Глава 13

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (I);

МОДЕЛЬ, ПЛАН И АНАЛИЗ —ПОСТРОЕНИЕ

И ПРИМЕНЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Термин «дисперсионный анализ» охватывает широкий круг стандартных статистических методов. Почти все специалисты по математической статистике проводят дисперсионный анализ, хотя требуемая сложность используемых методов в зависимости от характера работы может быть совершенно различной. Широкое распространение дисперсионного анализа обусловлено тем, что это не только совокупность аналитических приемов, но и гибкий способ построения статистических моделей экспериментального материала, оказавшийся очень ценным в самых различных случаях. Используемая модель может быть представлена в следующем виде:

(Наблюдаемое значение) =2 [Параметры, описывающие

определяемые эффекты] + 2 [Случайные величины, описывающие

неопределяемые (остаточные) эффекты].(13.1)

Под «определяемыми» подразумеваются эффекты, возникающие вследствие действия изменений в учитываемых условиях. При проведении любых исследований существует ряд факторов (например, это может быть давление, температура, время), которые способны оказывать влияние на наши наблюдения. Факторы, которые мы рассматриваем формально и учитываем при выполнении вычислений, соответствуют определяемым эффектам. Чем больше факторов мы будем рассматривать (что зависит от имеющегося у нас опыта), тем меньше будет неопределяемая (остаточная) изменчивость, остающаяся неучтенной, однако некоторая остаточная изменчивость сохраняется почти всегда. При проведении любого реального исследования остаточная изменчивость содержит элементы, которые можно почти полностью объяснить, вводя дополнительные «определяемые эффекты», но (как предполагается) их относительное влияние настолько мало, что это нецелесообразно делать. Можно ли исключить всю остаточную изменчивость при достаточно исчерпывающем перечислении возможных факторов или же всегда будет остаточный «неустранимый хаос» — это вопросы, ответы на которые, к счастью, не требу-

ются. Мы знаем, что возможно проведение полезных исследований даже при наличии остаточной изменчивости, каковы бы ни были ее источники. Дисперсионный анализ и представляет собой систематизированный метод, помогающий проводить такие исследования.

Для применения дисперсионного анализа (как и большинства других статистических методов) необходимо вначале построить соответствующую статистическую модель и составить перечень вопросов, которые требуется исследовать с помощью данной модели. Это означает, что вначале мы должны как можно лучше понять структуру экспериментальных данных. Затем следует провести соответствующий анализ, хотя необходимо иметь в виду, что даже в случае одной и той же совокупности данных необходимы различные методы, если требуется получить ответ на разные вопросы.

В этой и последующих главах рассматриваются методы дисперсионного анализа, применяемые при самых разнообразных структурах эксперимента. Однако, чтобы приобрести опыт применения дисперсионного анализа, одного только знания имеющихся методов недостаточно. Важно также уметь распознавать структуру эксперимента и выбирать из числа имеющихся метод, наиболее соответствующий поставленной задаче. Будет рассмотрен также ряд примеров применения этих различных методов.

ОСТАТОЧНАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ

Мы только что рассмотрели природу остаточной изменчивости, а теперь покажем, каким образом эта изменчивость должна быть представлена в модели. Очевидно, что наиболее уместно представить ее в виде некоторой комбинации случайных величин и параметров, которые будут различными для разных наблюдаемых значений. Дисперсионный анализ основан на следующих правдоподобных допущениях об этих случайных величинах и параметрах:

Математическое ожидание каждой остаточной случайной величины равно нулю. Это означает, что вся изменчивость в математических ожиданиях охватывается параметрами (и, возможно, случайными величинами), представляющими определяемые эффекты. Хотя (обычно) нам неизвестны соответствующие значения этих величин, нужно лишь принять допущение, что по определению они описывают изменчивость в математических ожиданиях. Маловероятно, что в какой-либо прикладной задаче такое допущение окажется неправильным.

Остаточные случайные величины взаимно независимы. Часто это допущение также вполне приемлемо. Однако оно не настолько очевидно, как первое допущение. Смысл его состоит в том, что между различными наблюдениями не существует какой-

либо связи, которую нельзя было бы объяснить с помощью членов, описывающих определяемые эффекты. Если объекты наблюдения выбираются случайным образом и измеряются каждый в отдельности, то данное допущение вполне приемлемо, однако возможны ситуации, когда какое-либо одно наблюдение может влиять на последующие наблюдения. Например, в случае обычной процедуры оценивания некоторой физической величины иногда имеет место тенденция компенсировать завышенное наблюдаемое значение заниженными значениями, чтобы получить среднее, близкое к ожидаемому или желаемому результату.

Все остаточные случайные величины имеют одинаковое среднее квадратическое отклонение. Это допущение об однородности дисперсий действительно является важным. Справедливость данного допущения менее вероятна, чем допущений 1 и 2, однако формальный дисперсионный анализ основан на этом допущении. Действительно, важной особенностью многих методов является оценивание этого среднего квадратического отклонения (значение которого предполагается одинаковым). Однако во многих случаях это допущение не выполняется. Вполне возможно, что при различных методах измерения изменчивость будет различной; часто большим значениям математического ожидания соответствуют большие значения среднего квадратического отклонения. Поэтому, прежде чем проводить дисперсионный анализ какого-либо набора данных, важно рассмотреть возможные колебания среднего квадратического отклонения.

Каждая остаточная случайная величина распределена по нормальному закону. В общем случае справедливость данного допущения наименее вероятна, чем трех остальных. Если наблюдения ограничены интервалом возможных значений (например, вес является положительной величиной, а число объектов должно быть целым числом), то, безусловно, данное допущение не выполняется. Обычно может иметь место лишь более или менее хорошее приближение к реальной ситуации. Но, к счастью, значительная часть дисперсионного анализа может проводиться без принятия этого допущения, необходимого лишь для обоснования использования некоторых формально точных критериев для проверки значимости и формул оценивания. Кроме того, можно показать, что допустимы значительные отклонения от нормального распределения, так как это не оказывает большого влияния на стандартные процедуры дисперсионного анализа.

Короче говоря, наибольшего внимания требует допущение 3. Иногда могут использоваться теоретические оценки эффекта изменчивости среднего квадратического отклонения (зависимости дисперсии от другой случайной величины). В других случаях можно преобразовать первоначальные наблюдения (путем логарифмирования, извлечения квадратных корней и т. д.), с тем чтобы для преобразованных величин более строго выполнялись принятые

допущения. Далее в данной главе рассматриваются методы достижения этой цели.

ФАКТОРЫ

На данном этапе удобно ввести некоторые общепринятые термины, позволяющие получить в сжатом виде описание структуры эксперимента. Основным здесь является такое понятие, как фактор— качество, или свойство, в соответствии с которым классифицируются данные. Если ведется наблюдение за изделиями, изготавливаемыми на нескольких станках последовательно в течение нескольких дней, когда станки обслуживают рабочие разных смен, то имеем (самое меньшее) три фактора — станок, смена и день. Каждый фактор имеет несколько различных уровней. Уровень— общий термин, используемый для описания конкретного свойства, определяющего каждую категорию рассматриваемой классификации. Так, уровнями фактора станок могут быть станок № 1, станок № 2, станок № 3 и т. д. Уровнями фактора смена могут быть первая, вторая и третья смены (или, возможно, дневная и ночная смены). Уровнями фактора день могут быть 3 сентября 1977 г., 4 сентября 1977 г. и т. д.

Структура, или схема эксперимента (обычно называемая планом эксперимента), описывается входящими в него факторами и способом комбинирования разных уровней различных факторов. Важное значение имеют также измеряемые характеристики каждого объекта наблюдения и способ, посредством которого они предположительно связаны друг с другом и с уровнями факторов, представленных в эксперименте.

Эта терминология преднамеренно дается в весьма абстрактном виде. Хотя вначале, возможно, ее понимание несколько затруднено, она позволяет множество разнообразных данных разбить на небольшое число различных категорий. Разумеется, в каждом конкретном случае факторы, уровни и характеристики соответствуют реальным особенностям рассматриваемой ситуации.

ОДНОСТОРОННЯЯ КЛАССИФИКАЦИЯ

Простейшей формой плана эксперимента является сравнение нескольких уровней одного и того же фактора, когда измеряется один и тот же признак объекта наблюдения. Очень легко привести примеры данных такого рода, но для определенности обратимся к исследованию, когда должны сравниваться эффекты & различных способов лечения для увеличения продолжительности периода естественного сна. Допустим, что из нескольких (W) человек гц получают лечение первым способом, л2 — вторым способом и т. до к

(Разумеется, ^nt = N, если рассматриваются все пациенты.) До-

пустим далее, что ведется наблюдение за некоторым признаком х, представляющим эффект лечения. Для наших целей точный характер этого признака — является ли это период сна, усредненный за неделю, две недели, месяц, или увеличение продолжительности среднего периода сна за некоторый такой промежуток, или неко-

Группа

/

2

3

• • .

t

...

к

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рис. 13.1. Односторонняя классификация.

торый более сложный показатель — не имеет значения (хотя он вполне может оказаться важным с точки зрения определенного исследования). Сейчас нас интересует только структура данных. В этом случае ее можно представить схематически, как показано на рис. 13.1. Здесь крестиками обозначены отдельные наблюдения, а уровни (т. е. конкретные способы лечения) фактора (лечение) определяются общим термином — группа. Для данных, представленных на рис. 13.1, имеем /21 = 3, /22 = 4, /г3 = 2,..., /2t = 3,..., лг^= 1.

Поскольку рассматривается только один фактор, модель имеет следующий вид:

(Наблюдаемое значение) = (Член, представляющий эффект

соответствующего уровня фактора)-(-(Случайный остаток). (13.2)

Удобным обозначением наблюдаемых значений является Хи, где t (£=1, 2, ..., к) обозначает группу (уровень фактора), a i (2 = = 1, 2, ..., nt) —наблюдение в группе. Поскольку для каждого наблюдения существует отдельный случайный остаток, для обозначения этих случайных величин удобно использовать Zu. Допущения, описанные в разд. 13.2, можно представить следующим образом:

Е (Zti) — О для всех t и I.

Случайные величины Zu взаимно независимы.

Var (Zti) = 02 для всех t и I.

Случайные величины Zu распределены по нормальному закону.

В качестве первого члена правой части равенства (13.2) может быть выбран некоторый параметр или случайная величина. Такая возможность выбора имеет важное значение. Этот выбор нельзя делать только с точки зрения удобства. Мы должны попытаться выбрать такую модель, которая давала бы как можно более правдоподобное представление реальной ситуации и помогала получить ответы на поставленные вопросы. В реальной задаче

выбор модели фактически производится при принятии решения о целях исследования и способе взятия выборки.

В рассматриваемом частном случае использование параметров означает, что к уровней фактора рассматриваются только как к конкретных способов лечения. Если же используются случайные величины, то их следует рассматривать скорее как выборки, взятые из большого числа возможных способов лечения. Второй подход приемлем, например, когда вместо к способов лечения рассматриваются к партий изделий, выбранных стандартным методом из обычной продукции. Важно иметь в виду, что один и тот же набор данных можно рассматривать с двух разных точек зрения в зависимости от того, на какой вопрос необходимо получить ответ. Например, хотя мы можем рассматривать эти к уровней фактора прежде всего как выборку, представляющую ожидаемую изменчивость между партиями, нас может интересовать также непосредственное сравнение эффективности конкретных способов лечения, применяемых при исследовании. При первом подходе необходимо, чтобы изменчивость между различными уровнями фактора описывалась случайными величинами, а при втором требуется использование параметров.

Перейдем теперь к символическому представлению этих двух видов рассматриваемой модели.

Если для обозначения эффектов уровня фактора используются параметры, то модель называется параметрической или моделью с фиксированными уровнями фактора (модель I).

В случае однофакторного анализа это означает, что среднее значение в t-й группе обозначается постоянной величиной ^. Тогда модель имеет вид

(13.3)

Для удобства алгебраических выкладок мы обычно представляем у в виде £+уь где величины у< обозначают отклонения значений ^ от среднего значения g. Поскольку имеется £4-1 параметров |, 7ь у2, • У/г для представления к параметров £ь £2, . ., ^, то на значения ^t может быть наложено одно линейное ограничение.

к

Запишем его как^п^у^О; это означает,что £ представляет собой взвешенное среднее для параметров ^. Действительно,

кк

'^W'1 £] пД, где N = ^nt-

/=1/=1

Тогда модель имеет вид

(Введение значений nt, зависящих от плана эксперимента, в линейное ограничение, налагаемое на значения yt, может несколько

затруднить понимание вопроса, но это делается для упрощения алгебраических выражений. На основную структуру модели данная процедура не оказывает никакого влияния.)

Если для обозначения эффектов уровней фактора используются случайные величины, то модель называется случайной, или моделью компонент дисперсии (модель II). В этом случае при односторонней классификации модель имеет вид

(13.4)

где Ut — взаимно независимые случайные величины, каждая из которых имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию о2и, и обычно предполагается, что эти случайные величины распределены по нормальному закону. Кроме того, предполагается, что случайные величины Ut не зависят от случайных величин Zu.

АНАЛИЗ; ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Хотя может быть дан общий метод описания параметрических моделей (этот метод изложен в разд. 13.16), рассмотрим вначале анализ для каждой структуры данных. Представленные методы описываются как приемлемые процедуры, не обладающие какими-либо общими оптимальными свойствами.

Рассмотрим задачу исследования возможных различий между группами. Это означает, что в рамках ограничений, налагаемых на случайные величины Zti (в частности, предполагается равенство дисперсий), нас интересует сравнение значений уь если приемлема параметрическая модель (13.3), или значение межгруппового среднего квадратического отклонения, если справедлива модель (13.4) для компонент дисперсии.

Допустим вначале, что приемлема параметрическая модель

Хи=^^и.(13.5)

Естественно вычислить арифметические средние для каждой группы:

nintnk

х,=п^ 2 Xu,...,Xt=nt^ 2 Ха,..„ Xk=nk^ XkV

1=1i=li=l

Из этой модели следует, что

Xt-WtiA-Zt.,(13.6)

где Zt=nr^ZH.

Аналогично, еслиX , = N~X ^ntXt.— среднее по всем наблюдениям (общее среднее), то

Х^АЛл(13.7)

к _к

где Z.^N^ntZt. (так как ^nt^t^V

/=1Г«= 1

Если нас интересует проверка гипотезы У1 = ?2= ..-^^ = 0 (т. е. у/ = 0 для всех t), то естественно вычислять разность Xt.—X... С помощью выражений (13.6) и (13.7) находим, что

Xt.-X<=^t-\-"2t—Z...(13.8)

Из допущений, принятых в разд. 13.2, следует, что математическое ожидание разности Xt.—X.. равно у/, а среднее квадратическое отклонение пропорционально ст. Чтобы оценить g, необходимо избавиться от всех остальных параметров путем построения функции наблюдений, которую можно выразить только через случайные величины Zti. В данном случае это можно сделать довольно просто, вычислив разности

Xn-Xt=Zti-Z{.(13.9)

[используя выражения (13.5) и (13.6)].

Заметим теперь, что, поскольку Хц—Х. = (Xt.—XJ + ^h—Xt?), сумму квадратов отклонений значений случайных величин Хн от общего среднего X.. можно разбить на две части. Одна часть представляет собой сумму квадратов величин, входящих в формулу (13.8), а вторая — сумму квадратов величин, входящих в формулу (13.9). В каждом случае сумма берется по всем наблюдениям, но поскольку величина (Xt.—А..)2 не зависит от I, она повторяется nt раз и записывается как n^Xt.—X..)2. Разбиение суммы квадратов на две части соответствует алгебраическому тождеству

ккk ^t

2^Q^-X^- (13.10)

/=1 i=l/=!f=l i=l

^Заметим, что к nt к nt

2 2 (х,-х..)(х<,-ха=2 №-х.) 2 (xzi-xj=o.] /=1 1=1£=1f=l

Обычно величины, входящие в это равенство, получают определенные названия, и это равенство можно представить в следующем виде:

(Полная сумма квадратов) = (Сумма квадратов между группами) ++ (Сумма квадратов внутри групп).

Математическое ожидание суммы квадратов между группами имеет вид

(принято допущение 1 из разд. 13.4).

Используя допущения 1, 2 и 3 из разд. 13.4, находим

к

Сумма квадратов внутри групп равна 2 2 к^н—^)2, а ее мате- 6=i i=i

матическое ожидание составляет

к

о2^ кп<—D —(^—^) °2-

/=1

Множители при о2 (в выражениях для математических ожиданий) называются степенями свободы соответствующих сумм квадратов. Следовательно, сумма квадратов между группами имеет (^—1) степеней свободы, а сумма квадратов внутри групп имеет \N—к^ степеней свободы.

Чтобы можно было провести сравнение математических ожиданий, разделим каждую сумму квадратов на соответствующее число степеней свободы. В результате получим средний квадрат.

Так, средний квадрат между группами равен (6—1)-12^№ —

—Х.У, а математическое ожидание среднего квадрата между гр п пами равно о2+(&—1)-12 ^Уъ Средний квадрат внутри групп ра« /=1 к nt

вен (N—А)-1 SS (Хн—Xty, а математическое ожидание сред- него квадрата внутри групп равно о2.

Математическое ожидание среднего квадрата является важным понятием дисперсионного анализа. Значительное превыше- 2*

ние среднего квадрата между группами над средним квадратом внутри групп можно объяснить существованием ненулевых значений ^ь т. е. некоторыми реальными различиями между группами в отношении математических ожиданий.

До сих пор не использовалось допущение 4 из разд. 13.4. Справедливость полученных результатов не зависела от того, было ли нормальным распределение случайных величин 2ц. Однако если вводится еще и это допущение, то его можно использовать при построении формального критерия для проверки гипотезы об отсутствии различий между группами (yi= Y2= ... =^ = 0) при точно вычисляемом уровне значимости. В данном случае можно показать, что отношение

Средний квадрат между группами

Средний квадрат внутри групп

имеет нецентральное ^-распределение (см. разд. 8.11) с к—1,

к

N—к степенями свободы и параметром нецентральное™ о-2 ^ п^ь t=\

Если гипотеза 71 = 72= ... =ya = 0 верна, имеем центральное Е-рас- пределение с к—1, N—к степенями свободы. Следовательно, если гипотеза отвергается, когда значение R превышает 100 (1—сс)-й процентиль этого распределения, т. е.

R > Fh—1; N—k; 1—а>

то уровень значимости критерия будет равен а. При использовании нецентрального ^-распределения (с параметром нецентраль- к

пости о-2 У^Т2*) можно получить критерий с мощностью, обеспе- чивающей обнаружение любого данного множества значений (не все из которых равны нулю). В приложении (номограмма 3) приводятся графики, с помощью которых можно определить мощность критерия для некоторых случаев.

Пример 13.1. Для четырех составов резиновой смеси проверялся предел прочности на растяжение. Были изготовлены прямоугольные образцы, которые растягивались в продольном направлении. Цель испытаний состояла в том, чтобы определить прочность каждого образца, выбрать наилучший и получить оценку экспериментальной ошибки. Была изготовлена предварительная партия из 16 образцов — по четыре образца для каждой смеси. Один из образцов смеси Л был признан дефектным и исключен до начала испытаний на растяжение. Результаты испытаний приведены в табл. 13.1. Значения Хц измеряются в фунт/кв. дюйм (1 фунт/кв. дюйм = 6,89476 кПа).

Полученные данные представлены в графической форме на рис. 13.2. Ясно, что смесь D заметно отличается от смесей А, В и С, но отличие смеси С от А и В не столь заметно.

Таблица 13.1

Предел прочности на растяжение для четырех резиновых смесей

А

ВСD

3210

3000

3315

322532203545

332034103600

316533203580

314533703185

Прежде чем приступать к анализу данных, целесообразно упростить полученные значения (если нет вычислительного устройства), вычитая из каждого значения 3000 и деля на 5. Эти кодированные данные представлены в табл. 13.2. Заметим, что отношение средних квадратов не меняется, а остаточная дисперсия кодированных случайных величин составляет 725 первоначальной остаточной дисперсии.

Таблица 13.2

Кодирование значения предела прочности на растяжение

А

В

С

D

42

45

44

109

0

64

82

120

63

33

64

116

29

74

97

Имеем параметрическую модель, определяемую уравнением

тде i=l, ..., nt; £= 1, 2, 3, 4; «1 = 3; «2=4, «3=4 и «4 = 4. После вычислений получаем

£Хи = 105,

/=1

2^=264,

1=1

S 2^=982, /=1 i=I

4

4

4 nt

2Х2г = 171, 1=1

2^=442, 1=1

5 2^=81162.

/=1 t=l

Средний квадрат между смесями равен

к” к/ nt\2/ к nt

(k-iy^^x.-x.y^ Sv1 £А„ —L 25Х„ = /=1_/ = 1\t=I/\/=П=1/ _

=4f4 • Ю52+4 • 17124-4-2642 + 4--44224 -9822 \ =

3*4'41 415 I

= 4 (77 250,25—64 288,27) =-1- -12 961,98=4320,66.

Средний квадрат внутри смесей равен

к ^ (t=\ i=lк ^ (t=\ i=l4(81 162—77 250,25) = 39'4° = 35 5,614(81 162—77 250,25) = 39'4° = 35 5,61Рис. 13.2. Предел прочности на растяжение четырех смесей.Рис. 13.2. Предел прочности на растяжение четырех смесей.

к ^ (

t=\ i=l

к ^ (

t=\ i=l

4(81 162—77 250,25) = 39'4° = 35 5,61

4(81 162—77 250,25) = 39'4° = 35 5,61

Рис. 13.2. Предел прочности на растяжение четырех смесей.

Рис. 13.2. Предел прочности на растяжение четырех смесей.

Наконец, отношение средних квадратов равно 4320,66/355,61 = = 12,15. Поскольку 12,15>^з,п; 0,999, мы говорим, что имеется строгое подтверждение различий среднего предела прочности на растяжение для этих четырех резиновых смесей.

95%-ные доверительные интервалы для среднего предела прочности на растяжение каждой из этих смесей определяются по формуле

V , ^11; 0,975 5

Заметим, что число степеней свободы равно числу степеней свободы для суммы квадратов внутри смесей, так как наша оценка значения о2 основана на И степенях свободы из общего числа имеющихся 14 степеней свободы.

АНАЛИЗ; МОДЕЛЬ КОМПОНЕНТ ДИСПЕРСИИ

В данном случае модель имеет вид

X/t=^-U(+Z(h(13.12)

Будем использовать такой же формальный анализ, что и для параметрической модели, т. е. вычислим такие же суммы квадратов:

сумму квадратов между группами к ___

^пдх.-х.у, /=1

сумму квадратов внутри групп

^=1 i=l

Легко показать, что, как и в случае параметрической модели, Хц—Xt =Zti—Zt. [см. формулу (13.9)]. Следовательно, математическое ожидание суммы квадратов внутри группы, как и ранее, равно (N—k) о2. Однако для суммы квадратов между группами имеем другой результат. Выражая его через правую часть модели (13.12), находим

nAX-x.y^nAU^u+^-z.y,

где U = N"1 ^ ntUt. z=i

Поскольку случайные величины U и Z взаимно независимы и математическое ожидание каждой из них равно нулю,

Следовательно,

Е

/=1.

Из соотношения (13.11) следует, что

Кроме того,

Поскольку Е(Ut) = 0 и Var(Ut) = o2u) имеем

-k2

Следовательно, математическое ожидание суммы квадратов между группами имеет вид

о2и.о2и.(13.13)(13.13)

о2и.

о2и.

(13.13)

(13.13)

После деления на соответствующее число степеней свободы получаем математическое ожидание среднего квадрата между группами

a2_p^__i)-i Na2_p^__i)-i NккNN^и^и

a2_p^__i)-i N

a2_p^__i)-i N

к

к

N

N

^и

^и

и математическое ожидание среднего квадрата внутри групп о2.

Коэффициент при а2 и всегда положителен, поэтому значительное превышение среднего квадрата между группами над средним квадратом внутри групп можно объяснить существованием

ненулевого значения су, т. е. наличием некоторой реальной изменчивости между группами.

Следует заметить, что отличие данного случая от анализа параметрической модели состоит лишь в том, что иной является интерпретация изменчивости между группами. Формально вычисления совершенно одинаковы, и если of7 = 0, то отношение

п Средний квадрат между группамиСредний квадрат внутри групп

должно иметь (центральное) F-распределение с к—1, N—к степенями свободы, как и в случае параметрической модели. Поэтому при формальной проверке значимости (на этот раз проверяется гипотеза о^-^О) используется тот же предел значимости Fk-\, n-r, i-a, что и в случае параметрической модели.

Однако существует отличие, касающееся нецентрального распределения отношения R. При рассмотрении параметрической модели это было нецентральное ^-распределение. При использовании модели компонент дисперсии данное распределение обычно является довольно сложным. Однако в частном случае, когда в каждой группе число наблюдений одинаково (например, П\ = п2 = ... ,.. = nk = n^, не представляет труда получить это нецентральное распределение.

В данном случае сумма квадратов между группами имеет вид к—__к-

П 2 \(Ut-VZt>-<UW?=n^<Yt-Yy, (13.14)

к где Y^U^., Y=k-^Yt.

/=i

Взаимно независимые случайные величины Yt имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную о2и+о2п-х. Следовательно, сумма квадратов между группами распределена как

пу2 ^п"14-о2у) =х2 (о2+па2и),

при этом х2 имеет (А—1) степеней свободы. Кроме того, случайные величины У( не зависят от отклонений Zu—Zt. внутри групп, так как они зависят только от случайных величин Ut и Zt. Следовательно, отношение R имеет такое же распределение, что и отношение

У?Ы-к<52№ — А) ’

где %2ь-1 и у?м-к взаимно независимы. Таким образом, нецентральное распределение отношения R является центральным Г-распре-

делением с (к—1), (^—к) степенями свободы, умноженным на \j^n^Oulay. Этот простой результат дает возможность легко оценить оперативную характеристику (или функцию мощности) критерия.

Следует заметить, что сравнение математических ожиданий среднего квадрата производится без использования допущения 4 (о нормальном распределении случайных величин). Это допущение необходимо только в том случае, когда требуется точное знание распределения, как, например, при вычислении функции мощности.

Хотя в рассматриваемом случае (односторонняя классификация) различия между моделями несущественны, мы вскоре рассмотрим случаи (в разд. 13.10 и 13.12), когда выбор модели действительно влияет на анализ данных.

Пример 13.2. Допустим, что для нашей задачи подходит модель компонент дисперсии (13.12)

xtt=wut4-zti.

Необходимо взять случайные выборки объема п по каждой из к групп, вычислить отношение средних квадратов

Р Средний квадрат между группамиСредний квадрат внутри групп

и забраковать проверяемую продукцию, если R>Ro, где Ro— число, выбранное соответствующим образом. Следовательно,

вероятность браковки не меньше 1—р, если oWo'2>62i;

вероятность браковки не больше а, если о2и!оч <б2о (<'621).

Это означает, что отношение Ro должно удовлетворять неравенствам

Рг^>^|Д^=6^>1-р, Рг[^>^о|^=6%]<а.

Поскольку отношение 7? имеет распределение Рк_х, кХп-Х^ (1 + + по2и/о2), то из этих неравенств следует, что

Рг [^-1, к („-п > Ro (1 +«621)-1] > 1 -₽,

Рг l^-i, к („-d > Ro (1 +лб2о)"11 < а.

В свою очередь это означает, что

Fk-i, к (л—п, з 5

Fк— 1, к (п—1), 1—а ^

^„а+дб2,)-1, ^^(l+^o)-1.

Рассматривая совместно эти неравенства, получаем

(1 + ^6%) ^&—L к (л—1), 1—а ^ -^о ^ (1 ~1~^$21) ^&—L к (п—1), 3«

Чтобы найти значение Ro, удовлетворяющее обоим этим неравенствам, необходимо иметь

1, к (л-1), 1—а < 1 + п&\Fk-1, к (п-1), 3^^о*

При увеличении п правая часть этого соотношения возрастает от 1 до (61/60)2, а левая часть уменьшается до ^S-i, !-аЛ2к-1,3 [так как при возрастании п распределение Fk-i, k(n-i) стремится к %2k-J(k—1)]. Если б2о>О и, следовательно,

^к—1, 1—а xVi,3^к—1, 1—а xVi,36i6i22

^к—1, 1—а xVi,3

^к—1, 1—а xVi,3

6i

6i

2

2

то невозможно обеспечить выполнение требуемых условий. Поэтому мы должны выбрать достаточно большое значение к, чтобы иметь

^k—L 1—g xVL3^k—L 1—g xVL322

^k—L 1—g xVL3

^k—L 1—g xVL3

2

2

Таким образом, существует минимально возможное число групп, удовлетворяющих требуемым условиям. Несколько таких минимальных значений к приведено в табл. 13.3.

Таблица 13.3

Минимальное число групп; модель компонент дисперсии

а = 3 = 0,05

а= 3 = 0,01

6i/6q

Минимальное число групп

61/6о

Минимальное число групп

1,5

35

1,5

68

2

14

2

25

2,5

9

2,5

16

3

7

3

12

Должно существовать хотя бы минимальное число данных групп, как бы ни было велико число наблюдений в группе.

Интересно заметить, что для аналогичной задачи дискриминации, когда используется параметрическая модель, всегда можно достигнуть требуемой степени чувствительности, беря достаточно большое значение п при любом числе групп.

Таблица дисперсионного анализа

Таблица дисперсионного анализа, содержащая суммы квадратов, число степеней свободы, средние квадраты, математические ожидания и т. д., позволяет представить результаты первоначального анализа в компактной форме. Результаты дисперсионного анализа для параметрической модели (I) и модели компонент дисперсии (II) приведены в табл. 13.4.

Такое табличное представление обычно используется для результатов вычислений при дисперсионном анализе. Мы будем приводить соответствующие таблицы дисперсионного анализа для каждого рассматриваемого плана эксперимента. Таблицы дисперсионного анализа содержат помимо других величин вычисленные значения критериев для ряда формальных проверок значимости. Чтобы облегчить оценку результатов этих проверок, используются следующие условные обозначения:

уровень значимости от 0,01 до 0,05;

* уровень значимости от 0,001 до 0,01;

** уровень значимости менее 0,001.

(Иногда уровень* называется значимым, уровень **— высокозначимым, а уровень *** — в высшей степени значимым.)

Эти символы обычно ставят справа от отношений средних квадратов или средних квадратов, к которым они относятся. Они предназначаются лишь для оценки общего характера результатов анализа, и их нельзя использовать автоматически без тщательного обдумывания интерпретации.

Впервые эти обозначения используются в нашей книге в табл. 13.7.

Оценка компонент межгрупповой дисперсии

Если пх = п<ь= ...—Пк-гц то 100(1—а) %-ный доверительный интервал для отношения с^и!^ легко построить, используя соотношение

После перегруппировки этих неравенств получаем доверительные пределы

п'1п'111

п'1

п'1

1

1

R

р

к-1, N-k, 1—а/2

Г R

для отношения ои,о2.

Результаты дисперсионного анализа при односторонней классификации; модели I и II

Источник изменчивости

Сумма квадратов!)

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

модель I

модель II

Между группами

к

S1= 2 nt(Xt.-X.y =

,\п(/N

к— 1

к— 1

SAN-k)

Se(k-1)

2 ^tv,2

a2 + ^=Ьт-

(N- 2 n^/N^u^

Внутри групп

к n^

s« = 2 2 <x« -^t.)2 =

к

2 («t - ’)=N-k

/=1

_А_

N — k

а2

о2

Сумма

s=2 2 №i-^.)2= 22х«г-Лг r=i 1=1t i

nt& ntnt& nt

-) Здесь Xt = ^ Хи, Х. = 2 2 XU) xt=nt-l^Xtr-nt-lXt) x.^lV y.Xti=N-lX„ i—\^=1 i=li=lS

2) Если значения n^ одинаковы, то это выражение сводится к а2+по 2 .

Однако часто полезно иметь доверительные пределы только для а2 и, а эта задача гораздо сложнее, даже если все значения nt одинаковы. Разработан ряд методов построения приблиоюенных доверительных интервалов для о2и* Рассматриваемый здесь метод предложил Дж. Уилльямс [13]. Метод дает интервал с некоторой доверительной вероятностью, которая хотя и неизвестна в точности, но гарантируется, что она не превысит 100(1—2а) %.

Этот интервал находится путем объединения двух доверительных интервалов, одним из которых является полученный выше интервал для о2и!<з2, а другим— 100(1—а) %-ный доверительный интервал для

7й к—\, 1— а/27? к—\, а/2 /

Если Л<о2ц-/о2<5 и Л1<о2+^о2ц-<51, то при любом о2 значение о2и должно лежать между пределами

A^H + l)-1 и ВВ^пВ 4-1)-1.(13.15)

Подставляя в формулы (13.15)

A^n-4RkFk^iN^ i-a/2)-1-!],

В—П 1[R(Fk-i, N-k^a/2) 1—1],

7?к—1, 1—a/2X2^—]t а/2

получаем требуемые доверительные пределы для о2и- Дадим математическое доказательство:

Рг [ЛД, (/гЛ+1)-1 < о^ < ВВ, (пВ-ПУЧ >

> Рг [4 < 4г- < 4 П (А << Sj] >

> Рг [4 < 4г- < 5] Ч-Рг И, < о^по^ <BJ-1 =

= 1 —а+1 —а— 1 — 1 —2а.

Если получится отрицательный предел, его можно заменить на нуль, не уменьшая доверительную вероятность, так как значение а2и не может быть отрицательным.

Пример 13.3. Допустим, что данные приведенной ниже таблицы дисперсионного анализа вычислены по измерениям для каждого отдельного изделия в выборках одинакового объема, взятых случайным образом из партий продукции в процессе изготовления. Требуется оценить компоненты дисперсии между партиями.

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Средний квадрат

Между партиями Внутри партий

14

60

28,8

41,7

2,057

0,695

Сумма

74

70,5

Строим доверительный интервал с минимальной доверительной вероятностью 98%. Используя обозначения, принятые в данном разделе, имеем

k =15; п = 5; N =75; ^ = 28,8;

Sc = 41,7; R=2,057/0,695 = 2,960;

Ен; 60; 0,01 = Е"16О; 14. 0,99 = 0,417;Е14; 60; 0,99=3,18;

Х2и; 0,01=4,660;/214; 0,99 = 29,14;

Л = 1/5 (2,960.3.18-1 —1) <0;

В = 45 (2,960-0.417-1 —1) = 1,221;

Bt=^L=6,18.

14,6601

Нет необходимости вычислять Ль так как нижним пределом будет нуль, поскольку Л<0. Верхний предел равен

1,221.6,18/(5.1,221 4-1) = !,06.

Несмещенная оценка компоненты дисперсии между партиями равна '/5(2,057—0,695) =0,27.

Если ранее для этой продукции была получена весьма достоверная (т. е. точная) оценка дисперсии внутри партии о2 = 0,75, то можно считать, что значение о2 известно. Используя 98%-ные доверительные пределы для ба^+о2:

^1/Х214;о,99— 0,988 и Si/x2i4;o,oi—6,18,находим (точные) 98%-ные доверительные пределы для о^и'.х/5 (0,988—0,75) = 0,048,х/5 (6,18—0,75) = 1,10.

(Заметим, что здесь «точной» называется оценка с 98%-ной доверительной вероятностью.)

*13.7. АНАЛИЗ; РАНДОМИЗИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ

Перейдем теперь к рассмотрению модели третьего вида, весьма отличающейся по характеру от двух предыдущих — параметрической и компонент дисперсии. Эта новая модель основана по существу на двух допущениях: одно из них касается порядка проведения исследования, а второе — характера изменения наблюдаемых значений при переходе из одной группы в другую. Первое допущение гласит:

Каждая возможная схема размещения объектов наблюдения в плане эксперимента так же вероятна, как и любая Другая.

Это означает, например, что в задаче, рассмотренной в разд. 13.4, каждое возможное назначение пх пациентам (из N^ лекарства 1, п-2 пациентам лекарства 2, ..., п^ пациентам лекарства к так же вероятно, как и любое другое. Это назначение можно выполнить с помощью таблицы случайных чисел или некоторой эквивалентной процедуры, называемой рандомизацией. (Следует заметить, что рандомизация не всегда физически возможна. Если рандомизация невозможна или невыполнима, то рассматриваемая в этом разделе теория рандомизации может оказаться неприемлемой.) Второе допущение гласит:

Если наблюдаемое значение для определенного объекта наблюдения в i-й группе равно X;, то значение, которое наблюдалось бы, если бы этот объект находился в /-й группе, будет равно Xi+ (yj—уО, где -\j, уг — постоянные.

Из допущения 2 следует, что если все значения В равны нулю (справедлива нулевая гипотеза об отсутствии различий между группами), то каждый объект наблюдения будет давать одно и то же наблюдаемое значение в любой точке плана эксперимента.

Следует заметить, что это более строгое допущение, чем нулевая гипотеза, принимаемая для модели I или II. Для этих моделей, согласно нулевой гипотезе, в среднем не существует различия между значениями, наблюдаемыми в разных группах. В соответствии с нулевой гипотезой рандомизации каждый отдельный объект наблюдения дает в точности одно и то же наблюдаемое .значение, к какой бы группе он ни относился.

Что же мы получаем в обмен на дополнительные усилия, затрачиваемые на то, чтобы удовлетворялось допущение 1 и еще более строгое допущение 2? Наиболее важное преимущество состоит в том, что более достоверно известен характер случайных величин, описывающих остаточную изменчивость, и (во всяком случае, в принципе) -можно проводить проверку значимости без введения допущения 4 о нормальном распределении.

Действительно, допустим, что нулевая гипотеза верна, т. е. между группами нет различий. Тогда множество {х^} наблюдае-

мых значений представляет собой одно из N\ П (nJ)-1 равнове- 1*1

'роятных размещений N имеющихся значений. [Заметим, что при любом способе размещения отдельных объектов наблюдения по группам будет наблюдаться одно и то же множество, содержащее N значений (согласно допущению 2), если справедлива нулевая гипотеза.] Обладая достаточным терпением и временем, можно перебрать все возможные размещения и вычислить для каждого из .них отношение средних квадратов R. Из ЛЛ! П (п^!)—1 значений мы наблюдали фактически одно конкретное значение. При проверке значимости при уровне 100а% в качестве значимого с точки зрения отклонения от нулевой гипотезы может рассматриваться любое из наибольших 100а%-ных значений отношения R. Ясно, что вероятность получения такого значения R равна 100а%, и нет необходимости вводить распределение какой-либо специальной формы для доказательства этого факта. Однако на практике нет необходимости оценивать все возможные значения R и, следовательно, строить рандомизированное распределение для каждого конкретного набора данных. К счастью, простая модификация допущения о нормальном распределении обычно обеспечивает хорошую аппроксимацию. Даже непосредственное использование F- распределения с (£—1), (N—/г) степенями свободы дает весьма удовлетворительные результаты.

Рассмотрим теперь форму модели, вытекающую из допущений 1 и 2. Поскольку при нулевой гипотезе наблюдаемые значения {Ан} представляют собой лишь один вариант размещения N величин ць и2, ..., uN, случайная величина Хц принимает значение Uj с вероятностью N-x (/ = 1, ..., N). Следовательно, можно записать

N

X(t=^-VZ'u при l^N-^Uj,(13.16)

где Pr^Z'^u,—^]=У-1. Отсюда следует, что E^Z'h^O и

n

Var(Z'zf)=^5(tiy-9=.i=i

Таким образом, случайные величины Zu удовлетворяют условиям 1 и 3 из разд. 13.4. Однако они не удовлетворяют условиям 2 и 4. Последнее условие не может удовлетворяться, так как Z— дискретные случайные величины. Условие 2 не выполняется потому что, например,

Рг VZ't-i'=Uj\Z'u=u^ =0, если t^f или i^V.

Если включить в выражение (13.16) постоянные «эффекты» группы yt, то получаем модель

(13.17)

которая формально аналогична модели (13.5), но отличается от нее тем, что случайные величины Z'u не обладают в точности теми же свойствами, что и случайные величины Zu, и появляются вследствие принятия допущений 1 и 2, а не на основе общих рассуждений о характере остаточной изменчивости. С помощью модели (13.16) можно определить моменты суммы квадратов внутри групп и суммы квадратов между группами. Этот процесс является довольно утомительным и здесь подробно не рассматривается. Заметим, что

(Полная сумма квадратов) = (Сумма квадратов внутри групп) -ф-

-|-(Сумма квадратов между группами) =

N

=^j-^(13.18)

7=1

и эта сумма одинакова для всех возможных размещений N имеющихся значений. Следовательно, нужно взять только одну из двух сумм квадратов.

Мы рассмотрим сумму квадратов между группами. Если нулевая гипотеза верна, то с помощью формулы (13.16) находим, что эта сумма квадратов равна

к __к __

^nAZ\-Z\y=^n£'\-NZ'\.,

/=1

_nt _£——

где Zrt —nr^Z'u, Z'„ = N-1 У ntZ't- Поскольку Z'„ —среднее i=ir=i

арифметическое для всех случайных величин Z'u, то оно всегда равно нулю -[так как S(u/—g)=0] при любом способе размещения. Можно показать, что математическое ожидание суммы квадратов между группами имеет вид

(13.19)(13.19)£«№,.) = (*-!) [(^-l)-xf (и3-^t=\i-x.

(13.19)

(13.19)

С помощью выражений (13.18) и (13.19) находим, что математическое ожидание суммы квадратов внутри групп равно

(М-6)

(jV-l)"1^^-^)2/=i

(13.20)

Сравнение этих результатов с математическими ожиданиями для моделей I и II при нулевой гипотезе показывает, что они бу- дут иметь точно такую же форму, если (IV—I)-1 S (“j—Ю2 заме-

нить на о2. [Заметим, что IV-1 ^ (и,—д)2 фактически является /=1

дисперсией наблюдаемых значений.]

Рассматривая статистику

у Сумма квадратов между группами

Полная сумма квадратов *

с помощью выражений (13.18) и (13.20) находим, что

Путем несложных, но длительных выкладок получаем

Var 2 (& — 1) (ТУ — к) Г чл К4 ),< о л i \

где К^М-Гу^^-Ау, i-i

K4 = (N— I)-1 (M-Sf1 (N—З)-1 X

" N"125 ^-A?" N"125 ^-A?fN

" N"12

5 ^-A?

" N"12

5 ^-A?

X pV(^+l) 2 (Uj—A)4—3(N—1)

I7=1

и

e =n-1 ч ^2(^—1)^ — ^)e =n-1 ч ^2(^—1)^ — ^)

e =n-1 ч ^2(^—1)^ — ^)

e =n-1 ч ^2(^—1)^ — ^)

Значения £(У) и Уаг(У) совпадают с соответствующими значениями для моделей I и II, если для каждой из этих моделей число степеней свободы умножить на

d-(N-ir [(Ж i) (1 -e№V-2l.

Следовательно, практическим методом применения рандомизированного распределения без необходимости точного вычисления распределения является сравнение наблюдаемого отношения R и соответствующего процентиля 5-распределения с d^k—1), —к^ степенями свободы.

Очень часто (особенно если N велико и нет малых п^ значение d близко к 1, и по существу используются те же пределы, что Для моделей I и II (допущение о нормальном распределении), а»

Пример 13.4. Получены следующие данные для плана однофакторного эксперимента

ГруппаГруппаIIIIII

Группа

Группа

1079698

105101104

Ниже приведены результаты дисперсионного анализа для этого эксперимента:

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Средний квадрат

Между группами

2

58,3

29,2

Остаточная дисперсия (внутри групп]

3

32,5

10,8

Сумма

5

90,8

Верхние 25, 10 и 5-й процентили F-распределения с числом степеней свободы 2 и 3 равны соответственно 2,28; 5,46 и 9,55. Следовательно, если исходить из допущения о нормальном распределении, то крайне маловероятно, чтобы наблюдаемое отношение средних квадратов, равное 2,69, можно было считать значимым.

