От издательства

Проблема распределения простых чисел в натуральном ряде занимает центральное место в аналитической теории чисел и является одной из труднейших и интереснейших математических проблем. Предлагаемая вниманию читателей книга Прахара была написана в 1957 г. — почти полвека спустя после выхода в свет классического труда Э. Ландау (Е. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prim" zahlen, Leipzig, 1909). Она отражает прогресс, достигнутый в теории распределения простых чисел за этот пятидесятилетний период.

По полноте охвата материала и тщательности изложения книга стоит на таком же высоком уровне как и превосходная книга Ландау. Ее могут читать все, интересующиеся теорией чисел.

Достижения в теории распределения простых чисел за десять лет, прошедших со времени выхода немецкого издания книги Прахара* отражены в двух добавлениях, написанных по просьбе издательства М. Б. Барбаном совместно с А. И. Виноградовым (о методе решета) и Н. М. Коробовым (о методе тригонометрических сумм).

Издательство считает своим приятным долгом выразить благодарность автору — проф. К. Прахару, который любезно прислал список исправлений специально для русского издания.

Предисловие

Наука о распределении простых чисел в последние два десятилетия обогатилась различными новыми результатами, которые в имеющейся на эту тему литературе не изложены или изложены только частично. Достаточно полные сочинения Ландау и Ингама стали большой редкостью. Эстерман в недавно вышедшей брошюре вследствие небольшого объема многого не излагает, и то же самое можно сказать о брошюре Троста. Кроме этого, существуют еще монографии Титч- марша о ^-функции Римана, Виноградова о теории тригонометрических сумм (переведена на английский язык и дополнена Э. Давенпорт и К. Ф. Ротом), монографии Хуа о простых числах и Чудакова о теории А-функций Дирихле (две последние изданы только на русском языке). Однако с настоящей книгой эти монографии имеют общими только некоторые разделы. Она представляет систематическое введение в различные разделы теории простых чисел. Естественно, здесь также не удается добиться абсолютной полноты. Так, например, доказательство Линника и Чудакова теоремы Гольдбаха — Виноградова дано совсем коротко и схематично. „Большое решето" Линника, которое Реньи применил с некоторым улучшением к доказательству своей теоремы о представимости натурального числа в виде суммы простого числа и почти простого числа, совсем опускается. Опускаются также все оценки снизу, которые можно получить с помощью метода решета Бруна.

Вышеназванные сочинения, в особенности непревзойденные по способу изложения сочинения Ингама и Титчмарша, служили автору примером, однако пришлось добавить многое из того, что до сих пор содержалось только в оригинальных статьях. Прежде всего, здесь нужно упомянуть улучшение Сельбергом метода решета Бруна (гл. II), различные интересные результаты Эрдёша о разностях последовательных простых чисел (гл. V); теорему о том, что почти все четные

числа представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел (гл. VI); теорему Родосского о простых числах в „короткой" арифметической прогрессии с доказательством Татудзавы, лучший известный до сих пор остаточный член в теореме о простых числах !), теоремы Хохай- зеля и Ингама о разности последовательных простых чисел с обобщением Татудзавы (гл. IX) и в последней главе доказательство Родосского теоремы Линника о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии. Вариант элементарного доказательства теоремы о простых числах принадлежит Бройшу. Оправданием для изложения довольно сложных теорем последних трех глав может служить большой интерес, который вызывают методы, применявшиеся при их доказательстве. Поэтому можно надеяться, что большой круг читателей предпримет новые исследования по этим интересным вопросам).

Чтение глав I, II, V, а также большей части глав VI, VIII и некоторой части гл. III нс требует никаких предварительных знаний из теории функций. Здесь необходимо только знание основ дифференциального и интегрального исчисления, а также немногих фактов из элементарной теории чисел. Некоторые теоремы, прежде всего из теории функций, которые во вводных лекциях вообще нс излагаются, собраны чаще всего с доказательством в приложении. Текст, напечатанный мелким шрифтом, содержит дополнительные результаты и замечания. Если там даются доказательства, то они проводятся не всегда подробно.

Список литературы не претендует на полноту, а скорее может служить руководством по имеющейся литературе. Дальнейшие ссылки на литературу можно найти у Остмана [1] и Титчмарша [4].

При чтении книги не обязательно придерживаться последовательности глав. Так, например, можно читать гл. V и VI ранее гл. III и IV, а § 5, 6 гл. III в дальнейшем вообще не используются.

Я благодарю прежде всего моего уважаемого учителя проф. Е. Главку, который всегда поддерживал меня своей инициативой и ценными советами; я весьма обязан также руководителям математического института университета в Вене проф. Ж. Радону и проф. Н. Хоф- райтеру, которые сделали для меня возможной спокойную работу. За различные ценные сообщения я особенно благодарен проф. П. Эрдёшу.

Часть рукописи была просмотрена В. Кнеделем и В. Небауэром из Вены, Г. Ж. Ригером из Гессена. Я благодарен им как за устранение многочисленных погрешностей, так и за улучшение изложения. Рукопись и корректуры были критически просмотрены В. Флухом, X. Бе- кичем, А. Блюмелем, В. Хайтманеком и X. Роппертом. Всем этим помощникам я искренне благодарен за большой труд, который они проделали при этой самоотверженной работе. Я искренне благодарен А. Катингер, которая очень тщательно напечатала машинописный текст рукописи.

Проф. Ф. К. Шмидту и издательству Шпрингер я особенно благодарен за то, что книга была принята к изданию в этой серии, за приветливость и предупредительность по отношению ко мне и прежде всего за прекрасное оформление книги.

К. Прахар

ВВЕДЕНИЕ

Точно неизвестно, когда впервые в истории математики возникло понятие простого числа. Простое число — положительное целое число, отличное от единицы, которое делится только на 1 и само на себя. Насколько известно, впервые Евклид доказал, что последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ... не обрывается, т. е. что имеется бесконечно много простых чисел. Но и до Евклида были известны некоторые свойства простых чисел. Так, например, теорема Ферма о том, что для любого простого числа р и любого целого а разность ар— а делится на р, вероятно, была уже известна древним китайцам.

С более точными исследованиями распределения простых чисел мы встречаемся после Евклида впервые у Эйлера (1744 г.). Эйлер доказал, например, что ряд S 1/р, где суммирование распространяется на все простые числа, расходится, из чего, в частности, следует, что имеется бесконечно много простых чисел. Эйлер заметил также, что простых чисел „бесконечно меньше", чем натуральных чисел. Точнее, если через л(х) обозначается число простых чисел, не превосходящих х, то частное л(х)1х стремится к 0 при х —>оо. Позднее Лежандр доказал это более строго.

Главная проблема теории распределения простых чисел состоит в исследовании л(х), т. е, количества простых чисел, меньших или равных х. Если мы рассмотрим достаточно большое число членов последовательности простых чисел, то заметим, что скорее всего не существует элементарной функции, с помощью которой можно представить л(х) для всех целых х > 0, так как возрастание л(х) происходит очень неравномерно. Поэтому нужно попробовать найти простые приближения для л(х). Лежандр предположил в 1798 г., что иш ——^-£-=1 и, следовательно, для большого х логарифмиче- X -> со Х

ская часть всех натуральных чисел состоит из простых чисел. Точнее Лежандр предполагал, что л (х) = х/{1п х— 5(х)}, причем В (х) при х->оо стремится к константе В = 1,083... Еще до Лежандра Гауссом было высказано предположение о том, что л(х) с „гораздо

меньшей" ошибкой приближается с помощью функции

\\х — С, С = П2 = 1,04...,

2

чем с помощью х1\пхг\ (Как нетрудно доказать, частное обеих функций стремится к 1 при х->оо.) Если последнее предположение правильно, то без особого труда можно получить в формуле Лежандра lim В(х) = В = \ и, следовательно, гипотеза Лежандра от- X -> ОО

части неверна. Точные результаты в этом направлении были получены впервые Чебышевым в 1851 и 1852 гг. Чебышев показал, что если

предел л(х): ^^упредел л(х): ^^упри х->оо существует, то он должен равняться 1.

предел л(х): ^^у

предел л(х): ^^у

Чебышев получил даже более сильную теорему: для любого боль

шого Л>0 и любого малого 6>0 существуют сколь угодно большие

значения х, для которых

ям- f 4^ <6-4-.

V V J Ing |пЛ^

2

и (возможно, отличные от этих) значения х, для которых

х

Л (х) — J ^ > — 6 1пл х .

т. е. для любого большого числа А

lim ^л(х)— f : х 0

X ->ОО IJ 1пИ 1пЛЛГ

\2/

и соответствующий нижний предел <^0.

Далее Чебышев сумел показать, что при подходящих константах а и А, где 0 < а < 1 < А, для всех достаточно больших х

a — < л (х) < А —In л 4 7 In X

(для констант Чебышев нашел значение а = 0,92129..., Л = 1,0555).

0 Их— интегральный логарифм, определенный равенством/ 1-е лч

Из всех этих результатов не следует еще, что Пт л (х):-г^—су- Х->ОО

ществует, но следует, что этот предел равен 1, если он существует, и во всяком случае нижний пределла и верхний предел^ Л. Из результатов Чебышева следует также, что гипотеза Лежандра может быть верна лишь при В = 1.

Только с помощью вспомогательных средств, созданных Риманом, удалось доказать, что

Нт (л(х):= 1.

В этом состоит содержание асимптотического закона распределения простых чисел1). Риман ввел функцию комплексного переменного £($), которая для любого s, имеющего действительную часть, большую 1, задается равенством

П = 1р 1— "р*

(причем р в произведении пробегает все простые числа). Дирихле, Чебышев и еще раньше Эйлер также пользовались этой функцией (в частности Эйлер выяснил тождественность ряда и произведения). Однако они рассматривали эту функцию исключительно для действительного s. Риман показал, что с помощью применения теории функций комплексного переменного к исследованию £(s) можно получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел. Функция ^(s) регулярна во всей s-плоскости, кроме простого полюса при s = 1 (с вычетом 1). Она удовлетворяет, как доказал Риман, функциональному уравнению, которое позволяет по значению в точке s вычислить ее значение в точке 1—s. Оказалось, что нули ^(s) в полосе 0 ^o^l, o = Res играют исключительную роль во многих вопросах теории простых чисел. Риман указал формулу, которая представляет функцию л(х) (точнее некоторые функции, родственные л(х)) в виде функции от х и от нулей ^(s) в этой полосе. Кроме того, он дал приближенную формулу

Т « ГТ х ™

2л 1П 2л2л

для числа нулей £(s) в полосе —Т<^Ims^T для большого Т. Функция г (Т) имеет порядок не выше порядка величины In Т. Эти результаты Римана были строго доказаны только в 1894 г. Мангольд- том, после того как Адамар развил свою теорию целых функций конечного порядка. Сама теорема о простых числах была доказана лишь в 1896 г. Адамаром и (независимо от него) Валле-Пуссеном

с помощью теории целых функций конечного порядка. При этом пришлось доказать, что на прямой Res = 0=1 нет нулей £(s). Валле-Пуссен доказал даже более точное соотношение

X

2 где для достаточно большого х

\R^\<c1Xe-c^,

т. е. ошибка меньше чем х(\пА х при сколь угодно большом постоянном числе Л. Таким образом было показано, что функция

/Д + С (^ = Н 2 = 1,04 ...) 2

дает лишь хорошее приближение для функции л(х).

Позднее Ландау сильно упростил доказательство этих фактов и сделал это доказательство независимым от теории целых функций конечного порядка. Поскольку доказательство теоремы о простых числах было получено только обходным путем, с помощью применения теории функций комплексного переменного, было предпринято много попыток получить „чисто действительное" доказательство этой теоремы. Эти усилия оставались напрасными до 1948 г., в котором П. Эрдёшу и А. Сельбергу с помощью соотношения, найденного А. Сельбергом, удалось указать „действительный" подход к доказательству теоремы о простых числах.

Оценка Валле-Пуссена ошибки R(x) при приближении л(х)

X

с помощью J d£/ln£ (которая до сих пор не получена без примене- 2

нения теории комплексных функций) была долгое время лучшим результатом, доказанным в этом направлении. С помощью применения метода Вейля к оценке тригонометрических сумм вида 2£2л^(л\ п

где / (п) — полином от п, а п пробегает натуральный ряд чисел, Литлвуду в 1921 г. удалось доказать для R(x) лучшую оценку

I R (х) I <In in X.

В 1935 г. Виноградов развил новый, очень сложный метод оценок тригонометрических сумм. С помощью этого метода Чудаков сумел доказать, что для большого х

| R (х) [ < с^-^Оп^/1

r I 1 Д ~/ 11 . 1 \

при некотором mj, 11. Он доказал это для любого f ly» y+^l* Улучшая метод Виноградова (наиболее эффективное из улучшений принадлежит самому Виноградову и было очень упрощено Хуа), а можно в этой оценке еще увеличить. До сих пор лучшая оценка следующая:4

|/?(x)|<Cixe-M*), Х(х) = с2

(In Inx)7

Она получена Татудзавой из результата Хуа1).

Еще Лежандр предположил, что в любой арифметической прогрессии Z, l-\-k, Z + 2&, . .., где к^\—целое, a Z и к — взаимно простые числа, встречается бесконечно много простых чисел. Это предположение было впервые доказано Дирихле в 1837 г. В доказательстве он использовал так называемые /.-функции, соответствующие числу к, аналогичные функции ^(s). Эти /.-функции в полуплоскости Res> 1 задаются равенством

где xW— характер по модулю к. Теория /.-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств теории простых чисел.

Пусть л(х, к, Z) — число не превосходящих х простых чисел р, для которых р = 1 (той к). С помощью /.-функций Дирихле Валле- Пуссен доказал теорему о простых числах для арифметической прогрессииГ Г / А11

hm л(х, к,— =1.

k 7 (pWlnxJ

Согласно этой теореме, в любом из <р(&) классов вычетов, взаимно простых с к. находится „одинаково много" простых чисел. Валле- Пуссен показал далее, что

X

2

Д|/?(х, к, Ц \ < сххе”с^Хпх,

причем сх = Cj (к), с2 = с2 (к) — положительные константы. Для доказательства этой формулы необходимо исследовать нули функции L(s, х) в полосе O^o^l (o = Res). Эти нули играют здесь ту же роль, что и нули £(s) при исследовании л(х).

!) В настоящее время известны более сильные результаты (см. добавление II). — Прим. ред.

В последней формуле оценка ошибки R(x, к, Z), кроме х, зависит еще от к. Если допустить, что к и х стремятся к бесконечности, то оценить ошибку — трудная проблема. Это требует исследования нулей функций L^s, х)- когда модуль к растет. Такие исследования были начаты Ландау, Титчмаршем и Пейджем. В период с 1918 по 1935 г. ими было показано, что верхняя оценка для R(x, к, I) верна равномерно по к для к^ес^1пх и большого х при положительной константе с, если выбирать определенным образом значения к, которые не должны быть кратны зависящему от х и неизвестному точно модулю к*, причем к* > с In x/(ln In хУ.

В 1935 г. Зигель доказал теорему о нулях Л-рядов, из которой можно вывести (Вальфиш, 1936 г.), что верхняя оценка верна равномерно для всех без исключения ^^(1пх)л, где Л—любое большое постоянное, сх = сх (Л), с^ = с^ (Л). Для к > ес ^ х оценка | R(x» к, I) | < сххе^е^1пх ПрИ достаточно большом с становится сомнительной, так как тогда главный член

1 f ^ х

Ф (&) J In § ф (&) In х

2

меньше, чем оценки для ошибки R(x, к, Z). Для таких к нельзя даже считать, что л(х, к, Z) > 0, т. е. имеется по крайней мере одно простое число р ^ х, такое, что p=l (mod к). Используя результаты Линника (1943—1945 гг.) о плотности нулей L-функций, Родосскому (1949 г.) удалось доказать формулу

X

2

Здесь е(х, к, Z) стремится равномерно к нулю при х ->со для определенным образом выбранных значений к^еК W, где X (х)=с In x/ln In х. Независимо от Родосского это доказал также Хасельгров в 1951 г. Та же теорема была доказана Татудзавой (в 1950 г.) другими оригинальными методами.

Возникает вопрос, когда появляется первое простое число в арифметической прогрессии Z, 1А-к, l-V^k, ..., если 1<к и Z взаимно просто с к. В 1947 г. Линник доказал, что имеется такая независимая от к константа с, что первое простое число этой прогрессии меньше ^(^^2). Более простое доказательство той же теоремы дал Родосский в 1954 г.

При теоретико-групповом исследовании Бертран принял без доказательства, что между х и 2х (х^ 1) всегда лежит простое число. Если рп обозначает n-е простое число, то отсюда следует, что Рп*\ < ^Рп- Доказательство этого утверждения получено Чебышевым. Уже Лежандр предполагал, что для всех достаточно больших п

pn^.i — Pn^VPw Этю до сих пор не доказано, но Хохайзель в 1930 г. сумел доказать, что существует число а<1, для которого рп^х — Рп^ р“- Доказательство последнего утверждения опирается на исследования плотности нулей ^-функции, проведенные Карлсоном. Хохайзель доказал свою теорему для значения а, большего чем 1—®то значение улучшалось впоследствии Хейльбронном, Чудаковым и Ингамом. В 1937 г. Ингам получил теорему для а=5/8 и даже для несколько меньшего а. Похожие результаты можно также вывести для простых чисел в арифметической прогрессии (Татуд- зава, 1950 г.).

Для доказательства упомянутых до сих пор результатов чаще всего приходилось привлекать средства теории функций комплексного переменного. Некоторые проблемы решались, наоборот, труднее или даже вовсе не решались этими методами. Примером такой проблемы является вопрос о количестве простых близнецов р <^ х, т. е. о количестве простых чисел р <С х, для которых р + 2 также простое. Хотя до сих пор неизвестно, имеется ли бесконечно много таких близнецов, Брун в 1920 г. нашел метод (метод решета Бруна), который позволяет оценить сверху количество таких близнецов. Он показал для большого х, что при подходящем с имеется не больше, чем сх/1п2х, близнецов, меньших или равных х. Метод Бруна применим также в других числовых проблемах и дает многие интересные результаты (подробности см. в гл. V). В 1947 г. Сельберг нашел модификацию метода Бруна, которая очень изящна и дает в константах несколько лучшие результаты, чем метод Бруна.

Метод Бруна дал также первые результаты по проблеме Гольдбаха. Эта проблема состоит в том, чтобы доказать, что каждое четное число большее 4 является суммой двух нечетных простых чисел, а каждое нечетное число большее 8 — суммой трех нечетных простых чисел. Шнирельман с помощью метода Бруна доказал сначала, что числа, которые можно представить суммой двух простых чисел, имеют положительную плотность. Затем он вывел отсюда, что каждое достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы постоянного числа простых чисел. В 1922 г. Харди и Литлвуд доказали с помощью своего известного аналитического метода, что предположение Гольдбаха правильно для всех достаточно больших нечетных чисел, если функция C(s) и функция L(s, у) не имеют нулей при Res ^3/4. Еще Риман предполагал, что все нули £(s) в полуплоскости Res >0 лежат на прямой о = Res =1/2 (гипотеза Римана), а Пильц предполагал то же самое для нулей Л-функций. В 1937 г. Виноградову удалось доказать теорему Гольдбаха для нечетных чисел без недоказанных до сих пор предположений о нулях C(s)h£(s, у). Проблема Гольдбаха для четных чисел еще не решена, хотя мето-

дами Харди—Литлвуда — Виноградова можно доказать, что „почти все" четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. При этом возможно бесконечное множество исключений.

При предположении правильности гипотезы Римана можно доказать, что при некотором подходящем с для остаточного члена в теореме о простых числах верна оценка | R (х) | < с "\f х In х. Литлвуд показал в 1914 г., что при достаточно малом постоянном 6 найдется сколь угодно большое х, такое, что

л (х)—И X > 6In In In X,

v 7Inx

а, с другой стороны, найдется сколь угодно большое (отличное от предыдущего) значение х, такое, что

л (х) — И х < — 6 In In In х.х 7In х

Следовательно, R (х) при х->со не может быть величиной меньшего порядка, чем величина In In In х. Кроме того, отсюда видно, что неравенство л(х)<Их верно не для всех х, как предполагали долгое время на основании таблиц.

Общие обозначения

Через т, п обозначаются всегда, если не оговорено противное, натуральные числа, через р— простые числа. Через с, Л, В, С, К обозначаются положительные константы, причем одинаково обозначенные константы не обязательно должны иметь одно и то же значение. Иногда — но только в одном и том же параграфе — с снабжается индексами (q, q . . .). Если в некоторое равенство входят константы с, q, . ... А, то это значит, что равенство справедливо при подходящем значении этих констант. Через 8 обозначается чаще всего любое сколь угодно малое положительное число, [х] для действительного х — наибольшее целое число, не превосходящее х. Пустые суммы обозначают всегда нуль, пустые произведения — единицу. Мы пишем часто 2 вместо 2 * в суммах вида 2 . 2 , ... всегда п/2=1т<х п<х

суммирование производится от т=1 и п— 1. Через (а, Ь) обозначаем наибольший общий делитель, а через [а, &]— наименьшее общее кратное целых чисел а и Ь. Натуральный логарифм обозначается In. Далее мы полагаем 1п2 ( ) = In In ( ), In3( ) = lnlnln(

Пусть / (x) и g (x) — две функции, положительные для достаточно большого х. Если lim ~~“=1, то пишем /(х) — g (х) (х оо).

Что касается ссылок на теоремы и формулы, то, например, (5.4.1) означает „глава 5, § 4, формула (4.1)“; (7.4) означает „та же глава, § 7, формула (7.4)“; (П. 1.3)—„приложение, § 1, формула (1.3)“ и т. д.

Глава I

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Некоторые свойства простых чисел

При определении простых чисел необходимо понятие делимости целых чисел, которое предполагается известным. Натуральное число п, большее единицы, называется простым, если оно не делится ни на какое другое натуральное число, кроме единицы и самого себя. Единицу целесообразно не причислять к простым числам. Согласно этому определению ряд простых чисел начинается числами 2, 3, 5, .. . . Следующая теорема доказывается в учебниках элементарной теории чисел и поэтому мы приводим ее без доказательства:

Теорема 1.1. Каждое натуральное число п> 1 можно записать в виде

n = p"ip"2...p"r, п.>\(/=1, 2,г),

причем pt—различные простые числа, (Простые числа pL и соответствующие степени nt определяются однозначно, с точностью до порядка.}

Возникает вопрос: обрывается ли ряд простых чисел или таких чисел бесконечно много? Уже Евклид показал, что имеет место последний случай.

Теорема 1.2 ). Существует бесконечно много простых чисел.

Доказательство. Предположим противное; пусть имеется только конечное число простых чисел и они занумерованы, например, в порядке возрастания: pv р^, . . ., рТ. Число z = рхр2 . . . pr + 1 не делится ни на какое из простых чисел pv р2, . . ., рг По теореме 1.1 должно существовать по крайней мере одно простое число, на которое z делится без остатка. Но это число должно быть отличным от pv р2, ..., рг а это противоречит тому, что нет простых чисел, кроме pv р2, ..., рт. Тем самым теорема 1.2 доказана.

Второе доказательство теоремы 1.2 ). Снова предполагаем, что имеется только конечное число простых чисел pv р2, . . ., рг.

Составим следующее произведение:

Все ряды справа абсолютно сходятся; следовательно, их можно почленно перемножить, и получившийся ряд должен опять сходиться:

П(1 +—+Л+ ••■)=S4- <L2> гЛ \ Pi Pi ) п

Суммирование справа проводится по тем числам п, которые являются произведениями чисел pv р2, . . ., рт и их степеней, а также по п — 1. По теореме 1.1 каждое число п > 1 можно представить в виде произведения степеней простых чисел. Следовательно, справа в знаменателях должно появиться каждое число п, так как мы предположили, что pv р^, . . ., рт — все простые числа. Поэтому ряд, стоящий с правой стороны (1.2), должен быть рядом ^~, о котором известно, что он расходится. Мы пришли к противоречию, и наше предположение опровергнуто.

При первом доказательстве теоремы 1.2 мы только ради простоты ссылались на теорему 1.1. Легко понять, что каждое натуральное число делится по крайней мере на одно простое число. Напротив, при втором доказательстве теорема 1.1 использовалась полностью.

Спрашивается: имеется ли простая формула, по которой можно вычислять простые числа, не обращаясь к их определению? В некотором смысле это отражается следующей теоремой.

Теорема 1.3. Не существует полинома

/ W — айхП + ••• +* ап-\х + ап' U-3) где at — целые, п^Л, а0 + 0, значения которого /(т) для всех целых т=\, 2, 3, . .. являются простыми числами.

Доказательство. Очевидно, что |/(м0) | > 1 для достаточно большого п0. Возьмем простое число р, на которое делится / (п0), и рассмотрим следующее равенство:

/(«о 4-^Р) = /(«о) +Wi(«o> Р- 0-4)

Число /1(^о» Р' k) ПРИ этом Целое, и все три числа (1.4) делятся на р для всех & = 1, 2, 3, . . . . Так как для достаточно большого к число |/(^о + ^Р)| больше р и кратно р, то оно либо кратно р2, либо, кроме р, содержит еще и другие простые множители. Тем самым теорема доказана.

Уже теорема 1.3 показывает, что простые числа распределены в некотором смысле неравномерно. Имеет место

Теорема 1.4. В последовательности натуральных чисел имеются сколь угодно большие пробелы, не содержащие простых чисел» т. е. существуют цепочки любой длины из следующих друг за другом составных чисел.

Доказательство. Действительно, последовательность

п! + 2, /114-3/г!4-/г(1.5)

содержит только составные числа и для достаточно большого п становится как угодно длинной.

Позднее (гл. V и IX) мы познакомимся с многочисленными теоремами о расстояниях между последовательными простыми числами.

Приведем еще следующую теорему Серпинского [3].

Теорема. Пусть

« = J Л10-2"п=Л

где через рп обозначено п-е простое число. Тогда

р„ = [102 а] —IO2 [102а].

Доказательство. Действительно

[102 а] = 102 2А + • • • + Az+IlAz+iI0-2 + ... + Аг+;40~2

Ю2”"' [102” ‘а] = 102" ' (102" 1-2/>! + .. .pn_x +

+ [aJO-2 +РЛ+110-2'3+

Мы покажем ниже (теорема 2.1), что рп <3Л+1. Пользуясь этим, легко подсчитать, что числа в квадратных скобках меньше 1, откуда уже следует утверждение теоремы.

Доказанное соотношение дает простую формулу для нахождения л-го простого числа. Однако эта формула не годится для вычислений, так как, чтобы найти нужное количество десятичных знаков числа а, требуется знать достаточно много простых чисел.

Простейшие оценки л(х)

Обозначим через л(х), х > 0, количество простых чисел, не превосходящих х. Например, л(1) = 0, л(2)=1, л(3) = 2, л (И) = 5 и т. д. В § 1 было доказано, что л(х) стремится к бесконечности при х->оо. Теперь мы дадим простые оценки характера стремления л(х) к бесконечности.

Теорема 2.1. Для п-го простого числа рп при любых х^1э п ^ 1 имеют место неравенства

л(х)>1пх— 1, рп < еп'н < З^1.(2.1)

Доказательство. Аналогично тому, как это было сделано в (1.1) и (1.2), имеем

П(>4Г-2'^ м

р<х

причем штрих в 5 означает, что суммирование проводится только по тем п, простые множители которых не превосходят х. В частности,

п<х 1

С другой стороны, очевидно, что .л(х)+1,

П (- -I) < II (*ЧГ ^t^'^H+l. <2.4)

р^хк=2

так как для m-го простого числа

_1—

Pmm + 1

Из (2.2) — (2.4) следует утверждение теоремы !), если воспользоваться еще тем, что п^р^ = п.

Теорема 2.2 ). Ряд

<=■=)

р

где р пробегает все простые числа, расходится.

Доказательство. После логарифмирования формул (2.2) и (2.3) получаем

1п(1 — j)"1 > In In х (х>1).(2.6)

Р<Х

Далее

Ч1 ~=™'"О — ^)=Ч + 1Ч+ ''' <

<} + у+-=7 + 7(?1=1У <2'7>

и поэтому из (2.6) следует

^ ^> In !пх —^> 1Шпх —^ТГ^ЧУ

p<xP<xn=2

Отсюда при x->oo получается утверждение теоремы.

]) Согласно нашим обозначениям оба последних произведения равны 1, если 1 <; х < 2.

Обе последние теоремы показывают, что в некотором смысле имеется „много" простых чисел. Теперь мы получим для тс(х) оценку сверху.

Теорема 2.3). Имеет место соотношение

Иш (л(х)/.х) = 0.(2.8)

х->со

Доказательство. Для доказательства теоремы применим ре

шето Эратосфена, позволяющее найти все простые числа ^х, если уже известны простые числа ^ Ух . Пусть х^>4 и pv р^ .. ., рг— все простые числа <^]/х. Если вычеркнуть из ряда натуральных

чисел <х сначала кратные pv из оставшихся чисел — кратные р2 и т. д. до рг то останутся, кроме числа 1, те простые числа р, для которых Ух < р^.х, так как всякое другое число ^х делится по крайней мере на одно р <^Ух . Мы утверждаем теперь, что количество невычеркнутых чисел 1+л(х)— л(]/х) равно следующему выражению:

• +(-1)г• +(-1)г(2.9)(2.9)

• +(-1)г

• +(-1)г

(2.9)

(2.9)

Действительно, количество чисел, не превосходящих х и кратных р(1 равно j^-^-j. Если вычесть это количество из [х] для всех Z = 1, .... г,

то для чисел, которые делятся на pt и рк, вычитаются две единицы вместо одной. Если присоединить теперь 1 для каждого числа, кото-

[

х 1

. Это делается

для всех комбинаций I, к, 1 <3 < к^г. Но при этом опять прибавили слишком много, так как, например, для числа p^p^Pz сначала единица трижды вычиталась, а затем опять трижды прибавилась

что для этого числа из [х] вообще ничего не вычиталось. Продолжая таким образом, доходим наконец до последнего члена (2.9); если некоторое число ^х делится точно на 5 чисел из pv ..., рт, то из [х] в (2.9) оно вычитается в совокупности

s —ti+ ... +(— l/"^^! — (1—l)s=l(2.10)

раз.

Выражение (2.9) содержит всего

1 -}- г + Ст -4- ... ~|- Стт = 2Г

членов. Если опустить квадратные скобки в формуле (2.9), то от каждой скобки возникает ошибка самое большее в единицу, и ошибка во всем выражении будет не больше 2Г. Следовательно, согласно (2.2) и (2.3),

здесь |/?|<;2г и г = п(угх) < З^х . Однако формула (2.11) не годится для оценки л(х) сверху, так как 2^ ^ х и ошибка R может стать такой большой, что мы не получим из (2.11) даже тривиального неравенства л,(х)<х. Лучшую оценку получают следующим образом. Если в прежнем рассуждении заменить ]/х на и, где 2 ^ и ^ ]/ х, и pv . . ., рг на совокупность простых чисел ^ и, то формула (2.9) дает число чисел ^ х. которые не делятся ни на какое р ^и. Это число очевидно не меньше чем л(х)— л(^). Отсюда следует оценка, аналогичная (2.11):

(2.12)

л(х)<м + -п^- + 2“.(2.13)

Теперь можно выбрать и так, чтобы 2“ < -^^ . Положим я = а1пх, 1 а <; тогда получим

л(х) < а In л: —|— -т—f—|-ха1п2(2.14)

4 71 In In х 4-In а 1v 7

для достаточно большого х. Если 44— положительная константа > 3, то для достаточно большого х имеет место неравенство

так как при х —>оо

1т (У f 1 In In х / In In х 4-In a f 3 f 1’

liml 4 ci —Aa In2| = oo (если a In 2 < 1)( 3 1 In In x! ( v7

и

—/alnx> = oo.

( 3 1 In In x / j

Отсюда следует утверждение теоремы 2.3.

Определим теперь часто применяемые символы о, О. Пусть f (х), g(x)— две функции, которые определены для достаточно большого положительного х, причем / (х)— любая комплекснозначная функция, а ^(х)—положительная для достаточно больших х. Тогда соотношения

/СО-О^х)),_

,, ./ / w(2.16)

соответственно / (х) = о (g (х)) при х->со,

означают, что для достаточно больших х имеем

| / (х) | <; Ag (х) при подходящем Л > О, |/(х)| а(2.17)

соответственно - ; < ■—>0 при х->оо. 4

Аналогично можно определить соотношения / (х) = О (g (х)), /(х) = = o(g(x)) при х->4“0, если предполагать g(x) положительной для достаточно малых положительных х.

Чаще всего мы будем опускать условия „х->со“, „х->-]-0“, если из текста однозначно вытекает, что имеется в виду.

Основное содержание теорем 2.1—2.3 может быть выражено теперь так:

—U- = o(t-^-L У-*0(1). л^ = о(т4— 1 (х-*оо).

л (х)\ In х / Р\ In In X / х 7

р<Х

Заметим, что равенство /(х) = О (g (х)) надо читать слева направо. Например, 0(х) = 0(х2) при х->оо, но не 0(х2) = 0(х).

Мы будем применять эти символы также и в случае, когда / и g определены только для целых х или когда / и g определены для достаточно больших целых х, и будем писать тогда О (п), О ^) и т. д. Иногда мы будем указывать определенную область значений х, для которых верно первое неравенство (2,17). Так, например, —— — 0(1) 2^х<оо, означает, что в этой области остается ограниченным. Константа А в условии (2.17) не зависит от того,

какое х берется из этой области. В равенстве

1+2++я=у/1+О(/г) (и->со)(2.18)

первый член правой части — главный- член, а второй член — остаток, который должен быть малым по сравнению с главным членом. Не имело бы смысла писать, например, равенство

1 +2+ ... +п = -|п2 + О(п2) (n-*co),

так как ~ п?4- О (п2) = О (п2) при п->оо, в то время как фор

мула (2.18) показывает больше, чем 1+2 + . .. -\-n = O(n2).

Теперь ясно, что значит, например, соотношение

Vr^oM—при х->1—0.

Xd \ 1 — х)1

п

§ 3. Истинный порядок л(х)

Мы нс знаем простых явных формул, которые позволяли бы по заданному х вычислять л (я). Поэтому естественно искать простые функции, которые возможно лучше приближают л(х). Мы покажем теперь, что в некотором смысле х/1пх — именно такая функция. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

0(x)=:Slni + >0),(3.1)

Р<Х введенную Чебышевым. Оказывается, что эту сумму легче оценить, чем л(х) = 2 * 1- Позднее по поведению этой суммы мы будем судить о поведении л(х\ Разумеется, чем больше простых чисел, не превосходящих х, тем больше сумма (3.1)

Теорема 3.1 4 Имеют место соотношения

с^х < 0 (х) < с3х, 0 < с2 < с3 (х ^ 2),(3.2)

V + = In X + 0(1) +>1).(3.3)

Р<х

Доказательство. Докажем сначала равенство2)

«! = ЦА. ^ = 2 Ш’ ">L (ЗЛ)

Р<п1L"

О Чебышев [1], [2], Мертенс [1], Шапиро [1]. Для х < 2, 0(х) = О и поэтому левая часть неравенства (3.2) неверна.

Действительно, в последовательности 1, 2, 3, ..., п имеется всего \п[р\ чисел, которые делятся на р. Из них V^Ip4 делятся на р\ из них опять VMP3\ делятся на р3 и т. д. Сумма всех этих величин равна степени, в которой р входит в пЛ.

Пусть теперь п ^ 2. Логарифмируя равенство (3.4) и принимая во внимание, что

In/г! = п 1п/г + О (п) (п^2),(3.5)

получим

S [?] ln р + S [^] 1п ^ + • • • = «1п « + О («)• (3.6) р<ПР<П

Число к сумм слева есть наибольшее целое число g, для которого п^5^!. Следовательно, к — [In /г/1п 2]. Тогда

21п/?(Ш+1Я+ ---Н р<П

^inp(-L+-^+ ...) = ȣ 7(^17<

Р<ПР<п

.VI In mгл / х

< n Zj m (m - 1) ~ 0 W* (3-7>

m=2

так как последний ряд сходится (для достаточно большого ш общий

член ряда меньше tnr^Y Из (3.6) и (3.7) следует, что

In р = п In п-\- О (п).In р = п In п-\- О (п).(3.8)(3.8)VI Г ^ 1

In р = п In п-\- О (п).

In р = п In п-\- О (п).

(3.8)

(3.8)

■^ 171

Р<п

Если воспользоваться этим равенством для п и для 2/г, то получим

(3.9)(3.9)У ( Г 211 _ 2 Г-1 bn Р = о (п),

(3.9)

(3.9)

\L р J LpJ/ 1 v 7

р<2п

поскольку при р > пХ^пД п Г п 1. — 2 — = 1; дляLpJ LpJпоскольку при р > пХ^пД п Г п 1. — 2 — = 1; дляLpJ LpJ— всегда равно 0. Для п < р ^2п имеем

поскольку при р > п

Х^пД п Г п 1.

— 2 — = 1; для

LpJ LpJ

поскольку при р > п

Х^пД п Г п 1.

— 2 — = 1; для

LpJ LpJ

других р это выражение во всяком случае

неотрицательно, так как [2а] — 2 [а] ^ 0, какое бы ни было а^О.

Следовательно, из (3.9), опуская слева члены с р < п, получим

(3.10)(3.10)2 In р = 6 (2/г) — 6 (/г) < с^п. п<р<2п

(3.10)

(3.10)

При п — [х], х ^- 2, отсюда следует, что 0 (2х) — 0 (х) = 6 ([2х]) — 9 ([х]) =

= 9([2х])- е(2[х|) + 9(2[х])- 6([х]) =

= О(1п[2х]) + О([х])<с5х. (3.11)

так как In [2х] ^ 1п2х < х при х ^ 2. Это же неравенство, возможно

с другой константой с^ справедливо и при 0 < х < 2. Теперь, если

к = [in x/ln 2] 4- 1, то

V хV х(3-12)(3-12)к

V х

V х

(3-12)

(3-12)

9(x) = У(е(-^т') —0(4П<^

4 7 АМ 1 I oi —1 /\ 9* / I 5

Z-1 ' ' '' '

Таким образом, первая часть неравенства (3.2) доказана.

Если в (3.8) опустить квадратные скобки, то ошибка, получившаяся от каждой скобки, не превзойдет единицы. Поэтому верно следующее соотношение:

^ ~ In р 4 О ( ^ In /Л = п In п 4- О (п) (я > 2).(3.13)

р<П\Р<П /

Отсюда и из (3.12) после деления на п получаем

^-^4-O(l) = ln« + O(l) (n>\Y(3.14)

P<ti

Теперь равенство (3.3) также доказано, так как 1пх— In п = 0(1) при п = [х! и х^>1. Теперь докажем вторую часть (3.2). Для этого воспользуемся равенством (3.3). Из него для 0 < а < 1 следует, что 2 -^-tH^ + OW (*-*~).(3-15)

ах<р<х

причем константа в 0(1) не зависит от а.

Может случиться, что константа Л из (2.17), появляющаяся при определении О ( ), зависит от некоторых параметров. Так, например, при х->со мы могли бы вместо (3.15) написать ^ 12^-= 0(1), но тогда нужно ах<р^х

было бы добавить, что константа в 0(1) зависит от а. Чаще всего из текста будет понятно, от каких параметров зависит константа в О (1).

Согласно (3.12) 0(ах)/ах = 0(1). Следовательно, при х^1 имеем

S 2

ах<р<хах<р<х

=4{6(х)-е(ох)Н4г- + О(1) (*-*^)> (3-16)

Причем опять константа в 0(1) не зависит от а. Из (3.15) и (3.16) получаем

(3.17)(3.17)0(х) > ах|1п-~-+^(1)} (х->оо).

(3.17)

(3.17)

Выберем а, которое до сих пор не фиксировалось, настолько малым, чтобы выражение в фигурной скобке в (3.17) было положительно). Теперь неравенство (3.2) доказано для достаточно большого х. Отсюда следует, что оно верно для всех х ^> 2).

С помощью неравенства (3.2) мы докажем теперь следующее утверждение:

Теорема 3.2. При х^2 имеют место неравенства

»<=.<=,■(3.18)

Доказательство. Действительно,

(л(х)— л(]/х)} 1п]/х < 0 (x)<i л (х) In х. (3.19)

Правая часть этого неравенства следует сейчас же из определения 0(х). Левая часть неравенства следует из того, что

2 In Р ^2 In р > In ]/х21-

р<хV"x<p<JCV"x<p<JC

Так как л (Ух) = О (Ух), из (3.19) заключаем, что

уЛ(х) + О(/х)<-^-<Л(Х).

Отсюда, учитывая (3.2), получаем утверждение теоремы, поскольку, например, из правой части (3.2) следует, что

1 л (х) + О (У х) < с3,

т. е.

л (х) < 2с3 -т^—|- О (Ух) < сл -Л— *d In х 17' In X

Теорема 3.3. Пусть рп есть п-е простое число, п^^. Тогда с%п\пп < рп<с^г\пп, 0 < с8 < с9.(3.20)

Доказательство. Из неравенства (3.18) при х — рп следует, что

(3.22)

7 In4'

Из (3.21) получаем 1прп4"^пг6— InInрп < Inп. Следовательно, для достаточно большого п

—- In рп < Inn.(3.23)

Действительно, так как рп->со, то для достаточно большого п выполнено неравенство

у10 Рп < In^ + Inp,, — Inln^.

Из неравенств (3.21) и (3.23) следует правая часть (3.20). Левая часть получается из (3.22) и из неравенства

Inрп > Inn.

Суммы и произведения по простым числам

Применим теперь полученные оценки к исследованию некоторых сумм и произведений по простым числам.

Теорема 4.1. При х—>оо имеют место соотношения

V — = In 1пх + ^ +О Vр11\ In х)

-1(4.1)

IK1-^) =51пх + 0(1).

Здесь а и В— некоторые константы, причем В *> I Доказательство. Пусть х^З. Очевидно, что

S

_L— V In Р 1 рр in р *

р<хр<Х

Положим теперь в теореме П. 1.41) Хп = рп (^ = 2) ап = ^Рп!Рп- 8(Х)=

Тогда А (х) становится суммой из (3.3) и мы получаем

^^Ilnx + OdD^+JllnJ + Od))^.(4.2)

р<х2

Поскольку J -^ ^~ сходится, 2

Р<‘)А=(ьП0<1)^=

2^2 х /

——,(4.3)

Где Л1 — константа, знак которой пока не определен. Из (4.2), (4.3) следует первая часть (4.1) при а = ^1-|-1—In In 2. Далее,

П(1-7Г = "р1;(7+2^+<4-4>

Р<ХР<х

так как 2 п^^=^г1 имеем п> m

— Сю+О/ 2 „(„ "^ — СюН"0^)- \П> X/

При с > 0, 0^г«<;1/2 имеет место неравенство

^° = 1 -|- си + jp (си)2 + . .. < 1 -^си {1 -Vcu-\-(cu)2 -\- . ..}.

Положим здесь и—ЦХпх, а с равным константе в 0(1/1пх). Тогда мы получим

ехр О (1 /1п х) = 1 + О (1 /1п х)

для 1пх^2г. Для ‘Z^x^e20 это соотношение очевидно и, следовательно, имеет место при х ^ 2.

Теперь, исходя из (4.4) и уже доказанной части теоремы (4.1), мы получаем

П (1 —^ =ехр{1п1пх + а + с10+О(1/1пх)) =

Р<х

= В In х {1 + О (1/1п х)}, В = ехр (я + г10) > 0.(4.5)

Этим теорема (4.1) полностью доказана. Константы а и В будут определены в гл. 3, § 5. Из формул (2.2) и (2.3) сразу следует, что В > 1.

Теорема 4.2. При постоянном а>— 1 имеют место неравенства у1+01г1+а

Св-Т7<^^<4-6>

Р<х

причем сп и с12 зависят от а.

Доказательство. Мы докажем сначала правую часть неравенства. При а ^> 0 она следует из (3.18), если учесть, что сумма содержит л(х) членов, которые все не больше ха. Пусть теперь 0<р< 1. Согласно (3.18) и (3.20),

2 р-»= 2 р^^

2<р<х1<рп<х

(4.7)(4.8)(4.7)(4.8)(4.9)(4.9)^2 (c8n In »)-р <;2(c8nlnn)~₽.

(4.7)

(4.8)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.9)

2<^^^2< п^с^Хах

Из (П. 1.8) следует

V (я In п)~,э = О f f —^-д ^ .

Мы имеем

_ Р' = о f

(1—₽)Щ/ (l-P)ln^ 2\1пМ'

Ввиду того чтоВвиду того чтов (4.8)!) справедлива та же самая оценка, так какв (4.8)!) справедлива та же самая оценка, так как0(1 — 0) In £0(1 — 0) In £1 — 0/(1 — 0) In i > ~ при £ > х0, для интеграла

Ввиду того что

Ввиду того что

в (4.8)!) справедлива та же самая оценка, так как

в (4.8)!) справедлива та же самая оценка, так как

0

(1 — 0) In £

0

(1 — 0) In £

Если в этой оценке заменить х на с7х/1пх, то правая часть неравенства (4.6) получается из (4.7) также и для — 1 < а < 0.

Теперь докажем левую часть (4.6). Для а^>0 при любом е>0

и х>х0(е) имеем, согласно (3.18),

^Р"> s Р“>^Р"> s Р“>{Л (х) — Л (ех)} (ех)а{Л (х) — Л (ех)} (ех)аР<хР<хгх<р<хгх<р<х8®Х^ f ——5— \ In X8®Х^ f ——5— \ In X£С7In ex£С7In ex>с(е)>с(е)хНа1пх *хНа1пх *

^Р"> s Р“>

^Р"> s Р“>

{Л (х) — Л (ех)} (ех)а

{Л (х) — Л (ех)} (ех)а

Р<х

Р<х

гх<р<х

гх<р<х

8®Х^ f ——5— \ In X

8®Х^ f ——5— \ In X

£С7

In ex

£С7

In ex

>с(е)

>с(е)

хНа

1пх *

хНа

1пх *

0 Интеграл можно оценить несколько проще:

j (£6/lnp£)£~$+6)tZ£<x6/to^^(р+б)^,

XqXq

где 04-5 < 1, д > 0, и ^/in^g при |> х0 монотонно возрастает.

причем с(е) — положительная константа, которая может зависеть от а (е предполагается настолько малым, что 16—17е > 0). Далее при 1>Р>0 в силу (3.18) получаем

х^ > 6 1пх * v • /

Этим неравенство (4.6) полностью доказано.

Теорема 3.2 наводит на вопрос, существует ли предел л(х)1пх/х при х —> со* Существование этого предела — центральная часть теоремы о простых числах, которую, однако, мы сможем доказать лишь позднее.

Теорема 4.3. Если

.. л (х) 1пх1

a — hm —— (4.11)

А->оо Х

существует^ то а должно быть равно I.

Доказательство. Соотношение (4.П) можно записать так:

—<4Л2>

Используя теорему П. 1.4, отсюда получим

27=^4-/ ^^ = тнт + °Ш +

р<х2

+1 {т^+^уЬ') W = a!nlnx + °(lnlnx^ <*->оо)- (4ЛЗ)

По определению о( ) для любого е>0 величина о(1/£1п£) не превосходит 8,^ In £ при £ > х (е). Следовательно,

= с (е) -+ 8 In In х < 2е In In x (x > xx (e)), и интеграл слева есть о (In In х) при х—>оо. Сравнивая (4.13) с (4.1), получим а = 1.

Различные применения

Обозначим через ф(п) функцию Эйлера, т. е. количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п. Известно, что

Ф(/г) = «П(1 — j).(5.1)

PYn

где запись р\п означает, что р —-делитель числа п. Множитель \ — \)р тем меньше, чем меньше р. Следовательно, это произведение мало, если п имеет много маленьких простых делителей. Очевидно, что ^(jT)^,n (п^ 1).

Теорема 5.1 ]). Имеет место неравенство

ф(/г)ф(/г)п^13 In In пп^13 In In п(5.2)(5.2)

ф(/г)

ф(/г)

п

^13 In In п

п

^13 In In п

(5.2)

(5.2)

Доказательство. Пусть -о(п)— количество различных простых делителей п, a pt есть Z-й простой делитель. Так как В1пх-|- + о (In х) < с In х при х'^2 и достаточно большом с > 0, то, согласно (4.1), имеем

ТТ(1—П (1_1\>с^—. (5.3)

11 \ Р) И\ Р; И \ Р и^РТ<П)

С другой стороны, в силу (3.2)

«>Пр>Прг = П р>с5-4)

PM z-ip<pp(n)

ln«> 2 1пР = 6(РУ(„))>с2РС1п).(5.5)

Поэтому In р ^ < ^15 In In /г, и утверждение теоремы следует из (5.3).

Обозначим через d (п) число положительных делителей числа п (причем 1 и само п также считаются). Очевидно, d(p) = 2 и всегда d (п) > 2. Если п = р^х . .. р^Т, то

(л) — (jtx -|~ 1) (^2 Ч~ О • • • Оч Ч~ О»(5-6)

поскольку для кратности pt в каком-нибудь делителе п имеется п^Х возможность: 0, 1, 2, . . ., nv

Неравенство d(n)^n тривиально. Несколько лучше оценка d (н) ^ 2 Уп. Действительно для п — dxd<2 или dy^y^n или d2 <^ Уп* Докажем теперь более точное утверждение.

Теорема 5.23) Для каждого е>0 и 1г>п0(г)

^ (^) < exp < (1 + е) In 2^ (^) < exp < (1 + е) In 2In пIn In пIn пIn In п(5.7)(5.7)

^ (^) < exp < (1 + е) In 2

^ (^) < exp < (1 + е) In 2

In п

In In п

In п

In In п

(5.7)

(5.7)

Ландау [2].

При п = 2 неравенство (5.2) тривиально, так как In in л < 0.

Доказательство. Пусть п = Ц р р > 3. Возьмем любое р\ п

а > 1 и образуем число

In п-па 1п 2

й(/г)2~“=П(яр+1)р "р inin» =

р м

= П • П -Р1'Р2- (5.8)

РIПр\п

причем 0 < т| < 1. Если т| = г) (а) выбрать настолько малым, чтобы (1 — Л)а стало больше единицы, то для любого р из произведения Р2 получим

In2-П- )1п2

(«р _|_ 1) р'ПРа In in П < ^Пр _|_ 1) (1п „) ( ” V 1П 1П П —

= (ПР+ 1) 2~пр(1-11) “<(«,,+ 1) 2"”р < 1.

Следовательно, Р2 < 1 • Число множителей в Рх не больше чем

/ 1-^ \In1-11 п

Л (1П 1< Сп -7—:,

х /7 (1 —тр In In Л

а каждый множитель не превосходит величины

„ 1п2_ ,п2

(«р_]_1)2 V min" <пр2 "р" *n‘"" + 1.

Теперь легко проверить, что функция

/© = ^2-^

при постоянном b > 0 имеет максимум 1/^^1п2. Следовательно, каждый множитель РА не больше чем 1п + 1. Отсюда для до-

еа In22 1

статочно большого п получаем неравенство

In1- Л п

P^^elnln^^d-^mmn = 2о(1п ”л) (й^оо) (5.9)

с константой с16, зависящей от а. Для достаточно большого п из (5.8), (5.9) и неравенства Р2^1 следует утверждение теоремы, если положить a = 1 + е.

Можно доказать р, что оценку (5.7) нельзя существенно улучшить, т. е. имеется бесконечно много п, для которых

6/(72)6/(72)(5.10)(5.10)> exp < (1 — е) In 2 -.—;>.

6/(72)

6/(72)

(5.10)

(5.10)

г (7 In In п )

р Виман [1], Рамануджан [1].

Но в среднем при п ^ х, где х —- достаточно большое число, d (п) гораздо меньше и имеет порядок In х. Более точно это замечание формулируется так:

Теорема 5.3 !). Имеет место равенство

5 d (п) = х In х + О ^х) (х 1).(5.11)

п < X

Доказательство. Имеем

2>^2 2>-^Ш-1^+°<»}. п<хп<х т\п т<хт<х

так как £-^ =^1. Отсюда, если воспользоваться тем, что

т \п, п^х

5 Д- = 1пхН-О(1),(5.12)

к

следует утверждение (5.11).

Можно легко показать, что

2 d (п) = х In х + (2у — 1) х + О (Ух ), п<х

где у — постоянная Эйлера (гл. I, задача 17). В уточнении остаточного члена этой формулы состоит проблема делителей Дирихле.

Формула (5.11) означает, что 2 d(n) ведет себя так, как 1пх,п<х

умноженный на число слагаемых в сумме. Если образовать сумму

2 d(n), то, применяя неравенство Шварца (ПЛ2.3), получим

J 2 1 -dwV < 2 12 2 М \пСх) п^х II <х

Из (5.11) следует, что

^ d2(n)>cnx\n2x (х>2).(5.13)

п<х

Относительно большую часть суммы (5.13) составляют большие значения d (пу так как они там возводятся в квадрат. Можно доказать2), что

2 d2 (п) ~ с18х In3 х,(5.14)

п<х

х->оо, е18>0 (см. гл, III, задачу 7), Получим теперь оценку сверху для 2 d2(ny

!) Дирихле [2].

ТеоремаТеорема.4. Имеет место неравенство

Теорема

Теорема

(5.15)(5.15)2 ^2 00 < ^19а; In3 х ^х^ 2).

(5.15)

(5.15)

11<,Х

Доказательство. При х^>2 имеем

2 <14^= 2 d^ ^ 1= 2 2 dW== ц<хп<.хт\пт^х п<х,т\п

= ^ {d(/») + d(2m)+ ... +d([-^-]m)}.(5.16)

т<.х

Далее из формулы (5.6) следует общее для всех натуральных чисел а, b неравенстве)

d(a.b)<d(a)d(b).(5.17)

Следовательно,

d (т) + . .. + d ( ^—-^j т^ d (т) ^ d (&),

к ^х/т

и по теореме 5.3 получаем

2 d(k) -^с^хХ^^х (х ^ 1).(5.18)

к<х

Следовательно, при х ^ 2, 1 ^ т ^ х

< с2о — In 2 — < с21 — 1пх.

\ zuтт

k^x/m

причем c2i не зависит от т. Согласно (5.16),

2 d2{ri) < с21х In х(5-19)

п<хт<х

Если мы покажем еще, что

^- = I In2 X + О (In X) (х > 2),(5.20)

п<х

то неравенство (5.15) будет доказано. Для доказательства соотношения (5.20) положим в теореме П. 1.4 ап = d (n)t g(x)==l/x, *кп = п. Пользуясь (5.11), получим

2 Д^Д = 1пх + О(1)+J (Цп^ + О®)-|г = п<х1

= Jln^dln^ + OM ^-1,

1/

из чего уже следует (5.20).

Мы уже доказали в теореме 4.1, что

Д(!—у) = В In х + о (In х) (В>0).

Р<Х

Отсюда можно судить о величине JJ^+yj- Докажем более

Р<х общую теорему

Теорема 5.5. Пусть s — произвольное целое число и М — произвольное конечное множество простых чисел, больших | s |. Тогда имеют место неравенства

р Мрем

П(‘-|)"<^П(>ЧГ-<5-22>

ремрем

IlЖ1+^'- <ыз)

ремрем

IH'+D' с^ПОЧГ’ <“4>

ремр^м

причем константы с зависят только от s, но не от выбора множества Л4.

Доказательство. Неравенство (5.21) следует из неравенства Бернулли

Чтобы доказать (5.22), заметим сначала, что, поскольку | Ср5, | ^| s |”, p^|s|+L по формуле бинома имеем

(1 __ А V = 1 — - । 6 (s’ ^

\ р)р2 9

где

16 (s, р^) || Cs ~С$-\... | ^

<|5|2(14-^+-^А+...)<|.9|2(|5|+1) = с(5).

Отсюда следует, что

nO^H'Sr^nos+W--^

р £ мрем

«nt1 ^^i+o}.

рем

так как |1—~| <4$|4-1 при p^|s|+l. Кроме того, имеет место неравенство

Д (1+£№<1^)<Д(1+£<й1Ь!+0)<оо. (5.25) р^Мл-1

и, таким образом, (5.22) доказано. Неравенства (5.23) и (5.24) легко следуют из следующих двух неравенств:

П (1-^)0-Р^мП(‘-^)> П (1-»>П(-р^М2С/?<оол = 21 -3П (1-^)0-Р^мП(‘-^)> П (1-»>П(-р^М2С/?<оол = 21 -32-42-42-2 ‘ 3 3’ * ' '2-2 ‘ 3 3’ * ' '- 2 *- 2 *(5.26)(5.26)

П (1-^)0-

Р^м

П(‘-^)> П (1-»>П(-

р^М2С/?<оол = 2

1 -3

П (1-^)0-

Р^м

П(‘-^)> П (1-»>П(-

р^М2С/?<оол = 2

1 -3

2-4

2-4

2-2 ‘ 3 3’ * ' '

2-2 ‘ 3 3’ * ' '

- 2 *

- 2 *

(5.26)

(5.26)

Следствия. Пусть х^2. Имеем из (5.23)

По теореме 4.1 из (5.21) при $ = — 2 получаем

nt1 +|)<с1п2х-

Р<х

Кроме того, из теоремы 4.1 и (5.21) следует

V р ) 1п2х ’

2 < р< х И

ПЬуГ <-П(1 4- —•) для целого п ^> 1. /И пр \п

Здесь с > 0 и не обязательно одно и то же во всех этих неравенствах.

Задачи к главе I

Из первого доказательства теоремы 1.2 вывести, что рл+1 < 2 , и отсюда для больших х показать, что л (х) > a In In х при а < 1 /1п 2.

пЛ

Пусть Fn = T +1. л=1, 2 ... Доказать, что (Рп, Fm)=l при п^т. Это дает третье доказательство теоремы 1.2 ^

9 Пойя, Сеге [1]»

Пользуясь доказательством теоремы 1.4, показать, что для всякого как угодно большого х при подходящем с > 0 всегда имеется больше чем clnx/lnlnx последовательных составных чисел, не превосходящих х.

При достаточно большом А и достаточно большом х между х и Ах лежит по крайней мере одно простое число. (Следует воспользоваться (3.18).)

Для любого малого е > 0 имеется бесконечно много пар простых чисел рп, pnW таких, что рп+1< (1 + е) рп.

Пусть dx=px и dn = Pn — Рп_х при п>\.

Показать, что при подходящем с (для достаточно большого х)

сх < 2 dn^,x.Рп<х

В задаче 3 можно заменить lnx/lnlnx на 1пх (см. задачу 6).

При подходящем ^ > 0, с2 > 0 неравенство рп+х — Рп^ fJnРп выполняется более чем для ^Дп х простых чисел р№ ^ х. Указание; из задачи 6 следует, что

рп<х’ dn>c^xрп<х’ dn>c^xхclnx *хclnx *

рп<х’ dn>c^x

рп<х’ dn>c^x

х

clnx *

х

clnx *

Пусть V (х)— наименьшее общее кратное всех чисел ^х. Показать, что

ес^ <;¥ (х) < ес^х. 0 < ^ < с^.

1< с (б)^l+б ^б1пх1< с (б)^l+б ^б1пхДоказать, что

1< с (б)

^l+б ^б1пх

1< с (б)

^l+б ^б1пх

при постоянном д > 0.

И. Доказать, что ряд

5!—

р (In In р)а сходится при а> 1 и расходится при а^1.

Пусть ф(х) =2SIn р, где суммирование проводится по рт<х

всем р и всем т, таким, что рт^х. Тогда

ф (х) — 0 (х) + 0 (х 2 ) -(- 0 (х 3 ) +

причем ряд обрывается самое большее на [1пх/1п2] члене.

Если ф(х) определено как и в задаче 12, то справедливо следующее t равенство:

In п! = ф (п) + ф (у п\ + ф fy /г) + ....

Докажите, что ф (/г) < 2лг (см. задачу 12) и что

ф (х) — ф ^ х) + ф ^у х) — .. . = х In 2 4- О (In х) ^следует воспользоваться тем, что левая часть равна 1п[х]1— — 21п^хр, и формулой Стирлинга).

Доказать, что

0(х)— б^^)""^^ х)— * * * = х In 2 +О (/х).

Докажите, что для каждого простого числа р имеются числа т, со следующим свойством: не существует ни для какого натурального числа п точной степени рт, которая делила бы /г!.

Доказать равенство

у 41=2 у 41-[/х]2

пг < агm<Vx

и показать, что

2 d (п) = х In х + (2у — 1) х + О (у^х), п < X

где у — постоянная Эйлера = Пт (1 + 1 + ... + -Inп\.

Пусть -и(п) — число различных простых делителей п. Докажите, что

X ^ (/г) = х In In х 4 ° (х In In х).

п <х

(Продолжение.) Докажите, что

5 -и2(/г) = х(1п1пх)2 + О(х Inlnx).

п < X

20]). Из задач 18 и 19 вывести формулу

2 {^ 00 — In In ^}2 = О (х In In х)

п < X

и отсюда получить, что

2' 1 = О {х (In In х)1”2^} = о (х), п <х

где 2 означает, что суммирование проводится по тем п, для ко

торыхторых| v (/г) — In In п | > (In In /г/,| v (/г) — In In п | > (In In /г/,J_2J_2<b< 1.<b< 1.

торых

торых

| v (/г) — In In п | > (In In /г/,

| v (/г) — In In п | > (In In /г/,

J_2

J_2

<b< 1.

<b< 1.

0 Туран [1].

Глава II

МЕТОДЫ РЕШЕТА

§ L Обозначения

В этой главе будут употребляться следующие обозначения: х— достаточно большое положительное число, 8— сколь угодно малое положительное число; I, j, к, I, т, п, г, s— натуральные числа, р, q— простые числа. N (г; В) — число тех чисел z, которые удовлетворяют условию В; u(n) = N(p; р\п)— число различных простых делителей п. Положительные константы cv с2 . . . мы будем чаще всего перенумеровывать только внутри параграфа. Там, где значение констант не очень важно, мы будем употреблять буквы с, С, Л, В. Таким образом, эти константы не всегда имеют одно и то же значение.

p-функция Мёбиуса

При доказательстве теоремы 1.2.3 применялся так называемый метод решета. Из чисел п ^ х вычеркивают определенные числа и пытаются оценить сверху число остающихся чисел. Число остающихся чисел 1+л(Х) — л(]/х) задавалось выражением (1.2.9). Мы можем записать это выражение несколько проще с помощью р-функции Мёбиуса. Функция Мёбиуса р определяется следующим образом:

Г 0, если п делится на т2 для какого-нибудь т> 1,

2(2Л)

I (—1) v , если п не делится на т2- при m> 1,-

в частности, р(1)= 1. Тогда (1.2.9) можно записать так:

+ л (х) - л (/Т) =2 nW [-£] ,(2.2)

d | D

где

D = pTp2 Pr= П_/p<V X

Мы докажем теперь одну общую формулу, которую также можно получить с помощью метода решета.

Теорема 2.1 ]). Пусть даны натуральные числа kv к2, .. ., kN, среди которых могут быть и равные, и любая действительная

9 Мёбиус [1].

или комплексная функция f (к), которая определена при k = kv /=1, 2N. Обозначим для каждого числа d1)

sd =2(2.3)

d\ k^ 1<1<N

U s= 2(2.4)

^. = 1, 1<Z<2V

Тогда имеет место равенство

S = ^^Sd,(2.5)

d

причем суммирование проводится по всем d, которые делят какое-нибудь kt (для остальных d, разумеется, Sd = Q\

Доказательство. Сначала докажем следующее главное свойство р,-функции:

Г 1, п = 1,

2hW = п(2.6)

d\nI v, П > 1.

Первая часть (2.6) очевидна, так как ц(1)=1. Пусть п>1. Рассмотрим разложение п = р^ . . . р^г числа п на простые множители. Обозначим nf = px ... рТ. Тогда из определения р( ) имеем

г

2иДО=2йО=2 2=

d\nd\n’5=0 d^n’,v(d) = s

= 2 Cf (—!/ = (! — l)r = 0.(2.7)

5 = 0

Из (2.6) следует теперь, что

5=2/№)= 2 /W 2hW =

ki = l,l<i<Nl<i^Nd\k-

=2и№2№)=2и№. (2.8)

d d\kvKKNd

что и требовалось доказать.

Формула (2.2) получается как частный случай (2.5), если в качестве kt взять [х] чисел (п, Dy п^х, и если f (kj) положить равными 1 для всех kt. В этом случае Sd = \x(d\.

Как частный случай той же формулы (2.5) получается известная формула обращения Мёбиуса (см. задачу 5), если в качестве kt взять числа п[6, причем п фиксировано, а 6 — делитель п. В качестве f (k^ следует взять значения /(6) какой-нибудь функции /.

!) При этом суммирование в (2.3) проводится по всем к^ кратным d, а в (2.4) — по всем к[, равным единице.

Заметим, что (2.5) можно получить без вычислений с помощью метода решета, сначала вычитая из ^ f ^к^ все суммы Sp = ^ f к^д затем

Kf^р\ kt

прибавляя все S = 5 / (^0 и т- Д- Дальнейшие применения тео- 12 ^2|^

рема 2.1 находит в задачах в конце главы.

Будем считать, что в этой главе п всегда пробегает последовательность из N натуральных чисел nv п^nN, которые мы предполагаем заданными; кроме того, считаем, что М>Х.

Применим теорему 2.1 к одному важному частному случаю. Положим п = т^-^-^), т=\, 2, ..., N, и в качестве &z в теореме 2.1 возьмем числа (п, D), где D = Д р. Пусть / (&z) = 1 для

Р<и

всех &z. Тогда S — количество тех чисел п = т (т + 2), 1 ^ т ^ N, которые не имеют простых делителей, меньших или равных и. Если положим и = УNЦ-2 , то для такого п получим, что т и /п + 2— простые числа, большие "\f N + 2 . Наоборот, каждая пара простых р и q = р + 2, У N + 2 < р < q <^М -\-2 причисляется к S. Два простых числа вида р и ^ — ^+2 называются простыми близнецами. Число таких близнецов при р ^ N, очевидно, равно

N (р < N; р + 2 — простое) = 5 + 0 (/ЛГ)-(2.9)

Здесь применяется теорема 2.1 при ^ = (/n(/n + 2), О), 1^/п^^ /(V=l- Далее'

Sd = N(m<N; /п (zn + 2) = 0 (mod d)).(2.10)

Рассмотрим сравнение

т (т + 2) = 0 (mod d),(2.11)

где d \D и d свободно от квадратов. Обозначим to(d) количество решений сравнения (2.11), т. е. количество различных вычетов по modrf, которые ему удовлетворяют. Тогда

ии(2.12)(2.12)(2.13)(2.13)Sd = o(d)4 + ^.I Rd I < * №

и

и

(2.12)

(2.12)

(2.13)

(2.13)

{1 для р = 2, 2 для p > 2.

Из (2.12) и (2.5) следует, что5 = J] HW5d = N^ g(d)Из (2.12) и (2.5) следует, что5 = J] HW5d = N^ g(d)d IDd IDd\Dd\Dd\Dd\D(2.14)(2.14)

Из (2.12) и (2.5) следует, что

5 = J] HW5d = N^ g(d)

Из (2.12) и (2.5) следует, что

5 = J] HW5d = N^ g(d)

d ID

d ID

d\D

d\D

d\D

d\D

(2.14)

(2.14)

Если d = Р1Р2 • .. рг — свободное от квадратов число, то по известным теоремам о сравнениях имеем

со (d) = со (Рг) со (р2) ... со (ргу(2.15)

Отсюда и из (2.13) получаем

>Т-П(1^Н 1IJ-I)' <^)

d\Dp\D2<p<VN+2

а из (2.14), (2.16) и (2.12) следует, что

(2.17)(2.17)s =UJ1—7) + о(1><4

(2.17)

(2.17)

2<p<VN+2\dlD /

{-О/^со^ + О^).{-О/^со^ + О^).Из (2.9) и следствия из теоремы 1.5.5 получим

{-О/^со^ + О^).

{-О/^со^ + О^).

N(.p<N; p-V^ — простое) < с-j^

Так как со (d) ^ 1 и, согласно (1.3.18), число простых делителей D равно л (У?/~Р 2 ) > с ]//V/in W (N > 1), то имеем

Sco(d)>Sl=2n(/"+2)>2c/jv/,n;v. N>1.(2.19)

d\Dd\D

Отсюда видно, что формула (2.18) не пригодна для оценки сверху числа простых близнецов, не превосходящих N, также как формула (1.2.11) не пригодна для оценки сверху л(х). Действительно, остаточный О-член становится больше, чем главный член cN/\n2N. Положение не улучшится, если заменить в определении D число 1^TV4-2 на меньшее число, как было сделано при доказательстве формулы (1.2.15). Тогда бы мы получили, как легко проверить, самое большее, что1)

N^p^N; р 4-2 — простое) < с ^^- (TV > 1), (2.20)

NС In TV *NС In TV *но это тривиально следует из неравенства

N

С In TV *

N

С In TV *

TV (р ^ TV; р 4- 2 — простое) ^ л (TV)

Долгое время думали, что вообще нельзя получить нужную оценку методом решета. Но В. Бруну [1] удалось показать с помощью нового способа оценки ошибки, что

(TV> 1).(2.21)(TV> 1).(2.21)TV(p <TV; р 4- 2 — простое) < с

(TV> 1).(2.21)

(TV> 1).(2.21)

0 Напомним, что ln2 N — сокращенное обозначение In In TV.

В. Брун решил еще несколько аналогичных проблем. В последнее время А. Сельберг [2] с помощью обобщения метода решета сумел новым, более простым способом доказать и несколько улучшить результаты Бруна. Метод Сельберга будет изложен ниже. При этом речь идет всегда об оценках сверху.

Для оценок снизу получены пока гораздо худшие результаты, которые чаще всего требуют очень больших вычислений. Реньи [1], например, доказал, что имеется бесконечно много р. для которых число простых делителей p-^S меньше постоянного числа. А. И. Виноградов недавно доказал с помощью метода решета Сельберга, что имеется бесконечно много пар (m, m 4- 2), таких, что каждое из обеих чисел имеет не более трех простых множителей. Однако пока неизвестно, существует ли бесконечно много простых близнецов. На оценках снизу мы здесь останавливаться не будем.

Метод решета А. Сельберга

Пусть п пробегает Af > 1 натуральных чисел nv п2, . .., nN, среди которых могут быть и равные. Положим

S = N(n; р^п для р ^ г); D = JJ р, z^2.(3.1)

Р<2

По формуле (2.6)J) имеем

s= 2 1 = 2 2 iV<i)=2m (3.2) п, (п, D)=l п d \^D, п)d\D

причем

sd = 2 1.(3.3)

п, d\n

Предположим, что для Sd имеется „приближенная формула"

^=ТА/ + ^- I^K®^)'(3.4)

0(1)= 1. При этом а>(ш) должна быть мультипликативной функцией. Мы называем функцию целочисленного аргумента /(т)фО мультипликативной, если для всех mv m2, (jnv ш^—\, выполняется равенство

/(mi)/(m2) = /(m1m2).

Если это свойство выполняется для всех mv m2 без ограничения, то / (т?) называется вполне мультипликативной функцией. В частности, /(1)=1, так как /(т • 1) =/(т)/(1) и при f (т) + 0, /(1) = 1. Сумма Sd формулы (2.12) удовлетворяет этому требованию.

*) Здесь ^ обозначает не 2- а 2, так как в этой главе мы огра-

пл = 1Пр YCi^N

ничиваемся числами п^

Из (3.2) и (3.4) и мультипликативности со (лг) следует

d\DVI D /

=yvII(1-^-)+ofSi^iY

p\ d | D /

(3.5)

Также как в примере § 2, здесь при достаточно большом z число делителей D будет очень велико, Тогда остаточный член в (3.5) может стать не меньше главного члена, и формула станет бессодержательной.

Следуя идее Сельберга, мы сначала заменим в (3.2) множители р(^) на любые числа р^, для которых

2 р^> 2

d | m d\m

(3.6)

при всех натуральных пг. Тогда

s<2

п

2 Pd — 2 Pd^d d\<n, D^ d\D

(3.7)

и так же, как формула (3.5) выводится из формулы (3.4), получаем

(3.8)

Хотя суммы в остаточных членах (3.5) и (3.8) имеют много слагаемых, полагая достаточно многие из р^ равными нулю, мы можем существенно понизить величину остатка в (3.8). При т=\ формула (3.6) дает р1^р(1)=1. Положим pj = 1. Если имеется две системы р', р", для которых выполняется (3.6) и р' = р"=1, то можно составить третью такую же систему чисел р^ по формуле

(2р^(2р^ = 2р^ р.= 2 №<3-9)

\d\m )\d\m/ d | tn\dv, d^\»d

Здесь \dv d2\— наименьшее общее кратное чисел dx и d2. Выберем, в частности, р'=р" = Х^. Тогда числа р^, определенные формулой

( 2— 2 Pd’ Pd = 2 ^d^d2»(3.10)

\d\ m /d | m\dx, d2\=d

будут удовлетворять условию (3.6), если Xd удовлетворяют этому условию. Однако pd из формулы (3.10) удовлетворяют условию (3.6), если положить /ч = 1 даже тогда, когда Xd не удовлетворяют этому условию. Это следует из равенства (2.6) и того, что ^ = 1»

( X ^V ^ 0 при m > 1. Если подставим значение р^ из (3.10) в (3.7), \d | m / то получим

s<2( 2 М2=2( 2 ЧМ^- (ЗЛ1> п \d\^п, D^ / d\О\ИЬ d2J-d /

Полагаем теперь ^ = 0 при d > z. Так как /) = Цр, то доста

р

точно распространить суммирование во внутренней сумме в (3.11) на те d, для которых

d\n, d^z, d свободно от квадратов.(3.12)

Очевидно, что d\(n, D).

Ниже мы будем считать, что п пробегает ^ > 1 значений nv ... , nN, которые не предполагаются различными. Рассмотрим для z^ 2 число 7) = Др. Это число свободно от квадратов, т. е. не Р<2

делится на т?» каково бы ни было число т>> 1. Пусть S —число тех Z, для которых (nt, D)=l. Пусть также для натурального d\D через Sd обозначено число тех Z, для которых d\nt. Таким образом,

s= 2 1 = 2 2 ц№ = 2^№-(3.13)

(п, D) = l п d \(п, D)d\D

Собственно говоря, например, первую из сумм следовало бы записать 21. То же относится и к остальным суммам.

/, (n^-l

Пусть для всех d | D определена функция to(d); m(d)— мультипликативная функция в следующем смысле: для d — p^p^ . . . рт, d\D должно быть со (d) = со (рт) . .. ю(рг), со(1)= 1. Далее 0 ^to(d) < d для всех d> 1, d\D. Определим для d\D число Rd формулой

Sd-^-N4-Rd.(3.14)

Обозначим /(d) = - ^-, причем условимся, что /(d) = -\-oo для (p(d) — 0, -т^— = 0, b • (4- оо) = ± со при конечном ^^0. Таким

образом, /(1)=1, 1 < /(d) СЦ-оо, если d>X. Ниже для обозначения бесквадратных чисел будем применять буквы d, dv d^ б, и, их и г. Для r<^z. r\D положим

Л(г) = /«П('-7®)>0-р кЛ(г) = /«П('-7®)>0-р к(3.15)(3.15)

Л(г) = /«П('-7®)>0-р к

Л(г) = /«П('-7®)>0-р к

(3.15)

(3.15)

Если / (г) = + оо, то и fx(r) = 4~ оо. Для конечных / (г)

/1('>=/(п2^=2^/(у)-<ЗЛ6>

d|гd\r

Очевидно, что /г1(1)= 1. Положим далее

г-2тгй-<зл7>

r<z

так что 1^2<4~°о> и для d^z введем величины

^т-Ш-тУ"'St^>-<318>

р\Дd(r, <0-1

Отсюда видно, что ^ = 1.

Теорема 3.1 Имеет место оценка

S<^^R, R = 2 |Х^Ж^]1-(3.19)

dx, d-^z

Доказательство. Заметим сначала, что достаточно определить со (р) для простых делителей числа D, так, чтобы 0^ю(р)< р. После этого можно однозначно продолжить со (б?) на все делители d числа D.

Пусть сначала to(p)>0 для всех p\D3 и, таким образом, /(d) конечно и имеет место (3.16).

