q=—'-pAml.(6.178)

Тогда

(6.179)

Подставляя (6.174), (6.175) и производную функции (6.179) в (6.176), найдем

6 (0= —2^—A_

22Я7 J [я(1 — ma2) J в — (;

Т

__L С1А±£0da.(6.180)

22л/ J (1 — та2) (а — ;)

Т

Поскольку

а2 + m m . (1 + m2) а

а (1 — та2)а 1 — та2

и т<^1, в (6.180) функции а, -21+^15-,° <’2 + ”0 являются

1 — mo21 — то2

граничными значениями функций

С d +”2)С С (С2 + т)’1 — т(2 * I — т(;2 ’

регулярных внутри ]£[ <1, а т{о— граничным значением функции -2-, регулярной вне |£| < 1.

Следовательно, учитывая, что точка £ лежит внутри круга Щ <1, на основании формулы Коши из (6.180) найдем

^(cw^H-w+m2)--^-.(6.181)

Соотношения (6.179) и (6.181) нетрудно выразить через основную переменную г, подставив в них вместо £ определенную из (6.173) обратную функцию

С = —-— (г — V z2 — 4mA2)

2тА

(перед радикалом взят знак (—), так как точка z, отвечающая |^| <1, находится вне эллипса); при этом компоненты вектора перемещения и тензора напряжений оп, 022, 012 могут быть легко найдены из формул (6.121) и (6.123).

Решение граничных задач для полуплоскости

Приводим некоторые обозначения. Пусть ф(г)=п(хь х2) + Ч-1у(*ь х2) является некоторой функцией комплексного переменного z, определенной в некоторой области плоскости z. Тогда через Ф(з) будем обозначать функцию, принимающую сопряженные с Ф(г) значения в точках z, сопряженных с z,

Ф(з)=Ф(5)(6.182)

или

Ф(5) = «1(Х1, Xj + WAp А2), где

^(Ар а2)=«(ар — а2); т^Ар а2)= — ц(Хр — а2). (6.183) Легко заметить, что если Ф(г) голоморфна в некоторой области S, то Ф(г) голоморфна в области 5, представляющей собой область, симметричную области S относительно действительной оси. В самом деле, положим, что Ф(г) голоморфна в S; тогда в области S имеет место

би биди dv^ ^^

бххдх^дх2dxi

Учитывая в условиях (С—7?) соотношения (6.183), в области 5 будем иметь

dig dvi ЙУ1

djg 5^2 ^25*i

Последние соотношения показывают, что функции 1д(хь *2) и У1(*г, *2) удовлетворяют условиям (С—R) в области S.

Пусть тело занимает нижнюю полуплоскость, ограниченную прямой, которую примем за ось абсцисс. Обозначим нижнюю полуплоскость Im(z)^0, остающуюся справа, если двигаться по оси oxi в положительном направлении, через S-, а верхнюю полуплоскость — через S+.

Пусть функция Ф(2) определена в S-, тогда функция Ф(г) будет определена в область S+, и пусть существует граничное значение Ф-(/), где t — аффикс некоторой точки оси Oxt; тогда из формулы (6.182 ^непосредственно следует, что существует и граничное значение Ф+(/), причем

Ф~(/)=Ф+ (/) или

Ф~(/)=Ф+(/).(6.184)

Пусть в области S- определены комплексные потенциалы Ф(2), V (?) и имеются ненагруженные отрезки границы ох,.

Приведем формулы (6.77), (6.78) и (6.83) к удобному для применения виду; с этой целью построим аналитическое продолжение функции Ф(г) в S+ через ненагруженные отрезки границы. Из формул (6.77) и (6.78) в области S~ имеем

а22 — ^12=ф И + ф (£)+**' (х)+Ф (z),(6.185)

гдеу' (г) = Ф(х), ’/(z)=W(z).

Возьмем функцию

Ф(г)=-Ф(г)-гФ,(г)-Ф(г),(6.186)

определяемую этим равенством в области S+.

На основании вышесказанного ясно, что функция Ф(г), определяемая равенством (6.186), будет голоморфной в области S+.

Напишем в (6.186) z вместо г, считая, что z находится в S~, и перейдем к сопряженным значениям, тогда

Ф(и)= — Ф (z) — хФ' (z) — Ф (z), отсюда

Ф(г)=-Ф(г)-Ф(г)~гФ'(г)(6.187)

формула (6.187) определяет функцию Tfz) в области S~ через функцию Ф(г), продолженную и на верхнюю полуплоскость.

На границе Im = O выражение (6.186) (при z->-/ со стороны обла-

сти S+) примет вид

Ф+(0 = _ф+(/)_/ф'+^)-У+(/).(6.188)

Выражение (6.185) на границе Imz=O имеет вид

а22-^и=о= Ф-^+Ф-^) + ^-т+^-(/),(6.189)

поэтому на тех участках границы, где 022 = 012 = 0, найдем

Ф“(/)= -Ф-(/)-/Ф'-(;)-Т-(/).(6.190)

Сравнивая (6Л88) и (6.190) и учитывая (6.184) [в силу определения Ф+(/) и V+tOL получим

Ф+(/) = ф-(/).(6.191)

Следовательно, функция Ф(г), определенная с помощью (6.186) в верхней полуплоскости, является аналитическим продолжением через ненагруженные участки границы голоморфной в нижней полуплоскости функции Ф(г); иными словами, функция Ф(а), определяемая формулой (6.186), представляет кусочно-голоморфную функцию по всей плоскости, разрезанной вдоль нагруженных участков границы Im z = 0.

Из равенства, сопряженного с выражением (6.189), на нена- груженных участках следует продолжимость через них функции ^(г). Представим соотношение (6.185) в иной форме. Для этого подставим (6.187) в (6.78) и (6.185), получим удобные для применения формулы

322 — =11 + 2^12 = 2 [(2 - 2) Ф' (z) — Ф (z) — Ф (2)],(6.192)

°22 —^^Ф^) —Ф^тН^—2) Ф' (z).(6.193)

Преобразуем теперь формулу (6.83). С этой целью продолжим голоморфную в области 5~ функцию у (г) в область S+ так, чтобы в этой области

<р'(2) = Ф(г),

где Ф(г) дается правой частью (6.186). (Как выяснено, она при наличии ненагруженных участков аналитически продолжает сквозь них искомую функцию Ф(г), регулярную в нижней полуплоскости.) Учитывая формулу (6.186), последнему соотношению придадим вид

?'(^)= -p(z)+z®'(z)+^(z)]= -k/(z)+|(z)]';

при этом в области S+ будем иметь

¥(z)= — Z<p'(z) — фф-Нр

Из этого уравнения вытекает, что в области S- справедливо соотношение

Ф («)= -?(^)-гУ (^НЛ-

При помощи его формула (6.83) примет вид

2|4«i-H^)=^(2)+4>(z)—(z—z)f(z)1-c.(6.194)

(6.195)(6.195)В дальнейшем будем предполагать, что кроме, быть может, конечного числа точек th, функция Ф(г) на контуре Imz=0 непрерывна слева и справа и, кроме того,

(6.195)

(6.195)

ИтхгФ'(2) = 0л.^о

для любой точки контура, тогда как вблизи точек th справедливо неравенство

|¥'(z)H*(z)l<0<Х<1.(6.196)

Эти условия обеспечивают непрерывную продолжимость тензора напряжений и вектора перемещения на все точки границы, кроме, быть может, точек th.

Будем считать, что при больших |z[ функции Ф(г) и Ч^г) могут быть представлены следующим образом:

Ф(2)=-Цо(1), 4T(z)=^-+of— L(6.197)

z \ z /z \ z '

где у, у' —постоянны; символ of—] обозначает величину та-

кую, чтокую, что—— (е зависит от ] z | и стремится к нулю

кую, что

кую, что

при |2|—-оо). К этим условиям присоединим еще условия, что при больших |z| имеют место выражения:

(6.198)(6.198)<p(z)=y In z-]-0(1) +const,ф(^) = у' inz + 0(l) + const,

(6.198)

(6.198)

где

j 0(1) I <8 (е—,0 при I z I —со).

При этих соотношениях компоненты тензора напряжений на бесконечности равны нулю.

Пусть (к/, V2f) представляет собой главный вектор сил, приложенных к отрезку АВ границы Im 2=0 со стороны области S-. Подставляя (6.198) в формулу (6.74), при удалении конца А влево, а конца В вправо независимо друг от друга, найдем

1/(+ /!/;=/(у++)1п-^+л (/ — у)+<е.

Здесь /, г" — расстояния точек А и В от начала координат и в — величина, стремящаяся к нулю при f и г"->-со. Для того чтобы главный вектор (V/, V/) оставался конечным, когда г' и г"—оо

независимо друг от друга, следует принять

y + y'=O,(6.199)

тогда

У^гУ^л (у'-у).

С другой стороны, должно иметь место соотношение

у;+/у'=у,+/у2,

где (Уь Vs) —главный вектор внешних сил, приложенных ко всей границе (он будет всегда конечен, если силы приложены на конечном участке границы); следовательно,

(6.200)(6.201)на контуре(6.200)(6.201)на контуре^i+iVs^rntv'-y).

(6.200)

(6.201)

на контуре

(6.200)

(6.201)

на контуре

Из двух линейных уравнений (6.199) и (6.200) имеем

_ И, + ГУ; -, ^ У, - ГУ;V2л’ V 2л "

Решение первой основной задачи. В этой задаче

L внешние силы задаются следующим образом:

Гл1:=а22= р^У,Тщ =°12 = т(/),

где /?(/) и т(/) —соответственно давление и касательная сила, удовлетворяющие условию Гельдера на контуре Im 2 = 0, включая окрестность бесконечно удаленной точки. Кроме того, р(оо) =т(оо) = = 0. Согласно (6.193) и (6.195) граничное условие примет вид

Ф+(/)-Ф-(/) = />(/) + /1(/).(6.202)

Из (6.202) видно, что решение первой основной задачи сведено к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку. Решение этой задачи, исчезающее на бесконечности, согласно (6.149) будет

Ф(г) = -А- СpV1±2L^at.(6.203)

2лГ J t — г

L

Зная функцию Ф(2), можно по формулам (6.192), (6.193) и (6.194) определить компоненты тензора напряжений (он, 022, спз) и вектора перемещения (щ, «а).

Решение второй основной задачи. Здесь значения компонентов вектора перемещения на контуре L задаются в виде

4i = giW «2=^У)-(6.204)

где g,i(0 и g2(0 —заданные функции, имеющие производные, удовлетворяющие условию Гельдера, включая и бесконечно удаленную точку, и и( (ОО) =«2(о°) =0.

Продифференцируем (6.194) по t; при этом граничное условие (6.204) примет вид

Ф+(^ + *Ф-(г) = 2Г[(^) + ^№(6.205)

Введем кусочно-голоморфную функцию, обозначаемую через Q(z), так, чтобы

2(,г) = Ф (z) в области 5",

Q(z) =—— Ф(г) в области S+.(6.206)

Тогда граничное условие (6.205) примет вид

2+(/)-2-(/)= -^(^(/) + ^(/)).

Из этого уравнения видно, что вторая основная задача также сведена к определению кусочно-голоморфной функции по заданному скачку; ее решение имеет вид

2(г)=!L_ С S1 W + ^W dL

т.Л< J t — Z

L

Таким образом, из (6.206) окончательно имеем

,(2(2) в области S-

Ф(г) = 1 !

(— x2(z) в области S+.

Решение основной смешанной задачи. Пусть на совокупности конечного числа п отрезков анЬ^ границы Im 2 = 0 заданы проекции вектора перемещения g^t) и gi(t), а на ее остальной части — проекции внешней силы р(/) и т((). Совокупность отрезков а^Ьн обозначим через 1/, остальную часть границы — через L". Поскольку нам уже известно решение первой основной задачи, то влияние заданных на L" сил удобнее учесть отдельно; в соответствии с этим мы всегда может предполагать, что на L" составляющие р(0 = = т(/)=0.

Таким образом, краевые условия для рассматриваемой несколько видоизмененной смешанной задачи принимают вид

И1 +/Ы2 = §■(/) +с (/) на U,(6.208)

р(/)=0, т(/)=0 на L\(6.209)

где g(t^ =g}(t) +ig2^) —заданная на I/ функция. Упомянутая задача связана с расчетом штампов.

Если в условии (6.208) величина с(/) является постоянной на U, тогда, не нарушая общности, ее можно положить равной нулю, ибо в этом случае значение с влияет только на жесткое поступательное перемещение всей системы. Здесь предпологается, что дополнительно задан главный вектор (Vi, Vs) сил, приложенных к L'.

Основная смешанная задача в такой постановке соответствует случаю п жестко соединенных штампов.

В случае, когда с(^=Ск (где Си — какие-то постоянные), можно на акЬк, не нарушая общности, произвольно зафиксировать только одну из них, остальные же постоянные Ск подлежат определению. В этом случае, в отличие от предыдущего, предполагается, что заданы главные векторы (V^, V2h) сил, приложенных к каждому отрезку Okbk в отдельности. Такая формулировка задачи соответствует действию п штампов, независимо совершающих вертикальные перемещения. Когда п=1, названные задачи совпадают. На основании (6.208) для обеих задач граничное условие (6.205) на U примет вид

Ф+(/)4-хФ~(/) = 2^'(/).(6.210)

В силу (6.193), с учетом (6.195), граничное условие (6.209) на L" эквивалентно соотношению Ф+(/)=Ф~(0, так что функция Ф(г) является голоморфной во всей плоскости, разрезанной вдоль U. Следовательно, решение основной смешанной задачи сведено к неоднородной задаче Римана.

Положим, что g'(0 на L' удовлетворяет условию Гельдера. Тогда решение задачи (6.210), не исчезающее на бесконечности, может быть представлено в виде

•W-1M- С <«>■". +хо(2)Р(2).(6.211)

где X0(z)—частное решение однородной задачи, соответствующей (6.210), голоморфное во всей плоскости, разрезанной вдоль L'; оно равно

^о(г)=П ^-ацТЧ^-Ь»^

причем постоянная

Q In (—х) 1^ [пх

Кроме того Р(г) —некоторый полином.

В силу того, что голоморфная функция Ф(г) должна исчезать на бесконечности, полином P(z) не должен иметь степень выше п—1; поэтому

P(z) = P^1(2) = C0^ + C1z-4 • • • +С„_,.

Коэффициенты Со, С^ .... Сп-! полинома P„-!(z) определяются из дополнительных условий задачи. В случае, когда с(1)=сх на отрезке ПкЬк, в качестве таких условий принимается равенство главного вектора (К)й, К2л) сил, приложенных к каждому отрезку а^Ьь, заданным величинам.

Согласно (6.202) имеем

Р М + ^ (У = ф+ №) - Ф" №))-

где t» — аффикс точки 1Л В этом соотношении, учитывая (6.210), будем иметь на L*

Р ('о) + « №>)=^^ ф+ (У - — ^ (У-(6.212)

Применяя к правой части (6.211) формулу Сохоцкого — Племеля, найдем

ф+ №) = ^' (У + “^ J+ Xt (У Рп-х (/о). (6.213)

Внеся отсюда значение Ф+(/о) в условие (6.212), получим

,, , , . и (х — 1) ,. । (х + Ои^о" «о). .

Р (<0) + zr (/о) =^' (#0Н:х

хХП1

X f уЛЛх^ + 2^±L ^+ ^ Р-1 ^I6'214)

J Xf(O(/~(о) х L'

Подставляя в очевидное соотношение

(6=1, 2,..., /г)(6=1, 2,..., /г)J [ЖЖЯ'о)] ^о = — ^2* + ^!* «Л

(6=1, 2,..., /г)

(6=1, 2,..., /г)

значение подынтегральной функции из предшествующего равенства, придем к системе п линейных уравнений для постоянных Сй-,(6=1, 2, ..., п), ее однозначная разрешимость следует из единственности решения исходной смешанной задачи.

Для решения задачи, когда c(/)=const на U (Сх = с2= ... =сп), вычислим значения 2p(«i, + u2/) на ненагруженной части L" границы L. Учитывая, что в этом случае функция Ф(д) продолжима на ненагруженные отрезки границы L", согласно формулам (6.194) <i (6.211) получим

= (х+ЩхХ^0= (х+ЩхХ^02p(Wi+/«2)=(x+ 1) Ф(^) =

= (х+ЩхХ^0

= (х+ЩхХ^0

X-^d-^ +(X+D^(^)^-](V (6.215)

Здесь ^ — аффикс точки L"; аг=-^^; ^=-^2-.

dxiдхх

С другой стороны, на ненагруженных участках 6^+1 имеем очевидное соотношение

J (и1 + ^) dtx=g<a^-g^ (6=1,2,. ...я-1).

Учитывая в этом соотношении формулу (6.215), придем к системе п—1 линейных уравнений для Сь (6 = 0, I, .... п—1).

Дополнительное уравнение получим, используя заданную величину главного вектора (V), Va) сил, приложенных к L. На основании первых формул (6.197) и (6.201) имеем

Игл гФ (z) =Игл гФ (z) =+ iVa2л+ iVa2л

Игл гФ (z) =

Игл гФ (z) =

+ iVa

2л

+ iVa

2л

с другой стороны, исходя из формулы (6.211), находим Пт гФ (z) = = С0. Следовательно,

г _ ^ + iVa

Таким образом, остается лишь определить Ct, С2, ..., Cn-i из упомянутой системы п—1 уравнений, однозначная разрешимость которой вытекает из единственности решения исходной задачи.

В случае, когда g'U) =0, что соответствует прямолинейному основанию штампа, параллельному границе Im z=0, формулы (6.211), (6.213), (6.214) и (6.215), в силу обращения в них интегрального члена в нуль, значительно упрощаются.

§ 56. Некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье

Интегральное преобразование Фурье представляет собой эффективный метод решения задач теории упругости, когда тело является бесконечным или полубесконечным. Приведем без доказательства несколько результатов, относящихся к интегральным преобразованиям Фурье.

Преобразованием Фурье некоторой функции f(x), заданной в промежутке (—оо, оо), называется интеграл

/1Е) = —— Т /(х)е'^х,(6.216)

V 2Л А

где § —■ произвольное вещественное число.

Для существования преобразования Фурье /(£) достаточно предположить, что функция /(х) абсолютно интегрируема в интервале (—оо, оо).

Для функции f(x), удовлетворяющей также условиям Дирихле* в любом конечном промежутке, в точках непрерывности справедлива формула обращения Фурье

/w=~4=- f /(«е-^Л, (-oo<x< + co), (6.217) У 2л Д

выражающая функцию f(x) через ее интегральное преобразование Фурье. В точках разрыва правая часть равенства (6.217) дает величину

Л^-о^/С^+О)].

Для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле в любом открытом промежутке 0<х<Л и абсолютно интегрируемых в интервале (0, со), имеет место

7W = |/ -^- j*/,($)cos(^)dx; г оФункция7W = |/ -^- j*/,($)cos(^)dx; г оФункция/(х) sin ((х)йх;(6.218)/(х) sin ((х)йх;(6.218)Дх) COS (^x)dx.Дх) COS (^x)dx.11

7W = |/ -^- j*/,($)cos(^)dx; г о

Функция

7W = |/ -^- j*/,($)cos(^)dx; г о

Функция

/(х) sin ((х)йх;

(6.218)

/(х) sin ((х)йх;

(6.218)

Дх) COS (^x)dx.

Дх) COS (^x)dx.

1

1

называется сверткой функций f и g в интервале (—оо, оо).

Теорема. Если J^ и g (£) являются преобразованиями Фурье функций Цх) и g (х), т. е.

7(5)=““ ? f^e^dx; g^ = . С g^e^dx, У 2 л_„

то преобразование Фурье произведения H^gtfc) равно свертке функций f^ и g(x). Действительно, полагая, что изменение порядка интегрирования справедливо, можем написать

СОOQОФ

f g($)/(^-$)di= f g(E)^—Lt f /V)e-“^di=

ЛЛ у 2л Л

СОооСО

= f fW-^di —^ f g(5)WE= С f^iWe-^di.

АV 2л <J

Отсюда

00СО

.^ f^K^e-^dt= J g(E)/(x-y^.(6.219)

—оо—оо

Теорема, Преобразование Фурье функции d^jdx^ равно преобразованию Фурье функции /(х), умноженному на (—t^Y, если dk}/dxk^0 при х-»-±оо (6=0, .... г—1), т. е.

f d^W e^dx=t-^Y f f^e^dx. (6.220)

Согласно определению преобразования Фурье

Г £ЛМе,^х=^2М.(6.221)

Интегрируя левую часть (6.221) по частям, найдем

Г^22У1<^> ^,еЛ”.

Так как dr-x^xYdxT-'^-0 при х^±оо, то будем иметь

- /Е —— f ^ZV^L> e<^dx = d^^ .(6.222)

Г^Л dx-id?

Интегрируя теперь левую часть (6.222) по частям, имеем

V^XV^XС —-2/ ^е‘^х=J dx^^С —-2/ ^е‘^х=J dx^^drf (ОdYdrf (ОdY

V^X

V^X

С —-2/ ^е‘^х=

J dx^^

С —-2/ ^е‘^х=

J dx^^

drf (ОdY

drf (ОdY

Повторяя это действие, при условии, что d^^x^/dx^-i-O (п=1, 2, ..., ..., г—1) при х->-±оо, получаем окончательно

Г /Weiudx=-dML.

/2л „<d^

С учетом (6.221) последнее равенство примет вид (6.220).

Я. Кратные преобразования Фурье. Теорию преобразования Фурье функций одной переменной можно распространить на функции нескольких переменных. Предположим, например, что Цхх, х2) —функция двух независимых переменных Xi и х2; тогда функция /, рассматриваемая как функция от xh имеет преобразование Фурье

7(6ц •*!) = —Г /(л1. х2)г'Е|-гч/х1,(6.223)

У2» -ОО

а функция 7^-bXiY рассматриваемая как функция от х2 — преобразование Фурье

F^, У=^^ f /&. x^^dx,.(6.224)

/2л Д

Из выражений (6.223) и (6.224) видим, что связь между функциями Цхь х2) и F(gb &>) имеет вид

^. 12)^. 12)12л12л/(лр XsJe^bjr.+^jfJdxxdx2./(лр XsJe^bjr.+^jfJdxxdx2.(6.225)(6.225)

^. 12)

^. 12)

1

2л

1

2л

/(лр XsJe^bjr.+^jfJdxxdx2.

/(лр XsJe^bjr.+^jfJdxxdx2.

(6.225)

(6.225)

Функция ^(^ь 62)—двумерное преобразование Фурье функции f(xb х2). На основании (6.217) функцию /(хь х2) можно выразить через 7(^ь х2) при помощи следующей формулы

/Ц1. *>)=Ч= f 7(Ь. ^X-'^i.(6.226)

Аналогично из выражения (6.224) находим, что

7(61. ^2)=-^ ( Лб.. V^e-^d-Q.(6.227)

Из соотношений (6.226) и (6.227) следует формула, называемая формулой обращения для двумерного преобразования Фурье

(6.228)(6.228)№. ^)=^ J J ^(Ei, ^е-:^-^^х2.

(6.228)

(6.228)

Распространение этой формулы на функции большого числа пере

менных очевидно.

Пусть 1=Цхх, ..., хп), тогда n-мерное преобразование Фурье этой функции будет

ЛЕ,U=

/ I X2 " СГ. /(E.Ji+--+Ert*„> ,.™

=•■•/№-•••. -vjedxx...dxn. (6.229)

\/ JJ

Для этого случая формула обращения имеет вид

1=(A)2rt J...p^1=(A)2rt J...p^/(-^1Х„)=/(-^1Х„)=

1

=(A)2rt J...p^

1

=(A)2rt J...p^

/(-^1Х„)=

/(-^1Х„)=

Составим теперь на основании (6.228) для произведения функций /(X], х2) и ^(xlt х2) формулу обращения Фурье, т. е.

/(*i. ^)^(*р лг)=“ J J ^(Ep E$)G(Ep E2) <?--'«■-^^W^aV

Отсюда в силу формулы (6.225) будем иметь

~ f ( ^(Ер E2)G«p ^е-^х1+^^2 =

X£W«XX£W«XX e^+btd’dfyd^X e^+btd’dfyd^=-^ f J /^ У^АХ=-^ f J /^ У^АХ

X£W«X

X£W«X

X e^+btd’dfyd^

X e^+btd’dfyd^

=-^ f J /^ У^АХ

=-^ f J /^ У^АХ

Учитывая здесь (6.228), получим формулу свертки

ч - /^, л^ — ^2) dtydi*^ —

(6.230)(6.230)= J J ^ (Ер E2)G(Ep ^wu^.

(6.230)

(6.230)

В качестве n-мерного аналога формулы (6.230) получим

J * J /(У---* У^^-Л.-J * J /(У---* У^^-Л.-., xtt—t^atx.. ,dtn=.., xtt—t^atx.. ,dtn=.

J * J /(У---* У^^-Л.-

J * J /(У---* У^^-Л.-

., xtt—t^atx.. ,dtn=.

., xtt—t^atx.. ,dtn=.

= Г" J 5 в*’"” У0^’"- ^e-l^x'+" WdXx...dV (6.231)

§ 57. Бесконечная плоскость,деформируемая под действиеммассовых сил

Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные силы pFi(xh х2), р^з(хь х2) и при хь ,г2^оо проекции вектора перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. Определим для случая плоской деформации напряженное состояние. Умножим уравнения равновесия (6.5) и уравнение совместности деформаций (6.11) на ядро Фурье ехр 1(61*1+&х2) и проинте-

грируем их по каждой из переменных х1 и х2 от —оо до + оо. Тогда придем к системе линейных алгебраических уравнений

5i°ii~H2ai2 = — ipFA Eioi2+52°22=—/р^2>(6.232)

°П [(1 — v)^2— ^i] -ф322 [(1 ~ t) 51—v»] —2^520,2 = 0,

гАе введены двумерные преобразования Фурье функций ohT, № к =1,2), определяемые (6.225)

^rfEi’ У=^- J J 4Axv ХгЭехрф'^ J-52x2)]z/Xjfifxs,

—00 —со

со со

Л(5ь ^) = -^- J J ^(^p x2)exp[z(£1xl+^x3)]rfxIrfA:2.

Решая систему (6.232), найдем

(6.233)(6.233)(6.234)(6.234)ап + а22=— W + №

(6.233)

(6.233)

(6.234)

(6.234)

P<k-2v) 51-62 (/;f ,+/^2) ~

11(1—v) (^ + 4)^

4р EiEztz^i — ^1^2)

°12 —°12 —tf+^)2tf+^)21-2vEiS2 (j'5i^i + №)1 - v ^2 + 52)21-2vEiS2 (j'5i^i + №)1 - v ^2 + 52)2(6.235)(6.235)

°12 —

°12 —

tf+^)2

tf+^)2

1-2vEiS2 (j'5i^i + №)

1 - v ^2 + 52)2

1-2vEiS2 (j'5i^i + №)

1 - v ^2 + 52)2

(6.235)

(6.235)

На основании формулы обращения для двумерного преобразова ния Фурье (6.228) из (6.233) найдем

ап + аи = -—- f f '51^ У2-ехр [ - Z (5^!4-52х2)] d^-

Покажем, что функция z5V('i+'2) является преобразованием Фурье функции ла/(Х14-х2). Действительно,

— [ f g-‘ 2-expz(E1x1 + E2x2)dx1dx2= 2л J J JCj + x2

12л

е!^х^хй С

dxv

здесь

2л/ выч. !

(xi+ **2) (*) — i*2) Ir^iX;

1

2л/ выч.

xie1*1^ I (Xj+/X2) (xt—ixj Lr,

— л/е;'*1

Л/^’1*!

Тогда

Х1

о

ехр/(£1х1-|~^2х2)</л1с/х2 =-^- J /e*i<£i+<Et) </х2 +

2 J*

О

sf + ei

‘$црл(4ь 62) е? + ^‘$црл(4ь 62) е? + ^^(«р^(«р«г)«г)хй —(*1 — ®i)2 + (хг—аг)2хй —(*1 — ®i)2 + (хг—аг)2daxd «2daxd «2(Л=1, 2).(Л=1, 2).