Чтобы построить рандомизированное распределение для отношения средних квадратов, необходимо рассмотреть все возможные способы размещения шести наблюдаемых значений — 96, 98, 101, 104, 105 и 107 — по шести позициям плана эксперимента.

Имеется 6!/(2!)3 = 90 способов распределения шести наблюдаемых значений по трем группам, содержащим по два наблюдения. В данном случае число перестановок равно шести, но при изменении порядка следования объектов наблюдения в группах дисперсионный анализ не меняется. Существует только 15 совершенно различных способов распределения наблюдений по группам, один из которых был рассмотрен. Остальные 14 вариантов приводятся в табл. 13.5. __

Вычитая из данных четвертого столбца 6Х...2, получаем сумму квадратов между группами. Поскольку при изменении порядка следования наблюдений полная сумма квадратов остается неизменной, сумма квадратов внутри групп находится как разность

(Сумма квадратов внутри групп) = (Полная сумма квадратов) — — (Сумма квадратов между группами).

В последнем столбце таблицы даны другие 14 возможных на основании рандомизированного распределения равновероятных

Таблица 13.5

Анализ для рандомизированной модели

I

II

III

сумма кВадратоВ

1 5 X,2 /-1

Между группами

Внутри групп

Отношение средних кВадратоВ

107

105

98

96,5

76,33

14,5

7,90

104

101

96

107

105

101

69,5

49,33

41,5

1,78

104

98

96

107

105

101

61,5

41,33

49,5

1,25

104

96

98

107

105

98

90,5

70,53

20,5

5,15

101

104

96

107

105

104

36,5

16,33

74,5

0,33

101

98

96

107

105

104

34,5

14,33

76,5

0,28

101

96

98

107

105

101

57,5

37,33

53,5

1,05

98

104

96

107

105

104

30^5

10,33

80,5

0,19

98

101

96

107

105

104

25,5

5,33

85,5

0,09

98

96

101

107

105

101

45,5

25,33

65,5

0,58

96

104

98

107

105

104

24,5

4,33

86,5

0,08

96

101

98

107

105

104

21,5

1,33

89,5

0,02

96

98

101

107

104

98

102,5

82,33

8,5

14,53

105

101

96

107

104

101

72,5

52,33

38,5

2,04е

105

96

98

8 четВертом столбце приведены кодированные данные с началом отсчета В точке 100

значений отношения средних квадратов. Наблюдаемое значение (2.69) превышают три из 15 возможных значений. Поэтому критерий рандомизации дает уровень значимости от 20 до 27%.

Заметим, что 25-й процентиль ^-распределения при допущении о нормальном распределении (равный 2,28) превышают четыре из 15 значений (27%), 10-й процентиль (5,46) превышают два из 15 значений (13%), а 5-й (9,55)— одно из 15 значений (7%). Если учесть, что рассматривается план эксперимента небольшого объема, то существует довольно хорошее соответствие между этим

рандомизированным F-распределением и ^-распределением при допущении о нормальном распределении.

13.8. ДВА ФАКТОРА; ИЕРАРХИЧЕСКАЯИ ПЕРЕКРЕСТНАЯ КЛАССИФИКАЦИИ

В случае односторонней классификации имеется только один фактор. Данные сгруппированы по различным уровням этого фактора и никакой другой вид классификации не рассматривается.

Однако если имеются два (или больше) фактора, то необходимо уделять некоторое внимание способу их взаимосвязи. К счастью, в случае двух факторов существуют только два различных вида соотношений, которые нужно рассматривать в большинстве практических задач. Важно определить вид соотношения, существующего в любом конкретном случае, чтобы можно было применить соответствующий анализ.

Этими двумя видами соотношений являются иерархическая и перекрестная классификации. Существенное различие между ними состоит в том, что в первом случае каждый уровень одного фактора (фактор основной группы) связан с другим множеством уровней второго фактора (фактор подгруппы), а во втором случае каждый уровень одного фактора может сочетаться со всеми уровнями другого фактора. В случае иерархической классификации факторы упорядочены по иерархии (как факторы основной группы и факторы подгруппы), а в случае перекрестной классификации такое упорядочение невозможно.

Это общее описание можно сделать более наглядным, рассмотрев частный случай. Если берутся образцы продукции, изготовленной тремя рабочими на каждом из четырех станков (всего 12 рабочих), то при отсутствии дополнительной информации нет осно-

IIIIСтанки

ГПГПГПГПп

Операторы

XXXXXXXXXXXX*1

XXXXX XXXXX

XXXXX

X

Рис. 13.3. Двухфакторная иерархическая классификация.

ваний связывать какого-либо оператора одного станка с каким- либо оператором другого станка. Таким образом, фактор подгруппы («рабочие») имеет 12 уровней, и три уровня этого фактора связаны с каждым из четырех уровней фактора «станки» (основная группа). Этот план представлен схематически на рис. 13.3. Каждый крестик обозначает одно наблюдение. Например,

имеются два наблюдения для первого оператора первого станка и три наблюдения для второго оператора этого же станка.

Однако если известно, что из трех операторов, закрепленных за каким-либо станком, один имеет стаж работы два года, другой четыре года, а третий шесть лет, то имеет место перекрестная классификация при наличии трех уровней фактора «стаж» и че-

Станки

Стаж работы

IIIIIIIV

2 года

4 года

6 лет

XXXX XX XXXX

XXXXXXXXXX

XXXXXXXX

Рис. 13.4. Двухфакторная перекрестная классификация.

тырех уровней фактора «станки». Эту схему можно представить в виде таблицы с двумя входами (рис. 13.4). Крестиками обозначены наблюдения, попадающие в соответствующие ячейки этой таблицы. Если в каждой ячейке таблицы имеется одинаковое число наблюдений, то анализ существенно упрощается. Такая схема называется перекрестной классификацией 3X4 с п повторениями. При п=\ схема называется (полной^ перекрестной классификацией 3X4. Возможны случаи, когда в некоторых ячейках таблицы отсутствуют наблюдения. Однако в данной главе полагаем, что в каждой ячейке имеется хотя бы одно наблюдение.

Приступим теперь к построению моделей, относящихся к этим двум видам классификации. Рассмотрим вначале только параметрические модели (модель I).

В случае иерархической классификации модель позволяет получить отдельные значения математического ожидания для каждого уровня фактора подгруппы. Его составляющими являются: 1) общее среднее 5; 2) среднее отклонение относительно £ для Лй основной группы (например, yj; 3) среднее отклонение относительно (£+у/) для t-й подгруппы в t-й основной группе (например, биу

К этому значению ^+у^ + б^ прибавляется случайный остаточный член Zu}. Предполагается, что случайные величины Z^ удовлетворяют условиям, подобным условиям I—4 из разд. 13.4. Таким образом, модель имеет вид

^Hj — ^+Т/+^г (13.22)

где /=1, 2, ..., пц (число наблюдений в t-й подгруппе Лй основной группы), /=1, 2, ..., mt (число подгрупп в ^-й основной группе); ^=1, 2, ..., к (число уровней фактора основной группы).

Наложим условия на ^t и St/, аналогичные условиям для ^t в параметрической модели при односторонней классификации. Этими условиями являются

к

5 Nt.4t=0»2 Пи^и = 0 для = 1 >2 k.

t=l(=1

(Заметим, что Nt.= S п«-^

1=1

Если заменить ^t и ^ц случайными величинами Ut и Ун, то будем иметь модель компонент дисперсии

Xtu=l + Ut+Vtt+Zftj)(13.23)

где предполагается, что 1) случайные величины U, V и Z взаимно независимы; 2) E(Ut) =0, ^(V/f) =0 для всех t и всех i;

Var(Ut) = о2и иУаг(Йн) = o2v для всех t и всех i; 4) случайные величины U, V и Z имеют нормальное распределение (для облегчения формальных проверок значимости).

Если заменить б« случайными величинами Vtt, но оставить параметры уг, то модель не будет чисто параметрической или моделью компонент дисперсии. Модель такого рода

XfU = l4-Tt+VtH-Ztu(13.24)

называется смешанной. Модель

также является смешанной, но она используется крайне редко.

Данные перекрестной классификации в случае двух факторов также обозначаются символом Хщ с тремя индексами. Индекс t обозначает уровень одного фактора, индекс I— уровень другого фактора, а /— порядок появления одного из Пн наблюдений, для которого /-й уровень первого фактора сочетается с i-м уровнем второго фактора.

В случае перекрестной классификации индекс i обозначает один и тот же уровень второго фактора при любом уровне первого фактора (и наоборот для индекса /). Если бы эффекты изменений уровней фактора были аддитивными, то можно было бы представить математическое ожидание случайной ‘величины Хщ как

гс

На значения р и & могут налагаться условия S р<=0 и 2 &< = 0.

[Символы р и к (а также г и с) используются, чтобы обеспечить наглядное представление данных, записанных в виде таблицы,

подобной изображенной на рис. 13.4, где один фактор задан столбцами, а другой — строками.]

Однако в общем случае выражение £+рг + &г не подходит для обозначения любого возможного множества гс математических ожиданий. Оно приемлемо только в том случае, если разность математических ожиданий между любыми двумя уровнями (i-м и Г-м) одного фактора одинакова при любом уровне другого фа кто ра. Чтобы отойти от этой (так называемой аддитивной) модели, необходимо ввести еще один набор параметров (pk^tt- Поскольку уже имеются параметры g, рь ..., рг и ^i, ..., кС) то для представления гс математических ожиданий используются l+r+^+rc параметров. Следовательно, дополнительно к двум соотношениям

2?/=° И 2^=0.

/=11=1

могут налагаться еще г + с—1 линейных ограничений. Естественно наложить следующие условия:

г

2 (Р^)ц = 0 для всех I, /=1

С

2 (Р^)« = О Для всех t.

i=i

С

(Условие ^ (р^)г» = О следует из остальных r-Vc—1 условий.) Тогда модель имеет вид

Хщ = ^4"Р/+^4'(Р^)н+2ц7-.(13.25)

Члены (р£)ц представляют взаимодействие между двумя факторами.

Модель компонент дисперсии для перекрестной классификации гХс получаем путем замены рь к^ ^рк^н соответственно на Ui, Уь Wti, где U, V и W—взаимно независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями Var(Ut) =о?и для всех t, Уаг(1/()=о2у для всех I, Var(Wh) = о2п- для всех t и i. Тогда модель для компонент дисперсии имеет вид•

Xw = HU,+Уг +^(13.26)

Довольно часто оказываются приемлемыми смешанные модели вида •.

Х,и = ^ ~гР/ +^<+1Уц + ^tU'(13.27)

(т. е. со случайным взаимодействием, но с параметрическими средними эффектами длд'кадсдогоуфактора), а модели с парамет-

рическим взаимодействием и случайными эффектами факторов используются редко, хотя формально они возможны.

В соответствующих случаях при иерархической и перекрестной классификациях может применяться также теория рандомизации.

Перейдем теперь к рассмотрению результатов формального анализа, проводимого при этих классификациях. Каждый вид анализа обсуждается в отдельном разделе.

Пример 13.5. В качестве еще одной иллюстрации сравнения иерархической и перекрестной классификаций рассмотрим загрузку сырой резины в четыре автомобиля. Если целью эксперимента является установление различий между конкретными положениями груза в автомобилях, то имеем перекрестную классификацию. Первым фактором являются загруженные автомобили, а вторым— положение груза в автомобиле.

Строим модель

где /=1, ..., 4 обозначает автомобили, а 1=1, 2, 3 — заданные положения груза в автомобиле.

С другой стороны, если нас интересует прежде всего изменчивость между загруженными автомобилями и внутри их и отсутствует система в расположении груза, то имеем иерархическую классификацию. Из каждой партии груза можно случайным образом взять три пробы. Первая проба из первого автомобиля никак не связана с первой пробой из какого-либо другого автомобиля (за исключением того, что это были первые пробы для каждого автомобиля). В этом случае модель имеет вид

Хщ=^+^/+^« +% иг

Во втором случае можно оценить дисперсию внутри каждой партии груза. Поскольку в первом случае определенно существует эффект положения, который необходимо учитывать, для оценки остаточной дисперсии рассматривается дисперсия внутри комбинаций «положение — автомобиль».

Заметим, что в этом случае возможны две модели. Какая из них подойдет, зависит от того, каким способом были получены данные, и от того, на какие вопросы анализ должен дать ответ.

АНАЛИЗ ПРИ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ;ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Начнем с модели (13.22):

(13.28)(13.29)(13.30)(13.28)(13.29)(13.30)Вычислим средние подгрупп

(13.28)

(13.29)

(13.30)

(13.28)

(13.29)

(13.30)

средние основных групп

^..=^+Тг+2Л. и общее среднее

Х„.=£+Г..

Здесь Z— такие же функции случайных величин Z, что и соответствующие функции X случайных величин А'. При выводе формул (13.29) и (13.30) использовались условия $]^.yt = O и

С помощью этих выражений находим

^.-Х„=^+^.-2„,(13.31)

(13-32)

Xuj-Xn =ztu-zu..(13.33)

Из соотношения (13.31) видно, что отклонения средних групп от общего среднего дают информацию о значениях у<. Из соотношения (13.32) следует, что отклонения средних подгрупп от среднего основной группы, к которой они относятся, дают информацию о значениях д^. В каждом случае существует также случайный эффект, выражаемый через значения Z. Чтобы учесть его, нужна оценка дисперсии а2. Как видно из соотношения (13.33), ее можно получить с помощью отклонений отдельных наблюдений от среднего подгруппы, к которой они принадлежат.

Статистики, позволяющие использовать имеющуюся информацию, выводятся путем следующего разбиения полной суммы квадратов:

к mt пц к

S S S№o—v=S^(^-x-)2+

<=1 1=1 i=lt=l

к к mt ntl

+2 S^(x^-^-)2+S(13.34)

/=1 1 = 1/=1 Z=1 /=1

В правой части этого равенства записаны соответственно сумма квадратов между основными группами, сумма квадратов между

подгруппами внутри основных групп и остаточная сумма квадратов (внутри подгрупп). Их математические ожидания равны:

для суммы квадратов между группами: (&—1)o^+S Nt.^u та

для суммы квадратов между подгруппами внутри основных кк

групп (5^mt—A)o2+S 2 пиб2н,татата

к

для остаточной суммы квадратов: (N..— ^т^о2, кк mt

где W=gW,=2 2»„. /=1 та та

Таким образом, числа степеней свободы соответственно равны (k— 1), (S w^~^) и (^-—2^t), а математические ожидания та

средних квадратов имеют вид

(13.35)

ЕЕT-^- 2 2 "д №..2”>-6' ,='T-^- 2 2 "д №..2”>-6' ,='ЕЕ1 к1 к= аЧ= аЧк mt пик mt пи15 — k15 — k22к mt2 2 пА'=1 i=l(13.36)к mt2 2 пА'=1 i=l(13.36)= а1.= а1.(13.37)(13.37)

Е

Е

T-^- 2 2 "д №..

2”>-6' ,='

T-^- 2 2 "д №..

2”>-6' ,='

Е

Е

1 к

1 к

= аЧ

= аЧ

к mt пи

к mt пи

1

5 — k

1

5 — k

2

2

к mt

2 2 пА'

=1 i=l

(13.36)

к mt

2 2 пА'

=1 i=l

(13.36)

= а1.

= а1.

(13.37)

(13.37)

Сравнение среднего квадрата между основными группами с остаточным средним квадратом может использоваться для проверки гипотезы yi=Y2=--='Yk = 0 (о постоянстве среднего каждой основной группы). Сравнение среднего квадрата между подгруппами внутри основных групп с остаточным средним квадратом может использоваться для проверки гипотезы «б(г = 0 для всех t и всех I» (об отсутствии различий между средними подгрупп в каждой основной группе). Если необходимо проверить гипотезы дд = 0 для i=l, 2, ..., mt отдельно для каждого t, то средние квадраты

можно вычислить отдельно для каждого значения t. Затем каждый из этих средних квадратов [математическое ожидание кото-

рых равно а2+(/иг—I)-1 ^Ц п<гб2<г] можно сравнить с остаточным средним квадратом.

Если случайные величины Z распределены по нормальному закону, то все упоминавшиеся выше суммы квадратов взаимно независимы, а отношения средних квадратов можно сравнить с пределами значимости, полученными с помощью соответствующих ^-распределений.

Пример 13.6. В качестве иллюстрации иерархической модели, члены которой являются параметрами, рассмотрим следующие задачи. Фирма изготавливает кирпичи, которые используются для футеровки печи. Эти кирпичи изготавливают на двух заводах. Каждый завод имеет три хранилища, обеспечивающие минимальное содержание влаги в кирпичах. Для конкретного вида кирпичей важно получить наилучшую комбинацию условий изготовления и условий хранения. В данном случае математическая модель имеет вид

где /=1, 2 обозначает заводы (л), i=l, 2, 3 — хранилища (X) данного завода, a Xta — процентное содержание влаги в кирпичах. Кроме того,

2 л/ = 0, ^Х(л)/г = 0,

/ i

но в общем случае

2 ^ (л)^ ^ ®>

t

где t=\, 2 обозначает заводы, a i=l, 2, 3 — хранилища каждого завода. Заметим, что не имеет смысла говорить «хранилище 2», так как хранилище 2 первого завода не связано с хранилищем 2 другого завода. Кроме того, полагаем, что в этой задаче нас не интересует дисперсия между хранилищами. Нам нужно определить, отличаются ли значимо конкретные хранилища от других хранилищ, и если различие существует, то какое хранилище лучше.

АНАЛИЗ ПРИ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ; МОДЕЛЬ КОМПОНЕНТ ДИСПЕРСИИ

Вычисляются те же суммы квадратов, что и в случае параметрической модели. Однако модель задается формулой (13.23):

Хн5 = ^Л"и t4*Vti4*Ztij,

а вместо соотношений (13.31) и (13.32) имеем

Xt_, - X..=Ut —U-VVt. —V . +4. — Z(13.38)

и

Ха-Xt..^V^-Vt.-V^ti-^(13.39)

где U=N-\. ^NtUt-, Vt=N-\ ^ntlVti; V^N-1.^^.. /=1i=l/=1

Формула (13.33) остается без изменения, поэтому средний квадрат

и в этом случае можно использовать как остаточный средний квадрат для оценки дисперсии о2. Математические ожидания остальных средних квадратов имеют вид

Е

/=1

mtк

2 kN-\-N-xJ 2 n2ti N„ - N-\. 2

=Q2+-CT-^°2v+Г^ ^ (13-4°)

Мы сразу же видим, что, хотя гипотезу 0^ = 0 можно проверить путем сравнения среднего квадрата между подгруппами внутри основных групп и остаточного среднего квадрата, гипотезу о^ = 0 нельзя проверить путем простого сравнения среднего квадрата между основными группами и остаточного среднего квадрата, так как математическое ожидание среднего квадрата между основными группами зависит от оу, а также от си-

Если пн = п для всех t и всех i (т. е. каждая подгруппа содер*

жит одинаковое число наблюдений), то Nt=min и правые части равенств (13.40) и (13.41) принимают виджит одинаковое число наблюдений), то Nt=min и правые части равенств (13.40) и (13.41) принимают видо2+ио2к+о2+ио2к+(5 "S-^.1) и mt(5 "S-^.1) и mt•по2 и•по2 ии o2^no2vи o2^no2v

жит одинаковое число наблюдений), то Nt=min и правые части равенств (13.40) и (13.41) принимают вид

жит одинаковое число наблюдений), то Nt=min и правые части равенств (13.40) и (13.41) принимают вид

о2+ио2к+

о2+ио2к+

(5 "S-^.

1) и mt

(5 "S-^.

1) и mt

•по2 и

•по2 и

и o2^no2v

и o2^no2v

соответственно. Следовательно, в этом случае гипотезу сги=0 (об отсутствии изменчивости между математическими ожиданиями по различным основным группам) можно проверить путем сравнения среднего квадрата между основными группами со средним квадратом между подгруппами внутри основных групп, а нс с остаточным средним квадратом. [Заметим, что (Smt)2—^m2t = ^^mtmt^O.]

Это первый случай, когда переход от параметрической модели к модели компонент дисперсии действительно оказывает влияние на используемые процедуры проверки гипотез.

Если же условие равенства всех Пн не выполняется, то не существует простого критерия для проверки гипотезы ои = 0.

Однако, объединяя сумму квадратов между подгруппами внутри основной группы и остаточную сумму квадратов, можно получить статистику, имеющую математическое ожидание

ЭтаЭтастатистика имеет видстатистика имеет вид662 mt —А (=12 mt —А (=1" к mt nti'222 ^Uj-xti.v t=\ 1=1 /=1 /гN.. — 2 mt-^=1." к mt nti'222 ^Uj-xti.v t=\ 1=1 /=1 /гN.. — 2 mt-^=1.(13.42)(13.42)

Эта

Эта

статистика имеет вид

статистика имеет вид

6

6

2 mt —А (=1

2 mt —А (=1

" к mt nti'

222 ^Uj-xti.v t=\ 1=1 /=1 /г

N.. — 2 mt

-^=1.

" к mt nti'

222 ^Uj-xti.v t=\ 1=1 /=1 /г

N.. — 2 mt

-^=1.

(13.42)

(13.42)

гдегде&&2 mt —2 mt —"mt '

где

где

&

&

2 mt —

2 mt —

^МЛ.-К-У) 2 n8ti

/=1i=l

кmt

n.. - 2 n-ч 2 n»tit=l1=1

Если средний квадрат между основными группами существенно превышает данную статистику, то это вполне можно объяснить существованием ненулевого значения Ои*

Даже если предполагается, что все случайные величины U, V и Z распределены по нормальному закону, то невозможно вывести простой точный критерий значимости, используя отношение

среднего квадрата между основными группами к выражению (13.42). Приближенная процедура описана в примере 13.7.

Следует заметить, что именно случайность или постоянство члена, выражающего изменчивость между подгруппами внутри основных групп, определяет форму процедур проверки. Она не зависит от характера члена, описывающего основные группы.

Пример 13.7. В процессе классификационных испытаний 60-мм миномета проверялись пять партий боеприпасов. Вследствие большого объема испытаний каждая партия проверялась в течение двух разных дней. Пример взят из статьи Дж. Джонсона «Применение планирования экспериментов к проверке боеприпасов» в книге: Proceedings of the First Conference on the Design of Experiments in Army Research, Development and Testing, OOR Report 57-1, June 1957. Характеристикой является дальность стрельбы в ярдах (1 ярд=0,914 м). Данные приведены в табл. 13.6. Уравнение модели [см. формулу (13.24)] имеет вид

^tij — + ^ + ®И "V^Hp.

где Xt — параметры, относящиеся к этим пяти партиям; Du — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону 7V(0, Ор), a Хщ— независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону ^(0, о).

Анализ данных из табл. 13.6 дан в табл. 13.7. Рассматривая столбец для математического ожидания среднего квадрата, можно заметить, что проверяется гипотеза об отсутствии изменчиво- 1 сти между днями (ор = 0) путем вычисления отношения среднего квадрата между днями внутри партий к среднему квадрату внутри дней, а гипотеза об отсутствии в среднем различий между партиями (Xz = O для всех 0 проверяется путем вычисления отношения среднего квадрата между партиями к среднему квадрату между днями внутри партий. Первое отношение равно 73 988/2873 и значимо при уровне 0,01 (обозначаемом**). Значимое различие между партиями отсутствует, но имеются основания утверждать, что дисперсия ор не равна нулю.

Можно оценить дисперсию между днями. Поскольку о2 = 2873 представляет собой несмещенную оценку остаточной дисперсии, то

л» ' *73 988 — 2873Q7/1Q

° а = ‘ . 19 .. .= 3743..

является несмещенной оценкой дисперсии между днями. Заметим/ также, что, член 38су2х в конце первой строки взят в квадратнее скобки, -показывающие, sчто фактически это не .дисперсия, так как., фактор «партии» представлен параметрическим членом. ' \<*

оо си

Таблица 13.6

Наблюдаемые значения дальности стрельбы стандартным снарядом из 60-мм миномета при угле возвышения 45 °, ярды(1 ярд=0,914 м)

Партия

МАЛ-53

Л/Л-1-82

Л/Л-1-363

Л/Л-1-604

Л/Л-1-613.

Дата

24. /0.52

31. 10. 52

17. 12. 52

12. 01. 53

19. 08. 53

го. 08. 53

8. 03. 53

9. 0 9. 53

30. 12. 54

10, 01. 55

20. Of. 55

31. 01. 55

1890

2057

1925

2112

1988

1932

1967

1980

2000

2110

1863

2028

1903

2083

1876

1862

2021

2025

1769

1983

1927

1964

2043

2096

1874

1863

2014

1983

1885

2098

1830

1955

1957

2078

1914

1927

2019

1862

2004

2084

1803

1976

1946

2031

1882

1907

2002

2041

1904

2015

1951

1996

1940

2084

1774

1763

2128

2001

1865

1978

1995

2057

1916

2017

1872

1841

1949

1970

1927

2098

1967

1979

1967

2035

1822

1914

1904

2053

1972

2124

1934

2010

1958

1978

1891

1837

2029

1978

1886

2077

1897

2037

1879

2045

1855

1911

1989

1940

2019

2036

1869

2013

1995

2002

1809

1-866

2052

1980

1884

2060

1847

1990

1980

2078

1894

1797

2042

1921

1990

2141

1882

2015

1934

2118

1870

1983

1835

2002

1884

2075

1965

1975

1990

2017

1910

1873

1970

1969

1938

2074

1954

1934

1906

2107

1970

1907

2028

1849

1950

2003

1973

2074

1985

2005

1980

1923

2000

2030

1999

2077

1870

2071

2000

2094

1885

1962

2041

2006

1987

2110

1894

1993

1951

1993

1775

1859

2033

1999

1823

2061

1927

1943

1979

2020

1871

1993

1996

2006

1951

2099

Таблица 13.7

Таблица дисперсионного анализа для дальности стрельбы из 60-мм миномета

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Между партиями

Между днями внутри

партий

Внутри дней

369254

369941

517069

4

5

180

92314

73988

2873

1,25

25,75“

a^ + iga^+lSSaH a2+ I9a^

a2

Сумма

1256264

189

13.11. АНАЛИЗ ПЕРЕКРЕСТНЫХ КЛАССИФИКАЦИЙ; ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Теперь используем модель (13.25);

где ^Р/=°; 2^=°; S(pfe)/i=°; 2(р6)/<=° t=l1=11=1/=1

для всех t и всех i.' ‘

Вначале выразим средние через члены этой модели::

среднее строк A^.^+pj+Zl., среднее столбцов Xa^^-Vk-t+Za., среднее ячеек Ан. = ^+р£+^+ ^k^u-VZtxa общее среднее X..=VrZ....

Можно разделить различные группы параметров, используя статистики

.xt —Z..a(13.43)

XL—X.. = ^+ZL-Z„,(13.44)

Xtt-Xi.-X.i.+X..=№ii+ZiL4-Zi.-ZL+Z.... (13.45)

Чтобы получить оценку обычной дисперсии <т2 каждой остаточной случайной величины Zh^ используем величины

xtij-Xn.=Zni-Zn.(13.46)

Г С пц

Полную сумму квадратов 2 2 2 №ij—А.,,)2 вначале мож- /=1 ;=i /=1

но разделить на сумму квадратов между ячейками и сумму квадратов внутри ячеек:

f= i i= i i= i

T C Г C П^

=S ^АХн-х^Л-^ S 2№i-^.)z. (13.47> t=l i=l/=1 i=l /=!

Из соотношений (13.46) и (13.47) можно увидеть, что

£ [Сумма квадратов внутри ячеек] =(1V .—re) о2

(поскольку полагаем /гн^1 Для всех / и всех i).

Следовательно, число степеней свободы суммы квадратов внутри ячеек равно (/V..—гс), и средний квадрат

г с "н _

(X. -re)-' 5 2 L ^tl3-Xtiy(13.48>

/=1 1=1 /=1

можно использовать как остаточный средний квадрат для нахождения несмещенной оценки дисперсии о2.

Остальные суммы квадратов можно получить, разбивая сумму квадратов между ячейками на три части, но только в том случае, если значения Пц удовлетворяют определенным условиям. Обычно эти условия состоят в том, что значения пц пропорциональны, т. е. отношение п^п^ке зависит от ц или, что то же самое, отношение Пц1пц' не зависит от I. Здесь рассматривается только более простой случай, когда все значения пц одинаковы и1 равны, например, п. (Более подробно этот вопрос изложен в книге: Bancroft Т. A., Topics in Intermediate Statistical Methods, Ames, 1968.)

Тогда сумма квадратов между ячейками разбивается следующим образом:

n S S (Xn-XJ^nc 2 (Xt. -XJ4 t=l 1=17=1

Между строками

+пг 2 (Хл -XJ^n^ 2 (Хи-Х(. -Хл.ух..у. (13.49) 1=17=1 1 = 1

Между столбцамиВзаимодействие

Соответствие названий, данных суммам квадратов в правой части равенства (13.49), подтверждается соотношениями 4*

— (13.45). Эти соотношения помогают также найти следующие математические ожидания:

Г

для суммы квадратов между строками: (г—l^+nc^jp^, т

для суммы квадратов между столбцами: (с—l)a2+w^]&2^

для суммы квадратов взаимодействия:(г—1)(с—1)а2+

+«SS Wh.

t=\ i = I

Следовательно, числа степеней свободы трех сумм квадратов равны соответственно (г—1), (с—1) и (г—1) (с—1), а математические ожидания равны

г

для среднего квадрата между строками: о24-(г—l)-1ncS p2t, r=i

С

для среднего квадрата между столбцами: о24-(с—1)_1«г2^2^ для среднего квадрата взаимодействия:

g2+(r_l)-l (£_!)-!„ g ^ркУи.

Гипотезу pi = р2 = ... = рг = 0 можно проверить, вычисляя отношение среднего квадрата между строками к остаточному среднему квадрату (13.48). Гипотезу об отсутствии различий между средними внутри столбцов можно проверить, используя отношение среднего квадрата между столбцами к остаточному среднему квадрату. Гипотезу об аддитивности, или отсутствии взаимодействия, можно проверить, используя отношение среднего квадрата взаимодействия к остаточному среднему квадрату. Если предполагается, что остаточные случайные величины Zt^ имеют нормальное распределение, то ^-распределения с числами степеней свободы (г—1), rc^n— 1); (с—1), гс^п—1) и (г—1)(с—1), гс^п—1) соответственно можно использовать для определения пределов значимости для этих отношений.

Случай н=1 требует особого рассмотрения. Здесь отпадает необходимость в третьем индексе / в уравнении модели (13.25). Теперь его можно записать как

^i=£H~P/4~^i~r(P^)H_|~Z/f (/ = 1,..., г; i‘ = l,..., с). (13.50)

В этом случае нет остаточной суммы квадратов и невозможно оценить сг2 отдельно от значений параметра. Таким образом, не удается определить, насколько велико наблюдаемое значение среднего квадрата, так как нельзя применить стандартную процедуру сравнения, используемую при наличии остаточного среднего квадрата.

. В этих обстоятельствах обычно поступают так, как если бы значения (р&)/г были равны нулю (для всех / и всех i), и используют модель

(13.51)

т. е. предполагают, что эффекты строк и столбцов комбинируются аддитивно. Хотя, возможно, это и не совсем точно, но такой способ действительно позволяет применять правильную форму анализа, когда средний квадрат взаимодействия

г с

5 £№г-^.-Х.г+Х.)2 /=1 1=1

(г— 1) (с— 1)

используется как остаточный средний квадрат. Если же в действительности существуют ненулевые члены, представляющие взаимодействие, они [в случае нашего уравнения модели (13.51)] входят в остаточные случайные величины Z, увеличивая тем самым значение о2 и соответственно ухудшая точность анализа. Тем не менее на основании анализа такого рода можно сделать полезные выводы, однако никакой анализ был бы невозможен, если бы мы не использовали взаимодействие как остаток. Описанная здесь процедура встречается на практике довольно часто и нередко имеет аналогичную формулировку.

Весьма распространенной формой плана эксперимента при п = = 1 является рандомизированный блочный план. Здесь нас интересует прежде всего эффект изменений уровня одного фактора Ф. Блоки представляют собой фактор, имеющий второстепенный интерес, хотя нам известно (или предполагается), что этот фактор оказывает существенное влияние на измеряемую переменную (или переменные). Чтобы учесть этот эффект, каждый уровень фактора Ф комбинируют с каждым уровнем фактора «блоки», что дает при п=1 перекрестную классификацию для двух факторов: Ф и блоки. Первоначально план такого рода был разработан для проведения сельскохозяйственных экспериментов. В этом случае блоками являются участки земли на опытном поле, и каждый участок разбивается на столько делянок, сколько рассматривается уровней фактора Ф. (Термин «делянка» обычно используется для обозначения экспериментальных единиц даже при исследованиях, не связанных с сельским хозяйством.) Разработано много вариантов и модификаций этого простого плана. Некоторые из них описаны в гл. 15.

' Можно видеть, что анализ, рассмотренный в данном разделе, позволяет исследовать эффекты изменения уровней фактора Ф независимо от изменений уровней блоков (например, дозы вно-

симых удобрений в сельскохозяйственном эксперименте), используя модель

^ — £+Y/ + Ф;+^и^ — £+Y/ + Ф;+^и(13.52)(13.52)

^ — £+Y/ + Ф;+^и

^ — £+Y/ + Ф;+^и

(13.52)

(13.52)

где t— уровень «блока», a i— уровень фактора 0.

Даже при п=\ можно проверить некоторые конкретные виды взаимодействий, как в разд. 13.14.7.

Пример 13.8. На двух соседних полях одновременно проводятся два рандомизированных блочных эксперимента, в каждом из. которых сравнивается урожайность одних и тех же пяти сортов пшеницы. Наблюдаемая урожайность в фунтах на делянку показана в табл. 13.8.

Таблица 13.8

Урожайность пшеницы

Блок

Сорт

А

в

с

D

Е

1

61

60

64

69

83

Эксперимент 1

2

65

66

66

80

83

(площадь делянки ^40 акра)

3

60

55

68

72

70

4

75

70

80

80

89

1

64

74

69

73

75

Эксперимент 2

2

60

60

63

63

70

(площадь делянки Vso акра)

3

54

51

59

50

64

4

48

55

62

67

65

(1 акр = 0,405 га)

Требуется провести анализ данных для каждого эксперимента в отдельности и проверить а) сравнимость и соответствие результатов двух экспериментов и б) относительную пригодность двух полей для проведения рандомизированных блочных экспериментов. (Пример взят из программы экзамена на степень бакалавра наук в Лондонском университёте в 1952 г.)

Результаты раздельного анализа приведены в табл. 13.9.

Поскольку в этих двух экспериментах использовались делянки различной площади, полученные наблюдения нельзя сравнивать непосредственно. В каждом эксперименте средний квадрат для сортов пшеницы является значимым, поэтому полезно составить таблицы средних для каждого сорта. Для обеспечения сравнения данные представлены в фунтах наакр (1 фунт/акр= 1,1208 кг/га). (Заметим, что оценки средних квадратических отклонений должны

Таблица 13.9

Результаты дисперсионного анализа данных об урожайности пшеницы

ИСТОЧНИК изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Средний квадрат

Эксп. 1

Эксп. 2

Эксп. 1

Эксп. 2

Блоки

3

553,2

649,0

184,4

216,3

Сорта

4

905,2

316,7

226,3

79,2

Остаток

12

160,8

214,5

13,4

17,9

Сумма

19

1619,2

1180,2

быть соответствующим образом скорректированы.) Результаты приводятся в табл. 13.10.

Для проверки сравнимости экспериментов необходимо сопоставлять остаточные средние квадраты с учетом различной площади делянок. Если каждый набор данных об урожайности выражается в фунтах на акр, то остаточные средние квадраты равны эксперимент 1: 402- (160,8/12), эксперимент 2: 502 • (214,5/12).

Отношение второй величины к первой равно 2,08 и сравнимо с F-распределением с (12; 12) степенями свободы. В данном случае уместно использовать двусторонний критерий.

Для проверки соответствия результатов исследуется, приводят ли эти два эксперимента к одинаковым выводам. Более высокие в целом оценки урожайности, полученные во втором эксперименте, на это не влияют; важное значение имеют различия в средней урожайности. В обоих экспериментах самую высокую урожайность имеет сорт Е, а сорта А и В — наименее урожайные. В отно-

Таблица 13.10

Оценка урожайности, фунт/акр

Сорт

Оценка среднего квадратического отклонения оценок

АВСDЕ

Эксперимент 1

Эксперимент 2

261025102780ЗОЮ3250

28373000316231623425

73,г( = 401/1^д®_\

\V 124 /

105,7( -бО]/214’5' \ \г12-4 /

(1 фунт/акр = 1,1208 кг/га)

шении остальных сортов на основании полученных данных нельзя сделать какие-либо определенные выводы.

На рис. 13.5 показана наблюдаемая средняя урожайность раз- личных сортов пшеницы в каждом эксперименте. (Заметим, что в. эксперименте 1 средняя урожайность должна умножаться на 40, а

Рис. 13.5. Оценка урожая для пяти сортов. (Средние по четырем блокам в каждом эксперименте.)

в эксперименте 2— на 50.) Видно, что в эксперименте 2 получена более высокая урожайность, чем в эксперименте 1, и возможно существование некоторого взаимодействия, так как отрезки С и В не параллельны отрезкам Л, D и Е.

АНАЛИЗ ПЕРЕКРЕСТНЫХ КЛАССИФИКАЦИЙ;МОДЕЛЬ КОМПОНЕНТ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим только случай п.ц = п для всех t и всех i. Используем модель (13.26):

Вместо соотношений (13.43) — (13.45) имеем

Хи — Х„ = (UL — U) + (Wf—WJ + (Z, —Z^,(13.53)

Хл -х...=(Vi-V)+(^, - w)+(Z L-zj;(13.54)

Xtt -Х,„ -X г.+Х=(^tt-Wt-W.t+W.H-

+(^-^.-^.+7..), (13.55) где U=H^Uf, V=cr^Vb Wt=c-^WU,

/=11=11=1

W.t = r^Wtb W,=(rc)-^^Wti.

/=1/=1 i=l

Соотношение (13.46) все еще приемлемо, поэтому для оценки о2— дисперсии каждой случайной величины Zin — снова можно использовать остаточный средний квадрат

г с п

Ф.-гсу^ 2 ^xtu-xtiy.

t=l i=l j=l

С помощью выражений (13.53) — (13.55) находим математические ожидания

для среднего квадрата между строками: о2+по2уГ+/гсо2ц-, для среднего квадрата между столбцами: o^nc^w+nro^vt для среднего квадрата взаимодействия: o2-Vno2w.

Эта ситуация аналогична случаю иерархической классификации, когда применима модель компонент дисперсии. Гипотезу очу = — О можно проверить путем сравнения среднего квадрата взаимодействия с остаточным средним квадратом, а гипотезы ог = 0, оу = = 0 должны проверяться путем сравнения среднего квадрата между строками или среднего квадрата между столбцами (соответственно) со средним квадратом взаимодействия.

Как и в случае иерархической классификации, именно случайный характер члена в уравнении модели, описывающего взаимодействие, вносит существенное различие в анализ. Формальная процедура проверки остается без изменения, если основные эффекты строк или столбцов будут выражены не параметрами, а случайными величинами и наоборот (т. е. получаем смешанную модель).

Важно напомнить, что если средний квадрат между строками (или между столбцами) сравнивается с остаточным средним квадратом, когда применима модель компонент дисперсии, возможным эффектом ненулевой дисперсии взаимодействия o2w может быть только увеличение средней величины отношения соответствующего среднего квадрата к остаточному среднему квадрату. Следовательно, в этом случае можно получить подтверждение отсутствия значимости. Аналогично, если сравнение среднего квадрата между строками (или столбцами) со средним квадратом взаимодействия дает подтверждение значимости, то на этот результат можно полагаться, так как, даже если бы была примени-

ма параметрическая модель с ненулевыми членами (pk^th это могло бы лишь уменьшить (в среднем) кажущуюся относительную величину среднего квадрата между строками (или столбцами). Подобные замечания относятся и к иерархическим классификациям.

Часто возникает вопрос: если средний квадрат взаимодействия не является значимым, то правильно ли объединять средний квадрат взаимодействия с остаточным средним квадратом? Если средний квадрат взаимодействия не является значимым, то отсюда не следует, что дисперсия o2w действительно равна нулю. Однако если мы принимаем гипотезу о том, что o2w=0, то имеем две оценки дисперсии о2. Объединение этих двух оценок позволяет получить оценку с большим числом степеней свободы, которую можно использовать как новый остаточный средний квадрат. Объединение среднего квадрата взаимодействия с остаточным средним квадратом должно проводиться с осторожностью и, безусловно, не должно выполняться, если первоначальное отношение средних квадратов превышает 2. Объединение осуществляется путем: сложения этих сумм квадратов и деления на суммарное число степеней свободы для получения новой оценки остаточного среднего квадрата. Возникновение систематической ошибки, получаемой при объединении, иллюстрируется следующим примером.

Пример 13.9. При перекрестной классификации 3X3 с двумя репликами сумма квадратов взаимодействия и остаточная сумма квадратов объединяются, если средний квадрат взаимодействия не является значимым при 5%-ном уровне. Предполагая, что фактически взаимодействие отсутствует, находим математическое ожидание модифицированного остаточного среднего квадрата.

Обозначим сумму квадратов взаимодействия и остаточную сумму квадратов соответственно через Sj и 5Л. Тогда, если взаимодействие действительно отсутствует, Sj имеет распределение Х24О2, а 5д распределена как %2902, где о2—дисперсия остаточного члена модели. Суммы квадратов S7 и 5д взаимно независимы. Отношение средних квадратов равно 4^/у ^н- Оно значимо при 5%-ном уровне, если -^-SifSR>F4. 9; 0,95 = 3,63. Следовательно, модифицированный остаточный средний квадрат равен

если Sz> kSR,

Vis^z+Sr), если S,<kSRl•

где &=4/э • 3,63 = 1,613. Математическое ожидание модифицированного остаточного среднего квадрата имеет вид

JJ ^SrP (Sr, SJ dSRdS;+^ V13 ($*+$,) p (SR1 S^ dSRdSP (13.56)

Sj>kSRS^kS^

Положим Х|—5^о ; х^—SjO 2. Тогда

ЗрЬЗд

-"’J Г'О ЛХ1-"’J Г'О ЛХ1х^^ е Х1^х^^ е Х1^29/2 Г (9/2)29/2 Г (9/2)х^е х^24х^е х^24dx2dx1 =dx2dx1 =

-"’J Г'

О ЛХ1

-"’J Г'

О ЛХ1

х^^ е Х1^

х^^ е Х1^

29/2 Г (9/2)

29/2 Г (9/2)

х^е х^24

х^е х^24

dx2dx1 =

dx2dx1 =

=а2 I х, —1; . | 14- -5- hxt ) e-**i/2 dx, =

J I 2’/2 г (9/2)\2 у

6

= ^(^ [2“/2 ^ +^"'1/2 Г (“^ +6 213/2 <* +^"13/2 Г (! /2)1 = =4# [18 (1 +£)-и/2+99& (1 +&)-13/2].

' Следовательно, первый интеграл выражения (13.56) равен

G2(l+Jfe)-n/2[1+U/2fe(1+^-lL

Вычисляя аналогичным способом второй интеграл и суммируя, находим, что математическое ожидание модифицированного остаточного среднего квадрата равно

а2 (1 —“/^2 (1 +^)-1з/2| =о,972о2.

Таким образом, отрицательная систематическая ошибка составляет около 3%.

ВЫЧИСЛЕНИЯ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕПРИ ДИСПЕРСИОННОМ АНАЛИЗЕ,И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

При вычислении сумм квадратов основная формула имеет вид

Односторонняя классификация к

Сумма квадратов между группами:^^ХЪ — NX2„ =

к

{XhJrn) —X^JN.