Для натурального п величины Xrfl введенные в (3.18), удовлетворяют неравенству

> 2 ц №•d | n> 2 ц №•d | n2 ^dx^d2 — /2 ^d\dx \ п, d2\nI d (л

> 2 ц №•d | n

> 2 ц №•d | n

dx, d^z\d<z /

так как левая часть равна единице для п = 1 и, кроме того, всегда неотрицательна.

п d \(п, D)п dx \ nt d2\n

dx, d2<.z

причем само собой разумеется, что dx и d^ — делители числа D. Если обозначить

2 ^Л^2, ^i> d2^.z2 ^Л^2, ^i> d2^.z

2 ^Л^2, ^i> d2^.z

2 ^Л^2, ^i> d2^.z

то

•$<^\ ^Л^2+

d<zd^z2dx,d2<z

d \Dd\D[du d^d

+ 5 । 'b-dxkd1R\d1,<i1\ \ = NP-\- R.

di, d2<z

где

p_ v 2д!_Зд_/(№-w

Zj /№) /(d2)

dx, d2<z

Действительно, / (\dv ^21) / ( (^p ^2))—/ №) * / №)» если ^p ^21 D. Теперь для r\D, r^z, согласно (3.16),

/(r) = ^(s> 2 PW=S Sp№/(-j) = 2/i(6)-s|r d I r_6 |r d\dd | г

Итак

P = S 7%Т7тЬ 2 a® =

dx, d2<z6\dx, 6 \ d2

=S <6> fS ro-Y=5 л ® ^- (3-2°)

6 < z\d 1 d j d < г

где

2 7W-<3'2,)

d| d, d<z

Если u — dr, то по формулам (3.15) и (3.18) мы получаем для d\D

■ L fi (г) ~и (<Z) S /, («) • (3i22) zu<z

r<dd\u

(r,d)=l

Для d<^z из (3.21) и (3.22) следует

Zy6 L Z1 wd, ab\d, d\u

Положим d = bdv и = ^иг. Тогда

^У6 =^У6 =^(6) V р<6)

^У6 =

^У6 =

■дд»,) Zj — /1(б)

^ll их

По формулам (3.20) и (3.22) получаем

S ^i ® A = z^ 77W = •

Пусть теперь о(/?') = 0 для некоторых простых делителей р' числа D, a to(p")>0 для остальных prr\D. Числа S и Sd определяются через пгnN, z независимо от выбора функции со. Выберем £>0 и заменим (о функцией <о(е) так, чтобы 1#^рг^ = г, to^ (p,f) = to (pf/). Тогда в соответствии с формулами (3.15) — (3.19) определятся числа R^, f^\ry ^\г), Z^\ ^а и R^\ В силу (3.19) и первой части доказательства имеет место неравенство

5<^г + ^(е)-(3.23)

Действительно, очевидно, что при £->0 имеем cot6) (d) ->со (d), R^-^Rd. -J, Z^->Z(\<Z<co\ /(г) /Rr) Л(Г)'

*k$->Кь R^-> R и (3.23) следует из (3.19).

Выведем теперь общую оценку величин Z и R, которая полезна для многочисленных применений.

Теорема 3.2). Обозначим через (z) множество тех натуральных чисел т, для которых Д р <^ z, и пусть т — Д Ртр (К (Z) р \тр\т

принадлежат, в частности, все числа ^z). Тогда в обозначениях теоремы 3.1 имеем

z= £ И!»’’»-<324>

р\т

Пусть далее для всех d, dv d2 (в обозначениях теоремы 3.1)

I Rd I < ® №- ® ([dj. d2]) < ® №) 6) (d2)2).(3.25)

"Тогда справедливо неравенство

R — 2 I^A^.^K^JIt1-^-)"- <326>

dx, d2 < zP ^z

Доказательство. Из (3.16), (3.15) и того, что

/ (d) = d/го (d) = П Pito (P)’

p\d

следует, что

т <2р\т

= S Н2(ИП(^- + ^+(3.27)

Г<2р{Г

После перемножения отсюда получим (3.24). Далее, согласно (3.25), имеем | 7?^^ ^2] | ^ со (d,^ со (d2), следовательно, используя (3.19), приходим к неравенству

Ж 2 1ЧЧ® №)«№)! =

dx, d2 <.z

так как j\ (r) > 0 для имеет место оценкатак как j\ (r) > 0 для имеет место оценка2 | M to № V < / 2 И2 № » № Ц (1 - -^)-1 Г. (3.28) d<zJ I tZ <zp \dJ

так как j\ (r) > 0 для имеет место оценка

так как j\ (r) > 0 для имеет место оценка

бесквадратного числа г, и, следовательно, 7VY< У ^T = Z.(3.29)

г < zjd, (j, d)~lт <2

Из того, что ^ = П р р» функция со (т) мультипликативна, р | m

(д(р)1р<Д и (^)— подмножество множества чисел, все простые сомножители которых не превосходят х, мы можем заключить, что 5 р?№ » мЦ (1 -- £<W) П (1 -

d^zр\ dd<zр \ d

<=S^№lI(^+^+...) =

d<.zp \ d

Sin^wc’IlO-Tr'- <3™> m ( (^ p | mp <z

Таким образом, неравенство (3.26) доказано.

§ 4. Примеры на метод решета

Сохраним обозначения предыдущего параграфа и рассмотрим вопрос о том, какова верхняя граница числа простых чисел, которые встречаются в арифметической прогрессии

l-^^ Z4-2&, . Z + 2V&,(4.1)

если ^ > 1, 0 ^ I < h, {k, I) = 1. При к = 2 в последовательность (4.1) при растущем N войдут все простые числа большие двух. Если уело-

вие (^, /)=1 не выполнено, то среди чисел (4.1) нет ни одного простого числа. В § 3 мы положим

п=1-^кт, т—1, 2, N, N > 1(4.2)

и тогда в обозначениях § 3

S = N (m<N; p^km-\-l для р ^ z), z^2,(4.3)

Sd = N (m <;N; km + Z = 0 (mod d)).(4.4)

Пусть co (d)— число тех r, Q^r^d, для которых выполняется сравнение

кг +1 = 0 (mod d).(4.5)

Тогда, очевидно,

sd=to(,d)2L+Rd, \Rd\<a(d).(4.6)

Согласно известной теореме о сравнениях по составному модулю, to (d)— мультипликативная функция. Далее, так как (к, Z)=l,

№(/>) =№(/>) =1.О,1.О,Р-Ук» р [ к.Р-Ук» р [ к.(4.7)(4.7)

№(/>) =

№(/>) =

1.

О,

1.

О,

Р-Ук» р [ к.

Р-Ук» р [ к.

(4.7)

(4.7)

Легко видеть, что со ([^р ^D^^W^^)- Впрочем, это неравенство имеет место всегда, если со(/п) — неотрицательное целое число и со (ps) = со (р) для любой степени простого числа. Тем самым условия для применения теорем 3.1 и 3.2 выполнены. Согласно (3.24) и (3.26), соответственно получаем

m £ ^, <т, &) = 1т < г, (т, &) = 1

R<z2 И (’-у) •и-9)

P<z> р 1 к

Чтобы получить для 5 оценку сверху (3.19), мы должны оценить Z снизу, a R сверху. Для этого нам нужна

Лемма 4.1. Пусть N ^2, Р— какое-нибудь множество простых чисел, не больших N, и пусть Np — множество, состоящее из Р и всех чисел, не больших N, которые содержат только простые сомножители из Р. Тогда имеет место неравенство

(4.Ю)(4.Ю)

(4.Ю)

(4.Ю)

причем В — положительная константа, не зависящая от Р и N.

Доказательство. Если Р — множество всех простых чисел ^^, то (4.10) следует из (1.4.1) и из равенства

(4.И)(4.И)2 ± = ШЛ(+О(1) (Л7>1) m<N

(4.И)

(4.И)

[см. (1.5.12)]. Предположим, что (4.10) уже доказано для непустого множества Р и соответствующих чисел m^Np. Пусть q— простое число из Р, а Р' -—множество простых чисел из Р, за исключением q, Nр- — аналогичное множество для N рх\ Тогда достаточно доказать, что из справедливости (4.10) для Р и Мр следует справедливость этого же самого неравенства для Р' и Np- с той же константой В. Имеем

рр р

m ^ Nptm e Npm £ Np, q ( m

У —< УУ(4.14)

ti mqm qmx '

nt £ Np, q | mm' £ Npm < Np

(4.15)(4.15)Из двух последних формул следует, что

(4.15)

(4.15)

m \ q /пг

m £ Nр*m ^ Np

2 -•m Np2 -•m NpФормулы (4.12), (4.15) и предположение, что справедливо неравенство

2 -•

m Np

2 -•

m Np

111 -

р^р

влекут за собой неравенство

Р € Р'Р € Р'2 4.

Р € Р'

Р € Р'

ni Nр«

и тем самым все доказано.

Возьмем в лемме 4.1 в качестве множества Р простые числа <^^, не делящие к. Тогда, согласно (1.4.1), из (4.8) после замены N на [^] следует неравенство

II tn <Z, Vn, £)=»!P < z, P f k

p < %

!) Если P' пусто, то Np. содержит только единицу.

Теорема 4.1 ]). Пусть \<,к<х, Q<3<k, (к, /) = 1 и

л(х, к, l) = N (р ^.х, р = /(mod к)).(4.17)

Тогда

л(х, к, Z) < сл(х, к, Z) < схФ (£) In ^Ik^ 1хФ (£) In ^Ik^ 1(4.18)(4.18)

л(х, к, Z) < с

л(х, к, Z) < с

х

Ф (£) In ^Ik^ 1

х

Ф (£) In ^Ik^ 1

(4.18)

(4.18)

причем константа с не зависит от х и к.

Доказательство. Из (1.4.1) и (4.9) в прежних обозначениях получаем

/? = О(^21п2^(^>2).(4.19)

По теоремам 3.1, 3.2 и формуле (4.16) имеем

S = N (т ^ N\ р ткД-l для р ^ z^ <

<Дг|<;-^-1пг| * -VO(z4n2z\ (4.20)

Выберем z = A/^/ln2^ и будем предполагать, что N > No = б. Тогда, очевидно, 2^2, In z > ^InN. Поскольку z2 In2 z = О (N/ln2N), из (4.20) и неравенства к[<ф(к)^>1 следует, что

к NN \kN

где константа с не зависит от N и к. Теперь положим

N = N (т; ктД-1^х) = \(х — /)//?] <; -^-.

Пусть х]к > £2 = б16 + 2, тогда N > в16 и, так как NflnN монотонно возрастает, из (4.21) следует, что

Неравенство

Л(х, &, Z)<S+^+l(4.23)

имеет место потому, что в числе S считаются простые числа р = тк-Д-1 (l^m^N) с условием z<p<^x и число простых чисел p = /(mod&), p^z, во всяком случае не превосходит z(k-\-l. Так как при х(к> с^ zjk^N^kYn N = О ^\/"xjk^ то в этом случае (4.18) следует из (4.23). Для x/k^c2 теорема 4.1 тривиальна, так как очевидно, что л(х, к. /)<^-у+1*

Позже мы укажем теоретико-числовые применения теоремы 4.1.

Докажем теперь одну теорему, обобщающую теорему 4.1 и дающую, в частности, оценку числа простых близнецов, не превосходящих некоторого числа.

Теорема 4.2. Пусть av ..., as, bv bs— целые числа, причем для /=1, 2, ..., s

at + ^(a^b^X.(4.24)

Предположим, что равенства at = ± аи, bt—±bk при 1 + к не могут выполняться одновременно. Обозначим со (/?) число различных по mod р решений сравнения

(арп + ^i) ^т + &2) • • • ^asm + b^ = 0 (mod р) (4.25) и пусть ю(р)<р для всех р1). Пусть, наконец,

Е= П »t П «А)-

1 < Z < s 1 < I < к < 5

Тогда при N^S имеет место оценка

N (m^N; | aim-^rbl | — простое при I — 1, 2, . . ., s) <

!——, (4.26)

z In5 ?/\ p )>\/

P\ E

в которой c(s) зависит только от s, но не зависит от N, at, bt.

Прежде чем доказать неравенство (4.26), заметим, что оно остается верным, если со(р) = р для какого-нибудь р. Действительно, в этом случае для каждого достаточно большого т по крайней мере одно из чисел а^-^-^ содержит собственный делитель р и, следовательно, не простое. Поэтому левая часть (4.26) остается меньше константы.

Доказательство теоремы 4.2. Положим в теоремах 3.1 и 3.2

п— Д l^^m + b^, Х^т^П.(4.27)

1 < 1 < 5

Заметим, что в этих теоремах числа п не обязательно должны быть различными. Мы будем сначала предполагать, что Д (а^ + Ь^ + О при 1 ^ т ^ N, следовательно, п — натуральное число (что предполагалось и в предыдущей теореме). Тогда to(d) — число решений сравнения

Д (atm + b^ = 0 (mod d),(4.28)

1<Z<5

9 Так как известно, что сравнение (4.25) имеет не более чем s различных решений, то достаточно предположить, что это неравенство выполняется при р <s.

и легко проверить, что условия теорем 3.1 и 3.2 выполнены. Таким образом,

S = N(m^N; р ^ П I ^i^+ ^t I для р <. А < NZ”-^-0 (R), \I < S/

(4.29) где

z>yi-slVmp^- <4-30> m О р \ ш

яс^ П t1-^)"2 с^2)-(4-31)

P<Z

Теперь для оценки Z необходимы некоторые вспомогательные соображения.

Обозначим для натурального s через ds (пг) число различных разложений tn вида

m — kyk2 ... ks, 1 ^ к^т, I — 1, 2, ..., s, (4.32) при этом два разложения считаются равными только тогда, когда &i = ку, . . ., hs = к8 2). В частности, dyQn^=\ при всех m^>i, d2(tn) — d(tn). Будем еще предполагать, что do(m) = O при m > 1 и б?5(1)=1 при всех $^>0.

Покажем теперь, что ds(m) — мультипликативная функция от т, и что при s^O и целом неотрицательном а имеет место неравенство2)

s»>ds^Y(4.33)

При s ^ 1 это тривиально. Далее при а ^ О имеем

Пусть неравенство (4.33) уже доказано для всех s, 2^s^r. Тогда^+1(р“)= 2 dr(pa)< 2 r°<(r+l)°

О < а < а0 < а < а

и, таким образом, (4.33) доказано для всех s.

Мультипликативность ds(jn) следует из того, что для m = mfmfr, (т/,т")=1 каждому разложению (4.32) числа т соответствует точно одна пара разложений

tn = ку . . . kfs, пг = кНу ... к"*

ki = k/iki, ^к^ к^=\,/=1, 2, s,

и наоборот.

Теперь получаем

to(p) = s для р^Е.

Это следует из того, что при р^Е, (р, at^= 1 каждое сравнение

^/^ + ^ = 0 (mod р),1=1, 2, . s,

имеет ровно одно решение, и при I Ф к сравнения

а^п 4- bt = akm + bk = 0 (mod p)

не могут выполняться одновременно.

Действительно в противном случае р \(atbk— akbt) и поэтому р |Е. Впрочем, при / + к всегда atbk — акЬ{ + 0, так как из а^к = akbt и (4.24) следовало бы, что at="Vak, b(= ±bk, что противоречит условию теоремы.

0 125

Для каждого натурального числа и положим и = и и и ... и, к

причем и обозначает делитель и, который содержит только те простые к

числа р\и, для которых сЦр) = к, и и считается равным единице, если и не содержит ни одного такого р. Далее положим

Pfe= II Р- * = 0. К s- 1.

СО (р^к

Очевидно, что Рк делят Е и что (Рк, Pj) = 1 при к + j. Теперь, так как ds(m)— мультипликативная функция, из неравенства (4.33) получим

^П™'^-2 Hl II

m^z p\mm<.z к=0 аЦр^к

р| m

s0

= S 4 П П ^>2 "5TdoW ... W- (4.34) m<z k=^(p)=km<z

Р I т

Далее имеем неравенство

m<z

в котором справа суммирование распространено на 1^^Р к^ ..., ks^z^st (^v ^о)= 1’ (^2> ^оЛ)= ^ • • - (^’ ^о • • • ^5-1)= 1- В произведении всех сумм ^"^, 1=1, 2, . .., s, сначала появляются только

члены вида Ijtn, где ш = кх , ,. ks^z. Если мы напишем

125

кх = кхкх...кх,

25

^2 ===^2•••^2’

ks= ks, ТО 12 25 551 25

m = ^^2 ,.. ks = кх (й^) • • • (^i^2 • • • &$) = mm .. . m (4.36) и lit I

m = кхк2 . .. к^ Z = 1, 2s,

такое разложение m, какое засчитывается при подсчете d^m) (Z=l, . .., s). Поэтому при перемножении в (4.35) член 1[т встре- 05

чается самое большее dQ(m,) ... ds(tn) раз. Легко также видеть, что если т = кхк2 . .. ks и не все kt равны соответствующим к^ то разложения т по формуле (4.36) не для всех Z=l, 2, ..., s равны соответствующим разложениям т = к'х . . . kfs.

Из (4.30), (4.34), (4.35), используя, кроме того, (4.16) при z ^ 2, получим

Z > с И (in zV^,

i = l

где с зависит только от s. Следовательно,

pS ps-l Р ...Ps_xpS ps-l Р ...Ps_xIn5 Z,In5 Z,

pS ps-l Р ...Ps_x

pS ps-l Р ...Ps_x

In5 Z,

In5 Z,

причем теперь все константы могут зависеть от s. Из (4.31), (1.4.1), (1.5.22) в силу того, что <o(/?)<^s, получаем оценку для /?:

сг2 И \= ^21п25

5 < р < 2

(4.37)(4.37)причем константа с происходит от простых чисел, не превосходящих s. Подставляя эти оценки в (4.29), получим неравенство

(4.37)

(4.37)

в котором по определению Рь

П

/ i \ — (s —со (р)) 1-у>1.

Р\в

Положим теперь z = N^2 In"25 N. Тогда для достаточно большого

z^ 2s, f InN < ln^ < InAf и

z^№ z = O(N\^sNy

При s^l отсюда и из (4.37) следует, что

S<cK"^N’ K>L<4'>

Таким образом, для 5 оценка (4.26) уже доказана. Теперь очевидно, что

N(m<,N. ^тД-ЬД— простое, Z= 1, 2, ..., s)^

^S + ^(^*^^; min I atm +^1^ ^)- (4.39)

1 < l <8

Далее имеем

N (tn •< N,min | atm Д-ЬД^г^ <.^N (m<.N\ | atm + ^ |< ^.

l<i<sz=i

Теперь для каждого l имеет место оценка

N(m<N; \alm + bl\^z)^-Mr+l = O(z'),

причем, так как |^z|^l, константа в О( ) не зависит от аь ЬД\ Отсюда следует оценка

N(m^.N; min | atm + bt | ^ z) = sO (z) = О ^N^»

< I <8

и, согласно формулам (4.38), (4.39), получаем утверждение теоремы 4.2.

До сих пор мы предполагали, что Д | aLtn4-bl | > 0 для

^ /и ^М Общий случай можно свести к этому. Действительно, пусть tnv ..., tnT (r^s) — целочисленные корни полинома Ц (atm + bj) при 1 <^ m ^ N, и пусть 1 ^ шг < т^ < ... < тг <: N i<s

(из нашего предположения следует, что все корни простые). Интервал 1^/n-^N делится корнями т} (у = 1/*) не больше

чем на г+1<^5+1 подинтервалов. Положим m = mV 4- nV при m.<m<m.^v Тогда a.m-Y-bl = a,lnг,-у-Ь^ где а'^а^ Ь'.= —b^-Vm^a^ и числа а^ Ь( опять удовлетворяют условиям, которые наложены на at, bi в теореме 4.2. При этом для mj < т < туЧ1 и Nj = /п/Ч1 — mj — 1 <; N всегда 1 ^ т' <; Nj.

По уже доказанному имеем

N (mj < т < m^f, \«'1пгА-Ь1\ — простое при Z= 1, ..., 5) <

N1/1 \-(5-СО(р))XT/1 \-(5-to(p))

<с^1н4;11(-|)-^етП^-у)

P\Ep\E

для ^>^0(5), так как здесь правая часть неравенства растет с ростом АЛ Эта же самая оценка получается и для чисел, принадлежащих начальному и конечному интервалам 1 ^ т < тх и тГ < т <^N, если они существуют. Таким образом,

N(m^.N; |azm4-^|— простое при /=1, 2, ..., 5) <

Р IE чем теорема 4.2 полностью доказана1).

Теперь займемся некоторыми специальными случаями теоремы 4.2. При 5=1, ах=к. Ьх = 1 (/,£)=! по существу получается теорема 4.1. Полагая s = 2; ах. bx. а2. b2=L 0, 1, 2, получим следующую теорему.

Теорема 4.3. Число простых чисел p^N. для которых Р-У2 простое, меньше чем

N

С №N*

Из этого результата следует известная теорема Бруна.

Если рг пробегает все простые близнецы, то ряд

сходится).

Предположим, что существует бесконечно много близнецовой расположим по величине первые простые числа в каждой паре в последовательность

PiPiР^<Р^<РкРкххР^ХР^Х

Pi

Pi

Р^<

Р^<

Рк

Рк

х

х

Р^Х

Р^Х

где л: ^ 2 — произвольное достаточно большое число.

По теореме 4.3 имеем

Отсюда следует, что

PfM > х> схк In х ^ схк In2 к.

Поэтому получаем

Г2

Известно, что последний ряд сходится и, следовательно, 5 Мр' < оо, причем все равно, суммируем ли мы только по первым близнецам каждой пары, или по вторым, или же по обоим близнецам.

Положим в теореме 4.2 5=2, N=[x], av bv a^ ^2=1, 0, 1, b, где b— положительное или отрицательное четное число. Тогда получим

Теорема 4.4]). Имеет место оценка

N(p<x. |р-|-5| — простое) < с-^- Ц(1^-) ’. (4.40)

р\ b'

Для отрицательного b и р <—b выражение »|р + 6|— простое число" обозначает, что

— b = p-^-q, q— простое.(4.41)

Теорема 4.4 дает тогда оценку сверху для числа разложений вида (4.41) четного числа — b в сумму двух простых чисел, из которых одно не превосходит х.

В 1742 г. Гольдбах предположил, что каждое четное число >2 представимо в виде суммы двух простых чисел. Эта проблема Гольдбаха до сих пор не решена (см. гл. VI).

Положим теперь в теореме 4.2 5 = 2, av bv а^ ^2=1, 0, к, 1; ^>0— целое число. Мы получим следующую теорему.

Теорема 4.52). Для четного k^l имеет место неравенство

N(p</V; kp + 1 — простое) < с -f^-H^l^)(4.42)

Р\ к

Эту же теорему можно сформулировать так:

!) Шнирельман [1].

Теорема 4.6т). Для четного к, ^^к^х» имеем

N(p<x, p-\ = kq, q-простое) < с ф^^-- (4.43)

Это утверждение получаем из теоремы 4.5, подставляя вместо N число тех т, для которых тк-^ 1 ^.х, т. е. полагая N=[(x—1)/&] также, как при доказательстве теоремы 4.1.

•» Р + bs, о < ьх < ь^•» Р + bs, о < ьх < ь^< bs—про< bs—провсе числа р^гЬъ pA"b^все числа р^гЬъ pA"b^Теорема 4.7 ). Число простых чисел p^N, для которых

•» Р + bs, о < ьх < ь^

•» Р + bs, о < ьх < ь^

< bs—про

< bs—про

все числа р^гЬъ pA"b^

все числа р^гЬъ pA"b^

стые, меньше чем

‘^TL{'-W'm,-E= п ь. п ^.р \ Еl<Z<s !</<£<$

(4.44)

где to (р)—-число решений сравнения m(mAb^)... (/n+^5)=0 (mod р).

Эта теорема также следует из теоремы 4.2 в случае at=L i — 1, 2$и s~>s + 1.

Теорема 4.7 в некоторых случаях тривиальна, например, если b — нечетное число или если s = 2, ^ = 2, b2 = 4. В последнем случае для всех т

т (т + 2) (/п + 4) = 0 (mod 3)

и, следовательно, о(3) = 3, что мы исключили в теореме 4.2.

Теорема 4.8. Пусть g— положительное четное число. Тогда

N(P, g=p-H, q — простое) < с -[Д-Д(1 +^")- (4-45) р\g

Теорема следует из теоремы 4.4 при Ь =— g, x — g и формулы (1.5.23).

Теперь докажем еще две теоремы, которыми мы будем пользоваться в гл. X.

Теорема 4.9. Пусть к—натуральное число и х^к^, 2<^<^а, где а — постоянное вещественное число, й^а^Х^. Тогда при ^<1<к, (Z, ^)=1

N(n<x; п = Цтойк), р ^ п, Р < z) < с (а)-^^^. (4.46)

Доказательство. Возьмем, также как при доказательстве теоремы 4.1, в теоремах 3.1 и 3.2 в качестве п числа п^х.

9 До сих пор неизвестно, бесконечно много или нет простых чисел р. для которых 1/2 (р—1) — простое число.

n = l (mod^). Тогда при x^k2 число таких чисел N не превзойдет сх(к и мы получаем аналогично формулам (4.20) — (4.22)

N (п •< х; п = I (mod к\ р п, р <Lz) < с( —к- z2 In2 z

4v1\ ф (&) inz *

Так как х^ к2 и z<^ ка, 0 < а < 1/2, то при достаточно большом к первый член правой части этого неравенства больше второго. Этим неравенство (4.46) доказано.

Теорема 4.10. Пусть z ^>2 и x>za, а >2. Тогда

N(n<x; р^п, p-OXcta)-^.N(n<x; р^п, p-OXcta)-^.(4-47)(4-47)

N(n<x; р^п, p-OXcta)-^.

N(n<x; р^п, p-OXcta)-^.

(4-47)

(4-47)

Доказательство. Положим в формуле (4.20) к= 1, / = 0, М = [х]. Для искомого числа находим оценку сверху:

\ In ^ 1\ In ^ 1Z2In2Z^.Z2In2Z^.

\ In ^ 1

\ In ^ 1

Z2In2Z^.

Z2In2Z^.

Так как x>z°, а >2, то при достаточно большом z первый член

больше второго. Этим неравенство (4.47) доказано.

Между прочим, формула (4.47) при z = xx^ содержит правую часть неравенства (1.3.18).

Задачи к главе П

Доказать следующие утверждения:

= 2 р.№Гй/^Ь

о < а < п

ц2(д) = 2 P'W-

d2 | п

p,z(n)= 2 nW равно 0 или 1, смотря по тому, делится или dl \п

не делится п на Z-ю степень d, 1^\.

2 Н(^) lnmd = 0, если <и(п)> т^>1 (применить полную d | п индукцию).

Если g(k)='Xf(d) для натурального к, то /(п) = d | к

— 2 HW g Wd\ п=\, 2..., и наоборот1).

d I п

I 2 V-№[d\<. 1 (см. задачу 1).

I d<x I

9 Формула обращения Мёбиуса.

2 ^W ^ (^) ™ 1 (см- задачу 5).

61 п

^ р(т) = ^ **(<*) Щ- m<Jfd<V~x

Вычислить

е т >

0<а <т, (а, т) = \

Доказать следующие утверждения:

5 d(p — \> = О(хУУ

Р<Х

Пусть g (п) = n/ф (п). Тогда

g (п) = О (х), £ g(p_l) = o^^ П<ХР<Х

2 g (N — р") = О (N)\nN). P<N

Число решений уравнения

N = рх + Pi + pa (Pi простое)

не больше cN2[\n3N.

Число чисел п^х, которые могут быть представлены в виде п= рх + р2 + р3, больше сх. с > 0.

N (pv р^ .pk\ N = рх + Р2+ • • • + Ри) < с “^-» c = c(k)t k^3,-

Оценить сверху 2 ^2(р — 1).

Оценить сверху 2 g4p— 1). g(n) = nl<p(n).

Р<Х

Пусть Q(x) — число свободных от квадратов чисел, не превосходящих х. Доказать

Q(x) = Ax-JrO(.Vx),

-^ = Д^1^ (=6/л2; см. гл. III)2). р

Ч Титчмарш [2].

Получить из задачи 17 гл. I оценку для 2 п < X

20т). 2 Ф (п) = Лл;2Ц- О (х 1пх),

п <х

л = у ^Ц(и)«_2 (=3/л2).

п

2 Ф(/г)//г= Лх--|-0 (Inx), Л =^”2

п < Xп

2 1/ф(^) = О (Inx) (задача И).

п < X

!) Дирихле [2].

Глава III

ТЕОРЕМА О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ

Введение

В этой главе мы уточним результаты, полученные в гл. I в теоремах 3.2 и 4.3. Именно, мы получим асимптотический закон распределения простых чисел, или теорему о простых числах. Будет доказано, что Нт л (х) In х]х существует и равен единице. Эту же Х->со

теорему можно выразить формулой

л(х)—-г—» х->оо.(1.1)

4 7 In х

Равенство предела единице следует из его существования по теореме 1.4.3, но здесь оно будет получено независимо.

Теорема о простых числах впервые была доказана Адамаром [1] и Валле-Пуссеном [1]. Долгое время существовали лишь доказательства, использующие теорию функций комплексного переменного. Только в 1948 г. Эрдёш и Сельберг нашли „чисто вещественное" доказательство. Однако методами теории функций комплексного переменного можно получить оценки, которые далеко превосходят (1.1) и которые пока не удается получить элементарными средствами. Кроме того, теоретико-функциональные вспомогательные средства необходимы сегодня и для решения других числовых проблем. Поэтому при доказательстве теоремы о простых числах мы в полной мере пользуемся теоретико-функциональными методами. Это, пожалуй, самый короткий путь к доказательству, если иметь небольшие познания в теории функций.

g-функция Римана т)

При втором доказательстве теоремы 1.1.2 мы использовали соотношение

р^хп<.х

Чтобы доказать, что имеется бесконечно много простых чисел, нужно доказать, что правая часть этого неравенства стремится к оо при

!) Риман [1].

5 К- Прахар

х->оо. Тогда отсюда будет видно, что слева имеется „достаточно много" простых чисел. Более точное выражение вместо „достаточно много" можно получить, приняв во внимание, что ^U^^^-^- п

Существенно более точное выражение для (1.1) можно доказать, рассматривая вместо суммы (2.1) сходящийся при s > 1 ряд

(2.2)

п

Исследуя функцию, определенную формулой (2.2) для комплексных значений s, мы найдем свойства этой функции, из которых может быть получено соотношение (1.1). Функция, определенная равенством (2.2), называется дзета-функцией Римана и обозначается ^(s).

Теорема 2.1. Ряд

(2.3) п

равномерно сходится при Res ^ 14-е, и функция, определяемая этим рядом, регулярна в полуплоскости Res> 1. При этом n~s для комплексного s задается равенством n-s =e*slnn, где Inn означает действительный логарифм положительного числа п.

Доказательство. Пусть s = a + Z^. Равномерная сходимость ряда следует из неравенства

\n~s \ = п~°^п~^+Е\ о^1+е.(2.4)

Регулярность £(s) при Res> 1 следует из известной теоремы Вейер- штрасса о регулярности предельной функции равномерно сходящейся последовательности аналитических функций, так как для каждой точки из полуплоскости о > 1 найдется такое е, что эта точка будет внутренней точкой области1 —|—е.

Далее всюду буквы о и t обозначают действительную и мнимую части комплексного переменного s.

Связь между простыми числами и ^-функцией устанавливается следующей теоремой. (Если не оговорено противное, то п пробегает числа 1, 2, ..., а р пробегает все простые числа 2, 3, 5)

Теорема 2.2. При о> 1 имеет место равенство

<2'5>

РП

Доказательство получается из следующей более общей теоремы.

Теорема 2.3. Пусть /(п)— действительная или комплексная мультипликативная функция, определенная для всех нату-

рамных п, т. е. f (тп) = f (т) f (п) при (п, т) = Х и /(1)=1. Если 2|/|<°°» т0 п

П{1+/(^) + /(/>2)+...}=5/(«).(2.6)

Рп

Доказательство. Перемножая конечное число абсолютно сходящихся рядов в левой части равенства (2.6) и пользуясь мультипликативностью /, получим равенство

П U+/(P) + /(P2)+ •••}== 27(«).(2.7)

Р<хп

где 2—2 означает суммирование по всем п, которые содержат только простые множители ^х, и еще п=1. Далее имеем

(2.8)(2.8)1£ № = 2 m-VR(x), пп<х

(2.8)

(2.8)

I^WKS !/(«)!•

При х->оо следует, что /?(х)—>0, так как 2|/(^)l<°°» и утвер-При х->оо следует, что /?(х)—>0, так как 2|/(^)l<°°» и утвер-п > X

При х->оо следует, что /?(х)—>0, так как 2|/(^)l<°°» и утвер-

При х->оо следует, что /?(х)—>0, так как 2|/(^)l<°°» и утвер-

п ждение теоремы следует из двух последних соотношений.

Теорема 2.2 получается, если положить f{n)=^n~s. Предположим сначала, что s действительное число и s>l. Тогда

(1 — XIps^ Т> 1 и, следовательно, £($) также действительное число и £($)> 1. Прологарифмировав (2.5), получим

1п^)-1>(1 р» ) — S^Jnp"5' (2-9) Рр п

В этой формуле все логарифмы положительны. Дифференцируя (2.9), получим т)

РР п

Равенство (2.9) можно дифференцировать, так как получившийся ряд равномерно сходится в полуплоскости 8^>\-\-г. Действительно, ряд в этой полуплоскости имеет сходящуюся мажоранту ^Хп р[(рУ+е—Ху Порядок суммирования в двойном ряду (2.10) можно переменить, так как члены этого ряда положительны.

f (s)f (s)Для комплексного s в полуплоскости а > 1 мы выберем ветви многозначных функций в (2.9) и в (2.10) так, чтобы при действи-

f (s)

f (s)

!) Мы пишем -^ (s) вместо

тельном s > 1 они были действительными. Тогда по принципу аналитического продолжения они определены при любом комплексном s с о > 1 !). Положим теперь

(2.11)(2.11)In р, если п — рт (/п>1), О в противном случае.

(2.11)

(2.11)

В частности, Л(1) —0. Тогда (2.10) запишется так

п = 1п = 1(О> 1).(О> 1).(2.12)(2.12)

п = 1

п = 1

(О> 1).

(О> 1).

(2.12)

(2.12)

Ряды вида ^ann~t где ап не зависят от s, называются рядами Дирихле (приложение, §2). Ряд в правой части (2.12), а также ряд, определяющий ^(s), являются рядами Дирихле. Введем теперь следующую функцию — сумму коэффициентов ряда Дирихле (2.12):

(2.13)(2.13)■tw=S Л(п)= 5 S inp.

(2.13)

(2.13)

Рт<х т>1

Здесь в двойной сумме суммирование ведется по всем простым числам р и всем натуральным т, для которых рт^х.

Между функциями л(х) и ф(х) существует следующая связь.

Теорема 2.4. Из равенства

ф (х) = х + о (х) (х —> оо)(2.14)

следует

л(х) = 1Нт+°(1Нт) (^^^(2.15)

Таким образом, для доказательства теоремы о простых числах достаточно доказать (2.14).

Доказательство. Из (2.14) следует, что

0 (х) = х + о (х) (х -> оо).0 (х) = х + о (х) (х -> оо).Действительно,Действительно,=221г1р~ 2 2 1п^=™^х2<ги<1пл:/1п2 рт<х=221г1р~ 2 2 1п^=™^х2<ги<1пл:/1п2 рт<х(2.16)

0 (х) = х + о (х) (х -> оо).

0 (х) = х + о (х) (х -> оо).

Действительно,

Действительно,

=221г1р~ 2 2 1п^=

™^х2<ги<1пл:/1п2 рт<х

=221г1р~ 2 2 1п^=

™^х2<ги<1пл:/1п2 рт<х

(2.17)(2.17)= ^to + o(V/2^-) = i|)(x) + o(x) (х->оо),

(2.17)

(2.17)

НоНо

Но

Но

так как при фиксированном т

jttx^kix^^x),

и, с другой стороны, для каждого постоянного а, 0<а<1 (так же как в (1.3.19))

{л (х) — л (ха)} In ха < 0 (х).

Следовательно, в силу неравенства л(ха)^ха имеем

ал (х) In х 6 (х) + аха In х.

Итак, из формулы (2.16) следует

гх / 19 (х)17 X

пт л (х) /— hm - = — (х -> оо),

v ч In х а х а v 7

/X(2'18)

l^^(x)/T^>hm-^-= I (х->оо).

Так как это верно для каждого а<1, то Пт л (х) 1п х/х = 1 и,

Х->СО

следовательно, верно (2.15). Таким образом, в дальнейшем нам остается доказать равенство (2.14).

§ 3. Связь между —S7? и ФО)

Теорема 3.1. Функция ^to может быть аналитически продолжена на полуплоскость о > 0 и регулярна там за исключением простого полюса при s=l. В окрестности точки s=l имеют место следующие разложения*.

С (5) = s _121 + ^о + ^1 ($—ОЧг ••• ,(3.1)

— ^(5)=-Ц- + »0 + 61(5-1)+.(3.2)

Доказательство. Положим в теореме П. 1.5 а = 1, х = Д^^1, g ^ = ^”s. Тогда получим

NN

1 ^~[1])^-(3-3)

l<n<7V11

Отсюда при о > 1 и N -> оо следует, что

^s> = Sn^ = T^r+1-4 (^-^)ртг- <зл>

Последний интеграл абсолютно и равномерно сходится при о ^ е > 0, так как 0 ^ £ — [£] < 1 и | £~(5+1) | = £“<а+1) t а _|_ i ^ i _|_ 8е Поэтому правая часть (3.4) представляет при о > 0 функцию, регулярную за исключением точки 5=1. Эта функция и дает аналитическое продолжение функции С (5), которая была определена только при о> 1, на полуплоскость о > 0. Разложение (3.1) следует сразу же из (3.4), а (3.2) из (3.1).

Теперь мы применим теорему П. 3.1 к функции/(5) =—£z(5)/£(5). Здесь ап = Л (п). Согласно (2.11) и (3.2), можно положить Ф (n) = 1п п и а = 1. Кроме того, выберем чй) = u-\-i/u = 0 и будем предполагать, что b > 1. Положим далее х = N + ~, N^>1 — целое. Тогда (П. 3.3) дает нам ь-цт

n<xb-lT

так как при x — N+ -y последний член в (П. 3.3) содержится в предпоследнем. Величины b > 1 и 7 ^ 1 будут определены позднее в зависимости от х. Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 3.2. Пусть ~ <а<\,Ь>1,Т^2 и Г — замкнутый прямоугольный контур, который состоит из следующих отрезков*. ГХ = (Ь— IT, b-ViT\ Г2 = (^ + ^, а-\-1Т), Г3 = = (а-\-ьТ, а — ГГу Г4 = (я— IT, b — /Г). Если £(5) не имеет нулей внутри Г и на Г, то

ь-нт

1 Г (_^(5)^Л =

2лг J \£ х / s

b-iT/ь

= + шах 14“^1(7ТГ7 + хй1п7,Н- <3’6) U Г2, Г3, Г4 1 Ь | \ Ш)

Доказательство. Так как £(s)^0 внутри Г и на Г, то £'/£ согласно теореме 3.1 регулярна внутри Г везде, кроме простого полюса 5=1 с вычетом, равным 1. Согласно теореме о вычетах,

Ь-НТ

^(5)ds —

2ш J \£' 5

Ь-1Т

= ’ f W—i(s)l—л =2лг J J \£ х 7) s

\г г2г3г4/(

= x+0H |^_(S)^||^|\ (з,7) \г2г3г4У

так как

То же самое имеет место и для интеграла по Г4. Наконец, замечая, что | X | — х° = ха, | s I”1 =(о2 + ^2)-1/2, <? > у Для $£Г3, получаем (т \

[ ха ^Д=О(ха^ Т)

(интеграл при 0 ^ / ^ 1 меньше 2ха = О (ха 1п Г), так как о > ^ , Т ^ 2). Если все это подставим в (3.7), то получим (3.6).

Теорема 3.3 2). Теорема о простых числах будет доказана и будет доказано даже более точное утверждение

ф (х) = х + О (хе ~с ^in^)(х —> со),(3.8)

где с — положительная константа, если доказать, что для достаточно большого Т (например, Т >Т0> 2) в теореме 3.2 можно положить а=Л—e Jin Г > у. При таком выборе а внутри и на границе Г нет нулей £($) и имеет место неравенство max 14-(5)1 < с^ In Т(3.9)

s^r2r3rj ь I

(ер с2— некоторые положительные константы}.

Доказательство. Подставим (3.6) в (3.5) и воспользуемся формулой (3.9). Тогда получим равенство

। х/ хь । х In2 х . хь In Т . а 9

■ф(х) —х + О Г(&_1) + т 4- ТХпх +х In 7J, где Т > То, 6>1, а=1—cJlnT. Если мы положим теперь 6 = 1 + 1/lnx, то

я|)(х) = х + О (у-In x + ^-ln2x + -^^- + xi-^/ln г 1п27) =

= x-VO (у ^х^-^^ + х1-^1" г1п2т)(3.10)

для х = N , Т >Т0. Выберем теперь Т в зависимости от х так, чтобы остаток был как можно меньше. Число х1-^111 т In2 Т велико при большом Т, и оба первых слагаемых остаточного члена при большом Т малы. Все три слагаемых приблизительно одного порядка, если взять Т = ехр (сгУ"\п х\ Следовательно, при х->оо

-£ In2 х = О (хе~С40 < с4 < с3,

так как 1плх =О(ехр{(с3 — с4)/1пх}) при любом постоянном Л > 0 •),

= с3 —7= = ° Ve~C1 /ПГ7) .

Г1пх 3 r/lnx

х1-С|/1п г jn2 У — х еХр JEl yin X + 1п2 X ~Ь 2 In с31 =

= О ^xe-c-c5 < cjc3.

Подставим теперь все это в (3.10) и возьмем N настолько большим, чтобы при х = N-^-^ , Т = ехр (с3 у^пх) было выполнено неравенство Т > То. Тогда

гр (х) = х + О (хе~с^1/111 х\ с6 = min (с4, с5), если х стремится к бесконечности по значениям вида х = М -\-~. Так как для каждого х > 0 гр (х)=гр ([х] + у) » то тем самым равенство (3.8) полностью доказано.

Метод, примененный в теоремах 3.2 и 3.3, называется методом комплексного интегрирования. Функция ф (х) выражается через интеграл по формуле (3.5) с точностью до некоторой ошибки. Сдвиг пути интегрирования налево, проведенный в теореме 3.2, дает для этого интеграла в качестве главного члена х с ошибкой, которая состоит из интегралов по Г3 и Г2, Г4. Желательно путь интегрирования^сдвинуть налево как можно дальше, так как имеющийся в интеграле по Г3 член] Xs ( тем меньше, чем меньше а. Член |х5| при доказательстве равенства (3.8) порождает член х1-с,/1п г, который при оценке ошибки в некотором смысле является наиболее трудным, так как из-за него нельзя брать Т слишком большим. Помехой для переноса пути интегрирования левее является возможное появление нулей £ (s), в которых g'/€ имеет полюс. В этом случае выводы при доказательстве теоремы 3.2 становились бы неверными. Доказательство предположения, сделанного в теореме 3.3, что при подходящем Ci > 0

£(s) ф 0 в области а>1 — -^ , |/|<Г,(3.11)

является основой доказательства теоремы о простых числах (см. ниже теорему 4.5). Соотношение (3.9) тогда относительно легко доказать, так как

9 Напомним, что для краткости мы положили In In х -- In2 х.

в этом случае в окрестности точки s, где g (s) ^= 0, функция ^/£ не может быть слишком большой (см. ниже теорему 4.7). Отметим между прочим, что из (3.5) при х = N + 1(2 следует соотношение

b-V too

(-f Н^*'

b— loo

если положить

b-V Zoob— loob-V Zoob— loob-VlT= lim f .T^b-tT

b-V Zoo

b— loo

b-V Zoo

b— loo

§ 4. О нулях g(s)

Для исследования нулей £($) мы привлечем некоторые вспомогательные теоретико-функциональные теоремы (см. приложение, § 4).

Теорема 4.1. С(5) не имеет нулей в области о>1, т. е.

£($) ^ 0 при о > 1.(4.1)

Доказательство. Согласно (2.5), при о>1 имеем

i^(s)i>II(1++ =е+Sj^f1++=

= exp(S(-^ + ^- •••))>exP(-2+>0’ <4-2>

V p x p p 1)\ p p )

так как 2 Mp° < co, o> 1, что и требовалось доказать.

Заметим еще, что в достаточно малой окрестности точки s ™ 1 ^(5)^=0, так как в этой точке функция £($) имеет полюс.

Лемма 4.1. При о > 1 имеем !)

Re{ 3-^-(о) + ^(о-Н0 р^-(о + /20}<0.(4.3)

Доказательство. Выражение, стоящее слева при о> 1, согласно (2.12), равно

— ^ Л У {^ + 4 cos (Z In n) + cos (2^ In n)}. n

Но для любого ф имеет место очевидное соотношение

3 + 4 cos ф + cos 2ф = 2 (1 —j— cos ф)2 ^ 0, откуда и следует (4.3).

Теорема 4.2. !) Имеет место соотношение

£(!+//) ^ О, Z^O.£(!+//) ^ О, Z^O.(4.4)(4.4)

£(!+//) ^ О, Z^O.

£(!+//) ^ О, Z^O.

(4.4)

(4.4)

Доказательство. Пусть 1+/^, tx + 0, является /п-кратным нулем £(5), т^Х. Тогда ^1^ имеет в этой точке полюс первого порядка с вычетом т 1. Поэтому

^.(0+^)^^., а->1+0.(4.5)

Согласно разложению (3.2) имеем

^^^j-, о^1 + 0,(4.6)

и так как 5 = о + /2^ — регулярная точка для £($), то при о->1+0- справедливо соотношу! ие

^^з-Д-Ш^—- ^-у , £>0— целое).(4.7)

Так как 4/п^4 и к^^, то из формул (4.5) — (4.7) при о-> I + О следует, что

Re |3^(o) + 4^(o + /^ + 4-(a + ZM~

~7^т(-3 + 4/п + й)->оо.(4.8)

Но при о, достаточно близком к 1, это противоречит (4.3), таким образом, (4.4) доказано.

Приведенное доказательство основано на том, что при £ (1 + ^i) = О выражение £'0 + z*7)/£ О + z'^i) должно обращаться в бесконечность. Действительная часть членов ряда (2.12) не всегда имеет один и тот же знак, и отсюда нельзя определить непосредственно знак Re (£7£) вблизи а = 1. Комбинация значений функции £70 применяемая в (4.8), имеет то преимущество, что по лемме 4.1 известен ее знак при а > 1. Кроме того, поскольку 4 > 3, отсюда следует, что полюса 3£' (а)/£ (а) при а = 1 не достаточно, чтобы компенсировать обращение в бесконечность 4£' (а -|- ах^1^ (а + z7) при о = 1. Вместо 3 4~ 4 cos ф + cos 2ф можно взять также любой другой тригонометрический полином Р (ф) = aQ -|-^I cos ф + ••• 4* аТ cos гф, для которого а/>0, Z = 1, 2, ..., г, ай<ах и Р(ф)^0 (0<ф<2зг). Годится, например, полином 5 4~ 8 cos ф 4-4 cos 2ф-|-cos Зф; наоборот, полином 1 ~4~ cos ф не годится, хотя всегда 14-со8ф^>0.

Чтобы доказать утверждение (3.11), которое сильнее теоремы 4.2, нам нужны некоторые вспомогательные оценки.

7 Адамар [1], Валле-Пуссен [1]. Другие доказательства см. у Титч- марша [4].

Теорема 4.3. При любом постоянном Д>0 имеют, место оценки*.

£(s) = 0(?), о>1—6. t>2, 0<6<1,(4.9)

£($) = 0(1п/), а>тах(1. 1 —-^-). *>2.(4.10)

Константа в О( ) в формуле (4.9) может зависеть от 6, такая же константа в (4.10) — от А, но они не зависят от t.

Доказательство. Мы можем предположить, что о ^2, так как при о > 2 имеем

K(s)HS«-‘|<S»-a <S«-2=o(i).

I п | пп

Согласно теореме П.1.5, при a = N, х—>оо для о> 1, N^\ получим

№= s ^+-^-$Ге~|б|>-Д' (4ji)

n<NN6

так как

Формула (4.11) доказывается сначала при о> 1. ПраваяФормула (4.11) доказывается сначала при о> 1. Праваярегулярна при о > 0,регулярна при о > 0,С ^поскольку ■—^ < ОО вплоть доNС ^поскольку ■—^ < ОО вплоть доNчасть (4.11)$= 1. Слечасть (4.11)$= 1. Следовательно, формула (4.11) может быть аналитически продолжена на область о > 0. Для 0^1 — 6 и 0 < 6 ^ V2 имеемдовательно, формула (4.11) может быть аналитически продолжена на область о > 0. Для 0^1 — 6 и 0 < 6 ^ V2 имеем

Формула (4.11) доказывается сначала при о> 1. Правая

Формула (4.11) доказывается сначала при о> 1. Правая

регулярна при о > 0,

регулярна при о > 0,

С ^

поскольку ■—^ < ОО вплоть до

N

С ^

поскольку ■—^ < ОО вплоть до

N

часть (4.11)

$= 1. Сле

часть (4.11)

$= 1. Сле

довательно, формула (4.11) может быть аналитически продолжена на область о > 0. Для 0^1 — 6 и 0 < 6 ^ V2 имеем

довательно, формула (4.11) может быть аналитически продолжена на область о > 0. Для 0^1 — 6 и 0 < 6 ^ V2 имеем

При о^1 —6 справедливо неравенствоПри о^1 —6 справедливо неравенство1 + -N6.61 + -N6.6(4.12)(4.12)д^211 — sд^211 — s|<1л^1'"<1д/6,|<1л^1'"<1д/6,<4.13)<4.13)

При о^1 —6 справедливо неравенство

При о^1 —6 справедливо неравенство

1 + -N6.

6

1 + -N6.

6

(4.12)

(4.12)

д^211 — s

д^211 — s

|<1л^1'"<1д/6,

|<1л^1'"<1д/6,

<4.13)

<4.13)

и для -^^l—6<^о<;2, t^2 получаем

4«-«1)ДNS4«-«1)ДNS<\s\S^r<2lN-°<4tN-»-°\ (4.14) N Ь

4«-«1)Д

NS

4«-«1)Д

NS

Из неравенств (4.12) — (4.14) при ^^2 и постоянном 6, согласно (4.11), выводим соотношение

С(s) = О (/V6 + rV + tN6'1) = О (/V6 + tN6-^,

в котором константа в О( ) зависит от 6 и при д—>0 стремится к бесконечности. Если мы выберем N, которое до сих пор не определялось, равным [/], то получим формулу (4.9). Формулы (4.12)—(4.14) верны также в случае, когда 6 зависит от N. Если мы положим b = A(\nN и возьмем N настолько большим, чтобы A)\nN то вследствие того, что N^=O(X), при 1 — Д/ln^<^o^2, ^^2 получим

С (S) = О (in N + Г1 + tN-Y\

где константа в О( ) зависит от А. Если теперь возьмем М=[/], то при t^t^^'l получим Д/1п[^]<у. Теперь формула (4.10) следует из последнего равенства при t > tx. Для области 2^^^^ соотношение (4.10) выполняется тривиально, так как в ней функция С (s) ограничена.

Так как £($) = £($) 9, то из (4.9) и (4.10) следует, что

Us) = O(|<|S). <т>1-б, 0<б<1, |f|>2,(4.15)

g(s)=O(ln|/|), a>max(l, l-^Ay),|<|>2.(4.16)

Теорема 4.4. При о > 1 имеют место соотношения2)

п

<">1>.(41S)

Доказательство. Поскольку произведение Д(1 -W1 сходится при о> 1, из (2.5) следует, что

47=П!'-71 ’>>•«■’)

р

9 При а > 1 это следует из представления £ (s) в виде ряда, а при а> 0 — по принципу симметрии. Ограничение |/|>2 несущественно. Какое- нибудь ограничение вида | ^ | >> ^о > 0 из-за полюса при s = 1 необходимо, но можно было бы с правой стороны (4.15) и (4.16) добавить еще член О (1/| s—1 |); здесь нужно взять практически /0 > 1, например /0 = 2; при ^о^1 нужно было бы заменить In 1t|, например, на In (1t1 + 2), так как при ^ = 1 имеем Л/1п^ = со. То же самое замечание имеет место для ограничения | /1 > 3 в некоторых из следующих теорем.

2) Определение ц (п) см. в гл. II, § 2.

Если в теореме 2.3 мы положим f (п) = р(п) n~s, то получим

а это вместе с (4.19) дает равенство (4.17). Неравенство (4.18) при а > 1 следует из неравенств

1

пп1 ъ

Теорема 4.5 !). Функция C(s) не имеет нулей при подходящем с7 > 0 в области

а>—щ\>^' 1'1>-«'20>

Доказательство. Мы можем предположить, что ^^3, поскольку в силу равенства £($) = £($) возможные нули С (5) расположены симметрично относительно действительной оси. Если (4.20)

справедливо для некоторого с7, то то же неравенство будет верно, если вместо с7 поставить меньшее значение). Пусть р1==р—)—Z^T — нуль С(^), причем ^^3, р=1—6/lnZp Согласно теореме 4.2, b должно быть положительно. Формула (4.20) будет доказана, если мы

покажем, что b > с7 для некоторого с7, не зависящего от tv Положим в (4.3) t = tv о = а0 —1+бг/1п^, где 0 < а < V2 и более

точно а будет определено позже. Чтобы оценить Re^-^o + Z^), применим теорему П.4.5 (при предположении, что Pi — нуль ^(s)).

Положим в этой теореме

f (s) = £(s), s0 = a0 + «p r = j.

Тогда, согласно теореме 4.1, ^(5)^=0 при Re (s— $о)^О. Доказывая формулу (4.20) с возможно меньшим с7, мы можем, очевидно, ограничиться рассмотрением нулей, у которых р> 1—1/8 = 7/83). Пусть p = Rep1> 1—7/8. При достаточно малом а, например при 0 < а < < ах < 72» число Pi лежит в круге |$— .s0|<^—г = —, что удовлетворяет условиям теоремы П.4.5 (^ ^ 3 может быть сколь угодно велико). Теперь нам нужна еще оценка | F (s),F (s0) | = | £(s)/C(sq) I

в круге |$—^о 1^ 7г- По формулам (4.9) при д= 7г и (4.18) при | s — s0 I ^ 7г имеет место оценка

(4.21)(4.21)

(4.21)

(4.21)

где константа в О( ) не зависит от а. Оценка (4.9) применима ввиду того, что область | s — $о I ^ 7г целиком лежит в области а>7г> ^^2 (так как о0>1, ^1^3). Для I5 — 5ol^72> ^^>3 из (4.21) следует оценка

(4-22)

так как \t— ^i|^72- Следовательно, мы можем применить теорему П.4.5 с Л1 = сь— t^ lnfr Согласно формуле (П.4.10), для Л ^ 1, так как tx ^ 3,

Re ^ №+ ^1) ^ — 8 (in - + т ln^ + ln2 tx + In f8j + а0 —р >

> — с (lnl + ln/1') + —-Ц-. (4.23) у \ а 1/ ^о— Р

Применим теперь теорему П.4.5 в несколько другой форме, заменяя $0 через $' = (^4-/2^, и возьмем опять г — х12- Тогда, так как |/— 2^|^V2 при р— s£|<72, в области р— ^1^72 из (4-9) и (4.18) получим

= o I -^ln^ ) = О (- t^ 1пЛ).(4.24)

ад \а 7U 17’

Следовательно, мы можем применить теорему П.4.5 для Д1=с10~ Ц In tv Так же как и при выводе (4.23), согласно П.4.91), имеем

Re ^ (®о + i2^i) > — ^n (1п 7 + In ^1) •(4.25)

Отсюда можно вывести оценку третьего члена в (4.3). Согласно формуле (3.2), для первого члена мы получим следующую оценку:

Re-^ (о0) = ^- (о0) > - ^У-.(4.26)

Эта оценка справедлива при любом е > 0 и достаточно малом о0— 1, т. е. при достаточно малом а. Таким образом, мы можем взять а из интервала 0 < а < а(Д < ах < 7г- Положим в оценках (4.23), (4.25)

и (4.26) а0=1+а/1п^, р=1—&/1п^ и подставим это в (4.3). Тогда получим

--^V^1п ^ + ^T Ш Л - (4сэ + ‘n) (in I + In л) < 0. (4.27)

Теперь выберем 8 настолько малым, чтобы 4 — 3(1 —|—е) > 0 (например, г = г10- Тогда при 0 < а < а2 < ах < V2, (a2 = a(s), 8 = ^4) имеем

— cJln^ — с121п—<0. (4.28)

Так как ~ при a->-V^ стремится к бесконечности быстрее, чем In —, то при достаточно малом а. например при 0 < а < а3 < а2, имеет место неравенство

(-тг + ^-М1"3-^'"^0-<4'29’

Поэтому ^-~-— с12) > 0. При 0 < а < а^ из (4.28) следует

I — 4^- +In з — с12 In - < О, (4.30)

\ 4а 1 a-Yb 12)ах 7

если b настолько мало, что выражение в скобках положительно (это возможно, так как ^-— с12 > о), например 0 < b < Ьх = = Ьх(а) < у In 3. При ^ = 0 левая часть (4.30) переходит в левую часть (4.29). Отсюда следует, что для постоянного а, 0 < а < а3, и всех достаточно малых Ь, например 0 < b < Ь^ < Ьх ф2 не зависит от t^ неравенство (4.30) дает нам противоречие. Этим теорема 4.5 доказана.

Мы видим, что принцип доказательства теоремы 4.5 тот же самый, что и доказательства теоремы 4.2. Неравенство (4.23) означает, что Re (£70 — большое положительное число вблизи точки 5 = ^ + /^; это видно из присутствия члена 1/(а0 — 0) (а0 > Р). Равенство (3.2) показывает, что Re (£70 большое по модулю отрицательное для действительного s> 1 вблизи $ = 1. Но член —3(14"£)М порожденный полюсом, при достаточно малом b уже может не компенсировать члена 4]^а^-Ь\ порожденного нулями. Неравенство (4.25) нужно для того, чтобы третий член £' (о0+ ^^IS> (ао + z^i) существенно не менялся от этого обстоятельства. Положение сложнее, чем в теореме 4.2 из-за того, что мы должны использовать (4.3) для получения сведений о точках слева от прямой а= 1, в то время как в теореме 4.2 нас интересовали нули только на этой прямой. Поэтому вместо оценок (4.5), (4.6), (4.7) здесь появляются более сложные оценки (4.23), (4.26), (4.25), для доказательства которых была необходима теорема П.4.5.

Теорема 4.6. Если Т^>й, то при подходящем с13

£($)=£0 в области о^1—^т^'^ Rl^^+^ 0-31)

Доказательство. Если |^|^3, то утверждение теоремы следует из теоремы 4.5, так как c7/ln|Z|^> c7/ln(T +1) для 3<Jf|<^T-|-l и 1пТ/1п(Г4-D ^ 1пЗ/1п4 для Г^З. В области 1/2<^о<1, И^З лежит самое большее конечное число нулей ^(s), а на прямой о=1 вообще нет нулей. Поэтому при достаточно малом с имеем ])

$(s)^0, о>1 — с. И<3,$(s)^0, о>1 — с. И<3,(4.32)(4.32)

$(s)^0, о>1 — с. И<3,

$(s)^0, о>1 — с. И<3,

(4.32)

(4.32)

и отсюда следует (4.31) также для |^|^3; можно, например, взять с13 = min (с7 In 3/ln 4, с In 3).

Теорема 4.7). Если Т ^3, то при подходящем си

Доказательство. Пусть S^I^J^T. Применим теорему П. 4.6, положив в ней F ^ = t,^s\ s0 = o0-V-it, о0 = 1 + а,\п Т, г = ^-, гт = 2а/1пТ. При достаточно малом а, например 0 < а < <а!< ^, для всех Т^З имеем гт<-^г и, согласно теореме 4.6,

получаем

E(s) = ^(s) 4= 0 в области |$— ^ol^r’ R6^ — s0) >—2гР

Так как |^|^3, то C(s) регулярна в круге |$— s0|—г^~, причем, если фиксировать ^ = с16, в этом круге имеет место оценка:

С (So) \ аС (So) \ а^Д = о(—Г2 1п/) = о(т2 In г),

С (So) \ а

С (So) \ а

аналогичная (4.22). Далее, согласно (2.12) и (3.2), для о0 > 1 получаем

I у (So) | < - f Фо) = О (у^т) = о (-L 1п г) = О (In Ту (4.34)

!) Так как £ (s) при а > 0 — аналитическая функция (кроме полюса s = 1) и нули £ (s) не могут находиться в любой близости отрезка а=1,

Следовательно, условия теоремы П. 4.6 выполнены при уИ = сГ2 1п7\

Из (П. 4.14) находим

|-|-(s)| < с171пГ.|-|-(s)| < с171пГ.|s — Sol|s — SolГ1Г12с 16In Т2с 16In Т

|-|-(s)| < с171пГ.

|-|-(s)| < с171пГ.

|s — Sol

|s — Sol

Г1

Г1

2с 16

In Т

2с 16

In Т

В частности, при t = tT имеемВ частности, при t = tT имеемскольку функцияV(o) прискольку функцияV(o) при1 — с16/1пГ<о< l+B^/lnT. По- о > 1 монотонно убывает, согласно1 — с16/1пГ<о< l+B^/lnT. По- о > 1 монотонно убывает, согласно

В частности, при t = tT имеем

В частности, при t = tT имеем

скольку функцияV(o) при

скольку функцияV(o) при

1 — с16/1пГ<о< l+B^/lnT. По- о > 1 монотонно убывает, согласно

1 — с16/1пГ<о< l+B^/lnT. По- о > 1 монотонно убывает, согласно

(2.12) и (3.2), соотношения (4.33) при о^>1—Зс16/1пГ получаются

из оценки

I^Cs^"--^-^^^^) (а > 1).

Тем самым теорема доказана для 3^|f|^7'. Так как £($) не имеет нулей в полуплоскости а> 1, в области |^|^3, 1—с17/1пТ ^о^2 при достаточно малом с17 из (3.2) следует оценка

Отсюда в свою очередь при достаточно малом с, о = 1 — c/ln Т и |f|^3 получаем оценку

^(5) = О(1ПЛ.

Теперь теорема 4.7 полностью доказана.

Теоремы 4.6 и 4.7 показывают, что предположения, которые предполагались верными в теореме 3.3, выполнены. Тем самым соотношение (3.8) полностью доказано. Из этого соотношения по теореме 2.4 вытекает теорема о простых числах.

Остаточный член в (3.8) имеет порядок меньше, чем jv/lnm х для сколь угодно большого постоянного т. Из (3.8) для л (х) можно получить гораздо больше, чем соотношение л ^х^х,\\л х. Мы сделаем это в ближайшей главе для более общего случая простых чисел в арифметической прогрессии. Остаточный член в теореме о простых числах можно улучшить, заменив /1пх на 1пах при некотором а >-^. Однако это требует относительно более сложных вспомогательных средств (см. гл. VIII и IX).

Теорему о простых числах впервые доказали независимо друг от друга Адамар и Валле-Пуссен. Последний доказал более точное соотношение (3.8). Приведенное здесь доказательство с применением теорем П., § 3 и § 4, принадлежит Ландау [7]. Впрочем можно, если требуется доказать только соотношение ф (х) = х + о (л), заменить теоремы из П., § 4, гораздо более элементарными утверждениями (см., например, Ландау [5], гл. XI, XII; Ингам [2], гл. II). Методами Винера [1, 2] теорему о простых числах удается вывести из (4.4) без дальнейшего применения теории функций комплексного переменного. Сельбергу [3] и Эрдёшу [7] удалось дать доказательство, которое совершенно обходится без теории функций комплексного переменного и вариант которого мы приведем в § 6.

§ 5. Дальнейшие применения метода комплексногоинтегрированият)

Метод, применявшийся для доказательства теоремы о простых числах в § 1—4, можно коротко охарактеризовать так: для оценки суммы вида 2 ап (а именно, ап=А(п)) рассматривают «произ- п < X

водящую функцию»

/О) = S ann'sп

(а именно, f (s) = —£'($)/£(.$)) и из ее аналитических свойств про буют сделать заключение о порядке верхней суммы. Естественно, что исследование аналитических свойств ^/£ представляло основную трудность. Здесь будут коротко излагаться некоторые аналогичные проблемы.

Согласно (4.17), функция !/£($) при о>1 разлагается в ряд Дирихле, сумма коэффициентов которого равна 2 Н W*

п <х

Теорема 5.1. Имеет место соотношение

2 p-W^O^^*^111^)(х—>00).(5.1)

п < X

а„ = ц(я) = О(1),а„ = ц(я) = О(1),Доказательство. Из теоремы П. 3.1 при а=1, w = 0, £> 1 следует равенство

а„ = ц(я) = О(1),

а„ = ц(я) = О(1),

bA-lT

(5.2)(5.2)я^х И ~ 2ш’ J Us) s ds+°(, T(b — 1) + T )’ b_lT

(5.2)

(5.2)

если предположить, что x—половина нечетного числа ^>3. Нам нужна теперь оценка 1/С (s) слева от прямой а=1, чтобы можно было сдвинуть туда путь интегрирования так же, как мы это делали раньше для ^/£. Пусть Т 3 и А— положительная константа, которая существует согласно (4.33) и для которой выполняется соотношение

|-^-( s) | = О (In Г). °>1-Т^>|- 3<|/|<Л(5.3)

Тогда для такого s имеем

^ЛДпГ1+Д/1пГ+И

Re<—-T-CTl + ^^n^Relnyr-r-•(5.4)

Jlb)bl5) O+it

i) См. также Ландау [4], гл. 39—49; Титчмарш [4].

Теперь, согласно (3.1), получаем оценку

jqi+T^+^^^i+^j-oono.

В силу (4.18) такое же неравенство имеет место и для ‘/Щ1 +тн^+")[-

Отсюда получаем

‘"Щ1 +1йт+«)| = о0п2О.

Подставляя это и (5.3) в (5.4) и применяя (4.18) в области

а^1 — Д/1пЛ 3<|Z|<T, получаем1)

1+Д/in Г

ln>H = J ООпЛ^ + ООпгП^ОСШгТ).а

В этой же области

1 =0(1пвГ), В > 0.(5.5)

При подходящем Д то же равенство имеет место в области 0^1— — Д/lnT, |Z|<T (Т^З), так как, согласно (4.4), 1/С($) ограничена в области |^|^3, о^1 —Д/lnT, если Д—достаточно малое число. Если в (5.2) выбрать ^ = l+j^ и взять а=\—Д/lnT, а Г, Г2, Г3, Г4 определить как в теореме 3.2, то

так как 1/£ регулярна внутри Г, и

г2г4г2г41 X ,~——ds = O1 X ,~——ds = Ob lnB7 fT J ab lnB7 fT J aтт

г2г4

г2г4

1 X ,~

——ds = O

1 X ,~

——ds = O

b lnB7 f

T J a

b lnB7 f

T J a

т

т

[— ds = O lnBT -х1

J Ш(

22Г3X

2

2

!) Сначала только для о< 1 -^АДпТ» а затем в силу теоремы 4.4 также и дня а > 1 + Д/ln Л

Подставляя все это в (5.2), найдем

2 |х(») = о(^^ + ^^ + ^-^пГ1пв+1г). п < X

Если положим здесь Т = exp (с "j/ln х), то для любого х^А получим утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.3.

Отсюда можно получить сразу же, что ряд

2^(«)л‘(1+//)(5.6)

п

сходится для любого t. Так как

J e-cV\^d^<QOi 1

то, согласно теореме ПЛ.4, для 0,^ = ^^ имеем

^ ц (л) п*^^11^ oG-^111"^ + J o(^/,n0r2-Z' d^ — п<х1

= НоА^1тЦ]е-сУ^У а = а^.

1^x-vttyо,1^x-vttyо,t^Q,^ = 0.t^Q,^ = 0.Отсюда следует сходимость ряда (5.6). Сумма ряда получается из теоремы Абеля о предельном значении рядов Дирихле (П., § 2)

1

^x-vttyо,

1

^x-vttyо,

t^Q,

^ = 0.

t^Q,

^ = 0.

а(^ = lim (^уЦп^п ^иА = Кт 1/£(а + #) = о->1+0( ^у о->1+0

Отсюда, в частности, имеем

2н(«)п-1=0.(5.7)

п

Уже давно известно, что равенство (5.7) можно получить из теоремы о простых числах без применения теории функций комплексного переменного и что, наоборот, из (5.7) можно, получить теорему о простых числах также без применения теории функций комплексного переменного (см. Ландау [1,6]). Перед открытием элементарного, т. е. без использования теории функций, доказательства теоремы о простых числах две теоремы называли эквивалентными, если для доказательства любой из них нужны были теоретико-функциональные вспомогательные средства, но одна из другой получалась элементарно, т. е. без теории функций. В этом смысле теорема о простых числах и формула (5.7) должны считаться эквивалентными. Отчасти еще и сегодня можно защищать это (несколько проблематичное) различие между доказываемыми элементарно и недоказываемыми элементарно теоремами. Например, соотношение (3.8), более сильное, чем теорема о простых числах, пока никто не смог доказать без теории функций.

Аналогично ряду (5.6) можно исследовать ряд

2 и(п)1па п- n~^+it\ а>0.

п<х

По теореме П.1.4 и формуле (5.1) находим

1па п = О (1па х • е

+ 01 f г-сУ|пИпа£4Н = * + оС<е1/1пх), (5.8)

так как

J ^^“Ип^ ^J ^^“Ип^ ^e-Ct Kin | ^_ 6e-Ct Kin | ^_ 6

J ^^“Ип^ ^

J ^^“Ип^ ^

e-Ct Kin | ^_ 6

e-Ct Kin | ^_ 6

и

XX

-XcVinx ? —IcVInl d>( -X-cVinx

<e I 6 T = °^ 2 J

Поэтому сходимость ряда установлена. Для целого а значение ряда получается из теоремы Абеля о предельном значении рядов Дирихле (П., § 2):

Yp(n)lnann 0 + ^). = Пт Vp(n)Inann (a+^) и п

В частности, при s = 1 имеет место соотношение ^- = (s-l) + a2(s-l)»+

(5.9)(5.9)следовательно

(5.9)

(5.9)

С функцией ц(п) тесно связана функция Х(п), которая определяется следующим образом:

(1, п = 1,

Л,(п)=^

((„^to п>Х)

причем V (п)—число всех (а не только различных) простых сомножителей п!). Легко проверить, что для о > 1 имеет место равенство

V Ми) — ТТ I I 1\_

пр1

= ТТ /1 । ДГ1 — ТТ ^~^~^ — №) р'-U-(i-№0 Us) ’

Далее получаем

У 1 у И (и) _ У Л (и)^S ZA ^ ZA ^ *п пп

Отсюда и из теоремы П.2.3 (#„2=1, ^ = 0 для т^п2) следует равенство

Ц«) = 2^Ш-<5Л0>

d21 п

Его можно доказать и непосредственно из определений pt(n) и Х(п).

Теорема 5.2. Имеет место равенство

2 Z(«) = O(xe-e/i^).(5.11)

п<х

Доказательство. Теорему можно доказывать так же, как теорему 5.1, используя свойства £(2s)/£(s). Все зависит главным образом от !/£($), так как £(2s) ограничена при о > 3/4. Но можно доказать (5.11) проще, пользуясь теоремой 5.1 и формулой (5.10). Из них следует, что

2xw=S 2^Ш= п<хп^х d21 п

= 2 2 uw= S 0(^exp(~с1п7^))- <5Л2) d2<x m<x\d2d^x^2

Так как при 6 > О

2 n"(1+6)< J ^"(1+б)^ = у^в,

n>NN

!) Простой сомножитель, входящий в п в степени к, считается к раз. — Прим, ред

тото<ехр(—с1п2х2)^Д- + 2 -^ = O^e-cXtox^jro^x 4).<ехр(—с1п2х2)^Д- + 2 -^ = O^e-cXtox^jro^x 4)."п>х1'"п>х1'

то

то

<ехр(—с1п2х2)^Д- + 2 -^ = O^e-cXtox^jro^x 4).

<ехр(—с1п2х2)^Д- + 2 -^ = O^e-cXtox^jro^x 4).

"п>х1'

"п>х1'

Подставляя это в (5.12), получаем (б. 11).

Теорему 5.2 можно сформулировать еще так: имеется асимптотически одинаково много чисел с четным и нечетным числом простых множителей. Именно, если мы положим

5± ] W =2 L

п<х, К (я)- ±1

то из (5.11) следует, что Sj (х) — S_i (л) = о (л). С другой стороны,

Si(x) + S_!(a:)= 2 1 = [ж].

Из этих двух равенств получаем

51 М = ^ + о(л:), S_! W=|^ + o(4

Подобно равенству (5.10), из теоремы П.2.3 следует многочисленные соотношения между ф(п), p(n), Л (я), d(n); некоторые из этих соотношений мы сейчас приведем. Из равенства

п п

которое выполняется в силу теоремы П. 2.3, следует, что

_f 1, если п— 1,

2р№ = а

/in( 0, если « > 1.

Далее из (1/С)/ = (—^'^^^ можно заключить, что п пп

и отсюда

л («)=— 2 и № in d.d| пл («)=— 2 и № in d.d| п(5.13)(5.13)

л («)=— 2 и № in d.d| п

л («)=— 2 и № in d.d| п

(5.13)

(5.13)

Из равенства ^' = (^70 С следует

п ппп пп

п пп

п пп

а потому

SA(rf) = ln«.(5.14)

d | п

Из равенства (5.14) следует соотношение

^Л(б?) = 2А(^[А]-1п[х]!, п < х d | пd<,x

которым мы пользовались в гл. I. Из него по (1.3.2) и (2.17) получаем

*2 Д^ = 1п[х]! + 0(х), d <х так как

2 A(d) = O(х). d<x

Последнее равенство приводит опять к формуле 2 ln Р/Р — 1пх +

—|—О (1). Из равенства

-У tip.,,,,, У А£> y»wмА гГns мА ns

ппп

следует равенство

— р (га) In п = 2 р (d) Л ^,(5.15)

d \п

а из него

— 2 И («) 1п « = 2 и ^ Л(/га) = ^м.(га)ф^). (5.16) п < хd ^хm < x/dп <х

Перемножая ряды Дирихле, получаем

п d \ п п

и из равенства £2.£-1=£ следует, что

5 И(6)^(-6-) = 1.(5.18)

б In

Равенство С" • С-1 =^'Ю' + (^/92 приводит к соотношению 2р№1п2|-Л(га)1пга + 5Л(^)Л(|).(5.19)

d | пd \ п

Естественно, что A(d) K(nfd) только тогда отлично от нуля, когда d и n]d являются степенями простых чисел; следовательно, последняя

сумма обратится в нуль, если п имеет более двух различных простых множителей.

Равенства (5.13) — (5.19) легко доказать и без использования рядов Дирихле.

Функция In С (^) при о> 1 представляется рядом pmп

(при п=\ нужно положить Л (п)/1п п = 0), что сразу же получается из разложения произведения C(s). Под 1п£ понимают ту ветвь логарифма, которая действительна для действительного $ = о> 1.

Теорема 5.3. При х-юо имеет место равенство

Етл^1"10^^0^^(5-21)

п < X

где у — постоянная Эйлера.

Доказательство. Пусть х > 2, Т > 3 и х равно половине нечетного числа. Тогда, согласно теореме П.З. 1 с параметрами w= 1, b > 0, ап = О(Д\ получим

п < хb — tT

так как в этом случае можно взять а=1. При #=1/1пх это означает, что

b-vlT

ЪЛЛ=Л Л^+'Л“°+0ЛгЛ п<хЬ-1Т

Теперь имеет место следующее соотношение:

Ь-vtT/-Ь-1Т-6 -b^iT Ь-ViT \

m^.+ D^^-A-f / + J + J + J +/ .

b-iTXb-iT-6-IT-6 -d+ZT c /

(5.23)

где C — окружность с центром в точке s = 0, пробегаемая в положительном направлении и имеющая начало и конец в точке s = — б, которая определяется следующим образом: в области о^— б, 11|<^ Т не должно быть нулей функции £($+1) и на пути интегрирования в правой части (5.23) должно выполняться равенство ln^(s -|— 1) = = О(1п27'). Формула (5.23) следует из теоремы о вычетах, так как

!) Для п = рт естественно имеем \[mpms = Л (n)[ns In п.