‘$црл(4ь 62) е? + ^

‘$црл(4ь 62) е? + ^

^(«р

^(«р

«г)

«г)

хй —

(*1 — ®i)2 + (хг—аг)2

хй —

(*1 — ®i)2 + (хг—аг)2

daxd «2

daxd «2

(Л=1, 2).

(Л=1, 2).

Учитывая, что функция /<^1+^2) является преобразованием Фурье функции хА/(Х14-Х2), на основании формулы сверток (6.230) получим

ехр | — / (^1х1+^х2)] 4^ =

Из этой формулы и вычислений, аналогичных приведенным выше [функции 2^1^''(^4-^)2, /^ Gi — Ез)/2 (^ + ^)2 являются преобразованиями Фурье функций Xi (xf — хг)/(х1-J-xj)2 и х^Дх? +x2)2], получим

’11 + э22—’11 + э22—PГС (XI—ар fl («1, «2) + (Xj—«2) ^2 («ъ «2)2я(1— V) J J(*! —«1)3 + (X2 — a2)2PГС (XI—ар fl («1, «2) + (Xj—«2) ^2 («ъ «2)2я(1— V) J J(*! —«1)3 + (X2 — a2)2da.xdn<i.da.xdn<i.

’11 + э22—

’11 + э22—

PГС (XI—ар fl («1, «2) + (Xj—«2) ^2 («ъ «2)

2я(1— V) J J(*! —«1)3 + (X2 — a2)2

PГС (XI—ар fl («1, «2) + (Xj—«2) ^2 («ъ «2)

2я(1— V) J J(*! —«1)3 + (X2 — a2)2

da.xdn<i.

da.xdn<i.

° И ■ ' ’22 “

P(1 — 2‘0 Г C (xi^^aiHx^a^HCx^^Hal^H^k^hzlfl^O^zl^^ у «О— ‘О^д[(xt —«1)2 +(x2 —a2)2]2

Х<^СЦ^™2 —Х<^СЦ^™2 —XX^^i^-"-1^"-- »a+ [(x( —«i)2 + (x2 — aj)2p

Х<^СЦ^™2 —

Х<^СЦ^™2 —

~Hx2 —C^)/^0!’ a2)]^ai^°2’

312 =312 =p(l —2v)4л(1 — v)p(l —2v)4л(1 — v)(x2 — аг)2 — (xt — a i)2[(*i --ai)2 + (x2— a2)2]2(x2 — аг)2 — (xt — a i)2[(*i --ai)2 + (x2— a2)2]2[№ —02)^1(01,[№ —02)^1(01,«2^ —«2^ —

312 =

312 =

p(l —2v)

4л(1 — v)

p(l —2v)

4л(1 — v)

(x2 — аг)2 — (xt — a i)2[(*i --ai)2 + (x2— a2)2]2

(x2 — аг)2 — (xt — a i)2[(*i --ai)2 + (x2— a2)2]2

[№ —02)^1(01,

[№ —02)^1(01,

«2^ —

«2^ —

(■4 —aj^a,, «г^а^аг —

л J J[(Xj —a,)2 +(x2 —a2)2)212'

В качестве примера рассмотрим задачу о действии сосредоточенной силы F на неограниченную плоскость. Решение этой задачи позволит выявить характер особенностей, которые имеют напряжения в окрестности точки приложения силы. Выберем начало координат в точке приложения силы и будем считать, что направление силы совпадает с отрицательным направлением оси хь Тогда массовые силы можно представить в виде

F^xx, х2)=- —Sfx^B^); F^xv х3) = 0, р

Здесь д(хд)—функция Дирака, обладающая следующими свойствами: она равна нулю для всех значений Хд^О, за исключением

xft = 0, т. е. 8(xt)=0 при Хц^Ои J 6(хй)</х6=1.

Тогда из последних формул окончательно получим

aFxx

2х?

(l-2v) + — -*г

4л (1 — v) (х2 + х2)

х2 + x;

= F*x

fl-k2v)1

236)

4Л(1 — v) (х2 + х|)

Xj + х3

Fx^

312 1, „„’

л2х2]

(l-2v)+1

4л (1 — >) (х2 + х2)

.-*1 + х3 j

В свою очередь, компонент тензора напряжений <тзз определится известной формулой

033 = ^(311+°22)-

Из формул (6.236) ясно, что при Хд^-0 все компоненты тензора напряжений беспредельно возрастают.

§ 58. Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплоскости

Для решения плоской задачи теории упругости в случае отсутствия массовых сил, как было установлено в § 42, приходится интегрировать двумерное бигармоническое уравнение (6.26). Решение этого уравнения приведем для полуплоскости, ограниченной прямой. Пусть эта полуплоскость в прямоугольной системе координат занимает область х(>0.

Умножим (6.26) на expi£x2 и проинтегрируем по переменной х2 от —оо до +оо, тогда

сйф дх^дх^сйф дх^дх^^ /^ /(6.237)(6.237)

сйф дх^дх^

сйф дх^дх^

^ /

^ /

(6.237)

(6.237)

На основании формулы (6.220) равенству (6.237) придадим вид

Ф^^= dx^+2 (— i^2 -^— С Фе'^ dx^ +

4 —СО

+ (ОД4 f Фе'^^-О

или же

-^6- - 2;3 £9- -|- ^q = o,(6.238)

Длг, dx^

где

Q(xv 0 = j Ф (Xj, x^d^-dx^.(6.239)

Корни характеристического уравнения дифференциального уравнения (6.238) равны

Г1 = 7-3 = 1 ^ЬГ3=Г4= —1^1-

Тогда общее решение (6.238) будет иметь вид

Q=М + Вх^ е~^ + (С+ОД ^^..

Для получения ограниченного решения необходимо положить C=D=0, при этом

Q = (Л + Bxv) е~^>.(6.240)

Коэффициенты Л и В определяются граничными условиями задачи.

По формуле обращения Фурье (6.217) и (6.239) найдем

Ф^п х2) = — С Q(xp ^е-1^.(6.241)

Таким образом, функцию напряжений можно получить квадратурой.

Умножим формулы Эри (6.24) на exp i^Xs и проинтегрируем по аргументу х2 от —оо до + оо; учитывая формулы (6.216), (6.220) и (6.239), найдем

(6.242)(6.242)«и = -^= fЕ).

(6.242)

(6.242)

T'2n Д ^/2 л

(6.243)(6.243)-1°!2 = ——-1°!2 = ——dxidx2у 2лdX1dxidx2у 2лdX1(6.244)(6.244)

(6.243)

(6.243)

-1

°!2 = ——

-1

°!2 = ——

dxidx2у 2лdX1

dxidx2у 2лdX1

(6.244)

(6.244)

ФурьеФурье(6.245)(6.245)Из (6.242), (6.243) и (6.244) по формуле обращения получим

Фурье

Фурье

(6.245)

(6.245)

С» )С» )Зи№> ^) =

С» )

С» )

«22 = "^- f -^-(Г^т/Е,^12 =

12л J Дх^12

Этим методом решим две задачи.

Полуплоскость, к границе которой приложена распределенная сила. Примем ось х2 за границу полуплоскости и направим ось Xi внутрь этой полуплоскости. Допустим, что на границе х^О заданы Т21 = 0 и Л i = ,о (х2) и на полуплоскость не действуют массовые силы. Будем считать, что при Х|^оо компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. В решении (6.240) интегральные постоянные А и В определятся из граничных условий

Л1= — 3и(0, x^pix^, Г21=—^(О, х2)=0.

Умножим эти условия на exp i^-j и проинтегрируем по переменной х2, тогда при Х[ = 0 будем иметь

°п = —’— Г Зп (0, х^)е1^ dx2 =

Р^л Д "

(6.246)(6.246)=[ р(х2}е‘^ dx2= — р(Е),

(6.246)

(6.246)

] 2л Д

312 = 0.

Подставляя (6.240) в (6.242) и (6.244), из граничных условий (6.246) найдем

М <6*247)

Учитывая (6.247) в (6.240) и подставляя полученный результат в формулы (6.245), найдем

°и = f ^)П + 1 5 I л:.]^'-^1^

> 2л Л

(6.248)

°12=""“ Г Р (S)^-i^-‘^^.У2л _<

Если, в частности, на границе Х)=0 давление равномерно распределено на участке — а^Хг^а (рис. 26), то на основании формулы (6.246) будем иметь

"р ^ = : dx^ = рй . (6.249)Узл У7 5

Учитывая четность функции (6.249) по g, формулы (6.248) перепишем в виде

СО

зи = —-^2- f J-+i5L^-^i sin (^а) cos (^2) с/^,

л J Е

о

а2т= —sin (ja) cos (^2)^, л J E

0

812—812—2/Wл2/Wлsin (^а) sin (£л2)^.sin (^а) sin (£л2)^.

812—

812—

2/Wл

2/Wл

sin (^а) sin (£л2)^.

sin (^а) sin (£л2)^.

Вычисляя теперь эти интегралы, найдем компоненты тензора на пряжений

a11=^_[2(d2 —OJ + sin 26t — sin 2ty,

822 = -^-[2 (92 — BJ — sin 28,4-sin 26г],(6.250)

a12=-^- (cos 292 — cos 28,),2л

где, согласно рис. 26,

8! = a rctg , 92 = arctg .

Полуплоскость, к границе которой приложена сосредоточенная сила. Рассмотрим распределение напряжений в полуплоскости (рис. 27), к границе которой в начале координат приложена в направлении оси *1 сосредоточенная сила 7, а массовые силы отсутствуют. Решение этой задачи может быть получено из решения

у д’

(6.248), если в формуле (6.249) предположить, что р0 =—7/2а и Т 2

й-*0. Тогда

?®=Т-4дг1 =Т'(6-25|>

л[а-0*

Учитывая (6.251) в формулах (6.248), после вычислений интегралов найдем

11(6-252)

где2

г—у Xi -(--Уз-

При .Vj^O, Х2~»-0 компоненты тензора напряжений беспредельно возрастают. Вычислим нормальное и тангенциальное напряжения в площадке, перпендикулярной к радиусу-вектору. Возьмем за повернутые оси координат оси, совпадающие с направлениями нормали и касательной к данной площадке (рис. 27). На основании формул (1.13)

°ге — Зт»агта^

п таблицы находим

'27 Х[ 27 cos 9

8и =7 =

л гз яг

^зз—О, о12 = 0.

27 х;27 cos вЛ г2яг27 х;27 cos вЛ г2ягВводя обозначения 6H = azr, б1г=ал6, о22=аее, получим формулы

27 х;27 cos в

Л г2яг

27 х;27 cos в

Л г2яг

^1

*2

^3 '

*t

ац — cos 6— — г

а 12 “ sin 6 — — г

0

«2

аЭ1 = — sin 6 “ — — г

«22 = СОЗ 0 = Г

0

*3

0

0

1

Зге = ом = 0.

Глава VII

КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 59. Кручение призматического тела произвольного односвязного поперечного сечения

Пусть к основаниям однородного изотропного призматического тела приложены силы, приводящиеся к скручивающим парам. Кроме того, массовые силы отсутствуют, и боковая поверхность тела свободна от внешних сил.

бруса (рис. 28).бруса (рис. 28).Направим ось охй параллельно образующим боковой поверхно-

бруса (рис. 28).

бруса (рис. 28).

сти, а оси ОХ[ и ох2 возьмем на одном из оснований Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величин ahT, удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия (2.25) при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука (4.35), а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях призматического тела.

Поставленная в таком виде задача

представляет большие математические

трудности. Поэтому на основании принципа Сеи-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, мы можем смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный мо

мент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения; при этом действительное распределение сил на основаниях практи

чески не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них. Такое интегральное удовлетворение условий иа основаниях создает довольно широкий произвол в выборе решения.

Сен-Венан, исходя из вышеуказанных предположений, своим полуобратным методом решил указанную проблему в перемещениях. Решение в перемещениях поставленной проблемы Сен-Венаа ищет в виде

их=— хх^ и^ххдх^ иэ=ту(х„ х^,(7.1

где т — постоянная величина, называемая степенью закручивания, а ф(хь Хг) — некоторая функция, подлежащая определению.

Перемещения (7.1) показывают, что поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все сечения одинаково.

Из формул закона Гука (4.35) с учетом формул (3.26) для компонентов тензора напряжений сы, соответствующих перемещениям (7.1), получим

-Ч- ч33 = ^т I—- + AI (7.2) 0X1/\ 0X2/

И

<3ll = a22"l333 = tT12“0-(7.3)

Подставляя (7.2) и (7.3) в дифференциальные уравнения равновесия (2.25), когда массовые силы отсутствуют, мы увидим, что первые два из них удовлетворяются тождественно, а третье уравнение дает

Последнее соотношение показывает, что функция ф(хь ад), называемая функцией кручения Сен-Венана, должна быть гармонической функцией переменных Xi и хэ в области S, занятой поперечным сечением тела. Из третьей формулы (7.1) вытекает, что перемещение «з также должно быть гармонической функцией.

Учитывая, что внешняя нормаль п к контуру любого поперечного сечения перпендикулярна к оси ох3, имеем п3=0. Тогда первые два условия (2.22), ввиду отсутствия внешних сил на боковой поверхности и по условию (7.3), будут удовлетворены тождественно; третье условие (2.22) на £ с учетом (7.2) примет вид

где через L обозначена граница области 3. Учитывая, что

д^1д^1дф _ дф_ д^ 2 дпдф _ дф_ д^ 2 дп

д^1

д^1

дф _ дф_ д^ 2 дп

дф _ дф_ д^ 2 дп

вместо (7.5) на £ получим

дф "дпдф "дп=x^x — xYn2.=x^x — xYn2.(7-6)(7-6)

дф "дп

дф "дп

=x^x — xYn2.

=x^x — xYn2.

(7-6)

(7-6)

где производная у по нормали п.

Задача определения функции ф(хь х2) есть, таким образом, задача Неймана для уравнения Лапласа. Легко показать, что в нашем случае условие существования решения задачи Неймана выполняется. Действительно,

J -^- d/=J ^2"1 ~ x^dl =

LL

= f P -^- + X! dl= f rf -L(a^+^)=O.

LL

При соблюдении этого условия решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое не существенно, ибо замена функции <р на ф + с не меняет напряженного состояния, что следует из формул (7.2), а вызывает, как показывает третья формула (7.1), лишь жесткое поступательное перемещение тела вдоль оси ох3.

Для гармонической функции ф справедливо тождество

5 Гу ( ^ у 'll t Гу / ^ у 'll ^ у

J I X [ I ■■ —“ Л еу I I —М ^™^ I X1 I " 1 I Л ill —О) ( I * ■ I

дХ! [ Ч ^! /Jдх2 1 7J ^,2 ' 2

на основании которого, с учетом граничного условия (7.6), обнаруживаем, что главный вектор касательных напряжений, приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,

Vj = С з,3о!ш = pt (V——лг2ри> =

-т—+ -—pi hr-H-^i р(о-

Sjc] Г \ дх^ /J дх2 L \ дх2

На основании формулы Гаусса — Остроградского из последнего равенства получим

В последней формуле, учитывая граничное условие (7.6), мы будем иметь Vj =0; аналогично доказывается, что Уг=0. Поэтому касательные напряжения, приложенные в поперечном сечении, сводятся к паре сил, момент которой равен (рис. 28)

7И = у (x^<3j2 ^ ■^■233i) ^Щ" (7-8)

Внося в эту формулу значения о32, o3i из формул (7.2), окончательно получим

M=Dt.

В этой формулеВ этой формуледт дх2дт дх2du>.du>.(7-9)(7-9)

В этой формуле

В этой формуле

дт дх2

дт дх2

du>.

du>.

(7-9)

(7-9)

Из условия равновесия на основаниях имеем Мь = М=От, откуда

т А!^

D *

где Mt называется крутящим моментом; D — жесткостью при кручении.

Принимая во внимание формулу (7.6), из формулы Гаусса — Остроградского найдем

J \ 1 дх2 дхх / J \дх2 /J т дп

*ШL

С другой стороны, на основании первой формулы Грина

Следовательно,

fffAV+/^Ly+Xi Л1_ _Л2 А1^=0.

J L\ »хх ) \дхг ) dx2 ^i J

Умножим обе части последнего соотношения на ц и сложим с (7.9), получим

D=p. I+Нг" + Л1

Отсюда следует, что всегда О>0.

Введем гармоническую функцию ф(хь х2), сопряженную с функцией ф(хь х2), тогда по условиям Коши — Римана будем иметь

дхх дх2 * Дг2 dxi '’

Граничное условие, которому удовлетворяет функция ф(хь х2), получится из (7.6), если внести туда условия (7.10) и учесть (6.27). В результате получаем

Дфdx2 ,ДрdXx(^dx2, „ <fxt^_n

дх2di 'дххdl\dl' 1 dl )

Интегрируя обе части этого равенства по контуру поперечного сечения, будем иметь

(7.И)

(7.12)(7.12)Для компонентов тензора напряжений на основании (7.2) с учетом условий (7.10) мы получим формулы

(7.12)

(7.12)

°31=^Х2 -в32== — ^—

\ йх2 /\ охх .

Из этих формул хорошо видно, что решение задачи не изменится, если в функции ф(хь х2) прибавить постоянную величину. Следо-

вательно, определение функции сведено к задаче Дирихле для уравнения Лапласа.

Часто вместо функции ф(хь х2) вводят другую Ф(хь х2), называемую функцией напряжений при кручении или функцией напряжений Прандтля. Эта функция определяется формулой

Ф(хР х2) = б(х1, х2) — -^-(xi + x2).(7.13)

В этом случае из (7.12) будем иметь

33i = rt-—, Оз2=-рг— .(7.14)

(7^2^1

l_^L = o,l_^L = o,Из (7.13), учитывая, что

l_^L = o,

l_^L = o,

получим

Для функции Ф граничное условие на основании (7.11) примет вид

Ф(хо x2)U=C.(7.16)

Таким образом, задача определения Ф(хь х2) есть задача Дирихле для уравнения Пуассона (7.15) при граничном условии (7.16). Из формулы (7.8) с учетом (7.14) для определения крутящего момента будем иметь

А1Й= -рт СхЛ d*.(7.17)

Эта формула показывает, что величина момента Мк не меняется, если к функции Ф прибавить любую постоянную. Записав (7.17) в виде

/Ил = — ^т С ^^^L2и.т (* Фт/и

J ^1 дл3 ] J

и применив к первому интегралу формулу Гаусса — Остроградского, получим

ЛГ» = — ;1гФ J (х^^х^з) <//-[-2pt J $dw.(7.18)

Lw

Принимая в (7.16) постоянную С равной нулю, что допустимо, так как изменение Ф(хь х2) на постоянную величину не меняет решения задачи, что видно из (7.14) и (7.17), вместо формулы (7.18) будем иметь

Л4д = 2рт j®z/<o. (7.19)

Эта важная формула принадлежит Прандтлю.

§ 60, Некоторые свойствакасательных напряжений

Покажем, теперь, что вектор касательного напряжения Т з= = Лоз1+^2Оз2 в произвольной точке М поперечного сечения призматического тела направлен по касательной к кривой Ф(хь №) = = const, проходящей через точку М. Действительно, вдоль кривой Ф(Х], x2)=const имеем

дФ УФ dxy , УФ dx> g dlдх\ dl Ух2 dl

Учитывая здесь формулы (6.27) и (7.14), находим

331«1 + ’32«2=Л-" = О’ откуда TaLn.

На основании доказанного кривые Ф(хь х2)= const называют траекториями или линиями касательных напряжений. Так как на контуре поперечного сечения Ф(хь х2)= const, то он является траекторией касательных напряжений.

Легко доказать, что как о31, так и озг являются гармоническими функциями в поперечном сечении. В самом деле, действуя гармоническим оператором Д на обе части формул (7.14) и допуская законность перестановки дифференциальных операторов, с учетом (7.15) будем иметь

Д«31=|*ТД= ДФ = 0,

Д®32= —НТ Дф = 0.

Отсюда вытекает, что o3j и о32 достигают наибольших значений на контуре поперечного сечения призматического тела.

Докажем, что вектор касательного напряжения Гэ также достигает своего наибольшего значения на контуре; для этого отправимся от противного: допустим, что вектор касательного напряжения достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сечения в точке М. Выберем в поперечном сечении новую прямоугольную декартову систему координат ох/х^' и одну из ее осей, например ось oxi, направим параллельно вектору Т 3, приложенному в точке М. В этой системе координат в точке М будем иметь тензор напряжений с компонентами 0'31=0, о'зач^О, причем они относительно новой системы координат являются также гармоническими. В силу этого оз2 достигает своего наибольшего значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуждения.

Следовательно, вектор касательного напряжения достигает своего максимального значения на контуре поперечного сечения призматического тела.

§ 61. Кручение полых призматических тел

Пусть призматическое тело ограничено несколькими цилиндрическими поверхностями, оси которых параллельны. Любое поперечное сечение такого бруса представляет собою многосвязную область. В этом случае граничные условия (7.11) примут вид

ф= 1 2 3 +С, на U

где См — постоянные, принимающие определенные значения на каждом из контуров Lv, совокупность которых образует контур сечения.

Функция кручения $ должна быть однозначной; в противном случае перемещение 1/э=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция ф, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной; в нашем случае этого не должно быть, ибо функция ф возвращается к первоначальному значению при обходе по любому из контуров U, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные С< не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию ф (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ср, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции ф, может оказаться многозначной.

В данном случае, на основании (7.16), функция Ф(хь х2) должна быть постоянной на всех контурах, ограничивающих сечение. Таким образом, граничное условие для функции Ф(хь х^ на контуре U имеет вид

Ф(-с:, л2)=С,. (7.20)

Как мы видели, в формулы для деформаций, напряжений и перемещений входят частные производные функции Ф. Поэтому достаточно определить функцию Ф(хь х2) с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство дает возможность положить одну из постоянных Cv равной нулю.

Покажем, что тангенциальные напряжения 031 и 032 на торцах призматического тела удовлетворяют условиям

J o31rfa>=J (7.21)

(в противном случае, помимо приложенного крутящего момента, на торцах имелись бы изгибающие призматическое тело поперечные силы).

Учитывая в интегралах (7.21) формулы (7.14) и преобразуя их в интегралы по контуру L = LC-VLi-VL^-V... + Ст, получим

(7.22)(7.22)И,=p-t ^ Фп^1, V2~ ~№ f Фп^1.

(7.22)

(7.22)

LLL

L

L

Эти интегралы можно записать в виде

= ^ J Фп,^1-\-у^ J Фл2^/+...+^t J Фп^,иitrm

— V'2=-u-T J Фл^+рт J Ф«1Л+ ... + pt j Фn1dl.

С учетом (7.20) будем иметь

l^i—PtCq j* n2di-!ry.TC1 J n2dl-^- ... -фртСт f n<^llr L-L'^ml^i—PtCq j* n2di-!ry.TC1 J n2dl-^- ... -фртСт f n<^llr L-L'^m— V2 — ptCg— V2 — ptCg

l^i—PtCq j* n2di-!ry.TC1 J n2dl-^- ... -фртСт f n<^llr L-L'^m

l^i—PtCq j* n2di-!ry.TC1 J n2dl-^- ... -фртСт f n<^llr L-L'^m

— V2 — ptCg

— V2 — ptCg

поскольку

^ n2dl = — (^ dxx = 0, (^ nxdl = ^> rfx2 = 0t

ДуДуДуДу

то и Vi = V2 = 0, что и требовалось доказать. На основании формул (7.14) и рис. 28 имеем

= -ит С /^Ф), ^Ф)\^ , ^ С Фd«>.(7.23)

J \ dxt дхг )j

Преобразуя первый интеграл в контурный, будем иметь

Л1е = — рт ^ (JCi^i+х2л2) ФdZ + 2рт J <&du>(7.24)

или, учитывая, что L = Lo+Ll + ... + Lm окончательно получим Mfc= — ptC0 f (л^^х^)^/ —ртС, J (х1«1+х2л3)<//—..

(7.25)(7.25)... — рт(?п J (XjZij ф- х2п2) dl ф- 2рт J Ф(/ш.

(7.25)

(7.25)

Преобразуем контурные интегралы в поверхностные, при этом, учитывая, что обход по внешнему контуру сечения должен выполняться против часовой стрелки, а по всем внутренним контурам — по часовой стрелке, формулу (7.25) представим в виде

ЛГ^=:2^| ^Са \v=LЛГ^=:2^| ^Са \v=L

ЛГ^=:2^| ^Са \v=L

ЛГ^=:2^| ^Са \v=L

где ©v — площадь, ограниченная контуром Lv (v = 0, 1, 2, ...).В случаеодносвязной области получим формулу (7.19).

§ 62. Теорема о циркуляциикасательного напряжения

Циркуляция вектора напряжения Z]<rai + /2оз2 вдоль замкнутой линии I, целиком лежащей в сечении, равна

Г^^ + ^ззМ''-(7.27)

Учитывая в подынтегральном выражении формулы (7.2) и (7.1), для Г будем иметь

^3Фс2^3Фс2Г=рт^ (х^х^ — ^t/x^-j-p (^4

^3

Фс2

^3

Фс2

= 2цТш 4- р<£ — dl.(7.28)

f dl

Так как перемещение «3 должно быть однозначной функцией в сечении, то

В силу последнего обстоятельства из (7.28) находим

(7.29)(7.29)Г = 2рт«>.

(7.29)

(7.29)

Здесь to — площадь, ограниченная линией интегрирования.

Формула (7.29) справедлива как для односвязных, так и для многосвязных сечений, причем линия интегрирования может охватывать одну или несколько внутренних контуров сечения или вовсе не охватывать их. Эта формула представляет теорему о циркуляции касательных напряжений.

Циркуляцию касательных напряжений выразим через функцию Ф(яь ^2); с этой целью подставим (7.14) в подынтегральное выражение (7.27), тогда

Г= — рт(5 dl = $ —-dl, (7.30) у ( dxi бхг / у дп

где а, — косинус угла между внешней нормалью к линии интегрирования и осью ох5 ()=1, 2).

Из сравнения формул (7.29) и (7.30) получим

=(7-31)

/ дп

Если в качестве линии интегрирования взять внутренний контур Lv, тогда

-ф —<// = 2оь (v=l, 2,..., m),(7.32)

дп-.

где nv — внешняя нормаль к контуру Lv; бк — площадь, ограниченная замкнутым контуром Lv. Формулы (7.32) могут быть использованы для определения неизвестных констант Cv, входящих в граничные условия (7.20).

§ 63. Аналогии при кручении

а. Мембранная аналогия. Мембраной называется тонкая пленка, не оказывающая сопротивления изгибу, а сопротивляющаяся только растяжению.

Пусть однородная мембрана постоянной толщины натя

нута одинаково по всем направлениям силой Т на плоский контур того же очертания, что и контур поперечного сечения скручиваемого призматического тела, и нагружена нормальной к ней равномерно распределенной нагрузкой q на единицу площади. Пусть оси координат oxt и ох2 лежат в плоскости мембраны, которая провисает под действием нагрузки q на величину М*Ь Х2).

Выведем дифференциальное уравнение равновесия; для

этого вырежем элемент, имеющий форму прямоугольника со сторонами dxx, dx2 (рис. 29). Приравняем к нулю сумму проекций на ось охэ всех сил, действующих

на него;

дхх 2 1 [ бл-1I дх2дхх 2 1 [ бл-1I дх2dx2dxxdx3 - Т dxv +

дхх 2 1 [ бл-1

I дх2

дхх 2 1 [ бл-1

I дх2

6хЛ бх! )16х2

—— ( Тdx^xA + qdx.dx2 = 0.