Остаточная сумма квадратов (сумма квадратов внутри групп): к п{кк п{к

S У х2»- ^^1 = S S х\—S №.м,. /=1 1=1/=1Л=1 Z=1/=1

Иерархическая классификация к

Сумма квадратов между основными группами: S NtX4 — /=1 к

—N.X\.= g ^tJN^—X\JN„.

Сумма квадратов между подгруппами внутри основных групп:

к т^&к mtк

У ^нХ^-^ХЧ.^ 2 S ^иМ -2 (X2tJNty ?=i i=ii=ii=i i=ii=i

Остаточная сумма квадратов (сумма квадратов внутри под-

к mt пЦк mtк т^ п^

групп): У У 2>ц-У Цгг^,^ У 3 5^,-- t=i j=i /=i^i 1=1/=1 i=i ,-=1

-2 5 ^н.ы.

<=11=1

Перекрестная классификация

Сумма квадратов между строками: пс ^X^t..—пгсХ2..— i=i

=2 {X^iJnc)— X2Jnrc.

С

Сумма квадратов между столбцами: пг^Х2л.—пгсХ2..,=

= T1kX\l.lnr>)—X2Jnrc. 1=1

ГСП

Остаточная сумма квадратов (внутри ячеек): 2 2 2 X2tij— i=i i=i /=1

ГСГСПГС

^П s 2Т2<1. =2 2 2 Х2нз- 2 2 <хмпу.

/=1 1=1/=1 ;=1 /=1/=1 i=\

Сумма квадратов для взаимодействия (Строки) X (Столбцы) находится путем вычитания этих трех величин из полной суммы квадратов:

2 2 f^-^J^f] 2 i,х*,„-пгСх\ = (=1 i=l /=1 i=l ,=! /=1

= 2 2 2 X‘„,-X«.Jnrc.

/=1 6=1 /=1

При п=\ остаточная сумма квадратов внутри ячеек не вычисляется, а остаточная сумма квадратов взаимодействия вычисляется как разность:

(Полная сумма квадратов) — (Сумма квадратов между строками) — — (Сумма квадратов между столбцами).

Важно иметь в виду, что суммы квадратов не меняются, если/ каждое наблюдаемое значение увеличивается или уменьшается^ на некоторую постоянную величину. Вычитая (а иногда прибавляя) соответствующую постоянную, часто можно уменьшить величину наблюдаемых значений, что позволяет сделать необходимые вычисления менее громоздкими.

Отношения средних квадратов не меняются, если каждое наблюдаемое значение умножается на некоторую постоянную. Иногда эта операция бывает полезной, но необходимо иметь в виду, что если остаточный средний квадрат должен использоваться для? оценки дисперсии о2 случайных величин Z, то необходимо следить за правильностью размерности. ‘

Очень удобным способом представления результатов вычислений является таблица дисперсионного анализа. Таблицы дисперсионного анализа уже приводились в разд. 13.6.1 и в примере 13.3.. Здесь мы дадим стандартные формы таблиц дисперсионного анализа, относящиеся к каждой из рассмотренных моделей.

Обычно таблицы дисперсионного анализа имеют четыре столбца. [Столбец «Математическое ожидание среднего квадрата»,, данный в табл. 13.4, обычно исключается; не всегда вводится дополнительный столбец для отношений средних квадратов.]

Первый столбец («Источник изменчивости») показывает, откуда появляется изменчивость, оцениваемая в каждой строке таблицы. (В приведенных ниже типичных таблицах в этом столбце употребляются общие и весьма абстрактные термины; в определенных задачах можно и нужно давать более конкретные и наглядные описания.)

Во втором столбце записывается число степеней свободы.

Третий столбец содержит числовые значения суммы квадратов. (Здесь вместо только что представленных формул для вычис-

лений даются первоначальные формулы, полученные в эксперименте.)

В четвертом столбце приводится числовое значение среднего квадрата (равное числу, записанному в третьем столбце, деленному на число из второго столбца).

Иногда второй и третий столбцы меняют местами. В табл. 13.11—13.13 показаны только первые три столбца; во втором и 'третьем столбцах записаны символы; на практике в этих столбцах проставляются соответствующие числовые значения, полученные при вычислениях.

Таблица 13.11

Результаты дисперсионного анализа при односторонней классификации

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

.Между группами

Остаток (внутри групп)

к— 1

N — k

к

^п^-Х.У t=\

к п^

/=11=1

Оумма

N — 1

fe nt

/=1 /=1

Таблица 13.12

Результаты дисперсионного анализа при иерархической классификации

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Между основными группами

Между подгруппами внутри основных групп

Остаток (внутри подгрупп)

к - 1

к ^mt—k /=1

к

/=1

к

2 Nt.(Xt„ -Х.„?

^=1

к т^

2 2 nti^ti.-xt.y

t=\ i=l

/г т^ Пц

2 2 2 М .

/=11=1 /=1

Оумма

N„ — 1

fe mt пц

2 2 3 (х«н->’

^=1 t=l /=1

Таблица 13.1$

Результаты дисперсионного анализа при перекрестной классификации

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Между строками

г—1

г

nc^^Xt.. — X..y

Между столбцами

с— 1

с

пг 2 х.г. -х ja

Взаимодействие

(строки) X (столбцы]

(Г— 1) (с— 1)

г с

и22 (Xi.-X-.-Xi.+x..)* f=k=l

Остаток (внутри ячеек)

гс^п — 1)

ГСП

2 2 2 №и+^j2 /=i i=i /=1

ГСП

Сумма

ГСП — 1

2 2 2 kxtli-x..p

/=11=1

Часто источник изменчивости описывается кратко, могут опускаться отдельные слова; кроме того, иногда не дается описание источника изменчивости для остаточной суммы квадратов. Например, при сокращенной записи левая часть таблицы для перекрестной классификации будет включать (по порядку) строки, столбцы, (строкиХстолбцы), остаток. В этом случае при n—V разумеется, нс будет суммы квадратов внутри ячеек, а предыдущая строка (строкиХстолбцы) будет называться «остаток».

Часто бывает очень полезно дополнить стандартную таблицу дисперсионного анализа оценками параметров модели. В случаепараметрических моделей они часто имеют форму оценок математических ожиданий и оценок средних квадратических отклонений этих оценок. Например, при односторонней классификации математические ожидания для группы g+?t можно оценить с помощью^ статистик Xt_. Среднее квадратическое отклонение статистики Xt. равно G^tit и его можно оценить как

Достаточный средний квадрат)lnt.

(Эта оценка не является несмещенной, но ее смещение не оказывает серьезного влияния.)

В случае модели компонент дисперсии не имеет смысла давать таблицы статистик, подобных наблюдаемым средним для!

трупп, так как они не позволяют оценить параметры модели. С другой стороны, можно попытаться получить оценки дисперсий различных составляющих. Например, в случае односторонней классификации [см. формулу (13.13)]

Е (Средние квадраты между группами)—.

—Е (Средний квадрат внутри групп)=

(

ft \

N_N-^n\ U-l)-^,у

поэтому статистика

[(Средние квадраты между группами) — (Средний квадрат внутри групп)]

N — N'1 ^ n=t (ft - 1)-1/=1 у

является несмещенной оценкой для о2у. (Следует заметить, что эта оценка может давать отрицательные значения. Если вместо них использовать нуль, то определенно получим значение, более близкое к истинному значению о2и, хотя эта модифицированная сценка уже не будет несмещенной, т. е. ее среднее значение в продолжительной серии экспериментов не будет стремиться к с2и.)

Пример 13.10. Для определения коэффициентов теплового расширения спеченных прессовок из титанового сплава были изготовлены 16 прессовок (табл. 13.14). Оми представляли четыре

Таблица 13.14

Значения коэффициентов теплового расширения

Способ обработки

Сплав

А

в

с

D

1

4,78

3,84

5,82

4,57

4,28

5,28

5,77

5,44

2

4,46

4,73

4,76

4,30

4,79

3,36

3,31

3,86

Оумма

18,31

17,21

19,66

18,17

сплава, или состава, каждый из которых был изготовлен двумя различными способами (способы обработки 1 и 2). Математическая модель этого эксперимента с перекрестной классификацией,

когда все члены уравнения модели являются параметрами, имеет вид

^ijk — ^ + ai +TJ + (aT)ij A'^iik'

где i = l,...» 4; / = 1,2; fe = l,2; ^а-^^^ <aT^ = S ^

В табл. 13.15 наряду с числовыми значениями представлены формулы для вычислений. Для проверки значимости в случае эксперимента с полностью перекрестной классификацией и параметрической модели каждый из средних квадратов равен

для сплавов: 0,2541/0,4603< 1 (результат не является значимым),

для способов обработки: 5,24 С/7^; 0,95 ( = 5,32)

Таблица 13.15

Результаты дисперсионного анализа для данных о тепловом расширении

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свобо- : ды

Средний квадрат

4

Сплавы

8д = V42 xL — ViX.. = 0,7623

3

0,2541

1=1

Способы обработки

2

S1 = Vs 2 ^2V. — 4MX\. = 2,4103

1

2,4103

Взаимодействие (Сплавы) X (Способы обра

Sat = ^22 ^ * ^4 2 ^- ~

ботки)

i /i

-V82X7+l/ie^.. = 1,8171

3

0,6057

i

Остаток

Разность 5^ = 3,6825

8

0,4603

Сумма

s= 22^-*-)2=

= 22^/fe-I/i«x2-=8'6722

15

Следовательно, эффект способа обработки ниже 5%-ного уровня значимости. Взаимодействие эффектов сплава и способа обработки не оказалось значимым (отношение равно 1,32).

5—1325

Поскольку существуют различия между способами обработки, ниже приводятся оценки средних для способов обработки и оценка их средней квадратической ошибки:

Способ обработки 12

Оценка среднего 4,974,20

каждого среднего длякаждого среднего дляОценка средней квадратической ошибки способов обработки равна У0,4603/8 = 0,24.

каждого среднего для

каждого среднего для

Рис. 13.6. Средние по двум наблюдениям для каждой комбинации «сплав — способ обработки».Рис. 13.6. Средние по двум наблюдениям для каждой комбинации «сплав — способ обработки».

Рис. 13.6. Средние по двум наблюдениям для каждой комбинации «сплав — способ обработки».

Рис. 13.6. Средние по двум наблюдениям для каждой комбинации «сплав — способ обработки».

Рис. 13.6, на котором изображены графики средних по двум наблюдениям для каждой комбинации сплава и способа обработки, показывает особенности данных, которые не проявляются наглядно при дисперсионном анализе. Для сплава А переход от первого способа обработки ко второму незначительно изменяет коэффициент теплового расширения, но для каждого из остальных трех сплавов наблюдается заметное уменьшение этого коэффициента (что отражается в значимом эффекте способа обработки). Этот эффект взаимодействия не является настолько сильным, чтобы достигнуть уровня значимости, но заслуживает дальнейшего исследования.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Таблицы средних

Хотя таблица дисперсионного анализа содержит результаты вычислений в форме, удобной для использования, а формальные проверки значимости дают сведения о структуре исследуемых со-

йокупностей, этой информации часто бывает недостаточно для полного анализа данных. В частности, нередко нас интересует выявление фактических источников различий, обнаруживаемых при значимых результатах сравнения отношений средних квадратов с ^-распределением.

Рассмотрим в качестве примера случай односторонней классификации при наличии к групп и п наблюдений в каждой группе, когда применима параметрическая модель

Xti = lt+Zt(.

Разумеется, важно знать, подтверждают ли данные справедливость гипотезы 51 = ^2 = ... = ^н. Кроме того, часто бывает желательно определить, где именно различия заметны и не являются ли некоторые значения g равными (или почти равными) друг другу.

Статистиками, помогающими выполнить это исследование, являются наблюдаемые средние групп Хь Х2, *.., Хк и оценка среднего квадратического отклонения (оГ^п) каждого из этих наблюдаемых средних. Эти статистики удобно представить в виде «таблицы средних»:

Группа 123.../... kt

Среднее Х^е ^2.Х3,• • •• • •^к. *

Оценка среднего квадратического отклонения —

-рЛОстаточный средний квадрат

Таблицы такого рода приводятся в примерах 13.8 и 13.10.

Неплохо составлять такую таблицу во всех случаях, когда применима параметрическая модель. (Если число наблюдений в каждой группе неодинаково, то для каждой группы необходимо находить отдельную оценку среднего квадратического отклонения, равную уОстаточный средний квадрат/^.) Часто бывает удобно перейти от единиц, в которых зарегистрированы наблюдения, к другим, понятным единицам. Например, при определении предела текучести можно перейти от г/см3 к фунт/куб. фут. В любом случае (независимо от того, производится ли замена единиц) в таблице средних должны четко указываться единицы измерения, и необходимо следить за тем, чтобы оценки среднего квадратического отклонения были в этих же единицах.

Совместные доверительные интервалы

Доверительный интервал для разности между двумя математическими ожиданиями ^ и gr, выбранными до анализа данных, может быть задан путем непосредственного применения метода, 6*

описанного в разд. 7.4.3. Для разности g;—gf,100(l—а)°/о-ные доверительные пределы имеют вид

Xt.—Хр. ± /V; i-a/2 J/ (Остаточный средний квадрат)

(13.57>

где v — число степеней свободы остаточной суммы квадратов (равное N—& в случае односторонней классификации). Допустим, однако, что необходимо задать доверительные интервалы для каждой из (2 ) различных разностей (^—§г). Если используются пределы типа представленных в виде выражения (13.57), то можно ожидать, что около 100(1—а) % интервалов будут содержать, соответствующее значение. Однако можно рассматривать ( £) интервалов как некоторое множество и задавать вероятность того, что каждый из этих доверительных интервалов точен. Если требуется, чтобы эта вероятность была равна 100(1—а) %, то налагается явно более строгое условие, чем просто задание доверительной вероятности, равной 100(1—а) % для каждого отдельного доверительного интервала. Большая строгость компенсируется большей длиной каждого интервала в соответствии с описанной ниже процедурой.

Рассмотрим отношение

q^ =Размах Х2,...,^.)= W

’ Оценка среднего квадратического отклонения каждого среднего X S Vа *

где S= (Остаточный средний квадрат)1^. Случайная величина S имеет распределение ov'1/2-(x с v степенями свободы), где v — остаточное число степеней свободы.

Если ^1 = ^2 = ... = ^, то

VnW=Pa3waxVVnXv, VnX2,-» /« ^)

не зависит от S и имеет распределение о- (Размах fe независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратическим отклонением.) Тогда распределение отношения Qv.v будет зависеть только от & и v (а не от а); оно называется распределением стьюдентизированного размаха.

Имеются таблицы верхних процентилей этого распределения, дающие такие значения q^, i-a, что

Pr [Qa?»v< 4k, v, i—a] = 1Для a —0,01 и a —0,05. (13.58)

(см. табл. И приложения).

.Модель, план и анализ

В общем случае отношение размаха величин Xi.—gi, Xi.—g2, ...

Ха.—&t к (Sfn) распределено как Qa,v, а выражение (13.58) можно записать в следующем виде:

Рг [Размах^. —=!,..., Xfe — ^) < qk, v, ^S/Vn ] = 1 — a. (13.59)

В свою очередь это выражение можно записать как

Рг [ X,. - X/, qAxJ^l < g ^, < xL - Хр. + V п

^к, у, 1—а $Vn*^к, у, 1—а $Vn*для всех t^ t — 1—а.для всех t^ t — 1—а.

^к, у, 1—а $Vn*

^к, у, 1—а $Vn*

для всех t^ t — 1—а.

для всех t^ t — 1—а.

Иными словами, множество доверительных интервалов

Хе — Хр, — ^^^-<L — Ip < X, — Xv 4-(13.60)

’У п*у п

для всех t^f будет точным с вероятностью 1—а.

Хотя длина стандартного доверительного интервала (13.57) равна 2/v, x-a^S^n, каждый из интервалов (13.60) имеет длину 2^^, \-a,Sl^n. Отношение длины первого интервала к длине второго равно

V^, 1-а/2Ж v, 1—а-

Некоторые числовые значения этого отношения (для а = 0,05) приведены в табл. 13.16. Можно показать, что большая строгость интервала (13.60) компенсируется его большей на 50% шириной, чем у соответствующего интервала (13.57).

Следует заметить, что описанный выше метод построения совместных доверительных интервалов приемлем только в том случае, когда параметры (в данном случае ^—^г ) оцениваются с помощью статистик (в данном случае Xt.—Xt*?^ которые взаимосвязаны определенным образом. Другой метод построения необходим, когда множество параметров {9;} оценивается с помощью множества взаимно независимых случайных величин {У;}, распределенных по нормальному закону, например {gj и {XV}, как в случае, рассмотренном в данном разделе. Затем необходимо использовать распределение отношения

Q к, v — шах | Y t 0Z |/Sv,

где Уь У2, „„ Yr — взаимно независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону со средними 0Ь 02, ..., 9к соответственно и общим средним квадратическим отклонением о, а

у не зависит от случайных величин У/ и имеет распределение

7}v,g2N. Поскольку величина (|Yt—ej/Sv)2 распределена как X2i/%2v/v, где эти %2 взаимно независимы, верхние пределы значи-

Таблица 13.16

Отношение длины стандартного доверительного интервала к длине совместного доверительного интервала (при к=2 отношение равно 1)

V

к

3

4

5

6

7

8

8

0,807

Л 0,720

0,667

0,631

0,604

0,582

10

0,812

0,723

0,676

0,642

0,615*

0,594

12

0,817

0,734

0,683

0,649

0,623

0,602

15

0,821

0,739

0,690

0,655*

0,630

0,610

20

0,824

0,745

0,696

0,663

0,639

0,618

24

0,827

0,748

0,700

0,668

0,643

0,624

30

0,829

0,751

0,702

0,671

0,647

0,627

60

0,832

0,756

0,711

0,680

0,656

0,637

мости отношения Q^.v можно вычислить как корни квадратные значений, приведенных в табл. 19 книги Пирсона и Хартли [13.10]. Некоторые из этих значений даны в разд. 15.2.5. Извлекая из них квадратные корни, вычисляем множества совместных доверительных интервалов Yt—qX^, 1-а5¥<9^<У^+<7'ь, v, i-aSv (^=1, 2, ...Л).

Проверки однородности дисперсий

При использовании стандартных методов дисперсионного анализа должно удовлетворяться условие 3 из разд. 13.4. Если нет уверенности в том, что данное условие выполняется, следует провести проверку однородности дисперсий для остаточной изменчивости. Например, при односторонней классификации с моделью

^/i=^ + V/+^/? 1см- формулу (13.5)]

может потребоваться проверить, изменяется ли Уаг^н^о^ в различных группах (т. е. проверить гипотезу o2i = o22 = ... = о2^. Для проверки этой гипотезы можно использовать составляющие

s^^-x^i =1

суммы квадратов внутри группы. Если случайные величины Z распределены по нормальному закону, то составляющие St распределены как [%2 с (nt—1) степенями свободы] о2л Может иопользо-

ваться проверка, описанная в разд. 8.4 (или проверка, описанная в разд. 9.6.5, если требуется более робастный критерий).

Чтобы избавиться от серьезных сомнений в приемлемости стандартного метода, должно быть веское подтверждение значительной однородности дисперсий. По этим причинам при данной проверке часто используется очень малый (численно) уровень значимости (порядка 0,1%). Если же объемы выборок /и, ..., пн велики, то могут использоваться большие уровни.

Проверка однородности дисперсий с помощью критерия отношения правдоподобия требует выполнения весьма сложных вычислений, особенно если групп много. Разработаны другие методы с использованием критериев, требующих более простых вычислений. Наилучшими из них являются следующие:

Критерий Кочрена с использованием отношения (Макси- k

мальное значение SO^jSf,

проверка с использованием в качестве критерия отношения (Максимальное значение St)/(Минимальное значение St).

Эти проверки можно проводить только в том случае, когда каждая оценка дисперсии основана на одном и том же числе степеней свободы v, что имеет место в том случае, если п^п2 = ...= = Пк. Пределы значимости для каждого из этих критериев даны в табл. 13.17.

Таблица 13.17

Верхние 1-е процентили для быстрой проверки однородности дисперсий1)

Число степеней свободы каждой оценки (v)

Число дисперсий

4

5

6

7

8

9

10

2

0,864

0,788

0,722

0,664

0,615

0,573

0,536

3

0,781

0,696

0,626

0,568

0,521

0,481

0,447

Критерий

4

0,721

0,633

0,564

0,508

0,463

0,425

0,393

Кочрена

6

0,641

0,553

0,487

0,435

0,393

0,359

0,331

8

0,590

0,504

0,440

0,391

0,352

0,321

0,294

10

0,554

0,470

0,408

0,362

0,325

0,295

0,270

(6)

2

729

1036

1362

1705

2063

2432

2813

Критерий

3

120

151

184

216

249

281

310

Max St

4

49

59

69

79

89

97

106

Min S,

6

19,1

22

25

27

30

32

34

8

11,7

13,2

14,5

15,8

16,9

17,9

18,9

10

8,6

9,6

10,4

11,1

11,8

12,4

12,9

.. ^.Перепечатано с разрешения издателей из книг: Eisenhart, Hastay, Wallis, Techniques of z^ustical Analysis, New York — London, McGraw-Hill, 1947; Pearson, Hartley, Biometrika sanies, Cambridge University Press, 1958.

У этих критериев, как и у критерия правдоподобия, в равной степени отсутствует робастность в отношении отклонений от нормального распределения. Если возможны существенные отклонения, то при использовании этих критериев необходима особая осторожность. Важно иметь в виду, что большие значения коэффициента формы «4 (или р2) обычно приводят к увеличению значимости, а малые (меньше 3) —к уменьшению.

Пример 13.11. Прежде чем проводить дисперсионный анализ для однофакторного эксперимента, было решено исследовать справедливость допущения об однородности дисперсий. Существует семь уровней фактора, каждый с девятью репликами. Дисперсии имеют следующие значения: 6,24; 5,16; 6,34; 8,26; 5,93; 5,74; 5,86. С помощью критерия Кочрена проверяем гипотезу о том, отличается ли значимо наибольшее значение дисперсии от остальных. Вычисляем отношение

Sf (max) J 2^ = 8,26/45,53 = 0,190.

Сравнивая его с верхним 1%-ным критическим значением для семи дисперсий при v = 8 (0,391), делаем вывод, что нет достаточных оснований для отклонения гипотезы о равенстве дисперсий.

*13.14.4. Преобразование переменных

Если оказывается, что стандартные методы неприемлемы, можно рассмотреть возможность преобразования первоначальных данных таким образом, чтобы преобразованные переменные больше подходили для стандартных методов анализа.

Формально мы заменяем наблюдаемые переменные Хн значениями математической функции величин Хн» например g^Xt^. Желательно выбрать такую функцию g(Xti), чтобы новые переменные Yti = g(Xti) имели почти однородные дисперсии.

Используем метод «статистических дифференциалов», чтобы получить соответствующие формы функции g(X). Разлагая функцию gW в ряд Тейлора относительно Х=Е(Х^ имеем

g (X) =g VE (X)+{Х-£ (X)} ] ^g [E (X)] +

+ (X-f (X)} g' [E (X)] +1/2!) {X—E да g" [5 (X)] + • • •. Беря математические ожидания от обеих частей этого уравнения, находим

Е Yg (X)] ^ g [Е (X)] + 1/2Var (X) - g" \Е (X)].

Полученное уравнение является приближенным по двум причинам. Во-первых, опущены члены ряда более высокого порядка, а

во-вторых, в процессе взятия математических ожиданий предполагается, что X изменяется во всей области значений, и по крайней мере в некоторой части области ряд может не сходиться. Однако при использовании этого результата получаем

g(_X)—E\g(Xyi«{X—Е (X)}g' [£ (X)]-)-Члены второго и более

высокого порядка относительно {X —Е (X)}.

После возведения в квадрат и взятия математических сжиганий имеем

Var [g (X)] « Var (X) • (g' [E (X)]}2.(13.61)

Хотя уравнение (13.61) является лишь приближенным, оно служит полезной основой для выбора соответствующих преобразований в тех случаях, когда дисперсия исходных случайных величин X является (приближенно) известной функцией от Е^ХУ При^М(Х^куЕ(Ху

из соотношения (13.61) видно, что g(X) имеет приближенно постоянную дисперсию, если /г[£* (JT) ] {^z[£* (X) ]}2 = const. Это означает, что функция g(X) должна быть такой, что

g- (Х)~[й(Х)г'/2

ИЛИ

X

g (X) ~ J[й (х)]-,/2 Ох.(13.62)

Например, если среднее квадратическое отклонение случайной величины X пропорционально ее математическому ожиданию, то функция А (х) пропорциональна х2, и из соотношения (13.62) следует, что

х

g(X) ^Jx-4x = lnX.

Поэтому рассмотрим использование преобразования 1пХ (или IgX, так как IgX пропорционален 1пХ).

В качестве еще одного примера рассмотрим случай, когда исходная случайная величина X имеет распределение Пуассона. В этом случае дисперсия равна (или пропорциональна) математическому ожиданию, поэтому функция /?(х) равна (или пропорциональна) х, и из соотношения (13.62) следует, что

х

g(X) ~ jV^x-j/X.

Таким образом рассматривается использование преобразования ИХ..

Таблица 13.18

Преобразования, выполняемые для обеспечения однородности дисперсий(в этой таблице X — постоянная величина)

Дисперсия, выраженная через среднее (0)

Преобразование

Приближенное значение дисперсии в новом масштабе

Соответствующее распределение

е

Г Ух (или Тх+3/в для ма-

0,25

Пуассона

ало

^лых целых чисел)

0,25 X2

Эмпирическое

202/(п—1)

In X

2/(n — I)

Выборочные дисперсии

Х292

Jinx, 1п(х4-1)

Ug*. 1g (x+O

X21

0,189 X2 J

Эмпирическое

0(1—0)/п

1 arcsin Ух (радианы) t arcsin Ух (градусы)

(или arcsin V n + 3/4 для малых целочисленных x]a

0,25/п

821/п

Биномиальное

M2(l— 9)2

In [x/(l—x)]

Х2

Эмпирическое

(1-02) =/(„_!)

V2ln[(l+x)/(l-x)]

1/(«-3)

Выборочные корреляции

е+х20г

X-1 Arsh [ОД

0,25

Отрицательное биномиальное

Несколько случаев приводится в табл. 13.18.

Следует иметь в виду, что эти преобразования являются лишь приближенными. Более детальное исследование позволило получить несколько видоизмененные преобразования, имеющие более высокую эффективность. Некоторые из этих модифицированных преобразований указаны в табл. 13.18, составленной на основе таблицы, приведенной в статье: Bartlett М. S., The Use of Transformations, Biometrics, 3 (1957).

*13.14.5. Сокращенные методы и разделение средних

Разработан ряд методов, направленных на сокращение объема вычислений, необходимых для применения критериев при дисперсионном анализе. В частности, некоторое внимание было уделено

исключению вычислений сумм квадратов. Здесь будет описан один такой метод, основанный на использовании выборочных размахов применительно к односторонней классификации. Данный метод был обобщен на случай более сложных планов. (Хороший обзор этих методов дан в статье Хартли [7].) Однако по мере усложнения планов эксперимента все более затрудняется применение этих методов. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда число наблюдений в каждой группе одинаково.

Если используется вторая аппроксимация из разд. 6.9, то средний квадрат между группами можно заменить размахом средних внутри групп, а средний квадрат внутри групп — средним размахом внутри групп. Отношение

(13.63)(13.63)Vтг-Размах (Х1}..., Х^-

(13.63)

(13.63)

&-1 У [Размах в /-й группе]

t=l приближенно распределено как

[^2 №/^2 Wl ^v2 (A), Av2 (rf;w

если нет различий между группами. [Здесь c2(n), v2(^) используются для обозначения значений с2, v2 из разд. 6.9 как функций объема выборки /г.] Если знаменатель выражения (13.63) заменить квадратным корнем из среднего квадрата внутри групп, то это отношение будет распределено как стьюдентизированный размах Qk, h(n-i), если нет различий между группами.

Отношение такого вида не позволяет существенно уменьшить объем вычислений, но оно является основой эвристического метода разделения групп по множествам, которые однородны внутри, но отличаются друг от друга. Значимость Е-отношения указывает лишь на то, что существуют некоторые различия между группами. Часто бывает необходимо знать, в чем именно состоят эти различия. Для определения их нет единого «наилучшего» метода, но один из используемых методов основан на статистике

Vп-(Размах средних в группах)"Достаточный средний квадрат *

Вначале используется размах для всего множества, содержащего £ средних. Если он является значимым, то проверяется каждое из двух множеств, содержащих (^—1) средних и полученных путем отделения двух крайних значений. Если одно множество является значимым, а другое нет, то экстремальное значение в значимом множестве отделяется как отличающееся, и процесс прекращается. Однако если оба множества являются значимыми, то исключаются оба экстремальных значения, и процесс продолжается с оставшимися (&—2) средними.

Этот метод был модифицирован Дунканом [5], который использовал уровень значимости, зависящий от числа проверяемых средних. Действительно, если «номинальный уровень» равен а, то для множества, состоящего из р средних, используется предел значимости qPiV, ар при ар=1—(1—ар-1. Кроме того, распределение по группам производится в соответствии со следующим правилом:

«Любые две группы рассматриваются как различные, если отношение Q для множества, в котором их средние представляют собой реальные значения, является значимым, но ни в одной паре средние не рассматриваются как различные, если какое-либо множество (последовательных средних), к которому они принадлежат, дает незначимое отношение Q».

Данный метод может давать перекрывающиеся различные множества (как в примере 13.12). Интерпретация этих результатов состоит в том, что, хотя отмечается наличие множеств с различиями, имеющихся данных недостаточно, чтобы обосновать существование определенного распределения некоторых групп в отдельных множествах.

Предложен ряд других методов решения этой задачи. Поскольку возможные условия меняются в очень широких пределах, нельзя сказать, что какой-либо один метод является «оптимальным». Поэтому будет рассмотрен только метод, дающий на практике хорошие результаты и основанный на методе, предложенном Тьюки [11].

Сначала проводится упорядочение средних в группах по величине. Затем проверяются соседние средние на значимость разностей. Распределение таких разностей является очень сложным, даже если отсутствует реальное различие между средними в группах, но в качестве грубого приближения полагается, что разности, превышающие

(13.64)(13.64)—а/2 \

(13.64)

(13.64)

п

с по-(13.65)с по-(13.65)(где S2V — остаточный средний квадрат, основанный на v степенях свободы), являются значимыми. Затем каждое множество соседних средних проверяется на экстремальные значения мощью критерия

с по-

(13.65)

с по-

(13.65)

Vп max | Xt.—Среднее значение средних Xt. множества |

Пределы значимости для этого критерия даны в книге Пирсона и Хартли [10, с. 173]. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут наблюдаться экстремальные значения. (Если, с одной стороны, в множестве выделяется более двух экстремальных значений, то они образуют новое множество, которое должно отдельно проверяться на экстремальные значения.)

В только что описанных методах номинальный уровень значимости а не имеет непосредственной интерпретации через вероятность ошибки. Увеличивая а, получаем большее число явно «различных» множеств, и наоборот.

Пример 13.12. Проводились испытания 10 различных типов разрабатываемых клеев. Эти клеи используются при изготовлении стекловолокна путем послойного формования. Для определения прочности клеевого соединения проводились испытания на растяжение. Испытывались пять образцов каждого клея. Следовательно, общий объем выборки равен 50. При дисперсионном анализе были обнаружены значимые различия между средними для клеев. Остаточная дисперсия, равная 1,59, имеет 40 степеней свободы. Отдельные средние (расположенные в убывающем порядке) равны 21,6; 21,3; 19,6; 17,2; 16,3; 15,4; 15,3; 15,1; 14,4; 14,2. Можно ли разбить эти средние по отдельным классам?

При использовании метода Тьюки [11] критическая разность [вычисляемая по формуле (13.64) при а = 0,05] равна

=у2-2,021 1/=1,61.

у пГ

Следовательно, мы разделяем средние 21,3 и 19,6; 19,6 и 17,2. Далее необходимо рассмотреть множество средних от 17,2 до 14,2. Среднее этих семи средних равно 15,41. Максимальное отклонение от этого значения равно 17,2—15,41 = 1,79. Оценка среднего квадратического отклонения каждого среднего равна У1,59/5 = 0,564.

Затем отношение 1,79/0,564 = 3,17 сравнивается с распределением экстремального стьюдентизированного отклонения [10, с. 173] при п = 7, v = 40. Соответствующий верхний 5-й процентиль равен 2,37, поэтому наблюдаемое значение значимо, и среднее 17,2 отделяется от множества, содержащего семь средних. Среднее оставшихся шести средних значений равно 15,12. Наибольшее отклонение от этого значения равно 16,3—15,12=1,18. Значение стьюдентизированного экстремального отклонения равно

1,18/0,564 = 2,09.

В данном случае (я = 6, v = 40) соответствующий верхний 5-й процентиль равен 2,28, поэтому наблюдаемое значение не является значимым.

При применении этой процедуры получаем следующие данные:

21,6 и 21,3образуют одно множество

19,6образует второе множество

17,2образует третье множество

16,3; 15,4; 15,3; 15,1; 14,4; 14,2 образуют четвертое множество

При использовании метода Дункана при номинальном уровне значимости а = 0,05 необходимы следующие значения:

р234^р; 40; ар2,863,013,10Яр-. 40; apV 1 Л9/51,611,701,75р234^р; 40; ар2,863,013,10Яр-. 40; apV 1 Л9/51,611,701,7556789103,173,223,273,303,333,351,791,821,841,861,881,8956789103,173,223,273,303,333,351,791,821,841,861,881,89

р

2

3

4

^р; 40; ар

2,86

3,01

3,10

Яр-. 40; apV 1 Л9/5

1,61

1,70

1,75

р

2

3

4

^р; 40; ар

2,86

3,01

3,10

Яр-. 40; apV 1 Л9/5

1,61

1,70

1,75

5

6

7

8

9

10

3,17

3,22

3,27

3,30

3,33

3,35

1,79

1,82

1,84

1,86

1,88

1,89

5

6

7

8

9

10

3,17

3,22

3,27

3,30

3,33

3,35

1,79

1,82

1,84

1,86

1,88

1,89

В последней строке приведены значения предела значимости для размахов'множеств р последовательных средних.

Заметим, что 1) все размахи с пределом 21,6 являются значимыми, за исключением размаха (21,6; 21,3); 2) все размахи с верхним пределом 21,3 являются значимыми; 3) все размахи с верхним пределом 19,6 являются значимыми. Следовательно, 21,6 и 21,3 образуют одно «множество», а 19,6 образует другое «множество».

Затем находим, что 4) все размахи с верхним пределом 17,2 являются значимыми, за исключением размаха (17,2; 16,3); 5) размахи от 16,3 до 17,4 и от 16,3 до 14,3 являются значимыми и 6) ни один другой размах не является значимым. Итак, окончательно получаем следующее распределение по «множествам»:

1-е:21,6;21,3

2-е:19,6

3-е:17,2;16,3

4-е:16,3;15,4;15,3;15,1

5-е:15,4;15,3;15,1;14,4;14,3

Заметим, что в данном случае множества не являются разделенными. Имеет место некоторое перекрытие, а это отражает тот факт, что мы не располагаем информацией, достаточной для того, чтобы провести распределение данных по полностью разделенным множествам.

*13.14.6. Проверка остатков

В любой модели, подобной (13.1), полезно исследовать значения оценок остатков, получаемых путем вычитания из соответствующих наблюдаемых значений оценок первых двух членов правой части. Четко различимая регулярность этих остатков может быть результатом некоторой неадекватности модели, например следствием игнорирования более или менее важной определяемой причины. Помимо регулярности форма распределения может указывать на отклонения от стандартных допущений. Например, сравнительно большие (положительные или отрицательные) остатки в какой-либо одной группе (или большего числе групп) указывают на отклонение от однородности дисперсий; более глубокое ис-

следование позволит раскрыть причину отклонений от нормального распределения и т. д.

Вычисление отдельных значений остатков весьма трудоемкий процесс, но большинство машинных программ для дисперсионного анализа обеспечивает (обычно в качестве дополнительных операций) вычисление остатков и представление результатов.

Пример 13.13. Для данных эксперимента 1 в примере 13.8 остатки

Хя-^+р^^^^-^-Хл+Х.

даны в табл. 13.19. Заметим, что знаки остатков (в одном и том же блоке) для сортов Д и С и для сортов В и Е совпадают. В случае необходимости можно провести исследование, чтобы установить, существует ли сходство между сортами А и С или В и Е, что

Остатки

Таблица 13.19

Блоки

Сорт

АВСDЕ

1

2

3

4

—0,850,65—2,10—2,855,15

—1,452,05—4,703,550,55

0,55—1,954,302,55—5,45

1,75—0,752,50—3,25—0,25

может оказаться полезным. Прежде чем эти эффекты, обусловленные имеющимися данными, могут быть установлены статистически, потребуются результаты последующих экспериментов, спланированных для проверки этого конкретного вопроса.

*13.14.7. Проверка члена, выражающего взаимодействие

Тьюки [12] построил критерий для проверки гипотезы 6^0 в случае модели

^1 = ь + Р^ + ^+6рА+^р

где /=1, ..., г; f=l, ..., с; S^i^O; Zh— независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону; Е (2/г)=0; Var(ZH)=o2. Этот случай соответствует перекрестной классификации при лг=1 (см. разд. 13.11), когда невозможно проверить общий член вида (рй)/г, выражающий взаимодействие.

Метод Тьюки по существу состоит в вычислении выборочной регрессии остатков

Xd — 6 — pz—кх = Хи — Xt — Х4 + Х_

на р^СХ.-Х.ИХд-Х.).

Получаем следующую оценку для 0:

2 2 (xt. - xj ^хЛ - X.) (Xti - Xt - ХЛ + XJ

9= ——‘.

2 2 ^-Х.ЗЦХд-Х.У t i

[Знаменатель равен 2 №.—Х..)22 (Хд—X..)2.]

Математическое ожидание оценки 0 равно 0, а ее дисперсия при условии, что разности {Xt.—X.., X.i—X..} постоянны, имеет вид

o^x-XT^Xi-x.)2]"1,

Критерий строится путем разбиения стандартной остаточной суммы квадратов

5д=2 2(^-^-^+Х.)2

на составляющие

Se = 92 2 (Х.-Х.)22 (Xi-X.)2

с одной степенью свободы (сумма квадратов, обусловленная 0) и разность SR—S с (г—1)(с—1) — 1 степенями свободы [(новая) остаточная сумма квадратов].

Мандель [8] показал, как проводить проверку значимости членов типа Q'p'tk'i или даже O'pWi+Q'V'^"^..., выражающих взаимодействие, когда р\ и к\ не обязательно должны быть равны pt и кг соответственно.

ЛИНЕЙНЫЕ СРАВНЕНИЯ

В гл. 12 были рассмотрены свойство ортогональности и ортогональные составляющие. Изложим теперь метод разбиения сумм квадратов, например с (р—1) степенями свободы, на (р—1) отдельных сумм квадратов, каждая с одной степенью свободы.

Остановимся только на чисто параметрических моделях и, кроме того, проведем различие между количественными и качественными факторами. Разумеется, в случае количественных факторов имеем более или менее точные измерения. Например, это может быть температура — 30, 50, 70°C; время— 10 мин, 1 ч, 3 ч; водородный показатель pH — 3,90; 4,35; 5,25; 6,73; плотность, частота, размер и т. д. В случае качественных факторов имеем уровни 1, 2, Зит. д., но отсутствует способ упорядочения уровней на некоторой шкале. Например, это могут быть лаборатории — Л, В и С; фирмы— X, У, Z, ...; сорта стали — ХВ, UR, VV, ...; термометры 1, 2, 3Измерительный прибор, рабочее место, станок обычно представляют собой качественные факторы.

Количественные факторы

Одним из способов разделения р—1 степеней свободы для сравнения р уровней фактора является использование коэффициентов ортогональных многочленов, введенных в разд. 12.5.3. Получаемые суммы квадратов являются ортогональными, но не всегда можно вложить в них естественный смысл. Если уровни определены количественно и являются равноотстоящими, то различные составляющие эффекта можно интерпретировать как суммы квадратов, обусловленные линейными, квадратичными и др. компонентами регрессии отклика на фактор. Например, в эксперименте, где температура находится на уровнях 30, 50 и 70 °C, нас может интересовать линейный и квадратичный эффекты температуры. Допустим, что уравнение модели имеет вид

а общее число наблюдений при каждом уровне температуры равно Xi, Х2 и Хз соответственно. Коэффициенты ортогональных полиномов для трех уровней равны:

Линейные—101

Квадратические 1—21

Линейная составляющая суммы квадратов для температуры имеет вид

[(-1)4- 0 Х, + 1 Х3.]2 (хз _ хгу

^ [(—1)2 + 02+12J~ 2л

где п— число реплик для каждого уровня, если значения щ одинаковы. Квадратичная составляющая имеет вид

/ з \2

V=I(1-^1 — 2-Х, + 1Х3)2^! — 2Х, +%з)2

3“ п [12 + (—2)2+ Pj ~ &г

1=1

(Следует заметить, что стандартные таблицы коэффициентов ортогональных полиномов применимы только в том случае, когда уровни являются равноотстоящими. В остальных случаях требуется специальное вычисление коэффициентов.)

В общем случае при одинаковом числе реплик проводится процедура, включающая:

планирование эксперимента, производимое таким образом, чтобы существовала постоянная разность между соседними уровнями (на некоторой шкале) рассматриваемых количественных факторов;

определение числа уровней фактора и получение ортогональных коэффициентов для линейных, квадратичных и др. эффектов;

вычисление отдельной суммы квадратов для каждой составляющей

(SaA-)2

где г = 1, ..., р— число уровней фактора, Хг.— сумма для /-го уровня фактора, at — коэффициенты ортогональных полиномов, п — число реплик. Значения коэффициентов ортогональных полиномов для уровней с 3-го по 7-й даны в табл. 13.20.

Таблица 13.20

Значения коэффициентов ортогональных полиномов для трех, четырех, пяти, шести и семи равноотстоящих точек

(3)

5152

(4)

fl 42

(5).

5151 5з 5д

(6)

4, 424, 4. 4s

(7)

51 52 53 54 55

-1 +1

0 -2

+ 1 +1

-3 +1 -1

-1 -1 4-3 4-1 -1 -3

4-3 4-1 4-1

-2 4-2 -1 4-1

-1 -1 4-2 -4

0 -204-6

4-1 -1 -2 -4 4-2 4-2 4- 1 4-1

-5+5-54-1-1

-3-1+7-34-5

-1-44-44-2-10

+ 1-4-44-24-10

+3_!-7-3-5

4-54-54-54-14-1

-34-5-14-3-1

-204- 1-74-4

-1-34-14-1-5

0-404-60

4-1-3-1-и4-5

4-20-1-7-4

4-34-54- 14-34-1

Р 26

204 20

101410 70

70 84180 28 252

28846 15484

D-сумма квадрантов б соответствующем .столбце

Пример 13.14. При изучении полиэтирификации жирных кислот с помощью гликолей исследовалось влияние концентрации катализатора к и температуры т на степень превращения Хць процесса полиэтерификации в процентах. Была подготовлена полная выборка объема 18 с тремя уровнями концентрации (4-10"4, 8Х ХЮ-4 и 16-10-4) и тремя уровнями температуры (145, 200 и 225 °C) при двух репликах для каждой комбинации условий. Математическая модель имеет вид

X цк=Етт/+ (^т) а+

[где 2^ = 2т3=2 (6т)г3 = 5 (6т),^ = 0] при i=l, 2, 3; /=1, 2, 3 и </ I1

к = \, 2. Эти данные приведены в табл. 13.21. Для температуры и концентрации можно рассматривать число степеней свободы от-

Таблица 13.21

Глубина протекания реакции, %

Темигратура, °C

/Гэн це нт рация

4 х 10~4

8 х 10"4

16 х КН

Сумма

175

67,4

73,4

79,6

66,2

75,5

81,1

443,2

82,8

86,2

93,3

526,7

209

85,3

89,0

90,1

90,5

92,8

98,7

568,7

225

93,1

93,8

99,8

Сунной

485,3

510,7

542,6

1538,6

дельно для линейных и квадратичных составляющих. Чтобы уровни концентрации были равноотстоящими на некоторой шкале, можно брать 1g (или In) каждого уровня. Получаем следующие значения: —3,39794; —3,09691 и —2,79588. Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 13.22. Суммы квадратов с одной степенью свободы для основных эффектов находятся по следующим формулам (для концентрации берутся кодированные значения) :

~.[(—ДАУ.. + 1 Х3..]2

Линейная составляющая 1"б/2 + 12)—"—•

„[LX^.-K—2)Х,.. + 1-Х..,]2

Квадратичная составляющая -—-RrV^S / 9^2 ,121

Аналогичные формулы используются при вычислении сумм квадратов для температуры.

