ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга написана для учащихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания, с тем чтобы лучше подготовиться к вступительным экзаменам в вузы. Она может помочь и тем, кто уже окончил школу, ио продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях. Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели профтехучилищ и техникумов, руководители математических кружков и студенты педагогических вузов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе. Наконец, книга может представлять интерес как сборник, содержащий более 2000 задач, из которых треть задач приведены с решениями. Значительная часть задач предлагалась на вступительных экзаменах в различных вузах.

Книга написана в соответствии с программой по математике для средних школ, и в ней используются терминология и обозначения, принятые сейчас в школе. Пособие не содержит систематического изложения школьного курса математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее все основные i важные, по мнению авторов, вопросы освещены достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, несколько выходящий за рамки ныне действующей программы для поступающих в вузы. Авторы считают, что изучение этого материала будет способствовать развитию математической культуры учащихся, а также принесет пользу при дальнейшем обучении в вузах.

Книга состоит из 17 глав. Каждая глава содержит теоретический материал и задачи. Изложение теории сопровождается разбором большого числа примеров различной трудности. Задачи в каждой главе разбиты на два раздела: задачи первого раздела даны с решениями, задачи второго раздела — только с отЕ1етами. Авторы настоятельно советуют учащимся обращаться к приведенным

в книге решениям задач 1-го раздела только после настойчивых попыток решить задачу самостоятельно. Самостоятельное решение одной задачи часто приносит больше пользы, чем разбор готовых решений нескольких задач. Учащимся, которые желают поступить в вузы с повышенными требованиями по математике, следует изучать материал более глубоко с непременным решением достаточного количества задач.

В конце книги в «Приложении» даны образцы вариантов письменных экзаменационных работ по математике, предлагавшихся в 1977 — 1979 гг. Они дают представление о степени трудности задач на приемных экзаменах в различных вузах страны.

В заключение отметим, что пособие написано на основе опыта заочного обучения математике школьников 8—10 классов в заочной физико-технической школе при Московском физико-техническом институте. Авторы благодарят директора ЗФТШ, заслуженного учителя РСФСР Т. А. Чугунову за помощь в работе. Авторы выражают также глубокую благодарность профессору Г. Н. Яковлеву, советами и рекомендациями которого они постоянно пользовались.

Глава I

МНОЖЕСТВА. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

§ 1. Множество. Подмножество. Объединениеи пересечение множеств.

Числовые множества

Множество. В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входгщих в эту совокупность. Например, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой. Книги данной библиотеки, вершины данного многоугольника, натуральные числа, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, X, ... Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывается так: а е А и читается ш принадлежит множеству А», «а входит в множество А». Запись а^А (или а^А) означает, что а не является элементом множества А.

Например, если через IN обозначено множество натуральных чисел, то

ЗеМ, 20 е К О^М, 3/2 ^М.

Обычно множество задается указанием характеристического свойства его элементов, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они. Чаще всего это свойство формулируется словами: множество учеников данного класса, множество решений уравнения х2 — 1 =0, множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек.

Может оказаться, что множество определено таким свойством, которым не обладает вообще ни один объект. Рассмотрим, например, множество треугольников, длины сторон которых равны 1 см, 2 см, 5 см. Из геометрии известно, что треугольника с такими длинами сторон не существует, т. е. так определенное множество не содержит ни одного элемента. Ни одного элемента не содержит и множество рациональных чисел, квадрат которых

равен двум. Множество решений системы уравнений

( * + у = 1,( х + // = 2

также не содержит ни одного элемента. Говорят, что эти множества пустые. Пустое множество не содержит элементов, оно обозначается знаком (/).

Если множество содержит конечное число элементов, бывает удобно задать это множество перечислением его элементов. Элементы множества выписываются подряд и заключаются в фигурные скобки, порядок записи при этом роли не играет. Например, множество, состоящее из трех букв а, б, в, записывается так: {а, б, <4-

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. В этом случае пишут А = В.

Множество решений! уравнения хг — 5х + 6 = 0 содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны..

Числовые множества. В алгебре чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Для некоторых часто встречающихся числовых множеств в школьном курсе математики приняты стандартные обозначения: IN —множество натуральных чисел, Z—■ множество целых чисел, (Q — множество рациональных чисел, ^—■ множество действительных чисел.

Действительные числа изображаются точками координатной прямей (числовой оси). Координатная прямая — это всякая прямая,

У£N на которой выбраны направление, при-

—।——-I11—нимаемсе за положительное, точка — наи'°;'' чало отсчета и единица измерения — мас-

Рпс. 1.штабный отрезок, длина которого прини

мается равной единице. Координатная прямая обычно изображается горизонтально, положительное направление указывается стрелкой, начало отсчета обозначается О (рис. 1). Точка О разбивает координатную прямую на два луча, один из которых имеет положительное направление и называется положительным лучом, другой — отрицательным. Число, изображением

О Е ММОЕ

111>_,1 —।^

О 12,0 а:-/01т

Рис. 2.Рис. 3.

которого на координатной прямой является точка Л4, называется координатой точки М. Координата начальной точки О равна нулю. Координата любой точки М, лежащей на положительном луче ОЕ, равна длине отрезка ОМ: х = |ОЛ4| (на рис. 2 координата точки М равна 2,5). Если же точка М лежит на отрицательном луче, ее координата равна длине отрезка ОМ, но взятой

со знаком минус: х = — |ОЛ4| (на рис. 3 координата точки М равна — 1). Вся координатная прямая обозначается Ох.

Неравенства между действительными числами на координатной прямой получают простое истолкование. Если лу < х2, то точка с координатой xt лежит левее точки с координатой х4. Расстояние между двумя точками Mt и М4 координатной прямой равно абсолютной величине разности их координат хА и х4; ( MLM4j = )х1 — х41.

Пусть а и b — действительные числа яа<Ь. Ниже в таблице 1 даны названия, определения и обозначения числовых множеств, называемых числовыми промежутками, и их изображение на координатной прямой. Каждый из числовых промежутков определяется как множество действительных чисел х, удовлетворяющих определенным неравенствам.

Таблица 1. Числовые промежутки

Назва ние

Неравенство, определяющее множество

Обозначенне

Изображе ние

отрезок от а до b (замкнутый промежуток)

а X ag Л

Iе; И

,. . ^///////z^

аb ос

интервал от а до b (открытый промежуток)

а < х < b

]а; 6[

tf////////'^ сиb ос

открытый слева промежуток от а до b

а<х^Ь

]а; 6]

а.Ь л;

открытый справа промежуток от а до Ь

а^х <.Ь

[а; 6[

a,ba;

числовой луч от а до +са

а^х

[а; +со[

4//////////.//^

CLСС

открытый числовой луч от а до 4- со

а <х

]а; +со[

ааз

числовой луч от — со до а

х^а

]—со; а]

а, аз

открытый числовой луч ОТ —ОО

ДО а

х с а

] —со; а[

а, со

Открытый слева и открытый справа промежутки (см. таблицу 1) называются также полуоткрытыми промежутками, а числовые лучи — бесконечными промежутками. Множество действительных чисел R обозначается также ] — оо; +°°[ и называется числовой прямой. Всякая координатная прямая является изображением числовой прямой.

При рассмотрении числовых множеств вместо слов «элемент», «число» употребляется также слово «точка». Так, например, вместо

«число 1 принадлежит отрезку [0; 2]» говорят: «точка 1 лежит на отрезке [0; 2]» или «точка 1 принадлежит отрезку [0; 2]».

Подмножество. Всякое натуральное число принадлежит множеству целых чиОел; любая точка интервала ]а; Ь[ является точкой отрезка [а, Ь]; любой правильный треугольник является элементом множества всех треугольников.

Если любой элемент множества А принадлежит также множеству В, то множество А называется подмножеством множества В. Эго записывается так: Лей или В zd А. В этом случае говорят, что множество А содержится в множестве В йли множество В содержит множество А. Таким образом, множество IN натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, т. е. IN с Z; интервал ]а; й[ является подмножеством отрезка [а, Ь]: ]а; й[с[а; Ь].

Если в множестве А найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В, то А н§ является подмножеством множества В1. Аф В. Например, отрезок [а; й] не является подмножеством промежутка ]д; Ь], так как а е [а, Ь], но а ф ]а; Ь].

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утверждение А с А.

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, так как пустое множество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нем нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству.

Рассмотрим, например, множество учеников некоторого класса; обозначим это множество X, и пусть У —множество учеников того же класса, получивших за контрольную по истории оценку «отлично». Если все ученики класса получили за эту контрольную отличную оценку, то X и У равные множества: Х = У. Если же ни один ученик класса не получил «отлично», то множество У пустое, У = ф. Но в любом случае множество У является подмножеством множества X: У с X.

Рассмотрим еще произвольное множество, состоящее из трех элементов, которые обозначим а, b и с, и найдем все его подмножества.

Это пустое множество ф; множества, содержащие по одному элементу: {а}, {6}, {с}; множества, содержащие по два элемента: {а, Ь}, {Ь, с}, {а, с}; само множество {а, Ь, с}. Число всех этих подмножеств равно восьми. Таким образом, любое множество, состоящее из трех элементов, имеет 8 = 2® подмножеств. В дальнейшем (см. глава XI) будет установлено, что если множество состоит из п элементов, то число всех его подмножеств равно 2”.

Пересечение множеств. Рассмотрим два множества:

X = {.0, 1, 3, 5}, У = {1, 2, 3, 4}.

Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам X и У. Составленное из них множество {1,3} содержит все общие для множеств X и У элементы.

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству Д и множеству В, называется пересечением множеств Л и В и обозначается А П В.

Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рассмотренных множеств X и У:

{О, 1, 3, 5}П{1, 2, 3, 4} = {1, 3}.

Для отрезка [—1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 4).

Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов. Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть множество учеников восьмых классов, являющихся членами химического кружка.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересе

каются или что их пересечение —

пустое множество, и пишут ДГ|В — ф. Например, пересечение множества четных чисел с множеством нечетных чисел пусто. Пустым является и пересечение числовых промежутков ]— 1; 0] и [2; +ос{ (рис. 5).

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: ДПф = 0-

Объединение множеств. Вновь возьмем множества Х = = {(), 1, 3, 5} и У = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это мно- у/////.-.

жество содержит все элементы i о233

множества X (числа 0, 1, 3, 5) ирис 5

все элементы множества У (числа

2, 3, 4) и не содержит ника

ких других элементов, т. е. множество {0, 1, 2, 3, 4, 5} содержит те и только те элементы, которые принадлежат или множеству X или множеству У.

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств Д и В и обозначается A IJ В.

Итак,

{0, 1, 3, 5}U{1, 2, 3, 4}== {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Объединение множества положительных четных чисел и мно

жества положительных нечетных чисел есть, очевидно, множество натуральных чисел. Объединением множества учеников школы моложе 12 лет с множеством учеников той же школы старше 10 лет является множество всех учеников этой школы.

Объединением числовых промежутков [—1; 1] и ]0; 3[ является промежуток [ —1; 3[ (рис. 6).

Заметим, что не всегда объединение числовых промежутков можно представить одним числовым промежутком. Например, объединение множеств ]— 1; 0] _^zzzzzzz^zz^.^ н |2; ^-оэ[ числовым промежут- ком не является (см. рис. 5).

6-у//////.^у/.у/.у//о—^Данные определения пере- 05 м сечения к объединения множеств

хорошо ИЛЛЮСТрируЮТСЯ ПрИ НЗ- .7".ъ глядном изображении множеств

„..на плоскости. Множества схе-

Рис. 6.,

матически изображаются кругами, прямоугольниками. Напри

мер, на рис. 7 так изображены множества А и В, множество А заштриховано горизонтально, множество В — вертикально. На рис. 8 и 9 заштрихованы соответственно множества ДП^ и AUB.

Рис. 7.Рис. 8.Рис. 9.Рис. 7.Рис. 8.Рис. 9.

Рис. 7.Рис. 8.Рис. 9.

Рис. 7.Рис. 8.Рис. 9.

Часто приходится рассматривать объединение и пересечение трех и более множеств. Объединение множеств Л, В и С есть множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств А, В или С (рис. 10). Пересечение множеств А, В и С есть множество всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, и множеству С (рис. 11).

Например, объединение множеств остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников есть множество всех треугольников; объединение множеств вершин треугольников, вписанных в данную окружность, представляет собой множество точек этой окружности. Если Д, В и С — соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пере?

Рис. 10.Рис. 10.АПВПСАПВПСа -]- b = b + а.ab = Ьа.(а + Ь) + с = а + (Ь + с).(ай) • с = а • (6с).а -]- b = b + а.ab = Ьа.(а + Ь) + с = а + (Ь + с).(ай) • с = а • (6с).

Рис. 10.

Рис. 10.

АПВПС

АПВПС

а -]- b = b + а.

ab = Ьа.

(а + Ь) + с = а + (Ь + с).

(ай) • с = а • (6с).

а -]- b = b + а.

ab = Ьа.

(а + Ь) + с = а + (Ь + с).

(ай) • с = а • (6с).

сечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.

Объединение и пересечение множеств обладают многим? свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел,

Рис. 11.

например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами (слева записаны равенства для множеств, справа — для чисел):

лив = вил

лрв = впл,

(Л и В) и с = л и (В и С),

(Л П В) П С = Л П (В П С),

(ЛиВ)ПС = (Л ПС)и(ВПС), (a + b)c = ac + bc. .

Однако эта аналогия не всегда имеет место. Например, для множеств справедливы равенства (первое из них проиллюстрировано на рис. 12)

Рис. 12.

(ЛиС)П(ВиС) = (ДП5)ис.

Л1М = Л.

Л АЛ-Л.

Соответствующие равенства для чисел, очевидно, верны не всегда.

Для конечного множества А через т(А') обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю. Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство

т (Л U В) = т (Д) + т(В) — т (Д П В). (1)

Действительно, пусть множества Л и В не пересекаются, т. е. пг (Д П В) = 0. Их объединение получается добавлением к элементам одного множества всех элементов другого множества, поэтому

т (Д U S) =т (Д) + т (В).

Если же пересечение множеств А и В не пусто, то число их общих элементов равно т(ДрВ). Объединение этих множеств образуется добавлением к элементам множества А всех тех элементов множества В, которые не входят в А. Число таких элементов равно т (В) — т (А П В). Таким образом,

т (Л U В) = т (Л) + т (В) — т (Д П В).

Пример 1. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

△ Пусть А — множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В — множество абитуриентов, получивших оценки ниже 5, по условию щ(Д) = 210, m(S)= 180, т (Д U В) = 250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество Др В. По формуле (1) находим

m (Д П В) = т (A)-Vm. (В) — т (Д U В) = 140. ▲

Дополнение. Часто ограничиваются рассмотрением всевозможных подмножеств одного и того же множества, которое в этом

случае называют основным или универсальным множеством. Обозначим основное множество буквой Е. Для любого множества А, принадлежащего основному множеству Е, справедливы равенства

див = в, ДП^ = ^-

Множество элементов основного множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополне

нием множества А до множества Е или просто дополнением и обозначается А. Объединение множества А и его дополнения А есть основное множество: A J А = Е. Пересечение множества со своим дополнением пусто: Д р Д = ф . Дополнение пустого мно

жества есть основное множество: ф = Е, а дополнение основного множества пусто: Ё — ф. На рис. 13 основное множество Е схема-

тически изображено в виде прямоугольника, его подмножество Л заштриховано, не заштриховано дополнение множества Л.

Для любых подмножеств Л и В основного множества - Е справедливы равенства

(3)(3)лив = Л П в,(2)

(3)

(3)

Л П в = Л и В.

Первое из этих равенств проиллюстрировано на рис. 14, а и б.

На рис. 14, а заштриховано объединение множеств Л и В, не

заштриховано дополнение этого множества, т. е. Ли В. На рис. 14, б множество Л заштриховано горизонтально, множество В — вертикально, двойной штриховкой покрыто их пересечение Л П В.

Для числовых множеств в качестве основного множества можно взять множество действительных чисел R. Дополнением до R множества (Q рациональных чисел является множество иррациональных чисел, дополнением луча [0; +оо[ является открытый луч ] — оо ; 0[.

Пример 2. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 —на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах и на коньках?

А Множество учеников школы будем считать основным множеством £, Л и В — соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках (рис. 15). Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах,_ ни_ на коньках, составляют множество Л() В. По условию /п(ЛпВ)==60, а так как по формуле (2)

Af\B=A\jB, то к /м(Ли^) = 60. Отсюда tn (A U В) = т (Е)— — т (Л U В) = 1340. Зная m (Л) и т(В), по формуле (1) находим

т (Л Q В) = т (Л) + т (В) — т (Ли В) = 862. ▲

§ 2. Понятие функции

Пусть X — некоторое числовое множество. На множестве X определена числовая функция, если каждому элементу множества X поставлено в соответствие действительное число. Множество X называется при этом областью определения функции. Произвольный элемент области определения обычно обозначается буквой х и называется аргументом функции пли независимой переменной. Выражение «аргумент х пробегает множество X» понимается в том смысле, что вместо х может быть взято любое число из области определения функции.

Например, числовая функция определена следующим образом: каждому числу х отрезка [0, 1] ставится в соответствие число 2х +1. Отрезок [0, 1] —ее область определения, закон соответствия может быть записан так: х2х-j-1.

Другой пример функции: каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число 0. Область определения — все множество действительных чисел (эта функция называется функцией Дирихле).

Обычно закон соответствия обозначается некоторой буквой, например /, и говорится, что на множестве X определена функция / или Цх). Употребляется также запись функции в виде y = f(x), здесь х означает аргумент, у — соответствующее ему значение функции, /—закон соответствия. Иногда говорят, что функция / ставит в соответствие (сопоставляет) значению аргумента х значение у.

Рассмотренная функция х->2хф-1 с областью определения Х = [0; 1] может быть записана в виде / (х) = 2х + 1, х е [0; 1], или у = 2х +1, хе[0; 1], а функция Дирихле, например, так:

,, х ( 1, если рационально,

( 0, если х — иррационально.

Разумеется, вместо букв х, f, у можно взять другие буквы, например, функция может быть записана в виде y = <?(t) или 2 = F (х).

Если число а принадлежит области определения функции /, то говорят, что функция / определена в точке а. Для того чтобы указать значение функции в фиксированной точке а, используется такая запись: /(а), у (a), f(x)\x_o. Вот, например, значения функции у = 2х+1, xe[0; lj, в некоторых точках:

У(0)=1, у (1/2) = 2, у (3/4) = 5/2, //(1) = 3.

Множество всех значений функции /(х), когда аргумент х пробегает область определения функции, называется множеством значений функции f. Например, множество значений функции y = 2x-V-\, хе[0; 1], есть отрезок [1; 3], а множество значений функции Дирихле состоит из двух чисел 0 и 1.

Множество значений функции является подмножеством множества К действительных чисел. Поэтому иногда говорят, что функция есть отображения одного подмножества (области определения) на другое подмножество (множество значений) множества действительных чисел.

Две функции считаются равными, если у них одна область определения и каждому числу из области определения они сопоставляют одно и тоже значение. Например, функция /(х)=х—1 с областью определения ] — 1; + 1[ и функция g (х) = (х2 — 1),' (х+ 1) с той же областью определения равны, так как для любою х из множества ]—1; 4-1 [ имеет место равенство

х- — 1,

~Г == X — 1 .

Часто функцию задают формулой, указывающей последеватель- ность математических операций, которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить ее значение. При этом ничего не говорится об области определения. В этом случае считается, что функция определена на множестве тех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы. Множество всех таких значений аргумента называется естественной областью определения функции, заданной формулой, или областью допустимых значений аргумента. Естественная область определения функции / заданной формулой обычно обозначается D (f). В случае задания функции формулой возникает задача нахождения области определения (имеется в виду естественной области определения) функции.

Пример 1. Найти область определения функции

2-х

А Действия, указанные этой формулой, выполнимы для тех значений аргумента х, для которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. ~^,^0. Решая это неравенство, находим, что оно справедливо лишь на промежутке [—1; 2 [, который и является естественной областью определения рассматриваемой функции, а

Пример 2. Найти область определения функций

f W = Л (х) 4- /2 (х) --= V1" х2 4-

Л Функция Д (х) —- ]/1 — х2 определена на множестве тех значений х, для которых 1—х2^0. Это есть отрезок [— 1; 1]. Итак, D (j^ = [— 1; 1].

Для функции Д (х) = (х — 3) / (2х + 1) естественной областью определения является множество всех значений аргумента, для которых знаменатель дроби не обращается в нуль, т. е. х^ —1/2. Таким образом, Э(Д) = ] — ос; -- 1/2 [ U ] — 1/2; +оо[.

Функция /(х) = Д(х) + Д (х) будет определена в точке й тогда и только тогда, когда точка а принадлежит и области определения функции Д (х), и области определения функции Д (х). Другими словами, естественная область определения функции / (х) есть пересечение областей определения функций Д и Д:

О(Д = О(А)АО(Д) = [-1; -1/2 [U ]-1/2; 1]. ▲

Напомним определения некоторых часто встречающихся функций.

Многочленом п-й степени (п^О) стандартного вида называется функция

у = a0-V агх -V ... A-o^x'2,ап^0\

числа а0, аъ ... , ап называются коэффициентами этого многочлена. Область определения многочлена — вся числовая прямая. Многочлен n-й степени обозначается также Рп (х).

В частности, многочлен первой степени

у= ^ (х) = а0 + й^г, а^О,называется линейной функцией, а многочлен второй степени

у — Рг(х) =а0 + а1х + а^х2,а2^0,

называется квадратичной функцией или квадратным трехчленом.

Многочленом п-й степени называется функция, которая определена на всей числовой прямой н может быть приведена к многочлену п-й степени стандартного вида. Например, квадратичными функциями являются функции, определенные формулами

f(x) = l-x3 + (x2-3)(x+l),^(л) = /х“ + 2х2+1.

. Действительно, обе они определены на всей числовой прямой и ■ для любого числа х имеют место равенства

1 — х3 + (х2 — 3) (х + 1) = х2 — Зх — 2, }/х'Ч-2х2+1 = у/хЧИД" = х2 + 1.

Функция f (х) — (^ ,^ на своей области определения совпадает ■ с многочленом первой степени у = х — 1. Однако функция /(х) не является многочленом, так как ее область определения не совиа- дает с множеством R, она не определена в точке х = — 1.

Рациональной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде отношения двух многочленов стандартного вида

у _ р п w _ _2o_H2£i^-2b_nL_dz^^2-Р mW ^0 + ^1* + •■• ~pbmXm

Естественная область определения рациональной функции есть вся числовая прямая за исключением тех точек, в которых зна- менатель обращается в нуль. Например, функция /М = ^^^ является рациональной, ее область определения есть вся числовая прямая за исключением х =—1,

§ 3. Координатная плоскость. График функции

Две взаимно перпендикулярные координатные прямые 2 общим

началом отсчета образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Масштабные отрезки обычно берутся равными, однако

иногда используются координатные прямые и с разными масштаб

/ -/ -1 / ш1 / шII ЕС ■35IVII ЕС ■35IVРис. 16.Рис. 16.ными единицами. Одну из этих, прямых обычно изображают горизонтально, называют осью абсцисс и обозначают Ох. Другую прямую рисуют вертикально, называют осью ординат и обозначают Оу (рис. 16). Общее начало —точка О —называется началом координат.

/ -

/ -

1 / ш

1 / ш

I

I

ЕС ■35

IV

I

I

ЕС ■35

IV

Рис. 16.

Рис. 16.

Плоскость с выбранной на ней системой координат называется координатной плоскостью. На коорди-

натной плоскости каждой точке ста

вится в соответствие пара чисел, называемых координатами этой точки относительно данной системы координат. Пусть Мх л Му — ортогональные проекции точки Л1 соответственно на ось абсцисс и на ось ординат. Точка Мх, как точка координатной прямой Ох, имеет координату х, а точка Му, как точка координатной прямой Оу, имеет координату у. Пару чисел ^х; у) (ее называют «упорядоченной» парой в том смысле, что х на первом месте, а у на втором) называют координатами точки М и пишут М (х; у). Координаты х и у называются соответственно абсциссой и ординатой точки М.

Каждой упорядоченной паре чисел (ц; Ь) на координатной плоскости соответствует единственная точка М, для котозой эти числа являются координатами; х = а, у = Ь. Таким образом, между точками координатной плоскости и упорядоченными парами действительных чисел (х; у) устанавливается взаимно однозначное соответствие. Множество пар действительных чисел иногда называют числовой плоскостью.

Координатные прямые делят плоскость на четыре координатные угла (квадранта), которые нумеруются так, как показано на рис. 16.

Расстояние между точками Mi (хх; у^ и М2 (х2; у2) выражается через их координаты по формуле (рис. 17)

I Мгм21

Пусть задана функция у =f (х) с областью определения X. Графиком функции / (х) называется множество точек координатной плоскости с координатами (х; /(х)), т. е. множество точек,

абсциссы которых принадлежат множеству X, а ординаты равны соответствующим значениям функции. На рис. 18 и 19 изображены графики линейной функции у = 3 — 2х и квадратичной функции у = 2 — х — х2.

Изображение графика функции на координатной плоскости дает наглядное представление о свойствах и поведении функции. Простейшим способом построения графика функции y = f(x) является способ построения по точкам. Составляется таблица значений аргумента и соответствующих значений функции:

Х1 | Х2 | Х3 | . ..

У1 I Уг I Уз I...

— и на координатной плоскости наносятся точки Mi (х/, yL), М2 (х2; у2) и т. д. Эти точки соединяются плавной кривой, которая с некоторым приближением изображает график функции у = [(х). Приближение это, однако, может оказаться достаточно грубым. В связи с этим для построения графика функции, как правило, применяют другие методы. О них будет рассказано в главе VI.

§ 4. Обратная функция

Пусть функция y = f (х), определенная на множестве X, такова, что двум разным значениям аргумента хх и х2 ставит в соответствие разные значения уг и у2. Например, таким свойством обла- 22

множеству значе-множеству значе-Рис. 20.Рис. 20.дает функция у = 2х — I, график которой изображен на рис. 20. Действительно, для нее, если xv^=x2, то yi=f (х^ ^ f (х2) — у», так как f (%i) — f (х2) = 2 (х, — хй). Этот факт имеет следующую геометрическую интерпретацию: каждая прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку у0, принадлежащую ний функции, пересекает график функции лишь один раз. Напротив, функция у = хг не обладает указанным свойством. Например, значение функции у = 1 соответствует двум значениям аргумента лч =—1 их2=1 (прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку у=-1, пересекает график этой функции в двух точках (Рис. 21)).

множеству значе-

множеству значе-

Рис. 20.

Рис. 20.

значений Y.значений Y.Функция y = f(x) с областью определения X, которая двум разным значениям аргумента сопоставляет различные числа, устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения X и своим множеством

значений Y.

значений Y.

ППРис. 21.Рис. 21.ствительно, каждой точке х из X функция ставит в соответствие некоторое у из множества Y, двум разным значениям хг и х2 сопоставляются разные значения i/i = f(xi) и y2 = j^x2) и каждая точка у е Y соответствует одному из значений аргумента х. При этом каждой точке у множества Y соответствует единственное число х такое, что y = f(x), т. е. это соответствие однозначное. Таким образом, на множестве Y определена функция, которая называется обратной функции / и обозначается Д1. Областью определения обратной функции f-1 является множество значений функции f. Функция, которая имеет обратную, называется обратимой.

П

П

Рис. 21.

Рис. 21.

Например, функция у = 2х —1 обратима. Множество ее значений есть вся числовая прямая. Любому числу у соответствует

значение х = у y-V у (это соответствие для точки yQ на pic. 20 указано стрелкой). Формула х = --£ У + у определяет функцию х = = /л (у), обратную функции у = /(х).

График функции у = f^ = 2х — 1 является и графиком обратной функции х = /л (у) = у у+ у, только график обратной функции расположен непривычно: ось аргумента (ось Оу) расположена вертикально. Если, как обычно, обозначить аргумент обзатной функции через х, т. е. представить ее в виде y — f~1(x), то график обратной функции будет, вообще говоря, отличаться ст графика функции y = f(x). На рис. 22 изображены график функции

11

у =? / (х) =f 2х — 1 и график ее обратной функции у = /-1 (х) = -2 х + 2 • Они симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Как правило, если функция / обратима, то ее аргумент и аргумент обратной функции обозначаются одной буквой, т. е. эти функции рассматриваются в виде y=f(x) и г/ = Л*(х).

Пусть функция у = f (х) обратима. Покажем, что графики функции у = / (х) и ее обратной функции у = ^г^ симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов, т. е. симметричны относительно прямой у = х.

□ Если точка М (а; Ь) принадлежит графику функции у = , (х), то & = /(«) (рис. 23). Так как существует обратная функция, то из этого равенства следует, что а = /^(6) и, значит, точка М' (Ь', а) принадлежит графику обратной функции y^f'1 (х). Верно и обратное: если точка М' (Ь; а) принадлежит графику обратной функции у = Щх), то а = /-1(Ь). Следовательно, 6 =/(о) и точка М (а; Ь) принадлежит графику функции y = f(x).

Установим, что точки Л4 (а; 6) и М'(Ь; а) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Пусть а=^Ь, т. е. точки М и М' не совпадают. Легко видеть, что эти точки равноудалены от начала координат, значит, прямая, проходящая через начало координат и середину отрезка ММ', перпендикулярна этому отрезку, а точки М и М' симметричны относительно этой прямой. Поскольку середина отрезка ММ' имеет координаты ((а + 6)/2; (й + 6)/2), то уравнение прямой есть у = х. Д

Подчеркнем, что. функция обратима тогда и только тогда, когда эта функция двум разным значениям аргумента ставит в соответствие разные значения. Функция /(х) = х2, Х=к, не обладает этим свойством, она не имеет обратной функции.

Рассмотрим функцию, заданную той же формулой /(х)==х8 с областью определения Х = [0; +ос[. Если х, и х2 принадлежат области определения и х1=^=х2, то / (xj — / (х2) = (хх —х2) (Xi + x2). 24

Здесь Х!^х2 и хг + х2>0, поэтому / (х^ 5^/(х2). Следовательно, функция /(х) = х2, Х = [0; +оо[, имеет обратную функцию. Для ее нахождения разрешим уравнение у = х2 относительно л, учитывая, что х2ь0. Получим х = Уу. Поменяем в этой формуле х и у местами: у = Ух. Итак, для функции /(х) = х2, Х=[0; +°°[, обратная функция имеет вид /-1 (х) = Ух. ее область определения — промежуток [0; + оо[. Графики этих функций изображены на рис. 24.

Рассмотрим функцию / (х) = х3. Она определена на всей числовой прямой, множество ее значений также вся числовая прямая

рис. 25). Покажем, что эта функция имеет обратную. Пусть Xi х2. Рассмотрим разность / (х,) — f (х2):

/ (Х1) - / (х2) = X? - х^ = (х, - х2) ((х, + ^ у + -|-х^.

Первая скобка отлична от нуля, так как х1^=х2, вторая также отлична от нуля, так как содержит сумму квадратов двух слагаемых, которые в силу условия Xi У х2 не могут обратиться в нуль одновременно. Таким образом, разным значениям аргумента из множества ] — сю, -Г ос[ соответствуют разные значений функции. Значит, существует обратная функция. Она обозначается у —Ух. Ее область определения — вся числовая прямая. График функции у = Ух изображен на рис. 25 штрихами.

В заключение заметим: из определения обратной функции следует, что всегда существует обратная функция к обратной и при этом yiy = f. В силу этого функцию / и ее обратную /-* (если она существует) называют взаимно обратными функциями.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Пусть А— множество делителей числа 15, В — множество простых чисел, меньших Ю, С— множество четных чисел, меньших 9. Перечислить глементы этих множеств и найти AUS, A fl С, В fl С, (AU С) fl Я, A fl В fl С.

Пусть Л = [ — 1; 1|, S = ] —оо;0[, С = [0; 2[. Найти следующие множества: ЛиС, Л П S, Ли^иС, (Л (J В} Л С, В у С— и изобразить их на координатной прямой.

Найти подмножества X и Y множества Е, если для любого подмножества Л множества Е имеет место равенство ЛЛА' = ЛиГ.

Изобразить на координатной плоскости множество, координаты (х; у) точек которого удовлетворяют условию (4 — 6):

; х|Н-|у 1 = 1. 5. |x + (/|sgl и |х — у I ^ I.

х2 — 2x4-ys=:0.

В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского ни французского языка?

В олимпиаде по математике принимало участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Результаты проверки решений представлены в таблице;

решены задачи

количество решивших

по алгебре

ио геометрии

по тригонометрии

по алгебре и геометрии

по алгебре и тригонометрии

по геометрии и тригонометрии

20

18

18

7

8

9

Известно также, что ни одной задачи не решили трое. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько учащихся решили ровно две задачи?

Пусть Л —множество решений уравнения /(х) = 0, В — множество решений уравнения g(x) = 0. Доказать, что для любых многочленов / (х) и g (х) множество Либ является множеством корней уравнения f (х) • g (х) = 0, а А Пй — множеством корней уравнения у (х))2 + (g (х))2 = 0.

Верно ли это же утверждение, гели / (х) —многочлен, a g (х)— рациональная функция?

Найти область определения функций (10—16):

Н'^ГЗ+^+Кз^. 11- f« = j^ , Д-х I •

/(х) = /^=У.13. /to = log3+x(^-D.

Н2’) = ^д”у- 15- / arccos^x-TT

j (х) = lg [(1,25)' - xl-(ОДОЭб)1^].

Найти множество значений функций (17—18):

/(х) = /^+2Т+2.18. /М = 7^-

Найти обратную функцию </ = /-1(х) для функции y=»f(x) (19—21);

^=^+1, хе]-co; 0].20. у=Ц-*-.21. У = ^™.

22. Найти при каких значениях параметров а и b линейная функция у = ах-\-Ь имеет обратную и совпадает с ней.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

Записать множества А, В и С перечислением их элементов и найти A(JB, ВПС, (A U В) Л С. АЛВИС, если (1—2):

А — множество делителей числа 12; В — множество jeopneii уравнения х2—G.v4-5 = 0; С — множество нечетных чисел X таких, что Зе5х=5 12

А—множество четных чисел х, 3<х<10; В — множество делителей числа 21; С — множество простых чисел, мепьшнх 12.

Привести примеры числовых множеств А и В таких, что

a)AUB=R, АП5 = 0; 6)AUB=A, AQB = B.

Найти A (J В, A f] В, A fl С, BUG, AflBflC, (A (J В) fl С и изобраз ить эти миождетва па координатной прямой, если (4—6):

Л = [0; 3], В = ]1; 5[,С = ] —2; 0].

А = [—’оо] 1], В = [1; 4-со[, С = ]0; 1[.

А = [—3; 1], В = [2, 4-оо[, С = ] — со; —2[,

Множества А и В — подмножества основного множества R. Найти A U В, А Л В, A U В, А Л В, A UB и изобразить эти множества па координатной прямой (7—10):

А = ]-1; 0],А = |0; 3[,А = ]—со; 1],А = ]0; +оо[.А = ]-1; 0],А = |0; 3[,А = ]—со; 1],А = ]0; +оо[.В = [0; 2[.B = J—1; 4-со[.В = ]—оо; —3[ В=[-1; 1[.В = [0; 2[.B = J—1; 4-со[.В = ]—оо; —3[ В=[-1; 1[.

А = ]-1; 0],

А = |0; 3[,

А = ]—со; 1],

А = ]0; +оо[.

А = ]-1; 0],

А = |0; 3[,

А = ]—со; 1],

А = ]0; +оо[.

В = [0; 2[.

B = J—1; 4-со[.

В = ]—оо; —3[ В=[-1; 1[.

В = [0; 2[.

B = J—1; 4-со[.

В = ]—оо; —3[ В=[-1; 1[.

Рис, 26.Рис, 26.

Рис, 26.

Рис, 26.

Множества А и В являются подмножествами множества Е (рис. 26). Указать штриховкой множества:

a) A U В, A UB; б) AUB, А Л В;

в) АП В, AUB1 г) ТЛВ, (А Л В) U (А Л В).

А— подмножество множества натуральных чисел, каждый элемент множества А есть число, кратное пли 2, или 3, или 5. Найти число элементов в множестве А, если среди них имеется: 70 чисел, кратных 2; 60 чисел, кратных 3; 80 чисел, кратных 5; 32 числа, кратных 6; 35 чисел, кратных 10; 38 чисел, кратных 15; и 20 чисел, кратных 30.

В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт и коробку конфет?

В спортивном лагере 65% ребят умеют играть в футбол, 70%—в волейбол и 75%—в баскетбол. Каково наименьшее число ребят, умеющих играть И в футбол, и в волейбол, и в баскетбол?

Каждый из учеников класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, при этом спектакли Д, В и С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе? Сколько из них видели спектакли А и В, А и С, В и С?

В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы Д, В и С. Из 40 школьников, каждый из которых просмотрел либо все три фильма, либо один из трех, фильм А видели 13, фильм В —16, фильм С—19. Найти, сколько учеников просмотрели все три фильма.

В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того ни другого. Сколько ребят умеют плавать и играть в шахматы?

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги Д, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читало 25 учащихся, книгу В—22, книгу С —также 22. Книгу Д или В читали 33 ученика, А или С —32, В или С—31; все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочли только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной из этих трех книг?

Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике —48 абитуриентов, по физике —37, по русскому языку — 42. по математике или физике — 75, по математике или русскому языку—76, по физике или русскому языку — 66, по всем трем предметам — 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятерку? Сколько среди них получивших только одну пятерку?

Найти пересечение числовых множеств Д и В, если каждый элемент множества А имеет вид 4я4-2, я е (N, а каждый элемент множества В имеет вид Зя, я е IN-

Изобразить на координатной плоскости множество, координаты (х; у) точек которого удовлетворяют условию (21—28):

| x-Vy | = ^ + </.22. у— х35;0.

\у\ — |х|2=0.24. х»+у2 — 4у<0.

x34-(/3=g2|x|+2|</|. 26. \х-у\ = \х-у-Н |.

logI/2 (2 —х2 —z/2) < 0.28. (х—| х 1)3 + (у-| у |)3 < 4.

Найти область определения функций (29—38):

/ (х)=/3 —5х—2№.

№|_ У'-'- . 33. m=VчЧ=4-

' ’ arcsin(2— х)г х — 1

/(x) = log3log[/2x.35. / (х)=/х3-|х|-2.

Г

I/ COSX — у

ZW = logA.+1(x2-3x + 2). 37. f(x)= L==-.

V 6 — 35х — 6х2

/(х)=р,1од£ГгТ(1о&^^

Найти множество значений функций (39—44):

40. f (х) = /2х-х2-1.40. f (х) = /2х-х2-1.

40. f (х) = /2х-х2-1.

40. f (х) = /2х-х2-1.

/(x) = sinx— 5cosX.42. / (X) == log3 x+log^ 3.

/ (x)^(sin x4-cos x)2.44. /(х) = 4л—a-'+l.

Доказать, что четная функция не имеет обратной.

Найти обратную функцию у = /~1(х) для функции y = f(x) (46—50):

у = ;<2—1, Х=]— со; 0].47. у =

48. у=у<Х-48. у=у<Х-у = х х | + 2х.у = х х | + 2х.Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция, и если существует, то найти ее (51—54);у = 24-х —х2, А = [1/2, +оо[.52. у = х3 —х.у = х2 —2х—3, X = [0; 3].54. у=х | х | — 2х—8.Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция, и если существует, то найти ее (51—54);у = 24-х —х2, А = [1/2, +оо[.52. у = х3 —х.у = х2 —2х—3, X = [0; 3].54. у=х | х | — 2х—8.55. Доказать, что при всех значениях параметров а и b55. Доказать, что при всех значениях параметров а и bтаких,таких,чточтоab ф— 4, функция уab ф— 4, функция у2x4-й„ _^ —^ совпадает со своей обратной.2x4-й„ _^ —^ совпадает со своей обратной.

48. у=у<Х-

48. у=у<Х-

у = х х | + 2х.

у = х х | + 2х.

Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция, и если существует, то найти ее (51—54);

у = 24-х —х2, А = [1/2, +оо[.52. у = х3 —х.

у = х2 —2х—3, X = [0; 3].54. у=х | х | — 2х—8.

Для каждой из следующих функций установить, существует ли обратная функция, и если существует, то найти ее (51—54);

у = 24-х —х2, А = [1/2, +оо[.52. у = х3 —х.

у = х2 —2х—3, X = [0; 3].54. у=х | х | — 2х—8.

55. Доказать, что при всех значениях параметров а и b

55. Доказать, что при всех значениях параметров а и b

таких,

таких,

что

что

ab ф— 4, функция у

ab ф— 4, функция у

2x4-й„ _

^ —^ совпадает со своей обратной.

2x4-й„ _

^ —^ совпадает со своей обратной.

ах -|- 6 сх —|— dах -|- 6 сх —|— d

ах -|- 6 сх —|— d

ах -|- 6 сх —|— d

Каким условиям должны удовлетворять числа а, 6, с и d (су=0),

чтобы функция у =чтобы функция у =совпадала со своей обратной?

чтобы функция у =

чтобы функция у =

При каких значениях а функция у=ха совпадает со своей обратной

функцией?

Глава II

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕИ ВЗАИМНО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ТЕОРЕМЫ.МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Высказывания. Операции над высказываниями

Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Примерами высказываний могут служить следующие утверждения:

Москва — столица XXII летних Олимпийских игр.

Анатолий Карпов—двенадцатый чемпион мира по шахматам.

Число 221—простое.

13< 17.

Утверждения 1, 2 и 4, как известно, истинны. Утверждение 3 —ложно, так как 221 = 13-17.

Таким образом, каждое высказывание или истинно, или ложно; одновременно быть истинным и ложным высказывание не может.

Высказывания могут быть образованы с помощью слов или символов, однако далеко не каждый набор слов или символов (даже осмысленный) является высказыванием.

Например, утверждения:

В Московский государственный университет поступить легко.

х>0.

высказываниями не являются, так как судить об их истинности или ложности невозможно.

Для обозначения высказываний обычно используют заглавные буквы латинского алфавита А, В, С и т. д. Например, пишут

A^{6<7), В = {число 6 простое).

Это означает, что высказывание В заключается в утверждении, что число 6 простое, а высказывание А в том, что 6 <; 7. Знак «=» заменяет слова «есть высказывание».

Высказывания А и В являются примерами простых высказываний. Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок (союзов «и», «или», слов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...») можно образовывать новые высказывания. Например, из высказываний

А = {6<7| и S = (число 6 простое),

используя логические связки, можно образовать следующие сложные высказывания:

С = {6 < 7 или число 6 простое},

D = {6<7 и число 6 простое},

Е = {6 < 7 тогда и только тогда, когда число 6 простое},

Е = (если 6 <7, то число 6 простое}.

Отметим, что новые высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые никак не связаны между собой по смыслу. Например, высказывание

С = {если слон насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами} составлено при помощи логической связки «если..., то...» из двух высказываний, между которыми нет никакой смысловой связи.

В математической логике истинность или ложность сложных высказываний, образованных при помощи логических связок, устанавливается независимо от смысла простых высказь ваний, составляющих сложное. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки использованы для образования сложного высказывания, и, во-вторых, тем, какие из простых высказываний, образующих сложное, истинны и какие ложны. Для этого в логике вводятся операции над высказываниями, соответствующие связкам, при помощи которых образуются сложные высказывании. Тем самым, союзам «и», «или», словам «тогда и только тогда, когда...», «если..., то...» придается точный однозначный смысл.

Если высказывание образовано из двух высказываний при помощи союза «или», то говорят, что оно является суммой (дизъюнкцией) этих высказываний.

Высказывание, составленное из двух высказываний г ри помощи союза «и», называют произведением (конъюнкцией) этих высказываний.

Высказывания, образованные из двух высказываний при помощи слов «тогда и только тогда, когда...», «если..., то...», называют соответственно эквивалентностью и импликацией.

Из простых высказываний

А = {6<7} и В ={число 6 простое}

при помощи логических связок выше были составлены высказывания С, D, Е и F. Теперь можно сказать, что эти высказывания являются соответственно суммой, произведением, эквивалентностью и импликацией высказываний А и В.

Сумму любых высказываний А и В записывают в виде А-)-В (или А\/В), произведение в виде АВ (или АДВ). Для эквивалентности используют знак <=i> (или ~), т. е. пишут Асе>В (или А~В). Импликацию записывают в виде Atz^B (читается: «из А следует В» или «если А, то В»).

Для любых двух высказываний истинность или ложность их суммы, произведения, эквивалентности и импликации определяется следующим образом:

сумма А + В высказываний является истинным высказыванием только тогда, когда по крайней мере одно из слагаемых истинно;

произведение АВ высказываний истинно только в том случае, если оба сомножителя истинны;

эквивалентность А <=> В представляет собой ложное высказывание, если одно из высказываний истинно, а другое ложно; в противном случае, т. е. если оба высказывания истинны или оба ложны, эквивалентность является истинным высказыванием;

импликация А =) В есть ложное высказывание только в том случае, если А -- истинно, а В — ложно; во всех других случаях, а именно, если

Л —истинно, В —истинно,

А — ложно, В —истинно,

Л — ложно, В — ложно,

высказывание А => В считается истинным.

Пример 1. Даны два высказывания

Л = {2 = 3{ и В = {2<3}.

В чем заключаются высказывания Л-|-В, АВ, А<=>В, А => В? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?

Л Высказывание

А + В = {2 = 3 или 2<3}

истинно, так как одно из слагаемых является истинным высказыванием. Высказывание A-V-B можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства: 2^3. Высказывание

ЛВ = {2 = 3 и 2<3},

очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.

Эквивалентность

Ас=>В = \2 = 3 тогда и только тогда, когда 2<3}

представляет собой ложное высказывание, так как А — ложно, а В — истинно.

Импликация

А=>В = {если 2 = 3, то 2 < 3}

является истинным высказыванием. В самом деле, импликация Л^>5 согласно определению ложна только тогда, когда А — истинно, aS — ложно. А

Итак, истинность или ложность высказывания, образованного из каких-либо высказываний с помощью операций сложения,

умножения, эквивалентности и импликации, зависит только от распределения истинности и ложности между высказываниями, над которыми производятся логические операции. Эту зависимость удобно описывать следующими четырьмя таблицами, которые называют таблицами истинности логических, операций (буква И означает, что соответствующее высказывание истинно, буква Л — соответствующее высказывание ложно):

АвА <=> ВИ И Л Ли л и ли л л иАвА <=> ВИ И Л Ли л и ли л л ии и л ли и л ли л и ли л и ли л и ии л и и

А

в

А <=> В

И И Л Л

и л и л

и л л и

А

в

А <=> В

И И Л Л

и л и л

и л л и

и и л л

и и л л

и л и л

и л и л

и л и и

и л и и

Таблицы истинности логических операций дают возможность определить истинность или ложность любых высказываний, имеющих вид Д + В, АВ, А<=>В, Д=>В. В связи с этим таблицы называют также таблицами истинности высказываний А-\-Е, АВ, Ле^В, А=>В.

Для дальнейшего изложения из всех рассмотренных логических операций особенно важной является импликация Д => В. Первый член импликации Д => В высказывание А называется посылкой или условием, второй член В— заключением. Таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц I —III, изменяется при перестановке столбцов для Д и В. Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если ..., то ...» и «следует». Из третьей и четвертой строк таблицы IV вытекает, что если А ложно, то, каково бы ни было В, высказывание Д =>В считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует все что угодно. Например, утверждения несли 6 простое число, то 7 < 6» или несли 7 < 6, то существуют ведьмы» являются истинными. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон — насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

33332 п/ред. Г. Н. Яковлева

33

33

Помимо только что рассмотренных четырех логических операций в математике используется еще одна простая, но очень важная операция — операция отрицания. Эта операция соответствует логической связке «не». Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А ложно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием, причем истинным, если А ложно, и ложным, если А истинно. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием А. Например, для высказывания

А = {число 6 простое}

отрицание может быть построено так:

д = {число 6 не простое} или

А = {неверно, что число 6 простое}, или

А = {число 6 составное}.

В данном случае исходное высказывание ложно, поэтому его отрицание истинно.

Таблица истинности для отрицания имеет вид:

Таблица V

А

А

и

л

л

и

Рассмотрим высказывание

А = {город Нью-Йорк — столица США}.

Отрицанием этого высказывания будет высказывание

А = {город Нью-Йорк не является столицей США}.

Поскольку высказывание А — ложно, высказывание А — истинно. Заметим, что было бы ошибкой считать отрицанием высказывания А высказывание

В = {город Вашингтон — столица США}.

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких или даже всех пяти логических операций, причем каждая из операций может применяться несколько раз. В таких случаях истинность или ложность сложного высказывания в зави-

симости от истинности или ложности составляющих его высказываний можно установить, построив таблицу истинности сложного высказывания, последовательно используя таблицы иститности логических операций. ■

Составим, например, таблицу истинности для высказываний, имеющих вид В~ А. Последовательно используя таблицы V и IV, получим таблицу:

А

в

в

А

В -) А

и

и

л

л

и

и

л

и

л

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

и

Третий и четвертый столбцы являются вспомогательными. Для

Сравним полученную таблицу с таблицей IV для импликации А=>В. Таблицы совпадают, т. е. высказывания вида A:z^B и В=с>Л имеют одинаковые таблицы истинности. Такие высказывания называются равносильными. Равносильные высказывания соединяют знаком равенства.

Для любых высказываний А и В можно, следовательно, записать

А=)В==В=>А.

Равносильность высказываний вида А => В и В=> А означает, что каковы бы ни были высказывания А и В высказывания А => В и В=>А либо оба истинны, либо оба ложны. Из истинности или ложности одного из них следует соответственно истинность или ложность другого.

Важную роль в логике играют тождественно истинные и тождественно ложные высказывания. Тождественно истинные высказывания истинны всегда, независимо от того, истинны или ложны составляющие их высказывания. Примеры тождественно истинных высказываний: А 4-А, А<=}А, (А=> В) <=> (В=> А). Тождественно истинные высказывания будем обозначать буквой /.

Тождественно ложные высказывания ложны всегда, т. е. независимо от истинности или ложности высказываний, которые их составляют. Такие гысказывания будем обозначать буквой L. Примеры тождественно ложных высказываний:

ДД, (ВД)Л, AL.

И в самой математике и в ее приложениях приходится исследовать различные виды высказываний на равносильность. В случае, если высказывания составлены из небольшого числа простых, равносильность или неравносильность можно установить, построив таблицы истинности сложных высказываний и сравнив их. Но следует иметь в виду, что таблица истинности высказывания, образованного из п простых высказываний, содержит 2й строк. Поэтому обычно равносильность устанавливается другим способом: некоторое количество основных равносильностей (законов алгебры высказываний) проверяется на основании таблиц истинности, полученные равенства используются при доказательстве других равенств точно так, как в элементарной алгебре в тождественных преобразованиях используются алгебраические законы:

а + b = b Д- а (переместительный), а + (Ь + с) = (а + Ь) + с (сочетательный), а ф-\-с) = ab-\-ас (распределительный), и другие.

Легко проверяются следующие равносильности:

А-\-В = В-\-А.2. АВ = ВА.

Д + (В + С) = (Д+ В) + С. 4. А (ВС) = (АВ) С.

A (B + Q = ДВ+ДС.

(Д + В)(Д + С) =д + вс.

AVB = AB. 8. ДВ = Д + В.

А = А, А + А = А, АА=А.

Д + Д = Д AA = L, A-\-I=L AI = A, A + L = A, AL=L.

Выписанные выше первые пять законов аналогичны законам обычной алгебры чисел. Остальные не имеют аналогий в элементарной алгебре.

Используя законы сложения и умножения высказываний, решим следующую задачу.

Пример 2. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд 36

Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Л Рассмотрим высказывания:

А = {машина синего цвета},

В = {машина марки «Бьюик»}, С = [машина черного цвета}, £) = {машина марки «Крайслер»}, Е = {машина марки «Форд Мустанг»}.

Так как либо цвет машины, либо марка каждым из соучастников преступления названы верно, то из показаний Брауна следует, что высказывание А Д В истинно. Из слов Джонса вытекает истинность высказывания С ДО. Утверждение Смита означает, что истинно высказывание А Д Е.

Так как высказывания АД В, С ДО, Ад£ истинны, то истинно и их произведение

Р = (А + В) (C + D) (А + Е).

Раскрывая скобки, получим

Р = (АС Д AD Д ВС Д ВО) (А Д Е) =

= АСА Д АСЕ Д ADA Д ADE Д ВС А Д ВСЕ Д BDA Д BDE.

Из условия задачи легко усматривается, что из полученных восьми слагаемых семь (все кроме пятого) являются ложными высказываниями. Поэтому

Р = L ДЬ Д£Д£Д ВСАДЕ ДЕ Д£ = ВСАД£ = ВСД

е. высказывание ВСА истинно, а это означает, что преступники скрылись на черном «Бьюике», А

Предложения, зависящие от переменной

При изучении математики постоянно приходится иметь дело с различными предложениями (утверждениями), зависящими от одной или нескольких переменных. Например, предложение «число 5 является делителем числа п» зависит от переменной п, принимающей натуральные значения При каждом п = 5^, А е М, оно истинно, при каждом пД5А, А е IN, — ложно. Уразнения и неравенства также являются такого рода предложениями. Например, неравенство х — 2>0 можно рассматривать как предложение, зависящее от переменной х. Истинность или ложность этого предложения зависит от того, какое именно значение переменной х берется. Если, например, х = 3, то предложение истинно, если х = 0, то ложно. Уравнение тД.у=1 является прецложе-

нием, зависящим от двух действительных переменных х и у. При х = у=1/2 предложение х-Д-у = 1 истинно, при х=у=0 оно, очевидно, ложно.

Предложения, зависящие от переменной, встречаются не только в математике. Например, предложение «хоккеист команды „Спартак” высшей лиги забил 400 шайб» определено на множестве всех хоккеистов команды «Спартак». Как известно, это предложение истинно для Старшинова и ложно для каждого из остальных членов команды.

Предложения, зависящие от переменных, обозначают через A tn), В(х), С (х; z/) и т. д. Для каждого предложения должно быть тем или иным способом указано, на каком множестве оно рассматривается или, как еще говорят, на каком множестве оно определено или задано. Предложение А (х), хеЛ4, не является, вообще говоря, высказыванием, и поэтому не имеет смысла ставить вопрос о том, истинно оно или ложно. Ответа на такой вопрос не существует (за исключением того случая, когда множе- сию М состоит из одного элемента). Но как только некоторый элемент х0 е М выбран или, как говорят, фиксирован, предполагается, что A (х0) будет либо истинным, либо ложным, т. е. будет высказыванием. Множество М, на котором задано предложение А (х), можно разбить на два подмножества. Одно подмножество содержит те и только те элементы М, для которых А (х) истинно. Это подмножество называют множеством истинности предложения А (х). Другое подмножество содержит те и только те элементы М, для которых А (х) ложно. Если первое из этих подмножеств обозначить буквой А, то второе следует обозначить через А, так как оно является дополнением множества А до множества Л1.

Например, для предложения

А (х) = {х2 — 5хДб <0}, х g [R, множеством истинности А является интервал ]2; 3[, множеством Л — объединение промежутков ]—со; 2] и [3; + оо[.

Два предложения А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве, называются равносильными, если их множества истинности совпадают.

Например, предложения

А (х) = {х2 — 5хДб < 0}, х ее R, и

В (х) = [х4 — 5х3Дбх2 <0}, xeR, равносильны, так как множеством истинности каждого из них является интервал ]2; 3[.

На предложения, зависящие от переменных, естественным образом распространяются все логические операции, введенные в § 1.

Отрицанием предложения А (х), х е М, называется предложение А (х), определенное на том же множестве М и обраща ощееся в истинное высказывание для тех и только тех элементов множества М, для которых А (х) — ложное высказывание.

Из определения следует, что если А — множество истинности предложения А (х), то множеством истинности отрицания А (х) является дополнение А множества А до множества М. На рис. 27, а схематически изображены множества М, А и А. Множество истинности отрицания А (х) заштриховано.

Рис. 27.

Рассмотрим операции сложения, умножения и импликации для предложений, заданных на одном и том же множестве М.

Сумма Л(х) + В(х) обращается в истинное высказывание для тех и только тех элементов множества М, для которых по к райней мере одно из слагаемых обращается в истинное высказывание. На рис. 27, б два круга схематически изображают множества истинности А и В соответственно для А (х) и В (х). Множеством истинности суммы А (х) + В (х) будет, очевидно, объединение A J В множеств А и В. На рисунке оно заштриховано.

Произведение А (х) В (х) обращается в истинное высказывание для тех и только тех элементов множества М, для которых оба сомножителя обращаются в истинные высказывания. Множеством истинности произведения А (х) В (х) является пересечение 71 П S множеств А и В. На рис. 27,6 оно заштриховано.

Импликация Л(х)=>5(х) обращается в ложное высказывание для тех и только тех элементов множества М, для которых посылка А (х) истинна, а заключение S (х) — ложно. На рг с. 27, г штриховкой показано множество истинности импликации А (х) => => В (х).

Пример 1. Пусть

А (х) = {х — 2>0} и В (х) = {х -[- 2 _■ 0}

— два предложения, зависящие от переменной х, хеВ В чем заключаются предложения

А (х) + В (х),б)А (х) В (х),

в) А (х) => В (х),г)В (х) => А (х),

д) А (х) В (х),е)В (х) =? А (х)?

Каковы их множества истинности?

Л а) Предложение А (х) + В (х) заключается в том, что верно по крайней мере одно из двух неравенств

х — 2>0 и х + 2^0.

Очевидно, что множеством истинности А (х) + В (х) является промежуток [—2; + со[.

Произведение предложений А (х) и В (х) есть предложение, в котором утверждается, что оба неравенства х — 2>0их + 2^0 справедливы, т. е. переменная х удовлетворяет системе неравенств

J х — 2 > О,^ х + 20.

Множество истинности — интервал ]2; + со[.

Для импликации А (х) => В (х) («если х — 2 > 0, то х + 2 ^ 0») множество истинности состоит из всех действительных чисел.

Для импликации В (х) => А (х) («если х + 2 ^ 0, то х — 2 > 0») множеством истинности является объединение двух интервалов, а именно ]—со; —2 [ U ]2; +°°[- Для каждого числа х, принадлежащего отрезку [—2; 2], импликация В (х) ^ А (х) обращается в ложное высказывание.

Для произведения А (х) В (х) множеством истинности будет множество решений системы неравенств

|х-2>0,| х + 2 < 0,

т. е. пустое множество.

Для импликации В (х) => А (х) («если х + 2 <; 0, то х — 2 -' 0») множеством истинности является множество всех действительных чисел. ▲

С предложениями, зависящими от переменных, связаны два вида часто встречающихся утверждений.

Предложение А (х), хеМ, обращается в истинное высказывание для всех элементов множества М.

Предложение А (х), х е М, обращается в истинное высказывание хотя бы для одного элемента множества М, другими словами, существует элемент х0 ее М, для которого А (х0) — истинное высказывание.

В математике принято записывать такие утверждения кратко, используя для этого специальные знаки: знак общности у (перевернутая первая буква английского слова АП — все) и знак существования 3 (перевернутая первая буква английского слова Exists — существует). Знак общности V заменяет в словесных формулировках слова: все, всякий, каждый, любой. Знак существования 3 употребляется вместо слов: хотя бы один, найдется, существует.

Используя знаки общности и существования, утверждения 1 и 2 можно записать следующим образом:

(Vx) Л(х),2) (Эх) Д(х); х^М.

Заметим, что первое утверждение равносильно утверждению: множеством истинности А предложения А (х) является множество М, т. е. А=М. Второе утверждение равносильно следующему: множество истинности А предложения А (х) не пусто, т. е. А^ф.

Каждое из рассмотренных утверждений либо истинно, либо ложно и, следовательно, является высказыванием.

Например, для предложения

А (х) = {х2 > 0}, xeR, с помощью знаков общности и существования можно построить два утверждения:

(^ х) Д(х) = {для всех действительных чисел х2>0}.

(Эх) А (х) = {существует действительное число, для которого х2>0}.

Каждое из этих утверждений является высказыванием. Первое высказывание, очевидно, ложно, второе истинно.

Для того чтобы убедиться в истинности высказывания {\'х^ А (х), х е Л1, необходимо проверить истинность предложения / (х) для всех элементов множества Л4.

Если множество М содержит мало элементов, можно попытаться все их перебрать и для каждого убедиться в истинности утверждения А (х). Если же Л4 — бесконечное множество и ли, хотя и конечное, но содержит много элементов, доказать истинность высказывания можно лишь логическим рассуждением.

Очень важно понимать, что для того чтобы опровергнуть высказывание {Чх') А (х), достаточно указать только один элемент хеМ, для которого А (х) ложно. Элемент х множества М, для которого предложение А (х) неверно, называется контрпримером для высказывания (Vx) А (х).

Таким образом, чтобы убедиться в ложности высказывания (Vx) А (х), достаточно найти (или, как еще говорят, построить) один контрпример. Рассмотрим предложение

А (п) = {число и2 + иЦ-41 простое}, nelN.

Для высказывания

(Vn) Л (и) s {при каждом натуральном п

число и2 + и + 41 простое}

элемент п = 40 является контрпримером. Действительно, число 402 + 40 + 41 =40 - 41 +41 делится на 41 и, следовательно, А (40)— ложное высказывание.

Замечательно, что для всех /к‘40 предложение А (п) истинно.

§ 3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия

Большинство теорем, встречающихся в школьном курсе математики, формулируются (или могут быть сформулированы) следующим образом: для любого элемента х множества М из предложения А (х) следует предложение В (х). Используя обозначения, введенные в §§ 1, 2, каждую такую теорему можно записать в виде (Vx) Л(х)=>В(х), хе/И. Рассмотрим, например, следующие четыре теоремы.

Теорема 1. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3.

Теорема t. Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали конгруэнтны. ^

Теорема 3. Если хотя'бй одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.

Теорема 4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Каждая из этих теорем понимается как высказывание вида

(Vx) Л (х) =>В (х), хеМ,

и, следовательно, все четыре теоремы имеют одинаковое строение.

В теореме 1 речь идет о двух предложениях:

А (и) = {сумма цифр числа п делится на 3},

В (л) = {число п делится на 3},

зависящих от переменной п е N.

В теореме утверждается, что для каждого натурального числа верно утверждение: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3, т. е. утверждается истинность высказывания

(Vn) Л (и) => В (п), пеН

Из арифметики известно, что это высказывание истинно, т. е. теорема 1 верна.

В теореме 2 рассматривается множество Q всех четырехугольников q и на этом множестве два предложения

A (q) = {четырехугольник q — прямоугольник},

В (q) = {диагонали четырехугольника q конгруэнтны}.

Теорема утверждает, что для любого четырехугольника верно следующее: если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали конгруэнтны. Таким образом, теорема 2 понимается как высказывание

<Mq^ A (q) => В (q), qeQ.

В геометрии доказывается, что эта теорема верна.

В теореме 3 говорится о двух предложениях Л (и; m) = {n или tn делится на 7}, В (и; m) = {n + m делится на 7}, заданных на множестве всех пар (и; т) натуральных чисел.

В теореме утверждается истинность высказывания ^п; т) А{п; т}^В{п; nt), п, me|N, которое, очевидно, ложно, и, следовательно, теорема 3 неверна. Для нас важно сейчас то, что логическое строение этой теоремы точно такое же, как и у теорем 1 и 2.

Из-за краткости формулировки теоремы 4 о диагоналях ромба может даже показаться, что эта теорема не имеет формы (ух) Л(х)=>В(х). На самом деле это не так. Точная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны):

Теорема 4. Пусть Р — множество всех параллелограммов и пусть

Л (р) = {параллелограмм р — ромб},

В (р) = {диагонали параллелограмма р взаимно перпендикулярны} — два предложения, заданные на множестве Р.

Тогда

(Vp) Л(р)=>В(р), р^Р, т. е. для любого параллелограмма верно утверждение: если параллелограмм-ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

В формулировке каждой теоремы, имеющей вид (Ух) Л (х) => В (х), хеМ, можно выделить условие теоремы (предложение Л (х)) и заключение теоремы (предложение В (х)).

Теоремы, отличающиеся друг от друга условием или заключением, являются различными теоремами.

. Рассмотрим еще один пример.

Теорема 5. Пусть Q —множество всех четырехугольников и пусть

Л (у) = {четырехугольник q — ромб},

В (q) = {диагонали четырехугольника q взаимно перпендикулярны} два предложения, заданные на множестве Q.

Тогда

(У?) A(q)=$B(q), q^Q,

т. е. для любого четырехугольника верно утверждение: если четырехугольник-ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Теорема 5 не тождественна теореме 4, — это две различные теоремы, так как предложения A (q) и В (q) заданы в одном

случае на множестве всех параллелограммов, в другом — на множестве всех четырехугольников.

Четкое и однозначное выделение в каждой теореме условия и заключения позволяет однозначно определить понятия обратной и противоположной теорем.

Теоремы

(Vx) А (х) => В (х), х е М, и

(Vx) В (х) =) А (х), х е М,

называются взаимно обратными.

Иногда одну из этих теорем называют прямой, тогда другую называют обратной.

Ясно, что любую из двух взаимно обратных теорем можно при

нять за прямую.

Из данного определения видно, что, поменяв местами в формулировке некоторой теоремы условие и заключение, мы получаем формулировку теоремы, обратной исходной.

Важно понимать, что для пары взаимно обратных теорем

могут осуществляться все три возможности, а именно:

обе теоремы верны,

одна из теорем верна, другая неверна,

обе теоремы неверны.

Для того чтобы показать, что первый случай может иметь

место, достаточно рассмотреть теорему 1 и обратную ей теорему (если число делится на 3, то сумма цифр числа делится на 3).

Теорема 4 о диагоналях ромба и теорема, ей обратная (для любого параллелограмма верно утверждение: если в параллело

грамме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм есть ромб) также верны.

Для теоремы 2 обратная формулируется следующим образом: «если диагонали четырехугольника конгруэнтны, то четырехугольник является прямоугольником». Эта теорема неверна. В качестве контрпримера можно взять четырехугольник, изображенный на рис. 28; таким образом, из двух взаимно обратных теорем одна может быть

верна, другая неверна.

Аналогично взаимно обратными являются теорема 5 и следую

щая теорема: «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то такой четырехугольник есть ромб». Как известно, теорема 5 верна, а обратная ей —неверна. В качестве контрпримера можно опять взять четырехугольник, показанный на рис. 28.

Третий случай, когда обе теоремы — и прямая, и обратная — неверны, тоже может иметь место. Для теоремы 3 обратной является

теорема: «если сумма двух чисел делится на 7, то хотя бы одно из слагаемых делится на 7». Эта теорема, очевидно, неверна, так же как н обратная ей теорема 3. Обратим еще раз внимание на теоремы 4 и 5 о диагоналях ромба. Выше уже отмечалось, что эти теоремы суть различные теоремы; если бы мы не различали их, понятие обратной теоремы потеряло бы однозтачный смысл: теорема имела бы две обратных, из которых одна была бы верна (обратная для теоремы 4), а другая нет (обратная для теоремы 5).

С понятием прямой и обратной теоремы тесно связано употребление слов «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» и им подобных.

Если теорема (Vx) Л (х) => В (х) верна, то предложение Л (х) называется достаточным условием для В (х), а предложение В (х) — необходимым условием для Л (х).

Вернемся к теореме 2:

(V<?) A(q)=$B(q), qeQ, где

A (q) = {четырехугольник q — прямоугольник},

В(^) = {диагонали четырехугольника q конгруэнтны-

и Q — множество всех четырехугольников. Эта теорема вечна, и, следовательно, A (q) является достаточным условием дли В (<?), т. е. для того чтобы диагонали четырехугольника были конгруэнтны, достаточно, чтобы четырехугольник был прямоугольником.

Предложение В (^) является необходимым условием дли A (q), т. е. для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы диагонали четырехугольника были конгруэнтны.

Если справедлива не только теорема

(Vx) А (х) => В (х), хеМ, но и ей обратная

(Vx) В (х) =) А (х), хе М,

то А (х) является необходимым и достаточным условием для В (х), а В (х) — необходимым и достаточным условием для Л(х).

Например, в начале параграфа проводилась теорема 1: «если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3». Эта теорема верна. Справедлива и обратная теорема. Поэтому можно сказать, что для делимости числа на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

Следует помнить, что в тех случаях, когда в теореме содержатся слова «необходимо и достаточно», доказательство обязательно должно состоять из доказательства необходимости и из доказательства достаточности. Ведь в такой формуляревке на самом деле объединены формулировки двух теорем: прямой и обратной. Каждая нуждается в доказательстве, так как из

справедливости одной ни в коем случае не следует справедливость другой.

Отметим еще, что вместо слов «необходимо и достаточно» иногда употребляют слова «тогда и только тогда», «в том и только в том случае» и т. п.

Например, теорема 1 и ей обратная, могут формулироваться так: «Натуральное число п делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа п делится на 3». Слово «условие» часто заменяют словом «признак», и говорят о необходимом признаке, или о достаточном признаке, или, наконец, о необходимом и достаточно м признаке.

Перейдем к понятию противоположной теоремы.

Теоремы

(Vx) А (х) =) В (х), хе.М, и

(Vx) Л (х) => В (х), х^М, называются взаимно противоположными.

Если, следовательно, в формулировке некоторой теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, то получится формулировка теоремы, противоположной исходной.

Всякая теорема

(Vx) А (х) =? В (х)

порождает, таким образом, еще три теоремы:

обратную (Vx) В (х) =5 А (х),

противоположную (V х) Л (х) => В (х),

противоположную обратной (Vx) В (х)=) А (х).

Например, взяв в качестве исходной рассмотренную выше теорему 5, будем иметь (для произвольного четырехугольника):

исходная теорема: если четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (теорема верна);

обратная теорема: если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то четырехугольник есть ромб (теорема неверна);

противоположная теорема: если четырехугольник не ромб, то его диагонали не перпендикулярны (теорема неверна);

противоположная обратной: если диагонали четырехугольника не взаимно перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом (теорема верна).

В рассмотренном примере прямая теорема и противоположная обратной оказались истинными, а обратная и противоположная — ложными. Это совпадение не является случайным. Прямая теорема и теорема противоположная обратной либо обе истинны, либо обе ложны, т. е. имеет место равносильность

(Vx) А (х) => В (х) = (Vx) В (х) => А (х), хе М.

Часто доказательство одной из этих теорем вызывает трудности, в таком случае следует попытаться доказать другую.

Известный метод доказательства от противного как раз и состоит в том, что вместо исходной теоремы доказывают п зотиво- положную обратной.

Метод математической индукции

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А (п), зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Доказательство истинности предложения Л (л) для всех згачений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А (п) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

Предложение Л (п) истинно для л=1.

Из предположения, что Л (л) истинно для n = k (где k— любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения и = ^+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А (л) для всех натуральных и, то, во-первых, зледует проверить истинность высказывания Л(1) и, во-вторых, тредпо- ложив истинность высказывания A (k), попытаться доказать, что высказывание Л(&+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения к, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А (п) признается истинным для всех значений п.

Метод математической индукции широко применяется три доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

Пример 1. Доказать истинность предложения

Л (и) = {число 5 • 23л~2 4 33л-1 кратно 19}, ле|М.

Л 1. Высказывание Л(1) = {число 5-2 + 32 кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения п = к

Л (£) = {число 5 • 23'г"2 ф-З3''"1 кратно 19}

истинно. Тогда, так как

5.2з < кз1) з + зз (Ыи-1 = 8.5.236-2 + 27 • 3м-1 =

= 8 (5 • 23"-2 4- З3" Ц) + 19 ■ З3*-1,

очевидно, что и Л(£+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что Л (k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение Л (и) истинно при всех значениях п. ▲

Пример 2. Доказать формулу

^^ИЗз + .-. + изЦ'1^0)2, «ЕМ.

Д 1. При и=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при п = к, т. е.

]з + 2з + 33 + ... + £3 = р^±^у.

Прибавим к обеим частям этого равенства (&+ I)3 и преобразуем правую часть. Тогда получим

1з + 23 + Зз + ... + ^ + ^+ l)3 = fA^tliy + (/fe + 1)3 =

= (k + 1)2 ^ + k + 1) = (Щу (62 + 46 + 4) = ^ + 1)^ + 2)^

Таким образом, из того, что формула верна при п = к, следует, что она верна и при и = 6+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении к. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана. ▲ Пример 3. Доказать неравенство

«+1 'п + 2‘3/1 + 1

А 1. При и=1 неравенство справедливо, так как

>1

2 ' 34

Предположим, что неравенство верно при п = к, т. е.

6 + 1 + к + 2 + • • • Ь 1

Прибавим к обеим частям неравенства сумму трех дробей

1 , 136 + 2 1 36 131 , 136 + 2 1 36 131136 + 436 + 4

1 , 1

36 + 2 1 36 13

1 , 1

36 + 2 1 36 13

1

1

36 + 4

36 + 4

е- в правуюе- в правуюи перенесем первое слагаемое левой части, т. часть неравенства. Тогда получим

е- в правую

е- в правую

—ц д— > 1 л- —21111_.

6 + 2 т ЗД-Ь4 '36 + 2^36 + 3^36 + 46+1

Правая часть этого неравенства больше единицы, так как

1 I * I*।*L _ 1 I2<

П Зй + 2 ' 3^ + 3 ' 3^ + 4й+1(Зй + 2) (3* + 3)(3fe + 4)

Следовательно, левая часть тем более больше единицы, т. е.

!Н> 1.

(^+0 + 13(А-|-1) + 1

Последнее неравенство из исходного неравенства получается при n= fe+ 1.

Итак, предположив истинность неравенства при n = k, мы доказали его истинность при п=&+1. Таким образом, методом математической индукции неравенство доказано. а

Пример 4. Пусть xlf х2, ..., х„ — произвольные положительные числа, причем х^.. ,х„ = 1. Доказать, что

Xj + ^2 + • • ■ + хп А п.

А 1. Если п=1, то по условию хт=1 и, следовательно, можно написать х3>:1, т. е. для п—\ утверждение верно.

Предположим, что утверждение верно для n = k. Пусть хъ х2, ..., хк, хк+г — произвольные положительные числа и

XjX2 ... хкхк+1 = 1.

Могут представиться два случая: либо все эти числа равнл 1, и тогда их сумма равна &+1 и неравенство доказано, либо среди этих чисел есть хотя бы одно число, не равное единице, и тогда- обязательно есть, по крайней мере, еще одно число, не равное единице, причем если одно из них меньше единицы, то другое больше единицы. Не ограничивая общности, можно считать, что хк > 1, а хк11 •< 1. Рассмотрим теперь fe чисе л

Xi, х2, ..., хк_ъ (хкхк+1).

Произведение их равно единице, и, следовательно, по нилуктив- ному предположению

Xi + Х2 + . . . -|- Хк-1 4" ХкХк+1 A k.

Прибавим к обеим частям последнего неравенства ^ + xw перенесем хкхк+1 направо и преобразуем правую часть неравенства:

Xi + Х1 + • • • + xh + xhvl Ah — ХкХк } + хк + хк+1 =

= k -|- 1 -|- хк (1 — хк ц) + Хд н — 1 = k -|- 1 -|- хк (1 — xz. и) — (1 — x*+i) =

= А + 1 + (1 — x^i) (хк — 1) A k + 1.

Таким образом, из истинности утверждения при n = k вытекает его истинность при n = h+l. Утверждение доказано. Из приведенного доказательства следует, что знак равенства в доказываемом соотношении имеет место тогда и только тогда, когда Xi = х3 =... = хп = 1. А

Пример 5. Доказать неравенство

^ДА^НАДЕД V ¥

~V л1Л2 . . . лп>

где лу ^2, ...» хп — произвольные положительные числа.

Л Это важное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим п чисел является простым следствием соотношения, доказанного в предыдущем примере. В самом деле, пусть хъ х2, ..., хп — произвольные положительные числа. Рассмотрим п чисел

Хух2^

Vxxx2...xn у'ххх2... хпп/х\х2...хп

Очевидно, что все эти числа положительны и произведение их равно единице. Следовательно, по доказанному в примере 4 их сумма больше или равна п, т. е.

ОтсюдаОтсюдаХ1 . х2хп

Отсюда

Отсюда

/г , I пг • • • г л

•^1 + ^2 + • • • + ^ЛП•^1 + ^2 + • • • + ^ЛПV Х1Х2 ...хп,V Х1Х2 ...хп,V Х^ ... Хп у ЧЧ ••• хпУЗД ••• xi

•^1 + ^2 + • • • + ^Л

П

•^1 + ^2 + • • • + ^Л

П

V Х1Х2 ...хп,

V Х1Х2 ...хп,

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда Ху = Х2 =. . .= Хп. А

Неравенство между средним арифметическим н средним геометрическим п чисел часто оказывается полезным при доказательстве других неравенств, при отыскании наименьших и наибольших значений функций (см. главу IV, § 6, 7).

Рассмотрим некоторые обобщения принципа математической индукции.

Пусть р — некоторое целое число.

Предложение А (п), где п целое, истинно для всех целых значений п ^-р, если выполнены следующие два условия:

Предложение А (п) истинно для п = р.

Из предположения, что Л (и) истинно для n = k {k — целое, fe^p), следует, что оно истинно для следующего значения и = = *+ 1.

При р = 1 получается первоначальная формулировка принципа математической индукции.

Пример 6. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

Д Пусть сумма равна п копейкам. Если и =8, то утверждение верно. Пусть утверждение верно для п = к. Могут представиться только два случая для размена суммы в к копеек:

потребовались только трехкопеечные монеты,

потребовалась хотя бы одна пятикопеечная монета.

В случае а) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и тем самым размениваем сумму в fe-) -1 копеек. В случае б) удаляем одну пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты и тем" самым размениваем сумму в к+1 копеек. ▲

В некоторых задачах принцип математической индукции используется в следующей форме.

Предложение Л (п), где /г —целое число, истинно для всех п/^р (р — некоторое целое число), если выполнены два условия:

Предположение Л (/г) истинно для п = р и n = p+ 1.

Из предположения, что Л (п) истинно для п = к и п = = к — 1, следует, что оно истинно при /г = & Д-1 (для любого £>Р).

Проиллюстрируем применение этого принципа на следующем примере.

Пример 7. Доказать, что функция Тп (х) = cos (n- arccos х) на отрезке [—1; 1] совпадает с некоторым многочленом степени п (/г—неотрицательное целое число).

При /г = 0 и /г = 1 получаем соответственно Тй (х) = 1 и Ti^=x, т. е. утверждение верно и для /г = О и для /г=1.

Рассмотрим Ткц(х) и проведем преобразования

7\rl (х) = cos Цк + 1) arccos х) =

= cos (к arccos х) • cos (arccos х) — sin (к arccos х) • sin (arccos z) =

= Tk (x) Tv (x) — g (cos ^k — 1) arccos x) — cos ((& -ф 1) arccos x)) =

= Tk (x) Ti (x) — g ITh-i (x) — Tди (x)).

Мы получили следующее рекуррентное соотношение.

Tkvl (х) = 27\ (х) Тк ^-Тк_Дх)или

Т№ (х) = 2хТк (х) - Tk_i (х).

Сделаем индуктивное предположение: функции ^^(х) и ТДх) на отрезке [—1; 1] совпадают с многочленами ссответ- ственно к — 1-й степени и к-й степени. Тогда из полуденной рекуррентной формулы следует, что Tk+i (х) совпадает с многочленом степени к ф-1.

Согласно принципу математической индукции утверждение доказано для всех п^О. ▲

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, изо- бражеппой на рис. 29. Рассмотрим следующие четыре высказывания:

А = (элемент к цепи вышел из строя),

В,= (элемент I, цепи вышел из строя) (' = 1, 2, 3).

Замкнута ли цепь, если

высказывание A-\-BvB2B3 истинно,

высказывание A (Bi + S2 + Вз) истинно?

Докажите формулу

А^>В = А + В.

На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что

если изучал третий, то изучал и второй.

Кто из учащихся изучал логику?

«Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.

— Говорит Мегрэ. Есть новосш?

произошло после полуночи. Инспекторпроизошло после полуночи. Инспектор— Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс уста ю- вил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийда, или Франсуа не был пьян и убийство Люка просил передать Вам, что если

произошло после полуночи. Инспектор

произошло после полуночи. Инспектор

убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила ...

— Все. Спасибо. Этого достаточно. — Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Рассмотрите следующие высказывания:

Л = {Франсуа был пьян},

В = {Этьен убийца},

С= {Франсуа лжет},

D = {убийство произошло после полуночи}.

Запишите, используя логические операции, высказывания инспекторов Торранса, Жуссье и Люка. Составьте произведение этих трех высказываний и упростите его. Что следует из показаний испекторов? Какой вывод сделал комиссар Мегрэ?