0^2 \и-^2 /J

Отсюда получим уравнение для прогиба «о равномерно нагруженной мембраны

6х? Т 6х22 Т-’

Так как на контуре мембраны прогиб «о равен нулю, следовательно, контурное условие будет мо = О.(7.34)

Таким образом, контурное условие (7.34) тождественно совпадает с контурным условием для функции Ф. Если положить tio= = £ф, тогда дифференциальное уравнение (7.15) совпадет с (7.33). Внесем По=АФ в уравнение (7.33), тогда

<РФ#!ф \ ^

дх^^2 /

С другой стороны, имеем

№Ф Й2ф _

дх, дх^

(7.35)(7.35)Из последних двух уравнений ^ — ^ . Тогда

(7.35)

(7.35)

«о=^Ф-027

Следовательно, задача кручения призматического тела может быть, решена путем измерения прогибов равномерно нагруженной мембраны.

Если рассечь мембрану плоскостями «o = const, то полученные линии равного перемещения в задаче кручения будут совпадать с траекториями касательных напряжений Ф = const. Уклон мембраны дао„

—-—в направлении внешней нормали я к линии равного перемещения в некоторой ее точке определяет касательное напряжение t в соответствующей точке сечения, т. е. Т=-^ ^“° . Действи- к дп

тель и о,

дай дкФ , / дФ . дФ \ к ,, к ,

дп дп ( дли дх2 / fit^т

откуда

# ^т dti0к дп

Согласно этой формуле наибольший угол наклона мембраны определяет наибольшее касательное напряжение.

Жесткость призматического тела при кручении определяется объемом и, ограниченным поверхностью деформированной мембраны, и плоскостью ее до деформации, т. е. D = ——и. Действительно, так как

У = JlZgi/u) = - ^ ■ J Фй?ш, а также учитывая, что

2p.r С Ф1/ш = Л7а и Mfc=Dr,

найдем y = ^-D, откуда

D=-^s. (7.36)

Ценность мембранной аналогии заключается не только в том, что она позволяет экспериментально исследовать проблему кручения, но и в том, что при помощи этой аналогии можно без какого-либо эксперимента в каждой конкретной задаче о кручении призматического тела составить качественное представление о виде траекторий касательных напряжений и о наибольшем тангенциальном напряжении.

Мембранная аналогия легко обобщается и на случай полых призматических тел. В этом случае, как явствует из соотношения п0 = АФ, которое выведено из сравнения уравнений (7.15) и (7.33), должны быть соблюдены следующие условия:

внешний контур мембраны должен быть подобным внешнему контуру Lo сечения призматического тела и закреплен неподвижно;

все внутренние контуры сечения призматического тела должны быть имитированы абсолютно жесткими плоскими невесомыми дисками, параллельными друг другу, и должны получить поступательные перемещения uv = ACv (Cv — константы, входящие в граничные условия на внутренних контурах сечения призматического тела);

эти диски должны быть загружены тем же равномерно распределенным нормальным давлением q, что и сама мембрана. Последнее обстоятельство вытекает из теоремы о циркуляции касательных напряжений в задаче о кручении, в справедливости чего сейчас убедимся.

Подставим Ф = —и0 в (7.32), тогда

- ^ -§- dl = ^ = — “- (7.37)

Здесь-——уклон мембраны в направлении внешней нормали nv к внутреннему контуру L<, ей, — площадь, ограниченная внутренним контуром U

Умножив обе части (7.37) на величину равномерного натяжения мембраны Т, будем иметь

(7.38)

Очевидно, левая часть этого равенства есть сумма проекций сил натяжения мембраны в сечении ее по данному контуру Lv на направление, перпендикулярное плоскости контура Lv.

Таким образом, (7.38) дает условие равновесия каждого диска под действием равномерно распределенного давления и натяжения мембраны в сечении ее по контуру этих дисков. Если такого рода

мембрану вместе с диском загрузить равномерным давлением, то получим мембранную аналогию задачи о кручении призматического тела с профилем в виде многосвязного сечения (рис. 30), т. е. перемещение мембраны будет пропорционально функции Ф(^ь х2), а линии равного перемещения будут подобны траекториям тангенциальных напряжений.

Осуществление эксперимента мембранной аналогии в случае задачи о кручении призматического тела с профилем в виде многосвязного сечения представляет большие трудности. Однако для качественного изучения конкретной задачи о кручении полого призматического тела, как уже указывалось для случая односвязных областей, мембранная аналогия имеет большую ценность.

Рассмотрим в качестве приме

ра задачу о кручении тонкостенных труб.

Для исследования кручения тонкостенных труб способом мембранной аналогии необходимо закрепить мембрану по ее контуру, который должен быть подобен внешнему контуру сечения, и на-

Рис. 30Рис. 30Рис. 31Рис. 31

Рис. 30

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 31

дожить абсолютно жесткий плоский диск, имеющий форму внутреннего контура. Далее мембрану и диск надо нагрузить равномерно распределенным давлением, обеспечив диску поступательное движение в направлении, перпендикулярном его плоскости (рис. 30). Поскольку рассматривается случай, когда толщина стенки трубы мала, то деформация мембраны будет определяться в основном нагрузкой, действующей на диск; что касается нагрузки, действующей непосредственно на мембрану, то ею можно пренебречь. В силу сказанного выше поверхность деформированной мембраны будет очень близка к конической поверхности, соединяющей оба контура. Сделанный вывод позволяет при изучении кручения тонкостенных труб произвольного поперечного сечения строить приближенный расчет.

Внутри кольцевого сечения проведем линию L, равноудаленную от обеих его границ (рис. 31), и какую-либо точку Д на этой линии примем за начало отсчета ее дуги I. Кольцевое сечение будет задано, если известны линия L и толщина 6 = 6(0- О величине каса-

тельного напряжения Т в данной точке можно приблизительно судить по среднему уклону мембраны в этой точке, поэтому приблизительное значение тангенциального напряжения в точке В определится формулой

7=^ С1"С° .

8(0

Полагая, что на внешнем контуре Со=О, будем иметь

T = w<—.(7.39)

8(0

Как видно из этой формулы,

Гтзх = ^^-.(7.40)

Из формулы (7.26) имеем

Мк = 2pt ^С^ + J 4dw ,

где (01 — площадь, ограниченная внутренним контуром; С, — постоянное значение функции Ф на внутреннем контуре.

Учитывая, что среднее значение функции Ф на линии L приближенно равно ЧгСь последней формуле придадим вид

Л^=2ртС1(<»1-|--|-у<Ао)=2ртС1(ш1 + -у-у^^(7.41)

В правой части (7.41) выражение внутри скобок представляет собой площадь, ограниченную средним контуром L, поэтому формулу (7.41) перепишем в виде

Л1А = 2ртС1<о,(7.42)

где

L

С другой стороны, на основании (7.32) имеем

-(£ ^"^-dl^.(7.43)

Исключим Ci из формул (7.42) и (7.43), тогда

Мд=3^ ,(7.44)

где

8(0 *

L

Формула (7.44) дана Бредтом.

Из сравнения формул (7.39) и (7.42) найдем

■р =

— 2и8(л‘

Эта формула также принадлежит Бредту.

Гидродинамическая аналогия Буссинеска. Рассмотрим ламинарное движение вязкой жидкости по призматической трубе с поперечным сечением, совпадающим с поперечным сечением призматического тела, кручение которого исследуется. Обозначим ось трубы через ох3. Скорость о (хь х2) текущей по трубе жидкости должна удовлетворять уравнению Пуассона

^ । ®и> _ 1 др4$)

дх* бх® Vo ^з

где ——— падение гидродинамического давления по оси трубы,. 6x3

принимаемое постоянным.

На стенках трубы имеем условие Рейнольдса

» = 0.(7.46)

Таким образом, контурное условие (7.46) тождественно совпадает с контурным условием для функции Ф.

Если положить у = АФ, тогда дифференциальное уравнение (7.15) совпадает с (7.45). Внесем и = кФ в уравнение (7.45) и полученное уравнение сравним с уравнением (7.15); тогда

дР

и

_ дР

У =^3_ ф

2цо

§ 64. Комплексная функция кручения

Часто бывает удобно для решения задачи кручения вводить функцию E(z) комплексного переменного z=Xi + ixa, связанную с функцией кручения ф(Х|, х2) и с сопряженной с ней функцией ф(хь х2), в виде

^(z)^^-]-^.(7.47)

Функция F(z), очевидно, голоморфна в области, занятой любым поперечным сечением тела.

В силу (7.11) для многосвязной области граничные условия, которым должна удовлетворять функция /"(z), примут вид

+(7.48)

где t — аффикс точки; Cv-—постоянные, одну из которых можно фиксировать произвольно, а остальные подлежат определению.

В случае односвязной области будем иметь

/^ (/)4-^(7)=/7+С.(7.49)

На основании формул (7.2)

°31— ^32=^,

\ tZxi дх2/

d»оф

откуда, учитывая, что——=—, окончательно получим

дх2дхх

®31 —^32 = ^ [^'(^J —г1'(7-50)

Жесткость при кручении призматического тела определяется по формуле (7.9), которой придадим вид

D = vf

JJ L dx\ dx2 .

U>co

Применив ко второму интегралу формулу Гаусса — Остроградского и введя обозначение /0= i (Х12 + х23)Ло, получим

здесь /о — полярный момент инерции площади поперечного сечения. На основании формулы (7.47) и принимая во внимание, что xtdxi +x2dx2=-^- d{it), последней формуле можно придать вид

D = pD = p/0—"Jt^W-^M")/0—"Jt^W-^M")

D = p

D = p

/0—"Jt^W-^M")

/0—"Jt^W-^M")

Если поперечное сечение призматического тела представляет мно госвязную область, то последняя формула примет вид

D = v Л,-D = v Л,-(7.51)(7.51)

D = v Л,-

D = v Л,-

(7.51)

(7.51)

Здесь интегрирование ведется по всем контурам LC) Lv, ..., Lm, обход которых таков, что область остается слева.

§ 65. Решение частных задач кручения

Приведем несколько примеров решения частных задач кручения

призматических брусьев.

Призматический брус эллиптического профиля. Функция напряжения Прандтля Ф(хь Хз) должна быть постоянной на эллипсе

1.1.^2

1.

1.

д2д2»2

д2

д2

Функция Ф(хь Ха), удовлетворяющая граничному условию, может быть представлена в виде

/22 \

ф(^*<7-52)

где А — неизвестная постоянная.

1д21д2д262 д2 + Д2д262 д2 + Д2Кроме того, функция Ф(хь х2) внутри эллипса должна удовлетво рять уравнению Пуассона; следовательно, для определения вели чины А получим соотношение

1

д2

1

д2

д262 д2 + Д2

д262 д2 + Д2

откуда найдем

Тогда

Ф(хР х2)^iV 1д2 + 62Ф(хР х2)^iV 1д2 + 62(7.53)(7.53)

Ф(хР х2)^i

V 1д2 + 62

Ф(хР х2)^i

V 1д2 + 62

(7.53)

(7.53)

Подставляя (7.53) в соотношения (7.14), для напряжений оз| и стю получим формулы

»31 =»31 =д2 + 622’д2 + 622’°32°32262^д2 + 62262^д2 + 62

»31 =

»31 =

д2 + 622’

д2 + 622’

°32

°32

262^д2 + 62

262^д2 + 62

Призматический брус, сечение которого представляет равносторонний треугольник (рис. 32). Уравнения сторон равностороннего треугольника с высотой А будут

х2=0; х2 = — |/3 xL + А; х^КЗл^ + А.

На этих сторонах функция Ф(хь х2) должна быть постоянной. Это, так же как и в первой задаче, наводит нас на мысль представить функцию в виде

Ф(Хр x2) = Ax2[(x2— A)-|- |^3xJ [(х2— А)—^3xJ.(7.54)

Эта функция на сторонах треугольника равна нулю. Кроме того, функция Ф(хь х2) внутри треугольника должна удовлетворять уравнению Пуассона. Отсюда находим, что А = — . Окончательно 2А

получим

Ф (^ ^2 ) = -^ -^2 [(^2 ~ А)2 - 3^1] -

Из формул (7.14) найдем

=’1з=-^- [3 (х^-х^)+Л(й—4х2)]; с23=

Круглый призматический брус с полукруглой продольной выточкой (рис. 33). Уравнение контура сечения будет

(л, — Z^-j-x^ —62 = О, Л14-л2 —а3 = 0.

Функцию напряжения, которая на контуре должна быть равна нулю, ищем в виде

Ф(хр х2)= А ■ [(Xj— ^3 + х2 — »](х?+лз-а2)

•Ч + ^2

или

Ф (хп л2) = Л /х 14-Хз — а3 — 26х:-j—2^£i_\ .

\+ 4)

Рис. 33Рис. 33Рис. 32

Рис. 33

Рис. 33

Кроме того, функция Ф(хь х2) внутри упомянутого контура должна удовлетворять уравнению (7.15). Тогда найдем, что Л= — 1/2. Следовательно,

Ф(х„ х2)=Ф(х„ х2)=^- ^н-л^-^-г^! / 2°2.

Ф(х„ х2)=

Ф(х„ х2)=

Л] + Х2

Согласно формулам (7.14) имеем

Э31 = — ^t 1

25д2^]

(х3 + л3)3

=32 = ^ (^1 — ^)4

2х2

4 + 4

Призматический брус с профилем в виде прямоугольника. Чтобы найти решение задачи кручения указанного бруса, определим гармоническую функцию ф(^ь хг), которая на границах х,= = ±а; х2= ±Ь прямоугольника принимает значение—(л?+ л|).

Искомую функцию ф(хь х2) представим в виде суммы двух гармонических функций

а2 + -^-(л1 —л?) и ^(лр л2),

т. е.

Ф(л1, л2) = а2-}-— (л|—Л1)-}-^(Лр х2).(7.55)

Введенная новая гармоническая функция q(xu х2) на границе прямоугольника должна удовлетворять условиям

?(+а,л2)=0, ^(Лр +6)=Л1 — а2.(7.56)

Гармоническую функцию q(xi, х2) возьмем в виде ряда

?(лр л2) = 2а„сЬ(рлхй)со5(Рлх1).(7.57)

л=0

Учитывая (7.57) в граничных условиях (7.56), получим

Л1-а2 = 2 a„ch(?„6) cosf^Xj). rt = Q

Из второго соотношения находим

“^снм) J <^-°2)СО5(^№=“^снм) J <^-°2)СО5(^№=4 sin (М) ар® ch (М)4 sin (М) ар® ch (М)

“^снм) J <^-°2)СО5(^№=

“^снм) J <^-°2)СО5(^№=

4 sin (М) ар® ch (М)

4 sin (М) ар® ch (М)

В результате имеем

Ф (xtx2) = а2 + -у (л2 - л,) —

32а2 VI ( — 1)" л3 (2л + 1)3 л = 032а2 VI ( — 1)" л3 (2л + 1)3 л = 0ch (2л + 1) х2

32а2 VI ( — 1)" л3 (2л + 1)3 л = 0

32а2 VI ( — 1)" л3 (2л + 1)3 л = 0

-cos (2п 4-1) — ЛрсН(2л + 1)-^52й

Теперь компоненты тензора напряжений могут быть вычислены по формулам (7.12).

Призматическое тело круглого сечения с круглым эксцентричным отверстием. Обозначим через 8 область, занятую каким-

либо поперечным сечением тела, ограниченную извне окружностью Со радиуса R, а изнутри — окружностью L, радиуса г; аффикс центра этой окружности назовем е (рис. 34). Для данного случая граничные условия (7.48) примут вид

/?(г,) + Д(#)=^ + С0 нд Со,(7.58)

F ^) Ц-F 4) — tt -j-C] на Lv

(7.59)

Так как на £0 имеем tt = R‘2 и постоянную Со можем выбрать равной — R2, условие (7.58) запишется в виде

^(/J + ^tO^O на Со;(7.60)

на Lj выражение для ft может быть за писано следующим образом:

tt = ^e -фге'в)(е-|-ге~/9)=

тогда на Lx будем иметь

F (/) + F (О = ег(-^+—^] 4-

(7.61)

Здесь </0=б2+г2+С1.

Решение задачи ищем в виде

(7.62)

где первый ряд представляет собой голоморфную функцию внутри Lo, а второй ряд —■ голоморфную функцию вне Lt. Коэффициенты ак п Ьь предполагаются вещественными.

Подставим граничные значения функции К (г) в условия (7.58) и (7.59), тогда

(7.63)(7.63)

(7.63)

(7.63)

(7.64)(7.64)Преобразуем второе слагаемое, входящее в условие (7.63), тогдаПреобразуем второе слагаемое, входящее в условие (7.63), тогда

(7.64)

(7.64)

Преобразуем второе слагаемое, входящее в условие (7.63), тогда

Преобразуем второе слагаемое, входящее в условие (7.63), тогда

где C’_ft = (—IpC^-i.

Введем вместо индекса v новый индекс n = A+v, тогда

Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам угла АВС (рис. 35).

Меняя в последней двойной сумме порядок суммирования, найдем

ft -1\л=1

где

s^2(7-66)

Очевидно,

(7.67)(7.67)

(7.67)

(7.67)

(7.68)(7.68)Учитывая в условии (7.63) разложение (7.65), получим «о=О и бесконечную систему линейных уравнений

(7.68)

(7.68)

an-VB„ = 0 (я=1, 2, ...).

Для получения второй бесконечной системы линейных уравнений преобразуем первое слагаемое, входящее в условие (7.64), тогда

Здесь двойное суммирование ведется по целочисленным точкам угла АОВ (рис. 36). Меняя порядок суммирования, будем иметь

Тогда условие (7.64) примет вид

Отсюда

Л = ^ или ^^а^А.,(7.72)

Л,+»„=т„(л=1.2,3),(7.73)

где ei = l и еп = 0 при п = 2, 3, 4,...

На основании теоремы существования н единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), (7.73) имеет решение и притом оно единственное и ограниченное приближенным ее решением будет решение двух конечных систем, причем число этих уравнений должно фиксироваться в зависимости от параметра, характеризующего близость контуров сечения, и от требуемой точности расчета. После определения корней уравнений (7.68) и (7.73) из соотношения (7.72) определится постоянная Сь

Для иллюстрации решения рассмотрим числовой пример. Возьмем из уравнений (7.68) и (7.73) по три первых уравнения, тогда

\^ I t Л

«а-Ь^з—О*

Из первых трех уравнений этой системы имеем

тогда три последних уравнения системы (7.74) примут вид

При относительных размерах r/R=05, elR=0,6 корни будут с,= -0,262167- Ю*1#2; 02= -0,157831-Ю’1/?2; а3=—0,250176*10—2/?э; ^=0,131084/?2;

^2=0,125- 10~2/f; fr3^0,125-10-W-

для точек t=e+r и t = e—г окружности Ц соответственно равны:для точек t=e+r и t = e—г окружности Ц соответственно равны:Рис. 37Рис. 37D=pD=pиз формулы (7.51) получимиз формулы (7.51) получим

для точек t=e+r и t = e—г окружности Ц соответственно равны:

для точек t=e+r и t = e—г окружности Ц соответственно равны:

Рис. 37

Рис. 37

D=p

D=p

из формулы (7.51) получим

из формулы (7.51) получим

Для разбираемого примера из (7.72) имеем Ci= —0,446929 R2. Значения величины

д=_^±^_ 100%tt 4- Cq

для точек i=R, t—iR, t= —R окружности Lo и величины

= F(Q + F(p-(^ +CQ !00%,/ / + Су

1,490%, 1,012%, —0,249%, 0,132%, —6,7%. Эти величины свидетельствуют о приемлемом выполнении граничных условий, следовательно, решение вполне эффективное.

На основании формулы (7.50) вычислены значения касательных напряжений, действующих в точках оси хь и построена их эпюра (рис. 37). Как видно из эпюры, возмущение, внесенное отверстием, носит местный характер.

Определим теперь жесткость. Учитывая, что на Lo и 7-| соответственно

имеем d(tt) = dR^ 0, d(//) =

— — рф V I— — Н-+Ы11 ——— ) х

* л-t.

Xd(—r— ^1Z2±_\_L^^.

\ t-e г ] 1? R

При помощи формулы (7.69) и теоремы Коши окончательно получим

* L ха \ аа а

Для рассматриваемого примера D = 1,559 pR4, тогда

<=-^- = 0^41^-.

Здесь AU —заданный крутящий момент. 196

§ 66. Изгиб призматического тела, закрепленного одним концом

Пусть призматическое тело длиной / закреплено одним концом, а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную силе Р, перпендикулярной к оси тела. Массовые силы и силы на боковой поверхности тела отсутствуют. Начало координат поместим в произвольной точке какого-либо сечения. При этом ось ох^ направим параллельно оси тела, а ось ОХ] — параллельно силе Р (рис. 38). Сечение предполагается односвязным.

Рис. 3&

Решение задачи дается в напряжениях полуобратным методом Сен-Венана. Исходя из физических соображений, примем

3П=<722 = а12 = 0«(775)

б33=р(^1 + ^-1+^)(1—^з);(7.76)

компоненты же тензора напряжений о3| и аз2 должны быть определены. Ниже покажем, что коэффициенты а, Ь, е однозначно определяются формой и размерами поперечного сечения тела я выбором системы координат.

Компоненты тензора напряжений о33, cr3i и <тзг в сечении х3 1 данной задаче должны удовлетворять условиям равновесия

J«31cf«> —Р=0, Ja32d<o = 0, J (х^ —x^Jrfw^O,(7.77)

<0(Оо>

ja33dio=O, j" «эал:2дГш=О, J Озз-М®+р(/—*з)=0.(7.78)

u)Wyj

Подставим выражение (7.76) в условия (7.78); тогда для коэффициентов о, b и е получим систему трех линейных уравнений

aS^ + bSA -|- ^=О,

0/13+67,, + ^,=О,(7.79)

®/2212 4“^2= — К

где /и, /22. Л2, St и S2— моменты инерции и статические моменты площади поперечного сечения тела относительно осей хь х$, а со — площадь сечения.

Корин системы (7.79) будут

а ='п" — 5! , b = /la»—s^ ,(7 80)

, ^11^2 — /12^1

В ’ причем

/22 $ 12 S2 /12 /ц S, . S2 Sj to

На основании формул Si —и>х2с, S2 = wxlc формуле для коэффициента е придадим вид

е= —ах^ — Ьх^.(7.81)

Здесь х1с, х2с — координаты центра тяжести площади поперечного сечения.

Подставив (7.75) и (7.76) в дифференциальные уравнения равновесия, с учетом Fj=O получим

-^У-=0, _^ = о,(7.82)

^зdx3

Р(ах1+»х2+е)=0.(7.83)

Из (7.82) следует, что о31 и о32 не зависят от координаты Хз, следовательно, они одинаково распределены во всех поперечных сечениях.

Уравнению (7.83) придадим вид

-У^-^Р<ах* + ^)]+^[^(7184)

Из этого уравнения следует, что существует функция %(хь х2), связанная с 0э1 и Озг равенствами

31 fc+aX1+^T

(7.85) ^=т("й+^+<?4

Действительно, при подстановке (7.85) в равенство (7.84) последнее удовлетворяется тождественно.

Выведем условия, которым должна удовлетворять функция Х(хь х2). Для этого подчиним (7.75), (7.76) и (7.85) соотношениям

Бельтрами — Митчелла и граничному условию на боковой поверхности тела.

Из шести соотношений Бельтрами — Митчелла четыре соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят к уравнениям

-~(Az) = 6х7

2ч а.

д ,, , 2v , (AZ)=-t— b, дхх1 + v

откуда

2-.

2ч

bdxx.

Тогда

Д/ = (bxx — ах^ — 2С.

(7.86)

Здесь С — постоянная интегрирования, которая должна быть определена.

Условия отсутствия на боковой поверхности тела нагрузки в данном случае дают

3з1«1+'7з2л2 = 0 на L.(7.87)

Учитывая формулы (7.85), а также формулы (6.27), из (7.87) будем иметь граничное условие для функции х(хь ^з) на L

-^-=(^ + ^2) -^1—(a^ + exj -^- .(7.88)

Затем задачу (7.86), (7.88) заменим двумя задачами; для этого функцию х(хь х2) представим следующим образом:

Х = Т4-СФ,(7.89)

где V и Ф — новые функции, подлежащие определению.

Подставляя последнее соотношение в (7.86) и (7.88), задачу (7.86), (7.88) разобьем на две следующие задачи:

дФ=—2,(7.90)

— =0 на L,di

ax)t(7.91)

-^-=(^2+^2)на L.

01aldl

Следовательно, функция Ф представляет собой функцию напряжения Прандтля.

Таким образом, задача [(7.86), (7.88)] о поперечном изгибе призматического тела разбита на задачу (7.90) о его кручении и задачу

об отыскании вспомогательной функции Чг, называемой функцией изгиба.

Для одиосвязных поперечных сечений граничные условия на L приводятся к виду

Ф=0,(7.92)

Ф=СГ(^+ех2)^—(a^ + ex,)-^lrfz.(7.93)

J L^/dl J

о

Легко убедиться, что при полном обходе контура L значение интеграла (7.93) равно нулю. Действительно, взяв интеграл (7.93) по замкнутому контуру поперечного сечения и применяя к нему формулу Гаусса — Остроградского, а также учитывая первое уравнение системы (7.79), получим

^ = П [(^2 + ^х2)] dxx + [ — (ах?4- ех^] dx2^ =

= - 2 J (ахх 4- Ьх2 4- d dw= - 2 ^aS2 4- bSx 4- ^)=0.(7.94)

Аналогичным образом можно также убедиться, что при полном обходе контура L значение интеграла (7.88) равно нулю. Это положение и равенство (7.94) в дальнейшем будут использованы.

Нетрудно проверить, что найденные компоненты тензора напряжений оз1 и Оз2 на конце х3 = 1 тождественно удовлетворяют первым двум условиям (7.77). Действительно,

|1( —— 4- axi 4- ex, I =

JJ * X/

-*1 [4-— р (^i+ь^ 4- s)l) <ь

L Лг1 дх2

пли

С» ,^0=—— f I—ахх-4-ex4-

4—— [——Нйх24-ехг)]]</ш —P(a/224-»/i24-eS2X

дх2 \ дхх

Применяя формулу Гаусса — Остроградского и учитывая условие (7.88), а также третье уравнение (7.79), получим

J a3Xd«. = P.

Аналогичным образом

J atod«> = 0.

Третье же условие (7.77) позволяет определить входящую в (7.89) постоянную С. Подставив в это условие, согласно (7.85), значения О31 И 032, получим

1=32 —^ai)^0^1=32 —^ai)^0^1^ + ^21 дх, 21^ + ^21 дх, 2+ (Ал2 — ах1)х1х2+ (Ал2 — ах1)х1х2д(^г/.) I 6 <хп)д(^г/.) I 6 <хп)22дх>дх>

1=32 —^ai)^0^

1=32 —^ai)^0^

1^ + ^2

1 дх, 2

1^ + ^2

1 дх, 2

+ (Ал2 — ах1)х1х2

+ (Ал2 — ах1)х1х2

д(^г/.) I 6 <хп)

д(^г/.) I 6 <хп)

2

2

дх>

дх>

Р I (Ах2 — ахх) ххх^ю

или

т£т£

т

£

т

£

р Г*

+ " I (бх? — axJXjXjrfw.

Введем обозначение

Ио

тогда

:2 —йх^х^сАю.:2 —йх^х^сАю.м«=-р№ £

:2 —йх^х^сАю.

:2 —йх^х^сАю.

Произведя интегрирование по частям, найдем

ЛГ3 = Р J <^^rf/ + P Jz^*>+-|-У^-ал^х^^(7.95)

Учитывая в (7.95) формулы (7.88), (7.89). будем иметь

^з~^ ^С J Ф^ш +у ^w + ^-J (6х2— ах,) XjXjdm-b

<11<иI»

+ у [(tos + ^^-^ + tfxJ^l ш^/1 .(7.96)

Из условия Af3 = 0 следует

(7-97)(7.98)(7-97)(7.98)J Ww + J (Ьх2 — ахО а^х^ш + £ Qdl где

(7-97)

(7.98)

(7-97)

(7.98)

Q = [(Ы+<ur2)— («Л + exj

Если в качестве координатных осей взять главные центральные оси, то 51=52=^12 = 0. Следовательно, из формул (7.80) получим а= — -—; (? = е = 0. В этом случае вышеприведенные формулы за- '22

метно упрощаются.