1пС(^+ 1) • xs/s регулярна и однозначна внутри замкнутого контура, который получается из путей интегрирования левой и правой части равенства (5.23). При подходящем А > 0 величину д можно взять равной AflnT (Т > 3); при этом, однако, надо принять во внимание, что при | 5 | —> О имеет место равенство J)

ln:(s+l) = lnl + O(|s|),(5.24)

так что при достаточно малом Л, в частности также и на С, имеет место оценка

ln£(s+ 1) = О {in (Д/ln Г)"} + О (1) = О (1п2Т\

Полагая теперь) Т = ехр {с )/"1пх), находим

-б(Т'

J In^s+D^^^0 x-»ln2T J\ — AI\nT — it\-1dt\ =

-Ь-iTI0J

= О (X-6 In T ln2 T) = О (в-» ^^ ).

Это же соотношение имеет место для интеграла по пути (—d, b-^-iT). Далее

ь-нтs( ь \

j ln^(s+ 1)” ds= О 1111^- J х° do j =

-б+zrV -б /

= О х6) = О (-^) = о (е-= ^^)

и то же самое — для интеграла по пути (—д — ZT, b— IT). Так как функция

lhn£(s+l) — 1пД

5 ( к 175 )

в окрестности 5 = 0 однозначна и регулярна, то при достаточно малом А имеет место следующее равенство:

kU [ InC(sH-l) —<Zs = ^ [ Ini — ds.

2л; J k 17 s 2л/ J 5 5

cc

Из равенства

2лг J s s с (4л/|

с

= —-^{Н2^) —1п2(де-'х)’ ==~ ,п5'

в котором Af/(s) обозначает изменение /(s) вдоль С, следует

Ag J InCes+D^^-A j In2^_Lis_|n6. (5.25)

ссс

с

с

Для вычисления последнего интеграла возьмем д' < д и преобразуем С в следующий путь: отрезок (—д, —д') с arg s =— л, круг радиуса д' с центром в точке $ = 0 (проходимый в положительном направлении) и отрезок (—д', —д) с args = л. Интегралы вдоль действительных отрезков дают вместе величину

du.du.

du.

du.

Выберем теперь У = У(х) так, чтобы д'1пх->0 при х->оо; из определения д следует, что

d In х = A In x/ln Т = с ]Лп х -> со.

Тогда для х—>со получим

dlnx1б!пх

f 1 р~иГ 1рГ Р и

J иdu = J du— J -^—zZ//-|-ln(dlnx) =

б' Inx6' Inx1

= у + In (6 In x) + О (6' In x-|- e~crin*),

так как

О1

б' 1пх/бг Inх \

I ——du=O\du = O(6'lnx),

о\ О/

J ^—du^ J е~и du = х-ь = О^е-с^ХпхУ б In Л"61ПЛГ

Из равенства (х5—l)/s = lnx(l + ^(| $ |lnx)), |s|lnx->0, следует

Г t ( 1 Xs — 1 ] ,11 1\

In <> ds = О б In In х .

J ( s s j \ d' /

I s l=6'

Положим теперь д'= exp {—clnx} и внесем все это в (5.25). Тогда

-^ J ln:(s+l)4^ = ln2A;+Y+O(e-^^). С

Подставляя эти оценки в (5.25), (5.22) и принимая во внимание, что lnx/Т = О(е-^1пх), получаем (5.21). Из формулы (5.21) следует теорема 1.4.1 с более точным остаточным членом:

р <.хр т^ 2

Можно и без теории функций доказать, что константа а в теореме 1.4.1 совпадает с постоянной Эйлера. Это было известно уже давно (Мертенс [1], см. также Харди [1]). Если известно, что выполняется равенство

А^ = 5 y = ln2 ^ + а + О (^-j 1х-><»у

Р<Х

то, так как А (х) х1-а->0 (х->оо), из теоремы П.1.4 при а > 1 следует соотношение

/ №=2 р~°=S 4" ^=(а ~]) Iл ® г 0 ^-

РР2

!) Это формально следует из равенства

1+4+ +-—inn= гb-(i—-П—- г (1—— V—

1 2 11 пJ (\ п ) ) и J \ п и

О1

при п -> оо. Вводя новую переменную 1 — и/п, после коротких преобразований получаем эту формулу.

Отсюда

/(а) = (о —1) [ ln2^-g- + (a-l) [ а^

2626

СО

+ (а-1) [R® = O№^

2g

Из интегрального представления функции Г (s) с помощью дифференцирования получаем

у~— J e-u\nuduо

(так как у = —Г'(1)). Если положить ^°-х=еи1 то при о->1-|-0 можно написать

Л = (а-1) [ 1п2| Д + О ((»-!)) = [ е-Чп-^—duA- tо cr—1

+ О((а-1)) = -у-1п(а-1)+о(1),

J^^ U -j- О (1),

|Л1<с(а-1) f -Д-

1/(0-1)1/(0-1)с(а—1)с(а—1)В итоге при а->1-|-0В итоге при а->1-|-011= o(l).= o(l).

1/(0-1)

1/(0-1)

с(а—1)

с(а—1)

В итоге при а->1-|-0

В итоге при а->1-|-0

1

1

= o(l).

= o(l).

(5.26)(5.26)/(а)= —1п(а—1)—y+^ + o (1).

(5.26)

(5.26)

С другой стороны, согласно (2.9) и (3.1), для / (а) выполняется равенство

/(а) = 1пе(а)-^ 2 —^тр мр т^ 2 г/(а) = 1пе(а)-^ 2 —^тр мр т^ 2 гприприТакТака -> 1Д- 0. Сравнивая это с (5.26), получаемa=Y~S 2р т>2как имеют место равенстваа -> 1Д- 0. Сравнивая это с (5.26), получаемa=Y~S 2р т>2как имеют место равенствар т>2р т>2ииррss^+:р m > 2 рss^+:р m > 2 р1трт1трт

/(а) = 1пе(а)-^ 2 —^

тр м

р т^ 2 г

/(а) = 1пе(а)-^ 2 —^

тр м

р т^ 2 г

при

при

Так

Так

а -> 1Д- 0. Сравнивая это с (5.26), получаем

a=Y~S 2

р т>2

как имеют место равенства

а -> 1Д- 0. Сравнивая это с (5.26), получаем

a=Y~S 2

р т>2

как имеют место равенства

р т>2

р т>2

и

и

р

р

ss^+:

р m > 2 р

ss^+:

р m > 2 р

1трт

1трт

= 0

р > х т ^ 2п

то из (5.21) следует, что

1п2 X

Отсюда уже получается асимптотическая формула

Р < X

Если не пользоваться вспомогательными теоретико-функциональными средствами, из теоремы 1.4.1 можно было бы получить в остаточном члене этой формулы только 0(1/1пх). Впрочем, если не интересоваться значением у, формулу (5.21) можно получить также с помощью частного суммирования из равенства ф (х) = 5 Л (/г) = х-[-О (х^-^^111^) по теореме П. 1.4 без п < X

дальнейшего применения комплексного интегрирования.

§ 6. Элементарное доказательство теоремыо простых числах

Основой всех до сих пор известных элементарных доказательств теоремы о простых числах является асимптотическая формула Сель- берга [3]

6(x)lnx+ ^ 9 (у) In р = 2х In х +о (х In х) (х->оо). (6.1) Р<х

Если считать теорему о простых числах доказанной, то эта формула следует сейчас же из результатов гл. I. Действительно, из равенства 0 (х) = х -|- о (х) при х -> оо следует, что 9 (х) In х — х In х 4- о (х In х). Далее получаем

р < X/7 < Х^П X XpXV X <Р^Хр < X/7 < Х^П X XpXV X <Р^Х

р < X/7 < Х^П X XpXV X <Р^Х

р < X/7 < Х^П X XpXV X <Р^Х

= X In X + О (X In X), (6.2)

так как 9 (у) = х/р-^о (у) при р < x/ln х, a9(yj = o(yj при р^х и так как в силу (1.3.3) имеет место соотношение

In рIn р1п1пх4-0(1),1п1пх4-0(1),X —> ОО.X —> ОО.

In р

In р

1п1пх4-0(1),

1п1пх4-0(1),

X —> ОО.

X —> ОО.

Х/1п X < Р < X

Но не только равенство (6.1) следует из теоремы о простых числах, а также, наоборот, из этого равенства можно получить теорему о простых числах. Этим относительно сложным переходом от (6.1) к теореме о простых числах и отличаются друг от друга различные элементарные доказательства. Доказательство (6.1) возможно без использования вспомогательных теоретико-функциональных средств.

Если (6.1) записать в форме

6 w ++ Е 6 + 1п р = 2^ + ° W’

Р

то второй член слева можно считать за среднее значение функции 0 (х) по всем точкам х]р. В этом случае равенство (6.3) означает, что значение функции 6(х) плюс некоторое среднее значение асимптотически ведут себя так, как если бы 6 (х) было эквивалентно х. Теоремы, которые позволяют судить по поведению среднего значения функции о поведении самой функции, называются, как известно, тауберовыми теоремами.

Гораздо легче судить о поведении среднего значения по поведению функции, как мы это делали при выводе (6.2), чем наоборот, поскольку при усреднении свойства функции, вообще говоря, «стираются*. Например, легко можно доказать, что из соотношений

f (s) = 2 ann~s, о > 1, 2 ап~Ах, х->со,п <х

при s-> 1+0 следует соотношение

(5-1)/(5)->Л

/здесь 2 ап — функция и (s— l)/(s)— „среднее значение“\. Обратное) \ п < х/

однако, вообще говоря, нс верно, как видно на примере следующей функции (Ингам [2], стр. 38):

f (S) = 5 (S) + 4 К (S + 0 + Us - 0} •

Если бы обратное было всегда (или по крайней мере при ап ^ 0) верно, то отсюда при ап = Л (я) следовала бы теорема о простых числах.

Для доказательства (6.1) нам нужна

Лемма 6.1. Пусть функция F (х) определена при х^1, и пусть функция О\х) задана равенством

О^ = ^ ^(+1пх.(6.4)

т < х

Тогда имеет место соотношение

F(x)lnx+ ^т)^ 2 ^(у)-<6-5>

п < хd < х

Доказательство. Из равенства 1пя=2Л(й?) по формуле d | п

обращения Мёбиуса!) следует

Л(«)==^

d 1 п

Отсюда получается (см. (2.2.6))

F(x)lnx-|- F ) Л (п) =

11 < X

п < хd\nп <. хd \ п

n < xd | nii <xd\ n

7‘ V 7\ d )

d ^хm <x/dd < х

Теорема 6.1. При х^1 справедливо равенство

гр (х) In х + У гр Л (/г) = 2х In х + О (х).(6.6)

П < X

Доказательство. Если положим в лемме 6.1 F (х) = FT (х) = = гр(х), то найдем, что

G (х) = Ог (х) = In х i|?^) =

т < х

= 1ПХЛ(я) = 1пх 2 ^Л(<7) =

m<^x п<xpnk<.x d \ к

= 1пх У 1п^ — xlnx — X 1пх-]-О (In2 X) ]).

Если теперь положим F (х) ~ Fo (х) = х — у — 1, где у — постоянная Эйлера, и используем2) равенство

2 -± = h,, + v+o(^).(6.7)

т<х

то будем иметь

G (х) = Go (х) = In х У ^ -^- — у — 11 = х In2 х — х In х + О (In х). т. < х

В частности, отсюда следует, что

Gi (х) = Go (х) + О (/х ).

!) По формуле Стирлинга 5j In ^ = xln х-|-О (х).

к<х

Так как в силу (П.1.10)

2/^=0 d <х

ТО

2 ^^(-^ 2 Ц (d)O0 (-£-) +О (х). d<xd<x

Отсюда следует, что при F = FT и F = Fo левая часть равенства (6.5) остается одной и той же с точностью до О (х). Из (1.3.2), (2.17) и из соотношения

XI Л W _ XI In р _. VIVIIn р

2л п — 2л р + 2л2лр™ '

п<хр<хр m>2,pm^x

где двойная сумма меньше ^\nnjn^ = Oy\.y следует, что

F0(x>lnx + 2 ^(^М-

= (х— у— 1) In х + 2 (т — Y— 1) Л W = 2х In х + О (х). п <х

Из (6.6) получаем

'ф(х) In х + ^ ^^™^^ Р = ^х^ ХА"0 kx^^ (6.8) Р<х

потому что гр (х) = О (х) и

X Е -Д1п р=° w-

Доказательство теоремы этим заканчивается.

Равенство (6.1) следует теперь из равенства (6.8). Действительно, имеем

k = [In х/1п 2],

и, следовательно,

яр (х) = 0 (х) + О \х2 + х3 In х) = 9 (х) + О \х2 ;.(6.9)

Отсюда следует, что

При этомПри этом2 ^(у) 1пр = 2 0(^) ^Р + О^М)- р<ХР<Х

При этом

При этом

5 ^у^р=о(х), Р<Х

поскольку, согласно (1.4.6), справедлива оценка

Р<Х ^2р<Х р^

Это доказательство, более простое по сравнению с первоначальным доказательством Сельберга, принадлежит Татудзаве и Исеки [1].

Из соотношения (6.1) должна следовать теперь теорема о простых числах. Для этого потребуются некоторые леммы.

Лемма 62. При 1<^у<£ имеет место равенство

2 у=1пу+°(у)-<61(»

У < п <2

Доказательство получается сейчас же из (6.7).

Лемма 6.3. При \ <.у < z <,х имеет место оценка

(6.11)(6.11)

(6.11)

(6.11)

с константой В, не зависящей от х, у, z.

Доказательство. При 1-^у^х имеем

п < уп < у Р < х/пп<у\р<х/у х/у < р <х/п/

= 2 М1пр+ 2

р<х/ух/у<р<х

2 -^+°(9to)+[yie(y)-

Х/у<р<Х

Согласно (1.3.2) и (1.3.3), отсюда следует при l^y^x

У б(у) = х1пу+О(х), п <2

откуда получается (6.11).

Оценка (6.11) означает, что если сумма 5 ^ W^) распространена на не слишком маленькую область, то она ведет себя как ^ х[п. Эта оценка тривиальна, если х In (z/y) = О (х), т. с. если z/y ограничено величиной, не зависящей от х.

Лемма 6.4. При 1^у<2^^2у имеют место неравенства О< 0(z) — 6 (у) < 2 (z — у)4-о (z).(6.12)

Доказательство. Левая часть неравенства очевидна. Если в формуле (6.11) положим х = z, то получим

6 (z) In z + ^ б(-|-)1п/? = 2^1п^ + о(^1п^).(6.13)

Р<2

Напишем равенство (6.1) для х = у и прибавим к левой части О (у) In (z)^| = О (у) (так как г<^2у) и к правой части 2у1п(^/у) = — О (у). Тогда

6 (у) In Z + 2 6 (у) In р = 2у In z + о (z In z).

Р<У

Если вычесть это из (6.13) и воспользоваться тем, что 0(у)<^0(^), 9 (У/p) ^ 9 (z/р)* то получим (6.12).

выражает некоторое свойство непрерывности 0 (х\ Если считать теорему о простых числах в форме (2.14) доказанной, то, естественно, имеет место соотношение 0 (z) — 6 (у) = z — у + о (z).

Ниже (до конца § 6) символ 5 будет всегда означать суммирование по интервалу (1пх, х,1пх\ Если п находится в этом интервале, то и п—>оо и -^->оо при х—>оо. Далее при х —>оо

^'-^ = (1+о(1))1пх,(6.14)

р

6(х)Inх +^'о(у) In р = 2(1 + о(1)) xlnx. (6.15)

2,e(^) = (l+o(l))xlnx.(6.16)

Формула (6.14) получается из равенства

2-^ = 1пх + о(1),(6.17)

р<,х

так как часть суммы, распространенная на области p^lnx и x/lnx < р ^х, есть О (In In х\ Соотношение (6.15) следует из (6.1), если опять воспользоваться (6.17) и равенством 9(х,р) = О (х[ру Наконец формула (6.16) получается из леммы 6.3 при у —1пх, z = x!\nx.

Положим теперь

a = lim-^^- , А = Пт - ^ (х->оо).(6.18)

Уже известно, что 0<а^Д<оо (1.3.2).

Лемма 6.5 Имеет место равенство а~\-А=2 -и, следовательно, а ^ 1 <; А.

Доказательство. По определению верхнего предела имеется последовательность неограниченно растущих значений х, для которых

0(х) = Д(1 4-0(1)) х,(6.19)

Кроме того, по определению нижнего предела для каждой последовательности неограниченно растущих значений х имеем

0(х)> о(1+о(1))х.(6.20)

Так как xlp->oo для р из интервала (Inx, х/1пх), то если мы заставим х в (6.15) пробегать последовательность, для которой справедливо равенство (6.19), то получим

Да + оа^лПпх + ^УйН + о(1))у 1п/> < 2(1 + о(1))х1пх.

Р(6.21)

Отсюда, согласно (6.14), следует неравенство д^^^З. С другой стороны, если заставить х пробегать последовательность значений, для которой 0 (х) = а (1 4* ° (0)х, и воспользоваться тем, что всегда выполняется неравенство

0(х) < Д(1 4-о(1) )х (х->оо),(6.22)

то получим также, что а-\-А ^2. Таким образом, равенство ААга = 2 доказано.

Разделим теперь интервал (Inx, х/1пх) на

т = (In х — 2 In In х)1 — ~ In х(6.23)

L оJov 7

интервалов Jk вида

Jk = (^-06 Inx, ekb Inx), ^=l, 2m, (6.24)

и один интервал

^+! = (5m6ln^, x/lnx),

который может быть пустым. При этом 0 <б^~ и б—пока любое действительное число, не зависящее от х. Тогда, согласно формуле (6.10), имеет место равенство

2 1 = 6(1 +0(1)) (1<А<т).(6.25)

Константы в о( ) и О( ) и константы с^ с2, ... в дальнейшем всегда не зависят от 6; следовательно, при возможном уменьшении 6

они остаются теми же самыми. Все последующие равенства и неравенства имеют место, если х больше некоторой величины, зависящей от д (которая вообще при д->0 неограниченно растет); это будем считать известным не оговаривая особо. Далее (до конца § 6) х будет пробегать последовательность действительных чисел —>оо, удовлетворяющих условию

0(х) = Д(1+о(1))х.(6.26)

Лемма 6.6. Неравенство

6(7г)<(й+д)^(6,27)

имеет место для множества простых чисел рх из интервала (Inx, х/1пх], удовлетворяющих условию

^^->^ — сх^\пх.(6.28)

Рх

Доказательство. Пусть р^ пробегает множество простых чисел из интервала (1пх, х[1пх\, для которых не выполнено (6.27). Следовательно,

\ Р2 /Р2

Из-за того, что х1рх->оо (х-хх), по определению а в силу (6.26) имеют место неравенства

2(1 + о (1)) х In х < (2 + д2) х In х,Чх^^-^т? емхл-62)^

Если подставим это в (6.15), то получим

(2 4- 62) х In х > (Д — д2) х In х +

РхPl

= (Л — д2)х1пх + (а + д)х^У— (б + б2)*^

РРх

Из (6.14) следует

^^>(1-б2)1пх. р

Подставим это в верхнюю формулу и воспользуемся тем, что а-|-Д = 2, а^1 и д^у,

(б + б2)^ ^2^-> {д —(2 + <z)62 —б3) In л: > (д — 4д2) In х.

Рх

Так как (6 - 462)/(6 +62) = 1 - 56/(1+6) > 1 — 56, то (6.28) доказано при ^==5.

Лемма 6.6 в некотором смысле есть улучшение леммы 6.5 и выражает приблизительно следующее: если 0 (х)/х — большое, то очень многие из 0 (х/р) • р]х должны быть маленькими.

Лемма 6.7. Имеют место неравенства

У ^<26 + ^2,6 = 1, 2т+1.(6.29)

Р\

Pl^jk

причем Jk — интервалы, определенные в (6.24).

Доказательство. В силу (6.12), полагая у = ^-1)6 in х> получаем

2 In рх ^ 2 In Р < 2 (у^6 — у) + 62уе5. P\^JkP^Jk

Так как е6— 1 < ^ + 62^ + ("^) +...) = 64-д2, д<~ и р ^у ДЛЯ p^Jk. то

У 1Д£е<2(^—1) + 62^<26 4-с262. " р\

Неравенство (6.29) можно рассматривать как выражение свойства непрерывности ^ 1° PjP- Если бы вместо (6.12) мы использовали только (6.17), Р<Х

то получили бы вместо 26 + с262 только 6 + 0(1), что при 6->0 не стремится к 0.

Лемма 6.8. Пусть Мх—число интервалов Jk, k ^тЦ-!, которые содержат по крайней мере одно рх. Тогда

N^tn^^)^("^'—^з^1пх, х—>оо. (6.30)

Доказательство. Если предположить, что (6.30) не выполнено, то по лемме 6.7 получим

5' "тг < N1 (26+С2&2) < (2д+Сгб2) (i ~Сз+0 (1))1П х-

Pl

а это для достаточно большого с^ противоречит (6.28).

Лемма 6.9. Для всех nv п^ из интервала (Inx, х/1пх], удовлетворяющих неравенству

е-5<+<А(6.31)

имеем

+ 0^ + ^ e('2L^c А.(6.32)

I X \ пх / X \ п2 / I 447

Доказательство. Пусть (п^х) 6 (х)п^ > (п2(х) 6 (х (п^. По формуле (6.12) получаем

I е о (—М <21 — — — | + б—еб =

так как е^так как е^\ПХ )\ «2 / I I "1«2 I Пх

так как е^

так как е^

Z1L0 XZ1L0 X1+26^2 для 6 + у. Отсюда следует, что

Z1L0 X

Z1L0 X

— + — о — + ^6 + — 6 —I е6 + Сгб.

\ пх / X \ П2 ) ь X \П2 )1°

Принимая во внимание неравенства ^6 < 1 —|—26 и 9(xjn^ < cxjn^ получаем

откуда следует (6.32), если (^i+) 6 (+^i) + (^2+) 6++)^ в Другом случае нужно только поменять местами пх и п2.

Лемма 6.10. Пусть Jk» k + т-^-1, — интервал» в котором находится по крайней мере одно рх. Тогда

(6.33)(6.33)6 (— I + (^ + G6) ~ для каждого n£Jb.

(6.33)

(6.33)

\п / х 1 7 7 пk

Доказательство. Утверждение леммы при сч— 1 + с4 сразу следует из (6.32) и (6.27); (6.32) справедливо, поскольку £-6 + <n/pi<e6 для рх £Jk и п^ Jk.

а = 1 — X, Л = 1 + X, 0 + X < 1. Предположим, что Z > 0, и докажем, что это ведет к противоречию.

В последующем константы в о( ), О( ) и константы с%» с9, ... не зависят жак от х, 6, так и от Z. Насколько большим должно быть х, для того чтобы выполнялись соответствующие неравенства, зависит, вообще говоря, от 6 и X.

Лемма 6.11. Пусть П2 — число тех интервалов Jk» к + т» для которых имеет место неравенство

(a-Vc^X— < 9 (—+ fl—при каждом п£К. (6.34)

(6.35)(6.35)Тогда при достаточно малом 6 (например» при 0 < 6 < 6г (X) выполняется оценка

(6.35)

(6.35)

Л/2> Cg-^-lnX.

Доказательство. Рассмотрим цепь из Л1 следующих друг за другом интервалов Jb, к ^.пг, для которых имеет место неравенство

—у ^^ ПРИ каждом n^k—у ^^ ПРИ каждом n^k(6.36)(6.36)

—у ^^ ПРИ каждом n^k

—у ^^ ПРИ каждом n^k

(6.36)

(6.36)

Если просуммировать последнее неравенство по всем п из всех Л4 интервалов, то, согласно (6.25), получим

(мы предполагали k^.mY С другой стороны, по лемме 6.3 имеем

V 0> хМЬ — СаХ.

Оба неравенства вместе дают

Mb ^х +о(1))<с9,

’

Если в интервале Jb находится хотя бы одно pv то, выбирая, например, д < д2 (л) = min ^, Х/4с7), в силу леммы 6.10 получим о (-')<(» + с7д)- =

= (1—^ + с7д)-^<^1 —у х) ~ для каждого n^Jb. (6.37)

За последовательностью из не более чем i10/Xd друг за другом следующих интервалов, где выполнено (6.33) (кроме, быть может, последней такой последовательности), следует последовательность интервалов, в которых &(х/п)п/х растет от (1—Х-(-^) п0 крайней мере до (1—у zj1), иначе говоря, возрастает для д<д2(^) по меньшей мере на

2* ^с7$ > f ^-

По лемме 6.9 для такого увеличения требуется по меньшей мере

4 Л

!) Если (6.33) выполняется, то выполняется также (6.36); 9 ^[п^ п)х может, естественно, иногда отсутствовать.

интервалов Jk. Для достаточно малого д (6.34) справедливо самое меньшее в

Сп|-2>с12А.0 < д < д3(Х) <д2(Х),

таких интервалов1).

По лемме 6.8 имеется по крайней мере

>(^-^)^-(l+o(D)lnx>c13Mnx,

0 < 6 < д4(%) < б3(Х),

— В каждой цепочке содержится по крайней мере i12X/d интервалов, где выполнено (6.34), и это дает в совокупности самое меньшее

А .XX2 .

In X . г12 у = Г12Г13 —у In X

таких интервалов. Этим утверждение доказано с f 8 < с12с13.

Теорема 6.2. Имеем Л, = 0 и, следовательно,

Ит-^^ = Пш-^Д=1.(6.38)

XXv 7

Доказательство. Предположим, что X > 0. Тогда (в прежних обозначениях) из (6.25) и (6.37) следует

^'e^Jc^ci + oG))^ (i-x+c7d)+ п

+ N2(1 — ^- х)-Ь(/пЧ- 1 ——^)(1 ч-х 4-0(1))},

так как для п, не причисленных к Nx и N^, обязательно имеет место неравенство

е(—) < — л (1-н о (1)). д = 1+х.

9 Так как если (6.34) не имеет места для некоторого Jk, то по лемме 6.9 для всех nCjk или 0 (лг/тг) п'х < асчЬ 4“сД или» если Уд— последний интервал последовательности, возможно, 0 (xln) п[х > 1 — у Л — с4б.

Далее это дает, при достаточно малом д, если использовать формулу (6.23) и леммы 6.8 и 6.11,

^ 0[^)<хд(1 + о(1)){(т+ 1)(1 + А + 0(1))- п

(

О\ \

4^+о(1))}<

<xlnx . (1 +о(1)){х+1 — (1 — с3д)(2Х — с^ — yC8Vp).

Уменьшим д, если нужно, настолько, чтобы выражение в фигурных скобках стало меньше единицы. Это возможно, так как X > О, и мы получим противоречие с формулой (6.16). Следовательно, Х = 0 и равенство (6.38) также доказано.

По теореме 2.4 из (6.38) следует теорема о простых числах.

Примененный здесь метод — выводить теорему о простых числах из формулы Сельберга (6.1) — принадлежит Р. Бройшу [1]. Другие методы можно найти у Эрдёша [7], Сельберга [3], Райта [1]. Естественно, что различные способы выводить из формулы (6.1) теорему о простых числах имеют много общего, поскольку это связано с существом дела.

Первоначально формула (6.1) доказывалась несколько иначе. Если положить

М<0 = М<*) 1п*-£

и fW= 2 ^ №» то для п^х, как легко показать, имеют место соотно- d | п

шения

/ (1) = In2 х. / (ра) = — In2 р + 2 In х In р, / (ра^) = 2 In р In q^

где р и <7 — различные простые числа, а, р — натуральные числа и / (/г) = О для всех остальных п. Если мы образуем сумму

$(*) = 2 /(я),

п < X

то числа /?, имеющие больше чем два простых сомножителя, отсеиваются; X (d) играют роль, аналогичную р</ в методе решета Сельберга в гл. II. Следовательно, можно назвать f (р) „фильтрующей функцией*, которая, правда, отсеивает не только простые числа, но также еще числа, имеющие не более двух простых сомножителей. Подставляя значения / (п\ получаем

р < х

С другой стороны, можно также записать

d < х

О Следует принять во внимание, что с 4* о (1) — с (1 + о (1)).

Из этой формулы можно после некоторых преобразований получить 5 (х) = = 2х In х + о Хх In х\ Если положить 2 = х(1п2 х, то ошибка, возникающая при опускании квадратных скобок, нс больше чем

In2 ^-^ 1 = о (х In хУ

г <d <х

Для главного члена нужна формула

2}-^-in^ = 2in х+0(1).d<x

Доказательство этой формулы см. у Сельберга [3].

Вышеприведенное доказательство Татудзавы и Исеки упрощает несколько более трудные вычисления первоначального доказательства.

По поводу обсуждения некоторых аналитических фактов, связанных с элементарным доказательством теоремы о простых числах, см. также Винер и Геллерт [1].

Задачи к главе III

Показать, что

— ($) = S IRes>l,

и тем самым доказать, что из существования предела Пт ^(х^х вытекает, что он равен 1.

Другое доказательство теоремы 4.2 проходит следующим образом 1). При о > 1

lnC(s)=2-^ + /(s).р

где / (s) регулярна в полуплоскости о>у. Следовательно,

1п—о->1+0. о — 111п—о->1+0. о — 11

1п—о->1+0. о — 11

1п—о->1+0. о — 11

Если бы С(l+^i) равнялось нулю, то при s = o-\-itX) о->14~0, мы имели бы

% ^Л " =ln|C(s)|4-Re/(S)~ln(o-l).

Последнее и предпоследнее равенства позволяют видеть, что cos^ In р) в известном смысле должен быть близок к — 1 для многих р. Но тогда cos (2^ In р) должен быть близок к 1 (для многих р) и было бы

In I с (о| ~ 2

9 Адамар [1].

Отсюда опять следует, что o-Y ^t— полюс С (s), а это невозможно. Проведите эти рассуждения точнее.

Доказать, что ряд

2-^-(1+COS (/1П Л))п

имеет абсциссу сходимости 1. При о > 1 этот ряд представляет функцию

■w+T{r<s+") + f

Еще одно доказательство теоремы 4.2 состоит в следующем '). При о > 1 имеем

f/cx £m(s + «)U.s-«) _ V 1£^

JW—g(2s)— ns ’

n

Cn-^d».d | n

Пусть a — абсцисса сходимости этого ряда. Тогда по теореме (П.2.4) a — особая точка / (s) и / (s) регулярна при a > а. Пусть £ (1 + //^=0 и, следовательно, £(1—/^) = 0, тогда должно быть а<^02). Это невозможно, так как тогда было бы /(у)^|С1Р=1> в то время как в действительности /^) = 0.

Докажите, что

= О (1п2| / |), 0>шах(1, 1 —|/|>2 при постоянном с.

Из равенства

^) = 7^+1-5Г^-^)-рг- а>°-

следует С (о) < 0, 0 < о < 1.

В задачах 7—И нужно доказать асимптотические формулы комплексным интегрированием и вычислить константы.

2 ^2W— cxln3x,

(2 ^2 («)«-'=&4Ж(25Й.

!) Ингам [1].

2 (linW~ сх in"1-1 х, П < X

где dm (п) — число разложений п = 7^2 .. . пт.

Пусть г (п) — число решений уравнений q>(ni)=n. Тогда 2 Г (^) ~ СХ, п<х

\ vv (р) (pz) I у

В обозначениях теоремы 2.4.2

^ ^ П гЛ (р) ~ с lni

tn £ (z)р | т

при постоянных ахas, bxbs (т= JJ Р^Л • \ р \ т /

и. V = ^=4.

d (п)/1п х

п < X

Как изменятся константы в задачах 7—11, если потребовать, чтобы п (соответственно т) были бесквадратными числами?

о (0<y<l),о (0<y<l),>1)>>1)>Докажите, что

о (0<y<l),

о (0<y<l),

>1)>

>1)>

b-vi со

fds =

2л/ J s(s + l) ... (s + A)

b — I oo

где b > 0 и ^ ^ 1 — целое.

13 2). С помощью задачи 12 докажите при b*> 1

0+/СО.

n < xb—ico

С помощью теоремы 4.7 докажите, что ip} (х) ~ у х2.

Из задачи 14 получить асимптотическое равенство гр(х)~х.

При этом использовать следующее. Пусть ал^0, п=\, 2, .... и

л (х) = 5 а„,п С хл (х) = 5 а„,п С хЛ, (X) = J Л (У ах= 5 (х — га) ап. 0п < х

л (х) = 5 а„,п С х

л (х) = 5 а„,п С х

Тогда из Ах(х)~Дха, х—>оо (а, А > 0) следует соотношение А (х) ~ Ааха~х. (Надо использовать тот факт, что при е > о

9 Вильсон [1].

выполняются неравенства

х(1+е) х

4 J Л©^<Л(х)<4 J Л(^).(1-е) хх

Обратное доказать легче, и оно имеет место без ограничения ап ^ 0. Следовательно, если теорема о простых числах ^(х)~х уже доказана, то Ф1 (№ ~ ^ *2-

Докажите при Ь>0 формулу

b +I сол

1 Г у5 л °’0 < У < !■

2яг ь ' s liny, у 1.

С помощью задачи 16 докажите, что

2+Zx2

2A(n)lnJ- = ^ / (-.L^^ + Od). п < х-2-ix2

С помощью задачи 17 докажите асимптотическое равенство

2 A(/i)lnX~xп < X

и из него соотношение ф(х)~№).

Исследуйте сходимость рядов

2^. IK'-U

при s = 1 4*^, /^0.

Для функции ф^х) из задачи 13 при Ь^Х справедливо равенство

b + I оо

Ф1 (х)1 Л11С., х,

-■1 9 ■—п- 1hCs^x^^ds, х2 2 \х) 2лг Jv 7

h (s) =тД-iv f -I- (s) HЦ-).

v 7 S ($ + 1) \ £ v 7 1 s — 1 / причем оно имеет место даже при &==!. Отсюда следует

!) Ландау [5], гл. XII.

и = 1пх. Из того, что

4-оо

J I h (14- it) |< co.

обобщая лемму Римана — Лебега из теории рядов Фурье, получаем

Это другое доказательство1) соотношения ^(х) — у-^2-

Докажите (5.16) без рядов Дирихле и докажите тем самым, что из соотношения хр(х)~х следует равенство 2 |x(n) = o(x), п

9 Ингам [2]; Титчмарш [3].

Глава IV

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Введение

Пусть к — натуральное, а / — целое число, 0 ^ I < к. Спрашивается: существует ли бесконечно много простых чисел в последовательности /, l-^-к, 1-{-2к, ...? Для этого необходимо, чтобы / и к были взаимно просты, так как каждый общий делитель I и к делит также и 1-\-пк (^=0, 1, 2, . . .). Поэтому если (/, к)> 1, то при п> 1 числа 1-\-пк заведомо не простые.

Во всей гл. IV, если не оговорено противное, числа I и к всегда будут предполагаться взаимно простыми. В некоторых частных случаях легко можно показать, что имеется бесконечно много простых чисел вида 1-\-пк (^=0, 1, 2, ...). Например, при А=1, / = 0 и к =2, I = 1 это следует из того, что существует бесконечно много простых чисел. При к = 4, / = 3 это следует так же, как при доказательстве теоремы 1.1.2 из того, что число 4р1р2 . . . pm-\-S должно иметь по крайней мере один простой делитель вида in-J-S). Это приводит к противоречию, если предположить, что нет простых чисел вида 4п-|-3, кроме pv р^ . ... рт.

Доказательство того, что в каждой арифметической прогрессии, разность которой к взаимно проста с начальным членом /, имеется бесконечно много простых чисел, т. е. что сравнение

p = /(mod^) (1.1)

имеет бесконечно много простых решений, впервые получил Дирихле). Для доказательства этого утверждения он ввел так называемые характеры, о которых мы будем говорить в § 2.

В гл. I мы доказали бесконечность множества простых чисел, пользуясь неравенством

(1.2)(1.2)

(1.2)

(1.2)

Логарифмируя это неравенство, получим

р < Xп < X

так как 2S Viinpm <со. Отсюда уже следует, что ^ -~->оо р, т>2Р^х

при Х->ОО.

Для доказательства того, что имеется бесконечно много простых чисел р, р = I (mod kp достаточно показать, что

5 у->оо при Х—УЗО.(1.4)

р <х, р^Л (mod ft)

Для этой суммы гораздо труднее найти соотношение, аналогичное соотношению (1.3) для суммы 2 V/7 по вссм Р^х-

Если бы, например, в (1.2) мы взяли произведение только по тем р, для которых ^^/(mod^), то справа появилась бы сумма вида 5 ^!т' т <х где т пробегает все числа, состоящие из простых множителей /?,/? — /(mod ^). Но заранее также неизвестно, расходится ли 5 Мт> как не известно, имеется ли бесконечно много /? = / (mod й).

Эту трудность преодолел Дирихле, рассмотрев произведения вида

Р<Х

где f (р)— некоторые вполне мультипликативные функции). (Собственно говоря, он рассмотрел .функции

РИ- П<'-6>

2 <. р < со

при 5 > 1), но мы не будем ими заниматься в данный момент.) Перемножая (1.5) и пользуясь полной мультипликативностью f (п). получим, например, при |/(р)|^ 1

Р<Хр^х

(1.7)

причем штрих у знака суммы означает, что суммирование прово

х. Имеетх. Имеетместо формуламесто формула0(1).0(1).(1.8)(1.8)ди гея по всем п, которые получаются от перемножения р

х. Имеет

х. Имеет

место формула

место формула

0(1).

0(1).

(1.8)

(1.8)

(1.9)(1.9)которая совместно с (1.7) даст сведения о сумме

(1.9)

(1.9)

р

Р<х

если мы получим соответствующие сведения о сумме в правой части равенства (1.7). Уже понятно, что полезно положить, например, /(р)=1 для p = Z(modZ?) и /(/?) = О для p^l (mod к"). Впоследствии мы определим мультипликативные функции /Р /2, . . ., Д, Н — ^(ку зависящие от к и Z, которые обладают свойством

1 для tn = l (mod k),

7 = 1I7 = 1IО для тф1 (mod к),

7 = 1I

7 = 1I

\ft(n)\<L i=L 2, к (^=1, 2, 3, ...)(1.10)

и для которых сравнительно легко изучать соответствующие суммы в правой части равенства (1.7) ^. В действительности мы поступим несколько иначе и вместо

TTh-Z^f1, VWL, z=1.2hi

\ Р )п

будем использовать функции

2<р < ОО72 = 1

(1.11)

Так как |/z(n)|<^l, то при s> 1 произведение и ряд (1.11) абсолютно сходятся. Легко показать, что P?(s) = F^s) при s > 1 и, кроме того, при s->l-J~O имеет место формула

lnfz(s)^ln^(s) = 5^1+0(1) (1 </</?).р

*) Эта формула позволяет отобрать простые числа, сравнимые с I по модулю к. После того как произошел этот отбор, рассуждения проходят с помощью функций F^sY введенных в (1.11), во многом аналогично рассуждениям, проведенным в гл. III при доказательстве теоремы о простых числах (т. е. для к — 1, h = 1, Fx (s) = £ (s)).

Отсюда и из (1.10) следует соотношение

4Sln^(s)= 2 -^ + 0(1).(1.12)

i = lpsi (mod ft)

Основная трудность — доказать соотношение

h

(1.13)(1.13)21nfz(s)->oo (S->l+0).

(1.13)

(1.13)

i = \

Из него сразу же следует, что сумма в правой части (1.12) имеет бесконечно много членов !).

Характеры

Рассмотрим целое число Z?> 1, и пусть

(2.1)(2.1)^ = 2ао^1...^г

(2.1)

(2.1)

— разложение к на простые множители. Обозначим через gv g^ ... .gT первообразные корни по модулям р^, р^, .. ., р^. Тогда, как известно, для каждого натурального числа Z, (Z, &)=1, имеются числа у, у0, уР ..., Yr* такие, что

Z = (— 1)Y 5vo (mod 2ао), Z = g^ (mod p^iy 0<y<2,О<уо<2ао-2,0<Y. <ф(р“;) = р“г1(р/_1)■

для Z = 1, 2, . . ., г, и для каждого Z, 0 < I < к, (I, k)=U имеется только одна система у, Yo* Yr ••* Yr такого вида2). Пусть теперь е, е0, Ер . ... 8Г — любые корни из единицы порядков 2, 2а°-2 ф(р“')ф (р^У Такую систему корней из единицы можно выбрать 2 • 2ао"2 • q^P^ . . . q (р^ способами.

Определим функцию /(п) = /(п; £, е0, 8Р ...» ег) формулой

Х(0 =Х(0 =е^Х1 • • • ^ое^Х1 • • • ^одля (Z, к) = 1, для (Z, к) > 1,для (Z, к) = 1, для (Z, к) > 1,(2.3)(2.3)

Х(0 =

Х(0 =

е^Х1 • • • ^

о

е^Х1 • • • ^

о

для (Z, к) = 1, для (Z, к) > 1,

для (Z, к) = 1, для (Z, к) > 1,

(2.3)

(2.3)

9 Для к = h = 1, I — 0, Fx (s) = g (s) очевидно, что из In £ (s) = = 2 ^-5+(1) п0 теореме 3.3.1 для s ~> 1 + 0 следует расходимость р

ряда 2 UP* следовательно, существует бесконечно много простых чисел.

См., например, Хассе [1], § 5. Для a0 = 1 первое сравнение надо заменить сравнением / s 1 (mod 2); у и у0 отсутствуют.

где у, у0, ур Yr для V’ А)=1 задаются формулами (2.2). Если 8, 80, 8р . . ., ег выбраны всеми возможными способами, то мы получим в совокупности ф(&) функций1). Эти функции, определенные на множестве всех натуральных чисел, называются характерами по модулю к. В частности характер, образованный системой 8 = 80 = = 8!=... ,=8r—1 называют главным характером и обозначают Хо (0= = Хо* Из определения Хо следует, что

( 1, (/, ^) = 1,

Хо(О = |о (/, &)^1.(2-4)

Для каждого характера х(1)=П

Пример. При к = 5 имеются четыре характера со значениями

Хо=1.

1,

1;

1,

0.

Xi = 1.

Z,

— Z,

—1,

0.

Х2 = 1.

— Z,

Z,

— 1,

0,

Хз= Ь

—1,

—1,

1,

0

для Z=l, 2, 3, 4, 5 (mod 5).

Легко получить следующие соотношения для любых натуральных пг и пл

X(fn) = xW» m = n (mod к),(2.5)

X(m)X(«) = X(m”)-(2.6)

Главные свойства характеров выражаются формулами

2, х(0= пI mod кk U,,( ср (к), если^«= о. =™2, х(0= пI mod кk U,,( ср (к), если^«= о. =™если Х = Хо.

2, х(0= п

I mod кk U,

,( ср (к), если

^«= о. =™

2, х(0= п

I mod кk U,

,( ср (к), если

^«= о. =™

если х=^Хо*1 ;

хх1 = 1 (mod^), Z^l(mod^),

х

х

причем I в (2.7) пробегает полную систему вычетов по mod к, а х в (2.8) пробегает все ф(&) характеров по mod#. Чтобы доказать формулу (2.7), воспользуемся соотношением

2ко = 2 =’=;<.■=?= 2 =-22=?'.(2.9)

Z mod ЛY,Y0, •••, VrY YoYr

в котором суммирование проводится по всем 0^у<2, О^уо< < 2аа"“, . . ., 0<^уг < ф(р“гУ Если хотя бы одно из чисел 8, е0, ..., 8Г не равно 1, т. е. если х не главный характер, то соответствующая сумма

Ч Позднее выяснится, что эти функции только меняются местами, если выбрать другие g>

равна нулю, так как для каждого корня m-й степени из единицы ^1

При 8 = е0 = ... =гг=\ для суммы (2.9) получаем значение 2 • 2а°“2(р (р"1) • •• ф-(р”г)’ что и доказывает (2.7).

Теперь докажем (2.8). Имеем

2х(0 = 2 eveov° • •. ^г = 2 ey 2 ^ ... 5 ^г- (2.Ю) хе,е0еге е,г,

где суммирование проводится при постоянной системе у, у0, .уг, соответствующей V по всем корням из единицы е, е0, ..., ег порядков 2, 2ао~2, .(р^“г). Если хотя бы одно из чисел у не равно нулю, т. е. если I ^ 1 (mod &), то соответствующая сумма обращается в 0, так как

2£а = 0, a^O(modw),

если £ пробегает все корни /я-й степени из единицы. Для у=у0=у1==.. . . .. = уг = 0 значение суммы в (2.10) снова равно 2-2ао~2 ... <р^р^ = = ср(к), что и доказывает формулу (2.8).

При (/, &)=1 из (2.8) следует

]- f 1’ n = l (mod k\

<PW 2^х^х^= [ 0, «^/(modft).t-2,11)

Для каждого характера % функция % определяется формулой

Х(О = х"’(О Для (/,&)=!,(2.12)

так как значение % для (/, ^) = 1 есть всегда произведение корней из единицы. Пусть теперь V — решение сравнения VI = 1 (mod &). Тогда очевидно, что ^V' &)=1, и так как %(1)=1, согласно формулам (2.5), (2.6), получаем

х(0х(Л = 1.

Отсюда следует, что

2 х («) х (0 = 2 х (я) х-1 (0 = 2 х («) х ^ = 2 х («/')• XXXX

Из последнего соотношения и соотношения (2.8) следует (2.11), так как равнозначны следующие сравнения: ml (mod к) и nV = 1 (mod k), пф1 (mod ^) и nV ф 1 (mod k).

Теорема 2.1. Каждая функция f (п), определенная для всех натуральных чисел п и удовлетворяющая соотношениям

а) /(«) = 0, /(«)¥= О, b) /(т) = /(«),а) /(«) = 0, /(«)¥= О, b) /(т) = /(«),(п, k) > 1, (п, к) = 1, w = ^(mod к),(п, k) > 1, (п, к) = 1, w = ^(mod к),

а) /(«) = 0, /(«)¥= О, b) /(т) = /(«),

а) /(«) = 0, /(«)¥= О, b) /(т) = /(«),

(п, k) > 1, (п, к) = 1, w = ^(mod к),

(п, k) > 1, (п, к) = 1, w = ^(mod к),

с) f (тп) —f (т) f (п) при любых натуральных тип (полная, мультипликативность), должна быть одной из рассмотренных функций х(п).

Действительно, во-первых, из с) следует /(1) =?/(!)/(1), и так как из а) /(1)^=0, то /(1)=1. Далее, обобщая (2.2), в элементарной теории чисел доказывают, что существуют такие числа (О, (оо, . . ., (ог, что любое число I, ^<,1<к, (I, к)=\, можно единственным образом представить в виде

(2.13)(2.13)I = (dy(o^ . . . (oYr (mod к),

(2.13)

(2.13)

причем у, Уо» Vr имеют те же значения, что и в формуле (2.2). Кроме того, имеют место соотношения

9 2ай-2(О2 = (Оо =9 2ай-2(О2 = (Оо ==(р/) = 1 (mod к)]).=(р/) = 1 (mod к)]).

9 2ай-2

(О2 = (Оо =

9 2ай-2

(О2 = (Оо =

=(р/) = 1 (mod к)]).

=(р/) = 1 (mod к)]).

Принимая во внимание с) и Ь), из последнего соотношения получаем {/((о)}2 = /(со2) =/(1) = 1, так что /(о)=± 1. Аналогично получаем, что /(соо), f ((00 . .. должны быть корнями из единицы порядков 2а°“2, Ф^"1), . . . . Так как / (/) = /Y (to) /Yo (о0) ... /Y'((or), то ясно, что / — характер.

Следовательно, характер по mod к можно определить как такую функцию, которая удовлетворяет условиям а), Ь), с).

Очевидно, что произведение X'(/г) X" (я) = х (А) двух характеров 7J (п) и 7“ (п)— опять характер.

Теорема 2.2. Никакие два характера из совокупности ф(^) характеров не равны, т. е. не совпадают при всех значениях п.

Пусть, например, в соотношении (2.3)

х'(«) = Х/(/г’ е'' е0ег)'

Х'Чп) = х"(п, е". е", ..., е^).

9 Нужно только величины о, о0, ..., ол определить так, чтобы о — 1 (mod 2а°), со™1 (mod ^/2а°), g)0^5 (mod 2а0, соо = 1 (mod &/2^^ (^ == г g1 (mod /?“*), g)1 = 1 (mod k[p^ и т. д.

Тогда или € + Fr, или по крайней мере для одного / (/ = 0, 1, ..., г) е^е?. Если имеет место последний случай, то, очевидно, х'СО^х'ЧО для такого Z, для которого

Y = Yo = ••• = V/-i =Y<+i = ••• =Yr = 0. Yz=l-

Если при k = 1 определить единственный характер х (я) = Хо W— 1 для всех натуральных чисел п, то этот характер обладает всеми свойствами выше определенных характеров.

Область определения % (я) можно распространить на нуль и на отрицательные целые числа. Для этого надо предположить, что условие Ь) выполнено для всех целых чисел. При к = 1 надо положить %(0)=1 и /(/п)=1 при m + 0 (так как (пг, 1)=1 для любого целого /п); при к> 1 полагают х (0) = 0, так как (0, к) = к> 1.

§ 3. £-функции и теорема Дирихле

Пусть к^ 1. После того как введены характеры, можно построить функции //(я)* определенные в § 1. Именно если за функции //(я) (/=1, 2ф(&))взять ф(&) функций xWx(0’ то ввиду (2.11)

условие (1.10) выполнено. Функции Ft(s) из (1.11) отличаются множителем х№ от ф(&) функций L(s, х). где

пр

Так как | % (п) | = 1 или 0, то последний ряд сходится во всяком случае в области о > 1 и функция £(s, х). определяемая этим рядом, аналитична в этой области (см. П., § 2). В частности, для к == 1 существует только главный характер, и £(s, х) переходит в функцию £(s). Многие из свойств £(s, х)« которые будут доказаны впоследствии, аналогичны свойствам ^(s), однако поведение £(s, х)» X + Хо* в некотором смысле отлично от поведения L (s, Xq)-

Теорема 3.1. При о> 1 имеет место разложение

Р^ кР

для любого х mod к ]).

Это утверждение следует из теоремы 3.2.3, если положить /(р)=0 при р\к и f {p) = %{p')lps при р\к, и из соотношения

1 I Х(Р) I lW I _ i । X Ср) । X2 О) ,X(l)V’

' pspls"ps T p25• • • — \1ps ) '

В частности, справедлива формула

L(s. Xo) = Jl(l-^J'^IIt1(О>1)- (3-2)

Н £ ‘р | к

Например, при ^ = 2 имеется только главный характер Хо и« сле' довательно,

L (s, Хо) = П (1 - ^ - (1 - 2’0 С (s).р>2

При ^ = 3 имеется два характера Хо и Xi- Хо —0, 1, 1 и Хт= — О, 1, —1 для /г~0, 1, 2(mod3). Тогда имеем

L(s, xo) = (l-3-0m

L(s, Xi)= 1{(Зя+1)^-(Зя + 2Н. п-0

При к = 4 имеется два характера Хо и Xi- Хо"0, 1, 0, 1 и Xi = = О, 1, 0, —1 для n = 0, 1, 2, 3(mod4). Следовательно, имеем функции

x0) = (l-2""W)>

L ($, Xi) = 2 {(4« + 1Г" - (4л + 3)"'} • п = 0

Теорема 3.2. В области о> 1 L^s, ^W^ для любого x(mod^).

Действительно, из формулы (3.1) следует неравенство

kр

Из него получаем утверждение теоремы таким же путем, как и в теореме 3.4.1.

Из только что доказанной теоремы следует, что выражение (3.1) можно логарифмировать:

р «Г кр t к т-1

Двойной ряд представляет собой то значение In L (s, х) = = In j ^l^n-^, которое стремится к нулю, если s стремится к оо по действительным положительным числам. Поскольку L(s, /) + 0, оо при о> 1, эта ветвь логарифма однозначна и регулярна в области о > 1. Двойной ряд там абсолютно сходится, и поэтому можно менять

порядок суммирования. Так как Л (n)/lnn = In p/m In р = — при

п — рт и %(л) = 0 при Qi, £)> 1, то получаем формулу

In L (s, X) = 2’° > 1 ^(3-3)

п

Продифференцируем равенство (3.3)

_L^_=XxWMn)

£ (s, %)^”

п

дифференцирование законно, так как последний ряд равномерно сходится при о^ 1 + е.

Теорема 3.3. При х + Хо Р^д ^^Wn”s сходится также п

и в области 0<о^1. Все функции L(s, х) аналитически продолжаемы в область 0<о<^1. и регулярны там, за исключением функции L(s, Хо)- Она имеет при 5=1 полюс первого порядка и разложение

^ (5 > Хо) = s\ 4* ^о + #i (5 — 1) + • • •,

— П('^

Р\ к

Доказательство. Пусть х + Хо- Из неравенства | х W К 1 и формулы (2.7) для любого £ > 0 имеем

I 2 х(«)|<<р№.(з.б)

так как последняя сумма обращается в 0 через к последовательных членов хС^)- Из теоремы П. 1.4 получаем

N

2 Т = | 2 XW\N"S^s / |^x(«)j Д-- (3.7) n<Nlfl<W j1 l/z<£ J Ь

Последний интеграл ввиду неравенства (3.6) сходится также и при 0 < о<; 1. Тем самым при X ^ Хо наше утверждение следует из теоремы П. 2.1. При X —Хо оно следует из формулы (3.2) и теоремы 3.3.1.

В частности, имеем

Ь(1.Х)=^^. Х^Хо.(3.8)

9 Надо положить Л (l)/ln 1 = 0.

Для доказательства того, что существует бесконечно много чисел р, p = /(mod^.), достаточно доказать соотношение

Иш 2 р-а = оо.(3.9)

а-» 1+0 p = Z(mod/?)

Так как 1/р > X, ра, о> 1, то из (3.9) легко следует расходимость ряда

p = l (mod й)

Теперь, согласно (2.11), имеет место формула

p^l (mod k)Р X

=«>1. (3.10)

XР

где в правой части равенства суммирование проводится по всем р. Согласно (3.3), при а> 1 имеет место равенство

In L (s, х) = 2 ^ рIn L (s, х) = 2 ^ р

In L (s, х) = 2 ^ р

In L (s, х) = 2 ^ р

и, следовательно,

\nL(s, х) + О(1),\nL(s, х) + О(1),s-И+О.s-И+О.SxW _

\nL(s, х) + О(1),

\nL(s, х) + О(1),

s-И+О.

s-И+О.

Ps р

Из (3.10) следует, что

S ^=+ySxmi1"i<s-z>+0<')i = p=l (mod к)х

= VwS^(Z)ln^<s- X) + O(D. s->l+0, (3.11)

X

причем s->l+0 означает, что s стремится справа к единице, принимая действительные значения. Константа в 0(1) даже не зависит от к, так как количество членов вида О (1), встречающихся в сумме, разно ф(&).

Из (3.5) получаем

1пЛ(5, Zo)=.ln—^-^0(1), s->l+0.(3.12)

Ввиду того что

^xWlni(s> X) = lnX(s, Хо)+ 5 X(z)lnA(s, х).

XХ^Хо

из (3.11) и (3.12) следовало бы (3.9), если бы доказать, что

X(01nZ-(s. Х) = О(1). $-*1+0,(3.13)

Х^Хо

или что 7,(1, у) ^ 0, сю при х + Хо- Неравенство 7,(1, х) ¥= сю при X + Хо следует из регулярности Z(s, х) при s=l (теорема 3.3). Наиболее трудная часть доказательства (3.9) и вместе с тем того, что имеется бесконечно много простых чисел р, /7 = /(mod&), состоит в доказательстве соотношения £(1, х) + 0, х + Хо» которое мы теперь приведем.

§ 4. Необращение в нуль L^\-\-it, X)

При доказательстве соотношения

А(1, х)¥=0(4.1)

мы должны различать два случая: 1) xW принимает по крайней мере для одного п комплексное значение; 2) xW для всех п—действительное число. В первом случае х называется комплексным характером, во втором случае — действительным. Действительный характер xW должен быть равен 0, ±1, так как |х(п)|=1 или 0; следовательно, х2(^) = = {у (п))2— 1 для (п, &)=1 И x2W= {х(^)}2 = ° ^ля (^’ &) > И Таким образом, характер является действительным или комплексным, смотря по тому, х2 = Хо или X2 =^ Хо-

Теорема 4. 1 ]).

L (1 +/Лх) + 0 для х2 ¥= Хо и всех ^>(4-2)

7,(1 +^7,х) + 0 для х2 = Хо и t + S. (4.3)

Доказательство. Из (3.4) при о > 1 имеем

Re{3^(o. XQW^^A-U, х) + ^(°+^. Х2)} =

= — 5^^ Re V^oW V4Wn-u-V'PW^-‘2U\ <0, (4.4) п

так как 3-^—4 cos ср —{—cos 2ф = 2 (1 -4—cos ср)2 2> 0 (мы положили ф= = arg(X(^)^"z/)- Из (3.5) следует

4^(0- Хо) = -^т+ O(D- а->Ц-0.(4.5)

Если бы число 1 + ^ было нулем функции A(s, х). например т-го порядка, т^Л, то мы имели бы

-^^^И, Х) = -^т + О(1), а^1Ч-0.(4.6)

9 Дирихле [1], Валле-Пуссен [1], [2].

По теореме 3.3 5=14-2//—регулярная точка функции L(s, %2), кроме случая х2 = Хо> / = 0. Исключая этот случай, при о->14-0 получим

4(о + /2Л Х2) =-5^71 +О (!)•«> 0. (4.7)

Из формул (4.5), (4.6), (4.7) находим

Re {34^. Хо) + 44(о + «. Х) + 4(о + /2Л Х2)| =

= 74-(-3 + 4/п + а) + О(1), а->1+°. (4.8)

Так как т^>1, 4т > 3, а^О, это противоречит (4.4). Следовательно, предположение, что т^\, было неверным и справедливы формулы (4.2) и (4.3).

В случае х2 = Хо» ^ = 0 нам потребуется

Лемма 4.1. Для х2 = Хо имеет место соотношение

£ (s) L (s, X) = S anit-. о > 1.(4.9)

п

где ап— действительные числа и

йц^О, a^^l.(4.10)

Доказательство. Имеем 4

шш^пО-Я'ПО-^Грр

Характер %(р) может принимать только значения 0, ±1. Для Х(Р) = 1 (о> О

L\ Vi —1 = 1 4-2_i;

\ ps)\ ps 1' ps * P2S *

для х (р) — — 1

и для х(Р) = 0

V ps) V ps )ps p^s

Перемножая произведения всех трех типов, получим ряд Дирихле т) с коэффициентами ап^>^, ^2^1, так как во всех трех случаях коэффициенты при р-^8 не меньше 1.

Теорема 4.2 2). Для Х2 = Хо имеет место неравенство

£(1’Х)=£0 и, кроме того, 7,(1, /) > 0 для X ^ Хо» (4.11)

Доказательство. Так как 7,(1, ^ = 00, то надо исследовать только случай х ^ Хо- Рассмотрим ряд в формуле (4.9). Так как ^2^1, то при s = ^]2 частичный ряд

2 аП2П-2\п

расходится. Следовательно, и сам ряд 2 ann""s расходится при о < Ч2. п

Для абсциссы сходимости о0 (см. П., § 2) этого ряда имеют место неравенства 1 > о0 > г[2. С другой стороны, по теореме Ландау (теорема П.2.4) $ = о0— особая точка функции t^s) L(s, у). Но так как Цз) и L(s, х) при /2^с»< 1 регулярны, то о0 должно равняться 1. Но тогда $=1 не может быть нулем L(s, х)- Действительно, в противном случае функция £(s)7,(s, х) при $=1 была бы регулярной, так как полюс первого порядка £($) компенсировался бы нулем L(s, х) порядка ^ 1. Следовательно, 7,(1, х) + 0. Из равенства

LU'^= Um (a—l)^(o) Z. (а. %)а->1+0

и положительности ап следует, что 7,(1, х) > 0.

Теорема 4.3. Пусть k^>\ и ^^l^k, (Z, &)=1. Тогда имеется бесконечно много простых чисел р вида

p = l^nk, п = 1, 2, . . . .(4.12)

Доказательство. По теоремам 4.1 и 4.2 £(1, х) + 0 для всех характеров х- Отсюда следует формула (3.13), и с помощью (3.11), (3.12) получается (3.9), чем утверждение теоремы доказано.

Вместо формул (3.10) и (3.11) для доказательства теоремы 4.3 можно применить аналогично доказываемое равенство

S<413>

р=Цтой к)х

*) Это перемножение бесконечного числа рядов Дирихле законно по теореме 3.2.3, так как | ап | = I 2 X Vd I < d (п), и ряд 2 ^ 00 n~s ПРИ

Вместо (3.9) получим тогда соотношение

^ ->оо при о->1-|-0.(4.14)

p^l (mod k^ Р

При доказательстве теоремы 4.3 мы использовали в полной мере вспомогательные средства теории функций комплексного переменного и теории рядов Дирихле. Имеются доказательства, которые обходятся без многих из этих вспомогательных средств (см. Хассе [1]). В последнее время найдены доказательства, которые позволяют обходиться совершенно без этих вспомогательных средств (А. Сельберг [4], Г. Цассенхаус [1]) *). Здесь положение аналогично положению при доказательстве теоремы о простых числах. Однако здесь „элементаризация* аналитического доказательства в известном смысле легче) и поэтому удалась независимо от методов А. Сельберга (Цассенхаус [1]). Мы даем только набросок элементарного доказательства (Шапиро [2] ).

Пусть сначала % ^= у0. Докажем прежде всего с помощью частного суммирования, что *

5 х («)/(«) = О {/(л)},п < X

где / (х) — произвольная функция, монотонно стремящаяся к нулю при возрастании х. Отсюда следует, что

причем теперь естественно, что L (1, у), —L' (1, %), Xj— предельные значения левых частей равенств (4.15) при х->со (теория A-рядов не используется!). Теперь легко доказать следующую формулу обращения: для любой функции / (х) и вполне мультипликативной функции Р (л) (Р (л)^0) из равенства

п<х

следует

Jj t^pv^g^-y х>с п^х

и наоборот. Применяя это к функциям

gW= 2 lAO^=xL<\, х) + О(1)

!) См. также книгу А. О. Гельфонда и Ю. В. Линника „Элементарные методы в аналитической теории чисел", Физматгиз, 1952. — Прим. ред.

и соответственно к

gW = 2 X(")-yn^-=7-(L %)xlnx4-x£'(l, х) + 0(1пх) п < X

при Р (п) — % (и), согласно (4.15), получаем

L (1, X) 2 I1 W ^ = 0 (1)(4Л6)

п < X

и соответственно

х1пх = £(1, x^U, Х) + ^' (1. %) ^ И W-^ + OCx), (4.17)

п < X

так как 5j Vx^xIn^O^xy Вид функции F (х, %) далее не важен. п < X

Из (4.16) и (4.17) следует, что L (1, х) и L' (1, х) не могут одновременно обращаться в нуль. Так как L' (1, х) ^ оо !) то имеет место соотношение

^z (1. X) 2 ll(rt)^z (1. X) 2 ll(rt)Х(”) _пХ(”) _пIn * + 0(1)0(1)In * + 0(1)0(1)длядлядлядля^(1, %) = 0, Mb Х)¥=0^(1, %) = 0, Mb Х)¥=0

^z (1. X) 2 ll(rt)

^z (1. X) 2 ll(rt)

Х(”) _п

Х(”) _п

In * + 0(1)0(1)

In * + 0(1)0(1)

для

для

для

для

^(1, %) = 0, Mb Х)¥=0

^(1, %) = 0, Mb Х)¥=0

Далее имеем

п<хп<х d\ п

dm<xd <, хт < x/d

= У цМ^-{-£'(1,.Х)+о(41пу)} =

d <х

(4.19)(4.19)=-ьчч x^vvwi^i-vот.

(4.19)

(4.19)

d < х

Легко показать, что

2 -^-л(Л)= ^ ’minp+o(i), п < Xр <х

а это вместе с (4.18) и (4.19) дает

S

X(P) |П „_ Г ° (0 ддя ^(1,Х)¥=0,

Р р (—1пх + 0(1) для £(1, х) = 0.(4,20)

Теперь уже можно показать, что для комплексного % L (1, %) не. равно 0: из (2.8), (4.20) и (1.3.3) при х—>со следует

X рСхрСх, р « 1 (mod ^

”2^2 ^-1п/> = (1-М)1пл + О(1),

PCX (р, £)=1х¥=Хо Р<х

где М — число тех характеров % =£ Хо» для которых £(1, х) = 0. Очевидно, что эта сумма ^0. Поэтому М должно равняться нулю или единице. Если бы L (1, х) = 0 для комплексного х» то тогда и L (1, х) = 0, т. е. быдо бы Л4^2, что невозможно. Таким образом, если исключить только действительные характеры, L (1, х) обязательно не равно нулю при х + Хо- Чтобы доказать это также и для всех действительных характеров х> образуем сумму

где #л = 2 ^^ — коэффициенты из леммы 4.1. То, что ал>0 и а^^Х, d I п

можно доказать без рядов Дирихле, так как из мультипликативности х (л) для п = р^х ... р^г следует, что

»«= П l1 + x(^) + x2(/’z)+ ••• -Vxn4PtS\- i — \

Каждый сомножитель произведения >0 (из-за того, что х = 0, ±0 и ^ 1 для четного пр Из этих свойств ап следует, что lim S (х, х) =00 при х-> оо. Покажем, что lim S (х, х) конечен, если L (1, х)^^ Имеем

С помощью теоремы П. 1.5 можно доказать, что

У -^- = 2/7+6 +0(1//^)'), п < х

-) 6 = -1-1 j (s-IH)5 2^ё-

и это, согласно (4.15), дает для первой двойной суммы следующую асимптотику:

У УаЬ-1/4 + » + о(т/1Н-21^ у Ц5 +

у d I V d 11 \V х )) т М_ d “

d < У хd<Vх

+ ф(|. х)+0(1//х)}+0(1) = 2Гх ^ ^- + 0(1).

d < VT

Для второй двойной суммы из третьего равенства (4.15) получаем оценку

Объединяя все вместе, получим

2 ^ + 0(1).d </7

Отсюда и из первого равенства (4.15) при £ (1, %) = 0 следовало бы соотношение

S^ %) = 0(1),

что противоречит равенству lim S (х, %) = со. Следовательно, L (1, х) ^ О

Х->ОО

для действительного характера х- Тем самым доказано, что в (4.20) может появиться лишь первая возможность, следовательно,

^ ^-^- In р = о (1) для всех х ¥= ХоР <х

Отсюда, как при выводе (3.10), с помощью (2.8) получаем, наконец, соотношение"

р<х, рея/(mod k)X р<х

= —^У —+°(1) = -77л 1ПХ + 0(1),

ф (&)Р 14 1 ф (£) i к

Р<Х, (р, к)=1

что доказывает бесконечность числа простых чисел р, таких, что p^l (mod к).

Приведенное доказательство необращения в нуль £ (1, х) Для действительного характера х принадлежит Мертенсу [2].

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой а = 1

Рассмотрим опять натуральные взаимно простые числа I и к. Через л(х, к, I) обозначим число простых чисел р, для которых Р^х, p^l (mod к\ Выше мы доказали, что

л(х, к, 1)->оо (х->оо)

при фиксированных kt L Наша ближайшая цель—доказать соотношение

<5Л)

при фиксированных k, I. Это равенство означает, что в ср(&) классах (mod к), содержащих взаимно простые с к вычеты, находится асимптотически равное число простых чисел из совокупности х/1пх простых чисел. Очевидно, что л(х, 1, 0) = л(х). Для доказательства асимптотического закона распределения простых чисел л (х) ~ а:/1п х (теорема 1.1.2) и еще более точного соотношения ф(х) = = л^О^г6'^1'^) в гл. III необходимо было исследование нулей С($) на прямой а=1 и слева от нее. Подобное исследование мы должны провести также и для нулей L(s, х)- Мы докажем соотношение

Л(х, к, = 1 4-0,(5.2)

более сильное, чем (5.1) (и даже соотношение с несколько лучшим приближением), которое имеет место равномерно для ^^со(х), причем со(х)<х может стремиться к бесконечности. Равномерность по к^(р(х) означает, что для константы в 0( ) можно брать одно и то же значение, если к остается меньше g)(x). Утверждения такого вида доказывать гораздо труднее, чем утверждения для постоянного к. Очевидно, что уже трудно решить, имеются ли вообще простые числа р^х, /?=l(mod&), когда к растет вместе с х.

Чтобы получить асимптотические формулы, которые справедливы равномерно для некоторой области значений к, мы должны в последующем доказывать все оценки равномерно по к, т. е. так, чтобы константы не зависели от к.

Теорема 5.1. При о > 1 имеет место равенство^

п

Доказательство. Теорема следует из теорем 3.1 и 3.2.3, если принять во внимание, что р (/г) х (я)/^5 — мультипликативная функция.

Для оценки L(s, х) целесообразно ввести вспомогательную функцию

^(5, w) = 2 (^ + o>L 0<w^l;(5.4)

9 Напомним, что 5 обозначает 5 - если ничего другого не сказано. п/г =■ 1

в частности, £($, !) = £($). Очевидно, что

L(s, х)= 2 Х(0 2о>1.

О < /< к п-0

Следовательно,

L(s, х) = £-5 2 Х(^(-9’ 4)’ °>L<5'5)

0<1<к

Как мы сейчас покажем, функцию ^(s, чу) можно аналитически продолжить в область 0 <о^1, поэтому формула (5.5) имеет место и для этой области.

Теорема 5.2. Пусть 0<d<^V2 и Л— положительная константа. Функцию Цз, чу) можно аналитически продолжить на область 0<о^1. При этом имеют место соотношения

Us, w) = w-^ + 0(|^ I6), а>1—б, р|>2;(5-6)

£(s, но) — w^-|- О (In j 11), o^-max ^y, 1 — Л/ln | / ф | /1 ^ 2, (5.7) в которых константы в 0( ) зависят от д и соответственно от А, но не зависят от чу.

Доказательство. Так как £($, чу) = ^(з, чу), достаточно доказать теорему для ^3>2.

Из чо 0 при о > 2 следует

I ^ (s, чу) — ЧУ-5 | < 2 (^ + ^)-2 < 2 ^-2= 0(1).

Поэтому можно предположить, что о ^2. По теореме II. 1.5 (для а = М, х->оо) при N ^ 1, о > 1 получаем

Us, чв) — чв~5= ^ («4-w)-i+— n<NN

-S / (^-[^)a+w)-(s+1)^ =N100

<5.8)

Эта формула дает аналитическое продолжение С (5, чу) на область о > 0, так как последний интеграл в ней представляет функцию, регулярную при о>0. Принимая во внимание неравенства 0<^£ — — [£]<!, из 5.8 получим

|C(s, w) —w-^K 2 (« +^)~п + (44-11h-^-^"a-

При любом d£(0, у2] в области 2 ^>0^1—д, ^^2 имеет место оценка

Us, w) —2 R'1+6 + rV + ^-1+6) = \n<N

= 0(6"W + rW+W1+6). (5.9)

в которой константа в О ( ) не зависит от д. Если положить N=\tL зафиксировать б и допустить в константах из О ( ) зависимость от д, то остаточный член примет вид

о (Мь + ^~ W + М"1+6) = О ф\

С другой стороны, если мы возьмем б = Д/1пЛ М=\Д> то остаточный член в (5.9) станет равным

О (in t NA,ln * + rxNA,ln* + tN"x+A,lnz) = О (In /),

поскольку d У2 при большом t.

Теорема 5.3. При o^y2, I ^ I <^ 1 h 0<^^1 имеет место соотношение

^(s, «О — ^ + уЕр 4-0(1),(5.10)

где константа в О( ) не зависит от s и w1).

Доказательство. Для о >2 имеем С ($> ^ = w5 + О (1). Следовательно, равенство (5.10) справедливо. Пусть теперь о ^2. Если в (5.8) положим М = 1, то получим

С (5, w) —= (1 + ^Ts + -1 ^"^Н 0(1)

при Уг^^^^, | / | <^ 11. В этой же области (1 + -wys = О (1) и

--у^— = 7ZT — {ln^ +w) —-^-(s — 1)1п2(1 +®)-|~| =

так как | s — 1 | = О (1), 0 < In (1 + w) <i In 2.

Теорема 5.4. Пусть ^ ^ 1 и х— любой характер по mod^. Если 0<д^у2, Д > 0 и

E„-E.(Z.t) = {^

9 Требование |/|< И не существенно. Соотношение (5.10) имеет место также, если 11 заменить на любую константу В > 0 от которой, естественно, будет зависеть константа в О ( ).

то имеют место соотношения

L(s, х)=0{(£|ф6}, а>1-б, |/|>2,(5.12)

L(s, й-О^'ЧпЦЦУ ^max^-^^.l), | / |> 2.

(5.13)

L(s, х) = £0Ж^ + о(а'а), а>1, И<11. (5.14)

Все константы не зависят от к, но могут зависеть от b и соответственно от Л.

Доказательство. Из (5.5) и (5.6) при о^1—д, |^|^2 следует, что

L(s. х) = 2 Х(ОГЧО(*'(1'6) 5 1/рН

-о) 2 п-(1-6)+(^|^)бНо{(^Р1)6}-

где константа в 0( ) может зависеть от д; это дает формулу (5.12). Из (5.5), (5.7) при a^max(V2> 1 — H/ln^|Z|), так как к^>\ и 1t12, следует оценка (5.13):

ц$, х)= 2 и^гЧоф” 2 1прП = 0<1<к\0<1<к)

= OUWI'( 2 /-1 + 1п|/|П = О(Аа/|п|<| InA^l)' I\0</< к/ )

Из (5.5) и (5.10) при 0^72/ l^l^-И следует, что

L(s, х) = 2 X(0Ts + ^2L x(lWo(p-ay (5.15) Q<l<k0<1<к

Теперь, учитывая (2.7), при о^1^ получим

2 xW) l-s = о( ^ п""^ = О^У (5.16) 0< I < к\п<к /

/ И

ибо при | s—1 | > ’/г- о^ Ча имеем k~l(s—1)==О^ 2}. Подставляя это и (5.16), (5.17) в (5.15), получаем (5.14).

Мы установили уже в равенстве (3.5), что вычет L(s, Хо) ПРИ s—1 равен П(1 — U/) =Ф (&)/&•

Теорема 5.5. При сг > О имеет место оценка

(5.19)

Доказательство. Из (5.3) и неравенства |р(/г)|^1 следует

. 1 l^V-L^ 1+—•

Hs, %) I ~ П°0—1

Поэтому имеем (5,19).

Уже в § 4, чтобы доказать, что s=l не является нулем L(s, х)» мы должны были в случае действительного характера применить метод, отличный от метода, применявшегося в случае комплексного характера или действительного характера при s = 1 +Z/ + 1. В дальнейшем такие случаи также должны рассматриваться отдельно.

Теорема 5.6. Пусть ^^1. Для всех х ло mod & при подходящем сг имеем

L (8. х) * °> о > 1L (8. х) * °> о > 1In к 1t1In к 1t1p|>3.p|>3.(5.20)(5.20)

L (8. х) * °> о > 1

L (8. х) * °> о > 1

In к 1t1

In к 1t1

p|>3.

p|>3.

(5.20)

(5.20)

Доказательство. Это утверждение достаточно доказать при ^^>3, так как вместе с х является характером также функция х

и L (s, х) = L (s, X)7-

Пусть pj = р —Z/x — нуль функции L (s, х)» причем 1—7s < <Р< 1, k^S. Если мы положим р=1—bj\nktv то достаточно, очевидно, доказать* что b должно быть больше с2 при подходящем с2> не зависящем от h и tv Положим о0 = 1 + я/ln ktv где сначала пусть а£(0, у2] и позднее в случае необходимости будет еще уменьшено. Теперь применим теорему П.4.5 для F (s) = L(s, х). r = xk' so = °oA*ik- По теореме 3.2 L(s, х) в области | s — Sol^V2» Re(s — s0) > О не имеет нулей. Для достаточно малого а, например ОСаС^СУг» Pi содержится в круге |s — s0\^xkr = Tl4 Для

любого ^>1, ^^3; кроме того, круг |s — s01 V2 лежит в области а > V2’ 11 О 2. Из (5.12) и (5.19), так как tx ^ 3 и 1t — tx |^7г’ следует, что в круге | s — s0 |< 72

-±122Ц = о Ьзр ±1^ =0 2^2/2 1п^. .(5.21)

Поэтому при применении теоремы П.4.5 можно считать выполненным неравенство

In Ж <^(^^4-^1), 0 < а < ар(5.22)

где с3 не зависит от а (и от k, tx\ Эта теорема дает теперь

Re-^o + zZp X)>^p— ^(in^ + lnl). (5.23)

Снова применим теорему П.4.5 с заменой s0->s^ = a0 + I2tv r = 72, F(s) = L(s, x2)- Тогда получим

в круге |$ — 5'| ^Уг» следовательно, для М получается неравенство такой же формы, как (5.22), но возможно с другой константой с3. Теперь из теоремы П. 4.9 следует, что

Re ^- (а0 + /2/„ Х2) > - с5 (in htx + In 1).(5.25)

Наконец, для о > 1 и всех х по mod к в силу равенства (3.4) и теоремы 3.3.1 имеем

”(5.26)

Re^^o- X)>-42r = -(1+e2lnW>

для достаточно малого а, например для 0 < а < а2 = ^2(е) < а\- Если подставим все это в (4.4) (с a = a0), то для 0 < а < а2

— ^г2г"1п ^+ a —6C4ln ^i + ^t)^0и0 — 1Р \а /

7 Недостаточно сослаться только на (3.5), после чего L^L ^ 1/(а—1) при a1-]-0, если х — главный характер, так как граница должна быть независима от к.