Для доказательства равенства

Кб /2 + 7 - Кб /2-7 = 2

ученик привел следующее рассуждение: «Возведя в куб обе части равенства, получим

14 —з(К5 /2+7^ К 5/2-7 + зК 5 /2 + 7 (Кб /2-7)L = 8

ИЛИ

3 Кб / 2 + 7 Кб /2-7 (Кб /2 + 7-К5 /2-7) = 6;

но, так как

Кб /2 + 7- Кб /2-7 = 2,

то

К5 /2 + 7 Кб /2-7 = 1,Z(5 /2)2 —72==1,/Г=1, 1=1,что и требовалось Доказать».

Доказал ли ученик равенство?

Ученику была предложена следующая задача:

«Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости а, один катет составляет с плоскостью а угол в 45°, другой — угол в 60°. Бсльший катет равен а. Найти гипотенузу».

Ученик сделал чертеж (рис. 30), из прямоугольного треугольника АОС нашел

| СО \=а sin 45° = а /2/2,

из прямоугольного треугольника ВОС нашел/ С7

sin 60°/3Г 0/\ у

и по теореме Пифагора определил гипотенузу / А—-Л^Д^ /

| АВ | = /|АС++Г8С+ =/2~ Г 5~

=а\ 1+V /■ Рис‘ 30,

Верен ли полученный результат?

Дано неравенство йх + /2е£0. Прн каких значениях й истинны следующие утверждения:

При любом / неравенство имеет хотя бы одно решение.

Существует I, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение?

На множестве всех натуральных чисел заданы три предложения:

А («)= {число п-+48 является квадратом натурального числа},

В (я) = {число п оканчивается цифрой 4), С (п) = {число п— 41 есть квадрат натурального числа}.

При каких значениях п нз данных трех предложений два истинны 1 одно ложно?

Для теоремы «если квадратное уравнение не имеег двух различных действительных корней, то дискриминант этого квадратного уравнения неположителен» сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Указать, какие из этих теорем верны.

Докажите или опровергните следующие утверждения:

Для делимости числа п?—1 (/г ^5) на 24 достаточно, чтобы t. было простым числом.

Для делимости числа /г2—1 (п :> 5) на 24 необходимо, чтобы t. было простым числом.

Для каких натуральных значений п истинно предложение А(/г) = {2«>4/12+1}?

На плоскости произвольным образом проведены п прямых. Доказать, что черной и белой красками можно так закрасить плоскость, что тюбые две части, имеющие общую сторону, будут окрашены в разные цвета.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

По мишени произведено три выстрела. Пусть

А^ = {мишень поражена при 6-м выстреле}, 6 = 1, 2, 3.

Что означают следующие высказывания:

а) Л1 +-42 +Лз', б) Л1Л2Лз1 в) Л1Л2Лз + Л1Л2Л3 + А1Л2Аа?

Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление.

На следствии каждый из них сделал два заявления.

Браун. Я не делал этого.

Смит сделал это.

Джонс. Смит не виновен.

Браун уделал это.

Смит. Я не делал этого.

Джонс не делал этого.

Суд установил, что один из них дважды солгал, другой—дважды сказал правду, третий — один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, D, Е, Р, G и Н надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять £ и 6, гидролога В и £, синоптика F и G, радиста С и D, механика С и Н, врача А и D. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без В, D — без Н и без С, С не может ехать одновременно с G, а А не может ехать вместе с В?

Рассмотрим два определения легкой контрольной:

Контрольная работа называется легко, если каждую задачу решил хотя бы один ученик.

Контрольная работа называется легкой, если хотя бы один ученик решил все задачи.

Может ли контрольная быть легкой в смысле первого определения и трудной (не легкой) в смысле второго?

Может ли работа быть легкой в смысле второго определения и трудной в смысле первого?

Ученики 10 В класса хвастались тем, что онн выше ростом учеников 10 А. На вопрос учителя математики: «Что, собственно, означает, что вы выше ростом?» — ученики 10 В дали следующие ответы:

Любой из нас выше любого из них.

Самый высокий нз нас выше самого высокого нз них.

Для любого ученика нашего класса найдется ученик класса А меньшего роста.

Каждый ученик класса А ниже хотя бы одного ученика нашего класса.

Средний рост учеников нашего класса больше среднего роста учеников класса А.

Есть ли среди этих ответов равносильные? Если есть, то какие?

На множестве всех Натуральных чисел заданы три предложения

Л(п) = {число пг — 2 кратно 7), В (я) = {число п— 2 кратно 7}, С (п) = {4«2 — 360/г + 8099 < 0}.

При каких значениях п из данных трех предложений два истинны и одно ложно?

Даны три предложения, заданные на множестве всех действительных чисел:

А (х) = {х— целое число},

В(х) = {х2— Зх—целое отрицательное число},

C(x) = jx + y — целое положительное число|.

При каких значениях х ложно одно и только одно из этих трех предложений?

Дана система уравнений

/ хА-"2Ьу = а,

I Ьх + (1— Ь)у = с2 + с, где а, Ь, с — действительные числа.

При каких значениях а при любом b найдется такое с, при котором система имеет хотя бы одно решение?

Даны две точки А (0; 9), В (3; 6) и система неравенств | 2х—у+а^;0, I 6х+Зу + 5а>:0.

При каких значениях параметра а решением системы будут координаты а) хотя бы одной точки отрезка АВ, б) каждой точки отрезка АВ?

Для каждой из нижеследующих теорем сформулируйте обратную, противоположную и противоположную обратной. Указать, какие из теорем верны.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то этот четырехугольник представляет собой ромб.

Если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг пего можно описать окружность.

Если многоугольник является четырехугольником, то сумма его bi утренних углов равна 360°.

И. Какие из следующих шести теорем являются по отношении! друг к другу обратными, противоположными, противоположными обратным? Какие из этих теорем верны?

Теорема 1. Если каждое из двух натуральных чисел делится иацелс на 7, то их сумма делится на 7.

Теорема 2. Если ни одно из двух чисел не делится на 7, то и их сумма не делится на 7.

Теорема 3. Если хотя бы одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.

Теорема 4. Если сумма двух чисел делится на 7, то каждое слагаемое делится на 7.

Теорема 5. Если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из слагаемых не делится на 7.

Теорема 6. Если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя бы одно из слагаемых не делится на 7.

Дана теорема: в любом четырехугольнике, который не является прямоугольником, диагонали не конгруэнтны. Сформулировать теоремы: обрап ую, противоположную и противоположную обратной. Какие из этих четырех теорем верны?

Для теоремы: «Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней» —сформулировать теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной. Какие из этих четырех теорем верны?

Замените многоточия словами «необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо» так, чтобы получились верные утверждения:

Для того чтобы выиграть в лотерее, ... иметь хотя бы один лотерейный билет.

Для того чтобы из трех чисел а, 6, с хотя бы два были равны между собой, ..., чтобы

(а —6)2 + (6—с)2 + (с —а)2 = 0.

Для того чтобы сумма двух действительных чисел была числом рациональным, ..., чтобы каждое слагаемое было рациональным числом.

Для того чтобы медиана треугольника была равна половине стороны, которую она делит, ..., чтобы треугольник был прямоугольным.

Для того чтобы функция у = ах2 + Ьх-|-с при всех целых х принимала целые значения, ..., чтобы 2а, а+b, с были целыми числами.

Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

Для того чтобы число и24-20 (/г>3) было составным, достаточно, чтобы/г было простым.

Для того чтобы число п24- 20 (а > 3) было составным, необходимо, чтобы п было простым.

Доказать, что при любом натуральном п-.

« (2«3 — 3/г + 1) кратно 6;

11п+1-|-122”-1 делится нацело на 133;

п?—п кратно 5; г) п7— п кратно 7.

Доказать, что при любом натуральном п > 1 число 22”+1 оканчивается цифрой 7.

Методом математической индукции доказать справедливость равенств для каждого натурального значения п:

1 •2 + 2-5 + ... + п(Зп—1) = п2(п + 1);

124- 324-... + (2h-1)2 = ^|^;

1 • 22 4- 2 ■ З2 4-... 4- (ц -1) п2 = ” ^ ~ ^l3"+21;

11_ " .

1 -5 + 5-9(4п_э)(4„4-1)4/14-1’

\ " + 2

V 4 А 9Л' \(« + 1)2/ 2п-Ь2‘

Доказать, что

3 + 33 + ... + 33...3=-21_Я„gN (левая часть равенства содержит п слагаемых).

Доказать равенство

I/2+K2+T+72 = 2 cos (n/2n+1), n g М

(в левой части содержится п корней).

При каких натуральных значениях п верны неравенства: а) 3й > 2П + 7п; б) 2” > п? + 4/1 + 5?

следующихследующихМетодом математической индукции доказать справедливость

следующих

следующих

неравенств для всех натуральных n> 1:

1352/1—11

— • — • —...< ,;

2 4 62/1 У 3/1+1

,.1,1,, 113

МД +/Г+2 +"- + 2п 1

)Л1<1+-^- +... + —U<2|Ai;

К 2V п

2 < 1 + 2” + 3 +' ■ ■ + 2” — 1 < П"

На сколько частей разделится сфера /1 плоскостями, проходящими через центр, если никакие три плоскости не проходят через один и тот же диаметр.

Пусть хь х2 хп— произвольные неотрицательные числа, причем Д+ ^2 + • • • + Д S- 1/2.

Доказать, что

(1~Д) (1-Х2)...(1-Х„)^1/2.

Глава III

УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Уравнения с одним и несколькими переменными

Любое предложение вида

Z(x)=g(x),(I)

где Цх) и g-(x) — некоторые функции, называется уравнением с одной переменной х (или с одним неизвестным х). Функция/(х) называется левой частью, a g(x) —правой частью уравнения (1).

Число а называется корнем (или решением) данного уравнения с переменной х, если при подстановке числа а вместо х в обе части этого уравнения получаем верное числовое равенство, т. е. если при х = а обе части уравнения определены и их значения совпадают.

Решить данное уравнение — значит найти множество всех корней (решений) этого уравнения в области R.

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений, т. е. если каждое решение первого уравнения является решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения является ре.ше- нием первого уравнения, или если оба уравнения не имеют решений.

Например, уравнения 5%+1=6 и 2х = 2 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень х=1.

Уравнение вида

ах = Ь,(2)

где а и Ь — некоторые заданные числа, называется линейным уравнением.

Очевидно, если а = b = 0, то любое число является решением уравнения (2). Если а = 0, но 6#0, то уравнение (2) решений не имеет. Если же а#0, то это уравнение имеет единственное решение х = Ь/а.

Уравнение вида

ax2-Vbx-\-c = 0,(3)

где а, Ь, с —некоторые числа, причем а^=0, называется квадратным.

Простейшее квадратное уравнение имеет вид х2 + с = 0. Оно не имеет решений, если с>0, имеет одно решение х = 0, если с = 0, и имеет два решения х = У — с и х = — V — с, если с<0.

Легко проверяется, что уравнение (3) равносильно уравнению о | Ь | С z.

х24— х-4— = 0.а а

Преобразуем левую часть этого уравнения:

/ । Ь \2 Ь'2—4ас „ х + д- — = 0. \ 2а /4а2

Отсюда видно, что уравнение (3) не имеет решений, если D = = b2 — 4ас<0, имеет единственное решение х = — ^, если 0=0, 6 , Vdл

и имеет два решения х =— 2а — ~2а~> если О>0

Таким образом, все решения уравнения (3), если они есть, находятся по формуле

Пример 1. Решить уравнение 2x4-1 _ 4—х 3 — хх + *

Д Умножим обе части данного уравнения на (3 —х) (х+1). Очевидно, любое решение данного уравнения является и решением полученного уравнения

(2х + 1) (х + 1) = (4 — х) (3 — х).

Как легко видеть, оно равносильно квадратному уравнению

х24- Юх- 11 =0.

Находим корни этого уравнения:

х = — 5±У 25+71 =—5±6,

т. е. х = —И и х= 1.

Следовательно, решениями данного уравнения могут быть лишь числа —И и 1. Проверкой убеждаемся, что эти числа являются решениями данного уравнения.

Ответ: {—11, 1}. ▲

Пример 2. Решить уравнение

Зх 2х _Зх— 6

х-Л — х + 2(х— 1) (х + 2) ‘

А Любое решение данного уравнения является решением уравнения

Зх (х + 2) — 2х (х — 1) = Зх — 6,

которое получается из данного умножением на (х —1)(х+2). Очевидно, это уравнение равносильно следующему квадратному уравнению

х2 + 5х + 6 = 0.

По формуле (4) находим его корни: х =—3 и х = —2.

Следовательно, решениями данного уравнения могут быть лишь числа —3 и —2. Проверкой убеждаемся, что число —3 является его корнем, а число —2 не является его корнем, так как при х=—2 не определены обе части данного уравнения.

Ответ: {—3). ▲

Пусть заданы два уравнения. Тогда, если любое решение первого уравнения является решением и второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если уравнение ft (х) = gT (х) является следствием уравнения / (х) =g(x), то будем писать

(/ (х) = g (х)) =} ^ (х) = gt (х)).

Если уравнения /(х)=^М и AW=^iW равносильны, то, очевидно, каждое из них является следствием другого. В этом случае будем писать

(/ (х) = g (х)) <=> (Л (х) = gl (х)).

Сформулируем несколько утверждений, широко используемых при решении уравнений. Их доказательство предоставляется читателям в качестве легкого, но полезного упражнения.

Если функция ф (х) определена для всех х, для которых определены f (х) и g(x), то

(f U) = g to) <=> (/ (х) + ф (х) = g (х) + ф (х)).

В частности,

kt ^ = g (X)) <=> (/ (х) - g (х) = 0).

Если функция ф (х) определена для всех х, для которых определены f (х) и g^x), то

У W = g ^ ^ у (X) ф (х) = g (х) ф (х)).

Если, кроме того, ф (х) ^ 0 для всех х, то

If (х) = g (х)) <=> (/ (х) ф (х) = g (X) ф (х)).

В частности, для любого числа k^O

VW=g (х)) <=> (# (х) = kg (x)).

Для любых f(x), g(x) и ф (х)

=g to) => (/ =g (х) ф (х)).

Очевидно, что любое решение х0 уравнения fU^gU^^W)(5)

такое, что <р(хо)=#О, является решением и уравнения

^T=^w-(6)

Следовательно, в множестве всех чисел, для которых <р(г)=#О, уравнения (5) и (6) имеют одни и те же решения. В этом случае будем говорить, что при условии <р(х)^0 уравнения (5) и (6) равносильны, и писать

(^=^ W) ^ (ч> W ^°- H^ = g W <р W).

Каждое решение уравнения f(x)g(x)=0 является решением по крайней мере одного из уравнений / (х) = О или g (х) = 0:

(/ (х) g (х) = 0)=)(f (х) = 0 или g (х) = 0).

Если функция ) (х) определена для всех х, где g(x)=0, а функция g (х) определена для всех х, где f (х) = 0, то

(f W g (я) = 0) <=> (/ (х) = 0 или g (х) = 0).

Для любых f (х) и gtx) и любого натурального п

Q (х) = g (х)) => ((/ (х))" = <g (х))").

Пример 3. Решить уравнение

2}/х + 5 = х + 2.

А Воспользуемся сформулированными выше утверждениями и введенными обозначениями. Тогда

(2]/х + 5 = х + 2)=Я4 (х + 5) = (х + 2)2)«

<=> (4х + 20 = х2 + 4х + 4) <=> (х2 = 16) <=> (х = 4 или х == —4).

Таким образом, решениями данного уравнения могут быть лишь х = 4 и х = —4. Проверкой убеждаемся, что только х = 4 является решением данного уравнения.

Ответ: {4}. ▲

Заметим, что уравнения 2]/х + 5 =х + 2 и 4 (хф-5) = (л + 2)2 равносильны при условии х + 2^0. Поэтому схему решения уравнения можно изобразить так:

(2)/х + 5 = х + 2) о (х + 20, 4 (х + 5) = (х + 2)2) <=>

о (х — 2, х2 = 16) о (;: = 4).

Пример 4. Решить уравнение

|/ 4 + 2х — х2 = х — 2.

Л Имеем

(К4 + 2х — х2 = х — 2) о

о (4 + 2х — xJ = (x — 2)2; х^2)о(х^2; 2х2 — 6х = 0) о

<г>(х5а2; х = 0 или х = 3) о (х = 3).

Ответ: {3}. ▲

Любое предложение вида

Цх; y)=g(x; у),(7)

где f (х; у) и g (х; у) — некоторые функции переменных х и у, называется уравнением с двумя переменными х и у или с двумя неизвестными х и у. Функция Цх; у) называется левой частью, a g(x; у) —правой частью уравнения (7).

Решением, данного уравнения с переменными х, у называется упорядоченная пара чисел (а; Ь), при подстановке которых соответственно вместо х и у в обе части этого уравнения получается верное числовое равенство.

Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком этого уравнения. Так, например, графиком уравнения (х — х0)2 + (у — У^2 — ^, где Р>0, является окружность радиуса R с центром в точке (х0; уоу Графиком уравнения у = ах1 + Ьх + с, где а, Ь, с —некоторые числа, причем а^=0, является парабола.

Уравнение' вида

ах + Ьу + с = 0,(8)

где а, Ь, с —некоторые числа, называется линейным. Графиком линейного уравнения (8), у которого хотя бы один из коэффициентов а или b не равен нулю, является прямая. Если а = Ь = = с = 0, то любая пара чисел является решением уравнения (8), а если а = Ь = 0, но с^О, то уравнение (8) решений не имеет.

Если каждое решение уравнения (7) является и решением уравнения

fi(x; y)=gi(x; у),(9)

то уравнение (9) называется следствием уравнения (7). В этом случае график уравнения (7) является частью графика уравнения (9) (в частности, они могут совпадать). Если графики уравнений совпадают, то они называются равносильными.

Легко доказать, что

(f(x; y)=g(x; yY^(f(x; y)-g(x; t/)=0).

(f(x; y) = g(x; yYo(hf(x\ y)=kg(x; y)) для любого числа ^^0.

=t/)'lo(<p(x; t/)^0, f (x; y)=g(x; y)(p(x; y)).

№ y)g(x; y)=O)=>(f(x; y) = 0 или g(x; y)=0).

Пр и мер 5. Нарисовать график уравнения у2 = 4х2.

Л Имеем

(у2 = 4х2) « (у2 — 4х2 = 0) о ((у — 2х) (у + 2х) = 0) о

<ч>(у —2х = 0 или у + 2х = 0) «• (у = 2х или у = — 2х).

Таким образом, график уравнения у2 = 4/2 —это пара пересекающихся прямых, заданных уравнениями у = 2х и у =--— 2х (рис. 31). ▲

Наряду с уравнениями с одной переменной и с двумя переменными в дальнейшем будут рассматриваться уравнения с тремя и более переменными.

В общем случае решением уравнения с п переменными называется упорядоченный набор из п чисел, при подстановке которых вместо переменных в обе части уравнения получается верное числовое равенство.

Системы уравнений

Любое конечное множество уравнений называ ется системой уравнений. В общем случае можно рассматривать систему т уравнений с п переменными

(неизвестными), причем возможны все три случая рИс. 31. т = п, т<.п и т> п. Решением системы уравнений с п переменными называется упорядоченный набор из п чисел, являющийся решением каждого из уравнений системы. Решить систему — значит найти все ее решения.

Сформулируем несколько правил преобразования систем уравнений.

Если в системе заменить какое-либо из уравнений на ему равносильное, а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система равносильна исходной.

Пусть f = g и <р = ф — какие-нибудь два уравнения системы. Тогда если в системе заменить уравнение f = g на уравнение f 4- ср = g + ф (оно называется суммой уравнений f = g и <р=ф), а остальные оставить без изменения, полученная система равносильна исходной.

Пусть система содержит уравнение x = q, где х — некоторая переменная, а ср — некоторая функция, не зависящая от х. Тогда если во всех уравнениях системы, кроме уравнения х = ср, вместо х подставить ср, полученная система равносильна исходной.

На этом правиле основам способ решения систем, ко-орый называется способом подстановки или способом исключения неизвестных. Он сводит решение данной системы к решению системы меньшего числа уравнений с меньшим числом переменных (неизвестных).

Если система содержит уравнение f-g = O, то она распадается на две системы, в одной из которых уравнение f • g = 0 заме-

нено на f = Q, а в другой — на g = 0. При этом каждое решение данной системы является решением одной из полученных систем.

Если же функции fug определены на одном и том же множестве, то каждое решение полученных систем является решением исходной системы. В этом случае говорят, что данная система равносильна совокупности полученных систем.

На этом правиле основан способ решения систем, называемый способом разложения на множители.

Пример 1. Решить систему уравнений

( х2 + у2 = 25,( х-у=\.

А Из второго уравнения системы находим x=\-Vy и подставляем это выражение для х в первое уравнение. В результате получим уравнение (1 4- у)2 + у2 = 25, содержащее только переменную у. После преобразований получаем квадратное уравнение у2 + у— 12 = 0. Оно имеет корни ^ = 3 и у2 = — 4. Теперь, подставляя эти значения для у в уравнение х=1+у, находим ^ = 4 и х2 = — 3. Следовательно, данная система имеет решения (4; 3) и ( — 3; —4). Заметим, что при решении этой системы был применен метод подстановки.

Ответ: {(4; 3), (-3; -4)}. ▲

Пример 2. Решить систему уравнений

( у2 — 1 = 4х2 + 4х,

( 4х2 + у2 — Зху = 1.

Л Из первого уравнения системы следует, что у2 = (2х-Е I)2, т. е. // = 2x4-1 или у=— 2х — 1. Следовательно, данная система равносильна совокупности следующих двух систем:

(// = 2x4-1,(У=~ 2х — 1,

( 4х2 + у2 — Зху = 1,( 4х- + у2 — Зх// = 1.

Решим сначала первую систему. Подставив // = 2x4-1 во второе уравнение системы, получаем

4х2 4- (2х 4-1 )2 - Зх (2х 4-1) = 1,2x24-*4-l = l,

и, наконец, х(2х4-1) = 0, т. е. х = 0 или х = —1/2. Подставив эти значения для х в уравнение // = 2x4-1, получим соответственно //=1 и // = 0. Следовательно, первая система имеет решения (0; 1) и (—1/2; 0).

Аналогично решается вторая система. Подставив у = — 2х—1 во второе уравнение, получим, что х(2х4-1) —0, Т. е. Х = 0 ИЛИ х ——1/2. Следовательно, вторая система имеет решения (0; —1) и (—1/2; 0).

Ответ: {(0; 1), (—1/2; 0), (0; —1)}. ▲

Пример 3. Решить систему уравнений | хг—у2 = 5, [ х4 — ху + у2 = 7.

Л Умножив первое уравнение на 7, второе на —5 и сложив, получим уравнение

Y2y2 — 2х2 — 5ху = 0.

Разложим его левую часть на два сомножителя. Для этого решим его, например, относительно у как квадратное уравнение:

5х ip25x2 + 96х- _5х+11х24“24*

-21

Следовательно, у = $ х или у = — -^х.

Данная система равносильна совокупности двух систем

г х2 — у2 = 5,< х2 — у2 = 5,

{2<1

[^=3^ (х = — ^х.

„2

Подставляя z/ = —х в первое уравнение, получаем х2—-^х2 = 5, х2 = 9, х = :±3.

Следовательно, первая система имеет решения (3; 2) и (—3; —2). Аналогично получаем, что вторая система имеет решения (4/КЗ; -1Д/3) и (-4//3; 1/]/3).

Ответ: {(3; 2), (-3; -2),(4/}/3; -1//3), (-4//3"; 1/У 3)}. ▲ Пример 4. Решить систему уравнений

г хУх -Ух=уУу+8угу,(i)

|x = i/ + 5.

А Введем новые переменные и и у:

(2) и = Уу.

Тогда из данной системы относительно переменных и и и получим систему уравнений

( и3-и = и3-у8и, |и2 = у2 + 5.

Легко видеть, что система уравнений (1), (2) равносильна системе уравнений (2), (3). Следовательно, чтобы найти все решения

3 п/ред. Г. Н. ЯковлеваQj

системы (1), нужно решить систему уравнений (2), (3). Причем, если (хг; yt; uv\ и,) — некоторое решение этой системы, то (л^; щ)— решение системы (1).

Система уравнений (2), (3) имеет специальный вид: уравнения (3) не содержат переменных х и у. Поэтому сначала решают систему уравнений (3), а затем, подставив в (2) найденные значения для и и и, решают полученную систему уравнений относительно переменных х, у.

Решим систему (3). Для этого обе части первого уравнения возведем в квадрат:

и2 № — I)2 = и2 (и2 4- 8)2

•—ив полученном уравнении сделаем замену н2 = у2-|-5. В результате после некоторых преобразований получим уравнение

Зи4 + 8и2 —80 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно и2. По формуле для корней квадратного уравнения находим и2 = 4. Следовательно, любое решение системы (3) есть решение системы уравнений и2—4, и2 = 9, которая имеет четыре решения: (3; 2), (3; —2), (—3: 2), (—3; —2). Проверкой убеждаемся, что система (3) имеет только два решения (3; 2) и (—3; —2).

Теперь из уравнений (2) найдем соответствующие значения переменных х, у. Подставив в (2) значения и = 3, и = 2, получим х = 9, у = 4. При и = —3, и =—2 получим систему, не имеющую решений. Следовательно, система (1) имеет единственное решение х = 9, у = 4.

Ответ: {(9; 4)}. а

Приведенное решение схематически можно изобразить следующим образом:

{(1); (2)} о {(2); (3)) о

<=>{(2); и = 3, и = 2 или и = —3, и =—2} <=> о{(2); н = 3, и = 2}о{х = 9, у = 4, и=3, и = 2}.

Способ, который применялся при решении системы (1), называется способом введения новых переменных (неизвестных). Этот способ часто применяется при решении систем. Приведем еще один пример решения системы способом введения новых переменных.

Пример 5. Решить систему уравнений

( х у - ху = 1,

I х» + у8-ху = 3.

Л Преобразовав второе уравнение системы к виду

(л: + у)2-3ху = 3,

видим, что удобно ввести новые переменные u=x-Vy, и=ху. Для и, и получим систему уравнений

{

и — v = 1,

и2 — Зи = 3,

Выразив и из первого уравнения и подставив во второе, получим квадратное уравнение

у2 — у — 2 == О,

корнями которого являются числа yt = 2 и у2 =—1. Из '/равнения н = у+1 находим н1 = 3 и и2 = 0.

Из предыдущего следует, что данная система равносильна совокупности следующих двух систем:

Г х у = 3,( х -J- у — 0,

{„ и {

I ху = 2 Iху = — 1.

Первая система имеет два решения (1; 2) и (2; 1). Вторая система имеет также два решения (1; —1) и (—1; 1).

Ответ: {(1; 2), (2; 1), (1; — 1), (—1; 1)}. ▲

§ 3. Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

( aix + Ьгу == съ{ ti2X “Ь ^2У " ^2*

Если все числа «j, b1,'c1, а2, Ь2, с2 равны нулю, то любая пара чисел является решением данной системы. Если же av, bv, а2, b2 равны нулю, а хотя бы одно из чисел ct или са отлично от нуля, то система не имеет ни одного решения.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел ах, а., Ьп Ь2 отлично от нуля. Пусть, например, а(=^0.

Тогда система (1) равносильна системе

I X^"aly"aL*(2)

a.2x-\-b2y ^с2.

Прибавив ко второму уравнению первое уравнение, унюжен- ное на —а2, получим

(3)

Следовательно, если Ь2 — -^ а2^0, т. е. а162 — а2Ьх ф 0, то

(4)

ахЬ2 — аУ)х

г*67

системы (2),системы (2),(б)(б)(2), а также определяется(2), а также определяетсяПодставив это значение у в первое уравнение находим

системы (2),

системы (2),

(б)

(б)

(2), а также определяется

(2), а также определяется

^ СА — СА

41^2#2^1

Таким образом, если ахЬ2 — a2bx N= 0, то система и система (1), имеет единственное решение, которое по формулам (4), (5).

Пусть теперь ахЬ2 — а2Ьх = 0. Тогда если агс2 — а2сх N= 0, то уравнение (3), а также система (1), не имеет решений. Если же ахс2 — — a2ct = 0, то любая пара чисел (х; у^, где

х = — — — у, у е R, является решением системы (1).

Таким образом, если ахЬ2 — а2Ьх = й, то система (1) либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.

Пусть, по-прежнему, ах Ф 0 и Ь2 — у а2 = 0. Обозначим а2[ах = к, тогда a2 = kax и из условия Ь2 — ^а2 = 0 следует, что b2 = kbx. В этом случае система (1) имеет вид

( ахх + Ьху = сх,| kaxx ф- kbxy = с2.

Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда c4 = hcv Таким образом, если ^=#0, а ахЬ2 — а2Ьх = 0, то система имеет решение тогда и только тогда, когда второе уравнение получается из первого почленным умножением на число к = а2!ах.

Выше предполагалось, что «j^O. Если же, например, Ь2^0, то, поменяв местами уравнения и переменные в обоих уравнениях, придем к уже разобранному случаю.

При нахождении решений систем в случае, когда ахЬ2 — а2Ьх Ф 0, можно пользоваться формулами (4), (5), а можно проводить все преобразования, которые мы делали при выводе формул (4), (5).

Пример 1. Решить систему уравнений

| 2х4-3у= 11,

I Зх + 2у = 9.

Л п2

Л Второе уравнение умножим на у и вычтем почленно из первого. В результате получим уу = 5, т. е. у = 3. Подставив это значение у в первое уравнение заданной системы, получим х = 1.

Ответ: {(1; 3)}. ▲

Пример 2. Решить систему уравнений

Зя — у = 1,12я — 4у = 4.

Л Данная система равносильна одному уравнению Зя —у=1, так как второе уравнение получается из этого почленным умножением на 4. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел х, у = Зя — 1, и других решений система не имеет.

Ответ: {(я; Зя—1), яер}. ▲

Пример 3. Решить систему уравнений х + у = 3, 2я + 2у==8.

Л Ни одна пара чисел не удовлетворяет этой системе уравнений, Действительно, если первое уравнение почленно умножить на 2 и вычесть из второго, то получим уравнение 0=2, которое, очевидно, не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений, д

Пример 4. При каких значениях параметра а система двух уравнений

На+1)я + 8у = 4а, | ах + (а + 3) у = За — 1 имеет бесконечнее множество решений?

Разделим первое уравнение на 8:

а+1 1

—(7)

Из второго уравнения системы (6) вычтем уравнение (7), умноженное на а + 3:

(а_ la+IH£+3).j х = За _ 1 _ “ (а + з).(8)

Очевидно, что при любом а система уравнений (7), (8) равносильна данной. Следовательно, если в уравнении (8) коэффициент при х не равен нулю, т. е. если

то система (6) будет иметь единственное решение. Поэтому система (6) может иметь бесконечнее множество решений только тогда, когда а--—!—- = 0, т. е. когда

а2 — 4а + 3 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни а = 3 и а = 1.

При а = 3 из (6) получаем систему

4х + 8у = 12,

ЗхЦ-бу = 8,

которая, очевидно, не имеет ни одного решения.

При а = 1 из (6) получаем систему

| 2х + 8у = 4,| x + 4z/=2,

равносильную одному уравнению х + 4у = 2. Решением этого уравнения будет любая пара чисел (2 — 4//; у), где у еЯ Следовательно, система (6) имеет бесконечное множество решений только при а = 1.

Ответ: а = 1. а

Линейным уравнением с п переменными xv х2, ..., хп называется уравнение вида

«1X1 4- а2х2 +... + «пХп = Ь,(9)

где /?£, а2, ..., ап, Ь — некоторые числа. Если все числа «1, ... .,., ап, b равны нулю, то любой набор п чисел является решением этого уравнения. Если же все числа ai, ..., ап равны нулю, а 6^0, то уравнение (9) не имеет решений. В дальнейшем будем предполагать, что не все коэффициенты «1, ..., ал равны нулю.

При нахождении решений системы пг линейных уравнений с п переменными удобно пользоваться методом. Гаусса. Этот метод является частным случаем метода исключения переменных н состоит в том, что равносильными преобразованиями данную систему приводят к так называемой треугольной форме.

Пример 5. Решить систему уравнений

' 2x4-</ + Зг = 13,

Х + у + 2 = 6,. Зх + у + г = 8.

Д Прибавив почленно к первому уравнению второе, умноженное па —2, получим

— у 4- 2 = 1 или у — г - — 1.

Далее, к третьему уравнению системы прибавив второе, умноженное на —3, получим уравнение —2у —2г = —10. Наконец, прибавив к этому уравнению уравнение у — г = — 1, умноженное на 2, получим —4г = —12, т. е. 2 = 3.

В результате преобразований получили систему уравнений' x-Vy-Vz= 6,

■У — г = — 1,

.2 —

которая, очевидно, равносильна данной.

Системы такого вида называются треугольными. Они легко решаются. Действительно, из третьего, второго и первого уравнений последовательно находим 2 = 3, у = г— 1=2, х = V> — y— — 2=1.

Ответ: {(1; 2; 3)}. д

Решение системы линейных уравнений приведением к треугольной форме называется методом. Гаусса.

Пример 6. Решить систему уравнений

’ Х1 +х2 + х3 + х4 = 1,

^1 + хг - х3=2,

. х2 + х3= 0.

Л Эту систему трех уравнений с четырьмя переменными решим методом Гаусса.

Вычитая из второго, уравнения системы первое, получаем

—2^-а:4=1, х3+*-х4=—L

Рассмотрим систему уравнений

Х2+л3+Х4=1,

Л2 + х3 = 0,, 1 , _1

%3 + 2 "4 —2

Эта система треугольной формы равносильна данной. Счдтая х4 произвольным, последовательно находим

хх1 - 1 X 22 411 - 1 X 22 41^2 = — ^,^2 = — ^,11_ ,11_ ,

х

х

1 - 1 X 22 41

1 - 1 X 22 41

^2 = — ^,

^2 = — ^,

11_ ,

11_ ,

Следовательно, любой упорядоченный набор из четырех чисел

вида (1 - /; 2 + 2 /; ~ 2вида (1 - /; 2 + 2 /; ~ 2-^ /; t\, где leR, является реше

вида (1 - /; 2 + 2 /; ~ 2

вида (1 - /; 2 + 2 /; ~ 2

нием данной системы уравнений, и других решений эта система

не имеет.

Ответ: |(l— t; у + у^ — у-^' ^’ ^^}- ▲

Пример 7. Решить систему уравнений

Х1 + х2 — х3 — х4 = 1,

хг + 2хг + Зх3 — х4 = 2,Зад + 5х2 + 5х3 — Зх4 = 6.

Л Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем уравнение

х2 + 4х3 = 1.

Далее, вычитая из третьего уравнения системы первое, умноженное на 3, получаем

2л'2 + 8х3 = 3, х.24х3 = 3/2.

Наконец, вычитая из последнего уравнения уравнение х2-[-4х3=1, получаем уравнение 0 = 1/2, которое, очевидно, не имеет решений.

Следовательно, данная система не имеет решений.

Ответ: Система несовместна, а

Из приведенных примеров следует, что система линейных уравнений может иметь одно решение (см. пример 5), бесконечное множество решений (см. пример 6) и может не иметь ни одного решения (см. пример 7).

§ 4. Задачи на составление уравнений

Пример 1. На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 6 минут меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 7 часов, если первый обрабатывает за это время на 8 деталей больше другого?

А Обозначим через п количество деталей, которое обрабатывает первый рабочий за 7 часов. Тогда одну деталь он обрабатывает за 7/п часов. Второй рабочий за 7 часов обрабатывает и —8 деталей, следовательно, одну деталь он обрабатывает за 7/(п —8) часов.

Так как на обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 6 мин меньше, то

77 _ 1

п —8п — 10 '

Решим это уравнение.

После умножения обеих частей уравнения на п(п — 8) и приведения подобных членов получаем квадратное уравнение

п2 - 8п - 560 = 0.

Найдем корни этого уравнения:

и = 4 ±]/16+560 = 4 ±24.

Условию задачи удовлетворяют только положительные зна^ния и, поэтому и = 28. Следовательно, первый рабочий обрабатывает 28 деталей, второй на 8 меньше, т. е. 20 деталей.

Ответ: 28 и 20 деталей. ▲

Пример 2. В сосуде было 10 литров соляной кислоты. Часть соляной кислоты отлили и сосуд дополнили таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество :меси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 64%-й раствор соляной кислоты?

Л Обозначим через х литров количество соляной кислоты, которое отлили первьш раз. После первого отливания и добавления воды в смеси стало 10 — х литров соляной кислоты и х литров воды. Следовательно, в каждом литре смеси содержится 10-х

—литра кислоты.

После отливания х литров смеси в сосуде остается 10 — х литров смеси, в которой содержится

/Ю-х)

X) 10-10

литров соляной кислоты.

После доливания х литров воды в сосуде оказывается 10 лит- (10—ху„„

ров смеси, из них -—^j—литров соляной кислоты. Процентное содержание соляной кислоты равно

(10-Х)210- 10(10-Х)210- 10•100%.•100%.

(10-Х)2

10- 10

(10-Х)2

10- 10

•100%.

•100%.

С другой стороны, по условию задачи это содержание равно 64%. Поэтому для х получаем уравнение

(Ю-х)2 = 64,

из которого следует, что х = 2.

Ответ: 2 литра. ▲

Пример 3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16 Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найти это число.

А Обозначим первую цифру искомого двузначного число через а, а вторую цифру через Ь. Тогда искомое двузначное числа равно 10а + й.

Из первого условия задачи следует уравнение

10а + й =ай+16,(1)

(2)(2)а из второго — уравнение

(2)

(2)

10а + й = (а —й)2 + ай.

В результате для а и b получили систему уравнений (1), (2). Левые части в уравнениях (1), (2) равны, следовательно, равны и правые, т. е. ab-V 16 = (а — Ь)2 + ^- Из этого уравнения следует, что (а — Ь)2 = 16, т. е. а — Ь = ±4.

Рассмотрим случай, когда а — Ь = 4. Подставив й = Ь + 4 в уравнение (1), после преобразований получим квадратное уравнение

Ь2-7Ь -24 = 0.

По формуле корней квадратного уравнения имеем .7 + /494-96 _ 7 ± /145

Так как Ь — целое число, то в этом случае задача не имеет решений.

Рассмотрим второй случай, когда а — Ь =—4, т. е. а = Ь — 4. Подставив это выражение для а в уравнение (1), получим квадратное уравнение

Ь2 — 15b 4-56 = 0.

Решая это уравнение, находим bi = 7 и Ь2 = 8. Из формулы а = = Ь — 4 находим й1 = 3 и й2 = 4.

Ответ: 37 и 48.

Пример 4. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 секунд меньше другого. Если они начинают пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 секунд. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

А Пусть Hi, о., — скорости спортсменов. Для определенности положим у2>и1. Обозначим через S длину замкнутой дорожки стадиона- Тогда первый спортсмен пробегает се за S/щ секунд, а второй —за S/o2. Так как первый спортсмен затрачивает на 5 сек. больше, то получаем уравнение

За 30 секунд спортсмены пробегают расстояния соответственно ЗОщ и 30о2. Если они бегут в одном направлении, то в момент их встречи второй пробежит на один круг больше, т. е.

S = 30(u2-Ui). (4)

Получили систему двух уравнений (3), (4) с тремя переменными Vi, u4, S.

Разделив обе части уравнения (4) на 30S, получим

А _ А — А

S S 30"‘

Введем обозначения px = yjS и рг = у^8. Тогда из уравнений (3), (5) для pi и рг получим систему

±-± = 5,

Р1 Рг ,(6)

Рг"Р1 " зо •

Из второго уравнения находим

Рз = Р1+з+-^)

Подставив это выражение в первое уравнение системы (6), получим квадратное уравнение

150р| + 5р! —1=0, Следовательно,

_ —5+ /25+ 600 _ —5 + 25 _ 1

Pv— 300—300— 15 ‘

(Здесь перед корнем взят только знак +, так как по условию задачи р!>0). Подставив это значение pi в (7), получгм р2 — = 1/10. Зная pi и р2, легко ответить на вопрос, поставленный в задаче: через какое время спортсмены встретятся, если добегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях. Действительно, это время равно

S =1 11_ 30 _ 6

О1 + о2 — ot v2 — Р1 + Р2 1 , 1 — 5 ~ '

У + У15 + 10

Следовательно, искомое время равно 6 секундам.

Ответ: 6 с. д

Заметим, что pv и р2 —это величины скоростей спортсменов в случае, если за единицу длины принять длину замкнутой дорожки стадиона.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Решить уравнения (1—5):

132х— 12*+1

х~|—2X-1-1х^ -|- 3x4- 2

/977^= /З^Ч—J. УЗ—х

4/х+2 = | х+1 [ + 4.

х—3ха + 4х+9

х2 + 4х+9х-3 —

2х2 + 3х—5/2F+3x+9+3=0.

Решить системы линейныхРешить системы линейныхуравнений методом Гаусса (6—8):

Решить системы линейных

Решить системы линейных

6, [ x4-2y-|-3z = 8,7.

< 3x4- у+ 2 = 6, ( 2x4- у 4* 2г = 6.

8. f xL 4* х2 4* Хд 4- х< — L < 2xL— Зх24- Xg—х4 = 2, ( 4х4 — х2 4~ ЗХд 4~ х4 --- 4.

х-|-2у—3z = 1, 2x4-31/—6z = О, Зх-|-Зу— 5z = 0, *4- у+ 2=з.х-|-2у—3z = 1, 2x4-31/—6z = О, Зх-|-Зу— 5z = 0, *4- у+ 2=з.9. 7 х24-2у2—2ху = 5,10.t X 4*2у =7.И. 7 Зху—х2— у2 =5, t 7х2уг—х4—у1= 155.9. 7 х24-2у2—2ху = 5,10.t X 4*2у =7.И. 7 Зху—х2— у2 =5, t 7х2уг—х4—у1= 155.2х2 -|- Зу- — 4ху = 3, 2х2 — у2 = 7.2х2 -|- Зу- — 4ху = 3, 2х2 — у2 = 7.12.12.ху— уг — 2х— z = 0, xz — z2 4- Зх — Зу = О, х2—хг-|-4у 4-2г = 0.ху— уг — 2х— z = 0, xz — z2 4- Зх — Зу = О, х2—хг-|-4у 4-2г = 0.13.13.27Х3 —1/"—13 — =0, г33x2z — 4ху -f- — = О,Зхг — иг = 1.27Х3 —1/"—13 — =0, г33x2z — 4ху -f- — = О,Зхг — иг = 1.Найти все значения параметра с, при которых системаНайти все значения параметра с, при которых системаг —4х-|-су= 14-с, I (64-с)х4-2у = 34-сг —4х-|-су= 14-с, I (64-с)х4-2у = 34-сне имеет ни одного решения.не имеет ни одного решения.Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Катер прошел расстояние от А до С за 7 часов. На каждом из участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость относительно воды) была постоянна, приВдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Катер прошел расстояние от А до С за 7 часов. На каждом из участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость относительно воды) была постоянна, причем на участке ВС в 1 у раза меньше, чем на участке АВ. Обратный путьчем на участке ВС в 1 у раза меньше, чем на участке АВ. Обратный путьот С до А катер прошел за 8 часов, и на всем пути его собственная скоростьот С до А катер прошел за 8 часов, и на всем пути его собственная скоростьбылабыла, 1в 1 раза, 1в 1 разабольше, чем при движении из А в В. Если бы на обратномбольше, чем при движении из А в В. Если бы на обратномпути собственная скорость катера была такой же, 4<ак и при движении из Апути собственная скорость катера была такой же, 4<ак и при движении из Ав В, то участок от В до А он прошел бы за 6 часов. Сколько времени катерв В, то участок от В до А он прошел бы за 6 часов. Сколько времени катершел от В до С? (Скорость течения реки постоянна.)шел от В до С? (Скорость течения реки постоянна.)ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 11ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 11Решить уравнения (1 — 11):।, х—1 J24~3х2/— 1 _ 4/4'3,t4-2"rxх(х4-2)""г1+22/4-Г3 2^ +1 । 1+L =5у4*4" у-Г^2у4-1(у-1)(2у4-1)’4. (х + 2)24--Д^- = 18.5. Зх-/18х+1-Ц=0.'х24-4х'Решить уравнения (1 — 11):।, х—1 J24~3х2/— 1 _ 4/4'3,t4-2"rxх(х4-2)""г1+22/4-Г3 2^ +1 । 1+L =5у4*4" у-Г^2у4-1(у-1)(2у4-1)’4. (х + 2)24--Д^- = 18.5. Зх-/18х+1-Ц=0.'х24-4х'Решить системы уравнений (9—13):

х-|-2у—3z = 1, 2x4-31/—6z = О, Зх-|-Зу— 5z = 0, *4- у+ 2=з.

х-|-2у—3z = 1, 2x4-31/—6z = О, Зх-|-Зу— 5z = 0, *4- у+ 2=з.

9. 7 х24-2у2—2ху = 5,10.

t X 4*2у =7.

И. 7 Зху—х2— у2 =5, t 7х2уг—х4—у1= 155.

9. 7 х24-2у2—2ху = 5,10.

t X 4*2у =7.

И. 7 Зху—х2— у2 =5, t 7х2уг—х4—у1= 155.

2х2 -|- Зу- — 4ху = 3, 2х2 — у2 = 7.

2х2 -|- Зу- — 4ху = 3, 2х2 — у2 = 7.

12.

12.

ху— уг — 2х— z = 0, xz — z2 4- Зх — Зу = О, х2—хг-|-4у 4-2г = 0.

ху— уг — 2х— z = 0, xz — z2 4- Зх — Зу = О, х2—хг-|-4у 4-2г = 0.

13.

13.

27Х3 —1/"—13 — =0, г

3

3x2z — 4ху -f- — = О,

Зхг — иг = 1.

27Х3 —1/"—13 — =0, г

3

3x2z — 4ху -f- — = О,

Зхг — иг = 1.

Найти все значения параметра с, при которых система

Найти все значения параметра с, при которых система

г —4х-|-су= 14-с, I (64-с)х4-2у = 34-с

г —4х-|-су= 14-с, I (64-с)х4-2у = 34-с

не имеет ни одного решения.

не имеет ни одного решения.

Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Катер прошел расстояние от А до С за 7 часов. На каждом из участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость относительно воды) была постоянна, при

Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А и С). Катер прошел расстояние от А до С за 7 часов. На каждом из участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость относительно воды) была постоянна, при

чем на участке ВС в 1 у раза меньше, чем на участке АВ. Обратный путь

чем на участке ВС в 1 у раза меньше, чем на участке АВ. Обратный путь

от С до А катер прошел за 8 часов, и на всем пути его собственная скорость

от С до А катер прошел за 8 часов, и на всем пути его собственная скорость

была

была

, 1

в 1 раза

, 1

в 1 раза

больше, чем при движении из А в В. Если бы на обратном

больше, чем при движении из А в В. Если бы на обратном

пути собственная скорость катера была такой же, 4<ак и при движении из А

пути собственная скорость катера была такой же, 4<ак и при движении из А

в В, то участок от В до А он прошел бы за 6 часов. Сколько времени катер

в В, то участок от В до А он прошел бы за 6 часов. Сколько времени катер

шел от В до С? (Скорость течения реки постоянна.)

шел от В до С? (Скорость течения реки постоянна.)

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 11

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 11

Решить уравнения (1 — 11):

।, х—1 J24~3х2/— 1 _ 4/4'3

,t4-2"rxх(х4-2)""г1+22/4-Г

3 2^ +1 । 1+L =5у4*4

" у-Г^2у4-1(у-1)(2у4-1)’

4. (х + 2)24--Д^- = 18.5. Зх-/18х+1-Ц=0.

'х24-4х'

Решить уравнения (1 — 11):

।, х—1 J24~3х2/— 1 _ 4/4'3

,t4-2"rxх(х4-2)""г1+22/4-Г

3 2^ +1 । 1+L =5у4*4

" у-Г^2у4-1(у-1)(2у4-1)’

4. (х + 2)24--Д^- = 18.5. Зх-/18х+1-Ц=0.

'х24-4х'

/х-/7+3=1.7./^-2/х+/х= 2.

/T^ + VT^T/x^^l.9. 2х + 3 — /7^2j7^3 = 0.

/Зх2+1+/х2+3 = /6х2 + Гб.

И. J jc2+3xH-2 Ц-4х+ 10 = 0.

При каких значениях параметра а уравнения х2 + 5х+а=0 и х2 + + 2ах+а2—4а+25 = 0 имеют действительные корни?

Решить системы уравнений методом Гаусса (13—18):

13.13.5х + у— 7z = 0, бх — 2z = 3, Зх— у + 2z = 3, Зх+2у — 10z = — 3.5х + у— 7z = 0, бх — 2z = 3, Зх— у + 2z = 3, Зх+2у — 10z = — 3.14.14.х + Зу + 2z = 1, 2х + 4у -}" z = 1, 4х 4- бу — 2=1, 3x4-7y4-3z = 2.х + Зу + 2z = 1, 2х + 4у -}" z = 1, 4х 4- бу — 2=1, 3x4-7y4-3z = 2.15.15.xt— х2—х3+х4=1, Х4 + 2х2 + х3— Х4 = 3, Зх4 —х^^Гх^—^5.xt— х2—х3+х4=1, Х4 + 2х2 + х3— Х4 = 3, Зх4 —х^^Гх^—^5.16.16.7х + 2у —4z= 19, 5х+3у—3z= 15, ox —3y4-3z= 15.7х + 2у —4z= 19, 5х+3у—3z= 15, ox —3y4-3z= 15.17.17.Х4 Х2 — Х3■— 3;5хг—х2 4* *з — 2х4= 3, 8х4 —х2 —х3— х4 = 1, 7х4— х4 = 3.Х4 Х2 — Х3■— 3;5хг—х2 4* *з — 2х4= 3, 8х4 —х2 —х3— х4 = 1, 7х4— х4 = 3.1 х4+х2+ *з+-Ч—L1 х4+х2+2х3+х4= 3.1 х4+х2+ *з+-Ч—L1 х4+х2+2х3+х4= 3.Решить системы уравнений (19—30):Решить системы уравнений (19—30):/ х2+у2 = 41, I х +у = 9./ х2 — Ху =6, t ху + у2=4.23. ( х —ху3 = 7, 1 ху2—ху — 3./ х2+у2 = 41, I х +у = 9./ х2 — Ху =6, t ху + у2=4.23. ( х —ху3 = 7, 1 ху2—ху — 3.20. 1 х2+ху = 28, I У" + ху= — 12./2x4- У = 3х2, t х4-2у=3у2.24.1 2х24-у24- Зху=12,( (*4-у)2—5-у"-=7.20. 1 х2+ху = 28, I У" + ху= — 12./2x4- У = 3х2, t х4-2у=3у2.24.1 2х24-у24- Зху=12,( (*4-у)2—5-у"-=7.25. | х2 —ху4-у2 =7,I х4 4-х2у2 4-у4 = 133.25. | х2 —ху4-у2 =7,I х4 4-х2у2 4-у4 = 133.26. / 2|х-1 |4-3|у4-2|=17.I 2х-}-у = 7.26. / 2|х-1 |4-3|у4-2|=17.I 2х-}-у = 7.27.27.х444-1=2, 6ух + 2“5’х444-1=2, 6ух + 2“5’/х—у I "1 /" х + у _ £0 х+у V х—у 3 ' ху — 2х— 2у=2./х—у I "1 /" х + у _ £0 х+у V х—у 3 ' ху — 2х— 2у=2.291 / у Ку4-Ку = 5/х—х/х,30. ( /"2Х_!/-у4_2I х=у4-3.j К у+2 + К 2х-1 ZI х-|-у=12.291 / у Ку4-Ку = 5/х—х/х,30. ( /"2Х_!/-у4_2I х=у4-3.j К у+2 + К 2х-1 ZI х-|-у=12.31. Сколько действительных решений имеет система уравнений31. Сколько действительных решений имеет система уравнений( 1*14-11/1=1, 1 х24- у2=а( 1*14-11/1=1, 1 х24- у2=ав зависимости от параметра а?в зависимости от параметра а?

13.

13.

5х + у— 7z = 0, бх — 2z = 3, Зх— у + 2z = 3, Зх+2у — 10z = — 3.

5х + у— 7z = 0, бх — 2z = 3, Зх— у + 2z = 3, Зх+2у — 10z = — 3.

14.

14.

х + Зу + 2z = 1, 2х + 4у -}" z = 1, 4х 4- бу — 2=1, 3x4-7y4-3z = 2.

х + Зу + 2z = 1, 2х + 4у -}" z = 1, 4х 4- бу — 2=1, 3x4-7y4-3z = 2.

15.

15.

xt— х2—х3+х4=1, Х4 + 2х2 + х3— Х4 = 3, Зх4 —х^^Гх^—^5.

xt— х2—х3+х4=1, Х4 + 2х2 + х3— Х4 = 3, Зх4 —х^^Гх^—^5.

16.

16.

7х + 2у —4z= 19, 5х+3у—3z= 15, ox —3y4-3z= 15.

7х + 2у —4z= 19, 5х+3у—3z= 15, ox —3y4-3z= 15.

17.

17.

Х4 Х2 — Х3■— 3;

5хг—х2 4* *з — 2х4= 3, 8х4 —х2 —х3— х4 = 1, 7х4— х4 = 3.

Х4 Х2 — Х3■— 3;

5хг—х2 4* *з — 2х4= 3, 8х4 —х2 —х3— х4 = 1, 7х4— х4 = 3.

1 х4+х2+ *з+-Ч—L

1 х4+х2+2х3+х4= 3.

1 х4+х2+ *з+-Ч—L

1 х4+х2+2х3+х4= 3.

Решить системы уравнений (19—30):

Решить системы уравнений (19—30):

/ х2+у2 = 41, I х +у = 9.

/ х2 — Ху =6, t ху + у2=4.

23. ( х —ху3 = 7, 1 ху2—ху — 3.

/ х2+у2 = 41, I х +у = 9.

/ х2 — Ху =6, t ху + у2=4.

23. ( х —ху3 = 7, 1 ху2—ху — 3.

20. 1 х2+ху = 28, I У" + ху= — 12.

/2x4- У = 3х2, t х4-2у=3у2.

24.1 2х24-у24- Зху=12,

( (*4-у)2—5-у"-=7.

20. 1 х2+ху = 28, I У" + ху= — 12.

/2x4- У = 3х2, t х4-2у=3у2.

24.1 2х24-у24- Зху=12,

( (*4-у)2—5-у"-=7.

25. | х2 —ху4-у2 =7,

I х4 4-х2у2 4-у4 = 133.

25. | х2 —ху4-у2 =7,

I х4 4-х2у2 4-у4 = 133.

26. / 2|х-1 |4-3|у4-2|=17.

I 2х-}-у = 7.

26. / 2|х-1 |4-3|у4-2|=17.

I 2х-}-у = 7.

27.

27.

х4

44-1=2, 6у

х + 2“5’

х4

44-1=2, 6у

х + 2“5’

/х—у I "1 /" х + у _ £0 х+у V х—у 3 ' ху — 2х— 2у=2.

/х—у I "1 /" х + у _ £0 х+у V х—у 3 ' ху — 2х— 2у=2.

291 / у Ку4-Ку = 5/х—х/х,30. ( /"2Х_!/-у4_2

I х=у4-3.j К у+2 + К 2х-1 Z

I х-|-у=12.

291 / у Ку4-Ку = 5/х—х/х,30. ( /"2Х_!/-у4_2

I х=у4-3.j К у+2 + К 2х-1 Z

I х-|-у=12.

31. Сколько действительных решений имеет система уравнений

31. Сколько действительных решений имеет система уравнений

( 1*14-11/1=1, 1 х24- у2=а

( 1*14-11/1=1, 1 х24- у2=а

в зависимости от параметра а?

в зависимости от параметра а?

Определить, при каких значениях параметра а система уравнений

^ + ^=2(1 +а),(, + у)2=14

имеет в точности два решения.

Решить системы уравнений (33 — 38):

( ху— xz 4-Зу 4-6г = О, / у2 — уг + 4х — 4z = О, ( гу— г2—2*— у = 0.( у2— ху + х- = г2, < х2 — хг + г-=у2,I ,з_уз=хЧ_^+22.( ху— xz 4-Зу 4-6г = О, / у2 — уг + 4х — 4z = О, ( гу— г2—2*— у = 0.( у2— ху + х- = г2, < х2 — хг + г-=у2,I ,з_уз=хЧ_^+22.34. 4 ху-\-2уг2—4z3 =0, < у—уг — хг =0, ( у2 — Чхг2 — 13z - = 0.34. 4 ху-\-2уг2—4z3 =0, < у—уг — хг =0, ( у2 — Чхг2 — 13z - = 0.4 ху = 5х4-бу — 4г, < </2 = Зх+5у — г, уг = х -|~ 4 у 4- 2г.4 ху = 5х4-бу — 4г, < </2 = Зх+5у — г, уг = х -|~ 4 у 4- 2г.

( ху— xz 4-Зу 4-6г = О, / у2 — уг + 4х — 4z = О, ( гу— г2—2*— у = 0.

( у2— ху + х- = г2, < х2 — хг + г-=у2,

I ,з_уз=хЧ_^+22.

( ху— xz 4-Зу 4-6г = О, / у2 — уг + 4х — 4z = О, ( гу— г2—2*— у = 0.

( у2— ху + х- = г2, < х2 — хг + г-=у2,

I ,з_уз=хЧ_^+22.

34. 4 ху-\-2уг2—4z3 =0, < у—уг — хг =0, ( у2 — Чхг2 — 13z - = 0.

34. 4 ху-\-2уг2—4z3 =0, < у—уг — хг =0, ( у2 — Чхг2 — 13z - = 0.

4 ху = 5х4-бу — 4г, < </2 = Зх+5у — г, уг = х -|~ 4 у 4- 2г.

4 ху = 5х4-бу — 4г, < </2 = Зх+5у — г, уг = х -|~ 4 у 4- 2г.

4 у2 + г2 = х2 + 2уг— 2,

I г^х^^ + ^гх — З, ( х2-\-у2 = 5гу — 5гх4-2ху—6.

Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.

Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г первого раствора и 200 г втррого, то получится 50%-й раствор. Если же слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получается 42%-й раствор. Определить концентрации данных растворов.

От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответственно m кГ и п кГ, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?

Бассейн, к которому подведены две трубы, через первую трубу наполняется на 5 часов быстрее, чем через вторую. Если сначала открыть вторую трубу, а через 8 часов открыть и первую, то бассейн будет наполнен за 18 часов. Какова емкость бассейна и сколько воды втекает через каждую трубу за 1 час, если за 5 часов через первую трубу и за 4 часа через вторую проходит в сумме 20 м3 воды?

Бассейн наполнялся несколькими насосами одинаковой производительности, которые включались один за другим через рапные промежутки времени. К моменту включения последнего насоса была заполнена 1/6 часть бассейна. В другой раз при наполнении этого бассейна производительность каждого насоса была уменьшена на 10%, а промежутки между включениями остались прежними. Какую часть бассейна наполнят насосы в этот раз за первую половину всего времени работы?

Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей было обработано за смену каждым станком, если первый работал

в эту смену 6 часов, а второй —7 часов, причем вместе они обработали 616 деталей?

Деум рабочим было поручено изготовить партию одинаковы t деталей. После того как первый проработал 7 часов и второ.'! 4 часа, оказглось, что они выполнили 5/9 всей работы. Проработав совместно еще 4 часа, они установили, что им остается выполнить 1/18 всей работы. За сколько часов каждый из рабочих, работая отдельно, мог бы выполнить всю работу?

Две бригады колхозников должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно?

Две организации приобрели некоторое количество разных туристических путевок, первая — на 300 рублен, вторая —на 270 рублен. Вторая организация купила на 5 путевок меньше, но заплатила за каждую п/тевку на 3 рубля больше. Сколько путевок купила каждая организация?

ЭВМ должна решить две задачи. Первая состоит из 9 миллюнов операций типа Л и 16 миллионов операций типа В и требует 11 минут 40 секунд машинного времени. Вторая задача содержит вдвое больше операций типа Л и вдвое меньше операций типа В, на ее решение машина тратит 13 минут 20 секунд. Сколько операций каждого типа может выполнить ЭВМ в секунду?

Пассажир метро спускается вина по движущемуся эскалатору за 24 сек. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 сек. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит ми ио неподвижного наблюдателя за 7 сек и затрачивает 25 сек на то, чтобы пройти с той же скоростью мимо платформы длиной 378 м.

Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянны ли скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мгнут. При движении с теми же скоростями в противоположных направления:: автомобили встречаются через каждые 8 минут. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

Из пункта Л выехали три велосипедиста, первый на 1 час раньше двух других, стартовавших одновременно. Скорость каждого вело:ипедиста постоянна. Через некоторое время третий велосипедист догнал первою, а второй догнал первого на два часа позже, чем третий. Определить стношение скоростей первого и третьего велосипедистов, если отношение скорости второго к скорости третьего равно 2/3,

Пешеход и велосипедист отправляются из пункта Л в пуню? В одновременно. В пункте В велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин. после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта А, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин. после первой встречи. За какое время пешеход пройдет г уть от А до В?

Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В и совершают безостановочное движение между Л и В. Первая встреча их произошла, когда автобус прошел 5/9 всего расстояния от Л до В, а вторая встреча — когда автобус после пер-

вого захода в В проехал 1/8 всего расстояния от В до А. Первый раз в пункт А автобус прибыл на 16 мин. позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер первый раз окажутся одновременно в пункте А, если скорость катера в неподвижной воде и скорость автобуса постоянны.

Из пункта А в пункт В одновременно отправились два поезда. Каждый из них вначале двигался равноускоренно (ускорения поездов различны, начальные скорости равны нулю), а затем, набрав некоторую скорость,—равномерно. Пройдя треть пути от А до В, один из поездов поравнялся с другим поездом и с этого момента начал двигаться равномерно. Весь путь от Л до В один из поездов прошел в 1,2 раза быстрее другого поезда. Определить отношение скоростей равномерного движения поездов.

Несколько самосвалов загружаются поочередно в пункте А (время загрузки одно и то же для всех машин) и отвозят груз в пункт В, там они мгновенно разгружаются и возвращаются в А. Скорости машин одинаковы, скорость груженой машины составляет 6/7 скорости порожней. Первым выехал из А водитель Петров. На обратном пути он встретил водителя Иванова, выехавшего из А последним, и прибыл в А через 6 минут после встречи. Здесь Петров сразу же приступил к загрузке, а по окончании ее выехал в В и встретил Иванова второй раз через 40 минут после первой встречи. От места второй встречи до А Иванов ехал не менее 16 минут, но не более 19 минут. Определить время загрузки.

Г л а в a IV

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

§ 1. Функциональные неравенства.Понятие равносильности неравенств

Рассмотрим две функции /(х) и g^x), определенные на некотором множестве X. Часто бывает необходимо узнать, при каких значениях х значения первой функции меньше соответствующих значений второй. Другими словами, требуется найти все значения переменной, при которых верны числовые неравенства f(x)< <.gkxY Такого типа задачи принято называть задачами на решение неравенств.

Таким образом, решить неравенство

f(x)<g(x)

— это значит найти все значения х, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство. Каждое такое значение х называется решением неравенства. Совокупность всех решений называется множеством решений. Решить неравенство—значит найти его множество решений. Неравенстве Цх)«< <g(x) называют строгим, неравенство f(x)^g(x) —нестрогим.

При решении неравенств, так же как и при доказагельстве неравенств (о чем речь пойдет в § 6), фундаментальное значение имеет понятие равносильности неравенств.

Два неравенства

A W < g! (х) и А (х) < g2 (х)

называют равносильными на множестве М, если каждое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства и, наоборот, каждое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства.

Равносильными на множестве М считают также неразенства, которые на этом множестве не имеют ни одного решения

В некоторых случаях удается, последовательно преобразуя данное неравенство, свести его к более простому неразенству, равносильному исходному. При установлении равносильности неравенств чаще всего используются следующие утверждения.

Неравенства fW<gto и -/ (х) > - g (х) равносильны на любом числовом множестве.

Если / (х) и g (х) на множестве М принимают только положительные значения, то неравенства

Нх)<с (х) иs ’ f(x) g (х)равносильны на Л1.

Если функции /(х), gU), ф(х) определены на множестве М, то неравенства.

Hx)<gU) и /(х) + ф(х)<5(х) + ф(х)

равносильны на множестве М.

Отсюда следует равносильность неравенств /(х)<^(х) + ф(х) и /(х)-ф(х)<§(х), т. е. правило переноса слагаемых из одной части неравенства в другую.

Если функции /(х), g(x), ф (х) определены на множестве М и ф (х) >0 на этом множестве, то неравенства

/ (х) < g (х) и / (х) ф (х) < g (х) ф (х)

равносильны на М.

Если функции / (х) и g(x) определены на множестве М и принимают только положительные значения, то неравенства

/(x)<g-(x) и f4x)<g2(x)

равносильны на М.

Справедливость этих утверждений легко следует из соответствующих свойств числовых неравенств. Аналогичные утверждения верны и для нестрогих неравенств.

Заметим, что для доказательства неравносильности двух неравенств на некотором множестве достаточно указать один элемент этого множества, являющийся решением одного неравенства, но не удовлетворяющий другому неравенству.

Пример 1. Равносильны ли на множестве всех положительных чисел следующие неравенства:

х2 ^ х3 и 1 х,

х3 + Ух <х2 + Кх и х3<х2,

У"х^х+1 и х^(х-ф1)2?

Л а) Неравенства равносильны в силу утверждения 4 для нестрогих неравенств:

/ W = х2, g (х) = х3, Ф (х) = 1 /х2.

Равносильность неравенств следует из утверждения 3:

f (х) = х3, g (х) = х-’, ср (х) = ]/х.

Неравенства равносильны согласно утверждению 5: f(x) = /x, g(x) = x+L а

Пример 2. Равносильны ли неравенства из примера 1 на множестве всех действительных чисел?

Л а) Неравенства неравносильны, так как х== 0 удовлетворяет первому неравенству и не удовлетворяет второму.

Неравенства неравносильны, так как х = — 1 удовлетворяет только второму неравенству.

Неравенства неравносильны, так как х=—1 входит в множество решений второго неравенства, но не принадлежит множеству решений первого. А

Пример 3. Равносильны ли на множестве всех действительных чисел неравенства

Ух3 + х — 2 > х и х3 + х — 2 > х2?

Л Если х3 + х — 2^0, то решений нет ни у первого неравенства, ни у второго. Если х3 + х —2>0, то и х>0, и согласно утверждению 5 неравенства равносильны. Следовательно, данные неравенства равносильны на всем множестве действительных чисел, а

Рациональные неравенства. Метод интервалов

В главе I в качестве простейших числовых функций рассматривались многочлены

У = Рп (х) = а0 + а\х +... + апхпи функции, представимые в виде отношения двух многочленов

т. е. рациональные функции.

Число а называется нулем функции у = Ри (х) или корнем многочлена РпМ, если Рп(а) = 0.

Например, многочлен Р^ (х) = 6 -- 5х + хг имеет два нулях = 2 и х = 3, так как А3(2)=0 и Р2(3;—0. Многочлен может вообще не иметь нулей: например, Р0(х) = 1или Р2 (х) = 1 + х2. Известно, что число нулей многочлена не превышает его степени (гл. VIII, § 7).

Нули многочленов Рп (х) и Qm (х) будем называть крит,тесками значениями переменной или критическими точками рациональной функции

QmW

Например, для функции

Р3(х)х3—6х2—х+6_ (X2—I) (X —6)

g-Qa^= х2 + Зх + 2- (х+1)(х + 2)

критическими значениями переменной являются

х =—2, х =— 1, х=1, х = 6.

Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

Рациональные неравенства часто удается решить так называемым методом интервалов. Этот метод основан на одном важном свойстве рациональной функции, которое мы примем без доказательства, а именно: в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.

Метод интервалов состоит в следующем. Рациональное неравенство приводят к стандартному виду:

PnU)Qm (X)PnU)Qm (X)>0 ИЛИ>0 ИЛИPnWQm (х)PnWQm (х)<0 (в случае строгого неравенства),<0 (в случае строгого неравенства),Рп (х) Qm^Рп (х) Qm^5=0 или5=0 илиРп№Qm№Рп№Qm№^0 (в случае нестрогого неравенства).^0 (в случае нестрогого неравенства).

PnU)

Qm (X)

PnU)

Qm (X)

>0 ИЛИ

>0 ИЛИ

PnW

Qm (х)

PnW

Qm (х)

<0 (в случае строгого неравенства),

<0 (в случае строгого неравенства),

Рп (х) Qm^

Рп (х) Qm^

5=0 или

5=0 или

Рп№

Qm№

Рп№

Qm№

^0 (в случае нестрогого неравенства).

^0 (в случае нестрогого неравенства).

Затем находят все критические точки рациональной функции. Эти точки отмечают на числовой оси. Вся числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. Чтобы определить знак левой части на всем интервале, достаточно определить знак Рп (x)/Qm (х) в одной какой-либо точке этого интервала и тем самым установить, входит ли этот интервал в множество решений данного неравенства.

Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства Pra(X)/Qm(X)>>0 они, очевидно, не входят в множество решений; в случае нестрогого неравенства Рп (xWm W 5? 0 нули многочлена Рп (х) входят в множество решений, если только они не являются нулями и многочлена Qm(x).

Не следует думать, что методом интервалов можно решить любое рациональное неравенство. Метод интервалов применим только тогда, когда известны (или могут быть найдены) нули многочленов Рп(х) и Qm(x), т. е. критические значения переменной для рациональной функции Рп (x^lQm (х). К сожалению, задача отыскания нулей многочлена далеко не всегда может быть решена (см. гл. VIII, § 7).

Пример 1. Решить неравенство

х3—Зха—х + з -х2+Зх + 2 ->U‘

А Нули многочлена, стоящего в знаменателе: х =— 1 и х = —2. Нули многочлена, стоящего в числителе, легко находятся.

В самом деле,•

х3 — Зх2 — х + 3 = х2 (х — 3) — (х — 3) = U — 3) (х — 1) (х-|-1).

Неравенство можно записать теперь следующим образом:

(х+1)(х+2)

Критические точки рациональной функции суть х = —2, х = — 1, х=1, х = 3.-

Числовая ось разбирается этими точками на 5 интервалог. Отмечаем точки на числовой оси (рис. 32). Для определения знака функции на каждом интервале можно действовать следующим образом. Замечаем, что при х>3 все линейные множители числителя и знаменателя рациональной функции положительны и, следовательно, на интервале ]3; +°°[ функция принимает только положительные значения. На рис. 32 над интервалом ]3; +оо[ ставим знак «плюс».

При переходе через точку х = 3от интервала ]3; +оо[ :< интервалу ]1; 3[ лишь один из линейных множителей, а именно х —3, изменяет знак и, следовательно, функция становится отрицательной. На у+у +'.

рис. 32 под интервалом ]1; 3[ ставим - Д *;| - ^з да

знак «минус»..

Затем, переходя к следующемуРис. 32.

интервалу ]—1; 1[, устанавливаем, что знак изменяется только у множителя х — 1. Это означает, что при переходе через точку х—I левая часть неравенства изменяет знак. При переходе через точку х = — 1 знак функции, очевидно, сохраняется, так как множитель х4-1 присутствует и в числителе и в знаменателе рациональной функции. Наконец, переход к последнему интервалу ]—оо; —2[ опять сопровождается изменением знака функции. Чередование знаков фикси эуем на рисунке.

Поскольку неравенство строгое, сами критические точки не являются решениями. (Стрелки на рис. 32 как раз и указывают на это.)

Ответ: ]—2; —I[U]—1; 1[U]3; +оо[. А

В процессе решения данного неравенства может возникнуть соблазн заменить его с самого начала более простым неравенством

(х-1)(х-3)(х+2)'(х-1)(х-3)(х+2)'>0.>0.

(х-1)(х-3)

(х+2)'

(х-1)(х-3)

(х+2)'

>0.

>0.

Такое упрощение (сделанное без всяких оговорок) приведет к ошибке. Полученное неравенство неравносильно исходному, так как в его множество решений входит х = — 1, а это значение переменной не является решением данного неравенства.

Пример 2. Решить неравенство

(х+3)2(х2+х+1)(4—х)х

Л Критические точки рациональной функции:

х =—3, х = 0, х = 4.

Числовая ось разбивается на 4 интервала (рис. 33), на каждом из которых легко определяется знак функции. При определении знака нужно следить только за изменением знака линейных мно-

ПримерПример2х—1х3+1 -2х—1х3+1 -жителей знаменателя, так как квадратичные множители числителя (х + З)

Пример

Пример

2х—1

х3+1 -

2х—1

х3+1 -

Для нахождения области определения данной функции нужно решить неравенство

212х—1,.

х2 —%+1х-М х + 1

Приводим его к стандартному виду:

2(х+1)-х2 + х-1-2х+1 _ п-хНх + 2

xa+iхз+1

Находим критические точки х =— 1 и х — 2 и записываем неравенство следующим образом:

— (х+ 1) (Л— 2)„

(x+1)(x2_x+l)—

Так как х3 —х+1>0 для всех значений переменной, переходим к равносильному неравенству

. . + —У-.+-Д_-(х + 1)(х-2)

'1

р 34Критические точки разбивают чис-

с" ' левую ось на три интервала (рис. 34).

Определяем знак левой части неравенства на каждом интервале. Исследуем сами критические точки: точка х = 2 является нулем числителя и, так как неравенство нестрогое, входит в множество решений. Точка х =— 1, хотя и

является нулем числителя, не принадлежит множеству решений из-за того, что обращает в нуль знаменатель.

Ответ: ]—оо; —1[U]—h 2]. А

'§ 3. Иррациональные неравенства

Перейдем к рассмотрению неравенств, содержащих переменную под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободиться от радикалов иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень. К сожалению, эта операция часто приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому при решении иррациональных неравенств рекомендуется проявлять максимальную осторожность. Прежде всего следует огра тичиться рассмотрением только тех значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл. Рассмотрим типичней пример.

Пример 1. Решить неравенство

Vx2 — 4х + 3 2 — х.

Нередко учащиеся приводят такое рассуждение: «при решении иррациональных уравнений и неравенств необходимо прежде всего избавиться от корня, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства, т. е. напишем

х2 — 4х + 3 / - 4 — 4х + х2,

но отсюда следует, что 3^4 что неверно; значит предложенное неравенство решений не имеет».

Зададимся вопросом, насколько правдоподобен полученный результат?

В данном случае достаточно внимательно посмотреть на неравенство, чтобы увидеть, что полученный результат не ю ько неправдоподобен, но просто неверен. При х = 5, например, левая часть неравенства положительна, тогда как правая отрицательна. Таким образом, неравенство имеет решения и, следыательно, приведенное рассуждение порочно.

Дадим правильное решение примера 1.

А Очевидно, следует рассмотреть только те значения х, при которых х2 — 4х + 3 2s 0. Нули многочлена х2 — 4х + 3 суть xt = I, х2 = 3. Следовательно, множество решений неравенства л2 —4х-л + 3js0 таково: ]—оо; I]U[3; +оо[. Ясно, что на интервале ]1; 3[ нет решений, так как левая часть неравенства при люэом х из этого интервала не имеет смысла.

Заметим далее, что }/х2 — 4х + 3^0 (радикал понимается в арифметическом смысле), п так как при любом х^З правая часть неравенства меньше нуля, то все хзеЗ являются решениями.

Если же х^ I, то 2 —х>0 и, возведя обе части неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство

х2 — 4х + 34 — 4х + х2,

которое не имеет решений, так как неравенство 3^4 ложно.

Ответ: [3; +оо[. а

Пример 2. Решить неравенство

1 —3х > 2 *

А Левая часть неравенства имеет смысл тогда и только тогда, когда lx|^ 1/2 и х=#0.

Если —1/2=Ах<0, то левая часть неравенства отрицательна и, следовательно, решений на этом интервале нет.

Пусть 0<х^1/2, тогда, после очевидных преобразований получим

]/I — 4х2 <1 — |-х.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому, возводя обе части в квадрат, получим равносильное неравенство

I—4х2< 1-Зх + ^-х2.

Последовательно упрощая это неравенство, получим

-^-х2 —Зх>0, -4-х-3>0, х >"25-

Учитывая ограничение 0<х^1/2, приходим к окончательному результату 12/25<xs£ 1/2.

Ответ: ]12/25: 1/2]. А

Пример 3. Решить неравенство

]/2Гр + ]/2Г^5 j/5 = 2x.

А Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

2х+1 =з0,2х—5 >0,б-2%^0.

Легко видеть, что эта система имеет одно решение х = 5/2. Подстановкой в неравенство убеждаемся, что х = 5/2 является решением.

Ответ: {5/2}. а

§ 4. Неравенства с модулем

В школьном курсе математики часто встречаются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

Для решения таких неравенств рекомендуется разбить числовую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из ни): можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

Пример 1. Решить неравенство

х2 — | 5х 4- 6 | > 0.

Д Всю числовую ось разобьем на два промежутка

3—оо; —6/5[ и [—6/5; 4-°°[- J

На каждом из этих промежутков неравенство может быть записано без знака модуля.

Для промежутка ]—оо; —6/5[ верно равенство |5> 4~61= = —5х —6, и, следовательно, неравенство принимает вид

х2 4- 5х 4- 6 > 0 или (х 4- 3) (х 4- 2) > 0,

откуда хе]—оо; —3[|J] — 2; 4-°°[- Учитывая, что переменная принадлежит промежутку ]—оо; —6/5[, получаем решение исход-

ного неравенства на этомного неравенства на этомпромежутке:

ного неравенства на этом

ного неравенства на этом

-3[U]-2; —6/5[.

На втором промежутке [—6/5; 4-°°[ справедливо равенство 15х + 6 | = 5x4-6, и, следовательно, неравенство записывается так; х2 —5х —6>0, или (х+1) (х—6) > 0, откуда хе]—оо; — 1[ U U ] 6; 4-оо[. Учитывая, что переменная принадлежит промежутку [—6/5; — оо[, получаем множество решений неравенства на этом промежутке:

[-6/5; -1[U]6; 4-М-

Ответ: ]— оо; — 3[ U] — 2; — I[U ]6; 4*М- А Пример 2. Решить неравенство

I 2х — 1 | ^ 1х2 — х— 2"2 ‘

А Для х^1/2 неравенство можно переписать без знака абсолютной величины:

.2х—11

ха —х—22 *

Это рациональное неравенство. Приводим его нестандартному виду

-М-х) п

(х+ 1) (х —2)

Применяя метод интервалов, получаем хе]- l;0[U]2;5(. Ограничение xSsl/2 заставляет оставить лишь интервал ]2; 5[. Если х < 1/2, то неравенство примет вид

—2х-Н1

х2 —х—2 > 2 ‘

Приводим неравенство к стандартному виду

(1—х) (х+4)„

(х-Ц)(х-2)

Применяя метод интервалов, легко получаем, что гG е] —4;—I[U]I;2[. Ограничение х< 1/2 заставляет оставить только интервал ]—4; — 1[.

Ответ: ]—4;—I[U]2;5[. д

Пример 3. Решить неравенство

I- I | + i* + I I <4.

Л На интервале ]—оо; — 1[ по определению модуля имеем |х—I | = — х+1, |х + I | = — х— I, и, следовательно, на этом интервале неравенство равносильно линейному неравенству — 2х< <4, которое справедливо при х> —2. Таким образом, в множество решений входит интервал ]—2; — 1[. На отрезке [— I; I] ^.исходное неравенство равносильно верному

\/ числовому неравенству 2 <4. Поэтому все

\/значения переменной, принадлежащие этому

ТУ'^отрезку, входят в множество решений.

!\ , /)На интервале ]1; +оо[ опять получаем

[т-^—(।линейное неравенство 2х<4,справедливое

Например, неравенство

Vа + х + V а — х > а, содержащее параметр а, естественно, требует для _своего решения гораздо больших усилий, чем неравенство

]/1 + х + ]/' 1 — х > 1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целэе множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру и конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а= 1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметроз неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Подчеркнем еще раз: неравенство с параметрами долж ю быть рассмотрено при всех значениях параметров. Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.

П^р и м е р L Решить линейное неравенство

А Заметим сразу, что при <2 = 0 неравенство решений не имеет, так как обе части неравенства теряют смысл.

Затем преобразуем неравенство следующим образом:

9

Если 1 — 3йА> 0, то х^2. Решая неравенство

получаем <2 < 0 или <2 > 2/3. Таким образом, если <z<:0 или а > 2/3, то 2.

Если

т. е. 0<а<2/3, то х^2. И, наконец, если а = 2/3, то х—■ любое число.