Таблица 13.22

Результаты дисперсионного анализа для глубины протекания реакции в процентах

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Концентрация

Линейная составляющая

Квадратичная составляющая

273,61

1,17

1

1

273,61

1,17

119,0***

0,51

Температура

Линейная составляющая

Квадратичная составляющая

1312,52

47,84

1

1

1312,52

47,84

570,7***

20,8**

Взаимодействие (Концентрация) X (Температура)

Остаток

30,55

20,73

4

9

7,64

2,30

3,32

-Сумма

1686,42

17

Поскольку в эксперименте с перекрестной классификацией все факторы [^г, Тг и (бт)^] являются параметрами, каждый средний квадрат делится на остаточный средний квадрат (см. последний столбец табл. 13.22). В результате дисперсионного анализа можно с уверенностью сказать, что эффект концентрации является строго линейным в преобразованном логарифмическом масштабе. Это означает, что между логарифмом концентрации и степенью превращения в процентах существует линейное соотношение. Эффект температуры является как линейным, так и квадратичным, хотя линейный эффект значительно сильнее. Наконец, взаимодействие мало по сравнению с этими эффектами. Оно находится в пределах 5%-ного уровня значимости при сравнении с остатком.

Взаимодействие можно разбить на следующие четыре составляющие, каждая с одной степенью свободы:

(Линейный эффект концентрации) X (Линейный эффект температуры),

(Квадратичный эффект концентрации) X (Линейный эффект температуры),'

(Линейный эффект концентрации) X (Квадратичный эффект температуры),

(Квадратичный эффект концентрации) X (Квадратичный эффект температуры).

Например, эффект взаимодействия (Линейный эффект концентрации) X (Квадратичный эффект температуры) является линейной составляющей изменчивости в зависимости от концентрации и квадратичной составляющей изменчивости в зависимости от температуры.

При 1-м уровне концентрации квадратичный эффект температуры определяется по формуле

у ^г1.2X^9- 4*^гЗ'

{2 [I2 +(-2)2+ I2]]V2 ’

поэтому сумма квадратов составляющей (Линейный эффект концентрации) X (Квадратичный эффект температуры) имеет вид

Аналогично для составляющей (Квадратичный эффект концентрации) X (Квадратичный эффект температуры) сумма квадратов определяется как

^(У, - 2У2+У3)^ = i/72 (Хи-2Х12.+Х13-2Х21.++4Х22-2Х23. + Х31-2Х32. + Х3зУ.

После необходимых вычислений сумма квадратов для взаимодействия разбивается следующим образом:

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

^концХ^-темп

1

18,60

^концХФтемп

1

6,41

^концХ-^темп

1

5,41

QnoHuXQTeMn

1

0,41

(Концентрациях ХТемпература)

4

30,55

Путем сравнения с остаточным средним квадратом (2,70 с девятью степенями свободы) находим, что составляющая взаимодействия (Линейный эффект концентрации) X (Линейный эффект температуры) является значимой при 2,5%-ном уровне (18,60/2,30=8,09>Л; 9; 0,975 — 7,21), хотя в целом взаимодействие не является значимым.

Качественные факторы

Если исследуемый фактор является качественным, интересно провести линейные сравнения уровней этого фактора. Допустим, например, что проверяется потеря веса вследствие истирания пя-

ти резиновых смесей. Смесь 1 является стандартной, смеси 2 и 3* имеют один общий ингредиент, а смеси 4 и 5 — другой общий ингредиент. Необходимо сравнить

смесь 1 со -смесями 2, 3, 4 и 5;

смеси 2 и 3 со смесями 4 и 5;

смесь 2 со смесью 3;

смесь 4 со смесью 5.

Поскольку фактор исследуется на пяти уровнях, число степеней свободы равно четырем. Известно, что можно провести четыре независимых линейных сравнения (с одной степенью свободы). Коэффициенты линейных функций, используемых для определения описанных выше эффектов, приведены в табл. 13.23. Не при любом

Таблица 13.23

Коэффициенты для множества четырех линейных контрастов о

IУровень

Сравнение

1

2

3

4

5

1 с 2, 3, 4, 5

4

—1

—1

— i

2, 3 с 4, 5

0

1

1

— 1

— 1

2 с 3

0

1

—1

0

0

4 с 5

0

0

0

1

— 1

’) Эти коэффициенты являются наименьшими целыми числами для контрастов. Для- первого множества можно взять, например, 20, —5, —5, —5, —5.

выборе (который должен быть сделан при планировании эксперимента) этих четырех контрастов получаются ортогональные контрасты, которые ортогональны также относительно суммы всех наблюдений. Если они ортогональны, то их сум-мы квадратов при сложении дают полную сумму квадратов этого фактора.

Напомним, что для обеспечения ортогональности (см. гл. 12) следует произвести выбор коэффициентов таким образом, чтобы их сумма для каждого эффекта была равна нулю, а -сумма смешанных произведений для каждых двух эффектов, взятых попарно, также равнялась нулю. Для рассмотренных выше резиновых смесей коэффициенты приведены в табл. 13.23.

Используя обозначения, введенные в разд. 13.15.1, имеем ai = = 4, а2 =—1, а3 =—1, щ = —1, а5 = — 1; Ь^О, Ь2=1,...; Ci = 0, с2 = 2,...; di = 0,..., ^5 = — 1. Условиями ортогональности являются следующие:

а^ 2 Ьг = 2 сг =2 di = °>

i i i i

2 atbt =2^ = • • • = 2 СА =0.

Эти условия фактически выполняются при значениях коэффициентов, приведенных в табл. 13.23. Сумма квадратов для стандартной смеси (смесь 1) имеет вид

(2^.у2

SS[a] = -l—.(13.66)

i

Если число элементов на i-м уровне равно tit и все значения nt не одинаковы, то вместо выражения (13.66) используем следующее:

SS[a]=-il.(13.67)

Допустим, что нас интересуют только г<р—1 ортогональных линейных контрастов. В этом случае мы просто перечисляем эти соответствующие г сумм квадратов, а остальные объединяем. Получаем следующие суммы квадратов:

SS [а] с 1 степенью свободы,

SS [Ь] с 1 степенью свободы,

SS [г] с 1 степенью свободы.

_$£я = 5£7—SSS(i), где SS^ — остаточная сумма квадратов, SS7— полная сумма квадратов, a SSS имеет р—г—1 степеней свободы.

Заметим, что если значения пц неодинаковы, то в общем случае SS[a], SSp],..., SS[r] нс являются независимыми и записанное выше равенство не выполняется. (Если значения пц пропорциональны, т. е. отношения пц)п^ и т. д. не зависят от j, то независимость сумм квадратов сохраняется и формула для остаточной суммы квадратов по-прежнему верна.)

Пример 13.15. Пусть в примере 13.10 известно, что сплав В заметно отличается от других сплавов по своему составу, а сплавы А и С весьма сходны и отличаются лишь содержанием одного компонента. На стадии планирования эксперимента нас интересует, являются ли значимыми результаты линейного сравнения сплава В с остальными и сплава А со сплавом С. Поскольку эти два линейных контраста являются ортогональными, можно получить суммы квадратов с одной степенью свободы для этих двух контрастов, а также для третьего контраста (сравнение сплава D со сплавами А и С, которое нас не интересует). При сложении этих трех

сумм квадратов находим полную сумму Ортогональные коэффициенты равны

квадратов

для сплавов.

^2.Х3.

Ха.

[а] сравнение В с Л, С, D —1

3—1

—I

[6] сравнение Л с С1

0— 1

0

[с] сравнение D с Л, С—1

0— 1

2

Теперь сумму квадратов для сплава Л в таблице дисперсионного анализа (табл. 13.15) можно разбить, как показано в табл. 13.24.

Таблица 13.24

Результаты дисперсионного анализа (только для линейных контрастов)

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

[а

0,424

1

Такой же

<1,00'

Сплавы[&‘

0,228

1

»

<1,00

с

0,111

1

»

<1,00

Сумма

0,762

3

Вычислим, например, сумму квадратов для случаев сравнения сплава В со сплавами Л, С, D;

= 0,42375.= 0,42375.(—1 -18,31 + 3 17,21 — 1-19,66—Ы8,17)3 4,512

= 0,42375.

= 0,42375.

48484-[(~1)2 + 32+(~1)2 + (-1)2]

48

48

*13.16, ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГИПОТЕЗА

Все рассмотренные в данной главе чисто параметрические модели представляют собой частные случаи следующей общей линейной модели. Xit X^...,XN — случайные величины, описывающие наблюдаемые значения. Математическое ожидание случайной величины Xi является линейной функцией

£il®l H-^^-r * * * Т^гА

s различных параметров 0ь 02, ..., 6s в том смысле, что используется не менее s параметров, значения которых не известны. С другой стороны, коэффициенты Cij являются известными числами. Кроме того, случайные величины Xi взаимно независимы и распределены по нормальному закону с общей (но неизвестной) дисперсией о2. [Без труда эту теорию можно обобщить на случай, когда случайные величины X коррелированы и имеют неодинаковые дис-

Персии, если известна матрица дисперсий и ковариаций (см. разд. 5.11.2) с точностью до коэффициента пропорциональности.]

Каждая из рассмотренных в данной главе конкретных параметрических моделей относится к этой общей модели, которую можно записать в явном виде как

^i — ^Л-^^^ 4~ • • • cis^s + ^ G = 1,2,..., Af), (13.68)

где случайные величины Z; взаимно независимы и имеют распределение N(0, о).

Болес того, проверяемые гипотезы (кроме гипотезы об однородности дисперсий) являются частными случаями общей линейной гипотезы. Согласно общей линейной гипотезе порядка р, значения s параметров 6ь 62, ..., 6$ удовлетворяют р различным линейным уравнениям

6/161+6/Д +... A-b^b, (I = 1,2,..., р),(13.69)

где b— известные числа. Предполагается, что системы уравнений (13.68) и (13.69) записываются в возможно наиболее экономичной форме. Это означает, что уравнение ’(,13.68) может содержать число различных параметров, меньшее s, а система (13.69) —меньше р линейных уравнений.

Таким образом, при одномерном анализе параметрическая модель [см. выражение (13.5)]

(/ = 1h; 1 =

нс может быть представлена в виде уравнения (13.68) стандартной формы, так как имеется Л+1 .параметров g, уь ..., уь а требуется только к параметров. Однако уравнение

имеет стандартную форму. Все коэффициенты сц равны 0 или 1, и имеется к параметров сь £2, •••, Ь; следовательно, s = k.

Гипотеза

= с2 = ...

может быть выражена как 51—£2 = 0, £2—£з = 0,££-1—^ = 0. Здесь имеется к—4 различных условий; каждый коэффициент Ьц равен 0, 1 или —4, а каждый коэффициент bi равен 0. Гипотеза имеет порядок р = к—1, так как требуется не менее к—1 уравнений Для задания всех условий.

На понятии общей линейной гипотезы основывается значительная часть теории дисперсионного анализа для чисто параметрических моделей. Однако наибольшая ценность этой гипотезы состоит прежде всего в том, что применение критерия отношения правдоподобия для составных гипотез (см. разд. 7.8) при проверке общих линейных гипотез даст простой способ построения процедур про-

верки, когда используемый эвристический подход не является1 вполне естественным.

Критерий отношения правдоподобия для проверки общей линейной гипотезы Нр порядка р находится следующим образом:

Возьмем функцию

N

S — 2 ^1 С*1®1 С1^2* * * cfs®s)2‘

i=l

Минимизируем S по 0ь 02»..., 9s. Результат называется абсолютным минимумом функции S и обозначается через Sa.

Минимизируем S по 0ь 02,..., 0s при условии, что гипотеза Нр верна. Полученный результат называется относительным минимумом функции S и обозначается через Sr.

Поскольку Sr является минимумом функции S в более ограниченной области изменения, чем Sa, то Sr нс может быть меньше Sa. Получаем

Sb=Sr—Sa ^ 0.

Тогда критерий отношения правдоподобия эквивалентен отношению

^ъ! РSa№-S^ *

Если гипотеза Нр верна, то отношение распределено как FP,N_S» В общем случае отношение имеет нецентральное распределение F'p^n-s с параметром нецентральности

а'^[£* (XJ-^AсгЖ

1=1

где Е*(Х<)—математическое ожидание случайной величины Х;т если гипотеза Нр верна.

Важно отметить, что критериями дисперсионного анализа (для чисто параметрических моделей) являются критерии отношения правдоподобия. В таблице дисперсионного анализа Sb— сумма квадратов для «отклонения от Нр», р — число степеней свободы суммы квадратов Sb) Sa — остаточная сумма квадратов, a N—s — число степеней свободы суммы квадратов Sa.

Заметим, что при любой гипотезе Нр знаменатель выражения для критерия содержит один и тот же средний квадрат Sa/(N—s). Следует обратить внимание на эту особенность дисперсионного- анализа при использовании чисто параметрических моделей: во- всех проверках используется один и тот же средний квадрат. Однако, как мы видели, этого нет в случае смешанных моделей или мо>- лелей компонент дисперсии.

*13.16.1. Перекрестная классификация с неодинаковым числомреплик; параметрическая модель

Разд. 13.11 посвящен анализу для случая двусторонней пере- ^крестной классификации гХс с п репликами для каждой из те возможных комбинаций уровней факторов. Теперь мы используем общую линейную гипотезу для анализа, соответствующего более «общему случаю, когда имеется пц реплик для уровня фактора 'ЬЙ строки и уровня фактора i-.ro столбца. Числа гщ могут принимать любые значения (некоторые из них могут быть равны нулю), но в каждой строке и в каждом столбце должно быть хотя бы •одно ненулевое значение та, а в некоторых — два ненулевых значения.

'Модель задана формулой (13.25), т. е.

=*+Р/ + ^г + (Р^) а 4- Z{ij

■при 2р'=0’ S^=°> S (р^)^^0* i](p^)/i=0 t=li=j1=1/=1

.для всех t и i.

Заметим, что в общем случае

t=l i=l г с пц

^ = 2 У, У V^tij 5 Р/ (P^)/il2- i=l (=1 /=1

'(Если пц = 0, то в выражении для S отсутствует соответствующий ’член.)

Следует заметить, что выражение

не имеет стандартной формы (13.68). Число различных параметров равно числу занятых ячеек (п/>>0) таблицы. Если нет значений пц, равных нулю, число различных параметров равно гс. Легко показать, что абсолютный минимум суммы квадратов представляется как

Г С пи_

1=1 1=1 /=1

т. е. как сумма квадратов внутри ячеек. Число степеней свободы равно (W..—К), где К — число занятых ячеек, а остаточный средний квадрат равен

8Ж-К),

т. е. совпадает с выражением (13.48) при замене гс на К.

Допустим теперь, что требуется проверить гипотезу Н об отсутствии взаимодействия, т. е. (р^)о = 0для всех t и всех I. В данном случае число линейных соотношений равно К, но не все они различны. Имеется г+с—1 различных линейных соотношений

S W/i = S (Р^)« = 0

/=1£=1

между значениями (р&)«, .поэтому гипотеза Н задает К—(г+с—1) различных соотношений. Таким образом, это линейная гипотеза по

рядка р = К—г—с+1. Если К=гс (т. е. п»>0 при всех t и г), то

р=(г-1)(с-1).

Находим относительный минимум Sr суммы S, минимизируя

/=1 1=\ /=1 при ограничениях

i]p/=o,s^=o.

t=\i=l

Применяя метод множителей Лагранжа, получаем величину

F=S'+2«2Pz+2₽S^

f=lZ=1

Затем решаем относительно g, р/, кц аир уравнения

4 ^=х..-nA-^n^-^n,^.(13.70)

ь/=1-1=1

4 ^-=Xt.-Nt$-Ntpt-Vn(ihi-»^ tf = l,..,r), (13.71)

-L ^- = X.t-N ^-^n^-N.iK-^ (< = 1,..,О, (13.72) где Nt=^njb Хд^^п^.

Суммируя г уравнений (13.71) и сравнивая с (13.70), получаем а=0. Аналогично, суммируя уравнения (13.72), видим, что р = 0. Затем с помощью уравнений (13.71) находим

^-М^Х,.-^ J] nukv(13.73)

4=1

{Можно также идти от уравнений (13.72) и подставить в соотношение (13.71) выражения для |+й,. Это сделано в примере 13.16.]~

Подставляя это выражение для g+pf в уравнения (.13.72), получаем

5(xt — £ «А V х;к=хЛ.

t=A\1=1/

или

КЛ-^ [S (т) ^1=^-2«А...(13.74)

1=1 17=1J/=1

Эти с уравнений для ^ь £2, kc можно привести к с—I уравне- с

•НИЯМ ДЛЯ &ь ^2, ^С-Ь используя условие 2^' = 0.

"i=l

Решаем эти с—1 уравнений относительно ^,..., кс, а затем вычисляем £+рг для подстановки в формулу (13.74). Наконец, вычисляем Sr по формуле

Т С nti're nti

s,=3 s S2 S^w-

/=1 1 = 1 /=!/=1 4=1 /=1

-^GAp,) Х^-^Хлл

/=1t=I

Если требуется отдельная оценка для 5, то может использоваться формула

^г1 2 (Ар/)-

Самой трудной частью работы является решение системы уравнений (13.74). Поскольку факторы, записанные в строках и столбцах, симметрично включаются в анализ, можно поменять местами р и к и получить систему г—1 уравнений относительно р. Очевидно, что удобно использовать фактор, имеющий меньшее число уровней. Например, при перекрестной классификации 4X9 (Стро-

киХСтолбцы) нужно решать только систему трех уравнений для эффектов строк.

Получив сумму Sfl вычисляем сумму квадратов Sr—Sa=Sb для взаимодействия (СтрокахСтолбец) и отношение средних квадратов \SbKK—г—с+1) ]/[Sa/(W—7<)], которое можно сравнить с процентилями распределения Рк-г-с-н;м«

Возможно также, что значения пц будут таковы, что мы не сможем полностью решить уравнения (13.70) — (13.72). В этих случаях нельзя оценить все параметры в отдельности.

Пример 13.16. Был составлен план эксперимента для изучения влияния времени вулканизации и состава резиновой смеси на предел прочности на растяжение. Рассматривались два значения времени вулканизации (Тх и Т2) и три смеси (А, В и С). Результаты испытаний на растяжение представлены в табл. 13.25. Вследствие

Таблица 13.25

Предел прочности при растяжении для резиновых смесей

Время

Резиновая смесь

А

в

С

Сумма

т.

3350

3730

3170

10250

т2

3550

3200

3490

10240

Сумма

6520

10770

3200

20490

ошибки при изготовлении смесей не было обеспечено одинаковое число реплик для каждой комбинации времени вулканизации и состава смеси.

Математическая модель имеет вид

Ха j — £ + xt+^i + (т^) а + % И j •Абсолютный минимум суммы квадратов равенSa=T/2 (3350 — ЗПО)2^1^ (3550—3490)2=18 000.

Эта сумма квадратов имеет две степени свободы.

Теперь, полагая, что (tj%)^ = 0 (для всех t и всех i), получаем (способом, описанным выше) следующие уравнения для ti и т2:

Для этих данных /=1, 2; i=l, 2, 3; Пц=2, «12=1, «1з = 0; л21 = 0; «22=2, «23=1; 7V+ = 3, Af2. = 3, Afi. = 2, ^.2 = 3, Af3=l и N.. = 6. Решаемые уравнения имеют вид

= 10 250—2.3260—1-3590—0-3200 при /=1,

- / 0-2, 21.10 \- / 00 , 2-2,II \_

ЗТ, ТЦ 2г 3■1 уТ2 ^ 2 + 3'1 Д

= 10 240-0-3260—2-3590—1-3200 при г = 2.

Данные уравнения приводятся к следующему виду:

2/з^1 — 2/3Ч = 140,

—2/зт1 +2/3T3 =—140.

Как и следовало ожидать, эти уравнения тождественны, так как

Т1 И Т2 удовлетворяют УСЛОВИЮ Т1 = —Т2-

Следовательно, 4/зТ1=140, или Ti = 105 и Тг = —105.

откуда £+^ = 3155;откуда £+&2=3625;откуда £+А3=ЗЗО5.откуда £+^ = 3155;откуда £+&2=3625;откуда £+А3=ЗЗО5.Уравнения для £+&/ имеют вид

откуда £+^ = 3155;

откуда £+&2=3625;

откуда £+А3=ЗЗО5.

откуда £+^ = 3155;

откуда £+&2=3625;

откуда £+А3=ЗЗО5.

2^+^) + 2^ = 6520,3 (£+£2) +4 + 2т2 = 10 770,s 4"+з ~(~^2 == 3200,

При необходимости можно найти оценку g:

f=i/3 (3155+3625 + 3305) = 3361,7.

С помощью имеющихся данных нельзя проверить гипотезу об отсутствии взаимодействия, так как К=4, г=2, с = 3. Следовательно, число степеней свободы суммы квадратов для взаимодействия равно 4—2—3+1 = 0.

Заметим, что если бы -наблюдение 3730 для времени Л и состава смеси В отсутствовало, то было бы невозможно решить уравнения относительно £, ^i, ^2, ^з, ti и т2.

Для случая, когда один из двух факторов имеет только два Уровня, можно привести некоторые полезные формулы в явном виде. Средняя разность между двумя уровнями фактора, записан-

ного в строках, равна, например, pi—р2 = 2р1=Д. Наилучшая линейная несмещенная оценка этой разности равна "

У Wi (^1L^2Z.)

1=1

■где к.'г=/г1гЦ217(«1г+^)-

Сумма квадратов для строк (скорректированная для столбцов) равна

А2 ^ ^t1=1

а сумма квадратов для взаимодействия имеет вид

^^(Аг—А)2,

где А^ХИ.—X2L.

Описанные в этом разделе методы можно легко распространить на случай трехсторонней (или многосторонней) перекрестной классификации. Вычисления становятся более сложными, но для их выполнения могут быть использованы ЭВМ.

[Необходимо иметь в виду, что когда некоторые т. равны нулю, иногда оказывается невозможным оценить каждый из параметров в отдельности, так как системы уравнений (13.70) — (13.72) могут не иметь единственных решений.]

bXf с одной репликой. Если некоторые наблюдения отсутствуют, ^меем перекрестную классификацию, как в разд. 13.16.1, когда некоторые пи равны 1, а некоторые равны 0. Анализ может быть выполнен методом, опиисанным в разд. 13.16.1, но в частных случаях оказывается возможным использование более простых методов.

Допустим, что отсутствует ровно одно наблюдение. Без потери общности можно предположить, что это наблюдение для первого уровня основного фактора в первом блоке. Отсутствие наблюдения, разумеется, не влияет на структуру математической модели, поэтому модель имеет вид

^ = £+?/+&+^ (/ = 1,...,6; / = 1,...,/)

и совпадает с формулой (13.52), за исключением того, что отсутствует значение Хц.

В этом случае число наблюдений равно N=bf—1, а число различных параметров составляет 1+(Ь—1) + (^—\)=b + t—1.

Имеем S = 25(X^-—^—-^t—0/)2, где 22 означает суммирование по всем наблюдениям. Необходимо минимизировать S при ограничениях ьf

5?/=0,5^ = 0.

t=li=l

Введем величину ьf

Ф=3+2а^^+2^^<=it=i

и решим уравнения

(13-75)

—4"=Xt-(/-1) (ЗД+^-а,(13.76)

-4--^-=^.-/(Н?;)-а = 0 0 = 2b),(13.77)

-4 ^.НММЖ.-Н.(13.78)

-4-^-=^-6(Wi)-P = 0 0-20-(13.79)

Суммируя уравнение (13.76) и (b—1) уравнений (13.77) и сравнивая результат с уравнением (13.75), видим, что а = 0. Аналогично можно показать, что 0 = 0. Затем из формул (13.75), (13.76) и (13.78) получаем выражение

(13.80)

7-1825

которое можно рассматривать как оценку отсутствующего значения. (Это действительно несмещенная оценка математического ожидания.)

Sa можно вычислить, вводя f+yi + 0i в модель с отсутствующим наблюдением и анализируя полный набор данных, как если бы он был получен в обычном полноблочном рандомизированном эксперименте. В данном анализе Sa является остаточной суммой квадратов [суммой квадратов для взаимодействия (Блок) X (Комбинация условий)]. Однако следует заметить, что сумма квадратов Sa имеет (6—1) (f—1)— 1, а не (b— 1) (f—1) степеней свободы.

Допустим, что требуется проверить гипотезу об отсутствии различий между уровнями основного фактора, т. е. 01 = 02 = ... = 0f = = 0.

Это линейная гипотеза порядка f—'1. Относительный минимум суммы квадратов Sr является минимумом суммы

по £ и у.

Легко показать, что

Тогда

Sb=Sr-So = V 2 (X;i-X у -ул, (xt -xy-saf t

где nt=^> 1), но n^f — 1.

Таким образом, Sb вычисляется как

(Полная сумма квадратов) — (Приближенная сумма квадратовмежду блоками) — (Остаточная сумма квадратов) =

= (Скорректированная сумма квадратов междукомбинациями условий).

Отношение [Sz>/(f—l)]/[Sa/(bf—b—f)] сравнивается c F-pac- пределением с f—1, bf—b—f степенями свободы.

Если должна проверяться гипотеза Yi = V2= • • • =?* = 0, то вычисляем

S'b = (Полная сумма квадратов) — (Приближенная суммаквадратов между уровнями основного фактора) — (Остаточнаясумма квадратов) = (Скорректированная сумма квадратовмежду блоками).

Если нет различий между блоками, то отношение ^ьЧ(Ь—1)]/ /iSaKbf—b—/)] должно быть распределено как Рм.ьнн-

Заметим, что Sb, S/ и Sa нельзя представить в одной таблице,

так как их сумма не дает полной суммы квадратов. Необходимы две отдельные таблицы (табл. 13.26).

Таблица 13.26

Результаты дисперсионного анализа для рандомизированного блочного эксперимента с отсутствующими значениями

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Блоки (нескорректированные)

2п<(^.-х.)

Блоки (скорректированные)

Находится как разность

Уровни основного фактора (скорректированные)

Находится как разность

Уровни основного фактора (нескорректированные)

^п',(хЛ-Т.у t

Остаток

Sa

Остаток

Sa

Сумма

2 2(Xti-x..p

Сумма

5 2 (Хн-х..р

Если не хватает более одного значения, то отсутствующие данные можно оценить путем итеративного применения формулы (13.80). Это означает, что все значения, кроме одного, являются чисто предположительными; затем одно значение оценивается с помощью формулы (13.80), и данная оценка используется для коррекции одного из предположительных значений. Такая циклическая операция продолжается до тех пор, пока не будет достигнута устойчивость.

В последующем разделе приводятся формулы, используемые при анализе других планов. (Некоторые из этих планов будут рассмотрены .в гл. 14 и 15 данной книги.)

*13.16.3. Формулы для анализа при отсутствиинекоторых ячеек плана

Латинский квадрат zzX^. Отсутствует наблюдение ^ш). Оценка отсутствующего наблюдения имеет вид

у _ л (^(ь.) + ^(л.) + ^-л) — 2Х(_}

А(ш) —(П^1)(Л_2)*

Средняя квадратическая ошибка разности между средним для уровня основного фактора с отсутствующим наблюдением и средним для любого другого уровня основного фактора равна {о2[(2//г) + 1/(^— 1) (л—2)]}v2. {Заметим, что

| (Скорректированная сумма квадратов для основного фактора) = = (Приближенная сумма квадратов для основого фактора) —

(п— 1) Л(>л’) + Xw/г (п — 2)(п— 1) Л(>л’) + Xw/г (п — 2)Отсутствует первая строка. (Предполагается отсутствие 1-го уровня основного фактора из i-го столбца.) Оценки эффектов столбца и основного фактора получаем с помощью формул

(п— 1) Л(>л’) + Xw/г (п — 2)

(п— 1) Л(>л’) + Xw/г (п — 2)

Г - - х( )

откуда ^4-Т;=—; —^4- [ J 1 z гЦп — 1)(п —2) ‘

Сравнение эффектов основного фактора можно провести, вычисляя разности между величинами

п^п — 2)’

Средняя квадратическая ошибка каждой разности равна

/с"/с"2(n— 1) п^п — 2)2(n— 1) п^п — 2)

/с"

/с"

2(n— 1) п^п — 2)

2(n— 1) п^п — 2)

Сумма квадратов для столбцов, смешанная с суммой квадратов для уровней основного фактора, определяется с помощью обычной формулы для суммы квадратов между группами

Сумма квадратов для уровней основного фактора, скорректированная для исключения эффектов столбцов, равна

{

п'

1=1.

(Это квадрат Юдена; см. разд. 14.5.)

Разработан .метод анализа для латинских квадратов с отсутствующими одной строкой и одним столбцом [14] и с отсутствующими двумя строками и двумя столбцами [15]. Эти и другие методы анализа можно получить, применяя общий подход, описанный в разд. 13.16. Обычно разрабатываются методы анализа для стандартных случаев (например, при отсутствии наблюдения %ш); эти методы можно сделать приемлемыми для частных случаев путем соответствующего изменения нумерации строк, столбцов и уровней основного фактора.

Факторные эксперименты со смешиванием эффектов (один и тот же эффект смешивается во всех репликах). Используем процедуру для рандомизированного блочного плана применительно к блокам, содержащим уровень (или уровни) основного фактора с отсутствующим наблюдением (или наблюдениями).

Эксперименты с частичным смешиванием эффектов. При сравнении уровней основного фактора смешивание эффектов нс может быть проведено более чем в одной реплике. Пусть к— число элементов в блоке; г — число реплик; t— число уровней основного фактора; В — суммарный результат для всех делянок блока, к которому относится отсутствующая делянка; Т — суммарный результат для всех делянок с таким же уровнем основного фактора, что и у отсутствующей делянки; R— суммарный результат для всех’ делянок в той Же реплике, к которой относится отсутствующая делянка; Sb — суммарный результат в остальных репликах всех блоков, содержащих уровень основного фактора, который был в отсутствующей делянке; G — суммарный результат для всего эксперимента; U — суммарный результат для всех остальных уровней основного фактора, входящих в блок.с отсутствующим элементом; V—суммарный результат для остальных реплик всех блоков, содержащих уровень основного фактора в недостающем элементе, за исключением этого уровня основного фактора. Тогда оценка отсутствующего значения имеет вид

kt (г - 1) Т -4- tr (г — 1) В + kG + tV - krR — t (г — 1) U — trSB

Этот результат справедлив для факторных экспериментов типа 23, 24, 25, 26, З3, З4, 42 и 4Х22.

Сбалансированный неполноблочный план. Пусть к — число Делянок в блоке, г — число реплик, t— число уровней основного фактора. Тогда оценка отсутствующего значения равна

tr (^ __ 1) в + k у - 1) Q - у- 1) Q'

(к — 1) [^(^— 1)— ку — 1)]

где В — суммарный результат для блока, к которому относится отсутствующее наблюдение; Q = k. (Суммарный результат для отсутствующего уровня основного фактора) — (Суммарный результат

для всех блоков, к которым относится отсутствующий уровень основного фактора); Q'—сумма значений Q для всех уровней основного фактора в блоке с отсутствующим наблюдением.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ; ОДНА НЕЗАВИСИМАЯСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Вычисления, необходимые для подбора линейных уравнений регрессии, уже обсуждались достаточно подробно в гл. 12. Здесь рассматриваются проблемы, возникающие при выполнении такой работы в процессе дисперсионного анализа.

Напомним вначале несколько формул, полученных в гл. 12. Если уравнение регрессии вида Е[У|х] = а+£х подбирается с помощью некоторого множества п пар значений (х/, У/) (/=1, 2,... ..., п), то при использовании стандартного анализа оценка для р получается в виде

В--= —_,

^(xj-x^

и в соответствии с формулой (12.6) оценкой для а является

D — Y — Bx.

Модель, использованную в гл. 12, можно записать как

F^a-H^+Z,,(13.81)

где случайные величины Z/ удовлетворяют условиям 1—4 из разд. 13.4. Тогда

Е^=а,Е(В)=$,

Var(7)=-^-, Var(B)=o2^(x; —*)2 \ Соу(Г,В)=0.

При допущении о нормальности распределения случайныхвели- чин Z/ (условие 4) из последнего результата следует, что У и В взаимно независимы.

На рис. 13.7 построенная линия регрессии Е[У |х] =А + Вх имеет вид прямой АВ. Эта прямая проходит через точку G с координатами (х, У) — «центр тяжести» множества наблюдений, типичным представителем которого является точка Р, с координатами (*л У/).

Перпендикуляр к оси х из точки Pj пересекает ось х в точке X с координатами (xj; 0); он пересекает прямую регрессии АВ в точке К» а прямую, проходящую через точку G параллельно оси х,—

Рис. 13.7. Эмпирическая линия регрессии.

в точке Н. Точка^К имеет координаты (х,-, A + Bxj), а точка Н— координаты ^Х}, У).

Отрезок XPj можно разбить на три части: ХН, НК и KPj; это записывается следующим образом:

К; = У+(Л + Вх;-УШ^-Л-Вху) =

= У+В(ху-х) + (У,—Л-Вх,.).

Следовательно, полная сумма квадратов примет вид

2 (Уу-У)2 =2 [В (Х,-Х) + (У,—Л-Вх,.)р =

=В^ 2 (^-7)2+2 (Yj-A-Bx^, (13.82) поскольку

25 2— А — Вх^ =■

= 2В [2 (X,.-х) (Yj-Y) - В 2 (X,- -X?] =0.

Первая из этих сумм квадратов ВЧ^х^—х)2 представляет собой сумму величин, подобных ^НКУ, и характеризует величину изменчивости значений У, «объясняемой» построенной линией регрессии. Поэтому она называется суммой квадратов, обусловленной линейной регрессией У на х или, более кратко, обусловленной линейной регрессией, или, еще короче, обусловленной наклоном, что отражает тот факт, что В — тангенс угла наклона построенной прямой.

Поскольку Е(В)=^ математическое ожидание суммы квадратов, обусловленное линейной регрессией, имеет вид

ЕЕп625(х—X)2п625(х—X)2= о2+^2 (X,—X)2,/=1= о2+^2 (X,—X)2,/=1(13.83)(13.83)

Е

Е

п

625(х—X)2

п

625(х—X)2

= о2+^2 (X,—X)2,/=1

= о2+^2 (X,—X)2,/=1

(13.83)

(13.83)

а число степеней свободы этой суммы квадратов равно 1 (коэффициент при о2).

Другая сумма квадратов 2 (У/—А—Вх7)2 представляет собой сумму величин, подобных (/ф-,)2, т. е. квадратов отклонешш наблюдаемых значений У/ от значений, предсказанных регрессией. Поэтому эту сумму 'квадратов можно назвать суммой квадратов относительно (линейной) регрессии, хотя, как мы увидим, фактически она используется 'как остаточная сумма квадратов.

Рассматривая модель (13.81), видим, что

У—Д-Вх; (Л-а) -(В-P) х5.

Поскольку £(Л)=а, £(В)=р, а распределения случайных величин А и В зависят от а и р, то сумма квадратов 2(У/—А—Вх^2 является квадратичной функцией случайных величин Z, и, следовательно, ее математическое ожидание кратно о2. п

Полагая В[^ (У/—А—Вх7)2]=Хо2, найдем X. Это можно осу- /=1

ществить с помощью уравнения

ЕЕп2 (Г,—У)2./=1.п2 (Г,—У)2./=1.=Е=Е- пВ^^-х)2. i=i- пВ^^-х)2. i=i-|-£-|-££ (Yj-A-Bx^ .(13.84)£ (Yj-A-Bx^ .(13.84)

Е

Е

п

2 (Г,—У)2

./=1.

п

2 (Г,—У)2

./=1.

=Е

=Е

- п

В^^-х)2

. i=i

- п

В^^-х)2

. i=i

-|-£

-|-£

£ (Yj-A-Bx^ .

(13.84)

£ (Yj-A-Bx^ .

(13.84)

Поскольку л не зависит от 0, можно принять 0 = 0. Из выражений (13.82) и (13.83) следует, что

поэтому Х = п—2. Таким образом, сумма квадратов относительно (линейной) регрессии имеет (п—2) степеней свободы. В табл. 13.27 представлены полученные результаты дисперсионного анализа.

Таблица 13.27

Результаты дисперсионного анализа линейной регрессии

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Средний квадрат

Линейная регрессия

Остаток (относительно линейной регрессии)

1

п — 2

i=i

2 (Yj-A-BxjP i=l

s=2 ^--^2 /=1

2 Yj-A-Bx^ /(п-2) ./=1.

Сумма

п — 1

2 (У$-^

M

Для проверки гипотезы р = 0 отношение средних квадратов

(п-2)В^ и—х?'

У= R(13.85) ^(У — А-Вх^

i

сравнивается с ^-распределением с 1, п—2 степенями свободы.

Критерий для проверки гипотезы Р = Ро можно построить, заменив в формуле (13.85) В на (В—р0). Случайная величина

ур=У(п-2МВ-т/ ——(13.86)

I ^ДУ-А-Вх^

имеет /-распределение с (п—2) степенями свободы, если Р = Ро. Следовательно,

РГ [—tn_2, l-v/2 ^VF ^ tn—2, \—^)2 | PoJ ~ 1 —7-

После перегруппировки неравенств получаем 100(1—у)%-ный доверительный интервал для р, рассмотренный в разд. 12.2.5.

При ро = О формулу (13.86) можно записать как

УР^Н УпУУУ У(У^),(13.87)

где Д = 2 (х/—У) О^—УуУ^ (х,—х)22 (Yj—Г)2— коэффициент выборочной корреляции между х и У. Поскольку "^F имеет /-распределение с п—2 степенями свободы, то, используя методы, рассмотренные в разд. 5.12, с помощью формулы (13.86) можно определить распределение коэффициента R. Полученный результат имеет вид

^М^(1-*г2)^-4)/2, —1<г< 1.(13.88)

Заметим, что это распределение коэффициента R при р = 0, т. с. когда У не зависит от х, поэтому коэффициент корреляции р для совокупности равен нулю.

Отметим также, что соотношение (13.88) получено при допуще- -нии о постоянстве значений Xi, а выражение для р^(г) не зависит от фактических значений Хь Следовательно, выражение (13.88) описывает распределение выборочного коэффициента корреляции R независимо от распределения случайных величин Xi, если условное распределение случайной величины У/ при заданном х/ является нормальным с постоянными математическим ожиданием и дисперсией.

Следует заметить, что, как указывалось в разд. 12.5.2, X/ можно заменить любой явной функцией от X/.

Можно показать, что в более общем случае условным распределением случайной величины у/7 при заданных Ху,..., хп является нецентральное /-распределение с ^—2) степенями свободы и параметром нецентральности оН(р—p0)V 2 (х/—х)2. Путем усреднения по распределению суммы квадратов 2(х/—х)2 можно найти распределение случайной величины У?1 и распределение выборочного коэффициента корреляции jR.

ПРОВЕРКА НА ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ЛИНЕЙНОСТИ

При изложении предыдущего материала подразумевалось, что линейная модель

Yi =a + P^i+^i

обеспечивает удовлетворительное описание реальной ситуации. Однако допущение о линейной регрессии

Е (У)х) = а + Рх

не всегда приемлемо. Как было показано в гл. 12, иногда мы стараемся найти криволинейную регрессию определенной формы. Однако во многих случаях мы не располагаем достаточной информацией, чтобы задать ту или иную конкретную форму, и важно знать, приемлема ли модель линейной регрессии. Эту задачу можно сформулировать через общую линейную гипотезу следующим образом.

Записываем математическое ожидание случайной величины Yt при заданном xt в виде

£ (yz|xz) —a-|-^4-6z,

где 6; обозначает отклонение от линейности. Если задано к различных значений х^ то в данной модели имеется £ + 2 параметров а, р, 61, 62,..., 6^, и, следовательно, на эти параметры могут налагаться два линейных условия. Алгебраические выкладки упрощаются, если используются условия

2^=0,26а=0’

где 5 обозначает суммирование по всем наблюдениям. Второе из этих условий иногда считается несколько необычным, так как из него следует, что значения б зависят от х. Хотя это и верно, единственный эффект этих условий состоит в том, что У=а + рх является эмпирическим уравнением регрессии фактических значений математического ожидания случайной величины У (при заданном х) ща х, полученным методом наименьших квадратов. Иначе говоря, используются «наилучшие» значения а и р.

Модель имеет вид

Поскольку у 6г и Zt индексы одинаковы, оказывается невозможным получить остаточную сумму квадратов (математическое ожидание, пропорциональное о2), не зависящую от 6г. Однако если хотя бы для некоторых х имеется более одного наблюдения У, модель принимает вид

У.^а+P^+P^+Z^ (^1,...,^; 1^...^(13.89)

При этом хотя бы одно значение ги больше 1. В данном случае 6г и Zu имеют разные индексы и оказывается возможным проверить линейную гипотезу Яо: 6i=62 = ... =6^ = 0. Иначе говоря, согласно гипотезе Яо, регрессия У на х линейна.

Применяя методы, описанные в разд. 13.16, можно получить соответствующий критерий. Однако мы используем здесь более эвристический метод. .

Модель (13.89) аналогична модели для односторонней класси- k nt_

фикации. Полную сумму квадратов 2 X (У^—У..)2 можно раз-

k

бить на сумму квадратов между группами ' nt(Yt.— У..)2 и сумму

k nt_

квадратов внутри групп S 2 О^н—Yty.

г=1 i=i

В свою очередь сумму квадратов между группами можно разбить на сумму квадратов для линейной регрессии и сумму квадратов для средних данного плана (array means) относительно регрессии в соответствии с формулой

к __к_ к ___

2 п^-У.У-В^ п^-хуЛ-^ nt\Y(-Y.-B (х.-х)]2, fe!/=1/=1'

кк

ntxt(Yt.-Y..)2ntxt

где В = У-_ и х=-^.

2"t(xt —х)8^

Рассматривая вначале модель (13.89), находим

F^a + ^+^+Z,.(13.90)

Следовательно,

Ytx-Yt^Zu-Zt,

к t_

а 2 2 (Yu—Yt^— истинная остаточная сумма квадратов, имею

щая распределение %2о2 с 2 ^t”^ степенями свободы. Кроме того,

_ _/к\

К =a4-0x + Z/так как^ лД^О L (13.91)

\/=1/

поэтому

Yt. + У =Р (xz-х) +6z+Zz. -Z

Наконец

6__ _ Г ft — Г1

5=2 ntxA^(xt—xW^tA-Zt—ZA ^nt(xt~x^ =

2 ntxt (^t. z.3 ,^

=P + -^ ( так как 2 ^/S^ = 0) •(13.92)

2 nt ^xt —^)2/=1

Следовательно, сумма квадратов для средних данного плана относительно линейной регрессии равна

к^nA^+ZA2,

где Zt — линейная функция случайных величин Zu. Отсюда следует, что математическое ожидание этой статистики равно

к

(Величина, кратная а2) + 2 п^\

Можно показать (методом, аналогичным используемому в разд. 13.7), что величина, кратная о2, фактически равна (к—2) о2. Эта сумма квадратов возрастает при увеличении абсолютного значения 6/ и называется суммой квадратов отклонения от линейности.