§ 67. Центр изгиба

По формулам закона Гука (4.50) компоненты тензора деформаций, соответствующие компонентам тензора напряжений (7.75), (7.76) и (7.85), равны

^п = ^2=—~(ax1 + &x2 + ^)(/-x3), е12=0, Е

(a^i + Ьх^ + е) (Z — х3),

=,(7.99)

32 2Е V дхх Т 1 V

На основании формул (3.27) угол поворота элемента тела вокруг оси ох3 будет

/ди3дил\

Ш» " ГI.

\Рлтдх3/

В силу этой формулы и формул (3.26) найдем

дхх дхх дх3 дх^ dxY дх3 дх3 дхг дх2

Аналогичным образом можно вывести подобные формулы для частных производных по координатам Хк от остальных углов Ново

тн,

рота со| и из. Величина —- представляет собой кручение волокон дх3

призматического тела, параллельных оси охэ. .

Среднее значение кручения для всего поперечного сечения, обозначаемое через т, определяется формулой

t = - [(7.100) ш J дх3Е [1-н1

Таким образом, выясняется, что под действием поперечной силы, приложенной к свободному концу призматического тела, изгиб сопровождается кручением. Как видно из формулы (7.100), чтобы под действием упомянутой силы призматическое тело испытывало только изгиб без участия кручения, постоянную С следует определить формулой

с= 3 ^v (bxlc-ax2<;\(7,101)

Подставляя (7.101) в формулу (7.96), для крутящего момента Af3 будем иметь

Л43 = р|—-—(&х1с—ах2 ) f Ф^® 4- СЧМо>4-

I 1 + vJ J

4-у J(^2_ ax^x^x^dw-V J Q^ •(7.102)

«L

Чтобы изгиб тела не сопровождался кручением, необходимо, кроме силы Р, действующей в точке о поперечного сечения, приложить к этому сечению еще крутящий момент Л13, вычисляемый по формуле (7.102). Сложив силу Р и крутящий момент Л3, получим силу Р, равную заданной силе, направленную параллельно ей и находящуюся на расстоянии х2°, которое определяется по формуле

л4= —— = —-—(—ФНт — С ЧГсЛо —

Г 1 + VJJ

<1)<0

—J (bx2 — ax^xvx2d«> — J Q,dl.(7,103)

Допустим теперь, что поперечная сила Р, приложенная в начале координат, направлена вдоль оси ох^. Рассуждая аналогичным образом, получим силу Р, равную заданной, направленную параллельно ей и находящуюся на расстоянии Xi°, которое определяется по формуле

<Оцу

+ у J (^х2 — a^Xj) хлх^ + у Q„dU(7.104)

где Q,=Г$^ 4- ех^- (а,^ + е,х,) -^-1 ®г

В формуле (7.104) функция Т* удовлетворяет уравнению

АФ =———^Ь.хх — а„х^(7.105)

+ V

и граничному условию

^ = П^ + е^- (о.х? + ^xj 1 dl. (7.106)

0

В этих формулах

/12^ — S,S2 д 52to/22

* в ’* в ’

(7.107)

^ = " " в—аЛс — ^,х2с.

Точка пересечения прямых xi = xi°, х2=х2° называется центром изгиба.

Любая поперечная сила, приложенная к сечению свободного конца, проходящая через центр изгиба, вызывает изгиб без участия кручения. Чтобы определить положение центра изгиба, совершенно не обязательно решать задачу об изгибе призматического тела, достаточно решить задачу о его кручении. Следуя Новожилову, покажем, что выражения, входящие в (7.104) и (7.103), могут быть вычислены с помощью функции Ф(хь х2). Для доказательства применим известную формулу Грина для функций Ф и Т; в качестве контура интегрирования возьмем контур поперечного сечения тела

рфдФ-ЦГдФ)рфдФ-ЦГдФ)dio =dio =dW дпdW дпW—X dl.дп /W—X dl.дп /(7.108)(7.108)

рфдФ-ЦГдФ)

рфдФ-ЦГдФ)

dio =

dio =

dW дп

dW дп

W—X dl.дп /

W—X dl.дп /

(7.108)

(7.108)

(7.109)(7.110)(7.111)частям,(7.109)(7.110)(7.111)частям,

(7.109)

(7.110)

(7.111)

частям,

(7.109)

(7.110)

(7.111)

частям,

Учитывая первые уравнения (7.90), (7.91) и условие (7.92), вместо (7.108) будем иметь

уу- J(6^ -ах2) Ф^ + 2 J^d® = -^xy^dl.

На основании соотношений (7.13), (7.10) имеем

д^ „ g ЭФ д^ м <?Ф"'—— Л^9 Н—',—-С.- *

Л?1дх^ дх^дх\

Учитывая здесь формулы (6.27), найдем

дФдФ „ । дФ „ д^ о du>i

дпdxi дх?dl dl

Подставив (7.111) в правую часть (7.109) и интегрируя по с учетом второго соотношения (7.91) получим

дпJ \ dl dl )

(7.112)(7.112)=J (v-w-^z^^Jq^,LL

(7.112)

(7.112)

где / = J IK^a+^Jvl^ + I—(ax?+exi)<p]dx2).

На основании формулы Гаусса — Остроградского имеем

7 = - И-£г[(м-+^т|+-^14x1+Mi) ’<}d*'

или

/ ■— — 2 ^ (&Xi -)■ Ьх2 “I- £) r^du>•—

— J [(ax?+exY) -^- 4- (Ьхз + ex2) -^-j d».

Подставим в эту формулу из (7.110) значения д^ и -^5-; тогда дх^ 6x2

.2.21 = — 2 J (ax!^^^-^)?^^-J(Z*x2—axj x^tZM +

.2

.2

dxX + ex^ Ф1 1

6x2 J

Интегрируя третье слагаемое по частям и учитывая, что на контуре L функция Ф = 0, убедимся, что оно обращается в нуль. Следовательно,

7 = — 2j (ах,-\-bx^-\-e^d»-\-J(bx2 — ax^x^dw. (7.113)

Учитывая (7.112) и (7.113) в (7.109), а затем подставляя полученный результат в (7.103), окончательно получим формулу для координаты центра изгиба

Х2= -J (aXj + ^+^^ + ^—J^iXi-x^-

— а (х2 —х2с)] Фг/ш.(7.114)

Аналогичным образом из (7.104) получим формулу для другой координаты центра изгиба

Xi = j (<i,X] -[- ЬМХ2 -j- 5t) f^d<6 —

— f tfr. (xi - xi<) — a* <x2 — x2c)J Ф*.(7.115)

1 J■

Как видно, в формулы для определения центра изгиба призматического тела с односвязным сечением входят функции ф и Ф, связанные только с решением задачи о кручении тела. Следует отметить, что если известна одна из функций <р, Ф, то другая определится путем квадратур из (7.110).

В работе выведены формулы для определения координат центра изгиба (хА х2°) в случае многосвязной области

4=J(а,х, 4-£,x24-<UIm F (г)dw^TlJ^4xi — ^‘^ —

а* (-^з ~^2с)] ^Re ^ (z) —^~ (-^i “F^)^ ^ю Н-

+ [^ (4с - ^1J - а, (4 - X2J] Суоо - 2 [^ (4 - ^1,) -

— а, (х^ — х2г)] Се<»6|

4 = f (ах, + Ьх2 4-й) Im F (г) d^ 4- —| С [6 (Xj -х1с) -

— а (х2-х^ (Re /?(z)--4(44-4)^4-[^4c-x1c) —

- а (х2с — х2,)] С>0 — У [6 (х^ — х1г) - а (х^с — х2с) СешД 6-1J

где:

F(г) — комплексная функция кручения, 4-, х2г —координаты центра тяжести площади, заключенной внутри контура Lk, х^, х2с— координаты центра тяжести площади сечения, год — площадь, заключенная внутри контура Lk, Ск — константы, вводимые в (7.20). Постоянные (а, Ь, в), (а„ Ь*, е*) определяются соответственно по формулам (7.80), (7.107)-

Рассмотрим задачу об определении центра изгиба, когда сечение консоли представляет собою область, ограниченную извне окружностью Lq радиуса R, а изнутри — окружностью L, радиуса г (рис. 34). Приближенное выражение комплексной функции кручения F(z) для этой задачи определяется формулой (7.62).

Для принятой системы координат е = а=0, Ь = 1,288 R"4. Для относительных размеров, указанных в задаче D, на основании вышеприведенных формул Xj°= —0,1170 R, х2° = 0.

§ 68. Изгиб призматического тела с эллиптическим поперечным сечением

Пусть плоскости ох, и ох2 будут плоскостями симметрии призматического тела, а нагрузка, действующая на его торец, статически эквивалентна силе Р, которая направлена вдоль оси X] и приложена в центре торца. В этих условиях, очевидно, тело будет работать на изгиб без кручения.

На основании формул (7.80) будем иметь

а——; Ь=е=м.

^22

Учитывая эти соотношения в (7.91), будем иметь

№12 dX2 ,i

=X] —- на £.(7.117)

61I22 dl

Следуя приему Тимошенко, введем вместо функции изгиба Ч1- новую функцию

^) = iF(Xj, х2)-|-/(х2),(7.118)

где f(x2) — произвольная функция только от х2.

Подставляя (7.118) в (7.117), получим граничные условия на L

.(7.119)

В частном случае функцию /(х2) можно выбрать таким образом, чтобы выражение, находящееся в скобках, обращалось в нуль, тогда граничное условие на L примет простой вид

д!д!(7.120)

д!

д!

Поскольку поперечное сечение односвязное, (7.120) на L может быть записано в виде

Q = 0.Q = 0.(7.121)

Q = 0.

Q = 0.

Например, для случая, когда поперечное сечение представляет собой эллипс, равенству (7.120) можно удовлетворить, положив

2*2\/22 Ч 32*2\/22 Ч 3(7.122)(7.122)

2*2\

/22 Ч 3

2*2\

/22 Ч 3

(7.122)

(7.122)

Здесь Qj и 6j — полуоси эллипса.

Рассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для данной задачи, в силу (7.118), функция Q примет видРассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для данной задачи, в силу (7.118), функция Q примет видQ(^,(7.123)/22\ 3/Q(^,(7.123)/22\ 3/Учитывая (7.123) в (7.116), получим уравнение видаУчитывая (7.123) в (7.116), получим уравнение вида^Q=nx2,^Q=nx2,(7.124)(7.124)гдегде2/ V . ^П =-^22 \ 1 + V ^22/ V . ^П =-^22 \ 1 + V ^2(7.125)(7.125)Решение уравнения (7.124) ищем в виде/ X? X2Q=K — + — -2112\ Й1 61Решение уравнения (7.124) ищем в виде/ X? X2Q=K — + — -2112\ Й1 611 х2.1 х2.(7.126)(7.126)Это решение удовлетворяет граиич-ному условию (7.121).Подставляя (7.126) в уравнение (7.124), будем иметьл / 1,3 \Это решение удовлетворяет граиич-ному условию (7.121).Подставляя (7.126) в уравнение (7.124), будем иметьл / 1,3 \=«,=«,откудаоткуда1sl"l[ V^22if + 3aj \! +1sl"l[ V^22if + 3aj \! +6?6?(7.127)(7.127)Зная функцию Q, из7 X2V «1Зная функцию Q, из7 X2V «1(7.123) можем определить функцию Ч1-(7.123) можем определить функцию Ч1-*26?*26?/^22\ 36?//^22\ 36?/(7.128)(7.128)

Рассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для данной задачи, в силу (7.118), функция Q примет вид

Рассмотрим задачу об изгибе эллиптического цилиндра. Для данной задачи, в силу (7.118), функция Q примет вид

Q(^,(7.123)

/22\ 3/

Q(^,(7.123)

/22\ 3/

Учитывая (7.123) в (7.116), получим уравнение вида

Учитывая (7.123) в (7.116), получим уравнение вида

^Q=nx2,

^Q=nx2,

(7.124)

(7.124)

где

где

2/ V . ^

П =-

^22 \ 1 + V ^2

2/ V . ^

П =-

^22 \ 1 + V ^2

(7.125)

(7.125)

Решение уравнения (7.124) ищем в виде

/ X? X2

Q=K — + — -

2112

\ Й1 61

Решение уравнения (7.124) ищем в виде

/ X? X2

Q=K — + — -

2112

\ Й1 61

1 х2.

1 х2.

(7.126)

(7.126)

Это решение удовлетворяет граиич-ному условию (7.121).Подставляя (7.126) в уравнение (7.124), будем иметь

л / 1,3 \

Это решение удовлетворяет граиич-ному условию (7.121).Подставляя (7.126) в уравнение (7.124), будем иметь

л / 1,3 \

=«,

=«,

откуда

откуда

1sl"l[ V

^22if + 3aj \! +

1sl"l[ V

^22if + 3aj \! +

6?

6?

(7.127)

(7.127)

Зная функцию Q, из

7 X2

V «1

Зная функцию Q, из

7 X2

V «1

(7.123) можем определить функцию Ч1-

(7.123) можем определить функцию Ч1-

*2

6?

*2

6?

/^22\ 36?/

/^22\ 36?/

(7.128)

(7.128)

На основании формул (7.85) с учетом того, что для заданной задачи у = ЧЛ будем иметь

з23 = -РК^5_ ;а2з23 = -РК^5_ ;а2

з23 = -РК^5_ ;

а2

з23 = -РК^5_ ;

а2

из формулы (7.76)

а33 = —- Xj (/ х3).(7.130)

Последняя формула нормального напряжения полностью совпадает с формулой элементарной теории изгиба, чего нельзя сказать в отношении формул для тангенциальных напряжений сГ|Э и стаз- Со-

21»

гласно элементарной теории изгиба, в данной задаче агз=0, а сиз зависит только от хь

На оси Xi = 0 имеем

^ = -ЕГ {^ + 2(l + ^«:-^(l-2v)}) (7.131)

2/32(1 4- v) (6, + 3Sj)

0^ = 0,

тогда как по формуле Журавского на этой оси

(7-132)

Если материал несжимаем, т. е. v = 0,5, формулы (7.131) и (7.132) совпадают.

В данной главе мы рассмотрели теорию кручения и изгиба призматических тел, имеющую большое значение для техники. Здесь не обсуждается большое число специальных задач, исследованных многими авторами.

Глава VIII

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

В настоящей главе мы остановимся на некоторых принципах теории упругости, имеющих важное значение для получения группы методов весьма эффективного численного решения граничных задач теории упругости. С одной из общих теорем теории упругости — теоремой Клапейрона мы познакомились в четвертой главе.

§ 69. Теорема взаимности Бетти

Обозначим через «ы» и^ вкг и акГ) Uk, екг соответственно компоненты тензора напряжений, вектора перемещения и тензора деформаций, которые возникают в упругом теле под действием внешних сил pF', TV и pF ТV’.,

Работа сил pF', Т V, включая и силы инерции _р^^ на перемещениях uV', равна

Внося в последнее выражение T^V=<5кгПг и учитывая симметричность тензора напряжений, после преобразования поверхностного интеграла в объемный будем иметь

Л21 =Л21 =дрдрUk ?dt -|- J (Тnk^V dw.Uk ?dt -|- J (Тnk^V dw.

Л21 =

Л21 =

др

др

Uk ?dt -|- J (Тnk^V dw.

Uk ?dt -|- J (Тnk^V dw.

•^12—J

^ J UkdX -}- J Hkteferdx.

В силу (2.24)

Л12= f OkfSkrdX.(8-1)

Работа сил pF", T*tt, — р—— на перемещениях и'к равна

Выполнив для Лл преобразования, аналогичные преобразованиям для Л12, получим

Л21 = J ^ме^Х.(8-2)

В силу тождества Бетти (4.61) из (8.1) и (8.2) получим

Л21 = Л1$.(8.3)

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил.

§ 70. Принцип минимумапотенциальной энергии

Обозначим истинный вектор перемещения через а, а соответствующий ему тензор напряжений — через о,»*. Этот тензор напряжений удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия

±™l + p/^0(8.4)

дхт

и условиям на поверхности

Тпт=ап»А1.-(8-5)

Придадим вектору перемещения вариацию Ьи, тогда на основе «* = я +баиз формул (3.26) будем иметь

। *1 / ди™^ + 8^- 2 ( ^। *1 / ди™^ + 8^- 2 ( ^дхтГ 2 I дхе дхт) Х ’дхтГ 2 I дхе дхт) Х ’

। *1 / ди™

^ + 8^- 2 ( ^

। *1 / ди™

^ + 8^- 2 ( ^

дхтГ 2 I дхе дхт) Х ’

дхтГ 2 I дхе дхт) Х ’

Отсюда найдем изменение тензора деформаций

8е„6 = —($8е„6 = —($дхкдхкдик А , dxm /дик А , dxm /(8.7)(8.7)

8е„6 = —($

8е„6 = —($

дхк

дхк

дик А , dxm /

дик А , dxm /

(8.7)

(8.7)

Обозначая удельную работу деформации варьированного состояния равновесия через Л(еть+бет^) и разлагая ее выражение в ряд Тейлора, получим

А (^»+6^) = Л Ы 8еп+ .. .+

\ деидгЭ1/

+4~ (8еп НЬ 2 -т~4— 8^118^22 Нк8^31 V (8.8)

децoeudemде^ )

Здесь Л(еть) —значение удельной работы деформации в истинном состоянии равновесия. Учитывая, что

дУd»„ д^А = д(2^л) ^

деккдеггдекк ’^^ декг

и принимая во внимание закон Гука, последнему члену (8.8) придадим ВИД

-^-^(бб^ + г^б^-(8-9)

Выражение (8.9), как известно из (4.36). представляет собой значение удельной работы деформации, соответствующее вариации вектора перемещения 6я, и всегда положительно-определенно.

Используя (4.20) и (8.7), второму члену (8.8) придадим вид jтк-^.(8.10)

дх! 1 т 31дхйk

Обозначим векторы напряжения на координатных площадках через Тт; тогда вместо (8.10) будем иметь

^-^=Tm.Wm,(8.11)

Из (8.8), с учетом (8.9), (8.11), найдем

67? = С Т^ -Wmdx + f-t (^ + 2н5^ш) dx, (8.12)

выражающую приращение работы деформации. Непосредственной проверкой легко найти, что

divUmTm = &«mdivrm+Tm.VUm,(8.13)

(здесь по индексу m суммирование не производится), откуда

j Tm• vta„dx = J div SamTmdx - j Sam div T,tdx.(8.14)

При помощи формулы Гаусса — Остроградского получим

J div UmTmdx = J Вц^ч^.(8.15)

В правой части второго равенства подынтегральное выражение суммируется по индексу A; nh — косинусы углов между нормалью п и осями координат хк.

На основании формулы (8.5) из (8.15) найдем

J div ^imTmdx = J Т„,М^,

а на основании уравнения равновесия (2.27)

j 6«„div 7^ = j* — pFm^„dx.

Следовательно, из (8.12) с учетом (8.14) будем иметь

8/? = J tF^dx + J Т^и^Д-

+ j у (А^2 + ^^„,8^т) dx.(8.16)

Пусть соТГ— сумма тех частей поверхности, на которых вектор перемещения принимает заданные значения, а мг — остальная часть поверхности, на которой заданы силы Т„т. Учитывая, что на w.u, где поверхностные силы неизвестны, б«т=0 и на toT поверхностные силы Тпа, так же, как и массовые силы, не варьируются, из (8.16) найдем

8 ^ - J VFmumdx-J T^d^ =±$ [^ + 2^e^m]dx (8.17) или

6П = е, где

H = R-^ ^F^mdx - j Тпюи*

е = -1-[Х8^ + 2^8с6тПт.

Здесь R — работа деформаций, соответствующая истинным перемещениям: J* ?Fmumdx — работа объемных сил на истинных перемещениях; JТ^^® — работа заданных на <о г поверхностных сил на перемещениях Пт! П — потенциальная энергия тела; 8 — положительно-определенная величина.

Равенство (8.17) позволяет сформулировать следующую теорему: потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле.

§ 71. Принцип минимума дополнительной работы — принцип Кастильяно

Рассмотрим теперь равновесие, при котором заданы перемещения uk и соответствующий тензор напряжений Gm*. При переходе от ИСТИННОГО напряженного СОСТОЯНИЯ Щпй к смежному Omb + dOmh изменение удельной работы деформации будет

6 Д — А (а,^ -J- Ва^) — А (»^).

Измененный тензор напряжений ать+бсгть так же, как истинный тензор напряжений Ути, должен удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, т. е.

=0,4- рРь = 0,

дхт 6^т т *

откуда следует

-^t = 0.(8.18)

Разложив выражение удельной работы деформации Д(оть-Ь +дать) в ряд Тейлора, получим

U =А ^-V^) - А (ет>) =8»п + ... +8»J 4.

\ v°llv°31/

.4/.. 831l4-. —H2———8зц8а2г-|——— 8a3i L (8.19)

2 \ do?,^da^da?. /

Второй член правой части второго равенства (8.19), как это было и в (8.9), представляет собой удельную работу деформации, соответствующую вариации тензора напряжений 6атк, и всегда поло- жительно-определен.

Пользуясь формулами (4.27), приведем первый член правой части второго равенства (8.19) к виду

или

^Tm-Wnt.

В свою очередь, аналогично (8.13), имеем

6Тт- V«m=div(MTm) -ит div 5Тт.(8.20)

Учитывая (8.18) в (8.20), получим

^т' V&m=div (и^Т^.

Следовательно, из (8.19) будем иметь

8/?= div(MW* 4-

8^11 Н1_28^11 Н1_2д^Аdff£jd$22д^Аdff£jd$228з118а214- • • •8з118а214- • • •№А№А8’118’11dx.dx.

8^11 Н1_2

8^11 Н1_2

д^Аdff£jd$22

д^Аdff£jd$22

8з118а214- • • •

8з118а214- • • •

№А

№А

8’11

8’11

dx.

dx.

Если в подынтегральном выражении второго интеграла учесть (4.27) и формулы закона Гука (4.50), мы получим работу деформации, выраженную через вариации тензора напряжений 6оаг.

2М

Применяя к первому слагаемому формулу Гаусса — Остроградского и обозначая второй интеграл через в, будем иметь

у? = J u^^Hfcdw + е = J ит8Глт^+в.(8.21)

Наложим на измененный тензор напряжений <ттл + 6сттй условие, чтобы он был уравновешен заданными поверхностными силами. Тогда на тех частях поверхности, на которых заданы силы, 6 Гп = 0. Исходя из этого, (8.21) примет вид

8Я= J МЛ,т^+*-

Здесь tou — сумма тех частей поверхности, на которых заданы перемещения. Учитывая, что на ыи перемещения «т не варьируются, последней формуле придадим вид

8^* = е,(8.22)

где

R*=R- J «„Г^®-

Здесь J ti^^d^ — работа поверхностных сил на заданных на <ои

перемещениях; R* называется дополнительной работой.

Принимая во внимание, что в всегда положительно-определенная величина, приходим к выводу, что R* принимает минимальное значение.

Равенство (8.22) позволяет сформулировать следующую теорему: дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле.

циентов Ch. Эти коэффициенты для истинного состояния равновесия можно определить из условий минимизации потенциальной или дополнительной энергии, т. е.

-^- = 0 или -^- = 0 (6=1, 2, 3, 4...оо). дскдск

апdR*

Если k= 1, 2, 3,.,. л, то =0 или = 0 приводят к си-

дскдс6

стеме п линейных уравнений относительно коэффициентов ск. Подставляя значения этих коэффициентов в вышеуказанное выражение, получим приближенное решение задачи. Следует отметить, что полученное таким образом решение задачи является точным, если взятое выражение включает полную последовательность функций, т. е. последовательность измеримых функций класса С, где произвольная функция из этого класса может быть аппроксимирована с заданной точностью при помощи линейной комбинации конечного числа этих функций. Однако в большинстве случаев удается принять во внимание только конечное число коэффициентов cft.

В качестве примера рассмотрим нестесненное кручение призматических брусьев. Учитывая, что при кручении еп = е22 = еэз=6 = = 6,2=0, e3i = a3l/2p и еЭ2=оз2/2р, из формулы (4.36) в брусе длиною а получим накопленную величину энергии деформации

R= -~— Г (°з1+°з2) dxxdx^

J

где о — площадь поперечного сечения бруса.

На основании (7.14) последняя формула примет вид

/? =/? =ц^а 2ц^а 2dxxdxTdxxdxT

/? =

/? =

ц^а 2

ц^а 2

dxxdxT

dxxdxT

На боковой поверхности бруса заданные поверхностные силы равны нулю, поэтому работа на этой поверхности обращается в нуль, а на обоих торцах его она будет

J КЛ, 4" «г?'я2] dx^dx^ |х,=о Н~ J [и ,7*я1 -\-и^Гя3] dx^dx^ U,=«. (8.23)

Здесь на основании формул (7.1) при х3=0 имеем «, = «2=0; при ха=а имеем и,= —тх2а, и2 = тх,а, а на основании формул (2.22), с учетом того, что 0,1 = 022=033=012=0, при хэ=а имеем TftX=oaX1 7П2=оз2- Тогда вместо (8.23) будем иметь

И — х, dxtax,.

J \ дх2 дхх )

Последнему выражению придадим вид

2рт3а J $dxtdx2 — рт2а j* ( ^^^ _|—^^2L^ ^ю>откуда при помощи формулы Гаусса —Остро гр адского получим2р.т3а J" $dxtdx2 — рт3а J Ф (х^Хг+^з^!)-

где I — контур области, занятой поперечным сечением бруса.

Таким образом, дополнительная энергия на основании ее определения будет

R — — +1 ) — 4Ф dx-dx^

-)-р.т2а ^ Ф (х^/хз+^г^!)-

В силу (7.16) на контуре / имеем Ф=сопз1, с другой стороны, эту постоянную можно взять равной нулю; тогда окончательно будем иметь

R’-^ П/^)^-^)’^®]^,(8.24)

2 J L\ 6x1 /( dx2 ) J

Возьмем брус прямоугольного сечения со сторонами 26 и 2с. Учитывая, что функция напряжений Прандтля Ф на сторонах Xt = ±6 и х2 = ±с должна быть равной нулю и симметричной относительно Х[ и х2, в ее выражение включим только члены с четными степенями Xj и х2, т. е.

Ф = (Х1 —62) (Х2 — С3) (ct 4- С^т 4" СдХ2 4" С4Х1Х2 4" • - •)’

В первом приближении возьмем выражение

Ф = d (Х1 - 63) (Х2 - с2).(8.25)

Подставляя (8.25) в формулу (8.24), найдем

6 с

^=^~ f f [ 4С? [X? (х? - с3)2 + (X? - 63)3х|] -

— 4сх(Х\—Ь^ (хг —с3)) dx;dx2, откуда

^. = ^ М ^Ьаса ^ _[_ С2) _ 5Cift3c3],

Так как для истинного состояния равновесия дополнительная энергия должна принимать минимальное значение, то

откудаоткуда-521=0,5с 114 (62 4- С2)-521=0,5с 114 (62 4- С2)(3.26)(3.26)С помощью формулы (7.19) определим крутящий моментС помощью формулы (7.19) определим крутящий моментЪ сМк = 2рт J ^dxxdx2 = 2с^тJ j* (xi — 62) (х| — с2) dxxdx2=^ ^с^т.""6(8.27)Ъ сМк = 2рт J ^dxxdx2 = 2с^тJ j* (xi — 62) (х| — с2) dxxdx2=^ ^с^т.""6(8.27)Максимальное касательное напряжение Гтах, действующее посредине длинной стороны (6>с), будетМаксимальное касательное напряжение Гтах, действующее посредине длинной стороны (6>с), будет^та^^ -7—=262СС^Т.»Х1 х»--с^1=0^та^^ -7—=262СС^Т.»Х1 х»--с^1=0(8.28)(8.28)Подставив значение Ci из (8.27) в формулу (8.28), найдемПодставив значение Ci из (8.27) в формулу (8.28), найдемТ 1 шахТ 1 шах9 с Мь9 с МьНа основании формул (8.26) кручении будем иметьНа основании формул (8.26) кручении будем иметьи (8.27) для жесткости бруса прии (8.27) для жесткости бруса приD = ^ тD = ^ т40=р940=р9b*.f C \2b*.f C \2

откуда

откуда

-521=0,5с 1

14 (62 4- С2)

-521=0,5с 1

14 (62 4- С2)

(3.26)

(3.26)

С помощью формулы (7.19) определим крутящий момент

С помощью формулы (7.19) определим крутящий момент

Ъ с

Мк = 2рт J ^dxxdx2 = 2с^тJ j* (xi — 62) (х| — с2) dxxdx2=^ ^с^т.