Ответ: Если а < 0, то х е ] — сю; 2],

если <2 = 0, то решений нет,

если 0 < <2 С 2/3, то хе[2; + оо[, если <2 = 2/3, то хе] + сс; +оо[, если а > 2/3, то хе]- сю; 2]. д

Пример 2. Решить неравенство |х—а| + |х + а|<Ь, а^О.

Л Частный случай этого неравенства а=1, Ь = 4 был рассмотрен в примере 3 § 4. Для решения данного неравенства с двумя параметрами а и b воспользуемся геометрическими соображениями. На рис. 36 построены графики функций

y = fW = \x — a\-V\x-Va\ и у=Ь.

Очевидно, что при b ^ 2| а | прямая у = Ь проходит не выше горизонтального отрезка кривой у = \х — а| + |х + а| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рис. 36, а).

Если же 6>2|а|, то прямая у = Ь пересекает график функции у=[(х) в двух точках (—6/2; 6) и (6/2; 6) (рис. 36, б) и неравенство в этом случае справедливо при — 6/2<х<6/2, так как при этих значениях переменной кривая z/ = |x + fl| + |* — а\ расположена под прямой У = Ь.

Ответ: Если 6^2|а|, то решений нет, если 6>2|«|, то те]—6/2; 6/2[. А Пример 3. Решить неравенство

]/а + х + ]/а — х">а.

Левая часть неравенства имеет смысл тогда и только тогда, когда х и а удовлетворяют следующей системе неравенств:

< а + х^О,

( а — х^О.

При а<0 эта система, очевидно, не имеет решений. Если а = 0, то система имеет единственнсе решение х = 0. Но при а = 0 значение переменной х = 0 не удовлетворяет неравенству. Если а > 0, то решениями системы будут все значения переменной х, принадлежащие отрезку [—а; а]. При условиях а>0 и |х|^а исходное неравенство можно, не нарушая равносильности, почленно возвести в квадрат и получить

2а + 2"1Ла^х2>а\

откуда

2]Ла2-х2>а2-2а.

Теперь придется рассмотреть три случая:

1°. Если a1 — 2а<0, т. е. О <La <2, то, так как левая часть неравенства при |х|^а неотрицательна, а правая — отрицательна, неравенство справедливо при всех | х | а.

2°. Если а2 —2а = 0, т. е. а = 2, то неравенство имеет вид 2)/4 —х2>0 и удовлетворяется при |х|<2.

3°. Если а2 — 2а > О, т. е. а >2, то, возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к равносильному неравенству

4 (а2 — х2) > а4 — 4а3 + 4а2,

упрощая которое, получаем

— 4х2>а3(а —4), т. е. х2 <—

Теперь видно, что при а ^4 решений нет. В случае, когда 2<а<4, решениями последнего неравенства будут все значения х, для которых

|х|<££^ЗЕЁк.

Будут ли все эти значения х давать решение исходного неравенства? Это зависит от того, будут ли значения выражения —^2 4—— при а е ]2; 4[ превосходить а или не будут. Напомним, что мы рассматриваем лишь те значения переменной х, для которых |х|^а. Докажем, что они не будут превосходить а, т. е. что

а ^<2(4 — а)Va (4 — а).

——а или< 1.

Возводя в квадрат обе части неравенства, получаем Д1121Д.1 или 4Й _ ti2 4,

т. е. а2 — 4а + 4^0 и, следовательно, приходим к верному нера< венству (а —2)2^0. Проведя рассуждения в обратном порядке, убедимся в справедливости неравенства

а V а (4 — а)2а V а (4 — а)2а.а.

а V а (4 — а)2

а V а (4 — а)2

а.

а.

Ответ: Если а^О, то решений нет;

если 0<а<2, то хе[—а; а];

если а = 2, то хе]— 2; 2[;

„ о _ _ л1а V а (4 — а) а V а (4 —а) Г

если 2<а<4, то хе-—-; —— ;

если а ^4, то решений нет. ▲

Помимо задач рассмотренного типа, в которых требуется решить неравенство при всех значениях параметра, встречаются

задачи, где нужно из всех значений параметра выделить те, при которых неравенство будет обладать некоторыми задаваемыми свойствами; например, будет удовлетворяться при любом значении переменной, или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное решение и т. д. Рассмотрим задачу такого типа.

Пример 4. При каких значениях параметра а неравенство 2—ах—хг _ 0 1—Х4-Х2

верно при всех значениях переменной?

Л Так как 1—х + х2>0 при всех х, то данное неравенство равносильно квадратичному неравенству

2 — ах — хг < 3 — Зх + Зх2 или 4х2 + (а — 3)х + 1 5s 0. Последнее неравенство справедливо при всех значениях переменной при условии (а —З)2—16^0, т. е. |а —3|^4, откуда — 4 < а — 3 ^ 4 и, следовательно, — 1 ^а^7.

Ответ! а е [— 1; 7]. ▲

Доказательство неравенств

В предыдущих параграфах рассматривались задачи, в которых нужно было решить неравенство, т. е. найти множество его решений. Часто встречается другая постановка задач, связанных с неравенствами. Помимо неравенства задается некоторое множество значений переменной и требуется доказать, что все его элементы принадлежат множеству решений данного неравенства. Такие задачи принято называть задачами на доказательство неравенств.

Если в задаче на доказательство неравенства множество значений переменной не оговаривается— это означает, что справедливость неравенства требуется установить для всех действительных значений переменной.

Для решения подобных задач используются самые разнообразные приемы и методы. В тех случаях, когда переменная или параметр, входящие в неравенство, принадлежат множеству натуральных чисел, часто с успехом может быть применен метод математической индукции, о котором рассказывалось во второй главе.

Рассмотрим некоторые другие способы доказательства неравенств. Иногда неравенство удается доказать путем сведения его с помощью равносильных преобразований к очевидному неравенству.

Пример 1. Доказать справедливость неравенства 10х3-9х2 + 9х + -^>0 для всех положительных значений переменной.

Л Преобразуем неравенство следующим образом?

х (Юх2 — 9х + 9) + ~ > О,

Справедливость полученного неравенства при всех х>0 очевидна. Но последнее неравенство равносильно исходному, которое тем самым доказано, а

Пример 2. Доказать неравенство

х2 + у2 — ху — х — у + 1 ^ 0.

А Преобразуя неравенство

2х2 + 2у2 — 2ху — 2х — 2у 4- 2 А 0,

х2 — 2ху + у2 + х2 — 2х + 1 4- у2 — 2у -|- 1 А 0, (х-у)24-(х-1)24-(у-1)я^0,

приходим к очевидному неравенству. Проведенные преобразования не нарушают равносильности неравенств, прэтому данное неравенство верно при любых значениях переменных х и у. *

В следующем примере сведение к очевидному неравенству не удается провести сразу для всех значений переменной. Эднако для каждого из трех промежутков, на которые предварительно разбивается вся числовая ось, справедливость неравенства устанавливается элементарно.

Пример 3. Доказать неравенство

х8 — х5 4" хг — х 4- 1 > 0.

А На промежутке ]—со; 0] неравенство верно, так как первые четыре слагаемые левой части неотрицательны. На интервале ]0; 1[ справедливость неравенства становится очевидной после следующей группировки слагаемых:

х84-х2(1 —х3)4-(1 — х)>0.

Если, наконец, хе]1; 4-°°[, то, переписав неравенство т. таком виде

Xs (х3 — 1) 4- х (х — 1) 4- 1 > 0,

убеждаемся в его истинности.

Неравенство доказано для всех действительных значений переменной. ▲

Следующие два примера иллюстрируют применение метода оценок при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать неравенство

п+1 + п + 2 ++ 2п 2 ’ яе^-

Л Левая часть неравенства содержит п слагаемых, каждое из которых не меньше последнего слагаемого. Поэтому левая часть неравенства оценивается снизу следующим образом:

п +1 + “ ' ^" 2п ^ 2п + " ' + 2п П 2п 2 ’

Пример 5, Доказать неравенство

- F + i + +rt>1-

А Каждое слагаемое левой части неравенства допускает следующую оценку сверху:

11 = 11

к- k (k — 1) к — 1 к '

и, следовательно, левая часть неравенства оценивается таким образом:

±_L±_L_1_1 । 1_J । 11

22 т Зг Тj 223'34'""'n—1 п

а именно это и требовалось доказать. ▲

Рассмотрим еще один распространенный способ доказательства неравенств. Он заключается в использовании некоторых известных неравенств. В главе второй было доказано замечательное неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

^^^^^^^х,>0(/ = 1, 2, .... /г),

причем было подчеркнуто, что неравенство является строгим тогда и только тогда, когда не все хе равны между собой. Это неравенство, которое обычно связывают с именем великого французского математика XIX века О. Коши, бывает очень полезно при доказательстве многих неравенств.

Пример 6. Доказать неравенство

х1 + У4 + 24 + ^4 ^ ^xyzt.

А Положим в неравенстве Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

хх = х\ х3 = у4, х3 = г\ x4 = t4 и п = 4.

Тогда получим

х^+^ + г4^-^х^+^ + г4^-^44^'/^У^Ч^'/^У^Ч4 = I xyzt | 5s xyzt,4 = I xyzt | 5s xyzt,

х^+^ + г4^-^

х^+^ + г4^-^

4

4

^'/^У^Ч

^'/^У^Ч

4 = I xyzt | 5s xyzt,

4 = I xyzt | 5s xyzt,

что и требовалось доказать. А

Пример 7. Доказать, что последовательность

монотонно возрастает, т. е. доказать справедливость неравенства

йл+1 — (1 +йл+1 — (1 +

йл+1 — (1 +

йл+1 — (1 +

Л Рассмотрим /г+1 положительных чисел

Х1 — 1, Х2— 1+~, Х3 — 1, Л"л+1-=1+—,

и применим к ним неравенство Коши., Получим

т. е.

Пример 8. Доказать, что сопротивление последовательного соединения п проводников превышает сопротивление параллельного соединения тех же проводников не менее, чем в м2 раз.

Л Обозначим сопротивление данных проводников чеэез /у, г3, ..., г„. Пусть R — сопротивление последовательного их соединения, ^ — сопротивление параллельного их соединения. Тогда

^ = fi+r2 + ..- + rn; = у- + у 4- •• - + у

«1 ' 1 Г1 гл

и, следовательно,

5^ — (Г1 + /"2 +... + тп) (у + у + . • • + ~) ,КуV1 Г2'л/

но по теореме о среднем арифметическом можем записать

^х + ^а + .-. + Гл^/гУ ry2... rn,^х + ^а + .-. + Гл^/гУ ry2... rn,

^х + ^а + .-. + Гл^/гУ ry2... rn,

^х + ^а + .-. + Гл^/гУ ry2... rn,

откуда получаемчто и требовалось доказать» А

97974 о/ред. Г. Н. Яковлева

97

97

§ 7. Приложение неравенств к задачам на наибольшиеи наименьшие значения

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций чрезвычайно важны для математики, физики и для других наук. В математике разработан мощный аппарат (дифференциальное исчисление) для решения подобных задач. Применение дифференциального исчисления для нахождения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в VI главе, § 8. Тем не менее, иногда такого типа задачи элементарными средствами удается решить быстрее, проще и изящнее. Неравенства, рассмотренные в § 6, оказываются

большего значения, равногобольшего значения, равногоздесь очень полезными.

большего значения, равного

большего значения, равного

Из неравенства Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекают два важных утверждения.

Если сумма произвольных положительных чисел хъ х2, ... ..., х„ равна s, то их произведение Р = хгх2...хп достигает наи- (s/u)n, при равенстве всех чи

сел.

Если произведение произвольных положительных чисел хь х2, ..., хп равно Р, то их сумма $=х,+... + хя принимает наименьшее значение, равное и )/Р, при равенстве всех чисел.

Пример 1. Из круглого бревна радиуса R выпилить прямоугольную балку так, чтобы количество отходов было наименьшим (рис. 37).

Л Количество отходов определяется площадью заштрихованной части в сечении бревна, поэтому задачу можно свести к следующей: в круг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади. Если х и у — стороны прямоугольника, S—площадь прямоугольника, то S = ху. Если прямоугольник вписан в круг, то х2 + у2 = 4/?2. Следовательно, S = х y^R^^x5. Заметим, что S будет достигать наибольшего значения тогда, когда будет наибольшим S2 = х2 (4/?2 — г2).

Но сумма множителей х2 и 4/?2 —х2 постоянна и равна 4/?2, следовательно, наибольшее значение их произведения равно (4R2/2)2, а наибольшее значение S равно 2R1, причем оно достигается, если х2 = 47?2 —х2, т. е. при x=yr2R, но тогда у = ]/2/?. Количество отходов будет наименьшим, если в сечении балки будет квадрат. ▲

Пример 2. Найти наименьшее значение функции

/(х) = х+“, W>0, на интервале ]0; -)-оо[.

Л Положим хх = х, х2 = а/х. Произведение x1x<l = a, i. е. постоянно, следовательно, сумма хг4-х2 принимает наименьшее значение, равное 2]/ti, при х = Уа.

Отметим, что отсюда следует полезное неравенство

|х + у ^2 У а,а>0,

причем равенство достигается при х=Уа. А

Пример 3. Найти наименьшее значение рациональной функции

на интервале ]0; +со£.

А Представим f (х) в виде суммы шести слагаемых

f (х) = х3 + х ++ — >

произведение которых равно единице. Сумма таких слагаемых

достигает наименьшего значения при равенстве всех слагаемых, т. е. при условии х3 = х=1/х, откуда следует, что х=1. Следовательно, наименьшее значение / (х) на интервале ]0: + оо[ равно 6. ▲

В заключение следует сказать, что среди задач на наибольшие и наименьшие значения функций, которые могут быть реатены элементарными средствами, т. е. без привлечения производной,

Ри:. 33.Ри:. 33.прямоуголь-прямоуголь-учащимся чаще всего предлагаются задачи, при решении которых используется следующее экстремальное свойство квадратичной функции. Из тождества

Ри:. 33.

Ри:. 33.

прямоуголь-

прямоуголь-

ах2 + bx + c = a^x+ ^ + c-^, а А О,

видно, что функция / (х) = ax2 + bx-Vc имеет наименьшее (если а> 0) или наибольшее (если«<0) значение, равное с — Ь2/4а, при х=—Ы2а.

Пример 4. Окно имеет форму прямоуголь

ника, дополненного полукругом (рис. 38). Периметр окна равен Р. При каком отношении сторон пика окно будет пропускать больше света?

А Обозначим длины сторон прямоугольника х и у, тогда площадь окна 8=ху-\-^у\ , но х и у связаны соотношением

Следовательно,Следовательно,х + 2у + лА = Р.

Следовательно,

Следовательно,

S=X Т - 2 — 4 х +Л 8

S = — / 2 + з") А + 2 Х‘

Р /2

Функция S достигает наибольшего значения при х =——

2РР

= ^п- Нетрудно подсчитать, что у = 4_|_л*

Таким образом, высота прямоугольной части окна должна быть в два раза меньше ширины. ▲

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

х х 7

Равносильны ли неравенства g—2— И ^ > ^—^^—*) на 0Т резке [4; 8]?

Исследовать на равносильность неравенства (2 — 4) на множестве всех действительных чисел:

х— 1 ^/х и (х—1)2^х.

x+l^l^x и (х+1)2^х.

У^+х—2<х и х'4-х —2<х2.

Решить неравенства (5—6):

5.5.15х + 215х + 26.6.(2 —х-‘) (х —3)3(х+ 1)(х2 — Зх — 4)(2 —х-‘) (х —3)3(х+ 1)(х2 — Зх — 4)

5.

5.

15

х + 2

15

х + 2

6.

6.

(2 —х-‘) (х —3)3(х+ 1)(х2 — Зх — 4)

(2 —х-‘) (х —3)3(х+ 1)(х2 — Зх — 4)

Найти область определения функции

хф 42x4-5**хф 42x4-5**

хф 4

2x4-5**

хф 4

2x4-5**

Решить неравенства (8—12):

Их2 — 40х+39^х — 1.

/Зх^4+/2х—13> У13 — 2х.

/45х2-30х+1 < 7 + 6х —9х2.

П I х — — — 2 I > 112 2 л +1 х

I хIах—Зх—2а + 6х— 2

Доказать неравенство

Х(1+</)+(/ (1+2)4-г (1+х)^6 Vxyz

для всех неотрицательных значений переменных х, у, 2.

Доказать неравенство

л + 1 п + 2 Зп +1

Доказать неравенство

2”— 1 > ti1”-1^2, л е N.

При каких значениях а система неравенств

ах—1 <;0, х— 4а 5:0 имеет хотя бы одно решение?

При каких значениях а все нули функции

f (х) = (а—2) х2 + 2ах + а-|-3

лежат на интервале ]—2; 1 {?

Определить, при каких значениях переменно! многочлен

Р4 W=x(x+l)(z + 2) (х + 3)

принимает наименьшее значение. Чему оно равно?

Спортплощадку площадью 0,9 гектара, имеющую форму прямоугольника, необходимо огородить с севера и юга деревянным забором, с гостока и запада—проволочным. Установка 1 метра деревянного забора обходится в 5 рублей, проволочного — в 2 рубля. На строительство выделено 1200 рублей. Достаточно ли этой суммы?

Через пункт В проходят две прямолинейные дороги, одна в пункт А, другая в пункт С, причем Л ВС =120°. Из А в В и из В в С одновременно выезжают два автомобиля. Найти отношение их скоростей, если известно, что наименьшее расстояние между автомобилями было в тот момент, когда автомобиль, гышедший из пункта А, прошел седьмую часть своего пути.

Из квадратного листа жести со стороною а, отрезая по углам конгруэнтные квадраты и загибая края, составляют прямоугольную открытую коробку Чему должна быть равна сторона выбрасываемых квадратоз, чтобы получилась коробка наибольшей вместимости?

ЗАДАЧИ Г АЗДЕЛА 11

Исследовать на равносильность на множестве всех действительных чисел неравенства (1—5):

(х 4- 7) (2х 4- 1) > (х4-7)2 и 2х + 1 > х + 7.

x^A-x-t-Kx < 2 + Их и х24-х < 2.

Кх—7 ^х и х-7^х2.

1 -И2х2>0 и 1-/2х>0.

Vx — 1 5 X и х 5; х2 -|- 5.

Решить неравенства (6—18):

(Зх2 — 13х-М) (4х2+ 12х + 9; <0.

(2х —5) (х2—4) (х34-8) ^О.

8.8.х2 —7x4- 12х2-Юх-}-20х2 —7x4- 12х2-Юх-}-20о 2*~5х2—6х —7о 2*~5х2—6х —7

8.

8.

х2 —7x4- 12х2-Юх-}-20

х2 —7x4- 12х2-Юх-}-20

о 2*~5

х2—6х —7

о 2*~5

х2—6х —7

х2 —5х-)-6 ^x-f-1 " х24-5х-|-6 хх2 —5х-)-6 ^x-f-1 " х24-5х-|-6 х(х‘2 4" Зх — 4) (х2 — 16)х(х+1)'(х‘2 4" Зх — 4) (х2 — 16)х(х+1)'

х2 —5х-)-6 ^x-f-1 " х24-5х-|-6 х

х2 —5х-)-6 ^x-f-1 " х24-5х-|-6 х

(х‘2 4" Зх — 4) (х2 — 16)

х(х+1)'

(х‘2 4" Зх — 4) (х2 — 16)

х(х+1)'

J±4x23„2Ax + x^x 1 4 + xx —2 x+l (x —2)ax + 2 2x+l_11x3 — x2x3 + 3x2'■ x2 —4 (x + 2)'2 x2 2x *2!_>2x-£23 4xx2 —x+1x+l-"x3 + r 2 —2+x " 4 —x2 */ 2 । 2x T x- 1x+1 ~~x2(x+1)2'J±4x23„2Ax + x^x 1 4 + xx —2 x+l (x —2)ax + 2 2x+l_11x3 — x2x3 + 3x2'■ x2 —4 (x + 2)'2 x2 2x *2!_>2x-£23 4xx2 —x+1x+l-"x3 + r 2 —2+x " 4 —x2 */ 2 । 2x T x- 1x+1 ~~x2(x+1)2'Найти область определения функций (19 — 20):Найти область определения функций (19 — 20):19. 1^ = "^^^19. 1^ = "^^^/(х) = ——-.хН2х-2V '-3+27=37/(х) = ——-.хН2х-2V '-3+27=37Решить неравенства (21—40):Решить неравенства (21—40):/2х+5>х+1.22. J/х2 — 4х>х — 3.23. Кх2—х—12>х—1. 24. Ух3 —3x^4 >х—2./2х+5>х+1.22. J/х2 — 4х>х — 3.23. Кх2—х—12>х—1. 24. Ух3 —3x^4 >х—2.25. /х2 —Зх—10<8—х.25. /х2 —Зх—10<8—х.х2 —3 | х —3 |х2 — 5х + 6х2 —3 | х —3 |х2 — 5х + 628.28.26. Ух2 —х — 2>2х + 3. /(^(х + 3))22=2-х2.26. Ух2 —х — 2>2х + 3. /(^(х + 3))22=2-х2.29. 20/(х2—х)2<1.30.29. 20/(х2—х)2<1.30.31.31.2ха1 — /1 — х22ха1 — /1 — х232.32.

J±4x23„2

Ax + x^x 1 4 + xx —2 x+l (x —2)a

x + 2 2x+l_11

x3 — x2x3 + 3x2'■ x2 —4 (x + 2)'2 x2 2x *

2!_>2x-£23 4x

x2 —x+1x+l-"x3 + r 2 —2+x " 4 —x2 *

/ 2 । 2

x T x- 1x+1 ~~x2(x+1)2'

J±4x23„2

Ax + x^x 1 4 + xx —2 x+l (x —2)a

x + 2 2x+l_11

x3 — x2x3 + 3x2'■ x2 —4 (x + 2)'2 x2 2x *

2!_>2x-£23 4x

x2 —x+1x+l-"x3 + r 2 —2+x " 4 —x2 *

/ 2 । 2

x T x- 1x+1 ~~x2(x+1)2'

Найти область определения функций (19 — 20):

Найти область определения функций (19 — 20):

19. 1^ = "^^^

19. 1^ = "^^^

/(х) = ——-.

хН2х-2

V '-3+27=37

/(х) = ——-.

хН2х-2

V '-3+27=37

Решить неравенства (21—40):

Решить неравенства (21—40):

/2х+5>х+1.22. J/х2 — 4х>х — 3.

23. Кх2—х—12>х—1. 24. Ух3 —3x^4 >х—2.

/2х+5>х+1.22. J/х2 — 4х>х — 3.

23. Кх2—х—12>х—1. 24. Ух3 —3x^4 >х—2.

25. /х2 —Зх—10<8—х.

25. /х2 —Зх—10<8—х.

х2 —3 | х —3 |х2 — 5х + 6

х2 —3 | х —3 |х2 — 5х + 6

28.

28.

26. Ух2 —х — 2>2х + 3. /(^(х + 3))22=2-х2.

26. Ух2 —х — 2>2х + 3. /(^(х + 3))22=2-х2.

29. 20/(х2—х)2<1.30.

29. 20/(х2—х)2<1.30.

31.

31.

2ха

1 — /1 — х2

2ха

1 — /1 — х2

32.

32.

33. -——-^1.34. /х + 6>/х+1+/2х-4.

35. /2—х=+/х+17 + /2х —4.36. 11 I — 1 I 2s |А2—1.

39. КЗх3 + 5х + 7—УЗх2 + 5х + 2> 1.

9

Указание: сделать замену переменной 3x2 + 5x + -g = t,

40. /х2 + 233 + /х2-49-]/ 128—x==Sy+5.

Решить неравенства с параметрами (41—46);

..а2х+1 о2х + 3 а + 9х

23<~6~'

ах+1х — 4а>а22а+1х

32 " 6 '• (о-3)(х-2)х-2'

ах>1/х.45. х4-Уа— х > 0, а 2: 0.

| х —а | +! х | + j х + а j sg й.

Указание: полезно построить графики функций

/(х) = |х-а| + |х| + |х + а| и g(x) = 6.

При каких значениях параметра а неравенство

ах24-Зх-|-4_

х24-2х4-2

удовлетворяется при всех значениях переменной?

При каких значениях параметра а неравенство |хЧ-ах+11 I х^+х-Ц | ' удовлетворяется при всех значениях переменной?

При каких значениях параметра а неравенство х2 4- Зх -|- о х24-х4-1

справедливо при всех значениях переменной кроме одного?

При каких значениях параметра а неравенство ох2 -|- 4х > 1 — За

справедливо при всех положительных значениях переменной?

При каких значениях а корпи уравнения

(а — 3) х2 — 2ах 4- 6а = О положительны?

При каких значениях а один из корней уравнения (2а-J- 1) х2 —ах-|-а —2 = 0

больше единицы, а другой меньше единицы'1

Доказать неравенства (53 — 55):

_^±L > 2,54. (х +:/ 4- 2)327 хиг.

|/х2-|-2

(х3-|-х2 + х 4* 1)2^ 16 х3; х g [0; 4*оо[.

Доказать неравенство

Х_У yz 2Хг ' х у

для всех положительных значений переменных х, у, 2.

Доказать неравенство

х2 -|- у2 -|- г2 4 12

для всех значений переменных, удовлетворяющих условию x-|-i/-|-z= 6.

/г2х -4 их 4- 2и/г2х -4 их 4- 2иДоказать неравенство

/г2х -4 их 4- 2и

/г2х -4 их 4- 2и

14-/24-/34-...4-]/н^

для всех натуральных значений и и всех положительных значений х.

Найти наибольшее и наименьшее значения суммы 2х24-3у2 при условиях Х4-У--2, х > 0, у>0.

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, сумма трех сторон которого равна ста метрам?

Плоская фигура состоит из прямоугольника и равностороннего треугольника, построенного на стороне прямоугольника. Как велика может быть площадь такой фигуры при заданном периметре?

У продавца испортились весы (плечи весов оказались неравными). Продавец отпустил покупателю два веса; первый раз на одну чашку весов положил килограммовую гирю, а на вторую —товар, во второй раз поменял гирю и товар местами. Сколько получил покупатель: два килограмма, больше двух килограммов или меньше двух килограммов товара?

Водоем имеет форму правильного треугольника. Между расположенными на берегу пунктами А и В ходит паром. Велосипедист, которому нужно попасть из А в В, может воспользоваться паромом или может ехать по берегу. При каком наименьшем отношении скорости велосипедиста к скорости парома при любом расположении пунктов А и В переправi на пароме нс дает выигрыша во времени?

Две дороги пересекаются под прямым углом. По направлению к перекрестку движутся две автомашины: по первой дороге — со скоростью 60 км/ч, по второй—со скоростью 80 км/ч. В 12 часов обе машины находились в 10 км

от перекрестка.

В какой момент расстояние между машинами будет наименьшим? Где будут находиться машины в этот момент?

Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый первую половину времени шел со скоростью уь а вторую половину со скорое!ью г'2; второй турист первую половину пути шел со скоростью ut, а вторую половину — со скоростью у2' Кто из них затратил меньше времени на прохождение пути из А в В?

Расстояние между пунктами А и В равно 100 км. Из А в В одновременно отправляются два велосипедиста. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго. В пути первый велосипедист делает остановку па 50 минут, но в пункт В прибывает первым. В каких пределах заключена скорость первого велосипедиста?

Х4 + 1 х2+1Х4 + 1 х2+1Лодка плывет по реке из пункта А в пункт В и обратно. Расстояние между пунктами Д и В равно а, скорость течения реки равна о. Какова должна быть скорость лодки, чтобы время, затраченное на весь путь, было меньше /?

Х4 + 1 х2+1

Х4 + 1 х2+1

68.68.принимаетпринимаетПри каких значениях х рациональная функция у =

68.

68.

принимает

принимает

наименьшее значение? Чему оно равно?

В турнире шахматистов II разряда 24 участника. Для выполнения нормы I рязряда нужно набрать не менее 141/2 очков. Каково наибольшее число шахматистов, которые могут выполнить норму I разряда? (В шахмат

ных турнирах выигравший получает одно очко; если партия заканчивается вничью, каждый из игравших получает 1/2 очка.)

Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали для пересылки упаковываются в ящики. Имеются ящики трех типов. Ящик первого типа вмещает 70 деталей, ящик второго типа —40 деталей, ящик третьего типа — 25 деталей. Стоимость пересылки ящика первого типа 20 руб., ящика второго типа —10 руб., ящика третьего типа—7 руб. Какие ящики должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей? Недогрузка ящиков

не допускается.

Глава V

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ

Бесконечные последовательности.

Последовательности ограниченные и неограниченные

Бесконечной числовой последовательностью называется чи зловая функция, определенная на множестве IN натуральных чисел. Аргумент этой функции обычно обозначается п, а сама фунщия — буквой с индексом внизу: ап, Ь„, х„ и т. и. Таким о( разом, бесконечная последовательность задана, если указан зак )н, по которому каждому натуральному числу п ставится в cootbi тствне определенное число ап.

Бесконечная последовательность ап, nelN, запись вается в виде

ай а2; ...; ап; ...

пли кратко (апу Числа Ci, а2, ап называются элемента. ш или членами последовательности, «1 —первым членом, а2 — в юрым, ап — /t-м членом последовательности.

Рассмотрим примеры:

Каждому натуральному числу и ставится в cootbi тствие число (п — 1)/(и + 1), тем самым определяется последовательность

л- I- —• -•• w~1 •

3 ’ 2 ’ 5 ’’ п+1:

с /г-м членом ап = (п — 1)/(/г + 1).

Каждому натуральному числу п сопоставляется число, равное /г-му десятичному знаку после запятой числа 8/33 в десятичной записи. Этот закон соответствия определяет последовател! ность, у которой ai = 2, а2 = 4, а3 = 2, о, = 4. Нетрудно показа' ь, что п-й член этой последовательности можно записать в виде

ап = 3 + (-1Г

Последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула, связывающая значения п-го члена последовательности с его номером для любого натураль того п (такова последовательность а)). Закон соответствия между номером члена и значением этого члена может быть задан словесно, как, например, в последовательности б). Используется также

рекуррентный способ: задаются несколько первых членов последовательности и формула, называемая рекуррентным соотношением, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие, например, «1 = 1, а„ = 2«л_1 + 3 при п^2.

Пример 1. Доказать, что если «1 = 1 и «л = 2ал_1 + 3 при п 5= 2, то п-й член последовательности имеет вид

«л = 2”+]-3.(1)

Л Используем метод математической индукции. При п = 1 формула (1) верна. Предположим, что опа серна при п=А^1, т. е. afe=2Zi+1 —3. Подставляя это выражение для h-ro члена в рекуррентное соотношение akvl = *2ak + 3, получим «й+1 = = 2 (2ft+1 — 3) + 3 = 2Л+2 — 3. Но это и есть формула (1) для и = k + 1 • Из принципа математической индукции следует, что формула (1) справедлива для любого натурального числа п. а

Важным частным случаем последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии. Они рассматриваются в §§ 4 и 5.

Последовательность («„) называется ограниченной, если существуют два числа а и b такие, что при всех п выполняются неравенства

«^«Я^Ь.(2)

При этом говорят, что число а ограничивает последовательность снизу, а число Ь — сверху.

Последовательность ((п — 1)/(п + 1)) ограничена, так как при всех п имеют место неравенства 0 ^ (п — !)/(«+ 1) ^ 1.

Последовательность (( —1)п) также ограничена, так как для любого натурального п справедливы неравенства — 1 ^ ( — 1)”1.

Можно показать, что данному определению ограниченной последовательности равносильно следующее: последовательность («„) называется ограниченной, если существует число М такое, что при всех п выполняется неравенство

К1^Л4.

Не всякая последовательность является ограниченной.

Пр, и мер 2. Доказать, что последовательность (и) не является ограниченной.

Л Предположим противное, т. е. предположим, что последовательность (/г) ограниченная. Это означает, что существует такое число М, что при всех п справедливо неравенство | п | =^ Л1. Однако, например, для натурального числа и = [Л4]+1 (здесь [Л1] —целая часть числа М) это неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность (/1) не является ограниченной. ▲

Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Сформулируем определение неограниченной последовательности, построив отрицание определения ограниченной последовательности: (ап) — неограниченная последовательность, если для любого числа М найдется такой номер п, что | а,. | > М.

a-tОa-tОа,2 а.3 апа,2 а.3 ап

a-t

О

a-t

О

а,2 а.3 ап

а,2 а.3 ап

Рис. 39.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Например, у последовательности ап = кп — 1)/(м+ 1), п е= N, все члены лежат на отрезке jO; 1] (рис. 39).

Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены это:') последовательности.

Предел последовательности.

Теоремы о сходящихся последовательностях

Число а называется пределом последовательности (а,.), если для любого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

| ап - а | < е.

Тот факт, что число а является пределом последовательности (ап), записывается в виде

lim ап = а или ап->а при п->сс.

Пример 1. Доказать, что lim-—— =0.

Л Неравенство —0 <е, т. е. — <е, выполняе"ся при

всех п>1/е. Таким образом, для любого е>0 можно взять, например, N = [1/е] + 1. Если учесть, что N > 1/е, то для любого n>N будем иметь 0 <е. Это и означает, что (— 1)п/п->-

->0 при п-^са. а

Заметим, что неравенство |ап — а|<е равносильно неравенствам

— е<ап —а<е иля а — е <; ач < а + е.

Это означает, что число ап принадлежит интервалу ]а — е; cz + е[. Такой интервал называется е-окрестностью точки а (рис. 40).

Определение предела можно перефразировать следующим образом, придав ему геометрическую наглядность: число а называется пределом последовательности (ап), если в любую е-окрест- ность числа а попадают все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа их. Действительно, если а„-*а при п—>-оо, то для каждого е>0 найдется такое N, что все члены последовательности с номерами п"> N лежат в е-окрест- иости числа а в, значит, вне этой окрестности мог^т находиться только первые N членов последовательности.

dZZ^^^ZZZZZ<5„сь-е a cits

Рис. 40.

Например, для последовательности ((— 1)п/н) в е-окрестность точки нуль при е = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, при е= 1/100 —все члены последовательности, кроме первых ста, так как

1 _ (— 1)” _ 1_ ..

а">0. Доказать, что начи- последовательности (а,д поа">0. Доказать, что начи- последовательности (а,д поПример 2. Пусть Иш ап = а и пая с некоторого номера все членыПример 2. Пусть Иш ап = а и пая с некоторого номера все члены100 < и < 100 ПрИ n===: ° 1

а">0. Доказать, что начи- последовательности (а,д по

а">0. Доказать, что начи- последовательности (а,д по

Пример 2. Пусть Иш ап = а и пая с некоторого номера все члены

Пример 2. Пусть Иш ап = а и пая с некоторого номера все члены

ложительны.

Д Так как lim ап = а>0, то для е = а/2>0 найдется натуральное число .V 1акое, что при n>N выполняется неравенство |а„ — а\<а/2. Перепишем это неравенство в виде —a,!2<a,t — — ы<п/2, тогда получим

ап>а/2>0. ▲

Геометрический смысл доказанного утверждения вполне очевиден: если число а положительно, то существует его окрестность, не

Оааз

Рис. 41.

содержащая нуля, и в эту окрестность согласно определению попадаю! все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа (рис. 41).

Пример 3. Пусть Нт ап=а и ая^0. Доказать, что /1-ЮО

lim jAzn = \Га,

п-*ао

Л а) а = 0. По определению предела для любого е >0 по числу е2 найдется такое N, что при n>N имеет место I^JCe2. Так как по условию а„^0, то 0=Сал<е2. Но тогда г ри тех же п > N выполняется неравенство | Уап — 01 = Уап < е.

а>0. Для любого е>0 найдется такое N, что при п>М выполняется неравенство | ап — а | < в У а . Тогда при тех же n">N будет справедливо неравенство

\Van-Va | =\Van-Va | =\ап—а^ Уап + Уа\ап—а^ Уап + Уа(Ург — Уа) (Уап + Уа )У ап + V а

\Van-Va | =

\Van-Va | =

\ап—а^ Уап + Уа

\ап—а^ Уап + Уа

В обоих случаях доказано, что Нт Уап = У а. А

Пример 4. Доказать, что limgn = 0, если |^|-<1.

ч—г>1. Обозначим а = у-ч—г>1. Обозначим а = у-тогда |1/^|=1+а итогда |1/^|=1+а иА При q = 0 утверждение очевидно; если же q^-Q, то

ч—г>1. Обозначим а = у-

ч—г>1. Обозначим а = у-

тогда |1/^|=1+а и

тогда |1/^|=1+а и

11/q |”= (1 +“)”• Применяя неравенство Бернулли1), получим | \]q |п = (1 +«)"> 1 +а/г> сот, откуда следует

(1)(1)| q I” < 1/ап.

(1)

(1)

Для любого е>0 возьмем N = [1/ае] +1. Так как А/> 1/ае, то при n>N из (1) будет следовать |д|"< 1/аи< 1/аУ< в. Это означает, что lim |^|" = 0. а п->со

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.

Пример 5. Доказать, что последовательность с п-м членом ап=1 +( —1)" является расходящейся.

А Предположим противное, т. е. предположим, что существует число а, являющееся пределом этой последовательности. Тогда по определению предела для е=1/2 найдется тако; натуральное число N, что для любого п>М выполняется неравенство | ап — а |< 1/2.

Отсюда следует, что если щ^ N и n2^>N, то

|% -%| = |(ani-a) + (a-%)|^|ani-a| + kz„2-a| С 1. (2)

Однако, если взять /г1 = 2^ (гц >■ А/) и /га = 2А/ + 1(;'2>Л^),

то для таких номеров получим

|a«1-«„2| = |(l + (-lH-(l+(-lp+I)l = |2-0| = 2>l, что противоречит (2). Следовательно, не существует числа а, являющегося пределом последовательности оп = 1 + (— 11", эта последовательность расходящаяся, а

*) См. «Алгебра и начала анализа». Учебное пособие для 9-гэ класса средней школы под редакцией А. Н. Колмогорова, стр. 12.

Напомним теоремы о сходящихся последовательностях, которые изучаются в школьном курсе математики.

Теорема 1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

Теорема 2, Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема 3. Если последовательности ап и Ь„ сходятся, то Нт (ап + 6„) = Нт + + Нт 6Ч;

Л—* СОп-* сол —* со

Нт (ап — Ьп) = Нт ап — Нт Ьп\п-»со л-* со

Нт (а„Ьп) = Нт ап- Нт Ьп.

п —* сол —* соп —> со

Если, кроме того, Ьп^=0 для любого п и Нт Ь„=#0, то

1 •^71Нт -г-1 •^71Нт -г-lim ап

1 •^71

Нт -г-

1 •^71

Нт -г-

Нт Ьп ‘

П -г СО

Из теоремы 2 следует, что любая неограниченная последовательность является расходящейся. Например, последовательности (/1), ((п2+1)/п), (2я) расходящиеся, так как они неограниченные. Из теоремы 3 следует, что постоянную можно выносить за знак предела, т. е. если последовательность ^а^ сходится, то

lim (сап) = с lim ап,

Рассмотрим примеры на вычисление пределов.

„р и „।. In — Зл +12

Пример 6. Наити Нт ■—.. . „ . „-•

г—>со

А Применяя теорему 3, получаем

7л2 —3«+12lim —.. ,' „- = Нт«2 + 2« + 27л2 —3«+12lim —.. ,' „- = Нт«2 + 2« + 27—37—312.. /-hm 7 —n 1 n-*<xi \12.. /-hm 7 —n 1 n-*<xi \- + - п ~ п2- + - п ~ п2п-*со \ п и i7 — 3 lim —+12 ! lim -L]2 n CD П\п^ю П y'п-*со \ п и i7 — 3 lim —+12 ! lim -L]2 n CD П\п^ю П y'

7л2 —3«+12lim —.. ,' „- = Нт

«2 + 2« + 2

7л2 —3«+12lim —.. ,' „- = Нт

«2 + 2« + 2

7—3

7—3

12.. /-

hm 7 —

n 1 n-*<xi \

12.. /-

hm 7 —

n 1 n-*<xi \

- + - п ~ п2

- + - п ~ п2

п-*со \ п и i

7 — 3 lim —+12 ! lim -L]2 n CD П\п^ю П y'

п-*со \ п и i

7 — 3 lim —+12 ! lim -L]2 n CD П\п^ю П y'

ииHm V 14-1 = 1/(-♦СО '^Hm V 14-1 = 1/(-♦СО '^(см. пример 3), то по теореме 3 будем иметь(см. пример 3), то по теореме 3 будем иметь

и

и

Hm V 14-1 = 1

/(-♦СО '^

Hm V 14-1 = 1

/(-♦СО '^

(см. пример 3), то по теореме 3 будем иметь

(см. пример 3), то по теореме 3 будем иметь

lim (Vп2-Уп — п) = lim ——— -=—

"—]/ i+l+i Ит т/ц-Л-цГn-*oo Tn

§ 3. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштзасса

Последовательность (а^ называется возрастающей, если для любого п выполнено неравенство ап+1 > ап. Последовательность (й„) называется убывающей, если для любого п выполнено неравенство ^п+1 *~~ ^я-

Например, последовательность (п2) возрастающая, так как для любого натурального п имеет место anV1 = (п 4-1)2 2> и2 = ап Последовательность (1/м) убывающая, так как для каждого п справедливо неравенство 1/(п4-1)< 1/и, т. е. «п+1<а„.

Последовательность (ап) называется неубывающей, если спН^ап для любого п, и невозрастающей, если ап+1^ап для либо го п.

Например, последовательность с n-м членом an = [(/i4-1)/2] неубывающая: 1; 1; 2; 2; 3; 3; ...

Все такие последовательности (возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие) называются монотонными.

Пример 1. Доказать монотонность последовательности, п-й член которой имеет вид an = Vn-V 1 — Vn.

Л Заметим, что

ап = Vn 4-1 — Vn =ап = Vn 4-1 — Vn =1_K/i+1-НКга ’1_K/i+1-НКга ’(К »+1 — К») (Кл+1+К«)

ап = Vn 4-1 — Vn =

ап = Vn 4-1 — Vn =

1_

K/i+1-НКга ’

1_

K/i+1-НКга ’

У«+ 1 -4- V П

поэтому при любом п

_ =1 1

=-(уТ+г-уХ)

(У^+УЯ^НУ^+Уп)

Таким образом, а„+1 < ап, т. е. последовательность убывающая, а

Не всякая последовательность монотонная. Примером немонотонной последовательности является последовательность ((—!)"/«). Каждый ее элемент с четным номером больше как предыдущего, так и последующего:

, 1 , 1 . 1 . 1 .1 . 11

2 ’3’4’5’’”2*-1 ’ 2й’2*4-1 ;

Для монотонных и ограниченных последовательностей справедлива следующая теорема:

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Эта очень важная в математическом анализе теорема дает достаточные условия существования предела последовательности. Из теоремы Вейерштрасса следует, например, что последовательность площадей правильных л-угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является возрастающей и ограниченной последовательностью. Предел этой последовательности обозначается л.

Пример 2. Доказать, что последовательность ^ = 2, ап = = (ял_1+1)/2 при п ^2 имеет предел и найти его.

А Найдем несколько первых членов последовательности:

^ = 2; 02 = 3/2; а3 = 5/4; а4 = 9/8.

Все они принадлежат промежутку ]1; 2]. Докажем, что при всех л выполняются неравенства

(1)(1)1 <а„<2.

(1)

(1)

Применим метод математической индукции. При п = 1 неравенства (1) справедливы, так как а1 = 2. Предположим, что при п = к^\ имеет место 1<ай-~2. Так как ak+1 = (яй + 1)/2, то из о6>1 следует a^^l, а из ой<2 получаем ой1.1<2. Таким образом, 1<ой+1^2, т. е. (1) выполняется и при п = &+1. Из принципа математической индукции следует, что неравенства (1) выполняются для любого натурального п.

Далее,

+ 11— а,.

апАА - йл ,

отсюда, учитывая что о„> 1 для любого м, получим апАА — ал<0. Следовательно, а№+1<_ап при всех л —последовательность убывающая. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел, обозначим его а1, а = Пт ап. Очевидно, что если последова-

«-►СО.

тельность (ал) имеет предел, то

Нт ап = Пт ап+1.п—> со п -► ОО

Для рассматриваемой последовательности ал+1 = ~ + ^, поэтому

Пт ал+1 = Пт + -U = * Пт ал + -*-,«-►отл-*аА Z Z ' Z П-VCD

t. e.

.a 22 ’

откуда находим, что a=l. Итак, доказано, что Пт ал = 1, ▲ «—►со

Арифметическая прогрессия

Последовательность (а„), у которой av = a и при любом п Оп+1=йп + ^,(1)

где а и d — любые заданные числа, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью: возрастающей при d>0 (так как ап+1 — ап =-d >0), убывающей при d<0 (так как art+1 — an = d<.0), невограстаю- щей при d = 0. Для м-го члена арифметической прогрессии справедлива формула

an = a + d(n— 1).(2)

Докажем ее методом математической индукции.

□ При п = 1 эта формула верна: аг = а. Предполо» им, что формула (2) верна при n = h^\, т. е. ak = a-Vd (й — 1). По определению арифметической прогрессии afc+1 = ak4-d. Подставляя сюда выражение для fe-го члена, получим

aA+1 = a + d(^ — l)-]-d = a + d^,

а это есть формула (2) при п = к-^\. Из принципа магматической индукции следует, что формула (2) верна для любою натурального п. Я

Из формулы (2) следует, что если разность арифметической прогрессии отлична от нуля, то арифметическая прогрессия является неограниченной последовательностью. Доказательство этого факта аналогично доказательству неограниченности последовательюсти (п) (см. пример 2 § 1).

Чаще всего рассматривается арифметическая прогрессия, содержащая конечное число членов, которая называется конечной арифметической прогрессией.

Свойства арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членоз, т, е. при /г 5s 2

лА=^±^.(3)

У конечной арифметической прогрессии ар, а2; ...; а,, сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т. е. для А=1, 2, ..., п

°А + Qn-kH = «i + йп-(4)

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов, т. е.

если 5,, = ^ + ^+ ... + <!„, иго

Sn = a-^-n.(5)

□ При й^2 имеем ak = ak_x-\-d и ак = акн — d. Складывая почленно эти равенства, получим 2ак = ак_л + икц, откуда следует (3;.

В конечной арифметической прогрессии йр й2; ...; йл члены ак и an_kvx равноотстоят от концов. По формуле (2) ak — a-\-d(k — 1) и йл_А(1 = a-Vd (п — Аф Сумма этих членов й^4-йл_6Ь1=2й4-^ («— 1) и равна сумме крайних членов й1 + й„ = 2й + (/(»— 1).

Если 5Л = й2 +й2 +..- + йл, то S„. = йл +йл-1 + . .. +йр Складывая почленно эти равенства и используя свойство 2, получаем

2S„ = (й2 + йл) + (й2 + йп-х) + • • ■ + (Й1А й„) = и (ni + Gn)f откуда следует формула (5)

S„ = ^L.n.

Если в формулу (5) подставить выражение (2) для n-го члена, то получим

S„ = ^^z2L./l(6)

Пример 1. Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно 3. Найти сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

А Обозначим первый член прогрессии й, а ее разность d. Тогда по формуле (2) имеем й3 = й + 2^ и й, = й + 6й. По условию й3 + й7 = 6, й3й7 = 8. Подставляя сюда выражения для й3 и й7, получим систему

2fl + 8d = 6,

(fl + 2d) (fl + 6d)=8,

решая которую, находим й= 1, d=l/2 и й = 5, d = —1/2. По формуле (6) вычисляем сумму первых 16-ти членов для каждой из прогрессий:

S16 = —+ 15d--16 = 76 при й=1, d=l/2,

S]6 = 20 при й = 5, d = —1/2. ▲

Пример 2. Сумма первых п членов арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, равна половине суммы следующих п членов. Найти отношение суммы первых З/i членов этой прогрессии к сумме ее первых п членов.

А Если Sk — сумма первых к членов прогрессии, то условие можно записать следующим образом: S„= у (S2n—S„), откуда

следует 3S„ = S2n. Используя формулу (6) для суммы Sk отсюда получим

2a = d(n + l).(7)

Искомое отношение S3„/S„ имеет вид

5Я,. _ о 2а + с/(3/7 — 1) Sn 2a-pd(/i—1)

Подставляя сюда а из (7) и сокращая на t/^О, находим З3п/5п = = 6. А

Геометрическая прогрессия

Последовательность (а„), у которой ах = а и для любого п

ЯпН = ^пЧ>(1)

где а и q — любые отличные от нуля заданные числа, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Если й>0 и <7>1, то геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, так как для любого п имеем anVXlan = q> 1. т. е. апН">ап\ если же й>0 и 0<q<1, то геометрическая прогрессия убывающая: anU = anq<_ ап.

Очевидно, что при а<0, наоборот, геометрическая прогрессия убывающая, если ^>-1, и возрастающая, если 0<д<1.

При 7<0 каждый член прогрессии имеет знак, противоположный знаку последующего члена, она не будет монотонной.

Формула для /t-го члена геометрической прогрессии имеет вид ап = aqn-1.(2)

Докажем ее методом математической индукции.

□ Формула (2), очевидно, верна при п=1, предположим, что опа верна и при n = k^\, т. е. ак = арь-1. Из (1) следует акАХ = = akq. Подставляя сюда выражение для й-го члена, получаем ak+x—aqk, т. е. формула (2) верна и при п = &4-1. Из птинципа математической индукции следует, что формула (2) сире ведлива для любого натурального п. а

Геометрическая прогрессия, содержащая конечное число членов, называется конечной геометрической прогрессией.

Пусть (а„)— геометрическая прогрессия с первым членом а и знаменателем q.

Свойства геометрической прогрессии.

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних членов, т. е. при h^2

ak = ak_xakvx.(3)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то это свойство формулируется так: каждый член геометрической про-

грессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов, т. е. а^ = J^a^a^.

У конечной геометрической прогрессии ар, ар, ...; ап произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т. е.

a11an-kvl = a1an.(4)

Если знаменатель геометрической прогрессии q не равен единице и Sn = a1 + ai + ... + an, то

Доказательства свойств 1 и 2 аналогичны доказательствам соответствующих свойств арифметической прогрессии. Докажем свойство 3.

□ Пусть Sn = аг + а.2 +... + ап. Используя формулу (2), можно записать

Sn = a-Vaq-V...-Vaqn-1,(6)

тогда

qSn = aq-Vaq2-V...-Vaq".(7)

Вычитая почленно из равенства (6) равенство (7), получим

(1-ф)5„ = й(1 -Q”),

откуда при уч^ следует формула (5). Q

Пример 1. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырех членов равна 480. Найти первый член прогрессии.

А Пусть а — первый член и у — знаменатель геометрической прогрессии. По формуле (5)

«-^-=зо.(8)

Следующие четыре члена ay4, ay5, ay6, ay7 образуют геометрическую прогрессию с первым членом aq4 и знаменателем q, поэтому по формуле (5)

^-LziA = 480.(9)

Из (8) и (9) следует ^ = 16, откуда 7 = 2 или q = — 2. Если 7 = 2, то из (8) находим а = 2, апри</ = — 2 получаем а = — 6. а

В примере 4 § 2 было доказано, что lim qn = 0, если | q | < 1. Из «—►ОО

этого следует, что если знаменатель q геометрической прогрессии (а„) удовлетворяет условию |q|<1, то ап—>0 при п-*оо. Действительно, так как an = aqn-1, то

lim ап = lim aqn-1 = a lim 7n-1 = 0. «-*ОО л-»оо«-►CO

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию |д|<1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Если (а„) — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то существует предел последовательности сумм ее первый п членов. Но формуле (5)

и так как qn->0 при п->оо, то lim Sn = aK\ —q>.

Этот предел называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии и обычно обозначается S. Итак

Пример 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма первых трех членов равна 7, а произведение этих членов равно 8.

А Пусть а — первый член и q — знаменатель геометрической прогрессии. По условию

( а(Н-9 + ^=7,

Из второго уравнения системы находим aq = 2, тогда, подставляя a=2/q в первое уравнение системы, получаем квадратное уравнение 2q2 — 5^ + 2 = О, корни которого q= 1/2 и q = 2. Последовательность бесконечно убывающая, |^[<1. Следовательно, q=1/2, и тогда а = 4. Сумму этой прогрессии находим по формуле (10): 5 = у—= 8. д

Предел функции. Непрерывность функции

Напомним, что любой интервал, содержащий точку и., называется окрестностью точки а. Симметричный интервал ]а —Г; д + 6[ при любом б>0 называется 6-окрестностыо точки а.

Пусть функция / (х) определена в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а, т. е. никакгх предположений о том, определена ли функция в точке а или нет, не делается.

Число Ь называется пределом функции /(х) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительюго числа е найдется такое положительное число 6, что при всех х^а, удовлетворяющих неравенству |х — а|<6, будет выполняться неравенство

|/(х)-6|<е.

Для обозначения того, что число b есть предел функции / (х) при х стремящемся к а, пишут

lim/(x) = b, или f(x)-+b при х->а. х-»а

Заметим, что условия |х —а|<6, х^ч означают, что точка х принадлежит 6-окрестности точки а и отлична от а; эти условия можно объединить в такой записи:

О < | х — а | < 6.

Данное определение предела можно проиллюстрировать следующим образом (рис. 42). Возьмем число е > 0 и на оси Оу отметим е-окрестность точки Ь, т. е. интервал ]Ь — е; & + е[, через концы которого проведем р прямые, параллельные оси Ох. Получим полосу ^] аДоаА^Д ШИРИНОЙ 2б. Если ДЛЯ ЛЮбОГО 6 > О МОЖНО р 49указать такое 6>0, что график функции

i/ = /(x), рассмотренный для х из 6-окрестности точки а и не равных а, целиком находится в этой полосе, то число b является пределом / (х) при х,стремящемся к а.

Пример 1. Доказать, что Hm(3x— 1) = 2.

А Функция / (х) = Зх — 1 определена в любой окрестности точки х=1. Неравенство |/(х) —2|<е, т. е. |(Зх — 1) — 2| = = 3|х — 1|<е, будет выполняться для всех х, удовлетворяющих условию |х—1|<е/3. Таким образом, для любого е>0 можно взять 6 = е/3, тогда для всех х таких, что |х— 1 |<6, будет справедливо неравенство | / (х) — 21 = 3 j х — 1 | < е. Это и означает, что

Пт (Зх — 1) = 2. а X —1

Пример 2. Рассмотрим функцию /(х) = (х2 — 1)/(х—1), она определена всюду за исключением точки х—1. Доказать, что при х, стремящемся к 1, эта функция имеет предел, равный 2.

А При всех х=А 1 имеем (х2 — 1)/(х — 1) = х+ 1, следовательно, |/ (х) — 21 = |х — 11 и неравенство | / (х) — 21 < 8 выполняется, если I X — 1 | < 8 и х =А 1. Поэтому для любого 8 > О МОЖНО ВЗЯТЬ 6 = 8, тогда при всех х, удовлетворяющих условию 0<|х—1|<;6, будет справедливо неравенство | *_^—2| = 1х — 1|<е. Таким образом, по определению (х2 — 1)/(х— 1)-> 2 при х-> 1. А

Решения примеров 1 и 2, в частности, показывают, что 6 зависит от е, причем зависимость эта, вообще говоря, различна для различных функций.

Пример 3. Пусть / (х) > 0 в некоторой окрестности точки й, Иш/(х) = 6 и 6>0. Доказать, что при х, стремящемся к й, х-*а

существует предел функции Vf W и Ит У / (х) = У 6.

Л Из определения предела следует, что для любого е>0 существует 6>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|х— й|<6, выполняется неравенство |/(х)—Ь\">е/Ь. Тогда для тех же х из неравенства

м v 1 ^ЦхНЬb

существует предел при стремлении х ка. Рассмотрим, напримерфункцию1, еслих > 0,sign х =0, еслих = 0,— 1, еслих<0,существует предел при стремлении х ка. Рассмотрим, напримерфункцию1, еслих > 0,sign х =0, еслих = 0,— 1, еслих<0,Не для всякой функции, определенной в окрестности точки й,Не для всякой функции, определенной в окрестности точки й,следует | ]/7"й) —V&|<e- Это означает, что lim ]//(х) ==V Ь. А х-*а

существует предел при стремлении х к

а. Рассмотрим, например

функцию

1, если

х > 0,

sign х =

0, если

х = 0,

— 1, если

х<0,

существует предел при стремлении х к

а. Рассмотрим, например

функцию

1, если

х > 0,

sign х =

0, если

х = 0,

— 1, если

х<0,

Не для всякой функции, определенной в окрестности точки й,

Не для всякой функции, определенной в окрестности точки й,

график которой изображен на рис. 43. Докажем, что э- а функция не имеет предела в точке х = 0. Проведем доказательство методом от противного.^

□ Предположим, что существуету^

число b такое, что

lim sign х — Ь. х->0

Ряс. 43.Ряс. 43.По определению предела для любого 8>0 и, следовательно, для е= 1/2 най-

Ряс. 43.

Ряс. 43.

дется такое 6>0, что для всех х, удовлетворяющих условию О < | х I < 6, будет справедливо неравенство | sign х — b | < 1/2. Таким образом, если xt и х2 такие, что 0 < j Xi |< 6 и 0 «< | х21 < <6, то | sign Xi — b | < 1/2 и j sign х2 — Ь|< 1/2 и, следовательно,

| sign Xi — sign х21 = | sign Xi — b -|- b — sign ха |

(sign Xi — 6 | -|-1 sign х2 — b | < 1.

Однако, взяв xi = 6/2 и х2 = —6/2, будем иметь | sign Xi — sign х21 = = |1_(_1)| = 2>1.

Полученное противоречие показывает, что функция signx не имеет предела в точке х = 0. Д

Для функций, имеющих предел в точке, справедлива ' еорема, аналогичная теореме о сходящихся последовательностях.

Теорема. Пусть при х, стремящемся к а, существуют пределы функций f (х) и g(x). Тогда при х, стремящемся к т, существуют также пределы суммы, разности и произведет я этих функций, при этом

1m (/ (х) + g (х)) = 1 i m f (x) +1 i m g (x), x-*ax-*ax-*a

lim //(x) — g(x)) = lim/ (x) — lim g(x), x-ax-*ax^a

lim (f (x) g (x)) = lim/ (x) • limg (x).

Если, кроме того, limg(x) ^О, то существует предел частного х-*а

f^/gt/) и

xVaSW limgW"

2^з

Пример 4. Найти lim „ 7 .

Л По теореме о пределах имеем

lim (2x-3),. 2x —3*—33 + 7x — lim(3 + 7x) —lim (2x-3),. 2x —3*—33 + 7x — lim(3 + 7x) —2“,'-32.3-32“,'-32.3-33 + 7 lim x 3 + 7-3"8 ’x->33 + 7 lim x 3 + 7-3"8 ’x->3

lim (2x-3)

,. 2x —3*—3

3 + 7x — lim(3 + 7x) —

lim (2x-3)

,. 2x —3*—3

3 + 7x — lim(3 + 7x) —

2“,'-32.3-3

2“,'-32.3-3

3 + 7 lim x 3 + 7-3"8 ’

x->3

3 + 7 lim x 3 + 7-3"8 ’

x->3

Пример 5. Найти lim ——.

Д При х, стремящемся к 1, предел знаменателя равен нулю, поэтому применить теорему о пределе частного нельзя. Однако, преобразовав дробь следующим образом:

£7+3-2 _ (КТ+3-2) (/Г+З + 2)х—1

х-1~(х-1)0/Т+3 + 2)“ (X—1)(|/7+3 + 2)

и сократив на х — 1 (если х->1, то х^1), получим

Кл+3-2 =1

х — 1V х + 3 + 2

Так как lim£x + 3 = 2 (см. пример 3), то

X- 1

limlimКл + 3-2 х- 1Кл + 3-2 х- 1lim --,- ——1 V х + 3 + 2lim --,- ——1 V х + 3 + 211lim /7+3+2 ~ 4 'X 111lim /7+3+2 ~ 4 'X 1

lim

lim

Кл + 3-2 х- 1

Кл + 3-2 х- 1

lim --,- ——

1 V х + 3 + 2

lim --,- ——

1 V х + 3 + 2

11

lim /7+3+2 ~ 4 '

X 1

11

lim /7+3+2 ~ 4 '

X 1

Для некоторых функций предел при х, стремящемся к а, равен значению функции в точке а (см. примеры 1 и 4). Од- укнако это не всегда так, например для функ-

х ^ О,х = 0,х ^ О,х = 0,л2

х ^ О,х = 0,

х ^ О,х = 0,

I—i при

1 при

Рис. 44. график которой представлен на рис. 44, предел при х->0 равен нулю, а /(0)=1.

Если предел функции /(х) в точке а равен значению функции в этой точке:

lim /(х)=/(а),

х~*а

то функция / (х) называется непрерывной в точке а.

Из теоремы о пределах следует, что линейная функция непрерывна в любой точке, т. е. для любой точки х0 имеет место

ИГЛ (й0 + Й1Х) = О0 + GtX0.

Х-*Х0

Многочлен Рп (х) = а0 + агх +.,. + апхп также является непрерывной функцией в любой точке:

Нт Рп (х) = Рп (х^.

Х-^Хо

Это следует из того, что многочлен есть конечная сумма слагаемых вида акхк, ^^0, для каждого из которых

Hm акхк = ак(х0)к*-»to

(последнее устанавливается методом математической индукции).

Из непрерывности многочлена и теоремы о пределе частного следует, что рациональная функция непрерывна в любой точке области определения, так как

lim = если Qm 01

Все элементарные функции, например хк, ах{а>^), sinx, tgx,logax (а>0, й=^1), непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, она называется непрерывной на этом интервале. График непрерывной на интервале функции может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги.

Каждая элементарная функция непрерывна на любом интервале, на котором она определена.

Производная, ее геометрический смысл

Пусть функция у = [(х) определена на некотором интервале ]й; Ь[, содержащем точку х0. Для любой другой точки х интервала ]а; Ь[ разность х —х0 обозначается Дх и называется приращением. аргумента-, соответствующая разность значений функции / (х) — / (х0) обозначается Д/(х0) (или Ду(х0)) и называется приращением функции. Из равенства Дх==х —х0 следует х = х0 + Дх и

М (x0) = f(x0 + ^x)-f(x0).

Если х->хп, то, очевидно, Дх->0.

Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению

аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная функции y=/U) в точке хи обозначается f'(х^ или у* (х0). Таким образом, по определению

rw= IfmД*-»0 ал Дх->0 ^Л

Для существования производной /' До) необходимо, чтобы функция / (х) была определена в некоторой окрестности точки х0. Покажем, что также необходимо, чтобы функция была непрерывна в точке х0. Пусть существует /' (х0), тогда

lim (/ (х) - f (х0)) = Ит —‘ “ хо) = Г &>) ‘0 = 0.

Отсюда следует, что lim / (х) =Д (А), это и означает непрерыв- кость функции /(х) в точке х0.

Функция, имеющая производную в точке х0, называется диф

ференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале. Производная дифференцируемой на интервале функции y = f(x) сама является функцией аргумента х, ее обозначают f (х) или у' (х) и называют производной функцией.

Ух дифференци- для любого х гУх дифференци- для любого х гПример 1. Доказать, что функция /(х) =

Ух дифференци- для любого х г

Ух дифференци- для любого х г

руема на интервале ]0; + сю[

е ]0; + со[.

Д Пусть х0 > 0 и х > 0. Имеем

fW-f (х0) = Ух - кА =fW-f (х0) = Ух - кА =(У—^ fn) (l^x+n rj(У—^ fn) (l^x+n rjV х + V X,V х + V X,X — XgVх + V УX — XgVх + V У

fW-f (х0) = Ух - кА =

fW-f (х0) = Ух - кА =

(У—^ fn) (l^x+n rj

(У—^ fn) (l^x+n rj

V х + V X,

V х + V X,

X — Xg

Vх + V У

X — Xg

Vх + V У

т. е.

А/ (Хо) =

V х„ + Ду + И х0

Отсюда, зная, что lim У х0 + Ах — ]/"х0 (см. пример 3 § 6), подуло

лучаем

2 к г..2 к г..f (х0) = hm - —7-/^==—у—

2 к г..

2 к г..

ДГ -*0 Д £ (г Af) +Г А ';/

Это означает, что функция Цк^Ух дифффущируема в каждой точке интервала ]0; +схэ| и (У х)' =а

Укажем основные формулы и правила дифференцирования, с помощью которых в большинстве случаев можно при дифферен-

цировании обойтись без непосредственного вычисления производ нои как предела отношения при Дх-*0.

Производные элементарных функций

(хпу = пхп-1, яеМ.(sin х)'= cos х,(cosx)' =— sinx.(tg x)' = —-л—.' ° ’ COS2 X(хпу = пхп-1, яеМ.(sin х)'= cos х,(cosx)' =— sinx.(tg x)' = —-л—.' ° ’ COS2 X(ех) ==e\

(хпу = пхп-1, яеМ.

(sin х)'= cos х,

(cosx)' =— sinx.

(tg x)' = —-л—.

' ° ’ COS2 X

(хпу = пхп-1, яеМ.

(sin х)'= cos х,

(cosx)' =— sinx.

(tg x)' = —-л—.

' ° ’ COS2 X

(ахУ = ax In a, a > 0.

(lnx/=L

(loga x)' = 71'—, a > 0, a 1.

Правила дифференцирования.

Пусть с — постоянная, и(х), и(х) и и, (х)— дифференцируемые на некотором интервале ]а; Ь[ функции, на этом же интервале справедливы приводимые формулы:

с' = 0.

(си)' = си*.

(Ы1 + ^2 + • • • + ипУ = я{ 4~ Яд 4*. . . + tin*

(uv)' =и'и-\-ии'.

— =5—» у 0.

\ У /У2~

Приведем примеры нахождения производных.

Пример 2. Найти производную функции у = х2 + у.

Л у' = (х2/ + (х-1)' = 2х — 1 -х-2 = 2х — ^. Формула (х ”)' = = —nx "-1, n е N, следует из правила дифференцирования частного, если положить '.' = 1, и = х'г.л

Пример 3. Найта производную функции у = х4 —2х34-Зх —7.

А У' = (л4)' - 2 (х3/ + 3 (х)' - (7)' = 4х3 - 6х2 + 3. л

Пример 4. Найти производную функции у = х!пх.

А у* = (х)' In х + х (In х/ = 1 ■ In х + х- — = In х-(-1. ▲

Пример 5. Найти производную функции у = з^^ •

Л / _(2х-1)'(3+х)-(2х-1)(3+х)' _ 2(3 + х)-(2х-1). 1

А 9(3 + х)2(34-х)2

7

_ (З-*)2

Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть y — F(u), и = и(х) и у (х) = F (и (х)) — сложная функция. Если функция и(х) дифференцируема в точке х0 и функция F (и) дифференцируема в точке и0 = и(х0), то сложная функция у (х) = = F (и (х)) дифференцируема в точке х0 и

у' (Хо) = F' (ий) и' (Хо).

Пример 6. Найти производную функции у = (sinx + cosx)3.

Л Полагаем здесь и (х) = sinx-]-cosx, у = и3. По правилу дифференцирования сложной функции для любого х получаем

у' (х) = (и3)' и* (х) = 3и2и* (х) = 3 (sin хф- cos х)2 (cos х — sin х). ▲

ОТОТПример 7. Найти производную функции у(х) = Ух2 — 2х. Д Полагая и(х) = х2 — 2х, получаем у(х)=Уи(х). Так как

ОТ

ОТ

у^ (см. пример 1), то имеем

у' (X) = (У и)’ и' (х) = и’ W = "Д 2 ■ = У/---' -

у v' 2Vu2V х"-—2к Vx»—2x

Геометрический смысл понятия производной становится ясным

из рассмотрения графика функции y = f(X), определенной на не

котором интервале ]а; Ь[. Для значений аргумента Хо + Дх и х0 из интервала ]а; Ь[ соответствующие ординаты графика функции равны /(Хо+Дх) и /(х0), разность значений этих ординат есть Ду (х0): Ду (х0) = = / (х0 + Дх) — / (хп). Отно- шение - д-(/ — равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки графика М(х0, /(х0)) и

N (Хоф Дх, /(х0 + Дх)). Прямая MN называется секущей (рис. 45).

Пусть Дх->0, тогда точка N стремится к точке М. Если существует производная / (хо), т. е. предел отношения —д^—, т0

секущая MN стремится к прямой, проходящей через точку М, с угловым коэффициентом /' (Хо). Предельное положение секущей MN при стремлении N к М называется касательной к графику функции у — f {х) в точке М. Угловой коэффициент касательной равен /'(х0), иначе tga — f (х0). Уравнение касательной, как уравнение прямой, проходящей через точку М (х0, у0) с угловым коэффициентом f (хол может быть записано в виде = f (х0) или (так как у0 = / (х0))

У = Г (х0) (х-хо) + /(хо).

Пример 8. Найти уравнение касательной к параболе у = х— — х24-6 в точке с абсциссой х0 =1.

Л Находим производную функции /(х) = х —х2ф-6:

f' (х) = 1 — 2х,

и подставляем в уравнение касательной (1) значения х0=1, / (х0) = 6 и /' (х0) =—1, получаем уравнение касательной п4-х = ^7. ▲. ‘

Понятие производной является одним из основных в математическом анализе, О применении производных к исследованию функций см. главу VI,

Предел функции на бесконечности

Пусть функция / (х) определена вне некоторого отрезка [с; d], как говорят, определена в окрестности бесконечности.

Число b называется пределом функции /(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого положительного числа е найдется такое положительное число М, что для всех х, удовлетворяющих условию |х|>М, выполняется неравенство |/ (х) — b |<е. При этом пишут limf(x) = b или Цх)-*Ь при х-*оо.

Пример 1. Доказать, что Iim(l/x) = 0. я-* со

Л Функция /(х) = 1/х определена для всех х^О. Для любого е > 0 неравенство |/(х) — 01 = 1/1 х j < е будет выполняться, если |Х|>1/е. Таким образом, для любого е>0 можно взяте Д4 = = 1/е, тогда при всех х таких, что |х|>М, будет спратедливо неравенство -—о|<е. Это и означает, что 1/х->-0 пщт х—>-

Теорема о пределах, сформулированная в § 6, остается справедливой, если всюду х-*а заменить на х-*оо,

Пример 2, Найти

Л Как было отмечено, теорема о пределах останется справедливой при х-4-со, в частности, если пределы числителя и знаме

поэтому имеемпоэтому имеемlimV — COlimV — CO2х2 + 3х2 + 5 “2х2 + 3х2 + 5 “нателя существуют и предел знаменателя отличен от н^ля, то существует предел отношения и равен отношению пределов,

поэтому имеем

поэтому имеем

lim

V — CO

lim

V — CO

2х2 + 3

х2 + 5 “

2х2 + 3

х2 + 5 “

Часто представляет интерес нахождение пределов ф/нкции отдельно при стремлении х к фоо и к -оо. Определим эти пределы следующим образом:

Нгп / (х) = Ъ,

если для любого е>0 найдется такое число Лф что для зсех х, удовлетворяющих условию х>»М, выполняется неравенство УМ-Ь\<г.

lim Цх) = Ь,

если для любого е>0 найдется такое число Л1, что для всех х, удовлетворяющих условию х<_М, выполняется неравенство |/(х) — Ь I < е.

Если lim/(x) = 6, то, как нетрудно видеть,lim f(x) = lim f(x) = b.

^—*^02X-*—co

Например, из того, что lim (1/х) = 0, следует 1/х-*0 при х-* 4* оо и х -^— оо.

Заметим также, что теорема о пределах останется справедливой, если всюду вместо х-> а подставить х-> + оо или х-> —оо.

Пример 3. Найти пределы функции /(х) = т—t> когда х стремится к 4~оэ и когда х стремится к — со.

Д Если х>0, то ^-^^^ и

.. 2хlim —т.. 2хlim —т,. 2х lim т—,. 2х lim т—lim =lim =2хЕсли же х<0, то т-т—-2хЕсли же х<0, то т-т—-2ху—^, поэтому2ху—^, поэтому

.. 2х

lim —т

.. 2х

lim —т

,. 2х lim т—

,. 2х lim т—

lim =

lim =

2х

Если же х<0, то т-т—-

2х

Если же х<0, то т-т—-

2х

у—^, поэтому

2х

у—^, поэтому

v 2хНт -га—v 2хНт -га—,. 2х ,.2

v 2х

Нт -га—

v 2х

Нт -га—

Нт у—- = Пт -j—х->со * х х-*—со _

X

Односторонние пределы. Бесконечные пределы

Рассмотренная в § 6 функция sign х (см. рис. 43) не имеет предела в точке х = 0. Однако, если ограничиться рассмотрением только положительных х, то предел при х, стремящемся к 0, существует и равен +1, Если же рассматривать только отрицательные х, то предел при х, стремящемся к 0, также существует и равен — 1. Говорят, что функция signx при х, стремящемся к нулю, имеет односторонние пределы: правый предел, равный 4- 1, и левый определ, равный — 1.

Правой окрестностью точки а назовем любой интервал ]й; а4~с{ при с>0. Пусть функция f (х) определена в некоторой правой окрестности точки а. Число b называется правым пределом (или пределом справа) функции fix) в точке а, если для любого положительного числа е найдется такое положительное число 6, что при всех х, удовлетворяющих условию й<х<й4"8, т. е, принадлежащих правой 6-окрестности точки а, выполняется неравенство | f(x) — b | < е. При этом пишут:

lim f(x) = b.

t-*li|-0

Аналогично определяется предел слева. Левой окрест костью точки а называется любой интервал ]а — с; а[ при с>0 Пусть функция /(х) определена на некоторой левой окрестности точки а.

Число b называется левым пределом (или пределом слева) функции f (х) в точке а, если для любого положительного тисла е найдется такое положительное число 5, что при всех х, удовлетворяющих условию a-h<x<a, т. е. принадлежащих левой 5-окрестности точки а, выполняется неравенство ^(х) — b '<в. Если левый предел в точке а равен Ь, то пишут

lim f(x) = b.

х-*а— О

В том частно?л случае, когда рассматриваются правый и левый пределы в точке нуль, они записываются в виде

lim /(х) и lim / (х).

+ 0<-> —О '

Таким образом, для функции signx

lim sign х = 1, lim. signx =—L

Пример 1. Доказать, что

lim

А Функция /(x)А Функция /(x)Ух-хVx+xУх-хVx+xопределена при x>0 и при этомопределена при x>0 и при этом

А Функция /(x)

А Функция /(x)

Ух-х

Vx+x

Ух-х

Vx+x

определена при x>0 и при этом

определена при x>0 и при этом

Ух-х /х(1-/х) _ 1-Ух

Ух+х— Ух^+Ух) "~ 1+Ki‘

ПоэтомуПоэтому1Ш-1| =1Ш-1| =1 — У X | 1+Ух1 — У X | 1+Ух

Поэтому

Поэтому

1Ш-1| =

1Ш-1| =

1 — У X | 1+Ух

1 — У X | 1+Ух

Для любого е>0 возьмем 6 = е2/4, тогда, если 0<х<Сб, то

|/(х) — 1|<2]Лх<2]Лб=е. Это и означает, что lim—- =

л-»+о V х+х

= 1- ▲

Утверждения теоремы о пределах функций, сформулированной в § 6, останутся в силе, если всюду х-*а заменить на х->а + 0

(соответственно на х-*а — 0).

Бесконечные пределы. Пусть функция /(х) определена в некоторой правой окрестности точки а и существует правый

предел функции y^ji равный нулю:

Тип

х-*а-\- G

1

/ (А)

0.

Например, функция f^ = \lvx—\ определена при х>1 и Ит (1//(х)) = Ит Ух —1=0.

i-»l+0ж-1+0

Если f(x)>0 в некоторой правой окрестности точки а и lim (1// (х)) = 0, то говорят, что функция f (х) стремится к плюс х -*а4- 0 бесконечности при стремлении х справа к точке а и пишут

Нт /(х^ + оо

х-»а + 0

(читается: предел функции /(х) справа в точке а равен плюс бесконечности).

Если /(х)<0 в некоторой правой окрестности точки а п lim (1// (х)) = 0, то говорят, что функция /(х) стремится к минус * — а + 0 бесконечности при стремлении х справа к точке а и пишут

Нт /(х)= —оо

*-»а+0

(читается: предел функции /(х) справа в течке а равен минус бесконечности).

Таким образом, Ит (1/Vх — 1)= + оо, так как l/j/х—1>0 х —1+0

при х>1 и lim Ух — 1=0.

х— 1 + о

Аналогично определяются бесконечные пределы слева в точке а для функции f(x), определенной в некоторой левой окрестности точки а:

lim f(x)=+cxD, х-»а —0

если f (х) > 0 в некоторой левой окрестности точки а и lim (l/f(x)j = O.

х-»а —0

lim f(x)= —оо, х—а— 0

если f (х) < 0 в некоторой левой окрестности точки а и lim (1Д(х)) = 0.

* —0

Пример 2. Для функции f (х) =j- найти пределы справа

и слева в точке х=1.

Л Функция f ^^ х_^ определена в окрестности точки х = 1, но не в самой этой точке, и

ЙЖ^ЖТЙЖ^ЖТ0.0.

ЙЖ^ЖТ

ЙЖ^ЖТ

0.

0.

Далее, функция Цх)= _j- положительна на интервале ]1; 3/2[ и отрицательна на интервале ]1/2; 1[, поэтому по определению

бесконечных пределов справа и слева имеем

lim f (х) = + оэ и lim /(х^—оо (рис. 46). ▲

х-»14-0*-.1 — 0

Если функция / (х) при х, стремящемся к а справа или слева, имеет бесконечный предел, то при графическом изображении этой функции проводят также прямую х = а. Это делает изображение более наглядным.

Рис. 46.Рис. 47.Рис. 43.

Для функции, определенной в правой и левой окрестностях точки а, ее правый и левый пределы могут быть оба бескснечные и разных знаков (рис. 46), оба бесконечные одного знака, как, например, у функции /(х)=1/х в точке х = 0 (рис. 47).

Может быть и так, что один из односторонних пределов конечный, другой — бесконечный (рис. 48).

Бесконечные пределы определяются также при х, стремящемся к 4-оо или —оо, например, lim f(x)=4-oo, если f^ определена и положительна при всех х < М для некоторого М и lim (1//(х))=0. X—*— ОО

Пример 3.

,.1 — 2х—№..1— 2х—х- ,

lim —■ = —со,lim —=4-оо.

Понятие бесконечного предела широко применяется при исследовании функции и построении их графиков (см. гл. VI).

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1

Исходя из определения предела, доказать, что lim ~—г=1 < запол- п-оз П2+1

пить следующую таблицу зависимости N от е:

е

1/10

1/100

1/1000

N

Доказать, что последовательность ^ П"^^ '^ " ) является расходящейся, 4. Доказать, что Нт (1/ма)==0 для любого а > 0.

Пусть последовательности (а„) и (&„) таковы, что | ап | ^; | Ьп | при любом пи Нт Ьп = 0. Доказать, что Нт ап=0.

п-*ооп-*со

Доказать, что Пт (Кп+1—Кп)=0.

Найти формулу n-го члена последовательности, заданной рекуррентно: ai=2, ап+1=~-д„4--|-, п s М. Найти предел этой последовательности.

Найти пределы последовательностей:

при | а | < 1 и ]&]<!.при | а | < 1 и ]&]<!.о ..1 4- a. 4- <7- 4".,. ап

при | а | < 1 и ]&]<!.

при | а | < 1 и ]&]<!.

11+6 + 62 + ... + 6"

9.9.пК1+3 + 5 + ,.- + (2п-1)2n2 + «+ 1

9.

9.

Доказать, что lim j/a=l для любого а > 0.

Пусть последовательности (ап), (Ьп) и (хп) таковы, что lim ап = п-»со

= lim Ьл = п и для любого п выполняется неравенство йд-5 x„^bn. Доказать, что lim хп = а. п-*со

Найти lim у 3"4-5".

Доказать, что последовательность, заданная рекуррентно-, ^ = 1^2, а«Н" Я+^, пе['|, удовлетворяет теореме Вейерштрасса. Найти предел етой последовательности.

Найти число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме всех членов без последних трех равно 4/3.

Сумма членов арифметической прогрессии и ее первый член положительны. Если увеличить разность этой прогрессии на 3, не меняя первого члена, то сумма ее членов увеличится в два раза. Если же первый член исходной прогрессии увеличить в четыре раза, не меняя ее разности, то сумма членов увеличится также в два раза. Найти разность исходной прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна 16/3, содержит член, равный 1/6. Отношение суммы всех членов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов прогрессии, стоящих после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена прогрессии.

Найти значение произведения 0,2 (7) • 0,1 (63) в виде простой дроби.

Исходя из определения предела функции в точке, доказать, что lim х sin — = 0.

х-0 X

Найти пределы функций:

lim - Х + 2.20. lim -

х-2 Кх + З—1х-И X — 1

21.21.2х- + х — 12х- + х — 111m -^—5 =• _._, х' — бх— 711m -^—5 =• _._, х' — бх— 722.22.,. cos 2хlim —;■•я Sin X4~COS х,. cos 2хlim —;■•я Sin X4~COS х

21.