и, следовательно,

j_3(l + e)l+ 4—^у —cJln^-^ln^O. (5.27) ClCl -f UJсл.

Теперь возьмем е настолько малым, чтобы 3(1 -j-e)<4, например e = V4- Тогда для достаточно малого а, например 0 < я < я3, имеем

так как \)а при а->0 растет быстрее, чем In 1/а. Для достаточно малого bt например для b <^ с^ также имеем неравенство

и так как ktx^>S, то это неравенство противоречит (5.27) и теорема 5.6 доказана. Доказано также и неравенство 1 — ^/In k1t1 ^ 3/4,1t1 ^ 3, так как, уменьшая с^, всегда можно добиться, чтобы для всех t ^ 3 было 1 — Vs < ~ ^Дп kt.

Теорема 5.7. Пусть к>\. При подходящем ср не зависящем от к, имеет место соотношение

L(s, х) + 0 для х =£ Хо 5 области о > 1 — -~^-, р |<51). (5.28)

Доказательство. Как и в теореме 5.6, достаточно доказать утверждение для /^02). Пусть pj = р --{- itx — нуль функции L(s, х) в области 1 — Vs < Р < 1 ’ 0 ^ I ^1 I ^ 5. Положим о0 = 1 + а/1п 2^ и р=1— #/1п2&, где 0 < а^119 (а позднее будет определено точно), и также, как при доказательстве теоремы 5.6, применим теорему П. 4.5. Вместо соотношения (5,21) получаем теперь из (5.14), (5.19) (s0 = о0 4~ it^

(5.29)

в круге | s — $0 |<т/г> та1< как Ео = О при х ^ Хо- Следовательно, при применении теоремы П. 4.5 можно взять

(5.30)(5.30)In М < с8 f In 2к -ф- In —■

(5.30)

(5.30)

V Мы пишем In 2^. чтобы включить случай ^=1. При ^>2 можно, естественно, заменить с7/1п 2к на с/1п к.

При этом условия применимости теоремы для достаточно малого а, очевидно, выполнены. Вместо (5.23) мы получаем теперь из П. 4.10

Re 4-№+^i> X) > а^Т-'с9(1п2А + 1пУ) =

= —4—г In 26 — Са(1п 26In —V(5.31)

Все неравенства до конца § 5 справедливы только для достаточно малого а (возможно зависящего от е), и это не всегда будет оговариваться.

Теперь применим теорему П. 4.5 с s0s'= а0 +/2^. В круге |s— ^ol^ имеем | ^ (^ 11, так как | tx | ^ 5; следовательно, для оценки |A(s, х2) I там применима оценка (5.14). Так как х2 + Хо> т0 при Ео = О мы получаем отсюда и из (5.19) равенство

ДД1Д- = о ( fe'11 - In 2б).(5.32)

Следовательно, для In М опять получается граница того же вида как в (5.30) (возможно с другими константами). Теорема П. 4.9 дает теперь

Re ^ № + <2^1. X2) > - cto (in 26 + In 1),(5.33)

и из (5.26) следует, что

Re -^ №• Хо) > - (1 +е) -L- = - (1 + е) 1 In 26. (5.34)

Теперь, подставляя (5.31), (5.33), (5.34) в (4.4), получаем

{_ 3 (1 + е) 1 + 4- сп} In 26 - cn In 1 < 0.(5.35)

Если, например, опять положить г~х^ и а в случае необходимости уменьшить еще настолько, чтобы было

)_3(14-_Ul+.4- — cnl In 2 — сп In -1- > 0,{\1 4 / а 1 а и)а

то (5.35) приводит к противоречию при ^^6*12 Для всех к\>\. Тем самым теорема доказана.

Теорема 5.8. При к ^ 1 имеет место соотношение

£($, Х)*0 для X2 —Хо- °>х--&' °<И<5; (5.36) причем, следовательно, Ims^O.

Доказательство. Мы можем предположить х ^ Хо» так как при X —Хо по (3-2) А (5, х) совпадает с ^(s) с точностью до множителя Ц(1 — МР5)’ который не обращается в 0 в области о > 0, и

Р\к

по теореме 3.4.6 утверждение в этом случае верно.

Мы употребим те же обозначения, что при доказательстве предыдущей теоремы, и снова предположим 0 <^<^5. Тогда мы сможем вывести неравенства (5.31) и (5.34) для х2 = Хо- Однако перестает быть верным результат, который вел к (5.32), так как теперь функция L (s, х2) — L (s, Хо) может быть нерегулярна в круге | s — s^^.1^ в том случае, когда точка s = 1 находится в этом круге. Применим теперь теорему П. 4.5 к функции

P(s) = (s-lU(s, х2) = (s — 1) £ (s. Хо)

и положим г = '/2, s0 —> Sq = о0-)~/2^. В силу (5.14) имеем

(s—l)£(s. Xo)-4^ + 4k-l|^ = 0(A,A)(5.37)

в круге р— <(<1/2. Далее, согласно (5.19),

—-1——_ = о( .1 ■= О (Д In .(5.38)

($0— l)£(s0, Хо) Uao —0 / И /

Следовательно, в круге |s — Sq|^V2

ZM = Дз-ПШХо) = о (J_ ^ 1П22л^Ро) (so — од Оо. Хо) \а'/

Поэтому при применении теоремы П. 4.5 можно положить

In Л1 < (in 2& 4- In —

и получить из П. 4.9 неравенство

Re 4" (so) = Re 4" (°о + i^v Хо) + Re -4— > — с15 (1" 26 + In -).

Г х ' Ls0 — 1уа)

(5.39)

Подставляя это вместе с (5.31), (5.34) в (4.4) и замечая, что V] so — 1 I ^ Re V(so— 9’ лля л°статочно малого а, 0 < а < а (е), получаем

_3(l+e)^

°0 — 1°0 — 0Ро — Ч \/

(5.40)

Отсюда получается противоречие (для достаточно малого а) только тогда, когда 1/р'—1| не слишком велико. Следовательно, рассмотрим

(5.41)(5.41)t А

(5.41)

(5.41)

1 In 2^ ’

причем А сначала любая положительная константа, которую позднее мы определим точнее. Тогда

1| so 111| so 11—1п2А.2^ 2Л—1п2А.2^ 2Л

1

| so 11

1

| so 11

—1п2А.

2^ 2Л

—1п2А.

2^ 2Л

Подставляя это в (5.40), при е = ^4 и ао = 1 + а/ln 2/е, р = 1 — — Z>/1 п 2^ получим

з(1 +У)Д+ 4 _ ) 1П2Д_ 1п1<0

(\1 4 / а 1 а 4- bи а

(где сХ1 = ^16 + 1/(2Л) зависит от Л и при Л->0 сХ1 —>оо). Это дает при достаточно малом а противоречие, например, для 6<^с18, как при доказательстве теорем 5.6 и 5.7.

Если неравенство (5.41) не выполнено, неравенство (4.4) больше не нужно. Вместо (4.4) можно применить тогда следующее соотношение. При о0 > 1 и действительном х имеет место

Re [ т (о0. Хо) + 4" (ао- X)) = - У ^ (Хо («) + X («)) < 0, (5.42) I ьLIп й

п

так как всегда Хо (^) + X W 0. Пусть теперь рх = р —^— ltx — нульу < Р < 1 итак как всегда Хо (^) + X W 0. Пусть теперь рх = р —^— ltx — нульу < Р < 1 ифункции L(s, х)’ причем 1 —функции L(s, х)’ причем 1 —л / t < - А 1п2^ ’л / t < - А 1п2^ ’Л >0.Л >0.(5.43)(5.43)

так как всегда Хо (^) + X W 0. Пусть теперь рх = р —^— ltx — нуль

у < Р < 1 и

так как всегда Хо (^) + X W 0. Пусть теперь рх = р —^— ltx — нуль

у < Р < 1 и

функции L(s, х)’ причем 1 —

функции L(s, х)’ причем 1 —

л / t < - А 1п2^ ’

л / t < - А 1п2^ ’

Л >0.

Л >0.

(5.43)

(5.43)

Вместе с pj также рт = р — itx является нулем L(s, х)- ^ак как Для

действительного х

L(s, ^ = 1(8, x) = L(s, х).

Теперь применим теорему П. 4.5 с

F(s) = L(s, х), $О = 0О = 1+а/1п2А, г = у

и, в частности, применим (П. 4.11) ср2 = рР Если а и Л достаточно малы, то Pi и Pi для каждого k^> 1 содержатся в круге | s — s0 l^1^* Так как х + Хо» мы можем для оценки |£(^, х) I опять применить

(5.14) с Во —0. Тогда для достаточно малых а и 4 из (П. 4.11) следует, что

Re Г- (о0, х) > Re /!1 1С)9 /1П ^k + In ^ . (5.44)

L( d0— Pi °о— Pi J \^/

Подставляя это и (5.34) в (5.42), получим

-(1+е)—Ц- + Ие[— ЧU-l-tJln2£4-ln-)<0.

do—1I d'O — pi d0 — Pi J \a)

и, следовательно,

_(i+e)_J_4o0—1_(i+e)_J_4o0—12\Л 9- — ^9 fin 2Й + In -I) 0.№-P)2 + ^i \^/

_(i+e)_J_4o0—1

_(i+e)_J_4o0—1

Для o0 = 1 + a/\n 2^, (3=1—&/1п2& с помощью (5.43) получаем неравенство

j—(14-е)2“ + b. . — е ||п2й —c19ln--<0.(5.45)

( x 1 7 ^ 1 (^-|-^)2 + ^2 19)19 x 7

Теперь выберем e настолько малым, чтобы 1 —j— е < 2 (например,е — ^2)» и выберем а таким, чтобы выполнялось неравенство

(31.2п 11 л

2 7+Т”ЧП |) "a>Q’

что возможно всегда. Величину Д мы уменьшим, если необходимо, настолько, чтобы, кроме того, имело место неравенство

/31,2 я\ 1 л 11 л

I|, д2 ilg Ип 2г19 In — > 0.

Это противоречит при Ь^с^ неравенству (5.45) с е==1/2> каково бы ни было ^^1. Тем самым теорема 5.8 полностью доказана.

Здесь уже видно, что исследование нулей L (s, %) с действительными характерами, которые находятся вблизи действительной оси, особенно трудно.

§ 6. Действительные нули Л-функций с действительнымихарактерами. Примитивные характеры

Теорема 6.1. При подходящем сх функция L(s, у), у2 = у0 имеет в области

0>'-^S- 1 = 0№-‘>

самое большее один простой нуль.

Доказательство. Мы можем опять предположить, что у Ф у0, так как L^s, у0) в области о> 0 имеет те же нули, что и £($•).

Пусть pi = Pi и р2 = р2 — два действительных нуля функции L(s, %), причем 1—7s < Pi < 1» 1—1/s<P2<l- Положим

Pi = 1 — /\/1п 2k, р2 = 1 — #2/1 п 2k.

Мы должны доказать, что при подходящем с2, независимом от к, или Ьх > с2, или Ь2 > с2. Если о0 = 1 -|- а/ln 2к, то при достаточно малом а можно применить теорему П. 4.5 с F (s) = L(s, х), s0 = o0, г = 72- Используя (5.14) (для ^0 = 0) и (5.19), мы получим из П. 4.11

R= Т <’«•й >- «= ('"26 +|п 7> ■<6-2)

Подставляя это вместе с (5.34) в (5.42), получим

-O-M^+^+^-^inZi+i,!),;».(6.3)

Если мы положим 8 = 72» то получим далее

/3 1.1,1\ 1 П А1/ Л

— о"Чс4 In 2£ — Сл 1п — << 0

\2 а 1 ^ + ^1^ + ^24/4 л

и отсюда для достаточно малого а.

1In — с4 In 1 < 0.(6.4)

\2 а 1 a-V max (6b b^ 4/4 a7

Выберем а настолько малым, чтобы было

(3 1,2о 1 п

— тгС4 In 2 — G — > о,

\2 а 1 а 4 /4 а

тогда (6.4) представляет собой противоречие, как только шах^, ^2) достаточно мал, например, при шах^, #2)<^ с5, где с5 не зависит от к. Отсюда следует, что. два различных нуля не могут лежать в области (6.1), если только ст достаточно мало. Случай единственного по крайней мере двукратного нуля р(р1=р2) исследуется аналогично. Вместо (6.2) нужно применить неравенство

U2/1 \

Re-р- (о0, у) >дс In 2& + In — ),L vа0 — р \1 а)

следующее из П.4.10 при к = 2.

Существует ли для всех к область вида (6.1) (с одной и той же константой), где L (s, у) ф 0 для всех действительных % по mod к, до сих пор неизвестно. Мы докажем следующее утверждение: если в этой области £ (5> Xi) обращается в нуль, то имеется „много" %2> для которых L (s, %2) там не обращается в нуль.

Для дальнейшего нам потребуется понятие эквивалентных характеров и понятие примитивного характера.

Пусть Xi и Х2 — Два характера, и кх и ^ — соответствующие модули. Для чисел п, взаимно простых с кх и к2, т. е. таких, что

(п, [^р ^2])= 1» где 1^р ^2!— наименьшее общее кратное ^] и &2, мы имеем ул (п) + 0, 7л^ + 0. Характеры Xi и /2 называются эквивалентными, если

Х1(«) = Хг(«) для (п, [^р 62]) = 1(6.5)

или, короче говоря, если Xi и Хз равны для тех п, для которых оба значения не равны нулю. Тогда функция, определенная равенствами

А2П=1.М> 1,А2П=1.М> 1,(6.6)(6.6)f Z1 (") = Х2 (”). № №• у {

А2П=1.

М> 1,

А2П=1.

М> 1,

(6.6)

(6.6)

I 0,(п, V^v

представляет собой характер 7 по тосЦ/гр &2]. Легко проверить, что основные свойства а), Ь), с) из § 2 для х (я) выполнены. В последующем кх и &2 всегда будут натуральными числами. Если для характера /i по mod кх имеется эквивалентный характер Х2 по m°d к^ то говорят, что Xi определим по модулю &2 или, коротко, Xi определим по mod к^. Характер /2 называют определяющим для Xi по mod ^2» ^2— определяющим модулем Хр

Тривиальным образом %i само определимо по модулю кх. В (6.6) у (л) есть определяющий характер для %i (л) и %2 (л) по модулю [^h кД.

Лемма 6.1. Каждый характер Xi по mod^ может определяться по любому модулю, который кратен кх.

Доказательство. Пусть к^ такое кратное. Тогда

Х2 («) =Х2 («) =Х1 («).о,Х1 («).о,(и, ^) = 1,(и, ^) = 1,(n, к^ > 1(n, к^ > 1

Х2 («) =

Х2 («) =

Х1 («).

о,

Х1 («).

о,

(и, ^) = 1,

(и, ^) = 1,

(n, к^ > 1

(n, к^ > 1

— характер по mod й2, так как условия а), Ь), с) из § 2 выполнены; очевидно, Х2 эквивалентен Хр

Лемма 6.2. Пусть k2\kx и (т, ^ = 1. Тогда имеются такие числа у, что

(m-V-k2y, ^)= 1.(6.7)

Доказательство. Пусть к' — произведение всех простых чисел, которые делят кх, но не делят &2, и пусть (т', k')=L Тогда сравнение

w + ^ = nV (mod kf)

разрешимо. Если у — решение, то

(m-V-k2y, к^^^т', kf)s=\

и, с другой стороны,

(n-.-V-k^y, k2) — (m, к2) = 1

по предположению.

Следовательно, (т 4 &2у, ^)= 1.

Лемма 6.3. Пусть ^[Ар ДЛЯ того чтобы характер Xi яо mod^j был определим также по mod &2, необходимо и достаточно, чтобы

Xito = 1 для всех nt nsl(mod^2), (я, ^^ = 1.(6.8)

Доказательство. Необходимость следует сейчас же. А именно- если характер Х2 п0 m°d k2 эквивалентен Хь то должно быть ^2(n) = Xi(^) для всех п, удовлетворяющих (6.8). Но с другой стороны, для этих же самых п должно быть Х2 00 = 1 • так как п= 1 (mod &2).

Наоборот, предположим, что имеет место (6.8). Каждому т, взаимно простому с &2, сопоставим значение Хг^)- Для этого определим у, как в лемме 6.2, и положим

Хг (и) = Xi (^ + М) •(6-9)

Это определение не зависит от выбора у. Действительно, пусть, например, (m-V-k2yXl &i) = (^ + £2^2» &i)=l. Определим т при помощи сравнения mm = 1 (mod &2); очевидно, что (т, k2)= 1 и по лемме 6.2 имеется такое z, что (m-yk2z, kx)=L Тогда имеем ^т-\- к2ух)(т + k2z) = 1 (mod k^, и оба сомножителя взаимно просты с kv Таким образом, если предположить, что (6.8) справедливо, то имеет место соотношение

Xi (т + А2У1) Xi (m + кгг> = ^х^т-А- k^^ (m + 62 г)) = 1 и также

Xi (т + ^2^2) Х1 (^ + ^ = 1.

Так как

Xi (/И + k^z) =£ О ((от 4- k^z, ^) = 1), то отсюда следует

Xi (т + й2У1) = уа (m + к^.

Если положить Х2(^) = О для (n, k2)> 1, то с помощью равенства (6.9) характер по mod^ определен полностью; для этого достаточно доказать свойства а), Ь), с) из § 2. Свойство а) следует из того, что из (т-Ук2у, кх)=1 получаем

Xi (т-Ук2у) + 0.

Для доказательства Ь) допустим, например, тх = т2 (mod к^, (тХ1 к2) = (^т21 к2)=1. Определим т' из сравнения тхт' = т2т' = ^ 1 (mod ^2)« а затем определим числа ур у2, z так, чтобы числа

^1 4- ^2У1»^2 + ^2У2>^' + ^2^

были взаимно просты с kv Тогда из (6.8) следует

X! (/И, + 62У1) Xi О' + *2^) = Xi (("h + Ml) (m' + ^)) = 1

и также

х, (m2 4- &2у2) Xi (X + ^) = 1 •

Итак мы получили Xi («Ч + Mi) = Xi O2 + ^гУг)- т- е- Х2 («1) = Х2 Oj) для m} = m2(mod &2). Свойство с) следует при (mYm2. &2) = 1 из равенства

Ъ (^1) Х2 (^2) = Х1 О1 + ^2У1) Xi (^2 + М2) =

= Х1 (^1^2 + ^2 (У1 ^2 + ^2^1 + М1>'2)) = Х2 (^1^2)

(в очевидных обозначениях)*)•

Лемма 6.4. Пусть Xi ^о mod^j и Х2 по mod &2— два эквивалентных характера, и пусть к' = (кх, к2\ Тогда имеют место соотношения

XiW=l для n=l(modF), №» ^)=1,_

(о. 10)

Х2 (п) = 1 для п = 1 (mod к'), (п, к2) = 1

и Xi и Х2 могут определяться по mod^'.

Доказательство. Пусть п= 1 (mod kf\ например п= 1 ^тк’. Так как к' = akx-\-bk2 (а, b — целые), то п = 1 + такх 4- mbk2. Пусть теперь (п, ^^=1; тогда 1+^^2 взаимно просто с кх и к2 и по определению эквивалентности имеет место равенство

Xi W = Х1 (1 + так\ + mbfe2) = Xi G +« W = х2 (1 + mbk^=Х2 (1)=1 •

Также доказывается второе из соотношений (6.10), и из леммы 6.3 следует утверждение доказываемой леммы.

Теорема 6.2. Все определяющие модули характера х кратны единственному определяющему модулю к*, который называют ведущим для х«

Доказательство. Пусть наименьший определяющий модуль к* характера х больше единицы. Каждый другой определяющий модуль кратен к*. В противном случае число (^, к*) было бы опять определяющим модулем (по лемме 6.4) и имело бы (к, к*) < к*. (Мы воспользовались транзитивностью соотношения эквивалентности для характеров.) Если наименьший определяющий модуль равен 1, то теорема очевидна

Далее наименьший определяющий модуль будем обозначать через к*. а характер, эквивалентный х по mod к*, — через х*- Имеется только

!) В случае (/zz1m2, ^2) > 1 это также очевидно.

один такой характер по mod &*, эквивалентный %, так как никакие два из ф(&*) характеров по mod к* для всех п не имеют одинаковых значений (§ 2).

Пример. Пусть х — характер по mod6, причем x(^)=L —1 для п= 1, 5 (mod 6). Здесь к* = 3 — ведущий модуль характера х» а х* (п) = 1, — 1 для п = 1, 2 (mod 3).

Если характер х по mod & не определяется никаким модулем, который делит к, то х называется примитивным характером. Тогда имеем k* — k, х* = Х- В частности, х*. всегда примитивный характер (следовательно, х** = Х*)- Таким образом каждому характеру сопоставляется единственный примитивный характер х*- Два эквивалентных характера имеют один и тот же примитивный характер. Для данного характера по каждому модулю имеется по крайней мере один эквивалентный характер. Множество п с х*^)^^, вообще говоря, шире множеств п с xto^O* Первое из этих множеств есть наибольшее множество, в которое функция xW может быть продолжена в определенном смысле без потери свойств характера.

Чтобы узнать о заданном характере, примитивный он или нет, достаточно по лемме 6.3 проверить, существует ли для каждого d, d ^к хотя бы одно п, такое, что

n=l(mod(7), (п, к) = L х(п)+^-

Два примитивных характера или совпадают для всех п, или не эквивалентны.

В частности, для каждого к главный характер Хо имеет ведущий модуль ^*=1 и Ху(^)=1 Аля всех целых п,

Если х" Действительный характер, то х* тоже действительный характер; это следует, например, из (6.9), так как характер Хг должен быть действительным, если Xi—действительный характер.

Подробное представление о теории характеров можно получить, например, из книги Хассе [1].

Теорема 6.3. Пусть х— характер mod к, модуль к* —ведущий для х. и х* соответствующий примитивный характер mod к*. Между L(s, х) ^ L(s, х*) существует соотношение

П (1--^А)"1^. X).(6.11)

р 1 к, р ^ к* '

L(s, х*) и L(s, х) имеют в полуплоскости о>0 одни и те же нули *).

Доказательство. Формула (6.11) следует из того, что в разложении в произведение L(s, х*) ПРИ Р % к* все сомножители сов-

9 Если они там вообще имеются, что позднее (гл. VII) будет показано.

X* М\ps /X* М\ps /падают с соответствующими сомножителями в произведении дляА($, %). При р\к, р ^ к* имеем ^(Р)^^» Х(Р) = ^- В силу (6.11) функции L(s, х), L(s, х*) Для каждого s из области о> О или обе обращаются в нуль, или обе отличны от нуля, так как | ^^р^р81 = 1/ра < 1, и поэтому при а > 0 всегда 1 — y?(p)!ps =£ 0, со. Также и кратность возможного нуля одна и та же. Произведение в формуле (6.11) можно распространить на все р\к, так как для р\к* имеем %*(р) = 0. Следовательно, имеет равенство

X* М\ps /

X* М\ps /

(6.12)(6.12)L(s, x) = L<s, Х*)Ц(1р\ к

(6.12)

(6.12)

Теорема 6.4. Пусть х* « Хз— действительные характеры по модулям к* и к*, причем х* + Хз- Тогда существует такая константа с6 > 0, что в области

о 1о 1/ = 0/ = 0(6.13)(6.13)

о 1

о 1

/ = 0

/ = 0

(6.13)

(6.13)

по крайней мере одна из функций L(s, Xi)» T(s, Х2) не обращается в нуль.

Доказательство. Достаточно предположить, что X* ^ Хо* Х2 ^ Хо’ где Хо—примитивный характер по modi, принадлежащий всем главным характерам. Для х* = Хо имеем L^s, y^=^(s) и С (о) + 0 при о > 1 — с, с > 0 ^

Определим х* и х* по модулю k*k* = k и обозначим таким образом полученные характеры через Xi и Хг- Очевидно, что к > 2 и Х1^Х0> и Х2^Хо» Х^Хз; для Х^Хз было бы к* = к^ Х* = Х*. Характеры Xi и Х2— действительные и Х1Х2 + Хо» так как в противном случае для любого п было бы Xi (я) = Х2(П) = (0» ±1). С помощью теоремы 6.3 мы можем доказать утверждение для функций L(s, Xi) и L(s, х2) вместо L(s, х*) и L(s, Хз)- При а> 1 имеет место соотношение •

(о. Хо) + т-(®. xD + ^-C®. Х2) + 4'(а- Х1Х2) =

=_Хь AW.“ п п°=_Хь AW.“ п п°<0, (6.14)<0, (6.14)

=_Хь AW.

“ п п°

=_Хь AW.

“ п п°

<0, (6.14)

<0, (6.14)

так как

Ьп = Хо («) + Xi («) + Х2 W + Xi W Х2 W =

= (l+Xi(«))(l+X2(«))>0, (п, А)>1.

9 0 < а < 1 (см ниже (7.1)).

С ^In ^+ In 4") -с fin k -4- In — .С ^In ^+ In 4") -с fin k -4- In — .(6.15)(6.15)Если теперь р1=р1 = 1—^^In и соответственно р2 = р2 = 1 — — 62/1п&— нули функций L(s, Xi) и ^(5> Х2)’ причем 1 — У^Рр р2 < 1 и о0=\Ц-а!\пк, то, применяя теорему П. 4.5 также, как в (4.5.31), получаем для достаточно малого а

С ^In ^+ In 4") -с fin k -4- In — .

С ^In ^+ In 4") -с fin k -4- In — .

(6.15)

(6.15)

Re (о0, Xi) = £ Xi) > ^ Re4-(°0' Х2)-4“<°0' Х2)>^~р;

При этом константа с может не быть одной и той же.

Так как Xi + Хо и Х2 + Хо» мы можем для оценки L(s, Xi) и L(s, Х2) в круге | s— Ool^V2 опираться на формулу (5.14) при Ео = О. Это же мы можем сделать при оценке L(s, Х1Х2)» по- скольку Х1Х2 ^ Хо- Из (П- 4.9) получим

Re 4^ (°о> Х1Х2) —47^°°’ х,Хг) > — с(|пА+1п4") (6Л6)

опять для достаточно малого а. Подставим это вместе с (6.15) и (5.34) в (6.14). Тогда

— (1 +е)—Ц-НЦcfln^ + ln — < О

v ' ’ о0 — 1 1 а0 — р( 1 а0 — р2 \1

ИЛИ (при 8 = ^2)

1,1) . ,1 1 / А

< тгГГТс Ип £ — с In < О

12 <2О, -]— и \и —|— О 2J^

для достаточно малого а. Можно уменьшить а, если это необходимо, настолько, чтобы было

Теперь, как при доказательстве теоремы 6.1, получаем шах^, Ь^ > с7.

Теорема 6.5. Пусть Xi ^ Х2 — действительные не эквивалентные характеры по модулям кх и к^. Тогда в области

о> 1—t = 0(6.17)

in кхк2v 7

по крайней мере одна из функций L(s, Xi) и ^(5» Х2) не обращается в нуль.

Доказательство. Утверждение следует, с одной стороны, из теоремы 6.4, так как функции L(s, х*) и T(s, Х2) в области о> О имеют те же нули, что L(s, Xi) и ^(s, Х2)’ а с другой стороны, из неравенства к^ '^ к*к*. Так как Xj и х2 не эквивалентны, то выполнено также условие Xj =г Х2’

Теорема 6.6. Пусть z— любое действительное число, z><2. Существует не зависящая от z константа с^ со следующим свойством: для всех действительных х мо модулям, не превосходящим z,

L(s, х)¥=0, / = 0, (6.18)

возможно, за исключением тех действительных х, которые эквивалентны единственному не определенному более точно примитивному характеру х* = Х*(^) по модулю k* = k* ^zVY

Доказательство. Достаточно доказать, что 6.18 имеет место для всех действительных примитивных характеров х* по модулям, нс превосходящим z, за исключением, быть может, одного. Если теперь X*mod&*, X2m°d&2’ ^i^^» k^^z — два таких примитивных характера, то по теореме 6.4 при х* + Х2 в области

имеет нуль не более чем одна из функций L^s, х*), L^s, ^. Так как In &*&* ^ In z1 = 2 In z, то то же самое имеет место при 1 —

— сб/21пг, чем утверждение доказано для с^ — ~с6.

Модули, для которых могут существовать такие действительные характеры, для которых (6.18) не выполняется, кратны единственному модулю k* = k*(z).

Если теорема 6.6 выполняется с некоторым значением с^, то она, очевидно, имеет место, если с8 заменить на меньшую константу.

Теорема 6.7. Пусть z^>kQ-\-\, где к0— натуральное число. При подходящем с = с(к0), не зависящем от z, в области

а>1—= 0(6.19)

In г47

могут иметь нули только те из L-функций

L(s, Х)> X по mod/?,k ^ z,(6.20)

для которых & = 0(mod&*), причем k* = k*(z)>k0. Все такие х принадлежат к тому же самому х* ^° mod к*.

Доказательство. По теореме 5.7 можно ограничиться действительными характерами, так как в силу неравенства к ^ z в утверждении можно заменить 2/^ на 2г. Для действительных характеров

9 Модуль к* зависит от г, так как для постоянного к* можно всегда выбрать г настолько большим, что в области о^>1—с8/1п г нет действительных нулей ни у какой функции L^s, ^\ где %— характер по mod к* (теоремы 4.1 и 4.2). Следовательно, k^z)->oo при z->oo.

утверждение следует из теорем 6.6 и 4.2, и можно всегда выбрать l = f(&0), меньшее чем с8, настолько малым, что в области о^ 1 — — с (&о)Лп (^о+ 0» ^ = 0 ни одна из действительных /.-функций по модулям, не превосходящим Ао, не обращается в нуль. Так как (^04“1)^г, то же самое имеет место в области а^1—c(£0)/lnz, / = 0.

До сих пор не доказано, что в теоремах 6.4 и 6.5 выражение „не больше одной" можно заменить на „никакая" и, следовательно, в теоремах 6.6 и 6.7 все, что относится к х*(г)» k\z), можно опустить.

(6.21)(6.21)Теорема 6.8. Пусть k^ 1 — целое. При подходящем с = с (&0) не более чем одна из L-функций, которые образованы всеми характерами модуля k, имеет действительный нуль в области

(6.21)

(6.21)

In 26 ’

и возможное исключение может появиться лишь при моделях, больших k^.

Это следует из теоремы 6.7 с z^k.

Теорема 6.9. Существует константа с0 > 0 со следующими свойствами;

Для целого к^\ в областит) с3

о > 1 йГГП^Т+^Глюбое) (6.22)

L(s, х) ^ 0 для всех х по mod&, за исключением, быть может, L-функции, соответствующей действительному х по mod к, которая имеет там действительный нуль первого порядка рР

Для любого z^S в области с3

in г (| Z | -|-2) ^ "Т ^ любое) (6.23)

L^s, х) + 0 для всех х по люду лям, не превосходящим z, за^исключе- нием, быть может, тех L(s, х)> для которых х эквивалентно одному и тому же примитивному характеру х* = Х* (г) mod к*, к* = к* (z).

Если &0>1— целое, то с помощью уменьшения с^ можно добиться, чтобы в а) при к^.к0 не было никаких исключений, а в Ь) было k*(z)>k0 при всех z^ 2.

Доказательство получается применением теорем из § 5, 6 со ссылкой на монотонность функции In х.

Теоремы, доказанные в § 5, 6 о нулях /.-функций, принадлежат Грюн- валю [1], Ландау [9], [10], Титчмаршу [2] и Пейджу [1]. Идея рассматривать функции (6.14) принадлежит, вероятно, Ландау [9].

9 1п ^ |Z I и In2^ заменяются на 1п^(|/|4-2), чтобы охватить случаи 1 1^ 3 и | /1 ^. 3.

Число простых чисел в арифметической прогрессии

Теперь мы будем применять теоремы о нулях /.-функций к асимптотической оценке величины

Л (Х, &, /) =21.

р<х, p^l (mod /г)

Наши рассуждения будут аналогичны проведенным в гл. III, только возможное существование в области (6.22) „исключительных" нулей приводит к некоторым осложнениям.

Обозначим через Xi возможно существующий исключительный характер mod к (к 1), а через ^ исключительный нуль L(s, Xi) в области (6.22). Xi никогда не равно Хо* так как из равенства1)

(1—г1”5)^)^—2~s + 3~5—+ .... 0>о(7.1)

следует, что (1—21~°)£(а)>0, и поэтому £(а) меньше нуля при О < а < 1. Отсюда видно, что L(s, Хо) < 0.

Существование Xi и (^ зависит от с0. Именно, уменьшая с0, всегда можно добиться того, чтобы для постоянного к нс существовало никаких исключительных характеров.

В гл. IV, а также в гл. VII, IX, X мы считаем константу с0 из теоремы 6.9 заданной. Остальные константы в этой главе зависят, вообще говоря, от с0.

Если нет исключительных характеров Xi и нулей (Зр то во всех равенствах нужно опустить члены, в которых встречаются Xi или рр

Теорема 7.1. При подходящем сх*>^ и произвольном действительном числе t в области

имеют место оценки

K(s, Х) ^ООпйШ + г)), х^Хо-Хр(7.3)

+ xo)=--++oanfc(|t|+2)),(7.4)

Xi) =+; + О(1пй(|7| + 2)).(7.5)

Доказательство. Применим теорему П.4.6 в случае, когда r = il2, s0 = o04-it1, tx— любое действительное число,. о0= 1 + —[—^/1п ^ ([^ Ц-2), причем пусть сначала 0 < а < V2 (позже а будет

!) Равенство (7.1) позволяет, между прочим, очень просто получить продолжение g (s) в область 0 < а < 1.

определено более точно). В круге |$— ^о I ^ 7г справедливы оценки

и (5.14). Положим теперь в формулировке теоремы П.4.6

F (s) = L (s, х)при х + Хо- Xi-

F(s) = (s — l)f(s, Хо) при х = Хо

F(s) = L(s, xOKs — to при x = Xi-

В случае а) из (5.12), (5.14), (5.19) следует оценка)

^^^{^’(^^^lln^^)}, |S-So|<|. (7.6)

Аналогично в случае б)

^^^L = о J (1 + | s_ 1 |) k'h (IМ + 2)'/z11п^(|Л 1+2) } = к»о— ИL vso> Хо? v“)

= о{-^с( 1^1 + 2)'}, IS-S0KV2. (7.7)

причем константа с не зависит от к» tx и а и может иметь не всегда одно и то же значение.

В случае в) мы возьмем с2 настолько малым, чтобы круг

Р — ₽1 К^

целиком лежал в полуплоскости V2 ^ ^- Это можно сделать ввиду того, что 3/4<^ Pi < 1. Например, можно взять с2 = V8. При | s—0j |^ с2, V2^a из (5.12), (5.14), (5.19) и s0— р1 = О( |^ |4~2) следует оценка

> £ 7hs 4 = ° i^(।Z * + 2)1/2 ( U. I + 2) Iln fe (IЛ 1+2)}. (7.8) L VSq* XiMs — Pi? I“I

Так как функция, стоящая в левой части (7.8), регулярна в круге |s— 0i|<c2, т0 (7-8) имеет место в этом круге), а следовательно, всюду В полуплоскости 7г ^а и, в частности, в круге |$— s0 I ^ 7г* Теперь применим теорему П.4.6 в случае fj = 2я/1п к (| tx Ц- 2). Тогда очевидно, что при 0 < а < ах < 7г» ri < ^г = 7а и во всех случаях а), б), в) F(s)=4 0 в области

о > 1о > 13(23(2|s — S0K7|s — S0K7

о > 1

о > 1

3(2

3(2

|s — S0K7

|s — S0K7

(по теореме 6.9, так как в случае в) 0j— нуль первого порядка), как этого требует применение теоремы П.4.6. Фиксируем а так, чтобы оно удовлетворяло этому условию. Из (7.6), (7.7) и (7.8) следует, что во всех трех случаях, применяя теорему П.4.6, можно взять

In А1 < с In Л? ([z1! |-Ь 2).

При |$— ^ol^V2 в (7-8) можно заменить t на tx. Теперь мы не будем больше отмечать особо зависимость константы с от фиксированного выше а. Нужно еще проверить, выполнено ли соотношение (П.4.12) во всех трех случаях. В случае а) из (5.26) следует

-^(So)-^5». Х) = О(1пА(|^Ц-2)).

В случае б) из (5.26) и неравенства | $0 — 1 | > о0— 1 = a/ln k (11Х | + 2) вытекает

4(5o) = 4(sO’ Хо) + 74т = 0(1п*<1^1 + 2)).

Наконец, в случае в) из (5.26) и неравенства | $0 — Pi|^o0— Pj > > л/ln к (| tx | + 2) получаем

^(*о) = ^(^ Xi)-7^=O(ln&(|/1| + 2)).

Поэтому во всех трех случаях теорема П.4.6 применима. Мы получаем оценки (7.3), (7.4) и (7.5) сначала для s — s-\-ltv |о — о0 |<С <^ гх = 2а[\п к(^х\Д-2) в области

1п^(|/|+2)^ТпГПЛ + 2Г

При а > 1 —|- Зя/1п к( \t |4- 2) эти оценки следуют из формулы (5.26), имеющей место для любого характера.

Рассмотрим теперь при к ^ 1 для всех % по mod к функции

Ф(*. Х)= 2 Х(«)Л(«)(7.9)

и при Z, взаимно простом с к, функцию

•ф(х, А, /)=2 Л («),(7.10)

п <х, ml (mod £)

которая при &=1 переходит в функцию ф(х). Согласно (2.11), имеет место равенство

4Чх, к- /) = ^) 2 x(0W. х).(7.П)

X mod к

Теорема 7.2. Если положить

[ 1 при Х —Хр

Е. = Е. (х. А) = п,(7.12)

*’ I 0 при X Хр

то имеет место соотношение

^(.х, ^^EoX-E^-VO^xe-^^,(7.13)

которое равномерно при & <^ ехр (с4 ]Лп х). (Определение ^ см. в (5.11).)

Доказательство, Применим теорему П.3.1 в случае

/ (») = — -77 (S. х). b > 1, w = 0.

Согласно (3.4), aa = O (Inn), и так как

|+-Х)|< + (°) = 0(+-)' <т-*1+0,(7.14)

то можно взять a=L Тогда при х=М + 1/2, N^\t Т > 0, b—\ + l/lnx, w=0 получаем формулу

Ь-НТ

£ х(ге)Л(л) = —^ / ^.(s, X)^rfs + o(^-ln2x). (7.15) п^хЬ—1Т

Пусть Pv Р2— точки 1 -4~ 1/ln лт dz ZT и Qp Q2— точки 1£1+

In k(T +2) ~*

Обозначим через ^ отрезок PXQV через Г2 — отрезок кривой о= 1 — С!/1п^( |Z | + 2), ведущий от Qt до Q2. через Г3—отрезок Q2P2, и через С — замкнутый путь ^+Г2 + Г3 + Р2Рр

Сначала предположим, что х ^ Хр Тогда на С нет ни одной особой точки подинтегральной функции. Аналогично выводу соотношения (3.3.7) получаем

Ьл-П

-М f T^ti—^-^+m J т<$. х)т&(7.16) Ь-Пг,+г2+г.

Если потребовать, чтобы Т>2(1/($—1) = 0(1) при б^^ + Гд), то, согласно (7.3) и (7.4), имеет место оценка

l + 1/lnx

/ -Т^ Х)^^ = оЬпй(Т + 2)Д J хМо =

Г1+Г31-^/ln к (Г+2)

= О^Хпк?у (7.17)

Так как в силу (7.2) о>3/4 для всех sgr2, то на Г2 имеем l/(s— 1) = 0(1п2А) и 1/$= О {1/( |( |+ 1)). Поэтому из (7.3) и (7.4) следует

(

г\

InAT j д;1-^1пft«+2)^.1,

1/

Это есть

О^хх-С5,ХакТ \йЧт\ Т>2,

(7.18)

так как показатель в последнем интеграле имеет максимум

1 — cx/ln к (Г + 2) < 1 — f5/ln кТ (Т > 2).

Если положить 1пГ = ]Апх для достаточно большого х и принять во внимание, что In к ^ с4 ]/1п х, то In кТ = О (p^ln х) и порядок величины всех остаточных членов при достаточно малом с^ будет равен О(л:ехр{— с6]Лпх}). Тем самым утверждение теоремы при X ^ Xi Доказано.

Рассмотрим .случай х —Хг Если для исключительного нуля рр который может существовать, выполняется неравенство

то для 5^Г2то для 5^Г201121п 2А ’

то для 5^Г2

то для 5^Г2

—*=О(1п2й).

В этом случае используется формула (7.5) и доказательство протекает так же, как при х^Хр только в правой части равенства (7.16) появляется член

(Vs )уР1

Ррс < — 7 с>

В случае неравенства< 12 In 26мы проводим вокруг точки пересечения Г2 о=1 — с1/1п2&, / = 0 окружность радиусаВ случае неравенства< 12 In 26мы проводим вокруг точки пересечения Г2 о=1 — с1/1п2&, / = 0 окружность радиусаPl ’

В случае неравенства

< 12 In 26

мы проводим вокруг точки пересечения Г2 о=1 — с1/1п2&, / = 0 окружность радиуса

В случае неравенства

< 12 In 26

мы проводим вокруг точки пересечения Г2 о=1 — с1/1п2&, / = 0 окружность радиуса

(7.19)

с действительной осью 3/4с1/1п2^ и заменяем соответствующий кусок Г2 на кусок дуги окружности, проходящей

через точку о=1—]/4Ci/ln2^, / = 0. Пусть Г2— измененный таким образом путь и С = Г1 4“Т2-^Гз + Р^. Тогда имеют место соотношения

Res{ —^(s. Xi) v} = 0.—V = 0(ln2&),s^.

cf I Ls Is — Pl

Следовательно, как и раньше1), ф (х, х) = 0 ^хе~с-^ХпхУ

!) Естественно, что здесь Ей = 0, так как Xi + Хо-

Из (7.19) и неравенства 1 — с^ In 2^ > Pi 2> 3Д ПРИ- ^ ^ ехР (f4 V^п х) получаем

— о (х1-^2 |п= О (хе-с=

Следовательно, равенство (7.13) выполнено и в этом случае, если с^ достаточно мало. Отличие в том, что второй член правой части содержится в этом случае в остаточном члене. Тем самым теорема 7.2 полностью доказана.

Из хода доказательства вытекает, что сА в (7.13) можно взять любым;, но при увеличении с4, вообще говоря, с3 должно будет уменьшаться. Позднее мы покажем, что теорему 7.2 можно существенно улучшить (гл. IX).

Теорема 7.3. Имеет место равенство

1|) (х, fe, I) = Цтг — -^^ 4^ + 0 (хе"с= ^i^). (7.20) которое выполняется равномерно при k ^ ехр(с10 ]/1п х\ Второй член не равен нулю, если существует исключительный характер Xi яо mod k и исключительный нуль ^г = ^г (к) соответствующей функции L(s, Xi)-

Доказательство. Из равенства (7.11) и теоремы 7.2 следует, что

^Е0х-Ех-х^ + о(хе-=^\.

X

Отсюда получается (7.20), если принять во внимание определения Е^ Ех и соотношение Xi =Xi* 2 1 = <р(&).

х

Функция Их— „интегральный логарифм х“—определяется формулой

Очевидно, что

тнт+°<(7-21)

Далее для любого натурального т с помощью интегрирования по частям получаем

) In g In X

2

In X In2 X

°(r^-Y (7-22)

\ln x]

так как

2 ь2 ьл(х, к, /)л(х, к, /)1ФИ1ФИ.( R (х, k) )11 х 4- О < —?1( In X ).( R (х, k) )11 х 4- О < —?1( In X )(х->оо),(7.25)(х->оо),(7.25)

2 ь

2 ь

л(х, к, /)

л(х, к, /)

1ФИ

1ФИ

.( R (х, k) )

11 х 4- О < —?

1( In X )

.( R (х, k) )

11 х 4- О < —?

1( In X )

(х->оо),(7.25)

(х->оо),(7.25)

1 Г— I х )t х \

О { V X + У = О ( .

[ (In Ух) )\ Inm X /

(7.23)

Лемма 7.1. Пусть равенство

W< k> ^ = -^-WRCc. ед (^оо)(7.24)

выполняется равномерно при ^^со(х), (к, /)=1, причем со(х) обозначает любую неотрицательную функцию х. Будем предполагать, что при х > х0, где х0 не зависит от k, функция R(x, &)/1п2х монотонно возрастает. Пусть далее при k^^{x) выполняется оценка xxk = O(R(x, ^)). Для фиксированных х функция R(x, к?) должна быть равномерно ограничена по к. Если все эти условия выполнены, то имеет место равенство

которое выполняется равномерно при 1^^<^со(х).

Доказательство. При любом к

Л (X, к, /) —р<х, p = l (mod /г)Л (X, к, /) —р<х, p = l (mod /г)1 =1 =VАЛ1^In пп <х, /2 = Z(mod#)1VАЛ1^In пп <х, /2 = Z(mod#)1трт ^х, pm=l (mod Ют^2трт ^х, pm=l (mod Ют^2Vп xbwk In Л2 ' \1ПХп^х, ml (mod Л)Vп xbwk In Л2 ' \1ПХп^х, ml (mod Л)

Л (X, к, /) —

р<х, p = l (mod /г)

Л (X, к, /) —

р<х, p = l (mod /г)

1 =

1 =

VАЛ1

^In п

п <х, /2 = Z(mod#)

1

VАЛ1

^In п

п <х, /2 = Z(mod#)

1

т

рт ^х, pm=l (mod Ют^2

т

рт ^х, pm=l (mod Ют^2

Vп xb

wk In Л2 ' \1ПХ

п^х, ml (mod Л)

Vп xb

wk In Л2 ' \1ПХ

п^х, ml (mod Л)

так как (см. (1.3.18))

-V2-V2

-V2

-V2

In X

рт<х, т-><1

Далее, согласно теореме П.1.4 и равенству (7.24), при ^^со(х)

S

A(/z) =_х, In п ср (к) In х '

п<х, п =1 (mod Ю

+ о1 Г + о f Г R (t k) I d ~ I

\ In X / Ф (k) J ъ In g 1 I J v 7 In g I

2\2

Интегрирование по частям лает

Далее в силу монотонности /?(х, &)/1п2х при х > х0 имеем

JR«. J + f W ‘)р1^|<

2^2 хй /

.^0(1)+ ^0^^ f = Л ^ -4-0(1),

V71 In2 X J § In X ' V 7

где константа в 0(1) не зависит от £, так как /?(£, &) ограничена при с, ^ хо и ^^Е Если принять во внимание (7.21), то получим (7.25).

Теорема 7.4. Равенство

п^х, к,+(7.26)

7 ф Щ\ ф (^) 1/4

выполняется равномерно при к ехр (с10 У In х\ Доказательство следует из теоремы 7.3 и леммы 7.1, если положить

6> = 4>>ТГ + "",№-'(И7)

воспользоваться неравенством ^^^ и несколько ухудшить остаточный член.

Теорема 7.5. При постоянном к

л(х, к, /) = -Д^-Пл: + 0(хе-с=/1п^_(7.28)

в частности,

л(х, к, I) — •—, х->со.(7.29)

Доказательство. По теореме 4.2 имеем1) Pi ^ 1—д, д = д(&)>0. Следовательно, если к фиксировано, из (7.26) получаем

л(х, к, 1) =——И х + О■ + xe-c^inxj.

v 7Ф(^)1\Ф(^) г/

Отсюда вытекает равенство (7.28), причем константа, естественно, может зависеть от к.

При к = 1 получаем

л(х) = П хА-О^хе~сУ^)(7.30)

*) Исключительный характер %j действителен, так как %j = %о-

и отсюда, согласно (7.21) и (7.22),

Л(х) = I Н15И . . . Ч|-0 / ' - -;■ ■. (7.3 I)

Inx[ Inx In2 х . 1П Х \ln +1 X) J

Уже Гаусс заметил, что л (х) приближается функцией Иле ошибкой меньшей, чем О (х/1пт х), где т как угодно велико. Это доказывается с помощью равенства (7.30), так как х ехр {—с "l^ln х} = О (х!\пт х) для любого сколь угодно большого постоянного т.

В качестве приближения функции л (х) Лежандр рассматривал функцию —-= 2L_ J1 -1- _+ _1_ о (—i—| In X — В In X ( In X \ In2 X Н

и указал в качестве „наилучшего значения" В число 1,08... Из равенства (7.30) следует, напротив, что В = 1 — лучшее значение. Это впервые установил Чебышев [1], правда без соотношения (7.30), которое тогда еще не было известно и которое, как и теорема 7.5 (для фиксированного к\ было доказано впервые Валле-Пуссеном [2]. Более слабое утверждение (7.29), которое называется „теоремой о простых числах в арифметических прогрессиях", можно, как и теорему о простых числах в гл. III, доказать элементарно, с помощью формулы, аналогичной равенству Сельберга (6.1).

Для дальнейших применений мы докажем еще одну теорему.

Теорема 7.6. Равенство

л(х, к, /) = —^ 1+0(7.32)

Х 7 ф (&) In X \1\ In X / /47

выполняется равномерно при ^^схр(си yin х); исключение могут составить те к, которые кратны некоторому k* = k*(x)> 1 !).

Доказательство. По теореме 6.7 в случае &0=1, z = = ехр (сп ]/1п х) получим

^<1—(7.33) У In х

для каждого возможного исключительного нуля рр который появляется при модуле ^^0(mod^*) (k* > 1). (Напомним, что так как с0 фиксировано, то исключительный нуль mod к существует только тогда, когда Л(рь х) = 0 для х по mod^ и для Р! ^ 1—с0/1п2&.) Неравенство (7.33) даст нам

хР1 = О (х ехр (— с12 VIn х) )

и остаточный член в (7.26) заменяется здесь на О{хехр(—с yin х)}, чем утверждение теоремы доказано.

Результаты этого параграфа, которые относятся к к, растущему вместе с х, принадлежат Титчмаршу [2] и Пейджу [1].

!) Число 1, естественно, можно заменить на любое постоянное число, но для применений целесообразно зафиксировать его.

Теорема Зигеля

Теоремы § 6 не полны в том отношении, что мы до сих пор не знаем ни одной функции д = д(^)>0, которая устроена так, что в области

о>1—д(^),/ = 0

ни одна из Л-функций, образованных характерами % по mod^, не обращается в нуль. Из теорем 4.1 и 4.2 следует только, что такая положительная функция всегда должна существовать.

1

Пейдж [1] доказал, что 6(&) = с/&21п&— такая функция. Мы докажем здесь глубокий результат Зигеля [1] о том, что для любого е>0 можно взять 6(&) — с (г)!^, причем с(е) — положительная константа. Правда, нужно заметить, что известные до сих пор доказательства теоремы Зигеля „не эффективны" в том смысле, что они при достаточно малом е не позволяют вычислить константу с(е). Для доказательства теоремы нам потребуется несколько лемм.

Лемма 8.1. При всех k^\ и X ^ Хо имеет место соотношение

£(1, х) = О(1п2£).(8.1)

Доказательство следует из соотношения (5.15), справедливого при 5= 1, где при х + Хо второй член правой части обращается в нуль.

Лемма 8.2. В области

при х + Хо имеет место соотношение

Г (о, х) = О (In2 2^).(8.3)

Доказательство. При о > 1

— L* (s, х) = ^ In п.п

Из теоремы ПЛ.4 при Xx = h, х—>оо и о> 1 следует

-L4s, Х)= 2(8-4)

п < кк

причем мы положили С(£)= 2 7ЛО- Согласно (3.6), |С©|<Ф(А) = О(А).

Поэтому при о > 0 интеграл

кх ькх ь

кх ь

кх ь

абсолютно сходится, и (8.4) справедливо также в полуплоскости о > 0. Далее при о^ 1 —с1/1п2^^/2 имеем

2 я~а 1пп<Дп2& 2 Я"7*<1п2£ 2 п"^0^^ = О (In 2^) п< кп<кп<к

И

JlC©l^^ = °(A I'M ^j=0^^-) = 0(ln2A),

кь\ к/ X &1

так как

j E™-0■(8->

Лемма 8.3. Пусть Xp X2— два действительных характера^ no mod^p ^2» a X1X2— произведение характеров Xi ^ Хг> определенное no модулю kxk<2- Тогда при о>1 имеет место равенство

р ($) =W (s, Xi) L (s, Х2) L (s, Х1Х2) = 2 Ьпп-\ (8.6)

где bx = 1 и bn^^. n=L 2, 3, ..,

Доказательство проводится так же, как доказательство леммы 4.1, и поэтому мы его проводить не будем2).

Лемма 8.4. Пусть хр Х2— действительные примитивные характеры по mod kv k^ и Xi ^ !& Хр Х2 ^ Хо (следовательно. кх^>2, к2^>2). Если F (s) обозначает функцию, определенную формулой (8.6), то

^Ц-^№С,М (8.7)

(8.8)(8.8)в области 1—с3<^о< 1 при подходящих с^ с^. причем

(8.8)

(8.8)

Х = £(1, Xi)^(L Х2)^(1. Х1Х2).

(8.9)(8.9)Доказательство. Произведение Х1Х2 не может быть главным характером по mod й^* так как Xi =£ Хг* Следовательно, функция £(s, Х1Х2) регулярна в полуплоскости о > 0. Поэтому там регулярна также функция /^(s), за исключением простого полюса при 5=1 с вычетом, равным X. Следовательно, функция

(8.9)

(8.9)

g (5) = F ($) "

всюду регулярна в полуплоскости о > 0. Разложим ее в окрестности точки s = 2 в степенной ряд, так же как в теореме П.2.4. При т ^ 0

(2) = (— l)m S bnn"2 lnm п,п

и по лемме 8.3

F^=^am^ — sT- ат>0, а0>1, |s — 2|<1, (8.10) т-0

g(s)=.F(s)--LT=^(am-l)(2-sr, |s —2|<1.(8.11)

т=0

Так как g(s) регулярна в полуплоскости о > 0, то равенство (8.11) справедливо также в круге |s — 21 <^ 3/2. Далее при |»-2| = з/2

C(s) = O(l).^ = 0(1)

и в силу равенства (5.14)

Цз, Х1Ш$. X2)L(s, XiX2) = O VJ^k^V

так как x? X2 и X1X2 отличны от главного характера. Кроме того, согласно (5.14),

^(1. х0^(1. x2U(i. Х!Х2) = О{(М2)Ч

В итоге получаем

g(s) = 0{(ft1V)(8.12)

для |5 — 21 = 3/2 и отсюда по принципу максимума в круге |5 — 2|<3/2.

Из формул (8.11), (8.12), оценивая коэффициенты по Коши, получим

\ат-М<съ<кхк^'^т./« = 0,1,2,....(8.13)

Выберем теперь с^ так, чтобы 2 — (1 — с^) = 1 + сб < 3/2 (^6 < 1/2)» т. е. а = (1+св)2/з< С Тогда при 1 —сб<^о< 1 ввиду неравенств

(8.10) и я02>1 получим

£ ^т-Ж^-оГУ- 5 (ат-Х)(2-оГ> 0<m < Мm> М

> 1 - Ь — Г-Г "' - с5. (8.14)

Теперь выберем Л1 настолько большим, чтобы последний член стал меньше !/2 для всех кх ^2, ^2^2. Этого можно добиться, полагая M = c1\nkxk2 с подходящей константой с7, зависящей от а. Далее в области 1 — с^ ^ о < 1 имеет место оценка

(2 — о)^ —ехр {/И In(2 — о)} < exp ^c-jXckk^ ♦ с8(1 —о)}, из которой следует утверждение леммы при с3 = £б, с^ — с718.

Теорема 8.1. Для любого е>0 и для каждого действительного характера х при k>kQ(e?) имеет место соотношение

L(g, ^ + У о> 1 — k~£.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для примитивного характера х + Хо-

Применим лемму 8.4. Пусть Xi и Х2— характеры вида, рассмотренного в лемме, и Л(Ор Xi) = 0 лля ai из области 1 — ^з<^о>1< 1. Из (8.7) ввиду Г^^ = ^ следует

и поэтому

А(1. Х1)^(Ь Х2>^(1. XiX2)>4(l-0i)(Wf2(1*a,). (8.15)

По лемме 8.1 для любого е>0 при kxk2^> к^

£(1, Х.ШЬ XiX2) = O(ln2^2)<(^2)8.

Подставляя это в верхнее неравенство при кхк^ > к (е), получим 7y>^0-OxKWc^-a'v\(8.16)

так как в силу (4.11) при х + Хо всегда £(1, х) > 0.

Пусть 1—О]^^. где с^ будет точнее определено ниже. Тогда из (8.16) следует

^(1. X2)>4(l-o1)(WE(1+^g).(8.17)

Если положим теперь с9 — 1/с2 и выберем к2 настолько большим, чтобы

y(l—a,) kf£>k^\

например, &2 > ^2<е, ^i), то из (8.17) при кхк^ > к(^\ к^ > ^(е, кх> следует оценка

(8.18)(8.18)А(1. Х2)>^3е-

(8.18)

(8.18)

Поэтому, если имеется характер Xi по mod kv для которого L (ор Х1) = О при Oj из области 1—CgS^o^ 1, то из (8.18) при

&>тах(&2(8, кх\ к(Е?)[кх) = к'(г)

следуетследуетА(1, Х)>^ЗЕА(1, Х)>^ЗЕ(8.19)(8.19)

следует

следует

А(1, Х)>^ЗЕ

А(1, Х)>^ЗЕ

(8.19)

(8.19)

Теперь при 1—к 4е<^о^1 по теореме о среднем значении получается

Л(о, Z) = ^(h х)-(1-о)Г(^ X),

где о<;о^ 1 и к > k" (е). Отсюда по лемме 8.2 и из (8.19) заключаем, что

| А (а, х) I > ^-Зе + О (^"4е In2 й) > О,

если к остается больше некоторой величины, зависящей от 8. Тем самым, если в области 1—сде^о<^1 имеется нуль какой-нибудь Л-функции по какому-нибудь модулю кх, утверждение теоремы доказано с 4е вместо 8. Если же в этой области все L (s, х) не равны нулю, то утверждение теоремы следует из того, что

с9е > к е

если к больше некоторого числа, зависящего от 8.

Теорема 8.2. Для любого 8 > 0, к^>\ и для каждого действительного характера х

(8.20)(8.20)L (о. X) + ° пР“ о > 1 — -^-,

(8.20)

(8.20)

где с (г) обозначает константу, зависящую только от 8.

Доказательство сразу же следует из теоремы 8.1 и из того, что £(1, X) ^ 0 по теореме 4.2 т).

Теорема 8.3. Пусть А— сколь угодно большое положительное число. Тогда имеет место оценка

л(х, к, Т) = —rzrli ^ + О ^хе"с^ХпхУ х->оо, (8.21)

равномерная при 1^^^1плх, (/, ^) = 1.

При этом константы в (8.21) зависят от А.

*) Теоремы 8.1 и 8.2, очевидно, эквивалентны, так как е> 0 — любое,

Доказательство. Из теоремы 8.2 следует, что для Pj — исключительного нуля Л-функций по модулям, не превосходящим 1пА х, при любом £ > 0 выполняется неравенство

Если мы положим £ = M2A> то

хр‘— О (хе-с ^^)

с константой с, зависящей от А. Отсюда, согласно (7.26), следует утверждение теоремы.

Теорема 8.3 до сегодняшнего дня является лучшей среди утверждений относительно равенства

=<8'22>

которое справедливо равномерно для всех к, меньших некоторой величины, растущей вместе с х т).

Приведенное выше доказательство теоремы Зигеля принадлежит Эстер- ману [2].

Эта теорема дает также сведения о числе классов квадратичных форм. Рассмотрим отрицательный фундаментальный дискриминант — к и число h (£) классов квадратичных форм с этим дискриминантом. Тогда

h^ = ^7(823)

п

причем % (п) = I , а I) — символ Кронекера (см., например, Хассе [1]). Символ Кронекера — действительный характер по mod к; можно показать, что он является примитивным характером по mod к. Если мы положим

Lks, ^ = 24\"ЛГ)П ’п

то

h W = L (1, X)-(8.24)

Гекке впервые доказал (доказательство Гекке см. у Ландау [10]), что из L (а, %) + 0 в области о> 1 — а'Дп к (например, при & > 2) следовало бы

h (А) > с (а) ^, ‘ L (1, х) >(8.25)

При этом а достаточно мало и не зависит от к, а с (а) зависит только от а. Это можно получить следующим образом. Совершенно так же, как в (8.7),

9 Следовательно, без всякого исключения.

можно доказать, что при 0 < 1 —а< си и любом действительном характере % по mod к имеет место оценка

$ (а) £ (а, Х) > у- ТТ^ кС“ ° "^(&26>

Нужно только там вместо F (s) рассмотреть функции g (s) L (s, %). Если теперь L (о, х) + 0 в области 1 — а/ln к < а < 1, то там же £ (a) L (а, %) < О, так как

С(а)£(а, х)--У^’ а->1—О

и L (1, %) > 0. Из (8.26) при а = 1 — а/In к следует неравенство о> у— c(a)L (1, X) In А

lim h (к) = оо и Нт L (1, х) V~k = ооlim h (к) = оо и Нт L (1, х) V~k = оо(8.27)(8.27)и, таким образом, неравенство (8.25). Соотношения

lim h (к) = оо и Нт L (1, х) V~k = оо

lim h (к) = оо и Нт L (1, х) V~k = оо

(8.27)

(8.27)

справедливы, если в области о > ^2 какая-нибудь из функций L (s, х)» X по mod к обращается в нуль. Этого факта достаточно для доказательства (8.27) *) по теореме Гекке. При доказательстве, как и в теореме 8.1, используется то, что из L (a, Xi) — 0 вблизи а=1 следует, что L (1, Хг) велико, если Хг — характер по достаточно большому модулю кт Теорема Зигеля 8.2 дает больше, чем результат Хейльбронна (8.27), а именно оценку

h (к) > с (е) к 2,

поскольку из (8.26) и £ (a) L (а, х) < 0 в области 1 — с (е) к 8 а < 1 при о = 1 — с (е) Г£ следует неравенство

0>1-с(Е)^£(1, х)- £(1, х^-^.

2

Об элементарном доказательстве (8.27) см. Линник [5]. В теории простых чисел теорема Зигеля впервые применялась Вальфишем [1].

Задачи к главе IV

Пусть р—-простое, /—характер по mod р, число а—целое и

2л Z — я

Sa (Р) = S X («) е р •я-1

Доказать, что имеют место равенства | Sa (р) | = Ур при (а, р) = 1 и

Sa^=i^Sx^pY

О Равенства (8.27) предполагались уже Гауссом.

Пусть М, N — целые, О <С М < N < р. Доказать, что для любого неглавного характера х по m°d Р имеет место оценка!)

2 х(«) < Vp2 х(«) < VpМ <n<NМ <n<N

2 х(«) < Vp

2 х(«) < Vp

М <n<N

М <n<N

Число п, как известно, только тогда представляется в виде суммы двух квадратов, когда каждый простой сомножитель .вида 4пД-3 встречается в п в четной степени. Докажите, что число чисел такого вида, меньших х, эквивалентно Ъх]у\пх, где ^—некоторая положительная константа).

Пусть А (х) означает число тех п, не превосходящих х, для которых все простые сомножители принадлежат прогрессиям

^/n + Zp .km-\-lr (7<С<р(&)).

Докажите, что3)Докажите, что3)Л (х)~х/(1пх),~г/(р№Л (х)~х/(1пх),~г/(р№

Докажите, что3)

Докажите, что3)

Л (х)~х/(1пх),~г/(р№

Л (х)~х/(1пх),~г/(р№

Перенесите варианты доказательств теоремы о простых числах из задач к гл. III на случай теоремы о простых числах для арифметической прогрессии.

Ч Пойя [1], Виноградов [1].

Гл а в а V

РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ

Введение

Здесь будут изложены некоторые применения наших результатов, в первую очередь полученных в гл. II.

Пусть х обозначает достаточно большое положительное число, и равенства, в которых встречается х, имеют место, возможно, только для достаточно большого х (каждый раз особо это напоминаться не будет). Пусть далее е— произвольно малое положительное число. Насколько велико должно быть.х, чтобы было справедливо равенство, в котором встречаются е и х, зависит, вообще говоря, от 8. Буквами U j, к, I, т, п, г, s, z в этой главе будут обозначаться натуральные числа, р и q обозначают простые числа, N (z; В), как и в гл. II,— число чисел, которые удовлетворяют условию В. Через ф(я) обозначим число различных простых делителей числа п.

О простых числах в арифметической прогрессии

В данной арифметической прогрессии

kn-VL ^<3<к (^ = 0, L 2, . . .)

только тогда может встретиться бесконечно много простых чисел, когда (к, Z) = 1. С помощью метода решета можно указать верхнюю оценку количества л(х, к, Г) простых чисел в этой прогрессии, которые не превосходят х. Из теоремы 2.4.1 следует

Теорема 2.1 т) Пусть 0 < а < 1 и

\<к<ха.(2.1)

Тогда существует константа С = С(а), такая, что

л(х, k, 1)<С-^. (2.2)

vу ф (&) In .К

для всех I, удовлетворяющих условиям (I, A)=l, 0^Z<^.

Значение этой оценки состоит в том, что она справедлива для любого к, которое лежит в области (2.1) с одной и той же константой С. Оценка снизу, аналогичная теореме 2.1, до сих пор неизве-

9 Титчмарш [2].

стна (см. гл. IV). Однако мы покажем, что по крайней мере „в конечной части” всех простых классов вычетов по mod# должно находиться „много” простых чисел.

Теорема 2.2. При предположениях теоремы 2.1 для каждого к и подходящих q и с2 (не зависящих от х и к) имеется больше чем С]ф(^) различных значений U для которых

л(х, к, Г)>с2——. (2.3)

4 ’ 7 2 ф (&) In х v 7

Доказательство. Пусть с2— положительная константа, меньшая 1. Простые классы вычетов по mod к, из которых каждый содержит меньше чем c2x[q> (к) In х простых чисел, не превосходящих х, вместе содержат меньше чем

Ф (^) • С2 ф ^ щ х С2 in х

таких простых чисел. Так как i2< 1, то остальные простые классы вычетов по mod/? по теореме о простых числах содержат больше чем

/лх х Vnk .п х х

(1 — е —-—_ > (1 — 2е — с2) -j

427 п х In 2 v27 In х

простых чисел, не превосходящих х при любом е > 0 (х > х0(е)). Член 1п&/1п2 = О(1пх) происходит от простых делителей числа к, которые не содержатся ни в каком из простых классов вычетов по mod к. По теореме 2.1 в каждом классе вычетов mod А имеется не более чем Сх^(к?) In х простых чисел, не превосходящих х. Следовательно (по принципу Дирихле), должно существовать не меньше чем .

классов вычетов по mod к, каждый из которых содержит не меньше чем c2xjq) (к) In х простых чисел, не превосходящих х; при этом с2 выбиралось так, что 2е < 1 — с2. Тем самым утверждение теоремы доказано.

Для констант сх и С из доказательства следует, что сх < 1/С. Можно также дать оценку снизу для большего числа классов вычетов, если ограничиться в определенном смысле „конечной долей” всех модулей к^х^

Теорема 2.3 !). Пусть к^ха, 0<а<1. Тогда для каждого b, 0<#< 1, найдется такое п, что в каждом разложении

к ——- кхк2 , . , кщк ——- кхк2 , . , кщ(к-^ kj) — 1(к-^ kj) — 1О* ^ JYО* ^ JY

к ——- кхк2 , . , кщ

к ——- кхк2 , . , кщ

(к-^ kj) — 1

(к-^ kj) — 1

О* ^ JY

О* ^ JY

9 Эрдёш [1].

имеется kr (1 -^r<^^), удовлетворяющее при некотором с3 = с3(Ь) неравенству

л(х, к , 1)>са -,™ (2.4)

не меньше, чем для bq(kr) различных классов вычетов lmodkr

Доказательство. Пусть к разлагается указанным образом на п попарно взаимно простых сомножителей кх» к^, . . ., кп, причем п^\. Ниже на п будут введены новые ограничения. Для каждого /=1, 2, ...» п мы разделим простые классы вычетов по mod£z на две группы и обозначим классы вычетов первой и второй группы соответственно через r't и г". В первой группе находятся классы вычетов г', для которых

к., г'\^с~—— ,\ i U з <р (^.) 1П х

константа с3 потом будет определена точнее. Во второй группе находятся такие классы вычетов т"^ что

л (х, kv г"^ > С3 ф(А.) 1плг •

Для каждого i^n

S л (х, ке г') <ф(А,) • с3 ^у^ == сз Пх''

Ч

Следовательно,

2 ^л(х, кс r^<c3n(2.5)

-^ Z л

Предположим теперь, что для каждого /=1, 2, ..., п выполняется неравенство

2kw(2.6)

ч

и покажем, что при достаточно малом с3 и достаточно большом п это приводит к противоречию.

По известным теоремам о решениях сравнений по составным модулям, так как kL попарно взаимно просты, из (2.6) следует, что

1 < П ^Ф Мч) = ^Ф <ку

z mod к1<1<п

z=T^ (mod &^ (1 < Z < л)

При этом суммирование должно распространяться на все z, ^^z<Zk, для которых (z> к) = 1 и z по каждому модулю ki

(Z=l, 2, ..., п) сравнимо с каким-нибудь г". Теорема 2.1 теперь дает

2(2.7)

z mod к

z^r ^ (mod к^ (1 с i < п^

Каждое простое число, нс превосходящее х, или принадлежит множеству простых чисел, для которых выполняются оценки (2.5) и (2.7), или делит к. Справедлива оценка

р\к

Это дает совместно с (2.5) и (2.7) неравенство

л (х) < с3п -^ + СЬп -^ 4- О (In х).

Если взять с^ настолько малым и п настолько большим, что сйп-^-СЬп < 1, то это противоречит теореме о простых числах. Следовательно, в этом случае неравенство (2.6) не может быть верным для всех I (Z = 1, 2, . . ., п). Поэтому для некоторых Z должно быть не меньше чем bq)^k.^ различных классов вычетов г". Этим теорема 2.3 доказана.

§ 3. О числах вида р,+р2

Пусть рх и р2— нечетные простые числа. Числа п, которые представляются в виде суммы

(3.1)(3.1)« = ^1 + ^2,

(3.1)

(3.1)

тогда обязательно четные. Покажем теперь, что эти числа имеют положительную (асимптотическую) плотность. Говорят, что некоторое множество натуральных чисел имеет положительную плотность, если число чисел этого множества, которые не превосходят х, всегда больше чем сх при некоторой положительной константе с.

Теорема 3.1 !). Справедливо неравенство

N (п<.х; п — рг-\- р^ > сх.(3.2)

Э Шнирельман [1]. Там также доказывается утверждение: если множество чисел имеет положительную плотность, то каждое число можно представить в виде суммы постоянного числа слагаемых из этого множества; откуда следует, что каждое достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы постоянного числа простых чисел.

(3.5)(3.5)(3.6)(3.6)S1 < т < ооц.2 (тп)=1S1 < т < ооц.2 (тп)=12^(т)т22^(т)т2со.со.(3.7)(3.7)

(3.5)

(3.5)

(3.6)

(3.6)

S

1 < т < ооц.2 (тп)=1

S

1 < т < ооц.2 (тп)=1

2^(т)т2

2^(т)т2

со.

со.

(3.7)

(3.7)

Доказательство. Пусть

fW = N^pv р2; рх<^х, р2<С-^х, pv^p2 = ny (3.3)

Согласно (1.3.18),

N (рр рх j х) = л ^ х) > гх/ln х.

Аналогичное неравенство верно и для р^ р^^-^х. При п = рх + р^ Рх^-^х, Рз^С^ х, неравенство п^.х очевидно. Следовательно,

(3.4)

п <х

Используем теперь теорему 2.4.8, которая утверждает, что многие суммы /71 + ^2 не могут быть равными. Поэтому из п^х следует

/(«)<С2-П^^(»)-

где

^^ПО + уЬ 2 I-

р\пd\n,\x.^ = \

Оказывается, что

2 S'2 («) < с.х.

Действительно из (1.5.24) и (1.5.22) получаем

W+y

п<х р\п

и отсюда вытекает (3.6), потому что ввиду (1.5.7) для чисел т, сво

бодных от квадратов,бодных от квадратов,2y w = d (т) = О ^У и значит

бодных от квадратов,

бодных от квадратов,

Пусть q — некоторая положительная константа. Тогда из (3.5) следует оценка

п<л:,г(«)>с4n<x,g<n')>c4

а из (3.6)

Таким образом, 2<3-8>

п < X. g (ll) > с4

Выберем с^ настолько большим, чтобы с^с^ < сР Тогда из (3.4) и (3.8) следует

S f*>=^- ^-^<ы-

п<х, g(n)<c4

Для тех п, для которых g(n)-^c4, из (3-5) получим

У \2 4 jn2x

Вместе с этим (3.9) дает

xY^5 In2 X *xY^5 In2 X *VIх

xY

^5 In2 X *

xY

^5 In2 X *

п < X fVM g(n)<cA

Следовательно,

2 -п<х, / (л) > О2 -п<х, / (л) > ОС5^2^4С5^2^4

2 -

п<х, / (л) > О

2 -

п<х, / (л) > О

С5^2^4

С5^2^4

и неравенство (3.2) доказано.

Несколько проще получить (3.2) с помощью неравенства Шварца. Согласно (3.4), (3.5) и (3.6), имеем

t'W< 2 ^"к! S '"П 5 /"<">7<

(3.10)(3.10)п<х,/(п)>0( п < х, f (п) > 0 j ( п <х, j (п) > О J

(3.10)

(3.10)

I п < х, / (п) > О J

Отсюда опять следует (3.2).

Если бы для всех п всегда было g (п) < с, то доказательство можно было получить гораздо проще. Тогда было бы / (и) < exjin х при л < х и из (3.4) следовало бы по принципу Дирихле

V х _ х2

2* с In2 X > С| In2 X *

ПоэтомуПоэтомуп<х, /(л)>0

Поэтому

Поэтому

Но функция g (и) не ограничена. Действительно, при п — pvp2 ... рг (через pt обозначено Z-e простое число) по теореме 1.5.5 и формуле (1.4.1), так как Inn< 0 (рг) < срп имеет место оценка

^П(>+^=П(чЧ-)>'П('4Г>

Z=1Р<РГР<РГ

> с In рг > с 1п2 п. (3.11) Следовательно функция g^ не ограничена, и нужно оценить „разброс* 2 g G0> чтобы показать, что не слишком велика сумма 5j g W» Рас’ п<хп <х

пространенная на те п, для которых g (п) > с4.

Из (3.4) сразу же следует, что существуют числа п ^ х, которые могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, нс превосходящих х, более чем f1x/ln2x способами. Действительно, согласно (3.4), для каждого п^х не может выполняться неравенство f (пХ^х^п2 х (см. также задачу 1).

Теорема 3.2 !). Существует бесконечно много чисел п, которые представляются в виде суммы двух простых чисел больше чем c-j-"-ln2n(3.12)

In2 п 2V 7

способами (причем с — константа, не зависящая от п)2).

Доказательство. В силу теоремы 4.7.6 существует такая константа с6, что

Л(Х, А, /)~—77^—(3.13)

47 ф (&) In Xv 7

для всех k ^ exp (с6 ]Лп х ), за исключением, быть может, кратных к* = к*(ху к* > 1. Положим теперь

к = И Р (с7 < ^)-

р<.с7 Kin XР^Ро

где Ро = Ро(х)— любое простое число, содержащееся в к*; условие р + Ро нужно опустить, если не существует ни одного к*. Тогда имеем к* к и, так как 9(х)~х,

In к ^ 0 ^с7 ]/1п х ) < с6 У In х .