Наконец, сумма квадратов для линейной регрессии имеет математическое ожидание

Ст2+Р22 nz(xz—X)2.

Таблица 13.28

Результаты дисперсионного анализа для отклонения от линейности

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Линейная регрессия

Отклонение от линейности

Остаток

1

к —2

к

2 nt—к z=i

к

В2 2 пА ~ х)2

к

2 пМ -Y-B(xt-xW /=1

к п^

2 2 ^п

t=l 1=1

к

а2+Р22 4xt-xY 1=л

к a^^Y1 2 ntD4t /=1

а2

Сумма

к

/=1

к п^

2 2 Vn-Y.Y

/=1 i=l

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 13.28. Линейность регрессии проверяется путем сравнения отношения

Средний квадрат отклонения от линейностиОстаточный средний квадратк

с ^-распределением с к—2,5^—к степенями свободы.

t=\

Следует заметить, что модель (13.89) учитывает любое отклонение от линейной регрессии. Если до проведения эксперимента предполагается существование отклонения определенного рода, то следует проверить его влияние на используемый критерий. Такой критерий является более чувствительным (имеет большую мощность) к отклонению от линейной регрессии, чем описанный критерий дисперсионного анализа, который должен охватывать значительно более широкий круг различных возможностей.

Если альтернативой линейности является полиномиальная регрессия некоторого (неизвестного) порядка, то (при обозначениях коэффициентов ортогональных полиномов, принятых в разд. 12.5.3) можно использовать тот факт, что N N

2-У)г =2 VY^Y-B'^ (xf)B'^s (хг)Р+

1=11=1

кN

м1=1

Первый член правой части этого равенства представляет собой остаточную сумму квадратов -с ^N—s—1) степенями свободы. Величины

N

взаимно независимы, имеют одну степень свободы каждая и математические ожидания

°3+₽/22^ wr

Уравнение (13.93) лежит в основе дисперсионного анализа методом полиномиальной регрессии (табл. 13.29). (См. также разд. 13.15.1.)

Таблица 13.29

Результаты дисперсионного анализа с использованием ортогональных полиномов

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Линейный

1

N

в'Х^ &(ХЫ2

N о2+р,з12 imp

Квадратичный

1

В'Х^. feCi)!2

N o2+p,222 i^^i2

Кубический

1

в'Х 2 l^i)]2'

1=1

N

O2 + ₽'23 2 ^tol2

1=1

S-И

. Остаток

1

N — s — 1

N

в-х 2 №i2

1=1

N.

2 IVi-Y-B'^Xi)..-

N

o2 + ил 2 to)2

1=1

o2

~В'$Ш)Р

Сумма

1

N

2 Vi-YP i=l

Заметим, что в данном случае, для того чтобы проверить отклонение от линейности, повторные наблюдения значений У при заданном значении х не требуются.

Обычно каждый последовательный член полиномиальной регрессии проверяется на значимость до тех пор, пока два, последовательных члена не окажутся незначимыми. Это удобное практическое правило основано на том факте, что нечетные и четные дополнительные члены дают различные отклонения от первоначальной полиномиальной регрессии. Однако это правило не срабатывает автоматически. Если достаточно большие члены высокого порядка не считаются существенными, они отбрасываются, даже если формально являются значимыми; с другой стороны, анализ может быть продолжен, даже когда два последовательных члена не будут значимыми, если предварительное изучение указывает на существование членов более высокого порядка.

Пример 13.17. Рассмотрим данные из примера 12.10, которые приведены в табл. 13.30 и графически представлены на рис. 13.8. В табл. 13.31 приведены суммы квадратов для каждого члена.

Таблица 13.30

Поведение слоистых пластиков, отвержденных при температуре 107 °C. Логарифм декремента затухания у как функция температуры х

Температура х, °C

Логарифм декремента затухания у

Температура х, °C

Логарифм декремента затухания у

—30

0,053

20

0,081

—20

0,057

30

0,093

— 10

0,061

40

0,105

0

0,068

50

0,115

10

0,072

60

0,130

Таблица 13.31

Проверка значимости членов полиномиальной регрессии (пример 12.10)

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Сумма

6224,5-10-в

9

5964,9-10-6

184,1***

Линейный член

5964,9-10-6

1

Остаток Si Квадратичный член

259,610-е

8

32,4-10-6

152,3***

248,2-10-6

I

248,2-10-6

Остаток 5г

11,4-IO"6

7

1,63-10-6

0,00006

Кубический член

1,16-io-10

1

1,16-Ю-1»

Остаток S3

11,40-10-6

6

1,90-10-в

1,03

Член четвертого порядка

1,96-10-в

1

1,96-10-6

1,89-10-6

Остаток S4

9,44-IO-6

5

0,31

Член пятого порядка

0,68-10-6

1

0,68-10-6

Остаток

8,76-10-6

4

2,19-10-6

В последнем столбце таблицы дастся отношение средних квадратов для проверки значимости. Заметим, что каждая остаточная сумма квадратов является результатом вычитания предыдущего числа из числа, непосредственно предшествующего ему, по формуле (12.65).

ож

0,130

0,120

II0,1100,110!!0,1000,100

I

I

0,110

0,110

!

!

0,100

0,100

0,090

0,0800,0800,0700,0700,0600,0600,0500,050- 40 -30 -20 О- 40 -30 -20 ОТемпература х, °CТемпература х, °C204060204060

0,080

0,080

0,070

0,070

0,060

0,060

0,050

0,050

- 40 -30 -20 О

- 40 -30 -20 О

Температура х, °C

Температура х, °C

204060

204060

Рис. 13.8. Логарифм декремента затухания у как функция температуры х.

Линейные и квадратичные члены высокозначимы, а остальные не являются значимыми, поэтому берется многочлен второй степени. Оценки коэффициентов регрессии вычисляются по формулам (12.63):

A' = ^122. = 83,5-10"3;

Ai =2,

B\ == 8,503 -10"3;

R,181 10-3181-Ю-3

5 22.1322640,686-10 ».

Подбирается кривая зависимости от х при Zt = [xz— (%i—w)"\!w. Тогда

2 —(z+ 40)/10 — x + 4, x’ =x/10.

С помощью формул (12.70) и (12.72) находятся величины

^ =z — 5,5 = х'4-4—5,5 =х'— 1,5, ^2=(z—5,5)2—8,25 = (х' —1,5)2—8,25 = =х'2 — Зх' 4- 2,25 —8,25=х'2 — Зх' — 6.

Оценка функции регрессии имеет вид

Е (у | х') = [83,5+8,503 (х' — 1,5) + 0,686 (х'2 — Зх' — 6)] ■ 10'3 = = (83,5+8,503х' — 12,754 4- 0,686х'2 — 2,058х' — 4,116) • 10"3 = = (0,686х'2+6,445х'4-66,63) • 10'3.

При использовании в качестве аргумента х

E(Y\x)^ (0,00686х2 + 0,645x4-66,63) • 10’3.

Дисперсионный анализ методом множественной линейной регрессии проводится аналогично.

Заметим вначале, что в табл. 13.29 член, называемый квадратичным, фактически является квадратичным при заданной линейной регрессии, т. с. происходит уменьшение остаточной суммы квадратов за счет добавления квадратичных членов к линейным.

Аналогично в случае множественной линейной регрессии можно расположить управляемые переменные в некотором порядке (удобно обозначить их как хь Хг, ..., xs) и рассмотреть последовательное уменьшение остаточной суммы квадратов вследствие поочередного введения этих переменных в уравнение регрессии. Важное отличие от случая полиномиальной регрессии состоит в том, что не существует естественного порядка выбора случайных величин X. Поэтому, например, при s = 2 может быть использована любая из приведенных ниже таблиц дисперсионного анализа.

Источник изменчивостиЧисло степеней свободыУХ2 при данном Xi Остаточная сумма квадратов11X — 3Полная сумма квадратовX — 1Источник изменчивостиЧисло степеней свободыУХ2 при данном Xi Остаточная сумма квадратов11X — 3Полная сумма квадратовX — 1х2Х± при данном Х2Остаточная сумма квадратовх2Х± при данном Х2Остаточная сумма квадратовИсточник изменчивостиИсточник изменчивостиИЛИ Полная сумма квадратовИЛИ Полная сумма квадратовЧислостепенейсвободыЧислостепенейсвободы11N — 311N — 3N — 1N — 1

Источник изменчивости

Число степеней свободы

У

Х2 при данном Xi Остаточная сумма квад

ратов

1

1

X — 3

Полная сумма квадратов

X — 1

Источник изменчивости

Число степеней свободы

У

Х2 при данном Xi Остаточная сумма квад

ратов

1

1

X — 3

Полная сумма квадратов

X — 1

х2

Х± при данном Х2

Остаточная сумма квадратов

х2

Х± при данном Х2

Остаточная сумма квадратов

Источник изменчивости

Источник изменчивости

ИЛИ Полная сумма квадратов

ИЛИ Полная сумма квадратов

Числостепенейсвободы

Числостепенейсвободы

1

1

N — 3

1

1

N — 3

N — 1

N — 1

Остаточная и полная суммы квадратов имеют одинаковые значения в обеих таблицах.

8—1825

13.19. ОДНОСТОРОННЯЯ КЛАССИФИКАЦИЯ;ДВУМЕРНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

Если при односторонней классификации измеряются две характеристики (х и У) каждого объекта наблюдения, то необходимо рассматривать их взаимосвязь, а также взаимную межгрупповую изменчивость.

Допустим, что существует линейная регрессия характеристики У на характеристику х, возможно, меняющаяся от группы к группе. Тогда соответствующая модель имеет вид

Гг^^ + РЛг+^г (/ = 1,...,^; i=\v..,ntV (13.94)

Естественно рассмотреть, может ли одно линейное уравнение регрессии (У=а+рХ) представлять все группы. Это линейная гипотеза Яо: («1 = а2= ... = а^; Pi = p2= • • • = М порядка 2 (£—^. .[Заметим, что в случае линейной модели (13.94) значения хи являются известными коэффициентами.]

Удобно разбить эту гипотезу на три части, каждую из которых можно проверять в отдельности.

Яо(1)‘ линии регрессии параллельны, т. e. pi = р2 =.. - = Р^;

Н^\ групповые средние лежат на прямой, т. с. точки (%/., ш + PtXt) лежат на прямой;

Но^: угловой коэффициент этой прямой равен рс, т. е. совпадает С рь . . . , Р^.

Вначале проанализируем данные для каждой группы в отдельности. Получаем эмпирически подобранные прямые регрессии

Е\У\хА=А^Врс (^1, 2,...Д).

Математическое ожидание коэффициента регрессии Bt равно pt,

его дисперсия равна о2[2(х^—Xt.)4-i = o2lwt, где Wt=^ ^хн— z=l

—xty можно рассматривать как «вес» коэффициента Bt.

Дисперсионный анализ для линейной регрессии в каждой группе основан на алгебраических тождествах

2 (^—г.)2=^д2+5 Г/.--Г

i=li=l

Суммируя эти к тождеств, получаем к nt_ hк "t_

/=] i—1/ = 1^=1 t=l

-Bi (Xtt — xj]2 = 2 и^+Зд.

Последний член представляет собой остаточную сумму квадратов с S (^—^=N—2А степенями свободы, где N=^ nt. Формула для вычисления взвешенной суммы квадратов отклонений от взвешенного среднего имеет вид

^^B-B^^w^-w^,

к

где w^^wt, Вс = -У^

к"

Следовательно, сумму ^wtBL2 можно записать как

к

wcB\ + 2 wt (Bt — Вс)2 = wcB\ + sw.

Математическое ожидание второй величины равно (^—1)о24~ кк

+ S ^/(₽/—₽с)2, где рс=( S wt^t)jwc. (В данном случае индекс с относится к общему среднему значению углового коэффициента прямой регрессии внутри групп.)

Дисперсия коэффициентов Вс равна o2]wo

Начнем теперь со стандартного алгебраического тождества. Разобьем полную сумму квадратов на сумму квадратов между группами и сумму квадратов внутри групп:

к nt к к nt

IAYit-Yy = ^nAYt-Y.y^ ^Yti-Yt^. t=\ 1=1/=1/=1 1=1

Разбивая сумму квадратов внутри групп, как показано выше, получаем к _

(Полная сумма квадратов) = 2 пt(Yt-Yy+wc&c+ /=1

-{-(Сумма квадратов между регрессиями внутри групп) 4-

4-(Остаточная сумма квадратов). (13.95)

Сумма 'квадратов между регрессиями внутри групп равна 2 wt(Bt—Всу. Проверка соответствующего среднего квадрата

путем сравнения с остаточным средним квадратом обеспечивает проверку гипотезы //об).

Чтобы получить критерий для проверки гипотезы Но<2\ вначале построим с-ю линейную регрессию по точкам (xt, Yt) с весовыми коэффициентами nt. Это приводит к следующему разбиению суммы квадратов между группами:

2 п( (Y(-Y.y^wmB\ +2 nt [Г, —Y.—Вт kXt-X.^ =

=wmB2m-VSG,(13.96)

S”t(xt.-x.) (Г(.-Г„)

гдеВт -—

<=1

Иwm = ^ пДх(— х..)2.

^=1

Заметим, что Vai (Вт) =G2(wm. Математическое ожидание второго члена правой части выражения (13.96) равно

к_

(6—2) о2+2 пДа(—ат—^тх^,

1=1

гдегдек __^пДх{— хДк __^пДх{— хД(«t+PA.)(«t+PA.)

где

где

к __

^пДх{— хД

к __

^пДх{— хД

(«t+PA.)

(«t+PA.)

Гипотеза //о(2) проверяется путем сравнения отношения средних

квадратов

SGKk-^ sR№-^ ’

с F-распределением с к—2, N—2к степенями свободы.

Я0(3) — линейная гипотеза первого порядка: Рт=(₽с. Для ее проверки запишем сумму двух неиспользованных величин в раз-

Результаты дисперсионного анализа для проверки Н оа\ Н0^2\ Но^

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Общий угловой коэффициент регрессии

1

So = tooso2

O2+m0S02

Угловой коэффициент групповых средних по сравнению со средним угловым коэффициентом внутри группы

1

°2 +~w0 №» - Pm)2

Относительно линейной регрессии групповых средних

к-2

SG = 2 nt\Yt-Y„ -Вт&_.

/=1

o2 + (^2) 1 ^ ^t(at ^m — P/n-^t.)2

f=l

Между угловыми коэффициентами внутри групп

к—\

к

Sw= 2 w^Bt-B^ /=1

к

O2 + (^_l)-i^ m<(pt-pc)2

Остаток (относительно линейных регрессий внутри группы)

N — 2k

s^ - 2 2 1Уп -y'- ~BAx<i /=1 i=l

a2

к nt

Сумма

N — 1

t=l 1=1

биении полной суммы квадратов wcB\-\-wmB^m в виДе

^В\4- (B-B^wfi^S^,

к_

где w0 = wc-Vwm, wm = ^ ^Хд—ху, t=\ 1=1

s wcBc + wmBm0Wo

(Здесь индекс «о» относится к полному набору данных, а Во — коэффициент регрессии, который был бы получен, если на основании всех данных без учета разбиения на группы построить одну линейную регрессию.)

Затем проверяется гипотеза Я0(3) путем сравнения отношения

_SwG_

S^IN — ^

с ^-распределением с 1, (Я—2fe) степенями свободы.

Все величины, необходимые для раздельной проверки всех трех гипотез, составляющих Яо, можно включить в одну таблицу дисперсионного анализа, как показано в табл. 13.32.

Если нет необходимости проверять каждую из гипотез Н^, Яо<2) и Яо(3) в отдельности, то суммы квадратов для второго, третьего и четвертого источников изменчивости в табл. 13.32 суммируются и делятся на l+(fe—2) + (fe—l)=2(fe—1); в результате получается средний квадрат. Затем отношение этого среднего квадрата к остаточному среднему квадрату сравнивается с F-распределени- ем с 2 (А—1), N—2£ степенями свободы.

13.20. КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Рассмотренный выше анализ иногда называют ковариационным. Мы же оставим этот термин для анализа, проводимого с целью проверки возможности объяснения наблюдаемых различий среднего отклика У между группами линейной регрессией на управляемую («сопутствующую») переменную х.

Форма ковариационного анализа зависит от принятой модели. При односторонней классификации может использоваться модель

I ^i=“z+p(xzi-x)+Zzj

(Возможны и другие модели, но эти модели — самые простые, и они используются чаще других.)

Для каждой «модели требуется проверить гипотезу

H0:at=a2= • • ■—ак-

Соответствующие критерии можно получить с помощью метода, -описанного в разд. 13.16.

Для модели I имеем (в обозначениях, принятых ранее в данном разделе)

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Группы (с поправкой на со

к— 1

Swg+Sg

путствующую переменную)

Остаток

N— к—1

S^+^vv

Для модели II имеем

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Труппы (с поправкой на сопутствующую переменную)

Остаточная изменчивость

к— 1

N—2 к

Sn

Здесь В'(=——-.

2 ^Xti - i—\

Математические ожидания 'случайной величины at имеют вид в случае I VL— ВДхи—х^ в случае II Yt—Bt (xL—х).

Если существует уверенность, что действительно Pi = P2 = * -. -.. = Р^, то лучше использовать модель I, так как в этом случае остаточная сумма квадратов имеет большее число степеней свободы. Однако модель II обеспечивает возможность увеличения юстаточной суммы квадратов вследствие неожиданных различий между значениями 0.

Дальнейшее описание ковариационных методов дается в :разд. 14.9.

ЛИТЕРАТУРА

Brownlee К. A., Statistical Theory and Methodology in Science and Engineering, 2nd ed., New York, Wiley, 1965. [Имеется перевод: Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. — М.: Наука, 1977.]

Cochran W. G., Сох G. М., Experimental Designs, 2nd ed., New York, Wiley, 1957.

Cox D. R., Planning of Experiments, New York, Wiley, 1957.

Davies O. L., ed., Statistical Methods in Research and Production, 2nd ed., London, Griffin; New York, Hafner, 1967.

Duncan D. B., Multiple Range and Multiple F Tests, Biometrics, 11 (1955).

Fisher R. A., Yates F., Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, 6th ed., London, Oliver and Boyd; New York, Hafner, 1964.

Hartley H. 0., The Use of Range in Analysis of Variance, Biometrika, 37 (1950).

Mandel J., The Partitioning of Interaction in the Analysis of Variance, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 73В (1969).

Neter J., Wasserman W., Applied Linear Statistical Models, Homewood (Ill.), Irwin, 1974.

Pearson E. S., Hartley H. 0., Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1, Cambridge University Press, 1968.

Tukey J. W., Comparing Individual iVIeans in the Analysis of Variance, Biometrics, 5 (1949).

Tukey J. W., One Degree of Freedom for Non-Additivity, Biometrics, 5 (1949).

Williams J. S., A Confidence Interval for Variance Components, Biometrika, 49 (1962).

Yates F., Incomplete Latin Squares, Journal of Agricultural Science, 26 (1936).

Yates F., Hale R. W., The Analysis of Latin Squares when Two or More Rows, Columns or Treatments arc Missing, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 6 (1939).

УПРАЖНЕНИЯ

Из партии кирпичей, изготовленных за сутки, случайным образом взяты 20 пробных образцов. Опи были распределены случайным образом по четырем различным условиям хранения. Вследствие некоторой ошибки, допущенной экспериментатором, шесть кирпичей были потеряны. После хранения в течение одной недели определялось содержание влаги в каждом кирпиче. Ниже приводятся данные о содержании влаги.

1

7,3

8,3

7,6

8,4

8,3

2

5,4

7,4

7,1

3

8,1

6,4

4

7,9

9,5

10,0

7,1

Способ хранения

Содержание влаги

Постройте параметрическую модель, соответствующую этим данным.

Проверьте гипотезу о том, что способ хранения не влияет на содержание влаги.

С целью сравнения отражательных способностей четырех видов краски проводился полностью рандомизированный эксперимент. Для окраски случайным образом выбирались 20 пробных образцов. Ниже приводятся результаты

(в соответствующих единицах), полученные с помощью оптического прибора, в закодированном виде.

Краска

7

2з4

195

150

205

120

160

45230по

40П555

195235120

65225so

14580

195

Постройте соответствующую таблицу дисперсионного анализа.

Определите, существуют ли различия между дисперсиями для различных красок.

Определите 95%-ный доверительный интервал для среднего значения отражательной способности краски 1.

Одной из важных характеристик качества колумбийской кормовой патоки является число градусов плотности Брикса. Это показатель количества твердого вещества в патоке и основной фактор, рассматриваемый при ее производстве. Поставщиками патоки являются три различных района страны. Ниже приводятся восемь выборочных показателей для каждого района (I, II и III).

I

II

III

81,6

81,8

82,1

81,3

84,7

79,6

82,0

82,0

83,1

79,6

85,6

80,7

78,4

79,9

81,8

81,8

83,2

79,9

80,2

84,1

82,6

80,7

85,0

81,9

Одинаково ли среднее число градусов Брикса для этих трех районов?

Найдите оценку дисперсии внутри районов.

Приняли бы вы гипотезу о том, что число градусов Брикса равно 82: 1) для всех районов или 2) для каждого района в отдельности?

Прокомментируйте допущения, принятые в данном упражнении.

При состязаниях четырех авиационных полков на точность бомбометания были зарегистрированы следующие результаты:

1

Полк

234

970

4220

190

650

600

2690

I96034602060

93024801590

340023202840

455038302940

20036601840

53035302110

При бомбометании по одной и той же цели в каждом полку использовались самолеты и аппаратура бомбометания одинакового типа.

Опишите используемую модель.

Оцените остаточную дисперсию.

Существуют ли различия в точности бомбометания для этих полков?

Отличаются ли значимо результаты для полка 1 от результатов для. остальных полков?

Обсудите данные, связанные с допущениями, которые принимаются при дисперсионном анализе.

Астроному важно знать истинную яркость звезды. Вследствие поглощения звездного света межзвездной пылью истинную яркость нельзя определить без поправки на поглощение. Ниже в таблице приводятся данные об измерении коэффициента поглощения для 21 звезды. Каждая звезда была выбрана случайным образом в одном из четырех интервалов значений галактической долготы.

Ин тербал значении долготы, град

43 -45

45 -47

100 -102

102-104

0,757

0,744

0,655

0,750

0,793

0,811

0,679

0,741

0,681

0,833

0,681

0,717

0,791

0,826

0,762

0,706

0,852

0,752

0,736

0,852

0,841

Проверьте гипотезу о том, что поправка на поглощение не зависит от галактической долготы.

Сравните первые два интервала значений галактической долготы с последними двумя интервалами для определения различий коэффициентов поглощения.

Три партии шин проверяются на износ протектора. Обычной процедурой является сравнение их с эталоном или контрольным образцом, имеющим характеристику, равную 100. Следовательно, приведенные ниже цифры нужно сравнивать с эталоном.

АИЗ100100В10110899С1059698АИЗ100100В10110899С1059698981069897104103

АИЗ100100

В10110899

С1059698

АИЗ100100

В10110899

С1059698

10010194 921009510010194 921009510610210096НОГ(2

10010194 9210095

10010194 9210095

Партии А и В сходны по составу и имеют лишь незначительные различия. Отличаются ли они по своим характеристикам от партии С?

Определите 95%-ный доверительный интервал для среднего показателя износа в каждой партии.

Пять рабочих выбраны случайным образом с целью определения изменчивости и числа изделий, которые может изготовить один рабочий за определенный промежуток времени. Для каждого рабочего случайным образом выбраны четыре единичных интервала, в каждом из которых зафиксирована производительность. На основе приведенных ниже данных оцените остаточную дисперсию. полагая, что она одинакова для каждого рабочего, и определите 95%-ный

доверительный интервал для средней производительности рабочего за 10 единичных интервалов. Сформулируйте используемую вами модель.

1

2

Рабочие

3

4

5

65

79

72

74

76

70

68

75

78

67

73

69

77

89

71

78

72

80

85

66

Сплавы А, В и С отличаются друг от друга лишь тем, что в сплавы В и С в различных пропорциях включен дополнительный компонент с целью определения, не влияет ли он на величину предела прочности на растяжение сплава. Было изготовлено по шесть образцов из каждого сплава с использованием форм для литья по стандартным моделям при различной температуре с целью определения зависимости предела прочности на растяжение от температуры разлива. Ниже приводятся кодированные значения предела прочности на растяжение.

Температура разлиба

А

Сплаб

В

С

1

170

211

180

2

188

142

.162

3

150

ПО

120

4

183

244

216

5

40

85

112

6

196

214

179

Постройте модель.

Проведите полный дисперсионный анализ.

Сделайте выводы.

Допустим, что' в упражнении 8 сплав В значительно отличается от ■остальных.

Путем соответствующих линейных сравнений проверьте, существенно ли отличается текучесть сплава В от текучести остальных сплавов.

Сравните сплавы С и А.

Зарегистрировано процентное содержание битумного пека в пяти партиях смоляных блоков, изготовленных в каждый из четырех дней. Приведенные ниже данные представляют собой результаты эксперимента по определению изменчивости между днями и внутри дней.

День

Содержание битумного пека, %

I II III

IV

7,57,27,37,37,5

7,47,67,47,47,5

7,06,96,76,96,8

7,07,37,27,17,4

Постройте модель.

Выполните дисперсионный анализ.

Оцените остаточную дисперсию и дисперсию между днями.

Приведенные ниже данные получены при выполнении определенной операции на четырех различных станках в каждый из пяти различных дней. Будем рассматривать дни как блоки, а станки как уровни основного фактора. Каждая величина представляет собой число изделий, изготовленных на станке за день.

Станок

День

АВСD

1

2

3

4

5

293308323333

298353343363

280323350368

288358365345

260343340330

Постройте соответствующую параметрическую модель.

Проверьте значимость различий между уровнями основного фактора.

Путем сравнения эффектов проверьте значимость этих данных, если станок А является эталонным, а станки В и С имеют некоторую особенность, отличающую их от станка D.

В упражнениях 10 и 11 примените, где это возможно, метод разделения средних.

В ходе испытаний эксплуатационных характеристик нового автомобиля «Зилч Джей Оу» проверялся расход бензина. Пять автомобилей одинакового образца, заправленных одним и тем же сортом бензина, на испытательном полигоне в штате Невада совершали пробег в течение 10 различных дней по одному и тому же маршруту. Будем рассматривать дни как блоки, а автомобили как уровни основного фактора. Каждое число в приведенной ниже таблице указывает пробег в милях на галлон бензина (1 миля/галлон=0,4251 км/л).

АбтомоКиль

День

I

11

111

IV

V

1

19,0

19,2

21,2

18,5

21,4

2

20,1

20,8

21,7

19,4

21,7

3

20,4

21,5

22,3

20,2

22,2

4

19,0

20,3

21,4

19,5

21,6

5

20,2

19,9

22,0

18,7

23,0

6

18,9

20,4

21,4

19,2

21,4

7

21,2

20,7

21,4

20,4

22,0

8

19,8

21,2

20,2

18,4

20,8

9

20,3

19,4

19,9

20,2

21,6

10

18,6

18,9

21,2

20,5

20,8

Постройте модель и составьте соответствующую таблицу дисперсионного анализа.

Оцените остаточную дисперсию и остаточные средние квадраты.

Сделайте выводы.

В результате предварительных испытаний получены данные, приведенные ниже. Эти данные представляют собой закодированные значения потери веса двух конкурирующих шин — А и В. Если можно допустить, что эти данные были получены в надлежащим образом контролируемых условиях, то какие выводы

можно сделать на основании этого эксперимента? В зависимости от средней скорости автомобиля проводятся два вида испытаний: быстрое истирание к медленное истирание.

оыстриеМедленное

истираниеистирание

Шина

.151

А

101

118

95

119

156

130

111

Шина

В117

102

115

97

133

100

109

92

Постройте модель.

Составьте таблицу дисперсионного анализа.

Сделайте выводы и представьте их в виде краткого сообщения.

Для определения точности испытаний на глубину проникания последовательно в первую и вторую недели в лабораторию были отправлены по две независимые пробы трех видов воска, где они испытывались при температуре НО °C. Воск Л был в виде хлопьев, а воски В и С — в форме брикета. На основании приведенных ниже данных проверьте:

существует ли эффект недель;

целесообразность допущения о постоянной остаточной дисперсии, и если-, такое допущение целесообразно, оцените ее значение;

существует ли различие между восками;

является ли значимым различие между воском в виде хлопьев и воском*, в форме брикета.

Воск

Пербая неделя

Вторая неделя

А

44

38

34

24

В

35

49

48

39

С

34

30

33

38

В процессе производства получается нежелательный побочный продукт, процентное содержание которого измеряется для трех различных катализаторов и при двух значениях давления. Путем дисперсионного анализа приведенных ниже данных определите, оказывает ли значимое влияние на выход продукта катализатор или уровень давления. Существует ли взаимодействие?

Катализатор

IIIIII

Верткий иробень оаВления

0,390,270,33

0,450,450,68

0,290,570,31

Нижний уробень дабления

0,260,100,76

0,540,380,78

0,600,120,85

Были взяты две пробы для каждой из четырех партий сырого каучука. Из материала каждой пробы изготовлены три независимых образца и проведены испытания. Приведенные ниже данные представляют собой значения модуля упругости в процентах. Полагая, что применима модель компонент дисперсии, составьте соответствующую таблицу дисперсионного анализа. С помощью этой таблицы найдите оценки дисперсий каждой компоненты.

Партия 1

234

560

Проба 1580

600

600600680

640610700

620640730

660

Про^а 2610

600

580580720

630660770

670620’740

В течение года проводился эксперимент по1 определению потери веса вследствие коррозии цинка. Были выбраны три постоянных района исследования б штате Пенсильвания. Проверялись две марки цинка: HG и EG. Всего было .изготовлено 18 контрольных листов цинка. Данные, приведенные ниже в таблице, показывают потерю веса за год в унциях на квадратный фут (1 унция/кв. фут = 334,4 г/м2).

Марка цинка

Район исследования

Питтсбург

Санди Хук

Колледж штата Пенсильвания

0,337

0,107

0,061

HG

0,385

0,116

0,061

0,448

0,122

0,066

0,332

0,098

0,050

EG

0,349

0,102

0,053

0,402

0,112

0,055

Постройте соответствующую модель.

Существуют ли значимые различия между марками цинка?

Имеется ли взаимодействие?

Проверялись три вида клея, используемые при изготовлении изделий из стекла. Проведены испытания на растяжение для определения прочности клеевого соединения. Рассматривались три различных вида сборки: соединение внахлестку, под прямым углом к центру и с закруглением к центру. На стр. 127 представлены данные, полученные для 45 образцов.

Существуют ли различия между клеями?

Влияет ли вид сборки на прочность соединения?

Существует ли взаимодействие?

Допустим, что клей 047 относится к иному классу, чем клеи 00Т и 001. Путем линейного сравнения определите, существенно ли отличается клей 047 от двух остальных.

Необходимо провести эксперимент с целью исследования влияния составов для травления на пластинчатые образцы, после того как они протравлены и подвергнуты термической обработке. Должны сравниваться четыре состава для травления. Имеются три печи для термической обработки, но известно,

Таблица к упражнению 19.

Клей

Соединение внахлестку

Соединение под прямым углом к центру

Соединение с закруглением к центру

—

047

16

17

13

14

23

19

19

20

14

18

16

17

19

14

21

оот

23

24

24

18

20

21

21

12

25

20

21

29

21

17

24

001

27

14

17

28

26

18

14

14

13

26

28

16

17

27

18

что все они дают различный эффект. Результаты этого эксперимента приведены, в таблице.

СоставНомеР печи

для травления

123

А В

С

D

181920211417

242227302023

192120181716

161516181412

Постройте соответствующую параметрическую модель.

Поскольку известно, что печи имеют значимый эффект, то почему мы вводим его?"

Оказывают ли составы для травления различное влияние на пластинчатые образцы?

Ниже приводятся данные о контрольных замерах, проведенных с помощью четырех денситометров (выбранных из большого числа имеющихся), Проверяются три определенных типа пленки, используемой в фотоустановке. Для всех денситометров берутся по два повторных замера для каждой пленки.

Дене и то метр

Пленка 1

2

3

4

А 7

6

4

4

А8

4

3

6

в !

5

3

7

4

4

2

4

с*

4

3

6

7

6

4

з

Постройте соответствующую смешанную модель.

Составьте полную таблицу дисперсионного анализа, содержащую математические ожидания средних квадратов.

Оцените остаточную дисперсию и другие дисперсии.

Сделайте выводы.

Проводился эксперимент по определению степени коробления пластин из медного сплава при четырех значениях температуры (50, 75, 100 и 125 °C) и четырех значениях содержания меди (40, 60, 80 и 100%). С помощью приве- данных ниже данных определите, существуют ли линейные и квадратичные эффекты вследствие температуры и содержания меди.

Содержание меди, %

Температура, °C

40

60

80

100

50

17

16

24

28

75

12

18

17

27

100

16

18

25

20

125

21

23

23

29

В эксперименте, аналогичном описанному в упражнении 22, проведено по три повторных наблюдения при каждой комбинации температуры и содержания меди. С помощью записанных ниже данных ответьте на вопросы, поставленные в предыдущем упражнении. Каковы основные различия между математическими моделями для этого и предыдущего упражнений?

Содержание меди, %

Температура, °C

40

60

80

100

17

16

24

28

50

20

21

22

27

18

12

22

30

12

18

17

27

75

9

13

12

31

10

23

14

31

16

18

25

30

100

12

21

23

23

15

16

26

25

21

23

23

29

125

17

21

22

31

17

28

26

30

Исследовались четыре клея на прочность соединения. Были изготовлены 48 образцов при температуре цикла отверждения 300°F (149°C). В ходе эксперимента проверялся и второй фактор — давление отверждения. Были выбраны уровни давления 100, 200 и 300 фунт/кв. дюйм (1 фунт-сила/кв. дюйм = 6,89476 кПа).

Постройте соответствующую математическую модель для результатов испытаний.

Составьте полную таблицу дисперсионного анализа и сделайте выводы.

Если эффект давления окажется значимым, определите линейную составляющую и составляющие более высокого порядка.

Если количественный фактор не является значимым, то определите, целесообразно ли разбивать его на составляющие с одной степенью свободы для проверки линейности, квадратичного эффекта и т. д.

Прочность клеевого соединения присоответствующем давлении отверждения;цикл отверждения при температуре300 °F (149 °C).

Фунт / к6. дюйм

Клеи

100

200

300

031

14

14

10

14

10

12

14

19

13

17

15

10

026

11

16

19

15

15

10

17

11

14

30

10

8

047

15

16

18

23

26

16

24

25

6

15

18

22

ООТ

3

20

23

9

18

12

6

21

17

9

10

13

Приведенные ниже данные [взятые из статьи: Youden W. J., Statistics in Analytical Chemistry. Annals of the New York Academy of Sciences, 52 (1950)] представляют собой 16 значений отношения эквивалентных весов иода и серебра. Рассматривались два вида препаратов иода и несколько видов препаратов серебра.

Серебро

Иод

А

В

С

D

Е

1

1,76422

1,76441

1,76429

1,76449

1.76455

1,76425

1,76441

1,76437

1,76450

2

1,76399

1,76423

1,76461

1,76440

1,76418

1,76413

1.76448

Рассмотрите эти данные как результат восьми комбинаций. Оцените дисперсию ошибки.

Существует ли значимое различие между комбинациями? Используйте

9-1825

Определите 95%-ный доверительный интервал для среднего комбинации серебро А — иод 2.

Используя первые две выборки только для иода 2 и не учитывая данные для серебра С и Е, проведите анализ двухфакторного эксперимента. Выведите уравнение модели, составьте таблицу дисперсионного анализа и оцените остаточную дисперсию.

Четыре краски проверялись на сопротивление износу. При этом сравнивались два метода истирания, которые, как предполагалось, дают одинаковые результаты. Были изготовлены 24 контрольные пластинки, но четыре из них исключены вследствие недостаточного контроля при изготовлении. Ниже в кодированной форме приведены данные об износе, показывающие отклонение в миллиграммах от произвольно установленной нормы. Определите, обусловлены ли эти различия типом краски, способом проверки или же их взаимодействием.

27. Допустим, что в упражнении остались следующие результаты:27. Допустим, что в упражнении остались следующие результаты:15 некоторые данные были «потеряны» и15 некоторые данные были «потеряны» и

27. Допустим, что в упражнении остались следующие результаты:

27. Допустим, что в упражнении остались следующие результаты:

15 некоторые данные были «потеряны» и

15 некоторые данные были «потеряны» и

Краска

Способ

проберки 1234

40

53

12

27

1

32

43

21

57

39

45

45

64

60

24

45

2

48

42

11

39

50

А

В С

443834

3548

3338

боек

Пербая неделя

Вторая неделя

Проанализируйте данные этого эксперимента, когда фактор «недели» представлен параметрами.

Если в упражнении 15 значение 24 для воска А во второй неделе отсутствует, то какая оценка этого выборочного значения минимизировала бы остаточную дисперсию?

Проведите дисперсионный анализ данных из упражнения 8, когда отсутствует четвертое значение температуры разлива для сплава В.

В реакторе непрерывного действия при температуре 230 °C протекает реакция между адипиновой кислотой и этиленгликолем при эквимолекулярных концентрациях. Были взяты пробы нескольких партий продукта. Титрование кислотного числа продукта дает непосредственный показатель концентрации не вступившей в реакцию адипиновой кислоты, что показывает глубину протекания реакции (т. е. чем выше кислотное число, тем меньше глубина протекания реакции) .

Для оценки относительной величины изменчивости между партиями и внутри партий, между пробами (взятыми для титрования) и между титрованиями внут-

ри пробы были получены экспериментальные результаты, приведенные в таблице,

Кислотное число

Партия

ЛроКа

1-я реплика 2-я реплика

А

Ч\

73

1

В

74

72

С

72

69

А

71

69

2

В

70

73

С

73

71

А

74

70

3

В

7J

73

С

76

71

А

69

72

4

В

72

75

С

73

70

А

72

66

5

В

68

73

С

73

69

Составьте соответствующую модель компонент дисперсии (полагая, что дисперсии, имеющие одинаковый характер, однородны).

Оцените каждую из трех дисперсий, используемых в модели.

Постройте 95%-ный доверительный интервал для остаточной дисперсии.

Процесс нанесения на стальные трубы покрытия из пластмассы с помощью экструдера непрерывного действия состоит из следующих операций: нагревания пластмассовых гранул, выдавливания горячей пластмассы через экструзионную головку с помощью вращающегося шнека, предельного разрезания этой пластмассовой трубы и обертывания ею стальной трубы. Проводился эксперимент по исследованию влияния температуры термостата (Т), скорости вращения шнека (5) и типа пластмассы кРУ на производительность экструдера. Ниже в таблице приводятся данные о производительности экструдера при различных условиях.

Полагая, что взаимодействие трех факторов равно нулю, оцените остаточную дисперсию."

Проанализируйте каждый фактор путем разделения средних с помощью методов Тьюки и Дункана.'

Скорость

Рх

Рг

Рз

Тх

Тг

т3

Тх

7*2

Тз

Тх

Тг

Тз

8Х

449

467

469

423

449

466

441

469

488

$2

523

543

547

507

529

550

529

562

576

S3

604

620

622

587

619

634

606

646

667

Ниже приведены величины усилия в фунтах на квадратный дюйм (1 фунт/кв, дюйм=6,89476 кПа), необходимого для удаления пломбы. Был проведен стоматологический эксперимент с тремя факторами: вид зубопротезного клея (Л), тип зуба (В) и конфигурация или форма (С) пломбы. Имеется пять

9е

видов клея, два типа зубов (коренные и резцы) и пять конфигураций пломбы. Для каждой из (5X2X5) =50 комбинаций условий были изготовлены и склеены по три пары штампов для литья (зубы и колпачки). Приведенная ниже таблица содержит значения усилий, усредненных по трем наблюдениям. Используя методы Тьюки н Дункана для разделения средних, проанализируйте эти данные и сделайте выводы.

Клеи

ЗуКы

1

2

3

4

5

Коренные

’ С,

67

263

184

185

122

с2

70

231

210

148

150

Форма

■ с3

62

213

257

165

138

с4

70

183

201

150

130

. с.

73

358

173

117

86

Резцы

■ С,

69

352

164

146

102

С2

67

342

145

137

101

Форма

• С3

94

354

194

116

160

С4

79

288

153

164

136

С5

98

351

112

89

157

Три фирмы ведут переговоры о заключении контракта на проведение научных исследований и разработок. Все фирмы представили удовлетворительные технические предложения. Ниже приводится сводка данных об эффективности деятельности этих фирм в прошлом. Показателем эффективности является отношение окончательной стоимости к предложенной и оценка технического качества проектов по шкале от 1 (наивысшая оценка) до 5 для выполненных ранее контрактов, выбранных случайным образом для каждой из нескольких категорий ориентировочной стоимости. Фирма А оценивает затраты в 900 тыс. долл., фирма В — в 800 тыс. долл., а фирма С — в 1,2 млн. долл..

С какой фирмой следует заключить контракт?

Какова ожидаемая окончательная стоимость?

В ситуации, описанной в разд. 13.6.2, можно построить доверительный интервал для о2+по'2, используя сумму квадратов между группами, и доверительный интервал для о/2/о2, используя отношение средних квадратов. Покажите, что интервал значений о', для которых о2+по'2 и </2/о2 могут попасть в соответствующие 100(1—а/2) %-ные доверительные интервалы, образует доверительный интервал для о' с доверительной вероятностью не менее 100(1—>а) %.

Пусть So, Sb S2,.... S&— взаимно независимые случайные величины. Случайная величина Sj имеет распределение %2 с vj степенями свободы (/=0, 1,...,&). Покажите, что плотность совместного распределения случайных величин GiС*, где Gt=St/SOt имеет вид

/к\ к

р (Gx..... ОА) = ———к(G, > 0).

Ппад t \1/а5^

6+s^

\/=1 /

Таблица к упражнению 33.

Оценка стоимости, тыс. долл.

Фирма А

Фирма В

Фирма С

Отношение окончательной стоимости к предложенной

Оценка качества проекта

Отношение окончательной стоимости к предложенной

Оценка качества проекта

Отношение окончательной стоимости к предложенной

Оценка качества проекта

Менее 100

1,50

1

0,78

1

1,10

1

2,30

3

1,00

4

1,05

1

2,80

2

3,70

2

2,60

1

От 100 до 250

2,00

2

4,10

1

1,75

2

3,50

4

1,30

4

1,80

1

1,80

1

1,80

2

2,10

2

От 250 до 500

3,50

2

1,00

2

5,00

5

2,75

4

2,50

3

1,40

1

1,90

2

2,10

2

1,10

2

От 500 до 1000

1,60

1

2,00

1

4,00

2

3,00

3

4,00

3

1,85

1

2,30

1

1,90

2

2,70

1

От 1000 до 5000

1,80

2

2,30

3

1,40

2

2,00

2

2,50

2

1,60

1

1,45

2

2,70

1

4,50

2

Докажите, что это выражение можно использовать для вычисления вероятностей различных комбинаций результатов, полученных при проверке значимости величин из одной и той же таблицы дисперсионного анализа.

Покажите, что в ситуации, описанной в упражнении 35, случайные величины

/ к\-1

Gt = sJs0+5sJ при 1 = 1(А-1)

\М-Н 7

н Gk=Sk/S0 образуют взаимно независимое множество.