21.

2х- + х — 1

2х- + х — 1

11m -^—5 =• _._, х' — бх— 7

11m -^—5 =• _._, х' — бх— 7

22.

22.

,. cos 2х

lim —;■•

я Sin X4~COS х

,. cos 2х

lim —;■•

я Sin X4~COS х

Найти пределы справа и слева в точке х = 0 функции

f И =f И =х— | х |2хх— | х |2х

f И =

f И =

х— | х |2х

х— | х |2х

Найти пределы справа и слева в точке х=1 функции

/ И =/ И =х2-1х»— 2 I х— 1 | — 1х2-1х»— 2 I х— 1 | — 1

/ И =

/ И =

х2-1

х»— 2 I х— 1 | — 1

х2-1

х»— 2 I х— 1 | — 1

(х—I)2 (7% + 2)2

Наити lim —-—т-т.

х-оо (2х+1)

Найти lim (V^x+Vx — Vх\ х-> + <»

Доказать, что при х->+со функция f(x) = sinx не имеет пи конечного, ни бесконечного предела.

Найти производную функции у=^у'хЦ— \ V X /

Найти уравнение касательной к графику функции y = V^x—3 —х2 в точке с абсциссой х = 3/2.

Найти уравнение общей касательной к параболам

у = х2 —2x4-5 и у = х24-2х—11.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

Доказать ограниченность последовательностей: a)/2^V б) / ‘^LV biM^'H-

\ 2 + л2 /\ V л2 4-1 /\ Зл — 1 /

Исходя из определения предела, доказать:

a) lim -^г=2; б) lim 1 + ИР! = 0;

П —*ОЭ Я"Нл —* оэп

Для каждой из последовательностей заполнить таблицу зависимости А/ от е:

в

1/10

1/100

1/1000

N

Доказать, что следующие последовательности являются расходящимися: a)o„ = sin^-, леК б) а„=Д+ (—!)", л g М;

а» = —7^- > Л g М;

У л

Г (11

ап= 1+-— , л «= IN (здесь [ ]—знак целон части числа).

Найти пределы последовательностей (5—14):

5.7.5.7.limlimlimlimWn 105 + л ' V^+i , V л +1Wn 105 + л ' V^+i , V л +19.9.limlim1 + 2 + •.. + лл21 + 2 + •.. + лл2limlim11. lim )/1+2га.11. lim )/1+2га.ДтД I -2 + 2-3 +-"+"(л-1)./г)'ДтД I -2 + 2-3 +-"+"(л-1)./г)'13. lim 21±^1 n^oo 3” — 2Л13. lim 21±^1 n^oo 3” — 2Лlimlim15. Доказать монотонность следующих последовательностей:15. Доказать монотонность следующих последовательностей:в) (2"-1);в) (2"-1);

5.

7.

5.

7.

lim

lim

lim

lim

Wn 105 + л ' V^+i , V л +1

Wn 105 + л ' V^+i , V л +1

9.

9.

lim

lim

1 + 2 + •.. + лл2

1 + 2 + •.. + лл2

lim

lim

11. lim )/1+2га.

11. lim )/1+2га.

ДтД I -2 + 2-3 +-"+"(л-1)./г)'

ДтД I -2 + 2-3 +-"+"(л-1)./г)'

13. lim 21±^1 n^oo 3” — 2Л

13. lim 21±^1 n^oo 3” — 2Л

lim

lim

15. Доказать монотонность следующих последовательностей:

15. Доказать монотонность следующих последовательностей:

в) (2"-1);

в) (2"-1);

г) Начиная с какого л последовательность (л ■ 9П) при 0<9<1 будет

лютон на?

4~ Ь \ . -Г-г будет: а) + « У4~ Ь \ . -Г-г будет: а) + « УНайти, при каких соотношениях между а, Ь, с и d последовательность

4~ Ь \ . -Г-г будет: а) + « У

4~ Ь \ . -Г-г будет: а) + « У

возрастающей, б) убывающей.

17. Доказать,17. Доказать,что lim л • qn = 0 при | q | < 1.

17. Доказать,

17. Доказать,

Доказать, что последовательность имеет предел и найти его:

<71=1/2> а„= 1/(2 —a„_!> при л ^ 2;

^=1/2, ап = 2/(3 —a„_t) при л 5= 2.

Найти формулу л-го члена для каждой из следующих последовательностей и найти ее предел:

^ = 3, а„+1 = °п^1 при л>1;

-,531.

01 = 1, 02= 2, о„ =-2-0п-1—уОп_2 при Л2г3.

Записать в виде обыкновенной несократимой дроби:

Найти число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 23 членов к сумме последних 23 членов равно 2/5, а отношение суммы всех членов без первых семи к сумме всех членов без последних семи равно 10/7.

Найти число членов геометрической прогрессии, у которой о (ношение

суммы первых 11 членов к сумме последних 11 членов равно -| , а отношение

суммы всех членов без первых девяти к сумме всех членов без последних девяти равно 2.

ЙЗ. Три числа х; у; z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа х; 2г/; 32 образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии, отличной or 1.

Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.

Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.

Найти четыре целых числа a; b; с; d, первые три из которые а; Ь; с в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, а последи те три Ь; с; d в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, если сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних чисел равна 18.

В арифметической прогрессии, разность которой отлична ст нуля, сумма первых Зга членов равна сумме следующих га членов. Найти отношение суммы первых 2п членов к сумме следующих 2га членов.

Найти первый член геометрической прогрессии, у которой очюшеиие суммы первых пяти членов к сумме их обратных величин равно 49, а сумма первого и третьего членов равна 35.

Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношения суммы кубов всех членов к сумме квадратов tcex членов равно 3, а отношение суммы всех членов к сумме квадратов все с членов равно 3/7.

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член уменьшить па 4, то полученные три числа в том же порядке опять составляют геометрическую прогрессию. Если третий член повой прогрессии уменьшить на 9, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа.

Три числа, сумма которых равна 78, образуют геометричест ую прогрессию. Их можно рассматривать также как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а сумма ее в 8 раз меньше суммы квадэатов ее членов.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма квадратов первых га членов равна сумме первых 2га членов, а сумма кубов первых /г членов в три раза меньше суммы первых Зга членов.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогресси (, сумма первого и пятого членов которой равна 34, а произведение первого и святого членов равно 4.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, все члены которой положительны, если сумма первых трех членов этой прогрессии равна 39, а сумма обратных ьелш.пн э:нх членов равна 13/27.

Найти сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если эта сумма иа 6 больше суммы первых трех ее членов, а сумма первых трех на 1 больше суммы следующих трех членов.

Две арифметические прогрессии содержат одинаковое число членов. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй прогрессии равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой прогрессии и равно 4. Отношение суммы членов первой прогрессии к сумме членов второй прогрессии равно 2. Определить отношение разностей этих прогрессий.

Сумма членов и разность арифметической прогрессии положительны. Если увеличить разность прогрессии на 2, не меняя ее первого члена, то сумма ее членов увеличится в три раза. Если же разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза, не меняя первого члена, го сумма членов прогрессии увеличится в 5 раз. Определить разность исходной прогрессии.

Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии таковы, что первый член первой прогрессии является знаменателем второй, а знаменатель первой прогрессии является первым членом второй прогрессии. Сумма сумм обеих прогрессий равна 2. Найти первый член первой прогрессии, если ее знаменатель равен 1/3.

Исходя из определения предела функции в точке, доказать, что: v>g1

а) Игл (х2—1) = 3; б) Пт— = 0; в) Нт p xcos - =0.

х-»2х-»3 х 3х-»0х

Найтн пределы функций (41—51):

41. Птх->041. Птх->011+*+32-х11+*+32-х42. Нт42. Нтх2 -|- 4х — 5х2 -|- 4х — 544. Нт х=1 \1~х44. Нт х=1 \1~х31 — х331 — х3х~145.х~145.Нтх^ОНтх^ОKi 4-Х— IKi 4-Х— I46. Нт46. Нт(х-1) Vl-xх2-1х + 3(х-1) Vl-xх2-1х + 3НтНтПт ■ ..х^—з Vх + 4— 1Пт ■ ..х^—з Vх + 4— 149. Пт49. ПтХ8—2х+1 \ х4 — 2х+1 ■ х2— 1 2х2+ 1 *Х8—2х+1 \ х4 — 2х+1 ■ х2— 1 2х2+ 1 *:V 51. 1 /х:V 51. 1 /хim х(Кх2+1— х).im х(Кх2+1— х).

41. Пт

х->0

41. Пт

х->0

11+*+3

2-х

11+*+3

2-х

42. Нт

42. Нт

х2 -|- 4х — 5

х2 -|- 4х — 5

44. Нт

х=1 \1~х

44. Нт

х=1 \1~х

3

1 — х3

3

1 — х3

х~1

45.

х~1

45.

Нт

х^О

Нт

х^О

Ki 4-Х— I

Ki 4-Х— I

46. Нт

46. Нт

(х-1) Vl-xх2-1

х + 3

(х-1) Vl-xх2-1

х + 3

Нт

Нт

Пт ■ ..

х^—з Vх + 4— 1

Пт ■ ..

х^—з Vх + 4— 1

49. Пт

49. Пт

Х8—2х+1 \ х4 — 2х+1 ■ х2— 1 2х2+ 1 *

Х8—2х+1 \ х4 — 2х+1 ■ х2— 1 2х2+ 1 *

:V 51. 1 /х

:V 51. 1 /х

im х(Кх2+1— х).

im х(Кх2+1— х).

Найти пределы справа н слева в точке х = 0 функции

= х2+1х|+хх2 — । х ; + Зх'

Найти пределы справа н слева в точке х = 0 функции

Найтн пределы справа н слева в точке х=1 функции

а) найти пределы справа и слеа) найти пределы справа и сле„,. , .2 (X — Х3) + 1 X — к?

а) найти пределы справа и сле

а) найти пределы справа и сле

Для функции ^х^=-^,-

2(х — х3 — х— х3

ва в точке х = 0, б) найтн пределы справа и слева в точке х=1.

„.. sin х

Доказать, что lim 0.

и слеван слеваи слеван слевафункции f(x) = 21/x.функции /(х) = х_*м'функции f(x) = 21/x.функции /(х) = х_*м'х-»оо х

и слева

н слева

и слева

н слева

функции f(x) = 21/x.

функции /(х) = х_*м'

функции f(x) = 21/x.

функции /(х) = х_*м'

В точке х = 0 найти пределы справа

В точке х=1 найтн пределы справа

Найти производную функции у (х) (59 — 64):

у = —- ■60. »=(х —2) cosx —sin х.

Зх — Ухsin х — cos х

х =——.62. у = —,г.

X + 1■ Sin X + COS X

у = х In (х2— 1).64. ^ = 2ЛД1—х).

Упростить выражение для / (х) и найти Д (х):

,/У х — 2х—2\-2

f (х) =+ -т=

\Ух4-2 + Ух — 2Ух2 — 4 — х + 2 /

Найти точку х, в которой обращается в нуль производная функции / (х)=е3^1 + 2ei-^ + 7х - 5.

2

Решить неравенство f' (х) <g' (х), если /(х) = — и g(x)=x—х3.

Найти уравнение касательной к параболе у = 3х2 — х+1 в точке с абсциссой х = 1/2.

Найтн, какой угол образует с осью абсцисс касательная к тараболе

у = х2 — 5x4-7 в точке М (2; 1).

Найтн уравнение общей касательной к параболам у =х2 4-1x4-8 и (/ = х24-8х4-4.

Найтн уравнение прямой, проходящей через точку (1/2; 2). касаю-

щуюся параболы у = 2.——, и пересекающей график функции y=V^ — х2:

в одной точке, б) в двух точках.

Глава VI

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ

§ 1. Четные п нечетные функции

Функция /(х), определенная на множестве X, называется четной, если для любого х^Х выполняются условия:

—х е X н / (—х) = / (х).

Очевидно, что функции /(х)=1 п /(х)=х2, определенные на всей числовой оси, являются четными функциями. Однако функция / (х) = х2, х ее [1; 2], определенная лишь на отрезке [Г, 2j, не является четной, так как точка 1,5 принадлежит области определения функции, а точка —1,5 не принадлежит.

График четной функции на координатной плоскости симметричен относительно оси ординат.

Действительно, пусть функция /(х), хенХ, четная и пусть точка А/ с координатами х0, уй принадлежит графику этой функции, т. е. тоеХ и yo = f(XoY Тогда согласно определению четной функции

-х6еХ, f(—x0) = f(x0)=y0,

а это и означает, что точка М'(—х0; уО, являющаяся симметричной точке М (х0; у0) относительно оси Оу, принадлежит графику данной функции.

Верно и обратное утверждение: если график функции / (х) симметричен относительно оси ординат, то эта функция /(х) четная.

Если две четные функции имеют одну и ту же область определения, то сумма, разность и произведение этих функций являются четными функциями.

Функция /(х), определенная на множестве X, называется нечетной, если для любого х ее X выполняются условия:

— X ЕЕ X И / (—X) = — / (х).

Например, функции / (х) = х3 и f (х) = sin х, определенные на всей числовой прямой, являются нечетными функциями.

Легко показать, что график нечетной функции на координатной плоскости Оху симметричен относительно начала координат О. Верно и обратное утверждение: если график функции / (х) на координатной плоскости Оху симметричен относительно начала координат 0, то функция /(х) является нечетной функцией.

Если две нечетные функции fix) и gix) имеют одну и ту же область определения X, то функции fix^gix) и f » — gix) являются также нечетными функциями, а функция f (х) ■ gix) является четной функцией.

Отметим, что области определения четных и нечетных функций являются симметричными относительно точки О на координатной прямой Ох,

Например, функция 1л х не является ни четной, ни нечетной, так как она определена лишь для х>0. Функция /ix) =■■ \Цх — 1) также не является ни четкой, ни нечетной, так как точка —1 принадлежит области определения функции, а точка 1 не принадлежит. Функция / (х) = x2 + 3x, хотя и определена на всей числовой прямой, однако не является ни четной, ни нечетной, так как, например, /(I) = 4, a f i—1)=— 2, т. е. f Ц) =^f i—\) и /(1)^-/(-1).

Приведенные выше примеры показывают, что существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Для любой функции fix) можно доказать следующее утверждение.

Если функция f ix) определена на множестве X, которое является симметричным относительно точки О на координатной прямой Ох, то ее можно представить в виде суммы двух функций — четной и нечетной, причем такое представление единственно.

Действительно, пусть существуют четная функция ft (х) и нечетная функция fiix) такие, что

/М = Л ixHf i ix)

для любого хеХ. Тогда для каждого х е X fi-x)=f\i—x)-V -Vfii—x) = fxix) — fiix). Для определения функций tiV> и f^ix) получаем следующую систему уравнений:

f ixi^S ix) + f2 ix),f i—x) = fi ix) - h ix),из которой следует, что

(1)

Следовательно, искомые функции однозначно определяются по данной функции формулами (1). Из этих же формул следует, что искомое представление всегда существует.

Пример 1. Представить функцию

f (х) = Зх5 — 4х4 + х2 + 1

в виде суммы четной и нечетной функций.

Л Данная функция является суммой нечетной функции Ых) = — Зх5 и четной функции Д (х) =—4х4 + х2+1. Очевидно, что эти же функции получаются и по формулам (1).

Заметим, что функция ft (х) содержит только те слагаемые, в которых х входит в четной степени, а функция /2 (х) содержит, слагаемые, в которых х входит в нечетной степени, к

Пример 2. Пусть на отрезке [0; 1] задана функция f (х) = = 2x4-1. Можно ли доопределить эту функцию во всех точках yiчисловой оси так, чтобы вновь полученная

функция была; а) четной, б) нечетной.

\

/ Да) Функцию Цх) можно доопределить на /всей числовой прямой так, чтобы вновь получен-

/ная функция была четной. Одной из таких функ-

/ цнй является функция F (х) = 1 + 2 Д |, х еъ R / (рис. 49).

' -Очевидно, что такая функция не опреде-

ляется однозначно. Действительно, таким свой- п ж ством обладает п функция Fv (х), которая рав- Рис. 49. на Н-2;х1 на отрезке [—1; 1] и равна нулю для всех х, I х | > 1.

Заметим, что если нечетная функция определена прих = 0, то / (0)=f(—0) =—/(0) и, следовательно, Д0) = 0.

Так как заданная функция f (х) при х = 0 принимает значение 1, то доопределить ее на всей числовой прямой так, чтобы она была нечетной функцией, невозможно, д

Периодические функции

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими. Изучение таких процессов приводит к необходимости рассмотрения периодических функций.

Функция / (х), определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число Т>0, что для любого хеХ выполняются условия:

х + ?6еХ, х — Т ^Х и

/Д + Т)=Д(л--Т) = /(х).

Число Т называется периодом функции f (х), хенХ.

Очевидно, что если Т — период некоторой функции, то и любое число вида пТ, где пёеМ, является периодом этой функции.

Покажем, что если число Т0Х>0 является наименьшим периодом некоторой функции, то любой период этой функции имеет вид пТ0, ne IN.

□ Пусть То —наименьший период, а Т — какой-то период функции /(х), х^Х. Найдем число n е IN такое, что Т = пТо^оГо, где 0<<х<1. Тогда для любого хеХ имеем

/ (х) = / (х + Т) = / (х + пТ0 + аТ0) = f (х + аТ0).

А так как То — наименьший период, то отсюда следует, что а = 0, т. е. Т ^пТц. gg

Рассмотрим функцию sinx. Из ее Определения следует, что она периодическая и что число 2л является ее периодем. Покажем, что любое положительное число Т < 2л не является ее периодом. Действительно, sin (л/2) = 1, но sin ^- + 7^ -< 1. Следовательно, 2л является наименьшим периодом функции sinx.

Не всякая периодическая функция имеет наименьший период. Например, функция f(x) = 2, х ее R, является периодической, ее периодом является любое положительное число. Очевидно, что эта функция не имеет наименьшего периода.

Из самого определения следует, что если периодическая функция /(х) не определена в точке х0, то она не определена и во всех точках вида х0±: пТ, где л ее М, а Т — период функции /(х). Поэтому любая функция, определенная во всех точках числовой прямой, кроме одной точки, не является периодической.

Также из самого определения следует, что если функция не определена, например для всех х^са или хай, то она не является периодической. Так, например, функция /(x) = sin]/x, определенная лишь для х^О, не является периодической.

Функция / (х) = х* определена на всей числовой прямой, но тем не менее не является периодической. Действительно, если число Т>0 — период этой функции, то / (0) = /(Т), т. е. О —Т1, что невозможно.

Пример 1. Доказать, что функция cos2x периодическая, и найти ее наименьший период.

А Так как функция cos х периодическая с периодсм 2л, то и функция cos2x периодическая и число 2л является ее периодом. Найдем ее наименьший период.

Легко убедиться, что число л является периодом функции cos2x. Действительно, для любого х ее R

cos2 (х + л) = (— cosx)2 = cos2x.

А так как cos2 0 = cos2 л = 1 и cos2 х < 1 для любого х е ]0; л[, то число л является наименьшим периодом данной функции. А

Очевидно, что если две периодические функции fx (х) и '/2 (х), хееХ, имеют один и тот же период Т, то их сумма, разность и произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.

Если периодические функции Д (х) и /2 (х), х е X, имеют соизмеримые периоды Тх и Т2, то они имеют общий период.

Действительно, так как Тх и 7’2 соизмеримы, то существуют натуральные числа п и пт такие, что пгТ1 = пТ2 = Т. Следовательно, число Т — общий период функций Д (х) и/2(х). В частности, в этом случае функции Д(х) + /а(х), Д(х) —f2(x), Л (х) - fa (х) являются периодическими с периодом Т.

Пример 2. Доказать, что функция

/ (х) = cos Зх + cos 4х периодическая, и найти ее наименьший период.

Л Функция cos3x имеет период 7х = 2л/3, а функция cos4x — период 72 = 2л/4. Периоды 7\ и 72 соизмеримы: 37\ = 472 = 2л. Следовательно, число 2л является периодом данной функции. Покажем, что этот период наименьший.

Наибольшее значение функции /(х) равно 2, и оно достигается в тех точках, где cos3x-=l и cos4x=l. На отрезке [0; 2л] функция cos3x принимает значение 1 в точках 0, 2л/3, 4л/3, 2л, а функция cos 4х принимает значение 1в точках 0, л/2, л, Зл/2, 2л. Следовательно, функция / (х) = cos Зх + cos 4х на отрезке [0; 2л] принимает значение 2 лишь в точках 0 и 2л. Отсюда и следует, что число 2л — наименьший период, а

Если периоды функций /j (х) и /2(х), хеХ, несоизмеримы, то функция Д(х) + /2(х) не является периодической функцией.

Асимптоты

При исследовании функции и построении ее графика важно выяснить характер ее поведения в окрестности точек разрыва и точек, где функция не определена, а также выяснить ее поведение при х-> + х: и х-> — со.

Рассмотрим функцию

Она определена для всех xeR, кроме х = —1. Исследуем поведение функции (1) при х-> + оо. Так как/(х)=х + 1 — -.-.-,

то разность ^ (х) — (х+1) стремится к нулю при х-> + оо. Заметим, что модуль разности /(х) — (х+1) равен расстоянию от точки М (х; /(х)) до точки АГ (х; х+1) прямой /, заданной уравнением z/ = x+l. А так как \Мй1'^ = V2 1M/V 1 (рис. 50), где N — проекция точки М на /, то отсюда следует, что расстояние от точки М до прямой / стремится к нулю при х-> + оо. В этом случае прямая / называется асимптотой графика функции у ~ f (х) при х-*- + оо. Аналогично показывается, что в данном случае расстоя

ние от точки М графика функции До прямой I стремится к нулю при х-э—оо. Прямая / называется асимптотой графика функции y = tW при х-э—оо.

Дадим соответствующие определения.

Пусть функция / (х) определена на бесконечном интеграле ]а; +оо[. Прямая y = kx-\-b называется асимптотой графика функции y = f(x) приесли

Игл (/(х) — (йх + 6)) =0.

Х-г+со

Аналогично прямая y = kx-\-b называется асимптотой графика функции z/ = /(x), хе] —оо; Ь[ при х—>—оо, если

Игл (/ (х) — (kx + Ь)) = 0. X-»— со

Теперь изучим поведение функции (1) при х->—1.

Так как при х->—1 предел числителя равен —1, а предел знаменателя равен 0, причем х4-1<0 при х-<—1 и х + 1>-0 при х > —1, то

lim /(х)=+оо и lim / (х) = — оо.

*-►—1—0*-►—J+0

Pic. 51.Pic. 51.Отсюда следует, что график данной функции в окрестности точки х = — 1 имеет вид, указанный на рис. 51. Видно, иго точка М (х; / (х)) графика функции при х-> —1 приближается к прямой х = —1: расстояние от точки М до прямой х =— 1, равное х 4-1, стремится к нулю при х ->— 1.

Pic. 51.

Pic. 51.

Прямая х =— 1 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) при х-> — 1 слева и справа.

Дадим соответствующее определение.

Пусть функция f (х) определена на некотором интервале ]а; Ь[. Если /(х)->оо при х->я + 0, то прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции при х^-а справа. А если /(х)->оо при х—>6 —0, то прямая х = Ь называется вертикальной асимптотой графика функции y — f(x) при х^-Ь слева.

Пусть прямая у = kx 4- b является асимптотой графика функции при х—>4~оо. Рассмотрим функцию ос (х) =f (х) — kx — b. Из определения асимптоты следует, что

lim ос(х) = 0.

Так как b=f (х) — kx — ос (х), то

b = lim (/(х)- kx),(2)

а так как

k=й _ а W

х х х *

тотоk = НmЛ-* 4-00k = НmЛ-* 4-00/toX/toX

то

то

k = Нm

Л-* 4-00

k = Нm

Л-* 4-00

/to

X

/to

X

Очевидно, что если существуют пределы (2) и (3), то прямая y = kx + b является асимптотой графика функции при х-> + оо.

Аналогично можно показать, что если функция y = f(x) определена на интервале ] —оо; а[ и если существуют пределы lim -^-=ft, lim (/ (х) — kx) = b,

—ОО ХX-» —ОО

то прямая у = кхД-Ь является асимптотой графика функции у = = f (х) при X — ОО.

Прямая у = кх+Ь называется наклонной асимптотой, если ^+=0. Если к = 0, то прямая у = Ь называется горизонтальной асимптотой.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции

Л Функция / (х) представима в таком виде: на— Iх'2 _ lxi2 + N —И —1 + 1 _ । ।

Так как lim - /—г = 0, то прямая у = х — 1 является асимптотой х —»со I I • ^

графика функции y = f(x) при х-> + оо, а прямая у= — х— 1 является асимптотой графика функции y = f(x) при х->—оо. Так как , .^ > 0 для любого х, то график функции y = f(x) лежит выше асимптот.

Вертикальных асимптот график функции y = f(x) не имеет. А Пример 2. Найти асимптоты графика функции / (х) = У х2 — 1. Л Функция y = f(x) определена для |х|^1.

Вертикальных асимптот график функции f (х) не имеет.

По формуле (3)

к = lim :к = lim :V1-ЛНт —V1-ЛНт —limlim

к = lim :

к = lim :

V1-Л

Нт —

V1-Л

Нт —

lim

lim

По формуле (2) b= Нт []/х2 — 1По формуле (2) b= Нт []/х2 — 1

По формуле (2) b= Нт []/х2 — 1

По формуле (2) b= Нт []/х2 — 1

1 Нт (Ух^-1-х)(Ух2-1+х) =

*-»4-оэУ г2—1 + %

.. X2—1—X2 1.—1л

= lim -7=—= пт уг —= и.

х +со х2 — 1► 4"03 *

Таким образом, график функции y = f(x) имеет асимптоту у = х при х->усо.

Найдем асимптоту графика функции у = Цх( при х-> —со

,.. lA2-lk = lim -—,.. lA2-lk = lim -—

,.. lA2-l

k = lim -—

,.. lA2-l

k = lim -—

b = lim (их2—1+х)= lim —,7— - х—»—сох—>—соV X2— I —X

Следовательно, график функции y = f(x) имеет асимптоту у = = — х при х^—оо. А

Заметим, что график функции / (х) = ^х2 — 1 имеет различные асимптоты при х-> + оо и х—>—оо. График функции (1) имеет одну и ту же асимптоту при х-> + оо и х-> — оо.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции / (х) = х+ , 1

/\ Так как lim/(x) = oo, то прямая х = 0 является верти- калькой асимптотой графика функции у = /(х) при х->0. Так как lim (1/х) = 0, то прямая у = х является наклонной асимптотой х—>оэ

графика функции у = Цх) при х-> + со и х-> — со. а

Пример 4. Найти асимптоты графика функции (х) = ”->

А Функция у = /(х) представляет собой произведение ограниченной функции sinx на функцию 1/х, которая стремится к 0 при х -> + оо . Поэтому

lim /(х) = 0,

т. е. прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x) при х->+оо.

Этот пример интересен тем, что график функции / (х) пересекает асимптоту у = 0 бесконечное число раз. А

§ 4. Преобразования графиков функций

В этом параграфе покажем, как из графика функции y = f(x) можно получить графики функций вида у = Af (ах + Ь] + В, где А, В, а, b — некоторые действительные числа.

График функции у = /(х)+Ь получается из графгка функции у = / (х) параллельным переносом г (0; 6).

Если Ь > 0, то перенос совершается параллельно оси ординат на расстояние b вверх, а если Ь<0, то вниз на расстояние \Ь\.

На рис. 52 изображены графики функций y — f(xY у = Цх) + 1 и У^Нх) -2.

График функции y = f(x-\-a) получается из графика функции у = f (х) параллельным переносом г(—а; 0).

Если а > 0, то график переносится параллельно оси абсцисс влево на расстояние а, а если а<0, то вправо на расстояние |а|.

На рис. 53 изображены графики функций y-^HxY у = /(л:+1) и y-fU-SY

А раз.А раз.

А раз.

А раз.

График функции у = АЦх), где Л>0, получается из графика функции y = f(x) сжатием к оси или растяжением от оси Ох в отношении 1 : Л, т. е. если 0<Л<1, то сжатием в 1/Л раз, а если Л>1, то растяжением в

На рис. 54 изображены графики функций y = f(xY y = 2f(x) И у = ^Нху

График функции у =— f (х) получают из графика функции У = Цх} зеркальным отражением относительно оси абсцисс.

На рис. 55 изображены графики функций у^Нх) и у — — f(x).

График функции y = f(kx), где к~> 0, получается из графика функции y = f(x) сжатием к оси ординат или растяжением от оси ординат в отношении 1 : -^, т. е. если 0<Л<1, то растяжением в \[к раз, а если &>1, то сжатием в к раз.

Q\Q\!/=Х(т/U=fN2) i9=/(2x)!/=Х(т/U=fN2) i9=/(2x)Pile. 56-Pile. 56-На рис. 56 изображены графики функций y==f(x), y=f(2x) и y = f(x[2Y

Q\

Q\

!/=Х(т

/U=fN2) i9=/(2x)

!/=Х(т

/U=fN2) i9=/(2x)

Pile. 56-

Pile. 56-

График функции y = f(—х( получается из графика функции у = f(х) зеркальным отражением относительно оси ординат.

На рис. 57 изображены графики функций y = f(x) и y = f(—xY

Рассмотрим теперь, как получается график функции у — Af (ах -Vb^-Y-B, где А "> 0 и а > 0, из графика функции у = = f (х). Так как

y = Af(a (х + — ^ + В,

то сжатием к оси ординат в от-Рис. 57.

ношении 1 ; - из графика функ

ции /у = f (х) получим график функции y = f(axY Из этого i рафика сжатием к оси абсцисс в отношении 1 : А получим график функции y=Af(axY из которого параллельным переносом г(— b/а; В) получим график функции y=Af (ах А-Ь) + В.

§ 5. Элементарные функции и их графики

Линейной функцией называется функция вида у= -кхА-Ь, где к и b — некоторые действительные числа. Она определена на всей числовой прямой R. Если ^=^=0, то ее множеством значений является все множество R, если же к = 0, то множество значений состоит из одного числа Ь.

Функция у = кхА-Ь является монотонной: при й>0 о за возрастает на R, при ^-<0 она убывает, а при ^ = 0 она постоянная.

Графиком линейной функции у = кхА-Ь является прямая, проходящая через точку (0; 6) с угловым коэффициентом к. При ^#=0 эта прямая пересекает ось абсцисс в точке х = —bfk, а при ^ = 0 она параллельна оси абсцисс.

На рис. 58 изображены графики прямых у—х, у=2, у=—2x4-1.

Квадратичной функцией называется функция вида у = ах2 + Ьх + с,

где а, Ь, с —некоторые действительные числа, причем а^О. Опа определена на всей числовой прямой R и принимает действительные значения.

Простейшей квадратичной функцией является функция вида у = ах2, где а>0. Эта функция является четной, неотрицательной и принимает любое значение из множества [0; + оо[. На промежутке ] —оо; 0[ она убывает, а на промежутке [0, 4- оо[ возрастает. Точка х = 0 является точкой минимума. При любом а > 0 график функции у = ах2 получается из графика функции у = х2 сжатием к оси абсцисс в отношении 1:а.

График функции у = ах2, где а < 0, получается из графика функции у = \а\х2 зеркальным отражением относительно оси абсцисс. При й< 0 функция у = ах2 на промежутке

] — со; 0[ возрастает, а на ]0; + оо[ убывает. Точка х==0 является ее точкой максимума.

На рис. 59 изображены графики функций у = х2, у — 2х2, у = = -х2/3.

Рис. 59 ■Рис. 59 ■При любом аф 0 функция у—ах2 является четной, и поэтому ось Оу является осью симметрии графика этой функции. График функции у = ах2 называется параболой, точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Очевидно, что у параболы, заданной уравнением у = ах2, вершина находится в точке О (0; 0). Ветви параболы при а > 0 направлены вверх, при « <; 0 — вниз.

Рис. 59 ■

Рис. 59 ■

Покажем, что графиком любой квадратичной функции является парабола с вершиной в некоторой точке Мо (х0; у^ и осью симметрии, параллельной оси ординат. Действительно, так как

ах2 4- Ьх 4- с =

= а I х2 4- - х 4- с = а х2 4Н г 4- с = \1 а ) '\' а ' 4а2 ] 4а 1

/ . & 4 । 4ас — Ь- = а х 4- о- + ■—л•

\1 2а/ ' 4а

то график функции у = ах2 + Ьх-\-с получается из графика функ- ции у = ах2 параллельным переносом—^—4 Таким обра

зом, вершина параболы, заданной уравнением у = ах2 4- Ьх 4- с, находится в точке с координатами

х0 = — Ь/2а, уй = (4ас — Ь2^4а.

Осью симметрии является прямая х =— b!'2a, причем ветви параболы направлены вверх, если а>0, и вниз, если а<0.

Пример 1. Построить график функции у =— 2х2 +4х+1.

Л Так как

у = _2хН4х+1= — 2^-2х) + ^= — 2(х-\у1 + 3

то график данной функции получается из графика функции у = = —2х2 параллельным переносом г(1; 3). Таким образом, графи

ветви направ-ветви направ-Рис. (0-Рис. (0-ком данной функции является парабола, у которой лены вниз и вершина лежит в точке Af0(l; 3) (рис. 60). А

ветви направ-

ветви направ-

Рис. (0-

Рис. (0-

Дробно-линейная функция задается формулой

ах -J- b,,.

y = ^rW

где а, Ь, с, d — некоторые действительные числа. Очевидно, что если c = d = 0, то формула (1) не задает никакой функции. Если же с = 0, d=#0, то получается линейная функция

а , Ьy = dx + d-

ах^-Ь cx-\-dах^-Ь cx-\-dа у be —ad 1с с5а у be —ad 1с с5Поэтому будем считать, что дробно-линейная функция задается формулой (1), где с#=0, и определена для всех xeR, кроме х =— die. В этом случае правую часть формулы (1) можно преобразовать следующим образом:

ах^-Ь cx-\-d

ах^-Ь cx-\-d

а у be —ad 1

с с5

а у be —ad 1

с с5

(2)

Отсюда видно, что функция, заданная формулой (1), где be — ad = 0, во всех точках определения принимает постоянное значение ale. Эта функция отличается от постоянной функции лишь т;м, что она не определена в точке — die.

Предыдущее исследование делает естественным следующее определение: дробно-линейной функцией называется функция вида (1), где су=0 и be — ad^O.

Из формулы (2) следует, что график дробно-линейной функции (1) получается параллельным переносом г(—die; а/с) из графика функции

А , Ьс—adУ=х’ гДе к = —55-

Как известно, графики функций вида y = k/x, где ^^(i, называются гиперболами. Из формулы (2) следует, что графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

Прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой гиперболы у=--к!х при х-> + оо п при х^>—со, а прямая х = 0 является ее вертикальной асимптотой. Из (2) следует, что прямая у=а]с является горизонтальной асимптотой графика дробно-линейной функции (1) при х-> + со и при х-> — со, а прямая х =— d/c является вертикальной асимптотой.

Показательной функцией называется функция вида у = ах, где а>0, а^\. Показательная функция определена на всей числовой прямой и взаимно однозначно отображает интервал J —со; +оо[ на интервал ]0; +оо[.

При а > 1 функция у = ах возрастает, при 0<а< 1 — убывает.

Прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции у = ах при х-> —со, если й> 1, и, соответственно, при х-> + °о, если 0<а<1.

На рис. 61 изображены графики функций у = с1х, у = ^1^х.

Пример 2. Построить график функции

у= 2 (1/3)-+ 1,

Л График данной функции получается параллельным переносом r(0; 1) из графика функции у = 2 (1/3)*, который получается из графика показательной функции у=(1/3р растяжением от оси абсцисс в два раза (рис. 62), Прямая у= \ является горизонтальной асимптотой графика функции у = 2(l/3)--E- 1 при х-> + со. ▲

Логарифмической функцией называется функция вида

i/ = logax,(3)

где а>0, а=/= 1, Она определена только для положительных значений х и взаимно однозначно отображает интервал ]0; +оо[ на интервал ]—со; + со[. Из определения логарифма числа по основанию а следует, что логарифмическая функция logax является обратной к показательной функции ах.

Если а > 1, то логарифмическая функция (3) возрастающая, а если 0<й< 1, то убывающая. График логарифмической функции пересекает ссь абсцисс в течке х= 1, а ось ординат не пересекает. Заметим, что график логарифмической функции (3) может

быть получен из графика функции у==ах зеркальным отражением относительно прямой у = х.

На рис. 63 изображены графики функций p = log3x и logi^x.

Пример 3. Построить график функции

Л Так какЛ Так какr/ = log1/u | 27л: — 54 |.r/ = log1/u | 27л: — 54 |.(4)(4)

Л Так как

Л Так как

r/ = log1/u | 27л: — 54 |.

r/ = log1/u | 27л: — 54 |.

(4)

(4)

У — logi/з 271 х — 2 [3 ф- logi/з | х — 2 j,

то график дайной функции получается параллельным переносом г (2; — 3) из графика функции

P = logi/3|xi.(5)

-У-УРис. 63.Рис. 63.Эта функция определена для всех х^О и является четной. Следовательно, часть ее графика, соответствующая х<0, получается из графика функции p = logi/3X, где х>0, зеркальным отражением относительно оси ординат. На рис. 64 изображен график функции ^/= logi/з | л: |, а на рис. 65 —график функции y = log1/3|27%-54|. А

-У

-У

Рис. 63.

Рис. 63.

Степенной функцией с показателем р называется функция, задаваемая формулой

У=хр,(6)

где р — некоторое действительное число.

р — натугальноер — натугальноеСделаем несколько замечаний относительно естественной области определения функции, задаваемой формулой (6).

р — натугальное

р — натугальное

Из определения степени следует, что если

число, то формула (6) определяет функцию на всей числовой прямой. В частности, при р = 1 получается линейная функция,

Рис. 65.Рис. 65.

Рис. 65.

Рис. 65.

а при р = 2 — квадратичная функция. Если р—целое отрицательное число, то функция (6) определена для всех действительных значений х, кроме х = 0. В частности, если р = — 1, то функция (6) является простейшей дробно-линейной функцией.

Если р не является целым числом, то степень хр в общем случае определена лишь для х>0. Например, функция у — х114 определена на бесконечном промежутке [0; -|-оо[, а функция у = = x_|/i определена на бесконечном промежутке ] 0; +©о[. На рис. 66 изображены графики этих функций.

Таким образом, естественная область определения функции, задаваемой формулой (6), существенно зависит от показателя р.

Однако следует заметить, что на практике часто под областью определения степенной функции понимается естественная область определения соответствующей формулы. Например, естественно считать, что функция y = xlf\ являющаяся обратной к функции у = х\ определена на всей числовой прямой.

Основными тригонометрическими функциями называются функции синус, косинус, тангенс, котангенс1.

Рис. 66.Рис. 66., smxcosx

Рис. 66.

Рис. 66.

sinx, cosx, tex =, ctgx = -—.

& COS XSin X

Функция синус определена на множестве R всех действительных чисел, является нечетной и периодической с наименьшим периодом 2л. График синуса называется синусоидой (рис. 67). Функция sin .г на отрезке [—л/2; л/2] возрастает от — 1 до +1, на отрезке [л/2; Зл/2] убывает от + 1 до — 1,ит. д. Так как функция sin х

периодическая с периодом 2л, то ее график на любом отрезке [а + 2л/г; ос + 2л (л + 1)] длины 2л получается из ее графика на отрезке [а; а-|-2л] параллельным переносом г (2лп; 0).

Функция косинус определена на множестве R всех действительных чисел, является четной и периодической с наименьшим периодом 2л. На отрезке [0; л] она убывает от + 1 до — 1, а на отрезке [л; 2л] она возрастает от —1 до +1. Так как cos х = sin (х + ^) для любого xeR, то графиком функции z/ = cosx является синусоида, которая получается из синусоиды y = smx, изображенной на рис. 67, параллельным переносом г(—л/2; 0). График функции у = cos х изображен на рис. 68.

Функция

, sin х^х=^"х

определена на множестве всех действительных чисел, кроме чисел вида ^4-лп, где и <—Z, т. е. кроме тех точек, в которых cosx

Рис. 68.Рис. 68.

Рис. 68.

Рис. 68.

л , л - 2 + ил; 2л , л - 2 + ил; 2по-по-функция ctgx периодическая 2 пери-функция ctgx периодическая 2 пери-

л , л - 2 + ил; 2

л , л - 2 + ил; 2

по-

по-

функция ctgx периодическая 2 пери-

функция ctgx периодическая 2 пери-

обращается в нуль. Функция tgx является нечетной и периодической с наименьшим периодом л. На интервале ] —л/2; л/2[ она возрастает от —оо до +оо. Прямые х = — л/2, х = л/2 яв-

ляются вертикальными асимптотами графика функции z/ = tgx. Так как функция tgx периодическая с периодом л, то ее график на любом интервале вида

лучается из ее графика на ] —л/2; л/2 [ параллельным переносом г (пл; 0). Г рафик функции у = tg х изображен на рис. 69.

Функция

, _ cos х ctgx =-—■ ь sin X

определена на множестве всех действительных чисел, кроме чисел вида пл, где п е Z. Функция ctgx является нечетной и периодической с наименьшим периодом л. На интервале [0; л] она убывает от + со до — со. Прямые х = 0, х = л являются вертикальными асимптотами графика

функции ,y = ctgx Так как

одом л, то ее график на любом интервале ]пл; («4-1)л[ получается из ее графика на ] 0; л [ параллельным переносом г (пл; 0). График функции y = ctgx изображен на рис. 70.

Пример 4. Построить график функции z/ = 2 sin ^2х — ^). А Так как

у = 2 sin 2,

то искомый график получается из графика функции t/ = sinx последовательным применением следующих преобразований: 1) сжатием к оси ординат в два раза из синусоиды z/ = sinx получается

график функции y = sin2x, который называется синусоидой с периодом л (рис. 71), 2) параллельным переносом г (0; .ч/б) из синусоиды z/ = sin2x получается график функции у = = sin 2fx — ^ (рис. 72), 3) растяжением от оси абсцисс в два раза из синусоиды у = sin 2 (х — $ 1 получается искомый график (рис. 73). Он также называется синусоидой. ▲

Вообще, график функции у = Л sin ю (х — сф, где Л >0 и ю>0, называется синусоидой с периодом 2л/<о, амплитудой А и начальной фазой а..

Построение графиков функций

При построении графиков функций целесообразно действовать по следующей схеме.

Найти область определения функции (если она не ут азана).

Установить, является ли функция четной или нечет юй.

Установить, является ли функция периодической.

Найти асимптоты.

Найти промежутки возрастания и убывания функци-i.

Найти точки пересечения графика функции с осями соорди- нат.

Найти экстремумы функции.

Данные исследования функций сразу же по мере их юлуче- ния наносим на чертеж.

Пример 1. Построить график функции

△ Функция / (х) задана на всей числовой прямой и я ктяется четной, так как /(х) = /(—х) для любого xeR.

Функция / (х) не является периодической.

Так как

2

/ (х) = 1 — х2^,1 при Х->4-ОО и при X-* — ОО,

то прямая у= 1 является горизонтальной асимптотой трафика

функции при х->- + оо и при х—>■ —оо.

Заметим, что /(х)<1 для любого xeR и, следовательно, график функции /(х) расположен ниже прямой у= 1. Так как 2_

функция ж2 - на интервале ]0; + ос{ убы- . у 21

вает, то функция /(х)=1—ргур возрастает .—1-^==

на этом интервале. На интервале | — оо; 0[*

,2'’1

функция возрастает, а потому функ

ция / (х) = 1—^^.f убывает на интервале Рис. 74

]-оо; 0[.

График функции /(х) пересекает ось абсцисс в точках х= 1 и

х = — 1, а ось ординат в точке и = — 1.

О,О,.2~ -

О,

О,

Функция -— - принимает наибольшее значение при х=

следовательно, функция /(х) при х = 0 принимает наиьеньшее значение, равное — 1.

График функции (1) изображен на рис. 74. ▲

Пример 2. Построить график функции

Л Функция /(х) определена для всех х=#0 и является нечетной, так как /(х) =— /(—х) для любого х^О. Функция /(х) не является периодической. Действительно, любое число Т>0 принадлежит ее области определения, а число Т — Т = 0 не принадлежит области определения, следовательно, никакое число Т>0 не может являться периодом функции / (х).

Построим график функции /(х) для х>0. Так как

lim f(x) = lim (х+ -£-) = +оо, *-♦4-о* —* 4-о \

lim (/(х) —х)= lim — = О, -* 4- ооt -* 4- ОО Х

то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, а прямая у = х является наклонной асимптотой графика функции /(х) при

X —>• -]- ОО.

На промежутке ]0; 1] функция / (х) убывает, а на [1; +со[ возрастает. Действительно, пусть 0 < Xj < хг, тогда

/ (х2) - / (*i) = (*2 - *i) - п^1 = (х2 - с1) (1 - АА •

-* 1*2\у

Отсюда следует, что если довательио, / (х2) </ (хД.

О < х, < х* 1, то 1— < 0 и, сле-

12хххг ’

Если же 1 г^ Xi < х2, то 1 —>0 и

/ (х2) > /(хД. Так как на ]0; 1[ функция / (х) убывает, а на [1; + оо[ возрастает, то точка х= 1 является точкой минимума функции: /(х) >/(!) = 2 для любого х>0, х^1. График функции /(х) изображен на рис. 75. ▲

Пример 3. Построить график функции

/(х) =

1

1+е1,х‘

(2)

Функция (2) определена для всех xeR, кроме х = 0. Если х>0, то с1л<>1 п, следовательно, / (х) < 1/2.

На интервале ]0; +оо[ функция е^х убывает, и поэтому функ ция /(х) возрастает, причем

lim

*-*4-0

1

l+ei/x

о,

lim

—► 4- ОО 1 -р^

_ 1 i/*— 2

Следовательно, прямая z/= 1/2 является горизонтальной гсимпто- той графика функции (2) при х-> + оо, причем график функции (2) при х>0 лежит ниже этой прямой. Если х<0, то е1^ < 1 и, следовательно, / (х) > 1/2. Функция еМх убывает на интервале ]—со; 0[, и поэтомуv

функция /(х) возрастает, причемJ

1/2

Следовательно, прямая х= 1/2 являетсярис 76>

горизонтальной асимптотой графика функ

ции (2) при х—,—ос, причем график функции (2) при х<0 лежит над асимптотой. График функции (2) изображен на рис. 76.

Применение производной к исследованию функцийи построению их графиков

При исследовании функций и построении их графиков широко используются производные. С их помощью у заданной пункции находятся интервалы возрастания и убывания и точки экстремумов.

Справедливы следующие утверждения.

Если функция f (х) со всех точках некоторого интервала имеет положительную производную /' (х), то она возрастает на этом интервале, а если отрицательную производную, то f(x) убывает.

/ (х) = 2х3 — 9х2 + 12х./ (х) = 2х3 — 9х2 + 12х.(1)(1)Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции

/ (х) = 2х3 — 9х2 + 12х.

/ (х) = 2х3 — 9х2 + 12х.

(1)

(1)

Л Данная функция определена и имеет производную на всей числовой прямой. Так как

Г (х) = 6х2 — 18х+ 12==6(х— 1)(х — 2),

то /'(х)>0 на интервалах ]— со; 1[ и ]2; +оо[ и /'(х’<0 на интервале ]1; 2[. Следовательно, функция (1) возрастает на интервалах ]—со; 1[ и ]2; + оо[ и убывает на интервале ]1; 2[.

Ответ: ]— со; 1[ , ] 2; + оо[ — интервалы возрастания, ]1; 2[ — интервал убывания функции (1). а

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называется ее промежутками монотонности.

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции

(2)

Л Функция (2) определена для всех положительных х^1, т. е. на интервалах ]0; 1[ и ]1; + оо[. Так как

то f (х) 2> 0, если х > е, и /' (х) <_ 0, если х < е. Следовательно, функция (2) на интервалах ]0; 1[ , ] 1; е[ убывает, а на интервале ]е; +оо[ возрастает. Из непрерывности функции (2) вточкех = е следует, что промежуток ]1; е] является промежутком убывания, а [е; + оо[ — промежутком возрастания функции (2).

Ответ: ]0; 1[ ,] 1; е] —промежутки убывания, [е, +оо[ —

промежуток возрастания функции (2). А

Точка х0 называется точкой минимума функции f (х), если существует такое 6>0, что эта функция определена в 6-окрестности ]х0 —6; х0 + 6[ точки х0 и /:(х)>/(х0) для всех х^х0 из этой 6-окрестности. Если же / (х) < / (х0) для у/1всех х^х0 из ]х0 — 6; х„ + 6[, то точка х0

г.называется точкой максимума, функции / (х).

/Ч\1J\ АТочки минимума и максимума функции на-

--iт!.зываются ее точками экстремума, а значе- иж.ьжння функции в этих точках — экстремумами

Рис 77. данной функции.

Для функции, график которой изображен на рис. 77, точки хь х3 —точки максимума,

а точки х3, х4 — точки минимума. Точки а. и b не являются точками экстремума этсй функции, так как у них кет окрестностей, целиком входящих в область определения функции.

Для функции /(л1) — |хJ, определенной на всей числовой прямой, / (0) = О и /(х)>0 для любого х^О, и поэтому точка х = 0 является точкой минимума функции f(x) = [x|.

Для функции /(х) =—(х — 1)2 + 3 точка х=1 является точкой максимума, так как / (х) < f (1) = 3 для любого х^ 1.

Функция / (х) = sin (1/х), х>0, имеет бесконечное множество точек экстремума. Действительно, каждая точка х, удовлетворяю

щая условию -^ = 2-|-2лл, где п = 0, 1, 2, ..., является ее

точкой максимума, а каждая точка х, удовлетворяющая условию у = — g + 2л/г, — ее точкой минимума. Экстремумы этой функции во всех точках максимума равны 1, а в точках минимума равны — 1.

Для нахождения точек экстремума заданной функции важную роль играет теорема Ферма:

Если точка, х0 является точкой экстремума дифференцируемой функции Цх), то f'(xo) = O.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума заданной функции следует искать среди точек, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками этой функции.

Точки экстремума функции являются ее критическими точками. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.1

Например, точка х = 0 для функции f(x) = x является критической, так как /' (0) = 0, но, очевидно, не является точкой экстремума.

При мер 3. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции / (х) = хв"х.

/\ Данная функция определена и имеет производную для всех х е R:

/' (х) = егх — хе~х = (гх (1 — х).

Из уравнения /' (х) = 0 находим критические точки функции / (х). У данной функции существует одна критическая точка х=1. Так как f (х) > 0 для х < 1 и /' (х) < 0 для х > 1, то функция / (х) возрастает на интервале ]—со; 1[ и убывает на интервале ]1; +сс[. Следовательно, точка х=1 является точкой максимума функции /(х).

Ответ: /(х) возрастает на ]—со; 1[, убывает на ]1; +со[; х=1 — точка максимума. ▲

Рис. 78.Рис. 78.При исследовании точек экстремума функции удобно пользоваться следующими достаточными условиями для точек максимума и минимума.

Рис. 78.

Рис. 78.

Точка х0 является точкой максимума функции Цх), если у точки х0 существует такая окрестность, что в ней f(x) непрерывна, f (х) > 0 для х < х0 и

/' (х) < 0 для х > х0.

Если же /' (х) < 0 для х<хс и /' р) >0 для х > х(|, то х0 — точка минимума.

показано, как приме-показано, как приме-В разобранных выше примерах было

показано, как приме-

показано, как приме-

няется производная к нахождению интервалов возрастания и убывания и точек минимума и максимума у данной функции.

Если все эти исследования проведены, то, очевидно, можно более точно изобразить график этой функции.

(3)(3)Пример 4. Построить график функции

(3)

(3)

асимптот заметим, что

Следовательно, прямая у = х — 3 является асимптотой при х-*+оо и при х-* — со. Найдем производную

, = 1(£л^1Н£+1Н(^2^ - (^— D (^ + 3)у(*+D2(х-Н)2‘

Точки х =— 3, х=1 являются критическими для функции (3): в них производная обращается в нуль.

Легко видеть, что у'(х)>0 для х< — 3, у'(х)-<0 для хе е]—3; Цидляхе]—1; 1[, у’ (х) > 0 для х > 1. Следовательно, функция (3) на промежутке ]—оо; — 3] возрастает от — оо до — 8, па промежутке [—3; — 1[ убывает от —8 до — оо, на промежутке ]—1; 1] убывает от +оо до 0, на промежутке [1; -|-со[ возрастает от 0 до +оо. Отсюда следует, что функция (3) при х =— 3 имеет максимум, а при х = 1 — минимум. Составляем таблицу:

X

I—со; — 3[

— 3

1-3; -1[

1-1; И

1

]1; +со[

и

1— со; —8[

— 8

]— 8; — оо[

1+ оэ; 0[

0

10; +со[

у’

+

0

—

—

0

+

/

max

\

\

min

График функции (3) изображен на рис. 78. А

а) на отрезке [0; 2]; б) на промежутке [—2; — 1[.

А Функция (1) определена и имеет производную на всем множестве IR действительных чисел. По правилам дифференцирования находим

/' (х) = Зх2 — 12х + 9 = 3 (х — 1) (х — 3).

Таким образом, функция (1) имеет две критические точки х = 1 и х —3. Причем / (х) на промежутке [—оо; 1] возрастает от — со до / (1) = 5, на [1; 3] убывает от / (1) = 5 до / (3) = 1 и на [3 4-оо[ возрастает от f (3) = 1 доф-оо.

На интервале ]0; 2[ функция (1) имеет одну критическою точку х=1. Следовательно,

min / (х) = min {f (0); f(l); f(2)} = min {1; 5; 3}=1,

XG[0; 2]

max / (x) = max {/(0); /(1); /(2)} = 5.

*£[0; 2|

На интервале ]—2; — 1[ функция (1) не имеет критических точек и возрастает. Следовательно, на множестве [—2; — 1[ у функции (1) наименьшее значение равно /(—2) = — 49. Эднако среди значений функции /(х), когда хе[—2; — 1[, нет наибольшего, так как точка х =—1 не принадлежит этому множеству.

Ответ: а) Наименьшее значение функции равно 1, ншболь- шее значение равно 5; б) наименьшее значение функции равно — 49, наибольшего значения нет. а

Пример 2. Найти наибольшее значение функции

/(х) = 3х —tgx, xg[0; л/2[.

А Данная функция непрерывна и имеет производную

/'(^) = 3-^7,хе]0; л/2[.

Она на интервале ]0; л/2[ обращается в нуль в точкз х0 =? — arccos (1/|/3), причем /' (х)>0 для х<х0 и f'tx^cO для х>х0. Следовательно, точка х0 = arccos (1/]/3) является точкой максимума данной функции:

/ (arccos = 3 arccos — tg /arccos = 3 arccos Л= — ]/2.

\ Кз/ Кз \ Кз/ Уз

Функция / (х) на отрезке [0; arccos (1/]/3)] возрастает, а на промежутке [arccos (1/]/3); л/2[ убывает. Следовательно, наибольшее значение функции /(х) = 3х — tgx, хе[0; л/2[, равно 3 arccos (1 уА') — ]/2. а

Пример 3. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус.

А Пусть задан конус с высотой И и радиусом основания R (рис. 79). Обозначим через h высоту цилиндра и через г радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус. Обозначим ВМ = х. Тогда h = РВ = х■ tgKML = х и г = R—x. Объем

цилиндра V равен лг2/г. В нашем случае У^ = 1ЦР-х^.

Определим, при каком значении х объем цилиндра будет принимать наибольшее значение. Найдем производную V (х):

V'W = ^(R-xy-V^x.-2.(R-xH--l) = = ^-(R-x)(R-x-*2x') = ^-(R-x) (Р — Зх).

V'(x) = 0 ПРИ x = R/3. При x<Rj3 производная V'(x)>0 и V'"(A<<0 ПРИ x*>R(3. Следовательно, в точке x = R/3 функция V (х) имеет максимум. Так как х может меняться от нуля до R, причем V (0) = V (R) = 0, то число

V(R/3) = -^ лНР»

является наибольшимявляется наибольшимзначением объема вписанных цилиндров. А

является наибольшим

является наибольшим

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1

Определить, какие из нижеприведенных функций являются четными,

ни четными, ин нечетными:ни четными, ин нечетными:/1 № = У х2— 5х+ /3 (х) = х3 + 3 sin х./1 № = У х2— 5х+ /3 (х) = х3 + 3 sin х.какие нечетными, а какие не являются

ни четными, ин нечетными:

ни четными, ин нечетными:

/1 № = У х2— 5х+ /3 (х) = х3 + 3 sin х.

/1 № = У х2— 5х+ /3 (х) = х3 + 3 sin х.

к (х) = КЗх —2, /, (х) = х4 — 5 cos х, /0(х)=1п(х-рКх2+1).

Исследовать на периодичность следующие функции и определить наименьший период, если он существует;

,f 1, если х— рациональное,

( W = 1 п

если х— иррациональное;

f(x) = cos3 х sin х — sin3 x cos x.

Найти все асимптоты графиков следующих функций:

у2 I Ау2Я.

a) №=-^д; ^f^^^Y’ в> / W = V^ + 6x + 8.

Построить графики следующих функций (не применяя производной);

(i(x) = x^|x—1 |+у— 1);

/aW = lg (sin х); в) f3(x) = 2C0S\

Применяя производную, построить графики следующих функций!

, ,. .(2-х)3

i ,,,, ,, ,6 sin х

f № = х+« I в) /(х) = —.

' '12 + cos х

Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции / (х) = 2 1п (х — 2) — х2 + 4х + 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)== * х3 —

5

—2 х24-6х на отрезке [1; 4].

Около данного шара описать конус наименьшего обт,ема.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 11

Определить, какие из приведенных ниже функций в области, где они

определены, являются четными, какие ными, пи нечетными:/1И=1+х--х4, fs (X) = V 1 + х>определены, являются четными, какие ными, пи нечетными:/1И=1+х--х4, fs (X) = V 1 + х>нечетными, а какие не являют» ни чег-нечетными, а какие не являют» ни чег-h (х) =/х2—Зх —4, /? to =зх4'3“-1',h (х) =/х2—Зх —4, /? to =зх4'3“-1',h (X) =х + х3 —Зх5, hW = Kl- х2, ^) = ,n№ 18 (х) = х sin Зх.h (X) =х + х3 —Зх5, hW = Kl- х2, ^) = ,n№ 18 (х) = х sin Зх.

определены, являются четными, какие ными, пи нечетными:

/1И=1+х--х4, fs (X) = V 1 + х>

определены, являются четными, какие ными, пи нечетными:

/1И=1+х--х4, fs (X) = V 1 + х>

нечетными, а какие не являют» ни чег-

нечетными, а какие не являют» ни чег-

h (х) =/х2—Зх —4, /? to =зх4'3“-1',

h (х) =/х2—Зх —4, /? to =зх4'3“-1',

h (X) =х + х3 —Зх5, hW = Kl- х2, ^) = ,n№ 18 (х) = х sin Зх.

h (X) =х + х3 —Зх5, hW = Kl- х2, ^) = ,n№ 18 (х) = х sin Зх.

Представить следующие функции в виде суммы четных и нечетных функций в области, где они определены:

fi (х) = sin 5х -г- 2* tg x,f2 (x) =x In |x | +^|,

, z ч X' + x^+x, z ч 3-T + x’-

L ( X ) 4I , ft (X) = ——.

1 1xn_ 1>\S|n x

Доказать, что производная четной функции нечетна, а производная нечетной функции четна.

Верны ли утверждения: а) если f' (х) — четная функция, то / (х) — нечетная функция, б) если ф (х) —нечетная функция, то / (х) — четная функция.

Существуют ли всюду определенные функции, являющиеся одновременно: а) четными и возрастающими на К, б) нечетными и убывающими на R, з) нечетными и положительными на iR?

Пусть задана функция f(x) = e\ х > 0. Доопределить функтю / (х)

в области х<:0 так, чтобы вновь ]— со, + оо[ была: а) четной функцией7. Исследовать на периодичность меньший период, если он существует:fi to = ^ + 1., , . sin хв области х<:0 так, чтобы вновь ]— со, + оо[ была: а) четной функцией7. Исследовать на периодичность меньший период, если он существует:fi to = ^ + 1., , . sin хполученная функция на м южелве , б) нечетной функцией.

в области х<:0 так, чтобы вновь ]— со, + оо[ была: а) четной функцией

7. Исследовать на периодичность меньший период, если он существует:

fi to = ^ + 1.

, , . sin х

в области х<:0 так, чтобы вновь ]— со, + оо[ была: а) четной функцией

7. Исследовать на периодичность меньший период, если он существует:

fi to = ^ + 1.

, , . sin х

следующие функции и определить наи-

/2 (x)=2tg~ + 4tg у,

ft to = 3 cos 4х + 5 sin 4х.

161161Может ли сумма двух непериодических всюду определенных функций быть периодической функцией?

161

161

в п/ред. Г. Н. Яковлева

Пусть задана дифференцируемая периодическая функция / (х), х е Р, Доказать, что f'(x)—также периодическая функция на R.

Найти все асимптоты графиков следующих функций: 12х

4И4(х) = —

/бИ= -х1 I J 6) /вМ = 7^т. где {х) = х-[х]«

Построить графики следующих функций (не применяя производной):

/i (x) = e1/sinx;2) /2 (x) = cos (1пх);

fs (x) = arc sin (sin x);4) f4 (x) = [Y/™^0 5>

/5 (x) = r (x), где r (x)—расстояние от x до ближайшего целого числа,

Применяя производную, построить графики следующих функций:

fa <»> - (I +4 ] X fl-4) Ь («) - ^Д4* |

/6 (х) = sin4 х + cos4 х;6) fe (х) — In х/^х.

Найти все значения а, при которых функция

/ (х) = —3—х8-ф (а — 1) х2 + 2х1 возрастает на R.

Пусть х4 и х2 — соответственно точка максимума и точка минимума функции f (х) = 2х3 — 9ох2 + 12а2х-|-1. При каких а х^=х2?

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= ха (2х —3)— 12 (Зх —2) на отрезке [ — 3; 6].

Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(х) = = log1/3 (ха + х —2) на отрезке [3; 6].

Найти экстремумы функции f (х) = (х — 3) б!х+ 1 * на интервале ] —2; 4[, а также наибольшее и наименьшее значения на отрезке [ — 2; 4].

Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(x) = cos2x + •ф cos х —ф 3.

Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность.

Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине / медианы, проведенной к его боковой стороне.

Глава VII

ВЕКТОРЫ

§ 1. Некоторые необходимые определения и обозначения

Любая лежащая на прямой точка А разбивает ее па два луча с началом в точке А. Луч с началом в точке А, на котором лежит точка В, обозначается [ЛВ) (рис. 80).

Два луча, лежащие на одной прямой, называются сонаправ- ленными, если их пересечение есть луч, и называются противоположно направленными, если их пересечение лучом не является. Например, на рис. 81 лучи [ЛВ) и [ВС) сонаправлены, а лучи [Л В) и [СВ) — противоположно направлены.

Если два луча лежат на параллельных несовпадающих прямых, то они лежат в некоторой плоскости. Прямая, проходящая через их начала, делит эту плоскость на две полуплоскости. Если эти

лучи лежат в одной полуплоскости, они называются сона! давленными (рис. 82), если в разных полуплоскостях — пропш^оголожно направленными (рис. 83). То, что лучи [ЛВ) и [СО) сонапр щлены, обозначается так:

[ЛВ) ft [СО).

Если лучи [ЛВ) и [СО) противоположно направлены, то пишут [лвиис/д.

Очевидно, что два луча, порознь сонаправленпые третьему, сопаправлены друг другу.

Параллельным переносом пространства (плоскости), определяемым упорядоченной парой (Л, В) несовпадающих точек, называется такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М отображается на такую точку N, что луч [МУ) сонаправлен лучу [АВ) и расстояние । MN | равно расстоянию | АВ |. Другими словами, все точки пространства (плоскости) смещаются в направлении луча [АВ) на расстояние | АВ । (рис. 84).

Тождественное преобразование, отображающее каждую точку на себя, называется параллельным переносом на нулевое расстояние.

Свойства параллельного переноса

Параллельный перенос есть перемещение, т. е. отображение, сохраняющее расстояния.

Параллельный перенос отображает прямую на параллельную ей прямую, луч на сонаправленный ему луч.

Параллельный перенос пространства отображает плоскость на параллельную ей плоскость.

Композиция двух параллельных переносов (т. е. два параллельные переноса, выполненные последовательно) есть параллельный перенос.

Отображение, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос.

Угол между лучами. Пусть два луча /1 и /2 не сона- правлены и не противоположно направлены (рис. 85). Из произвольной точки О выходит единственный луч [ОЛ), сонаправленный

Гис. 85.Гис. 85.

Гис. 85.

Гис. 85.

с лучом lt, и единственный луч [OS), сонаправленный с лучом (2. Лучи [ОЛ) и [ОВ) ограничивают выпуклый угол АОВ, величина которого меньше 180°. Если же лучи /1 и /2 противоположно направлены, то лучи [ОЛ) и [ОВ), им сонаправленные и имеющие

общее начало, ограничивают два выпуклых развернутых угла (рис. 86).

Углом между лучами к и /2 называется величина выпуклого угла между любыми двумя лучами, имеющими общее начало и сонаправленными с данными.

Так, углом между лучами к и /2 на рис. 85 является величина угла АОВ, а угол между лучами к и /2 на рис. 86 равен ISO3.

Рис. 80Рис. 80

Рис. 80

Рис. 80

Независимость угла между лучами от выбора точки соншрав- ленных с ними лучей следует из теоремы:

Если стороны двух выпуклых углов соответственно сонаправ' лены, то эти углы конгруэнтны.

Угол между сонаправленными лучами полагается равным 0°. Таким образом, угол между лучами может принимать значения от 0° до 180°.

§ 2. Векторы, их обозначение и изображение.Коллинеарные и компланарные векторы

Вектором называется параллельный перенос. Для обсзначе-

ния векторов используются символы а, Ь, х и т. п. Векторы рассматриваются на плоскости (параллельный перенос плоскости) и в пространстве (параллельный.^

перенос пространства). И в том и в другом слу-/

чае вектор определяется упорядоченной парой то У чек, т. е. заданием точки и ее образа./

Вектор а, определяемый упорядоченной па- рой (Д, В) несовпадающих точек, изображается направленным отрезком (стрелкой) с началом в точке Д и концом в точке В (рис. 87). Этот вектор а обозначается также АВ и пишется а = АВ. По определению вектор а = АВ отображает каждую точку М на такую точеу N, что луч [ММ) сонаправлен с лучом[ДВ) и |ММ| = |ДВ|. Направление луча [ДВ) называется направлением вектора а = Д£. Расстояние | ДВ | называется длиной или модулем вектора с = АВ (обозначается |ДВ| или |а|).

Если [ММ) ft [ДВ) и | Лl^ | = | ДВ|, то вектор а = АВ с ^означается также MN и изображается направленным отрезком с началом в точке М и концом в точке N. Очевидно, при изобрежении

вектора направленным отрезком за его начало может быть взята любая точка, т. е. вектор имеет бесчисленное множество изображений. Например, на рис. 88 вектор а = АВ изображен направленными отрезками PQ, АВ, MN, OOv

Построение направленного отрезка MN такого, что MN = а, называется откладыванием вектора а от точки М.

Если АВ и CD являются обозначениями одного и того же вектора, то пишут AB = CD и говорят, что векторы АВ и CD равны. Подчеркнем, что равенство АВ = CD означает

|XB|=|CD| и [XB)[f[CD).

Параллельный нулевым векторомПараллельный нулевым векторомнанаРис. 88.Рис. 88.каждую точкукаждую точкуперенос на нулевое расстояние называется и обозначается О. Нулевой вектор отображает себя, поэтому он обозначается также АД, ВВ и т. п. Длина нулевого вектора равна нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Параллельный нулевым вектором

Параллельный нулевым вектором

на

на

Рис. 88.

Рис. 88.

каждую точку

каждую точку

Два ненулевых вектора АВ и CD называются сонаправленными (обозначается АВ ft CD), если сонаправлены лучи [Л В) и [CD), и называются противоположно на. правленными (обозначается АВ f| CD), если лучи [ДВ) и [CD) противоположно направлены.

Два ненулевых сонаправлены или линеарные векторыДва ненулевых сонаправлены или линеарные векторывектора называются коллинеарными, если они противоположно направлены. Ясно, что кол- изображаются параллельными направленными

Два ненулевых сонаправлены или линеарные векторы

Два ненулевых сонаправлены или линеарные векторы

отрезками.

На рис. 89 изображена трапеция ABCD, MN —ее средняя линия. Векторы AD, ВС, NM коллинеарны: ДО^ВС и AD^NM.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Будем говорить, что ненулевой вектор АВ параллелен плоскости, если прямая АВ параллельна этой плоскости.

Рис. 89-Рис. 89-АРис. 90.АРис. 90.

Рис. 89-

Рис. 89-

А

Рис. 90.

А

Рис. 90.

Ненулевые векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут не быть компланар-

ними. На рис. 90 изображена треугольная призма ABCA^B^t. Векторы АС, АВ и СД компланарны, а векторы АС, АВ и АА^ компланарными не являются.

§ 3. Сумма векторов. Противоположный вектор.Разность векторов

Композиция двух векторов а и b есть вектор (свойство 3 параллельного переноса, § 1), который называется суммой векторов а и b и обозначается аА-Ь.

Сумма ненулевых векторов а и b находится по правилу треугольника (рис. 91): от произвольной точки О откладывается вектор О А— а, от конца направленного отрезка О А, т. е. от точки А, откладывается век._

тор АВ = Ь, тогда ОВ = аД-Ь. Правило -—^———^•s

треугольника сложения векторов легко запоминается в буквенной записи:

"ОА-V АВ = 0ВРис. 91.

I t I—t

(стрелочками внизу указана последовательность букв в записи вектора суммы).

Рис. 92.

Заметим, что это правило применимо и в том случае, когда векторы а и b коллинеарны (рис. 92).

Законы сложения векторов

аА-Ь = ЬА~а (переместительный закон).

(« + &) +с = « + (& + <?) (сочетательный закон).

а-]-0 = «.

Из переместительного закона следует

Рис. 93-Рис. 93-правило параллелограмма сложения векторов: сумма двух неколлинеарных векторов есть вектор, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на направленных отрезках, изображающих данные векторы и имеющих общее начало (рис. 93).

Рис. 93-

Рис. 93-

Сумма трех векторов а, Ь и с определяется как сумма вектора а А-Ь и вектора с (рис. 94). В силу сочетательного закона

(б+6)тС = а + (6 + <)> поэтому сумма трех векторов а, b и с записывается без скобок: а + Ь+с. Аналогично определяется сумма любого числа векторов, нзпример а + 6 + f + d=(a + & + f) + ^. На рис. 95 показано, как находится сумма векторов а, Ь, с и d во правилу многоугольника.

Рис. 96.Рис. 96.

Рис. 96.

Рис. 96.

Если три вектора а, Ь и с некомпланарны, их сумма может быть найдена по правилу параллелепипеда: вектор аА-Ь — с изображается диагональю параллелепипеда, построенного на направленных отрезках, изображающих векторы а, b и с и имеющих общее начало (рис. 96). Действительно:

ОЛ-РОВА-ОС^ОЛ -y-AD + DDi = ODV

Пусть вектор а определяется упорядоченной парой точек (Л, By. а = АВ. Вектор, определяемый упорядоченной парой точек (В, Л), называется противоположным вектору а и обозначается —а:

—а = В А.

Сумма вектора и ему противоположного вектора есть нулевой вектор (тождественное отображение):

а-К—а) = 0 или АВ -|- В А = 0.

Очевидно, что длины вектора а и ему противоположного вектора —а равны, а направления этих векторов противоположны:

1«| = |— «I- «Ш~«У

Разностью а — Ь двух векторов а и b называется сумма вектора а и вектора, противоположного вектору Ь, т. е.

а — & = « + (—by

Если 0А=а и ОВ = Ь (рис. 97), то вектор а — Ь изображается направленным отрезком В А:

6А-ОВ = ВА

t11—1

(стрелочки внизу указывают последовательность букв в записи вектора разности).

Заметим, что если на векторах а и Ь, отложенных от общего начала О, можно построить параллелограмм (рис. 98), тэ длина диагонали, имеющей то же начало О, равна длине вектора а-^Ь, а длина другой диагонали равна длине вектора а — Ь:

\ОС\ = \а + Ь\, \ВА\ = \а—Ь\.

Если с = а — Ь, то а = с-\-Ь. Действительно:

с 4* b = (и — 6) -f- b = (и 4" (—6)) 4" Ь = а 4- ((—6) Д ^0= ® -Ь 9 = а.

Это показывает, что слагаемые в векторных равенствам можно переносить из одной части равенства в другую, изменив :тоящие перед этими слагаемыми знаки на противоположные.

Пример 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О (рис. 99). Найти сумму векторов О А 4- ОВ 4- GCA-OD. А Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам: ] ОЛ ] = | ОС ]. Лучи [ОД) и [ОС) противоположно направлены, поэтому векторы О А и ОС — противополож

Рис. 99.Рис. 99.ные, их сумма равна нулевому вектору: ОДДОС = 0. Аналогично устанавливается, что ОВ и ОО — противоположные векторы. Итак, ОД ДОВ ДОС ДОС) = = (0Д + ОС) Д (ОВД 65) = 0. ▲

Рис. 99.

Рис. 99.

Пример 2. Доказать, что для любых векторов а и Ь справедливо неравенство | а + b | | а | Д1 b (.

Д Если один из векторов а или Ь нулевой, то это неравенство, очевидно, выполняется. Пусть а и 6 —ненулевые векторы, О А = а и ДВ = & (рис. 91), тогда по правилу треугольника ОВ = аД Ь. По свойству расстояний для любых трех точек О, А и В выполняется неравенство | ОВ | -с | О А | 4-1 АВ |, поэтому |аД&|«£|а|Д 4-1Ь |.

Заметим, что для различных точек О, Д и В равенстве (ОВД = | ОД | +1ЛВ | выполняется тогда и только тогда, когда точки О,

Л и S лежат на одной прямой, причем точка Л лежит между точками О и В. Следовательно, для ненулевых векторов а и b равенство jo + fcl^laj-i-l^l справедливо тогда п только тогда, когда они сонаправ- лены. А

Примерз. В треугольнике АВС ме-

дианы Найтидианы Найтипересекаются в точке О (рис. 100). сумму векторов

дианы Найти

дианы Найти

М + ОВ + ОС-

△ Построим параллелограмм AOCD, По правилу параллелограмма OD = О А Д+ ОС. Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, следовательно, [ QD i = 21 ON I, точка N — середина стороны AC, BN — медиана. Медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому | ОВ | = ~2|ОМ1. Таким образом, | OD I = | ОВ |, а так как лучи [О£>) и [ОВ) противоположно направлены, то OD =—ОВ.

Итак,

0/1 -I- ОВ + ОС = (О А + ОС) + О В = OD + О В = — ОВ + ОВ=0. а

Умножение вектора на число. Признак коллинеарности

Произведением ненулевого вектора а на число х ^= 0 называется вектор, длина которого равна |x|'|«j и который сонаправлен вектору а при х>0 н противоположно направлен при х<0. Произведение вектора а на число х обозначается ха.

Произведение нулевого вектора на любое число и произведение любого вектора на нуль по определению считается равным нулевому вектору:

х - 0 = 0, 0 ■ а = 0.

Законы умножения векторов на ч и с л а

х(уа) = (ху)а (сочетательный закон).

ха -г уа (х -)- у) а, )

„> (распределительные законы).

Оп-х-О-О.

Из определения произведения вектора на число получается следующий признак коллинеарности".

Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда существует такое число х, что Ь = ха.

Пример 1. Найти, на какое число х надо умножить ненулевой вектор а, чтобы длина вектора т = ха была равна единице

И а) вектор т был сонаправлен вектору а; б) вектор т был противоположно направлен вектору а?

Z а) т\\а, когда х>0; так как |х|=х и \т\=х\а\ при x>0, то из условия | wt | = 1 следует х=\!\а\.

т\\а, когда х<0; Так как |х| =—х ПРИ #<0, тс | m | —* = —xjtij. Из условия )т( = 1 находим х =—1/|й|. ▲

Заметим, что вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.

Из признака коллинеарности следует, что для неколлинеарных векторов а и b равенство xa-\-yb = 0 выполняется только тогда, когда х = у = 0. Действительно, предположим, например, что х Ф 0, тогда из ха + yb = 0 получим а = — ~ Ь, а это протг воречит тому, что векторы а и Ь неколлпнеарны. Следовательно, х«-0. Аналогично устанавливается, что // = 0.

Пр имер 2. Векторы а и b неколлинеарны. Найти, при какомх векторы с = ^х — 2^афЬ и d = $х + 1) а — Ь будут коллинеарны.

△ Вектор с ненулевой, так как коэффициент при Ь отличен от нуля, следовательно, существует такое число у, что d = yc, т. с.

(2х + 1) а — b = у (х — 2) а фуЬ.

Как было сказано, слагаемые в векторном равенстве можно переносить из одной части в другую, изменяя знаки перед этими слагаемыми на противоположные, поэтому будем иметь

(z/x —2// —2х — 1) а-;,-(//+ 1)6 = 0.

Векторы а и Ь неколлинеарны, поэтому ух-^у- 2х - 1 = Q, у+1=0.

Решая эту систему, находим у =—1 и х=1/3. При х=1/3 55

векторы cud таковы: с= — ^афЬ, d = y а — Ь. Вак легко видеть, они противоположные: d = — с. ▲■

§ 5. Условие компланарности векторов.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Пусть векторы а и b неколлинеарны, отложим их от одной точки: ОА = а и ОВ = Ь (рис. 101). Любой ненулевой взктор с, компланарный с векторами а и 6, по определению параллелен плоскости О АВ.

Если построить вектор ОС = с, то точка С лежит в плоскости ОАВ, поэтому говорят, что любые три компланарные векторы можно перенести в одну плоскость.

Теорема. Если векторы а и b кекоминеарны, то любой компланарный с ними сектор с можно единственным образом представить в виде с = хаф yb.

Такое представление называется разложением вектора с на плоскости по двум неколлинеарным векторам а и Ь.

Пример I. Дан параллелограмм ABCD (см. рис. 93). Разложить векторы АВ i: AD по векторам АС и BD.

/\ Папомним, что АС=ADA- AB и BD—AD — АВ. Отсюда следует 2AD = АС + BD п 2АВ = АС — BD. Таким образом,

ЛЬ = -*- (АС + ВО) и АВ = ^ (AC -BD). А

Пример 2. На стороне ВС треугольника ОВС расположена точка N так, что | BN | : | ВС | = п (рис. 102). Разложить вектор ON по векторам ОВ п ОС.

/\ Векторы BN и ВС коллинеарны и сонаправлены, следовательно, BN = хВС и х">0. Поскольку JB/Vj=n|5C|, то х = п и BN = nBC. Так как ВС = ОС — ОВ и ON = ОВ + BN, то

ON = ОВ + п (ОС-ОВ) = пОС+ (1 - и) ОВ.

Заметим, что при п =1/2 точка N является серединой стороны ВС, a ON — медианой треугольника. В этом случае

ON = -^ (ОС + ОВ). а '

Нетрудно видеть, что справедливо обратное утверждение: если некоторый вектор с разложен по двум неколлпнеарпым векторам а и Ь, то векторы а, Ь и с компланарны. Действительно, пусть c = xaA-yb- Если числа х и у отличны ст нуля, то векторы ха и yb также неколлннеарны. Отложим эти векторы от некоторой точки О'. ха = 0А и yb==OB. Тогда вектор с = ОС = ОЛ Д 03 изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах ОА и ОВ. Следовательно, точки О, А, В и С лежат в одной плоскости и векторы а, Ь и с компланарны. Если же одно из чисел, например х, равно нулю, то с = у b и, следовательно, вектор с коллинеарен вектору b и потому комплана] ей с векторами а и Ь.

Таким образом, справедлив следующий признак (критерий) компланарности трех векторов:

если векторы а и b неколлинеарны, то вектор с компланарен с векторами а и b тогда и только тогда, когда имеет место разложение c = xa-Vyb.

Нулевой вектор по определению счи-^^Yi/l

тается компланарным с любыми двумя/? / /

векторами.'

Теорема. Если векторы а, b и с / некомпланарны, то любой вектор d можно единственным образом представить в виде"

d = xa-Vyb-V zc.

Это представление называется разложе

нием вектора d по трем некомпланарнымРис. 103

векторам а, b и с.

Пример 3. Дана треугольная призма ABC А^В^г (рис. 103). Разложить вектор ААг по векторам АС^, BAt и С By.