Отсюда следует соотношение (3.13). Пусть теперь O^Z < к, (I, к) = 1.

Тогда в силу (3.13) выполняется неравенство

v 7 2ф (&) In х и, так как (—/, &)=1, также неравенство

л (х, к, — /) > 2(р w in х •

Поэтому имеет место оценка

N <РХ. рг\ Рх<х, р2<х, рх^И р2^= — 1(тоАк))~>-^~^.

(3-14)

Для каждой такой пары pv р^ выполняется сравнение p1-4-p2 = 0(mod к) и Рг-\- р2<^2х.

В итоге получается (р(^) возможностей для выбора I и, так как для различных значений I соответствующие пары pv р2 различны,

N(Pv Pi, Рх<х, Р1<х, р, + р2 = О (mod А)) > 4(^ ^}-1--2- . (3.15)

Если положить

fW = N(,px, рй Рх^х, р^х, р1 + р2 = п), то из (3.15) следует

У ЦП) > Л /Л 1 2 •(3.16)

J v 7 4ф (&) In2 хv 7

ПосколькуПосколькупОх п = 0 (mod /?)пОх п = 0 (mod /?)

Поскольку

Поскольку

пОх п = 0 (mod /?)

пОх п = 0 (mod /?)

п = 0 (mod 7?)

то из (3.16) следует, что существует такая функция / (п), что

., кх2 к х_ х к

J W / 4(р ^ in2 х / к 12 In2 л- * ф (^) '

Теперь имеет место неравенствоТеперь имеет место неравенство

Теперь имеет место неравенство

Теперь имеет место неравенство

Неравенство р0^2 равносильно 1 — ^!Рй^>гк- Поэтому из (3.17) получаем, что для достаточно большого х имеются числа п^^х, которые представимы в виде суммы двух простых чисел больше чем

х .п .

9 In2 X zЩ2 п 2

способами. Таким образом, теорема 3.2 доказана. Кроме того, можно утверждать, что таких п должно существовать бесконечно много, так как левая часть неравенства при п->оо тоже стремится к бесконечности, а фиксированное число допускает только конечное число представлений.

Разность между соседними простыми числами

Пусть в этом параграфе pt всегда обозначает Z-e простое число и Р\ < Ps < • • • < Рг ^ х—простые числа, не превосходящие х и расположенные в порядке возрастания. Обозначим также dt~ pt—р^, X^i^r и dx = pv По теореме о простых числах

(1—е)-т^-<г <(1+е).(4.1)

V 7 In Л'v 7 In л*v 7

Аналогично по той же теореме между (1—г)х и х всегда должно лежать простое число, так как имеют место соотношения1)

/ хX (1—е)х £Х

Л (х)Л ( (1 е) ~ -;~ -;.

4 77 7 In X 1п(1—е)х In X

Таким образом, из рт ^ х < рГ+х следует

(1 — е) х < 5 dt = рг^х,(4.2)

Отсюда сейчас же получаем оценку

N(PfCx;(4.3)

Выберем теперь сх настолько большим и е настолько малым, чтобы величина (1—8)— 1/^=^ стала больше нуля. Тогда по теореме о простых числах

N(Pt<x; di < с, In х) > с2-^.(4.4)

Следовательно, приращения dt, которые образованы простыми числами Pt^x, дают „конечную (т. е. не бесконечно малую) часть“ всех приращений, меньших сх1пх.

Теорема 4.1). При подходящих константах с3 и сА существует больше чем с31пл: различных приращений dt<c4\xYX, которые образованы простыми числами pt х.

Доказательство. Пусть

f^ = N (Pi < х; dt = п\

По теоремам 2.4.4 и 1.5.5

/^)<С5^§(П). ^-Ilt1 +?)•

Р м

Из этой формулы, формулы (4.4)Из этой формулы, формулы (4.4)и неравенства Шварца получаеми неравенства Шварца получаем

Из этой формулы, формулы (4.4)

Из этой формулы, формулы (4.4)

и неравенства Шварца получаем

и неравенства Шварца получаем

f2 In Xf2 In X< 2 /(«)<п < сх In X< 2 /(«)<п < сх In Xп < Сх 111 X JW>0п < Сх 111 X JW>0

f2 In X

f2 In X

< 2 /(«)<

п < сх In X

< 2 /(«)<

п < сх In X

п < Сх 111 X JW>0

п < Сх 111 X JW>0

Таким образом, из (3.6) следует неравенство

2 1 > с In х.(4.5)

п <сх In X

Теорему 4.1 можно переформулировать так: числа п, которые представляются в виде разности двух соседних простых чисел, имеют положительную (асимптотическую) плотность. Если положить ^=[Cllnx], то формула (4.5) говорит, что число чисел п, не превосходящих N и представимых в виде разности соседних простых чисел, больше чем с7М.

Согласно одной старой гипотезе1), существует бесконечно Ашого номеров L для которых dt — pt— р^-х — 2. Числа pt и р1-х называются тогда простыми близнецами. Если это до сих пор недоказанное предположение правильно, то

lim^/lnp^O при /->оо«

До сих пор доказано только гораздо менее содержательное соотношение lim^/ln pi^.a < 1. Сначала докажем следующую простую теорему.

Теорема 4.2. Имеет место неравенство

— hT^^1(4.6)

Доказательство. Если это не так, то существует такое число Л> 1, что при I^Iq выполняется неравенство dt > A In pL. Отсюда следует, что

2 <4 = 2 ^z + S ^z— So+Sr (4-7) Pi^ Pi<Pio PiQ<Pi^x

Ho 2o — 0(1), и из 0 (x) = x -|- о (x) вытекает

2i > A 21п^ = Л0(х) + О(1)==Лх+о(х).

Pi.<Pi<x

9 Гольдбах, 1742 г.

Подставляя это в (4.7), получаем соотношение ^ dt> Ах^-о(х) (Л > 1), Р^Х

которое противоречит неравенству (4.2). Тем самым теорема доказана.

Теорема 4.3т). Существует такая константа а. 0<а< 1, что

Пт-Д^-<а<1 (Z—>со).(4.8)

Доказательство. Достаточно доказать, что существует число р^ удовлетворяющее условиям

|х < Pi х, rfz<^alnx (0 < а < 1)

ношенияношениядля всех достаточно больших х. Для такого pt выполняются соот

ношения

ношения

di

. 1

1ПТ *

с а < а' < 1. Имеет место оценка

S= ^ dt < (у 4- е) х. (4.9) 1 X < pt < X

так как по теореме о простых числах между 1у— elx и -^ х должно лежать по крайней мере одно простое число. Теперь нужно показать, что оценка (4.9) невозможна, если всегда dz>#lnx, причем а<1 будет в дальнейшем определено точнее. Предположим, что ^z>alnx при *2 х < pi^x, и положим

M = NM = Npt\ ух < Pl^x, а\пх<pt\ ух < Pl^x, а\пх<d( ^ A In х),d( ^ A In х),

M = N

M = N

pt\ ух < Pl^x, а\пх<

pt\ ух < Pl^x, а\пх<

d( ^ A In х),

d( ^ A In х),

где А > 1 (величина А позже будет определена более точно). Тогда

^j ^/ +^dt>

11

— х<р.<х -^х<р^х

alnx <d.<Aln x d^>Ainx

> Ma In x 4- {л(х) — л(х/2) — M\ A In x =

= |л (x) л( у X= |л (x) л( у XA In x — M(A — a) Inx.A In x — M(A — a) Inx.(4.Ю)(4.Ю)

= |л (x) л( у X

= |л (x) л( у X

A In x — M(A — a) Inx.

A In x — M(A — a) Inx.

(4.Ю)

(4.Ю)

Из теоремы 2.4.4 следует, как и при доказательстве теоремы 4.1, что

f(n) = N(Pi<x, ^ = «) < c5-i^-S"O), и отсюда

a In х < п < A In хa In х < п < A In х

Теперь, если предположить Л < 2, принимая во внимание (3.5), имеем

2^(«Х2^(«Хa In х < п < Д In хa In х < п < Д In х2 IXInх < п^А Inхd\n2 IXInх < п^А Inхd\n

2^(«Х

2^(«Х

a In х < п < Д In х

a In х < п < Д In х

2 IX

Inх < п^А Inхd\n

2 IX

Inх < п^А Inхd\n

VI 1 ( (Л — <z) In х7} dd < A In д'VI 1 ( (Л — <z) In х7} dd < A In д'-h 1 f < £7 (Л — a) In X,-h 1 f < £7 (Л — a) In X,

VI 1 ( (Л — <z) In х

7} d

d < A In д'

VI 1 ( (Л — <z) In х

7} d

d < A In д'

-h 1 f < £7 (Л — a) In X,

-h 1 f < £7 (Л — a) In X,

Это дает оценкуЭто дает оценкугде сч не зависит от а, А (х>х0(а, Л)).

Это дает оценку

Это дает оценку

Л1 ^ Cg (Л ^) "р^Г (^8 — сьст)-

Подставляя ее в (4.10), получаем

5 > {(т - е) "ST ^ ^-"Х=

= X | (у — е) А — са (А — а)2}.

Можно так выбрать величины а и Л, соблюдая условия а < 1 < < Л < 2, чтобы для малого 8 выполнялось неравенство

(т —е)л — с% (^ — «)2 > 4+81

Это противоречит предположению (4.9) и тем самым доказывает теорему.

Основная идея доказательства неравенства (4.8) следующая. Рассматривают приращения di простых чисел из интервала у х < р. < х. Должны всегда существовать „малые* приращения (d^ < a In х\ так как в противном случае сумма всех d^ была бы слишком большой, а согласно теореме 2.4.4, не может быть слишком много приращений db таких, что a In х < d[ < A In х; следовательно, все другие приращения d^ тогда были бы больше A In х

Большие приращения соседних простых чисел

Обозначим опять Z-e простое число через pt и покажем, что при подходящем с > 0 для бесконечно многих pt выполняется неравенство !)

In.) р. 1m р.

dt = Pi — Pi-i> c\npt— 4 ‘ .(5.1)

1пзР/

Для доказательства необходимы некоторые вспомогательные теоремы.

Пусть Pi — простое число, для которого имеет место неравенство (5.1). Согласно (4.4), для конечной доли всех простых чисел Pj^Pt имеет место соотношение dj < с Inpt. Следовательно, приращения dt из (5.1) в определенном смысле „сверх нормы большие".

Лемма 5.1). Пусть 44— какое-нибудь множество из N натуральных чисел, и числа qt, Z—1, 2, . .., z, пробегают какое- нибудь множество различных простых чисел, каждое из которых не входит в 44. Тогда для каждого qt существует такое г? О < rz < ^ (Z = 1, 2, . . ., г), что имеет место соотношение

N(m£M; z« rz (mod ^). / = 1, 2z)<N Д %^=Т (5-2)

Доказательство. Среди qx—1 простых классов вычетов по mod^ имеется по крайней мере один, например гР для которого выполняется неравенство

N

N (т £44; т = rx (mod qx)) г.

Тогда

N(m^M; т^ rx (mod ^)) < N — -^_.= N ^ "^.

Если из 44 отбросить те числа, которые сравнимы с ^(mod^), то останется, например, Nx чисел. Предположим, что q^ + q\. Повторение процесса дает

N(m^M; т ф rx (mod q^), т ф г2(тод q2)) <.

/ nt ^22,(q^2) (q22)

1 ^2-1tol-l)(^2-l) *

Продолжая этот процесс, убеждаемся в правильности леммы 5.1.

Лемма 5.2 !). Пусть N (х. у) — число всех чисел. не превосходящих х. которые имеют только простые множители, не превосходящие у. Тогда для у= у (х) ^. х, у(х)—>оо при х->со. имеет место оценка

N (х, у)<хехр{— -^717"1п х 4~ *n2 У + О (т^-Н •(5.3)

4In у 1 I \ 1п3 у / )47

Доказательство. Пусть знак 5 обозначает суммирование по таким числам, простые сомножители которых не превосходят у. Сначала будем предполагать, что л— любое положительное действительное число. Тогда, так как х)п^\ при п-^х.

Предположим теперь, что Л >72» и с помощью частного суммирования (теорема ПЛ.4) при у—>оо найдем

= л (у) In (1 —14- Т] [ .л^^

(5.5)(5.5)к у11/ J —1)6L О ( Т) [ —,(^-Ding^ ( J (^-Din2^’

(5.5)

(5.5)

так как, согласно (4.7.31),

n®=^/in^+oa/in4).

Рассмотрим теперь три слагаемых в правой части соотношения (5.5) и положим 1—л = d = 1п3 у/1п у. Тогда

у1 111пу in2 уIn у In у In у *

Далее при у->оо получаем

п Г d\= (1 — 6) Г НО(1)|.

J (^-Ding Л51п^

уdin у/ 161пу\

а-б) /-^.=(1-6) J e“^=(i-6) J + г L“^-=

2 5 ъб In 2\б1п21/

f 1/1пу

= (1 -6) 1п4+О(1)+4:Н

47 ( д 1 v 7 1 д In у ‘

так кактак как1

так как

так как

J (е”-1)^- = 0(1),б!п2

Последнее устанавливается с помощью интегрирования по частям, так же как и формула (4.7.22).

Следовательно, при у->со получим

J (g” —DingНаконец *),J (g” —DingНаконец *),1п2 у 1п3У1п2 у 1п3У\J (^-1)1п25\J (^-1)1п25-^]|1п2у-1п4у + О(1) +1п у / (

J (g” —Ding

Наконец *),

J (g” —Ding

Наконец *),

1п2 у 1п3У

1п2 у 1п3У

\J (^-1)1п25

\J (^-1)1п25

Следовательно, при д = 1п3у/1пу

у

Л [= О (1) (у —> со).

(^— 1)1п2^?

Если подставить все это в (5.5), то получим

1пР = 1п2у+О (^-) (у->оо).

Поэтому утверждение леммы получается из (5,4) при т] = 1 —1п3у/1пу.

Теорема 5.1. Пусть pt есть 1-е простое число и dt = р.— pt_A (I > 1). Тогда существует бесконечно много чисел pt, для которых выполняется оценка

1п0 р. In. р,

di = Pi —Pi-1> cto Pl- . 2(5.6)

ln3pz

причем c — некоторая положительная константа, не зависящая от pt.

9 Во втором интеграле нужно положить и * In В и затем делать так же, как в (4.7.22).

Доказательство. Достаточно доказать следующее. Пусть pv Ръ • Рп — первые п простых чисел. Тогда для достаточно большого п всегда имеется z(=znY 0 < z <^ рхр2 ... prv и натуральное число U (= U п\

и >с1рп--.РЛ"?.рп.1(5.7)

|п2 Р,.

такие, что каждое из чисел z-p4 z 4-3, . . ., z +1/ содержит в качестве собственного делителя по крайней мере одно из чисел Рр Р^ • • - Рп-

Чтобы показать, что отсюда следует утверждение теоремы, выберем п таким, чтобы рп <; -^ In х < р^. Тогда

Р1Р2 • • • Рп = ехр< 9 I у In х > < х,

и из теоремы о простых числах следует

I 2е Mn ^ < Рп ^ у 1н х*

Таким образом,Таким образом,In/2„ 1П3/>„С\Р п . 2Хп1РпIn/2„ 1П3/>„С\Р п . 2Хп1Рп.1п2 х 1п4 XСп In X —-—Л-■— Inp.1п2 х 1п4 XСп In X —-—Л-■— Inp

Таким образом,

Таким образом,

In/2„ 1П3/>„

С\Р п . 2

Хп1Рп

In/2„ 1П3/>„

С\Р п . 2

Хп1Рп

.1п2 х 1п4 X

Сп In X —-—Л-■— Inp

.1п2 х 1п4 X

Сп In X —-—Л-■— Inp

Если неравенство (5.7) уже доказано, то всегда существуют такие числа z < х, что при

т = с2\пхт = с2\пх1п2 X 1п4 X '1п| X1п2 X 1п4 X '1п| X

т = с2\пх

т = с2\пх

1п2 X 1п4 X '1п| X

1п2 X 1п4 X '1п| X

среди чисел г4~2, z-V-З, ..., z4rm нет ни одного простого числа. Если в качестве р( возьмем ближайшее простое число, следующее за z-Vni, то неравенство (5.6) выполнено, так как тогда In р1-х < <ln(x+l) и In р^ ~ In pt при pt-^cx) по теореме о простых числах или по теореме 1.3.3 J). Таким образом, если заставить х неограниченно расти, то получается бесконечно много pt, для которых выполнено (5.6).

Прежде чем доказывать утверждение (5.7), заметим, что в измененном виде теорема 5.1 очевидна, если вместо (5.7) потребовать, чтобы выполнялось только неравенство U ^ рп. Тогда при z = р;р2 . . . рп среди чисел z + 2, г + 3, . . ., z + рп нет ни одного простого. Это давало бы, как легко заметить, для бесконечно мно-

Э Потому, что In pl-x < In (х 4" 1) In х (х -> со) и функция, стоящая в квадратных скобках, монотонна, можно заменить там In х на In р^р кроме того, так как In р._х ^ In р^ In2 р^ ln2 рIn3 pl-x ln3 pv можно заменить там р1-х на р^.

гих pL оценку dj > (1 —8) In pt, которая является почти тривиальным следствием теоремы о простых числах/ Действительно, если бы при р0 < рг^х всегда было dt ^ (1 — е) In р^ то, поскольку 6 (х) = = х-\-О(х), получалось бы, что

2 inp,== (1 —8) X 4- О (х).2 inp,== (1 —8) X 4- О (х).2 ^ = ( 2+2 U<O(l) + (l-e)

2 inp,=

= (1 —8) X 4- О (х).

2 inp,=

= (1 —8) X 4- О (х).

Pi<x \pi<p0 p0<pi<x;

Это противоречит (4.2), если заменить там 8 на -^г.

Перейдем теперь к доказательству утверждения (5.7). Сначала заметим, что сравнения

z = ах (mod рх\ £ = a2(mod р^, ,.., z = an (mod рп) (5.8)

имеют решения в области

о <z<pxp2 р„(5.9)

при любых значениях av а2, . . ., ап. Проблема состоит в том, чтобы указать в этой области z и возможно большее число U так, чтобы каждое из чисел z-\-gt g = 2, 3, . U делилось по крайней мере на одно из простых чисел pv р2, .... р1Г Этого можно добиться для различных g различными способами.

Пусть U сначала некоторое натуральное число, большее чем рп, и X, К, Z— любые действительные числа, удовлетворяющие условиям

0< X < Y <Z< pn<U.(5.10)

Этими неравенствами определяются пять интервалов

^=(0, XV J5 = (pn, ^].

Разделим множество чисел g = 2, 3, . . ., U на пять подмножеств Л1Х, М2, . . ., Ms (не обязательно составленных из разных элементов) так, что число g принадлежит уИ^, если оно содержит по крайней мере один простой делитель р^ из Jk (к = 1, 2, . . ., 5). В последующем р^ пробегают простые числа из Jk. Для простого числа р» 2^ ^ р ^ U, очевидно, равнозначна принадлежность к множествам Jk

И

Сначала мы потребуем от z, чтобы оно делилось на все р^ и р^, т. е. чтобы для всех pd)^^, р^^М^ выполнялись сравнения

2, = 0(mod р(1))’ г = 0 (mod р(3)).(5.11)

Тогда при g £ ^-(-^з число z-\-g— не простое. Пусть теперь g-(£ Л^ 4~ М3. Выберем X, Z и U так, чтобы множества уИ2 и Л14 —|— Al5 не имели общего элемента, именно возьмем

XZ>U.(5.12)

Отсюда для чисел g с условием p(2)|g, p^lg следует неравенство g^ Р^Р^ > XZ > U, а должно быть g <^U. Из (5.12) также следует, что g может содержать не больше одного простого делителя pC^ + ^V ® итоге получаем, что каждое g^AI^ Л13 удовлетворяет только одному из двух условий:

g £ Л^» g имеет только простые множители из М2, (5.13) или

g 6 ^4 + ^5 — простое.(5.14)

Множество простых g, g^M^-^-M^ обозначим через Р. Теперь применим лемму 5.1, взяв в ней за qt число р^\ за Л4 множество Р. Тогда N = ti(U) -л(2). Для каждого р^ существует г (р^), 0< < г (р^) < р^2\ обладающее таким свойством.

Для каждого g^P, за исключением некоторых gv g^ . .., gA, где

Л<{л(У)-л(£)) Д(5-15)

р(2) 6 ^ ^

выполняется сравнение

g=r (p(2')(modp^Y(5.16)

Потребуем, чтобы z удовлетворяло еще условиям

za— г (р^1) (mod р®) для всех р^'^М^.(5.17)

Тогда отсюда и из (5.11) следует, что числа z-\-g не простые для ^бЛ^ + Мз или g£M4-V-M5, g^gx. g2. •••• gA- Число z определено теперь однозначно по модулю Ц р. Обозначим теперь р £ М । + Afi+Alg

g. g^MY g^Mx^-Ma и gv g2gA через g'v g^, .... g'm. Как мы сейчас покажем, с помощью подходящего выбора величин X, Y, Z^ U можно добиться того, чтобы т стало меньше, чем число простых чисел p^^z < p^<^pnY Поэтому простые числа р^\ р^\ ..., р^ (Z < р^\ . . ., р^ ^ р^ можно выбрать различными, и сравнения z-Vg^s 0 (mod р^ U= 1* 2, . т) вместе со сравнениями (5.11), (5.17) имеют точно одно решение по модулю

Р^-.-Р^ П р.(5.18)

р^МхА-М^М»

Этот модуль делит рхр2 . . . рп> и, следовательно, указанные сравнения имеют одно решение z, z<. ргр2 ... рп, по модулю ргр2 . . . рп. Для этого решения z-^-g—не простое при всех g = 2, 3, ..., (/, если выполнено еще условие

II Р=ПР>У.(5.19)

y<p<Z р^М,

так как в этом случае z-Vg^ не может быть равным р^ в силу (5.11). Утверждение теоремы, следовательно, будет доказано, если мы сумеем так выбрать X, У, Z, U, чтобы были выполнены условия (5.12) и (5.19) и, кроме того, имело место соотношение

л (рп) — л (Z) > m = А-\- N (^g; g ^U t g £ М2, g ^ ^i + vW3). (5.20)

Положим при рп-> сю

Y 1n и 7 7 In Рп ^3 Рп7 1 „

х-1п^- и-ьрп—z-v-

.,/ 1п(/1п3(/\ I In pn ln3 pn. zixx)

Y=exP(a "in^-) = exPta ~m;^ U + °(0)p

где величины d, a положительны и позднее будут определены более точно. Очевидно, что (5.12) и (5.19)!) имеют место для достаточно большого рп. Далее по теореме о простых числах при рп->оо

(5.21)

и, согласно (5.15), при фиксированных d, а и рп—>со получаем ^л№п^<^ п

р С М2Х<р^¥

</^ ТТ^1пА —

Сз In 67к1 р) С* In ^ In Г —

Х<р<¥

+<5'22>

Наконец по лемме 5.2

N (g; g^U, g имеет только простые множители из Л12) <

и ехр | — ^ 1п3К + 1п2 У 4- о (1п2 К) | <

с5 ^Рп -п ^л2,Пз ехр ( — /— — 1 + о (1)] 1п2 р„ ). (5.23)

Если мы выберем а настолько малым, чтобы 1/а—1 > 2, т. е. а<у, и затем д = д(а) настолько малым, чтобы с^)а было меньше у, то (5.20) следует из (5.21) — (5.23). Этим теорема 5.1 доказана.

Метод доказательства теоремы 5.1 принадлежит Эрдёшу [1].

J) Последнее верно потому, что 0 (л) ^ л (л-> со) и, следовательно, 6(2)-0(У)~1ря кРп->«).

§ 6. Цепочки больших приращений последовательныхпростых чисел

Обозначим рх < р2 < ... все простые числа, расположенные в порядке возрастания.

Теорема 6.1 ). Пусть г (х) и D(x)— положительные неубывающие функции от х и г—г (х) при всех х — натуральное число. Обозначим через А(х) число простых чисел р^<^.х, таких, что

Pi + l — Pi>D’ Pl^ — Pl*X>DPi + r — Pi+r—X > D. (6.1)

Тогда если r(x) и D=D(x) удовлетворяют условию

г (х) D (х) = о (In х),г (х) D (х) = о (In х),(6.2)(6.2)

г (х) D (х) = о (In х),

г (х) D (х) = о (In х),

(6.2)

(6.2)

то имеет место соотношение

л / х хА (х) ~ -; .

7 1П X

Доказательство. Для доказательства применим теорему 2.4.8. Если положить в ней

f(d) = N (pt < х; Pi — pt_i = d),

то получим

f№<ei^gW. Сй=П(| + 7)'p| d

Отсюда следует, что число тех р;^х, для которых по крайней мере одна разность plA.k— P/+^-i равна d, меньше чем

c'rW^’

так как каждая пара последовательных простых чисел может быть представлена в виде pi+k_T, plA.k (1<^&<^г) не более чем для г значений Ру Далее видно, что число тех Pi<^x, для которых по крайней мере одна разность pi+k — Pt+k-i (l^^^f) не больше D, меньше чем

с>г-1^^е* + г*п<=2го^.(6.3)

d<D

Это следует из соотношения r^D = о (lnx), rD^>\ и1)

с^-с^-(6.4)(6.4)

с^-

с^-

(6.4)

(6.4)

В силу (6.2) правая часть (6.3) равна о(х[\пх), чем доказана теорема 6.1.

Из теоремы 6.1 при г = 2 следует, что все простые числа р^ не превосходящие х, за исключением самое большее о (х/ln х) чисел, удалены от своего правого (левого) соседа больше, чем на D (х), если только D (х) = = о (In х). Приведенный способ доказательства показывает также существование бесконечно многих р^, удовлетворяющих условиям (6.1), только вместо (6.2) следует использовать неравенство rD < с In х для достаточно малого с. Методами, аналогичными примененным в § 5, Эрдёш [8] доказал, что существует бесконечно много чисел р^ удовлетворяющих условиям

Pi —Pi-i > Ato Pb Pi+i—Pi> A In рг,

где константу Л можно считать сколь угодно большой.

О числе делителей чисел вида р—1

Каждое простое число р имеет только два делителя, но можно предположить, что числа р—1 имеют „много" делителей2). Следующая теорема показывает, что для простых чисел р, не превосходящих х, „в среднем" число делителей d (р—1) равно 0(1пх).

Теорема 7.1 ). Имеет место равенство

2 d (р-1) = о (х).(7.1)

Р<х

Доказательство. Для доказательства применим теорему 2.1. Так как для р<.х, р—1 = dyd^ по крайней мере одно из чисел dv d2 должно быть меньше чем У х, то

5 2 1= 221<2 2_л(х. d, 1).(7.2)

р<х d\p-l d<x p = l(modd)d<Vx

По теореме 2.1 при ^ = ’/2 получаем

S

n(x, d, IXCi-T^— У —L-.(7.3)

V71 In X(р ((/)v 7

d < V хd< Vx

!) Из (3.6) следует даже оценка 2 S2 W < СУ-

Положив g (n) = JJ (1 + —) в формуле (1.5.23), имеем р\ п

р\П

Из (6.4) поэтому следует оценка

VI п ./ \

/ । —;—г < CoZ(Z1),

Ф (n) dv

и отсюда с помощью частичного суммирования (теорема П.1.4) находим

N

2 4> = 2 ^4 = °W+ p®f = О(1п«) («>2). n<Nn<N1

(7.4)

Подставляя это в (7.3), получаем равенство

2 л (х, d, 1)= О (.г),d<VT'

из которого вместе с (7.2) следует (7.1).

Обозначим опять через ^(п) число различных простых делителей числа п. Известно, что „нормальное" число простых делителей числа п равно In Inn, т. е., за исключением о(х) значений п, n^xt выполняются неравенства

(1 —в) 1п2п <<и(п)< (1 + Е) 1п2п

(Харди и Рамануджан [1], Туран [1]). Следующая теорема показывает, что числа р — 1 ведут себя так же, как и все натуральные числа.

Теорема 7.2 !). Для каждого е>0 выполняется равенство

N(p<x; (1 — e)ln2x <v(p — 1) < (1 + е) 1п2 х) = ^- + о (^,

(7.5) причем константа в о( ) зависит от е.

Для доказательства теоремы 7.2 необходимо следующее вспомогательное утверждение, которое также интересно само по себе.

Лемма 7.1. Пусть к"^\ и

fk to = N(,p<x\ v (/> — 1) = А).(7.6)

Тогда имеет место оценка

<'"’ * + У‘“ + о Ш ■<77)

где константа в о ( ) не зависит от к.

Доказательство. Обозначим через Мх и М2 соответственно множества простых чисел р, не превосходящих х, для которых выполняются следующие условия: 1) все простые делители р— 1 не превосходят у = exp (In х/1п2 х); 2) наибольший простой делитель р—1 входит в разложение р—1 по крайней мере во второй степени.

Покажем, что число элементов обоих множеств есть о(х/1п2х). Если в лемме 5.2 положить у = exp (In х/1п2 х), то найдем

N<p<x-, pe^i) < ^ехр| —l|n2x ln3xl = o(-j^jV (7.8)

Для р £ М2, р ^Мх число р — 1 делится на квадрат числа, большего чем у = exp (In х/1п2х). Следовательно, в силу (П.1.12)

N(p<x, рЕМ2, р^М.Х ==

т>^

= О (х ехр | — -т^- I = о ) • (7.9)

\ г ( 1п2х ) /\ 1п2х/ v 7

Пусть теперь р ^ ^ + Л12. Для каждого к ^ 1 обозначим через п^ числа п, для которых я)(п) = к. Пусть далее ^(р—1) = ^, р^^ + УИз, т. е.

p-\-p^p<4_p4t

Р\< р«2< • • • < Рк' где Pk > У» следовательно, рк > 2 и ак = 1. Тогда имеет место равенство

(7.10)(7.10)р — 1 = ркп^к-х\

(7.10)

(7.10)

где л^-1) < х/у = х ехр (—1пх/1п2х). Теперь воспользуемся теоремой 2.4.6. При q > 2 имеем

N (р << х; р —• 1 = qn, q — простое) <•

О ф (л) In2 (х/л)

Так как

/ \ пп

^^>сй^>сй^-

то при п х это дает по теореме 1.5.1

N^p^x*, х)(р—1) = А, Р^^1 + ^2)<

<C7Xln2X У —i 1П2Х У —. (7.11) ьА п\п{х)п)1 In2 х zп v 7

п < х[уп < х/у

-и^ = к-1и^ — к-Л

Теперь, поскольку А ^2, имеет место оценка1)

г/(/г) = ^-1''г/(/г) = ^-1''< (^ J51)1 ^п2 Х +< (^ J51)1 ^п2 Х +

г/(/г) = ^-1''

г/(/г) = ^-1''

< (^ J51)1 ^п2 Х +

< (^ J51)1 ^п2 Х +

(7.12)

так как при возведении в (к—1)-ю степень член l/р^...р^-^ с различными pv ..., рк_х встречается точно (к—1)! раз. Подставляя это в (7.11) и принимая во внимание (7.8) и (7.9), получаем

утверждение леммы.

Доказательство теоремы 7.2. Достаточно доказать соотношение

2 А« + S№) = °(1^У(7ЛЗ)

к < (Х-е) 1п2хк > (1-Ре) ln2z

Нт^т1п2-4(7.14)Нт^т1п2-4(7.14)при б = б(е)>0. Ограничимся рассмотрением первой суммы, так как для второй доказательство аналогично. Согласно (7.7) 2) имеет место оценка

Нт^т1п2-4

(7.14)

Нт^т1п2-4

(7.14)

J к w < с41П2 х 2д (й—1)!

к < (1-е) ln2x&<(l-e)ln2.r

и нам нужно оценить теперь сумму в правой части последнего неравенства. Если положить

то сначала получим равенство

(7.15)(7.15)2 В {^} = ес^ In х • (1п2 х + с5)3. ^=1

(7.15)

(7.15)

!) По теореме 1.4.1, так как 2 2 Xlp”1 < оо.

/7, г?г>2

Если положить I = I (х) = 1п2 х, то для достаточно большого х > х (е) имеют место неравенства

В{1}В{1}<В{2}<<В{2}<< В {[(1 —е)/]}.< В {[(1 —е)/]}.

В{1}

В{1}

<В{2}<

<В{2}<

< В {[(1 —е)/]}.

< В {[(1 —е)/]}.

Кроме того,

В{[(1-е)/]}[/(1_Е)] {[/(1_е)]+1}

(1п2х4-С5)1/ ln2 X 4- Cs \ "

/ {Z(i-£) + l} ...|z(l-le4(,n^ + c5)2 (^ z^_^e) )

(ln2 х-\-с5у(1п2 х-^с^у

для достаточно малого д = д(е) и х>х(е). Отсюда, согласно (7.15), получается оценка

5 В (А) < 1П2Х . В{[(1 — Е)/]) <

k < (1-е) \п2х

< 1п2 х ——4— </ —— у В = О (In1 ~б х\

Подставляя ее в (7.14), получаем утверждение теоремы.

Теорема Романова

В этом параграфе мы будем заниматься представлением натуральных чисел п в виде

n^p-^ajn^(8Л)

где а > 1 — фиксированное целое число, р пробегает все простые числа, а т соответственно все натуральные числа. Число решений неравенства

p-Va^^x (8.2)

есть О (х), так как число простых чисел, не превосходящих х, есть 0(х1\пх) и число чисел т. удовлетворяющих неравенству а^^х, есть O(lnx)1).

9 В этом параграфе все константы могут зависеть от а.

Если ограничиться простыми числами р, не превосходящими -^ х, т1

и числами т, для которых а не превосходит -^-х, то видно, что число решений неравенства (8.2) больше сх. Если теперь „в среднем" не слишком многие из чисел р + ат представляют равные числа, то можно ожидать, что больше, чем сх, чисел п, не превосходящих х, могут быть представлены в виде (8.1). Это утверждение доказано Романовым [1]. Положим

/(^)=/(^. ^) = N (р <^ х, ат<,х\ р Д- ат = п\ (8.3)

При п ^ х, очевидно, / (п) зависит только от п, но не от х.

Неравенство

я w < с 2 / wп<хп<х

является основным, так как из него следует, что значений п, при которых / (л) велико, не слишком много. На самом деле отсюда, так же как и в § 3, с помощью неравенства Шварца следует теорема Романова

2 f^< j 2 /ч^Х'р 2 -iy/2<

n < xI n < X ) I n < X, / (n) > 0(

<^2/(")Уа1 S -Д4’-

\ n<x )1 n<x, J (rt) > 0 J

Следовательно,

Л> c ^ fW> ex, n<X, / (Л) > 0n<X

так как

2 f (л) = N (p < x, am <,x; p ^am ^x) > ex. n^x

(8.4)(8.4)Лемма 8.1. Число решений системы р ат — px-V а^х ^ х,

(8.4)

(8.4)

где р, рх— простые числа, а т, тх— любые натуральные числа, равно 2 /2W- Здесь функция /(л) определяется равенством (8.3).

пСх.

Доказательство. Утверждение леммы следует из того, что для каждой из /(л) пар р, т решений уравнения р-\-ат = п существует /(л) пар рх, тх решений уравнения рх-\-атх=п. Это означает, что уравнение р-\- ат = рх + ат' = л имеет ровно /2(л) решений р, т, pv тх. Суммирование по всем п-^х дает утверждение леммы.

Лемма 8.2. Пусть е^ для любого числа а, взаимно простого с d, является показателем а по mod d, т, е. число e(d)^> X — целое,

ае^= 1 (modtf),

и это сравнение не имеет места, если e(d) заменить на собственный делитель е (d). Тогда имеет место неравенство

^f4n)<cxx^^-V0<x\(8.5)

п<хd<.x

причем 2 обозначает суммирование по числам, взаимно простым с а и свободным от квадратов.

Доказательство. По лемме 8.1 это неравенство достаточно доказать для числа решений системы (8.4). Из (8.4) следует равенство

р — рх — атх — а™,(8.6)

причем для величин р, рх, т, тх, во всяком случае должны выполняться следующие неравенства:

р х, рз^х, т^,-.,—•(8.7)

Пусть теперь S = S(x)— число решений (8.6) в области (8.7). Тогда

2 f2W<S.(8.8)

П < X

При фиксированных т и тх, т + тх, по теореме 2.4.4 имеет место оценка

N(p<x, рг<.х; р — рх = ат-— ат) < с2-^^ g(атг — ат),§"(«) = П(1 + 1/Р)-

р\ П

Теперь при тх > т имеем

g (атх — am) — g(am (а"1'-™ — 1)) = g(am) g(am^m — 1) =

= g (a) g (а^-т — 1) = c3g (а^-т _ 1)t

и аналогичное равенство при тх < т. Таким образом, в любом случае при т + тх

g (amv — ат) < c3g (а' ^-^ _ i).

При фиксированном целом h^>\ получаем

N (т, mx^\nxl\na; \тх — т\ =h?) < с41пх.

В итоге получается оценка

^(Р^ Р\^х» т\' т2 ^ In х!\п а; р — рх = атх—ат, т + т^ <

<с^Т^5g(am--»,n)<c^c^ S g^h-\Y

т, mx^\nxi\rval<A<ln^/Ina

(8.9)(8.9)т^тх

(8.9)

(8.9)

Кроме того, число таких наборов р, pv т, тх в области (8.7), для которых т = тх и выполнено (8.6), во всяком случае есть О (л (х) (In х/ln а)} = О (х). Совместно с (8.9) это дает нам

5<с5]^2 g<ah-\WO^. (8.10)

1 < А < 1пх/1п а

Теперь, если у = \пх(\па и 2 обозначает суммирование по натуральным числам, взаимно простым с а и свободным от квадратов, имеет место оценка

2 (““-»= 2 2'1=

1 </?< У1 <7г <у d \ah_x

d ьДz de (d)6de (d)

d <x h <y, e (d)| hd <xd <x

Если подставить ее в (8.10), то, согласно (8.8), получим утверждение леммы.

Лемма 8.3 ). Имеет место неравенство

(8-11)(8-11)S de (d)

(8-11)

(8-11)

1 < d < оо

где 2 обозначает суммирование по числам, взаимно простым с а и свободным от квадратов.

Доказательство. До конца доказательства d обозначает свободное от квадратов и взаимно простое с а число. Достаточно доказать, что

(8.12)(8.12)N(d<x; e(d)<\n<2d) = 0(T4-\

(8.12)

(8.12)

v\ 1 п2 х)

Докажем сначала, что (8.11) следует из этого соотношения. Имеем

= 2' т^ + от- <8'13> d < х, в (d) < In2 d

так как 21/^1п2^<°°- Если (8.12) уже доказано, то по теореме

П. 1.4 можно оценить первый член правой части (8.13), причем за \п

нужно взять свободные от квадратов взаимно простые с а числа d, удовлетворяющие условию 5(^)^1п2^:

S de (d) S "d~ d^x, 5(d)<ln2dd < x, e (d) In2 d

2

Отсюда следует (8.11).

Таким образом, достаточно доказать (8.12). Если мы положим Z = [ln2x], то каждое d, удовлетворяющее условию е (d) ^ Z, должно быть делителем числа

Р = П (ап — 1)<аР.(8.14)

п

Можно оценить число *и (Р) различных простых делителей Р;

»(^)<-^- = О(/2) = О(1п^).(8.15)

Пусть теперь т — натуральное число, не превосходящее ^(Р). (Позднее мы определим его более точно в зависимости от х.) Тогда в силу (8.15) получаем

N(d^x\ е (d) <Jn2 х, -и (d) ^ т) ^N (d ^ х; d\P, -u(d)^m?)^

<’^А_\г)(Р)\гп = е.\т)(Р))гп = О(ст\п4тх) (с>1)- (8л6)

С другой стороны, из (1.5.11) следует1)

N^d^x; d\P, -u(d)> m)<^N (п^х, <u(n)>m)<^

<N(n<x; d(n)>2m)< 2 d(n)2"m < ex In x • 2'm, ^Al} n<x

так как свободное от квадратов число с т различными простыми делителями имеет 2 делителей. Положим теперь т = L^ In x/ln2 х . Тогда

ст log4™ х = О (У х) и

х In х • 2-m = О (х ехр| — с1 -^■ ^ | j.

Следовательно, в силу (8.16) и (8.17) имеет место оценка

N(d<^.x; ^(^)<^1п^) =

= 0 (Vх + х ехр/ — с7 = О (1 •\ V 1 Г I 7 1п2X ) /\ In2 X )

Отсюда следует (8.12), а потому также (8.11).

П. Эрдёш 9 дал следующее исключительно простое доказательство леммы 8.3. Если d пробегает свободные от квадратов взаимно простые с а числа, то (сначала формально) имеем

т = 1е (d) = т

Рассмотрим сумму

т < х е (d) = т

В этой сумме каждое d появляется не более одного раза, и каждое появляющееся d является делителем числа

Р = П Um-^<ax\т <х

Число различных простых делителей Р не больше чем [х2 In л/1п2] = N. Поэтому

s«<X'7=n(>+l)<n('+^)'d\P р\Ри = 1

причем р\< р2 < • • • — простые числа, расположенные в порядке возрастания. Из соотношений 2) pN ^ N In N и (1.4.1) следует

S (х) = О (In N) — О (In х).

Отсюда с помощью частного суммирования получается утверждение леммы 8.3

S i ^ 1 = 10(1пх)+ p(ln2g) |^1| = О(1).т С хе (d) = т1

Теорема 8.1. Рассмотрим целое число а^Ъ. Числа п, которые могут быть представлены в виде

п = р-\-ат, р — простое, т=\, 2

имеют положительную асимптотическую плотность.

Доказательство. Если функция f (п) задана соотношением (8.3), то из лемм 8.2 и 8.3 следует оценка

/2(«) < С8Х-п<.х

С другой стороны,

2 f W~N ^Р* т< Р-\-ят ^x^N^p.m; р<^х, ат ^^-х^ > с9х. п ^х

Неравенство Шварца дает нам

c9x<S/(«)<j S I р W\42.

п<хvn<x, f (п)>0 j

Отсюда вытекает утверждение теоремы в следующем виде:

1 > сх.

п<х, f (л) > О

Очевидно, что в виде р-^-2т с нечетным р могут представляться только нечетные числа. Можно доказать, что существует арифметическая прогрессия, состоящая из нечетных чисел, которые не представимы в таком виде (Корпут [2], Эрдёш [9]). Для функции /(л), определенной выше, Эрдёш [9] доказал оценку

2 fm (я) < с W х (т> 0)-

п<х

Задачи к главе V

Докажите следующие утверждения.

При подходящих ср с2 и

fW=N<Pl- р£ Р1-1Гр2=П)

имеет место оценка

N^<X, СХ^</^<С2^^>СХ

(следует воспользоваться неравенством

И < .Г, / (лХ 6х/1п2 X

и результатами §* 3).

При ПОДХОДЯЩИХ Ср с2, с3, с4 и

/(^^AZ^p р2; рх<х, р2<х, рх — р2 = п)

(Pv Р^ — последовательные простые числа) имеет место соотношение

^^<c1lnx; с21^</(и)<с3-п^-)>с41пх

(следует воспользоваться оценкой

2 fW^ 6^! т—n<f. 1пл v \ 11пхf (л)<бх/1п X/

Число чисел п, не превосходящих х. которые имеют не более к простых множителей, меньше чем

где с не зависит от к 2).

Более чем для ^^/In х простых чисел р1^.х при соответствующем а < 1 имеет место соотношение )

Pi — Pt-x < a In pt.

При достаточно малом 6 не существует такого действительного числа Д, что для всех Pi^x, за исключением самое большее o(xjinx) значений I, при х->со имеет соотношение)

А < Pt —Pt-x ^ лч-д.

Для числа N = N (х) решений уравнения рх + р2 = р^ + Ра^х с простыми pv р2, р^ Ра имеют место оценки

^x2/In4x < N < ^2/1п4х.

Для числа Nm = Nm(x) решений системы уравнений

P\-VPx=p'<V-P2 = ••• =p'm-V р"т<х

имеют место оценки

сх (пг) хт/}п2т х < Nm < с2 (пг) хт In2”1 х.

Для числа М решений уравнения

/>1 + ^2+ ••• "VРт = p'x-Vp'^-V ••• +р'т<х

имеют место оценки

сТ (т) х2тп-21\г?т х < М <с2 (пг) х2гп”21Хп2гп х.

Ч Кнёдель [1].

Пусть dl = pl— pt_x (р0 = 0). Тогда имеют место соотношения ])

хл х 1

1 Inx М di 2 1п2х 2

х«)^<£^<ха>™ “XXD.

Р^Х 1

Пусть

Тогда

2 8(п)~х,п<х

СгХ < "21 S2 (п) < с2х 2).

Пусть q пробегает все простые числа, а функция S (п) определена, как в задаче 10. Тогда

q <х

са-Л-< У

In X4 In X

q<x

Пусть g— фиксированное натуральное число. Тогда числа, представимые в виде р-^тё, т=1, 2, . .., имеют положительную плотность ).

Числа, представимые в виде p~V*p^ где р, рх — простые, имеют положительную плотность.

Пусть тх < т2 < ... —какая-нибудь последовательность натуральных чисел, а пг^ — число членов этой последовательности, для которых а^^х, где а — фиксированное целое число, большее единицы. Тогда число различных чисел п, не превосходящих х, которые представимы в виде п = р + а”\ больше чем с (а) хт (х)/1п х.

Пусть

Р (х^ПоХ8-Vag.

где а^ . . ., ag- целые, а0 > 0. Тогда если а — фиксированное целое число, большее единицы, то числа, представимые в виде p-VP^a!11^ где р — простое, т=1, 2, . .., имеют положительную плотность.

Ч Эрдёш и Реньи [1].

Пусть г(п) — число решений уравнения

п = n^-V-n^

где nv п2^0— целые числа. Тогда имеют место соотношения

5 Г(п)~^-ЛХ, п<х

5 ^(п) = О (х In х\п<х

Для доказательства последнего соотношения достаточно оценить число решений уравнения п\ + п^ = т?х + т^ ^ х; из этого уравнения следует равенство (пх— тх) (пх + тх) = (т2— п2) (т2 + ^2)» в котором каждое выражение в скобках по модулю не превосходит 2 У*х. Следовательно, достаточно оценить число решений уравнений dxd2 = = d1d2, 0 < dx, d2, dp d2 ^ 2 У*х. Из последнего уравнения получаем т)

dx = adrv bx = ab'v d2 = byv ^ = bd'v (d'v 60 = hd^^x, д[^2]Лх, а и b < min [2 ^x/d^ 2 1/x/dJ.

Используя результат задачи 16, докажите неравенство

У 1 >

In X

п<,х, г (^>0

(см. гл. IV, задача 3).

Число решений уравнения п^^-п^— т^ — т^ — п, где 0 < nv п2, mv т2 пх!^ меньше чем

d I п

Докажите, что числа вида

n^-V tn^-V ^ {^^ ^^ k > 0 — целые)

имеют положительную плотность).

При некотором с>0 имеется бесконечно много натуральных чисел п, для которых

ат/2,21нл/1п2 п

N \nv п2; Пх П2 = п) > 2•

0 Серпинский [1].

Нужно рассмотреть такие nv пу что /^ +/^ = 0 (mod рх . . . р'^, где prv . .., р'т суть г первых простых чисел вида 4/г + Д, и использовать теорему 2.3.

Имеется бесконечно много таких п, что

N (р, tn; p-Vmg = п) > с-^ 1п2п, и бесконечно много таких п, что

N(p, tn; р + mg = п) < с -== Л

г i7 1пп1п2п

Нужно рассмотреть сравнение р -\-mg = я (mod рхр2 ... pTY где а ни для одного простого числа рхрт не является g-м степенным вычетом (тогда mg — а взаимно просто с р^р^ . • • рг) и подсчитать решения, для которых р^х» tng^,x. Для второй части воспользуйтесь тем же сравнением, но теперь пусть а будет степенным вычетом для pv р^, .. ., рг

Докажите неравенства:

N(p. рх; р + р* =п^> с^ 1п2п.

N^p, tn; р 4-2^ = п) > cln2n ).

N(p, рх; р^ + р^п^^^^ Ъ-

Докажите, что всегда существует пара натуральных чисел tn, п, т^х, п^х, т + п, для которой система

Рх + Р2 = т,

Р2 + РЗ = «

имеет больше чем сх 1п^ х/ln х решений.

!) Из устного сообщения проф. Эрдёша.

Глава VI

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Введение

В гл. V было доказано, что числа, которые представимы в виде ^ = /21 + ^2» где Р\' Р^—простые числа, имеют положительную плотность. То же самое справедливо для чисел, представимых в виде ^ = А+ ^2 + ^3 (Рт^ Р^ ^ — простые числа). Если pv р^ р^ — нечетные простые числа, то рх + р2— четное и рх + р2 + Рз— нечетное числа. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что любое четное число, большее 4, можно представить в виде суммы двух, и любое нечетное число, большее 7, — в виде суммы трех нечетных простых чисел. В этой главе будут доказаны следующие утверждения:

любое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел;

„почти все" четные числа представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел, или, точнее, количество четных чисел, нс превосходящих х, которые не представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел, есть О(х(ХпАх) при х —>оо, где А— любое большое положительное число (константа в О( ) может, естественно, зависеть от А).

Сначала Харди и Литлвуд [2] доказали эти утверждения с помощью до сих пор недоказанной гипотезы, что все L-функции L (s, х) по всем характерам и по всем модулям ^ 1 не имеют нулей при 3

Res . Виноградову [3] удалось провести доказательство независимо от этого недоказанного предположения и тем самым полностью доказать оба утвержденият). Впрочем первое следует из второго. Действительно, если п—нечетное число, то п— р— четное для нечетного р и имеется ~ n^xv п (п-> оо) чисел вида п— р, из которых самое большее О(п,ХпАп) нс представимы в виде суммы двух простых чисел. Следовательно, существует представление п—p = Pi + р^

!) Сам Виноградов доказал только 1; 2 может быть доказано без особых трудностей с помощью метода Виноградова (см. Корпут [1], Эстер- ман [1], Чудаков [1]). Уже раньше Эстерман доказал, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы двух простых чисел и одного числа, которое содержит не более двух простых множителей.

п = р 4- рх + р^ для числа значений р, р<^п. большего чем (1—e)n/lnn. Этим доказано первое утверждение.

До сих пор не решено, можно ли представить любое достаточно большое четное число в виде суммы двух простых чисел (см., однако, Реньи [1]).

Введение тригонометрических сумм

Рассмотрим г последовательностей натуральных чисел {nJ, {п2}, ... .... {nJ. Пусть г (N)— количество представлений натурального числа N в виде

N = пх 4- п2 + ... 4"^»(2-1)

где пк всегда пробегает числа из {nj(&=l, 2, . ... г). Положим

5^(У= 2 (А = 1, 2г).(2.2)

Тогда

1 г

п^)®е'2л№$^(213)

о и=г

Если мы раскроем произведение, то получим члены вида

1

| ^я^ (л, + л2+ +nr-N^ ^(2.4)

о

но, как известно, для целого пг

[ е2л<|т = | 1 • m = °-(2.5)

J( 0, tn ^ о.

Таким образом, интеграл (2.4) только тогда не обращается в 0 (и равен 1), когда выполняется (2.1). Вообще из представления (2.3) для величины г (AJ можно получить немного. Во многих случаях, однако, можно приближенно определить поведение подинтегральной функции в рациональных точках области интегрирования и даже в определенной окрестности каждой рациональной точки. Если взять затем рациональные точки в области интегрирования (0,1) так плотно, чтобы их окрестности покрывали весь интервал, то можно интеграл по области (0,1) составить из интегралов по окрестностям отдельных рациональных точек. Если уже имеются простые формулы приближения для интегралов по окрестностям отдельных рациональных точек, то можно, таким образом, сказать что-то о величине r(N).

Метод, только что грубо набросанный, принадлежит Харди, Литлвуду и Рамануджану !). Правда, они развивали этот метод в несколько другой форме, а именно рассматривали функции

=2 $Пк (6 = 1, 2г)

1 < Яд < ОО

комплексного переменного s (| s | < 1). Тогда

П/(Й)(5)=

£-1N=1

и величины г (N) определяются по формуле Коши

к

причем интегрирование ведется по кругу радиуса < 1 с центром в s = 0. Здесь появляются функции /^ (s) и круг с радиусом < 1 (радиус устремляют к 1 при IV -> со) вместо тригонометрических сумм (2.2) и интервала (0,1). Тригонометрические суммы в этом вопросе были введены впервые И. М. Виноградовым,

Если положить г = 3 и {nJ = {п2} = {n3} = {р}, где {р}—последовательность простых чисел, то г (N) — число представлений N в виде суммы трех простых чисел. Аналогично для г = 2, {nJ = = {п2} = {р} — число представлений N в виде суммы двух простых чисел. Оказывается, что в этом случае для исследования суммы (2.2) в окрестности рационального числа £ требуются различные методы в зависимости от того, „большой" или „малый" в определенном смысле знаменатель имеет величина £.

Формулы приближения (дроби с малыми знаменателями)

Полагаем теперь для действительного а

е^ = е(а\(3.1)

Нс упоминая об этом каждый раз особо, считаем в этой главе N достаточно большим натуральным числом.

Пусть

^®= 2(3.2)

P<N

Тогда

1

r(N)=21 = J {^ (У)3 е (- N^) dl(3.3)

Р1 + Р2^Р3 = ^0

Р\, Р2> Pa<N

!) См. Харди и Рамануджан [2].

и при целом ^ ^ 1, 0 ^ а < q, (a, q) = 1, очевидно,

p<Np<N(3.4)

p<N

p<N

Теорема 3.1. Рассмотрим натуральное число q, удовлетворяющее условию X^q^X^N, где и — сколь угодно большое не зависящее от N положительное число. Пусть а—целое число и ^<a<q, (a, q)= X "^ Тогда

^Ш-Ш^0^"'1^ (315)

при N ->оо, причем константы могут зависеть от и. Доказательство. Действительно, согласно (3.4),при N ->оо, причем константы могут зависеть от и. Доказательство. Действительно, согласно (3.4),uCnKqP<NP<Nkm,q)=lp = m (mod q)p\quCnKqP<NP<Nkm,q)=lp = m (mod q)p\q

при N ->оо, причем константы могут зависеть от и. Доказательство. Действительно, согласно (3.4),

при N ->оо, причем константы могут зависеть от и. Доказательство. Действительно, согласно (3.4),

uCnKqP<NP<N

km,q)=lp = m (mod q)p\q

uCnKqP<NP<N

km,q)=lp = m (mod q)p\q

= 5 ^y)”*^’ q’ ^ ~H 0 (In ^)-

0 < m < qkm, ^ = 1поскольку | e (aplq) | = 1 и 2 1 < [In ^/ln 2]. Ввиду того что q <^ ln“ N,p\q

применима теорема 4.8.3. Следовательно,

Цт^ S е(^){^км+о(д^^}+о^^

0 < m < q

km, ^)=1

= ^UN-V°kNqe-«™) =

= ^И^ + О(^.™) (0 < c, < c); при этом

s«« = 2 ^vH S e(”f) 2 =

0 < m < qo<n<qdlkn, q)

km, q)^^

= ^^W 5 e^ 7) = ^^

d\q 0<n<q

d{n

потому что для d | q, d <q, {a, q) = 1

2l e\№ q) e<adjq)-l 01

0 < n < q

d\n

Тем самым теорема доказана.

Do всей гл. VI q обозначает натуральное число и а пробегает те целые числа, для которых 0^а<^, (а, ^) = 1.

Теорема 3.2. Если q<^\naN и действительное число р удовлетворяет условию 0 ^ | р | <: ^2» то пРи N -> оо справедливо соотношение

Mi+₽Hw s ^4-oHwi+i)e-m}. (3.6) 2 <n<N

Доказательство. Из равенства ^ (£) = 0 при помощи частного суммирования получаем

5лг(у + р)= 2 ^Иу + ’ОН р ^N

Kn^N

= 2 ^(-f-) (е<"Р> —е<<"-Н !)S)}-h-S^^) 5((TV4-1)P).

2 < n < N

При УN < n^N из условия ^^lnм^ для и' > и и достаточно большого N следует также, что

q<<2tt In^^ln^'/z.

Поэтому по теореме 3.1 при У*N < n*^N имеем

5„ (—1 = ^44 И п + О (Ne*cп\9 ) Ф (9)v’

Так какТак какп, то это соотношение справедливо

Так как

Так как

также тривиальным образом и для ^ ^п^У N. Если подставим его в верхнее соотношение, то получим

Sw(y + P) = S(1) + S(2j.(3.7)

где *) (п

2 («(„y-^^+DP)) J ^4- 2<n<N2

N\

+ е(^+1)р) /,

2/

S^ = O(Ne-cVtoN \ 2 I eW — е ((«+ 1)В)|4- 1IL

Далее

О(1)_ И (9) V р(пК\ f” d’

3 < п < Nп -1

По теореме Тейлора1) при п^З

п

f^L = _L + o(_к

J Ing In л \ л In2 л )

Следовательно, c(l) И (?) V e ^

3 <л <N

Так как

I e («Р) — e ((n + 1) p) | = | 1 — e (p) | = 2 sin л | p | = О (| p |) (0<|p|<|), (3.9) то для S(2) сразу же получаем оценку

S(2) = о [N (NI p I + s) e~c V^Y что и требовалось доказать.

Т сор ем а 3.3. Пусть и и t—любые положительные числа. Для

q^\nN, ipK^Hn^(3.10)

при N->co справедливо равенство

SN^--V^ = SN<q, ^ + O(Ne~^^\(3.11)

где

^(». й = ^§ S(3.12)

2 < п <N

Константы могут зависеть от и и t.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 3.2.

Соотношение (3.11) — объявленная формула приближения. Оно справедливо, конечно, только для дробей со знаменателями, не большими чем lna^, для окрестностей | р | ^ N-x lnz N. Очевидно, что для любого действительного |

5дг® = ^а-[^).(3.13)

Поэтому (3.11) даст также при q= 1, а = ^ приближенную формулу для S^(^) в области O^g^N^1 lnzN, 1 —N”1 ln^ ^ ^ g <^1.

n

!) Теорема Тейлора применяется к функции J j^y- в точке х0 = п.

X

§ 4. Разбиение области интегрирования

Выберем теперь в теореме 3.3 t = u,

, и для каждой дроби a(q»

удовлетворяющей условиям

1 <^<Дп“М,0^л<^,

(а, 0=1,(4.1)

рассмотрим окрестность Jaq из тех %, для

которых

N.(4.2)

Таким образом, если мы положим т = Л/ 1п“^, то Jaq определяется неравенством k — — i^l. I6 9 т

При 9] + q^ окрестности J^ и j ^ не

(4.3)

(4-4)

имеют общих точек, если

только N достаточно велико. Действительно, для достаточно большого N > N (и) и любого постоянного и > 0

— — !> — > ln~2uN>2N~1 ln“W.

I 9i 9г I 919г

Для достаточно большого N все Jaq содержатся в интервале

<4-5)

В самом деле,

так как alq^^ и £< 1— 1/т d^Ja^ так как

1—— >->ln““N> - = 2ЛТ’ 1п“ЛГ. 99t

В силу периодичности ЗдДУ и е (— ^^) из (3.3) следует также, что

r№ = J S^el-Nl^.(4.6)

-1/Т

Эту формулу мы будем употреблять в дальнейшем вместо (3.3).

Интервалы Jaq не покрывают интервал [—1/т, 1 — 1/т). Так как для каждого q имеется точно ф (д) значений а, то сумма длин всех Jaq

Таким образом, оказывается необходимо, кроме дробей ajq, удовлетворяющих условию (4.1), рассматривать еще дроби, окрестности которых должны покрывать весь интервал [1/т, 1 — 1/т).

По теореме Дирихле (теореме П. 10.1), примененной в случае Л = 1, N=L q —> т, t—>q. для каждого действительного числа £ существует дробь a[q, для которой

1<9<т, (а, 9)=1, ||-^|<±. (4.7)

Мы утверждаем, что для каждого ££[—1/т, 1 — 1/т) имеется даже такая дробь a[q, для которой 0 ^ а < q. А именно для ££[—1/т, 1/т] такой дробью является a/q = 0/l=0. Но для 1/т < ^ < 1—1/т из (4.7) и из того, что ^^>1, получаем

Следовательно, 0 < а < q. Пусть теперь для

lnм^ < ^^т = ^ln^и^, 0 ^ ^ < ^,(a, q)—l,(4.8)

Maq обозначает множество £, для которых

Тогда из предыдущих рассуждений следует, что для любого ££[— 1/т, 1—1/т) выполнено точно одно из следующих условий:

^ принадлежит строго к одному Jaq, причем для а и q выполнено (4.1);

если ^ не принадлежит ни одному Jnq, то оно принадлежит по крайней мере одному Maq, причем теперь q и а удовлетворяют (4.8).

Обозначим через Мг и М2 множества тех ££[—1/т, 1 — 1/т), для которых выполнены соответственно условия 1 и 2. Из (4.6) следует равенство

r(N)=(I +(4ЛО)

VHt ж2 /

В § 5 мы будем заниматься прежде всего величиной Jx (N\ Более трудная оценка J2(N) проводится в § 6, где показано, что J2(M) = — o(J1(N)) при N->co; таким образом, JT(N) представляет собой главную часть г (АГ).

Главный член проблемы

В тех же обозначениях, что и раньше,

Ш = jS^©e(-AZ^^^ / З^Ц-М,)^. (5.1)

Суммирование в ^Jaq проводится по интервалам Jaq) удовлетворяющим условиям (4.1) и (4.2), причем и — постоянное положительное число, которое будет выбрано позднее. Нам понадобится

Лемма 5.1. Для любого действительного числа р имеют место соотношения

SN(q.(5-2)

SN(q, ^ = 0(q-1+e\^F4 0<|р|<1,(5.3)

где SN — функция, определенная формулой (3.12) *).

Доказательство соотношения (5,2) получается при помощи (П.1.8) из неравенства

N

формулы (4.7.22) и теоремы 1.5.1.

Далее для п ^2, 0<|рК^у имеем

S

e W) < т—тог—гт = ■ 1,й. < IР Г1.

V | £ (Р) — 1 I Sin Л I Р |

ОтсюдаОтсюда2 С т < п

Отсюда

Отсюда

поскольку очевидно, что зта^2а/л при 0^а<^-^л. с помощью частного суммирования (теорема П.1.4) следует

N

2<n^N2

Из этого соотношения получаем (5.3).

Теорема 5.1. Имеет место равенство

в которомв которомJx (N) = J S^ (У e (- N^ d^ = T (N) A(N) + O (№ In-2" N), (5.4) Afi

в котором

в котором

T(N) =2 0n»l In «2 In «3) 1

гц-v n2-V n^N

(5.5)(5.5)2 < nx, n^ n3<N

(5.5)

(5.5)

AW- 2 ^}2 «И-

q < In“ N0<a <q, (a, ^)-l

0 Константы в (5.2) и (5.3) могут, естественно, зависеть от е (но не от q, р и N\

Доказательство. Положим для краткости 6 — 1/т = N~x ln“ N, и пусть S' 2 означает сумму, распространенную на числа q. а, удо- q а

влетворяющие условиям 1 <^^<^In"А^, 0^а<^, (а, ^)=1. Тогда

4(^ = 2'£ рЦу+рИ-^-н))^.<5-6)

q а -б

Далее из теоремы 3.3 получаем

S3N^ + ^ = \SN(.q, ^О^е-^^3=

= S3N(q, ^4-0(№е-с^^ (N ->оо),

так как оценка 1*5^^, р) | < N тривиальна (в силу равенства (3.12) и |е(яр)|=1). Подставляя это в (5.6), получаем

+ °^ S^36"^^26)- <517)

\ q q/

Так как ^^ln“^, а < q, то последний член есть величина порядкаО (№е-с ^^ 1п3“ ^ = О (№е*сз Vi^.

Далее по лемме 5.1, используя определение (3.12) величины SN (q, р), при достаточно малом е получаем

б

j Sn (fl, Р)е(— Np)dp = -б

2/2\

= J S3N(q, Р)е(— Np) rfp+ol q~^^ J р-з^) =

£X б /

”2

= V^)TW-)rO(q-3»-%-2) =

=T(N)-^Oln-2“ N\

Из равенства (5.7) следует

qa

+ О (№ 1П-2" N 2 <p (q) ^-^ 4- №e~c» ^^,

\1<? < QO/

и отсюда уже получаем (5.4), так как неравенства ф(#)^“5/2<^~3/2 и S^”"s/2<°° очевидны.

Лемма 5.2. Для величины Т (N), определенной формулой\б>.б>\ имеют место оценки

(N>^(5.8)

4 In3^ 4 75 ln3^ 4747

Доказательство. Очевидно, что

2 1= £2(5.9)

nx-vn2-vn3=N nx<N n2+n3=N—nx

Из неравенства (In z^j ln^ln^)”1 ^ ln_3^ при П1 + п2 + ^з=^ следует левая часть (5.8). С другой стороны, при ^^4 имеем

Т (N)=5 (1пях in^in^-^o /з-2Л =

ny\-n2-vn3=NI пх <Vn, 2<п2, n3<N I

Vn<nx, n2, n3<N\ iM-n3=N-nx /

= О In"3/TV 214-W2

\nx-vn,+n3=N/

и, пользуясь равенством (5.9), получаем правую часть неравенства (5.8). Легко доказать, что

T(TV)~l^2ln-37V (N-*ooy(5.10)

однако в дальнейшем это соотношение нам не понадобится.

Лемма 5.3. Для величины A(N), определенной формулой (5.5), имеет место равенство

А^ — ^^^О^ХпЫу^-^У(5.П)

где

SOT-nli+^jllt1---^)'(5J2)

р-Х Np\N

причем |=0 для четных N,

I > ^6 = 6/л2 для нечетных N.(5.13)

Доказательство. Положим4

О(,)=5e(-"i)-

0<а <^, (а, ^)-1

A(N) =A(N) =И3 (?)Ф3 (?)И3 (?)Ф3 (?)Так как |О(0|<ф(0. Ф(0 > cle)^1-®, р3(0 = р(0, то

A(N) =

A(N) =

И3 (?)

Ф3 (?)

И3 (?)

Ф3 (?)

0(0 =

(5.14)(5.14)=2^°^+° {a»^"“(1‘2e)}-

(5.14)

(5.14)

9=1

Здесь функция О (q) мультипликативна. Действительно, если (qv ^2) = 1, то

О(?1)О(?2) = 2е(-М-^^

причем суммирование проводится по всем таким парам av а2, для которых

0<^<^, 0<a2<?2, (av q^ = (a2, q<^ = \.

Когда ax и a2 пробегают приведенную систему вычетов по mod qx и по mod q2 соответственно, то величина axq2 -\-a2qx пробегает приведенную систему вычетов по mod qxq2. Отсюда следует равенство О ^q^ О (q2) = G (qxq2), т. е. что G (q) — мультипликативная функция. Поэтому функция р (q) G (д)^ (q) также мультипликативна, и по теореме 2.3 получаем

±Жо(0 = ТТЙ 4- и(р) 0(р)4^ 0(^4- . 1 =

Ф3(0 W 111Ф3(0 U)^ <^(^ ^Р—

9-1р

-KV+^S°^-11V-^рр

где

Отсюда следует равенство

^°^= II (- + <^)П(1 - (Л)-®№

9-1Р ^ Nр\ N

Если число N—четное, то очевидно, что ®(^ = 0. Если N — нечетное. то все его простые делители не меньше трех. Отсюда следует, что

®<")> П V-^—w-^-

2 <р < оо

Действительно, П 0-ст)> П (1 — ~2-), так как 2 < р < со2 С р < оо

рп ^ Pn+i — L если рп есть n-е простое число. Тем самым лемма 5.3 полностью доказана. Из теоремы 5.1 и лемм 5.2 и 5.3 делаем следующее заключение.

Теорема 5.2. Для ^^2 и достаточно большого нечетного N (N > N (и)) справедлива оценка

= j SNO)e(-№)d^ > с7 J^L.

Остаточный член проблемы

Рассмотрим теперь величину

MN)= J S3N®e(-N^d^.

м2

Для каждого ^^М2, согласно § 4, выполняется по меньшей мере неравенство вида

к ——1< —,(6.1)

где

lnu2V<^^t, 0<;«<^, (а, ^)=1.(6.2)

В этом параграфе мы докажем следующую теорему, из которой уже легко следует утверждение 1 из § 1.

Теорема 6.1 *). Пусть 1 <q <N и (at q)=L

1 = 7+7=- 101<!-(6.3)

Тогда имеет место оценка

SN (£) = О (n In^N { (q-14- qN-1>p + exp (— ln^) } ).

Для доказательства этой теоремы необходимы некоторые вспомогательные леммы, которые представляют самостоятельный интерес.

Для каждого действительного числа а через || а || мы будем обозначать расстояние от а до ближайшего целого числа. Следовательно,

|| а || = min (а — [а]. 1—а-|-[а]).

Лемма 6.1. Пусть Л4 и N— натуральные числа, M<.N. Тогда для действительного ^40 имеет место неравенство

2j e(«yM<n<N2j e(«yM<n<Nmin А/-— Л1,min А/-— Л1,2Ц§||)'2Ц§||)'(6.4)(6.4)

2j e(«y

M<n<N

2j e(«y

M<n<N

min А/-— Л1,

min А/-— Л1,

2Ц§||)'

2Ц§||)'

(6.4)

(6.4)

Лемма следует из равенства |е(п£)|=1 и из оценок

2 еМ) =№7^-»М <n<N2 еМ) =№7^-»М <n<N2^ 2 | sin л£ |2^ 2 | sin л£ |1211^11 ’1211^11 ’

2 еМ) =№7^-»

М <n<N

2 еМ) =№7^-»

М <n<N

2

^ 2 | sin л£ |

2

^ 2 | sin л£ |

1

211^11 ’

1

211^11 ’

Лемма 6.2. Рассмотрим целые числа q, q’ и g, причем 0 <qf <^q. Пусть на числах z = g, g + 1, . . ., g + qf — 1 определена действительная функция p(z). Обозначим

X = max р (z) — min р (г).(6.5)

g<z<gA-qr g<z<g+q'

Пусть далее

ф(г) = 1(а2: + р(г)) (а, ?) = 1.

Тогда при Л > 0 имеет место оценка !)

2 т!п(л 2ц^ h) < (X + 3) Л + 2g In q. (6.6) g < z < g^q’

При этом полагают min (Л, 1/0) = Л.

Доказательство. Положим

z = g~Vz?, z' = 0, 1q'—1.

Тогда

ll^^l^ly Н-Р1 (^0} ||.

Pl (2,) = <Zg" + p(g- + /).

В силу (6.5) при некотором действительном В выполнены неравенства

В < pi (z') < В 4- К (0 < zr < q'Y

Положим ВХ = В — [В] и обозначим через х" = z" ^ наименьший положительный вычет величины azr + [В] по модулю q. Тогда получим

a^r + Pi (^z)= az,r +1^1 + (^ — [^1) + Pi (^z) — В =

= ^/ + 6(^)^ + р2(^/),

9 Тривиальная оценка для суммы <; qf А <^ qA.

В^Рг^'Х^+Х.В^Рг^'Х^+Х.(6.7)(6.7)где ^(^') — целое число и р2 (2") Si + (Pi (г')— В). Отсюда следуют неравенства

В^Рг^'Х^+Х.

В^Рг^'Х^+Х.

(6.7)

(6.7)

Пока мы получили соотношение

Н(^И = ||-K4-P2(<)}|-

Если ^^Х + 3, то (6.6) выполняется тривиальным образом, даже без члена q In q. Пусть теперь q— 3 > Z, в частности q > 3. Величина хп пробегает часть чисел интервала 0, 1, . . ., q— 1, и, так как qr <,q> (а’ q)—^' каждое такое число принимается величиной z не более одного раза. Если мы положим qx = [Sj -}- X + 1], то поскольку X < q— 3, для qx получаем неравенства 0 < qx < q. Кроме того, очевидно, что 0^р2(/')<^1. Для тех z, для которых zrr = = z”(г) —О, q— qv q— ^i+L .q—1, имеем тривиальную оценку

ПИП Д, т-™-:- < Д.

Число таких членов не превосходит ^-j-l^^ + З. Следовательно,

S тт(л, 2 ^(^ц^ (А, 4-3) Я. q~qb ..., ^-1

Так как О <С р2 (z") < ^ для 1 ^ z” = z" (z) < q— qv имеем

ПоэтомуПоэтомуX z" 4- p2 (г") < (q — q^ 4- qx = q.

Поэтому

Поэтому

1|Ф(2)|| = |у{4'4-Р2СИ}|>^-(6.8)

причем введено обозначение

ZX = 2Х (4) =ZX = 2Х (4) =z", если /' 4- р2 (г") < у q,q—qx — z", если z" 4- р2 (z") > -^ q.

ZX = 2Х (4) =

ZX = 2Х (4) =

Тогда в первом случае

II {/'4- Р2 Wq II = {^"4- Р2 w.q > ^ и соответственно во втором случае

II V' 4- р2 (z")Vq II = (q — Vz” 4- р2 (z")) ^Iq >(q — qx — z")lq.

Всегда ^i<‘2‘9, и величина zx = 2x(z) принимает одно и то же значение не больше чем для двух значений z, так как z,r принимает

каждое значение не больше чем при одном значении z. Из (6.8) следует оценка

S (ттД, 21^(2)ц)^2^ 2гГ^^q

1 < г’ (г) < q-q,1

при q > 3. Этим неравенство (6.6) полностью доказано.

При р (г) — 0 соотношение (6.6) переходит в неравенство

S

min (л, - . <ЗЛ 4-2^1п^, g<2 < g-vq’

которое лучше, чем тривиальная оценка qA для q > 6, In q < -- А.

Введем теперь новый символ. Запись

А<В ф>^(6.9)

означает то же самое, что и запись А = О (В\ Таким образом, А<^В равносильно | А | < сВ !). Так же, как в символе О, константа с здесь может зависеть от некоторых параметров (например, от е). От каких параметров зависит константа, чаще всего видно из контекста. Так, например, имеет место .соотношение \пх<^х£ при х—>со; здесь константа, входящая в символ <^, зависит от е.

Лемма 6.3. Пусть

2<^0<Г,1<^<Г,

где q — целое и ^ — действительное число, причем 5=7+^- (а’q)=L |6|<11 Пусть далее

s= 2(610)

0<г< W.

Тогда имеет место оценка

5«с(^0+9+^"1)1п^-(6.П)

Доказательство. Разложим S следующим образом:

s= 2 = 2 + 2 +•••+ 2(6-и')

0<z<V1700 <г<^2_q<z<^q(j_^.\q<z<Wo

ZZZ\ Z /

в случае, когда (/ — у^ < 1Г0 < ^/+ у) q. При 1^о<у^> есте‘ ственно, нужно записать только часть первой суммы.

Обозначим через хг = х'^ наименьший неотрицательный вычет az по mod q. Очевидно, что 0 < х' < q при ^^x^—q. Так как ^ = 1(аг+^(6.12)

и |9| <4, при 0 < х <^q имеем

где

х* при х ^»

^Х=Г.1

q— х при х >

Следовательно, для первой из сумм (6.1 Г) получим

Ц" С Я In q <q>\\

Q<z<~q Q<zx<~q ^^ 2

Для остальных сумм применим лемму 6.2. Мы можем положить в каждой сумме Х = 1, так как величина р(^г) = 0^/^ остается в интервале единичной длины, когда х пробегает последовательно числа, не превосходящие q. Далее положим в лемме 6.2 A = W j ^1——^ для Z = 1,2,. . ., у. Тогда получим

V ( 4UZ )1,

S<C?ln?+ h +1п2/.

i < i < j — -^j q) J

Так как yyi^o^ + l и In^^lnlT, то этим доказано утверждение леммы.

Тривиальная оценка величины S следующая:

s< ^ Х<С l^ In 1Г0 < НПпГ.

Чтобы оценка (6.11) была лучше тривиальной, величина Wo должна быть мала по сравнению с W, а также с q и Wq-1.