""6(8.27)

Ъ с

Мк = 2рт J ^dxxdx2 = 2с^тJ j* (xi — 62) (х| — с2) dxxdx2=^ ^с^т.

""6(8.27)

Максимальное касательное напряжение Гтах, действующее посредине длинной стороны (6>с), будет

Максимальное касательное напряжение Гтах, действующее посредине длинной стороны (6>с), будет

^та^^ -7—=262СС^Т.

»Х1 х»--с^1=0

^та^^ -7—=262СС^Т.

»Х1 х»--с^1=0

(8.28)

(8.28)

Подставив значение Ci из (8.27) в формулу (8.28), найдем

Подставив значение Ci из (8.27) в формулу (8.28), найдем

Т 1 шах

Т 1 шах

9 с Мь

9 с Мь

На основании формул (8.26) кручении будем иметь

На основании формул (8.26) кручении будем иметь

и (8.27) для жесткости бруса при

и (8.27) для жесткости бруса при

D = ^ т

D = ^ т

40=р

9

40=р

9

b*.

f C \2

b*.

f C \2

В случае бруса квадратного сечения приближенное решение дает значение жесткости £> = 2,222 рб4 и Ттах = 0,563 М^/Ь3, в то время как точные значения их будут £> = 2,250 рб4 и Ттах=0,600 М^Ь3; погрешность соответственно составляет— 1,2% и —6,2%.

Теперь функцию напряжений Ф возьмем в виде

Ф = (х2 — Ь^ (х* — с2) (Cj %- c2xi -[- c3xj).

Тогда

^ = -^ _^_ ^с3 [210 (й2 + с2) 4 + Ь4 (66с2 + 1052) С2 +

+ с4 (6662 + Юс2) Сз + А2 (84с2 + 6062) схс2 + с3 (84д3 + 60с2) ctc3 + + 12&V (d3 + c2) с2са-525с! - 10562c, - 105с2с3].

Из условия минимизации дополнительной энергии

^-=0, ^1=0, ^t=0

дег дс2 дс3

приходим к линейной системе трех уравнений

140 (62 _[_ С2) С1 ^ б2 (28с2 + 2062) с2+с2 (2862+20с2) с3 = 175,

(84с2+6062) С1 + 62 (132с2+2O62) с2 + 12с2 (б2 + с2) сэ = 105,(8462 %. 60с2) с, +1262 (62 + с2) с2 + с2 (13262+20с2) с3 = 105.

Для случая с/Ь = 1 найдем

1295525

22166223443262

Тогда

Affc = 2pt J Ф^х^Хз = 2,24664pt,Гта1 = рт —I =0,626-^- .

x, = 0

Теперь погрешности соответственно составляют —0,18% и +4,3%.

Из приведенных числовых примеров явствует, что при возрастании числа неизвестных коэффициентов точность решения повышается. Если точное решение задачи неизвестно, то единственный путь, который позволяет получить ориентировочное представление о точности решения, состоит в последовательном увеличении числа неизвестных коэффициентов и сравнении окончательных результатов. Если результаты быстро сходятся, то можно аппроксимацию считать удачной.

§ 73. Вариационный принцип Рейсснера

В § 71 и 72 нами были изложены два хорошо известных в теории упругости вариационных принципа: принцип минимума потенциальной энергии, который также называется принципом возможных перемещений, и принцип минимума дополнительной работы, на который ссылаются как на принцип Кастильяно.

Рейсснером предложен вариационный принцип, также позволяющий находить приближенные решения задач теории упругости. В этом принципе варьируются независимо друг от друга и тензор напряжений, и перемещения.

Вариационный принцип Рейсснера заключается в том, что вариационное уравнение

8/=0,(8.29)

где /— функционал Рейсснера,

<83°)

эквивалентно системе шести соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций

(8.31)(8.31)1 / дик , диг \ дЛ

(8.31)

(8.31)

2 \ дхг ' дхк /д,*

(4г=<’»,. когда (А = г), 4г=2»*,, когда (А Ф г)) трем уравнениям равновесия (в целях упрощения массовые силы

не учитываются)

-^=0,(8.32)

и граничным условиям

^лк^пк на Шт,(8.33)

ик—иь на wu.(8.34)

Здесь ог — сумма тех частей поверхности, на которых заданы силы Т^ь, a ton — остальная часть поверхности, на которой заданы перемещения йк.

Для доказательства этого принципа используем известные соотношения

Тогда из (8.29) и (8.30) получим

-^^Ьт-Ст;м^=о.

Используя формулу Гаусса — Остроградского, будем иметь

tCDt

Учитывая, что <зктпт = Тт1к и to = tor + ©u, получим

f V^йХ = f T«W^ + f ТЯМД<» - f Sti^t.

J 2 \ дхт дхЙ )JJJ дхг

Здесь в первом и во втором подынтегральных выражениях суммирование производится по индексу к, а в третьем — по индексам к и г.

В силу последнего соотношения будем иметь

дА 'SrдА 'SrSrSrдхгдхг8ий1 dx -j-8ий1 dx -j-

дА '

Sr

дА '

Sr

Sr

Sr

дхг

дхг

8ий1 dx -j-

8ий1 dx -j-

+ J (^л» “ ^nk) ^Ukd4> H~ J ^nifiUk^ — 0.

Последний интеграл равен нулю, так как по условию 6м*™0 на ©и.

Поскольку вариации перемещений и напряжений произвольны и независимы, вследствие основной леммы вариационного исчисления мы заключаем, что из написанного условия следует равенство нулю множителей при соответствующих вариациях как в объемном, так и в поверхностном интеграле, т. е. уравнения (8.31), (8.32) и граничные условия (8.33), (8.34).

§ 74. Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически нелинейного тела

При решении некоторых задач теории упругости, как например, задач устойчивости, необходимо принимать во внимание компоненты тензора конечной деформации, определяемые формулами (3.17). Здесь мы ограничимся выводом условий равновесия и граничных условий для этого случая.

Из вариационного уравнения равновесия выведем уравнения равновесия и граничные условия для случая, когда компоненты тензора деформаций заданы в декартовой системе координат (3.24)

.,1=2_^+*^+^±1). (8.35)

2 дхй ~ дхп ~ дхк дхп /

Предположим, что тело под действием поверхностной силы Т» и объемной силы pF находится в равновесии. Тогда вариационное уравнение будет иметь вид

(8.36)(8.36)J ^„^ - f р^М - J гям^ш=о.

(8.36)

(8.36)

Варьируя выражение (8.35), получим

Ч,—L ($_^+8^+2!Д8^+^ 8 'М

2 \ дхк дха дхк дхя дхп дхк /

Непосредственным вычислением легко обнаружить, что данному выражению можно придать вид

z хz хди. \ ди.—L 8—• дхк / дхпди. \ ди.—L 8—• дхк / дхпj4^ дхп /j4^ дхп /81дхк .81дхк .(8.37)(8.37)

z х

z х

ди. \ ди.

—L 8—• дхк / дхп

ди. \ ди.

—L 8—• дхк / дхп

j4^ дхп /

j4^ дхп /

81

дхк .

81

дхк .

(8.37)

(8.37)

Здесь 6ак — символы Кронекера.

На основании (8.37) вариационное уравнение примет вид

Введем несимметричный тензор вида

(8.39) \ дхк /

Учитывая это, вариационному уравнению равновесия придадим вид

— С $«5dx А—— С slt8dx — СpF^ — СT,kV>iik<b>==^.

2 J дх„ ' 2 J дхк JJ

Последнее равенство представим в виде

Л. f(s.W dx - 4- f Wx 4- v f ^W dx -

2 J dx„2 J dx„2 J dxk

I6иа</т — I pF^u^x— I T^U;,dw=0.

J dxkJJ

Применяя здесь формулу Гаусса — Остроградского, найдем

\ (s«„v„—Ла)В«вй?ш— hP^J 8ы1йгт=0.

JJ \ дх„ )

На основании леммы вариационного исчисления будем иметь

—hp/7e = 0, 5адТд — 7\е=0.

6хп

Учитывая здесь (8.39), получим уравнения равновесия

(в.» +~+р^ = 0(8.40)

охп \ дхк / J

и граничные условияи граничные условияSen^R Т va-Sen^R Т va-(8.41)(8.41)

и граничные условия

и граничные условия

Sen^R Т va-

Sen^R Т va-

(8.41)

(8.41)

Глава IX

ТРЕХМЕРНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Для решения трехмерных статических задач теории упругости мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом, как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие частные решения уравнения равновесия в случае отсутствия массовых сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наиболее простой тип изолированной особой точки представляет собою точка приложения сосредоточенной силы.

§ 75. Решения Кельвина и Буссинеска — Папковича

Если на тело действуют массовые силы, то векторное уравнение равновесия имеет вид (5.7). Будем предполагать, что область, занятая телом, простирается безгранично по всем 'направлениям, а массовая сила F отлична от нуля в области Tt, совпадающей либо со всей областью т, либо с частью ее.

Приводим общую форму частного решения, данную Кельвином. Выразим вектор перемещения прн помощи скалярного потенциала <р и векторного потенциала ф формулой

« = 7<р + го1ф.(9.1)

Здесь V — оператор Гамильтона.

Предположим также, что массовые силы могут быть представлены в виде

F=V®+rotW.(9.2)

Используя в уравнении равновесия (5.7) векторное тождество rot rot« = v div и — ди,

придем к уравнению

(X+2j*) v div и — prof rotu + pF^O.(9.3)

Из (9.1) вычислим

Vdivu = VA<p,rot rot и = rot rot (v? + rot ф) = rot (rot rot ф) == rot(v div^ —дф)= — rot дф.

Подставляя эти соотношения и (9.2) в уравнение равновесия (9.3), найдем

V [(Х+2р) Ду4-Рф1 + 1"°Ч^Ф + рФ]=0.

Это уравнение будет удовлетворено, если положить

Д<р =Д<р = Ф, Дф = -Ф Ф, Дф = -Ф(9.4)(9.4)

Д<р =

Д<р =

Ф, Дф = -Ф

Ф, Дф = -Ф

(9.4)

(9.4)

(9-5)(9-5)(9-6)(9-6)Таким образом, частное решение уравнения (9.3) можно получить на основе частных решений уравнений Пуассона (9.4), имеющих, как известно из теории потенциала, вид

(9-5)

(9-5)

(9-6)

(9-6)

4л (X + 2р) J /

W J /1

Ф(г)= (F-^rxdTv (9.7)Ф(г)= (F-^rxdTv (9.7)где /= [(xj—лу)2 4~(Л2~ ^2)2+(^э —Хз)3]V1 —расстояние от точки Г'(xi, Ха, Хз) области Tt ДО ТОЧКИ Г(ХЬ х2, х3\ для которой вычисляются функции <р и ф; интегралы распространяются по области ть вне которой массовые силы равны нулю (рис. 39); функции Ф(г) и Т(г) определяются по формулам

Ф(г)= (F-^rxdTv (9.7)

Ф(г)= (F-^rxdTv (9.7)

Ф (г) = —J- С F X VZ-^Tp (9.8)

которые вытекают из условия, что массовую силу F можно представить в виде (9.2). Действительно, при div rot Ф=0 из (9.2) найдем

divF=divv®, rot F= rot rot Ф или при div Ф=0

Лф.। ^2 । dFa ,

dVt dx2 <Xv3

dF3 0F2 \ у _/ dFx dFa

д^з dXg /3\ 5^3 dxj

Д^з=-(Д^з=-(dF. dFxdxx dx2dF. dFxdxx dx2

Д^з=-(

Д^з=-(

dF. dFx

dxx dx2

dF. dFx

dxx dx2

Частные решения этих уравнений могут быть представлены в виде

ф(г)=—MOF, j^\ — d<x, dx'a ) 1Ф, (r)=—f/ —dF<— dr,,4лJ I dV»dx'a/ 1ПГ — 1Г / dFxdF^ '\ 1 dxdx'x4Л) I 1Ф3(г)=—1—f / ^2J4лdx21 I 1ф(г)=—MOF, j^\ — d<x, dx'a ) 1Ф, (r)=—f/ —dF<— dr,,4лJ I dV»dx'a/ 1ПГ — 1Г / dFxdF^ '\ 1 dxdx'x4Л) I 1Ф3(г)=—1—f / ^2J4лdx21 I 1(9.9)(9.9)

ф(г)=—M

OF, j

^\ — d<x, dx'a ) 1

Ф, (r)=—

f/ —

dF<

— dr,,

4л

J I dV»

dx'a

/ 1

ПГ — 1

Г / dFx

dF^ '

\ 1 dx

dx'x

4Л

) I 1

Ф3(г)=—1—

f / ^2

J4л

dx2

1 I 1

ф(г)=—M

OF, j

^\ — d<x, dx'a ) 1

Ф, (r)=—

f/ —

dF<

— dr,,

4л

J I dV»

dx'a

/ 1

ПГ — 1

Г / dFx

dF^ '

\ 1 dx

dx'x

4Л

) I 1

Ф3(г)=—1—

f / ^2

J4л

dx2

1 I 1

(9.9)

(9.9)

Применим формулу Гаусса — Остроградского к первому равенству (9.9); тогда

ф(г)=^-^10)

4л J Z4л J ох„

где (о — поверхность области ть

Полагая, что массовая сила непрерывна в области т вплоть до

ее границы (тогда на этой гоанице г&=0, а также=— I ,

*дхк дхк j

вместо (9.10) получим (9.7). Таким же образом, из трех оставшихся уравнений (9.9) найдем

^ 1^ 11*1*^zl)дх2 /^zl)дх2 /dxvdxv

^ 1

^ 1

1*

1*

^zl)

дх2 /

^zl)

дх2 /

dxv

dxv

Эти три скалярные равенства эквивалентны одному векторному равенству (9.8).

Для получения решения Буссинеска — Папковича общее решение уравнения равновесия (9.3) представим в виде

« = Ду (ф-|-г.ф)4-5ф.« = Ду (ф-|-г.ф)4-5ф.(9.11)(9.11)

« = Ду (ф-|-г.ф)4-5ф.

« = Ду (ф-|-г.ф)4-5ф.

(9.11)

(9.11)

где г— радиус-вектор точки тела; А и В — неизвестные постоянные; <р и ф— неизвестные функции координат.

Действуя на обе части равенства (9.11) оператором rot rot и учитывая векторные тождества rot rot = V div — △, rot V = 0,

найдем

rot rot и=В (v div ф — дф).'

Так как

divv = A; д^-ф^г-дф+ггНуф,(9.12)

из (9.11) будем иметь

61уи = Лд<р + Дr-дф^-(2Д-|-B)divф.(9.13)

Учитывая (9.12), (9.13) и rot rot и = В (Vd^ —Дф) в уравнении (9.3), будем иметь

(Х + 2р) Ду (Ду —|— /*• дф) —|— [(Х-|~2р.) (В-|- 2Д) —

— рВ] v div Ф+^Вдф+р/^о.

Это уравнение будет удовлетворено, если положить

Ду+г-дф=0,(Х+2н)(В+2Д)-[*5=0,(9.14)

Вдф + -— F=0.

Из второго уравнения (9.14) найдем

В = - ^±М Д = - 4 (1 - v) Д.

X + р.

Приняв Д = 1, из третьего уравнения будем иметь

дф =РF.(9.15)

Т 4(l-v)Fк 7

Подставив (9.15) в первое уравнение (9.14), получим

дф = —г • F.(9.16)

4(1 — v)^

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция ф и скалярная функция <р удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции-—скалярную функцию <р и три проекции вектора ф. Представление, в котором <р является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным.

Некоторые задачи можно решить, не используя такого количества функций. Если, например, в решении (9.11) принять ф = 0, то получим простое решение вида

« = Ду<р.(9.17)

На основании первого уравнения (9.14) функция <р является 226

гармонической; кроме того из третьего уравнения (9.14) следует, что решение (9.17) годно для случая, когда отсутствуют массовые силы.

Из (9.17) найдем, что

div к=Л div ?у=Лд<р=О.

Таким образом, для простого решения вида (9.17) объемная деформация тождественно равна нулю.

На основании формул (4.35) для решения вида (9.17) формулы тензора напряжений примут вид

(9.18)

VX^vX^

§ 76. Элементарные решения Буссинеска первого и второго рода

В этом параграфе из решения Кельвина мы получим решение для случая сосредоточенной силы F3. приложенной в начале координат к твердому телу и действующей в направлении оси х3.

Возьмем сколь угодно малую окрестность точки,приложения силы (простейшей особой точки), ограниченную плоскостями х^ = = ±2-е, и положим, что F = -^-; тогда из (9.7) и (9.8) найдем

= + (9.19) 4лр г3 4лр \ г3 г3 У

Подставля (9.19) в (9.4), получим

Ду 4^—=0: дф+-^+Z2^=0.

1 4л(Х + 2рО г3т 1 4лр. \1 г3 г3 /

Так как д(—'1=——л, то последние уравнения можно записать \ г /

в виде д fy—)=о, \ 8л (X + 2^ь) /"У

ДД —8л^ \ г г /] —8л^ \ г г /]

Д

Д

—

8л^ \ г г /]

—

8л^ \ г г /]

Эти уравнения будут удовлетворены, если

откудаоткуда8л (X + 2ft)8л (X + 2ft)8л (X + 2ft) г *8л (X + 2ft) г *^1^3. х2х3 I . / 1——*2 —+Ц-^1^3. х2х3 I . / 1——*2 —+Ц-

откуда

откуда

8л (X + 2ft)

8л (X + 2ft)

8л (X + 2ft) г *

8л (X + 2ft) г *

^1^3. х2х3 I . / 1

——*2 —+Ц-

^1^3. х2х3 I . / 1

——*2 —+Ц-

/-3 + гЦ г г3/-3 + гЦ г г3г3г3rot ф =—— L ^1Хз т 8л^ L г3

/-3 + гЦ г г3

/-3 + гЦ г г3

г3

г3

Подставив эти выражения в формулу (9.1), найдем

. z{920)

8^л (1 + 2^) L 1 г3 гз 3 г* т 1 + р г / J

Формула (9.20), полученная из решения Кельвина как частный пример, впервые выведена Буссинеском и названа им элементарным решением первого рода.

На основании (9.20) из формул закона Гука для шести компонентов тензора напряжений имеем следующие соотношения:

где в=^±^_

решениерешение4л(Х + 2н)

решение

решение

Элементарным решением второго рода называется (9.17), в котором гармоническая функция ф равна

ф=А1п(г+х3).

Тогда

а=А£<, ц—а^ !ц=А—.(9.22)

1 г(хз + г) 2 г(хз + г)г 4'

На основании формул (9.18) найдем

°и°ии22 = 2рЛи22 = 2рЛ,2х2 + х3Г3 (^з + Г)*1 + *|,2х2 + х3Г3 (^з + Г)*1 + *|.2.2^2^2Г^з + г) г2(л3 + г)2 '’Г^з + г) г2(л3 + г)2 '’(9.23)(9.23)

°и

°и

и22 = 2рЛ

и22 = 2рЛ

,2

х2 + х3

Г3 (^з + Г)

*1 + *|

,2

х2 + х3

Г3 (^з + Г)

*1 + *|

.2

.2

^2

^2

Г^з + г) г2(л3 + г)2 '’

Г^з + г) г2(л3 + г)2 '’

(9.23)

(9.23)

Озз=-2М^, б12=-2рА^1^±^1

33гз ’12 г ^(х3Ч-г)2

°2з= — 2рД^ , o3i= — 2рА

Компоненты вектора напряжения, действующего на площадку, проходящую через данную точку, перпендикулярную к радиусу-вектору г , на основании формул (2.22) с учетом (9.23), а также с учетом того, что cos (г, х*)=-^- , будут

^"^^Тр т„—^-^"^^Тр т„—^-(9.24)(9.24)

^"^^Тр т„—^-

^"^^Тр т„—^-

(9.24)

(9.24)

Опишем из особой точки — начала координат — сферу радиуса «>0 и рассмотрим ее часть, расположенную в области х3>0. На основании формул (9.24) без вычислений можно утверждать, что главный момент всех сил, действующих на поверхности полусферы, и проекции главного вектора этих сил на оси X] и х3 равны нулю, а проекция главного вектора на ось х3 равна

^?з = f ^гз^= — ^"^ f^«>=—4лМ-

Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на поверхности полусферы, направлена вдоль оси х3 и имеет величину

(9.25)(9.25)/?э= — 4л рД.

(9.25)

(9.25)

Таким образом, начало координат представляет собой простой тип изолированной особой точки, в которой приложена сосредоточенная сила, направленная вдоль оси ох3 и имеющая величину F3 = = 2/?3= —8лцЛ.

§ 77. Давление на поверхность полубесконечного тела

Чтобы найти поле тензора напряжений в теле, занимающем полупространство хз>0, подверженное воздействию сосредоточенной силы 7*, приложенной нормально к плоской границе Х)Х$ этого тела, воспользуемся результатами предыдущих параграфов. Перенесем начало координат в точку приложения этой силы.

Возьмем решение уравнения (9.3) в виде суммы решений (9.20) и (9.22). Тогда

1 8л(Х + 2р)р г3 Т г(х3 + г) ’

и =.. а-ьи) ^31 А.—52—,9 26)

8л(Х + аднг3 1 r(x3 + r) ’k 7

ц _ (X + р) F3Xg х + 3ft 1| I

8л(Х + %0рг3 "Г Х + р гг "

Эти соотношения представляют решение уравнения (9.3) всюду, за исключением точки приложения силы Г,

Постараемся определить величины F3 и А таким образом, чтобы на границе х3 = 0 были выполнены условия отсутствия внешних сил, т. е. Тзз = Tai = Г32 = 0; отсюда

а33 = з31 = а32 = 0,(9.27)

и на основании законов статики в точке приложения силы

Т = -^- + 4лМ-(9.28)

Учитывая формулы (9.21) и (9.23), из (9.27) получим

«31 =«31 =2*12*133«32—«32—г» [ 8л (X 4- 2р)^EL [1Г^2 гЗ г [ 8л (X + 2р)г» [ 8л (X 4- 2р)^EL [1Г^2 гЗ г [ 8л (X + 2р)о, «33—0;о, «33—0;

«31 =

«31 =

2*1

2*1

3

3

«32—

«32—

г» [ 8л (X 4- 2р)

^EL [1Г^2 гЗ г [ 8л (X + 2р)

г» [ 8л (X 4- 2р)

^EL [1Г^2 гЗ г [ 8л (X + 2р)

о, «33—0;

о, «33—0;

откудаоткуда(9.29)(9.29)(9.30)(9.30)«п =«п =Тлэ 2лг3Тлэ 2лг3X 4- р] 2я (X -|- р) г3 (г -|- л3)X 4- р] 2я (X -|- р) г3 (г -|- л3)г2(г4-л3р]’г2(г4-л3р]’«22 —«22 — 71 хз2ягЗ 71 хз2ягЗГз1 —^ Х1 +-^зL \г/ X 4-hJ 2л(Х4-р) [г3(г4-л3)Гз1 —^ Х1 +-^зL \г/ X 4-hJ 2л(Х4-р) [г3(г4-л3)г3(г4-л3)2г3(г4-л3)2

откуда

откуда

(9.29)

(9.29)

(9.30)

(9.30)

«п =

«п =

Тлэ 2лг3

Тлэ 2лг3

X 4- р] 2я (X -|- р) г3 (г -|- л3)

X 4- р] 2я (X -|- р) г3 (г -|- л3)

г2(г4-л3р]’

г2(г4-л3р]’

«22 —

«22 —

71 хз

2ягЗ

71 хз

2ягЗ

Гз1 —^ Х1 +-^з

L \г/ X 4-hJ 2л(Х4-р) [г3(г4-л3)

Гз1 —^ Х1 +-^з

L \г/ X 4-hJ 2л(Х4-р) [г3(г4-л3)

г3(г4-л3)2

г3(г4-л3)2

1

8л (X + 2р)

Таким образом, для определения Гз и Д мы получили два уравнения (9.28) и (9.29), из которых находим

F = 2^ + 2ц)7Л = _г

3 Х+н ’4л(Х + н) '

Подставляя полученные значения Fa и А в формулы (9.26), найдем формулы Буссинеска

ы 7*1*з7Xi

1 4лрг34л(Х-рр) г(х3 + г)’

7 х2х3Т

4лрл34л(Х+рО г(л3 + с)

У^ 7 ^з ।7 (X + 2р)1

4пр /-з 4лр. (X 4- р) г

Решения (9.30) дают значения перемещений во всех точках упругого тела, достаточно удаленных от точки приложения силы Т .

В точках границы 0x^2, где х3 = 0, величины перемещений определятся по формулам

4л (X + р) г'1 ’

„ 7 (X 4-2р) 1

4лр (X 4- р) г

2 ।2

где г= к Х1Н-Х2.

Внося значения f3 и Д в формулы (9.21) и (9.23) для определения поля тензора напряжений в рассматриваемом полупростран

стве, получим

^з Г3 / *з у ।1 I*3

2лг3 [ \ r ) X + н J" 2л (X + и) <3 *

_ ЭТхус^хз ixyc2 (x3 + 2r)

2лг5 2л (X + fi) г3 (г + л3Я *

2лг3 [ \ г )X + [1. 2л (X + и) г3 ’

2лг3\ г jX Ч- 2л (X + fi) г3

Пусть ?(£, т]) является интенсивностью силы, распределенной по некоторой площади <о граничной плоскости охус2 полупространства, На элементарной площадке d^d-ц будет действовать сила

dT — q^, 4)d^d4

и на основании решения (9.30) перемещения будут

«г«г„ 1 Г/*1*з4nft J \ г1„ 1 Г/*1*з4nft J \ г1Г^ z ^ J ^ (5- 1D^11>

«г

«г

„ 1 Г/*1*з4nft J \ г1

„ 1 Г/*1*з4nft J \ г1

(9.32)(9.32)X + fi Г (^3 + г)/

(9.32)

(9.32)

«2«2= ^_ (V^lItS—W, n)tif^n»

«2

«2

4л[1 J \ г3 X + fi г (^з + г)/

“з=“з=q (Е, *1) d^.q (Е, *1) d^.

“з=

“з=

q (Е, *1) d^.

q (Е, *1) d^.

где г=У(^i - Е)2- Ч)3 + Я

Здесь 5, q— координаты точки приложения силы dT^ xi, Ха, х3 — координаты точки, в которой ищутся перемещения иь и2, и3.

Перемещение по оси х3 любой точки границы ох1х2 согласно

равно

Ы1П = 6 С 9 (£- ^^т],(9.33)

j V (х,-^ + (х2-^

где 6=—.