Л По правилу треугольника имеем

АА^АВА-ВАь ВВ^ВС+СВ,, CCt = CA

Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем

А А1 -j- ВВА -р CCi = (А В -р ВС -|- С А) -р ВА^ -р с В, -р AC i.

Так как АВ -р ВС-(~СЛ = ЛЛ=0 и A A । = ЁВ} = cCi, то о А Рр = = BAiA-CBiA-ACi и, следовательно,

А Ах = ^ (B/ii-pCBj-pPlCi). д

§ 6. Угол между векторами.Скалярное произведение векторов

Углом между векторами а —АВ и b = CD называется угол между лучами [ЛВ) и [CD). Таким образом, если от одной точки отложить векторы а = 0М и b = ON (рис. 104), то величина угла M0N есть по определению угол между векторами а и Ь. Этот угол обозначается (а, Ь).

Угол между векторами, как и угол между лучами, может принимать значения от 0° до 180°. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°, а угол между противоположно направленными векторами равен 180°.

Если угол между векторами а и Ь равен 90° (рис. 105), то векторы а и b называются перпендикулярными или ортогональными. Перпендикулярность векторов а и Ь обозначается так: аД_Ь.

Пример 1. Пусть а и Ь — ненулевые неколлинеарные векторы. Доказать, что вектор с = т™ + образует равные углы с векторами а и Ь.

Рис. 104.Рис. 104.Рис. 105.Рис. 105.

Рис. 104.

Рис. 104.

Рис. 105.

Рис. 105.

Рис. 106.Рис. 106.Л Векторы ai = a/\a\ и bv = b!\b\ единичные: j«j | = ]£>![ = 1 Отложим векторы а^ и Ьх от одной точки: 0А = ах и ОВ = Ьъ построим параллелограмм ОАСВ (рис. 106), тогда OC = ax-VbA = = т^-т + ттт = £- В параллелограмме ОАСВ длины сторон ОА и ОВ равны, следовательно, ОАСВ — ромб и его диагональ ОС является биссектрисой угла АОВ. Отсюда заключаем, что вектор с=ОС образует равные углы с векторами at = О А и bi = O*B и с коллинеарными им векторами а и Ь и направлен по биссектрисе угла между векторами а и 6. а

Рис. 106.

Рис. 106.

Скалярным произведением ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и b обозначается а Ь. Таким образом,

а ■ b = | а | | b | cos (а, Ь).

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение по определению равно нулю: а-0 = 0-6 = 0.

Подчеркнем, что скалярное произведение есть число (когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами).

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: а-а = \а-?.

Скалярное произведение векторов положительно, если угол между ними острый, скалярное произведение отрицательно, если угол между векторами тупой.

Если угол между векторами равен 90°, то косинус этого угла равен нулю и скалярное произведение этих векторов также равно нулю. Верно и обратное утверждение: если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Следовательно, два ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих лекторов равно нулю.

Свойства скалярного произведения

а ■ а = | а |2.

ab = ba.

(ха) Ь = х(а Ь).

(a-\-c) b = a b-\-c b.

Например, используя эти свойства, получим

(а + Ь) • (а — b) = а (а — b) + b ■ (а — 6) = а ■ а — а • b + 6 а — b b =

= \ а ia — 16J2.

Пример 2. Найти длину диагонали АС ромба ABCD (рис. 107), у которого длины сторон равны 1 и угол BAD разен 30°.

Л По правилу параллелограмма АС =Й

= ЛВ + ЛО.Из свойств скалярного произве- де ния следует

| ЛС|2 = (ЛВ + ЛО)2 = МЙ|2+Л

— —• —•— •Рис 107.

+2АВ. AD-V\AD\2. (1)

Так как |ЛВ|=|ЛО|=1 и (ЛВ, ЛО) = 30°, то AB-AD = «= 1/3/2. Учитывая это, из (1) подучаем | АС |2 = 2 4- РЗ, откуда находим | АС| = "|/2+]/3. л

Если векторы а и Ь ненулевые, то косинус угла между этими векторами находится по формуле

cos (а, Ь)cos (а, Ь)а bа b(2)(2)

cos (а, Ь)

cos (а, Ь)

а b

а b

(2)

(2)

Пример 3. Длины ненулевых векторов а и Ь равны. Найти угол между этими векторами, если известно, что векторы р — а + 2Ь и q = да — 4b перпендикулярны.

Л Так как векторы р и q перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:р-q = (а + 26)• (5а — 4Ь) = 0. Используя свойства скалярного произведения, получаем. (a-V- 2b) • (5а — 46) = = 5 | а|3 + 6а-6 — 8 | 612. Таким образом,

Б|а|2 + 6. |а] | А | cos (оГ^) — 8 (6 |а == 0,

откуда при \а\ = \Ь\ получаем

61 а |2 cos (а, 6) —3|«|2 = 0.

Поскольку | а\ + 0, то, сокращая на |а|2, находим cos \а, 6) = 1/2.

Следовательно, угол между векторами а и 6 равен 60°. ▲

Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора, взятых в определенном порядке, называются прямоугольным базисом в пространстве (рис. 108). Векторы прямоугольного базиса принято обозначать I, j, k (читается: I — «и», j —«жи», А —«ка»).

Каждый вектор можно единственным образом разложить по любым трем некомпланарным векторам (§ 4), поэтому каждый вектор а можно единственным образом представить в виде

Лa = xi-Vyj-Vzk.

j >е Числа х, у, г называются координатами вектора а в базисе (z, j, k). Если а = xi-\-yjA-zk, то пишут Рис 108 Cl — ^X, у, 2).

Например, / = (1;0; 0), j=(0; 1; 0), к = (0; 0; 1), О = (0; 0; 0).

Пусть а=(ху уу 21) и 6 = (х2; уу z3). Из единственности разложения следует, что векторное равенство а = Ь равносильно системе трех скалярных равенств:

^1 = "2»У1=У1,Z\= гг.

Справедливы следующие правила действий над векторами, заданными своими координатами.

При сложении векторов а=Цху у у zV) и Ь = (ху уу z>) их соответствующие координаты складываются:

Q~гк = (%i + ху yi-Vyy Zi—(-^а).

При умножении вектора а = ^х; у; г) на число все нею - . маты вектора а умножаются на это число:

та = (тх; ту; тг).

Скалярное произведение векторов а = (ху уу г^ и и = (^г! Уг» z2) равно сумме произведений соответствующих к. р- динат:

а-b = XiX2 + yiy2 + 2122.

Длина вектора а = (х; у; г) равна корню квадратному из сумм квадратов его координат:

|а| = ]^х2 + у2 + г2.

Пример 1. Найти координаты и длину вектора 2а —ЗА, если а = (0; 3; 2) и А = (—2; 3; 2).

Л По правилам действий над векторами находим 2а = (0; 6; 4), ЗА —(—6; 9; 6), и, наконец, 2а —ЗА = (6; —3; —2). Теперь находим длину этого вектора: |2а —36| = У62 + 32-|-22 = 7. А.

Пример 2. Найти, при каких тип векторы й = (1 т;—2) и Ь = (—2 3; я) коллинеарны.

Л Вектор 6 коллинеарен вектору йДО тогда и только тогда, когда существует число р такое, что b — ра. Для данны> векторов а и b это векторное равенство равносильно системе —2 = р, 3 — тр, п =—2р, из которой находим р = —2, т = —3/2, п = 4.

Итак, а = (1; — 3/2; —2); & = (—2; 3; 4). А

Пример 3. Найти, при каком значении т векторы а = = (1; 3; —2) и & = (—1; т; 4) перпендикулярны.

Л Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда когда их скалярное произведение равно нулю. Так как а-Ь — = — 9 + 3/и, то а ■ b — 0 при tn = 3. а

Пример 4. Найти координаты единичного вектора Д сона- правленгюго с вектором д = (2; —3; 6).

△ b \\ а, если Ь-^та и т>0. Из условия |й| = 1, укатывая что ] b | == | т ;; а \ = т Д при /н>0, находим т=1/Д|. Вычисляем длину вектора д: ;в| = 7. Таким образом, лт = 1/7 и Ь = = № — ЗП;УЪ. л

Пример 5. : Дни косинусы углов, которые образует с базисным!! векторами век го о т? —(3; G; —1).

Д Вычислим с?:с ';.;\ ':? произведения вектора а с каждым из базисных векто’ ыа. х как / —(1; 0; 0), J=(O; 1; 0) и й = (0; 0; 1), то а • / = 3; г?-/—О; а-’г-= — 4. Длины базисных секторов равны 1, «ы: чаем длш’.у вектора а; \а [ = 5. Теперь по формуле (2) § С .ыт/дм

COS (й,5 - ; , COS (й,= о, у

п к4

Pic. 109.Pic. 109.COS Д =

Pic. 109.

Pic. 109.

Два единичных в определенномДва единичных в определенномВекторы на плоскости, перпендикулярных вектора, взятых

Два единичных в определенном

Два единичных в определенном

порядке, называются прямоугольным базисом на плоскости (рг.с. 109). Базис на плоскости обозначается (/, j).

Любой вектор а плоскости, на которой выбран бази: (г, у), ед1!нственны?л образом разлагается по базисным векторам: й =х/ + 4- yj. Числа х и у называются координатами вектора а, пишется й = Д; у\

Пусть а = (1хг; у^, Ь = (_х2; у^, тогда

a + 6 = (xi+z2; У1 + //2/.

та = ^1X1, ту^.

а 1 b = х^х^ Д У\У1*

1а\ = У xt A-yV

Векторное равенство а = Ь равносильно системе двух скалярных равенств: х1 = хг, уг = У1-■

Пример 6. Определить угол между векторами с = 4а-^Ь и d =— -^a-V™b, если а = (—1; 1) и & = (1; 3).

Л Находим координаты векторов с и d

<? = (-4+1; 4 + 3) = (—3; 7),

«“(т+т- --+ + = (2; 5).

Вычисляем длины векторов с и d и их скалярное произведение: с = ]/58, d = ]/29, c-d = 29. По формуле (2) § 6 находим

cos (с, d)cos (с, d)с а _291

cos (с, d)

cos (с, d)

| с | I d | ~ к 58 Г 29 ~ /2 ’

следовательно, угол между векторами с и d равен 45°. А

§ 8. Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости

Если задана точка О и прямоугольный базис /, /, к, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат (рис. НО). Точка О называется началом координат. Начало координат и каждый из базисных векторов определяет координатную ось: вектор б А = / определяет ось абсцисс (обозначается Ох), вектор OB = j определяет ось ординат (Оу), вектор ОС = к определяет ось аппликат (Ог). Плоскости, проходящие через каждые

две координатные оси, называются координатными плоскостями.

Для каждой точки М координаты вектора ОМ в базисе (/, j, к) называются координатами точки М в прямоугольной системе координат Охуг. Таким образом, если

ОМ = xi + yj+^k,то числа х, у, г есть координаты точ-ки М; они называются: х —абсциссой,у — ординатой, г — аппликатой точки М.

Координаты точки Л4 пишутся в круглых скобках рядом с буквой: М (х; у; г).

Если OM=xi-Vyj-Vzk, то числа х, у и z являются координатами таких точек ЛД, Л42 и Л43 соответственно на осях абсцисс,

ординат и аппликат, что ОМг = xi, 0М2 = yj, ОМ3 = zk (см. рис. 110). Чтобы построить точку М (х; у; г), надо построить векторы ОЛД = xi, ОМ2 — yj и ОМ3 = zk и вектор ОМ = ОМХ + ОМ2 + ОМ3.

Пусть а = АВ и точки А и В заданы своими координатами: Л(хп У11 21), В (х2; у2, z2). Так как АВ = ОВ — О А, то АВ = = (х2 — х^ у2 — ух, г2 — 21), т. е, чтобы найти координаты вектора.

надо из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

Расстояние между точками А и В равно длине вектора АВ, поэтому

I АВ | = ]^х2 — хД2 + (у2 — у,)2 + (г2 - г^2.

Пример 1. В треугольнике с вершинами в точках А (3; 2; — 3), В (5; 1; —1) и С(1; —2; 1) определить величину угла при вершине А.

Л Величина угла при вершине А равна углу между векторами АС и АВ (рис. 111). Косинус угла <р между векторами АС и АВ находится по формуле (2) § 6. Определяем координаты векторов АС и АВ: АС = (—2; —4; 4), АВ = = (2; — 1; 2). Теперь находим длины этих векторов и ихУ

скалярное произведение:

] ЛС | = У 23 Д-42 + 4а = 6, | АВ | = /22 + 12 + 22 == 3;/ /

АС -АВ = 8.Ар /

Тогда cos ср = 8/(6-3) = 4/9 и, следовательно, ф= А J

= arccos (4/9). АРис. 111.

Прямоугольная система координат на плоскости определяется аналогично — заданием точки О и прямоугольного базиса (/, /). Оси координат называются соответственно осями абсцисс и ординат. Координатами точки М называются координаты (х; у) вектора ОМ* пишется Д4 (х; у) (рис. 112).

Если точки заданы своими координатами: A (xf, yi) и В (х2; у2), то

АВ = (хг — Xi; у2 — у В и

I АВ |

Пример 2. Дана точка А(—1, 1) и вектор а = (3; 2), Найти координаты такой точки В, что Ав = а.

/\ Пусть (х; у) — координаты точки В, тогда АВ = (x-f-1; у—1), и если а = АВ, то х+1=3 и у—1=2. Находим х = 2, у = 3. Тогда В имеет координаты (2; 3). а

Пример 3. Дан треугольник с вершинами в точках Л(1; 1), В(—4; 3) и С (2; 2). Найти длину медианы AN.

Л Пусть О — начало координат, тогдаРис. 112.

ОВ ='(—4; 3) и ОС = (2; 2). Если N — се

редина стороны ВС, то (см. пример 2 § 5) ON = (ОВА-ОС)/2, откуда следует, что координаты середины отрезка ВС равны полусумме соответствующих координат точек В и С. Находим

ON = ((_ 4 + 2)/2; (3 + 2)/2), тогда W(— 1; 5/2) и M^l^

-l)’ + (|-l/=f. A

Уравнение плоскости, В прямоугольной системе координат любое уравнение

ах + by + cz + d = 0,(1)

в котором хотя бы один из коэффициентов а, Ь, с отличен от нуля, определяет плоскость. Верно и обратное; каждая плоскость может быть задана уравнением вида (1).

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (0; 1; 5), В (3; 0, 0) и С(—1; 1; 6).

А Пусть уравнение этой плоскости ах ~у by -у cz-У d = 0. Коор- динаты точек А, В и С удовлетворяют ему, следовательно,

b + 5с + а = 0,

3a + d = 0,— а 4- b 4- 6с 4- а = 0.

Из второго уравнения находим d —— За. Подставляя это в первое и третье уравнения, получим систему

b А-5с = 3а,b 4- 6с = 4а.

Почленно вычитая из первого уравнения второе, получаем с = а, и тогда находим b =— 2а. Уравнение плоскости имеет вид ах — 2ауА-аг — За = 0 или (так как а, b и с одновременно не равны нулю)

х — 2у 4- z — 3 = 0. д

Ненулевой вектор п = АВ называется перпендикулярным плоскости, если прямая (45) перпендикулярна этой плоскости.

Пусть вектор п = (а; Ь; с) перпендикулярен плоскости, проходящей через точку М (х0; у0; zoy Тогда для любой точки Мл U; у; г) этой плоскости векторы п и ММг перпендикулярны, следовательно, п • Л4М] =0. Записывая это скалярное произведение в координатах, получаем следующее уравнение плоскости:

а(х-хо)4-^(у-Уо)4-с(г-го) = О,(2)

которое, если положить d = — ах0 — Ьуй — cz0, приводится к виду (1). Таким образом, уравнение ах A- by-Vcz-V d = 0 определяет плоскость, перпендикулярную вектору п = (а; Ь; су

Пример 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору я = (—2; 1; 3).

Д Подставляя в уравнение (2) координаты вектора я и координаты точки М (0; 0; 0), получаем уравнение плоскости: —2x4- 4- z/ 4- Зг = 0. д

(3)(4)(3)(4)Пусть две плоскости заданы уравнениямиагх + Ьгу + су2 4- di = О,сь^х 4- Ь^у 4- ^'2'2' 4- di = 0.

(3)

(4)

(3)

(4)

Эти две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны перпендикулярные им векторы ni — (йь bv Cj) н П2(а2; Ь2; с2), т. е. существует таксе число т^О, что <2; =та2; Ь1 — тЬг, С1 = тс^. Плоскости, заданные уравнениями (3) и (4;, перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы ni = («1, bi, ci) и я2 = (а2; Ьг; с2), т. е. когда я1л2 = 0.

Пересекаясь, две плоскости образуют четыре двугранных угла, попарно равных по величине. Углом а между плсаФах.ями называется величина меньшего из этих двугранных углов. Он равен углу ср между векторами «! и л2, если 0^ф^90° и равен 180° —ф, если 90°^ф^1809 (рис. 113). И в том и в другом случае соза = |со8ф|. Таким образом, косинус угла а между плоскостями, заданными уравнениями (3) и (4), находится па формуле

cos аcos а(5)(5)I «1 • «2 I

cos а

cos а

(5)

(5)

I «1 i | ^2 Г

ПримерПримерНайти угол между плоскостями — Зу 4-34-2 = 0 и 2у-|-г — 5 = 0.

Пример

Пример

Л Векторы ni и л2, перпендикулярные этим плоскостям, имеют координаты т = (0; —3; 1), /;2 = (0; 2; 1). Найдем длины этих векторов и их скалярное произведение: |«i| = "K10, |л2|="|/"5; Лг«2 =— 5.^ Тогда по формуле (5) получаем cosa = = 1—51Д3/Ю ]/"5) = 1/)/2, откуда а = 45°. ▲

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

В трапеции ABCD отношение длины основания ВС к длине основания AD равно п. Диагонали трапеции пересекаются в точке 0. Разложить вектор АО по векторам АВ и AD.

Даны три ненулевых вектора а, Ь, с, каждые два из которых неколлинеарны. Найти их сумму, если вектор а + b коллинеарен вектору с, а вектор b + с коллинеарен вектору а.

Медианы граней ОАВ и ОАС тетраэдра ОАВС пересекаются в точках М и N соответственно. Доказать, что векторы M~N и ВС коллинеарны и найти отношение | ММ | ; | ВС |.

Точки М, N, Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD, причем ] АМ | ' (АВ ] = \BN |: |ВС| = | СР j:\CD\ =» = DQ | i | DA |. Доказать, что MNPQ — параллелограмм.

Доказать, что любые два ненулевые вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа х и у, одновременно не равные нулю, что выполняется равенство ха рук = 0.

Два ненулевые вектора а и b таковы, что | a-\-b | = | а — b |. Доказать, что векторы а и b перпендикулярны.

Зная, что ;а| = 11, |6, = 23 и а — 6 | = 30, найти ]а + 6|.

Вектор а + 36 перпендикулярен вектору 7а— 56 и вектор а — 46 перпендикулярен вектору 7а— 26. Найти угол между векторами а и 6.

Единичные векторы а, 6 и с удовлетворяют условию а + Ь + с = 0, Вычислить а • b + b • с + с ■ а.

Найти такое число т, чтобы векторы a = i—j ~\-^к, 6 = ^1-\-j и с =• = ml-\-^k стали компланарными.

И. Найти координаты вектора 6, коллинеарного вектору а = (Н 1; —1/2), образующего острый угол с базисным вектором к, и такого, что |6| = 3,

Найти координаты единичного вектора р, перпендикулярного векто- рп*Л a = l-VjА"к и b = i-\-3j — к и образующего тупой угол с базисным вектором j.

Найти координаты вектора 6, компланарного с векторами I и J, перпендикулярного вектору а = 4/ — 3/ + ок, и такого, что ( л | = [ 6 |.

Найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и одинаково удаленной от точек А (2; —1; 1) и В (0; 1; 3).

От одной точки отложены векторы а=Ц—4; 0; 3) и Ь = (14; 2; —5). Найти вектор d, который будучи отложен от той же точки делит угол между векторами а и 6 пополам и длина которого равна рб.

Даны Я (3; 2), В (5; 1), D(l; —2). Найти длину диагонали АС параллелограмма ABCD.

Даны В (2; —19; 16), С(—4; 29; —20), М (1; —1; 1). Найги расстояние от точки М до середины отрезка ВС и расстояние от точки М до точки N, принадлежащей отрезку ВС, и такой, что [ BN | 1 ] ВС I = 1/3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; —3; 2) параллельно плоскости 4х—2у—z + 7 = 0.

Точка А (—1; —1; 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Найти расстояние от точки А (—2; 3; —4) до плоскости 2^ + 21/ — z + + 8 = 0.

Найти угол между плоскостью, проходящей через точки А (0; 0; 0), й (И 11 1), С (3; 2; 1), и плоскостью, проходящей через точки Л (0; 0; 0), S(h 1; 1), 0(3; 1; 2).

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

ABCDEF —правильный шестиугольник. Разложить векторы ВС и BD по векторам АВ и AF. '

ОАВС—тетраэдр, АМ — медиана грани АВС. Разложить вектор АМ по векторам ОА, ОВ, ОС.

A BCD —параллелограмм, точка М — середина стороны CD. Разложить векторы BD и АМ по векторам ВМ и МС.

114). Разложить векторы114). Разложить векторыДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. AAL, АС и DB по векторам DAL. DCV и DBV

114). Разложить векторы

114). Разложить векторы

Рис. 114.Рис. 114.В треугольнике АВС точки М и N — середины сторон АВ и АС. Разложить векторы АВ, АС и MN по векторам BN и СМ.

Рис. 114.

Рис. 114.

В тетраэдре ОАВС точки М и N— середины ребер ОВ и ОС. Разложить векторы АМ, BN и MN по векторам ОА, ОВ, ОС.

В треугольной призме АВСА1В1С] диагонали грани BBjCjC пересекаются в точке М. Разложить векторы АМ и АуМ по векторам ВА, ВВу, ВС.

Может ли длина вектора а — b быть: а) меньше, б) равна, в) больше суммы длин векторов а и №

Доказать, что любые два ненулевые соиапраиленные векторы а и U удовлетворяют условию ah а I — Ы\ b i.

Найти число х, если длина вектора Ь = ха равна 3 ] a j и вектор Ь: а) сонаправлен вектору а, б) противоположно направлен вектору а.

Векторы а и b неколлинеарны. Найти числа х и. у, если векторы хаД-yb и (у+1) а + (2 — х) b равны.

Векторы а и Ъ неколлинеарны. Найти числа к и у, если векторы (2 —x)<z + b и уаД-(х — 3) b равны.

Векторы а и b неколлинеарпы. Найти число х, если векторы (х — 1)а+ + lb и ЗаД-xb коллинеарны.

Векторы й и 6 неколлинеарпы, Найти число х, если векторы ЗаД-хЬ 2

и (1— х)а — b сонаправлены.

Векторы а и b образуют угол 120°. Найти х из условий, что |bj = = 2 | а | и вектор a + xb перпендикулярен вектору а — Ь.

Определить, при каких х и у вектор а =—ИД-З]Д-yk коллинеарен вектору b=xZ —6у-|-2Д.

Найти единичный вектор, сонаправленный вектору а = —6/-J-Зу — 2ft.

Определить длины векторов аД-b и а— Ь, если а = (3; —5; 8) и 6 = = (-!; 1; -4).

Дано: [ а | = 13, | b [ = 19 и | a—b j ==22. Найти | а + 6 [.

Дано: | а | = 6, | аД-b | = И, | а — b [ = 7. Найти | b |.

Определить длины векторов 2а—b и ЗЬ — а, если а =—2/-{-/ и Ь — — —i — У-

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на секторах а = (1; 2) и Z> = (2; —1).

Найти угол между векторами а = (4; 0, 3) и Ь = (2; —2; 1),

Угол между векторами а и b равен 120°, |а| = 3 и |Ь|=2. Найти: а) а-b, б) ка^ьу, в) (а-6)2, г) (а + 2Ь) (2а-Ь).

Векторы а, b и с удовлетворяют условию а + & + с = 0. Вычислить ab^bc-Vca, если !а' = 1, |bj = 3; |с| = 4.

Найти координаты вектора Ь, коллинеарного вектору а = (2; —3) и удовлетворяющего условию ab =—26.

Вычислить скалярное произведение векторов 4а — b и 2а + ЗЬ, если |а| — 2, |й|=3 и угол между векторами а и b равен 120°.

В плоскости найти координаты единичного вектора е, перпендикулярного вектору АВ, если А (1; —1) и В (3; 0).

Найти ab, если а = 4/+7/4-ЗА и Ь = 31 — 5/ + Й.

Найти (6et + e2) • (Cj —2е2), если угол между единичными векторами е^ и б2 равен 60°.

Найти угол между векторами а и 6, если |а|=2|6| и вектор 2а4-Ь перпендикулярен вектору а — ЗЬ.

Найти координаты вектора Ь, коллинеарного вектору а = (—1; 1; —2), если а ■ b = 12.

Найти координаты вектора Ь, коллинеарного вектору а—к—1, 2), если | b | = V 16.

Найти, при каких тип вектор а = 31— 2j-\-ink коллинеарен вектору 6 = п/+у-2й.

Найти, при каком m вектор а = (т; 7; —2) перпендикулярен вектору Ь = к—3; т; 4-2).

Найти координаты вектора Ь, перпендикулярного вектору а = к—2; 1) если | b j = 1^5.

Найти косинусы углов, которые образует с базисными векторами вектор а = (2; — 1; —2).

Пусть Ci и ег — единичные неколлинеарные векторы. Вычислить (26! —5еа) (3et4-e2), если | е^вг | = /3.

Найти угол между векторами АВ и а = (1; —3; 1), если А (—5; 7; —8) и В к-7; 9; -9).

Найти координаты единичного вектора, противоположно направленного вектору АВ, если Л (7; 4; —2) и 5(1; 2; 1).

Найти угол между векторами аЦ-b и 2а— с. если а=—i-\-j—k, b = 2i-j+2fc, c = —2l-Vj-3h,

Найти угол между векторами АВ и СО, если А к—5; 1); В к—1; 4), С(1; -4); 0(2; 3).

Найти координаты векторов АВ и 2ВА, если А (3; — 1; 2) и В(—1; 2; 1).

Найти координаты точек Мх и Мг, симметричных с точкеi М (1; —2; 5) относительно оси абсцисс и относительно плоскости Оху соответственна.

Дано: А (—1; —2; 4), £ (3; 2; —2); С (3; —2; I). Найти ,тол при вершине С треугольника АВС.

Найти длину медианы АМ треугольника АВС, если А (2; 3/2; —4), В (3; —4; 2), С (1; 3; —7).

Найти расстояние от точки М (—2; 0; 1) до середины отрезка АВ, если Л (2; —1; 0) и В (—2; 3; 2).

Даны: А (—1; 3; —7), В (2; —1; 5), С (0; 1, —5). Начти [ЛВ| и (2ЛВ —СВ) • (2ВС+ВЛ).

Даны: Л (1; —2; 2), В(1; 4; 0), С (—4; 1; 1), D (—5; —5; 2). Найти угол между векторами АС и BD.

Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного <а векторах 5«+2Ь и а — 3b, если | а [=21/2, |Ь| = 3; (о, Ь) = 45°.

Найти угол между векторами /> + ^ и p — q, если р = 8/Д4у, q =

Вектор а, у которого первая координата вдвое больше второй, образует с базисным вектором к угол 135°. Найти его координаты, если |«| = = 5 /2.

Вектор а, коллинеарный вектору Ь = (12; —16; 15), образует с базисным вектором к остры.! угол. Зная, что | л |= 100, найти координаты вектора а.

Найти координаты вектора а, перпендикулярного базисному гектору j и вектору Ь = 3/+у— 2Д, если |«| = 1/13-

Найти координаты единичного вектора а, перпендикулярного векторам /+У и у + Й.

Найти координаты вектора а, перпендикулярного векторам i—у и j — k, если [ а 1 = ^3.

Найти координаты вектора а, коллинеарного вектору Ь=(6; 8; —7,5) и образующего тупой угол с базисным вектором /, если j л | = 50.

Найти т и п, если вектор « = (3; т; —1) перпендикулярен вектору 6 = (2; 1; п) и | а | = | b

Найти координаты вектора а, перпендикулярного векторам i и b = = 37+У — к, если ]«| = |/2.

Найти координаты единичного вектора а, перпендикулярного вектору 6 = (—1; 2; 2) и образующего равные углы с векторами I и у.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 3; 1) перпендикулярно вектору « = (—1; 2; —5).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; —3; 2) параллельно плоскости 2х + у + 2г—1 =0.

Какие из следующих пар плоскостей являются: а) параллельными, б) перпендикулярными?

2x4-3:/—z + 6 = 0,х —у — 2 — 7 = 0;

2х — 3y + 5z—1=0, 2х—Зу4-5г4-3 = 0.

Найти, при каком т плоскость Чх-^-ту— Зг—1=0 будет перпендикулярна плоскости 5x+i/ + 3z4-l =0.

Вычислить расстояние от начала координат до плоскости х-2у-\-2г— — 6=0.

Найти угол между плоскостью Оху и плоскостью К2х4-1/ —За 4-17 = 0,

Найти угол между плоскостями х—у V^ + z — 1 =0 и х4-у V^—z 4- 4-3 = 0,

Глава VIII

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

В этой главе вводятся и изучаются комплексные числа, являющиеся обобщением действительных чисел. Последний параграф посвящен алгебраическим уравнениям с комплексными коэффициентами.

Комплексные числа и функции комплексной переменной играют исключительно важную роль во многих разделах математики и физики.

Определение комплексных чисел

Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел. Пара чисел я зляется упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым и какое — вторым. Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так: (а; Ь), на первом месте будем записывать первое число, на втором — второе число пары. Элементы (а; Ь) и (Ь; а) считаются различными, если й 6. Элементами нашего множества будут, например, пары (0; 0); (1, 0), (0; 1), (0; 1^2), (л; 1), (—1; 10е). Элементы (йх; bi) и (й2; ba) считаются равным! тогда и только тогда, когда

ЙХ = й2, Ь\ — Ь^.

Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар ;сйстви- тельных чисел алгебраические операции: сложение двух пар и умножение двух пар. Сделаем это следующим образом,

Суммой элементов (йх; bi) и (й2; Ь2) назовем элемент

(йх4-й2; bi-\-bi).

Произведением пар (йх; Ь^ и (й2; Ь^) назовем пару

(йхй2 — bib^; a^ba 4- ЬдО^).

Для обозначения операции сложения двух элементов нашего множества будем употреблять знак «+», при записи произведения сомножители будем писать рядом, опуская точку — знак умножения.

Таким образом, введенные нами операции определяются равенствами

(йД ^i) + (а21 +) = (Qi + a-л by-^-bz),(1)

(<2i; bi) (й2; b2) = (ауа2— byb2, йуЬг-т Ьхйэ).(2)

И..пример, сумма и произведение пар (3; —7) и (2; 9) вычисляются так:

(3; -7) + (2; 9) = (3 + 2; -7 + 9) = (5; 2),

(3; —7) (2; 9) = (3- 2- (—7)9; 3-9 +(—7) 2) = (69; 13).

Теперь можно дать определение комплексного числа.

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых формулами (1) и (2) определены операции сложения и умножения.

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, причем обычно используют для этого буквы г или ш, иногда с индексами, например zy, z2, ш0. Равенство z = (й; b) как раз и означает, что комплексное число (й; Ь) обозначено буквой г.

Свойства операций сложения и умножения

Введенные в § 1 операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

z1 + z2 = z2 + z1 (переместительный закон для сложения).

(zy + z2) + z3 = Zy + (z2 + z3) (сочетательный закон для сложения).

Для любых комплексных чисел zT и z2 существует комплексное число г такое, что zY + z = z2. Это число называется разностью чисел z2 и zx и обозначается z2 — zy.

ZyZa = ZiZy (переместительный закон для умножения).

(zyz2) z3 = Zy (z2za) (сочетательный закон для умножения).

Для любых комплексных чисел Zi+=(0; 0) и z2 существует число z такое, что ZyZ = z2. Это число называется частным комплексных чисел z2 и Zy и обозначается z2/zx. Деление на комплексное число (0; 0), которое называется нулем, невозможно.

Zy (z2 + z3) = zyza + ZyZ3 (распределительный закон).

Все перечисленные свойства операций сложения и умножения вытекают из формул (1) и (2) § 1, дающих определение этих операций, Докажем свойства 3 и 6, проверку остальных свойств предоставим читателю.

□ Доказательство свойства 3. Пусть Zy = (,ay; by), z2 = (a2; 62) и z(x; у). Тогда равенство zi + z = z2 примет вид:

(«ь by)-Их; y) = V4 b2).

Сложив комплексные числа в левой части равенства, получим

(йг + х; by + у) = (яд Ь2).

Из определения равенства упорядоченных пар действительных чисел следует, что . и у удовлетворяют системе двух уравнений

Й, 4" X = й2, ^1 4* У = b 2.

Эта система имеет единственное решение x = a.2 — aYl y=b1 — bi. Следовательно, разность z2 — zi всегда существует, причем

г = г, —Zi= (tz2; bi) — (aY\ bi) = (aa — aY; Ьй — Ъ^.(I)

Эта формула дает правило вычитания комплексных чисел. Д

□ Доказательство свойства 6. Пусть zY = (aY; bY), 2^ = ^ Ь2) и г = (х; у). Тогда равенство ZiZ = 22 примет вид

(«ь bY)(x; у) = (а.2; bi).

Перемножив комплексные числа в левой части равенства, получимlaYx-bYy\ aYy + bYx) = (аа; bi).

Из определения равенства пар следует, что хну удовлетворяют системе двух линейных уравнений

avx — bYy = й2,bYx + aYy = b2.

Умножив почленно первое уравнение на aY, второе на bv и почленно сложив полученные уравнения, найдем

(й] 4~ bi) х = й!й2 4~ bvb2.

Аналогично получим

(a^ + bi)y = aYb,-a4bY.

Итак, наша система равносильна следующей:

(й)" 4- bj) х = aYa, 4- bYba,^ + b\)y = aYba-a2bY.

Поскольку ?1 = (й1; Ь1)^Ц0; 0) и, следовательно, fl? 4-6? 5^0, система имеет единственное решение

= Щв^+М^ __ a,h.2 — nabYщ4-6[’°i+^i

Таким образом, частное двух комплексных чисел при условии, что делитель отличен от нуля, всегда существует, причем

, = г2 = (£22_^г) __ (uYa2 + bvh2 , aY' 2 — агЪх \

Zj (щ; 6J \ а? 4-6= '«¥ + »? /' '

Формула (2) дает правило деления комплексных чисел. Д

Введенные операции сложения и умножения позволяют рассматривать комплексные числа как обобщение действительных чисел, а на действительные числа смотреть как на частный случай чисел комплексных. В самом деле, рассмотрим не все ком-

плексные числа, а только комплексные числа вида (о; 0). Из формул сложения, умножения, вычитания и деления легко усматривается, что в результате сложения, умножения, вычитания и деления (а^О) таких чисел всегда получаются числа такого же вида. Кроме того, видно, что правила действий с комплексными числами вида (а; 0) полностью совпадают с соответствующими правилами действий с действительными числами. В связи с этим комплексное число (а; 0) отождествляют с действительным числом а и считают, что (а; 0) = а. Например, (0; 0) = 0, (2; 0) = 2, (—7; 0) = —7.

Множество действительных чисел становится при этом подмножеством множества комплексных чисел.

Комплексные числа вида (0; Ь) называют мнимыми. Число (0; 1) называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т. е. (0; l) = t. Используя формулу умножения, легко проверить, что произвольное мнимое число (0; Ь) представимо в виде произведения чисел (й; 0) и (0; 1), т. е. (0; Ь) = = (Ь; 0)(0; 1). Но так как ф; 0) = й и (0; 1) = г, то мнимое число (0; Ь) записывают в виде Ы. Например, (0; 2) = 2i, (0; -l) = -f.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.Правила действий с комплексными числами, записаннымив алгебраической форме

Каждое комплексное число z = ф; й) можно представить следующим образом:

z = ф; Ь) = ф; 0) + (0; ф = ф; 0) + (Ь; 0) (0; 1).

Учитывая, что ф; 0) = а, ф; ф = Ь, (0; l) = i, получаем г = ф; b) = a-^-bi.

Запись комплексного числа г = ф; й) в виде афф называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа афЫ, действительное число b называется мнимой частью комплексного числа афМ.

Из сказанного в предыдущих параграфах вытекают следующие правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Два комплексных числа z1 = al-\-bYi и г.Л = аа + Ьг1 равны тогда и только тогда, когда av=a2 и bY = b2, т. е. когда равны и действительные в мнимые части комплексных чисел. Обратим внимание на то, что одно равенство гх = 2а комплексных чисел равносильно двум, равенствам ах = а2, bx = b2 действительных чисел. Заметим еще, что понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются. Записи i>0, 1Д-£ < 2 и нм подобные лишены всякого смысла.

Формула сложения в новых обозначениях записывается так: (^i + byi) + (а2 + М) = ai + а-г + (by + b^) i.(1)

Она дает правило сложения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:

(fl! + byi) (аг + t2i) = ад — byb4 + (flit2 + a2bY) i.(2)

Эта формула не что иное, как формула (2) § 1, запгсанная в новых обозначениях.

Положив в (2) ах = аг = О, Ь1 = Ь2=1, получим важное соотношение

Н = — 1, или, применяя для произведения И сокращенное обозначение И = 12,

(3)

Отметим еще, что формула (2) не нуждается в залом: нации, так как получается автоматически, если формально перемножить двучлены ау-\- byi и ay-Vb^i по обычному правилу умножения двучленов и затем в соответствии с формулой (3) заменить i2 на — 1.

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел 2у= — 3 4~ 21 и z2" 13 — i.

A Zy -|- z2 = (— 3 -|— 21) 4~ (13 — t) = 10 +1,

= (— 3 + 2t) (13 -1) = — 39 + 3i + 26t + 2 = — 37 + 29t. ▲

Пример 2. Найти сумму и произведение комплексных чисел 21 = а + Ы и 22 = а — Ы.

Л zy + z2 = (a + bi) + (a — bi) = 2a,

ZyZ2 = (а + bi) (a — bi) = a2 — abi + abi — (bi)2 = a2 4- b2. д

Комплексные числа a 4-bi и a —bi, т. е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число, сопряженное числу г, обозначается z. Пример 2 показывает, что сумма г + 2 сопряженных чисел есть всегда число действительное, а произведение 22 —число действительное и, более того, неотрицательное.

Прежде чем перейти к обратным операциям, отметим еще один частный случай формулы (2). Положив аг = а, Ьу = 0, а^ = а, b^ — b, получим правило умножения действительного числа на комплексное:

а (а 4- bi) = оса + abi.

Обратные операции, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся согласно

следующим формулам:(И2 + b2i) — (Щ + bit) = О2 — Щ 4~ (^2 — bi) I,следующим формулам:(И2 + b2i) — (Щ + bit) = О2 — Щ 4~ (^2 — bi) I,Oi-ybai °1 + ^i1Oi-ybai °1 + ^i1ВД + ЬАВД + ЬАg1b2 — a2bt 'a") + bjg1b2 — a2bt 'a") + bj(4)(5)(4)(5)

следующим формулам:

(И2 + b2i) — (Щ + bit) = О2 — Щ 4~ (^2 — bi) I,

следующим формулам:

(И2 + b2i) — (Щ + bit) = О2 — Щ 4~ (^2 — bi) I,

Oi-ybai °1 + ^i1

Oi-ybai °1 + ^i1

ВД + ЬА

ВД + ЬА

g1b2 — a2bt 'a") + bj

g1b2 — a2bt 'a") + bj

(4)

(5)

(4)

(5)

Формулы (4) и (5) —это формулы (1) и (2) из § 2, записанные в иных обозначениях. Положив в формуле (5) а2 = а, Ьг = Ь, щ = а, ^ = 0, получим правило деления комплексного числа а 4- bi на действительное число а:

a-ybi а . b .аа ' а

Пример 3. Даны комплексные числа Zj =— 34-21 и г2 = = 13 — i. Найти разность z2 — zi и частное z^zi.

А По формуле (4) находим

z2 —Zi = (13 — и — (— 3 4- 2i) = 16 — 31.

Используя формулу (5), получаем частное

z6 13-i(—3) 13+2 (—1)(—3) (—I)—13 ■ 2 _4123.

zL ~ -3+2i~( — 3)24-22 ' +(-3)24-22~13131

Формула (5) довольно громоздка и трудно запоминается. Поэтому лучше ею не пользоваться. Проще умножить числитель и знаменатель дроби z2Jzi на Zi, т. е. на число, сопряженное знаменателю. Тогда нахождение частного z2/zi сведется к умножению числа г2 на число 4 и к делению полученного произведения на положительное число Zi?i (см. пример 2).

Другими словами, для деления комплексных чисел рекомендуется пользоваться формулой

^■2 4+1

+ 2XZX "

Для чисел, рассмотренных в примере 3, будем иметь

13-Z(13-1)(—3-2i)— 39 — 2Gi+ 31 — 2 _4123.

— 3+21 ”(-34-2/) (-3-21) ”9 4-413' 13 ‘

Пример 4. Записать комплексное число

3 + 1

Z ” (1+i) (1 —2i)

в алгебраической форме.

д3 -| - i3 4- i 3 + i

А z = (l+t)(l-2i) ” l-2i + i + 2 ””

_ (3-НЖ+£) = 9 + 6i- 1 _ 4 з .

" (3-i)(3 + i) 9 + 15 Д 5 ■ А

Геометрическая интерпретация комплексных чис<л.Модуль и аргументы комплексного числа

Хорошо известно, что между множеством всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек плоскости может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно выбрать на плоскости систему координат и каждой упорядоченной паре чисел (а; Ь) поставить в соотвзтствие точку М (а; Ь), т. е. точку с абсциссой х = а и ординате! у = Ъ (рис. 115). Комплексные числа мы определили как упорядоченные пары действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения. Следовательно, каждому комплексному числу (a; Ь^ = а4-Ь1 может быть поставлена в соответствие точка /И (а; 5) и, наоборот, каждой точке М (а; Ь) плоскости — комплексное число (a; b^a-Vbi. Установленное таким образом соответствие является, очевидно, взаимно однозначным. Оно дает возможность рассматривать комплексные числа как точки координат

ной плоскости. Эту плоскость называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс называют действительной осью (на ней расположены точки, соответствующие числам (а; 0) = а), ось ординат — мнимой осью (на ней лежат точки, соответствующие мнимым числам (0; b^ = biy

Часто удобно истолковывать комплексное число (а; 6) --= а + bl. как вектор ОМ (рис. 115). Очевидно, что каждому вектору плоскости с началом в точке 0(0; 0) и с концом в точке М (а; Ь)

Рис. 116.Рис. 116.чисел векторами позволяет датьчисел векторами позволяет датьсоответствует комплексное число (а; Ь^ = аД-Ы и наоборот. Точке О (0; 0) соответствует нулевой вектор.

Рис. 116.

Рис. 116.

чисел векторами позволяет дать

чисел векторами позволяет дать

Соответствие, установленное между множеством комплексных чисел с одной стороны и множествами точек или векторов плоскости с другой стороны, позволяет комплексные числа называть точками или векторами и говорить, например, о векторе а 4-bi или точке а 4-bi.

Изображение комплексных

простое геометрическое истолкование операциям над комплексными числами. Остановимся пока только на сложении комплекс

ных чисел.

193193При сложении чисел z^ = aY4-bil и z^a-^bji складываются их действительные и мнимые части (рис. 116). При сложении соответствующих им векторов OAlt и О/И2 складываются t х коор-

193

193

7 п/ред. Г. Н. Яковлева

динаты. Поэтому при установленном соответствии между комплексными числами и векторами сумме z^z-a чисел zv и z2 будет соответствовать вектор ОЛ4, равный сумме векторов OMi и бМ2. Таким образом, сумма комплексных чисел геометрически может быть истолкована как вектор, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым комплексным числам.

Определение. Модулем комплексного числа (a; Ь) = а + 1Ь называется длина соответствующего этому числу вектора.

Для модуля числа z используется обозначение [z|. По теореме Пифагора (рис. 115) для модуля комплексного числа г™* = a-Vlb легко получается следующая важная формула:

(1)(1)|21 = ]/^W>

(1)

(1)

выражающая модуль комплексного числа через его действительную и мнимую части.

Сопряженные комплексные числа имеют равные модули. Действительно,

\2\ = \а4-ЬЦ = У^ТЬе> \г\ = \а-ЬЦ=У^УЬ1.

Заметим, что для действительного числа 2 = fl + i0 модуль совпадает с абсолютной величиной числа:

| z | = | а + iO | — Ус? = | я].

Пример 1. Найти модули комплекс- /\ных чисел:

* ГТ^Д- 2, =2 — I, z2 = 2|/6+5l, Za = i.

\/А По формуле (1) находим

^и = У4+1=У5,

Рис' 117'| г2 ] = V<2 УЪ?+5* = 7.

Для вычисления модуля 23 нет необходимости использовать формулу (1). Длина вектора z3 = i очевидно равна единице, поэтому |23|=1. ▲

Комплексные числа z, имеющие один и тот же модуль (2 f = г, соответствуют, очевидно, точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности радиуса г с центром в начале координат (рис. 117).

Если |z|=/=0. то существует бесконечно много комплексных чисел с данным модулем. Модуль, равный нулю, имеет только одно комплексное число, а именно 2 = 0.

Геометрически очевидно, что комплексное число z^O будет задано, если помимо модуля числа г указать еще и направление Ьектора 2, задав, например, величину угла ф (рис. 117).

Определение. Аргументом комплексного числа z=A0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z, причем величина угл< считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Рис. 118.Рис. 118.У кУ к

Рис. 118.

Рис. 118.

У к

У к

Заданием модуля и аргумента комплексное число опрелеляется однозначно. Для числа г = 0 аргумент не определяется но в этом и только в этом случае число задается толькс своим модулем.

Аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами числа z = 1 -Н являются следующие углы: <pi = ^, Ф2 —-j-+у к

+ 2л =-|-л, <р3 = ^--2л = — ^(рис. И8)\^*4

и, вообще, каждый из углов щ == -- 4-\ и

+ 2лД, где /г — произвольное целое число. -/ze ! /,v

Любые два аргумента комплексного

числа отличаются на число, кратное 2л.А/

Например, разность ф2 — ф3 аргументов

ф2 = 9л/4 и <р3 —— 7л/4 числа z==l + t.

равна 4л. Для обозначения множестваиг" 11

всех аргументов числа г = а^-Ы исполь

зуется обозначение argz или arg (а 4-/Д'). Если речь идете каком- либо одном из аргументов, то его обычно обозначают бу свой ф.

Пример 2. ЕТайти аргументы комплексных чисел: zL = —i, 2-2 — 1, Z3 = 1 -J“ I.

А Построив векторы z17 z2, z3 (рис. 119), находим один из аргументов для каждого числа: фц =— л/2, ф> = 0, <р3 = Зл/4. Следовательно,

argZi = — у4-2л&, arg г2 = 2л&, argz3 = ^4-2n/-,

где к — произвольное целое число. ▲

Действительная и мнимая части комплексного числа г — а-\-Ы выражаются через его модуль [г[ = г и аргумент ф следующим

образом:.

a = rcos<p, 6 = rsin<p.(2)

Эта связь легко устанавливается при рассмотрении рис. 117.

Таким образом, аргументы ср комплексного числа могут быть найдены из системы уравнений

COS ф = .-L-^-L, Sill ф =.(3)

Пример 3. Найти аргументы комплексного числа z =— 1 — — /Зё_

Л В данном случае а =— 1, Ь =— |/3. Система (3) имеет вид cos<p =—1/2, sin ср = — ]/3/2.

Решив эту систему, найдем <р4 = -у + 2лЛ, А е; Z. Следовательно, аг§2 = ^ + 2лй, к е Z. ▲

Аргументы комплексного числа можно найти и иначе. Из формул (3) видно, что каждый из аргументов удовлетворяет уравнению

tg ср = Ыа.

Это уравнение не равносильно системе (3), оно имеет больше решений, но отбор нужных решений (аргументов комплексного

Рис. 120.Рис. 120.числа) не представляет труда, так как из алгебраической формы записи комплексного числа всегда видно, в каком квадранте комплексной плоскости оно

Рис. 120.

Рис. 120.

1. расположено.

? П р и ме р 4. Найти аргументы комплексного числа 2 = — ]ЛЗ +1.

Л Каждый из аргументов <р числа , 2 = — ]/3 + i удовлетворяет уравнению

.tg<p = -i/V3.

Из уравнения следует, что ф* =— g+ + кк, к g Z- Так как число z = — ]/^+

+ 1" расположено его аргументами Следовательно,+ 1" расположено его аргументами Следовательно,вововтором квадранте комплексной плоскости, то будут числа tp4 при нечетных значениях к.

+ 1" расположено его аргументами Следовательно,

+ 1" расположено его аргументами Следовательно,

во

во

arg(— /3+t) = _ | + л(2и+1) = ^ + 2ли, n e Z. A

В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о геометрическом смысле модуля разности двух комплексных чисел. Построим

вектор г2 —2i как сумму векторов гг и (—21) (рис. НО). По определению модуля число |г2 —2i| есть длина вектора ?> — 2Ь т. е. длина вектора ОМ. Из конгруэнтности треугольников OMNV и МуМ^О следует, что |ОМ | = [ MLM2 р Итак, длина тектора 23 —2i равна расстоянию между точками 21 и г2. Таким образом, модуль разности деух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соотеетстеуюп этим

числам.

Это важное геометрическое истолкование (или, как еш: говорят, геометрическая интерпретация) модуля разности двух комплексных чисел позволяет при решении некоторых задач с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 5. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями:

а);2-1! = 1, 6) : 2 [-2 : < 2 - -,

2 s^ [ 2 — 1+2t 5 < 3?

Л а) Условию । 2 — 11 = 1 удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки I на расстояние, равное единице. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в "очке i (рис. 121).

Используя геометрическую интерпретацию модуля р: зности двух комплексных чисел, задачу можно переформулирова -ь так: каково множество точек комплексной плоскости, которые расположены ближе к точке 2 = — 2, чем к точке г ==2D Ясю, что

Рис. 122.Рис. 122.

Рис. 122.

Рис. 122.

таким свойством обладают все точки плоскости, лежащие левее мнимой оси и только они. На рис. 122 искомое множество точек заштриховано.

Комплексные числа г, удовлетворяющие неравенстве м

2<|г-(1 - 2t)|<3,

удалены от точки 1 —2t на расстояние большее или равноо двум, НО меньшее трех. Такие точки расположены внутри и ни внут-

ренней границе кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с центром в точке 1— 21 и с радиусами г = 2 и

7? = 3. На рис. 123 искомое множество показано штриховкой, а

§ 5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Умножение и деление комплексных чисел, записанныхв тригонометрической форме

Вернемся к формулам (2) предыдущего параграфа: а = г costp, b=r simp.

Эти формулы связывают действительную и мнимую части комплексного числа 2 = а-\-Ы с его модулем г и аргументом <р.

Каждое комплексное число z = a-\-bi, отличное от нуля, может быть, следовательно, записано в виде

z = г (cos ф + i sin ср).(1)

Запись комплексного числа в виде

г (cos <р 4-г sinq)),

где г —модуль числа, а <р —один (любой) из его аргументов, называется тригонометрической формой записи.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи числа к тригонометрической, достаточно найти модуль комплексного числа и один из его аргументов.

Пример 1. Записать числа 2V =—1— 1, 22 =—2, za = i в тригонометрической форме.

Л Так как |21|=]Л2, а ф1 = — Зл/4, то

2t = ]/2 (cos (— Зл/4) -|-1 s in (— Зл/4)).

Модуль гг равен 2, а одним из аргументов г2 является угол <р2 = л, поэтому

23 = 2 (cos л 4- i sin л).

Учитывая, что jzs] = l, а <р3 = л/2 —один из аргументов 23, получаем тригонометрическую форму записи для г3:

z3 = cos (л/2) 4~ t sin (л/2). А

Пример 2. Записать числа

гх = 2 cos (7л/4) — 2t sin (л/4), г2 = — cos (л/17)4-1 sin (л/17)

в тригонометрической форме.

Д Для записи чисел 2х и z2 в тригонометрической форме нет необходимости предварительно находить их модули и аргументы (хотя сделать это совсем не трудно). Воспользуемся тем, что

cos(7n/4) = cos( —л/4), а — $1п(л/4) =sin( —л/4).

и сразу получим тригонометрическую форму для первого числа zt = 2 (cos (— л/4) ф- i sin ( — л/4)).

Аналогично, учитывая, что

— COS уу = COS ( Лру I = COS -уу, л . / л \.16л

Sin уу = sin I Лру ) = Sin-py-, получаем

2^ = cos (16л/17) + 1 sin (16л/17). ▲

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается очень удобной при умножении и делении чисел. Прежде чем перейти к рассмотрению этих операций, отметим, что два комплексных числа

2i = ri (cos Ф1 +£ sinФт) и 22 = ri (cos<p2 + z sin ф2) равны тогда и только тогда, когда

Г1 = г4, <рт = ср» + 2л&, & е Z,

т. е. когда модули чисел равны, а аргументы отличаются на 2лА, где к — некоторое целое число.

Пусть теперь

= ri (cos Ti + £ sin Фз) и z2 ==/"2 (cos ф2 ф-1'sin ф2) — два числа, записанных в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме их произведение:

2[22 = Гр^ (COS фх COS ф2 — Sin ф, Sin ф2 + 1 Sin ф, cos ф2 +

+ i cos ф1 sin ф2), или

2,2-3 = грг (COS (фз 4- ф2) 4- z sin (фз + ф2)).(2)

Следовательно,

|212а| = Г1Г2, arg (2i2,) = Фз + ф2 + 2лА, А е Z.

Таким образом, справедливо следующее утверждение: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.

Пример 3. Найти произведение чисел

11л. . 11л\1( Зл , . . Зл \

«3 = y2kos-^—ptsin—j и 22-У8 (cos-a-4-zstn

А Так как |гз| = "У2, |г2[ = ]/8, то | гхг^ | =ф^2 ] 8 = 4.

Аргументом произведения z^Zg данных чисел будет сумма

,11л , Зл 25,

ф1 + Фа = -4- + -g- = "у-л- Следовательно,

z122 = 4 (cos (25л/8) +1 sin (25 л/8)),или.

z1z2 —: 4 (cos (9л/8) + i sin (9л/8)). ▲

Перейдем к делению чисел. Запишем частное двух комплексных чисел

■= П (cos фт + i sin фх) и 2а — r2 (cos ф2 + i sin фт)

в тригонометрической форме. Умножая числитель и знаменатель часТного z1/2e на cos ф2 — f sin ф2, получим

^1 _ Г1 (СОД ф! + Z sin ф]) (cos ф2 — i sin ф2) _

z2 — г a (cos ф2 + i sin ф2) (cos ф2 — i sin ф2)

Г] (сод ф! cos фа + sin ф2 sin фа + i sin ф2 cos ф2 — i cos ф2 sin ф2)

1г2 (СО8^ф2+51П2ф2)’

или

А = A. (cos (ф! — ф2) + i sin (ф! — ф2)).(3)

Следовательно,

I 2i/A I = ri/r8, arg (zjz^ = фг — ф2 + 2лА, A e Z.

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Пример 4. Записать число г =в тригоно- r rcos (л/3) -{-1 sin (л/3) г

метрической форме.

/\ Введем обозначения zY = i— 1, z2 = cos (л/3) + i sin (л/3). Число z2 записано в тригонометрической форме. Очевидно, что |г2|=1 и ф3 = л/3. Найдем модуль и аргумент числа zp. 12, ] = = ]/"2, ф1 = Зл/4. По формуле (3) получим

т. е. '

г= j/2(cos (6n/12) + isin (бл/12)). д

Возведение в степень и извлечение корня

Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай п сомножителей. Испольвуя метод математической индукции, легко получить следующий результат: модуль произведения п комплексных чисел равен произведению модулей Всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения.

Отсюда, как частный случай, получается формула

(/■(cos ф-Н sin ф))" =/" (cos Лф-Н sin Лф),(1)

дающая правило возведения комплексного числа г (cos ф-Н sin ф) в целую положительную степень:

При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример 1. Записать число z = (i — р^З)13 в алгебраической форме.

Л Сначала запишем данное число в тригонометрической форме, а затем перейдем от тригонометрической формы к алгебраической. Найдем модуль и один из аргументов числа . — р^З:

r = i г — р^З ! =2, ф = 5л/6.

Представим число i — \3 в тригонометрической форме:

I — УЗ = 2 (cos (5л/6) + i sin (5л/6)),

Теперь, применяя формулу (1), получаем

(/ — УЗ)13 = (2 (cos (5л/6) -j-i sin (5л/6)))13 =

= 213 (cos (65л/6) + i sin (65л/6)) = 213 (cos (5л/6) + i sin (5л/6)).

Такова тригонометрическая форма данного числа. Запишем это число в алгебраической форме:

(i — ]/3)13 = 213 (cos (5л/6) -\-l sin (5л/6)) =

== — 212КЗ+212н ▲

\22 /

Перейдем к извлечению корня данной степени из комплексного числа. Число г называется корнем степени п из числа w (обозначается Уш), если гп = ш.

Например, числа z, = i и z3 =— I являются корнями степени 2 (квадратными корнями) из числа w = — 1, так как t2 = — 1 и ( — Ц4 = —1. Из определения вытекает, что каждое решение уравнения zn = w является корнем степени п из числа ш. Другими словами, для того чтобы извлечь корень степени п ts числа щ, достаточно решить уравнение zn = w.

Если щ = 0, то при любом п уравнение zn = w имеет одно и только одно решение г = 0. Если ty^O, то и 2=^0, а следовательно, и z и w можно представить в тригонометрической форме:

г = г (cos ф +i sin ф), w = р (cosa-j-i since).

Уравнение z" = w примет вид

г” (cos «ф + i sin Пф) = р (cos а-]-Д sin a).

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на 2лЛ, где к — некоторое целое число. Следовательно,

г" = р и п<р = ос -)- 2л£ ИЛИ

г = V Р и Ф =keZ.

Итак, все решения уравнения zn = w могут быть записаны следующим образом:

//а . 2л ,\ , - - /« , 2л ,\\,—

4 = ГР ^cos^ + ^A) + tsm|-^- + ^&;>)> keZ.

Легко видеть, что все числа zb получаемые при ^ = 0, 1, 2, ... ..../г — 1, различны. Если брать значения к^п, то других комплексных чисел, отличных от z0, zv z2, .... z^, не получится.

Например, при к = п получаем

za = Yp (cos ^ +2л^ + / sin(^- +2л^ =

= VР (cos (afn) + i sin (a/n)) = z0.

Таким образом, если w^O, то существует ровно п корней степени п из числа по; все они получаются из формулы

nr f / a , 2л Л t / a , 2лzft = /p (cos— + --Ш

k = 0, 1, 2, ..., n — 1.

Из формулы (2) видно, что все корни степени п из числа w имеют один и тот же модуль, но разные аргументы, отличающи- 2л ,,

еся друг от друга на — к» где к —некоторое целое число.

Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени п из комплексного числа ш, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса у р с центром в точке 2 = 0.

Сделаем еще одно замечание относительно обозначения У w. Обычно под V™ понимается множество всех корней степени п из w. Например, под V — 1 понимается множество, состоящее из двух чисел I и — С. Иногда под Vш понимают какой-либо один корень степени п из числа w. В таких случаях следует обязательно указывать о каком значении корня идет речь.

Пример 2. Найти все значения у —64.

А Запишем число w = — 64 в тригонометрической форме;

— 64 = 64 (cos л-Ц sin л).

Применяя формулу (2), получаем

гк = т/64 (cos+ k\ + i sin +A = 0, 1,5,3, 4, 5.

Следовательно,

20 = 2 (cos (л/6) + i sin (л/6)) = ]/3 +t, zT = 2 (cos (я/2) + i sin (я/2)) = 2i, z2 = 2 (cos (5n/6) + i sin (5л/6)) = — У^З + z, 23 = 2 (cos (7л/6) + i sin (7л/6)) = — У^З — i, 24 = 2 (cos (Зл/2) + i sin (Зя/2)) = — 2i, 26 = 2 (cos (Пл/6) + / sin (11 л/6) = У 3 — i.

Точки, соответствующие числам zk, расположены в вершинах

правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке 2 = 0 (рис. 124). ▲

Алгебраические уравнения

Рассмотрим алгебраическое уравнение степени п с комплексными коэффициентами, т. е. уравнение вида

с„2я + амгл-1+...4-а1г + а6=0, ая=#0, neS4. (1)

Число ze называется решением или корнем уравнения, с: л и при подстановке ге вместо z в уравнение получается вернее числовое равенство. Следовательно, если zn —корень уравнения (1), то

йлге + ая-1^о 1+.«. + o1Z< + tifl = 0.

Например, следующие уравнения:

г + 1 — ? = О,22- 1 =0,2®+ 23 + t2a + i = 0,12’ + 32(1 -02 = 0

— являются алгебраическими уравнениями соответственно первой, второй, пятой и седьмой степеней. Корнем первого уравнения является число 20 = —1 + 0 второе уравнение имеет два корня г0=1 и 2l = —1. Число zQ = i — корень третьего уравнения, так как i° + :3 + t• i2 + i = 0. Очевидно, что го = О — корень четвертого уравнения. Помимо корня zo = O четвертое уравнение, как эго следует из предыдущего параграфа, имеет еще шесть корней.

Решить уравнение в множестве комплексных чисел —значит найти все корни уравнения.

Общий вид алгебраического уравнения первой степени:

+ z + + = 0,д + 0.

Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение гц =— «о/+. Уравнение второй степени (квадратное уравнение) в общем виде записывается так:

с^ + ахг + н0 = 0, с2 + 0.

Для решения этого уравнения преобразуем тождественно его левую часть

и найдем корнии найдем корни$2$2«1 V _ а0; —4аоаа_ aL , 1+) — 4а0а22^/ -4а|’2аг 12с2«1 V _ а0; —4аоаа_ aL , 1+) — 4а0а22^/ -4а|’2аг 12с2-а,+К52а2-а,+К52а2(2)(2)

и найдем корни

и найдем корни

$2

$2

«1 V _ а0; —4аоаа_ aL , 1+) — 4а0а2

2^/ -4а|’2аг 12с2

«1 V _ а0; —4аоаа_ aL , 1+) — 4а0а2

2^/ -4а|’2аг 12с2

-а,+К52а2

-а,+К52а2

(2)

(2)

В последней формуле введено обозначение D = al — 4аоа., (дискриминант квадратного уравнения обозначен буквой О), под VD понимаются все значения корня.

Формула (2) для корней квадратного уравнения имеет такой же вид, как и в случае, когда коэффициенты уравнения действительные числа и решения отыскиваются в множестве действительных чисел. Но поскольку в множестве комплексных чисел операция извлечения квадратного корня имеет смысл для любого комплекс-

ного числе, ограничение О > О становится излишним. Более того, оно вообще теряет смысл, так как дискриминант может оказаться числом не действительным, а для таких чисел понятия «Сольше», «меньше» не определены.

Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение

аг2г + ахг + «о = О

(п2, аи а0 — комплексные числа, а2+0) всегда разрешимо

Если D = ai — 4поп2 = 0, уравнение имеет один корень, если 0 + 0, уравнение имеет два корня. Во всех случаях корги квадратного уравнения можно найти по формуле (2).

Пример 1. Решить уравнение г2 +32 + 3 = 0.

Л По формуле (2) находим

_3+/9-12 _ -3 + /+3г~ 2~2

Учитывая, что V ~ 3 = + il/З, получаем з /з , з /з . ,

21 =2 + 22222 11 А"

Пример 2. Решить уравнение

г2 — 8г — Зг'г + 13 + 13i = 0.

Л По формуле для корней квадратного уравнения им;ем

8 + 3i + /(8+3i)2 — 4 (13+ 13Г)8 + 3i + V3 — 41

г5^.

Для определения всех значений КЗ — 4/ можно было бы использовать формулу 2 § 6, но гораздо проще применить другой прием. Положим

/3- 4i = x-Vyi,

тогда 3 — 4i = х2 + 2xyi — у2 и, следовательно, х и у удовлетворяют системе уравнений

х2 - у2 = 3,

ху = — 2,

причем х и // — действительные числа. Система имеет два действительных решения х = 2, у = — 1 и х= — 2, у=\. Поэтому

/3 - 41 =/3 - 41 =2 —i, -2 + i2 —i, -2 + i

/3 - 41 =

/3 - 41 =

2 —i, -2 + i

2 —i, -2 + i

_ 8 +31 + 2—1, . .-8 + 3i — 2 + iq । о; х

212—б + t, 22 —2— о + 21. А

Гkpt-йдем к [ яссмотрепню алгебраических уравнений более высокой степени. Решение уравнения (1) при п>2 является, как правило, задачей неизмеримо более сложной. В 1799 г. великим математиком Карлом Гауссом была доказана теорема:

Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень.

Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Она носит имя Гаусса. Доказательство ее достаточно сложно и в курсах элементарной математики не приводится (см. доказательство в книге Л. С. Понтрягина «Метод координат» из серии «Знакомство с высшей математикой»).

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения (1) всегда допускает представление в виде произведения:

«„ (г - г^ <г - z^ ... (г - г^ь;

где гп г2, ... , zk — некоторые различные комплексные числа, а а,, а2,..., аА — натуральные числа, причем

«! -Г а2 + ... ^ак = п.

Отсюда следует, что числа гп г2, ,.., zk и только они являются корнями уравнения (1). При этом говорят, что гх является корнем кратности а1( г2 —корнем кратности а2 и т, д. Если условиться корень уравнения считать столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему:

Каждое алгебраическое уравнение степени п имеет в множестве комплексных чисел ровно п корней.

И теорема Гаусса, и только что сформулированная теорема являются типичными теоремами существования. Они дают исчерпывающее решение вопроса о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но, к сожалению, ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корень уравнения первой степени atz-\-aft = 0 определяется формулой г =—ав/аь если корни уравнения второй степени а^ + ахг -1- а0 = 0 всегда могут быть легко найдены по формуле (2), то уже для уравнений третьей и четвертой степени аналогичные формулы настолько громоздки, что ими предпочитают не пользоваться, а для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае вообще не существуетх). Отсутствие общего метода решения алгебраических уравнений не мешает, конечно, в частных случаях в зависимости от специфики уравнения, отыскать все его корни. Например, формула (2) § 6 позволяет найти все корни уравнения «„z” + aQ = 0, т. е. двучленного уравнения степени п.

Для решения уравнений с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема:

!) Отметим, что в высшей математике разработаны разнообразные методы, позволяющие находить приближенные значения корней алгебраических уравнений с нужной точностью.

Целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

□ Доказательство этой теоремы провести легко. Пусть z = k— — целый корень уравнения

ап^п + an_xzn-1 + • • • + °1г 4* °о = О

с целыми коэффициентами. Тогда

атФп 4- ап _ хкп-14*.. - + а^ 4- а0 = О и, следовательно,

а0 = —к ^„к"-14-... + ^).

Число ankn~x-V...-VOi при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит, к — делитель числа а0. Д

Пример 3. Решить уравнение

23-6z-9 = 0.

Л Рассматривая делители свободного члена, убеждаемся в том, что только г = 3 является целым корнем уравнения. Делим левую часть уравнения на 2 — 3:

23— 62 — 9 | 2 — 3

г^Зг24- За 4-3.

322 -б2

3z2-9z

Зг-9

3z-9б

и, решая квадратное уравнение

г2 4- За 4- 3 = О,

получаем остальные корни. Итак, оз . . Изз .Из"

2i22" ■2 4"2 *^^22 ‘ ^

Пример 4. Найти целые корни уравнения

2г3 —5г2-2г-2 = 0.

Л Целыми корнями уравнения могут быть только тЫ, ±2. Подстановка в уравнение показывает, что ни одно из этих четырех чисел не удовлетворяет ему. Предложенное уравнение целых корней не имеет. ▲

Пример 5. Решить уравнение

25 - 2г4 - 13г3 4- 26г2 4- 36а - 72 = 0.

Л Подвергая испытанию делители свободного члена, найдем, что z = d22 суть корни уравнения. Разделив левую часть уравне-

ния на z2 —4, придем к уравнению

23 —2г2—9г+18 = 0, корнем которого является 2 = 2. Разделив на z —2, получим г2 — 9. Таким образом, левая часть уравнения разлагается на множители:

(2 + 3) (z + 2)(z —2)2 (г-3).

Итак, уравнение имеет три однократных (простых) корня г = —3, 2 = —2, 2 = 3 и один двукратный корень 2 = 2. ▲

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Представить комплексное число

П+2+-(2-+_ (3 + 2i)a-(2+i)2 в алгебраической форме.

Найти модули и аргументы комплексных чисел:

а) г= ц1107 ■ б) z = sin (6n/5) + i (1+cos (6л/5)).

Представить г в алгебраической и в тригонометрической формах:

г) г = (/3—j)100. б) z=l+cos(10n/9)+isin(10+9).

Представить число z = (tgl — 04 в тригонометрической форме.

Решить уравнение г2 + г ]2 = 0.

Какое множество точек комплексной плоскости задается условием!

jz+l^z —ip б) ;г2 + 3?+Зг=0.

sin ! z ] > 0?

На комплексной плоскости даны точки z1 = 6+8i, г2 = 4— 31. Найти комплексные числа, соответствующие точкам, принадлежащим биссектрисе угла, образованного векторами zv и z2.

Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих условию ++з-Кзщ = /з, найти число, имеющее наименьший положительный аргумент,

Решить уравнение г4 + 8 + 8)'3 1=0.

Записать

/б^+ТЗГ + У 5— 12Z

г = —7-г-, г ;—

V 54-121-р 5 — 12г в алгебраической форме при условии, что действительная часть комплексных чисел /5+121, /5-12: отрицательна.

Доказать, что остаток от деления многочлена Рп (г) на г — z0 равен Р„ (г0) (.теорема Безу).

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА П

Найти г1+?г, г^г, Z]—г2. —- , если:

z2

z2 = 2 + 51, z2 — 1 — 71.

z1 = /2"—/з1, za = /2+/3i,

Записать 2 в алгебраической форме:

-41+63i61 + 1/-1+К31?

а)г—so—б) 2=(—к—;•

в) г = ^ + -М. г) z=(2 + i)6.

Найти комплексное число 2, удовлетворяющее уравнению (I — г) (1 + 21) + (1 — 1г) (3 — 4i) = 1 + 71, и записать его в алгебраической и в тригонометрической формах,

Решить систему уравнений

f г1 + 2г2=1 + <. ( 3z,4-iz.2 =2 — 31,

При каких действительных значениях х и у комплексные числа г1 = 9у2 — 4—Юхр и z2 = 8у2 + 2014 являются сопряженными?

Доказать равенства:

Z1 + г2 + • ■ • + Zrt = ?1 + $2 + ■ ■ ■ + гл,

21га,..гя = 21га...2„,

Решить уравнения:

а) га + 2 = 0,б) г2 + |?;=0.

в) |zl —12=1—2Сг) г2 = г3.

Д) г^ + г } г | + | г» j = 0.

Решить систему уравнений

| z+ 1 — < | = f 3—z + 2Z I = | 2 +f [.

Доказать, что система уравнений

( | z +1 —£ |=К2,

I lzl=3 решений не имеет.

На комплексной плоскости даны точки гь г3, г3, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

a) z + i-;| = iz-l + i|. б) (1-0? = (1+0г.

в) ; г + 1+2< | eg 0. г) arg г = (2л + 1) л, л s Z*

Д) ! Z+1 I 5= !г + < j. е) | г + 2 —i |=F3. ж) lg | г+< | sg I.

^-(8n+l) <arg(z + 0<y (4«+1), neZ.

: z—2 ja+ i z + 2 i2 = 26.

Среди комплексных чисел z, удовлетворяющих условию:

а) 2 + 1—Z; =5 1, б) I 2-51'1 Sg3,

найти число, имеющее наименьший положительный аргумент,

Записать г в тригонометрической <3юрме:

а) г = —Кз + Л б) г = —1.

. „ л , . л .1 + i р^З

^^-coa^-Zsln^. г) 2=2t.-(^-60O+i.sin-^.

14. Представить 2 в алгебраической форме:14. Представить 2 в алгебраической форме:п е IN,п е IN,

14. Представить 2 в алгебраической форме:

14. Представить 2 в алгебраической форме:

п е IN,

п е IN,

Найти все значения y^w, если:

а) го = 4-1, л = 3. б) ш = — 1, л = 4.

в) ш = — 44-^481, л = 3, г) о)=1-|-1, л = 8.

Пусть Л*(1г=1, 2, ..,, л) —вершины правильного л-угольника, вписанного в окружность радиуса /?=1, Найти:

|Л1Л2|24-|Л1Лз12 + ... + :^1Л„|2.

| Л^г | | Л1Ла || Л2Лга <

Решить уравнения:

22 — 212 — 5 = 0. б) 22-202 4-92 4-61 = 0.

г5.—1 — i Кз = 0. г) 2^-|-z4-}-г34-г24-z4-1 =0.

г4— 4234-7га — 16г4-12 = 0.

г» 4-2г4 4-4г3 4-8г2 4-16г4-32 = 0.

Доказать, что если уравнение

апгп + an-xzn~Y4-... 4- «1? 4- «0 = о с действительными коэффициентами имеет корень ги, то число ги также является корнем этого уравнения.

Убедиться в том, что число 1 4~* является корнем уравнения Зг4—5г3 4-Зг2 4-4г — 2 = О, и найти остальные корни.

Найти общие корни уравнений:

г3 + 2г24-2г 4-1 = 0,219Я2 + г100 4- 1=0.

При делении многочлена Рп (г) на г — i в остатке получается 1, а при делении на z + i в остатке получается 14-1. Найти остаток от деления Рп (г) на г2-)- 1.

Может ли точка 2 = 0 принадлежать какому-нибудь многоугольнику, вершины которого находятся в точках

zA= 14-г-|-г24-...4-г/г'2, 12 j < 1?

Глава IX

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,СИСТЕМЫ, НЕРАВЕНСТВА

§ 1. Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения. Вначале напомним формулы для решения простейших ''ригоно- метрических уравнений:

sinx = a, х = (—1)" arcsin а+ л/г при [а|^1,(1)

cosx = c, х = ± arccos а + 2ли при |а|^1,(2)

tg х = а, х = arctg а + л/г,с eR,(3)

ctgx = a, х = arcctg а +лл,aeR,(4)

где и = 0; ±1; ±2; ..., т. е. heZ.

Уравнения sinx = a и cosx = a имеют решения для любого йе[—1; 1], т. е. при |а|^1. Если же |а|>1, то эти уравнения решений не имеют.

Уравнения tgx = a и ctgx = a имеют решения для любого oeR

Для записи решений простейших тригонометрических уравнений можно использовать и обозначения из теории множеств, например множество решений уравнения sinx = a, ia|<l, можно записать в виде

{(—1)” arcsin а ф- ли [ п е Z}.(5)

В (1) —(4) решения уравнений выражены через значения обратных тригонометрических функций. Напомним некоторые свойства этих функций.

as[—1; 1], «е[—1; 1].as[—1; 1], «е[—1; 1].— л/2 ^ arcsin а ^ л/2,— л/2 ^ arcsin а ^ л/2,О ^ arccos а ^ л,О ^ arccos а ^ л,Каждая из функций arcsin а и arccos а определена на отрезке [-li 1] и

as[—1; 1], «е[—1; 1].

as[—1; 1], «е[—1; 1].

— л/2 ^ arcsin а ^ л/2,

— л/2 ^ arcsin а ^ л/2,

О ^ arccos а ^ л,

О ^ arccos а ^ л,

Функция arcsin а является нечетной, т. е.

arcsin (— а) = — arcsin а.

Функция arccos а не является ни четной, ни нечетной. Каждая из функций arctg а и arcctga определена на всей числовой

прямой и

— л/2 < arctg а < л/2, ае Р,0<arcctga<n, а е р.

Функция arctg а является нечетной, т. е.

arctg (— а) = — arctg а.

Функция arcctga не является ни четной, ни нечетной.

Для решения тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят теми или иными преобразованиями к одному или нескольким простейшим.

Пример 1. Решить уравнение 2sin2x=l.

А Преобразуем уравнение, воспользовавшись равенством 2sin2x= 1 — cos 2х, верным для всех х, тогда получим

1 — cos 2х = 1, cos 2х = 0.

Значит, 2х = -2- 4^лп, « е Z.

т в е т: х = -^ + —, ие Z. ▲

Пример 2. Решить уравнение

tg2x = 3.(6)

А Если х —решение данного уравнения, то либо tgx = ]/3,(7)

либо tg х = —1/3.(8)

Очевидно, верно и обратное, если х — решение одного из уравнений (7), (8), то х —решение уравнения (6). Таким образом, множество решений уравнения (6) есть объединение множеств решений уравнений (7) и (8). В этом случае говорят, что уравнение (6) равносильно совокупности уравнений (7) и (8).

Уравнения (7) и (8) имеют соответственно решения

X = ^ + ЛИ, /2 G Z,

X = — у + ЛИ, /2 €Е Z.

Объединение этих двух множеств и есть множество всех решений уравнения (6). Эти решения можно для краткости записать в виде

х = ± -^ + ли,я eZ. А

Для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех определяется в частности знанием тригонометрических формул и навыками решения задач.

Многие тригонометрические формулы являются верными равенствами для всех значений, входящих в них переменных. Гаковы, например, формулы двойного аргумента:

sin 2а = 2 sin а • cos а,

cos 2а = cos2 а — sin2 а = 2 cos2 а — 1 = 1 — 2 sin2 а,

формулы половинного аргумента:

sin2 у = у (1 — cos a), cos2у = у (1 +cosa),

формулы для суммы и разности синусов и косинусов, длг: произведения синусов и косинусов, формулы для синуса и косинуса суммы' и разности,

Некоторые тригонометрические формулы являются верными равенствами не для всех значений переменных. Например, равенство

sin 2a

+ cos 2a

верно только для ay=y+nn, neZ. Отметим, что и правая и левая части этой формулы как функции а имеют одну я ту же область определения, а именно, они определены для в:ех а^ У=у + ли, n^Z- Другим примером служат формулы

. п 2 tg an 1 — tg2 a,ni

s in 2a =• cos 2a =>(9)

14-tg2a’l + tg2a' '

которые также являются верными равенствами для всех а^ У=у + лп, mZ. Но здесь в отличие от предыдущей формулы левые и правые части имеют разные области определения. Левые части в (9) определены для всех aeR, а правые— только для а¥= ^- + пп, mZ. Этот факт, как будет видно из примеров, следует учитывать при использовании формул (9). и аналогичных им, например формулы для тангенса двойного аргумента, формул для тангенса суммы и разности и т. д.

Рассмотрим примеры решения различных уравнений, Уравнения

sinax + sin6x = 0, sin ax—sin 6х==0,cos ax + cos 6x = 0, cos ax — cos bx = 0

легко решить, используя формулы для суммы и разности синусов и косинусов..-

Пример 3. Решить уравнение sin6x + sin4x = 0.,

А Применив формулу для суммы синусов, получим

2sin5xcosx = 0.(10)

Если х — решение этого уравнения, то верно по крайней мере одно из равенств

sin5x=0 или cosx = 0.(11)

Обратно, если х решение одного из уравнений (11), то, очевидно, х является и решением уравнения (10). Таким образом, уравнение (10) равносильно совокупности уравнений (11). Уравнения (11) имеют соответственно решения

Х=-у,Х=у-|-ЛЛ, ле£.

Все эти значения х и только они являются решениями исходного уравнения, ▲

Уравнения

sinox + cos&c = 0,sin ах — cos bx = 0

можно свести к уравнениям, указанным выше, с помощью формул приведения.

Пример 4. Решить уравнение sinx = cos2x.

А Преобразуем уравнение, используя Формулу приведения и формулу для разности синусов:

sinx—cos 2х = 0,sinx —sin ^у—2x^ = 0,

sin у ^Зх - з cos у - х) = 0.

Получившееся уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

sin у 13% — у j = 0, COS у l^л 1 = 0-

Решаем первое уравнение: у ^Зх — yj = лк, * = -^+~j^» h^X. Для второго уравнения имеем

у I у — х} == у + л/, х = — 2—IeZ.

Легко видеть, что все решения второго уравнения содержатся в множестве решений первого. Действительно, при k =—1 — 3/, , сл , 2л (— 1 — 3Z)л л ,

/ е Z, имеем х = у 4 = — у — 2л/, т. е. получаем все

решения второго уравнения.

Ответ: {у +"^}|^eZ}-A

Замечание о форме записи решений. Целочисленные параметры в различных множествах решений одного уравнения можно обозначать как разными буквами, так и одной буквой. Скажем, в примере 3 была использована одна буква п.