Покажите приемлемость этого результата для анализа, рассмотренного в разд. 13.18 (табл. 13.29).

Глава 14

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (II);

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ПЛАНЫ

И ПЛАНЫ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

ВВЕДЕНИЕ

В гл. 13 были описаны модели, соответствующие простым планам эксперимента. Вначале мы рассмотрели однофакторную классификацию, а затем перешли к случаю двух факторов. Введение большего числа факторов не вызывает затруднений, если план остается полностью сбалансированным, но, когда имеет место только перекрестная или только иерархическая классификация, мы ограничиваемся рассмотрением «чистых» планов.

В данной главе рассматривается ряд модификаций таких полностью сбалансированных планов. Многие из этих модификаций были разработаны для решения часто встречающихся практических задач. Это относится прежде всего к первой группе рассматриваемых планов: сбалансированным и некоторым другим неполноблочным планам. В таких планах в каждом блоке содержится не каждый уровень фактора (часто называемый уровнем основного фактора), а лишь некоторое подмножество данных уровней. При соответствующем выборе этих подмножеств становится возможным значительное упрощение анализа, а уменьшение размера блока повышает гибкость плана и может привести к уменьшению остаточной дисперсии.

Вторая группа планов — латинские и гипер-латинские квадраты— также направлена на уменьшение объема эксперимента. В этих случаях ограничение состоит в том, что в эксперименте фактически рассматривается только некоторая доля возможных комбинаций уровней факторов. Например, в латинском квадрате пXп имеются три фактора, каждый с п уровнями, но используются только и? комбинаций уровней факторов вместо п? возможных.

Аналогичной особенностью обладают планы с дробными репликами.

Метод смешивания эффектов позволяет уменьшать размер блока путем разделения 'множества всех возможных комбинаций уровней факторов на подмножества и распределения каждого подмножества по разным блокам. Таким способом уменьшается размер блока, хотя используются все возможные комбинации уровней факторов (невозможно, неоднократно).

Упоминавшиеся выше планы с дробными репликами получают путем исключения некоторой части (.половины, трех четвертей и т. д.) блоков плана со смешиванием эффектов.

Планы с дробными репликами и планы со смешиванием эффектов рассматриваются в гл. 15, где описаны также планы с расщепленными делянками, которые можно считать частным случаем планов со смешиванием.

В данной главе представлены и смешанные планы, обладающие особенностями планов с перекрестной классификацией и иерархических планов.

В большинстве рассматриваемых случаев наблюдения являются одномерными. Однако некоторое внимание уделяется методам анализа (ковариационный анализ), приемлемым, когда при каждом наблюдении измеряются две характеристики (или более).

РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ НЕПОЛНОБЛОЧНЫЕ ПЛАНЫ

В случае рандомизированного блочного плана в каждом блоке содержится каждый уровень рассматриваемого фактора (т. е. одна полная реплика). По этой причине такой план иногда называют рандомизированным полноблочным планом. Примером рандомизированного полноблочного плана с четырьмя уровнями основного фактора А, В, С и В, каждый из которых встречается в каждом блоке (I, II и III), является табл. 14.1.

Таблица 14.1

Рандомизированный полноблочный план для четырех уровней основного фактора в трех блоках

Блок

I

и

Ш

D

А

С

В

‘ С

А

А

В

D

С

D

В

Вполне возможно, что имеющиеся блоки будут не настолько велики, чтобы в них разместилась полная реплика. Напомним, что фактор, представляемый блоками, часто появляется естественным образом. Это могут быть дни, участки поля, установки. Например, если за один день можно получить только три наблюдения, а основной фактор имеет четыре уровня А, 6, С и В, то за один день (блок) невозможно наблюдать полную реплику. Однако можно составить сбалансированный план, в котором в каждом из четырех блоков содержатся по три уровня (табл, 14.2). Порядок распределения уровней основного фактора по блокам может быть рандомизирован.

Такой план называется (рандомизированным) неполноблочным. Кроме того, он является сбалансированным, а отсюда его на-

звание сбалансированный неполноблочный план, или сокращенно BIB-план. Слово «сбалансированный» не означает, что блоки имеют одинаковый размер и что каждый уровень основного фактора встречается одинаковое число раз. По определению каждая пара уровней основного фактора BIB-плана должна появиться в блоках одинаковое число раз (дважды в табл. 14.2).

Таблица 14.2

Сбалансированный неполноблочный план, когда в каждом блоке находятся три из четырех уровней основного фактора

Блок

I

п

Ш

IV

В

А

С

В

А

В

А

D

С

D

D

С

Таким образом, BIB-план описывается несколькими стандартными параметрами: t— число уровней основного фактора; b—чис< ло блоков; к — число уровней основного фактора ^«делянок^ в блоке; г — число реплик каждого уровня основного фактора; X — число блоков, в которых любая данная пара уровней основного фактора встречается совместно.

В табл. 14.2 /=4, 6=4, & = 3, г=3, Х=2. Без труда можно вывести два полезных общих соотношения между этими параметрами. Общее число делянок равно произведению числа блоков на число делянок в блоке; оно равно также произведению числа уровней основного фактора на число реплик. Символически это соотношение записывается как

bk=tr.(14.1)

Аналогично, выражая общее число делянок в этих блоках, содержащих данный уровень основного фактора, двумя способами, находим

^=г4-Х(^—1),

или Х=г(к —1)/(/— 1).(14.2)

Другим способом представления табл. 14.2 является табл. 14.3, В качестве примеров BIB-планов рассмотрим табл. 14.4. В слу. чае плана а имеются три уровня основного фактора (/=3), две реплики (г=2), три блока (6 = 3), два уровня основного фактора на блок (& = 2) и А=1. В случае плана б /=4, г = 3, 6 = 6, к=2 и Х=1, а в случае плана в /=11, г=6, 6 = 11, к = 6 и Х=3, в

Таблица 14.3

Четыре уровня основного фактора в четырехблоках, состоящих из трех делянок

Уровни основного фактора

I

Блок

П

Ш

IV

А

X

X

X

В

X

X

X

С

X

X

X

D

X

X

X

Перечни BIB-планов даны в книгах Фишера и Йетса [8] и Коч- рена и Кокса [3]. При использовании плана, взятого из такого перечня, важно, чтобы нумерация блоков и уровней основного фактора производилась случайным образом. Даже если нет необходимости привлекать теорию рандомизации (см. разд. 13.7), в которой существенную роль играет случайное распределение, перестановки

Таблица 14.4

Некоторые сбалансированные неполноблочные планы

Уровни - основного фактора

блок

Уровни основного фактора

блок

I

11

Ш

I

И

Ш

IV

V

VI

А

X

X

А

X

X

X

В

X

X

В

X

X

X

С

X

X

С

X

X

X

а

D

X

X

X

б*

Уровни основного Фактора

блок

I

и

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

А

X

X

X

X

. X

X

В

X

X

X

X

X

X

С

X

X

X

X

X

X

D

X

X

X

X

X

X

Е

X

X

X

X

X

X

F

X

X

X

X

X

X

и

X

X

X

X

X

X

И

X

X

X

X

X

X

I

X

X

X

X

X

X

J

X

X

X

X

х

X

К

X

X

X

X

X

X

элементов опубликованных планов являются хорошей гарантией исключения систематических ошибок. Так, в табл. 14.4 в случае плана б шесть блоков можно расположить в следующем порядке: II, IV, I, VI, V и III (например, в такой последовательности могут появиться числа 2, 4, 1, 6, 5, 3 в таблице случайных чисел). Аналогичным образом производится случайный выбор четырех уровней основного фактора, обозначаемых буквами А, В, С, D.

Мы не настаиваем на необходимости рандомизации (когда она возможна) в любом случае, но ее целесообразность следует всегда иметь в виду.

Анализ В1В-плана

Модель для рандомизированного полноблочного плана [формула (13.52)] приемлема также и для BIB-плана, так как тот факт, что в данном случае блоки меньше, не меняет существенно структуру соответствующей модели (хотя можно ожидать, что величина среднего квадратического отклонения а остаточных членов может быть уменьшена). Эта модель имеет вид

*м = а+М-Ъ + ^,(14.3)

где i обозначает блок, a j— уровень сновного фактора. Это параметрическая модель с ограничениями ьt

2Р,=о.2т,=о.

i=lм

Как и в случае рандомизированного блочного плана, отсутствует член, выражающий взаимодействие между блоками и уровнями основного фактора. Полагаем, что это взаимодействие равно нулю. Однако если такое взаимодействие существует, то оно будет увеличивать величину остаточной дисперсии o2=Var(Z//). Отличие от рандомизированного полноблочного плана состоит в том, что не все возможные комбинации значений i и / из уравнения модели (14.3) присутствуют в эксперименте.

Дисперсионный анализ для таких плана и модели можно провести с помощью общего метода, описанного в разд. 13.16. Однако здесь мы используем другой подход.

Рассмотрим теперь конкретный уровень основного фактора, на. пример <7-й. Сумма всех наблюдений для этого уровня основного фактора [согласно формуле (14.3)] имеет вид

X.q=^Xlq = ra-V'21^l-V-n:q-V^Zlq,(14.4)

Ц»)К9)<(»)

где J обозначает суммирование по всем блокам, содержащим i(q)

q-й уровень основного фактора. Аналогично сумма всех наблюде-

ний в i-м блоке имеет вид ^.=2xu=^+^+2^+2zo,(14.5)

Ri)/(0 Ri)

где 2 обозначает суммирование по всем уровням основного фактора, входящим в i-й блок. Суммируя выражение (14.5) по всем блокам, содержащим q-й уровень основного фактора, -находим

2 2^=^«+^2^+2 2^+2 2Z„-(14-6)

Rq) iV)Rq) Rq) Ri) Rq) Ri)

Хотя двойное суммирование кажется сложным, в данном случае оно просто означает суммирование по всем делянкам блоков, содержащих q-и уровень основного фактора. Следовательно,

2 2Т>=ГД + ?"2Т> = (Г—Х)т«’

Rq) Ri)i+q

tтак как2т/=0./=i

Используя этот результат и вычитая (14.6) из выражения (14.4), умноженного на к, получаем

* 3 ^«—^ №=(6r-r+x)T.+6SZi.-S У7- (14.7) Rq) Rq) Ri)Rq) Rq) RD

Отсюда (поскольку математическое ожидание каждой случайной величины Хц равно нулю) с помощью соотношения (14.2) находим, что несмещенная оценка параметра хч равна

^=И61Х-22^и]-<14-8)

Rq) Rq) Ri)

Это выражение можно записать как

_Rq)Rq)

где Xi=kz№ — арифметическое среднее для наблюдений в ьм блоке, a X.q—-сумма всех наблюдений для q-ro уровня основного фактора. Другая форма этой оценки параметра tq имеет вид

—ад

где X,q=r~^ Xiq — среднее арифметическое наблюдений при д-м ад

уровне основного фактора. Наиболее часто используется оценка

_

Таблица 14.5^

Средние и дисперсии средних

Оценка среднего

.Дисперсия оценки

Отдельный уровень основного фактора

Х..+ Tq

о» Г 1 w ■ г [ / ^ (к-

-I)2] - 1)р

Разность между двумя уровнями основного фактора

Г 2к "

°’ ["хГ

*) Множители при о’ в этих формулах можно найти как суммы квадратов коэффициентов при Хц в соответствующих выражениях.

Суммируя (14.3) по всем наблюдениям, находим, что общее среднее X—l^Xiilkb является несмещенной оценкой параметра а. Следовательно, если требуется получить несмещенную оценку д-го уровня основного фактора, прибавляем Х„ к соответствующему выраженнию (14.8). Оценки средних для основного фактора и их дисперсии даны в табл. 14.5.

Результаты дисперсионного анализа В1В-планаРезультаты дисперсионного анализа В1В-планаПриступим теперь к вычислению величин, указанных в таблице дисперсионного анализа (табл. 14.6). Следует заметить, что в данном случае имеются те же источники изменчивости, что и при анализе рандомизированного .полноблочного эксперимента. Сумма

Результаты дисперсионного анализа В1В-плана

Результаты дисперсионного анализа В1В-плана

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Блоки

Ъ

81 = к~^ХЧ.-(Ьк^Х\. f-1

6-1

Уровни основного фактора (скорректированные)

s*“ ш 2

/-1

kX^-^Xi.

.НП .

1

/-1

Остаток

S,—разность

bk — t — b+\

Сумма

Ък — \

Таблица 14.6

квадратов для блоков вычисляется с помощью средних арифметических для наблюдений в каждом блоке точно таким же способом, как и в случае рандомизированного полноблочного плана. Однако это лишь приближенная сумма квадратов для блоков; если используется правая часть выражения '(14.3), то оказывается, что эта сумма квадратов зависит от параметров т/ (описывающих различия между уровнями основного фактора), а также от параметров (к для блоков. Фактически эта приближенная сумма квадратов для блоков используется только как вспомогательная величина при вычислении (путем вычитания) остаточной суммы квадратов.

Следует также определить число степеней свободы остаточной суммы квадратов.

Пример 14.1. При изготовлении некоторой детали машины критическим параметром является внутренний диаметр стальной трубы. Берутся выборки, содержащие по 10 деталей, и вычисляются выборочные средние. Эти детали могут изготавливаться из семи различных марок стали на семи различных станках. Используется BIB-план, при этом станки образуют блоки, а марки стали являются уровнями основного фактора. В табл. 14.7 представлены средние отклонения (в миллиметрах) внутреннего диаметра от заданного эталонного значения.

Таблица 14.7

Средние отклонения внутреннего диаметра, мм

Марка стали

Станки

Сумма

1

2

3

4

б

6

7

А

5

4

9

18

В

12

9

9

30

С

7

6

8

21

D

7

5

3

15

Е

4

6

5

15

F

10

12

9

31

G

4

4

3

11

Сумма

16

18

28

19

27

22

11

141

Имеем 6 = 7, /=7, А = 3, г = 3, Х=1. Приближенная сумма квадратов для станков вычисляется как (см.,табл. 14.5)

s*=4- 2-4- ха-=т <168+ 182+• • •+112) -

—а-(141)2=72,96.

Остальные суммы квадратов вычисляются следующим образом:

17 /\21

^ = -TT7-S 3,^-1!Х«- =4- {[3-18-(16 + 18 + 28)Р+ /=1 \Uh /

+[3-30—(28+19+27)+Ц3-11 — (18+ 19 +11)]3}=75,90,

5 = 2 2 ^u—W^.. = 1103—946,71 = 156,29,

5#=5—St—52=7,43.

Получаем таблицу дисперсионного анализа (табл. 14.8). Заметим, что (нескорректированный) средний квадрат для станков не проверяется в случае BIB-плана. При симметричном сбалансированном неполноблочном плане (как мы увидим) можно проверить

Таблица 14.8

Результаты дисперсионного анализа для средних отклонений внутреннего диаметра

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Станки (без коррекции)

72,96

6

Марки стали (с коррекци

75,90

6

12,65

13,62**

ей)

Остаток

7,43

8

0,929

Сумма

156,29

20

как блоки, так и уровни основного фактора. Однако средние квадраты для блоков также должны быть скорректированы.

В табл. 14.8 отношение среднего квадрата для марок стали к остаточному среднему квадрату равно 13,62. Это отношение является значимым при 1%-ном уровне (feis; 0,99=6,37). С большой степенью уверенности можно утверждать, что точность соответствия внутреннего диаметра эталону зависит от марки стали, используемой для изготовления детали (и других связанных с этим факторов).

СИММЕТРИЧНЫЕ СБАЛАНСИРОВАННЫЕНЕПОЛНОБЛОЧНЫЕ ПЛАНЫ

Если число блоков равняется числу уровней основного фактора (Ь = /), то в соответствии с формулой (14.1) число реплик равно числу делянок в блоке (г=й). В этих случаях имеем симметрия*

ный сбалансированный неполноблочный план (SBIB-план). В таких планах эффекты блоков можно проверять так же, как эффекты уровней основного фактора.

Примеры SBIB-планов даны в табл. 14.3, 14,4, а и 14,4,6. Результаты дисперсионного анализа для SBIB-плана приведены в табл. 14.9. Следует отмстить, что необходимы два отдельных анализа. Один дает скорректированную сумму квадратов для уровней основного фактора (и приближенную сумму квадратов для блоков), другой — скорректированную сумму квадратов для блоков (и приближенную сумму квадратов для уровней основного фактора). Эти суммы квадратов связаны формулой

(Скорректированная сумма квадратов для блоков) +

+ (Приближенная сумма квадратов для уровней основного фактора) = = (Скорректированная сумма квадратов для уровней основного

•фактора) +

4-(Приближенная сумма квадратов для блоков).

5 Пример 14.2. В задаче из предыдущего примера рассматривались как марки стали (уровни основного фактора), так и станки (блоки). Поскольку это SBIB-план, то при необходимости можно проверить различия между блоками. Допустим, что нас интересуют возможные различия между станками. Для этого подставим данные из табл. 14.7 в формулы, записанные в табл. 14.9. Затем помимо Si, S2 и S (значения которых мы уже имеем) вычисляем

S3=4 S Х^—?ГХ2-=4"1-112) — 946,71 =

./—i

= 118,96,

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Блоки

Уровни основного фактора (с коррекцией)

S4 = к-12 ^Ч. - (^^Х3..

/=itm

t — 1

S2 / — 1

S^bk— b — /+ 1)

ЗД/-1)

Уровни оеновнего* фактора

Блоки (с коррекцией)

t St-r^X^-W1^.. 7-1

1 6

t=l/(0

6—1

S4

6 — 1

S4(^ —6 —/+ 1) Sc(6-1)

Остаток

Сумма

S.-S-tSi + Sg) =S-(S3 + S4)

s= SSx2y-<to)"1X2-

bk — b — t + 1

bk- 1

Se

bk — b — t-V 1

(Заметим, что St^S^S^S^I

Таблица 14.10

Результаты дисперсионного анализа для среднего отклонения (SBlB-план)

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Станки (без коррекции)

Марки стали (с коррекцией)

72,96

75,90

6

12,65

13,62**

Марки стали (без коррекции)

Станки (с коррекцией)

118,96

29,90

6

4,98

5,36*

Остаток

Сумма

7,43

156,29

8

20

0,929

В табл. 14.11а и 14.116 представлены оценки средних для станков и марок стали, а также средние квадратические отклонения для каждого среднего и разности между средними. Заметим, что оценки среднего отличаются от средних арифметических значений для наблюдаемых значений соответствующих станков или марок стали. Например, приближенные средние для станков 1, 2, 3,... равны соответственно 5,3; 6,0; 9,3 и т. д.

Таблица 14.11аОценки средних для станков

Станок

12

34

56

7

66

5

34

4

Оценка среднего, мм5 у- 5—

9у- 6

7 у- бу

5Т

Среднее квадратическое отклонение (в

миллиметрах)

для каждого

средне-

го составляет 0,62; разность между средними равна 0,89.

Таблица 14.116

Оценки средних для марок стали

Марка стали

АВ

СD

ЕF

G

4

Оценка среднего, мм,5—9

43

7 ?4 7

33

5- 10”

4

4 7

Среднее квадратическое отклонение (в миллиметрах)

для каждого среднего

составляет 0,62; разность между средними равна 0,89.

ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

При решении многих задач прикладной статистики используется план, называемый латинским квадратом. Кратко о нем упоминалось в разд. 14.1. В одном и том же эксперименте могут исследоваться три фактора. Существование различий между факторами можно проверять отдельно для каждого из трех факторов. При тщательно сбалансированном плане эти три суммы квадратов для разностей уровней факторов и остаточная сумма квадратов, путем сравнения с которой можно поочередно проверить каждую из этих трех сумм, могут составить одну таблицу дисперсионного анализа, где эти четыре суммы квадратов в совокупности дают полную сумму квадратов для всего множества наблюдений.

Первоначально латинские квадраты получили широкое применение в сельскохозяйственных экспериментах. Два из трех факторов обозначают положение в двумерной системе координат, показывающей местонахождение на поле. Третьим является основной фактор (представляющий собой способ обработки или различные сорта). Такой план эксперимента обеспечивает изменение (например) средней урожайности при изменении уровня исследуемого основного фактора, что существенно снижает нежелательное влияние колебаний естественного плодородия при переходе от одного участка поля к другому (представленному двумя другими факто- рами).

План такого рода вскоре нашел применение в других областях, в частности в промышленных исследованиях. В таких задачах два, а иногда и все три фактора сами по себе представляют интерес, а не вводятся лишь для того, чтобы объяснить эффекты, от которых мы с удовольствием избавились бы вообще.

Таблица 14.12

План типа латинского квадрата 4X4

Фактор I

Фактор II

1

2

3

4

1

А

В

С

D *

2

D

А

В

С

3

С

D

А

В

4

В

С

D

А

План типа латинского квадрата показан в табл. 14.12. Здесь два фактора представлены строками и столбцами и как бы образуют шахматную доску. Каждая строка или каждый столбец соответствует одному уровню фактора. Третий фактор обозначается буквами, записанными в каждой клетке этой шахматной доски. Буквы

распределены таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце каждая буква встречается только один раз. Если имеется п строк и п столбцов, то получаем /г2 клеток, и в каждой клетке комбинация строки, столбца и буквы показывает комбинацию уровней первого, второго и третьего факторов. Таким образом, используются п? различных комбинаций уровней факторов по сравнению с г? возможными комбинациями, что является весьма существенной экономией.

Может показаться, что мы сократили наши усилия по проведению эксперимент в п раз без потери возможности раздельной оценки эффектов изменения уровня каждого фактора. Однако, когда мы приступаем к построению модели, используемой в качестве основы анализа данных, то сразу видно, какую цену приходится платить за такую экономию.

Пусть X(ij^ обозначает наблюдаемое значение, соответствующее i-й строке, /-му столбцу и 6-й букве. Очевидно, что г, / и k принимают одно из значений 1,2,..., п. Индексы записываются в скобках, например (ijk), так как для обозначения наблюдения нужны только два из них. Например, если в табл. 14.12 1 = 2 и 6 = 3 (что соответствует букве С), то /=4, так как С встречается в четвертом столбце второй строки.

Математическая модель для латинского квадрата имеет вид

(Ик') = а + Pi + ^j + Ч + Z( ИЪ > (14.9)

п п п

где 2 Р< = 2 ^ = S ^ = 0-

Z=1 /=1 к=\

Данные условия означают, что (а+р/), (а+6/) и (а+т^) представляют собой математические ожидания для t-й строки, /-го столбца и 6-й буквы соответственно.

Это параметрическая модель. В случае латинского квадрата анализ одинаков как для модели компонент дисперсии, так и для параметрической (или смешанной) модели.

Заметим, что в модели (14.9) отсутствуют члены, описывающие взаимодействие. Это вызвано тем, что какой-либо общий член, описывающий взаимодействие, например (рб),/, нельзя отделить от Z.^ikv и поэтому невозможно получить остаточную сумму квадратов, не зависящую от значений какого-либо параметра. [Читателю уже известно, что пара индексов ij эквивалентна тройке (t/6).]

Следовательно, ценой, которую мы должны платить за уменьшение объема эксперимента в п раз, является игнорирование взаимодействий. Если взаимодействия существуют, то они увеличивают величину среднего квадратического отклонения о каждой случайной величины Z^^ но анализ остается справедливым в том смысле, что а) уровни значимости могут быть заданы точно; б) каждая проверка действительно обеспечивает проверку эффектов изменения уровня соответствующего фактора.

ю*

Однако увеличение о означает потерю чувствительности (или снижение мощности критерия). Некоторые химики-технологи несколько обеспокоены использованием латинских квадратов, так как считают, что в их области существует очень мало проблем, не связанных с взаимодействиями. Однако следует иметь в виду, что средние эффекты изменения уровней факторов [рь к, и та в модели (14.9)] можно оценить и сравнить, используя план типа латинского квадрата, хотя некоторыми аспектами рассматриваемой задачи приходится пренебрегать. (См. также упражнение 33.)

Существует еще одна особенность плана типа латинского квадрата, которая иногда считается его недостатком. Она состоит в том, что все три фактора должны иметь одинаковое число уровней (п в нашем обозначении). От этого недостатка можно частично избавиться, используя «фиктивные» уровни, фактически представляющие собой повторение других уровней. В табл. 14.13 показан один

Таблица 14.13

Латинский квадрат 4X4 с одним фиктивным уровнем

Фактор I

Фактор II

1

2

3

4

1

А

В

С

А

2

А

А

В

С

3

С

А

А

В

4

В

С

А

А

такой план, когда два фактора (строки и столбцы) имеют по четыре уровня каждый, а третий фактор (буквы)—три уровня. Уровень А повторяется. (Этот план образован с помощью плана из табл. 14.12 путем замены D на Л.) Обычно чаще повторяется уровень (или уровни) фактора, представляющего большой интерес. Анализ таких модифицированных планов обладает некоторыми особенностями, рассматриваемыми ниже.

В следующей главе мы увидим, что план типа латинского квадрата может быть частью (или элементом) более крупного эксперимента.

Построение и анализ планов типа латинского квадрата

Ряд планов типа латинского квадрата приводится в книгах Кочрена и Кокса [3], Фишера и Йетса [8]. Обычно выбирается «стандартный» квадрат, а распределение уровней соответствующих факторов по строкам, столбцам и буквам производится случайным, образом.

В табл. 14.14 дан пример другого латинского квадрата. Это латинский квадрат 6x6, в котором первоначально буквы чередуются периодически, как в табл. 14.12, а затем строки и столбцы переставляются случайным образом.

Таблица 14.14

План типа латинского квадрата 6X6

Фактор 1

Фактор II

1

2

3

4

6

6

1

F

D

В

А

С

Е

2

А

Е

С

В

D

F

3

В

F

D

С

Е

А

4

D

В

F

Е

А

С

5

С

А

Е

D

F

В

6

Е

С

А

F

В

D

Результаты дисперсионного анализа для латинского квадрата пХп приведены в табл. 14.15, Таблица почти не требует объяснений. Суммы квадратов для факторов I, II и III вычисляются совершенно одинаково. (Фактически эти три фактора входят в план эксперимента симметрично: в любом плане типа латинского квадрата факторы, представляемые строками, столбцами и буквами, можно переставлять в любом порядке, по-прежнему получая латинские квадраты.) Остаточная сумма квадратов находится путем вычитания.

Таблица 14.15 г Результаты дисперсионного анализа для плана типа латинского квадрата

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Фактор I

81=п-^Х\и)-Х\..л№ i

п—1

S^n-t)

Si(n-2)

Фактор II

s^n-^x^-xV-V1*8

п—1

S2/(n-l)

52(л—2)

Se

Фактор III

Se=n-^X»t..k>-X\...Vn»

п—1

53/(л-1)

3,(л-2)

Остаток

Se— разность

(п— 1)(п—2)

5е/(л-1)(л-2)

Оумма

i i

п2—1

Пример 14.3. Генератор переменного тока для ракеты определенного типа состоит из трех отдельных секций, каждая из которых рассматривается отдельно. Генератор приводится в действие турбиной, работающей на горячем газе, подаваемом от твердотопливного газогенератора. Секция вспомогательного напряжения подает энергию на искусственную электрическую нагрузку, необходимую для того, чтобы поддерживать постоянную скорость вращения ротора генератора, равную 24 тыс. об/мин. Секция вспомогательного напряжения состоит из четырехполюсного статора, шестиполюсного ротора и вала. Ротор вращается внутри статора, а статор закреплен неподвижно внутри корпуса. Статор имеет обмотки постоянного и переменного тока из проволоки постоянного диаметра. Выходное напряжение переменного тока является функцией входного постоянного тока и числа витков обмотки переменного тока. Сердечник ротора набран из отдельных пакетов штампованных листов толщиной 0,1 мм, имеющих изоляционное покрытие.

Целью эксперимента было определение факторов, наиболее сильно влияющих на рабочие характеристики, и уровней этих факторов, обеспечивающих наилучшие рабочие характеристики. Был составлен план эксперимента типа латинского квадрата 5x5 со следующими факторами и уровнями:

Число витков обмотки переменного тока в статоре. Уровнями являются 145, 150, ,155, 160 и 165 витков.

Число листов в пакете сердечника ротора. Уровнями являются 230, 240, 250, 260 и 270 листов.

Качество изоляционного покрытия листов (определяемое визуально). На произвольной шкале были выбраны пять уровней — от наилучшего (А) до наихудшего (£).

Для проведения испытаний был изготовлен обычный генератор переменного тока. При необходимости генератор собирался и разбирался для проверки его элементов и обеспечения соответствия плану типа латинского квадрата. Был установлен случайный порядок проведения испытаний. Условия проведения испытаний строго контролировались. Наблюдаемой величиной было максимальное вспомогательное выходное напряжение переменного тока. Полученные данные приведены в табл. 14.16. Эти данные закодированы путем вычитания 300 из каждого результата. Кодированные данные представлены в табл. 14.17.

В качестве примера рассмотрим вычисление суммы квадратов для статоров. Она равна

-!—^ = -L[6124-392+11024-262 +42] —^ =

=3606,8 —2304,0 = 1302,8.

Таблица 14.16

Выходное напряжение генераторов переменного тока

Статоры

Роторы

145

150

155

160

165

230

310 С

312В

320 Л

306 D

300 £

240

309 D

зюс

324 В

300 £

305 Л

250

312В

303 £

325 С

307 Л

302 D

260

316 А

306 D

318Е

304 С

294 В

270

314Е

308 Л

323 D

309 В

303 С

[Заметим, что мы поменяли местами факторы I и II модели (14.9). Это не влияет на структуру плана, который симметричен относительно всех трех факторов.]

На основании результатов анализа можно сказать, что число витков обмотки статора является высокозначимым фактором. Это совершенно наглядно видно после кодирования данных. Изучая суммы, записанные в табл. 14.17, можно предположить, что эффект качества покрытия листов сердечника также является значимым. Однако для него отношение средних квадратов равно 13,10/12,03 = = l,09<F4; 12; 0,95 = 3,26. Поэтому в данном интервале значений мы не рассматриваем качество покрытия как фактор, влияющий на рабочие характеристики генератора.

Хотя можно провести независимую проверку с помощью критерия значимости, ясно, что при заданных пяти значениях числа витков обмотки статора максимум выходного напряжения достигается примерно при 155 витках. Оценка среднего выходного напряжения при этом уровне равна 322. Оценка остаточной дисперсии равна 12,03. Следовательно, 5 = 3,47 В.

Таблица 14.17

Кодированные данные о выходном напряжении

Статоры

Роторы

145

150

155

160

165

Сумма

230

ЮС

12В

20 Л

6 D

0£

48

240

9 D

ЮС

24 В

0Е

5 А

48

250

\2 В

3 Е

25 С

7 А

2 D

49

260

16 Л

6 D

18£

4 С

-6 В

38

270

14£

8 Л

23 D

9 В

3 с

57

—

—_

Сумма

61

39

ПО

26

4

240

Качество покрытия

А

В

с

D

Е

Сумма

56

51

52

46

35

Представляет интерес разбиение фактора «статоры» на линейный, квадратичный, кубический эффекты и эффект четвертой степени. С помощью метода ортогональных полиномов, описанноге в разд. 13.15, была получена таблица дисперсионного анализа 14.18.

Таблица 14.18

Результаты дисперсионного анализа для кодированных данных о выходном напряжении

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Статоры

1302,8

4

325,7

27,07***

Роторы

36,4

4

9,10

0,76

Качество покрытия

52,4

4

13,10

1,09

Остаток

144,4

12

12,03

Сумма

1536,0

24

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Линейный

322,58

1

Квадратичный

343,21

1

Кубический

19,22

1

Четвертой степени

617,79

1

Суммарный эффект статора

1302,80

4

Если подставить эти данные в табл. 14.18, то обнаружим, что каждая линейная и квадратичная составляющие и составляющая четвертой степени значимы. Составляющая четвертой степени не имеет четкого смысла, так как фактически она включает и эффекты более высокого порядка. Составляющие более высокого порядка нельзя проверить, поскольку имеются всего четыре степени свободы, которыми можно оперировать. Вывод состоит в том, что в этом интервале значений можно применить криволинейную регрессию для числа витков статора. Однако если желательно использовать полиномиальную регрессию, то степень полинома не будет задана точно. В данном случае для обеспечения максимального выходного напряжения лучше всего взять 155 витков,

Средние значения и 95%-ные доверительные интервалы для каждого уровня эффекта статора даны в табл. 14.19. Эти довёри-

Таблица 14.19

Средние значения и 95%-ные доверительные интервалы для выходного напряжения

Статоры

Нижний доверительный предел

Среднее

Верхний доверительный предел

145

308,8

312,2

315,6

150

304,4

307,8

311,2

155

318,6

322,0

325,4

160

301,8

305,2

308,6

165

297,4

300,8

304,2

тельные пределы были вычислены по формуле

X^^ dz /12; 0,975 |/ (Остаточный средний квадрат),где Х(г„) — среднее по пяти наблюдениям для i-ro уровня статора.

Греко-латинские квадратыи гипер-греко-латинские квадраты

В случае плана типа латинского квадрата одновременно можно изучать три фактора, рассматривая каждый в отдельности. В большинстве случаев в исследование можно включить и четвертый фактор симметрично с остальными тремя факторами путем (наложения на латинский квадрат другого латинского квадрата такой же размерности (пХпу и «ортогонального» первоначальному. В данном случае ортогональность означает, что каждая буква одного латинского квадрата один раз появляется на одной и той же позиции, как и каждая буква другого латинского квадрата. Обычно во втором латинском квадрате употребляются греческие буквы. (По этой причине квадрат называется греко-латинским.) В табл. 14.20 даны три примера греко-латинских квадратов. Это квадраты 3X3, 4X4 и 7X7.

Таблица 14.20

Греко-латинские квадраты

а) Квадрат 3X3

Фактор II

Фактор I

1

2

3

1

Ла

В?

Ср

2

с?

лр

Ва

3

вр

Са

л?

Квадрат 4X4

Фактор II

Фактор I 1234

ЛбОрВаСу

ByСаЛРОб

СР56ОуЛа

DaЛуС6ВР

в) Квадрат 7X7

Фактор I

Фактор II 1234567

1

2

3

4

5

6

7

Cg Ла ' Вт) By G6 Ев D^ Лу Ср Са Вт] Ds В^ F6 Вб Di? Е^ Ge Са Вр Лт] От] Вб ВР Ва Лg Су Св Еа Вв D6 ЛР By Ст] Gg GP Bg Ав С6 Вт) Оа By Be Gt] Су Og ВР Л6 Ва

Построение греко-латинского квадрата не всегда оказывается возможным. В течение долгого времени считалось, что не существует греко-латинских квадратов (4n+2) X (4п+2), но в 1959 г. были построены греко-латицские квадраты Юх 10 и 22x22 и показано, что можно построить греко-латинские квадраты пХп при условии, что п не равно 2 или 6 [1].

Дисперсионный анализ для плана типа греко-латинского квадрата (см. табл. 14.21) совершенно аналогичен дисперсионному анализу для латинского квадрата и фактически отличается от него добавлением суммы квадратов для фактора IV и, разумеется, тем, что число степеней свободы остаточной суммы квадратов уменьшается на (п—1). Следует заметить, что при п=3 число степеней свободы для остаточной суммы квадратов равно нулю. (Действительно, с помощью алгебраических выкладок можно показать, что сумма квадратов в точности равна нулю.) Таким образом, хотя греко-латинские квадраты 3X3 и могут быть построены, польза от них невелика, хотя они могут использоваться как части более крупного эксперимента или для качественного сравнения четырех факторов.

Математическая модель является естественным обобщением модели для плана типа латинского квадрата. Она имеет вид

^(|да)=а+Р1+^+^б+?/+^иАп> (14.10)

Таблица 14.21

Результаты дисперсионного анализа для греко-латинского квадрата

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

фактор I (строки)

фактор II

(столбцы)

фактор III (латинские буквы)

фактор IV (греческие буквы)

Остаток

2ХУ..)

п — 1

п — 1

п — 1

п — 1

(и—1) (п—3)

S1

St (и — 3)

пп2

пп2

-пп2

п — 1

^2

Se

S^n — ^

П — 1

п — 1

s4

п — 1

Se

Se

S^J^Z^l.

Se

S^n — 3)

п

Se—разность

So

(я—1)(п-3)

Сумма

5Х №Z)п2

i /

П2 — 1

где Хк и у/ использованы для факторов, обозначенных соответственно латинскими и греческими буквами, и

пппп

(М>М = 1,2п).

(=1/=1А=1/=1

В этом плане для обозначения наблюдения достаточно двух из четырех индексов (ijkl). В данном случае игнорируется значительно больше взаимодействий, чем в плане типа латинского квадрата, и последствий этого (приводящих к увеличению остаточного среднего квадратического отклонения) гораздо чаще следует ожидать при использовании планов типа греко-латинского, чем латинского квадрата.

Пример 14.4. Для иллюстрации построения греко-латинского квадрата рассмотрим следующий эксперимент в области производства полупроводников. [Пример взят из статьи: Anderson.R. W., Applications of Analytical Techniques and Experimental Designs to

the Semiconductor Industry, Fourteenth Midwest Quality Control Conference (1959).]

Целью эксперимента было определение влияния на скорость травления таких факторов, как 1) обесцвеченная азотная кислота; 2) объем травильного раствора; 3) размеры стержня; 4) время нахождения в травильном растворе. Выражалось опасение, что обесцвечивание азотной кислоты вызвано ее разложением и что чем больше обесцвечена кислота, тем меньше концентрация азотной кислоты в травильном растворе. Если травильный раствор ослаблен в результате обесцвечивания азотной кислоты, то важной переменной становится время, необходимое для удаления данного количества вещества. Другим способом регулирования скорости травления может быть очень строгий контроль за размером стержня. Таким образом, представляет интерес влияние размера стержня на скорость травления. Наконец, требуется определить, влияет ли объем используемого травильного раствора на скорость травле* ния. Эти переменные представляют основной интерес.

Процедура состоит в следующем: пять бутылок свежей необес- цвеченной азотной кислоты были подвергнуты в различной степени воздействию яркого солнечного света до тех пор, пока в процессе обесцвечивания кислота не стала из прозрачной ярко-желтой. Эта кислота была использована для приготовления необходимого травильного раствора. Затем были тщательно отсортированы по весу пять групп кремниевых стержней и использованы пять различных значений объема травильного раствора и пять значений продолжительности травления. Порядок испытаний был рандомизирован.

В качестве показателя прочности травления регистрировалось уменьшение веса каждого кремниевого стержня после операций травления, промывки и высушивания. Если обесцвечивание кислоты или какие-либо другие факторы действительно оказывают влияние на скорость травления, то уменьшение веса было бы хорошим показателем влияния, приписываемого каждому фактору.

Данные приведены в табл. 14.22.

Уравнение модели имеет вид

^(UAZ)=a + ^i+vj + ^+T/+2(№) ПРИ ^/,^,/=1,2,..., 5, где hi обозначает i-й цвет (или уровень обесцвечивания азотной кислоты), V/ — /-й объем травильного раствора, Хк (с уровнями А, В, С, D, Е) —h-й размер стержня, т/ (с уровнями а, 0, у, 6, е) — /-е время нахождения в травильном растворе.

Используя формулы из таблицы дисперсионного анализа, получаем табл. 14.23. В качестве типичного примера вычислений рассмотрим сумму квадратов для размеров

=2867,76.=2867,76.Q / 3722 + 4292 + 4842 + 5282 + 4812 \/ 22942

=2867,76.

=2867,76.

—5/( 25

Таблица 14.22

Уменьшение веса кремниевых стержней (в сотых долях миллиграмма)

Объем

Цбет кислоты

1

2

3

4

5

1

65

Аа

82

Ву

1CS

С€

: В6

126

Еб

2

84

В Р

109

Сб

73

D”

97

Еу :

i §з

Aс

3

1С'5

с 7

129

D€

[89

Е0

89

Аи

5 52 й

4

119

Dб

72

Е

76

/1у

П7

Вст

I 84

Ср

5

97

54

В<5

78

Сй

106

Ву

Вычисляя отношения среднего квадрата для размеров и среднего квадрата для времени к остаточному среднему квадрату, получаем соответственно 5,96 и 11,50. Критические значения равны -^4; 8; 0,95 = 3,84 И -^4; 8: 0,99 = 7,0 1.

Отсюда делаем вывод, что обесцвечивание (С) и объем (К) кислоты не оказывают значимого влияния на уменьшение веса. Однако размер (Z) стержня и время (Т) нахождения в травильном растворе действительно влияют на уменьшение веса. Ожидалось, что эти два последних фактора играют существенную роль. Однако обнаружение того факта, что разложение (обесцвечивание) кислоты и ее объем не оказались значимыми факторами, имело важ-

Таблица 14.23

Результаты дисперсионного анализа данных об уменьшении веса кремниевых стержней

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Цвет кислоты (С)

227,76

4

56,94

0,47

Объем кислоты (V)

285,76

4

71,44

0,59

Размер стержня (S)

2867,76

4

716,94

5,96*

Время (7)

5536,56

4

1384,14

11,50**

Остаток

962,72

8

120,34

Сумма

9880,56

24

ное значение. Что касается обесцвечивания, то были проведены дополнительные эксперименты, чтобы гарантировать, что использование обесцвеченной кислоты не оказывает неблагоприятного влияния на обработку. В результате проведения полного эксперимента (в первоначальной задаче были взяты четыре реплики) было принято несколько партий кислоты, тогда как их браковка при входном контроле означала бы прекращение производства. Поскольку объем кислоты не играет роли, можно брать меньшие количества травильного раствора, что приводит к ощутимой экономии затрат на травильный раствор.

Дальнейшее обобщение принципа ортогональности (описанного ранее в этом разделе) приводит к построению гиперквадратов, или, говоря более точно, гипер-греко-латинских квадратов. В квадратах, для которых могут быть построены гиперквадраты, максимальное число рассматриваемых факторов равно п+1 (где пХп — размер квадрата). Если рассматриваются п+1 различных факте ров, то общее число степеней свободы, равное п2—1=(п—1)Х Х(п+1), полностью используется в суммах квадратов для факторов с первого по (п+1)-й, и остаточной суммы квадратов нет. (Случай п = 3 уже упоминался.) В данных условиях невозможно выполнить формальную проверку значимости, а об относительной величине эффекта каждого фактора можно судить по соответствующим средним квадратам (или, что проще, по таблице средних). Важно заметить, что на вывод о значимости, полученный на основании сравнения средних квадратов для двух факторов, можно полагаться как на показатель реального эффекта фактора с большим значением среднего квадрата.

В примере 14.5 рассматривается гиперквадрат, используемый в задаче об испытаниях пластиков.

Пример 14.5. При изготовлении пластиков проводится большой объем испытаний с целью создания из известных полимеров наиболее прочных слоистых материалов. Фирмой General Electric разработан план эксперимента для проверки пяти различных факторов. [Gair Т. J., Thompson Р. Е., Monahan М. Н., Statistics Shortens Structural Plastics Testing, Plastics World (May, 1956).] Наблюдаемой характеристикой является прочность на изгиб. Образцы для испытаний представляют собой полосы размером 4X1 дюйм (100X25 мм), которые должны испытываться на установке фирмы Tinius Olsen в диапазоне нагрузок до 1000 фунтов (4450 Н). На основании информации, имевшейся до составления плана эксперимента, было решено рассматривать четыре уровня каждого из пяти факторов (табл. 14.24). План эксперимента представлен в табл. 14.25. Заметим, что используются все степени свободы. Для проведения дисперсионного анализа должна быть определена независимая оценка остаточной дисперсии о2. Хотя этот план позво-

Таблица 14.24

Факторы при испытаниях конструктивных пластиков

Переменная

Уровни

Кодовое обозначение

Число слоев пластика

11

Фактор I1

12

2

13

3

14

4

Ориентирование стекла

Параллельные слои

Фактор II1

Соединение в торец

2

Соединение под углом от 0

3

до 90°

Соединение в торец и под

4

углом 90°

Время прессования

1 ч

А

45 мин

В

30 мин

С

15 мин

D

Температура прессования

140°

а

150°

Р

160°

Y

180°

б

Время последующей

8 ч

а

сушки

16 ч

b

24 ч

с

32 ч

d

Таблица 14.25

Гиперквадрат 4X4 с пятью факторами

фактор И

Фактор. I

1

2

3

4

1

А

а

а

В

р

ь

С

У

С

D

<5

d

2

D

7

b

С

6

а

в

OL

d^

А

р

с

3

С

р

d

D

а

с

А

5

b

В

У

а

4

В

д

с

А

У d

D

Р

а

С

а

b

ляет исследовать эффекты изменения многих факторов, только на основании результатов эксперимента невозможно оценить точность, с которой измеряются эти эффекты. Кроме того, маловероятно, чтобы всеми игнорируемыми взаимодействиями действительно можно было пренебречь.