Лемма 6.4. Рассмотрим какие-нибудь три последовательности натуральных чисел. Будем предполагать, что их, и^ *v независимо друг от друга пробегают соответственно числа первой, второй и третьей последовательностей. Пусть п пробегает все значения их* и^ и принимает одно и то же значение столько

раз, сколькими способами оно может быть записано в виде их*иТ Потребуем, чтобы

\<U<N, U<Uf<KU,(6.13)

где К > 1 — константа. Пусть, наконец, £ — действительное число

^=f+^"- x<q<N- (д. <7)=!. |6|<i-

Если

S= 22 е(пт)^) (N^^, целое), (614)

U<ncU* v^N/n

то имеет место оценка 1

С N In2 N С^" + qN"1 + U~x + UN-1)2.(6.15)

Доказательство. Обозначим

^i(^)= 5 1-(6.16)

г * ихи2

Во всяком случае выполняются неравенства 0 ^ ^ (^) ^ ^ (z). Имеем

5= 2 dx (г) 2U<z<U* v<N/z

Из (1.5.15) в силу (6.16) следует, что

2 dl (г) < 5 ^ (2)<Ct/ln3^

U<z<U'z^KU

Применяя неравенства Шварца, получаем

S2Ct/lnW 2 I 2 e(z^)l2 =U<z<lTI

= U№N 255 e^z^ — v'HY(6.17)

U < z < U' v < N/z v' < N/z

При этом z пробегает при постоянных -о, чУ все числа интервала длины не более (/С—V)U. Применив лемму 6.1 с М = U, N = U', получим, что !)

S^Uln.N 2„,„(1/.).(6.18)

у, у' <N/U

так как всегда Njz <N)U, и возможное расширение области суммирования может только увеличить сумму в правой части неравенства. При фиксированном ч)' разложим область суммирования по -у на интервалы, длина которых не превосходит q. Очевидно, что

получится не более NU xq !Ц- 1 таких интервалов. К каждой из полученных сумм применим лемму 6.2, причем мы полагаем в этой лемме у —=x|)(2) = ^=^az+

Так как In^^ln^V, то

£2<^1П3^ 2 ("^-+1)(^ + ^П^^

•и' <N/U

<C№l„.Jv(±+2r+". + i).

Таким образом, неравенство 6.15 доказано.

Из (1.5.20) вытекает тривиальная оценка для 5:

|Ж 22 -<2d (г) -^- <С АЧп2 2/7 С W In2 N.

U<z<tr v^Njz z<KU

Чтобы оценка (6.15) была лучше тривиальной, q и N]q, а также U и N]U должны быть велики.

Доказательство теоремы 6.1. Пусть Р = Д р. Тогда

1

p<N2

5 и№ 2 e(d.m^= 2 e(/iyS^W = d\P m^N^d\<n<N d\n

d | P

= s e(ny 2 и№ = «6)+ S e(P^)> Kn<N d\(n,P)J_

N2 <p<N так как

f L если (n, P) = 1, d цп, py ( 0, если (n, P)>1. Следовательно,

SW©=S^№ S e(dm^^O^Y (6-19) d | P m < N/d

Разделим теперь интервал 0</п^Л/ на подинтервалы вида M<tn^Mf, М*<М/^2М*) число таких подинтервалов не более чем «^InN1). Положим

S(M) = 2 м.№5е^щ^,

d\P M<tn<M'пг С N/d

!) В качестве начального интервала можно взять интервал (Af, ЛТ'] =

причем суммирование по d ведется для d, не превосходящих N/M, так как в противном случае внутренняя сумма будет пустой. Следовательно, / м

+(6.20)

М

где

21<О^-(6.21)

По лемме 6.1

d<N,M

Вообще говоря, здесь d пробегает некоторые делители числа Р, но выражение в правой части неравенства может только увеличиться, если проводить суммирование по всем d, не превосходящим NJM. По лемме 6.3, примененной к W = N, WQ = N/M, получим

^^^(ЛГЛ^ + ^ + МО^пМ.(6.22)

Обозначим теперь Н = exp\ln27Vj. Для величины S (Л4) при М^Н из (6.22) и (6.21) сразу же следует оценка м>н

<C.N\id N\^q-1-VqN-1p , (6.23)

так как 1 <q<Nt q~x -\-qN~x < 2 и Л <^ Л2 при Л < 2.

Пусть далее М < Н. Положим

^ОИ)^ 2' р(б/)2 e<dm^(6.24)

d^N/MM<m<.M’

d\Pm^N/d

где штрих обозначает, что суммирование ведется по тем d, которые не содержат простых делителей, больших чем №. Согласно лемме 5.5.2, 2' \<NM"V, d^N/M

( 1

так как In (N/7W) ~ In ^(^-> со) при /И < Н = exp \ln2N). Отсюда в силу (6.21) и неравенства ЛГ <^ Л1 получаем

S) (М) <С М • NM~XH"X = NH4

2 ^(мх;w^J21 cA/inw1.(6.25)

м<нм

Остается оценить сумму

2 {S^-S^M)}.м<н

Имеет место равенство

5(тИ) — 81(М) =52 Md)e(md£),

М <т^ЛГ d^N/m

где суммирование ведется только по тем делителям d числа Р, которые имеют по крайней мере один простой делитель, больший чем №. Запишем это равенство так:

S (Л1) — Si (уИ) = 2 (^ (М) - ^ (уИ)}.(6.26)

Здесь сумма Sk (М) определяется равенством

S'kW =25 е^М\ (6.27)

М<тп<М' dk<N)m, ц ^d^ = l

в котором dk пробегает все числа d, d\Pt которые содержат ровно к простых множителей, больших №. Число dk как делитель Р, очевидно, свободно от квадратов. Сумма 8к (уИ) определяется аналогично, только

по тем dk, для колотому что оценкапростых делителей,(6.28)по тем dk, для колотому что оценкапростых делителей,(6.28)во внутренней сумме суммирование проводится торых ц(^) =—1. Достаточно оценить 8к (7И), для Sk (Л4) получается так же.

по тем dk, для колотому что оценка

простых делителей,

(6.28)

по тем dk, для колотому что оценка

простых делителей,

(6.28)

Так как каждое d^N/m^N имеет <^lnN

1 <1 <^ClnN.^ClnN.то, очевидно,

1 <

1 <

^ClnN.

^ClnN.

Сравним Sk (7И) с суммой

TkW= 222e^pd^m^), (6.29)

уИ</?2<уИ' pd^_x<Nim! ц (dk_ j = — 1

где в двойной сумме суммирование проводится по всем р из интер- 2.'

вала №<p<^.N2 и по dk_TT). Каждое произведение pd,k__v (р, ^-1)=1» встречающееся во внутренней сумме, равно dk из внутренней суммы (6.27), и каждое такое dk встречается в (6.29) ровно к раз, так как в качестве р можно взять любой из к различных простых делителей dk, больших чем №. Число членов в Т k^M)t

2

О Так как p\Pt то p^N2.

удовлетворяющих условию (р, d^-^^p^l, в силу соотношений М'<М и N[m<NIM^

см2 Si см 5 nm-1p"2<c.nh"2.

Р^п < N/Мр > Н2

р> Н2

Следовательно,

8'^М^^Т^М)Л-О<ННЛ(6.30)

Оценим теперь величину Тк(М). Во внутренней сумме в (6.29) раз- 2

делим интервал №<p<:.N2 на ^InA/- интервалов вида

Q<P<Q^ QX^QCQ

и положим

т^-^т^м, Q),(6.31)

Q

где

Тк<М, Q)=222e(dk_1Pm^),

M<m<M' Q < р < Q' db pm^N,p,(dh \ = —1

U(6.32)

l<ClnM

Q

Применим теперь лемму 6.4 при n — nip, v =zdk_1{p{dk_l) = —1),

U = MQ, U'^M'Q'2). Мы видим, что

2

Тк(М, Q)<N In2 N (?-1 + qN-1 4- M-1Q-1 + MQAT1)2.

Так как H2 <^ Q < N2, to M~xQ~v ^ Я”2, и ввиду того, что М < Н,

имеем оценку MQN-V <HN" 2 <^Н~2. Отсюда следует неравенство

4-Я"7,(6.33)

121

так как, если а и |3 неотрицательны, то (а + Р)2 <^а2 4~р2. Из (6.31) — (6.33)

I Тк (М) I < 21 Тк (М, Q) I с /V 1п^ fa-1 + qN-1^ + Н’1}.

Q

9 Используется очевидное неравенство ^ Р 2 < 2 ^ 2 *^ ^ ^

Р>У п> ^

'0 Условие 1 < U < N возможно выполнено лишь для N > Na, но при постоянном No теорема 6.1 для У < ^0 тривиальна.

Подставляя все это в (6.30) и используя соответствующую формулу для Sk (Л4), из (6.26) получаем

S (Л?) - 5, (Ж) С 2 Н I I + О (NH-^ С

In2+ ^-1)2 4-Я"},

так как ввиду (6.28) справедлива оценка

1

2 1/£С1п2М<С1п2 N.к

Наконец из (6.21) выводим соотношение

2 (S(M) —Sj(Al)} CAfln2 N ^q-V^-qN-1)- + W-1 M <H

Отсюда и из (6.23), (6.25) получается утверждение теоремы 6.1.

Можно заметить, что доказательство теоремы 6.1 так сложно главным образом потому, что различные тригонометрические суммы сначала нужно разложить на подходящие части, к которым уже можно применить леммы 6.2, 6.3 и 6.4.

Теорема 6.2. Каждое достаточно большое нечетное число N представимо в виде суммы- трех нечетных простых чисел.

Доказательство. Пусть £ £ vW2 и a,q— дробь, для которой выполнены соотношения (6.1) и (6.2). Тогда выполнены условия (6.3). Принимая во внимание (6.2), из теоремы 6.1 получаем

(6.34)(6.34)

(6.34)

(6.34)

^©CNln-3/V (И ^2).^©CNln-3/V (И ^2).Для величины /2^) находимДля величины /2^) находимчто следует из (6.35) и соотношениячто следует из (6.35) и соотношения

^©CNln-3/V (И ^2).

^©CNln-3/V (И ^2).

Для величины /2^) находим

Для величины /2^) находим

что следует из (6.35) и соотношения

что следует из (6.35) и соотношения

Выберем теперь и, которое до сих пор было произвольным, равным числу 15. Тогда

(6.35)

Из ^3.3), (4.10) и теоремы 5.2 следует неравенство

r(N) > fN2ln“3N.(6.36)

Величина r(N)— число представлений числа N в виде суммы трех не обязательно нечетных простых чисел. Так как N— нечетное число, то в таком представлении или все три простых числа нечетные, или два простых числа равны 2. Но имеется не более трех представлений числа N в последней форме]); следовательно, число представлений числа в виде суммы трех нечетных простых чисел больше чем cN2ln“3N для достаточно большого N. Теорема 6.2 тем самым доказана.

Если считать в этих рассуждениях N четным числом, то для числа представлений N — 2 в виде суммы двух простых чисел получается оценка О (N21п~л N) при сколь угодно большом А. Эта оценка не нова, так как с помощью метода решета мы уже показали, что это число представлений есть величина порядка

O^In2 ^ln2 N)

(теорема 2.4.8). С помощью (5.10), кроме теоремы 6.2, нетрудно получить асимптотическую формулу для величины г (N) вида

г (АО ® № (14-0 (1)) №/№ N.

Для числа г' (А/) представлений числа N в виде суммы двух простых чисел имеет место формула, аналогичная (3.3):

1

Г (АГ) = / sw (« е (- N^ d^(6.37)

О

Теперь можно опять разложить область интегрирования (интервал [— 1/т, 1 — 1/т)) на области Мх и ;W2. Несколько изменяя Мх и М2 найдем, рассуждая, как при доказательстве теоремы 5Д, соотношение

Л(N) Л' (АГ),

где

Г (N) ~ cN[№ N,

A'(N) = У 4т4Те(—У—гтС1п2ЛГ.

^J <р2 (9) ^J \ q) Ы Ф (?) ^ 2 7<1п^<7^<1пвЛГ

причем В — положительная константа. Следовательно, величина Jx (N) <^ <^ N ln2 ^ln2 N. Кроме того что оценка снизу величины A' (N) трудна, в этой проблеме до сих пор не удалось дать нужную оценку сверху величины

/2^)= J S^e^-N^

>) Например, 9 = 2 4-2 4-5 = 2 4-5 4-2 = 5 4-2 4-2.

Грубая оценка

недостаточна, так как правая часть неравенства есть величина порядка NjlnN (см. задачу 1).

§ 7. О представлении четных чисел в видесуммы двух простых чисел

В этом параграфе мы докажем следующее утверждение:

Теорема 7.1. Число не превосходящих х четных чисел, которые не представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел, есть величина порядка О (xj\nA х), где А— сколь угодно большая константа.

Рассмотрим достаточно большое натуральное число N и определим величины SN и SN формулами (3.2) и (3.12). Пусть и — произвольное положительное число, а знак 5 2 указывает на то, что суммирова- q а

ние ведется по q и а, удовлетворяющим условиям 1^^<^1пм?7, 0<^a<q, (а, ^)=1.

Через г'(п) обозначим число представлений числа п в виде суммы двух простых чисел, не превосходящих N. Следовательно, г' (п) = О при n>2N. Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 7.1. Пусть

Тогда имеет место оценка

2 V'W-T'(n)A'(n^<Q(N).(7.2)

n<N где

Т'(п)=2 (In^ In^)”1»

Пх + П2=112<пг, n2<N,,, . v' V ия(о> /«\(7,Э)

q а

Доказательство. Величина А' (п) — действительное число, так как а вместе с —а пробегает приведенную систему вычетов по mod^. Очевидно, справедливо равенство

^®= S г'(п)е(п^).n<2N

С другой стороны, согласно (3.12),

М?- ^_?)=^у L е[~п7)т we№-

n<2N

Из двух последних равенств следует1), что

Q(N) = 2 {/•'(«) — Т' (п) А' (я)}2.

n<2N

Опуская члены с N < п ^ 2N, получаем (7.2).

Лемма 7.2. Имеют место неравенства

mhr<г<«)< = W

Доказательство. При п—>оо

2 i=n + O(i).

Пх + п2~п

ГЦ, ^2^2

Так как

тчпу>А- У • ь

х у In2 п ti

nv-Vn2=nпх, п2>2

то отсюда следует левая часть неравенства (7.4). Правая часть неравенства получается при помощи следующих вычислений (м ^ 4): Т'(п) = ^ (In пх 1пя2)"1 + о(п2) < (~1п/г)^ -1 + о(/г2)‘

ПхАгП^ППх^П^П

пх, n2>Vn

Лемма 7.3. Пусть b > 0—произвольное положительное число, N > N (Ь) и и > b -\- 1. Тогда при подходящем значении с^ имеет место неравенство

А?^>сг.(7.5)

Это неравенство справедливо для п = 0 (mod 2), 0</^^/V, за исключением О (N ln~W) значений числа п.

Доказательство. Положим

j) Заметим, что для действительных ап

2

[ 2^^) За2.

J n^Na<N п

Как при доказательстве леммы 5.3, можно показать, что В (q, п) — мультипликативная функция от q. Поэтому для свободных от квадратов чисел q имеет место равенство

В (у, п) = ПВ(р, «)>р\q

гдегдеВ(р, п) =В(р, п) =1(Р-1)2’1Р — 1 ’1(Р-1)2’1Р — 1 ’р^п, р\п.р^п, р\п.

где

где

В(р, п) =

В(р, п) =

1(Р-1)2’1

Р — 1 ’

1(Р-1)2’1

Р — 1 ’

р^п, р\п.

р^п, р\п.

Для чисел q, содержащих квадраты, значение B^q, п) равно нулю. Далее

А'(п) = 2В(?,«)=28(?.”)- S B(q, п\ (7.6)

l<7<Inz^Q”xq>\nu N

Бесконечные ряды абсолютно сходятся по теореме 1.5.1, так как

(В^, я)| —Д (? — 1)2 Д (Т7 ^^ФЧ?) П Р^Ч^ч2- P\qРЖп)• p\Vb п)

при q>q(e), ц2(^) = 1. По теореме 3.2.3 отсюда следует равенство

5S^- «) = Д (1 0-1р^п5S^- «) = Д (1 0-1р^п(ДгШО+Дт)”®'*'(77) р м(ДгШО+Дт)”®'*'(77) р м

5S^- «) = Д (1 0-1р^п

5S^- «) = Д (1 0-1р^п

(ДгШО+Дт)”®'*'(77) р м

(ДгШО+Дт)”®'*'(77) р м

Для нечетных п функция S' {п\ определенная равенством (7.7), равна нулю. Для четных п

S'C^nhl^W^I (™ = 0(mod2)>.(7.8)

Р>2

Далее, согласно (7.6) при N > N (е) и при е < ~, имеем оценку

q>\nuNq>lnuNd\n m>(\nuN)ld

vvh-*v'^-2+s /, v'^-ц д d V-E

=^d^w <<4 24d=

d\nm>(laaN)ldd\n

=:С4(1пЛ0"м(1"е)2У . 1. (7.9)

d | n

(Через 2' обозначена сумма по Пусть теперь п = 0 (mod 2), ч) (/г) — число различных простых(Через 2' обозначена сумма по Пусть теперь п = 0 (mod 2), ч) (/г) — число различных простыхсвободным от квадратов числам.) п ^ ^, ч) (п) ^ с5 ln2 N, причемсвободным от квадратов числам.) п ^ ^, ч) (п) ^ с5 ln2 N, причемделителей числа п, а с5 > 0 будетделителей числа п, а с5 > 0 будет

(Через 2' обозначена сумма по Пусть теперь п = 0 (mod 2), ч) (/г) — число различных простых

(Через 2' обозначена сумма по Пусть теперь п = 0 (mod 2), ч) (/г) — число различных простых

свободным от квадратов числам.) п ^ ^, ч) (п) ^ с5 ln2 N, причем

свободным от квадратов числам.) п ^ ^, ч) (п) ^ с5 ln2 N, причем

делителей числа п, а с5 > 0 будет

делителей числа п, а с5 > 0 будет

более точно определено позже. Тогда

2' 1 ^2Csln2" = (ln^C5ln2.(7.10)

d | п

Для не превосходящих N чисел п, у которых число разных простых делителей г) (п) не удовлетворяет этому неравенству, выполняется оценка

<Z(n)> (In^5'112,

и их число по теореме 1.5.11

с N In N[(\n Nf‘ln 2 = N (In N)1-Cs ,n 2.

Если для некоторого n выполнено (7.10), то, согласно (7.9), при N > N (е) имеет место оценка

3 B(q. п) q>\nu N3 B(q. п) q>\nu N< с4(1пЛ7) -{«(i-e)-r5in2)t(7<11)

3 B(q. п) q>\nu N

3 B(q. п) q>\nu N

Следовательно, она имеет место и для любого четного п, нс превосходящего N, такого, что г)(п) с5 \n2N.

Если теперь мы выберем с5 настолько большим, чтобы выполнялось неравенство и > с51п 2 > b-^ 1, а 8 настолько малым, чтобы zz(l—е)>с51п2, то из формул (7.6) — (7.9) и (7.11) для всех четных п, за исключением

<N (In ЛО1"*1"2 <N In-»N

таких n, следует неравенство Af (n) > 0.

Лемма 7.4. Пусть nx пробегает такие числа nx<^N, для которых г'^п^^^, n1 = 0(mod2), А,(пх)>с3. т. е. числа. не представимые в виде суммы двух простых чисел. Для числа R(N) этих чисел имеет место оценка

11

/?WCQ3 ^)1п3 N.(7.12)

Доказательство. Так как г'(п1) = 0, по лемме 7.1

W^A\n^<Q(Nyпх

Отсюда в силу леммы 7.2 и предположения Аг ^п^ > с3 следует оценка

Следовательно,

П1

Теперь имеем

2 «? > 5 «2 > cJ?3 W-пх 1<п<Я(Х)

Подставляя все это в предыдущее неравенство, получаем

R4N)<C.Q(N)WN.

Лемма 7.5. Пусть R' (N) —число всех п, не превосходящих N, /г = 0 (mod 2), для которых г'(п) = 0. Тогда имеет место оценка

1 А

R'(N)<CQ3 Win3 ^-|-^ln_й^.(7.13)

Это следует сразу же из леммы 7.3 и 7.4.

(7.14)(7.14)Теперь нужно оценить Q(N) методами § 3—6. В последующем А/" всегда предполагается достаточно большим; насколько большим оно должно быть, зависит от параметров е, и, b, t. Пусть т = ^ln~z^, причем сначала предположим только, что t^u, а позже определим t более точно. Каждой дроби a(q с 1 </ q <С ln“ N, 0 ^ ^ <q, (a, q)= 1, мы сопоставим интервал Jaq, состоящий из тех £, для которых выполняется неравенство

(7.14)

(7.14)

q I т

Можно доказать, что интервалы Jaq для достаточно больших N не пересекаются, аналогично тому, как это было доказано в § 4 для J . Пусть Му = ^ ^Jaq и ТИ2— множество тех £, ££[—1/т, 1 —1/т), q а

которые не принадлежат Л4Ь Для каждого ££[—1/т, 1 — 1/т) по теореме Дирихле имеется некоторая дробь a(q со знаменателем 1<7А7 In-^ А7, такая, что

(7.15)

в противном случае ввиду неравенства t ^и Следовательно, для каждого ^ £ Л12 существуетв противном случае ввиду неравенства t ^и Следовательно, для каждого ^ £ Л12 существуетЕсли для ^^М2 выполнено (7.15), то должно быть 0<^/^<1, так как для каждого ££ М2 имеет место неравенство 1/т < ^ < < 1 — 1/т (потому что Voi=[—1/т, 1/т]) и, кроме того, ^Л/-11п“ Л/<^ <А/-1 In^A/^A/"1 1г/^ = 1/т. Если выполняется (7.15), то для ^ И42, кроме того, должно выполняться соотношение lnм^<7^ ^^ln~м^, так как было бы ^^JaqdM^. такое a,q, что

в противном случае ввиду неравенства t ^и Следовательно, для каждого ^ £ Л12 существует

в противном случае ввиду неравенства t ^и Следовательно, для каждого ^ £ Л12 существует

W(7.16)

ln^N< q<^NkV"uN, 0<a<q) (а, ^)=1.

Так как 5^(У и SN(q, ^—alq) — периодические функции с периодом единица, то

1-1/т1-1/тJ ^® -^^N(q, V-ajq> "^ =J ^® -^^N(q, V-ajq> "^ =-1/т-1/тQ аQ а= / + \=QiW-VQ^Ny (7.17) м; м2= / + \=QiW-VQ^Ny (7.17) м; м2

1-1/т

1-1/т

J ^® -^^N(q, V-ajq> "^ =

J ^® -^^N(q, V-ajq> "^ =

-1/т

-1/т

Q а

Q а

= / + \=QiW-VQ^Ny (7.17) м; м2

= / + \=QiW-VQ^Ny (7.17) м; м2

Далее получаем

q аq а"d^ ="d^ =Qi W =Qi W =aqaqSn (D — 5^ ^,Sn (D — 5^ ^,2 d^2 d^

q а

q а

"d^ =

"d^ =

Qi W =

Qi W =

aq

aq

Sn (D — 5^ ^,

Sn (D — 5^ ^,

2 d^

2 d^

где S' 2 обозначает суммирование по а и q, удовлетворяющим q, a=^qt a _

условиям 1 <:^<: ln^, 0<L.a<q, (a, q)=X, alq + a'q, Из неравенства | Д — В j2^2(|y4 p + |B p), которое справедливо для всех А и В, следует

2d^ = Qx^-VQxW (1Л^2d^ = Qx^-VQxW (1Л^QiWC^S /|^®-^(?Л-у)|2^ + q а л aq

2

d^ = Qx^-VQxW (1Л^

2

d^ = Qx^-VQxW (1Л^

при N—>оо. Q2(N) при N-->cxd можно оценить так:

2

м2м2q аq а^dX^Q^NWQ^ (N).^dX^Q^NWQ^ (N).ж2ж2м2м2q аq аТеперь займемсяТеперь займемсяЛемма 7.6. удовлетворяетЛемма 7.6. удовлетворяетпоследовательно оценкой всехВеличина, Qb определенная соотношениюпоследовательно оценкой всехВеличина, Qb определенная соотношению(7-19)<21 > .Q^.(7-19)<21 > .Q^.8 (7.18), при N->oo8 (7.18), при N->oo

м2

м2

q а

q а

^dX^Q^NWQ^ (N).

^dX^Q^NWQ^ (N).

ж2

ж2

м2

м2

q а

q а

Теперь займемся

Теперь займемся

Лемма 7.6. удовлетворяет

Лемма 7.6. удовлетворяет

последовательно оценкой всех

Величина, Qb определенная соотношению

последовательно оценкой всех

Величина, Qb определенная соотношению

(7-19)

<21 > .Q^.

(7-19)

<21 > .Q^.

8 (7.18), при N->oo

8 (7.18), при N->oo

eV In NeV In N

eV In N

eV In N

(7.20)

Поскольку IS^]*^^, в силу теоремы 3.3 для ^^Jaq

Если теперь положим д= 1/т = №"! 1п^, то ввиду того, что

S'SlCln20^,(7.21)

q а

получим соотношение

Qi'W<2' ^fr^^CNY^, q а

причем константы могут зависеть от и и t.

Лемма 7.7 Для величины Q^, определенной формулой (7.18), имеет место оценка

QAN)<^Nz(\nNy3t+iu (N-^oo).(7.22)

Применим неравенство Шварца

Для ^^Jaq и ajq+atq имеем | £— ^|>д=1/т, так как интервалы Jaq не пересекаются. Поэтому из леммы 5.1 следует, что

SNh, ^--^^q-'^ (££4, а^а^. \ q)

Подставляя это в (7.23) и принимая во внимание (7.21) и определение Qi (N), получаемт)

Qi W <С S' S 61п2“ N . 1п2“ N • (^"1+е б-1)4. q а

Отсюда при достаточно малом е, поскольку

S'S»-,+,‘<2tm<h,‘<=».q а^=1

следует утверждение леммы.

О 2'2 <^^^77. Каждая из сумм в (7.23) оценивается через 1п2йМ q а

а суммы из (7.18) сохраняются.

Лемма 7.8. Для величины Q^> определенной формулой (7.19), имеет место оценка

QtCN^N^lnN)-^ (AZ->co).(7.24)

Доказательство. Для каждого ^£М2 существует некоторая дробь a[q, удовлетворяющая (7.16). Следовательно, применима теорема 6.1. Для ln“N < ^^Nln~“N это дает

sN®<;NonN)"^tt"9) (^^

Отсюда следует неравенство

1

^ (N) = J| Sn (|) I4 d^ C AZ2 (In N)-l“-9) J I SN © I2 ^.°

Так как последний интеграл равен л(М), получаем (7.24).

Лемма 7.9. Для величины Q2, определенной в (7.19), имеет место оценка

Q2(AZ)CAZ3(lnAZ)"3<+2“ (AZ->co).(7.25)

Доказательство. При ^Л42 для всех а и q, удовлетворяющих условию l^^^ln^N, 0<,a<q, (а, ^)=1, имеем ||—а/?|>б= = N”1Xn N. Так же как при доказательстве леммы (7.7), находим

^ \ 9 а / q а

<Cln2“ N^^q-4^ J p'4d0<^d"3ln2“AZ = AZ3(lnAZ)~3<+2“. q ad

Доказательство теоремы 7.1. Положим в наших рассуждениях f — 5u[3. Тогда из формул (7.17) — (7.19), а также (7.22) — (7.25) следует

Q (AZ) <с Q; (AZ) + Q” (AZ) + Q' (AZ) + Q" (AZ) <C № (In AZ)-(“"8).

Подставляя это в (7.13) и полагая и = 36+12, получаем

14

R' ^<C.N {(In AZ)'з"(“'8)+з -i- in-» AZ} C AZ In-6 AZ.

При n^N величина г'(п) есть число представлений п в виде суммы двух простых чисел. Для четного п > 4 оба простых числа должны быть нечетными. Так как b было произвольным, теорема 7.1 тем самым доказана.

Изложенный в этой главе метод имел много других применений. Так например, И. М. Виноградов [4] показал, что

5 е ^Р^ N ^-AN, к > 1,p<N

для ££Л42 (при некотором определении М2 = М2(А^ и сколь угодно большом Л), и сделал возможным решение аддитивных проблем, в которых вместо простых чисел появляются степени простых чисел. См. монографию Хуа [1].

Задачи к главе VI

Докажите соотношение

/ |^(|) |2rfg~^ln^м2

в котором М2 обозначает подмножество [—1/т, 1 — 1/т), введенное в § 4. Из этого соотношения следует, что существует такое ^ £ М2, что

l^©|>c/V2/ln2N.

Пусть /(N) — число решений уравнения

Р\ + Р^ = Рз4" ^4

с простыми числами pv ру р3, p4^N. Докажите, что f(N)~c(N) №,\n4N,

где c(N)>c>0 для достаточно большого N.

Найдите асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Рх + Р^ + • • • + Рт —(^ > 3).

Выведите асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Px-Vр2-\- ■ • • А-рт = р'хА-р2-\- • • • А-р'т.

где pv ру ..., p'm^N, аналогичную формуле задачи 2.

Докажите, что почти все четные числа могут быть представлены в виде разности двух нечетных простых чисел.

Докажите, что каждое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех неравных простых чисел и что почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух неравных простых чисел. (См. Рихерт [1].)

Глава VII

ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА / ФУНКЦИЙ. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1. Функциональное уравнение

Рассмотрим целое число ^^1, характер % по mod к и соответствующую Л-функцию L(s, %). В гл. IV было показано, что функции L(s, у) аналитически продолжаются на область о>0 и регулярны там, за исключением функции L(s, Хо), которая имеет при s=l простой полюс с вычетом ф(к)1к. Покажем, что L(s, /) продолжаются на всю плоскость и удовлетворяют там некоторому функциональному уравнению. Будем употреблять обозначения гл. IV. Если /*, так же как в гл. IV, — единственный характер по modi, то £ (s) = L (s, /*), и в этом частном случае мы получаем функциональное уравнение для ^-функции.

Теорема 1.1. Пусть у— примитивный характер по mod к. Положим!)

(1.1)(1.1)0 при Z(—1)=1,(1 при х(—1) = — 1,

(1.1)

(1.1)

т. е. а = 4у(1—у(—1)). Тогда L(s, у) регулярна по всей плоскости, за исключением случая к = \, у=у^ В этом случае Ь^8,*у^ = ^^ имеет при 5=1 простой полюс с вычетом 1. Для всех у

s1

L(1—s, у) = е%2(2л) 5 к 2 cos-£-(5— а) л • Г (5) L (5, у),(I-2)

причем е% обозначает константу с ] е% | = 1, зависящую только от у. Функция

^^. х)Ч4Г(3+а,г(т(5+ф(*’ ю- о-3)

удовлетворяет уравнению

U — 5. Х) = е^ (s. х)(1.4)

и является целой функцией, кроме случая k=\, Х = Хо’ когда она при 5=1 и s = 0 имеет простой полюс. Если в этом случае положить

|(s)=4»(s-l)&($, x^ = ls(S-i)n'^,r(ls]e(s), (1.5)

то имеет место равенство

Ш = ^(1-5)(1.6)

и £($)— целая функция.

Для доказательства теоремы 1.1 мы используем формулу, следующую из (П.6.1),

Д- = -т4г I е~ипи5~х du (о > 0).ns Г (s) J\/

и

При о > 1 имеем

ООсо

2= 2 гШ е'иПи$"'du = rfe J 2 (х («) е-""и^ du.

ПП и0 7Z(17)

Перемена местами суммирования и интегрирования здесь возможна.

Действительно, е~ип < е-пЬ при и > 6, и ряд под знаком интеграла в (1.7) сходится равномерно в области 0 < 6 < и < со (о > 1 — постоянное). Отсюда следует, что

^ J xW e-unus~x du = J n 6bn

где ряд в левой части сходится равномерно по 6 и о в области 0 < 6 < со < сю, так как

0)

2 X(rt) J e-nuus~x du

М < n<N д

■^^ J e-nttua-x du = Г (о) ^ п-0.

М < n<N0М< п<N

Если z/ = 0, то при о> 1 имеем ^xW e~miuS”x = 0 и из (1.7) слеп

дует, что

L(-s’ Х) = гЬ [p^^du,(1.8)

О

где при и > 0 функция F (и) определяется равенством

^(«) = 2%(«)е-,г“.

п

Будем считать теперь и комплексной переменной и вместо интегрирования по положительной действительной оси будем интегрировать по пути С = С1 + С2 + С3, где ^ — прямолинейный кусок от со до произвольного положительного числа б, С2— круг ] zz | = б, пробегаемый в положительном направлении, и С3— прямолинейный кусок (б, оо). На Сг

цз-т — e(s-i) in и

причем In zz принимает действительные значения. После обхода С2 значение F (и) не изменяется, а и5-*1 приобретает сомножитель е v ' = е . При и > 0 имеет место равенство

^ (“) = 5 z е~"“ = 2 х(0 2=

п0<l<k n^Z(mod^)

и с помощью аналитического продолжения получаем, что это равенство верно также для любого и. Следовательно, F (и) имеет особенности самое большее в точках и = 0 и и = "iKlmjk, т — ± 1, ±2, .. .. Выберем теперь б настолько малым, чтобы последние названные точки лежали вне С2, и положим (С = Сх-\-С<2-\-С^

J^ = JC^= F(u')us-'ldu.(1.10)

С

Этот интеграл равномерно сходится не только при о>1, но и в каждой ограниченной области плоскости переменной s. Так как на С нет особенностей F (и), и для действительного zz > 0

I (и) [^ ^е~пи ~е-и (zz—>оо),(1.11)

п

то функция J(s) регулярна во всей плоскости и, следовательно, является целой функцией. Чтобы восстановить связь между J(s) и L(s, у), предположим сначала, что o = Res>l. Согласно (1.9), в окрестности точки и = 0

''(«)= У zWe""-""^"-1)"‘ =E«-j?- + O(l) («^0).

(1.12)

где Е^ определено так же, как в (4.5.11), а константы в О( ) могут зависеть от к. Таким образом, F (и) = О (Х(и) (и->0) и

F (и) и ^1 duF (и) и ^1 du2лд4да-1О2лд4да-1ООО

F (и) и ^1 du

F (и) и ^1 du

2лд4да-1О

2лд4да-1О

О

О

при д->0 (о > 1). Отсюда при о > 1 получаем

Ооо

J(s) = J F (и) и5"1 du-V J F {и) е2лии5”г du =

ооО

— ^U — J) J р ^ as-l ^и

О

Согласно (1.8), из этой формулы следует, что

, , хУ (s)Is’ %)(е2л/5 _ 0 r (s), , хУ (s)Is’ %)(е2л/5 _ 0 r (s)(О(О> О-> О-(1.13)(1.13)

, , хУ (s)

Is’ %)(е2л/5 _ 0 r (s)

, , хУ (s)

Is’ %)(е2л/5 _ 0 r (s)

(О

(О

> О-

> О-

(1.13)

(1.13)

Так как функция У (5) регулярна во всей плоскости, то формула (1.13) показывает, что L (5, х) можно аналитически продолжить на всю плоскость. Из (1.13) следует также, что L(s, х) может иметь особенности только в нулях функции ^е^18—1)Г(5). Множитель (^2л^—1) обращается в 0 при 5 = 0, ± 1, . . ,; Г (5) в нуль не обращается, так как 1 /Г(5)— целая функция. Из гл. IV известно, что 5=1,2, . . . — регулярные точки L(s, х), кроме 5 = 1 при х = Хо (характер % предполагался примитивным). При 5 = 0, — 1, — 2, . , . функция (е2л^—1)Х X Г (5) =£ 0, так как нули первого сомножителя совпадают с полюсами Г (5). Поэтому L(s, х) Для любого примитивного Х^Хо Ре* гулярна во всей плоскости и ^(s)=L^, Xq) регулярна во всей плоскости, кроме простого полюса при 5=1.

Теперь можно оценить У (5) с помощью подходящего выбора С еще другим способом. Положим R = 2л^N + -^[^^ где N^A—целое, и обозначим через С' = С' (R) путь О’ = С^ -ф С2 -j- С3 Ц- С4, а отдельные пути определены так: C;=(R, д), С2— так же, как выше, C3 = (d, R), С4 — квадрат с вершинами ± R ± IR, пробегаемый в отрицательном направлении. Покажем, что F (и) на С4 остается меньше некоторой константы К, не зависящей от N, Согласно (1.12), F (и) равна сумме членов

и так как Rk = 2л yj, то, например, при « = а-|-//?, —R < < а < R, имеет место равенство

5Ф-П и е6“ — 15Ф-П и е6“ — 1е(й-0 ае(й-0 а

5Ф-П и е6“ — 1

5Ф-П и е6“ — 1

е(й-0 а

е(й-0 а

Это выражение остается ограниченным, так как к?> к — I ^ 0.

Аналогично доказывается ограниченность F (и) и для остальных частей С4.

Пусть теперь o = Res<0. Имеем

| цз-х | = | exp {(s — 1) (In | и | +1 arg ^z)} | =

= exp {(о — 1) In | и |1 argzz) (s = о 4*^)-

| F(u) и5"1 duС4| F(u) и5"1 duС4Если и £ C4, то 0 ^ arg и <J 2л, | и | ^ R; следовательно, | us 1 |<с/?а \ c=c(s). Отсюда следует, что

| F(u) и5"1 du

С4

| F(u) и5"1 du

С4

<8R-K- cRa-1 = О (Ra) (N -> оо),

причем константы могут зависеть от к и s. Поэтому при о < 0

lim f F (и) us~x du = f F {u)us^ du==J {s).(1.14)

^c'^)c

Но, с другой стороны,

^ F (u) us^ du = — 2л/ ^ Res [F (a) z/5-1),

где суммирование распространяется на вычеты в особых точках, лежащих внутри С'. Внутри Cf us~x определяется как exp[(s—l)lnz/}, где In zz — продолжение внутрь Сг (т. е. без пересечения действительной положительной оси) ветви логарифма, действительной на Сх* Внутри Cf полюсы F (ри?) находятся самое большее в точках u=(2nimfk. m=±l, ..,, ± N. Следовательно, принимая во внимание (1.9), из

написанного выше выражения получим!) J F (и) и5" du =

С'

= — 2 л/= — 2 л/n1 1m=\I mod Аn1 1m=\I mod А

= — 2 л/

= — 2 л/

n1 1

m=\I mod А

n1 1

m=\I mod А

N- з

. V(2iun\ ^(S-^lU YP /7ХК-1 //4 .ЛХ

+ Ит) e L ^k e\-<k-1^ = /72 = 1I mod k

Nfl.

= (пг)e$ni 2 ^^ ■e^™l 2 x (Z) * (^z) ~m=AI mod k

2 x(Z)e(_^./)L (1.15)

I mod kJ

где (так же как в гл. VI) e(£) = e2ltik Положим теперь

(1.16)(1.16)5й,т = 5й,т(Х)= 2 ^^^

(1.16)

(1.16)

I mod к

и будем различать два случая: 1) %(—1)=1 и 2) х(—1) =—1. В первом случае х(/) = %(—1)х(—0 = Х(—Ь и

I mod кI mod к

I mod к

так как I вместе с — I пробегает полную систему вычетов по mod к. Во втором случае %(/) =— %(—Z), и также получаем

I mod к

Таким образом, в обоих случаях

J Р(и) us-'1du = ^^ е5”1 с-J Р(и) us-'1du = ^^ е5”1 с-2i sin у sn2 COS у ст2i sin у sn2 COS у стN2j S&, тт$-1N2j S&, тт$-1(1.17)(1.17)

J Р(и) us-'1du = ^^ е5”1 с-

J Р(и) us-'1du = ^^ е5”1 с-

2i sin у sn

2 COS у ст

2i sin у sn

2 COS у ст

N

2j S&, тт$-1

N

2j S&, тт$-1

(1.17)

(1.17)

Для вычисления Skiin нам потребуется следующая лемма.

!) Заметим, что, согласно сделанному замечанию, внутри Cz нужно поло-

Лемма 1.1. Пусть % — примитивный характер по mod^, ^^>1. Тогда для Skm из (1.16) следует, что

Sk,m~® пРи (^» А) > 1.(1.18)

Если (т, &)=1, то Skm=£0, точнее

Sk,m = X(m)SM, |S6]| = A2" для ^ = 1,(1.19)

Доказательство. Пусть сначала

(т, k) = d>\, т — т^, k = kxd, (mv kx)—i,

следовательно, в частности, й> 1. Тогда

S«- = 2 7.W«V^l> S «^2 z№

0<l<k0<h<kx0 <l<k, l = lx(mod kx}

(1.20)

Покажем теперь, что если % — примитивный характер по mod^, то

5/,=5 Z(O = o.

0 < I< к, I = lx (mod й)

Очевидно, достаточно рассмотреть (1Х, ^1) = 1. Так как % — примитивный характер по mod&, то существует г, такое, что г < к, (г, k)—l, г = 1 (mod к^ и /(г)^!- Затем, если I пробегает точно по одному разу все вычеты по mod к, причем Z^Z^mod^J, то rZ также пробегает эти вычеты и каждый вычет ровно один раз, так как (г, &)=1 и из rV = rVf (mod к) следует V = lrr (mod к\ Отсюда и из % (rl) = % (г) у (Z) можно заключить, что

0 < I <к, lslx (mod кх)

Так как х(О¥=1, т0 2/1 = 0» а отсюда и из (1.20) следует (1.18). Пусть теперь (т, к)= 1. Тогда ml вместе с I пробегает все вычеты по mod к точно по одному разу и

х (0 = х W х"1 (^) = х W х (тУ

Следовательно,

Su.m^XW 2 XWe^T^ =

0<1<к

= XW ^ Х(Ь е(у) = Х(т)5»,Р (1.21) < mod к

Так как (1.18) уже доказано и у(т) = 0 при Qn, &) > 1, то (1.21) имеет место также при (//г, &)> 1. Отсюда следует, что

kk_

3 I Sh, m I2 = I S^1 I2 2 X W X W = ф (A) I sk_ ] p. m = lm=l

С другой стороны, по определению Ski m kk

m=lm = l l<k U<,k

/< k V <km = l/< k V <km = lk

/< k V <km = l

/< k V <km = l

так как

2_

Сравнивая две последние формулы, получаем |S^a|=^2, и принимая во внимание (1.21), получаем (1.19). Лемма 1.1 полностью доказана.

Доведем теперь до конца доказательство теоремы 1.L Устремим в (1.17) У к со. Так как предполагалось, что o = Res меньше нуля, то ряд в правой части (1.17) сходится. Из (1.17), (1.14) и леммы 1.1 при ^->oo (а следовательно, при R —> ос) в случаях х(—1)=1 и X (— 1) =—1 следует соответственно

J(s) = (—)J(s) = (—)2z Sin у 5Л2 cos -^ sn,2z Sin у 5Л2 cos -^ sn,. 1Sin у 5Л. 1Sin у 5Л= 0%2s+V^S+V^= 0%2s+V^S+V^1COS 2“ 5Л1COS 2“ 5ЛL(X—s,L(X—s,X)-X)-(1.22)(1.22)

J(s) = (—)

J(s) = (—)

2z Sin у 5Л

2 cos -^ sn,

2z Sin у 5Л

2 cos -^ sn,

. 1

Sin у 5Л

. 1

Sin у 5Л

= 0%2s+V^S+V^

= 0%2s+V^S+V^

1

COS 2“ 5Л

1

COS 2“ 5Л

L(X—s,

L(X—s,

X)-

X)-

(1.22)

(1.22)

Мы можем утверждать, что 10 | == 1 сначала при о < 0, а после аналитического продолжения и для всех s. Отсюда и из (1.13) получается при х(—1)—1

-1

L(\ —s, х) = ех2(2л) sk 2 cos у $л ■ Г (s) L (s, х)- (1-23) и при х(—1) = — 1

Ь(Д—s, X) = ех2 (2л) 5 к 2 sin -^ «л ■ Г (s)L(s, х).(1-24)

где | ех I = 1. Обе формулы вместе дают (1.2). В частности, при к = 1, ’ X — Хо получаем

С (1 — я) = е *2 (2л)~5 cos У ля • Г(я)£(я).(1.25)

При s = — отсюда следует

С (1) - £^2 (2л)" 2"(1) Ц1),

и так как г(-П=л2, а C(-iH#=O (см. гл. IV, § 7), то е,* = 1. (Это следует также непосредственно из Sl m=l.) Применяя (П.6.4), (П.6.3) и заменяя в (1.23) Г (s) на л ^"^F^sj Г ^5 + ~), получим

L (1 — s, х) = ехл 5~ 2 ^ 2 sin 4 ($+ О лГ (Д ^ Г ^ s 4- у) L (я, х)=

= ехл -к ' Д I 2" — уПс 1 I ^ ^ I £ (я, х)-

Следовательно, при х(—1)=1 имеет место равенство 11

/ h \ 7Г 6"" ^)/ 1\—/ b \ Л" / 1\

Ш2 Г 4(1-5) £(l-s, Х) = ех 4 Г У я £ (я, х). (1.26)

и если х(—0=1’ й = 0, получаем (1.4). Аналогично в случае ^(—1)=—1 из (1.24) получаем

А(1 —s, х) = е%л 5 2^5 2 51п^5лГ^у s^r^js + y^A(5, х) =

= ехл 2к 2|Г^1— ^-я)| 1 ^я4-^-^£(я, х).

Следовательно,

,kJ-r ,, ,_/ь\1^+1) /1\

(л)Г(1 — "гН^-^1 ~s-x^^xty г(т<5 + Oj^Cs. х).

(1.27)

а это и есть формула (1.4) для случая х(—1)=—1» ^=1.

Точки s и 1—s лежат симметрично относительно точки s = -^-. Так как ^(1 —5, x) = £%^(s, X)» т0 Для того, чтобы показать, что при х + Хо функция ^(5, х)> определенная с помощью (1.3), является целой функцией, достаточно показать, что при х + Хо Функция |($, х)

регулярна в полуплоскости о^у. Но это следует из (1.3), поскольку L(s, х) и Г ^(5 + ^)) там регулярны при X ^Xq- Так как ех* = 1, то при &=1, а —О, х = Хо> будет Ц1—«• Хо) = Ц5> Хо)- Так же как и выше, отсюда и из (1.3) следует, что функция Ц$, Хо) в точках 5 = 1 и 5 = 0 имеет полюсы первого порядка и всюду, кроме этих точек, регулярна, потому что L(s, ^ — Z(s) регулярна

1

в полуплоскости о^у везде, кроме полюса первого порядка при

s = 1. Вычет при 5=1 равен л 2Г I-^ 1 = 1, а при 5 = 0 равен —1. Поэтому функция

Ш =Хо)=у5(5-1)л 2 F(-ls^(s) (1.28)

является целой, удовлетворяет равенству 1.6. Кроме того, £(0) = = £(1)=! так как Пт (5—1)^(5) = 1. Теперь теорема 1.1 полностью доказана.

Можно явно вычислить ех (см., например, Чудаков [2]), однако нам это впоследствии не понадобится. Приведенный метод доказательства принадлежит Риману [1], который естественно рассматривал только случай g-функции. Другие методы вывода функционального уравнения см. Титчмарш [3].

Теорема 1.2. Пусть х— примитивный характер. Тогда ^(5, %) + 0 в областях о^1 и о^О. При х + Хо функция L^s,^ имеет нули в области о ^0 только в точках 5 =— а, — а — 2При х (—1) = 1 это нули в точках 5 = 0, —2, .. ., а при х(—1) = —1—6 точках 5 =—1, —3 Функция

L^s. Xo) = £(s) 6 области о ^0 имеет нули только при 5 = —2, — 4, . .. .

Мы уже доказали в гл. IV, § 4, что L(s, х)^^ в области о^1 для любого х- Так как Г (5) ^ 0, из (1.3) следует, что ^(5, х) также не равно нулю в области о^1 !). Так как х— примитивный характер, то имеет место равенство (1.4) и отсюда следует, что £(5, х) ¥= 0 в области о^0, которая из области о ^ 1 получается зеркальным отражением относительно прямой 5 = у. Поэтому из равенства (1.3) получаем, что L(s, х) может иметь нуль только там, где Г fy (5 + a)j имеет полюс, т. е. в точках 5 = — а, — а — 2, ....

9 И также § (5, х) ¥= 0.

Согласно (1.3), при % + Хо эти точки действительно являются нулями £(5, х)» так как ^(s, х) + 00 при о<^0. При X = Xq точка $ = 0 не является нулем функции L^s. Xo) = £(s)’ так как Ц5» Хо) ПРИ s = 0 имеет полюс первого порядка, который взаимно уничтожается с нулем ——г-. Согласно (1.28), имеет место равенство

е<0) = —2^(0) Ит 1 = _£(0) = -1. (1.29) ^°^(1S) 2

Напротив, в точках 5 =— 2, —4, , .. функция £($, Хо) ^ °°5 следовательно, это нули £(s) и эти нули — простые. Теорема 1.2 полностью доказана.

Нули, указанные в теореме 1.2, называются „тривиальными нулями" функции L (s, х)- Если исключить эти нули из рассмотрения, то все нули £ (s, х) при примитивном х лежат в полосе 0 < о < 1. Функция ^ (s, х) может вообще не обращаться в нуль вне области 0<о<1. Из (1.3) следует, что в области 0 < о < 1 функции ^(5, х) и L(s, х)' имеют одни и те же нули, если только они там имеются. Достаточно заметить, что Г (~ (^4~ #)) + 0, оо и (&/л)2 (5+Д) + 0, сю в области 0 < о < 1. Полоса 0 < о < 1 называется критической. Мы докажем, что ^(s, х)» а следовательно, и £(5, х) имеют там бесконечно много нулей. Для этого используем теорию целых функций конечного порядка (П., § 5).

Рассмотрим непримитивный характер х» и пусть х*—соответствующий примитивный характер. Так как функция £(s, х*) продолжается на всю плоскость, то из (4.6.11) следует, что £(s, х) также продолжается на всю плоскость. Заметим только, что в функции

п р

при о>1 всегда n"s = exp(—5 Inn), ^~s = exp(—5 Inp), причем Inn и Inp берутся с действительными значениями, и поэтому функция p"s во всей плоскости однозначна и регулярна. Согласно (4.6.11), £(5, х) имеет нули только там, где

Pl к

Это произведение всегда конечно и обращается в 0 в точках, для которых p~s = ^ (р) при некотором р, p\k, р ф к*, т. е. в точках $ =—In х* (т?)/1п р. При этом In р имеет действительное значение,

а 1пх*(р) имеет бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на 2тл/. Так как |х*(р)| — 1, то Re In х* (р) = О, и поэтому все нули лежат на мнимой оси в точках

Z(argx*(Jp) + 2mл)/ln р, пг — ^, ±1

причем значение arg х*(/0~ Действительное. Таким образом, нули симметричны относительно действительной оси.

§ 2. Разложение частного -^-(s, X)

Пусть х—примитивный характер. В § 1 мы доказали, что функция j(s, хЬ определенная с помощью (1.3), при х + Хо— целая и что то же самое верно для функции ^(s), определенной равенством (1.5). Покажем теперь, что эти функции—целые функции конечного порядка, и определим порядок этих функций (П., § 5).

Теорема 2.1, Пусть %— примитивный характер по mod^, /г!>1. Тогда ^(s, х) ^Ри X ^ Хо—Целая функция порядка 1. Если р = р (X) пробегает нули этой функции г\ то

SIpF^co, 2|рГ“<- («>!)•(2.1)

рр

То же самое верно для функции £($) и ее нулей. В частности, эти функции имеют бесконечно много нулей в области 0 < о < 1.

Так как |£(1—s, x)| = |^(s, хН то ПРИ o = Res1>-^- достаточно доказать соотношение

Х)<Сехр| s|1+e (| s |->со, о>^(2.2)

(см. (П.5.2))) и показать, что оно уже не имеет места, если 1 заменить на меньшее число (см. (П.5.3)). Из (4.5.12) следует (даже для любого х), чт0

L(s, Х)<С&2 | sp (l^l-^oo),(2.3)

где константа в <^ не зависит от к. Используя теорему П.6.1, отсюда при I S |-^ оо получим

/ Ъ1\

I (5. X) = (—) Г (у ($ + й)) L (s, X) <С

<^ &2 *1$|+<Х+1>ехр^ y|s|ln|s|+O(|s|)|(2.4)

9 Порядок следования при этом безразличен.

(где константа опять не зависит от &). Этим соотношение (2.2) доказано. С другой стороны, для действительного о > 2

\L^ X)l = ^Ш-г6+...)"’>4

"(2.5)

и, согласно (П.6.7), при о—>оо имеет место равенство

Г (y (° + °))= ехР { 4 °111 ° + ° ^ } ■

Отсюда при достаточно большом о следует, что

I I > "2 (Tt") ехр|-g-a In а +О (а) |.(2.6)

Поэтому (2.2) не выполняется, если 1 заменить на меньшее число. Следовательно, £ ($, х) при X ^ Хо— целая функция порядка 1 и, как это видно из (2.6), ни для какого с > 0 нс выполняется оценка ^(S, X)<Cexp(c|s|) (|s|->do).

Из теоремы П.5.8 следует, что показатель сходимости последовательности р равен 1 и что SlPR1 расходится. Для ^(s) имеет место то же, что для ^(s, х)» X Хо’ потому что множитель -^-$($— 1) здесь не играет никакой роли. Так как по теореме 1.2 все нули ^(s, х) и И5) Должны лежать в области 0 < о < 1, то теорема 2.1 доказана.

Другое доказательство того, что, например, § (s) имеет бесконечно много нулей, следующее. Так как g(s) = g(l — s), то+ iVs I — однозначная

1

целая функция от s порядка Поэтому, согласно теореме П.5.8, она имеет бесконечно много нулей и показатель сходимости последовательности нулей равен Y*

Из теоремы П.5.8 следует, что для примитивного характера х ¥= Хо должно существовать разложение вида

^(s. х)=^+««Д (1(х^х;),(2.7)

р

где р = р (х) опять пробегает все нули 2, (s, х)- А из § 1 известно, что это нули функции L(s, х) в области 0 < о < L Отсюда и из (1.3) следует

Теорема 2.2. Пусть х— примитивный характер по mod к и X + Хо- Тогда

L(s. Х)= Т) r ^(s + «)) ew.JT h_ АЬр, (2.8) р

причем р—р(х) пробегает нули L(s, х) 8 полосе 0<о<1. Далее

C(s) = 2(s(s - I))-1 л7 Y (1 s)” e^+s» Д(1 — ^е”, (2.9) р

где р пробегает все нули £($) в области 0 < о < 1. В (2.8) и (2.9) я0, а\» ^о* ^1—константы, и в произведении каждый нуль встречается столько раз, какова его кратность; константы а^ и ах зависят от х*

Доказательство 2.9 аналогично доказательству 2.8.

При s = 0 получаем 60 =— In 2 и можно показать, что ^1 = ~1п4л—

— 1 — ~у (у — постоянная Эйлера)1), но нам это впоследствии не понадобится. Из-за абсолютной сходимости произведения в (2.9) безразлична последовательность, в которой берутся сомножители, и можно считать р, например, упорядоченными по возрастанию абсолютной величины (а при одинаковой абсолютной величине в любой последовательности).

Если продифференцировать логарифм от выражения (2.8) из теоремы 2.2, то получим следующую теорему).

Теорема 2.3. Для примитивного X ^ Хо справедливы равенства

Т^' Z) =^Ш^(t<s + ")) + ". + S(s^P + ?')' (2Л0)

р

и

U + s — 1 ) + 2 ПЯ 2 Г \ 2+

-j- by -]— ^^ f1.(2.11)

11\ s — p 1 p J v 7

p

При этом p = p(x) пробегает в (2.10) все нули функции L(s, х)» лежащие в области 0 < о < 1, а в (2.11) — все нули £($) в этой же области; ах и Ьх— константы, первая из них зависит от х*

§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции £(s, Z)

Установим теперь верхнюю границу для числа нулей L(s, х) в областях вида

0<о<1, И<7 (Г>0).

Сначала нам потребуется оценка L(s, х) ПРИ

Теорема 3.1. Пусть к — натуральное число. Для каждого характера х по mod/г при любом

Ms, xX+^ + l + S)^1 (-о0<о<1),(3.1)

причем константа в <^ может зависеть от о0, но не зависит от к и t.

Пусть сначала х— примитивный характер. Тогда, согласно (1.2), имеет место равенство

| L (1 — 5, х) I = 2 у.пуак° 2 cosy(s — а) л • Г (s) L(s, х) I- (3.2) Затем пусть х + Хд- ПРИ j^XX будет ~ао< ReC^^X^ и по теореме 4.5.4, в области у^о^о0+1 получаем

Цз, Х)^:^2(|^ 1 + 2)2.(3.3)

В той же области, согласно теореме П. 6.2,

Г(5Х(|/| + 2)а°+^Я|<1,(3.4)

причем константа в <^ может зависеть от а0. Для любого 5

cosy^ — а) лКр?2 +^ 2 /<Се2•(3-5)

Подставляя все это в (3.2), получаем при ~ ^o^Qg+L т. е. при — а0< Re(l — $)<2-

Z (1 — Si Х)<С£ао+1(И + 2)ао+1.

Так как х вместе с х является примитивным характером, не равным Хд* то отсюда при х^Х» 1—s->s получаем (3.1). Тем самым утверждение доказано для примитивного х ¥= Хо*

Для L(s, ^ = Z(s) имеет место а = а(^ = ^, и из равенства (3.5) и теоремы 4.5.4 при tt^o^Oo+I следует, что

cos ^ (s — a) л • L(s, Xg) — cos4 Л5 ' ^^ ^U I + 2)2е2 Я^^ (3-6)

так как функция cos~-KS’£(s) регулярна при 5=1. Подставляя это вместе с (3.4) в (3.2), при k = 1 получим утверждение также для X = Xq. Если характер х не примитивный, то рассмотрим соответствующий примитивный характер х* по mod к* (следовательно, к *|£). Тогда в области — сг0^о^~- получим

п (>-Х< и w-^F- <з'7)

Р | к, р ^ к*р \ к, р ^ k*

так как

П (Х/^Х П(3.8)

р\ к, р ^ к*р\ <к!к^

Если о0 ^> 0, то 1 + р°о ^.2р^^^o+i , тогда как при —~ <^ о0 < 0

для любого целого m ^> 2

ПОЧХ'Х П (ХР^Хехр 2 Р°6<

р\тр <1пш/1п2p<2 1nm

^ exp 2^ ^ exp (с ln1+(Jo/^) <^ ^14-а0)(3 9)

п <2 In т

причем константы зависят от Oq1). Теперь уже доказано, что

L (s. хЭ X ^ №+1> (Ц | + 2)ff“+1

при —cr0^o^-i-, и вместе с (4.6.11) это дает (3.1) для любого характера х по mod к.

Теорема 3.2. Пусть k^L а а — любое действительное число. Для любого характера х по mod к в области о^а имеет место равенство

L^x^E.^^^O^^tH^V(З.Ю)

где с = с(а) и константа в О( ) также зависит от а.

Эта теорема следует из теорем 3.1 и 4.5.4, так как первый член в правой части (3.10) ограничен, например при |$—1|>~.

Обозначим теперь через N (Г) число нулей L (s, %) в области 0<а< 1, | ^ | СТ.

Мы знаем уже, что L (s, х) для примитивного % имеет на прямой а — 0 не больше одного нуля, а именно в точке s = 0 (при х(—1) = 1, я = 0, X ^ /о)- Для непримитивного % функция L (s, %) имеет еще нули s, для которых 1—%* (р) p~s = 0 для некоторого р, р\ к; все эти нули лежат на прямой О' — 0. На прямой и = 1 функция L (s, %) отлична от нуля для любого характера х- Следовательно, для примитивного характера х число нулей функции L (s, х) в области 0 < o' < 1 может быть только на 1 меньше, чем в области 0 < о С 1.

Теорема 3.3. При к^>\, Т^О для любого х имеет место оценка

ЛГх(7 + 1)-ДГх(Т)С1пА(Г + 2),(3.11)

где константа в <^ не зависит от к и Т.

Пусть сначала х + Хо- Применим теорему П. 5.2. Положим / ($) = = L(s, х)’ s0 — 2-\-iTs г = у R и выберем R настолько большим, чтобы область 0 ^ о < 1, Т < / Т 4~ 1 содержалась целиком в области | s — s0у R (например, R = 6). При | s — s01R по теореме 3.2 выполняется оценка

L(s, Х^^Ц^?.

Кроме того,

X W ns°X W ns°(3.12)(3.12)\ f (so) \ = \ L(s0, ^\> 2и(«)

X W ns°

X W ns°

(3.12)

(3.12)

п

Если в теореме П. 5.2 взять в качестве чисел sp s2, ..., sm нули функции L (s, х)> лежащие в области 0 <; о < 1, Т <t <^Т то, поскольку нули L (s, х) в области — Т — 1 ^ t < — Т являются сопряженными нулям L(s, х)’ лежащим в области Т < t ^Т ~(- 1, из П. 5.10 получим (3.11). Если мы применим теорему П. 5.2, так же как и выше, к функции / (s) = (s—l)A(s, х), то получим (3.11) для х = Хо- Это можно сделать потому, что в каждой полосе Л^ <С а <С В имеет место s—1<^р|Ц“2 (константа в <^ зависит от Л, В). Следовательно, согласно теореме 3.2,

(s-l)Z(s, Хо)<С^'(|И4-2Г

в каждой такой полосе. Оценку, более точную, чем в теореме 3.3, дает следующая теорема.

Теорема 3.4 ]). Для любого % яо mod^ при Т^2, Д^1 имеет место соотношение

М^Гу — ^ТХпТ^А (А) Т + О (In АТ). (3.13)

При этом А (к) — действительная константа, зависящая от k {соответствующая Т), и А{й) <^1п2^.

Рассмотрим сначала х— примитивный характер, не равный Хо- Тогда все нули L{s, х) в области 0 < о* < 1 являются также нулями функции ^(s, х)» определенной в (1.3). Обозначим через С границу 53

прямоугольника с вершинами у ± IT,g- ± IT, T^Z, пробегаемую в положительном направлении, и пусть сначала на о±1Т, 0<^о<7\ нет нулей L{s, х)- Тогда на С нет нулей функции L{s, х), а внутри С лежат N (Г) таких нулей или соответственно N (Т)+1 (для х(-1) = _1).

По принципу аргумента имеем

2лЛ7%(Т) = Дса^(з, %) + О(1),(3.14)

причем в 0(1) учтена также точка 5 = 0 (которая, быть может, является нулем функции L{s, х)» н0 не является нулем ^ (s, х))» и Ас/ (5) обозначает изменение / (5), когда 5 пробегает путь С. Согласно (1.3), имеет место равенство

/ & (5+о)

дс arS 6 (S' х) = ^С аг£ (^J+

4-Дс 3rg Г ^ (s + а) ^ + Дс arg Z (s, х)- (3.15)

Рассмотрим сначала изменение arg £(5, х) только на пути Сг, который состоит из двух отрезков: l-g-, *2”^^) и 1^ + ^» y + ^j* Вы

делим первое слагаемое в (3.15)

Дс arg -I =АС 4-Лп- =4-Т1п-.(3.16)

Li ь \ л /ci \ 2 л /2 л47

!) Для ^-функции {к = 1) это утверждение сформулировано Риманом и доказано Мангольдтом [1]. Метод доказательства см. Бэклунд [1].

Из теоремы П. 6.1 ^в ней надо положить Z> = -~-j-~ а) следует для второго слагаемого при Т 2

ACiargr(y(s + a)^)=ACi Im In Г (1 ($ + а)) =

= 1т1пГ^ + ^-а+угТ) — Im In Г (-|-+-^ а) =

= 1т{(|гТ—!-+|^)1п(|/г\ —1/Г + 11п2л} + 0(1) =

= |т1п1т—1г + О(1)(3.17)

Исследуем теперь Дс argA(5, %). Пусть tn — число нулей Re L (s, х) на Сх (конечная точка исключается). Когда s пробегает один из zn —|— 1 кусков, на которые С\ разбивается нулями ReA(s, х)» т° arg£(s, х) изменяется не больше, чем на л, так как ReA(s, х) ПРИ этом не меняет знак). Следовательно,

Ac,arg£(s, х)<(т+1)л.(3.18)

Так как

х)>1— 2« >0,(3.19)

п> 2

5

то функция ReA(s, х) нс имеет нулей на прямой о = у. Поэтому m

15

равно числу нулей ReA(s, х) на отрезке "^ ^ ° ^ "^ ’ t = Т и, так как из L(s, t) = L(s, х) следует Z,(а—|— Z^» ^ = LQ5— It, х)2)» то tn также равно числу нулей функции

/(s) = /(s. T) = l{L(s + IT. %)-\-L (s — IT, X)}

15

на отрезке ^ < о < у , t = 0. Пусть п (Г) — число нулей / (s, Т)

I 5 I

в области s — -g- ^2. Тогда т^п(Р). Применим теперь тео- 5

рему П. 5.2 в случае ^“у* г = 2, /? = 4.

I 5 I

По теореме 3.2 при s — -^ <^4 имеем оценку L^s-\-lT, х)^ <^НС(Г-Д-^С. Та же оценка справедлива для L(s — IT, х)* а

/ 5 \/5

следовательно, и для f (s). Далее, согласно (3.19),/(-2-j = Re7(^-4" Д-zT, х)>^>0. Отсюда и из (П. 5.10) при ^^1,Т ^2 получаем, что

w 0(7) < hi {^ (Г 4- 6)4 <С In kT.(3.20)

Из (3.18) следует, что Actarg7(s, x^^^XxvkT. Подставляя это и (3.16), (3.17) в (3.15) (с Сх вместо С), при к^\. Т^2 получим

Ac, arg Us. x) = y7'ln7' + (yln-2^— -^T^O(tokT). (3.21)

Так как ^(s, х) ~ Ц^, х) и х вместе с х является примитивным характером, отличным от xj’ то же соотношение справедливо для изменения arg£,(s, х) на отрезках ОiT, у—1Т\ и —IT, — L Так как ^(1—s, х) = е^(*?> X) (см- (1-4)), то рассуждения, касающиеся изменения для оставшейся левой половины пути С, таковы же, как для правой половины. Следовательно, Acarg^(^, х) в четыре раза больше выражения в правой части (3.21). Если Т или —Т— ордината нуля функции 7(s, х)’ то соотношение 3.13 получается следующим образом: так как Д(Р)<^1п2^ и 7^2, то существует е< 1, при котором N(74~c) = N(T) и л"1 (7 4-е) In (7 4* в) 4~ А (к) (Г 4-е) + 4~ О (In к (7 -|- е)) = л-17 In 7 4- А (&) 7 4~ О (In кТ). Поэтому, согласно (3.14), утверждение доказано для примитивного характера X + Хо-

Для х~Хо’ ^(^> Xq)"^) доказательство протекает аналогично, только нужно вместо функции Ц$, Хо) рассмотреть функцию ^(s) (см. (1.5)). Функция ^(s) — целая, и нужно в прежних рассуждениях вместо A^argZO х) взять АС1 arg^—l)C(^). В любой полосе Д^сг^В по теореме 3.2 для к—\ имеет место оценка (s— 1) £($) <^ (| 114~2/, с = с(А, В), доказательство протекает так же, как и раньше, и мы не будем останавливаться на подробностях Если характер х не примитивный, то рассмотрим соответствующий примитивный характер х* по mod^\ Согласно (4.6.11), функция L(s, х)» кроме нулей функции L(s, х4» имеет нули еще только в тех точках s, для которых 1—y*(p)p-s = 0 при некотором р, р\к, р ^ к\ т. е.

s — In х*(д)/1п р ~l (argx*(р)4"2пл}/1п р (п — целое).

Число всех таких точек в области 111^ 7 равно

2 {4rinjD+°w}==^71n II ^+°(|п2^ с3-22)

р1 /г, р-XU*р\ к, р^к^

так как число делителей р числа ^, не делящих &*, во всяком случае равно О (In 2^). Поскольку JJ p<^k[k\ тем самым теорема 3.4 р\ь> р х &* полностью доказана.

В частности, получаем

Wx(7)<C71n&7 (7 >2).Wx(7)<C71n&7 (7 >2).(3.23)(3.23)Пусть теперь N (Т)— число нулей в всех функций L(s, /J’ образованных сПусть теперь N (Т)— число нулей в всех функций L(s, /J’ образованных собласти Ообласти Оа<1, |Оа<1, |Охарактерами по mod ^. Тогдахарактерами по mod ^. Тогда

Wx(7)<C71n&7 (7 >2).

Wx(7)<C71n&7 (7 >2).

(3.23)

(3.23)

Пусть теперь N (Т)— число нулей в всех функций L(s, /J’ образованных с

Пусть теперь N (Т)— число нулей в всех функций L(s, /J’ образованных с

области О

области О

а<1, |О

а<1, |О

характерами по mod ^. Тогда

характерами по mod ^. Тогда

N (Т) <С Ф № Т In kT <С kT In £7 (7 > 2).(3.24)

Записывая (3.11) для О, 1,[Г] и суммируя, можно вывести (3.23)

уже из теоремы 3.3.

Явные формулы

В (4.7.15) мы представляли сумму ^ х (п) Л (п) (х = N + ^) через интеграл функции -^— и остаточный член. Теперь, применяя (2.10), установим связь между этой суммой и нулями р = р(х) функции L(s, х) в области 0 < о < 1.

Будем пока через р == р —f—Zy = р (х), Р = Р (Х)> Y = YW> обозначать нули функции L(s, х) в области 0<о< 1. Через ро = роф- -ф-/у0 = р0(х) будем обозначать нули L(s, х) в области 0^о< 1, исключая точку s = 0. Следовательно, множество р0 включает множество р. Для примитивного характера х множества р и р0 совпадают. Для непримитивного х множество р0 состоит из множества р и отличных от s = 0 нулей произведения Ц(1—7?(P)P”S\ распространенного на все р, для которых p\k, р Ф &* (ПРИ этом X* по mod —опять примитивный характер, соответствующий х по mod k). Для любого х точки р(х) являются также нулями ^(s, х*)- Так как1) £($, X*) = £(s’ X*)» точки р(х) получаются из р(х) с помощью отражения относительно действительной оси, и так как L(s, 7) = L(s, х). то то же самое имеет место для р0(х) и Ро(х)- В частности, для действительного х точки р, как и точки р0, расположены симметрично по отношению к действительной оси, и то же самое справедливо для любого характера х относительно нулей функции L (s, х) * ^ (Л X)- Из ^(р, х*)=0 следует ^(1—р, х*) = 0, так как ^(1— s, х*) = — ^^(s, X*)- Отсюда, поскольку ^(s, х*) = ^(^. Х*)> следует

9 Легко видеть, что (х*) = X*

£(1—р, Х*) = 0. Таким образом, нули р всегда лежат симметрично относительно прямой о —

Наконец пусть v0 = v0(x) обозначает кратность нуля s —0 функции A(s, х)- Для примитивного характера х» X ^ Хо« по теореме 1.2 имеем v0(x)=l при х(— 0=1 и vo(x) = O при х (— 1) = — 1 • Кроме того, имеем vo(Xq) = O- Если х—не примитивный, то v0 увеличивается на число тех р, для которых р|£, р ^ ^*> Х*(Р)=Е Следовательно,

v0<l+S 1 С1П2А.(4.1)

Нам нужна теперь приближенная формула для Ujt.

Теорема 4.1. Для любого характера х ^о mod^, 6^1,

^■м- 2 ст-^т+-т+тгг+0(1п^1^+2Я о — рл о — 1 о о 1

lYo-H<lх

(-1<а<2)(4.2)

При этом суммирование производится по всем ро = ро4~/?о» мнимые части которых отстоят от t на расстояние <^1, а величина а = а^ определена формулой (1.1).

Пусть сначала х + Хо и <*+#— точка из области —1^о^2. Применим теорему П.4.2 и положим $0 = 2-}-/Л г = 3, Д = 6. Если со пробегает все нули функции L(s, х) в области | s — SqI^^, т0

= b^(s),= b^(s),(4.3)(4.3)/(,) = !„[ ^Д^

= b^(s),

= b^(s),

(4.3)

(4.3)

I wQ, X/V W

Ito

(при этом выбирается ветвь логарифма, для которой /(so) = O). Так как ^(5)^0, сю при |s — s0|<6, то функция / (s) там однозначна и регулярна. Если | s — s0 | = 12, то | (s0 — o)/(s — о) | ^ 1, и поэтому в силу теоремы 3.2

£(s)C^(R| + 2)c (|s-s0| = 12).(4.4)

Так как g(s) регулярна в области |s — s0|^12, то (4.4) имеет место, в частности, также в области |s — s0|<^6. Следовательно, при | 5 — So I ^ 6 Re f (s) = In | g (s) | <; c In k (j 11 + 2). Поэтому при | 5 — s0|^3 теорема П. 4.2 дает

Z'(s)=4(s' X)“S7^Cln^(ld + 2)-(4.5)

to

Следовательно, это соотношение верно, в частности, при з = о Ц- it, — 1^о^2. Но для такого 5

27^С^(И + 2).(4.6)

I Im to-1 | > 1

Так как в области о* < 0 рассматриваются только нули 5 =—1, -—2то, используя теорему 3.3 и неравенство | 1ш со — ^^б1), получим

221<сшб(1и+2).

| Im to— Z |> 1| Im со—Z | > 1

С другой стороны, при |^| > 1, —1 <^о ^2 справедливо равенство

У —= У 1

s — со ^ s— Ро ’ |Imto-/|<l1Уо-Л<1

а при |/|^1, —1^о^2 справа добавляется еще член v0/5 +

— 1 <; ст-<2 из (4.1)— 1 <; ст-<2 из (4.1)всех t имеет местовсех t имеет место4-0/(5 + 1) + О(1). Но так как при |/|>1 и следует, что v0/5-4 &/V +0 <CJn 2£, то для

— 1 <; ст-<2 из (4.1)

— 1 <; ст-<2 из (4.1)

всех t имеет место

всех t имеет место

равенство

2= 2 г^ + т- + ттт + °<1п2д)- <4-7)

|Im(0-/Kl|Yo-d<l

Подставляя это выражение вместе с (4.6) в (4.5), получаем формулу (4.2) в случае / + Хо-

При Х=Хо доказательство совершенно аналогично, только если 5=1 лежит в области |5— s0|^12, нужно вместо g (s) рассматривать функцию g(s) (5 — 1)/(50 — 1). Тогда | (5 — 1)/(50—1) | ^ const при |5— s0|=12, и все остальное протекает так же, как в случае X ^ Хо» только в правой части (4.2) появляется член — l/(s—1), если 5=1 лежит в области |5 — 50|^6. Если это не так, то всегда |^| > 1 и, следовательно, Eof(s—1) = 0(1). Таким образом, в любом случае в (4.2) можно добавить член —EOll(s— D- Тем самым теорема полностью доказана.

При | ^ | ^ 2, согласно (4.1), имеет место оценка —E0((s—1) + 4- ^/5 + #/(5 + 1)<^1п2^. Поэтому для любого характера х п0 mod А из 4.2 следует равенство

т'-^ = 2 T^+Odni^l) f,^). (4.8) lYo-M <1

9 Область | Im со— ^ |< 6 содержится в двенадцати параллельных полосах вида Т < Im со^ Т + 1 и при [ Im со — /| > 1 имеет место [ $ — сор1 < !•

Покажем теперь, что можно найти сколь угодно большую ординату I, для которой при —1<^сг<^2 (в частности, в критической полосе) -^-(o + ZZ, х) не становится слишком большим.

Теорема 4.2. Рассмотрим целое число т^Ъ. Существует последовательность чисел Тт = Тт^, т <Тт< т-\~\4 для которой при любом характере х по mod# (^ 1) выполняется оценка

\^±1Тт, Ц<с\х£кТт (-1<а<2).(4.9)

Здесь константа с не зависит от к, т.

Доказательство. Пусть у01 <^ у02 ^ ... ^у^ — ординаты р0(Х) и р0(х) в полосе т < t < т-\- L т. е. ординаты нулей функции L (s, х) • L (s, х) в области 0 ^ ст < 1, т < t < т + 1. По теореме 3.3 j = j {m)<^\nkm (^^1, т^Т). Если разделим теперь интервал (т, /^+1) на (у —|—1) равных частей, то имеется по крайней мере один подинтервал, который не содержит никакого yoz (Z = 1, 2, . .., у). Пусть Тт— середина такого подинтервала. Длина каждого подинтервала >c/ln£m, и поэтому для Z = 1, 2у имеет место оценка | Тт— у01 | > с[\пкт. Отсюда следует, что | Т^ — у01 > cIXnkm, если у0 — ордината какого-нибудь нуля функции L(s, fy'Lfs, х)- Но так как эти нули лежат симметрично относительно действительной оси, то одновременно имеет место оценка |—Тт— у0 | > c/ln кт.