В тех же случаях, когда элементы множеств сравниваются между собой, следует использовать различные буквы для обозначения целочисленных параметров. Так было сделано в примере 4.

Уравнения вида

a sin юх A b cos юх = c, «2A&2¥=0-(12)

Пример 5. Решить уравнение sin2xAcos2x =—1.

Л Это уравнение является частным случаем рассматриваемых уравнений при а = Ь = 1, с = —1, <о==2. Разделив обе части уравнения на }/2, получим

1 ., 1 о 1

—7— Sin COS 2х =— —7—.

У 2/2У 2

Учитывая, что 1/]/"2 = cos (л/4) = sin (л/4), запишем это уравнение в виде

sin 2х cos (л/4) + cos 2х sin (л/4) =—1/У2.

Воспользовавшись формулой для синуса суммы аргументов, придем к уравнению

Sin 2x4= — —7=-.

\4//2

Отсюда х = ((—1)л+1 — 1) у А ™, n е= Z- Эти значения х и составляют множество всех решений исходного уравнения. ▲

В общем случае, для того чтобы преобразовать уравнение (12) к простейшему введением вспомогательного угла, разделим обе его части на V^ + b8, получим уравнение

а .. bс

,sin cox 4—,cos (ох = ,

Р^А^2Уа2 + Ьа

Пусть ф — одно из решений системы аb

COS ф = —г -, Sin Ф = .-.

Va2 + b2Уа2 + Ь'2

Используя эти равенства, запишем уравнение в виде

sin (ox cos ф Acos (ox sin ф = с[У а2 АЬ1.

Применив формулу для синуса суммы аргументов, получим уравнение

s in ((ох А ф) = с/У а2 А 62»

которое, как видно из проделанных выкладок, равносильно исходному уравнению. Полученное уравнение, а значит, и исходное имеют решения тогда и только тогда, когда | с | ^ Уя2 А^-

Для преобразования уравнений вида (12) можно использовать также формулы синуса разности, косинуса суммы и разности аргументов.

Пример 6. Решить уравнение 12cosx — 5 sinx =—13.

Л Разделим обе части уравнения на J/T22 ф-52 = 13, получим 125 .

COSXjy S1HX = —1.

Одним из решений системы cos ф= 12/13, sin ср = 5/13

является <р = arccos (12/13). Учитывая это, запишем уравнение в виде

cos x cos ср — sin x sin ср = — 1

и, применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим cos (хф- ср) = — 1, откуда х + <р = л ф-2лн, х =—ср ф-л (2/гф-1), т. е.

х = —arccos (12/13) ф-л (2/гф-1), иеХ.

Эта формула и дает все решения исходного уравнения. ▲

Введение нового неизвестного. В ряде случаев уравнение удается преобразовать к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию.

Пример 7. Решить уравнение

5шЗхф-СО8 2х= 1.

А Воспользуемся формулами cos2x= 1 — 2sin2x и

sin Зх = sin х (3 — 4 sin2 х).

Вторая формула легко получается, если в равенстве sin3x = = sin(x-|-2x) правую часть преобразовать по формуле синуса суммы, а затем по формулам двойного аргумента.

После подстановки исходное уравнение примет вид sinх (3 — 4 sin2x)-|- 1 — 2sin2x= 1.

Отсюда 4sin3x-|-2sin2x — 3sinх = 0. Обозначив / = sinx, получим 4<3 ф- 2f2 — 3/=0. Это уравнение имеет корни ty = 0, /2 = kV 13 — 1)/4, /3=—(}АЗф-1)/4. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sinx = 0, sinx = (]A13— 1)/4, sinx =~ *4 — •

Находим последовательно решения полученных уравнений:

х = шг, neZ; х = (—1)" arcsin*^1^—-ф-л/г, neZ;

третье уравнение решений не имеет, поскольку — (1^13 + 1)/4 < -<—1. Найденные значения х и только они являются решениями исходного уравнения, а

Если уравнение содержит лишь одно из выражений -sin х +cosx или sin х —cos х

и функцию sin2x (или произведение sinx cosx), то, вводя новое неизвестное

Z = sin х +cosx или ( = sinx — cosx

(13)(13)и учитывая, что sin 2х = (sin х + cosx)2 — 1, sin 2х = 1 — (sin х — cos х)2,

(13)

(13)

придем к уравнению относительно 1.

Пример 8. Решить уравнение

sin х + cos х = 1 — sin 2х.

Л Обозначим ( = sinх +cosx и воспользуемся первой из формул (13), получим

/= 1 — (/а— 1),

откуда /24-( —2 = 0, (1=1, /2 = —2. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sinx + cosx=l, sinx-|-cosx = — 2.

Решаем каждое из уравнений, например, введением вспомогательного угла. Для первого уравнения находим х = ((—1)”-- 1)-^- + + ли, иеХ; второе уравнение решений не имеет, позкольку |-2|>/2.

Ответ: х = ((—1)” — 1)-д-+ ли, neZ. ▲

Пример 9. Решить уравнение

7sin4 X + cos4 X = "2 sin х cos x.

А Преобразуем выражение sin4x-|-cos4x, выделив полный квадрат:

sin4 х + cos4 х = sin4 х ф- 2 sin2 х cos2 х + cos4 x — 2 sin2 x coe2x = = (sin2 x + cos2 x)2 — 2eine к eos2 x, Откуда

sin4 x + cos4 x = 1 — -^- sin2 2x.

Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

'1 — ysin22x = -^sin2x.

Обозначив sin2x = /, получим 2/2-|-7/— 4 = О, откуда 4 = 1/2, 4 =— 4. Уравнение sin2x=l/2 имеет решения х = (—1)"^ + ^, neZ; уравнение sinx =— 4 решений не имеет. А

Сумму sin6x + cos6x можно выразить через sin2x, раскладывая ее на множители как сумму кубов.

В предыдущих примерах для преобразования уравнений использовались формулы, правая и левая часть которых определены для всех значений х, и сами формулы являются верными равенствами для всех х.

Рассмотрим примеры решений уравнений, в которых используются формулы, правая и левая части которых определены не для всех значений х.

Пример 10. Решить уравнение

6 tg2 х—2 cos 2х = cos 2%.(14)

Л Преобразуем уравнение по формулам

2 cos2x= 1 4-cos 2х, tg2x =.

1ь1 + cos 2х

Заметим, что обе части второй формулы определены, хотя и не для всех, но для одних и тех же значений х, а именно, они определены для всех x^y + лп, и g Z- Для таких же значений х определена и левая часть данного уравнения. После подстановки получим уравнение

6— (1 + cos 2х) = cos 2х.(15)

1 4- cos 2х'

Очевидно, что любое решение уравнения (14) является решением уравнения (15), и обратно, каждое решение уравнения (15) является решением уравнения (14), т. е. уравнения (14) и (15) равносильны. Решаем уравнение (15). Обозначая cos2x через / и преобразуя (15), получим уравнение (2/2 + 9/—5)/(1-{-/) = 0, откуда 4 = 0,5, 4 =— 5. Следовательно, уравнение (14) равносильно совокупности уравнений

cos2x = 0,5, cos2x =— 5.

Первое из этих уравнений имеет решения х = ±-^+лга, ие21 второе — решения не имеет. А

Рассмотрим теперь случай, когда для преобразования уравнения используются формулы, правая и левая части которых имею!1 разные области определения.

Пример 11. Решить уравнение

5 sin 2х — 5 cos 2х = tgx-p 5.(16)

А Выразим sin2x и cos 2х через tgx по формулам (9)1 . п 2 tg ха1 — tg2 х

Sln 2х ~ 1 + tg2 х*cos 2х “ l + tg2x ‘

Подставляя в уравнение вместо sin 2х и cos 2х правые части этих формул, получим

5=+(17)

1 + tg® XI + tg® X &

Выясним, равносильны ли уравнения (16) и (17). Функции sin2x и cos 2х определены для всех х, а подставленные вместо них правые части формул (9) определены лишь для х^^^, пе е Z. Значит, в результате подстановки исключены из рассмотрения значения х = ^ + ад, keZ. Но ясно, что ни одно из этих значений х не является решением исходного уравнения (16), поскольку его правая часть для х=у + лп, пе2, не определена. Отсюда следует, что каждое решение уравнения (16) является решением уравнения (17). Очевидно, верно и обратное. Таким образом, уравнения (16) и (17) равносильны.

Решаем уравнение (17). Обозначив tgx = (, получим

т+?-8т+?=,+ 5-

После простых преобразований придем к уравнению (3 —9(4-10 = = 0, равносильному предыдущему. Один из делителей свободного члена, а именно, tx = 2, является решением этого уравнения. Разложив теперь левую часть на множители (например, с помощью деления многочлена (3 —9(4-10 на разность^ — 2), получим ((— 2) ((2 4- 2( — 5) = 0. Решив квадратное уравнение (2 4- 2( — 5 = 0, найдем еще два решения (2 = 1/^—1, (3 =— ]/б—1. Таким образом, исходное уравнение (16) равносильно совокупное ж уравнений

tgx = 2, tgx = J/r6 — 1, tgx = -/6-l, которые имеют соответственно решения

х = arctg 2 4- ад,пе Z,

х = arctg (]/б —1)4" ли> и g Z,х= — arctg (1/6 4- 1)4- лп, пеХ.

Эти значения х и составляют множество всех решений уравнения (16). а

В формулах (9), как уже отмечалось, левые части оп]>еделены для всех значений х, а правые —лишь для х^^- + пп« тХ. Поэтому подстановка в уравнение правых частей этих формул вместо левых может привести к потере решений вида х = у4~лп. п eZ. При использовании такого преобразования следует либо установить равносильность полученного уравнения исходному (так

было сделано в примере 11), либо подстановкой значений х = = 2-4-лп, neZ, в исходное уравнение проверить, нет ли среди них решений. Следующий пример подтверждает необходимоегь такой проверки.

Пример 12. Решить уравнение

sin 2x4-cos 2х =—1- (18)

А Преобразуем уравнение с помощью формул (9) (способ, предложенный в примере 5, на наш взгляд предпочтительнее):

| 1 —tg2x_ . ,19

14- tg2x 1 1 -h (й- Л • ' ' Уравнение (19) не равносильно исходному уравнению (18). Дей- отвительно, значения х = уф-лА, к е Z, не являются, очевидно, решениями уравнения (19). 13 то же время подстановкой легко убедиться в том, что все эти значения х являются решениями уравнения (18).

Рассмотрим теперь значения А 4- лк, к е Z. Ясно, что любое решение уравнения (18), удовлетворяющее условию х ^ ^-4-лЛ, является решением уравнения (19), и наоборот, любое решение уравнения (19) является решением уравнения (18). Решаем уравнение (19). Преобразуя его, получаем

2(tgx+l) п , = откуда tgx= —1,

х =— ^ 4-лк, к г Z. Эти значения х вместе со значениями х = = ™4-л^, keZ, и составляют множество всех решений уравнения (18).

Ответ: |у + лА; — у4~ лАIк е z| (если в ответе к примеру 5 взять соответственно /: = 2^4-1 и п = 2к, то получим данный ответ).

Подстановка в уравнение левой части формул (9) вместо правой может привести к появлению посторонних для исходного уравнения значений х = -4~лп, п г Z. При таких преобразованиях следует проверить, все ли решения полученного уравнения являются решениями исходного.

Указанные особенности преобразований уравнения с помощью формул (9) и связанная с ними необходимость проверки имеют место и в других случаях, когда используются формулы, правая и левая части которых имеют разные области определения.

Отметим еще, что уравнение, к которому приводят преобразования по формулам (9), нередко получается сложным. Поэтому' 220

прежде чем применять эти формулы, полезно поискать иные пути решения.

. Однородные уравнения.

Пример 13. Решить уравнение

sin2 х — 3 sin х cos х + 2 cos2 х = 0.

Л Рассмотрим такие х, что cosx = 0. Из уравнения следует, что тогда и sinx = 0, а это невозможно. Следовательно, среди этих значений х решений нет. Рассмотрим значения х, дл i которых cos.ry=0. Разделив обе части данного уравнения на cos’*, получим уравнение

tg2 х — 3 tg х 4- 2 = 0, равносильное исходному. Решив его как квадратное уравнение относительно tg лг, найдем

tg^= 1, tg^ = 2.

Отсюда получаем ответ: х = -^- + лп, х = arctg 2 + ля, я е Z. ▲ Рассмотренное уравнение является примером уравнентя вида аоий + скиу + а^У4 = 0,(20)

которое называют однородным относительно и и и степени 2, В предыдущем примере u = sin л, u = cosx. Как было показано, уравнение вида (20) делением обеих его частей на и2 сводится к квадратному уравнению

и^ -|- и^ 4- ^2 ~ 0

относительно t — ulv. Такое же преобразование можно пргменить для решения однородных уравнений более высокой стелен 4.

Некоторые уравнения, не являющиеся однородными, можно свести к однородным, используя равенство

sin2 х 4- cos2 х = 1,

верное для всех х.

Пример 14. Решить уравнение 2sin3^ = cosx.

Л Поскольку cos х “ cos х (sin2 х4- cos2 х) для всех х, то данное уравнение равносильно уравнению

2 sin8 х = cos х sin2 х 4- cos8 х, однородному относительно sin я и cos я степени 3. В случае cosx = 0 решений, очевидно, нет. Деля обе части уравнения на cos8л: и обозначая tg^ = /, приходим к уравнению

2/8 —/2—1=0,

Одним из его корней является ti = \. Разложив левую часть на

множители, получим (/— 1)(2/2А^ + 1) = 0. Поскольку 2/2 А^+ 1> >0 для любого t, корень /1=1 является единственным. Отсюда tgx— 1, х="-Ал/г, neZ.

Ответ: ^ +л/г'/г еZ|- ▲

Разложение на множители. Преобразование уравнения с целью выделения общего множителя часто представляет собой наиболее короткий путь решения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 15. Решить уравнение 2 sin3x Acos22x = sin х.

А Сгруппируем члены уравнения и преобразуем его следующим образом:

(2 sin3x — sin х) A cos2 2х = О,sinx(2sin2x — 1) Acos22x = 0.

Воспользовавшись формулой 1 — 2sin2x = cos2x, получим

sin х cos 2х A cos2 2х = 0,cos 2х (cos 2х — sin х) = 0.

Последнее уравнение равносильно исходному. В то же время оно, очевидно, равносильно совокупности уравнений

cos2x = 0, cos 2х —sinx = 0.

Эти уравнения имеют соответственно решения

л , л/гл , 2лп—

+^=6"+—,«^

(второе уравнение решено в примере 4), которые являются решениями и исходного уравнения. К

Пример 16. Решить уравнение

sin lx + ^-) = sin3x + cos3x.

\1 4 /1

А Преобразуем левую часть уравнения:

sin ^х +7^ = sin х cos A-Acos х sin у = -A (sin x + cos x).

Правую часть разложим в произведение как сумму кубов: sin3 х Acos3 х = (sin х Acos х) (sin2x — sin х cos х Acos2 х) =

= (sin X Acos x) (1 — sin x cos x).

Теперь уравнение можно записать в виде (sin х A cos х) /~ — 1 A sin х cos х) = 0.

\А2)

Это уравнение равносильно совокупности уравнений sinxAcosx = 0, -U — 1 Asin х cos х = 0.

Первое из этих уравнений равносильно уравнению tgx =— 1, а второе — уравнению sin 2х = 2 — ]/"2. Следовательно,

х =—у + л/z,х = ^~2- arcsin (2 — ]/2)4-"", n е Z-

Это и есть все решения исходного уравнения, а

В некоторых случаях при решении уравнения методом разложения на множители могут появиться посторонние значения неизвестного. Они устраняются подстановкой найденных значений в исходное, или равносильное ему, уравнение.

Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 17. Решить уравнение

tgx —sinx = 1 — tg х sin лг.

Л Сгруппируем члены уравнения и преобразуем его с ледую-1 щим образом:

(tg х + tg х sin х) — (1 4-sinx) = 0,(1 4-sinx)tgx —(1 4-sinx) = 0,(1 4-sinx)(tgx—l) = 0.(21)

Получившееся уравнение равносильно исходному. Если х — решение этого уравнения, то х является и решением одного из уравнений

14-sinx = 0, tgx —1=0.(22)

Обратное в данном случае (и в отличие от того, что было в примерах 15, 16) неверно. Первое уравнение в (22) имеет решения х=—у4-2лл, neZ. Для всех этих значений х функция tgx не определена, поэтому эти значения не являются решениями исходного уравнения. Второе уравнение в (22) имеет решения х=у4-ял, neZ- Подстановка в (21) показывает, что эти значения являются решениями этого уравнения, а значит, и исходного.

Ответ: ^ + nnjnezj- ▲

Использование оценок. Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя неравенства

1sin а ^ 1,— 1 ^ cos а 1,

верные для всех а.

Пример 18. Решить уравнение sin Зх 4~ cos 2х 4-2 = 0.

Л Поскольку sin 3x^ — 1 и cos2x^—1, то sin Зх-}-cos 2х^» §г —2, причем равенство здесь имеет место тогда и толькс тогда, когда одновременно выполняются равенства

sin3x = —1, cos2x = —1.(23)

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе (23). У равнения этой системы имеют соответственно решения

Изобразим эти решения соответствующими точками единичной окружности (на рис. 125 решениям первого уравнения соответствуют утолщенные точки, решениям второго уравнения—точки,

помеченные крестиком; для нахождения этих точек, достаточно в первом случае взять к = 0, 1, 2, а во втором —/ = 0, 1). Число х будет решением системы (23) тогда и только тогда, когда оно является решением обоих уравнений в (23). Из рис, 125 видно.

Рис. 125.Рис. 125.что такими числами являются лишь числа

Рис. 125.

Рис. 125.

х — у4-2лт, msZ. А

Пример 19. Решить уравнение /Г+1/Г-1,

COSX • COSX = 1.

А Воспользовавшись формулой для произведения косинусов, преобразуем уравнение к виду

cos (/'2^)+-cosjt = 2.

(24)(24)Это уравнение равносильно системе cos}^2.v=l, cosx=l.

(24)

(24)

Уравнения системы имеют соответственно решения л=Д"2лп, neZ, х = 2пт, meZ. Решениями системы (24) являются те

и только те значения х, для которых при некоторых целых m и м выполняются равенства х = ]/2 ли = 2пш. Найдем все целые тип, для которых "/2ли = 2лт. Сократив здесь на )^2л, получим, что и = =/2т. Это равенство возможно только при т = 0, и = 0. Действительно, если т^О и /г="/2/н, то /2 =и/т. Но это равенство неверно, так как /2 — не рациональное число, а и/m —рациональное, Следовательно, т = 0, но тогда и п = 0, Таким образом, система (24), а значит, и исходное уравнение имеют единственное решение х = 0. а

В заключение этого параграфа рассмотрим пример уравнения, которое не является тригонометрическим, но при исследовании которого используются свойства тригонометрических функций.

Пример 20. Доказать, что при а>(3/3—л)/6 уравнение

sin х °= -g-1 х | -{- а

решений не имеет.

А Пусть a> (3}/3 — л)/6. Отметим, что (3 ]ЛЗ — Л)/6>0. Пусть |х|^2, тогда -*-|х| + а>1, в то время как siixscl. Значит, данное уравнение не имеет решений на множестве |х|^2.

На отрезке [—2; 0] имеем sinxs^O, ау|хЦ--я^й>0, по- етому здесь также решений нет.

На интервале ]0; 2[ уравнение имеет вид

1sinx — ^х = а.

Найдем на этом интервале наибольшее значение функции /(х)-— = sinx — ух. Определяем критические точки: /' (х) = cosx --^=0, х =-у (остальные решения этого уравнения не принадлежат ]0; 2[), Если 0<х<л/3, то f(x)>0, поэтому функция /(х) на интервале ]0; л/3[ монотонно возрастает и, значит, f (х)<;f (л/3). А если п/3<х<2, то /'(х)<0, поэтому функция /(х)на интервале j^; 2^ монотонно убывает и f (х) <f (л/3). Таким образом, значение

, / л \Кзл _ 3 1^3 — л

ЦТ) — "1"66

является наибольшим на ]0; 2[, т. е. для всех х (= ]0; 2[

зуТ — л _

sin х — п х т,< а.

Значит, и на интервале ]0; 2[ данное уравнение решений не имеет. А

2. Системы тригонометрических уравнений

В этом параграфе рассмотрим на примерах некоторые приемы, используемые при решении тригонометрических систем. Ограничимся при этом лишь системами с двумя переменными (часто говорят также, неизвестными) х и у. Решения системы записываются как обычно в виде упорядоченных пар (х; у).

Системы, содержащие уравнение вида

х-\-у = а или х—у=а, подстановкой можно свести к одному уравнению.

Пример 1. Решить систему

( sin (х — у) = 2 sin х sin у,

( х + у = л/2.

2252258 п/ред. Г. Н. Яковлева

225

225

Л Сделаем подстановку У = у — х в первое уравнение и преобразуем erot

sin (zx — у 1 = 2sinx sin ( 2— хр

— sin— р = 2 sin х cosх,

— cos 2x = sin2x, tg2x =—1,

я I ям гтг5п ЗТП

откуда x = — g- + и e Z. 1еперь находим z/ = -g5-, meZ- / я , пи 5я ли \ I —1

TBeTt ^-T + —; —▲

В некоторых случаях прежде чем выполнять подстановку в уравнение системы, бывает полезно его преобразовать.

Пример 2. Решить систему

( sin2х + sin2 у = 1/2,( х — г/ = 4л/3.

А Преобразуем первое уравнение данной системы:

4 О — cos2x) +4(1 -cos2y) = 2 ,

cos 2х + cos 2z/ = 1,2 cos (x + y) cos (x — y) = 1.

Ясно, что система

( cos (x + z/) cos (x — z/) = 1/2,

(x —z/ = 4n/3

имеет те же решения, что и исходная, т. е. эти системы равносильны. После подстановки х — г/ = 4л/3 в первое уравнение полученной системы будем иметь cos (х +z/) cos (4л/3) = 1/2, откуда cos (х+у) =— 1 и, следовательно, х + у = л (2zi'+ 1), и е Z- Теперь при каждом ne Z из линейной системы

( х + у = л (2и + 1), \ х — у = 4л/3,

находим х = -^ + ли, у = — -^ + ли, и е Z- Множество всех таких пар значений х и у и есть множество всех решений исходной системы. ▲

В предыдущих примерах получаемые соотношения между неизвестными х и у и множество решений системы записывались с помощью только одного целочисленного параметра. Обычно же при решении систем с двумя переменными появляются два целочисленных параметра.

Пример 3. Решить систему

sin(x + y) = O,

sin(x — //) = О.

Л Из первого уравнения системы (1) следует, что

x-Vy = nm,теХ,(2)

а из второго

х — у = ли,п<=Х.(3)

Теперь при произвольно взятых значениях т и п из лтнейной системы

х + у = пт,

(4) х — у = л/г

находим

х="(т + п), у = ^(т — п),

где meZ и тХ- Эти пары чисел и только они и составляют множество всех решений системы (1). ▲

Было бы ошибкой вместо систем вида (4) (где т и п — любые целые числа) рассмотреть только системы

х-\-у = лт,

„(5)

х — у = пт, т е Z

(к такой ошибке обычно приводит употребление одной буквы для обозначения параметров в соотношениях вида (2), (3)). Действительно, системы вида (4) охватывают все возможные пары параметров т и п, в то время как в системах вида (5) рассматриваются лишь пары с равными значениями (m = n). Это приводит к потере решений. Из (5) следует, что

х = л/n, у == О,

где т е Z, тогда как, например, все пары

х = 0, у = пп, п^Х,

также являются решениями системы (1).

Рассмотрим примеры решений более сложных систем.

Введение новых переменных можно использовать, наг ример, в тех случаях, когда система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду.

Пример 4. Решить систему

sin x + cos у=\,cos 2х —cos 2z/ = 1.

△ Преобразуем второе уравнение:

— 2 sin2x-|-1 — 2 cos2 у= 1, sin2 х +cos2 у = 1/2.

Ясно, что система

( sin x + cos у = 1, ( sinax + cosay = 1/2

равносильна исходной. Обозначив для простоты u = sinx, и = cosy, получим

{

и +У — 1, М2 + у2= 1/2.

Легко установить, что эта алгебраическая система имеет единственное решение и = 1/2, и = 1/2. Следовательно, исходная система равносильна системе

Г sinx = 1/2,

( cosy = 1/2.

Эти уравнения имеют соответственно решения:

х = (—1)т^- + лт,meZ,

y = ±L™-\-2nn,n^Z.

Множество всевозможных пар, составленных из этих значений х и у, и есть множество всех решений исходной системы. Для краткости такие пары записывают в виде

х = (—1)т —+ лт,y = ±:^-V^n, т, mZ,

подразумевая, что знак в формуле для у выбирается произвольно, а Пример 5. Решить систему

( sin х +sin у = 1^2, ( cos х cos у = 1/2.

А Первое уравнение, используя формулу для суммы синусов, приведем к виду х—и 1 sin —— cos = 22/2

Левую часть второго уравнения преобразуем следующим образом:

COS X COS у = у (cos (х + у) 4- COS (х — у)) =

|(1 -2sina-^^ + 2cosa^=^-- l) =

= COS2^X-sin2-^.

В результате получаем систему

х-\-их—уSin —12 cos-22х-\-их—уSin —12 cos-22

х-\-их—у

Sin —12 cos-

22

х-\-их—у

Sin —12 cos-

22

COS2 —^_ - Sin2 = у,

равносильную исходной. Обозначив u = sin ((х4-у)/2), у = = cos((x— у)/2), придем к системе

ии = 1/^/2, у2 —и2 = 1/2, которая имеет два решения: щ=1/У2, у1=1;п2 =— 1Д/2, о2 = = —1. Таким образом, каждое решение исходной системы является решением одной из систем:

х—у 1х—у,

COS -= I,cos -- = — I.

Проведя выкладки в обратном порядке, убеждаемся в тэм, что верно и обратное: каждое решение любой из систем 1) и 2) является решением исходной системы. В таких случаях говорят, что система (6) равносильна совокупности систем (7).

Из системы 1) имеем

^~т*= 2л/?'

где т, тХ. Отсюда находим

х = (—l^^ + n (m + 2/г),//==(—l)m^ +л (m-2n),(8)

где tn, п еХ-

Решаем систему 2):

^=(_1Г1»тМ|

^- = л(2п+1),

где tn, п еХ- Отсюда

х = (—О^-^1 j + n(m+2n+1), у — {— 1)т+1у + л(т — 2п — I), (9)

где tn, тХ-

Ответ: Множество всех решений системы задается формулами (8), (9). ▲

Рассмотрим пример еще одной замены.

Пример 6. Решить систему

Sin X 4- COS X = -y=r + sin у — cos у,з

2 sin 2x = 2 + sin 2y.

Л Обозначим

и = sinx + cosx, у = sin у — cosy

и воспользуемся тем, что sin 2х = и2 — 1, sin2z/ = 1 — у2. Это позволяет свести данную систему к алгебраической:

( и =+ у,

( 2»2 + у2 = 9/2.

Получившаяся система имеет два решения:

п1 = —4/ЗрЛ2, У! = —7/3^2;п2 = У^2; у2 = 1/]/"2.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

1) ( sinx + cosx =—4/3^2,2) J sinx +cosx = }/2,

( sin у — cos у = —7/3рА;[ sin у — cos у = l/|/2.

sin^+-^= 1,. / л \1sm(y--4-j =-2-,sin^+-^= 1,. / л \1sm(y--4-j =-2-,Первая из этих систем решений не имеет, поскольку |siny—■ — cos у К/2, а !—7/ЗрА | >)/2. Решения уравнений системы 2) найдем введением вспомогательного угла:

sin^+-^= 1,. / л \1

sm(y--4-j =-2-,

sin^+-^= 1,. / л \1

sm(y--4-j =-2-,

х = -г'+ 2.шп;

4

^ = (-1)"^ + 4 + л«,

где т, п е Z. Эти пары значений х и у и составляют множество всех решений исходной системы. ▲

В ряде случаев для решения системы ее преобразуют с помощью почленного сложения, вычитания, умножения, деления уравнений с целью, например, исключить одно из неизвестных (переменных), разложить полученное уравнение на множители и т. д. Рассмотрим несколько примеров использования таких преобразований.

Пример 7, Решить систему

/ cos х cos у = 3/4,

I sin х sin у =—1/4.

Д Складывая и вычитая почленно уравнения системы, получаем соответственно

cosxcosy+sinxsinz/ = 1/2, cos (% — //)= 1/2;

cos х cos у — sinxsiny = 1, cos(x + y)=l.

Система

г cos (х — у) --1/2,

(cos (х + у) —1

равносильна исходной. Решаем каждое уравнение этой системы:

х — у = ±у + 2лт, meZ; х-[-у = 2пп, neZ.

Взяв в первой из этих формул верхний знак, найдем, что

х = у + л (иг + и), у = —-^+л (и —т),(Ю)

где т, neZ. Для нижнего знака получим

х = —~ + л(т + и), y = ^-Vn(n-m),(11)

где m, ne.Z. Формулы (10) и (11) и задают множсстео всех решений исходной системы. Для краткости используют и такую запись:

х = ±-?+л (m + и), y = q^-V л (и — иг),

где т, neZ, оговаривая, что в этих формулах следует одновременно брать либо верхние, либо нижние знаки. ▲

Пример 8. Решить систему

' tg ^-+х) = 2]/2 cos3y,

tg ^ -х^ = 2^2 sin3 у.

Д По формуле приведения имеем tg^~ —х) =ctg^ — " 4-х) =; = ctg^-+x). Значит, исходная система равносильна системе tg^- + x) = 2y'2 cos3y,

\\_(12)

ctg(^ + x) = 2pr2 sin3у.

Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение

1 = 8cos3y sin3 у,

откуда sin32y=l, sin2y=l, 2у=”+2лп, у=у + ли, mZ. Эти значения подставляем в систему (12) и, учитывая, что

cos (а + ли) = (— l)ncosa, sin (а-|- ли) = ( — 1)™ sin а,

получаемполучаем(13)(13)' tg(-J + x) = (—1)",ctg(-^ + ^) = (-l)n.

получаем

получаем

(13)

(13)

Если л = 2й, й G Z, тог/=у + 2лй, а система (13) равносильна одному уравнению tg^- + ^=l, откуда х = л/, /eZ.

Если /г = 2й-)- 1, ЙEZ, то у = у +л (2й+1), а система (13) равносильна уравнению tg ^4-ху =—1, откуда х =— у+ л/, /е Z.

Ответ: -^л/; у + 2лй^, (—у + л/; y + n(2^ + l)j | I, ке eZ}. ▲

Пример 9. Решить систему

sin х-4- sin у = 1,

-(14)

cosx —cosy = J/3-

Л Преобразуем сначала уравнения системы по формулам суммы синусов и разности косинусов. Получим систему

. х4-ух — у1

sincos = у,

. х+у . х—у 1^3Sin-^ S1H -у^ =у,

равносильную исходной. Обозначим (х + у)/2 = и, (х —у)/2 = и, тогда эта система будет иметь вид

(sin и cosu= 1/2 (sin и sinu = —1^3/2.

Ясно, что если (и; и) — решение системы (15), то sinu cosu = = i/2y=0. Поэтому для любого решения этой системы, разделив почленно второе равенство в (15) на первое, получим, что

tgu = —К^.

Отсюда находим и = — у + л/i, п е Z. После подстановки этих значений в (15) получим систему

(sinw = ( — 1)”,Isin и = ( — 1)",

откуда u = (— 1)"-^ + 2лт, m^Z- Теперь из системы

^ = (-1)Л2+2лт, X—у л — =--3+™

находим

х = ^-\р^-^ + л(2т + п), у *=(—1)”^ + у Н~л (2m —п), (16) где т, и е Z.

Ответ: Множество всех решений системы дается формулами (16). ▲

Пример 10. Решить систему

Г "^2 cos х = 1 -|- cos у*.

I p^sinx = sin у.

А Возводя почленно уравнения системы в квадрат и складывая, получаем уравнение

= 1 + 2 cos у + cos2 у + sin2 у.

Отсюда cos у = 0, у = ™-^лп, mZ. Подстановка этих значений у в исходную систему дает

(cosx = 1/^2, j sin х = (— 1)”/]/2.

Если п = 2к, keZ, то

(cos х = 1/)/2,

I sinx= l/p^,

откуда х = -^ + 2л/, l^Z- При этом у = ^- + 2л&, keZ-

Если же n = 2k-V 1, к ^Z, то (cos х = 1/1^2, I sinx =—1/1^2, откуда х = — ^- + 2л/, I eZ. При этом у = ^ + 2л£, к е Z. Ответ: /^ + 2л/; -£ + 2лД (-4 + 2л/; ^ + 2лйШ, k^ zL ▲

Если бы в данном примере использовать для нахождения значений х, например, только первое уравнение системы, то легко видеть, что получились бы посторонние значения переменных.

§ 3. Тригонометрические неравенства

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используются периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sinx имеет наименьший положительный период 2л. Поэтому неравенства вида

sinx>a, sinx^a,sinx>a, sinx^a,sinx<a, sinx $5 аsinx<a, sinx $5 а(1)(2)(1)(2)

sinx>a, sinx^a,

sinx>a, sinx^a,

sinx<a, sinx $5 а

sinx<a, sinx $5 а

(1)

(2)

(1)

(2)

достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2л. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из най

денных на этом отрезке решений числа вида 2л/г, п ^ Z-

Неравенство (1) удобно решить сначала на отрезке [ — л/2; Зл/2] (здесь график функции sinx образует «холмик», рис. 126).

Пример 1. Решить неравенство sin х> — 1/2.

А Решим это неравенство на отрезке [ — л/2; Зл/2]. Рассмотрим его левую половину — отрезок [ — л/2; л/2] (рис. 127). Здесь уравнение sinx =— 1/2 имеет одно решение х =— л/6, а функция sinx монотонно возрастает. Значит, если — л/2г^х^; —л/6, то sin х< sin ( — л/6) =—1/2, т. е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же — л/6 < х л/2, то sinx>- >■ sin ( — л/6) = — 1/2. Все эти значения х являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [л/2; Зл/2] функция sinx монотонно убывает и уравнение sinx =—1/2 имеет одно решение х = 7л/6. Следовательно, если л/2<лх<7л/6, то sin х> sin (7л/6) = — 1/2, т. е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для

х е [7л/6; Зл/2] имеем sinx^sin (7л/6) =—1/2, эти значения х решениями не являются.

Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [ — л/6; Зл/2] есть интервал ]—л/6; 7л/6[.

В силу периодичности функции sinx с периодом 2л значения х из любого интервала вида

J— у+2л/г;^Н-2лл^, neZ,

также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются. Ответ запишем в виде

— ™+2л/г<х<^ + 2л/г, где neZ,

подразумевая, что решениями исходного неравенства являются те и только те значения х, каждое из которых при некотором n е Z удовлетворяет этим двум неравенствам. ▲

Неравенства (2) удобно решить сначала на отрезке [л/2; 5л/2] (здесь график sinx образует «впадину», рис. 128). На рис. 128 дана графическая иллюстрация к решению неравенства

sinx^]/3/2

(подробные рассуждения предлагается провести читателю). Его решениями являются те и только те значения х, каждое из которых при некотором /teZ удовлетворяет неравенствам

у + 2лл $5 х у + 2лц.

Для неравенствcosx < а.Для неравенствcosx < а.cos х ^ аcos х ^ а

Для неравенств

cosx < а.

Для неравенств

cosx < а.

cos х ^ а

cos х ^ а

удобно сначала найти решения на отрезке [0; 2л] («впадина», рис. 129).

Пример 2. Решить неравенство cosx$5—1/2.

А На отрезке [0; л] функция cos х монотонно убывает (рис. 129), а уравнение cosx =—1/2 имеет одно решение х = = 2л/3. Рассуждая также, как и в примере 1, получаем, гго зна-

чения х из отрезка [2л/3; л] и только они являются решениями данного неравенства на отрезке [0; л]. На отрезке [л; 2л] функция cos х монотонно возрастает и уравнение cosx = —1/2 имеет решение х = 4л/3. Отсюда следует, что все значения х на отрезке [л; 4л/3] и только они являются здесь решениями данного неравенства.

Таким образом, множество решений неравенства cosx^ —1/2 на отрезке [0; 2л] есть отрезок [2л/3; 4л/3]. Функция cosx периодична с периодом 2л, поэтому все значения х, каждое из которых при некотором пе2 удовлетворяет неравенствам

у + 2ли =С х у + 2л/г,

и только они являются решениями исходного неравенства. А

Неравенства

cosx>a, cosx^n(4)

удобно решить сначала на отрезке [ — л; л] («холмик», рис. 130).

Рис. 130 является графической иллюстрацией к решению неравенства

соях > 1/К2

(подробных рассуждений не приводим). Все решения этого неравенства задаются неравенствами вида

4 + 2лп < х < ~ + 2лп, где и е Z.

Неравенства

tgx>a, tgx^a, tgx<a, tgx«;a(5)

удобно решить сначала на интервале ] —л/2; л/2|', а неравенства ' ctgx>a, ctgx^a, ctgx<a, ctgx^a(6)

— на интервале ]0; л[. Функции tgx и ctgx имеют период л, поэтому, прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида л/г, пееХ, получим все решенгя неравенств (5) и (б).

Пример 3. Решить неравенство tgx<2.

А На интервале ] —л/2; л/2[ функция tgx монотонно возрастает (рис. 131) и уравнение tgx = 2 имеет одно решение х = = arctg 2. Если — л/2 < х < arctg 2, то tgx<2, значит, >ти значения х являются решениями данного неравенства. Если arctg 2 < ^х<л/2, то tgxA=2. Эти значения х решениями не являются. Следовательно, множество решений неравенства tgx<2 нг интервале ] —л/2; л/2[ есть интервал ]—л/2; arctg 2[.

Решениями данного неравенства на всей числовой прямой являются все те и только те значения х, каждое из которых при некотором п^Х удовлетворяет неравенствам

у + лп <х < arctg 2 + ял. А.

Рис. 132 является графической иллюстрацией к решению неравенства

. ctgx^; —2.

Его решениями являются те и только те значения х, каждое из которых при некотором п е Z Удовлетворяет неравенствам

лй < arcctg (— 2) + л/г.

Примеры решения более сложных неравенств. Для сведения тригонометрических неравенств к простейшим три

гонометрическим неравенствам можно использовать в подходящих случаях те же преобразования (введение нового неизвестного, разложение на множители и т. д.), которые в § 1 применялись

для решения уравнений.

Пример 4. Решить неравенство sin

А Обозначим t = - х+ |2, тогда неравенство будет иметь вид

sin/< 1/1/2.

На отрезке л/2</^5л/2 множеством решений этого неравенства является интервал Зл/4 < t < 9л/4. Множество всех решений запишем в виде

~ + 2л/г</<-£ + 2ля, где пе!(7)

л

Подставив в (7) t = ^ ^ + и - получим

_3л , „3 л 9л п

24 аЛ/ц

4134

откуда у л + -д лл < z <дл 4- -д- л» , где л ge Z. Все те и только те значения х, каждое из которых при некотором п g X удовлетворяет этим неравенствам, и являются решениями исходного неравенства. ▲

Пример 5. Решить неравенство cos2x —sin2x~0.

А Преобразуем это неравенство с помощью введения вспомогательного угла, в результате получим неравенство

cos ^2x4- А^ 0 ,

имеющее те же решения, что и исходное. Из свойств косинуса следует, что решениями этого неравенства являются те и только те значения х, каждое из которых при некотором п г Z удовлетворяет неравенствам

— А 4- 2лл йл 2х + А А _]_ 2лл,

т. е. —у 4- лп xs$ у 4- лп. ▲

Пример 6, Решить неравенство sinx4-cos2х> 1.

Д Воспользовавшись формулой cos 2х = 1 — 2sin2x и обозначив Z = sinx, запишем данное неравенство в виде

<(1-20>0.

Отсюда 0 </<1/2. Таким образом, решениями исходного неравенства являются те и только те значения х, для которьх

0<sinx<l/2.(8)

На отрезке [— л/2; Зл/2] левое неравенство имеет эешения (рис. 133) 0<х<л. Среди этих значений х решениями правого неравенства системы (8) являются

0<х<л/6, 5л/6<х<л.

Это и есть множество всех решений системы (8), а з шчит, и исходного неравенства на отрезке [—л/2; Зл/2].

Теперь, используя периодичность функции sinx, легко найти на числовой прямой все решения.

Ответ: 2ли<х<~ + 2лп,

О 1

-£-+ 2л/г<х<л + 2лл, где ml. ▲

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1

Решить уравнения (1—9):

cos 5х cos х = cos 6х.

2 sin'22x4-sin24x = 5/4.3. sin ах —sin х4-sin 2х.

4 cos х cos 2x = cos 3x.5. (1 4- cos x) ctg x = sin 2x.

2 (1^2 — 1) sin x4-1 — tgx= 1/cosx.

tg x4-ctg 2x = 2 ctg 4x. 8. 1^1 4- sin x4~cos x = 0.

| cos x—2 sin 2x — cos 3x | = 1 — 2 sin x —cos 2x.

Доказать, что arccosa4-arccos (—a) = n, |a|<l.

Найти все значения a(a=H=0), для которых уравнение

X

(Z2 —8/ +13) d/ = xsiny

о

имеет решение. Найти это решение.

Решить системы уравнений (12—14):

( tgx=tg3//,

88

I sin x = coszy.

( 2 sin x sin y+cos 2y— У2 = 0,( cos2x4-2cosxcosy4-K2=0.

Решить неравенства (15—17):

sin x cos 2x.16. 2 tg 2x eg 3 tg x.

sin x < I cos x |.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

Решить уравнения (1—17):

1. cos6x-|-2cos2x = 1.2. sin2x = cos4|—sin1 —.

tg2x • tg2 3x = 1.4. sin x4-cosx = )/2 cos 6x.

cos 2x4-sin 2x=cosx4-sin x.

cos x sin 7x= cos 3x sin 6x.

7. tgx= -Yg^+- .8. /2ь ctg 4х— 17. tgx= -Yg^+- .8. /2ь ctg 4х— 13 sinx + ctgx = O.9. ctg2x —tg2x== g’.

7. tgx= -Yg^+- .8. /2

ь ctg 4х— 1

7. tgx= -Yg^+- .8. /2

ь ctg 4х— 1

sin2 2x — cos2 x 4—4 =0.11. sin4x + 5 cos 2x + 4 =0.

cos 4x4-2 cos2 2x+4 sin 2x=0.

6 I sin x I cosx— 1 =cos 4x.14. 1 — cos 3x • ctg x= sin 3x.

/ . л\ / л\ 2„

cos + ~4-J + cos 4 / = "3 C0S

[ , л \. / л \

sin x + — • sin x —= sin x.

Найти пересечение множества (x | cos2x4-3cos x4-2 = 0} и множеств { xl ;/2x-5 i< 1}.

Решить уравнения (19—22):

5

sin4 x-pcos4 x= -^.20. 2 cosa x-t-2 sin8 x = sin 4c.

tg^x + 5-J-tgx=l. 22. tg^p2+^ctg^-xj = 2-/3.

Найти все значения p, для которых уравнение

sin х 4- р cos х = 2р

имеет решения,

Решить уравнения (24—25):

2 sin x4-cos24 + 24-cosx=0.25. т TOS 2^ - = — 1.

214- sin 2х

Вычислить sin 2а, если sin а—cos а = 1/2.

Решить уравнения (27—28):

-J— + —5— = 2/2.28. 3cos/x+^ = /2sin2x.

sin х cos х\ 1 4 /

Доказать, что

tg 3x = tg X • tg (у - Х^ tg (у + х^ для всех х g- + -у-, н е £.

Решить уравнения (30—53):

3131sin 2х = sin х • sinsin 2х = sin х • sinsin (у + х +ctg (?я—х) = 0.

31

31

sin 2х = sin х • sin

sin 2х = sin х • sin

sin 4x + 2 cos® x = 1.33. sin2 2x — 4 cos4 x = sin 4x.

cos 2x = -y— (cos x — sin x).

ctgx —tgx=-*-(sinx —cosx). 36. -S’-n= 2 sin fx + —

2. /Л \\4

sin Xx

„ cos22x, ,37- cosx + coswl)”00^-^^-„ cos22x, ,37- cosx + coswl)”00^-^^-38.= <z (1 - sin 2x).1 + sin 2x38.= <z (1 - sin 2x).1 + sin 2x40. 3 (cos x — sin x) = 1 4- cos 2x — sin 2x.40. 3 (cos x — sin x) = 1 4- cos 2x — sin 2x.\4 /

„ cos22x, ,

37- cosx + coswl)”00^-^^-

„ cos22x, ,

37- cosx + coswl)”00^-^^-

38.= <z (1 - sin 2x).

1 + sin 2x

38.= <z (1 - sin 2x).

1 + sin 2x

40. 3 (cos x — sin x) = 1 4- cos 2x — sin 2x.

40. 3 (cos x — sin x) = 1 4- cos 2x — sin 2x.

cos5x — cos3x = 3 sin 4x.

sin 3x —sinx + cos2x= 1.

sin Зх + sin 4x+sin5x = 0.

4 sin 3x + sin 5x — 2 sin x • cos 2r = 0.

sin x • cig 3x = cos 5x.46. 1 + sec x = ctg2 у.

sin x ■ sin 2x ■ sin 3x = 4~ sin 6x.

4

_ 9 sln x. 49. cos 4x — 3 cos x = 4 sin2 4-.

sin 2x2

(sin x+ j/3 cos x) sin 3x = 2.

sin x — sin 2x + sin5x + sin 8x=0.

tgx.tg(l/x) = l. 53. tg^^— = -/3.

Найти все решения уравнения sin2 х +sin2 2x4-sin2 Зх = 3/2, удовлетворяющие неравенству cos х> 1/1^2.

Решить уравнения (55—65):

56.56.58.58.59.59.— X

56.

56.

58.

58.

59.

59.

-.- — ■ :■ — = sin 2х— 1.57. tg Зя—tgя=4 sin я.

1+tgxь ь

9

sin2 2х — tg2 х = - cos 2x.

sin3 x + cos3 x = sin 2x + sin x 4- cos x.

2 sin я = sin Зя. 61. cos Зя-|-6 cos2 я = сов x.

2 cos x—cos у x = 1.

sin йх + sin 5я = 2 (cos2 2x— sin2 Зя).

5 sin я + 6 sin 2я + 5 sin Зя + sin 4x = 0.

sin2 2я + sin2 Зя -|- sin 2 4я -|- sin 2 5я=2.

Проверить, какие из чисел множества А являются решениям уравнения:

sin x cos 2xsin x cos 2xЛ = 4 arccos4neZ>, I УЗ 2)

sin x cos 2x

sin x cos 2x

l/'lO"

A = {лп — arctg 3 | n e Z}, 12 tg 2я4- cos^ + 1 °0,

Решить уравнения (67 — 76):

67.67.1 + tg 2я —1 + tg 2я —1 — sin 2xcos2 2я1 — sin 2xcos2 2я

67.

67.

1 + tg 2я —

1 + tg 2я —

1 — sin 2xcos2 2я

1 — sin 2xcos2 2я

tgx4-2 etg 2x = cos я-|-sin 2x.

= 4 cos2 я-2.70. 2 tg 2я4*1§ Зя = tg 5я.

1_1172 sin 3x cos 3x _2

" sin x — sin 2я sin 3x'" cos 2x sin 2x — sin Зя *

tg 2xetg 3x.

6 sin 3xsin 4x

COS X ■ cos Зяj sin x |COS X ■ cos Зяj sin x |■ 75. 2 cos я — sin Зя =■ 75. 2 cos я — sin Зя =( cos x 4- cos 2x — cos Зя — cos 4x _ f x sin 4я + sin Зя — sin 2я — sin я — y 2 *

COS X ■ cos Зяj sin x |

COS X ■ cos Зяj sin x |

■ 75. 2 cos я — sin Зя =

■ 75. 2 cos я — sin Зя =

sin я — 2 sin 2я + sin Зя = ' 1 — 2 cos x 4-cos 2я |.

При каких а уравнение

a sin fx + -^- j = sin 2x-j-9

имеет решение?

Решить уравнения (78—86):

sin* я + cos'* х = a sin 4я.

a cos Зя + sin 2я • sin я — cos я=0.

$1п32я + а sin2 2x-|-sin2 я = sin2 Зя.

^2 sin 2я + 2 sin я = 0.82. У1 + sin я=cos я.

I^cos 2я — 5 sin х -}- 2 cos х = 0.

j/" * — cos 2x Л-^Д^ + cos 2x = 1.

у "sin2 x — cos2 x = 2 cos 2x.

2 cos х = У2 + sin Зх.

При каких а уравнение

sin x — Усоз x = a

Имеет решения?

88*. При каких а уравнение

+ sin х + V 1 Н- cos х — а:

имеет решения?

имеет единственное решение на отрезке [—л/3; л/3]?

Решить уравнения (89—97):

tg7x = 2tg5x+tg25x- tg7x.

ctg д + 3xj + dg ^^" + -^ = 2 sin ^-д — 2х

sinx + 2cosx = cos2x — sin 2х.

cos Зх —cos 2х = sin Зх. 34 х

sin х — sin - х = — sin2 -^ • sin х.

cos12 х + sin6 х (1 + cos2 x)3 = 1.

cos2x —sin2 (хУз)= 1.96. cos0 2nx — 2 sin3 лх = 3.

2 sin2 x • cos2 4x = sin2 x4- cos'2 4x.

Решить системы уравнений (98—99): f tgx + 3 tgi/ = O,( cos x • cosy=1 sin x sin y,

I . . „_99 J„3

I 4х4~2у = 5л. Ix + 2y=2 л.

100. При каких а система

( 8 cos x • cos у • cos (x — y) + 1 = 0, Ix+y=a

имеет решения? Найти эти решения.

Решить системы уравнений (101—124):

( sin x4-sin y = sin (х + у), I |x| + iy| = l.

(

tgx + tgy = 4,। cosx+cosy=l,

., .,103. { X ,у /2,

ctgx + ctgy = 5. Icos 2 +cos2=^1.

104. ^ I105.•/104. ^ I105.•/cos x — sin x = 1 + cos у — sin у,3

104. ^ I

105.

•

/

104. ^ I

105.

•

/

3 sin 2x — 2 sin 2y = -^ .

cos x • sin у = 1/2,rtgx-tg2y=l,

sin 2x + sin 2y = 0." t Уз sin 2x —3cos 2y=0.

sin x + sin у = 2 sin (x+y),

x У 3

cosy.cosY = -4.

tg2(x+y) = tg 2x + tg 2y, 2 sin (2x + y) cos у + cos 2y + 1 — 0.

113.

114.

115. |

117.

118.

120.

122.

123.

124*.

2 sin x • cos у = 2 ctg x 4- ctg y, 2 sin у • cos x = ctg x 4- 2 ctg y. sin 5x=sin (Jr+y) — sin (x— y), sin 4x = sin у — sin 6x, 4 sin x— 2 sin y = 3,

2 cos x — cos у = 0.

sin 2x sin у 4- sin x cos у = 1 / /"2, cos 2x sin у 4-cos x cos у = 1/1^2. ctg x4-tg x cos 2y 4-cos у = 0, ctg x — tg x sin 2y — sin у = 0.

2 sin x sin у = cos 2 x 4- cos 2y, 2 cos x sin у = cos 2x — cos 2y.

cos2x = 2 sin2y4-cos2(2y--x), 2 sin2x = cos 2y.

sin (4x—2у)4-)/Г2 sin (3x— y) = 0, 1^2 sin (2x —y)4-sin (3x — 2y) =0.

V1 4- sin x • sin у = cos x, 2 sin x • ctg у 4-1 =0.

sin (x 4- y) — cos (x 4- y) = cos (x—y), sin y—cosy = cos (2x4-y).

sin2 у 4- sin 2y = cos (x 4- y), cos2x4-2 sin 2y4-sin2у = cos (x—y).

tg (У/2) 4-6 sin x= 2 sin (y — x), tg (У/2) —2 sin x = 6 sin to + xy

sin x 4- cos x = 2 sin у, sin 2x = 1^3 sin 2y — 3 cos 2y. cos x = cos у cos 2,

COS у = COS X COS 2 4

COS 2 = COS X cos у 4

1^3

1/3

sin x sin 2,

sin x sin y.

(

sin x 4- sin 2 = 1^2 cos у, cos x4-cos2 = V2 sin y, cos 2y 4-cos 2г = sin Чх.

tgx-tgy =

tg у * tg 2 =

tg2-tgX =

sin 2

cos x cos уsin x

COS у COS 2sin у

COS 2 COS X

— b,

3.

Решить неравенства (125—138):

125. 2 cos2 x> 3/2.128. sin x cos x.

127. sin x + 2cosx< 2.128. cos 2x4-3 sin x:

sin x +sin 3x^0.130. tgx5:2ctgx.

tg nx+tg2nx^0.

sin 2x + sin x — V2 cosx < \lV^-

sin x + sin 3x < sin 5x + sin lx.

I sin x | > [ cos x |,

1 + cos 2x5: cosx (1 +| 1 — 2 cos x I).

/3 + 2 tg x - tgs x -^-^ .

j/" COS 2x5: sin X — COS X.

Ksin x + Kcos x < Vl.

Доказать тождества:

(sin (y + P) — sin a) (sin (Y — P) + sin a) = ==(sin (Y + a) — sin P) (sin (y —a) + sin P);

cos a + sin a + cos 3a + sl'n 3a = 2 V 2 cos a sin ^ + 2a^.

Упростить выражение

sin2 a + sin2 p + 2 sin a sin p cos (a + P).

Доказать:

a) tg^a+^ + tg^a-^ = 2tg2a.

1 4-cos (2a4-630°) +sin (2a4-810°) ; 1-cos(2a-630°) +sin (2a-810T g

Доказать, что

tg (« + Р) = 4 tg P, если 5 sin a = 3 sin (a 4- 2p) + 0.

Доказать:

a) ctg 7,5° + tg 67,5°-ctg 67,5°-tg 7,5° = 2 (3 + 1^3).

Вычислить:

cos 3a cos8 a + sin 3a sin3a, если cos2a = a.

(sin 4a+ 2 sin 2a) cos a, если sin a= 1/4.

_, sin8® , cos8® sin4® , cos4 a 1

Выразить через a и 6-—+- 4т+t- , если — 4:—t- = ——г ;

1 ra3 b*a b a + b’

Найти:

a) sin(arccos(—3/5.)).6) cos (2 arcsin (3/4)).

d) tg (arcsin (2/3)). r) cos (arcctg (—2)).

д) cos (2 arctg 2) — sin (4 arctg 3).

Доказать:

arcsin x + arccos х = л/2, xe[—1; 1].

arctg x + arcctg х = л/2, x e R.

arctg x = arcctg (1/x), x>0,

arctg x = arcctg (1/x) — л, x < 0,

r) arcsin x=arccos V 1 — -t2, O^x^l, arcsin x =—arccos К1 — x3, —IsSXigO.

arccos x = arcsin V 1—x2, O^x^H arccos x= л —arcsin У1—x2 —l^x^O.

Доказать, что функция „2x

у = 2 arctgx + arcsin ■■ , -

принимает одно и то же значение для всех х>- 1. Найти это значение, 149. Найти все значении а, при которых уравнения

4 cos2 х — cos Зх = а cos х — | а — 4 | (1 + соз 2х) и

2 cos х cos 2х = 1 -[-cos 2x+cos Зх равносильны.

Решить уравнения (150—154)1

ctg ^ cos 2nxj = КЗ.

2 sin2 ^ cos2 х^ = 1 — cos (л sin 2х).

2 | х—6 [ cos х = х—6.153. cos лх=| *+-^-1| x—^-|.

— 2 Уз л sin x= | х4-л ] +| x — 2л ].

. Доказать, что для любого а и любого натурального п > 1

/ 2л \/,. 2л \ „

cos а4-cos аЧ+ ••• Ч-cos а + (л — 1.1 — =0.

'\ П )\nJ

тгОтт7 л

Найти сумму tg2 -yg- + tg2 ^g- + ... + tg2 -yg- .

Найти общие решения уравнений 5л sin 5лх + cos 5лх + 2 sin -у - = 0

и

Уз sin +3 cos + sin Юлх = 0.2х2х '

При каких значениях а уравнение

f . „ иЗх— 11

I sin2 , пи = агхг=

J 22 а-

о

имеет решение? Найти это решение.

Найти наименьшее значение функции Л 19л" I •

у = 4x4— Ь sin х

при х > 0.

Найти все значения а, при которых квадратичная функция .;2cosa + + 2х sin a +"^ (cos a — sin a) является квадратом линейной функции.

Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен х' sin 2a — — (sin2 2a—4 cos6 a) хН1— имеет два одинаковых по абсолютной величине 'cos a

корня разных знаков.

Найти все принадлежащие отрезку [2; 3] решения уравнения a

( cos (х + a2) dx — sin a. о

Решить уравнения (163—165):

arccos x — 2 arcsin x.

arctg2x + arcctg2x = 5n2/8.

arctg (2 tg 2x —6 tg x) = ”~ + x.

При каких а уравнение

(arcsin х)з + (arccos x)1 = a имеет единственное решение?

Найти все пары чисел (х; у) такие, что

sin (х — у) -|- sin у — sin х=4 sin (у/2).

cos4 х + cos4 у;— = 1.

'1COS3 X cos2 у

в*) cos х + cos у — cos (х + у) = 3/2.

t ( sin2 X-]- sin2 у ^ 3/2, ’ ( cos х • cosy — 1/4.

Решить систему уравнений

( 2 ~х _р 2-1'cos 2у 4- cos у = 0,

I 2-* —2х sin 2у— sirt у=0.

Доказать неравенство

, х2COS X 12" •

. При каких а неравенство

tg2 (cos V4л2 — х2) — 4а tg (cos V 4 л2—х2) -|- 2 -f- 2а ^ 0

имеет и притом конечное число решений? Найти эти решения.

Главах

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

Вначале напомним некоторые свойства показательной и логарифмической функций, часто используемые при решении уравнений, систем уравнений и неравенств, содержащих эти функции.

Показательная функция ах рассматривается при любом положительном основании а(а>0). Ее областью определения является множество всех действительных чисел (х е R), множество ее значений — это множество всех положительных действительных чисел (а*>0). При любом положительном а и любых действительных х и у верны следующие утверждения:

ахаи = ах^. 2. --- = ах~х.

a'J

3. а-х = ^.4. (ax)» = axv.

5. а°=1.6. аг = а. 7. Р=1.

8. Если а>1, то функция ах возрастает, если 0 <;«<!, то функция ах убывает.

Логарифмическая функция logax рассматривается при любом положительном и не равном единице основании a(a>0, a^l). Ее область определения — множество всех положительных действительных чисел (х>0), множеством ее значений является множество всех действительных чисел (—оо < logax < + оо). При любом положительном а, не равном единице, и любых положительных х и у верны следующие равенства:

Г а^°'аХ=х (основное логарифмическое тождество').

2'. logaa* = x.

3'. logo ху=Ioga x-,-loga у (формула для логарифма произведения).

4'. loga(l/x) = —logax.

5'. loga (х/у) = loga х logo у (формула для логарифма частного).

6'. logoх“ = ct logoх для любого а (формула для логарифма степени).

7'. 1 ogaa х = — logo х для любого а =£ 0.

8'. logex = -^— для любого Ь>^, 6^1 (формула перехода, к новому основанию).

9'. logo я =1. Ю'. logo 1=0.

1Г. Если <z> 1, то функция log^x возрастает, если же 0< <а<1, то функция logax убывает.

Функции ах и logax являются взаимно обратными, это выражено равенствами Г и 2'.

Замечание. Отметим важную особенность формул Г, 3', 5', 6'. Их правые и левые части, взятые по отдельности, определены на разных множествах значений переменных (х или х и у соответственно). В формуле 1' левая часть определена лгшь при х>0, а правая—для всех хер. В формулах 3' и Е' левые части определены для всех пар значений х и у одного знака (т. е. при ху>0), а правые —лишь для х>0, у>0. В формуле 6' при а = 2«, где /г —целое, п#Л, левая часть определена для всех x^Q, правая же —только для х>0.

Отмеченную разницу множеств определения следует учгтывать, применяя эти формулы для преобразования уравнений и неравенств. Она может привести как к потере решений, так и к появлению посторонних значений неизвестных. В соответстзующих примерах на это будет обращено внимание. Отметим, что : подобным обстоятельством мы уже сталкивались ранее (см., например, гл. IX).

Из свойств показательной функции следует, что при любом а>0, а#=1, уравнение

ах = Ь

имеет и притом единственное решение для любого Ь>0. Это решение в общем случае записывается в виде x = logaa. Если о=1, то уравнение Iх = Ь имеет решение только для &==1. Его решением является любое действительное число.

Из свойств логарифмической функции следует, что при любом о>0, а^\, уравнение

Ioga х = b

имеет и притом единственное решение для любого beR. Его решение в общем случае записывается в виде х = аь.

При решении показательных и логарифмических уравнений часто используются два преобразования: логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование по основанию с>0, сф• 1, представляет собой переход от равенства

a = b(1)

к равенству

Iogca = Iogcb(2)

(здесь а и b могут обозначать как числа, так и выражения, содержащие переменные). Если (1) —верное равенство и обе его части положительны (а>0, Ь>0), то и (2)- верное равенство.

Потенцированием по основанию с>0, с =^ 1, назовем переход от равенства (2) к равенству (1). Если (2)—верное равенство, то и (1) —верное равенство.

Показательные уравнения

Пример 1. Решить уравнение

9^ = 3 "/2^+i.

Л Обе части уравнения положительны. Логарифмируя по основанию 2, получаем уравнение

2 + (x-l)log29 = log23 + ^ (2х+1),

которое, очевидно, имеет те же решения, что и исходное, уравнение, т. е. равносильно ему. Преобразуя это уравнение и учитывая, что iog2 3 log2 9, получаем

-wr-т—■

x(loga9 — 1) = 4 (log29- 1),

откуда х = 3/2 (так как log2 9 — 10).

Ответ; 1,5. а

Так же как и в этом примере, уравнение вида

q! (X) — £g (Л)

логарифмируя по некоторому основанию с>0, с=#1, можно преобразовать к равносильному уравнению

fW logca = g(x) logc6.

Некоторые показательные уравнения введением нового переменного удается свести к алгебраическому уравнению, например квадратному, и т. д.

Пример 2. Решить уравнение

5х-1 + 5-0,2х-2 = 26.

Л Поскольку 0,2 = 5-1, то 0,2х-2 = 52~х, и поэтому уравнение можно записать в виде 5х~1-]-53-х = 26. Обозначим 5х-1 -=t, тогда / + -^- = 26,

откуда /2 — 26/+ 25 = 0. Получившееся квадратное уравнение имеет решения /t = 25 и /2=1. Отсюда 5х-1 = 25, х = 3; 5X-J=1, х=1. Найденные значения х и являются решениями исходного уравнения.

Ответ; {3; 1}. ▲

Пример 3. Решить уравнение

25х- 12 2х-6,25-0,16х = 0.

Л Запишем уравнение в виде

53х — 12 • 2х —6,25 • 0,43х = 0.

Замечая, что 2 = 5-0,4, а следовательно, 2х = 5х• 0,4х, приходим к уравнению

53х — 12 ■ 5х ■ 0,4х - 6,25 ■ 0,43х = 0,

которое является однородным степени 2 относительно 5J' и 0,4х. Разделив его на 0,4х и обозначив; / = (5/0,4)х= 12,5х, получим' квадратное уравнение f8 — 12/ — 6,25 = 0. Его корни суть i = —0,5 и /2= 12,5. Уравнение 12,5Х =—0,5 решений не имеет, уравнение 12,5х =12,5 имеет решение х=1, которое является решением и исходного уравнения. А

Некоторые показательные уравнения удается решить, используя свойства возрастания и убывания показательной функции.

Пример 4. Решить уравнение 4х + 9х = 25х.

А Легко угадать и проверить, что х = 0,5 —решение данного уравнения.

Вопрос в том, единственно ли это решение? Пока не дэказано, что других решений нет, или пока не найдены все другие решения (если они есть), задачу нельзя считать решенной.

Ответ на поставленный вопрос вытекает из решения следующей задачи.

Пример 5. Пусть 0<д<1, 0<6<1 и пусть уравнение

ax + bx== 1

имеет решение х0. Доказать, что это решение единственно.

А Показательная функция с положительным основанием, меньшим единицы, убывает, поэтому, если х<х0, то ах>ах» и Ьх> >ЬХ". Отсюда следует, ч?о ах + 6х > ах« + bx« =1. Значит, при х<х0 данное уравнение решений не имеет. Если х>х0, то ах <. <_ах° и 6Х<6Х% откуда ах + 6х<а^ф-b^ = 1. Таким образом, и при х>х0 данное уравнение решений не имеет. Тем самым доказано, что х0 — единственное решение, а

Вернемся к примеру 4. Разделив обе части данного уравнения па 25х, запишем его в виде

(4/25)х + (9/25)х= 1.

Это уравнение имеет решение х0==0,5. Согласно доказанному в примере 5 других решений быть не может. Теперь задача примера 4 решена полностью.

Ответ: 0,5. а

Логарифмические уравнения

Пример 1. Решить уравнение

1о§2 х (х — 1) = 1.(1)

Л Потенцируя по основанию 2, получаем

х(х —1) = 2.(2)

Это уравнение имеет решения Хл = 2, х2 =—1. Подставляя их в уравнение (1), убеждаемся в том, что они являются решениями и этого уравнения.

Ответ: {2; —1}. д

Как видно из решения, уравнения (1) и (2) оказались равносильными. И в общем случае уравнение вида

1°8а f (х) = g (х)(3)

равносильно уравнению

/(x) = ^W.(4)

Действительно, если х— решение (3), то, потенцируя верное равенство (3), получаем, что и (4) — верное равенство. С другой стороны, если х — решение (4), то, логарифмируя верное равенство (4) (обе его части положительны), получаем, что и (3) — верное равенство.

Пример 2. Решить уравнение log3(3x — 8) = 2— х, А Потенцируя по основанию 3, получаем уравнение

3х — 8 = 32-v,

откуда 32х — 8-3х — 9 = 0. Это квадратное относительно 3х уравнение имеет корни 9 и —1. Уравнение 3х = —1 решений не имеет, уравнение Зх = 9 имеет решение х = 2, которое является и решением исходного уравнения.

Ответ: 2. д

Пример 3. Решить уравнение

lg(x2 —6x4-7) = lg(x —3).

Д Потенцируя по основанию 10, приходим к уравнению х2 — 6х + 7 = х — 3,

откуда х2 — 7x4-10 = 0, хх = 5, ха = 2. Подстановка xL = 5 в исходное уравнение приводит к верному равенству 1g 2 = 1g 2, значит, Xt = 5 —решение исходного уравнения. При подстановке ха = 2 в уравнение появляется выражение 1g(—1), которое не определено. Значит, х2 = 2 не является решением исходного уравнения.

Ответ: 5. д

Рассмотренное уравнение является примером уравнения вида

loga/(x) = logag(x).(5)

Такое уравнение, вообще говоря, не равносильно уравнению

/(x) = g(x).(6)

Решениями уравнения (5), очевидно, будут все те и только те решения уравнения (6), для которых /(х)>0 (или, что то же.

g(x)>0). В примере 3 из двух решений уравнения х2 — 6x4-7= =х — 3 только одно, а именно, хг = 5, удовлетворяет условию х — 3>0. Только это значение х и является решением исходного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

logax4-log2(x- 1)= 1.

Л Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения log2x(x — 1) = 1.

Это уравнение (см. пример 1) имеет решения Xi = 2, х2=*1. Подставляя Xi = 2 в исходное уравнение, получаем верное равенство 1 = 1, значит, Xi = 2 — решение исходного уравнения. При подстановке х2 =— 1 уже в первом слагаемом левой части получаем выражение log2 (—1), которое не определено. Значит, х2 = — 1 не язляется решением исходного уравнения.

Ответ: 2. а

Как видно из этого примера, преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения может привести к уравнению, неравносильному исходному. А именно, не всякое решение полученного уравнения может быть и решением исходного. Это связано с тем, что, как уже отмечалось ранее (замечание к формулам 1', 3', 5', 6'), логарифм произведения может быть определен н тогда, когда логарифмы сомножителей не определены. Если при решении уравнения использовалось указанное преобразование, то все найденные значения неизвестного следует проверить, подставляя их в исходное уравнение. Либо же следует установить, для каких из этих значений будут положительны выражения, стоящие под знаком логарифмов в исходном уравнении.

Сказанное в полной мере относится и к случаю преобразования разности логарифмов в логарифм частного.

Пример 5. Решить уравнение

log3(2-x)-loga(24-x)-log3x4-1 =0.

Л Преобразуем данное уравнение:

logs ——= о ^2~^3- = 1.

ёз(2 + х)х(2 + х)хь

Отсюда х2 4-5х — 6 = 0, Xi = l,x2 = — 6. Для Xi == 1 все выражения, стоящие под знаком логарифмов в исходном уравнении, положительны, значит, Xi=l — решение этого уравнения. Для хг = — 6 не определен уже log3(—6), поэтому х2 = — 6 не является решением исходного уравнения.

Ответ: 1. а

Пример 6. Решить уравнение

2 lg (2х) = 1g (х24-75).2 lg (2х) = 1g (х24-75).(7)(7)

2 lg (2х) = 1g (х24-75).

2 lg (2х) = 1g (х24-75).

(7)

(7)

Л Учитывая, что 2 lg (2х) = 1g (4х2), преобразуем дан :юе уравнение к виду

lg(4x2) = lg(x2 + 75).(8)

Это уравнение, как легко установить, имеет решения Xi = 5, х2 =— 5. Обратим внимание на то, что в уравнении (8) выражение 1g (4х2) определено для всех х^О, в то время как в исходном уравнении (7) соответствующее выражение 2 lg(2xi определено лишь при х>0. Проверка показывает, что из двух решений уравнения (8) лишь х, = 5 является решением уравнения (7).

Ответ: 5. д

Как видно, из этого примера, замена в уравнении выражения 2nloga/(x) на log» (f (x))2/I (/г —целое, п^О) также может приводить к появлению посторонних значений неизвестного. Как и ранее, это связано с тем, что второе выражение имеет более «чифокую» область определения, чем первое.

Замена одного из выражений, входящих в уравнение, на другое, имеющее более «узкую» область определения, естественно может привести к потере решений. Примерами таких преобразований могут служить преобразование логарифма произведения в сумму логарифмов, вынесение показателя степени из-под знака логарифма и т. д. В таких случаях следует рассмотреть тем или иным способом все значения переменной, среди которых могут быть решения уравнения. Скажем, преобразуя log» (j (х))2”, где п — целое, н=#0, нужно рассмотреть два случая:

если f (х) > 0, то loga (/ (х))2” = 2n loga j (х), если f(x)<0, то logo (/ (х))2" = 2n log» (—f(x)).

Пример 7. Решить уравнение

lg(2x) = -* lg(x-15)С(9)

Л Пусть х— 15>0, тогда lg (х — 15)4 = 4 1g (х — 15) и, значит, lg(2x) = lg(x — 15).(10)

Отсюда 2х = х—15, х =—15. Это число не является, очевидно, решением ни уравнения (10), ни уравнения (9).

Пусть х—15<0, тогда lg(х— 15}4 = 4 1g (15 — х) и исходное уравнение сводится к уравнению

lg 2х = 1g (15 — х).(11)

Его решением является х = 5. Это же значение х является и решением исходного уравнения (9). д

Заметим, что если бы вместо двух случаев и соответствующих уравнений (10), (11) рассмотреть лишь тот случай, когда 1g (х — 15)4= = 41g (х — 15) (уравнение (10)), то решения уравнения (9) были бы не найдены.

Некоторые логарифмические уравнения в результате преобра- еований и введения нового переменного удается свести к алгебраическим уравнениям.

Пример 8. Решить уравнение

loga х _ log8 4хlog4 2х logle 8х *

А Обозначим log2x = /, перейдем к основанию 2 и воспользуемся формулой для логарифма произведения. Будем иметь

log4 2х = у log2 2х = д- (1 + /),logs 4х = у log2 4х = ~ (2 + /),logie 8х = у log2 8х = ’ (3 + /).

В результате исходное уравнение запишется в виде t _ 2(2 + 0 1+/3(3+0'

Решив это уравнение, найдем, что /1=1, /2 = — 4. Соответственно получаем Iog2х = 1, х = 2; log2x = — 4, х2=1/16.

Ответ: {2; 1/16}. А

Разные примеры уравнений

Пример 1. Решить уравнение log3 х = 1 + log* 9.

А Переходя к основанию 3, имеем logJC9=-i—-—. Обэзначив loga х

/ = log3x, запишем исходное уравнение в виде

/=1+у.

Это уравнение имеет решения 4==2, /2 =— 1. Соответственно находим log3x = 2, х = 9 и log3x = —1, х= 1/3.

Ответ: {9; 1/3}. А

Для преобразования выражения аоесь бывает полезна (формула cW = bto8ca,(1)

где а > 0, b > 0, с > 0, с =А 1. Вывод ее весьма прост: из верного равенства logc b ■ logc а = logc а • logc Ь следует, что верно и равенство logc(alog^) = logc(hlo^a), а отсюда, потенцируя, приходим к (1).

Пример 2. Решить уравнение 251sx = 5 + 4x1s5.

А Согласно (1) имеем х^^б1®*. Учитывая это, запишем уравнение в виде521^х — 4-5'^ — 5 = 0. Это уравнение является квадратным относительно 5^х. Его корни суть 5 и —1. Из тс го что б’з-^б, следует, что lgx=l, х=10. Уравнение №<=—1 решений не имеет. Значит, исходное уравнение имеет одно решение х = 10. А

Рассмотрим примеры уравнений, содержащих выражения (/(х))»w. Здесь мы будем рассматривать лишь такие значения х, при которых основание f (х) положительно.

Пример 3. Решить уравнение xlg2x = 5.

Л Здесь следует, очевидно, рассматривать лишь значения х>-0. Логарифмируя по основанию 10, получаем уравнение

1g (2х) ■ Igx = 1g 5,

равносильное, как легко видеть, исходному. Полученное уравнение преобразуется к квадратному уравнению

lg2x + lg2.1gx-lg5 = 0

относительно 1gх. Отсюда находим

1g х = у (— 1g 2 ± "|/lga 2 + 4 1g 5).

Учитывая, что 1g 5 = 1 — 1g 2, получаем, что 1g2 2+41g 5 = (1g 2 — 2)а, следовательно, 1g х = у (— 1g 2 ± (1g 2 — 2)). Соответственно имеем Igx —— 1, х = 0,1; lgx= 1 — 1g2 = 1g5, х = 5.

Ответ: {0,1; 5}. а

Пример 4. Решить уравнение

|x _ 3 j^-Sx -1- 15Ш-2) = 1,

Л Равенство а6 = 1, где а > 0, верно тогда и только тогда, когда либо а = 1 (в этом случае Ь — любое число), либо Ь = 0 (в этом случае а —любое положительное число). В соответствии с этим рассмотрим два случая.

|х — 3| = 1. Отсюда х —3 = ±1, Xi = 4, х2 = 2. Для первого значения Xi = 4 показатель левой части исходного уравнения определен, и, следовательно, xL = 4 —решение исходного уравнения. Для второго значения ха = 2 показатель не определен, это значение не является решением исходного уравнения.

(х2 — 8х+15)/(х —2) = 0. Отсюда х2 —8х+15 = 0, хг = 5, х2 = 3. Из этих двух значений решением исходного уравнения будет лишь Xi = 5, а значение х2 = 3 — постороннее, так как для него основание степени в левой части исходного уравнения равно нулю. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения: Xi = 4 и х3 — 5. А

И в общем случае уравнение вида

(f(x^w= I

сводится к совокупности двух уравнений:

fW = \,

ф (х) = 0.

Решениями исходного уравнения будут все те и только тз решения этих двух уравнений, для которых выражения q) (X и f (х) определены и / (х) > 0. '

Пример 5. Решить уравнение

1°§2х-11°§2х-1х» + 22х+ Гх» + 22х+ Г= 1.= 1.

1°§2х-1

1°§2х-1

х» + 2

2х+ Г

х» + 2

2х+ Г

= 1.

= 1.

Л Потенцируя по основанию 2а — 1, приходим к уравнению

х» + 22x4-1 ~х» + 22x4-1 ~2х — 1,2х — 1,

х» + 2

2x4-1 ~

х» + 2

2x4-1 ~

2х — 1,

2х — 1,

которое, как легко видеть, имеет следующие решения: xi = l, х2 =— 1, хя = "|/3, х4 =— ]/3. Все решения исходного уравнения содержатся среди этих значений х. Подстановка в исходнсе уравнение показывает, что его решением будет лишь x = V^. Для х =— 1 и х =— ]/ 3 основание логарифма 2х—1 отрицательно, а для х = 1 оно равно 1. Все эти три значения не являются решениями исходного уравнения.

Ответ: ]/3. А

Рассмотренное уравнение является примером уравнения вида log? (х)/ (х) = а.

Множество всех решений этого уравнения состоит из всех тех и только тех решений уравнения

f (х) = (q) (х))“,

которые удовлетворяют условиям <р(х)>0, q>(x)=^l. Пример 6. Решить уравнение log3vx = log9,x.

Л Решения этого уравнения, очевидно, следует искать лишь среди значений х, удовлетворяющих условиям ;;'>0, 3x^1, 9х=^1. Полагая еще, что х^1, перейдем к основанию х:

log, Зяlog, 9х

Отсюда следует, что log, 9х = log, Зх, log, 3 = 0, 3 = х°, 3=1. Полученное неверное равенство показывает, что уравнение (2) решений не имеет. Неверным было бы заключить отсюда, что и исходное уравнение не имеет решений. Осталось не исследованным еще значение х=1. Оно-то и является, очевидно, решением исходного уравнения. А

Этот пример показывает, что при переходе к новому основанию, которое является выражением, содержащим неизвестное, может произойти потеря тех решений исходного уравнения, для которых это выражение равно единице.

2572579 п/ред. Г. Н. Яковлева

257

257

§ 4. Системы показательных и логарифмических уравнений

Рассмотрим сначала примеры систем, которые удается легко решить методом подстановки.

Пригмер 1. Решить систему

J logyx — log2y2 = 1,( log4 X — log4 у = 1.

Л Из второго уравнения системы следует, что log4 (х/у) = 1, откуда х = 4у. Заменив в первом уравнении системы х на 4//, получим уравнение

logy (4у) - log21/ = 1

с одной переменной. В первом выражении левой части этого уравнения перейдем к основанию 2, второе выражение преобразуем по формуле логарифма степени, учитывая, что у>0, у 4-^- После простых преобразований получим уравнение log2y=l. Отсюда log2y=l, г/= 2, и тогда х = 8; log2y==—1, у = 1/2, ах —2. Подставив найденные пары значений х = 8, у =2 и х = 2, y=\j2 в исходную систему, легко проверить, что обе они являются решениями этой системы, л

Пример 2. Решить систему)

J хх-и = ух,у, 1 Ух-у = 1.

/\ Выразив из второго уравнения у = х^8<) и заменив в первом уравнении у на x~0A придем к уравнению

Хх-х'м _X-O,5x-O,5x’ “А0)

Учитывая, что х>0, разделим обе части этого уравнения на выражение, стоящее в правой части (оно также положительно). В результате получим уравнение

д-ИЗх-ОДх"0,5 _ ] _

Отсюда: I) х = 1, тогда и у = 1, эта пара значений х и у является, очевидно, решением исходной системы; 2) 1,5х— — 0,5х-0’5 = 0, откуда х1'5=1/3, x=l/j/9, тогда у = у/з. Убедиться в том, что пара х=1/|/9, у = УЗ является решением исходной системы, можно непосредственной проверкой. Можно поступить и иначе. Эта пара является, очевидно, решением системы, образованной уравнением (1) и уравнением у = х~°-5. А эта система равносильна исходной, что сразу видно после замены в уравнении (1) х-015 на у.

Ответ: {(1; 1), (1/]/9; У^З)}- ▲

Т) Если основание и показатель степени зависят от переменных, то здесь, как и ранее, рассматриваются лишь те значения переменных, при которых основание положительно.

Некоторые системы показательных и логарифмических уравнений удается свести к алгебраическим системам уравнений

П р и м е р 3. Решить систему

log., х = log4 у 4- log4 (4 - х),10g3(jC-I-t,) = 10g:1X- log;; //.

△ В первом уравнении приходим к основанию 2, а затем преобразуем систему к виду

Г log2x = logAp' И — х)),

I logs (*+//)== Ioga(x7//).

Отсюда следует, что

( X2 = у (1 - .V),I х^у = х/у.

Каждое решение исходной системы является решением и системы (2). Значения х и у, дающие решения исходной системь, удовлетворяют, очевидно, неравенствам

0<х<4, 0<у.(3)

Легко проверить, выполняя обратные преобразования, что каждое решение системы (2), удовлетворяющее неравенствам (3), является и решением исходной системы.