4nfx (X + fi)

§ 78. Задача Герца о давлениидвух соприкасающихся тел

Допустим, что два однородных изотропных тела 1 и 2 с различными упругими постоянными соприкасаются в точке о, которую примем за начало прямоугольной декартовой системы координат Х]Х2х3. Расположим оси охь ох2 в плоскости, касательной к обоим телам в точке о, а оси х^о, хэ(2) совместим соответственно с внутренними нормалями поверхностей этих тел (рис. 40). Относительно этих систем координат уравнения поверхностей соприкасающихся

тел до их деформации будут

хГ^ЛСхр х2), хР=/2(хр х,).(9.34)

Уравнения (9.34) поверхностей тел вблизи точки их касания о (точка о предполагается регулярной) с достаточной степенью точности можно представить в виде

„(П АЗ„(П АЗ_ 1 ^i02 dx2_ 1 ^i02 dx20,0дх20,0дх20.0^^0.0^^0,00,0„(2) Лз„(2) Лз_ 1 ^2). 1 «М^2 djcI 0,0 12 д4_ 1 ^2). 1 «М^2 djcI 0,0 12 д40,0^*^20,0^*^2XjXj.[0,0XjXj.[0,0

„(П АЗ

„(П АЗ

_ 1 ^i0

2 dx2

_ 1 ^i0

2 dx2

0,0дх2

0,0дх2

0.0^^

0.0^^

0,0

0,0

„(2) Лз

„(2) Лз

_ 1 ^2). 1 «М^

2 djcI 0,0 12 д4

_ 1 ^2). 1 «М^

2 djcI 0,0 12 д4

0,0^*^2

0,0^*^2

XjXj.

[0,0

XjXj.

[0,0

Расстояние между двумя точками Af। и Ms соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к касательной плоскости ОХ]Х2, определится, согласно последним соотношениям, формулой хГ’ + л^1 = (Л,+ Д^-НЯ^ 52);ci-H^i + Н^ х^. (9.35)

Здесь введены следующие обозначения:

2 М 0,022 д4 0,0

12 д4 0,0

]&х^

5- ; Н, = ^— ; /У2 = ——

2 М оо <^1^2 о о дххдх2£ Ue UVjU

Квадратичная форма (Л] + Л2)Х12+ (Bl + S2)x22+ (Hv-VH^Xtx2, определяющая расстояние между указанными точками Мх и М^, должна быть положительной при любом выборе осей хх и х2, и мы можем оси выбрать так, чтобы коэффициент Hx-vH^ обращался в нуль. Тогда, введя обозначения Л = Л]+Л2, B = BX + B2, будем иметь

х^ + Д2* = Лх2-{- BxV(9.36)

Рис. 40Рис. 40Следовательно, коэффициенты Л и В будут положительными.

Рис. 40

Рис. 40

Обозначим через Т?^') и R^ главные радиусы кривизны в точке касания для первого тела, а через Rt^ и RiP>— для второго тела. Если считать их положительными, то

2Л2Л2В =2В =—+ —.

2Л

2Л

2В =

2В =

/?Р> R^

R^ R£>

Из (9.36) делаем вывод, что кривые равных расстояний между двумя точками обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к касательной плоскости 0X1X2, будут концентрическими эллипсами. _

Допустим, что оба тела прижаты друг к другу силой Т, направленной по нормали к касательной плоскости oxtx2 в точке о, тогда вблизи этой точки тела будут соприкасаться по малой поверхности. Эта поверхность называется поверхностью давления, а ее контур — контуром давления. Проекцию поверхности давления на касательную плоскость oxix2 называют областью контакта. Можно с достаточной степенью точности допустить, что тела при сжатии приходят в соприкосновение в точках, лежащих до деформации на одной нормали к плоскости oxix2. Тогда из (9.36) видно, что поверхность давления имеет эллиптическое очертание.

В результате сжатия двух тел любые две точки, лежащие на осях x3W и х3<2> на столь больших расстояниях от точки о, что деформациями в них можно пренебречь, сблизятся на некоторую величину а, равную сумме перемещений изо(1> и Мзо|2) точки о.

Обозначим через u$(1) и ц,(2) соответственно перемещения точек обеих соприкасающихся поверхностей, лежащих на одной нормали к плоскости ОХ]Х2 в направлениях осей ох3<9 и 0Х3Ф. Расстояние между двумя такими точками уменьшится на величину, равную а — (нз^+из*2)). Таким образом, для всех точек поверхности давления имеет место соотношение

х^+а^+^Ч^^^(9.37)

а для точек вне поверхности давления должно быть

Учитывая соотношение (9.36) в формуле (9.37), найдем

4°+42)=а-Ах1-ВЯ(9.38)

Для определения упругих перемещений и напряжений в области контакта обоих тел будем считать, что поверхность давления очень мала и оба тела можно заменить полупространствами. На эти полупространства по области контакта о> действует нормальное давление ?(^, ri); силами трения по поверхности давления будем пренебрегать, т. е. будем считать, что касательные напряжения в области контакта отсутствуют.

Используя в (9.38) формулу (9.33), получим

j ^L3L^t|=(a — Лх?~ &$ (6,4-82)-!,(9.39)

здесь 6,=- +14+2,12—Р-1 и Рг-УП-

4яН (^1 + Hl)4nji2 (Х2 + to)

ругие постоянные Ляме соответственно первого и второго тел; А и В суть известные положительные величины, определяемые по формам соприкасающихся поверхностей.

Итак, решение контактной задачи Герца сводится к определению давления 9(£, г]), сближения тел о, а также размеров и формы области контакта о>. В уравнении (9.39) значение сходящегося несобственного интеграла представляет собой потенциал простого слоя распределенного с плотностью q(^ rj) по области контакта. Этот потенциал в точках области контакта, согласно (9.39), представляет квадратичную функцию координат. С другой стороны, известно, что потенциал во внутренних точках однородного эллипсоида

<р = лйбср<р = лйбср«2 + X № + X с2 4- X«2 + X № + X с2 4- Xявляется квадратичной функцией координат точки и имеет вид

<р = лйбср

<р = лйбср

«2 + X № + X с2 4- X

«2 + X № + X с2 4- X

[(с2 + Х) (62 + X)(c5 4-X)}Vt

Сопоставляя эти факты, Герц заключает, что правая часть формулы (9.39) может быть принята за потенциал однородного эллипсоида, толщина которого в направлении оси ох^ стремится к нулю (с^-0), а плотность р пропорционально возрастает, так что масса эллипсоида остается неизменной. Тогда область контакта о — эллипс, в который вырождается эллипсоид при с-^0, и имеет место соотношение

=лаЬ Нт (ср)=лаЬ Нт (ср)д2 4- X 62 4- хд2 4- X 62 4- х{(a2 4-X)(62 + X)X]V-{(a2 4-X)(62 + X)X]V-(9.40)(9.40)

=лаЬ Нт (ср)

=лаЬ Нт (ср)

д2 4- X 62 4- х

д2 4- X 62 4- х

{(a2 4-X)(62 + X)X]V-

{(a2 4-X)(62 + X)X]V-

(9.40)

(9.40)

Плотность простого слоя 9(|, т]) будет равна массе, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой

т. е. для контактных давлений получим

(9.41)(9.41)9(5, Ч)=211ш (ср) к/”

(9.41)

(9.41)

Сила Т, прижимающая тела, на основании законов статики может быть получена, очевидно, как равнодействующая всех усилий 9(|, t]) по области контакта а. Следовательно, по величине она равна массе всего эллипсоида, т. е.

4

(9.42)(9.42)T=—nab lim(cp).

(9.42)

(9.42)

Исключая теперь из формул (9.41) и (9.42) величину 11m (ср), окончательно получим

^)T|)=-”L1/ 1—(9.43)

Из равенства (9.40) находим

(9.45)(9.46)(9.45)(9.46)А =— Т (0, + 03) f,4J (а2 + Х)7«[(62 + Х)Х]7*

(9.45)

(9.46)

(9.45)

(9.46)

— Г № f

4J (бг + х/^КаЗ + Х)^]7’

а=Л Т ^-НЛ4Jоа=Л Т ^-НЛ4JоdX

а=Л Т ^-НЛ

4J

о

а=Л Т ^-НЛ

4J

о

[(а2 + Х)(62 + Х) X]7*

Определив из первых двух уравнений полуоси о и 6, из третьего уравнения найдем а. В общем случае определение а, 6 и а связано с вычислением эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода. Если оба соприкасающихся тела являются шарами, то вычисления упрощаются. В этом случае Л =£=—-(1), где R\ и

2 \/?i Rs /

/?2—радиусы шаров. Учитывая, что А = В, на основании формул (9.44) и (9.45) имеем а = Ь (поверхность давления — круг); следовательно, формула (9.44) примет вид

37(61 + 62) Г dX

4(а2 + Х)2Х71 '

Обозначив X = a2tg2<p, найдем

■37(6i + Со n

Л =——— 1 2cos2yrf<p или

ОтсюдаОтсюда1 М , 1 ХЗГ^! + 62)Л2 U1 "^«2/ 8дЗ1 М , 1 ХЗГ^! + 62)Л2 U1 "^«2/ 8дЗ(9.47)(9.47)

Отсюда

Отсюда

1 М , 1 ХЗГ^! + 62)Л

2 U1 "^«2/ 8дЗ

1 М , 1 ХЗГ^! + 62)Л

2 U1 "^«2/ 8дЗ

(9.47)

(9.47)

т. е. радиус круга давления пропорционалем кубическому корню из силы Т.

Из формул (9.43) и (9.46) соответственно имеем

<?^=(9.48)

zna4

тг/2

или

°(9Л9>

Р 10\ Al А2 /

В случае двух одинаковых шаров имеют место равенства

R\=Ri = R> e1=t,2=e.

Тогда на основании формул (9.47) и (9.49) будем иметь

Л1 / 9Л282Т2

У 4V 2R

Если второе тело представляет собой полупространство (/?г= — oo), то

»=3|/^^-^(Qi+^^i,а=|/^г^+^2-

При вдавливании силой Т упругого шара в абсолютно жесткую плоскость (62=0) имеем

a=V-тп6№'

V 4у Iwi

Давление q^, ц) определяется во всех этих случаях по формуле (9.48).*

§ 79. Симметричная деформация тела вращения

Пусть тело, представляющее собой тело вращения около оси хз, деформируется под действием поверхностных сил (массовые силы отсутствуют) симметрично относительно этой оси вращения. Тогда перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости, проходящей через ось х3, будет равно нулю, а две другие проекции и, и «з не будут зависеть от полярного угла <р. Для решения этой задачи удобно пользоваться цилиндрическими координатами г, <р, х3. Компоненты симметрического тензора деформаций в цилиндрической системе координат, согласно формулам (3.29), будут иметь вид

диг „ аг „

” дг '^ г '" дх4 '

^-Н-^г+т;?")' ^=^=°-(9»»

Подставим (9.50) в формулы закона Гука и выразим коэффициенты Ляме X н и через Е и у; тогда будем иметь

о,о,vEvE1 — у диг । иг1 — у диг । иг(1 + v) (1 —2v)[ v дг vE Г диг । 1 — v иг(1 + v) (1 —2v)[ v дг vE Г диг । 1 — v игI 6м3 1Г d*3 J *I 6м3 1Г d*3 J *Если положитьЕсли положить(l+y)(l-2v)мВ(l+y)(l-2v)мВЗзэ (1 4-у) {1 — 2у)[ д.Е а , = 2(1-hv)Ззэ (1 4-у) {1 — 2у)[ д.Е а , = 2(1-hv)и,и,VVиг । 1 — у диа г у дхаиг । 1 — у диа г у дха«з«зЕЕ4- у 62фЕ дгдха ’,)ДФ + ^+А2*' дг^~ г дг4- у 62фЕ дгдха ’,)ДФ + ^+А2*' дг^~ г дг(9.51)(9.51)(9.52)(9.52)

о,

о,

vE

vE

1 — у диг । иг

1 — у диг । иг

(1 + v) (1 —2v)[ v дг vE Г диг । 1 — v иг

(1 + v) (1 —2v)[ v дг vE Г диг । 1 — v иг

I 6м3 1

Г d*3 J *

I 6м3 1

Г d*3 J *

Если положить

Если положить

(l+y)(l-2v)мВ

(l+y)(l-2v)мВ

Ззэ (1 4-у) {1 — 2у)[ д.

Е а , = 2(1-hv)

Ззэ (1 4-у) {1 — 2у)[ д.

Е а , = 2(1-hv)

и,

и,

V

V

иг । 1 — у диа г у дха

иг । 1 — у диа г у дха

«з

«з

Е

Е

4- у 62ф

Е дгдха ’

,)ДФ + ^+А2*

' дг^~ г дг

4- у 62ф

Е дгдха ’

,)ДФ + ^+А2*

' дг^~ г дг

(9.51)

(9.51)

(9.52)

(9.52)

то формулы (9.51) примут вид

а,а,°w°w=—— /удф6*э X— -। у ^^ ^Рдха \=—— /удф6*э X— -। у ^^ ^Рдха \ддЗзз = ^ <2-^ДФЗзз = ^ <2-^ДФд0,3 ~ дгд0,3 ~ дг(1 — v) дФ(1 — v) дФ^Ф \дг^ / *1 дФ \г дг ) *д^Ф "62ф "6*3^Ф \дг^ / *1 дФ \г дг ) *д^Ф "62ф "6*3(9.53)(9.53)где Д=—дг*где Д=—дг*д2 . 1 дд2 . 1 ддгдг• Ф (г, *э) — функция напряжений. 6*1• Ф (г, *э) — функция напряжений. 6*1Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид .Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид .д2 . J д_ dri г дгд2 . J д_ dri г дг2Ф = О.2Ф = О.(9.54)(9.54)

а,

а,

°w

°w

=—— /удф6*э X

— -। у ^^ ^Р

дха \

=—— /удф6*э X

— -। у ^^ ^Р

дха \

д

д

Ззз = ^ <2-^ДФ

Ззз = ^ <2-^ДФ

д

0,3 ~ дг

д

0,3 ~ дг

(1 — v) дФ

(1 — v) дФ

^Ф \

дг^ / *

1 дФ \

г дг ) *

д^Ф "

62ф "

6*3

^Ф \

дг^ / *

1 дФ \

г дг ) *

д^Ф "

62ф "

6*3

(9.53)

(9.53)

где Д=—

дг*

где Д=—

дг*

д2 . 1 д

д2 . 1 д

дг

дг

• Ф (г, *э) — функция напряжений. 6*1

• Ф (г, *э) — функция напряжений. 6*1

Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид .

Функции (9.53) тождественно удовлетворяют первым двум дифференциальным уравнениям равновесия (2.30), а третье уравнение принимает вид .

д2 . J д_ dri г дг

д2 . J д_ dri г дг

2Ф = О.

2Ф = О.

(9.54)

(9.54)

При этом условии функции (9.53) тождественно удовлетворяют уравнениям совместности (5.37), Таким образом, задача симметричной деформации тела вращения сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям.

Приведем решение задачи о симметричной деформации сплошного круглого цилиндра, возникшей под действием сил, приложенных на его боковой поверхности и симметрично распределенных

относительно его оси. Для решения этой задачи определим из уравнения (9.54) функцию напряжений Ф. Очевидно, решение уравнения

(9.55)(9.55)^Ф . 1 № , Й2ф

(9.55)

(9.55)

будет также решением уравнения (9.54). Это решение можно взять в виде

(9.56)(9.56)Ф* = Ф, (г) sin Аха.

(9.56)

(9.56)

Тогда из уравнения (9.55) для функции Ф] (г) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

(9.57)(9.57)-^- _|_ A _^5l _ д2ф1 = оdr^ г dr

(9.57)

(9.57)

Учитывая, что одно из фундаментальных решений уравнения (9.57) обращается в бесконечность при г = 0, будем интересоваться ограниченным решением, которое имеет вид

Ф1=г/1 +-^+_^_}—. V (9.58)

*\2222.4222.42.62 1/7

Ряд в скобках выражения (9.58) называется бесселевой функцией нулевого порядка с мнимым аргументом (Дг) и обозначается символом ЬЦ^У тогда вместо (9.56) будем иметь

Ф* = с1/0(/Дг) sin кху(9.59)

Производная от бесселевой функции по мнимому аргументу ^ikr^ с отрицательным знаком называется бесселевой функцией первого порядка и обозначается символом 1\Цкгу Непосредственной проверкой легко установить, что имеет место соотношение

К + — Ф, (г) = 2AV0 Цкгу

\dr^ 1 г dr ) м

если

^2(r) = r~~' Л(^г) = — ikrlx(ikry

Учитывая, что функция 1оУкг) является решением уравнения (9.57), придем к заключению, что функция ф2(г) является решением уравнения

—— -^Y-^-+—--*2ф ) = 0.

\dr2™ г dr Л dr^ г dr

Следовательно, решение уравнения (9.54) можно представить в виде

ф**=c^krl, (г Аг) sin кха.(9.60)

Таким образом, на основании (9.59) и (9.60), функцию напряжений можно представить в виде

Ф = [с1/о(г£г) + с2^гЛО*г)] s’n йх3.(9.61)

Подставив эту функцию напряжений Ф в формулы (9.52), найдем компоненты тензора напряжений; например, для Огг и Огз будем иметь

°„ = kill (г) + с^г (r)Jcos

(9.62) «г3 = 1^1:3 И + ^4 (г)1 sin kxa,

где фИг), ф2(г), фз(г), ф<(г) — вполне определенные функции, выраженные через Ш/кг) и Л0‘Аг), которые здесь не приводятся.

На основании (9.62) граничные условия на боковой поверхности цилиндра будут

Лг = Ml (Я) + С2ф2 У?)] COS ^з»„

(9.63) Лз = к1Фа (Я) + с2ф4 W)1 sin kxa.

Соответствующим подбором ПОСТОЯННЫХ k, Cl, с2 можно изучить различные случаи симметричной относительно оси цилиндра нагрузки, действующей на его боковой поверхности. Например, для случая, когда на боковую поверхность цилиндра действуют нор- nitx-i. птс»

мальные давления pncos—и касательные силы qn sin —-—, и когда й=-^- (^ длина цилиндра), из формул (9.63) найдем

^AW + c^ (/?)=— р„,

(9.64) С1Фз(^)+С2Ф4(^) = ?п-

Отсюда получим значения постоянных С] и с2. Если решение уравнения (9.54) взять в виде

Ф =[с3/0(/йг) -|- c4ikrll (/Йг)] cos йх3,(9.65)

то соответствующим подбором постоянных Сз, c^1 й получим решение задачи, когда на боковую поверхность цилиндра действуют

. пЯ-СалЛагч

нормальные давления^ sin —и касательные силы ^„cos

Таким образом, комбинируя решения (9.61) и (9.65) и пользуясь принципом сложения действия сил, мы можем получить любое симметричное относительно оси цилиндра распределение нормальных и касательных сил на его боковой поверхности. При этом на торцах цилиндра могут возникнуть некоторые силы, распределенные симметрично относительно оси цилиндра. Налагая на эти силы осевую растягивающую или сжимающую силу, всегда можем добиться того, чтобы равнодействующая всех сил обращалась в нуль. Согласно принципу Сен-Венана влиянием этих сил на напряженное состояние на некотором расстоянии от торцов можно пренебречь.

Теперь рассмотрим задачу об изгибе круглой пластинки постоянной толщины.

Известно, что в сферической системе координат в случае осевой симметрии бигар ионическое уравнение таково

/ 622 6 . 1.. д . 1 62 \2

— СФФ] Ф = 0.(9.66)

1 8R2 ’ R 8R ' №S Т 6ф ' ^ 6ф2)

Рассмотрим сначала уравнение Лапласа / 62 .2 6 . 1. , 8 . 1 62 \

стгФ)Ф=и (9.67)

\ дй2 ' R dR ’ Ri 6ф ' Ri17

и найдем его частные решения в виде

Ф«№ *)=W№,(9.68)

где п — целое положительное число.

Подставим (9.67) в (9.68), тогда

+ ctg Ф + л (я + 1) Ф„=0.(9.69)

Замена независимой переменной т]=созф приводит уравнение (9.69) к уравнению Лежандра

(1 -П2)-2П+ „ (л +1) Ф„=0,(9.70)

решение которого ищем в виде многочлена

фХФ)=^я+й2'9'1~2+л.з'г1''_4 + • • • +лгПл~2’’+г +...

Подставив это выражение в уравнение (9.70), Найдем

[«(л - 1) Д1 + 2 (2л - 1) а2] Л-’Ч ...+Цд (л +1) - (л - 2г+2) X

X (л — 2г + 3)]л, + (л — 2г4-4)(/г-2г + 3)а^1) X

х*пл-2г+2=о.

Отсюда

(г = 2, 3,...).(г = 2, 3,...). (п — 2г + 4) (л — 2г + 3) 2(г— 1)(2п —2г + 3) ат"

(г = 2, 3,...).

(г = 2, 3,...).

Следовательно,

фя(Ф)=в! h*-фя(Ф)=в! h*-П (п — 1)2(2n — 1)П (п — 1)2(2n — 1)Г1Л-24Г1Л-24л (п — 1)(п —2)(п —3)n-<2.4 (2л— 1)(2л— 3)л (п — 1)(п —2)(п —3)n-<2.4 (2л— 1)(2л— 3)

фя(Ф)=в! h*-

фя(Ф)=в! h*-

П (п — 1)2(2n — 1)

П (п — 1)2(2n — 1)

Г1Л-24

Г1Л-24

л (п — 1)(п —2)(п —3)n-<

2.4 (2л— 1)(2л— 3)

л (п — 1)(п —2)(п —3)n-<

2.4 (2л— 1)(2л— 3)

Подставим это решение в (9.68). Учитывая, что

t] = cosO=^-, Rt] = cosO=^-, RR-V^-\-4R-V^-\-4

t] = cosO=^-, R

t] = cosO=^-, R

R-V^-\-4

R-V^-\-4

при n = 0, 1, 2,..., получим следующие решения уравнения (9.67):фо= Аи

Ф1=Ах3,

Ф3 = Л3 [хз—--(г2 4*4)1 *

(9.71) ф3=ла [4 —|- х3(Г! 4-4) j,

ф<=л.фгз—у- 4 (г2 4-4) 4—^- (г24-4)2] •

Здесь Ло, Ль ... — неизвестные постоянные коэффициенты. Эти решения являются, очевидно, также решениями уравнения (9.66).

Если ЯпФп(ф) является решением уравнения (9.67), то легко установить, что £п+2Фп(ф) является решением уравнения (9.66). Действительно,

/А—l А А—[—L ctg —4—L А4 ^+2ф (ф)=

\ Я dR R2 ё дф Я2 ^ф2 A W

=2(2«4-3)W№).

Подставим последнее соотношение в уравнение (9.66), тогда, учитывая, что 7?пФп(ф) является решением уравнения (9.67), будем иметь

/ аг , 2 д г 1 < t , 1 аг

\д№ + Я dR + Я2 С S$ дф Я2 <?ф2)4Ф)—

=2 (2л 4-3) f-^-4-Аctg ф_^_ 4-_L х

XWW=0.

Следовательно, умножением решений (9.71) на Я2=г2+Хз2 получим решения уравнения (9.66), которые уже не будут решениями уравнения (9.67)

Фо* = So (г2 4-4),

Ф1*=51л:э(г24-4),

Фз = 52(2хз-г2)(г24-4),(9.72)

.Ф3*^й3(2хз3-Зг-х4(г2+4).

С помощью предыдущих решений рассмотрим различные случаи симметрично нагруженной круглой пластинки (рис. 41).

На основании (9.71) и (9.72) функцию напряжений Ф(г, х3) представим в виде полинома третьей степени

ф (г, Хз)=а3 (24 - Зг2х3) 4-63 (х! 4* г2хэ).(9.73)

Подставим эту функцию в формулы (9.53), тогда

=rrr=6a34-(I0v— 2)^,

(9.74)(9.74)Оур — 6<za -}- (10v2) byвзэ= — 12aa+(14— lOv)^,,=,$=0.

(9.74)

(9.74)

Рис. 41Рис. 41Таким образом, для функции напряжений (9.73) компоненты тензора напряжений являются постоянными по всей пластинке. Постоянные «з и 63 определятся, если на торцах и боковой поверхности пластинки соответственно заданы равномерно распределенные <Тзз=7'зз И Сгт=1'гг.

Рис. 41

Рис. 41

Теперь при помощи (9.71) и (9.72) функцию напряжений

представим в виде

ф (г, Лз) =а4 (8x1 - 24г2х1+Зг4) 4- Ь^ (2x1 + r2xl - г*).

На основании формул (9.53) получим

(9.74,а)(9.74,а)<f„=96a4x3-}-464(14v — 1)х3,=зз= — 192а4х3-{-864(8 —7v)x3

(9.74,а)

(9.74,а)

<$тг=96а4г — 464 (8 — 7v) г.

Если положить 96а4—4&4(8—7 v) =0, тогда

азз=агз=°- =„ = 28(l + v)64x3.

Постоянная Ь^ определится, если на боковой поверхности пластинки задано постоянное значение изгибающего момента Мт. Тогда

h.

^ orrx adXy=Mr.

Данное условие является интегральным, но согласно принципу Сен- Венана найденное напряженное состояние будет достаточно точным в точках, удаленных от боковой поверхности пластинки.

Из последнего соотношения найдем

56 (1 + м) №

Тогда

ЗЛ4,А

°ТГ— 9,3 -Y3f °33 ^гЗ— 0.

Это решение представляет чистый изгиб пластинки моментами, равномерно распределенными по ее боковой поверхности.

в) Исходя из (9.71) и (9.72), возьмем функцию напряжений

Ф (г, х8) =-L а6 (16x1 - 120x1^+90x1^ - 5г6) +

+ Ь6 (8хз - 16х1г= - 21х+4 + Зг6) + а4 (8xt - 24r=xl+Зг<).

Для этой функции напряжения таковы

«„=а6 (320x1 - 720г2хэ)+А6 [64 (2 + 1Ь) х?+

+ (504 - 48 • 22.) г2х3] + 96а4х3,

а33 = я6 (- 640x1+960г2х3) + Ь6 {[ - 960 + 320 -22(2- .)[ х! +

+ [384 - 48 • 22 (2 - v) ] г2х3} - 192я4х3,

»,3=а6 (960гх3 - 240г3) + 6е [(- 672 + 48 • 22.) х|г+

+ (432-12-22.) r3J+96a4r.

К напряжениям <тзз прибавим равномерное в направлении оси охэ растяжение оз/=6, тогда получим компоненты тензора напряжений, которые содержат четыре постоянных Яв, be, а4 и 6.

Пусть имеем граничные условия

а33=0 при х3=Л, ’зз= -Р ПРИ *з= -А. сгз=0 рри х3= + й, где р — интенсивность равномерной нагрузки. Подставив в эти граничные условия выражения тензора напряжений, определим постоянные Яе, Йе, я4 и Ь. Следовательно,

о 2 +. х3 3 (3 + у) г2х33 х3

" —8 Л» 32 АЗ 8 AJ

а . = ра(9.75)

4Л34 А 2 /

Напряжения стг на боковой поверхности пластинки дают изгибающие моменты Мг, равномерно распределенные по контуру.

Чтобы получить решение для свободно опертой пластинки, к компонентам тензора напряжений (9.75) прибавим напряжения чистого изгиба, и постоянную Ь4 определим так, чтобы на боковой поверхности г = а

h

Mr = ^ SjXadXg^O.(9.76)

Тогда

9rf—p

з 3 (3 + \) г2хэ 3 2 + л, х3 1 3(3+у) a^Xg

8 Л3

32 Л3 85 Л 32 Л3 /

(9-77)

Выполнение условия (9.76) означает, что приложение чистого изгиба устраняет изгибающие моменты Мг на боковой поверхности пластинки, при этом действуют напряжения стт равные

Рис 42

Л3 5 Л / *

Учитывая, что главный вектор и главный момент напряжений оГг равны нулю, на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что поле тензора напряжений будет достаточно точным в точках, удаленных от боковой поверхности.

Рассмотрим кручение тела вращения. Пусть к основаниям тела вращения (рис. 42) приложены заданные усилия, удовлетворяющие условиям равновесия абсолютно твердого тела и при-

Водящиеся к скручивающим парам. Массовые силы отсутствуют и боковая поверхность тела свободна от поверхностных сил.

Эту задачу решим в перемещениях в цилиндрических координатах, полагая, что иг=и3 = 0, а иф, благодаря осевой симметрии деформирования тела вращения, не будет зависеть от полярного угла Ф и будет функцией только г и х3. Так как ит = и^=0 и

из формул (3.29) находим

^гг = ^W = ^33 = ^Зг = О, _ I / ди^ tif х!