КВАДРАТЫ ЮДЕНА

Если каждый из трех факторов имеет одинаковое число уровней, то можно использовать план типа латинского квадрата. В противном случае все же возможно использование плана типа латинского квадрата путем повторения некоторых уровней, при этом повторно используемые уровни формально рассматриваются как различные. Однако очень часто число введенных таким способом «фиктивных» уровней может быть слишком велико, либо (вследствие нехватки места и времени) действительно может оказаться невозможным использовать полный план типа латинского квадрата. В этих случаях могут применяться специальные неполные латинские квадраты, предложенные Юденом и называемые квадратами Юдена. По существу это латинские квадраты, в которых отсутствует несколько строк. Однако должно выполняться условие, чтобы при рассмотрении столбцов как блоков мы имели сбалансированный неполноблочный план. Таким образом, хотя

А В С DА В С D

BCD А — часть латинского квадрата, В С D А

С D А В

'D А В С

не квадрат Юдена, так как, например А встречается в одном столбце с В и D, но не попадает в один столбец с С.

Перечни квадратов Юдена приводятся в книгах Фишера и Юде- на [8] и Кочрена и Кокса [3].

В табл. 14.26 даны три примера квадратов Юдена: а) 7 (строк или блоков) ХЗ (столбца); б) 7X4 и в) 11X5. Допустим, что фактор I представлен строками, фактор II—столбцами, а фактор III — буквами. Тогда факторы I и III должны иметь одинаковое число уровней (t=b в обозначениях для BIB-планов). В первом случае факторы I и III имеют по семь уровней, а фактор II — только три уровня. Если (как во многих сельскохозяйственных приложениях) строки и столбцы представляют собой факторы, описывающие положение, то число уровней основного фактора должно быть равно большему числу уровней этих двух факторов, описывающих положение.

Квадраты Юдена можно рассматривать как неполные латинские квадраты (специального вида) или как BIB-планы, обладаю-

Таблица 14.26

Квадраты Юдена

Фактор ПФактор Фактор II

Фактор ।23112345

1(7 Л С\А В С D Е

2А В D2 G A F J С

3В С Е3 I И A F В

4С D FА К I G A D

5D Е G5 J К Е Н А

6Е F А6 Н G В С К

7F G В1 В F В К J

8 F С К Е 1

а) Кбадрат 7x39 С D J I Н

10 Е J I В G

ДФактор 11D Е Н G F

Фактор

I1234б) Кбадрат 11x5

1D F G А

2 EGAS

3F А В С

4G В С D

5А С D Е

6В D Е F

7С Е F G

6) Кбадрат 7x4

щие той особенностью, что в анализ вводится третий фактор (фактор II в нашем обозначении).

SBIB-план и квадрат Юдена (7X4)(в скобках записаны уровни фактора II)SBIB-план и квадрат Юдена (7X4)(в скобках записаны уровни фактора II)В табл. 14.27 квадрат Юдена «б» из табл. 14.26 представлен как BIB-план. В этом плане /=7, г = 4, Ь = 7, ^ = 4 и Л = 2. (Таким

SBIB-план и квадрат Юдена (7X4)(в скобках записаны уровни фактора II)

SBIB-план и квадрат Юдена (7X4)(в скобках записаны уровни фактора II)

Уродни оснобного фактора

Фактор 1

1

2

3

4

5

6

7

А

(4)

(3)

(2)

(1)

В

(4)

(3)

(2)

(1)

С

(4)

(3)

(2)

(1)

D

(1)

(4)

(3)

(2)

Е

(1)

(4)

(3)

(2)

F

(2)

(1)

(4)

(3)

G

(3)

(2)

(D

(4)

Таблица 14.27

образом, фактор II имеет четыре уровня.) Дисперсионный анализ в точности такой же, как и в случае BIB-плана, с тем лишь отличием, что сумма квадратов между уровнями фактора II вычисляется обычным способом, а остаточная сумма квадратов уменьшается на эту величину. Число степеней свободы для фактора II равно к—1, а число степеней свободы для остатка уменьшается на к—1 по сравнению со стандартным BIB-планом. Результаты дисперсионного анализа в случае квадрата Юдена при использовании символов для стандартного BIB-плана даны в табл. 14.28. (Напомним, что для квадрата Юдена должны выполняться равенства b = t и к = г.^ Модель имеет вид

^(07) — а^гРг +т; +7/ + ^ 07),(14.1 1)

где i=l, 2,..., Ь; /=1, 2,..., t U=b); Z= 1, 2,..., к (k<t) и btк

2>- Sv-o. Заметим, что как и в случае латинского

квадрата, тройной индекс (t/О заключен в скобки, чтобы напомнить, что соответствующее наблюдение определяется однозначно любыми двумя из трех индексов. Заметим также, что данная модель имеет в точности такую же структуру, что и модель (14.9) для латинского квадрата.

Пример 14.6. Один из методов определения октанового числа бензина предусматривает использование базового бензина и шести добавок, которые могут быть включены в новую бензиновую смесь. При проведении испытаний используется квадрат Юдена 7X3. Каждый вид топлива подается в двигатель на 2 мин, и результаты регистрируются в датчике детонации. Показания датчика снимаются через 60, 90 и 120 с для проверки устойчивости. Заметный сдвиг в период между 90 и 120 с является основанием для беспокойства. Данные для семи сортов бензина приведены в табл. 14.29. Порядок проведения испытаний — слева направо в первой строке (блок 1), затем слева направо во второй строке (блок 2) и т. д. Блоки представляют собой группы по три интервала продолжительностью 2 мин каждый. Продолжительность испытаний составляет 42 мин, не считая времени на проверку эталонных сортов бензина. Эталонные сорта бензина используются для группировки полученных результатов и принятия решений о дальнейшей проверке определенных бензиновых смесей.

Стандартный анализ для эффектов уровней основного фактора дает скорректированные показания датчика детонации для каждого из семи сортов бензина. Стандартный анализ для эффектов блоков показывает тенденцию изменения результата за 42 мин — по три интервала продолжительностью 2 мин в каждом блоке. Суммы для столбцов также отражают характер изменения во времени. Если между столбцами имеются значимые различия, то очевидно,

Результаты дисперсионного анализа в случае квадрата Ю^сна

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Блоки (без коррекции)

Уровни основного фактора (с коррекцией)

b

5.2^(;..)-(6^2(...)

Л-.1

кН S^U-)- ЕХ(^2

/ — 1

S2 t — 1

S2(bk — t-b — /г 4-2) St,«-1)

Уровни основного фактора (без коррекции)

Блоки (с коррекцией)

i=x

511 " kXt S ^rX<L-) S XU-V>

6—1

S4 b — 1

S4(.bk — t — b — к-A-21) se(b-n

Фактор II

Остаток

Ss=-b-i’^x\..l)-(bkrix\...^

1=1

Sc -S — (^-S.+Ss) =

== S — (S3 + S4+S6)

к— 1

bk — t — b — к + 2

k~ 1 Se

S^bk — t — b—k^a)

SAk-1)

bl — t ~b — k + 2

Сумма

bk — 1

(Заметим, что Si+S2 = Ss+S'4.)

Таблица 14.29

Октановое число семи сортов бензина

блоки

Столбцы

Сумма

1

2

3

1

43

А

34

В

47

D

124

2

36

В

32

С

46

Е

114

3

33

С

47

1 D

43 F

123

4

44 D

40

Е

33

G

117

5

41

Е

35 F

44

А

120

6

36 F

32

G

32

В

100

7

33 G

41

А

21

С

101

Сумма

266

261

272

799

что двигатель работает нестабильно. Если между блоками обнаруживается плавный переход, то все в порядке. Если же эффект блоков является значимым, но не обнаруживается устойчивого изменения, то можно предположить, что двигатель работает нестабильно, и оценки уровней основного фактора вызывают сомнение.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 14.30. В качестве примера рассмотрим вычисление (нескорректированной) суммы квадратов между блоками и (скорректированной) суммы квадратов внутри блоков:

ь

1=1

=1/3. (1242+114=4|-1012) —V2i -7992 = 30597 — 30400,05=

= 196,95;

- 6 /V

6=1 \/(О J

=1/з.ь7 [(3 -124 —128— 102 — 138)2 -|КЗ-101 —128—

—92—98)2] = =1/21-[42 + 212+К—15)2]=82,29.

Таблица 14.30

Результаты дисперсионного анализа октанового числа семи сортов бензина

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Порядок выбора (блоки)

Сорт бензина (с коррекцией)

Sj = 196,95

S8 =493,62

6

82,27

64,27***'

Сорт бензина

Порядок выбора (с коррекцией)

S3 = 608,29

S4 = 82,29

6

13,72

10,72**

Время Остаток^

S6 = 8,67

Se = 7,71

2

6

4,34

1,28

3,39

Сумма

S =706,95

20

*) S—S3—S4—55=7,70.

анализаанализаКак показывают результаты дисперсионного

анализа

анализа

(табл. 14.30), изменчивость октанового числа различных сортов бензина является в высшей степени значимой, так как 64,27> >^б; б; 0,999 ( = 20,0). Эффект блоков также оказывается высокозначимым, поскольку 10,72>^6;0,99 ( = 8,47). Следовательно, можно сказать, что средние для некоторых сортов бензина значительно отличаются от средних для других сортов и что имеются веские основания предполагать нестабильность работы двигателя. Теперь можно приступить к проведению дальнейшего анализа, например к проверке различий между конкретными уровнями основного фактора и оценками дисперсий. Заметим, что оценка остаточной дисперсии равна 1.28. Следовательно, 5=71,28= 1,13.

ПОЛНОСТЬЮ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ

В этом разделе будет дано краткое описание полностью иерархического плана, когда число факторов больше двух. В случае полностью иерархического плана каждый фактор вложен в предыдущий фактор (разд. 13.8). Членами уравнения модели являются как случайные величины, так и параметры, либо модель может быть смешанной. Общая процедура довольно быстрого определения математических ожиданий средних квадратов описана в разд. 14.8.

Мы рассмотрим полностью иерархический план, в котором все уровни каждого фактора являются случайными величинами из бесконечной совокупности. Математической моделью для полностью иерархического плана с четырьмя факторами, когда основной фактор и подфакторы первого, второго и третьего порядков имеют соответственно к, т, р и q уровней, является

Xmkl-a-Ur\-VnWtirrYtijlt--Ztmb (14-12) где ^=1, 2, ..., к\ 1=1, 2, ..., т; ; = 1, 2, ..., р; k=l, 2, q и / = = 1, 2, .., п. Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 14.31. Заметим, что в столбце «Математическое ожидание среднего квадрата» каждая•дисперсия проверяется путем сравнения с соседней дисперсией более высокого порядка. Например, математическое ожидание среднего квадрата, связанного с Wa;, равно o^ + ^tijfe-Vq^tij, а математическое ожидание среднего квадрата, связанного с ¥щк, равно o2-Vno2ttjk.

На рис. 14.1 схематически показан план, соответствующий модели (14.12), при /г = 4, т = 2, р = 2, ^ = 2 и /г = 3.

XXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX X X XXXX XXXXXX XXXXXX X X XXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXРис. 14.1. Схематическое представление иерархического плана.Рис. 14.1. Схематическое представление иерархического плана.

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX X X X

XXX XXX

XXX XXX

XXX X X X

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

XXX XXX

Рис. 14.1. Схематическое представление иерархического плана.

Рис. 14.1. Схематическое представление иерархического плана.

В следующем разделе описывается процедура анализа в случае плана эксперимента при полностью перекрестной классификации, когда модель является чисто параметрической. Следует иметь в виду, что при полностью перекрестной классификации возможно применение моделей компонент дисперсии, а для иерархических планов — параметрических моделей. Описываемые здесь случаи были выбраны по той причине, что они, как показывает опыт, находят гораздо более широкое распространение, чем другие планы.

Пример 14.7. При определении вязкости полимерного материала первоначальная выборка была разделена (для облегчения исследований) на две случайные подвыборки, которые могут быть описаны переменными Ui и Щ. Каждая из этих подвыборок была разделена потом на 10 аликвотных проб (Уь V2,..., Кю). Затем проводился первый этап проверки полимера. Каждая аликвотная

Результаты дисперсионного анализа полностью иерархического эксперимента(все факторы — случайные величины)

Источник измен - чибости

Сумма квадратов

Чисто степеней свободы

Средний квадрат

Математическое ожидание среднего квадрата

и

^ X2 jmpqn — X2 Jhmpqn t

h - 1

—

о2 + па2г)к + qna2ui + pqno2t + mpqnae

V

5 5 хи Jpqn - 5 x?..Jmpqn t It

h(m — 1)

—

172 + ППи,к + Чпои, + РЯПП3

W

5 5 5 xuJq» -22 x*Jpqn t l Jt I

hm^p — 1)

—

°г + пои,к + Чпои,

У

2 2 2 2 xtuJn -222 x*Jqn l i j kt t j

hmp(q - 1)

—

^ + ПОи>к

Остаток'

55555^,-5555^./"

t i > k 1I i j k

hmpq{n — 1)

—

о2

Сумма

5 5 5 5 5 xu,u - хг lhmP4« t I J k I

hmpqn — 1

проба была снова разделена на две части (М^ и Ц72), и выполнялся второй этап анализа. Наконец, каждая из 20 аликвотных проб из предыдущего этапа снова была разделена на две части (У1 и У2), и проведен последний этап анализа.

Результаты эксперимента по определению вязкости представлены в табл. 14.32. Каждый фактор вложен в предыдущий фактор.

Таблица 14.32

Определение вязкости

^1

*2

У3

у4

у5

у6

у?

Уз

у»

Ую

59,8

66,6

64,9

62,7

59,5

69,0

64,5

61,6

64,5

65,2

(Уг

59,4

63,9

68,8

62,2

61,0

69,0

66,8

56,6

61,3

63,9

58,2

61,8

66,3

62,9

54,6

60,6

60,2

64,5

72,7

60,8

1^2

63,5

62,0

63,5

62,8

61,5

61,8

57,4

62,3

72,4

61,2

(У1

59,8

65,0

65,0

62,5

59,8

68,8

65,2

59,6

61,0

65,0

(у2

61,2

65,8

65,2

61,9

60,9

69,0

65,6

58,5

64,0

64,0

pi

60,0

64,5

65,5

60,9

56,0

62,5

61,0

62,3

73,0

62,0

65,0

64,5

63,5

61,5

57,2

62,0

59,3

61,5

71,7

63,0

Кроме того, каждый фактор представлен переменной; следовательно, имеем модель компонент дисперсии. Приемлема модель (14.12) при Л = 2, m=10, р = 2, q = 2 и т=\. (Последний член введен для описания изменчивости измерений.)

Делаются обычные допущения для модели компонент дисперсии. Необходимо проверить следующие гипотезы: о^2 = 0, от2 = = 0, ow2 = 0 и оу2 = 0. Однако, поскольку на последнем этапе имеется только одна реплика, для проверки значимости необходимо допустить, что оу2 = 0, или, что то же самое, принять оу2 + о2 в качестве остаточной дисперсии случайной величины У. Проверить гипотезу оу2 = 0 невозможно.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 14.33. Четвертый столбец содержит средние (квадраты. Заметим, что в данной задаче проверка гипотезы 0^ = 0 дает уровень значимости 0,004. Однако нас интересует прежде всего оценка этих дисперсий. Эти оценки находятся путем алгебраических преобразований формул, полученных путем приравнивания данных из четвертого и шестого столбцов. Имеем

9=2,73,

22,74 — 2,73а2^ =——2= 10,01,

Таблица 14.33

Результаты дисперсионного анализа для определения вязкости

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Проба (и)

0,11

1

0,11

<1

о2 + 2о2ц7 4“ 4о2у 4~ 40о2у

Этап 1 (и)

503,50

18

27,97

1,23*

о2 + 2о2^ 4- 4a2v

(внутри проб)

Этап 2(w) (внут

454,72

20

22,74

8,33***

а2 4- 2о2^

ри этапа 1) Этап 3 (у) (внут

109,13

40

2,73

о2

ри этапа 2)

Сумма

1067,43

79

27,97 — 22,74.

о\ = —■—4= 1,31,

о2и = 0 (так как дисперсия не может быть отрицательной).

Заметим, что поскольку выборочная сумма квадратов имеет только одну степень свободы, она характеризуется большой изменчивостью. Следовательно, дисперсия би2 также является переменной.

ПЛАНЫ С ПОЛНОСТЬЮ ПЕРЕКРЕСТНОЙКЛАССИФИКАЦИЕЙ

В случае плана с полностью перекрестной классификацией все уровни каждого фактора встречаются во всех комбинациях со всеми остальными факторами. Число членов математической модели (исключая общее среднее и остаток) равно числу факторов, взятых по одному, по два и т. д. Например, в случае четырех факторов1* имеются (1)=4 основных эффекта, (2) =6 парных взаимодействий, (з)=4 взаимодействия трех факторов и (1) = 1 взаимодействие четырех факторов. Математическая модель (в которой все факторы представлены параметрами) имеет вид

^tijkl = а +Р/ + Yi + S; + ^ + (Рт)/i + (Рб) о- +

+ (Р8) tk + (78) и + №ik + k^jk + 44Pv6)/u + (PT8)m?+ (Р^8)о*л+

+ (V^e) ljk+(P?Se) n^k + Zti3kV (14.13)

1} Иногда этот случай называют четырехсторонней классификацией.

Таблица 14.34

Результаты дисперсионного анализа в случае полностью перекрестнойклассификации (параметрическая модель)

Источник изменчивости

Сумма кв а др а то в

В

^-Х‘— хи.

mpqnhmpqn

с

У

КXU.

hpqnhmpqn

D

у x\

hmqnhmpqn

Е

2 xu.

kx

hmpnhmpqn

ВС

22 n... 2^2... 2n.. „,

pqnmpqnhpqnhmpqn

BD

22 XU. pl. ^xu , mqnmpqnhmqn hmpqn

BE

22^. 2^.. 2^. x, t k^1 + Л

mpnmpqnhmpn hmpqn

CD

^Х»ь.p=... p*,.

hqnhpqnhmqn hmpqn

СЕ

22^.*. 2^*- 2^.*. x.

hpnhpqnhmpn hmpqn

DE

22^.». ^xu. ^xu. , hmnhmqnhmpn hmpqn»

BCD

ВСЕ

Число степеней свободы

Математическое ожидание среднего квадрата

А - 1

h

о12 4- (А — \yxmpqn ^ Д2

т — 1

аг + (т — 1) *xhpqn ^ Y^

р -1

Р а2 4- (р — l^hmqn ^ &/

9 - 1

*7

Ст2 4- (^ — \УхИтрп 2 Ч k = V

(А - 1Х« - 1)

О1 + [(А - l)(m - V>Y'pqn 2 2 (Ми fl t^ 1

(Л - 1)(р - 1)

Ар

а* + [(А - IXp - 1)]-‘л1рт2 2 (Wi i-ij = i

(А - 1Х9 - 1)

h q

аг + [(A - IXq ~ ^-'mpn^ ^ (j8<)* t = l t = t

(т-!)(/>- 1)

"z + ((m - 1XF - 1))’‘А?л 2 2 WYu • 1 = 1 j -1 .

(т - 1)(^ - I)

a2 + [(m - 1)(^ - 1)Г>2 J (yt)^ i = l t-1

(^ — 1Х9 — 1)

•p.

CT2 + Kf -!)(»- DJ-’Amn 2 2 ^& j=t*=i '

(А - 1Хт - IXp - J)

(72 4- [(A - l)(w - 1)(^ - 1)]-> 2 2 2 (^)?v fli=l;=l

(А - 1)(т - IX? - 1)

a2 + [(A - l)(m - 1)(? - l)]1^ 2 2 2 (^Y^tit 1=1«=1*=l

Источник изменчивости

Сумма квадратов

BDE

tikt jt kj kt)khmpqn

CDE

22222-22-22+2 + 2 + 1-^

i j ki ji kj kijkhmpqn

BCDE

У^УУх.пСп-УУТ — + 55 + " -5-- +

< 7 jTi7hmpqn

Остаток

Разность

Сумма

2555 5Х'-н “ X?....!hmpqn t L j k I

Существует система соотношений, подобных S (i^y6) ^^ = 2 (Руе) <z& = t i

= 2 (Руе) ^ = О, Для каждого основного эффекта и каждого взаимодействия.

Иногда члены модели записываются не в этом, а в стандартном порядке, когда каждый фактор поочередно объединяется с предыдущими факторами. Например, можем иметь а+Р/ + у/+((ру)^ + М+(Рб)//4Чтб)оЧ^^^ ... .

Для этой модели приводится лишь таблица дисперсионного анализа, но не дастся конкретный пример. В следующем разделе рассматривается достаточно большой пример смешанной модели. Он охватывает более общие случаи. Полагаем, что число уровней каждого фактора от р до е равно соответственно к, т, р и q и что имеется п реплик. В табл. 14.34 последняя часть столбца «Сумма квадратов» записана в сокращенном виде. Индексы показывают, какая величина должна стоять после каждого знака суммы.

Как видно из столбца «Математическое ожидание среднего квадрата», каждое отношение средних квадратов берется с одним и тем же остаточным средним квадратом в знаменателе. Это относится только к параметрическим моделям. Более подробно данный вопрос будет рассмотрен в следующем разделе.

СМЕШАННЫЕ МОДЕЛИ И ПЛАНЫ

В двух предыдущих разделах рассматривались полностью иерархические эксперименты и эксперименты с полностью перекрестной классификацией. Во многих случаях такие планы вполне приемлемы.- Однако в любой задаче общего типа план эксперимента, может представлять собой комбинацию иерархической и

Число 'степеней свободы

Продолжение табл. 14.34

Математическое ожидание среднего квадрата

(А - П(р - 0(9 - 1)

н р ^

о" + [(Л - \Хр - DG? - Ol"1^ 5 5 2 ^P^tjk

(т - !)(/> - 1)(? - 0

а2 + [(/л — !)(/> — .)(? - I))"'*" 2 2 2 (У&)у*

i = 1 j = 1 к = 1

(А — 1)(т — О

х {р - 1)(? - 1)

о»- + кА - по» -\ур-ж»-о]-1* 2 2 2 2 (^г&)^

< = 1 i = 1 j = 1 к = 1

hmpq(n — 1)

hmpq п — 1

перекрестной классификаций. Кроме того, одни факторы могут быть представлены в модели параметрическими членами, а другие— членами в виде компонент дисперсии. В этом разделе рассматриваются модели и планы экспериментов смешанного типа. Приводятся некоторые общие правила вычисления сумм квадратов и .математических ожиданий средних квадратов. Читатель должен иметь в виду, что при вычислении математических ожиданий средних квадратов мы не всегда рассматриваем только дисперсии.

ны, которые имеют одинаковое число элементов в ячейке и в которых рассматривается каждый уровень каждого фактора. Например, для двусторонней иерархической классификации, представленной в предыдущей главе формулой (13.22), должны выполняться условия /=1, 2, ..., п при всех I и i=l, 2, ..., т при всех L Остановимся вначале на индексах в математической модели. Рассмотрим три простых случая:

X^a-LU^V^-Z,.^, 2) X(U=a-^t+Viw-VZj№,

^/и* = а + Р/+?г -r(^tlJrZjUiv

где /= 1, 2,..., Л; 1=1, 2,..., т; /= 1, 2,..., п. Заметим, что в первом и втором случаях символ i(0 показывает, что i-й уровень вложен в Z-й уровень. Например, во втором случае фактор V вложен в фактор р. Первый случай представляет собой модель компонент дисперсии иерархического эксперимента. Каждый из уровней г-го фактора вложен в t. Во втором случае также имеем иерархический эксперимент, но фактор р задан параметрическими членами, а фактор V — случайными величинами. Это модель смешанного типа. Третий случай представляет собой параметрическую модель для двухфакторного эксперимента с перекрестной классификацией. По существу это модель (13.25), в которой индексы при Z записаны так, что отражают структуру плана.

Рассмотрим вначале сумму квадратов (SS) для каждого источника изменчивости. В первом случае обозначим эти суммы квадратов через (SS,[^], SS[/(/)], SS[e] и 55Полн.. Напомним, что

SS t7] = <mnYx 2 Х2Л. — (т^)-1^2...,

SS Vi «12 2 Х^. - <mnY" 2 XV ’

a <t

SSH=SS|,(«»=£ S 2x'<»-""2 2 ”<

t jt i

ssm..-2 2 2x'« / i jВведем теперь символы g^^-^x^., t б«="’‘2 2 х'- t iТогдаSS[/]=G,—G, SS[i (/)]=G/{—Gz,ssm..-2 2 2x'« / i jВведем теперь символы g^^-^x^., t б«="’‘2 2 х'- t iТогдаSS[/]=G,—G, SS[i (/)]=G/{—Gz,— {mnhyx X2 .

ssm..-2 2 2x'« / i j

Введем теперь символы g^^-^x^., t б«="’‘2 2 х'- t i

Тогда

SS[/]=G,—G, SS[i (/)]=G/{—Gz,

ssm..-2 2 2x'« / i j

Введем теперь символы g^^-^x^., t б«="’‘2 2 х'- t i

Тогда

SS[/]=G,—G, SS[i (/)]=G/{—Gz,

o«=2 2 2x-

t i i

G=QnnhVX\..

SS[j(ti)]=Gltj-Gti,^полн . — ^tij G-

Можно получить конкретные значения G, записывая индексы модели и используя простое алгебраическое правило. Представим теперь индексы, алгебраическое правило и значения G в виде таблицы. Правило состоит в том, что если индекс нс заключен в скобки, то к нему добавляется —1; в противном случае он остается без изменения. Перед значением G ставится алгебраический знак, получаемый в результате перемножения. Так, в первом случае имеем

Фактор или переменнаяи2Фактор или переменнаяи2ИндексПравилоИндексПравило‘(ОКН)‘(ОКН)1—1 (i-i)t (М)Н1—1 (i-i)t (М)НСумма квадратов■ Gt—G-Gii—Gt- Gtij—GttСумма квадратов■ Gt—G-Gii—Gt- Gtij—Gtt

Фактор или переменная

и

2

Фактор или переменная

и

2

ИндексПравило

ИндексПравило

‘(О

КН)

‘(О

КН)

1—1 (i-i)t (М)Н

1—1 (i-i)t (М)Н

Сумма квадратов

■ Gt—G

-Gii—Gt

- Gtij—Gtt

Сумма квадратов

■ Gt—G

-Gii—Gt

- Gtij—Gtt

Применяя эти алгебраические обозначения, получаем такие суммы квадратов и для второго случая. В третьем случае с помощью индексов находим

Фактор или пе реmlинаяВСВС2Фактор или пе реmlинаяВСВС2ИндексИндексtttiКН)tiКН)ПравилоСумма квадратов/-1-*-Gt—Gi-\->-G — G(7—U(t—1^ Gti-Gt-G.+GB(j—1)—>• Он,-GtiПравилоСумма квадратов/-1-*-Gt—Gi-\->-G — G(7—U(t—1^ Gti-Gt-G.+GB(j—1)—>• Он,-Gti

Фактор или пе реmlиная

В

С

ВС

2

Фактор или пе реmlиная

В

С

ВС

2

Индекс

Индекс

t

t

ti

КН)

ti

КН)

ПравилоСумма квадра

тов

/-1-*-Gt—G

i-\->-G — G

(7—U(t—1^ Gti-Gt-G.+G

B(j—1)—>• Он,-Gti

ПравилоСумма квадра

тов

/-1-*-Gt—G

i-\->-G — G

(7—U(t—1^ Gti-Gt-G.+G

B(j—1)—>• Он,-Gti

Полная сумма квадратов, равная Сщ—G, представляет собой сумму отдельных сумм квадратов отклонений от общего среднего.

Для вычисления числа степеней свободы используется это же алгебраическое правило, за исключением того, что t заменяется на h, i— на т, а /— на п. Следовательно, число степеней свободы для последней из перечисленных моделей равно

Фактор или переменнаяВСВС2 (остаток)СуммаФактор или переменнаяВСВС2 (остаток)СуммаИндекс1itii(H)Индекс1itii(H)Число степеней свободы•h—1■т — 167-Ofm-Uhm(n—l)hmn—ЛЧисло степеней свободы•h—1■т — 167-Ofm-Uhm(n—l)hmn—Л

Фактор или переменная

В

С

ВС

2 (остаток)

Сумма

Фактор или переменная

В

С

ВС

2 (остаток)

Сумма

Индекс

1

i

ti

i(H)

Индекс

1

i

ti

i(H)

Число степеней свободы

•h—1

■т — 1

67-Ofm-Uhm(n—l)hmn—Л

Число степеней свободы

•h—1

■т — 1

67-Ofm-Uhm(n—l)hmn—Л

Пример 14.8. Для следующей математической модели:

^-tHkl= а “Г Р/ + Yz (П + ^( / i) Т Ч + (Р8) tk + (Y^) и (О + k^jk Hi} । ^l{tijk), найдем суммы квадратов и число степеней свободы для (уе)^^ где /=1, ..., h; 1=1, ..., т; /=1, ..., р; &=1, ..., q; 1=1, ..., п. Сумма квадратов для (уе),ад имеет индексы ik^ty Получаем произведение (i—1) (к—1)Л Следовательно,

SS[/&(/)]=G^-G/f-Gzfe+Gz.

Число степеней свободы равно (т—1)(^—\^h. Остальные суммы квадратов и число степеней свободы находятся аналогичным образом. Заметим, что способ определения сумм квадратов любого фактора не зависит от того, представлен этот или любой другой фактор параметрами или случайными величинами. Однако это влияет на способ нахождения математического ожидания среднего квадрата.

14.8.2. Вспомогательные таблицы для определенияматематических ожиданий средних квадратов

В этом разделе вводятся формулы, применяемые в тех случаях, когда уровни некоторых факторов выбраны случайным образом из конечной совокупности возможных уровней. Число уровней в совокупности обозначается прописной буквой, соответствующей строчной букве, которой обозначается число уровней, появляющихся в эксперименте. Так, в уравнении (14.14) h— число возможных уровней фактора, обозначаемого через Ut. Если h — конечная величина, то имеем параметрический член, если же h— бесконечная величина — случайную величину.

Рассмотрим модель, описывающую полный факторный эксперимент и содержащую члены, представляющие собой как параметры, так и случайные величины. Возьмем частный случай и выведем общее правило, используя его как пример. Рассмотрим модель1)

Хшм=а4-^+^т+^Ж^Ж^)оч^

04.14)

где /=1,..., h; i=l,..., т; /=1,..., р; ^=1,..., q и /=1,..., п. Согласно модели, имеются 12 источников изменчивости. Мы перечисляем эти источники в соответствии с их индексами в табл. 14.35. Обозначения строк включают индексы эффектов или источников изменчивости. Обозначениями столбцов являются отдельные буквы индексов. Указывается также номер модели (I или II).

Правила заполнения таблицы состоят в следующем:

В каждой ячейке таблицы записывается общее число уровней каждой буквы, не представленной в обозначении строки. Поэтому в строке Ц^ записываем в последних двух столбцах соответственно q и п, так как к и I не входят в обозначение строки.

Там, где в обозначении строки обозначение столбца взято в скобки, записываем 1.

ч Если во взаимодействии какой-либо фактор представлен случайной величиной, то полагаем, что взаимодействие должно быть задано случайной величиной. Например, ^U^tk— случайная величина. Хотя с математической точки зрения это правило может не выполняться, маловероятно, чтобы оно оказалось неприемлемым для какой-либо модели в реальной ситуации.

Таблица 14.35

Вспомогательная таблица для математических ожиданий средних квадратов (независимые смешанные взаимодействия)

Обозначение строк

Обозначение столбцов

'(11)

'•(II)

J(II)

A(D

/(II)

t

1 -A/Я

m

p

q

n

НО

1

1 — m/M

p

q

n

j

A

m

1 -PIP

q

n

tj

1 — h\H

m

1 -p!P

q

n

ij(O

1

1 — m]M

1 -P1P

q

fl

k

A

m

Р

0

n

tk

1 — h\H

m

P

1 -q!Q

n

ik^

1

1 — mlM

P

1 -q!Q

n

Jk

h

m

1 -pl?

1 -qJQ

n

tjk

1 - h]H

m

1 -piP

1 -qlQ

n

W

1

1 — m[M

1 -p!P

1 -q!Q

n

Ktijk)

1

1

1

11 -

- n\N

В остальных ячейках записываем 1—^/Л. Если обозначение столбца и обозначение строки представлены параметрами, то 1—л/Л = 0, а если случайными величинами при бесконечном Л, то 1—Х/Л=1. В остальных случаях 0<1—Л/Л<1. Здесь X — число уровней выборки, а Л — число уровней совокупности для рассматриваемого фактора.

Предполагается, что взаимодействие описывается взаимно независимыми случайными величинами, если одна из его составляющих является случайной величиной. В противном случае на этапе 3 была бы получена 1, если элементы строки и столбца являются случайными величинами (или 1—-%/Л, если элемент -столбца — случайная, но конечная величина), и 0 в остальных случаях.

Чтобы оценить математическое ожидание среднего квадрата в- таблице дисперсионного анализа, поступаем следующим образом:

Для каждого фактора или эффекта в таблице дисперсионного анализа исключаем столбец (или столбцы), содержащий рассматриваемый индекс.

Для каждой строки, в обозначение которой входит индекс рассматриваемой дисперсии, находим произведение элементов всех 12—1825

столбцов. Для каждого из них это коэффициент при члене, представляющем дисперсию. Такая операция выполняется для каждой строки, в обозначение которой входят рассматриваемые индексы.

Например, членами математического ожидания для Vi^ являются (в порядке уменьшения числа индексов)

(И«™ О2), G\jkw, G\kuvGiKn И О2;(/).

После исключения столбцов «/» и «г» берем произведения коэффициентов (из табл. 14.35) 1 для о2, (1—р1Р)п для (А/ад, рп для сЧклъ O—pJP^qn для (Адо и pqn для o2/(f). Необходимо иметь в виду, что для множества параметров нет такого понятия, как дисперсия. Тем не менее мы йспользуем этот общий метод, чтобы показать, где существует ненулевая составляющая математического ожидания средних квадратов. Любой такой член будет браться в скобки (< >), чтобы показать, что это не настоящая дисперсия. Математическое ожидание среднего квадрата для предыдущей модели дается в табл. 14.36. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда число объектов наблюдения по существу бесконечно. поэтому n/N = 0. Кроме того, для целей иллюстрации положим 1—qlQ=\.

Пример 14.9. Было проведено исследование с целью оценки некоторых факторов, влияющих на характеристики прочности на растяжение титанового сплава, и определения относительной величины этих эффектов. Поскольку с учетом применения исследуемой детали (лопатки ротора /компрессора реактивного двигателя) наиболее важной характеристикой прочности на растяжение является предел текучести, исследовались следующие факторы, от которых, как полагают, зависит предел текучести:

Поставщики. Прутковый прокат поставляют три фирмы. Эффект этого фактора должен обнаруживаться через систематическое различие в применяемой этими поставщиками технологии, влияющее на предел текучести.

Размер пруткового проката* Для изготовления лопаток, устанавливаемых на различных ступенях ротора компрессора реактивного двигателя, используется прутковый прокат трех различных диаметров—1; 1,25 и 1,75 дюйма (25,4; 31,75 и 44,45 мм). Поскольку изготовление прутков различного диаметра из слитков одинакового размера требует использования штампованных заготовок различного объема и, вероятно, различных способов прокатки, исследовался такой фактор, как размер прутка.

Плавки. Различные плавки металла несколько отличаются по химическому составу и обычно представляют одну определенную партию материала, обработанного за один раз. Поэтому данный фактор включает эффект переменного химического состава, а также любое изменение технологии во времени. Поскольку толь-

Математические ожидания средних квадратовМатематические ожидания средних квадратов

Математические ожидания средних квадратов

Математические ожидания средних квадратов

Фактор или переменная

Математическое ожидание среднего кбадрата для модели (f^ 14)

и,

°2 + (1 - ^)(1 - ^У^М'^'Ц1 - £У°«к

+ (1 - ^) Pno*w+"P^k+(1 - ^)(1 - ^) qn«№

+ m(1 - ^ ) qnou + (1 ~ ^ ) РЧпо?т + "ФЧ^

"’Ц1 ~ ^y°ukW*Pn<>lkW*y- ^Упа^+РЧПО^О

W,

°2 + (* - ^)"o2*«)+ (1 ~ 77 )тпо0к + ктпад + (1 - ^ ) qno?ju)+ (1 ~ 77 ) тЧпоо + hmqno}

<UWYj

°2 "*" (1 - ^ )^w + тп<^к + (1 “ ^)qn°y^ + mqno^

°2*ПОик(1^<?П°иЧ0

Pk

°2 Ч1 ~ ^)(1 ~ £) no^<-)+ (1 ~ 77 )т(1 ~ £)по* + кт (1 - Т)п^ + (1' ^)рп^ <->

Ч- (1 - ^^mpno,i 4- <hmpno^

^Ц1 —^Х1 - ^у°9кт+т^ -уУ°ик+у - ^Упа?кю+тРп°<к

а2 + (1- рУ^кю+Рпа^Ю

W);k

°2 "*■ ( 1 "" ^ ) ^^ + ( 1 “ ^ ) ШП°Ук + hmn°)k

<uwp\,k

»2 + (1 - ^У°оад*^"Оик

о24-по^ц0

Остаток

^Utyk)

о2

Таблица 14.36

ко один поставщик может произвести одну плавку материала и обычно изготавливает из одной плавки прутки одинакового размера в одной партии, этот эффект плавки вложен внутрь комбинаций размера пруткового проката и поставщика.

Образцы для испытаний. Для испытаний на растяжение использовались стандартные круглые образцы диаметром 0,250 дюйма (6,35 мм) и длиной 1 дюйм (25,4 мм), которые изготавливались из заготовок трех типов: необработанного пруткового проката (B.S.), штамповок (F.D.) и готовых штампованных лопаток (В.). Поскольку заготовки всех типов изготавливались для каждой плавки материала, данный фактор пересекается с такими факторами, как поставщик и размер прутка, а также с эффектом плавки внутри каждой комбинации «поставщик—размер прутка».

В этом случае математическая модель имеет вид

V цмпг = а +^ + Pj + (VP) I j + ^k(ij) + TZ + (VT) iZ +

+ (PT)j7 + (vPThj7 + (Нт)кц ij} +Zm(

где z=l, 2, 3 обозначает поставщика, /= 1, 2, 3 — диаметр прутка, ^=1, 2, 3 — образец для испытаний, a l=L 2, 3 — реплику. Эта модель является параметрической относительно таких факторов, как поставщики, диаметр прутка и образцы для испытаний. Случайные величины описывают эффект плавок и взаимодействие (Плавка) X X (Образцы для испытаний). Данные приведены в табл. 14.37.

При рассмотрении примера такого размера, а именно 33ХЗ, т. е. плана З3 с тремя репликами, может возникнуть сомнение в необходимости проведения эксперимента подобного объема для получения необходимой информации. В следующей главе будут -описаны методы уменьшения объема такого эксперимента. Пока же будем считать его допустимым экспериментом, в /котором различные эффекты должны подробно исследоваться после завершения дисперсионного анализа.

Другой причиной рассмотрения этого примера является необходимость показать, насколько важно иметь четкое представление о физике процесса, которому должна соответствовать математическая модель. Заметим, что эффект плавки вложен во взаимодействие (Поставщик) X (Размер стержня). Наконец, типы образцов для испытаний пересекаются со всеми остальными факторами.

Данные, приведенные в табл. 14.38, закодированы следующим образом:

Уцыт — 1 000 [(Наблюдаемое значение) — 1,260].

Чтобы определить необходимые суммы квадратов и средние квадраты, построим теперь вспомогательную таблицу (табл. 14.39), содержащую различные суммы. Возможно, что при выполнении вычислений такая таблица нс будет составляться. Однако ее преимуществом является наглядное представление эффектов различных факторов. Таблица средних значений исходных данных, а не их сумм была бы более эффективной, особенно после выполнения дисперсионного анализа.

Таблица 14.37

Предел текучести титанового сплава, 105 фунт/кв. дюйм(105 фунт/кв. дюйм=689,476 МПа)

Поставщик А Поставщик В Поставщик С

Ппабка 123123123

Прутковый прокат диаметром 7 дюйм (25,4 мм)

В. S.

1,430

1,422

1,431

1,410

1,400

1,402

1,325

1,320

1,331

1,407

1,450

1,432

1,490

1,478

1,479

1,400

1,380

1,390

1,423

1,409

1,413

1,401

1,396

1,397

1,398

1,382

1,380

1,450

1,480

1,431

1,490

1,467

1,489

1,442

1,490

1,427

F. D.

1,470

1,462

1,442

1,460

1,449

1,482

1,449

1,501

1,438

1,463

1,467

1,442

1,485

1,452

1,481

1,447

1,497

1,434

1,470

1,481

1,419

1,421

1,497

1.400

1,500

1,409

1,446

В.

1,472

1,460

1,427

1,421

1,489

1.402

1,512

1,423

1,429

1,481

1,459

1,426

1,430

1,489

1.396

1,499

1,417

1,439

Прутковый прокат диаметром 7,25 дюйма (31, 75 мм)

1,356

1,320

1,382

1,361

1,320

1,339

1,300

1,298

1,362

В. 5.

1,349

1,305

1,373

1,349

1,318

1,351

1,302

1,287

1,373

1,352

1,308

1,373

1,348

1,321

1,341

1,311

1,301

1,373

1,456

1,420

1,441

1,460.

1,400

1,421

1,412

1,400

1,429

F. D.

1,470

1,410

1,432

1,452

1,412

1,420

1,409

1,429

1,436

1,466

1,399

1,430

1,451

1,402

1,409

1,411

1,417

1,437

1,470

1,400

1,400

1,462

1,459

1,442

1,431

1,449

1,401

В.

1,462

1,390

1,390

1,473

1,467

1,436

1,432

1,457

1,400

1,480

1,415

1,402

1,470

1,462

1,432

1,436

1,460

1,398

Пруткобый прокат диаметром 7,75 дюйма (44,45мм)

1,320

1,270

1,280

1,269

1,300

1,279

1,254

1,347

1,312

В. S.

1,312

1,292

1,290

1,271

1,291

1,280

1,249

1,361

1,300

1,313

1,283

1,302

1,273

1,291

1,280

1,242

1,350

1,289

1,420

1,423

1,430

1,407

1,438

1,401

1,421

1,399

1,400

F. D,

1,401

1,419

1,420

1,407

1,440

1,411

1,420

1,400

1,410

1,412

1,418

1,442

1,402

1,437

1,405

1,409

1,430

1,407

1,430

1,400

1,493

1,429

1,391

1,400

1,379

1,381

1,432

В.

1,450

1,389

1,472 .

1,428

1,402

1,400

1,392

1,391

1,419

1,442

1,393

1,473

1,435

1,392

1,398

1,392

1,393

1,426

Таблица 14.38

Предел текучести титанового сплава (кодированные данные)

Плавка

Лостабщик А,

Поставщик

В

3

Лостабщик С

1

2

3

1

1

2

з

Лруткобий прокат

диаметром

1 дюйм

(25, 4 мм)

170

150

65

\М

230

140

163

141

138

B.S.