Запишем систему (2) в виде

х(х + у) = 4у,х + у = xi у.

Подставляя х/у вместо х + у в первое уравнение этой с ютемы, найдем, что хг = 4у2, Если х = 2у, то из второго уравнения следует, что у ==2/3, а значит, х = 4/3. Если же х =—2у, тз нера- вегства (3), очевидно, не выполнены и в этом случае решении исходной системы нет. Найденная пара значений х = 4/3, у = 2/3 удовлетворяет неравенствам (3) и является единственным решением исходной системы, д

Пример 4. Решить систему

/ log., (ху) = 3 log,, х. log,, у,

Перемножив почленно уравнения этой системы, получим и^ = 4и-, откуда и = 2и или и =—2у. Подставляя и = 2и в систему (4), найдем, что у = 1/2, а значит, ы=1. Отсюда log8x==l, х = 8; log9</= 1/2, y = 2V2- В случае и = —2и аналогично получим, что х=1/2, у = У"2. Таким образом, исходная система имеет два решения: х = 8, y = 2j/2 и х=1/2, у = У2. А

§ 5. Показательные и логарифмические неравенства

Некоторые показательные и логарифмические неравенства удается решить непосредственно, используя свойства возрастания и убывания показательной и логарифмической функций (свойства 8 и 11', указанные во вводной части).

Пример 1. Решить неравенство 0,5Р*А0,0625.

А Заметив, что 0,0625 = 0,54, запишем неравенство в виде

ОД^^О.б4.(1)

Поскольку показательная функция с основанием, меньшим единицы, убывает, это неравенство верно тогда и только тогда, когда верно неравенство

1/х<;4.(2)

Другими словами, неравенство (2) равносильно неравенству (1). Неравенству (2) удовлетворяют следующие значения х: х<0, X 1/4. А

Пример 2. Решить неравенство

Л Здесь следует рассматривать лишь такие значения х, при которых

^Г>0.(4)

Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, поэтому неравенство (3) верно тогда и только тогда, когда наряду с неравенством (4) верно и неравенство

^>3-(5)

Очевидно, любое решение неравенства (5) удовлетворяет условию (4), поэтому неравенство (5) равносильно неравенству (3). Неравенство (5) имеет следующие решения: —3<х< — 1. А

Пример 3. Решить неравенство

10g, ,.2(х2- 4)^—1.(6)

А Следует рассматривать лишь значения х, для которых

/ А А. х2 —4>0.(7)

Логарифмическая функция с основанием, меньшим единица, убывает, поэтому решениями неравенства (6) являются те и только те значения х, которые наряду с (7) удовлетворяют неравенству х2-4^0,2-1 = 5.

Иначе говоря, неравенство (6) равносильно системе нержисте

О -< х2 — 4 s^ 5.

Эта система имеет, очевидно, следующие решения: 2-<ix|=s3. а Точно так же, как рассмотренные в примерах 1—3 неравенства, решаются и неравенства вида

af (х' > as 1Х>,loga/:(x)>& и т. д.

Пример 4. Решить неравенство

1о&1оё0.6(2х-^)^2.

А Это неравенство равносильно системе неравенств

0<Iog0,5(2x-

Эта система в свою очередь равносильна системе неравенств 1>2х-^^0,5\

Здесь мы учли, что основание логарифма меньше единицы, а также то, что неравенство 2х —|^>0 следует из правого неразенства этой системы. Преобразуя полученную систему, получаем S1/1G> >2х2?1, откуда log2 31 — 4 > х^ 0. а

Пример 5. Решить неравенство 2ХС31-Х.

А Заметим, что обе части данного неравенства положительны, следовательно, определены логарифмы этих частей, например по основанию 2. По свойству логарифмической функции получаем, что данное неравенство верно тогда и только тогда, когд; верно неравенство

loga 2х < logs 3VX,

т. е. эти неравенства равносильны. Преобразуя полученное неравенство, имеем

_ 1 ।ха — log., 3п

х < — logo 3,< 0.

Решив последнее неравенство, например методом интервалов, найдем, что его решения таковы; х< — yloga 3, 0<х< <Г^23. А

Пример 6. Решить неравенство 1g(х2— 16) ^ 1g (4.с — 11).

(8)(8)△ Это неравенство равносильно системе неравенств 0<х2- 16 ^4х- 11.

(8)

(8)

Множеством решений первого неравенства 0<х2—16 является объединение двух интервалов ]—оо; —4[ и ]4; + оо[. Множество решений второго неравенства — отрезок [—1; 5]. Пересечение этих двух множеств — промежуток ]4; 5] — является решением рассматриваемой системы, а значит, и исходного неравенства. А

Как и в примере 6, при решении неравенств вида

(9)(9)logo/(Х)< logo gr(x)

(9)

(9)

или нестрогих неравенств такого вида следует рассматривать лишь такие значения х, для которых ) (х) > 0 и g(x)>0. При этом условии неравенство вида (9) равносильно системе неравенств

О < f (х) < g (х) при 1<а,

или системе неравенств

/ U) > g (х) > 0 при 0<й<1.

Рассмотрим примеры более сложных неравенств.

Если неравенство содержит степень, основание и показатель которой зависят от переменной, то здесь будут рассматриваться лишь такие значения этой переменной, при которых основание положительно.

Пример 7. Решить неравенство

(Ю)(Ю)(х-3)2^”7х> 1.

(Ю)

(Ю)

Л Если х —3> 1, то данное неравенство верно тогда и только тогда, когда 2х2 —7х>0. Значит, любое решение системы неравенств

(И)(И)х —3> 1,2х2 — 7х> 0

(И)

(И)

является решением исходного неравенства (10).

Если 0<х-3<1, то неравенство (10) верно тогда и только тогда, когда верно и неравенство 2х2 — 7х<0. Значит, любое решение системы неравенств

также является решением неравенства (10).

При х —3=1, т. е. х = 4, неравенство (10), очевидно, неверно. Из сказанного следует, что множество решений неравенства (10) является объединением множеств решений систем неравенств (И) и (12).

Легко найти, что множество решений системы (И) есть интервал ]4; + оо[, а системы (12) —интервал ]3; 3, 5[. Объединение 262

этих двух интервалов и есть множество решений исход; эго неравенства.

Ответ: ]3; 3,5[U]4; + оо[. А

Как и в этом примере, при решении неравенств вида

(f^5№>\, (Цх№^<Л(13)

следует рассматривать два случая:

/ (л-) > 1 п 0 </(%-)< К(И)

В случае нестрогих неравенств вида (13) нужно учесть и случай Ж = 1-

Пример 8. Решить неравенство (х2 — 2,5х+I) .

Л Это неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

2,5х + 1^1,( 0<х2-2,5х + 1 ^ 1,

(х-Н^О,(х-ЦуаО.

Первая из этих систем неравенств имеет решения х<—1. Вторая система имеет решения 0<х<0,5, 2<х<2,5. Все эти значения х и составляют множество решений исходного неравенства.

Ответ: ’—оо; —1]U[O; 0,5[Uj2; 2,5]. а

При решении неравенств вида !og/(x)gW>fl,lognx)g(x)<n(15)

следует так же рассматривать два случая:

Нх)>1 и 0<f(x)<l.(16)

Пример 9. Решить неравенство log2A(x2 5х+С)>1.

Л Если 2х> 1, то данное неравенство верно в том и только том случае, когда х2 — 5х + 6>2х. Если же 0<2х<1, то данное неравенство верно тогда и только тогда, когда х2 — 5х-{-6< <2х. Учитывая еще, что в любом случае должно выпо; шпься неравенство х1 — 5х + 6>0, получаем, что данное меразепство равносильно совокупности двух систем неравенств

(2х>1,(0<2х<1,

| х2-5х + 6>2х, " | 0<х2-5х<6<2л.

Первая из этих систем имеет решения 0,5<х<1, 6<х. Зо второй системе первое неравенство верно при 0 <х <0,5, а неравенство х2 — 5х + 6 < 2х — при 1<х<6. Сравнивая эти д за множества, видим, что вторая система решений не имеет. Следовательно, множество решений исходного неравенства согпадзет в данном случае с множеством решений первой из рассмотщ'ш ых систем.

Ответ: ]0,5; 1[ U ]6; + <х>1. а

При решении нестрогих неравенств вида (15) следует рассматривать и случай

g(x) = (f(x)y.(17)

Пример 10. Решить неравенство log1/JC——у^— I.

△ Это неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

[ 1/х> 1,( 0< 1/х< 1,

Решаем первую из этих систем. Неравенство 1/х2>1 имеет решения 0<х-<1. Значит, х—1-<0, а тогда из неравенства (2х—1)/(х—1)>0 следует, что 2х — 1<0, т. е. х<0,5. Неравенство (2х — 1)/(х— 1) =^ х сводится (поскольку х— 1*<0) к неравенству 2х — 1^=х(х — 1), которое имеет решения 0,5-(3 — V5) ? гу: х =ь~ 0,5 (3-|-уг5). Пересечение этого отрезка с интервалом 0<х<0,5 есть промежуток

0,5 (3 — у 5)^х<0,5,

который и является множеством решений первой системы.

Вторая система решается аналогично, множество ее решений есть промежуток

1<^0,5(3 + у"5).(19)

Ответ: [о,5 (3 — ^5); 0,5 [ U ] 11 0,5 (З-Ц/5)]. А

Некоторые показательные и логарифмические неравенства введением нового переменного удается свести к алгебраическим неравенствам, например квадратным.

Пример 11. Решить неравенство log4x — logt 43/2.

/\ Запишем неравенство в виде

.1 з

и обозначим /=log4x. В результате получим неравенство

которое имеет решения: (^—0,5, 0</^2. Отсюда соответственно находим, что

log4x=C—0,5,0-<х=ь;0,5;

0<log)X-<2,1<х<:16.

Ответ: ]0; 0,5]J]l; 16]. А

Пример 12. Решить неравенство

iog3(16-v-2.12t)=:x:2x+l.

Л Это неравенство равносильно системе неравенств О < 16х —2- 12х sCS2^1.

Запишем эту систему в виде

О < 42х — 2 ■ 4г - 3х $+ 3 - 3 х.

Разделив каждую часть на 32х>0 и обозначив / = (4/3)х, получим систему алгебраических неравенств:

О < /2 — 2/ $^ 3.

Эта система имеет решения: 2</^3. Отсюда находим, ч то 2<(4/3)x^3,log4/32<x<log4/33.

Ответ: ]log4/32; log4/3 3]. ▲

При решении неравенств следует учитывать те замечания по поводу появления посторонних значений переменной или потери решений, которые были сделаны ранее при решении уравнений.

Пример 13. Решить неравенство

2iog2(x — l)>log2(5— х)-р 1.(20)

Л Преобразуем данное неравенство к виду log2(x-l)2>log22(5-x).(21)

Всякое решение исходного неравенства (20) является, очевидно, и решением неравенства (21). Обратное верно в том и толе ко том случае, когда х — 1>0, т. е. х>1.

Далее, неравенство (21) равносильно системе неравенстз

(х- I)2 > 2 (5 — х) >0.(22)

Первое неравенство этой системы имеет решения: х<_—3, 3<х, второе неравенство — решения: х<5. Следовательно, систела (22) имеет решения: х<_—3, 3<х<5. Из них условию х> 1 удовлетворяют лишь значения х из интервала ]3; 5[. Этот интервал и есть множество решений исходного неравенства.

Ответ: ]3; 5[. А

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1

Решить уравнения (1—6);

4 х—4у<х + |=3-2х + 1/х.2. x[o3t(3x) = 16j/xC

^^y^sinC0S

1 - loge (х + 1 )2 = у logy-д T^j •

1g (0,5 +COS2 X) = lo^sin 2х 10"

lo^in X 2 + logC№ х 2 + 10gs]n х 2 . logcos ,2 = 0.

При каких значениях а уравнение

log.v-i (Л-+ я) = 0,5 имеет единственное решение?

Решить системы уравнении (8—13);

( logy х 4-log,, у = 2,5,

I ху = 27.

( 4x|T/ = 27 + 9t~y,

( 8^-ii/ —21 ■ 2аЧж = 27а~у4-7 ■ 3А'

( 5i^=3igyf xU=yx

I11.

1 (Зх)'з3= (5y) 35. I xA = yf .<

f log, (x2 + y2) — log2 X =■ log2 (x + 3y) — 1,

<xy 4-1x

I *y+,-<4.!=k«'-rL

г y-y— 2.6A-y — 6'2« = 0,

j

( 2- x-y _ 2 ■ 3A+y 4- 3 ■ 9 * = 0.

Решить неравенства (14— 19):

9-х —23v" ["•l5' 1°2з (A" + 2) > logr42 81.

lpg2 V ' 1()Й8 (4x)-

log, (2x) ■ logw (8x)

log , (6x— 1) > log v (2x).

. log v,.aX:< logax2, a > 0, a 1.

№ 2+log3A / 6

x-1"2x-l "

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

2?х- I2?х- IРешить уравнения (1—4):

2?х- I

2?х- I

1 25' * —154~6х.2. 4хдх — 0,5дх + 0,5.

2х— I

5-х.2т+'=50.4. 5,02гХ4-2-х'032^ 15.

Вычислить бел таблиц значение выражения

24 _ log. 192logg(i2 log,., 2

Выразить:

log, 30 через a=log3 20 и 6 = lg3;

log|M48 через a = log3 15 и 6 = log1224.

Решить уравнения (7 — 24):

у 2:-И12 V _|_ Q . 2C°S1Xу g ^COS 2х_|_ ^COS3 X __ д

5':|к:‘А l26-5sin2x) = 5.

3 • 16v4-36¥ = 2-SI-1.11. 9!о-3 (!-^^Sx2

0.5 lo.T,/-(х1 — г)

х Vx = 3!os«4.

4|и^ 11 ~х) = (2х2+2х- 5)’°^ 2.

log6 \3 ■ 4 х+2-9 х /+ у = log0 5.

15.16.15.16.3л- -|- (3 - х) logo 2 = log3 (9 ■ (| J" + 2 ■ 6*) + 1 - 3 log; sin X-|-10g2(l — cos 2x) = 2.

15.

16.

15.

16.

х°"«8 .14,os«7 = 1.

x'°?’* ~ 3 log3 * = 3~ '°g2 /2 64 + 8,

(1 — lg 2) log6 x= 1g 3—1g (x—2).

log2i^-l = log2|^^. X 1OX —-■ 1

1g/x-5+lg/2x-3+l = lg30.

/V5\/

log j I cos x 4- у I + log 1 cos xI — 2, "33

2 log2 sin x + log2 4 ctg2 x = yiy. nq .x 3x 3

^4. 2 log3 x у + 1 — 1°8з v j ■

Найти все решения уравнения „ ,, ,,,sin х _

2 log., cig X 1 — log,).2 7—r;= 0,

d ‘ '‘ “1 5 sin x— 4 cos x

принадлежащие отрезку [3,3; 4].

Найти решения уравнения ctgх-[-Jog^ х = 2 на интервале ] 0; л [.

Найти:

сумму корней уравнения

х + 1 = 2 log2 (2х + 3) - 2 log4 (1980 - 2-х);

произведение корней уравнения

(3x)Slog« 2х-4= 1д80 . viogox

Решить уравнения (28 — 42):

|cosx|sin2x-1'35in;t+0-5= 1.

(tg x)sin^ = (ctg x)cos ^.

Iogx_1(2x3—10x2+13x—1) = 3.

log^(x+ 1)2=1.32. log8 cos2x sin x + 0,5 = 0.

logsjna^ (cos x—cos 2x) = 1.

x2 logo x2 - (2x2 + 3) log9 (2x + 3) =-3 logo 97^3 •

log2 logo (2x + 3) + log! log) ^-^=1.

log3(log.2x — 9) = 2 + lcg3(l -4 logA 4),

logbA.(3 — x) = log3.,v(l — x).

logt_2A- (6x2 — 5x + 1) — logi_3A- (lx2 —4x4- 1) =2.

log*3 ■ logA/3 3+ logc/61 3 = 0.

,6(,.-8).16(2-,)-12^3.

logs X • logs x = logs x + log3 X.

log^x-^л logaZxx, где я>0, /;^1, n Ф 2.

Доказать, что loga6 • log^h = log,,& — loguS5,

Решить уравнения (44 — 54):

lg2( 1 + ^\ + lg2 (1 -= 2 lg2 l-L- 1V

1g (x — 10) • 1g (x + 10) = lg (x2— 100)— 1.

lg2(x+ 1) = 1g (x+ 1) -lg(x — 1)4-2 lg2(x — D-

3 ■ 2,o^(3" - 2 * + 2 - 3log- (3t' 2) - 5 ■ 6193 (3x ~ 2) = 0.

log2 (2 )z5 —,r4-5) = 1 — logo,s (x —0,5).

V^log^ I 3x • logo x4~ 1 — 0.

/4 log4 x — 2 4- V 1 4- logTx = 4.

3 logos (P .V2 4“ ^4“x) 4~ log2 (V x- 4- 1 — x) — logic tx4’ 1) 0,5

log)1 tg x 4- log2 sin2 x ■ log., cos2 x = 1.

lg2 cos x = 1g (1 — sin x) ■ 1g (1 -b siu x).

(l/4-Г 15/ + (/Ш'Пб)*8.

При каких значениях а уравнение log.v+rt (х — 2) = 2 и мое? Ное решение?

Сколько решений имеет уравнение е'Л—л14-2х2 —3 = х4?

Решить уравнения (57 — 58):

57*.

/ 14-а2 \ х ~ ( 1—дзу \ 2а ;\ 2а )

1,

а< 1

58*. log2 (1 4- Кх) = logo х

Решить системы уравнений (59 — 85):

59 ( log3x4-log3//=24-log37, w f x-'-Vy 1 = x4-y, I log4 (Х4-У) =2-' I lgx-(lgy4-2)=l.

( 0,5 lgx4-0,5 lg у — lg (4 — lAvi =0, l (254 х)1 :l- 125.5V / = U. / хУ = 9, ( ы = 1—log.

6, J 63. ? " I 324!/i/ = 6x. I x« = 0,2.

64.64.//3.x«-i=--4,3.x«-i=--4,65.65.x2y = 1x2y = 166.66.4-.mx_|_3cosy =llf4-.mx_|_3cosy =llf

64.

64.

/

/

3.x«-i=--4,

3.x«-i=--4,

65.

65.

x2y = 1

x2y = 1

66.

66.

4-.mx_|_3cosy =llf

4-.mx_|_3cosy =llf

5.16’1пХ — 2.3сшу =2.

1°8,4+3i|HH0’1°8,4+3i|HH0’

1°8,4+3i|HH0’

1°8,4+3i|HH0’

67.

[ logiy — log4 x-log4 y = 0.

68 Г ^х = 1^у + 1^ху, 6Q Г х1о^ = 271/, t lg2 (x—y) + lg x- 1gy= 0.‘ ( ^log»*^^.

7Q J log2y = log4№/-2), 7j r2x4-x-4=l,_ I loggx2+log3 (x—y) = 1.‘ I log2y=j/"x.

7 / log3(x+y) + 21og3(x-y)=5,

\ 2*-5.2°-5<*+!/-|> + 24+1 = 0.

( log2x- logx (x — 3y) = 2,

) log у 2,5 I x-y x =y •

?4 f lg*-lg(^ + f/)==lgi/-lg (*-</).

I lg ^ • 1g (x + y) = 1g X - 1g (X — y).

( log2(10 — 2У)=:4— у,

JxJ-3u—4

I 10ga Зу-х ^^гг^-Ч-Ь'ЧгСЗ-х).

?6 ( loga ^x-3) • log^22= 1 +logi/_2?,

t logr,x.log5(2x—2y+l) —31ogs(2i/-l) + 2 = 0.

| lg2^-(log; i/-logt //4-1)= 13,

I lgxi/=/logyX-1 Igy I —7.

78 J log2/3x + log=/3 у-logj/3(x+//)=!,

( l°g3/2 X ' *°йз/2 У + *°6з/2 (X+t/)~ 0.

(2-15-*+154 = 5^.3-4( 2t! + 4!= 16^,

< n80. {

] 2.3^-4-54-^ = 3-9*.| 2х, + 8.242 = 8.16л+16а.

C 2xJ-244-22 = 7,

1 2-*+2-« + 2-z = ^-,

^ * + Ут2 = 3.

, 2ХУ — 2 ■ 4-r2 + 64 = 0,

J 24 <x-«)_|_ 2.2x'№>— 20-2*4 = 0,

I 2x4 4-2^'*+4i — 24-24z = 0.

' x,Og4? + 2log4" = 6,

83.

^2*+х,08^=1621

2,огх4+//1ой^=</48.

i l + logp1 x = I0gv2_JC(

; 1 + 1087^ = 10^^-^-,

?2

1 + Ю+'2=10&^-.

(' +— 2 - 2У = — 2// - 4 v Ч

j

I 2x-22t^ + 3i/-8v^=l.

Найти все значения а, при которых система

С 2злг+у + г-'с+зУ = 4, | 8-1+1/+ 2'^-1/ = 43 3/1

имеет решения.

Найти все значения а, при которых система

( г^-'-Ка + Н Ьу^а1, ((а— ll^ + i/^l

имеет хотя бы одно решение при любом 6 (a, JeR).

Определить без таблиц, какое из чисел больше:

а) 0 или log^, 0,5; б) log, 2 или ^-.

Решить неравенства (89—108):

з^'-Ш/л <<.'27^1. до. 4 ■0,5+<JC13’<0,25aJC.

1<>Й1/з-^^-С I- 92. log,.2r,^-l)<0,5.

logA. 7 > log,- 3.94. у log, ^p—Г < 1'

log, logj_(+— 4x + 3)t<0.96. I logs ^д I > 1.

Jog3*3 > 1, a > 0, a + 1.

-,44-<4.99. 5 ■ 4x + 2 ■ 25х йб 7 ■ 10v.

0.8е —1,25ЛЧ1> 0,25.

2 ■ Зл'+9 ■ 4 х + 12х + 18.

0,4lg3x г[ ^б^З2""1^1.

log3 (3х- 1) ■ log, (Зхнз —9) > 3.

З'л"+3V ■ log2 3 — log2 6 > 0. Верно ля, что log32 —I- нераыи тва?

Юл. log,(*—1) + log, (* + 1) 2> 3.

* H i- logs ^6 + — J "Г logo,2 ^ * "Ь "Jo" j + * ■

4 log[6 cos 2* + 2 log4 sin x+ log,cos *+3 > 0.

2 log, (x+2)-log1(x+5)< 1, Ю9. Найти область определения функции

У = > logs *+ logs (3 —х) — log5 (x — 1).

Решить неравенства (110—133):

1101

' lg(x—1)•

log2 (x2 — 4x Д- 4) Д- 2x > 2 — (x + 1) log5,6 (2 — x).

1

^(Э-З^-З " '

log2 (x3 —x)—3 log2 ^^ > — 2.

log2 x ■ log3 2x Д- log3 x • log2 3x л, 0.

logo,5 (x + 2) • loga (x Д- 1) + log.v+1 (r + 2) > 0.

!ogx 2 • log2x 2 . log2 4x > 1.

log,, x < 6 logt a— 1, a>0, a^\.

log.»..» 6 + logx+2 6 > log,v_2 6 • log,vh2 6.

Зб'^Д-х'^^ЗО.

120*. 12&1£^1!2!2д128111+.1^

X'1 — 1'

x3 ,п"«л < a-’x-, a > 0, a =# \.

x— 1 lIo"2<4-,;| >>—1 1°я?<1-3т),

loSi-x Д y^IJ 52 L 5“к 'оёх-т (x=-4x)3<4.

1 — log|og2x 2,, 0

log,t(l Д-х2) < logx, (16 —x-).

log^, (x+1) > logx2_ , (x+1).

)/ log3 (9хД- 18) < log., (x + 2).

) "log—c + 2 V log J2 =s 3.

lg(tgx + ctgx)-lg4 <2

1g (sin x cos x)

Kl—log,, x — V 1 + log,, x > а У 2, a > 0, a^l.

132*. logt (x — a) > 2, a s? K.

При каких значениях а иераьснегчо

log a (x2 + 2)> 1

a+1

ве])но при любом действительном x?

1 lain и все значения а, при которых каждое решение неравенства 1°б4-х (2%2 — 5х —3)1

будет и решением неравенства х2-(-а2х — 2а4<0.

Доказать, что log2 3 — не рациональное число.

Определить без таблиц, что больше:

a) log., 60 пли log3 30; б) log3 75 или log2 И.

Доказать, что для всех г >т 1

1 Д-2 1п х х2.

139*. Найти среди целых чисел все решения неравенства 2х Д- 1 <g 2 log2 (х Д- 3).

Доказать, что для любых а > 0 и 6 > 0 верно неравенство а“.Ьь>а° • Ьа.

Пусть 0<а<1, ф (х)=дЛ + (1 — а)*. Доказать, чт , если х>1, то Ф (х) < 1, а если х < 1, то ф (х) > 1.

Пусть а>0, ф (х)=(1 +c)-v—а4. Доказать, что если х>1, то Ф (х) > 1, а если х < 1, то ф (х) < 1.

Пусть 0 < cz < 1, а > 0, b > 0. Доказать:

а) а“ •&!-“< а4-6; б) ^ ■ 6i~«-< «а . (1 _а)1-а (а + ^

При каких действительных х и у верно неравенство

V logx (л —Ку) 4-2 cos (Зл cos V'у) 4- ] '1°5Л _^у 0?

Решить системы (145—146):

<2^1 = 1/24-4,I logx(x + 2)>2,

412*-1<у.14Пх2-8х+13)т-»< 1.

Найти множество точек плоскости, координаты (х; р) которых удовлетворяют системе:

Г 32<*-y>_6.3-2*—3*у>0,

\ х4-3у = 5.

f logo,5 (x + .V— 1) > logo.r, У,

I Уу — х — 1 < У2—Х.

Найти среди целых чисел все решения системы уравнений

X—

■ 1,5у—2 и =1,

2.V — 3^=1.

Найти

lira (log^rz • logn (/i4-1).... • log,ia_, /15). n-*oo

Глава XI

КОМБИНАТОРИКА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ СТЕП ЕНИБИНОМА. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНССТИ

Размещения, перестановки, сочетания

Примеры простейших комбинаторных задач. Начне л с нескольких примеров, типичных для комбинаторики задач.

Пример 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны комсорг и староста, если каждый учщийся может быть избран на одну из этих должностей?

А Так как по условию задачи каждый учащийся может быть избран комсоргом, то, очевидно, существует 30 способов выбора комсорга. Старостой может стать каждый из оставшихся 29 человек. Любой из 30 способов выбора комсорга может осуществляться вместе с любым из 29 способов выбора старосты. Поэтому существует 30-29=870 способов выбора комсорга и старосты. а

Пример 2. Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

А В понедельник может дежурить любой из выделенны ( шести человек. Во вторник может дежурить каждый из еще не дежуривших пяти учащихся. Следовательно, расписание дежурств на первые два дня недели можно составить 6-5 = 30 способами. К среде остаются четыре человека, которые еще не дежу тили, и поэтому на среду дежурного можно будет назначить 4 способами. Каждый из этих способов может комбинироваться с любым из 30 способов выбора дежурных на понедельник и вторник. Таким образом, существует 6-5-4=120 способов установления очередности дежурств на первую половину недели. В четверг сможет дежурить любой из трех еще не дежуривших учащихся, в пятницу—любой из двух еще не дежуривших. К субботе выбора не будет, так как останется один человек, который еще не дежурил. Он и будет дежурным в субботу. Ясно, что число способов, которыми можно установить очередность дежурств учащихся, равно 6.5.4-3-2-1 = 720. а

Пример 3. Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можнз составить из пяти преподавателей?

Л Обозначив для удобства преподавателей буквами А, В, С, D, Е, нетрудно выписать все возможные варианты для состава комиссии, а именно:

АВ, AC, AD, АЕ, ВС, BD, BE, CD, СЕ, . DE.

Таким образом, видно, что число различных комиссий равно 10. А

Пример 3 удалось решить простым перебором всех возможных случаев. Конечно, ■ такой метод применим только тогда, когда число случаев невелико. Если бы в примере 3 речь шла о создании комиссии не из двух человек, а допустим, из семи, а выбирать экзаменаторов нужно было бы, например, из четырнадцати преподавателей, то попытка перебрать все способы окончилась бы, по всей видимости, неудачей, так как в этом случае можно образовать 3432 комиссии. Этот результат легко можно будет получить после того, как будут выведены общие формулы, позволяющие решать подобные задачи (см. пример 9).

Но прежде чем переходить к выводу этих формул, вернемся к рассмотренным примерам. Посмотрим, что общего в этих примерах и есть ли какая-либо существенная разница между ними.

Прежде всего отметим, что во всех трех примерах эечь идет о некотором конечном множестве элементов и о количестве его подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным требованиям. Так, в примере 1 рассматривалось множество всех учащихся класса, т. е. множество, состоящее из 30 элементов, и требовалось найти число всех различных подмножеств этого множества, состоящих из двух элементов (двух учащихся, избранных комсоргом и старостой). В примере 2 рассматривалось шестиэлементнсе множество дежурных и определялось число шестиэлементных подмножеств этого множества, отличающихся друг от друга только порядком следования элементов. В примере 3 из пятиэлементного множества всех преподавателей выделялись различные двухэлементные подмножества (комиссии) и подсчитывалось их число.

Наряду с отмеченным сходством, при рассмотрении примеров 1—3 выявляется одно очень важное различие, существующее между ними. Оно заключается в том, что в примерах 1—2 и в примере 3 совершенно по-разному понимаются слова «различные подмножества». В примере 3 различными считались подмножества, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом. Порядок элементов не принимался во внимание. Комиссия, состоящая из преподавателей Иванова и Петрова, ничем естественно не отличается ,от комиссии, состоящей из Петрова и Иванова. В примере 1, напротив, подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком элементов, считались различными. Выбор Иванова комсоргом, Петрова старостой и выбор Петрова комсор-

гом, а Иванова старостой—это два различных способа выбора. В примере 2 различными считались подмножества, если oi и отличались друг от друга только порядком следования элементов.

Если подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются различными, то говорят об упорядоченных подмножествах. В противном случае прилагательное «упорядоченные» опускают. Например, у множества, состоящего из четырех элементов a, b, с, d, имеется, очевидно, 4 трехэлементных подмножества

abc, abd, acd, bed

и 24 трехэлементных упорядоченных подмножества

abc,

abd,

acd,

bed,

acb,

adb,

adc,

bdc,

Ьас,

bad.

cad,

cbd.

Ьса,

bda,

eda,

edb,

cab,

dab,

dac,

dbc,

cba,

dba,

dca,

deb.

В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число всех подмножеств данного множества, удовлетворяющих определенным условиям, но в одних задачах подмножества, сличающиеся только установленным в них порядком следования элементов, приходится считать различными, в других порядок следования элементов не важен, и подмножества, отличающиеся тол жо расположением элементов, не считаются различными.

Размещения. Пусть имеется множество, содержащее п элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из & элементов, называется размещением из п элементов по к элементов.

Из определения вытекает, что пръk^0 и что размещения из п элементов по к элементов — это все ^-элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования. Для множества, состоящего из 4-х элементов a, b, с, d, все размещения по 3 элемента были выписаны в конце предыдущего пункта: их оказалось 24, они отличаются друг ст друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

В комбинаторны?: задачах необходимо уметь подстывать число всех размещений из и элементов по к элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ /„ (читается: «число размещений из п по к» или «А из п по к»у

А — первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок. Мы уже видели, что число размещений из 4 элементов по 3 элемента равно 24, т. е. Д’—24. Теперь должно быть ясно, что в примере 1 требовалось найти число размещений из 30 элементов по 2 элемента, и из решения этого примера следует, что Д^ЗУО. Далее, очевидно,

что Л„=1, так как существует только одно подмножество /2-элементного множества, не содержащее элементов (пустое множество).

В общем случае на вопрос о числе размещений из л. элементов по k элементов дает ответ следующая формула:

Ап = нОг- 1)(и-2)... (и-^+ 1), ^>0,(1)

т. е. число размещений из п элементов по k элементов равно произведению к последовательных натуральных чисел от п до п — к-\-1 включительно.

□ Число размещений из п элементов по к элементов равно числу всех ^-элементных упорядоченных подмножеств множества, содержащего п элементов. Первый элемент подмножества можно, очевидно, выбрать п способами, второй элемент подмножества можно выбрать уже только и—1 способом, так как в качестве второго элемента можно взять любой элемент множества, кроме уже выбранного первым. Каждый из способов выбора первого элемента может объединяться с каждым из способов выбора второго, и следовательно, существует и (и — 1) способов выбора первых двух элементов при построении fe-элементного упорядоченного подмножества. После выбора первых двух элементов остаются п — 2 возможности для выбора третьего элемента, и опять-таки каждая из этих возможностей может комбинироваться с любой из возможностей выбора первых двух элементов, т. е. выбор первых трех элементов может быть осуществлен и (и— 1) (и — 2) способами. Последний /г-й элемент ^-элементного подмножества может быть выбран п — ^+1 способом, так как к моменту выбора &-го элемента осталось п — (k— 1) элементов.

Формулу (1) удобно записывать в другом виде. Будем для краткости произведение п (п — 1) (п — 2)... 3 • 2 • 1, т. е. произведение всех натуральных чисел от п до единицы, обозначать символом п\ (читается «эн факториал»). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

21 = 2-1 = 2,

31 = 3-2 - 1 = 6,

41 = 4-3-2-1=24,

5! = 5-4-3-2-1 = 120.

Умножим и разделим произведение, стоящее в правой части формулы (1), на {п — /г)! Тогда получим

лдп(п — 1) (п — 2)... (д—Аф1)(д —А)1

(n-k)\

Формула (1) была получена в предположении., что й>-0, формулой (2) можно пользоваться и при й = 0, так как она с в этом частном случае дает правильный результат, а именно

" (а —0)' " п\ '

При выводе формулы (1) предполагалось также, что п ^ 0, т, е. что данное множество имеет хотя бы один элемент. Если и = 0, то это означает, что рассматривается пустое множество, а так как пустое множество имеет только одно подмножество (само- себя), то ДЗ=Е Если условиться, что 0! = 1, то формула (2) будет давать верный результат и в случае /г = 0. В самом деле

- 0| - 1.

Пример 4. Вычислить

Д^ + Д!,

А Используя формулу (2), получаем

Л^ + Д§0 _ 14! т 15!16!16!

Л^о20!— 14! + 151

16!

= 16-15+ 16= 16-16 = 256. д

Пример 5. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

А Различных способов составления расписания, отевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества.

Следовательно, число способов равно числу размещений из 14 элементов по 5, т. е, равно Л^. По формуле (1), полагая в ней л =14, ^ = 5, находим

л;;= 14- 13- 12. 11 . 10 = 240 240. а

Перестановки. Размещения из п элементов по /г элементов называются перестановками из п элементов.

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все п элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из п элементов обезпачают через Р„. Р — первая буква французского слова permu ation — перестановка. Теперь ясно, что в примере 2 требовалось найти число всех перестановок из 6 элементов (число всех возможных перестановок дежурных класса). Это число оказалось равным 720. Следовательно, Р6 = 720.

В общем случае число перестановок из п элементов Рп = А”, и следовательно, его можно найти по формуле (I) или по формуле (2), положив в каждой из них k = n.

Действительно, формула (2) дает

из формулы (1) находим

Рп = Ап = /г (/г — 1) (/г — 2)... (и — /г + 1) = «!.

Итак, число перестановок из п элементов равно /г!

Таким образом в множестве, содержащем п элементов, установить определенный порядок следования элементов или, как говорят, упорядочить такое множество можно и! способами.

Например, список учеников класса, в котором 20 человек и нет однофамильцев, можно составить

20! = 2 432 902 008 176 640 000 способами.

Пример 6. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

△ Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т. е. 5! = 5 ■ 4 • 3 • 2 • 1 = 120. ▲

Пример 7. Найти п, если

^ = 240Л1^, к^п.

Л Применяя формулу для числа перестановок и формулу (2) для числа размещений, перепишем данное уравнение следующим образом:

(« + 5)! _Щ + 3)|

(.п-ку.(п-рЗ-й-Э)!1

Полученное уравнение равносильно квадратному уравнению

(и+ 5) (и+ 4) = 240.

Его корни и = 11 и п = — 20. При п = —20 и левая, и правая части уравнения не имеют смысла. При м = 11 для любого к такого, что 0^А<;11, справедливо равенство ^ = 24ОД^3* Итак, м = 11. ▲

Пример 8. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

Д Образовать какую-либо перестановку из букв слона «задача»—это значит на шесть занумерованных мест каким-нибудь образом поставить одну букву «з», одну букву «д», одну букву «ч» и три буквы «а». Если буквы «з», «д» и «ч» как-то поставлены, то остальные места заполняются буквами «а». Но сколькими способами можно поставить три различные буквы на шесть мест? Очевидно, что число способов равно числу всех трехэлементных упорядоченных подмножеств шестиэлементного множестза, т. е. равно А^ = 6 • 5 • 4 — 120.

Можно рассуждать и иначе. Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы равго 6!. Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раз меньше, т. е.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из п элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из п элементов по к элементов.

Таким образом, сочетания из п элементов по к элементов — это все ^-элементные подмножества «-элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не саитаются различными. Например, для четырехэлементного множества а, Ь, с, d сочетаниями по 3 элемента являются следующие подмюжества:

abc, abd, acd, bed.

Число всех сочетаний из п элементов по к элементов обозначается символом С* (читается: «число сочетаний из п по /г» пли «це из п по Ь'). С —первая буква фрунцузского слова combina- sion — сочетание. Мы только что видели, что С^ = 4. В гримере 3 было найдено число сочетаний из 5 элементов по 2 элемента, причем оказалось, что С-= 10.

В общем случае число сочетаний из п элементов по к элементов определяется следующей формулой:

п\

п — Ьг — Ь^.к'?

□ Сначала образуем все возможные неупорядоченные подмножества, содержащие к элементов. Их число равно С„. Затем из каждого полученного подмножества перестановкой его глемептов получим все упорядоченные подмножества, которых будет, очевидно, в к', раз больше, так как каждое ^-элементное множество можно упорядочить к', способами. Итак, Ап = к\Сп, откуда и следует формула (3).

Формулу (3) можно записать в другом, более удобном для вычислений виде. Сократив числитель и знаменатель дроби на (п — k)!, получим

гк п (п — 1) (и —2),.. (п —Й+ 1) ,,, т. е. число сочетаний из п элементов по k элементов равно произведению всех натуральных чисел от п до и — /г + 1 включительно, деленному на к\.

Пример 9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей?

А Очевидно столько, сколько существует семиэлементных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества. По ферму ле (4) находим

14-13-12-11•10-9-8 14 -13 • 12 -11 • 10 - 9 • 8

Lli ~ 7! ~ 7-6-5-4-3-2-1 А

Пример 10. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Д В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т. е. их число равно Ci8. По формуле (4) получаем

Cf8 = -^-=153.

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона состоится 306 встреч, а

Пример 11. Решить неравенство

CV > 2СГ0.

А Левая часть неравенства имеет смысл тогда и только тогда, когда х — целое число, принадлежащее отрезку [1; И]. Правая часть имеет смысл в том и только в том случае, когда х —целее число И / Е [0; Ю]. Следовательно, решениями неравенства могут быть только целые значения х, лежащие на отрезке [1; 10].

Используя формулу (3), данное неравенство запишем следующим образом:

Ю!9101

(х— 1)1 (10 — х+1)!х!(10—х)! "

„Ю!

Разделив обе части неравенства на. получим

12

11 —х х ’

откуда х>22 —2х, т. е. х>22/3. Учитывая ограничения xgN и л'е[1; 10], получаем множество решений данного неравенства:

{8; 9; 10}. ▲

Числа Сп обладают многими интересными и важными свойствами. Остановимся на двух свойствах, которые часто используются.

Первое свойство: Сп = Спп”к.

□ Применяя формулу (3), получаем

Сп—к пСп—к пJi!кп-Ut-kW (n-k)\Ji!кп-Ut-kW (n-k)\n!Я (n — к)!n!Я (n — к)!= C*. ®= C*. ®

Сп—к п

Сп—к п

Ji!

кп-Ut-kW (n-k)\

Ji!

кп-Ut-kW (n-k)\

n!

Я (n — к)!

n!

Я (n — к)!

= C*. ®

= C*. ®

Пользуясь этим свойством, можно упрощать вычисление чисел С* в тех случаях, когда к>п/2, например

C^ = Ci5 = -1^1^11 = 455.

Второе свойство:

С^!=С‘+Ч^(А<п).(5)

□ Опять используем формулу (3):

1-1 । хь*п!। «I

‘ п — (п — *—!)!(*+!)! ‘ (п — *)!*! “

nt( п — к , k + 1 \

= (*+1)1 (п—yt \ Т 1 i ) —

О1 + 1)!('-к-У 1

~ Щ+1— (* + 1))! (* + 1)! “ Ьп+!- ■

§ 2. Формула Ньютона

Хорошо известные формулы

(а + б)2 = а2 + 2аб + б2,

(а + by = а8 + За2б + Заб2 + Ь3

можно записать так:

(а + ьу = СУ + СХаЬ + q62,

(а + by = Су + Cyb -j- С;б2 + Су.

Возникает естественная гипотеза: не будут ли спргведлигы аналогичные формулы для четвертой, пятой и вообще любой натуральной степени двучлена (бинома)?

Выясним сначала, будет ли справедлива аналогичная формула для четвертой степени. Для этого обе части формулы длг (a-\-by умножим на а-\-Ь. Тогда получим

(а + by = (Qa3 + Cyb + CW + С^ (а + б) =

= су+суь+суь3+CW+

+ суь + суь1+CW+су =

- су + (СХ + су а3» + (С1 + су a3b3 + (С| + С|) ab3 + Су.

Учитывая, что

G=q, q + C!! = Q, q+c; = clq+q = q, q = q,убеждаемся в справедливости формулы

(а + Ь)4 = С^а* + Qa36 + CW + C^ab2 + С\Ь\

Таким образом, нам удалось, используя формулу для третьей степени бинома, получить аналогичную формулу для четвертой степени. Проведенное рассуждение, во-первых, подтверждает гипотезу и, во-вторых, наталкивает на мысль воспользоваться для ее доказательства методом математической индукции.

Теорема. Для произвольных чисел а и b и произвольного натурального числа п справедлива формула

^b^ = СУ + С* ап-х 6 + • • • + С'УкЬк +.. • + Сппьп.(1)

Используя знак суммы, формулу Ньютона можно записать короче:

^аАУ^СУ'У(2)

6=0

□ Для /2=1 формула Ньютона имеет вид

VaA-bY = C°\aA-C\b1

и, так как Ct = C}=l, она, очевидно, верна.

Предположим, что формула справедлива для и = т, т. е.

Тогда

т

{a + bf^ = {a + b)^iCknam~,‘bk =

k=0

- 5 CUWb4 S C^a^b'^ = - 6=06=0

= (У+1 + 1! Cp,am^!:bk + 2 С^УкУ^

6 = 16 = 1

= C^ am 11 + V (Cm + CVV^b’1 + У H.

/.•=1

Учитывая, что

z^O z^O z^6 i z^6—I z^6 zim z>m-|-l

получаем

тЦ-1

va-vb) = 2j Lm-v\a b .

6=0

Таким образом, из справедливости формулы (1) для n = m следует ее справедливость для п=т-\-\, и, так как формула вер; а и при п=1, то на основании принципа математической индукции ее справедливость установлена для всех натуральных значений п. Щ

Формула (1) носит имя великого английского физика и математика И. Ньютона. Правая часть ее называется разложением натуральной степени бинома. Коэффициенты С„ называются биномиальными коэффициентами.

Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона, а) Правая часть формулы Ньютона содержит «+1 слагаемых, б) Каждое слагаемое имеет вид Cknan-kbk.

Слагаемое С„ап-У, стоящее на А4- 1-м месте, удобно считать /г-м членом разложения и обозначать через Т к, т. е.

Ть = СкпсГкЬк.(3)

При этом условии То = £„«” —нулевой член разложения, Тг= = Cvna'1-1b — первый член разложения, Тп = СпЬп — п-й чтен разложения.

Показатели степени при а в каждом следующем члене разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при Ь — на единицу больше. Сумма показателей степени при а и b в каждом члене разложения равна п.

Коэффициенты разложения, одинаково удаленные от гулевого и от п-го члена разложения, равны, так как Срп = СДк.

Пример 1. Возвести в шестую степень двучлен

х2 — у.

Л Положив в формуле (2) а = х2, Ь = —у, п — 6, полечим

^-yf-^ СДх^-Д-у)^

= Qx12 - СД«у + C'W - CW + CW - CW + Qi/6 = = x2 — 6x10y + 15x8y2 — 20x6y3 4- 16x4y4 — 6x2y5 + y8. ▲

Пример 2. Найти четвертый член разложения степени бинома у х +- •

Л Положив в формуле (3) п = 9, к = 4, а — Дх, Ь-=\[^х, получим

7’.=c;(ZS),(i/W=^44Ci = i26^- а

Пример 3. Найти член разложения степени бинома не зависящий от х.

/\ Положив в формуле (3) и =12, а=1/х, 6 = ]/х, получим тк = С'^ (1 /х) 12-» (]/+)" = Cux-X1' ^ \

Для того чтобы член разложения не зависел от х, необходимо и достаточно, чтобы—12+ 2 /г = О, откуда к = 8.

Итак, восьмой член разложения не зависит от х. Вычислим его;

,ч 12- Н- Ю-ча

Пример 4. Найти сумму всех биномиальных коэффициентов С?, + С*+С-+ ... + с".

Л Положив в формуле (2) а —1, b—i, будем иметь

d + D"= S

Таким образом,

£ с*=с“+с* + с*+...+ с::. = 2". ▲

Смысл последнего равенства заключается в следующем. Так как С^ —это число всех подмножеств «-элементного множества, содержащих к элементов, то сумма

С?, + С1 + ... + С"

дает, очевидно, число всех подмножеств «-элементного множества. Следовательно, число всех подмножеств множества, содержащего п элементов, равно 2".

П р и м е р 5. Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 10 ламп. Сколько существует различных способов освещения зала?

Л Очевидно столько, сколько существует подмножеств у десятиэлементного множества, т. е. 210= 1024. При этом учитывается и тот способ «освещения», при котором ни одна лампа не горит. А

Пример 6. Найти наибольший коэффициент многочлена

/ 1 , - \10

U + 31

Л Обозначим коэффициент многочлена при хк через ак. Используя формулу (2), расположим данный многочлен по возрастающим степеням переменной х:

10to

к = И6 — 0

Для отыскания наибольшего коэффициента at. решим неравенство ак х^ак, т. е.

„А — 1 / 1 \Ю-»+1 / 2 \6-1/ 1 \ Ю-А / 2 \»

L,n \ + /V 3 У\3/ ■

Разделив обе части неравенства на 2,,-1/310, получим

pk — *О/"**

откуда

10!,2-Ю!

(А —1)! (10 —/г + 1)! ^>1(10—6)! ‘

После дальнейших очевидных сокращений будем иметь

1/(10 - кА-\)^21k, к 20 - 2k + 2, й^22/3.

Таким образом, доказано, что

я0 < я, <... < а7.

Очевидно, что при к >22/3 имеет место противоположное неравенство «!t-i'>cik, т. е. коэффициенты многочлена, начиная с седьмого, убывают.

Итак, коэффициент я7 является наибольшим среди всех одиннадцати коэффициентов данного многочлена. Наибольший коэффициент равен

При доказательстве формулы Ньютона не предполагалось, что а и b —действительные числа. Поэтому формулы (1) —(3) справедливы и в том случае, когда а и b — произвольные комплексные числа.

Пример 7. Записать комплексное число (2 + i)e в алгебраической форме.

Л Полагая в формуле (2) п = 6, я = 2, b = i, получшу

6

(2 + i)e = 5 Ce2wi* =

4 = 0

= Ф6 + Ci 28i + Ci 24 i1 + Ci 23 i' + Ci 2'2 i4 + № + Ci i* = = 64+ 192i — 240 — 160t + 60 + 12i — 1 =— 117H-44i. a

Случайные события и их вероятности

Рассмотрим простой опыт, заключающийся в подбрасывании монеты. Этот опыт имеет два исхода: либо монета упадет так, что сверху окажется герб, либо она ляжет гербом вниз. Гот или иной исход опыта зависит от многих причин, которые не поддаются учету, и заранее предсказать результат опыта нельзя. Событие, состоящее в том, что «выпал герб», является примером

случайного события. Другими примерами случайных событий могут служить: «появление единицы» при бросании игральной кости (кубика из однородного материала с гранями, занумерованными цифрами от единицы до шести), выход из строя электролампы до определенного срока, несоответствие стандарту выбранного для контроля изделия. Во всех этих случаях невозможно предсказать заранее, до окончания опыта, произойдет или не произойдет соответствующее событие. Поэтому такие события и называют случайными.

В опыте с подбрасыванием монеты оба исхода очевидно равноправны, до опыта нет никаких оснований предпочитать одни исход другому. В таких случаях говорят, что оба исхода равно- вероятны, а вероятность каждого из них равна 1/2. При подбрасывании игральной кости имеется шесть исходов. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то все исходы опыта одинаково возможны или равновероятны. Вероятность каждого исхода равна 1/6.

Обобщением этих простых опытов будет опыт, в котором возможны п равновероятных исходов: иг, и», ..., и„ (их называют также элементарными событиями). В этом случае вероятность каждого исхода принимается равной 1//?. Записывают это следующим образом:

Р («!) = !//:, Р («») = !//;, ..., Р (и„) = 1/н.

Первая из этих формул читается так: «вероятность Ui равна 1//» (Р —первая буква английского слова «probability» — вероятность).

Рассмотрим теперь опыт с п равновероятными исходами и некоторое событие А, которое происходит тогда, когда опыт оканчивается какими-то к исходами, и не происходит е; том случае, если имеет место одни из остальных о —к исходов. Будем говорить, что исходы, приводящие к событию А, благоприятствуют ему. Вероятностью события А, связанного с опытом с /г равновероятными исходами, называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу есс-х исходов, т. е.

Р(О

где к — число исходов, благоприятствующих событию /.

Полепим сказанное примерами. Опыт с игральной костью имеет шесть равновероятных исходов.: и; —выпала грань с номером z (г = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Рассмотрим следующие события, связанные с этим опытом:

событие А, — число выпавших очков кратно 3,

событие А2 — выпало ирсспе число,

событие Ла —выпало 7 очков,

событие Л4 —число выпавших очкоз меньше 7.

Событию Ла благоприятствуют два исхода и3 и иЙ. Положив в формуле (1) п=6, к — 2, находим Р (Л^ — 2/6 1/3.

Событию Л2 благоприятствуют три исхода и^, и3, и5. По формуле (1) получаем Р (Л2) = 3/6 = 1/2.

Событию А3 не благоприятствует ни один из возможных исходов. Следовательно, Р(Л3) = 0/6 = 0. Событие Л3 является примером невозможного события.

Событию Ад благоприятствуют все шесть исходов, поэтому Р (Л4) = 6/6=1. Событие Ад — пример достоверного события.

Вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам

0<Р(Л)<1,

что непосредственно следует из формулы (1), так как очевидно, что Ci<r<il

Для вычисления вероятностей событий по формуле (1) приходится находить число всех равновозможных исходов и число исходов, благоприятствующих случайному событию. Здесь часто оказываются полезными комбинаторные формулы, рассмотренные в § 1.

Пример 1. Опыт заключается в подбрасывании двух монет: медной и серебряной. Какова вероятность того, что хотя бы па одной монете появится герб?

Д Равновероятными исходами опыта являются следующие: щ—герб появился на обеих монетах, и2 — герб выпал только на медной монете, и3 — герб выпал только на серебряной монете,

Ид — герб не выпал ни на одной монете.

Благоприятствуют событию А (появлению герба хо:я бы на одной монете) исходы Ид, иг и и3. Полагая в формуле (1) п = 4, ^ = 3, получаем Р(Л) = 3/4. А

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забьл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

А Две последние цифры можно набрать числом способов, равным числу упорядоченных двухэлементных подмножеств у десятиэлементного множества (множества всех цифр). Это число способов равно ЛД Следовательно, всего существует Лр, исходов. Благоприятствует событию А (цифры набраны верно) только один исход. Поэтому

Р (Л) = 1/Л10= 1/10-9= 1/90. А

Пример 3. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

А У множества, содержащего 100 элементов, существует С;оо трехэлементных подмножеств. Поэтому 3 лампы из 100 можно выбрать Сд00 способами. Лампы выбираются наудачу. Это означает, что все эти способы выбора (все исходы) равновероятны.

Число благоприятных исходов (все три лампы оказались исправными) подсчитывается аналогично. Из 95 исправных ламп 3 лампы можно выбрать С^ способами, так как именно столько существует трехэлементных подмножеств у 95-ти элементного множества. Полагая в формуле (1) n = C'U6, k = C^, получаем

Р (Л) = едм=-^^ 0,856. А

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

На пять сотрудников выделены три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путевки различны, б) все путевки одинаковы?

Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и 4 черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом? Рассмотреть два случая: а) шары одного цвета не отличимы друг от друга, б) все шары разные.

Сколько диагоналей имеет выпуклый п-угольник?

На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй— 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий должны написать по 5 глав, второй —4, а четвертый 3 главы книги. Сколькими способами можно распределить главы между авторами1

Известно, что крокодил имеет не более 68 зубов, Доказать, чго среди !б крокодилов может не оказаться двух крокодилов с одним и тем же набором зубов.

Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?

Буквы азбуки Морзе представляют собой набор «точек» и «тире». Сколько букв может быть в азбуке Морзе, если буква не должна содержать более четырех знаков.

Автомобильные номера состоят из трех букв (всего используется 30 букв) и четырех цифр (используются все 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

Сколькими способами 2п элементов можно разбить на пары, если разбиения, отличающиеся только порядком элементов внутри пар и порядком расположения пар, считаются одинаковыми?

Найти средний член разложения

(х-1/5 + х1/3)Ю.

При каких значениях х пятый член разложения (2х + 3)9 будет больше соседних с ним членов?

Найти члены разложения (Р^З + у^З)9, являющиеся целыми числами, 14, Найти коэффициент многочлена (1+Зх+2х3)10 при х4.

Найти сумму коэффициентов многочлена (13хэ —7х —5)100.

Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) один выигрышный, 5) оба выигрышных.

В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Предположим, что каждый из них независимо друг от друга и с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятност > того, что все пятеро выйдут на разных этажах.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

Вычислить:а) (C? + Q);Найти п, если:Вычислить:а) (C? + Q);Найти п, если:(k — n)\ А*^_\(k — n)\ А*^_\

Вычислить:

а) (C? + Q);

Найти п, если:

Вычислить:

а) (C? + Q);

Найти п, если:

(k — n)\ А*^_\

(k — n)\ А*^_\

а) С"+1 —С" 3= 15 (» + 2);6)—=—-+—;

b)5C3=C» + 2; тИ^МШ^

д) C^+ = -5C23n + 19^=6;

An Ь4 143

J (n + 2)!4P„ ''105105 ’

a) /W = Ay_Ja) /W = Ay_Jб) Ж^С2^8.б) Ж^С2^8.Найти множество значений функции:

a) /W = Ay_J

a) /W = Ay_J

б) Ж^С2^8.

б) Ж^С2^8.

В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделит: двух человек для дежурства, если: а) один из них должен быть старшим; б| старшего быть не Должно?

Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

Сколько различных двузначных чисел можно образовать из циф > 1, 2, 3, 4?

Никакие три диагонали выпуклого десятиугольника не Пересе саются в одной точке. Определить число точек пересечения диагоналей.

Сколькими способами на шахматной доске можно расставить i ладей одного цвета, чтобы они не били друг друга и стояли только на герных клетках?

Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел? Сколько среди них четных чисел?

В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше первенства?

Во взводе 3 сержанта н 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

Сколькими способами можно составить расписание занятий hi потедель- ник, если в этот день должно быть пять занятий: по алгебре; геометрии, иттории, географии и литературе, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом?

10 п/рсд. Г. Н. Яковлева10 п/рсд. Г. Н. Яковлева289289

10 п/рсд. Г. Н. Яковлева

10 п/рсд. Г. Н. Яковлева

289

289

Сколько различных перестановок можно образовать из букз следующих слов: а) зебра, б) баран, в) водород, г) абракадабра?

Сколькими способами можно раздать 28 костей домино четырем игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей?

Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых нечетны (1, 3, 5, 7, 9)?

На конференции должны выступить докладчики А, В, С и D, причем В не может выступать раньше А. Сколькими способами можно установить очередность выступлений?

Сколько делителей имеет число 462?

На полке стоят т книг в черных переплетах и п книг в синих переплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?

Сколькими способами можно упаковать 9 разных книг в 5 бандеролей, если 4 бандероли должны содержать по 2 книги?

Сколькими способами 12 одинаковых монет можно разложить по пяти различным кошелькам так, чтобы ни один кошелек не остался пустым?

Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0, 1, 29.Замок открывается, если на дисках

набрана одна определенная комбинация цифр. Хватит ли 10 дней на открытие сейфа, если «рабочий день» продолжается 13 часов, а на набор одной комбинации цифр уходит 5 секунд?

Среди всех целых чисел от 1 до Ю4 каких больше: тех, для записи которых используется цифра 9, или тех, которые записываются без нее?

Написать формулу Ньютона для степени бинома:

Используя формулу Ньютона, вычислить:

а) (/3-/2)5; б) (/ТН-ОЧО^-/)4;

Найти:

седьмой член разложения (Vа—|/ б)13.

член разложения (а'^ + а^'/1)15, не зависящий от а;

член разложения (У x+Ks)18, содержащий х8;

член разложения (х5+1),9м, содержащий х1830.

Найти члены разложения, являющиеся целыми числами:

а) (/2 + Уз)в; б) (У5-V2)8.

Сколько членов разложения (У 3 + |/б)124 являются целыми числами?

Найти наибольший коэффициент многочлена;

а)(т+ТХУ; б) (K5 + J/2X)20.

Найти коэффициент многочлена:

б) (14-х2—х3)8 при х8;

б) (1 4-х2 4~ я8)7 ПРИ А'11’

Наити сумму коЭ'Ьфпциентов многочлена:

а) (4х—5)31; б) (3V2x.

Доказать равенства:

^=<21;

С‘-2^+3^-+(- IfinC^-O;

С* +2С2+ЗС,3+ ... -VnC^n^-1;

D (с°)2Ж)2+(с»)2+ +(с;у=^.

Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) белым, б) черным, в) желтым, г) красным?

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, чт) сумма очков, выпавших на двух костях, окажется равной 8?

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что среди наудачу выбранных двух кубиков оба имеют ровно по две о сращенные грани?

ЗУ. Работа каждого из четырех учеников заочной наколы может проверяться одним из семи преподавателей. Какова вероятность того, что все четыре работы проверены разными преподавателями?

Экзаменационная программа содержит 40 вопросов. На экзамене предлагается ответить на два из них. Ученик подготовил ответы на 30 вопросов. Какова вероятность того, что на экзамене ему предложат два вопроса, ia которые он подготовил ответ?

В лотерее на 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышным!?

Первенство но баскетболу разыгрывают 18 команд, среди соторых 2 команды экстракласса. Для уменьшения общего числа игр команды путем жеребьевки разбиваются на две равные группы. Какова вероятность того что две команды экстракласса окажутся: а) в разных подгруппах; б) и одной подгруппе?

Доказать, что вероятность того, что у двенадцати случайно выбранных человек дни рождения приходятся на разные месяцы, меньше 1/10000.

Глава XII

ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Во многих задачах приходится по заданной функции находить новую функцию, производная которой в каждой точке равна значению данной функции в этой точке. В качестве примера можно привести задачу о нахождении закона движения s(f) материальной точки по заданному закону изменения ее скорости и (/). В этом примере задана функция u(f), iE]a; Ь[, и требуется найти функцию s (/) такую, что s' (0 = и (i) для любого / г ]а; Ь[.

Определение. Функция Г(х), хе]а; Ь[, называется первообразной для функции /(х), х е ]а; Ь[, если F' (х) — f (х) для каждого х е ]а; Ь[.

Для функции / (х) = Зх2; х е R, первообразной является функция F(x)=x\ так как (х3)' = 3х2 для любого хе};. Легко видеть, что функция Г(х) = х3 + 2 также является первообразной для функции f (х) = Зх2, так как (х3 + 2)' = Зх2 для любого х е R.

Очевидно, что и в общем случае, если F (х) есть первообразная для функции f (х), то при любой постоянной С функция Г(х) + С также является первообразной для функции / (х). Действительно,

(F (хН СУ = F’ (х) = /(х)

для любого х из рассматриваемого интервала.

Таким образом, если функция имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Справедлива следующая теорема.

Если функция F (х) есть первообразная для функции Цх), то любая первообразная для функции f (х) имеет вид F |х) + С, где С —некоторая постоянная, т. е. множество \F (х) Д-С | С г R} является*множеством всех первообразных для функции / (х).

Из этой теоремы следует, что при любом С функция F (х) = = х3 + С является первообразной для функции f (х) = Зх2 и других первообразных эта функция не имеет.

Пример 1. Для функции /(х) = cosх + sinх найти первообразную F (х), удовлетворяющую условию РУУ) = 1.

А Одной из первообразных для функции / (х) = cos х +sinх является функция sin х — cosх. Из теоремы следует, что любая

первообразная для данной функции имеет вид F (х) = sin х — 20s х-Н + С, где С —некоторая постоянная. Для определения постоянной С воспользуемся условием F(0)=l. Из него находим

sin 0 — cos 0 + С = 1,

т. е. С = 1 + cos 0--= 2. Следовательно, функция F (х) = ни х— — cos л--[-2 является искомой первообразной, к

Для нахождения первообразных справедливы следующие три правила.

Если функция F (х) является первообразной для функции f(x), а функция G (х) является первообразной для функци и g(x), то функция F (х) + G (х) является первообразной для функции ЦхНе^У

□ Действительно, производная от суммы функций равна сумме производных, т. е.

(F (х) + G (х}}' = F* (х) + G' (х) = / (х) +g (х), а это и означает, что функция F(x) + G(x) является первообразной для функции /(x) + g-(x). Н

Если функция F (х) является первообразной для функции f(x), то функция kF (х) является первообразной для функции kf (х).

□ Действительно,

(kF (х)У = kF' (х) = kf (х),

т. е. функция kF (х) является первообразной для kf (х). Ц

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то функция F (у (/)) является первообразной для функции f (у (/)) у' (/). (При этом предполагаем, что функции f(y(ty, у* (t) и F(y(ty определены.}

Это правило сразу же следует из правила дифференцирования сложной функции.

В частном случае, если у (t} = at-Г b, й^О, и если F (х\ является первообразной для функции f (х}, то функция -F at + b) является первообразной для функции f(at-\-b).

Пример 2. Найти все первообразные для функции

1 cos2 (л^/4)

А Функция f (х) равна сумме двух функций. Найдем первообразную для функции Зе2х+1. Так как первообразной длг функции ех является функция ех, то первообразной для функции e2v+1, по правилу 3 будет функция уе2х+1, По правилу 2 первообраз'13

ной для функции Зе2л'+1 будет функция 3--^ <?2v \ т. е. 2 е2‘<+1.

Найдем теперь первообразную для функции l/cos2(nx/4). Так как функция tgx является первообразной для функции l/cos2x, то по правилу 3 функция ^~tgA является первообразной для функции

34

l/cos2 (лх/4). По правилу 1 функция е2*+1 + "^ ^Т является первообразной для функции Цх). Любая первообразная для функции / (х) задается формулой

-|^+>^+с,

где С — произвольная постоянная, д

Пример 3. Найти функцию F(x), если известно, что

F' (х) = esin* cos х и F (л/2) = е + 3.

А Требуется из всех первообразных для функции esin*cosx выделить ту, которая при х = л/2 принимает значение еф-3. Так как производная от sinx равна cosx и так как первообразная от ех равна ех, то по правилу 3 первообразной для e^^cosx является функция Cin х. Действительно,

(C*n ху _ esln х (sjn ху _ gSin х cos Х1

Любая первообразная для функции esin*cosx имеет вид е51пхф- + С, где С — произвольная постоянная. Определим С из условия, что F (л/2) = е + 3. Из него находим

^гцл/з) -|_с = е + 3, т. е. С = 3.

Следовательно, искомая функция имеет вид esinJC + 3. к

Определение. Множество всех первообразных для функции / (х), х е ]«; &[, называется неопределенным интегралом от функции / (х) и обозначается

$ / (х) dx.

Это обозначение читается: «неопределенный интеграл от функции / (х) по dx», или короче «интеграл от / (х) по dx».

Из вышесказанного следует, что если F (х) является первообразной для функции / (х), то

^/(х) dx = (F (х)+ С| С е R}.(1)

На практике формула (1) записывается более кратко:

$/ (x)dx = F (х) + С.(2)

Функция f (х) называется подынтегральной функцией, выражение f (х) dx называется подынтегральным выражением, а постоянная С называется постоянной интегрирования.

Пример 4. Найти §cosxdx.

Л Чтобы найти неопределенный интеграл от cos х по dx, достаточно найти какую-то первообразную дли функции cos х, т. е, найти функцию Fix) такую, что F' (х) —cos х. Из таблицы производных следует, что такой функцией будет sin х. Следовательно,

J cos х dx = sin х -ф С. А

Нахождение функции по ее производной называется имп?гри- роеанием функции. Интегрирование —действие, обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Из свойства дифференцирования легко получаются следующие два свойства для неопределенных интегралов:

$ (/ to + £ to) dx = $ / (х) dx 4- $ J to dx,(3)

J kf (x) dx = k f (x) dx, к f).(1)

Формула (3) означает, что каждая первообразная функции /(х) 4-5 to является суммой некоторых первообразных для f (х) и g(x) и, наоборот, сумма любых первообразных для / (х) и g(x) является первообразной для f (х) + g (х). Так что из формулы (3) следует, что если F(х) — первообразная для функции /(х), a G(x) — первообразная для ^(х), то

$ (/ W + g (х)) dx = F (х) 4- G (х) 4- С,

тке С — произвольная постоянная. Коротко формула (3) читается так: «интеграл от суммы функций равен сумме интегралов ст этих функций».

Формула (4) означает, -тс каждая первообразная для функции к^х), где к^=0, есть произведение постоянной к и некоторой первообразной для функции ) (х) и что любое такое произведение есть первообразная для функции кЦх).

Из формулы (4) следует, что если F (х) есть первообразная для / (х) и к ф 0, то

J /г/ (х) dx = kF (х) 4- С,

где С — произвольная постоянная.

Заметим, что (формула (4) перестает быть верной в случае к = 0. Действительно, в этом случае левая часть есть

0 - / (х) dx = J 0 dx = С,'

где С — произвольная постоянная, а правая часть есть

О - $ f (х) dx - 0.

Используя таблицу производных, составляем таблицу неопределенных интегралов.

J a dx = ах + С.

ха dx -\-С, а=^—1,

^‘ у dx = In I х | -j- С.

( ax dx =+ C, a > 0, a 1.

JIna 1

В частности, ^" ex dx = ex -J- C.

^ cos x dx = sin x + C.

Jsinxdx =— cosx + C.

(-^-dx = tgx+C.

J COS2Xb 1

( dx = — ctg x + C.

J sin2x°1

Формулы 2, 3, 7, 8 справедливы для тех интегралов, где определены подынтегральные функции.

Докажем, например, формулу 3.

□ Подынтегральная функция определена для всех х^О. Если х > О, то I х | = х и

(In |х ;)' = (1пх)' = 1/х.

Если же х < 0, то | х | = — х и

(1П | X I)' = (In Н)- == 1.

Следовательно,

(1п I х |)' = 1/х

для любого х^О, и поэтому

к —1п|х|-|-С

для х>0 и для х<0. g|

Пример 5. Найти j (х24-2ех) dx.

Л Согласно формулам (3) и (4)

$ (х2 + 2ех) dx = $ х2 dx -|- 2 $ ех dx.

Интегралы, стоящие в правой части этого равенства, являются табличг1ыми:

( х2 dx = I- хя С, ( сv dx = ех -{- С.

Следовательно, функция ух34-2е-* является первообразней для функции х2 4-26-4 и поэтому

(х2 4- 2ex) dx = у х3 4- 2e v 4- С,

где С — произвольная постоянная, д Пример 6. Найти ^——dx.

Q v2РЯРу2

ЛI-—— dx=\-dx —\- dx =

3 ххJX

= 3 j* у dx — ^ х dx = 3 In | х i — C. A

Пример 7. Найти §sin2xdx.

. C о j f 1— cos2x ,

A \ sin2 x ax = idx =

= у dx — i —— ax = — x — у sin 2x ’-C. A

Для нахождения интегралов от функций вида sin mx cos пх, sinmxsinnx и cos mx cos их удобно использовать следующие тригонометрические формулы:

2 sin mxcos nx = sin (m — n)x + sin (m-Vn'jx,(5)

2 sin mx sin nx = cos (m — n) x — cos (m -)- /г) x,(6)

2 cos mx cos nx - cos (m — /i) x 4- cos (m + /7) x.(7)

Пример 8. Найти ^ sinx cos 3xdx.

Л По формуле (5) имеем

sinx cos Зх = у (sin 4x — sin 2x).

Поэтому

f sin x cos 3x dx = * 1 sin4xdx — ^ 1 sin2xdx.

sin х cos Зх dx.sin х cos Зх dx.1212Легко видеть, что для функции sin4x функция — ycos4x является первообразной. Аналогично функция —* cos 2х ятляется первообразной для sin 2х. Следовательно,

sin х cos Зх dx.

sin х cos Зх dx.

1

2

1

2

I — 4- cos 4х) — 2* ( — 4 cos ^ ^ =

= *- cos 2х — у cos 4х ■ Р С.

Для вычисления неопределенных интегралов часто быв зет полезна формула интегрирования по частям.

Пусть функции и^ и и(х) имеют производные иг (х) и иЦх). Тогда имеет место следующая формула, носящая название формулы интегрирования по частям'.

ни’dx = ии— ^ и'и dx.(8)

Зта формула является следствием формулы производной от произведения двух функций: (ии)’ = и'и + ии'. Действительно,

J (цу)' dx — j и'у dx + § иу' dx, и поэтому

иу’ dx = иу — ( и’и dx.

Заметим, что здесь произвольная постоянная не пишется, так как она содержится в написанных интегралах.

Пример 9. Найти ^xsinxdx.

/\ Так как sinx является производной от — cosx, то х sin х dx — ^x (— cos xy dx.

Применяя формулу (8), получаем

$ х (— cos х)' dx = х (— cos х) — jj (—■ cos x) x* dx =

= — x cos xH-^ cos x dx = — x cos x + sin x+ C. a

Пример 10. Найти pnxdx.

Д Для нахождения интеграла воспользуемся формулой (8). Для этого положим п = 1пх и у' = 1. Тогда у = х и и’ = \[х, и поэтому

$ In х dx = x In х — J dx = x In x — x-\-C. a

§ 2. Интеграл и формула Ньютона — Лейбница

Определение. Пусть задана функция /(х), определенная на некотором интервале X, и пусть F(х), х ее X, некоторая первообразная функции f(xy Тогда число F (b) — F (а), где йеХ и b еХ, называется интегралом от а до b от функции f (х) и обозначается

$ / (х) dx. а

Таким образом, согласно определению, если F' (х) =/(х), то

ь

\f(x)dx = F(b)-F(a).(I)

а

Функция f называется подынтегральной функцией, переменная х называется переменной интегрирования, отрезок с концами а и b называется отрезком интегрирования, число b называется верхним пределом интегрирования, число а — нижним пределом интегрирования.

Равенство (1) нссит название формулы Ньютона — Лейбница.

Для удобства записи разность F (Ь) — F (а) обозначают F (х) |*. Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейбнща записывают в виде

ь

У (х) dx = F (х) i^ а

Заметим, что интеграл от а до b от функции f (х) не зависит от выбора первообразной для функции [ (х). Действительно, если Ф (х) — некоторая первообразная для Цх), отличная от г(х), то существует постоянная С такая, что Ф (х) = F (х) ф С для любого х из рассматриваемого интервала, и поэтому Ф (/;) — Ф(а) = F ф) —

2

Пример 1. Вычислить ^^dx.

i

Л Так как (2Л/1п 2)'= 2х, то функция F (х) = 2-71п 2 гвляется первообразной для функции /(х) —2Д и поэтому по формуле Ньютона — Лейбница получаем

2

J 2 аХ 1п 2 L 1п 2 V' Ф - 1п 2- А

Сформулируем некоторые свойства интегралов. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые интегралы существуют.

Свойство 1.

6b6

$ (/ W + g W) dx=y (х) dx + 5 g (x) dx.(2)

Свойство 2.

^й/ (x) dx = k ^ f (x) dx.(3)

aj

2

Пример 2. Вычислить ^ (xф3cosx)dx.

i

А Воспользовавшись свойствами 1 и 2, получаем

222

§ (х -|- 3 cos х) dx = ^ х dx + 3 jj cos xdx =

iii

= x^ l' + З sin x || = 2 — *- + 3 sin 2 — 3 sin 1 = уф 3 sin 2 — 3 sin 1. a

Свойство 3,

bсb

^ f (х) dx =[[ (х) dx-F^l (х) dx.(4)

аас

Свойства 1, 2, 3 легко доказываются, если воспользоваться определением интеграла. Докажем, например, свойство 3.

□ Пусть функция F (х) — некоторая первообразная функции f (х) на некотором интервале, который содержит точки а, b и с. Тогда

6

Ji / (х) dx = F (ti) - F (a) = F ^ - F (c) + F (c) - F (a) = a

^f(x)dx+\f(x)dx. H ca

Свойство 4. Пусть функции / (x) u ф(О такие, что определена и непрерывна сложная функция f(y(t)). Тогда, если функция ф(<) имеет производную у' (t), справедлива формула

0ь

V(4>(t))4>'(ndt = y(x)dx,(5)

aа

где а = ф(а) и b = <p(^.

П Пусть F (х) — первообразная функции /(х). Тогда, как легко видеть, функция F (ср (/)) является первообразной для функции HtWt' (0- Поэтому

0ь

^ f (ср (/)) у' (/) dt = F (ср (₽)) - F (ф (a)) = F (b) - F (а) = ^ (х) dx. Щ аа

Формула (5) называется формулой замены переменной интегрирования. Она сводит вычисление интеграла от одной функции к вычислению интеграла от другой функции, который в каком-то смысле проще. Формула (5) применяется как слева направо, так и справа налево.

ь

Пусть задан интеграл ^(x'jdx. При замене х на t пс формуле а

х = ф^ нужно вместо х подставить ф(/), вместо dx подставить ф' (/) dt, а новые пределы интегрирования аир найти из условий ф(а)=п, ф(Р) = Ь. Тогда

ь0

$/(x)dx = $/((p(0)(p' ^dt.(5')

аа

а

Пример 3. Вычислить ^Va1 — х1 dx, а">0, о

Л Перейдем к новой переменной интегрирования /, положив x = asin/, где /е[0; л/2]. Когда t изменяется от 0 до у, то х изменяется от 0 до а. В этом примере / (х) = ]/а2 — х2. Подставив x = asin/, получим

/ (а sin /) = ]/а2 — a2 sin2 / = а V1 — sin2t = a cos t.

Вместо dx подставляем (а sin /)' dt = a cos t dt.

По формуле (5) получаем

ал/2л/2

^ V а2 — х2 dx = jj a cos t ■ a cos t = a2 J cos2t dt. иио

„, ,1 + ccs It

Так как cos2Z = ——, то

л/2л/2л/2

с2 I cos8 / dt =( cos2< dt =

иии

ай . 1л/2а'2.1л/2л.?2

+ 27TSln24

6

Пусть задан интеграл ^/ (ф (х)) ф' (х) dx. При замене х на у по формуле у — ф^х) нужно вместо ф(х) подставить у, вместо р' (х) dx подставить dy. а за новые пределы интегрирования взят3 числа Л=ф(й), B = <ptb). Тогда

ьь

(5")(5")$ 1 (ф to) ф' У) dx - 5 / to dy.

(5")

(5")

аА

л/2

Пример 4. Вычислить ^ sin2xcosxdx. о

А Данный интеграл можно вычислить непосредственно по определению, найдя предварительно одну из первообразных для подынтегральной функции. Однако его проще вычислить, воспользовавшись формулой замены переменной интегрирования. Действительно, перейдем к новой переменной интегрирования, положив y=sinx. Под знаком интеграла вместо sin2x подставим у2.

Так как производная от sinx равна cosx, то вместо cosxdx подставим dy. Новые пределы интегрирсвагжя находим из условий 4 = sin0 = 0 и B = sin(n/2)= 1. По формуле (5") получаем

л/2I

sin2x cosx dx= ^ у2 dy= -^ у4^ = у. ▲ ии

При вычислении интегралов часто используют формулу интегрирования по частям-.

hb

jj ни' dx = ии |д — ^ и'и dx, иа

которая, как и для неопределенного интеграла, является непосредственным следствием формулы для производной произведения функций.

Пример 5. Вычислить ij .veA" dx. о

Л Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Для этого положим и = х и V = ex. Тогда и' = 1 и u = ex-VC, где С — произвольная постоянная. Для простоты будем считать, что С = О, т. е. за функцию и возьмем функцию ех. Теперь по формуле интегрирования по частям получаем

22

J хе* dx = хе* |$ — ^ е* dx — 2е2 — ех ;з = 2е2 — е4 Д 1 = е2 -г 1. а оо

Свойство 5. Если f(x}^g(x) для любого хе [а; Ь], то

6ь

j / (X) dx ^ 5 g (х) dx.(6)

aa

□ Пусть F (x) — первообразная функции f (x), a G (x) — первообразная функции g(x) такие, что F (а) = G (а) = 0, тогда

Р^ = \Ц1)д(, G^ = \g^dt-

Напомним, что эти первообразные называются интегралами с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию ср (х) — G (х) — F (х). Эта функция неубывающая и ср (cz) = 0. Действительно, ср' (х) = G' (х) — F' (х) = g (х) — — /(х)^0 для любого хе [а; Ь) и ф (cz) = G (а) — F (cz) — 0. Следовательно, ср (b) = G (b) — F (b) 2s О, т. е. G (b)^ F (Ь), что и требовалось доказать.

Следствие. Если т и М — наименьшее и наибольшее значения функции / (х) на отрезке [и; bj, то

ь

m(b— aj^^f (x}dx^M (Ь—а).(7)

а

□ Действительно, так как m^/ (х) ^ М, то в силу свойства 5 справедливо неравенство

bbь

j т dx sc ^ f (х) dx ^^ М dx, ааа

из которого и получается неравенство (7), если учесть, что bь

\)mdx = tn(b — a'), М dx = М (b — а). ■

Пример 6. Используя формулу (7), оценить значение интеграла

\^^dx. о

△ Наименьшее значение функции е-*2 на отрезке [0; 1] равно г1, а наибольшее значение равно 1. И поэтому

I

щ1 <s ^е~ *2 dx ^ 1. ▲

6

§ 3. Площадь криволинейной трапеции

Пусть заданаПусть задананеотрицательная непрерывная функция /(х),

Пусть задана

Пусть задана

хе [а; Ь]. Множество точек плоскости, координаты юторых удовлетворяют неравенствам (!<х<Ь, 0 <//</(%), называется криволинейной трапецией.

Криволинейная трапеция аАВЬ ограничена графиком функции f up отрезками прямых х = а и х = Ь и отрезком оси Ох (рис. 134). Выведем формулу для вычисления площади S этой криволинейной трапеции.

Разобьем отрезок [а; Ь] точками

Xi = a-V-—0 = 0, 1, 2,..., n) на п равных по длине отрезков [х;_ь xj (i=l, 2,..., /г). На каждом отрезке [y,_i; х,], как на основании, построим два прямоугольника высоты т, и М(, где ш, и Л4,-— наименьшее и наибольшее значения функции /(х) на отрезке [x,_i; xj. Площади этих прямоугольников соответственно равны т^х, и МДх;, где Ах; = х; — x;-i.

Через s„ обозначим сумму площадей всех прямоугольников высоты т;, т. е.

п

s„ = У, т, ^Xi = mi Axi +... + m„ Ax„. 1 = 1

Аналогично через S„ —сумму площадей всех прямоугольников гысоты Мп т. е.

8 п = ^, Mi &ц = Mi Axi -J-... -)- Mn ^Хц.

i = I

Очевидно, что sn<S <Sn. Можно показать, что при п->со sn и Sn стремятся к одному и тому же пределу — к площади криволинейной трапеции аАВЬ.