Иф = Кф(г, Х3),

дг

dus

2 дха

(9.78)

Подставим (9.78) в формулы закона Гука; тогда

агг О,Р? (ди

— ^Зз— ^Зг — О,

да

дх&

(9.79)

Учитывая, что компоненты <jrv и оФЗ также не зависят от угла ф и массовые силы отсутствуют, из уравнений (2.30) получим

дг дх3 " г

Последнему уравнению придадим вид

"57^"57^А-^=».Д^зА-^=».Д^з(9.80)(9.80)

"57^

"57^

А-^=».

Д^з

А-^=».

Д^з

(9.80)

(9.80)

(9.81)(9.81)Решение уравнения (9.80) будет 1 дФi аф

(9.81)

(9.81)

* г» 8r 4 г2 дх3

Здесь функция Ф(г, Хз), называемая функцией напряжений, определится из уравнений совместности.

Условия совместности деформаций (3.40) с учетом (9.79) для данной задачи примут вид

— / 1дг \ г дг— / 1дг \ г дг(г^)(г^)L^£^=oг2 дгдх3 'L^£^=oг2 дгдх3 'Ах|Ах|

— / 1

дг \ г дг

— / 1

дг \ г дг

(г^)

(г^)

L^£^=o

г2 дгдх3 '

L^£^=o

г2 дгдх3 '

Ах|

Ах|

С учетом (9.81) второе уравнение примет вид

А / А^ФАх3 \ дг2А / А^ФАх3 \ дг23 АФ . А^Ф \ _0 г дг дх?а )

А / А^Ф

Ах3 \ дг2

А / А^Ф

Ах3 \ дг2

Последнее удовлетворяется, если

(9.82)(9.82)А^Ф з_ АФ . _^Ф дг2 г дг ' д^

(9.82)

(9.82)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что при условии (9.82) первое уравнение удовлетворяется тождественно. Таким образом, условие совместности деформаций для данной задачи имеет вид (9.82). ■

Граничное условие для функции Ф определится из следующего рассуждения. В силу того, что боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, сумма проекций касательных напряжений о<рз и о<рг, действующих в точках границы осевого сечения на нормаль к границе (рис. 42), должна обращаться в нуль, т. е.

a^cosfn, г) 4-^ cos (л, х3) = 0. (9.83^

Согласно рис. 42 имеем

cos (п, г) = -^-; cos (л, лг3) — ,(9.84)

где dl — элемент дуги границы.

Подставляя (9.81) и (9.84) в граничное условие (9.83), найдем

АФ dx3 । АФ dr Эха di dr dl откуда ■= 0 или Ф = С.

Величина крутящего момента связана с функцией Ф соотношением #(Х1)ff(JTi)

ЛТ=2л J а3?г2^г = 2л j* ™—dr~2n 1Ф p?(x3), х3) — Ф(0, л3)). о»

(9.85)

Если тело вращения имеет форму конуса (рис. 43), то на поверхности его имеет место соотношение

—-^—-=cos а.(9.86)

Очевидно, любая функция аргумента, представляющего собой левую часть (9.86), будет величиной постоянной на поверхности конуса. Попытаемся функцию напряжений искать в виде

(9.87)(9.87)

(9.87)

(9.87)

где А, В, п — неизвестные постоянные.

На основании вышесказанного эта функция на поверхности конуса удовлетворяет условию Ф(г, х3) =const. Функция (9.87) удовлетворяет уравнению (9.82), если принять

В=—-; «=3.

3

Таким образом,

Постоянную А определяем из (9.85) А =ЗМ,

2л (2 — 3 cos а + cos3 а) '

Согласно формулам (9.81) касательные напряжения будут

§ 80. Температурные напряжения

Определим напряжения и деформации в полой сфере от воздействия стационарного температурного поля, когда на внутренней поверхности этой сферы поддерживается постоянная температура Та1 а на наружной — температура Ть- В данной задаче распределение всех искомых величин будет симметричным относительно центра сферы, т. е. все искомые величины будут зависеть только от радиуса г. Поэтому уравнение (5.13) и граничные условия (5.15) в сферической системе координат примут вид

_£_(r2^L\=o(9.88)

dr \ dr )

Т = Та при г = а,(9.89)

Т=ТЬ при г = Ь.

Решение задачи (9.88), (9.89) будет

7'=^-+5,(9.90)

где

—Т5—7——1~7" *

6 — ар — а \ о й /

В силу симметричности напряженного состояния относительно центра сферы, будем иметь

3Тф(Н = вфф (г), С^<р=Огф = в^'=0, Сг = сДг).

Тогда дифференциальное уравнение равновесия в силу (2.31) примет вид

-^^-1-2 *"~ ^ =0.(9.91)

drг

Для нашей задачи иф = нф=0 и uT = ut^, при этом из (3.32) найдем

е„=—, ew=ew=^-, ^,=^=^^=0.(9.92)

drг

Учитывая (9.92) в (4.56), будем иметь

а„=(И-2И)-^ + 2Х^-₽Г,

аГГ

(9.93)(9.93)OfP=^ = X-^+2(X+ri-^-PT,

(9.93)

(9.93)

drг

^ipT — ^ф^р — ®/ф — 0.

Подставим соотношения (9.93) в (9.91), тогда

d^ur . 2 duTdr2 г drd^ur . 2 duTdr2 г drЧаг dT"8 —Чаг dT"8 —

d^ur . 2 duTdr2 г dr

d^ur . 2 duTdr2 г dr

Чаг dT

"8 —

Чаг dT

"8 —

„I + Vгде g=—-—a, 1 — иили„I + Vгде g=—-—a, 1 — иилиdr Lr2dr Lr2d (r^ur)drd (r^ur)drdT drdT drИнтегрируя это уравнение, найдемИнтегрируя это уравнение, найдемaa(9.94)(9.94)Подставляя в это выражение функцию Г = Г(г) из (9.90), получим

„I + V

где g=—-—a, 1 — и

или

„I + V

где g=—-—a, 1 — и

или

dr Lr2

dr Lr2

d (r^ur)dr

d (r^ur)dr

dT dr

dT dr

Интегрируя это уравнение, найдем

Интегрируя это уравнение, найдем

a

a

(9.94)

(9.94)

+—• (9.95)

[ 232 г2 3 гй J 1 1 г2

Учитывая выражение (9.95) в (9.93), найдем

^(Х-^)^^(Х-^)^2с2 г32с2 г3+ 2аГ-^ + ^I 2г 3+ 2аГ-^ + ^I 2г 3Ag a22^Ag a22^2Bga3 ।2с2 IЗг3 1 г3 J2Bga3 ।2с2 IЗг3 1 г3 J! Ау» . 2B5<z3 ] _т* Лз I згз т I

^(Х-^)^

^(Х-^)^

2с2 г3

2с2 г3

+ 2аГ-^ + ^

I 2г 3

+ 2аГ-^ + ^

I 2г 3

Ag a2

2^

Ag a2

2^

2Bga3 ।2с2 I

Зг3 1 г3 J

2Bga3 ।2с2 I

Зг3 1 г3 J

т v Trq 2г т 32 г3 3 г3 ~ г3 J

Постоянные Ci и с2 определяются из граничных условий: 0^ = 0 при r=a и г=Ь.

Глава X

ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

§ 81. Два типа волн

Пуассоном впервые доказано существование в однородной изотропной среде двух типов волн; один из типов волн носит название волн сжатия — разрежения, другой — волн сдвига. Им было показано, что они характеризуются различными скоростями распространения фронта, а также тем, что в волнах сжатия — разрежения отсутствует вращение частиц, а сдвиговые волны не сопровождаются изменением объема.

Перейдем к доказательству существования двух типов волн. Будем рассматривать безграничную среду. Представим массовые силы F , действующие на эту среду, и поле перемещений и в виде

(10.1)(Ю.2)(10.1)(Ю.2)Г=уФ-|-го1Ф,а=v<p+rot ф.

(10.1)

(Ю.2)

(10.1)

(Ю.2)

Здесь Ф и ф —скалярные функции координат (хь х2, х3) и времени t, а Фиф — векторные функции координат и времени L

Из (10.2) следует

diva=Ay.(10.3)

Подставляя в уравнения движения упругой среды (5.5) выражения (10.1), (10.2), учитывая (10.3) и изменяя порядок дифференциальных операторов, получим

7^д?_^+ф]+го1|^ф_^^(10.4)

Здесь обозначено

4=Л+^.,(10.5)

рр

Легко видеть, что (10.4) будет удовлетворено, если положить

Лд<р—^=-Ф,(Ю.6)

е|дф—(10.7)

Таким образом, доказано, что векторное поле и, определяемое (10.2), является решением уравнения (5.5), если функции <р и ф

удовлетворяют (10.6) и (10.7), функция ф называется продольным потенциалом, а ф — поперечным потенциалом.

Возникает вопрос, есть ли у этих уравнений решения, которые нельзя представить в указанном нами виде. Можно показать, что таких решений нет. Отметим некоторые важные следствия.

Пусть Ф =0, а начальные условия таковы, что при t = to, ф = =0. Тогда для определения ф получается однородное уравнение (10.7) с нулевыми начальными условиями. Это означает, что ф=0 всегда; из уравнения (10.2) следует тогда, что и = Vф и rot» =0.

Это показывает, что в волне, описываемой функцией ф, не происходит вращение частиц среды, т. е. каждая из них движется поступательно. Поэтому такие волны называются продольными. Следует подчеркнуть еще раз, что если Ф =0 и в некоторый момент волновое поле имеет продольный характер, то оно остается продольным всегда, т. е. продольные волны в изотропной однородной и безграничной среде при своем распространении не генерируют поперечных.

Уравнение (10.6), описывающее продольные волны, является неоднородным волновым уравнением. Известно, что если функция Ф и начальные условия в конечной части пространства отличны от нуля, то поверхность, отделяющая возмущенную область от невозмущенной (фронт волны), распространяется в направлении своей нормали в сторону невозмущенной области со скоростью ct.

Пусть теперь Ф=0, а начальные условия таковы, что при f=#o, ф=0. Тогда ф^0 и а = го!ф В таком поле объемное расширение равно нулю. Действительно, diva = div rot ф =0.

Волны, обладающие таким свойством, называются поперечными или волнами сдвига. Поперечные волны, распространяясь в безграничной среде, не генерируют продольных волн. Скорость распространения фронта поперечных -волн равна Сг.

В однородной среде с границей продольные и поперечные волны распространяются независимо лишь до того момента, пока фронт не пересечет границу. Тогда образуются так называемые отраженные волны обоих типов, так как обычно системе граничных условий нельзя удовлетворить, введя отраженную волну какого-либо одного типа.

Рассмотрим несколько примеров.

Плоская продольная волна. Пусть массовые силы отсутствуют, поперечный потенциал ф тождественно равен нулю, а продольный потенциал ф зависит только от ац и t. Тогда уравнение (10.6) превращается в уравнение колебаний струны

2 д2у q

и имеет решение вида

<р = / (^ - с^} 4-g (^ + с^, (10.8) где f и g — произвольные, дважды дифференцируемые функции. 250

Первое слагаемое в (10.8) представляет волну постоянной формы, распространяющуюся со скоростью с, в положительном направлении оси хь а второе — волну постоянной формы, распространяющуюся в противоположном направлении.

Перемещение, соответствующее решению (10.8), на основе (10.2) будет

«1 ==/' (^1 - с^) 4-g’ (Xi + с^).(10.9)

Выражение (10.9) показывает, что на каждой плоскости, перпендикулярной к оси хь при фиксированном / при переходе от точки к точке волновое поле не меняется н параллельно оси хь Если направление распространения плоской волны не совпадает с осью Xi, то поле перемещений будет описываться более сложными формулами, хотя физическая картина останется той же. Выведем соответствующие формулы.

Пусть направление распространения плоских продольных волн п составляет с координатными осями углы, косинусы которых есть Пк. Обозначим через / расстояние, отсчитываемое вдоль прямой, параллельной направлению л. Для простоты рассмотрим волну, распространяющуюся в одном направлении. Подставляя вместо / его выражение 1=ХкПк (А=1, 2, 3), получим

Т = / V - Ctf) =J (ХкПк - С^)-

Из (10.2) для компонентов вектора перемещения получим

«, = л,/'(х^ —с^) (v=l, 2, 3).

Сферическая продольная волна. Рассмотрим случай, когда продольный потенциал ф в сферической системе координат зависит лишь от радиуса г и времени t. Поперечный потенциал ф вновь тождественно равен нулю. Массовые силы не действуют.

В этом случае в сферических координатах уравнение (10.6) принимает вид

б12? ।2 Др1_ <№?

Д/-2 г дгс2 ЙР■

или

Решение этого уравнения будет

rS=f^-C^g (Г +^), отсюда

^-^-/^-^H-^-glr+iV).(Ю.ю)

Первое слагаемое (10.10) представляет волну, расходящуюся от центра, а второе — волну, сходящуюся к центру.

Рассмотрим волну, расходящуюся от центра. Поскольку продольный потенциал ф зависит лишь от г и /, то в сферических координатах (г, ф, ф) отличной от нуля проекцией вектора « будет цг=-^г=-7/Чг-с^—1-/(г-^(10.11)

Выражение (10.11) указывает, что перемещение ит направлено строго по радиусу и не меняется при переходе от точки к точке, если они лежат на одной и той же сфере (при фиксированном времени).

Важно подчеркнуть, что при г, стремящемся к нулю, ит стремится к бесконечности, это же происходит с деформациями и напряжениями. Вообще говоря, уравнения Ляме не годятся для описания среды, испытывающей большие деформации. Но формально эти уравнения такие решения допускают и они пригодны и удобны для описания реальных процессов, когда г ограничено снизу. Пусть, например, упругая волна вызвана равномерным давлением, приложенным к поверхности сферической полости радиуса г0. Тогда формула (10.11) описывает решение в области г>го, и особенность при г-*-0 оказывается вне области, в которой ищется решение. В этом примере функция f, фигурирующая в формуле (10.11), легко определяется по заданному на полости давлению р=р(го, /).

Итак, решение (10.11) имеет особенность при г=0. Такая особенность называется центром расширения. Отметим, что в отличие от плоской волны, которая при распространении не меняет своей формы, сферическая волна свою форму меняет. В самом деле, коэффициенты — и — в формуле (10.1!) показывают, что амплитуды волны с изменением г меняются.

Плоская поперечная волна. Пусть снова массовые силы отсутствуют; продольный потенциал ф=0, а поперечный потенциал ф имеет лишь один отличный от нуля компонент фз, который зависит только от Xi и t. Тогда из (10.7) получаем

э Афз <^3 Q

Отсюда

Фз=/ (^i - <^) +g (^ + с^<

Для простоты будем рассматривать только волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Хр Для проекций вектора перемещения получим формулы'

й1=«3 = 0, И2= —/' (X, —£<Д

Здесь направление оси Xi — направление распространения волны. Однако, в отличие от плоской продольной волны, скорость ее распространения равна сг, а направление перемещения ее совпадает с направлением распространения волны, а перпендикулярно ему (в данном случае перемещение направлено вдоль оси х2).

Нетрудно убедиться, что объемное расширение в такой волне, как и в общем случае поперечной волны, равно нулю

div zz = -^^=0.

Согласно формулам (3.27) для компонентов тензора вращения частиц получим

Ш1=и>3=0, ш3=-1- /" (Xj - с^), т. е. частицы вращаются вдоль оси, параллельной оси хэ.

§ 82. Поверхностные волны Рэлея

Рассмотрим упругое полупространство. Начало координат поместим на его поверхности, ось Xi направим вдоль границы, ось Ха — в глубь среды (рис. 44). Предполагается, что объемные силы отсутствуют. Будем искать решение уравнений (10.6) и (10.7), которое не зависит от хз (плоская деформация), во времени меняется по синусоидальному закону, затухает с глубиной, а на границе хэ=0 удовлетворяет условиям Т21 = 722 = 0. Тогда при х2=0

«22 =«21=0.(10.12)

Это — задача о свободных колебаниях полупространства.

Решение попытаемся найти в виде

(? = J4e-a-f’+^<^-c') (а>0),(10.13)

^а=Ве~^+i^^ (р>0), ^,=^=0.

Здесь <7 — заданная частота. Постоянные а, 0, с (с — фазовая скорость), А, В должны быть подобраны так, чтобы (10.13) удовлетворяло уравнениям (10.6), (10.7) и граничным условиям (10.12).

Подставляя (10.13) в (10.6) и (10.7), после простых преобразований получим

,

,8

(10.14)

На основании решения (10.13) и формулы (10.2) найдем

#t=^iqAe"°-Xi — pSe-^) е1^*-^,

u^^^ — a.Ae-^i—iqBe-^^ е$^‘-с#\

Следовательно, вектор перемещения и находится в плоскостях, перпендикулярных К ОСИ Хз.

Перемещения на границе Xj = O будут

u^iqA-^e-W^-cO, «2= -(аА + ад^^). (10.15)

Пользуясь формулами для перемещения и законом Гука, нетрудно получить выражения для компонентов тензора напряжений на границе .

Чтобы удовлетворить граничным условиям (10.12), нужно поло

жить

(10.16)(10.16)

(10.16)

(10.16)

(10.17)(10.17)^^^-к^-лу (1 —А) (1 — уА)=0.^^^-к^-лу (1 —А) (1 — уА)=0.

(10.17)

(10.17)

^^^-к^-лу (1 —А) (1 — уА)=0.

^^^-к^-лу (1 —А) (1 — уА)=0.

Относительно А и В мы получили линейную однородную систему уравнений. Для того чтобы А и В были отличны от нуля, необходимо приравнять к нулю определитель R этой системы

или

где

2

6=4, у=4<1.2

С2Cj

Это уравнение определяет фазовую скорость с; важно подчеркнуть, что последняя не зависит от частоты q, а зависит лишь от отношения С^Су

Покажем, что c2<cs2. Действительно, полагая c = c^, получим /? = ]. С другой стороны, при с=0 имеем 7?=0, a R' =—2(1—у)<0. Отсюда следует, что уравнение (10.17) при любом значении — с2

имеет корень А= —< I (рис. 45). Можно показать, что на отрезке [0, 1] других корней нет (корень с=0, соответствующий нулевому решению, в расчет не принимаем). В частности, при Х=р., т. е.

при -^-=—^—, с =2/1^\ с2.

ci Уз V \ Уз /

Из (10.16) получаем

2е-^1 —2е-^1 ——\ е-®*1 4)—\ е-®*1 4)еШхх—со,еШхх—со,

2е-^1 —

2е-^1 —

—\ е-®*1 4)

—\ е-®*1 4)

еШхх—со,

еШхх—со,

где D — произвольная постоянная. Тогда

(2 \ ду

4)

Мы построили решение в комплексной форме, но поскольку уравнения и краевые условия задачи линейные, ее решением будет как действительная, так и мнимая часть получаемых выражений; например,

ut=Dut=D2^-^* —2^-^* —cos q (Xj — ct),(10.18)cos q (Xj — ct),(10.18)2 22 2sin q^x^ — ct).sin q^x^ — ct).р2 \14} Jр2 \14} J

ut=D

ut=D

2^-^* —

2^-^* —

cos q (Xj — ct),

(10.18)

cos q (Xj — ct),

(10.18)

2 2

2 2

sin q^x^ — ct).

sin q^x^ — ct).

р2 \1

4} J

р2 \1

4} J

Так как коэффициенты аир [формулы (10.14)], характеризующие затухание с глубиной, растут с увеличением частоты q, то в силу (10.18) приходим к выводу, что чем волна длиннее, тем на большей глубине она ощущается. ■

При х2=0 из (10.18) получаем

и2=—О 2и2=—О 2И1 = Д1/ l-L^cos^-cf), т<?2И1 = Д1/ l-L^cos^-cf), т<?2(10.19) sin q (Xj — ci),(10.19) sin q (Xj — ci),

и2=—О 2

и2=—О 2

И1 = Д1/ l-L^cos^-cf), т<?2

И1 = Д1/ l-L^cos^-cf), т<?2

(10.19) sin q (Xj — ci),

(10.19) sin q (Xj — ci),

Отсюда следует, что точки поверхности движутся по эллипсам.

Рассмотренные выше волны были впервые изучены Рэлеем. Они наблюдаются вдали от источника возмущения. Поскольку энергия, которую эти волны несут, сконцентрирована у поверхности и рассеивается по поверхности, то ее рассеивание происходит медленнее, чем в волнах, где энергия рассеивается по объему возмущенной области. Поэтому прн землетрясениях для наблюдателя, удаленного от эпицентра, наибольшую опасность представляют рэлеевские волны.

§ 83. Волны Лява

Рассмотрим упругий слой постоянной толщины Я с упругими постоянными X, ц плотностью р, лежащий на упругом полупространстве с параметрами X», р*, р*. Будем предполагать, что скорость распространения поперечных волн в слое с2 меньше соответствующей скорости с*2 в полупространстве

(10.20)(10.20)с2 < С,2.

(10.20)

(10.20)

Направим ось Xi вдоль границы раздела, ось х2— вглубь полупространства (рис. 46).

Пусть граница слоя х2=—Н свободна от нагрузки

Т2! = Т22=Т2з = 0. Тогда при х2= —И о22 = а12=а23 = 0,(10.21)

а на границе раздела

U!=U*,U2 = U2, ua = ua,(10.22)

e22 = e2!t °12= el2, °23=o23>(10.23)

(звездочкой отмечены величины, относящиеся к полупространству). Кроме того, потребуем, чтобы при х2, стремящемся к бесконечности,

HHРис. 46Рис. 46смещения стремились к нулю. Попытаемся найти такие решения уравнения (5.5) для слоя и полупространства, у которых были бы отличны от нуля только компоненты «з и «з * и при этом они не зависели бы от хэ. Такая волна, если она существует, является поперечной, так как div а=0.

H

H

Рис. 46

Рис. 46

Из уравнения (5.5) (без учета объемных сил) получаем

6®аа . ^«з 1^ы3д^ “ 4 ^ *6®аа . ^«з 1^ы3д^ “ 4 ^ *^3. ^«3I ^“здл| дх| с23 ^2^3. ^«3I ^“здл| дх| с23 ^2(10.24)(10.24)

6®аа . ^«з 1^ы3

д^ “ 4 ^ *

6®аа . ^«з 1^ы3

д^ “ 4 ^ *

^3. ^«3I ^“з

дл| дх| с23 ^2

^3. ^«3I ^“з

дл| дх| с23 ^2

(10.24)

(10.24)

В силу сделанных относительно перемещений предположений первые пары условий (10.21), (10.22) и (10.23) удовлетворяются автоматически, а последние дают:

при Ха=—Н

^=0,(10.25)

при х2=0

«з = “з.(10.26)

дхо

Будем разыскивать такие решения, зависимость которых от Xi и t описывается синусоидальным законом, т. е.

«3=/ W е1^-т.Ыэ=д (^ е^-ю.(10.27)

Здесь q — заданная частота; с — неизвестная фазовая скорость, относительно которой будем предполагать С2<с<о*2, что не противоречит (10.20).

Подставляя (10.27) в уравнения (10.24), получаем

Z-W^oZ-W^o/" + ^ау = 0/" + ^ау = 0(10.28)(10.28)

Z-W^o

Z-W^o

/" + ^ау = 0

/" + ^ау = 0

(10.28)

(10.28)

откуда

(10.29)(10.29)/(хй)= A sin(a^x:2) + ecos(a^2),

(10.29)

(10.29)

д (.га^с^-^ 4~Ci^№-

Для ограниченности решения f*(x2) следует принять Ci = 0, тогда

(10.30)(10.30)/Лх^Св-е^-.

(10.30)

(10.30)

Из граничных условий (10.26) следует

В — С, А=-М-С.В — С, А=-М-С.(10.31)(10.31)

В — С, А=-М-С.

В — С, А=-М-С.

(10.31)

(10.31)

Подставляя (10.27) в (10.25) и пользуясь (10.29), получаем A cos ^aqH) -|- В sin taqH') =0,

или при помощи (10.31)

tg(a?H)=-^.(10.32)

(да

Так как аире помощью формул (10.28) выражаются через с, с2, с»2, то (10.32) представляет собой уравнение для определения отношения — как функции параметров qH, calc^, p*/p.

<2

Покажем, что корни уравнения (10.32) существуют. Будем считать неизвестным % = qH, а остальные параметры заданными. Тогда при изменении Z=qH от нуля до -^~ тангенс (а^Я) будет меняться от нуля до бесконечности, а так как тангенс — непрерывная функция, найдется такое значение 5=Ь>, при котором (10.32) будет удовлетворено. Последнее и доказывает существование корня уравнения (10.32).

Выпишем окончательные формулы для перемещенийиэ=^С [ cos(a^2)—^- sin (а^х2)1е,»<-Г1-^),' Lp-аJ

и*=Ce-i^x‘+l^^xi-el>.

Полученное решение представляет собой волну, бегущую в направлении оси Xi со скоростью с. Перемещения в волне лежат в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, и параллельны границам слоя. Существенно отметить, что фазовая скорость их зависит от частоты (10.32), т. е. эти волны имеют дисперсию.

Эти волны впервые были открыты Лявом н поэтому носят его имя. Волны Лява, отличаясь от рэлеевских волн наличием дисперсии, своим чисто поперечным характером и др., имеют тем не менее с ними много общих черт. Как и рэлеевские волны, они обычно наблюдаются при землетрясениях на значительных расстояниях от эпицентра. Как и в рэлеевских волнах, в волнах Лява энергия концентрируется вблизи поверхности раздела, и поэтому они затухают медленнее, чем другие волны.

Глава XI

ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК

§ 84. Дифференциальное уравнениеизгиба тонких пластинок

Тело, имеющее срединную поверхность в виде плоскости и толщина которого достаточно мала по сравнению с другими его двумя размерами, называется тонкой пластинкой. Пластинки находят широкое применение в технике; в качестве типичных примеров можно указать на бетонные и железобетонные плиты, применяемые в строительных конструкциях, для обшивки корпуса -корабля. Плоскость, делящая толщину пластинки пополам, называется ее срединной плоскостью. Выберем оси координат ^ в х2в срединной плоскости, а ось хэ — перпендикулярно ей.

Если прогиб срединной плоскости пластинки мал по сравнению с толщиной пластинки, то имеют место следующие допущения: 1) нормаль к срединной плоскости до изгиба переходит в нормаль к срединной плоскости после изгиба; 2) компонент тензора напряжений Озз мал по сравнению с другими компонентами тензора напряжений; 3) при изгибе пластинки срединная плоскость не деформируется.

Обозначим через w прогиб срединной плоскости, а через «1 и «г — перемещения, параллельные соответственно осям xi и х^.

Рассмотрим сечения пластинки, параллельные плоскостям Х1Х3 и Х2Х3, как показано соответственно на рис. 47, 48. Из этих рисунков, с учетом первого допущения для перемещений точки В, находящейся на нормали к срединной плоскости пластинки, имеем

ы3=— x»tg₽.тоp=tgp=^. 0X2ы3=— x»tg₽.тоp=tgp=^. 0X2«1=— x3tga,

ы3=— x»tg₽.

то

p=tgp=^. 0X2

ы3=— x»tg₽.

то

p=tgp=^. 0X2

Так как прогиб считается малым,

Учитывая последние соотношения, найдем

(ИЛ)(М.2)(ИЛ)(М.2). dwdw

(ИЛ)

(М.2)

(ИЛ)

(М.2)

Ц.= —^я,Ы2= —X, .

13 Mi3 дх2

Принимая во внимание (11.1), из формул (3.26) найдем

^223 <^13 ах.дхг

В силу допущения 1) имеем ^1Э=^23=0.(11*3)

На основании допущения 2) примем озз = 0; тогда с учетом формул (11.2) закон Гука примет вид

Обозначим через ЛЛ, Ms изгибающие моменты, Л41г=Л!й| — крутящие моменты и Qj, Qa — поперечные силы, отнесенные к единице длины сечений, параллельных плоскостям Xj.r3 и х^хз (рис. 49), тогда

й/2й/2

Л43^= j ^ц^з^^з»^з— j ^^XgdXy

-Х/2-Ъ/2

А/2

^12= -^21 =б21-^3^-^3*(11-5)

—Л/2

Й/2й/2

31= \ =31^3'Q2 = Г o^dxa.