Если через у0 обозначить ординату р0, то при — 1 <^о<^2 из (4.8) следует, что

Т <" +iT- й - S 7+7?Ь^ + О0"^<

I го — 1 m I |Vo-rm|<>

< У c-x\nkm-VO^kT^. (4.10)

IVo-^ml^1

Аналогичное соотношение получается и для —(о — 1Тт, х)« Отсюда и из теоремы 3.3 следует (4.9). Напомним, что L(s, х)’ кроме Ро = Ро (х). может иметь нули только в точках s = 0 и s = — (я + 2^), ^ = 0, 1, 2 При х==:Хо НУЛЬ 5 = 0 отсутствует, в то время

как для главного характера Хо по модулю ^2 всегда А(0, Хо) = О.

Теорема 4.3. Пусть х— любой характер по mod^ и k>\.

Из полуплоскости о^—~ исключим точки, лежащие в кругах вида

|» + а + 2^|<1,^ = 0,1,2 (4.11)

где а = -^-Ц—х(—!)}• ^ оставшейся области G имеет место оценка

^(s, X)<Cln^(|s| + 2).(4.12)

Пусть сначала % — примитивный характер. Из функционального уравнения (1.2) следует, что

£(s, х) = ех12'1(2л)^ 5+2 |cosy(s —о)л-Г(5)| L (1 — s, х) =

= е^ ^-1 (2л)5 к 2 sin у ($ + а) л • Г (1 — s) L (1 — s, ^,(4.13)

так как Г($)Г(1 —$) = л/8тл$, и sinл^/соэ-у (s—а)л=2 siny (^+а)л. Отсюда получается, что

4-(5’ Х) = 1п^ + ^ лс1?7(5 + °)л —"^О —s)""^1 —s, х).

(4-14)

Если s лежит в G, то Re (1—s)^-^-. Отсюда для s^G следует |^(l-s, Х)|<2Л(И)Я~ = О(1)(4Л5)

п

и, согласно (П. 6.12),

^(1— s)Cln| 1 — s|Cln(|s| + 2).(4.16)

Наконец, для s^G получаем

ctg- ($ + а)л = Н= 0(1).

так как е1п ^^^ — 1 — периодическая функция с периодом 2 и в любой полосе —(а + 2^)—1 <о^— (я-|-2<у)-|-1 удовлетворяет условию । etn (s+a) — 1 | > с > О, если исключить точки | s-|- а + 2^ |. Под

ставляя это вместе с формулами (4.15) и (4.16) в (4.14), получим оценку (4.12) для примитивного характера х-

Если характер % не примитивный и х* по mod &*— соответствующий примитивный характер, то из (4.6.11) следует, что

^{s, x) = -^(s, х*) + У Inp.^W^-l)". (4.17) ^p\k,p^k*

При о<^— у имеет место неравенство |х (р) ps—1 | ^ 1—2а ^>

^1—2 . Поэтому сумма в правой части (4.17) во всяком случае имеет порядок <^ 2 ^п Р < 1П 2&» чем утверждение полностью pl к

доказано.

Положим теперь для любого характера % по mod к

Фо(*> Х) = 4^ + °- Х) + ^(^ —0, Х)}= J}'X (») Л (и) J). (4.18) п<х

Здесь штрих обозначает, что для целого х член, соответствующий п = х, умножается на -i. Выведем явную формулу, выражающую ФоС^» X) через х и нули L (s, х)-

Теорема 4.4. Для каждого примитивного характера х по mod^(^^l) при х ^>2, Г^-2 имеет место равенство

Фо^- X) —^ох — 2 7volnx —<Z0+B(x, х) + ^(^. TY 1ТКГ(4.19)

В(х, Х) = У х2^^;(4.20)

q=Q a-V^qa+2q > 0

при этом величины v0 = v0(x) п d0 = dQ(x) задаются с помощью разложения

^{S, Х) = -^+^о + ^ + ...(4.21)

в точке $=0 2), р пробегает все нули L(s, х) 6 области 0 < о < 1 и

R(x, Т)<

^^-(ln2x4-ln2 feT^-V

In X lx-^1

для

нецелого х.

(4.22)

R(x, Т)«

^^-(ln2x4-ln2 kT)

для

целого х,

(4.23)

R(x, Т)^

^y-(ln2x + ln2 йТ) + 1пх

для

всех х ^ 2.

(4.24)

Здесь N обозначает целое число, ближайшее к х. Далее имеет место равенство

S

y—^a-v^q) -a^2q • С4-25) 9-0 a+2q > 0

причем а определяется формулой (1.1), а

S^ = S<x, х^^2^_ Ит V 4'-<4'26)

РIY|<7

Доказательство. Пусть % — примитивный характер по mod к. Положим в теореме П.3.1 ап = х (п) Л (п) = О(\пп), ^ = 0, b = 1 + + ~["г (а=1 в силУ (4.5.26)). Тогда, согласно формуле (4.3.4), при х ^2 получаем, что

b-viT

W- Х) = --^ j ^ ti^dsA-RAx, Т),(4.27)

b-iT

где порядок величины 7?! (х, 7) не выше указанного в формулах

(4.22) — (4.24). Пусть теперь Т т— одно из чисел, определенных в теореме 4.2 (Тт ^ 2). Положим U = U (q) = а + 2q + 1, ^ ^ 2 —

целое, и обозначим через Ср С^ и С3 отрезки ф-\-1Тт, —U -^iT^,

По теоремам 4.2Если обозначитьПо теоремам 4.2Если обозначить^-U-VlTm, -U-iT^ и (—U — lTm, Ь-1Тт\ и 4.3 на Cj + ^ + ^a нет особых точек -^.

По теоремам 4.2

Если обозначить

По теоремам 4.2

Если обозначить

через R = R(q) внутренние точки прямоугольника, образованного отрезками Ср С2, С3 и отрезком ф— /7^, b^-lT^, то по теореме

ь+и1 f L' xs ,ъа .1 "Т^ ^ — dsb-iTь+и1 f L' xs ,ъа .1 "Т^ ^ — dsb-iTо вычетах получим

ь+и

1 f L' xs ,ъа .1 "Т^ ^ — ds

b-iT

ь+и

1 f L' xs ,ъа .1 "Т^ ^ — ds

b-iT

1 Г L' х Xs ,.

2^7 J —^’ ^~ds +

Ci + C2+C3

+ ^ Res {--^-(s. Х)^}- (4-28)

Чтобы оценить подинтегральное выражение, применим к подинтегральной функции в области —-^ ^ о^b = 1 -|- -j^Y" теорему 4.2, или оценку-^-= О (1) в случае о > 2 (см. 4.15), а в оставшейся области применим теорему 4.3. Так как In (о + Т^ In 27^ при 6<^Tm и 1п(о + ^т) < ^n2Q ПРИ a>^/n^2’ а также

иm

J In 2о • х*° do ^ J In 2о • 2-(Т do < оо, 22

то при q>Tm^c2 равномерно по q имеем

1 + 1/1ПЛ

T^X^I^lC \n^Tm4-do-V

Ci

2

U_

+ hn^o + fj^do^-^ln2-^. (4.29)

2

Далее получим, что при q->oo и постоянном Тт существует предельное значение интеграла, взятого по Ср и

lim [ ^(s, x)^ds =[<_-^-№hTm.(4.30)

L"-=o + zrmm

To же самое справедливо и для интеграла по С3. Далее по теореме 4.3 при q>Trn^>2 получаем

т

ГГу-(а + 2^+1)

J Т^' х)—^<С J 1п2^—^—at.

и это выражение стремится к нулю при ^—>оо. Отсюда и из (4.30) получается, что при ^->оо первый член в правой части (4.28) имеет предел и поэтому то же самое верно для второго члена. Следовательно,

=5 Res {—^(s, х)^}1). (4.31)

а<1,\t\<Tm

Определим теперь отдельные вычеты в области o^l, |t| < Тт. Пусть s = pj— нуль кратности ^ функции L (s, %) в области 0 < о < 1. Тогда

Res5 = Р1Res5 = Р1LrLLrL(s. Х)^-} = —V,(s. Х)^-} = —V,ХР1"рГХР1"рГSXPP=PiSXPP=Pi(4.32)(4.32)

Res

5 = Р1

Res

5 = Р1

Lr

L

Lr

L

(s. Х)^-} = —V,

(s. Х)^-} = —V,

ХР1

"рГ

ХР1

"рГ

SXP

P=Pi

SXP

P=Pi

(4.32)

(4.32)

!) Мы предполагаем, что члены суммы, соответствующие точкам из области а < 0, упорядочены по убыванию действительной части.

Так как характер х предполагался примитивным, то L (5, х) имеет на прямой о = 0 не больше одного простого нуля в точке 5 = 0, и из (4.21) следует, что

Res { —Л-(8, Х)^тТ = — volnx — d0, (4.33) 5=0.I ь 5 J

где v0 равно 0 или 1. Вычеты, соответствующие простым нулям 1Д8, х)« в точках 5 =— (^ + 2^)> ^ = 0, 1, .,., отличных от 5 = О, равны x-^^^Ra + 2#). Таким образом, при X ^ Хо всс особенности ^- исчерпаны. При X = Хо имеется еще полюс при 5=1 с вычетом

Res {—^(s. X*o)4-}=Res {— Т^^г}^<4'34)

5 = 1 I Ь Х 7 5 J 5=1 I Ь 5 J

Следовательно, если р = р —}—/у, то

1 Res{—} =

(4.35)(4.35)а<1, ПК тт

(4.35)

(4.35)

= Е.х- ^ "^Volnx-do+ ^ TW

Устремим в (4.28) q к бесконечности. Тогда

to(*> Х^Е^х— 2 ^volnx — dQ + B (х, х) + ^(^. Т^

(4.36)

и порядок величины

/?2 = /?1 + О(хТ"11п2АТ)

не больше порядков величин правых частей в формулах (4.22)—(4.24). Возьмем теперь любое Т^^. Обязательно найдется такое Т^ что 7 <^ Tm < T-j-2. Тогда R2(x, Tm)<^R2(x, Т) и по теореме 3.3

х^Рх^РТ < у<Г+2Т < у<Г+21 <С1 <С

х^

Р

х^

Р

Т < у<Г+2

Т < у<Г+2

1 <С

1 <С

Су-Ь/гГ (Т>2),

так как | х^ | = х^ < х, 1/1р| < 1/7 <у (| у |>Т). Поэтому в равенстве (4.36) можно заменить Тт на любое Т ^ 2. Если положим теперь R = R2(x, Г), то справедливы оценки (4.22) — (4.24), и тем самым равенство (4.19) доказано. Отсюда следует (4.25), так как

в силу (4.22) и (4.23) R(x, Т)—>0 при Т->оо и постоянном х. В частности, при k = 1 получаем следующую теорему.

Теорема 4.5. Пусть ф0(х) = у {ф(х + 0)4“Ф(^— 0)}. Тогда при х > 2 имеет место равенство

фо(х) = х-2^--С(О)-41п(1-А),(4.37)

р

где

РI У К Т

при Т ^2 и

Ry, Ту

X L ч m .In X

< т ФхТ ।

J для

нецелого х,

(4.39)

R(x, Ту

CylnW

для

целого х,

(4.40)

R(x, Ту

у- In2 хТ + In X

для

всех х О 2).

(4.41)

Здесь р пробегает нули функции

С($) в

области 0 <

о < 1.

Это утверждение следует из того, что здесь v0 = 0, так как £(0) = — ~ ^ 0. Кроме того, dQ = ^ (0)/£(0), я = 0 и

Вообще говоря, в (4.22) и (4.39) |х— ^| можно заменить на наименьшее расстояние, на которое х отстоит от целого числа вида рт, и эти формулы останутся верными, если х не есть целое число такого вида. Равенства (4.19) и (4.37) справедливы также при 1 <х<;2; оценки остатков для этого случая выполняются в несколько измененном виде. Можно показать, что ряд 2 х9!^ из формулы (4.38), в котором р упорядочены по возрастанию модуля ординаты, равномерно сходится в каждом замкнутом х-интервале, не содержащем целых вида рт. В интервале, который содержит рт, ряд может не сходится равномерно, так как ф0 (х) в точке х = рт разрывна. По этому вопросу см., например, Ландау [5], [8]. Вообще £' (0) = = — -^ In 2л Ф 0, но нам это равенство в дальнейшем не потребуется. Соотношение (4.37) представляет собой формулу, выражающую ф0 W через нули ^-функции. Риман впервые открыл формулы такого рода для несколько более сложных функций

п. и - у (П (л + 0) + П (х —О».

р™ <х п<х

Открытые Риманом формулы были впервые доказаны Мангольдтом [1] (см., например, Ландау [5]).

Для различных применений нам нужна еще

Теорема 4.6. Пусть x=N-^-~t N^— целое, к^\ и

X— любой характер по mod к. По теореме 4.6.9 в области

о + 1о + 1£о\1п£( |^]4-2)4£о\1п£( |^]4-2)4(4.42)(4.42)

о + 1

о + 1

£о\

1п£( |^]4-2)4

£о\

1п£( |^]4-2)4

(4.42)

(4.42)

может находиться действительный исключительный нуль функции L(s, х)- Обозначим его через рР Тогда при х'^Т^2 имеет место равенство

Х) = 2 X (п) A (n) = £ox — Ег^- — 2 ^- + п < х| у к Г

+ о(^1п^ + 5ргЧпА;х), (4.43)

где 2 обозначает суммирование по нулям р = р(х) функции L^s, х) 6 области 0 < о < 1, за исключением Pj и 1—Р]т).

Пусть сначала х — примитивный характер, не равный Хо- Так как для примитивного характера х множества нулей р0 и р совпадают, то из (4.2)2) при 5 = 0 мы получаем следующее выражение для + определенного в теореме 4.4:

^о = ^о(х) = - 5 j+0(ln2A).(4.44)

IYI<1t

Так как нули р лежат симметрично относительно прямой о=у, то по теореме 4.6.9 функция L(s, х) не обращается в нуль в области 0^1 — С0/1п^(|/ | + 2), 5 + 1 —р! И поэтому при р 4= 1 —Р1 всегда 1/| р|<^с In й^у | + 2). Отсюда и из теоремы 3.3 получается 2S1п2б\ =т+ + О(1п22А),(4.45)

lvl<i* I lvl<i /‘

(здесь и ниже члены, в которых встречается рр опускаются, если нет исключительного нуля.)

Следовательно,

d0 = — +й- + О(1п22А),(4.46)

1 — Р1

прямой ° = "2 (СМе L (s, %)- Функция Ех5->0.прямой ° = "2 (СМе L (s, %)- Функция Ех5->0.О Так как р лежат симметрично относительно начало § 4), число 1 — pt вместе с р! является нулем определена в (4.7.12).

прямой ° = "2 (СМе L (s, %)- Функция Ех

5->0.

прямой ° = "2 (СМе L (s, %)- Функция Ех

5->0.

и поэтому имеет место равенство

S ^ + ^ = Т+2Т=?Г+ 2' у + ОО-^б). <4.47) lvl<rlvl<r

По теореме о среднем для некоторого 04 из интервала 0 < Oj < 1—pi

1

—-—-— = xGi In х <^ х1-^ In х.(4.48)

1 —Pi

Подставляя это и (4.47) в (4.19) при х = N + у ’2, получим

уР1 VI'

Ы*> Х) = ,ф(^. х) = ^—^i-p;L — + 1 I vl<r

+ /?(Х, Г)4-О(1п22А4-£,1х1-Р<1пх),(4.49)

так как vo = O или 1 и v0 In х = О (In х), кроме того, получим

^-(а^)я + 2?^-(а^)я + 2?2 х-" = О(х"Ч2 х-" = О(х"Ч

^-(а^)я + 2?

^-(а^)я + 2?

2 х-" = О(х"Ч

2 х-" = О(х"Ч

а+2^ > О

31

Согласно (4.42), 1—Pi ^ 1—"4—"4- Поэтому, если % ¥= Хо— примитивный характер, то при х^>Т^>2 из соотношения (4.22), написанного для | х — N | = ^ , получаем утверждение теоремы.

При Х = Хо утверждение теоремы содержится в теореме 4.5, так как в этом случае k — 1 и нет ни одного исключительного нуля.

Если характер % не примитивный и %* по mod к* — соответствующий примитивный характер, то по определению (см. 4.7.9) имеем

W. х) = -ф(х. X*)—2 X*(pm)lnp =

pm <х, р \ к, р ^ к*

(4.50)(4.50)= ^(х, XD + O/'-^y 5 InpW^Cv, X*) + ° (In X In 2А).

(4.50)

(4.50)

\ р\к /

При x > T ^> 2 имеет место оценка In х In 2^ <^ In2 кх <^ хТ-х In2 кх. Тем самым равенство (4.43) по существу доказано. Может, правда, случиться, что хотя Р! и лежит в области 0^1 — с0/1п ^к*, но не лежит в области о^>1—с0/1п2&, и тогда Е^х*):^, но Е1(х) = О. В этом случае (4.43) следует непосредственно из теоремы 4.4 с помощью (4.50). Действительно, согласно (4.1), v0 In х <^ In х In 2k, и в этом случае член 1/(1—PJ в правой части (4.45) также равен 0(1п2А), поскольку 1—^^c^lnSk и, согласно (4.44), б/0<^1п22А.

Гипотеза Римана и ее следствия

Если применить теорему 4.6.9, то из теоремы 4.6 можно вывести теорему 4.7.3. По теореме 4.6.9 при х>Т>2 мы имеем

22' '(5.1)

IVKf|¥1<Г

И

S'Ip Г1 = S'Ip Г* + S' Ip Г1-<5-2)

lYK^IyI<1KIyKT

Поскольку в первой сумме справа всегда р Ф 1—рр так же как в (4.45), убеждаемся, что первая сумма есть О(1п22А). Для второй суммы правой части из теоремы 3.3 при Т ^ 2 получаем

2 |р|-1< 22 IpHc

KlYKf1<л<[7] п<|у|<л + 1

<С 2 i In кТ ^ In2 кТ' <5-3)

с« С [Г]

Подставим все это в (5,1)

X т ^Х1-Со/1П 6 ^1п2 кТ*(5,4)

Пусть теперь х достаточно велико, и ^ ^ exp In2 х. Для Т = exp In2 х 1i_

имеем In2 x^ln^T ^2 In2 х. Поскольку нас интересуют большие х, можно предполагать, что х^Т^2. Поэтому из (4.43) и (5.4) следует (4.7.13), откуда, так же как в гл, IV, получаем (4.7.20).

Если мы получаем какие-нибудь сведения о положении нулей р = р (х) функции L ($, %) в области 0 < а < 1, то из (4.43) видно, как это отразится на функции ф(х, %). Чем меньше Rep, тем меньше |хр|.

Риман [1] высказал гипотезу о том, что все нули £($), кроме тривиальных s = —2, —4, . .., лежат на прямой о = ™-. Вообще можно предположить, что нули всех функций L(s, %)• образованных с характерами по всем модулям ^ 1, в области 0 < о < 1 лежат только на критической прямой 0 = — ^. Ни обобщенное, ни перво-

9 Это предположение называется также «гипотезой Пильца».

(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)начальное предположения Римана до сих пор не доказаны. Положим

(5.5)

(5.6)

(5.5)

(5.6)

6 (х) = sup Re р (х) = sup р (х),66= max 6(х).

X mod к

Так как мы уже знаем из § 2, что каждая функция L(s, %) в области 0<о<1 имеет бесконечно много нулей р = р(х), эти нули лежат симметрично относительно прямой о — -^ (см. начало § 4),

гипотеза Римана давала пор никто не смог даже означало бы улучшениегипотеза Римана давала пор никто не смог даже означало бы улучшениетеорем 4.7.3 и 4.7.4, которое вытекает из следующей теоремы.теорем 4.7.3 и 4.7.4, которое вытекает из следующей теоремы.то-^<6(х)<1, -^^бй^1- Обобщенная бы, что Sb = -^ для всех ^>1. Но до сих показать ни для какого к, что б£< 1. Это

гипотеза Римана давала пор никто не смог даже означало бы улучшение

гипотеза Римана давала пор никто не смог даже означало бы улучшение

теорем 4.7.3 и 4.7.4, которое вытекает из следующей теоремы.

теорем 4.7.3 и 4.7.4, которое вытекает из следующей теоремы.

Теорема 5.1 1). Пусть х^2. Для всех к^х справедливы равенства

к' Z) = ^-+O(W(a:)),(5.7)

л(х, к, 1) = -^-^О<х^\пх\(5.8)

где константы в О(где константы в О(не зависят от к и I.не зависят от к и I.

где константы в О(

где константы в О(

не зависят от к и I.

не зависят от к и I.

Доказательство.Доказательство.По лемме 4.7.1 достаточно доказать равен

Доказательство.

Доказательство.

ство (5.7). Применим теорему 4.6. Из Pi ^ 9^ и ReP^9^ (поскольку по нашему определению Pi в теореме 4.6.9 Pi может существовать

только приследует, что

5i^+ 5' 4^^ 2 IpI^C^I"2^ <х>Т>^.

IyK^ РIvK^

(5.9)

Здесь сумма оценивается так же, как в (5.2), (5.3), и правая часть не зависит от х- Отсюда, так как О^^у, согласно равенству (4.43), написанному для Т = 2х1+% следует (сначала при x=N-\-~, а затем также для всех х^>2^, что при

ф(.х:, ^ = EqX^O^x^\vl’хУ (5.10)

9 Кох [1], Титчмарш [2].

Из (4.7.11) получаем (5.7); равенство (5.8) следует из леммы 4.7.1. В частности, если обобщенную гипотезу Римана считать правильной, то при к х имеют место формулы

^(х, А, /)=^+о(х2 1п2А(5.11)

л(х, A, /) = -^ + oU2 InxJ.(5.12)

Естественно, эти формулы имеют значение только тогда, когда х21п2х<; <; сх/ф (#), где с достаточно мало, т. е. когда ф(#)<сх2 In2 х. Это, в частности, имеет место при к < сх2 /1п2 х. Если обобщенная гипотеза Римана 1 считается верной, то, в частности, при всех к^хд получаем

<5ЛЗ>

где о (1) зависит только от е. При к > сх2 /In2 х имеет место тривиальная оценка л (х, к, Z) < х[к < х 2 In2 х. При х0, < к < у х, а > -^ > оценка из теоремы 2.4.1 лучше, чем (5.12). Если 0^=1, то соотношения (5.7) и (5.8) становятся тривиальными.

§ 6. Другая явная формула

Если вместо интеграла в (4.27) напишем интеграл, подинтегральное выражение которого имеет вид (L'IL)F(x, s), где F (х, s) не обязательно равняется то получим явные формулы для некото

рых сумм 2 X W A W а (п' х\ гДе ПРИ X W А (^) появляются неко- п = 1

торые, зависящие от F (х, $) сомножители а^п, х). Эти сомножители (при подходящем F (х, s)) обеспечивают сходимость ряда. Такая формула потребуется нам позднее.

Пусть х — любой характер по mod к. Для действительного у > 0 и любого действительного b определим функцию S(у, х> ^) следующим образом:

S (у, X’ &)=2 lUWWibe'Wn^- (6.1) л = 2

Так как ехр(—In2 п/4у) <^ п~в для любого постоянного В, то этот ряд сходится для всех Ь. Из теоремы П.3.3 при аЛ = х (n) Л (n)х) а0=1, w = — b. /(s) = —-^-(s, х) получаем .2+Zoo

S(y, х, b) = iy ^ J ^ls, x)^+»)2y<Zs (У > 0).(6.2)

Zoo

Теперь, если не оговорено противное, мы будем в отличие от прежнего обозначать через р = р (/) = р + zy все нули s = р функции L (s, х) в области 0 <^ о < 1.

Теорема 6.1. Пусть у^1—действительное число, к^Х и X—любой характер по mod&. Если b— действительное число, то имеет место равенство

S(y, х- b)=iy^\ew46-^ewn^OW (6.3)Iр )

При этом р = р(х) пробегает все нули функции L(s, х) 8 области 0<^а< 1 (каждый нуль столько раз, какова его кратность).

Положим F (s) = ^ • e(s+d)2y . Пусть т ^ 2 и Тт — одно из чисел, введенных в теореме 4.2. Тогда из этой теоремы следует, что при 13

у <^b < у и Тт—>оо выполняется оценка

2+1Гт

j ^(s)^^!!!2^^ • ехр {—у(Тт + О(1))}.

Поэтому из теоремы о вычетах, примененной к прямоугольнику с вершинами 2 ± zT^, —Ь±ГГпг, при Тт->оо получаем

2+Z оо—b-vi оо

J F(s)ds = J F(s) ds4-2ni ^ ResF(s). (6.4) 2—Zoo— b—loo— b <0 <2

Здесь интеграл в правой части существует. Поскольку—-^-< < — о <% — -^ и ПРИ У 1 имеет место оценка

J 1п(/ + 2)е-^Л = у 2J In^y 2+2}e-V^< оо

!) Так как Л (1) = 0, то ах = 0.!) Так как Л (1) = 0, то ах = 0.<у 2 J 1па + 2)е-^^Су 2, о

!) Так как Л (1) = 0, то ах = 0.

!) Так как Л (1) = 0, то ах = 0.

то по теореме 4.3

— Ь+1сооо

J F(s)ds = l J -~-(—b-Vit, ^е-^ dt <^ — Ь—1со—со

<С] ln^(f + 2)^^^Cy 2 In 2Л.

о

Остается еще вычислить вычеты в равенстве (6.4). В области — b < о < 2 можно рассматривать как особые точки функции L']L только точки s = 1, s = р. Имеем

ResF(s) = — ^Wy^, 5 = 1

Res F (s) = Vp^P4"6)2 у, 5 = p

где vp обозначает кратность нуля s = p функции L(s, x)- Тем самым равенство 6.3 доказано.

Заметим, что ряд в (6.3) сходится абсолютно и равномерно в каждой области 1 < у < Л < со. Пусть ри р2, ..., р„—нули функции L (s, %) в области 0<а < 1, ^>0, упорядоченные по возрастанию ординат. Иначе говоря, если рл = рл (%) = (Зл -}- /у^, то 0 ^ Yi ^ у2 < • • • (Р с равными мнимыми частями располагаются в любом порядке). Тогда, согласно (3.23), при ул->оо имеет место п<Н,^<^п\пкчп. Отсюда, например, следует, что (^У/г)2 > схп ИЛИ Y« > С2«- с2 = С2

Поэтому при 1 <^ у < Л получаем

ехр {(Р« + 6)2 у) <С exp (—Y^y) <С ехр (— с2п),

где константа в <^ зависит только от Л, и равномерная сходимость ряда из (6.3) доказана.

О наименьшем простом числе в арифметическойпрогрессии

Пусть к — целое натуральное число и (/, Л)=1. В гл. IV мы показали, что всегда существует бесчисленное множество простых чисел =/(mod й). Можно спросить, насколько велико первое простое число при данном к. Положим

рх^к, Ц = min Р-(7.1)

p=l (mod к)

Теорема 7.1. Пусть к>\, (I, А)=1. Для любого е>0

Рх (к, l)<c(e)ek\(7.2)

причем с(е) не зависит от к.

Доказательство. Из теоремы 4.8.3 следует, что л (х, £, Z) > О при 1плх^^, &>&0(Л) для сколь угодно большого Л. Это значит, что при х ^ exp kx/A, k^k^A), существует простое число р, такое, что p = Z(mod&), р^х. Так как величина 1/А при достаточно большом А может быть сделана сколь угодно малой, то теорема доказана.

Теорема 7.2). Пусть Qk, так же как в § 5, является верхней гранью действительных частей нулей всех функций L(s, х)> образованных с характерами по mod^. Тогда, если гипотеза о том, что 9^ < 1, правильна, имеет место оценка

рх (А, /) < cq) (^Я1"®») (In fe)/(1-®*) (А >-2, (/, 6) = 1). (7.3)

Доказательство. Из (5.7) следует, что ip(x, k, I) > 0, если х/ф(&) > c^^ln2^, т. е. если при некотором сг .х:1""6^/^2.^ > ^ф (&)• Это выполняется, если при достаточно большом с^ положим

х=ч#-^ Оп^/О-Чх=ч#-^ Оп^/О-Ч(7.4)(7.4)

х=ч#-^ Оп^/О-Ч

х=ч#-^ Оп^/О-Ч

(7.4)

(7.4)

так как всегда 1пф(^)^1п^. Этим неравенство (7.3) доказано.

Если, в частности, верна обобщенная гипотеза Римана 1б£=-2- то

(7.5)(7.5)рх (k, Г) < Сф (&)2 In4 к < с (е) &2+s.

(7.5)

(7.5)

Если бы для всех к было доказано, что 9/г^9 < 1, то из теоремы 7.2 получили бы, что существует абсолютная константа С, такая, что

рх Qi, I) <кс <к> 2).рх Qi, I) <кс <к> 2).(7.6)(7.6)

рх Qi, I) <кс <к> 2).

рх Qi, I) <кс <к> 2).

(7.6)

(7.6)

Туран [2] впервые показал, чтоТуран [2] впервые показал, чтодля всех % по mod кдля всех % по mod кнеравенство (7.6) выполняется, еслинеравенство (7.6) выполняется, если

Туран [2] впервые показал, что

Туран [2] впервые показал, что

для всех % по mod к

для всех % по mod к

неравенство (7.6) выполняется, если

неравенство (7.6) выполняется, если

(7.7)(7.7)L(s, х) ^ 0, если о>1—а, |1|<^Л,

(7.7)

(7.7)

причем а, А положительны и не зависят от к. Это мы сейчас докажем.

Утверждение (7.7) до сих пор не доказано. Однако Линнику [3] удалось получить (7.6) без всяких недоказанных предположений (см. гл. X).

Теорема 7.32). Пусть а и А — положительные действительные числа, и пусть утверждение (7.7) верно для всех к ^>2 и любого характера х п° mod к). Тогда имеет место оценка (7.6).

Доказательство. Будем предполагать, что ^^2. Если при у^1 положим

S(y, А, /) =2Л(п)га2е-1п2л/4У,(7.8)

n = l (mod й)

то из (6.1), (6.3) и (4.2.11) следует, что1)

5(у, к, Г) = ф(к) 1 2 5(^ X' у)х(0 =

X mod к

= 2ф (ку1 У^у G4 у - 2 х (О ^ ^ +^ У ) + О (1П к); (7.9)

X Р

где 22 обозначает суммирование по нулям всех A-функций, соот- х Р

ветствующих характерам по mod^, в области 0^о<1. Введем величины у (х) при помощи равенства

р = Р —|— Zy = 1 —6 + /у-(7.10)

Тогда 0<6<1 и, согласно (7.9),

S(y, к, Г) = сх^£) 1 у2е4 Р —Sx(z)2exP{—M(6-v)}^ +

4-0 (In k), (7.11) где

А (6, у) = 6(3— 6) + у2 — Zy(3 — 26),

причем 22 обозначает суммирование по всем нулям 1 —6 + Zy всех х Р

функций L(s, х) (X по mod^). Так как 0<6^1, то

Re А (б, у) > 6 + y2.

22ехр{—у(6 + у:X Р22ехр{—у(6 + у:X РО (In к).(7.12)О (In к).(7.12)Отсюда следует, что 1 2

22ехр{—у(6 + у:

X Р

22ехр{—у(6 + у:

X Р

О (In к).

(7.12)

О (In к).

(7.12)

S(y, к, I) > зд(^)"1 у2^4 У(1

Если условие (7.7) выполнено, то, используя (3.11) или (3.24) при У ^ 1, получим

2 2 ехр {—у(6 + у2)}<2 2 е~бу<С

х р, IYI <Ах Р, I Y 1<Л

1)1п^(Д + 2). (7.13)

!) Имеет место равенство <р (#) 1 5 1п^ = 1п^. X mod к

Пусть tn — ближайшее к А целое число, m > A, ш^1. Тогда, согласно (3.11), имеет место оценка

2ехр {— у(д + у2)} < 2e-v2y =

Р, I Y I > ЛP, I YI > Л

= ( 2 +2+ ---V-Y2y<^

\Д<|у|</72m<|Yl<^ + l/

С1п^(т4-2)е-Л2У4-2 In & (v + 2) • е~^<^ In k • еА+1е-А2У,

m < Y < 00

(7.14) так как

2 In v •^ e-(m+vp у ^m _]_ i)2) e~^ + ...} ^

m < v < сю

< e-m2y {(m + 1) 4- (m + 2) tH + ...} < eme-m2y 2 (« +1) e"", n=0

A < m^A-Y-V, такое же неравенство имеет место также для 2е^Х Отсюда получается

22 ехр {—у(6-|-у2)) <^ ф (к) In к • еА+1е-АХ (7.15)

х р, I y 1 > л

Из последнего соотношения и из (7.13) следует, что

2 2 ехр {—У(6 + У2)} <^ф(^) In А • еА+1 {£~аУ + 5-Л2у}. (7.16) х Р

Подставляя это в (7.12), получаем

1 £

S(у, к, /) > зд^)-1 у2е4 У — /?(у, к, а, Л),(7.17)

/?(у, к, а, А^^ХпкДх-^е^^^еА+т^-а^е-А1^ (7.18) (у > 1, к>^.

Для доказательства теоремы 7.3 нам нужны еще два вспомогательных утверждения, которые мы сейчас докажем.

Лемма 7.1. Если In z ^ 4 max (In к. у), k ^\, У ^ h пго

S^S^y, z, к, 1)=A(n)»2e-,n2«/4y<

п > Zml (mod А)

<с2ф(^)~1 ехр (у In г — ^). (7.19)

Доказательство. Так как ф(х, к, 1)<^(х)<^х, то по теореме П. 1.4 (полагая в ней Кп = п, ап = 0 при п ^ z и ап = А (п) при

^<^^^> а кроме того, устремляя х->сю) имеем при ^^2

Si = —J Н>$. к. 0 — ^(2. к, /)} (^е-1”2^) d^ =

2

= — | ф(|, к, l^Ve-w^ dl — ^{z, к, lyz^e-^^y. (7.20) 2

По теореме 5.2.1 при к^х'1* и х^2

ф (х, к. I) = 2j 1п Р + О р <х, р = / (mod #)

(7.21)(7.21)•<л(х, к, /)1пх4~О\х2 )<^—тт-

(7.21)

(7.21)

Поэтому для z^>k4 интеграл в правой части (7.20) становится равным

J ф& к. 1П2е-\^^.—^у^ 2

Сф^Г* J* (^ — 4)exp(|n-^)^ =

-Ф^)'1-Ф^)'1<ф№) 1 exp(-| In z<ф№) 1 exp(-| In zIn 2

-Ф^)'1

-Ф^)'1

<ф№) 1 exp(-| In z

<ф№) 1 exp(-| In z

In2 z \ 4y J*

Обозначим T] = /z + lnz. Тогда последняя оценка справедлива в силу того, что

In 2

oo

= exp l-j In z= exp l-j In z^r) J exp{f-« — -^•u(u-V-2\nz^du (7.22) 0

= exp l-j In z

= exp l-j In z

и (/z-|--21n ^)/4y^>ln ^/2y^>2, так как здесь мы предполагали, что In z ^ 4у. Второй член в правой части (7.20) не превосходит нуля, и тем самым лемма доказана.

Лемма 7.2. Если у j> 1, In z ^ Зу, mo

S2 = 52(y, z) =W)nU-№nl^<

n<z, n=pm, m>2

Щ2 у \ ^(7.23) 4y / f vЩ2 у \ ^(7.23) 4y / f v1 I 7. Л

Щ2 у \ ^

(7.23) 4y / f v

Щ2 у \ ^

(7.23) 4y / f v

< f3ln z< exp-£-у + exp I In z

Доказательство. При фиксированном m ^2 по теореме П. 1.4 справедливо равенство

VI 19" m (^ 1 9\

Zj 1пР * Р ^[—'4^in P) =

= e(^Vr»)^2e-In^/4y_ J 0(^) [^2 техр^_^_ 1п2ф ^. (7.24)

Так как т^^ то ^^1т^<^ z2 и первый член справа остается меньше величины, указанной в (7.23). Остается еще оценить второй член в правой ^асти (7.24). Имеем

zVm1

J °® hr"6"""2 "Т ехР^~Ту 1пЧ)^< 2

m-x In г

m-xy

m2m21п2<1п2<m2 ,1

m2

m2

1п2<

1п2<

поскольку величина — -^ пг не превосходит нуля для

^Z^w^ и больше нуля для t > m-1y. Так как 6(x)<^x, пре

дыдущее соотношение можно продолжить

пг 1 Inz

Г / пг2 ,1\( / 1। 1 \ , т2

JmJeXpU"2\dt =

т~ (ттг-1+4гтг-2) уm~4nz

- / + I ■ <^25> tn ху (tn x+4tn 2) у

Очевидно, что (/п 1 + 4/п“2) у ^ tn-x In z в силу того, что In z ^> ^>3у^у(1 +4/п-1) для т^^. Для первого интеграла получим оценку (т~1+4т-2) у

J < exp {(/n”14- 4/n“2) у} X tn"" !y

(m-1+4m-2) у

X J \2T t — У m)exP^^ — -^t^dt = tn" 4

/1\ i(m“1+4;rt~"2) у

=— exp {(m 1 + 4m~^ y} exp \^mt— -r—^2)<^

<exp|(m-1 + 4m-2)y + ~ y|<e4 У (w>2).(7.26)

Если t^(m~x + 4/n~2)y, to tn2 ,1 . n

2y ^22.

Поэтому

X ехр{4/и+ !) ^ —4^}^ = ( / 1\m2 1 1т~* lnz—

; — 2 exp ( I -к tn 4- 1) t т-^2И<4e4

l\2; 4y I l(m-i+4m-2)y

так как для tn ^ 2 значение в фигурных скобках на нижней границе 37

<i ^ у. Таким образом, мы установили, что интеграл в (7.24) <^ ехр -^ у. Так как сумма S2 состоит из <^1пг членов вида (7.24), то лемма доказана.

Теперь мы можем довести до конца доказательство теоремы 7.3. Если опустить из S(y, к, I) члены с п > z и п = рт> /п^>2, то из (7.8), (7.17) и обеих только что доказанных лемм следует, что

6 (z) =2 In р • р^е'*№р^ > б?1ф(^)~1 у2^4 У — R — Rv

p^z, p=l (mod ft)

(7.27)

Здесь R то же самое, что и в (7.17), (7.18), а п/ 3 . In2 г \ ,

^1^Ф(й) exp^ylnz47") +

I 7. Л 1п2г \)

+ Inz . |ехр jy+exp (In z4—В

для In z ^ 4 max (In к, у), y ^L

Теперь положим у = В1п&, где В > 1 будет выбрано позднее, и 1п^ = 4у = 4В1п^. Тогда условие In z ^ 4 max (In А, у) выполнено. Отсюда получим при ^ ^ 2

2 2/2 в.Л 1 1

Ф(^)-1у2е4 У > А4 /В2 In2 Л,(7.28)

(® я 11)

/?<С1пА-Ь+^4 In2 6-52ел+1(б"аВ4-&~A2B)f, (7.29)

/^C^A^Bln^ (&4В+ 1).(7.30)

Для В > тах(1/а, 1/Л2, 2) функции R и Ry при большом к имеют меньший порядок, чем (7.28). Оценка (7.27) дает поэтому 0(&4В)>О для большого к.

Отсюда следует, что должно существовать такое простое число р, что

p = l(mod к), p^,k4B.

Таким образом, теорема 7.3 доказана для достаточно больших к при С = 4В.

Нерегулярность в распределении простых чисел

В гл. IV мы видели, что функция л(х, к, I) приближается функцией ф(&)-1Их с точностью до О\хе-с"^Хпх\ по крайней мере если к остается по отношению к х достаточно малым. Покажем теперь, что остаточный член в этом приближении нельзя сделать меньше величины определенного порядка. Однако мы ограничимся ради простоты случаем ^=1, л(х, к, 1) = л(х\

Введем, следуя Харди и Литлвуду, такое обозначение. Пусть g (х)— функция, при х->оо монотонно стремящаяся к оо. Тогда, если /(х) — действительная функция, равенство

/(x) = Q+(g(x)) или /(x) = Q_ (g(x)) (х->со) (8.1) означает, что существует сколь угодно большое значение х, для которого при подходящей константе с > 0 выполнено соответственно неравенство

/ (-4 > eg (х) или /(хХ— eg (х). (8.2) Запись

/ (X) = Q± (g (х)) (х —> оо) (8.3) означает, что существует сколь угодно большое значение х, для которого выполняются оба неравенства 8.2. Для действительной или комплексной функции / (х) равенство

/ (х) = Q (g (х)) (х —> оо) (8.4)

означает то же самое, что и равенство | /(х) | = Q+ (g(x)), х->оо. Этот символ можно варьировать так же, как мы делали это с символами О( ) и о( ). Например, при х —>оо имеем

хеи = Q (х), х cos х = й± (х), х + х cos (х) = Q+ (х).

Однако равенство х-\-х In х — Q_ (х) неверно.

Пусть сначала О' — нижняя граница тех а, для которых выполнено соотношение

ф (х) = х + О (ха).(8.5)

Тогда для а < 0'

ф(х) = х + й(ха).(8.6)

Из (3.3.8) следует не больше чем тривиальный результат 0'<1. Положим теперь 0 = 0Р где 0! (как в § 5) — верхняя граница действительных частей всех нулей £($). (Напомним, что для &—1 £($)— единственная Z-функция.) Из теоремы 5.1 при ^=1 тогда следует, что 0'<^0.

Теорема 8.1. Имеет место равенство 0' = 0.

Доказательство. Достаточно доказать, что 0^0'. Согласно формуле (П. 1.6), написанной для %п = п, ап = \(n), g(^) = ^st из (3.2.12) при о> 1 следует

(8-7)

и поэтому

— у (s) —= s р(х^ х- ds (а>1).(8.8)

1

Для каждого положительного 8 по определению 0' имеет место соотношение ф(х)— х = О (х^ ^е\ Отсюда следует

I {ф(х)— Х^ Х"^1 | < С(8)х0'-а“1+е(х^> 1),

и, таким образом, при 0^0'+ 28 интеграл из (8.8) равномерно сходится. Более того, функция в левой части (8.8) регулярна в области о>0'. Следовательно, £(s) в этой области не имеет нулей, т. е. 0 + 0', что и требовалось доказать.

Мы видели уже раньше, что 0+1/2. Теперь отсюда следует, что никакое соотношение вида ф (х) — х + О (ха) с а <1/2 не может существовать. Поэтому

ф (х) = х + Q (ха), а<у.(8.9)

Труднее сделать заключение о знаке остаточного члена. Мы покажем, что в формуле (8.9) можно заменить символ Q на символ Q±. Для доказательства нам нужны свойства функций, представимых интегралом Дирихле, т. е. имеющих вид

(8.10)

1

Для этих функций имеют место теоремы, аналогичные теоремам для рядов Дирихле (см. П., § 2); существует абсцисса сходимости а0, — оо^а0^сх?, такая, что интеграл (8.10) расходится при а < а0, а в полуплоскости о > о0 представляет аналитическую функцию. Если а(х) действительна и имеет постоянный знак, то (аналогично теореме П. 2.4) s = a0—особая точка аналитической функции, представленной в полуплоскости о > о0 интегралом (8.10). Доказательство этих фактов проходит аналогично доказательствам в П., § 2, и мы не будем их здесь приводить.

Положим для х > 0

р <х п <х

Тогда по теореме о простых числах при х ^> 2 и М = [In x/ln 2] имеем П(Х) —Л(х)=± =

pm <х m^Z

+^я(х1/ж) = ^(1 + о(1)) + О(УИх1/з) = ^(1+о(1))

(8.11)

Теорема 8.2. Для каждого а в интервале 0<а<6(^1) имеют место соотношения

ф(х) = х + ^± (*а),

П (х) = И х + ^± (ха) (х—>оо).(8.12)

Доказательство. Докажем сначала, чтоф(х)— х = й+(ха). Предположим, что для некоторого Д>0 ф(х)— х<^Дха, а < 6, х^>1, и покажем, что это ведет к противоречию. Согласно (8.8), при а > 1

(S)-7^T-T^' (8ЛЗ) 1

Этот интеграл есть интеграл Дирихле с а (х) = (ф (х)— х— — Аха\!х <0. По аналогии с теоремой П. 2.4 о0 должна быть осо-

бой точкой g(s), следовательно, о0 является абсциссой сходимости интеграла. Теперь £(о)^0 при о^О, согласно (4.7.1), и функция

4-(s) s Г4-(s) s Г1S — 11S — 1

4-(s) s Г

4-(s) s Г

1

S — 1

1

S — 1

в точке s = 1 регулярна. Поэтому s = а — единственная особенность на положительной действительной оси у функции, стоящей в правой части (8.13), и а = о0. Но тогда функция g (s) должна быть регулярной даже во всей полуплоскости о>о0 = «, что невозможно, так как в области о>« обязательно лежат нули ^(s), следовательно, особые точки функции V (L а также и функции g(s). Для доказательства соотношения ф(х)— x = Q_(xa), 0 < а < 0, показывают аналогично, что предположение ф(х)— х^ — Аха (х^1) ведет к противоречию. Тем самым первая часть (8.12) доказана.

Чтобы доказать вторую часть (8.12), мы исходим из формулы

ln£(s) = sj(а>0-

1

которая получается из теоремы П.1.4 и соотношения

п

следующего из разложения ^(s) в произведение. При этом под ln£(s) понимают ветвь, которая действительна для действительного s > 1. Так же, как в (8.13), рассматриваем функцию

O(s) = j ^dx (° > !)•(8.14)

1

где

Г (П(х)— Их— Лха)х-1, х^2,

| (jj — Дх^ х-^1 х < 2.

Так как при х ^ 2

И х

2

то для действительного s > 1 имеем

22Их ,, Их-—т-dx + —-Их ,, Их-—т-dx + —- Г dxJ xs In х *22 Г dxJ xs In х *22

2

2

Их ,, Их

-—т-dx + —-

Их ,, Их

-—т-dx + —-

Г dx

J xs In х *

22

Г dx

J xs In х *

22

и после подстановки u = (s—1)1пх

(5-1) 1П 2(5 —1)1п2

11

= J 4“ + J (е-»_ l)^ + c = -ln(s-l) + /?(s), (8.15) (5—1)1п2(5-1) In 2

причем Z? (s) — целая функция (которую можно продолжить на всю плоскость). В итоге получаем

z х 1 1 fzIX п м A R (s)112

O(s)=-ln{(s— 1Ш$)} — ——^- — -у.

Отсюда видно, что в полуплоскости о>0 функция G(s) однозначна и регулярна, так как там функция (s—!)£($) не нуль и не бесконечность. Пусть теперь о0 — абсцисса сходимости интеграла в (8.14). Если бы для постоянного Л>0 всегда было ^(х)^0, то функция G (s) в точке s = о0 должна была бы иметь особенность (аналогия с теоремой П.2.4), а в полуплоскости о > о0 должна быть регулярной. Так как £(s)=£0 при s^>0, то никакая ветвь G (s) не может иметь на положительной действительной оси особенности, отличной от s = a. Следовательно, должно быть о0 — а. Но так как а<0 по определению 6, то функция G (s) не может быть регулярной в полуплоскости о > о0 = а, потому что £(s) имеет там нули. Таким образом, П(х) — И х = Q+ (ха).

Аналогично доказывают, что эта разность равняется Q_ (ха).

Так как 0^72’ то из теоремы 8.2 следует, в частности, что ф(х) —x-]-Q+(xa) для каждого a < V2.

Теорема 8.2 принадлежит Шмидту [1], который также показал, что утверждение теоремы

ф(х) = x-]-Q+ (хх^) (х —>оо)(8.16)

может быть улучшено. Литлвуд [2] доказал 7> что имеет место соотношение

ф(х)==х + ^± (x’Mi^x) (х—> оо).(8.17)

Мы это в последующем докажем.

С помощью (8.17) мы получим результат, лучший чем (8.12):

П (х)—11 х = Q± ( ■j^- ln3 х)(x —>oo).(8.18)

Численные расчеты вели к предположению, что всегда имеет место неравенство л(х)<11х. Например, это верно при всех

Ч См. также Ландау [12].

х < 109. Литлвуд, доказав соотношение (8.18), тем самым показал, что это не всегда так. А именно из (8.11) следует, что

л (х) — И х = П (х) — И х — -^- (1 + о (1)) (х -> оо). (8.19)

Отсюда и из (8.12) еще не следует, что разность я(х)— Их должна принимать положительные значения, так как ха(а<<г12) имеет меньший порядок, чем x^/ln х. Однако с учетом (8.18) это получается сейчас же, так как из (8.18) и (8.19) следует, что

л(х) — И х = Q±(х->оо).(8.20)

Основная идея доказательства формулы (8.17) такова. Рассмотрим формулу из теоремы 4.5

ф0(х) = х- ^ -у- —^-(0) — Т.1п(1 — лг~2) + /?(лг, Г).(8.21)

Здесь х^2 и для /?(х, Г) выполнены оценки (4.39)—(4.41). Чтобы доказать (8.17), нужно сделать как можно больше сумму

2 у-.(8.22)

iyK^

Если 9 > V2 и» следовательно, гипотеза Римана неверна, то (8.17) следует уже из теоремы 8.2, так как тогда (8.12) справедливо для некоторого а> 1(2. Таким образом, нужно доказать (8.17) при предположении правильности гипотезы Римана. Если все р имеют вид р = 1/2-]~/у, то в сумме (8.22) можно заменить р приближенно на/у. Так как нули £($) лежат симметрично относительно действительной оси, то можно объединить сопряженные члены

хр | хР| ^-^^^sinfyln^),(8 23)

Р Р «У— гуУ

и сумма (8.22) приближенно представляется суммой

2 ±мт1а^)==2х'/г 2(8.24)

о < у < гYо < ул < т "

причем мы теперь расположим Y > 0 в последовательность

0<Yi<Y2<-..<Yn<..-.(8-25)

Оказывается целесообразно сначала исследовать функцию

/(^-У^-<8-26>

ЧПп=1

для которой имеет место формула

— Im/(Zlnx) =2^Y^)..

о < Yrt < ОО

Сначала будут доказаны некоторые вспомогательные утверждения, необходимые для исследования функции / (s).

Лемма 8.1. Функция f(s) регулярна в полуплоскости о > 0.

2.1 было показано, что ряд2.1 было показано, что ряддля p = 1/2 + z’Y> Y > ^ > 0,для p = 1/2 + z’Y> Y > ^ > 0,Доказательство. В теореме 2 | Р Г& при b > 1 сходится. Теперь имеем Y^ci|p|- Если о^6>0, то

2.1 было показано, что ряд

2.1 было показано, что ряд

для p = 1/2 + z’Y> Y > ^ > 0,

для p = 1/2 + z’Y> Y > ^ > 0,

~v«61^г2Nn ^|p„|2«’~v«61^г2Nn ^|p„|2«’(8.27)(8.27)

~v«61^г2

Nn ^|p„|2«’

~v«61^г2

Nn ^|p„|2«’

(8.27)

(8.27)

поэтому ряд регулярна впоэтому ряд регулярна вlm/(«) = -^lnl + O(l).lm/(«) = -^lnl + O(l).(8.28)(8.28)

поэтому ряд регулярна в

поэтому ряд регулярна в

lm/(«) = -^lnl + O(l).

lm/(«) = -^lnl + O(l).

(8.28)

(8.28)

для таких о сходится равномерно и функция f(s) полуплоскости о > 0.

Лемма 8.2. Пусть s = а + It = reia, г > 0. При постоянном а в области —^л^с^^л для г->0 имеет место равенство

Константа в 0(1) может зависеть от а.

Доказательство. Положим

N+cn= 2 -1.О < V с тN+cn= 2 -1.О < V с т(8.29)(8.29)

N+cn= 2 -1.

О < V с т

N+cn= 2 -1.

О < V с т

(8.29)

(8.29)

Теперь нули р функции CW лежат симметрично относительно действительной оси и £(о)^0 при о^О. Поэтому из теоремы 3.4 при k = 1 следует, что

^^(Т) = -Lr In Т+8Т+О (In Т),(8.30)

где 7*^2 и В — вещественная константа. Теорема П.1.4 теперь дает

S1 _ N

Nn ~

°<V„<v

■^ln2x4-Bjlnx + O(D (х —> оо).(8.31)

Здесь Sp согласно (8.30), — вещественная константа. По теореме П.1.6 в случае Х„ = у„, ап = 1^п, g^ = e-^s получаем

/ (s) = s J A^e'^ds (о>0),(8.32)

Yi

так как А (х) e~xs —> 0 при х->оо, о > 0. Если подставить сюда (8.31), то при о > 0 получится

/(s)-sj {^1п2^ + В11п^е-^^ + О(1),(8.33)

Yi поскольку

| s | J tH» ^ = м = О (1)(8.34)

О

для s = reia и постоянного а в области —л/2 < а < л/2. Теперь для каждого натурального ш и о > 0

|sf J —J^ln^^-^J^PI J|ln^m^ = O(|s|)\0 Yi /0

И

5 J 1пт ^е”^8 d^ = J (1п~4-1пм) е-и du.оо

Эти соотношения получают подстановкой |s = и и применением интегральной теоремы Коши1). Полагая т=Л, 2, получаем, согласно (8.33),

/(-^Т^У+Й,14 + 0(1).

причем В2— вещественная константа, если s указанным образом стремится к нулю. Так как

In — = Inza = InH In cos a — za, sra 1

то при r—>0 получается равенство

—^l"7-fi=" + 0(l) = -^l™l + 0(l).

Таким образом, лемма доказана.

!) Так как a > 0, то положительной действительной оси в полуплоскости Re и > 0 соответствует полупрямая. При этом нулевую точку из-за логарифмической особенности нужно обходить с помощью дуги окружности, радиус которой затем устремляют к 0

(8.35)(8.35)Лемма 8.3. При ^<.^^^ имеет место оценка/($)<С1п2у.

(8.35)

(8.35)

Причем теперь константа в <^ не зависит от о.

Доказательс т в о. Для о > О и X ^ 2 имеем

i/<«>i<2^< 2 |+2^-

V>00<Y<X Y>x

Согласно (8.31), первая сумма <^ln2^. С другой стороны, если m > 2— ближайшее целое число, большее X, то по теореме 3.3 и (П.1.13) имеем

<С^1п(^ + 2)+ 2 im^ + 2)C-^ + -^^^- т>Х

(8.36)

В итоге при о > О, X ^ 2

/(^^1^ + -!^.

Пусть 0<о^у. Положим X = 1/о, А" ^2, тогда получим (8.35).

Т0<ТТ0<Тт /1 \1+Е гОехр -т /1 \1+Е гОехр -(8.37)(8.38)(8.37)(8.38)Лемма 8.4. Для каждого положительного г существует некоторое oz = oz(e)>0 со следующим свойством. Для 0<о< <az(e) и каждого 70>0 имеется Т = Т (о, То, е), такое, что

Т0<Т

Т0<Т

т /1 \1+Е гОехр -

т /1 \1+Е гОехр -

(8.37)

(8.38)

(8.37)

(8.38)

и для любого действительного t

1/(0 + ^ + ^) — /(о + ^)| <е.

Доказательство. Для о > 0 и действительных t и Т при любом X >> 2 имеем

|/(a + ^ + ZT)-/(a + /O| =

sin (у NnTsin (у NnTY >0

sin (у NnT

sin (у NnT

ЛГ (X)

<21—|slnTY7|<2l—+2 1V > 0Y>xп-1

Из (8.36) и неравенства е~^ < 1/уо следует, что первая сумма <^lnA7<bY. Остается еще исследовать вторую сумму. Если в тео

реме П.10.1 возьмем в качестве 0Л числа уп/2п, п=\, 2N+(Xy то для любого целого ^^2 найдем такое Т, что

ииTo<T<.ToqN+ №,To<T<.ToqN+ №,(8.39)(8.39)

и

и

To<T<.ToqN+ №,

To<T<.ToqN+ №,

(8.39)

(8.39)

с целыми 1п для каждого n = V 2N^Xy Для этого Т имеет место оценка

В итоге получаем для a > 0 и всех действительных t (q ^> 2, Т = Т (q)) неравенство

I / (<т + It + iT) - / (a + it) I < cx (-^ + ^).(8.40)

A 1

Полагая X =— In — с константой A > 0, которую мы потом определим точнее, можно добиться того, чтобы для всех достаточно малых о выполнялось неравенство сг In Х/вХ < у г-. Тогда

= A In О/ст)' (1П 4 + 11,2 V +1п Л + ln i) < I

для А > 2ср 0<а<^а1(е, А), причем мы, если необходимо, уменьшаем Gj настолько, чтобы X было не меньше 2.

Если положим теперь q — — In2 — +1> то получим для рассмотренного уже X неравенство

In2 X схъ Л 1 । 11 I 1 л । 11 \2 / 6

П + П Л + Пт)

при А > 2сх и 0<a^o2(e, АУ Выберем теперь A = 3cv Тогда для0 < a<: a3(e) = min (oj (е, Ay а2(е, Д)},

согласно (8.40), имеет место неравенство (8.38), которое требуется доказать. Число Т лежит в интервале (8.39). Если подставить вместо q его значение и принять во внимание, что

N+ (X) < с^Х In X (X > 2),

то при подходящем значении о7 (е) получим оценку

N, (X) In q < -^- In — (in — + ln2 — 4- In A + In— X

X ln(— In2-4- 1) < 4)(0 <G<o' (e) <a3(e)).

Следовательно, T лежит в интервале вида (8.37) и утверждение доказано.

Лемма 8.4 устанавливает, что функция f (о -р #) почти периодична относительно t. Эта лемма применяется также в теории Бора почти периодических функций.

Лемма 8.5. Для каждого а, 0 < а < -^, и каждого а, 0<о<^о0(^) (при подходящем ^(а^) всегда имеется такое t' = tf (а, о) и такое 1" = 1"(а, о), что

t'> е^а, Im/(o-4"^z) > а 1п2^>(8.41)

Г> ^/а, im /(о + /Г) < —^1п2Г.(8.42)

Доказательство. Пусть 8 < ~ , а в'—в' (е) определяется / 1 \1+8

как в лемме 8.4. Положим 70 = expl —1. По лемме 8.4 для каж

дого a, 0<a^az, найдем такое 70, что для каждого действительного t

ехр(4 ^^ехР2^) ’(8ЛЗ)

|/(a + Z/-H7'o)-/(0 + fOl<e.(8.44)

По лемме 8.2 при а=±ул(1—8) мы имеемсП —tg-^n(l — 8)|,+ Im/(a ± ZA.o)~-^(l — е)1п-^ (о->4-0).

Отсюда, например для 0 < а^^ (8) < у , следует, что

+ 1m / (о ± /Хо) > 1 (1 — 2е) In 1.

Это и (8.44) при 0 < а ^ а2(е) ^ ат (е) дает для / =±Хо q: lm/(o ±/Хо + /7’о)>1(1 — 2e)lnl — е > 1(1 — 3e)ln 1.

Из (8.43) следует, что для 0 <о^о3(8) справедлива оценка

(8.45)(8.45)/ 1 \14-2e е*/о < ± Ха + Та < exp (—)

(8.45)

(8.45)

Нужно только выбрать о настолько малым, чтобы было Та + Хо<

/ | \1+2е।

<ехр| —1 и TQ — Zo > exp —, а это можно сделать согласно (8.43). '°

Если положим t’= — Хо + Та и 1П = Ха + Та, то ^ > в1^ и trr > ех1° для 0 < о </ о4 = min (о2, ^з)» и так как» согласно (8.45), ln2^ < (1 + 2е) In (1/о), имеем

Im/(o + ZO>|(l-3e)lnl>Im/(o + ZO>|(l-3e)lnl>1 — Зе . у/ л4(1+2е) 1П21 > °"1 — Зе . у/ л4(1+2е) 1П21 > °"

Im/(o + ZO>|(l-3e)lnl>

Im/(o + ZO>|(l-3e)lnl>

1 — Зе . у/ л4(1+2е) 1П21 > °"

1 — Зе . у/ л4(1+2е) 1П21 > °"

Такое же неравенство получается для —Im/(a-|-Z/"). Тем самым лемма 8.5 доказана, так как, поскольку 0 < а < -^, для достаточно малого 8 = 8 (я) имеет место (1—Зе)/4 (1 4-2s) > а.

До сих пор мы доказали, грубо говоря, что Im /(п-|-^) для достаточно малого о становится достаточно большим (положительным или отрицательным), если для t берутся определенные значения, большие, чем граница зависящая от о. Для этого сначала доказывают, что Im / (s) при s = 0 становится большим (лемма 8.2), а затем с помощью „почти периодичности'* (лемма 8.4) делают заключения о поведении Im / (s) для больших ординат.

Теорема 8.3. Имеет место соотношение

^(х)— х — Q± (х^ 1п3х) (х->оо). (8.46)

Доказательство. Если гипотеза Римана неверна, то это следует из теоремы 8.2, так как тогда 9>-^-. Следовательно, можно предположить, что гипотеза Римана верна. Тогда, согласно (4.41) и (8.21),

^0(х) = х- 5 -т:-^-(О-у'па-^ + Ж*- Г),rv к^у-Ну

Я(х, Т) С х + In х (х>2, Г >2).

В частности, для Т^х, так как In2Т/Т для Т > g2 монотонно убывает, получаем

R(x, Т) <^ х -—~ + In х <^ In2 х (х^>2, Т^х\

Далее имеем

I VI <7

поскольку ряд Sv”2 сходится. Таким образом, из равенства ф(х) = — фо(-^) + 0 (1и х) и (8.24) следует

^{х) — х — — У ^VR1(X, Т) =

ПК?

= -2^ 2+ Л-

о< V<T

R^x, ^C*2 (x>2, Т>х^(8.47)

так как при х^2 имеет место оценка 1п(1 — х~2)= О (х~2). Положим теперь х = е1,

р ^ — ^ ^ "^ = Ф ~ et2х^2 expit

И

0 < у < Г

В этих обозначениях из (8.47) следует

F(t) — ST (0 = 0(1) (/>1, T>e‘Y (8.48)

Отсюда, в частности, получается, что

Sr, (О-ST, (О = 0(1) (^>1, Тх>Т^>е\ (8.49)

Теперь если /(s) — функция, определенная в (8.26), то для о > О можно получить равенство

1m / (а-+-it) — ST (0 = V lzz£_l_SinY/_. V е-уа±11£. ^.50) 0<Y</

Так как 0 < 1 — е~и < и, то для Т ^ eV ^ ^ 1 первая сумма по абсолютной величине меньше чем

N (Г) о <^ То In Г.

о

Если в теореме П. 1.4 положим Хп=уп, ап = (sin у nt) [у п при уп > ТЕсли в теореме П. 1.4 положим Хп=уп, ап = (sin у nt) [у п при уп > ТИ ап = о при Y„<T, g(^) = e-^.И ап = о при Y„<T, g(^) = e-^.при Т ^ е1, ^ ^-1. а > 0 получимпри Т ^ е1, ^ ^-1. а > 0 получимто для второй суммы из (8.50)то для второй суммы из (8.50)

Если в теореме П. 1.4 положим Хп=уп, ап = (sin у nt) [у п при уп > Т

Если в теореме П. 1.4 положим Хп=уп, ап = (sin у nt) [у п при уп > Т

И ап = о при Y„<T, g(^) = e-^.

И ап = о при Y„<T, g(^) = e-^.

при Т ^ е1, ^ ^-1. а > 0 получим

при Т ^ е1, ^ ^-1. а > 0 получим

то для второй суммы из (8.50)

то для второй суммы из (8.50)

ое-^5ое-^5{S^№-Sr(/)}^C J oe-Vd^ = O(l),т

ое-^5

ое-^5

так как g (£) Л (|) -> 0 при £->оо (согласно (8.31)) и выполнено

равенство (8.49). Таким образом, при Т ^ eV t^\, о > 0

Im / (о 4- zY) — ST (О С оТ In Т + О (1).

Отсюда и из (8.48) для Т = е* получается

Т(0 —Im/(o + Z0 = O(l) (^>1, 0<о<г2/).(8.51)

Предположим теперь, что

Г->оо -ХД 1П3 XГ->оо -ХД 1П3 X(8.52)(8.52)

Г->оо -

ХД 1П3 X

Г->оо -

ХД 1П3 X

(8.52)

(8.52)

и приведем это к противоречию. Это будет означать, что

ПтПт4' (*) — хA"2 In3 X4' (*) — хA"2 In3 X2222(8.53)(8.53)

Пт

Пт

4' (*) — х

A"2 In3 X

4' (*) — х

A"2 In3 X

2

2

2

2

(8.53)

(8.53)

Из (8.52) следует сначалаИз (8.52) следует сначала1— T*(Z). 1hm -р >4 < — .1— T*(Z). 1hm -р >4 < — .Таким образом.Таким образом.

Из (8.52) следует сначала

Из (8.52) следует сначала

1— T*(Z). 1

hm -р >4 < — .

1— T*(Z). 1

hm -р >4 < — .

Таким образом.

Таким образом.

Т(/)<а1п2/ (^^^i)Т(/)<а1п2/ (^^^i)(8.54)(8.54)

Т(/)<а1п2/ (^^^i)

Т(/)<а1п2/ (^^^i)

(8.54)

(8.54)

сят от а, ах, а2. Из (8.54) и (8.51) для />^2 и некоторого t2^>txсят от а, ах, а2. Из (8.54) и (8.51) для />^2 и некоторого t2^>txследует, чтоследует, чтодля некоторого а, 0 < а < -j-, и некоторого tx > 3 !). Мы выберем av а^ так, чтобы 0 < ах < я2 < *|"- ^ последующем tv t^ .. . зави

сят от а, ах, а2. Из (8.54) и (8.51) для />^2 и некоторого t2^>tx

сят от а, ах, а2. Из (8.54) и (8.51) для />^2 и некоторого t2^>tx

следует, что

следует, что

Im/(о + ^) < sln2Z + 0(1) < й!1п2/ (0 < о-^е-^. (8.55)

9 При этом ln2 Z > 0 для t ^ tv

Применим теперь теорему П. 7.1 (принцип Фрагмена — Линделёфа) к функции

/i(s) =(8.56)

где 1ns означает ветвь логарифма, действительную для s = o > О, и возьмем в качестве области В область t ^ t^ е^-^о^Л. Для о = в”2/, согласно (8.55), имеет место оценка

IехР Пт / (5)/Я1) explM _ i

|ins|< in/ — L

На отрезке t — t^ s*2^^o^l и на прямой о=1 функция /] (s) ограничена, так как там мы имеем | /(s) |^/(о)<: f ^е*^^у Следовательно, на границе В справедлива оценка

|/i(s)|<C,(8.57)

причем С = С(/2, а^ = С(а% а^у Во всей области В, согласно лемме 8.3, имеет место неравенство

I /1 (5) I < 51 ехр < сг exp(c2^.

так как 0<o^s"2/<y и 1п(1/о)<^2Л Поэтому условия теоремы П. 7.1 выполнены и оценка (8.57) должна быть справедлива во всей области В. Отсюда для некоторого /3^/2 получаем

exp {Im / (s)/^} = I j\ (s) In s | << C | In s | < 2C In t(^-2<<а<1, t>t^.

Из последнего соотношения следует, что при подходящем 1^>Ц для s*2/^o<:i и t^t^ будет

Im / (s) < ах in (2С in Z) < s2 ln2t.

Это неравенство и неравенство (8.55) дают

Im / (s) < s2 ln2t (0<o<^l, Z^^4),(8.58)

что противоречит лемме 8.5, так как s2<~. Следовательно, формула (8.53) доказана. Вторая часть (8.46) получается совершенно аналогично, если исходить из неравенства

hm

X 1П3 X

Вместо (8.58) получаем неравенство — Im /(s) < s21п2/ в полосе О < о <^ 1 для достаточно большого t. Это также противоречит лемме 8.5. Теорема 8.3 тем самым доказана.

Для доказательства (8.18) нам нужна еще

Лемма 8.6. Если гипотеза Римана верна, то

(8.59)(8.59)J ш)^=|х2+оЦ).

(8.59)

(8.59)

2

Доказательство. Интегрированием равенства (8.47) получим

+-0 (х^Сх2,+-0 (х^Сх2,

+-0 (х^Сх2,

+-0 (х^Сх2,

так как | х8^+ ^ | = х8^, и ряд X 1 /у (% + * У) абсолютно сходится в силу оценки | 1/у (-у + ^у) | ^У2- Тем самым лемма доказана.

Теорема 8.4. Пусть для х > О

Тогда при х->оо имеют место соотношения (1\

^1п3ху.(8.61)

кГТ^зу-(8*62)

Доказательство. Обозначим П(х) — \хх = Р(х\-ф(х) — x = R(x\(8.63)

Из теоремы П. 1.4,еслиположитьап = Л(п\^(^)=1/1л^, при

х ^ 2 следует, что

П(х) = [ -^^^^ +•

J § In2 g 1 In X 2

С другой стороны,

пх = Г Д-+о<1)= ^^+-^- + 0(1) Jing' v 7 J In2 I 1 In X 1 x 7 22

и, следовательно,

p w=4Й-+1 wr+0 w-<8-64>

Если гипотеза Римана не верна, т. е. 0> у, то (8.61) следует уже из (8.12). Предположим теперь, что гипотеза Римана верна. Положим R(x)=^R®d^ (х>2).

2

Применяя лемму 8.6, получаем для х^>2 р - ¥7 = tSt~ / d йк+0 (1) 2

1пХ+1’ (8‘65)

так как £1/4/1п2£ монотонно растет и для £>£0=£5 справедлива оценка

Равенство (8.61) следует из (8.65) и теоремы 8.3, поскольку по последней теореме R (х) = Q± (х1^ 1п3 х), х —>со. Утверждение (8.62) получается из (8.61) и (8.19), чем теорема 8.4 доказана.

Приведенное здесь доказательство не позволяет указать х, для которого л(х)>11х. Скьюз [1] указал х0 со следующим свойством: в интервале 1 < х <. Xq разность л (х) — И х изменяет знак не меньше одного раза. Он нашел, что хс = ехр ехр ехр ехр (7,705).

Доказательство теоремы 8.3 (при использовании явной формулы для ф0 (х)) без теоремы Фрагмена — Линделёфа можно найти у Ингама [3].

Можно показать, что неравенство л (х) < 11 х верно в среднем, а именно для достаточно большого х из гипотезы Римана вытекает оценка

X

J {ле)-1Ц}^<0 2

(дальнейшая литература см. Бор и Крамер [1]).

Из (8.59) следует X

степени взаимно уничтожаются. Крамер [3] показал, что при предположении правильности гипотезы Римана имеет место оценка

/ {W-H2-y- <с^-

2

С помощью неравенства Шварца отсюда следует

2

Таким образом, | ф ($) — g | в среднем <уу х’г.

Теми же методами, что применялись в теореме 8.3, можно показать, что(х) - л3 (х) = Й± 1п3 х),

где «1 (х) и л3 (х)— числа простых чисел <л:, сравнимых соответственно с 1 или 3 по mod 4. Долгое время, основываясь на численных расчетах, пробовали показать, что всегда Л! (х) < л3 (х). Если гипотеза Римана верна для L-рядов, образованных обоими характерами по mod 4, то можно показать, что в некотором смысле чаще всего Л1 (х) < л3 (х). (См. Харди и Литлвуд [1], а также литературу, цитируемую у Бора и Крамера [1].) Мы не можем остановиться на этом более подробно.

Задачи к главе VII

Укажите явные формулы для функций, рассмотренных в задачах 13 и 17 к гл. III.

Пусть Nk обозначает число тех /, 0 < I < к, (к /Д = 1, для которых р^ (к /) < ср(&) In1"^^)- Докажите с помощью теоремы о простых числах, что lim {А/^/ср (&)} = 0.

&->оо

Докажите, что

л(х) = V и(/г)||(х’П М = [-^],

1 < п < М

И

л (х) — L (X) = Q ± ^-О-— 1п3х), где

L(x) = 5 Пх,/П.

1 < п М

Какие явные формулы получатся, если исходить из интеграла вида ]) lH too

b — 1оо

*) Харди и Литлвуд [1].

Глава VIH

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ

Введение

В гл. III при исследовании нулей функции £(s) мы получили оценку для | ^(s) | в области 0^1—Д/1п|^|, |/|J>2; аналогичную оценку мы вывели в гл. IV для функции £(s, w) — ws. При этом мы применяли, например при доказательстве теоремы 3.4.3, также и грубую оценку

I п<N I n^N

В частности, при s=\-\-it

I 2 гь”1-и\^ 2 n-1<^.\nN (N ->оо).(1.1)

I п<N I n<N

Если положить

S©= 2(^>1),(1.2)

то по теореме П.1.4 получаем равенство

Nn<N1Nn<N1(1.3)(1.3)Оценка суммы |S(^)|^^ дает грубую оценку (1.1). Если мы сможем доказать несколько лучшую оценку, чем |5(£)|-<Х то из (1.3) мы получим улучшение (1.1). Оценка S(E) = o(^) дала бы, например, для суммы в (1.1) оценку o(lnW). Можно ожидать, что в сумме (1.2) многие члены компенсируются, так как &х^п*и =— t\xxn при переменном п ,.до некоторой степени равномерно" распределяется по всем направлениям. Рассмотрим частную сумму S (^) видаОценка суммы |S(^)|^^ дает грубую оценку (1.1). Если мы сможем доказать несколько лучшую оценку, чем |5(£)|-<Х то из (1.3) мы получим улучшение (1.1). Оценка S(E) = o(^) дала бы, например, для суммы в (1.1) оценку o(lnW). Можно ожидать, что в сумме (1.2) многие члены компенсируются, так как &х^п*и =— t\xxn при переменном п ,.до некоторой степени равномерно" распределяется по всем направлениям. Рассмотрим частную сумму S (^) видаS^S^Q, Р) =2 е-/Нпл.Q<n<Q-vPТогдаS^S^Q, Р) =2 е-/Нпл.Q<n<Q-vPТогда(1-4)(1-4)кк(-l)ft+1к(-l)ft+1кооRR1 I П \^+11 I П \^+1

N

n<N1

N

n<N1

(1.3)

(1.3)

Оценка суммы |S(^)|^^ дает грубую оценку (1.1). Если мы сможем доказать несколько лучшую оценку, чем |5(£)|-<Х то из (1.3) мы получим улучшение (1.1). Оценка S(E) = o(^) дала бы, например, для суммы в (1.1) оценку o(lnW). Можно ожидать, что в сумме (1.2) многие члены компенсируются, так как &х^п*и =— t\xxn при переменном п ,.до некоторой степени равномерно" распределяется по всем направлениям. Рассмотрим частную сумму S (^) вида

Оценка суммы |S(^)|^^ дает грубую оценку (1.1). Если мы сможем доказать несколько лучшую оценку, чем |5(£)|-<Х то из (1.3) мы получим улучшение (1.1). Оценка S(E) = o(^) дала бы, например, для суммы в (1.1) оценку o(lnW). Можно ожидать, что в сумме (1.2) многие члены компенсируются, так как &х^п*и =— t\xxn при переменном п ,.до некоторой степени равномерно" распределяется по всем направлениям. Рассмотрим частную сумму S (^) вида

S^S^Q, Р) =2 е-/Нпл.

Q<n<Q-vP

Тогда

S^S^Q, Р) =2 е-/Нпл.

Q<n<Q-vP

Тогда

(1-4)

(1-4)

к

к

(-l)ft+1к

(-l)ft+1к

о

о

R

R

1 I П \^+1

1 I П \^+1

суммсуммесли мы предположим, например, что PIQ^^k и> таким образом, n/Q ^ хк при 0 < п ^ Р. С помощью разбиения S (£) на частные суммы вида Sx (Q, Р) с P[Q ^ ’/2 можно свести оценку 5 (£) к оценке

сумм

сумм

2 eUfeto

0<п<Р

где fkW — полином степени к от п. Такие суммы называются суммами Вейля, и мы будем теперь заниматься методами оценок таких сумм, которые были развиты Г. Вейлем, Харди и Литлвудом и И. М. Виноградовым]).

Метод Вейля)

Теорема 2.1. Пусть k^\, Р^\, Р и Q — целые числа, а / (х) = ахк 4- а^-1 + • • • + а^

— полином с действительными коэффициентами. Положим

S = S(Q,P,/) =5*(/(«))(2.1)

Q <n<Q^-P

(через е® обозначено е2”^). Тогда имеет место оценка (К—^^}

| S I*- <

^(рК-^рК-ь 2---S min(P, ||аА!»1...л6_1|Г1)1 (2.2)

Il<nv пк_^РJ

При этом (как в гл. VI) обозначено || X ||=min (X—[X], 1 — Х-|-[Х]) и min(P, 0-1) = Р. Для к=\ вместо суммы должен стоять только один член min(P, ЦаЦ-1).