162

140

60

190

218

120

149

136

122

171

142

71

172

219

130

153

137

120

190

220

171

230

207

229

182

230

167

F.D.

210

202

182

200

IS9

222

189

241

178

203

207

182

225

192

221

187

237

174

210

221

159

161

237

140

240

149

186

В.

212

200

167

161

229

142

252

163

169

221

199

166

170

229

136

239

157

179

Лрупксдый прокат диаметром (25 дюйма (31,75 мм)

96

60

122

101

60

79

40

38

102

B.S.

89

45

113

89

58

91

42

27

113

92

48

113

88

61

81

51

41

113

196

160

18$

200

140

161

152

140

169

F.D.

210

150

172

192

152

160

149

169

176

206

139

170

191

142

149

151

157

177

210

140

140

202

199

182

171

189

141

В.

202

130

130

213

207

176

172

197

140

220

155

142

210

202

172

176

200

138

Лруткобый прокат диаметром 1,75 дюйма (44,45мм)

60

10

20

9

40

19

-6

87

52

B.S.

52

32

30

11

31

20

-11

101 •

40

53

23

42

13

31

20

-18

90

29

160

163

170

147

178

141

161

139

140

F.D.

141

159

160

147

180

151

160

140

150

152

158

182

142

177

145

149

170

147

170

140

233

169

131

140

119

121

172

В.

190

129

212

168

142

140

132

131

159

182

133

213

175

132

138

132

133

166

Таблица сумм

Поставщики

Диа- Образецплавкиплавки

метр для испы- .пли ок и

лрутка таний113}12зy>; ь

с плавки

123Уг$Л.У.1Л.

1 дюйм fBS 503 432 196 1131 509 667 390 1566 (25^ммА¥Г> 603 629 535 1767 655 588 672 1915 1 1 (В. 643 620 492 1755 492 695 418 1605

4654143 8012593956

55870851917855467

7 314695 3417 345094

Yllk„17491681122346531656195014805086

У]!!..Уц»..^113..Уц...^ 211..^212. •^213..^21-

175415911433477814517

Узи.. Уз12-^313-У.]...

277153348778278179251708

НИЯмм\ FD*6,244952315845834344701487

63242541214696256Q853Q1763

13 31063285672053

45246652214404511

51958641915244756

Yv4..15211027128338311486122112513958

Пзь. У122..У123-Г12...У221-^222..^223-.^22...

110411581269353111320

Уз21..F322.. У323..Уз2--У.2...

!75дюйма^^-16565923223310259194

/дддгмм\ F.D.45348051214454365354371408

542 4Q2 65g)602512 4Q5 4J.g 1335

-35 278 121 364 880 470 449 437 1356 4209 383 385 497 1265 4202

У,3/...1 1609471262336998110429142937

У131-.У132-У133-.^ 13--^231-F232..^233..F23...

8181112105529859291

Уззь. У332..Уззз..Узз...У,3...

r,1185311981

Уь.„

1129435128

Уз....(0=У.....

Образец дляОбразец для

испытаний12зиспытании

Поставщики

АВС

Y..a.68891418714052B.S.

F.D.

В.

223124682190

479648104581

482647034523

Иопользуя процедуру вычисления значений О, сумм квадратов и числа степеней свободы, получаем таблицу дисперсионного анализа для кодированных данных (табл. 14.41). Заметим, что в столбце «Математическое ожидание среднего квадрата» имеются только три настоящие дисперсии, а именно о2, о2^ и о2^^^. Остальные значения, заключенные в скобки, фактически представляют собой суммы квадратов отклонений (умноженные на некоторую постоянную) относительно некоторого среднего.

Для определения коэффициентов при членах пятого столбца применяется метод, описанный в предыдущем разделе (табл. 14.35). Коэффициенты даны в табл. 14.40. В этой таблице обозначения

' Таблица 14.40

Таблица коэффициентов

Обозначение строк и факторов

Обозначение столбцов

-(I)

XI)

*(П)

/(I)

^(П)

0

3

3

3

3

3

0

3

3

3

Wij

0

0

3

3

3

1

1

1

3

3

Т/

3

3

0

3

(^),/

0

3

3

0

3

(М/

3

0

3

0

3

№)у/

0

0

3

0

3

^^Т^к/(у)

1

1

1

1

3

^m(ykl)

1

1

1

1

1

строк дополняются соответствующими буквами, обозначающими факторы, чтобы помочь определить эффект, представленный в каждой строке.

Вернемся к таблице дисперсионного анализа. Проверим вначале гипотезу о том, что взаимодействие между плавками и образцами для испытаний (внутри взаимодействия между поставщиками и диаметром прутка) равно нулю. Вычислим отношение средних квадратов, которое оказывается равным 2360/60 = 39,43, т. е. является высокозначимым при сравнении с F^ 162. (Вследствие большого числа степеней свободы этот критерий очень чувствителен и даже небольшие различия вполне могут быть обнаружены как значимые.)

Проведем проверку взаимодействия трех факторов: поставщик, диаметр прутка и образец для испытаний. С помощью последнего столбца табл. 14.41 находим отношение этого среднего квадрата к среднему квадрату для взаимодействия (Образец для испытаний) X (Плавка). Получаем 2465/2360=1,04; данное отношение не является значимым. С помощью табл. 14.41 проверяем средние

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Математическое ожидание среднего квадрата

Поставщики (V)

3296

2

1648

0,43

а2 + Зо2й/(17) + 9^(7) + <81а2;>

' Диаметр прутка (В)

171394

2

85697

22,6***

о2 + Зо2А/(г7) + 9о2л(,7) + <81о2,->

VXB

8097

4

2024

0,53

а2 + За2^;^ + 9о2^(^«) + (27а2/;)

Плавки (/i) с взаимодействием VXB

68312

18

3795

1,61

а2 + За2^^ -|- 9a2^(Z-j*)

Образцы для испытаний (Т)

430402

2

215201

91,2***

a2 + 3o=6Z(i,.) +<81а2/>

VXT

1313

4

328

0,14

а2 + ЗоЧци) + <27 a2iZ>

. ВХТ

54083

4

13521

5,73**

а2 + ЗаЧщ5) + ^И')

VXBXT

19724

8

2465

1,04

а2 + За2^;;) + (9а2; ji}

Взаимодействие hXT внутри взаимодействия (VXB)

84954

36

2360

39,43*'*

о2 + ЗаЧщ^

Остаток

9695

162

60

а2

Сумма

851270

242

квадраты для ВХТ, VXT w Т путем сравнения .со средним квадратом для взаимодействия hXT. Для ВхТ и Т отношения средних квадратов равны соответственно 13 542/2357 = 5,73** и 215 201/ /2360 = 91,2***.

Если рассматриваются математические ожидания средних квадратов, то средний квадрат для плавок должен проверяться путем сравнения со средним квадратом для взаимодействия Л X Г. Это отношение средних квадратов равно 3795/2360=1,61. Оно не является значимым при сравнении с Fi8;36- Взаимодействие VXB проверяется путем сравнения со средним квадратом для плавок. Получаем отношение, равное 2024/3795 = 0,53, которое не является значимым. Наконец, при проверке средних квадратов для диаметра прутка и подрядчиков путем сравнения со средним квадратом для плавок получаем отношения, равные 85 697/3795 = 22,6*** и 1648/3795 = 0,43.

Теперь обсудим полученные результаты. Поскольку во время проведения эксперимента известен только один промышленный процесс извлечения титана из руды и титановые слитки изготавливаются почти одинаковым способом, неудивительно, что не был обнаружен эффект поставщиков. Различные поставщики фактически используют одинаковую технологию. ■

С другой стороны, при разных диаметрах пруткового проката предел текучести материала будет различным. Поскольку прутки трех размеров изготавливаются из слитков одинакового размера, прутки меньшего диаметра подвергаются лучшей обработке и, таким образом, будут иметь большую прочность на растяжение. Как и ожидалось, эффект диаметра прутка является высокозначимым.

Значимым является также эффект образцов для испытаний. Для штампованных заготовок и лопаток эффект образцов для испытаний значительно выше, чем для пруткового проката. Этот эффект вызывается дополнительными операциями штамповки, применяемыми для изготовления лопаток или штампованных заготовок из пруткового проката.

Взаимодействие между диаметром прутка и образцами для испытаний можно объяснить тем фактом, что для изготовления лопаток из пруткового проката большего диаметра требуются штампованные заготовки большего объема, чем при использовании пруткового проката меньшего диаметра. Следовательно, увеличение предела текучести вследствие штамповки не так велико для прутков меньшего диаметра, как для прутков большего диаметра.

Можно сделать следующие выводы;

Не обнаруживаются какие-либо различия значений предела текучести материалов, полученных от различных поставщиков.

Предел текучести значимо зависит от диаметра прутка, при этом чем меньше диаметр прутка, тем выше предел текучести. Этот эффект обнаруживается при испытаниях пруткового проката, штампованных заготовок и лопаток.

Эффект изменения типа образцов для испытаний оказывает влияние на предел текучести титанового сплава. Предел текучести для штампованных заготовок и лопаток примерно одинаков, а предел текучести для необработанного пруткового проката значительно меньше, чем для штампованных заготовок и лопаток.

Существует определенное взаимодействие между плавками и образцами для испытаний, но взаимодействия между поставщиками и образцами для испытаний отсутствуют.

Поскольку особый интерес представляют эффекты изменения диаметра прутка и типа образцов для испытаний, построим таблицы для математических ожиданий </. + Р/ и а + т/ при различных уровнях этих факторов. Значение (Н + Р?) оценивается через У./..., а дисперсия этой оценки равна ЧэоЧ^А- Ч^кщ^А- Vsi^2. Несмещенная оценка дисперсии случайной величины У./„. равна VsiX X (Средний квадрат для плавок внутри комбинаций «поставщик — диаметр прутка») =46,85-104 (фунт/кв. дюйм)2 (4,77 МПа)2 и основана на 18 степенях свободы. Затем с помощью формулы У/...±^18; i-a/2* 10-3У46,85 вычислим отдельные 100(1—а)%-ные доверительные пределы в единицах, равных 100 тыс. фунт/кв. дюйм (689,476 МПа). При а = 0,05 пределами являются У./.„±0,0144. Ниже приводятся результаты вычислений (при а = 0,05).

Диаметр прутка, дюйм

Нижний предел

Оценка математического ожидания

Верхний предел

1,00

1,425

1,439

1,454

1,25

1,385

1,400

1,414

1,75

1,360

1,375

1,389

С помощью табл. 14.41 находим следующие пределы совместных доверительных интервалов: У./„.±0,0144- (2,617/2,101) • 105 = (У/,..± ±0,0179) • 105 фунт/кв. дюйм.

Возвращаясь теперь к образцам для испытаний, видим, что несмещенная оценка для аЧ-т/ равна У..т.. Дисперсия этой оценки составляет Ч^оЧ^А-оЧич^ -^ Vsi^2. К сожалению, невозможно получить несмещенную оценку как простое кратное какого-либо одного среднего квадрата в таблице дисперсионного анализа. Несмещенная оценка определяется как

т/81 (Средний квадрат для плавок внутри комбинаций ,,поставщик — диаметр прутка")-Ч2/81 [(Средний квадрат для взаимодействия между плавками и образцами внутри комбинаций ,,поставщик — диаметр прутка")—(Остаточный средний квадрат)! = =1/81 - 3795-2/81 (2360 — 60) = I03,64.

Эту оценку нельзя рассматривать как наблюдаемое значение крат- ного случайной величины, распределенной по закону %2. Ее следует рассматривать как наблюдаемое значение случайной величины, распределенной по закону

Х21в Ф2 + ^кЦИЧ + 9^(i»)- , 2Х2зв Ф2+За2«(и))2х21в2а2

8П8h 81-3681-162 ’

где три значения %2 взаимно независимы. Для целей аппроксимации с помощью метода Саттертуэйта i[Satterthwaite F. Е., Ап Approximate Distribution of-Estimates of Variance Components, Biometrics, 2 (1946)] это выражение можно представить как

v4Xv I1/» №W) +о2«(и)) Ч-^в,»2]-

Устанавливая соответствие между дисперсиями, имеем

2/v I1/» (о\№ + o\lk и^ 4- Vg^2]2 =

_9[ О/^^ + ^Ш^^(^«(w+Veia2)2(2/ei^)2 1

— 218+36+ 162 /

Подставляя оценки дисперсии, находим

103,642~

Vis (3795/81 )2 +V36 (4720/81)2 + Чт (120/81)2

to 10741,25/216,28 = 49,7

(Заметим, что v зависит только от отношений оценок дисперсий.) Затем по формуле

У. „I. ± /49,7; 0,975-10-3 ]/103,64 =У..,. ± 0,02045

вычислим 95%-ные доверительные .пределы среднего для образцов а+т/. Ниже приведены полученные значения для пределов. Если необходимы совместные доверительные пределы (с совместной доверительной вероятностью 95%), то они могут быть найдены по формуле

[У± 0,02045-(2,468/2,009)-1]. 105 =

= (У Л ± 0,02512)-105 фунт/кв. дюйм.

Образец для испытаний

Нижний предел

Оценка математического ожидания

Верхний предел

Необработанный прутковый

прокат

1,325

1,345

1,365

Штампованные заготовки

1,415

1,435

1,456

Готовые штампованные

лопатки

1,413

1,433

1,454

Поскольку дисперсия между плавками существенно отличается от нуля, важно ее оценить. Несмещенная оценка равна,

o2»(iy)= У» [(Средний квадрат для плавок) — (Средний квадрат для взаимодействия между плавками и образцами для испытаний)] =

=V» (3795—2360) = 159,44..

Отсюда находим, что оод)=1260 фунт/кв. дюйм (8,6856 МПа), так. как единица кодированных данных равна 100 фунт/кв. дюйм (689,476 кПа).

На рис. 14.2 графически представлены некоторые результаты.. Заметим, что могут быть четко выявлены различные взаимодействия. Для простоты здесь приведены суммы из табл. 14.39. Разумеется, их можно перевести в первоначальные единицы предела текучести, равные 100 тыс. фунт/кв. дюйм (689,476 МПа).

*14.8.3. Восстановление межблоковой информации

При анализе в разд. 14.2.1 BIB-плана использовалась модель- (14.3), в которой эффекты блоков и уровней основного фактора представлены параметрами. Вследствие этого оценки тч )[см. выражение (14.8)] для уровней основного фактора зависят только от разностей между наблюдаемыми значениями в одном и том же- блоке.

Если эффекты блоков представлены случайными величинами и имеем модель

(14.15).

где £"[Уг] =0, Уаг(У,) =о'2, а У и Z взаимно коррелированы, то необходим анализ иного рода, когда при оценивании значений т используется некоторая информация о различиях между блоками. Модель (14.15) можно записать как

(14.15')

где Wij= Yt-vZij. Легко показать, что S[H7iV]=0; Var(W'if) =о'2+ +о2; Cov(W. №,ч,) = 0, если iW, Соу(Гг/, ТГФ)=о'2 (при Г^П-

2000

Диаметр / дюйм

1500

1000

АВС Поставщики

8.S. ED. В. Типы образцов

"Рис. 14.2. Кодированные данные для предела текучести при различных диамет-рах прутка, типах образца и поставщиках.

.Матрица дисперсий и ковариаций для случайных величин W имеет вид

Vj о • о0 V, • о

О О . Vj

где Vi — матрица размера kXk, каждый диагональный элемент которой равен (о2+о'2)> а каждый недиагональный элемент имеет вид с/2.

2000т-2000т-Диаметр 1,75 дюймаДиаметр 1,75 дюйма01IL- 16.5, TD. В. Типы образцов01IL- 16.5, TD. В. Типы образцовJIL АВС ПостабицикиJIL АВС ПостабицикиРис. 14.2. (Продолжение)Рис. 14.2. (Продолжение)

2000т-

2000т-

Диаметр 1,75 дюйма

Диаметр 1,75 дюйма

01IL- 1

6.5, TD. В. Типы образцов

01IL- 1

6.5, TD. В. Типы образцов

JIL АВС Постабицики

JIL АВС Постабицики

Рис. 14.2. (Продолжение)

Рис. 14.2. (Продолжение)

Наилучшие линейные несмещенные оценки параметров находим путем минимизации

(Х-Е [X | И, t^'V’1 [(X — Е [X | Н, т])

т

по g и т при наложении ограничения £ ту = 0.

Оценка для g, как и ранее, равна £=Х... Однако оценка для т7 в данном случае имеет вид

т*^(Ш ^-х^+^Х^(14.16)

где т^ задается формулой (14.8) и <о = о/2/о2. Это ^звешенное среднее внутриблоковой оценки т? и новой оценки ^Х.ч—Х..у Последняя представляет собой оценку, которая будет получена, если положить Р/ = 0 в формуле (14.3) или У? = 0 в формуле (14.15). Поэтому ее можно назвать «оценкой без учета блоков».

Дисперсия случайной величины тч\ заданной формулой (14.15), имеет вид

V=r(T\)-^±Sr^-2,<14.17)

а дисперсия внутриблоковой оценки {если справедлива модель (14.15)] равна

Уаг(т.)=-Ц=^-а=.(14.18)

Превышение Var,^) надУаг^*) составляет

(^г_X/) (/ —1) 2_ (г — %) (/ —1) 2X (Г + %/С0)/2X (г + Х/to) /2 и •

Поскольку г>Х (для BIB-плана), эта величина всегда положительна, так как т^* — наилучшая линейная несмещенная оценка длят?. К сожалению, значение со = о/2/о2, необходимое для вычисления г?*, обычно неизвестно. Если предварительная информация об этом отношении отсутствует, то с помощью имеющихся данных необходимо получить его оценки. В примере 14.10 описаны два метода, .которые могут быть использованы. Ни один из них не является достаточно точным, но оценка для т?* несмещенная, даже если используется неточное значение со и имеются некоторые результаты (см., в частности, статью Сискинда [12]), показывающие, что при определении т?* с малой точностью погрешность в определении со невелика.

Пример 14.10. Для иллюстрации используем данные из примера 14.1. Получены значения двух видов оценок для т:

я

1

2

3

4

5

6

7

Марка стали

А

В

С

D

Е

F

G

тд (внутриблоковая)

— 1,14

2,29

0,86

—2,29

— 1,29

3,71

—2,14

Xq—X(без учета

•блоков)

—0,71

3,29

0,29

— 1,71

— 1,71

3,62

—3,05

Из выражения (14.16) следует (при Х=1, r = £ = 3, b = t = l^ что т%=(7со + 3)-Ч7^ + ^^

Значение со неизвестно, поэтому его нужно оценить.

Можно использовать следующую формулу (см. 'книгу Кочрена и Кокса, с. 150 [3]):

^ 6 — 1 Г (Скорректированный) средний квадрат для блоков । 1 6^—1 IОстаточный средний квадрат]’

<с помощью которой в данном случае получаем

о = е/14 [4,98/0,929 — 1 ] = 1,87.

(Значения средних квадратов находим с помощью табл. 14.8.)

Другой метод оценивания со основан на том факте, что в случае ■модели (14.15) корреляция между точными остатками \Хц—£— —Tj=Yi-VZt^ в одном и том же блоке (т. е. в блоках с одинаковым значением i) имеет вид

р = 2<(14.19)

г о2 + а 21 + со4'

©2©211 + ©2^ ~ 111 + ©2^ ~ 1- к /\22 S^Jкf=i /(О- к /\22 S^Jкf=i /(О

©2

©2

1

1 + ©2^ ~ 1

1

1 + ©2^ ~ 1

- к /\2

2 S^J

к

f=i /(О

- к /\2

2 S^J

к

f=i /(О

Используем оценки остатков

где t/(cdi) означает, что при вычислении берется (d = g)i. Затем находим новое значение <о, например со2, с помощью соотношения

— — (Корреляция смешанных моментов между

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено значение со. Кроме того, можно поступить следующим образом.

Из имеющихся данных при <oi = 0 /получаем <о2 = 0,77, при ссц = 1 имеем (02 = 2,51 и при coi = oo получаем (о2 = 3,12. При (oi = 3 имеем (02 = 2,88, поэтому значение со близко к 3,0.

Хотя со отличается от значения 1,87, полученного с помощью средних квадратов дисперсионного анализа, это не приводит к существенному различию значений т<Д что можно видеть из следующей таблицы:

Значения т*^

Марка стали © = 1,87 ©=3Марка стали © = 1,87 ©=3АВСDЕFG

Марка стали © = 1,87 ©=3

Марка стали © = 1,87 ©=3

—1,002,480,75—2,18—1,373,69—2,31

— 1,092,400,79—2,22—1,343,70—2,25

14.9. КОВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Термин ковариационный анализ употребляется весьма произвольно для самых разнообразных методов, используемых при анализе экспериментальных данных, когда существует не только отклик X, имеющий первостепенное значение, но и одна или большее

13-1825

число сопутствующих переменных Уь Уг,..., Ym. Мы уже встречались с некоторыми методами такого рода в разд. 13.20.

В данном разделе нас интересуют методы, приемлемые для ограниченного класса моделей. Все эти модели имеют следующий вид:

(Наблюдаемое значение X) —(Модель типа описанной в гл. 13 и 14) + + (Линейная функция сопутствующих переменных) = <^+У. (14.20)-

В частном случае, когда

Jit = £ +Z,

где Z—случайный остаток, описанный в разд. 13.2, имеем (простую или множественную) регрессию, подобную описанной в разд. 13.17 и 13.18. Если Л — модель для односторонней классификации [см. формулу (13.4)], когда

Jlt=^-V^t-VZu

соответствует Хн, а ^=РДУп*—У^),то при обычных обозначениях имеем модель

Хи — s+ V/ + P/ У и— ^/) + ^+

рассмотренную в разд. 13.19.

Описываемые методы ковариационного анализа связаны главным образом с получением информации о параметрах модели а не о коэффициентах регрессии в выражении для Ж. Члены X включаются в анализ, чтобы ослабить влияние сопутствующих переменных на выводы относительно параметров модели Лt. Иногда нас в большей степени интересуют приближенные сравнения, при которых различия между значениями У могут отражать внутренние различия между категориями экспериментов.

Допустим, например, что сравниваются значения предела прочности на растяжение резиновых полос, изготовленных с помощью двух различных технологических процессов, и в качестве сопутствующей переменной используется площадь поперечного сечения. Хотя может представлять интерес тот факт, что наблюдаемое различие между средними значениями предела прочности на растяжение можно «объяснить» различиями в средней площади поперечного сечения, вполне возможно, что нас больше будет интересовать сам факт существования этого различия, каковы бы ни были его причины.

' Тем -не менее при надлежащем внимании к объяснению причин «исключение» (в зависимости от адекватности модели) сопутствующих переменных может дать хорошее представление о структуре изменчивости экспериментального материала.

Здесь будет подробно рассмотрен рандомизированный эксперимент, описываемый моделью (13.52) из разд. 13.11. Методы, соответствующие другим планам, можно вывести аналогичным путем.

Если в каждой «делянке» измеряется одна случайная величина X, то стандартная параметрическая модель имеет вид

Xu^WiA-Tj^a/=1^,

bt

где 2 6z = 0; £ т/ = 0; Хц— взаимно независимые случайные ве- i = l/=1

личины; Е\Хц\=0 и Var(Z//)=o2. Это составляющая Л модели (14.20).

Если же в каждой делянке измеряется еще одна (сопутствующая) переменная У, то можно ввести составляющую Ж этой модели как р(У//—У..) или pt (У//—У..). (Существует много других возможностей, но эти две — самые простые.) В первом случае предполагается, что угловой коэффициент регрессии — постоянная величина, а во втором случае допускается изменение углового коэффициента регрессии от блока к блоку. В обоих случаях используется простая линейная регрессия.

Рассмотрим первый случай. Анализ основан на общем методе, описанном в разд. 13.16, но мы изложим его языком, который, как мы считаем, сделает методику более понятной для читателя и позволит лучше запомнить ее.

Приведем вначале таблицу стандартного анализа для значений X.

Источник изменчивости

|Сумма квадратов

Число степеней свободы

Блоки

b

<2*..)2

11=1

ь-\

Уровни основного фактора

!t

Ь^ (X.j-Х..р

/=1 6 t

1—\

Остаток

52(^-^.-^ + ^.)2

(6-1) (/-1)

1=1/=1

Оценка для р, полученная методом наименьших квадратов, имеет вид

2 2 X'ijY и

22^

i i

где X'tj = Xij—Xi.—Xj + X.., a Y'a— аналогичная функция случайных величин ¥ц.

Скорректированная остаточная сумма квадратов получена путем вычитания ^YYSX^jY^j—^Ч^ из стандартного остатка i /

^Хц2. Она имеет (6—!)•(/—11)— 1=Ь/—b—t степеней свободы (на одну меньше, чем в стандартном случае).

Заманчиво предположить, что и другие суммы квадратов можно скорректировать аналогичным образом (хотя и без изменения чис< ла степеней свободы). Тогда скорректированная сумма квадратов для уровней основного фактора имела бы следующий вид:

b^ (X^-Xy-^b^Yj-Yy.

/=1/=1

Однако в действительности эта сумма равна

b 2 (ХЛ-Х.^->^ 2 ^-У^А-

М ! ь t _ _ _

^^^(Yij-Yi-Y.jA-y.y,

Z=I /=1 где ь t

2 2 кХИ-"Хйк¥ц-'¥1Л

b t

2 2

Z=I /=1

Чтобы показать, почему это так, заметим, что мы должны иметь Скорректированная сумма квадратов для уровней основного фактора) + + (Остаточная сумма квадратов) = ь 1_

= min2 2№ — W-P(rv-y..)P=

>=1 i=\ b t _ b i

= 2 2<x -xJ=-?22 U^u-^T- i-1 j^lIt.1 j=l

Результаты вычислений при данном анализе можно представить в следующем виде . (обозначения не требуют объяснения):

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Источник изменчивости

Суммы

квадратов

Суммы произведений

(4)/(2)

(5) X (4)

Блоки

с(В) ^хх

е(В) Оуу

q(B)

—

——

Уровни основного фактора

Q(T) ^хх

q(T) о у у

с(Г) ^ХУ

—"

—

Остаток

^хх

q(7?) ^YY

^XY

S(R).

Блоки и остаток

с(С) дхх

q(C)

q(C) ^XY

[Заметим, что S(C) = S(B)+S(7\] Скорректированная сумма квадратов для уровней основного фактора равна SXxm—(5<с)—S^)); остаточная сумма квадратов равна Sxx^)—S^).

*14.10. ВЫБОР ПЕРЕМЕННЫХ

Во всех рассмотренных ранее моделях предполагалось, что наблюдения соответствуют некоторой аддитивной модели. Допустим, однако, что «правильная» модель является мультипликативной. Тогда аддитивная модель может применяться к логарифму наблюдаемой характеристики. Например,

Тогда

Ytu = log Waj = log a+log pz + log y,+log фу)a + log Zw.

Для таких переменных, как время безотказной работы, степень коррозии и т. л., обычным является логарифмическое преобразование результата и представление его в виде линейной модели. Для иллюстрации рассмотрим пример из статьи Боуэна и др.: Bowen, Groot, Jaech, Variable Interaction: A Statistical Solution, Corrosion, 15 (1959), в котором проводится дисперсионный анализ для линейной модели, полученной в результате преобразования данных.

Пример 14.11. При проектировании реактора ядерной энергетической установки использовались топливные элементы высокой чистоты в алюминиевой оболочке, охлаждаемые легкой водой. Даже после выключения реактор продолжает выделять тепло вследствие радиоактивного распада. На случай выхода из строя основной системы охлаждения необходимо иметь некоторую вспомогательную систему охлаждения. Это проще всего сделать, пропуская через реактор обычную питьевую воду из противопожарной или коммунальной системы водоснабжения. Целью эксперимента было определить, не приведет ли неочищенная вода при низких

температурах к большой коррозии в системе. Использовались два спаренных автоклава: один с деионизированной водой, а другой с водой, насыщенной ионами. Случайным образом были выбраны три различных алюминиевых сплава: 1245, М-388 и Х-2219. Испытания проводились в течение одного и трех месяцев.

Испытывались образцы размером 0,5X1 дюйма (12,7x25,4 мм). Они подвешивались в автоклавах и изолировались друг от друга, чтобы исключить зависимость результатов. При коррозионных ис- лытаниях измерялась глубина коррозии в тысячных долях дюйма. Математическая модель, использованная при первом анализе, имела вид

^Uki ~Р 4* ^t 4~°Ъ + И-^и + т/г+ (4т)^ + (о)т)^+ (Лсот)^ 4"^ци^'

?Л$ г=1, 2, 3 обозначает сплав, j=l, 2 — воду (деионизированную и насыщенную ионами); й=1, 2 — время (-1 и 3 месяца), a / = = 1, 2 — число реплик. Данные приведены в табл. 14.42.

Таблица 14.42

Коррозия алюминия в деионизированной воде и воде, насыщенной ионами

Время

Сплав

Деионизированная вода

Вода, насыщенная ионами

1 месяц

1245

0,09

0,07

0,22

0,21

М-388

0,06

0,06

0,21

0,19

Х-2219

0,07

0,09

0,29

0,29

3 месяца

1245

0,09

0,07

0,30

0,28

М-388

0,11

0,08

0,29

0,31

Х-2219

0,14

0,11

0,45

0,48

Обычными методами, описанными в разд. 14.7, можно вычислить величины, входящие в таблицу дисперсионного анализа. Результаты вычислений приведены в табл. 14.43..

Каждое отношение средних квадратов в табл. 14.43 является значимым, за исключением случая тройного взаимодействия.

Поскольку соответствующая модель не обязательно должна быть линейной, использовалась модель

X-'iiki — W Ч-^ЧЧ"03';^- (Л'оэ^у-Хт А + (Л т )^4“

4- (^ ^jh 4~ (Л'СО'т') ик + zr Ukb

где X'=logX, B^iogB, Л^ = 1о§Л/ и т. д. Результаты дисперсионного анализа для преобразованных данных представлены в табл. 14.44. Из этих данных видно, что изменчивость между сплавами уже не является значимой. Неочищенная вода (переменный цикл воздействия воды, насыщенной ионами) действительно создает заметный значимый эффект. Случайный эффект взаимодействия (сплав) X (время) не является значимым, но он очень бли-

Таблица 14.43

Результаты дисперсионного анализа непреобразованных данных, умноженных на 100

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Математическое ожидание среднего квадрата (из табл. 14.35)

Сплавы (а)

300,2

2

150,1

о2 + 2О^.к + 4o2M + 4o^j + 8о2г

Вода (№)

2562,7

1

2562,7

о2 + 2о2г^+4о2и + <12о2;>

Время (Т)

308,2

1

308,2

а2 + 2о2г^Ч-4о2и + <12о^>

аХ^

140,1

2

70,0

о2 + 2а2^к + 4с2, j

аХТ

53,1

2

26,5

а2 +2о2и6 +4o2ife

WXT

121,5

1

121,5

о2 + 2огцк + №jk

aXWXT

12,3

2

6,15

о2 + 2о2^

Остаток

25,9

12

2,16

а2

Сумма

,3524,0

23

зок к 5%-ному уровню. Остальные эффекты в данном случае не являются значимыми.

Изменение модели (переход от линейной модели для первоначальных наблюдений к линейной модели для логарифмов этих наблюдений) уменьшает число значимых взаимодействий. Этот факт можно рассматривать как довод в пользу такого изменения, свидетельствующий о том, что для описания результатов достаточно использовать более простую модель, содержащую меньшее число членов. Кроме того, в данном случае из физических соображений вторая модель предпочтительнее первой.

Таблица 14.44

Результаты дисперсионного анализа преобразованных данных

Источник изменчивости

Число степеней свободы

Средний квадрат

Отношение средних квадратов

Сплав

2

0,0532

<19,7

Вода

1

1,6622

615,6^*

Время а'Х^

1

0,1347

12,4

2

0,0027

0,87

а'ХТ'

2

0,0109

3,52

W'XT'

1

0,0025

0,81

a^W'XT'

2

0,0031

1,07

Остаток

12

0,0029

Сумма

23

ЛИТЕРАТУРА

Bose R. S., Shrikande S. S., Parker E. T., Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler’s Conjecture, Canadian Journal of Mathematics, 12, 189—203 (1960).

Brownlee K. A., Statistical Theory and Methodology in Science and Engineering, 2nd ed., New York, Wiley, 1965 (Ch. 14, 15). [Имеется перевод: Браунли В. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. — М.: Наука, 1977.]

Cochran W. G., Сох G. М., Experimental Designs, 2nd ed., New York, Wiley, 1957.

Cooper В. E., Statistics for Experimentalists, London — New York, Pergamon Press, 1969, (Ch. 9, 10).

Cox D. R., Planning of Experiments, New York, Wiley, 1958.

Davies O. L., ed., Statistical Methods in Research and Production, 3rd ed., New York, Hafner; London, Oliver and Boyd, 1957.

Federer W. T., Experimental Design: Theory and Application, New York, Macmillan, 1955.

Fisher R. A., Yates F., Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, 6th ed., New York, Hafner; London, Oliver and Boyd, 1963.

Hicks C. R., Fundamental Concepts in the Design of Experiments, 2nd ed., New York, Holt, Rinehart and Winston, 1973 (гл. 5—7, 9). [Имеется перевод: Хикс Ч. Основные принципы планирования экспериментов. — М.: Мир, 1967.]

John Р. W. М., Statistical Design and Analysis of Experiments, New York, Macmillan, 1971.

Peng К. C., The Design and Analysis of Scientific Experiments, Reading (Mass.), Addison-Wesley, 1967 (Ch. 5—6).

Siskind V., On Using an Incorrect Value of cPbIg2 in Incomplete Block Designs, Biometrika, 55 (1968).

Yates F., Experimental Design: Selected Papers of Frank Yates, London, Griffin, 1970.

УПРАЖНЕНИЯ

В установке для испытаний на абразивный износ проверяются четыре краски путем измерения потери веса. Эти краски отличаются друг от друга процентным содержанием одного основного компонента. В установке одновременно могут испытываться три окрашенные панели. Результат измеряется как потеря веса за определенный промежуток времени при заданной скорости работы установки. Проведены четыре серии испытаний. Рассматривайте каждую серию как блок. Данные представлены в кодированных единицах.

Серия испытаний

Краска

Г

2

3

4

А

13

10

15

В

15

11

21

С

18

23

29

D

20

26

28

Какова оценка средней потери веса для каждой краски, не зависящая от блоков?

Отличаются ли краски друг от друга по абразивному износу?

Отличаются ли серии испытаний значимо друг от друга?

Проводился эксперимент для определения влияния четырех уровней основного фактора, которым в данном случае является число витков нити накаливания телевизионной трубки, на ток через эти витки. Вследствие ограниченного времени для проведения этого эксперимента за каждый день можно получить только три выборочных значения. Проверялись четыре уровня основного фактора: А, В, С и D. В таблице приведены данные в кодированной форме.

Уробни основного

День (блоки)

1

3

4

фактора

АВСD

123017

422413

142341

103321

Существует ли значимый эффект между уровнями основного фактора?

Существует ли значимый эффект дней (блоков)?

Десять образцов резины отправлены в лабораторию для проверки прочности на изгиб. Вулканизация проводится в течение пяти различных интервалов времени; для проверки в каждом из них достаточно двух образцов. Образцы рассматриваются как блоки, а продолжительности вулканизации — как уровни основного фактора. Исследуйте влияние времени вулканизации на прочность на изгиб, используя приведенные ниже кодированные данные.

Время вулканизации

Образец

12345

1

256

2

103

3

316

4

1511

5

06

6

14 И

7

617

8

1027

9

105

10

721

Шесть изготовителей материала, используемого в крайне неблагоприятных условиях, считают, что их продукция способна выдержать большие нагрузки при испытаниях на растяжение. Каждый изготовитель представляет материал, которого достаточно для пяти испытаний. Однако планируется проведение этих испытаний при десяти различных условиях. Для имеющихся 30 образцов был составлен сбалансированный неполноблочный план эксперимента для проверки

эффекта изготовителей. Ниже в кодированном виде приведены полученные данные.

Условия

Изготовитель 123

45678910

11,62

21,93

32,22

42,14 1,58 1,88

51,651,61

61,99

2,101,50 2,30 2,23

1,901,77 1,64 1,75

1,562,29 1,92 2,46

~1,811,86

1,65 2,032,15

1,64 1,74 2,462,62

Какие допущения приняты в модели?

Выполните полный дисперсионный анализ.

Сделайте выводы.

Ниже приведены данные, полученные в результате исследования первой стадии процесса очистки, на которой осуществляется поглощение некоторого вещества углеродом. Нужно изучить два фактора на пяти уровнях каждый: показатель концентрации водородных ионов pH и количество углерода как процент объема раствора. Уровни основного фактора представляют собой пять различных сортов углерода (Л — £). Оцените эффект каждого фактора.

Содержание углерода

рн

0,05.

0,10

0,20

0,40

0,80

Сумма

4,0

17 Л

39 D

65 В

19 С

125

152

5,0

32 Е

33 С

61 А

71 В

94 D

291

6,0

56 С

49 Я

84 D

90 Е

100 5

379

7,0

76 D

81 В

97 Е

98 Я

100 С

452

8,0

93 В

90 Е

97 С

100 D

100 л

480

Сумма

214

292

404

378

406

1754

Сорт

А

В

С

D

Е

Сумма

325

410

305

393

321

В четырех различных лабораториях (1, 2, 3, 4) был проведен эксперимент по определению степени коробления пластинок из медного сплава при четы*

Лаборатория

Температура,

1

2

3

4

50

С 24

А 17

5 16

5 28

75

DT1

В 18

А 12

С 17

100

А 16

С 25

5 20

В 18

125

5 23

5 23

С 29

Л 21

рех значениях температуры (50, 75, 100 и 125 °C) и четырех значениях содержания меди в сплаве (40, 60, 80 и 100%, т. е. 4, В, С и D, соответственно). Pet зультаты приведены в таблице.

Оцените эффект каждого фактора. Существует ли линейный или квадратичный эффект температуры и состава медного сплава?

Проанализируйте следующий греко-латинский квадрат 4X4:

Строка

Столбец

12

3

4

а

Л1—6

83 - 4

с4 =7

о2 = 5

b

В. -5

А4 = 6

£>3 = 3

Сх =4

с

С3 =4

Dx =5

Л2 - 8

В4 = 4

d

В4 =3

G = 2

Вх - 8

А =6

Буквами Л, В, С, D обозначены четыре известных источника изменчивости, а индексы относятся к четырем исследуемым процессам.

Приведенные ниже данные представляют собой результаты 25 проверок, выполненных при пяти значениях температуры и продолжительности реакции, для определения влияния этих переменных на глубину протекания реакции. Для проверки возможных эффектов различных реакторов и разных операторов было проведено 25 испытаний по сбалансированной схеме на пяти реакторах с привлечением пяти операторов, причем каждый оператор работал на каждом реакторе только один раз при каждом значении температуры и продолжительности реакции. Латинскими буквами в таблице обозначены реакторы, а индексы относятся к операторам. Проведите соответствующий анализ этих данных.

бремя, мин

ТемрпЦр^' 306090120150 Сумма

37,8

51,7

65,4

79,4

93,3

16/1,40В350 С520 В215Д141

30 Вг25С462 DxСТ Ег30Л5214

50 С350В383 Е285 Л45В,313

80 D,80Ех95 Л398 В570С2423

901\92,4298 В4 100 Q 88 О4 468

Сумма

2662873883702481559

Пусть в упражнении 1 порядок следования наблюдений в каждом столбце показывает положение в установке. Таким образом, получаем квадрат Юдена. Проверьте значимость каждого фактора.

Положение

1

Серия

4

1

3

1

А 13

D 20

С 23

В 21

2

В 15

А 10

D 26

С 29

3

С 18

В 11

А 15

D 28

10. Приведенные ниже данные миллиметрах внутреннего диаметра10. Приведенные ниже данные миллиметрах внутреннего диаметрапредставляют собой среднее отклонение в труб в выборках из 10 образцов. Трубы

10. Приведенные ниже данные миллиметрах внутреннего диаметра

10. Приведенные ниже данные миллиметрах внутреннего диаметра

изготавливались на семи станках из материала семи различных составов тремя различными сменами.

Станок

СостаВ

12

3

4

56

7

А

5 а4 В

9 у

В

12а

9/3

9 у

С

7/3

6 а

8 у

D

1р

5 а

з v

Е

4 У

6^

5 а

F

Юу

12 а9/3

G

4 а

4 у

3/3

Определите, являются ли значимыми различия, обусловленные станками, составом материала и сменами. Смены обозначены как а, р и у.

Для семи различных сортов бензина измеряется октановое число. Бензин F является базовым, а остальные шесть получены с помощью шести различных добавок. Планом эксперимента является квадрат Юдена 7X3. На каждом сорте бензина двигатель работал в течение 2 мин. Показания датчика детонации снимались через 60, 90 и 120 с для проверки стабильности горения топлива. Полученные данные приведены в таблице. Рассматривайте двигатели как блоки.

Существуют ли какие-либо различия между блоками?

Существуют ли различия между сортами бензина?

ДВигатель

Время

1

2

3

4

5

6

7

60

А 43

В 36

С 33

2)44

Е41

Е36

6 33

90

В 34

С 32

2)47

Е40

Е35

6 32

А 41

120

D 41

Е46

Е43

6 33

А 44

В 32

6 27

Данные, приведенные ниже в таблице, взяты из доклада Дэвида Фрайзьера «Статистические сравнения для 30 фирм и конкурирующих моторных масел», представленного на научной конференции, посвященной применению статистических методов в химии (1952 г.). В 13 автомобилях применялись 13 сортов масла. Каждый автомобиль испытывался в течение четырех месяцев: каждый месяц с различным сортом масла. План эксперимента был сбалансированным и представлял собой квадрат Юдена 13X4. Приведенные ниже данные сгруппированы для 13 автомобилей (1, 2, ..., 13), 13 сортов масла (Л, В, ..., Л1) и четырех месяцев (I, II. Ill, IV). В таблице указываются две цифры: 1) десятичный логарифм потребления масла в кодированных единицах и 2) десятичный логарифм расстояния, пройденного автомобилем к началу периода испытания, в тысячах миль (1 миля =1,609 км). Используя только первые величины, постройте соответствующую модель и проверьте:

Тланы дисперсионного анализа

205

средние различия между маслами^

тенденцию изменения исследуемой характеристики

за время проведения

эксперимента.

АВто- мобилъ

Месяц

1

II

III

IV

1

- 0,82

Е 1,10

г, 1,07

° 1,13

„ 0,98

G 1,18

м

1,04

1,21

2

„ 0,82

F 0,96

- 0,79

Е 1,02

„0,78

Н 1,08

А

0,91

1,13

3

„ L05

D 1,09

с0’71

с 1,15

„ 0,71

Е 1,12

L

1,09

1,17

4

! 1,23

0,80

„О*

0,95

к 136

1,05

D

1,16

1,14

5

Г 1,17

G 1,05

F из 1,И

/ ‘’°5

1,14

В

1,02

1,18

6

„0,92

М 1,02

0,78

L 1,06

R °’86

5 1,10

Н

0,80

1,13

7

L W7

1,50

0,5?

К 1.52

, 1,00

А 1,54

G

1,03

1,55

8

г 0,88

С 1,17

В °’98

В 1,10

_ °'63

0,90

К

0,89

1,01

9

„°,88

Н 1,17

- 0,84

G 1,38

0,92

J 1,43

С

0,83

1,48

10

1,09

0,82

0,88

0,81

1,34

1 1,30

1,35

Е

1,38

11

„ °>69

, 0,46

„1,06

0,42

К 1,24

J 1,51

М 1,54

F

1,56

12

. 0,43

д„0,80