-h/2—Л/2

Несмотря на то, что согласно (11.3) следует принять O3i=2pa3i = 0, <Тз2=2рез2 = 0, при составлении уравнений равновесия необходимо учесть результирующие силы Qi и Qa (поперечные силы), определяемые касательными напряжениями c3i и 023, как величины того же порядка, что интенсивность поперечной силы р и моменты Л1|, Ms и Afjj.

Подставляя выражения оц, стаз и о 12 в первые три соотношения (11.5), для однородной пластинки найдем

Л12=-£>Л12=-£>djtj d^w дх^djtj d^w дх^d^w5л2d^w5л2дх^дх^(П.6)(П.6)Af12=D(l-v)Af12=D(l-v)d^wдххдх2d^wдххдх2

Л12=-£>

Л12=-£>

djtj d^w дх^

djtj d^w дх^

d^w

5л2

d^w

5л2

дх^

дх^

(П.6)

(П.6)

Af12=D(l-v)

Af12=D(l-v)

d^wдххдх2

d^wдххдх2

где D = I2 цилиндрическая жесткость пластинки.

Рис. 49Рис. 49Рассмотрим элемент, вырезанный из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям

Рис. 49

Рис. 49

Х|Х3 и №Хз (рис. 50). Для равновесия этого элемента необходимо, чтобы сумма сил, действующих на этот элемент, и сумма их моментов относительно осей Xi и Ха в отдельности были равны нулю. Не учитывая массовые силы и пренебрегая величинами третьего порядка малости, имеем

dx1Qxdx2-\-dXtQ2dxx 4- pdxtdx2=0.

dK1Mx^dx2 — dXtM2dxx + Q2dxxdx2=0,dXyM2Xdxx — dX1Mxdx2-VQidx^dxv=0.

Здесь d$h — частный дифференциал следующей за ним функции по координате xh. После некоторых преобразований найдем

5Q1 ।

50г

(11-7)

дхх 1

дх2

тР и»

54412

5Л42

(П.8)

5xi

дх2

ТЧ2—

54^21

дМх

^-Qi=0.

(П.9)

дх2

dxi

Учитывая соотношения (11.6) в (11.8) и (11.9), для пластинки постоянной толщины будем иметь

q q д / сРщ . X

(11.10)(11.10)q2=-D — (-^4-—

(11.10)

(11.10)

^ \ дх® дх=

Подставляя выражения Qi и Q2 в уравнение (11.7), получим

(Н.П)(Н.П)(Mie , л д*®t <Hw р

(Н.П)

(Н.П)

0Х* дх^Х^ ^2^

Это уравнение было впервые получено Софи Жермен.

Таким образом, задача об изгибе пластинки поперечной силой р сводится к интегрированию уравнения (11.11).

§85. Граничные условия§85. Граничные условия

§85. Граничные условия

§85. Граничные условия

Установим граничные условия для прямоугольной пластинки при некоторых способах закрепления ее краев; оси Х| и х2 направим параллельно краям пластинки.

а. Защемленный край. Если край пластинки Х)=0 защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плоскостью пластинки до изгиба

дадаxt-0xt-0=0,=0,^1 =0.^1 1^,-0^1 =0.^1 1^,-0(11.12)(11.12)

да

да

xt-0

xt-0

=0,

=0,

^1 =0.

^1 1^,-0

^1 =0.

^1 1^,-0

(11.12)

(11.12)

б. Шарнирно-опертый край. Если край пластинки Xi = 0 оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю

дада-г,-0-г,-0Н v=0. дх^ дхт2Н v=0. дх^ дхт2

да

да

-г,-0

-г,-0

Н v=0. дх^ дхт2

Н v=0. дх^ дхт2

Так как вдоль края Х)=0 имеем да = 0, то

да

х,=6

дю

6x2

[л, =0

(№»

дх^

= 0.

-0-0

Следовательно, граничные условия для шарнирно-опертого края будут

(ПЛЗ)(ПЛЗ)=0, -55-=0.

(ПЛЗ)

(ПЛЗ)

.rt=odxt X[_o

в. Свободный край. Если край х, = а свободен, то, на первый взгляд, нужно потребовать, чтобы вдоль него изгибающий момент Mi, крутящий момент М12 и поперечная сила Qj равнялись нулю

получаются три граничных усло- два. Условия (11.14) были полу-получаются три граничных усло- два. Условия (11.14) были полу-Рис. 51Рис. 51•^il^i=o—0*^lato-a—OfQi|jrt-<t — 0.(11.14)

получаются три граничных усло- два. Условия (11.14) были полу-

получаются три граничных усло- два. Условия (11.14) были полу-

Рис. 51

Рис. 51

Таким образом, в этом случае вия, тогда как в других их было чены Пуассоном. Позже Кирх- гофф показал, что для полного определения прогиба w, удовлетворяющего уравнению (11.11), достаточно двух граничных условий, так как два условия Пуассона, относящиеся к крутящему моменту М12 и поперечной силе Qb можно объединить в одно граничное условие. Следовательно, система краевых условий Пуассона (11.14) для уравнения Софи Жермен (11.11) является пере-

определенной.

Рассмотрим по краю Х1 = й два примыкающих друг к другу элемента длины dx2 (рис. 51). Крутящий момент, приходящийся на элемент длины dxi, будет М\Дх2; его можно заменить двумя поперечными силами, равными ЛМ и действующими на расстоянии dx2 друг от друга; на рис. 51 эти силы показаны сплошными векторами. Для следующего элемента dx2 крутящий момент (M^+d,, A1l2)dx2 можно также заменить двумя поперечными силами Mw+d,, М)2, они показаны пунктирными векторами. Таким образом, найдем, что распределение крутящих моментов М|2 статически эквивалентно 6Л112 распределению поперечных сил интенсивности Qi=— -

Такая замена на основании принципа Сен-Венана окажет влияние на напряженное состояние в непосредственной близости к кромке, но на остальной части пластинки напряженное состояние останется без изменений.

Следовательно, для свободного края пластинки в граничных условиях (11.14) вместо двух последних получим одно условие

М<12дх2М<12дх2=0.=0.(11.15)(11.15)

М<12

дх2

М<12

дх2

=0.

=0.

(11.15)

(11.15)

На основании соотношений (11.6) и (11.10) для свободного края граничные условия (11.15) и Л11|я1=с=0 можно выразить в виде

М"М"(2-v)(2-v)д3»dXjdj^д3»dXjdj^

М"

М"

(2-v)

(2-v)

д3»

dXjdj^

д3»

dXjdj^

(11.16)(11.16)№w . <Pw

(11.16)

(11.16)

г1* —Г"

^^*2 ж,-0

В случае пластинки с криволинейной кромкой направляем оси координат в точке кромки по нормали п и по касательной т, как показано на рис. 52 и 53. Соотношения между Л1П; М„т; Qn и Л1Ь Afia, Qi, Q2 определяются из условий равновесия элемента пластинки, изображенного на рис. 52 и 53,

Рис. 52Рис. 53Рис. 52Рис. 53

Рис. 52Рис. 53

Рис. 52Рис. 53

Мп = Мг cos2a-{-Af2 sin2 a — Af12sin 2а, Af„t = Af12cos32u-j—^i™ ^2 Sjn 2a,■ (11.17)

Q„=Qi cosa-)-Q2sin a.

При заделке криволинейной кромки пластинки

w=0, — =0,(11.18)

дп

в случае же свободного опирания

w=0, 7И„ = 0.

Если кромка пластинки свободна, то

^„=0, Q^^^=°’(ИЛ9>

дМ_,-

где слагаемоеполучается аналогично рис. 51.

§ 86. Уравнение изгиба пластинкив полярных координатах

При изучении изгиба круглой пластинки выгодно использовать полярную систему координат (г, ф). В этой системе координат «а основании формул, выражающих зависимость между полярными и декартовыми координатами

(11.20)(11.21)(11.20)(11.21)г2=л:| + л*,<р = arctg — ,

(11.20)

(11.21)

(11.20)

(11.21)

гармонический оператор принимает видгармонический оператор принимает вид^1

гармонический оператор принимает вид

гармонический оператор принимает вид

8।1а. 1

дг- г dr г2 ду2

Следовательно, уравнение изгиба пластинки (11.11) в полярной си стеме координат запишется в виде

(П.22

V дт2 г дг г2 дуЗ ) (дг2 г дг 1 /3 ду2 ) D v

Если нагрузка р распределена симметрично относительно центра пластинки, то прогиб а1 будет зависеть только от полярного радиуса. В этом случае уравнение (11.22) примет вид

d2. 1d X / d?. Id \p

dr2 rdr )\ dr2 rdr /D

Обозначим действующие в сечениях с нормалями г и <р изгибающие моменты соответственно через Afr, Мф, а крутящий момент через М^. Эти моменты, как обычно, отнесены к единице длины. Предположим, что ось oxi совпадает с полярным радиусом г, тогда моменты Мт, Мд, и Мгч, будут иметь те же самые значения, что и моменты Ми М2, М12 (рис. 54). Таким образом, в формулах (11.6), переходя с помощью (11.20) от декартовых координат к полярным и принимая ф = 0, окончательно будем иметь

^(^ г v \р Г । v / 1 I 1\1

дх\ дхХ )т=0 I ^2 г U дг г2 д^ Л ’

Л1,= -УГА_^+±^ + у_^.\,(Ц.23)

\ г дг ' г2 dy2 дг2 /

1 dwг2 dtp1 dwг2 dtp. ,X / 1д2®

1 dw

г2 dtp

1 dw

г2 dtp

Му=(\ — v)D( г дгд^

Аналогичным приемом из (11.10) получим формулы для поперечных сил

Q = -D — И — 'dr I \ дг2Q = -D — И — 'dr I \ дг21 5.1 52 X ^г дг г2 дцб ) .1 5.1 52 X ^г дг г2 дцб ) .(11.24)(11.24)

Q = -D — И — 'dr I \ дг2

Q = -D — И — 'dr I \ дг2

1 5.1 52 X ^

г дг г2 дцб ) .

1 5.1 52 X ^

г дг г2 дцб ) .

(11.24)

(11.24)

(11.2 5)

Мг =0, ( Q,-—25Л =0.Мг =0, ( Q,-—25Л =0.(11.26)(11.27)(11.28)(11.26)(11.27)(11.28)Общее решение уравнения (11.22)W = WO + ®1,'где Wq—какое-либо частное решение уравнения (11.22); wt—общее решение однородного уравненияfZ-+_L^-+_L^|'^L+_L_L+_L »_)„1=о. (11.29)\ Эг» г дг 1 .2 6у2 / ( № 1 г dr 1 г= ) 11'Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде®’1=А’40)(г) + 2 ^ln(r)cos Л<р4- 2 /?л2) (г) sin л<р. (11.30) л-1п-1Решение Ро<о,(г)> не зависящее от угла ф, представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда/, 1 л«2 \ / d2RW t dRWП2 ™\(dr2 r dr г2 / \ dr1 r dr r2 " /1где й = 0, 1, 2. Общее решение этого уравнения при п = 0 таково:^0> = Ло + В0г2 4- Со In г + D0r2 In г,(11.31)Общее решение уравнения (11.22)W = WO + ®1,'где Wq—какое-либо частное решение уравнения (11.22); wt—общее решение однородного уравненияfZ-+_L^-+_L^|'^L+_L_L+_L »_)„1=о. (11.29)\ Эг» г дг 1 .2 6у2 / ( № 1 г dr 1 г= ) 11'Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде®’1=А’40)(г) + 2 ^ln(r)cos Л<р4- 2 /?л2) (г) sin л<р. (11.30) л-1п-1Решение Ро<о,(г)> не зависящее от угла ф, представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда/, 1 л«2 \ / d2RW t dRWП2 ™\(dr2 r dr г2 / \ dr1 r dr r2 " /1где й = 0, 1, 2. Общее решение этого уравнения при п = 0 таково:^0> = Ло + В0г2 4- Со In г + D0r2 In г,(11.31)

Мг =0, ( Q,-—25Л =0.

Мг =0, ( Q,-—25Л =0.

(11.26)

(11.27)

(11.28)

(11.26)

(11.27)

(11.28)

Общее решение уравнения (11.22)

W = WO + ®1,'

где Wq—какое-либо частное решение уравнения (11.22); wt—общее решение однородного уравнения

fZ-+_L^-+_L^|'^L+_L_L+_L »_)„1=о. (11.29)

\ Эг» г дг 1 .2 6у2 / ( № 1 г dr 1 г= ) 11'

Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде

®’1=А’40)(г) + 2 ^ln(r)cos Л<р4- 2 /?л2) (г) sin л<р. (11.30) л-1п-1

Решение Ро<о,(г)> не зависящее от угла ф, представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда

/, 1 л«2 \ / d2RW t dRWП2 ™\

(dr2 r dr г2 / \ dr1 r dr r2 " /1

где й = 0, 1, 2. Общее решение этого уравнения при п = 0 таково:

^0> = Ло + В0г2 4- Со In г + D0r2 In г,(11.31)

Общее решение уравнения (11.22)

W = WO + ®1,'

где Wq—какое-либо частное решение уравнения (11.22); wt—общее решение однородного уравнения

fZ-+_L^-+_L^|'^L+_L_L+_L »_)„1=о. (11.29)

\ Эг» г дг 1 .2 6у2 / ( № 1 г dr 1 г= ) 11'

Общее решение этого уравнения Клебшем дано в виде

®’1=А’40)(г) + 2 ^ln(r)cos Л<р4- 2 /?л2) (г) sin л<р. (11.30) л-1п-1

Решение Ро<о,(г)> не зависящее от угла ф, представляет симметричный изгиб круглой пластинки. Подставим это решение в уравнение (11.29), тогда

/, 1 л«2 \ / d2RW t dRWП2 ™\

(dr2 r dr г2 / \ dr1 r dr r2 " /1

где й = 0, 1, 2. Общее решение этого уравнения при п = 0 таково:

^0> = Ло + В0г2 4- Со In г + D0r2 In г,(11.31)

Если край круглой пластинки радиуса а защемлен, то

если свободно оперт, то

=МГ 1 =0;

1г-а |г = а

если свободен от нагрузки, то

при п = 1при п^2при п = 1при п^2^ = Д^’г + В)6>г3+ С^ г-14- О?> г 1п г,(11.32)

при п = 1

при п^2

при п = 1

при п^2

^<ft> — А^г* + В^г— + C^V^2 + D^r***.(11.33)

Постоянные интегрирования A^t В^, С^ и D^ (А=1,2) определяются из условий закрепления края пластинки.

§ 87. Симметричный изгиб круглой пластинки

Рассмотрим поперечный изгиб круглой пластинки радиуса а под действием равномерно распределенной нагрузки р, когда пластинка 1) оперта по краю, 2) защемлена по краю. Решение задачи в силу осесимметрачности изгиба на основании решения Клебша (11.30) ищем в виде

™=туо4-А*6О) (г),

где еуо ■— частное решение уравнения

№. 1д \ / №, 1д \р

11=— ,

дг2 гdr / \ dri гdr /D

которое вытекает из (11.22); это решение будет таким:

Для ограниченности решения J?0№(r), определяемого формулой (11.31), следует взять Со=О; тогда

® = До + Bor=+D^ In гф^. г».

На основании формулы (11.24) в сечении г

^=-°[^г+4о»т]-

С другой стороны, Q,=—Lr. Отсюда £)о = О.

Таким образом,

^^Л^В^ + ^г4.(11.35)

Коэффициенты Ло, Во определятся из условия закрепления пластинки по краю. Для случая 1) при г = а имеем

w=0,Pv=0.

dr» 1 г dr

Для случая 2) при г=аДля случая 2) при г=ада=О,да=О,2"=0.дг2"=0.дг(11.37)(11.37)

Для случая 2) при г=а

Для случая 2) при г=а

да=О,

да=О,

2"=0.

дг

2"=0.

дг

(11.37)

(11.37)

Подставляя (11.35) в условия (11.36) и (11.37) для случая 1) получим систему линейных алгебраических уравнений

25 4-3E_s2^v/25^—£-а2)=0, для случая 2)

1 640

2Вйа4^- аэ=0.

° * 160

Определив постоянные Ло, Во, окончательно получим для случая 1):

— г2) ( 5 + v а2 — г2^ ,

640 Ч 1 + v /

для случая 2):

да=—— (а2 — г3)3.

640 К ’

Исходя из первой формулы (11.4), для случая 1

"32 ft3 v '

Это напряжение в центре пластинки (г=0) равно

3(3 + у) а2рхъ

32 Л» '

По точному решению, на основании формулы (9.77) в центре пластинки

0 _ 3 (3 + у) g2px3 I 2 + у/ ^3 3 х3

"32Л3 18\ Лз5 Л /

Сравнивая последние две формулы, замечаем, что дополнительный член, входящий в точное решение, мал, если толщина пластинки мала по сравнению с радиусом. Так, например, когда v=0,25 и .2ft 1 2А 1 2ft I.

х,=п, при —=—; — =—; —=— дополнительный член состава 20 а 10 а 5

ляет соответственно 0,94, 3,8 и 15% основного члена.

ЛИТЕРАТУРА

ан Цзи-де. Прикладная теория упругости. М., Физматгиз, 1959.

е к у а И. Н. Основы тензорного анализа. Тбилиси. Изд-во Тбилисского ун-та, 1967.

олосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М. — Л., ОНТИ, 1935.

о ч и и Н. Е. Векторное исчисление и качало тензорного исчисления^ М., «Наука», 1965.

у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости. Гостех- издат, 1955.

яв А. Математическая теория упругости. М. — Л., ОНТИ НКГ и П СССР, 1935.

ак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М., Фнзматгиз, 1963.

усхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. «Наука», 1966.

овожилов В. В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958.

Папкович П. Ф. Теория упругости. Л. — М„ Оборонгнз, 1939.

Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М., «Наука», 1966.

С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев, «Нау- кова думка», 1968.

С е д о в Л. И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз, 1962.

Снеддон И. Н. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1957.

Снеддон И. Н. и Берри Д. С. Классическая теория упругости. Физматгиз, 1961.

Тимошенко С. П. Теория упругости. Л. — М., ОНТИ, 1937.

Треффц Е. Математическая теория упругости. М., Гостехнздат, 1932.

G г е е n А. Е. and Z е г n a W. Theoretical Elasticity at the clarendon Press, Oxford, 1954.

Reissner E. On a variational theorem in elasticity J. math, and Phys., I960, 29, № 2, 90—95.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От рецензента первого и второго изданий 3

Предисловие к первому и второму изданиям 4

Введение 5

Глава L Элементы тензорного исчисления 6

Определения скаляра, вектора и тензора 7

Сложение, умножение и свертывание тензоров. Признак тензора 10

Метрический тензор .13

Дифференцирование базисных векторов. Символы Кристоффеля 19

Параллельное векторное поле■ .21

Тензор Римана — Кристоффеля, Производная вектора. Формула Гаусса — Остроградского, е-теизор23

Глава IL Теория напряжений . 31

Виды внешних сил 31

Метод сечений. Вектор напряжения33

Тензор напряжений . . 35

Уравнения движения и равновесия в компонентах тензора напряжений 36

Условия на поверхности 39

Уравнения движения и равновесия в декартовой системе координат 39

Уравнения движения и равновесия в цилиндрических и сферических координатах41

Определение главных нормальных напряжений43

Глава11L Теория деформаций46

Тензор конечной деформации46

Тензор малой деформации49

Уравнения совместности деформаций50

Тензор деформаций в декартовой системе координат51

Компоненты тензоров малой деформации и вращения в цилиндрических н сферических координатах53

Главные относительные удлинения54

Уравнения совместности деформаций в некоторых системах координат (условия Сен-Венана) . .56

Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации 57

Глава IV. Связь между напряженным и деформированным состояниями 60

Обобщенный закон Гука 60

Работа внешних сил 62

Потенциал тензора напряжений 62

Потенциал в случае линейно-упругого тела66

Различные случаи упругой симметрии тела66

Температурные напряжения 71

Интеграл энергии для уравнения движения упругого тела . . . 72

Тождество Бетти :......73

Теорема Клапейрона .... 73

Глава V. Полная система основных уравнения теории упругости75

Уравнения упругого равновесия н движения в перемещениях . . 75

Уравнения в компонентах напряжений81

Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения84

Основные задачи динамики упругого тела86

Принцип Сен-Венана (принцип смягчения граничных условий) . . 87

Прямые и обратные решения задач теории упругости. Полуобрат- ный метод Сен-Венаиа89

Простейшие задачи теории упругости90

Глава VI. Плоская задача теории упругости 99

Плоская деформация 99

Плоское напряженное состояние102

Обобщенное плоское напряженное состояние104

Функция напряжений Эрн 106

Функция Эри в полярных координатах. Задача Ляме111

Комплексное представление бнгармоннческой функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений118

Степень определенности введенных функций н ограничения, накладываемые на них .. .123

Основные граничные задачи и приведение нх к задачам теории функций комплексного переменного.129

Теорема Мориса Леви132

Метод конформных отображении133

Интеграл типа Коши135

Теорема Гарнака142

Краевая задача Римана142

Приведение основных краевых задач к функциональным уравнениям ............. 144

Равновесие кругового полого цилиндра 146

Бесконечная пластинка с эллиптическимотверстием150

Решение граничных задач для полуплоскости 152

Некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье . . . 160

Бесконечная плоскость, деформируемая под действием массовых сил 164

Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплоскости 168

Глава VII. Кручение к изгиб призматических тел173

Кручение призматического тела произвольного односвязного поперечного сечения 173

§ 60. Некоторые свойства касательных напряжений 178

§ 61. Кручение полых призматических тел 179

§ 62. Теорема о циркуляции касательного Напряжения 181

§ 63. Аналогии при кручении 182

§ 64. Комплексная функция кручения187

§ 65. Решение частных задач кручения ... 188

§ 66. Изгиб призматического тела, закрепленного одним концом... 197

§ 67. Центр нзгнба202

§ 68. Изгиб призматического тела с эллиптическим поперечным сечением ■ 207

Глава VH1. Общие теоремы теории упругости. Вариационные методы . . . 210

§ 69. Теорема взаимности Бетти210

§ 70. Принцип минимума потенциальной энергия211

Принцип минимума дополнительной работы—принцип Кастиль- яно ■213

Метод Рэлея — Ритца . . . 215

Вариационный принцип Рейсснера219

Ураанения равновесия н граничные условия для геометрически нелинейного тела221

Глава ГХ. Трехмерные статические задачи223

Решения Кельвина и Буссинеска — Папковича223

Элементарные решения Буссинеска первого н второго рода . . . 227

Давление на поверхность полубесконечного тела229

Задача Герца о давлении двух соприкасающихся тел231

Симметричная деформация тела вращения . . . . 236

Температурные напряжения247

Глава X. Теория распространения упругих волн 249

Два типа волн 249

§ 82, Поверхностные волны Рэлея 253

§ 83. Волны Лява 256

Глава XL Теория тонких пластинок■259

Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластинок . . . . 259

Граничные условия262

Уравнение изгиба пластинки в полярных координатах265

Симметричный изгиб круглой пластинки■267

Литература 269

Ве® = Втп &х^х* , Dk=D-( ^ ■

§ 16. Тензор малой деформации

Если деформации (удлинения и сдвиги), а также углы поворота малы по сравнению с единицей и имеют одинаковый порядок малости (что имеет место при рассмотрении деформации тел, все размеры которых сравнимы друг с другом по величине), то в общей формуле (3.17) можно отбросить, как малые величины, нелинейные слагаемые. В этом случае тензор деформаций называется тензором малой деформации и обозначается через е»^ Следовательно,

<* = -"•(“я ,»+“»,„)•(3.18)

4»

§ 17. Уравнения совместности деформаций

Компоненты тензора деформаций, как это явствует из (3.17) или (3.18), не являются независимыми, они должны удовлетворять некоторым условиям. Эти условия могут быть получены в предположении, что тело в недеформированной конфигурации находится в евклидовом пространстве и продолжает оставаться в нем в процессе деформирования. Как известно, необходимое и достаточное для этого условие состоит в том, что тензор Римана — Кристоффеля как для недеформированного состояния S, так и для деформиро- 58

§ 72. Метод Рэлея-Ритца

Решение задачи теории упругости часто связано со значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к принципам минимумов потенциальной или дополнительной энергии. Применение этих принципов заключается в отыскании функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, и минимизации потенциальной энергии П или дополнительной энергии R*.

Ю. А. АМЕНЗАДЕ

Теория упругости

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов механико-математических факультетов университетов

538—12 А38

УДК 539.3

Рецензент: Л. И. Седов — академик АН СССР

Юсиф Аме но вич Амензаде

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Редактор К. 11. Аношина. Художник В. 3. Казакевич. Художественный редактор Н. К. Гуторов. Технический редактор 3. А. Муслимова. Корректор

М, И. Козлова

Формат 60X907,1Уч.-изд. л. 17,44 Цена S2 коп.Формат 60X907,1Уч.-изд. л. 17,44 Цена S2 коп.Сдано в набор 17/IX—75 г. Подл, к печати 11/11—76 г.

Формат 60X907,1

Уч.-изд. л. 17,44 Цена S2 коп.

Формат 60X907,1

Уч.-изд. л. 17,44 Цена S2 коп.

Бум. тип. № 2.Объем 17 печ. л. (Усл. п. л. 17)

План выпуска литературы издательства«Высшая школа* (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция Хе 94План выпуска литературы издательства«Высшая школа* (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция Хе 94Изд. № ОТ-238Тираж 26 000 экз.

План выпуска литературы издательства«Высшая школа* (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция Хе 94

План выпуска литературы издательства«Высшая школа* (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция Хе 94

Москва, К-51, Неглниная ул., д. 29/14,

издательство «Высшая школа»

Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делвм издательств, полиграфии и книжной торговли, Хохловский пер., 7. Зак. 4020.

Амензаде Ю. А.

А38 Теория упругости. Учебник для университетов. Изд. 3-е, доп, М., «Высшая школа», 1976.

272 с. с ил.

Содержание учебнике соответствует утвержденной программе.

В начале книги сообщены необходимые сведения иа тензорного анализа; изложение основ теории упругости дано на современном научном уровне и в современной форме.

Далее рассматриваются плоские задачи теории упругости при помощи методе функций комплексного переменного и метода интегральных преобразований, теории кручения и нагиба призматических тел, контактная задача Герца, некоторые осесимметрическне задачи.

Изложена также теория распространения упругих волн в неограниченной Среде н поверхностных волн Рэлея н Лява.

Приведены элементы теории изгиба тонких пластин.

Учебник отличается ясностью, оригинальностью, современным уровнем изложения и проиллюстрирован многочисленными примерами.

538-12538-12. 20304—145 А ——— 94—76

538-12

538-12

(001)01—76

За последние годы в отечественной и мировой литературе появился ряд монографий по теории упругости, либо содержащих изложение общей теории с той или иной точки зрения, либо посвященных развитию определенных направлений.

В то же время лектор, читающий курс теории упругости по программе университета, испытывает серьезные затруднения при рекомендации студентам учебной литературы. Фактически приходится давать довольно обширный список, состоящий из книг, написанных в разное время и на разном уровне. Учебник по теории упругости, соответствующий программе современного университетского курса, практически отсутствует.

Книга Ю. А. Амензаде написана с целью восполнить этот пробел. В ней излагается иа современном уровне весь материал, который входит в существующую программу, а также приведены некоторые дополнительные сведения, которые могут быть рассмотрены, например, на семинарах по теории упругости, ведущихся по традиции в университетах.

Естественно, что выбор дополнительного материала определялся личными научными интересами автора. В книге наиболее детально излагаются методы функции комплексного переменного в применении к плоским задачам теории упругости, задачам изгиба н кручения.

Ю. Н. Работное — академик АН СССР