Доказательство. При а = 0 оценка (2.2) тривиально верна, так как в этом случае 2 min = РкХ * Р и I^I^^P^. Пусть а^О. Докажем (2.2) индукцией по к. При к=\ имеем К=Х и по (6.6.4)

|S|=|2 е^п-Д-сц) | = I 2 е(ая)| min(P, ||а|| *).

<n<Q-\-P[Q<n^Q+P I

Таким образом, оценка (2.2) при ^=1 доказана. Пусть ^^2. Предположим, что теорема уже доказана для к—1. Без ограничения общности можно принять Q = 0, так как в противном случае можно /(х) заменить на У (а;—|—Q), и последний полином опять имеет а старшим коэффициентом. При Q=0

|S|2 = SS= 2 e(f (my-f^-2^«(/(n^-f^Y

0<т, п<РА=-(Р-1) п

'(2.3)

О Позднее (гл. IX) нам нужны будут также методы ван дер Корпута.

причем п пробегает не более Р последовательных целых чисел. Теперь полином

/(х + А) — / (х) = akkxk""x ~|- bx (k) x^-V • • . -+ Ьк_х (к)

есть полином (к—1)-й степени. Так как утверждение по предположению индукции верно для к—1, то

^e(f(n+h) — /(n)) |'/2К < 4*/гК | Р^^ +

^рхик-к+х 2---S min(P, ||аАА(А-1) Iraj... ra^^r1)). (2.4) К пк-2^Р)

Здесь в сумме при ^—2 опять остается только член min^, ||а2^|р1). При этом то обстоятельство, что п пробегает не более чем Р последовательных целых чисел, не играет никакой роли, так как стоящая справа оценка не убывает с ростом Р. Из неравенства Гёльдера (П.12.2) и из формул (2.3) и (2.4) (к-->пк_х) следует оценка

|S|^= {|S|2}'/2K <^P')hK"x2 4,/зКХ

у pVaK-i^pV^-fcM 2. ..2 min(P. ||аА!п1...пА_2й|Г1)1<

IК "Г Пк-2<РJ

С 4КРК~Х + ^КРК"к 2---S min(P, 1,06!^ ... ^.jp1), nk„x<P

так как ||ак \nv . . ., пк_^к || = || ак !пх . . . пк_2(— к) ||, и при к =# О имеем

2--S min (Л || аА!^ . . . nfe_xh\\"x^ = Р^Р == Рк-Х.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для любого ^^1. Теорема 2.1 будет теперь применяться к оценке сумм вида

5(^+^)-zz (0<^<i).

Q < п < Q-vP

Лемма 2.1. Пусть ^ ^ 1, Р ^\, Q^> 1 —целые числа и / ^ 1, 0<w<l. Тогда при

Р<^Гх/(к+1)(2.5)

и при подходящем сх> 0 справедлива оценка

|2(^ ¥^Ги I с\ max I 2 6(/(^))|> (2.6)

|Q</zCQ+PI 1 <Р'<Р |0<m<P'I

где

х t ( т 1"/ т \2 ,. (—1)^ + 1 / т \&1

j W ~ 2л" I Q + ^ ™ ™Z \ QHHw ) + * ' е(“О+ЛГ) J ’

Доказательство. Положим a--Q-Vni. Тогда m пробегает значения 0 < m X Р, Далее

(zt + w) zz = exp{—ZHn(Q + m + ^)} =

mQ 4- wmQ 4- w— exp {—/Лп (Q + w)] exp | — zTln^l -]-

m

Q 4- w

m

Q 4- w

Если обозначить Q + w = Qo, to Qo > Q > 1. Для m!Qo < 1 получаем

(n + w) ,z = exp (— it In Qo) X

гдегдеXexP( zq Oo 2 ^Qo) + ••• +XexP( zq Oo 2 ^Qo) + ••• +(—l)ft+1 к(—l)ft+1 к

где

где

XexP( zq Oo 2 ^Qo) + ••• +

XexP( zq Oo 2 ^Qo) + ••• +

(—l)ft+1 к

(—l)ft+1 к

Если положить

то имеет место оценка | £v(01<^ (О- Из (2.5) для 0<т^.Р следует

тQ?тQ?3 -1ДЙ + 1)4 Г3 -1ДЙ + 1)4 Г, / т U+*, / т U+*34"’34"’(2.8)(2.8)

т

Q?

т

Q?

3 -1ДЙ + 1)

4 Г

3 -1ДЙ + 1)

4 Г

, / т U+*

, / т U+*

3

4"’

3

4"’

(2.8)

(2.8)

в частности mjQo < 1. Теперь, принимая во внимание (2.5), при & ^ 1 имеем

Г / Q \ ^4-1 / Q \ 6+2)/ об +1 \

<ехрЦ"4) +^) + • •-j^^pЛг)<с- <2-9>

причем с не зависит от к. Далее

У (» + w) 11Q <n<Q+PУ (» + w) 11Q <n<Q+PS ^/(m))Sev^(^)v

У (» + w) 11

Q <n<Q+P

У (» + w) 11

Q <n<Q+P

О < m < Pv=0

v-o ^°0<m<PI

(2.Ю)

Отсюда с помощью частного суммирования (П. 1.4) получаем

I 2 ^е U W) I ^ 2PV max I 2 ^ (/ (^)) | • |0</n<PI1 <P' <P 10 <m<P'I

Подставляя эту оценку в (2.10) и принимая во внимание (2.9), получаем утверждение леммы.

Как легко видеть, ограничение P/Q < 1 необходимо, потому что при Q<m^Q-^-P всегда mjQ0<l и ряд для In (1 + mIQo) сходится. Ограничение (2.5) оказывается необходимым для (2.9). Ниже довольно часто будет необходима разлагать сумму вида 2 (п -\-w)~u на отдельные отрезки, для которых применима лемма 2.1.

Лемма 2.2. При предположениях леммы 2.1 имеет место оценка

2 („+«,)тш(р, п„(« r‘)V"r.

Q < п < Q+P( Н)

(2.П)

где константа в <^ не зависит от Q, Р, t, k, w. При этом

Н = пгп2 nk_v

^h(Q) = WQ- с i^WVQ-w^-niH ( ,12) и 5 обозначает суммирование no l^nP n2, .... nk_1^.P, где фиксированное H засчитывается столько раз, сколько имеется представлений Н в виде (2.12) с 1^^, . .., п^-^Р1).

Доказательство получается из теоремы 2.1 и леммы 2.1, если принять во внимание, что при А ^ 0, В ^ 0 всегда

(А + В)1,к < А1,к + В1,к.

Теорема 2.2. Пусть / ^ 3, 0 < w <: 1 и N,№ — натуральные числа, причем N <М' <ЛМ. Тогда для каждого целого k^\ имеет место оценка

2(„ + w)~“+1П1/КЛ

N <п<^’

(2.13) где К^^^""1; постоянная в <^ не зависит от к, N и t.

Доказательство. Мы разобьем 5 на частичные суммы

М<п<М’

вида 2’ где Для Q и Р выполнено равенство (2.5), и с по- Q< п<Q+P

9 1<Н <рк 1 в силу (2.12)

мощью (2.11) оценим отдельные частичные суммы. Неравенство (2.5) будет выполнено, если мы возьмем Q ^ N и положим

р — Г_1

L2J*

Предположим сначала, что Р^2. Тогда выполнены условия леммы

.2, в частности ^ > 2, так как /^3. Теперь произведем разбиение

=5+5+ • • • +5, (2.14)

N<n<Nr N<n<N+P N+P<n^N^2PN+jP<n<Nr

причем < N(_P>2, t>3Y (2.15)

Рассмотрим сначала случай /^2. Запишем (2.14) в виде

5 =32+3(2.16)

N<n<N’ i Q^n^Q. + PN+jP <n<Nr

где Qi = N-V-(i— \)P и (как и в последующем) X обозначает суммирование по Z= 1, 2, ..., j. Очевидно, что

I 2\<2P<2Nrw^^2NrT/K^^

\N+jP<n^N' I

т. е. имеет порядок не больше порядка величины оценки в (2.13). Из леммы 2.2 и из (2.15) для двойной суммы имеем

25 <с

/ Q^ ^ п ^ Q^P

« j^ + р,-« 2 j 2 mm (Р. ||№П^С

(2.17) i \ Н )

где 2 означает то же, что и в лемме 2.2. Из неравенства Гёль- н

дера (П. 12.1) в силу (2.15) и неравенства Р ^.Nt-1^^ получаем

1 5 minГ< ) 2 2 minV/K<C

I ( Н jI I н j

Ni-klKt^IK^ ( 2 2 minlW. (2.18) \ I н )

(Для t получается показатель (—(1 — k)K) + (1— !//<)}/(/? + 1) = = (к—1)/К(^4"1)-) По теореме о среднем для /=1, ..., j—1 отсюда следует оценка

Ф/7 (Qz) Ч1// (Qz+i)Ф/7 (Qz) Ч1// (Qz+i)k\tH i 1 1

Ф/7 (Qz) Ч1// (Qz+i)

Ф/7 (Qz) Ч1// (Qz+i)

Злй \(Qz+?y)fe (Qz+1+w)ft

k\tH МЛ+х-Одk\tH МЛ+х-Од2л&так как Qt-viA-^2л&так как Qt-viA-^(OmT™*)^1(OmT™*)^1c^kVXtX^bXH = d, (2.19)c^kVXtX^bXH = d, (2.19)N' <2N и Qi+1 - Qt = P > 1 Nt'1,M — 1N' <2N и Qi+1 - Qt = P > 1 Nt'1,M — 1

k\tH МЛ+х-Од

k\tH МЛ+х-Од

2л&

так как Qt-viA-^

2л&

так как Qt-viA-^

(OmT™*)^1

(OmT™*)^1

c^kVXtX^bXH = d, (2.19)

c^kVXtX^bXH = d, (2.19)

N' <2N и Qi+1 - Qt = P > 1 Nt'1,M — 1

N' <2N и Qi+1 - Qt = P > 1 Nt'1,M — 1

^^Nt 1/(fc+1). Из определения (2.12) функции ^(Q) и равенства Qx—N при фиксированном Н имеем

0 <0 <WQjXWQjX< ^Н (Q1)< ^Н (Q1)<А! tN"kH.<А! tN"kH.

0 <

0 <

WQjX

WQjX

< ^Н (Q1)

< ^Н (Q1)

<А! tN"kH.

<А! tN"kH.

Запишем

2 2 min =2 52 min(P, || фя (Q^ || ’), (2.20)

1 ”" 8 4<*н(9д^4

где g при фиксированном *Н пробегает <^k\tN кН-^-Х целых чисел. Теперь для каждого g

2} min (Р, ||фн (9;)||-1)<

g4<MQXg4

<2Р + 2 2 (md)-1 С^ + б-1 1п/

1 ^ m Oj-

(/^2), причем d определено формулой (2.19). Действительно, разность |ф//(9/) — g | при фиксированном g

^d, за исключением не более чем двух значений U

>26,„„„„четырех„I,

> 3d„„„„шестиnL

и т. д.1), а число членов в сумме С у. Далее в силу (2.15) и k^ 1

21<^-1. 1п/С1п^(2.21)

н

и, согласно (2.19),

!) Таким образом, члены, которые соответствуют обоим значениям

Подставляя в (2.20), получаем

2 2min<C2(ft!W^ + 1)(Р+Гм*+1)1п/.^Я-’). (2.22)

Мы оценим теперь различные части этой суммы. Из (2.21), поскольку P<,Nrx№*^ и Н<Рк”х, следует

ft! tN-kP 2 Н <^k\tN~kP • Р2 С н

к\tN~kNik~xt~

Далее ввиду (2.21) и Р <.МГХ№*Х'> имеем

2 ft! ^1/<6+1) 1П t С k\tx№ In t • N^rU^№^ =

= k\r^№+x4nt.Nh-\ Наконец,

Гк№*хх\тхЬКк^Н~х<Гк^^^2

< rkKk*xx In t • NkAk'x\n~xP <C rkKk*xx In t • Nk4k~x \nk~xN, так как 2< 4 InP < 41nN (P>2. Р<МГШХ' < N при

t ^ 3). Подставляя в (2.22), получаем

2 2 min С ^кГк^ [at.Nk \nk~xN 4- ft! Г^к^ In t • ^"^ «сг^Сг^^Чпь Nk i„*-W + r(»-w+D ln<. ^-^ так как 22ft<^2K и ft!<^2^. Если мы подставим все это в (2.18), то получим (пользуясь неравенством (А 4- В^^ ^ А1^ -|- ВХ,К для А, В >0)

pi-k/к 212 mln|,/K ^ (г^к (»+1)д, ln(^-wN +

4-?//f(6+1W,-1/K)in,/^.

Используя (2.17) и оценку

tX/^ + ^pI-I/K ^^l-1/K^l/K (£ + 1)

(Р^ Nf^^^Y получим утверждение теоремы.

Остается еще рассмотреть случаи Р ^ 1 при произвольном у и Р^2, у <4- В первом случае

МП™МП™< 4 при Р ^ 1. Во< 4 при Р ^ 1. Вод^ = Д^1 - МК^К (£ + !)( NrW +1) у,

МП™

МП™

< 4 при Р ^ 1. Во

< 4 при Р ^ 1. Во

а это <^NX-X’K?№X\ так как 0 втором случае Nf— N < 2Р и

2Р <С Nt"™ <С Nrук

так как ^^3, ^^1. Тем самым теорема 2.2 полностью доказана.

С точностью до степеней 1п/ и In N оба слагаемых в правой части (2.13) при фиксированном t равны, если N = /2/^+1),

§ 3. Применение к оценке g (s, w)

Лемма 3.1. Пусть t^Z, 0 < w 4 1, ^ ^ 1 — целое. К = 2 й”1 и N, N'— натуральные числа, причем N < N' <?2N. Тогда для а > 0 имеет место оценка

2 ^п-^у8 <jf-°<N"xlKtXIK(*+1) + N < n<N*

(3.1)

Доказательство. С помощью частного суммирования (П. 1.3) для о > 0 получаем

I 2 <<пА-^У°~и I < N~° max I 2 (n+w)”zzL

\N<n<N'IN < N" <N' I N<n<N"I

что вместе с теоремой 2.2 дает (3.1).

Лемма 3.2. Если fc>3, 1 — 1/4/<^о^1, t ^ 3, то имеет место оценка

2(n + w)_J<O“1/8° InV (3.2)

<2/(й + 2)<п<<2/(й + 1)

Доказательство. Если сумма не пустая, то мы разделим ее на <^1п/ частичных сумм вида, рассмотренного в лемме 3.1, и применим к этим частичным суммам лемму 3.1. В каждой частичной сумме /2/^ ь2) 4 ^ < ^2^+^ и inN^ln/ (^ ^ 3). Если учесть неравенство 1—о^1/4К и неравенства

— 3/2 (^4-2)+ 1/(^4-1)< — 1/8^, 1/2 (^+ 1)— 1/(^+ 1) <

1/8& (^>3),

то получим, что частичная сумма

I tW {k+\^MK{k+\^ ln t ^ t-\^Kk ln t

Замечая, что число таких сумм <^ In Л получаем (3.2).

Лемма 3.3. Если 31/32^о<^1, /^3, то

5 (n+®)-s = o(i).(з.з)

/’А < п < /2

Доказательство. Разделим сумму (3.3) на частичные суммы, рассмотренные в лемме 3.1, и применим эту лемму с ^=2 к каж- 1

дой частичной сумме. Тогда Л2 ^ N < t2, 1пЛ^^21пЛ и ввиду того, что 1 — с , каждая такая частичная сумма будет

<< ^■“Ч'7’ + М^Г’'6) In t С (Г’5/и+'/б + /'л,-'/б) In t <С In-V.

Так как число частичных сумм <^1пЛ получаем (3.3).

Лемма 3.4. Пусть g— целое, G = 4g-x и 6 ^ g ^ ln2t. Тогда

2 (n + w)"s = O(D (1 — 1/О<о< 1).(3.4)

№<п<1г

Доказательство. Сумму по п из интервала ^2/s^ < п </ t2 разобьем на частичные суммы по интервалам t2*^^ < п ^ /2/(Л+1), где 3^^^^* — 2. К каждой частичной сумме применима лемма 3.2, так как G = 2^-1 ^ 2fc+1 = 4К и, значит, 1 — 1/0 ^>1 — 1/4А7. Таким образом,

2 (n + w)"s <С ^1№ 1п2^ <С 1112"^, ДО+2) </г</2/(^+1)

поскольку для каждого фиксированного р, 0 < р < 1—In2, t~^Kk ^ exp — -g- In Z/2In21 ln2 ^ <^ exp (— lnp z) 0 ^ 3).

Проводя суммирование по ^ = 3, 4, . .., g — 2, убеждаемся в ог-

1раниченности суммы, распространенной на t^g <n-^,t2. Так как1

1 — 1/0^ 1 — 1/25 = 31/32, то к оставшейся сумме по t2 <п^.Р применима лемма 3.3. Тем самым утверждение леммы полностью доказано.

Как видно, при доказательстве леммы 3.4 было необходимо разложить сумму (3.4) на части и к каждой части применить лемму 3.2 с оптималь-

ным к. Дело в том, что правая часть в (3.1) становится наименьшей, если N приблизительно равно /2Ай+1\

Лемма 3.5. Если -g'^a<;2, ^^3, то

£(s, w) —2 (n + w)~s4-0(l),(3.5)

п<С2

где £(s, ту)—функция, определенная в гл. IV.

Доказательство. Для о>1, т = [12] из теоремы П. 1.5 следует, как в (4.5.8),

£ (S, ТО) — W~S = У (п + W)' $ + -1, —

причем это равенство имеет место также в области 0 < о < 1, так как интеграл там абсолютно и равномерно сходится. Для у<^о^2, />3 имеем 1/($—1)<СГ*. (т + ^'^С^11"01 и

что и требовалось доказать.

Теорема 3.1. Для постоянного а>0 имеем

^(s,to) — to~s^-~^,i—a^^^o^'t^c^a), (3.6)

где константы в <^ могут зависеть от а!).

Доказательство. В силу леммы 3.5 достаточно доказать, что в указанной области

2(/i + w)-iC ^ .

n<t22

Положим в лемме 3.4 ^ = [61п2/], 0<б< 1. Тогда

G = 2g-1 < 2* < (In tfln2

’) Естественно, функция £(s, w)— w~s в полуплоскости a >2 ограничена.

и для 6<^.1/1п2 имеем 1 — 1,0 ^ 1 — a ln2 t)\nt при t^>c3(a), так что лемма 3.4 применима. Мы получаем

2=2 +0(1).

Теперь для 0 < а, <^ а <^ 1

Pig

2 (« + w)-sc 5 «'"'<! + / r^^C^^-^d-oD"1.

Если а, = 1 — a ln2 //In t, то

^U-aJ/g- /, _ _ х-1 _ 1 1п//21п2 / \1п£

1^ я 1п2/ 6 Рг° [51п^]/^1п2<

с константой в <^, зависящей от а. Это дает (3.6).

Теорема 3.1 является улучшением теоремы 4.5.2 и дает также улучшение теоремы 4.7.4. В частности, в теореме о простых числах вместо остаточного члена О (х ехр (—cKlnx)) можно получить остаточный член О (х ехр (—с Kin ^ 1п2 х)) (см. Литлвуд [2], Ландау [12]), но мы этого делать нс будем. Напротив, мы применим метод И. М. Виноградова, представляющий самостоятельный интерес, и значительно улучшим этот остаток.

Для суммы по п < exp (с In tl\n21) [= Рё, g = 2c-1 ln2А и достаточно малого с метод не дает никакого существенного улучшения тривиальной оценки. Например, в (2.13) для к = [ln2 £/1п 2] -|- 1 получаем

^-i/zc^ + i) > дг ехр (— 2-(^-1) In /) > cN»

а сумма в (2.13) тривиально не превосходит N.

Метод И. М. Виноградова

Нашей целью является доказательство следующей теоремы, связь которой с оценкой сумм Вейля станет ясной позднее.

Теорема 4.11). Рассмотрим целые числа В и Р^2 и полином

/ (х) = akxk + ... + ai^> ^>2, с действительными коэффициентами. Положим

Ск = Ск(Р)= 2e(f(x)),(4.1)

В < Х<В + Р

где х принимает целые значения. Пусть I — любое натуральное число» 6Z = у &(&-(-1)(1— 1/&)Z, а b— такое натуральное число» что

»>^(&+l) + ZA.(4.2)

Ч И. М. Виноградов [2], [5], Хуа [2].

Тогда

•ЦЬ, Р) = / ... / l^^p»^ ... dak< о о

< (7Ь^ы 1П< Р . Р26 A k (6+1)+6z. (4 3)

Доказательству этой теоремы мы предпошлем ряд вспомогательных рассуждений.

Сначала заметим, что тривиально Зф, Р)^Р2Ь» так как I Ск (Р) I ^ Р- Далее имеем

11

JQ>. р^= 2 / J^(«Д4+-+^ —у?—у^))+...

^, ...,^о о

... +а1(л:1+ . . . xb — yj— .. . ^daxd^ ... dak, (4.4)

причем при суммировании xt и yz (/ = 1, 2, . .., 6) пробегают независимо друг от друга значения B-f-h В+ 2, .В-^р. В фор

муле (4.4) те интегралы, для которых одновременно выполнены все равенства

4 + .4-х| = ^+ ... 4-у», (4-5)

xi + • • • + хь = У1 + • • ■ + У»-

равны единице; все другие интегралы равны нулю. Следовательно, Зф, Р) равно числу решений системы диофантовых уравнений (4.5), причем х^ \)t независимо друг от друга пробегают множество

B<xl^l<B-\-P (i= 1, 2, . .., Ь\(4.6)

Простую оценку числа Зф, Р) получаем следующим образом. При b = k система (4.5) переходит в систему

^1+ •■• + ^ = У? + ••• +Уй' (4.7)

xi+ ••• +^6 = У1+ ••• +Уб-

к чисел определяются суммами своих степеней, от первой до &-й с точностью до порядка. Поэтому из (4.7) следует, что ур ..., у^— некоторая перестановка чисел xv ..., хк. Последние можно выбрать Р^ различными способами. Следовательно, Зф, P)<^.klPkt и отсюда

J(b, Р) < f2 (6-ftV(ft. P)<fc IP26-6(4.8)

(первое неравенство получается после того, как будет вынесено из-под интеграла Ск(Р) в степени 2(6— &)). Показатель Р в (4.3) меньше чем 26— к, если выбирать / достаточно большим. Например, если />&1п&, то этот показатель равен 26 — — k^k-V 1) + О(^). Положим в (4.5) xt = X t-\- В, yt = Yt-\-B и получим, что J(6, Р) равно числу решений системы

2 (Х£ХВУ = 2 (Х^ВУ 0<г<ку (4.9)

1 </<61< Z <6

0 < Xlt Yt ^Р (1 < Z < 6).(4.10)

При г=1, 2, 3, ... последовательно получаем, что

(4.11)(4.11)2 Xrt = 2 YTt (1<г<&). l<t<&1<Z<Z>

(4.11)

(4.11)

Наоборот, из (4.11) следует (4.9), так что J(6, Р) равно также числу решений системы (4.11) в области (4.10). Отсюда видно, что J(b, Р) не зависит от В. Кроме того, получаем, что J(6, Р) не убывает с ростом Р.

Лемма 4.1. Пусть Q = RH, R> 1, Н > 1, Н — целое. Пусть также ^^1 и gx, ..., gk— такие целые числа, что

1 <1 <^i^i<^2<^2g^ — ^-1>2g^ — ^-1>2<gk<H, (v = 2, ..., k).<gk<H, (v = 2, ..., k).(4.12)(4.12)

1 <

1 <

^i

^i

<^2

<^2

g^ — ^-1>2

g^ — ^-1>2

<gk<H, (v = 2, ..., k).

<gk<H, (v = 2, ..., k).

(4.12)

(4.12)

Для каждого значения v (l<^v^^) обозначим через xv целое

число из интервала

(4.13)(4.13)— ^ + (gv— 1)/? < xv< —(о + £\,/?>

(4.13)

(4.13)

где со ^ [0, Q] — некоторое действительное число, не зависящее от v. Наконец, пусть Jx, J^ ..., Jk— какие-нибудь {слева открытые, справа замкнутые) интервалы, длины которых не превосходят соответственно 1, Q, ..., Qk~\ Тогда число различных систем хх, .xk, для которых

х^ + ^ + ••• "^хк^ь. ддя 6Сех h = V 2» к, (4.14)

не превосходит

(4.15)(4.15)96Н)« * “-”

(4.15)

(4.15)

Доказательство. Пусть хх, ..., хи, ух, ..., ук — две системы рассмотренного вида, и пусть

Sh= 2s'= 2

Kv<*1<V<6 v

для k — 1, 2, ,.., к. Обозначим через оЛ и о'г элементарные симметрические многочлены степени к от х^ и от yv соответственно. Из (4.13) и неравенства gvR ^ HR = Q следует |xv|<^Q, |yv|<^Q (1 ^ v ^ к). Поэтому

Ы<с£<Эй. |од|<С^й (1<Л<£).(4Л6)

По предположению должно быть

|SA —^l^^”1 (1<й<^).(4.17)

Пусть теперь ^^2. Покажем с помощью индукции, что отсюда следует

Ь^К!^-1 (2<Л<^(4.18)

Так как о2==^-^— s^, то при помощи (4.17) (Л=1, 2) и (4.16) это утверждение получается для h = 2

|°2—^^yd^-^ld^l + I^D + l^ —S2|}<

<1(26+l)Q<-5-2&<2 (й>2, Q > 1).

Пусть 3<^/z^^ и (4.18) уже доказано для всех чисел, меньших к. Тогда, используя (4.16), при l^v^/z—1 получаем (по (4.17) имеем | Oj — о' | ^ 1)

IVa-v — ^A-v^l^-^ll^-vl + Klka-v-^-v^

< {(2АТ-1 А + с^} 9й-1 <(1 + -L)^/^"1 kQh-\

Из формул Ньютона следует

8ц — °А-1 ++(— 1)йАай = 0,

5л —аХ-!++(—1)йК = 0.

Отсюда при ^^3, к^З следует

I0/, —^IC^V1+26 + |й2 (2&)V-,')QA"1 <

\2 < v < ^-1/

<1{1+2&4-^{(2&)й-1 — 2й)/(2&— 1)]9Й-1 <

<1{! +^ + 4^(2&)Й"7(2А-1)}9Й"1 <|(2Й9)Й“1.

чем (4.18) доказано. Из (4.18), в частности, следует, что

|од — o'|<(2AQ)a-1,1<Л<£(4.19)

(для k = 1 по (4.17)). Теперь для |X|^Q, ^^2 имеем

| (X — Xj) . . . (X х^) (Л у^ , . . (Л- — у^) | ^| (X — Xj) . . . (X х^) (Л у^ , . . (Л- — у^) | ^Q^1Q^1

| (X — Xj) . . . (X х^) (Л у^ , . . (Л- — у^) | ^

| (X — Xj) . . . (X х^) (Л у^ , . . (Л- — у^) | ^

Q^1

Q^1

= (1 + т^Йу W'1 - Н'1 «2^-1’ (4-2°)

так как 2^/(2^—О^4/з ПРИ ^$>2. Таким образом, по предположению (4.13) для I<v<&-1 имеет место оценка | у^— х^\> R, и, следовательно, если мы положим в (4.20) Х — у^ то получим

RH^k-Xh\<^Qf"x-

Поэтому число возможных различных хк не превосходит (2&Л/)6-1- При фиксированном хк, к ^2, по предположению, каждое из чисел

4+ ... -VxVi (1</г<&-1)(4.21)

лежит в интервалах длины не более Qh-V Пусть к^^. Предположим, что утверждение справедливо для к—1, т. с. что число различных систем xv ..., xk_v для которых суммы (4.21) лежат в интервалах длины 1, Q, . .., Qk~\ не больше чем

Тогда число соответствующих систем xv . . ., хк будет не больше чем

{2(& — 1)//р (Й"1)(Й~2>(2/г//)А-1 <(2^2 fe(6-n.

Тем самым утверждение доказано для к, если оно верно для к — 1; для к—\ оно очевидно, и, следовательно, лемма 4.1 доказана.

Ввиду условия (4.13) число, оцененное в лемме 4.1, тривиально не больше (/? -ф-1)^.

Лемма 4.2. Пусть c^V а в остальном пусть выполняются предположения леммы 4.1. Тогда число различных систем, для которых каждое из чисел

4 + .4-4 (1<Л<А)

лежит в фиксированном интервале длины не более cQ k' не превосходит величины

(2сУ<2кНук*~г^*к(4.22)

Доказательство. Разделим /z-й интервал не более чем на

подинтервалов длины, не превосходящей Q^"1. Так как

п (2cQ,'/i/6) = (2c)<:Q”<6"n, 1 < h < к

мы имеем не более (2с) Q2 систем подинтервалов, длины которых не более чем 1, Q, . .., Q^-1. К каждой такой системе применима лемма 4.1. Для каждой системы имеется не более (2&Я)2^ ^ возможностей. Отсюда следует утверждение леммы 4.2.

Число, оцениваемое леммой 4.2, тривиальным образом не превосходит (^ + 1)^

Лемма 4.3. Пусть b^b^2, Н— целое. Система целых

чисел gv . . ., gb (среди которых могут быть равные^ 1 ^^v^77 (v = 1, 2, . .., by называется правильной, если в системе встре

чаются по крайней мере k чисел, например g. , . . ., g. , такие, кЗк

что

g. -^>1(I<v<£-1);(4.23)

7V+1 yv

неправильная.систем не более чемнеправильная.систем не более чемв противном случае система Тогда число неправильных

неправильная.

систем не более чем

неправильная.

систем не более чем

Ь\ЪьНк~\(4.24)

Доказательство. Расположим числа gv . .., gbДоказательство. Расположим числа gv . .., gbв порядкев порядкевозрастания:возрастания:1<^1<^^ ^2^ ^2< ... <g;<n,< ... <g;<n,(4.25)(4.25)

Доказательство. Расположим числа gv . .., gb

Доказательство. Расположим числа gv . .., gb

в порядке

в порядке

возрастания:

возрастания:

1<^

1<^

^ ^2

^ ^2

< ... <g;<n,

< ... <g;<n,

(4.25)

(4.25)

и положим /v = g'—g^ (1 ^v ^.b — 1). Если система неправильная, то имеется не более чем к—1 значений /v > 1. Рассмотрим систему, для которой Д >1, ..., Д >1 (0</я<&— 2),

а остальные Д<^2. Для выбора индексов vP . .., vm при фиксированном т имеется ровно С?_\ возможностей. При фиксированных

vp . v^ имеется не больше чем Hm+X<2b 1 m возможностей, так как для g' имеется не более Н возможностей, а для / /—

не более Нт возможностей, в то время как при фиксированных grv f , . .., / каждая из остальных b—1—т разностей /, может

V1v

принимать самое большее значение 0, 1, что дает <2b-1""m возможностей. В итоге число систем g^, ..., gfb, которые соответствуют неправильной системе gv .... gb, не больше чем

к-2к-2

т=0т = 0

< Нк~х (1 4- 2)6”1 < Hft-X3b.

Отсюда, так как Ь\ системам gv . . ., gb соответствует одна и та же система gp ..., gb, получаем утверждение леммы.

Для сравнения заметим, что число всех систем тривиально не больше чем Нь.

Теперь докажем следующую рекуррентную формулу, из которой легко получится доказательство теоремы 4.1.

Лемма 4.4. Пусть к >2 — целое, а b — натуральное число, »>4^+i)+£=-^2+^<4>26)

(в частности, b > 3). Если

Л & In 2 J ’ то

ДЬ, Q) < (7b^b max (1, Л) Q^ " ^^ ^'Xb — к, Q1'1^). (4.27)

Доказательство. Мы разобьем довольно сложное доказательство на пять частей.

Имеем

11

ДЬ. Q)= J ... J |Cft(Q)|26d«i ... dafe,О о

причем Ск определено в (4.1). Разобьем (С^(5)}^ определенным образом на частичные суммы. Согласно замеченному после формулы (4.11), достаточно рассмотреть случай В = 0.

В пунктах а), б), в), г) предположим, что д ^ 2 и, следовательно, Q > 2^.

Пусть пг — какое-нибудь целое число, 1 <2 nt ^ i] — 1. Разделим область суммирования C^Q) на Т1 частей длины Rm = QT"m\

^tn2m

Cft(Q)=S 2 еЩх^^g=\ (g-1) Rm< x <gRmg^

где Zmg—внутренняя сумма. Положим Z = \Ск^\ь. После почленного перемножения получаем

Z = 2 Z*mgx • • • ^mg^(4.28)

причем мы здесь и в последующем будем обозначать через

сумму не более Л4 членов определенного типа G. Строение членов О будет ясно из текста. Для краткости обозначим еще

Z,ngb-(4-29)

и всегда будем оговаривать, с какими gv ..., gb нужно брать Zm.

Те Zm, для которых gv ..., gb образуют правильную систему, мы назовем правильными суммами (мы считаем при этом, что члены произведения Z?ng^ . . . Zmgb в правой части (4.29) почленно перемножены) и обозначим их через Zm\ остальные Z^ мы назовем неправильными суммами. По лемме 4.3 при Н = У число неправильных сумм Zm не больше чем. Эти неправильные Zm

теперь разобьем еще раз, разбивая в каждом сомножителе произведения (4.29) область суммирования на две равные части; тем самым каждая неправильная сумма Z^ разбивается на 2^ сумм типа ZmAA. Число правильных Zm+1, которые получаются таким образом из неправильных Z^ не более

Ь I з^9т (^ — ^^ ——. ^ | 0^9т (^-1)

Эта оценка имеет место даже для числа всех ZmvV получающихся из неправильных Znv Правильные ZmvX мы обозначим через Z^v а неправильные Ztn_vX мы разобьем далее так же, как были разбиты неправильные Zm. Весь процесс начинается с Zv Zx — всегда неправильные, так как соответствующие gp . .., gb равны 1 или 2, поэтому можно начинать с них. Процесс мы повторяем для in — 1, 2, т]—1 и через Z^ обозначаем на этот раз все Zn, которые получаются из неправильных Z^_x (а не только правильные Z^. Таким образом, мы находим

^=2 2^.(4.зо)

/72 = 1

где Um = b ! §b2m ^к~х\ (Внутренняя сумма становится пустой, если щ настолько мало, что не существует ни одной правильной системы gxgb, для которой(1например если

2^ < ^.)

В этой части доказательства с помощью подходящего преобразования ^m^v *••’ Sb)1 так сказать, „извлекаются правильные индексы*.

С помощью неравенства Шварца (П.12.3) из (4.30) получим

^ Гт I2 ^ Um

\Ck№^ = \Z^<4^\^Z'm\ с-И 25 I ^|2. (4.31)

т = \т — \

Рассмотрим теперь некоторое Z^^, . ,., g^y l^fn^r|—1, и предположим, что gv ..., gb — правильный набор индексов (т. е. выполнено условие (4.23) при yv = v); если это нс так, то можно так перенумеровать индексы gv .... gb. что получится именно этот случай. Так как среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит среднего арифметического (П. 12.4), то

ь

\Zmgk+^ • • • Zmg^ <^ l^zl2'6И-32)

Область суммирования в Zmg. (& + 1 ^ I <С Ь) мы разделим не более чем на

^Г 1 + l<Q2-'4Q'-1/ft-if’W^^^^^

^Q2""^Q!-!/ftj ' 4-Q1^"™""1 <Q1/ft2'(m"° (4.33)

частей. Неравенство (4.33) имеет место, так как т] = [InQ/^ In 2] ^ 2, Q^^. k^^. и, следовательно, 4 <^ 2n ^ Q1/? ^ Q1”1^. В каждой из получившихся частичных сумм

С* = 5^(/(У))(4-34)

У

У должно пробегать значения из интервала, длина которого не более чем Q1"1^— 1, точнее, для подходящего целого со индекс у пробегает все целые числа интервала

и<у<ы +-</. 0 < Q^Q1""1^,(4.35)

причем 0 ^ со ^ g;Rm ^ Q. так как область суммирования С* должна содержаться в области суммирования Zmg. (последняя состоит из гаких целых х. что <gt— Y)Rm < x<gtRm. Rm = Q2”m, i^gi^.2m).

Из неравенства Гёльдера (П.12.2) следует (к 4” 1

,Ql/k2-(m-l)^(b-k)

| 7|2(6—6)VI

(4.36)(4.36)01/й2-(т-1)

(4.36)

(4.36)

Отсюда и из (4.32) следует, что1)

Gm = (b — K) Qx,fe24m'u.

Из (4.31) вытекает теперь неравенство |Zp=|Cft(Q) Р»<Из (4.31) вытекает теперь неравенство |Zp=|Cft(Q) Р»<NmNmгдегдеv m m = lv m m = l"7 Р I С* Р (^ — ^)mgx • • • ^mgk I I u I"7 Р I С* Р (^ — ^)mgx • • • ^mgk I I u I(4.37)(4.37)

Из (4.31) вытекает теперь неравенство |Zp=|Cft(Q) Р»<

Из (4.31) вытекает теперь неравенство |Zp=|Cft(Q) Р»<

Nm

Nm

где

где

v m m = l

v m m = l

"7 Р I С* Р (^ — ^)

mgx • • • ^mgk I I u I

"7 Р I С* Р (^ — ^)

mgx • • • ^mgk I I u I

(4.37)

(4.37)

(4.38)(4.38)Л^m = t7m(6-A)Q,/й2-(m-,,

(4.38)

(4.38)

(при этом нужно(при этом нужнозаменить суммы в (4.31), возможно пустые для

(при этом нужно

(при этом нужно

малого m, пустыми суммами). При m = v\ может получиться.так, что ^р ..., gk образуют неправильную систему, однако с разбиением

’ ^й в I ZT\gx • • • ZT1gfe |2’ ^й в I ZT\gx • • • ZT1gfe |2Z^g (^+^^^^^) поступают так же, только gv не обязательно образуют правильную систему.

’ ^й в I ZT\gx • • • ZT1gfe |2

’ ^й в I ZT\gx • • • ZT1gfe |2

10<aft10<aftИнтегрирование (4.37) по области {О^^ даст

10<aft

10<aft

. dafe

ооооО ОО ОNmNmb — k Lb — k Ltn m = ltn m = l(Q1/^-^-!))2 ф-^'х(Q1/^-^-!))2 ф-^'х0000• ^riC*!2^"^^ dak. (4.39)• ^riC*!2^"^^ dak. (4.39)

о

о

о

о

О О

О О

Nm

Nm

b — k L

b — k L

tn m = l

tn m = l

(Q1/^-^-!))2 ф-^'х

(Q1/^-^-!))2 ф-^'х

00

00

• ^riC*!2^"^^ dak. (4.39)

• ^riC*!2^"^^ dak. (4.39)

!) При этом последняя сумма есть сумма не более Gin членов |С*|2^ ^. где С* — не рассмотренная подробно сумма вида (4.34).

Теперь устраним из интеграла в правой части (4.39) правильные для т^Л — 1 индексы, рассматривая интеграл как число решений системы диофантовых уравнений и используя леммы 4.1 и 4.2.

Выражение 11

J ... / I Zmgv . .. Zmgk |2| С* ^da. ... daft (4.40) О о

равно числу решений системы диофантовых уравнений 4+ ... + 4 + у? + ••• +у£_й =

= х* + • .. + < + < + •.. + <fc a<h<h\ (4.41) причем переменные лежат в областях

® <Уу.у' <® + ^/ (о < Q'<Q1-1/\ 0<®<Q), (4.42) /=1, 2, ..., b— к, где со— целое число из (4.35), зависящее от С*, но не зависящее от у,

(^ - !) ^ < ХР X'l < ^пг (7=1.2А),

(1<^г<2т, Rm = Q2-my(4,43)

Здесь при /п^т]—1 наборы gxgk образуют правильные системы. В (4.9) и (4.11) мы показали, что это число равно числу решений системы (4.41), если переменные лежат в областях

о < У,, у' < Q' (< Q1-1/*) (/=1.2b-K),(4.44)

— » +— l)Rm < xl.x,t< — to-V-glRm (i=l, 2А). (4.45)

Пусть теперь l^zn^T]—1. Если х'. фиксируется, а у. и у' пробегают область (4.44), то уравнения (4.41) накладывают на xt ограничения типа ограничений, предположенных в леммах 4.1 и 4.2, если положить в этих леммах R — Rmi H=2m, с = 2ф— к). В самом деле, из (4.44) следует

| у;й + ... + у£ й - у? - ... — ^ I < (»-Ф 3(1"1/й)й (1 < А < А). По лемме 4.2 число различных систем х. и х'. (1<^/<^^) из (4.45), которые удовлетворяют системе уравнений (4.41), если у^, у' лежат в области (4.44), не превосходит величины

(Rm + 1 f {4 ф — А))й (2 А2т)'/2Й (Й ' ° Q1'2 (й~

Мы имели 1 ^ ш ^ т] — 1 < т] <^ In Qlk In 2 и, следовательно, Q2 m > > Q2"11 ^ Q1"1^ ^ 22^-2, потому что Q 22^. Следовательно,

'kk^-^krnk (£-l)-(m-D k^k-'k (£ + 1)'kk^-^krnk (£-l)-(m-D k^k-'k (£ + 1)(4.46)(4.46)Rm~V^=Q^ m+1^2-Q2 m и рассматриваемая величина не превосходит

'kk^-^krnk (£-l)-(m-D k^k-'k (£ + 1)

'kk^-^krnk (£-l)-(m-D k^k-'k (£ + 1)

(4.46)

(4.46)

Каждое выражение вида (4.40) можно написать в виде

2 ^Np .... N^X

X J - - f *(- N^ - ... -NA)\C ^-^ ... d^, (4.47)

о 6

где ф^р •••» ^) — число решений системы

^ = 4+ ••• +4~xt — ••• -< ^<h<k> (4.48) в области (4.45), а ^1Nk пробегает систему чисел, которые представимы в виде

Nh = ^ А-^ь_к-Ухк- -Си (КК&) (4.49) с ^р Vj из области (4.44). Абсолютная величина интеграла из (4.47) не больше чем 0000

1111о оо о^mgx^mgxпоскольку переменная суммирования у в С* пробегает интервал (4.44), и J(b, Р) с ростом Р не убывает, как уже было установлено в (4.41). Кроме того, 2 Ф(^р ^) ограничено величиной (4.46), так как эта сумма равна числу различных систем хг х'. из области (4.45), которые могут появиться в качестве решений (4.41), если у^ и у' лежат в (4.44). Следовательно, для 1 ^ ш ^ т]—1 получим

11

11

о о

о о

^mgx

^mgx

Ztng^\C*\lvb"^dax ...dafe<

|4 (^&)}^ (2&) ‘^ ^-"^2^2/7г^ (й+1)—(2m~l) k^k — ^fz (& + D

о о

—^^—K)\kk'№*'*x4lll'tkll^'v441'nkkli-x'lQlk”w^J^b—k, Qx~x k). (4.50)

При ш = т| справедлива грубая оценка

/ * * * / I * ^^к И (^а1 * ' ’ ^к

о О

<(2^ / • • • / | CkVQx-^^dax .. . dak. (4.51) О о

поскольку Q2 ^^^ 2 > 4 > 1, /г > 2, и, значит, | Z^ |<;/?л + 1 = = (^"^-Р 1 <; 2/?л. Теперь, так как т) > In Q/^ In 2—1, имеем

(2/?^ = ^^"^ = Q^-Vz^ + l) ^Q<2"^k {!z + ^<fk~^ Uk-^k (^ + 1)}

^q2^-V2^ + 1)2V2^ (*-Ы)22^-п V^-^k^k^ _

= 2= 2Чгк (k +5)2V24^ (^—3)^2* -1/2 (k +1)Чгк (k +5)2V24^ (^—3)^2* -1/2 (k +1)(4.52)(4.52)

= 2

= 2

Чгк (k +5)2V24^ (^—3)^2* -1/2 (k +1)

Чгк (k +5)2V24^ (^—3)^2* -1/2 (k +1)

(4.52)

(4.52)

Из (4.26) следует ^4 (b — k)^ > ^k (kl)\k > 22b (k ^>2), а отсюда получаем, что (4.50) имеет место также для ш = г|.

В этом месте становится ясно, почему разбиение проводится как раз до m = т]. Это делается потому, что вплоть до этого значения пг (4.50) дает улучшение по сравнению с тривиальной оценкой в (4.51).

Если мы сопоставим теперь результаты а), б) и в), то, согласно (4.39) и (4.50), получим

11

J j|Cft(Q)P^ai ...dak< оо

т=1

). (4.53)). (4.53)X 2^2^ (^ + 0 + 72^^ (& — 3)q2& —у2 (к — 1)j/^^

). (4.53)

). (4.53)

Если положим

с^к, Ь^ = ф\йь^чь-ЬНЧг,цЬ+х\^ k'l2k(k~x\ (4.54) то, так как Um = b I Qb2mi'k~^ (см. (4.30)) и

Ntn = итФ— ^ Qi/k^ni-l) ^ЬХ^ф^^ ^mk-lm^lk

(см. (4.38)), наконец, получим

11

J ... J I Ск (Q) I2» da, da6 <

о о л

(4.55)(4.55)< С (^, b)^^2"m ^2b^k +5)}д2£-1/2 (й + 1) + 2 ^Ь-к)/к j(^_ki Q^ky

(4.55)

(4.55)

Действительно, (4(6 — &)]* < (4&/ и показатели степени двойки, не встречающиеся в с (к, Ь), дают в совокупности

пг^к— 1)—m2 ф—к) -Ь(т— 1)-^-тк — 2m + 1 -\-~тк(к — 3) =

= nt | — 2b —|" ^ к ф 4- 5) — 2} < т| — 2Ь 4—-^ k (k 4- 5) ^,

в то время как показатель степени Q равен 2к— г12(к-\-\)-х* + 2(& — к)1 к. В силу (4.26) имеем 2Ь— г[2к (к 4~ 5) ^- 1, поэтому из (4.55) следует

ЦЬ, Q)<c(k, b)^Q2k"w+iH2^^Q^~1/ky (4.56)

Теперь из-за того, что k<^b и /2&(&—1) < г^к (к 4- 1) < 2^, имеем.

с ф, b) < (6Ь)2Ь (4b)b (2ЬУЬ =(62 • 4 • 22 • №у> < (ТЬ^» и тем самым (4.27) доказано для г|^2.

Пусть т| < 2, следовательно,

-^ <2, Q<^, тах(1,л)=1.(4.57)

Разобьем Cfe(Q) на четыре части вида

с* — 2 е (/(*)). °<Q' <4Q<Q1-W- (4158)

А < х < А+ Q’

Неравенство Гёльдера дает

4

^Ъ-\^к (1~1/й)| с* |2(&“

С помощью интегрирования отсюда следует

J(b, Q) < 426-'Q2ft(1-№ 2 J ... / I С* \2^с1щ ...dafe< О о

^bQ^^l-l/k)^bQ^^l-l/k)ооОО(4.59)(4.59)

^bQ^^l-l/k)

^bQ^^l-l/k)

о

о

О

О

(4.59)

(4.59)

так как J(b — к, Q') J^b — к» Q1-1/^) (см. (4.58)). Поскольку 2ф—/?)//?> V2(^ + О (п0 (4-26)) и 2^(1 — 1/^)<2^, то правая часть (4.59) не превосходит величины

42^q2^-Vz (^ + 1) + 2 (b-кукj^ q! — 1/^'

Этим лемма 4.4 полностью доказана.

Пусть, например, х пробегает множество натуральных чисел, и пусть X — ^ е («^)- Пусть далее Q = RH, Н > 1 — целое, R > 1. Тогда Q.

X = Х(1) + • • • + Xw. где Х^ обозначает сумму, распространенную на область

Вр Ц—X^R <x<iR {X^i^H).

Пусть q > 1 — целое. Неравенство

J l^l^rfa^//2»-1ОJ l^l^rfa^//2»-1ОJ |^)|2^а++ / |Л<")|2^а

J l^l^rfa^//2»-1

О

J l^l^rfa^//2»-1

О

Оо

означает, что число решений системы

^1 + ^2+ • • • + ^ = ^1+^2 + • • • + ^

в области 0 < хя'-< Q (1 < у < #) не больше чем Н^ ^кратная сумма

чисел решений систем

^' + +лИ_Л'т+ + ^'

(' — 1) R < V,». х?"< № (1« 7 < s)

для 1=1, 2, ..., H. Вероятно, трудно доказать такие теоремы (кроме специальных случаев, например q = 2) без помощи показательной функции.

Доказательство теоремы 4.1. Пусть теперь мы имеем b > ~к (^+ l)-j-£Z. Если Рх-х,к ^^>, то Р<^9 при ^^2 и теорема тривиальна, так как J(b, Р) 92ь < (7Ь)5Ь и

lnZ р , р^-^Ь /г(^ + 1)+б; > in^ р , p^kl > ।

(2<Р<9, ^>2, 1>Х\

Предположим теперь, что Рх х^к > 3 и, следовательно, Р > 3.

Теорема 4.1 теперь имеет место для Z = О, так как ДЬ, Р)<^Р2Ь. Пусть Z^ 1, и теорема для (Z— 1) уже доказана. Тогда из леммы 4.4 при Q = P и неравенства max(l, ^^InP (Р > 3) следует

J(b, Р) ^(7b)5b\пР . j(b — k, Рх~ик\ (4.60)

По предположению индукции (нужно положить /—1, b — к, Рх~1/к вместо Z, b, Р) имеем

j(^_^t Рх~х,к')^ (T^^'^ln^1 Р • Р(1“1Д) (з^-^-’Л^сй+п+б^^^

Подставляя это в (4.60), получаем утверждение теоремы для Z, так как показатель степени Р равен

^к — ^кЛ-Х^А-^Ф — к^кА-^Ф — ^ — ^ф — к^к — _^(й+1) + |(А+1) + бг = 25-1й(й + 1)+6,.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема 4.1 в этом виде принадлежит Хуа [2]. Теорема и доказательство несколько проще, чем в первоначальном изложении И. М. Виноградова. Кроме того, имеется небольшое улучшение результата.

Применим теперь теорему 4.1 для оценки тригонометрических сумм.

Теорема 4.2. Пусть Р и Q— целые числа, Р^>\, и

5=2 е (axk^x -\*afexk -\- ... + а1х4-«о)»(4.61)

Q <х<Q + P

где а, а^а0— действительные числа. Если

0<2(^+1)|а|Р<1,(4.62)

то при подходящем cv не зависящем от k, Р, аа0, имеет место оценка

I S К 2е156№ ^р1-1^|П 6 in ^4- 2 | а rvft.(4.63)

Доказательство. Для P=L 2 теорема тривиальна. Пусть Р Т> 3. В последующем доказательстве к предполагается достаточно большим, однако насколько большим нужно взять к — не зависит от Р, Q или аа0. Достаточно (как в доказательстве теоремы 2.1) принять Q = 0. Положим

F (х) — ал;^+1 + а^^+ ... +«0,

5(У) = 2е(Г(х + у)),

1 с хс м причем натуральное число /И будет определено позднее. Имеем

М РМ Р-х

2 ^(Ги + у)) = х=1 z = lх=1 у~1~х

М с Рч

= м-1 2 2«(Г(х + у)) + /?(х) =(|/?(х)|<2х<2М)

х=\ (у=1J

М РР

^ЛГ^ ^е(Р(х4-У))^КМ=М~х ^(у^КМ, (4.64) х=1 у=1у=1

|К|^2. Пусть и Т> 1—целое. В силу неравенства Гёльдера (П.12.2) р 2ир

2 S (У) < Р2и~1 2 I S (У) Г“.(4.65)

у=1у=1

Теперь

2 |5(у)Ря = 2(5(у)П5гМ}и-

у=1у=1

р ( ММММ)

= 2)22 22 е(Ф)У (4.66)

где

ф = ^(^1 + у)+ •• • Н-^^ + у) —^(^+у)-. •^« + у) =

^А^х^ — 5 х^^+ЛJ^—^ xfj + .(4.67)

\Z = 1Z = 1/ \Z = 1 z=i 1 )

Л=а, Ak = Ak (y) = ak + 4- 1) ay, .

Обозначим через iH^iЛ^) число решений системы 4+ A-xh-x*- -x^Nh 0<h^k)

в области 0 < xr xft ^ M. Тогда *)

2»(Ф) y=l2»(Ф) y=lPMM MM

2»(Ф) y=l

2»(Ф) y=l

3l^w22 22

< S^)| 5 ^Л^ + ^ + Л^)

l^,^!^|^|<ИЛ1ЙI У-1

2,

X (^j ••• S I S e ^AkNfe 4- . .. + AXN\) Vnx Nk\^

Рассмотрим сначала первый сомножитель в правой части (4.68). Сумма

S-W.Nu>(4.69)

равна числу решений системы

хкА-...A-xhu-x'x =^А- ...+^ —X —У«-

причем все переменные лежат в интервале [1, М\. Если перенести здесь все отрицательные члены в другую часть, то получится система типа (4.5), число решений которой оценивалось в теореме 4.1. Из этой теоремы, если положить b = 2us Р = Н, для суммы (4.69) следует оценка

(14«У"1„-Л1.Я<"Л‘<^'Ч1-<1-1/«,1(4л0)

рр

!) Очевидно, что 2 5 (ф) = ^ (-^ (2 XVX ““ S ^z ^+1) ) 2 • • *» так как ^ у=1у-1

не зависит от у.

при 2и > ~ к (к 4“ 1) + ^- Будем теперь предполагать, что 2^ > > ~ k(k-^-l)-Vlk и положим

Z = [^ In {^(^4-1)} 4-^ + 1.(4.71)

Очевидно, что I ~ 2k In к при к->оо. Далее при ^^1 имеем

1б(»+1)^-т)(4.72)

так как (1 — 1/^)^<^~1 и

1 й (й + 1) (1 - -1)*,П к^^ < 1 к (к + 1) {А (А + 1) еГ1 •

22Для второго множителя в правой части (4.68), так как Л^=а^4~ 4-(^4“0аУ’ в СИЛУ (6.6.4) получаем

2

2

2-S2e U^N^ 4- ... 4- AxNj)

N! Nb y-1

р

Nt ^-1 Л"1Nt ^-1 Л"1n^n^

Nt ^-1 Л"1

Nt ^-1 Л"1

n^

n^

2к-'ик-'1М2к<к П2к-'ик-'1М2к<к Пр р

2к-'ик-'1М2к<к П

2к-'ик-'1М2к<к П

S2 S е((к-1г1)о,(у1 —у2) N^

г6'1^-1/)!7 &(fc~1) ^ ^ min|2«^fe, 4l(A+ 1)а(У1—^Г1}-

Vj-1 y2-i

(4.73)

Из (4.62) следует

|| (к 4- 1)а (у, — У2) || = (^4- 1) I «11 У1 — Уг I-

и, так как каждое из чисел 1, 2, . .., Р—1 можно представить в виде | у! — у21 (1 ^Ур У2^^) не более чем 2Р способами, получаем

^ ^ min { } =

У1 У2

=^2«Мк+2(2(А4-1)|а||у1-у2|)-1<

1<У1, У1<Р1 <Уь у2^^

У1 = У2У!^у2

<2«Л4^ + (1 + 14-4--±т)р|аГ1.

Следовательно,

SSmin{ }<2«ЖеР4-Р(14-1пР)|аГ1<4«Р1пР-|аГ1 /4.74)

У1 Уз’

(Р^З), если мы предположим, что МОН1^(4.75)

В итоге для суммы из (4.65) получаем

25Су) <Р1и-Х {(14«)10u/lnzAf • Л44“-'/2б(A+D+I/5|'Л х у=1

X Vk"Xuk-xM41k ^ЧиР In Р • I а Г1}7’ < < x'kp^-ipi 1п,/2 Р • yM2“+V10 („^ уИ, (4.76) к = 2k+V (Um)10"^-6 I а I"1.(4.77)

Подставим это в (4.64). Тогда

| S К ^Wpi-W \п^иР • МХ№и lnz/4“Al + 2AL (4.78)

Сначала следует предположить, что Р^Зе, и взять М = [| а | 1/6]. (При этом (4.75) выполнено.) Тогда в силу (4.62) |а| 1 ^ 2 (& + О^ и, следовательно, УИ^-З. Поэтому имеем V21 а Г^* ^ ^ ^ I а Г^* и |а|Л^>2-\ т. е. X ^ 2?kVkuk (14«)10"z. Далее предположим, что Л4^Р, Тогда 7И1/20“ ^ Р^, 1пЛ4<^1пР и из (4.78) следует, что

lsKlsKххWpl-\ISuWpl-\ISu(lnP)(1+Z)/4“ + 2|arv\(lnP)(1+Z)/4“ + 2|arv\

lsK

lsK

х

х

Wpl-\ISu

Wpl-\ISu

(lnP)(1+Z)/4“ + 2|arv\

(lnP)(1+Z)/4“ + 2|arv\

Так как 4а > V2^(^ + 1) + 2/&, то (14-/)/4«<1, и

I S |< {2М+V (14«)W“Z}V4“Р’-1/5“ InР + 21 a р*

Из неравенства 4а > ^^к (к + 1) + ^^к = 4&2 In к + О (к2) вытекает, что (22к^гик^4и -> 1 при к-хх). Следовательно, для достаточно большого к имеем (22^+V)1/4m <^ 2. Итак, для достаточно большого к

| S |< 2(М^^Р1'1^ In Р + 21 а Г1/й.(4.79)

Эта формула справедлива также в случаях, которые не рассматривались, т. е. для Р < М, P^3k и Р < 3^. Для достаточно большого к

\5\<Р<\5\<Р<М<|аГ1/й 3^ ^ uiМ<|аГ1/й 3^ ^ ui(Р<(Р<м, Р>^4.м, Р>^4.(Р < 3е).(Р < 3е).

\5\<Р<

\5\<Р<

М<|аГ1/й 3^ ^ ui

М<|аГ1/й 3^ ^ ui

(Р<

(Р<

м, Р>^4.

м, Р>^4.

(Р < 3е).

(Р < 3е).

Положим теперь

м==^й(*+1) + ^-/*]+1~*21п* (*->со).(4.80)

Тогда обязательно Ъи > Ti^k (& + 1)4- Ik, как мы до сих пор предполагали. При этом для достаточно большого к 5/2/<6^1п^, 14^ < 15&21п& и следовательно,

(14«)%/ < (15А2 In*)66'"^ < ехр (15* In2*).

Так как 5^<6^21п^, то для достаточно большого к получаем

I S К 2 ехр (15* In2 *) р1-^2 ,п к in Р + 21 а |_1/\(4.81)

Таким образом, теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3 т). Пусть Р^Х, Q— целые числа и

S —2 eUWY »<Р'<Р.(4.82)

Q < п < Q 4- Р ’ причем

f ^ = ахк -\-о.кхк-х -\- . . . 4"ai(4.83)

— полином с действительными коэффициентами. Тогда при подходящей положительной константе А имеет место оценка

S С ехр (Л In3 k^ Px"w In P 4-1 a p1^"1)(4.84)

для

k>c^ 0 <2&|a|P<l.(4.85)

Здесь константы не зависят от Q, Р, к и а, ..., аР

Доказательство. Из теоремы 4.2 с заменой &4~1 на к для достаточно большого к следует

15 |< 2 ехр (15* In2 *)р^^lnInР + 21 a l^-1*,

так как первый член в правой части (4.63) не убывает с возрастанием к. Для достаточно большого к имеем 61п^^^, и предполагая сначала, что Р ^ ехр (90&3 In3 ку получим

ехр (15* In2 kVW"* " - {ехр (90*3 In3 *)}W2 Xnbр** <

< [ехр (90*3 In3*)}’/А’ Р1-’/6’ = ехр (90 In3*) P1-,/ft

П Татудзава [2].

/так как для 0 < с с9, О < d9 <<d. < 1 имеем сМ”61 С сМ-Л) I 1 Z 1 1 Z 1 Z у* Тем самым (4.84) доказано для РТ>ехр (90&31п3&). В противном случае

I S I < Р < Px'w {exp (ЭОЛ:3 In3 </й’ = exp (90 In3 *) Д " w

и, следовательно, (4.84) справедливо для любого Р ^> 1 (для Р=1 имеем | 5 | ^ | a j"1^"1). Теорема полностью доказана.

§ 5. Применение к оценке £(s, w)

Теорема 5.1. Пусть 0 < w ^ 1, t ^> 3 и N, Nf — такие натуральные числа, что

N' <N' <2N.2N.(5.1)(5.1)

N' <

N' <

2N.

2N.

(5.1)

(5.1)

Тогда при подходящем сх > 0 для к^ сх имеет место оценка

2(/г + ^) ^<^ехр(Л ln3^)^ WX

х ^W(t+p ^(^-V^+P^^/^-P^-W-P.х ^W(t+p ^(^-V^+P^^/^-P^-W-P.(5.2)(5.2)N <n<N'

х ^W(t+p ^(^-V^+P^^/^-P^-W-P.

х ^W(t+p ^(^-V^+P^^/^-P^-W-P.

(5.2)

(5.2)

Доказательство. Разложим сумму 2 на частичные суммы

N<n<N'

вида, рассмотренного в лемме 2.1:

2(/г + теО lt <^ max I 2 ^(/W)l«(5 3)

Q<n<Q-\-P0 < Р’ < Р|0 < пСР'|

где Q— целое, а /(х)— такой же полином, как в теореме 4.3, и

| а I = t[^2nkQ^, Qo = Q + ш-

В каждой такой сумме Q и Qo удовлетворяют неравенствам N ^ Q < <90^2/^; таких сумм имеется не более чем N[P-\-L причем в последней сумме суммирование, возможно, проводится по интервалу длины меньше Р. Если мы положим

р=[4^р=[4^-1/(£ + 1)'-1/(£ + 1)'(5.4)(5.4)

р=[4^

р=[4^

-1/(£ + 1)'

-1/(£ + 1)'

(5.4)

(5.4)

то непременно будет P^-^Qt 1^4"1^ и, следовательно, будет выпол* нено (2.5). В силу (5.1) имеем

Р < 1NCW+XX < 1 Nk ^tkftk2-xY(R-1)t^K^D < ^-i.(5 5)

Отсюда следует, что

2A|a|Z) CN^Qo11 < 1,

так как Q0^.2/V, так что условие (4.85) теоремы 4.3 выполнено. Из (5.1) получаем

^Nt^Nt-!/(& + !)-!/(& + !)> ^/(*2-D> ^/(*2-D> L> L

^Nt

^Nt

-!/(& + !)

-!/(& + !)

> ^/(*2-D

> ^/(*2-D

> L

> L

и, значит, Р^ 1. Применим теорему 4.3 для достаточно большого к. Тогда, так как Q0^2^, из 5.3 следует

2 <Сехр(л ^^Р’-^ШР + Сгл^г1)1^"1^

<Сехр(Д In3 к^х-х1№го-1№№ ^-W^y^t^^

Сумма в (5.2) разложена на не более чем N(P-^ 1 <i ^Z^+^-p 1 ^ ^ 2^1/(А+1) (/^ 3) частичных сумм этого вида. Таким образом, оценка (5.2) выполняется и теорема 5.1 доказана.

Заметим, что

N1 - wp^ (к+1) = N№ ~ 1)г 2№~ 1)

для N = А

^ft+H1 2(A34-fe —1)64-1

Следовательно, для постоянного t формула (5.2) при ^ ~ /^ дает наилучшую оценку.

Теорема 5.2. Пусть N, N' — натуральные числа» N <№ <; <2N и

^2/(6+1)<Л^1,6^(56)

При подходящих константах с2^Ъ» с3^3 и к '^* с2» t ^* с3(5.7)

имеет место оценка (0 < w^; 1)

2 (« + «'Г5 <С exp (A In3 А 4- с4 In3/)(5.8)

N<n<Nl

в области

1П2/4£a>1-W’ t>c»-(5-9)

Доказательство. Если N удовлетворяет условию (5.6), то теорема 5.1 применима, если только

^1,2/(Л+1)^2^2-1\

что выполняется при достаточно больших к и t. Следовательно, для достаточно больших к и t

2 (n+-ty)-z'<c

N <n<N'

C N (exp (Д In3 ^t-°-2№^ In ^’6/(S+1) + r0’4^2"1)} <C

^Nexp(A \n4)r°-w+xhnt, так как 0,4/(&2—1) > 0,2/&3(& + 1). Как в лемме 3.1, с помощью частного суммирования, согласно 5.6, получаем

2 (п + ^Г5 <^ N'~° ехр ^Л In3 к — ^3 (°’V j) In ф Inf С N<n<N'

c exp { A In3 к + 1,6 In t (A^. _-щ^г) + ln21}.

Функция (1—o)x — ^gX4 имеет при x = 21/3(l—о)1/3 максимальное значение, равное 3/421/3(1—о)4/3. Следовательно,

5 (л + ^Г5Ссхр{Л 1п3^ +1п2^ +2 (1 — о)4/31п4.

N <n<N’

Отсюда, если выполнено (5.9), следует (5.8).

Теорема 5.3 !). В области

°>1”7>?> ^>3,(5.10)

имеет место оценка (0<w<^l)

С (s, w) — to*5 <^ exp ^5 In3 fy(5.11)

Доказательство. По теореме 3.1 можно считать, чтоо<1; согласно лемме 3.5, достаточно доказать, что начиная с некоторого t сумма 5 (/г + w)"5 остается меньше правой части (5.11). Пусть t уже настолько велико, что область (5.10) лежит в полуплоскости 0^1/2. Разделим эту сумму на три суммы

причем положим No = exp ln3/4^, Nt—t2lg\ натуральное число g будет определено позднее. Для 0 < ^ ^ о < 1 имеем

^ Татудзава [2]. (См. также добавление II. — Перее.)

Если положить 01 = 1—1П2/4//In34 Z, то

I п/ t

L "Т^Г еХР ^^ ^ ^ еХР '^ Л

п < No2

Вторую сумму мы разделим на частичные суммы 5 , N<M,^.2N,

N<n<N’

вида, рассмотренного в теореме 5.2; таких частичных сумм будет, очевидно, не более чем <^ In t2^g <^ In t. Для каждого N определим к так, чтобы выполнялось условие (5.6)!). Если g выбрано достаточно большим, то в каждой частичной сумме k^c2, так как из неравенства (5.6) для N^t2/g следует 1,2/(& + 1) </ 2/g.

Выберем теперь постоянное g так, чтобы 1,2g ^ 2 (с2 + 1), g/>6. Для любой частичной суммы N должно во всяком случае удовлетворять условию ^^expln3/4/. Так как, кроме того, должна выполняться оценка (5.6), то, в частности, имеет место неравенство In3/4/^1,6 (In/)/(/?-Ц— 1) и, следовательно, & < 1,6 In1/4/. Отсюда и из теоремы 5.2 (увеличивая, если это необходимо, t настолько, чтобы оно стало не меньше с^ получим

2<^ In t • exp {A In3 (1,6 ln3/4 /) + ^4 Ini ^j <^ exp (c ln2 /).

No < n < Nt■

Наконец, из леммы 3.4 следует

2 =o(i) (o>i—2'^-4 Nx<n<t2

Для каждого фиксированного g и для достаточно большого t 22

In4 //In4 t < 2-^“1). Тем самым для достаточно большого t, и поэтому (после возможного увеличения с5) для /^3, оценка (5.11) доказана.

§ 6. Следствия для нулей L(s, %)

Оценка, полученная для ^(s, -w), позволяет расширить область, свободную от нулей /.-функций. Сначала нам потребуются соответствующие оценки для L(s, у).

Теорема 6.1. В области

2ln24 tа>1— —V» ^>8.(6.1)

In4/

имеет место оценка

(6.2)

для каждого характера у по mod/e^l.

Доказательство. Для k — 1 теорема уже содержится в теореме 5.3, так как £($) = £($, 1). Пусть к ^> 2. Тогда

Из теоремы 5.3 для

9393

93

93

о ^ Oj = 1 — In4 //In4 /,/ ^ 3,

следует

In4 /In4 /L^s, у)<^кТ ^ехр(с1п2/) + -^з^-<^ехр' In к

In4 /

In4 /

а отсюда вытекает 6.2.

Заметим, что в правой части 6.2 первое слагаемое в скобках равно второму слагаемому при к = exp ^с In4 / In24 t/.

Методом, применявшимся в гл. IV, может быть доказана следующая теорема. .

Теорема 6.2. Пусть к^ 1 — целое. При подходящем с^ > О функция L(s, х) не имеет нулей в области

(6.3)

М(к, O = max(ln^, In4 (|/| + 3)ln4 (|/Ц-3)](6.4)

для всех характеров у по mod к, за исключением, быть может* простого действительного нуля Pj у L-функции, определенной исключительным характером /р

Доказательство. По теореме 4.6.9 достаточно доказать утверждение для |/|^4, и, так как нули функций L(s, х) и L(s, х) симметричны относительно действительной оси, достаточно рассмотреть случай / ^ 4.

Можно предположить, что k^S, так как нули Z-рядов по modi и mod 2 при 0<о< 1 совпадают с нулями функции L^s, Хо)» соответствующей модулю, большему двух. Пусть р~р ~МЛ— НУЛЬ Функ

ции L (s, X) и ^i ^ 4. Положим R = R^k, Z^—rnax (In k, (In tx ln2 Z^4} и p=l—b]R. Нам нужно показать, что b больше, чем независимая от х и tx константа. Положим о0 — 1+^/^> 0 < # < у (причем а ниже будет определено более точно), и

ln24 tx

г = ^з—3—

In4 tx

(6.5)(6.5)константа с3 также будет определена позднее. Применим теорему П. 4.5 к функции F(s) = L(s, х) с областями |s—s'|<^r, s' = a04-^j и |s —Sgl^r, Sq =a04-^2Zr Выберем c^ настолько малым, чтобы эти круги для каждого я>0 и каждого tx^>4 лежали в области (6.1). Это всегда можно сделать, так как при tx—>oo и постоянном с

(6.5)

(6.5)

9/9

3,3

In4 tx \ In4 (2Z2 4-С)

Теперь в обоих кругах можно применять теорему 6.1. Для круга Is— SqI^t, принимая во внимание (4.5.19), находим

In4 tx

Аналогичная оценка получается для абсолютной величины дроби L(s, x)l^s", х) в круге |s — s'' | <>• При замене tx на 2tx порядок величины последнего экспоненциального сомножителя по существу остается таким же. Отсюда следует, что

—1ln94 Z, о In9 Z, 1

In Al <^ Inh 1 n2 k 4* 1^2 ^1 + ln & —чH ^2 6 <C —q— R In —.

In4 Z1

In4 Z1In4 Z1(6.7)

In4 Z1

In4 Z1

Последняя оценка справедлива потому, что а < у, In (1/я) > In 2 и порядок 1п2 ^ не больше порядка величины в правой части (6.7), так как имеет место оценка

ln.?4 tx\

1п&—-—, lnp} I (&^3, //.>4),In4 tx/

которая очевидна, если рассматривать отдельно случаи tx ^ к и tx < к.

Пусть теперь д выбрано настолько малым, чтобы при 0<а^д и 0<#<^д нуль рт = р —|—/^! лежал в круге | s— ^|^уГ; кроме того, 6 выбирается одним и тем же для любого к ^ 3 и ^ = 4. Например, можно выбрать д так, чтобы

для к^Ъ, tx^\. Это всегда можно сделать независимо от к, tv так как X[R = о (г) (tx->oo)y) и так как 1//? не возрастает с ростом к. Достаточно доказать, что существует удовлетворяющая условиям теоремы константа с2, такая, что 0 < с2 < b ^д. Из (П. 4.10) и (П. 4.9) получаем тогда

Х)>-с/?1п1 + —Ц-(6.8)

и» Uq р

и

Re ту (°о + t'2^i. X2) > — CRln т •(6-)

Так как

Хо)<С—^-(о0)~^т(Оо^1+0),

то для 0 < а ^ бх (е) ^ д имеет место неравенство

Re^o- Хо^-^Ц-(6.Ю)

Отсюда и из (6.8), (6.9), согласно (4.4.4), следует, что

1 ।43(1+е)п

— cR Inn-—<> °-(b-1О

a 1 a0 — ₽a0—1v

Возьмем е = ~, 3(1 + е) = 15/4, 4 — 3(1-j-е) = ™. Тогда, так как о0 = 1 4-a'R, для 0<^<б1=б1^Н 0<6<id, получается

/?(—/?(—, 1с In — а, 1с In — а(6.12)(6.12)

/?(—

/?(—

, 1

с In — а

, 1

с In — а

(6.12)

(6.12)

Для подходящего d2, 0<б2^б1} и для 0<а^б2 имеем

Если теперь зафиксировать а. то получим противоречие с (6.12), например, для 0 < b ^ с^ < б. Следовательно, область

>, ^>4

не содержит нулей ни одной Z-функции, отвечающей характерам по mod к. Это нам и требовалось доказать.

Пусть вообще в области вида о>1—6^), /^3, выполняется оценка L (5, х) <^ ехр {Л (Z) In к 4- m (/)}. Тогда аналогично можно показать, что L (s, X) + ° в области

о > 1 — c!R, t > 4,

D I 1 д МО ^ ОТ 1

/? = max < In Л> Г к

(6(0 б ОТ )

если только 6 (/), X (Г) и m (t) удовлетворяют определенным условиям. В качестве таких условий можно выбрать, например, следующие: 6 (,ty X (ty \fm (t) не возрастают; m^->^ при /~>оо; 6(0<-^,

6(0 <С б (2^ + 0 (/->со)

при фиксированном с и то же самое имеет место для X (0 и \jm (0; наконец— <Сехрт(0.

При Л (/) = 6 (0 — ln24 01n 4^> m (0 — 1П2 ^ получаем теорему 6.2, а при 5 (0 = -i-, X (0 = const, m (t) = In t — теорему 4.5.6.

Теорема 6.2 дает наилучший 9 на сегодняшний день известный результат по областям „слева от о=1“ (с большим О» в которых L (s, х) ¥= 0 или £ (s) ^йО (k = 1). Уже из гл. IV для ^=1 следует, что в области вида о > 1 —c/max (In к, In^O нет нулей никакой функции L (s, х)- Для а < 1 это впервые доказал Чудаков с помощью более старой формы метода Виноградова.

Наше доказательство примыкает к работе Татудзавы [2]. Несколько другое изложение (в случае к — 1) см. Титчмарш [3].

’) В настоящее время известны более сильные результаты (см. Валь- фиш [3*J у —Прим. ред.

Уже здесь с помощью теоремы 6.2 мы сумели существенно улучшить порядок величины остаточного члена в теореме 4.7.2. По примеру того доказательства находим в остаточном члене формулы (4.7.13) 4 з, / _з з, \

1п7х/1п7х вместо yinx, правда, только для к ^ ехр In7 х In4 х) эта область меньше, чем область к ^ exp (с "j/Tn х\ в которой была доказана оценка (4.7.13). С точностью до малых сомножителей приходят, так же как в (4.7.15) и (4.7.18), к остаточным членам вида х(Т и

x\-c]M<k, ехр I — с 1П x/max (jn к, In4Т In4 7у j ,43

которые для In 7 = 1п7 х(\п^ х оба приблизительно одинакового по-

рядка. Правда, тогда 1п& не может быть больше чем с In4 Т In4 Т <^ 33

<^ In7 х In7 х, иначе ехр(— с In л:/1п к) больше не будет величиной

(12 \

<^ехр (— с In7 лг/ln7 х).

Для 1п&> ]Лп л; можно доказать формулу, аналогичную (4.7.13), с остаточным членом О(хехр{—с In л'/ln Ц • In2 кх). Однако при переходе к теореме 4.7.3 это бесполезно, так как в (4.7.20) получаем тогда тот же остаточный член для 1п&>Д]Лпх (А достаточно большое) и этот остаточный член больше, чем главный член х,^(к).

В следующей главе мы познакомимся с теоремами о „плотности" нулей L(s, х) в критической полосе, которые позволяют улучшить теорему 4.7.3. Эти теоремы нужны также для исследования порядка величины р/2 Ь1—рп (где рп обозначает n-е простое число) и очень интересны сами по себе.

Глава IX

ТЕОРЕМЫ О ПЛОТНОСТИ НУЛЕЙ /.-ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Вертикальное распределение нулей

Рассмотрим сумму