В силу неравенства (7) § 2 получаем п неравенств

т, ^Xi /to dx ' ^< ^хо

где t= I, 2п. Следовательно,

Sn^^ $ f^dx^S^

А так как

n6

У 5 f W dx = J / (x) dx,

l ~ 1 Д. ta

TO

S« 5 / № dx Sn.a

Отсюда в пределе при п-»-со следует равенство

6

S = \f^dx.(1)

Заметим, что для любого £<• е [х1,-!; ду] выполняется неравенство mi / (^)М,, и поэтому

Уу / ^) Адуу Лф Алу.

1 — 12—11—1

Отсюда в пределе при п -)- оо получаем формулу пb

lim У / (ъ,) *^Xi = S = \i ^ dx. '1—сс < = 1■

Пример 1. Показать, что для прямоугольного треугольника справедлива формула (1).

д Пусть задан прямоугольный треугольник с катетами длины а и Ь. На плоскости введем систему координат так, как указан ; на рис. 135. Данный треугольник является частным случаем криволинейной трапеции, причем ji_x) = ^x, хе[0; а].

Отрезок [0; а] точками %i = ^i (< = 0, 1, 2, ..., п) разделим

на п отрезков длины а/п. Тогда т, = (/ — 1), /Д = * i, и поэтому п

2

Ь ,.,. a ab п(п— 1) ab /,1 \

1=1 л о yi b . a ab п Щ + 1) _ ab f, , 1 \

22

4=1

Отсюда видно, что

Пт s„ = lim Sn = -y.

л-»со л -. со z

Рис. 135.Рис. 135.Рис. 136.Рис. 136.УнУнРис. 137.Рис. 137.площадь данного треугольника равна -±-ab, т. е. вычисляется по известной формуле. А

Рис. 135.

Рис. 135.

Рис. 136.

Рис. 136.

Ун

Ун

Рис. 137.

Рис. 137.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной частью параболы у = х2 и отрезками прямых у = 0 и х = 2 (рис. 136).

Л Используя формулу (1), имеем

2

С Со.*3 I28,

5 = \ х2 dx = -= = . аJ33

о

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х, у=1/х, у = О и х = е.

Л Данную фигуру прямой х=1 разобьем на две части (рис. 137): криволинейную трапецию, соответствующую функщи у = х на отрезке [0; 1], и криволинейную трапецию, соответствующую функции у = 1/х на отрезке [1; е]. Через Si и S2 обозначим их площади. Тогда

Si= С xdx = 4- Р = S2 = ( 4 dx = In х Р = In е=Д, v|0J XI [

0I

в, следовательно, 5 = Si + S.2 = у + 1 = 1, 5. А

Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых х = а и x = b^a<<b) и графиками неотрицательных и непрерывных на

[a; b] функций Д (x) и /2 (x), причем Д (x) sg/2 (x) (рис. 138). Площадь данной фигуры равна разности площадей двух криво-

линейных трапеций аАВЬ и аА'В'Ь, т. е.

S = ( /2 (х) dx — ^ ф (х) dx =

= Vfi^-^kx^dx. (2)

В'

О и./■ %

В общем случае справедливо следующее утверждение.

Рис. 138.

Площадь S фигуры, координаты точек которой удовлетворяют неравенст-

S = Vxk (x)-fi (x))dx.S = Vxk (x)-fi (x))dx.(3)(3)еам а<х<ь, fi(..xf=CysCj2(xf, ade hW и f2(x) — заданные непрерывные функции, вычисляется по формуле

S = Vxk (x)-fi (x))dx.

S = Vxk (x)-fi (x))dx.

(3)

(3)

Рис. 139.Рис. 139.as^-xs^ b,as^-xs^ b,h (x)-m^y^f2 kxf-m,h (x)-m^y^f2 kxf-m,

Рис. 139.

Рис. 139.

as^-xs^ b,

as^-xs^ b,

h (x)-m^y^f2 kxf-m,

h (x)-m^y^f2 kxf-m,

□ Действительно, пусть т — наименьшее значение функции Д (х) на отрезке [а; Ь]. Тогда f2(x)-m$:/i(x)-m^0 дли любого х G [а; Ь]. Фигура, координаты которой

удовлетворяют неравенствам

получается из данной параллельным переносом вдоль оси Оу. Следовательно, их площади равны, и поэтому (см. формулу (2)) ь

S = ^ (/2 (х) —'т — fi (х) + ш) dx =

ь

= $ kh W - fl (х)) dx. Н

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = хг — 4х + 5 и у = х-у \ (рис. 139).

Д Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций у = х+1 и у = х2—4х + 5, для этого решим уравнение х + 1 = = х2 — 4х + 5. Из квадратного уравнения х2 —5х + 4 = 0 находим Xi = 1 и х2 = 4. Искомую площадь находим по формуле (3):

S = ^ (х + 1 — (х2 — 4х + 5)) dx = j (— х2 ф- 5х — 4) dx -

= - у (64- 1)Д-| (16-1)-4 (4-1) = -21+ 37,5-12 = 4,5.

Если требуется вычислить площадь более сложной фиг/ры, то

стараются сз разбить на несколько фигур, для вычисления площади каждой из которых можно применить одну из формул (1) — -(3).

Пример 5. На рис. 140 изображена фигура, ограниченная линиями у =—х2ф-6х —5, у —— х2ф-4х —3 и у = 3х — 15. Найти площадь этой фигуры.

Д Точки А, В, D являются точками пересечения данных парабол с осью Ох. Найдем абсциссы этих точек, тля этого решим два уравнения — х2ф-6х — 5 = 0 и — х2ф-4х —3 = 0. Кориями первого уравнения являются числа х= 1 и л-= 5, а корнями второго уравнения являются числа х=1 и х = 3. Следо- ваплько хд=1, ха = 5, xD = 3. Для: определения абсциссы точки С решим уравнение — х2 + 4х — 3 = Зх — 15. Решая квадратнее уравнение х" — — х— 12 = 0, находим, что xv =— 3, х, = 4, т. е. хс = 4. Разобьем данную фигуру отрезками [DB] и [£С] на три фигуры и обозначим их площади соответственно Sj, S2, S3, как указано на рис. 140.

Вычислим площадь Si. Для этого

из площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у —— х2ф-6х —5 и отрезком [1; 5^ оси Ох, вычтем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и =— х2ф-4х —3 и отрезком [1; 3] оси Ох, т. е.

53

St = ((— х2 ф- 6х — 5) dx — ^ (— х2 + 4х — 3) dx =

'iI

= f — 1 х3 ф- Зх2 — 5х^ I ’ ф- х3 — 2х2 + 3xW =

\3/ 11\ 3/ 113

Для вычисления площадей S2 и S3 применим формулу (3): 4

S, = ^ (х2 — 4хф- 3) dx = (у х3 — 2х2 4- Зх)|з = у,

S-=^(-3v4-15)dx = (- ух2+15х)|'= |.

4

Таким образом, S = Зф + S2ф- S3 = 73/6. д

Применение интеграла к вычислению объемов тел

Объем пирамиды. Сначала рассмотрим треугольную пирамиду ABCD, у которой ребро AD перпендикулярно плоскости АВС, и выразим объем V этой пирамиды через высоту /7 = |ЛО| и площадь основания S, считая известным, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Отрезок DA точками ЛЬ, М2, ..., Л4п-1 разобьем на п равных по длине отрезков и через каждую точку М, проведем плоскость, параллельную основанию АВС (рис. 141). Тогда пирамида разобьется на п частей: одну пирамиду и п— 1 усеченных пирамид. Очевидно, объем пирамиды ABCD не меньше объема ип ступенчатой пирамиды, вписанной в ABCD (рис. 142), и не больше объема У„ ступенчатой пирамиды, описанной около ABCD (рис. 143):

(1)

Vс И

причем, У„ — v„ = S- —.

Пусть S (х) — площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей параллельно основанию АВС на расстоянии х от вершины D, и пусть хо = О, xt = \DM,\, xn = \DA\=-- Н. Тогда S (х;) — площадь сечения, проходящего через точку Л1,-, и

у» = 2 S (xi-i) Д-Гь Vra = ^ S (Xj) Ах,,(=1м

где Axi=xt —xt..i== Н[п. Так как функция S (х), хе[О; /7|, возрастающая, то

S (x,-j) Ах, < ( S (х) dx S (х,) Ах,

для любого 1=1, 2п, и поэтому

я

ип si ( S (х) dx si vn.

О

Из (1) и (2) следует, что

V — 1 S (х) dx | ^ V п — Уп = S • — -> О

при м->оо. Таким образом, справедлива формула

н

(3)(3)V = ^ S (х) dx.

(3)

(3)

о

Известно, что S (x)/S =х2///2. Учитывая это соотношение, тз формулы (3) получаем

V = j "№ S dx = Т |о = У SH’

Таким образом, объем пирамиды вычисляется по формуле

(4)(4)V = у SH,

(4)

(4)

где S —площадь основания, а // — высота пирамиды.

Формула (4) выведена для специального вида треугольных пирамид. Легко доказать, что она справедлива для любой пира-

МИДЫ.

функции t; = Hx)iфункции t; = Hx)iОбъем тела вращения. Пусть задана криволинейная трапе

функции t; = Hx)i

функции t; = Hx)i

ция, ограниченная графиком неотрицательной х ед [а; 6], осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь (рис. 144). При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется геометрическое тело Ф (рис. 144). Это геометрическое тело называется телом вращения.

Выведем формулу для объема тела вращения Ф. При этом, для простоты, будем предполагать, что функция / (х) неубывающая. Пусть S (х) — площадь сечения тела Ф плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х параллельно плоскости Оуг. Очевидно, что любое такое сечение тела Ф является кругом или

точкой и S (х) = л/2 (х). Отрезок [а; 6] точками хг = а + —-1, где 4=0, 1 ..., н, разобьем на п равных по длине отрезков и через каждую точку разбиения проведем плоскость, перпендикулярную оси абсцисс. Тогда тело Ф разобьется на п тел вращения Ф1( Ф2, ■■•> Фд, сумма объемов которых равна объему тела Ф.

ьУ — л ^ /2 (х) dxьУ — л ^ /2 (х) dxV„-v„->0V„-v„->0при п-^-сс, и поэтомупри п-^-сс, и поэтомуьV = л ^Р (x)dx.ьV = л ^Р (x)dx.(7)(7)

ь

У — л ^ /2 (х) dx

ь

У — л ^ /2 (х) dx

V„-v„->0

V„-v„->0

при п-^-сс, и поэтому

при п-^-сс, и поэтому

ь

V = л ^Р (x)dx.

ь

V = л ^Р (x)dx.

(7)

(7)

Очевидно, объем тела Ф, не меньше объема цилиндра, у которого высота равна Дх, =х£—х,-! и радиус основания равен y£~i = = /(х;-!), и не больше объема цилиндра с высотой Дх£ и радиусом основания yi = f(Xi) (рис. 145). Следовательно, объем V тела Ф удовлетворяет неравенствам

(5)(5)v„ < V ^ V„,

(5)

(5)

где и„ = У, лу£?_ । Дх, — объем ступенчатого тела вращения, вписан-

кого в тело Ф, а У„ = У, лу; Дх, — объем ступенчатого тела вра

щения, описанного около Ф. Причем,

V„ — у„ = л (у;) - yg) • ^- -> О

при п-*-со. Из монотонности функции f (х) и свойств интеграла следуют неравенства

xi

лу! - 1 Дх, <: ^ л/2 (х) dx <- лу; Дх,-,

где (=1, 2п. Суммируя по i, из этих неравенств получаем

ь

(6)(6)уя =s£ л/2 (х) dx -г Vn.

(6)

(6)

Теперь из (5) и (6) следует, что

Учитывая, что л/2(х) = 5(х), формулу (7) для объема тела вращения можно записать в виде интеграла от площади S (х) его

поперечного сечения:

t

(8)(8)V =-- J S (х) dx.

(8)

(8)

Пусть геометрическое тело Ф заключено между плоскостями х = а и х = b и пусть S (х) — площадь сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной оси Qx и проходящей через точку с абсциссой

х е [а; 6]. Тогда, как и в случае тел вращения, объем V тела Ф вычисляется по формуле (8).

Пример 1. Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции z/ = sinx, хе[0; л], и осью абсцисс, вращается вокруг оси Ох. Найти объем образованного вращением тела.

А Применяя формулу (7), получим

Заменим sinx па -—™—, тогда

,,С 1—cos 2х , /лхл , „ \ л2

2^ = (т- 4 3,п2хЛэ = 2- А о

Пример 2. Найти объем тела, отсекаемого от цилиндра х2 + у2 = 4 (рис. 146) плоскостью г ==2х.

А Рассмотрим сечение этого тела плоскостями, перпендику

лярными оси Ох. Сечение, проходящее через точку с абсциссой

х е ]0; 2[ перпендикулярно оси Ох, является прямоугольником.

через S (х). Вычис-через S (х). Вычис-Рис. 146Рис. 146Обозначим площадь такого прямоугольника лим S (х) для хе]0; 2[. Сторона прямоугольника |Д5|, лежащая в основании цилиндра, равна

через S (х). Вычис-

через S (х). Вычис-

Рис. 146

Рис. 146

= 2/4-х2.= 2/4-х2.I АВ | = 21 АЕ | = 2 У\ОА \^ — \ОЕ^ =

= 2/4-х2.

= 2/4-х2.

Сторона прямоугольника | AD I равна отрезку \EF\ и равна 2х. Следовательно, площадь прямоугольника ABCD равна

S (х) = 2х УХ^.

По формуле (8) объем тела равен

2

V = ^ 2х У 4 — x2dx. о

интеграла, положиминтеграла, положимСделаем замену переменного под знаком

интеграла, положим

интеграла, положим

у = 4 — х2. Тогда по формуле (5") § 2 получаем

Применение интеграла при решении физических задач

Задача о вычислении пути. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью и = и^, зависящей от времени I. Требуется найти путь, который проходит точка за промежуток времени от t—T\ до /=Т2. Если скорость движения постоянна и равна и0, то путь S равен произведению скорости на время движения, т. е. S =у0 (Тй — Ti).

Если же скорость не постоянна, то

S^^u^dt.(1)

г,

□ Действительно, разобьем отрезок [Л; Та] на и равных по длине отрезков, при этом 1Ц = ТХ, 1-, = Тх-\—^—-z, где z —1,2... ..., п. Приближенно будем считать, что скорость у (/) на промежутке И/_3; z'/J постоянна и равна и (т,), где т, —некоторая точка, принадлежащая отрезку [ij.j; ZJ. Тогда путь, пройденный точкой за время от h-i Д° 6, приближенно равен произведению и (т,) (ti — t.-t) = у (т,) М;, и путь, пройденный течкой за промежуток времени [Т^ Та], равен приближенно ^utr^Mi- Путь S, прой- денный точкой за время от Тх до Ti, равен пределу этой суммы при п->со, т. е. интегралу (1). ^

Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоростью у(/) = = 3 + 3/ м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 5 с.

△ По формуле (1) находим

S = J (3 + З/2) dt = (3/ +I) jo = 15 Ч- 125 = 140. д о

Пример 2. Тело движется прямолинейно со скоростью у(/) — = /Ч-6б2 м/с. Найти путь, пройденный телом за третью секунду.

/\ По формуле (1) находим

з

5= С (/Ч-6/2)Л = (4^2+МГ = 40.- А У

Пусть / (х) — проекция силы Р на ось Ох. Пока» ем, что работа А силы Р на отрезке пути [а; 6] вычисляется по формуле

ь

Л = ^ / (х) dx.

□ Будем предполагать, что / (х) является непрерывной функцией на отрезке [с; й]. Отрезок [о; й] точками

Xi = a + —i(/= О, 1, 2, .... и)

считать, что работа силы Рсчитать, что работа силы Рразобьем на п равных по длине отрезков [х^; xj. Очевидно, что длина каждого из этих отрезков равна Дх/ = (Ь — а)/п. и с'ремится

считать, что работа силы Р

считать, что работа силы Р

Рис. 147.Рис. 147.к нулю при /1-> сю. Поэтому можно на отрезке пути [xz-i; х,] приближенно равна / (х,) Дх,, а вся работа на отрезке [а; 6] равна сумме ^/(х;)Дх;, i=i

Рис. 147.

Рис. 147.

которая является интегральной суммой функции / (х) на отрезке [й; й]. Тогда в пределе при ц->оо получаем формулу (2). g

ьА = \(Р, е) dx,ьА = \(Р, е) dx,Заметим, что формулу (2) иногда удобно записывать в другой форме, а именно

ь

А = \(Р, е) dx,

ь

А = \(Р, е) dx,

где в —единичный вектор оси Ох, а (Р, е) —скалярное произведение векторов Р и е.

Пример 3. Сила в 2Н растягивает пружину на 4 ск . Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 4 см?

△ По закону Гука F = kx, т. е. сила, растягивающая пружину на величину х, пропорциональна этому растяжению. Из

условия 2 = й ■ 0,04 находим коэффициент растяжения й: он равен 50.

По формуле (2)

0,04

А = 50xdx = 25х2 j®'04 = 0,04. Ао

Пример 4. Вода, подаваемая с плоскости основания в конический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определить затраченную при этом работу, если высота бака равна h, радиус нижнего основания (дна) равен г, а радиус верхнего основания равен R, R>r.

Д Рассмотрим сечение конического бака, проходящее через его ось. И выберем оси координат в этом сечении так, как показано на рис. 147. Разобьем отрезок [0; й] оси Ох точками хк —

— h^i на n равных по длине отрезков [а,-,, а,-] (2=1, 2, .... и). Образующая конуса в выбранной системе координат имеет уравнение у = г Jr- х —^ г. Следовательно, объем 2-го слоя Vt при- ближенио равен пу^х,, а его потенциальная энергия прибли- женно равна upgi/tx, \xt, где р—плотность воды, а ^ —ускорение свободного падения. Отсюда следует, что

Л = lim У, лр^пдА,-Дху,

т. е.

Л == лру ^ у-х dx.Ь

Очевидно, что потенциальная энер[ия равна искомой работе. Таким образом,

h

А = лр# к х (г + х —^— у ах. о

Вычислив этот интеграл, получим

Л = ^р(г2-'г2г/? + 3^). д

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Найти все первообразные для следующих функций: а)/(х-)=х5; б) / (х)= ^- sin (ЗхД- I);

13

bHW=57+6: г)^ = Е^2ГПГ+с^

Найти все первообразные для функции f(x) = ‘xl.

Найти для функции /(х)=х2 первообразную, график которой проходит через точку М (2; 3).

Для функции / (х) = ^--|-2-х найти первообразную F (х), удовлетворяющую условию О (1) = 3.

Найти следующие неопределенные интегралы;

k (P + ^dt;б) \ -— dx;

( sin 2х cos 4х dx; г) fdx.

JJ \ sin2 (2.V-P 1) р4х—i/

Применяя формулу щ;тщ рнровашп по частям, найти следующие неопределенные интегралы:

^’ х cos х dx; б) ^ х In х dx.

Доказать, что функция

г 1, х > О,

/ (х) =sign х=]0,х = О,

1 — 1, х< О

пе имеет на всей оси ни одной первообразной.

Вычислить следующие интегралы;

У х3 с/х;и 9( ^^х— f \ К X/(3x:i + 4)1/3 х2 dx;Iх с In X ,ж) \ —^-dx; 1S. Найти производныеа) Ф (х) = ^ /2 sin / dt;оУ х3 с/х;и 9( ^^х— f \ К X/(3x:i + 4)1/3 х2 dx;Iх с In X ,ж) \ —^-dx; 1S. Найти производныеа) Ф (х) = ^ /2 sin / dt;ол/3

У х3 с/х;

и 9

( ^^х— f \ К X/

(3x:i + 4)1/3 х2 dx;

I

х с In X ,

ж) \ —^-dx; 1

S. Найти производные

а) Ф (х) = ^ /2 sin / dt;

о

У х3 с/х;

и 9

( ^^х— f \ К X/

(3x:i + 4)1/3 х2 dx;

I

х с In X ,

ж) \ —^-dx; 1

S. Найти производные

а) Ф (х) = ^ /2 sin / dt;

о

^ sin х dx;

— "л/4

f 1

Г) 1 "7-"”—— dx *

’ J | 2х + 3

л/2

^ х sin х dx;

b

2

^ (х — 2) I х 1 dx.

—2

следующих функций:

Зл2

Ф (х) = ^' 2- cos (sin /) dt.

В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся его стороны в ее середине?

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = \х1 —' | и у = = 5 + : х

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2с/ = х2ф-х — 6 и 2р = —х2 + 3х + 6.

Доказать, что если функция / (х), хе[—а; а], где а > 0, четная, то аа

j f (х) dx=2 jJ (х) dx.

-ао

Доказать, что если функция f (х), х е R, периодическая с периодом 7 > 0, то

а 4 7Т

\ f (х) dx = j f (х) dx аб

для любого « s IP.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями х(у + 2) = 4, х= 1 и у- О, вокруг оси Оу.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у="- — х и p=sinx, х ее (0; g | вокруг оси Ох.

С какой силой однородны i стержень 0s£x=£l линейной шотности 6 притягивает материальную точку Р (ь-) (а > /) массы in?

Однородное тело в форме прямого кругового цилиндра высоты Л и с радиусом основания R вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ы. Найти кинетическую энергию тела, если плотность материала, из которого изготовлено тело, равна р,

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

НаГпи все первообразные для следующих функций;

;.) / (л) =e3Jc+2 + y cos -^ — 3 Ух",

6)/(x) = 22t6)/(x) = 22tв)f (х)=в)f (х)=32x+532x+51„ лх COS2 -g-21„ лх COS2 -g-211sin2sin2I- 4 cos 3x. X2I- 4 cos 3x. X2

6)/(x) = 22t

6)/(x) = 22t

в)f (х)=

в)f (х)=

3

2x+5

3

2x+5

1

„ лх COS2 -g-

2

1

„ лх COS2 -g-

2

1

1

sin2

sin2

I- 4 cos 3x. X

2

I- 4 cos 3x. X

2

Найти для функции / (х) первообразную, график которой проходит через заданную точку:

а) /(х) = —^-+sin (2х+1), Л4 (1; 1);

Ух

бШх)=^гз+ему /И(1; 2).

Для функции/(х)= 2 cos Зх—3sin4x найти первообразную F(х), удовлетворяющую условию F(n/2) = 1.

Найти функцию / (х), если известно, что /' (л-) = 5езх и /(0)=--4.

Найти все первообразные для функции / (х) = (2х — 3) ! х — 2 | в промежутке ]—3; 1[ и в промежутке ]1; 3[.

При каких значениях х обращается в нуль та из первообразных функции /(х) = л sin лх-|-2х — 4, которая при х=1 имеет значение 3?

Пусть функция F (х) является первообразной для некоторой периодической функции /(х). Является ли периодической функция F (х)?

Пусть функция F (х) является первообразной для некоторой четной функции /(х), х s R. Является ли нечетной функция F (х)?

Пусть функция F (х) является первообразной для некоторой нечетной функции f (х), xeR. Является ли четной функция F (х)?

Найти следующие неопределенные интегралы: а) $ (х2 + 2 sin Зх-фе2*) dx;

С х3 + 2 Ух-1-х Кх ,

\ sin 6/ cos / dt; в) I dx;

JJ 1 x

Г)e)Г)e)dx;dx;/4» + ! //4» + ! /du;du;I < i JC Sin Xx — 1 dx; ж) I -p-dx.11J H-cosxI < i JC Sin Xx — 1 dx; ж) I -p-dx.11J H-cosx

Г)

e)

Г)

e)

dx;

dx;

/4» + ! /

/4» + ! /

du;

du;

I < i JC Sin X

x — 1 dx; ж) I -p-dx.

11J H-cosx

I < i JC Sin X

x — 1 dx; ж) I -p-dx.

11J H-cosx

Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие неопределенные интегралы:

a) j х sin х dx ; б) j х2 cos х dx;

в) j (х2-|-1) ех dx; г) ^x-23xdx,

Вычислить следующие интегралы:

j(x + l)dx;22J (2м — cos 2х) dx;1зС 2\dx;J /Зх-1Ож) ^ х cos х dx;j(x + l)dx;22J (2м — cos 2х) dx;1зС 2\dx;J /Зх-1Ож) ^ х cos х dx;Л/2cos х dx;— л2Г> j З^Т^12^ хе" х2 dx;1о( | 2-* —2--VI dx;Л/2cos х dx;— л2Г> j З^Т^12^ хе" х2 dx;1о( | 2-* —2--VI dx;

j(x + l)dx;

2

2

J (2м — cos 2х) dx;

1

з

С 2

\dx;

J /Зх-1

О

ж) ^ х cos х dx;

j(x + l)dx;

2

2

J (2м — cos 2х) dx;

1

з

С 2

\dx;

J /Зх-1

О

ж) ^ х cos х dx;

Л/2

cos х dx;

— л

2

Г> j З^Т^

1

2

^ хе" х2 dx;

1

о

( | 2-* —2--VI dx;

Л/2

cos х dx;

— л

2

Г> j З^Т^

1

2

^ хе" х2 dx;

1

о

( | 2-* —2--VI dx;

и)и)л/2л/2л/бл/б1 + sin 2x + cos 2хsin х + cos х1 + sin 2x + cos 2хsin х + cos х

и)

и)

л/2

л/2

л/б

л/б

1 + sin 2x + cos 2хsin х + cos х

1 + sin 2x + cos 2хsin х + cos х

а

Найти все числа <z>0, для которых j (2 — 4х + 3№) dxr~a. о

Найти числа Дий такие, чтобы функция вида /' (х) = Д2М В, з

удовлетворяла условиям /' (1) = 2 и ^f (х^х=1, ' о■

а

Найти все решения уравнения ^ cos( t-|-а2) dx = sin а., принадлежащие о

отрезку [2; 3].

Ifi. Найти производные следующих функций:

ф (л) = j («+1)е" du;

1

Ф (/) = j2v In (1 + л2) dx; в) Ф (а) = ^ ех sin3 (2хД-5) dx.

I1sin и

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

t/=l/cos2x, у = 0, х—0, х = л/4;

у = х‘1; у = ^ х‘, в) у = ех, у = е~х, х=1;

z/= 2 + sin .г, у = 1 4-cos2 х, х г [0: л];

Д)Ы=1—X2; с) Ij = (\j2y, X— 2уф-2 = 0, х = 2;

ху = 7, у — 0, х = 4, х= 12;

у = — Зх2 — | х | + 3, у = 0;

1у = —х2 + 8х —7, уД- 1 =4/(х — 3);

у—^х3, у=1/х, х = 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями У = ""+ > х=1 и касательной, проведенной в точке (2; 3/2) к кривой у=^-+ 1.

При каких положительных значениях параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у — cosax, t/=0, х=л/6а, х —л/2а, больше 3?

Дапа криволинейная трапеция, ограниченная линиями у —О, г = а(а>0) п у — х3. Какую часть площади тралении составляет площадь треугольника, отсекаемого от данной трапеции касательно,') к линии у — х3 в точке х=2и/3?

В некоторой точке графика функции у = V х касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45:1, Вычислить площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми у —О и №1/4.

Доказать, что если функция f (х), хе [—а; о], нечетная, то

Вычислить объем тела, образованного при вращении вокруг осн Ох фигуры, ограниченной линиями у = х3, у=1, х=3.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг прямой у=1 фигуры, ограниченной графиком функции у = 1 -j-cos3 х на промежутке [—п/2; л/2] и этой прямой.

Найти объем тела, образованного при вращении криволинейной трапеции у=ха, хе [0; 1], а > 0, а) вокруг оси Ох, б) вокруг оси Оу, в) вокруг прямой ь = 1, г) вокруг прямой х=1, д) вокруг прямой у = х.

Глава XIII

РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Решение геометрических задач часто вызывает трудности у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена только с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательств тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур. Можно с уверенностью сказать, что для успешного решения геометрических задач неооходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых i переходя к более сложным.

В этой главе приведено большое число задач различной трудности с решениями. Особенно подробны решения задач § 1, где мы напоминаем формулировки многих теорем и показываем их применение. Ряду задач предшествует обсуждение некоторых определений и теорем. Это сделано с целью подчеркнуть важные и часто ускользающие от внимания учащихся их следствия. Некоторые утверждения, содержащиеся в школьном учебнике лишь в форме задач, нами сформулированы и доказаны как теоремы, так как они часто используются в решении задач.

Одна и та же задача может быть решена, как правило, несколькими способами. Приведенные здесь решения не всегда самые изящные и короткие, однако мы выбрали именно эти решения для того, чтобы показать определенные приемы решений, продемонстрировать применение различных теорем.

Сделаем несколько общих замечаний.

О чертеже. Выполняя чертеж (рисунок), стремитесь сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказано, что некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразите это на чертеже. Хороший чертеж —это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задгчи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. В то же время надо отчетливо понимать, что даже самый аккуратный, выполненный с помощью циркуля и линейки чертеж сам по себе ничего не доказывает. Все, что

«увидено» из чертежа, должно быть обосновано соответствующим логическим выводом.

О поиске решения. Начиная решать задачу, используйте определение и свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, ведите рассуждения: треугольник равнобедренный, следовательно, ..., две касательные проведены из одной точки, следовательно, ..., окружность описана около прямоугольного треугольника, следовательно, . ..и т. п. Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните похожие задачи.

О проверке решения. Для контроля правильности решения задачи (особенно самоконтроля на экзаменах) полезно не только еще раз просмотреть решение и проверить выкладки, но провести, в некотором смысле, обратное решение: исходя из ответа, вычислить известные элементы, проверить, существует ли фигура при найденном значении искомой величины. Если задача с параметром, выбрать для проверки такое значение параметра, при котором решение очевидно или результат легко находится.

§ 1. Разные задачи

Задача 1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN (рис. 148). Найти площадь треугольника АВС, если \АМ\ = т и \BN\ = n.

Л Пусть медианы АМ и BN пересекаются в точке О. Медианы треугольника пересекаясь делятся в отношении 2:1, считая 2

от вершины, следовательно, | АО j = у | АМ |. Медиана АМ перпендикулярна медиане BN, значит, от-

резок АО — высота треугольника АВМ.

/|\ХИспользуя формулу площади “треуголь -

/ника

S = -2ah,t,(1)

Рис. 148.где а — основание, ha — высота к осно

ванию а, получаем, что площадь треугольника ABN равна * | АО | • j BN\ = |- тп. Треугольники АВС и ABN имеют общую высоту, проведенную из вершины В, основание АС вдвое больше основания AN. Из той же формулы площади следует, что площадь треугольника АВС вдвое больше пло- 2

щади треугольника ABN, т. е. равна тп. а

Задача 2. Найти площадь трапеции, зная длины dx и d.2 ее диагоналей и длину высоты h.

Л Рассмотрим трапецию ABCD, в которой | BD | = dj и | АС | = = d2 (рис. 149). Через точку D параллельно диагонали ДС про-

ведем прямую, точку пересечения этой прямой с прямой ВС обозначим К. В четырехугольнике ACKD противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ACKD — параллелограмм,

lDKl = lACl=d4 и ;CKi = MD(.

Из последнего равенства следует, что

|ВКНВС| + ]СК| = ]ВС; + ( ДО].

т. е. длина отрезка ВК равна сумме длин оснований тргпеции. Площадь трапеции, длины оснований которой равны а и b и длина высоты равна h, находится по формуле

(2)(2)S=^h,

(2)

(2)

поэтому площадь трапеции ABCD равна -*-|B/<|/i. Пусть DM I Д.ВК, тогда )DMj=h. Из прямоугольных треугольников BMD и DMK, используя теорему Пифагора, находим длины отрезков ВМ и мк-.

| ВМ I = У] В£) |2 -1 DM^ = У^ - №, | МК i = V\DK P - | DM\» =

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна

В этой задаче дополнительным построением получилг треугольник, площадь которого, с одной стороны, равна плоГцади трапеции, а с другой—легко вычисляется по данным задйци. Приведем еще один пример, в котором используется тот же пэием^- построение фигуры равной площади.

ввРис. 149.Рис. 150.Рис. 149.Рис. 150.

в

в

Рис. 149.Рис. 150.

Рис. 149.Рис. 150.

Задача 3. Найти площадь треугольника АВС, если |ЛВ] = = 3 см, | ВС | = 7 см и длина медианы ВМ равна 4 см.

321321А Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABCD (рис. 150). Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, поэтому точка М лежит на диагонали BD и | BD | = ‘Л\ВМ ].'

321

321

11 п/ред. Г. Н. Яковлева

Площади треугольников АВС и BCD составляют полсвину площади параллелограмма ABCD, следовательно, площади этих треугольников равны. В треугольнике BCD известны длины трех его сторон:

| ВС | = 7 см, СО) = 3 см, [ВО | = 8 см.

Площадь треугольника, длины сторон которого равны а, Ь и с, находится по формуле Герона:

5 = У7 (р — а)(р — Ь) (р — с),

где 2р = а + 6-фс.

Подставляя в эту формулу числовые значения длин сторон, находим, что площадь треугольника BCD, как и площадь треугольника АВС, равна 6]/3 см2, а

В следующих двух задачах напомним некоторые теоремы о пря

моугольных треугольниках.

С прямого углаС прямого углаЗадача 4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины

С прямого угла

С прямого угла

проведена высота CD (рис. 151). Точка D находится на расстоянии т и и от катетов АС и ВС соответственно. Найти длины катетов.

А Пусть DAi I АС и DBt I ВС. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны, следовательно, DAV | ВС и ОВД АС. Тогда CBiDAt — по определению прямоугольник, поэтому |СЛ1| = 1/)В1|1 = /г и | СВг | | DAi | = т.

В прямоугольном треугольнике CD А отрезок DAt является высотой, проведенной из вершины прямого угла. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого

угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

на гипотенузу, следовательно,

\DA^ = \CAV\-\A1A |.

Обозначив b — | AC j, это равенство перепишем в виде т2 = = п(Ь-п'), откуда находим b = (n^-^-m^in. Аналогично, обозначая | ВС | = а, из прямоугольного треугольника BCD находим а = = (n^A-m^jm.

1аким образом, катеты равны —^— и —^—, А

Задача 5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен г. Найти площадь этого треугольника, если длина гипотенузы равна с.

А Пусть окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке Р и касается катетов в точках М и N (рис. 152).

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому, если О —центр окружности, то ОМ I ВС и ON Д_АС. Отсюда следует (рассуждения аналогичны

Рис. 152Рис. 152рассуждениям задачи 4), что CMON — прямоугольник, а так как | ОМ | = | ON | = г, то CMON — квадрат, площадь которого равна г2.

Рис. 152

Рис. 152

Прямоугольные треугольники конгруэнтны, если гипотенуза и катет одного конгруэнтны гипотенузе и катету другого, поэтому прямоугольные треугольники МВО и РВО конгру- энтпы и, следовательно, имеют равные пло- щадн. Аналогично устанавливается, что равные площади имеют прямоугольные треугольники NАО и РАО. Таким образом,

S АИС — ScMON + 25рво + 28рдо-

Сумма площадей треугольников РВО и РАО равна площади треугольника ВО А, площадь которого находится по формуле (1) и равна -^сг. Окончательно получаем S ДВс = г2 А-сг. А

Рассмотрим задачу о делении отрезка при пересечении его прямой. Как правило, такая задача решается дополнительным построением — проведением параллельной прямой и использованием теоремы о пере-jv

сечении сторон угла параллельными пря-/ X.

мыми./ /

Задача 6. Точка N. лежит на сторо- / не АС треугольника АВС (рис. 153), при-X _

чем I AN || АС | = п. Найти, в каком от- ( м ношении медиана АМ делит отрезок BN.

Д Пусть О —точка пересечения меди- Рис- 15и' аны АМ и отрезка BN. Требуется найти отношение |B0]:|0^|. Проведем прямую NK параллельно медиане АМ. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Параллельные прямые АМ и NK пересекают стороны угла NBC, следовательно,

/(3)/(3)| ВО j _ | вм\\ON |, МК , ‘

/(3)

/(3)

Те же прямые пересекают п стороны угла АСВ, поэтому

| МС j = I AC I \МК\ “ | AN Г

Заметим, что М — середина стороны ВС, значит, [ ВМ; =--1Л1С (; кроме того, j ЛС|: | ЛЛ^j= Мп, таким образом,

| ВМ\ _ I МС | _ 1

| МК\ ~ | МК\ — п'

и тогда из (3) следует, что | ВО |: | ON | = 1: п. А

Используем аналогичные дополнительные построения для доказа- ■ тельства следующей теоремы о свойстве биссектрисы треугольника.

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если AD — биссектриса треу-

К/ гольника АВС (рис. 154), то в/w ' I Об || ЛС |

/уХпП Проведем прямую ВК, параллельную

имеемимеемРис. 154.Рис. 154.|BD| _।КА I |ОС| -1 ас/|BD| _।КА I |ОС| -1 ас/(4)(4)/ 1биссектрисе AD. Параллельные прямые ВК X PC 'А , и DA, пересекая стороны угла ВС К, отсе- ^ Aс кают на них пропорциональные отрезки.

имеем

имеем

Рис. 154.

Рис. 154.

|BD| _।КА I |ОС| -1 ас/

|BD| _।КА I |ОС| -1 ас/

(4)

(4)

Заметим, что треугольник К АВ равнобедренный. Действительно, если две параллельные прямые пересечены третьей, то соответ

ственные, а следовательно, и накрест лежащие углы конгруэнтны, поэтому

BKA = DAC, КВА = BAD,

а равенство углова равенство угловРис. 155.Рис. 155.|ЯР А |Л5| i ОС I |ЛС j|ЯР А |Л5| i ОС I |ЛС jBAD и DAC следует из того, что AD — биссектриса угла А. Таким образом, |/М' = =! АВ J, и из (4) следует

а равенство углов

а равенство углов

Рис. 155.

Рис. 155.

|ЯР А |Л5| i ОС I |ЛС j

|ЯР А |Л5| i ОС I |ЛС j

Рассмотрим несколько задач, в условии которых задана окружность.

Задача 7. Диаметр CD параллелен хорде АВ той же окружности (рис. 155). Найти длину хорды АВ, если \АС\ = Ь и |ВС| =

= а (щ^Ь/

А Дуги, заключенные между параллельными хордами, конгруэнтны, кроме того, конгруэнтные дуги стягиваются конгруэнтными хордами, поэтому | BD | = | А С | = Ь.

Вписанный угол, опирающийся на диамгтр^прямой, следовательно, CBD = 90° и треугольник CBD — прямоугольный. По теореме Пифагора находим | CD | = У а2 + Ь2.

Пусть ВК I CD. Площадь прямоугольного треугольника CBD равна половине произведения длин его катетов, с другой стороны, она может быть выражена по формуле (1), т. е. имеет место равенство -^ j СВ | • \BD I = *-1 CD [ • | ВК |, из которого находим

\ВК\ = -т^=.

Пусть О—центр окружности и ОМ _]_ЛВ. Отрезки двух параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными

прямыми, конгруэнтны между собой, следовательно, | ОМ { = [ S/< |. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому |ЛМ| = |МВ[. Из прямоугольного треугольника ОМВ, в котором | OS | = | CD [/2, находим

|МВ ' =У\ ов\2-\ ом |* = 2ТУ=-,-А аа + №

следовательно, АВ = (а2 — УО/Уа2 + Ь*. А

Задача 8. На основании ВС трапеции ABCD, как на диа

метре, построена окружность, которая проходит через середины

АК3Ряс. 156.АК3Ряс. 156.поэтому А. ВМС уу A DMGпоэтому А. ВМС уу A DMGДиагоналей трапеции и касается основания AD (рис. 156). Найти углы трапеции.

АК3

Ряс. 156.

АК3

Ряс. 156.

поэтому А. ВМС уу A DMG

поэтому А. ВМС уу A DMG

/\ Пусть окружность пересекает диагональ BD в точке М, тогда по условию | ВМ । = | MD |. Вписанный угол ВМС прямой, так как опирается на диаметр. Прямоугольные треугольники конгруэнтны, если катеты одного конгруэнтны катетам другого,

(i ВМ \ = | MD I, СМ — общий катет) и, следовательно, | ВС । =* | CD |, Так как окружность проходит также через середину дтагонали АС, го аналогично устанавливается |ЛВ; = |ВС|. Таким обра-

зом, трапеция равнобедренная и углы при основании ргвны.

Окружность касается основания AD, поэтому расстояние между основаниями равно радиусу окружности, и если СК I AD, то I СК | = у | ВС;. Отсюда следует, что в прямоугольисм треу

гольнике CKD гипотенуза CD в два раза больше катета СК, следовательно, катет СК лежит против угла в 30°.

Итак, углы трапеции ABCD равны 30° и 150я. А

В решении этой задачи в частности было доказано, что если медиана треугольника (BCD) является высотой, то треугольник равнобедренный. Легко доказываются также следующие признаки равнобедренного треугольника (доказательство проведите самостоятельно):

если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный;

если высота треугольника является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

если медиана треугольника является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

В дальнейшем будем использовать эти признаки.

Задача 9. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса г в точках М и N (рис. 157). Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки А до центра окружности равно а. 1

/\ Пусть О —центр окружности, тогда ОМ А = ON А = 90°.

В прямоугольных треугольниках ОМА и ON А гипотенуза О А общая и | ОМ | = j ON | = г, следовательно, ДОМД /дОЛМ. Из конгруэнтности этих треугольников следует, что углы МАО и NАО конгруэнтны и | Д М j = ; Д yV {. Тг-

Рис. 137.Рис. 137.кпм образом, треугольник MAN равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому, если Е — течка пересечения О А и MN, то ОА I ME и \ME\ = \EN |.

Рис. 137.

Рис. 137.

Для площади S прямоугольного треугольника ОМА имеем

S = -L | Д4£ |! ОД ! = 2-j ОЛД i | АМ\,

откуда, так как | AM j = у а1 — г2, находим ! ME | = г ]/ а3 — f-ja и | MN \ = 2r Vа2 — У а. А

В решении этой задачи доказаны два свойства касательных, которые сформулируем следующим образом:

если из точки к окружности проведены две касательные, то

длины отрезков касательных от. этой точки до точек ка-

сания равны,

прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.

Первое из указанных свойств поможет нам решить следующую задачу.

в точках М ив точках М иЗадача 10. В треугольник АВС площади 8 вписана окружность радиуса г, которая касается сторон АС и ВС соответственно

в точках М и

в точках М и

N (рис. 158). Найти длину стороны АС, если | ДМ |: | МС | = 2 : 3 и | BN |: | ЛС | = 5 : 6 /\ Длину стороны АС обозначим а. Из условия | АМ |: \МС | = 2 : 3 находим, что | АМ | = 2а/5 и | МС ] = За/5.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем I NC i = | МС I = За/5, и тогда из условия [ BN | : \NC | = 5 : 6 получаем \BN\ = a/2.

Если окружность касается стороны АВ в точке Р, то также j АР | = | АМ | = 2о/5

и \BP\ = \BN\ = af2.

Площадь треугольника через длины его сторон а, Ь, с и радиус г вписанной окружности выражается по формуле

(5)(5)S = рг,

(5)

(5)

где 2р = « + /> + с.

Находим полупериметр р треугольника АВС:р = За/2, тогда 32 5’

по этой формуле 8 = -^ аг и, следовательно, а= 3 ~ . д Напомним, что:

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны;

около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°.

Задача 11. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований трапеции равны а и Ь.

Ряс 159Ряс 159А Пусть г —радиус окружности, которая вписана в прямоугольную трапецию ABCD (рис. 159). Так как трапеция прямоугольная, то \АВ\ = 2г. Пусть । ВС \ = Ь и \AD\=a. В эту трапецию вписана окружность, следовательно,

Ряс 159

Ряс 159

I вс । +1 ло । =; лв । -]-1 со |,

откуда получаем | CD | = a A- b — 2г. Пусть СК I AD, тогда | СК ] = | АВ | = 2г и | KD | = — а — Ь. По теореме Пифагора | CD j3 = = | СК I2 +1 KD I2, t. e. (a + 6-2r)2 = 4r2 + 4-(o — by, откуда находим ab r = К CL —U

Приведем пример задачи, решение которой становится проще

при дополнительном построении окружности.

Задача 12. В прямоугольном треугольнике АВС утол С прямой, величина угла А равна а(а<л/4), точка D— середина

параллельна сторонепараллельна сторонегипотенузы. Точка В; симметрична точке В относительно прямой CD. Найти величину угла ABVC.

параллельна стороне

параллельна стороне

А Пусть точка Вг симметрична точке В относительно прямой CD (рис. 160), тогда точки В и Bv лежат на одном перпендикуляре к прямой CD и на равном расстоянии от этой прямой, т. е. BB. j CD и 1081 = 108,1. Отрезок 0D соединяет середины сторон треугольника BBVA, следовательно, 0D — средняя линия треугольника BBVA, она

АВ1- А так как ODJ^BBl то и АВг I ВВЪ т. е. треуголь

ник ВВ1А прямоугольный.

Вершины прямоугольных треугольников с гипотенузой АВ лежат на окружности с диаметром АВ, следовательно, точки Л, В, С и Bi лежат на окружности с диаметром АВ.

Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Вписанные углы ВАС и BBVC

опираются на одну дугу, поэтому их величины равны: BBLC = = о..

Отсюда находим, что АВкС = ABiB-'rBBvC = £- + «• А

Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов

Подобие треугольников. Напомним определения подобия фигур: фигура Фг называется подобной фигуре Ф (записывается Фх^Ф), если существует отображение фигуры Ф на фигуру Фх, при котором для любых двух точек М и N фигуры Ф и их образов — точек Мл. и Ni отношение расстояний jALVj и (VMxWi { есть величина постоянная. Число fe = \MiNi\j\ MN, называется коэффициентом подобия.

Наиболее часто в решении задач используется подобие треугольников. Если треугольник AJ^Cy подобен треугольнику АВС и вершины Ai и Bi являются образами вершин Лий, то коэффициент подобия этих треугольников равен ! Лг^11/'| АВ |, как говорят, равен отношению длин соответственных сторон.

Признаки подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

диагоналей трапециидиагоналей трапецииЗадача 1. Прямая, проходящая через точку пересечения

диагоналей трапеции

диагоналей трапеции

параллельно ее основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и N. Найти длину отрезка MN, если длины оснований трапеции равны а и Ь.

А Пусть диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О, отрезок MN параллелен основаниям и содержит точку О (рис. 161), |Д£)|=а, \BC\-b. Если две параллельные прямые пересечены третьей,

то соответственные и накрест лежащие углы равны. Основания трапеции параллельны, следовательно, BDA =-CBD и CAD = — ВС А и по второму признаку подобия Е\ВОС ~ £JDOA. Следо-

, I ЯО I [SCI I ЯО I 6_

вательно, — p^/yp T- e- pol)]^^1 Отсюда находим, что

| ЯО j a + b*v ’

Прямая MN параллельна основанию AD, поэтому EMO — — BAD и BOM = BDA, треугольники MBO и ABD также подобны и | МО |/| AD i = । ВО |/j BD |. Отсюда, учитывая (1), получаем | МО | — аЬКдД-Ь). Аналогично устанавливаем, что j VO| = с^ аЬ^а-гЬ), таким образом, \ MN [ = ‘lab^a-V b). а

Сформулируем признаки подобия прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональны катету и гипотенузе другого.

Задача 2. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и BN (рис. 162). Найти углы треугольника MNC, если 3 = а и В = £.

они подобны иони подобны иввАМсАМсРис. 1Ь2.Рис. 1Ь2.Д Прямоугольные треугольники АМС и BNC имеют равные острые углы при вершине С, следовательно, | NC |/| ВС | | МС [/' АС |. Отсюда заключаем, что в треугольниках MCN и АСВ стороны, прилежащие к равному углу при вершине С, пропорциональны, следовательно (по третьему признаку подобия), эти треугольники подобны.

они подобны и

они подобны и

в

в

АМс

АМс

Рис. 1Ь2.

Рис. 1Ь2.

В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, поэтому

NMC = a и MNC = ^.

Результат этой задачи можно сформулировать так: если соединить основания двух высот треугольника, то образуется треугольник, подобный данному, а

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответственные линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных многоугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношение длин соответственных сторон. Это замечание поможет нам решить сле-

дующую задачу.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота CD (рис. 163). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны соответ-

ственно rY и гг. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Л Обозначим искомый радиус г, положим \АВ\ = с, ] Л(7| =6, | ВС) = а. Из подобия прямоугольных треугольников ACD и АВС (у них равные углы при вершине Л) имеем у ~ Сь , откуда Ь = = ^-с. Прямоугольные треугольники CBD и АВС также подобны, поэтому — = -, откуда а —-с. Так как агА-Ьг=с\ то, возводя в квад

Легко видеть.Легко видеть.рат выражения для а и b и склады- вая их, получим ^у-у2^2 +~^ или = 1. Теперь на

Легко видеть.

Легко видеть.

ходим г = V ri + г». к

Напомним, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты длин соответственных сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Задача 4. Через точку М, лежащую внутри треугольника АВС, проЕ;едены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовалось три треугольника (рис. 164), площади которых равны -Slf S2 и S3. Найти площадь треугольника АВС. что треугольники EKM, MQF и PMN подобны треугольнику АВС. Пусть S— площадь треугольника АВС,

St | ЕМ р S - I AC р *St | ЕМ р S - I AC р *Sa _ | AfF р "S “ I AC I2 'Sa _ | AfF р "S “ I AC I2 'S3 I PA p S I AC I2 •S3 I PA p S I AC I2 •тогда

St | ЕМ р S - I AC р *

St | ЕМ р S - I AC р *

Sa _ | AfF р "S “ I AC I2 '

Sa _ | AfF р "S “ I AC I2 '

S3 I PA p S I AC I2 •

S3 I PA p S I AC I2 •

Отсюда находим

l^l| = j/|. |ДС|, |A4F| = j/^ |ЛС|, 1™|=|/'|> |ЛС|.

А так как | ЕМ | = | АР |, |A4Fi = |WC|, то

|ЕМ | +1PN | + | MF| = | АР | + |PN | + | ^С| = |ДС|.

Таким образом,

|дс|(К¥+О+K?)=i4ci-

Отсюда следует S ^l/^ + J/^ + V S3)2. А

Теоремы косинусов и синусов. Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены а, Ь, с, а величины противолежащих им углов—Л, В, С, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать тж: теорема косинусов:

с2 = а2 + № — 2abcos С, теорема синусов:

а b сsin Asin Вsin С

Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

Задача 5. Найти длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины С, если длины сторон, лежащих против вершин А, В и С, равны соответственно а, Ь, с.

А Пусть СМ — медиана треугольника АВС (рис. 165). Обозначим пг = \СМ\, ср = СМА, тогда СМВ = 180° — ср. Из треугольников АСМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь

Ь2 = т2 + — 2т у cos ф,

а2 = т3 + ~— 2т cos (180° — ср).

Складывая почленно два эти равенства и учитывгя, что

С2

cos (180° — ср) = — cos ср, получаем а2 ДЬ'- = 2m2 + -у, откуда нахо-

„ а2 . Ь2 с2

дим т2 = - + т-т.

Таким образом, | СМ | = д/"^- д А

Задача 6. Площадь треугольника АВС равна 16 см3. Найти длину стороны АВ, если |ЛС| = 5 см, | SC | = 8 см и угол С тупой (рис. 166).

S = у ab sin С.S = у ab sin С.(2)(2)формулы следует то косинус этогоформулы следует то косинус этогоЛ Площадь треугольника через длины двух сторон а и b и величину угла С между ними выражается следующим образом:

S = у ab sin С.

S = у ab sin С.

(2)

(2)

формулы следует то косинус этого

формулы следует то косинус этого

Для данного треугольника АВС из этой sinC = 2S/ab = 4/5. Так как угол С тупой, угла отрицателен, и поэтому

cos С = — V 1 — sin2 С = — 4"О

Теперь по теореме косинусов находим | АВ |2 = а2 + b2 — 2<zb cos С = 137. Следовательно, j AB)=V 137 см. А

Задача 7. В равнобедренном треугольнике АВС длины боковых сторон АВ и АС равны Ь, угол при вершине А равен 2а. Прямая, проходящая через вершину В и центр О описанной около треугольника АВС окружности, пересекает сторону АС в точке D (рис. 167). Найти длину отрезка BD.

/у Центр описанной около равнобедренного треугольника ЛВС окружности лежит на его биссектрисе АК (так как АК I ВС и | ВК | = | КС !), следовательно, ABD = OAB=a.. Итак, в треугольнике BAD два угла известны, а так как сумма углов треугольника равна 180°, то BDA = = 180° — За. По теореме синусов из треугольника BAD имеем

, BD, BD! AB !

, BD

, BD

sin 2asin (L80J — 3a) ’

\bd^.^l11 sin За\bd^.^l11 sin Заоткуда, учитывая, что sin (180° — За) = sin За, находим

\bd^.^l

11 sin За

\bd^.^l

11 sin За

Приведем доказательство теоремы синусов, по ходу которого установим одно важнее соотношение.

□ Пусть около треугольника АВС, длины сторон которого, противолежащие вершинам А, В, С, обозначены а, Ь, с, описана окружность радиуса R (см. рис. 168). Проведем диаметр BD. Вписанные углы BDA и ВС А опираются на одну дугу, следовательно, BDA = C. Угол BAD прямой, так .;:/'как опирается на диаметр, значит, треуголь-

\ ник BAD прямоугольный и

Уc = 2RsmC.(3)

Аналогично устанавливается, что а — 2R sin А и b = 2Rsin В. Из этих равенств следует

Рис. 168.. а^.= ■—- = ™-=2R. ■(4)

sin A sin В sin С

Если из (3) выразить sin С и подставить в формулу (2), то получим выражение площади треугольника через длины его сторон а, Ь, с и радиус описанной окружности R;

(5)(5)о abc

(5)

(5)

Задача 8. Точка N лежит на стороне АС правильного треугольника АВС (рис. 169). Найти отношение радиусов окруж- 332

нсстей, описанных около треугольников ABN и АВС, если MjV|!| ДС| = щ

Л Обозначим через а сторону правильного треугольника\ДЖ7, тогда \AN\ = na. Длину стороны BN найдем по теореме юсину- сов из треугольника ABN:

\BN\ = V> АВ р + ; AN |2- 21 Д5 । ДА/1 cos 60° = У\^п.^-У.а.

Рис. 169Рис. 169Пусть Rt и R2 — радиусы окружностей, описанных соответственно около треугольников ABN и АВС. По формуле (5) получим

Рис. 169

Рис. 169

с п V1 + п2—па3 с а3 4RX * ^АВС~4R«'

находим RJR2находим RJR2С другой стороны, треугольники ABN и АВС имеют общую высоту, проведенную из вершины 5, поэтому их площади относятся как длины оснований, т. е. SABN = nSABc- Подставив сюда выражения для площадей, получим п У1 + п2 — ncA^Ry = na3/4R2, отку;

находим RJR2

находим RJR2

= У1А-П1 — П. ▲

§ 3. Свойства хорд, секущих и касательных

Углы, измеряемые с помощью дуг окружности. Углове ^величиной дуги называют величину соответствующего ей центрального угла. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Установим, как измеряются углы с вершинами внутри или вне круга, когда стороны этил углов пересекаются с окружностью.

Теорема. Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами

Рис. 171.Рис. 171.

Рис. 171.

Рис. 171.

и их продолжениями. Величина угла, образованного двумя секущими с вершиной вне круга, стороны которого пересекают этот круг, равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

. □ Рассмотрим угол АМВ (рис. 170). Заметим, что «.^-^АВ, \ г 1 -—-

р = -2 Л^. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним несмежных, поэтому АМВ = сс-|-р = у(ЛВ + Л^).

Рассмотрим теперь угол АМВ, образованный двумя секущими МА и МВ (рис. 171). Так как а = -^А1В1, 0=4-ЛВ, то по свойству внешнего угла треугольника получаем ЛМВ = Р — -« = -’-(ЛВ-ДА). В

Теорема. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна полсвине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

□ Рассмотрим угол NAB, образованный касательной и хордой (рис. 172). Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному через точку касания, следовательно, СЛАГ = 90° и СВА-= 180°. Далее, а = уВС, АМВ = 90° — — а, отсюда получаем

NAB = у (180° - ВС) = -* ВЛ

(случай тупого угла, на рис. 172 угол МАВ, рассматривается аналогично). В

Задача 1. Окружность проходит через вершины В, С и D трапеции ABCD и касается стороны АВ в точке В (рис. 173). Найти длину диагонали BD, если длины оснований трапеции равны а и Ь.

/\ Угол между касательной АВ и хордой BD, как и вписанный угол BCD, измеряются половиной угловой величины дуги BnD, следовательно, ABD = BCD. Основания трапеции параллельны, поэтому CBD — BDA. Таким образом, треугольники ABD и BCD имеют по два равных угла и, следовательно, подобны. Из подобия получаем j BD |/| AD | | ВС |/| BD |, откуда следует | BD р = = |ЛО||ВС| и ^BD\ = Vab. ▲

Свойства секущих и касательных. Докажем теорему, называемую «теоремой о касательной и секущей», часто приме зяемую в решении задач.Теорема. Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружносп ъ в точках В и С (рис. 174). Тогда справедливо равенствоСвойства секущих и касательных. Докажем теорему, называемую «теоремой о касательной и секущей», часто приме зяемую в решении задач.Теорема. Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружносп ъ в точках В и С (рис. 174). Тогда справедливо равенство| МА р = I МВ 11 МС |,т. е. если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от| МА р = I МВ 11 МС |,т. е. если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной отточки М до точки произведению длин щей от точки Мточки М до точки произведению длин щей от точки Мкасания равенкасания равенииотрезковдо точекотрезковдо точексеку-ее пересечения ссеку-ее пересечения с□ По предыдущей теореме МАС = -^ АС, но□ По предыдущей теореме МАС = -^ АС, ноокруж ностью.также АВС =окруж ностью.также АВС == ^АС.= ^АС.следовательно, МАС = АВС. Так как в треугольниках

Свойства секущих и касательных. Докажем теорему, называемую «теоремой о касательной и секущей», часто приме зяемую в решении задач.

Теорема. Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружносп ъ в точках В и С (рис. 174). Тогда справедливо равенство

Свойства секущих и касательных. Докажем теорему, называемую «теоремой о касательной и секущей», часто приме зяемую в решении задач.

Теорема. Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружносп ъ в точках В и С (рис. 174). Тогда справедливо равенство

| МА р = I МВ 11 МС |,

т. е. если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от

| МА р = I МВ 11 МС |,

т. е. если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от

точки М до точки произведению длин щей от точки М

точки М до точки произведению длин щей от точки М

касания равен

касания равен

и

и

отрезковдо точек

отрезковдо точек

секу-

ее пересечения с

секу-

ее пересечения с

□ По предыдущей теореме МАС = -^ АС, но

□ По предыдущей теореме МАС = -^ АС, но

окруж ностью.

также АВС =

окруж ностью.

также АВС =

= ^АС.

= ^АС.

АМС и ВМА угол при вершине М общий, то отсюда по

второму признаку подобия следует, что эти треугольники подобны. Из подобия имеем | МА |/j МВ | =) Л1С j/) МА |, откуда получаем \МА р = | Л1В | - j ТИС н

Задача 2. Радиус окружности равен г. Из точки М проведена секущая МВ, проходящая через центр окружности, и касательная МА, причем |2ИВ| = 2|Л4Л| (рис. 175). Найти, на каком расстоянии от центра ок

ружности находится точка М.

Лх Обозначим х = |0Л1|, Тогда | ВМ | =xJrr и | СМ =х — г, кроме того, по условию | МА | = L^LL = А (х р-г).

По теореме о касательной и секущей = (x-J-r) (х — г), откуда, сокращая на (х-рг), получаем ^-(x-J-r) = х —г и легко находим 5

х = 3 г. к

Задача 3. Через точку М, удаленную от центра окружности на расстоянии Ь, проведена секущая МА так, что она делится окружностью пополам: | МВ | = | В А | (рис. 176). Определить длину секущей МА, если радиус

Рис. 176.Рис. 176.окружности равен г.

Рис. 176.

Рис. 176.

Д Проведем секущую МС через центр окружности. Из теоремы о касательной и секущей следует, что если из точки М проведены две секущие МА и МС, пересекающие окружность

в трчках В и D соответственно, то [ МА 1| МВ [ = f МС [ | MD (, так KSt№ оба произведения равны квадрату длины касательной, про- веЙЯнной- из точки М к той же окружности. По условию | ОМ | = Ь, поэтому;,! МС | — b + г и | MD \ = Ь — г. Обозначим ‘| МА | — х, тогда ГВ/И| = х/2 и по указанному свойству двух секущих, проведенных из одной точки, получаем х ■ А = (& + 0 (Ь — г), откуда находим х = У2(№ -г2), к

Свойство пересекающихся хорд.

Т ею р е м а. Если через точку, взятую внутри круга, проведены две морды, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, т. е. (рис. 177) если через точку М проведены две хорды АВ и CD, то | МА |1 MB j = | МС || MD |.

□ Проведем хорды ДС и BD. Вписанные углы САВ и CDB опираются на дугу СВ, следовательно, CAB = CDB. Аналогично ACD = ABD. Таким образом, треугольники АСМ и DBM подобны и | МА j/| MD | — = | Л4С|/| МВ |. Отсюда получаем | М А|| MB I =

мости, пересекаетмости, пересекаетРис. 178.По свойствуРис. 178.По свойствуЗадача 4. Две окружности внутренне касаются в точке Q (рис. 178). Прямая, проходящая через центр Oi меньшей окруж- большую окружность в точках А и D, а меньшую — в точках В и С. Найти отношение радиусов окружностей, если । АВ | : | ВС!: | CD | = = 2:4:3.

мости, пересекает

мости, пересекает

Рис. 178.

По свойству

Рис. 178.

По свойству

А Пусть R и г — соответственно радиусы 5 большей и меньшей окружностей, тогда

| ВС | = 2г и из заданной пропорции получаем |ДВ|=г и |СО|=|г.

Проведем диаметр QP. Диаметр, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому точки Oi лежат на QP.

пересекающихся хорд имеем |OiQI'O1P| =

= |0iAj|0iD!, отсюда, учитывая, что j OiP । = 2/? — г, | (ДД | = = 101В | + | ВД | = 2г и | OiD j j СО Ц-! COi 1 = у г, получаем (2Р — г) г —5г2. Теперь легко находим R/r = 3. а

§ 4. Алгебраические и тригонометрические методы решения.Применение векторной алгебры

В рассмотренных ранее задачах нам приходилось решать несложные алгебраические уравнения, использовать теоремы косинусов и синусов, находить значения углов. Очевидно, что отде-

лить геометрию от алгебры и тригонометрии невозможно, поскольку многие геометрические утверждения сформулированы в алгебраической форме (теорема Пифагора или свойство высоты прямоугольного треугольника) или тригонометрической (теоремы синусов и косинусов). Однако возможности применения алгебры и тригонометрии гораздо шире. Во многих случаях решения геометрических задач сводятся к решению соответствующих алгебраических или тригонометрических уравнений и систем. Рассмотрим в качестве примеров следующие задачи.

Задача 1. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма длин основания и высоты равна диаметру окружности. Найти высоту этого треугольника.

Л Пусть BD — высота равнобедренного треугольника АВС (рис. 179). Так как диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину, то течка D лежит на диаметре BF. Обозначим h = \BD\ и 2Ь = \АС\. По условию 2R = йу 2Ь, а по свойству пересекающихся хорд (§ 3) имеем b2 = h(2R — by Таким образом, получили систему

(2R = hA-r2b,

I b2 = M2R-l^.

Исключая 2R, находим b" = 2bh, откуда b = 2h, и тогда из пер- 2

вого уравнения получаем h = -^R. а

Рис. 179.Рис. 179.

Рис. 179.

Рис. 179.

Задача 2. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС, находится на расстоянии ]/5 см и У 10 см от вершин А и В (рис. 180). Найти катеты.

Л Задача решается просто, если за неизвестные принять'Не катеты, а радиус вписанной окружности г и а. = ОАК. Гак как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов А и В, то OBR = ^-а. Из прямоугольных треугольников ОАК и ОВК находим

г = У 5 sin аг = У 5 sin аи r = V Ю sin f^ — аи r = V Ю sin f^ — а

г = У 5 sin а

г = У 5 sin а

и r = V Ю sin f^ — а

и r = V Ю sin f^ — а

следовательно,следовательно,(1)(1)|/5sincc = |/10sin^4 — се

следовательно,

следовательно,

(1)

(1)

Задача свелась к простому тригонометрическому уравнению, так как 8inA—а)—^ (cos се — since), то из (1) получаем sin се = cos се —since, откуда tga= 1/2.

/Зная tga, по формуле sino^-y. tg“ ; находим sin ez = 1/^5 V l+tg2a

я, следовательно, г=1 см.

Так как | ЛС | =1 АМ | +1 МС | и (ВС I = | ВN | 1 NC |, то легко находи л ; АС | «= 3 см и | ВС | = 4 см. А

Задача 3. Равнобедренные треугольники АВС (|ЛВ; = ]ВС|) я А'В'С (| А'В' I — |В'С' |) конгруэнтны. Вершины А', В', С'

Рис. 181.Рис. 181.расположены соответственно на продолжениях стороны ВС за точку С, стороны 5.4 за точку А, стороны АС за точку С, причем прямые ВС и В'С перпендикулярны (рис. 181). Найти углы треугольника ЛВС.

Рис. 181.

Рис. 181.

! QC' ;2 = JQC । |СЛ' '.! QC' ;2 = JQC । |СЛ' '.(2)(2)А Обозначим Ь=\АВ\ и ер = ЛВС. Пусть прямые ВС и В’С' пересекаются в точке Q. Гак как по условию A'B_LB’C и QCC’ = = ЛСВ — В'СА', то угол СС'Л' —грямоп и отрезок CQ является высотой прямоугольного треугольника СС'Л'. Следовательно,

! QC' ;2 = JQC । |СЛ' '.

! QC' ;2 = JQC । |СЛ' '.

(2)

(2)

Из прямоугольного треугольника B'QA' находим | QЛ' | = b sin ер, | В' Q| = b cos ер, и так как | QC | = | В’С' | — | QB' |, то |QC'| = •= b (1 — cos ер). Далее, | QC [ = QB | — j ВС |. Найдем | QB | из прямоугольного треугольника B'BQ:

I I tg <p sin д *

тогда [QC | = b Д2ДФ _ 1V Подставляя в (2) длины соответствую

щих отрезков и сокращая на Ь1, получим тригонометрическое уравнение (1 — cos ер)2 = sin ф ^^ — 1 j > которое приводится к виду

sin ер = 2 cos ер — 1. Возводя это равенство в квадрат, выражая sin2 ер через cos2 ер, получим 5 cos3 ер — 4 cos ер = 0, откуда находим cos ер = 0 и cos ер = 4/5. Очевидно, что cos ер ^ 0 (в противном случае прямые В'А' и ВС не пересекались бы), поэтому cos ср = 4/5 и ер = arccos (4/5). А

При сведении геометрической задачи к алгебраической или тригонометрической приходится вводить несколько неизвестных. Не обязательно за неизвестные величины принимать те, которые

требуется найти. Как показывает решение задачи 2, иногда удобно ввести другие, относительно которых получаются более простые соотношения и, лишь найдя их, вычислять искомые. Кроме того, найденные решения алгебраических и тригонометрических уравнений и систем часто требуют геометрической проверки, как, например, в задаче 3.

Большинство геометрических задач на максимум и минимум также решаются с привлечением алгебры и тригонометрии. В этих случаях задачу сводят к исследованию на максимум и минимум некоторой алгебраической или тригонометрической фупкщ и. Заме

тим, что при этом исследование надо проводить на тo^ множе- с;п2 значений аргумента, на котором существует рассматриваемая

геометрическая фигура.

АВ имеет длину с и образует с катетом АС угол а. Гочка DАВ имеет длину с и образует с катетом АС угол а. Гочка DЗадача 4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза

АВ имеет длину с и образует с катетом АС угол а. Гочка D

АВ имеет длину с и образует с катетом АС угол а. Гочка D

расположена на гипотенузе АВ и имеет наименьшую, по сравнению с другими точками отрезка АВ, сумму квадратов расстояний до прямых АС и ВС. Найти длину отрезка AD.

Д Пусть DN АС и DM _L ВС (рис. 182). Обозначим х = [ AD ', тогда ) BD । = с — х и

\DN । = х since, | DM I = (с — x)cosa.

Сумму квадратов расстояний от точки D до прямых АС и ВС обозначим/, имеем/ = х2 sin2 а + (с —х)2 cos2 а. Требуется узнать, при каком значении х эта функция имеет наименьшее значение, если х заключено в пределах Os^x^c. Преобразуем функцию/ к виду / = х2-[-с2 cos2 а — 2сх cos се. Производная этой функции равна 2х —2с cos а и обращается в нуль при x = ccosa. Это значение х принадлежит отрезку [0; с], слева от этой точки производная отрицательна, справа — положительна, следовательно, при x = ccosa функция / имеет минимум.

Таким образом, IADj = ccosce. А

Применение векторной алгебры. С помощью векторной алгебры некоторые задачи и теоремы планиметрии, требующие сложных геометрических рассуждений, сводятся к сравнительно простым вычислениям. Рассмотрим для примера следующую задачу.

Задача 5. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ЗС и С А расположены точки Аь Вг и С, так, что

| ЛЛ! iIBBC _ ДД!

j АВ i| ВС | АС | '

Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и AiB^Ci совпадают.

А Пусть АВ = а, АС = Ь (рис. 183). Если АМ — мел и а на треугольника АВС, то АМ = (аД 6)/2. Медианы треугольника

пересекаются в одной точке, каждая медиана в этой точке делится в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому если 0—точка пересечения медиан треугольника АВС, то

Аб = з АМ = -J- (а + 6).(3)

Рассмотрим треугольник AjBjCj (рис. 184). Обозначим т = = | ДД2 i/j АВ I, тогда Д2С! = (1 — т) b — та и А2В2 = (1 — т) а + + т(6 — а). Если Д2Л12 —медиана треугольника Д^Сь то

O1-l(A1C1 + A1B1) = 4(6 + (1-3m)«)-

Точка Ох пересечения медиан треугольника AtByCi лежит на AiMi

и | Д1ОХ ] = у I ДхМх |, т. е. I AxOi | =у(Ь + (1 — Зт)а). Найдем вектор ДО2:

A0i = /lA‘i-bA^ = /na + ~(& + (1-3fli)a) = -’-(«+&).(4)

Сравнивая (3) и (4), получаем АО = АОь т. о. точки О и О2 совпадают. Ж

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I

Диагонали трапеции, пересекаясь в точке О, разбивают трапецию па 4 треугольника с вершиной в точке О. Доказать, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны.

В треугольнике АВС через точку М, лежащую на стороне ВС, проведены прямые, параллельные сторонам АС и АВ. Площадь образовавшегося при этом параллелограмма составляет 5/18 площади треугольника АВС, Найти, в каком отношении точка Al делит сторону ВС.

Точки М, N и Р лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, причем । АМ ]/| АВ\ = \ BN у; ВС | = j СР l/| СА | = 1/3. Прямые CM, AN и ВР, пересекаясь, ограничивают треугольник, площадь которого равна S. Найти площадь треугольника АВС.

При повороте с центром в точке С на угол а (а<л/2) треугольник АВС переходит в треугольник А'В’С, Точка В* является образом точки В и

лежит на стороне АВ; точка А'—образ точки А. Найти углы треугольника АВС, 'если прямые АС и А'В' перпендикулярны.

Доказать, что три высоты треугольника или три прямые, нс которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Продолжения высот треугольника АВС делят описанную о соло треугольника АВС окружность на дуги, длины которых относятся как piq;r. Найти углы треугольника АВС.

Две окружности радиусов R и г (.R >• г^ внутренне касаются в точке А. Через точку В, лежащую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке С. Найти длину отрезка АВ, если | ВС |=а.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, делит медиану ВМ на три конгруэнтные отрезка. Найти отношение длин сторон треугольника ЛВС.

Продолжения высот ВМ и CN остроугольного треугольника ЛВС пересекают описанную около пего окружность в точках Р и Q. Найти радиус описанной окружности, если \ВС =а и jPQi = ^-a.

Точка Е лежит на стороне АС правильного треугольника АВС, точка К —середина отрезка АЕ. Прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно АВ, и прямая, проходящая через точку С перпендикулярно ВС, пересекаются в точке D. Найти углы треугольника BKD.

В равнобедренном треугольнике АВС (] АВ '= j ВС I) медиант AD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Определить величину угла АСВ.

В треугольнике АВС величина угла при вершине А равна а. Найти длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины А, если |АВ|=с | АС( = &.

В треугольнике АВС величина угла при вершине В равна <р величина угла при вершине С равна 2$. Окружность, проходящая через точки А, С и центр описанной около треугольника АВС окружности, пересекает сороку АВ в точке М. Определить отношение ; АМ \ : | АВ ,.

В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает сторону АС в точке М, при этом | МА : : ■ МС =3. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает сторону АВ в точке /V, так что ; AN ! : j NB : = 2. Определить углы треугольника АВС.

Доказать, что если в треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС различны, то биссектриса угла АВС лежит между медианой и высотой, проведенных из той же вершины.

В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением [ ВС [2 + + | AC |2 = 5 I АВ А Доказать, что медианы АМ и BN перпендикул! рны.

Две окружности радиусов |5 см и рЛ2 см пересекаются < точке А. Расстояние между центрами окружностей равно 3 см. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точках В и Стак, что |АВ! = |АС|. Найти длину отрезка АВ.

В ромбе ABCD угол BAD острый. Окружность, вписанная в этот ромб, касается сторон АВ и CD соответственно в точках М и N, пересекает отрезок СМ в точке Р, а отрезок BN — в точке Q. Найти отношение ! 3Qj: \QN *, если | СР |: | РМ । =9: 16.

Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в точке А пересекает первую окружность в точках С и D, а диаметр АВ в точке Е. На дуге СЕ, не содержащей точку D, взята точка М, отличная от точек С и Е. Прямая ВМ пересекает первую окружность в точке /V. Найти длину отрезка MN, если \CN\=а, \DN\ = b.

Дан треугольник АВС. Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине А пересекает прямую ВС в точке М. Доказать, что | MB I: j МС | = = |ЛВ|:|ЛС|.

Дан треугольник АВС. Точка М лежит на прямой ВС, при этом 1 МВ [! : | JMC j — !АВ|:|АС|. Доказать, что точка М лежит либо на биссектрисе угла А треугольника АВС, либо на биссектрисе внешнего угла при вершине А.

В параллелограмме ABCD острый угол равен а. Пусть С\, О2, 03 и О4 — центры окружностей, описанных соответственно около треугольников DAB, DAC, DBG и АВС. Определить отношение площади четырехугольника ОкО2ОаО4 к площади параллелограмма ABCD.

ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II

Доказать, что в любом треугольнике сумма длин его трех медиан меньше периметра треугольника, но больше трех четвертей периметра.

В равнобедренном треугольнике длина основания равна а, длина высоты, опущенной на основание, равна h. Найти расстояние от середины основания до боковой стороны.

Определить площадь трапеции, если известно, что при последовательном соединении середин ее сторон образуется квадрат, длина стороны которого равна а.

В трапеции длина основания равна 2а, Длины всех остальных сторон этой трапеции равны а. Найти расстояние от середины одной боковой стороны трапеции до другой боковой стороны.

Вычислить площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны а и 6.

Трапеция описана около окружности. Найти отношение длины средней линии трапеции к ее периметру.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике через вершину прямого угла проведены две прямые, которые разбивают этот угол на три конгруэнтных угла. Найти длины отрезков, на которые эти прямые разобьют гипотенузу, если длина ее равна а.

Найти площадь треугольника АВС, вписанного в окружность, если вершины А и С отстоят от касательной, проведенной через вершину В, на расстояниях т и п и | АС [ = 6.

В треугольнике АВС проведена высота BD. Через точку D проведена прямая параллельно стороне АВ до пересечения со стороной ВС в точке К. Найти отношение | ВК |/ КС |, если площадь треугольника BDK составляет 3/16 площади треугольника АВС.

В равнобедренном треугольнике АВС (| АВ | | ВС j) биссе ктриса АЕ пересекает высоту BD в точке О, причем | OS ■/: OD | = 3. В каком отношении высота AF делит высоту BD?

В равнобедренном треугольнике ЛЯС (| АВ | = ; ВС I) высота AF пересекает высоту BD в точке О, причем \ ВО i^OD ==п, В каком отношении биссектриса АЕ делит высоту BD?

В выпуклом четырехугольнике ABCD, площадь которого равна 24 см2, проведены диагонали. Известно, что площадь треугольника АВС вдвое больше площади треугольника ACD, а площадь треугольника BCD втрое больше площади треугольника BDA. Найти площадь треугольника АВС.

В параллелограмме проведены биссектрисы его внутренние углов, Площадь полученного от их пересечения четырехугольника равна 1/4 площади параллелограмма. Найти отношение длин сторон параллелограмма.

В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, а на стороне ВС —точка N. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника CMN, если площади треугольников ОМА, О АВ и OBN соответственно равны Si, S2, Sa.

В равнобедренном треугольнике АВС (. АВ ] =, ВС ,) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке О. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника ВОР равно 3/8. Найти отношение \ AC J\ АВ \.

Прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее па две части, площади которых относятся как т: и. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если длины оснований трапеции равны а и 6.

В равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны а и Ь, вписана окружность. Определить длину диагонали трапеции.

Доказать, что во всякой трапеции сумма квадратов длин диагоналей рчвна сумме квадратов длин непараллельных сторон и удвоенного про «ведения длин оснований.

Найти длину основания равнобедренного треугольника, если длина высоты, опущенной на основание, равна Л и радиус вписанной окружности равен г.

Дан треугольник АВС. Точки М, N и Р лежат на продолжениях стороны АВ за точку В, стороны ВС за точку С и стороны С А за точку А, при этом | ВМ I = т | АВ |; \ С AF \ = п \ ВС V, \AP\~p\AC\. Найти отношение площадей треугольников MNP и АВС.

Точки М и N, D и Е, К и L лежат соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС, при этом ' АМ । = | MN । = I NB ;; ] В К | == | KL | = = | LC > [ AD | = | DE | = | ЕС ,. Вычислить площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых ML, NK, BD, BE, если площадь треугольника АВС равна S.

Точки М, N и Р лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, при этом I А М | | МВ | ' BN ] : | NC | = i СР |: ] РА j = щ : п. Определить отношение площадей треугольников MNP и АВС.

Из вершины А треугольника АВС проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую ВС в точках D и Е соответственно. Определить отношение [ АВ 1/ AC I, если \ BD \L BE | =3/5.

Из вершины А треугольника АВС проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую ВС в точках D и Е соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ADE, если ; ВС\=а и ] ЛВ И ДС |=2/3.

Окружность, построенная на основании ЛО трапеции A BCD как на диаметре, проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции и касается основания ВС. Найти углы трапеции.

Окружность радиуса R, проведенная через вершины Л, 5 и С прямоугольной трапеции ABCD (Я=В=л/2), пересекает отрезки AD и CD соответственно в точках М и N так, что | АМ [ 1 | AD | =' СК ’: I CD [ = 1:3, Найти площадь трапеции.

Из точки М проведены две прямые, касающиеся окружности в точках А и В. Из точки А проведена прямая, перпендикулярная диаметру BD и пересекающая его в точке N. Доказать, что прямая MD делит отрезок A.N пополам.

В прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и 6 (а < Ь). Найти радиус окружности, проходящей через середину меньшего катета и касающейся гипотенузы в ее середине.

В окружности даны две хорды: АВ ■ а и 'АС\=Ь, Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности радиуса R, Образуют угол 60°. Найти радиус окружности, которая вписана в угол, образованный этими касательными, и касается данной окружности.

В полуокружность радиуса R вписан квадрат так, что одна его сторона лежит ,на диаметре и две вершины —на окружности. Найти длину стороны квадрата.

Из точки А проведены дне прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках В и С. Треугольник ЛВС —правильный. Найти его площадь.

На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника, как па диаметре, построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М и боковую сторону ВС в точке N. Найти длину отрезков MN и NC, если |ЛС| = а и | АВ | = 6,

Окружность радиуса R проходит через вершину А равнобедренного треугольника АВС, касается основания ВС в точке В и пересекает боковую сторону АС в точке D. Найти длину боковой стороны АВ, если i AD !/ DC \ = k.

В треугольнике АВС длина высоты ЛО равна 2 V 2 см, длина высоты BE равна 3 см. Высота СК в точке пересечения высот делится в отношении 5:1, считая от вершины С, Найти площадь треугольника АВС.

Дан равнобедренный треугольник АВС ( ЛВ = ВС А- На высоте BD, как на диаметре, построена окружность. Через точки А и С проведены к этой окружности цасательиые, которые пересекаются в точке 0. Найти отношение |ЛВ|;|ЛС:, если , ДО 11 ] AC j =3 : 2 и BD ■< АС .